mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + x / c) = ∫ (x : ℝ) in d + a / c..d + b / c, f x

pp: case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + x / c) = ∫ (x : ℝ) in d + a / c..d + b / c, f x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + x / c) = ∫ (x : ℝ) in d + a / c..d + b / c, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + x / c) = ∫ (x : ℝ) in d + a / c..d + b / c, f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x - d) = ∫ (x : ℝ) in c * a - d..c * b - d, f x

Tactic:
by_cases hc : c = 0

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x - d) = ∫ (x : ℝ) in c * a - d..c * b - d, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x - d) = ∫ (x : ℝ) in c * a - d..c * b - d, f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x - d) = ∫ (x : ℝ) in c * a - d..c * b - d, f x

pp: case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x - d) = ∫ (x : ℝ) in c * a - d..c * b - d, f x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x - d) = ∫ (x : ℝ) in c * a - d..c * b - d, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x - d) = ∫ (x : ℝ) in c * a - d..c * b - d, f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - c * x) = ∫ (x : ℝ) in d - c * b..d - c * a, f x

Tactic:
by_cases hc : c = 0

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - c * x) = ∫ (x : ℝ) in d - c * b..d - c * a, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - c * x) = ∫ (x : ℝ) in d - c * b..d - c * a, f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - c * x) = ∫ (x : ℝ) in d - c * b..d - c * a, f x

pp: case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - c * x) = ∫ (x : ℝ) in d - c * b..d - c * a, f x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - c * x) = ∫ (x : ℝ) in d - c * b..d - c * a, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - c * x) = ∫ (x : ℝ) in d - c * b..d - c * a, f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c - d) = ∫ (x : ℝ) in a / c - d..b / c - d, f x

Tactic:
by_cases hc : c = 0

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c - d) = ∫ (x : ℝ) in a / c - d..b / c - d, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c - d) = ∫ (x : ℝ) in a / c - d..b / c - d, f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c - d) = ∫ (x : ℝ) in a / c - d..b / c - d, f x

pp: case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c - d) = ∫ (x : ℝ) in a / c - d..b / c - d, f x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c - d) = ∫ (x : ℝ) in a / c - d..b / c - d, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c - d) = ∫ (x : ℝ) in a / c - d..b / c - d, f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - x / c) = ∫ (x : ℝ) in d - b / c..d - a / c, f x

Tactic:
by_cases hc : c = 0

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - x / c) = ∫ (x : ℝ) in d - b / c..d - a / c, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - x / c) = ∫ (x : ℝ) in d - b / c..d - a / c, f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - x / c) = ∫ (x : ℝ) in d - b / c..d - a / c, f x

pp: case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - x / c) = ∫ (x : ℝ) in d - b / c..d - a / c, f x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - x / c) = ∫ (x : ℝ) in d - b / c..d - a / c, f x

case neg
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
hc : ¬c = 0
⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - x / c) = ∫ (x : ℝ) in d - b / c..d - a / c, f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case inl
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
h : EqOn f g [[a, b]]
hab : a ≤ b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ

pp: case inr
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
h : EqOn f g [[a, b]]
hab : b ≤ a
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
h : EqOn f g [[a, b]]
hab : a ≤ b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ

case inr
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
h : EqOn f g [[a, b]]
hab : b ≤ a
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.FundThmCalculus

Goal state before:
pp: case e'_3
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ico a b, g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable (fun x ↦ (G' x).toReal) (volume.restrict (Icc a b))
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, (G' x).toReal < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
main : Icc a b ⊆ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal}
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, (G' y).toReal = ∫ (x : ℝ) in Icc a b, (G' x).toReal

pp: case e'_4
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ico a b, g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable (fun x ↦ (G' x).toReal) (volume.restrict (Icc a b))
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, (G' x).toReal < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
main : Icc a b ⊆ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal}
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, φ y = ∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_3
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ico a b, g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable (fun x ↦ (G' x).toReal) (volume.restrict (Icc a b))
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, (G' x).toReal < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
main : Icc a b ⊆ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal}
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, (G' y).toReal = ∫ (x : ℝ) in Icc a b, (G' x).toReal

case e'_4
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ico a b, g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable (fun x ↦ (G' x).toReal) (volume.restrict (Icc a b))
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, (G' x).toReal < (∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x) + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
main : Icc a b ⊆ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal}
⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, φ y = ∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : Measure ℝ
ha : IntegrableOn f (Iic a) μ
hb : IntegrableOn f (Iic b) μ
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in Iic a, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ

Tactic:
by
  wlog hab : a ≤ b generalizing a b
  · rw [integral_symm, ← this hb ha (le_of_not_ge hab), neg_sub]
  rw [sub_eq_iff_eq_add', integral_of_le hab, ← setIntegral_union (Iic_disjoint_Ioc le_rfl),
    Iic_union_Ioc_eq_Iic hab]
  exacts [measurableSet_Ioc, ha, hb.mono_set fun _ => And.right]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DominatedConvergence

Goal state before:
pp: case ha
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : NullSingletonClass μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x ↦ ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * μ.real (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ)) + δ * μ.real (Icc a b) < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝 q
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, dist (f p x) (f q x) < δ
⊢ b₀ - δ < b₀

pp: case hb
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : NullSingletonClass μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x ↦ ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * μ.real (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ)) + δ * μ.real (Icc a b) < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝 q
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, dist (f p x) (f q x) < δ
⊢ b₀ < b₀ + δ

Tactic:
<;>

Goal state after:
case ha
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : NullSingletonClass μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x ↦ ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * μ.real (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ)) + δ * μ.real (Icc a b) < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝 q
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, dist (f p x) (f q x) < δ
⊢ b₀ - δ < b₀

case hb
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : NullSingletonClass μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x ↦ ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * μ.real (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ)) + δ * μ.real (Icc a b) < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝 q
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, dist (f p x) (f q x) < δ
⊢ b₀ < b₀ + δ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : E
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ c) (Iic a) μ

pp: case refine_2
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : E
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ c) (Iic b) μ

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : E
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ c) (Iic a) μ

case refine_2
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : E
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ c) (Iic b) μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case inr
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
h : support f ⊆ Ioc a b
hab : b ≤ a
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ), f x ∂μ

Tactic:
rw [Ioc_eq_empty hab.not_gt, subset_empty_iff, support_eq_empty_iff] at h
    simp [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case inl
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : 0 ≤ᵐ[μ.restrict (Ioc a b ∪ Ioc b a)] f
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hab : a ≤ b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ.restrict (Ioc a b ∪ Ioc b a)] 0

pp: case inr
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : 0 ≤ᵐ[μ.restrict (Ioc a b ∪ Ioc b a)] f
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hab : b ≤ a
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ.restrict (Ioc a b ∪ Ioc b a)] 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : 0 ≤ᵐ[μ.restrict (Ioc a b ∪ Ioc b a)] f
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hab : a ≤ b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ.restrict (Ioc a b ∪ Ioc b a)] 0

case inr
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : 0 ≤ᵐ[μ.restrict (Ioc a b ∪ Ioc b a)] f
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hab : b ≤ a
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ.restrict (Ioc a b ∪ Ioc b a)] 0
Module: Mathlib.Order.Filter.AtTopBot.Floor

Goal state before:
pp: case h₁
K : Type u_1
inst✝³ : Ring K
inst✝² : LinearOrder K
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing K
inst✝ : FloorSemiring K
a c : K
d n : ℕ
h : ⌈|a|⌉₊ * ⌈|c|⌉₊ ^ n < (n - d)!
⊢ |a| ≤ ↑⌈|a|⌉₊

pp: case hab
K : Type u_1
inst✝³ : Ring K
inst✝² : LinearOrder K
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing K
inst✝ : FloorSemiring K
a c : K
d n : ℕ
h : ⌈|a|⌉₊ * ⌈|c|⌉₊ ^ n < (n - d)!
⊢ |c| ≤ ↑⌈|c|⌉₊

Tactic:
<;>

Goal state after:
case h₁
K : Type u_1
inst✝³ : Ring K
inst✝² : LinearOrder K
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing K
inst✝ : FloorSemiring K
a c : K
d n : ℕ
h : ⌈|a|⌉₊ * ⌈|c|⌉₊ ^ n < (n - d)!
⊢ |a| ≤ ↑⌈|a|⌉₊

case hab
K : Type u_1
inst✝³ : Ring K
inst✝² : LinearOrder K
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing K
inst✝ : FloorSemiring K
a c : K
d n : ℕ
h : ⌈|a|⌉₊ * ⌈|c|⌉₊ ^ n < (n - d)!
⊢ |c| ≤ ↑⌈|c|⌉₊
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Order.Floor

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : Ring α
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : FloorRing α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : IsStrictOrderedRing α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : β → α → γ
h : ContinuousOn (uncurry f) (univ ×ˢ Icc 0 1)
hf : ∀ (s : β), f s 0 = f s 1
s : β
n : ℤ
⊢ ContinuousAt (uncurry f ∘ Prod.map id fract) (s, ↑n)

Tactic:
ContinuousAt,

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : Ring α
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : FloorRing α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : IsStrictOrderedRing α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : β → α → γ
h : ContinuousOn (uncurry f) (univ ×ˢ Icc 0 1)
hf : ∀ (s : β), f s 0 = f s 1
s : β
n : ℤ
⊢ Tendsto (uncurry f ∘ Prod.map id fract) (𝓝 (s, ↑n)) (𝓝 ((uncurry f ∘ Prod.map id fract) (s, ↑n)))
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Order.Floor

Goal state before:
pp: case inl.right.refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : Ring α
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : FloorRing α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : IsStrictOrderedRing α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : β → α → γ
h : ContinuousOn (uncurry f) (univ ×ˢ Icc 0 1)
hf : ∀ (s : β), f s 0 = f s 1
s : β
n : ℤ
⊢ 𝓝 s ×ˢ 𝓝[≥] 0 = 𝓝[univ ×ˢ Icc 0 1] (s, 0)

pp: case inl.right.refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : Ring α
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : FloorRing α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : IsStrictOrderedRing α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : β → α → γ
h : ContinuousOn (uncurry f) (univ ×ˢ Icc 0 1)
hf : ∀ (s : β), f s 0 = f s 1
s : β
n : ℤ
⊢ 𝓝 (uncurry f (s, 0)) = 𝓝 ((uncurry f ∘ Prod.map id fract) (s, ↑n))

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl.right.refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : Ring α
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : FloorRing α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : IsStrictOrderedRing α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : β → α → γ
h : ContinuousOn (uncurry f) (univ ×ˢ Icc 0 1)
hf : ∀ (s : β), f s 0 = f s 1
s : β
n : ℤ
⊢ 𝓝 s ×ˢ 𝓝[≥] 0 = 𝓝[univ ×ˢ Icc 0 1] (s, 0)

case inl.right.refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : Ring α
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : FloorRing α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : IsStrictOrderedRing α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : β → α → γ
h : ContinuousOn (uncurry f) (univ ×ˢ Icc 0 1)
hf : ∀ (s : β), f s 0 = f s 1
s : β
n : ℤ
⊢ 𝓝 (uncurry f (s, 0)) = 𝓝 ((uncurry f ∘ Prod.map id fract) (s, ↑n))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.Periodic

Goal state before:
pp: case left
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
hT' : |T| = T
I : Set ℝ := ⋯
hε : ε < T / 2
y : ℝ
hy₁ : -ε ≤ y
hy₂ : y ≤ ε
⊢ -(T / 2) < y

pp: case right
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
hT' : |T| = T
I : Set ℝ := ⋯
hε : ε < T / 2
y : ℝ
hy₁ : -ε ≤ y
hy₂ : y ≤ ε
⊢ y ≤ T / 2

Tactic:
<;>

Goal state after:
case left
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
hT' : |T| = T
I : Set ℝ := ⋯
hε : ε < T / 2
y : ℝ
hy₁ : -ε ≤ y
hy₂ : y ≤ ε
⊢ -(T / 2) < y

case right
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
hT' : |T| = T
I : Set ℝ := ⋯
hε : ε < T / 2
y : ℝ
hy₁ : -ε ≤ y
hy₂ : y ≤ ε
⊢ y ≤ T / 2
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Quotient

Goal state before:
pp: case pos
G : Type u_1
inst✝¹⁵ : Group G
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : IsTopologicalGroup G
inst✝¹¹ : BorelSpace G
inst✝¹⁰ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁹ : Γ.Normal
inst✝⁸ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁷ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁶ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝³ : SigmaFinite ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
s : Set G
h : ν s = μ univ
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
finiteCovol : μ univ < ∞
meas_s_ne_zero : ν s = 0
⊢ QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ

Tactic:
convert! fund_dom_s.quotientMeasureEqMeasurePreimage_of_zero meas_s_ne_zero

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝¹⁵ : Group G
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : IsTopologicalGroup G
inst✝¹¹ : BorelSpace G
inst✝¹⁰ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁹ : Γ.Normal
inst✝⁸ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁷ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁶ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝³ : SigmaFinite ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
s : Set G
h : ν s = μ univ
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
finiteCovol : μ univ < ∞
meas_s_ne_zero : ν s = 0
⊢ μ = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.DominatedConvergence

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : IntegrableOn f (Ioi a₀) μ
x : ℝ
hx : a₀ < x
⊢ Tendsto (fun n ↦ if n < x then f x else 0) (𝓝[≥] a₀) (𝓝 (if a₀ < x then f x else 0))

pp: case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : IntegrableOn f (Ioi a₀) μ
x : ℝ
hx : ¬a₀ < x
⊢ Tendsto (fun n ↦ if n < x then f x else 0) (𝓝[≥] a₀) (𝓝 (if a₀ < x then f x else 0))

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : IntegrableOn f (Ioi a₀) μ
x : ℝ
hx : a₀ < x
⊢ Tendsto (fun n ↦ if n < x then f x else 0) (𝓝[≥] a₀) (𝓝 (if a₀ < x then f x else 0))

case neg
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : IntegrableOn f (Ioi a₀) μ
x : ℝ
hx : ¬a₀ < x
⊢ Tendsto (fun n ↦ if n < x then f x else 0) (𝓝[≥] a₀) (𝓝 (if a₀ < x then f x else 0))