mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.FreeGroupoid

Goal state before:
pp: V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
V' : Type u'
inst✝ : Groupoid V'
φ : V ⥤q V'
X✝ Y✝ : Paths (Symmetrify V)
X Y : Symmetrify V
f : X ⟶ Y
⊢ 𝟙 ((Symmetrify.lift φ).obj ((Paths.of (Symmetrify V)).obj X)) =
    (Symmetrify.lift φ).map f ≫ reverse ((Symmetrify.lift φ).map f)

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
V' : Type u'
inst✝ : Groupoid V'
φ : V ⥤q V'
X✝ Y✝ : Paths (Symmetrify V)
X Y : Symmetrify V
f : X ⟶ Y
⊢ 𝟙 ((Symmetrify.lift φ).obj ((Paths.of (Symmetrify V)).obj X)) =
    (Symmetrify.lift φ).map f ≫ reverse ((Symmetrify.lift φ).map f)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.FreeGroupoid

Goal state before:
pp: V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
V' : Type u'
inst✝ : Groupoid V'
φ : V ⥤q V'
⊢ Symmetrify.of ⋙q (Paths.of (Symmetrify V) ⋙q (Quotient.functor redStep ⋙ lift φ).toPrefunctor) = φ

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
V' : Type u'
inst✝ : Groupoid V'
φ : V ⥤q V'
⊢ Symmetrify.of ⋙q (Paths.of (Symmetrify V) ⋙q (Quotient.functor redStep ⋙ lift φ).toPrefunctor) = φ
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.FreeGroupoid

Goal state before:
pp: V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
V' : Type u'
inst✝ : Groupoid V'
φ : V ⥤q V'
⊢ φ = φ

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.FreeGroupoidOfCategory

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} D
E : Type u₂
inst✝ : Groupoid E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
⊢ F ⋙ G = F ⋙ G

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.FreeGroupoid

Goal state before:
pp: V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
V' : Type u'
inst✝ : Groupoid V'
φ : V ⥤q V'
Φ : Quiver.FreeGroupoid V ⥤ V'
hΦ : of V ⋙q Φ.toPrefunctor = φ
⊢ Symmetrify.of ⋙q (Paths.of (Symmetrify V) ⋙q ((Quotient.functor redStep).toPrefunctor ⋙q Φ.toPrefunctor)) = φ

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
V' : Type u'
inst✝ : Groupoid V'
φ : V ⥤q V'
Φ : Quiver.FreeGroupoid V ⥤ V'
hΦ : of V ⋙q Φ.toPrefunctor = φ
⊢ Symmetrify.of ⋙q (Paths.of (Symmetrify V) ⋙q ((Quotient.functor redStep).toPrefunctor ⋙q Φ.toPrefunctor)) = φ
Module: Mathlib.CategoryTheory.GuitartExact.Over

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X : C
inst✝¹ : ∀ (Y : C), HasBinaryProduct X Y
inst✝ : ∀ (Y : C), PreservesLimit (pair X Y) F
W : Over (F.obj X)
Z : C
g : (Over.forget (F.obj X)).obj W ⟶ F.obj Z
P : (TwoSquare.overPost F X).StructuredArrowRightwards g :=
  TwoSquare.StructuredArrowRightwards.mk (TwoSquare.overPost F X) g (Over.mk prod.fst)
    (Over.homMk
      (prod.lift
          (have this := W.hom;
          this)
          g ≫
        inv (prodComparison F X Z))
      ⋯)
    prod.snd ⋯
this : Nonempty ((TwoSquare.overPost F X).StructuredArrowRightwards g)
Q : (TwoSquare.overPost F X).StructuredArrowRightwards g
⊢ (Over.Hom.left (StructuredArrow.hom Q).left ≫
        F.map (prod.lift (StructuredArrow.right Q).left.hom (StructuredArrow.right Q).hom)) ≫
      prodComparison F X Z =
    Over.Hom.left (StructuredArrow.hom P).left ≫ prodComparison F X Z

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X : C
inst✝¹ : ∀ (Y : C), HasBinaryProduct X Y
inst✝ : ∀ (Y : C), PreservesLimit (pair X Y) F
W : Over (F.obj X)
Z : C
g : (Over.forget (F.obj X)).obj W ⟶ F.obj Z
P : (TwoSquare.overPost F X).StructuredArrowRightwards g :=
  TwoSquare.StructuredArrowRightwards.mk (TwoSquare.overPost F X) g (Over.mk prod.fst)
    (Over.homMk
      (prod.lift
          (have this := W.hom;
          this)
          g ≫
        inv (prodComparison F X Z))
      ⋯)
    prod.snd ⋯
this : Nonempty ((TwoSquare.overPost F X).StructuredArrowRightwards g)
Q : (TwoSquare.overPost F X).StructuredArrowRightwards g
⊢ (Over.Hom.left (StructuredArrow.hom Q).left ≫
        F.map (prod.lift (StructuredArrow.right Q).left.hom (StructuredArrow.right Q).hom)) ≫
      prodComparison F X Z =
    Over.Hom.left (StructuredArrow.hom P).left ≫ prodComparison F X Z
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S T : Subgroupoid C
⊢ (∀ (a : C) (b : (d : C) × (a ⟶ d)), ⟨a, b⟩ ∈ S → ⟨a, b⟩ ∈ T) ↔ ∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ T.arrows c d

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S T : Subgroupoid C
⊢ (∀ (a : C) (b : (d : C) × (a ⟶ d)), ⟨a, b⟩ ∈ S → ⟨a, b⟩ ∈ T) ↔ ∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ T.arrows c d
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
s : Set (Subgroupoid C)
c✝ d✝ : C
p✝ : c✝ ⟶ d✝
hp : ∀ i ∈ s, p✝ ∈ i.arrows c✝ d✝
⊢ ∀ i ∈ s, Groupoid.inv p✝ ∈ i.arrows d✝ c✝

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
s : Set (Subgroupoid C)
c✝ d✝ : C
p✝ : c✝ ⟶ d✝
hp : ∀ i ∈ s, p✝ ∈ i.arrows c✝ d✝
⊢ ∀ i ∈ s, Groupoid.inv p✝ ∈ i.arrows d✝ c✝
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
s : Set (Subgroupoid C)
c✝ d✝ e✝ : C
p✝ : c✝ ⟶ d✝
hp : ∀ i ∈ s, p✝ ∈ i.arrows c✝ d✝
x✝ : d✝ ⟶ e✝
hq : ∀ i ∈ s, x✝ ∈ i.arrows d✝ e✝
⊢ ∀ i ∈ s, p✝ ≫ x✝ ∈ i.arrows c✝ e✝

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
s : Set (Subgroupoid C)
c✝ d✝ e✝ : C
p✝ : c✝ ⟶ d✝
hp : ∀ i ∈ s, p✝ ∈ i.arrows c✝ d✝
x✝ : d✝ ⟶ e✝
hq : ∀ i ∈ s, x✝ ∈ i.arrows d✝ e✝
⊢ ∀ i ∈ s, p✝ ≫ x✝ ∈ i.arrows c✝ e✝
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S T : Subgroupoid C
h : S ≤ T
s t : ↑S.objs
x✝¹ x✝ : s ⟶ t
f : ↑s ⟶ ↑t
hf : f ∈ S.arrows ↑s ↑t
g : ↑s ⟶ ↑t
hg : g ∈ S.arrows ↑s ↑t
⊢ f = g → f = g

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S T : Subgroupoid C
h : S ≤ T
s t : ↑S.objs
x✝¹ x✝ : s ⟶ t
f : ↑s ⟶ ↑t
hf : f ∈ S.arrows ↑s ↑t
g : ↑s ⟶ ↑t
hg : g ∈ S.arrows ↑s ↑t
⊢ f = g → f = g
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c✝ d✝ d : C
⊢ 𝟙 c✝ ∈ {p | Discrete.Arrows c✝ c✝ p}

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c✝ d✝ d : C
⊢ 𝟙 c✝ ∈ {p | Discrete.Arrows c✝ c✝ p}
Module: Mathlib.CategoryTheory.GradedObject.Braiding

Goal state before:
pp: I : Type u_1
inst✝²⁰ : AddCommMonoid I
C : Type u_2
inst✝¹⁹ : Category.{v_1, u_2} C
inst✝¹⁸ : MonoidalCategory C
X Y Z : GradedObject I C
inst✝¹⁷ : BraidedCategory C
inst✝¹⁶ : X.HasTensor Y
inst✝¹⁵ : Y.HasTensor Z
inst✝¹⁴ : Z.HasTensor X
inst✝¹³ : Z.HasTensor Y
inst✝¹² : X.HasTensor Z
inst✝¹¹ : (tensorObj X Y).HasTensor Z
inst✝¹⁰ : X.HasTensor (tensorObj Y Z)
inst✝⁹ : Z.HasTensor (tensorObj X Y)
inst✝⁸ : (tensorObj Z X).HasTensor Y
inst✝⁷ : X.HasTensor (tensorObj Z Y)
inst✝⁶ : (tensorObj X Z).HasTensor Y
inst✝⁵ : X.HasGoodTensor₁₂Tensor Y Z
inst✝⁴ : X.HasGoodTensorTensor₂₃ Y Z
inst✝³ : Z.HasGoodTensor₁₂Tensor X Y
inst✝² : Z.HasGoodTensorTensor₂₃ X Y
inst✝¹ : X.HasGoodTensor₁₂Tensor Z Y
inst✝ : X.HasGoodTensorTensor₂₃ Z Y
k i₁ i₂ i₃ : I
h : i₁ + i₂ + i₃ = k
⊢ k = k

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
Sn : S.IsNormal
c : C
cS : c ∈ S.objs
x : c ⟶ c
hx : x ∈ S.vertexSubgroup cS
y : c ⟶ c
⊢ y * (x * y⁻¹) ∈ S.vertexSubgroup cS

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
Sn : S.IsNormal
c : C
cS : c ∈ S.objs
x : c ⟶ c
hx : x ∈ S.vertexSubgroup cS
y : c ⟶ c
⊢ y * (x * y⁻¹) ∈ S.vertexSubgroup cS
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: case mp
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
X : (c d : C) → Set (c ⟶ d)
S : Subgroupoid C
Sn : S.IsNormal
h : ∀ {c d : C}, (generatedNormal X).arrows c d ⊆ S.arrows c d
c d : C
h' : ∀ {c d : C}, (generated X).arrows c d ⊆ (generatedNormal X).arrows c d
⊢ X c d ⊆ S.arrows c d

Tactic:
]

Goal state after:
case mp
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
X : (c d : C) → Set (c ⟶ d)
S : Subgroupoid C
Sn : S.IsNormal
h : ∀ {c d : C}, (generatedNormal X).arrows c d ⊆ S.arrows c d
c d : C
h' : ∀ {c d : C}, (generated X).arrows c d ⊆ (generatedNormal X).arrows c d
⊢ X c d ⊆ S.arrows c d
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
S : Subgroupoid D
c✝ d✝ : C
p✝ : c✝ ⟶ d✝
hp : p✝ ∈ {f | φ.map f ∈ S.arrows (φ.obj c✝) (φ.obj d✝)}
⊢ Groupoid.inv (φ.map p✝) ∈ S.arrows (φ.obj d✝) (φ.obj c✝)

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
S : Subgroupoid D
c✝ d✝ : C
p✝ : c✝ ⟶ d✝
hp : p✝ ∈ {f | φ.map f ∈ S.arrows (φ.obj c✝) (φ.obj d✝)}
⊢ Groupoid.inv (φ.map p✝) ∈ S.arrows (φ.obj d✝) (φ.obj c✝)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
S : Subgroupoid D
Sn : S.IsNormal
c : C
⊢ 𝟙 (φ.obj c) ∈ S.arrows (φ.obj c) (φ.obj c)

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
S : Subgroupoid D
Sn : S.IsNormal
c : C
⊢ 𝟙 (φ.obj c) ∈ S.arrows (φ.obj c) (φ.obj c)
Module: Mathlib.CategoryTheory.IsoCat

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝ : Category.{v_3, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
e : IsoCat C D
f : IsoCat D E
⊢ 𝟭 C = e.functor ⋙ e.inverse

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝ : Category.{v_3, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
e : IsoCat C D
f : IsoCat D E
⊢ 𝟭 C = e.functor ⋙ e.inverse
Module: Mathlib.CategoryTheory.IsoCat

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝ : Category.{v_3, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
e : IsoCat C D
f : IsoCat D E
⊢ f.inverse ⋙ f.functor = 𝟭 E

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{v_1, u_1} C
inst✝¹ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝ : Category.{v_3, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
e : IsoCat C D
f : IsoCat D E
⊢ f.inverse ⋙ f.functor = 𝟭 E
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: case mpr
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
a b : C
g : a ⟶ b
hg : g ∈ S.arrows a b
⊢ Arrows φ hφ S (φ.obj a) (φ.obj b) (φ.map g)

Tactic:
]

Goal state after:
case mpr
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
a b : C
g : a ⟶ b
hg : g ∈ S.arrows a b
⊢ Arrows φ hφ S (φ.obj a) (φ.obj b) (φ.map g)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
c d : D
c✝ d✝ : C
f✝ : c✝ ⟶ d✝
hf✝ : f✝ ∈ S.arrows c✝ d✝
⊢ φ.map (Groupoid.inv f✝) ∈ {x | Map.Arrows φ hφ S (φ.obj d✝) (φ.obj c✝) x}

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
c d : D
c✝ d✝ : C
f✝ : c✝ ⟶ d✝
hf✝ : f✝ ∈ S.arrows c✝ d✝
⊢ φ.map (Groupoid.inv f✝) ∈ {x | Map.Arrows φ hφ S (φ.obj d✝) (φ.obj c✝) x}
Module: Mathlib.CategoryTheory.Idempotents.Biproducts

Goal state before:
pp: case h₀
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
P : Karoubi C
⊢ (P.decompId_i ≫ P.complement.decompId_p) ≫ biprod.inr = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case h₀
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
P : Karoubi C
⊢ (P.decompId_i ≫ P.complement.decompId_p) ≫ biprod.inr = 0
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: case refl
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
c d : D
c✝ d✝ : C
f : c✝ ⟶ d✝
hf : f ∈ S.arrows c✝ d✝
c₄ : C
q : φ.obj d✝ ⟶ φ.obj c₄
hq : q ∈ {x | Map.Arrows φ hφ S (φ.obj d✝) (φ.obj c₄) x}
g : d✝ ⟶ c₄
he : φ.obj d✝ = φ.obj d✝
hg : g ∈ S.arrows d✝ c₄
gq : q = eqToHom ⋯ ≫ φ.map g ≫ eqToHom ⋯
⊢ φ.map (f ≫ g) ∈ {x | Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c✝) (φ.obj c₄) x}

Tactic:
]

Goal state after:
case refl
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
c d : D
c✝ d✝ : C
f : c✝ ⟶ d✝
hf : f ∈ S.arrows c✝ d✝
c₄ : C
q : φ.obj d✝ ⟶ φ.obj c₄
hq : q ∈ {x | Map.Arrows φ hφ S (φ.obj d✝) (φ.obj c₄) x}
g : d✝ ⟶ c₄
he : φ.obj d✝ = φ.obj d✝
hg : g ∈ S.arrows d✝ c₄
gq : q = eqToHom ⋯ ≫ φ.map g ≫ eqToHom ⋯
⊢ φ.map (f ≫ g) ∈ {x | Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c✝) (φ.obj c₄) x}
Module: Mathlib.CategoryTheory.Idempotents.Biproducts

Goal state before:
pp: case h₁
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
P : Karoubi C
⊢ (P.complement.decompId_i ≫ P.decompId_p) ≫ biprod.inl = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case h₁
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
P : Karoubi C
⊢ (P.complement.decompId_i ≫ P.decompId_p) ≫ biprod.inl = 0
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: case mp
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
T : Subgroupoid D
⊢ (∀ {c d : D}, (map φ hφ S).arrows c d ⊆ T.arrows c d) → ∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ (comap φ T).arrows c d

Tactic:
exact fun h c d f fS => h (Map.Arrows.im f fS)

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: case mp
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
d : D
f : d ⟶ d
hf : ∃ a b g, ∃ (ha : φ.obj a = d) (hb : φ.obj b = d) (_ : g ∈ S.arrows a b), f = eqToHom ⋯ ≫ φ.map g ≫ eqToHom hb
⊢ ∃ c, (S.arrows c c).Nonempty ∧ φ.obj c = d

Tactic:
]

Goal state after:
case mp
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
d : D
f : d ⟶ d
hf : ∃ a b g, ∃ (ha : φ.obj a = d) (hb : φ.obj b = d) (_ : g ∈ S.arrows a b), f = eqToHom ⋯ ≫ φ.map g ≫ eqToHom hb
⊢ ∃ c, (S.arrows c c).Nonempty ∧ φ.obj c = d
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
d : D
⊢ d ∈ ⊤.objs

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
d : D
⊢ d ∈ ⊤.objs
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
⊢ Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c) (φ.obj c) (φ.map (𝟙 c))

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
⊢ Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c) (φ.obj c) (φ.map (𝟙 c))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d d' : D
g : d ⟶ d'
δ : d ⟶ d
hδ : ∃ a b g, ∃ (ha : φ.obj a = d) (hb : φ.obj b = d) (_ : g ∈ S.arrows a b), δ = eqToHom ⋯ ≫ φ.map g ≫ eqToHom hb
⊢ Groupoid.inv g ≫ δ ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d d' : D
g : d ⟶ d'
δ : d ⟶ d
hδ : ∃ a b g, ∃ (ha : φ.obj a = d) (hb : φ.obj b = d) (_ : g ∈ S.arrows a b), δ = eqToHom ⋯ ≫ φ.map g ≫ eqToHom hb
⊢ Groupoid.inv g ≫ δ ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d' : D
c : C
g : φ.obj c ⟶ d'
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
⊢ d' ∈ ⊤.objs

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d' : D
c : C
g : φ.obj c ⟶ d'
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
⊢ d' ∈ ⊤.objs
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: case refl
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d' : D
c : C
g : φ.obj c ⟶ d'
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
this : ∃ c, φ.obj c = d'
⊢ Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'

Tactic:
]

Goal state after:
case refl
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d' : D
c : C
g : φ.obj c ⟶ d'
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
this : ∃ c, φ.obj c = d'
⊢ Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
g : φ.obj c ⟶ φ.obj c'
⊢ g ∈ ⊤.arrows (φ.obj c) (φ.obj c')

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
g : φ.obj c ⟶ φ.obj c'
⊢ g ∈ ⊤.arrows (φ.obj c) (φ.obj c')
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: case refl
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
g : φ.obj c ⟶ φ.obj c'
this : ∃ a b g_1, ∃ (ha : φ.obj a = φ.obj c) (hb : φ.obj b = φ.obj c'), g = eqToHom ⋯ ≫ φ.map g_1 ≫ eqToHom hb
⊢ Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows (φ.obj c') (φ.obj c')

Tactic:
]

Goal state after:
case refl
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
g : φ.obj c ⟶ φ.obj c'
this : ∃ a b g_1, ∃ (ha : φ.obj a = φ.obj c) (hb : φ.obj b = φ.obj c'), g = eqToHom ⋯ ≫ φ.map g_1 ≫ eqToHom hb
⊢ Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows (φ.obj c') (φ.obj c')
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: case refl
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
g : φ.obj c ⟶ φ.obj c'
this : g ∈ (im φ hφ).arrows (φ.obj c) (φ.obj c')
⊢ Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows (φ.obj c') (φ.obj c')

Tactic:
rw [mem_im_iff] at this

Goal state after:
case refl
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
g : φ.obj c ⟶ φ.obj c'
this : ∃ a b g_1, ∃ (ha : φ.obj a = φ.obj c) (hb : φ.obj b = φ.obj c'), g = eqToHom ⋯ ≫ φ.map g_1 ≫ eqToHom hb
⊢ Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows (φ.obj c') (φ.obj c')
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
hb : φ.obj c = φ.obj c
hb' : φ.obj c' = φ.obj c'
f : c ⟶ c'
this : Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c') (φ.obj c') (φ.map (Groupoid.inv f ≫ γ ≫ f))
⊢ Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c') (φ.obj c') (inv (φ.map f) ≫ φ.map γ ≫ φ.map f)

Tactic:
by
        simp only [inv_eq_inv, Functor.map_comp, Functor.map_inv] at this; exact this

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
⊢ ∀ {c d : C}, S.disconnect.arrows c d ⊆ S.arrows c d

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
⊢ ∀ {c d : C}, S.disconnect.arrows c d ⊆ S.arrows c d
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
⊢ ∀ (c d : C), (S.disconnect.arrows c d).Nonempty → c = d

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
⊢ ∀ (c d : C), (S.disconnect.arrows c d).Nonempty → c = d
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Groupoid C
D : Set C
c : C
⊢ c ∈ D ↔ c ∈ D

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Groupoid C
D E : Set C
h : D ⊆ E
⊢ ∀ {c d : C}, (full D).arrows c d ⊆ (full E).arrows c d

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
D E : Set C
h : D ⊆ E
⊢ ∀ {c d : C}, (full D).arrows c d ⊆ (full E).arrows c d
Module: Mathlib.CategoryTheory.LiftingProperties.PushoutProduct

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasPushouts C
inst✝³ : HasPullbacks C
inst✝² : MonoidalCategory C
inst✝¹ : MonoidalClosed C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : Arrow C
⊢ HasLiftingProperty (X □ Y).hom Z.hom ↔ HasLiftingProperty (Y □ X).hom Z.hom

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasPushouts C
inst✝³ : HasPullbacks C
inst✝² : MonoidalCategory C
inst✝¹ : MonoidalClosed C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : Arrow C
⊢ HasLiftingProperty (X □ Y).hom Z.hom ↔ HasLiftingProperty (Y □ X).hom Z.hom
Module: Mathlib.CategoryTheory.LiftingProperties.PushoutProduct

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasPushouts C
inst✝³ : HasPullbacks C
inst✝² : MonoidalCategory C
inst✝¹ : MonoidalClosed C
inst✝ : BraidedCategory C
A B K L X Y : C
f : A ⟶ B
g : K ⟶ L
h : X ⟶ Y
⊢ HasLiftingProperty (Arrow.mk f □ Arrow.mk g).hom h ↔ HasLiftingProperty (Arrow.mk g □ Arrow.mk f).hom h

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasPushouts C
inst✝³ : HasPullbacks C
inst✝² : MonoidalCategory C
inst✝¹ : MonoidalClosed C
inst✝ : BraidedCategory C
A B K L X Y : C
f : A ⟶ B
g : K ⟶ L
h : X ⟶ Y
⊢ HasLiftingProperty (Arrow.mk f □ Arrow.mk g).hom h ↔ HasLiftingProperty (Arrow.mk g □ Arrow.mk f).hom h