mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case succ.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsCrystallographic
p : ι → Prop
h₁ : ∀ i ∈ b.support, p i
h₂ : ∀ (i j k : ι), P.root k = P.root i + P.root j → p i → j ∈ b.support → p k
n : ℕ
ih : ∀ {i : ι}, b.IsPos i → b.height i = ↑n → p i
i : ι
h₀ : b.IsPos i
hN : b.height i = ↑n + 1
hj : i ∈ b.support
hj' : 0 < P.pairingIn ℤ i i
⊢ p i

pp: case succ.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsCrystallographic
p : ι → Prop
h₁ : ∀ i ∈ b.support, p i
h₂ : ∀ (i j k : ι), P.root k = P.root i + P.root j → p i → j ∈ b.support → p k
n : ℕ
ih : ∀ {i : ι}, b.IsPos i → b.height i = ↑n → p i
i : ι
h₀ : b.IsPos i
hN : b.height i = ↑n + 1
j : ι
hj : j ∈ b.support
hj' : 0 < P.pairingIn ℤ i j
hij : i ≠ j
⊢ p i

Tactic:
· exact h₁ i hj

Goal state after:
case succ.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsCrystallographic
p : ι → Prop
h₁ : ∀ i ∈ b.support, p i
h₂ : ∀ (i j k : ι), P.root k = P.root i + P.root j → p i → j ∈ b.support → p k
n : ℕ
ih : ∀ {i : ι}, b.IsPos i → b.height i = ↑n → p i
i : ι
h₀ : b.IsPos i
hN : b.height i = ↑n + 1
j : ι
hj : j ∈ b.support
hj' : 0 < P.pairingIn ℤ i j
hij : i ≠ j
⊢ p i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case ind.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
p : ι → Prop
h₁ : ∀ i ∈ b.support, p i
h₂ : ∀ (i j : ι), p i → j ∈ b.support → p ((P.reflectionPerm j) i)
n : ℕ
ih : ∀ m < n, ∀ {i : ι}, b.IsPos i → (b.height i).natAbs = m → p i
i : ι
h₀ : b.IsPos i
hN : (b.height i).natAbs = n
hj : i ∈ b.support
hj' : 0 < P.pairingIn ℤ i i
⊢ p i

pp: case ind.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
p : ι → Prop
h₁ : ∀ i ∈ b.support, p i
h₂ : ∀ (i j : ι), p i → j ∈ b.support → p ((P.reflectionPerm j) i)
n : ℕ
ih : ∀ m < n, ∀ {i : ι}, b.IsPos i → (b.height i).natAbs = m → p i
i : ι
h₀ : b.IsPos i
hN : (b.height i).natAbs = n
j : ι
hj : j ∈ b.support
hj' : 0 < P.pairingIn ℤ i j
hij : i ≠ j
⊢ p i

Tactic:
· exact h₁ i hj

Goal state after:
case ind.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
p : ι → Prop
h₁ : ∀ i ∈ b.support, p i
h₂ : ∀ (i j : ι), p i → j ∈ b.support → p ((P.reflectionPerm j) i)
n : ℕ
ih : ∀ m < n, ∀ {i : ι}, b.IsPos i → (b.height i).natAbs = m → p i
i : ι
h₀ : b.IsPos i
hN : (b.height i).natAbs = n
j : ι
hj : j ∈ b.support
hj' : 0 < P.pairingIn ℤ i j
hij : i ≠ j
⊢ p i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
q : Submodule R M
hq : ∀ i ∈ b.support, q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : ∀ (j : ι), P.reflection (-j) = P.reflection j
i j : ι
hi : q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)
⊢ j ∈ b.support → q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection ((P.reflectionPerm j) i))

Tactic:
hj

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
q : Submodule R M
hq : ∀ i ∈ b.support, q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : ∀ (j : ι), P.reflection (-j) = P.reflection j
i j : ι
hi : q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)
hj : j ∈ b.support
⊢ q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection ((P.reflectionPerm j) i))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Hadamard

Goal state before:
pp: α : Type u_1
n : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : MulZeroClass α
A : Matrix n n α
d e : n → α
⊢ diagonal d ⊙ A = diagonal e ↔ d * A.diag = e

Tactic:
by
  simp [diagonal_hadamard, diagonal_eq_diagonal_iff, funext_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: n : Type u_2
inst✝⁷ : Fintype n
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : PartialOrder R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : TrivialStar R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq n
b : Module.Basis n R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hB_symm : B.IsSymm
i j : n
s t : R
⊢ t * (B (b i)) (b j) * s = t * (s * (B (b j)) (b i))

Tactic:
grind [hB_symm.eq (b i) (b j)]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
p : ↥b.support → Prop
i j : ↥b.support
hi : p i
hp : ∀ (i j : ↥b.support), p i → b.cartanMatrix j i ≠ 0 → p j
q : Submodule R M := span R (⇑P.root ∘ Subtype.val '' {i | p i})
hq₀ : q ≠ ⊥
⊢ p j

Tactic:
have hq_mem (k : b.support) : P.root k ∈ q ↔ p k := by
    refine ⟨fun hk ↦ ?_, fun hk ↦ subset_span <| by simpa⟩
    contrapose hk
    exact b.linearIndepOn_root.linearIndependent.notMem_span_image hk

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
p : ↥b.support → Prop
i j : ↥b.support
hi : p i
hp : ∀ (i j : ↥b.support), p i → b.cartanMatrix j i ≠ 0 → p j
q : Submodule R M := span R (⇑P.root ∘ Subtype.val '' {i | p i})
hq₀ : q ≠ ⊥
hq_mem : ∀ (k : ↥b.support), P.root ↑k ∈ q ↔ p k
⊢ p j
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ
⊢ (ascPochhammer S (n + 1)).comp (X + 1) = ascPochhammer S (n + 1) + (n + 1) • (ascPochhammer S n).comp (X + 1)

Tactic:
suffices (ascPochhammer ℕ (n + 1)).comp (X + 1) =
      ascPochhammer ℕ (n + 1) + (n + 1) * (ascPochhammer ℕ n).comp (X + 1)
    by simpa [map_comp] using congr_arg (Polynomial.map (Nat.castRingHom S)) this

Goal state after:
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ
⊢ (ascPochhammer ℕ (n + 1)).comp (X + 1) = ascPochhammer ℕ (n + 1) + (↑n + 1) * (ascPochhammer ℕ n).comp (X + 1)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Finite ι
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CharZero K
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
⊢ ∃ d ∈ span K (range fun i j ↦ ↑(P.pairingIn ℤ j ↑i)), (∀ (i : ι), d i ≠ 0) ∧ Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ≠ x2) on d)

Tactic:
set p := span K (range fun (i : b.support) j ↦ (P.pairingIn ℤ j i : K))
  let f : ι ⊕ {(i, j) : ι × ι | i ≠ j} → Module.Dual K (ι → K) := Sum.elim
    LinearMap.proj (fun x ↦ LinearMap.proj (R := K) (φ := fun _ ↦ K) x.1.1 - LinearMap.proj x.1.2)
  suffices ∃ d ∈ p, ∀ i, f i d ≠ 0 by
    obtain ⟨d, hp, hf⟩ := this
    refine ⟨d, hp, fun i ↦ hf (Sum.inl i), fun i j h ↦ ?_⟩
    simpa [f, sub_eq_zero] using hf (Sum.inr ⟨⟨i, j⟩, h⟩)
  apply Module.Dual.exists_forall_mem_ne_zero_of_forall_exists p f
  rintro (i | ⟨⟨i, j⟩, h : i ≠ j⟩)
  · obtain ⟨j, hj, hj₀⟩ := b.exists_mem_support_pos_pairingIn_ne_zero i
    refine ⟨fun i ↦ P.pairingIn ℤ i j, subset_span ⟨⟨j, hj⟩, rfl⟩, ?_⟩
    rw [ne_eq, P.pairingIn_eq_zero_iff] at hj₀
    simpa [f, ne_eq, Int.cast_eq_zero]
  · obtain ⟨k, hk, hk'⟩ : ∃ k ∈ b.support, P.pairingIn ℤ i k ≠ P.pairingIn ℤ j k := by
      contrapose! h
      apply b.injective_pairingIn
      aesop
    simpa [f, sub_eq_zero] using ⟨fun i ↦ P.pairingIn ℤ i k, subset_span ⟨⟨k, hk⟩, rfl⟩, by simpa⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
v : ι → F
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ Lagrange.basis {i, j} v i = basisDivisor (v i) (v j)

Tactic:
simp only [Lagrange.basis, hij, erase_insert_eq_erase, erase_eq_of_notMem, mem_singleton,
    not_false_iff, prod_singleton]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
k : ℕ
hk : k < #s
⊢ (⇑derivative)^[k] (∑ i ∈ s, C (r i / ∏ j ∈ s.erase i, (v i - v j)) * ∏ j ∈ s.erase i, (X - C (v j))) =
    ↑k.factorial *
      ∑ i ∈ s,
        C (r i / ∏ j ∈ s.erase i, (v i - v j)) * ∑ t ∈ powersetCard (#s - (k + 1)) (s.erase i), ∏ j ∈ t, (X - C (v j))

Tactic:
iterate_derivative_sum,

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
k : ℕ
hk : k < #s
⊢ ∑ b ∈ s, (⇑derivative)^[k] (C (r b / ∏ j ∈ s.erase b, (v b - v j)) * ∏ j ∈ s.erase b, (X - C (v j))) =
    ↑k.factorial *
      ∑ i ∈ s,
        C (r i / ∏ j ∈ s.erase i, (v i - v j)) * ∑ t ∈ powersetCard (#s - (k + 1)) (s.erase i), ∏ j ∈ t, (X - C (v j))
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Monad

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f : R →+* MvPolynomial σ S
g : S →+* T
φ : MvPolynomial σ R
⊢ (map g) ((bind₂ f) φ) = (bind₂ ((map g).comp f)) φ

Tactic:
simp only [bind₂, eval₂_comp_right, coe_eval₂Hom, eval₂_map]
  congr 1 with : 1
  simp only [Function.comp_apply, map_X]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
j : ι
⊢ j ∈ s.erase i → (v i - v j)⁻¹ ≠ 0

Tactic:
hj

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
⊢ (v i - v j)⁻¹ ≠ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ∏ j ∈ s.erase i, C (v i - v j)⁻¹ * (X - C (v j)) = C (∏ j ∈ s.erase i, (v i - v j)⁻¹) * (nodal s v / (X - C (v i)))

Tactic:
prod_mul_distrib,

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ (∏ x ∈ s.erase i, C (v i - v x)⁻¹) * ∏ x ∈ s.erase i, (X - C (v x)) =
    C (∏ j ∈ s.erase i, (v i - v j)⁻¹) * (nodal s v / (X - C (v i)))
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanCriterion

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : IsNoetherian R L
inst✝ : Module.Free R L
⊢ ∀ x ∈ LieIdeal.killingCompl R L ⊤,
    ∀ y ∈ ⁅LieIdeal.killingCompl R L ⊤, LieIdeal.killingCompl R L ⊤⁆, ((killingForm R L) x) y = 0

Tactic:
intro x hx y _

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : IsNoetherian R L
inst✝ : Module.Free R L
x : L
hx : x ∈ LieIdeal.killingCompl R L ⊤
y : L
a✝ : y ∈ ⁅LieIdeal.killingCompl R L ⊤, LieIdeal.killingCompl R L ⊤⁆
⊢ ((killingForm R L) x) y = 0
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: case convert_6
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
hf : ∀ (r : R), (f r).IsHomogeneous 0
hg : ∀ (i : σ), (g i).IsHomogeneous n
i : σ →₀ ℕ
hi : i ∈ φ.coeff.support
⊢ ∀ i_1 ∈ i.support, ((fun n e ↦ g n ^ e) i_1 (i i_1)).IsHomogeneous (n * i i_1)

Tactic:
· rintro k -
    apply (hg k).pow

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: case succ.inr
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
N : ℕ
IH : ∀ {F : MvPolynomial (Fin N) R} {n : ℕ}, F.IsHomogeneous n → F ≠ 0 → ↑n ≤ #R → ∃ r, (eval r) F ≠ 0
F : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hF₀ : F ≠ 0
hnR : ↑n ≤ #R
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
i : ℕ
hi : ((finSuccEquiv R N) F).coeff i ≠ 0
hin✝ : i ≤ n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n = 0
hin : i < n
⊢ ∃ r, (eval r) F ≠ 0

Tactic:
obtain ⟨j, hj⟩ : ∃ j, i + (j + 1) = n := (Nat.exists_eq_add_of_lt hin).imp <| by lia

Goal state after:
case succ.inr
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
N : ℕ
IH : ∀ {F : MvPolynomial (Fin N) R} {n : ℕ}, F.IsHomogeneous n → F ≠ 0 → ↑n ≤ #R → ∃ r, (eval r) F ≠ 0
F : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hF₀ : F ≠ 0
hnR : ↑n ≤ #R
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
i : ℕ
hi : ((finSuccEquiv R N) F).coeff i ≠ 0
hin✝ : i ≤ n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n = 0
hin : i < n
j : ℕ
hj : i + (j + 1) = n
⊢ ∃ r, (eval r) F ≠ 0
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.Polynomial

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Free R M
x : L
i : ℕ
a✝ : Nontrivial R
⊢ (eval ⇑(b.repr x)) ((φ.polyCharpolyAux b bₘ).coeff i) = (charpoly (φ x)).coeff i

Tactic:
rw [← polyCharpolyAux_map_eq_charpoly φ b bₘ x, Polynomial.coeff_map]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.LinearMap

Goal state before:
pp: case refine_1
K : Type u
V : Type v
V' : Type v'
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
f : V →ₗ[K] V'
g : ↥f.range →ₗ[K] V
hg : f.rangeRestrict ∘ₗ g = id
fg : LeftInverse ⇑f.rangeRestrict ⇑g
s : Set ↥f.range
si : LinearIndepOn K _root_.id s
h : #↑s ≤ f.rank
⊢ LinearIndepOn K (⇑f) (⇑g '' s)

Tactic:
replace fg : ∀ x, f (g x) = x := by
      intro x
      convert! congr_arg Subtype.val (fg x)

Goal state after:
case refine_1
K : Type u
V : Type v
V' : Type v'
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
f : V →ₗ[K] V'
g : ↥f.range →ₗ[K] V
hg : f.rangeRestrict ∘ₗ g = id
s : Set ↥f.range
si : LinearIndepOn K _root_.id s
h : #↑s ≤ f.rank
fg : ∀ (x : ↥f.range), f (g x) = ↑x
⊢ LinearIndepOn K (⇑f) (⇑g '' s)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.SkewAdjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
f g : Module.End R M
hf : f ∈ skewAdjointSubmodule B
hg : g ∈ skewAdjointSubmodule B
⊢ ⁅f, g⁆ ∈ skewAdjointSubmodule B

Tactic:
mem_skewAdjointSubmodule

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : BilinForm R M
f g : Module.End R M
hf : IsSkewAdjoint B ⇑f
hg : IsSkewAdjoint B ⇑g
⊢ IsSkewAdjoint B ⇑⁅f, g⁆
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Rank

Goal state before:
pp: l : Type ul
m : Type um
n : Type un
R : Type uR
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Field R
inst✝¹ : Finite l
inst✝ : Fintype m
A : Matrix l m R
B : Matrix m n R
hAB : A * B = 0
el : Basis l R (l → R) := ⋯
em : Basis m R (m → R) := ⋯
en : Basis n R (n → R) := ⋯
⊢ ((toLin en em) B).range ≤ ((toLin em el) A).ker

Tactic:
rw [LinearMap.range_le_ker_iff, ← Matrix.toLin_mul, hAB, map_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymplecticGroup

Goal state before:
pp: l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : Fintype l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsLocalRing R
M : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hM : M ∈ symplecticGroup l R
A : Matrix l l R := M.toBlocks₁₁
B : Matrix l l R := M.toBlocks₁₂
C : Matrix l l R := M.toBlocks₂₁
D : Matrix l l R := M.toBlocks₂₂
X : Matrix l l R
hX_symm : X.IsSymm
hA_isUnit : IsUnit (M.toBlocks₁₁ + X * M.toBlocks₂₁).det
Lx_mul : fromBlocks 1 X 0 1 * M = fromBlocks (A + X * C) (B + X * D) C D
⊢ fromBlocks (A + X * C) (B + X * D) C D ∈ symplecticGroup l R

Tactic:
rw [← Lx_mul]

Goal state after:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : Fintype l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsLocalRing R
M : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hM : M ∈ symplecticGroup l R
A : Matrix l l R := M.toBlocks₁₁
B : Matrix l l R := M.toBlocks₁₂
C : Matrix l l R := M.toBlocks₂₁
D : Matrix l l R := M.toBlocks₂₂
X : Matrix l l R
hX_symm : X.IsSymm
hA_isUnit : IsUnit (M.toBlocks₁₁ + X * M.toBlocks₂₁).det
Lx_mul : fromBlocks 1 X 0 1 * M = fromBlocks (A + X * C) (B + X * D) C D
⊢ fromBlocks 1 X 0 1 * M ∈ symplecticGroup l R
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Grading

Goal state before:
pp: M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
m : M
b : R
y : R[M]
hmy : m ∉ y.coeff.support
hb : b ≠ 0
ih : ∀ (hx : y ∈ gradeBy R (⇑f) i), (decomposeAux f) ↑⟨y, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i ↦ ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨y, hx⟩
hmby : single m b + y ∈ gradeBy R (⇑f) i
this : Disjoint (Finsupp.single m b).support y.coeff.support
h1 : ↑{m} ⊆ ⇑f ⁻¹' {i}
h2 : ↑y.coeff.support ⊆ ⇑f ⁻¹' {i}
⊢ f m = i

Tactic:
Finset.coe_singleton,

Goal state after:
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
m : M
b : R
y : R[M]
hmy : m ∉ y.coeff.support
hb : b ≠ 0
ih : ∀ (hx : y ∈ gradeBy R (⇑f) i), (decomposeAux f) ↑⟨y, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i ↦ ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨y, hx⟩
hmby : single m b + y ∈ gradeBy R (⇑f) i
this : Disjoint (Finsupp.single m b).support y.coeff.support
h1 : {m} ⊆ ⇑f ⁻¹' {i}
h2 : ↑y.coeff.support ⊆ ⇑f ⁻¹' {i}
⊢ f m = i
Module: Mathlib.GroupTheory.Perm.Cycle.Concrete

Goal state before:
pp: case h.right
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
y : α
l : List α
tail_ih✝ : ∀ (x : α), (x :: l).Nodup → 2 ≤ (x :: l).length → (x :: l).formPerm.IsCycle
x : α
hl : (x :: y :: l).Nodup
hn : 2 ≤ (x :: y :: l).length
⊢ ∀ ⦃y_1 : α⦄, (x :: y :: l).formPerm y_1 ≠ y_1 → (x :: y :: l).formPerm.SameCycle x y_1

Tactic:
· intro w hw
      have : w ∈ x::y::l := mem_of_formPerm_apply_ne hw
      obtain ⟨k, hk, rfl⟩ := getElem_of_mem this
      use k
      simp only [zpow_natCast, formPerm_pow_apply_head _ _ hl k, Nat.mod_eq_of_lt hk]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Extension

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieRing M
inst✝¹ : LieAlgebra R M
inst✝ : IsLieAbelian M
E : Extension R M L
s : L →ₗ[R] E.L
hs : LeftInverse ⇑E.proj ⇑s
x : E.L
y : ↥E.proj.ker
⊢ ⁅s (E.proj x), y⁆ = ⁅x, y⁆

Tactic:
rw [← sub_eq_zero, ← sub_lie]
  exact trivial_lie_zero E.proj.ker E.proj.ker ⟨_, (by simp [hs.eq])⟩ y

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
α : Fin p → Fin n
k : Fin n
hnotmem :
  (α, k) ∉
    (fun x ↦
        match x with
        | (α, k) => (k.removeNth α, α k)) ''
      ↑(S (p + 1) i ×ˢ Finset.univ)
hα : α ∈ S p i
hk : i < k
hoccurs : k ∈ Set.range α
⊢ bminor A i (α, k).2 (α, k).1 * A (α, k).2 j = 0

Tactic:
bminor_eq_zero_of_mem_range A α i hoccurs,

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
α : Fin p → Fin n
k : Fin n
hnotmem :
  (α, k) ∉
    (fun x ↦
        match x with
        | (α, k) => (k.removeNth α, α k)) ''
      ↑(S (p + 1) i ×ˢ Finset.univ)
hα : α ∈ S p i
hk : i < k
hoccurs : k ∈ Set.range α
⊢ 0 * A (α, k).2 j = 0
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing P
inst✝³ : Algebra R P
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Module.IsTorsionFree R P
inst✝ : Nontrivial P
I : FractionalIdeal S P
h_nz : ↑I.den ≠ 0
x : ↥I
⊢ (Algebra.linearMap R P) ↑((equivNumOfIsSMulRegular ⋯) x) = I.den • ↑x

Tactic:
LinearEquiv.trans_apply,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing P
inst✝³ : Algebra R P
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Module.IsTorsionFree R P
inst✝ : Nontrivial P
I : FractionalIdeal S P
h_nz : ↑I.den ≠ 0
x : ↥I
⊢ (Algebra.linearMap R P)
      ↑((equivMapOfInjective (Algebra.linearMap R P) ⋯ I.num).symm
          ((LinearEquiv.ofBijective ((DistribSMul.toLinearMap R P I.den).restrict ⋯) ⋯) x)) =
    I.den • ↑x
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I : Submodule R P
h : I ≤ 1
⊢ IsFractional S I

Tactic:
use 1, S.one_mem
  intro b hb
  rw [one_smul]
  obtain ⟨b', b'_mem, rfl⟩ := mem_one.mp (h hb)
  exact Set.mem_range_self b'

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: case hb
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
bI : P
hbI : bI ∈ I
bJ : P
hbJ : bJ ∈ J
hb : bI + bJ ∈ I ⊔ J
⊢ IsInteger R ((aI * aJ) • bJ)

Tactic:
· rw [mul_smul]
        exact isInteger_smul (hJ bJ hbJ)

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
⊢ ↑1 = 1

Tactic:
rw [Ideal.one_eq_top, coeIdeal_top]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M
inst✝³ : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
q : Associates N
hq : q ∈ normalizedFactors n
hq' : ↑(d ⟨p, ⋯⟩) = q
⊢ ↑(d ⟨p, ⋯⟩) ∈ normalizedFactors n

Tactic:
hq'

Goal state after:
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M
inst✝³ : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
q : Associates N
hq : q ∈ normalizedFactors n
hq' : ↑(d ⟨p, ⋯⟩) = q
⊢ q ∈ normalizedFactors n