mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.EGauge

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
I : Set ι
hI : I.Finite
U : (i : ι) → Set (E i)
hU : ∀ i ∈ I, Balanced 𝕜 (U i)
x : (i : ι) → E i
hI₀ : I = univ ∨ (∃ i ∈ I, x i ≠ 0) ∨ (𝓝[≠] 0).NeBot
r : ℝ≥0∞
hr : ⨆ i ∈ I, egauge 𝕜 (U i) (x i) < r
c : ι → 𝕜
hc : ∀ i ∈ I, x i ∈ c i • U i
hcr : ∀ i ∈ I, ‖c i‖ₑ < r
hr₀ : 0 < r
hIne : I.Nonempty
⊢ ∃ c₀, (c₀ ≠ 0 ∨ I = univ) ∧ (∀ i ∈ I, ‖c i‖ ≤ ‖c₀‖) ∧ ‖c₀‖ₑ < r

Tactic:
obtain ⟨i₀, hi₀I, hc_max⟩ : ∃ i₀ ∈ I, IsMaxOn (‖c ·‖ₑ) I i₀ :=
        exists_max_image _ (‖c ·‖ₑ) hI hIne

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
I : Set ι
hI : I.Finite
U : (i : ι) → Set (E i)
hU : ∀ i ∈ I, Balanced 𝕜 (U i)
x : (i : ι) → E i
hI₀ : I = univ ∨ (∃ i ∈ I, x i ≠ 0) ∨ (𝓝[≠] 0).NeBot
r : ℝ≥0∞
hr : ⨆ i ∈ I, egauge 𝕜 (U i) (x i) < r
c : ι → 𝕜
hc : ∀ i ∈ I, x i ∈ c i • U i
hcr : ∀ i ∈ I, ‖c i‖ₑ < r
hr₀ : 0 < r
hIne : I.Nonempty
i₀ : ι
hi₀I : i₀ ∈ I
hc_max : IsMaxOn (fun x ↦ ‖c x‖ₑ) I i₀
⊢ ∃ c₀, (c₀ ≠ 0 ∨ I = univ) ∧ (∀ i ∈ I, ‖c i‖ ≤ ‖c₀‖) ∧ ‖c₀‖ₑ < r
Module: Mathlib.NumberTheory.ArithmeticFunction.LFunction

Goal state before:
pp: case pos.refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → ArithmeticFunction R
hf : ∀ (i : ι), (f i).IsMultiplicative
hf' : Multipliable f
h✝ : ∀ (s : Finset ι), (∏ b ∈ s, f b).IsMultiplicative
h : ∀ (x : Finset ι), (∏ b ∈ x, f b) 1 = 1
key : ∀ᶠ (i : Finset ι) in (SummationFilter.unconditional ι).filter, 1 = (∏' (b : ι), f b) 1
⊢ (eulerProduct f) 1 = 1

Tactic:
rwa [eventually_const, eq_comm] at key

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TangentCone.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
s t : Set E
x : E
h : s ⊆ t
⊢ tangentConeAt 𝕜 s x ⊆ tangentConeAt 𝕜 t x

Tactic:
simp only [tangentConeAt_def, ofPred_subset_ofPred]
  refine fun y hy ↦ hy.mono ?_
  gcongr

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Basic

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x₀ : E
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
hf : ¬DifferentiableAt 𝕜 f x₀
⊢ ‖fderiv 𝕜 f x₀‖ ≤ C

Tactic:
fderiv_zero_of_not_differentiableAt hf

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x₀ : E
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
hf : ¬DifferentiableAt 𝕜 f x₀
⊢ ‖0‖ ≤ C
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
W : Type u_4
W' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
σ σ' : 𝕜 →+* 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : NormedAddCommGroup W'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 W'
inst✝¹ : RingHomIsometric σ
inst✝ : RingHomInvPair σ σ'
L : W →SL[σ] W'
R : V' →SL[σ'] V
f : V → W
z : V'
f' : V →L[𝕜] W
hf : (fun h ↦ f (R z + h) - f (R z) - f' h) =o[𝓝 0] fun h ↦ h
this✝ : RingHomIsometric σ'
this : ((fun h ↦ f (R z + h) - f (R z) - f' h) ∘ ⇑R) =o[𝓝 0] ((fun h ↦ h) ∘ ⇑R)
⊢ (fun h ↦ (⇑L ∘ f ∘ ⇑R) (z + h) - (⇑L ∘ f ∘ ⇑R) z - (L ∘SL f' ∘SL R) h) =o[𝓝 0] fun h ↦ h

Tactic:
simpa using ((L.isBigO_comp _ _).trans_isLittleO this).trans_isBigO (R.isBigO_id _)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < p.radius
⊢ Summable fun s ↦ ‖p (s.fst + s.snd.fst)‖₊ * r ^ s.snd.fst * r' ^ s.fst

Tactic:
rw [← changeOriginIndexEquiv.symm.summable_iff]
  dsimp only [Function.comp_def, changeOriginIndexEquiv_symm_apply_fst,
    changeOriginIndexEquiv_symm_apply_snd_fst]
  have : ∀ n : ℕ,
      HasSum (fun s : Finset (Fin n) => ‖p (n - s.card + s.card)‖₊ * r ^ s.card * r' ^ (n - s.card))
        (‖p n‖₊ * (r + r') ^ n) := by
    intro n
    -- TODO: why `simp only [tsub_add_cancel_of_le (card_finset_fin_le _)]` fails?
    convert_to HasSum (fun s : Finset (Fin n) => ‖p n‖₊ * (r ^ s.card * r' ^ (n - s.card))) _
    · ext1 s
      rw [tsub_add_cancel_of_le (card_finset_fin_le _), mul_assoc]
    rw [← Fin.sum_pow_mul_eq_add_pow]
    exact (hasSum_fintype _).mul_left _
  refine NNReal.summable_sigma.2 ⟨fun n => (this n).summable, ?_⟩
  simp only [(this _).tsum_eq]
  exact p.summable_nnnorm_mul_pow hr

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ConvergenceRadius

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
u : E →L[𝕜] F
h_zero : 0 < ‖u‖₊
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
⊢ ↑r ≤ (p.compContinuousLinearMap u).radius * ‖u‖ₑ

Tactic:
← ENNReal.div_le_iff (by simpa using h_zero) (by simp),

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
u : E →L[𝕜] F
h_zero : 0 < ‖u‖₊
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
⊢ ↑r / ‖u‖ₑ ≤ (p.compContinuousLinearMap u).radius
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.ChangeOrigin

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ‖y‖ₑ < r
hy : x + y ∈ insert x s
z : E
h'z : x + y + z ∈ insert (x + y) s
hz : ‖y‖ₑ + ‖z‖ₑ < r
⊢ f (x + (y + z)) = p.sum (y + z)

Tactic:
hf.sum

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ‖y‖ₑ < r
hy : x + y ∈ insert x s
z : E
h'z : x + y + z ∈ insert (x + y) s
hz : ‖y‖ₑ + ‖z‖ₑ < r
⊢ p.sum (y + z) = p.sum (y + z)

case h'y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ‖y‖ₑ < r
hy : x + y ∈ insert x s
z : E
h'z : x + y + z ∈ insert (x + y) s
hz : ‖y‖ₑ + ‖z‖ₑ < r
⊢ x + (y + z) ∈ insert x s

case hy
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ‖y‖ₑ < r
hy : x + y ∈ insert x s
z : E
h'z : x + y + z ∈ insert (x + y) s
hz : ‖y‖ₑ + ‖z‖ₑ < r
⊢ y + z ∈ Metric.eball 0 r
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Multilinear.Curry

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Fintype ι'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun x ↦ G) G'
m : ι → G
m' : ι' → G
⊢ ‖(f.currySum m) m'‖ ≤ (‖f‖ * ∏ i, ‖m i‖) * ∏ i, ‖m' i‖

Tactic:
by simpa [Fintype.prod_sum_type, mul_assoc] using f.le_opNorm (Sum.elim m m')

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.CPolynomialDef

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
y : E
hy : y ∈ Metric.eball x r
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ f y = p.partialSum m (y - x)

Tactic:
rw [Metric.mem_eball, edist_eq_enorm_sub, ← mem_eball_zero_iff] at hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
y : E
hy : y - x ∈ Metric.eball 0 r
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ f y = p.partialSum m (y - x)
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.OfScalars

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedRing E
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 E
c : ℕ → 𝕜
n : ℕ
⊢ ‖ofScalars E c n‖ = ‖c n‖ * ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n E‖

Tactic:
by
  rw [ofScalars, norm_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.CPolynomialDef

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
x : E
x✝ : Fin k → E
m : ℕ
hm : n - k ≤ m
⊢ n ≤ k + m

Tactic:
rw [add_comm]; exact Nat.le_add_of_sub_le hm

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.CPolynomialDef

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
x y : E
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s ↦ ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 ↦ x) fun x ↦ y
finsupp : (Function.support f).Finite
hfkl : ∀ (k l : ℕ), HasSum (fun x ↦ f ⟨k, ⟨l, x⟩⟩) (((p.changeOriginSeries k l) fun x_1 ↦ x) fun x ↦ y)
k : ℕ
this : ∀ m ∉ Finset.range n, ((p.changeOriginSeries k m) fun x_1 ↦ x) = 0
⊢ HasSum (fun x ↦ f ⟨k, x⟩) (∑' (a : ℕ), ((p.changeOriginSeries k a) fun x_1 ↦ x) fun x ↦ y)

Tactic:
refine (summable_of_ne_finset_zero (s := Finset.range n) fun m hm ↦ ?_).hasSum.sigma_of_hasSum
      (hfkl k) (summable_of_hasFiniteSupport <| finsupp.preimage sigma_mk_injective.injOn)

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
x y : E
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s ↦ ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 ↦ x) fun x ↦ y
finsupp : (Function.support f).Finite
hfkl : ∀ (k l : ℕ), HasSum (fun x ↦ f ⟨k, ⟨l, x⟩⟩) (((p.changeOriginSeries k l) fun x_1 ↦ x) fun x ↦ y)
k : ℕ
this : ∀ m ∉ Finset.range n, ((p.changeOriginSeries k m) fun x_1 ↦ x) = 0
m : ℕ
hm : m ∉ Finset.range n
⊢ (((p.changeOriginSeries k m) fun x_1 ↦ x) fun x ↦ y) = 0
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.CPolynomialDef

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
x y : E
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
h : ↑‖y‖₊ < r
z : E
hz : ↑‖y‖₊ + ‖z‖ₑ < r
⊢ f (x + (y + z)) = p.sum (y + z)

Tactic:
hf.sum

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
x y : E
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
h : ↑‖y‖₊ < r
z : E
hz : ↑‖y‖₊ + ‖z‖ₑ < r
⊢ p.sum (y + z) = p.sum (y + z)

𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
x y : E
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
h : ↑‖y‖₊ < r
z : E
hz : ↑‖y‖₊ + ‖z‖ₑ < r
⊢ y + z ∈ Metric.eball 0 r
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.OfScalars

Goal state before:
pp: case inr.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing E
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 E
c : ℕ → 𝕜
inst✝ : NormOneClass E
r : ℝ≥0∞
hc' : Tendsto (fun n ↦ ENNReal.ofReal ‖c n.succ‖ / ENNReal.ofReal ‖c n‖) atTop (𝓝 r)
hr : 0 < r.toReal
hr' : r ≠ 0 ∧ r ≠ ∞
hr'' : r.toNNReal ≠ 0
⊢ Tendsto (fun n ↦ ‖c n.succ‖ / ‖c n‖) atTop (𝓝 r.toReal)

Tactic:
refine Tendsto.congr' ?_ <| (tendsto_toReal hr'.2).comp hc'

Goal state after:
case inr.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing E
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 E
c : ℕ → 𝕜
inst✝ : NormOneClass E
r : ℝ≥0∞
hc' : Tendsto (fun n ↦ ENNReal.ofReal ‖c n.succ‖ / ENNReal.ofReal ‖c n‖) atTop (𝓝 r)
hr : 0 < r.toReal
hr' : r ≠ 0 ∧ r ≠ ∞
hr'' : r.toNNReal ≠ 0
⊢ (ENNReal.toReal ∘ fun n ↦ ENNReal.ofReal ‖c n.succ‖ / ENNReal.ofReal ‖c n‖) =ᶠ[atTop] fun n ↦ ‖c n.succ‖ / ‖c n‖
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Within

Goal state before:
pp: case a.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u ∧ x ∈ u ∧ AnalyticOn 𝕜 f (s ∩ u)
x : E
m : x ∈ s
u : Set E
ou : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
xu : x ∈ u
fu : AnalyticOn 𝕜 f (s ∩ u)
r : ℝ
r0 : r > 0
ru : ball x r ⊆ u
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
t : ℝ≥0∞
fp : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p (s ∩ u) x t
y : E
yr : ‖y‖ < r ∧ edist y 0 < t
ys : x + y ∈ s
⊢ x + y ∈ insert x (s ∩ u)

Tactic:
simp only [mem_insert_iff, add_eq_left, mem_inter_iff, ys, true_and]

Goal state after:
case a.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u ∧ x ∈ u ∧ AnalyticOn 𝕜 f (s ∩ u)
x : E
m : x ∈ s
u : Set E
ou : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
xu : x ∈ u
fu : AnalyticOn 𝕜 f (s ∩ u)
r : ℝ
r0 : r > 0
ru : ball x r ⊆ u
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
t : ℝ≥0∞
fp : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p (s ∩ u) x t
y : E
yr : ‖y‖ < r ∧ edist y 0 < t
ys : x + y ∈ s
⊢ y = 0 ∨ x + y ∈ u
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Inverse

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n ↦ ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
IRec : ∀ (n : ℕ), 1 ≤ n → S n ≤ (I + 1) * a
a' : NNReal := ⟨a, ⋯⟩
⊢ 0 < (p.rightInv i x).radius

Tactic:
suffices H : (a' : ENNReal) ≤ (p.rightInv i x).radius by
    apply lt_of_lt_of_le _ H
    -- Prior to https://github.com/leanprover/lean4/pull/2734, this was `exact_mod_cast apos`.
    simpa only [ENNReal.coe_pos]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n ↦ ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
IRec : ∀ (n : ℕ), 1 ≤ n → S n ≤ (I + 1) * a
a' : NNReal := ⟨a, ⋯⟩
⊢ ↑a' ≤ (p.rightInv i x).radius
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Within

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
s : Set E
x : E
⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 f s x ↔ ∃ g, f =ᶠ[𝓝[insert x s] x] g ∧ AnalyticAt 𝕜 g x

Tactic:
by
  simp only [AnalyticWithinAt, AnalyticAt, hasFPowerSeriesWithinAt_iff_exists_hasFPowerSeriesAt]
  tauto

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Within

Goal state before:
pp: case refine_1.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
s : Set E
x : E
g : E → F
hf : f =ᶠ[𝓝[insert x s] x] g
hg : AnalyticAt 𝕜 g x
u : Set E
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
xu : x ∈ u
hu : u ∩ insert x s ⊆ {x | (fun x ↦ f x = g x) x}
g' : E → F := u.piecewise g f
⊢ EqOn f g' (insert x s)

Tactic:
intro y hy
      by_cases h'y : y ∈ u
      · have : y ∈ u ∩ insert x s := ⟨h'y, hy⟩
        simpa [g', h'y, this] using hu this
      · simp [g', h'y]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Linear

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
h : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = toContinuousLinearMap f h

Tactic:
by
  rw [DifferentiableAt.fderivWithin h.differentiableAt hxs]
  exact h.fderiv

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
e : E
f : E → F
g : E → G
r s : ℝ≥0∞
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p e r
hg : HasFPowerSeriesOnBall g q e s
⊢ HasFPowerSeriesOnBall (fun x ↦ (f x, g x)) (p.prod q) e (min r s)

Tactic:
by
  rw [← hasFPowerSeriesWithinOnBall_univ] at hf hg ⊢
  exact hf.prod hg

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Inverse

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
g : F → G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
hgf : HasFPowerSeriesAt (g ∘ f) (q.comp p) x
hf : HasFPowerSeriesAt f p x
hq : 0 < q.radius
this : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 0, f (x + y) - f x ∈ Metric.eball 0 q.radius
y : E
hy : Tendsto (fun a ↦ q.partialSum a.1 (p.partialSum a.2 y - (p 0) fun x ↦ 0)) atTop (𝓝 ((g ∘ f) (x + y)))
h'y : Tendsto (fun n ↦ p.partialSum n y) atTop (𝓝 (f (x + y)))
h''y : f (x + y) - f x ∈ Metric.eball 0 q.radius
u : Set G
hu : u ∈ 𝓝 (g (f (x + y)))
u_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
v : Set G
vu : v ⊆ u
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
hv : g (f (x + y)) ∈ v
a₀ b₀ : ℕ
hab : ∀ (a b : ℕ), a₀ ≤ a → b₀ ≤ b → q.partialSum a (p.partialSum b y - (p 0) fun x ↦ 0) ∈ v
a : ℕ
ha : a₀ ≤ a
⊢ Tendsto (fun b ↦ q.partialSum a (p.partialSum b y - (p 0) fun x ↦ 0)) atTop (𝓝 (q.partialSum a (f (x + y) - f x)))

Tactic:
have : ContinuousAt (q.partialSum a) (f (x + y) - f x) :=
        (partialSum_continuous q a).continuousAt

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E → F
g : F → G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
hgf : HasFPowerSeriesAt (g ∘ f) (q.comp p) x
hf : HasFPowerSeriesAt f p x
hq : 0 < q.radius
this✝ : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 0, f (x + y) - f x ∈ Metric.eball 0 q.radius
y : E
hy : Tendsto (fun a ↦ q.partialSum a.1 (p.partialSum a.2 y - (p 0) fun x ↦ 0)) atTop (𝓝 ((g ∘ f) (x + y)))
h'y : Tendsto (fun n ↦ p.partialSum n y) atTop (𝓝 (f (x + y)))
h''y : f (x + y) - f x ∈ Metric.eball 0 q.radius
u : Set G
hu : u ∈ 𝓝 (g (f (x + y)))
u_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
v : Set G
vu : v ⊆ u
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
hv : g (f (x + y)) ∈ v
a₀ b₀ : ℕ
hab : ∀ (a b : ℕ), a₀ ≤ a → b₀ ≤ b → q.partialSum a (p.partialSum b y - (p 0) fun x ↦ 0) ∈ v
a : ℕ
ha : a₀ ≤ a
this : ContinuousAt (q.partialSum a) (f (x + y) - f x)
⊢ Tendsto (fun b ↦ q.partialSum a (p.partialSum b y - (p 0) fun x ↦ 0)) atTop (𝓝 (q.partialSum a (f (x + y) - f x)))
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Constructions

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
ι : Type u_9
inst✝² : Fintype ι
Fm : ι → Type u_10
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (Fm i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (Fm i)
r : ℝ≥0∞
p : (i : ι) → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (Fm i)
h : ∀ (i : ι), r ≤ (p i).radius
r' : ℝ≥0
hr'✝ : ↑r' < r
C : ι → ℝ
C_pos : ∀ (i : ι), C i > 0
hC : ∀ (i : ι) (n : ℕ), ‖p i n‖ * ↑r' ^ n ≤ C i
D : ℝ
D_nonneg : D ≥ 0
hD : ∀ (i : ι), C i ≤ D
n : ℕ
hr' : 0 < ↑r' ^ n
⊢ ‖pi p n‖ * ↑r' ^ n ≤ D

Tactic:
· simp only [pi]
    rw [← le_div_iff₀ hr', ContinuousMultilinearMap.opNorm_pi,
      pi_norm_le_iff_of_nonneg (by positivity)]
    intro i
    exact (le_div_iff₀ hr').2 ((hC i n).trans (hD i))

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
u : E →L[𝕜] F
f : F → G
pf : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
s : Set F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f pf s (u x) r
⊢ 0 < r / ‖u‖ₑ

Tactic:
simp only [ENNReal.div_pos_iff, ne_eq, enorm_ne_top, not_false_eq_true, and_true]
    exact pos_iff_ne_zero.mp hf.r_pos

Goal state after: