mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.SubMulAction.OfFixingSubgroup

Goal state before:
pp: case w
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
hs : IsPretransitive ↥(fixingSubgroup M s) ↥(ofFixingSubgroup M s)
g : M
a : α
ha : a ∈ sᶜ ∩ (g • s)ᶜ
ha' : a ∈ (s ∩ g • s)ᶜ
x : α
hx✝ : x ∈ ofFixingSubgroup M (s ∩ g • s)
hx : x ∉ g • s
hg'x : g⁻¹ • x ∈ ofFixingSubgroup M s
hg'a : g⁻¹ • a ∈ ofFixingSubgroup M s
k : M
hk : k ∈ fixingSubgroup M s
hkax : ⟨k, hk⟩ • ⟨g⁻¹ • a, hg'a⟩ = ⟨g⁻¹ • x, hg'x⟩
⊢ g * k * g⁻¹ ∈ fixingSubgroup M (s ∩ g • s)

Tactic:
mem_fixingSubgroup_iff

Goal state after:
case w
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
hs : IsPretransitive ↥(fixingSubgroup M s) ↥(ofFixingSubgroup M s)
g : M
a : α
ha : a ∈ sᶜ ∩ (g • s)ᶜ
ha' : a ∈ (s ∩ g • s)ᶜ
x : α
hx✝ : x ∈ ofFixingSubgroup M (s ∩ g • s)
hx : x ∉ g • s
hg'x : g⁻¹ • x ∈ ofFixingSubgroup M s
hg'a : g⁻¹ • a ∈ ofFixingSubgroup M s
k : M
hk✝ : k ∈ fixingSubgroup M s
hk : ∀ y ∈ s, k • y = y
hkax : ⟨k, hk✝⟩ • ⟨g⁻¹ • a, hg'a⟩ = ⟨g⁻¹ • x, hg'x⟩
⊢ ∀ y ∈ s ∩ g • s, (g * k * g⁻¹) • y = y
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultiplePrimitivity

Goal state before:
pp: M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
N : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Group N
inst✝ : MulAction N β
φ : M → N
hφ : Function.Surjective φ
f : α →ₑ[φ] β
hf : Function.Bijective ⇑f
n : ℕ
H : IsMultiplyPreprimitive N β n
s : Set α
hs : s.encard + 1 = ↑n
t : Set β := ⇑f '' s
ψ : ↥(fixingSubgroup M s) → ↥(fixingSubgroup N t) :=
  fun x ↦
    match x with
    | ⟨g, hg⟩ => ⟨φ g, ⋯⟩
x : ↥(ofFixingSubgroup M s)
⊢ f ↑x ∈ ofFixingSubgroup N t

Tactic:
by
        simp only [mem_ofFixingSubgroup_iff, Set.mem_image, hf.injective.eq_iff, exists_eq_right, t]
        exact x.prop

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.Perm.MaximalSubgroups

Goal state before:
pp: α : Type u_2
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
g : Perm ↑s
g' : α
⊢ (∃ y ∈ s, ofSubtype g • y = g') ↔ g' ∈ s

Tactic:
Perm.smul_def

Goal state after:
α : Type u_2
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
g : Perm ↑s
g' : α
⊢ (∃ y ∈ s, (ofSubtype g) y = g') ↔ g' ∈ s
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultiplePrimitivity

Goal state before:
pp: case right.hf.left
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
N : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Group N
inst✝ : MulAction N β
φ : M → N
hφ : Function.Surjective φ
f : α →ₑ[φ] β
hf : Function.Bijective ⇑f
n : ℕ
H : IsMultiplyPreprimitive N β n
s : Set α
hs : s.encard + 1 = ↑n
t : Set β := ⋯
ψ : ↥(fixingSubgroup M s) → ↥(fixingSubgroup N t) := ⋯
g : ↥(ofFixingSubgroup M s) →ₑ[ψ] ↥(ofFixingSubgroup N t) := ⋯
⊢ Function.Injective ⇑g

Tactic:
rintro ⟨x, hx⟩ ⟨y, hy⟩ h

Goal state after:
case right.hf.left
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
N : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Group N
inst✝ : MulAction N β
φ : M → N
hφ : Function.Surjective φ
f : α →ₑ[φ] β
hf : Function.Bijective ⇑f
n : ℕ
H : IsMultiplyPreprimitive N β n
s : Set α
hs : s.encard + 1 = ↑n
t : Set β := ⇑f '' s
ψ : ↥(fixingSubgroup M s) → ↥(fixingSubgroup N t) :=
  fun x ↦
    match x with
    | ⟨g, hg⟩ => ⟨φ g, ⋯⟩
g : ↥(ofFixingSubgroup M s) →ₑ[ψ] ↥(ofFixingSubgroup N t) := { toFun := fun x ↦ ⟨f ↑x, ⋯⟩, map_smul' := ⋯ }
x : α
hx : x ∈ ofFixingSubgroup M s
y : α
hy : y ∈ ofFixingSubgroup M s
h : g ⟨x, hx⟩ = g ⟨y, hy⟩
⊢ ⟨x, hx⟩ = ⟨y, hy⟩
Module: Mathlib.GroupTheory.Perm.MaximalSubgroups

Goal state before:
pp: case e'_5
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
G : Subgroup (Perm α)
hG : stabilizer (Perm α) s < G
this✝ : ∀ (t : Set α), 1 < t.encard → ∃ g, g.IsSwap ∧ g ∈ stabilizer (Perm α) t
h1' : s.encard ≤ 1
h1c' : sᶜ.encard ≤ 1
this : 1 + 1 = 2
⊢ s.encard = 1

pp: case e'_6
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
G : Subgroup (Perm α)
hG : stabilizer (Perm α) s < G
this✝ : ∀ (t : Set α), 1 < t.encard → ∃ g, g.IsSwap ∧ g ∈ stabilizer (Perm α) t
h1' : s.encard ≤ 1
h1c' : sᶜ.encard ≤ 1
this : 1 + 1 = 2
⊢ sᶜ.encard = 1

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_5
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
G : Subgroup (Perm α)
hG : stabilizer (Perm α) s < G
this✝ : ∀ (t : Set α), 1 < t.encard → ∃ g, g.IsSwap ∧ g ∈ stabilizer (Perm α) t
h1' : s.encard ≤ 1
h1c' : sᶜ.encard ≤ 1
this : 1 + 1 = 2
⊢ s.encard = 1

case e'_6
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
G : Subgroup (Perm α)
hG : stabilizer (Perm α) s < G
this✝ : ∀ (t : Set α), 1 < t.encard → ∃ g, g.IsSwap ∧ g ∈ stabilizer (Perm α) t
h1' : s.encard ≤ 1
h1c' : sᶜ.encard ≤ 1
this : 1 + 1 = 2
⊢ sᶜ.encard = 1
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating.MaximalSubgroups

Goal state before:
pp: case property
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
hs : sᶜ.Nontrivial
k : Perm α
hk_swap : k.IsSwap
hk_support : _root_.Disjoint s ↑k.support
hks : k • s = s
g : Perm ↑s
hsg : sign g = -1
⊢ Perm.ofSubtype g * k ∈ alternatingGroup α

pp: case property
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
hs : sᶜ.Nontrivial
k : Perm α
hk_swap : k.IsSwap
hk_support : _root_.Disjoint s ↑k.support
hks : k • s = s
g : Perm ↑s
hsg : sign g = -1
⊢ ⟨Perm.ofSubtype g * k, ?property⟩ ∈ stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s

pp: case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
hs : sᶜ.Nontrivial
k : Perm α
hk_swap : k.IsSwap
hk_support : _root_.Disjoint s ↑k.support
hks : k • s = s
g : Perm ↑s
hsg : sign g = -1
⊢ toPerm ⟨⟨Perm.ofSubtype g * k, ?property⟩, ?property✝⟩ = g

Tactic:
· simp [mem_alternatingGroup, hk_swap.sign_eq, hsg]

Goal state after:
case property
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
hs : sᶜ.Nontrivial
k : Perm α
hk_swap : k.IsSwap
hk_support : _root_.Disjoint s ↑k.support
hks : k • s = s
g : Perm ↑s
hsg : sign g = -1
⊢ ⟨Perm.ofSubtype g * k, ⋯⟩ ∈ stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s

case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
hs : sᶜ.Nontrivial
k : Perm α
hk_swap : k.IsSwap
hk_support : _root_.Disjoint s ↑k.support
hks : k • s = s
g : Perm ↑s
hsg : sign g = -1
⊢ toPerm ⟨⟨Perm.ofSubtype g * k, ⋯⟩, ?property✝⟩ = g
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating.MaximalSubgroups

Goal state before:
pp: case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ sᶜ
c : α
hc : c ∈ sᶜ
hbc : b ≠ c
⊢ ¬∀ (b_1 : α), swap a b • swap a c • b_1 ∈ s ↔ b_1 ∈ s

Tactic:
Perm.smul_def

Goal state after:
case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ sᶜ
c : α
hc : c ∈ sᶜ
hbc : b ≠ c
⊢ ¬∀ (b_1 : α), (swap a b) ((swap a c) b_1) ∈ s ↔ b_1 ∈ s
Module: Mathlib.GroupTheory.Perm.MaximalSubgroups

Goal state before:
pp: M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
s : Set α
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : IsMultiplyPretransitive M α (s.ncard + 1)
G : Subgroup M
hG : stabilizer M s ≤ G
B : Set α
hBs : ¬B ⊆ s
hBsc : ¬B ⊆ sᶜ
hB : IsBlock (↥G) B
a : α
ha : a ∈ B
ha' : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ B
hb' : b ∈ sᶜ
k : M
hk : k ∈ fixingSubgroup M s
hx' : ⟨k, hk⟩ • b ∈ sᶜ
⊢ a ∈ ⟨k, ?m.152⟩ • B

Tactic:
mem_fixingSubgroup_iff

Goal state after:
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
s : Set α
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : IsMultiplyPretransitive M α (s.ncard + 1)
G : Subgroup M
hG : stabilizer M s ≤ G
B : Set α
hBs : ¬B ⊆ s
hBsc : ¬B ⊆ sᶜ
hB : IsBlock (↥G) B
a : α
ha : a ∈ B
ha' : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ B
hb' : b ∈ sᶜ
k : M
hk✝ : k ∈ fixingSubgroup M s
hk : ∀ y ∈ s, k • y = y
hx' : ⟨k, hk✝⟩ • b ∈ sᶜ
⊢ a ∈ ⟨k, ⋯⟩ • B
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating.MaximalSubgroups

Goal state before:
pp: case hBs
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
h0 : s.Nontrivial
hs : s.ncard < sᶜ.ncard
this✝³ : s.ncard + sᶜ.ncard = Nat.card α
h1 : sᶜ.Nontrivial
hα : 4 < Nat.card α
G : Subgroup ↥(alternatingGroup α)
hG : stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s < G
this✝² : IsPretransitive (↥G) α
B : Set α
hB : IsBlock (↥G) B
hB' : ¬B.Subsingleton
not_isBlock_sc : ¬IsBlock (↥G) sᶜ
hB_not_le_sc : ∀ (B : Set α), IsBlock (↥G) B → B ⊆ sᶜ → B.Subsingleton
hB_not_le_s : ∀ (B : Set α), IsBlock (↥G) B → B ⊆ s → B.Subsingleton
this✝¹ : IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (s.ncard + 1)
this✝ : ¬B ⊆ s
this : ¬B ⊆ sᶜ
⊢ ¬B ⊆ s

pp: case hBsc
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
h0 : s.Nontrivial
hs : s.ncard < sᶜ.ncard
this✝³ : s.ncard + sᶜ.ncard = Nat.card α
h1 : sᶜ.Nontrivial
hα : 4 < Nat.card α
G : Subgroup ↥(alternatingGroup α)
hG : stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s < G
this✝² : IsPretransitive (↥G) α
B : Set α
hB : IsBlock (↥G) B
hB' : ¬B.Subsingleton
not_isBlock_sc : ¬IsBlock (↥G) sᶜ
hB_not_le_sc : ∀ (B : Set α), IsBlock (↥G) B → B ⊆ sᶜ → B.Subsingleton
hB_not_le_s : ∀ (B : Set α), IsBlock (↥G) B → B ⊆ s → B.Subsingleton
this✝¹ : IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (s.ncard + 1)
this✝ : ¬B ⊆ s
this : ¬B ⊆ sᶜ
⊢ ¬B ⊆ sᶜ

Tactic:
<;>

Goal state after:
case hBs
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
h0 : s.Nontrivial
hs : s.ncard < sᶜ.ncard
this✝³ : s.ncard + sᶜ.ncard = Nat.card α
h1 : sᶜ.Nontrivial
hα : 4 < Nat.card α
G : Subgroup ↥(alternatingGroup α)
hG : stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s < G
this✝² : IsPretransitive (↥G) α
B : Set α
hB : IsBlock (↥G) B
hB' : ¬B.Subsingleton
not_isBlock_sc : ¬IsBlock (↥G) sᶜ
hB_not_le_sc : ∀ (B : Set α), IsBlock (↥G) B → B ⊆ sᶜ → B.Subsingleton
hB_not_le_s : ∀ (B : Set α), IsBlock (↥G) B → B ⊆ s → B.Subsingleton
this✝¹ : IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (s.ncard + 1)
this✝ : ¬B ⊆ s
this : ¬B ⊆ sᶜ
⊢ ¬B ⊆ s

case hBsc
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
h0 : s.Nontrivial
hs : s.ncard < sᶜ.ncard
this✝³ : s.ncard + sᶜ.ncard = Nat.card α
h1 : sᶜ.Nontrivial
hα : 4 < Nat.card α
G : Subgroup ↥(alternatingGroup α)
hG : stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s < G
this✝² : IsPretransitive (↥G) α
B : Set α
hB : IsBlock (↥G) B
hB' : ¬B.Subsingleton
not_isBlock_sc : ¬IsBlock (↥G) sᶜ
hB_not_le_sc : ∀ (B : Set α), IsBlock (↥G) B → B ⊆ sᶜ → B.Subsingleton
hB_not_le_s : ∀ (B : Set α), IsBlock (↥G) B → B ⊆ s → B.Subsingleton
this✝¹ : IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (s.ncard + 1)
this✝ : ¬B ⊆ s
this : ¬B ⊆ sᶜ
⊢ ¬B ⊆ sᶜ
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Jordan

Goal state before:
pp: case pos
n : ℕ
hrec :
  ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
    IsPreprimitive G α →
      ∀ {s : Set α},
        s.ncard = n + 1 →
          n + 2 < Nat.card α →
            IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → Finite α → IsMultiplyPreprimitive G α (n + 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1 + 1
hsn' : n + 1 + 2 < Nat.card α
hprim : IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s)
hα : Finite α
a : α
ha : a ∈ s
x : α
hx : x = a
⊢ x ∈ s ↔ x ∈ insert a (Subtype.val '' Subtype.val ⁻¹' s)

pp: case neg
n : ℕ
hrec :
  ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
    IsPreprimitive G α →
      ∀ {s : Set α},
        s.ncard = n + 1 →
          n + 2 < Nat.card α →
            IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → Finite α → IsMultiplyPreprimitive G α (n + 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1 + 1
hsn' : n + 1 + 2 < Nat.card α
hprim : IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s)
hα : Finite α
a : α
ha : a ∈ s
x : α
hx : ¬x = a
⊢ x ∈ s ↔ x ∈ insert a (Subtype.val '' Subtype.val ⁻¹' s)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
n : ℕ
hrec :
  ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
    IsPreprimitive G α →
      ∀ {s : Set α},
        s.ncard = n + 1 →
          n + 2 < Nat.card α →
            IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → Finite α → IsMultiplyPreprimitive G α (n + 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1 + 1
hsn' : n + 1 + 2 < Nat.card α
hprim : IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s)
hα : Finite α
a : α
ha : a ∈ s
x : α
hx : x = a
⊢ x ∈ s ↔ x ∈ insert a (Subtype.val '' Subtype.val ⁻¹' s)

case neg
n : ℕ
hrec :
  ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
    IsPreprimitive G α →
      ∀ {s : Set α},
        s.ncard = n + 1 →
          n + 2 < Nat.card α →
            IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → Finite α → IsMultiplyPreprimitive G α (n + 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1 + 1
hsn' : n + 1 + 2 < Nat.card α
hprim : IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s)
hα : Finite α
a : α
ha : a ∈ s
x : α
hx : ¬x = a
⊢ x ∈ s ↔ x ∈ insert a (Subtype.val '' Subtype.val ⁻¹' s)
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating.MaximalSubgroups

Goal state before:
pp: case inr.h1
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
h0 : s.Nonempty
h1 : sᶜ.Nonempty
hs : ¬sᶜ.ncard = s.ncard
this :
  ∀ {α : Type u_1} [inst : Fintype α] [inst_1 : DecidableEq α] {s : Set α},
    s.Nonempty →
      sᶜ.Nonempty → ¬sᶜ.ncard = s.ncard → s.ncard < sᶜ.ncard → IsCoatom (stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s)
hs' : ¬s.ncard < sᶜ.ncard
⊢ sᶜᶜ.Nonempty

pp: case inr.hs
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
h0 : s.Nonempty
h1 : sᶜ.Nonempty
hs : ¬sᶜ.ncard = s.ncard
this :
  ∀ {α : Type u_1} [inst : Fintype α] [inst_1 : DecidableEq α] {s : Set α},
    s.Nonempty →
      sᶜ.Nonempty → ¬sᶜ.ncard = s.ncard → s.ncard < sᶜ.ncard → IsCoatom (stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s)
hs' : ¬s.ncard < sᶜ.ncard
⊢ ¬sᶜᶜ.ncard = sᶜ.ncard

pp: case inr.hs'
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
h0 : s.Nonempty
h1 : sᶜ.Nonempty
hs : ¬sᶜ.ncard = s.ncard
this :
  ∀ {α : Type u_1} [inst : Fintype α] [inst_1 : DecidableEq α] {s : Set α},
    s.Nonempty →
      sᶜ.Nonempty → ¬sᶜ.ncard = s.ncard → s.ncard < sᶜ.ncard → IsCoatom (stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s)
hs' : ¬s.ncard < sᶜ.ncard
⊢ sᶜ.ncard < sᶜᶜ.ncard

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inr.h1
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
h0 : s.Nonempty
h1 : sᶜ.Nonempty
hs : ¬sᶜ.ncard = s.ncard
this :
  ∀ {α : Type u_1} [inst : Fintype α] [inst_1 : DecidableEq α] {s : Set α},
    s.Nonempty →
      sᶜ.Nonempty → ¬sᶜ.ncard = s.ncard → s.ncard < sᶜ.ncard → IsCoatom (stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s)
hs' : ¬s.ncard < sᶜ.ncard
⊢ sᶜᶜ.Nonempty

case inr.hs
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
h0 : s.Nonempty
h1 : sᶜ.Nonempty
hs : ¬sᶜ.ncard = s.ncard
this :
  ∀ {α : Type u_1} [inst : Fintype α] [inst_1 : DecidableEq α] {s : Set α},
    s.Nonempty →
      sᶜ.Nonempty → ¬sᶜ.ncard = s.ncard → s.ncard < sᶜ.ncard → IsCoatom (stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s)
hs' : ¬s.ncard < sᶜ.ncard
⊢ ¬sᶜᶜ.ncard = sᶜ.ncard

case inr.hs'
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
h0 : s.Nonempty
h1 : sᶜ.Nonempty
hs : ¬sᶜ.ncard = s.ncard
this :
  ∀ {α : Type u_1} [inst : Fintype α] [inst_1 : DecidableEq α] {s : Set α},
    s.Nonempty →
      sᶜ.Nonempty → ¬sᶜ.ncard = s.ncard → s.ncard < sᶜ.ncard → IsCoatom (stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s)
hs' : ¬s.ncard < sᶜ.ncard
⊢ sᶜ.ncard < sᶜᶜ.ncard
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating.MaximalSubgroups

Goal state before:
pp: case inr.h1
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
h0 : s.Nonempty
h1 : sᶜ.Nonempty
hs : ¬sᶜ.ncard = s.ncard
this :
  ∀ {α : Type u_1} [inst : Fintype α] [inst_1 : DecidableEq α] {s : Set α},
    s.Nonempty →
      sᶜ.Nonempty → ¬sᶜ.ncard = s.ncard → s.ncard < sᶜ.ncard → IsCoatom (stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s)
hs' : ¬s.ncard < sᶜ.ncard
⊢ s.Nonempty

pp: case inr.hs
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
h0 : s.Nonempty
h1 : sᶜ.Nonempty
hs : ¬sᶜ.ncard = s.ncard
this :
  ∀ {α : Type u_1} [inst : Fintype α] [inst_1 : DecidableEq α] {s : Set α},
    s.Nonempty →
      sᶜ.Nonempty → ¬sᶜ.ncard = s.ncard → s.ncard < sᶜ.ncard → IsCoatom (stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s)
hs' : ¬s.ncard < sᶜ.ncard
⊢ ¬s.ncard = sᶜ.ncard

pp: case inr.hs'
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
h0 : s.Nonempty
h1 : sᶜ.Nonempty
hs : ¬sᶜ.ncard = s.ncard
this :
  ∀ {α : Type u_1} [inst : Fintype α] [inst_1 : DecidableEq α] {s : Set α},
    s.Nonempty →
      sᶜ.Nonempty → ¬sᶜ.ncard = s.ncard → s.ncard < sᶜ.ncard → IsCoatom (stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s)
hs' : ¬s.ncard < sᶜ.ncard
⊢ sᶜ.ncard < s.ncard

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inr.h1
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
h0 : s.Nonempty
h1 : sᶜ.Nonempty
hs : ¬sᶜ.ncard = s.ncard
this :
  ∀ {α : Type u_1} [inst : Fintype α] [inst_1 : DecidableEq α] {s : Set α},
    s.Nonempty →
      sᶜ.Nonempty → ¬sᶜ.ncard = s.ncard → s.ncard < sᶜ.ncard → IsCoatom (stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s)
hs' : ¬s.ncard < sᶜ.ncard
⊢ s.Nonempty

case inr.hs
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
h0 : s.Nonempty
h1 : sᶜ.Nonempty
hs : ¬sᶜ.ncard = s.ncard
this :
  ∀ {α : Type u_1} [inst : Fintype α] [inst_1 : DecidableEq α] {s : Set α},
    s.Nonempty →
      sᶜ.Nonempty → ¬sᶜ.ncard = s.ncard → s.ncard < sᶜ.ncard → IsCoatom (stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s)
hs' : ¬s.ncard < sᶜ.ncard
⊢ ¬s.ncard = sᶜ.ncard

case inr.hs'
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
h0 : s.Nonempty
h1 : sᶜ.Nonempty
hs : ¬sᶜ.ncard = s.ncard
this :
  ∀ {α : Type u_1} [inst : Fintype α] [inst_1 : DecidableEq α] {s : Set α},
    s.Nonempty →
      sᶜ.Nonempty → ¬sᶜ.ncard = s.ncard → s.ncard < sᶜ.ncard → IsCoatom (stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s)
hs' : ¬s.ncard < sᶜ.ncard
⊢ sᶜ.ncard < s.ncard
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating.MaximalSubgroups

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Set α
h0 : s.Nonempty
h1 : sᶜ.Nonempty
hs : ¬sᶜ.ncard = s.ncard
this :
  ∀ {α : Type u_1} [inst : Fintype α] [inst_1 : DecidableEq α] {s : Set α},
    s.Nonempty →
      sᶜ.Nonempty → ¬sᶜ.ncard = s.ncard → s.ncard < sᶜ.ncard → IsCoatom (stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s)
hs' : ¬s.ncard < sᶜ.ncard
⊢ IsCoatom (stabilizer (↥(alternatingGroup α)) s)

Tactic:
rw [← stabilizer_compl]
    apply this h1 <;> rw [compl_compl] <;> grind

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupExtension.Basic

Goal state before:
pp: N : Type u_1
G : Type u_2
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group G
E : Type u_3
inst✝ : Group E
S : GroupExtension N E G
s : S.Splitting
⊢ ⇑s = fun g ↦ S.inl 1 * s g * (S.inl 1)⁻¹

Tactic:
by simp only [map_one, inv_one, one_mul, mul_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.SubMulAction.Combination

Goal state before:
pp: case inr.inr.hmn
α✝ : Type u_2
n✝ : ℕ
inst✝² : DecidableEq α✝
α : Type u_2
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hα : 3 ≤ Nat.card α
hn : 2 * n ≤ Nat.card α
hn0 : n ≠ 0
hn1 : n ≠ 1
this : IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Nat.card α - 2)
⊢ n ≤ Nat.card α - 2

pp: case inr.inr.hα
α✝ : Type u_2
n✝ : ℕ
inst✝² : DecidableEq α✝
α : Type u_2
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hα : 3 ≤ Nat.card α
hn : 2 * n ≤ Nat.card α
hn0 : n ≠ 0
hn1 : n ≠ 1
this : IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Nat.card α - 2)
⊢ Nat.card α - 2 ≤ Nat.card α

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inr.inr.hmn
α✝ : Type u_2
n✝ : ℕ
inst✝² : DecidableEq α✝
α : Type u_2
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hα : 3 ≤ Nat.card α
hn : 2 * n ≤ Nat.card α
hn0 : n ≠ 0
hn1 : n ≠ 1
this : IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Nat.card α - 2)
⊢ n ≤ Nat.card α - 2

case inr.inr.hα
α✝ : Type u_2
n✝ : ℕ
inst✝² : DecidableEq α✝
α : Type u_2
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hα : 3 ≤ Nat.card α
hn : 2 * n ≤ Nat.card α
hn0 : n ≠ 0
hn1 : n ≠ 1
this : IsMultiplyPretransitive (↥(alternatingGroup α)) α (Nat.card α - 2)
⊢ Nat.card α - 2 ≤ Nat.card α
Module: Mathlib.GroupTheory.IsPerfect

Goal state before:
pp: G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
H : Subgroup G
f : G →* G'
inst✝ : IsPerfect ↥H
⊢ IsPerfect ↥(map f H)

Tactic:
rw [isPerfect_iff, ← map_commutator, commutator_eq_self]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.MonoidLocalization.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
N : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → CommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → CommMonoid (N i)
S : (i : ι) → Submonoid (M i)
f : (i : ι) → M i → N i
hf : ∀ (i : ι), (S i).IsLocalizationMap (f i)
z : (i : ι) → N i
⊢ ∃ x, z * Pi.map f ↑x.2 = Pi.map f x.1

Tactic:
choose x hx using fun i ↦ (hf i).surj
    exact ⟨⟨fun i ↦ (x i (z i)).1, ⟨_, fun i _ ↦ (x i (z i)).2.2⟩⟩, funext fun i ↦ hx i (z i)⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.HNNExtension

Goal state before:
pp: case e'_1
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
u : ℤˣ
hu : ¬u = 1
x✝ : G
⊢ toSubgroup A B u = B

pp: case e'_2
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
u : ℤˣ
hu : ¬u = 1
x✝ : G
⊢ toSubgroup A B (-u) = A

pp: case e'_3
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
u : ℤˣ
hu : ¬u = 1
e_1✝ : ↥(toSubgroup A B u) = ↥B
⊢ toSubgroup A B u = B

pp: case e'_4
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
u : ℤˣ
hu : ¬u = 1
e_2✝ : ↥(toSubgroup A B (-u)) = ↥A
⊢ toSubgroup A B (-u) = A

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_1
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
u : ℤˣ
hu : ¬u = 1
x✝ : G
⊢ toSubgroup A B u = B

case e'_2
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
u : ℤˣ
hu : ¬u = 1
x✝ : G
⊢ toSubgroup A B (-u) = A

case e'_3
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
u : ℤˣ
hu : ¬u = 1
e_1✝ : ↥(toSubgroup A B u) = ↥B
⊢ toSubgroup A B u = B

case e'_4
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
u : ℤˣ
hu : ¬u = 1
e_2✝ : ↥(toSubgroup A B (-u)) = ↥A
⊢ toSubgroup A B (-u) = A
Module: Mathlib.GroupTheory.MonoidLocalization.Order

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : IsOrderedCancelMonoid α
s : Submonoid α
a₁✝ b₁✝ : α
a₂✝ b₂✝ : ↥s
a b : Localization s
a₁ b₁ : α
a₂ b₂ : ↥s
c₁ d₁ : α
c₂ d₂ : ↥s
hab : (r s) (a₁, a₂) (b₁, b₂)
hcd : (r s) (c₁, c₂) (d₁, d₂)
e f : ↥s
he : ↑b₂ * a₁ = ↑a₂ * b₁
hf : ↑d₂ * c₁ = ↑c₂ * d₁
⊢ ↑d₂ * a₁ * c₁ ≤ ↑a₂ * d₁ * c₁ ↔ ↑d₂ * b₁ ≤ ↑b₂ * d₁

Tactic:
mul_le_mul_iff_right,

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : IsOrderedCancelMonoid α
s : Submonoid α
a₁✝ b₁✝ : α
a₂✝ b₂✝ : ↥s
a b : Localization s
a₁ b₁ : α
a₂ b₂ : ↥s
c₁ d₁ : α
c₂ d₂ : ↥s
hab : (r s) (a₁, a₂) (b₁, b₂)
hcd : (r s) (c₁, c₂) (d₁, d₂)
e f : ↥s
he : ↑b₂ * a₁ = ↑a₂ * b₁
hf : ↑d₂ * c₁ = ↑c₂ * d₁
⊢ ↑d₂ * a₁ ≤ ↑a₂ * d₁ ↔ ↑d₂ * b₁ ≤ ↑b₂ * d₁
Module: Mathlib.GroupTheory.HNNExtension

Goal state before:
pp: case inl
G : Type u_1
inst✝ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
d : TransversalPair G A B
g : G
⊢ (unitsSMulGroup φ d 1 g).2 = (⋯.equiv g).2

pp: case inr
G : Type u_1
inst✝ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
d : TransversalPair G A B
g : G
⊢ (unitsSMulGroup φ d (-1) g).2 = (⋯.equiv g).2

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl
G : Type u_1
inst✝ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
d : TransversalPair G A B
g : G
⊢ (unitsSMulGroup φ d 1 g).2 = (⋯.equiv g).2

case inr
G : Type u_1
inst✝ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
d : TransversalPair G A B
g : G
⊢ (unitsSMulGroup φ d (-1) g).2 = (⋯.equiv g).2