mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalInvariantProperties

Goal state before:
pp: H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
f : M → M'
⊢ LiftPropWithinAt P f s x ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧
      P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm)
        ((chartAt H x).target ∩ ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (chartAt H' (f x)).source)) (↑(chartAt H x) x)

Tactic:
by
  rw [liftPropWithinAt_iff']
  refine and_congr_right fun hf ↦ hG.congr_set ?_
  exact OpenPartialHomeomorph.preimage_eventuallyEq_target_inter_preimage_inter hf
    (mem_chart_source H x) (chart_source_mem_nhds H' (f x))

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalInvariantProperties

Goal state before:
pp: case hu.refine_2
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : TopologicalSpace H'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e : OpenPartialHomeomorph M H
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
y : H
hy : y ∈ ↑e.symm ⁻¹' (chartAt H x).source
⊢ ↑(chartAt H x).symm ((↑(chartAt H x) ∘ ↑e.symm) y) ∈ s ↔ ↑e.symm y ∈ s

Tactic:
Function.comp_apply,

Goal state after:
case hu.refine_2
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : TopologicalSpace H'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e : OpenPartialHomeomorph M H
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
y : H
hy : y ∈ ↑e.symm ⁻¹' (chartAt H x).source
⊢ ↑(chartAt H x).symm (↑(chartAt H x) (↑e.symm y)) ∈ s ↔ ↑e.symm y ∈ s
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalInvariantProperties

Goal state before:
pp: H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e : OpenPartialHomeomorph M H
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g : M → M'
s : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
⊢ P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔
    P (↑(chartAt H' ((g ∘ ↑e.symm) (↑e x))) ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)

Tactic:
Function.comp_apply,

Goal state after:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e : OpenPartialHomeomorph M H
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g : M → M'
s : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
⊢ P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔
    P (↑(chartAt H' (g (↑e.symm (↑e x)))) ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
h : IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ range ↑I ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (interior (range ↑I))

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
h : ¬IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ range ↑I ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (interior (range ↑I))

Tactic:
· let := h.rclike 𝕜
    let := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
    rw [Convex.closure_interior_eq_closure_of_nonempty_interior (𝕜 := ℝ)]
    · apply subset_closure
    · apply I.convex_range
    · apply I.nonempty_interior

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
h : ¬IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ range ↑I ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (interior (range ↑I))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
ι : Type v
inst✝³ : Fintype ι
E : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
H : ι → Type u'
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (H i)
I : (i : ι) → ModelWithCorners 𝕜 (E i) (H i)
⊢ (PartialEquiv.pi fun i ↦ (I i).toPartialEquiv).source = univ

Tactic:
simp only [pi_univ, mfld_simps]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalInvariantProperties

Goal state before:
pp: H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x
⊢ (↑(chartAt H' (g' x)) ∘ g' ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x) x) =
    (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x) x)

Tactic:
Function.comp_apply,

Goal state after:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x
⊢ ↑(chartAt H' (g' x)) (g' (↑(chartAt H x).symm (↑(chartAt H x) x))) =
    ↑(chartAt H' (g x)) (g (↑(chartAt H x).symm (↑(chartAt H x) x)))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: m n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
f : H✝ → H✝
u : Set H✝
x✝ : IsOpen[inst✝¹] u
H : ∀ x ∈ u, ∃ v, IsOpen[inst✝¹] v ∧ x ∈ v ∧ ContDiffOn 𝕜 n (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (u ∩ v) ∩ range ↑I)
y : E
hy1 : y ∈ ↑I.symm ⁻¹' u
hy2 : y ∈ range ↑I
⊢ ∃ u_1,
    IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u_1 ∧
      y ∈ u_1 ∧ ContDiffOn 𝕜 n (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' u ∩ range ↑I ∩ u_1)

Tactic:
rcases mem_range.1 hy2 with ⟨x, hx⟩

Goal state after:
m n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
f : H✝ → H✝
u : Set H✝
x✝ : IsOpen[inst✝¹] u
H : ∀ x ∈ u, ∃ v, IsOpen[inst✝¹] v ∧ x ∈ v ∧ ContDiffOn 𝕜 n (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (u ∩ v) ∩ range ↑I)
y : E
hy1 : y ∈ ↑I.symm ⁻¹' u
hy2 : y ∈ range ↑I
x : H✝
hx : ↑I x = y
⊢ ∃ u_1,
    IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u_1 ∧
      y ∈ u_1 ∧ ContDiffOn 𝕜 n (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' u ∩ range ↑I ∩ u_1)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalInvariantProperties

Goal state before:
pp: case refine_1
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
U V : Opens M
hUV : U ≤ V
f : ↥V → M'
x : ↥U
⊢ ContinuousAt f (inclusion hUV x) ↔ ContinuousAt (f ∘ inclusion hUV) x

Tactic:
(TopologicalSpace.Opens.isOpenEmbedding_of_le hUV).continuousAt_iff

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: case refine_2.hf
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
n : WithTop ℕ∞
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
inst✝ : ChartedSpace H M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ maximalAtlas I n M
he' : e' ∈ maximalAtlas I n M
x : E
φ : PartialEquiv E E := extendCoordChange e e'
hx : x ∈ φ.source
hφ : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ) φ.source
hφ' : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ.symm) φ.target
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑φ) φ.source x

pp: case refine_2.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
n : WithTop ℕ∞
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
inst✝ : ChartedSpace H M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ maximalAtlas I n M
he' : e' ∈ maximalAtlas I n M
x : E
φ : PartialEquiv E E := extendCoordChange e e'
hx : x ∈ φ.source
hφ : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ) φ.source
hφ' : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ.symm) φ.target
⊢ MapsTo (↑φ) φ.source φ.target

pp: case refine_2.hxs
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
n : WithTop ℕ∞
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
inst✝ : ChartedSpace H M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ maximalAtlas I n M
he' : e' ∈ maximalAtlas I n M
x : E
φ : PartialEquiv E E := extendCoordChange e e'
hx : x ∈ φ.source
hφ : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ) φ.source
hφ' : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ.symm) φ.target
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 φ.source x

Tactic:
· exact (hφ _ hx).differentiableWithinAt hn

Goal state after:
case refine_2.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
n : WithTop ℕ∞
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
inst✝ : ChartedSpace H M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ maximalAtlas I n M
he' : e' ∈ maximalAtlas I n M
x : E
φ : PartialEquiv E E := extendCoordChange e e'
hx : x ∈ φ.source
hφ : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ) φ.source
hφ' : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ.symm) φ.target
⊢ MapsTo (↑φ) φ.source φ.target

case refine_2.hxs
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
n : WithTop ℕ∞
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
inst✝ : ChartedSpace H M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ maximalAtlas I n M
he' : e' ∈ maximalAtlas I n M
x : E
φ : PartialEquiv E E := extendCoordChange e e'
hx : x ∈ φ.source
hφ : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ) φ.source
hφ' : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ.symm) φ.target
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 φ.source x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: m n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
f g : H → H
u : Set H
x✝ : IsOpen[inst✝¹] u
fg : ∀ x ∈ u, g x = f x
hf : ContDiffOn 𝕜 n (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' u ∩ range ↑I)
y : E
hy1 : y ∈ ↑I.symm ⁻¹' u
hy2 : y ∈ range ↑I
⊢ (↑I ∘ g ∘ ↑I.symm) y = (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) y

Tactic:
rcases mem_range.1 hy2 with ⟨x, hx⟩

Goal state after:
m n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
f g : H → H
u : Set H
x✝ : IsOpen[inst✝¹] u
fg : ∀ x ∈ u, g x = f x
hf : ContDiffOn 𝕜 n (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' u ∩ range ↑I)
y : E
hy1 : y ∈ ↑I.symm ⁻¹' u
hy2 : y ∈ range ↑I
x : H
hx : ↑I x = y
⊢ (↑I ∘ g ∘ ↑I.symm) y = (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) y
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ :
  ∀ (A : E →L[ℝ] E),
    0 < δ A ∧
      (∀ (B : E →L[ℝ] E), ‖B - A‖ ≤ ↑(δ A) → |B.det - A.det| ≤ ↑ε) ∧
        ∀ (t : Set E) (g : E → E),
          ApproximatesLinearOn g A t (δ A) → ENNReal.ofReal |A.det| * μ t ≤ μ (g '' t) + ↑ε * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
s_eq : s = ⋃ n, s ∩ t n
⊢ ∑' (n : ℕ), ∫⁻ (x : E) in s ∩ t n, ENNReal.ofReal |(A n).det| + ↑ε ∂μ =
    ∑' (n : ℕ), (ENNReal.ofReal |(A n).det| * μ (s ∩ t n) + ↑ε * μ (s ∩ t n))

Tactic:
simp only [setLIntegral_const, lintegral_add_right _ measurable_const]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
hc : ContinuousWithinAt f s x
⊢ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x =
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)] ↑(extChartAt I x) x

Tactic:
← (extChartAt I x).image_source_inter_eq',

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
hc : ContinuousWithinAt f s x
⊢ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x =
    𝓝[↑(extChartAt I x) '' ((extChartAt I x).source ∩ (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))] ↑(extChartAt I x) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: case fst
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : TopologicalSpace H'
inst✝¹² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝¹¹ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
G : Type u_8
G' : Type u_9
F : Type u_10
F' : Type u_11
N : Type u_12
N' : Type u_13
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalSpace N
inst✝³ : TopologicalSpace G'
inst✝² : TopologicalSpace N'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
inst✝¹ : ChartedSpace G N
inst✝ : ChartedSpace G' N'
f : M → N
g : M' → N'
x : M
x' : M'
p : E × E'
⊢ (writtenInExtChartAt (I.prod I') (J.prod J') (x, x') (Prod.map f g) p).1 =
    (Prod.map (writtenInExtChartAt I J x f) (writtenInExtChartAt I' J' x' g) p).1

Tactic:
simp [writtenInExtChartAt, I.toPartialEquiv.prod_symm, (chartAt H x).toPartialEquiv.prod_symm]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: case snd
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : TopologicalSpace H'
inst✝¹² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝¹¹ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
G : Type u_8
G' : Type u_9
F : Type u_10
F' : Type u_11
N : Type u_12
N' : Type u_13
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : TopologicalSpace N
inst✝³ : TopologicalSpace G'
inst✝² : TopologicalSpace N'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
inst✝¹ : ChartedSpace G N
inst✝ : ChartedSpace G' N'
f : M → N
g : M' → N'
x : M
x' : M'
p : E × E'
⊢ (writtenInExtChartAt (I.prod I') (J.prod J') (x, x') (Prod.map f g) p).2 =
    (Prod.map (writtenInExtChartAt I J x f) (writtenInExtChartAt I' J' x' g) p).2

Tactic:
simp [writtenInExtChartAt, I.toPartialEquiv.prod_symm, (chartAt H x).toPartialEquiv.prod_symm]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ :
  ∀ (A : E →L[ℝ] E),
    0 < δ A ∧
      (∀ (B : E →L[ℝ] E), ‖B - A‖ ≤ ↑(δ A) → |B.det - A.det| ≤ ↑ε) ∧
        ∀ (t : Set E) (g : E → E),
          ApproximatesLinearOn g A t (δ A) → ENNReal.ofReal |A.det| * μ t ≤ μ (g '' t) + ↑ε * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
s_eq : s = ⋃ n, s ∩ t n
⊢ ∑' (n : ℕ), (μ (f '' (s ∩ t n)) + ↑ε * μ (s ∩ t n) + ↑ε * μ (s ∩ t n)) =
    ∑' (i : ℕ), μ (f '' (s ∩ t i)) + ∑' (i : ℕ), 2 * ↑ε * μ (s ∩ t i)

Tactic:
← ENNReal.tsum_add

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ :
  ∀ (A : E →L[ℝ] E),
    0 < δ A ∧
      (∀ (B : E →L[ℝ] E), ‖B - A‖ ≤ ↑(δ A) → |B.det - A.det| ≤ ↑ε) ∧
        ∀ (t : Set E) (g : E → E),
          ApproximatesLinearOn g A t (δ A) → ENNReal.ofReal |A.det| * μ t ≤ μ (g '' t) + ↑ε * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
s_eq : s = ⋃ n, s ∩ t n
⊢ ∑' (n : ℕ), (μ (f '' (s ∩ t n)) + ↑ε * μ (s ∩ t n) + ↑ε * μ (s ∩ t n)) =
    ∑' (a : ℕ), (μ (f '' (s ∩ t a)) + 2 * ↑ε * μ (s ∩ t a))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Constructions

Goal state before:
pp: case hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_16
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
x : M'
⊢ ↑I (extend Sum.inr (↑(chartAt H x)) (fun x_1 ↦ Classical.arbitrary H) (Sum.inr x)) = ↑I (↑(chartAt H x) x)

Tactic:
congr

Goal state after:
case e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_16
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
x : M'
⊢ extend Sum.inr (↑(chartAt H x)) (fun x_1 ↦ Classical.arbitrary H) (Sum.inr x) = ↑(chartAt H x) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Constructions

Goal state before:
pp: case inl.h₁
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_16
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝² : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
f : M → N
g : M' → N
hf : ContMDiff I J n f
hg : ContMDiff I J n g
x : M
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I (Sum.inl x)) (Sum.inl x))
a : E
⊢ (↑((chartAt H' (f x)).extend J) ∘ Sum.elim f g ∘ ↑(((chartAt H x).lift_openEmbedding ⋯).extend I).symm) a =
    (↑((chartAt H' (f x)).extend J) ∘ f ∘ ↑((chartAt H x).extend I).symm) a

Tactic:
congr

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Constructions

Goal state before:
pp: case inl.hx
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_16
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝² : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
f : M → N
g : M' → N
hf : ContMDiff I J n f
hg : ContMDiff I J n g
x : M
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I (Sum.inl x)) (Sum.inl x))
⊢ (↑((chartAt H' (f x)).extend J) ∘ Sum.elim f g ∘ ↑(((chartAt H x).lift_openEmbedding ⋯).extend I).symm)
      (↑(((chartAt H x).lift_openEmbedding ⋯).extend I) (Sum.inl x)) =
    (↑((chartAt H' (f x)).extend J) ∘ f ∘ ↑((chartAt H x).extend I).symm)
      (↑(((chartAt H x).lift_openEmbedding ⋯).extend I) (Sum.inl x))

Tactic:
congr

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Constructions

Goal state before:
pp: case inr.h₁
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_16
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝² : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
f : M → N
g : M' → N
hf : ContMDiff I J n f
hg : ContMDiff I J n g
x : M'
this :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I (Sum.inr x)) (Sum.inr x))
a : E
⊢ (↑((chartAt H' (g x)).extend J) ∘ Sum.elim f g ∘ ↑(((chartAt H x).lift_openEmbedding ⋯).extend I).symm) a =
    (↑((chartAt H' (g x)).extend J) ∘ g ∘ ↑((chartAt H x).extend I).symm) a

Tactic:
congr

Goal state after: