Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.FiveWheelLike

Goal state before:
pp: case h5
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hxv : v ≠ x
hxw₁ : w₁ ≠ x
hxw₂ : w₂ ≠ x
wa : ∀ ⦃w : α⦄, w ∈ W → w ≠ a → w ≠ b → G.Adj w x
h1s : insert w₁ s ⊆ W
h2t : insert w₂ t ⊆ W
⊢ G.IsNClique (r + 1) (insert v (insert x (s.erase a)))

pp: case h6
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hxv : v ≠ x
hxw₁ : w₁ ≠ x
hxw₂ : w₂ ≠ x
wa : ∀ ⦃w : α⦄, w ∈ W → w ≠ a → w ≠ b → G.Adj w x
h1s : insert w₁ s ⊆ W
h2t : insert w₂ t ⊆ W
⊢ G.IsNClique (r + 1) (insert w₁ (insert x (s.erase a)))

pp: case h7
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hxv : v ≠ x
hxw₁ : w₁ ≠ x
hxw₂ : w₂ ≠ x
wa : ∀ ⦃w : α⦄, w ∈ W → w ≠ a → w ≠ b → G.Adj w x
h1s : insert w₁ s ⊆ W
h2t : insert w₂ t ⊆ W
⊢ G.IsNClique (r + 1) (insert v (insert x (t.erase b)))

pp: case h8
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hxv : v ≠ x
hxw₁ : w₁ ≠ x
hxw₂ : w₂ ≠ x
wa : ∀ ⦃w : α⦄, w ∈ W → w ≠ a → w ≠ b → G.Adj w x
h1s : insert w₁ s ⊆ W
h2t : insert w₂ t ⊆ W
⊢ G.IsNClique (r + 1) (insert w₂ (insert x (t.erase b)))

pp: case h9
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hxv : v ≠ x
hxw₁ : w₁ ≠ x
hxw₂ : w₂ ≠ x
wa : ∀ ⦃w : α⦄, w ∈ W → w ≠ a → w ≠ b → G.Adj w x
h1s : insert w₁ s ⊆ W
h2t : insert w₂ t ⊆ W
⊢ #(insert x (s.erase a) ∩ insert x (t.erase b)) = k + 1

Tactic:
case h5 => exact hw.isNClique_left.insert_insert_erase has hw.notMem_left fun _ hz hZ ↦
               wa ((insert_subset_insert _ fun _ hx ↦ (by simp [hx])) hz) hZ
                 fun h ↦ hbv <| (mem_insert.1 (h ▸ hz)).resolve_right hbs

Goal state after:
case h6
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hxv : v ≠ x
hxw₁ : w₁ ≠ x
hxw₂ : w₂ ≠ x
wa : ∀ ⦃w : α⦄, w ∈ W → w ≠ a → w ≠ b → G.Adj w x
h1s : insert w₁ s ⊆ W
h2t : insert w₂ t ⊆ W
⊢ G.IsNClique (r + 1) (insert w₁ (insert x (s.erase a)))

case h7
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hxv : v ≠ x
hxw₁ : w₁ ≠ x
hxw₂ : w₂ ≠ x
wa : ∀ ⦃w : α⦄, w ∈ W → w ≠ a → w ≠ b → G.Adj w x
h1s : insert w₁ s ⊆ W
h2t : insert w₂ t ⊆ W
⊢ G.IsNClique (r + 1) (insert v (insert x (t.erase b)))

case h8
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hxv : v ≠ x
hxw₁ : w₁ ≠ x
hxw₂ : w₂ ≠ x
wa : ∀ ⦃w : α⦄, w ∈ W → w ≠ a → w ≠ b → G.Adj w x
h1s : insert w₁ s ⊆ W
h2t : insert w₂ t ⊆ W
⊢ G.IsNClique (r + 1) (insert w₂ (insert x (t.erase b)))

case h9
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hxv : v ≠ x
hxw₁ : w₁ ≠ x
hxw₂ : w₂ ≠ x
wa : ∀ ⦃w : α⦄, w ∈ W → w ≠ a → w ≠ b → G.Adj w x
h1s : insert w₁ s ⊆ W
h2t : insert w₂ t ⊆ W
⊢ #(insert x (s.erase a) ∩ insert x (t.erase b)) = k + 1