mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: case inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : FaithfulSMul S R
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower S R M
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
hij : P.pairingIn S i j ≠ 0
hji : P.pairingIn S j i ≠ 0
⊢ P.pairingIn S i j ≤ 0 ↔ P.pairingIn S j i ≤ 0

Tactic:
· rw [le_iff_eq_or_lt, le_iff_eq_or_lt, or_iff_right hij, or_iff_right hji]
    exact P.pairingIn_lt_zero_iff S

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsZero
⊢ β 0 = ↑(↑0 - 2 * ↑0)

Tactic:
map_zero,

Goal state after:
case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsZero
⊢ 0 = ↑(↑0 - 2 * ↑0)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case neg.a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
⊢ ¬chainLength α β - chainTopCoeff (⇑α) β < chainBotCoeff (⇑α) β

Tactic:
← Nat.succ_le_iff,

Goal state after:
case neg.a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
⊢ ¬(chainLength α β - chainTopCoeff (⇑α) β).succ ≤ chainBotCoeff (⇑α) β
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), Q₁ a + Q₂ b = 0 → (a, b) = 0
⊢ Q₁.Anisotropic ∧ Q₂.Anisotropic

Tactic:
Prod.mk_eq_zero

Goal state after:
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), Q₁ a + Q₂ b = 0 → a = 0 ∧ b = 0
⊢ Q₁.Anisotropic ∧ Q₂.Anisotropic
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Preorder P
inst✝ : AddLeftMono P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
⊢ ((∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x) → ∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ Q₁ a + Q₂ b

Tactic:
· rintro ⟨h₁, h₂⟩ x₁ x₂
    exact add_nonneg (h₁ x₁) (h₂ x₂)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : PartialOrder P
inst✝ : AddLeftMono P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
hle₁ : ∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x
ha₁ : Q₁.Anisotropic
hle₂ : ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x
ha₂ : Q₂.Anisotropic
x₁ : M₁
x₂ : M₂
hx : x₁ = 0 ∧ x₂ = 0
⊢ (x₁, x₂) = 0

Tactic:
Prod.mk_eq_zero

Goal state after:
case mpr
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : PartialOrder P
inst✝ : AddLeftMono P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
hle₁ : ∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x
ha₁ : Q₁.Anisotropic
hle₂ : ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x
ha₂ : Q₂.Anisotropic
x₁ : M₁
x₂ : M₂
hx : x₁ = 0 ∧ x₂ = 0
⊢ x₁ = 0 ∧ x₂ = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.WeylGroup

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
pred : (g : P.Aut) → g ∈ P.weylGroup → Prop
mem : ∀ (i : ι), pred (Equiv.reflection P i) ⋯
one : pred 1 ⋯
mul : ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ P.weylGroup) (hy : y ∈ P.weylGroup), pred x hx → pred y hy → pred (x * y) ⋯
x : P.Aut
hx : x ∈ P.weylGroup
pred' : (g : P.Aut) → g ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P)) → Prop := fun g hg ↦ pred g ⋯
⊢ x ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))

Tactic:
← weylGroup_toSubmonoid

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
pred : (g : P.Aut) → g ∈ P.weylGroup → Prop
mem : ∀ (i : ι), pred (Equiv.reflection P i) ⋯
one : pred 1 ⋯
mul : ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ P.weylGroup) (hy : y ∈ P.weylGroup), pred x hx → pred y hy → pred (x * y) ⋯
x : P.Aut
hx : x ∈ P.weylGroup
pred' : (g : P.Aut) → g ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P)) → Prop := fun g hg ↦ pred g ⋯
⊢ x ∈ P.weylGroup.toSubmonoid
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.WeylGroup

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
pred : (g : P.Aut) → g ∈ P.weylGroup → Prop
mem : ∀ (i : ι), pred (Equiv.reflection P i) ⋯
one : pred 1 ⋯
mul : ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ P.weylGroup) (hy : y ∈ P.weylGroup), pred x hx → pred y hy → pred (x * y) ⋯
x : P.Aut
hx : x ∈ P.weylGroup
pred' : (g : P.Aut) → g ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P)) → Prop := fun g hg ↦ pred g ⋯
hx' : x ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))
⊢ pred x hx

Tactic:
suffices pred' x hx' from this

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
pred : (g : P.Aut) → g ∈ P.weylGroup → Prop
mem : ∀ (i : ι), pred (Equiv.reflection P i) ⋯
one : pred 1 ⋯
mul : ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ P.weylGroup) (hy : y ∈ P.weylGroup), pred x hx → pred y hy → pred (x * y) ⋯
x : P.Aut
hx : x ∈ P.weylGroup
pred' : (g : P.Aut) → g ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P)) → Prop := fun g hg ↦ pred g ⋯
hx' : x ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))
⊢ pred' x hx'
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.WeylGroup

Goal state before:
pp: case mul
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
pred : (g : P.Aut) → g ∈ P.weylGroup → Prop
mem : ∀ (i : ι), pred (Equiv.reflection P i) ⋯
one : pred 1 ⋯
mul : ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ P.weylGroup) (hy : y ∈ P.weylGroup), pred x hx → pred y hy → pred (x * y) ⋯
x✝ : P.Aut
hx✝ : x✝ ∈ P.weylGroup
pred' : (g : P.Aut) → g ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P)) → Prop := fun g hg ↦ pred g ⋯
hx'✝ : x✝ ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))
x y : P.Aut
hx : x ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))
hy : y ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))
hx' : pred' x hx
hy' : pred' y hy
⊢ pred' (x * y) ⋯

Tactic:
← weylGroup_toSubmonoid

Goal state after:
case mul
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
pred : (g : P.Aut) → g ∈ P.weylGroup → Prop
mem : ∀ (i : ι), pred (Equiv.reflection P i) ⋯
one : pred 1 ⋯
mul : ∀ (x y : P.Aut) (hx : x ∈ P.weylGroup) (hy : y ∈ P.weylGroup), pred x hx → pred y hy → pred (x * y) ⋯
x✝ : P.Aut
hx✝¹ : x✝ ∈ P.weylGroup
pred' : (g : P.Aut) → g ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P)) → Prop := fun g hg ↦ pred g ⋯
hx'✝ : x✝ ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))
x y : P.Aut
hx✝ : x ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))
hx : x ∈ P.weylGroup.toSubmonoid
hy✝ : y ∈ Submonoid.closure (range (Equiv.reflection P))
hy : y ∈ P.weylGroup.toSubmonoid
hx' : pred' x hx✝
hy' : pred' y hy✝
⊢ pred' (x * y) ⋯
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.WeylGroup

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
⊢ ((Equiv.coweightHom P).domRestrict P.weylGroup).range = Subgroup.closure (range (MulOpposite.op ∘ P.coreflection))

Tactic:
by
  refine (Subgroup.closure_eq_of_le _ ?_ ?_).symm
  · rintro - ⟨i, rfl⟩
    simp only [MonoidHom.domRestrict_range, Subgroup.coe_map, mem_image,
      SetLike.mem_coe]
    use Equiv.reflection P i
    refine ⟨reflection_mem_weylGroup P i, by simp⟩
  · rintro fg ⟨⟨w, hw⟩, rfl⟩
    induction hw using Subgroup.closure_induction'' with
    | one =>
      change ((Equiv.coweightHom P).domRestrict P.weylGroup) 1 ∈ _
      simp only [map_one, one_mem]
    | mem w' hw' =>
      obtain ⟨i, rfl⟩ := hw'
      simp only [MonoidHom.domRestrict_apply, Equiv.coweightHom_apply,
        Equiv.reflection_coweightEquiv]
      simpa only [reflection_mem_weylGroup] using! Subgroup.subset_closure (mem_range_self i)
    | inv_mem w' hw' =>
      obtain ⟨i, rfl⟩ := hw'
      simp only [Equiv.reflection_inv, MonoidHom.domRestrict_apply, Equiv.coweightHom_apply,
        Equiv.reflection_coweightEquiv]
      simpa only [reflection_mem_weylGroup] using! Subgroup.subset_closure (mem_range_self i)
    | mul w₁ w₂ hw₁ hw₂ h₁ h₂ =>
      simpa only [← Submonoid.mk_mul_mk _ w₁ w₂ hw₁ hw₂, map_mul] using! Subgroup.mul_mem _ h₁ h₂

Goal state after:
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Submodule

Goal state before:
pp: k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
p : Submodule k V
⊢ p ∈ ρ.invtSubmodule ↔ ∀ (g : G), p ∈ Module.End.invtSubmodule (ρ g)

Tactic:
rw [invtSubmodule, Sublattice.mem_iInf]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
ι₁ : Type u_5
M₁ : Type u_6
N₁ : Type u_7
ι₂ : Type u_8
M₂ : Type u_9
N₂ : Type u_10
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
P₁ : RootPairing ι₁ R M₁ N₁
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
g : P₁.Hom P₂
f : P.Hom P₁
i : ι
⊢ ((⇑P₂.root ∘ ⇑g.indexEquiv) ∘ ⇑f.indexEquiv) i = (⇑P₂.root ∘ ⇑g.indexEquiv ∘ ⇑f.indexEquiv) i

Tactic:
comp_assoc

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
ι₁ : Type u_5
M₁ : Type u_6
N₁ : Type u_7
ι₂ : Type u_8
M₂ : Type u_9
N₂ : Type u_10
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
P₁ : RootPairing ι₁ R M₁ N₁
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
g : P₁.Hom P₂
f : P.Hom P₁
i : ι
⊢ (⇑P₂.root ∘ ⇑g.indexEquiv ∘ ⇑f.indexEquiv) i = (⇑P₂.root ∘ ⇑g.indexEquiv ∘ ⇑f.indexEquiv) i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
ι₁ : Type u_5
M₁ : Type u_6
N₁ : Type u_7
ι₂ : Type u_8
M₂ : Type u_9
N₂ : Type u_10
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
P₁ : RootPairing ι₁ R M₁ N₁
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
g : P₁.Hom P₂
f : P.Hom P₁
i : ι₂
⊢ ((⇑P.coroot ∘ ⇑f.indexEquiv.symm) ∘ ⇑g.indexEquiv.symm) i = (⇑P.coroot ∘ ⇑(f.indexEquiv.trans g.indexEquiv).symm) i

Tactic:
comp_assoc

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
ι₁ : Type u_5
M₁ : Type u_6
N₁ : Type u_7
ι₂ : Type u_8
M₂ : Type u_9
N₂ : Type u_10
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
P₁ : RootPairing ι₁ R M₁ N₁
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
g : P₁.Hom P₂
f : P.Hom P₁
i : ι₂
⊢ (⇑P.coroot ∘ ⇑f.indexEquiv.symm ∘ ⇑g.indexEquiv.symm) i = (⇑P.coroot ∘ ⇑(f.indexEquiv.trans g.indexEquiv).symm) i
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Submodule

Goal state before:
pp: k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
q : Submodule k[G] ρ.asModule
⊢ (Submodule.orderIsoMapComap ρ.asModuleEquiv.symm).symm (Submodule.restrictScalars k q) ∈ ρ.invtSubmodule

Tactic:
rw [invtSubmodule, Sublattice.mem_iInf]

Goal state after:
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
q : Submodule k[G] ρ.asModule
⊢ ∀ (i : G),
    (Submodule.orderIsoMapComap ρ.asModuleEquiv.symm).symm (Submodule.restrictScalars k q) ∈
      Module.End.invtSubmodule (ρ i)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
⊢ Function.Injective (coroot ∘ Subtype.val)

Tactic:
rintro ⟨α, hα⟩ ⟨β, hβ⟩ h

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ β✝ α : Weight K (↥H) L
hα : α ∈ LieSubalgebra.root
β : Weight K (↥H) L
hβ : β ∈ LieSubalgebra.root
h : (coroot ∘ Subtype.val) ⟨α, hα⟩ = (coroot ∘ Subtype.val) ⟨β, hβ⟩
⊢ ⟨α, hα⟩ = ⟨β, hβ⟩
Module: Mathlib.Order.Interval.Set.OrdConnectedLinear

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
I : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h' : I.OrdConnected
x : α
hx : x ∈ I
y : α
hy : y ∈ I
hxy : Ioo x y ⊆ Iᶜ
z : α
hz : x < z
⊢ z ∉ Ioo x y

Tactic:
exact fun contra ↦ hxy contra <| h'.out hx hy <| mem_Icc_of_Ioo contra

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
K : Type u_5
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NeZero 2
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝ : P.IsRootSystem
q : Submodule K M
h₀ : q ≠ ⊥
h₁ : ∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)
h₂ : ∀ (Φ : Set ι), Φ.Nonempty → ⇑P.root '' Φ ⊆ ↑q → (∀ i ∉ Φ, q ≤ ker (P.coroot' i)) → Φ = univ
b : ∀ i ∈ ∅, ¬Disjoint q (K ∙ P.root i)
c : q ≤ ⨅ i, ker (P.coroot' i)
⊢ q = ⊤

Tactic:
simp [h₀, ← P.corootSpan_dualAnnihilator_map_eq_iInf_ker_coroot'] at c

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁸ : Finite ι
S : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : LinearOrder S
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
i j : ι
this : Fintype ι
ri : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root i, ⋯⟩
rj : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root j, ⋯⟩
li : S := (P.posRootForm S).rootLength i
lj : S := (P.posRootForm S).rootLength j
lij : S := ((P.posRootForm S).posForm ri) rj
si : S
hsi : li > 0
sj : S
hsj : lj > 0
hsi' : si = li
hsj' : sj = lj
cs : P.coxeterWeightIn S i j * (li * lj) ≤ 4 * (li * lj)
key : 4 * lij ^ 2 = P.coxeterWeightIn S i j * (li * lj)
⊢ 0 < li * lj

Tactic:
by positivity

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsAddTorsionFree M
inst✝ : IsAddTorsionFree N
i : ι
h : i ∈ b.support
t : R
j : ι
hj : P.root j = t • P.root i
this : ∃ c, ∑ i, c i • P.coroot ↑i = P.coroot j
f : ↥b.support → ℤ
hf : ∑ i, f i • P.coroot ↑i = P.coroot j
⊢ P.coroot i = t • ∑ x, f x • P.coroot ↑x

Tactic:
hf,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsAddTorsionFree M
inst✝ : IsAddTorsionFree N
i : ι
h : i ∈ b.support
t : R
j : ι
hj : P.root j = t • P.root i
this : ∃ c, ∑ i, c i • P.coroot ↑i = P.coroot j
f : ↥b.support → ℤ
hf : ∑ i, f i • P.coroot ↑i = P.coroot j
⊢ P.coroot i = t • P.coroot j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : (algebraMap ℤ R) (P.coxeterWeightIn ℤ i j) = (algebraMap ℤ R) 0
⊢ P.pairingIn ℤ i j = 0

Tactic:
map_zero,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : (algebraMap ℤ R) (P.coxeterWeightIn ℤ i j) = 0
⊢ P.pairingIn ℤ i j = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ Icc (-↑(chainTopCoeff i j)) ↑(chainBotCoeff i j) = Icc (-↑(chainBotCoeff (-i) j)) ↑(chainTopCoeff (-i) j)

pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ Icc (-↑(chainTopCoeff i j)) ↑(chainBotCoeff i j) = Icc (-↑(chainBotCoeff (-i) j)) ↑(chainTopCoeff (-i) j)

Tactic:
· have h' : LinearIndependent R ![P.root (-i), P.root j] := by simpa
    ext z
    rw [← P.root_add_zsmul_mem_range_iff h', indexNeg_neg, root_reflectionPerm, mem_Icc,
      reflection_apply_self, smul_neg, ← neg_smul, P.root_add_zsmul_mem_range_iff h, mem_Icc]
    grind

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ Icc (-↑(chainTopCoeff i j)) ↑(chainBotCoeff i j) = Icc (-↑(chainBotCoeff (-i) j)) ↑(chainTopCoeff (-i) j)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : P.IsReduced
B : P.InvariantForm
inst✝¹ : P.IsIrreducible
inst✝ : Nonempty ι
i : ι
h : ∃ j, (B.form (P.root j)) (P.root j) ≠ (B.form (P.root i)) (P.root i)
⊢ ∃ i j,
    ∀ (k : ι),
      (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root i)) (P.root i) ∨
        (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root j)) (P.root j)

Tactic:
obtain ⟨j, hji_ne⟩ := h

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : P.IsReduced
B : P.InvariantForm
inst✝¹ : P.IsIrreducible
inst✝ : Nonempty ι
i j : ι
hji_ne : (B.form (P.root j)) (P.root j) ≠ (B.form (P.root i)) (P.root i)
⊢ ∃ i j,
    ∀ (k : ι),
      (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root i)) (P.root i) ∨
        (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root j)) (P.root j)