mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : 2 ≤ n
b₁ : M → M' := f
b₂ : M → M := id
v : (x : M) → TangentSpace I' (f x) := V ∘ f
ϕ : (x : M) → TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I x := fun x ↦ (mfderiv[s] f x).inverse
hv : (MDiffAt[s ∩ f ⁻¹' t] fun x ↦ ⟨f x, v x⟩) x₀
⊢ (MDiffAt[s ∩ f ⁻¹' t] fun x ↦ ⟨x, mpullbackWithin I I' f V s x⟩) x₀

Tactic:
suffices hϕ : MDifferentiableWithinAt I 𝓘(𝕜, E' →L[𝕜] E)
      (fun (x : M) ↦ ContinuousLinearMap.inCoordinates
        E' (TangentSpace I' (M := M')) E (TangentSpace I (M := M))
        (b₁ x₀) (b₁ x) (b₂ x₀) (b₂ x) (ϕ x)) s x₀ from
    MDifferentiableWithinAt.clm_apply_of_inCoordinates (hϕ.mono inter_subset_left)
      hv mdifferentiableWithinAt_id

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : 2 ≤ n
b₁ : M → M' := f
b₂ : M → M := id
v : (x : M) → TangentSpace I' (f x) := V ∘ f
ϕ : (x : M) → TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I x := fun x ↦ (mfderiv[s] f x).inverse
hv : (MDiffAt[s ∩ f ⁻¹' t] fun x ↦ ⟨f x, v x⟩) x₀
⊢ (MDiffAt[s] fun x ↦ inCoordinates E' (TangentSpace I') E (TangentSpace I) (b₁ x₀) (b₁ x) (b₂ x₀) (b₂ x) (ϕ x)) x₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.GroupLieAlgebra

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : ChartedSpace H G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : LieGroup I (minSmoothness 𝕜 3) G
v : GroupLieAlgebra I G
M : minSmoothness 𝕜 3 ≠ 0
A : minSmoothness 𝕜 2 + 1 = minSmoothness 𝕜 3
fg : G → TangentBundle I G := fun g ↦ ⟨g, 0⟩
⊢ ContMDiff I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) fun g ↦ ⟨g, mulInvariantVectorField v g⟩

Tactic:
have sfg : CMDiff (minSmoothness 𝕜 2) fg := contMDiff_zeroSection _ _

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : ChartedSpace H G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : LieGroup I (minSmoothness 𝕜 3) G
v : GroupLieAlgebra I G
M : minSmoothness 𝕜 3 ≠ 0
A : minSmoothness 𝕜 2 + 1 = minSmoothness 𝕜 3
fg : G → TangentBundle I G := fun g ↦ ⟨g, 0⟩
sfg : ContMDiff I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) fg
⊢ ContMDiff I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) fun g ↦ ⟨g, mulInvariantVectorField v g⟩
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: case hxW.e_6
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V W V₁ W₁ : (x : M) → TangentSpace I x
hV : V₁ =ᶠ[𝓝[s] x] V
hxV : V₁ x = V x
hW : W₁ =ᶠ[𝓝[s] x] W
hxW : W₁ x = W x
I1 : NormedAddCommGroup (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) x)) := ⋯
_I2 : NormedSpace 𝕜 (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) x)) := inst✝²
⊢ W₁ (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x)) = W (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x))

Tactic:
convert! hxW <;> exact extChartAt_to_inv x

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : m + 1 ≤ n
hst : MapsTo f s t
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) t (f x₀)
⊢ ContMDiffWithinAt I I.tangent m (fun x ↦ ⟨x, mpullbackWithin I I' f V s x⟩) s x₀

Tactic:
exact ContMDiffWithinAt.mpullbackWithin_vectorField hV hf hf' hx₀ hs hmn hst

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : ℕ∞ω
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
hV : ContMDiffAt I' I'.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) (f x₀)
hf : ContMDiffAt I I' n f x₀
hf' : (mfderiv% f x₀).IsInvertible
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContMDiffAt I I.tangent m (fun x ↦ ⟨x, mpullback I I' f V x⟩) x₀

Tactic:
by
  simp only [← contMDiffWithinAt_univ] at hV hf hf' ⊢
  simpa using ContMDiffWithinAt.mpullback_vectorField_preimage hV hf hf' hmn

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
z : EuclideanHalfSpace 1
⊢ max (y - (↑z).ofLp 0) x ∈ Icc x y

Tactic:
simp [z.prop, h.out.le, sub_eq_add_neg]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: case pos
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
z : ↑(Icc x y)
h' : ↑z < y
⊢ (if ↑z < y then IccLeftChart x y else IccRightChart x y) ∈ {IccLeftChart x y, IccRightChart x y}

Tactic:
simp [h']

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: case neg
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
z : ↑(Icc x y)
h' : ¬↑z < y
⊢ (if ↑z < y then IccLeftChart x y else IccRightChart x y) ∈ {IccLeftChart x y, IccRightChart x y}

Tactic:
simp [h']

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I n M
x : M
⊢ EqOn (↑((chartAt H x).extend I) ∘ id ∘ ↑((chartAt H x).extend I).symm)
    (⇑(ContinuousLinearEquiv.prodUnique 𝕜 E PUnit.{u_15 + 1}) ∘ fun x ↦ (x, 0)) ((chartAt H x).extend I).target

Tactic:
intro y hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I n M
x : M
y : E
hy : y ∈ ((chartAt H x).extend I).target
⊢ (↑((chartAt H x).extend I) ∘ id ∘ ↑((chartAt H x).extend I).symm) y =
    (⇑(ContinuousLinearEquiv.prodUnique 𝕜 E PUnit.{u_15 + 1}) ∘ fun x ↦ (x, 0)) y
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_15
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I n M'
x : M
⊢ EqOn (↑((chartAt H (Sum.inl x)).extend I) ∘ Sum.inl ∘ ↑((chartAt H x).extend I).symm)
    (⇑(ContinuousLinearEquiv.prodUnique 𝕜 E Unit) ∘ fun x ↦ (x, 0)) ((chartAt H x).extend I).target

Tactic:
intro y hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_15
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I n M'
x : M
y : E
hy : y ∈ ((chartAt H x).extend I).target
⊢ (↑((chartAt H (Sum.inl x)).extend I) ∘ Sum.inl ∘ ↑((chartAt H x).extend I).symm) y =
    (⇑(ContinuousLinearEquiv.prodUnique 𝕜 E Unit) ∘ fun x ↦ (x, 0)) y
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_15
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I n M'
x : M'
⊢ EqOn (↑((chartAt H (Sum.inr x)).extend I) ∘ Sum.inr ∘ ↑((chartAt H x).extend I).symm)
    (⇑(ContinuousLinearEquiv.prodUnique 𝕜 E Unit) ∘ fun x ↦ (x, 0)) ((chartAt H x).extend I).target

Tactic:
intro y hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_15
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I n M'
x : M'
y : E
hy : y ∈ ((chartAt H x).extend I).target
⊢ (↑((chartAt H (Sum.inr x)).extend I) ∘ Sum.inr ∘ ↑((chartAt H x).extend I).symm) y =
    (⇑(ContinuousLinearEquiv.prodUnique 𝕜 E Unit) ∘ fun x ↦ (x, 0)) y
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Icc

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
⊢ (mfderiv[Icc x y] (f ∘ projIcc x y ⋯) ↑w) 1 = (mfderiv% f w) 1

Tactic:
by_cases hw : MDiffAt f w

Goal state after:
case pos
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : MDiffAt f w
⊢ (mfderiv[Icc x y] (f ∘ projIcc x y ⋯) ↑w) 1 = (mfderiv% f w) 1

case neg
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : ¬MDiffAt f w
⊢ (mfderiv[Icc x y] (f ∘ projIcc x y ⋯) ↑w) 1 = (mfderiv% f w) 1
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Sphere

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : E
hw : w ∈ (ℝ ∙ v)ᗮ
⊢ stereoInvFunAux v w ∈ sphere 0 1

Tactic:
by
  have h₁ : (0 : ℝ) < ‖w‖ ^ 2 + 4 := by positivity
  suffices ‖(4 : ℝ) • w + (‖w‖ ^ 2 - 4) • v‖ = ‖w‖ ^ 2 + 4 by
    simp only [mem_sphere_zero_iff_norm, norm_smul, Real.norm_eq_abs, abs_inv, this,
      abs_of_pos h₁, stereoInvFunAux_apply, inv_mul_cancel₀ h₁.ne']
  suffices ‖(4 : ℝ) • w + (‖w‖ ^ 2 - 4) • v‖ ^ 2 = (‖w‖ ^ 2 + 4) ^ 2 by
    simpa only [sq_eq_sq_iff_abs_eq_abs, abs_norm, abs_of_pos h₁] using this
  rw [Submodule.mem_orthogonal_singleton_iff_inner_left] at hw
  simp [norm_add_sq_real, norm_smul, inner_smul_left, inner_smul_right, hw, mul_pow,
    Real.norm_eq_abs, hv]
  ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.UnitsOfNormedAlgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜 R
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
⊢ ContMDiff 𝓘(𝕜, R) 𝓘(𝕜, R) n (val ∘ fun a ↦ a⁻¹)

Tactic:
have : (val : Rˣ → R) ∘ (fun x : Rˣ => x⁻¹) = Ring.inverse ∘ val := by ext; simp

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜 R
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
this : (val ∘ fun x ↦ x⁻¹) = Ring.inverse ∘ val
⊢ ContMDiff 𝓘(𝕜, R) 𝓘(𝕜, R) n (val ∘ fun a ↦ a⁻¹)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.Transform

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set ℝ
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v s
dt t : ℝ
ht : t ∈ {t | t + dt ∈ s}
⊢ HasMFDerivAt[{t | t + dt ∈ s}] (γ ∘ fun x ↦ x + dt) t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v ((γ ∘ fun x ↦ x + dt) t)))

Tactic:
rw [comp_apply, ← ContinuousLinearMap.comp_id (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ (t + dt))))]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s : Set ℝ
hγ : IsMIntegralCurveOn γ v s
dt t : ℝ
ht : t ∈ {t | t + dt ∈ s}
⊢ HasMFDerivAt[{t | t + dt ∈ s}] (γ ∘ fun x ↦ x + dt) t
    (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ (t + dt))) ∘SL ContinuousLinearMap.id ℝ ℝ)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.ExistUnique

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : CompleteSpace E
hv : ContMDiffAt I I.tangent 1 (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) x₀
hx : I.IsInteriorPoint x₀
⊢ ∃ γ, γ t₀ = x₀ ∧ IsMIntegralCurveAt γ v t₀

Tactic:
contMDiffAt_iff

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : CompleteSpace E
hv :
  ContinuousAt (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) x₀ ∧
    ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I)
      (↑(extChartAt I x₀) x₀)
hx : I.IsInteriorPoint x₀
⊢ ∃ γ, γ t₀ = x₀ ∧ IsMIntegralCurveAt γ v t₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.ExistUnique

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
hγt₀ : I.IsInteriorPoint (γ t₀)
hv : ContMDiffAt I I.tangent 1 (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) (γ t₀)
hγ : IsMIntegralCurveAt γ v t₀
hγ' : IsMIntegralCurveAt γ' v t₀
h : γ t₀ = γ' t₀
v' : E → E :=
  fun x ↦
    (tangentCoordChange I (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x) (γ t₀) (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))
      (v (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))
hv' :
  v' = fun x ↦
    (tangentCoordChange I (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x) (γ t₀) (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))
      (v (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))
⊢ γ =ᶠ[𝓝 t₀] γ'

Tactic:
contMDiffAt_iff

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
hγt₀ : I.IsInteriorPoint (γ t₀)
hv :
  ContinuousAt (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) (γ t₀) ∧
    ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent ⟨γ t₀, v (γ t₀)⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I (γ t₀)).symm)
      (range ↑I) (↑(extChartAt I (γ t₀)) (γ t₀))
hγ : IsMIntegralCurveAt γ v t₀
hγ' : IsMIntegralCurveAt γ' v t₀
h : γ t₀ = γ' t₀
v' : E → E :=
  fun x ↦
    (tangentCoordChange I (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x) (γ t₀) (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))
      (v (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))
hv' :
  v' = fun x ↦
    (tangentCoordChange I (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x) (γ t₀) (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))
      (v (↑(extChartAt I (γ t₀)).symm x))
⊢ γ =ᶠ[𝓝 t₀] γ'
Module: Mathlib.MeasureTheory.Constructions.UnitInterval

Goal state before:
pp: ⊢ volume univ = 1

Tactic:
rw [Measure.Subtype.volume_univ nullMeasurableSet_Icc, Real.volume_Icc, sub_zero,
      ENNReal.ofReal_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Sheaf.Smooth

Goal state before:
pp: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace HM M
R : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : ChartedSpace H R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : ContMDiffRing I ∞ R
x : M
y : (smoothSheaf IM I M R).presheaf.stalk x
⊢ (eval IM I M R x) ((ConcreteCategory.hom (forgetStalk IM I M R x).inv) y) = smoothSheaf.eval IM I R x y

Tactic:
apply smoothSheafCommRing.forgetStalk_inv_comp_eval_apply

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : RiemannianBundle fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝² : IsManifold I 1 M
inst✝¹ : IsContinuousRiemannianBundle E fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝ : RegularSpace M
x : M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 x
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC : ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ‖mfderiv% ↑(extChartAt I x) y‖ₑ < ↑C
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 x
u_closed : IsClosed[inst✝⁵] u
us : u ⊆ s
hu : u ⊆ {y | ‖mfderiv% ↑(extChartAt I x) y‖ₑ < ↑C}
uc : u ⊆ (extChartAt I x).source
⊢ u ⊆ (chartAt H x).source

Tactic:
simpa [extChartAt_source I x] using uc

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : RiemannianBundle fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝² : IsManifold I 1 M
inst✝¹ : IsContinuousRiemannianBundle E fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝ : RegularSpace M
x : M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 x
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC : ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ‖mfderiv% ↑(extChartAt I x) y‖ₑ < ↑C
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 x
u_closed : IsClosed[inst✝⁵] u
us : u ⊆ s
hu : u ⊆ {y | ‖mfderiv% ↑(extChartAt I x) y‖ₑ < ↑C}
uc : u ⊆ (extChartAt I x).source
uc' : u ⊆ (chartAt H x).source
v : Set M
hv : v ⊆ u
v_mem : v ∈ 𝓝 x
v_open : IsOpen[inst✝⁵] v
r : ℝ≥0
hr : ball (↑(extChartAt I x) x) ↑r ⊆ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' v
r_pos : 0 < r
⊢ {y | riemannianEDist I x y < ↑(r / C)} ⊆ s

Tactic:
intro y hy

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : RiemannianBundle fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝² : IsManifold I 1 M
inst✝¹ : IsContinuousRiemannianBundle E fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝ : RegularSpace M
x : M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 x
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC : ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x, ‖mfderiv% ↑(extChartAt I x) y‖ₑ < ↑C
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 x
u_closed : IsClosed[inst✝⁵] u
us : u ⊆ s
hu : u ⊆ {y | ‖mfderiv% ↑(extChartAt I x) y‖ₑ < ↑C}
uc : u ⊆ (extChartAt I x).source
uc' : u ⊆ (chartAt H x).source
v : Set M
hv : v ⊆ u
v_mem : v ∈ 𝓝 x
v_open : IsOpen[inst✝⁵] v
r : ℝ≥0
hr : ball (↑(extChartAt I x) x) ↑r ⊆ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' v
r_pos : 0 < r
y : M
hy : y ∈ {y | riemannianEDist I x y < ↑(r / C)}
⊢ y ∈ s
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Submersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
H : Type u_7
E : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I n M
x : M
⊢ EqOn (↑((chartAt H x).extend I) ∘ id ∘ ↑((chartAt H x).extend I).symm)
    (Prod.fst ∘ ⇑(ContinuousLinearEquiv.prodUnique 𝕜 E PUnit.{u_15 + 1}).symm) ((chartAt H x).extend I).target

Tactic:
intro y hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
H : Type u_7
E : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I n M
x : M
y : E
hy : y ∈ ((chartAt H x).extend I).target
⊢ (↑((chartAt H x).extend I) ∘ id ∘ ↑((chartAt H x).extend I).symm) y =
    (Prod.fst ∘ ⇑(ContinuousLinearEquiv.prodUnique 𝕜 E PUnit.{u_15 + 1}).symm) y