mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g ↑n
hp : 0 ≤ p a b + 1
⊢ ↑n ^ (p a b + 1) * (1 - c₃) * (c₂ * g ↑n / ↑n ^ (p a b + 1)) =
    c₂ * (1 - c₃) * g ↑n * (↑n ^ (p a b + 1) / ↑n ^ (p a b + 1))

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g ↑n
hp : 0 ≤ p a b + 1
⊢ ↑n ^ (p a b + 1) * (1 - c₃) * (c₂ * g ↑n / ↑n ^ (p a b + 1)) =
    c₂ * (1 - c₃) * g ↑n * (↑n ^ (p a b + 1) / ↑n ^ (p a b + 1))
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.AkraBazzi

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
bound1 : ∀ (i : α), ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
h_smoothing_pos : 0 < 1 - ε ↑n
h_sumTransform : ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
h_smoothing_gt_half : 1 / 2 < 1 - ε ↑n
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
n₀_div_le_n : ⌈↑n₀ / b'⌉₊ ≤ n
n₀_le_r : ∀ (i : α), n₀ ≤ r i n
r_le_n : ∀ (i : α), r i n < n
C : ℝ
hC : C ≥ 2 * c₁⁻¹
h_ind : ∀ m ∈ Ico n₀ n, T m ≤ C * ((1 - ε ↑m) * asympBound g a b m)
C_pos : 0 ≤ C
g_pos : 0 ≤ g ↑n
⊢ C * (1 - ε ↑n) * (asympBound g a b n - c₁ * g ↑n) + g ↑n =
    C * (1 - ε ↑n) * asympBound g a b n + (1 - C * c₁ * (1 - ε ↑n)) * g ↑n

Tactic:
by ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.AkraBazzi

Goal state before:
pp: case h₂
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
bound1 : ∀ (i : α), ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
h_smoothing_pos : 0 < 1 - ε ↑n
h_sumTransform : ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
h_smoothing_gt_half : 1 / 2 < 1 - ε ↑n
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
n₀_div_le_n : ⌈↑n₀ / b'⌉₊ ≤ n
n₀_le_r : ∀ (i : α), n₀ ≤ r i n
r_le_n : ∀ (i : α), r i n < n
C : ℝ
hC : C ≥ 2 * c₁⁻¹
h_ind : ∀ m ∈ Ico n₀ n, T m ≤ C * ((1 - ε ↑m) * asympBound g a b m)
C_pos : 0 ≤ C
g_pos : 0 ≤ g ↑n
⊢ 1 ≤ C * c₁ * (1 - ε ↑n)

Tactic:
]

Goal state after:
case h₂
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
bound1 : ∀ (i : α), ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
h_smoothing_pos : 0 < 1 - ε ↑n
h_sumTransform : ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
h_smoothing_gt_half : 1 / 2 < 1 - ε ↑n
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
n₀_div_le_n : ⌈↑n₀ / b'⌉₊ ≤ n
n₀_le_r : ∀ (i : α), n₀ ≤ r i n
r_le_n : ∀ (i : α), r i n < n
C : ℝ
hC : C ≥ 2 * c₁⁻¹
h_ind : ∀ m ∈ Ico n₀ n, T m ≤ C * ((1 - ε ↑m) * asympBound g a b m)
C_pos : 0 ≤ C
g_pos : 0 ≤ g ↑n
⊢ 1 ≤ C * c₁ * (1 - ε ↑n)
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.GrowsPolynomially

Goal state before:
pp: f g : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hfg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖g x‖ ≤ 1 / 2 * ‖f x‖
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb_ub : b < 1
hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
c₁ : ℝ
hc₁_mem : 0 < c₁
c₂ : ℝ
hc₂_mem : 0 < c₂
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hf₁ : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hfg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → ‖g y‖ ≤ 1 / 2 * ‖f y‖
hf₂ : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 ≤ f y
hx_nonneg : 0 ≤ x
hbx : b * x ≤ x
hfg₂ : ‖g x‖ ≤ 1 / 2 * f x
hx_ub : f x + g x ≤ 3 / 2 * f x
hx_lb : 1 / 2 * f x ≤ f x + g x
u : ℝ
hu_lb : b * x ≤ u
hu_ub : u ≤ x
hfu_nonneg : 0 ≤ f u
hfg₃ : ‖g u‖ ≤ 1 / 2 * f u
⊢ 1 / 2 * (c₁ * f x) = c₁ / 3 * (3 / 2 * f x)

Tactic:
by ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g ↑n
hp : 0 ≤ p a b + 1
⊢ c₂ * (1 - c₃) * g ↑n = c₂ * (1 - c₃) * g ↑n

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.AkraBazzi

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
bound1 : ∀ (i : α), ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
h_smoothing_pos : 0 < 1 - ε ↑n
h_sumTransform : ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
h_smoothing_gt_half : 1 / 2 < 1 - ε ↑n
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
n₀_div_le_n : ⌈↑n₀ / b'⌉₊ ≤ n
n₀_le_r : ∀ (i : α), n₀ ≤ r i n
r_le_n : ∀ (i : α), r i n < n
C : ℝ
hC : C ≥ 2 * c₁⁻¹
h_ind : ∀ m ∈ Ico n₀ n, T m ≤ C * ((1 - ε ↑m) * asympBound g a b m)
C_pos : 0 ≤ C
g_pos : 0 ≤ g ↑n
⊢ 1 ≤ 2 * 1 * (1 / 2)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
bound1 : ∀ (i : α), ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
h_smoothing_pos : 0 < 1 - ε ↑n
h_sumTransform : ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
h_smoothing_gt_half : 1 / 2 < 1 - ε ↑n
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
n₀_div_le_n : ⌈↑n₀ / b'⌉₊ ≤ n
n₀_le_r : ∀ (i : α), n₀ ≤ r i n
r_le_n : ∀ (i : α), r i n < n
C : ℝ
hC : C ≥ 2 * c₁⁻¹
h_ind : ∀ m ∈ Ico n₀ n, T m ≤ C * ((1 - ε ↑m) * asympBound g a b m)
C_pos : 0 ≤ C
g_pos : 0 ≤ g ↑n
⊢ 1 ≤ 2 * 1 * (1 / 2)
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.AkraBazzi

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
bound1 : ∀ (i : α), ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
h_smoothing_pos : 0 < 1 - ε ↑n
h_sumTransform : ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
h_smoothing_gt_half : 1 / 2 < 1 - ε ↑n
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
n₀_div_le_n : ⌈↑n₀ / b'⌉₊ ≤ n
n₀_le_r : ∀ (i : α), n₀ ≤ r i n
r_le_n : ∀ (i : α), r i n < n
C : ℝ
hC : C ≥ 2 * c₁⁻¹
h_ind : ∀ m ∈ Ico n₀ n, T m ≤ C * ((1 - ε ↑m) * asympBound g a b m)
C_pos : 0 ≤ C
g_pos : 0 ≤ g ↑n
⊢ 2 * (c₁⁻¹ * c₁) * (1 / 2) = 2 * c₁⁻¹ * c₁ * (1 / 2)

Tactic:
by ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.AkraBazzi

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
bound1 : ∀ (i : α), ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
h_smoothing_pos : 0 < 1 - ε ↑n
h_sumTransform : ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
h_smoothing_gt_half : 1 / 2 < 1 - ε ↑n
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
n₀_div_le_n : ⌈↑n₀ / b'⌉₊ ≤ n
n₀_le_r : ∀ (i : α), n₀ ≤ r i n
r_le_n : ∀ (i : α), r i n < n
C : ℝ
hC : C ≥ 2 * c₁⁻¹
h_ind : ∀ m ∈ Ico n₀ n, T m ≤ C * ((1 - ε ↑m) * asympBound g a b m)
C_pos : 0 ≤ C
g_pos : 0 ≤ g ↑n
⊢ C * (1 - ε ↑n) * asympBound g a b n + (1 - C * c₁ * (1 - ε ↑n)) * g ↑n ≤ C * (1 - ε ↑n) * asympBound g a b n + 0

Tactic:
gcongr
      refine mul_nonpos_of_nonpos_of_nonneg ?_ g_pos
      rw [sub_nonpos]
      calc 1
        _ ≤ 2 * (c₁⁻¹ * c₁) * (1 / 2) := by
          rw [inv_mul_cancel₀ (by positivity : c₁ ≠ 0)]; norm_num
        _ = (2 * c₁⁻¹) * c₁ * (1 / 2) := by ring
        _ ≤ C * c₁ * (1 - ε n) := by gcongr

Goal state after:
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.GrowsPolynomially

Goal state before:
pp: f g : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hfg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖g x‖ ≤ 1 / 2 * ‖f x‖
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb_ub : b < 1
hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
c₁ : ℝ
hc₁_mem : 0 < c₁
c₂ : ℝ
hc₂_mem : 0 < c₂
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hf₁ : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hfg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → ‖g y‖ ≤ 1 / 2 * ‖f y‖
hf₂ : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 ≤ f y
hx_nonneg : 0 ≤ x
hbx : b * x ≤ x
hfg₂ : ‖g x‖ ≤ 1 / 2 * f x
hx_ub : f x + g x ≤ 3 / 2 * f x
hx_lb : 1 / 2 * f x ≤ f x + g x
u : ℝ
hu_lb : b * x ≤ u
hu_ub : u ≤ x
hfu_nonneg : 0 ≤ f u
hfg₃ : ‖g u‖ ≤ 1 / 2 * f u
⊢ f u + 1 / 2 * f u = 3 / 2 * f u

Tactic:
by ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform

Goal state before:
pp: case hab
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g ↑n
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
⊢ c₂ * g ↑n ≤ g ↑u

Tactic:
]

Goal state after:
case hab
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g ↑n
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
⊢ c₂ * g ↑n ≤ g ↑u
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.AkraBazzi

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
bound1 : ∀ (i : α), ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
h_smoothing_pos : 0 < 1 - ε ↑n
h_sumTransform : ∀ (i : α), c₁ * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
h_smoothing_gt_half : 1 / 2 < 1 - ε ↑n
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
n₀_div_le_n : ⌈↑n₀ / b'⌉₊ ≤ n
n₀_le_r : ∀ (i : α), n₀ ≤ r i n
r_le_n : ∀ (i : α), r i n < n
C : ℝ
hC : C ≥ 2 * c₁⁻¹
h_ind : ∀ m ∈ Ico n₀ n, T m ≤ C * ((1 - ε ↑m) * asympBound g a b m)
C_pos : 0 ≤ C
g_pos : 0 ≤ g ↑n
⊢ C * (1 - ε ↑n) * asympBound g a b n + 0 = C * ((1 - ε ↑n) * asympBound g a b n)

Tactic:
by ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.GrowsPolynomially

Goal state before:
pp: f g : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hfg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖g x‖ ≤ 1 / 2 * ‖f x‖
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb_ub : b < 1
hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
c₁ : ℝ
hc₁_mem : 0 < c₁
c₂ : ℝ
hc₂_mem : 0 < c₂
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hf₁ : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hfg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → ‖g y‖ ≤ 1 / 2 * ‖f y‖
hf₂ : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → 0 ≤ f y
hx_nonneg : 0 ≤ x
hbx : b * x ≤ x
hfg₂ : ‖g x‖ ≤ 1 / 2 * f x
hx_ub : f x + g x ≤ 3 / 2 * f x
hx_lb : 1 / 2 * f x ≤ f x + g x
u : ℝ
hu_lb : b * x ≤ u
hu_ub : u ≤ x
hfu_nonneg : 0 ≤ f u
hfg₃ : ‖g u‖ ≤ 1 / 2 * f u
⊢ 3 / 2 * (c₂ * f x) = 3 * c₂ * (1 / 2 * f x)

Tactic:
by ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform

Goal state before:
pp: case hab
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g ↑n
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
hu' : u ∈ Set.Icc (r i n) n
⊢ c₁ * ↑n ≤ ↑u ∧ ↑u ≤ ↑n

Tactic:
]

Goal state after:
case hab
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g ↑n
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
hu' : u ∈ Set.Icc (r i n) n
⊢ c₁ * ↑n ≤ ↑u ∧ ↑u ≤ ↑n
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform

Goal state before:
pp: case hd
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g ↑n
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
⊢ 0 < ↑u ^ (p a b + 1)

Tactic:
]

Goal state after:
case hd
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g ↑n
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
⊢ 0 < ↑u ^ (p a b + 1)
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.GrowsPolynomially

Goal state before:
pp: f g : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hfg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖g x‖ ≤ 1 / 2 * ‖f x‖
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb_ub : b < 1
hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x ≤ 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : 0 < c₁
c₂ : ℝ
hc₂_mem : 0 < c₂
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hf₁ : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hfg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → ‖g y‖ ≤ 1 / 2 * ‖f y‖
hf₂ : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → f y ≤ 0
hx_nonneg : 0 ≤ x
hbx : b * x ≤ x
⊢ 1 / 2 * -f x = -1 / 2 * f x

Tactic:
by ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.AkraBazzi

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
bound2 : ∀ (i : α), b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 + ε ↑n) ≤ ↑(r i n) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i n))
h_smoothing_pos : 0 < 1 + ε ↑n
h_sumTransform : ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n
h_smoothing_gt_half : 1 / 2 < 1 - ε ↑n
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
n₀_div_le_n : ⌈↑n₀ / b'⌉₊ ≤ n
h_exp : ⌈rexp 1⌉₊ ≤ n
i : α
this : ↑n₀ ≤ b' * ↑n
⊢ ↑n₀ ≤ b' * ↑n

pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
bound2 : ∀ (i : α), b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 + ε ↑n) ≤ ↑(r i n) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i n))
h_smoothing_pos : 0 < 1 + ε ↑n
h_sumTransform : ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n
h_smoothing_gt_half : 1 / 2 < 1 - ε ↑n
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
n₀_div_le_n : ⌈↑n₀ / b'⌉₊ ≤ n
h_exp : ⌈rexp 1⌉₊ ≤ n
i : α
this : ↑n₀ / b' ≤ ↑n
⊢ 0 < b'

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
bound2 : ∀ (i : α), b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 + ε ↑n) ≤ ↑(r i n) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i n))
h_smoothing_pos : 0 < 1 + ε ↑n
h_sumTransform : ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n
h_smoothing_gt_half : 1 / 2 < 1 - ε ↑n
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
n₀_div_le_n : ⌈↑n₀ / b'⌉₊ ≤ n
h_exp : ⌈rexp 1⌉₊ ≤ n
i : α
this : ↑n₀ ≤ b' * ↑n
⊢ ↑n₀ ≤ b' * ↑n

α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
c₁ : ℝ
hc₁ : c₁ > 0
h_sumTransform_aux : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n
n₀ : ℕ
n₀_ge_Rn₀ : R.n₀ ≤ n₀
n : ℕ
hn : n₀ ≤ n
bound2 : ∀ (i : α), b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 + ε ↑n) ≤ ↑(r i n) ^ p a b * (1 + ε ↑(r i n))
h_smoothing_pos : 0 < 1 + ε ↑n
h_sumTransform : ∀ (i : α), sumTransform (p a b) g (r i n) n ≤ c₁ * g ↑n
h_smoothing_gt_half : 1 / 2 < 1 - ε ↑n
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
n₀_div_le_n : ⌈↑n₀ / b'⌉₊ ≤ n
h_exp : ⌈rexp 1⌉₊ ≤ n
i : α
this : ↑n₀ / b' ≤ ↑n
⊢ 0 < b'
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.SumTransform

Goal state before:
pp: case hdb
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g ↑n
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
⊢ ↑u ^ (p a b + 1) ≤ ↑(r i n) ^ (p a b + 1)

Tactic:
]

Goal state after:
case hdb
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hc₁_pos : 0 < c₁
hc₃' : 0 < 1 - c₃
n : ℕ
hn₁ : ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
hn₂ : ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
hn₃ : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n
hrpos : ∀ (i : α), 0 < r i n
hr_lt_n : ∀ (i : α), r i n < n
hn_pos : 0 < n
i : α
hrpos_i : 0 < r i n
g_nonneg : 0 ≤ g ↑n
hp : p a b + 1 < 0
u : ℕ
hu : r i n ≤ u ∧ u < n
⊢ ↑u ^ (p a b + 1) ≤ ↑(r i n) ^ (p a b + 1)
Module: Mathlib.Computability.AkraBazzi.GrowsPolynomially

Goal state before:
pp: f g : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hfg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖g x‖ ≤ 1 / 2 * ‖f x‖
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb_ub : b < 1
hf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x ≤ 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : 0 < c₁
c₂ : ℝ
hc₂_mem : 0 < c₂
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hf₁ : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
hfg' : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → ‖g y‖ ≤ 1 / 2 * ‖f y‖
hf₂ : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → f y ≤ 0
hx_nonneg : 0 ≤ x
hbx : b * x ≤ x
hfg₂ : ‖g x‖ ≤ -1 / 2 * f x
⊢ f x + -1 / 2 * f x = 1 / 2 * f x

Tactic:
by ring

Goal state after: