mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.AbsolutelyContinuous

Goal state before:
pp: X : Type u_1
inst✝ : PseudoMetricSpace X
a b : ℝ
f : ℝ → X
K : ℝ≥0
hfK : LipschitzOnWith K f (uIcc a b)
ε : ℝ
hε : ε > 0
x✝ : ℕ × (ℕ → ℝ × ℝ)
n : ℕ
I : ℕ → ℝ × ℝ
hnI₁ : (n, I) ∈ disjWithin a b
hnI₂ : ∑ i ∈ Finset.range (n, I).1, dist ((n, I).2 i).1 ((n, I).2 i).2 < ε / (↑K + 1)
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n, I).1
this : dist (f ((n, I).2 i).1) (f ((n, I).2 i).2) ≤ (↑K).toReal * dist ((n, I).2 i).1 ((n, I).2 i).2
⊢ dist (f ((n, I).2 i).1) (f ((n, I).2 i).2) ≤ ↑K * dist (I i).1 (I i).2

Tactic:
]

Goal state after:
X : Type u_1
inst✝ : PseudoMetricSpace X
a b : ℝ
f : ℝ → X
K : ℝ≥0
hfK : LipschitzOnWith K f (uIcc a b)
ε : ℝ
hε : ε > 0
x✝ : ℕ × (ℕ → ℝ × ℝ)
n : ℕ
I : ℕ → ℝ × ℝ
hnI₁ : (n, I) ∈ disjWithin a b
hnI₂ : ∑ i ∈ Finset.range (n, I).1, dist ((n, I).2 i).1 ((n, I).2 i).2 < ε / (↑K + 1)
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (n, I).1
this : dist (f ((n, I).2 i).1) (f ((n, I).2 i).2) ≤ (↑K).toReal * dist ((n, I).2 i).1 ((n, I).2 i).2
⊢ dist (f ((n, I).2 i).1) (f ((n, I).2 i).2) ≤ ↑K * dist (I i).1 (I i).2
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.AbsolutelyContinuousFun

Goal state before:
pp: case inr
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → F
d b η : ℝ
hdb✝ : d ≤ b
hf : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ioo d b → HasDerivAt f (f' x) x
hη : 0 < η
hdb : d < b
t : Set (ℝ × ℝ) := {z | (d < z.1 ∧ z.1 < z.2 ∧ z.2 < b) ∧ dist (slope f z.1 z.2) (f' z.1) < η}
s : Set ℝ := {x | x ∈ Ioo d b ∧ HasDerivAt f (f' x) x}
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₁ : ∀ x ∈ u, (d < x.1 ∧ x.1 < x.2 ∧ x.2 < b) ∧ dist (slope f x.1 x.2) (f' x.1) < η
hu₂ : u.Countable
hu₃ : u.PairwiseDisjoint fun z ↦ Icc z.1 z.2
this✝ : Countable ↑u
this : Pairwise (Disjoint on fun z ↦ Icc (↑z).1 (↑z).2)
hu₄ : volume (Ioo d b \ ⋃ z ∈ u, Icc z.1 z.2) = 0
vol_sum : ∑' (i : ↑u), volume (Icc (↑i).1 (↑i).2) = ENNReal.ofReal (b - d)
⊢ HasSum (fun z ↦ (↑z).2 - (↑z).1) (b - d)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → F
d b η : ℝ
hdb✝ : d ≤ b
hf : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ioo d b → HasDerivAt f (f' x) x
hη : 0 < η
hdb : d < b
t : Set (ℝ × ℝ) := {z | (d < z.1 ∧ z.1 < z.2 ∧ z.2 < b) ∧ dist (slope f z.1 z.2) (f' z.1) < η}
s : Set ℝ := {x | x ∈ Ioo d b ∧ HasDerivAt f (f' x) x}
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₁ : ∀ x ∈ u, (d < x.1 ∧ x.1 < x.2 ∧ x.2 < b) ∧ dist (slope f x.1 x.2) (f' x.1) < η
hu₂ : u.Countable
hu₃ : u.PairwiseDisjoint fun z ↦ Icc z.1 z.2
this✝ : Countable ↑u
this : Pairwise (Disjoint on fun z ↦ Icc (↑z).1 (↑z).2)
hu₄ : volume (Ioo d b \ ⋃ z ∈ u, Icc z.1 z.2) = 0
vol_sum : ∑' (i : ↑u), volume (Icc (↑i).1 (↑i).2) = ENNReal.ofReal (b - d)
⊢ HasSum (fun z ↦ (↑z).2 - (↑z).1) (b - d)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.AbsolutelyContinuous

Goal state before:
pp: case inr
F : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
a b : ℝ
f : ℝ → F
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f a b
this : BoundedVariationOn f (uIcc b a)
hab₀ : ¬a ≤ b
⊢ BoundedVariationOn f (uIcc b a)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
F : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
a b : ℝ
f : ℝ → F
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f a b
this : BoundedVariationOn f (uIcc b a)
hab₀ : ¬a ≤ b
⊢ BoundedVariationOn f (uIcc b a)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Taylor

Goal state before:
pp: E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x₀ x : ℝ
s : Set ℝ
f : ℝ → E
n : ℕ
this :
  ∀ (i : ℕ) {c : ℝ} {c' : E}, HasDerivAt (fun x ↦ (c * (x - x₀) ^ i) • c') ((c * (↑i * (x - x₀) ^ (i - 1) * 1)) • c') x
⊢ ∑ k ∈ Finset.range (n + 1),
      ((↑(k + 1)!)⁻¹ * (↑(k + 1) * (x - x₀) ^ (k + 1 - 1) * 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s x₀ =
    ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ((↑k !)⁻¹ * (x - x₀) ^ k) • iteratedDerivWithin k (derivWithin f s) s x₀

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x₀ x : ℝ
s : Set ℝ
f : ℝ → E
n : ℕ
this :
  ∀ (i : ℕ) {c : ℝ} {c' : E}, HasDerivAt (fun x ↦ (c * (x - x₀) ^ i) • c') ((c * (↑i * (x - x₀) ^ (i - 1) * 1)) • c') x
⊢ ∑ k ∈ Finset.range (n + 1),
      ((↑(k + 1)!)⁻¹ * (↑(k + 1) * (x - x₀) ^ (k + 1 - 1) * 1)) • iteratedDerivWithin (k + 1) f s x₀ =
    ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), ((↑k !)⁻¹ * (x - x₀) ^ k) • iteratedDerivWithin k (derivWithin f s) s x₀
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.AbsolutelyContinuous

Goal state before:
pp: F : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
a✝ b✝ : ℝ
f : ℝ → F
a b : ℝ
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f a b
hab₀ : a ≤ b
⊢ BoundedVariationOn f (Icc a b)

Tactic:
]

Goal state after:
F : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
a✝ b✝ : ℝ
f : ℝ → F
a b : ℝ
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f a b
hab₀ : a ≤ b
⊢ BoundedVariationOn f (Icc a b)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.AbsolutelyContinuous

Goal state before:
pp: case inr
F : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
a✝ b✝ : ℝ
f : ℝ → F
a b : ℝ
hf :
  ∀ ε > 0,
    ∃ δ > 0,
      ∀ E ∈ disjWithin a b,
        ∑ i ∈ Finset.range E.1, dist (E.2 i).1 (E.2 i).2 < δ →
          ∑ i ∈ Finset.range E.1, dist (f (E.2 i).1) (f (E.2 i).2) < ε
hab₀ : a ≤ b
hab : a < b
⊢ BoundedVariationOn f (Icc a b)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
F : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
a✝ b✝ : ℝ
f : ℝ → F
a b : ℝ
hf :
  ∀ ε > 0,
    ∃ δ > 0,
      ∀ E ∈ disjWithin a b,
        ∑ i ∈ Finset.range E.1, dist (E.2 i).1 (E.2 i).2 < δ →
          ∑ i ∈ Finset.range E.1, dist (f (E.2 i).1) (f (E.2 i).2) < ε
hab₀ : a ≤ b
hab : a < b
⊢ BoundedVariationOn f (Icc a b)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Taylor

Goal state before:
pp: E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x₀ x : ℝ
s : Set ℝ
f : ℝ → E
n : ℕ
this :
  ∀ (i : ℕ) {c : ℝ} {c' : E}, HasDerivAt (fun x ↦ (c * (x - x₀) ^ i) • c') ((c * (↑i * (x - x₀) ^ (i - 1) * 1)) • c') x
i : ℕ
a✝ : i ∈ Finset.range (n + 1)
⊢ ((↑(i + 1)!)⁻¹ * (↑(i + 1) * (x - x₀) ^ (i + 1 - 1) * 1)) • iteratedDerivWithin (i + 1) f s x₀ =
    ((↑i !)⁻¹ * (x - x₀) ^ i) • iteratedDerivWithin (i + 1) f s x₀

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x₀ x : ℝ
s : Set ℝ
f : ℝ → E
n : ℕ
this :
  ∀ (i : ℕ) {c : ℝ} {c' : E}, HasDerivAt (fun x ↦ (c * (x - x₀) ^ i) • c') ((c * (↑i * (x - x₀) ^ (i - 1) * 1)) • c') x
i : ℕ
a✝ : i ∈ Finset.range (n + 1)
⊢ ((↑(i + 1)!)⁻¹ * (↑(i + 1) * (x - x₀) ^ (i + 1 - 1) * 1)) • iteratedDerivWithin (i + 1) f s x₀ =
    ((↑i !)⁻¹ * (x - x₀) ^ i) • iteratedDerivWithin (i + 1) f s x₀
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Taylor

Goal state before:
pp: case zero
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x₀ : ℝ
s : Set ℝ
hs : Convex ℝ s
hx₀s : x₀ ∈ s
f : ℝ → E
hf : ContDiffOn ℝ (↑0) f s
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[s] x₀) (𝓝 (f x₀))

Tactic:
]

Goal state after:
case zero
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x₀ : ℝ
s : Set ℝ
hs : Convex ℝ s
hx₀s : x₀ ∈ s
f : ℝ → E
hf : ContDiffOn ℝ (↑0) f s
⊢ Filter.Tendsto f (𝓝[s] x₀) (𝓝 (f x₀))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Rademacher

Goal state before:
pp: case h₂
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C : ℝ≥0
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε
q : Set E
hqs : q ⊆ s
q_fin : q.Finite
hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ
I : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hr : ∀ (t : ℝ), ‖t‖ < r → ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
v : E
hv : v ∈ ball 0 r
v_ne : v ≠ 0
w : E
ρ : ℝ
w_mem : w ∈ sphere 0 1
hvw : v = ρ • w
hρ : ρ = ‖v‖
norm_rho : ‖ρ‖ = ρ
rho_pos : 0 ≤ ρ
y : E
yq : y ∈ q
hy : ‖w - y‖ < δ
this : ‖y - w‖ < δ
⊢ ρ * ‖L y - L w‖ ≤ ρ * (‖L‖ * ‖y - w‖)

Tactic:
]

Goal state after:
case h₂
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C : ℝ≥0
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε
q : Set E
hqs : q ⊆ s
q_fin : q.Finite
hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ
I : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hr : ∀ (t : ℝ), ‖t‖ < r → ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
v : E
hv : v ∈ ball 0 r
v_ne : v ≠ 0
w : E
ρ : ℝ
w_mem : w ∈ sphere 0 1
hvw : v = ρ • w
hρ : ρ = ‖v‖
norm_rho : ‖ρ‖ = ρ
rho_pos : 0 ≤ ρ
y : E
yq : y ∈ q
hy : ‖w - y‖ < δ
this : ‖y - w‖ < δ
⊢ ρ * ‖L y - L w‖ ≤ ρ * (‖L‖ * ‖y - w‖)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Taylor

Goal state before:
pp: E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x₀ : ℝ
n : ℕ
s : Set ℝ
hs : Convex ℝ s
hx₀s : x₀ ∈ s
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f s
h_isLittleO : Filter.Tendsto (fun x ↦ ‖f x - taylorWithinEval f n s x₀ x‖ / ‖(x - x₀) ^ n‖) (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto (fun x ↦ ((x - x₀) ^ n)⁻¹ • (f x - taylorWithinEval f n s x₀ x)) (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)

pp: E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x₀ : ℝ
n : ℕ
s : Set ℝ
hs : Convex ℝ s
hx₀s : x₀ ∈ s
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f s
h_isLittleO : (fun x ↦ ‖f x - taylorWithinEval f n s x₀ x‖) =o[𝓝[s] x₀] fun x ↦ ‖(x - x₀) ^ n‖
⊢ ∀ (x : ℝ), ‖(x - x₀) ^ n‖ = 0 → ‖f x - taylorWithinEval f n s x₀ x‖ = 0

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x₀ : ℝ
n : ℕ
s : Set ℝ
hs : Convex ℝ s
hx₀s : x₀ ∈ s
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f s
h_isLittleO : Filter.Tendsto (fun x ↦ ‖f x - taylorWithinEval f n s x₀ x‖ / ‖(x - x₀) ^ n‖) (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto (fun x ↦ ((x - x₀) ^ n)⁻¹ • (f x - taylorWithinEval f n s x₀ x)) (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)

E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x₀ : ℝ
n : ℕ
s : Set ℝ
hs : Convex ℝ s
hx₀s : x₀ ∈ s
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f s
h_isLittleO : (fun x ↦ ‖f x - taylorWithinEval f n s x₀ x‖) =o[𝓝[s] x₀] fun x ↦ ‖(x - x₀) ^ n‖
⊢ ∀ (x : ℝ), ‖(x - x₀) ^ n‖ = 0 → ‖f x - taylorWithinEval f n s x₀ x‖ = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Taylor

Goal state before:
pp: E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x₀ : ℝ
n : ℕ
s : Set ℝ
hs : Convex ℝ s
hx₀s : x₀ ∈ s
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f s
h_isLittleO : Filter.Tendsto (fun x ↦ ‖f x - taylorWithinEval f n s x₀ x‖ / ‖(x - x₀) ^ n‖) (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto (fun x ↦ ‖((x - x₀) ^ n)⁻¹ • (f x - taylorWithinEval f n s x₀ x)‖) (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x₀ : ℝ
n : ℕ
s : Set ℝ
hs : Convex ℝ s
hx₀s : x₀ ∈ s
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f s
h_isLittleO : Filter.Tendsto (fun x ↦ ‖f x - taylorWithinEval f n s x₀ x‖ / ‖(x - x₀) ^ n‖) (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
⊢ Filter.Tendsto (fun x ↦ ‖((x - x₀) ^ n)⁻¹ • (f x - taylorWithinEval f n s x₀ x)‖) (𝓝[s] x₀) (𝓝 0)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.AbsolutelyContinuousFun

Goal state before:
pp: case inr
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → F
d b η : ℝ
hdb✝ : d ≤ b
hf : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ioo d b → HasDerivAt f (f' x) x
hη : 0 < η
hdb : d < b
t : Set (ℝ × ℝ) := {z | (d < z.1 ∧ z.1 < z.2 ∧ z.2 < b) ∧ dist (slope f z.1 z.2) (f' z.1) < η}
s : Set ℝ := {x | x ∈ Ioo d b ∧ HasDerivAt f (f' x) x}
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₁ : ∀ x ∈ u, (d < x.1 ∧ x.1 < x.2 ∧ x.2 < b) ∧ dist (slope f x.1 x.2) (f' x.1) < η
hu₂ : u.Countable
hu₃ : u.PairwiseDisjoint fun z ↦ Icc z.1 z.2
this✝ : Countable ↑u
this : Pairwise (Disjoint on fun z ↦ Icc (↑z).1 (↑z).2)
hu₄ : volume (Ioo d b \ ⋃ z ∈ u, Icc z.1 z.2) = 0
vol_sum : HasSum (fun a ↦ (ENNReal.ofReal ((↑a).2 - (↑a).1)).toReal) (b - d)
⊢ HasSum (fun z ↦ (↑z).2 - (↑z).1) (b - d)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → F
d b η : ℝ
hdb✝ : d ≤ b
hf : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ioo d b → HasDerivAt f (f' x) x
hη : 0 < η
hdb : d < b
t : Set (ℝ × ℝ) := {z | (d < z.1 ∧ z.1 < z.2 ∧ z.2 < b) ∧ dist (slope f z.1 z.2) (f' z.1) < η}
s : Set ℝ := {x | x ∈ Ioo d b ∧ HasDerivAt f (f' x) x}
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₁ : ∀ x ∈ u, (d < x.1 ∧ x.1 < x.2 ∧ x.2 < b) ∧ dist (slope f x.1 x.2) (f' x.1) < η
hu₂ : u.Countable
hu₃ : u.PairwiseDisjoint fun z ↦ Icc z.1 z.2
this✝ : Countable ↑u
this : Pairwise (Disjoint on fun z ↦ Icc (↑z).1 (↑z).2)
hu₄ : volume (Ioo d b \ ⋃ z ∈ u, Icc z.1 z.2) = 0
vol_sum : HasSum (fun a ↦ (ENNReal.ofReal ((↑a).2 - (↑a).1)).toReal) (b - d)
⊢ HasSum (fun z ↦ (↑z).2 - (↑z).1) (b - d)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Taylor

Goal state before:
pp: E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x₀ : ℝ
n : ℕ
s : Set ℝ
hs : Convex ℝ s
hx₀s : x₀ ∈ s
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f s
h_isLittleO : (fun x ↦ ‖f x - taylorWithinEval f n s x₀ x‖) =o[𝓝[s] x₀] fun x ↦ ‖(x - x₀) ^ n‖
x : ℝ
hx : x = x₀
⊢ ¬n = 0 → f x - taylorWithinEval f n s x₀ x = 0

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
x₀ : ℝ
n : ℕ
s : Set ℝ
hs : Convex ℝ s
hx₀s : x₀ ∈ s
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f s
h_isLittleO : (fun x ↦ ‖f x - taylorWithinEval f n s x₀ x‖) =o[𝓝[s] x₀] fun x ↦ ‖(x - x₀) ^ n‖
x : ℝ
hx : x = x₀
⊢ ¬n = 0 → f x - taylorWithinEval f n s x₀ x = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Taylor

Goal state before:
pp: case right
f : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ ≠ x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f [[x₀, x]]
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f [[x₀, x]]) (uIoo x₀ x)
gcont : ContinuousOn (fun t ↦ (x - t) ^ (n + 1)) [[x₀, x]]
xy_ne : ∀ y ∈ uIoo x₀ x, (x - y) ^ n ≠ 0
hg' : ∀ y ∈ uIoo x₀ x, -(↑n + 1) * (x - y) ^ n ≠ 0
y : ℝ
hy : y ∈ uIoo x₀ x
h :
  f x - taylorWithinEval f n [[x₀, x]] x₀ x =
    (-((x - y) ^ n / ↑n ! * (x - x₀) ^ (n + 1)) / (-(↑n + 1) * (x - y) ^ n)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f [[x₀, x]] y
⊢ ((x - y) ^ n / ↑n ! * (x - x₀) ^ (n + 1) / ((↑n + 1) * (x - y) ^ n)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f [[x₀, x]] y =
    iteratedDerivWithin (n + 1) f [[x₀, x]] y * (x - x₀) ^ (n + 1) / ↑(n + 1)!

Tactic:
]

Goal state after:
case right
f : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ ≠ x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f [[x₀, x]]
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f [[x₀, x]]) (uIoo x₀ x)
gcont : ContinuousOn (fun t ↦ (x - t) ^ (n + 1)) [[x₀, x]]
xy_ne : ∀ y ∈ uIoo x₀ x, (x - y) ^ n ≠ 0
hg' : ∀ y ∈ uIoo x₀ x, -(↑n + 1) * (x - y) ^ n ≠ 0
y : ℝ
hy : y ∈ uIoo x₀ x
h :
  f x - taylorWithinEval f n [[x₀, x]] x₀ x =
    (-((x - y) ^ n / ↑n ! * (x - x₀) ^ (n + 1)) / (-(↑n + 1) * (x - y) ^ n)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f [[x₀, x]] y
⊢ ((x - y) ^ n / ↑n ! * (x - x₀) ^ (n + 1) / ((↑n + 1) * (x - y) ^ n)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f [[x₀, x]] y =
    iteratedDerivWithin (n + 1) f [[x₀, x]] y * (x - x₀) ^ (n + 1) / ↑(n + 1)!
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Taylor

Goal state before:
pp: case right
f : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ ≠ x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f [[x₀, x]]
hu : UniqueDiffOn ℝ [[x₀, x]]
hd : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f [[x₀, x]]) [[x₀, x]]
x' : ℝ
h1 : x' ∈ uIoo x₀ x
h2 :
  f x - taylorWithinEval f n [[x₀, x]] x₀ x =
    iteratedDerivWithin (n + 1) f [[x₀, x]] x' * (x - x₀) ^ (n + 1) / ↑(n + 1)!
⊢ ((iteratedFDeriv ℝ (n + 1) f x') fun x ↦ 1) * (x - x₀) ^ (n + 1) / ↑(n + 1)! =
    ((iteratedFDeriv ℝ (n + 1) f x') fun x ↦ 1) * (x - x₀) ^ (n + 1) / ↑(n + 1)!

pp: f : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ ≠ x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f [[x₀, x]]
hu : UniqueDiffOn ℝ [[x₀, x]]
hd : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f [[x₀, x]]) [[x₀, x]]
x' : ℝ
h1 : x' ∈ uIoo x₀ x
h2 :
  f x - taylorWithinEval f n [[x₀, x]] x₀ x =
    iteratedDerivWithin (n + 1) f [[x₀, x]] x' * (x - x₀) ^ (n + 1) / ↑(n + 1)!
⊢ ContDiffAt ℝ (↑(n + 1)) f x'

Tactic:
]

Goal state after:
f : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ ≠ x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f [[x₀, x]]
hu : UniqueDiffOn ℝ [[x₀, x]]
hd : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f [[x₀, x]]) [[x₀, x]]
x' : ℝ
h1 : x' ∈ uIoo x₀ x
h2 :
  f x - taylorWithinEval f n [[x₀, x]] x₀ x =
    iteratedDerivWithin (n + 1) f [[x₀, x]] x' * (x - x₀) ^ (n + 1) / ↑(n + 1)!
⊢ ContDiffAt ℝ (↑(n + 1)) f x'
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Taylor

Goal state before:
pp: case right
f : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ ≠ x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f [[x₀, x]]
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f [[x₀, x]]) (uIoo x₀ x)
gcont : ContinuousOn id [[x₀, x]]
gdiff : ∀ x_1 ∈ uIoo x₀ x, HasDerivAt id ((fun x ↦ 1) x_1) x_1
y : ℝ
hy : y ∈ uIoo x₀ x
h :
  f x - taylorWithinEval f n [[x₀, x]] x₀ x =
    ((x - y) ^ n / ↑n ! * (id x - id x₀) / 1) • iteratedDerivWithin (n + 1) f [[x₀, x]] y
⊢ ((x - y) ^ n / ↑n ! * (id x - id x₀) / 1) • iteratedDerivWithin (n + 1) f [[x₀, x]] y =
    iteratedDerivWithin (n + 1) f [[x₀, x]] y * (x - y) ^ n / ↑n ! * (x - x₀)

Tactic:
]

Goal state after:
case right
f : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ ≠ x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f [[x₀, x]]
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f [[x₀, x]]) (uIoo x₀ x)
gcont : ContinuousOn id [[x₀, x]]
gdiff : ∀ x_1 ∈ uIoo x₀ x, HasDerivAt id ((fun x ↦ 1) x_1) x_1
y : ℝ
hy : y ∈ uIoo x₀ x
h :
  f x - taylorWithinEval f n [[x₀, x]] x₀ x =
    ((x - y) ^ n / ↑n ! * (id x - id x₀) / 1) • iteratedDerivWithin (n + 1) f [[x₀, x]] y
⊢ ((x - y) ^ n / ↑n ! * (id x - id x₀) / 1) • iteratedDerivWithin (n + 1) f [[x₀, x]] y =
    iteratedDerivWithin (n + 1) f [[x₀, x]] y * (x - y) ^ n / ↑n ! * (x - x₀)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Taylor

Goal state before:
pp: case inl
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a C x : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ a
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a a)
hx : x = a
hC : ∀ y ∈ Icc a a, ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a a) y‖ ≤ C
⊢ ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a a) a x‖ ≤ C * (x - a) ^ (n + 1) / ↑n !

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a C x : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ a
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a a)
hx : x = a
hC : ∀ y ∈ Icc a a, ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a a) y‖ ≤ C
⊢ ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a a) a x‖ ≤ C * (x - a) ^ (n + 1) / ↑n !
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Rademacher

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C : ℝ≥0
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε
q : Set E
hqs : q ⊆ s
q_fin : q.Finite
hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ
I : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hr : ∀ (t : ℝ), ‖t‖ < r → ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
v : E
hv : v ∈ ball 0 r
v_ne : v ≠ 0
w : E
ρ : ℝ
w_mem : w ∈ sphere 0 1
hvw : v = ρ • w
hρ : ρ = ‖v‖
norm_rho : ‖ρ‖ = ρ
rho_pos : 0 ≤ ρ
y : E
yq : y ∈ q
hy : ‖w - y‖ < δ
this : ‖y - w‖ < δ
⊢ ↑C * (ρ * δ) + ρ * (‖L‖ * δ) + δ * ρ = (↑C + ‖L‖ + 1) * δ * ρ

Tactic:
by ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Taylor

Goal state before:
pp: E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b C x : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
hx : x ∈ Icc a b
hC : ∀ y ∈ Icc a b, ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ C
h : a < b
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc a b)) (Icc a b)
y : ℝ
hay : a ≤ y
hyx : y < x
⊢ |(↑n !)⁻¹ * (x - y) ^ n| * ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ (↑n !)⁻¹ * |x - a| ^ n * C

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b C x : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
hx : x ∈ Icc a b
hC : ∀ y ∈ Icc a b, ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ C
h : a < b
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc a b)) (Icc a b)
y : ℝ
hay : a ≤ y
hyx : y < x
⊢ |(↑n !)⁻¹ * (x - y) ^ n| * ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ (↑n !)⁻¹ * |x - a| ^ n * C
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Rademacher

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C : ℝ≥0
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε
q : Set E
hqs : q ⊆ s
q_fin : q.Finite
hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ
I : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hr : ∀ (t : ℝ), ‖t‖ < r → ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
v : E
hv : v ∈ ball 0 r
v_ne : v ≠ 0
w : E
ρ : ℝ
w_mem : w ∈ sphere 0 1
hvw : v = ρ • w
hρ : ρ = ‖v‖
norm_rho : ‖ρ‖ = ρ
rho_pos : 0 ≤ ρ
y : E
yq : y ∈ q
hy : ‖w - y‖ < δ
this : ‖y - w‖ < δ
⊢ ε * ‖v‖ = ε * ‖v‖

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Taylor

Goal state before:
pp: case h₁
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b C x : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
hx : x ∈ Icc a b
hC : ∀ y ∈ Icc a b, ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ C
h : a < b
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc a b)) (Icc a b)
y : ℝ
hay : a ≤ y
hyx : y < x
⊢ (↑n !)⁻¹ * |x - y| ^ n ≤ (↑n !)⁻¹ * |x - a| ^ n

Tactic:
]

Goal state after:
case h₁
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b C x : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
hx : x ∈ Icc a b
hC : ∀ y ∈ Icc a b, ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ C
h : a < b
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc a b)) (Icc a b)
y : ℝ
hay : a ≤ y
hyx : y < x
⊢ (↑n !)⁻¹ * |x - y| ^ n ≤ (↑n !)⁻¹ * |x - a| ^ n
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Rademacher

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
⊢ sphere 0 1 ⊆ univ

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
C : ℝ≥0
f : E → ℝ
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
⊢ sphere 0 1 ⊆ univ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.AbsolutelyContinuousFun

Goal state before:
pp: X : Type u_1
inst✝ : PseudoMetricSpace X
f : ℝ → X
d b y : ℝ
hdb : d ≤ b
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f d b
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₃ : HasSum (fun z ↦ (↑z).2 - (↑z).1) (b - d)
hu₄ : HasSum (fun z ↦ dist (f (↑z).1) (f (↑z).2)) y
u_coe : Finset ↑u → Finset (ℝ × ℝ) := fun s ↦ Finset.image Subtype.val s
hu₁ : ∀ (s : Finset ↑u) ⦃z : ℝ × ℝ⦄, z ∈ u_coe s → d ≤ z.1 ∧ z.1 ≤ z.2 ∧ z.2 ≤ b
hu₂ : ∀ (s : Finset ↑u), (↑(u_coe s)).PairwiseDisjoint fun z ↦ Icc z.1 z.2
T : Finset ↑u → ℕ × (ℕ → ℝ × ℝ) := fun s ↦ ((u_coe s).card + 1, fun i ↦ (u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i)
hT₁ : ∀ (s : Finset ↑u) (i : ℕ), d ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i).1
hT₂ : ∀ (s : Finset ↑u) (i : ℕ), ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i).1 ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i).2
hT₃ : ∀ (s : Finset ↑u) (i : ℕ), ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i).2 ≤ b
hT₄ :
  ∀ (s : Finset ↑u),
    (Iio ((u_coe s).card + 1)).PairwiseDisjoint fun j ↦
      Ioc ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑j).1 ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑j).2
hT : MapsTo T univ (disjWithin d b)
u_coe_sum : ∀ (s : Finset ↑u) (g : ℝ → ℝ → ℝ), ∑ b ∈ s, g (↑b).1 (↑b).2 = ∑ z ∈ u_coe s, g z.1 z.2
s : Finset ↑u
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (T s).1
⊢ ((T s).2 i).2 - ((T s).2 i).1 = ((T s).2 i).2 - ((T s).2 i).1

Tactic:
]

Goal state after: