mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (extChartAt I' y).source
hf : ContinuousWithinAt f s x
⊢ True ∧
      DifferentiableWithinAtProp I I' ((↑(chartAt H' y) ∘ f) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s)
        (↑(chartAt H x) x) ↔
    True ∧
      DifferentiableWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) ∘ f) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s)
        (↑(chartAt H x) x)

Tactic:
rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
x' : M
y : M'
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
e : PartialEquiv M E := extChartAt I x
hx : x' ∈ e.source
e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hc : ContinuousWithinAt f s x'
⊢ Filter.map (↑(extChartAt I x)) (𝓝[s] x') = Filter.map (↑(extChartAt I x)) (𝓝[f ⁻¹' (extChartAt I' y).source ∩ s] x')

Tactic:
nhdsWithin_inter_of_mem

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
x' : M
y : M'
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
e : PartialEquiv M E := extChartAt I x
hx : x' ∈ e.source
e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hc : ContinuousWithinAt f s x'
⊢ Filter.map (↑(extChartAt I x)) (𝓝[s] x') = Filter.map (↑(extChartAt I x)) (𝓝[s] x')

𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
x' : M
y : M'
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
e : PartialEquiv M E := extChartAt I x
hx : x' ∈ e.source
e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hc : ContinuousWithinAt f s x'
⊢ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source ∈ 𝓝[s] x'
Module: Mathlib.Topology.FiberBundle.Constructions

Goal state before:
pp: B : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
⊢ topologicalSpace B F =
    induced (Prod.fst ∘ ⇑(TotalSpace.toProd B F)) inst✝¹ ⊓ induced (Prod.snd ∘ ⇑(TotalSpace.toProd B F)) inst✝

Tactic:
rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.FiberBundle.Constructions

Goal state before:
pp: B : Type u
F : Type v
E : B → Type w₁
B' : Type w₂
inst✝¹ : TopologicalSpace B'
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
f : B' → B
⊢ induced TotalSpace.proj inst✝¹ ⊓ induced (Pullback.lift f) inst✝ =
    induced (Prod.fst ∘ pullbackTotalSpaceEmbedding f) inst✝¹ ⊓ induced (Prod.snd ∘ pullbackTotalSpaceEmbedding f) inst✝

Tactic:
rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.FiberBundle.Constructions

Goal state before:
pp: B : Type u
F : Type v
E : B → Type w₁
B' : Type w₂
f✝ : B' → B
inst✝⁶ : TopologicalSpace B'
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : ∀ (_b : B), Nonempty (E _b)
K : Type U
inst✝¹ : FunLike K B' B
inst✝ : ContinuousMapClass K B' B
e : Trivialization F TotalSpace.proj
f : K
⊢ Pullback.lift ⇑f ⁻¹' TotalSpace.proj ⁻¹' e.baseSet = TotalSpace.proj ⁻¹' ⇑f ⁻¹' e.baseSet

Tactic:
rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Basic

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace F
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : Module R F
inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Pretrivialization.IsLinear R e
b : B
h✝ : b ∈ e.baseSet
⊢ ⇑↑(linearEquivAt R e b h✝) = fun y ↦ (↑e { proj := b, snd := y }).2

Tactic:
rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Basic

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace F
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : Module R F
inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Pretrivialization.IsLinear R e
b : B
h✝ : b ∉ e.baseSet
⊢ ⇑0 = fun y ↦ 0

Tactic:
rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : TopologicalSpace B
x : B
v : Trivial B F x
⊢ (fun y ↦ (↑(trivialization B F) { proj := x, snd := y }).2) v = LinearMap.id v

Tactic:
rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁸ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace R F
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝² : FiberBundle F E
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear R e
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e'
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
v : F
⊢ ((continuousLinearEquivAt R e b ⋯).symm.trans (continuousLinearEquivAt R e' b ⋯)) v =
    (↑e' { proj := b, snd := e.symm b v }).2

Tactic:
rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
hxs : UniqueMDiffAt[s] x
⊢ mfderiv[s] id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)

Tactic:
by
  rw [MDifferentiable.mfderivWithin mdifferentiableAt_id hxs]
  exact mfderiv_id

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NontriviallyNormedField R
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace R F
inst✝ : TopologicalSpace B
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
i : ι
b : B
hb : b ∈ (Z.localTriv i).baseSet
v : Z.Fiber b
⊢ (Z.coordChange (Z.indexAt b) i b) v = (Z.coordChange (Z.indexAt b) i b) v

Tactic:
rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s : Set M
proj✝ : M
snd✝ : TangentSpace I proj✝
hs : UniqueMDiffAt[s] ⟨proj✝, snd✝⟩.proj
⊢ ⟨⟨proj✝, snd✝⟩.proj, (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I ⟨proj✝, snd✝⟩.proj)) ⟨proj✝, snd✝⟩.snd⟩ = ⟨proj✝, snd✝⟩

Tactic:
rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁶ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝³ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E
⊢ ((extChartAt IB x.proj).prod (PartialEquiv.refl F)).target ∩
      ↑((extChartAt IB x.proj).prod (PartialEquiv.refl F)).symm ⁻¹' (trivializationAt F E x.proj).baseSet ×ˢ univ =
    (extChartAt IB x.proj).target ×ˢ univ ∩
      (↑(extChartAt IB x.proj).symm ⁻¹' (trivializationAt F E x.proj).baseSet) ×ˢ univ

Tactic:
rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')
⊢ ⟨p.proj.1, (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I p.proj.1) (TangentSpace I' p.proj.2)) p.snd⟩ =
    ⟨p.proj.1, p.snd.1⟩

Tactic:
rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set (M × M')
p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')
hs : UniqueMDiffAt[s] p.proj
⊢ ⟨p.proj.1, (mfderiv[s] Prod.fst p.proj) p.snd⟩ = ⟨p.proj.1, p.snd.1⟩

Tactic:
mfderivWithin_fst

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set (M × M')
p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')
hs : UniqueMDiffAt[s] p.proj
⊢ ⟨p.proj.1, (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I p.proj.1) (TangentSpace I' p.proj.2)) p.snd⟩ =
    ⟨p.proj.1, p.snd.1⟩

𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set (M × M')
p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')
hs : UniqueMDiffAt[s] p.proj
⊢ UniqueMDiffAt[s] p.proj
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set (M × M')
proj✝ : M × M'
snd✝ : TangentSpace (I.prod I') proj✝
hs : UniqueMDiffAt[s] ⟨proj✝, snd✝⟩.proj
⊢ ⟨⟨proj✝, snd✝⟩.proj.1,
      (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I ⟨proj✝, snd✝⟩.proj.1) (TangentSpace I' ⟨proj✝, snd✝⟩.proj.2))
        ⟨proj✝, snd✝⟩.snd⟩ =
    ⟨⟨proj✝, snd✝⟩.proj.1, ⟨proj✝, snd✝⟩.snd.1⟩

Tactic:
rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
hf : ContinuousWithinAt f s x₀
h1 : (fun x ↦ (f x).proj) ⁻¹' (trivializationAt F E (f x₀).proj).baseSet ∈ 𝓝[s] x₀
⊢ (Prod.fst ∘ fun x ↦
        (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).1,
          (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).2))
      x₀ =
    ↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (f x₀).proj

Tactic:
· simp only [mfld_simps]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
⊢ mfderiv% f x = mfderiv% f x

Tactic:
rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝⁶ : TopologicalSpace N
inst✝⁵ : ChartedSpace G N
F' : Type u_14
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝² : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
x : M
f : M → M'
g : N → N'
y : N
hf : MDiffAt f x
hg : MDiffAt g y
⊢ MDiffAt (Prod.map f g) (x, y)

Tactic:
rw [← mdifferentiableWithinAt_univ] at *

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝⁶ : TopologicalSpace N
inst✝⁵ : ChartedSpace G N
F' : Type u_14
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝² : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
x : M
f : M → M'
g : N → N'
y : N
hf : MDiffAt[univ] f x
hg : MDiffAt[univ] g y
⊢ MDiffAt[univ] (Prod.map f g) (x, y)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝⁶ : TopologicalSpace N
inst✝⁵ : ChartedSpace G N
F' : Type u_14
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝² : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
s : Set (M × M')
p : M × M'
f : M → N
g : M' → N'
df : TangentSpace I p.1 →L[𝕜] TangentSpace J (f p.1)
hf : HasMFDerivAt[Prod.fst '' s] f p.1 df
dg : TangentSpace I' p.2 →L[𝕜] TangentSpace J' (g p.2)
hg : HasMFDerivAt[Prod.snd '' s] g p.2 dg
⊢ s ⊆ (Prod.fst '' s) ×ˢ (Prod.snd '' s)

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Basic

Goal state before:
pp: case hx
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : ChartedSpace HB B
inst✝¹ : FiberBundle F E
s : (x : B) → E x
u : Set B
x : B
inst✝ : Subsingleton F
⊢ (↑(trivializationAt F E x) { proj := x, snd := s x }).2 = ?m.113

pp: n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : ChartedSpace HB B
inst✝¹ : FiberBundle F E
s : (x : B) → E x
u : Set B
x : B
inst✝ : Subsingleton F
⊢ F

Tactic:
rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝⁶ : TopologicalSpace N
inst✝⁵ : ChartedSpace G N
F' : Type u_14
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝² : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
s : Set (M × M')
p : M × M'
f : M → N
g : M' → N'
df : TangentSpace I p.1 →L[𝕜] TangentSpace J (f p.1)
hf : HasMFDerivAt[Prod.fst '' s] f p.1 df
dg : TangentSpace I' p.2 →L[𝕜] TangentSpace J' (g p.2)
hg : HasMFDerivAt[Prod.snd '' s] g p.2 dg
p₀ : E × E'
hp₀ : (↑(chartAt H p.1).symm (↑I.symm p₀.1), ↑(chartAt H' p.2).symm (↑I'.symm p₀.2)) ∈ s
hp₁₁ : ∃ y, ↑I y = p₀.1
hp₁₂ : ∃ y, ↑I' y = p₀.2
⊢ ∃ x, (↑(chartAt H p.1).symm (↑I.symm p₀.1), x) ∈ s

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝⁶ : TopologicalSpace N
inst✝⁵ : ChartedSpace G N
F' : Type u_14
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝² : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
s : Set (M × M')
p : M × M'
f : M → N
g : M' → N'
df : TangentSpace I p.1 →L[𝕜] TangentSpace J (f p.1)
hf : HasMFDerivAt[Prod.fst '' s] f p.1 df
dg : TangentSpace I' p.2 →L[𝕜] TangentSpace J' (g p.2)
hg : HasMFDerivAt[Prod.snd '' s] g p.2 dg
p₀ : E × E'
hp₀ : (↑(chartAt H p.1).symm (↑I.symm p₀.1), ↑(chartAt H' p.2).symm (↑I'.symm p₀.2)) ∈ s
hp₁₁ : ∃ y, ↑I y = p₀.1
hp₁₂ : ∃ y, ↑I' y = p₀.2
⊢ ∃ a, (a, ↑(chartAt H' p.2).symm (↑I'.symm p₀.2)) ∈ s

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝⁶ : TopologicalSpace N
inst✝⁵ : ChartedSpace G N
F' : Type u_14
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝² : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
s : Set M
p : M × M'
t : Set M'
f : M → N
g : M' → N'
hf : MDiffAt[s] f p.1
hg : MDiffAt[t] g p.2
hs : UniqueMDiffAt[s] p.1
ht : UniqueMDiffAt[t] p.2
⊢ Prod.fst '' s ×ˢ t ⊆ s

Tactic:
grind

Goal state after: