Module: Mathlib.Computability.TuringMachine.ToPartrec

Goal state before:
pp: case e'_1.e'_7
p : Γ' → Bool
k₁ k₂ : K'
q : Λ'
h₁ : k₁ ≠ k₂
a : Γ'
s : Option Γ'
S : K' → List Γ'
Sk fst✝¹ : List Γ'
fst✝ : Option Γ'
snd✝ : List Γ'
e₃ : splitAtPred p Sk = (fst✝¹, fst✝, snd✝)
e₁ : S k₁ = a :: Sk
e₂ : p a = false
IH :
  ∀ {s : Option Γ'} {S : K' → List Γ'},
    splitAtPred p (S k₁) = ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2) →
      Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := s, stk := S }
        { l := some q, var := (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.1,
          stk := update (update S k₁ (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2) k₂ ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1.reverseAux (S k₂)) }
⊢ update (update S k₁ Sk) k₂ ((some a).getD default :: update S k₁ Sk k₂) = update (update S k₁ Sk) k₂ (a :: S k₂)

pp: case e'_2
p : Γ' → Bool
k₁ k₂ : K'
q : Λ'
h₁ : k₁ ≠ k₂
a : Γ'
s : Option Γ'
S : K' → List Γ'
Sk fst✝¹ : List Γ'
fst✝ : Option Γ'
snd✝ : List Γ'
e₃ : splitAtPred p Sk = (fst✝¹, fst✝, snd✝)
e₁ : S k₁ = a :: Sk
e₂ : p a = false
IH :
  ∀ {s : Option Γ'} {S : K' → List Γ'},
    splitAtPred p (S k₁) = ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2) →
      Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := s, stk := S }
        { l := some q, var := (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.1,
          stk := update (update S k₁ (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2) k₂ ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1.reverseAux (S k₂)) }
⊢ update (update S k₁ snd✝) k₂ ((a :: fst✝¹).reverseAux (S k₂)) =
    update (update (update (update S k₁ Sk) k₂ (a :: S k₂)) k₁ (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2) k₂
      ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1.reverseAux (update (update S k₁ Sk) k₂ (a :: S k₂) k₂))

pp: case cons.cons.false.refl.convert_2
p : Γ' → Bool
k₁ k₂ : K'
q : Λ'
h₁ : k₁ ≠ k₂
a : Γ'
s : Option Γ'
S : K' → List Γ'
Sk fst✝¹ : List Γ'
fst✝ : Option Γ'
snd✝ : List Γ'
e₃ : splitAtPred p Sk = (fst✝¹, fst✝, snd✝)
e₁ : S k₁ = a :: Sk
e₂ : p a = false
IH :
  ∀ {s : Option Γ'} {S : K' → List Γ'},
    splitAtPred p (S k₁) = ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2) →
      Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := s, stk := S }
        { l := some q, var := (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.1,
          stk := update (update S k₁ (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2) k₂ ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1.reverseAux (S k₂)) }
⊢ splitAtPred p (update (update S k₁ Sk) k₂ (a :: S k₂) k₁) =
    ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_1.e'_7
p : Γ' → Bool
k₁ k₂ : K'
q : Λ'
h₁ : k₁ ≠ k₂
a : Γ'
s : Option Γ'
S : K' → List Γ'
Sk fst✝¹ : List Γ'
fst✝ : Option Γ'
snd✝ : List Γ'
e₃ : splitAtPred p Sk = (fst✝¹, fst✝, snd✝)
e₁ : S k₁ = a :: Sk
e₂ : p a = false
IH :
  ∀ {s : Option Γ'} {S : K' → List Γ'},
    splitAtPred p (S k₁) = ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2) →
      Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := s, stk := S }
        { l := some q, var := (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.1,
          stk := update (update S k₁ (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2) k₂ ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1.reverseAux (S k₂)) }
⊢ update (update S k₁ Sk) k₂ ((some a).getD default :: update S k₁ Sk k₂) = update (update S k₁ Sk) k₂ (a :: S k₂)

case e'_2
p : Γ' → Bool
k₁ k₂ : K'
q : Λ'
h₁ : k₁ ≠ k₂
a : Γ'
s : Option Γ'
S : K' → List Γ'
Sk fst✝¹ : List Γ'
fst✝ : Option Γ'
snd✝ : List Γ'
e₃ : splitAtPred p Sk = (fst✝¹, fst✝, snd✝)
e₁ : S k₁ = a :: Sk
e₂ : p a = false
IH :
  ∀ {s : Option Γ'} {S : K' → List Γ'},
    splitAtPred p (S k₁) = ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2) →
      Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := s, stk := S }
        { l := some q, var := (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.1,
          stk := update (update S k₁ (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2) k₂ ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1.reverseAux (S k₂)) }
⊢ update (update S k₁ snd✝) k₂ ((a :: fst✝¹).reverseAux (S k₂)) =
    update (update (update (update S k₁ Sk) k₂ (a :: S k₂)) k₁ (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2) k₂
      ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1.reverseAux (update (update S k₁ Sk) k₂ (a :: S k₂) k₂))

case cons.cons.false.refl.convert_2
p : Γ' → Bool
k₁ k₂ : K'
q : Λ'
h₁ : k₁ ≠ k₂
a : Γ'
s : Option Γ'
S : K' → List Γ'
Sk fst✝¹ : List Γ'
fst✝ : Option Γ'
snd✝ : List Γ'
e₃ : splitAtPred p Sk = (fst✝¹, fst✝, snd✝)
e₁ : S k₁ = a :: Sk
e₂ : p a = false
IH :
  ∀ {s : Option Γ'} {S : K' → List Γ'},
    splitAtPred p (S k₁) = ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2) →
      Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (Λ'.move p k₁ k₂ q), var := s, stk := S }
        { l := some q, var := (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.1,
          stk := update (update S k₁ (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2) k₂ ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1.reverseAux (S k₂)) }
⊢ splitAtPred p (update (update S k₁ Sk) k₂ (a :: S k₂) k₁) =
    ((fst✝¹, fst✝, snd✝).1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.1, (fst✝¹, fst✝, snd✝).2.2)