mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.FiberwiseLinear

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
n : ℕ∞ω
e : OpenPartialHomeomorph (B × F) (B × F)
φ : B → F ≃L[𝕜] F
U : Set B
hU : IsOpen[inst✝⁷] U
hφ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x)) U
h2φ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x).symm) U
heφ : e.EqOnSource (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)
⊢ ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x).symm.symm) U

Tactic:
ContinuousLinearEquiv.symm_symm

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
n : ℕ∞ω
e : OpenPartialHomeomorph (B × F) (B × F)
φ : B → F ≃L[𝕜] F
U : Set B
hU : IsOpen[inst✝⁷] U
hφ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x)) U
h2φ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x).symm) U
heφ : e.EqOnSource (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)
⊢ ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x)) U
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
h : MDiffAt f x
⊢ HasFDerivWithinAt ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm)
    (if True then
      fderivWithin 𝕜 ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (range ↑I)
        (↑I (↑(chartAt H x) x))
    else 0)
    (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))

Tactic:
exact DifferentiableWithinAt.hasFDerivWithinAt h.differentiableWithinAt_writtenInExtChartAt

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : TopologicalSpace B
he he' : MemTrivializationAtlas (trivialization B F)
⊢ ContinuousOn (fun b ↦ ↑(ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F)) ((trivialization B F).baseSet ∩ (trivialization B F).baseSet)

Tactic:
exact continuous_const.continuousOn

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
g : M' → M''
hg : MDiffAt g (f x)
hf : MDiffAt f x
⊢ mfderiv% (g ∘ f) x = mfderiv% g (f x) ∘SL mfderiv% f x

Tactic:
apply HasMFDerivAt.mfderiv
  exact HasMFDerivAt.comp x hg.hasMFDerivAt hf.hasMFDerivAt

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tangent

Goal state before:
pp: case e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
x y : M
⊢ (extChartAt I x).source = (tangentBundleCore I M).baseSet (achart H x)

pp: case e'_4
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
x y : M
⊢ (extChartAt I y).source = (tangentBundleCore I M).baseSet (achart H y)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
x y : M
⊢ (extChartAt I x).source = (tangentBundleCore I M).baseSet (achart H x)

case e'_4
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
x y : M
⊢ (extChartAt I y).source = (tangentBundleCore I M).baseSet (achart H y)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁵ : ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹² : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace HM M
inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝³ : FiberBundle F E
inst✝² : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝¹ : ContMDiffVectorBundle n F E IB
inst✝ : IsManifold IB n B
e : OpenPartialHomeomorph (B × F) (B × F)
φ : B → F ≃L[𝕜] F
U : Set B
hU : IsOpen[inst✝¹⁶] U
hφ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x)) U
h2φ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x).symm) U
heφ : e.EqOnSource (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)
⊢ ContMDiffOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (φ x.1) x.2) (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯).source

Tactic:
exact (hφ.comp contMDiffOn_fst <| prod_subset_preimage_fst _ _).clm_apply contMDiffOn_snd

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tangent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
p : TangentBundle I H
⊢ ↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm = ⇑(TotalSpace.toProd H E).symm

Tactic:
rw [← OpenPartialHomeomorph.coe_toPartialEquiv, OpenPartialHomeomorph.symm_toPartialEquiv,
    tangentBundle_model_space_chartAt]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
p : TangentBundle I H
⊢ ↑(TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv.symm = ⇑(TotalSpace.toProd H E).symm
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: case hx.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_21
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
val✝ : M
⊢ ↑I (↑(chartAt H (Sum.inl val✝).swap) (Sum.inl val✝).swap) = ↑I (↑(chartAt H (Sum.inl val✝)) (Sum.inl val✝))

pp: case hx.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_21
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
val✝ : M'
⊢ ↑I (↑(chartAt H (Sum.inr val✝).swap) (Sum.inr val✝).swap) = ↑I (↑(chartAt H (Sum.inr val✝)) (Sum.inr val✝))

Tactic:
<;>

Goal state after:
case hx.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_21
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
val✝ : M
⊢ ↑I (↑(chartAt H (Sum.inl val✝).swap) (Sum.inl val✝).swap) = ↑I (↑(chartAt H (Sum.inl val✝)) (Sum.inl val✝))

case hx.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_21
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
val✝ : M'
⊢ ↑I (↑(chartAt H (Sum.inr val✝).swap) (Sum.inr val✝).swap) = ↑I (↑(chartAt H (Sum.inr val✝)) (Sum.inr val✝))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tangent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
x₀ x : H
y₀ y : H'
ϕ : E →L[𝕜] E'
⊢ (tangentBundleCore I' H').coordChange ((tangentBundleCore I' H').indexAt y) ((tangentBundleCore I' H').indexAt y₀)
        y ∘SL
      ϕ ∘SL
        (tangentBundleCore I H).coordChange ((tangentBundleCore I H).indexAt x₀) ((tangentBundleCore I H).indexAt x) x =
    ϕ

pp: case hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
x₀ x : H
y₀ y : H'
ϕ : E →L[𝕜] E'
⊢ x ∈ (tangentBundleCore I H).baseSet ((tangentBundleCore I H).indexAt x₀)

pp: case hy
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
x₀ x : H
y₀ y : H'
ϕ : E →L[𝕜] E'
⊢ y ∈ (tangentBundleCore I' H').baseSet ((tangentBundleCore I' H').indexAt y₀)

Tactic:
<;>

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
x₀ x : H
y₀ y : H'
ϕ : E →L[𝕜] E'
⊢ (tangentBundleCore I' H').coordChange ((tangentBundleCore I' H').indexAt y) ((tangentBundleCore I' H').indexAt y₀)
        y ∘SL
      ϕ ∘SL
        (tangentBundleCore I H).coordChange ((tangentBundleCore I H).indexAt x₀) ((tangentBundleCore I H).indexAt x) x =
    ϕ

case hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
x₀ x : H
y₀ y : H'
ϕ : E →L[𝕜] E'
⊢ x ∈ (tangentBundleCore I H).baseSet ((tangentBundleCore I H).indexAt x₀)

case hy
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
x₀ x : H
y₀ y : H'
ϕ : E →L[𝕜] E'
⊢ y ∈ (tangentBundleCore I' H').baseSet ((tangentBundleCore I' H').indexAt y₀)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: case e'_21
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
z : M
f : M → E'
f' : TangentSpace I z →L[𝕜] E'
hf : HasMFDerivAt% (-f) z (-f')
⊢ f = - -f

pp: case e'_23
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
z : M
f : M → E'
f' : TangentSpace I z →L[𝕜] E'
hf : HasMFDerivAt% (-f) z (-f')
e_21✝ : f = - -f
⊢ f' = - -f'

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_21
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
z : M
f : M → E'
f' : TangentSpace I z →L[𝕜] E'
hf : HasMFDerivAt% (-f) z (-f')
⊢ f = - -f

case e'_23
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
z : M
f : M → E'
f' : TangentSpace I z →L[𝕜] E'
hf : HasMFDerivAt% (-f) z (-f')
e_21✝ : f = - -f
⊢ f' = - -f'
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Atlas

Goal state before:
pp: case hL
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
x : M
y : E
hy : y ∈ (extChartAt I x).target
h'y : ↑(extChartAt I x).symm y ∈ (extChartAt I x).source
h''y : ↑(extChartAt I x).symm y ∈ (chartAt H x).source
U' : UniqueMDiffAt[(extChartAt I x).source] (↑(extChartAt I x).symm y)
this :
  mfderiv% ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y) =
    mfderiv[(extChartAt I x).source] ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y)
⊢ ↑(extChartAt I x).symm ∘ ↑(extChartAt I x) =ᶠ[𝓝[(extChartAt I x).source] ↑(extChartAt I x).symm y] id

Tactic:
filter_upwards [extChartAt_source_mem_nhdsWithin' h'y] with z hz
    simp only [Function.comp_def, PartialEquiv.left_inv (extChartAt I x) hz, id_eq]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.BumpFunction

Goal state before:
pp: case inl
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h : ↑f x = 0
⊢ ↑f x ∈ Icc 0 1

pp: case inr
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h : ↑f x = (↑f.toContDiffBump ∘ ↑(extChartAt I c)) x
⊢ ↑f x ∈ Icc 0 1

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h : ↑f x = 0
⊢ ↑f x ∈ Icc 0 1

case inr
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h : ↑f x = (↑f.toContDiffBump ∘ ↑(extChartAt I c)) x
⊢ ↑f x ∈ Icc 0 1
Module: Mathlib.Topology.EMetricSpace.Paracompact

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
pow_pos : ∀ (k : ℕ), 0 < 2⁻¹ ^ k
hpow_le : ∀ {m n : ℕ}, m ≤ n → 2⁻¹ ^ n ≤ 2⁻¹ ^ m
h2pow : ∀ (n : ℕ), 2 * 2⁻¹ ^ (n + 1) = 2⁻¹ ^ n
ι : Type u_1
s : ι → Set α
ho : ∀ (a : ι), IsOpen[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s a)
hcov : ∀ (x : α), ∃ i, x ∈ s i
⊢ ∃ β t,
    (∀ (b : β), IsOpen[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (t b)) ∧
      ⋃ b, t b = univ ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ a, t b ⊆ s a

Tactic:
obtain ⟨_, wf⟩ := exists_wellFoundedLT ι

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
pow_pos : ∀ (k : ℕ), 0 < 2⁻¹ ^ k
hpow_le : ∀ {m n : ℕ}, m ≤ n → 2⁻¹ ^ n ≤ 2⁻¹ ^ m
h2pow : ∀ (n : ℕ), 2 * 2⁻¹ ^ (n + 1) = 2⁻¹ ^ n
ι : Type u_1
s : ι → Set α
ho : ∀ (a : ι), IsOpen[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s a)
hcov : ∀ (x : α), ∃ i, x ∈ s i
w✝ : LinearOrder ι
wf : WellFoundedLT ι
⊢ ∃ β t,
    (∀ (b : β), IsOpen[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (t b)) ∧
      ⋃ b, t b = univ ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ a, t b ⊆ s a
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case refine_1.inl
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝ : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
j : ι
hi : j ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j_1, ⋂ (_ : j_1 ≠ j), (v.toFun j_1)ᶜ ⊆ v.toFun j
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j_1, ⋂ (_ : j_1 ≠ j), (v.toFun j_1)ᶜ)
hvi : s ∩ ⋂ j_1, ⋂ (_ : j_1 ≠ j), (v.toFun j_1)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun j
⊢ IsOpen (update v.toFun j vi j)

pp: case refine_1.inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝ : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
j : ι
hne : j ≠ i
⊢ IsOpen (update v.toFun i vi j)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1.inl
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝ : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
j : ι
hi : j ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j_1, ⋂ (_ : j_1 ≠ j), (v.toFun j_1)ᶜ ⊆ v.toFun j
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j_1, ⋂ (_ : j_1 ≠ j), (v.toFun j_1)ᶜ)
hvi : s ∩ ⋂ j_1, ⋂ (_ : j_1 ≠ j), (v.toFun j_1)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun j
⊢ IsOpen (update v.toFun j vi j)

case refine_1.inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝ : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
j : ι
hne : j ≠ i
⊢ IsOpen (update v.toFun i vi j)
Module: Mathlib.Topology.Compactness.Paracompact

Goal state before:
pp: ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : R1Space X
inst✝ : ParacompactSpace X
this :
  ∀ (s t : Set X),
    IsClosed[inst✝³] s →
      (∀ x ∈ s, ∃ u v, IsOpen[inst✝³] u ∧ IsOpen[inst✝³] v ∧ x ∈ u ∧ t ⊆ v ∧ Disjoint u v) →
        ∃ u v, IsOpen[inst✝³] u ∧ IsOpen[inst✝³] v ∧ s ⊆ u ∧ t ⊆ v ∧ Disjoint u v
s t : Set X
hs : IsClosed[inst✝³] s
ht : IsClosed[inst✝³] t
hst : Disjoint s t
x : X
hx : x ∈ s
y : X
hy : y ∈ t
⊢ ∃ u v, IsOpen[inst✝³] u ∧ IsOpen[inst✝³] v ∧ y ∈ u ∧ {x} ⊆ v ∧ Disjoint u v

Tactic:
simp_rw [singleton_subset_iff]

Goal state after:
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : R1Space X
inst✝ : ParacompactSpace X
this :
  ∀ (s t : Set X),
    IsClosed[inst✝³] s →
      (∀ x ∈ s, ∃ u v, IsOpen[inst✝³] u ∧ IsOpen[inst✝³] v ∧ x ∈ u ∧ t ⊆ v ∧ Disjoint u v) →
        ∃ u v, IsOpen[inst✝³] u ∧ IsOpen[inst✝³] v ∧ s ⊆ u ∧ t ⊆ v ∧ Disjoint u v
s t : Set X
hs : IsClosed[inst✝³] s
ht : IsClosed[inst✝³] t
hst : Disjoint s t
x : X
hx : x ∈ s
y : X
hy : y ∈ t
⊢ ∃ u v, IsOpen[inst✝³] u ∧ IsOpen[inst✝³] v ∧ y ∈ u ∧ x ∈ v ∧ Disjoint u v
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case refine_5
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝ : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
j : ι
hj : ¬j = i ∧ j ∉ v.carrier
⊢ update v.toFun i vi j = u j

Tactic:
rw [update_of_ne hj.1, v.apply_eq hj.2]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
x : X
hx : x ∈ si
j : ι
hj : j ≠ i
⊢ x ∉ v.toFun j

Tactic:
hsi

Goal state after:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
x : X
hx : x ∈ s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
j : ι
hj : j ≠ i
⊢ x ∉ v.toFun j