mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
⊢ LieRing.IsNilpotent L → LieRing.IsNilpotent L'

pp: case mpr
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
⊢ LieRing.IsNilpotent L' → LieRing.IsNilpotent L

Tactic:
<;>

Goal state after:
case mp
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
⊢ LieRing.IsNilpotent L → LieRing.IsNilpotent L'

case mpr
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
⊢ LieRing.IsNilpotent L' → LieRing.IsNilpotent L
Module: Mathlib.FieldTheory.Fixed

Goal state before:
pp: case a
G : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction G F
inst✝¹ : Finite G
inst✝ : FaithfulSMul G F
val✝ : Fintype G
⊢ Fintype.card (F →ₐ[↥(subfield G F)] F) ≤ Fintype.card G

Tactic:
← finrank_eq_card G F

Goal state after:
case a
G : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction G F
inst✝¹ : Finite G
inst✝ : FaithfulSMul G F
val✝ : Fintype G
⊢ Fintype.card (F →ₐ[↥(subfield G F)] F) ≤ finrank (↥(subfield G F)) F
Module: Mathlib.FieldTheory.Fixed

Goal state before:
pp: case refine_1
G : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction G F
inst✝¹ : Finite G
inst✝ : FaithfulSMul G F
x✝¹ x✝ : G
h : (MulSemiringAction.toAlgAut G (↥(subfield G F)) F) x✝¹ = (MulSemiringAction.toAlgAut G (↥(subfield G F)) F) x✝
⊢ MulSemiringAction.toAlgHom (↥(subfield G F)) F x✝¹ = MulSemiringAction.toAlgHom (↥(subfield G F)) F x✝

pp: case refine_2
G : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction G F
inst✝¹ : Finite G
inst✝ : FaithfulSMul G F
f : Gal(F/↥(subfield G F))
x✝ : G
h : MulSemiringAction.toAlgHom (↥(subfield G F)) F x✝ = ↑f
⊢ (MulSemiringAction.toAlgAut G (↥(subfield G F)) F) x✝ = f

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
G : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction G F
inst✝¹ : Finite G
inst✝ : FaithfulSMul G F
x✝¹ x✝ : G
h : (MulSemiringAction.toAlgAut G (↥(subfield G F)) F) x✝¹ = (MulSemiringAction.toAlgAut G (↥(subfield G F)) F) x✝
⊢ MulSemiringAction.toAlgHom (↥(subfield G F)) F x✝¹ = MulSemiringAction.toAlgHom (↥(subfield G F)) F x✝

case refine_2
G : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction G F
inst✝¹ : Finite G
inst✝ : FaithfulSMul G F
f : Gal(F/↥(subfield G F))
x✝ : G
h : MulSemiringAction.toAlgHom (↥(subfield G F)) F x✝ = ↑f
⊢ (MulSemiringAction.toAlgAut G (↥(subfield G F)) F) x✝ = f
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Dimension

Goal state before:
pp: case h₁
R : Type u
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝¹ : Free R ↥A
inst✝ : Free R ↥B
ιA : Type v
bA : Basis ιA R ↥A
ιB : Type v
bB : Basis ιB R ↥B
h : toSubmodule (A ⊔ B) = Submodule.span R ((Set.range fun i ↦ ↑(bA i)) * Set.range fun i ↦ ↑(bB i))
⊢ Cardinal.mk ↑(Set.range fun i ↦ ↑(bA i)) ≤ Cardinal.mk ιA

pp: case h₂
R : Type u
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝¹ : Free R ↥A
inst✝ : Free R ↥B
ιA : Type v
bA : Basis ιA R ↥A
ιB : Type v
bB : Basis ιB R ↥B
h : toSubmodule (A ⊔ B) = Submodule.span R ((Set.range fun i ↦ ↑(bA i)) * Set.range fun i ↦ ↑(bB i))
⊢ Cardinal.mk ↑(Set.range fun i ↦ ↑(bB i)) ≤ Cardinal.mk ιB

Tactic:
<;>

Goal state after:
case h₁
R : Type u
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝¹ : Free R ↥A
inst✝ : Free R ↥B
ιA : Type v
bA : Basis ιA R ↥A
ιB : Type v
bB : Basis ιB R ↥B
h : toSubmodule (A ⊔ B) = Submodule.span R ((Set.range fun i ↦ ↑(bA i)) * Set.range fun i ↦ ↑(bB i))
⊢ Cardinal.mk ↑(Set.range fun i ↦ ↑(bA i)) ≤ Cardinal.mk ιA

case h₂
R : Type u
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝¹ : Free R ↥A
inst✝ : Free R ↥B
ιA : Type v
bA : Basis ιA R ↥A
ιB : Type v
bB : Basis ιB R ↥B
h : toSubmodule (A ⊔ B) = Submodule.span R ((Set.range fun i ↦ ↑(bA i)) * Set.range fun i ↦ ↑(bB i))
⊢ Cardinal.mk ↑(Set.range fun i ↦ ↑(bB i)) ≤ Cardinal.mk ιB
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: case a
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T) ⊆ ↑(adjoin F (S ∪ T))

pp: case a
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ ↑(adjoin F (S ∪ T)) ⊆ ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case a
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T) ⊆ ↑(adjoin F (S ∪ T))

case a
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ ↑(adjoin F (S ∪ T)) ⊆ ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: case a
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ Set.range ⇑(algebraMap (↥(adjoin F S)) E) ⊆ ↑(adjoin F (S ∪ T)) ∧ T ⊆ ↑(adjoin F (S ∪ T))

pp: case a
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ Set.range ⇑(algebraMap F E) ⊆ ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T) ∧ S ∪ T ⊆ ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case a
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ Set.range ⇑(algebraMap (↥(adjoin F S)) E) ⊆ ↑(adjoin F (S ∪ T)) ∧ T ⊆ ↑(adjoin F (S ∪ T))

case a
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ Set.range ⇑(algebraMap F E) ⊆ ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T) ∧ S ∪ T ⊆ ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: case e'_2
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₁ ⟨x✝³ + x✝², ⋯⟩ = φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ + φ₁ ⟨x✝², x✝⟩

pp: case e'_3
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₂ ⟨x✝³ + x✝², ⋯⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩ + φ₂ ⟨x✝², x✝⟩

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_2
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₁ ⟨x✝³ + x✝², ⋯⟩ = φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ + φ₁ ⟨x✝², x✝⟩

case e'_3
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₂ ⟨x✝³ + x✝², ⋯⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩ + φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: case e'_2
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₁ ⟨x✝³ + x✝², ⋯⟩ = φ₁ (⟨x✝³, x✝¹⟩ + ⟨x✝², x✝⟩)

pp: case e'_3
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₂ ⟨x✝³ + x✝², ⋯⟩ = φ₂ (⟨x✝³, x✝¹⟩ + ⟨x✝², x✝⟩)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_2
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₁ ⟨x✝³ + x✝², ⋯⟩ = φ₁ (⟨x✝³, x✝¹⟩ + ⟨x✝², x✝⟩)

case e'_3
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₂ ⟨x✝³ + x✝², ⋯⟩ = φ₂ (⟨x✝³, x✝¹⟩ + ⟨x✝², x✝⟩)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: case e'_2
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₁ ⟨x✝³ * x✝², ⋯⟩ = φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ * φ₁ ⟨x✝², x✝⟩

pp: case e'_3
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₂ ⟨x✝³ * x✝², ⋯⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩ * φ₂ ⟨x✝², x✝⟩

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_2
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₁ ⟨x✝³ * x✝², ⋯⟩ = φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ * φ₁ ⟨x✝², x✝⟩

case e'_3
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₂ ⟨x✝³ * x✝², ⋯⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩ * φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: case e'_2
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₁ ⟨x✝³ * x✝², ⋯⟩ = φ₁ (⟨x✝³, x✝¹⟩ * ⟨x✝², x✝⟩)

pp: case e'_3
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₂ ⟨x✝³ * x✝², ⋯⟩ = φ₂ (⟨x✝³, x✝¹⟩ * ⟨x✝², x✝⟩)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_2
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₁ ⟨x✝³ * x✝², ⋯⟩ = φ₁ (⟨x✝³, x✝¹⟩ * ⟨x✝², x✝⟩)

case e'_3
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₂ ⟨x✝³ * x✝², ⋯⟩ = φ₂ (⟨x✝³, x✝¹⟩ * ⟨x✝², x✝⟩)
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
⊢ σ ((aeval a) p) = (fun x ↦ eval x p) '' σ a

Tactic:
by
  -- handle the easy direction via `spectrum.subset_polynomial_aeval`
  refine Set.eq_of_subset_of_subset (fun k hk => ?_) (subset_polynomial_aeval a p)
  -- write `C k - p` product of linear factors and a constant; show `C k - p ≠ 0`.
  have hprod := (IsAlgClosed.splits (C k - p)).eq_prod_roots
  have h_ne : C k - p ≠ 0 := ne_zero_of_degree_gt <| by
    rwa [degree_sub_eq_right_of_degree_lt (lt_of_le_of_lt degree_C_le hdeg)]
  have lead_ne := leadingCoeff_ne_zero.mpr h_ne
  have lead_unit := (Units.map ↑ₐ.toMonoidHom (Units.mk0 _ lead_ne)).isUnit
  /- leading coefficient is a unit so product of linear factors is not a unit;
    apply `exists_mem_of_not_is_unit_aeval_prod`. -/
  have p_a_eq : aeval a (C k - p) = ↑ₐ k - aeval a p := by
    simp only [aeval_C, map_sub]
  rw [mem_iff, ← p_a_eq, hprod, aeval_mul,
    ((Commute.all _ _).map (aeval a : 𝕜[X] →ₐ[𝕜] A)).isUnit_mul_iff, aeval_C] at hk
  replace hk := exists_mem_of_not_isUnit_aeval_prod (not_and.mp hk lead_unit)
  rcases hk with ⟨r, r_mem, r_ev⟩
  exact ⟨r, r_mem, symm (by simpa [eval_sub, eval_C, sub_eq_zero] using r_ev)⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: case h.C
k : Type u
inst✝² : Field k
k' : Type u
inst✝¹ : Field k'
e : k ≃+* k'
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
a✝ : k'
⊢ e.symm (eval (e x) (C a✝)) = eval x (map e.symm.toRingHom (C a✝))

pp: case h.add
k : Type u
inst✝² : Field k
k' : Type u
inst✝¹ : Field k'
e : k ≃+* k'
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
p✝ q✝ : k'[X]
a✝¹ : e.symm (eval (e x) p✝) = eval x (map e.symm.toRingHom p✝)
a✝ : e.symm (eval (e x) q✝) = eval x (map e.symm.toRingHom q✝)
⊢ e.symm (eval (e x) (p✝ + q✝)) = eval x (map e.symm.toRingHom (p✝ + q✝))

pp: case h.monomial
k : Type u
inst✝² : Field k
k' : Type u
inst✝¹ : Field k'
e : k ≃+* k'
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
n✝ : ℕ
a✝¹ : k'
a✝ : e.symm (eval (e x) (C a✝¹ * X ^ n✝)) = eval x (map e.symm.toRingHom (C a✝¹ * X ^ n✝))
⊢ e.symm (eval (e x) (C a✝¹ * X ^ (n✝ + 1))) = eval x (map e.symm.toRingHom (C a✝¹ * X ^ (n✝ + 1)))

Tactic:
<;>

Goal state after:
case h.C
k : Type u
inst✝² : Field k
k' : Type u
inst✝¹ : Field k'
e : k ≃+* k'
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
a✝ : k'
⊢ e.symm (eval (e x) (C a✝)) = eval x (map e.symm.toRingHom (C a✝))

case h.add
k : Type u
inst✝² : Field k
k' : Type u
inst✝¹ : Field k'
e : k ≃+* k'
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
p✝ q✝ : k'[X]
a✝¹ : e.symm (eval (e x) p✝) = eval x (map e.symm.toRingHom p✝)
a✝ : e.symm (eval (e x) q✝) = eval x (map e.symm.toRingHom q✝)
⊢ e.symm (eval (e x) (p✝ + q✝)) = eval x (map e.symm.toRingHom (p✝ + q✝))

case h.monomial
k : Type u
inst✝² : Field k
k' : Type u
inst✝¹ : Field k'
e : k ≃+* k'
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
n✝ : ℕ
a✝¹ : k'
a✝ : e.symm (eval (e x) (C a✝¹ * X ^ n✝)) = eval x (map e.symm.toRingHom (C a✝¹ * X ^ n✝))
⊢ e.symm (eval (e x) (C a✝¹ * X ^ (n✝ + 1))) = eval x (map e.symm.toRingHom (C a✝¹ * X ^ (n✝ + 1)))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Triangularizable

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial M
f : End R M
k : ℕ∞
hf : ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
⊢ ∃ μ, f.HasEigenvalue μ

Tactic:
suffices ∃ μ, f.HasUnifEigenvalue μ k by
    peel this with μ hμ
    exact HasUnifEigenvalue.lt zero_lt_one hμ
  simp [HasUnifEigenvalue, ← not_forall, ← iSup_eq_bot, hf]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Triangularizable

Goal state before:
pp: case h.succ
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsAlgClosed K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n + 1,
    ∀ {V : Type u_2} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [FiniteDimensional K V] (f : End K V),
      finrank K V = m → ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K V = n + 1
this : Nontrivial V
μ₀ : K
hμ₀ : f.HasEigenvalue μ₀
ES : Submodule K V := (f.genEigenspace μ₀) ↑(finrank K V)
ER : Submodule K V := f.genEigenrange μ₀ ↑(finrank K V)
h_f_ER : ∀ x ∈ ER, f x ∈ ER
⊢ ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤

Tactic:
let f' : End K ER := f.restrict h_f_ER

Goal state after:
case h.succ
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsAlgClosed K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n + 1,
    ∀ {V : Type u_2} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [FiniteDimensional K V] (f : End K V),
      finrank K V = m → ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K V = n + 1
this : Nontrivial V
μ₀ : K
hμ₀ : f.HasEigenvalue μ₀
ES : Submodule K V := (f.genEigenspace μ₀) ↑(finrank K V)
ER : Submodule K V := f.genEigenrange μ₀ ↑(finrank K V)
h_f_ER : ∀ x ∈ ER, f x ∈ ER
f' : End K ↥ER := LinearMap.restrict f h_f_ER
⊢ ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝¹⁶ : Field k
K : Type u
inst✝¹⁵ : Field K
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Field M
inst✝¹¹ : Algebra K M
inst✝¹⁰ : IsAlgClosed M
inst✝⁹ : Algebra.IsAlgebraic K L
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R M
inst✝² : IsTorsionFree R S
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R S
this✝³ : IsDomain R := Function.Injective.isDomain (algebraMap R S) (FaithfulSMul.algebraMap_injective R S)
this✝² : Algebra (FractionRing R) M := FractionRing.liftAlgebra R M
this✝¹ : Algebra (FractionRing R) (FractionRing S) := FractionRing.liftAlgebra R (FractionRing S)
this✝ : IsScalarTower R (FractionRing R) M
this : IsScalarTower R (FractionRing R) (FractionRing S)
f : FractionRing S →ₐ[FractionRing R] M := liftAux (FractionRing R) (FractionRing S) M
⊢ S →ₐ[R] M

Tactic:
exact (f.restrictScalars R).comp ((Algebra.ofId S (FractionRing S)).restrictScalars R)

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: case inl
F : Type u_1
F' : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field F'
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F F'
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : IsAlgClosed F'
h✝ : finrank F F' = 2
emb : E →ₐ[F] F'
e : E ≃ₐ[F] ↥emb.range
this : IsSimpleOrder (Subalgebra F F')
h : emb.range = ⊥
⊢ Nonempty (E ≃ₐ[F] F) ∨ Nonempty (E ≃ₐ[F] F')

pp: case inr
F : Type u_1
F' : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field F'
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F F'
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : IsAlgClosed F'
h✝ : finrank F F' = 2
emb : E →ₐ[F] F'
e : E ≃ₐ[F] ↥emb.range
this : IsSimpleOrder (Subalgebra F F')
h : emb.range = ⊤
⊢ Nonempty (E ≃ₐ[F] F) ∨ Nonempty (E ≃ₐ[F] F')

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl
F : Type u_1
F' : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field F'
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F F'
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : IsAlgClosed F'
h✝ : finrank F F' = 2
emb : E →ₐ[F] F'
e : E ≃ₐ[F] ↥emb.range
this : IsSimpleOrder (Subalgebra F F')
h : emb.range = ⊥
⊢ Nonempty (E ≃ₐ[F] F) ∨ Nonempty (E ≃ₐ[F] F')

case inr
F : Type u_1
F' : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field F'
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F F'
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : IsAlgClosed F'
h✝ : finrank F F' = 2
emb : E →ₐ[F] F'
e : E ≃ₐ[F] ↥emb.range
this : IsSimpleOrder (Subalgebra F F')
h : emb.range = ⊤
⊢ Nonempty (E ≃ₐ[F] F) ∨ Nonempty (E ≃ₐ[F] F')
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
⊢ finrank K ↥(E1 ⊔ E2) ≤ finrank K ↥E1 * finrank K ↥E2

Tactic:
by_cases h : FiniteDimensional K E1
  · have := E1.toSubalgebra.finrank_sup_le_of_free E2.toSubalgebra
    change _ ≤ finrank K E1 * finrank K E2 at this
    rwa [← sup_toSubalgebra_of_left] at this
  rw [FiniteDimensional, ← rank_lt_aleph0_iff, not_lt] at h
  have := LinearMap.rank_le_of_injective _ <| Submodule.inclusion_injective <|
    show Subalgebra.toSubmodule E1.toSubalgebra ≤ Subalgebra.toSubmodule (E1 ⊔ E2).toSubalgebra by
      simp
  rw [show finrank K E1 = 0 from Cardinal.toNat_apply_of_aleph0_le h,
    show finrank K ↥(E1 ⊔ E2) = 0 from Cardinal.toNat_apply_of_aleph0_le (h.trans this), zero_mul]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: case insert
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
h : Finite ι
inst✝ : ∀ (i : ι), FiniteDimensional K ↥(t i)
x✝ : Set ι
a✝¹ : ι
s✝ : Set ι
s : a✝¹ ∉ s✝
hs : s✝.Finite
a✝ : FiniteDimensional K ↥(⨆ x ∈ s✝, t x)
⊢ FiniteDimensional K ↥(⨆ x ∈ insert a✝¹ s✝, t x)

Tactic:
iSup_insert

Goal state after:
case insert
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
h : Finite ι
inst✝ : ∀ (i : ι), FiniteDimensional K ↥(t i)
x✝ : Set ι
a✝¹ : ι
s✝ : Set ι
s : a✝¹ ∉ s✝
hs : s✝.Finite
a✝ : FiniteDimensional K ↥(⨆ x ∈ s✝, t x)
⊢ FiniteDimensional K ↥(t a✝¹ ⊔ ⨆ x ∈ s✝, t x)