Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u
S : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁶ : CommRing R'
inst✝⁵ : CommRing S'
inst✝⁴ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : Algebra R S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra
⊢ f.toAlgHom x - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x) ∈ P'.ker

pp: case refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁶ : CommRing R'
inst✝⁵ : CommRing S'
inst✝⁴ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : Algebra R S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra
⊢ f.toAlgHom y - g.toAlgHom y ∈ P'.ker

pp: case refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁶ : CommRing R'
inst✝⁵ : CommRing S'
inst✝⁴ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : Algebra R S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra
⊢ g.toAlgHom y - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y) ∈ P'.ker

pp: case refine_4
R : Type u
S : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁶ : CommRing R'
inst✝⁵ : CommRing S'
inst✝⁴ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : Algebra R S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra
⊢ f.toAlgHom x - g.toAlgHom x ∈ P'.ker

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
R : Type u
S : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁶ : CommRing R'
inst✝⁵ : CommRing S'
inst✝⁴ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : Algebra R S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra
⊢ f.toAlgHom x - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x) ∈ P'.ker

case refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁶ : CommRing R'
inst✝⁵ : CommRing S'
inst✝⁴ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : Algebra R S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra
⊢ f.toAlgHom y - g.toAlgHom y ∈ P'.ker

case refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁶ : CommRing R'
inst✝⁵ : CommRing S'
inst✝⁴ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : Algebra R S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra
⊢ g.toAlgHom y - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y) ∈ P'.ker

case refine_4
R : Type u
S : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁶ : CommRing R'
inst✝⁵ : CommRing S'
inst✝⁴ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : Algebra R S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra
⊢ f.toAlgHom x - g.toAlgHom x ∈ P'.ker