mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.UniformSpace.CompactConvergence

Goal state before:
pp: α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : UniformSpace β
δ₁ : Type u_1
δ₂ : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace δ₁
inst✝ : TopologicalSpace δ₂
φ₁ : C(δ₁, α)
φ₂ : C(δ₂, α)
h_proper₁ : IsProperMap ⇑φ₁
h_proper₂ : IsProperMap ⇑φ₂
h_cover : range ⇑φ₁ ∪ range ⇑φ₂ = univ
𝔖 : Set (Set α) := {K | IsCompact K}
𝔗₁ : Set (Set δ₁) := {K | IsCompact K}
𝔗₂ : Set (Set δ₂) := {K | IsCompact K}
⊢ inferInstance =
    UniformSpace.comap (fun x ↦ x.comp φ₁) inferInstance ⊓ UniformSpace.comap (fun x ↦ x.comp φ₂) inferInstance

Tactic:
have h_image₁ : MapsTo (φ₁ '' ·) 𝔗₁ 𝔖 := fun K hK ↦ hK.image φ₁.continuous

Goal state after:
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : UniformSpace β
δ₁ : Type u_1
δ₂ : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace δ₁
inst✝ : TopologicalSpace δ₂
φ₁ : C(δ₁, α)
φ₂ : C(δ₂, α)
h_proper₁ : IsProperMap ⇑φ₁
h_proper₂ : IsProperMap ⇑φ₂
h_cover : range ⇑φ₁ ∪ range ⇑φ₂ = univ
𝔖 : Set (Set α) := {K | IsCompact K}
𝔗₁ : Set (Set δ₁) := {K | IsCompact K}
𝔗₂ : Set (Set δ₂) := {K | IsCompact K}
h_image₁ : MapsTo (fun x ↦ ⇑φ₁ '' x) 𝔗₁ 𝔖
⊢ inferInstance =
    UniformSpace.comap (fun x ↦ x.comp φ₁) inferInstance ⊓ UniformSpace.comap (fun x ↦ x.comp φ₂) inferInstance
Module: Mathlib.Order.Filter.ENNReal

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha_top : a ≠ ∞
ha₀ : a = 0
⊢ limsup (fun x ↦ a * u x) f = a * limsup u f

Tactic:
simp_rw [ha₀, zero_mul, ← ENNReal.bot_eq_zero]
    exact limsup_const_bot

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.ContinuousMap.Algebra

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : LocallyCompactSpace α
inst✝¹ : Mul β
inst✝ : ContinuousMul β
⊢ Continuous fun p ↦ p.1 * p.2

Tactic:
refine continuous_of_continuous_uncurry _ ?_
    have h1 : Continuous fun x : (C(α, β) × C(α, β)) × α => x.fst.fst x.snd :=
      continuous_eval.comp (continuous_fst.prodMap continuous_id)
    have h2 : Continuous fun x : (C(α, β) × C(α, β)) × α => x.fst.snd x.snd :=
      continuous_eval.comp (continuous_snd.prodMap continuous_id)
    exact h1.mul h2

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.MeasurableSpace.Pi

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
s₁ : (i : ι) → Set (α i)
hs₁ : s₁ ∈ univ.pi C
s₂ : (i : ι) → Set (α i)
hs₂ : s₂ ∈ univ.pi C
hst : (univ.pi fun i ↦ s₁ i ∩ s₂ i).Nonempty
⊢ (univ.pi fun i ↦ s₁ i ∩ s₂ i) ∈ univ.pi '' univ.pi C

Tactic:
rw [univ_pi_nonempty_iff] at hst

Goal state after:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), IsPiSystem (C i)
s₁ : (i : ι) → Set (α i)
hs₁ : s₁ ∈ univ.pi C
s₂ : (i : ι) → Set (α i)
hs₂ : s₂ ∈ univ.pi C
hst : ∀ (i : ι), (s₁ i ∩ s₂ i).Nonempty
⊢ (univ.pi fun i ↦ s₁ i ∩ s₂ i) ∈ univ.pi '' univ.pi C
Module: Mathlib.MeasureTheory.MeasurableSpace.Pi

Goal state before:
pp: case intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : Finite ι
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
s : (i : ι) → ℕ → Set (α i)
h1s : ∀ (i : ι) (n : ℕ), s i n ∈ C i
h2s : ∀ (i : ι), ⋃ n, s i n = univ
val✝ : Encodable (ι → ℕ)
e : ℕ → ι → ℕ := fun n ↦ (decode n).getD default
⊢ IsCountablySpanning (univ.pi '' univ.pi C)

Tactic:
refine ⟨fun n => Set.pi univ fun i => s i (e n i), fun n =>
    mem_image_of_mem _ fun i _ => h1s i _, ?_⟩

Goal state after:
case intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : Finite ι
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
s : (i : ι) → ℕ → Set (α i)
h1s : ∀ (i : ι) (n : ℕ), s i n ∈ C i
h2s : ∀ (i : ι), ⋃ n, s i n = univ
val✝ : Encodable (ι → ℕ)
e : ℕ → ι → ℕ := fun n ↦ (decode n).getD default
⊢ ⋃ n, (fun n ↦ univ.pi fun i ↦ s i (e n i)) n = univ
Module: Mathlib.Topology.ContinuousMap.Algebra

Goal state before:
pp: case neg.refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
𝕜 : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : IsTopologicalRing 𝕜
s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)
h : s.SeparatesPoints
v : α → 𝕜
x y : α
n : ¬x = y
f : C(α, 𝕜)
hf : f ∈ ↑s
hxy : f x - f y ≠ 0
a : 𝕜 := v x
b : 𝕜 := v y
f' : ↥s := ((b - a) * (f x - f y)⁻¹) • ((algebraMap 𝕜 ↥s) (f x) - ⟨f, hf⟩) + (algebraMap 𝕜 ↥s) a
⊢ ↑f' y = v y

Tactic:
simp [a, b, f', inv_mul_cancel_right₀ hxy]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.ContinuousMap.Algebra

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : IsTopologicalSemiring R
inst✝ : Subsingleton α
s₁ s₂ : Subalgebra R C(α, R)
h✝ : Nonempty α
⊢ s₁ = s₂

Tactic:
· inhabit α
      ext f
      have h : f = algebraMap R C(α, R) (f default) := by
        ext x'
        simp only [mul_one, smul_eq_mul, algebraMap_apply]
        congr
        simp [eq_iff_true_of_subsingleton]
      rw [h]
      simp only [Subalgebra.algebraMap_mem]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.MeasurableSpace.Pi

Goal state before:
pp: case a
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : Finite ι
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), IsCountablySpanning (C i)
val✝ : Encodable ι
s : (i : ι) → Set (α i)
hs : s ∈ univ.pi C
⊢ MeasurableSet (univ.pi s)

Tactic:
rw [univ_pi_eq_iInter]

Goal state after:
case a
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : Finite ι
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), IsCountablySpanning (C i)
val✝ : Encodable ι
s : (i : ι) → Set (α i)
hs : s ∈ univ.pi C
⊢ MeasurableSet (⋂ i, eval i ⁻¹' s i)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.AEEqFun

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : TopologicalLattice β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : IsTopologicalAddGroup β
f : α →ₘ[μ] β
x : α
hx_sup : ↑(f ⊔ -f) x = ↑f x ⊔ ↑(-f) x
hx_neg : ↑(-f) x = (-↑f) x
⊢ ↑(f ⊔ -f) x = ↑f x ⊔ -↑f x

Tactic:
rw [hx_sup, hx_neg, Pi.neg_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Pi

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
s : Set (α i)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∏ i_1, (μ i_1) (update (fun j ↦ univ) i s i_1) = (∏ j ∈ Finset.univ.erase i, (μ j) univ) • (μ i) s

Tactic:
smul_eq_mul,

Goal state after:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
s : Set (α i)
hs : MeasurableSet s
⊢ ∏ i_1, (μ i_1) (update (fun j ↦ univ) i s i_1) = (∏ j ∈ Finset.univ.erase i, (μ j) univ) * (μ i) s
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.ChebyshevMarkov

Goal state before:
pp: α : Type u_1
ε' : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace ε'
inst✝ : ContinuousENorm ε'
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
f : α → ε'
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
this : 1 / p.toReal * p.toReal = 1
⊢ (ε * μ {x | ε ≤ ‖f x‖ₑ ^ p.toReal}) ^ 1 ≤ eLpNorm f p μ ^ p.toReal

Tactic:
← this,

Goal state after:
α : Type u_1
ε' : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace ε'
inst✝ : ContinuousENorm ε'
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
f : α → ε'
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
this : 1 / p.toReal * p.toReal = 1
⊢ (ε * μ {x | ε ≤ ‖f x‖ₑ ^ p.toReal}) ^ (1 / p.toReal * p.toReal) ≤ eLpNorm f p μ ^ p.toReal
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Monotonicity

Goal state before:
pp: α : Type u_1
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
p : ℝ
hp : 0 < p
⊢ ((∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) ^ p ≤ (↑c • (∫⁻ (a : α), ‖g a‖ₑ ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) ^ p

Tactic:
smul_eq_mul,

Goal state after:
α : Type u_1
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
p : ℝ
hp : 0 < p
⊢ ((∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) ^ p ≤ (↑c * (∫⁻ (a : α), ‖g a‖ₑ ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) ^ p
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Monotonicity

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ε : Type u_5
ε' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace ε
inst✝² : ContinuousENorm ε
inst✝¹ : TopologicalSpace ε'
inst✝ : ContinuousENorm ε'
f : α → ε
g : α → ε'
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ₑ ≤ ↑c * ‖g x‖ₑ
p : ℝ
hp : 0 < p
⊢ ((∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) ^ p ≤ (↑c • (∫⁻ (a : α), ‖g a‖ₑ ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) ^ p

Tactic:
smul_eq_mul,

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ε : Type u_5
ε' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace ε
inst✝² : ContinuousENorm ε
inst✝¹ : TopologicalSpace ε'
inst✝ : ContinuousENorm ε'
f : α → ε
g : α → ε'
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ₑ ≤ ↑c * ‖g x‖ₑ
p : ℝ
hp : 0 < p
⊢ ((∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) ^ p ≤ (↑c * (∫⁻ (a : α), ‖g a‖ₑ ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) ^ p
Module: Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Pi

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), (μ i).IsOpenPosMeasure
U : Set ((i : ι) → α i)
U_open : IsOpen[Pi.topologicalSpace] U
a : (i : ι) → α i
ha : a ∈ U
s : (a : ι) → Set (α a)
hs : ∀ (a_1 : ι), IsOpen[inst✝¹ a_1] (s a_1) ∧ a a_1 ∈ s a_1
hsU : univ.pi s ⊆ U
⊢ (Measure.pi μ) U ≠ 0

Tactic:
refine ne_of_gt (lt_of_lt_of_le ?_ (measure_mono hsU))

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), (μ i).IsOpenPosMeasure
U : Set ((i : ι) → α i)
U_open : IsOpen[Pi.topologicalSpace] U
a : (i : ι) → α i
ha : a ∈ U
s : (a : ι) → Set (α a)
hs : ∀ (a_1 : ι), IsOpen[inst✝¹ a_1] (s a_1) ∧ a a_1 ∈ s a_1
hsU : univ.pi s ⊆ U
⊢ 0 < (Measure.pi μ) (univ.pi s)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Monotonicity

Goal state before:
pp: α : Type u_1
F : Type u_3
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup F
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ∞
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
⊢ ↑C • μ s ^ (1 / p.toReal) ≤ eLpNorm f p μ

Tactic:
smul_eq_mul,

Goal state after:
α : Type u_1
F : Type u_3
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup F
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ∞
f : α → F
C : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → C ≤ ‖f x‖₊
⊢ ↑C * μ s ^ (1 / p.toReal) ≤ eLpNorm f p μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Pi

Goal state before:
pp: ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
α : ι → Type v
β : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
ν : (i : ι) → Measure (β i)
f : (i : ι) → α i → β i
hν : ∀ (i : ι), SigmaFinite (ν i)
hf : ∀ (i : ι), MeasurePreserving (f i) (μ i) (ν i)
⊢ Measure.map (fun a i ↦ f i (a i)) (Measure.pi μ) = Measure.pi ν

Tactic:
have (i : ι) : SigmaFinite ((μ i).map (f i)) := (hf i).map_eq ▸ hν i

Goal state after:
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
α : ι → Type v
β : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
ν : (i : ι) → Measure (β i)
f : (i : ι) → α i → β i
hν : ∀ (i : ι), SigmaFinite (ν i)
hf : ∀ (i : ι), MeasurePreserving (f i) (μ i) (ν i)
this : ∀ (i : ι), SigmaFinite (Measure.map (f i) (μ i))
⊢ Measure.map (fun a i ↦ f i (a i)) (Measure.pi μ) = Measure.pi ν
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Slope

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • z) ≤ a • f x + b • f z

Tactic:
simp only [smul_eq_mul]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ f (a * x + b * z) ≤ a * f x + b * f z
Module: Mathlib.Analysis.Convex.SpecificFunctions.Basic

Goal state before:
pp: x y z : ℝ
hxy : x < y
hyz : y < z
h1 : 0 < z - y
⊢ rexp y * (z - y) < rexp z - rexp y

Tactic:
calc
      exp y * (z - y) < exp y * (exp (z - y) - 1) := by
        gcongr _ * ?_
        linarith [add_one_lt_exp h1.ne']
      _ = exp (z - y) * exp y - exp y := by ring
      _ ≤ exp z - exp y := by rw [← exp_add]; ring_nf; rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Slope

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z

Tactic:
simp only [smul_eq_mul]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ f (a * x + b * z) < a * f x + b * f z
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ContinuousENorm ε
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
f : α → ε
c : ℝ≥0∞
⊢ eLpNorm f p (c • μ) = c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm f p μ

Tactic:
eLpNorm_eq_eLpNorm' hp_ne_zero hp_ne_top

Goal state after:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ContinuousENorm ε
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
f : α → ε
c : ℝ≥0∞
⊢ eLpNorm' f p.toReal (c • μ) = c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm' f p.toReal μ
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: p : ℝ≥0
hp : 1 < p
⊢ p / (p - 1) = 1 + (p - 1)⁻¹

Tactic:
field_simp [(tsub_pos_of_lt hp).ne']

Goal state after:
p : ℝ≥0
hp : 1 < p
⊢ p = p - 1 + 1
Module: Mathlib.Analysis.Convex.SpecificFunctions.Basic

Goal state before:
pp: x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hx' : 0 < -x
hy' : 0 < -y
hxy' : -x ≠ -y
⊢ a • -x + b • -y = -(a • x + b • y)

Tactic:
simp only [smul_eq_mul]

Goal state after:
x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hx' : 0 < -x
hy' : 0 < -y
hxy' : -x ≠ -y
⊢ a * -x + b * -y = -(a * x + b * y)
Module: Mathlib.Algebra.Order.Monovary

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : IsOrderedMonoid α
inst✝ : PartialOrder β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Monovary f⁻¹ g ↔ Antivary f g

Tactic:
by
  simp [Monovary, Antivary]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Monovary

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : IsOrderedMonoid α
inst✝ : PartialOrder β
f : ι → α
g : ι → β
⊢ Antivary f⁻¹ g ↔ Monovary f g

Tactic:
by
  simp [Monovary, Antivary]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.MeanInequalities

Goal state before:
pp: case hr
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0_lt : 0 < p
f : α → ℝ≥0∞
hf_nonzero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ 0
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ∞
⊢ (∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ)⁻¹ ≠ ∞

Tactic:
inv_ne_top

Goal state after:
case hr
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0_lt : 0 < p
f : α → ℝ≥0∞
hf_nonzero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ 0
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ∞
⊢ ∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝¹⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹⁴ : CommRing E
inst✝¹³ : LinearOrder E
inst✝¹² : IsStrictOrderedRing E
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : LinearOrder F
inst✝⁹ : IsOrderedAddMonoid F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 G
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : Module E F
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝¹ : IsOrderedModule 𝕜 F
inst✝ : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a • a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • b) • f x • g y + (b • b) • f y • g y) =
    (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x)

Tactic:
smul_eq_mul,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝¹⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹⁴ : CommRing E
inst✝¹³ : LinearOrder E
inst✝¹² : IsStrictOrderedRing E
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : LinearOrder F
inst✝⁹ : IsOrderedAddMonoid F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 G
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : Module E F
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝¹ : IsOrderedModule 𝕜 F
inst✝ : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a * a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • b) • f x • g y + (b • b) • f y • g y) =
    (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝¹⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹⁴ : CommRing E
inst✝¹³ : LinearOrder E
inst✝¹² : IsStrictOrderedRing E
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : LinearOrder F
inst✝⁹ : IsOrderedAddMonoid F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 G
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : Module E F
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝¹ : IsOrderedModule 𝕜 F
inst✝ : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a * a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • b) • f x • g y + (b • b) • f y • g y) =
    (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x)

Tactic:
smul_eq_mul,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝¹⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹⁴ : CommRing E
inst✝¹³ : LinearOrder E
inst✝¹² : IsStrictOrderedRing E
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : LinearOrder F
inst✝⁹ : IsOrderedAddMonoid F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 G
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : Module E F
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝¹ : IsOrderedModule 𝕜 F
inst✝ : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a * a) • f x • g x + (b * a) • f y • g x + ((a • b) • f x • g y + (b • b) • f y • g y) =
    (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝¹⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹⁴ : CommRing E
inst✝¹³ : LinearOrder E
inst✝¹² : IsStrictOrderedRing E
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : LinearOrder F
inst✝⁹ : IsOrderedAddMonoid F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 G
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : Module E F
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝¹ : IsOrderedModule 𝕜 F
inst✝ : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a * a) • f x • g x + (b * a) • f y • g x + ((a • b) • f x • g y + (b • b) • f y • g y) =
    (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x)

Tactic:
smul_eq_mul,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝¹⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹⁴ : CommRing E
inst✝¹³ : LinearOrder E
inst✝¹² : IsStrictOrderedRing E
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : LinearOrder F
inst✝⁹ : IsOrderedAddMonoid F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 G
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : Module E F
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝¹ : IsOrderedModule 𝕜 F
inst✝ : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a * a) • f x • g x + (b * a) • f y • g x + ((a * b) • f x • g y + (b • b) • f y • g y) =
    (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝¹⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹⁴ : CommRing E
inst✝¹³ : LinearOrder E
inst✝¹² : IsStrictOrderedRing E
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : LinearOrder F
inst✝⁹ : IsOrderedAddMonoid F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 G
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : Module E F
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝¹ : IsOrderedModule 𝕜 F
inst✝ : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a * a) • f x • g x + (b * a) • f y • g x + ((a * b) • f x • g y + (b • b) • f y • g y) =
    (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x)

Tactic:
smul_eq_mul,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝¹⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹⁴ : CommRing E
inst✝¹³ : LinearOrder E
inst✝¹² : IsStrictOrderedRing E
inst✝¹¹ : AddCommGroup F
inst✝¹⁰ : LinearOrder F
inst✝⁹ : IsOrderedAddMonoid F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 G
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : Module E F
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝¹ : IsOrderedModule 𝕜 F
inst✝ : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a * a) • f x • g x + (b * a) • f y • g x + ((a * b) • f x • g y + (b * b) • f y • g y) =
    (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x)