mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂ : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₃ : ‖p₃ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ 2 • «o».oangle (p₁ -ᵥ s.center - (p₂ -ᵥ s.center)) (p₃ -ᵥ s.center - (p₂ -ᵥ s.center)) =
    2 • «o».oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂)

pp: V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂ : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₃ : ‖p₃ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ p₂ -ᵥ s.center ≠ p₁ -ᵥ s.center

pp: V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂ : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₃ : ‖p₃ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ p₂ -ᵥ s.center ≠ p₃ -ᵥ s.center

Tactic:
<;>

Goal state after:
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂ : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₃ : ‖p₃ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ 2 • «o».oangle (p₁ -ᵥ s.center - (p₂ -ᵥ s.center)) (p₃ -ᵥ s.center - (p₂ -ᵥ s.center)) =
    2 • «o».oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂)

V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂ : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₃ : ‖p₃ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ p₂ -ᵥ s.center ≠ p₁ -ᵥ s.center

V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂ : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₃ : ‖p₃ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ p₂ -ᵥ s.center ≠ p₃ -ᵥ s.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
i : Fin 2
hi : i ∈ Set.univ
j : Fin 2
hj : j ∈ Set.univ
hij : i ≠ j
⊢ dist (s.points i) (Finset.centroid ℝ univ s.points) = dist (s.points j) (Finset.centroid ℝ univ s.points)

Tactic:
rw [Finset.centroid_pair_fin, dist_eq_norm_vsub V (s.points i),
      dist_eq_norm_vsub V (s.points j), vsub_vadd_eq_vsub_sub, vsub_vadd_eq_vsub_sub, ←
      one_smul ℝ (s.points i -ᵥ s.points 0), ← one_smul ℝ (s.points j -ᵥ s.points 0)]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
i : Fin 2
hi : i ∈ Set.univ
j : Fin 2
hj : j ∈ Set.univ
hij : i ≠ j
⊢ ‖1 • (s.points i -ᵥ s.points 0) - 2⁻¹ • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖ =
    ‖1 • (s.points j -ᵥ s.points 0) - 2⁻¹ • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: case «0»
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
j : Fin 2
hj : j ∈ Set.univ
hi : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ∈ Set.univ
hij : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ j
⊢ ‖1 • (s.points ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) -ᵥ s.points 0) - 2⁻¹ • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖ =
    ‖1 • (s.points j -ᵥ s.points 0) - 2⁻¹ • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖

pp: case «1»
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
j : Fin 2
hj : j ∈ Set.univ
hi : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ∈ Set.univ
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ j
⊢ ‖1 • (s.points ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) -ᵥ s.points 0) - 2⁻¹ • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖ =
    ‖1 • (s.points j -ᵥ s.points 0) - 2⁻¹ • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖

Tactic:
<;>

Goal state after:
case «0»
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
j : Fin 2
hj : j ∈ Set.univ
hi : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ∈ Set.univ
hij : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ j
⊢ ‖1 • (s.points ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) -ᵥ s.points 0) - 2⁻¹ • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖ =
    ‖1 • (s.points j -ᵥ s.points 0) - 2⁻¹ • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖

case «1»
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
j : Fin 2
hj : j ∈ Set.univ
hi : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ∈ Set.univ
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ j
⊢ ‖1 • (s.points ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) -ᵥ s.points 0) - 2⁻¹ • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖ =
    ‖1 • (s.points j -ᵥ s.points 0) - 2⁻¹ • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: case «0».«1»
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
hi : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ∈ Set.univ
hj : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ∈ Set.univ
hij : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ ‖2⁻¹ • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖ = ‖(1 - 2⁻¹) • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖

pp: case «1».«0»
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
hi : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ∈ Set.univ
hj : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ∈ Set.univ
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ ‖(1 - 2⁻¹) • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖ = ‖2⁻¹ • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖

Tactic:
<;>

Goal state after:
case «0».«1»
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
hi : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ∈ Set.univ
hj : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ∈ Set.univ
hij : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩
⊢ ‖2⁻¹ • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖ = ‖(1 - 2⁻¹) • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖

case «1».«0»
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
hi : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ∈ Set.univ
hj : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ∈ Set.univ
hij : (fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩ ≠ (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩
⊢ ‖(1 - 2⁻¹) • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖ = ‖2⁻¹ • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ (s.reindex e).circumsphere.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)

pp: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ Set.range s.points ⊆ Metric.sphere (s.reindex e).circumsphere.center (s.reindex e).circumsphere.radius

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ (s.reindex e).circumsphere.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)

case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ Set.range s.points ⊆ Metric.sphere (s.reindex e).circumsphere.center (s.reindex e).circumsphere.radius
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: case e'_2.a.pointIndex
n : ℕ
i a✝¹ : Fin (n + 1)
a✝ : pointIndex a✝¹ ∈ univ
⊢ pointWeightsWithCircumcenter i (pointIndex a✝¹) =
    if pointIndex a✝¹ = pointIndex i then Function.const (PointsWithCircumcenterIndex n) 1 (pointIndex a✝¹) else 0

pp: case e'_2.a.circumcenterIndex
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
a✝ : circumcenterIndex ∈ univ
⊢ pointWeightsWithCircumcenter i circumcenterIndex =
    if circumcenterIndex = pointIndex i then Function.const (PointsWithCircumcenterIndex n) 1 circumcenterIndex else 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_2.a.pointIndex
n : ℕ
i a✝¹ : Fin (n + 1)
a✝ : pointIndex a✝¹ ∈ univ
⊢ pointWeightsWithCircumcenter i (pointIndex a✝¹) =
    if pointIndex a✝¹ = pointIndex i then Function.const (PointsWithCircumcenterIndex n) 1 (pointIndex a✝¹) else 0

case e'_2.a.circumcenterIndex
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
a✝ : circumcenterIndex ∈ univ
⊢ pointWeightsWithCircumcenter i circumcenterIndex =
    if circumcenterIndex = pointIndex i then Function.const (PointsWithCircumcenterIndex n) 1 circumcenterIndex else 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: case e'_2.a.pointIndex
n : ℕ
a✝¹ : Fin (n + 1)
a✝ : pointIndex a✝¹ ∈ univ
⊢ circumcenterWeightsWithCircumcenter n (pointIndex a✝¹) =
    if pointIndex a✝¹ = circumcenterIndex then Function.const (PointsWithCircumcenterIndex n) 1 (pointIndex a✝¹) else 0

pp: case e'_2.a.circumcenterIndex
n : ℕ
a✝ : circumcenterIndex ∈ univ
⊢ circumcenterWeightsWithCircumcenter n circumcenterIndex =
    if circumcenterIndex = circumcenterIndex then Function.const (PointsWithCircumcenterIndex n) 1 circumcenterIndex
    else 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_2.a.pointIndex
n : ℕ
a✝¹ : Fin (n + 1)
a✝ : pointIndex a✝¹ ∈ univ
⊢ circumcenterWeightsWithCircumcenter n (pointIndex a✝¹) =
    if pointIndex a✝¹ = circumcenterIndex then Function.const (PointsWithCircumcenterIndex n) 1 (pointIndex a✝¹) else 0

case e'_2.a.circumcenterIndex
n : ℕ
a✝ : circumcenterIndex ∈ univ
⊢ circumcenterWeightsWithCircumcenter n circumcenterIndex =
    if circumcenterIndex = circumcenterIndex then Function.const (PointsWithCircumcenterIndex n) 1 circumcenterIndex
    else 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: case pointIndex
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
a✝ : pointIndex i ∈ univ
hn : pointIndex i ≠ circumcenterIndex
⊢ circumcenterWeightsWithCircumcenter n (pointIndex i) = 0

pp: case circumcenterIndex
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
a✝ : circumcenterIndex ∈ univ
hn : circumcenterIndex ≠ circumcenterIndex
⊢ circumcenterWeightsWithCircumcenter n circumcenterIndex = 0

Tactic:
<;>

Goal state after:
case pointIndex
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
a✝ : pointIndex i ∈ univ
hn : pointIndex i ≠ circumcenterIndex
⊢ circumcenterWeightsWithCircumcenter n (pointIndex i) = 0

case circumcenterIndex
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
a✝ : circumcenterIndex ∈ univ
hn : circumcenterIndex ≠ circumcenterIndex
⊢ circumcenterWeightsWithCircumcenter n circumcenterIndex = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.TriangleInequality

Goal state before:
pp: case inl
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hy : ‖y‖ = 1
h₁ : ¬x = y
h₂ : ¬x = -y
H2 : x = ⟪y, x⟫ • y
hx : ⟪y, x⟫ = 1
⊢ False

pp: case inr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hy : ‖y‖ = 1
h₁ : ¬x = y
h₂ : ¬x = -y
H2 : x = ⟪y, x⟫ • y
hx : ⟪y, x⟫ = -1
⊢ False

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hy : ‖y‖ = 1
h₁ : ¬x = y
h₂ : ¬x = -y
H2 : x = ⟪y, x⟫ • y
hx : ⟪y, x⟫ = 1
⊢ False

case inr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hy : ‖y‖ = 1
h₁ : ¬x = y
h₂ : ¬x = -y
H2 : x = ⟪y, x⟫ • y
hx : ⟪y, x⟫ = -1
⊢ False
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case e'_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NeZero 1
s : Simplex ℝ P 1
signs : Finset (Fin (1 + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (1 + 1)
hij : s.points i.rev = s.points j.rev
hne : ¬i = j
⊢ i = j.rev

pp: case e'_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NeZero 1
s : Simplex ℝ P 1
signs : Finset (Fin (1 + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (1 + 1)
hij : s.points i.rev = s.points j.rev
hne : ¬i = j
⊢ j = i.rev

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NeZero 1
s : Simplex ℝ P 1
signs : Finset (Fin (1 + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (1 + 1)
hij : s.points i.rev = s.points j.rev
hne : ¬i = j
⊢ i = j.rev

case e'_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NeZero 1
s : Simplex ℝ P 1
signs : Finset (Fin (1 + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (1 + 1)
hij : s.points i.rev = s.points j.rev
hne : ¬i = j
⊢ j = i.rev
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NeZero 1
s : Simplex ℝ P 1
signs : Finset (Fin (1 + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (1 + 1)
hij : s.points i.rev = s.points j.rev
hne : ¬i = j
⊢ s.points i = s.points j

Tactic:
convert! hij.symm <;> clear hij

Goal state after:
case e'_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NeZero 1
s : Simplex ℝ P 1
signs : Finset (Fin (1 + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (1 + 1)
hne : ¬i = j
⊢ i = j.rev

case e'_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NeZero 1
s : Simplex ℝ P 1
signs : Finset (Fin (1 + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (1 + 1)
hne : ¬i = j
⊢ j = i.rev
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case e'_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NeZero 1
s : Simplex ℝ P 1
signs : Finset (Fin (1 + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (1 + 1)
hne : ¬i = j
⊢ i = j.rev

pp: case e'_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NeZero 1
s : Simplex ℝ P 1
signs : Finset (Fin (1 + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (1 + 1)
hne : ¬i = j
⊢ j = i.rev

Tactic:
<;>

Goal state after:
case e'_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NeZero 1
s : Simplex ℝ P 1
signs : Finset (Fin (1 + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (1 + 1)
hne : ¬i = j
⊢ i = j.rev

case e'_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NeZero 1
s : Simplex ℝ P 1
signs : Finset (Fin (1 + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (1 + 1)
hne : ¬i = j
⊢ j = i.rev
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.TriangleInequality

Goal state before:
pp: case left
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
hxy : ¬x - ⟪x, y⟫ • y = 0
⊢ ⟪x, y⟫ ≠ 1

pp: case right
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
hxy : ¬x - ⟪x, y⟫ • y = 0
⊢ ⟪x, y⟫ ≠ -1

Tactic:
<;>

Goal state after:
case left
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
hxy : ¬x - ⟪x, y⟫ • y = 0
⊢ ⟪x, y⟫ ≠ 1

case right
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
hxy : ¬x - ⟪x, y⟫ • y = 0
⊢ ⟪x, y⟫ ≠ -1
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case neg.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h₂₃₁ : ∠ p₂ p₃ p₁ ≤ ∠ p₁ p₂ p₃
h₃₁₂ : ∠ p₃ p₁ p₂ ≤ ∠ p₁ p₂ p₃
h : ¬p₂ = p₁
hne : ∠ p₁ p₂ p₃ ≠ ∠ p₂ p₃ p₁
⊢ π / 3 < ∠ p₁ p₂ p₃

pp: case neg.inr.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h₂₃₁ : ∠ p₂ p₃ p₁ ≤ ∠ p₁ p₂ p₃
h₃₁₂ : ∠ p₃ p₁ p₂ ≤ ∠ p₁ p₂ p₃
h : ¬p₂ = p₁
hne : ∠ p₁ p₂ p₃ ≠ ∠ p₃ p₁ p₂
⊢ π / 3 < ∠ p₁ p₂ p₃

pp: case neg.inr.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h₂₃₁ : ∠ p₂ p₃ p₁ ≤ ∠ p₁ p₂ p₃
h₃₁₂ : ∠ p₃ p₁ p₂ ≤ ∠ p₁ p₂ p₃
h : ¬p₂ = p₁
hne : ∠ p₂ p₃ p₁ ≠ ∠ p₃ p₁ p₂
⊢ π / 3 < ∠ p₁ p₂ p₃

Tactic:
<;>

Goal state after:
case neg.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h₂₃₁ : ∠ p₂ p₃ p₁ ≤ ∠ p₁ p₂ p₃
h₃₁₂ : ∠ p₃ p₁ p₂ ≤ ∠ p₁ p₂ p₃
h : ¬p₂ = p₁
hne : ∠ p₁ p₂ p₃ ≠ ∠ p₂ p₃ p₁
⊢ π / 3 < ∠ p₁ p₂ p₃

case neg.inr.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h₂₃₁ : ∠ p₂ p₃ p₁ ≤ ∠ p₁ p₂ p₃
h₃₁₂ : ∠ p₃ p₁ p₂ ≤ ∠ p₁ p₂ p₃
h : ¬p₂ = p₁
hne : ∠ p₁ p₂ p₃ ≠ ∠ p₃ p₁ p₂
⊢ π / 3 < ∠ p₁ p₂ p₃

case neg.inr.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h₂₃₁ : ∠ p₂ p₃ p₁ ≤ ∠ p₁ p₂ p₃
h₃₁₂ : ∠ p₃ p₁ p₂ ≤ ∠ p₁ p₂ p₃
h : ¬p₂ = p₁
hne : ∠ p₂ p₃ p₁ ≠ ∠ p₃ p₁ p₂
⊢ π / 3 < ∠ p₁ p₂ p₃
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case neg.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h₂₃₁ : ∠ p₁ p₂ p₃ ≤ ∠ p₂ p₃ p₁
h₃₁₂ : ∠ p₁ p₂ p₃ ≤ ∠ p₃ p₁ p₂
h : ¬p₂ = p₁
hne : ∠ p₁ p₂ p₃ ≠ ∠ p₂ p₃ p₁
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ < π / 3

pp: case neg.inr.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h₂₃₁ : ∠ p₁ p₂ p₃ ≤ ∠ p₂ p₃ p₁
h₃₁₂ : ∠ p₁ p₂ p₃ ≤ ∠ p₃ p₁ p₂
h : ¬p₂ = p₁
hne : ∠ p₁ p₂ p₃ ≠ ∠ p₃ p₁ p₂
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ < π / 3

pp: case neg.inr.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h₂₃₁ : ∠ p₁ p₂ p₃ ≤ ∠ p₂ p₃ p₁
h₃₁₂ : ∠ p₁ p₂ p₃ ≤ ∠ p₃ p₁ p₂
h : ¬p₂ = p₁
hne : ∠ p₂ p₃ p₁ ≠ ∠ p₃ p₁ p₂
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ < π / 3

Tactic:
<;>

Goal state after:
case neg.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h₂₃₁ : ∠ p₁ p₂ p₃ ≤ ∠ p₂ p₃ p₁
h₃₁₂ : ∠ p₁ p₂ p₃ ≤ ∠ p₃ p₁ p₂
h : ¬p₂ = p₁
hne : ∠ p₁ p₂ p₃ ≠ ∠ p₂ p₃ p₁
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ < π / 3

case neg.inr.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h₂₃₁ : ∠ p₁ p₂ p₃ ≤ ∠ p₂ p₃ p₁
h₃₁₂ : ∠ p₁ p₂ p₃ ≤ ∠ p₃ p₁ p₂
h : ¬p₂ = p₁
hne : ∠ p₁ p₂ p₃ ≠ ∠ p₃ p₁ p₂
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ < π / 3

case neg.inr.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h₂₃₁ : ∠ p₁ p₂ p₃ ≤ ∠ p₂ p₃ p₁
h₃₁₂ : ∠ p₁ p₂ p₃ ≤ ∠ p₃ p₁ p₂
h : ¬p₂ = p₁
hne : ∠ p₂ p₃ p₁ ≠ ∠ p₃ p₁ p₂
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ < π / 3
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.TriangleInequality

Goal state before:
pp: case inl
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x z : V
kz : ℝ≥0
hy : 0 • x + kz • z ≠ 0
⊢ angle x z = angle x (0 • x + kz • z) + angle (0 • x + kz • z) z

pp: case inr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x z : V
kx kz : ℝ≥0
hy : kx • x + kz • z ≠ 0
hkx : 0 < kx
⊢ angle x z = angle x (kx • x + kz • z) + angle (kx • x + kz • z) z

Tactic:
<;>

Goal state after:
case inl
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x z : V
kz : ℝ≥0
hy : 0 • x + kz • z ≠ 0
⊢ angle x z = angle x (0 • x + kz • z) + angle (0 • x + kz • z) z

case inr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x z : V
kx kz : ℝ≥0
hy : kx • x + kz • z ≠ 0
hkx : 0 < kx
⊢ angle x z = angle x (kx • x + kz • z) + angle (kx • x + kz • z) z
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Congruence

Goal state before:
pp: case «0»
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝¹ : MetricSpace P₁
inst✝ : MetricSpace P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
hd₁ : dist a b = dist a' b'
hd₂ : dist b c = dist b' c'
hd₃ : dist c a = dist c' a'
j : Fin 3
⊢ dist (![a, b, c] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)) (![a, b, c] j) = dist (![a', b', c'] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)) (![a', b', c'] j)

pp: case «1»
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝¹ : MetricSpace P₁
inst✝ : MetricSpace P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
hd₁ : dist a b = dist a' b'
hd₂ : dist b c = dist b' c'
hd₃ : dist c a = dist c' a'
j : Fin 3
⊢ dist (![a, b, c] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)) (![a, b, c] j) = dist (![a', b', c'] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)) (![a', b', c'] j)

pp: case «2»
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝¹ : MetricSpace P₁
inst✝ : MetricSpace P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
hd₁ : dist a b = dist a' b'
hd₂ : dist b c = dist b' c'
hd₃ : dist c a = dist c' a'
j : Fin 3
⊢ dist (![a, b, c] ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩)) (![a, b, c] j) = dist (![a', b', c'] ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩)) (![a', b', c'] j)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case «0»
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝¹ : MetricSpace P₁
inst✝ : MetricSpace P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
hd₁ : dist a b = dist a' b'
hd₂ : dist b c = dist b' c'
hd₃ : dist c a = dist c' a'
j : Fin 3
⊢ dist (![a, b, c] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)) (![a, b, c] j) = dist (![a', b', c'] ((fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)) (![a', b', c'] j)

case «1»
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝¹ : MetricSpace P₁
inst✝ : MetricSpace P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
hd₁ : dist a b = dist a' b'
hd₂ : dist b c = dist b' c'
hd₃ : dist c a = dist c' a'
j : Fin 3
⊢ dist (![a, b, c] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)) (![a, b, c] j) = dist (![a', b', c'] ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)) (![a', b', c'] j)

case «2»
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝¹ : MetricSpace P₁
inst✝ : MetricSpace P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
hd₁ : dist a b = dist a' b'
hd₂ : dist b c = dist b' c'
hd₃ : dist c a = dist c' a'
j : Fin 3
⊢ dist (![a, b, c] ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩)) (![a, b, c] j) = dist (![a', b', c'] ((fun i ↦ i) ⟨2, ⋯⟩)) (![a', b', c'] j)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
i j : Fin (n + 1)
hne : i ≠ j
⊢ SignType.sign (s.touchpointWeights {i} j i) = -1

Tactic:
rw [(s.excenterExists_singleton i).sign_touchpointWeights hne.symm,
    s.sign_excenterWeights_singleton_neg]

Goal state after: