mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Semisimple

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
f : End R M
inst✝ : Module.Finite R M
hf : f.IsFinitelySemisimple
p : Submodule R M
hp : p ∈ f.invtSubmodule
⊢ ∃ q ∈ f.invtSubmodule, IsCompl p q

Tactic:
obtain ⟨q, -, hq₁, hq₂, hq₃⟩ :=
    isFinitelySemisimple_iff.mp hf ⊤ (invtSubmodule.top_mem f) inferInstance p hp le_top

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
f : End R M
inst✝ : Module.Finite R M
hf : f.IsFinitelySemisimple
p : Submodule R M
hp : p ∈ f.invtSubmodule
q : Submodule R M
hq₁ : q ∈ f.invtSubmodule
hq₂ : Disjoint p q
hq₃ : p ⊔ q = ⊤
⊢ ∃ q ∈ f.invtSubmodule, IsCompl p q
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : LieRingModule L M
inst✝⁸ : LieModule R L M
D✝ D1 D2 : LieDerivation R L M
a✝ b✝ : L
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁷ : Monoid S
inst✝⁶ : DistribMulAction S M
inst✝⁵ : SMulCommClass R S M
inst✝⁴ : SMulBracketCommClass S L M
inst✝³ : Monoid T
inst✝² : DistribMulAction T M
inst✝¹ : SMulCommClass R T M
inst✝ : SMulBracketCommClass T L M
r : S
D : LieDerivation R L M
a b : L
⊢ (r • ↑D) ⁅a, b⁆ = ⁅a, (r • ↑D) b⁆ - ⁅b, (r • ↑D) a⁆

Tactic:
by simp only [LinearMap.smul_apply, coeFn_coe, apply_lie_eq_sub,
        smul_sub, SMulBracketCommClass.smul_bracket_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Nilpotent.Exp

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Module ℚ A
a b : A
h₁ : Commute a b
n₁ : ℕ
hn₁ : a ^ n₁ = 0
n₂ : ℕ
hn₂ : b ^ n₂ = 0
N : ℕ := max n₁ n₂
h₄ : a ^ (N + 1) = 0
h₅ : b ^ (N + 1) = 0
R2N : Finset ℕ := range (2 * N + 1)
hR2N : R2N = range (2 * N + 1)
RN : Finset ℕ := range (N + 1)
hRN : RN = range (N + 1)
s₁ :
  ∑ i ∈ R2N, (↑i !)⁻¹ • (a + b) ^ i =
    ∑ ij ∈ R2N ×ˢ R2N with ij.1 + ij.2 ≤ 2 * N, ((↑ij.1!)⁻¹ * (↑ij.2!)⁻¹) • (a ^ ij.1 * b ^ ij.2)
i : ℕ × ℕ
hi : i ∈ {ij ∈ R2N ×ˢ R2N | ¬ij.1 + ij.2 ≤ 2 * N}
⊢ ((↑i.1!)⁻¹ * (↑i.2!)⁻¹) • (a ^ i.1 * b ^ i.2) = 0

Tactic:
mem_filter

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Module ℚ A
a b : A
h₁ : Commute a b
n₁ : ℕ
hn₁ : a ^ n₁ = 0
n₂ : ℕ
hn₂ : b ^ n₂ = 0
N : ℕ := max n₁ n₂
h₄ : a ^ (N + 1) = 0
h₅ : b ^ (N + 1) = 0
R2N : Finset ℕ := range (2 * N + 1)
hR2N : R2N = range (2 * N + 1)
RN : Finset ℕ := range (N + 1)
hRN : RN = range (N + 1)
s₁ :
  ∑ i ∈ R2N, (↑i !)⁻¹ • (a + b) ^ i =
    ∑ ij ∈ R2N ×ˢ R2N with ij.1 + ij.2 ≤ 2 * N, ((↑ij.1!)⁻¹ * (↑ij.2!)⁻¹) • (a ^ ij.1 * b ^ ij.2)
i : ℕ × ℕ
hi : i ∈ R2N ×ˢ R2N ∧ ¬i.1 + i.2 ≤ 2 * N
⊢ ((↑i.1!)⁻¹ * (↑i.2!)⁻¹) • (a ^ i.1 * b ^ i.2) = 0
Module: Mathlib.Dynamics.Newton

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent ((aeval x) P)
h' : IsUnit ((aeval x) (derivative P))
n : ℕ
hn : (aeval x) P ^ n = 0
⊢ (aeval (P.newtonMap^[n] x)) P = 0

Tactic:
← zero_dvd_iff,

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent ((aeval x) P)
h' : IsUnit ((aeval x) (derivative P))
n : ℕ
hn : (aeval x) P ^ n = 0
⊢ 0 ∣ (aeval (P.newtonMap^[n] x)) P
Module: Mathlib.LinearAlgebra.JordanChevalley

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : PerfectField K
n₁ s₁ n₂ s₂ : End K V
hn₁ : IsNilpotent n₁
hs₁ : s₁.IsSemisimple
hn₂ : IsNilpotent n₂
hs₂ : s₂.IsSemisimple
hc₁ : Commute n₁ s₁
hc₂ : Commute n₂ s₂
h : n₁ + s₁ = n₂ + s₂
n₀ : End K V
hn₀ : n₀ ∈ K[n₁ + s₁]
s₀ : End K V
hs₀ : s₀ ∈ K[n₁ + s₁]
hn₀_nil : IsNilpotent n₀
hs₀_ss : s₀.IsSemisimple
h₀ : n₁ + s₁ = n₀ + s₀
⊢ ∀ {n s : End K V}, IsNilpotent n → s.IsSemisimple → Commute n s → n₁ + s₁ = n + s → s = s₀

Tactic:
intro n s hn hs hc heq

Goal state after:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : PerfectField K
n₁ s₁ n₂ s₂ : End K V
hn₁ : IsNilpotent n₁
hs₁ : s₁.IsSemisimple
hn₂ : IsNilpotent n₂
hs₂ : s₂.IsSemisimple
hc₁ : Commute n₁ s₁
hc₂ : Commute n₂ s₂
h : n₁ + s₁ = n₂ + s₂
n₀ : End K V
hn₀ : n₀ ∈ K[n₁ + s₁]
s₀ : End K V
hs₀ : s₀ ∈ K[n₁ + s₁]
hn₀_nil : IsNilpotent n₀
hs₀_ss : s₀.IsSemisimple
h₀ : n₁ + s₁ = n₀ + s₀
n s : End K V
hn : IsNilpotent n
hs : s.IsSemisimple
hc : Commute n s
heq : n₁ + s₁ = n + s
⊢ s = s₀
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: case smul_mem
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
inst✝³ : CommRing R₂
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R₁ L
inst✝ : LieAlgebra R₂ L
k : ℕ
ih : ∀ (x : L), x ∈ derivedSeriesOfIdeal R₁ L k ⊤ ↔ x ∈ derivedSeriesOfIdeal R₂ L k ⊤
I : LieIdeal R₂ L := derivedSeriesOfIdeal R₂ L k ⊤
S : Set L := {x | ∃ a ∈ I, ∃ b ∈ I, ⁅a, b⁆ = x}
x : L
c : R₁
a : L
ha : a ∈ I
b : L
hb : b ∈ I
⊢ c • ⁅a, b⁆ ∈ Submodule.span R₂ S

Tactic:
← smul_lie

Goal state after:
case smul_mem
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
inst✝³ : CommRing R₂
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R₁ L
inst✝ : LieAlgebra R₂ L
k : ℕ
ih : ∀ (x : L), x ∈ derivedSeriesOfIdeal R₁ L k ⊤ ↔ x ∈ derivedSeriesOfIdeal R₂ L k ⊤
I : LieIdeal R₂ L := derivedSeriesOfIdeal R₂ L k ⊤
S : Set L := {x | ∃ a ∈ I, ∃ b ∈ I, ⁅a, b⁆ = x}
x : L
c : R₁
a : L
ha : a ∈ I
b : L
hb : b ∈ I
⊢ ⁅c • a, b⁆ ∈ Submodule.span R₂ S
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case smul_mem
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R₁ L
inst✝⁴ : LieAlgebra R₂ L
inst✝³ : Module R₁ M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R₁ L M
k : ℕ
I : LieSubmodule R₂ L M := lowerCentralSeries R₂ L M k
S : Set M := {x | ∃ a, ∃ b ∈ I, ⁅a, b⁆ = x}
x : M
c : R₁
a : L
b : M
hb : b ∈ I
⊢ c • ⁅a, b⁆ ∈ Submodule.span R₂ S

Tactic:
← smul_lie

Goal state after:
case smul_mem
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R₁ L
inst✝⁴ : LieAlgebra R₂ L
inst✝³ : Module R₁ M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R₁ L M
k : ℕ
I : LieSubmodule R₂ L M := lowerCentralSeries R₂ L M k
S : Set M := {x | ∃ a, ∃ b ∈ I, ⁅a, b⁆ = x}
x : M
c : R₁
a : L
b : M
hb : b ∈ I
⊢ ⁅c • a, b⁆ ∈ Submodule.span R₂ S
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Engel

Goal state before:
pp: R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Subsingleton L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
⊢ (∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)) → LieModule.IsNilpotent L M

Tactic:
_h

Goal state after:
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Subsingleton L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
_h : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
⊢ LieModule.IsNilpotent L M
Module: Mathlib.FieldTheory.Finiteness

Goal state before:
pp: K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : IsNoetherian K V
⊢ ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) ≃ ↥(finsetBasisIndex K V)

Tactic:
by rw [coeSort_finsetBasisIndex]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
inst✝ : LieModule R L₂ M₂
hf_surj : Surjective ⇑f
hg_surj : Surjective ⇑g
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k) ≤ Submodule.map g ↑(lowerCentralSeries R L M k)
x : L₂
n : M
hn : n ∈ lowerCentralSeries R L M k
⊢ ⁅x, g n⁆ ∈ ⇑g '' {m | ∃ x, ∃ n ∈ lowerCentralSeries R L M k, ⁅x, n⁆ = m}

Tactic:
obtain ⟨y, rfl⟩ := hf_surj x

Goal state after:
case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
inst✝ : LieModule R L₂ M₂
hf_surj : Surjective ⇑f
hg_surj : Surjective ⇑g
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k) ≤ Submodule.map g ↑(lowerCentralSeries R L M k)
n : M
hn : n ∈ lowerCentralSeries R L M k
y : L
⊢ ⁅f y, g n⁆ ∈ ⇑g '' {m | ∃ x, ∃ n ∈ lowerCentralSeries R L M k, ⁅x, n⁆ = m}
Module: Mathlib.FieldTheory.Normal.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : Field N
inst✝¹ : Field M
inst✝ : Algebra M N
h : Normal F E
f : F ≃+* M
g : E ≃+* N
hcomp : (algebraMap M N).comp ↑f = (↑g).comp (algebraMap F E)
⊢ Normal M N

Tactic:
by
  have := h
  rw [normal_iff] at h ⊢
  intro x
  rw [← g.apply_symm_apply x]
  refine ⟨(h (g.symm x)).1.map_of_comp_eq _ _ hcomp, ?_⟩
  rw [← minpoly.map_eq_of_equiv_equiv hcomp, map_map, hcomp, ← map_map]
  exact (h (g.symm x)).2.map _

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Algebra

Goal state before:
pp: case mp
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
s : Finset E
hs : adjoin F ↑s = ⊤
this✝¹ : Algebra.FiniteType F ↥(Algebra.adjoin F ↑s)
this✝ : Algebra.EssFiniteType ↥(Algebra.adjoin F ↑s) ↥(adjoin F ↑s)
this : Algebra.EssFiniteType F ↥⊤
⊢ Algebra.EssFiniteType F E

Tactic:
exact .of_surjective IntermediateField.topEquiv.toAlgHom IntermediateField.topEquiv.surjective

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Algebra

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : EssFiniteType F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
⊢ Module.Finite F E

Tactic:
by
  obtain ⟨s, hs⟩ := fg_top F E
  have : Algebra.FiniteType F E := by
    use s
    rw [← adjoin_toSubalgebra_of_isAlgebraic fun x hx ↦ Algebra.IsAlgebraic.isAlgebraic x]
    simpa [← toSubalgebra_inj] using hs
  exact Algebra.IsIntegral.finite

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.SplittingField.IsSplittingField

Goal state before:
pp: F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : F[X]
inst✝ : IsSplittingField F L f
⊢ (Polynomial.map (algebraMap F L) f).Splits

Tactic:
exact splits L f

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: case e'_2
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₁ ⟨x✝³ * x✝², ⋯⟩ = φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ * φ₁ ⟨x✝², x✝⟩

Tactic:
← map_mul

Goal state after:
case e'_2
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₁ ⟨x✝³ * x✝², ⋯⟩ = φ₁ (⟨x✝³, x✝¹⟩ * ⟨x✝², x✝⟩)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: case e'_3
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₂ ⟨x✝³ * x✝², ⋯⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩ * φ₂ ⟨x✝², x✝⟩

Tactic:
← map_mul

Goal state after:
case e'_3
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₂ ⟨x✝³ * x✝², ⋯⟩ = φ₂ (⟨x✝³, x✝¹⟩ * ⟨x✝², x✝⟩)
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
⊢ q.IsRoot k

Tactic:
simp only [q, eval_C, eval_sub, sub_self, IsRoot.def]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
⊢ ∃ z, x = z * z

Tactic:
rcases exists_pow_nat_eq x zero_lt_two with ⟨z, rfl⟩
  exact ⟨z, sq z⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: case pos
k : Type u
inst✝ : Field k
H : ∀ (p : k[X]), Irreducible p → ∃ x, eval x p = 0
p : k[X]
hp0 : p = 0
⊢ p.Splits

Tactic:
simp [hp0]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: case inl
k : Type u
inst✝¹⁷ : Field k
K : Type u
inst✝¹⁶ : Field K
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra K L
inst✝¹³ : Field M
inst✝¹² : Algebra K M
inst✝¹¹ : IsAlgClosed M
inst✝¹⁰ : Algebra.IsAlgebraic K L
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type v
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R M
inst✝³ : IsTorsionFree R S
inst✝² : IsTorsionFree R M
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic R S
inst✝ : IsAlgClosed k
h✝ : CharZero k
⊢ PerfectField k

pp: case inr
k : Type u
inst✝¹⁷ : Field k
K : Type u
inst✝¹⁶ : Field K
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra K L
inst✝¹³ : Field M
inst✝¹² : Algebra K M
inst✝¹¹ : IsAlgClosed M
inst✝¹⁰ : Algebra.IsAlgebraic K L
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type v
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R M
inst✝³ : IsTorsionFree R S
inst✝² : IsTorsionFree R M
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic R S
inst✝ : IsAlgClosed k
p : ℕ
left✝ : Fact (Nat.Prime p)
right✝ : CharP k p
⊢ PerfectField k

Tactic:
exacts [.ofCharZero, PerfectRing.toPerfectField k p]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral (↥L) s ∧ (Polynomial.map f.toRingHom (minpoly (↥L) s)).Splits
⊢ ∃ φ, AlgHom.domRestrict (↥L) φ = f

Tactic:
obtain ⟨φ, hfφ, hφ⟩ := zorn_le_nonempty_Ici₀ _
    (fun c _ hc _ _ ↦ Lifts.exists_upper_bound c hc) ⟨L, f⟩ le_rfl
  refine ⟨φ.emb.comp (inclusion <| (le_extendScalars_iff hfφ.1 <| adjoin L S).mp <|
    adjoin_le_iff.mpr fun s h ↦ ?_), AlgHom.ext hfφ.2⟩
  let := (inclusion hfφ.1).toAlgebra
  let : SMul L φ.carrier := Algebra.toSMul
  have : IsScalarTower L φ.carrier E := ⟨fun x y ↦ smul_assoc x (y : E)⟩
  have := φ.exists_lift_of_splits' (hK s h).1.tower_top ((hK s h).1.minpoly_splits_tower_top' ?_)
  · obtain ⟨y, h1, h2⟩ := this
    exact (hφ h1).1 h2
  · convert! (hK s h).2; ext; apply hfφ.2

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Triangularizable

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ ((f - i • 1) ^ l i).ker
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ ↦ (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
hg₀ : g (m.sum fun _μ mμ ↦ mμ) = g (m μ)
hg₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
hg₂ : MapsTo ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)
this✝ : iSupIndep fun x ↦ (f.genEigenspace x) k
aux : ∀ μ' ∈ m.support.erase μ, (f.genEigenspace μ') ↑l₀ ≤ (f.genEigenspace μ') k
this : Disjoint ((f.genEigenspace μ) k) ((m.support.erase μ).sup fun x ↦ (f.genEigenspace x) k)
μ' : K
⊢ μ' ∈ m.support.erase μ → LinearMap.ker ((f - (algebraMap K (End K V)) μ') ^ l₀) ≤ (f.genEigenspace μ') k

Tactic:
hμ'

Goal state after:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ ((f - i • 1) ^ l i).ker
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ ↦ (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
hg₀ : g (m.sum fun _μ mμ ↦ mμ) = g (m μ)
hg₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
hg₂ : MapsTo ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)
this✝ : iSupIndep fun x ↦ (f.genEigenspace x) k
aux : ∀ μ' ∈ m.support.erase μ, (f.genEigenspace μ') ↑l₀ ≤ (f.genEigenspace μ') k
this : Disjoint ((f.genEigenspace μ) k) ((m.support.erase μ).sup fun x ↦ (f.genEigenspace x) k)
μ' : K
hμ' : μ' ∈ m.support.erase μ
⊢ LinearMap.ker ((f - (algebraMap K (End K V)) μ') ^ l₀) ≤ (f.genEigenspace μ') k
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Triangularizable

Goal state before:
pp: case h
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ ((f - i • 1) ^ l i).ker
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ ↦ (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
hg₀ : g (m.sum fun _μ mμ ↦ mμ) = g (m μ)
hg₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
hg₂ : MapsTo ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)
this✝ : iSupIndep fun x ↦ (f.genEigenspace x) k
aux : ∀ μ' ∈ m.support.erase μ, (f.genEigenspace μ') ↑l₀ ≤ (f.genEigenspace μ') k
this : (m.support.erase μ).SupIndep fun x ↦ (f.genEigenspace x) k
μ' : K
⊢ μ' ∈ m.support.erase μ → LinearMap.ker ((f - (algebraMap K (End K V)) μ') ^ l₀) ≤ (f.genEigenspace μ') k

Tactic:
hμ'

Goal state after:
case h
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ ((f - i • 1) ^ l i).ker
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ ↦ (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
hg₀ : g (m.sum fun _μ mμ ↦ mμ) = g (m μ)
hg₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
hg₂ : MapsTo ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)
this✝ : iSupIndep fun x ↦ (f.genEigenspace x) k
aux : ∀ μ' ∈ m.support.erase μ, (f.genEigenspace μ') ↑l₀ ≤ (f.genEigenspace μ') k
this : (m.support.erase μ).SupIndep fun x ↦ (f.genEigenspace x) k
μ' : K
hμ' : μ' ∈ m.support.erase μ
⊢ LinearMap.ker ((f - (algebraMap K (End K V)) μ') ^ l₀) ≤ (f.genEigenspace μ') k
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
χ : R
x : L
⊢ failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)

Tactic:
by
      intro y m hm
      simp only [AddSubsemigroup.mem_carrier, AddSubmonoid.mem_toSubsemigroup,
        Submodule.mem_toAddSubmonoid] at hm ⊢
      rw [← zero_add χ]
      exact lie_mem_maxGenEigenspace_toEnd (by simp) hm

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.InvariantForm

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
Φ : LinearMap.BilinForm R M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
h : Φ ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R L (LinearMap.BilinForm R M)
x : L
y z : M
⊢ (Φ ⁅x, y⁆) z = -(Φ y) ⁅x, z⁆

Tactic:
· replace h := LinearMap.congr_fun₂ (h x) y z
    simp only [LieHom.lie_apply, LinearMap.sub_apply, Module.Dual.lie_apply,
      LinearMap.zero_apply, sub_eq_zero] at h
    simp [← h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Linear

Goal state before:
pp: k : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : IsLieAbelian L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Module.IsTorsionFree R M
⊢ ∀ (χ : L → R), genWeightSpace M χ ≠ ⊥ → ∀ (x y : L), χ (x + y) = χ x + χ y

Tactic:
have h : ∀ x y, Commute (toEnd R L M x) (toEnd R L M y) := fun x y ↦ by
      rw [commute_iff_lie_eq, ← LieHom.map_lie, trivial_lie_zero, map_zero]
    intro χ hχ x y
    simp_rw [Ne, ← LieSubmodule.toSubmodule_inj, genWeightSpace, genWeightSpaceOf,
      LieSubmodule.iInf_toSubmodule, LieSubmodule.bot_toSubmodule] at hχ
    exact Module.End.map_add_of_iInf_genEigenspace_ne_bot_of_commute
      (toEnd R L M).toLinearMap χ _ hχ h x y

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Multiset.Fintype

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
s : Finset (α × ℕ)
hsm : s ⊆ m.toEnumFinset
⊢ map Prod.fst s.val ≤ m

Tactic:
simp_rw [le_iff_count, count_map]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
s : Finset (α × ℕ)
hsm : s ⊆ m.toEnumFinset
⊢ ∀ (a : α), (filter (fun a_1 ↦ a = a_1.1) s.val).card ≤ count a m
Module: Mathlib.Data.Multiset.Fintype

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
s : Finset (α × ℕ)
hsm : s ⊆ m.toEnumFinset
a : α
ha : (filter (fun x ↦ a = x.1) s.val).card > 0
n : ℕ
han : n ≥ (filter (fun x ↦ a = x.1) s.val).card - 1
hn : (a, n) ∈ s
⊢ (filter (fun a_1 ↦ a = a_1.1) s.val).card ≤ count a m

Tactic:
exact Nat.le_of_pred_lt (han.trans_lt <| by simpa using hsm hn)

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Semisimple.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : HasTrivialRadical R L
⊢ IsLieAbelian ↥⊥

Tactic:
exact LieIdeal.isLieAbelian_of_trivial ..

Goal state after: