mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
b✝² b✝¹ b✝ : ℕ
⊢ b✝ ≥ b✝¹ → MeasurableSet (⋂ q, ⋂ (_ : q ≥ b✝¹), B f K ((1 / 2) ^ b✝) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ b✝²))

Tactic:
<;>

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
b✝² b✝¹ b✝ : ℕ
⊢ b✝ ≥ b✝¹ → MeasurableSet (⋂ q, ⋂ (_ : q ≥ b✝¹), B f K ((1 / 2) ^ b✝) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ b✝²))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.FundThmCalculus

Goal state before:
pp: case pos.refine_1.inl
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c : E
l l' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A :
  (fun i ↦ ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - μ.real (Ioc (u i) (v i)) • c) =o[lt] fun i ↦ μ.real (Ioc (u i) (v i))
B :
  (fun i ↦ ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - μ.real (Ioc (v i) (u i)) • c) =o[lt] fun i ↦ μ.real (Ioc (v i) (u i))
t : ι
h✝ : u t ≤ v t
⊢ ‖μ.real (Ioc (u t) (v t))‖ ≤ ‖μ.real (Ioc (u t) (v t)) • 1 - μ.real (Ioc (v t) (u t)) • 1‖

pp: case pos.refine_1.inr
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c : E
l l' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A :
  (fun i ↦ ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - μ.real (Ioc (u i) (v i)) • c) =o[lt] fun i ↦ μ.real (Ioc (u i) (v i))
B :
  (fun i ↦ ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - μ.real (Ioc (v i) (u i)) • c) =o[lt] fun i ↦ μ.real (Ioc (v i) (u i))
t : ι
h✝ : v t ≤ u t
⊢ ‖μ.real (Ioc (u t) (v t))‖ ≤ ‖μ.real (Ioc (u t) (v t)) • 1 - μ.real (Ioc (v t) (u t)) • 1‖

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos.refine_1.inl
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c : E
l l' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A :
  (fun i ↦ ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - μ.real (Ioc (u i) (v i)) • c) =o[lt] fun i ↦ μ.real (Ioc (u i) (v i))
B :
  (fun i ↦ ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - μ.real (Ioc (v i) (u i)) • c) =o[lt] fun i ↦ μ.real (Ioc (v i) (u i))
t : ι
h✝ : u t ≤ v t
⊢ ‖μ.real (Ioc (u t) (v t))‖ ≤ ‖μ.real (Ioc (u t) (v t)) • 1 - μ.real (Ioc (v t) (u t)) • 1‖

case pos.refine_1.inr
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c : E
l l' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A :
  (fun i ↦ ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - μ.real (Ioc (u i) (v i)) • c) =o[lt] fun i ↦ μ.real (Ioc (u i) (v i))
B :
  (fun i ↦ ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - μ.real (Ioc (v i) (u i)) • c) =o[lt] fun i ↦ μ.real (Ioc (v i) (u i))
t : ι
h✝ : v t ≤ u t
⊢ ‖μ.real (Ioc (u t) (v t))‖ ≤ ‖μ.real (Ioc (u t) (v t)) • 1 - μ.real (Ioc (v t) (u t)) • 1‖
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
b✝³ b✝² b✝¹ : ℕ
b✝ : b✝¹ ≥ b✝²
⊢ ∀ (b : ℕ), MeasurableSet (⋂ (_ : b ≥ b✝²), B f K ((1 / 2) ^ b✝¹) ((1 / 2) ^ b) ((1 / 2) ^ b✝³))

Tactic:
<;>

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
b✝³ b✝² b✝¹ : ℕ
b✝ : b✝¹ ≥ b✝²
⊢ ∀ (b : ℕ), MeasurableSet (⋂ (_ : b ≥ b✝²), B f K ((1 / 2) ^ b✝¹) ((1 / 2) ^ b) ((1 / 2) ^ b✝³))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
b✝⁴ b✝³ b✝² : ℕ
b✝¹ : b✝² ≥ b✝³
b✝ : ℕ
⊢ b✝ ≥ b✝³ → MeasurableSet (B f K ((1 / 2) ^ b✝²) ((1 / 2) ^ b✝) ((1 / 2) ^ b✝⁴))

Tactic:
<;>

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
b✝⁴ b✝³ b✝² : ℕ
b✝¹ : b✝² ≥ b✝³
b✝ : ℕ
⊢ b✝ ≥ b✝³ → MeasurableSet (B f K ((1 / 2) ^ b✝²) ((1 / 2) ^ b✝) ((1 / 2) ^ b✝⁴))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
b✝⁵ b✝⁴ b✝³ : ℕ
b✝² : b✝³ ≥ b✝⁴
b✝¹ : ℕ
b✝ : b✝¹ ≥ b✝⁴
⊢ ∀ (b : F),
    MeasurableSet (⋃ (_ : b ∈ K), A f b ((1 / 2) ^ b✝³) ((1 / 2) ^ b✝⁵) ∩ A f b ((1 / 2) ^ b✝¹) ((1 / 2) ^ b✝⁵))

pp: F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
b✝⁵ b✝⁴ b✝³ : ℕ
b✝² : b✝³ ≥ b✝⁴
b✝¹ : ℕ
b✝ : b✝¹ ≥ b✝⁴
⊢ Countable F

Tactic:
<;>

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
b✝⁵ b✝⁴ b✝³ : ℕ
b✝² : b✝³ ≥ b✝⁴
b✝¹ : ℕ
b✝ : b✝¹ ≥ b✝⁴
⊢ ∀ (b : F),
    MeasurableSet (⋃ (_ : b ∈ K), A f b ((1 / 2) ^ b✝³) ((1 / 2) ^ b✝⁵) ∩ A f b ((1 / 2) ^ b✝¹) ((1 / 2) ^ b✝⁵))

F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
b✝⁵ b✝⁴ b✝³ : ℕ
b✝² : b✝³ ≥ b✝⁴
b✝¹ : ℕ
b✝ : b✝¹ ≥ b✝⁴
⊢ Countable F
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.FundThmCalculus

Goal state before:
pp: case pos.refine_2.inl
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c : E
l l' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A :
  (fun i ↦ ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - μ.real (Ioc (u i) (v i)) • c) =o[lt] fun i ↦ μ.real (Ioc (u i) (v i))
B :
  (fun i ↦ ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - μ.real (Ioc (v i) (u i)) • c) =o[lt] fun i ↦ μ.real (Ioc (v i) (u i))
t : ι
h✝ : u t ≤ v t
⊢ ‖μ.real (Ioc (v t) (u t))‖ ≤ ‖μ.real (Ioc (u t) (v t)) • 1 - μ.real (Ioc (v t) (u t)) • 1‖

pp: case pos.refine_2.inr
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c : E
l l' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A :
  (fun i ↦ ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - μ.real (Ioc (u i) (v i)) • c) =o[lt] fun i ↦ μ.real (Ioc (u i) (v i))
B :
  (fun i ↦ ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - μ.real (Ioc (v i) (u i)) • c) =o[lt] fun i ↦ μ.real (Ioc (v i) (u i))
t : ι
h✝ : v t ≤ u t
⊢ ‖μ.real (Ioc (v t) (u t))‖ ≤ ‖μ.real (Ioc (u t) (v t)) • 1 - μ.real (Ioc (v t) (u t)) • 1‖

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos.refine_2.inl
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c : E
l l' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A :
  (fun i ↦ ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - μ.real (Ioc (u i) (v i)) • c) =o[lt] fun i ↦ μ.real (Ioc (u i) (v i))
B :
  (fun i ↦ ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - μ.real (Ioc (v i) (u i)) • c) =o[lt] fun i ↦ μ.real (Ioc (v i) (u i))
t : ι
h✝ : u t ≤ v t
⊢ ‖μ.real (Ioc (v t) (u t))‖ ≤ ‖μ.real (Ioc (u t) (v t)) • 1 - μ.real (Ioc (v t) (u t)) • 1‖

case pos.refine_2.inr
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
c : E
l l' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A :
  (fun i ↦ ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - μ.real (Ioc (u i) (v i)) • c) =o[lt] fun i ↦ μ.real (Ioc (u i) (v i))
B :
  (fun i ↦ ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - μ.real (Ioc (v i) (u i)) • c) =o[lt] fun i ↦ μ.real (Ioc (v i) (u i))
t : ι
h✝ : v t ≤ u t
⊢ ‖μ.real (Ioc (v t) (u t))‖ ≤ ‖μ.real (Ioc (u t) (v t)) • 1 - μ.real (Ioc (v t) (u t)) • 1‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DominatedConvergence

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hb₀ : μ {b₀} = 0
h_int : IntervalIntegrable f μ (min a b₁) (max a b₂)
h₀ : b₀ ∈ Icc b₁ b₂
h₁₂ : b₁ ≤ b₂
min₁₂ : min b₁ b₂ = b₁
h_int' : ∀ {x : ℝ}, x ∈ Icc b₁ b₂ → IntervalIntegrable f μ b₁ x
this :
  (fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b, f x ∂μ) =ᶠ[𝓝[Icc b₁ b₂] b₀] fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b₂, {x | x ≤ b}.indicator f x ∂μ
x t : ℝ
h✝ : t ≤ x
⊢ t ∈ Ι b₁ b₂ → ‖f t‖ ≤ ‖f t‖

pp: case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hb₀ : μ {b₀} = 0
h_int : IntervalIntegrable f μ (min a b₁) (max a b₂)
h₀ : b₀ ∈ Icc b₁ b₂
h₁₂ : b₁ ≤ b₂
min₁₂ : min b₁ b₂ = b₁
h_int' : ∀ {x : ℝ}, x ∈ Icc b₁ b₂ → IntervalIntegrable f μ b₁ x
this :
  (fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b, f x ∂μ) =ᶠ[𝓝[Icc b₁ b₂] b₀] fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b₂, {x | x ≤ b}.indicator f x ∂μ
x t : ℝ
h✝ : ¬t ≤ x
⊢ t ∈ Ι b₁ b₂ → ‖0‖ ≤ ‖f t‖

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hb₀ : μ {b₀} = 0
h_int : IntervalIntegrable f μ (min a b₁) (max a b₂)
h₀ : b₀ ∈ Icc b₁ b₂
h₁₂ : b₁ ≤ b₂
min₁₂ : min b₁ b₂ = b₁
h_int' : ∀ {x : ℝ}, x ∈ Icc b₁ b₂ → IntervalIntegrable f μ b₁ x
this :
  (fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b, f x ∂μ) =ᶠ[𝓝[Icc b₁ b₂] b₀] fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b₂, {x | x ≤ b}.indicator f x ∂μ
x t : ℝ
h✝ : t ≤ x
⊢ t ∈ Ι b₁ b₂ → ‖f t‖ ≤ ‖f t‖

case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hb₀ : μ {b₀} = 0
h_int : IntervalIntegrable f μ (min a b₁) (max a b₂)
h₀ : b₀ ∈ Icc b₁ b₂
h₁₂ : b₁ ≤ b₂
min₁₂ : min b₁ b₂ = b₁
h_int' : ∀ {x : ℝ}, x ∈ Icc b₁ b₂ → IntervalIntegrable f μ b₁ x
this :
  (fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b, f x ∂μ) =ᶠ[𝓝[Icc b₁ b₂] b₀] fun b ↦ ∫ (x : ℝ) in b₁..b₂, {x | x ≤ b}.indicator f x ∂μ
x t : ℝ
h✝ : ¬t ≤ x
⊢ t ∈ Ι b₁ b₂ → ‖0‖ ≤ ‖f t‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
h✝ : a ≤ b
⊢ ‖1‖ * ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖ = ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖

pp: case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
h✝ : ¬a ≤ b
⊢ ‖-1‖ * ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖ = ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
h✝ : a ≤ b
⊢ ‖1‖ * ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖ = ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
h✝ : ¬a ≤ b
⊢ ‖-1‖ * ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖ = ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a b : ℝ
h✝ : a ≤ b
⊢ 1 • ∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ ∈ {∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ, -∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ}

pp: case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a b : ℝ
h✝ : ¬a ≤ b
⊢ -1 • ∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ ∈ {∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ, -∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ}

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a b : ℝ
h✝ : a ≤ b
⊢ 1 • ∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ ∈ {∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ, -∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ}

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a b : ℝ
h✝ : ¬a ≤ b
⊢ -1 • ∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ ∈ {∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ, -∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ}
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case inl
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
h✝ : a ≤ b
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in min a b..max a b, f x ∂μ‖ = ‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ‖

pp: case inr
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
h✝ : b ≤ a
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in min a b..max a b, f x ∂μ‖ = ‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ‖

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
h✝ : a ≤ b
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in min a b..max a b, f x ∂μ‖ = ‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ‖

case inr
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
h✝ : b ≤ a
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in min a b..max a b, f x ∂μ‖ = ‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x * c) = ∫ (x : ℝ) in a * c..b * c, f x

Tactic:
by_cases hc : c = 0

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
hc : c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x * c) = ∫ (x : ℝ) in a * c..b * c, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x * c) = ∫ (x : ℝ) in a * c..b * c, f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
hc : c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x * c) = ∫ (x : ℝ) in a * c..b * c, f x

pp: case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x * c) = ∫ (x : ℝ) in a * c..b * c, f x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
hc : c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x * c) = ∫ (x : ℝ) in a * c..b * c, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x * c) = ∫ (x : ℝ) in a * c..b * c, f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x) = ∫ (x : ℝ) in c * a..c * b, f x

Tactic:
by_cases hc : c = 0

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
hc : c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x) = ∫ (x : ℝ) in c * a..c * b, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x) = ∫ (x : ℝ) in c * a..c * b, f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
hc : c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x) = ∫ (x : ℝ) in c * a..c * b, f x

pp: case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x) = ∫ (x : ℝ) in c * a..c * b, f x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
hc : c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x) = ∫ (x : ℝ) in c * a..c * b, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x) = ∫ (x : ℝ) in c * a..c * b, f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c) = ∫ (x : ℝ) in a / c..b / c, f x

Tactic:
by_cases hc : c = 0

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
hc : c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c) = ∫ (x : ℝ) in a / c..b / c, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c) = ∫ (x : ℝ) in a / c..b / c, f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
hc : c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c) = ∫ (x : ℝ) in a / c..b / c, f x

pp: case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c) = ∫ (x : ℝ) in a / c..b / c, f x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
hc : c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c) = ∫ (x : ℝ) in a / c..b / c, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c) = ∫ (x : ℝ) in a / c..b / c, f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x + d) = ∫ (x : ℝ) in c * a + d..c * b + d, f x

Tactic:
by_cases hc : c = 0

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x + d) = ∫ (x : ℝ) in c * a + d..c * b + d, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x + d) = ∫ (x : ℝ) in c * a + d..c * b + d, f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x + d) = ∫ (x : ℝ) in c * a + d..c * b + d, f x

pp: case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x + d) = ∫ (x : ℝ) in c * a + d..c * b + d, f x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x + d) = ∫ (x : ℝ) in c * a + d..c * b + d, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x + d) = ∫ (x : ℝ) in c * a + d..c * b + d, f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + c * x) = ∫ (x : ℝ) in d + c * a..d + c * b, f x

Tactic:
by_cases hc : c = 0

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + c * x) = ∫ (x : ℝ) in d + c * a..d + c * b, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + c * x) = ∫ (x : ℝ) in d + c * a..d + c * b, f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + c * x) = ∫ (x : ℝ) in d + c * a..d + c * b, f x

pp: case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + c * x) = ∫ (x : ℝ) in d + c * a..d + c * b, f x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + c * x) = ∫ (x : ℝ) in d + c * a..d + c * b, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + c * x) = ∫ (x : ℝ) in d + c * a..d + c * b, f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c + d) = ∫ (x : ℝ) in a / c + d..b / c + d, f x

Tactic:
by_cases hc : c = 0

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c + d) = ∫ (x : ℝ) in a / c + d..b / c + d, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c + d) = ∫ (x : ℝ) in a / c + d..b / c + d, f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c + d) = ∫ (x : ℝ) in a / c + d..b / c + d, f x

pp: case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c + d) = ∫ (x : ℝ) in a / c + d..b / c + d, f x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c + d) = ∫ (x : ℝ) in a / c + d..b / c + d, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c + d) = ∫ (x : ℝ) in a / c + d..b / c + d, f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + x / c) = ∫ (x : ℝ) in d + a / c..d + b / c, f x

Tactic:
by_cases hc : c = 0

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + x / c) = ∫ (x : ℝ) in d + a / c..d + b / c, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + x / c) = ∫ (x : ℝ) in d + a / c..d + b / c, f x