mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: case e_6.pointIndex
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
a✝ : Fin (n + 2 + 1)
⊢ ↑(n + 2 + 1) / ↑(n + 2 - 1) * ((if a✝ ∈ univ then (↑(#univ))⁻¹ else 0) - 0) + 0 = (↑(n + 1))⁻¹

pp: case e_6.circumcenterIndex
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
⊢ ↑(n + 2 + 1) / ↑(n + 2 - 1) * (0 - 1) + 1 = -2 / ↑(n + 1)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e_6.pointIndex
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
a✝ : Fin (n + 2 + 1)
⊢ ↑(n + 2 + 1) / ↑(n + 2 - 1) * ((if a✝ ∈ univ then (↑(#univ))⁻¹ else 0) - 0) + 0 = (↑(n + 1))⁻¹

case e_6.circumcenterIndex
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
⊢ ↑(n + 2 + 1) / ↑(n + 2 - 1) * (0 - 1) + 1 = -2 / ↑(n + 1)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Simplex

Goal state before:
pp: case refine_2.convert_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
h : s.AcuteAngled
i₁ i₂ i₃ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ e.symm i₁ ≠ e.symm i₂

pp: case refine_2.convert_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
h : s.AcuteAngled
i₁ i₂ i₃ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ e.symm i₁ ≠ e.symm i₃

pp: case refine_2.convert_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
h : s.AcuteAngled
i₁ i₂ i₃ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ e.symm i₂ ≠ e.symm i₃

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_2.convert_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
h : s.AcuteAngled
i₁ i₂ i₃ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ e.symm i₁ ≠ e.symm i₂

case refine_2.convert_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
h : s.AcuteAngled
i₁ i₂ i₃ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ e.symm i₁ ≠ e.symm i₃

case refine_2.convert_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
h : s.AcuteAngled
i₁ i₂ i₃ : Fin (n + 1)
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ e.symm i₂ ≠ e.symm i₃
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: case pos
n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : i₁ ≠ i₂
i : Fin (n + 2 + 1)
hu : #{i₁, i₂}ᶜ = n + 1
hi : i = i₁ ∨ i = i₂
⊢ (if i = i₁ ∨ i = i₂ then (↑(n + 1))⁻¹ else 0) = (↑(n + 1))⁻¹ - if i ∈ {i₁, i₂}ᶜ then (↑(n + 1))⁻¹ else 0

pp: case neg
n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : i₁ ≠ i₂
i : Fin (n + 2 + 1)
hu : #{i₁, i₂}ᶜ = n + 1
hi : ¬(i = i₁ ∨ i = i₂)
⊢ (if i = i₁ ∨ i = i₂ then (↑(n + 1))⁻¹ else 0) = (↑(n + 1))⁻¹ - if i ∈ {i₁, i₂}ᶜ then (↑(n + 1))⁻¹ else 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : i₁ ≠ i₂
i : Fin (n + 2 + 1)
hu : #{i₁, i₂}ᶜ = n + 1
hi : i = i₁ ∨ i = i₂
⊢ (if i = i₁ ∨ i = i₂ then (↑(n + 1))⁻¹ else 0) = (↑(n + 1))⁻¹ - if i ∈ {i₁, i₂}ᶜ then (↑(n + 1))⁻¹ else 0

case neg
n : ℕ
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : i₁ ≠ i₂
i : Fin (n + 2 + 1)
hu : #{i₁, i₂}ᶜ = n + 1
hi : ¬(i = i₁ ∨ i = i₂)
⊢ (if i = i₁ ∨ i = i₂ then (↑(n + 1))⁻¹ else 0) = (↑(n + 1))⁻¹ - if i ∈ {i₁, i₂}ᶜ then (↑(n + 1))⁻¹ else 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: case left
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : ¬i₁ = i₂
hs : ∑ i, (pointWeightsWithCircumcenter i₁ - pointWeightsWithCircumcenter i₂) i = 0
fs : Finset (Fin (n + 3)) := ⋯
i : Fin (n + 3)
hi : i ∉ fs
⊢ i ≠ i₁

pp: case right
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : ¬i₁ = i₂
hs : ∑ i, (pointWeightsWithCircumcenter i₁ - pointWeightsWithCircumcenter i₂) i = 0
fs : Finset (Fin (n + 3)) := ⋯
i : Fin (n + 3)
hi : i ∉ fs
⊢ i ≠ i₂

Tactic:
<;>

Goal state after:
case left
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : ¬i₁ = i₂
hs : ∑ i, (pointWeightsWithCircumcenter i₁ - pointWeightsWithCircumcenter i₂) i = 0
fs : Finset (Fin (n + 3)) := ⋯
i : Fin (n + 3)
hi : i ∉ fs
⊢ i ≠ i₁

case right
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : ¬i₁ = i₂
hs : ∑ i, (pointWeightsWithCircumcenter i₁ - pointWeightsWithCircumcenter i₂) i = 0
fs : Finset (Fin (n + 3)) := ⋯
i : Fin (n + 3)
hi : i ∉ fs
⊢ i ≠ i₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Ptolemy

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapc : ∠ a p c = π
hbpd : ∠ b p d = π
h' : Cospherical {a, c, b, d}
hmul : dist a p * dist c p = dist b p * dist d p
hbp : dist b p ≠ 0
h₁ : dist c d = dist c p / dist b p * dist a b
h₂ : dist d a = dist a p / dist b p * dist b c
h₃ : dist d p = dist a p * dist c p / dist b p
h₄ : ∀ (x y : ℝ), x * (y * x) = x * x * y
⊢ dist a b * dist c d + dist b c * dist d a = dist a c * dist b d

Tactic:
simp [field, h₁, h₂, dist_eq_add_dist_of_angle_eq_pi hbpd, h₃, dist_comm a b, h₄, ← sq,
    dist_sq_mul_dist_add_dist_sq_mul_dist b, hapc]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
e : Fin (n + 3) ≃ Fin (n + 3)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : i₁ = i₂
⊢ #{e.symm i₁, e.symm i₂} = #{i₁, i₂}

pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
e : Fin (n + 3) ≃ Fin (n + 3)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : ¬i₁ = i₂
⊢ #{e.symm i₁, e.symm i₂} = #{i₁, i₂}

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
e : Fin (n + 3) ≃ Fin (n + 3)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : i₁ = i₂
⊢ #{e.symm i₁, e.symm i₂} = #{i₁, i₂}

case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
e : Fin (n + 3) ≃ Fin (n + 3)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : ¬i₁ = i₂
⊢ #{e.symm i₁, e.symm i₂} = #{i₁, i₂}
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: case e_a.e_direction
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
⊢ ℝ ∙ (s.points i₁ -ᵥ s.points i₂) = ℝ ∙ (s.points i₂ -ᵥ s.points i₁)

Tactic:
ext
    simp_rw [Submodule.mem_span_singleton]
    constructor
    all_goals rintro ⟨r, rfl⟩; use -r; rw [neg_smul, ← smul_neg, neg_vsub_eq_vsub_rev]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.SecondInter

Goal state before:
pp: case neg.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center = s.radius
v : V
r : ℝ
hv : ¬v = 0
h : r = 0
⊢ r • v +ᵥ p = p ∨ r • v +ᵥ p = (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫) • v +ᵥ p

pp: case neg.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center = s.radius
v : V
r : ℝ
hv : ¬v = 0
h : r = -2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫
⊢ r • v +ᵥ p = p ∨ r • v +ᵥ p = (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫) • v +ᵥ p

Tactic:
<;>

Goal state after:
case neg.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center = s.radius
v : V
r : ℝ
hv : ¬v = 0
h : r = 0
⊢ r • v +ᵥ p = p ∨ r • v +ᵥ p = (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫) • v +ᵥ p

case neg.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center = s.radius
v : V
r : ℝ
hv : ¬v = 0
h : r = -2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫
⊢ r • v +ᵥ p = p ∨ r • v +ᵥ p = (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫ / ⟪v, v⟫) • v +ᵥ p
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: case right
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
he : affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) = affineSpan ℝ (Set.range t₁.points)
hu : {j₂}ᶜ = {j₁, j₃}
hle : (altitude t₁ i₃).directionᗮ ≤ line[ℝ, t₁.orthocenter, t₁.points i₃].directionᗮ
⊢ t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ line[ℝ, t₁.orthocenter, t₁.points i₃].directionᗮ

Tactic:
refine hle ((t₁.vectorSpan_isOrtho_altitude_direction i₃) ?_)

Goal state after:
case right
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
he : affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) = affineSpan ℝ (Set.range t₁.points)
hu : {j₂}ᶜ = {j₁, j₃}
hle : (altitude t₁ i₃).directionᗮ ≤ line[ℝ, t₁.orthocenter, t₁.points i₃].directionᗮ
⊢ t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ vectorSpan ℝ (t₁.points '' {i₃}ᶜ)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
t : Triangle ℝ P
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hst : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
⊢ AffineIndependent ℝ p

Tactic:
rw [hst] at hps

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hpi : Function.Injective p
t : Triangle ℝ P
hps : Set.range p ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hst : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
⊢ AffineIndependent ℝ p
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: case h
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t : Triangle ℝ P
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hts : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
t₂ : Triangle ℝ P
ht₂ : Set.range t₂.points ⊆ s
⊢ Simplex.circumradius t₂ = Simplex.circumradius t

Tactic:
have ht₂s := ht₂

Goal state after:
case h
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t : Triangle ℝ P
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hts : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
t₂ : Triangle ℝ P
ht₂ ht₂s : Set.range t₂.points ⊆ s
⊢ Simplex.circumradius t₂ = Simplex.circumradius t
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.InteriorBoundary

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
inst✝ : IsManifold I n M
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
x : M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ atlas H M
he' : e' ∈ atlas H M
hex : x ∈ e.source
hex' : x ∈ e'.source
⊢ ↑(e.extend I) x ∈ interior (e.extend I).target → ↑(e'.extend I) x ∈ interior (e'.extend I).target

pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
inst✝ : IsManifold I n M
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
x : M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ atlas H M
he' : e' ∈ atlas H M
hex : x ∈ e.source
hex' : x ∈ e'.source
⊢ ↑(e'.extend I) x ∈ interior (e'.extend I).target → ↑(e.extend I) x ∈ interior (e.extend I).target

Tactic:
<;>

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
inst✝ : IsManifold I n M
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
x : M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ atlas H M
he' : e' ∈ atlas H M
hex : x ∈ e.source
hex' : x ∈ e'.source
⊢ ↑(e.extend I) x ∈ interior (e.extend I).target → ↑(e'.extend I) x ∈ interior (e'.extend I).target

case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
inst✝ : IsManifold I n M
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
x : M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ atlas H M
he' : e' ∈ atlas H M
hex : x ∈ e.source
hex' : x ∈ e'.source
⊢ ↑(e'.extend I) x ∈ interior (e'.extend I).target → ↑(e.extend I) x ∈ interior (e.extend I).target
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.InteriorBoundary

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
inst✝ : IsManifold I n M
hn : n ≠ 0
⊢ IsOpen[inst✝²] (ModelWithCorners.interior M)

Tactic:
exact I.isOpen_interior hn

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Tangent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
p q : TangentBundle I M
h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
⊢ tangentMap I I (↑(chartAt H p.proj)) q = (TotalSpace.toProd H E).symm (↑(chartAt (ModelProd H E) p) q)

Tactic:
dsimp [tangentMap]
  rw [MDifferentiableAt.mfderiv]
  · rfl
  · exact mdifferentiableAt_atlas (chart_mem_atlas _ _) h

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.InteriorBoundary

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
p : M × N
aux : interior (range ↑I) ×ˢ interior (range ↑J) = interior (range ↑(I.prod J))
⊢ p ∈ ModelWithCorners.interior (M × N) → p ∈ ModelWithCorners.interior M ×ˢ ModelWithCorners.interior N

pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
p : M × N
aux : interior (range ↑I) ×ˢ interior (range ↑J) = interior (range ↑(I.prod J))
⊢ p ∈ ModelWithCorners.interior M ×ˢ ModelWithCorners.interior N → p ∈ ModelWithCorners.interior (M × N)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
p : M × N
aux : interior (range ↑I) ×ˢ interior (range ↑J) = interior (range ↑(I.prod J))
⊢ p ∈ ModelWithCorners.interior (M × N) → p ∈ ModelWithCorners.interior M ×ˢ ModelWithCorners.interior N

case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
p : M × N
aux : interior (range ↑I) ×ˢ interior (range ↑J) = interior (range ↑(I.prod J))
⊢ p ∈ ModelWithCorners.interior M ×ˢ ModelWithCorners.interior N → p ∈ ModelWithCorners.interior (M × N)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.InteriorBoundary

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
p : M × N
aux : interior (range ↑I) ×ˢ interior (range ↑J) = interior (range ↑(I.prod J))
hp : p ∈ ModelWithCorners.interior M ×ˢ ModelWithCorners.interior N
⊢ p ∈ ModelWithCorners.interior (M × N)

Tactic:
change (I.prod J).IsInteriorPoint p
    rw [IsInteriorPoint, ← aux, mem_prod]
    obtain h := Set.mem_prod.mp hp
    rw [ModelWithCorners.interior] at h
    exact h

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.LeftInvariantDerivation

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : ChartedSpace H G
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : ContMDiffMul I ∞ G
g : G
X : LeftInvariantDerivation I G
f : C^∞⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
h : G
⊢ (X f) ((𝑳 I g) h) = (X (f.comp (𝑳 I g))) h

Tactic:
L_apply,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : ChartedSpace H G
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : ContMDiffMul I ∞ G
g : G
X : LeftInvariantDerivation I G
f : C^∞⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
h : G
⊢ (X f) (g * h) = (X (f.comp (𝑳 I g))) h
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.GroupLieAlgebra

Goal state before:
pp: case hU
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : ChartedSpace H G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : LieGroup I (minSmoothness 𝕜 3) G
inst✝ : CompleteSpace E
u v w : GroupLieAlgebra I G
⊢ ContMDiffAt I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, mulInvariantVectorField u x⟩) 1

pp: case hV
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : ChartedSpace H G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : LieGroup I (minSmoothness 𝕜 3) G
inst✝ : CompleteSpace E
u v w : GroupLieAlgebra I G
⊢ ContMDiffAt I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, mulInvariantVectorField v x⟩) 1

pp: case hW
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : ChartedSpace H G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : LieGroup I (minSmoothness 𝕜 3) G
inst✝ : CompleteSpace E
u v w : GroupLieAlgebra I G
⊢ ContMDiffAt I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, mulInvariantVectorField w x⟩) 1

Tactic:
<;>

Goal state after:
case hU
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : ChartedSpace H G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : LieGroup I (minSmoothness 𝕜 3) G
inst✝ : CompleteSpace E
u v w : GroupLieAlgebra I G
⊢ ContMDiffAt I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, mulInvariantVectorField u x⟩) 1

case hV
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : ChartedSpace H G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : LieGroup I (minSmoothness 𝕜 3) G
inst✝ : CompleteSpace E
u v w : GroupLieAlgebra I G
⊢ ContMDiffAt I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, mulInvariantVectorField v x⟩) 1

case hW
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : ChartedSpace H G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : LieGroup I (minSmoothness 𝕜 3) G
inst✝ : CompleteSpace E
u v w : GroupLieAlgebra I G
⊢ ContMDiffAt I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) (fun x ↦ ⟨x, mulInvariantVectorField w x⟩) 1