mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Finset E
⊢ ↑s ⊆ {x | ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x}

pp: case refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Finset E
⊢ Convex R {x | ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x}

pp: case refine_3
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Finset E
⊢ {x | ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x} ⊆ (convexHull R) ↑s

Tactic:
· intro x hx
    rw [Finset.mem_coe] at hx
    refine ⟨_, ?_, ?_, Finset.centerMass_ite_eq _ _ _ hx⟩
    · intros
      split_ifs
      exacts [zero_le_one, le_refl 0]
    · rw [Finset.sum_ite_eq, if_pos hx]

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Finset E
⊢ Convex R {x | ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x}

case refine_3
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Finset E
⊢ {x | ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x} ⊆ (convexHull R) ↑s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Finset E
wx : E → R
hwx₀ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ wx y
hwx₁ : ∑ y ∈ s, wx y = 1
wy : E → R
hwy₀ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ wy y
hwy₁ : ∑ y ∈ s, wy y = 1
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ ∑ y ∈ s, (a * wx y + b * wy y) = 1

Tactic:
· simp only [Finset.sum_add_distrib, ← mul_sum, mul_one, *]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Finset E
x : E
⊢ x ∈ (convexHull R) ↑s ↔ ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ s, w y • y = x

Tactic:
rw [mem_convexHull]

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Finset E
x : E
⊢ (∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x) ↔
    ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ s, w y • y = x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case refine_1.refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
ι : Type
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hw₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hz : ∀ i ∈ t, z i ∈ s
⊢ t.centerMass w z ∈ (convexHull R) ↑(Finset.image z t)

Tactic:
apply t.centerMass_mem_convexHull hw₀

Goal state after:
case refine_1.refine_2.hws
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
ι : Type
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hw₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hz : ∀ i ∈ t, z i ∈ s
⊢ 0 < ∑ i ∈ t, w i

case refine_1.refine_2.hz
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s : Set E
ι : Type
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hw₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hz : ∀ i ∈ t, z i ∈ s
⊢ ∀ i ∈ t, z i ∈ ↑(Finset.image z t)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Jensen

Goal state before:
pp: case e'_2.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
h : ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ t → ∀ ⦃k : ι⦄, k ∈ t → p j = p k
i : ι
hi : i ∈ t
this : f (∑ k ∈ t, w k • p i) = ∑ k ∈ t, w k • f (p i)
x✝ : ι
a✝ : x✝ ∈ t
⊢ w x✝ • p x✝ = w x✝ • p i

pp: case e'_3.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
h : ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ t → ∀ ⦃k : ι⦄, k ∈ t → p j = p k
i : ι
hi : i ∈ t
this : f (∑ k ∈ t, w k • p i) = ∑ k ∈ t, w k • f (p i)
x✝ : ι
a✝ : x✝ ∈ t
⊢ f (p x✝) = f (p i)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_2.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
h : ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ t → ∀ ⦃k : ι⦄, k ∈ t → p j = p k
i : ι
hi : i ∈ t
this : f (∑ k ∈ t, w k • p i) = ∑ k ∈ t, w k • f (p i)
x✝ : ι
a✝ : x✝ ∈ t
⊢ w x✝ • p x✝ = w x✝ • p i

case e'_3.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
h : ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ t → ∀ ⦃k : ι⦄, k ∈ t → p j = p k
i : ι
hi : i ∈ t
this : f (∑ k ∈ t, w k • p i) = ∑ k ∈ t, w k • f (p i)
x✝ : ι
a✝ : x✝ ∈ t
⊢ f (p x✝) = f (p i)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s t₁ t₂ : Finset E
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x ↦ (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : ∀ x ∈ s, w x = 0
ht : ∀ x ∈ t₁, x ∉ t₂ → w₁ x = 0
⊢ ∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w₁ y

Tactic:
simp only [and_imp, Finset.mem_inter]

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
s t₁ t₂ : Finset E
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x ↦ (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : ∀ x ∈ s, w x = 0
ht : ∀ x ∈ t₁, x ∉ t₂ → w₁ x = 0
⊢ ∀ y ∈ t₁, y ∈ t₂ → 0 ≤ w₁ y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Jensen

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
f : E → β
s t : Set E
hst : s ⊆ t
hf : ConvexOn 𝕜 t f
⊢ BddAbove (f '' s) → BddAbove (f '' (convexHull 𝕜) s)

Tactic:
by
  rintro ⟨b, hb⟩
  refine ⟨b, ?_⟩
  rintro _ ⟨x, hx, rfl⟩
  obtain ⟨y, hy, hxy⟩ := hf.exists_ge_of_mem_convexHull hst hx
  exact hxy.trans <| hb <| mem_image_of_mem _ hy

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
s : Set ι
t✝ : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
val✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Set (E i)
κ : ι → Type
x✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)
w : (i : ι) → κ i → 𝕜
f : (i : ι) → κ i → E i
hw₀ : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), 0 ≤ w i i_1
hw₁ : ∀ (i : ι), ∑ i_1, w i i_1 = 1
hft : ∀ (i : ι) (i_1 : κ i), f i i_1 ∈ t i
hf : ∀ (i : ι), ∑ i_1, w i i_1 • f i i_1 = x i
i : ι
j : κ i
a✝ : j ∈ Finset.univ
⊢ ∑ g ∈ piFinset fun k ↦ if hk : k = i then ⋯ ▸ {j} else Finset.univ, ∏ k, w k (g k) = w i j

Tactic:
by
      rw [← prod_univ_sum, ← prod_mul_prod_compl, Finset.prod_singleton, Finset.sum_eq_single,
        Finset.prod_eq_one, mul_one] <;> simp +contextual [hw₁]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
n : ℕ
s : Simplex 𝕜 V n
p : V
⊢ (∃ s_1 w, (∀ i ∈ s_1, 0 ≤ w i) ∧ s_1.sum w = 1 ∧ (Finset.affineCombination 𝕜 s_1 s.points) w = p) →
    p ∈ s.closedInterior

pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
n : ℕ
s : Simplex 𝕜 V n
p : V
⊢ p ∈ s.closedInterior → ∃ s_1 w, (∀ i ∈ s_1, 0 ≤ w i) ∧ s_1.sum w = 1 ∧ (Finset.affineCombination 𝕜 s_1 s.points) w = p

Tactic:
<;>

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
n : ℕ
s : Simplex 𝕜 V n
p : V
⊢ (∃ s_1 w, (∀ i ∈ s_1, 0 ≤ w i) ∧ s_1.sum w = 1 ∧ (Finset.affineCombination 𝕜 s_1 s.points) w = p) →
    p ∈ s.closedInterior

case mpr
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
n : ℕ
s : Simplex 𝕜 V n
p : V
⊢ p ∈ s.closedInterior → ∃ s_1 w, (∀ i ∈ s_1, 0 ≤ w i) ∧ s_1.sum w = 1 ∧ (Finset.affineCombination 𝕜 s_1 s.points) w = p
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
n : ℕ
s : Simplex 𝕜 V n
u : Finset (Fin (n + 1))
w : Fin (n + 1) → 𝕜
hw : ∀ i ∈ u, 0 ≤ w i
hw1 : u.sum w = 1
hw' : ∀ i ∈ u, w i ≤ 1
hw1' : ∑ i, (↑u).indicator w i = 1
i : Fin (n + 1)
hi : i ∈ ↑u
⊢ (↑u).indicator w i ∈ Icc 0 1

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
n : ℕ
s : Simplex 𝕜 V n
u : Finset (Fin (n + 1))
w : Fin (n + 1) → 𝕜
hw : ∀ i ∈ u, 0 ≤ w i
hw1 : u.sum w = 1
hw' : ∀ i ∈ u, w i ≤ 1
hw1' : ∑ i, (↑u).indicator w i = 1
i : Fin (n + 1)
hi : i ∉ ↑u
⊢ (↑u).indicator w i ∈ Icc 0 1

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
n : ℕ
s : Simplex 𝕜 V n
u : Finset (Fin (n + 1))
w : Fin (n + 1) → 𝕜
hw : ∀ i ∈ u, 0 ≤ w i
hw1 : u.sum w = 1
hw' : ∀ i ∈ u, w i ≤ 1
hw1' : ∑ i, (↑u).indicator w i = 1
i : Fin (n + 1)
hi : i ∈ ↑u
⊢ (↑u).indicator w i ∈ Icc 0 1

case neg
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
n : ℕ
s : Simplex 𝕜 V n
u : Finset (Fin (n + 1))
w : Fin (n + 1) → 𝕜
hw : ∀ i ∈ u, 0 ≤ w i
hw1 : u.sum w = 1
hw' : ∀ i ∈ u, w i ≤ 1
hw1' : ∑ i, (↑u).indicator w i = 1
i : Fin (n + 1)
hi : i ∉ ↑u
⊢ (↑u).indicator w i ∈ Icc 0 1
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_6
F : Type u_7
ι' : Type u_10
inst✝⁷ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
ι : Type u_11
inst✝ : Nonempty ι
p : Seminorm 𝕜 E
q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
⊢ IsBounded (fun x ↦ p) q f → ∀ (i : ι'), ∃ C, (q i).comp f ≤ C • p

pp: case mpr
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_6
F : Type u_7
ι' : Type u_10
inst✝⁷ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
ι : Type u_11
inst✝ : Nonempty ι
p : Seminorm 𝕜 E
q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
⊢ (∀ (i : ι'), ∃ C, (q i).comp f ≤ C • p) → IsBounded (fun x ↦ p) q f

Tactic:
<;>

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_6
F : Type u_7
ι' : Type u_10
inst✝⁷ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
ι : Type u_11
inst✝ : Nonempty ι
p : Seminorm 𝕜 E
q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
⊢ IsBounded (fun x ↦ p) q f → ∀ (i : ι'), ∃ C, (q i).comp f ≤ C • p

case mpr
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_6
F : Type u_7
ι' : Type u_10
inst✝⁷ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
ι : Type u_11
inst✝ : Nonempty ι
p : Seminorm 𝕜 E
q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
⊢ (∀ (i : ι'), ∃ C, (q i).comp f ≤ C • p) → IsBounded (fun x ↦ p) q f
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Spaces.UniformConvergenceCLM

Goal state before:
pp: 𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
R : Type u_6
inst✝⁵ : NormedDivisionRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
S : Set (E →SLᵤ[σ, 𝔖] F)
h : ∀ s ∈ 𝔖, IsVonNBounded R (image2 (fun f x ↦ f x) S s)
s : Set E
hs : s ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
⊢ Absorbs R {f | MapsTo (⇑f) s U} S

Tactic:
Absorbs

Goal state after:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
R : Type u_6
inst✝⁵ : NormedDivisionRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
S : Set (E →SLᵤ[σ, 𝔖] F)
h : ∀ s ∈ 𝔖, IsVonNBounded R (image2 (fun f x ↦ f x) S s)
s : Set E
hs : s ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
⊢ ∀ᶠ (a : R) in cobounded R, S ⊆ a • {f | MapsTo (⇑f) s U}
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
x✝ : E
⊢ Continuous fun x ↦ ‖f x✝‖

pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
x✝ : E
⊢ Continuous fun x ↦ x * ‖x✝‖

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
x✝ : E
⊢ Continuous fun x ↦ ‖f x✝‖

case refine_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
x✝ : E
⊢ Continuous fun x ↦ x * ‖x✝‖
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕝 : Type u_4
𝕝₂ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
ι' : Type u_10
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedField 𝕝
inst✝⁷ : Module 𝕝 E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁴ : Module 𝕝₂ F
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝³ : RingHomIsometric τ₁₂
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : ∀ (i : ι'), Continuous[inst✝², _] ⇑((q i).comp f)
this : IsTopologicalAddGroup F
⊢ ContinuousAt (⇑f) 0

Tactic:
ContinuousAt,

Goal state after:
𝕝 : Type u_4
𝕝₂ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
ι' : Type u_10
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedField 𝕝
inst✝⁷ : Module 𝕝 E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁴ : Module 𝕝₂ F
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝³ : RingHomIsometric τ₁₂
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : ∀ (i : ι'), Continuous[inst✝², _] ⇑((q i).comp f)
this : IsTopologicalAddGroup F
⊢ Tendsto (⇑f) (𝓝 0) (𝓝 (f 0))
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : SeminormFamily 𝕜 E ι'
hpq : Seminorm.IsBounded p q LinearMap.id
hqp : Seminorm.IsBounded q p LinearMap.id
⊢ p.moduleFilterBasis.topology ≤ q.moduleFilterBasis.topology

pp: case refine_2
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : SeminormFamily 𝕜 E ι'
hpq : Seminorm.IsBounded p q LinearMap.id
hqp : Seminorm.IsBounded q p LinearMap.id
⊢ q.moduleFilterBasis.topology ≤ p.moduleFilterBasis.topology

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : SeminormFamily 𝕜 E ι'
hpq : Seminorm.IsBounded p q LinearMap.id
hqp : Seminorm.IsBounded q p LinearMap.id
⊢ p.moduleFilterBasis.topology ≤ q.moduleFilterBasis.topology

case refine_2
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : SeminormFamily 𝕜 E ι'
hpq : Seminorm.IsBounded p q LinearMap.id
hqp : Seminorm.IsBounded q p LinearMap.id
⊢ q.moduleFilterBasis.topology ≤ p.moduleFilterBasis.topology
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : SeminormFamily 𝕜 E ι'
hpq : Seminorm.IsBounded p q LinearMap.id
hqp : Seminorm.IsBounded q p LinearMap.id
⊢ Continuous[p.moduleFilterBasis.topology, q.moduleFilterBasis.topology] id

pp: case refine_2
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : SeminormFamily 𝕜 E ι'
hpq : Seminorm.IsBounded p q LinearMap.id
hqp : Seminorm.IsBounded q p LinearMap.id
⊢ Continuous[q.moduleFilterBasis.topology, p.moduleFilterBasis.topology] id

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : SeminormFamily 𝕜 E ι'
hpq : Seminorm.IsBounded p q LinearMap.id
hqp : Seminorm.IsBounded q p LinearMap.id
⊢ Continuous[p.moduleFilterBasis.topology, q.moduleFilterBasis.topology] id

case refine_2
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : SeminormFamily 𝕜 E ι'
hpq : Seminorm.IsBounded p q LinearMap.id
hqp : Seminorm.IsBounded q p LinearMap.id
⊢ Continuous[q.moduleFilterBasis.topology, p.moduleFilterBasis.topology] id
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
e : ι' ≃ ι
⊢ Seminorm.IsBounded p (p ∘ ⇑e) LinearMap.id

pp: case refine_2
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
e : ι' ≃ ι
⊢ Seminorm.IsBounded (p ∘ ⇑e) p LinearMap.id

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
e : ι' ≃ ι
⊢ Seminorm.IsBounded p (p ∘ ⇑e) LinearMap.id

case refine_2
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
e : ι' ≃ ι
⊢ Seminorm.IsBounded (p ∘ ⇑e) p LinearMap.id
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: case h
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
e : ι' ≃ ι
i : ι'
⊢ ((p ∘ ⇑e) i).comp LinearMap.id ≤ 1 • {e i}.sup p

pp: case h
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
e : ι' ≃ ι
i : ι
⊢ (p i).comp LinearMap.id ≤ 1 • {e.symm i}.sup (p ∘ ⇑e)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
e : ι' ≃ ι
i : ι'
⊢ ((p ∘ ⇑e) i).comp LinearMap.id ≤ 1 • {e i}.sup p

case h
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
e : ι' ≃ ι
i : ι
⊢ (p i).comp LinearMap.id ≤ 1 • {e.symm i}.sup (p ∘ ⇑e)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Bilinear

Goal state before:
pp: case refine_2.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_4
Fₗ : Type u_7
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : StrongDual 𝕜 E
f : Fₗ
hf : 0 < ‖f‖
x : E
⊢ ‖c x‖ * ‖f‖ ≤ ‖smulRight c f‖ * ‖x‖

Tactic:
calc
        ‖c x‖ * ‖f‖ = ‖c x • f‖ := (norm_smul _ _).symm
        _ = ‖smulRight c f x‖ := rfl
        _ ≤ ‖smulRight c f‖ * ‖x‖ := le_opNorm _ _

Goal state after: