mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Data.Matrix.Mul

Goal state before:
pp: case e'_3
m : Type u_2
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
v w : m → α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → v j * diagonal w i j = 0
⊢ v i * w i = v i * diagonal w i i

pp: case convert_2
m : Type u_2
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
v w : m → α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → v j * diagonal w i j = 0
⊢ i ∉ Finset.univ → v i * diagonal w i i = 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_3
m : Type u_2
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
v w : m → α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → v j * diagonal w i j = 0
⊢ v i * w i = v i * diagonal w i i

case convert_2
m : Type u_2
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
v w : m → α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → v j * diagonal w i j = 0
⊢ i ∉ Finset.univ → v i * diagonal w i i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.StrongRankCondition

Goal state before:
pp: K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module K M
s : Set M
inst✝ : Module.Finite K ↥(span K s)
t : Set M
ht_sub : t ⊆ s
ht_span : span K t = span K s
ht_indep : LinearIndependent K Subtype.val
⊢ ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ t.card = finrank K ↥(span K s) ∧ span K ↑t = span K s ∧ LinearIndepOn K id ↑t

Tactic:
obtain ⟨t, rfl, ht_card⟩ : ∃ u : Finset M, ↑u = t ∧ u.card = finrank K (span K s) := by
    rw [← Cardinal.mk_set_eq_nat_iff_finset, finrank_eq_rank, ← ht_span, rank_span_set ht_indep]

Goal state after:
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module K M
s : Set M
inst✝ : Module.Finite K ↥(span K s)
t : Finset M
ht_card : t.card = finrank K ↥(span K s)
ht_sub : ↑t ⊆ s
ht_span : span K ↑t = span K s
ht_indep : LinearIndependent K Subtype.val
⊢ ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ t.card = finrank K ↥(span K s) ∧ span K ↑t = span K s ∧ LinearIndepOn K id ↑t
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Operations

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
b : ι
I : Ideal R
t : Finset ι
hbt : b ∉ t
h : ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑(insert b t), ↑(f i)
hbs : b ∈ insert b t
j : ι
hj : j ∈ t
hp : ∀ i ∈ insert b t, i ≠ j → i ≠ b → (f i).IsPrime
has : j ∉ insert b t
⊢ False

pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a : ι
I : Ideal R
t : Finset ι
j : ι
hj : j ∈ t
hbt : j ∉ t
hp : ∀ i ∈ insert j t, i ≠ a → i ≠ j → (f i).IsPrime
h : ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑(insert j t), ↑(f i)
has : a ∉ insert j t
hbs : j ∈ insert j t
⊢ False

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
b : ι
I : Ideal R
t : Finset ι
hbt : b ∉ t
h : ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑(insert b t), ↑(f i)
hbs : b ∈ insert b t
j : ι
hj : j ∈ t
hp : ∀ i ∈ insert b t, i ≠ j → i ≠ b → (f i).IsPrime
has : j ∉ insert b t
⊢ False

case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a : ι
I : Ideal R
t : Finset ι
j : ι
hj : j ∈ t
hbt : j ∉ t
hp : ∀ i ∈ insert j t, i ≠ a → i ≠ j → (f i).IsPrime
h : ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑(insert j t), ↑(f i)
has : a ∉ insert j t
hbs : j ∈ insert j t
⊢ False
Module: Mathlib.Data.Matrix.Mul

Goal state before:
pp: case e'_3
m : Type u_2
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
v w : m → α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → v j * diagonal w j i = 0
⊢ v i * w i = v i * diagonal w i i

pp: case convert_2
m : Type u_2
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
v w : m → α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → v j * diagonal w j i = 0
⊢ i ∉ Finset.univ → v i * diagonal w i i = 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_3
m : Type u_2
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
v w : m → α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → v j * diagonal w j i = 0
⊢ v i * w i = v i * diagonal w i i

case convert_2
m : Type u_2
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
v w : m → α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → v j * diagonal w j i = 0
⊢ i ∉ Finset.univ → v i * diagonal w i i = 0
Module: Mathlib.Data.Matrix.Mul

Goal state before:
pp: case e'_3
m : Type u_2
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
v : m → α
x : α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → Pi.single i x j * v j = 0
⊢ x * v i = Pi.single i x i * v i

pp: case convert_2
m : Type u_2
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
v : m → α
x : α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → Pi.single i x j * v j = 0
⊢ i ∉ Finset.univ → Pi.single i x i * v i = 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_3
m : Type u_2
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
v : m → α
x : α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → Pi.single i x j * v j = 0
⊢ x * v i = Pi.single i x i * v i

case convert_2
m : Type u_2
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
v : m → α
x : α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → Pi.single i x j * v j = 0
⊢ i ∉ Finset.univ → Pi.single i x i * v i = 0
Module: Mathlib.Data.Matrix.Mul

Goal state before:
pp: case e'_3
m : Type u_2
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
v : m → α
x : α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → v j * Pi.single i x j = 0
⊢ v i * x = v i * Pi.single i x i

pp: case convert_2
m : Type u_2
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
v : m → α
x : α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → v j * Pi.single i x j = 0
⊢ i ∉ Finset.univ → v i * Pi.single i x i = 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_3
m : Type u_2
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
v : m → α
x : α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → v j * Pi.single i x j = 0
⊢ v i * x = v i * Pi.single i x i

case convert_2
m : Type u_2
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
v : m → α
x : α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → v j * Pi.single i x j = 0
⊢ i ∉ Finset.univ → v i * Pi.single i x i = 0
Module: Mathlib.Data.Matrix.Basis

Goal state before:
pp: case pos
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
i : m
j : n
a✝ : α
a : m
b : n
hi : i = a
⊢ of (fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then a✝ else 0) a b = of (Pi.single i (Pi.single j a✝)) a b

pp: case neg
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
i : m
j : n
a✝ : α
a : m
b : n
hi : ¬i = a
⊢ of (fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then a✝ else 0) a b = of (Pi.single i (Pi.single j a✝)) a b

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
i : m
j : n
a✝ : α
a : m
b : n
hi : i = a
⊢ of (fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then a✝ else 0) a b = of (Pi.single i (Pi.single j a✝)) a b

case neg
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
i : m
j : n
a✝ : α
a : m
b : n
hi : ¬i = a
⊢ of (fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then a✝ else 0) a b = of (Pi.single i (Pi.single j a✝)) a b
Module: Mathlib.Data.Matrix.Basis

Goal state before:
pp: case pos
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
i : m
j : n
a✝ : α
a : m
b : n
hi : i = a
hj : j = b
⊢ of (fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then a✝ else 0) a b = of (Pi.single i (Pi.single j a✝)) a b

pp: case neg
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
i : m
j : n
a✝ : α
a : m
b : n
hi : i = a
hj : ¬j = b
⊢ of (fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then a✝ else 0) a b = of (Pi.single i (Pi.single j a✝)) a b

pp: case pos
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
i : m
j : n
a✝ : α
a : m
b : n
hi : ¬i = a
hj : j = b
⊢ of (fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then a✝ else 0) a b = of (Pi.single i (Pi.single j a✝)) a b

pp: case neg
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
i : m
j : n
a✝ : α
a : m
b : n
hi : ¬i = a
hj : ¬j = b
⊢ of (fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then a✝ else 0) a b = of (Pi.single i (Pi.single j a✝)) a b

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
i : m
j : n
a✝ : α
a : m
b : n
hi : i = a
hj : j = b
⊢ of (fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then a✝ else 0) a b = of (Pi.single i (Pi.single j a✝)) a b

case neg
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
i : m
j : n
a✝ : α
a : m
b : n
hi : i = a
hj : ¬j = b
⊢ of (fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then a✝ else 0) a b = of (Pi.single i (Pi.single j a✝)) a b

case pos
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
i : m
j : n
a✝ : α
a : m
b : n
hi : ¬i = a
hj : j = b
⊢ of (fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then a✝ else 0) a b = of (Pi.single i (Pi.single j a✝)) a b

case neg
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
i : m
j : n
a✝ : α
a : m
b : n
hi : ¬i = a
hj : ¬j = b
⊢ of (fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then a✝ else 0) a b = of (Pi.single i (Pi.single j a✝)) a b
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Operations

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
i : ι
t : Finset ι
left✝ : i ∉ t
hp : ∀ i_1 ∈ insert i t, i_1 ≠ a → i_1 ≠ b → (f i_1).IsPrime
h : ↑I ⊆ ⋃ i_1 ∈ ↑(insert i t), ↑(f i_1)
has : a ∉ insert i t
hbs : b ∉ insert i t
his : i ∈ insert i t
j : ι
hj : j ∈ t
⊢ j ≠ a

pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
i : ι
t : Finset ι
left✝ : i ∉ t
hp : ∀ i_1 ∈ insert i t, i_1 ≠ a → i_1 ≠ b → (f i_1).IsPrime
h : ↑I ⊆ ⋃ i_1 ∈ ↑(insert i t), ↑(f i_1)
has : a ∉ insert i t
hbs : b ∉ insert i t
his : i ∈ insert i t
j : ι
hj : j ∈ t
⊢ j ≠ b

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
i : ι
t : Finset ι
left✝ : i ∉ t
hp : ∀ i_1 ∈ insert i t, i_1 ≠ a → i_1 ≠ b → (f i_1).IsPrime
h : ↑I ⊆ ⋃ i_1 ∈ ↑(insert i t), ↑(f i_1)
has : a ∉ insert i t
hbs : b ∉ insert i t
his : i ∈ insert i t
j : ι
hj : j ∈ t
⊢ j ≠ a

case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a b : ι
I : Ideal R
i : ι
t : Finset ι
left✝ : i ∉ t
hp : ∀ i_1 ∈ insert i t, i_1 ≠ a → i_1 ≠ b → (f i_1).IsPrime
h : ↑I ⊆ ⋃ i_1 ∈ ↑(insert i t), ↑(f i_1)
has : a ∉ insert i t
hbs : b ∉ insert i t
his : i ∈ insert i t
j : ι
hj : j ∈ t
⊢ j ≠ b
Module: Mathlib.Data.Matrix.Mul

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_10
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
A B : Matrix (Fin 2) (Fin 2) R
⊢ (A * B) 0 0 = A 0 0 * B 0 0 + A 0 1 * B 1 0

pp: case refine_2
R : Type u_10
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
A B : Matrix (Fin 2) (Fin 2) R
⊢ (A * B) 0 1 = A 0 0 * B 0 1 + A 0 1 * B 1 1

pp: case refine_3
R : Type u_10
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
A B : Matrix (Fin 2) (Fin 2) R
⊢ (A * B) 1 0 = A 1 0 * B 0 0 + A 1 1 * B 1 0

pp: case refine_4
R : Type u_10
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
A B : Matrix (Fin 2) (Fin 2) R
⊢ (A * B) 1 1 = A 1 0 * B 0 1 + A 1 1 * B 1 1

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_10
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
A B : Matrix (Fin 2) (Fin 2) R
⊢ (A * B) 0 0 = A 0 0 * B 0 0 + A 0 1 * B 1 0

case refine_2
R : Type u_10
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
A B : Matrix (Fin 2) (Fin 2) R
⊢ (A * B) 0 1 = A 0 0 * B 0 1 + A 0 1 * B 1 1

case refine_3
R : Type u_10
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
A B : Matrix (Fin 2) (Fin 2) R
⊢ (A * B) 1 0 = A 1 0 * B 0 0 + A 1 1 * B 1 0

case refine_4
R : Type u_10
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
A B : Matrix (Fin 2) (Fin 2) R
⊢ (A * B) 1 1 = A 1 0 * B 0 1 + A 1 1 * B 1 1
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Operations

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
b : ι
I : Ideal R
i : ι
t : Finset ι
left✝ : i ∉ t
h : ↑I ⊆ ⋃ i_1 ∈ ↑(insert i t), ↑(f i_1)
hbs : b ∉ insert i t
his : i ∈ insert i t
j : ι
hj : j ∈ t
hp : ∀ i_1 ∈ insert i t, i_1 ≠ j → i_1 ≠ b → (f i_1).IsPrime
has : j ∉ insert i t
⊢ False

pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a : ι
I : Ideal R
i : ι
t : Finset ι
left✝ : i ∉ t
h : ↑I ⊆ ⋃ i_1 ∈ ↑(insert i t), ↑(f i_1)
has : a ∉ insert i t
his : i ∈ insert i t
j : ι
hj : j ∈ t
hp : ∀ i_1 ∈ insert i t, i_1 ≠ a → i_1 ≠ j → (f i_1).IsPrime
hbs : j ∉ insert i t
⊢ False

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
b : ι
I : Ideal R
i : ι
t : Finset ι
left✝ : i ∉ t
h : ↑I ⊆ ⋃ i_1 ∈ ↑(insert i t), ↑(f i_1)
hbs : b ∉ insert i t
his : i ∈ insert i t
j : ι
hj : j ∈ t
hp : ∀ i_1 ∈ insert i t, i_1 ≠ j → i_1 ≠ b → (f i_1).IsPrime
has : j ∉ insert i t
⊢ False

case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
a : ι
I : Ideal R
i : ι
t : Finset ι
left✝ : i ∉ t
h : ↑I ⊆ ⋃ i_1 ∈ ↑(insert i t), ↑(f i_1)
has : a ∉ insert i t
his : i ∈ insert i t
j : ι
hj : j ∈ t
hp : ∀ i_1 ∈ insert i t, i_1 ≠ a → i_1 ≠ j → (f i_1).IsPrime
hbs : j ∉ insert i t
⊢ False
Module: Mathlib.Data.Matrix.Basis

Goal state before:
pp: case pos
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : AddZeroClass α
i : m
j : n
a b : α
i✝ : m
j✝ : n
h : i = i✝ ∧ j = j✝
⊢ a + b = ((of fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then a else 0) + of fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then b else 0) i✝ j✝

pp: case neg
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : AddZeroClass α
i : m
j : n
a b : α
i✝ : m
j✝ : n
h : ¬(i = i✝ ∧ j = j✝)
⊢ 0 = ((of fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then a else 0) + of fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then b else 0) i✝ j✝

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : AddZeroClass α
i : m
j : n
a b : α
i✝ : m
j✝ : n
h : i = i✝ ∧ j = j✝
⊢ a + b = ((of fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then a else 0) + of fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then b else 0) i✝ j✝

case neg
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : AddZeroClass α
i : m
j : n
a b : α
i✝ : m
j✝ : n
h : ¬(i = i✝ ∧ j = j✝)
⊢ 0 = ((of fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then a else 0) + of fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then b else 0) i✝ j✝
Module: Mathlib.Data.Matrix.Mul

Goal state before:
pp: m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type v
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
d : n → α
M : Matrix m n α
i : m
j : n
⊢ (M * (diagonal d)ᵀ) i j = M i j * d j

Tactic:
apply dotProduct_diagonal

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Matrix.Mul

Goal state before:
pp: case pos
n : Type u_3
α : Type v
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
d₁ d₂ : n → α
i j : n
h : i = j
⊢ (diagonal d₁ * diagonal d₂) i j = diagonal (fun i ↦ d₁ i * d₂ i) i j

pp: case neg
n : Type u_3
α : Type v
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
d₁ d₂ : n → α
i j : n
h : ¬i = j
⊢ (diagonal d₁ * diagonal d₂) i j = diagonal (fun i ↦ d₁ i * d₂ i) i j

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
n : Type u_3
α : Type v
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
d₁ d₂ : n → α
i j : n
h : i = j
⊢ (diagonal d₁ * diagonal d₂) i j = diagonal (fun i ↦ d₁ i * d₂ i) i j

case neg
n : Type u_3
α : Type v
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
d₁ d₂ : n → α
i j : n
h : ¬i = j
⊢ (diagonal d₁ * diagonal d₂) i j = diagonal (fun i ↦ d₁ i * d₂ i) i j
Module: Mathlib.Data.Matrix.Basis

Goal state before:
pp: m : Type u_2
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Fintype m
f : m → α
j k : m
⊢ single j j (f j) j k = if j = k then f j else 0

pp: case h₀
m : Type u_2
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Fintype m
f : m → α
j k : m
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ j → single b b (f b) j k = 0

pp: case h₁
m : Type u_2
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Fintype m
f : m → α
j k : m
⊢ j ∉ Finset.univ → single j j (f j) j k = 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
m : Type u_2
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Fintype m
f : m → α
j k : m
⊢ single j j (f j) j k = if j = k then f j else 0

case h₀
m : Type u_2
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Fintype m
f : m → α
j k : m
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ j → single b b (f b) j k = 0

case h₁
m : Type u_2
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Fintype m
f : m → α
j k : m
⊢ j ∉ Finset.univ → single j j (f j) j k = 0
Module: Mathlib.Data.Matrix.Basis

Goal state before:
pp: case pos
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
i : n
c : α
j : n
hij : i = j
⊢ (single i i c).diag j = Pi.single i c j

pp: case neg
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
i : n
c : α
j : n
hij : ¬i = j
⊢ (single i i c).diag j = Pi.single i c j

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
i : n
c : α
j : n
hij : i = j
⊢ (single i i c).diag j = Pi.single i c j

case neg
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
i : n
c : α
j : n
hij : ¬i = j
⊢ (single i i c).diag j = Pi.single i c j
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
I : Ideal R
inst✝ : I.IsMaximal
a b : R
n : ℕ
h : a * b ∈ I ^ n
⊢ a ∈ I ^ n ∨ b ∈ I

Tactic:
by
  rw [mul_comm] at h
  rw [or_comm]
  exact mul_mem_pow _ h

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Matrix.Basis

Goal state before:
pp: case pos
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
i : n
c : α
j : n
hij : i = j
⊢ (single j j c).diag j = Pi.single j c j

pp: case neg
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
i : n
c : α
j : n
hij : ¬i = j
⊢ (single i i c).diag j = Pi.single i c j

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
i : n
c : α
j : n
hij : i = j
⊢ (single j j c).diag j = Pi.single j c j

case neg
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
i : n
c : α
j : n
hij : ¬i = j
⊢ (single i i c).diag j = Pi.single i c j
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Operations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
v : ι → M
inst✝ : Fintype ι
f : ι →₀ ↥I
⊢ (finsuppTotal ι M I v) f = ∑ i, ↑(f i) • v i

Tactic:
by
  rw [finsuppTotal_apply, Finsupp.sum_fintype]
  exact fun _ => zero_smul _ _

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Matrix.Basis

Goal state before:
pp: case pos
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
c : α
i : l
j : m
k : n
d : α
a : l
b : n
h₁ : i = a
⊢ ∑ j_1,
      of (fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then c else 0) a j_1 *
        of (fun i' j' ↦ if j = i' ∧ k = j' then d else 0) j_1 b =
    of (fun i' j' ↦ if i = i' ∧ k = j' then c * d else 0) a b

pp: case neg
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
c : α
i : l
j : m
k : n
d : α
a : l
b : n
h₁ : ¬i = a
⊢ ∑ j_1,
      of (fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then c else 0) a j_1 *
        of (fun i' j' ↦ if j = i' ∧ k = j' then d else 0) j_1 b =
    of (fun i' j' ↦ if i = i' ∧ k = j' then c * d else 0) a b

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
c : α
i : l
j : m
k : n
d : α
a : l
b : n
h₁ : i = a
⊢ ∑ j_1,
      of (fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then c else 0) a j_1 *
        of (fun i' j' ↦ if j = i' ∧ k = j' then d else 0) j_1 b =
    of (fun i' j' ↦ if i = i' ∧ k = j' then c * d else 0) a b

case neg
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
c : α
i : l
j : m
k : n
d : α
a : l
b : n
h₁ : ¬i = a
⊢ ∑ j_1,
      of (fun i' j' ↦ if i = i' ∧ j = j' then c else 0) a j_1 *
        of (fun i' j' ↦ if j = i' ∧ k = j' then d else 0) j_1 b =
    of (fun i' j' ↦ if i = i' ∧ k = j' then c * d else 0) a b
Module: Mathlib.Data.Matrix.Basis

Goal state before:
pp: case pos
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_7
inst✝⁶ : DecidableEq l
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype n
i : l
i' : m
j' : n
j : o
a : α
x : Matrix m n α
b : α
i'' : l
j'' : o
h₁ : i = i''
⊢ ∑ j_1,
      (∑ j, of (fun i'_1 j' ↦ if i = i'_1 ∧ i' = j' then a else 0) i'' j * x j j_1) *
        of (fun i' j'_1 ↦ if j' = i' ∧ j = j'_1 then b else 0) j_1 j'' =
    of (fun i'_1 j'_1 ↦ if i = i'_1 ∧ j = j'_1 then a * x i' j' * b else 0) i'' j''

pp: case neg
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_7
inst✝⁶ : DecidableEq l
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype n
i : l
i' : m
j' : n
j : o
a : α
x : Matrix m n α
b : α
i'' : l
j'' : o
h₁ : ¬i = i''
⊢ ∑ j_1,
      (∑ j, of (fun i'_1 j' ↦ if i = i'_1 ∧ i' = j' then a else 0) i'' j * x j j_1) *
        of (fun i' j'_1 ↦ if j' = i' ∧ j = j'_1 then b else 0) j_1 j'' =
    of (fun i'_1 j'_1 ↦ if i = i'_1 ∧ j = j'_1 then a * x i' j' * b else 0) i'' j''

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pos
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_7
inst✝⁶ : DecidableEq l
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype n
i : l
i' : m
j' : n
j : o
a : α
x : Matrix m n α
b : α
i'' : l
j'' : o
h₁ : i = i''
⊢ ∑ j_1,
      (∑ j, of (fun i'_1 j' ↦ if i = i'_1 ∧ i' = j' then a else 0) i'' j * x j j_1) *
        of (fun i' j'_1 ↦ if j' = i' ∧ j = j'_1 then b else 0) j_1 j'' =
    of (fun i'_1 j'_1 ↦ if i = i'_1 ∧ j = j'_1 then a * x i' j' * b else 0) i'' j''

case neg
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type u_7
inst✝⁶ : DecidableEq l
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype n
i : l
i' : m
j' : n
j : o
a : α
x : Matrix m n α
b : α
i'' : l
j'' : o
h₁ : ¬i = i''
⊢ ∑ j_1,
      (∑ j, of (fun i'_1 j' ↦ if i = i'_1 ∧ i' = j' then a else 0) i'' j * x j j_1) *
        of (fun i' j'_1 ↦ if j' = i' ∧ j = j'_1 then b else 0) j_1 j'' =
    of (fun i'_1 j'_1 ↦ if i = i'_1 ∧ j = j'_1 then a * x i' j' * b else 0) i'' j''
Module: Mathlib.Data.Matrix.Basis

Goal state before:
pp: case inr.inr.inl
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Semiring α
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j ↦ Commute (single i j 1) M
h✝ : Nonempty n
i k : n
hkl : i ≠ k
⊢ 0 = M i k

pp: case inr.inr.inr
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Semiring α
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j ↦ Commute (single i j 1) M
h✝ : Nonempty n
i j k : n
hkl : j ≠ k
hij : i ≠ j
⊢ 0 = M j k

Tactic:
· rw [col_eq_zero_of_commute_single (hM hkl.symm) hkl]

Goal state after:
case inr.inr.inr
n : Type u_3
α : Type u_7
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Semiring α
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j ↦ Commute (single i j 1) M
h✝ : Nonempty n
i j k : n
hkl : j ≠ k
hij : i ≠ j
⊢ 0 = M j k