mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Transvection.Generation

Goal state before:
pp: case inl
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
e : V ≃ₗ[K] V
f g : Dual K V
v : V
a b : K
hv : ∀ (s t : K), s • (↑e).fixedSubmodule.mkQ v + t • e.fixedReduce ((↑e).fixedSubmodule.mkQ v) = 0 → s = 0 ∧ t = 0
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker f
hfv : f v = 1
hg : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker (f + g)
hfgv : (f + g) v = 1
hg0 : g ≠ 0
hne_top : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ⊔ K ∙ v < ⊤
ha : ∀ (v_1 : V), (auxTransvection hf * e) v_1 - a • v_1 ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
hb : ∀ (v_1 : V), (auxTransvection hg * e) v_1 - b • v_1 ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
c : K := b - a
hc : c = b - a
key : ∀ (x : V), g (e x) • (v - e v) - c • x ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
hc0 : c = 0
⊢ 1 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
e : V ≃ₗ[K] V
f g : Dual K V
v : V
a b : K
hv : ∀ (s t : K), s • (↑e).fixedSubmodule.mkQ v + t • e.fixedReduce ((↑e).fixedSubmodule.mkQ v) = 0 → s = 0 ∧ t = 0
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker f
hfv : f v = 1
hg : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker (f + g)
hfgv : (f + g) v = 1
hg0 : g ≠ 0
hne_top : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ⊔ K ∙ v < ⊤
ha : ∀ (v_1 : V), (auxTransvection hf * e) v_1 - a • v_1 ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
hb : ∀ (v_1 : V), (auxTransvection hg * e) v_1 - b • v_1 ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
c : K := b - a
hc : c = b - a
key : ∀ (x : V), g (e x) • (v - e v) - c • x ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
hc0 : c = 0
⊢ 1 = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.SetAlgebra

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
x : α
f : (i : Set (Set α)) → i ∈ A → Set α
hf : ∀ (i : Set (Set α)) (i_1 : i ∈ A), f i i_1 ∈ i ∧ x ∉ f i i_1
x✝ : Set α
a : Set (Set α)
ha : a ∈ A
h :
  (↑((fun x_1 ↦
            match x_1 with
            | ⟨a, ha⟩ => ⟨f a ha, ⋯⟩)
          ⟨a, ⋯⟩))ᶜ =
    x✝
⊢ x ∈
    (↑((fun x_1 ↦
            match x_1 with
            | ⟨a, ha⟩ => ⟨f a ha, ⋯⟩)
          ⟨a, ⋯⟩))ᶜ

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s u : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
A : Set (Set (Set α))
A_fin : A.Finite
mem_A : ∀ a ∈ A, a.Finite
hA : ∀ a ∈ A, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ A, ⋂ t ∈ a, t
this✝ : Finite ↑A
this : ∀ (a : ↑A), Finite ↑↑a
x : α
f : (i : Set (Set α)) → i ∈ A → Set α
hf : ∀ (i : Set (Set α)) (i_1 : i ∈ A), f i i_1 ∈ i ∧ x ∉ f i i_1
x✝ : Set α
a : Set (Set α)
ha : a ∈ A
h :
  (↑((fun x_1 ↦
            match x_1 with
            | ⟨a, ha⟩ => ⟨f a ha, ⋯⟩)
          ⟨a, ⋯⟩))ᶜ =
    x✝
⊢ x ∈
    (↑((fun x_1 ↦
            match x_1 with
            | ⟨a, ha⟩ => ⟨f a ha, ⋯⟩)
          ⟨a, ⋯⟩))ᶜ
Module: Mathlib.Topology.Order.WithTop

Goal state before:
pp: case a.inl.coe.coe
ι : Type u_1
inst✝¹ : Preorder ι
ts : TopologicalSpace ι
ht : OrderTopology ι
inst✝ : SecondCountableTopology ι
x₀ : ι
c : Set ι
c_count : c.Countable
hc : ts = generateFrom {s | ∃ a ∈ c, s = Ioi a ∨ s = Iio a}
c' : Set ι
c'_count : c'.Countable
hc' : Dense c'
x₁ : ι := if h : ∃ x, Ioi x = ∅ then h.choose else x₀
d : Set (WithTop ι) := WithTop.some '' c ∪ WithTop.some '' c' ∪ {⊤} ∪ {↑x₁}
basis : Set (Set ι) := {s | ∃ f g, f ⊆ c ∧ g ⊆ c ∧ f.Finite ∧ g.Finite ∧ s = (⋂ a ∈ f, Ioi a) ∩ ⋂ a ∈ g, Iio a}
h_basis : IsTopologicalBasis basis
a b : ι
hb : a < b
⊢ ∃ t ⊆ Ioi ↑a, IsOpen[generateFrom {s | ∃ a ∈ d, s = Ioi a ∨ s = Iio a}] t ∧ ↑b ∈ t

Tactic:
obtain ⟨t, ⟨f, g, hfc, hgc, f_fin, g_fin, rfl⟩, hb, hfg⟩ :
          ∃ t ∈ basis, b ∈ t ∧ t ⊆ Ioi a := h_basis.isOpen_iff.1 (isOpen_Ioi' a) b hb

Goal state after:
case a.inl.coe.coe
ι : Type u_1
inst✝¹ : Preorder ι
ts : TopologicalSpace ι
ht : OrderTopology ι
inst✝ : SecondCountableTopology ι
x₀ : ι
c : Set ι
c_count : c.Countable
hc : ts = generateFrom {s | ∃ a ∈ c, s = Ioi a ∨ s = Iio a}
c' : Set ι
c'_count : c'.Countable
hc' : Dense c'
x₁ : ι := if h : ∃ x, Ioi x = ∅ then h.choose else x₀
d : Set (WithTop ι) := WithTop.some '' c ∪ WithTop.some '' c' ∪ {⊤} ∪ {↑x₁}
basis : Set (Set ι) := {s | ∃ f g, f ⊆ c ∧ g ⊆ c ∧ f.Finite ∧ g.Finite ∧ s = (⋂ a ∈ f, Ioi a) ∩ ⋂ a ∈ g, Iio a}
h_basis : IsTopologicalBasis basis
a b : ι
hb✝ : a < b
f g : Set ι
hfc : f ⊆ c
hgc : g ⊆ c
f_fin : f.Finite
g_fin : g.Finite
hb : b ∈ (⋂ a ∈ f, Ioi a) ∩ ⋂ a ∈ g, Iio a
hfg : (⋂ a ∈ f, Ioi a) ∩ ⋂ a ∈ g, Iio a ⊆ Ioi a
⊢ ∃ t ⊆ Ioi ↑a, IsOpen[generateFrom {s | ∃ a ∈ d, s = Ioi a ∨ s = Iio a}] t ∧ ↑b ∈ t
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: case convert_3
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ∪ t ∈ C
h_dis : Disjoint s t
A : s ∪ t = ⋃ i, ![s, t] i
⊢ s ∪ t ∈ C

Tactic:
]

Goal state after:
case convert_3
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ∪ t ∈ C
h_dis : Disjoint s t
A : s ∪ t = ⋃ i, ![s, t] i
⊢ s ∪ t ∈ C
Module: Mathlib.MeasureTheory.SetAlgebra

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s u v : Set α
hs✝ : generateSetAlgebra 𝒜 u
ht✝ : generateSetAlgebra 𝒜 v
Au : Set (Set (Set α))
Au_fin : Au.Finite
mem_Au : ∀ a ∈ Au, a.Finite
hAu : ∀ a ∈ Au, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
u_eq : u = ⋃ a ∈ Au, ⋂ t ∈ a, t
Av : Set (Set (Set α))
Av_fin : Av.Finite
mem_Av : ∀ a ∈ Av, a.Finite
hAv : ∀ a ∈ Av, ∀ t ∈ a, t ∈ 𝒜 ∨ tᶜ ∈ 𝒜
v_eq : v = ⋃ a ∈ Av, ⋂ t ∈ a, t
⊢ ⋃ x ∈ Au ∪ Av, ⋂ t ∈ x, t = ⋃ a ∈ Au ∪ Av, ⋂ t ∈ a, t

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Transvection.Generation

Goal state before:
pp: case inl
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
e : V ≃ₗ[K] V
f g : Dual K V
v : V
a b : K
hv : ∀ (s t : K), s • (↑e).fixedSubmodule.mkQ v + t • e.fixedReduce ((↑e).fixedSubmodule.mkQ v) = 0 → s = 0 ∧ t = 0
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker f
hfv : f v = 1
hg : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker (f + g)
hfgv : (f + g) v = 1
hg0 : g ≠ 0
hne_top : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ⊔ K ∙ v < ⊤
ha : ∀ (v_1 : V), (auxTransvection hf * e) v_1 - a • v_1 ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
hb : ∀ (v_1 : V), (auxTransvection hg * e) v_1 - b • v_1 ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
c : K := b - a
hc : c = b - a
key : ∀ (x : V), g (e x) • (v - e v) - c • x ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
hc0 : c = 0
y : V
hy : -y ∈ (↑e).fixedSubmodule
k : K
hk : y + k • v = v - e v
⊢ (k - 1) • v + 1 • e v ∈ (↑e).fixedSubmodule

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
e : V ≃ₗ[K] V
f g : Dual K V
v : V
a b : K
hv : ∀ (s t : K), s • (↑e).fixedSubmodule.mkQ v + t • e.fixedReduce ((↑e).fixedSubmodule.mkQ v) = 0 → s = 0 ∧ t = 0
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker f
hfv : f v = 1
hg : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker (f + g)
hfgv : (f + g) v = 1
hg0 : g ≠ 0
hne_top : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ⊔ K ∙ v < ⊤
ha : ∀ (v_1 : V), (auxTransvection hf * e) v_1 - a • v_1 ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
hb : ∀ (v_1 : V), (auxTransvection hg * e) v_1 - b • v_1 ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
c : K := b - a
hc : c = b - a
key : ∀ (x : V), g (e x) • (v - e v) - c • x ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
hc0 : c = 0
y : V
hy : -y ∈ (↑e).fixedSubmodule
k : K
hk : y + k • v = v - e v
⊢ (k - 1) • v + 1 • e v ∈ (↑e).fixedSubmodule
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
⊢ ∑ u ∈ I ∪ hC.disjointOfDiffUnion hs hI, m u = ∑ i ∈ I, m i + ∑ i ∈ hC.disjointOfDiffUnion hs hI, m i

pp: case h_ss
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
⊢ ↑(I ∪ hC.disjointOfDiffUnion hs hI) ⊆ C

pp: case h_dis
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
⊢ (↑(I ∪ hC.disjointOfDiffUnion hs hI)).PairwiseDisjoint id

pp: case h_mem
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
⊢ ⋃₀ ↑(I ∪ hC.disjointOfDiffUnion hs hI) ∈ C

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
⊢ ∑ u ∈ I ∪ hC.disjointOfDiffUnion hs hI, m u = ∑ i ∈ I, m i + ∑ i ∈ hC.disjointOfDiffUnion hs hI, m i

case h_ss
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
⊢ ↑(I ∪ hC.disjointOfDiffUnion hs hI) ⊆ C

case h_dis
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
⊢ (↑(I ∪ hC.disjointOfDiffUnion hs hI)).PairwiseDisjoint id

case h_mem
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
⊢ ⋃₀ ↑(I ∪ hC.disjointOfDiffUnion hs hI) ∈ C
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
⊢ ∑ x ∈ I, m x + ∑ x ∈ hC.disjointOfDiffUnion hs hI, m x = ∑ i ∈ I, m i + ∑ i ∈ hC.disjointOfDiffUnion hs hI, m i

pp: α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
⊢ Disjoint I (hC.disjointOfDiffUnion hs hI)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
⊢ Disjoint I (hC.disjointOfDiffUnion hs hI)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: case h_ss
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
⊢ ↑I ∪ ↑(hC.disjointOfDiffUnion hs hI) ⊆ C

Tactic:
]

Goal state after:
case h_ss
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
⊢ ↑I ∪ ↑(hC.disjointOfDiffUnion hs hI) ⊆ C
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: case h_dis
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
⊢ (↑I ∪ ↑(hC.disjointOfDiffUnion hs hI)).PairwiseDisjoint id

Tactic:
]

Goal state after:
case h_dis
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
⊢ (↑I ∪ ↑(hC.disjointOfDiffUnion hs hI)).PairwiseDisjoint id
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: case h_mem
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
⊢ s ∈ C

Tactic:
]

Goal state after:
case h_mem
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s : Set α
I : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
⊢ s ∈ C
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ ∑ u ∈ insert s (hC.disjointOfDiff ht hs), m u = m s + ∑ i ∈ hC.disjointOfDiff ht hs, m i

pp: case h_ss
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ ↑(insert s (hC.disjointOfDiff ht hs)) ⊆ C

pp: case h_dis
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ (↑(insert s (hC.disjointOfDiff ht hs))).PairwiseDisjoint id

pp: case h_mem
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ ⋃₀ ↑(insert s (hC.disjointOfDiff ht hs)) ∈ C

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ ∑ u ∈ insert s (hC.disjointOfDiff ht hs), m u = m s + ∑ i ∈ hC.disjointOfDiff ht hs, m i

case h_ss
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ ↑(insert s (hC.disjointOfDiff ht hs)) ⊆ C

case h_dis
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ (↑(insert s (hC.disjointOfDiff ht hs))).PairwiseDisjoint id

case h_mem
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ ⋃₀ ↑(insert s (hC.disjointOfDiff ht hs)) ∈ C
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ m s + ∑ x ∈ hC.disjointOfDiff ht hs, m x = m s + ∑ i ∈ hC.disjointOfDiff ht hs, m i

pp: α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ s ∉ hC.disjointOfDiff ht hs

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ s ∉ hC.disjointOfDiff ht hs
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: case h_ss
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ insert s ↑(hC.disjointOfDiff ht hs) ⊆ C

Tactic:
]

Goal state after:
case h_ss
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ insert s ↑(hC.disjointOfDiff ht hs) ⊆ C
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: case h_dis
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ (insert s ↑(hC.disjointOfDiff ht hs)).PairwiseDisjoint id

Tactic:
]

Goal state after:
case h_dis
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ (insert s ↑(hC.disjointOfDiff ht hs)).PairwiseDisjoint id
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: case h_mem
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ ⋃₀ insert s ↑(hC.disjointOfDiff ht hs) ∈ C

Tactic:
]

Goal state after:
case h_mem
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ ⋃₀ insert s ↑(hC.disjointOfDiff ht hs) ∈ C
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Transvection.Generation

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
e : V ≃ₗ[K] V
f g : Dual K V
v : V
a b : K
hv : ∀ (s t : K), s • (↑e).fixedSubmodule.mkQ v + t • e.fixedReduce ((↑e).fixedSubmodule.mkQ v) = 0 → s = 0 ∧ t = 0
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker f
hfv : f v = 1
hg : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker (f + g)
hfgv : (f + g) v = 1
hg0 : g ≠ 0
hne_top : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ⊔ K ∙ v < ⊤
ha : ∀ (v_1 : V), (auxTransvection hf * e) v_1 - a • v_1 ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
hb : ∀ (v_1 : V), (auxTransvection hg * e) v_1 - b • v_1 ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
c : K := b - a
hc : c = b - a
key : ∀ (x : V), g (e x) • (v - e v) - c • x ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
hc0 : c = 0
y : V
hy : -y ∈ (↑e).fixedSubmodule
k : K
hk : v - e v - k • v = y
⊢ (k - 1) • v + 1 • e v = -y

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
e : V ≃ₗ[K] V
f g : Dual K V
v : V
a b : K
hv : ∀ (s t : K), s • (↑e).fixedSubmodule.mkQ v + t • e.fixedReduce ((↑e).fixedSubmodule.mkQ v) = 0 → s = 0 ∧ t = 0
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker f
hfv : f v = 1
hg : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker (f + g)
hfgv : (f + g) v = 1
hg0 : g ≠ 0
hne_top : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ⊔ K ∙ v < ⊤
ha : ∀ (v_1 : V), (auxTransvection hf * e) v_1 - a • v_1 ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
hb : ∀ (v_1 : V), (auxTransvection hg * e) v_1 - b • v_1 ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
c : K := b - a
hc : c = b - a
key : ∀ (x : V), g (e x) • (v - e v) - c • x ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
hc0 : c = 0
y : V
hy : -y ∈ (↑e).fixedSubmodule
k : K
hk : v - e v - k • v = y
⊢ (k - 1) • v + 1 • e v = -y
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: case h_mem
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ t ∈ C

Tactic:
]

Goal state after:
case h_mem
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
⊢ t ∈ C
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Transvection.Generation

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
e : V ≃ₗ[K] V
f g : Dual K V
v : V
a b : K
hv : ∀ (s t : K), s • (↑e).fixedSubmodule.mkQ v + t • e.fixedReduce ((↑e).fixedSubmodule.mkQ v) = 0 → s = 0 ∧ t = 0
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker f
hfv : f v = 1
hg : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker (f + g)
hfgv : (f + g) v = 1
hg0 : g ≠ 0
hne_top : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ⊔ K ∙ v < ⊤
ha : ∀ (v_1 : V), (auxTransvection hf * e) v_1 - a • v_1 ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
hb : ∀ (v_1 : V), (auxTransvection hg * e) v_1 - b • v_1 ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
c : K := b - a
hc : c = b - a
key : ∀ (x : V), g (e x) • (v - e v) - c • x ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
hc0 : c = 0
y : V
hy : -y ∈ (↑e).fixedSubmodule
k : K
hk : v - e v - k • v = y
⊢ (k - 1) • v + 1 • e v = -(v - e v - k • v)

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
e : V ≃ₗ[K] V
f g : Dual K V
v : V
a b : K
hv : ∀ (s t : K), s • (↑e).fixedSubmodule.mkQ v + t • e.fixedReduce ((↑e).fixedSubmodule.mkQ v) = 0 → s = 0 ∧ t = 0
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker f
hfv : f v = 1
hg : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker (f + g)
hfgv : (f + g) v = 1
hg0 : g ≠ 0
hne_top : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ⊔ K ∙ v < ⊤
ha : ∀ (v_1 : V), (auxTransvection hf * e) v_1 - a • v_1 ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
hb : ∀ (v_1 : V), (auxTransvection hg * e) v_1 - b • v_1 ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
c : K := b - a
hc : c = b - a
key : ∀ (x : V), g (e x) • (v - e v) - c • x ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
hc0 : c = 0
y : V
hy : -y ∈ (↑e).fixedSubmodule
k : K
hk : v - e v - k • v = y
⊢ (k - 1) • v + 1 • e v = -(v - e v - k • v)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: case h_mem
α : Type u_1
C : Set (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
J J' : Finset (Set α)
hJ : ↑J ⊆ C
hJdisj : (↑J).PairwiseDisjoint id
hJ' : ↑J' ⊆ C
hJ'disj : (↑J').PairwiseDisjoint id
h : ⋃₀ ↑J = ⋃₀ ↑J'
s : Set α
hs : s ∈ J
this : s = ⋃ t ∈ J', s ∩ t
⊢ s ∈ C

Tactic:
]

Goal state after:
case h_mem
α : Type u_1
C : Set (Set α)
G : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
hC : IsSetSemiring C
J J' : Finset (Set α)
hJ : ↑J ⊆ C
hJdisj : (↑J).PairwiseDisjoint id
hJ' : ↑J' ⊆ C
hJ'disj : (↑J').PairwiseDisjoint id
h : ⋃₀ ↑J = ⋃₀ ↑J'
s : Set α
hs : s ∈ J
this : s = ⋃ t ∈ J', s ∩ t
⊢ s ∈ C
Module: Mathlib.MeasureTheory.Constructions.ProjectiveFamilyContent

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
mα : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : ↥J) → α ↑j)
s : Set ((i : ι) → α i)
I : Finset ι
S : Set ((i : ↥I) → α ↑i)
hP : IsProjectiveMeasureFamily P
hs : s ∈ measurableCylinders α
hs_eq : s = cylinder I S
hS : MeasurableSet S
⊢ (P (measurableCylinders.finset hs)) (measurableCylinders.set hs) = (P I) S

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
mα : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : ↥J) → α ↑j)
s : Set ((i : ι) → α i)
I : Finset ι
S : Set ((i : ↥I) → α ↑i)
hP : IsProjectiveMeasureFamily P
hs : s ∈ measurableCylinders α
hs_eq : s = cylinder I S
hS : MeasurableSet S
⊢ (P (measurableCylinders.finset hs)) (measurableCylinders.set hs) = (P I) S
Module: Mathlib.MeasureTheory.Constructions.ProjectiveFamilyContent

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
mα : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : ↥J) → α ↑j)
hP : IsProjectiveMeasureFamily P
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after: