Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
hc : range ⇑P₁.coroot = range ⇑P₂.coroot
hp : P₁.coroot = P₂.coroot → P₁.reflectionPerm = P₂.reflectionPerm
this : IsAddTorsionFree M
i : ι
⊢ (span R (range ⇑P₁.root)).subtype.dualMap (P₁.flip (P₁.coroot i)) =
    (span R (range ⇑P₁.root)).subtype.dualMap (P₁.flip (P₂.coroot i))

Tactic:
apply Dual.eq_of_preReflection_mapsTo' (finite_range P₁.root)

Goal state after:
case hx
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
hc : range ⇑P₁.coroot = range ⇑P₂.coroot
hp : P₁.coroot = P₂.coroot → P₁.reflectionPerm = P₂.reflectionPerm
this : IsAddTorsionFree M
i : ι
⊢ ?m.254 ∈ span R (range ⇑P₁.root)

case hf₁
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
hc : range ⇑P₁.coroot = range ⇑P₂.coroot
hp : P₁.coroot = P₂.coroot → P₁.reflectionPerm = P₂.reflectionPerm
this : IsAddTorsionFree M
i : ι
⊢ (P₁.flip (P₁.coroot i)) ?m.254 = 2

case hf₂
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
hc : range ⇑P₁.coroot = range ⇑P₂.coroot
hp : P₁.coroot = P₂.coroot → P₁.reflectionPerm = P₂.reflectionPerm
this : IsAddTorsionFree M
i : ι
⊢ MapsTo (⇑(preReflection ?m.254 (P₁.flip (P₁.coroot i)))) (range ⇑P₁.root) (range ⇑P₁.root)

case hg₁
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
hc : range ⇑P₁.coroot = range ⇑P₂.coroot
hp : P₁.coroot = P₂.coroot → P₁.reflectionPerm = P₂.reflectionPerm
this : IsAddTorsionFree M
i : ι
⊢ (P₁.flip (P₂.coroot i)) ?m.254 = 2

case hg₂
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
hc : range ⇑P₁.coroot = range ⇑P₂.coroot
hp : P₁.coroot = P₂.coroot → P₁.reflectionPerm = P₂.reflectionPerm
this : IsAddTorsionFree M
i : ι
⊢ MapsTo (⇑(preReflection ?m.254 (P₁.flip (P₂.coroot i)))) (range ⇑P₁.root) (range ⇑P₁.root)

ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
hc : range ⇑P₁.coroot = range ⇑P₂.coroot
hp : P₁.coroot = P₂.coroot → P₁.reflectionPerm = P₂.reflectionPerm
this : IsAddTorsionFree M
i : ι
⊢ M