Module: Mathlib.Probability.Kernel.Disintegration.CDFToKernel

Goal state before:
pp: case iUnion
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f✝ : α × β → StieltjesFunction ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f✝ κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set ℝ
f : ℕ → Set ℝ
hf_disj : Pairwise (Function.onFun Disjoint f)
hf_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
ihf : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f✝ hf) (a, b)) (f i) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ f i)
⊢ ∑' (i : ℕ), ∫⁻ (a_1 : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f✝ hf) (a, a_1)) (f i) ∂ν a = ∑' (i : ℕ), (κ a) (s ×ˢ f i)

pp: case iUnion.hn
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f✝ : α × β → StieltjesFunction ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f✝ κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set ℝ
f : ℕ → Set ℝ
hf_disj : Pairwise (Function.onFun Disjoint f)
hf_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
ihf : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f✝ hf) (a, b)) (f i) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ f i)
⊢ Pairwise (Function.onFun Disjoint fun i ↦ s ×ˢ f i)

pp: case iUnion.h
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f✝ : α × β → StieltjesFunction ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f✝ κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set ℝ
f : ℕ → Set ℝ
hf_disj : Pairwise (Function.onFun Disjoint f)
hf_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
ihf : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f✝ hf) (a, b)) (f i) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ f i)
⊢ ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s ×ˢ f i)

pp: case iUnion
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f✝ : α × β → StieltjesFunction ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f✝ κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set ℝ
f : ℕ → Set ℝ
hf_disj : Pairwise (Function.onFun Disjoint f)
hf_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
ihf : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f✝ hf) (a, b)) (f i) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ f i)
⊢ ∀ (i : ℕ), AEMeasurable (fun b ↦ ((IsCondKernelCDF.toKernel f✝ hf) (a, b)) (f i)) ((ν a).restrict s)

Tactic:
· simp_rw [ihf]

Goal state after:
case iUnion.hn
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f✝ : α × β → StieltjesFunction ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f✝ κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set ℝ
f : ℕ → Set ℝ
hf_disj : Pairwise (Function.onFun Disjoint f)
hf_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
ihf : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f✝ hf) (a, b)) (f i) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ f i)
⊢ Pairwise (Function.onFun Disjoint fun i ↦ s ×ˢ f i)

case iUnion.h
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f✝ : α × β → StieltjesFunction ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f✝ κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set ℝ
f : ℕ → Set ℝ
hf_disj : Pairwise (Function.onFun Disjoint f)
hf_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
ihf : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f✝ hf) (a, b)) (f i) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ f i)
⊢ ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s ×ˢ f i)

case iUnion
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f✝ : α × β → StieltjesFunction ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f✝ κ ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set ℝ
f : ℕ → Set ℝ
hf_disj : Pairwise (Function.onFun Disjoint f)
hf_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
ihf : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f✝ hf) (a, b)) (f i) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ f i)
⊢ ∀ (i : ℕ), AEMeasurable (fun b ↦ ((IsCondKernelCDF.toKernel f✝ hf) (a, b)) (f i)) ((ν a).restrict s)