mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Multilinear.Bounded

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
F : Type u_3
E : ι → Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : Nonempty ι
s : Set ((i : ι) → E i)
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
V : Set F
hV : V ∈ 𝓝 0
h₁ : ¬∀ (c : 𝕜), ‖c‖ ≤ 1
x✝ : NontriviallyNormedField 𝕜 := { toNormedField := inst✝⁷, non_trivial := ⋯ }
I : Finset ι
t : (i : ι) → Set (E i)
ht₀ : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝓝 0
hft : (↑I).pi t ⊆ ⇑f ⁻¹' V
c : ι → 𝕜
hc₀ : ∀ (i : ι), c i ≠ 0
hc : ∀ (i : ι) (c' : 𝕜), ‖c'‖ ≤ ‖c i‖ → ∀ x ∈ s, c' • x i ∈ t i
hc₀' : ∏ i ∈ I, c i ≠ 0
a : 𝕜
ha : a ∈ {y | ‖y‖ < ‖∏ i ∈ I, c i‖}
x : (i : ι) → E i
hx : x ∈ s
i₀ : ι
y : (i : ι) → E i := I.piecewise (fun i ↦ c i • x i) x
i : ι
hi : i ∈ ↑I
hne : i ≠ i₀
⊢ update y i₀ ((a / ∏ i ∈ I, c i) • y i₀) i ∈ t i

Tactic:
· simp_rw [update_of_ne hne, y, I.piecewise_eq_of_mem _ _ hi]
          exact hc _ _ le_rfl _ hx

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Ring.Units

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
a✝ : Nontrivial R
⊢ ∀ x ∈ {x | IsUnit x}, ∃ ε > 0, Metric.ball x ε ⊆ {x | IsUnit x}

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
a✝ : Nontrivial R
⊢ ∀ x ∈ {x | IsUnit x}, ∃ ε > 0, Metric.ball x ε ⊆ {x | IsUnit x}
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Multilinear.Bounded

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
F : Type u_3
E : ι → Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : Nonempty ι
s : Set ((i : ι) → E i)
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
V : Set F
hV : V ∈ 𝓝 0
h₁ : ¬∀ (c : 𝕜), ‖c‖ ≤ 1
x✝ : NontriviallyNormedField 𝕜 := { toNormedField := inst✝⁷, non_trivial := ⋯ }
I : Finset ι
t : (i : ι) → Set (E i)
ht₀ : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝓝 0
hft : (↑I).pi t ⊆ ⇑f ⁻¹' V
c : ι → 𝕜
hc₀ : ∀ (i : ι), c i ≠ 0
hc : ∀ (i : ι) (c' : 𝕜), ‖c'‖ ≤ ‖c i‖ → ∀ x ∈ s, c' • x i ∈ t i
hc₀' : ∏ i ∈ I, c i ≠ 0
a : 𝕜
ha : a ∈ {y | ‖y‖ < ‖∏ i ∈ I, c i‖}
x : (i : ι) → E i
hx : x ∈ s
i₀ : ι
y : (i : ι) → E i := I.piecewise (fun i ↦ c i • x i) x
⊢ a • f x = a • f x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Ring.Units

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
a✝ : Nontrivial R
x : Rˣ
y : R
hy : ‖y - ↑x‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹
⊢ y ∈ {x | IsUnit x}

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
a✝ : Nontrivial R
x : Rˣ
y : R
hy : ‖y - ↑x‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹
⊢ y ∈ {x | IsUnit x}
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Ring.Units

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
x : R
hx : x ∈ nonunits R
h₁ : ‖1 - x‖ < 1
⊢ ‖1 - x‖ < 1

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
x : R
hx : x ∈ nonunits R
h₁ : ‖1 - x‖ < 1
⊢ ‖1 - x‖ < 1
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Multilinear.Bounded

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
F : Type u_3
E : ι → Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F
s : Set ((i : ι) → E i)
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x✝ : IsEmpty ι ∨ Nonempty ι
⊢ IsVonNBounded 𝕜 (⇑f '' s)

Tactic:
cases isEmpty_or_nonempty ι with

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Ring.Units

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
t : R
h : ‖t‖ < 1
⊢ (1 - t)⁻¹ʳ = (1 - t)⁻¹ʳ

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Span

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : NormSMulClass 𝕜 E
x : E
c : 𝕜
⊢ ‖(toSpanSingleton 𝕜 E x) c‖ = ‖c‖ * ‖x‖

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : NormSMulClass 𝕜 E
x : E
c : 𝕜
⊢ ‖(toSpanSingleton 𝕜 E x) c‖ = ‖c‖ * ‖x‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Span

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : NormSMulClass 𝕜 E
x : E
hx : ‖x‖ = 1
x✝ : 𝕜
⊢ ‖x✝‖ = ‖x✝‖

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Ring.Units

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
x : Rˣ
a✝ : Nontrivial R
⊢ ∃ ε > 0, ∀ ⦃y : R⦄, dist y 0 < ε → (↑x + y)⁻¹ʳ = (1 + ↑x⁻¹ * y)⁻¹ʳ * ↑x⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
x : Rˣ
a✝ : Nontrivial R
⊢ ∃ ε > 0, ∀ ⦃y : R⦄, dist y 0 < ε → (↑x + y)⁻¹ʳ = (1 + ↑x⁻¹ * y)⁻¹ʳ * ↑x⁻¹
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Ring.Units

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
x : Rˣ
a✝ : Nontrivial R
t : R
ht : ‖t‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹
⊢ (↑x + t)⁻¹ʳ = (1 + ↑x⁻¹ * t)⁻¹ʳ * ↑x⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
x : Rˣ
a✝ : Nontrivial R
t : R
ht : ‖t‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹
⊢ (↑x + t)⁻¹ʳ = (1 + ↑x⁻¹ * t)⁻¹ʳ * ↑x⁻¹
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Ring.Units

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
x : Rˣ
a✝ : Nontrivial R
t : R
ht : ‖t‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹
⊢ (1 + ↑x⁻¹ * t)⁻¹ʳ * ↑x⁻¹ = (1 + ↑x⁻¹ * t)⁻¹ʳ * ↑x⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Ring.Units

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
n : ℕ
t : R
ht : dist t 0 < 1
⊢ dist t 0 < 1

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
n : ℕ
t : R
ht : dist t 0 < 1
⊢ dist t 0 < 1
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Ring.Units

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
x : Rˣ
n : ℕ
hzero : Tendsto (fun x_1 ↦ -↑x⁻¹ * x_1) (𝓝 0) (𝓝 0)
t : R
ht : (↑x + t)⁻¹ʳ = (1 + ↑x⁻¹ * t)⁻¹ʳ * ↑x⁻¹
ht' : (1 + ↑x⁻¹ * t)⁻¹ʳ = ∑ i ∈ range n, (-(↑x⁻¹ * t)) ^ i + (-(↑x⁻¹ * t)) ^ n * (1 + ↑x⁻¹ * t)⁻¹ʳ
⊢ (↑x + t)⁻¹ʳ = (∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i) * ↑x⁻¹ + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * (↑x + t)⁻¹ʳ

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
x : Rˣ
n : ℕ
hzero : Tendsto (fun x_1 ↦ -↑x⁻¹ * x_1) (𝓝 0) (𝓝 0)
t : R
ht : (↑x + t)⁻¹ʳ = (1 + ↑x⁻¹ * t)⁻¹ʳ * ↑x⁻¹
ht' : (1 + ↑x⁻¹ * t)⁻¹ʳ = ∑ i ∈ range n, (-(↑x⁻¹ * t)) ^ i + (-(↑x⁻¹ * t)) ^ n * (1 + ↑x⁻¹ * t)⁻¹ʳ
⊢ (↑x + t)⁻¹ʳ = (∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i) * ↑x⁻¹ + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * (↑x + t)⁻¹ʳ
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Ring.Units

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
x : Rˣ
n : ℕ
hzero : Tendsto (fun x_1 ↦ -↑x⁻¹ * x_1) (𝓝 0) (𝓝 0)
t : R
ht : (↑x + t)⁻¹ʳ = (1 + ↑x⁻¹ * t)⁻¹ʳ * ↑x⁻¹
ht' : (1 + ↑x⁻¹ * t)⁻¹ʳ = ∑ i ∈ range n, (-(↑x⁻¹ * t)) ^ i + (-(↑x⁻¹ * t)) ^ n * (1 + ↑x⁻¹ * t)⁻¹ʳ
⊢ (∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i) * ↑x⁻¹ + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * ((1 + ↑x⁻¹ * t)⁻¹ʳ * ↑x⁻¹) =
    (∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i) * ↑x⁻¹ + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * ((1 + ↑x⁻¹ * t)⁻¹ʳ * ↑x⁻¹)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Ring.Units

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
t : R
ht : ‖t‖ < 2⁻¹
⊢ ‖(1 - t)⁻¹ʳ‖ ≤ (‖1‖ + 1) * ‖1‖

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
t : R
ht : ‖t‖ < 2⁻¹
⊢ ‖(1 - t)⁻¹ʳ‖ ≤ (‖1‖ + 1) * ‖1‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Ring.Units

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
x : Rˣ
h_is_o : (fun t ↦ (↑x + t)⁻¹ʳ - ↑x⁻¹) =o[𝓝 0] fun x ↦ 1
h_lim : Tendsto (fun y ↦ y - ↑x) (𝓝 ↑x) (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun e ↦ ‖e⁻¹ʳ - ↑x⁻¹‖) (𝓝 ↑x) (𝓝 0)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : HasSummableGeomSeries R
x : Rˣ
h_is_o : (fun t ↦ (↑x + t)⁻¹ʳ - ↑x⁻¹) =o[𝓝 0] fun x ↦ 1
h_lim : Tendsto (fun y ↦ y - ↑x) (𝓝 ↑x) (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun e ↦ ‖e⁻¹ʳ - ↑x⁻¹‖) (𝓝 ↑x) (𝓝 0)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : IsBoundedSMul R E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 R E
⊢ ↑‖lsmul 𝕜 R‖₊ ≤ ↑1

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : IsBoundedSMul R E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 R E
⊢ ↑‖lsmul 𝕜 R‖₊ ≤ ↑1
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : IsBoundedSMul R E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 R E
⊢ ↑‖lsmul 𝕜 R‖₊ ≤ 1

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : IsBoundedSMul R E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 R E
⊢ ↑‖lsmul 𝕜 R‖₊ ≤ 1
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Mul

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_3
inst✝⁵ : NormedDivisionRing R
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝³ : Module R E
inst✝² : NormSMulClass R E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 R E
inst✝ : Nontrivial E
x : R
⊢ ‖(lsmul 𝕜 R) x‖ ≤ ‖x‖

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_3
inst✝⁵ : NormedDivisionRing R
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝³ : Module R E
inst✝² : NormSMulClass R E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 R E
inst✝ : Nontrivial E
x : R
⊢ ‖(lsmul 𝕜 R) x‖ ≤ ‖x‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_3
inst✝⁵ : NormedDivisionRing R
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝³ : Module R E
inst✝² : NormSMulClass R E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 R E
inst✝ : Nontrivial E
⊢ ↑‖lsmul 𝕜 R‖₊ = ↑1

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_3
inst✝⁵ : NormedDivisionRing R
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝³ : Module R E
inst✝² : NormSMulClass R E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 R E
inst✝ : Nontrivial E
⊢ ↑‖lsmul 𝕜 R‖₊ = ↑1
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Mul

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_3
inst✝⁵ : NormedDivisionRing R
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝³ : Module R E
inst✝² : NormSMulClass R E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 R E
inst✝ : Nontrivial E
a : R
⊢ ↑‖(lsmul 𝕜 R) a‖₊ = ↑‖a‖₊

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
R : Type u_3
inst✝⁵ : NormedDivisionRing R
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝³ : Module R E
inst✝² : NormSMulClass R E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 R E
inst✝ : Nontrivial E
a : R
⊢ ↑‖(lsmul 𝕜 R) a‖₊ = ↑‖a‖₊
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
Fₗ : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ z ∈ ball 0 r, ‖f z‖ ≤ c
k : 𝕜
hk : 1 < ‖k‖
z x : E
hko : r / ‖k‖ ≤ ‖x‖
hxo : ‖x‖ < r
⊢ c * (‖x‖ * ‖k‖ / r) = c * (‖k‖ / r) * ‖x‖

Tactic:
by ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.NormedSpace

Goal state before:
pp: case h.calc_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
Fₗ : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ z ∈ ball 0 r, ‖f z‖ ≤ c
k : 𝕜
hk : 1 < ‖k‖
z x : E
hko : r ≤ ‖x‖ * ‖k‖
hxo : ‖x‖ < r
⊢ 1 ≤ ‖x‖ * ‖k‖ / r

Tactic:
]

Goal state after:
case h.calc_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_5
Fₗ : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] Fₗ
h : ∀ z ∈ ball 0 r, ‖f z‖ ≤ c
k : 𝕜
hk : 1 < ‖k‖
z x : E
hko : r ≤ ‖x‖ * ‖k‖
hxo : ‖x‖ < r
⊢ 1 ≤ ‖x‖ * ‖k‖ / r
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.NormedSpace

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hf : Filter.comap (⇑f) (𝓝 (f x)) ≤ 𝓝 0
hx : f x = 0
⊢ ‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖f x‖

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hf : Filter.comap (⇑f) (𝓝 (f x)) ≤ 𝓝 0
hx : f x = 0
⊢ ‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖f x‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.NormedSpace

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖σ₁₂ c‖
x : E
hx : ¬f x = 0
hc₀ : c ≠ 0
⊢ ‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖f x‖

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖σ₁₂ c‖
x : E
hx : ¬f x = 0
hc₀ : c ≠ 0
⊢ ‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖f x‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖σ₁₂ c‖
x : E
hx : ¬f x = 0
hc₀ : c ≠ 0
n : ℤ
hlt : ‖f (c ^ n • x)‖ < ↑ε
hle : ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ (↑ε)⁻¹ * ‖c‖ * ‖f x‖
⊢ ‖x‖ = ‖x‖

pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖σ₁₂ c‖
x : E
hx : ¬f x = 0
hc₀ : c ≠ 0
n : ℤ
hlt : ‖f (c ^ n • x)‖ < ↑ε
hle : ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ (↑ε)⁻¹ * ‖c‖ * ‖f x‖
⊢ c ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖σ₁₂ c‖
x : E
hx : ¬f x = 0
hc₀ : c ≠ 0
n : ℤ
hlt : ‖f (c ^ n • x)‖ < ↑ε
hle : ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ (↑ε)⁻¹ * ‖c‖ * ‖f x‖
⊢ c ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖σ₁₂ c‖
x : E
hx : ¬f x = 0
hc₀ : c ≠ 0
n : ℤ
hlt : ‖f (c ^ n • x)‖ < ↑ε
hle : ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ (↑ε)⁻¹ * ‖c‖ * ‖f x‖
⊢ ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ ↑ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖f x‖

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Filter.comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖σ₁₂ c‖
x : E
hx : ¬f x = 0
hc₀ : c ≠ 0
n : ℤ
hlt : ‖f (c ^ n • x)‖ < ↑ε
hle : ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ (↑ε)⁻¹ * ‖c‖ * ‖f x‖
⊢ ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ ↑ε⁻¹ * ‖c‖ * ‖f x‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f : E →SL[σ₁₂] F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
hn : ‖f‖ = 0
x : E
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝³ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
e : E ≃SL[σ₁₂] F
⊢ 1 ≤ ‖↑e.symm‖ * ‖↑e‖

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝³ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
e : E ≃SL[σ₁₂] F
⊢ 1 ≤ ‖↑e.symm‖ * ‖↑e‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝³ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
e : E ≃SL[σ₁₂] F
⊢ 1 = 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0
⊢ (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ x, ∀ (i : ι) (x_1 : E), ‖(f i) x_1‖ ≤ x * ‖x_1‖

pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0
⊢ Monotone fun C ↦ ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0
⊢ Monotone fun C ↦ ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜₂ F
f : ι → E →SL[σ₁₂] F
tfae_1_to_3 : EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0 → UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f)
tfae_3_to_2 : UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f) → Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f)
tfae_2_to_1 : Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f) → EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0
tfae_4_iff_5 : (∃ C, ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∃ C ≥ 0, ∀ (i : ι) (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖
C : ℝ
hC : C ≥ 0
i : ι
⊢ (∀ (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖) ↔ ∀ (x : E), ‖(f i) x‖ ≤ C * ‖x‖

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Multilinear.Topology

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : UniformSpace F
inst✝ : IsUniformAddGroup F
⊢ TopologicalSpace.induced toUniformOnFun (UniformOnFun.topologicalSpace ((i : ι) → E i) F {s | IsVonNBounded 𝕜 s}) =
    (UniformSpace.comap toUniformOnFun
        (UniformOnFun.uniformSpace ((i : ι) → E i) F {s | IsVonNBounded 𝕜 s})).toTopologicalSpace

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : UniformSpace F
inst✝ : IsUniformAddGroup F
⊢ TopologicalSpace.induced toUniformOnFun (UniformOnFun.topologicalSpace ((i : ι) → E i) F {s | IsVonNBounded 𝕜 s}) =
    (UniformSpace.comap toUniformOnFun
        (UniformOnFun.uniformSpace ((i : ι) → E i) F {s | IsVonNBounded 𝕜 s})).toTopologicalSpace