mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: case inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = ∠ p₄ p₅ p₆
h1 : p₂ ≠ p₁
h2 : p₂ ≠ p₃
h3 : p₅ ≠ p₄
h4 : p₅ ≠ p₆
h_2 : ∡ p₄ p₅ p₆ = ↑(∠ p₄ p₅ p₆) ∨ ∡ p₄ p₅ p₆ = -↑(∠ p₄ p₅ p₆)
h₁ : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(∠ p₁ p₂ p₃)
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₄ p₅ p₆ ∨ ∡ p₁ p₂ p₃ = -∡ p₄ p₅ p₆

pp: case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = ∠ p₄ p₅ p₆
h1 : p₂ ≠ p₁
h2 : p₂ ≠ p₃
h3 : p₅ ≠ p₄
h4 : p₅ ≠ p₆
h_2 : ∡ p₄ p₅ p₆ = ↑(∠ p₄ p₅ p₆) ∨ ∡ p₄ p₅ p₆ = -↑(∠ p₄ p₅ p₆)
h₁ : ∡ p₁ p₂ p₃ = -↑(∠ p₁ p₂ p₃)
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₄ p₅ p₆ ∨ ∡ p₁ p₂ p₃ = -∡ p₄ p₅ p₆

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = ∠ p₄ p₅ p₆
h1 : p₂ ≠ p₁
h2 : p₂ ≠ p₃
h3 : p₅ ≠ p₄
h4 : p₅ ≠ p₆
h_2 : ∡ p₄ p₅ p₆ = ↑(∠ p₄ p₅ p₆) ∨ ∡ p₄ p₅ p₆ = -↑(∠ p₄ p₅ p₆)
h₁ : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(∠ p₁ p₂ p₃)
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₄ p₅ p₆ ∨ ∡ p₁ p₂ p₃ = -∡ p₄ p₅ p₆

case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = ∠ p₄ p₅ p₆
h1 : p₂ ≠ p₁
h2 : p₂ ≠ p₃
h3 : p₅ ≠ p₄
h4 : p₅ ≠ p₆
h_2 : ∡ p₄ p₅ p₆ = ↑(∠ p₄ p₅ p₆) ∨ ∡ p₄ p₅ p₆ = -↑(∠ p₄ p₅ p₆)
h₁ : ∡ p₁ p₂ p₃ = -↑(∠ p₁ p₂ p₃)
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₄ p₅ p₆ ∨ ∡ p₁ p₂ p₃ = -∡ p₄ p₅ p₆
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case e'_1
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
h : InnerProductGeometry.angle x y = π / 2
⊢ ↑(π / 2) = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)

pp: case e'_2
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
h : InnerProductGeometry.angle x y = π / 2
⊢ ↑(-π / 2) = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_1
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
h : InnerProductGeometry.angle x y = π / 2
⊢ ↑(π / 2) = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)

case e'_2
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
h : InnerProductGeometry.angle x y = π / 2
⊢ ↑(-π / 2) = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : r < 0
⊢ (o.oangle (r • x) y).sign = SignType.sign r * (o.oangle x y).sign

pp: case inr.inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : r = 0
⊢ (o.oangle (r • x) y).sign = SignType.sign r * (o.oangle x y).sign

pp: case inr.inr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : 0 < r
⊢ (o.oangle (r • x) y).sign = SignType.sign r * (o.oangle x y).sign

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : r < 0
⊢ (o.oangle (r • x) y).sign = SignType.sign r * (o.oangle x y).sign

case inr.inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : r = 0
⊢ (o.oangle (r • x) y).sign = SignType.sign r * (o.oangle x y).sign

case inr.inr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : 0 < r
⊢ (o.oangle (r • x) y).sign = SignType.sign r * (o.oangle x y).sign
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : r < 0
⊢ (o.oangle x (r • y)).sign = SignType.sign r * (o.oangle x y).sign

pp: case inr.inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : r = 0
⊢ (o.oangle x (r • y)).sign = SignType.sign r * (o.oangle x y).sign

pp: case inr.inr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : 0 < r
⊢ (o.oangle x (r • y)).sign = SignType.sign r * (o.oangle x y).sign

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : r < 0
⊢ (o.oangle x (r • y)).sign = SignType.sign r * (o.oangle x y).sign

case inr.inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : r = 0
⊢ (o.oangle x (r • y)).sign = SignType.sign r * (o.oangle x y).sign

case inr.inr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
h : 0 < r
⊢ (o.oangle x (r • y)).sign = SignType.sign r * (o.oangle x y).sign
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖y‖ / (o.oangle y (y - x)).cos = ‖y - x‖

Tactic:
by
  have hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1 := by
    rw [oangle_sign_sub_right_swap, h, Real.Angle.sign_coe_pi_div_two]
  rw [o.oangle_eq_angle_of_sign_eq_one hs, Real.Angle.cos_coe,
    InnerProductGeometry.norm_div_cos_angle_sub_of_inner_eq_zero
      (o.inner_rev_eq_zero_of_oangle_eq_pi_div_two h)
      (Or.inl (o.right_ne_zero_of_oangle_eq_pi_div_two h))]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Projection

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝¹ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : s.direction.HasOrthogonalProjection
hp : p ∉ s
h : p' ∈ s
hp' : p' ≠ ↑((orthogonalProjection s) p)
⊢ 2 • ∡ p (↑((orthogonalProjection s) p)) p' = ↑π

Tactic:
rw [Real.Angle.two_zsmul_eq_pi_iff]
  exact oangle_self_orthogonalProjection p hp h hp'

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ (o.oangle (x + y) y).sign = (o.oangle x y).sign

Tactic:
← o.oangle_sign_add_smul_left x y 1,

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ (o.oangle (x + y) y).sign = (o.oangle (x + 1 • y) y).sign
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1
⊢ Real.cos (∠ p₂ p₁ p₃) = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃

Tactic:
cos_angle_of_angle_eq_pi_div_two (angle_rev_eq_pi_div_two_of_oangle_eq_pi_div_two h),

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1
⊢ dist p₁ p₂ / dist p₃ p₁ = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : ¬y = 0
hr : ¬SameRay ℝ x z
hs : ¬(o.oangle x y).sign = (o.oangle y z).sign
hn : o.oangle x y ≠ o.oangle y z
he : InnerProductGeometry.angle x y = InnerProductGeometry.angle y z
hs' : (o.oangle x y).sign = -(o.oangle y z).sign
⊢ SameRay ℝ x z

Tactic:
rw [o.angle_eq_iff_oangle_eq_neg_of_sign_eq_neg hx hy hy hz hs'] at he
      rw [← o.oangle_eq_zero_iff_sameRay, ← o.oangle_add hx hy hz]
      simp [he]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : ¬y = 0
hr : ¬SameRay ℝ x z
hs : ¬(o.oangle x y).sign = (o.oangle y z).sign
hn : o.oangle x y ≠ o.oangle y z
he : InnerProductGeometry.angle x y = InnerProductGeometry.angle y z
hs' : ¬(o.oangle x y).sign = -(o.oangle y z).sign
h0 : (o.oangle x y).sign = 0
⊢ InnerProductGeometry.angle y z = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle y z = π

pp: case inr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : ¬y = 0
hr : ¬SameRay ℝ x z
hs : ¬(o.oangle x y).sign = (o.oangle y z).sign
hn : o.oangle x y ≠ o.oangle y z
he : InnerProductGeometry.angle x y = InnerProductGeometry.angle y z
hs' : ¬(o.oangle x y).sign = -(o.oangle y z).sign
h0 : (o.oangle y z).sign = 0
⊢ InnerProductGeometry.angle y z = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle y z = π

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : ¬y = 0
hr : ¬SameRay ℝ x z
hs : ¬(o.oangle x y).sign = (o.oangle y z).sign
hn : o.oangle x y ≠ o.oangle y z
he : InnerProductGeometry.angle x y = InnerProductGeometry.angle y z
hs' : ¬(o.oangle x y).sign = -(o.oangle y z).sign
h0 : (o.oangle x y).sign = 0
⊢ InnerProductGeometry.angle y z = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle y z = π

case inr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : ¬y = 0
hr : ¬SameRay ℝ x z
hs : ¬(o.oangle x y).sign = (o.oangle y z).sign
hn : o.oangle x y ≠ o.oangle y z
he : InnerProductGeometry.angle x y = InnerProductGeometry.angle y z
hs' : ¬(o.oangle x y).sign = -(o.oangle y z).sign
h0 : (o.oangle y z).sign = 0
⊢ InnerProductGeometry.angle y z = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle y z = π
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.SignedDist

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v w : V
p q : P
⊢ ((signedDist v) (w +ᵥ p)) q = ((signedDist v) p) (-w +ᵥ q)

Tactic:
by
  rw [signedDist_vadd_left, signedDist_vadd_right, inner_neg_right]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.PerpBisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ : P
⊢ (↑(perpBisector p₁ p₂)).Nonempty

Tactic:
exact perpBisector_nonempty

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.PerpBisector

Goal state before:
pp: case hp₁
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c₁ c₂ p₁ p₂ : P
hc₁ : dist p₁ c₁ = dist p₂ c₁
hc₂ : dist p₁ c₂ = dist p₂ c₂
⊢ c₂ ∈ perpBisector p₁ p₂

pp: case hp₂
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c₁ c₂ p₁ p₂ : P
hc₁ : dist p₁ c₁ = dist p₂ c₁
hc₂ : dist p₁ c₂ = dist p₂ c₂
⊢ c₁ ∈ perpBisector p₁ p₂

Tactic:
<;>

Goal state after:
case hp₁
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c₁ c₂ p₁ p₂ : P
hc₁ : dist p₁ c₁ = dist p₂ c₁
hc₂ : dist p₁ c₂ = dist p₂ c₂
⊢ c₂ ∈ perpBisector p₁ p₂

case hp₂
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c₁ c₂ p₁ p₂ : P
hc₁ : dist p₁ c₁ = dist p₂ c₁
hc₂ : dist p₁ c₂ = dist p₂ c₂
⊢ c₁ ∈ perpBisector p₁ p₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Basic

Goal state before:
pp: case e_a.e_f.e_f.e_a.e_a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
ι₁ : Type u_3
s₁ : Finset ι₁
w₁ : ι₁ → ℝ
p₁ : ι₁ → P
h₁ : ∑ i ∈ s₁, w₁ i = 0
ι₂ : Type u_4
s₂ : Finset ι₂
w₂ : ι₂ → ℝ
p₂ : ι₂ → P
h₂ : ∑ i ∈ s₂, w₂ i = 0
i₁ : ι₁
i₂ : ι₂
⊢ ‖p₁ i₁ -ᵥ p₂ i₂‖ = dist (p₁ i₁) (p₂ i₂)

pp: case e_a.e_f.e_f.e_a.e_a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
ι₁ : Type u_3
s₁ : Finset ι₁
w₁ : ι₁ → ℝ
p₁ : ι₁ → P
h₁ : ∑ i ∈ s₁, w₁ i = 0
ι₂ : Type u_4
s₂ : Finset ι₂
w₂ : ι₂ → ℝ
p₂ : ι₂ → P
h₂ : ∑ i ∈ s₂, w₂ i = 0
i₁ : ι₁
i₂ : ι₂
⊢ ‖p₁ i₁ -ᵥ p₂ i₂‖ = dist (p₁ i₁) (p₂ i₂)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e_a.e_f.e_f.e_a.e_a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
ι₁ : Type u_3
s₁ : Finset ι₁
w₁ : ι₁ → ℝ
p₁ : ι₁ → P
h₁ : ∑ i ∈ s₁, w₁ i = 0
ι₂ : Type u_4
s₂ : Finset ι₂
w₂ : ι₂ → ℝ
p₂ : ι₂ → P
h₂ : ∑ i ∈ s₂, w₂ i = 0
i₁ : ι₁
i₂ : ι₂
⊢ ‖p₁ i₁ -ᵥ p₂ i₂‖ = dist (p₁ i₁) (p₂ i₂)

case e_a.e_f.e_f.e_a.e_a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
ι₁ : Type u_3
s₁ : Finset ι₁
w₁ : ι₁ → ℝ
p₁ : ι₁ → P
h₁ : ∑ i ∈ s₁, w₁ i = 0
ι₂ : Type u_4
s₂ : Finset ι₂
w₂ : ι₂ → ℝ
p₂ : ι₂ → P
h₂ : ∑ i ∈ s₂, w₂ i = 0
i₁ : ι₁
i₂ : ι₂
⊢ ‖p₁ i₁ -ᵥ p₂ i₂‖ = dist (p₁ i₁) (p₂ i₂)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.SignedDist

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p q : P
c₁ c₂ : ℝ
⊢ ((signedDist v) ((AffineMap.lineMap p q) c₁)) ((AffineMap.lineMap p q) c₂) =
    c₂ * ((signedDist v) p) q + c₁ * ((signedDist v) q) p

Tactic:
simp [AffineMap.lineMap_apply_ring']

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄
h : ¬p₁ = p₂
sp : Set (P × P × P) := (fun p ↦ (p₁, p, p₂)) '' {p | s.SSameSide p₃ p}
hc : IsConnected sp
hf : ContinuousOn (fun p ↦ ∡ p.1 p.2.1 p.2.2) sp
p' : P
hp' : s.SSameSide p₃ p'
⊢ AffineIndependent ℝ ![p₁, p', p₂]

Tactic:
exact affineIndependent_of_ne_of_mem_of_notMem_of_mem h hp₁ hp'.2.2 hp₂

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1.«0»
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫ = 0
hop : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p -ᵥ p₁⟫ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
⊢ b ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ≠ 0

pp: case refine_1.«1»
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫ = 0
hop : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p -ᵥ p₁⟫ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
⊢ b ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ≠ 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1.«0»
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫ = 0
hop : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p -ᵥ p₁⟫ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
⊢ b ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ≠ 0

case refine_1.«1»
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫ = 0
hop : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p -ᵥ p₁⟫ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
⊢ b ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ≠ 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2.«0»
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫ = 0
hop : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p -ᵥ p₁⟫ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
j : Fin 2
hij : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ j
⊢ ⟪b ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩), b j⟫ = 0

pp: case refine_2.«1»
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫ = 0
hop : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p -ᵥ p₁⟫ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
j : Fin 2
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ j
⊢ ⟪b ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩), b j⟫ = 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_2.«0»
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫ = 0
hop : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p -ᵥ p₁⟫ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
j : Fin 2
hij : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ j
⊢ ⟪b ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩), b j⟫ = 0

case refine_2.«1»
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫ = 0
hop : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p -ᵥ p₁⟫ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
j : Fin 2
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ j
⊢ ⟪b ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩), b j⟫ = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: case center
P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
s : Sphere P
⊢ { center := s.center, radius := s.radius }.center = s.center

pp: case radius
P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
s : Sphere P
⊢ { center := s.center, radius := s.radius }.radius = s.radius

Tactic:
<;>

Goal state after:
case center
P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
s : Sphere P
⊢ { center := s.center, radius := s.radius }.center = s.center

case radius
P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
s : Sphere P
⊢ { center := s.center, radius := s.radius }.radius = s.radius
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
h₂ : p₁ ≠ p₂
h : 2 • ∡ p₂ p₁ p = 2 • ∡ p p₁ p₃
h' : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = p₁
hp : p ≠ p₁
⊢ dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)

Tactic:
rw [← h'] at h hp
    have hpm : p ∉ line[ℝ, p₁, p₂] := orthogonalProjection_eq_self_iff.not.1 (Ne.symm hp)
    rw [two_zsmul_oangle_orthogonalProjection_self _ hpm (right_mem_affineSpan_pair _ _ _)
          (h'.symm ▸ h₂.symm), eq_comm, oangle, Real.Angle.two_zsmul_eq_pi_iff, h'] at h
    replace h := (Orientation.eq_zero_or_oangle_eq_iff_inner_eq_zero _).1 (.inr (.inr h))
    congr 1
    rw [h', eq_comm, coe_orthogonalProjection_eq_iff_mem]
    refine ⟨left_mem_affineSpan_pair _ _ _, ?_⟩
    rw [Submodule.mem_orthogonal']
    intro u hu
    rw [direction_affineSpan, mem_vectorSpan_pair] at hu
    rcases hu with ⟨r, rfl⟩
    rw [inner_smul_right, ← inner_neg_neg, inner_neg_left]
    simp [h]

Goal state after: