mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.RootsOfUnity.Basic

Goal state before:
pp: case refine_3
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : CommMonoid N
inst✝³ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝² : NeZero k
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : R
hx✝ : x ∈ nthRoots k 1
hx : x ^ k = 1
⊢ { val := ↑⟨x, hx✝⟩, inv := ↑⟨x, hx✝⟩ ^ (k - 1), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ } ∈ rootsOfUnity k R

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_3
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : CommMonoid N
inst✝³ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝² : NeZero k
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : R
hx✝ : x ∈ nthRoots k 1
hx : x ^ k = 1
⊢ { val := ↑⟨x, hx✝⟩, inv := ↑⟨x, hx✝⟩ ^ (k - 1), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ } ∈ rootsOfUnity k R
Module: Mathlib.RingTheory.RootsOfUnity.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_4
F : Type u_6
k : ℕ
inst✝⁴ : NeZero k
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : FunLike F R R
inst✝ : MonoidHomClass F R R
σ : F
ζ : ↥(rootsOfUnity k R)
m : ℤ
hm : ∀ (g : ↥(rootsOfUnity k R)), (restrictRootsOfUnity σ k) g = g ^ m
⊢ ∃ m, ↑↑((restrictRootsOfUnity σ k) ζ) = ↑↑ζ ^ m

Tactic:
hm,

Goal state after:
R : Type u_4
F : Type u_6
k : ℕ
inst✝⁴ : NeZero k
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : FunLike F R R
inst✝ : MonoidHomClass F R R
σ : F
ζ : ↥(rootsOfUnity k R)
m : ℤ
hm : ∀ (g : ↥(rootsOfUnity k R)), (restrictRootsOfUnity σ k) g = g ^ m
⊢ ∃ m_1, ↑↑(ζ ^ m) = ↑↑ζ ^ m_1
Module: Mathlib.RingTheory.RootsOfUnity.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_4
F : Type u_6
k : ℕ
inst✝⁴ : NeZero k
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : FunLike F R R
inst✝ : MonoidHomClass F R R
σ : F
ζ : ↥(rootsOfUnity k R)
m : ℤ
hm : ∀ (g : ↥(rootsOfUnity k R)), (restrictRootsOfUnity σ k) g = g ^ m
⊢ ∃ m_1, ↑↑ζ ^ (m % ↑(orderOf ζ)).toNat = ↑↑ζ ^ m_1

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_4
F : Type u_6
k : ℕ
inst✝⁴ : NeZero k
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : FunLike F R R
inst✝ : MonoidHomClass F R R
σ : F
ζ : ↥(rootsOfUnity k R)
m : ℤ
hm : ∀ (g : ↥(rootsOfUnity k R)), (restrictRootsOfUnity σ k) g = g ^ m
⊢ ∃ m_1, ↑↑ζ ^ (m % ↑(orderOf ζ)).toNat = ↑↑ζ ^ m_1
Module: Mathlib.RingTheory.RootsOfUnity.Basic

Goal state before:
pp: M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S✝ : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : CommMonoid M
inst✝⁶ : CommMonoid N
inst✝⁵ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝⁴ : NeZero k
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
L : Type u_7
inst✝¹ : LeftCancelMonoid L
inst✝ : Finite L
S : Subgroup Rˣ := rootsOfUnity (Monoid.exponent L) R
this : Finite (L →* ↥S)
f : L →* Rˣ
a : L
⊢ 1 = 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.RootsOfUnity.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsReduced R
p k m : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
ζ : Rˣ
⊢ ζ ∈ rootsOfUnity m R ↔ ζ ∈ rootsOfUnity m R

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
K : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Field K
M : Matrix n n K
h : ∀ (v : n → K), v ≠ 0 → M *ᵥ v ≠ 0
this : Function.Injective ⇑(toLin' M)
v : n → K
⊢ (toLin' M) (↑(LinearEquiv.ofInjectiveEndo (toLin' M) this).symm v) = LinearMap.id v

Tactic:
]

Goal state after:
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
K : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Field K
M : Matrix n n K
h : ∀ (v : n → K), v ≠ 0 → M *ᵥ v ≠ 0
this : Function.Injective ⇑(toLin' M)
v : n → K
⊢ (toLin' M) (↑(LinearEquiv.ofInjectiveEndo (toLin' M) this).symm v) = LinearMap.id v
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
⊢ (∃ v, v ≠ 0 ∧ M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0

Tactic:
]

Goal state after:
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
⊢ (∃ v, v ≠ 0 ∧ M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.GeneralLinearGroup.Defs

Goal state before:
pp: n : Type u
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
u : Rˣ
A : GL n R
⊢ ↑A * (Matrix.scalar n) ↑u = ↑A * (Matrix.scalar n) ↑u

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
⊢ (∃ v, v ≠ 0 ∧ M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0

Tactic:
refine Iff.trans ?_ this

Goal state after:
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
⊢ (∃ v, v ≠ 0 ∧ M *ᵥ v = 0) ↔ ∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.GeneralLinearGroup.Defs

Goal state before:
pp: n : Type u
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : GL n R
⊢ 1 = 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: case mp.refine_2
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → A
hv : v ≠ 0
mul_eq : M *ᵥ v = 0
i : n
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.GeneralLinearGroup.Defs

Goal state before:
pp: n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
g : GL n R
⊢ (↑g * (↑g)⁻¹).map ⇑f = 1

Tactic:
]

Goal state after:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
g : GL n R
⊢ (↑g * (↑g)⁻¹).map ⇑f = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.GeneralLinearGroup.Defs

Goal state before:
pp: n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
g : GL n R
⊢ ((↑g)⁻¹ * ↑g).map ⇑f = 1

Tactic:
]

Goal state after:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
g : GL n R
⊢ ((↑g)⁻¹ * ↑g).map ⇑f = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: case mpr.refine_1
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this✝¹ : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → K
hv : v ≠ 0
mul_eq : (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0
this✝ : DecidableEq K := Classical.decEq K
b : A
hb : b ∈ nonZeroDivisors A
f : (a : K) → a ∈ Finset.image v Finset.univ → A
hf : ∀ (a : K) (a_1 : a ∈ Finset.image v Finset.univ), (algebraMap A K) (f a a_1) = ↑⟨b, hb⟩ • a
h : (fun i ↦ f (v i) ⋯) = 0
i : n
this : b = 0 ∨ v i = 0
⊢ v i = 0 i

Tactic:
]

Goal state after:
case mpr.refine_1
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this✝¹ : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → K
hv : v ≠ 0
mul_eq : (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0
this✝ : DecidableEq K := Classical.decEq K
b : A
hb : b ∈ nonZeroDivisors A
f : (a : K) → a ∈ Finset.image v Finset.univ → A
hf : ∀ (a : K) (a_1 : a ∈ Finset.image v Finset.univ), (algebraMap A K) (f a a_1) = ↑⟨b, hb⟩ • a
h : (fun i ↦ f (v i) ⋯) = 0
i : n
this : b = 0 ∨ v i = 0
⊢ v i = 0 i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.GeneralLinearGroup.Defs

Goal state before:
pp: n : Type u
R : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing R
inst✝ : Fact (Even (Fintype.card n))
g : ↥(GLPos n R)
⊢ 0 < (↑↑g).det

Tactic:
]

Goal state after:
n : Type u
R : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing R
inst✝ : Fact (Even (Fintype.card n))
g : ↥(GLPos n R)
⊢ 0 < (↑↑g).det
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: case mpr.refine_2.calc_2
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this✝ : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
v : n → K
hv : v ≠ 0
mul_eq : (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0
this : DecidableEq K := Classical.decEq K
b : A
hb : b ∈ nonZeroDivisors A
f : (a : K) → a ∈ Finset.image v Finset.univ → A
hf : ∀ (a : K) (a_1 : a ∈ Finset.image v Finset.univ), (algebraMap A K) (f a a_1) = ↑⟨b, hb⟩ • a
i : n
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: n : Type u_1
A : Type u_4
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
M : Matrix n n A
inst✝ : Finite n
this : Fintype n
⊢ M.det ≠ 0 ↔ M.det ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: n : Type u_1
A : Type u_4
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
M : Matrix n n A
inst✝ : Finite n
t : A
h : t ≠ 0
this : (α : Type u_1) → [Finite α] → Fintype α
⊢ ((∀ (v : n → A), (∀ (w : n → A), v ⬝ᵥ (t • M) *ᵥ w = 0) → v = 0) ∧
      ∀ (w : n → A), (∀ (v : n → A), v ⬝ᵥ (t • M) *ᵥ w = 0) → w = 0) ↔
    (∀ (v : n → A), (∀ (w : n → A), v ⬝ᵥ M *ᵥ w = 0) → v = 0) ∧ ∀ (w : n → A), (∀ (v : n → A), v ⬝ᵥ M *ᵥ w = 0) → w = 0

Tactic:
]

Goal state after:
n : Type u_1
A : Type u_4
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
M : Matrix n n A
inst✝ : Finite n
t : A
h : t ≠ 0
this : (α : Type u_1) → [Finite α] → Fintype α
⊢ ((∀ (v : n → A), (∀ (w : n → A), v ⬝ᵥ (t • M) *ᵥ w = 0) → v = 0) ∧
      ∀ (w : n → A), (∀ (v : n → A), v ⬝ᵥ (t • M) *ᵥ w = 0) → w = 0) ↔
    (∀ (v : n → A), (∀ (w : n → A), v ⬝ᵥ M *ᵥ w = 0) → v = 0) ∧ ∀ (w : n → A), (∀ (v : n → A), v ⬝ᵥ M *ᵥ w = 0) → w = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: case inr.inr.refine_1
n : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j ↦ A i j < 0
h✝ : Nonempty n
h2 : A.det = 0
v : n → S
h_vnz : v ≠ 0
h_vA : v ᵥ* A = 0
this :
  ∀ {n : Type u_1} [inst : Fintype n] [inst_1 : DecidableEq n] {S : Type u_2} [inst_2 : CommRing S]
    [inst_3 : LinearOrder S] [IsStrictOrderedRing S] {A : Matrix n n S},
    (Pairwise fun i j ↦ A i j < 0) →
      ∀ (h : Nonempty n), A.det = 0 → ∀ (v : n → S), v ≠ 0 → v ᵥ* A = 0 → 0 < Finset.univ.sup' ⋯ v → ∃ j, ∑ i, A i j ≤ 0
h_sup : ¬0 < Finset.univ.sup' ⋯ v
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: case inr.inr.refine_2
n : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j ↦ A i j < 0
h✝ : Nonempty n
h2 : A.det = 0
v : n → S
h_vnz : v ≠ 0
h_vA : v ᵥ* A = 0
this :
  ∀ {n : Type u_1} [inst : Fintype n] [inst_1 : DecidableEq n] {S : Type u_2} [inst_2 : CommRing S]
    [inst_3 : LinearOrder S] [IsStrictOrderedRing S] {A : Matrix n n S},
    (Pairwise fun i j ↦ A i j < 0) →
      ∀ (h : Nonempty n), A.det = 0 → ∀ (v : n → S), v ≠ 0 → v ᵥ* A = 0 → 0 < Finset.univ.sup' ⋯ v → ∃ j, ∑ i, A i j ≤ 0
i : n
hi : v i ≠ 0 i
h_sup : ∀ (x : n), v x ≤ 0
⊢ v i < 0

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr.refine_2
n : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j ↦ A i j < 0
h✝ : Nonempty n
h2 : A.det = 0
v : n → S
h_vnz : v ≠ 0
h_vA : v ᵥ* A = 0
this :
  ∀ {n : Type u_1} [inst : Fintype n] [inst_1 : DecidableEq n] {S : Type u_2} [inst_2 : CommRing S]
    [inst_3 : LinearOrder S] [IsStrictOrderedRing S] {A : Matrix n n S},
    (Pairwise fun i j ↦ A i j < 0) →
      ∀ (h : Nonempty n), A.det = 0 → ∀ (v : n → S), v ≠ 0 → v ᵥ* A = 0 → 0 < Finset.univ.sup' ⋯ v → ∃ j, ∑ i, A i j ≤ 0
i : n
hi : v i ≠ 0 i
h_sup : ∀ (x : n), v x ≤ 0
⊢ v i < 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: n✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Fintype n✝
n : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j ↦ A i j < 0
h✝ : Nonempty n
h2 : A.det = 0
v : n → S
h_vnz : v ≠ 0
h_vA : v ᵥ* A = 0
h_sup : 0 < Finset.univ.sup' ⋯ v
j₀ : n
h_j₀ : Finset.univ.sup' ⋯ v = v j₀
⊢ ∑ i, v j₀ * A i j₀ ≤ 0

Tactic:
]

Goal state after:
n✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Fintype n✝
n : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j ↦ A i j < 0
h✝ : Nonempty n
h2 : A.det = 0
v : n → S
h_vnz : v ≠ 0
h_vA : v ᵥ* A = 0
h_sup : 0 < Finset.univ.sup' ⋯ v
j₀ : n
h_j₀ : Finset.univ.sup' ⋯ v = v j₀
⊢ ∑ i, v j₀ * A i j₀ ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: n✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Fintype n✝
n : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j ↦ A i j < 0
h✝ : Nonempty n
h2 : A.det = 0
v : n → S
h_vnz : v ≠ 0
h_vA : v ᵥ* A = 0
h_sup : 0 < Finset.univ.sup' ⋯ v
j₀ : n
h_j₀ : Finset.univ.sup' ⋯ v = v j₀
⊢ ∑ i, v j₀ * A i j₀ ≤ ∑ i, v i * A i j₀

Tactic:
]

Goal state after:
n✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Fintype n✝
n : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j ↦ A i j < 0
h✝ : Nonempty n
h2 : A.det = 0
v : n → S
h_vnz : v ≠ 0
h_vA : v ᵥ* A = 0
h_sup : 0 < Finset.univ.sup' ⋯ v
j₀ : n
h_j₀ : Finset.univ.sup' ⋯ v = v j₀
⊢ ∑ i, v j₀ * A i j₀ ≤ ∑ i, v i * A i j₀
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: case pos
n✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Fintype n✝
n : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j ↦ A i j < 0
h✝ : Nonempty n
h2 : A.det = 0
v : n → S
h_vnz : v ≠ 0
h_vA : v ᵥ* A = 0
h_sup : 0 < Finset.univ.sup' ⋯ v
j₀ : n
h_j₀ : Finset.univ.sup' ⋯ v = v j₀
i : n
hi : i ∈ Finset.univ
h : i = j₀
⊢ v j₀ * A j₀ j₀ ≤ v j₀ * A j₀ j₀

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLinearEquiv

Goal state before:
pp: n : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j ↦ A i j < 0
h2 : ∀ (i : n), 0 < ∑ j, A i j
⊢ Aᵀ.det ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
n : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j ↦ A i j < 0
h2 : ∀ (i : n), 0 < ∑ j, A i j
⊢ Aᵀ.det ≠ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Isometry

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
N : Type u_7
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticMap R M₁ N
Q₂ : QuadraticMap R M₂ N
Q₃ : QuadraticMap R M₃ N
Q₄ : QuadraticMap R M₄ N
g : Q₂ →qᵢ Q₃
f : Q₁ →qᵢ Q₂
x : M₁
⊢ Q₃ (g (f x)) = Q₃ (g (f x))

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.IsometryEquiv

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
V : Type u_8
N : Type u_9
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticMap R M₁ N
Q₂ : QuadraticMap R M₂ N
Q₃ : QuadraticMap R M₃ N
f : Q₁.IsometryEquiv Q₂
m : M₂
⊢ Q₂ (f ((↑f.symm).toFun m)) = Q₂ m

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
V : Type u_8
N : Type u_9
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticMap R M₁ N
Q₂ : QuadraticMap R M₂ N
Q₃ : QuadraticMap R M₃ N
f : Q₁.IsometryEquiv Q₂
m : M₂
⊢ Q₂ (f ((↑f.symm).toFun m)) = Q₂ m
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.IsometryEquiv

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
V : Type u_8
N : Type u_9
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticMap R M₁ N
Q₂ : QuadraticMap R M₂ N
Q₃ : QuadraticMap R M₃ N
f : Q₁.IsometryEquiv Q₂
g : Q₂.IsometryEquiv Q₃
m : M₁
⊢ Q₃ ((↑(f.toLinearEquiv ≪≫ₗ g.toLinearEquiv)).toFun m) = Q₃ (g (f m))

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
V : Type u_8
N : Type u_9
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticMap R M₁ N
Q₂ : QuadraticMap R M₂ N
Q₃ : QuadraticMap R M₃ N
f : Q₁.IsometryEquiv Q₂
g : Q₂.IsometryEquiv Q₃
m : M₁
⊢ Q₃ ((↑(f.toLinearEquiv ≪≫ₗ g.toLinearEquiv)).toFun m) = Q₃ (g (f m))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.IsometryEquiv

Goal state before:
pp: case e'_5
ι : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
V : Type u_8
N : Type u_9
inst✝³ : Field K
inst✝² : Invertible 2
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
Q : QuadraticForm K V
v : Basis (Fin (finrank K V)) K V
hv₁ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
iso : IsometryEquiv Q (basisRepr Q v) := isometryEquivBasisRepr Q v
m : V
⊢ (weightedSumSquares K fun i ↦ Q (v i)) = weightedSumSquares K fun i ↦ Q (v i)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: case inr
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Subsingleton n
x✝¹ x✝ : SpecialLinearGroup n R
A : Matrix n n R
hA✝ : A.det = 1
B : Matrix n n R
hB✝ : B.det = 1
i : n
hB : B i i = 1
hA : A i i = 1
j : n
hn : Nonempty n
⊢ ↑⟨A, hA✝⟩ i j = ↑⟨B, hB✝⟩ i j

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Subsingleton n
x✝¹ x✝ : SpecialLinearGroup n R
A : Matrix n n R
hA✝ : A.det = 1
B : Matrix n n R
hB✝ : B.det = 1
i : n
hB : B i i = 1
hA : A i i = 1
j : n
hn : Nonempty n
⊢ ↑⟨A, hA✝⟩ i j = ↑⟨B, hB✝⟩ i j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: n : Type u
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : SpecialLinearGroup n R
⊢ 1 = 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: n : Type u
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A B : SpecialLinearGroup n R
⊢ 1 = 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
g : SpecialLinearGroup n R
⊢ 1 ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
g : SpecialLinearGroup n R
⊢ 1 ≠ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: n : Type u
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : SpecialLinearGroup n R
⊢ LinearMap.id = LinearMap.id

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
g : SpecialLinearGroup n R
⊢ f (↑g).det = 1

Tactic:
]

Goal state after:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
g : SpecialLinearGroup n R
⊢ f (↑g).det = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Subsingleton n
x : SpecialLinearGroup n R
x✝ : x ∈ center (SpecialLinearGroup n R)
⊢ 1 = 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.IsometryEquiv

Goal state before:
pp: ι✝ : Type u_1
R✝ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
V : Type u_8
N : Type u_9
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Invertible 2
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
inst✝⁶ : FiniteDimensional K V
ι : Type u_10
S : Type u_11
R : Type u_12
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Monoid S
inst✝² : DistribMulAction S R
inst✝¹ : SMulCommClass S R R
inst✝ : IsScalarTower S R R
w w' : ι → S
u : ι → Sˣ
h : ∀ (i : ι), w' i * ↑(u i) ^ 2 = w i
x : ι → R
j : ι
hj : j ∈ Finset.univ
⊢ (w' j * ↑(u j ^ 2)) • (x j * x j) = (w' j * ↑(u j) ^ 2) • (x j * x j)

Tactic:
]

Goal state after:
ι✝ : Type u_1
R✝ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
V : Type u_8
N : Type u_9
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Invertible 2
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
inst✝⁶ : FiniteDimensional K V
ι : Type u_10
S : Type u_11
R : Type u_12
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Monoid S
inst✝² : DistribMulAction S R
inst✝¹ : SMulCommClass S R R
inst✝ : IsScalarTower S R R
w w' : ι → S
u : ι → Sˣ
h : ∀ (i : ι), w' i * ↑(u i) ^ 2 = w i
x : ι → R
j : ι
hj : j ∈ Finset.univ
⊢ (w' j * ↑(u j ^ 2)) • (x j * x j) = (w' j * ↑(u j) ^ 2) • (x j * x j)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
i : n
A B : ↥(center (SpecialLinearGroup n R))
⊢ ((scalar n) (↑↑A i i) * (scalar n) (↑↑B i i)) i i = (scalar n) (↑↑A i i) i i * (scalar n) (↑↑B i i) i i

Tactic:
]

Goal state after:
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
i : n
A B : ↥(center (SpecialLinearGroup n R))
⊢ ((scalar n) (↑↑A i i) * (scalar n) (↑↑B i i)) i i = (scalar n) (↑↑A i i) i i * (scalar n) (↑↑B i i) i i