mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
⊢ (o.oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x)).tan = r

Tactic:
o.oangle_add_right_smul_rotation_pi_div_two h,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
⊢ (↑(Real.arctan r)).tan = r
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst✝ : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
h' : p ∈ s₁
this✝ : Nonempty ↥s₁
this : Nonempty ↥s₂
h : dist p ↑((orthogonalProjection s₁) p) = dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p)
⊢ ∠ p p' ↑((orthogonalProjection s₁) p) = ∠ p p' ↑((orthogonalProjection s₂) p)

Tactic:
rw [orthogonalProjection_eq_self_iff.2 h'] at h ⊢

Goal state after:
case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst✝ : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
h' : p ∈ s₁
this✝ : Nonempty ↥s₁
this : Nonempty ↥s₂
h : dist p p = dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p)
⊢ ∠ p p' p = ∠ p p' ↑((orthogonalProjection s₂) p)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst✝ : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
h' : p ∈ s₁
this✝ : Nonempty ↥s₁
this : Nonempty ↥s₂
h : ∠ p p' ↑((orthogonalProjection s₁) p) = ∠ p p' ↑((orthogonalProjection s₂) p)
⊢ dist p ↑((orthogonalProjection s₁) p) = dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p)

Tactic:
rw [orthogonalProjection_eq_self_iff.2 h'] at h ⊢

Goal state after:
case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst✝ : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
h' : p ∈ s₁
this✝ : Nonempty ↥s₁
this : Nonempty ↥s₂
h : ∠ p p' p = ∠ p p' ↑((orthogonalProjection s₂) p)
⊢ dist p p = dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.SignedDist

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p : P
v' : V
⊢ ((innerSL ℝ) (NormedSpace.normalize v)).toContinuousAffineMap.comp
      (ContinuousAffineMap.id ℝ P -ᵥ ContinuousAffineMap.const ℝ P (v' +ᵥ p)) =
    { toFun := fun w ↦ ContinuousAffineMap.const ℝ P ⟪-NormedSpace.normalize v, w⟫, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
        v' +ᵥ
      ((innerSL ℝ) (NormedSpace.normalize v)).toContinuousAffineMap.comp
        (ContinuousAffineMap.id ℝ P -ᵥ ContinuousAffineMap.const ℝ P p)

Tactic:
ext q

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p : P
v' : V
q : P
⊢ (((innerSL ℝ) (NormedSpace.normalize v)).toContinuousAffineMap.comp
        (ContinuousAffineMap.id ℝ P -ᵥ ContinuousAffineMap.const ℝ P (v' +ᵥ p)))
      q =
    ({ toFun := fun w ↦ ContinuousAffineMap.const ℝ P ⟪-NormedSpace.normalize v, w⟫, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
          v' +ᵥ
        ((innerSL ℝ) (NormedSpace.normalize v)).toContinuousAffineMap.comp
          (ContinuousAffineMap.id ℝ P -ᵥ ContinuousAffineMap.const ℝ P p))
      q
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.PerpBisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c p : P
h_sbtw : Sbtw ℝ a b c
h_inner : ⟪p -ᵥ a, b -ᵥ a⟫ = 0
t : ℝ
hb_eq : (AffineMap.lineMap a c) t = b
ht0 : 0 < t
ht1 : t < 1
hb : b -ᵥ a = t • (c -ᵥ a)
hpc : ⟪p -ᵥ a, c -ᵥ a⟫ = 0
⊢ dist p ((AffineMap.lineMap a c) t) ^ 2 < dist p c ^ 2

Tactic:
dist_sq_lineMap_of_inner_eq_zero t hpc,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c p : P
h_sbtw : Sbtw ℝ a b c
h_inner : ⟪p -ᵥ a, b -ᵥ a⟫ = 0
t : ℝ
hb_eq : (AffineMap.lineMap a c) t = b
ht0 : 0 < t
ht1 : t < 1
hb : b -ᵥ a = t • (c -ᵥ a)
hpc : ⟪p -ᵥ a, c -ᵥ a⟫ = 0
⊢ dist p a ^ 2 + t ^ 2 * dist a c ^ 2 < dist p c ^ 2
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄
h : ¬p₁ = p₂
sp : Set (P × P × P) := (fun p ↦ (p₁, p, p₂)) '' {p | s.SSameSide p₃ p}
hc : IsConnected sp
hp' : s.SSameSide p₃ p₁
⊢ False

pp: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄
h : ¬p₁ = p₂
sp : Set (P × P × P) := (fun p ↦ (p₁, p, p₂)) '' {p | s.SSameSide p₃ p}
hc : IsConnected sp
hp' : s.SSameSide p₃ p₂
⊢ False

Tactic:
· exact hp'.2.2 hp₁

Goal state after:
case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄
h : ¬p₁ = p₂
sp : Set (P × P × P) := (fun p ↦ (p₁, p, p₂)) '' {p | s.SSameSide p₃ p}
hc : IsConnected sp
hp' : s.SSameSide p₃ p₂
⊢ False
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p₁ p₂ : P
hv : v ≠ 0
r : ℝ
hvi : ⟪v, v⟫ ≠ 0
hd : discrim ⟪v, v⟫ (2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫) 0 = 2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫ * (2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫)
⊢ r = 0 ∨ r = (-2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫ - 2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫) / (2 * ⟪v, v⟫) ↔ r = 0 ∨ r = -2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫ / ⟪v, v⟫

Tactic:
←
    mul_sub_right_distrib,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p₁ p₂ : P
hv : v ≠ 0
r : ℝ
hvi : ⟪v, v⟫ ≠ 0
hd : discrim ⟪v, v⟫ (2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫) 0 = 2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫ * (2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫)
⊢ r = 0 ∨ r = (-2 - 2) * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫ / (2 * ⟪v, v⟫) ↔ r = 0 ∨ r = -2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫ / ⟪v, v⟫
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.SignedDist

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
⊢ ‖s.points i -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (s.points '' {i}ᶜ))) (s.points i))‖ =
    ‖s.points i -ᵥ ↑((s.faceOpposite i).orthogonalProjectionSpan (s.points i))‖

Tactic:
by simp [orthogonalProjectionSpan]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
ha : ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₃ p₂ p₄
hs : line[ℝ, p₁, p₂].SOppSide p₃ p₄
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = π - ∠ p₁ p₂ p₄ / 2

Tactic:
have h₃₂ : p₃ ≠ p₂ := by
    rintro rfl
    exact hs.left_notMem (right_mem_affineSpan_pair _ _ _)
  have h₄₂ : p₄ ≠ p₂ := by
    rintro rfl
    exact hs.right_notMem (right_mem_affineSpan_pair _ _ _)
  have ha' : ∡ p₁ p₂ (AffineEquiv.pointReflection ℝ p₂ p₃) =
      ∡ (AffineEquiv.pointReflection ℝ p₂ p₃) p₂ p₄ := by
    rw [oangle_pointReflection_left h₃₂ h₄₂, oangle_pointReflection_right h₁₂ h₃₂]
    simpa using ha
  have hs' : line[ℝ, p₁, p₂].SOppSide p₃ (AffineEquiv.pointReflection ℝ p₂ p₃) :=
    AffineSubspace.sOppSide_pointReflection (right_mem_affineSpan_pair _ _ _) (hs.left_notMem)
  obtain h := angle_eq_angle_div_two_of_oangle_eq_of_sSameSide h₁₂ ha' (hs'.symm.trans hs)
  rw [angle_pointReflection_right] at h
  linear_combination -h

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫ = 0
hop : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p -ᵥ p₁⟫ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
hb : LinearIndependent ℝ b
hbs : Submodule.span ℝ (Set.range b) = s.direction
hv : ∀ v ∈ s.direction, ∃ t₁ t₂, v = t₁ • (c₂ -ᵥ c₁) + t₂ • (p₂ -ᵥ p₁)
t₁ t₂ : ℝ
hpt : p -ᵥ p₁ = t₁ • (c₂ -ᵥ c₁) + t₂ • (p₂ -ᵥ p₁)
⊢ p = p₁ ∨ p = p₂

Tactic:
simp only [hpt, inner_add_right, inner_smul_right, ho, mul_zero, add_zero,
    mul_eq_zero, inner_self_eq_zero, vsub_eq_zero_iff_eq, hc.symm, or_false] at hop

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
hb : LinearIndependent ℝ b
hbs : Submodule.span ℝ (Set.range b) = s.direction
hv : ∀ v ∈ s.direction, ∃ t₁ t₂, v = t₁ • (c₂ -ᵥ c₁) + t₂ • (p₂ -ᵥ p₁)
t₁ t₂ : ℝ
hpt : p -ᵥ p₁ = t₁ • (c₂ -ᵥ c₁) + t₂ • (p₂ -ᵥ p₁)
hop : t₁ = 0
⊢ p = p₁ ∨ p = p₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
p : P
h : s.IsTangentAt p as
this : Nonempty ↥as
x : ↑↑as
⊢ s.radius ≤ dist s.center ↑x

Tactic:
rw [dist_comm]

Goal state after:
case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
p : P
h : s.IsTangentAt p as
this : Nonempty ↥as
x : ↑↑as
⊢ s.radius ≤ dist (↑x) s.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: case inr.inr.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : p ∈ s
q : P
hqs : q ∈ s
hrad : s.radius ≠ 0
hpar : s.orthRadius q ∥ s.orthRadius p
hqas : q ∈ s.orthRadius q
hqo : s.orthRadius q ≤ s.orthRadius q
hr : q -ᵥ s.center = -1 • (p -ᵥ s.center)
hr0 : -1 ≠ 0
hr' : |(-1)| = 1
⊢ s.orthRadius q = s.orthRadius ((Equiv.pointReflection s.center) p)

Tactic:
convert! rfl

Goal state after:
case e'_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : p ∈ s
q : P
hqs : q ∈ s
hrad : s.radius ≠ 0
hpar : s.orthRadius q ∥ s.orthRadius p
hqas : q ∈ s.orthRadius q
hqo : s.orthRadius q ≤ s.orthRadius q
hr : q -ᵥ s.center = -1 • (p -ᵥ s.center)
hr0 : -1 ≠ 0
hr' : |(-1)| = 1
⊢ (Equiv.pointReflection s.center) p = q
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
hf2 : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center ≤ s.radius
hpc : p ≠ s.center
v : V
hv : v ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ
hv1 : ‖v‖ = 1
hr : 0 ≤ s.radius
hv0 : v ≠ 0
hf : ∀ (w : ↥(ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ), ∃ c, c • ⟨v, hv⟩ = w
hvc : ∀ w ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ, ∃ c, c • v = w
hvp : 0 ≤ s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2
p' : P
h' : p' -ᵥ p ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ
c : ℝ
h : ‖c • v‖ ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2
hc : c • v = p' -ᵥ p
⊢ c = √(s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2) ∨ c = -√(s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2)

Tactic:
← sq_eq_sq_iff_eq_or_eq_neg,

Goal state after:
case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
hf2 : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center ≤ s.radius
hpc : p ≠ s.center
v : V
hv : v ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ
hv1 : ‖v‖ = 1
hr : 0 ≤ s.radius
hv0 : v ≠ 0
hf : ∀ (w : ↥(ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ), ∃ c, c • ⟨v, hv⟩ = w
hvc : ∀ w ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ, ∃ c, c • v = w
hvp : 0 ≤ s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2
p' : P
h' : p' -ᵥ p ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ
c : ℝ
h : ‖c • v‖ ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2
hc : c • v = p' -ᵥ p
⊢ c ^ 2 = √(s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2) ^ 2
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂ : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₃ : ‖p₃ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₄ : ‖p₄ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₄ : p₂ ≠ p₄
hp₃p₁ : p₃ ≠ p₁
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄

Tactic:
rw [oangle, oangle, ← vsub_sub_vsub_cancel_right p₁ p₂ s.center, ←
      vsub_sub_vsub_cancel_right p₄ p₂ s.center,
      o.two_zsmul_oangle_sub_eq_two_zsmul_oangle_sub_of_norm_eq _ _ _ _ hp₂ hp₃ hp₁ hp₄]

Goal state after:
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂ : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₃ : ‖p₃ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₄ : ‖p₄ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₄ : p₂ ≠ p₄
hp₃p₁ : p₃ ≠ p₁
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
⊢ 2 • «o».oangle (p₁ -ᵥ s.center - (p₃ -ᵥ s.center)) (p₄ -ᵥ s.center - (p₃ -ᵥ s.center)) =
    2 • «o».oangle (p₁ -ᵥ p₃) (p₄ -ᵥ p₃)

V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂ : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₃ : ‖p₃ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₄ : ‖p₄ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₄ : p₂ ≠ p₄
hp₃p₁ : p₃ ≠ p₁
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
⊢ p₂ -ᵥ s.center ≠ p₁ -ᵥ s.center

V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂ : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₃ : ‖p₃ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₄ : ‖p₄ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₄ : p₂ ≠ p₄
hp₃p₁ : p₃ ≠ p₁
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
⊢ p₂ -ᵥ s.center ≠ p₄ -ᵥ s.center

V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂ : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₃ : ‖p₃ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₄ : ‖p₄ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₄ : p₂ ≠ p₄
hp₃p₁ : p₃ ≠ p₁
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
⊢ p₃ -ᵥ s.center ≠ p₁ -ᵥ s.center

V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂ : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₃ : ‖p₃ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₄ : ‖p₄ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₄ : p₂ ≠ p₄
hp₃p₁ : p₃ ≠ p₁
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
⊢ p₃ -ᵥ s.center ≠ p₄ -ᵥ s.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
val✝ : Fintype ι
m : ℕ
hm :
  ∀ {ι : Type u_3} [hne : Nonempty ι] [Finite ι] {p : ι → P},
    AffineIndependent ℝ p →
      ∀ (val : Fintype ι),
        Fintype.card ι = m + 1 →
          ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
hn : Fintype.card ι = m + 1 + 1
i : ι
ι2 : Type (max 0 u_3) := { x // x ≠ i }
⊢ {x | x ≠ i}.card = m + 1

Tactic:
rw [Finset.filter_not, Finset.filter_eq' _ i, if_pos (Finset.mem_univ _),
            Finset.card_sdiff, Finset.card_univ, hn]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
val✝ : Fintype ι
m : ℕ
hm :
  ∀ {ι : Type u_3} [hne : Nonempty ι] [Finite ι] {p : ι → P},
    AffineIndependent ℝ p →
      ∀ (val : Fintype ι),
        Fintype.card ι = m + 1 →
          ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
hn : Fintype.card ι = m + 1 + 1
i : ι
ι2 : Type (max 0 u_3) := { x // x ≠ i }
⊢ m + 1 + 1 - ({i} ∩ Finset.univ).card = m + 1
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: case intro.succ.succ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
val✝ : Fintype ι
m : ℕ
hm :
  ∀ {ι : Type u_3} [hne : Nonempty ι] [Finite ι] {p : ι → P},
    AffineIndependent ℝ p →
      ∀ (val : Fintype ι),
        Fintype.card ι = m + 1 →
          ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
hn : Fintype.card ι = m + 1 + 1
i : ι
ι2 : Type (max 0 u_3) := { x // x ≠ i }
⊢ ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius

Tactic:
have hc : Fintype.card ι2 = m + 1 := by
        rw [Fintype.card_of_subtype {x | x ≠ i}]
        · rw [Finset.filter_not, Finset.filter_eq' _ i, if_pos (Finset.mem_univ _),
            Finset.card_sdiff, Finset.card_univ, hn]
          simp
        · simp

Goal state after:
case intro.succ.succ
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
val✝ : Fintype ι
m : ℕ
hm :
  ∀ {ι : Type u_3} [hne : Nonempty ι] [Finite ι] {p : ι → P},
    AffineIndependent ℝ p →
      ∀ (val : Fintype ι),
        Fintype.card ι = m + 1 →
          ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
hn : Fintype.card ι = m + 1 + 1
i : ι
ι2 : Type (max 0 u_3) := { x // x ≠ i }
hc : Fintype.card ι2 = m + 1
⊢ ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
⊢ dist s.circumcenter (s.points i) = s.circumradius

Tactic:
rw [dist_comm]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
⊢ dist (s.points i) s.circumcenter = s.circumradius
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
i : Fin (n + 1)
⊢ (affineSpan ℝ (Set.range (s.faceOpposite i).points)).SOppSide (s.points i) (s.excenter {i})

Tactic:
rw [(s.excenterExists_singleton i).sOppSide_point_excenter_iff, ← sign_eq_neg_one_iff,
    s.sign_excenterWeights_singleton_neg i]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c p : P
hb : a ≠ b
hc : a ≠ c
hp : Wbtw ℝ b p c
⊢ ∠ b a p + ∠ p a c = ∠ b a c

Tactic:
by_cases pb : p = b

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c p : P
hb : a ≠ b
hc : a ≠ c
hp : Wbtw ℝ b p c
pb : p = b
⊢ ∠ b a p + ∠ p a c = ∠ b a c

case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c p : P
hb : a ≠ b
hc : a ≠ c
hp : Wbtw ℝ b p c
pb : ¬p = b
⊢ ∠ b a p + ∠ p a c = ∠ b a c
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c p : P
hb : a ≠ b
hc : a ≠ c
pb : ¬p = b
pc : ¬p = c
ea : ∠ b a c + ∠ a c b + ∠ c b a = π
eb : ∠ b a p + ∠ a p b + ∠ c b a = π
ec : ∠ a c b + ∠ a p c + ∠ p a c = π
hp : ∠ b p c = π
hp' : ∠ c p b = π
⊢ ∠ b a p + ∠ p a c = ∠ b a c

Tactic:
have ep := angle_add_angle_eq_pi_of_angle_eq_pi a hp

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c p : P
hb : a ≠ b
hc : a ≠ c
pb : ¬p = b
pc : ¬p = c
ea : ∠ b a c + ∠ a c b + ∠ c b a = π
eb : ∠ b a p + ∠ a p b + ∠ c b a = π
ec : ∠ a c b + ∠ a p c + ∠ p a c = π
hp : ∠ b p c = π
hp' : ∠ c p b = π
ep : ∠ a p b + ∠ a p c = π
⊢ ∠ b a p + ∠ p a c = ∠ b a c