mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gamma.Beta

Goal state before:
pp: u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x ↦ ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x
h_int : IntervalIntegrable (fun x ↦ u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1
int_ev : (u * ∫ (x : ℝ) in 0..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * ∫ (x : ℝ) in 0..1, ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1) = 0
hF0 : F 0 = 0
hF1 : F 1 = 0
⊢ (u * ∫ (x : ℝ) in 0..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v + 1 - 1)) -
      v * ∫ (x : ℝ) in 0..1, ↑x ^ (u + 1 - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1) =
    0

Tactic:
convert! int_ev <;> ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gamma.BohrMollerup

Goal state before:
pp: case refine_2
A : 0 < 3 / 2
this : Γ (3 / 2) ≤ rexp (1 / 2 * log 2 - log (3 / 2))
⊢ 2 < (3 / 2) ^ 2

pp: case refine_2
A : 0 < 3 / 2
this : Γ (3 / 2) ≤ rexp (1 / 2 * log 2 - log (3 / 2))
⊢ 0 < (3 / 2) ^ 2

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_2
A : 0 < 3 / 2
this : Γ (3 / 2) ≤ rexp (1 / 2 * log 2 - log (3 / 2))
⊢ 2 < (3 / 2) ^ 2

case refine_2
A : 0 < 3 / 2
this : Γ (3 / 2) ≤ rexp (1 / 2 * log 2 - log (3 / 2))
⊢ 0 < (3 / 2) ^ 2
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gamma.Beta

Goal state before:
pp: case succ.refine_1
n : ℕ
IH : ∀ {u : ℂ}, 0 < u.re → u.betaIntegral (↑n + 1) = ↑n ! / ∏ j ∈ Finset.range (n + 1), (u + ↑j)
u : ℂ
hu : 0 < u.re
⊢ 0 < (↑n.succ).re

Tactic:
rw [← ofReal_natCast, ofReal_re]

Goal state after:
case succ.refine_1
n : ℕ
IH : ∀ {u : ℂ}, 0 < u.re → u.betaIntegral (↑n + 1) = ↑n ! / ∏ j ∈ Finset.range (n + 1), (u + ↑j)
u : ℂ
hu : 0 < u.re
⊢ 0 < ↑n.succ
Module: Mathlib.Topology.Algebra.AsymptoticCone

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Field k
inst✝⁴ : LinearOrder k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : TopologicalSpace V
s t : Set P
⊢ asymptoticCone k (s ∪ t) = asymptoticCone k s ∪ asymptoticCone k t

Tactic:
by
  ext
  simp only [Set.mem_union, mem_asymptoticCone_iff, Filter.frequently_or_distrib]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.AsymptoticCone

Goal state before:
pp: case empty
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Field k
inst✝⁴ : LinearOrder k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : TopologicalSpace V
ι : Type u_4
s : Set ι
f : ι → Set P
⊢ asymptoticCone k (⋃ i ∈ ∅, f i) = ⋃ i ∈ ∅, asymptoticCone k (f i)

pp: case insert
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Field k
inst✝⁴ : LinearOrder k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : TopologicalSpace V
ι : Type u_4
s : Set ι
f : ι → Set P
a✝² : ι
s✝ : Set ι
a✝¹ : a✝² ∉ s✝
hs✝ : s✝.Finite
a✝ : asymptoticCone k (⋃ i ∈ s✝, f i) = ⋃ i ∈ s✝, asymptoticCone k (f i)
⊢ asymptoticCone k (⋃ i ∈ insert a✝² s✝, f i) = ⋃ i ∈ insert a✝² s✝, asymptoticCone k (f i)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case empty
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Field k
inst✝⁴ : LinearOrder k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : TopologicalSpace V
ι : Type u_4
s : Set ι
f : ι → Set P
⊢ asymptoticCone k (⋃ i ∈ ∅, f i) = ⋃ i ∈ ∅, asymptoticCone k (f i)

case insert
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Field k
inst✝⁴ : LinearOrder k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AddTorsor V P
inst✝ : TopologicalSpace V
ι : Type u_4
s : Set ι
f : ι → Set P
a✝² : ι
s✝ : Set ι
a✝¹ : a✝² ∉ s✝
hs✝ : s✝.Finite
a✝ : asymptoticCone k (⋃ i ∈ s✝, f i) = ⋃ i ∈ s✝, asymptoticCone k (f i)
⊢ asymptoticCone k (⋃ i ∈ insert a✝² s✝, f i) = ⋃ i ∈ insert a✝² s✝, asymptoticCone k (f i)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.AsymptoticCone

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝¹⁰ : Field k
inst✝⁹ : LinearOrder k
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module k V
inst✝⁶ : AddTorsor V P
inst✝⁵ : TopologicalSpace V
inst✝⁴ : TopologicalSpace k
inst✝³ : OrderTopology k
inst✝² : IsStrictOrderedRing k
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup V
inst✝ : ContinuousSMul k V
s : AffineSubspace k P
hs : (↑s).Nonempty
⊢ asymptoticCone k ↑s = closure[inst✝⁵] ↑s.direction

Tactic:
by
  have ⟨p, hp⟩ := hs
  ext v
  simp_rw [← asymptoticCone_submodule, mem_asymptoticCone_iff, ← asymptoticNhds_vadd_pure v p,
    vadd_pure, frequently_map, SetLike.mem_coe, s.vadd_mem_iff_mem_direction _ hp]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gamma.Beta

Goal state before:
pp: case succ.inr
m : ℕ
IH : ∀ (s : ℂ), ⌊1 - s.re⌋₊ = m → Tendsto s.GammaSeq atTop (𝓝 (Gamma s))
s : ℂ
hs : ⌊1 - s.re⌋₊ = m + 1
hsne : s ≠ 0
⊢ ⌊1 - (s + 1).re⌋₊ = m

Tactic:
rw [Nat.floor_eq_iff' (by lia)] at hs

Goal state after:
case succ.inr
m : ℕ
IH : ∀ (s : ℂ), ⌊1 - s.re⌋₊ = m → Tendsto s.GammaSeq atTop (𝓝 (Gamma s))
s : ℂ
hs : ↑(m + 1) ≤ 1 - s.re ∧ 1 - s.re < ↑(m + 1) + 1
hsne : s ≠ 0
⊢ ⌊1 - (s + 1).re⌋₊ = m
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva

Goal state before:
pp: case refine_3
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
fs : ↑s → Finset ι
hfs : ∀ (i : ↑s), ↑i ∈ fs i
w : ↑s → ι → k
hw : ∀ (i : ↑s), ∑ j ∈ fs i, w i j = 1
p' : P
hp' : ∀ (i : ↑s), p' ∈ line[k, p ↑i, (Finset.affineCombination k (fs i) p) (w i)]
hp'' : ∀ (i : ↑s), ∃ r, (Finset.affineCombination k (fs i) p) ((AffineMap.lineMap (Pi.single (↑i) 1) (w i)) r) = p'
i' : ι
hi' : i' ∈ s
ri' : k
hri' :
  (Finset.affineCombination k (fs ⟨i', hi'⟩) p) ((AffineMap.lineMap (Pi.single (↑⟨i', hi'⟩) 1) (w ⟨i', hi'⟩)) ri') = p'
w' : ι → k := (AffineMap.lineMap (Pi.single i' 1) (w ⟨i', hi'⟩)) ri'
⊢ ∀ (i : ↑s), ∃ r, ∀ (j : ι), r * (↑(fs i) \ {↑i}).indicator (w i) j = (↑(fs ⟨i', hi'⟩) \ {↑i}).indicator w' j

Tactic:
intro i
    obtain ⟨r, hr⟩ := hp'' i
    refine ⟨r, ?_⟩
    rw [← hri'] at hr
    simp only [AffineMap.lineMap_apply_module] at hr
    have hind := hp.indicator_eq_of_affineCombination_eq _ _ _ _ ?_ ?_ hr
    · intro j
      by_cases hj : j = i
      · simp [hj]
      replace hind := congr_fun hind j
      convert! hind using 1
      · simp [Set.indicator_apply, hj]
      · simp [Set.indicator_apply, hj, w', AffineMap.lineMap_apply_module]
    · simp [Finset.sum_add_distrib, ← Finset.mul_sum, hw, hfs]
    · simp [Finset.sum_add_distrib, ← Finset.mul_sum, hw, hfs]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva

Goal state before:
pp: case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : ↑s → Finset ι
w : ↑s → ι → k
hw : ∀ (i : ↑s), ∑ j ∈ fs i, w i j = 1
p' : P
hp' : ∀ (i : ↑s), p' ∈ line[k, p ↑i, (Finset.affineCombination k (fs i) p) (w i)]
fsx : ↑s → Finset ι := fun i ↦ insert (↑i) (fs i)
hfsx : ∀ (i : ↑s), ↑i ∈ fsx i
wx : ↑s → ι → k := fun i ↦ (↑(fs i)).indicator (w i)
i : ↑s
hi : ↑i ∈ fs i
⊢ ∑ x ∈ insert (↑i) (fs i), (↑(fs i)).indicator (w i) x = ∑ j ∈ fs i, w i j

pp: case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : ↑s → Finset ι
w : ↑s → ι → k
hw : ∀ (i : ↑s), ∑ j ∈ fs i, w i j = 1
p' : P
hp' : ∀ (i : ↑s), p' ∈ line[k, p ↑i, (Finset.affineCombination k (fs i) p) (w i)]
fsx : ↑s → Finset ι := fun i ↦ insert (↑i) (fs i)
hfsx : ∀ (i : ↑s), ↑i ∈ fsx i
wx : ↑s → ι → k := fun i ↦ (↑(fs i)).indicator (w i)
i : ↑s
hi : ↑i ∉ fs i
⊢ ∑ x ∈ insert (↑i) (fs i), (↑(fs i)).indicator (w i) x = ∑ j ∈ fs i, w i j

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : ↑s → Finset ι
w : ↑s → ι → k
hw : ∀ (i : ↑s), ∑ j ∈ fs i, w i j = 1
p' : P
hp' : ∀ (i : ↑s), p' ∈ line[k, p ↑i, (Finset.affineCombination k (fs i) p) (w i)]
fsx : ↑s → Finset ι := fun i ↦ insert (↑i) (fs i)
hfsx : ∀ (i : ↑s), ↑i ∈ fsx i
wx : ↑s → ι → k := fun i ↦ (↑(fs i)).indicator (w i)
i : ↑s
hi : ↑i ∈ fs i
⊢ ∑ x ∈ insert (↑i) (fs i), (↑(fs i)).indicator (w i) x = ∑ j ∈ fs i, w i j

case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
fs : ↑s → Finset ι
w : ↑s → ι → k
hw : ∀ (i : ↑s), ∑ j ∈ fs i, w i j = 1
p' : P
hp' : ∀ (i : ↑s), p' ∈ line[k, p ↑i, (Finset.affineCombination k (fs i) p) (w i)]
fsx : ↑s → Finset ι := fun i ↦ insert (↑i) (fs i)
hfsx : ∀ (i : ↑s), ↑i ∈ fsx i
wx : ↑s → ι → k := fun i ↦ (↑(fs i)).indicator (w i)
i : ↑s
hi : ↑i ∉ fs i
⊢ ∑ x ∈ insert (↑i) (fs i), (↑(fs i)).indicator (w i) x = ∑ j ∈ fs i, w i j
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.MazurUlam

Goal state before:
pp: case left
E : Type u_1
PE : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MetricSpace PE
inst✝ : NormedAddTorsor E PE
x y : PE
z : PE := ⋯
s : Set (PE ≃ᵢ PE) := ⋯
this : Nonempty ↑s
h_bdd : BddAbove (range fun e ↦ dist (↑e z) z)
R : PE ≃ᵢ PE := ⋯
f : PE ≃ᵢ PE → PE ≃ᵢ PE := ⋯
hf_dist : ∀ (e : PE ≃ᵢ PE), dist ((f e) z) z = 2 * dist (e z) z
e : PE ≃ᵢ PE
hx : e x = x
hy : e y = y
⊢ (f e) x = x

pp: case right
E : Type u_1
PE : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MetricSpace PE
inst✝ : NormedAddTorsor E PE
x y : PE
z : PE := ⋯
s : Set (PE ≃ᵢ PE) := ⋯
this : Nonempty ↑s
h_bdd : BddAbove (range fun e ↦ dist (↑e z) z)
R : PE ≃ᵢ PE := ⋯
f : PE ≃ᵢ PE → PE ≃ᵢ PE := ⋯
hf_dist : ∀ (e : PE ≃ᵢ PE), dist ((f e) z) z = 2 * dist (e z) z
e : PE ≃ᵢ PE
hx : e x = x
hy : e y = y
⊢ (f e) y = y

Tactic:
<;>

Goal state after:
case left
E : Type u_1
PE : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MetricSpace PE
inst✝ : NormedAddTorsor E PE
x y : PE
z : PE := ⋯
s : Set (PE ≃ᵢ PE) := ⋯
this : Nonempty ↑s
h_bdd : BddAbove (range fun e ↦ dist (↑e z) z)
R : PE ≃ᵢ PE := ⋯
f : PE ≃ᵢ PE → PE ≃ᵢ PE := ⋯
hf_dist : ∀ (e : PE ≃ᵢ PE), dist ((f e) z) z = 2 * dist (e z) z
e : PE ≃ᵢ PE
hx : e x = x
hy : e y = y
⊢ (f e) x = x

case right
E : Type u_1
PE : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MetricSpace PE
inst✝ : NormedAddTorsor E PE
x y : PE
z : PE := ⋯
s : Set (PE ≃ᵢ PE) := ⋯
this : Nonempty ↑s
h_bdd : BddAbove (range fun e ↦ dist (↑e z) z)
R : PE ≃ᵢ PE := ⋯
f : PE ≃ᵢ PE → PE ≃ᵢ PE := ⋯
hf_dist : ∀ (e : PE ≃ᵢ PE), dist ((f e) z) z = 2 * dist (e z) z
e : PE ≃ᵢ PE
hx : e x = x
hy : e y = y
⊢ (f e) y = y
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gamma.Beta

Goal state before:
pp: case pos
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0
hs : sin (↑π * z) = 0
⊢ Gamma z * Gamma (1 - z) = ↑π / 0

Tactic:
div_zero

Goal state after:
case pos
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0
hs : sin (↑π * z) = 0
⊢ Gamma z * Gamma (1 - z) = 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Simplex

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hs : s.Scalene
i₁ i₂ i₃ i₄ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₃₄ : i₃ ≠ i₄
h₁₂₃₄ : ¬i₁ = i₃ ∨ ¬i₂ = i₄
h₁₂₄₃ : ¬i₁ = i₄ ∨ ¬i₂ = i₃
h₁₂lt : i₁ < i₂
⊢ dist (s.points i₁) (s.points i₂) ≠ dist (s.points i₃) (s.points i₄)

pp: case inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hs : s.Scalene
i₁ i₂ i₃ i₄ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₃₄ : i₃ ≠ i₄
h₁₂₃₄ : ¬i₁ = i₃ ∨ ¬i₂ = i₄
h₁₂₄₃ : ¬i₁ = i₄ ∨ ¬i₂ = i₃
h₂₁lt : i₂ < i₁
⊢ dist (s.points i₁) (s.points i₂) ≠ dist (s.points i₃) (s.points i₄)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hs : s.Scalene
i₁ i₂ i₃ i₄ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₃₄ : i₃ ≠ i₄
h₁₂₃₄ : ¬i₁ = i₃ ∨ ¬i₂ = i₄
h₁₂₄₃ : ¬i₁ = i₄ ∨ ¬i₂ = i₃
h₁₂lt : i₁ < i₂
⊢ dist (s.points i₁) (s.points i₂) ≠ dist (s.points i₃) (s.points i₄)

case inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hs : s.Scalene
i₁ i₂ i₃ i₄ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₃₄ : i₃ ≠ i₄
h₁₂₃₄ : ¬i₁ = i₃ ∨ ¬i₂ = i₄
h₁₂₄₃ : ¬i₁ = i₄ ∨ ¬i₂ = i₃
h₂₁lt : i₂ < i₁
⊢ dist (s.points i₁) (s.points i₂) ≠ dist (s.points i₃) (s.points i₄)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Simplex

Goal state before:
pp: case inl.inl.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hs : s.Scalene
i₁ i₂ i₃ i₄ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₃₄ : i₃ ≠ i₄
h₁₂₄₃ : ¬i₁ = i₄ ∨ ¬i₂ = i₃
h₁₂lt : i₁ < i₂
h₃₄lt : i₃ < i₄
h✝ : ¬i₁ = i₃
⊢ ⟨(i₁, i₂), h₁₂lt⟩ ≠ ⟨(i₃, i₄), h₃₄lt⟩

pp: case inl.inl.inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hs : s.Scalene
i₁ i₂ i₃ i₄ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₃₄ : i₃ ≠ i₄
h₁₂₄₃ : ¬i₁ = i₄ ∨ ¬i₂ = i₃
h₁₂lt : i₁ < i₂
h₃₄lt : i₃ < i₄
h✝ : ¬i₂ = i₄
⊢ ⟨(i₁, i₂), h₁₂lt⟩ ≠ ⟨(i₃, i₄), h₃₄lt⟩

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl.inl.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hs : s.Scalene
i₁ i₂ i₃ i₄ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₃₄ : i₃ ≠ i₄
h₁₂₄₃ : ¬i₁ = i₄ ∨ ¬i₂ = i₃
h₁₂lt : i₁ < i₂
h₃₄lt : i₃ < i₄
h✝ : ¬i₁ = i₃
⊢ ⟨(i₁, i₂), h₁₂lt⟩ ≠ ⟨(i₃, i₄), h₃₄lt⟩

case inl.inl.inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hs : s.Scalene
i₁ i₂ i₃ i₄ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₃₄ : i₃ ≠ i₄
h₁₂₄₃ : ¬i₁ = i₄ ∨ ¬i₂ = i₃
h₁₂lt : i₁ < i₂
h₃₄lt : i₃ < i₄
h✝ : ¬i₂ = i₄
⊢ ⟨(i₁, i₂), h₁₂lt⟩ ≠ ⟨(i₃, i₄), h₃₄lt⟩
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Simplex

Goal state before:
pp: case inl.inr.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hs : s.Scalene
i₁ i₂ i₃ i₄ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₃₄ : i₃ ≠ i₄
h₁₂₃₄ : ¬i₁ = i₃ ∨ ¬i₂ = i₄
h₁₂lt : i₁ < i₂
h₄₃lt : i₄ < i₃
h✝ : ¬i₁ = i₄
⊢ ⟨(i₁, i₂), h₁₂lt⟩ ≠ ⟨(i₄, i₃), h₄₃lt⟩

pp: case inl.inr.inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hs : s.Scalene
i₁ i₂ i₃ i₄ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₃₄ : i₃ ≠ i₄
h₁₂₃₄ : ¬i₁ = i₃ ∨ ¬i₂ = i₄
h₁₂lt : i₁ < i₂
h₄₃lt : i₄ < i₃
h✝ : ¬i₂ = i₃
⊢ ⟨(i₁, i₂), h₁₂lt⟩ ≠ ⟨(i₄, i₃), h₄₃lt⟩

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl.inr.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hs : s.Scalene
i₁ i₂ i₃ i₄ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₃₄ : i₃ ≠ i₄
h₁₂₃₄ : ¬i₁ = i₃ ∨ ¬i₂ = i₄
h₁₂lt : i₁ < i₂
h₄₃lt : i₄ < i₃
h✝ : ¬i₁ = i₄
⊢ ⟨(i₁, i₂), h₁₂lt⟩ ≠ ⟨(i₄, i₃), h₄₃lt⟩

case inl.inr.inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hs : s.Scalene
i₁ i₂ i₃ i₄ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₃₄ : i₃ ≠ i₄
h₁₂₃₄ : ¬i₁ = i₃ ∨ ¬i₂ = i₄
h₁₂lt : i₁ < i₂
h₄₃lt : i₄ < i₃
h✝ : ¬i₂ = i₃
⊢ ⟨(i₁, i₂), h₁₂lt⟩ ≠ ⟨(i₄, i₃), h₄₃lt⟩
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Simplex

Goal state before:
pp: case inr.inl.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hs : s.Scalene
i₁ i₂ i₃ i₄ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₃₄ : i₃ ≠ i₄
h₁₂₃₄ : ¬i₁ = i₃ ∨ ¬i₂ = i₄
h₂₁lt : i₂ < i₁
h₃₄lt : i₃ < i₄
h✝ : ¬i₁ = i₄
⊢ ⟨(i₂, i₁), h₂₁lt⟩ ≠ ⟨(i₃, i₄), h₃₄lt⟩

pp: case inr.inl.inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hs : s.Scalene
i₁ i₂ i₃ i₄ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₃₄ : i₃ ≠ i₄
h₁₂₃₄ : ¬i₁ = i₃ ∨ ¬i₂ = i₄
h₂₁lt : i₂ < i₁
h₃₄lt : i₃ < i₄
h✝ : ¬i₂ = i₃
⊢ ⟨(i₂, i₁), h₂₁lt⟩ ≠ ⟨(i₃, i₄), h₃₄lt⟩

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inr.inl.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hs : s.Scalene
i₁ i₂ i₃ i₄ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₃₄ : i₃ ≠ i₄
h₁₂₃₄ : ¬i₁ = i₃ ∨ ¬i₂ = i₄
h₂₁lt : i₂ < i₁
h₃₄lt : i₃ < i₄
h✝ : ¬i₁ = i₄
⊢ ⟨(i₂, i₁), h₂₁lt⟩ ≠ ⟨(i₃, i₄), h₃₄lt⟩

case inr.inl.inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hs : s.Scalene
i₁ i₂ i₃ i₄ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₃₄ : i₃ ≠ i₄
h₁₂₃₄ : ¬i₁ = i₃ ∨ ¬i₂ = i₄
h₂₁lt : i₂ < i₁
h₃₄lt : i₃ < i₄
h✝ : ¬i₂ = i₃
⊢ ⟨(i₂, i₁), h₂₁lt⟩ ≠ ⟨(i₃, i₄), h₃₄lt⟩
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Simplex

Goal state before:
pp: case inr.inr.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hs : s.Scalene
i₁ i₂ i₃ i₄ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₃₄ : i₃ ≠ i₄
h₁₂₄₃ : ¬i₁ = i₄ ∨ ¬i₂ = i₃
h₂₁lt : i₂ < i₁
h₄₃lt : i₄ < i₃
h✝ : ¬i₁ = i₃
⊢ ⟨(i₂, i₁), h₂₁lt⟩ ≠ ⟨(i₄, i₃), h₄₃lt⟩

pp: case inr.inr.inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hs : s.Scalene
i₁ i₂ i₃ i₄ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₃₄ : i₃ ≠ i₄
h₁₂₄₃ : ¬i₁ = i₄ ∨ ¬i₂ = i₃
h₂₁lt : i₂ < i₁
h₄₃lt : i₄ < i₃
h✝ : ¬i₂ = i₄
⊢ ⟨(i₂, i₁), h₂₁lt⟩ ≠ ⟨(i₄, i₃), h₄₃lt⟩

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inr.inr.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hs : s.Scalene
i₁ i₂ i₃ i₄ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₃₄ : i₃ ≠ i₄
h₁₂₄₃ : ¬i₁ = i₄ ∨ ¬i₂ = i₃
h₂₁lt : i₂ < i₁
h₄₃lt : i₄ < i₃
h✝ : ¬i₁ = i₃
⊢ ⟨(i₂, i₁), h₂₁lt⟩ ≠ ⟨(i₄, i₃), h₄₃lt⟩

case inr.inr.inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex R P n
hs : s.Scalene
i₁ i₂ i₃ i₄ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₃₄ : i₃ ≠ i₄
h₁₂₄₃ : ¬i₁ = i₄ ∨ ¬i₂ = i₃
h₂₁lt : i₂ < i₁
h₄₃lt : i₄ < i₃
h✝ : ¬i₂ = i₄
⊢ ⟨(i₂, i₁), h₂₁lt⟩ ≠ ⟨(i₄, i₃), h₄₃lt⟩
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gamma.Beta

Goal state before:
pp: case pos
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
h_im : s.im = 0
this : s = ↑s.re
⊢ ↑(Real.Gamma s.re) ≠ 0

Tactic:
ofReal_ne_zero

Goal state after:
case pos
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
h_im : s.im = 0
this : s = ↑s.re
⊢ Real.Gamma s.re ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Simplex

Goal state before:
pp: case e'_3
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex R P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
x✝ : (s.reindex e).Equilateral
r : ℝ
hr : ∀ (i j : Fin (n + 1)), i ≠ j → dist ((s.reindex e).points i) ((s.reindex e).points j) = r
i j : Fin (m + 1)
hij : i ≠ j
⊢ s.points i = (s.reindex e).points (e i)

pp: case e'_4
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex R P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
x✝ : (s.reindex e).Equilateral
r : ℝ
hr : ∀ (i j : Fin (n + 1)), i ≠ j → dist ((s.reindex e).points i) ((s.reindex e).points j) = r
i j : Fin (m + 1)
hij : i ≠ j
⊢ s.points j = (s.reindex e).points (e j)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_3
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex R P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
x✝ : (s.reindex e).Equilateral
r : ℝ
hr : ∀ (i j : Fin (n + 1)), i ≠ j → dist ((s.reindex e).points i) ((s.reindex e).points j) = r
i j : Fin (m + 1)
hij : i ≠ j
⊢ s.points i = (s.reindex e).points (e i)

case e'_4
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex R P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
x✝ : (s.reindex e).Equilateral
r : ℝ
hr : ∀ (i j : Fin (n + 1)), i ≠ j → dist ((s.reindex e).points i) ((s.reindex e).points j) = r
i j : Fin (m + 1)
hij : i ≠ j
⊢ s.points j = (s.reindex e).points (e j)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gamma.Beta

Goal state before:
pp: case e'_2
s : ℂ
this : (fun z ↦ (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) = fun z ↦ (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π
⊢ Gamma s * Gamma (s + 1 / 2) = ((Gamma s)⁻¹ * (Gamma (s + 1 / 2))⁻¹)⁻¹

pp: case e'_3
s : ℂ
this : (fun z ↦ (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) = fun z ↦ (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π
⊢ Gamma (2 * s) * 2 ^ (1 - 2 * s) * ↑√π = ((Gamma (2 * s))⁻¹ * 2 ^ (2 * s - 1) / ↑√π)⁻¹

Tactic:
· rw [mul_inv, inv_inv, inv_inv]

Goal state after:
case e'_3
s : ℂ
this : (fun z ↦ (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) = fun z ↦ (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π
⊢ Gamma (2 * s) * 2 ^ (1 - 2 * s) * ↑√π = ((Gamma (2 * s))⁻¹ * 2 ^ (2 * s - 1) / ↑√π)⁻¹
Module: Mathlib.Analysis.Polynomial.Factorization

Goal state before:
pp: case «1»
f : ℝ[X]
n : ℕ
hf : f.IsMonicOfDegree (n + 1)
f₁ : ℝ[X]
hm : f₁.Monic
hirr : Irreducible f₁
f₂ : ℝ[X]
hf₂ : f = f₁ * f₂
P : ℕ → Prop
m : ℕ
hm₀ : 0 < 1
hm₂ : 1 ≤ 2
h : P 1
⊢ P 1 ∨ P 2

pp: case «2»
f : ℝ[X]
n : ℕ
hf : f.IsMonicOfDegree (n + 1)
f₁ : ℝ[X]
hm : f₁.Monic
hirr : Irreducible f₁
f₂ : ℝ[X]
hf₂ : f = f₁ * f₂
P : ℕ → Prop
m : ℕ
hm₀ : 0 < 2
hm₂ : 2 ≤ 2
h : P 2
⊢ P 1 ∨ P 2

Tactic:
<;>

Goal state after:
case «1»
f : ℝ[X]
n : ℕ
hf : f.IsMonicOfDegree (n + 1)
f₁ : ℝ[X]
hm : f₁.Monic
hirr : Irreducible f₁
f₂ : ℝ[X]
hf₂ : f = f₁ * f₂
P : ℕ → Prop
m : ℕ
hm₀ : 0 < 1
hm₂ : 1 ≤ 2
h : P 1
⊢ P 1 ∨ P 2

case «2»
f : ℝ[X]
n : ℕ
hf : f.IsMonicOfDegree (n + 1)
f₁ : ℝ[X]
hm : f₁.Monic
hirr : Irreducible f₁
f₂ : ℝ[X]
hf₂ : f = f₁ * f₂
P : ℕ → Prop
m : ℕ
hm₀ : 0 < 2
hm₂ : 2 ≤ 2
h : P 2
⊢ P 1 ∨ P 2