mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case refine_1.inl
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
vi : Set X
j : ι
hi : j ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j_1, ⋃ (_ : j_1 ≠ j), v.toFun j_1)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i, ⋂ (_ : ¬i = j), (v.toFun i)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun j
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun j ∧ IsCompact (closure vi)
⊢ IsOpen (update v.toFun j vi j)

pp: case refine_1.inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
j : ι
hne : j ≠ i
⊢ IsOpen (update v.toFun i vi j)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1.inl
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
vi : Set X
j : ι
hi : j ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j_1, ⋃ (_ : j_1 ≠ j), v.toFun j_1)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i, ⋂ (_ : ¬i = j), (v.toFun i)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun j
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun j ∧ IsCompact (closure vi)
⊢ IsOpen (update v.toFun j vi j)

case refine_1.inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
j : ι
hne : j ≠ i
⊢ IsOpen (update v.toFun i vi j)
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case h
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := ⋯
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
x : X
hx : x ∈ s
h : ∀ (j : ι), j ≠ i → x ∉ v.toFun j
⊢ x ∈ si

Tactic:
hsi

Goal state after:
case h
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
x : X
hx : x ∈ s
h : ∀ (j : ι), j ≠ i → x ∉ v.toFun j
⊢ x ∈ s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
k : ℕ
⊢ ⇑(k • s) = k • ⇑s

Tactic:
by
  induction k with
  | zero => simp_rw [zero_smul]; rfl
  | succ k ih => simp_rw [succ_nsmul, ← ih]; rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case refine_5
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
v : PartialRefinement u s fun w ↦ IsCompact (closure w)
hs : IsCompact s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
si : Set X := s ∩ (⋃ j, ⋃ (_ : j ≠ i), v.toFun j)ᶜ
hsi : si = s ∩ ⋂ i_1, ⋂ (_ : ¬i_1 = i), (v.toFun i_1)ᶜ
hsic : IsCompact si
this : si ⊆ v.toFun i
vi : Set X
hvi : IsOpen vi ∧ si ⊆ vi ∧ closure vi ⊆ v.toFun i ∧ IsCompact (closure vi)
j : ι
hj : ¬j = i ∧ j ∉ v.carrier
⊢ update v.toFun i vi j = u j

Tactic:
rw [update_of_ne hj.1, v.apply_eq hj.2]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
n : ℕ∞
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed[inst✝⁵] s
ht : IsClosed[inst✝⁵] t
hd : Disjoint s t
this : ∀ x ∈ t, sᶜ ∈ 𝓝 x
ι : Type uM
f : SmoothBumpCovering ι I M t
hf : f.IsSubordinate fun x ↦ sᶜ
g : SmoothPartitionOfUnity ι I M t := f.toSmoothPartitionOfUnity
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ∀ (i : ι), (g i) x = 0

Tactic:
refine fun i => f.toSmoothPartitionOfUnity_zero_of_zero ?_

Goal state after:
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
n : ℕ∞
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed[inst✝⁵] s
ht : IsClosed[inst✝⁵] t
hd : Disjoint s t
this : ∀ x ∈ t, sᶜ ∈ 𝓝 x
ι : Type uM
f : SmoothBumpCovering ι I M t
hf : f.IsSubordinate fun x ↦ sᶜ
g : SmoothPartitionOfUnity ι I M t := f.toSmoothPartitionOfUnity
x : M
hx : x ∈ s
i : ι
⊢ ↑(f.toFun i) x = 0
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff

Goal state before:
pp: case neg
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : IsManifold I ∞ M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
this✝² : LocallyCompactSpace H
this✝¹ : LocallyCompactSpace M
this✝ : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x✝ : MetricSpace M := ⋯
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := ⋯
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : ℕ → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := ⋯
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fun x ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
C : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : M) ∂μ, ‖g n x • f x‖ ≤ bound x
x : M
hxs : x ∉ s
⊢ (fun x ↦ 0) =ᶠ[atTop] fun n ↦ g n x • f x

Tactic:
suffices H : ∀ᶠ n in atTop, g n x = 0 by
          filter_upwards [H] with n hn using by simp [hn]

Goal state after:
case neg
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : IsManifold I ∞ M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
this✝² : LocallyCompactSpace H
this✝¹ : LocallyCompactSpace M
this✝ : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x✝ : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun n ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : ℕ → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun x ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fun x ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
C : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : M) ∂μ, ‖g n x • f x‖ ≤ bound x
x : M
hxs : x ∉ s
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, g n x = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TangentCone.Pi

Goal state before:
pp: case hd₀.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
j : ι✝
hi : ∀ (j_1 : ι✝), j_1 ≠ j → x j_1 ∈ closure[inst✝³ j_1] (s j_1)
y : E j
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s j) (x j)
d : ι → E j
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x j + d n ∈ s j
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun i ↦ Pi.single j (d i) j) l (𝓝 (0 j))

pp: case hd₀.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
i : ι✝
hi : ∀ (j : ι✝), j ≠ i → x j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)
y : E i
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E i
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x i + d n ∈ s i
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
j : ι✝
hj : j ≠ i
⊢ Tendsto (fun i_1 ↦ Pi.single i (d i_1) j) l (𝓝 (0 j))

Tactic:
<;>

Goal state after:
case hd₀.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
j : ι✝
hi : ∀ (j_1 : ι✝), j_1 ≠ j → x j_1 ∈ closure[inst✝³ j_1] (s j_1)
y : E j
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s j) (x j)
d : ι → E j
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x j + d n ∈ s j
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun i ↦ Pi.single j (d i) j) l (𝓝 (0 j))

case hd₀.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
i : ι✝
hi : ∀ (j : ι✝), j ≠ i → x j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)
y : E i
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E i
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x i + d n ∈ s i
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
j : ι✝
hj : j ≠ i
⊢ Tendsto (fun i_1 ↦ Pi.single i (d i_1) j) l (𝓝 (0 j))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TangentCone.Pi

Goal state before:
pp: case hds.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
n : ι
j : ι✝
hi : ∀ (j_1 : ι✝), j_1 ≠ j → x j_1 ∈ closure[inst✝³ j_1] (s j_1)
y : E j
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s j) (x j)
d : ι → E j
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x j + d n ∈ s j
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
hn : x j + d n ∈ s j
⊢ (x + Pi.single j (d n)) j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)

pp: case hds.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
i : ι✝
hi : ∀ (j : ι✝), j ≠ i → x j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)
y : E i
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E i
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x i + d n ∈ s i
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
n : ι
hn : x i + d n ∈ s i
j : ι✝
hj : j ≠ i
⊢ (x + Pi.single i (d n)) j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case hds.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
n : ι
j : ι✝
hi : ∀ (j_1 : ι✝), j_1 ≠ j → x j_1 ∈ closure[inst✝³ j_1] (s j_1)
y : E j
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s j) (x j)
d : ι → E j
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x j + d n ∈ s j
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
hn : x j + d n ∈ s j
⊢ (x + Pi.single j (d n)) j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)

case hds.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
i : ι✝
hi : ∀ (j : ι✝), j ≠ i → x j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)
y : E i
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E i
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x i + d n ∈ s i
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
n : ι
hn : x i + d n ∈ s i
j : ι✝
hj : j ≠ i
⊢ (x + Pi.single i (d n)) j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TangentCone.Pi

Goal state before:
pp: case hcd.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
j : ι✝
hi : ∀ (j_1 : ι✝), j_1 ≠ j → x j_1 ∈ closure[inst✝³ j_1] (s j_1)
y : E j
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s j) (x j)
d : ι → E j
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x j + d n ∈ s j
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun i ↦ (c i • Pi.single j (d i)) j) l (𝓝 (Pi.single j y j))

pp: case hcd.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
i : ι✝
hi : ∀ (j : ι✝), j ≠ i → x j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)
y : E i
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E i
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x i + d n ∈ s i
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
j : ι✝
hj : j ≠ i
⊢ Tendsto (fun i_1 ↦ (c i_1 • Pi.single i (d i_1)) j) l (𝓝 (Pi.single i y j))

Tactic:
<;>

Goal state after:
case hcd.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
j : ι✝
hi : ∀ (j_1 : ι✝), j_1 ≠ j → x j_1 ∈ closure[inst✝³ j_1] (s j_1)
y : E j
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s j) (x j)
d : ι → E j
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x j + d n ∈ s j
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun i ↦ (c i • Pi.single j (d i)) j) l (𝓝 (Pi.single j y j))

case hcd.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝² : ∀ (i : ι✝), ContinuousAdd (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι✝), ContinuousConstSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι✝) → Set (E i)
x : (i : ι✝) → E i
inst✝ : DecidableEq ι✝
i : ι✝
hi : ∀ (j : ι✝), j ≠ i → x j ∈ closure[inst✝³ j] (s j)
y : E i
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 (s i) (x i)
ι : Type (max u_1 u_3)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E i
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x i + d n ∈ s i
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
j : ι✝
hj : j ≠ i
⊢ Tendsto (fun i_1 ↦ (c i_1 • Pi.single i (d i_1)) j) l (𝓝 (Pi.single i y j))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TangentCone.Pi

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : DivisionSemiring 𝕜
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : (𝓝[≠] 0).NeBot
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), ContinuousAdd (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
I : Set ι
h : ∀ i ∈ I, UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s i) (x i)
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (I.piecewise s (fun x ↦ univ) i) (x i)

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : DivisionSemiring 𝕜
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : (𝓝[≠] 0).NeBot
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), ContinuousAdd (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
I : Set ι
h : ∀ i ∈ I, UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s i) (x i)
i : ι
hi : i ∉ I
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (I.piecewise s (fun x ↦ univ) i) (x i)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : DivisionSemiring 𝕜
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : (𝓝[≠] 0).NeBot
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), ContinuousAdd (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
I : Set ι
h : ∀ i ∈ I, UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s i) (x i)
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (I.piecewise s (fun x ↦ univ) i) (x i)

case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : DivisionSemiring 𝕜
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : (𝓝[≠] 0).NeBot
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), ContinuousAdd (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), ContinuousSMul 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
I : Set ι
h : ∀ i ∈ I, UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s i) (x i)
i : ι
hi : i ∉ I
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (I.piecewise s (fun x ↦ univ) i) (x i)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst✝⁵] s
ht : IsClosed[inst✝⁵] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
A : ∀ (x : M), 0 < f x + g x
⊢ (range fun x ↦ f x / (f x + g x)) ⊆ Icc 0 1

Tactic:
refine range_subset_iff.2 (fun x ↦ ⟨div_nonneg (f_pos x) (A x).le, ?_⟩)

Goal state after:
case refine_2
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsManifold I ∞ M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsOpen[inst✝⁵] s
ht : IsClosed[inst✝⁵] t
h : t ⊆ s
f : M → ℝ
f_supp : support f = s
f_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) f
f_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ f x
g : M → ℝ
g_supp : support g = tᶜ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) (↑n) g
g_pos : ∀ (x : M), 0 ≤ g x
A : ∀ (x : M), 0 < f x + g x
x : M
⊢ f x / (f x + g x) ≤ 1
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Rademacher

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] g
v : E
K : Set E := cthickening ‖v‖ (tsupport f)
K_compact : IsCompact K
t : ℝ
ht : t ∈ Ioc 0 1
t_pos : 0 < t
x : E
hx : x ∈ K
⊢ ‖t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x‖ = t⁻¹ * ‖f (x + t • v) - f x‖ * ‖g x‖

Tactic:
by simp [norm_mul, t_pos.le]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Rademacher

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f g : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] g
v : E
K : Set E := cthickening ‖v‖ (tsupport f)
K_compact : IsCompact K
t : ℝ
ht : t ∈ Ioc 0 1
t_pos : 0 < t
x : E
hx : x ∈ K
⊢ t⁻¹ * ‖f (x + t • v) - f x‖ * ‖g x‖ ≤ t⁻¹ * (↑C * ‖x + t • v - x‖) * ‖g x‖

Tactic:
by
        gcongr; exact LipschitzWith.norm_sub_le hf (x + t • v) x

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Slope

Goal state before:
pp: case inl.x
f : ℝ → ℝ
a b c : ℝ
hf : MonotoneOn f (Icc a (b + c))
hab : a ≤ b
hc✝ : 0 ≤ c
hc : 0 = c
⊢ a ∈ Icc a (b + c)

pp: case inl.x
f : ℝ → ℝ
a b c : ℝ
hf : MonotoneOn f (Icc a (b + c))
hab : a ≤ b
hc✝ : 0 ≤ c
hc : 0 = c
⊢ b ∈ Icc a (b + c)

pp: case inl.a
f : ℝ → ℝ
a b c : ℝ
hf : MonotoneOn f (Icc a (b + c))
hab : a ≤ b
hc✝ : 0 ≤ c
hc : 0 = c
⊢ a ≤ b

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl.x
f : ℝ → ℝ
a b c : ℝ
hf : MonotoneOn f (Icc a (b + c))
hab : a ≤ b
hc✝ : 0 ≤ c
hc : 0 = c
⊢ a ∈ Icc a (b + c)

case inl.x
f : ℝ → ℝ
a b c : ℝ
hf : MonotoneOn f (Icc a (b + c))
hab : a ≤ b
hc✝ : 0 ≤ c
hc : 0 = c
⊢ b ∈ Icc a (b + c)

case inl.a
f : ℝ → ℝ
a b c : ℝ
hf : MonotoneOn f (Icc a (b + c))
hab : a ≤ b
hc✝ : 0 ≤ c
hc : 0 = c
⊢ a ≤ b