mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
i₀ : ι
m : (i : ι) → M i
this :
  (reindex R M (Equiv.subtypeNeSumPUnit i₀).symm) (⨂ₜ[R] (i : ι), m i) =
    (tprod R) fun j ↦ m ((Equiv.subtypeNeSumPUnit i₀) j)
⊢ ((tprod R) fun i₁ ↦
        m ((Equiv.optionSubtypeNe i₀) ((Equiv.optionEquivSumPUnit { i // ¬i = i₀ }).symm (Sum.inl i₁)))) ⊗ₜ[R]
      (subsingletonEquiv ())
        ((tprod R) fun i₂ ↦
          m ((Equiv.optionSubtypeNe i₀) ((Equiv.optionEquivSumPUnit { i // ¬i = i₀ }).symm (Sum.inr i₂)))) =
    ((tprod R) fun j ↦ m ↑j) ⊗ₜ[R] m i₀

Tactic:
congr

Goal state after:
case e_n
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
i₀ : ι
m : (i : ι) → M i
this :
  (reindex R M (Equiv.subtypeNeSumPUnit i₀).symm) (⨂ₜ[R] (i : ι), m i) =
    (tprod R) fun j ↦ m ((Equiv.subtypeNeSumPUnit i₀) j)
⊢ (subsingletonEquiv ())
      ((tprod R) fun i₂ ↦
        m ((Equiv.optionSubtypeNe i₀) ((Equiv.optionEquivSumPUnit { i // ¬i = i₀ }).symm (Sum.inr i₂)))) =
    m i₀
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
i₀ : ι
m : (i : ↑(Set.singleton i₀)ᶜ) → M ↑i
x : M i₀
⊢ ((tprod R) fun j ↦ m j) ⊗ₜ[R] x = ((tprod R) fun j ↦ Function.subtypeNeLift i₀ m x ↑j) ⊗ₜ[R] x

Tactic:
congr

Goal state after:
case e_m.e_6
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
i₀ : ι
m : (i : ↑(Set.singleton i₀)ᶜ) → M ↑i
x : M i₀
⊢ (fun j ↦ m j) = fun j ↦ Function.subtypeNeLift i₀ m x ↑j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Generators

Goal state before:
pp: case succ.e_f
R : Type u_1
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
n : ℕ
hn :
  ∀ {ι : Type u_2} [Finite ι] {M : ι → Type u_3} {γ : ι → Type u_5} [inst : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)]
    [inst_1 : (i : ι) → Module R (M i)] {g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i},
    (∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤) →
      ∀ {φ φ' : (⨂[R] (i : ι), M i) →ₗ[R] N},
        (∀ (j : (i : ι) → γ i), φ (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)) = φ' (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))) → Nat.card ι = n → φ = φ'
ι : Type u_2
inst✝² : Finite ι
M : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i
hg : ∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤
hι : Nat.card ι = n + 1
this : Nonempty ι
i₀ : ι
e : (⨂[R] (i : ι), M i) ≃ₗ[R] M i₀ ⊗[R] (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) := ⋯
ψ ψ' : M i₀ ⊗[R] (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) →ₗ[R] N
h :
  ∀ (j : (i : ι) → γ i),
    ψ
        ((TensorProduct.comm R (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) (M i₀))
          ((equivPiTensorComplSingletonTensor R M i₀) (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)))) =
      ψ'
        ((TensorProduct.comm R (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) (M i₀))
          ((equivPiTensorComplSingletonTensor R M i₀) (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))))
⊢ (lift.equiv (RingHom.id R) (M i₀) (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) N).symm ψ =
    (lift.equiv (RingHom.id R) (M i₀) (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) N).symm ψ'

Tactic:
Submodule.linearMap_eq_iff_of_span_eq_top _ _ (hg i₀)

Goal state after:
case succ.e_f
R : Type u_1
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
n : ℕ
hn :
  ∀ {ι : Type u_2} [Finite ι] {M : ι → Type u_3} {γ : ι → Type u_5} [inst : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)]
    [inst_1 : (i : ι) → Module R (M i)] {g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i},
    (∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤) →
      ∀ {φ φ' : (⨂[R] (i : ι), M i) →ₗ[R] N},
        (∀ (j : (i : ι) → γ i), φ (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)) = φ' (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))) → Nat.card ι = n → φ = φ'
ι : Type u_2
inst✝² : Finite ι
M : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i
hg : ∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤
hι : Nat.card ι = n + 1
this : Nonempty ι
i₀ : ι
e : (⨂[R] (i : ι), M i) ≃ₗ[R] M i₀ ⊗[R] (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) :=
  equivPiTensorComplSingletonTensor R M i₀ ≪≫ₗ TensorProduct.comm R (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) (M i₀)
ψ ψ' : M i₀ ⊗[R] (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) →ₗ[R] N
h :
  ∀ (j : (i : ι) → γ i),
    ψ
        ((TensorProduct.comm R (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) (M i₀))
          ((equivPiTensorComplSingletonTensor R M i₀) (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)))) =
      ψ'
        ((TensorProduct.comm R (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) (M i₀))
          ((equivPiTensorComplSingletonTensor R M i₀) (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))))
⊢ ∀ (s : ↑(Set.range g)),
    ((lift.equiv (RingHom.id R) (M i₀) (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) N).symm ψ) ↑s =
      ((lift.equiv (RingHom.id R) (M i₀) (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) N).symm ψ') ↑s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u_1
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
n : ℕ
hn :
  ∀ {ι : Type u_2} [Finite ι] {M : ι → Type u_3} {γ : ι → Type u_5} [inst : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)]
    [inst_1 : (i : ι) → Module R (M i)] {g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i},
    (∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤) →
      ∀ {φ φ' : (⨂[R] (i : ι), M i) →ₗ[R] N},
        (∀ (j : (i : ι) → γ i), φ (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)) = φ' (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))) → Nat.card ι = n → φ = φ'
ι : Type u_2
inst✝² : Finite ι
M : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i
hg : ∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤
hι : Nat.card ι = n + 1
this : Nonempty ι
i₀ : ι
e : (⨂[R] (i : ι), M i) ≃ₗ[R] M i₀ ⊗[R] (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) :=
  equivPiTensorComplSingletonTensor R M i₀ ≪≫ₗ TensorProduct.comm R (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) (M i₀)
ψ ψ' : M i₀ ⊗[R] (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) →ₗ[R] N
h :
  ∀ (j : (i : ι) → γ i),
    ψ
        ((TensorProduct.comm R (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) (M i₀))
          ((equivPiTensorComplSingletonTensor R M i₀) (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)))) =
      ψ'
        ((TensorProduct.comm R (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) (M i₀))
          ((equivPiTensorComplSingletonTensor R M i₀) (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))))
g₀ : γ i₀
j : (i : ↑{i₀}ᶜ) → γ ↑i
⊢ (g g₀ ⊗ₜ[R] (tprod R) fun i ↦ g (j i)) =
    (TensorProduct.comm R (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) (M i₀))
      (((tprod R) fun j_1 ↦ g (Function.subtypeNeLift i₀ j g₀ ↑j_1)) ⊗ₜ[R] g g₀)

Tactic:
congr

Goal state after:
case e_n.e_6
R : Type u_1
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
n : ℕ
hn :
  ∀ {ι : Type u_2} [Finite ι] {M : ι → Type u_3} {γ : ι → Type u_5} [inst : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)]
    [inst_1 : (i : ι) → Module R (M i)] {g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i},
    (∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤) →
      ∀ {φ φ' : (⨂[R] (i : ι), M i) →ₗ[R] N},
        (∀ (j : (i : ι) → γ i), φ (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)) = φ' (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))) → Nat.card ι = n → φ = φ'
ι : Type u_2
inst✝² : Finite ι
M : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i
hg : ∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤
hι : Nat.card ι = n + 1
this : Nonempty ι
i₀ : ι
e : (⨂[R] (i : ι), M i) ≃ₗ[R] M i₀ ⊗[R] (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) := ⋯
ψ ψ' : M i₀ ⊗[R] (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) →ₗ[R] N
h :
  ∀ (j : (i : ι) → γ i),
    ψ
        ((TensorProduct.comm R (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) (M i₀))
          ((equivPiTensorComplSingletonTensor R M i₀) (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)))) =
      ψ'
        ((TensorProduct.comm R (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) (M i₀))
          ((equivPiTensorComplSingletonTensor R M i₀) (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))))
g₀ : γ i₀
j : (i : ↑{i₀}ᶜ) → γ ↑i
⊢ (fun i ↦ g (j i)) = fun j_1 ↦ g (Function.subtypeNeLift i₀ j g₀ ↑j_1)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Generators

Goal state before:
pp: case e_n.e_6
R : Type u_1
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
n : ℕ
hn :
  ∀ {ι : Type u_2} [Finite ι] {M : ι → Type u_3} {γ : ι → Type u_5} [inst : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)]
    [inst_1 : (i : ι) → Module R (M i)] {g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i},
    (∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤) →
      ∀ {φ φ' : (⨂[R] (i : ι), M i) →ₗ[R] N},
        (∀ (j : (i : ι) → γ i), φ (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)) = φ' (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))) → Nat.card ι = n → φ = φ'
ι : Type u_2
inst✝² : Finite ι
M : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i
hg : ∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤
hι : Nat.card ι = n + 1
this : Nonempty ι
i₀ : ι
e : (⨂[R] (i : ι), M i) ≃ₗ[R] M i₀ ⊗[R] (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) :=
  equivPiTensorComplSingletonTensor R M i₀ ≪≫ₗ TensorProduct.comm R (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) (M i₀)
ψ ψ' : M i₀ ⊗[R] (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) →ₗ[R] N
h :
  ∀ (j : (i : ι) → γ i),
    ψ
        ((TensorProduct.comm R (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) (M i₀))
          ((equivPiTensorComplSingletonTensor R M i₀) (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)))) =
      ψ'
        ((TensorProduct.comm R (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) (M i₀))
          ((equivPiTensorComplSingletonTensor R M i₀) (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))))
g₀ : γ i₀
j : (i : ↑{i₀}ᶜ) → γ ↑i
x : ι
hx : x ∈ {i₀}ᶜ
⊢ g (j ⟨x, hx⟩) = g (Function.subtypeNeLift i₀ j g₀ ↑⟨x, hx⟩)

Tactic:
congr

Goal state after:
case e_n.e_6
R : Type u_1
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
n : ℕ
hn :
  ∀ {ι : Type u_2} [Finite ι] {M : ι → Type u_3} {γ : ι → Type u_5} [inst : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)]
    [inst_1 : (i : ι) → Module R (M i)] {g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i},
    (∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤) →
      ∀ {φ φ' : (⨂[R] (i : ι), M i) →ₗ[R] N},
        (∀ (j : (i : ι) → γ i), φ (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)) = φ' (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))) → Nat.card ι = n → φ = φ'
ι : Type u_2
inst✝² : Finite ι
M : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i
hg : ∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤
hι : Nat.card ι = n + 1
this : Nonempty ι
i₀ : ι
e : (⨂[R] (i : ι), M i) ≃ₗ[R] M i₀ ⊗[R] (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) :=
  equivPiTensorComplSingletonTensor R M i₀ ≪≫ₗ TensorProduct.comm R (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) (M i₀)
ψ ψ' : M i₀ ⊗[R] (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) →ₗ[R] N
h :
  ∀ (j : (i : ι) → γ i),
    ψ
        ((TensorProduct.comm R (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) (M i₀))
          ((equivPiTensorComplSingletonTensor R M i₀) (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)))) =
      ψ'
        ((TensorProduct.comm R (⨂[R] (i : ↑{i₀}ᶜ), M ↑i) (M i₀))
          ((equivPiTensorComplSingletonTensor R M i₀) (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))))
g₀ : γ i₀
j : (i : ↑{i₀}ᶜ) → γ ↑i
x : ι
hx : x ∈ {i₀}ᶜ
⊢ j ⟨x, hx⟩ = Function.subtypeNeLift i₀ j g₀ ↑⟨x, hx⟩
Module: Mathlib.RingTheory.PiTensorProduct

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R'
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → Semiring (A i)
inst✝³ : Algebra R' R
inst✝² : (i : ι) → Algebra R (A i)
inst✝¹ : (i : ι) → Algebra R' (A i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R' R (A i)
r s : R'
⊢ s • r • 1 = s • r • (mul 1) 1

Tactic:
congr

Goal state after:
case e_a.e_a
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R'
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → Semiring (A i)
inst✝³ : Algebra R' R
inst✝² : (i : ι) → Algebra R (A i)
inst✝¹ : (i : ι) → Algebra R' (A i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R' R (A i)
r s : R'
⊢ 1 = (mul 1) 1
Module: Mathlib.RingTheory.PiTensorProduct

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R'
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → Semiring (A i)
inst✝³ : Algebra R' R
inst✝² : (i : ι) → Algebra R (A i)
inst✝¹ : (i : ι) → Algebra R' (A i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R' R (A i)
r s : R'
⊢ (r * s) • 1 = (mul (r • 1)) (s • 1)

Tactic:
rw [LinearMap.map_smul_of_tower, LinearMap.map_smul_of_tower, LinearMap.smul_apply, mul_comm,
        mul_smul]
      congr
      change (1 : ⨂[R] i, A i) = 1 * 1
      rw [mul_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Subspace

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Set (ℙ K V)
u : ℙ K V
⊢ u ∈ span S ↔ ∀ (W : Subspace K V), S ⊆ ↑W → u ∈ W

Tactic:
simp_rw [← span_le_subspace_iff]

Goal state after:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Set (ℙ K V)
u : ℙ K V
⊢ u ∈ span S ↔ ∀ (W : Subspace K V), span S ≤ W → u ∈ W
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Independence

Goal state before:
pp: K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
u v : V
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
⊢ Independent ![mk K u hu, mk K v hv] ↔ LinearIndependent K ![u, v]

Tactic:
by
  rw [independent_pair_iff_ne, ne_eq, mk_eq_mk_iff' K u v hu hv, linearIndependent_fin2]
  simp only [Matrix.cons_val_zero, Matrix.cons_val_one]
  exact ⟨fun h ↦ ⟨hv, fun a ha ↦ h ⟨a, ha⟩⟩, fun ⟨_, h⟩ ⟨a, ha⟩ ↦ h a ha⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.PSL.Stabilizer

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
ι : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
v : ι → F
hv : v ≠ 0
A : SpecialLinearGroup ι F
hA : A ∈ lineStab (F ∙ v)
⊢ A • v = v

Tactic:
set L : Submodule F (ι → F) := Submodule.span F {v}
  obtain ⟨c, hcv, hcomap, hres⟩ :=
    LinearMap.exists_restrict_span_singleton_eq_smul_id (A := A.toLin'.toLinearMap)
      (by simpa using! add_mem (hA v) (Submodule.mem_span_singleton_self v))
  have hQ : L.mapQ L A.toLin'.toLinearMap hcomap = LinearMap.id := LinearMap.ext fun x ↦ by
    induction x using Submodule.Quotient.induction_on with
    | _ w => simpa [Submodule.Quotient.eq] using! hA w
  have hdet := A.toLin'.toLinearMap.det_eq_det_mul_det L hcomap
  rw [show LinearMap.det A.toLin'.toLinearMap = 1 by simp [toLin'_to_linearMap],
      hres, hQ, LinearMap.det_smul, finrank_span_singleton hv, pow_one,
      LinearMap.det_id, LinearMap.det_id, mul_one, mul_one] at hdet
  exact hcv.trans (hdet ▸ one_smul F v)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝² : Field K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ Function.Injective ⇑PSLAction.toPermHom

Tactic:
rw [injective_iff_map_eq_one]
  intro g hg
  rwa [← MonoidHom.mem_ker, PSLAction.toPermHom,
    QuotientGroup.ker_lift, SL_mulAction_ker, QuotientGroup.map_mk'_self,
    Subgroup.mem_bot] at hg

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
bm : Basis ι R M
x : M
⊢ ∑ x_1 ∈ (bm.repr x).support, (bm.repr x) x_1 • (bm.repr x) x_1 • Q (bm x_1) +
      ∑ x_1 ∈ (bm.repr x).support.offDiag with x_1.1 < x_1.2,
        polar (⇑Q) ((bm.repr x) x_1.1 • bm x_1.1) ((bm.repr x) x_1.2 • bm x_1.2) =
    ∑ i ∈ (bm.repr x).support, Q ((bm.repr x) i • bm i) +
      ∑ ij ∈ (bm.repr x).support.sym2 with ¬ij.IsDiag, polarSym2 (⇑Q) (Sym2.map (fun a ↦ (bm.repr x) a • bm a) ij)

Tactic:
QuadraticMap.map_smul,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
bm : Basis ι R M
x : M
⊢ ∑ x_1 ∈ (bm.repr x).support, (bm.repr x) x_1 • (bm.repr x) x_1 • Q (bm x_1) +
      ∑ x_1 ∈ (bm.repr x).support.offDiag with x_1.1 < x_1.2,
        polar (⇑Q) ((bm.repr x) x_1.1 • bm x_1.1) ((bm.repr x) x_1.2 • bm x_1.2) =
    ∑ x_1 ∈ (bm.repr x).support, ((bm.repr x) x_1 * (bm.repr x) x_1) • Q (bm x_1) +
      ∑ ij ∈ (bm.repr x).support.sym2 with ¬ij.IsDiag, polarSym2 (⇑Q) (Sym2.map (fun a ↦ (bm.repr x) a • bm a) ij)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
r : ↥(rootsOfUnity (max (Module.finrank R V) 1) R)
⊢ ↑↑r • LinearMap.id = r • LinearMap.id

Tactic:
congr

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Radical

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
inst✝ : Invertible 2
m : M
h : Q (2 • m) - Q m - Q m = 0
⊢ Q m = 0

Tactic:
QuadraticMap.map_smul,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
inst✝ : Invertible 2
m : M
h : (2 * 2) • Q m - Q m - Q m = 0
⊢ Q m = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
l : ι
hli : l ≠ i
hkj : l ≠ j
hk' : P.root l + P.root i ∈ range ⇑P.root
hm : P.pairingIn ℤ j l ≤ 0
hl : P.root l = P.root l + P.root i - P.root j
⊢ i = j

Tactic:
by simpa [add_sub_assoc, sub_eq_zero] using hl

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i : ↥b.support
j : ↥b.support ⊕ ι
x : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hx : x ∈ span R (range h)
⊢ x j (Sum.inl i) = 0

Tactic:
induction hx using span_induction with

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
x : ↥b.support ⊕ ι → R
hx : x ∈ span R (range u)
⊢ x (Sum.inr j) = 0

Tactic:
induction hx using span_induction with

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: case pos.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -↑i
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n : ℕ
k : ι
x : ℕ
hk₁ : P.root k = P.root j + n • P.root ↑i
hk₂ : (e i ^ n).col (Sum.inr j) = x • Pi.single (Sum.inr k) 1
hki : k ≠ -↑i
m : ι
hl : P.root m = P.root j + (n + 1) • P.root ↑i
⊢ (x • e i *ᵥ Pi.single (Sum.inr k) 1) (Sum.inr m) =
    ((x * (chainBotCoeff (↑i) k + 1)) • Pi.single (Sum.inr m) 1) (Sum.inr m)

pp: case pos.inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -↑i
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n : ℕ
k : ι
x : ℕ
hk₁ : P.root k = P.root j + n • P.root ↑i
hk₂ : (e i ^ n).col (Sum.inr j) = x • Pi.single (Sum.inr k) 1
hki : k ≠ -↑i
l : ι
hl : P.root l = P.root j + (n + 1) • P.root ↑i
m : ι
hml : m ≠ l
⊢ (x • e i *ᵥ Pi.single (Sum.inr k) 1) (Sum.inr m) =
    ((x * (chainBotCoeff (↑i) k + 1)) • Pi.single (Sum.inr l) 1) (Sum.inr m)

Tactic:
· replace hl : P.root m = P.root i + P.root k := by rw [hl, hk₁]; module
          simp [e, -indexNeg_neg, hl, mul_add]

Goal state after:
case pos.inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -↑i
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n : ℕ
k : ι
x : ℕ
hk₁ : P.root k = P.root j + n • P.root ↑i
hk₂ : (e i ^ n).col (Sum.inr j) = x • Pi.single (Sum.inr k) 1
hki : k ≠ -↑i
l : ι
hl : P.root l = P.root j + (n + 1) • P.root ↑i
m : ι
hml : m ≠ l
⊢ (x • e i *ᵥ Pi.single (Sum.inr k) 1) (Sum.inr m) =
    ((x * (chainBotCoeff (↑i) k + 1)) • Pi.single (Sum.inr l) 1) (Sum.inr m)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
i j : ι
inst✝ : P.IsNotG2
h : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ≤ 2

pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
i j : ι
inst✝ : P.IsNotG2
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ≤ 2

Tactic:
· simp [chainTopCoeff_of_not_linearIndependent, chainBotCoeff_of_not_linearIndependent, h]

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
i j : ι
inst✝ : P.IsNotG2
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ≤ 2