mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) < a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
⊢ ∀ ⦃y : E⦄,
    y ∈ s →
      x ≠ y →
        ∀ ⦃a b : 𝕜⦄,
          0 < a → 0 < b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) < (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y

Tactic:
y

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) < a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
⊢ y ∈ s →
    x ≠ y →
      ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) < (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s →
      ∀ ⦃y : E⦄,
        y ∈ s →
          x ≠ y →
            ∀ ⦃a b : 𝕜⦄,
              0 < a → 0 < b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) < (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
x : E
hx : x ∈ s
⊢ ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) < a • f x + b • f y

Tactic:
y

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s →
      ∀ ⦃y : E⦄,
        y ∈ s →
          x ≠ y →
            ∀ ⦃a b : 𝕜⦄,
              0 < a → 0 < b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) < (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
⊢ y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) < a • f x + b • f y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
⊢ Submodule.map f.linear (vectorSpan k s) = vectorSpan k (⇑f '' s)

Tactic:
by
  simp [vectorSpan_def, f.image_vsub_image]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
hw : (s.weightedVSub p) w = 0
i : ι
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ≠ i
his : i ∈ s
hwi : w i = -1
⊢ (affineCombination k ({x ∈ s | x ≠ i}) p) w -ᵥ p i =
    (affineCombination k ({a ∈ s | a ≠ i}) p) w -ᵥ (affineCombination k {i} p) (-w)

Tactic:
congr

Goal state after:
case e_a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
hw : (s.weightedVSub p) w = 0
i : ι
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ≠ i
his : i ∈ s
hwi : w i = -1
⊢ p i = (affineCombination k {i} p) (-w)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case h
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : AffineSubspace k P₁
t : k
p₁ : P₁
h₁ : p₁ ∈ ↑s
p₂ : P₁
h₂ : p₂ ∈ ↑s
p₃ : P₁
h₃ : p₃ ∈ ↑s
⊢ t • (p₁ -ᵥ p₂) +ᵥ p₃ ∈ ↑s ∧ f (t • (p₁ -ᵥ p₂) +ᵥ p₃) = t • (f p₁ -ᵥ f p₂) +ᵥ f p₃

Tactic:
suffices t • (p₁ -ᵥ p₂) +ᵥ p₃ ∈ s by
    { simp only [SetLike.mem_coe, true_and, this]
      rw [AffineMap.map_vadd, map_smul, AffineMap.linearMap_vsub] }

Goal state after:
case h
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : AffineSubspace k P₁
t : k
p₁ : P₁
h₁ : p₁ ∈ ↑s
p₂ : P₁
h₂ : p₂ ∈ ↑s
p₃ : P₁
h₃ : p₃ ∈ ↑s
⊢ t • (p₁ -ᵥ p₂) +ᵥ p₃ ∈ s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι
w : ι → k
p : ι → P
p₁ p₂ : P
s' : Finset ι
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
hp₂ : ∀ i ∈ s ∩ s', p i = p₂
hp₁ : ∀ i ∈ s \ s', p i = p₁
⊢ (affineCombination k s p) w = (AffineMap.lineMap p₁ p₂) (∑ i ∈ s ∩ s', w i)

Tactic:
by
  rw [s.affineCombination_eq_weightedVSubOfPoint_vadd_of_sum_eq_one w p h p₁,
    weightedVSubOfPoint_apply, ← s.sum_inter_add_sum_sdiff s', AffineMap.lineMap_apply,
    vadd_right_cancel_iff, sum_smul]
  convert! add_zero _ with i hi
  · convert! Finset.sum_const_zero with i hi
    simp [hp₁ i hi]
  · exact (hp₂ i hi).symm

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
hs₁ : BddAbove s
hs₂ : s.Nonempty
⊢ IsLUB s (sSup s)

Tactic:
refine ⟨fun p hp x => ?_, fun p hp x => ?_⟩ <;> have : Nonempty ↑s := hs₂.coe_sort

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
hs₁ : BddAbove s
hs₂ : s.Nonempty
p : Seminorm 𝕜 E
hp : p ∈ s
x : E
this : Nonempty ↑s
⊢ p x ≤ (sSup s) x

case refine_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
hs₁ : BddAbove s
hs₂ : s.Nonempty
p : Seminorm 𝕜 E
hp : p ∈ upperBounds s
x : E
this : Nonempty ↑s
⊢ (sSup s) x ≤ p x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset P
⊢ (affineCombination k univ Subtype.val) (centroidWeights k univ) =
    (affineCombination k s.attach Subtype.val) (centroidWeights k s ∘ Subtype.val)

Tactic:
congr

Goal state after:
case e_6
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset P
⊢ centroidWeights k univ = centroidWeights k s ∘ Subtype.val
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
ps : Set P
inst✝ : Fintype ↑ps
hps : ps = p '' ↑s
f : ↑(p '' ↑s) → ι := fun x ↦ Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(p '' ↑s)), f x ∈ s ∧ p (f x) = ↑x
f' : ↑ps → ι := fun x ↦ f ⟨↑x, ⋯⟩
hf' : ∀ (x : ↑ps), f' x ∈ s ∧ p (f' x) = ↑x
x : ↑ps
⊢ ∀ ⦃a₂ : ↑ps⦄, f' x = f' a₂ → x = a₂

Tactic:
y

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
ps : Set P
inst✝ : Fintype ↑ps
hps : ps = p '' ↑s
f : ↑(p '' ↑s) → ι := fun x ↦ Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(p '' ↑s)), f x ∈ s ∧ p (f x) = ↑x
f' : ↑ps → ι := fun x ↦ f ⟨↑x, ⋯⟩
hf' : ∀ (x : ↑ps), f' x ∈ s ∧ p (f' x) = ↑x
x y : ↑ps
⊢ f' x = f' y → x = y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
⊢ ∃ r, r ≠ 0 ∧ p₅ -ᵥ p₄ = r • (p₂ -ᵥ p₁) ∧ p₆ -ᵥ p₅ = r • (p₃ -ᵥ p₂) ∧ p₄ -ᵥ p₆ = r • (p₁ -ᵥ p₃)

Tactic:
rw [Units.smul_def] at hr₁

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
⊢ ∃ r, r ≠ 0 ∧ p₅ -ᵥ p₄ = r • (p₂ -ᵥ p₁) ∧ p₆ -ᵥ p₅ = r • (p₃ -ᵥ p₂) ∧ p₄ -ᵥ p₆ = r • (p₁ -ᵥ p₃)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ↑r₁ = r₂
⊢ ∃ r, r ≠ 0 ∧ p₅ -ᵥ p₄ = r • (p₂ -ᵥ p₁) ∧ p₆ -ᵥ p₅ = r • (p₃ -ᵥ p₂) ∧ p₄ -ᵥ p₆ = r • (p₁ -ᵥ p₃)

pp: case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ¬↑r₁ = r₂
⊢ ∃ r, r ≠ 0 ∧ p₅ -ᵥ p₄ = r • (p₂ -ᵥ p₁) ∧ p₆ -ᵥ p₅ = r • (p₃ -ᵥ p₂) ∧ p₄ -ᵥ p₆ = r • (p₁ -ᵥ p₃)

Tactic:
· refine ⟨r₁, r₁.ne_zero, hr₁.symm, h ▸ hr₂.symm, ?_⟩
    rw [← neg_inj, neg_vsub_eq_vsub_rev, ← smul_neg, neg_vsub_eq_vsub_rev,
      ← vsub_add_vsub_cancel p₆ p₅ p₄, ← vsub_add_vsub_cancel p₃ p₂ p₁, smul_add, hr₁, h, hr₂]

Goal state after:
case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ¬↑r₁ = r₂
⊢ ∃ r, r ≠ 0 ∧ p₅ -ᵥ p₄ = r • (p₂ -ᵥ p₁) ∧ p₆ -ᵥ p₅ = r • (p₃ -ᵥ p₂) ∧ p₄ -ᵥ p₆ = r • (p₁ -ᵥ p₃)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ¬↑r₁ = r₂
⊢ p₅ -ᵥ p₄ + r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) ∈ vectorSpan k {p₁, p₃}

Tactic:
hr₂,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ¬↑r₁ = r₂
⊢ p₅ -ᵥ p₄ + (p₆ -ᵥ p₅) ∈ vectorSpan k {p₁, p₃}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Basis

Goal state before:
pp: case mk.mk
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
G : Type u_3
G' : Type u_4
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
toFun✝¹ : ι → P
ind'✝¹ : AffineIndependent k toFun✝¹
tot'✝¹ : affineSpan k (range toFun✝¹) = ⊤
toFun✝ : ι → P
ind'✝ : AffineIndependent k toFun✝
tot'✝ : affineSpan k (range toFun✝) = ⊤
h : { toFun := toFun✝¹, ind' := ind'✝¹, tot' := tot'✝¹ }.toFun = { toFun := toFun✝, ind' := ind'✝, tot' := tot'✝ }.toFun
⊢ { toFun := toFun✝¹, ind' := ind'✝¹, tot' := tot'✝¹ } = { toFun := toFun✝, ind' := ind'✝, tot' := tot'✝ }

Tactic:
congr

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
G : Type u_3
G' : Type u_4
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j : ι
e : ι ≃ ι'
i : ι
⊢ Submodule.span k (range fun j ↦ b ↑j -ᵥ b i) = Submodule.span k ((fun x ↦ x -ᵥ b i) '' ⇑b '' (univ \ {i}))

Tactic:
congr

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
G : Type u_3
G' : Type u_4
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j : ι
e : ι ≃ ι'
i : ι
⊢ (range fun j ↦ b ↑j -ᵥ b i) = (fun x ↦ x -ᵥ b i) '' ⇑b '' (univ \ {i})
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
inst✝ : Fintype ι
w : ι → k
hw : ∑ i, w i = 1
hq : (Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w ∈ affineSpan k (range ⇑b)
⊢ ∑ i, (b.coord i) ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w) = 1

Tactic:
convert! hw

Goal state after:
case a
ι : Type u_1
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
inst✝ : Fintype ι
w : ι → k
hw : ∑ i, w i = 1
hq : (Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w ∈ affineSpan k (range ⇑b)
x✝ : ι
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ
⊢ (b.coord x✝) ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w) = w x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
inst✝ : Fintype ι
w : ι → k
hw : ∑ i, w i = 1
hq : (Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w ∈ affineSpan k (range ⇑b)
⊢ ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) fun i ↦ (b.coord i) ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w)) =
    (Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w

Tactic:
congr

Goal state after:
case e_6
ι : Type u_1
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
inst✝ : Fintype ι
w : ι → k
hw : ∑ i, w i = 1
hq : (Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w ∈ affineSpan k (range ⇑b)
⊢ (fun i ↦ (b.coord i) ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w)) = w
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Restrict

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
hφ : Function.Injective ⇑φ
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
hEF : AffineSubspace.map φ E ≤ F
x : ↥E
⊢ ∀ ⦃a₂ : ↥E⦄, (φ.restrict hEF) x = (φ.restrict hEF) a₂ → x = a₂

Tactic:
y

Goal state after:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
hφ : Function.Injective ⇑φ
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
hEF : AffineSubspace.map φ E ≤ F
x y : ↥E
⊢ (φ.restrict hEF) x = (φ.restrict hEF) y → x = y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
G : Type u_3
G' : Type u_4
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : AffineSpace V P
inst✝⁷ : Ring k
inst✝⁶ : Module k V
b✝ : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : DistribMulAction G V
inst✝² : DistribMulAction G' V
inst✝¹ : SMulCommClass G k V
inst✝ : SMulCommClass G' k V
a : G
b : AffineBasis ι k V
⊢ affineSpan k (range fun i ↦ a • b i) = ⊤

Tactic:
← smul_set_range,

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
G : Type u_3
G' : Type u_4
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : AffineSpace V P
inst✝⁷ : Ring k
inst✝⁶ : Module k V
b✝ : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : DistribMulAction G V
inst✝² : DistribMulAction G' V
inst✝¹ : SMulCommClass G k V
inst✝ : SMulCommClass G' k V
a : G
b : AffineBasis ι k V
⊢ affineSpan k (a • range ⇑b) = ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
ι : Type u_4
v : ι → V
hv : LinearIndependent k v
⊢ AffineIndependent k v

Tactic:
intro s w hw0 hwv i hi

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
ι : Type u_4
v : ι → V
hv : LinearIndependent k v
s : Finset ι
w : ι → k
hw0 : ∑ i ∈ s, w i = 0
hwv : (s.weightedVSub v) w = 0
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ w i = 0
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
q : Seminorm 𝕜 E
ε : ℝ
C : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), (∀ i ∈ s, (p i) x < ε) → ∀ j ∈ s, ε / ‖c‖ ≤ (p j) x → q x ≤ (C • p j) x
x : E
j : ι
hj : j ∈ s
hjx : (p j) x ≠ 0
this : (s.sup p) x ≠ 0
y : E
hle : ε / ‖c‖ ≤ (s.sup p) y
hlt : (s.sup p) y < ε
⊢ q y ≤ (C • s.sup p) y

Tactic:
rcases exists_apply_eq_finset_sup p ⟨j, hj⟩ y with ⟨i, hi, hiy⟩

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
q : Seminorm 𝕜 E
ε : ℝ
C : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), (∀ i ∈ s, (p i) x < ε) → ∀ j ∈ s, ε / ‖c‖ ≤ (p j) x → q x ≤ (C • p j) x
x : E
j : ι
hj : j ∈ s
hjx : (p j) x ≠ 0
this : (s.sup p) x ≠ 0
y : E
hle : ε / ‖c‖ ≤ (s.sup p) y
hlt : (s.sup p) y < ε
i : ι
hi : i ∈ s
hiy : (s.sup p) y = (p i) y
⊢ q y ≤ (C • s.sup p) y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
i : ι
hai : LinearIndependent k fun i_1 ↦ (⇑f ∘ p) ↑i_1 -ᵥ (⇑f ∘ p) i
⊢ LinearIndependent k fun i_1 ↦ p ↑i_1 -ᵥ p i

Tactic:
Function.comp_apply,

Goal state after:
case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
i : ι
hai : LinearIndependent k fun i_1 ↦ f (p ↑i_1) -ᵥ f (p i)
⊢ LinearIndependent k fun i_1 ↦ p ↑i_1 -ᵥ p i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
i : ι
hai : LinearIndependent k fun i_1 ↦ p ↑i_1 -ᵥ p i
⊢ LinearIndependent k fun i_1 ↦ (⇑f ∘ p) ↑i_1 -ᵥ (⇑f ∘ p) i

Tactic:
Function.comp_apply,

Goal state after:
case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
i : ι
hai : LinearIndependent k fun i_1 ↦ p ↑i_1 -ᵥ p i
⊢ LinearIndependent k fun i_1 ↦ f (p ↑i_1) -ᵥ f (p i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Set ι
p0 : P
hp0s1 : p0 ∈ affineSpan k (p '' s1)
hp0s2 : p0 ∈ affineSpan k (p '' s2)
hp0' : p0 ∈ affineSpan k (p '' s1) ⊓ affineSpan k (p '' s2)
⊢ ∃ i, i ∈ s1 ∩ s2

Tactic:
rw [ha.inf_affineSpan_eq_affineSpan_inter] at hp0'

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Set ι
p0 : P
hp0s1 : p0 ∈ affineSpan k (p '' s1)
hp0s2 : p0 ∈ affineSpan k (p '' s2)
hp0' : p0 ∈ affineSpan k (p '' (s1 ∩ s2))
⊢ ∃ i, i ∈ s1 ∩ s2
Module: Mathlib.Analysis.Convex.StdSimplex

Goal state before:
pp: S : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : PartialOrder S
X : Type u_2
inst✝³ : Fintype X
inst✝² : IsOrderedRing S
inst✝¹ : Nontrivial S
inst✝ : DecidableEq X
x : X
⊢ ∀ ⦃a₂ : X⦄, vertex x = vertex a₂ → x = a₂

Tactic:
y

Goal state after:
S : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : PartialOrder S
X : Type u_2
inst✝³ : Fintype X
inst✝² : IsOrderedRing S
inst✝¹ : Nontrivial S
inst✝ : DecidableEq X
x y : X
⊢ vertex x = vertex y → x = y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s₁ s₂ : Set ι
h : vectorSpan k (p '' s₁) = vectorSpan k (p '' s₂)
he : ¬s₁ = s₂
⊢ s₁.Subsingleton ∧ s₂.Subsingleton

Tactic:
by_cases h₁ : s₁.Subsingleton

Goal state after:
case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s₁ s₂ : Set ι
h : vectorSpan k (p '' s₁) = vectorSpan k (p '' s₂)
he : ¬s₁ = s₂
h₁ : s₁.Subsingleton
⊢ s₁.Subsingleton ∧ s₂.Subsingleton

case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s₁ s₂ : Set ι
h : vectorSpan k (p '' s₁) = vectorSpan k (p '' s₂)
he : ¬s₁ = s₂
h₁ : ¬s₁.Subsingleton
⊢ s₁.Subsingleton ∧ s₂.Subsingleton
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: case e'_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
x✝ : (∀ i ∈ fs, w i ∈ I) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0
hii : ∀ i ∈ fs, w i ∈ I
hi0 : ∀ i ∉ fs, w i = 0
w' : Fin (m + 1) → k := w ∘ ⇑(fs.orderEmbOfFin h)
hw' : ∑ i, w' i = 1
hw'01 : (affineCombination k univ (s.face h).points) w' ∈ Simplex.setInterior I (s.face h)
⊢ (affineCombination k univ s.points) w = (affineCombination k univ s.points) ((↑fs).indicator w)

Tactic:
congr

Goal state after:
case e'_2.e_6
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
x✝ : (∀ i ∈ fs, w i ∈ I) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0
hii : ∀ i ∈ fs, w i ∈ I
hi0 : ∀ i ∉ fs, w i = 0
w' : Fin (m + 1) → k := ⋯
hw' : ∑ i, w' i = 1
hw'01 : (affineCombination k univ (s.face h).points) w' ∈ Simplex.setInterior I (s.face h)
⊢ w = (↑fs).indicator w