mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Finsupp.Defs

Goal state before:
pp: α✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R✝ : Type u_5
R₂ : Type u_6
R₃ : Type u_7
S : Type u_8
inst✝¹⁴ : Semiring R✝
inst✝¹³ : Semiring R₂
inst✝¹² : Semiring R₃
inst✝¹¹ : Semiring S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R₂ N
inst✝⁶ : AddCommMonoid P
inst✝⁵ : Module R₃ P
σ₁₂ : R✝ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R✝
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₁₃ : R✝ →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R✝
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
α : Type u_9
β : Type u_10
R : Type u_11
M : Type u_12
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
c : R
f : α × β →₀ M
⊢ curryAddEquiv.toFun (c • f) = (RingHom.id R) c • curryAddEquiv.toFun f

Tactic:
by ext; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Finsupp.Defs

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R✝ N
ι : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : End (End R M) M
g : End R (ι →₀ M)
x : ι →₀ M
i : ι
m : M
⊢ (mapRange.addMonoidHom ↑f) (g • single i m) =
    (RingHom.id (End R (ι →₀ M))) g • (mapRange.addMonoidHom ↑f) (single i m)

Tactic:
ext j

Goal state after:
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R✝ N
ι : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : End (End R M) M
g : End R (ι →₀ M)
x : ι →₀ M
i : ι
m : M
j : ι
⊢ ((mapRange.addMonoidHom ↑f) (g • single i m)) j =
    ((RingHom.id (End R (ι →₀ M))) g • (mapRange.addMonoidHom ↑f) (single i m)) j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Finsupp.Defs

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R✝ N
ι : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
⊢ { toFun := ⇑(mapRange.addMonoidHom ↑1), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } = 1

Tactic:
by ext; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Finsupp.Defs

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R✝ N
ι : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
x✝¹ x✝ : End (End R M) M
⊢ { toFun := ⇑(mapRange.addMonoidHom ↑(x✝¹ * x✝)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } =
    { toFun := ⇑(mapRange.addMonoidHom ↑x✝¹), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } *
      { toFun := ⇑(mapRange.addMonoidHom ↑x✝), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }

Tactic:
by ext; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Finsupp.Defs

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R✝ N
ι : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
⊢ { toFun := ⇑(mapRange.addMonoidHom ↑0), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } = 0

Tactic:
by ext; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Finsupp.Defs

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R✝ N
ι : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
x✝¹ x✝ : End (End R M) M
⊢ { toFun := ⇑(mapRange.addMonoidHom ↑(x✝¹ + x✝)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } =
    { toFun := ⇑(mapRange.addMonoidHom ↑x✝¹), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } +
      { toFun := ⇑(mapRange.addMonoidHom ↑x✝), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }

Tactic:
by ext; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Finsupp.Defs

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R✝ N
ι : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i : ι
x✝ : End (End R M) M
⊢ (fun f ↦ { toFun := fun m ↦ (f (single i m)) i, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
      ((↑↑(ringHomEndFinsupp ι)).toFun x✝) =
    x✝

Tactic:
by ext; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Finsupp.LSum

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_5
R₂ : Type u_6
S : Type u_8
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R₂ N
σ : R →+* R₂
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R₂ S N
f : α → M →ₛₗ[σ] N
i : α
⊢ (lsum S) f ∘ₛₗ lsingle i = f i

Tactic:
by ext; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite ι
e : M ≃ₗ[R] ι → R
⊢ (ofEquivFun e).equivFun = e

Tactic:
ext j

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_6
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite ι
e : M ≃ₗ[R] ι → R
j : M
x✝ : ι
⊢ (ofEquivFun e).equivFun j x✝ = e j x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u_10
R : Type u_11
M : Type u_12
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis ι R M
x : M
i✝ : ι
a✝ : Nontrivial R
i : ι
⊢ (fun i_1 ↦ (b.reindexRange.repr (b i)) ⟨b i_1, ⋯⟩) = ⇑(single i 1)

Tactic:
ext j

Goal state after:
ι : Type u_10
R : Type u_11
M : Type u_12
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis ι R M
x : M
i✝ : ι
a✝ : Nontrivial R
i j : ι
⊢ (b.reindexRange.repr (b i)) ⟨b j, ⋯⟩ = (single i 1) j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Defs

Goal state before:
pp: ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝¹ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝¹ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝¹⁶ : Semiring R✝¹
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M✝¹
inst✝¹⁴ : Module R✝¹ M✝¹
inst✝¹³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹² : Module R✝¹ M'✝
ι : Type u_10
R✝ : Type u_11
M✝ : Type u_12
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
b✝ : Basis ι R✝ M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M'✝
i✝ : ι
M'' : Type u_13
b'✝ : Basis ι' R✝ M'✝
e : ι ≃ ι'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R✝ M''
R : Type u_14
M : Type u_15
M' : Type u_16
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M'
inst✝ : SMulCommClass R R M'
f : M → M'
g : M' → M
hf : ∀ (i : ι), f (b i) ∈ range ⇑b'
hg : ∀ (i : ι'), g (b' i) ∈ range ⇑b
hgf : ∀ (i : ι), g (f (b i)) = b i
hfg : ∀ (i : ι'), f (g (b' i)) = b' i
i : ι
i' : ι'
hi' : b' i' = f (b i)
⊢ b i = LinearMap.id (b i)

Tactic:
LinearMap.id_apply

Goal state after:
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝¹ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝¹ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝¹⁶ : Semiring R✝¹
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M✝¹
inst✝¹⁴ : Module R✝¹ M✝¹
inst✝¹³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹² : Module R✝¹ M'✝
ι : Type u_10
R✝ : Type u_11
M✝ : Type u_12
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
b✝ : Basis ι R✝ M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M'✝
i✝ : ι
M'' : Type u_13
b'✝ : Basis ι' R✝ M'✝
e : ι ≃ ι'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R✝ M''
R : Type u_14
M : Type u_15
M' : Type u_16
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M'
inst✝ : SMulCommClass R R M'
f : M → M'
g : M' → M
hf : ∀ (i : ι), f (b i) ∈ range ⇑b'
hg : ∀ (i : ι'), g (b' i) ∈ range ⇑b
hgf : ∀ (i : ι), g (f (b i)) = b i
hfg : ∀ (i : ι'), f (g (b' i)) = b' i
i : ι
i' : ι'
hi' : b' i' = f (b i)
⊢ b i = b i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Defs

Goal state before:
pp: ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝¹ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝¹ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝¹⁶ : Semiring R✝¹
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M✝¹
inst✝¹⁴ : Module R✝¹ M✝¹
inst✝¹³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹² : Module R✝¹ M'✝
ι : Type u_10
R✝ : Type u_11
M✝ : Type u_12
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
b✝ : Basis ι R✝ M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M'✝
i✝ : ι
M'' : Type u_13
b'✝ : Basis ι' R✝ M'✝
e : ι ≃ ι'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R✝ M''
R : Type u_14
M : Type u_15
M' : Type u_16
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M'
inst✝ : SMulCommClass R R M'
f : M → M'
g : M' → M
hf : ∀ (i : ι), f (b i) ∈ range ⇑b'
hg : ∀ (i : ι'), g (b' i) ∈ range ⇑b
hgf : ∀ (i : ι), g (f (b i)) = b i
hfg : ∀ (i : ι'), f (g (b' i)) = b' i
i : ι'
i' : ι
hi' : b i' = g (b' i)
⊢ b' i = LinearMap.id (b' i)

Tactic:
LinearMap.id_apply

Goal state after:
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝¹ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝¹ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝¹⁶ : Semiring R✝¹
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M✝¹
inst✝¹⁴ : Module R✝¹ M✝¹
inst✝¹³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹² : Module R✝¹ M'✝
ι : Type u_10
R✝ : Type u_11
M✝ : Type u_12
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
b✝ : Basis ι R✝ M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M'✝
i✝ : ι
M'' : Type u_13
b'✝ : Basis ι' R✝ M'✝
e : ι ≃ ι'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R✝ M''
R : Type u_14
M : Type u_15
M' : Type u_16
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M'
inst✝ : SMulCommClass R R M'
f : M → M'
g : M' → M
hf : ∀ (i : ι), f (b i) ∈ range ⇑b'
hg : ∀ (i : ι'), g (b' i) ∈ range ⇑b
hgf : ∀ (i : ι), g (f (b i)) = b i
hfg : ∀ (i : ι'), f (g (b' i)) = b' i
i : ι'
i' : ι
hi' : b i' = g (b' i)
⊢ b' i = b' i
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Finprod

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
s : Set β
g : β → α
hg : InjOn g (s ∩ mulSupport (f ∘ g))
hs : (s ∩ mulSupport (f ∘ g)).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ g '' s), f i = ∏ᶠ (j : β) (_ : j ∈ s), f (g j)

pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
s : Set β
g : β → α
hg : InjOn g (s ∩ mulSupport (f ∘ g))
hs : ¬(s ∩ mulSupport (f ∘ g)).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ g '' s), f i = ∏ᶠ (j : β) (_ : j ∈ s), f (g j)

Tactic:
· have hg : ∀ x ∈ hs.toFinset, ∀ y ∈ hs.toFinset, g x = g y → x = y := by
        simpa only [hs.mem_toFinset]
      have := finprod_mem_eq_prod (comp f g) hs
      unfold Function.comp at this
      rw [this, ← Finset.prod_image hg]
      refine finprod_mem_eq_prod_of_inter_mulSupport_eq f ?_
      rw [Finset.coe_image, hs.coe_toFinset, ← image_inter_mulSupport_eq, inter_assoc, inter_self]

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
s : Set β
g : β → α
hg : InjOn g (s ∩ mulSupport (f ∘ g))
hs : ¬(s ∩ mulSupport (f ∘ g)).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ g '' s), f i = ∏ᶠ (j : β) (_ : j ∈ s), f (g j)
Module: Mathlib.Logic.Equiv.Fin.Basic

Goal state before:
pp: m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ℤ
⊢ a / ↑n * ↑n + ↑(a.natMod ↑n) % ↑n = a

Tactic:
natMod,

Goal state after:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ℤ
⊢ a / ↑n * ↑n + ↑(a % ↑n).toNat % ↑n = a
Module: Mathlib.Logic.Equiv.Fin.Basic

Goal state before:
pp: m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ℤ
⊢ a / ↑n * ↑n + a % ↑n % ↑n = a

Tactic:
emod_emod,

Goal state after:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ℤ
⊢ a / ↑n * ↑n + a % ↑n = a
Module: Mathlib.Logic.Equiv.Fin.Basic

Goal state before:
pp: m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x✝ : ℤ × Fin n
q : ℤ
r : ℕ
hrn : r < n
h1 : 0 ≤ ↑r
h2 : ↑r < ↑n
⊢ 0 + q = q ∧ ↑(Fin.ofNat n ((↑r + q * ↑n).natMod ↑n)) = r

Tactic:
natMod,

Goal state after:
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x✝ : ℤ × Fin n
q : ℤ
r : ℕ
hrn : r < n
h1 : 0 ≤ ↑r
h2 : ↑r < ↑n
⊢ 0 + q = q ∧ ↑(Fin.ofNat n ((↑r + q * ↑n) % ↑n).toNat) = r
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Finprod

Goal state before:
pp: case intro
α : Type u_1
ι : Type u_3
M : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
t : ι → Finset α
h : Pairwise (Disjoint on fun i ↦ ↑(t i))
⊢ ∏ᶠ (a : α) (_ : a ∈ ⋃ i, (fun i ↦ ↑(t i)) i), f a = ∏ᶠ (i : ι) (a : α) (_ : a ∈ (fun i ↦ ↑(t i)) i), f a

Tactic:
rw [← biUnion_univ, ← Finset.coe_univ, ← Finset.coe_biUnion, finprod_mem_coe_finset,
      Finset.prod_biUnion]

Goal state after:
case intro
α : Type u_1
ι : Type u_3
M : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
t : ι → Finset α
h : Pairwise (Disjoint on fun i ↦ ↑(t i))
⊢ ∏ x, ∏ i ∈ t x, f i = ∏ᶠ (i : ι) (a : α) (_ : a ∈ (fun i ↦ ↑(t i)) i), f a

case intro
α : Type u_1
ι : Type u_3
M : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
t : ι → Finset α
h : Pairwise (Disjoint on fun i ↦ ↑(t i))
⊢ (↑Finset.univ).PairwiseDisjoint t
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Finprod

Goal state before:
pp: N : Type u_6
inst✝ : CommMonoid N
α : Type u_7
ι : Type u_8
f : ι → α → N
hf : HasFiniteMulSupport f
a : α
⊢ (∏ᶠ (i : ι), f i) a = ∏ᶠ (i : ι), f i a

Tactic:
classical
  have hf' : HasFiniteMulSupport fun i ↦ f i a := by fun_prop (disch := simp)
  simp only [finprod_def, dif_pos, hf, hf', Finset.prod_apply]
  symm
  apply Finset.prod_subset <;> aesop

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.ENat.Pow

Goal state before:
pp: case inl.inr
x y z : ℕ∞
x_0 : x < 1
y_0 : 0 < y
⊢ 0 ^ (y + z) = 0 ^ y * 0 ^ z

Tactic:
· rw [zero_epow y_0.ne.symm, zero_mul]
      exact zero_epow (add_pos_of_pos_of_nonneg y_0 bot_le).ne.symm

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Finset ι
⊢ LinearIndepOn R v ↑s ↔ ∀ (f g : ι → R), ∑ i ∈ s, f i • v i = ∑ i ∈ s, g i • v i → ∀ i ∈ s, f i = g i

Tactic:
simp_rw [LinearIndepOn, Fintype.linearIndependent_iffₛ]

Goal state after:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Finset ι
⊢ (∀ (f g : ↑↑s → R), ∑ i, f i • v ↑i = ∑ i, g i • v ↑i → ∀ (i : ↑↑s), f i = g i) ↔
    ∀ (f g : ι → R), ∑ i ∈ s, f i • v i = ∑ i ∈ s, g i • v i → ∀ i ∈ s, f i = g i
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
n m : ℕ
h : n ≤ m
f : Fin m → M
a b : Fin n
⊢ ∏ i ∈ Ico (castLE h a) (castLE h b), f i = ∏ i ∈ Ico a b, f (castLE h i)

Tactic:
simp [← map_castLEEmb_Ico]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
n m : ℕ
h : n ≤ m
f : Fin m → M
a b : Fin n
⊢ ∏ i ∈ Ioc (castLE h a) (castLE h b), f i = ∏ i ∈ Ioc a b, f (castLE h i)

Tactic:
by
  simp [← map_castLEEmb_Ioc]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u'
R : Type u_2
s : Set ι
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
w : ι → M
h : EqOn v w s
⊢ LinearIndepOn R v s ↔ LinearIndepOn R w s

Tactic:
rw [LinearIndepOn, LinearIndepOn]
  convert! Iff.rfl using 2
  ext x
  exact h.symm x.2

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: case mp
a b n : ℕ
⊢ a ≡ b [PMOD n] → a ≡ b [MOD n]

Tactic:
rw [modEq_iff_nsmul, Nat.ModEq]
    rintro ⟨k, l, h⟩
    simpa using congr($h % n)

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: n a b c d : ℕ
h₁ : ↑n ∣ ↑b - ↑a
h₂ : ↑n ∣ ↑b + ↑d - (↑a + ↑c)
⊢ ↑n ∣ ↑d - ↑c

Tactic:
rw [add_sub_add_comm] at h₂

Goal state after:
n a b c d : ℕ
h₁ : ↑n ∣ ↑b - ↑a
h₂ : ↑n ∣ ↑b - ↑a + (↑d - ↑c)
⊢ ↑n ∣ ↑d - ↑c
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case inr.inr.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑j < ↑k
⊢ ↑j.succ ≤ ↑k.castSucc.castSucc

Tactic:
val_succ

Goal state after:
case inr.inr.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑j < ↑k
⊢ ↑j + 1 ≤ ↑k.castSucc.castSucc
Module: Mathlib.SetTheory.Cardinal.Finite

Goal state before:
pp: n : ℕ
⊢ Nat.card (Fin n) = n

Tactic:
rw [Nat.card_eq_fintype_card, Fintype.card_fin]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : CanonicallyOrderedAdd R
inst✝¹ : AddRightReflectLE R
inst✝ : IsCancelAdd M
⊢ (∃ s t f, Disjoint s t ∧ ∑ i ∈ s, f i • v i = ∑ i ∈ t, f i • v i ∧ ((∃ i ∈ s, f i ≠ 0) ∨ ∃ i ∈ t, f i ≠ 0)) ↔
    ∃ s t f, Disjoint s t ∧ ∑ i ∈ s, f i • v i = ∑ i ∈ t, f i • v i ∧ ∃ i ∈ s, f i ≠ 0

Tactic:
refine ⟨fun ⟨s, t, f, hst, heq, h⟩ => ?_,
    fun ⟨s, t, f, hst, heq, hi⟩ => ⟨s, t, f, hst, heq, .inl hi⟩⟩

Goal state after:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : CanonicallyOrderedAdd R
inst✝¹ : AddRightReflectLE R
inst✝ : IsCancelAdd M
x✝ : ∃ s t f, Disjoint s t ∧ ∑ i ∈ s, f i • v i = ∑ i ∈ t, f i • v i ∧ ((∃ i ∈ s, f i ≠ 0) ∨ ∃ i ∈ t, f i ≠ 0)
s t : Finset ι
f : ι → R
hst : Disjoint s t
heq : ∑ i ∈ s, f i • v i = ∑ i ∈ t, f i • v i
h : (∃ i ∈ s, f i ≠ 0) ∨ ∃ i ∈ t, f i ≠ 0
⊢ ∃ s t f, Disjoint s t ∧ ∑ i ∈ s, f i • v i = ∑ i ∈ t, f i • v i ∧ ∃ i ∈ s, f i ≠ 0
Module: Mathlib.SetTheory.Cardinal.Finite

Goal state before:
pp: n : ℕ
c : Cardinal.{u_3}
⊢ toENat ↑n ≤ toENat c ↔ ↑n ≤ c

Tactic:
toENat_le_iff_of_le_aleph0 natCast_le_aleph0

Goal state after:
n : ℕ
c : Cardinal.{u_3}
⊢ ↑n ≤ c ↔ ↑n ≤ c
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Basic

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
le : ∀ (s : Finset M), s.card = n + 1 → ¬LinearIndepOn R id ↑s
⊢ ⨆ ι, #↑↑ι ≤ ↑n

Tactic:
ciSup_le_iff bddAbove_of_small

Goal state after:
case succ
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
le : ∀ (s : Finset M), s.card = n + 1 → ¬LinearIndepOn R id ↑s
⊢ ∀ (i : { s // LinearIndepOn R id s }), #↑↑i ≤ ↑n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Finrank

Goal state before:
pp: case hc
R : Type u
M : Type v
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
h : Module.rank R M ≤ ↑n
⊢ Module.rank R M < ℵ₀

pp: case hd
R : Type u
M : Type v
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
h : Module.rank R M ≤ ↑n
⊢ ↑n < ℵ₀

Tactic:
· exact h.trans_lt natCast_lt_aleph0

Goal state after:
case hd
R : Type u
M : Type v
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
h : Module.rank R M ≤ ↑n
⊢ ↑n < ℵ₀
Module: Mathlib.Data.Set.Card

Goal state before:
pp: α : Type u_1
s : Set α
a : α
has : a ∉ s
⊢ (insert a s).encard = s.encard + 1

Tactic:
← union_singleton,

Goal state after:
α : Type u_1
s : Set α
a : α
has : a ∉ s
⊢ (s ∪ {a}).encard = s.encard + 1
Module: Mathlib.Data.Set.Card

Goal state before:
pp: α : Type u_1
s : Set α
x : α
⊢ (insert x s).encard ≤ s.encard + 1

Tactic:
← union_singleton,

Goal state after:
α : Type u_1
s : Set α
x : α
⊢ (s ∪ {x}).encard ≤ s.encard + 1
Module: Mathlib.Algebra.Group.Submonoid.Finite

Goal state before:
pp: η : Type u_1
f : η → Type u_2
inst✝³ : (i : η) → MulOneClass (f i)
S : Type u_3
inst✝² : SetLike S ((i : η) → f i)
inst✝¹ : SubmonoidClass S ((i : η) → f i)
inst✝ : DecidableEq η
H : S
i : η
I : Finset η
hnotMem : i ∉ I
ih : ∀ (x : (i : η) → f i), (∀ i ∉ I, x i = 1) → (∀ i ∈ I, Pi.mulSingle i (x i) ∈ H) → x ∈ H
x : (i : η) → f i
h1 : ∀ i_1 ∉ insert i I, x i_1 = 1
h2 : ∀ i_1 ∈ insert i I, Pi.mulSingle i_1 (x i_1) ∈ H
⊢ x = Function.update x i 1 * Pi.mulSingle i (x i)

Tactic:
ext j

Goal state after:
η : Type u_1
f : η → Type u_2
inst✝³ : (i : η) → MulOneClass (f i)
S : Type u_3
inst✝² : SetLike S ((i : η) → f i)
inst✝¹ : SubmonoidClass S ((i : η) → f i)
inst✝ : DecidableEq η
H : S
i : η
I : Finset η
hnotMem : i ∉ I
ih : ∀ (x : (i : η) → f i), (∀ i ∉ I, x i = 1) → (∀ i ∈ I, Pi.mulSingle i (x i) ∈ H) → x ∈ H
x : (i : η) → f i
h1 : ∀ i_1 ∉ insert i I, x i_1 = 1
h2 : ∀ i_1 ∈ insert i I, Pi.mulSingle i_1 (x i_1) ∈ H
j : η
⊢ x j = (Function.update x i 1 * Pi.mulSingle i (x i)) j
Module: Mathlib.Algebra.Group.Submonoid.Finite

Goal state before:
pp: case pos
η : Type u_1
f : η → Type u_2
inst✝³ : (i : η) → MulOneClass (f i)
S : Type u_3
inst✝² : SetLike S ((i : η) → f i)
inst✝¹ : SubmonoidClass S ((i : η) → f i)
inst✝ : DecidableEq η
H : S
i : η
I : Finset η
hnotMem : i ∉ I
ih : ∀ (x : (i : η) → f i), (∀ i ∉ I, x i = 1) → (∀ i ∈ I, Pi.mulSingle i (x i) ∈ H) → x ∈ H
x : (i : η) → f i
h1 : ∀ i_1 ∉ insert i I, x i_1 = 1
h2 : ∀ i_1 ∈ insert i I, Pi.mulSingle i_1 (x i_1) ∈ H
j : η
heq : j = i
⊢ x j = (Function.update x i 1 * Pi.mulSingle i (x i)) j

Tactic:
subst heq
        simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Group.Submonoid.Finite

Goal state before:
pp: case pos
η : Type u_1
f : η → Type u_2
inst✝³ : (i : η) → MulOneClass (f i)
S : Type u_3
inst✝² : SetLike S ((i : η) → f i)
inst✝¹ : SubmonoidClass S ((i : η) → f i)
inst✝ : DecidableEq η
H : S
i : η
I : Finset η
hnotMem : i ∉ I
x : (i : η) → f i
h1 : ∀ i_1 ∉ insert i I, x i_1 = 1
h2 : ∀ i_1 ∈ insert i I, Pi.mulSingle i_1 (x i_1) ∈ H
j : η
hj : j ∉ I
heq : j = i
⊢ Function.update x i 1 j = 1

Tactic:
subst heq
        simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Set.Card

Goal state before:
pp: α : Type u_1
s : Set α
k : ℕ
hfin : s.Finite
x✝ : ∃ n₀, s.encard = ↑n₀ ∧ n₀ ≤ k
n₀ : ℕ
hn₀ : s.encard = ↑n₀
hle : n₀ ≤ k
⊢ s.ncard ≤ k

Tactic:
by rwa [ncard_def, hn₀, ENat.toNat_natCast]

Goal state after:
Module: Mathlib.SetTheory.Cardinal.NatCard

Goal state before:
pp: α : Type u_1
s t : Set α
⊢ Nat.card ↑(s ∪ t) ≤ Nat.card ↑s + Nat.card ↑t

Tactic:
by
  rcases _root_.finite_or_infinite (↥(s ∪ t)) with h | h
  · rw [finite_coe_iff, finite_union, ← finite_coe_iff, ← finite_coe_iff] at h
    cases h
    rw [← @Nat.cast_le Cardinal, Nat.cast_add, Nat.cast_card, Nat.cast_card, Nat.cast_card]
    exact Cardinal.mk_union_le s t
  · simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Set.Card

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
h₁ : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
h₂ : ∀ (a b : α) (ha : a ∈ s) (hb : b ∈ s), f a ha = f b hb → a = b
h₃ : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
f' : ↑s → ↑t := fun x ↦ ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩
hbij : Function.Bijective f'
⊢ s.ncard = t.ncard

Tactic:
← _root_.Nat.card_coe_set_eq

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
h₁ : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
h₂ : ∀ (a b : α) (ha : a ∈ s) (hb : b ∈ s), f a ha = f b hb → a = b
h₃ : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
f' : ↑s → ↑t := fun x ↦ ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩
hbij : Function.Bijective f'
⊢ Nat.card ↑s = Nat.card ↑t
Module: Mathlib.GroupTheory.Coset.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α
⊢ x⁻¹ * y ∈ s → ∀ (x_1 : α), x⁻¹ * x_1 ∈ s ↔ y⁻¹ * x_1 ∈ s

Tactic:
intro h z

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α
h : x⁻¹ * y ∈ s
z : α
⊢ x⁻¹ * z ∈ s ↔ y⁻¹ * z ∈ s
Module: Mathlib.GroupTheory.Coset.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α
⊢ y * x⁻¹ ∈ s → ∀ (x_1 : α), x_1 * x⁻¹ ∈ s ↔ x_1 * y⁻¹ ∈ s

Tactic:
intro h z

Goal state after:
case mpr
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α
h : y * x⁻¹ ∈ s
z : α
⊢ z * x⁻¹ ∈ s ↔ z * y⁻¹ ∈ s
Module: Mathlib.GroupTheory.QuotientGroup.Basic

Goal state before:
pp: G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M✝ : Type x
inst✝ : Monoid M✝
φ : G →* H
M : Subgroup G
nM : M.Normal
h : N ≤ M
⊢ (map M (Subgroup.map (mk' N) M) (mk' N) ⋯).comp (quotientQuotientEquivQuotientAux N M h) =
    MonoidHom.id ((G ⧸ N) ⧸ Subgroup.map (mk' N) M)

Tactic:
by ext; simp

Goal state after: