mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DerivativeTest

Goal state before:
pp: case refine_2.hf'
f : ℝ → ℝ
b c : ℝ
hb : ContinuousAt f b
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Iio b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo b c)
h₀ : ∀ x ∈ Iio b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ x ∈ Ioo b c, 0 ≤ deriv f x
⊢ DifferentiableOn ℝ f (interior (Ico b c))

pp: case refine_2.hf'_nonneg
f : ℝ → ℝ
b c : ℝ
hb : ContinuousAt f b
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Iio b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo b c)
h₀ : ∀ x ∈ Iio b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ x ∈ Ioo b c, 0 ≤ deriv f x
⊢ ∀ x ∈ interior (Ico b c), 0 ≤ deriv f x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_2.hf'
f : ℝ → ℝ
b c : ℝ
hb : ContinuousAt f b
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Iio b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo b c)
h₀ : ∀ x ∈ Iio b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ x ∈ Ioo b c, 0 ≤ deriv f x
⊢ DifferentiableOn ℝ f (interior (Ico b c))

case refine_2.hf'_nonneg
f : ℝ → ℝ
b c : ℝ
hb : ContinuousAt f b
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Iio b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo b c)
h₀ : ∀ x ∈ Iio b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ x ∈ Ioo b c, 0 ≤ deriv f x
⊢ ∀ x ∈ interior (Ico b c), 0 ≤ deriv f x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DerivativeTest

Goal state before:
pp: case refine_1.hf'
f : ℝ → ℝ
b c : ℝ
hb : ContinuousAt f b
hc : ContinuousAt f c
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Iio b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo b c)
h₀ : ∀ x ∈ Iio b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ x ∈ Ioo b c, 0 ≤ deriv f x
⊢ DifferentiableOn ℝ f (interior (Iic b))

pp: case refine_1.hf'_nonpos
f : ℝ → ℝ
b c : ℝ
hb : ContinuousAt f b
hc : ContinuousAt f c
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Iio b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo b c)
h₀ : ∀ x ∈ Iio b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ x ∈ Ioo b c, 0 ≤ deriv f x
⊢ ∀ x ∈ interior (Iic b), deriv f x ≤ 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1.hf'
f : ℝ → ℝ
b c : ℝ
hb : ContinuousAt f b
hc : ContinuousAt f c
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Iio b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo b c)
h₀ : ∀ x ∈ Iio b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ x ∈ Ioo b c, 0 ≤ deriv f x
⊢ DifferentiableOn ℝ f (interior (Iic b))

case refine_1.hf'_nonpos
f : ℝ → ℝ
b c : ℝ
hb : ContinuousAt f b
hc : ContinuousAt f c
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Iio b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo b c)
h₀ : ∀ x ∈ Iio b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ x ∈ Ioo b c, 0 ≤ deriv f x
⊢ ∀ x ∈ interior (Iic b), deriv f x ≤ 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Alternating.Uncurry.Fin

Goal state before:
pp: case x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
f : F [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] G
g : E →L[𝕜] F
dg : E →L[𝕜] F
v : Fin (n + 1) → E
i : Fin (n + 1)
⊢ (i.insertNth dg (fun x ↦ g) i) (v i) = i.insertNth (dg (v i)) (⇑g ∘ i.removeNth v) i

pp: case p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
f : F [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] G
g : E →L[𝕜] F
dg : E →L[𝕜] F
v : Fin (n + 1) → E
i : Fin (n + 1)
j✝ : Fin n
⊢ (i.insertNth dg (fun x ↦ g) (i.succAbove j✝)) (v (i.succAbove j✝)) =
    i.insertNth (dg (v i)) (⇑g ∘ i.removeNth v) (i.succAbove j✝)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
f : F [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] G
g : E →L[𝕜] F
dg : E →L[𝕜] F
v : Fin (n + 1) → E
i : Fin (n + 1)
⊢ (i.insertNth dg (fun x ↦ g) i) (v i) = i.insertNth (dg (v i)) (⇑g ∘ i.removeNth v) i

case p
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
f : F [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] G
g : E →L[𝕜] F
dg : E →L[𝕜] F
v : Fin (n + 1) → E
i : Fin (n + 1)
j✝ : Fin n
⊢ (i.insertNth dg (fun x ↦ g) (i.succAbove j✝)) (v (i.succAbove j✝)) =
    i.insertNth (dg (v i)) (⇑g ∘ i.removeNth v) (i.succAbove j✝)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DerivativeTest

Goal state before:
pp: case refine_2.hf'
f : ℝ → ℝ
b c : ℝ
hb : ContinuousAt f b
hc : ContinuousAt f c
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Iio b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo b c)
h₀ : ∀ x ∈ Iio b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ x ∈ Ioo b c, 0 ≤ deriv f x
⊢ DifferentiableOn ℝ f (interior (Icc b c))

pp: case refine_2.hf'_nonneg
f : ℝ → ℝ
b c : ℝ
hb : ContinuousAt f b
hc : ContinuousAt f c
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Iio b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo b c)
h₀ : ∀ x ∈ Iio b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ x ∈ Ioo b c, 0 ≤ deriv f x
⊢ ∀ x ∈ interior (Icc b c), 0 ≤ deriv f x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_2.hf'
f : ℝ → ℝ
b c : ℝ
hb : ContinuousAt f b
hc : ContinuousAt f c
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Iio b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo b c)
h₀ : ∀ x ∈ Iio b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ x ∈ Ioo b c, 0 ≤ deriv f x
⊢ DifferentiableOn ℝ f (interior (Icc b c))

case refine_2.hf'_nonneg
f : ℝ → ℝ
b c : ℝ
hb : ContinuousAt f b
hc : ContinuousAt f c
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Iio b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioo b c)
h₀ : ∀ x ∈ Iio b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ x ∈ Ioo b c, 0 ≤ deriv f x
⊢ ∀ x ∈ interior (Icc b c), 0 ≤ deriv f x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DerivativeTest

Goal state before:
pp: case refine_1.hf'
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : ContinuousAt f b
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Iio b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioi b)
h₀ : ∀ x ∈ Iio b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ x ∈ Ioi b, 0 ≤ deriv f x
⊢ DifferentiableOn ℝ f (interior (Iic b))

pp: case refine_1.hf'_nonpos
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : ContinuousAt f b
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Iio b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioi b)
h₀ : ∀ x ∈ Iio b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ x ∈ Ioi b, 0 ≤ deriv f x
⊢ ∀ x ∈ interior (Iic b), deriv f x ≤ 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1.hf'
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : ContinuousAt f b
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Iio b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioi b)
h₀ : ∀ x ∈ Iio b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ x ∈ Ioi b, 0 ≤ deriv f x
⊢ DifferentiableOn ℝ f (interior (Iic b))

case refine_1.hf'_nonpos
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : ContinuousAt f b
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Iio b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioi b)
h₀ : ∀ x ∈ Iio b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ x ∈ Ioi b, 0 ≤ deriv f x
⊢ ∀ x ∈ interior (Iic b), deriv f x ≤ 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DerivativeTest

Goal state before:
pp: case refine_2.hf'
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : ContinuousAt f b
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Iio b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioi b)
h₀ : ∀ x ∈ Iio b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ x ∈ Ioi b, 0 ≤ deriv f x
⊢ DifferentiableOn ℝ f (interior (Ici b))

pp: case refine_2.hf'_nonneg
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : ContinuousAt f b
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Iio b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioi b)
h₀ : ∀ x ∈ Iio b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ x ∈ Ioi b, 0 ≤ deriv f x
⊢ ∀ x ∈ interior (Ici b), 0 ≤ deriv f x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_2.hf'
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : ContinuousAt f b
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Iio b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioi b)
h₀ : ∀ x ∈ Iio b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ x ∈ Ioi b, 0 ≤ deriv f x
⊢ DifferentiableOn ℝ f (interior (Ici b))

case refine_2.hf'_nonneg
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : ContinuousAt f b
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Iio b)
hd₁ : DifferentiableOn ℝ f (Ioi b)
h₀ : ∀ x ∈ Iio b, deriv f x ≤ 0
h₁ : ∀ x ∈ Ioi b, 0 ≤ deriv f x
⊢ ∀ x ∈ interior (Ici b), 0 ≤ deriv f x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric

Goal state before:
pp: case «0»
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x v w : E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hf :
  ∀ (x_1 : Fin 2 → E),
    ((iteratedFDerivWithin 𝕜 2 f s x) fun i ↦ x_1 (Fin.revPerm i)) = (iteratedFDerivWithin 𝕜 2 f s x) x_1
⊢ ![v, w] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) = ![w, v] (Fin.revPerm ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩))

pp: case «1»
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x v w : E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hf :
  ∀ (x_1 : Fin 2 → E),
    ((iteratedFDerivWithin 𝕜 2 f s x) fun i ↦ x_1 (Fin.revPerm i)) = (iteratedFDerivWithin 𝕜 2 f s x) x_1
⊢ ![v, w] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) = ![w, v] (Fin.revPerm ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩))

Tactic:
<;>

Goal state after:
case «0»
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x v w : E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hf :
  ∀ (x_1 : Fin 2 → E),
    ((iteratedFDerivWithin 𝕜 2 f s x) fun i ↦ x_1 (Fin.revPerm i)) = (iteratedFDerivWithin 𝕜 2 f s x) x_1
⊢ ![v, w] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) = ![w, v] (Fin.revPerm ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩))

case «1»
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x v w : E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hf :
  ∀ (x_1 : Fin 2 → E),
    ((iteratedFDerivWithin 𝕜 2 f s x) fun i ↦ x_1 (Fin.revPerm i)) = (iteratedFDerivWithin 𝕜 2 f s x) x_1
⊢ ![v, w] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) = ![w, v] (Fin.revPerm ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.ContinuousMultilinearMap

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
F : ι → Type u_4
G : ι → Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F i)
inst✝⁵ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (G i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup H
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
fg : ContinuousMultilinearMap 𝕜 G H × ((i : ι) → F i →L[𝕜] G i)
⊢ HasStrictFDerivAt (fun fg ↦ fg.1.compContinuousLinearMap fg.2)
    (compContinuousLinearMapL fg.2 ∘SL
        ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 G H) ((i : ι) → F i →L[𝕜] G i) +
      fg.1.fderivCompContinuousLinearMap fg.2 ∘SL
        ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 G H) ((i : ι) → F i →L[𝕜] G i))
    fg

Tactic:
by
  have := (compContinuousLinearMapContinuousMultilinear 𝕜 F G H).hasStrictFDerivAt fg.2
  convert! this.comp fg hasStrictFDerivAt_snd |>.clm_apply hasStrictFDerivAt_fst
  ext <;> simp [fderivCompContinuousLinearMap]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞ω
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : isoF (fu x) = f x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s
hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu tu
Nfu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ ≤ D ^ i
Ngu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu tu (fu x)‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu tu (fu x)‖ ≤ C
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n

Tactic:
have Nfgu :
      ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (gu ∘ fu) s x‖ := by
    have : gu ∘ fu = isoG.symm ∘ g ∘ f := by
      ext x
      simp only [fu, gu, comp_apply,
        LinearIsometryEquiv.apply_symm_apply]
    rw [this, LinearIsometryEquiv.norm_iteratedFDerivWithin_comp_left _ _ hs hx]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞ω
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : isoF (fu x) = f x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s
hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu tu
Nfu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ ≤ D ^ i
Ngu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu tu (fu x)‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu tu (fu x)‖ ≤ C
Nfgu : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (gu ∘ fu) s x‖
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.Basic

Goal state before:
pp: case hs
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
ω : E → E [⋀^Fin n]→L[𝕜] F
x : E
hω : ContDiffAt 𝕜 r ω x
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 univ

pp: case hx
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
ω : E → E [⋀^Fin n]→L[𝕜] F
x : E
hω : ContDiffAt 𝕜 r ω x
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
⊢ x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (interior univ)

pp: case h'x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
ω : E → E [⋀^Fin n]→L[𝕜] F
x : E
hω : ContDiffAt 𝕜 r ω x
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
⊢ x ∈ univ

Tactic:
<;>

Goal state after:
case hs
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
ω : E → E [⋀^Fin n]→L[𝕜] F
x : E
hω : ContDiffAt 𝕜 r ω x
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 univ

case hx
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
ω : E → E [⋀^Fin n]→L[𝕜] F
x : E
hω : ContDiffAt 𝕜 r ω x
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
⊢ x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (interior univ)

case h'x
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
ω : E → E [⋀^Fin n]→L[𝕜] F
x : E
hω : ContDiffAt 𝕜 r ω x
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
⊢ x ∈ univ
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.VectorField

Goal state before:
pp: case hf
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
x : E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hW : DifferentiableAt 𝕜 W x
hV : DifferentiableAt 𝕜 V x
⊢ ContDiffAt 𝕜 2 f x

pp: case hsymm
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
x : E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hW : DifferentiableAt 𝕜 W x
hV : DifferentiableAt 𝕜 V x
⊢ IsSymmSndFDerivAt 𝕜 f x

pp: case hW
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
x : E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hW : DifferentiableAt 𝕜 W x
hV : DifferentiableAt 𝕜 V x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 W x

pp: case hV
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
x : E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hW : DifferentiableAt 𝕜 W x
hV : DifferentiableAt 𝕜 V x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 V x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case hf
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
x : E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hW : DifferentiableAt 𝕜 W x
hV : DifferentiableAt 𝕜 V x
⊢ ContDiffAt 𝕜 2 f x

case hsymm
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
x : E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hW : DifferentiableAt 𝕜 W x
hV : DifferentiableAt 𝕜 V x
⊢ IsSymmSndFDerivAt 𝕜 f x

case hW
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
x : E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hW : DifferentiableAt 𝕜 W x
hV : DifferentiableAt 𝕜 V x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 W x

case hV
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
x : E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hW : DifferentiableAt 𝕜 W x
hV : DifferentiableAt 𝕜 V x
⊢ DifferentiableAt 𝕜 V x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.ContinuousAlternatingMap

Goal state before:
pp: case intro.mp
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → G [⋀^ι]→L[𝕜] H
f' : E →L[𝕜] G [⋀^ι]→L[𝕜] H
x : E
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
⊢ HasStrictFDerivAt (toContinuousMultilinearMap ∘ f) (toContinuousMultilinearMapCLM 𝕜 ∘SL f') x →
    HasStrictFDerivAt f f' x

pp: case intro.mpr
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → G [⋀^ι]→L[𝕜] H
f' : E →L[𝕜] G [⋀^ι]→L[𝕜] H
x : E
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
⊢ HasStrictFDerivAt f f' x →
    HasStrictFDerivAt (toContinuousMultilinearMap ∘ f) (toContinuousMultilinearMapCLM 𝕜 ∘SL f') x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case intro.mp
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → G [⋀^ι]→L[𝕜] H
f' : E →L[𝕜] G [⋀^ι]→L[𝕜] H
x : E
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
⊢ HasStrictFDerivAt (toContinuousMultilinearMap ∘ f) (toContinuousMultilinearMapCLM 𝕜 ∘SL f') x →
    HasStrictFDerivAt f f' x

case intro.mpr
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → G [⋀^ι]→L[𝕜] H
f' : E →L[𝕜] G [⋀^ι]→L[𝕜] H
x : E
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
⊢ HasStrictFDerivAt f f' x →
    HasStrictFDerivAt (toContinuousMultilinearMap ∘ f) (toContinuousMultilinearMapCLM 𝕜 ∘SL f') x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.ContinuousAlternatingMap

Goal state before:
pp: case intro.hf
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Finite ι
f : E [⋀^ι]→L[𝕜] F
val✝ : Fintype ι
⊢ Differentiable 𝕜 fun x ↦ f

pp: case intro.hg
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Finite ι
f : E [⋀^ι]→L[𝕜] F
val✝ : Fintype ι
⊢ ∀ (i : ι), Differentiable 𝕜 fun x ↦ x i

Tactic:
<;>

Goal state after:
case intro.hf
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Finite ι
f : E [⋀^ι]→L[𝕜] F
val✝ : Fintype ι
⊢ Differentiable 𝕜 fun x ↦ f

case intro.hg
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Finite ι
f : E [⋀^ι]→L[𝕜] F
val✝ : Fintype ι
⊢ ∀ (i : ι), Differentiable 𝕜 fun x ↦ x i
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.VectorField

Goal state before:
pp: case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
x : E
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
n : ℕ
ω : E → E [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] F
V : Fin (n + 1 + 1) → E → E
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω s x
hV : ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), DifferentiableWithinAt 𝕜 (V i) s x
hcomm : Pairwise fun i j ↦ lieBracketWithin 𝕜 (V i) (V j) s x = 0
i j : Fin (n + 1)
hj : j ∈ Ici i
⊢ (-1) ^ (↑i + ↑j) • 0 = 0

pp: case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
x : E
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
n : ℕ
ω : E → E [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] F
V : Fin (n + 1 + 1) → E → E
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω s x
hV : ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), DifferentiableWithinAt 𝕜 (V i) s x
hcomm : Pairwise fun i j ↦ lieBracketWithin 𝕜 (V i) (V j) s x = 0
i j : Fin (n + 1)
hj : j ∈ Ici i
⊢ Matrix.vecCons 0 (j.removeNth (i.castSucc.removeNth fun x_1 ↦ V x_1 x)) 0 = 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
x : E
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
n : ℕ
ω : E → E [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] F
V : Fin (n + 1 + 1) → E → E
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω s x
hV : ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), DifferentiableWithinAt 𝕜 (V i) s x
hcomm : Pairwise fun i j ↦ lieBracketWithin 𝕜 (V i) (V j) s x = 0
i j : Fin (n + 1)
hj : j ∈ Ici i
⊢ (-1) ^ (↑i + ↑j) • 0 = 0

case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
x : E
hsx : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
n : ℕ
ω : E → E [⋀^Fin (n + 1)]→L[𝕜] F
V : Fin (n + 1 + 1) → E → E
hω : DifferentiableWithinAt 𝕜 ω s x
hV : ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), DifferentiableWithinAt 𝕜 (V i) s x
hcomm : Pairwise fun i j ↦ lieBracketWithin 𝕜 (V i) (V j) s x = 0
i j : Fin (n + 1)
hj : j ∈ Ici i
⊢ Matrix.vecCons 0 (j.removeNth (i.castSucc.removeNth fun x_1 ↦ V x_1 x)) 0 = 0