mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁷ : Finite ι
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M
inst✝¹⁵ : AddCommGroup N
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹¹ : IsDomain R
S : Type u_6
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : FaithfulSMul S R
inst✝⁵ : Module S M
inst✝⁴ : IsScalarTower S R M
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower S R N
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : Dual S M
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
this✝¹ : CharZero R
this✝ : Fintype ι
M₀ : Submodule S M := span S (range ⇑P.root)
v : ↑(baseOf ⇑P.root ↑f) → ↥M₀ := fun i ↦ P.rootSpanMem S ↑i
this : LinearIndependent (ι := ↑(baseOf ⇑P.root ↑f)) S v
⊢ LinearIndependent (ι := ↑(baseOf ⇑P.root ↑f)) S v

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁷ : Finite ι
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M
inst✝¹⁵ : AddCommGroup N
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹¹ : IsDomain R
S : Type u_6
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : FaithfulSMul S R
inst✝⁵ : Module S M
inst✝⁴ : IsScalarTower S R M
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower S R N
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : Dual S M
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
this✝¹ : CharZero R
this✝ : Fintype ι
M₀ : Submodule S M := span S (range ⇑P.root)
v : ↑(baseOf ⇑P.root ↑f) → ↥M₀ := fun i ↦ P.rootSpanMem S ↑i
this : LinearIndependent (ι := ↑(baseOf ⇑P.root ↑f)) S v
⊢ LinearIndependent (ι := ↑(baseOf ⇑P.root ↑f)) S v
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
this :
  ∀ (f : ι → ℤ),
    ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support) →
      Function.support f ⊆ ↑b.support → f ≠ 0 → 0 < f
k : ι
hk : P.root k = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
hf' : f ≠ 0
hk' : ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support)
⊢ 0 < f ∨ f < 0

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
this :
  ∀ (f : ι → ℤ),
    ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support) →
      Function.support f ⊆ ↑b.support → f ≠ 0 → 0 < f
k : ι
hk : P.root k = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
hf' : f ≠ 0
hk' : ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support)
⊢ 0 < f ∨ f < 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
this :
  ∀ (f : ι → ℤ),
    ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support) →
      Function.support f ⊆ ↑b.support → f ≠ 0 → 0 < f
k : ι
hk : P.root k = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
hf' : f ≠ 0
hk' : -∑ j ∈ b.support, f j • P.root j ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support)
⊢ 0 < f ∨ f < 0

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
this :
  ∀ (f : ι → ℤ),
    ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support) →
      Function.support f ⊆ ↑b.support → f ≠ 0 → 0 < f
k : ι
hk : P.root k = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
hf' : f ≠ 0
hk' : -∑ j ∈ b.support, f j • P.root j ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support)
⊢ 0 < f ∨ f < 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ∀ (s t : ℤ), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
x✝¹ : r ∈ S
s : ℤ
x✝ : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk : P.root k = P.root j + r • P.root i
l : ι
hl : P.root l = P.root j + s • P.root i
contra : r + 1 < s
hki_notMem : P.root k + P.root i ∉ range ⇑P.root
hki_ne : P.root k ≠ -P.root i
hli_notMem : P.root l - P.root i ∉ range ⇑P.root
hli_ne : P.root l ≠ P.root i
h₁ : 0 ≤ P.pairingIn ℤ k i
⊢ (P.coroot' i) (P.root j + r • P.root i) = P.pairing j i + (algebraMap ℤ R) r * (algebraMap ℤ R) 2

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ∀ (s t : ℤ), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
x✝¹ : r ∈ S
s : ℤ
x✝ : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk : P.root k = P.root j + r • P.root i
l : ι
hl : P.root l = P.root j + s • P.root i
contra : r + 1 < s
hki_notMem : P.root k + P.root i ∉ range ⇑P.root
hki_ne : P.root k ≠ -P.root i
hli_notMem : P.root l - P.root i ∉ range ⇑P.root
hli_ne : P.root l ≠ P.root i
h₁ : 0 ≤ P.pairingIn ℤ k i
⊢ (P.coroot' i) (P.root j + r • P.root i) = P.pairing j i + (algebraMap ℤ R) r * (algebraMap ℤ R) 2
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁷ : Finite ι
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M
inst✝¹⁵ : AddCommGroup N
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹¹ : IsDomain R
S : Type u_6
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : FaithfulSMul S R
inst✝⁵ : Module S M
inst✝⁴ : IsScalarTower S R M
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower S R N
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : Dual S M
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
this✝ : CharZero R
this : Fintype ι
M₀ : Submodule S M := span S (range ⇑P.root)
v : ↑(baseOf ⇑P.root ↑f) → ↥M₀ := fun i ↦ P.rootSpanMem S ↑i
f' : Dual S ↥M₀ := f ∘ₗ M₀.subtype
B : RootPositiveForm S P
hB : (LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap B.posForm).PosDef
hp : ∀ (i : ↑(baseOf ⇑P.root ↑f)), 0 < f' (v i)
i : ι
hi : i ∈ baseOf ⇑P.root ↑f
j : ι
hj : j ∈ baseOf ⇑P.root ↑f
hij : ⟨i, hi⟩ ≠ ⟨j, hj⟩
⊢ (algebraMap ℤ S) (P.pairingIn ℤ ↑⟨i, hi⟩ ↑⟨j, hj⟩) ≤ 0

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁷ : Finite ι
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M
inst✝¹⁵ : AddCommGroup N
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹¹ : IsDomain R
S : Type u_6
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁷ : Algebra S R
inst✝⁶ : FaithfulSMul S R
inst✝⁵ : Module S M
inst✝⁴ : IsScalarTower S R M
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower S R N
inst✝¹ : P.IsValuedIn S
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : Dual S M
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
this✝ : CharZero R
this : Fintype ι
M₀ : Submodule S M := span S (range ⇑P.root)
v : ↑(baseOf ⇑P.root ↑f) → ↥M₀ := fun i ↦ P.rootSpanMem S ↑i
f' : Dual S ↥M₀ := f ∘ₗ M₀.subtype
B : RootPositiveForm S P
hB : (LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap B.posForm).PosDef
hp : ∀ (i : ↑(baseOf ⇑P.root ↑f)), 0 < f' (v i)
i : ι
hi : i ∈ baseOf ⇑P.root ↑f
j : ι
hj : j ∈ baseOf ⇑P.root ↑f
hij : ⟨i, hi⟩ ≠ ⟨j, hj⟩
⊢ (algebraMap ℤ S) (P.pairingIn ℤ ↑⟨i, hi⟩ ↑⟨j, hj⟩) ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : -1 * B.rootLength i = -3 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = -1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -3
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i

Tactic:
]

Goal state after:
case inl.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : -1 * B.rootLength i = -3 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = -1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -3
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : -1 * B.rootLength i = -2 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = -1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -2
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i

Tactic:
]

Goal state after:
case inl.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : -1 * B.rootLength i = -2 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = -1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -2
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : -1 * B.rootLength i = 2 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = -1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 2
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i

Tactic:
]

Goal state after:
case inl.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : -1 * B.rootLength i = 2 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = -1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 2
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : Finite ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : Nontrivial R
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
hsp : ∀ (i : ι), P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s) ∨ -P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
⊢ range ⇑P.root ⊆ ↑(span R ↑(span ℤ (range fun x ↦ P.root ↑x)))

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : Finite ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : Nontrivial R
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
hsp : ∀ (i : ι), P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s) ∨ -P.root i ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' s)
⊢ range ⇑P.root ⊆ ↑(span R ↑(span ℤ (range fun x ↦ P.root ↑x)))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ∀ (s t : ℤ), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
x✝¹ : r ∈ S
s : ℤ
x✝ : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk : P.root k = P.root j + r • P.root i
l : ι
hl : P.root l = P.root j + s • P.root i
contra : r + 1 < s
hki_notMem : P.root k + P.root i ∉ range ⇑P.root
hki_ne : P.root k ≠ -P.root i
hli_notMem : P.root l - P.root i ∉ range ⇑P.root
hli_ne : P.root l ≠ P.root i
h₁ : 0 ≤ P.pairingIn ℤ k i
h₂ : P.pairingIn ℤ k i = P.pairingIn ℤ j i + r * 2
h₃ : P.pairingIn ℤ l i ≤ 0
⊢ (P.coroot' i) (P.root j + s • P.root i) = P.pairing j i + (algebraMap ℤ R) s * (algebraMap ℤ R) 2

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ∀ (s t : ℤ), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
x✝¹ : r ∈ S
s : ℤ
x✝ : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk : P.root k = P.root j + r • P.root i
l : ι
hl : P.root l = P.root j + s • P.root i
contra : r + 1 < s
hki_notMem : P.root k + P.root i ∉ range ⇑P.root
hki_ne : P.root k ≠ -P.root i
hli_notMem : P.root l - P.root i ∉ range ⇑P.root
hli_ne : P.root l ≠ P.root i
h₁ : 0 ≤ P.pairingIn ℤ k i
h₂ : P.pairingIn ℤ k i = P.pairingIn ℤ j i + r * 2
h₃ : P.pairingIn ℤ l i ≤ 0
⊢ (P.coroot' i) (P.root j + s • P.root i) = P.pairing j i + (algebraMap ℤ R) s * (algebraMap ℤ R) 2
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl.inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : -1 * B.rootLength i = 3 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = -1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 3
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i

Tactic:
]

Goal state after:
case inl.inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : -1 * B.rootLength i = 3 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = -1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 3
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl.inr.inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : -1 * B.rootLength i = -4 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = -1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -4
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i

Tactic:
]

Goal state after:
case inl.inr.inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : -1 * B.rootLength i = -4 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = -1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -4
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl.inr.inr.inr.inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : -1 * B.rootLength i = 4 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = -1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 4
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i

Tactic:
]

Goal state after:
case inl.inr.inr.inr.inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : -1 * B.rootLength i = 4 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = -1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 4
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : 1 * B.rootLength i = -3 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = 1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -3
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : 1 * B.rootLength i = -3 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = 1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -3
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : 1 * B.rootLength i = -2 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = 1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -2
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : 1 * B.rootLength i = -2 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = 1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -2
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : 1 * B.rootLength i = 2 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = 1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 2
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : 1 * B.rootLength i = 2 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = 1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 2
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
n : ℕ
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
aux : chainTopCoeff i j = ⋯.choose.toNat
hp : ⋯.choose ≥ 0
h₂ : S = Icc ⋯.choose ⋯.choose
⊢ ⋯.choose ≤ ↑n ∧ ↑n ≤ ⋯.choose ↔ n ≤ ⋯.choose.toNat

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
n : ℕ
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
aux : chainTopCoeff i j = ⋯.choose.toNat
hp : ⋯.choose ≥ 0
h₂ : S = Icc ⋯.choose ⋯.choose
⊢ ⋯.choose ≤ ↑n ∧ ↑n ≤ ⋯.choose ↔ n ≤ ⋯.choose.toNat