mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
α : E
inst✝ : FiniteDimensional F E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
K : IntermediateField F E
g : E[X] := Polynomial.map (algebraMap (↥K) E) (minpoly (↥K) α)
K' : IntermediateField F E := adjoin F ↑g.coeffs
hsub : K' ≤ K
dvd_g : minpoly (↥K') α ∣ g.toSubring K'.toSubring ⋯
finrank_eq : ∀ (K : IntermediateField F E), finrank (↥K) E = (minpoly (↥K) α).natDegree
⊢ (minpoly (↥K) α).natDegree = (g.toSubring K'.toSubring ⋯).natDegree

Tactic:
rw [natDegree_toSubring, natDegree_map]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Nontrivial L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
⊢ H ≠ ⊥

Tactic:
by
  intro e
  obtain ⟨x, hx⟩ := exists_ne (0 : L)
  have : x ∈ H.normalizer := by simp [LieSubalgebra.mem_normalizer_iff, e]
  exact hx (by rwa [LieSubalgebra.IsCartanSubalgebra.self_normalizing, e] at this)

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : LieRing.IsNilpotent ↥H
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
⊢ (H.subtype ∘ₗ f ^ k) ⟨x, hx⟩ = 0

Tactic:
have h := iterate_toEnd_mem_lowerCentralSeries R H H y ⟨x, hx⟩ k

Goal state after:
case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : LieRing.IsNilpotent ↥H
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h : (⇑((toEnd R ↥H ↥H) y))^[k] ⟨x, hx⟩ ∈ lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k
⊢ (H.subtype ∘ₗ f ^ k) ⟨x, hx⟩ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case mem.mem
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
x y : L
i j : ι
⊢ ⁅b.h j, b.e i⁆ ∈ lieSpan R L (range b.e)

Tactic:
rw [b.lie_h_e]

Goal state after:
case mem.mem
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
x y : L
i j : ι
⊢ b.A i j • b.e i ∈ lieSpan R L (range b.e)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Properties

Goal state before:
pp: V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
ι : Type u_9
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι K V
v : ι → V
h : ⇑(B.dualBasis hB b) = v
x✝¹ x✝ : ι
⊢ (B (v x✝¹)) (b x✝) = if x✝ = x✝¹ then 1 else 0

Tactic:
rw [← h, apply_dualBasis_left]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
χ : L → R
x : L
this : _root_.IsNilpotent ((toEnd R L ↥(genWeightSpace M χ)) x - χ x • LinearMap.id)
⊢ (trace R ↥(genWeightSpace M χ)) ((toEnd R L ↥(genWeightSpace M χ)) x) = finrank R ↥(genWeightSpace M χ) • χ x

Tactic:
by
    replace this := (isNilpotent_trace_of_isNilpotent this).eq_zero
    rwa [map_sub, map_smul, trace_id, sub_eq_zero, smul_eq_mul, mul_comm,
      ← nsmul_eq_mul] at this

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.InvariantForm

Goal state before:
pp: case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
⊢ sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ I} ≤ I

Tactic:
apply sSup_le

Goal state after:
case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
⊢ ∀ b ∈ {J | IsAtom J ∧ J ≤ I}, b ≤ I
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B : BilinForm K V
W : Subspace K V
b : B.IsRefl
⊢ Submodule.map (Submodule.subtype W) (domRestrict B W).ker = W ⊓ B.orthogonal ⊤

Tactic:
orthogonal_top_eq_ker b

Goal state after:
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B : BilinForm K V
W : Subspace K V
b : B.IsRefl
⊢ Submodule.map (Submodule.subtype W) (domRestrict B W).ker = W ⊓ ker B
Module: Mathlib.Algebra.Lie.InvariantForm

Goal state before:
pp: case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
⊢ sSup ({I | IsAtom I} \ {I}) ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I

Tactic:
apply sSup_le

Goal state after:
case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
⊢ ∀ b ∈ {I | IsAtom I} \ {I}, b ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Linear

Goal state before:
pp: k : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : IsLieAbelian L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Module.IsTorsionFree R M
⊢ ∀ (χ : L → R), genWeightSpace M χ ≠ ⊥ → ∀ (x y : L), χ (x + y) = χ x + χ y

Tactic:
by
    have h : ∀ x y, Commute (toEnd R L M x) (toEnd R L M y) := fun x y ↦ by
      rw [commute_iff_lie_eq, ← LieHom.map_lie, trivial_lie_zero, map_zero]
    intro χ hχ x y
    simp_rw [Ne, ← LieSubmodule.toSubmodule_inj, genWeightSpace, genWeightSpaceOf,
      LieSubmodule.iInf_toSubmodule, LieSubmodule.bot_toSubmodule] at hχ
    exact Module.End.map_add_of_iInf_genEigenspace_ne_bot_of_commute
      (toEnd R L M).toLinearMap χ _ hχ h x y

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Linear

Goal state before:
pp: k : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : IsLieAbelian L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Module.IsTorsionFree R M
aux : ∀ (χ : L → R), genWeightSpace M χ ≠ ⊥ → ∀ (x y : L), χ (x + y) = χ x + χ y
χ : L → R
hχ : genWeightSpace M χ ≠ ⊥
t x : L
⊢ χ ⁅t, x⁆ = 0

Tactic:
by
      rw [trivial_lie_zero, ← add_left_inj (χ 0), ← aux χ hχ, zero_add, zero_add]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Semisimple.Basic

Goal state before:
pp: case inr.right
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
s : Finset (LieIdeal R L)
hs : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}
I : LieIdeal R L
hI✝ : I ≤ s.sup id
S : Set (LieIdeal R L) := ⋯
hI : I < s.sup id
J : LieIdeal R L
hJs : J ∈ s
hJI : ¬J ≤ I
s' : Finset (LieIdeal R L) := ⋯
hs' : s' ⊂ s
hs'S : ↑s' ⊆ S
K : LieIdeal R L := ⋯
y : L
hy : y ∈ id J
z : L
hz : z ∈ K
hx : y + z ∈ I
j : ↥J
⊢ ¬J ⊓ I = J

Tactic:
contrapose hJI
    rw [← hJI]
    exact inf_le_right

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.TensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module.Free R M₁
inst✝² : Module.Finite R M₁
inst✝¹ : Module.Free R M₂
inst✝ : Module.Finite R M₂
⊢ ↑(tensorDistribEquiv R) = tensorDistrib R R

Tactic:
by
  ext B₁ B₂ : 3
  ext
  exact mul_comm _ _

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra K L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : Module.Finite K L
I : LieIdeal K L
⊢ IsLieAbelian ↥(I ⊓ killingCompl K L I)

Tactic:
suffices ∀ (x y z : L) (hx : x ∈ killingCompl K L I) (hy : y ∈ I),
      LieModule.traceForm K L L ⁅x, y⁆ z = 0 by
    rw [LieSubmodule.lie_abelian_iff_lie_self_eq_bot, LieSubmodule.lie_eq_bot_iff]
    rintro x ⟨-, hx⟩ y ⟨hy, -⟩
    exact (IsKilling.killingForm_nondegenerate K L).1 _ fun z ↦ this x y z hx hy

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra K L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : Module.Finite K L
I : LieIdeal K L
⊢ ∀ (x y z : L), x ∈ killingCompl K L I → y ∈ I → ((LieModule.traceForm K L L) ⁅x, y⁆) z = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ genWeightSpace M ((chainTopCoeff α β + 1) • α + ⇑β) = ⊥

Tactic:
classical
  rw [chainTopCoeff_add_one _ _ hα]
  exact Nat.find_spec (eventually_genWeightSpace_smul_add_eq_bot M α β hα).exists

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: case negSucc
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
n : ℕ
hn' : Int.negSucc n ≤ ↑(chainTopCoeff α β)
hn : n.succ ≤ chainBotCoeff α β
⊢ genWeightSpace M (n.succ • -α + ⇑β) ≠ ⊥

Tactic:
exact genWeightSpace_nsmul_add_ne_bot_of_le (-α) β hn

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ m₁ : M
hm₀ : m₀ ∈ genWeightSpace M 0
hm₁ : m₁ ∈ posFittingComp R L M
x : L
k : ℕ
ih : ∀ (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n
m n : M
hB : ∀ (m : M), (B m) ((φ x) n) = -1 • (B ((φ x) m)) n
this : (-1) ^ k • -1 = (-1) ^ (k + 1)
| (B m) ((φ x ^ (k + 1)) n)

Tactic:
pow_succ,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ m₁ : M
hm₀ : m₀ ∈ genWeightSpace M 0
hm₁ : m₁ ∈ posFittingComp R L M
x : L
k : ℕ
ih : ∀ (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n
m n : M
hB : ∀ (m : M), (B m) ((φ x) n) = -1 • (B ((φ x) m)) n
this : (-1) ^ k • -1 = (-1) ^ (k + 1)
| (B m) ((φ x ^ k * φ x) n)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: case mem
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
y✝ : L
β : ↥H → K
y : L
hy : y ∈ rootSpace H β
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0 y

Tactic:
by_cases hαβ : α + β = 0

Goal state after:
case pos
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
y✝ : L
β : ↥H → K
y : L
hy : y ∈ rootSpace H β
hαβ : α + β = 0
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0 y

case neg
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
y✝ : L
β : ↥H → K
y : L
hy : y ∈ rootSpace H β
hαβ : ¬α + β = 0
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0 y
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
⊢ span K (Weight.toLinear K (↥H) L '' {α | α.IsNonZero}) = ⊤

Tactic:
← span_weight_eq_top

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
⊢ span K (Weight.toLinear K (↥H) L '' {α | α.IsNonZero}) = span K (range (Weight.toLinear K (↥H) L))
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := { toLinearMap := S, leibniz' := h_der }
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : y ∈ H
⊢ x - y = 0

Tactic:
apply eq_zero_of_isNilpotent_ad_of_mem_isCartanSubalgebra K L H (H.sub_mem hx hy')

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⋯
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
S' : LieDerivation K L L := ⋯
y : L
hy : (LieDerivation.ad K L) y = S'
hy' : y ∈ H
⊢ _root_.IsNilpotent ((ad K L) (x - y))
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
⊢ T R 2 = 2 * X ^ 2 - 1

Tactic:
unfold T; simp [pow_two, mul_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℤ
⊢ T R ↑n.natAbs = T R n

Tactic:
obtain h | h := Int.natAbs_eq n <;> nth_rw 2 [h]; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
inst✝ : Fintype ι
i j : ι
e : ↥H.toSubmodule ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R (range b.h)) :=
  LinearEquiv.ofEq H.toSubmodule (Submodule.span R (range b.h)) ⋯
⊢ ∑ c,
      (b.A i c • ((Basis.span ⋯).map (LinearEquiv.ofEq H.toSubmodule (Submodule.span R (range b.h)) ⋯).symm).coord c)
        (b.h' j) =
    ↑(b.A i j)

Tactic:
let f (k : ι) : R := b.A i k • (Basis.span b.linInd).repr (e <| b.h' j) k

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
inst✝ : Fintype ι
i j : ι
e : ↥H.toSubmodule ≃ₗ[R] ↥(Submodule.span R (range b.h)) :=
  LinearEquiv.ofEq H.toSubmodule (Submodule.span R (range b.h)) ⋯
f : ι → R := fun k ↦ b.A i k • ((Basis.span ⋯).repr (e (b.h' j))) k
⊢ ∑ c,
      (b.A i c • ((Basis.span ⋯).map (LinearEquiv.ofEq H.toSubmodule (Submodule.span R (range b.h)) ⋯).symm).coord c)
        (b.h' j) =
    ↑(b.A i j)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case add
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
inst✝ : Fintype ι
i : ι
x u v : L
hu : u ∈ H.toSubmodule
hv : v ∈ H.toSubmodule
hu' : ∀ (hx : u ∈ H), (b.baseSupp i) ⟨u, hx⟩ • b.e i = ⁅u, b.e i⁆
hv' : ∀ (hx : v ∈ H), (b.baseSupp i) ⟨v, hx⟩ • b.e i = ⁅v, b.e i⁆
hx : u + v ∈ H
⊢ (b.baseSupp i) ⟨u + v, hx⟩ • b.e i = ⁅u + v, b.e i⁆

Tactic:
LieSubalgebra.mem_toSubmodule

Goal state after:
case add
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
inst✝ : Fintype ι
i : ι
x u v : L
hu : u ∈ H
hv : v ∈ H
hu' : ∀ (hx : u ∈ H), (b.baseSupp i) ⟨u, hx⟩ • b.e i = ⁅u, b.e i⁆
hv' : ∀ (hx : v ∈ H), (b.baseSupp i) ⟨v, hx⟩ • b.e i = ⁅v, b.e i⁆
hx : u + v ∈ H
⊢ (b.baseSupp i) ⟨u + v, hx⟩ • b.e i = ⁅u + v, b.e i⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case smul
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
inst✝ : Fintype ι
i : ι
x : L
t : R
u : L
hu : u ∈ H.toSubmodule
hv' : ∀ (hx : u ∈ H), (b.baseSupp i) ⟨u, hx⟩ • b.e i = ⁅u, b.e i⁆
hx : t • u ∈ H
⊢ (b.baseSupp i) ⟨t • u, hx⟩ • b.e i = ⁅t • u, b.e i⁆

Tactic:
LieSubalgebra.mem_toSubmodule

Goal state after:
case smul
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
inst✝ : Fintype ι
i : ι
x : L
t : R
u : L
hu : u ∈ H
hv' : ∀ (hx : u ∈ H), (b.baseSupp i) ⟨u, hx⟩ • b.e i = ⁅u, b.e i⁆
hx : t • u ∈ H
⊢ (b.baseSupp i) ⟨t • u, hx⟩ • b.e i = ⁅t • u, b.e i⁆
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℤ
⊢ C R ↑n.natAbs = C R n

Tactic:
obtain h | h := Int.natAbs_eq n <;> nth_rw 2 [h]; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs

Goal state before:
pp: case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
⊢ (P.toLinearMap x) (P.pairing i j • P.coroot i) • P.root j = (P.toLinearMap x) (2 • P.coroot j) • P.root j

pp: case calc_5
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
⊢ (P.toLinearMap x) (2 • P.coroot j) • P.root j = 2 • (P.toLinearMap x) (P.coroot j) • P.root j

Tactic:
· rw [← P.pairing_smul_coroot_eq j i j hij.symm, pairing_same]

Goal state after:
case calc_5
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
⊢ (P.toLinearMap x) (2 • P.coroot j) • P.root j = 2 • (P.toLinearMap x) (P.coroot j) • P.root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PerfectPairing.Restrict

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module L M
inst✝⁴ : Module L N
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
inst✝¹ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝ : p.IsPerfPair
M' : Submodule K M
N' : Submodule K N
hM : span L ↑M' = ⊤
hN : span L ↑N' = ⊤
hp : ∀ x ∈ M', ∀ y ∈ N', (p x) y ∈ (algebraMap K L).range
this✝¹ : IsReflexive L M
this✝ : IsReflexive L N
v : Set M
hv₁ : v ⊆ ↑M'
hv₂ : span L v = ⊤
hv₃ : LinearIndependent L Subtype.val
b : Basis { x // x ∈ v } L M := Basis.mk hv₃ ⋯
this : Fintype ↑v
v' : ↑v → ↥M' := fun i ↦ ⟨↑i, ⋯⟩
hv' : LinearIndependent (ι := ↑v) K v'
m : M
hm : m ∈ M'
w : Set N
hw₁ : w ⊆ ↑N'
hw₂ : span L w = span L ↑N'
hw₃ : LinearIndependent L Subtype.val
⊢ m ∈ span K v

Tactic:
rw [hN] at hw₂

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module L M
inst✝⁴ : Module L N
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
inst✝¹ : IsScalarTower K L M
p : M →ₗ[L] N →ₗ[L] L
inst✝ : p.IsPerfPair
M' : Submodule K M
N' : Submodule K N
hM : span L ↑M' = ⊤
hN : span L ↑N' = ⊤
hp : ∀ x ∈ M', ∀ y ∈ N', (p x) y ∈ (algebraMap K L).range
this✝¹ : IsReflexive L M
this✝ : IsReflexive L N
v : Set M
hv₁ : v ⊆ ↑M'
hv₂ : span L v = ⊤
hv₃ : LinearIndependent L Subtype.val
b : Basis { x // x ∈ v } L M := Basis.mk hv₃ ⋯
this : Fintype ↑v
v' : ↑v → ↥M' := fun i ↦ ⟨↑i, ⋯⟩
hv' : LinearIndependent (ι := ↑v) K v'
m : M
hm : m ∈ M'
w : Set N
hw₁ : w ⊆ ↑N'
hw₂ : span L w = ⊤
hw₃ : LinearIndependent L Subtype.val
⊢ m ∈ span K v
Module: Mathlib.RingTheory.Length

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
H : Function.Exact ⇑f ⇑g
hP : IsFiniteLength R P
hN : length R N = ⊤
this : length R M = ⊤
⊢ length R M = length R N + length R P

Tactic:
rw [hN, this, top_add]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Length

Goal state before:
pp: case neg.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Free R M
b✝ : Basis (Free.ChooseBasisIndex R M) R M := Free.chooseBasis R M
a✝¹ : Nontrivial R
a✝ : Nontrivial M
left✝ : IsNoetherian R R
right✝ : IsArtinian R R
b : Basis (Free.ChooseBasisIndex R M) R M := Free.chooseBasis R M
⊢ ENat.card (Free.ChooseBasisIndex R M) * length R R = Cardinal.toENat (Module.rank R M) * length R R

Tactic:
Free.rank_eq_card_chooseBasisIndex,

Goal state after:
case neg.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Free R M
b✝ : Basis (Free.ChooseBasisIndex R M) R M := Free.chooseBasis R M
a✝¹ : Nontrivial R
a✝ : Nontrivial M
left✝ : IsNoetherian R R
right✝ : IsArtinian R R
b : Basis (Free.ChooseBasisIndex R M) R M := Free.chooseBasis R M
⊢ ENat.card (Free.ChooseBasisIndex R M) * length R R =
    Cardinal.toENat (Cardinal.mk (Free.ChooseBasisIndex R M)) * length R R
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : IsHausdorff ⊤ M
x y : M
n : ℕ
⊢ x - y ≡ 0 [SMOD ⊤ • ⊤]

Tactic:
top_smul

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : IsHausdorff ⊤ M
x y : M
n : ℕ
⊢ x - y ≡ 0 [SMOD ⊤]