Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.DomCoprod

Goal state before:
pp: case h.inl.inl
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
hσ✝ : swap i j • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ
sl : Perm ιa
sr : Perm ιb
hσ : (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (sl, sr) = ((fun x ↦ swap i j • x) σ)⁻¹ * σ
i' : ιa
hi : i = σ (Sum.inl i')
j' : ιa
hj : j = σ (Sum.inl j')
⊢ (Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑a).domCoprod ↑b)) v = 0

pp: case h.inl.inr
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
hσ✝ : swap i j • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ
sl : Perm ιa
sr : Perm ιb
hσ : (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (sl, sr) = ((fun x ↦ swap i j • x) σ)⁻¹ * σ
i' : ιa
hi : i = σ (Sum.inl i')
j' : ιb
hj : j = σ (Sum.inr j')
⊢ (Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑a).domCoprod ↑b)) v = 0

pp: case h.inr.inl
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
hσ✝ : swap i j • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ
sl : Perm ιa
sr : Perm ιb
hσ : (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (sl, sr) = ((fun x ↦ swap i j • x) σ)⁻¹ * σ
i' : ιb
hi : i = σ (Sum.inr i')
j' : ιa
hj : j = σ (Sum.inl j')
⊢ (Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑a).domCoprod ↑b)) v = 0

pp: case h.inr.inr
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
hσ✝ : swap i j • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ
sl : Perm ιa
sr : Perm ιb
hσ : (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (sl, sr) = ((fun x ↦ swap i j • x) σ)⁻¹ * σ
i' : ιb
hi : i = σ (Sum.inr i')
j' : ιb
hj : j = σ (Sum.inr j')
⊢ (Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑a).domCoprod ↑b)) v = 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case h.inl.inl
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
hσ✝ : swap i j • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ
sl : Perm ιa
sr : Perm ιb
hσ : (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (sl, sr) = ((fun x ↦ swap i j • x) σ)⁻¹ * σ
i' : ιa
hi : i = σ (Sum.inl i')
j' : ιa
hj : j = σ (Sum.inl j')
⊢ (Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑a).domCoprod ↑b)) v = 0

case h.inl.inr
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
hσ✝ : swap i j • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ
sl : Perm ιa
sr : Perm ιb
hσ : (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (sl, sr) = ((fun x ↦ swap i j • x) σ)⁻¹ * σ
i' : ιa
hi : i = σ (Sum.inl i')
j' : ιb
hj : j = σ (Sum.inr j')
⊢ (Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑a).domCoprod ↑b)) v = 0

case h.inr.inl
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
hσ✝ : swap i j • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ
sl : Perm ιa
sr : Perm ιb
hσ : (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (sl, sr) = ((fun x ↦ swap i j • x) σ)⁻¹ * σ
i' : ιb
hi : i = σ (Sum.inr i')
j' : ιa
hj : j = σ (Sum.inl j')
⊢ (Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑a).domCoprod ↑b)) v = 0

case h.inr.inr
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
hσ✝ : swap i j • Quotient.mk'' σ = Quotient.mk'' σ
sl : Perm ιa
sr : Perm ιb
hσ : (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (sl, sr) = ((fun x ↦ swap i j • x) σ)⁻¹ * σ
i' : ιb
hi : i = σ (Sum.inr i')
j' : ιb
hj : j = σ (Sum.inr j')
⊢ (Perm.sign σ • MultilinearMap.domDomCongr σ ((↑a).domCoprod ↑b)) v = 0