mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T'' s = T s + T' s
f : α → E
hF : ¬CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T'' hT'' f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T'' s = T s + T' s
f : α → E
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T'' hT'' f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f

Tactic:
· simp [setToFun, hF]

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T'' s = T s + T' s
f : α → E
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T'' hT'' f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : α → E
hF : ¬CompleteSpace F
⊢ setToFun μ (fun s ↦ c • T s) ⋯ f = c • setToFun μ T hT f

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : α → E
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ (fun s ↦ c • T s) ⋯ f = c • setToFun μ T hT f

Tactic:
· simp [setToFun, hF]

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : α → E
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ (fun s ↦ c • T s) ⋯ f = c • setToFun μ T hT f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T' s = c • T s
f : α → E
hF : ¬CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T' hT' f = c • setToFun μ T hT f

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T' s = c • T s
f : α → E
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T' hT' f = c • setToFun μ T hT f

Tactic:
· simp [setToFun, hF]

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T' s = c • T s
f : α → E
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T' hT' f = c • setToFun μ T hT f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hF : ¬CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT 0 = 0

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT 0 = 0

Tactic:
· simp [setToFun, hF]

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT 0 = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
C : ℝ
f : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
hF : ¬CompleteSpace F
⊢ setToFun μ 0 hT f = 0

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
C : ℝ
f : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ 0 hT f = 0

Tactic:
· simp [setToFun, hF]

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
C : ℝ
f : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ 0 hT f = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = 0
hF : ¬CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT f = 0

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = 0
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT f = 0

Tactic:
· simp [setToFun, hF]

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = 0
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT f = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hF : ¬CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT (f + g) = setToFun μ T hT f + setToFun μ T hT g

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT (f + g) = setToFun μ T hT f + setToFun μ T hT g

Tactic:
· simp [setToFun, hF]

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT (f + g) = setToFun μ T hT f + setToFun μ T hT g
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hF : ¬CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT (-f) = -setToFun μ T hT f

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT (-f) = -setToFun μ T hT f

Tactic:
· simp [setToFun, hF]

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT (-f) = -setToFun μ T hT f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : NormSMulClass 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : NormSMulClass 𝕜 F
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : α → E
hF : ¬CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT (c • f) = c • setToFun μ T hT f

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : NormSMulClass 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : NormSMulClass 𝕜 F
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : α → E
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT (c • f) = c • setToFun μ T hT f

Tactic:
· simp [setToFun, hF]

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : NormSMulClass 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : NormSMulClass 𝕜 F
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : α → E
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT (c • f) = c • setToFun μ T hT f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h : f =ᵐ[μ] g
hF : ¬CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T hT g

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h : f =ᵐ[μ] g
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T hT g

Tactic:
· simp [setToFun, hF]

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h : f =ᵐ[μ] g
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T hT g
Module: Mathlib.Topology.ContinuousMap.Bounded.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
C : ℝ
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompactSpace α
w : ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C
⊢ dist f g < C

Tactic:
by
  have c : Continuous fun x => dist (f x) (g x) := by fun_prop
  obtain ⟨x, -, le⟩ :=
    IsCompact.exists_isMaxOn isCompact_univ Set.univ_nonempty (Continuous.continuousOn c)
  exact lt_of_le_of_lt (dist_le_iff_of_nonempty.mpr fun y => le trivial) (w x)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.FiniteDimension

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
s : Finset E
F : Submodule 𝕜 E := Submodule.span 𝕜 ↑s
hF : F.FG
⊢ ∃ x, ‖x‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ s, 1 ≤ ‖y - x‖

Tactic:
have : FiniteDimensional 𝕜 F := .of_fg hF

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
s : Finset E
F : Submodule 𝕜 E := Submodule.span 𝕜 ↑s
hF : F.FG
this : FiniteDimensional 𝕜 ↥F
⊢ ∃ x, ‖x‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ s, 1 ≤ ‖y - x‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
β : Type u_7
x✝ : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
φ : α → β
T' : Set β → E →L[ℝ] F
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T' C'
f : β → E
hf : Integrable (f ∘ φ) μ
hfm : StronglyMeasurable f
hφ : Measurable φ
hμ' : μ' ≤ Measure.map φ μ
h : ∀ (s : Set β) (x : E), MeasurableSet s → (T' s) x = (T (φ ⁻¹' s)) x
hF : ¬CompleteSpace F
⊢ setToFun μ' T' hT' f = setToFun μ T hT (f ∘ φ)

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
β : Type u_7
x✝ : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
φ : α → β
T' : Set β → E →L[ℝ] F
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T' C'
f : β → E
hf : Integrable (f ∘ φ) μ
hfm : StronglyMeasurable f
hφ : Measurable φ
hμ' : μ' ≤ Measure.map φ μ
h : ∀ (s : Set β) (x : E), MeasurableSet s → (T' s) x = (T (φ ⁻¹' s)) x
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ' T' hT' f = setToFun μ T hT (f ∘ φ)

Tactic:
· simp [setToFun, hF]

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
β : Type u_7
x✝ : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
φ : α → β
T' : Set β → E →L[ℝ] F
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T' C'
f : β → E
hf : Integrable (f ∘ φ) μ
hfm : StronglyMeasurable f
hφ : Measurable φ
hμ' : μ' ≤ Measure.map φ μ
h : ∀ (s : Set β) (x : E), MeasurableSet s → (T' s) x = (T (φ ⁻¹' s)) x
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ' T' hT' f = setToFun μ T hT (f ∘ φ)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: case hp_ne_zero
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_6
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : p.HolderConjugate q
hf : MemLp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : MemLp g (ENNReal.ofReal q) μ
h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x ↦ ‖f x‖ₑ) * fun x ↦ ‖g x‖ₑ) a ∂μ
h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p ∂μ
h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖g a‖ₑ ^ q ∂μ
⊢ ¬ENNReal.ofReal p = 0

Tactic:
ENNReal.ofReal_eq_zero,

Goal state after:
case hp_ne_zero
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_6
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : p.HolderConjugate q
hf : MemLp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : MemLp g (ENNReal.ofReal q) μ
h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x ↦ ‖f x‖ₑ) * fun x ↦ ‖g x‖ₑ) a ∂μ
h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p ∂μ
h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖g a‖ₑ ^ q ∂μ
⊢ ¬p ≤ 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.FiniteDimension

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
x y : E
⊢ 1 ≤ ‖x - y‖ → 1 ≤ ‖y - x‖

Tactic:
hxy

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
x y : E
hxy : 1 ≤ ‖x - y‖
⊢ 1 ≤ ‖y - x‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: case hp_ne_zero
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_6
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : p.HolderConjugate q
hf : MemLp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : MemLp g (ENNReal.ofReal q) μ
h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x ↦ ‖f x‖ₑ) * fun x ↦ ‖g x‖ₑ) a ∂μ
h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p ∂μ
h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖g a‖ₑ ^ q ∂μ
⊢ ¬ENNReal.ofReal q = 0

Tactic:
ENNReal.ofReal_eq_zero,

Goal state after:
case hp_ne_zero
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_6
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : p.HolderConjugate q
hf : MemLp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : MemLp g (ENNReal.ofReal q) μ
h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x ↦ ‖f x‖ₑ) * fun x ↦ ‖g x‖ₑ) a ∂μ
h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p ∂μ
h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖g a‖ₑ ^ q ∂μ
⊢ ¬q ≤ 0
Module: Mathlib.Topology.ContinuousMap.Bounded.Normed

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
⊢ 0 ≤ const α ‖f‖ - f

Tactic:
intro x
  simp only [ContinuousMap.toFun_eq_coe, coe_toContinuousMap, coe_zero, Pi.zero_apply, coe_sub,
    const_apply, Pi.sub_apply]
  linarith [(abs_le.mp (norm_coe_le_norm f x)).2]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ∞
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f μ
hF : ¬CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ∞
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f μ
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f

Tactic:
· simp [setToFun, hF]

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ∞
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f μ
hF : CompleteSpace F
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.ThickenedIndicator

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝ : One β
f : α → β
E : Set α
x : α
x_mem_closure : x ∉ closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] E
⊢ ∀ᶠ (δ : ℝ) in 𝓝 0,
    (cthickening δ E).mulIndicator f x =
      (closure[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] E).mulIndicator f x

Tactic:
· filter_upwards [eventually_notMem_cthickening_of_infEDist_pos x_mem_closure] with δ hδ
    simp only [hδ, not_false_eq_true, mulIndicator_of_notMem, x_mem_closure]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
hF : ¬CompleteSpace F
⊢ ‖setToFun μ T hT f‖ₑ ≤ ↑(NNReal.mk C hC) * ∫⁻ (x : α), ‖f x‖ₑ ∂μ

pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
hF : CompleteSpace F
⊢ ‖setToFun μ T hT f‖ₑ ≤ ↑(NNReal.mk C hC) * ∫⁻ (x : α), ‖f x‖ₑ ∂μ

Tactic:
· simp [setToFun, hF]

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
f : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
hF : CompleteSpace F
⊢ ‖setToFun μ T hT f‖ₑ ≤ ↑(NNReal.mk C hC) * ∫⁻ (x : α), ‖f x‖ₑ ∂μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Marginal

Goal state before:
pp: δ : Type u_1
X : δ → Type u_3
inst✝² : (i : δ) → MeasurableSpace (X i)
μ : (i : δ) → Measure (X i)
inst✝¹ : DecidableEq δ
s : Finset δ
inst✝ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
f : ((i : δ) → X i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
i : δ
hi : i ∉ s
x : (i : δ) → X i
⊢ (∫⋯∫⁻_{i}, ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ∂μ) x = ∫⁻ (xᵢ : X i), (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) (update x i xᵢ) ∂μ i

Tactic:
lmarginal_singleton

Goal state after:
δ : Type u_1
X : δ → Type u_3
inst✝² : (i : δ) → MeasurableSpace (X i)
μ : (i : δ) → Measure (X i)
inst✝¹ : DecidableEq δ
s : Finset δ
inst✝ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
f : ((i : δ) → X i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
i : δ
hi : i ∉ s
x : (i : δ) → X i
⊢ (fun x ↦ ∫⁻ (xᵢ : X i), (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) (update x i xᵢ) ∂μ i) x = ∫⁻ (xᵢ : X i), (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) (update x i xᵢ) ∂μ i