Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.VariableChange

Goal state before:
pp: case a₁
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ { a₁ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ * (φ W.a₁ + 2 * φ C.s),
        a₂ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 2 * (φ W.a₂ - φ C.s * φ W.a₁ + 3 * φ C.r - φ C.s ^ 2),
        a₃ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 3 * (φ W.a₃ + φ C.r * φ W.a₁ + 2 * φ C.t),
        a₄ :=
          ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 4 *
            (φ W.a₄ - φ C.s * φ W.a₃ + 2 * φ C.r * φ W.a₂ - (φ C.t + φ C.r * φ C.s) * φ W.a₁ + 3 * φ C.r ^ 2 -
              2 * φ C.s * φ C.t),
        a₆ :=
          ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 6 *
            (φ W.a₆ + φ C.r * φ W.a₄ + φ C.r ^ 2 * φ W.a₂ + φ C.r ^ 3 - φ C.t * φ W.a₃ - φ C.t ^ 2 -
              φ C.r * φ C.t * φ W.a₁) }.a₁ =
    { a₁ := φ (↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s)), a₂ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C.s * W.a₁ + 3 * C.r - C.s ^ 2)),
        a₃ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)),
        a₄ :=
          φ
            (↑C.u⁻¹ ^ 4 *
              (W.a₄ - C.s * W.a₃ + 2 * C.r * W.a₂ - (C.t + C.r * C.s) * W.a₁ + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)),
        a₆ :=
          φ (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C.r * W.a₄ + C.r ^ 2 * W.a₂ + C.r ^ 3 - C.t * W.a₃ - C.t ^ 2 - C.r * C.t * W.a₁)) }.a₁

pp: case a₂
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ { a₁ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ * (φ W.a₁ + 2 * φ C.s),
        a₂ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 2 * (φ W.a₂ - φ C.s * φ W.a₁ + 3 * φ C.r - φ C.s ^ 2),
        a₃ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 3 * (φ W.a₃ + φ C.r * φ W.a₁ + 2 * φ C.t),
        a₄ :=
          ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 4 *
            (φ W.a₄ - φ C.s * φ W.a₃ + 2 * φ C.r * φ W.a₂ - (φ C.t + φ C.r * φ C.s) * φ W.a₁ + 3 * φ C.r ^ 2 -
              2 * φ C.s * φ C.t),
        a₆ :=
          ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 6 *
            (φ W.a₆ + φ C.r * φ W.a₄ + φ C.r ^ 2 * φ W.a₂ + φ C.r ^ 3 - φ C.t * φ W.a₃ - φ C.t ^ 2 -
              φ C.r * φ C.t * φ W.a₁) }.a₂ =
    { a₁ := φ (↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s)), a₂ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C.s * W.a₁ + 3 * C.r - C.s ^ 2)),
        a₃ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)),
        a₄ :=
          φ
            (↑C.u⁻¹ ^ 4 *
              (W.a₄ - C.s * W.a₃ + 2 * C.r * W.a₂ - (C.t + C.r * C.s) * W.a₁ + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)),
        a₆ :=
          φ (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C.r * W.a₄ + C.r ^ 2 * W.a₂ + C.r ^ 3 - C.t * W.a₃ - C.t ^ 2 - C.r * C.t * W.a₁)) }.a₂

pp: case a₃
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ { a₁ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ * (φ W.a₁ + 2 * φ C.s),
        a₂ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 2 * (φ W.a₂ - φ C.s * φ W.a₁ + 3 * φ C.r - φ C.s ^ 2),
        a₃ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 3 * (φ W.a₃ + φ C.r * φ W.a₁ + 2 * φ C.t),
        a₄ :=
          ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 4 *
            (φ W.a₄ - φ C.s * φ W.a₃ + 2 * φ C.r * φ W.a₂ - (φ C.t + φ C.r * φ C.s) * φ W.a₁ + 3 * φ C.r ^ 2 -
              2 * φ C.s * φ C.t),
        a₆ :=
          ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 6 *
            (φ W.a₆ + φ C.r * φ W.a₄ + φ C.r ^ 2 * φ W.a₂ + φ C.r ^ 3 - φ C.t * φ W.a₃ - φ C.t ^ 2 -
              φ C.r * φ C.t * φ W.a₁) }.a₃ =
    { a₁ := φ (↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s)), a₂ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C.s * W.a₁ + 3 * C.r - C.s ^ 2)),
        a₃ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)),
        a₄ :=
          φ
            (↑C.u⁻¹ ^ 4 *
              (W.a₄ - C.s * W.a₃ + 2 * C.r * W.a₂ - (C.t + C.r * C.s) * W.a₁ + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)),
        a₆ :=
          φ (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C.r * W.a₄ + C.r ^ 2 * W.a₂ + C.r ^ 3 - C.t * W.a₃ - C.t ^ 2 - C.r * C.t * W.a₁)) }.a₃

pp: case a₄
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ { a₁ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ * (φ W.a₁ + 2 * φ C.s),
        a₂ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 2 * (φ W.a₂ - φ C.s * φ W.a₁ + 3 * φ C.r - φ C.s ^ 2),
        a₃ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 3 * (φ W.a₃ + φ C.r * φ W.a₁ + 2 * φ C.t),
        a₄ :=
          ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 4 *
            (φ W.a₄ - φ C.s * φ W.a₃ + 2 * φ C.r * φ W.a₂ - (φ C.t + φ C.r * φ C.s) * φ W.a₁ + 3 * φ C.r ^ 2 -
              2 * φ C.s * φ C.t),
        a₆ :=
          ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 6 *
            (φ W.a₆ + φ C.r * φ W.a₄ + φ C.r ^ 2 * φ W.a₂ + φ C.r ^ 3 - φ C.t * φ W.a₃ - φ C.t ^ 2 -
              φ C.r * φ C.t * φ W.a₁) }.a₄ =
    { a₁ := φ (↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s)), a₂ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C.s * W.a₁ + 3 * C.r - C.s ^ 2)),
        a₃ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)),
        a₄ :=
          φ
            (↑C.u⁻¹ ^ 4 *
              (W.a₄ - C.s * W.a₃ + 2 * C.r * W.a₂ - (C.t + C.r * C.s) * W.a₁ + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)),
        a₆ :=
          φ (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C.r * W.a₄ + C.r ^ 2 * W.a₂ + C.r ^ 3 - C.t * W.a₃ - C.t ^ 2 - C.r * C.t * W.a₁)) }.a₄

pp: case a₆
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ { a₁ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ * (φ W.a₁ + 2 * φ C.s),
        a₂ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 2 * (φ W.a₂ - φ C.s * φ W.a₁ + 3 * φ C.r - φ C.s ^ 2),
        a₃ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 3 * (φ W.a₃ + φ C.r * φ W.a₁ + 2 * φ C.t),
        a₄ :=
          ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 4 *
            (φ W.a₄ - φ C.s * φ W.a₃ + 2 * φ C.r * φ W.a₂ - (φ C.t + φ C.r * φ C.s) * φ W.a₁ + 3 * φ C.r ^ 2 -
              2 * φ C.s * φ C.t),
        a₆ :=
          ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 6 *
            (φ W.a₆ + φ C.r * φ W.a₄ + φ C.r ^ 2 * φ W.a₂ + φ C.r ^ 3 - φ C.t * φ W.a₃ - φ C.t ^ 2 -
              φ C.r * φ C.t * φ W.a₁) }.a₆ =
    { a₁ := φ (↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s)), a₂ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C.s * W.a₁ + 3 * C.r - C.s ^ 2)),
        a₃ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)),
        a₄ :=
          φ
            (↑C.u⁻¹ ^ 4 *
              (W.a₄ - C.s * W.a₃ + 2 * C.r * W.a₂ - (C.t + C.r * C.s) * W.a₁ + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)),
        a₆ :=
          φ (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C.r * W.a₄ + C.r ^ 2 * W.a₂ + C.r ^ 3 - C.t * W.a₃ - C.t ^ 2 - C.r * C.t * W.a₁)) }.a₆

Tactic:
<;>

Goal state after:
case a₁
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ { a₁ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ * (φ W.a₁ + 2 * φ C.s),
        a₂ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 2 * (φ W.a₂ - φ C.s * φ W.a₁ + 3 * φ C.r - φ C.s ^ 2),
        a₃ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 3 * (φ W.a₃ + φ C.r * φ W.a₁ + 2 * φ C.t),
        a₄ :=
          ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 4 *
            (φ W.a₄ - φ C.s * φ W.a₃ + 2 * φ C.r * φ W.a₂ - (φ C.t + φ C.r * φ C.s) * φ W.a₁ + 3 * φ C.r ^ 2 -
              2 * φ C.s * φ C.t),
        a₆ :=
          ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 6 *
            (φ W.a₆ + φ C.r * φ W.a₄ + φ C.r ^ 2 * φ W.a₂ + φ C.r ^ 3 - φ C.t * φ W.a₃ - φ C.t ^ 2 -
              φ C.r * φ C.t * φ W.a₁) }.a₁ =
    { a₁ := φ (↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s)), a₂ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C.s * W.a₁ + 3 * C.r - C.s ^ 2)),
        a₃ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)),
        a₄ :=
          φ
            (↑C.u⁻¹ ^ 4 *
              (W.a₄ - C.s * W.a₃ + 2 * C.r * W.a₂ - (C.t + C.r * C.s) * W.a₁ + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)),
        a₆ :=
          φ (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C.r * W.a₄ + C.r ^ 2 * W.a₂ + C.r ^ 3 - C.t * W.a₃ - C.t ^ 2 - C.r * C.t * W.a₁)) }.a₁

case a₂
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ { a₁ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ * (φ W.a₁ + 2 * φ C.s),
        a₂ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 2 * (φ W.a₂ - φ C.s * φ W.a₁ + 3 * φ C.r - φ C.s ^ 2),
        a₃ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 3 * (φ W.a₃ + φ C.r * φ W.a₁ + 2 * φ C.t),
        a₄ :=
          ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 4 *
            (φ W.a₄ - φ C.s * φ W.a₃ + 2 * φ C.r * φ W.a₂ - (φ C.t + φ C.r * φ C.s) * φ W.a₁ + 3 * φ C.r ^ 2 -
              2 * φ C.s * φ C.t),
        a₆ :=
          ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 6 *
            (φ W.a₆ + φ C.r * φ W.a₄ + φ C.r ^ 2 * φ W.a₂ + φ C.r ^ 3 - φ C.t * φ W.a₃ - φ C.t ^ 2 -
              φ C.r * φ C.t * φ W.a₁) }.a₂ =
    { a₁ := φ (↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s)), a₂ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C.s * W.a₁ + 3 * C.r - C.s ^ 2)),
        a₃ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)),
        a₄ :=
          φ
            (↑C.u⁻¹ ^ 4 *
              (W.a₄ - C.s * W.a₃ + 2 * C.r * W.a₂ - (C.t + C.r * C.s) * W.a₁ + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)),
        a₆ :=
          φ (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C.r * W.a₄ + C.r ^ 2 * W.a₂ + C.r ^ 3 - C.t * W.a₃ - C.t ^ 2 - C.r * C.t * W.a₁)) }.a₂

case a₃
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ { a₁ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ * (φ W.a₁ + 2 * φ C.s),
        a₂ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 2 * (φ W.a₂ - φ C.s * φ W.a₁ + 3 * φ C.r - φ C.s ^ 2),
        a₃ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 3 * (φ W.a₃ + φ C.r * φ W.a₁ + 2 * φ C.t),
        a₄ :=
          ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 4 *
            (φ W.a₄ - φ C.s * φ W.a₃ + 2 * φ C.r * φ W.a₂ - (φ C.t + φ C.r * φ C.s) * φ W.a₁ + 3 * φ C.r ^ 2 -
              2 * φ C.s * φ C.t),
        a₆ :=
          ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 6 *
            (φ W.a₆ + φ C.r * φ W.a₄ + φ C.r ^ 2 * φ W.a₂ + φ C.r ^ 3 - φ C.t * φ W.a₃ - φ C.t ^ 2 -
              φ C.r * φ C.t * φ W.a₁) }.a₃ =
    { a₁ := φ (↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s)), a₂ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C.s * W.a₁ + 3 * C.r - C.s ^ 2)),
        a₃ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)),
        a₄ :=
          φ
            (↑C.u⁻¹ ^ 4 *
              (W.a₄ - C.s * W.a₃ + 2 * C.r * W.a₂ - (C.t + C.r * C.s) * W.a₁ + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)),
        a₆ :=
          φ (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C.r * W.a₄ + C.r ^ 2 * W.a₂ + C.r ^ 3 - C.t * W.a₃ - C.t ^ 2 - C.r * C.t * W.a₁)) }.a₃

case a₄
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ { a₁ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ * (φ W.a₁ + 2 * φ C.s),
        a₂ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 2 * (φ W.a₂ - φ C.s * φ W.a₁ + 3 * φ C.r - φ C.s ^ 2),
        a₃ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 3 * (φ W.a₃ + φ C.r * φ W.a₁ + 2 * φ C.t),
        a₄ :=
          ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 4 *
            (φ W.a₄ - φ C.s * φ W.a₃ + 2 * φ C.r * φ W.a₂ - (φ C.t + φ C.r * φ C.s) * φ W.a₁ + 3 * φ C.r ^ 2 -
              2 * φ C.s * φ C.t),
        a₆ :=
          ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 6 *
            (φ W.a₆ + φ C.r * φ W.a₄ + φ C.r ^ 2 * φ W.a₂ + φ C.r ^ 3 - φ C.t * φ W.a₃ - φ C.t ^ 2 -
              φ C.r * φ C.t * φ W.a₁) }.a₄ =
    { a₁ := φ (↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s)), a₂ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C.s * W.a₁ + 3 * C.r - C.s ^ 2)),
        a₃ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)),
        a₄ :=
          φ
            (↑C.u⁻¹ ^ 4 *
              (W.a₄ - C.s * W.a₃ + 2 * C.r * W.a₂ - (C.t + C.r * C.s) * W.a₁ + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)),
        a₆ :=
          φ (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C.r * W.a₄ + C.r ^ 2 * W.a₂ + C.r ^ 3 - C.t * W.a₃ - C.t ^ 2 - C.r * C.t * W.a₁)) }.a₄

case a₆
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
⊢ { a₁ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ * (φ W.a₁ + 2 * φ C.s),
        a₂ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 2 * (φ W.a₂ - φ C.s * φ W.a₁ + 3 * φ C.r - φ C.s ^ 2),
        a₃ := ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 3 * (φ W.a₃ + φ C.r * φ W.a₁ + 2 * φ C.t),
        a₄ :=
          ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 4 *
            (φ W.a₄ - φ C.s * φ W.a₃ + 2 * φ C.r * φ W.a₂ - (φ C.t + φ C.r * φ C.s) * φ W.a₁ + 3 * φ C.r ^ 2 -
              2 * φ C.s * φ C.t),
        a₆ :=
          ↑((Units.map ↑φ) C.u)⁻¹ ^ 6 *
            (φ W.a₆ + φ C.r * φ W.a₄ + φ C.r ^ 2 * φ W.a₂ + φ C.r ^ 3 - φ C.t * φ W.a₃ - φ C.t ^ 2 -
              φ C.r * φ C.t * φ W.a₁) }.a₆ =
    { a₁ := φ (↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s)), a₂ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C.s * W.a₁ + 3 * C.r - C.s ^ 2)),
        a₃ := φ (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)),
        a₄ :=
          φ
            (↑C.u⁻¹ ^ 4 *
              (W.a₄ - C.s * W.a₃ + 2 * C.r * W.a₂ - (C.t + C.r * C.s) * W.a₁ + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)),
        a₆ :=
          φ (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C.r * W.a₄ + C.r ^ 2 * W.a₂ + C.r ^ 3 - C.t * W.a₃ - C.t ^ 2 - C.r * C.t * W.a₁)) }.a₆