mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
h4v : x + 4 • v ∈ interior s
h4w : x + 4 • w ∈ interior s
A : (fun h ↦ h ^ 2 • ((f'' w) v - (f'' v) w)) =o[𝓝[>] 0] fun h ↦ h ^ 2
this : (fun h ↦ 1 / h ^ 2) =O[𝓝[>] 0] fun h ↦ 1 / h ^ 2
C : (fun x ↦ (1 / x ^ 2) • x ^ 2 • ((f'' w) v - (f'' v) w)) =o[𝓝[>] 0] fun x ↦ (1 / x ^ 2) • x ^ 2
h : ℝ
hpos : 0 < h
⊢ 1 / h ^ 2 * (h ^ 2 * 1) = 1

pp: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
h4v : x + 4 • v ∈ interior s
h4w : x + 4 • w ∈ interior s
A : (fun h ↦ h ^ 2 • ((f'' w) v - (f'' v) w)) =o[𝓝[>] 0] fun h ↦ h ^ 2
this : (fun h ↦ 1 / h ^ 2) =O[𝓝[>] 0] fun h ↦ 1 / h ^ 2
C : (fun x ↦ (1 / x ^ 2) • x ^ 2 • ((f'' w) v - (f'' v) w)) =o[𝓝[>] 0] fun x ↦ (1 / x ^ 2) • x ^ 2
h : ℝ
hpos : 0 < h
⊢ 1 / h ^ 2 * (h ^ 2 * -1) = -1

Tactic:
<;>

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
h4v : x + 4 • v ∈ interior s
h4w : x + 4 • w ∈ interior s
A : (fun h ↦ h ^ 2 • ((f'' w) v - (f'' v) w)) =o[𝓝[>] 0] fun h ↦ h ^ 2
this : (fun h ↦ 1 / h ^ 2) =O[𝓝[>] 0] fun h ↦ 1 / h ^ 2
C : (fun x ↦ (1 / x ^ 2) • x ^ 2 • ((f'' w) v - (f'' v) w)) =o[𝓝[>] 0] fun x ↦ (1 / x ^ 2) • x ^ 2
h : ℝ
hpos : 0 < h
⊢ 1 / h ^ 2 * (h ^ 2 * 1) = 1

E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
h4v : x + 4 • v ∈ interior s
h4w : x + 4 • w ∈ interior s
A : (fun h ↦ h ^ 2 • ((f'' w) v - (f'' v) w)) =o[𝓝[>] 0] fun h ↦ h ^ 2
this : (fun h ↦ 1 / h ^ 2) =O[𝓝[>] 0] fun h ↦ 1 / h ^ 2
C : (fun x ↦ (1 / x ^ 2) • x ^ 2 • ((f'' w) v - (f'' v) w)) =o[𝓝[>] 0] fun x ↦ (1 / x ^ 2) • x ^ 2
h : ℝ
hpos : 0 < h
⊢ 1 / h ^ 2 * (h ^ 2 * -1) = -1
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.VectorField

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
V W : F → F
x : E
t : Set F
u : Set E
hf : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
h'f : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V t (f x)
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W t (f x)
hu : UniqueDiffOn 𝕜 u
hx : x ∈ u
hst : MapsTo f u t
hus : u =ᶠ[𝓝 x] s
⊢ pullbackWithin 𝕜 f (lieBracketWithin 𝕜 V W t) s x = pullbackWithin 𝕜 f (lieBracketWithin 𝕜 V W t) u x

Tactic:
simp only [pullbackWithin]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
V W : F → F
x : E
t : Set F
u : Set E
hf : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
h'f : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V t (f x)
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W t (f x)
hu : UniqueDiffOn 𝕜 u
hx : x ∈ u
hst : MapsTo f u t
hus : u =ᶠ[𝓝 x] s
⊢ (fderivWithin 𝕜 f s x).inverse (lieBracketWithin 𝕜 V W t (f x)) =
    (fderivWithin 𝕜 f u x).inverse (lieBracketWithin 𝕜 V W t (f x))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Norm

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
n : WithTop ℕ∞
x : E
t : ℝ
ht : t ≠ 0
hd : ContDiffAt ℝ n (fun x ↦ ‖x‖) (t • x)
⊢ ContDiffAt ℝ n (fun x ↦ ‖x‖) x

Tactic:
by
    convert! hd.contDiffAt_norm_smul (inv_ne_zero ht)
    rw [smul_smul, inv_mul_cancel₀ ht, one_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
h✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ n ≤ n

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
h✝ : ¬IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ n ≤ ω

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
h✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ n ≤ n

case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
h✝ : ¬IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ n ≤ ω
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
n m : ℕ∞ω
h✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ n + m = n + m

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
n m : ℕ∞ω
h✝ : ¬IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ ω = ω + m

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
n m : ℕ∞ω
h✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ n + m = n + m

case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
n m : ℕ∞ω
h✝ : ¬IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ ω = ω + m
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
m n : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
h✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ m ≤ n

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
m n : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
h✝ : ¬IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ ω ≤ ω

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
m n : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
h✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ m ≤ n

case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
m n : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
h✝ : ¬IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ ω ≤ ω
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
h : IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ n = ∞ ↔ n = ∞ ∧ IsRCLikeNormedField 𝕜

pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
h : ¬IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ ω = ∞ ↔ n = ∞ ∧ IsRCLikeNormedField 𝕜

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
h : IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ n = ∞ ↔ n = ∞ ∧ IsRCLikeNormedField 𝕜

case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
h : ¬IsRCLikeNormedField 𝕜
⊢ ω = ∞ ↔ n = ∞ ∧ IsRCLikeNormedField 𝕜
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ImplicitContDiff

Goal state before:
pp: case e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E₁ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁶ : CompleteSpace E₁
E₂ : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝³ : CompleteSpace E₂
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E₁ E₂ F
n : ℕ∞ω
hl : ContDiffAt 𝕜 n φ.leftFun φ.pt
hr : ContDiffAt 𝕜 n φ.rightFun φ.pt
pn : n ≠ 0
x✝ : E₁
⊢ (φ.prodFun x✝).1 = φ.leftFun x✝

pp: case e'_4
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E₁ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁶ : CompleteSpace E₁
E₂ : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝³ : CompleteSpace E₂
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E₁ E₂ F
n : ℕ∞ω
hl : ContDiffAt 𝕜 n φ.leftFun φ.pt
hr : ContDiffAt 𝕜 n φ.rightFun φ.pt
pn : n ≠ 0
x✝ : E₁
⊢ (φ.prodFun x✝).2 = φ.rightFun x✝

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E₁ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁶ : CompleteSpace E₁
E₂ : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝³ : CompleteSpace E₂
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E₁ E₂ F
n : ℕ∞ω
hl : ContDiffAt 𝕜 n φ.leftFun φ.pt
hr : ContDiffAt 𝕜 n φ.rightFun φ.pt
pn : n ≠ 0
x✝ : E₁
⊢ (φ.prodFun x✝).1 = φ.leftFun x✝

case e'_4
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E₁ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁶ : CompleteSpace E₁
E₂ : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝³ : CompleteSpace E₂
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E₁ E₂ F
n : ℕ∞ω
hl : ContDiffAt 𝕜 n φ.leftFun φ.pt
hr : ContDiffAt 𝕜 n φ.rightFun φ.pt
pn : n ≠ 0
x✝ : E₁
⊢ (φ.prodFun x✝).2 = φ.rightFun x✝
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.IteratedDeriv.FaaDiBruno

Goal state before:
pp: case «0»
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
g : E → F
f : 𝕜 → E
s : Set 𝕜
t : Set E
x : 𝕜
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 3 g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 3 f s x
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
⊢ Fin.cons 1 (Fin.cons 1 fun x ↦ 1) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) = 1

pp: case «1»
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
g : E → F
f : 𝕜 → E
s : Set 𝕜
t : Set E
x : 𝕜
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 3 g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 3 f s x
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
⊢ Fin.cons 1 (Fin.cons 1 fun x ↦ 1) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) = 1

pp: case «2»
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
g : E → F
f : 𝕜 → E
s : Set 𝕜
t : Set E
x : 𝕜
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 3 g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 3 f s x
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
⊢ Fin.cons 1 (Fin.cons 1 fun x ↦ 1) ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) = 1

Tactic:
<;>

Goal state after:
case «0»
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
g : E → F
f : 𝕜 → E
s : Set 𝕜
t : Set E
x : 𝕜
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 3 g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 3 f s x
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
⊢ Fin.cons 1 (Fin.cons 1 fun x ↦ 1) ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) = 1

case «1»
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
g : E → F
f : 𝕜 → E
s : Set 𝕜
t : Set E
x : 𝕜
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 3 g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 3 f s x
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
⊢ Fin.cons 1 (Fin.cons 1 fun x ↦ 1) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) = 1

case «2»
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
g : E → F
f : 𝕜 → E
s : Set 𝕜
t : Set E
x : 𝕜
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 3 g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 3 f s x
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
⊢ Fin.cons 1 (Fin.cons 1 fun x ↦ 1) ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) = 1
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Implicit

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
x : E
a✝¹ : φ.implicitFunction (φ.leftFun x) (φ.rightFun x) = x
a✝ : φ.leftFun (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x)) = φ.leftFun φ.pt
⊢ φ.leftFun x = φ.leftFun φ.pt → φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x) = x

pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
x : E
a✝¹ : φ.implicitFunction (φ.leftFun x) (φ.rightFun x) = x
a✝ : φ.leftFun (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x)) = φ.leftFun φ.pt
⊢ φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x) = x → φ.leftFun x = φ.leftFun φ.pt

Tactic:
<;>

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
x : E
a✝¹ : φ.implicitFunction (φ.leftFun x) (φ.rightFun x) = x
a✝ : φ.leftFun (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x)) = φ.leftFun φ.pt
⊢ φ.leftFun x = φ.leftFun φ.pt → φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x) = x

case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
x : E
a✝¹ : φ.implicitFunction (φ.leftFun x) (φ.rightFun x) = x
a✝ : φ.leftFun (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x)) = φ.leftFun φ.pt
⊢ φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x) = x → φ.leftFun x = φ.leftFun φ.pt
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LHopital

Goal state before:
pp: case refine_1
a : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[>] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[>] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[>] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
u : ℝ
hau : u ∈ Ioi a
hu : Ioo a u ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ Ioo a u, HasDerivAt f (f' x) x

pp: case refine_2
a : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[>] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[>] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[>] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
u : ℝ
hau : u ∈ Ioi a
hu : Ioo a u ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ Ioo a u, HasDerivAt g (g' x) x

pp: case refine_3
a : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[>] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[>] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[>] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
u : ℝ
hau : u ∈ Ioi a
hu : Ioo a u ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ Ioo a u, g' x ≠ 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
a : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[>] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[>] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[>] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
u : ℝ
hau : u ∈ Ioi a
hu : Ioo a u ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ Ioo a u, HasDerivAt f (f' x) x

case refine_2
a : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[>] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[>] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[>] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
u : ℝ
hau : u ∈ Ioi a
hu : Ioo a u ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ Ioo a u, HasDerivAt g (g' x) x

case refine_3
a : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[>] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[>] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[>] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
u : ℝ
hau : u ∈ Ioi a
hu : Ioo a u ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ Ioo a u, g' x ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LHopital

Goal state before:
pp: case refine_1
a : ℝ
l✝ : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[<] a) l✝
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[<] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[<] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[<] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
l : ℝ
hal : l ∈ Iio a
hl : Ioo l a ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ Ioo l a, HasDerivAt f (f' x) x

pp: case refine_2
a : ℝ
l✝ : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[<] a) l✝
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[<] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[<] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[<] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
l : ℝ
hal : l ∈ Iio a
hl : Ioo l a ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ Ioo l a, HasDerivAt g (g' x) x

pp: case refine_3
a : ℝ
l✝ : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[<] a) l✝
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[<] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[<] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[<] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
l : ℝ
hal : l ∈ Iio a
hl : Ioo l a ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ Ioo l a, g' x ≠ 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
a : ℝ
l✝ : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[<] a) l✝
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[<] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[<] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[<] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
l : ℝ
hal : l ∈ Iio a
hl : Ioo l a ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ Ioo l a, HasDerivAt f (f' x) x

case refine_2
a : ℝ
l✝ : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[<] a) l✝
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[<] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[<] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[<] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
l : ℝ
hal : l ∈ Iio a
hl : Ioo l a ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ Ioo l a, HasDerivAt g (g' x) x

case refine_3
a : ℝ
l✝ : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[<] a) l✝
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[<] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[<] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[<] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
l : ℝ
hal : l ∈ Iio a
hl : Ioo l a ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ Ioo l a, g' x ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LHopital

Goal state before:
pp: case inl
a : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : Convex ℝ s
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[s \ {a}] a, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[s \ {a}] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[s \ {a}] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[s \ {a}] a) l
has : a ∈ closure s
h : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[s \ {a}] a, s \ {a} ∈ 𝓝 x
hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[s \ {a}] a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[s \ {a}] a, HasDerivAt g (g' x) x
hs_Iio : s ∩ Iio a = ∅
⊢ Tendsto (fun x ↦ f x / g x) (𝓝[s \ {a}] a) l

pp: case inr
a : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : Convex ℝ s
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[s \ {a}] a, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[s \ {a}] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[s \ {a}] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[s \ {a}] a) l
has : a ∈ closure s
h : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[s \ {a}] a, s \ {a} ∈ 𝓝 x
hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[s \ {a}] a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[s \ {a}] a, HasDerivAt g (g' x) x
hs_Iio : (s ∩ Iio a).Nonempty
⊢ Tendsto (fun x ↦ f x / g x) (𝓝[s \ {a}] a) l

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl
a : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : Convex ℝ s
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[s \ {a}] a, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[s \ {a}] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[s \ {a}] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[s \ {a}] a) l
has : a ∈ closure s
h : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[s \ {a}] a, s \ {a} ∈ 𝓝 x
hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[s \ {a}] a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[s \ {a}] a, HasDerivAt g (g' x) x
hs_Iio : s ∩ Iio a = ∅
⊢ Tendsto (fun x ↦ f x / g x) (𝓝[s \ {a}] a) l

case inr
a : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : Convex ℝ s
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[s \ {a}] a, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[s \ {a}] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[s \ {a}] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[s \ {a}] a) l
has : a ∈ closure s
h : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[s \ {a}] a, s \ {a} ∈ 𝓝 x
hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[s \ {a}] a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[s \ {a}] a, HasDerivAt g (g' x) x
hs_Iio : (s ∩ Iio a).Nonempty
⊢ Tendsto (fun x ↦ f x / g x) (𝓝[s \ {a}] a) l
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LHopital

Goal state before:
pp: case refine_1
l✝ : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) atTop l✝
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atTop
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atTop
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atTop
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
l : ℝ
hl : ∀ (b : ℝ), l ≤ b → b ∈ s
hl' : Ioi l ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ Ioi l, HasDerivAt f (f' x) x

pp: case refine_2
l✝ : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) atTop l✝
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atTop
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atTop
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atTop
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
l : ℝ
hl : ∀ (b : ℝ), l ≤ b → b ∈ s
hl' : Ioi l ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ Ioi l, HasDerivAt g (g' x) x

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
l✝ : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) atTop l✝
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atTop
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atTop
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atTop
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
l : ℝ
hl : ∀ (b : ℝ), l ≤ b → b ∈ s
hl' : Ioi l ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ Ioi l, HasDerivAt f (f' x) x

case refine_2
l✝ : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hftop : Tendsto f atTop (𝓝 0)
hgtop : Tendsto g atTop (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) atTop l✝
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atTop
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atTop
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atTop
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
l : ℝ
hl : ∀ (b : ℝ), l ≤ b → b ∈ s
hl' : Ioi l ⊆ s
⊢ ∀ x ∈ Ioi l, HasDerivAt g (g' x) x