mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Lattice

Goal state before:
pp: case a.cons.cons.inl
R : Type uR
A : Type uA
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set A
tl : List A
ih : (∀ y ∈ tl, y ∈ Set.range ⇑(algebraMap R A) ∪ s) → ∃ z r, ∃ (_ : r ∈ Submonoid.closure s), z • r = tl.prod
z : R
r : A
hr : r ∈ Submonoid.closure s
hzr : z • r = tl.prod
hd : R
HL : (algebraMap R A) hd ∈ Set.range ⇑(algebraMap R A) ∪ s ∧ ∀ x ∈ tl, x ∈ Set.range ⇑(algebraMap R A) ∪ s
⊢ (algebraMap R A) hd * ((algebraMap R A) z * r) = (algebraMap R A) hd * ((algebraMap R A) z * r)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Lattice

Goal state before:
pp: R : Type uR
A : Type uA
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set A
t : Submodule R A
⊢ ↑(Submonoid.closure s) ⊆ ↑t ↔ ↑(Submonoid.closure s) ⊆ ↑t

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Lattice

Goal state before:
pp: R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
s : Set A
x : A
f : A →ₗ[R] B
hf : ∀ (a₁ a₂ : A), f (a₁ * a₂) = f a₁ * f a₂
r : R
this : f 1 ∈ adjoin R (⇑f '' (s ∪ {1}))
⊢ f (r • 1) = r • f 1

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
s : Set A
x : A
f : A →ₗ[R] B
hf : ∀ (a₁ a₂ : A), f (a₁ * a₂) = f a₁ * f a₂
r : R
this : f 1 ∈ adjoin R (⇑f '' (s ∪ {1}))
⊢ f (r • 1) = r • f 1
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Lattice

Goal state before:
pp: R : Type uR
A : Type uA
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
⊢ span R ↑(Submonoid.closure (s ∪ t)) = span R (↑(Submonoid.closure s) * ↑(Submonoid.closure t))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type uR
A : Type uA
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
⊢ span R ↑(Submonoid.closure (s ∪ t)) = span R (↑(Submonoid.closure s) * ↑(Submonoid.closure t))
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.NonUnitalSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b : A
⊢ r • (b * a) = r • (b * a)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Associator

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Q : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R P
⊢ (tensorTensorTensorComm R M P N Q).symm ≪≫ₗ tensorTensorTensorComm R M P N Q =
    LinearEquiv.refl R (M ⊗[R] N ⊗[R] (P ⊗[R] Q))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Q : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R P
⊢ (tensorTensorTensorComm R M P N Q).symm ≪≫ₗ tensorTensorTensorComm R M P N Q =
    LinearEquiv.refl R (M ⊗[R] N ⊗[R] (P ⊗[R] Q))
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.NonUnitalSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (a * b * c) = r • (a * b * c)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Lattice

Goal state before:
pp: R : Type uR
A : Type uA
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set A
x : A
⊢ x ∈ Subring.closure (Set.range ⇑(algebraMap R A) ∪ s) ↔ x ∈ Subring.closure (Set.range ⇑(algebraMap R A) ∪ s)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.NonUnitalSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (b * (c * a)) = r • (b * (c * a))

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Lattice

Goal state before:
pp: R : Type uR
A : Type uA
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set A
x : A
⊢ x ∈ adjoin R s ↔ x ∈ Subring.closure (Set.range ⇑(algebraMap R A) ∪ s)

Tactic:
by
  rw [← Subalgebra.mem_toSubring, adjoin_eq_ring_closure]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Lattice

Goal state before:
pp: R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
e : A →ₐ[R] B
x : A
⊢ R[e x] = R[e x]

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.NonUnitalSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
r : R
a : A
ha : a ∈ s.centralizer
x : A
hx : x ∈ s
⊢ r • (a * x) = r • (a * x)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Lattice

Goal state before:
pp: case e'_2
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
s : Set A
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin R s) →ₐ[R] B
h : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin R s)
x : A
hx : x ∈ adjoin R s
x✝³ x✝² : A
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin R s
x✝ : x✝² ∈ adjoin R s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₁ ⟨x✝³ + x✝², ⋯⟩ = φ₁ (⟨x✝³, x✝¹⟩ + ⟨x✝², x✝⟩)

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_2
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
s : Set A
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin R s) →ₐ[R] B
h : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin R s)
x : A
hx : x ∈ adjoin R s
x✝³ x✝² : A
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin R s
x✝ : x✝² ∈ adjoin R s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₁ ⟨x✝³ + x✝², ⋯⟩ = φ₁ (⟨x✝³, x✝¹⟩ + ⟨x✝², x✝⟩)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Lattice

Goal state before:
pp: case e'_3
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
s : Set A
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin R s) →ₐ[R] B
h : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin R s)
x : A
hx : x ∈ adjoin R s
x✝³ x✝² : A
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin R s
x✝ : x✝² ∈ adjoin R s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₂ ⟨x✝³ + x✝², ⋯⟩ = φ₂ (⟨x✝³, x✝¹⟩ + ⟨x✝², x✝⟩)

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_3
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
s : Set A
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin R s) →ₐ[R] B
h : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin R s)
x : A
hx : x ∈ adjoin R s
x✝³ x✝² : A
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin R s
x✝ : x✝² ∈ adjoin R s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₂ ⟨x✝³ + x✝², ⋯⟩ = φ₂ (⟨x✝³, x✝¹⟩ + ⟨x✝², x✝⟩)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Lattice

Goal state before:
pp: case e'_2
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
s : Set A
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin R s) →ₐ[R] B
h : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin R s)
x : A
hx : x ∈ adjoin R s
x✝³ x✝² : A
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin R s
x✝ : x✝² ∈ adjoin R s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₁ ⟨x✝³ * x✝², ⋯⟩ = φ₁ (⟨x✝³, x✝¹⟩ * ⟨x✝², x✝⟩)

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_2
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
s : Set A
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin R s) →ₐ[R] B
h : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin R s)
x : A
hx : x ∈ adjoin R s
x✝³ x✝² : A
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin R s
x✝ : x✝² ∈ adjoin R s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₁ ⟨x✝³ * x✝², ⋯⟩ = φ₁ (⟨x✝³, x✝¹⟩ * ⟨x✝², x✝⟩)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Lattice

Goal state before:
pp: case e'_3
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
s : Set A
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin R s) →ₐ[R] B
h : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin R s)
x : A
hx : x ∈ adjoin R s
x✝³ x✝² : A
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin R s
x✝ : x✝² ∈ adjoin R s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₂ ⟨x✝³ * x✝², ⋯⟩ = φ₂ (⟨x✝³, x✝¹⟩ * ⟨x✝², x✝⟩)

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_3
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
s : Set A
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin R s) →ₐ[R] B
h : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin R s)
x : A
hx : x ∈ adjoin R s
x✝³ x✝² : A
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin R s
x✝ : x✝² ∈ adjoin R s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₂ ⟨x✝³ * x✝², ⋯⟩ = φ₂ (⟨x✝³, x✝¹⟩ * ⟨x✝², x✝⟩)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Lattice

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring E
inst✝⁵ : Semiring K
inst✝⁴ : SMul F E
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : Semiring F
inst✝¹ : Module F K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : Submonoid K
S : Set K
h : ↑L = ↑(span F S)
⊢ span E ↑(span F S) = span E S

Tactic:
]

Goal state after:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring E
inst✝⁵ : Semiring K
inst✝⁴ : SMul F E
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : Semiring F
inst✝¹ : Module F K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : Submonoid K
S : Set K
h : ↑L = ↑(span F S)
⊢ span E ↑(span F S) = span E S
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Lattice

Goal state before:
pp: case a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
x : A
hx : ∃ x_1 ∈ S, f x_1 = f x
⊢ x ∈ S ⊔ adjoin R (⇑f ⁻¹' {0})

Tactic:
]

Goal state after:
case a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
x : A
hx : ∃ x_1 ∈ S, f x_1 = f x
⊢ x ∈ S ⊔ adjoin R (⇑f ⁻¹' {0})
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Lattice

Goal state before:
pp: case a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
x y : A
hy : y ∈ S
hxy : x - y ∈ ⇑f ⁻¹' {0}
⊢ y + (x - y) ∈ adjoin R (↑S ∪ ⇑f ⁻¹' {0})

Tactic:
]

Goal state after:
case a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
x y : A
hy : y ∈ S
hxy : x - y ∈ ⇑f ⁻¹' {0}
⊢ y + (x - y) ∈ adjoin R (↑S ∪ ⇑f ⁻¹' {0})
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Lattice

Goal state before:
pp: case a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
⊢ map f S ⊔ adjoin R (⇑f '' ⇑f ⁻¹' {0}) ≤ map f S

Tactic:
]

Goal state after:
case a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
⊢ map f S ⊔ adjoin R (⇑f '' ⇑f ⁻¹' {0}) ≤ map f S
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Lattice

Goal state before:
pp: case a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
⊢ ⇑f '' ⇑f ⁻¹' {0} ⊆ ↑(map f S)

Tactic:
]

Goal state after:
case a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
⊢ ⇑f '' ⇑f ⁻¹' {0} ⊆ ↑(map f S)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Lattice

Goal state before:
pp: R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
h : ⇑f ⁻¹' {0} ⊆ ↑S
⊢ ⇑f ⁻¹' {0} ⊆ ↑S

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
h : ⇑f ⁻¹' {0} ⊆ ↑S
⊢ ⇑f ⁻¹' {0} ⊆ ↑S
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DirectSum.TensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝⁹ : Semiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
inst✝⁷ : DecidableEq ι₁
inst✝⁶ : DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₂ : ι₂ → Type w₂
inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝⁴ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝³ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝² : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
i₁ : ι₁
m₁ : M₁ i₁
i₂ : ι₂
m₂ : M₂ i₂
⊢ (lof S (ι₁ × ι₂) (fun i ↦ M₁ i.1 ⊗[R] M₂ i.2) (i₁, i₂)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) =
    (lof S (ι₁ × ι₂) (fun i ↦ M₁ i.1 ⊗[R] M₂ i.2) (i₁, i₂)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DirectSum.TensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
inst✝⁶ : DecidableEq ι₁
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₂' : Type w₂'
inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂'
inst✝³ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝² : Module R M₂'
inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
i : ι₁
x : M₁ i
y : M₂'
⊢ (lof S ι₁ (fun i ↦ M₁ i ⊗[R] M₂') i) (x ⊗ₜ[R] y) = (lof S ι₁ (fun i ↦ M₁ i ⊗[R] M₂') i) (x ⊗ₜ[R] y)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Projective

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹⁰ : Semiring R
P : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
Q : Type u_5
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Projective R P
inst✝ : Projective R Q
f : (P × Q →₀ R) →ₗ[R] P × Q
hf : Function.Surjective ⇑f
g₁ : P →ₗ[R] P × Q →₀ R
hg₁ : f ∘ₗ g₁ = inl R P Q
g₂ : Q →ₗ[R] P × Q →₀ R
hg₂ : f ∘ₗ g₂ = inr R P Q
⊢ LinearMap.id = LinearMap.id

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DirectSum.Finsupp

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
N : Type u_4
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_5
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι →₀ M
n : N
i : ι
⊢ p i ⊗ₜ[R] n = p i ⊗ₜ[R] n

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Projective

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring R
P : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R P
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Projective R M
i : P →ₗ[R] M
s : M →ₗ[R] P
H : s ∘ₗ i = LinearMap.id
g : M →ₗ[R] P →₀ R
hg : linearCombination R id ∘ₗ g = s
x : P
⊢ x = x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DirectSum.Finsupp

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
N : Type u_4
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_5
inst✝ : DecidableEq ι
m : M
p : ι →₀ N
i : ι
⊢ m ⊗ₜ[R] p i = m ⊗ₜ[R] p i

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DirectSum.Finsupp

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
N : Type u_4
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_5
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι →₀ R
n : N
i : ι
⊢ p i • n = p i • n

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DirectSum.Finsupp

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
ι : Type u_5
inst✝ : DecidableEq ι
m : M
p : ι →₀ R
i : ι
⊢ p i • m = p i • m

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DirectSum.TensorProduct

Goal state before:
pp: case tmul
R : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
inst✝⁶ : DecidableEq ι₁
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₂' : Type w₂'
inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂'
inst✝³ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝² : Module R M₂'
inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
i : ι₁
x : M₁ i
y : M₂'
⊢ (of M₁ i) x ⊗ₜ[R] y = (of M₁ i) x ⊗ₜ[R] y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DirectSum.Finsupp

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ
⊢ ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (f ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = f i ⊗ₜ[R] g k

Tactic:
by
  induction f using Finsupp.induction_linear with
  | zero => simp
  | add f₁ f₂ hf₁ hf₂ => simp [add_tmul, hf₁, hf₂]
  | single i' m =>
    induction g using Finsupp.induction_linear with
    | zero => simp
    | add g₁ g₂ hg₁ hg₂ => simp [tmul_add, hg₁, hg₂]
    | single k' n =>
      classical
      simp_rw [finsuppTensorFinsupp_single, Finsupp.single_apply, Prod.mk_inj, ite_and]
      split_ifs <;> simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DirectSum.TensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
ι₂ : Type v₂
inst✝⁶ : DecidableEq ι₂
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁴ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝³ : Module R M₁'
inst✝² : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝¹ : Module S M₁'
inst✝ : IsScalarTower R S M₁'
x : M₁'
i : ι₂
y : M₂ i
⊢ (lof S ι₂ (fun i ↦ M₁' ⊗[R] M₂ i) i) (x ⊗ₜ[R] y) = (lof S ι₂ (fun i ↦ M₁' ⊗[R] M₂ i) i) (x ⊗ₜ[R] y)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DirectSum.Finsupp

Goal state before:
pp: R : Type u_1
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : CommSemiring R
i : ι × κ
r : R
⊢ (finsuppTensorFinsupp' R ι κ).symm (Finsupp.single i (1 * r)) = Finsupp.single i.1 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single i.2 r

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : CommSemiring R
i : ι × κ
r : R
⊢ (finsuppTensorFinsupp' R ι κ).symm (Finsupp.single i (1 * r)) = Finsupp.single i.1 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single i.2 r
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DirectSum.Finsupp

Goal state before:
pp: R : Type u_1
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : CommSemiring R
i : ι × κ
r : R
⊢ (finsuppTensorFinsupp' R ι κ).symm (Finsupp.single i (r * 1)) = Finsupp.single i.1 r ⊗ₜ[R] Finsupp.single i.2 1

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : CommSemiring R
i : ι × κ
r : R
⊢ (finsuppTensorFinsupp' R ι κ).symm (Finsupp.single i (r * 1)) = Finsupp.single i.1 r ⊗ₜ[R] Finsupp.single i.2 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DirectSum.Finsupp

Goal state before:
pp: R : Type u_1
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : CommSemiring R
⊢ (finsuppTensorFinsupp R R R R ι κ).trans (Finsupp.lcongr (Equiv.refl (ι × κ)) (TensorProduct.rid R R)) =
    (finsuppTensorFinsupp R R R R ι κ).trans (Finsupp.lcongr (Equiv.refl (ι × κ)) (TensorProduct.rid R R))

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Matrix.Composition

Goal state before:
pp: case inl
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : DecidableEq J
inst✝² : DecidableEq K
inst✝¹ : DecidableEq L
inst✝ : Zero R
i : I
j : J
k : K
l : L
r : R
i' : I
k' : K
j' : J
l' : L
hi : i ≠ i'
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Matrix.Composition

Goal state before:
pp: case inr.inl
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : DecidableEq J
inst✝² : DecidableEq K
inst✝¹ : DecidableEq L
inst✝ : Zero R
i : I
j : J
k : K
l : L
r : R
k' : K
j' : J
l' : L
hj : j ≠ j'
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Matrix.Composition

Goal state before:
pp: case inr.inr
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : DecidableEq J
inst✝² : DecidableEq K
inst✝¹ : DecidableEq L
inst✝ : Zero R
i : I
j : J
k : K
l : L
r : R
k' : K
l' : L
⊢ single k l r k' l' = single (i, k) (j, l) r (i, k') (j, l')

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : DecidableEq J
inst✝² : DecidableEq K
inst✝¹ : DecidableEq L
inst✝ : Zero R
i : I
j : J
k : K
l : L
r : R
k' : K
l' : L
⊢ single k l r k' l' = single (i, k) (j, l) r (i, k') (j, l')
Module: Mathlib.Data.Matrix.Composition

Goal state before:
pp: case inr.inr.inl
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : DecidableEq J
inst✝² : DecidableEq K
inst✝¹ : DecidableEq L
inst✝ : Zero R
i : I
j : J
k : K
l : L
r : R
k' : K
l' : L
hk : k ≠ k'
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Matrix.Composition

Goal state before:
pp: case inr.inr.inr.inl
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : DecidableEq J
inst✝² : DecidableEq K
inst✝¹ : DecidableEq L
inst✝ : Zero R
i : I
j : J
k : K
l : L
r : R
l' : L
hj : l ≠ l'
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Matrix.Composition

Goal state before:
pp: case inr.inr.inr.inr
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : DecidableEq J
inst✝² : DecidableEq K
inst✝¹ : DecidableEq L
inst✝ : Zero R
i : I
j : J
k : K
l : L
r : R
⊢ r = r

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Matrix.Composition

Goal state before:
pp: case inl
I : Type u_1
J : Type u_2
R : Type u_5
inst✝² : DecidableEq I
inst✝¹ : DecidableEq J
inst✝ : Zero R
d : I → J → R
i₁ : I
j₁ : J
i₂ : I
j₂ : J
hi : i₁ ≠ i₂
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Matrix.Composition

Goal state before:
pp: case inr
I : Type u_1
J : Type u_2
R : Type u_5
inst✝² : DecidableEq I
inst✝¹ : DecidableEq J
inst✝ : Zero R
d : I → J → R
i₁ : I
j₁ j₂ : J
⊢ diagonal (fun j ↦ d i₁ j) j₁ j₂ = diagonal (fun ij ↦ d ij.1 ij.2) (i₁, j₁) (i₁, j₂)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
I : Type u_1
J : Type u_2
R : Type u_5
inst✝² : DecidableEq I
inst✝¹ : DecidableEq J
inst✝ : Zero R
d : I → J → R
i₁ : I
j₁ j₂ : J
⊢ diagonal (fun j ↦ d i₁ j) j₁ j₂ = diagonal (fun ij ↦ d ij.1 ij.2) (i₁, j₁) (i₁, j₂)
Module: Mathlib.Data.Matrix.Composition

Goal state before:
pp: case inr.inl
I : Type u_1
J : Type u_2
R : Type u_5
inst✝² : DecidableEq I
inst✝¹ : DecidableEq J
inst✝ : Zero R
d : I → J → R
i₁ : I
j₁ j₂ : J
hj : j₁ ≠ j₂
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Matrix.Composition

Goal state before:
pp: case inr.inr
I : Type u_1
J : Type u_2
R : Type u_5
inst✝² : DecidableEq I
inst✝¹ : DecidableEq J
inst✝ : Zero R
d : I → J → R
i₁ : I
j₁ : J
⊢ d i₁ j₁ = d (i₁, j₁).1 (i₁, j₁).2

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Field.Opposite

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring α
q : ℚ≥0
⊢ (↑q.den)⁻¹ * ↑q.num = (↑q.den)⁻¹ * ↑q.num

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Field.Opposite

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
q : ℚ
⊢ ↑q.num * (↑q.den)⁻¹ = ↑q.num * (↑q.den)⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Field.Opposite

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring α
q : ℚ≥0
⊢ ↑q.num * (↑q.den)⁻¹ = ↑q.num * (↑q.den)⁻¹

Tactic:
]

Goal state after: