Module: Mathlib.Probability.Independence.BoundedContinuousFunction

Goal state before:
pp: case e'_2
Ω : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
F : T → Type u_5
inst✝¹⁰ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁹ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁸ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁶ : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst✝⁵ : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst✝⁴ : ∀ (t : T), BorelSpace (F t)
inst✝³ : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed (F t)
X : (s : S) → Ω → E s
Y : (t : T) → Ω → F t
inst✝² : IsFiniteMeasure P
inst✝¹ : Finite S
inst✝ : Finite T
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : ((s : S) → E s) →ᵇ ℝ) (g : ((t : T) → F t) →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), (fun ω ↦ (f fun x ↦ X x ω) * g fun x ↦ Y x ω) x ∂P =
      (∫ (x : Ω), (fun ω ↦ f fun x ↦ X x ω) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (fun ω ↦ g fun x ↦ Y x ω) x ∂P
this✝ : Fintype S
this : Fintype T
f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ
g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ
x✝¹ x✝ : Ω
⊢ ((∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) * ∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x✝ =
    ((∏ s, (f s).compContinuous { toFun := Function.eval s, continuous_toFun := ⋯ }) fun x ↦ X x x✝) *
      (∏ t, (g t).compContinuous { toFun := Function.eval t, continuous_toFun := ⋯ }) fun x ↦ Y x x✝

pp: case e'_3.e'_5
Ω : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
F : T → Type u_5
inst✝¹⁰ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁹ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁸ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁶ : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst✝⁵ : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst✝⁴ : ∀ (t : T), BorelSpace (F t)
inst✝³ : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed (F t)
X : (s : S) → Ω → E s
Y : (t : T) → Ω → F t
inst✝² : IsFiniteMeasure P
inst✝¹ : Finite S
inst✝ : Finite T
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : ((s : S) → E s) →ᵇ ℝ) (g : ((t : T) → F t) →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), (fun ω ↦ (f fun x ↦ X x ω) * g fun x ↦ Y x ω) x ∂P =
      (∫ (x : Ω), (fun ω ↦ f fun x ↦ X x ω) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (fun ω ↦ g fun x ↦ Y x ω) x ∂P
this✝ : Fintype S
this : Fintype T
f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ
g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ
x✝¹ x✝ : Ω
⊢ (∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) x✝ =
    (∏ s, (f s).compContinuous { toFun := Function.eval s, continuous_toFun := ⋯ }) fun x ↦ X x x✝

pp: case e'_3.e'_6
Ω : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
F : T → Type u_5
inst✝¹⁰ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁹ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁸ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁶ : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst✝⁵ : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst✝⁴ : ∀ (t : T), BorelSpace (F t)
inst✝³ : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed (F t)
X : (s : S) → Ω → E s
Y : (t : T) → Ω → F t
inst✝² : IsFiniteMeasure P
inst✝¹ : Finite S
inst✝ : Finite T
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : ((s : S) → E s) →ᵇ ℝ) (g : ((t : T) → F t) →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), (fun ω ↦ (f fun x ↦ X x ω) * g fun x ↦ Y x ω) x ∂P =
      (∫ (x : Ω), (fun ω ↦ f fun x ↦ X x ω) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (fun ω ↦ g fun x ↦ Y x ω) x ∂P
this✝ : Fintype S
this : Fintype T
f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ
g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ
x✝¹ x✝ : Ω
⊢ (∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x✝ =
    (∏ t, (g t).compContinuous { toFun := Function.eval t, continuous_toFun := ⋯ }) fun x ↦ Y x x✝

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_2
Ω : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
F : T → Type u_5
inst✝¹⁰ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁹ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁸ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁶ : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst✝⁵ : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst✝⁴ : ∀ (t : T), BorelSpace (F t)
inst✝³ : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed (F t)
X : (s : S) → Ω → E s
Y : (t : T) → Ω → F t
inst✝² : IsFiniteMeasure P
inst✝¹ : Finite S
inst✝ : Finite T
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : ((s : S) → E s) →ᵇ ℝ) (g : ((t : T) → F t) →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), (fun ω ↦ (f fun x ↦ X x ω) * g fun x ↦ Y x ω) x ∂P =
      (∫ (x : Ω), (fun ω ↦ f fun x ↦ X x ω) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (fun ω ↦ g fun x ↦ Y x ω) x ∂P
this✝ : Fintype S
this : Fintype T
f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ
g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ
x✝¹ x✝ : Ω
⊢ ((∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) * ∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x✝ =
    ((∏ s, (f s).compContinuous { toFun := Function.eval s, continuous_toFun := ⋯ }) fun x ↦ X x x✝) *
      (∏ t, (g t).compContinuous { toFun := Function.eval t, continuous_toFun := ⋯ }) fun x ↦ Y x x✝

case e'_3.e'_5
Ω : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
F : T → Type u_5
inst✝¹⁰ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁹ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁸ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁶ : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst✝⁵ : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst✝⁴ : ∀ (t : T), BorelSpace (F t)
inst✝³ : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed (F t)
X : (s : S) → Ω → E s
Y : (t : T) → Ω → F t
inst✝² : IsFiniteMeasure P
inst✝¹ : Finite S
inst✝ : Finite T
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : ((s : S) → E s) →ᵇ ℝ) (g : ((t : T) → F t) →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), (fun ω ↦ (f fun x ↦ X x ω) * g fun x ↦ Y x ω) x ∂P =
      (∫ (x : Ω), (fun ω ↦ f fun x ↦ X x ω) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (fun ω ↦ g fun x ↦ Y x ω) x ∂P
this✝ : Fintype S
this : Fintype T
f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ
g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ
x✝¹ x✝ : Ω
⊢ (∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) x✝ =
    (∏ s, (f s).compContinuous { toFun := Function.eval s, continuous_toFun := ⋯ }) fun x ↦ X x x✝

case e'_3.e'_6
Ω : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
F : T → Type u_5
inst✝¹⁰ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁹ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁸ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁶ : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst✝⁵ : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst✝⁴ : ∀ (t : T), BorelSpace (F t)
inst✝³ : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed (F t)
X : (s : S) → Ω → E s
Y : (t : T) → Ω → F t
inst✝² : IsFiniteMeasure P
inst✝¹ : Finite S
inst✝ : Finite T
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : ((s : S) → E s) →ᵇ ℝ) (g : ((t : T) → F t) →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), (fun ω ↦ (f fun x ↦ X x ω) * g fun x ↦ Y x ω) x ∂P =
      (∫ (x : Ω), (fun ω ↦ f fun x ↦ X x ω) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (fun ω ↦ g fun x ↦ Y x ω) x ∂P
this✝ : Fintype S
this : Fintype T
f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ
g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ
x✝¹ x✝ : Ω
⊢ (∏ t, ⇑(g t) ∘ Y t) x✝ =
    (∏ t, (g t).compContinuous { toFun := Function.eval t, continuous_toFun := ⋯ }) fun x ↦ Y x x✝