mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Data.Rat.Lemmas

Goal state before:
pp: q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q * r = s
⊢ ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num =
    (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den

Tactic:
]

Goal state after:
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q * r = s
⊢ ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num =
    (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den
Module: Mathlib.Data.Rat.Lemmas

Goal state before:
pp: q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q * r = s
⊢ s = q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Rat.Lemmas

Goal state before:
pp: q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ ↑q.den * ↑r.den * (q + r).num = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den

Tactic:
]

Goal state after:
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ ↑q.den * ↑r.den * (q + r).num = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
hn✝ : 0 ≤ { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
hn : 0 ≤ { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }.num
e : divNat a b = ⟨{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn✝⟩
⊢ ↑⟨{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn✝⟩ = ↑a / ↑b

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
hn✝ : 0 ≤ { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
hn : 0 ≤ { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }.num
e : divNat a b = ⟨{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn✝⟩
⊢ ↑⟨{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn✝⟩ = ↑a / ↑b
Module: Mathlib.Tactic.FieldSimp

Goal state before:
pp: «$v» : Level
«$M» : Type v
«$iM» : CommGroupWithZero «$M»
«$r» : ℤ
«$x» : «$M»
$snd✝ : ℕ
«$e» : «$M»
«$pf» : zpow' «$x» «$r» = «$e»
⊢ NF.eval [] * zpow' («$r», «$x»).2 («$r», «$x»).1 = «$e»

Tactic:
]

Goal state after:
«$v» : Level
«$M» : Type v
«$iM» : CommGroupWithZero «$M»
«$r» : ℤ
«$x» : «$M»
$snd✝ : ℕ
«$e» : «$M»
«$pf» : zpow' «$x» «$r» = «$e»
⊢ NF.eval [] * zpow' («$r», «$x»).2 («$r», «$x»).1 = «$e»
Module: Mathlib.Data.Rat.Lemmas

Goal state before:
pp: q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num =
    c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den

Tactic:
]

Goal state after:
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num =
    c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den
Module: Mathlib.Data.Rat.Lemmas

Goal state before:
pp: q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ c * (↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num) =
    c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den

Tactic:
]

Goal state after:
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ c * (↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num) =
    c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
d : ℕ
h : d ≠ 0
n : ℕ
c : (↑n).natAbs.Coprime d
hn : 0 ≤ { num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
hd : ↑d ≠ 0
hb' : b ≠ 0
e : a * d = n * b
⊢ ↑(num ⟨{ num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩) /
      ↑(den ⟨{ num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩) =
    ↑a / ↑b

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
d : ℕ
h : d ≠ 0
n : ℕ
c : (↑n).natAbs.Coprime d
hn : 0 ≤ { num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
hd : ↑d ≠ 0
hb' : b ≠ 0
e : a * d = n * b
⊢ ↑(num ⟨{ num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩) /
      ↑(den ⟨{ num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }, hn⟩) =
    ↑a / ↑b
Module: Mathlib.Data.Rat.Lemmas

Goal state before:
pp: q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ c * (↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num) =
    c * ((↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den)

Tactic:
]

Goal state after:
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ c * (↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num) =
    c * ((↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den)
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
d : ℕ
h : d ≠ 0
n : ℕ
c : (↑n).natAbs.Coprime d
hn : 0 ≤ { num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
hd : ↑d ≠ 0
hb' : b ≠ 0
e : a * d = n * b
⊢ ↑n * ↑b = ↑a * ↑d

pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
d : ℕ
h : d ≠ 0
n : ℕ
c : (↑n).natAbs.Coprime d
hn : 0 ≤ { num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
hd : ↑d ≠ 0
hb' : b ≠ 0
e : a * d = n * b
⊢ Commute ↑d ↑b

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
d : ℕ
h : d ≠ 0
n : ℕ
c : (↑n).natAbs.Coprime d
hn : 0 ≤ { num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
hd : ↑d ≠ 0
hb' : b ≠ 0
e : a * d = n * b
⊢ ↑n * ↑b = ↑a * ↑d

α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
d : ℕ
h : d ≠ 0
n : ℕ
c : (↑n).natAbs.Coprime d
hn : 0 ≤ { num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
hd : ↑d ≠ 0
hb' : b ≠ 0
e : a * d = n * b
⊢ Commute ↑d ↑b
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
d : ℕ
h : d ≠ 0
n : ℕ
c : (↑n).natAbs.Coprime d
hn : 0 ≤ { num := ↑n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
hd : ↑d ≠ 0
hb' : b ≠ 0
e : a * d = n * b
⊢ ↑(n * b) = ↑(n * b)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
⊢ ↑(q.num * r.den + q.den * r.num) / ↑(q.den * r.den) = (↑q.num * ↑r.den + ↑q.den * ↑r.num) / (↑q.den * ↑r.den)

pp: case hb
α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
⊢ ↑(q.den * r.den) ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
⊢ ↑(q.num * r.den + q.den * r.num) / ↑(q.den * r.den) = (↑q.num * ↑r.den + ↑q.den * ↑r.num) / (↑q.den * ↑r.den)

case hb
α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
⊢ ↑(q.den * r.den) ≠ 0
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
⊢ ↑(q.num * r.num) / ↑(q.den * r.den) = ↑q.num * ↑r.num / (↑q.den * ↑r.den)

pp: case hb
α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
⊢ ↑(q.den * r.den) ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
⊢ ↑(q.num * r.num) / ↑(q.den * r.den) = ↑q.num * ↑r.num / (↑q.den * ↑r.den)

case hb
α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
⊢ ↑(q.den * r.den) ≠ 0
Module: Mathlib.Data.Rat.Lemmas

Goal state before:
pp: q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ ¬c = 0 →
    ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num =
      (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den

Tactic:
]

Goal state after:
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
⊢ ¬c = 0 →
    ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num =
      (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
q : ℚ≥0
hq : ↑q.num ≠ 0
⊢ ↑q.den / ↑q.num = ↑q.den / ↑q.num

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.num ≠ 0
⊢ ↑(q.num * r.den) / ↑(q.den * r.num) = ↑q.num * ↑r.den / (↑q.den * ↑r.num)

pp: case hb
α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.num ≠ 0
⊢ ↑(q.den * r.num) ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.num ≠ 0
⊢ ↑(q.num * r.den) / ↑(q.den * r.num) = ↑q.num * ↑r.den / (↑q.den * ↑r.num)

case hb
α : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.num ≠ 0
⊢ ↑(q.den * r.num) ≠ 0
Module: Mathlib.Tactic.NormNum.Inv

Goal state before:
pp: n✝¹ num✝ : ℤ
n✝ denom✝ : ℕ
inv✝ : Invertible ↑denom✝
h : ↑n✝¹ / ↑n✝ = ↑num✝ * ⅟↑denom✝
⊢ IsRat (↑↑n✝¹ / ↑↑n✝) num✝ denom✝

Tactic:
]

Goal state after:
n✝¹ num✝ : ℤ
n✝ denom✝ : ℕ
inv✝ : Invertible ↑denom✝
h : ↑n✝¹ / ↑n✝ = ↑num✝ * ⅟↑denom✝
⊢ IsRat (↑↑n✝¹ / ↑↑n✝) num✝ denom✝
Module: Mathlib.Tactic.NormNum.Inv

Goal state before:
pp: n✝¹ num✝ n✝ denom✝ : ℕ
inv✝ : Invertible ↑denom✝
h : ↑n✝¹ / ↑n✝ = ↑num✝ * ⅟↑denom✝
⊢ IsNNRat (↑↑n✝¹ / ↑↑n✝) num✝ denom✝

Tactic:
]

Goal state after:
n✝¹ num✝ n✝ denom✝ : ℕ
inv✝ : Invertible ↑denom✝
h : ↑n✝¹ / ↑n✝ = ↑num✝ * ⅟↑denom✝
⊢ IsNNRat (↑↑n✝¹ / ↑↑n✝) num✝ denom✝
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
n : ℤ
⊢ ↑n = ↑n

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
n : ℕ
⊢ ↑n = ↑n

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
b0' : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a /. b = { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
d0 : ↑d = 0
dd : ↑{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }.den ∣ b
⊢ ↑d ∣ b

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
b0' : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a /. b = { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
d0 : ↑d = 0
dd : ↑{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }.den ∣ b
⊢ ↑d ∣ b
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
b0' : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a /. b = { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
d0 : ↑d = 0
dd : ↑(a /. b).den ∣ b
k : ℤ
ke : b = ↑d * k
⊢ ↑d * ↑k = ↑d * ↑k

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Rat.Lemmas

Goal state before:
pp: q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q + r = s
⊢ ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num =
    (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den

Tactic:
]

Goal state after:
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q + r = s
⊢ ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num =
    (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
b0' : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a /. b = { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
d0 : ↑d = 0
dd : ↑(a /. b).den ∣ b
k : ℤ
ke : b = ↑d * k
this : ↑b = 0
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
b0' : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a /. b = { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
d0 : ↑d = 0
dd : ↑(a /. b).den ∣ b
k : ℤ
ke : b = ↑d * k
this : ↑b = 0
⊢ False
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
b0' : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a /. b = n /. ↑d
d0 : ↑d ≠ 0
⊢ ↑{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c } = ↑a / ↑b

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
b0' : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a /. b = n /. ↑d
d0 : ↑d ≠ 0
⊢ ↑{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c } = ↑a / ↑b
Module: Mathlib.Data.Rat.Lemmas

Goal state before:
pp: q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q + r = s
⊢ ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * s.num =
    (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑s.den

Tactic:
]

Goal state after:
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q + r = s
⊢ ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * s.num =
    (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑s.den
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
b0' : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a /. b = n /. ↑d
d0 : ↑d ≠ 0
this : ↑a * ↑d = ↑n * ↑b
⊢ ↑{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c } = ↑a / ↑b

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
b0' : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a /. b = n /. ↑d
d0 : ↑d ≠ 0
this : ↑a * ↑d = ↑n * ↑b
⊢ ↑{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c } = ↑a / ↑b
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
a b : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
b0' : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a /. b = n /. ↑d
d0 : ↑d ≠ 0
this : ↑a * ↑d = ↑n * ↑b
⊢ ↑n = ↑{ num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }.num

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
a : ℤ
b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
⊢ ↑a / ↑b = ↑a / ↑b

pp: case b0
α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
a : ℤ
b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
⊢ ↑↑b ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
case b0
α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
a : ℤ
b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
⊢ ↑↑b ≠ 0
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: case b0
α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
a : ℤ
b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
⊢ ↑b ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
case b0
α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
a : ℤ
b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0
⊢ ↑b ≠ 0
Module: Mathlib.Data.Rat.Lemmas

Goal state before:
pp: q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q + r = s
⊢ s.num * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den =
    (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑s.den

Tactic:
]

Goal state after:
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q + r = s
⊢ s.num * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den =
    (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑s.den
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
q r : ℚ
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
⊢ ↑(q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) / ↑(q.den * r.den) = (↑q.num * ↑r.den + ↑q.den * ↑r.num) / (↑q.den * ↑r.den)

pp: case hb
α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
q r : ℚ
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
⊢ ↑(q.den * r.den) ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
q r : ℚ
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
⊢ ↑(q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) / ↑(q.den * r.den) = (↑q.num * ↑r.den + ↑q.den * ↑r.num) / (↑q.den * ↑r.den)

case hb
α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
q r : ℚ
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
⊢ ↑(q.den * r.den) ≠ 0
Module: Mathlib.Data.Rat.Lemmas

Goal state before:
pp: q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q + r = s
⊢ s = (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.den ≠ 0
⊢ ↑(p.num * q.num) / ↑(p.den * q.den) = ↑p.num * ↑q.num / (↑p.den * ↑q.den)

pp: case hb
α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.den ≠ 0
⊢ ↑(p.den * q.den) ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.den ≠ 0
⊢ ↑(p.num * q.num) / ↑(p.den * q.den) = ↑p.num * ↑q.num / (↑p.den * ↑q.den)

case hb
α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.den ≠ 0
⊢ ↑(p.den * q.den) ≠ 0
Module: Mathlib.Data.Rat.Lemmas

Goal state before:
pp: q r : ℚ
⊢ (q + -r).num * ↑q.den * ↑(-r).den = (q.num * ↑(-r).den + (-r).num * ↑q.den) * ↑(q + -r).den

Tactic:
add_num_den' q (-r)

Goal state after:
q r : ℚ
⊢ (q.num * ↑(-r).den + (-r).num * ↑q.den) * ↑(q + -r).den = (q.num * ↑(-r).den + (-r).num * ↑q.den) * ↑(q + -r).den
Module: Mathlib.Data.Rat.Lemmas

Goal state before:
pp: q r : ℚ
⊢ (q.num * ↑(-r).den + (-r).num * ↑q.den) * ↑(q + -r).den = (q.num * ↑(-r).den + (-r).num * ↑q.den) * ↑(q + -r).den

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Rat.Lemmas

Goal state before:
pp: q : ℚ
⊢ (-(q.num /. ↑q.den))⁻¹ = -(q.num /. ↑q.den)⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
q : ℚ
⊢ (-(q.num /. ↑q.den))⁻¹ = -(q.num /. ↑q.den)⁻¹
Module: Mathlib.Data.Rat.Lemmas

Goal state before:
pp: a : ℤ
b : ℕ
h : a.natAbs.Coprime b
hb0 : 0 < b
⊢ { num := a, den := b, den_nz := ⋯, reduced := h }.num = a

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Rat.Lemmas

Goal state before:
pp: a : ℤ
b : ℕ
h : a.natAbs.Coprime b
hb0 : 0 < b
⊢ ↑{ num := a, den := b, den_nz := ⋯, reduced := h }.den = ↑b

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
q : ℚ
hq : ↑q.num ≠ 0
⊢ ↑q.den / ↑q.num = ↑q.den / ↑q.num

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Rat.Lemmas

Goal state before:
pp: case left
a b c d : ℤ
hb0 : 0 < b
hd0 : 0 < d
h1 : a.natAbs.Coprime b.natAbs
h2 : c.natAbs.Coprime d.natAbs
h : ↑a / ↑b = ↑c / ↑d
⊢ c = c

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Rat.Lemmas

Goal state before:
pp: case right
a b c d : ℤ
hb0 : 0 < b
hd0 : 0 < d
h1 : a.natAbs.Coprime b.natAbs
h2 : c.natAbs.Coprime d.natAbs
h : ↑a / ↑b = ↑c / ↑d
⊢ d = d

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Rat.Cast.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.num ≠ 0
⊢ ↑(p.num * ↑q.den) / ↑(↑p.den * q.num) = ↑p.num * ↑q.den / (↑p.den * ↑q.num)

pp: case b0
α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.num ≠ 0
⊢ ↑(↑p.den * q.num) ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.num ≠ 0
⊢ ↑(p.num * ↑q.den) / ↑(↑p.den * q.num) = ↑p.num * ↑q.den / (↑p.den * ↑q.num)

case b0
α : Type u_3
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.num ≠ 0
⊢ ↑(↑p.den * q.num) ≠ 0
Module: Mathlib.Data.Rat.Lemmas

Goal state before:
pp: n : ℤ
hn : ¬↑n = ↑0
⊢ ↑n ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
n : ℤ
hn : ¬↑n = ↑0
⊢ ↑n ≠ 0
Module: Mathlib.Data.Rat.Lemmas

Goal state before:
pp: b c : ℤ
⊢ ↑c * (↑b / ↑b) = ↑c * (↑b / ↑b)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Rat.Lemmas

Goal state before:
pp: case mp
m n : ℤ
hn : ↑n ≠ 0
⊢ ↑(↑m / ↑n).num * ↑n = ↑m → n ∣ m

Tactic:
]

Goal state after:
case mp
m n : ℤ
hn : ↑n ≠ 0
⊢ ↑(↑m / ↑n).num * ↑n = ↑m → n ∣ m