mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
hL : ∃ k, derivedSeries R L k = ⊥
h : Injective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L k = ⊥
⊢ LieIdeal.map f (derivedSeries R L' k) ≤ derivedSeries R L k

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
hL : ∃ k, derivedSeries R L k = ⊥
h : Injective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L k = ⊥
⊢ LieIdeal.map f (derivedSeries R L' k) ≤ derivedSeries R L k
Module: Mathlib.Algebra.Lie.BaseChange

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
a₂ : A
l₂ : L
a₃ : A
l₃ : M
⊢ (a₁ * (a₂ * a₃)) ⊗ₜ[R] ⁅⁅l₁, l₂⁆, l₃⁆ + (a₁ * (a₂ * a₃)) ⊗ₜ[R] ⁅l₂, ⁅l₁, l₃⁆⁆ =
    (a₁ * (a₂ * a₃)) ⊗ₜ[R] ⁅⁅l₁, l₂⁆, l₃⁆ + (a₁ * (a₂ * a₃)) ⊗ₜ[R] ⁅l₂, ⁅l₁, l₃⁆⁆

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
hL' : ∃ k, derivedSeries R L' k = ⊥
h : Surjective ⇑f
⊢ ∃ k, derivedSeries R L k = ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
hL' : ∃ k, derivedSeries R L' k = ⊥
h : Surjective ⇑f
⊢ ∃ k, derivedSeries R L k = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x : L
⊢ mk ⁅x, x⁆ = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x : L
⊢ mk ⁅x, x⁆ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
hL' : ∃ k, derivedSeries R L' k = ⊥
h : Surjective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L' k = ⊥
⊢ LieIdeal.map f ⊥ = ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
hL' : ∃ k, derivedSeries R L' k = ⊥
h : Surjective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L' k = ⊥
⊢ LieIdeal.map f ⊥ = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case smul_mem
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R₁ L
inst✝⁴ : LieAlgebra R₂ L
inst✝³ : Module R₁ M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R₁ L M
k : ℕ
I : LieSubmodule R₂ L M := lowerCentralSeries R₂ L M k
S : Set M := {x | ∃ a, ∃ b ∈ I, ⁅a, b⁆ = x}
x : M
c : R₁
a : L
b : M
hb : b ∈ I
⊢ ⁅c • a, b⁆ ∈ Submodule.span R₂ S

Tactic:
]

Goal state after:
case smul_mem
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R₁ L
inst✝⁴ : LieAlgebra R₂ L
inst✝³ : Module R₁ M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R₁ L M
k : ℕ
I : LieSubmodule R₂ L M := lowerCentralSeries R₂ L M k
S : Set M := {x | ∃ a, ∃ b ∈ I, ⁅a, b⁆ = x}
x : M
c : R₁
a : L
b : M
hb : b ∈ I
⊢ ⁅c • a, b⁆ ∈ Submodule.span R₂ S
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, ⁅Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆⁆ =
    ⁅⁅mk x, Quotient.mk'' y⁆, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅Quotient.mk'' y, ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆⁆

Tactic:
]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, ⁅Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆⁆ =
    ⁅⁅mk x, Quotient.mk'' y⁆, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅Quotient.mk'' y, ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝ : IsLieAbelian L
⊢ IsLieAbelian L

Tactic:
]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝ : IsLieAbelian L
⊢ IsLieAbelian L
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
⊢ ↑↑(lowerCentralSeries R L M k) = ↑↑(lowerCentralSeries ℤ L M k)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
⊢ ↑↑(lowerCentralSeries R L M k) = ↑↑(lowerCentralSeries ℤ L M k)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝ : IsNoetherian R L
hwf : CompleteLattice.IsSupClosedCompact (LieSubmodule R L L)
⊢ IsSolvable ↥(radical R L)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝ : IsNoetherian R L
hwf : CompleteLattice.IsSupClosedCompact (LieSubmodule R L L)
⊢ IsSolvable ↥(radical R L)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : ↑↑(lowerCentralSeries R L M k) = ↑↑(lowerCentralSeries ℤ L M k)
⊢ ↑↑⁅⊤, lowerCentralSeries R L M k⁆ = ↑↑⁅⊤, lowerCentralSeries ℤ L M k⁆

Tactic:
]

Goal state after:
case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : ↑↑(lowerCentralSeries R L M k) = ↑↑(lowerCentralSeries ℤ L M k)
⊢ ↑↑⁅⊤, lowerCentralSeries R L M k⁆ = ↑↑⁅⊤, lowerCentralSeries ℤ L M k⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, ⁅mk y, Quotient.mk'' z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆⁆

Tactic:
]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, ⁅mk y, Quotient.mk'' z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : ↑↑(lowerCentralSeries R L M k) = ↑↑(lowerCentralSeries ℤ L M k)
⊢ ↑(Submodule.span R {x | ∃ x_1 ∈ ⊤, ∃ n ∈ lowerCentralSeries R L M k, ⁅x_1, n⁆ = x}) =
    ↑(Submodule.span ℤ {x | ∃ x_1 ∈ ⊤, ∃ n ∈ lowerCentralSeries ℤ L M k, ⁅x_1, n⁆ = x})

Tactic:
]

Goal state after:
case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : ↑↑(lowerCentralSeries R L M k) = ↑↑(lowerCentralSeries ℤ L M k)
⊢ ↑(Submodule.span R {x | ∃ x_1 ∈ ⊤, ∃ n ∈ lowerCentralSeries R L M k, ⁅x_1, n⁆ = x}) =
    ↑(Submodule.span ℤ {x | ∃ x_1 ∈ ⊤, ∃ n ∈ lowerCentralSeries ℤ L M k, ⁅x_1, n⁆ = x})
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : ↑↑(lowerCentralSeries R L M k) = ↑↑(lowerCentralSeries ℤ L M k)
⊢ ↑↑⁅⊤, lowerCentralSeries R L M k⁆ = ↑↑⁅⊤, lowerCentralSeries ℤ L M k⁆

Tactic:
rw [LieSubmodule.lieIdeal_oper_eq_linear_span', LieSubmodule.lieIdeal_oper_eq_linear_span']

Goal state after:
case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : ↑↑(lowerCentralSeries R L M k) = ↑↑(lowerCentralSeries ℤ L M k)
⊢ ↑(Submodule.span R {x | ∃ x_1 ∈ ⊤, ∃ n ∈ lowerCentralSeries R L M k, ⁅x_1, n⁆ = x}) =
    ↑(Submodule.span ℤ {x | ∃ x_1 ∈ ⊤, ∃ n ∈ lowerCentralSeries ℤ L M k, ⁅x_1, n⁆ = x})
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : ∀ (x : M), x ∈ ↑↑(lowerCentralSeries R L M k) ↔ x ∈ ↑↑(lowerCentralSeries ℤ L M k)
⊢ ↑(Submodule.span R {x | ∃ x_1 ∈ ⊤, ∃ n ∈ lowerCentralSeries R L M k, ⁅x_1, n⁆ = x}) =
    ↑(Submodule.span ℤ {x | ∃ x_1 ∈ ⊤, ∃ n ∈ lowerCentralSeries ℤ L M k, ⁅x_1, n⁆ = x})

Tactic:
]

Goal state after:
case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : ∀ (x : M), x ∈ ↑↑(lowerCentralSeries R L M k) ↔ x ∈ ↑↑(lowerCentralSeries ℤ L M k)
⊢ ↑(Submodule.span R {x | ∃ x_1 ∈ ⊤, ∃ n ∈ lowerCentralSeries R L M k, ⁅x_1, n⁆ = x}) =
    ↑(Submodule.span ℤ {x | ∃ x_1 ∈ ⊤, ∃ n ∈ lowerCentralSeries ℤ L M k, ⁅x_1, n⁆ = x})
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, ⁅mk y, mk z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆

Tactic:
]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, ⁅mk y, mk z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
I✝ J✝ : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝ : IsNoetherian R L
hwf : CompleteLattice.IsSupClosedCompact (LieSubmodule R L L)
I : LieSubmodule R L L
hI : IsSolvable ↥I
J : LieSubmodule R L L
hJ : IsSolvable ↥J
⊢ IsSolvable ↥(I ⊔ J)

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
I✝ J✝ : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝ : IsNoetherian R L
hwf : CompleteLattice.IsSupClosedCompact (LieSubmodule R L L)
I : LieSubmodule R L L
hI : IsSolvable ↥I
J : LieSubmodule R L L
hJ : IsSolvable ↥J
⊢ IsSolvable ↥(I ⊔ J)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝ : IsSolvable L
⊢ IsSolvable L

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝ : IsSolvable L
⊢ IsSolvable L
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSolvable L
⊢ ⊤ ≤ radical R L

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSolvable L
⊢ ⊤ ≤ radical R L
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk ⁅y, z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆

Tactic:
]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk ⁅y, z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
⊢ derivedLengthOfIdeal R L I = k + 1 ↔ derivedSeriesOfIdeal R L (k + 1) I = ⊥ ∧ derivedSeriesOfIdeal R L k I ≠ ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
⊢ derivedLengthOfIdeal R L I = k + 1 ↔ derivedSeriesOfIdeal R L (k + 1) I = ⊥ ∧ derivedSeriesOfIdeal R L k I ≠ ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : lowerCentralSeries R L (↥N) k = comap N.incl (lcs k N)
⊢ lcs k N ≤ N

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : lowerCentralSeries R L (↥N) k = comap N.incl (lcs k N)
⊢ lcs k N ≤ N
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
k₁ k₂ : ℕ
h₁₂ : k₁ ≤ k₂
h₁ : derivedSeriesOfIdeal R L k₁ I = ⊥
⊢ derivedSeriesOfIdeal R L k₂ I ≤ derivedSeriesOfIdeal R L k₁ I

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
k₁ k₂ : ℕ
h₁₂ : k₁ ≤ k₂
h₁ : derivedSeriesOfIdeal R L k₁ I = ⊥
⊢ derivedSeriesOfIdeal R L k₂ I ≤ derivedSeriesOfIdeal R L k₁ I
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : lowerCentralSeries R L (↥N) k = comap N.incl (lcs k N)
this : lcs k N ≤ N.incl.range
⊢ ⁅⊤, comap N.incl (lcs k N)⁆ = ⁅⊤, comap N.incl (lcs k N)⁆

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆

Tactic:
]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = ⁅⁅mk x, mk y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieModule R L M
⊢ lcs k N ≤ N

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieModule R L M
⊢ lcs k N ≤ N
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
h : IsLieAbelian ↥(derivedSeriesOfIdeal R L k I) ∧ derivedSeriesOfIdeal R L k I ≠ ⊥
⊢ IsLieAbelian
    ↥(match k + 1 with
      | 0 => ⊥
      | k.succ => derivedSeriesOfIdeal R L k I)

Tactic:
]

Goal state after:
case succ
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
h : IsLieAbelian ↥(derivedSeriesOfIdeal R L k I) ∧ derivedSeriesOfIdeal R L k I ≠ ⊥
⊢ IsLieAbelian
    ↥(match k + 1 with
      | 0 => ⊥
      | k.succ => derivedSeriesOfIdeal R L k I)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = ⁅mk ⁅x, y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆

Tactic:
]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = ⁅mk ⁅x, y⁆, mk z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieModule R L M
h : lowerCentralSeries R L (↥N) k = ⊥
⊢ lowerCentralSeries R L (↥N) k ≤ N.incl.ker

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieModule R L M
h : lowerCentralSeries R L (↥N) k = ⊥
⊢ lowerCentralSeries R L (↥N) k ≤ N.incl.ker
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
inst✝ : IsSolvable ↥I
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
k : ℕ
hk : derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥
⊢ k ∈ s

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
inst✝ : IsSolvable ↥I
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
k : ℕ
hk : derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥
⊢ k ∈ s
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieModule R L M
h : lcs k N = ⊥
⊢ N ⊓ lcs k N = ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieModule R L M
h : lcs k N = ⊥
⊢ N ⊓ lcs k N = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = mk ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆

Tactic:
]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = mk ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅mk y, ⁅mk x, mk z⁆⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case succ.inl
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
k : ℕ
ih : ∀ ⦃l : ℕ⦄, l ≤ k → lowerCentralSeries R L M k ≤ lowerCentralSeries R L M l
l : ℕ
h : l ≤ k + 1
hk : l ≤ k
⊢ ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M k⁆ ≤ lowerCentralSeries R L M l

Tactic:
]

Goal state after:
case succ.inl
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
k : ℕ
ih : ∀ ⦃l : ℕ⦄, l ≤ k → lowerCentralSeries R L M k ≤ lowerCentralSeries R L M l
l : ℕ
h : l ≤ k + 1
hk : l ≤ k
⊢ ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M k⁆ ≤ lowerCentralSeries R L M l
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = mk ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅mk y, mk ⁅x, z⁆⁆

Tactic:
]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ = mk ⁅⁅x, y⁆, z⁆ + ⁅mk y, mk ⁅x, z⁆⁆