mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Coloring.Constructions

Goal state before:
pp: n : ℕ
h : 2 ≤ n
⊢ ∀ {v w : Fin n},
    (cycleGraph n).Adj v w → (if ↑v = n - 1 then 2 else ⟨↑v % 2, ⋯⟩) ≠ if ↑w = n - 1 then 2 else ⟨↑w % 2, ⋯⟩

Tactic:
by
    intro u v hadj
    match n with
    | 0 => exact u.elim0
    | 1 => simp at h
    | n + 2 =>
      simp only [cycleGraph_adj] at hadj
      split_ifs with hu hv
      · simp [Fin.eq_mk_iff_val_eq.mpr hu, Fin.eq_mk_iff_val_eq.mpr hv] at hadj
      · refine (Fin.ne_of_lt (Fin.mk_lt_of_lt_val (?_))).symm
        exact v.val.mod_lt Nat.zero_lt_two
      · refine (Fin.ne_of_lt (Fin.mk_lt_of_lt_val ?_))
        exact u.val.mod_lt Nat.zero_lt_two
      · simp only [ne_eq, Fin.ext_iff]
        have hu' : u.val + (1 : Fin (n + 2)) < n + 2 := by fin_omega
        have hv' : v.val + (1 : Fin (n + 2)) < n + 2 := by fin_omega
        cases hadj with
        | inl huv | inr huv =>
          rw [← add_eq_of_eq_sub' huv.symm]
          simp only [Fin.val_add_eq_of_add_lt hv', Fin.val_add_eq_of_add_lt hu', Fin.val_one]
          rw [show ∀ x y : ℕ, x % 2 = y % 2 ↔ (Even x ↔ Even y) by simp [Nat.even_iff]; lia,
            Nat.even_add]
          simp only [Nat.not_even_one, iff_false, not_iff_self, iff_not_self]
          exact id

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Acyclic

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : Nontrivial V
inst✝¹ : Finite ↑G.edgeSet
inst✝ : G.LocallyFinite
h : G.IsTree
u v : V
p : G.Walk u v
hp : p.IsPath
hmax : ∀ (u' v' : V) (p' : G.Walk u' v'), p'.IsPath → p'.length ≤ p.length
u' v' : V
hne : u' ≠ v'
p' : G.Walk u' v'
hp' : p'.IsPath
hnil : ¬p.Nil
⊢ G.degree u = 1

pp: case refine_2
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : Nontrivial V
inst✝¹ : Finite ↑G.edgeSet
inst✝ : G.LocallyFinite
h : G.IsTree
u v : V
p : G.Walk u v
hp : p.IsPath
hmax : ∀ (u' v' : V) (p' : G.Walk u' v'), p'.IsPath → p'.length ≤ p.length
u' v' : V
hne : u' ≠ v'
p' : G.Walk u' v'
hp' : p'.IsPath
hnil : ¬p.Nil
⊢ G.degree v = 1

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : Nontrivial V
inst✝¹ : Finite ↑G.edgeSet
inst✝ : G.LocallyFinite
h : G.IsTree
u v : V
p : G.Walk u v
hp : p.IsPath
hmax : ∀ (u' v' : V) (p' : G.Walk u' v'), p'.IsPath → p'.length ≤ p.length
u' v' : V
hne : u' ≠ v'
p' : G.Walk u' v'
hp' : p'.IsPath
hnil : ¬p.Nil
⊢ G.degree u = 1

case refine_2
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : Nontrivial V
inst✝¹ : Finite ↑G.edgeSet
inst✝ : G.LocallyFinite
h : G.IsTree
u v : V
p : G.Walk u v
hp : p.IsPath
hmax : ∀ (u' v' : V) (p' : G.Walk u' v'), p'.IsPath → p'.length ≤ p.length
u' v' : V
hne : u' ≠ v'
p' : G.Walk u' v'
hp' : p'.IsPath
hnil : ¬p.Nil
⊢ G.degree v = 1
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Coloring.Constructions

Goal state before:
pp: n : ℕ
h : 2 ≤ n
hOdd : Odd n
⊢ (cycleGraph n).chromaticNumber = 3

Tactic:
have hc := (cycleGraph.tricoloring n h).colorable
  apply le_antisymm
  · apply hc.chromaticNumber_le
  · have hn3 : n - 3 + 3 = n := by
      refine Nat.sub_add_cancel (Nat.succ_le_of_lt (Nat.lt_of_le_of_ne h ?_))
      intro h2
      rw [← h2] at hOdd
      exact (Nat.not_odd_iff.mpr rfl) hOdd
    let w : (cycleGraph (n - 3 + 3)).Walk 0 0 := cycleGraph.cycle (n - 3)
    have hOdd' : Odd w.length := by
      rw [cycleGraph.length_cycle, hn3]
      exact hOdd
    rw [← hn3]
    exact Walk.three_le_chromaticNumber_of_odd_loop w hOdd'

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Coloring.Constructions

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
⊢ G.Colorable 2 → ∀ (u : α) (w : G.Walk u u), ¬Odd w.length

pp: case mpr
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
⊢ (∀ (u : α) (w : G.Walk u u), ¬Odd w.length) → G.Colorable 2

Tactic:
<;>

Goal state after:
case mp
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
⊢ G.Colorable 2 → ∀ (u : α) (w : G.Walk u u), ¬Odd w.length

case mpr
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
⊢ (∀ (u : α) (w : G.Walk u u), ¬Odd w.length) → G.Colorable 2
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Extremal.Turan

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
r : ℕ
h : G.IsTuranMaximal r
inst✝ : DecidableEq V
fp : Finpartition univ := h.finpartition
hn : ¬fp.IsEquipartition
⊢ False

Tactic:
Finpartition.not_isEquipartition

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
r : ℕ
h : G.IsTuranMaximal r
inst✝ : DecidableEq V
fp : Finpartition univ := h.finpartition
hn : ∃ a ∈ fp.parts, ∃ b ∈ fp.parts, #b + 1 < #a
⊢ False
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.CompleteMultipartite

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u
G : SimpleGraph α
⊢ G.IsCompleteMultipartite → ∃ ι V, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Nonempty (V i)), Nonempty (G ≃g completeMultipartiteGraph V)

pp: case mpr
α : Type u
G : SimpleGraph α
⊢ (∃ ι V, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Nonempty (V i)), Nonempty (G ≃g completeMultipartiteGraph V)) → G.IsCompleteMultipartite

Tactic:
<;>

Goal state after:
case mp
α : Type u
G : SimpleGraph α
⊢ G.IsCompleteMultipartite → ∃ ι V, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Nonempty (V i)), Nonempty (G ≃g completeMultipartiteGraph V)

case mpr
α : Type u
G : SimpleGraph α
⊢ (∃ ι V, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Nonempty (V i)), Nonempty (G ≃g completeMultipartiteGraph V)) → G.IsCompleteMultipartite
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.CompleteMultipartite

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u
G : SimpleGraph α
w✝² : Type u
w✝¹ : w✝² → Type u
w✝ : ∀ (i : w✝²), Nonempty (w✝¹ i)
e : G ≃g completeMultipartiteGraph w✝¹
x✝² x✝¹ x✝ : α
h1 : ¬(completeMultipartiteGraph w✝¹).Adj (e x✝²) (e x✝¹)
h2 : ¬(completeMultipartiteGraph w✝¹).Adj (e x✝¹) (e x✝)
⊢ ¬(completeMultipartiteGraph w✝¹).Adj (e x✝²) (e x✝)

Tactic:
exact completeMultipartiteGraph.isCompleteMultipartite _ |>.trans _ _ _ h1 h2

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.CompleteMultipartite

Goal state before:
pp: α : Type u
G : SimpleGraph α
s : Set α
v w₁ w₂ : α
h : G.IsPathGraph3Compl v w₁ w₂
a✝ b✝ : Fin 3
⊢ G.Adj
      ({
          toFun := fun x ↦
            match x with
            | 0 => w₁
            | 1 => v
            | 2 => w₂,
          inj' := ⋯ }
        a✝)
      ({
          toFun := fun x ↦
            match x with
            | 0 => w₁
            | 1 => v
            | 2 => w₂,
          inj' := ⋯ }
        b✝) ↔
    (pathGraph 3)ᶜ.Adj a✝ b✝

Tactic:
simp_rw [Embedding.coeFn_mk, compl_adj, ne_eq, pathGraph_adj, not_or]

Goal state after:
α : Type u
G : SimpleGraph α
s : Set α
v w₁ w₂ : α
h : G.IsPathGraph3Compl v w₁ w₂
a✝ b✝ : Fin 3
⊢ G.Adj
      (match a✝ with
      | 0 => w₁
      | 1 => v
      | 2 => w₂)
      (match b✝ with
      | 0 => w₁
      | 1 => v
      | 2 => w₂) ↔
    ¬a✝ = b✝ ∧ ¬↑a✝ + 1 = ↑b✝ ∧ ¬↑b✝ + 1 = ↑a✝
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.CompleteMultipartite

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u
G : SimpleGraph α
s : Set α
r t : ℕ
v : Fin r × Fin t
⊢ ↑(⟨↑⟨↑v.2 * r + ↑v.1, ⋯⟩ % r, ⋯⟩, ⟨↑⟨↑v.2 * r + ↑v.1, ⋯⟩ / r, ⋯⟩).1 = ↑v.1

Tactic:
conv =>
        enter [1, 1, 1, 1, 1]
        rw [Nat.mul_add_mod_self_right]
      exact Nat.mod_eq_of_lt v.1.prop

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Acyclic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
G : SimpleGraph V
⊢ G.IsAcyclic ↔ Pairwise fun x1 x2 ↦ ¬G.IsEdgeReachable 2 x1 x2

Tactic:
refine ⟨fun h _ _ hne he ↦ ?_, fun h ↦ ?_⟩

Goal state after:
case refine_1
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
h : G.IsAcyclic
x✝¹ x✝ : V
hne : x✝¹ ≠ x✝
he : G.IsEdgeReachable 2 x✝¹ x✝
⊢ False

case refine_2
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
h : Pairwise fun x1 x2 ↦ ¬G.IsEdgeReachable 2 x1 x2
⊢ G.IsAcyclic
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.CompleteMultipartite

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u
G✝ : SimpleGraph α
s : Set α
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
r t : ℕ
K : G.CompleteEquipartiteSubgraph r t
ht : t = 0
⊢ ⊥.Copy G

Tactic:
have : IsEmpty (Fin r × Fin t) := by simp [ht, Fin.isEmpty]

Goal state after:
case pos
α : Type u
G✝ : SimpleGraph α
s : Set α
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
r t : ℕ
K : G.CompleteEquipartiteSubgraph r t
ht : t = 0
this : IsEmpty (Fin r × Fin t)
⊢ ⊥.Copy G
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Diam

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
inst✝ : Nontrivial α
u v : α
h✝ : u = v
⊢ ⊤.edist u v ≤ 1

pp: case inr
α : Type u_1
inst✝ : Nontrivial α
u v : α
h✝ : u ≠ v
⊢ ⊤.edist u v ≤ 1

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
inst✝ : Nontrivial α
u v : α
h✝ : u = v
⊢ ⊤.edist u v ≤ 1

case inr
α : Type u_1
inst✝ : Nontrivial α
u v : α
h✝ : u ≠ v
⊢ ⊤.edist u v ≤ 1
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Diam

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : SimpleGraph α
h : ¬G.Preconnected
⊢ G.ediam = ⊤

Tactic:
cases isEmpty_or_nonempty α
  · exfalso
    exact h <| IsEmpty.forall_iff.mpr trivial
  · apply ediam_eq_top_of_not_connected
    rw [connected_iff]
    tauto

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Diam

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : SimpleGraph α
inst✝ : Subsingleton α
⊢ G.center = Set.univ

Tactic:
Set.eq_univ_iff_forall

Goal state after:
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
inst✝ : Subsingleton α
⊢ ∀ (x : α), x ∈ G.center
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Diam

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
h✝ : Nontrivial α
⊢ ⊥.center = Set.univ

Tactic:
Set.eq_univ_iff_forall

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
h✝ : Nontrivial α
⊢ ∀ (x : α), x ∈ ⊥.center
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Diam

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
h✝ : Nontrivial α
⊢ ⊤.center = Set.univ

Tactic:
Set.eq_univ_iff_forall

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
h✝ : Nontrivial α
⊢ ∀ (x : α), x ∈ ⊤.center
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Ends.Defs

Goal state before:
pp: V : Type u
G : SimpleGraph V
K : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
⊢ ∀ (C : G.ComponentCompl K), ∃ ck, ck.1 ∈ C ∧ ck.2 ∈ K ∧ G.Adj ck.1 ck.2

Tactic:
refine ComponentCompl.ind fun v vnK => ?_

Goal state after:
V : Type u
G : SimpleGraph V
K : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
⊢ ∃ ck, ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK ∧ ck.2 ∈ K ∧ G.Adj ck.1 ck.2
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Ends.Defs

Goal state before:
pp: V : Type u
G : SimpleGraph V
K : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
C : G.ComponentCompl K := ⋯
dis : K ∩ ↑C ⊆ ∅ := ⋯
h : ∀ (ck : V × V), ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK → ck.2 ∈ K → ¬G.Adj ck.1 ck.2
⊢ ↑C = Set.univ

Tactic:
Set.eq_univ_iff_forall

Goal state after:
V : Type u
G : SimpleGraph V
K : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
C : G.ComponentCompl K := G.componentComplMk vnK
dis : K ∩ ↑C ⊆ ∅ := Set.disjoint_iff.mp (ComponentCompl.disjoint_right C)
h : ∀ (ck : V × V), ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK → ck.2 ∈ K → ¬G.Adj ck.1 ck.2
⊢ ∀ (x : V), x ∈ ↑C
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Extremal.TuranDensity

Goal state before:
pp: case hn
W : Type u_1
H : SimpleGraph W
n : ℕ
hn : n ≥ 2
G : SimpleGraph (Fin (n + 1))
inst✝ : DecidableRel G.Adj
h : H.Free G
⊢ ∀ b ∈ G.edgeFinset, n - 1 ≤ ↑(#(bipartiteBelow (fun v e ↦ v ∉ e) univ b))

pp: case hm
W : Type u_1
H : SimpleGraph W
n : ℕ
hn : n ≥ 2
G : SimpleGraph (Fin (n + 1))
inst✝ : DecidableRel G.Adj
h : H.Free G
⊢ ∀ a ∈ univ, ↑(#(bipartiteAbove (fun v e ↦ v ∉ e) G.edgeFinset a)) ≤ extremalNumber n H

Tactic:
· intro e he
    simp_rw [← Sym2.mem_toFinset, bipartiteBelow, filter_not, filter_mem_eq_inter, univ_inter,
      ← compl_eq_univ_sdiff, card_compl, Fintype.card_fin, card_toFinset_mem_edgeFinset ⟨e, he⟩,
      Nat.cast_id, Nat.reduceSubDiff, le_refl]

Goal state after:
case hm
W : Type u_1
H : SimpleGraph W
n : ℕ
hn : n ≥ 2
G : SimpleGraph (Fin (n + 1))
inst✝ : DecidableRel G.Adj
h : H.Free G
⊢ ∀ a ∈ univ, ↑(#(bipartiteAbove (fun v e ↦ v ∉ e) G.edgeFinset a)) ≤ extremalNumber n H
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Extremal.ErdosStoneSimonovits

Goal state before:
pp: case h₁
n : ℕ
G : SimpleGraph (Fin n)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
r t t' : ℕ
K : G.CompleteEquipartiteSubgraph r t'
hr_pos : 0 < r
ht'_pos : 0 < t'
⊢ ∑ v ∈ K.vertsᶜ \ filter K t, ↑((between (↑K.verts) (↑K.verts)ᶜ G).degree v) ≤
    ∑ x ∈ K.vertsᶜ \ filter K t, (↑(#K.verts) - ↑t' + ↑t)

pp: case h₂
n : ℕ
G : SimpleGraph (Fin n)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
r t t' : ℕ
K : G.CompleteEquipartiteSubgraph r t'
hr_pos : 0 < r
ht'_pos : 0 < t'
⊢ ∑ v ∈ filter K t, ↑((between (↑K.verts) (↑K.verts)ᶜ G).degree v) ≤ ∑ x ∈ filter K t, ↑(#K.verts)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case h₁
n : ℕ
G : SimpleGraph (Fin n)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
r t t' : ℕ
K : G.CompleteEquipartiteSubgraph r t'
hr_pos : 0 < r
ht'_pos : 0 < t'
⊢ ∑ v ∈ K.vertsᶜ \ filter K t, ↑((between (↑K.verts) (↑K.verts)ᶜ G).degree v) ≤
    ∑ x ∈ K.vertsᶜ \ filter K t, (↑(#K.verts) - ↑t' + ↑t)

case h₂
n : ℕ
G : SimpleGraph (Fin n)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
r t t' : ℕ
K : G.CompleteEquipartiteSubgraph r t'
hr_pos : 0 < r
ht'_pos : 0 < t'
⊢ ∑ v ∈ filter K t, ↑((between (↑K.verts) (↑K.verts)ᶜ G).degree v) ≤ ∑ x ∈ filter K t, ↑(#K.verts)
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.FiveWheelLike

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r✝ r : ℕ
h : Maximal (fun H ↦ H.CliqueFree (r + 1 + 1)) G
⊢ G.Colorable (r + 1) ↔ G.IsCompleteMultipartite

Tactic:
refine ⟨fun hc ↦ ?_, fun hc ↦ hc.colorable_of_cliqueFree h.1⟩

Goal state after:
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r✝ r : ℕ
h : Maximal (fun H ↦ H.CliqueFree (r + 1 + 1)) G
hc : G.Colorable (r + 1)
⊢ G.IsCompleteMultipartite
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.FiveWheelLike

Goal state before:
pp: case h
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
i j : ℕ
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
W X : Finset α
hx : ∀ x ∈ X, i ≤ #({z ∈ W | ¬G.Adj x z})
hxc : ∀ y ∈ Xᶜ, j ≤ #({z ∈ W | ¬G.Adj y z})
x : α
a✝ : x ∈ X
⊢ #({w ∈ W | G.Adj x w}) ≤ #W - i

pp: case h
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
i j : ℕ
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
W X : Finset α
hx : ∀ x ∈ X, i ≤ #({z ∈ W | ¬G.Adj x z})
hxc : ∀ y ∈ Xᶜ, j ≤ #({z ∈ W | ¬G.Adj y z})
x : α
a✝ : x ∈ Xᶜ
⊢ #({w ∈ W | G.Adj x w}) ≤ #W - j

Tactic:
<;>

Goal state after:
case h
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
i j : ℕ
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
W X : Finset α
hx : ∀ x ∈ X, i ≤ #({z ∈ W | ¬G.Adj x z})
hxc : ∀ y ∈ Xᶜ, j ≤ #({z ∈ W | ¬G.Adj y z})
x : α
a✝ : x ∈ X
⊢ #({w ∈ W | G.Adj x w}) ≤ #W - i

case h
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
i j : ℕ
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
W X : Finset α
hx : ∀ x ∈ X, i ≤ #({z ∈ W | ¬G.Adj x z})
hxc : ∀ y ∈ Xᶜ, j ≤ #({z ∈ W | ¬G.Adj y z})
x : α
a✝ : x ∈ Xᶜ
⊢ #({w ∈ W | G.Adj x w}) ≤ #W - j
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Hamiltonian

Goal state before:
pp: case h.hx
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
G : SimpleGraph α
inst✝ : Fintype α
u v : α
he : G.IsBridge s(u, v)
this : Nontrivial α
hG : G.IsHamiltonian
p : G.Walk u u
hp : p.IsHamiltonianCycle
huv : (G.deleteEdges {s(u, v)}).Reachable p.snd v
⊢ (u, v).1 ∈ p.support

pp: case h.hy
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
G : SimpleGraph α
inst✝ : Fintype α
u v : α
he : G.IsBridge s(u, v)
this : Nontrivial α
hG : G.IsHamiltonian
p : G.Walk u u
hp : p.IsHamiltonianCycle
huv : (G.deleteEdges {s(u, v)}).Reachable p.snd v
⊢ p.snd ∈ p.support

pp: case h.a
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
G : SimpleGraph α
inst✝ : Fintype α
u v : α
he : G.IsBridge s(u, v)
this : Nontrivial α
hG : G.IsHamiltonian
p : G.Walk u u
hp : p.IsHamiltonianCycle
huv : (G.deleteEdges {s(u, v)}).Reachable p.snd v
⊢ {s(u, v)}.encard < ↑2

Tactic:
<;>

Goal state after:
case h.hx
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
G : SimpleGraph α
inst✝ : Fintype α
u v : α
he : G.IsBridge s(u, v)
this : Nontrivial α
hG : G.IsHamiltonian
p : G.Walk u u
hp : p.IsHamiltonianCycle
huv : (G.deleteEdges {s(u, v)}).Reachable p.snd v
⊢ (u, v).1 ∈ p.support

case h.hy
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
G : SimpleGraph α
inst✝ : Fintype α
u v : α
he : G.IsBridge s(u, v)
this : Nontrivial α
hG : G.IsHamiltonian
p : G.Walk u u
hp : p.IsHamiltonianCycle
huv : (G.deleteEdges {s(u, v)}).Reachable p.snd v
⊢ p.snd ∈ p.support

case h.a
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
G : SimpleGraph α
inst✝ : Fintype α
u v : α
he : G.IsBridge s(u, v)
this : Nontrivial α
hG : G.IsHamiltonian
p : G.Walk u u
hp : p.IsHamiltonianCycle
huv : (G.deleteEdges {s(u, v)}).Reachable p.snd v
⊢ {s(u, v)}.encard < ↑2
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.FiveWheelLike

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hax : x = a
⊢ v ≠ x

pp: case neg
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hax : ¬x = a
⊢ v ≠ x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hax : x = a
⊢ v ≠ x

case neg
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hax : ¬x = a
⊢ v ≠ x
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.LapMatrix

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix V V α
h : A.IsAdjMatrix
i j : V
heq : A i j = 0
⊢ Aᴴ i j = A i j

pp: case inr
α : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix V V α
h : A.IsAdjMatrix
i j : V
heq : A i j = 1
⊢ Aᴴ i j = A i j

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix V V α
h : A.IsAdjMatrix
i j : V
heq : A i j = 0
⊢ Aᴴ i j = A i j

case inr
α : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix V V α
h : A.IsAdjMatrix
i j : V
heq : A i j = 1
⊢ Aᴴ i j = A i j
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.LapMatrix

Goal state before:
pp: V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝³ : DecidableRel G.Adj
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Field R
inst✝ : CharZero R
x : V → R
⊢ (((toLinearMap₂' R) (lapMatrix R G)) x) x = (∑ i, ∑ j, if G.Adj i j then (x i - x j) ^ 2 else 0) / 2

Tactic:
toLinearMap₂'_apply',

Goal state after:
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝³ : DecidableRel G.Adj
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Field R
inst✝ : CharZero R
x : V → R
⊢ x ⬝ᵥ lapMatrix R G *ᵥ x = (∑ i, ∑ j, if G.Adj i j then (x i - x j) ^ 2 else 0) / 2
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.FiveWheelLike

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hax : x = a
⊢ w₁ ≠ x

pp: case neg
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hax : ¬x = a
⊢ w₁ ≠ x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hax : x = a
⊢ w₁ ≠ x

case neg
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
r k : ℕ
x v w₁ w₂ : α
s t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
hw : G.IsFiveWheelLike r k v w₁ w₂ s t
hcf : G.CliqueFree (r + 2)
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hW : ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ t → G.Adj x y
h2 : #({z ∈ {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t))) | ¬G.Adj x z}) ≤ 2
a b c d : α
haj : ¬G.Adj x a
hbj : ¬G.Adj x b
hab : a ≠ b
hat : a ∉ t
hbs : b ∉ s
W : Finset α := {v} ∪ ({w₁} ∪ ({w₂} ∪ (s ∪ t)))
hcj : ¬G.Adj x a
hbc : b ≠ a
hca : True
hdj : ¬G.Adj x b
had : a ≠ b
hdb : True
ha : a = w₁ ∨ a ∈ s
hb : b = w₂ ∨ b ∈ t
hc : a = v ∨ a ∈ s
hd : b = v ∨ b ∈ t
has : a ∈ s
hbt : b ∈ t
hav : a ≠ v
hbv : b ≠ v
haw : a ≠ w₂
hbw : b ≠ w₁
hax : ¬x = a
⊢ w₁ ≠ x