mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.AdjoinRoot

Goal state before:
pp: case refine_2.h1
K : Type u_5
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f ≠ 0
f'_monic : (f * C f.leadingCoeff⁻¹).Monic
q : K[X]
q_monic : q.Monic
q_aeval : (aeval (root f)) q = 0
commutes : (lift (algebraMap K (AdjoinRoot f)) (root f) q_aeval).comp (mk q) = mk f
⊢ f ∣ q

pp: case h2
K : Type u_5
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f ≠ 0
f'_monic : (f * C f.leadingCoeff⁻¹).Monic
q : K[X]
q_monic : q.Monic
q_aeval : (aeval (root f)) q = 0
commutes : (lift (algebraMap K (AdjoinRoot f)) (root f) q_aeval).comp (mk q) = mk f
⊢ q ≠ 0

Tactic:
· have : mk f q = 0 := by rw [← commutes, RingHom.comp_apply, mk_self, map_zero]
      exact mk_eq_zero.1 this

Goal state after:
case h2
K : Type u_5
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f ≠ 0
f'_monic : (f * C f.leadingCoeff⁻¹).Monic
q : K[X]
q_monic : q.Monic
q_aeval : (aeval (root f)) q = 0
commutes : (lift (algebraMap K (AdjoinRoot f)) (root f) q_aeval).comp (mk q) = mk f
⊢ q ≠ 0
Module: Mathlib.RingTheory.AdjoinRoot

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
U : Type u_4
K : Type u_5
L : Type u_6
F : Type u_7
inst✝³ : Field F
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra F L
f : F[X]
hf : f ≠ 0
x : L
⊢ x ∈ (minpoly F (root f)).aroots L ↔ (Equiv.refl L) x ∈ f.aroots L

Tactic:
minpoly_root hf,

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
U : Type u_4
K : Type u_5
L : Type u_6
F : Type u_7
inst✝³ : Field F
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra F L
f : F[X]
hf : f ≠ 0
x : L
⊢ x ∈ (f * C f.leadingCoeff⁻¹).aroots L ↔ (Equiv.refl L) x ∈ f.aroots L
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
m : M
⊢ (toModuleHom R L M) (x ⊗ₜ[R] m) = ⁅x, m⁆

Tactic:
by
  simp only [toModuleHom, TensorProduct.LieModule.liftLie_apply, LieModuleHom.coe_mk,
    LieHom.coe_toLinearMap, toEnd_apply_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y : L ⧸ I
⊢ L ⧸ I

Tactic:
apply Quotient.liftOn₂' x y fun x' y' => mk ⁅x', y'⁆

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y : L ⧸ I
⊢ ∀ (a₁ a₂ b₁ b₂ : L), (↑I).quotientRel a₁ b₁ → (↑I).quotientRel a₂ b₂ → mk ⁅a₁, a₂⁆ = mk ⁅b₁, b₂⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
n : ℕ
ih : derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤
⊢ ⁅derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤, derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤⁆ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤

Tactic:
refine ⟨fun h ↦ ?_, fun h ↦ by rwa [ih.mpr h]⟩

Goal state after:
case succ
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
n : ℕ
ih : derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤
h : ⁅derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤, derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤⁆ = ⊤
⊢ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Normalizer

Goal state before:
pp: case refine_1.mk
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
h : H.normalizer = H
m✝ : L ⧸ H.toLieSubmodule
x : L
hx : Quot.mk (⇑(↑H.toLieSubmodule).quotientRel) x ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R (↥H) (L ⧸ H.toLieSubmodule)
⊢ Quot.mk (⇑(↑H.toLieSubmodule).quotientRel) x = 0

Tactic:
suffices x ∈ H by rwa [Submodule.Quotient.quot_mk_eq_mk, Submodule.Quotient.mk_eq_zero,
      coe_toLieSubmodule, mem_toSubmodule]

Goal state after:
case refine_1.mk
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
h : H.normalizer = H
m✝ : L ⧸ H.toLieSubmodule
x : L
hx : Quot.mk (⇑(↑H.toLieSubmodule).quotientRel) x ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R (↥H) (L ⧸ H.toLieSubmodule)
⊢ x ∈ H
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent L M
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M k = ⊥
x : L
m : M
⊢ ((toEnd R L M) x ^ k) m = 0 m

Tactic:
Module.End.pow_apply,

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent L M
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M k = ⊥
x : L
m : M
⊢ (⇑((toEnd R L M) x))^[k] m = 0 m
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent L M
x y : L
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M (2 * k) = ⊥
m : M
⊢ (((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y) ^ k) m = 0 m

Tactic:
Module.End.pow_apply,

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent L M
x y : L
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M (2 * k) = ⊥
m : M
⊢ (⇑((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y))^[k] m = 0 m
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Engel

Goal state before:
pp: R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
L' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range
h : ∀ (y : ↥L'), IsNilpotent ↑y
s : Set (LieSubalgebra R ↥L') := {K | IsEngelian R ↥K}
hs : s.Nonempty
K : LieSubalgebra R ↥L'
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K ≠ ⊤
this : Nontrivial (↥L' ⧸ K.toLieSubmodule)
x : ↥K
hx : IsNilpotent ((ad R ↥L') ↑x)
⊢ IsNilpotent ((toEnd R (↥K) (↥L' ⧸ K.toLieSubmodule)) x)

Tactic:
apply Module.End.IsNilpotent.mapQ ?_ hx

Goal state after:
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
L' : LieSubalgebra R (Module.End R M) := (toEnd R L M).range
h : ∀ (y : ↥L'), IsNilpotent ↑y
s : Set (LieSubalgebra R ↥L') := {K | IsEngelian R ↥K}
hs : s.Nonempty
K : LieSubalgebra R ↥L'
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K ≠ ⊤
this : Nontrivial (↥L' ⧸ K.toLieSubmodule)
x : ↥K
hx : IsNilpotent ((ad R ↥L') ↑x)
⊢ ↑K.toLieSubmodule ≤ Submodule.comap ((ad R ↥L') ↑x) ↑K.toLieSubmodule
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case e'_1.e'_3.e'_10
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
⊢ k = 0 + k

Tactic:
rw [zero_add]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁴ : LieRing L₂
inst✝³ : LieAlgebra R L₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : LieRingModule L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
⊢ Submodule.map g ↑(lowerCentralSeries R L M 0) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ 0)

Tactic:
simp [Submodule.map_top]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁴ : LieRing L₂
inst✝³ : LieAlgebra R L₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : LieRingModule L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
k : ℕ
⊢ Submodule.map g ↑(lowerCentralSeries R L M k) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k)

Tactic:
by
  induction k with
  | zero =>
    simp [Submodule.map_top]
  | succ k ih =>
    rw [lowerCentralSeries_succ, LieSubmodule.lieIdeal_oper_eq_linear_span', Submodule.map_span,
      Submodule.span_le]
    rintro m₂ ⟨m, ⟨x, n, m_n, ⟨h₁, h₂⟩⟩, rfl⟩
    simp only [lowerCentralSeries_succ, SetLike.mem_coe, LieSubmodule.mem_toSubmodule]
    have : ∃ y : L₂, ∃ n : lowerCentralSeries R L₂ M₂ k, ⁅y, n⁆ = g m := by
      use f x, ⟨g m_n, ih (Submodule.mem_map_of_mem h₁)⟩
      simp [hfg x m_n, h₂]
    obtain ⟨y, n, hn⟩ := this
    rw [← hn]
    apply LieSubmodule.lie_mem_lie
    · simp
    · exact SetLike.coe_mem n

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Algebraic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
F E : IntermediateField K L
inst✝ : FiniteDimensional (↥F) L
h_le : F ≤ E
h_finrank : finrank (↥F) L ≤ finrank (↥E) L
⊢ F = E

Tactic:
by
  refine le_antisymm h_le (fun l hl ↦ ?_)
  rwa [← mem_extendScalars (le_refl F), eq_of_le_of_finrank_le''
    ((extendScalars_le_extendScalars_iff (le_refl F) h_le).2 h_le) h_finrank, mem_extendScalars]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Normal.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁶ : Field F
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹³ : Field K₁
inst✝¹² : Field K₂
inst✝¹¹ : Field K₃
inst✝¹⁰ : Algebra F K₁
inst✝⁹ : Algebra F K₂
inst✝⁸ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
inst✝⁵ : Algebra E K₁
inst✝⁴ : Algebra E K₂
inst✝³ : Algebra E K₃
inst✝² : IsScalarTower F E K₁
inst✝¹ : IsScalarTower F E K₂
inst✝ : IsScalarTower F E K₃
h : Normal F E
x : ↥(toAlgHom F E K₁).range
this : Subalgebra.map ϕ (toAlgHom F E K₁).range ≤ ?m.176
⊢ ϕ ↑x ∈ (toAlgHom F E K₂).range

Tactic:
by exact this ⟨x, Subtype.mem x, rfl⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Fixed

Goal state before:
pp: case intro.right
G : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction G F
inst✝¹ : Finite G
inst✝ : FaithfulSMul G F
val✝ : Fintype G
⊢ Fintype.card G = Fintype.card (F →ₐ[↥(subfield G F)] F)

Tactic:
apply le_antisymm
    · exact Fintype.card_le_of_injective _ (MulSemiringAction.toAlgHom_injective _ F)
    · rw [← finrank_eq_card G F]
      exact LE.le.trans_eq (finrank_algHom _ F) (finrank_linearMap_self _ _ _)

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Algebra

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : IntermediateField F E
h : S.FG
⊢ S.FG

Tactic:
obtain ⟨t, ht⟩ := h
  exact ⟨t, (eq_adjoin_of_eq_algebra_adjoin _ _ _ ht.symm).symm⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
k : Type u
inst✝³ : Field k
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : Algebra k K
p q : k[X]
h : ∀ (a : K), (aeval a) p ≠ 0 ∨ (aeval a) q ≠ 0
⊢ ¬(p = 0 ∧ q = 0)

pp: case refine_2
k : Type u
inst✝³ : Field k
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : Algebra k K
p q : k[X]
h : ∀ (a : K), (aeval a) p ≠ 0 ∨ (aeval a) q ≠ 0
x : k[X]
hu : x ∈ nonunits k[X]
h0 : x ≠ 0
⊢ x ∣ p → ¬x ∣ q

Tactic:
· replace h := h 0
    contrapose! h
    rw [h.left, h.right, map_zero, and_self]

Goal state after:
case refine_2
k : Type u
inst✝³ : Field k
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : Algebra k K
p q : k[X]
h : ∀ (a : K), (aeval a) p ≠ 0 ∨ (aeval a) q ≠ 0
x : k[X]
hu : x ∈ nonunits k[X]
h0 : x ≠ 0
⊢ x ∣ p → ¬x ∣ q
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
L₁ L₂ : Lifts F E K
c : Set (Lifts F E K)
hc✝ : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
t : ↑(insert ⊥ c) → IntermediateField F E := fun i ↦ (↑i).carrier
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (insert ⊥ c)
dir : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) t
i j : ↑(insert ⊥ c)
h : (t i).toSubalgebra ≤ (t j).toSubalgebra
x : ↥(↑i).carrier
hji : ↑j ≤ ↑i
⊢ (↑i).emb x = ((↑j).emb.comp (Subalgebra.inclusion h)) x

Tactic:
by
      rw [AlgHom.comp_apply, ← inclusion]
      dsimp only [coe_type_toSubalgebra]
      rw [← hji.snd (inclusion h x), inclusion_inclusion, inclusion_self, AlgHom.id_apply x]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
h : ∀ (S : Finset E), ∃ σ, ↑S ⊆ ↑σ.carrier
⊢ Nonempty (E →ₐ[F] K)

Tactic:
have : (⊥ : Lifts F E K).IsExtendible := fun S ↦ have ⟨σ, hσ⟩ := h S; ⟨σ, bot_le, hσ⟩

Goal state after:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
h : ∀ (S : Finset E), ∃ σ, ↑S ⊆ ↑σ.carrier
this : ⊥.IsExtendible
⊢ Nonempty (E →ₐ[F] K)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Pi

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ι → End R M
μ : ι → R
i : ι
h✝ : ∀ (j : ι), MapsTo ⇑(f j) ↑((f i).maxGenEigenspace (μ i)) ↑((f i).maxGenEigenspace (μ i))
this✝ : Nonempty ι
p : Submodule R M := (f i).maxGenEigenspace (μ i)
h : ∀ (j : ι), MapsTo ⇑(f j) ↑p ↑p
this : ⨅ j, (f j).maxGenEigenspace (μ j) = p ⊓ ⨅ j, (f j).maxGenEigenspace (μ j)
x✝ : ι
| p ⊓ (f x✝).maxGenEigenspace (μ x✝)

Tactic:
rw [p.inf_genEigenspace (f _) (h _)]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : ι → End R M
μ : ι → R
i : ι
h✝ : ∀ (j : ι), MapsTo ⇑(f j) ↑((f i).maxGenEigenspace (μ i)) ↑((f i).maxGenEigenspace (μ i))
this✝ : Nonempty ι
p : Submodule R M := (f i).maxGenEigenspace (μ i)
h : ∀ (j : ι), MapsTo ⇑(f j) ↑p ↑p
this : ⨅ j, (f j).maxGenEigenspace (μ j) = p ⊓ ⨅ j, (f j).maxGenEigenspace (μ j)
x✝ : ι
| Submodule.map p.subtype ((genEigenspace (LinearMap.restrict (f x✝) ⋯) (μ x✝)) ⊤)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: case right.refine_1
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : IsIntegral F α
f : AdjoinRoot (minpoly F α) →+* ↥F⟮α⟯ := AdjoinRoot.lift (↑(Algebra.ofId F ↥F⟮α⟯)) (AdjoinSimple.gen F α) ⋯
this : Fact (Irreducible (minpoly F α))
x : E
y : F
hy : (algebraMap F E) y = x
⊢ F⟮α⟯.toSubfield.subtype (f ((AdjoinRoot.of (minpoly F α)) y)) = x

Tactic:
dsimp only [coe_type_toSubfield]

Goal state after:
case right.refine_1
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : IsIntegral F α
f : AdjoinRoot (minpoly F α) →+* ↥F⟮α⟯ := AdjoinRoot.lift (↑(Algebra.ofId F ↥F⟮α⟯)) (AdjoinSimple.gen F α) ⋯
this : Fact (Irreducible (minpoly F α))
x : E
y : F
hy : (algebraMap F E) y = x
⊢ F⟮α⟯.toSubfield.subtype (f ((AdjoinRoot.of (minpoly F α)) y)) = x
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: case right.refine_2
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : IsIntegral F α
f : AdjoinRoot (minpoly F α) →+* ↥F⟮α⟯ := AdjoinRoot.lift (↑(Algebra.ofId F ↥F⟮α⟯)) (AdjoinSimple.gen F α) ⋯
this : Fact (Irreducible (minpoly F α))
⊢ F⟮α⟯.toSubfield.subtype (f (AdjoinRoot.root (minpoly F α))) = α

Tactic:
dsimp only [coe_type_toSubfield]

Goal state after:
case right.refine_2
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : IsIntegral F α
f : AdjoinRoot (minpoly F α) →+* ↥F⟮α⟯ := AdjoinRoot.lift (↑(Algebra.ofId F ↥F⟮α⟯)) (AdjoinSimple.gen F α) ⋯
this : Fact (Irreducible (minpoly F α))
⊢ F⟮α⟯.toSubfield.subtype (f (AdjoinRoot.root (minpoly F α))) = α
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
h : ∀ (S : Finset E), ∃ σ, ↑S ⊆ ↑σ.carrier
this✝¹ : ⊥.IsExtendible
ϕ : Lifts F E K
hϕ : Maximal (fun x ↦ x ∈ {ϕ | ϕ.IsExtendible}) ϕ
this✝ : ϕ.carrier ≠ ⊤
α : E
hα : α ∉ ϕ.carrier
x✝ : Algebra (↥ϕ.carrier) K := ϕ.emb.toAlgebra
Λ : Type (max u_2 u_3) := ↥(↥ϕ.carrier)⟮α⟯ →ₐ[↥ϕ.carrier] K
this : FiniteDimensional ↥ϕ.carrier ↥(↥ϕ.carrier)⟮α⟯
L : Λ → Lifts F E K := fun σ ↦ { carrier := restrictScalars F (↥ϕ.carrier)⟮α⟯, emb := AlgHom.restrictScalars F σ }
hL : ∀ (σ : Λ), ϕ < L σ
ϕ_ext : ϕ.IsExtendible
ϕ_max : ∀ ⦃y : Lifts F E K⦄, ϕ < y → ∃ S, ∀ τ ≥ y, ¬↑S ⊆ ↑τ.carrier
S : Λ → Finset E
hS : ∀ (σ : Λ), ∀ τ ≥ L σ, ¬↑(S σ) ⊆ ↑τ.carrier
⊢ False

Tactic:
classical
  have ⟨θ, hθϕ, hθ⟩ := ϕ_ext ({α} ∪ Finset.univ.biUnion S)
  simp_rw [Finset.coe_union, Set.union_subset_iff, Finset.coe_singleton, Set.singleton_subset_iff,
    Finset.coe_biUnion, Finset.coe_univ, Set.mem_univ, Set.iUnion_true, Set.iUnion_subset_iff] at hθ
  have : ϕ.carrier⟮α⟯.restrictScalars F ≤ θ.carrier := by
    rw [restrictScalars_adjoin_eq_sup, sup_le_iff, adjoin_simple_le_iff]; exact ⟨hθϕ.1, hθ.1⟩
  exact hS ⟨(θ.emb.comp <| inclusion this).toRingHom, hθϕ.2⟩ θ ⟨this, fun _ ↦ rfl⟩ (hθ.2 _)

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
⊢ ∃ x, x ∉ L

Tactic:
contrapose! hnfd

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
hnfd : ∀ (x : E), x ∈ L
⊢ FiniteDimensional F E
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: case succ
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
x : E
hx : x ∉ L
L' : IntermediateField F E := L ⊔ F⟮x⟯
this : FiniteDimensional F ↥F⟮x⟯
h : ¬n + 1 < finrank F ↥L'
h1 : L = L'
⊢ False

Tactic:
have h2 : F⟮x⟯ ≤ L' := le_sup_right

Goal state after:
case succ
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
x : E
hx : x ∉ L
L' : IntermediateField F E := L ⊔ F⟮x⟯
this : FiniteDimensional F ↥F⟮x⟯
h : ¬n + 1 < finrank F ↥L'
h1 : L = L'
h2 : F⟮x⟯ ≤ L'
⊢ False
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝² : Field K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
f : K[X]
hi : Irreducible f
hs : (Polynomial.map (algebraMap K L) f).Splits
this : (Polynomial.map (algebraMap K L) f).degree ≠ 0
x : L
hx : eval x (Polynomial.map (algebraMap K L) f) = 0
⊢ f.natDegree ∣ finrank K L

Tactic:
rw [eval_map_algebraMap] at hx

Goal state after:
K : Type u
inst✝² : Field K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
f : K[X]
hi : Irreducible f
hs : (Polynomial.map (algebraMap K L) f).Splits
this : (Polynomial.map (algebraMap K L) f).degree ≠ 0
x : L
hx : (aeval x) f = 0
⊢ f.natDegree ∣ finrank K L
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
⊢ ∀ (x : ↥⊥), IsAlgebraic K x

Tactic:
intro ⟨x, hx⟩

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x : L
hx : x ∈ ⊥
⊢ IsAlgebraic K ⟨x, hx⟩
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg :
  ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E),
    minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := ⋯
this : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := ⋯
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree
key₂ :
  Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K ((aeval (root p)) g)) =
    minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)
⊢ finrank (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) Kx = (minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)).natDegree

Tactic:
have : K⟮aeval (root p) g⟯⟮root p⟯ = ⊤ := by
        apply restrictScalars_injective K
        rw [restrictScalars_top, adjoin_adjoin_left, Set.union_comm, ← adjoin_adjoin_left,
          adjoin_root_eq_top p, restrictScalars_adjoin]
        simp
      rw [← finrank_top', ← this, adjoin.finrank]
      exact IsIntegral.of_finite _ _

Goal state after: