mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.FiveWheelLike

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
ha : a ∈ insert w₁ s
haj : ¬G.Adj x a
hb : b ∈ insert w₂ t
hbj : ¬G.Adj x b
hc : c ∈ insert v s
hcj : ¬G.Adj x c
hd : d ∈ insert v t
hdj : ¬G.Adj x d
hab : a ≠ b
had : a ≠ d
hbc : b ≠ c
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hf : c = a → d ≠ b
h : ¬a = c
⊢ a ∈ {z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z} ∧
    b ∈ {z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z} ∧
      c ∈ {z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z} ∧ a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Matching

Goal state before:
pp: case h
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
M : G.Subgraph
f : G →g G'
hf : Injective ⇑f
hM : M.IsMatching
v : V
hv : v ∈ M.verts
v' : V
hv' : (fun w ↦ M.Adj v w) v' ∧ ∀ (y : V), (fun w ↦ M.Adj v w) y → y = v'
⊢ (fun w ↦ (Subgraph.map f M).Adj (f v) w) (f v') ∧ ∀ (y : W), (fun w ↦ (Subgraph.map f M).Adj (f v) w) y → y = f v'

Tactic:
refine ⟨⟨v, v', hv'.1, rfl, rfl⟩, ?_⟩

Goal state after:
case h
V : Type u_1
W : Type u_2
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
M : G.Subgraph
f : G →g G'
hf : Injective ⇑f
hM : M.IsMatching
v : V
hv : v ∈ M.verts
v' : V
hv' : (fun w ↦ M.Adj v w) v' ∧ ∀ (y : V), (fun w ↦ M.Adj v w) y → y = v'
⊢ ∀ (y : W), (fun w ↦ (Subgraph.map f M).Adj (f v) w) y → y = f v'
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.FiveWheelLike

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
⊢ a ∈ s ∧ b ∈ t ∧ a ≠ v ∧ b ≠ v ∧ a ≠ w₂ ∧ b ≠ w₁

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.FiveWheelLike

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
a b c d : α
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hbc : b ≠ a
hca : True
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj v y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj v z}) ≤ 2
haj : ¬G.Adj v a
hbj : ¬G.Adj v b
hcj : ¬G.Adj v a
hdj : ¬G.Adj v b
hax : v = a
⊢ False

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.FiveWheelLike

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
a b c d : α
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hbc : b ≠ a
hca : True
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj w₁ y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj w₁ z}) ≤ 2
haj : ¬G.Adj w₁ a
hbj : ¬G.Adj w₁ b
hcj : ¬G.Adj w₁ a
hdj : ¬G.Adj w₁ b
hax : w₁ = a
⊢ False

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.FiveWheelLike

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
a b c d : α
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hbc : b ≠ a
hca : True
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj w₂ y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj w₂ z}) ≤ 2
haj : ¬G.Adj w₂ a
hbj : ¬G.Adj w₂ b
hcj : ¬G.Adj w₂ a
hdj : ¬G.Adj w₂ b
hbx : w₂ = b
⊢ False

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Matching

Goal state before:
pp: case h
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v w : V
h : G.IsCycles
w' : V
hww : w ≠ w'
y : V
hwy : w ≠ y
x y' : V
hxy' : x ≠ y' ∧ G.neighborSet v = {x, y'}
hadj : w ∈ G.neighborSet v
hww' : w' ∈ G.neighborSet v
hwy' : y ∈ G.neighborSet v
⊢ y = w'

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Matching

Goal state before:
pp: V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v w : V
h : G.IsCycles
hadj : G.Adj v w
⊢ ∃! w', w ≠ w' ∧ G.Adj v w'

Tactic:
by
  obtain ⟨w', ⟨hww, hww'⟩⟩ := h.other_adj_of_adj hadj
  use w'
  refine ⟨⟨hww, hww'⟩, ?_⟩
  intro y ⟨hwy, hwy'⟩
  obtain ⟨x, y', hxy'⟩ := Set.ncard_eq_two.mp (h ⟨w, hadj⟩)
  simp_rw [← SimpleGraph.mem_neighborSet] at *
  grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.LapMatrix

Goal state before:
pp: case nil
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq V
x : V → ℝ
h : ∀ (i j : V), G.Adj i j → x i = x j
i j u✝ : V
⊢ x u✝ = x u✝

Tactic:
rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Matching

Goal state before:
pp: V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v : V
p : G.Walk u v
hp : p.IsPath
h : u ≠ v
hs : s(v, u) ∉ p.edges
c : (completeGraph V).Walk v v := cons ⋯ (Walk.mapLe ⋯ p)
w x : V
⊢ p.toSubgraph.Adj w x ∨ (w = v ∧ x = u ∨ w = u ∧ x = v) ∧ w ≠ x ↔ s(v, u) = s(w, x) ∨ p.toSubgraph.Adj w x

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.FiveWheelLike

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := ⋯
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hxv : v ≠ x
hxw₁ : w₁ ≠ x
hxw₂ : w₂ ≠ x
w✝ : α
hz : w✝ ∈ W
haz : w✝ ≠ a
hbz : w✝ ≠ b
hf : ¬G.Adj w✝ x
⊢ 2 < #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z})

Tactic:
exact two_lt_card.2 ⟨_, by simp [has, hcj], _, by simp [hbt, hdj], _,
                         mem_filter.2 ⟨hz, by rwa [adj_comm] at hf⟩, hab, haz.symm, hbz.symm⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.FiveWheelLike

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hxv : v ≠ x
hxw₁ : w₁ ≠ x
hxw₂ : w₂ ≠ x
wa : ∀ ⦃w : α⦄, w ∈ W → w ≠ a → w ≠ b → G.Adj w x
⊢ insert w₁ s ⊆ W ∧ insert w₂ t ⊆ W

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.FiveWheelLike

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hxv : v ≠ x
hxw₁ : w₁ ≠ x
hxw₂ : w₂ ≠ x
wa : ∀ ⦃w : α⦄, w ∈ W → w ≠ a → w ≠ b → G.Adj w x
h1s : insert w₁ s ⊆ W
h2t : insert w₂ t ⊆ W
⊢ G.IsPathGraph3Compl v w₁ w₂

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.FiveWheelLike

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hxv : v ≠ x
hxw₁ : w₁ ≠ x
hxw₂ : w₂ ≠ x
wa : ∀ ⦃w : α⦄, w ∈ W → w ≠ a → w ≠ b → G.Adj w x
h1s : insert w₁ s ⊆ W
h2t : insert w₂ t ⊆ W
⊢ v ∉ insert x (s.erase a)

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Matching

Goal state before:
pp: V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝ : Finite V
v w : V
hcyc : G.IsCycles
p : G.Walk v w
hp : p.IsPath
hvw : ¬v = w
hpn : ¬p.Nil
w' : V
hwu : ∀ (y : V), (fun w' ↦ p.snd ≠ w' ∧ G.Adj v w') y → y = w'
hw'1 : p.snd ≠ w'
hw'2 : G.Adj v w'
hnpvw' : ¬p.toSubgraph.Adj v w'
hww' : ¬w = w'
⊢ G ≤ G

Tactic:
rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.FiveWheelLike

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hxv : v ≠ x
hxw₁ : w₁ ≠ x
hxw₂ : w₂ ≠ x
wa : ∀ ⦃w : α⦄, w ∈ W → w ≠ a → w ≠ b → G.Adj w x
h1s : insert w₁ s ⊆ W
h2t : insert w₂ t ⊆ W
⊢ v ∉ insert x (t.erase b)

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.FiveWheelLike

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hxv : v ≠ x
hxw₁ : w₁ ≠ x
hxw₂ : w₂ ≠ x
wa : ∀ ⦃w : α⦄, w ∈ W → w ≠ a → w ≠ b → G.Adj w x
h1s : insert w₁ s ⊆ W
h2t : insert w₂ t ⊆ W
⊢ w₁ ∉ insert x (s.erase a)

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.LapMatrix

Goal state before:
pp: case h
V : Type u_1
inst✝³ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
x : ↥(toLin' (lapMatrix ℝ G)).ker
a✝ : x ∈ ⊤
j : V
⊢ Quot.lift ↑x ⋯ (G.connectedComponentMk j) = ↑x j

Tactic:
rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.FiveWheelLike

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hxv : v ≠ x
hxw₁ : w₁ ≠ x
hxw₂ : w₂ ≠ x
wa : ∀ ⦃w : α⦄, w ∈ W → w ≠ a → w ≠ b → G.Adj w x
h1s : insert w₁ s ⊆ W
h2t : insert w₂ t ⊆ W
⊢ w₂ ∉ insert x (t.erase b)

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Matching

Goal state before:
pp: V : Type u_1
G : SimpleGraph V
v w : V
inst✝ : Finite V
hadj : G.Adj v w
hcyc : G.IsCycles
this : fromEdgeSet {s(v, w)} = hadj.toWalk.toSubgraph.spanningCoe
⊢ G.deleteEdges {s(v, w)} = G \ fromEdgeSet {s(v, w)}

Tactic:
rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.FiveWheelLike

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype α
hm : G.FiveWheelLikeFree r (k + 1)
X : Finset α := {x | ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y}
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
dXle : ∀ x ∈ X, 3 ≤ #({z ∈ W | ¬G.Adj x z})
x w✝ : α
hz : w✝ ∈ insert w₁ s ∧ ¬G.Adj x w✝
⊢ w✝ ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.StronglyRegular

Goal state before:
pp: case a
V : Type u
inst✝² : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
inst✝ : Nontrivial V
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
ht : G ≠ ⊤
hm : μ ≠ 0
this✝ : ¬2 ≤ G.ediam
this : ¬Subsingleton V
⊢ False

Tactic:
simp_all [Order.le_one_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Matching

Goal state before:
pp: V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : ¬G.Adj u x
v w w' : V
hww' : w ≠ w'
hl : G.Adj v w
h2 : (v = u ∧ w' = x ∨ v = x ∧ w' = u) ∧ v ≠ w'
⊢ s(v, w') = s(u, x)

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.StronglyRegular

Goal state before:
pp: V : Type u
inst✝² : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq V
v w : V
⊢ (G.neighborFinset v)ᶜ \ {v} ∩ ((G.neighborFinset w)ᶜ \ {w}) =
    ((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v})

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Matching

Goal state before:
pp: V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : ¬G.Adj u x
v w w' : V
hww' : w ≠ w'
hr : (v = u ∧ w = x ∨ v = x ∧ w = u) ∧ v ≠ w
h1 : G.Adj v w'
⊢ s(v, w) = s(u, x)

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Matching

Goal state before:
pp: case neg.inr.inl.inr
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : ¬G.Adj u x
v w w' : V
hww' : w ≠ w'
hr : (v = u ∧ w = x ∨ v = x ∧ w = u) ∧ v ≠ w
h1 : G.Adj v w'
hrr1 : v = x
hrr2 : w = u
⊢ G'.Adj v w'

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Matching

Goal state before:
pp: case neg.inr.inr
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : ¬G.Adj u x
v w w' : V
hww' : w ≠ w'
hr : (v = u ∧ w = x ∨ v = x ∧ w = u) ∧ v ≠ w
h2 : (v = u ∧ w' = x ∨ v = x ∧ w' = u) ∧ v ≠ w'
⊢ G'.Adj v w ↔ ¬G'.Adj v w'

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.FiveWheelLike

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype α
hm : G.FiveWheelLikeFree r (k + 1)
X : Finset α := {x | ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y}
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
dXle : ∀ x ∈ X, 3 ≤ #({z ∈ W | ¬G.Adj x z})
one_le : ∀ (x : α), 1 ≤ #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z})
bdW : ∑ w ∈ W, G.degree w ≤ #X * (#W - 3) + #Xᶜ * (#W - 1)
xcle : ∀ x ∈ Xᶜ, 1 ≤ #({z ∈ s ∩ t | ¬G.Adj x z})
bdX : ∑ w ∈ s ∩ t, G.degree w ≤ #X * #(s ∩ t) + #Xᶜ * (#(s ∩ t) - 1)
⊢ #W + k = 2 * r + 3

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Matching

Goal state before:
pp: case h
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M : G.Subgraph
hM : M.IsPerfectMatching
hG' : G'.IsAlternating M.spanningCoe
hG'cyc : G'.IsCycles
v w : V
hw : (fun w ↦ M.Adj v w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w ↦ M.Adj v w) y → y = w
h : G'.Adj v w
w' : V
hw' : w ≠ w' ∧ G'.Adj v w'
hmadj : M.Adj v w ↔ ¬M.Adj v w'
⊢ (fun w ↦ ⊤.Adj v w) w' ∧ ∀ (y : V), (fun w ↦ ⊤.Adj v w) y → y = w'

Tactic:
simp only [Subgraph.top_adj, SimpleGraph.sup_adj, sdiff_adj, Subgraph.spanningCoe_adj,
      hmadj.mp hw.1, hw'.2, not_true_eq_false, and_self, not_false_eq_true, or_true, true_and]

Goal state after:
case h
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M : G.Subgraph
hM : M.IsPerfectMatching
hG' : G'.IsAlternating M.spanningCoe
hG'cyc : G'.IsCycles
v w : V
hw : (fun w ↦ M.Adj v w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w ↦ M.Adj v w) y → y = w
h : G'.Adj v w
w' : V
hw' : w ≠ w' ∧ G'.Adj v w'
hmadj : M.Adj v w ↔ ¬M.Adj v w'
⊢ ∀ (y : V), M.Adj v y ∧ ¬G'.Adj v y ∨ G'.Adj v y ∧ ¬M.Adj v y → y = w'
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Matching

Goal state before:
pp: case h.inl
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M : G.Subgraph
hM : M.IsPerfectMatching
hG' : G'.IsAlternating M.spanningCoe
hG'cyc : G'.IsCycles
v w : V
hw : (fun w ↦ M.Adj v w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w ↦ M.Adj v w) y → y = w
h : G'.Adj v w
w' : V
hw' : w ≠ w' ∧ G'.Adj v w'
hmadj : M.Adj v w ↔ ¬M.Adj v w'
y : V
hl : M.Adj v y ∧ ¬G'.Adj v y
⊢ y = w'

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Trails

Goal state before:
pp: case pos.inr
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v x u✝ w✝ : V
huv : G.Adj u✝ x
p : G.Walk x w✝
ih : Even (List.countP (fun e ↦ decide (x ∈ e)) p.edges) ↔ x ≠ w✝ → x ≠ x ∧ x ≠ w✝
ht : p.IsTrail ∧ s(u✝, x) ∉ p.edges
this : u✝ ≠ x
⊢ Even (List.countP (fun e ↦ decide (x ∈ e)) p.edges + 1) ↔ ¬u✝ = w✝ → ¬x = u✝ ∧ ¬x = w✝

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Trails

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v x u✝ v✝ w✝ : V
huv : G.Adj u✝ v✝
p : G.Walk v✝ w✝
ih : Even (List.countP (fun e ↦ decide (x ∈ e)) p.edges) ↔ v✝ ≠ w✝ → x ≠ v✝ ∧ x ≠ w✝
ht : p.IsTrail ∧ s(u✝, v✝) ∉ p.edges
h : ¬decide (x = u✝ ∨ x = v✝) = true
⊢ Even (List.countP (fun e ↦ decide (x ∈ e)) p.edges + 0) ↔ ¬u✝ = w✝ → ¬x = u✝ ∧ ¬x = w✝

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.UniversalVerts

Goal state before:
pp: V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝ : Finite V
s : Set V
h : Disjoint G.universalVerts s
hc : s.ncard ≤ G.universalVerts.ncard
t : Set V
ht : t ⊆ G.universalVerts ∧ t.ncard = s.ncard
⊢ Nonempty (↑s ≃ ↑t)

Tactic:
by
    rw [← Cardinal.eq, ← t.cast_ncard t.toFinite, ← s.cast_ncard s.toFinite, ht.2]

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.FiveWheelLike

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype α
hm : G.FiveWheelLikeFree r (k + 1)
X : Finset α := {x | ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y}
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
dXle : ∀ x ∈ X, 3 ≤ #({z ∈ W | ¬G.Adj x z})
one_le : ∀ (x : α), 1 ≤ #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z})
bdW : ∑ w ∈ W, G.degree w ≤ #X * (#W - 3) + #Xᶜ * (#W - 1)
xcle : ∀ x ∈ Xᶜ, 1 ≤ #({z ∈ s ∩ t | ¬G.Adj x z})
bdX : ∑ w ∈ s ∩ t, G.degree w ≤ #X * #(s ∩ t) + #Xᶜ * (#(s ∩ t) - 1)
Wc : #W + k = 2 * r + 3
⊢ #X * (#W - 3) + #Xᶜ * (#W - 1) + 2 * (#X * #(s ∩ t) + #Xᶜ * (#(s ∩ t) - 1)) =
    #X * (#W - 3 + 2 * k) + #Xᶜ * (#W - 1 + 2 * (k - 1))

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.VertexCover

Goal state before:
pp: case refine_2
V : Type u_1
a✝ : Nontrivial V
n : ℕ
hn : ↑n ≤ ENat.card V - 1
hh : (completeGraph V).vertexCoverNum < ↑n
this✝¹ : ↑n - 1 ≤ ENat.card V
t : Set V
ht₁ : t.encard = ↑(n - 1)
ht₂ : (completeGraph V).IsVertexCover t
this✝ : 1 < (Set.univ \ t).encard
a b : V
left✝¹ : a ∈ Set.univ \ t
left✝ : b ∈ Set.univ \ t
hne : a ≠ b
this : a ∈ t ∨ b ∈ t
⊢ False

Tactic:
grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Tutte

Goal state before:
pp: V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝ : Finite V
h : ¬G.IsTutteViolator G.universalVerts
h' : ∀ (K : G.deleteUniversalVerts.coe.ConnectedComponent), G.deleteUniversalVerts.coe.IsClique K.supp
hrep :
  ConnectedComponent.Represents (Quot.out '' G.deleteUniversalVerts.coe.oddComponents)
    G.deleteUniversalVerts.coe.oddComponents
t : Set V
ht : t ⊆ G.universalVerts
M1 : G.Subgraph
hM1 : M1.verts = Subtype.val '' Quot.out '' G.deleteUniversalVerts.coe.oddComponents ∪ t ∧ M1.IsMatching
complMatch : G.deleteUniversalVerts.coe.ConnectedComponent → G.Subgraph
hcomplMatch_compl :
  ∀ (K : G.deleteUniversalVerts.coe.ConnectedComponent), (complMatch K).verts = Subtype.val '' K.supp \ M1.verts
hcomplMatch_match : ∀ (K : G.deleteUniversalVerts.coe.ConnectedComponent), (complMatch K).IsMatching
M2 : G.Subgraph := ⨆ K, complMatch K
i j : G.deleteUniversalVerts.coe.ConnectedComponent
hij : i ≠ j
⊢ Disjoint (Subtype.val '' i.supp \ M1.verts) (complMatch j).support

Tactic:
(hcomplMatch_match j).support_eq_verts,

Goal state after:
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝ : Finite V
h : ¬G.IsTutteViolator G.universalVerts
h' : ∀ (K : G.deleteUniversalVerts.coe.ConnectedComponent), G.deleteUniversalVerts.coe.IsClique K.supp
hrep :
  ConnectedComponent.Represents (Quot.out '' G.deleteUniversalVerts.coe.oddComponents)
    G.deleteUniversalVerts.coe.oddComponents
t : Set V
ht : t ⊆ G.universalVerts
M1 : G.Subgraph
hM1 : M1.verts = Subtype.val '' Quot.out '' G.deleteUniversalVerts.coe.oddComponents ∪ t ∧ M1.IsMatching
complMatch : G.deleteUniversalVerts.coe.ConnectedComponent → G.Subgraph
hcomplMatch_compl :
  ∀ (K : G.deleteUniversalVerts.coe.ConnectedComponent), (complMatch K).verts = Subtype.val '' K.supp \ M1.verts
hcomplMatch_match : ∀ (K : G.deleteUniversalVerts.coe.ConnectedComponent), (complMatch K).IsMatching
M2 : G.Subgraph := ⨆ K, complMatch K
i j : G.deleteUniversalVerts.coe.ConnectedComponent
hij : i ≠ j
⊢ Disjoint (Subtype.val '' i.supp \ M1.verts) (complMatch j).verts