mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝¹⁶ : Field k
K : Type u
inst✝¹⁵ : Field K
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Field M
inst✝¹¹ : Algebra K M
inst✝¹⁰ : IsAlgClosed M
inst✝⁹ : Algebra.IsAlgebraic K L
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R M
inst✝² : IsTorsionFree R S
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R S
this✝² : IsDomain R := Function.Injective.isDomain (algebraMap R S) (FaithfulSMul.algebraMap_injective R S)
this✝¹ : Algebra (FractionRing R) M := FractionRing.liftAlgebra R M
this✝ : Algebra (FractionRing R) (FractionRing S) := FractionRing.liftAlgebra R (FractionRing S)
this : IsScalarTower R (FractionRing R) M
⊢ S →ₐ[R] M

Tactic:
have := FractionRing.isScalarTower_liftAlgebra R (FractionRing S)

Goal state after:
k : Type u
inst✝¹⁶ : Field k
K : Type u
inst✝¹⁵ : Field K
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Field M
inst✝¹¹ : Algebra K M
inst✝¹⁰ : IsAlgClosed M
inst✝⁹ : Algebra.IsAlgebraic K L
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R M
inst✝² : IsTorsionFree R S
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R S
this✝³ : IsDomain R := Function.Injective.isDomain (algebraMap R S) (FaithfulSMul.algebraMap_injective R S)
this✝² : Algebra (FractionRing R) M := FractionRing.liftAlgebra R M
this✝¹ : Algebra (FractionRing R) (FractionRing S) := FractionRing.liftAlgebra R (FractionRing S)
this✝ : IsScalarTower R (FractionRing R) M
this : IsScalarTower R (FractionRing R) (FractionRing S)
⊢ S →ₐ[R] M
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: case neg
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
h : Cardinal.aleph0 ≤ Module.rank K ↥E1
this :
  Module.rank K ↥(Subalgebra.toSubmodule E1.toSubalgebra) ≤
    Module.rank K ↥(Subalgebra.toSubmodule (E1 ⊔ E2).toSubalgebra)
⊢ finrank K ↥(E1 ⊔ E2) ≤ 0 * finrank K ↥E2

Tactic:
show finrank K ↥(E1 ⊔ E2) = 0 from Cardinal.toNat_apply_of_aleph0_le (h.trans this),

Goal state after:
case neg
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
h : Cardinal.aleph0 ≤ Module.rank K ↥E1
this :
  Module.rank K ↥(Subalgebra.toSubmodule E1.toSubalgebra) ≤
    Module.rank K ↥(Subalgebra.toSubmodule (E1 ⊔ E2).toSubalgebra)
⊢ 0 ≤ 0 * finrank K ↥E2
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝¹⁶ : Field k
K : Type u_1
J : Type u_2
R : Type u
S : Type u_3
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field J
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Field M
inst✝⁹ : Algebra R M
inst✝⁸ : IsTorsionFree R M
inst✝⁷ : IsAlgClosure R M
inst✝⁶ : Algebra K M
inst✝⁵ : IsAlgClosure K M
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : IsTorsionFree S L
inst✝² : IsAlgClosure S L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDomain S
hSR : S ≃+* R
this✝ : Algebra R S := hSR.symm.toRingHom.toAlgebra
this : Algebra S R := hSR.toRingHom.toAlgebra
⊢ { e // e.toRingHom.comp (algebraMap S L) = (algebraMap R M).comp hSR.toRingHom }

Tactic:
letI : Algebra R L := RingHom.toAlgebra ((algebraMap S L).comp (algebraMap R S))

Goal state after:
k : Type u
inst✝¹⁶ : Field k
K : Type u_1
J : Type u_2
R : Type u
S : Type u_3
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field J
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Field M
inst✝⁹ : Algebra R M
inst✝⁸ : IsTorsionFree R M
inst✝⁷ : IsAlgClosure R M
inst✝⁶ : Algebra K M
inst✝⁵ : IsAlgClosure K M
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : IsTorsionFree S L
inst✝² : IsAlgClosure S L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDomain S
hSR : S ≃+* R
this✝¹ : Algebra R S := hSR.symm.toRingHom.toAlgebra
this✝ : Algebra S R := hSR.toRingHom.toAlgebra
this : Algebra R L := ((algebraMap S L).comp (algebraMap R S)).toAlgebra
⊢ { e // e.toRingHom.comp (algebraMap S L) = (algebraMap R M).comp hSR.toRingHom }
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Pi

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
f : ι → End R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
χ₁ χ₂ : ι → R
h : χ₁ ≠ χ₂
⊢ Disjoint (⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₁ i)) (⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₂ i))

Tactic:
obtain ⟨j, hj⟩ : ∃ j, χ₁ j ≠ χ₂ j := Function.ne_iff.mp h

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
f : ι → End R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
χ₁ χ₂ : ι → R
h : χ₁ ≠ χ₂
j : ι
hj : χ₁ j ≠ χ₂ j
⊢ Disjoint (⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₁ i)) (⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₂ i))
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u
inst✝² : Field F
E : Type v
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
s : Set E
⊢ max (max (Cardinal.lift.{u, v} #↑(Set.range ⇑(algebraMap F E))) (Cardinal.lift.{u, v} #↑s)) ℵ₀ ≤
    max (max (Cardinal.lift.{v, u} #F) (Cardinal.lift.{u, v} #↑s)) ℵ₀

Tactic:
grw [mk_range_le_lift]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
⊢ ⊤ = toLieSubalgebra R L ⊤

Tactic:
top_toLieSubalgebra

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
⊢ ⊤ = ⊤
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : ↥H → R
x : L
m : M
hx : ∀ (i : ↥H), x ∈ genWeightSpaceOf L (χ₁ i) i
hm : m ∈ genWeightSpace M χ₂
y : ↥H
⊢ x ∈ genWeightSpaceOf L (χ₁ y) y

Tactic:
exact hx y

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: case mem.mem.inl.inr.inr
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
f x y u v : L
t : IsSl2Triple v u f
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := span R {u, f, v}
⊢ 2 • u ∈ span R {u, f, v}

Tactic:
apply nsmul_mem <| subset_span _

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
f x y u v : L
t : IsSl2Triple v u f
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := ⋯
⊢ u ∈ {u, f, v}
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: case mem.mem.inr.inl.inr.inr
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
e x y u v : L
t : IsSl2Triple v e u
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := span R {e, u, v}
⊢ 2 • u ∈ span R {e, u, v}

Tactic:
apply nsmul_mem <| subset_span _

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
e x y u v : L
t : IsSl2Triple v e u
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := ⋯
⊢ u ∈ {e, u, v}
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: case mem.mem.inr.inr.inl
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
f x y u v : L
t : IsSl2Triple u v f
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := span R {v, f, u}
⊢ 2 • v ∈ span R {v, f, u}

Tactic:
apply nsmul_mem <| subset_span _

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
f x y u v : L
t : IsSl2Triple u v f
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := ⋯
⊢ v ∈ {v, f, u}
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: case mem.mem.inr.inr.inr.inl
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
e x y u v : L
t : IsSl2Triple u e v
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := span R {e, v, u}
⊢ 2 • v ∈ span R {e, v, u}

Tactic:
apply nsmul_mem <| subset_span _

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
e x y u v : L
t : IsSl2Triple u e v
__spread✝⁻⁰ : Submodule R L := ⋯
⊢ v ∈ {e, v, u}
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
x : L
k : ℕ
m : M
l : ℕ
ih : ((toEnd R L M) x ^ l) m ∈ lowerCentralSeries R L M l
⊢ ((toEnd R L M) x ^ (l + 1)) m ∈ lowerCentralSeries R L M (l + 1)

Tactic:
simp only [lowerCentralSeries_succ, pow_succ', Module.End.mul_apply]

Goal state after:
case succ
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
x : L
k : ℕ
m : M
l : ℕ
ih : ((toEnd R L M) x ^ l) m ∈ lowerCentralSeries R L M l
⊢ ((toEnd R L M) x) (((toEnd R L M) x ^ l) m) ∈ ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M l⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : Codisjoint N₁ N₂
l : ℕ
hl :
  ∀ (b : ℕ),
    l ≤ b →
      ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥N₁) k = lowerCentralSeries R L (↥N₁) b ∧
        ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥N₂) k = lowerCentralSeries R L (↥N₂) b ∧
          ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = lowerCentralSeries R L M b
hl₁ : ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥N₁) k = lowerCentralSeries R L (↥N₁) l
hl₂ : ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥N₂) k = lowerCentralSeries R L (↥N₂) l
hl₃ : ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = lowerCentralSeries R L M l
⊢ LieSubmodule.map N₁.incl (lowerCentralSeries R L (↥N₁) l) ⊔
      LieSubmodule.map N₂.incl (lowerCentralSeries R L (↥N₂) l) =
    ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k

Tactic:
hl₃,

Goal state after:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : Codisjoint N₁ N₂
l : ℕ
hl :
  ∀ (b : ℕ),
    l ≤ b →
      ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥N₁) k = lowerCentralSeries R L (↥N₁) b ∧
        ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥N₂) k = lowerCentralSeries R L (↥N₂) b ∧
          ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = lowerCentralSeries R L M b
hl₁ : ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥N₁) k = lowerCentralSeries R L (↥N₁) l
hl₂ : ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥N₂) k = lowerCentralSeries R L (↥N₂) l
hl₃ : ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = lowerCentralSeries R L M l
⊢ LieSubmodule.map N₁.incl (lowerCentralSeries R L (↥N₁) l) ⊔
      LieSubmodule.map N₂.incl (lowerCentralSeries R L (↥N₂) l) =
    lowerCentralSeries R L M l
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
i j : ι
⊢ -⁅b.h j, b.e i⁆ = -b.A i j • b.e i

Tactic:
b.lie_h_e,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
i j : ι
⊢ -(b.A i j • b.e i) = -b.A i j • b.e i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
⊢ B.orthogonal ⊥ = ⊤

Tactic:
by ext; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.InvariantForm

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
⊢ ∀ (I : LieIdeal K L), sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ I} = I

Tactic:
intro I
  apply le_antisymm
  · apply sSup_le
    rintro J ⟨-, hJ'⟩
    exact hJ'
  by_cases hI : I = ⊥
  · exact hI.le.trans bot_le
  obtain ⟨J, hJ, hJI⟩ := (eq_bot_or_exists_atom_le I).resolve_left hI
  let J' := orthogonal Φ hΦ_inv J
  suffices I ≤ J ⊔ (J' ⊓ I) by
    refine this.trans ?_
    apply sup_le
    · exact le_sSup ⟨hJ, hJI⟩
    rw [← atomistic (J' ⊓ I)]
    apply sSup_le_sSup
    simp only [le_inf_iff, Set.ofPred_subset_ofPred, and_imp]
    tauto
  suffices J ⊔ J' = ⊤ by rw [← sup_inf_assoc_of_le _ hJI, this, top_inf_eq]
  exact (orthogonal_isCompl Φ hΦ_nondeg hΦ_inv hΦ_refl hL J hJ).codisjoint.eq_top

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Semisimple.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
s : Finset (LieIdeal R L)
hs : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}
I : LieIdeal R L
hI✝ : I ≤ s.sup id
S : Set (LieIdeal R L) := {I | IsAtom I}
hI : I < s.sup id
J : LieIdeal R L
hJs : J ∈ s
hJI : ¬J ≤ I
s' : Finset (LieIdeal R L) := s.erase J
hs' : s' ⊂ s
hs'S : ↑s' ⊆ S
K : LieIdeal R L := s'.sup id
y : L
hy : y ∈ id J
z : L
hz : z ∈ K
hx : y + z ∈ I
j : ↥J
this : ⁅↑j, z⁆ = 0 ∧ ⁅↑j, y + z⁆ = 0
⊢ ⁅j, ⟨y, hy⟩⁆ = 0

Tactic:
rw [lie_add, this.1, add_zero] at this

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
s : Finset (LieIdeal R L)
hs : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}
I : LieIdeal R L
hI✝ : I ≤ s.sup id
S : Set (LieIdeal R L) := {I | IsAtom I}
hI : I < s.sup id
J : LieIdeal R L
hJs : J ∈ s
hJI : ¬J ≤ I
s' : Finset (LieIdeal R L) := s.erase J
hs' : s' ⊂ s
hs'S : ↑s' ⊆ S
K : LieIdeal R L := s'.sup id
y : L
hy : y ∈ id J
z : L
hz : z ∈ K
hx : y + z ∈ I
j : ↥J
this : 0 = 0 ∧ ⁅↑j, y⁆ = 0
⊢ ⁅j, ⟨y, hy⟩⁆ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Semisimple.Basic

Goal state before:
pp: case inr.left
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
s : Finset (LieIdeal R L)
hs : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}
I : LieIdeal R L
hI✝ : I ≤ s.sup id
S : Set (LieIdeal R L) := ⋯
hI : I < s.sup id
J : LieIdeal R L
hJs : J ∈ s
hJI : ¬J ≤ I
s' : Finset (LieIdeal R L) := ⋯
hs' : s' ⊂ s
hs'S : ↑s' ⊆ S
K : LieIdeal R L := ⋯
y : L
hy : y ∈ id J
z : L
hz : z ∈ K
hx : y + z ∈ I
j : ↥J
⊢ ⁅↑j, z⁆ ∈ ⊥

pp: case inr.right
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
s : Finset (LieIdeal R L)
hs : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}
I : LieIdeal R L
hI✝ : I ≤ s.sup id
S : Set (LieIdeal R L) := ⋯
hI : I < s.sup id
J : LieIdeal R L
hJs : J ∈ s
hJI : ¬J ≤ I
s' : Finset (LieIdeal R L) := ⋯
hs' : s' ⊂ s
hs'S : ↑s' ⊆ S
K : LieIdeal R L := ⋯
y : L
hy : y ∈ id J
z : L
hz : z ∈ K
hx : y + z ∈ I
j : ↥J
⊢ ⁅↑j, y + z⁆ ∈ ⊥

Tactic:
· apply (sSupIndep_isAtom.disjoint_sSup (hs hJs) hs'S (Finset.notMem_erase _ _)).le_bot
    apply LieSubmodule.lie_le_inf
    apply LieSubmodule.lie_mem_lie j.2
    simpa only [K, Finset.sup_id_eq_sSup] using hz

Goal state after:
case inr.right
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
s : Finset (LieIdeal R L)
hs : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}
I : LieIdeal R L
hI✝ : I ≤ s.sup id
S : Set (LieIdeal R L) := ⋯
hI : I < s.sup id
J : LieIdeal R L
hJs : J ∈ s
hJI : ¬J ≤ I
s' : Finset (LieIdeal R L) := ⋯
hs' : s' ⊂ s
hs'S : ↑s' ⊆ S
K : LieIdeal R L := ⋯
y : L
hy : y ∈ id J
z : L
hz : z ∈ K
hx : y + z ∈ I
j : ↥J
⊢ ⁅↑j, y + z⁆ ∈ ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.TensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type uR
A : Type uA
M₂ : Type uM₂
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Module R M₂
⊢ BilinForm.baseChange A 0 = 0

Tactic:
by ext; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.Killing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L
D : LieDerivation R L L
⊢ D ∈ (ad R L).range

Tactic:
rw [range_ad_eq_top R L]

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L
D : LieDerivation R L L
⊢ D ∈ ⊤
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
⊢ chainTop (-α) β = chainBot α β

Tactic:
by ext; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
⊢ chainBot (-α) β = chainTop α β

Tactic:
by ext; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
β : Weight R L M
⊢ chainTop 0 β = β

Tactic:
by ext; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
β : Weight R L M
⊢ chainBot 0 β = β

Tactic:
by ext; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Sequence

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ m_1 < n, ∀ ⦃P : R[X]⦄, P ∈ degreeLT R m → P.natDegree = m_1 → P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
P : R[X]
hP : P ∈ degreeLT R m
hp : P.natDegree = n
hn : n < m
u : R
head : R[X] := P.leadingCoeff • u • ↑S n
tail : R[X] := P - head
head_mem_span : head ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
isRightRegular_smul_leadingCoeff : IsRightRegular (u • ↑S n).leadingCoeff
u_degree_same : (u • ↑S n).degree = (↑S n).degree
head_degree_eq_natDegree : head.degree = ↑head.natDegree
p_ne_zero : ¬P = 0
leftinv : (↑S n).leadingCoeff * u = 1
rightinv : u * (↑S n).leadingCoeff = 1
tail_eq_zero : ¬tail = 0
head_degree_eq : P.natDegree = head.natDegree
⊢ P.leadingCoeff = head.coeff n

Tactic:
dsimp [head]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ m_1 < n, ∀ ⦃P : R[X]⦄, P ∈ degreeLT R m → P.natDegree = m_1 → P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
P : R[X]
hP : P ∈ degreeLT R m
hp : P.natDegree = n
hn : n < m
u : R
head : R[X] := P.leadingCoeff • u • ↑S n
tail : R[X] := P - head
head_mem_span : head ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
isRightRegular_smul_leadingCoeff : IsRightRegular (u • ↑S n).leadingCoeff
u_degree_same : (u • ↑S n).degree = (↑S n).degree
head_degree_eq_natDegree : head.degree = ↑head.natDegree
p_ne_zero : ¬P = 0
leftinv : (↑S n).leadingCoeff * u = 1
rightinv : u * (↑S n).leadingCoeff = 1
tail_eq_zero : ¬tail = 0
head_degree_eq : P.natDegree = head.natDegree
⊢ P.leadingCoeff = (P.leadingCoeff • u • ↑S n).coeff n
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ α : Weight K (↥H) L
⊢ { toFun := -⇑{ toFun := -⇑α, genWeightSpace_ne_bot' := ⋯ }, genWeightSpace_ne_bot' := ⋯ } = α

Tactic:
by ext; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
y z : L
α β : ↥H → K
hy : y ∈ rootSpace H α
hz : z ∈ rootSpace H β
hyz : ⁅y, z⁆ ∈ rootSpace H (α + β)
⊢ S ⁅y, z⁆ = ⁅α x' • y, z⁆ + ⁅y, β x' • z⁆

Tactic:
aux hyz,

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
y z : L
α β : ↥H → K
hy : y ∈ rootSpace H α
hz : z ∈ rootSpace H β
hyz : ⁅y, z⁆ ∈ rootSpace H (α + β)
⊢ (α + β) x' • ⁅y, z⁆ = ⁅α x' • y, z⁆ + ⁅y, β x' • z⁆