Module: Mathlib.Algebra.Exact.Sequence

Goal state before:
pp: case exact₁
k : Type u_1
inst✝¹⁸ : DivisionRing k
V₀ : Type u₀
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V₀
inst✝¹⁶ : Module k V₀
inst✝¹⁵ : FiniteDimensional k V₀
V₁ : Type u₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝¹³ : Module k V₁
inst✝¹² : FiniteDimensional k V₁
V₂ : Type u₂
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : Module k V₂
inst✝⁹ : FiniteDimensional k V₂
V₃ : Type u₃
inst✝⁸ : AddCommGroup V₃
inst✝⁷ : Module k V₃
inst✝⁶ : FiniteDimensional k V₃
V₄ : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V₄
inst✝⁴ : Module k V₄
inst✝³ : FiniteDimensional k V₄
V₅ : Type u₅
inst✝² : AddCommGroup V₅
inst✝¹ : Module k V₅
inst✝ : FiniteDimensional k V₅
f₀ : V₀ →ₗ[k] V₁
f₁ : V₁ →ₗ[k] V₂
f₂ : V₂ →ₗ[k] V₃
f₃ : V₃ →ₗ[k] V₄
f₄ : V₄ →ₗ[k] V₅
inj : Injective ⇑f₀
exact₁ : Exact ⇑f₀ ⇑f₁
exact₂ : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
exact₃ : Exact ⇑f₂ ⇑f₃
exact₄ : Exact ⇑f₃ ⇑f₄
surj : Surjective ⇑f₄
W₀ : Type (max u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₁ : Type (max u₁ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₂ : Type (max u₂ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₃ : Type (max u₃ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₄ : Type (max u₄ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₅ : Type (max u₅ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
g₀ : W₀ →ₗ[k] W₁ := ⋯
g₁ : W₁ →ₗ[k] W₂ := ⋯
g₂ : W₂ →ₗ[k] W₃ := ⋯
g₃ : W₃ →ₗ[k] W₄ := ⋯
g₄ : W₄ →ₗ[k] W₅ := ⋯
this :
  Exact ⇑g₀ ⇑g₁ →
    Exact ⇑g₁ ⇑g₂ →
      Exact ⇑g₂ ⇑g₃ →
        Exact ⇑g₃ ⇑g₄ →
          ↑(finrank k V₀) - ↑(finrank k V₁) + ↑(finrank k V₂) - ↑(finrank k V₃) + ↑(finrank k V₄) - ↑(finrank k V₅) = 0
⊢ Exact ⇑g₀ ⇑g₁

pp: case exact₂
k : Type u_1
inst✝¹⁸ : DivisionRing k
V₀ : Type u₀
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V₀
inst✝¹⁶ : Module k V₀
inst✝¹⁵ : FiniteDimensional k V₀
V₁ : Type u₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝¹³ : Module k V₁
inst✝¹² : FiniteDimensional k V₁
V₂ : Type u₂
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : Module k V₂
inst✝⁹ : FiniteDimensional k V₂
V₃ : Type u₃
inst✝⁸ : AddCommGroup V₃
inst✝⁷ : Module k V₃
inst✝⁶ : FiniteDimensional k V₃
V₄ : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V₄
inst✝⁴ : Module k V₄
inst✝³ : FiniteDimensional k V₄
V₅ : Type u₅
inst✝² : AddCommGroup V₅
inst✝¹ : Module k V₅
inst✝ : FiniteDimensional k V₅
f₀ : V₀ →ₗ[k] V₁
f₁ : V₁ →ₗ[k] V₂
f₂ : V₂ →ₗ[k] V₃
f₃ : V₃ →ₗ[k] V₄
f₄ : V₄ →ₗ[k] V₅
inj : Injective ⇑f₀
exact₁ : Exact ⇑f₀ ⇑f₁
exact₂ : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
exact₃ : Exact ⇑f₂ ⇑f₃
exact₄ : Exact ⇑f₃ ⇑f₄
surj : Surjective ⇑f₄
W₀ : Type (max u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₁ : Type (max u₁ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₂ : Type (max u₂ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₃ : Type (max u₃ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₄ : Type (max u₄ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₅ : Type (max u₅ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
g₀ : W₀ →ₗ[k] W₁ := ⋯
g₁ : W₁ →ₗ[k] W₂ := ⋯
g₂ : W₂ →ₗ[k] W₃ := ⋯
g₃ : W₃ →ₗ[k] W₄ := ⋯
g₄ : W₄ →ₗ[k] W₅ := ⋯
this :
  Exact ⇑g₀ ⇑g₁ →
    Exact ⇑g₁ ⇑g₂ →
      Exact ⇑g₂ ⇑g₃ →
        Exact ⇑g₃ ⇑g₄ →
          ↑(finrank k V₀) - ↑(finrank k V₁) + ↑(finrank k V₂) - ↑(finrank k V₃) + ↑(finrank k V₄) - ↑(finrank k V₅) = 0
⊢ Exact ⇑g₁ ⇑g₂

pp: case exact₃
k : Type u_1
inst✝¹⁸ : DivisionRing k
V₀ : Type u₀
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V₀
inst✝¹⁶ : Module k V₀
inst✝¹⁵ : FiniteDimensional k V₀
V₁ : Type u₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝¹³ : Module k V₁
inst✝¹² : FiniteDimensional k V₁
V₂ : Type u₂
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : Module k V₂
inst✝⁹ : FiniteDimensional k V₂
V₃ : Type u₃
inst✝⁸ : AddCommGroup V₃
inst✝⁷ : Module k V₃
inst✝⁶ : FiniteDimensional k V₃
V₄ : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V₄
inst✝⁴ : Module k V₄
inst✝³ : FiniteDimensional k V₄
V₅ : Type u₅
inst✝² : AddCommGroup V₅
inst✝¹ : Module k V₅
inst✝ : FiniteDimensional k V₅
f₀ : V₀ →ₗ[k] V₁
f₁ : V₁ →ₗ[k] V₂
f₂ : V₂ →ₗ[k] V₃
f₃ : V₃ →ₗ[k] V₄
f₄ : V₄ →ₗ[k] V₅
inj : Injective ⇑f₀
exact₁ : Exact ⇑f₀ ⇑f₁
exact₂ : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
exact₃ : Exact ⇑f₂ ⇑f₃
exact₄ : Exact ⇑f₃ ⇑f₄
surj : Surjective ⇑f₄
W₀ : Type (max u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₁ : Type (max u₁ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₂ : Type (max u₂ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₃ : Type (max u₃ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₄ : Type (max u₄ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₅ : Type (max u₅ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
g₀ : W₀ →ₗ[k] W₁ := ⋯
g₁ : W₁ →ₗ[k] W₂ := ⋯
g₂ : W₂ →ₗ[k] W₃ := ⋯
g₃ : W₃ →ₗ[k] W₄ := ⋯
g₄ : W₄ →ₗ[k] W₅ := ⋯
this :
  Exact ⇑g₀ ⇑g₁ →
    Exact ⇑g₁ ⇑g₂ →
      Exact ⇑g₂ ⇑g₃ →
        Exact ⇑g₃ ⇑g₄ →
          ↑(finrank k V₀) - ↑(finrank k V₁) + ↑(finrank k V₂) - ↑(finrank k V₃) + ↑(finrank k V₄) - ↑(finrank k V₅) = 0
⊢ Exact ⇑g₂ ⇑g₃

pp: case exact₄
k : Type u_1
inst✝¹⁸ : DivisionRing k
V₀ : Type u₀
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V₀
inst✝¹⁶ : Module k V₀
inst✝¹⁵ : FiniteDimensional k V₀
V₁ : Type u₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝¹³ : Module k V₁
inst✝¹² : FiniteDimensional k V₁
V₂ : Type u₂
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : Module k V₂
inst✝⁹ : FiniteDimensional k V₂
V₃ : Type u₃
inst✝⁸ : AddCommGroup V₃
inst✝⁷ : Module k V₃
inst✝⁶ : FiniteDimensional k V₃
V₄ : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V₄
inst✝⁴ : Module k V₄
inst✝³ : FiniteDimensional k V₄
V₅ : Type u₅
inst✝² : AddCommGroup V₅
inst✝¹ : Module k V₅
inst✝ : FiniteDimensional k V₅
f₀ : V₀ →ₗ[k] V₁
f₁ : V₁ →ₗ[k] V₂
f₂ : V₂ →ₗ[k] V₃
f₃ : V₃ →ₗ[k] V₄
f₄ : V₄ →ₗ[k] V₅
inj : Injective ⇑f₀
exact₁ : Exact ⇑f₀ ⇑f₁
exact₂ : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
exact₃ : Exact ⇑f₂ ⇑f₃
exact₄ : Exact ⇑f₃ ⇑f₄
surj : Surjective ⇑f₄
W₀ : Type (max u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₁ : Type (max u₁ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₂ : Type (max u₂ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₃ : Type (max u₃ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₄ : Type (max u₄ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₅ : Type (max u₅ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
g₀ : W₀ →ₗ[k] W₁ := ⋯
g₁ : W₁ →ₗ[k] W₂ := ⋯
g₂ : W₂ →ₗ[k] W₃ := ⋯
g₃ : W₃ →ₗ[k] W₄ := ⋯
g₄ : W₄ →ₗ[k] W₅ := ⋯
this :
  Exact ⇑g₀ ⇑g₁ →
    Exact ⇑g₁ ⇑g₂ →
      Exact ⇑g₂ ⇑g₃ →
        Exact ⇑g₃ ⇑g₄ →
          ↑(finrank k V₀) - ↑(finrank k V₁) + ↑(finrank k V₂) - ↑(finrank k V₃) + ↑(finrank k V₄) - ↑(finrank k V₅) = 0
⊢ Exact ⇑g₃ ⇑g₄

Tactic:
<;>

Goal state after:
case exact₁
k : Type u_1
inst✝¹⁸ : DivisionRing k
V₀ : Type u₀
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V₀
inst✝¹⁶ : Module k V₀
inst✝¹⁵ : FiniteDimensional k V₀
V₁ : Type u₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝¹³ : Module k V₁
inst✝¹² : FiniteDimensional k V₁
V₂ : Type u₂
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : Module k V₂
inst✝⁹ : FiniteDimensional k V₂
V₃ : Type u₃
inst✝⁸ : AddCommGroup V₃
inst✝⁷ : Module k V₃
inst✝⁶ : FiniteDimensional k V₃
V₄ : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V₄
inst✝⁴ : Module k V₄
inst✝³ : FiniteDimensional k V₄
V₅ : Type u₅
inst✝² : AddCommGroup V₅
inst✝¹ : Module k V₅
inst✝ : FiniteDimensional k V₅
f₀ : V₀ →ₗ[k] V₁
f₁ : V₁ →ₗ[k] V₂
f₂ : V₂ →ₗ[k] V₃
f₃ : V₃ →ₗ[k] V₄
f₄ : V₄ →ₗ[k] V₅
inj : Injective ⇑f₀
exact₁ : Exact ⇑f₀ ⇑f₁
exact₂ : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
exact₃ : Exact ⇑f₂ ⇑f₃
exact₄ : Exact ⇑f₃ ⇑f₄
surj : Surjective ⇑f₄
W₀ : Type (max u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₁ : Type (max u₁ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₂ : Type (max u₂ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₃ : Type (max u₃ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₄ : Type (max u₄ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₅ : Type (max u₅ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
g₀ : W₀ →ₗ[k] W₁ := ⋯
g₁ : W₁ →ₗ[k] W₂ := ⋯
g₂ : W₂ →ₗ[k] W₃ := ⋯
g₃ : W₃ →ₗ[k] W₄ := ⋯
g₄ : W₄ →ₗ[k] W₅ := ⋯
this :
  Exact ⇑g₀ ⇑g₁ →
    Exact ⇑g₁ ⇑g₂ →
      Exact ⇑g₂ ⇑g₃ →
        Exact ⇑g₃ ⇑g₄ →
          ↑(finrank k V₀) - ↑(finrank k V₁) + ↑(finrank k V₂) - ↑(finrank k V₃) + ↑(finrank k V₄) - ↑(finrank k V₅) = 0
⊢ Exact ⇑g₀ ⇑g₁

case exact₂
k : Type u_1
inst✝¹⁸ : DivisionRing k
V₀ : Type u₀
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V₀
inst✝¹⁶ : Module k V₀
inst✝¹⁵ : FiniteDimensional k V₀
V₁ : Type u₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝¹³ : Module k V₁
inst✝¹² : FiniteDimensional k V₁
V₂ : Type u₂
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : Module k V₂
inst✝⁹ : FiniteDimensional k V₂
V₃ : Type u₃
inst✝⁸ : AddCommGroup V₃
inst✝⁷ : Module k V₃
inst✝⁶ : FiniteDimensional k V₃
V₄ : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V₄
inst✝⁴ : Module k V₄
inst✝³ : FiniteDimensional k V₄
V₅ : Type u₅
inst✝² : AddCommGroup V₅
inst✝¹ : Module k V₅
inst✝ : FiniteDimensional k V₅
f₀ : V₀ →ₗ[k] V₁
f₁ : V₁ →ₗ[k] V₂
f₂ : V₂ →ₗ[k] V₃
f₃ : V₃ →ₗ[k] V₄
f₄ : V₄ →ₗ[k] V₅
inj : Injective ⇑f₀
exact₁ : Exact ⇑f₀ ⇑f₁
exact₂ : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
exact₃ : Exact ⇑f₂ ⇑f₃
exact₄ : Exact ⇑f₃ ⇑f₄
surj : Surjective ⇑f₄
W₀ : Type (max u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₁ : Type (max u₁ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₂ : Type (max u₂ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₃ : Type (max u₃ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₄ : Type (max u₄ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₅ : Type (max u₅ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
g₀ : W₀ →ₗ[k] W₁ := ⋯
g₁ : W₁ →ₗ[k] W₂ := ⋯
g₂ : W₂ →ₗ[k] W₃ := ⋯
g₃ : W₃ →ₗ[k] W₄ := ⋯
g₄ : W₄ →ₗ[k] W₅ := ⋯
this :
  Exact ⇑g₀ ⇑g₁ →
    Exact ⇑g₁ ⇑g₂ →
      Exact ⇑g₂ ⇑g₃ →
        Exact ⇑g₃ ⇑g₄ →
          ↑(finrank k V₀) - ↑(finrank k V₁) + ↑(finrank k V₂) - ↑(finrank k V₃) + ↑(finrank k V₄) - ↑(finrank k V₅) = 0
⊢ Exact ⇑g₁ ⇑g₂

case exact₃
k : Type u_1
inst✝¹⁸ : DivisionRing k
V₀ : Type u₀
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V₀
inst✝¹⁶ : Module k V₀
inst✝¹⁵ : FiniteDimensional k V₀
V₁ : Type u₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝¹³ : Module k V₁
inst✝¹² : FiniteDimensional k V₁
V₂ : Type u₂
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : Module k V₂
inst✝⁹ : FiniteDimensional k V₂
V₃ : Type u₃
inst✝⁸ : AddCommGroup V₃
inst✝⁷ : Module k V₃
inst✝⁶ : FiniteDimensional k V₃
V₄ : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V₄
inst✝⁴ : Module k V₄
inst✝³ : FiniteDimensional k V₄
V₅ : Type u₅
inst✝² : AddCommGroup V₅
inst✝¹ : Module k V₅
inst✝ : FiniteDimensional k V₅
f₀ : V₀ →ₗ[k] V₁
f₁ : V₁ →ₗ[k] V₂
f₂ : V₂ →ₗ[k] V₃
f₃ : V₃ →ₗ[k] V₄
f₄ : V₄ →ₗ[k] V₅
inj : Injective ⇑f₀
exact₁ : Exact ⇑f₀ ⇑f₁
exact₂ : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
exact₃ : Exact ⇑f₂ ⇑f₃
exact₄ : Exact ⇑f₃ ⇑f₄
surj : Surjective ⇑f₄
W₀ : Type (max u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₁ : Type (max u₁ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₂ : Type (max u₂ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₃ : Type (max u₃ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₄ : Type (max u₄ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₅ : Type (max u₅ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
g₀ : W₀ →ₗ[k] W₁ := ⋯
g₁ : W₁ →ₗ[k] W₂ := ⋯
g₂ : W₂ →ₗ[k] W₃ := ⋯
g₃ : W₃ →ₗ[k] W₄ := ⋯
g₄ : W₄ →ₗ[k] W₅ := ⋯
this :
  Exact ⇑g₀ ⇑g₁ →
    Exact ⇑g₁ ⇑g₂ →
      Exact ⇑g₂ ⇑g₃ →
        Exact ⇑g₃ ⇑g₄ →
          ↑(finrank k V₀) - ↑(finrank k V₁) + ↑(finrank k V₂) - ↑(finrank k V₃) + ↑(finrank k V₄) - ↑(finrank k V₅) = 0
⊢ Exact ⇑g₂ ⇑g₃

case exact₄
k : Type u_1
inst✝¹⁸ : DivisionRing k
V₀ : Type u₀
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V₀
inst✝¹⁶ : Module k V₀
inst✝¹⁵ : FiniteDimensional k V₀
V₁ : Type u₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝¹³ : Module k V₁
inst✝¹² : FiniteDimensional k V₁
V₂ : Type u₂
inst✝¹¹ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : Module k V₂
inst✝⁹ : FiniteDimensional k V₂
V₃ : Type u₃
inst✝⁸ : AddCommGroup V₃
inst✝⁷ : Module k V₃
inst✝⁶ : FiniteDimensional k V₃
V₄ : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V₄
inst✝⁴ : Module k V₄
inst✝³ : FiniteDimensional k V₄
V₅ : Type u₅
inst✝² : AddCommGroup V₅
inst✝¹ : Module k V₅
inst✝ : FiniteDimensional k V₅
f₀ : V₀ →ₗ[k] V₁
f₁ : V₁ →ₗ[k] V₂
f₂ : V₂ →ₗ[k] V₃
f₃ : V₃ →ₗ[k] V₄
f₄ : V₄ →ₗ[k] V₅
inj : Injective ⇑f₀
exact₁ : Exact ⇑f₀ ⇑f₁
exact₂ : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
exact₃ : Exact ⇑f₂ ⇑f₃
exact₄ : Exact ⇑f₃ ⇑f₄
surj : Surjective ⇑f₄
W₀ : Type (max u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₁ : Type (max u₁ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₂ : Type (max u₂ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₃ : Type (max u₃ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₄ : Type (max u₄ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
W₅ : Type (max u₅ u₀ u₁ u₂ u₃ u₄ u₅) := ⋯
g₀ : W₀ →ₗ[k] W₁ := ⋯
g₁ : W₁ →ₗ[k] W₂ := ⋯
g₂ : W₂ →ₗ[k] W₃ := ⋯
g₃ : W₃ →ₗ[k] W₄ := ⋯
g₄ : W₄ →ₗ[k] W₅ := ⋯
this :
  Exact ⇑g₀ ⇑g₁ →
    Exact ⇑g₁ ⇑g₂ →
      Exact ⇑g₂ ⇑g₃ →
        Exact ⇑g₃ ⇑g₄ →
          ↑(finrank k V₀) - ↑(finrank k V₁) + ↑(finrank k V₂) - ↑(finrank k V₃) + ↑(finrank k V₄) - ↑(finrank k V₅) = 0
⊢ Exact ⇑g₃ ⇑g₄