mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Away

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
r : R
inst✝ : IsLocalizedModule.Away r f
u : Rˣ
x : M
⊢ ∀ (y : M), f x = f y → ∃ n, (↑u * r) ^ n • x = (↑u * r) ^ n • y

Tactic:
y

Goal state after:
case refine_3
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
r : R
inst✝ : IsLocalizedModule.Away r f
u : Rˣ
x y : M
⊢ f x = f y → ∃ n, (↑u * r) ^ n • x = (↑u * r) ^ n • y
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Int

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_4
s : Finset ι
g : ι → M'
sec : ι → M × ↥S
hsec : ∀ (i : ι), (sec i).2 • g i = f (sec i).1
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ↑((∏ j ∈ s.erase i, (sec j).2) * (sec i).2) • g i = (∏ i ∈ s, ↑(sec i).2) • g i

Tactic:
congr

Goal state after:
case refine_2.e_a
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_4
s : Finset ι
g : ι → M'
sec : ι → M × ↥S
hsec : ∀ (i : ι), (sec i).2 • g i = f (sec i).1
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ↑((∏ j ∈ s.erase i, (sec j).2) * (sec i).2) = ∏ i ∈ s, ↑(sec i).2
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : NormalizationMonoid R
r : R
hr : r ≠ 0
⊢ Function.Bijective fun d ↦ ⟨span {↑d}, ⋯⟩

Tactic:
refine ⟨?_, ?_⟩

Goal state after:
case refine_2.refine_1
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : NormalizationMonoid R
r : R
hr : r ≠ 0
⊢ Function.Injective fun d ↦ ⟨span {↑d}, ⋯⟩

case refine_2.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : NormalizationMonoid R
r : R
hr : r ≠ 0
⊢ Function.Surjective fun d ↦ ⟨span {↑d}, ⋯⟩
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Supported

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
s : Set σ
⊢ (aeval fun x ↦ X ↑x).range = (aeval (X ∘ Subtype.val)).range

Tactic:
congr

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝² : IsLocalizedModule S g
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hf : Function.Bijective ⇑((IsLocalizedModule.map S f g) l)
e : M' ≃ₗ[R] N' := LinearEquiv.ofBijective ((IsLocalizedModule.map S f g) l) hf
⊢ ∃ r ∈ S, ∀ (t : R), r ∣ t → Function.Bijective ⇑((LocalizedModule.map (Submonoid.powers t)) l)

Tactic:
obtain ⟨l', s₀, H⟩ := Module.FinitePresentation.exists_lift_of_isLocalizedModule S f
    (e.symm.toLinearMap.comp g)

Goal state after:
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝² : IsLocalizedModule S g
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hf : Function.Bijective ⇑((IsLocalizedModule.map S f g) l)
e : M' ≃ₗ[R] N' := LinearEquiv.ofBijective ((IsLocalizedModule.map S f g) l) hf
l' : N →ₗ[R] M
s₀ : ↥S
H : f ∘ₗ l' = s₀ • ↑e.symm ∘ₗ g
⊢ ∃ r ∈ S, ∀ (t : R), r ∣ t → Function.Bijective ⇑((LocalizedModule.map (Submonoid.powers t)) l)
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.PDeriv

Goal state before:
pp: R : Type u
σ : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq σ
i : σ
⊢ pderiv i = mkDerivation R (Pi.single i 1)

Tactic:
by
  unfold pderiv; congr!

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.PID

Goal state before:
pp: case h.succ.refine_2
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : Module R M],
    IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p) →
      ∀ (s : Fin d → M), Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → M ⧸ R ∙ s j := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
hs' :
  Submodule.span R
      (insert (((fun a ↦ Submodule.Quotient.mk a) ∘ s) j) ((fun a ↦ Submodule.Quotient.mk a) ∘ s '' {j}ᶜ)) =
    ⊤
⊢ Submodule.span R (Submodule.Quotient.mk ∘ s '' {j}ᶜ) = ⊤

Tactic:
Function.comp_apply,

Goal state after:
case h.succ.refine_2
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : Module R M],
    IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p) →
      ∀ (s : Fin d → M), Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → M ⧸ R ∙ s j := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
hs' : Submodule.span R (insert (Submodule.Quotient.mk (s j)) ((fun a ↦ Submodule.Quotient.mk a) ∘ s '' {j}ᶜ)) = ⊤
⊢ Submodule.span R (Submodule.Quotient.mk ∘ s '' {j}ᶜ) = ⊤
Module: Mathlib.Algebra.Module.PID

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsDomain R
h' : Module.Finite R M
I : Type u
fI : Fintype I
p : I → R
hp : ∀ (i : I), Irreducible (p i)
e : I → ℕ
h : ↥(torsion R M) ≃ₗ[R] ⨁ (i : I), R ⧸ R ∙ p i ^ e i
⊢ ∃ n ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)), ∃ e, Nonempty (M ≃ₗ[R] (Fin n →₀ R) × ⨁ (i : ι), R ⧸ R ∙ p i ^ e i)

Tactic:
obtain ⟨n, ⟨g⟩⟩ := @Module.basisOfFiniteTypeTorsionFree' R _ (M ⧸ torsion R M) _ _ _ _ _ _

Goal state after:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsDomain R
h' : Module.Finite R M
I : Type u
fI : Fintype I
p : I → R
hp : ∀ (i : I), Irreducible (p i)
e : I → ℕ
h : ↥(torsion R M) ≃ₗ[R] ⨁ (i : I), R ⧸ R ∙ p i ^ e i
n : ℕ
g : (M ⧸ torsion R M) ≃ₗ[R] Fin n →₀ R
⊢ ∃ n ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)), ∃ e, Nonempty (M ≃ₗ[R] (Fin n →₀ R) × ⨁ (i : ι), R ⧸ R ∙ p i ^ e i)
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
S : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
⊢ IsBaseChange S (baseChangeHom R S (ι → R) N)

Tactic:
by
  classical
  have : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
  let e₁ := TensorProduct.piRight R S S (fun _ : ι ↦ R)
  let e₂ := (LinearEquiv.piCongrRight (fun _ ↦ (LinearMap.ringLmapEquivSelf S S _).symm ≪≫ₗ
    (LinearEquiv.congrLeft (S ⊗[R] N) S (AlgebraTensorModule.rid R S S).symm))) ≪≫ₗ
    (LinearMap.lsum S (fun _ : ι ↦ _) S) ≪≫ₗ (e₁.symm.congrLeft (S ⊗[R] N) S)
  let e₃ := (LinearMap.lsum R (fun _ : ι ↦ R) R).symm ≪≫ₗ
    LinearEquiv.piCongrRight (fun _ ↦ LinearMap.ringLmapEquivSelf R R N)
  refine IsBaseChange.of_equiv ((e₃.baseChange R S) ≪≫ₗ (TensorProduct.piRight R S S _) ≪≫ₗ e₂)
    (fun f ↦ TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry_injective (LinearMap.ext fun s ↦ ?_))
  ext i
  simpa [e₃, e₂, e₁] using (tmul_eq_smul_one_tmul s (f (Pi.single i 1))).symm

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Localization

Goal state before:
pp: case refine_3
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_3
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : Away r S
p : MvPolynomial Unit R
hp : p ∈ Ideal.span {C r * X () - 1}
⊢ ∀ (x y : MvPolynomial Unit R),
    x ∈ MvPolynomial Unit R ∙ (C r * X () - 1) →
      y ∈ MvPolynomial Unit R ∙ (C r * X () - 1) →
        (aeval fun x ↦ invSelf r) x = 0 → (aeval fun x ↦ invSelf r) y = 0 → (aeval fun x ↦ invSelf r) (x + y) = 0

Tactic:
intro p q _ _ hp hq

Goal state after:
case refine_3
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_3
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : Away r S
p✝ : MvPolynomial Unit R
hp✝ : p✝ ∈ Ideal.span {C r * X () - 1}
p q : MvPolynomial Unit R
hx✝ : p ∈ MvPolynomial Unit R ∙ (C r * X () - 1)
hy✝ : q ∈ MvPolynomial Unit R ∙ (C r * X () - 1)
hp : (aeval fun x ↦ invSelf r) p = 0
hq : (aeval fun x ↦ invSelf r) q = 0
⊢ (aeval fun x ↦ invSelf r) (p + q) = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Presentation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Presentation R S ι σ
inst✝ : Finite σ
⊢ P.ker.FG

Tactic:
by
  use (Set.finite_range P.relation).toFinset
  simp [span_range_relation_eq_ker]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Presentation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : FinitePresentation R S
H : ∃ n f, Function.Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG := FinitePresentation.out
n : ℕ := H.choose
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] S := ⋯.choose
hf : Function.Surjective ⇑f
hf' : (RingHom.ker f).FG
H' : ∃ n_1 s, Submodule.span (MvPolynomial (Fin n) R) (Set.range s) = RingHom.ker f :=
  Submodule.fg_iff_exists_fin_generating_family.mp hf'
m : ℕ := H'.choose
v : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R := ⋯.choose
hv : Ideal.span (Set.range v) = RingHom.ker f
⊢ RingHom.ker f = (Generators.ofSurjective (fun x ↦ f (X x)) ⋯).ker

Tactic:
congr

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : FinitePresentation R S
H : ∃ n f, Function.Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG := FinitePresentation.out
n : ℕ := H.choose
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] S := ⋯.choose
hf : Function.Surjective ⇑f
hf' : (RingHom.ker f).FG
H' : ∃ n_1 s, Submodule.span (MvPolynomial (Fin n) R) (Set.range s) = RingHom.ker f :=
  Submodule.fg_iff_exists_fin_generating_family.mp hf'
m : ℕ := H'.choose
v : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R := ⋯.choose
hv : Ideal.span (Set.range v) = RingHom.ker f
⊢ f = aeval fun x ↦ f (X x)
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Extension R S
x : S
⊢ ∀ ⦃a₂ : S⦄, P.σ x = P.σ a₂ → x = a₂

Tactic:
y

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Extension R S
x y : S
⊢ P.σ x = P.σ y → x = y
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Presentation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
ι' : Type u_1
σ' : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra S T
Q : Presentation S T ι' σ'
P : Presentation R S ι σ
r : σ'
⊢ ((Q.relation r).coeff.sum fun a b ↦
      (aeval (⇑C ∘ P.val)) (P.σ b) *
        ((algebraMap R (MvPolynomial ι' S)) 1 *
          (Finsupp.mapDomain Sum.inl a).prod fun i k ↦ Sum.elim X (⇑C ∘ P.val) i ^ k)) =
    (Q.relation r).coeff.sum fun i n ↦ AddMonoidAlgebra.ofCoeff (Finsupp.single i n)

Tactic:
congr

Goal state after:
case e_g
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
ι' : Type u_1
σ' : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra S T
Q : Presentation S T ι' σ'
P : Presentation R S ι σ
r : σ'
⊢ (fun a b ↦
      (aeval (⇑C ∘ P.val)) (P.σ b) *
        ((algebraMap R (MvPolynomial ι' S)) 1 *
          (Finsupp.mapDomain Sum.inl a).prod fun i k ↦ Sum.elim X (⇑C ∘ P.val) i ^ k)) =
    fun i n ↦ AddMonoidAlgebra.ofCoeff (Finsupp.single i n)
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Presentation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_1
σ' : Type u_2
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra S T
Q : Presentation S T ι' σ'
P : Presentation R S ι σ
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsScalarTower R S T
⊢ Ideal.span (Set.range (Q.compRelationAux P)) ⊔ Ideal.span (Set.range fun rp ↦ (rename Sum.inr) (P.relation rp)) =
    Ideal.span (Set.range (Q.compRelationAux P)) ⊔ Ideal.span (⇑(rename Sum.inr) '' Set.range P.relation)

Tactic:
congr

Goal state after:
case e_a
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_1
σ' : Type u_2
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra S T
Q : Presentation S T ι' σ'
P : Presentation R S ι σ
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsScalarTower R S T
⊢ (Set.range fun rp ↦ (rename Sum.inr) (P.relation rp)) = ⇑(rename Sum.inr) '' Set.range P.relation
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S ι
x : S
⊢ ∀ ⦃a₂ : S⦄, P.σ x = P.σ a₂ → x = a₂

Tactic:
y

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S ι
x y : S
⊢ P.σ x = P.σ y → x = y
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Differentials

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
φ : (σ →₀ S) →ₗ[pres.Ring] pres.toExtension.Cotangent := { toFun := ⇑(hom₁ pres), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
h₁ : Function.Surjective ⇑Extension.Cotangent.mk
⊢ Ideal.span (Subtype.val '' Set.range fun r ↦ ⟨pres.relation r, ⋯⟩) = Ideal.span (Set.range pres.relation)

Tactic:
congr

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
φ : (σ →₀ S) →ₗ[pres.Ring] pres.toExtension.Cotangent := { toFun := ⇑(hom₁ pres), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
h₁ : Function.Surjective ⇑Extension.Cotangent.mk
⊢ (Subtype.val '' Set.range fun r ↦ ⟨pres.relation r, ⋯⟩) = Set.range pres.relation
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.DirectSum

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝⁵ : Ring A
ι : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq ι
relations : ι → Relations A
M : ι → Type v
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module A (M i)
N : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module A N
t : (i : ι) → (relations i).Solution N
x✝ : (directSum relations).R
i : ι
r : (relations i).R
⊢ (Finsupp.linearCombination A fun x ↦
        match x with
        | ⟨i, g⟩ => (t i).var g)
      ((directSum relations).relation ⟨i, r⟩) =
    0

Tactic:
← (t i).linearCombination_var_relation r

Goal state after:
A : Type u
inst✝⁵ : Ring A
ι : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq ι
relations : ι → Relations A
M : ι → Type v
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module A (M i)
N : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module A N
t : (i : ι) → (relations i).Solution N
x✝ : (directSum relations).R
i : ι
r : (relations i).R
⊢ (Finsupp.linearCombination A fun x ↦
        match x with
        | ⟨i, g⟩ => (t i).var g)
      ((directSum relations).relation ⟨i, r⟩) =
    (Finsupp.linearCombination A (t i).var) ((relations i).relation r)
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Tautological

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝⁴ : Ring A
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module A M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module A N
s : (tautologicalRelations A M).Solution N
m₁ m₂ : M
⊢ s.var m₁ + s.var m₂ - s.var (m₁ + m₂) = 0

Tactic:
simpa using s.linearCombination_var_relation (.add m₁ m₂)

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Type u_8
f : MvPolynomial I R →ₐ[R] S
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ RingHom.ker (algebraMap (ofAlgHom f h).toExtension.Ring S) = RingHom.ker f.toRingHom

Tactic:
congr

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Type u_8
f : MvPolynomial I R →ₐ[R] S
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ algebraMap (ofAlgHom f h).toExtension.Ring S = f.toRingHom
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: case a
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
this : DecidableEq (ι' →₀ ℕ) := Classical.decEq (ι' →₀ ℕ)
x : (Q.comp P).Ring
h₂ : (Q.ofComp P).toAlgHom x = 0
e : (ι' ⊕ ι →₀ ℕ) ≃+ (ι' →₀ ℕ) × (ι →₀ ℕ) := Finsupp.sumFinsuppAddEquivProdFinsupp
⊢ ∑ j ∈ Finset.image Prod.fst (Finset.map (↑e).toEmbedding (support x)),
      ∑ i ∈ Finset.map (↑e).toEmbedding (support x) with i.1 = j, (monomial (e.symm i)) (coeff (e.symm i) x) ∈
    Ideal.map (Q.toComp P).toAlgHom.toRingHom P.ker

Tactic:
refine sum_mem fun i hi ↦ ?_

Goal state after:
case a
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
this : DecidableEq (ι' →₀ ℕ) := Classical.decEq (ι' →₀ ℕ)
x : (Q.comp P).Ring
h₂ : (Q.ofComp P).toAlgHom x = 0
e : (ι' ⊕ ι →₀ ℕ) ≃+ (ι' →₀ ℕ) × (ι →₀ ℕ) := Finsupp.sumFinsuppAddEquivProdFinsupp
i : ι' →₀ ℕ
hi : i ∈ Finset.image Prod.fst (Finset.map (↑e).toEmbedding (support x))
⊢ ∑ i ∈ Finset.map (↑e).toEmbedding (support x) with i.1 = i, (monomial (e.symm i)) (coeff (e.symm i) x) ∈
    Ideal.map (Q.toComp P).toAlgHom.toRingHom P.ker
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: case a.convert_4.monomial.isFalse
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
this✝ : DecidableEq (ι' →₀ ℕ) := Classical.decEq (ι' →₀ ℕ)
e : (ι' ⊕ ι →₀ ℕ) ≃+ (ι' →₀ ℕ) × (ι →₀ ℕ) := Finsupp.sumFinsuppAddEquivProdFinsupp
i : ι' →₀ ℕ
this :
  ∀ (x : (Q.comp P).Ring),
    (Function.support fun a ↦ if a.1 = i then (aeval P.val) ((monomial a.2) (coeff (e.symm a) x)) else 0) ⊆
      ↑(Finset.map (↑e).toEmbedding (support x))
a : R
v : (ι' →₀ ℕ) × (ι →₀ ℕ)
h✝ : ¬a = 0
⊢ (if v.1 = i then (aeval P.val) ((monomial v.2) a) else 0) = if v.1 = i then (aeval P.val) ((monomial v.2) a) else 0

Tactic:
congr

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁶ : CommRing R'
inst✝⁵ : CommRing S'
inst✝⁴ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : Algebra R S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
f : P.Hom P'
x : S
y : Ω[P.Ring⁄R]
⊢ x • (⇑(↑P.Ring ((TensorProduct.mk P'.Ring S' Ω[P'.Ring⁄R']) 1)) ∘ ⇑(KaehlerDifferential.map R R' P.Ring P'.Ring)) y =
    (algebraMap S S') x ⊗ₜ[P'.Ring] (KaehlerDifferential.map R R' P.Ring P'.Ring) y

Tactic:
Function.comp_apply,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁶ : CommRing R'
inst✝⁵ : CommRing S'
inst✝⁴ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : Algebra R S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
f : P.Hom P'
x : S
y : Ω[P.Ring⁄R]
⊢ x • (↑P.Ring ((TensorProduct.mk P'.Ring S' Ω[P'.Ring⁄R']) 1)) ((KaehlerDifferential.map R R' P.Ring P'.Ring) y) =
    (algebraMap S S') x ⊗ₜ[P'.Ring] (KaehlerDifferential.map R R' P.Ring P'.Ring) y
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝²³ : CommRing R
inst✝²² : CommRing S
inst✝²¹ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²⁰ : CommRing R'
inst✝¹⁹ : CommRing S'
inst✝¹⁸ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝¹⁷ : Algebra R R'
inst✝¹⁶ : Algebra S S'
inst✝¹⁵ : Algebra R S'
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R R' S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹³ : CommRing R''
inst✝¹² : CommRing S''
inst✝¹¹ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹⁰ : Algebra R R''
inst✝⁹ : Algebra S S''
inst✝⁸ : Algebra R S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R R' R''
inst✝¹ : IsScalarTower S S' S''
inst✝ : IsScalarTower R S S'
f g : P.Hom P'
this✝³ : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra
this✝² : IsScalarTower P.Ring S S'
this✝¹ : Algebra P.Ring P'.Ring := f.toAlgHom.toAlgebra
this✝ : IsScalarTower P.Ring P'.Ring S'
this : IsScalarTower R P.Ring S'
x : P.Ring
⊢ ∀ (b : P.Ring),
    (↑R Cotangent.mk ∘ₗ f.subToKer g) (x * b) =
      x • (↑R Cotangent.mk ∘ₗ f.subToKer g) b + b • (↑R Cotangent.mk ∘ₗ f.subToKer g) x

Tactic:
y

Goal state after:
case refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝²³ : CommRing R
inst✝²² : CommRing S
inst✝²¹ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²⁰ : CommRing R'
inst✝¹⁹ : CommRing S'
inst✝¹⁸ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝¹⁷ : Algebra R R'
inst✝¹⁶ : Algebra S S'
inst✝¹⁵ : Algebra R S'
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R R' S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹³ : CommRing R''
inst✝¹² : CommRing S''
inst✝¹¹ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹⁰ : Algebra R R''
inst✝⁹ : Algebra S S''
inst✝⁸ : Algebra R S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R R' R''
inst✝¹ : IsScalarTower S S' S''
inst✝ : IsScalarTower R S S'
f g : P.Hom P'
this✝³ : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra
this✝² : IsScalarTower P.Ring S S'
this✝¹ : Algebra P.Ring P'.Ring := f.toAlgHom.toAlgebra
this✝ : IsScalarTower P.Ring P'.Ring S'
this : IsScalarTower R P.Ring S'
x y : P.Ring
⊢ (↑R Cotangent.mk ∘ₗ f.subToKer g) (x * y) =
    x • (↑R Cotangent.mk ∘ₗ f.subToKer g) y + y • (↑R Cotangent.mk ∘ₗ f.subToKer g) x
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion

Goal state before:
pp: case singleton
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
K : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup K
inst✝¹ : Module R K
inst✝ : Module.Finite R K
K' : Submodule R K
k : K
n : ℕ
f : K →ₗ[R] Fin n →₀ R
x : (Fin n →₀ R) →ₗ[R] M
h : x ∘ₗ f = 0
⊢ ∃ k_1 a y, x = y ∘ₗ a ∧ R ∙ k ≤ (a ∘ₗ f).ker

Tactic:
| singleton k =>

Goal state after: