mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TwoDim

Goal state before:
pp: case «0»
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
h : ⟪x, y⟫ = 0
j : Fin 2
hij : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ j
⊢ ⟪![x, y] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩), ![x, y] j⟫ = 0

pp: case «1»
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
h : ⟪x, y⟫ = 0
j : Fin 2
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ j
⊢ ⟪![x, y] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩), ![x, y] j⟫ = 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case «0»
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
h : ⟪x, y⟫ = 0
j : Fin 2
hij : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ j
⊢ ⟪![x, y] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩), ![x, y] j⟫ = 0

case «1»
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
h : ⟪x, y⟫ = 0
j : Fin 2
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ j
⊢ ⟪![x, y] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩), ![x, y] j⟫ = 0
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Montel

Goal state before:
pp: 𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹³ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹² : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul 𝕜₁ E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜₂ F
inst✝¹ : T1Space E
inst✝ : MontelSpace 𝕜₁ E
⊢ ContinuousAt (⇑(LinearEquiv.toCompactConvergenceCLM σ E F).symm) 0

Tactic:
ContinuousAt,

Goal state after:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹³ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹² : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁷ : ContinuousSMul 𝕜₁ E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜₂ F
inst✝¹ : T1Space E
inst✝ : MontelSpace 𝕜₁ E
⊢ Tendsto (⇑(LinearEquiv.toCompactConvergenceCLM σ E F).symm) (𝓝 0)
    (𝓝 ((LinearEquiv.toCompactConvergenceCLM σ E F).symm 0))
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TwoDim

Goal state before:
pp: case «0»
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
⊢ (⇑φ.symm ∘ ![x, y]) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) = ![φ.symm x, φ.symm y] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)

pp: case «1»
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
⊢ (⇑φ.symm ∘ ![x, y]) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) = ![φ.symm x, φ.symm y] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case «0»
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
⊢ (⇑φ.symm ∘ ![x, y]) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) = ![φ.symm x, φ.symm y] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)

case «1»
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
⊢ (⇑φ.symm ∘ ![x, y]) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) = ![φ.symm x, φ.symm y] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TwoDim

Goal state before:
pp: case «0»
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ≠ 0

pp: case «1»
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ≠ 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case «0»
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ≠ 0

case «1»
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TwoDim

Goal state before:
pp: case «0»
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
hx : x ≠ 0
j : Fin 2
hij : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ j
⊢ ⟪![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩), ![x, o.rightAngleRotation x] j⟫ = 0

pp: case «1»
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
hx : x ≠ 0
j : Fin 2
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ j
⊢ ⟪![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩), ![x, o.rightAngleRotation x] j⟫ = 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case «0»
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
hx : x ≠ 0
j : Fin 2
hij : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ j
⊢ ⟪![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩), ![x, o.rightAngleRotation x] j⟫ = 0

case «1»
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
hx : x ≠ 0
j : Fin 2
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ j
⊢ ⟪![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩), ![x, o.rightAngleRotation x] j⟫ = 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TwoDim

Goal state before:
pp: case «0».«0»
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
hx : x ≠ 0
hij : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ ⟪![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩), ![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)⟫ = 0

pp: case «0».«1»
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
hx : x ≠ 0
hij : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ ⟪![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩), ![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)⟫ = 0

pp: case «1».«0»
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
hx : x ≠ 0
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ ⟪![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩), ![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)⟫ = 0

pp: case «1».«1»
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
hx : x ≠ 0
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ ⟪![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩), ![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)⟫ = 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case «0».«0»
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
hx : x ≠ 0
hij : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ ⟪![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩), ![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)⟫ = 0

case «0».«1»
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
hx : x ≠ 0
hij : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ ⟪![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩), ![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)⟫ = 0

case «1».«0»
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
hx : x ≠ 0
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ ⟪![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩), ![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)⟫ = 0

case «1».«1»
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
hx : x ≠ 0
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ ⟪![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩), ![x, o.rightAngleRotation x] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)⟫ = 0
Module: Mathlib.Analysis.Matrix.LDL

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder n
inst✝² : WellFoundedLT n
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n
S : Matrix n n 𝕜
inst✝ : Fintype n
hS : S.PosDef
⊢ Invertible (lowerInv hS)

Tactic:
by
  rw [LDL.lowerInv_eq_gramSchmidtBasis]
  haveI :=
    Basis.invertibleToMatrix (Pi.basisFun 𝕜 n)
      (@gramSchmidtBasis 𝕜 (n → 𝕜) _ (Sᵀ.toNormedAddCommGroup hS.transpose)
        (Sᵀ.toInnerProductSpace hS.transpose.posSemidef) n _ _ _ (Pi.basisFun 𝕜 n))
  infer_instance

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TwoDim

Goal state before:
pp: case inl
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
y : E
⊢ (o.kahler 0) y = 0

pp: case inr
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
⊢ (o.kahler x) 0 = 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
y : E
⊢ (o.kahler 0) y = 0

case inr
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
⊢ (o.kahler x) 0 = 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TwoDim

Goal state before:
pp: case inl
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
y : E
⊢ ↑⟪0, y⟫ + ↑((o.areaForm 0) y) * Complex.I = 0

pp: case inr
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
⊢ ↑⟪x, 0⟫ + ↑((o.areaForm x) 0) * Complex.I = 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
y : E
⊢ ↑⟪0, y⟫ + ↑((o.areaForm 0) y) * Complex.I = 0

case inr
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E
⊢ ↑⟪x, 0⟫ + ↑((o.areaForm x) 0) * Complex.I = 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TwoDim

Goal state before:
pp: case a
w z : ℂ
⊢ (↑⟪w, z⟫ + (Complex.orientation.areaForm w) z • I).re = (z * (starRingEnd ℂ) w).re

pp: case a
w z : ℂ
⊢ (↑⟪w, z⟫ + (Complex.orientation.areaForm w) z • I).im = (z * (starRingEnd ℂ) w).im

Tactic:
<;>

Goal state after:
case a
w z : ℂ
⊢ (↑⟪w, z⟫ + (Complex.orientation.areaForm w) z • I).re = (z * (starRingEnd ℂ) w).re

case a
w z : ℂ
⊢ (↑⟪w, z⟫ + (Complex.orientation.areaForm w) z • I).im = (z * (starRingEnd ℂ) w).im
Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s a : ℂ
⊢ MellinConvergent (fun t ↦ ↑t ^ a • f t) s ↔ MellinConvergent f (s + a)

Tactic:
refine integrableOn_congr_fun (fun t ht => ?_) measurableSet_Ioi
  simp_rw [← sub_add_eq_add_sub, cpow_add _ _ (ofReal_ne_zero.2 <| ne_of_gt ht), mul_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
this : EqOn (fun t ↦ ↑t ^ (s - 1) • f (a * t)) (fun t ↦ ↑a ^ (1 - s) • (fun u ↦ ↑u ^ (s - 1) • f u) (a * t)) (Ioi 0)
⊢ (↑a ^ (-s) * (↑a)⁻¹ * ↑a) • ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑x ^ (s - 1) • f x =
    ↑a ^ (-s) • ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f t

Tactic:
inv_mul_cancel_right₀ (ofReal_ne_zero.mpr ha.ne')

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
this : EqOn (fun t ↦ ↑t ^ (s - 1) • f (a * t)) (fun t ↦ ↑a ^ (1 - s) • (fun u ↦ ↑u ^ (s - 1) • f u) (a * t)) (Ioi 0)
⊢ ↑a ^ (-s) • ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑x ^ (s - 1) • f x = ↑a ^ (-s) • ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f t
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Complex.LogBounds

Goal state before:
pp: t : ℝ
ht : 0 ≤ t ∧ t ≤ 1
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ 1 - ‖↑t * z‖ ≤ ‖1 + ↑t * z‖

Tactic:
rw [← norm_neg (t * z), ← sub_neg_eq_add]
      convert! norm_sub_norm_le 1 (-(t * z))
      exact norm_one.symm

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gamma.BohrMollerup

Goal state before:
pp: case e_a
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x ↦ rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).HolderConjugate (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x
posf' : ∀ (c u : ℝ), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ f c u x
c x : ℝ
hc : 0 < c
u : ℝ
hx : 0 < x
⊢ -x = -c * x * (1 / c)

pp: case e_a.e_a
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x ↦ rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).HolderConjugate (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x
posf' : ∀ (c u : ℝ), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ f c u x
c x : ℝ
hc : 0 < c
u : ℝ
hx : 0 < x
⊢ u - 1 = c * (u - 1) * (1 / c)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e_a
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x ↦ rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).HolderConjugate (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x
posf' : ∀ (c u : ℝ), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ f c u x
c x : ℝ
hc : 0 < c
u : ℝ
hx : 0 < x
⊢ -x = -c * x * (1 / c)

case e_a.e_a
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x ↦ rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).HolderConjugate (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x
posf' : ∀ (c u : ℝ), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ f c u x
c x : ℝ
hc : 0 < c
u : ℝ
hx : 0 < x
⊢ u - 1 = c * (u - 1) * (1 / c)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Complex.LogBounds

Goal state before:
pp: case e'_5
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ ‖z‖ = ‖-z‖

pp: case e'_6
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ 1 - ‖z‖ = 1 - ‖-z‖

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_5
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ ‖z‖ = ‖-z‖

case e'_6
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
⊢ 1 - ‖z‖ = 1 - ‖-z‖
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gamma.BohrMollerup

Goal state before:
pp: case e'_4.e_a.e_a
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x ↦ rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).HolderConjugate (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x
posf' : ∀ (c u : ℝ), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ f c u x
fpow : ∀ {c x : ℝ}, 0 < c → ∀ (u : ℝ), 0 < x → rexp (-x) * x ^ (u - 1) = f c u x ^ (1 / c)
f_mem_Lp : ∀ {c u : ℝ}, 0 < c → 0 < u → MemLp (f c u) (ENNReal.ofReal (1 / c)) (volume.restrict (Ioi 0))
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1) = ∫ (a_1 : ℝ) in Ioi 0, f a s a_1 ^ (1 / a)

pp: case e'_4.e_a.e_a
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x ↦ rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).HolderConjugate (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x
posf' : ∀ (c u : ℝ), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ f c u x
fpow : ∀ {c x : ℝ}, 0 < c → ∀ (u : ℝ), 0 < x → rexp (-x) * x ^ (u - 1) = f c u x ^ (1 / c)
f_mem_Lp : ∀ {c u : ℝ}, 0 < c → 0 < u → MemLp (f c u) (ENNReal.ofReal (1 / c)) (volume.restrict (Ioi 0))
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (t - 1) = ∫ (a : ℝ) in Ioi 0, f b t a ^ (1 / b)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_4.e_a.e_a
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x ↦ rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).HolderConjugate (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x
posf' : ∀ (c u : ℝ), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ f c u x
fpow : ∀ {c x : ℝ}, 0 < c → ∀ (u : ℝ), 0 < x → rexp (-x) * x ^ (u - 1) = f c u x ^ (1 / c)
f_mem_Lp : ∀ {c u : ℝ}, 0 < c → 0 < u → MemLp (f c u) (ENNReal.ofReal (1 / c)) (volume.restrict (Ioi 0))
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1) = ∫ (a_1 : ℝ) in Ioi 0, f a s a_1 ^ (1 / a)

case e'_4.e_a.e_a
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x ↦ rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).HolderConjugate (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x
posf' : ∀ (c u : ℝ), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ f c u x
fpow : ∀ {c x : ℝ}, 0 < c → ∀ (u : ℝ), 0 < x → rexp (-x) * x ^ (u - 1) = f c u x ^ (1 / c)
f_mem_Lp : ∀ {c u : ℝ}, 0 < c → 0 < u → MemLp (f c u) (ENNReal.ofReal (1 / c)) (volume.restrict (Ioi 0))
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (t - 1) = ∫ (a : ℝ) in Ioi 0, f b t a ^ (1 / b)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Complex.LogBounds

Goal state before:
pp: g : ℝ → ℝ
t : ℝ
hg : Tendsto (fun x ↦ x * g x) atTop (𝓝 t)
⊢ Tendsto (fun x ↦ x * log (1 + g x)) atTop (𝓝 t)

Tactic:
by
  have hg0 := tendsto_zero_of_isBoundedUnder_smul_of_tendsto_cobounded
    hg.norm.isBoundedUnder_le (tendsto_id'.mpr (by simp))
  rw [← tendsto_ofReal_iff] at hg ⊢
  push_cast at hg ⊢
  apply (Complex.tendsto_mul_log_one_add_of_tendsto hg).congr'
  filter_upwards [hg0.eventually_const_le (show (-1 : ℝ) < 0 by simp)] with x hg1
  rw [Complex.ofReal_log (by linarith), Complex.ofReal_add, Complex.ofReal_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gamma.Beta

Goal state before:
pp: case e'_4.e_a.e_a
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
x : ℝ
⊢ 1 - ↑(-x) = ↑(x + 1)

pp: case e'_4.e_a.e_a
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
x : ℝ
⊢ ↑(-x) = 1 - ↑(x + 1)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_4.e_a.e_a
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
x : ℝ
⊢ 1 - ↑(-x) = ↑(x + 1)

case e'_4.e_a.e_a
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
x : ℝ
⊢ ↑(-x) = 1 - ↑(x + 1)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Trigonometric.EulerSineProd

Goal state before:
pp: case e'_2
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
nne : ↑n ≠ 0
this :
  (∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) -
      ↑n / (2 * z) * (↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) =
    ↑n / (2 * z) * -((↑n - 1) / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2))
⊢ (1 - 4 * z ^ 2 / ↑n ^ 2) * ∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n =
    -((∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) -
            ↑n / (2 * z) * (↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n)) *
        (2 * z) ^ 2 /
      ↑n ^ 2

pp: case e'_3
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
nne : ↑n ≠ 0
this :
  (∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) -
      ↑n / (2 * z) * (↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) =
    ↑n / (2 * z) * -((↑n - 1) / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2))
⊢ (↑n - 1) / ↑n * ∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2) =
    -(↑n / (2 * z) * -((↑n - 1) / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2))) *
        (2 * z) ^ 2 /
      ↑n ^ 2

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_2
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
nne : ↑n ≠ 0
this :
  (∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) -
      ↑n / (2 * z) * (↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) =
    ↑n / (2 * z) * -((↑n - 1) / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2))
⊢ (1 - 4 * z ^ 2 / ↑n ^ 2) * ∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n =
    -((∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) -
            ↑n / (2 * z) * (↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n)) *
        (2 * z) ^ 2 /
      ↑n ^ 2

case e'_3
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
nne : ↑n ≠ 0
this :
  (∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) -
      ↑n / (2 * z) * (↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) =
    ↑n / (2 * z) * -((↑n - 1) / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2))
⊢ (↑n - 1) / ↑n * ∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2) =
    -(↑n / (2 * z) * -((↑n - 1) / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2))) *
        (2 * z) ^ 2 /
      ↑n ^ 2
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Gamma.Beta

Goal state before:
pp: case e'_5.e'_4
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x ↦ ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x
h_int : IntervalIntegrable (fun x ↦ u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1
int_ev : (u * ∫ (x : ℝ) in 0..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * ∫ (x : ℝ) in 0..1, ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1) = 0
hF0 : F 0 = 0
hF1 : F 1 = 0
x✝ : ℝ
⊢ v + 1 - 1 = v

pp: case e'_6.e'_4
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x ↦ ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x
h_int : IntervalIntegrable (fun x ↦ u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1
int_ev : (u * ∫ (x : ℝ) in 0..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * ∫ (x : ℝ) in 0..1, ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1) = 0
hF0 : F 0 = 0
hF1 : F 1 = 0
x✝ : ℝ
⊢ u + 1 - 1 = u

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_5.e'_4
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x ↦ ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x
h_int : IntervalIntegrable (fun x ↦ u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1
int_ev : (u * ∫ (x : ℝ) in 0..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * ∫ (x : ℝ) in 0..1, ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1) = 0
hF0 : F 0 = 0
hF1 : F 1 = 0
x✝ : ℝ
⊢ v + 1 - 1 = v

case e'_6.e'_4
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x ↦ ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x
h_int : IntervalIntegrable (fun x ↦ u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1
int_ev : (u * ∫ (x : ℝ) in 0..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * ∫ (x : ℝ) in 0..1, ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1) = 0
hF0 : F 0 = 0
hF1 : F 1 = 0
x✝ : ℝ
⊢ u + 1 - 1 = u