Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.Monoidal.Basic

Goal state before:
pp: case e'_2.e'_7.e'_4
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝³ : Category.{v_2, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝² : MonoidalCategory C
inst✝¹ : W.IsMonoidal
inst✝ : L.IsLocalization W
unit : D
ε : L.obj (𝟙_ C) ≅ unit
X Y : LocalizedMonoidal L W ε
X' : C
e₁ : L'.obj X' ≅ X
Y' : C
e₂ : L'.obj Y' ≅ Y
h₁ :
  (α_ (L'.obj X') (L'.obj (𝟙_ C)) (L'.obj Y')).hom ≫
      L'.obj X' ◁ (μ L W ε (𝟙_ C) Y').hom ≫ (μ L W ε X' (𝟙_ C ⊗ Y')).hom =
    ((μ L W ε X' (𝟙_ C)).hom ⊗ₘ 𝟙 (L'.obj Y')) ≫ (μ L W ε (X' ⊗ 𝟙_ C) Y').hom ≫ L'.map (α_ X' (𝟙_ C) Y').hom
h₂ : (ε' L W ε).hom ▷ L'.obj Y' ≫ (λ_ (L'.obj Y')).hom = (μ L W ε (𝟙_ C) Y').hom ≫ L'.map (λ_ Y').hom
h₃ :
  ((e₁.inv ⊗ₘ ε.inv) ⊗ₘ e₂.inv) ≫
      (α_ (L'.obj X') (L'.obj (𝟙_ C)) (L'.obj Y')).hom ≫
        L'.obj X' ◁ ((ε' L W ε).hom ▷ L'.obj Y' ≫ 𝟙_ (LocalizedMonoidal L W ε) ◁ e₂.hom ≫ (λ_ Y).hom) ≫ e₁.hom ▷ Y =
    ((e₁.inv ⊗ₘ ε.inv) ⊗ₘ e₂.inv) ≫
      (L'.obj X' ⊗ L'.obj (𝟙_ C)) ◁ e₂.hom ≫ ((μ L W ε X' (𝟙_ C)).hom ≫ L'.map (ρ_ X').hom) ▷ Y ≫ e₁.hom ▷ Y
this :
  ((e₁.symm.hom ⊗ₘ ε.symm.hom) ⊗ₘ e₂.symm.hom) ≫
      (α_ (L'.obj X') (L.obj (𝟙_ C)) (L'.obj Y')).hom ≫ (e₁.symm.inv ⊗ₘ ε.symm.inv ⊗ₘ e₂.symm.inv) =
    (α_ X (𝟙_ (LocalizedMonoidal L W ε)) Y).hom
e_1✝¹ : ((X ⊗ 𝟙_ (LocalizedMonoidal L W ε)) ⊗ Y ⟶ X ⊗ Y) = ((X ⊗ unit) ⊗ Y ⟶ X ⊗ Y)
e_1✝ : L'.obj X' ⊗ L.obj (𝟙_ C) ⊗ L'.obj Y' = L'.obj X' ⊗ L'.obj (𝟙_ C) ⊗ L'.obj Y'
⊢ e₁.hom ⊗ₘ (ε.hom ⊗ₘ e₂.hom) ≫ (λ_ Y).hom =
    L'.obj X' ◁ ((ε' L W ε).hom ▷ L'.obj Y' ≫ 𝟙_ (LocalizedMonoidal L W ε) ◁ e₂.hom ≫ (λ_ Y).hom) ≫ e₁.hom ▷ Y

pp: case e'_3
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝³ : Category.{v_2, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝² : MonoidalCategory C
inst✝¹ : W.IsMonoidal
inst✝ : L.IsLocalization W
unit : D
ε : L.obj (𝟙_ C) ≅ unit
X Y : LocalizedMonoidal L W ε
X' : C
e₁ : L'.obj X' ≅ X
Y' : C
e₂ : L'.obj Y' ≅ Y
h₁ :
  (α_ (L'.obj X') (L'.obj (𝟙_ C)) (L'.obj Y')).hom ≫
      L'.obj X' ◁ (μ L W ε (𝟙_ C) Y').hom ≫ (μ L W ε X' (𝟙_ C ⊗ Y')).hom =
    ((μ L W ε X' (𝟙_ C)).hom ⊗ₘ 𝟙 (L'.obj Y')) ≫ (μ L W ε (X' ⊗ 𝟙_ C) Y').hom ≫ L'.map (α_ X' (𝟙_ C) Y').hom
h₂ : (ε' L W ε).hom ▷ L'.obj Y' ≫ (λ_ (L'.obj Y')).hom = (μ L W ε (𝟙_ C) Y').hom ≫ L'.map (λ_ Y').hom
h₃ :
  ((e₁.inv ⊗ₘ ε.inv) ⊗ₘ e₂.inv) ≫
      (α_ (L'.obj X') (L'.obj (𝟙_ C)) (L'.obj Y')).hom ≫
        L'.obj X' ◁ ((ε' L W ε).hom ▷ L'.obj Y' ≫ 𝟙_ (LocalizedMonoidal L W ε) ◁ e₂.hom ≫ (λ_ Y).hom) ≫ e₁.hom ▷ Y =
    ((e₁.inv ⊗ₘ ε.inv) ⊗ₘ e₂.inv) ≫
      (L'.obj X' ⊗ L'.obj (𝟙_ C)) ◁ e₂.hom ≫ ((μ L W ε X' (𝟙_ C)).hom ≫ L'.map (ρ_ X').hom) ▷ Y ≫ e₁.hom ▷ Y
this :
  ((e₁.symm.hom ⊗ₘ ε.symm.hom) ⊗ₘ e₂.symm.hom) ≫
      (α_ (L'.obj X') (L.obj (𝟙_ C)) (L'.obj Y')).hom ≫ (e₁.symm.inv ⊗ₘ ε.symm.inv ⊗ₘ e₂.symm.inv) =
    (α_ X (𝟙_ (LocalizedMonoidal L W ε)) Y).hom
e_1✝ : ((X ⊗ 𝟙_ (LocalizedMonoidal L W ε)) ⊗ Y ⟶ X ⊗ Y) = ((X ⊗ unit) ⊗ Y ⟶ X ⊗ Y)
⊢ (ρ_ X).hom ▷ Y =
    ((e₁.inv ⊗ₘ ε.inv) ⊗ₘ e₂.inv) ≫
      (L'.obj X' ⊗ L'.obj (𝟙_ C)) ◁ e₂.hom ≫ ((μ L W ε X' (𝟙_ C)).hom ≫ L'.map (ρ_ X').hom) ▷ Y ≫ e₁.hom ▷ Y

Tactic:
· exact triangle_aux₂ _ _ _ e₁ e₂

Goal state after:
case e'_3
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝³ : Category.{v_2, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝² : MonoidalCategory C
inst✝¹ : W.IsMonoidal
inst✝ : L.IsLocalization W
unit : D
ε : L.obj (𝟙_ C) ≅ unit
X Y : LocalizedMonoidal L W ε
X' : C
e₁ : L'.obj X' ≅ X
Y' : C
e₂ : L'.obj Y' ≅ Y
h₁ :
  (α_ (L'.obj X') (L'.obj (𝟙_ C)) (L'.obj Y')).hom ≫
      L'.obj X' ◁ (μ L W ε (𝟙_ C) Y').hom ≫ (μ L W ε X' (𝟙_ C ⊗ Y')).hom =
    ((μ L W ε X' (𝟙_ C)).hom ⊗ₘ 𝟙 (L'.obj Y')) ≫ (μ L W ε (X' ⊗ 𝟙_ C) Y').hom ≫ L'.map (α_ X' (𝟙_ C) Y').hom
h₂ : (ε' L W ε).hom ▷ L'.obj Y' ≫ (λ_ (L'.obj Y')).hom = (μ L W ε (𝟙_ C) Y').hom ≫ L'.map (λ_ Y').hom
h₃ :
  ((e₁.inv ⊗ₘ ε.inv) ⊗ₘ e₂.inv) ≫
      (α_ (L'.obj X') (L'.obj (𝟙_ C)) (L'.obj Y')).hom ≫
        L'.obj X' ◁ ((ε' L W ε).hom ▷ L'.obj Y' ≫ 𝟙_ (LocalizedMonoidal L W ε) ◁ e₂.hom ≫ (λ_ Y).hom) ≫ e₁.hom ▷ Y =
    ((e₁.inv ⊗ₘ ε.inv) ⊗ₘ e₂.inv) ≫
      (L'.obj X' ⊗ L'.obj (𝟙_ C)) ◁ e₂.hom ≫ ((μ L W ε X' (𝟙_ C)).hom ≫ L'.map (ρ_ X').hom) ▷ Y ≫ e₁.hom ▷ Y
this :
  ((e₁.symm.hom ⊗ₘ ε.symm.hom) ⊗ₘ e₂.symm.hom) ≫
      (α_ (L'.obj X') (L.obj (𝟙_ C)) (L'.obj Y')).hom ≫ (e₁.symm.inv ⊗ₘ ε.symm.inv ⊗ₘ e₂.symm.inv) =
    (α_ X (𝟙_ (LocalizedMonoidal L W ε)) Y).hom
e_1✝ : ((X ⊗ 𝟙_ (LocalizedMonoidal L W ε)) ⊗ Y ⟶ X ⊗ Y) = ((X ⊗ unit) ⊗ Y ⟶ X ⊗ Y)
⊢ (ρ_ X).hom ▷ Y =
    ((e₁.inv ⊗ₘ ε.inv) ⊗ₘ e₂.inv) ≫
      (L'.obj X' ⊗ L'.obj (𝟙_ C)) ◁ e₂.hom ≫ ((μ L W ε X' (𝟙_ C)).hom ≫ L'.map (ρ_ X').hom) ▷ Y ≫ e₁.hom ▷ Y