mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: case inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
p : P
hpar : as ∥ ⊤
hp : p = s.center
q : P
hqs : q = s.center
hqas : q ∈ as
hqo : as ≤ ⊤
r : ℝ
hr : q -ᵥ s.center = r • (p -ᵥ s.center)
hrad : s.radius = 0
⊢ as = ⊤ ∨ as = s.orthRadius ((Equiv.pointReflection s.center) s.center)

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
p : P
hpar : as ∥ ⊤
hp : p = s.center
q : P
hqs : q = s.center
hqas : q ∈ as
hqo : as ≤ ⊤
r : ℝ
hr : q -ᵥ s.center = r • (p -ᵥ s.center)
hrad : s.radius = 0
⊢ as = ⊤ ∨ as = s.orthRadius ((Equiv.pointReflection s.center) s.center)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : dist p₂ s.center = s.radius
hp₂ : dist p₂ s.center < s.radius
h : p₁ = p₂
⊢ 0 < ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ s.center⟫

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : dist p₂ s.center = s.radius
hp₂ : dist p₂ s.center < s.radius
h : p₁ = p₂
⊢ 0 < ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ s.center⟫
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ : P
s : Sphere P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁' : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂' : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
⊢ ‖p₂ -ᵥ p₁‖ ^ 2 + 2 * ⟪p₂ -ᵥ p₁, p₁ -ᵥ s.center⟫ + ‖p₁ -ᵥ s.center‖ ^ 2 =
    ‖p₂ -ᵥ p₁‖ ^ 2 + 2 * ⟪p₂ -ᵥ p₁, p₁ -ᵥ s.center⟫ + ‖p₁ -ᵥ s.center‖ ^ 2

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p) = p₁
ho : ¬↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hp✝ : ∡ (↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)) p₁ p = ∡ p p₁ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
h₂₁ : p₂ ≠ p₁
h₃₁ : p₃ ≠ p₁
hp : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = p₁
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p) = p₁
ho : ¬↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hp✝ : ∡ (↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)) p₁ p = ∡ p p₁ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
h₂₁ : p₂ ≠ p₁
h₃₁ : p₃ ≠ p₁
hp : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = p₁
⊢ False
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
p : P
hpar : as ∥ s.orthRadius p
hp : p ∈ s
q : P
hqs : q ∈ s
hqas : q ∈ as
hqo : as ≤ s.orthRadius q
r : ℝ
hr : q -ᵥ s.center = r • (p -ᵥ s.center)
hrad : s.radius ≠ 0
⊢ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ = (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
p : P
hpar : as ∥ s.orthRadius p
hp : p ∈ s
q : P
hqs : q ∈ s
hqas : q ∈ as
hqo : as ≤ s.orthRadius q
r : ℝ
hr : q -ᵥ s.center = r • (p -ᵥ s.center)
hrad : s.radius ≠ 0
⊢ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ = (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ : P
s : Sphere P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁' : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂' : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hd : s.radius ^ 2 = ‖p₂ -ᵥ p₁‖ ^ 2 + 2 * -⟪p₂ -ᵥ p₁, s.center -ᵥ p₁⟫ + s.radius ^ 2
⊢ 0 < ⟪p₂ -ᵥ p₁, s.center -ᵥ p₁⟫

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ : P
s : Sphere P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁' : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂' : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hd : s.radius ^ 2 = ‖p₂ -ᵥ p₁‖ ^ 2 + 2 * -⟪p₂ -ᵥ p₁, s.center -ᵥ p₁⟫ + s.radius ^ 2
⊢ 0 < ⟪p₂ -ᵥ p₁, s.center -ᵥ p₁⟫
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
x✝ : p₁ ∈ s ∧ p₂ ∈ s ∧ dist p₁ p₂ = 2 * s.radius
h₁ : p₁ ∈ s
h₂ : p₂ ∈ s
hr : dist p₁ p₂ = 2 * s.radius
⊢ p₂ -ᵥ s.center = s.center -ᵥ p₁

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
x✝ : p₁ ∈ s ∧ p₂ ∈ s ∧ dist p₁ p₂ = 2 * s.radius
h₁ : p₁ ∈ s
h₂ : p₂ ∈ s
hr : dist p₁ p₂ = 2 * s.radius
⊢ p₂ -ᵥ s.center = s.center -ᵥ p₁
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
p : P
hpar : as ∥ s.orthRadius p
hp : p ∈ s
q : P
hqs : q ∈ s
hqas : q ∈ as
hqo : as ≤ s.orthRadius q
r : ℝ
hr : q -ᵥ s.center = r • (p -ᵥ s.center)
hrad : s.radius ≠ 0
hr0 : r ≠ 0
⊢ ℝ ∙ (p -ᵥ s.center) = ℝ ∙ (p -ᵥ s.center)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = p₁
ho : ¬↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hp✝ : ∡ (↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)) p₁ p = ∡ p p₁ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
h₂₁ : p₂ ≠ p₁
h₃₁ : p₃ ≠ p₁
hp₁ : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) ≠ p₁
hp : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p) = p₁
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = p₁
ho : ¬↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hp✝ : ∡ (↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)) p₁ p = ∡ p p₁ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
h₂₁ : p₂ ≠ p₁
h₃₁ : p₃ ≠ p₁
hp₁ : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) ≠ p₁
hp : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p) = p₁
⊢ False
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: case h₂
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
x✝ : p₁ ∈ s ∧ p₂ ∈ s ∧ dist p₁ p₂ = 2 * s.radius
h₁ : p₁ ∈ s
h₂ : p₂ ∈ s
hr : dist p₁ p₂ = 2 * s.radius
⊢ s.radius + s.radius = s.radius + s.radius

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: case mp
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : Metric.sphere s.center s.radius ∩ ↑(s.orthRadius p) = {q}
hq : q ∈ Metric.sphere s.center s.radius ∩ ↑(s.orthRadius p)
hr : 0 ≤ s.radius
h' : ∀ (q' : P), q' -ᵥ p ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ∧ ‖q' -ᵥ p‖ ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2 ↔ q' = q
hq' : q -ᵥ p ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ∧ ‖q -ᵥ p‖ ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2
hq'' : (-(q -ᵥ p) +ᵥ p) -ᵥ p ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ∧ ‖(-(q -ᵥ p) +ᵥ p) -ᵥ p‖ ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2
hqq : q = p
⊢ q = p ∧ dist p s.center = s.radius

Tactic:
]

Goal state after:
case mp
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : Metric.sphere s.center s.radius ∩ ↑(s.orthRadius p) = {q}
hq : q ∈ Metric.sphere s.center s.radius ∩ ↑(s.orthRadius p)
hr : 0 ≤ s.radius
h' : ∀ (q' : P), q' -ᵥ p ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ∧ ‖q' -ᵥ p‖ ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2 ↔ q' = q
hq' : q -ᵥ p ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ∧ ‖q -ᵥ p‖ ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2
hq'' : (-(q -ᵥ p) +ᵥ p) -ᵥ p ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ∧ ‖(-(q -ᵥ p) +ᵥ p) -ᵥ p‖ ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2
hqq : q = p
⊢ q = p ∧ dist p s.center = s.radius
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : p ∈ s
q : P
hqs : q ∈ s
r : ℝ
hr : q -ᵥ s.center = r • (p -ᵥ s.center)
hrad : s.radius ≠ 0
hpar : s.orthRadius q ∥ s.orthRadius p
hqas : q ∈ s.orthRadius q
hqo : s.orthRadius q ≤ s.orthRadius q
hr0 : r ≠ 0
⊢ ‖r • (p -ᵥ s.center)‖ = ‖r • (p -ᵥ s.center)‖

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
x✝ : p₁ ∈ s ∧ p₂ ∈ s ∧ Wbtw ℝ p₁ s.center p₂
h₁ : p₁ ∈ s
h₂ : p₂ ∈ s
hr : Wbtw ℝ p₁ s.center p₂
hd : dist p₁ p₂ = 2 * s.radius
⊢ s.IsDiameter p₁ p₂

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
x✝ : p₁ ∈ s ∧ p₂ ∈ s ∧ Wbtw ℝ p₁ s.center p₂
h₁ : p₁ ∈ s
h₂ : p₂ ∈ s
hr : Wbtw ℝ p₁ s.center p₂
hd : dist p₁ p₂ = 2 * s.radius
⊢ s.IsDiameter p₁ p₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ¬↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hp : ∡ (↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)) p₁ p = ∡ p p₁ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
h₂₁ : p₂ ≠ p₁
h₃₁ : p₃ ≠ p₁
hp₁ : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) ≠ p₁
hp₂ : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p) ≠ p₁
⊢ 2 • ∡ p p₁ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p) = 2 • ∡ p p₁ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
⊢ s.center ∈ line[ℝ, p₁, p₂] ↔ p₁ ∈ s ∧ p₂ ∈ s ∧ Wbtw ℝ p₁ s.center p₂

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
⊢ s.center ∈ line[ℝ, p₁, p₂] ↔ p₁ ∈ s ∧ p₂ ∈ s ∧ Wbtw ℝ p₁ s.center p₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: case inr.refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
h : s.center ∈ line[ℝ, p₁, p₂]
⊢ Collinear ℝ {s.center, p₁, p₂}

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
h : s.center ∈ line[ℝ, p₁, p₂]
⊢ Collinear ℝ {s.center, p₁, p₂}
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : s.radius < dist p s.center
p' : P
⊢ 0 ≤ s.radius ∧ p' -ᵥ p ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ∧ ‖p' -ᵥ p‖ ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2 ↔ p' ∈ ∅

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : s.radius < dist p s.center
p' : P
⊢ 0 ≤ s.radius ∧ p' -ᵥ p ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ∧ ‖p' -ᵥ p‖ ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2 ↔ p' ∈ ∅
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: case e'_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : p ∈ s
q : P
hqs : q ∈ s
hrad : s.radius ≠ 0
hpar : s.orthRadius q ∥ s.orthRadius p
hqas : q ∈ s.orthRadius q
hqo : s.orthRadius q ≤ s.orthRadius q
hr : q = -1 • (p -ᵥ s.center) +ᵥ s.center
hr0 : -1 ≠ 0
hr' : |(-1)| = 1
⊢ (Equiv.pointReflection s.center) p = q

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : p ∈ s
q : P
hqs : q ∈ s
hrad : s.radius ≠ 0
hpar : s.orthRadius q ∥ s.orthRadius p
hqas : q ∈ s.orthRadius q
hqo : s.orthRadius q ≤ s.orthRadius q
hr : q = -1 • (p -ᵥ s.center) +ᵥ s.center
hr0 : -1 ≠ 0
hr' : |(-1)| = 1
⊢ (Equiv.pointReflection s.center) p = q
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: case e'_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : p ∈ s
q : P
hqs : q ∈ s
hrad : s.radius ≠ 0
hpar : s.orthRadius q ∥ s.orthRadius p
hqas : q ∈ s.orthRadius q
hqo : s.orthRadius q ≤ s.orthRadius q
hr : q = -1 • (p -ᵥ s.center) +ᵥ s.center
hr0 : -1 ≠ 0
hr' : |(-1)| = 1
⊢ (Equiv.pointReflection s.center) p = -1 • (p -ᵥ s.center) +ᵥ s.center

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hp : p ∈ s
q : P
hqs : q ∈ s
hrad : s.radius ≠ 0
hpar : s.orthRadius q ∥ s.orthRadius p
hqas : q ∈ s.orthRadius q
hqo : s.orthRadius q ≤ s.orthRadius q
hr : q = -1 • (p -ᵥ s.center) +ᵥ s.center
hr0 : -1 ≠ 0
hr' : |(-1)| = 1
⊢ (Equiv.pointReflection s.center) p = -1 • (p -ᵥ s.center) +ᵥ s.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
i₁ : Fin (n + 1)
h :
  ∀ (i₂ : Fin (n + 1)),
    i₂ ≠ i₁ →
      ∃ p' ∈ affineSpan ℝ (Set.range (s.faceOpposite i₁).points),
        p' ∈ affineSpan ℝ (Set.range (s.faceOpposite i₂).points) ∧
          ∠ p p' ↑((s.faceOpposite i₁).orthogonalProjectionSpan p) =
            ∠ p p' ↑((s.faceOpposite i₂).orthogonalProjectionSpan p)
⊢ ∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), dist p ↑((s.faceOpposite i).orthogonalProjectionSpan p) = r

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
i₁ : Fin (n + 1)
h :
  ∀ (i₂ : Fin (n + 1)),
    i₂ ≠ i₁ →
      ∃ p' ∈ affineSpan ℝ (Set.range (s.faceOpposite i₁).points),
        p' ∈ affineSpan ℝ (Set.range (s.faceOpposite i₂).points) ∧
          ∠ p p' ↑((s.faceOpposite i₁).orthogonalProjectionSpan p) =
            ∠ p p' ↑((s.faceOpposite i₂).orthogonalProjectionSpan p)
⊢ ∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), dist p ↑((s.faceOpposite i).orthogonalProjectionSpan p) = r
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
i₁ : Fin (n + 1)
h :
  ∀ (i₂ : Fin (n + 1)),
    i₂ ≠ i₁ →
      ∃ p' ∈ affineSpan ℝ (Set.range (s.faceOpposite i₁).points),
        p' ∈ affineSpan ℝ (Set.range (s.faceOpposite i₂).points) ∧
          ∠ p p' ↑((s.faceOpposite i₁).orthogonalProjectionSpan p) =
            ∠ p p' ↑((s.faceOpposite i₂).orthogonalProjectionSpan p)
i : Fin (n + 1)
hi : i = i₁
⊢ dist p ↑((s.faceOpposite i₁).orthogonalProjectionSpan p) = dist p ↑((s.faceOpposite i₁).orthogonalProjectionSpan p)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hpc : p ≠ s.center
hp : dist p s.center ≠ s.radius
hf : Module.finrank ℝ V = 1
p' : P
⊢ 0 ≤ s.radius ∧ p' -ᵥ p ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ∧ ‖p' -ᵥ p‖ ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2 ↔ p' ∈ ∅

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hpc : p ≠ s.center
hp : dist p s.center ≠ s.radius
hf : Module.finrank ℝ V = 1
p' : P
⊢ 0 ≤ s.radius ∧ p' -ᵥ p ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ∧ ‖p' -ᵥ p‖ ^ 2 = s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2 ↔ p' ∈ ∅
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
as : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥as
inst✝ : as.direction.HasOrthogonalProjection
h : s.IsTangentAt p as
h' : s.IsTangentAt (↑((orthogonalProjection as) s.center)) as
⊢ s.IsTangentAt (↑((orthogonalProjection as) s.center)) as

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
as : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥as
inst✝ : as.direction.HasOrthogonalProjection
h : s.IsTangentAt p as
h' : s.IsTangentAt (↑((orthogonalProjection as) s.center)) as
⊢ s.IsTangentAt (↑((orthogonalProjection as) s.center)) as
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hpc : p ≠ s.center
hp : dist p s.center ≠ s.radius
hf : Module.finrank ℝ V = 1
p' : P
hr : 0 ≤ s.radius
this : FiniteDimensional ℝ V
ha : ℝ ∙ (p -ᵥ s.center) = ⊤
hpo : p' = p
⊢ ¬dist p s.center = s.radius

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hpc : p ≠ s.center
hp : dist p s.center ≠ s.radius
hf : Module.finrank ℝ V = 1
p' : P
hr : 0 ≤ s.radius
this : FiniteDimensional ℝ V
ha : ℝ ∙ (p -ᵥ s.center) = ⊤
hpo : p' = p
⊢ ¬dist p s.center = s.radius
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s₁ s₂ : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
⊢ as ∈ s₁.commonTangents s₂ → (∃ p ∈ as, Wbtw ℝ s₁.center p s₂.center) ∨ ∀ p ∈ as, ¬Sbtw ℝ s₁.center p s₂.center

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s₁ s₂ : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
⊢ as ∈ s₁.commonTangents s₂ → (∃ p ∈ as, Wbtw ℝ s₁.center p s₂.center) ∨ ∀ p ∈ as, ¬Sbtw ℝ s₁.center p s₂.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s₁ s₂ : Sphere P
h₁ : s₁.radius = 0
h₂ : s₁.center ∈ s₂
⊢ s₁.radius = 0 ∧ s₁.center ∈ s₂

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s₁ s₂ : Sphere P
h₁ : s₁.radius = 0
h₂ : s₁.center ∈ s₂
⊢ s₁.radius = 0 ∧ s₁.center ∈ s₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s₁ s₂ : Sphere P
hr : s₁.radius = 0
hc : s₁.center ∈ s₂
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: case inl.inr.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
h : dist p s.center < s.radius
hp : p ≠ s.center
hb : ℝ ∙ (p -ᵥ s.center) = ⊤
hb' : ∀ (v : V), ∃ r, r • (p -ᵥ s.center) = v
⊢ Metric.sphere s.center s.radius ∩ ↑(s.orthRadius p) = ∅ ↔ Module.finrank ℝ V = 1 ∨ Subsingleton V

Tactic:
]

Goal state after:
case inl.inr.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
h : dist p s.center < s.radius
hp : p ≠ s.center
hb : ℝ ∙ (p -ᵥ s.center) = ⊤
hb' : ∀ (v : V), ∃ r, r • (p -ᵥ s.center) = v
⊢ Metric.sphere s.center s.radius ∩ ↑(s.orthRadius p) = ∅ ↔ Module.finrank ℝ V = 1 ∨ Subsingleton V
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
h : dist p s.center < s.radius
hp : p ≠ s.center
hb : ℝ ∙ (p -ᵥ s.center) ≠ ⊤
⊢ ¬Subsingleton P

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
h : dist p s.center < s.radius
hp : p ≠ s.center
hb : ℝ ∙ (p -ᵥ s.center) ≠ ⊤
⊢ ¬Subsingleton P