mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Between

Goal state before:
pp: case «0»
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
s : Simplex R P 1
w : Fin (1 + 1) → R
hw : w 0 + w 1 = 1
h01 : ∀ (i : Fin (1 + 1)), w i ∈ Set.Ioo 0 1
⊢ w ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) = Finset.affineCombinationLineMapWeights 0 1 (w 1) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)

pp: case «1»
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
s : Simplex R P 1
w : Fin (1 + 1) → R
hw : w 0 + w 1 = 1
h01 : ∀ (i : Fin (1 + 1)), w i ∈ Set.Ioo 0 1
⊢ w ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) = Finset.affineCombinationLineMapWeights 0 1 (w 1) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case «0»
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
s : Simplex R P 1
w : Fin (1 + 1) → R
hw : w 0 + w 1 = 1
h01 : ∀ (i : Fin (1 + 1)), w i ∈ Set.Ioo 0 1
⊢ w ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) = Finset.affineCombinationLineMapWeights 0 1 (w 1) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)

case «1»
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
s : Simplex R P 1
w : Fin (1 + 1) → R
hw : w 0 + w 1 = 1
h01 : ∀ (i : Fin (1 + 1)), w i ∈ Set.Ioo 0 1
⊢ w ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) = Finset.affineCombinationLineMapWeights 0 1 (w 1) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)
Module: Mathlib.Data.PEquiv

Goal state before:
pp: α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f g : α ≃. β
a : α
b : β
⊢ (if f.symm b = g.symm b then f.symm b else none) = some a ↔ (if f a = g a then f a else none) = some b

Tactic:
have hf := @mem_iff_mem _ _ f a b

Goal state after:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f g : α ≃. β
a : α
b : β
hf : a ∈ f.symm b ↔ b ∈ f a
⊢ (if f.symm b = g.symm b then f.symm b else none) = some a ↔ (if f a = g a then f a else none) = some b
Module: Mathlib.Data.PEquiv

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x✝³ x✝² : α ≃. β
x✝¹ : α
x✝ : β
h✝ : x✝³ x✝¹ = x✝² x✝¹
⊢ x✝³ x✝¹ = some x✝ → x✝³ x✝¹ = some x✝

pp: case neg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x✝³ x✝² : α ≃. β
x✝¹ : α
x✝ : β
h✝ : ¬x✝³ x✝¹ = x✝² x✝¹
⊢ False → x✝³ x✝¹ = some x✝

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x✝³ x✝² : α ≃. β
x✝¹ : α
x✝ : β
h✝ : x✝³ x✝¹ = x✝² x✝¹
⊢ x✝³ x✝¹ = some x✝ → x✝³ x✝¹ = some x✝

case neg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x✝³ x✝² : α ≃. β
x✝¹ : α
x✝ : β
h✝ : ¬x✝³ x✝¹ = x✝² x✝¹
⊢ False → x✝³ x✝¹ = some x✝
Module: Mathlib.Data.PEquiv

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x✝³ x✝² : α ≃. β
x✝¹ : α
x✝ : β
h✝ : x✝³ x✝¹ = x✝² x✝¹
⊢ x✝³ x✝¹ = some x✝ → x✝² x✝¹ = some x✝

pp: case neg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x✝³ x✝² : α ≃. β
x✝¹ : α
x✝ : β
h✝ : ¬x✝³ x✝¹ = x✝² x✝¹
⊢ False → x✝² x✝¹ = some x✝

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x✝³ x✝² : α ≃. β
x✝¹ : α
x✝ : β
h✝ : x✝³ x✝¹ = x✝² x✝¹
⊢ x✝³ x✝¹ = some x✝ → x✝² x✝¹ = some x✝

case neg
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x✝³ x✝² : α ≃. β
x✝¹ : α
x✝ : β
h✝ : ¬x✝³ x✝¹ = x✝² x✝¹
⊢ False → x✝² x✝¹ = some x✝
Module: Mathlib.Data.Matrix.PEquiv

Goal state before:
pp: case some
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonAssocSemiring α
f : l ≃. m
i : l
j : n
M : Matrix m n α
fi : m
h : f i = some fi
⊢ (if fi ∈ some fi then 1 else 0) * M fi j = Option.rec 0 (fun val ↦ M val j) (some fi)

pp: case some.h₀
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonAssocSemiring α
f : l ≃. m
i : l
j : n
M : Matrix m n α
fi : m
h : f i = some fi
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ fi → (if b ∈ some fi then 1 else 0) * M b j = 0

pp: case some.h₁
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonAssocSemiring α
f : l ≃. m
i : l
j : n
M : Matrix m n α
fi : m
h : f i = some fi
⊢ fi ∉ Finset.univ → (if fi ∈ some fi then 1 else 0) * M fi j = 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case some
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonAssocSemiring α
f : l ≃. m
i : l
j : n
M : Matrix m n α
fi : m
h : f i = some fi
⊢ (if fi ∈ some fi then 1 else 0) * M fi j = Option.rec 0 (fun val ↦ M val j) (some fi)

case some.h₀
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonAssocSemiring α
f : l ≃. m
i : l
j : n
M : Matrix m n α
fi : m
h : f i = some fi
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ fi → (if b ∈ some fi then 1 else 0) * M b j = 0

case some.h₁
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonAssocSemiring α
f : l ≃. m
i : l
j : n
M : Matrix m n α
fi : m
h : f i = some fi
⊢ fi ∉ Finset.univ → (if fi ∈ some fi then 1 else 0) * M fi j = 0
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Between

Goal state before:
pp: case mpr.«0»
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
s : Simplex R P 1
r : R
h0 : 0 < r
h1 : r < 1
⊢ Finset.affineCombinationLineMapWeights 0 1 r ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ∈ Set.Ioo 0 1

pp: case mpr.«1»
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
s : Simplex R P 1
r : R
h0 : 0 < r
h1 : r < 1
⊢ Finset.affineCombinationLineMapWeights 0 1 r ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ∈ Set.Ioo 0 1

Tactic:
<;>

Goal state after:
case mpr.«0»
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
s : Simplex R P 1
r : R
h0 : 0 < r
h1 : r < 1
⊢ Finset.affineCombinationLineMapWeights 0 1 r ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ∈ Set.Ioo 0 1

case mpr.«1»
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : IsOrderedRing R
s : Simplex R P 1
r : R
h0 : 0 < r
h1 : r < 1
⊢ Finset.affineCombinationLineMapWeights 0 1 r ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ∈ Set.Ioo 0 1
Module: Mathlib.Data.Matrix.PEquiv

Goal state before:
pp: case none
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : NonAssocSemiring α
f : l ≃. m
g : m ≃. n
i : l
j : n
⊢ (if j ∈ none.bind ⇑g then 1 else 0) = Option.rec 0 (fun val ↦ if j ∈ g val then 1 else 0) none

pp: case some
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : NonAssocSemiring α
f : l ≃. m
g : m ≃. n
i : l
j : n
val✝ : m
⊢ (if j ∈ (some val✝).bind ⇑g then 1 else 0) = Option.rec 0 (fun val ↦ if j ∈ g val then 1 else 0) (some val✝)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case none
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : NonAssocSemiring α
f : l ≃. m
g : m ≃. n
i : l
j : n
⊢ (if j ∈ none.bind ⇑g then 1 else 0) = Option.rec 0 (fun val ↦ if j ∈ g val then 1 else 0) none

case some
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : NonAssocSemiring α
f : l ≃. m
g : m ≃. n
i : l
j : n
val✝ : m
⊢ (if j ∈ (some val✝).bind ⇑g then 1 else 0) = Option.rec 0 (fun val ↦ if j ∈ g val then 1 else 0) (some val✝)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Stochastic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : PartialOrder R
inst✝ : IsOrderedRing R
M : Matrix n n R
hM : M ∈ rowStochastic R n
i j : n
⊢ M i j ≤ 1

Tactic:
← sum_row_of_mem_rowStochastic hM i

Goal state after:
R : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : PartialOrder R
inst✝ : IsOrderedRing R
M : Matrix n n R
hM : M ∈ rowStochastic R n
i j : n
⊢ M i j ≤ ∑ j, M i j
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Birkhoff

Goal state before:
pp: R : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Semifield R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
M : Matrix n n R
s : R
hs : 0 < s
hM : (∀ (i j : n), 0 ≤ M i j) ∧ (∀ (i : n), ∑ j, M i j = s) ∧ ∀ (j : n), ∑ i, M i j = s
f : n → Finset n := fun i ↦ {j | M i j ≠ 0}
A : Finset n
⊢ #A ≤ #(A.biUnion f)

Tactic:
have (i : _) : ∑ j ∈ f i, M i j = s := by simp [f, sum_subset (filter_subset _ _), hM.2.1]

Goal state after:
R : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Semifield R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
M : Matrix n n R
s : R
hs : 0 < s
hM : (∀ (i j : n), 0 ≤ M i j) ∧ (∀ (i : n), ∑ j, M i j = s) ∧ ∀ (j : n), ∑ i, M i j = s
f : n → Finset n := fun i ↦ {j | M i j ≠ 0}
A : Finset n
this : ∀ (i : n), ∑ j ∈ f i, M i j = s
⊢ #A ≤ #(A.biUnion f)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Birkhoff

Goal state before:
pp: R : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Semifield R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
M : Matrix n n R
s : R
hs : 0 < s
hM : (∀ (i j : n), 0 ≤ M i j) ∧ (∀ (i : n), ∑ j, M i j = s) ∧ ∀ (j : n), ∑ i, M i j = s
f : n → Finset n := ⋯
A : Finset n
this : ∀ (i : n), ∑ j ∈ f i, M i j = s
h₁ : ∑ i ∈ A, ∑ j ∈ f i, M i j = ↑(#A) * s
h₂ : ∑ i, ∑ j ∈ A.biUnion f, M i j = ↑(#(A.biUnion f)) * s
⊢ ∑ i ∈ A, ∑ j ∈ f i, M i j ≤ ∑ i ∈ A, ∑ j ∈ A.biUnion f, M i j

pp: R : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Semifield R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
M : Matrix n n R
s : R
hs : 0 < s
hM : (∀ (i j : n), 0 ≤ M i j) ∧ (∀ (i : n), ∑ j, M i j = s) ∧ ∀ (j : n), ∑ i, M i j = s
f : n → Finset n := ⋯
A : Finset n
this : ∀ (i : n), ∑ j ∈ f i, M i j = s
h₁ : ∑ i ∈ A, ∑ j ∈ f i, M i j = ↑(#A) * s
h₂ : ∑ i, ∑ j ∈ A.biUnion f, M i j = ↑(#(A.biUnion f)) * s
⊢ ∑ i ∈ A, ∑ j ∈ A.biUnion f, M i j ≤ ∑ i, ∑ j ∈ A.biUnion f, M i j

Tactic:
· refine sum_le_sum fun i hi => ?_
      exact sum_le_sum_of_subset_of_nonneg (subset_biUnion_of_mem f hi) (by simp [*])

Goal state after:
R : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Semifield R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
M : Matrix n n R
s : R
hs : 0 < s
hM : (∀ (i j : n), 0 ≤ M i j) ∧ (∀ (i : n), ∑ j, M i j = s) ∧ ∀ (j : n), ∑ i, M i j = s
f : n → Finset n := ⋯
A : Finset n
this : ∀ (i : n), ∑ j ∈ f i, M i j = s
h₁ : ∑ i ∈ A, ∑ j ∈ f i, M i j = ↑(#A) * s
h₂ : ∑ i, ∑ j ∈ A.biUnion f, M i j = ↑(#(A.biUnion f)) * s
⊢ ∑ i ∈ A, ∑ j ∈ A.biUnion f, M i j ≤ ∑ i, ∑ j ∈ A.biUnion f, M i j
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Birkhoff

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Field R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
h✝ : Nonempty n
d : ℕ
ih :
  ∀ m < d,
    ∀ (M : Matrix n n R) (s : R),
      0 ≤ s →
        (∃ M' ∈ doublyStochastic R n, M = s • M') →
          #{i | M i.1 i.2 ≠ 0} = m → ∃ w, (∀ (σ : Equiv.Perm n), 0 ≤ w σ) ∧ ∑ σ, w σ • Equiv.Perm.permMatrix R σ = M
M : Matrix n n R
s : R
hs : 0 ≤ s
hM : (∀ (i j : n), 0 ≤ M i j) ∧ (∀ (i : n), ∑ j, M i j = s) ∧ ∀ (j : n), ∑ i, M i j = s
hd : #{i | M i.1 i.2 ≠ 0} = d
hs'✝ : 0 < s
σ : Equiv.Perm n
hσ : ∀ (i j : n), M i j = 0 → Equiv.Perm.permMatrix R σ i j = 0
i : n
hi : i ∈ univ
hi' : ∀ x' ∈ univ, M i (σ i) ≤ M x' (σ x')
N : Matrix n n R := ⋯
hMi' : 0 < M i (σ i)
s' : R := ⋯
hs' : 0 ≤ s'
this : ∃ M' ∈ doublyStochastic R n, N = s' • M'
⊢ {i | N i.1 i.2 ≠ 0} ⊂ {i | M i.1 i.2 ≠ 0}

Tactic:
ssubset_iff_of_subset (monotone_filter_right _ _)

Goal state after:
case h
R : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Field R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
h✝ : Nonempty n
d : ℕ
ih :
  ∀ m < d,
    ∀ (M : Matrix n n R) (s : R),
      0 ≤ s →
        (∃ M' ∈ doublyStochastic R n, M = s • M') →
          #{i | M i.1 i.2 ≠ 0} = m → ∃ w, (∀ (σ : Equiv.Perm n), 0 ≤ w σ) ∧ ∑ σ, w σ • Equiv.Perm.permMatrix R σ = M
M : Matrix n n R
s : R
hs : 0 ≤ s
hM : (∀ (i j : n), 0 ≤ M i j) ∧ (∀ (i : n), ∑ j, M i j = s) ∧ ∀ (j : n), ∑ i, M i j = s
hd : #{i | M i.1 i.2 ≠ 0} = d
hs'✝ : 0 < s
σ : Equiv.Perm n
hσ : ∀ (i j : n), M i j = 0 → Equiv.Perm.permMatrix R σ i j = 0
i : n
hi : i ∈ univ
hi' : ∀ x' ∈ univ, M i (σ i) ≤ M x' (σ x')
N : Matrix n n R := M - M i (σ i) • Equiv.Perm.permMatrix R σ
hMi' : 0 < M i (σ i)
s' : R := s - M i (σ i)
hs' : 0 ≤ s'
this : ∃ M' ∈ doublyStochastic R n, N = s' • M'
⊢ ∃ x ∈ {i | M i.1 i.2 ≠ 0}, x ∉ {i | N i.1 i.2 ≠ 0}

R : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Field R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
h✝ : Nonempty n
d : ℕ
ih :
  ∀ m < d,
    ∀ (M : Matrix n n R) (s : R),
      0 ≤ s →
        (∃ M' ∈ doublyStochastic R n, M = s • M') →
          #{i | M i.1 i.2 ≠ 0} = m → ∃ w, (∀ (σ : Equiv.Perm n), 0 ≤ w σ) ∧ ∑ σ, w σ • Equiv.Perm.permMatrix R σ = M
M : Matrix n n R
s : R
hs : 0 ≤ s
hM : (∀ (i j : n), 0 ≤ M i j) ∧ (∀ (i : n), ∑ j, M i j = s) ∧ ∀ (j : n), ∑ i, M i j = s
hd : #{i | M i.1 i.2 ≠ 0} = d
hs'✝ : 0 < s
σ : Equiv.Perm n
hσ : ∀ (i j : n), M i j = 0 → Equiv.Perm.permMatrix R σ i j = 0
i : n
hi : i ∈ univ
hi' : ∀ x' ∈ univ, M i (σ i) ≤ M x' (σ x')
N : Matrix n n R := M - M i (σ i) • Equiv.Perm.permMatrix R σ
hMi' : 0 < M i (σ i)
s' : R := s - M i (σ i)
hs' : 0 ≤ s'
this : ∃ M' ∈ doublyStochastic R n, N = s' • M'
⊢ ∀ a ∈ univ, N a.1 a.2 ≠ 0 → M a.1 a.2 ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Between

Goal state before:
pp: case e'_10
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : r₂ ≤ r₁
⊢ r₁ • v +ᵥ x = -r₁ • -v +ᵥ x

pp: case e'_11
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : r₂ ≤ r₁
⊢ r₂ • v +ᵥ x = -r₂ • -v +ᵥ x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_10
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : r₂ ≤ r₁
⊢ r₁ • v +ᵥ x = -r₁ • -v +ᵥ x

case e'_11
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : r₂ ≤ r₁
⊢ r₂ • v +ᵥ x = -r₂ • -v +ᵥ x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Between

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : r₂ ≤ 0
h : r₂ ≤ r₁
⊢ Wbtw R x (r₁ • v +ᵥ x) (r₂ • v +ᵥ x) ∨ Wbtw R x (r₂ • v +ᵥ x) (r₁ • v +ᵥ x)

Tactic:
· exact Or.inl (wbtw_smul_vadd_smul_vadd_of_nonpos_of_le x v hr₁ h)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Between

Goal state before:
pp: case e'_10
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : 0 ≤ r₂
⊢ x = -r₁ • v +ᵥ r₁ • v +ᵥ x

pp: case e'_11
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : 0 ≤ r₂
⊢ r₂ • v +ᵥ x = (r₂ - r₁) • v +ᵥ r₁ • v +ᵥ x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_10
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : 0 ≤ r₂
⊢ x = -r₁ • v +ᵥ r₁ • v +ᵥ x

case e'_11
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : LinearOrder R
inst✝³ : IsStrictOrderedRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : 0 ≤ r₂
⊢ r₂ • v +ᵥ x = (r₂ - r₁) • v +ᵥ r₁ • v +ᵥ x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Between

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
⊢ Collinear R {x, y, z}

Tactic:
by
  have : {y, x, z} = {x, y, z} := Set.insert_comm y x {z}
  simpa [this] using collinear_insert_of_mem_affineSpan_pair (mem_affineSpan h)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Birkhoff

Goal state before:
pp: case ha
R : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Field R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
σ : Equiv.Perm n
x₁ : Matrix n n R
hx₁ : x₁ ∈ ↑(doublyStochastic R n)
x₂ : Matrix n n R
hx₂ : x₂ ∈ ↑(doublyStochastic R n)
hσ : Equiv.Perm.permMatrix R σ ∈ openSegment R x₁ x₂
i j : n
h₁ : Equiv.Perm.permMatrix R σ i j ∈ openSegment R (x₁ i j) (x₂ i j)
h : x₁ i j ≠ x₂ i j
⊢ 0 ≤ min (x₁ i j) (x₂ i j)

pp: case hb
R : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Field R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
σ : Equiv.Perm n
x₁ : Matrix n n R
hx₁ : x₁ ∈ ↑(doublyStochastic R n)
x₂ : Matrix n n R
hx₂ : x₂ ∈ ↑(doublyStochastic R n)
hσ : Equiv.Perm.permMatrix R σ ∈ openSegment R x₁ x₂
i j : n
h₁ : Equiv.Perm.permMatrix R σ i j ∈ openSegment R (x₁ i j) (x₂ i j)
h : x₁ i j ≠ x₂ i j
⊢ max (x₁ i j) (x₂ i j) ≤ 1

Tactic:
<;>

Goal state after:
case ha
R : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Field R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
σ : Equiv.Perm n
x₁ : Matrix n n R
hx₁ : x₁ ∈ ↑(doublyStochastic R n)
x₂ : Matrix n n R
hx₂ : x₂ ∈ ↑(doublyStochastic R n)
hσ : Equiv.Perm.permMatrix R σ ∈ openSegment R x₁ x₂
i j : n
h₁ : Equiv.Perm.permMatrix R σ i j ∈ openSegment R (x₁ i j) (x₂ i j)
h : x₁ i j ≠ x₂ i j
⊢ 0 ≤ min (x₁ i j) (x₂ i j)

case hb
R : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Field R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
σ : Equiv.Perm n
x₁ : Matrix n n R
hx₁ : x₁ ∈ ↑(doublyStochastic R n)
x₂ : Matrix n n R
hx₂ : x₂ ∈ ↑(doublyStochastic R n)
hσ : Equiv.Perm.permMatrix R σ ∈ openSegment R x₁ x₂
i j : n
h₁ : Equiv.Perm.permMatrix R σ i j ∈ openSegment R (x₁ i j) (x₂ i j)
h : x₁ i j ≠ x₂ i j
⊢ max (x₁ i j) (x₂ i j) ≤ 1
Module: Mathlib.Geometry.Convex.Cone.Dual

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : PartialOrder R
inst✝⁴ : IsOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
s : Set M
t : Set N
⊢ s ⊆ ↑(dual p.flip t) → t ⊆ ↑(dual p s)

pp: case mpr
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : PartialOrder R
inst✝⁴ : IsOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
s : Set M
t : Set N
⊢ t ⊆ ↑(dual p s) → s ⊆ ↑(dual p.flip t)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : PartialOrder R
inst✝⁴ : IsOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
s : Set M
t : Set N
⊢ s ⊆ ↑(dual p.flip t) → t ⊆ ↑(dual p s)

case mpr
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : PartialOrder R
inst✝⁴ : IsOrderedRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
s : Set M
t : Set N
⊢ t ⊆ ↑(dual p s) → s ⊆ ↑(dual p.flip t)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.GaugeRescale

Goal state before:
pp: case hsa
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ Absorbent ℝ s

pp: case hsb
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ IsVonNBounded ℝ s

pp: case hta
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ Absorbent ℝ t

pp: case htb
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ IsVonNBounded ℝ t

Tactic:
<;>

Goal state after:
case hsa
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ Absorbent ℝ s

case hsb
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ IsVonNBounded ℝ s

case hta
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ Absorbent ℝ t

case htb
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ IsVonNBounded ℝ t