mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case succ
R✝ : Type u1
inst✝⁵ : CommRing R✝
M✝ : Type u2
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
hn : ∀ (f : Fin n → M) (x y : Fin n), f x = f y → x < y → (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (f i)).prod = 0
f : Fin (n + 1) → M
x y : Fin (n + 1)
hfxy : f x = f y
h : x < y
⊢ (ι R) (f 0) * (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (f i.succ)).prod = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case succ
R✝ : Type u1
inst✝⁵ : CommRing R✝
M✝ : Type u2
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
hn : ∀ (f : Fin n → M) (x y : Fin n), f x = f y → x < y → (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (f i)).prod = 0
f : Fin (n + 1) → M
x y : Fin (n + 1)
hfxy : f x = f y
h : x < y
⊢ (ι R) (f 0) * (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (f i.succ)).prod = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case pos
R✝ : Type u1
inst✝⁵ : CommRing R✝
M✝ : Type u2
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
hn : ∀ (f : Fin n → M) (x y : Fin n), f x = f y → x < y → (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (f i)).prod = 0
f : Fin (n + 1) → M
x y : Fin (n + 1)
hfxy : f 0 = f y
h : 0 < y
hx : x = 0
⊢ (ι R) (f 0) * (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (f i.succ)).prod = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
R✝ : Type u1
inst✝⁵ : CommRing R✝
M✝ : Type u2
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
hn : ∀ (f : Fin n → M) (x y : Fin n), f x = f y → x < y → (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (f i)).prod = 0
f : Fin (n + 1) → M
x y : Fin (n + 1)
hfxy : f 0 = f y
h : 0 < y
hx : x = 0
⊢ (ι R) (f 0) * (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (f i.succ)).prod = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case pos
R✝ : Type u1
inst✝⁵ : CommRing R✝
M✝ : Type u2
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
hn : ∀ (f : Fin n → M) (x y : Fin n), f x = f y → x < y → (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (f i)).prod = 0
f : Fin (n + 1) → M
x y : Fin (n + 1)
hfxy : f 0 = f y
h : 0 < y
hx : x = 0
⊢ (ι R) (f (y.pred ⋯).succ) * (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (f i.succ)).prod = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
R✝ : Type u1
inst✝⁵ : CommRing R✝
M✝ : Type u2
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
hn : ∀ (f : Fin n → M) (x y : Fin n), f x = f y → x < y → (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (f i)).prod = 0
f : Fin (n + 1) → M
x y : Fin (n + 1)
hfxy : f 0 = f y
h : 0 < y
hx : x = 0
⊢ (ι R) (f (y.pred ⋯).succ) * (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (f i.succ)).prod = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.OfAlternating

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
m : M
⊢ (f (0 + 1)) (Matrix.vecCons m 0) = (f 1) ![m]

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
m : M
⊢ (f (0 + 1)) (Matrix.vecCons m 0) = (f 1) ![m]
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.OfAlternating

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
m : M
x : ExteriorAlgebra R M
⊢ AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty.symm
      (((foldl 0 (LinearMap.mk₂ R (fun m f i ↦ (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) ⋯)
          (((LinearMap.mk₂ R (fun m f i ↦ (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) m) f))
        x 0) =
    AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty.symm
      (((foldl 0 (LinearMap.mk₂ R (fun m f i ↦ (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) ⋯) fun i ↦ (f (i + 1)).curryLeft m) x
        0)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
m : M
x : ExteriorAlgebra R M
⊢ AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty.symm
      (((foldl 0 (LinearMap.mk₂ R (fun m f i ↦ (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) ⋯)
          (((LinearMap.mk₂ R (fun m f i ↦ (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) m) f))
        x 0) =
    AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty.symm
      (((foldl 0 (LinearMap.mk₂ R (fun m f i ↦ (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) ⋯) fun i ↦ (f (i + 1)).curryLeft m) x
        0)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
m n : ℕ
a : Fin m → M
b : Fin n → M
⊢ (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (a i)).prod * (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (b i)).prod =
    (List.map (⇑(ι R)) (List.ofFn a)).prod * (List.map (⇑(ι R)) (List.ofFn b)).prod

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
m n : ℕ
a : Fin m → M
b : Fin n → M
⊢ (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (a i)).prod * (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (b i)).prod =
    (List.map (⇑(ι R)) (List.ofFn a)).prod * (List.map (⇑(ι R)) (List.ofFn b)).prod
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.OfAlternating

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
⊢ (f 0) 0 = (f 0) 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.OfAlternating

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
r : R
⊢ r • (f 0) 0 = r • (f 0) 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
⊢ ∀ (y : Fin n → M), (ιMulti R n) y ∈ ↑(⋀[R]^n M)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
⊢ ∀ (y : Fin n → M), (ιMulti R n) y ∈ ↑(⋀[R]^n M)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
v : Fin n → M
⊢ (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (v i)).prod ∈ ↑(⋀[R]^n M)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
v : Fin n → M
⊢ (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (v i)).prod ∈ ↑(⋀[R]^n M)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.OfAlternating

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
n : ℕ
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin n → M
⊢ (liftAlternating f) (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (v i)).prod = (f n) v

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
n : ℕ
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin n → M
⊢ (liftAlternating f) (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (v i)).prod = (f n) v
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
v : Fin n → M
⊢ ∃ f, (List.ofFn fun i ↦ ↑(f i)).prod = (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (v i)).prod

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
v : Fin n → M
⊢ ∃ f, (List.ofFn fun i ↦ ↑(f i)).prod = (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (v i)).prod
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.OfAlternating

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin 0 → M
⊢ (f 0) v = (f 0) v

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
⊢ ↑(ι R).range ^ n ⊆ ↑(Submodule.span R (Set.range ⇑(ιMulti R n)))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
⊢ ↑(ι R).range ^ n ⊆ ↑(Submodule.span R (Set.range ⇑(ιMulti R n)))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
f : Fin n → ↑↑(ι R).range
hu : (List.ofFn fun i ↦ ↑(f i)).prod ∈ ↑(ι R).range ^ n
⊢ (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (ιInv ↑(f i))).prod = (List.ofFn fun i ↦ ↑(f i)).prod

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
f : Fin n → ↑↑(ι R).range
hu : (List.ofFn fun i ↦ ↑(f i)).prod ∈ ↑(ι R).range ^ n
⊢ (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (ιInv ↑(f i))).prod = (List.ofFn fun i ↦ ↑(f i)).prod
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
f : Fin n → ↑↑(ι R).range
hu : (List.ofFn fun i ↦ ↑(f i)).prod ∈ ↑(ι R).range ^ n
i : Fin n
v : M
hv : (ι R) v = ↑(f i)
⊢ (ι R) v = (ι R) v

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.OfAlternating

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
n : ℕ
ih :
  ∀ (f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N) (v : Fin n → M),
    (liftAlternating f) (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (v i)).prod = (f n) v
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin (n + 1) → M
⊢ (f n.succ) (Matrix.vecCons (v 0) fun i ↦ v i.succ) = (f (n + 1)) v

Tactic:
]

Goal state after:
case succ
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
n : ℕ
ih :
  ∀ (f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N) (v : Fin n → M),
    (liftAlternating f) (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (v i)).prod = (f n) v
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin (n + 1) → M
⊢ (f n.succ) (Matrix.vecCons (v 0) fun i ↦ v i.succ) = (f (n + 1)) v
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u1
inst✝³ : CommRing R
M : Type u2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
m n : ℕ
I : Type u_1
inst✝ : LinearOrder I
v : I → M
s : ↑(powersetCard I m)
t : ↑(powersetCard I n)
h : ∃ a ∈ ↑s, a ∈ ↑t
⊢ ιMulti_family R m v s * ιMulti_family R n v t = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u1
inst✝³ : CommRing R
M : Type u2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
m n : ℕ
I : Type u_1
inst✝ : LinearOrder I
v : I → M
s : ↑(powersetCard I m)
t : ↑(powersetCard I n)
h : ∃ a ∈ ↑s, a ∈ ↑t
⊢ ιMulti_family R m v s * ιMulti_family R n v t = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u1
inst✝³ : CommRing R
M : Type u2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
m n : ℕ
I : Type u_1
inst✝ : LinearOrder I
v : I → M
s : ↑(powersetCard I m)
t : ↑(powersetCard I n)
h : Disjoint ↑s ↑t
⊢ (ιMulti R (m + n)) (Fin.append (v ∘ ⇑(ofFinEmbEquiv.symm s)) (v ∘ ⇑(ofFinEmbEquiv.symm t))) =
    (ιMulti R (m + n))
      ((v ∘ ⇑(ofFinEmbEquiv.symm (disjUnion h))) ∘
        ⇑(finSumFinEquiv.symm.trans
            ((↑((orderIsoOfFin s).sumCongr (orderIsoOfFin t))).trans
              ((Equiv.Finset.disjUnionEquiv (↑s) (↑t) h).trans ↑(orderIsoOfFin (disjUnion h)).symm))))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u1
inst✝³ : CommRing R
M : Type u2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
m n : ℕ
I : Type u_1
inst✝ : LinearOrder I
v : I → M
s : ↑(powersetCard I m)
t : ↑(powersetCard I n)
h : Disjoint ↑s ↑t
⊢ (ιMulti R (m + n)) (Fin.append (v ∘ ⇑(ofFinEmbEquiv.symm s)) (v ∘ ⇑(ofFinEmbEquiv.symm t))) =
    (ιMulti R (m + n))
      ((v ∘ ⇑(ofFinEmbEquiv.symm (disjUnion h))) ∘
        ⇑(finSumFinEquiv.symm.trans
            ((↑((orderIsoOfFin s).sumCongr (orderIsoOfFin t))).trans
              ((Equiv.Finset.disjUnionEquiv (↑s) (↑t) h).trans ↑(orderIsoOfFin (disjUnion h)).symm))))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.OfAlternating

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : ExteriorAlgebra R M
⊢ (liftAlternating fun i ↦ g.compAlternatingMap (f i)) v = g ((liftAlternating f) v)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : ExteriorAlgebra R M
⊢ (liftAlternating fun i ↦ g.compAlternatingMap (f i)) v = g ((liftAlternating f) v)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.OfAlternating

Goal state before:
pp: case algebraMap
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
r✝ : R
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
⊢ r✝ • g ((f 0) 0) = r✝ • g ((f 0) 0)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.OfAlternating

Goal state before:
pp: case add
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
x✝ y✝ : CliffordAlgebra 0
hx :
  ∀ (f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N),
    (liftAlternating fun i ↦ g.compAlternatingMap (f i)) x✝ = g ((liftAlternating f) x✝)
hy :
  ∀ (f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N),
    (liftAlternating fun i ↦ g.compAlternatingMap (f i)) y✝ = g ((liftAlternating f) y✝)
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
⊢ g ((liftAlternating f) x✝) + g ((liftAlternating f) y✝) = g ((liftAlternating f) x✝) + g ((liftAlternating f) y✝)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u1
inst✝³ : CommRing R
M : Type u2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
m n : ℕ
I : Type u_1
inst✝ : LinearOrder I
v : I → M
s : ↑(powersetCard I m)
t : ↑(powersetCard I n)
h : Disjoint ↑s ↑t
i : Fin (m + n)
e : Fin (m + n) ≃o ↥↑(disjUnion h) := orderIsoOfFin (disjUnion h)
hi : ↑i < m
⊢ (v ∘ ⇑(ofFinEmbEquiv.symm s)) (i.castLT hi) =
    v
      ↑((Equiv.Finset.disjUnionEquiv (↑s) (↑t) h)
          (↑((orderIsoOfFin s).sumCongr (orderIsoOfFin t)) (Sum.inl (i.castLT hi))))

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
R : Type u1
inst✝³ : CommRing R
M : Type u2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
m n : ℕ
I : Type u_1
inst✝ : LinearOrder I
v : I → M
s : ↑(powersetCard I m)
t : ↑(powersetCard I n)
h : Disjoint ↑s ↑t
i : Fin (m + n)
e : Fin (m + n) ≃o ↥↑(disjUnion h) := orderIsoOfFin (disjUnion h)
hi : ↑i < m
⊢ (v ∘ ⇑(ofFinEmbEquiv.symm s)) (i.castLT hi) =
    v
      ↑((Equiv.Finset.disjUnionEquiv (↑s) (↑t) h)
          (↑((orderIsoOfFin s).sumCongr (orderIsoOfFin t)) (Sum.inl (i.castLT hi))))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.OfAlternating

Goal state before:
pp: case ι_mul
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
x✝ : CliffordAlgebra 0
m✝ : M
hx :
  ∀ (f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N),
    (liftAlternating fun i ↦ g.compAlternatingMap (f i)) x✝ = g ((liftAlternating f) x✝)
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
⊢ (liftAlternating fun i ↦ (g.compAlternatingMap (f i.succ)).curryLeft m✝) x✝ =
    (liftAlternating fun i ↦ g.compAlternatingMap ((f i.succ).curryLeft m✝)) x✝

Tactic:
]

Goal state after:
case ι_mul
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
x✝ : CliffordAlgebra 0
m✝ : M
hx :
  ∀ (f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N),
    (liftAlternating fun i ↦ g.compAlternatingMap (f i)) x✝ = g ((liftAlternating f) x✝)
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
⊢ (liftAlternating fun i ↦ (g.compAlternatingMap (f i.succ)).curryLeft m✝) x✝ =
    (liftAlternating fun i ↦ g.compAlternatingMap ((f i.succ).curryLeft m✝)) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u1
inst✝³ : CommRing R
M : Type u2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
m n : ℕ
I : Type u_1
inst✝ : LinearOrder I
v : I → M
s : ↑(powersetCard I m)
t : ↑(powersetCard I n)
h : Disjoint ↑s ↑t
i : Fin (m + n)
e : Fin (m + n) ≃o ↥↑(disjUnion h) := orderIsoOfFin (disjUnion h)
hi : m ≤ ↑i
⊢ (v ∘ ⇑(ofFinEmbEquiv.symm t)) (Fin.subNat m (Fin.cast ⋯ i) hi) =
    v
      ↑((Equiv.Finset.disjUnionEquiv (↑s) (↑t) h)
          (↑((orderIsoOfFin s).sumCongr (orderIsoOfFin t)) (Sum.inr (Fin.subNat m (Fin.cast ⋯ i) hi))))

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
R : Type u1
inst✝³ : CommRing R
M : Type u2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
m n : ℕ
I : Type u_1
inst✝ : LinearOrder I
v : I → M
s : ↑(powersetCard I m)
t : ↑(powersetCard I n)
h : Disjoint ↑s ↑t
i : Fin (m + n)
e : Fin (m + n) ≃o ↥↑(disjUnion h) := orderIsoOfFin (disjUnion h)
hi : m ≤ ↑i
⊢ (v ∘ ⇑(ofFinEmbEquiv.symm t)) (Fin.subNat m (Fin.cast ⋯ i) hi) =
    v
      ↑((Equiv.Finset.disjUnionEquiv (↑s) (↑t) h)
          (↑((orderIsoOfFin s).sumCongr (orderIsoOfFin t)) (Sum.inr (Fin.subNat m (Fin.cast ⋯ i) hi))))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.OfAlternating

Goal state before:
pp: case algebraMap
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r✝ : R
⊢ r✝ • 1 = r✝ • 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.OfAlternating

Goal state before:
pp: case add
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x✝ y✝ : CliffordAlgebra 0
hx : (liftAlternating (ιMulti R)) x✝ = x✝
hy : (liftAlternating (ιMulti R)) y✝ = y✝
⊢ x✝ + y✝ = x✝ + y✝

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
f : M →ₗ[R] N
m : Fin n → M
⊢ (List.map (⇑(map f)) (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (m i))).prod = (List.ofFn fun i ↦ (ι R) ((⇑f ∘ m) i)).prod

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
f : M →ₗ[R] N
m : Fin n → M
⊢ (List.map (⇑(map f)) (List.ofFn fun i ↦ (ι R) (m i))).prod = (List.ofFn fun i ↦ (ι R) ((⇑f ∘ m) i)).prod
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.OfAlternating

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
F : ExteriorAlgebra R M →ₗ[R] N
⊢ F = F

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Free

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
v : ι → ↑S.X₁
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw : LinearIndependent R (⇑(ConcreteCategory.hom S.g) ∘ u ∘ Sum.inr)
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑(ConcreteCategory.hom S.f) ∘ v
⊢ Disjoint (span R (range (u ∘ Sum.inr))) (span R (range (⇑(ConcreteCategory.hom S.f) ∘ v)))

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
v : ι → ↑S.X₁
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw : LinearIndependent R (⇑(ConcreteCategory.hom S.g) ∘ u ∘ Sum.inr)
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑(ConcreteCategory.hom S.f) ∘ v
⊢ Disjoint (span R (range (u ∘ Sum.inr))) (span R (range (⇑(ConcreteCategory.hom S.f) ∘ v)))
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Free

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
v : ι → ↑S.X₁
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw : LinearIndependent R (⇑(ConcreteCategory.hom S.g) ∘ u ∘ Sum.inr)
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑(ConcreteCategory.hom S.f) ∘ v
⊢ Disjoint (span R (range (u ∘ Sum.inr))) (Hom.hom S.g).ker

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
v : ι → ↑S.X₁
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw : LinearIndependent R (⇑(ConcreteCategory.hom S.g) ∘ u ∘ Sum.inr)
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑(ConcreteCategory.hom S.f) ∘ v
⊢ Disjoint (span R (range (u ∘ Sum.inr))) (Hom.hom S.g).ker
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Free

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw : LinearIndependent R (⇑(ConcreteCategory.hom S.g) ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑(ConcreteCategory.hom S.f) ∘ v
⊢ LinearIndependent R (u ∘ Sum.inl) ∧
    LinearIndependent R (u ∘ Sum.inr) ∧ Disjoint (span R (range (u ∘ Sum.inl))) (span R (range (u ∘ Sum.inr)))

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw : LinearIndependent R (⇑(ConcreteCategory.hom S.g) ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑(ConcreteCategory.hom S.f) ∘ v
⊢ LinearIndependent R (u ∘ Sum.inl) ∧
    LinearIndependent R (u ∘ Sum.inr) ∧ Disjoint (span R (range (u ∘ Sum.inl))) (span R (range (u ∘ Sum.inr)))
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Free

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw : LinearIndependent R (⇑(ConcreteCategory.hom S.g) ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑(ConcreteCategory.hom S.f) ∘ v
⊢ LinearIndependent R v

pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw : LinearIndependent R (⇑(ConcreteCategory.hom S.g) ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑(ConcreteCategory.hom S.f) ∘ v
⊢ (Hom.hom S.f).ker = ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw : LinearIndependent R (⇑(ConcreteCategory.hom S.g) ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑(ConcreteCategory.hom S.f) ∘ v
⊢ LinearIndependent R v

ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw : LinearIndependent R (⇑(ConcreteCategory.hom S.g) ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑(ConcreteCategory.hom S.f) ∘ v
⊢ (Hom.hom S.f).ker = ⊥