mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.StructuredArrow

Goal state before:
pp: case hP₂
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Category.{v_2, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
X : C
P : StructuredArrow (L.obj X) L → Prop
hP₀ : P (StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X)))
hP₁ :
  ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (f : Y₁ ⟶ Y₂) (φ : L.obj X ⟶ L.obj Y₁), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ L.map f))
hP₂ :
  ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (w : Y₁ ⟶ Y₂) (hw : W w) (φ : L.obj X ⟶ L.obj Y₂),
    P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ (isoOfHom L W w hw).inv))
g : StructuredArrow (L.obj X) L
P' : StructuredArrow (W.Q.obj X) W.Q → Prop := ⋯
⊢ ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (w : Y₁ ⟶ Y₂) (hw : W w) (φ : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y₂),
    P' (StructuredArrow.mk φ) → P' (StructuredArrow.mk (φ ≫ (isoOfHom W.Q W w hw).inv))

Tactic:
intro Y₁

Goal state after:
case hP₂
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Category.{v_2, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
X : C
P : StructuredArrow (L.obj X) L → Prop
hP₀ : P (StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X)))
hP₁ :
  ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (f : Y₁ ⟶ Y₂) (φ : L.obj X ⟶ L.obj Y₁), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ L.map f))
hP₂ :
  ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (w : Y₁ ⟶ Y₂) (hw : W w) (φ : L.obj X ⟶ L.obj Y₂),
    P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ (isoOfHom L W w hw).inv))
g : StructuredArrow (L.obj X) L
P' : StructuredArrow (W.Q.obj X) W.Q → Prop := fun g ↦ P ((structuredArrowEquiv W W.Q L) g)
Y₁ : C
⊢ ∀ ⦃Y₂ : C⦄ (w : Y₁ ⟶ Y₂) (hw : W w) (φ : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y₂),
    P' (StructuredArrow.mk φ) → P' (StructuredArrow.mk (φ ≫ (isoOfHom W.Q W w hw).inv))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.DerivabilityStructure.PointwiseRightDerived

Goal state before:
pp: case mpr
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
H : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} H
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
F : C₂ ⥤ H
inst✝ : Φ.IsRightDerivabilityStructure
⊢ (Φ.functor ⋙ F).HasPointwiseRightDerivedFunctor W₁ → F.HasPointwiseRightDerivedFunctor W₂

Tactic:
intro hF X₂
    have R : Φ.RightResolution X₂ := Classical.arbitrary _
    simpa only [hasPointwiseRightDerivedFunctorAt_iff_of_isRightDerivabilityStructure,
      ← F.hasPointwiseRightDerivedFunctorAt_iff_of_mem W₂ R.w R.hw] using hF R.X₁

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.DerivabilityStructure.PointwiseRightDerived

Goal state before:
pp: C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
H : Type u₃
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝⁸ : Category.{v₃, u₃} H
D₁ : Type u₄
D₂ : Type u₅
inst✝⁷ : Category.{v₄, u₄} D₁
inst✝⁶ : Category.{v₅, u₅} D₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝⁵ : L₁.IsLocalization W₁
inst✝⁴ : L₂.IsLocalization W₂
F : C₂ ⥤ H
F₁ : D₁ ⥤ H
α₁ : Φ.functor ⋙ F ⟶ L₁ ⋙ F₁
F₂ : D₂ ⥤ H
α₂ : F ⟶ L₂ ⋙ F₂
inst✝³ : F₁.IsRightDerivedFunctor α₁ W₁
inst✝² : Φ.IsRightDerivabilityStructure
inst✝¹ : (Φ.functor ⋙ F).HasPointwiseRightDerivedFunctor W₁
inst✝ : F₂.IsRightDerivedFunctor α₂ W₂
X : C₁
⊢ IsIso (α₁.app X) ↔ IsIso (α₂.app (Φ.functor.obj X))

Tactic:
by
  rw [← isIso_comp_right_iff (α₁.app X)
    ((Φ.rightDerivedFunctorComparison L₁ L₂ F F₁ α₁ F₂ α₂).app (L₁.obj X)),
    rightDerivedFunctorComparison_fac_app, isIso_comp_right_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.Embedding.Connect

Goal state before:
pp: case e_a
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
K K' : ChainComplex C ℕ
L L' : CochainComplex C ℕ
h : ConnectData K L
h' : ConnectData K' L'
fK : K ⟶ K'
fL : L ⟶ L'
f_comm : fK.f 0 ≫ h'.d₀ = h.d₀ ≫ fL.f 0
n : ℕ
inst✝⁴ : NeZero n
m : ℤ
hmn : m = ↑n
inst✝³ : HasHomology h.cochainComplex m
inst✝² : HasHomology L n
inst✝¹ : HasHomology h'.cochainComplex m
inst✝ : HasHomology L' n
⊢ pOpcycles h.cochainComplex m ≫ opcyclesMap (h.map h' fK fL f_comm) m =
    pOpcycles h.cochainComplex m ≫
      (restrictionOpcyclesIso h.cochainComplex (ComplexShape.embeddingUpIntGE 0) (n - 1) n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯).inv ≫
        opcyclesMap h.restrictionGEIso.hom n ≫
          opcyclesMap fL n ≫
            opcyclesMap h'.restrictionGEIso.inv n ≫
              (restrictionOpcyclesIso h'.cochainComplex (ComplexShape.embeddingUpIntGE 0) (n - 1) n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯).hom

Tactic:
subst hmn

Goal state after:
case e_a
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
K K' : ChainComplex C ℕ
L L' : CochainComplex C ℕ
h : ConnectData K L
h' : ConnectData K' L'
fK : K ⟶ K'
fL : L ⟶ L'
f_comm : fK.f 0 ≫ h'.d₀ = h.d₀ ≫ fL.f 0
n : ℕ
inst✝⁴ : NeZero n
inst✝³ : HasHomology L n
inst✝² : HasHomology L' n
inst✝¹ : HasHomology h.cochainComplex ↑n
inst✝ : HasHomology h'.cochainComplex ↑n
⊢ pOpcycles h.cochainComplex ↑n ≫ opcyclesMap (h.map h' fK fL f_comm) ↑n =
    pOpcycles h.cochainComplex ↑n ≫
      (restrictionOpcyclesIso h.cochainComplex (ComplexShape.embeddingUpIntGE 0) (n - 1) n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯).inv ≫
        opcyclesMap h.restrictionGEIso.hom n ≫
          opcyclesMap fL n ≫
            opcyclesMap h'.restrictionGEIso.inv n ≫
              (restrictionOpcyclesIso h'.cochainComplex (ComplexShape.embeddingUpIntGE 0) (n - 1) n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯).hom
Module: Mathlib.CategoryTheory.Abelian.LeftDerived

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} D
inst✝⁵ : Abelian C
inst✝⁴ : HasProjectiveResolutions C
inst✝³ : Abelian D
F G H : C ⥤ D
inst✝² : F.Additive
inst✝¹ : G.Additive
inst✝ : H.Additive
α : F ⟶ G
β : G ⟶ H
n : ℕ
⊢ leftDerived (α ≫ β) n = leftDerived α n ≫ leftDerived β n

Tactic:
simp [NatTrans.leftDerived]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.GradedObject.Monoidal

Goal state before:
pp: I : Type u
inst✝¹⁴ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹² : MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C
inst✝¹¹ : X₁.HasTensor X₂
inst✝¹⁰ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
inst✝⁹ : X₂.HasTensor X₃
inst✝⁸ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)
inst✝⁷ : Y₁.HasTensor Y₂
inst✝⁶ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃
inst✝⁵ : Y₂.HasTensor Y₃
inst✝⁴ : Y₁.HasTensor (tensorObj Y₂ Y₃)
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
inst✝³ : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ X₃
inst✝² : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃
inst✝¹ : Y₁.HasGoodTensor₁₂Tensor Y₂ Y₃
inst✝ : Y₁.HasGoodTensorTensor₂₃ Y₂ Y₃
⊢ tensorHom (tensorHom f₁ f₂) f₃ ≫ (associator Y₁ Y₂ Y₃).hom =
    (associator X₁ X₂ X₃).hom ≫ tensorHom f₁ (tensorHom f₂ f₃)

Tactic:
by
        cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.Cycles

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Category.{v_2, u_2} ι
inst✝ : Abelian C
X : SpectralObject C ι
i j k : ι
f : i ⟶ j
g : j ⟶ k
n₀ n₁ : ℤ
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
⊢ (X.kernelSequenceCycles f g n₀ n₁ hn₁).Exact

Tactic:
subst hn₁
  apply ShortComplex.exact_kernel

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.FirstPage

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.6, u_1} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
inst✝¹ : data.HasFirstPageComputation
inst✝ : X.HasSpectralSequence data
pq : κ
i₁ i₂ : ι
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq
n : ℤ
hn : n = data.deg pq
⊢ i₂ = data.i₃ r₀ pq ⋯

Tactic:
hi₂,

Goal state after:
C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.6, u_1} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
inst✝¹ : data.HasFirstPageComputation
inst✝ : X.HasSpectralSequence data
pq : κ
i₁ i₂ : ι
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq
n : ℤ
hn : n = data.deg pq
⊢ data.i₂ pq = data.i₃ r₀ pq ⋯
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.FirstPage

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.6, u_1} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
inst✝¹ : data.HasFirstPageComputation
inst✝ : X.HasSpectralSequence data
pq : κ
i₁ i₂ : ι
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq
hn₁ : autoParam (n₀ + 1 = n₁) spectralSequenceFirstPageXIso_hom._auto_1
hn₂ : autoParam (n₁ + 1 = n₂) spectralSequenceFirstPageXIso_hom._auto_3
⊢ i₂ = data.i₃ r₀ pq ⋯

Tactic:
hi₂,

Goal state after:
C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.6, u_1} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
inst✝¹ : data.HasFirstPageComputation
inst✝ : X.HasSpectralSequence data
pq : κ
i₁ i₂ : ι
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq
hn₁ : autoParam (n₀ + 1 = n₁) spectralSequenceFirstPageXIso_hom._auto_1
hn₂ : autoParam (n₁ + 1 = n₂) spectralSequenceFirstPageXIso_hom._auto_3
⊢ data.i₂ pq = data.i₃ r₀ pq ⋯
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.FirstPage

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.6, u_1} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
inst✝¹ : data.HasFirstPageComputation
inst✝ : X.HasSpectralSequence data
pq : κ
i₁ i₂ : ι
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq
hn₁ : autoParam (n₀ + 1 = n₁) spectralSequenceFirstPageXIso_inv._auto_1
hn₂ : autoParam (n₁ + 1 = n₂) spectralSequenceFirstPageXIso_inv._auto_3
⊢ i₂ = data.i₃ r₀ pq ⋯

Tactic:
hi₂,

Goal state after:
C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.6, u_1} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
inst✝¹ : data.HasFirstPageComputation
inst✝ : X.HasSpectralSequence data
pq : κ
i₁ i₂ : ι
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq
hn₁ : autoParam (n₀ + 1 = n₁) spectralSequenceFirstPageXIso_inv._auto_1
hn₂ : autoParam (n₁ + 1 = n₂) spectralSequenceFirstPageXIso_inv._auto_3
⊢ data.i₂ pq = data.i₃ r₀ pq ⋯
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.HasSpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : Preorder ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
l : ℕ
r a₁ : ℤ
a₂ : ℕ
isLt✝¹ : a₂ < l
b₁ : ℤ
b₂ : ℕ
isLt✝ : b₂ < l
h₁ : (a₁, ⟨a₂, isLt✝¹⟩).1 + (r, 1 - r).1 = (b₁, ⟨b₂, isLt✝⟩).1
h₂ : ↑↑(a₁, ⟨a₂, isLt✝¹⟩).2 + (r, 1 - r).2 = ↑↑(b₁, ⟨b₂, isLt✝⟩).2
hr : autoParam (2 ≤ r) SpectralSequenceDataCore._auto_20
⊢ (a₁, ⟨a₂, isLt✝¹⟩).2.castSucc = Fin.clamp (↑↑(b₁, ⟨b₂, isLt✝⟩).2 + (r - 1)).toNat l

Tactic:
rw [Fin.ext_iff]

Goal state after:
C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : Preorder ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
l : ℕ
r a₁ : ℤ
a₂ : ℕ
isLt✝¹ : a₂ < l
b₁ : ℤ
b₂ : ℕ
isLt✝ : b₂ < l
h₁ : (a₁, ⟨a₂, isLt✝¹⟩).1 + (r, 1 - r).1 = (b₁, ⟨b₂, isLt✝⟩).1
h₂ : ↑↑(a₁, ⟨a₂, isLt✝¹⟩).2 + (r, 1 - r).2 = ↑↑(b₁, ⟨b₂, isLt✝⟩).2
hr : autoParam (2 ≤ r) SpectralSequenceDataCore._auto_20
⊢ ↑(a₁, ⟨a₂, isLt✝¹⟩).2.castSucc = ↑(Fin.clamp (↑↑(b₁, ⟨b₂, isLt✝⟩).2 + (r - 1)).toNat l)
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.HasSpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : Preorder ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
X : SpectralObject C ι
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
inst✝ : X.HasSpectralSequence data
l : ℕ
E : SpectralObject C (Fin (l + 1))
r r' : ℤ
pq : ℤ × Fin l
hpq : ∀ (pq' : ℤ × Fin l), ¬(ComplexShape.spectralSequenceFin l (r, 1 - r)).Rel pq pq'
n : ℤ
hn : n = (coreE₂CohomologicalFin l).deg pq + 1
hrr' : r + 1 = r'
hr : 2 ≤ r
⊢ IsZero ((E.H n).obj (mk₁ (homOfLE ⋯)))

Tactic:
have : (coreE₂CohomologicalFin l).i₀ r' pq =
        (coreE₂CohomologicalFin l).i₀ r pq := by
      subst hrr'
      obtain ⟨k, rfl⟩ := Int.le.dest hr
      obtain ⟨p, q, hq⟩ := pq
      ext
      have h : q ≤ k := by
        by_contra!
        simp only [ComplexShape.spectralSequenceFin_rel_iff, not_and, Prod.forall] at hpq
        obtain ⟨t, rfl⟩ := Nat.le.dest (Nat.add_one_le_of_lt this)
        exact hpq _ ⟨t, by lia⟩ rfl (by simp; lia)
      simp_all
      lia

Goal state after:
C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : Preorder ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
X : SpectralObject C ι
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
inst✝ : X.HasSpectralSequence data
l : ℕ
E : SpectralObject C (Fin (l + 1))
r r' : ℤ
pq : ℤ × Fin l
hpq : ∀ (pq' : ℤ × Fin l), ¬(ComplexShape.spectralSequenceFin l (r, 1 - r)).Rel pq pq'
n : ℤ
hn : n = (coreE₂CohomologicalFin l).deg pq + 1
hrr' : r + 1 = r'
hr : 2 ≤ r
this : (coreE₂CohomologicalFin l).i₀ r' pq ⋯ = (coreE₂CohomologicalFin l).i₀ r pq ⋯
⊢ IsZero ((E.H n).obj (mk₁ (homOfLE ⋯)))
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.Page

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Category.{v_2, u_2} ι
inst✝ : Abelian C
X : SpectralObject C ι
i₀ i₁ : ι
f : i₀ ⟶ i₁
n₀ n₁ : ℤ
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
⊢ X.toCycles (𝟙 i₀) f f ⋯ n₀ ≫ (X.cyclesIsoH f n₀ n₁ hn₁).hom = 𝟙 ((X.H n₀).obj (mk₁ f))

Tactic:
simpa using (X.cyclesIsoH f n₀ n₁ hn₁).inv_hom_id

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.SpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
r r' : ℤ
hrr' : r + 1 = r'
hr : r₀ ≤ r
pq pq' : κ
i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' : ι
hi₀ : i₀ = data.i₀ r pq' ⋯
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq'
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq'
hi₃ : i₃ = data.i₃ r pq' ⋯
hi₃' : i₃' = data.i₃ r' pq' ⋯
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq'
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
h : (c r).Rel pq pq'
⊢ i₂ = data.i₀ r pq ⋯

Tactic:
hi₂,

Goal state after:
C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
r r' : ℤ
hrr' : r + 1 = r'
hr : r₀ ≤ r
pq pq' : κ
i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' : ι
hi₀ : i₀ = data.i₀ r pq' ⋯
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq'
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq'
hi₃ : i₃ = data.i₃ r pq' ⋯
hi₃' : i₃' = data.i₃ r' pq' ⋯
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq'
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
h : (c r).Rel pq pq'
⊢ data.i₂ pq' = data.i₀ r pq ⋯
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t✝ : R
x✝ y z : L
m✝ n : M
t : R
x : L
m : M →ₗ[R] R
⊢ ⁅t • x, m⁆ = t • ⁅x, m⁆

Tactic:
ext n; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t✝ : R
x✝ y z : L
m✝ n : M
t : R
x : L
m : M →ₗ[R] R
⊢ ⁅x, t • m⁆ = t • ⁅x, m⁆

Tactic:
ext n; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.SpectralObject.SpectralSequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
r r' : ℤ
hrr' : r + 1 = r'
hr : r₀ ≤ r
pq pq' : κ
hpq : (c r).prev pq' = pq
i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' : ι
hi₀ : i₀ = data.i₀ r pq' ⋯
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq'
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq'
hi₃ : i₃ = data.i₃ r pq' ⋯
hi₃' : i₃' = data.i₃ r' pq' ⋯
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq'
inst✝ : X.HasSpectralSequence data
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
h : (c r).Rel pq pq'
⊢ i₂ = data.i₀ r pq ⋯

Tactic:
hi₂,

Goal state after:
C : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : Preorder ι
X : SpectralObject C ι
c : ℤ → ComplexShape κ
r₀ : ℤ
data : SpectralSequenceDataCore ι c r₀
r r' : ℤ
hrr' : r + 1 = r'
hr : r₀ ≤ r
pq pq' : κ
hpq : (c r).prev pq' = pq
i₀ i₁ i₂ i₃ i₃' : ι
hi₀ : i₀ = data.i₀ r pq' ⋯
hi₁ : i₁ = data.i₁ pq'
hi₂ : i₂ = data.i₂ pq'
hi₃ : i₃ = data.i₃ r pq' ⋯
hi₃' : i₃' = data.i₃ r' pq' ⋯
n₀ n₁ n₂ : ℤ
hn₁' : n₁ = data.deg pq'
inst✝ : X.HasSpectralSequence data
hn₁ : n₀ + 1 = n₁
hn₂ : n₁ + 1 = n₂
h : (c r).Rel pq pq'
⊢ data.i₂ pq' = data.i₀ r pq ⋯
Module: Mathlib.RingTheory.Artinian.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
n : ℕ
this : Fintype (MaximalSpectrum R)
⊢ iInf PrimeSpectrum.asIdeal ^ n = ⨅ x ∈ Finset.univ, x.asIdeal ^ n

Tactic:
← Ideal.prod_eq_iInf_of_pairwise_isCoprime fun I _ _ _ ↦ .pow ∘ I.isCoprime_of_ne,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
n : ℕ
this : Fintype (MaximalSpectrum R)
⊢ iInf PrimeSpectrum.asIdeal ^ n = ∏ i, i.asIdeal ^ n
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Subalgebra

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
p : Submodule R L
h : ∀ (x y : L), x ∈ p → y ∈ p → ⁅x, y⁆ ∈ p
⊢ (lieSpan R L ↑{ toSubmodule := p, lie_mem' := h }.toSubmodule).toSubmodule =
    { toSubmodule := p, lie_mem' := h }.toSubmodule

Tactic:
coe_toSubmodule,

Goal state after:
case mpr
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
p : Submodule R L
h : ∀ (x y : L), x ∈ p → y ∈ p → ⁅x, y⁆ ∈ p
⊢ (lieSpan R L ↑{ toSubmodule := p, lie_mem' := h }).toSubmodule = { toSubmodule := p, lie_mem' := h }.toSubmodule
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
inst✝ : LieModule R L M
s : Set M := {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x}
⊢ ∀ (y : L), ∀ m' ∈ Submodule.span R s, ⁅y, m'⁆ ∈ Submodule.span R s

Tactic:
intro y

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
inst✝ : LieModule R L M
s : Set M := {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x}
y : L
⊢ ∀ m' ∈ Submodule.span R s, ⁅y, m'⁆ ∈ Submodule.span R s
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
⊢ ↑f.ker = ↑⊥ ↔ Function.Injective ⇑f

Tactic:
ker_toSubmodule,

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
⊢ (↑f).ker = ↑⊥ ↔ Function.Injective ⇑f
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
h : ↑(map f I) = ⇑f '' ↑I
⊢ Submodule.comap ↑f ↑(map f I) = ↑(I ⊔ f.ker)

Tactic:
I.map_toSubmodule f h,

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
h : ↑(map f I) = ⇑f '' ↑I
⊢ Submodule.comap (↑f) (Submodule.map ↑f ↑I) = ↑(I ⊔ f.ker)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Abelian

Goal state before:
pp: R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L₁
inst✝² : LieRing L₂
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
h₁ : Surjective ⇑f
h₂ : IsLieAbelian L₁
u v : L₁
⊢ f ⁅u, v⁆ = 0

Tactic:
trivial_lie_zero,

Goal state after:
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L₁
inst✝² : LieRing L₂
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
h₁ : Surjective ⇑f
h₂ : IsLieAbelian L₁
u v : L₁
⊢ f 0 = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Submodule

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
p : Submodule R M
h : ∀ (x : L), ∀ m ∈ p, ⁅x, m⁆ ∈ p
⊢ ↑(lieSpan R L ↑↑{ toSubmodule := p, lie_mem := h }) = ↑{ toSubmodule := p, lie_mem := h }

Tactic:
coe_toSubmodule,

Goal state after:
case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
p : Submodule R M
h : ∀ (x : L), ∀ m ∈ p, ⁅x, m⁆ ∈ p
⊢ ↑(lieSpan R L ↑{ toSubmodule := p, lie_mem := h }) = ↑{ toSubmodule := p, lie_mem := h }
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅I, N'⁆ ≤ ⁅I, N ⊔ N'⁆
m : M
x : ↥I
n : M
hn✝ : n ∈ N ⊔ N'
hn : ∃ y ∈ N, ∃ z ∈ N', y + z = n
h : ⁅↑x, ↑⟨n, hn✝⟩⁆ = m
⊢ ∃ y ∈ ⁅I, N⁆, ∃ z ∈ ⁅I, N'⁆, y + z = m

Tactic:
rcases hn with ⟨n₁, hn₁, n₂, hn₂, hn'⟩

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅I, N'⁆ ≤ ⁅I, N ⊔ N'⁆
m : M
x : ↥I
n : M
hn : n ∈ N ⊔ N'
h : ⁅↑x, ↑⟨n, hn⟩⁆ = m
n₁ : M
hn₁ : n₁ ∈ N
n₂ : M
hn₂ : n₂ ∈ N'
hn' : n₁ + n₂ = n
⊢ ∃ y ∈ ⁅I, N⁆, ∃ z ∈ ⁅I, N'⁆, y + z = m
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ ↑f.ker = ↑⊥ ↔ Function.Injective ⇑f

Tactic:
ker_toSubmodule,

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
⊢ (↑f).ker = ↑⊥ ↔ Function.Injective ⇑f
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Field

Goal state before:
pp: case pos
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hp0 : p = 0
⊢ minpoly A x ∣ p

pp: case neg
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hp0 : ¬p = 0
⊢ minpoly A x ∣ p

Tactic:
· simp only [hp0, dvd_zero]

Goal state after:
case neg
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hp0 : ¬p = 0
⊢ minpoly A x ∣ p
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Field

Goal state before:
pp: A : Type u_3
K : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : Algebra A R
inst✝¹ : Algebra K R
inst✝ : IsScalarTower A K R
x : R
⊢ minpoly K x ∣ map (algebraMap A K) (minpoly A x)

Tactic:
refine minpoly.dvd K x ?_

Goal state after:
A : Type u_3
K : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : Algebra A R
inst✝¹ : Algebra K R
inst✝ : IsScalarTower A K R
x : R
⊢ (Polynomial.aeval x) (map (algebraMap A K) (minpoly A x)) = 0