Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.Zero

Goal state before:
pp: case refine_2.inl
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : Precoverage C
inst✝ : J.RespectsIso
S : C
R T : Presieve S
hR : R ∈ J.coverings S
YR : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ S) → R g → C
eR : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ S) → (a : R g) → YR g a ≅ Z
hTeg : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ S) (a : R g), T ((eR g a).hom ≫ g)
YT : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ S) → T g → C
eT : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ S) → (a : T g) → YT g a ≅ Z
hReg : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ S) (a : T g), R ((eT g a).hom ≫ g)
E : PreZeroHypercover S :=
  { I₀ := ↑R.uncurry ⊕ ↑T.uncurry, X := fun i ↦ Sum.elim (fun j ↦ (↑j).fst) (fun j ↦ YT (↑j).snd ⋯) i,
    f := fun i ↦
      match i with
      | Sum.inl i => (↑i).snd
      | Sum.inr i => (eT (↑i).snd ⋯).hom ≫ (↑i).snd }
F : PreZeroHypercover S :=
  { I₀ := ↑R.uncurry ⊕ ↑T.uncurry, X := fun i ↦ Sum.elim (fun j ↦ YR (↑j).snd ⋯) (fun j ↦ (↑j).fst) i,
    f := fun i ↦
      match i with
      | Sum.inl i => (eR (↑i).snd ⋯).hom ≫ (↑i).snd
      | Sum.inr i => (↑i).snd }
val✝ : ↑R.uncurry
⊢ (match Sum.inl val✝ with
        | Sum.inl i => id (eR (↑i).snd ⋯).symm
        | Sum.inr i => id (eT (↑i).snd ⋯)).hom ≫
      F.f ((Equiv.refl E.I₀) (Sum.inl val✝)) =
    E.f (Sum.inl val✝)

pp: case refine_2.inr
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : Precoverage C
inst✝ : J.RespectsIso
S : C
R T : Presieve S
hR : R ∈ J.coverings S
YR : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ S) → R g → C
eR : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ S) → (a : R g) → YR g a ≅ Z
hTeg : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ S) (a : R g), T ((eR g a).hom ≫ g)
YT : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ S) → T g → C
eT : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ S) → (a : T g) → YT g a ≅ Z
hReg : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ S) (a : T g), R ((eT g a).hom ≫ g)
E : PreZeroHypercover S :=
  { I₀ := ↑R.uncurry ⊕ ↑T.uncurry, X := fun i ↦ Sum.elim (fun j ↦ (↑j).fst) (fun j ↦ YT (↑j).snd ⋯) i,
    f := fun i ↦
      match i with
      | Sum.inl i => (↑i).snd
      | Sum.inr i => (eT (↑i).snd ⋯).hom ≫ (↑i).snd }
F : PreZeroHypercover S :=
  { I₀ := ↑R.uncurry ⊕ ↑T.uncurry, X := fun i ↦ Sum.elim (fun j ↦ YR (↑j).snd ⋯) (fun j ↦ (↑j).fst) i,
    f := fun i ↦
      match i with
      | Sum.inl i => (eR (↑i).snd ⋯).hom ≫ (↑i).snd
      | Sum.inr i => (↑i).snd }
val✝ : ↑T.uncurry
⊢ (match Sum.inr val✝ with
        | Sum.inl i => id (eR (↑i).snd ⋯).symm
        | Sum.inr i => id (eT (↑i).snd ⋯)).hom ≫
      F.f ((Equiv.refl E.I₀) (Sum.inr val✝)) =
    E.f (Sum.inr val✝)

Tactic:
<;>

Goal state after:
case refine_2.inl
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : Precoverage C
inst✝ : J.RespectsIso
S : C
R T : Presieve S
hR : R ∈ J.coverings S
YR : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ S) → R g → C
eR : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ S) → (a : R g) → YR g a ≅ Z
hTeg : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ S) (a : R g), T ((eR g a).hom ≫ g)
YT : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ S) → T g → C
eT : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ S) → (a : T g) → YT g a ≅ Z
hReg : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ S) (a : T g), R ((eT g a).hom ≫ g)
E : PreZeroHypercover S :=
  { I₀ := ↑R.uncurry ⊕ ↑T.uncurry, X := fun i ↦ Sum.elim (fun j ↦ (↑j).fst) (fun j ↦ YT (↑j).snd ⋯) i,
    f := fun i ↦
      match i with
      | Sum.inl i => (↑i).snd
      | Sum.inr i => (eT (↑i).snd ⋯).hom ≫ (↑i).snd }
F : PreZeroHypercover S :=
  { I₀ := ↑R.uncurry ⊕ ↑T.uncurry, X := fun i ↦ Sum.elim (fun j ↦ YR (↑j).snd ⋯) (fun j ↦ (↑j).fst) i,
    f := fun i ↦
      match i with
      | Sum.inl i => (eR (↑i).snd ⋯).hom ≫ (↑i).snd
      | Sum.inr i => (↑i).snd }
val✝ : ↑R.uncurry
⊢ (match Sum.inl val✝ with
        | Sum.inl i => id (eR (↑i).snd ⋯).symm
        | Sum.inr i => id (eT (↑i).snd ⋯)).hom ≫
      F.f ((Equiv.refl E.I₀) (Sum.inl val✝)) =
    E.f (Sum.inl val✝)

case refine_2.inr
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : Precoverage C
inst✝ : J.RespectsIso
S : C
R T : Presieve S
hR : R ∈ J.coverings S
YR : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ S) → R g → C
eR : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ S) → (a : R g) → YR g a ≅ Z
hTeg : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ S) (a : R g), T ((eR g a).hom ≫ g)
YT : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ S) → T g → C
eT : ⦃Z : C⦄ → (g : Z ⟶ S) → (a : T g) → YT g a ≅ Z
hReg : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ S) (a : T g), R ((eT g a).hom ≫ g)
E : PreZeroHypercover S :=
  { I₀ := ↑R.uncurry ⊕ ↑T.uncurry, X := fun i ↦ Sum.elim (fun j ↦ (↑j).fst) (fun j ↦ YT (↑j).snd ⋯) i,
    f := fun i ↦
      match i with
      | Sum.inl i => (↑i).snd
      | Sum.inr i => (eT (↑i).snd ⋯).hom ≫ (↑i).snd }
F : PreZeroHypercover S :=
  { I₀ := ↑R.uncurry ⊕ ↑T.uncurry, X := fun i ↦ Sum.elim (fun j ↦ YR (↑j).snd ⋯) (fun j ↦ (↑j).fst) i,
    f := fun i ↦
      match i with
      | Sum.inl i => (eR (↑i).snd ⋯).hom ≫ (↑i).snd
      | Sum.inr i => (↑i).snd }
val✝ : ↑T.uncurry
⊢ (match Sum.inr val✝ with
        | Sum.inl i => id (eR (↑i).snd ⋯).symm
        | Sum.inr i => id (eT (↑i).snd ⋯)).hom ≫
      F.f ((Equiv.refl E.I₀) (Sum.inr val✝)) =
    E.f (Sum.inr val✝)