Module: Mathlib.GroupTheory.CosetCover

Goal state before:
pp: case hx
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
inst✝ : DecidablePred FiniteIndex
hcovers : ⋃ i ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex} ∪ {a ∈ s | ¬(H a).FiniteIndex}, g i • ↑(H i) = Set.univ
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι}, i ∈ s → (H i).FiniteIndex → D ≤ H i
t : (i : ι) → i ∈ s → (H i).FiniteIndex → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement ↑(t i hi hfi) ↑(D.subgroupOf (H i)) ∧ ⋃ g ∈ t i hi hfi, ↑g • ↑D = ↑(H i)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H ↑i).FiniteIndex then t ↑i ⋯ h else {1})
f : κ → G := fun k ↦ g ↑k.fst * ↑↑k.snd
K : κ → Subgroup G := fun k ↦ if (H ↑k.fst).FiniteIndex then D else H ↑k.fst
⊢ ⋃ x, ⋃ (hx : x ∈ s), ⋃ a, ⋃ (_ : ⟨⟨x, hx⟩, a⟩ ∈ {k | (H ↑k.fst).FiniteIndex}), f ⟨⟨x, hx⟩, a⟩ • ↑(K ⟨⟨x, hx⟩, a⟩) =
    ⋃ x ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, g x • ↑(H x)

pp: case hy
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
inst✝ : DecidablePred FiniteIndex
hcovers : ⋃ i ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex} ∪ {a ∈ s | ¬(H a).FiniteIndex}, g i • ↑(H i) = Set.univ
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι}, i ∈ s → (H i).FiniteIndex → D ≤ H i
t : (i : ι) → i ∈ s → (H i).FiniteIndex → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement ↑(t i hi hfi) ↑(D.subgroupOf (H i)) ∧ ⋃ g ∈ t i hi hfi, ↑g • ↑D = ↑(H i)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H ↑i).FiniteIndex then t ↑i ⋯ h else {1})
f : κ → G := fun k ↦ g ↑k.fst * ↑↑k.snd
K : κ → Subgroup G := fun k ↦ if (H ↑k.fst).FiniteIndex then D else H ↑k.fst
⊢ ⋃ x, ⋃ (hx : x ∈ s), ⋃ a, ⋃ (_ : ⟨⟨x, hx⟩, a⟩ ∈ {a | ¬(H ↑a.fst).FiniteIndex}), f ⟨⟨x, hx⟩, a⟩ • ↑(K ⟨⟨x, hx⟩, a⟩) =
    ⋃ x ∈ {a ∈ s | ¬(H a).FiniteIndex}, g x • ↑(H x)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case hx
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
inst✝ : DecidablePred FiniteIndex
hcovers : ⋃ i ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex} ∪ {a ∈ s | ¬(H a).FiniteIndex}, g i • ↑(H i) = Set.univ
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι}, i ∈ s → (H i).FiniteIndex → D ≤ H i
t : (i : ι) → i ∈ s → (H i).FiniteIndex → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement ↑(t i hi hfi) ↑(D.subgroupOf (H i)) ∧ ⋃ g ∈ t i hi hfi, ↑g • ↑D = ↑(H i)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H ↑i).FiniteIndex then t ↑i ⋯ h else {1})
f : κ → G := fun k ↦ g ↑k.fst * ↑↑k.snd
K : κ → Subgroup G := fun k ↦ if (H ↑k.fst).FiniteIndex then D else H ↑k.fst
⊢ ⋃ x, ⋃ (hx : x ∈ s), ⋃ a, ⋃ (_ : ⟨⟨x, hx⟩, a⟩ ∈ {k | (H ↑k.fst).FiniteIndex}), f ⟨⟨x, hx⟩, a⟩ • ↑(K ⟨⟨x, hx⟩, a⟩) =
    ⋃ x ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, g x • ↑(H x)

case hy
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
inst✝ : DecidablePred FiniteIndex
hcovers : ⋃ i ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex} ∪ {a ∈ s | ¬(H a).FiniteIndex}, g i • ↑(H i) = Set.univ
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι}, i ∈ s → (H i).FiniteIndex → D ≤ H i
t : (i : ι) → i ∈ s → (H i).FiniteIndex → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement ↑(t i hi hfi) ↑(D.subgroupOf (H i)) ∧ ⋃ g ∈ t i hi hfi, ↑g • ↑D = ↑(H i)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H ↑i).FiniteIndex then t ↑i ⋯ h else {1})
f : κ → G := fun k ↦ g ↑k.fst * ↑↑k.snd
K : κ → Subgroup G := fun k ↦ if (H ↑k.fst).FiniteIndex then D else H ↑k.fst
⊢ ⋃ x, ⋃ (hx : x ∈ s), ⋃ a, ⋃ (_ : ⟨⟨x, hx⟩, a⟩ ∈ {a | ¬(H ↑a.fst).FiniteIndex}), f ⟨⟨x, hx⟩, a⟩ • ↑(K ⟨⟨x, hx⟩, a⟩) =
    ⋃ x ∈ {a ∈ s | ¬(H a).FiniteIndex}, g x • ↑(H x)