mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Group.Tannery

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x ↦ f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
h✝¹ : Nonempty β
h✝ : 𝓕.NeBot
h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k
h_sumg : Summable fun x ↦ ‖g x‖
h_suma : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, Summable fun x ↦ ‖f n x‖
⊢ Tendsto (fun x ↦ ∑' (k : β), f x k) 𝓕 (𝓝 (∑' (k : β), g k))

Tactic:
rw [Metric.tendsto_nhds]

Goal state after:
case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
𝓕 : Filter α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : α → β → G
g : β → G
bound : β → ℝ
h_sum : Summable bound
hab : ∀ (k : β), Tendsto (fun x ↦ f x k) 𝓕 (𝓝 (g k))
h_bound : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, ∀ (k : β), ‖f n k‖ ≤ bound k
h✝¹ : Nonempty β
h✝ : 𝓕.NeBot
h_g_le : ∀ (k : β), ‖g k‖ ≤ bound k
h_sumg : Summable fun x ↦ ‖g x‖
h_suma : ∀ᶠ (n : α) in 𝓕, Summable fun x ↦ ‖f n x‖
⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in 𝓕, dist (∑' (k : β), f x k) (∑' (k : β), g k) < ε
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SpectralNorm

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField K
L : Type v
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic K L
hu : IsUltrametricDist K
inst✝ : CompleteSpace K
x : L
E : Type v := ((mapAlg K L) (minpoly K x)).SplittingField
hspl : ((mapAlg K E) (minpoly K x)).Splits
this✝ : Algebra.IsAlgebraic L E
this : Algebra.IsAlgebraic K E
⊢ ((mapAlg K E) (minpoly K x)).Monic

pp: K : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField K
L : Type v
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic K L
hu : IsUltrametricDist K
inst✝ : CompleteSpace K
x : L
E : Type v := ((mapAlg K L) (minpoly K x)).SplittingField
hspl : ((mapAlg K E) (minpoly K x)).Splits
this✝ : Algebra.IsAlgebraic L E
this : Algebra.IsAlgebraic K E
⊢ ↑(minpoly K x).natDegree ≠ 0

Tactic:
· simp [monic_mapAlg_iff, minpoly.monic (Algebra.IsAlgebraic.isAlgebraic x).isIntegral]

Goal state after:
K : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField K
L : Type v
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic K L
hu : IsUltrametricDist K
inst✝ : CompleteSpace K
x : L
E : Type v := ((mapAlg K L) (minpoly K x)).SplittingField
hspl : ((mapAlg K E) (minpoly K x)).Splits
this✝ : Algebra.IsAlgebraic L E
this : Algebra.IsAlgebraic K E
⊢ ↑(minpoly K x).natDegree ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.ContinuousInverse

Goal state before:
pp: R : Type u_7
E : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace R E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace R F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →L[R] F
hf : Injective ⇑f
hf' : IsClosed (range ⇑f)
this : (↑f.rangeRestrict).ker = ⊥
p : F →L[R] ↥(↑f).range
hp : ∀ (x : ↥(↑f).range), p ↑x = x
⊢ f.HasLeftInverse

Tactic:
refine ⟨(f.leftInverse_of_injective_of_isClosed_range hf hf').comp p, fun x ↦ ?_⟩

Goal state after:
R : Type u_7
E : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace R E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace R F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →L[R] F
hf : Injective ⇑f
hf' : IsClosed (range ⇑f)
this : (↑f.rangeRestrict).ker = ⊥
p : F →L[R] ↥(↑f).range
hp : ∀ (x : ↥(↑f).range), p ↑x = x
x : E
⊢ (f.leftInverse_of_injective_of_isClosed_range hf hf' ∘SL p) (f x) = x
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Summable

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
f : ι → ℝ
hfn : ∀ᶠ (i : ι) in cofinite, 0 < f i
hf : Summable fun i ↦ log (f i)
this : Summable fun i ↦ log (if 0 < f i then f i else 1)
i : ι
h : 0 < f i
⊢ 0 < f i

pp: case neg
ι : Type u_1
f : ι → ℝ
hfn : ∀ᶠ (i : ι) in cofinite, 0 < f i
hf : Summable fun i ↦ log (f i)
this : Summable fun i ↦ log (if 0 < f i then f i else 1)
i : ι
h : ¬0 < f i
⊢ 0 < 1

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
f : ι → ℝ
hfn : ∀ᶠ (i : ι) in cofinite, 0 < f i
hf : Summable fun i ↦ log (f i)
this : Summable fun i ↦ log (if 0 < f i then f i else 1)
i : ι
h : 0 < f i
⊢ 0 < f i

case neg
ι : Type u_1
f : ι → ℝ
hfn : ∀ᶠ (i : ι) in cofinite, 0 < f i
hf : Summable fun i ↦ log (f i)
this : Summable fun i ↦ log (if 0 < f i then f i else 1)
i : ι
h : ¬0 < f i
⊢ 0 < 1
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Summable

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
f : ι → ℝ
hfn : ∀ᶠ (i : ι) in cofinite, 0 < f i
hf : Summable fun i ↦ log (f i)
this✝ : Summable fun i ↦ log (if 0 < f i then f i else 1)
this : Multipliable fun i ↦ if 0 < f i then f i else 1
i : ι
h : 0 < f i
⊢ f i ≠ 0

pp: case neg
ι : Type u_1
f : ι → ℝ
hfn : ∀ᶠ (i : ι) in cofinite, 0 < f i
hf : Summable fun i ↦ log (f i)
this✝ : Summable fun i ↦ log (if 0 < f i then f i else 1)
this : Multipliable fun i ↦ if 0 < f i then f i else 1
i : ι
h : ¬0 < f i
⊢ 1 ≠ 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
f : ι → ℝ
hfn : ∀ᶠ (i : ι) in cofinite, 0 < f i
hf : Summable fun i ↦ log (f i)
this✝ : Summable fun i ↦ log (if 0 < f i then f i else 1)
this : Multipliable fun i ↦ if 0 < f i then f i else 1
i : ι
h : 0 < f i
⊢ f i ≠ 0

case neg
ι : Type u_1
f : ι → ℝ
hfn : ∀ᶠ (i : ι) in cofinite, 0 < f i
hf : Summable fun i ↦ log (f i)
this✝ : Summable fun i ↦ log (if 0 < f i then f i else 1)
this : Multipliable fun i ↦ if 0 < f i then f i else 1
i : ι
h : ¬0 < f i
⊢ 1 ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Log.Summable

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : NormedCommRing R
inst✝¹ : NormOneClass R
f : ι → R
inst✝ : CompleteSpace R
hf : Summable fun i ↦ ‖f i‖
ε : ℝ
hε : ε > 0
r₁ : ℝ
hr₁ : r₁ > 0
s₁ : Finset ι
hs₁ : ∀ (t : Finset ι), s₁ ⊆ t → ∏ i ∈ t, ‖1 + f i‖ ≤ r₁
s₂ : Finset ι
hs₂ : ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s₂ → ‖∏ i ∈ t, (1 + f i) - 1‖ < ε / (2 * r₁)
s : Finset ι := s₁ ∪ s₂
b : Finset ι
hb : s ⊆ b
⊢ dist ((∏ x ∈ s, (1 + f x)) * ∏ x ∈ b \ s, (1 + f x)) (∏ i ∈ s, (1 + f i)) < ε / 2

Tactic:
dist_eq_norm_sub,

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : NormedCommRing R
inst✝¹ : NormOneClass R
f : ι → R
inst✝ : CompleteSpace R
hf : Summable fun i ↦ ‖f i‖
ε : ℝ
hε : ε > 0
r₁ : ℝ
hr₁ : r₁ > 0
s₁ : Finset ι
hs₁ : ∀ (t : Finset ι), s₁ ⊆ t → ∏ i ∈ t, ‖1 + f i‖ ≤ r₁
s₂ : Finset ι
hs₂ : ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s₂ → ‖∏ i ∈ t, (1 + f i) - 1‖ < ε / (2 * r₁)
s : Finset ι := s₁ ∪ s₂
b : Finset ι
hb : s ⊆ b
⊢ ‖(∏ x ∈ s, (1 + f x)) * ∏ x ∈ b \ s, (1 + f x) - ∏ i ∈ s, (1 + f i)‖ < ε / 2
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.PiTensorProduct.ProjectiveSeminorm

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
⊢ ((liftIsometry 𝕜 E F) f) x = (lift f.toMultilinearMap) x

Tactic:
simp [LinearIsometryEquiv.ofBounds, liftIsometry]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: case hf
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
p q r : ℝ≥0∞
hpqr✝ : p.HolderTriple q r
e : (i : ι) → E i
f : (i : ι) → F i
hp : 0 < p.toReal
hq : 0 < q.toReal
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K C D : ℝ
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ K
hK : 0 ≤ K
hC : 0 ≤ C
hCe : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, ‖e i‖ ^ p.toReal ≤ C
hDf : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ q.toReal ≤ D
s : Finset ι
hpqr : p.toReal.HolderTriple q.toReal r.toReal
hr : 0 < r.toReal
⊢ ∀ i ∈ s, 0 ≤ ‖e i‖

pp: case hg
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
p q r : ℝ≥0∞
hpqr✝ : p.HolderTriple q r
e : (i : ι) → E i
f : (i : ι) → F i
hp : 0 < p.toReal
hq : 0 < q.toReal
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K C D : ℝ
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ K
hK : 0 ≤ K
hC : 0 ≤ C
hCe : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, ‖e i‖ ^ p.toReal ≤ C
hDf : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ q.toReal ≤ D
s : Finset ι
hpqr : p.toReal.HolderTriple q.toReal r.toReal
hr : 0 < r.toReal
⊢ ∀ i ∈ s, 0 ≤ ‖f i‖

Tactic:
<;>

Goal state after:
case hf
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
p q r : ℝ≥0∞
hpqr✝ : p.HolderTriple q r
e : (i : ι) → E i
f : (i : ι) → F i
hp : 0 < p.toReal
hq : 0 < q.toReal
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K C D : ℝ
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ K
hK : 0 ≤ K
hC : 0 ≤ C
hCe : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, ‖e i‖ ^ p.toReal ≤ C
hDf : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ q.toReal ≤ D
s : Finset ι
hpqr : p.toReal.HolderTriple q.toReal r.toReal
hr : 0 < r.toReal
⊢ ∀ i ∈ s, 0 ≤ ‖e i‖

case hg
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
p q r : ℝ≥0∞
hpqr✝ : p.HolderTriple q r
e : (i : ι) → E i
f : (i : ι) → F i
hp : 0 < p.toReal
hq : 0 < q.toReal
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K C D : ℝ
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ K
hK : 0 ≤ K
hC : 0 ≤ C
hCe : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, ‖e i‖ ^ p.toReal ≤ C
hDf : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ q.toReal ≤ D
s : Finset ι
hpqr : p.toReal.HolderTriple q.toReal r.toReal
hr : 0 < r.toReal
⊢ ∀ i ∈ s, 0 ≤ ‖f i‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpHolder

Goal state before:
pp: case h₁
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
p q r : ℝ≥0∞
hpqr✝ : p.HolderTriple q r
e : (i : ι) → E i
f : (i : ι) → F i
hp : 0 < p.toReal
hq : 0 < q.toReal
B : (i : ι) → E i →L[𝕜] F i →L[𝕜] G i
K C D : ℝ
hBK : ∀ (i : ι), ‖B i‖ ≤ K
hK : 0 ≤ K
hC : 0 ≤ C
hCe : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, ‖e i‖ ^ p.toReal ≤ C
hDf : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ q.toReal ≤ D
s : Finset ι
hpqr : p.toReal.HolderTriple q.toReal r.toReal
hr : 0 < r.toReal
⊢ ∑ i ∈ s, ‖e i‖ ^ p.toReal ≤ C

Tactic:
exact hCe s

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Fredholm.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : Module 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F
u : E →L[𝕜] F
E₁ : Submodule 𝕜 E
E₁_closed : IsClosed[inst✝⁶] ↑E₁
E₁_coFG : E₁.CoFG
F₁ : Submodule 𝕜 F
F₁_closed : IsClosed[inst✝⁵] ↑F₁
F₁_coFG : F₁.CoFG
h_mapsto : MapsTo ⇑u ↑E₁ ↑F₁
e : ↥E₁ ≃L[𝕜] ↥F₁
he : ↑e = u.restrict h_mapsto
eqL : u.domRestrict E₁ = F₁.subtypeL ∘SL ↑e
eqₗ : (↑u).domRestrict E₁ = F₁.subtype ∘ₗ ↑↑e
h : IsStrictMap ⇑u ∧ IsClosed[inst✝⁵] ↑(↑u).range
disj : Disjoint E₁ (↑u).ker
⊢ F₁ ≤ map F₁.subtype (↑↑e).range

Tactic:
LinearEquiv.range,

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : Module 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F
u : E →L[𝕜] F
E₁ : Submodule 𝕜 E
E₁_closed : IsClosed[inst✝⁶] ↑E₁
E₁_coFG : E₁.CoFG
F₁ : Submodule 𝕜 F
F₁_closed : IsClosed[inst✝⁵] ↑F₁
F₁_coFG : F₁.CoFG
h_mapsto : MapsTo ⇑u ↑E₁ ↑F₁
e : ↥E₁ ≃L[𝕜] ↥F₁
he : ↑e = u.restrict h_mapsto
eqL : u.domRestrict E₁ = F₁.subtypeL ∘SL ↑e
eqₗ : (↑u).domRestrict E₁ = F₁.subtype ∘ₗ ↑↑e
h : IsStrictMap ⇑u ∧ IsClosed[inst✝⁵] ↑(↑u).range
disj : Disjoint E₁ (↑u).ker
⊢ F₁ ≤ map F₁.subtype ⊤
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Perturbation.StrictByFinite

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : IsTopologicalAddGroup F
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F
u : E →L[𝕜] F
A : Submodule 𝕜 E
A_closed : IsClosed[inst✝⁶] ↑A
inst✝ : A.CoFG
N : Submodule 𝕜 E := A ⊓ (↑u).ker
π : E →L[𝕜] E ⧸ N := N.mkQL
v : E ⧸ N →L[𝕜] F := N.liftQL u ⋯
π_quot : IsOpenQuotientMap ⇑π
u_eq : u = v ∘SL π
B : Submodule 𝕜 (E ⧸ N) := map N.mkQ A
B_cofg : B.CoFG
v_ker : Disjoint (↑v).ker B
comap_B : comap (↑π) B = A
A_mapsTo_B : MapsTo ⇑π ↑A ↑B
B_closed : IsClosed[QuotientModule.Quotient.topologicalSpace N] ↑B
step4_output :
  IsStrictMap ⇑v ∧ IsClosed[inst✝³] ↑(↑v).range ↔
    IsStrictMap ⇑(v.domRestrict B) ∧ IsClosed[inst✝³] ↑(↑(v.domRestrict B)).range
range_eq : (↑v).range = (↑u).range
range_restr_eq : (↑(v.domRestrict B)).range = (↑(u.domRestrict A)).range
π' : ↥A →L[𝕜] ↥B := π.restrict A_mapsTo_B
φ : ↑(⇑N.mkQL ⁻¹' ↑B) ≃ₜ ↥A := Homeomorph.setCongr ⋯
⊢ IsOpenQuotientMap ⇑π'

Tactic:
exact N.isOpenQuotientMap_mkQL.restrictPreimage B |>.comp
      φ.symm.isOpenQuotientMap

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Order.UpperLower

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : HasUpperLowerClosure α
s : Set α
h : IsUpperSet s
⊢ IsLowerSet (closure sᶜ)

Tactic:
exact h.compl.closure

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Ring.Int

Goal state before:
pp: case inl
⊢ ‖↑1‖₊ = 1

pp: case inr
⊢ ‖↑(-1)‖₊ = 1

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl
⊢ ‖↑1‖₊ = 1

case inr
⊢ ‖↑(-1)‖₊ = 1
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Contracting

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
inst✝¹ : EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
inst✝ : CompleteSpace α
hf : ContractingWith K f
x : α
hx : edist x (f x) ≠ ∞
y : α
hy : edist y (f y) ≠ ∞
h : edist x y ≠ ∞
⊢ IsFixedPt f (efixedPoint f hf x hx)

pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝¹ : EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
inst✝ : CompleteSpace α
hf : ContractingWith K f
x : α
hx : edist x (f x) ≠ ∞
y : α
hy : edist y (f y) ≠ ∞
h : edist x y ≠ ∞
⊢ IsFixedPt f (efixedPoint f hf y hy)

pp: case refine_3
α : Type u_1
inst✝¹ : EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
inst✝ : CompleteSpace α
hf : ContractingWith K f
x : α
hx : edist x (f x) ≠ ∞
y : α
hy : edist y (f y) ≠ ∞
h : edist x y ≠ ∞
h' : edist (efixedPoint f hf x hx) (efixedPoint f hf y hy) = ∞
⊢ edist (efixedPoint f hf x hx) (efixedPoint f hf y hy) < ∞

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
inst✝¹ : EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
inst✝ : CompleteSpace α
hf : ContractingWith K f
x : α
hx : edist x (f x) ≠ ∞
y : α
hy : edist y (f y) ≠ ∞
h : edist x y ≠ ∞
⊢ IsFixedPt f (efixedPoint f hf x hx)

case refine_2
α : Type u_1
inst✝¹ : EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
inst✝ : CompleteSpace α
hf : ContractingWith K f
x : α
hx : edist x (f x) ≠ ∞
y : α
hy : edist y (f y) ≠ ∞
h : edist x y ≠ ∞
⊢ IsFixedPt f (efixedPoint f hf y hy)

case refine_3
α : Type u_1
inst✝¹ : EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
inst✝ : CompleteSpace α
hf : ContractingWith K f
x : α
hx : edist x (f x) ≠ ∞
y : α
hy : edist y (f y) ≠ ∞
h : edist x y ≠ ∞
h' : edist (efixedPoint f hf x hx) (efixedPoint f hf y hy) = ∞
⊢ edist (efixedPoint f hf x hx) (efixedPoint f hf y hy) < ∞
Module: Mathlib.Analysis.ODE.Gronwall

Goal state before:
pp: δ K ε x a : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun y ↦ gronwallBound δ K ε (y - a)) (K * gronwallBound δ K ε (x - a) + ε) x

Tactic:
convert! (hasDerivAt_gronwallBound δ K ε _).comp x ((hasDerivAt_id x).sub_const a) using 1
  rw [id, mul_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Contracting

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
s : Set α
hsc : IsComplete s
hsf : MapsTo f s s
hfs : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf)
x : α
hxs : x ∈ s
hx : edist x (f x) ≠ ∞
t : Set α
htc : IsComplete t
htf : MapsTo f t t
hft : ContractingWith K (MapsTo.restrict f t t htf)
y : α
hyt : y ∈ t
hy : edist y (f y) ≠ ∞
hxy : edist x y ≠ ∞
⊢ IsFixedPt f (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx)

pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
s : Set α
hsc : IsComplete s
hsf : MapsTo f s s
hfs : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf)
x : α
hxs : x ∈ s
hx : edist x (f x) ≠ ∞
t : Set α
htc : IsComplete t
htf : MapsTo f t t
hft : ContractingWith K (MapsTo.restrict f t t htf)
y : α
hyt : y ∈ t
hy : edist y (f y) ≠ ∞
hxy : edist x y ≠ ∞
⊢ IsFixedPt f (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy)

pp: case refine_3
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
s : Set α
hsc : IsComplete s
hsf : MapsTo f s s
hfs : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf)
x : α
hxs : x ∈ s
hx : edist x (f x) ≠ ∞
t : Set α
htc : IsComplete t
htf : MapsTo f t t
hft : ContractingWith K (MapsTo.restrict f t t htf)
y : α
hyt : y ∈ t
hy : edist y (f y) ≠ ∞
hxy : edist x y ≠ ∞
h' : edist (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx) (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) = ∞
⊢ edist (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx) (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) < ∞

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
s : Set α
hsc : IsComplete s
hsf : MapsTo f s s
hfs : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf)
x : α
hxs : x ∈ s
hx : edist x (f x) ≠ ∞
t : Set α
htc : IsComplete t
htf : MapsTo f t t
hft : ContractingWith K (MapsTo.restrict f t t htf)
y : α
hyt : y ∈ t
hy : edist y (f y) ≠ ∞
hxy : edist x y ≠ ∞
⊢ IsFixedPt f (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx)

case refine_2
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
s : Set α
hsc : IsComplete s
hsf : MapsTo f s s
hfs : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf)
x : α
hxs : x ∈ s
hx : edist x (f x) ≠ ∞
t : Set α
htc : IsComplete t
htf : MapsTo f t t
hft : ContractingWith K (MapsTo.restrict f t t htf)
y : α
hyt : y ∈ t
hy : edist y (f y) ≠ ∞
hxy : edist x y ≠ ∞
⊢ IsFixedPt f (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy)

case refine_3
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
s : Set α
hsc : IsComplete s
hsf : MapsTo f s s
hfs : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf)
x : α
hxs : x ∈ s
hx : edist x (f x) ≠ ∞
t : Set α
htc : IsComplete t
htf : MapsTo f t t
hft : ContractingWith K (MapsTo.restrict f t t htf)
y : α
hyt : y ∈ t
hy : edist y (f y) ≠ ∞
hxy : edist x y ≠ ∞
h' : edist (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx) (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) = ∞
⊢ edist (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx) (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) < ∞
Module: Mathlib.Analysis.ODE.DiscreteGronwall

Goal state before:
pp: case ha
u b c : ℕ → ℝ
n₀ : ℕ
hun₀ : 0 ≤ u n₀
hu : ∀ n ≥ n₀, u (n + 1) ≤ (1 + c n) * u n + b n
hc : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ c n
hb : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ b n
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
k : ℕ
a✝ : k ∈ Ico n₀ n
⊢ 0 ≤ b k

pp: case hf0
u b c : ℕ → ℝ
n₀ : ℕ
hun₀ : 0 ≤ u n₀
hu : ∀ n ≥ n₀, u (n + 1) ≤ (1 + c n) * u n + b n
hc : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ c n
hb : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ b n
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
k : ℕ
a✝ : k ∈ Ico n₀ n
⊢ ∀ i ∈ Ico (k + 1) n, 0 ≤ 1 + c i

pp: case hf
u b c : ℕ → ℝ
n₀ : ℕ
hun₀ : 0 ≤ u n₀
hu : ∀ n ≥ n₀, u (n + 1) ≤ (1 + c n) * u n + b n
hc : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ c n
hb : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ b n
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
k : ℕ
a✝ : k ∈ Ico n₀ n
⊢ ∀ i ∈ Ico n₀ n, i ∉ Ico (k + 1) n → 1 ≤ 1 + c i

pp: case ha
u b c : ℕ → ℝ
n₀ : ℕ
hun₀ : 0 ≤ u n₀
hu : ∀ n ≥ n₀, u (n + 1) ≤ (1 + c n) * u n + b n
hc : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ c n
hb : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ b n
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
k : ℕ
a✝ : k ∈ Ico n₀ n
⊢ n₀ ≤ k + 1

Tactic:
<;>

Goal state after:
case ha
u b c : ℕ → ℝ
n₀ : ℕ
hun₀ : 0 ≤ u n₀
hu : ∀ n ≥ n₀, u (n + 1) ≤ (1 + c n) * u n + b n
hc : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ c n
hb : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ b n
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
k : ℕ
a✝ : k ∈ Ico n₀ n
⊢ 0 ≤ b k

case hf0
u b c : ℕ → ℝ
n₀ : ℕ
hun₀ : 0 ≤ u n₀
hu : ∀ n ≥ n₀, u (n + 1) ≤ (1 + c n) * u n + b n
hc : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ c n
hb : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ b n
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
k : ℕ
a✝ : k ∈ Ico n₀ n
⊢ ∀ i ∈ Ico (k + 1) n, 0 ≤ 1 + c i

case hf
u b c : ℕ → ℝ
n₀ : ℕ
hun₀ : 0 ≤ u n₀
hu : ∀ n ≥ n₀, u (n + 1) ≤ (1 + c n) * u n + b n
hc : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ c n
hb : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ b n
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
k : ℕ
a✝ : k ∈ Ico n₀ n
⊢ ∀ i ∈ Ico n₀ n, i ∉ Ico (k + 1) n → 1 ≤ 1 + c i

case ha
u b c : ℕ → ℝ
n₀ : ℕ
hun₀ : 0 ≤ u n₀
hu : ∀ n ≥ n₀, u (n + 1) ≤ (1 + c n) * u n + b n
hc : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ c n
hb : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ b n
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
k : ℕ
a✝ : k ∈ Ico n₀ n
⊢ n₀ ≤ k + 1
Module: Mathlib.Analysis.ODE.DiscreteGronwall

Goal state before:
pp: case ha
u b c : ℕ → ℝ
n₀ : ℕ
hun₀ : 0 ≤ u n₀
hu : ∀ n ≥ n₀, u (n + 1) ≤ (1 + c n) * u n + b n
hc : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ c n
hb : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ b n
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
⊢ 0 ≤ u n₀ + ∑ k ∈ Ico n₀ n, b k

pp: case hbc
u b c : ℕ → ℝ
n₀ : ℕ
hun₀ : 0 ≤ u n₀
hu : ∀ n ≥ n₀, u (n + 1) ≤ (1 + c n) * u n + b n
hc : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ c n
hb : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ b n
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
⊢ ∏ i ∈ Ico n₀ n, (1 + c i) ≤ rexp (∑ i ∈ Ico n₀ n, c i)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case ha
u b c : ℕ → ℝ
n₀ : ℕ
hun₀ : 0 ≤ u n₀
hu : ∀ n ≥ n₀, u (n + 1) ≤ (1 + c n) * u n + b n
hc : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ c n
hb : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ b n
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
⊢ 0 ≤ u n₀ + ∑ k ∈ Ico n₀ n, b k

case hbc
u b c : ℕ → ℝ
n₀ : ℕ
hun₀ : 0 ≤ u n₀
hu : ∀ n ≥ n₀, u (n + 1) ≤ (1 + c n) * u n + b n
hc : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ c n
hb : ∀ n ≥ n₀, 0 ≤ b n
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
⊢ ∏ i ∈ Ico n₀ n, (1 + c i) ≤ rexp (∑ i ∈ Ico n₀ n, c i)
Module: Mathlib.Analysis.ODE.Gronwall

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b εf εg δ : ℝ
hv : ∀ t ∈ Ico a b, LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' t) (Ici t) t
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (f' t) (v t (f t)) ≤ εf
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' t) (Ici t) t
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (g' t) (v t (g t)) ≤ εg
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ
h_deriv : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt (fun t ↦ f t - g t) (f' t - g' t) (Ici t) t
t : ℝ
ht : t ∈ Ico a b
this✝ : dist (f' t) (g' t) ≤ dist (f' t) (v t (f t)) + dist (g' t) (v t (g t)) + dist (v t (f t)) (v t (g t))
this : dist (v t (f t)) (v t (g t)) ≤ ↑K * dist (f t) (g t)
⊢ ‖f' t - g' t‖ ≤ ↑K * ‖f t - g t‖ + (εf + εg)

Tactic:
grind [dist_eq_norm]

Goal state after: