mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.Pretriangulated

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroObject C
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
hT : ∀ (j : J), T j ∈ distinguishedTriangles
inst✝³ : HasProduct fun j ↦ (T j).obj₁
inst✝² : HasProduct fun j ↦ (T j).obj₂
inst✝¹ : HasProduct fun j ↦ (T j).obj₃
inst✝ : HasProduct fun j ↦ (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
f₁ : (∏ᶜ fun j ↦ (T j).obj₁) ⟶ ∏ᶜ fun j ↦ (T j).obj₂ := Limits.Pi.map fun j ↦ (T j).mor₁
Z : C
f₂ : (∏ᶜ fun j ↦ (T j).obj₂) ⟶ Z
f₃ : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (∏ᶜ fun j ↦ (T j).obj₁)
T' : Triangle C := Triangle.mk f₁ f₂ f₃
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : (j : J) → T' ⟶ T j :=
  fun j ↦
    completeDistinguishedTriangleMorphism T' (T j) hT' ⋯ (Pi.π (fun j ↦ (T j).obj₁) j) (Pi.π (fun j ↦ (T j).obj₂) j) ⋯
φ' : T' ⟶ productTriangle T := productTriangle.lift T φ
h₁ : φ'.hom₁ = 𝟙 T'.obj₁
h₂ : φ'.hom₂ = 𝟙 T'.obj₂
this✝ : IsIso φ'.hom₁
this : IsIso φ'.hom₂
A✝ A : C
f : A ⟶ T'.obj₃
hf : f ≫ φ'.hom₃ = 0
⊢ f ≫ T'.mor₃ = 0

Tactic:
← cancel_mono (φ'.hom₁⟦1⟧'),

Goal state after:
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroObject C
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
hT : ∀ (j : J), T j ∈ distinguishedTriangles
inst✝³ : HasProduct fun j ↦ (T j).obj₁
inst✝² : HasProduct fun j ↦ (T j).obj₂
inst✝¹ : HasProduct fun j ↦ (T j).obj₃
inst✝ : HasProduct fun j ↦ (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
f₁ : (∏ᶜ fun j ↦ (T j).obj₁) ⟶ ∏ᶜ fun j ↦ (T j).obj₂ := Limits.Pi.map fun j ↦ (T j).mor₁
Z : C
f₂ : (∏ᶜ fun j ↦ (T j).obj₂) ⟶ Z
f₃ : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (∏ᶜ fun j ↦ (T j).obj₁)
T' : Triangle C := Triangle.mk f₁ f₂ f₃
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : (j : J) → T' ⟶ T j :=
  fun j ↦
    completeDistinguishedTriangleMorphism T' (T j) hT' ⋯ (Pi.π (fun j ↦ (T j).obj₁) j) (Pi.π (fun j ↦ (T j).obj₂) j) ⋯
φ' : T' ⟶ productTriangle T := productTriangle.lift T φ
h₁ : φ'.hom₁ = 𝟙 T'.obj₁
h₂ : φ'.hom₂ = 𝟙 T'.obj₂
this✝ : IsIso φ'.hom₁
this : IsIso φ'.hom₂
A✝ A : C
f : A ⟶ T'.obj₃
hf : f ≫ φ'.hom₃ = 0
⊢ (f ≫ T'.mor₃) ≫ (shiftFunctor C 1).map φ'.hom₁ = 0 ≫ (shiftFunctor C 1).map φ'.hom₁
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.Functor

Goal state before:
pp: case h₁
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_3} E
inst✝⁵ : HasShift C ℤ
inst✝⁴ : HasShift D ℤ
inst✝³ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝² : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝¹ : G.CommShift ℤ
inst✝ : F.Faithful
X Y : Triangle C
f g : X ⟶ Y
h : F.mapTriangle.map f = F.mapTriangle.map g
⊢ f.hom₁ = g.hom₁

pp: case h₂
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_3} E
inst✝⁵ : HasShift C ℤ
inst✝⁴ : HasShift D ℤ
inst✝³ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝² : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝¹ : G.CommShift ℤ
inst✝ : F.Faithful
X Y : Triangle C
f g : X ⟶ Y
h : F.mapTriangle.map f = F.mapTriangle.map g
⊢ f.hom₂ = g.hom₂

pp: case h₃
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_3} E
inst✝⁵ : HasShift C ℤ
inst✝⁴ : HasShift D ℤ
inst✝³ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝² : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝¹ : G.CommShift ℤ
inst✝ : F.Faithful
X Y : Triangle C
f g : X ⟶ Y
h : F.mapTriangle.map f = F.mapTriangle.map g
⊢ f.hom₃ = g.hom₃

Tactic:
<;>

Goal state after:
case h₁
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_3} E
inst✝⁵ : HasShift C ℤ
inst✝⁴ : HasShift D ℤ
inst✝³ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝² : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝¹ : G.CommShift ℤ
inst✝ : F.Faithful
X Y : Triangle C
f g : X ⟶ Y
h : F.mapTriangle.map f = F.mapTriangle.map g
⊢ f.hom₁ = g.hom₁

case h₂
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_3} E
inst✝⁵ : HasShift C ℤ
inst✝⁴ : HasShift D ℤ
inst✝³ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝² : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝¹ : G.CommShift ℤ
inst✝ : F.Faithful
X Y : Triangle C
f g : X ⟶ Y
h : F.mapTriangle.map f = F.mapTriangle.map g
⊢ f.hom₂ = g.hom₂

case h₃
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁶ : Category.{v_3, u_3} E
inst✝⁵ : HasShift C ℤ
inst✝⁴ : HasShift D ℤ
inst✝³ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝² : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝¹ : G.CommShift ℤ
inst✝ : F.Faithful
X Y : Triangle C
f g : X ⟶ Y
h : F.mapTriangle.map f = F.mapTriangle.map g
⊢ f.hom₃ = g.hom₃
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.Pretriangulated

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroObject C
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
hT : ∀ (j : J), T j ∈ distinguishedTriangles
inst✝³ : HasProduct fun j ↦ (T j).obj₁
inst✝² : HasProduct fun j ↦ (T j).obj₂
inst✝¹ : HasProduct fun j ↦ (T j).obj₃
inst✝ : HasProduct fun j ↦ (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
f₁ : (∏ᶜ fun j ↦ (T j).obj₁) ⟶ ∏ᶜ fun j ↦ (T j).obj₂ := Limits.Pi.map fun j ↦ (T j).mor₁
Z : C
f₂ : (∏ᶜ fun j ↦ (T j).obj₂) ⟶ Z
f₃ : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (∏ᶜ fun j ↦ (T j).obj₁)
T' : Triangle C := Triangle.mk f₁ f₂ f₃
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : (j : J) → T' ⟶ T j :=
  fun j ↦
    completeDistinguishedTriangleMorphism T' (T j) hT' ⋯ (Pi.π (fun j ↦ (T j).obj₁) j) (Pi.π (fun j ↦ (T j).obj₂) j) ⋯
φ' : T' ⟶ productTriangle T := productTriangle.lift T φ
h₁ : φ'.hom₁ = 𝟙 T'.obj₁
h₂ : φ'.hom₂ = 𝟙 T'.obj₂
this✝ : IsIso φ'.hom₁
this : IsIso φ'.hom₂
A : C
a : A ⟶ (productTriangle T).obj₃
a' : A ⟶ Z
ha' : a' ≫ T'.mor₃ = a ≫ (productTriangle T).mor₃
ha'' : ∀ (j : J), ∃ g, (a - a' ≫ φ'.hom₃) ≫ Pi.π (fun j ↦ (T j).obj₃) j = g ≫ (T j).mor₂
b : (j : J) → A ⟶ (T j).obj₂ := fun j ↦ ⋯.choose
hb : ∀ (j : J), (a - a' ≫ φ'.hom₃) ≫ Pi.π (fun j ↦ (T j).obj₃) j = b j ≫ (T j).mor₂
j : J
⊢ (a - a' ≫ φ'.hom₃) ≫ Pi.π (fun j ↦ (T j).obj₃) j =
    (Pi.lift b ≫ (productTriangle T).mor₂) ≫ Pi.π (fun j ↦ (T j).obj₃) j

Tactic:
by rw [hb]; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.PathCategory.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u₁
inst✝ : Quiver V
a : Paths V
P : {b : Paths V} → (a ⟶ b) → Prop
id : P (𝟙 a)
comp : ∀ {u v : V} (p : a ⟶ (of V).obj u) (q : u ⟶ v), P p → P (p ≫ (of V).map q)
⊢ ∀ {b : Paths V} (f : a ⟶ b), P f

Tactic:
intro _ f
  induction f with
  | nil => exact id
  | cons _ w h => exact comp _ w h

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomologySequence

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.Exact
inst✝³ : Epi S.g
i : ι
inst✝² : S.X₁.HasHomology i
inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i
inst✝ : S.X₃.HasHomology i
this : Epi (S.map (eval C c i)).g
hj : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (S.map (eval C c i)).g ⋯)
A : C
k : S.X₂.opcycles i ⟶ A
hk : opcyclesMap S.f i ≫ k = 0
H : { l // S.g.f i ≫ l = S.X₂.pOpcycles i ≫ k }
⊢ S.X₃.d (c.prev i) i ≫ ↑H = 0

Tactic:
rw [← cancel_epi (S.g.f (c.prev i)), comp_zero, Hom.comm_assoc, H.2,
        d_pOpcycles_assoc, zero_comp]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.PathCategory.MorphismProperty

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
V : Type u₁
inst✝ : Quiver V
F G : Paths V ⥤ C
α_app : (v : V) → F.obj v ⟶ G.obj v
α_nat : ∀ {X Y : V} (f : X ⟶ Y), F.map f.toPath ≫ α_app Y = α_app X ≫ G.map f.toPath
⊢ ∀ ⦃X Y : Paths V⦄ (f : X ⟶ Y), F.map f ≫ α_app Y = α_app X ≫ G.map f

Tactic:
apply MorphismProperty.of_eq_top
      (P := MorphismProperty.naturalityProperty (F₁ := F) α_app)

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
V : Type u₁
inst✝ : Quiver V
F G : Paths V ⥤ C
α_app : (v : V) → F.obj v ⟶ G.obj v
α_nat : ∀ {X Y : V} (f : X ⟶ Y), F.map f.toPath ≫ α_app Y = α_app X ≫ G.map f.toPath
⊢ MorphismProperty.naturalityProperty α_app = ⊤
Module: Mathlib.CategoryTheory.Triangulated.Triangulated

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹ : Pretriangulated C
inst✝ : IsTriangulated C
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : Z₁₂ ⟶ X₁
w₁₂ : X₂ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Z₁₂
h₁₂ : Triangle.mk v₁₂ u₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : Z₂₃ ⟶ X₂
w₂₃ : X₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Z₂₃
h₂₃ : Triangle.mk v₂₃ u₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : Z₁₃ ⟶ X₁
w₁₃ : X₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Z₁₃
h₁₃ : Triangle.mk v₁₃ u₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
o : Octahedron comm ⋯ ⋯ ⋯ := someOctahedron comm ⋯ ⋯ ⋯
m₁ : Z₁₂ ⟶ Z₁₃ := (shiftShiftNeg Z₁₂ 1).inv ≫ (shiftFunctor C (-1)).map o.m₁ ≫ (shiftShiftNeg Z₁₃ 1).hom
m₃ : Z₁₃ ⟶ Z₂₃ := (shiftShiftNeg Z₁₃ 1).inv ≫ (shiftFunctor C (-1)).map o.m₃ ≫ (shiftShiftNeg Z₂₃ 1).hom
eq₁ : w₁₂ ≫ o.m₁ = u₂₃ ≫ w₁₃
eq₂ : o.m₁ ≫ (shiftFunctor C 1).map v₁₃ = (shiftFunctor C 1).map v₁₂
eq₃ : w₁₃ ≫ o.m₃ = w₂₃
eq₄ : (shiftFunctor C 1).map v₁₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map u₁₂ = o.m₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map v₂₃
⊢ w₁₂ ≫ (shiftFunctor C 1).map m₁ = u₂₃ ≫ w₁₃

Tactic:
dsimp [m₁]
    rw [Functor.map_comp, Functor.map_comp, shift_shiftFunctorCompIsoId_hom_app,
      shift_shiftFunctorCompIsoId_inv_app, shiftFunctorCompIsoId_naturality_1, eq₁]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomologySequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS✝ : S.ShortExact
i✝ j✝ : ι
hij✝ : c.Rel i✝ j✝
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ ((cyclesFunctor C c j).mapShortComplex.obj S).Exact

Tactic:
have := hS.mono_f

Goal state after:
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS✝ : S.ShortExact
i✝ j✝ : ι
hij✝ : c.Rel i✝ j✝
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
this : Mono S.f
⊢ ((cyclesFunctor C c j).mapShortComplex.obj S).Exact
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomologySequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS✝ : S.ShortExact
i✝ j✝ : ι
hij✝ : c.Rel i✝ j✝
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ Mono ((cyclesFunctor C c j).mapShortComplex.obj S).f

Tactic:
have := hS.mono_f

Goal state after:
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS✝ : S.ShortExact
i✝ j✝ : ι
hij✝ : c.Rel i✝ j✝
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
this : Mono S.f
⊢ Mono ((cyclesFunctor C c j).mapShortComplex.obj S).f
Module: Mathlib.Algebra.Homology.HomologySequence

Goal state before:
pp: C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
A : C
x₃ : A ⟶ S.X₃.X i
hx₃ : x₃ ≫ S.X₃.d i j = 0
x₂ : A ⟶ S.X₂.X i
hx₂ : x₂ ≫ S.g.f i = x₃
x₁ : A ⟶ S.X₁.X j
hx₁ : x₁ ≫ S.f.f j = x₂ ≫ S.X₂.d i j
k : ι
hk : c.next j = k
⊢ x₁ ≫ S.X₁.d j k = 0

Tactic:
have := hS.mono_f

Goal state after:
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
A : C
x₃ : A ⟶ S.X₃.X i
hx₃ : x₃ ≫ S.X₃.d i j = 0
x₂ : A ⟶ S.X₂.X i
hx₂ : x₂ ≫ S.g.f i = x₃
x₁ : A ⟶ S.X₁.X j
hx₁ : x₁ ≫ S.f.f j = x₂ ≫ S.X₂.d i j
k : ι
hk : c.next j = k
this : Mono S.f
⊢ x₁ ≫ S.X₁.d j k = 0
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.Construction

Goal state before:
pp: C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
X Y : C
w : X ⟶ Y
hw : W w
⊢ { obj := Y } ⟶ { obj := X }

Tactic:
exact (Paths.of _).map (Sum.inr ⟨w, hw⟩)

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.Construction

Goal state before:
pp: case id
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X✝ : C
X Y : Paths (LocQuiver W)
⊢ (liftToPathCategory G hG).map (ψ₁ W (𝟙 X✝)) = (liftToPathCategory G hG).map (𝟙 (ιPaths W X✝))

pp: case comp
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X✝ Y✝¹ : C
X Y : Paths (LocQuiver W)
Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Y✝¹
⊢ (liftToPathCategory G hG).map (ψ₁ W (f✝ ≫ g✝)) = (liftToPathCategory G hG).map (ψ₁ W f✝ ≫ ψ₁ W g✝)

pp: case Winv₁
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X✝ : C
X Y : Paths (LocQuiver W)
Y✝ : C
w✝ : X✝ ⟶ Y✝
hw✝ : W w✝
⊢ (liftToPathCategory G hG).map (ψ₁ W w✝ ≫ ψ₂ W w✝ hw✝) = (liftToPathCategory G hG).map (𝟙 (ιPaths W X✝))

pp: case Winv₂
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X✝¹ : C
X Y : Paths (LocQuiver W)
X✝ : C
w✝ : X✝ ⟶ X✝¹
hw✝ : W w✝
⊢ (liftToPathCategory G hG).map (ψ₂ W w✝ hw✝ ≫ ψ₁ W w✝) = (liftToPathCategory G hG).map (𝟙 (ιPaths W X✝¹))

Tactic:
<;>

Goal state after:
case id
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X✝ : C
X Y : Paths (LocQuiver W)
⊢ (liftToPathCategory G hG).map (ψ₁ W (𝟙 X✝)) = (liftToPathCategory G hG).map (𝟙 (ιPaths W X✝))

case comp
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X✝ Y✝¹ : C
X Y : Paths (LocQuiver W)
Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Y✝¹
⊢ (liftToPathCategory G hG).map (ψ₁ W (f✝ ≫ g✝)) = (liftToPathCategory G hG).map (ψ₁ W f✝ ≫ ψ₁ W g✝)

case Winv₁
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X✝ : C
X Y : Paths (LocQuiver W)
Y✝ : C
w✝ : X✝ ⟶ Y✝
hw✝ : W w✝
⊢ (liftToPathCategory G hG).map (ψ₁ W w✝ ≫ ψ₂ W w✝ hw✝) = (liftToPathCategory G hG).map (𝟙 (ιPaths W X✝))

case Winv₂
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X✝¹ : C
X Y : Paths (LocQuiver W)
X✝ : C
w✝ : X✝ ⟶ X✝¹
hw✝ : W w✝
⊢ (liftToPathCategory G hG).map (ψ₂ W w✝ hw✝ ≫ ψ₁ W w✝) = (liftToPathCategory G hG).map (𝟙 (ιPaths W X✝¹))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.Predicate

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Category.{v_2, u_2} D
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{v_3, u_3} E
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
F₁ F₂ : D ⥤ E
τ τ' : F₁ ⟶ F₂
h : ∀ (X : C), τ.app (L.obj X) = τ'.app (L.obj X)
this : L.EssSurj
Y : D
⊢ τ.app Y = τ'.app Y

Tactic:
rw [← cancel_epi (F₁.map (L.objObjPreimageIso Y).hom), τ.naturality, τ'.naturality, h]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.Opposite

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝² : Category.{v_2, u_2} D
L✝ : C ⥤ D
W✝ : MorphismProperty C
inst✝¹ : L✝.IsLocalization W✝
L : Cᵒᵖ ⥤ Dᵒᵖ
W : MorphismProperty Cᵒᵖ
inst✝ : L.IsLocalization W
this : CatCommSq (opOpEquivalence C).functor L.op L.unop (opOpEquivalence D).functor
x✝² x✝¹ : C
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
hf : W.unop x✝
⊢ IsIso (L.unop.map x✝)

Tactic:
have := Localization.inverts L W _ hf
      dsimp
      infer_instance

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.CalculusOfFractions

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
Y'✝ : C
v₄ : Z₄ ⟶ Y'✝
v₅ : Z₅ ⟶ Y'✝
hv₅ : W v₅
fac : z₃.s ≫ u₃ ≫ v₅ = z₁.s ≫ t₁ ≫ v₄
eq : z₂.s ≫ u₂ ≫ v₅ = z₂.s ≫ t₂ ≫ v₄
Z₇ : C
w : Y'✝ ⟶ Z₇
hw : W w
fac' : u₂ ≫ v₅ ≫ w = t₂ ≫ v₄ ≫ w
⊢ z₁.f ≫ t₁ ≫ v₄ ≫ w = z₃.f ≫ u₃ ≫ v₅ ≫ w

Tactic:
rw [reassoc_of% hft, ← fac', reassoc_of% hfu]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.CalculusOfFractions.Preadditive

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝³ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
⊢ add' W f₁ f₂ = add' W f₂ f₁

Tactic:
obtain ⟨α, h₁, h₂⟩ := exists_leftFraction₂ L W f₁ f₂

Goal state after:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝³ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₂ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯
⊢ add' W f₁ f₂ = add' W f₂ f₁
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.CalculusOfFractions.Preadditive

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝³ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
g : L.obj Y ⟶ L.obj Z
⊢ add' W f₁ f₂ ≫ g = add' W (f₁ ≫ g) (f₂ ≫ g)

Tactic:
obtain ⟨α, h₁, h₂⟩ := exists_leftFraction₂ L W f₁ f₂

Goal state after:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝³ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
g : L.obj Y ⟶ L.obj Z
α : W.LeftFraction₂ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯
⊢ add' W f₁ f₂ ≫ g = add' W (f₁ ≫ g) (f₂ ≫ g)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.Triangulated

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹¹ : Category.{v_2, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹⁰ : HasShift C ℤ
inst✝⁹ : Preadditive C
inst✝⁸ : HasZeroObject C
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : Pretriangulated C
inst✝⁵ : HasShift D ℤ
inst✝⁴ : L.CommShift ℤ
inst✝³ : L.EssSurj
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms
X : D
⊢ contractibleTriangle X ≅ L.mapTriangle.obj (contractibleTriangle (L.objPreimage X))

Tactic:
exact ((contractibleTriangleFunctor D).mapIso (L.objObjPreimageIso X)).symm ≪≫
    Triangle.isoMk _ _ (Iso.refl _) (Iso.refl _) L.mapZeroObject.symm (by simp) (by simp) (by simp)

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.ObjectProperty.LimitsClosure

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
P : ObjectProperty C
α : Type t
J : α → Type u'
inst✝² : (a : α) → Category.{v', u'} (J a)
Q : ObjectProperty C
inst✝¹ : Q.IsClosedUnderIsomorphisms
inst✝ : ∀ (a : α), Q.IsClosedUnderLimitsOfShape (J a)
h : P ≤ Q
⊢ P.limitsClosure J ≤ Q

Tactic:
intro X hX

Goal state after:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
P : ObjectProperty C
α : Type t
J : α → Type u'
inst✝² : (a : α) → Category.{v', u'} (J a)
Q : ObjectProperty C
inst✝¹ : Q.IsClosedUnderIsomorphisms
inst✝ : ∀ (a : α), Q.IsClosedUnderLimitsOfShape (J a)
h : P ≤ Q
X : C
hX : P.limitsClosure J X
⊢ Q X
Module: Mathlib.CategoryTheory.ObjectProperty.ColimitsClosure

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
P : ObjectProperty C
α : Type t
J : α → Type u'
inst✝² : (a : α) → Category.{v', u'} (J a)
Q : ObjectProperty C
inst✝¹ : Q.IsClosedUnderIsomorphisms
inst✝ : ∀ (a : α), Q.IsClosedUnderColimitsOfShape (J a)
h : P ≤ Q
⊢ P.colimitsClosure J ≤ Q

Tactic:
intro X hX

Goal state after:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
P : ObjectProperty C
α : Type t
J : α → Type u'
inst✝² : (a : α) → Category.{v', u'} (J a)
Q : ObjectProperty C
inst✝¹ : Q.IsClosedUnderIsomorphisms
inst✝ : ∀ (a : α), Q.IsClosedUnderColimitsOfShape (J a)
h : P ≤ Q
X : C
hX : P.colimitsClosure J X
⊢ Q X
Module: Mathlib.CategoryTheory.ObjectProperty.FiniteProducts

Goal state before:
pp: case left
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
P : ObjectProperty C
inst✝ : P.IsClosedUnderBinaryProducts
X Y : C
B : BinaryFan X Y
hB : IsLimit B
hX : P X
hY : P Y
⊢ P ((Limits.pair X Y).obj { as := WalkingPair.left })

pp: case right
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
P : ObjectProperty C
inst✝ : P.IsClosedUnderBinaryProducts
X Y : C
B : BinaryFan X Y
hB : IsLimit B
hX : P X
hY : P Y
⊢ P ((Limits.pair X Y).obj { as := WalkingPair.right })

Tactic:
<;>

Goal state after:
case left
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
P : ObjectProperty C
inst✝ : P.IsClosedUnderBinaryProducts
X Y : C
B : BinaryFan X Y
hB : IsLimit B
hX : P X
hY : P Y
⊢ P ((Limits.pair X Y).obj { as := WalkingPair.left })

case right
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
P : ObjectProperty C
inst✝ : P.IsClosedUnderBinaryProducts
X Y : C
B : BinaryFan X Y
hB : IsLimit B
hX : P X
hY : P Y
⊢ P ((Limits.pair X Y).obj { as := WalkingPair.right })
Module: Mathlib.CategoryTheory.ObjectProperty.Shift

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
P : ObjectProperty C
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
⊢ P ≤ P.shiftClosure A

Tactic:
intro X hX

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
P : ObjectProperty C
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X : C
hX : P X
⊢ P.shiftClosure A X
Module: Mathlib.CategoryTheory.ObjectProperty.Shift

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{v_1, u_1} C
P Q : ObjectProperty C
A : Type u_2
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : HasShift C A
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{v_2, u_3} E
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : P.IsClosedUnderIsomorphisms
G : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : HasShift C G
a : G
⊢ ⨆ a, P.shift a ≤ ⨆ i, (P.shift i).shift a

Tactic:
intro X hX

Goal state after:
C : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{v_1, u_1} C
P Q : ObjectProperty C
A : Type u_2
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : HasShift C A
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{v_2, u_3} E
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : P.IsClosedUnderIsomorphisms
G : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : HasShift C G
a : G
X : C
hX : (⨆ a, P.shift a) X
⊢ (⨆ i, (P.shift i).shift a) X
Module: Mathlib.CategoryTheory.ObjectProperty.FiniteProducts

Goal state before:
pp: case left
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
P : ObjectProperty C
inst✝ : P.IsClosedUnderBinaryCoproducts
X Y : C
B : BinaryCofan X Y
hB : IsColimit B
hX : P X
hY : P Y
⊢ P ((Limits.pair X Y).obj { as := WalkingPair.left })

pp: case right
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
P : ObjectProperty C
inst✝ : P.IsClosedUnderBinaryCoproducts
X Y : C
B : BinaryCofan X Y
hB : IsColimit B
hX : P X
hY : P Y
⊢ P ((Limits.pair X Y).obj { as := WalkingPair.right })

Tactic:
<;>

Goal state after:
case left
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
P : ObjectProperty C
inst✝ : P.IsClosedUnderBinaryCoproducts
X Y : C
B : BinaryCofan X Y
hB : IsColimit B
hX : P X
hY : P Y
⊢ P ((Limits.pair X Y).obj { as := WalkingPair.left })

case right
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v_1, u_1} C
P : ObjectProperty C
inst✝ : P.IsClosedUnderBinaryCoproducts
X Y : C
B : BinaryCofan X Y
hB : IsColimit B
hX : P X
hY : P Y
⊢ P ((Limits.pair X Y).obj { as := WalkingPair.right })
Module: Mathlib.CategoryTheory.ObjectProperty.Shift

Goal state before:
pp: case a
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
P : ObjectProperty C
inst✝² : P.IsClosedUnderIsomorphisms
G : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : HasShift C G
⊢ ⨆ x, P.shift x ≤ P.shiftClosure G

Tactic:
intro X hX

Goal state after:
case a
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v_1, u_1} C
P : ObjectProperty C
inst✝² : P.IsClosedUnderIsomorphisms
G : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : HasShift C G
X : C
hX : (⨆ x, P.shift x) X
⊢ P.shiftClosure G X