mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
h₁ : t.points i₁ = t₀.orthocenter
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₂ : t₀.points j₂ = t.points i₂
h₃ : t₀.points j₃ = t.points i₃
j₁ : Fin 3
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₁₂₃ : ∀ (j : Fin 3), j = j₁ ∨ j = j₂ ∨ j = j₃
h : t₀.points j₁ = t.orthocenter
⊢ s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)

Tactic:
have hui : (Set.univ : Set (Fin 3)) = {i₁, i₂, i₃} := by ext x; simpa using h₁₂₃ x

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
h₁ : t.points i₁ = t₀.orthocenter
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₂ : t₀.points j₂ = t.points i₂
h₃ : t₀.points j₃ = t.points i₃
j₁ : Fin 3
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₁₂₃ : ∀ (j : Fin 3), j = j₁ ∨ j = j₂ ∨ j = j₃
h : t₀.points j₁ = t.orthocenter
hui : Set.univ = {i₁, i₂, i₃}
⊢ s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Tangent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
p : TangentBundle I M
q : TangentBundle I H
h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).target
⊢ ⟨↑(chartAt H p.proj).symm q.proj,
      (fderivWithin 𝕜
          ((↑I ∘ ↑(chartAt H (↑(chartAt H p.proj).symm q.proj))) ∘
            ↑(chartAt H p.proj).symm ∘ ↑(chartAt H q.proj).symm ∘ ↑I.symm)
          (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H q.proj) q.proj)))
        q.snd⟩ =
    ↑(({ baseSet := fun i ↦ (↑i).source, isOpen_baseSet := ⋯, indexAt := achart H, mem_baseSet_at := ⋯,
                      coordChange := fun i j x ↦
                        fderivWithin 𝕜 ((↑I ∘ ↑↑j) ∘ ↑(↑i).symm ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I (↑↑i x)),
                      coordChange_self := ⋯, continuousOn_coordChange := ⋯,
                      coordChange_comp := ⋯ }.toFiberBundleCore.localTriv
                (achart H p.proj)).toOpenPartialHomeomorph ≫ₕ
            (chartAt H p.proj).prod (OpenPartialHomeomorph.refl E)).symm
      ((TotalSpace.toProd H E) q)

Tactic:
congr

Goal state after:
case e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
p : TangentBundle I M
q : TangentBundle I H
h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).target
⊢ ↑(chartAt H q.proj) q.proj =
    ↑↑(achart H p.proj)
      (↑(((chartAt H p.proj).prod (OpenPartialHomeomorph.refl E)).restrOpen
                ({ baseSet := fun i ↦ (↑i).source, isOpen_baseSet := ⋯, indexAt := achart H, mem_baseSet_at := ⋯,
                          coordChange := fun i j x ↦
                            fderivWithin 𝕜 ((↑I ∘ ↑↑j) ∘ ↑(↑i).symm ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I (↑↑i x)),
                          coordChange_self := ⋯, continuousOn_coordChange := ⋯,
                          coordChange_comp := ⋯ }.toFiberBundleCore.localTriv
                    (achart H p.proj)).target
                ⋯).symm
          ((TotalSpace.toProd H E) q)).1
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Tangent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : IsManifold I 1 M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
N : Type u_8
f : N → M
g : N → M'
ϕ : (x : N) → TangentSpace I (f x) →L[𝕜] TangentSpace I' (g x)
x₀ x : N
hx : f x ∈ (chartAt H (f x₀)).source
hy : g x ∈ (chartAt H' (g x₀)).source
⊢ fderivWithin 𝕜 (↑((↑(achart H' (g x₀))).extend I') ∘ ↑((↑(achart H' (g x))).extend I').symm) (range ↑I')
        (↑((↑(achart H' (g x))).extend I') (g x)) ∘SL
      ϕ x ∘SL (tangentBundleCore I M).coordChange (achart H (f x₀)) (achart H (f x)) (f x) =
    mfderiv% ↑(extChartAt I' (g x₀)) (g x) ∘SL
      ϕ x ∘SL mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I (f x₀)).symm (↑(extChartAt I (f x₀)) (f x))

Tactic:
congr

Goal state after:
case e_g
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : IsManifold I 1 M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
N : Type u_8
f : N → M
g : N → M'
ϕ : (x : N) → TangentSpace I (f x) →L[𝕜] TangentSpace I' (g x)
x₀ x : N
hx : f x ∈ (chartAt H (f x₀)).source
hy : g x ∈ (chartAt H' (g x₀)).source
⊢ fderivWithin 𝕜 (↑((↑(achart H' (g x₀))).extend I') ∘ ↑((↑(achart H' (g x))).extend I').symm) (range ↑I')
      (↑((↑(achart H' (g x))).extend I') (g x)) =
    mfderiv% ↑(extChartAt I' (g x₀)) (g x)

case e_f.e_f
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : IsManifold I 1 M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
N : Type u_8
f : N → M
g : N → M'
ϕ : (x : N) → TangentSpace I (f x) →L[𝕜] TangentSpace I' (g x)
x₀ x : N
hx : f x ∈ (chartAt H (f x₀)).source
hy : g x ∈ (chartAt H' (g x₀)).source
⊢ (tangentBundleCore I M).coordChange (achart H (f x₀)) (achart H (f x)) (f x) =
    mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I (f x₀)).symm (↑(extChartAt I (f x₀)) (f x))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.LeftInvariantDerivation

Goal state before:
pp: case mk.mk
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : ChartedSpace H G
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : ContMDiffMul I ∞ G
toDerivation✝¹ : Derivation 𝕜 C^∞⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯ C^∞⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
left_invariant''✝¹ : ∀ (g : G), (𝒅ₕ ⋯) ((Derivation.evalAt 1) toDerivation✝¹) = (Derivation.evalAt g) toDerivation✝¹
toDerivation✝ : Derivation 𝕜 C^∞⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯ C^∞⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
left_invariant''✝ : ∀ (g : G), (𝒅ₕ ⋯) ((Derivation.evalAt 1) toDerivation✝) = (Derivation.evalAt g) toDerivation✝
h :
  ↑{ toDerivation := toDerivation✝¹, left_invariant'' := left_invariant''✝¹ } =
    ↑{ toDerivation := toDerivation✝, left_invariant'' := left_invariant''✝ }
⊢ { toDerivation := toDerivation✝¹, left_invariant'' := left_invariant''✝¹ } =
    { toDerivation := toDerivation✝, left_invariant'' := left_invariant''✝ }

Tactic:
congr

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
H'' : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
E'' : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
g : M' → M''
f : M → M'
V : (x : M'') → TangentSpace I'' x
s : Set M
t : Set M'
x₀ : M
hf : MDiffAt[s] f x₀
h : MapsTo f s t
hu : UniqueMDiffAt[s] x₀
hg' : (mfderiv[t] g (f x₀)).IsInvertible
hg : MDiffAt[t] g (f x₀)
⊢ (mfderiv[t] g (f x₀) ∘SL mfderiv[s] f x₀).inverse (V ((g ∘ f) x₀)) =
    (mfderiv[s] f x₀).inverse ((mfderiv[t] g (f x₀)).inverse (V (g (f x₀))))

Tactic:
Function.comp_apply,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
H'' : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
E'' : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
g : M' → M''
f : M → M'
V : (x : M'') → TangentSpace I'' x
s : Set M
t : Set M'
x₀ : M
hf : MDiffAt[s] f x₀
h : MapsTo f s t
hu : UniqueMDiffAt[s] x₀
hg' : (mfderiv[t] g (f x₀)).IsInvertible
hg : MDiffAt[t] g (f x₀)
⊢ (mfderiv[t] g (f x₀) ∘SL mfderiv[s] f x₀).inverse (V (g (f x₀))) =
    (mfderiv[s] f x₀).inverse ((mfderiv[t] g (f x₀)).inverse (V (g (f x₀))))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.GroupLieAlgebra

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : ChartedSpace H G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : LieGroup I (minSmoothness 𝕜 3) G
g : G
V : (g : G) → TangentSpace I g
A : 1 = g⁻¹ * g
⊢ ((mfderiv% fun x ↦ g * x) 1) (V 1) = ((mfderiv% fun b ↦ g⁻¹⁻¹ * b) (g⁻¹ * g)) (V (g⁻¹ * g))

Tactic:
congr

Goal state after:
case e_5.e_21
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : ChartedSpace H G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : LieGroup I (minSmoothness 𝕜 3) G
g : G
V : (g : G) → TangentSpace I g
A : 1 = g⁻¹ * g
⊢ (fun x ↦ g * x) = fun b ↦ g⁻¹⁻¹ * b
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
f : M → 𝕜
hf : MDiffAt[s] f x
hW : (MDiffAt[s] fun x ↦ ⟨x, W x⟩) x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I)
W' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) W (range ↑I)
f' : E → 𝕜 := f ∘ ↑(extChartAt I x).symm
s' : Set E := ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I
A : (x₀ : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x₀ := fun x₀ ↦ (fderivWithin 𝕜 f' s' x₀) (V' x₀) • W' x₀
B : (x₀ : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x₀ := fun x₀ ↦ f' x₀ • lieBracketWithin 𝕜 V' W' s' x₀
⊢ (mfderiv% ↑(extChartAt I x) x).inverse (lieBracketWithin 𝕜 V' (f' • W') s' (↑(extChartAt I x) x)) =
    (mfderiv% ↑(extChartAt I x) x).inverse (A (↑(extChartAt I x) x) + B (↑(extChartAt I x) x))

Tactic:
congr

Goal state after:
case e_6
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
f : M → 𝕜
hf : MDiffAt[s] f x
hW : (MDiffAt[s] fun x ↦ ⟨x, W x⟩) x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := ⋯
W' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := ⋯
f' : E → 𝕜 := ⋯
s' : Set E := ⋯
A : (x₀ : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x₀ := ⋯
B : (x₀ : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x₀ := ⋯
⊢ lieBracketWithin 𝕜 V' (f' • W') s' (↑(extChartAt I x) x) = A (↑(extChartAt I x) x) + B (↑(extChartAt I x) x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: x y : ℝ
hxy : Fact (x < y)
⊢ (fun x ↦ 0) = 0

Tactic:
congr

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E''' : Type u_4
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
J' : ModelWithCorners 𝕜 E''' G'
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
x : M
f : M → N
φ : N → N'
hφ : IsImmersionAtOfComplement F J J' n φ (f x)
x✝ : ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I J' n (φ ∘ f) x
hf : ContinuousAt f x
h' : ContMDiffAt I J' n (φ ∘ f) x
this : hφ.domChart.source ∈ 𝓝 (f x)
t : Set M
ht : t ⊆ f ⁻¹' hφ.domChart.source
htopen : IsOpen[inst✝⁵] t
hxt : x ∈ t
⊢ ContMDiffAt I J n f x

Tactic:
suffices CMDiffAt[t] n f x from this.contMDiffAt <| htopen.mem_nhds hxt

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E''' : Type u_4
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
J' : ModelWithCorners 𝕜 E''' G'
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
x : M
f : M → N
φ : N → N'
hφ : IsImmersionAtOfComplement F J J' n φ (f x)
x✝ : ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I J' n (φ ∘ f) x
hf : ContinuousAt f x
h' : ContMDiffAt I J' n (φ ∘ f) x
this : hφ.domChart.source ∈ 𝓝 (f x)
t : Set M
ht : t ⊆ f ⁻¹' hφ.domChart.source
htopen : IsOpen[inst✝⁵] t
hxt : x ∈ t
⊢ ContMDiffWithinAt I J n f t x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I n M
x : M
y : E
hy : y ∈ ((chartAt H x).extend I).target
⊢ ↑I (↑(chartAt H x) (↑(chartAt H x).symm (↑I.symm y))) = y

Tactic:
(chartAt H x).right_inv (by simp_all),

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I n M
x : M
y : E
hy : y ∈ ((chartAt H x).extend I).target
⊢ ↑I (↑I.symm y) = y
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_15
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I n M'
x : M
y : E
hy : y ∈ ((chartAt H x).extend I).target
⊢ ↑I (↑(chartAt H x) (↑(chartAt H x).symm (↑I.symm y))) = y

Tactic:
(chartAt H x).right_inv (by simp_all),

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_15
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I n M'
x : M
y : E
hy : y ∈ ((chartAt H x).extend I).target
⊢ ↑I (↑I.symm y) = y
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_15
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I n M'
x : M'
y : E
hy : y ∈ ((chartAt H x).extend I).target
⊢ ↑I (↑(chartAt H x) (↑(chartAt H x).symm (↑I.symm y))) = y

Tactic:
(chartAt H x).right_inv (by simp_all),

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_15
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I n M'
x : M'
y : E
hy : y ∈ ((chartAt H x).extend I).target
⊢ ↑I (↑I.symm y) = y
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Icc

Goal state before:
pp: x y : ℝ
h : Fact (x < y)
z : ℝ
hz : z ∈ Icc x y
⊢ (mfderiv[Icc x y] (projIcc x y ⋯) z) 1 = (mfderiv[Icc x y] (projIcc x y ⋯) ↑(projIcc x y ⋯ z)) 1

Tactic:
congr

Goal state after:
case e_23
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
z : ℝ
hz : z ∈ Icc x y
⊢ z = ↑(projIcc x y ⋯ z)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
h : ∀ (t : ℝ), IsMIntegralCurveAt γ v t
t : ℝ
⊢ HasMFDerivAt% γ t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))

Tactic:
obtain ⟨s, hs, h⟩ := isMIntegralCurveAt_iff.mp (h t)
    exact h t (mem_of_mem_nhds hs) |>.hasMFDerivAt hs

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Sphere

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(ℝ ∙ ↑(-v))ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this : (↑(fderiv ℝ ((stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) ∘ ⇑U.symm) 0)).range = (ℝ ∙ ↑v)ᗮ
⊢ (↑(fderiv ℝ (Subtype.val ∘ ↑(ChartedSpace.chartAt v).symm) (↑(ChartedSpace.chartAt v) v))).range = (ℝ ∙ ↑v)ᗮ

Tactic:
by
    rw [← this]
    congr 3
    apply stereographic'_neg

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.ExistUnique

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : CompleteSpace E
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) x₀
hv :
  ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 :
  ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀,
    HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' :
  ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a,
    HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀
hnhds : ∀ᶠ (x' : ℝ) in 𝓝 t₀, f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 x'
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t₀
haux :
  ∀ y ∈ s,
    HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y ∧
      f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 y
⊢ x₀ = (↑(extChartAt I x₀).symm ∘ f) t₀

Tactic:
Function.comp_apply,

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : CompleteSpace E
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) x₀
hv :
  ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 :
  ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀,
    HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' :
  ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a,
    HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀
hnhds : ∀ᶠ (x' : ℝ) in 𝓝 t₀, f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 x'
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t₀
haux :
  ∀ y ∈ s,
    HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y ∧
      f ⁻¹' interior (extChartAt I x₀).target ∈ 𝓝 y
⊢ x₀ = ↑(extChartAt I x₀).symm (f t₀)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv

Goal state before:
pp: case hs
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
Is : IsManifold I 1 M
x : M
v : TangentSpace I x
⊢ IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target)

Tactic:
apply (OpenPartialHomeomorph.open_target _).preimage I.continuous_invFun

Goal state after: