Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas

Goal state before:
pp: case e'_12
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H✝ M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h₁ : ContMDiffOn I I n (↑f) f.source
h₂ : ContMDiffOn I I n (↑f.symm) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑c.symm ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  (↑I.symm y ∈ c'.target ∧ ↑c'.symm (↑I.symm y) ∈ f.target ∧ ↑f.symm (↑c'.symm (↑I.symm y)) ∈ c.source) ∧ y ∈ range ↑I
H :
  ContinuousWithinAt (↑f.symm) (f.symm ≫ₕ c).source (↑(extChartAt I (↑f x)).symm y) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I x) ∘ ↑f.symm ∘ ↑(extChartAt I (↑f x)).symm)
      (↑(extChartAt I (↑f x)).symm ⁻¹' (f.symm ≫ₕ c).source ∩ range ↑I)
      (↑(extChartAt I (↑f x)) (↑(extChartAt I (↑f x)).symm y))
hy' : ↑(extChartAt I (↑f x)).symm y ∈ c'.source
hy'' : ↑f.symm (↑(extChartAt I (↑f x)).symm y) ∈ c.source
⊢ y = ↑(extChartAt I (↑f x)) (↑(extChartAt I (↑f x)).symm y)

pp: case mpr.refine_2.convert_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H✝ M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h₁ : ContMDiffOn I I n (↑f) f.source
h₂ : ContMDiffOn I I n (↑f.symm) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑c.symm ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  (↑I.symm y ∈ c'.target ∧ ↑c'.symm (↑I.symm y) ∈ f.target ∧ ↑f.symm (↑c'.symm (↑I.symm y)) ∈ c.source) ∧ y ∈ range ↑I
H :
  ContinuousWithinAt (↑f.symm) (f.symm ≫ₕ c).source (↑(extChartAt I (↑f x)).symm y) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I x) ∘ ↑f.symm ∘ ↑(extChartAt I (↑f x)).symm)
      (↑(extChartAt I (↑f x)).symm ⁻¹' (f.symm ≫ₕ c).source ∩ range ↑I)
      (↑(extChartAt I (↑f x)) (↑(extChartAt I (↑f x)).symm y))
hy' : ↑(extChartAt I (↑f x)).symm y ∈ c'.source
hy'' : ↑f.symm (↑(extChartAt I (↑f x)).symm y) ∈ c.source
⊢ ↑I.symm ⁻¹' ((c.symm ≫ₕ f) ≫ₕ c').target ∩ range ↑I ⊆ ↑(extChartAt I (↑f x)).symm ⁻¹' (f.symm ≫ₕ c).source ∩ range ↑I

Tactic:
· simp only [c', hy, mfld_simps]

Goal state after:
case mpr.refine_2.convert_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H✝ M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h₁ : ContMDiffOn I I n (↑f) f.source
h₂ : ContMDiffOn I I n (↑f.symm) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑c.symm ⁻¹' f.source
y : E
hy :
  (↑I.symm y ∈ c'.target ∧ ↑c'.symm (↑I.symm y) ∈ f.target ∧ ↑f.symm (↑c'.symm (↑I.symm y)) ∈ c.source) ∧ y ∈ range ↑I
H :
  ContinuousWithinAt (↑f.symm) (f.symm ≫ₕ c).source (↑(extChartAt I (↑f x)).symm y) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I x) ∘ ↑f.symm ∘ ↑(extChartAt I (↑f x)).symm)
      (↑(extChartAt I (↑f x)).symm ⁻¹' (f.symm ≫ₕ c).source ∩ range ↑I)
      (↑(extChartAt I (↑f x)) (↑(extChartAt I (↑f x)).symm y))
hy' : ↑(extChartAt I (↑f x)).symm y ∈ c'.source
hy'' : ↑f.symm (↑(extChartAt I (↑f x)).symm y) ∈ c.source
⊢ ↑I.symm ⁻¹' ((c.symm ≫ₕ f) ≫ₕ c').target ∩ range ↑I ⊆ ↑(extChartAt I (↑f x)).symm ⁻¹' (f.symm ≫ₕ c).source ∩ range ↑I