mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DominatedConvergence

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : IntegrableOn f (Iio a₀) μ
x : ℝ
hx : x < a₀
⊢ Tendsto (fun n ↦ if x < n then f x else 0) (𝓝[≤] a₀) (𝓝 (if x < a₀ then f x else 0))

pp: case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : IntegrableOn f (Iio a₀) μ
x : ℝ
hx : ¬x < a₀
⊢ Tendsto (fun n ↦ if x < n then f x else 0) (𝓝[≤] a₀) (𝓝 (if x < a₀ then f x else 0))

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : IntegrableOn f (Iio a₀) μ
x : ℝ
hx : x < a₀
⊢ Tendsto (fun n ↦ if x < n then f x else 0) (𝓝[≤] a₀) (𝓝 (if x < a₀ then f x else 0))

case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : IntegrableOn f (Iio a₀) μ
x : ℝ
hx : ¬x < a₀
⊢ Tendsto (fun n ↦ if x < n then f x else 0) (𝓝[≤] a₀) (𝓝 (if x < a₀ then f x else 0))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.CircleIntegral

Goal state before:
pp: case inl.zero
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
⊢ (2 * π)⁻¹ * (|0|⁻¹ ^ 0 * (|0| * (|0|⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in 0..2 * π, ‖f (circleMap c 0 x)‖))) ≤
    ((2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0..2 * π, ‖f (circleMap c 0 θ)‖) * |0|⁻¹ ^ 0

pp: case inl.succ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
n✝ : ℕ
⊢ (2 * π)⁻¹ * (|0|⁻¹ ^ (n✝ + 1) * (|0| * (|0|⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in 0..2 * π, ‖f (circleMap c 0 x)‖))) ≤
    ((2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0..2 * π, ‖f (circleMap c 0 θ)‖) * |0|⁻¹ ^ (n✝ + 1)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl.zero
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
⊢ (2 * π)⁻¹ * (|0|⁻¹ ^ 0 * (|0| * (|0|⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in 0..2 * π, ‖f (circleMap c 0 x)‖))) ≤
    ((2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0..2 * π, ‖f (circleMap c 0 θ)‖) * |0|⁻¹ ^ 0

case inl.succ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
n✝ : ℕ
⊢ (2 * π)⁻¹ * (|0|⁻¹ ^ (n✝ + 1) * (|0| * (|0|⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in 0..2 * π, ‖f (circleMap c 0 x)‖))) ≤
    ((2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0..2 * π, ‖f (circleMap c 0 θ)‖) * |0|⁻¹ ^ (n✝ + 1)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.CircleIntegral

Goal state before:
pp: case refine_1.hf
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : ‖w‖ < R
hR : 0 < R
hwR : ‖w‖ / R ∈ Ico 0 1
n : ℕ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun θ ↦ circleMap 0 R θ * I) (volume.restrict (Ι 0 (2 * π)))

pp: case refine_1.hg.hf
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : ‖w‖ < R
hR : 0 < R
hwR : ‖w‖ / R ∈ Ico 0 1
n : ℕ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun θ ↦ (w / (circleMap c R θ - c)) ^ n) (volume.restrict (Ι 0 (2 * π)))

pp: case refine_1.hg.hg.hf
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : ‖w‖ < R
hR : 0 < R
hwR : ‖w‖ / R ∈ Ico 0 1
n : ℕ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun θ ↦ (circleMap c R θ - c)⁻¹) (volume.restrict (Ι 0 (2 * π)))

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1.hf
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : ‖w‖ < R
hR : 0 < R
hwR : ‖w‖ / R ∈ Ico 0 1
n : ℕ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun θ ↦ circleMap 0 R θ * I) (volume.restrict (Ι 0 (2 * π)))

case refine_1.hg.hf
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : ‖w‖ < R
hR : 0 < R
hwR : ‖w‖ / R ∈ Ico 0 1
n : ℕ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun θ ↦ (w / (circleMap c R θ - c)) ^ n) (volume.restrict (Ι 0 (2 * π)))

case refine_1.hg.hg.hf
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : ‖w‖ < R
hR : 0 < R
hwR : ‖w‖ / R ∈ Ico 0 1
n : ℕ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun θ ↦ (circleMap c R θ - c)⁻¹) (volume.restrict (Ι 0 (2 * π)))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.Complex

Goal state before:
pp: case e'_6
⊢ volume = Measure.map (⇑measurableEquivPi.symm) volume

Tactic:
← addHaarMeasure_eq_volume_pi,

Goal state after:
case e'_6
⊢ volume =
    Measure.map (⇑measurableEquivPi.symm) (Measure.addHaarMeasure (TopologicalSpace.PositiveCompacts.piIcc01 (Fin 2)))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Prod

Goal state before:
pp: case neg.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
g : β → E
hE : CompleteSpace E
h : ¬Integrable (fun z ↦ f z.1 • g z.2) (μ.prod ν)
H : ¬Integrable f μ
⊢ ∫ (z : α × β), f z.1 • g z.2 ∂μ.prod ν = (∫ (x : α), f x ∂μ) • ∫ (y : β), g y ∂ν

pp: case neg.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
g : β → E
hE : CompleteSpace E
h : ¬Integrable (fun z ↦ f z.1 • g z.2) (μ.prod ν)
H : ¬Integrable g ν
⊢ ∫ (z : α × β), f z.1 • g z.2 ∂μ.prod ν = (∫ (x : α), f x ∂μ) • ∫ (y : β), g y ∂ν

Tactic:
<;>

Goal state after:
case neg.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
g : β → E
hE : CompleteSpace E
h : ¬Integrable (fun z ↦ f z.1 • g z.2) (μ.prod ν)
H : ¬Integrable f μ
⊢ ∫ (z : α × β), f z.1 • g z.2 ∂μ.prod ν = (∫ (x : α), f x ∂μ) • ∫ (y : β), g y ∂ν

case neg.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
g : β → E
hE : CompleteSpace E
h : ¬Integrable (fun z ↦ f z.1 • g z.2) (μ.prod ν)
H : ¬Integrable g ν
⊢ ∫ (z : α × β), f z.1 • g z.2 ∂μ.prod ν = (∫ (x : α), f x ∂μ) • ∫ (y : β), g y ∂ν
Module: Mathlib.Analysis.Complex.CauchyIntegral

Goal state before:
pp: case refine_1
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, DifferentiableAt ℂ f x
⊢ IntegrableOn
    (fun z ↦
      I • (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (fderiv ℂ f z)) 1 -
        (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (fderiv ℂ f z)) I)
    ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume

pp: case refine_2
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, DifferentiableAt ℂ f x
⊢ ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re,
      ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im,
        I • (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (fderiv ℂ f (↑x + ↑y * I))) 1 -
          (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (fderiv ℂ f (↑x + ↑y * I))) I =
    0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, DifferentiableAt ℂ f x
⊢ IntegrableOn
    (fun z ↦
      I • (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (fderiv ℂ f z)) 1 -
        (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (fderiv ℂ f z)) I)
    ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume

case refine_2
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z w : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hd : ∀ x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ s, DifferentiableAt ℂ f x
⊢ ∫ (x : ℝ) in z.re..w.re,
      ∫ (y : ℝ) in z.im..w.im,
        I • (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (fderiv ℂ f (↑x + ↑y * I))) 1 -
          (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (fderiv ℂ f (↑x + ↑y * I))) I =
    0
Module: Mathlib.Analysis.Complex.CauchyIntegral

Goal state before:
pp: case hf
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c : ℂ
R : ℝ
h0 : 0 < R
f : ℂ → E
y : E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hc : ContinuousOn f (closedBall c R \ {c})
hd : ∀ z ∈ (ball c R \ {c}) \ s, DifferentiableAt ℂ f z
hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ : ℝ
δ0 : δ > 0
hδ : ∀ z ∈ closedBall c δ \ {c}, dist (f z) y < ε / (2 * π)
r : ℝ
hr0 : 0 < r
hrδ : r ≤ δ
hrR : r ≤ R
hsub : closedBall c R \ ball c r ⊆ closedBall c R \ {c}
hsub' : ball c R \ closedBall c r ⊆ ball c R \ {c}
hzne : ∀ z ∈ sphere c r, z ≠ c
hc' : ContinuousOn (fun z ↦ (z - c)⁻¹) (sphere c r)
⊢ CircleIntegrable (fun z ↦ (z - c)⁻¹ • f z) c r

pp: case hg
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c : ℂ
R : ℝ
h0 : 0 < R
f : ℂ → E
y : E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hc : ContinuousOn f (closedBall c R \ {c})
hd : ∀ z ∈ (ball c R \ {c}) \ s, DifferentiableAt ℂ f z
hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ : ℝ
δ0 : δ > 0
hδ : ∀ z ∈ closedBall c δ \ {c}, dist (f z) y < ε / (2 * π)
r : ℝ
hr0 : 0 < r
hrδ : r ≤ δ
hrR : r ≤ R
hsub : closedBall c R \ ball c r ⊆ closedBall c R \ {c}
hsub' : ball c R \ closedBall c r ⊆ ball c R \ {c}
hzne : ∀ z ∈ sphere c r, z ≠ c
hc' : ContinuousOn (fun z ↦ (z - c)⁻¹) (sphere c r)
⊢ CircleIntegrable (fun z ↦ (z - c)⁻¹ • y) c r

Tactic:
<;>

Goal state after:
case hf
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c : ℂ
R : ℝ
h0 : 0 < R
f : ℂ → E
y : E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hc : ContinuousOn f (closedBall c R \ {c})
hd : ∀ z ∈ (ball c R \ {c}) \ s, DifferentiableAt ℂ f z
hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ : ℝ
δ0 : δ > 0
hδ : ∀ z ∈ closedBall c δ \ {c}, dist (f z) y < ε / (2 * π)
r : ℝ
hr0 : 0 < r
hrδ : r ≤ δ
hrR : r ≤ R
hsub : closedBall c R \ ball c r ⊆ closedBall c R \ {c}
hsub' : ball c R \ closedBall c r ⊆ ball c R \ {c}
hzne : ∀ z ∈ sphere c r, z ≠ c
hc' : ContinuousOn (fun z ↦ (z - c)⁻¹) (sphere c r)
⊢ CircleIntegrable (fun z ↦ (z - c)⁻¹ • f z) c r

case hg
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c : ℂ
R : ℝ
h0 : 0 < R
f : ℂ → E
y : E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hc : ContinuousOn f (closedBall c R \ {c})
hd : ∀ z ∈ (ball c R \ {c}) \ s, DifferentiableAt ℂ f z
hy : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 y)
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
δ : ℝ
δ0 : δ > 0
hδ : ∀ z ∈ closedBall c δ \ {c}, dist (f z) y < ε / (2 * π)
r : ℝ
hr0 : 0 < r
hrδ : r ≤ δ
hrR : r ≤ R
hsub : closedBall c R \ ball c r ⊆ closedBall c R \ {c}
hsub' : ball c R \ closedBall c r ⊆ ball c R \ {c}
hzne : ∀ z ∈ sphere c r, z ≠ c
hc' : ContinuousOn (fun z ↦ (z - c)⁻¹) (sphere c r)
⊢ CircleIntegrable (fun z ↦ (z - c)⁻¹ • y) c r
Module: Mathlib.FieldTheory.PolynomialGaloisGroup

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (map (algebraMap F E) p).Splits
⊢ Function.Injective ⇑(galActionHom p E)

Tactic:
rw [injective_iff_map_eq_one]
  intro ϕ hϕ
  ext (x hx)
  have key := Equiv.Perm.ext_iff.mp hϕ (rootsEquivRoots p E ⟨x, hx⟩)
  change
    rootsEquivRoots p E (ϕ • (rootsEquivRoots p E).symm (rootsEquivRoots p E ⟨x, hx⟩)) =
      rootsEquivRoots p E ⟨x, hx⟩
    at key
  rw [Equiv.symm_apply_apply] at key
  exact Subtype.ext_iff.mp (Equiv.injective (rootsEquivRoots p E) key)

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Symmetric.Defs

Goal state before:
pp: case zero
σ : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Fintype σ
⊢ esymmPart σ R (Nat.Partition.indiscrete 0) = esymm σ R 0

pp: case succ
σ : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Fintype σ
n✝ : ℕ
⊢ esymmPart σ R (Nat.Partition.indiscrete (n✝ + 1)) = esymm σ R (n✝ + 1)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case zero
σ : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Fintype σ
⊢ esymmPart σ R (Nat.Partition.indiscrete 0) = esymm σ R 0

case succ
σ : Type u_5
R : Type u_6
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Fintype σ
n✝ : ℕ
⊢ esymmPart σ R (Nat.Partition.indiscrete (n✝ + 1)) = esymm σ R (n✝ + 1)
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Symmetric.Defs

Goal state before:
pp: case refine_1
σ : Type u_5
R : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
hpos : 0 < n
hn : n ≤ Fintype.card σ
this : (⇑Finsupp.toMultiset ∘ fun t ↦ ∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) = val
⊢ ∀ (x y : Finset σ), (x ⊔ y).val = x.val ⊔ y.val

pp: case refine_2
σ : Type u_5
R : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
hpos : 0 < n
hn : n ≤ Fintype.card σ
this : (⇑Finsupp.toMultiset ∘ fun t ↦ ∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) = val
⊢ ⊥.val = ⊥

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
σ : Type u_5
R : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
hpos : 0 < n
hn : n ≤ Fintype.card σ
this : (⇑Finsupp.toMultiset ∘ fun t ↦ ∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) = val
⊢ ∀ (x y : Finset σ), (x ⊔ y).val = x.val ⊔ y.val

case refine_2
σ : Type u_5
R : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
hpos : 0 < n
hn : n ≤ Fintype.card σ
this : (⇑Finsupp.toMultiset ∘ fun t ↦ ∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) = val
⊢ ⊥.val = ⊥
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Symmetric.Defs

Goal state before:
pp: case zero
σ : Type u_5
R : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
⊢ hsymmPart σ R (Nat.Partition.indiscrete 0) = hsymm σ R 0

pp: case succ
σ : Type u_5
R : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
n✝ : ℕ
⊢ hsymmPart σ R (Nat.Partition.indiscrete (n✝ + 1)) = hsymm σ R (n✝ + 1)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case zero
σ : Type u_5
R : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
⊢ hsymmPart σ R (Nat.Partition.indiscrete 0) = hsymm σ R 0

case succ
σ : Type u_5
R : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
n✝ : ℕ
⊢ hsymmPart σ R (Nat.Partition.indiscrete (n✝ + 1)) = hsymm σ R (n✝ + 1)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Vieta

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s✝ : Multiset R
x✝ : ℕ
a✝ : x✝ ∈ range (s✝.card + 1)
s : Multiset R
ht : s ≤ s✝ ∧ s.card = x✝
⊢ (map (fun r ↦ X) (s✝ - s)).prod * (map (⇑C) s).prod = C s.prod * X ^ (s✝.card - x✝)

Tactic:
prod_hom' s (Polynomial.C : R →+* R[X])

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s✝ : Multiset R
x✝ : ℕ
a✝ : x✝ ∈ range (s✝.card + 1)
s : Multiset R
ht : s ≤ s✝ ∧ s.card = x✝
⊢ (map (fun r ↦ X) (s✝ - s)).prod * C (map (fun i ↦ i) s).prod = C s.prod * X ^ (s✝.card - x✝)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Vieta

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ s.card
⊢ s.esymm (s.card - k) = if k = s.card - (s.card - k) then s.esymm (s.card - k) else 0

pp: R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ s.card
⊢ ∀ b ∈ Finset.range (s.card + 1), b ≠ s.card - k → (if k = s.card - b then s.esymm b else 0) = 0

pp: R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ s.card
⊢ s.card - k ∈ Finset.range (s.card + 1)

Tactic:
<;>

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ s.card
⊢ s.esymm (s.card - k) = if k = s.card - (s.card - k) then s.esymm (s.card - k) else 0

R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ s.card
⊢ ∀ b ∈ Finset.range (s.card + 1), b ≠ s.card - k → (if k = s.card - b then s.esymm b else 0) = 0

R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ s.card
⊢ s.card - k ∈ Finset.range (s.card + 1)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Polynomial

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
S : Type u_2
k : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Field k
inst✝² : LinearOrder k
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing k
f : R →+* S
abv : S → k
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
p : R[X]
hd : 0 < p.degree
l : Filter α
z : α → S
hz : Tendsto (abv ∘ z) l atTop
⊢ ∀ {a : R}, a ≠ 0 → f (C a * X).leadingCoeff ≠ 0 → Tendsto (fun x ↦ abv (eval₂ f (z x) (C a * X))) l atTop

pp: case refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
k : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Field k
inst✝² : LinearOrder k
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing k
f : R →+* S
abv : S → k
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
p : R[X]
hd : 0 < p.degree
l : Filter α
z : α → S
hz : Tendsto (abv ∘ z) l atTop
⊢ ∀ {p : R[X]},
    0 < p.degree →
      (f p.leadingCoeff ≠ 0 → Tendsto (fun x ↦ abv (eval₂ f (z x) p)) l atTop) →
        f (p * X).leadingCoeff ≠ 0 → Tendsto (fun x ↦ abv (eval₂ f (z x) (p * X))) l atTop

pp: case refine_3
R : Type u_1
S : Type u_2
k : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Field k
inst✝² : LinearOrder k
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing k
f : R →+* S
abv : S → k
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
p : R[X]
hd : 0 < p.degree
l : Filter α
z : α → S
hz : Tendsto (abv ∘ z) l atTop
⊢ ∀ {p : R[X]} {a : R},
    0 < p.degree →
      (f p.leadingCoeff ≠ 0 → Tendsto (fun x ↦ abv (eval₂ f (z x) p)) l atTop) →
        f (p + C a).leadingCoeff ≠ 0 → Tendsto (fun x ↦ abv (eval₂ f (z x) (p + C a))) l atTop

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
S : Type u_2
k : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Field k
inst✝² : LinearOrder k
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing k
f : R →+* S
abv : S → k
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
p : R[X]
hd : 0 < p.degree
l : Filter α
z : α → S
hz : Tendsto (abv ∘ z) l atTop
⊢ ∀ {a : R}, a ≠ 0 → f (C a * X).leadingCoeff ≠ 0 → Tendsto (fun x ↦ abv (eval₂ f (z x) (C a * X))) l atTop

case refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
k : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Field k
inst✝² : LinearOrder k
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing k
f : R →+* S
abv : S → k
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
p : R[X]
hd : 0 < p.degree
l : Filter α
z : α → S
hz : Tendsto (abv ∘ z) l atTop
⊢ ∀ {p : R[X]},
    0 < p.degree →
      (f p.leadingCoeff ≠ 0 → Tendsto (fun x ↦ abv (eval₂ f (z x) p)) l atTop) →
        f (p * X).leadingCoeff ≠ 0 → Tendsto (fun x ↦ abv (eval₂ f (z x) (p * X))) l atTop

case refine_3
R : Type u_1
S : Type u_2
k : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Field k
inst✝² : LinearOrder k
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing k
f : R →+* S
abv : S → k
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
p : R[X]
hd : 0 < p.degree
l : Filter α
z : α → S
hz : Tendsto (abv ∘ z) l atTop
⊢ ∀ {p : R[X]} {a : R},
    0 < p.degree →
      (f p.leadingCoeff ≠ 0 → Tendsto (fun x ↦ abv (eval₂ f (z x) p)) l atTop) →
        f (p + C a).leadingCoeff ≠ 0 → Tendsto (fun x ↦ abv (eval₂ f (z x) (p + C a))) l atTop
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Vieta

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_2
s : Multiset σ
r : σ → R
k : ℕ
h : k ≤ s.card
⊢ (map r s).esymm ((map r s).card - k) = (map r s).esymm (s.card - k)

pp: case h
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_2
s : Multiset σ
r : σ → R
k : ℕ
h : k ≤ s.card
⊢ k ≤ (map r s).card

Tactic:
<;>

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_2
s : Multiset σ
r : σ → R
k : ℕ
h : k ≤ s.card
⊢ (map r s).esymm ((map r s).card - k) = (map r s).esymm (s.card - k)

case h
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_2
s : Multiset σ
r : σ → R
k : ℕ
h : k ≤ s.card
⊢ k ≤ (map r s).card
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Polynomial

Goal state before:
pp: case pos
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : B < 0
h : i = 0
⊢ ‖1‖ ≤ ↑(Nat.choose 0 i)

pp: case neg
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : B < 0
h : ¬i = 0
⊢ ‖0‖ ≤ ↑(Nat.choose 0 i)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : B < 0
h : i = 0
⊢ ‖1‖ ≤ ↑(Nat.choose 0 i)

case neg
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : B < 0
h : ¬i = 0
⊢ ‖0‖ ≤ ↑(Nat.choose 0 i)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Vieta

Goal state before:
pp: case e'_5
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hroots : p.roots.card = p.natDegree
k : ℕ
h : k ≤ p.natDegree
this : k ≤ p.roots.card
⊢ p.natDegree - k = p.roots.card - k

pp: case e'_6
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hroots : p.roots.card = p.natDegree
k : ℕ
h : k ≤ p.natDegree
this : k ≤ p.roots.card
⊢ p.natDegree - k = p.roots.card - k

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_5
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hroots : p.roots.card = p.natDegree
k : ℕ
h : k ≤ p.natDegree
this : k ≤ p.roots.card
⊢ p.natDegree - k = p.roots.card - k

case e'_6
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hroots : p.roots.card = p.natDegree
k : ℕ
h : k ≤ p.natDegree
this : k ≤ p.roots.card
⊢ p.natDegree - k = p.roots.card - k
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Polynomial

Goal state before:
pp: case pos
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : B < 0
h✝ : i = 0
⊢ ‖1‖ ≤ 1

pp: case neg
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : B < 0
h✝ : ¬i = 0
⊢ ‖0‖ ≤ 1

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : B < 0
h✝ : i = 0
⊢ ‖1‖ ≤ 1

case neg
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : (map f p).Splits
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : B < 0
h✝ : ¬i = 0
⊢ ‖0‖ ≤ 1
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Archimedean

Goal state before:
pp: case refine_1
F : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
O : Type u_3
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
v : Valuation F Γ₀
hv : v.Integers O
x✝ : WfDvdMonoid O
⊢ ∀ (a b : O), ((fun x1 x2 ↦ x1 > x2) on ⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)) a b → DvdNotUnit a b

pp: case refine_2
F : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
O : Type u_3
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
v : Valuation F Γ₀
hv : v.Integers O
h : WellFounded ((fun x1 x2 ↦ x1 > x2) on ⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F))
⊢ ∀ (a b : O), DvdNotUnit a b → ((fun x1 x2 ↦ x1 > x2) on ⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)) a b

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
F : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
O : Type u_3
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
v : Valuation F Γ₀
hv : v.Integers O
x✝ : WfDvdMonoid O
⊢ ∀ (a b : O), ((fun x1 x2 ↦ x1 > x2) on ⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)) a b → DvdNotUnit a b

case refine_2
F : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
O : Type u_3
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
v : Valuation F Γ₀
hv : v.Integers O
h : WellFounded ((fun x1 x2 ↦ x1 > x2) on ⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F))
⊢ ∀ (a b : O), DvdNotUnit a b → ((fun x1 x2 ↦ x1 > x2) on ⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F)) a b