mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.InformationTheory.KullbackLeibler.ChainRule

Goal state before:
pp: case pos
𝓧 : Type u_1
𝓨 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
m𝓨 : MeasurableSpace 𝓨
μ ν : Measure 𝓧
κ η : Kernel 𝓧 𝓨
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
inst✝² : IsFiniteMeasure ν
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsMarkovKernel η
h_ac : μ ⊗ₘ κ ≪ ν ⊗ₘ η
h_int : Integrable (llr (μ ⊗ₘ κ) (ν ⊗ₘ η)) (μ ⊗ₘ κ)
h_ac_μν : μ ≪ ν
h_ac_κη : μ ⊗ₘ κ ≪ μ ⊗ₘ η
h_int_μν : Integrable (llr μ ν) μ
h_int_κη : Integrable (llr (μ ⊗ₘ κ) (μ ⊗ₘ η)) (μ ⊗ₘ κ)
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : 𝓧 × 𝓨), llr (μ ⊗ₘ κ) (ν ⊗ₘ η) x ∂μ ⊗ₘ κ + (ν univ).toReal - (μ univ).toReal) =
    ENNReal.ofReal
      (∫ (x : 𝓧), llr μ ν x ∂μ + (ν univ).toReal - (μ univ).toReal + ∫ (x : 𝓧 × 𝓨), llr (μ ⊗ₘ κ) (μ ⊗ₘ η) x ∂μ ⊗ₘ κ)

Tactic:
suffices ∫ p, llr (μ ⊗ₘ κ) (ν ⊗ₘ η) p ∂μ ⊗ₘ κ =
      ∫ a, llr μ ν a ∂μ + ∫ p, llr (μ ⊗ₘ κ) (μ ⊗ₘ η) p ∂(μ ⊗ₘ κ) by rw [this]; ring_nf

Goal state after:
case pos
𝓧 : Type u_1
𝓨 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
m𝓨 : MeasurableSpace 𝓨
μ ν : Measure 𝓧
κ η : Kernel 𝓧 𝓨
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
inst✝² : IsFiniteMeasure ν
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsMarkovKernel η
h_ac : μ ⊗ₘ κ ≪ ν ⊗ₘ η
h_int : Integrable (llr (μ ⊗ₘ κ) (ν ⊗ₘ η)) (μ ⊗ₘ κ)
h_ac_μν : μ ≪ ν
h_ac_κη : μ ⊗ₘ κ ≪ μ ⊗ₘ η
h_int_μν : Integrable (llr μ ν) μ
h_int_κη : Integrable (llr (μ ⊗ₘ κ) (μ ⊗ₘ η)) (μ ⊗ₘ κ)
⊢ ∫ (p : 𝓧 × 𝓨), llr (μ ⊗ₘ κ) (ν ⊗ₘ η) p ∂μ ⊗ₘ κ =
    ∫ (a : 𝓧), llr μ ν a ∂μ + ∫ (p : 𝓧 × 𝓨), llr (μ ⊗ₘ κ) (μ ⊗ₘ η) p ∂μ ⊗ₘ κ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.CondJensen

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mα
hf_int : Integrable f μ
hs : IsClosed s
hc : Convex ℝ s
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ s
this✝² : MeasurableSpace E := borel E
this✝¹ : BorelSpace E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
htt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
Y : Submodule ℝ E := (Submodule.span ℝ t).topologicalClosure
this✝ : CompleteSpace ↥Y
this : SecondCountableTopology ↥Y
fY : α → ↥Y := fun a ↦ if h : f a ∈ Y then ⟨f a, h⟩ else 0
fX : α → E := ⇑Y.subtypeL ∘ fY
lem0 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ Y
lem1 : f =ᵐ[μ] fX
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, fY a ∈ ⇑Y.subtypeL ⁻¹' s

Tactic:
filter_upwards [lem0, hf] with a ha hs

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
α : Type u_2
f : α → E
m mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hm : m ≤ mα
hf_int : Integrable f μ
hs✝ : IsClosed s
hc : Convex ℝ s
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ s
this✝² : MeasurableSpace E := borel E
this✝¹ : BorelSpace E
t : Set E
ht : TopologicalSpace.IsSeparable t
htt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
Y : Submodule ℝ E := (Submodule.span ℝ t).topologicalClosure
this✝ : CompleteSpace ↥Y
this : SecondCountableTopology ↥Y
fY : α → ↥Y := fun a ↦ if h : f a ∈ Y then ⟨f a, h⟩ else 0
fX : α → E := ⇑Y.subtypeL ∘ fY
lem0 : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ∈ Y
lem1 : f =ᵐ[μ] fX
a : α
ha : f a ∈ Y
hs : f a ∈ s
⊢ fY a ∈ ⇑Y.subtypeL ⁻¹' s
Module: Mathlib.InformationTheory.KullbackLeibler.DataProcessing

Goal state before:
pp: 𝓧 : Type u_1
𝓨 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
m𝓨 : MeasurableSpace 𝓨
μ ν : Measure 𝓧
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
g : 𝓧 → 𝓨
hμν : μ ≪ ν
hg : Measurable g
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : 𝓨), klFun ((∂Measure.map g μ/∂Measure.map g ν) x).toReal ∂Measure.map g ν) =
    ENNReal.ofReal (∫ (x : 𝓧), klFun (ν[fun x ↦ ((∂μ/∂ν) x).toReal | MeasurableSpace.comap g m𝓨] x) ∂ν)

Tactic:
congr

Goal state after:
𝓧 : Type u_1
𝓨 : Type u_2
m𝓧 : MeasurableSpace 𝓧
m𝓨 : MeasurableSpace 𝓨
μ ν : Measure 𝓧
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
g : 𝓧 → 𝓨
hμν : μ ≪ ν
hg : Measurable g
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
⊢ ∫ (x : 𝓨), klFun ((∂Measure.map g μ/∂Measure.map g ν) x).toReal ∂Measure.map g ν =
    ∫ (x : 𝓧), klFun (ν[fun x ↦ ((∂μ/∂ν) x).toReal | MeasurableSpace.comap g m𝓨] x) ∂ν
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Isometry

Goal state before:
pp: case mk.mk
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
N : Type u_7
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Module R N
B₁ : LinearMap.BilinForm R M₁
B₂ : LinearMap.BilinForm R M₂
B₃ : LinearMap.BilinForm R M₃
B₄ : LinearMap.BilinForm R M₄
toLinearMap✝¹ : M₁ →ₗ[R] M₂
map_app'✝¹ : ∀ (m m' : M₁), (B₂ (toLinearMap✝¹.toFun m)) (toLinearMap✝¹.toFun m') = (B₁ m) m'
toLinearMap✝ : M₁ →ₗ[R] M₂
map_app'✝ : ∀ (m m' : M₁), (B₂ (toLinearMap✝.toFun m)) (toLinearMap✝.toFun m') = (B₁ m) m'
h :
  (fun f ↦ ⇑f.toLinearMap) { toLinearMap := toLinearMap✝¹, map_app' := map_app'✝¹ } =
    (fun f ↦ ⇑f.toLinearMap) { toLinearMap := toLinearMap✝, map_app' := map_app'✝ }
⊢ { toLinearMap := toLinearMap✝¹, map_app' := map_app'✝¹ } = { toLinearMap := toLinearMap✝, map_app' := map_app'✝ }

Tactic:
congr

Goal state after:
case mk.mk
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
N : Type u_7
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Module R N
B₁ : LinearMap.BilinForm R M₁
B₂ : LinearMap.BilinForm R M₂
B₃ : LinearMap.BilinForm R M₃
B₄ : LinearMap.BilinForm R M₄
toLinearMap✝¹ : M₁ →ₗ[R] M₂
map_app'✝¹ : ∀ (m m' : M₁), (B₂ (toLinearMap✝¹.toFun m)) (toLinearMap✝¹.toFun m') = (B₁ m) m'
toLinearMap✝ : M₁ →ₗ[R] M₂
map_app'✝ : ∀ (m m' : M₁), (B₂ (toLinearMap✝.toFun m)) (toLinearMap✝.toFun m') = (B₁ m) m'
h :
  (fun f ↦ ⇑f.toLinearMap) { toLinearMap := toLinearMap✝¹, map_app' := map_app'✝¹ } =
    (fun f ↦ ⇑f.toLinearMap) { toLinearMap := toLinearMap✝, map_app' := map_app'✝ }
⊢ toLinearMap✝¹ = toLinearMap✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.IsometryEquiv

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
N : Type u_7
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Module R N
B₁ : LinearMap.BilinForm R M₁
B₂ : LinearMap.BilinForm R M₂
B₃ : LinearMap.BilinForm R M₃
f : B₁.IsometryEquiv B₂
n✝ m✝ : M₂
⊢ (B₂ (f ((↑f.symm).toFun n✝))) (f ((↑f.symm).toFun m✝)) = (B₂ n✝) m✝

Tactic:
congr

Goal state after:
case e_5.e_6
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
N : Type u_7
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Module R N
B₁ : LinearMap.BilinForm R M₁
B₂ : LinearMap.BilinForm R M₂
B₃ : LinearMap.BilinForm R M₃
f : B₁.IsometryEquiv B₂
n✝ m✝ : M₂
⊢ f ((↑f.symm).toFun n✝) = n✝

case e_6
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
N : Type u_7
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Module R N
B₁ : LinearMap.BilinForm R M₁
B₂ : LinearMap.BilinForm R M₂
B₃ : LinearMap.BilinForm R M₃
f : B₁.IsometryEquiv B₂
n✝ m✝ : M₂
⊢ f ((↑f.symm).toFun m✝) = m✝
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.IsBaseChangeFree

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
V : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommMonoid V
inst✝⁵ : Module R V
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring A
inst✝³ : Algebra A R
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower A R V
ι : Type u_4
b : Module.Basis ι R V
inst✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι
j : R ⊗[A] (ι → A) ≃ₗ[R] ι → R := piScalarRight A R R ι
x : ι → A
⊢ ∑ i, j (1 ⊗ₜ[A] x) i • b i = ∑ i, x i • b i

Tactic:
congr

Goal state after:
case refine_2.e_f
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
V : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommMonoid V
inst✝⁵ : Module R V
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring A
inst✝³ : Algebra A R
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower A R V
ι : Type u_4
b : Module.Basis ι R V
inst✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι
j : R ⊗[A] (ι → A) ≃ₗ[R] ι → R := piScalarRight A R R ι
x : ι → A
⊢ (fun i ↦ j (1 ⊗ₜ[A] x) i • b i) = fun i ↦ x i • b i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case inr.mp.refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : Module k V
s : AffineSubspace k P
c : P
r : k
hr : IsUnit r
t : k
ht : r * t = 1
h✝ : (↑s).Nonempty
h : Nonempty ↥s
p x : P
hmem : x ∈ s
heq : (1 - r) • (c -ᵥ ↑h.some) +ᵥ x = p
⊢ r • (↑h.some -ᵥ c) +ᵥ (x -ᵥ ↑h.some) +ᵥ c = r • (↑h.some -ᵥ c) +ᵥ (c -ᵥ ↑h.some) +ᵥ x

Tactic:
vsub_vadd_comm x h.some.val c

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod

Goal state before:
pp: case refine_1
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
m₁ m₂ : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
n : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
x✝ : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
⊢ ∑ i, (Quotient.liftOn' i (fun σ ↦ Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑(m₁ + m₂)).domCoprod ↑n)) ⋯) x✝ =
    ∑ x,
      ((Quotient.liftOn' x (fun σ ↦ Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑m₁).domCoprod ↑n)) ⋯) x✝ +
        (Quotient.liftOn' x (fun σ ↦ Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑m₂).domCoprod ↑n)) ⋯) x✝)

Tactic:
congr

Goal state after:
case refine_1.e_f
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
m₁ m₂ : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
n : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
x✝ : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
⊢ (fun i ↦ (Quotient.liftOn' i (fun σ ↦ Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑(m₁ + m₂)).domCoprod ↑n)) ⋯) x✝) =
    fun x ↦
    (Quotient.liftOn' x (fun σ ↦ Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑m₁).domCoprod ↑n)) ⋯) x✝ +
      (Quotient.liftOn' x (fun σ ↦ Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑m₂).domCoprod ↑n)) ⋯) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod

Goal state before:
pp: case refine_2
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
c : R'
m : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
n : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
x✝ : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
⊢ ∑ i, (Quotient.liftOn' i (fun σ ↦ Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑(c • m)).domCoprod ↑n)) ⋯) x✝ =
    ∑ x, c • (Quotient.liftOn' x (fun σ ↦ Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑m).domCoprod ↑n)) ⋯) x✝

Tactic:
congr

Goal state after:
case refine_2.e_f
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
c : R'
m : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
n : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
x✝ : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
⊢ (fun i ↦ (Quotient.liftOn' i (fun σ ↦ Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑(c • m)).domCoprod ↑n)) ⋯) x✝) =
    fun x ↦ c • (Quotient.liftOn' x (fun σ ↦ Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑m).domCoprod ↑n)) ⋯) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod

Goal state before:
pp: case refine_3
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
m : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
n₁ n₂ : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
x✝ : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
⊢ ∑ i, (Quotient.liftOn' i (fun σ ↦ Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑m).domCoprod ↑(n₁ + n₂))) ⋯) x✝ =
    ∑ x,
      ((Quotient.liftOn' x (fun σ ↦ Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑m).domCoprod ↑n₁)) ⋯) x✝ +
        (Quotient.liftOn' x (fun σ ↦ Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑m).domCoprod ↑n₂)) ⋯) x✝)

Tactic:
congr

Goal state after:
case refine_3.e_f
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
m : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
n₁ n₂ : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
x✝ : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
⊢ (fun i ↦ (Quotient.liftOn' i (fun σ ↦ Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑m).domCoprod ↑(n₁ + n₂))) ⋯) x✝) =
    fun x ↦
    (Quotient.liftOn' x (fun σ ↦ Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑m).domCoprod ↑n₁)) ⋯) x✝ +
      (Quotient.liftOn' x (fun σ ↦ Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑m).domCoprod ↑n₂)) ⋯) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod

Goal state before:
pp: case refine_4
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
c : R'
m : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
n : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
x✝ : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
⊢ ∑ i, (Quotient.liftOn' i (fun σ ↦ Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑m).domCoprod ↑(c • n))) ⋯) x✝ =
    ∑ x, c • (Quotient.liftOn' x (fun σ ↦ Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑m).domCoprod ↑n)) ⋯) x✝

Tactic:
congr

Goal state after:
case refine_4.e_f
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
c : R'
m : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
n : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
x✝ : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
⊢ (fun i ↦ (Quotient.liftOn' i (fun σ ↦ Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑m).domCoprod ↑(c • n))) ⋯) x✝) =
    fun x ↦ c • (Quotient.liftOn' x (fun σ ↦ Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑m).domCoprod ↑n)) ⋯) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Shift

Goal state before:
pp: case pos.hw
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Field k
inst✝⁵ : LinearOrder k
inst✝⁴ : IsOrderedRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
x : k
hx : x ∈ Set.Icc 0 1
hxpos : 0 < x
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
hp : (affineCombination k univ s.points) w ∈ affineSpan k (Set.range s.points)
⊢ ∑ i_1, (lineMap (Pi.single i 1) w) x⁻¹ i_1 = 1

Tactic:
simp [AffineMap.lineMap_apply, Finset.sum_add_distrib, ← Finset.mul_sum,
        Finset.sum_sub_distrib, hw]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Center

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
f : V →ₗ[R] V
ι : Type u_3
inst✝ : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
feq : ∀ (i : ι), f (b i) = (b.coord i) (f (b i)) • b i
i j : ι
hij : i ≠ j
r : R
x : V := b.repr.symm ((Finsupp.single i 1).update j r)
s t : R
hst : s = 0 → ¬t = 0
h : ∀ (i : ι), s * (b.repr x) i + t * (b.repr (f x)) i = 0
⊢ (((Finsupp.single i 1).update j r).sum fun i a ↦ a • b i) + ?m.318 = b i + r • b j + ?m.318

pp: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
f : V →ₗ[R] V
ι : Type u_3
inst✝ : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
feq : ∀ (i : ι), f (b i) = (b.coord i) (f (b i)) • b i
i j : ι
hij : i ≠ j
r : R
x : V := ⋯
s t : R
hst : s = 0 → ¬t = 0
h : ∀ (i : ι), s * (b.repr x) i + t * (b.repr (f x)) i = 0
⊢ V

Tactic:
sum_update_add

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
f : V →ₗ[R] V
ι : Type u_3
inst✝ : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
feq : ∀ (i : ι), f (b i) = (b.coord i) (f (b i)) • b i
i j : ι
hij : i ≠ j
r : R
x : V := b.repr.symm ((Finsupp.single i 1).update j r)
s t : R
hst : s = 0 → ¬t = 0
h : ∀ (i : ι), s * (b.repr x) i + t * (b.repr (f x)) i = 0
⊢ ((Finsupp.single i 1).sum fun i a ↦ a • b i) + r • b j = b i + r • b j + (Finsupp.single i 1) j • b j

case hg
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
f : V →ₗ[R] V
ι : Type u_3
inst✝ : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
feq : ∀ (i : ι), f (b i) = (b.coord i) (f (b i)) • b i
i j : ι
hij : i ≠ j
r : R
x : V := b.repr.symm ((Finsupp.single i 1).update j r)
s t : R
hst : s = 0 → ¬t = 0
h : ∀ (i : ι), s * (b.repr x) i + t * (b.repr (f x)) i = 0
⊢ ∀ (i : ι), 0 • b i = 0

case hgg
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
f : V →ₗ[R] V
ι : Type u_3
inst✝ : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
feq : ∀ (i : ι), f (b i) = (b.coord i) (f (b i)) • b i
i j : ι
hij : i ≠ j
r : R
x : V := b.repr.symm ((Finsupp.single i 1).update j r)
s t : R
hst : s = 0 → ¬t = 0
h : ∀ (i : ι), s * (b.repr x) i + t * (b.repr (f x)) i = 0
⊢ ∀ (j : ι) (a₁ a₂ : R), (a₁ + a₂) • b j = a₁ • b j + a₂ • b j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.QuadraticModuleCat

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : CommRing R
V W : QuadraticModuleCat R
x✝² x✝¹ : V.Hom W
f g : V.form →qᵢ W.form
x✝ : { toIsometry' := f }.toIsometry = { toIsometry' := g }.toIsometry
⊢ { toIsometry' := f } = { toIsometry' := g }

Tactic:
congr

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.TensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type uR
A : Type uA
M₂ : Type uM₂
N₁ : Type uN₁
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Module A N₁
inst✝¹ : IsScalarTower R A N₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ Q₂ : QuadraticMap A (A ⊗[R] M₂) N₁
h : ∀ (m : M₂), Q₁ (1 ⊗ₜ[R] m) = Q₂ (1 ⊗ₜ[R] m)
a : A
m : M₂
⊢ Q₁ (a • 1 ⊗ₜ[R] m) = Q₂ (a • 1 ⊗ₜ[R] m)

Tactic:
QuadraticMap.map_smul,

Goal state after:
R : Type uR
A : Type uA
M₂ : Type uM₂
N₁ : Type uN₁
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Module A N₁
inst✝¹ : IsScalarTower R A N₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ Q₂ : QuadraticMap A (A ⊗[R] M₂) N₁
h : ∀ (m : M₂), Q₁ (1 ⊗ₜ[R] m) = Q₂ (1 ⊗ₜ[R] m)
a : A
m : M₂
⊢ (a * a) • Q₁ (1 ⊗ₜ[R] m) = Q₂ (a • 1 ⊗ₜ[R] m)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.TensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type uR
A : Type uA
M₂ : Type uM₂
N₁ : Type uN₁
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Module A N₁
inst✝¹ : IsScalarTower R A N₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ Q₂ : QuadraticMap A (A ⊗[R] M₂) N₁
h : ∀ (m : M₂), Q₁ (1 ⊗ₜ[R] m) = Q₂ (1 ⊗ₜ[R] m)
a : A
m : M₂
⊢ (a * a) • Q₁ (1 ⊗ₜ[R] m) = Q₂ (a • 1 ⊗ₜ[R] m)

Tactic:
QuadraticMap.map_smul,

Goal state after:
R : Type uR
A : Type uA
M₂ : Type uM₂
N₁ : Type uN₁
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Module A N₁
inst✝¹ : IsScalarTower R A N₁
inst✝ : Module R M₂
Q₁ Q₂ : QuadraticMap A (A ⊗[R] M₂) N₁
h : ∀ (m : M₂), Q₁ (1 ⊗ₜ[R] m) = Q₂ (1 ⊗ₜ[R] m)
a : A
m : M₂
⊢ (a * a) • Q₁ (1 ⊗ₜ[R] m) = (a * a) • Q₂ (1 ⊗ₜ[R] m)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.CliffordAlgebra.Contraction

Goal state before:
pp: case algebraMap
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' d₁ d₂ : Module.Dual R M
r✝ : R
⊢ (foldr' Q (contractLeftAux Q (d₁ + d₂)) ⋯ 0) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r✝) =
    (foldr' Q (contractLeftAux Q d₁) ⋯ 0) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r✝) +
      (foldr' Q (contractLeftAux Q d₂) ⋯ 0) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r✝)

Tactic:
simp_rw [foldr'_algebraMap, smul_zero, zero_add]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.CliffordAlgebra.Contraction

Goal state before:
pp: R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d : Module.Dual R M
a : M
b : CliffordAlgebra Q
⊢ reverse ((contractLeft d) ((ι Q) a * reverse b)) = d a • b - (contractRight b) d * (ι Q) a

Tactic:
contractLeft_ι_mul,

Goal state after:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d : Module.Dual R M
a : M
b : CliffordAlgebra Q
⊢ reverse (d a • reverse b - (ι Q) a * (contractLeft d) (reverse b)) = d a • b - (contractRight b) d * (ι Q) a
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Transvection.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module R V
A : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
f : Dual R V
v : V
⊢ LinearMap.baseChange A (transvection f v) = transvection ((Dual.baseChange A) f) (1 ⊗ₜ[R] v)

Tactic:
by
  ext; simp [transvection, TensorProduct.tmul_add]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.CliffordAlgebra.Contraction

Goal state before:
pp: case ι_mul
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d : Module.Dual R M
x✝ : CliffordAlgebra Q
m✝ : M
hx : (contractLeft d) ((contractLeft d) x✝) = 0
⊢ (contractLeft d) ((contractLeft d) ((ι Q) m✝ * x✝)) = 0

Tactic:
contractLeft_ι_mul,

Goal state after:
case ι_mul
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d : Module.Dual R M
x✝ : CliffordAlgebra Q
m✝ : M
hx : (contractLeft d) ((contractLeft d) x✝) = 0
⊢ (contractLeft d) (d m✝ • x✝ - (ι Q) m✝ * (contractLeft d) x✝) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.CliffordAlgebra.Contraction

Goal state before:
pp: case ι_mul
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d : Module.Dual R M
x✝ : CliffordAlgebra Q
m✝ : M
hx : (contractLeft d) ((contractLeft d) x✝) = 0
⊢ (contractLeft d) (d m✝ • x✝) - (contractLeft d) ((ι Q) m✝ * (contractLeft d) x✝) = 0

Tactic:
contractLeft_ι_mul,

Goal state after:
case ι_mul
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d : Module.Dual R M
x✝ : CliffordAlgebra Q
m✝ : M
hx : (contractLeft d) ((contractLeft d) x✝) = 0
⊢ (contractLeft d) (d m✝ • x✝) - (d m✝ • (contractLeft d) x✝ - (ι Q) m✝ * (contractLeft d) ((contractLeft d) x✝)) = 0