mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.NNReal

Goal state before:
pp: case pos
y z : ℝ
hyz : z ≤ y
x : ℝ≥0
hx1 : ↑x ≤ 1
h : x = 0
⊢ ↑x ^ y ≤ ↑x ^ z

Tactic:
rcases lt_trichotomy y 0 with (Hy | Hy | Hy) <;>
    rcases lt_trichotomy z 0 with (Hz | Hz | Hz)

Goal state after:
case pos.inl.inl
y z : ℝ
hyz : z ≤ y
x : ℝ≥0
hx1 : ↑x ≤ 1
h : x = 0
Hy : y < 0
Hz : z < 0
⊢ ↑x ^ y ≤ ↑x ^ z

case pos.inl.inr.inl
y z : ℝ
hyz : z ≤ y
x : ℝ≥0
hx1 : ↑x ≤ 1
h : x = 0
Hy : y < 0
Hz : z = 0
⊢ ↑x ^ y ≤ ↑x ^ z

case pos.inl.inr.inr
y z : ℝ
hyz : z ≤ y
x : ℝ≥0
hx1 : ↑x ≤ 1
h : x = 0
Hy : y < 0
Hz : 0 < z
⊢ ↑x ^ y ≤ ↑x ^ z

case pos.inr.inl.inl
y z : ℝ
hyz : z ≤ y
x : ℝ≥0
hx1 : ↑x ≤ 1
h : x = 0
Hy : y = 0
Hz : z < 0
⊢ ↑x ^ y ≤ ↑x ^ z

case pos.inr.inl.inr.inl
y z : ℝ
hyz : z ≤ y
x : ℝ≥0
hx1 : ↑x ≤ 1
h : x = 0
Hy : y = 0
Hz : z = 0
⊢ ↑x ^ y ≤ ↑x ^ z

case pos.inr.inl.inr.inr
y z : ℝ
hyz : z ≤ y
x : ℝ≥0
hx1 : ↑x ≤ 1
h : x = 0
Hy : y = 0
Hz : 0 < z
⊢ ↑x ^ y ≤ ↑x ^ z

case pos.inr.inr.inl
y z : ℝ
hyz : z ≤ y
x : ℝ≥0
hx1 : ↑x ≤ 1
h : x = 0
Hy : 0 < y
Hz : z < 0
⊢ ↑x ^ y ≤ ↑x ^ z

case pos.inr.inr.inr.inl
y z : ℝ
hyz : z ≤ y
x : ℝ≥0
hx1 : ↑x ≤ 1
h : x = 0
Hy : 0 < y
Hz : z = 0
⊢ ↑x ^ y ≤ ↑x ^ z

case pos.inr.inr.inr.inr
y z : ℝ
hyz : z ≤ y
x : ℝ≥0
hx1 : ↑x ≤ 1
h : x = 0
Hy : 0 < y
Hz : 0 < z
⊢ ↑x ^ y ≤ ↑x ^ z
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Ray

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
u : Rˣ
v : Ray R M
this : 0 < ↑u * ↑u
⊢ 0 < ↑(u * u)

Tactic:
exact this

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Ray

Goal state before:
pp: case neg.refine_1.inl.inr.inr
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsTorsionFree R M
x y : M
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
left✝ : 0 < r₂
h : r₁ • x = r₂ • y
⊢ ![r₁, -r₂] 0 • ![x, y] 0 + ![r₁, -r₂] 1 • ![x, y] 1 = 0 ∧ ∃ i, ![r₁, -r₂] i ≠ 0

Tactic:
Fin.exists_fin_two

Goal state after:
case neg.refine_1.inl.inr.inr
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsTorsionFree R M
x y : M
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
left✝ : 0 < r₂
h : r₁ • x = r₂ • y
⊢ ![r₁, -r₂] 0 • ![x, y] 0 + ![r₁, -r₂] 1 • ![x, y] 1 = 0 ∧ (![r₁, -r₂] 0 ≠ 0 ∨ ![r₁, -r₂] 1 ≠ 0)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Ray

Goal state before:
pp: case neg.refine_1.inr.inr.inr
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsTorsionFree R M
x y : M
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
left✝ : 0 < r₂
h : r₁ • x = r₂ • -y
⊢ ![r₁, r₂] 0 • ![x, y] 0 + ![r₁, r₂] 1 • ![x, y] 1 = 0 ∧ ∃ i, ![r₁, r₂] i ≠ 0

Tactic:
Fin.exists_fin_two

Goal state after:
case neg.refine_1.inr.inr.inr
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsTorsionFree R M
x y : M
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
left✝ : 0 < r₂
h : r₁ • x = r₂ • -y
⊢ ![r₁, r₂] 0 • ![x, y] 0 + ![r₁, r₂] 1 • ![x, y] 1 = 0 ∧ (![r₁, r₂] 0 ≠ 0 ∨ ![r₁, r₂] 1 ≠ 0)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineMap

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : P2 →ᵃ[k] P3
g : P1 →ᵃ[k] P2
⊢ ∀ (p : P1) (v : V1), (⇑f ∘ ⇑g) (v +ᵥ p) = (f.linear ∘ₗ g.linear) v +ᵥ (⇑f ∘ ⇑g) p

Tactic:
intro p

Goal state after:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : P2 →ᵃ[k] P3
g : P1 →ᵃ[k] P2
p : P1
⊢ ∀ (v : V1), (⇑f ∘ ⇑g) (v +ᵥ p) = (f.linear ∘ₗ g.linear) v +ᵥ (⇑f ∘ ⇑g) p
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Ray

Goal state before:
pp: case neg.refine_2.inr.inl.inr.inl
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsTorsionFree R M
x y : M
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
m : Fin (Nat.succ 0).succ → R
hm : m 0 • x = -(m 1 • y)
hmne : ∃ i, m i ≠ 0
hm0 : m 0 = 0
hm1 : m 1 = 0
⊢ SameRay R x y ∨ SameRay R x (-y)

Tactic:
Fin.exists_fin_two

Goal state after:
case neg.refine_2.inr.inl.inr.inl
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsTorsionFree R M
x y : M
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
m : Fin (Nat.succ 0).succ → R
hm : m 0 • x = -(m 1 • y)
hmne : m 0 ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0
hm0 : m 0 = 0
hm1 : m 1 = 0
⊢ SameRay R x y ∨ SameRay R x (-y)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Ray

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsTorsionFree R M
x y : M
⊢ SameRay R x y ∨ SameRay R x (-y) ↔ ¬LinearIndependent R ![x, y]

Tactic:
by_cases hx : x = 0; · simpa [hx] using fun h : LinearIndependent R ![0, y] => h.ne_zero 0 rfl
  by_cases hy : y = 0; · simpa [hy] using fun h : LinearIndependent R ![x, 0] => h.ne_zero 1 rfl
  simp_rw [Fintype.not_linearIndependent_iff]
  refine ⟨fun h => ?_, fun h => ?_⟩
  · rcases h with ((hx0 | hy0 | ⟨r₁, r₂, hr₁, _, h⟩) | (hx0 | hy0 | ⟨r₁, r₂, hr₁, _, h⟩))
    · exact False.elim (hx hx0)
    · exact False.elim (hy hy0)
    · refine ⟨![r₁, -r₂], ?_⟩
      rw [Fin.sum_univ_two, Fin.exists_fin_two]
      simp [h, hr₁.ne.symm]
    · exact False.elim (hx hx0)
    · exact False.elim (hy (neg_eq_zero.1 hy0))
    · refine ⟨![r₁, r₂], ?_⟩
      rw [Fin.sum_univ_two, Fin.exists_fin_two]
      simp [h, hr₁.ne.symm]
  · rcases h with ⟨m, hm, hmne⟩
    rw [Fin.sum_univ_two, add_eq_zero_iff_eq_neg] at hm
    dsimp only [Matrix.cons_val] at hm
    rcases lt_trichotomy (m 0) 0 with (hm0 | hm0 | hm0) <;>
      rcases lt_trichotomy (m 1) 0 with (hm1 | hm1 | hm1)
    · refine
        Or.inr (Or.inr (Or.inr ⟨-m 0, -m 1, Left.neg_pos_iff.2 hm0, Left.neg_pos_iff.2 hm1, ?_⟩))
      linear_combination (norm := module) -hm
    · exfalso
      simp [hm1, hx, hm0.ne] at hm
    · refine Or.inl (Or.inr (Or.inr ⟨-m 0, m 1, Left.neg_pos_iff.2 hm0, hm1, ?_⟩))
      linear_combination (norm := module) -hm
    · exfalso
      simp [hm0, hy, hm1.ne] at hm
    · rw [Fin.exists_fin_two] at hmne
      exact False.elim (not_and_or.2 hmne ⟨hm0, hm1⟩)
    · exfalso
      simp [hm0, hy, hm1.ne.symm] at hm
    · refine Or.inl (Or.inr (Or.inr ⟨m 0, -m 1, hm0, Left.neg_pos_iff.2 hm1, ?_⟩))
      rwa [neg_smul]
    · exfalso
      simp [hm1, hx, hm0.ne.symm] at hm
    · refine Or.inr (Or.inr (Or.inr ⟨m 0, m 1, hm0, hm1, ?_⟩))
      rwa [smul_neg]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineMap

Goal state before:
pp: k : Type u_2
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : Module k V2
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
inst✝ : Nonempty ι
h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
⊢ f = g

Tactic:
apply pi_ext_zero h

Goal state after:
k : Type u_2
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : Module k V2
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
inst✝ : Nonempty ι
h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
⊢ f 0 = g 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Defs

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
⊢ vectorSpan k ∅ = ⊥

Tactic:
rw [vectorSpan_def, vsub_empty, Submodule.span_empty]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
a b : E
⊢ Convex 𝕜 (openSegment 𝕜 a b)

Tactic:
by
  rw [convex_iff_openSegment_subset]
  rintro p ⟨ap, bp, hap, hbp, habp, rfl⟩ q ⟨aq, bq, haq, hbq, habq, rfl⟩ z ⟨a, b, ha, hb, hab, rfl⟩
  refine ⟨a * ap + b * aq, a * bp + b * bq, by positivity, by positivity, ?_, ?_⟩
  · linear_combination (norm := noncomm_ring) a * habp + b * habq + hab
  · module

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Bounded

Goal state before:
pp: E : Type u_3
F : Type u_4
𝕜₁ : Type u_6
𝕜₂ : Type u_7
inst✝⁹ : NormedDivisionRing 𝕜₁
inst✝⁸ : NormedDivisionRing 𝕜₂
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalSpace F
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomSurjective σ
inst✝ : RingHomIsometric σ
s : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜₁ s
f : E →SL[σ] F
⊢ IsVonNBounded 𝕜₂ (⇑f '' s)

Tactic:
have : map σ (𝓝 0) = 𝓝 0 := by
    rw [σ.isometry.isEmbedding.map_nhds_eq, σ.surjective.range_eq, nhdsWithin_univ, map_zero]
  have hf₀ : Tendsto f (𝓝 0) (𝓝 0) := f.continuous.tendsto' 0 0 (map_zero f)
  simp only [isVonNBounded_iff_tendsto_smallSets_nhds, ← this, tendsto_map'_iff] at hs ⊢
  simpa only [comp_def, image_smul_setₛₗ] using hf₀.image_smallSets.comp hs

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Bounded

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedRing 𝕜'
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝⁵ : Nontrivial 𝕜'
inst✝⁴ : Zero E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : MulAction 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
s : Set E
h : IsVonNBounded 𝕜' s
V : Set E
hV : V ∈ 𝓝 0
x y : 𝕜
⊢ ‖x - y‖₊ ≤ ‖1‖₊⁻¹ * (‖x - y‖₊ * ‖1‖₊)

Tactic:
← div_eq_inv_mul,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedRing 𝕜'
inst✝⁶ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝⁵ : Nontrivial 𝕜'
inst✝⁴ : Zero E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : MulAction 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
s : Set E
h : IsVonNBounded 𝕜' s
V : Set E
hV : V ∈ 𝓝 0
x y : 𝕜
⊢ ‖x - y‖₊ ≤ ‖x - y‖₊ * ‖1‖₊ / ‖1‖₊
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hv : p -ᵥ p₂ - (p -ᵥ p₁) = v
⊢ p -ᵥ p₂ - (p -ᵥ p₁) ∈ Submodule.span k ((fun x ↦ p -ᵥ x) '' s)

Tactic:
Submodule.mem_span

Goal state after:
case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hv : p -ᵥ p₂ - (p -ᵥ p₁) = v
⊢ ∀ (p_1 : Submodule k V), (fun x ↦ p -ᵥ x) '' s ⊆ ↑p_1 → p -ᵥ p₂ - (p -ᵥ p₁) ∈ p_1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hv : p₁ -ᵥ p - (p₂ -ᵥ p) = v
⊢ p₁ -ᵥ p - (p₂ -ᵥ p) ∈ Submodule.span k ((fun x ↦ x -ᵥ p) '' s)

Tactic:
Submodule.mem_span

Goal state after:
case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hv : p₁ -ᵥ p - (p₂ -ᵥ p) = v
⊢ ∀ (p_1 : Submodule k V), (fun x ↦ x -ᵥ p) '' s ⊆ ↑p_1 → p₁ -ᵥ p - (p₂ -ᵥ p) ∈ p_1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : DecidableEq P
inst✝ : DecidableEq V
s : Finset P
p : P
hp : p ∈ s
⊢ vectorSpan k ↑s = Submodule.span k ↑(Finset.image (fun x ↦ x -ᵥ p) (s.erase p))

Tactic:
simp [vectorSpan_eq_span_vsub_set_right_ne _ (Finset.mem_coe.mpr hp)]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ vectorSpan k (p '' s) = Submodule.span k ((fun x ↦ x -ᵥ p i) '' p '' (s \ {i}))

Tactic:
by
  conv_lhs =>
    rw [vectorSpan_eq_span_vsub_set_right k (Set.mem_image_of_mem p hi), ← Set.insert_eq_of_mem hi,
      ← Set.insert_sdiff_singleton, Set.image_insert_eq, Set.image_insert_eq]
  simp [Submodule.span_insert_eq_span]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → ℝ
add_le : ∀ (x y : E), f (x + y) ≤ f x + f y
smul : ∀ (a : 𝕜) (x : E), f (a • x) = ‖a‖ * f x
x : E
⊢ ‖-1‖ * f x = f x

Tactic:
norm_neg,

Goal state after:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → ℝ
add_le : ∀ (x y : E), f (x + y) ≤ f x + f y
smul : ∀ (a : 𝕜) (x : E), f (a • x) = ‖a‖ * f x
x : E
⊢ ‖1‖ * f x = f x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
w₁ w₂ : ι → k
⊢ (s.weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) (w₂ + w₁) +ᵥ Classical.choice ⋯ =
    ((s.weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) w₂ + (s.weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) w₁) +ᵥ
      Classical.choice ⋯

Tactic:
map_add

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
x : E
i : ι
hi : i ∈ s
hix : (s.sup fun i ↦ ⟨(p i) x, ⋯⟩) = ⟨(p i) x, ⋯⟩
⊢ ∃ i ∈ s, ↑(s.sup fun i ↦ NNReal.mk ((p i) x) ⋯) = (p i) x

Tactic:
exact ⟨i, hi, congr_arg _ hix⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
hw : (s.weightedVSub p) w = 0
i : ι
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ≠ i
his : i ∈ s
hwi : w i = -1
⊢ (affineCombination k ({x ∈ s | x ≠ i}) p) w = p i

Tactic:
rw [← @vsub_eq_zero_iff_eq V, ← hw,
      ← s.affineCombination_sdiff_sub (singleton_subset_iff.2 his), sdiff_singleton_eq_erase,
      ← filter_ne']

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
hw : (s.weightedVSub p) w = 0
i : ι
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ≠ i
his : i ∈ s
hwi : w i = -1
⊢ (affineCombination k ({x ∈ s | x ≠ i}) p) w -ᵥ p i =
    (affineCombination k ({a ∈ s | a ≠ i}) p) w -ᵥ (affineCombination k {i} p) (-w)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
p : P₁
direction : Submodule k V₁
⊢ map f (mk' p direction) = mk' (f p) (Submodule.map f.linear direction)

Tactic:
by
  ext q
  simp only [mem_map, mem_mk', Submodule.mem_map]
  constructor
  · rintro ⟨r, hr, rfl⟩
    exact ⟨r -ᵥ p, hr, by simp⟩
  · rintro ⟨r, hr, he⟩
    exact ⟨r +ᵥ p, by simp [hr], by simp [he]⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
⊢ sSup ∅ = ⊥

Tactic:
ext
  rw [Seminorm.sSup_apply bddAbove_empty, Real.iSup_of_isEmpty]
  rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
⊢ s₁ ∥ s₂ ↔ s₁.direction = s₂.direction ∧ (s₁ = ⊥ ↔ s₂ = ⊥)

Tactic:
refine ⟨fun h => ⟨h.direction_eq, ?_, ?_⟩, fun h => ?_⟩

Goal state after:
case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
h : s₁ ∥ s₂
⊢ s₁ = ⊥ → s₂ = ⊥

case refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
h : s₁ ∥ s₂
⊢ s₂ = ⊥ → s₁ = ⊥

case refine_3
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
h : s₁.direction = s₂.direction ∧ (s₁ = ⊥ ↔ s₂ = ⊥)
⊢ s₁ ∥ s₂
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : ℝ≥0
hc : 0 < c
r : ℝ
x : E
⊢ (c • p).closedBall x r = p.closedBall x (r / ↑c)

Tactic:
ext
  rw [mem_closedBall, mem_closedBall, smul_apply, NNReal.smul_def, smul_eq_mul, mul_comm,
    le_div_iff₀ (NNReal.coe_pos.mpr hc)]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : ∃ r, r • (p₄ -ᵥ p₃) = p₁ -ᵥ p₃
hp₂ : p₂ ∈ line[k, p₃, p₄]
hp₁₂ : p₁ ≠ p₂
⊢ line[k, p₃, p₄] ≤ line[k, p₁, p₂]

Tactic:
rcases hp₁ with ⟨r₁, hp₁⟩

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₂ : p₂ ∈ line[k, p₃, p₄]
hp₁₂ : p₁ ≠ p₂
r₁ : k
hp₁ : r₁ • (p₄ -ᵥ p₃) = p₁ -ᵥ p₃
⊢ line[k, p₃, p₄] ≤ line[k, p₁, p₂]
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
s' : Set ι
hs' : ∀ i ∈ s, i ∉ s' → w i = 0
p : ι → P
⊢ (Finset.affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k (Set.range fun x ↦ p ↑x)

Tactic:
let w' : s' → k := fun i ↦ w i

Goal state after:
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
s' : Set ι
hs' : ∀ i ∈ s, i ∉ s' → w i = 0
p : ι → P
w' : ↑s' → k := fun i ↦ w ↑i
⊢ (Finset.affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k (Set.range fun x ↦ p ↑x)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
s' : Set ι
hs' : ∀ i ∈ s, i ∉ s' → w i = 0
p : ι → P
w' : ↑s' → k := fun i ↦ w ↑i
⊢ ∑ i ∈ s with i ∈ s', w i = ∑ i ∈ s, w i

Tactic:
← Finset.sum_sdiff (s₁ := {x ∈ s | x ∈ s'}) (s₂ := s) (by simp),

Goal state after:
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
s' : Set ι
hs' : ∀ i ∈ s, i ∉ s' → w i = 0
p : ι → P
w' : ↑s' → k := fun i ↦ w ↑i
⊢ ∑ i ∈ s with i ∈ s', w i = ∑ x ∈ s \ {x ∈ s | x ∈ s'}, w x + ∑ x ∈ s with x ∈ s', w x
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : k ≠ 0
x✝ : E
⊢ ‖k‖⁻¹ * p x✝ < r ↔ p x✝ < ‖k‖ * r

Tactic:
← div_eq_inv_mul,

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : k ≠ 0
x✝ : E
⊢ p x✝ / ‖k‖ < r ↔ p x✝ < ‖k‖ * r
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Restrict

Goal state before:
pp: case refine_3
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
hEF : AffineSubspace.map φ E ≤ F
⊢ ∀ (p : ↥E) (v : ↥E.direction), ⟨φ ↑(v +ᵥ p), ⋯⟩ = (φ.linear.restrict ⋯) v +ᵥ ⟨φ ↑p, ⋯⟩

Tactic:
intro p

Goal state after:
case refine_3
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
hEF : AffineSubspace.map φ E ≤ F
p : ↥E
⊢ ∀ (v : ↥E.direction), ⟨φ ↑(v +ᵥ p), ⋯⟩ = (φ.linear.restrict ⋯) v +ᵥ ⟨φ ↑p, ⋯⟩
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕝
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : UniformSpace E
inst✝ : IsUniformAddGroup E
p : Seminorm 𝕝 E
hp✝ : ContinuousAt (⇑p) 0
hp : Tendsto (⇑p) (𝓝 0) (𝓝 0)
⊢ Tendsto ((fun p ↦ dist p.1 p.2) ∘ fun x ↦ (p x.1, p x.2)) (comap (fun x ↦ x.1 - x.2) (𝓝 0)) (𝓝 0)

Tactic:
exact
    tendsto_of_tendsto_of_tendsto_of_le_of_le tendsto_const_nhds (hp.comp Filter.tendsto_comap)
      (fun xy => dist_nonneg) fun xy => p.norm_sub_map_le_sub _ _

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ‖c ^ (n + 1)‖⁻¹ * p x < ε

Tactic:
← div_eq_inv_mul,

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ p x / ‖c ^ (n + 1)‖ < ε