mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: case e'_3
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
⊢ fs = Finset.map (fs.orderEmbOfFin h).toEmbedding univ

Tactic:
← Finset.coe_inj,

Goal state after:
case e'_3
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
⊢ ↑fs = ↑(Finset.map (fs.orderEmbOfFin h).toEmbedding univ)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 E
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : ∀ (i : ι) (y : F), ⟪A (b i), y⟫_𝕜 = ⟪b i, B y⟫_𝕜
i : ι
⊢ A (b i) = (adjoint B) (b i)

Tactic:
exact ext_inner_right 𝕜 fun y => by simp only [h i, adjoint_inner_left]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : #s = n + 1
hc' : #(Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hi' : LinearIndependent k fun (v : ↑↑(Finset.image (fun p ↦ p -ᵥ p₁) ((Finset.image p s).erase p₁))) ↦ ↑v
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
hp₁' : p₁ ∈ p '' ↑s
⊢ #((Finset.image p s).erase p₁) = n

Tactic:
Finset.card_erase_of_mem hp₁

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : #s = n + 1
hc' : #(Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hi' : LinearIndependent k fun (v : ↑↑(Finset.image (fun p ↦ p -ᵥ p₁) ((Finset.image p s).erase p₁))) ↦ ↑v
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
hp₁' : p₁ ∈ p '' ↑s
⊢ #(Finset.image p s) - 1 = n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
⊢ n ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) → finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) = n

Tactic:
· exact fun hle => le_antisymm (finrank_vectorSpan_range_le k p hc) hle

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
f g : H ≃ₗᵢ[𝕜] K
x✝ : ∃ y, y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
y : 𝕜
h : y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
hy : y ≠ 0
hfg : ↑↑f = y • ↑↑g
hgf : ↑↑g = star y • ↑↑f
this : (starRingEnd 𝕜) y * y = 1 ∨ ↑↑g = 0
⊢ ∃ α, ∀ (x : H), f x = (α • g) x

Tactic:
obtain (this | this) := this

Goal state after:
case neg.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
f g : H ≃ₗᵢ[𝕜] K
x✝ : ∃ y, y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
y : 𝕜
h : y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
hy : y ≠ 0
hfg : ↑↑f = y • ↑↑g
hgf : ↑↑g = star y • ↑↑f
this : (starRingEnd 𝕜) y * y = 1
⊢ ∃ α, ∀ (x : H), f x = (α • g) x

case neg.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
f g : H ≃ₗᵢ[𝕜] K
x✝ : ∃ y, y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
y : 𝕜
h : y • 1 = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f
hy : y ≠ 0
hfg : ↑↑f = y • ↑↑g
hgf : ↑↑g = star y • ↑↑f
this : ↑↑g = 0
⊢ ∃ α, ∀ (x : H), f x = (α • g) x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
hmem1 : s.medial.points 0 ∈ affineSpan k (Set.range s.medial.points)
hmem2 : s.medial.points 0 ∈ affineSpan k (Set.range s.points)
this : Set.range s.medial.points -ᵥ Set.range s.medial.points = (-↑n)⁻¹ • (Set.range s.points -ᵥ Set.range s.points)
⊢ Submodule.span k ((-↑n)⁻¹ • (Set.range s.points -ᵥ Set.range s.points)) =
    Submodule.span k (Set.range s.points -ᵥ Set.range s.points)

Tactic:
Submodule.span_smul_eq_of_isUnit

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
hmem1 : s.medial.points 0 ∈ affineSpan k (Set.range s.medial.points)
hmem2 : s.medial.points 0 ∈ affineSpan k (Set.range s.points)
this : Set.range s.medial.points -ᵥ Set.range s.medial.points = (-↑n)⁻¹ • (Set.range s.points -ᵥ Set.range s.points)
⊢ Submodule.span k (Set.range s.points -ᵥ Set.range s.points) =
    Submodule.span k (Set.range s.points -ᵥ Set.range s.points)

case hr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
hmem1 : s.medial.points 0 ∈ affineSpan k (Set.range s.medial.points)
hmem2 : s.medial.points 0 ∈ affineSpan k (Set.range s.points)
this : Set.range s.medial.points -ᵥ Set.range s.medial.points = (-↑n)⁻¹ • (Set.range s.points -ᵥ Set.range s.points)
⊢ IsUnit (-↑n)⁻¹
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
hx : x ∈ closedBall c f.rIn
⊢ ‖(fun x ↦ f.rIn⁻¹ • (x - c)) x‖ ≤ 1

Tactic:
simpa only [norm_smul, Real.norm_eq_abs, abs_inv, abs_of_nonneg f.rIn_pos.le, ← div_eq_inv_mul,
    div_le_one f.rIn_pos] using mem_closedBall_iff_norm.1 hx

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), IsBoundedSMul 𝕜 (E i)
hp : p ≠ 0
c : 𝕜
f : ↥(lp E p)
⊢ ‖c • f‖ = ‖c‖ * ‖f‖

Tactic:
obtain rfl | hc := eq_or_ne c 0

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), IsBoundedSMul 𝕜 (E i)
hp : p ≠ 0
f : ↥(lp E p)
⊢ ‖0 • f‖ = ‖0‖ * ‖f‖

case inr
𝕜 : Type u_1
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), IsBoundedSMul 𝕜 (E i)
hp : p ≠ 0
c : 𝕜
f : ↥(lp E p)
hc : c ≠ 0
⊢ ‖c • f‖ = ‖c‖ * ‖f‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case top.refine_1.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : DecidableEq α
i : α
x : E i
this : Nonempty α
hp : 0 < ∞
j : α
hij : i ≠ j
⊢ ‖Pi.single i x j‖ ≤ ‖x‖

Tactic:
Pi.single_eq_of_ne' hij,

Goal state after:
case top.refine_1.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : DecidableEq α
i : α
x : E i
this : Nonempty α
hp : 0 < ∞
j : α
hij : i ≠ j
⊢ ‖0‖ ≤ ‖x‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ∞
f : ↥(lp E p)
hp₀ : 0 < p
⊢ HasSum (fun i ↦ lp.single p i (↑f i)) f

Tactic:
have hp' : 0 < p.toReal := ENNReal.toReal_pos hp₀.ne' hp

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ∞
f : ↥(lp E p)
hp₀ : 0 < p
hp' : 0 < p.toReal
⊢ HasSum (fun i ↦ lp.single p i (↑f i)) f
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.WithLp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : Finite ι
p : ENNReal
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : H → PiLp p E
t : Set H
y : H
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f t y ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x ↦ (f x).ofLp i) t y

Tactic:
have := Fintype.ofFinite ι

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : Finite ι
p : ENNReal
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : H → PiLp p E
t : Set H
y : H
this : Fintype ι
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f t y ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x ↦ (f x).ofLp i) t y
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.WithLp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : Finite ι
p : ENNReal
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : H → PiLp p E
y : H
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f y ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableAt 𝕜 (fun x ↦ (f x).ofLp i) y

Tactic:
have := Fintype.ofFinite ι

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : Finite ι
p : ENNReal
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : H → PiLp p E
y : H
this : Fintype ι
⊢ DifferentiableAt 𝕜 f y ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableAt 𝕜 (fun x ↦ (f x).ofLp i) y
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.WithLp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : Finite ι
p : ENNReal
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : H → PiLp p E
t : Set H
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f t ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableOn 𝕜 (fun x ↦ (f x).ofLp i) t

Tactic:
have := Fintype.ofFinite ι

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : Finite ι
p : ENNReal
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : H → PiLp p E
t : Set H
this : Fintype ι
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f t ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableOn 𝕜 (fun x ↦ (f x).ofLp i) t
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.WithLp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : Finite ι
p : ENNReal
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : H → PiLp p E
t : Set H
this : Fintype ι
⊢ DifferentiableOn 𝕜 (⇑(continuousLinearEquiv p 𝕜 E) ∘ f) t ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableOn 𝕜 (fun x ↦ (f x).ofLp i) t

Tactic:
differentiableOn_pi

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : Finite ι
p : ENNReal
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : H → PiLp p E
t : Set H
this : Fintype ι
⊢ (∀ (i : ι), DifferentiableOn 𝕜 (fun x ↦ (⇑(continuousLinearEquiv p 𝕜 E) ∘ f) x i) t) ↔
    ∀ (i : ι), DifferentiableOn 𝕜 (fun x ↦ (f x).ofLp i) t
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.WithLp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : Finite ι
p : ENNReal
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : H → PiLp p E
⊢ Differentiable 𝕜 f ↔ ∀ (i : ι), Differentiable 𝕜 fun x ↦ (f x).ofLp i

Tactic:
have := Fintype.ofFinite ι

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : Finite ι
p : ENNReal
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : H → PiLp p E
this : Fintype ι
⊢ Differentiable 𝕜 f ↔ ∀ (i : ι), Differentiable 𝕜 fun x ↦ (f x).ofLp i
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.WithLp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : Finite ι
p : ENNReal
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : H → PiLp p E
f' : H →L[𝕜] PiLp p E
y : H
⊢ HasStrictFDerivAt f f' y ↔ ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (fun x ↦ (f x).ofLp i) (PiLp.proj p E i ∘SL f') y

Tactic:
have := Fintype.ofFinite ι

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : Finite ι
p : ENNReal
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : H → PiLp p E
f' : H →L[𝕜] PiLp p E
y : H
this : Fintype ι
⊢ HasStrictFDerivAt f f' y ↔ ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (fun x ↦ (f x).ofLp i) (PiLp.proj p E i ∘SL f') y
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.WithLp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : Finite ι
p : ENNReal
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : H → PiLp p E
f' : H →L[𝕜] PiLp p E
t : Set H
y : H
⊢ HasFDerivWithinAt f f' t y ↔ ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x ↦ (f x).ofLp i) (PiLp.proj p E i ∘SL f') t y

Tactic:
have := Fintype.ofFinite ι

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝² : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹ : Finite ι
p : ENNReal
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : H → PiLp p E
f' : H →L[𝕜] PiLp p E
t : Set H
y : H
this : Fintype ι
⊢ HasFDerivWithinAt f f' t y ↔ ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x ↦ (f x).ofLp i) (PiLp.proj p E i ∘SL f') t y
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.NormedSpace

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
R : ℝ
⊢ ∫ (x : E), f (R⁻¹ • x) ∂μ = |R ^ finrank ℝ E| • ∫ (x : E), f x ∂μ

Tactic:
rw [integral_comp_smul μ f R⁻¹, inv_pow, inv_inv]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
⊢ HasFDerivAt (fun q ↦ (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) ((f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x ↦ fderiv 𝕜 ↿g (q₀.1, x)) q₀.2) q₀

Tactic:
have I1 :
    ∀ᶠ x : P × G in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a : G => L (f a) (g x.1 (x.2 - a))) μ := by
    filter_upwards [A' q₀ hq₀]
    rintro ⟨p, x⟩ ⟨hp, -⟩
    refine (HasCompactSupport.convolutionExists_right L ?_ hf (A _ hp) _).1
    apply hk.of_isClosed_subset (isClosed_tsupport _)
    exact closure_minimal (support_subset_iff'.2 fun z hz => hgs _ _ hp hz) hk.isClosed

Goal state after:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A :
  ∀ p ∈ s,
    Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace]
      (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a ↦ (L (f a)) (g x.1 (x.2 - a))) μ
⊢ HasFDerivAt (fun q ↦ (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) ((f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x ↦ fderiv 𝕜 ↿g (q₀.1, x)) q₀.2) q₀
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.EverywherePos

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : μ.IsEverywherePos s
h : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ u ⊆ t, ν u = μ u
⊢ ν.IsEverywherePos s

Tactic:
intro x hx n hn
  rcases h x hx with ⟨t, t_mem, ht⟩
  grw [← inter_subset_left (s := n)]
  rw [ht (n ∩ t) inter_subset_right]
  exact hs x hx _ (inter_mem hn (mem_nhdsWithin_of_mem_nhds t_mem))

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.EverywherePos

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ u ⊆ t, ν u = μ u
H : ν.IsEverywherePos s
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ u ⊆ t, μ u = ν u

Tactic:
rcases h x hx with ⟨t, ht, h't⟩

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ u ⊆ t, ν u = μ u
H : ν.IsEverywherePos s
x : α
hx : x ∈ s
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝 x
h't : ∀ u ⊆ t, ν u = μ u
⊢ ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ u ⊆ t, μ u = ν u
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
⊢ ∫ (x : E), w D x ∂μ = 1

Tactic:
w,

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
⊢ ∫ (x : E), ((∫ (x : E), u x ∂μ) * |D| ^ finrank ℝ E)⁻¹ • u (D⁻¹ • x) ∂μ = 1
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : IsTopologicalGroup G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
φ : G ≃ₜ* G
⊢ (map (⇑φ) μ').haarScalarFactor (map (⇑φ) μ) = μ'.haarScalarFactor μ

Tactic:
by_cases hG : LocallyCompactSpace G; swap
  · simp [haarScalarFactor, hG]
  obtain ⟨⟨f, f_cont⟩, hf⟩ := exists_continuous_nonneg_pos (1 : G)
  have int_f_ne_zero : ∫ (x : G), f x ∂(map φ μ) ≠ 0 :=
    ne_of_gt (f_cont.integral_pos_of_hasCompactSupport_nonneg_nonzero hf.1 hf.2.1 hf.2.2)
  rw [← NNReal.coe_inj, haarScalarFactor_eq_integral_div_of_continuous_nonneg_pos _ _ hf,
    haarScalarFactor_eq_integral_div μ' μ (f_cont.comp φ.continuous),
    integral_map (by fun_prop) (by fun_prop),
    integral_map (by fun_prop) (by fun_prop)]
  · rfl
  · exact hf.1.comp_homeomorph φ.toHomeomorph
  · change ∫ x, f (φ x) ∂μ ≠ 0
    rwa [← integral_map (by fun_prop) f_cont.aestronglyMeasurable]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous[inst✝⁷, _] f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
⊢ μ' (f ⁻¹' {1}) = μ'.haarScalarFactor μ • μ (f ⁻¹' {1})

Tactic:
let v : ℕ → ℝ → ℝ := fun n x ↦ thickenedIndicator (u_mem n).1 ({1} : Set ℝ) x

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous[inst✝⁷, _] f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → ℝ → ℝ := fun n x ↦ ↑((thickenedIndicator ⋯ {1}) x)
⊢ μ' (f ⁻¹' {1}) = μ'.haarScalarFactor μ • μ (f ⁻¹' {1})
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, y < p.lastStep → p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ j,
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color ↑j}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
g : ℕ → Ordinal.{u}
hg :
  ∀ k < N,
    g k < i ∧
      (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩
            closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
        k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun n ↦ if n = N then i else g n
color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n
G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep
fGn : ∀ n ≤ N, p.c (p.index (G n)) ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r (p.index (G n))
Gab :
  ∀ (a b : Fin N.succ),
    G ↑a < G ↑b →
      p.r (p.index (G ↑a)) ≤ dist (p.c (p.index (G ↑a))) (p.c (p.index (G ↑b))) ∧
        p.r (p.index (G ↑b)) ≤ p.τ * p.r (p.index (G ↑a))
a b : Fin N.succ
a_ne_b : a ≠ b
G_le : G ↑a ≤ G ↑b
G_lt : G ↑a < G ↑b
⊢ p.r (p.index (G ↑a)) ≤ dist (p.c (p.index (G ↑a))) (p.c (p.index (G ↑b))) ∧
      p.r (p.index (G ↑b)) ≤ p.τ * p.r (p.index (G ↑a)) ∨
    p.r (p.index (G ↑b)) ≤ dist (p.c (p.index (G ↑b))) (p.c (p.index (G ↑a))) ∧
      p.r (p.index (G ↑a)) ≤ p.τ * p.r (p.index (G ↑b))

Tactic:
exact Or.inl (Gab a b G_lt)

Goal state after: