Module: Mathlib.Control.Bitraversable.Instances

Goal state before:
pp: case id_bitraverse
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁵ : Bitraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Traversable F
inst✝³ : Traversable G
inst✝² : LawfulTraversable F
inst✝¹ : LawfulTraversable G
inst✝ : LawfulBitraversable t
α✝ β✝ : Type u
x✝ : bicompl t F G α✝ β✝
⊢ bitraverse pure pure x✝ = pure x✝

pp: case comp_bitraverse
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁹ : Bitraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝⁸ : Traversable F
inst✝⁷ : Traversable G
inst✝⁶ : LawfulTraversable F
inst✝⁵ : LawfulTraversable G
inst✝⁴ : LawfulBitraversable t
F✝ G✝ : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F✝
inst✝² : Applicative G✝
inst✝¹ : LawfulApplicative F✝
inst✝ : LawfulApplicative G✝
α✝ α'✝ β✝ β'✝ γ✝ γ'✝ : Type u
f✝ : β✝ → F✝ γ✝
f'✝ : β'✝ → F✝ γ'✝
g✝ : α✝ → G✝ β✝
g'✝ : α'✝ → G✝ β'✝
x✝ : bicompl t F G α✝ α'✝
⊢ bitraverse (Functor.Comp.mk ∘ Functor.map f✝ ∘ g✝) (Functor.Comp.mk ∘ Functor.map f'✝ ∘ g'✝) x✝ =
    Functor.Comp.mk (bitraverse f✝ f'✝ <$> bitraverse g✝ g'✝ x✝)

pp: case bitraverse_eq_bimap_id
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁵ : Bitraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Traversable F
inst✝³ : Traversable G
inst✝² : LawfulTraversable F
inst✝¹ : LawfulTraversable G
inst✝ : LawfulBitraversable t
α✝ α'✝ β✝ β'✝ : Type u
f✝ : α✝ → β✝
f'✝ : α'✝ → β'✝
x✝ : bicompl t F G α✝ α'✝
⊢ bitraverse (pure ∘ f✝) (pure ∘ f'✝) x✝ = pure (bimap f✝ f'✝ x✝)

pp: case binaturality
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁹ : Bitraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝⁸ : Traversable F
inst✝⁷ : Traversable G
inst✝⁶ : LawfulTraversable F
inst✝⁵ : LawfulTraversable G
inst✝⁴ : LawfulBitraversable t
F✝ G✝ : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F✝
inst✝² : Applicative G✝
inst✝¹ : LawfulApplicative F✝
inst✝ : LawfulApplicative G✝
η✝ : ApplicativeTransformation F✝ G✝
α✝ α'✝ β✝ β'✝ : Type u
f✝ : α✝ → F✝ β✝
f'✝ : α'✝ → F✝ β'✝
x✝ : bicompl t F G α✝ α'✝
⊢ (fun {α} ↦ η✝.app α) (bitraverse f✝ f'✝ x✝) = bitraverse ((fun {α} ↦ η✝.app α) ∘ f✝) ((fun {α} ↦ η✝.app α) ∘ f'✝) x✝

Tactic:
<;>

Goal state after:
case id_bitraverse
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁵ : Bitraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Traversable F
inst✝³ : Traversable G
inst✝² : LawfulTraversable F
inst✝¹ : LawfulTraversable G
inst✝ : LawfulBitraversable t
α✝ β✝ : Type u
x✝ : bicompl t F G α✝ β✝
⊢ bitraverse pure pure x✝ = pure x✝

case comp_bitraverse
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁹ : Bitraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝⁸ : Traversable F
inst✝⁷ : Traversable G
inst✝⁶ : LawfulTraversable F
inst✝⁵ : LawfulTraversable G
inst✝⁴ : LawfulBitraversable t
F✝ G✝ : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F✝
inst✝² : Applicative G✝
inst✝¹ : LawfulApplicative F✝
inst✝ : LawfulApplicative G✝
α✝ α'✝ β✝ β'✝ γ✝ γ'✝ : Type u
f✝ : β✝ → F✝ γ✝
f'✝ : β'✝ → F✝ γ'✝
g✝ : α✝ → G✝ β✝
g'✝ : α'✝ → G✝ β'✝
x✝ : bicompl t F G α✝ α'✝
⊢ bitraverse (Functor.Comp.mk ∘ Functor.map f✝ ∘ g✝) (Functor.Comp.mk ∘ Functor.map f'✝ ∘ g'✝) x✝ =
    Functor.Comp.mk (bitraverse f✝ f'✝ <$> bitraverse g✝ g'✝ x✝)

case bitraverse_eq_bimap_id
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁵ : Bitraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Traversable F
inst✝³ : Traversable G
inst✝² : LawfulTraversable F
inst✝¹ : LawfulTraversable G
inst✝ : LawfulBitraversable t
α✝ α'✝ β✝ β'✝ : Type u
f✝ : α✝ → β✝
f'✝ : α'✝ → β'✝
x✝ : bicompl t F G α✝ α'✝
⊢ bitraverse (pure ∘ f✝) (pure ∘ f'✝) x✝ = pure (bimap f✝ f'✝ x✝)

case binaturality
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁹ : Bitraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝⁸ : Traversable F
inst✝⁷ : Traversable G
inst✝⁶ : LawfulTraversable F
inst✝⁵ : LawfulTraversable G
inst✝⁴ : LawfulBitraversable t
F✝ G✝ : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F✝
inst✝² : Applicative G✝
inst✝¹ : LawfulApplicative F✝
inst✝ : LawfulApplicative G✝
η✝ : ApplicativeTransformation F✝ G✝
α✝ α'✝ β✝ β'✝ : Type u
f✝ : α✝ → F✝ β✝
f'✝ : α'✝ → F✝ β'✝
x✝ : bicompl t F G α✝ α'✝
⊢ (fun {α} ↦ η✝.app α) (bitraverse f✝ f'✝ x✝) = bitraverse ((fun {α} ↦ η✝.app α) ∘ f✝) ((fun {α} ↦ η✝.app α) ∘ f'✝) x✝