Module: Mathlib.Probability.Independence.BoundedContinuousFunction

Goal state before:
pp: case e'_2
Ω : Type u_1
S : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
H : Type u_7
inst✝⁹ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁸ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁶ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : MeasurableSpace H
inst✝³ : BorelSpace H
inst✝² : HasOuterApproxClosed H
X : (s : S) → Ω → E s
U : Ω → H
inst✝¹ : Fintype S
inst✝ : IsFiniteMeasure P
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mU : AEMeasurable U P
h :
  ∀ (f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ) (g : H →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), ((∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) * ⇑g ∘ U) x ∂P = (∫ (x : Ω), (∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (⇑g ∘ U) x ∂P
f : (i : S) → E i →ᵇ ℝ
g : H →ᵇ ℝ
x✝ : Ω
⊢ (∏ i, (f i) ((fun a ↦ X a x✝, U x✝).1 i)) * g (fun a ↦ X a x✝, U x✝).2 = ((∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) * ⇑g ∘ U) x✝

pp: case e'_3.e'_5
Ω : Type u_1
S : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
H : Type u_7
inst✝⁹ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁸ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁶ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : MeasurableSpace H
inst✝³ : BorelSpace H
inst✝² : HasOuterApproxClosed H
X : (s : S) → Ω → E s
U : Ω → H
inst✝¹ : Fintype S
inst✝ : IsFiniteMeasure P
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mU : AEMeasurable U P
h :
  ∀ (f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ) (g : H →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), ((∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) * ⇑g ∘ U) x ∂P = (∫ (x : Ω), (∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (⇑g ∘ U) x ∂P
f : (i : S) → E i →ᵇ ℝ
g : H →ᵇ ℝ
x✝ : Ω
⊢ ∏ i, (f i) ((fun a ↦ X a x✝) i) = (∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) x✝

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_2
Ω : Type u_1
S : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
H : Type u_7
inst✝⁹ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁸ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁶ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : MeasurableSpace H
inst✝³ : BorelSpace H
inst✝² : HasOuterApproxClosed H
X : (s : S) → Ω → E s
U : Ω → H
inst✝¹ : Fintype S
inst✝ : IsFiniteMeasure P
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mU : AEMeasurable U P
h :
  ∀ (f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ) (g : H →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), ((∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) * ⇑g ∘ U) x ∂P = (∫ (x : Ω), (∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (⇑g ∘ U) x ∂P
f : (i : S) → E i →ᵇ ℝ
g : H →ᵇ ℝ
x✝ : Ω
⊢ (∏ i, (f i) ((fun a ↦ X a x✝, U x✝).1 i)) * g (fun a ↦ X a x✝, U x✝).2 = ((∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) * ⇑g ∘ U) x✝

case e'_3.e'_5
Ω : Type u_1
S : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
H : Type u_7
inst✝⁹ : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst✝⁸ : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst✝⁷ : ∀ (s : S), BorelSpace (E s)
inst✝⁶ : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed (E s)
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : MeasurableSpace H
inst✝³ : BorelSpace H
inst✝² : HasOuterApproxClosed H
X : (s : S) → Ω → E s
U : Ω → H
inst✝¹ : Fintype S
inst✝ : IsFiniteMeasure P
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mU : AEMeasurable U P
h :
  ∀ (f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ) (g : H →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω), ((∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) * ⇑g ∘ U) x ∂P = (∫ (x : Ω), (∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) x ∂P) * ∫ (x : Ω), (⇑g ∘ U) x ∂P
f : (i : S) → E i →ᵇ ℝ
g : H →ᵇ ℝ
x✝ : Ω
⊢ ∏ i, (f i) ((fun a ↦ X a x✝) i) = (∏ s, ⇑(f s) ∘ X s) x✝