mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Uniformity

Goal state before:
pp: case refine_2
X : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
U : ℕ → SetRel X X
hU_symm : ∀ (n : ℕ), (U n).IsSymm
hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m
hB : (𝓤 X).HasAntitoneBasis U
d : X → X → ℝ≥0 := fun x y ↦ if h : ∃ n, (x, y) ∉ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0
hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ Inseparable x y
hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hr : ↑0 < ↑(1 / 2) ∧ ↑(1 / 2) < ↑1
I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d ⋯ hd_symm
hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y)
hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ (x, y) ∉ U n
hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y
n : ℕ
x✝ : True
x : X × X
hx : dist x.1 x.2 < ↑(1 / 2) ^ (n + 1)
⊢ x ∈ U n

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
X : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
U : ℕ → SetRel X X
hU_symm : ∀ (n : ℕ), (U n).IsSymm
hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m
hB : (𝓤 X).HasAntitoneBasis U
d : X → X → ℝ≥0 := fun x y ↦ if h : ∃ n, (x, y) ∉ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0
hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ Inseparable x y
hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hr : ↑0 < ↑(1 / 2) ∧ ↑(1 / 2) < ↑1
I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d ⋯ hd_symm
hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y)
hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ (x, y) ∉ U n
hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y
n : ℕ
x✝ : True
x : X × X
hx : dist x.1 x.2 < ↑(1 / 2) ^ (n + 1)
⊢ x ∈ U n
Module: Mathlib.Topology.Instances.ENNReal.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_4
u : Filter ι
f : ι → ℝ≥0∞
hf : Tendsto f u (𝓝 0)
g : ι → ℝ≥0∞
⊢ limsup g u = limsup g u

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Instances.ENNReal.Lemmas

Goal state before:
pp: α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : EMetricSpace β
inst✝ : CompleteSpace β
s : Set α
hs : Dense s
f : ↑s → β
K : ℝ≥0
hf : LipschitzWith K f
this : IsClosed[instTopologicalSpaceProd] {p | edist (hs.extend f p.1) (hs.extend f p.2) ≤ ↑K * edist p.1 p.2}
⊢ Dense {p | edist (hs.extend f p.1) (hs.extend f p.2) ≤ ↑K * edist p.1 p.2}

Tactic:
apply (hs.prod hs).mono

Goal state after:
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : EMetricSpace β
inst✝ : CompleteSpace β
s : Set α
hs : Dense s
f : ↑s → β
K : ℝ≥0
hf : LipschitzWith K f
this : IsClosed[instTopologicalSpaceProd] {p | edist (hs.extend f p.1) (hs.extend f p.2) ≤ ↑K * edist p.1 p.2}
⊢ s ×ˢ s ⊆ {p | edist (hs.extend f p.1) (hs.extend f p.2) ≤ ↑K * edist p.1 p.2}
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Lipschitz

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
g : α → ℝ := fun y ↦ ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x
B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x ↦ f ↑x + ↑K * dist y ↑x)
E : EqOn f g s
x y : α
⊢ g x - ↑K * dist x y ≤ g y

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
α : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
g : α → ℝ := fun y ↦ ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x
B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x ↦ f ↑x + ↑K * dist y ↑x)
E : EqOn f g s
x y : α
⊢ g x - ↑K * dist x y ≤ g y
Module: Mathlib.Topology.Metrizable.Uniformity

Goal state before:
pp: case refine_2
X : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
U : ℕ → SetRel X X
hU_symm : ∀ (n : ℕ), (U n).IsSymm
hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m
hB : (𝓤 X).HasAntitoneBasis U
d : X → X → ℝ≥0 := fun x y ↦ if h : ∃ n, (x, y) ∉ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0
hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ Inseparable x y
hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hr : ↑0 < ↑(1 / 2) ∧ ↑(1 / 2) < ↑1
I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d ⋯ hd_symm
hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y)
hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ (x, y) ∉ U n
hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y
n : ℕ
x✝ : True
x : X × X
hx : x ∉ U n
⊢ (x.1, x.2) ∉ U n

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
X : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
U : ℕ → SetRel X X
hU_symm : ∀ (n : ℕ), (U n).IsSymm
hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m
hB : (𝓤 X).HasAntitoneBasis U
d : X → X → ℝ≥0 := fun x y ↦ if h : ∃ n, (x, y) ∉ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0
hd₀ : ∀ {x y : X}, d x y = 0 ↔ Inseparable x y
hd_symm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hr : ↑0 < ↑(1 / 2) ∧ ↑(1 / 2) < ↑1
I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d ⋯ hd_symm
hdist_le : ∀ (x y : X), dist x y ≤ ↑(d x y)
hle_d : ∀ {x y : X} {n : ℕ}, (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ (x, y) ∉ U n
hd_le : ∀ (x y : X), ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y
n : ℕ
x✝ : True
x : X × X
hx : x ∉ U n
⊢ (x.1, x.2) ∉ U n
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Lipschitz

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
g : α → ℝ := fun y ↦ ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x
B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x ↦ f ↑x + ↑K * dist y ↑x)
E : EqOn f g s
x y : α
z : ↑s
⊢ g x ≤ f ↑z + ↑K * dist y ↑z + ↑K * dist x y

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
α : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
g : α → ℝ := fun y ↦ ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x
B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x ↦ f ↑x + ↑K * dist y ↑x)
E : EqOn f g s
x y : α
z : ↑s
⊢ g x ≤ f ↑z + ↑K * dist y ↑z + ↑K * dist x y
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Lipschitz

Goal state before:
pp: α : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
g : α → ℝ := fun y ↦ ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x
B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x ↦ f ↑x + ↑K * dist y ↑x)
E : EqOn f g s
x y : α
z : ↑s
⊢ f ↑z + ↑K * dist x ↑z ≤ f ↑z + ↑K * (dist x y + dist y ↑z)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
g : α → ℝ := fun y ↦ ⨅ x, f ↑x + ↑K * dist y ↑x
B : ∀ (y : α), BddBelow (range fun x ↦ f ↑x + ↑K * dist y ↑x)
E : EqOn f g s
x y : α
z : ↑s
⊢ f ↑z + ↑K * dist x ↑z ≤ f ↑z + ↑K * (dist x y + dist y ↑z)
Module: Mathlib.Topology.Order.Lattice

Goal state before:
pp: case cons
L : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace L
ι : Type u_3
α : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝¹ : SemilatticeSup L
inst✝ : ContinuousSup L
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
hne : s.Nonempty
ihs : (∀ i ∈ s, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))) → Tendsto (s.sup' hne f) l (𝓝 (s.sup' hne g))
hs : Tendsto (f a) l (𝓝 (g a)) ∧ ∀ x ∈ s, Tendsto (f x) l (𝓝 (g x))
⊢ Tendsto ((cons a s ha).sup' ⋯ f) l (𝓝 ((cons a s ha).sup' ⋯ g))

Tactic:
]

Goal state after:
case cons
L : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace L
ι : Type u_3
α : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝¹ : SemilatticeSup L
inst✝ : ContinuousSup L
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
hne : s.Nonempty
ihs : (∀ i ∈ s, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))) → Tendsto (s.sup' hne f) l (𝓝 (s.sup' hne g))
hs : Tendsto (f a) l (𝓝 (g a)) ∧ ∀ x ∈ s, Tendsto (f x) l (𝓝 (g x))
⊢ Tendsto ((cons a s ha).sup' ⋯ f) l (𝓝 ((cons a s ha).sup' ⋯ g))
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Algebra

Goal state before:
pp: β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : LipschitzMul β
⊢ LipschitzWith (LipschitzMul.C β) fun p ↦ p.1 * p.2

Tactic:
]

Goal state after:
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : LipschitzMul β
⊢ LipschitzWith (LipschitzMul.C β) fun p ↦ p.1 * p.2
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Algebra

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace β
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsBoundedSMul α β
s : Set (α × β)
hs : IsBounded s
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
hC : s ⊆ Metric.ball 0 C
⊢ ∀ ε > 0,
    ∃ δ > 0,
      ∀ x ∈ s,
        ∀ y ∈ s,
          dist x y ≤ δ → dist (Function.uncurry (fun x1 x2 ↦ x1 • x2) x) (Function.uncurry (fun x1 x2 ↦ x1 • x2) y) ≤ ε

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace β
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsBoundedSMul α β
s : Set (α × β)
hs : IsBounded s
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
hC : s ⊆ Metric.ball 0 C
⊢ ∀ ε > 0,
    ∃ δ > 0,
      ∀ x ∈ s,
        ∀ y ∈ s,
          dist x y ≤ δ → dist (Function.uncurry (fun x1 x2 ↦ x1 • x2) x) (Function.uncurry (fun x1 x2 ↦ x1 • x2) y) ≤ ε
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.Lattice

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ |a| ≤ |b|

Tactic:
abs

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ a ⊔ -a ≤ |b|
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.Lattice

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ a ⊔ -a ≤ |b|

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ a ⊔ -a ≤ |b|
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.Lattice

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ - -a ⊔ -a ≤ |b|

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ - -a ⊔ -a ≤ |b|
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Algebra

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace β
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsBoundedSMul α β
s : Set (α × β)
hs : IsBounded s
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
hC : s ⊆ Metric.ball 0 C
ε : ℝ
hε : ε > 0
x✝¹ x✝ : α × β
a : α
b : β
hab : dist (a, b).1 0.1 < C ∧ dist (a, b).2 0.2 < C
x : α
y : β
hxy : dist (x, y).1 0.1 < C ∧ dist (x, y).2 0.2 < C
h : dist (a, b) (x, y) ≤ ε / (2 * C)
⊢ dist (Function.uncurry (fun x1 x2 ↦ x1 • x2) (a, b)) (Function.uncurry (fun x1 x2 ↦ x1 • x2) (x, y)) ≤ ε

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace β
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsBoundedSMul α β
s : Set (α × β)
hs : IsBounded s
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
hC : s ⊆ Metric.ball 0 C
ε : ℝ
hε : ε > 0
x✝¹ x✝ : α × β
a : α
b : β
hab : dist (a, b).1 0.1 < C ∧ dist (a, b).2 0.2 < C
x : α
y : β
hxy : dist (x, y).1 0.1 < C ∧ dist (x, y).2 0.2 < C
h : dist (a, b) (x, y) ≤ ε / (2 * C)
⊢ dist (Function.uncurry (fun x1 x2 ↦ x1 • x2) (a, b)) (Function.uncurry (fun x1 x2 ↦ x1 • x2) (x, y)) ≤ ε
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.Lattice

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ -(-a ⊓ a) ≤ |b|

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ -(-a ⊓ a) ≤ |b|
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.Lattice

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ -(-a ⊓ a) ≤ |b|

Tactic:
abs

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ -(-a ⊓ a) ≤ b ⊔ -b
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.Lattice

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ -(-a ⊓ a) ≤ b ⊔ -b

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ -(-a ⊓ a) ≤ b ⊔ -b
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.Lattice

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ -(-a ⊓ a) ≤ - -b ⊔ -b

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ -(-a ⊓ a) ≤ - -b ⊔ -b
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Algebra

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace β
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsBoundedSMul α β
s : Set (α × β)
hs : IsBounded s
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
hC : s ⊆ Metric.ball 0 C
ε : ℝ
hε : ε > 0
x✝¹ x✝ : α × β
a : α
b : β
hab : dist (a, b).1 0.1 < C ∧ dist (a, b).2 0.2 < C
x : α
y : β
hxy : dist (x, y).1 0.1 < C ∧ dist (x, y).2 0.2 < C
h : dist (a, b).1 (x, y).1 ≤ ε / (2 * C) ∧ dist (a, b).2 (x, y).2 ≤ ε / (2 * C)
⊢ dist (Function.uncurry (fun x1 x2 ↦ x1 • x2) (a, b)) (Function.uncurry (fun x1 x2 ↦ x1 • x2) (x, y)) ≤ ε

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace β
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsBoundedSMul α β
s : Set (α × β)
hs : IsBounded s
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
hC : s ⊆ Metric.ball 0 C
ε : ℝ
hε : ε > 0
x✝¹ x✝ : α × β
a : α
b : β
hab : dist (a, b).1 0.1 < C ∧ dist (a, b).2 0.2 < C
x : α
y : β
hxy : dist (x, y).1 0.1 < C ∧ dist (x, y).2 0.2 < C
h : dist (a, b).1 (x, y).1 ≤ ε / (2 * C) ∧ dist (a, b).2 (x, y).2 ≤ ε / (2 * C)
⊢ dist (Function.uncurry (fun x1 x2 ↦ x1 • x2) (a, b)) (Function.uncurry (fun x1 x2 ↦ x1 • x2) (x, y)) ≤ ε
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.Lattice

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
⊢ b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.Lattice

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
⊢ ‖a ⊓ b - c ⊓ d‖ ≤ ‖|a - c|‖ + ‖|b - d|‖

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
⊢ ‖a ⊓ b - c ⊓ d‖ ≤ ‖|a - c|‖ + ‖|b - d|‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.Lattice

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
⊢ |a ⊓ b - c ⊓ d| ≤ |a - c| + |b - d|

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
⊢ |a ⊓ b - c ⊓ d| ≤ |a - c| + |b - d|
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.Lattice

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
⊢ |a ⊓ b - c ⊓ d| = |a ⊓ b - c ⊓ d|

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Algebra

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace β
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsBoundedSMul α β
s : Set (α × β)
hs : IsBounded s
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
hC : s ⊆ Metric.ball 0 C
ε : ℝ
hε : ε > 0
x✝¹ x✝ : α × β
a : α
b : β
hab : dist a 0 < C ∧ dist b 0 < C
x : α
y : β
hxy : dist x 0 < C ∧ dist y 0 < C
h : dist a x ≤ ε / (2 * C) ∧ dist b y ≤ ε / (2 * C)
⊢ C * (ε / (2 * C)) + ε / (2 * C) * C ≤ ε

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace β
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsBoundedSMul α β
s : Set (α × β)
hs : IsBounded s
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
hC : s ⊆ Metric.ball 0 C
ε : ℝ
hε : ε > 0
x✝¹ x✝ : α × β
a : α
b : β
hab : dist a 0 < C ∧ dist b 0 < C
x : α
y : β
hxy : dist x 0 < C ∧ dist y 0 < C
h : dist a x ≤ ε / (2 * C) ∧ dist b y ≤ ε / (2 * C)
⊢ C * (ε / (2 * C)) + ε / (2 * C) * C ≤ ε
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.Lattice

Goal state before:
pp: case h₂
α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
⊢ |b ⊓ c - d ⊓ c| ≤ |b - d|

Tactic:
]

Goal state after:
case h₂
α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
⊢ |b ⊓ c - d ⊓ c| ≤ |b - d|
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Algebra

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace β
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsBoundedSMul α β
⊢ ∀ (x : α × β), ContinuousAt (fun p ↦ p.1 • p.2) x

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace β
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsBoundedSMul α β
⊢ ∀ (x : α × β), ContinuousAt (fun p ↦ p.1 • p.2) x
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.Lattice

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
⊢ ‖a ⊔ b - c ⊔ d‖ ≤ ‖|a - c|‖ + ‖|b - d|‖

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
⊢ ‖a ⊔ b - c ⊔ d‖ ≤ ‖|a - c|‖ + ‖|b - d|‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.Lattice

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
⊢ |a ⊔ b - c ⊔ d| ≤ |a - c| + |b - d|

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
⊢ |a ⊔ b - c ⊔ d| ≤ |a - c| + |b - d|
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.Lattice

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
⊢ |a ⊔ b - c ⊔ d| = |a ⊔ b - c ⊔ d|

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Algebra

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace β
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Zero β
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : IsBoundedSMul α β
X : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
F : ι → X → α
G : ι → X → β
f : X → α
g : X → β
l : Filter ι
hF : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun y ↦ (f y.2, F y.1 y.2)) (l ×ˢ 𝓝[s] x) (𝓤 α)
hG : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun y ↦ (g y.2, G y.1 y.2)) (l ×ˢ 𝓝[s] x) (𝓤 β)
hf : ∀ x ∈ s, IsBoundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (𝓝[s] x) fun y ↦ dist (f y) 0
hg : ∀ x ∈ s, IsBoundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (𝓝[s] x) fun y ↦ dist (g y) 0
H : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun y ↦ ((f y.2, g y.2), F y.1 y.2, G y.1 y.2)) (l ×ˢ 𝓝[s] x) (𝓤 (α × β))
⊢ ∀ x ∈ s, Tendsto (fun y ↦ ((f • g) y.2, (F • G) y.1 y.2)) (l ×ˢ 𝓝[s] x) (𝓤 β)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace β
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Zero β
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : IsBoundedSMul α β
X : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
F : ι → X → α
G : ι → X → β
f : X → α
g : X → β
l : Filter ι
hF : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun y ↦ (f y.2, F y.1 y.2)) (l ×ˢ 𝓝[s] x) (𝓤 α)
hG : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun y ↦ (g y.2, G y.1 y.2)) (l ×ˢ 𝓝[s] x) (𝓤 β)
hf : ∀ x ∈ s, IsBoundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (𝓝[s] x) fun y ↦ dist (f y) 0
hg : ∀ x ∈ s, IsBoundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (𝓝[s] x) fun y ↦ dist (g y) 0
H : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun y ↦ ((f y.2, g y.2), F y.1 y.2, G y.1 y.2)) (l ×ˢ 𝓝[s] x) (𝓤 (α × β))
⊢ ∀ x ∈ s, Tendsto (fun y ↦ ((f • g) y.2, (F • G) y.1 y.2)) (l ×ˢ 𝓝[s] x) (𝓤 β)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.Lattice

Goal state before:
pp: case h₂
α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
⊢ |b ⊔ c - d ⊔ c| ≤ |b - d|

Tactic:
]

Goal state after:
case h₂
α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
a b c d : α
⊢ |b ⊔ c - d ⊔ c| ≤ |b - d|
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.Lattice

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
z x y : α
⊢ ‖x ⊔ z - y ⊔ z‖ ≤ ‖x - y‖

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
z x y : α
⊢ ‖x ⊔ z - y ⊔ z‖ ≤ ‖x - y‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.Lattice

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
this : {x | 0 ≤ x} = negPart ⁻¹' {0}
⊢ IsClosed (negPart ⁻¹' {0})

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : HasSolidNorm α
inst✝ : IsOrderedAddMonoid α
this : {x | 0 ≤ x} = negPart ⁻¹' {0}
⊢ IsClosed (negPart ⁻¹' {0})
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Order.Lattice

Goal state before:
pp: G : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : IsOrderedAddMonoid G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousSub G
h : IsClosed {x | 0 ≤ x}
this : {p | p.1 ≤ p.2} = (fun p ↦ p.2 - p.1) ⁻¹' {x | 0 ≤ x}
⊢ IsClosed ((fun p ↦ p.2 - p.1) ⁻¹' {x | 0 ≤ x})

Tactic:
]

Goal state after:
G : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : IsOrderedAddMonoid G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousSub G
h : IsClosed {x | 0 ≤ x}
this : {p | p.1 ≤ p.2} = (fun p ↦ p.2 - p.1) ⁻¹' {x | 0 ≤ x}
⊢ IsClosed ((fun p ↦ p.2 - p.1) ⁻¹' {x | 0 ≤ x})
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Algebra

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace β
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Zero β
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : IsBoundedSMul α β
X : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
F : ι → X → α
G : ι → X → β
f : X → α
g : X → β
l : Filter ι
hF : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun y ↦ (f y.2, F y.1 y.2)) (l ×ˢ 𝓝[s] x) (𝓤 α)
hG : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun y ↦ (g y.2, G y.1 y.2)) (l ×ˢ 𝓝[s] x) (𝓤 β)
hf : ∀ x ∈ s, IsBoundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (𝓝[s] x) fun y ↦ dist (f y) 0
hg : ∀ x ∈ s, IsBoundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (𝓝[s] x) fun y ↦ dist (g y) 0
H : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun y ↦ ((f y.2, g y.2), F y.1 y.2, G y.1 y.2)) (l ×ˢ 𝓝[s] x) (𝓤 (α × β))
x : X
hx : x ∈ s
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (a : X) in 𝓝[s] x, dist (f a) 0 ≤ C ∧ dist (g a) 0 ≤ C
n : ι
y : X
hFn : dist (f y) (F n y) < 1
hGn : dist (g y) (G n y) < 1
hfg : dist (f y) 0 ≤ C ∧ dist (g y) 0 ≤ C
⊢ (dist (f y) 0 < C + 1 ∧ dist (g y) 0 < C + 1) ∧
    dist (f y) (F n y) + dist (f y) 0 < C + 1 ∧ dist (g y) (G n y) + dist (g y) 0 < C + 1

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace β
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Zero β
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : IsBoundedSMul α β
X : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
F : ι → X → α
G : ι → X → β
f : X → α
g : X → β
l : Filter ι
hF : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun y ↦ (f y.2, F y.1 y.2)) (l ×ˢ 𝓝[s] x) (𝓤 α)
hG : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun y ↦ (g y.2, G y.1 y.2)) (l ×ˢ 𝓝[s] x) (𝓤 β)
hf : ∀ x ∈ s, IsBoundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (𝓝[s] x) fun y ↦ dist (f y) 0
hg : ∀ x ∈ s, IsBoundedUnder (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) (𝓝[s] x) fun y ↦ dist (g y) 0
H : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun y ↦ ((f y.2, g y.2), F y.1 y.2, G y.1 y.2)) (l ×ˢ 𝓝[s] x) (𝓤 (α × β))
x : X
hx : x ∈ s
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (a : X) in 𝓝[s] x, dist (f a) 0 ≤ C ∧ dist (g a) 0 ≤ C
n : ι
y : X
hFn : dist (f y) (F n y) < 1
hGn : dist (g y) (G n y) < 1
hfg : dist (f y) 0 ≤ C ∧ dist (g y) 0 ≤ C
⊢ (dist (f y) 0 < C + 1 ∧ dist (g y) 0 < C + 1) ∧
    dist (f y) (F n y) + dist (f y) 0 < C + 1 ∧ dist (g y) (G n y) + dist (g y) 0 < C + 1