mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: case e'_3
k : ℕ
hrec :
  ∀ {G : Type u_1} [inst : Group G] {α : Type u_2} [inst_1 : MulAction G α] [Finite α],
    IsMultiplyPretransitive G α k →
      ∀ {s : Set α}, s.ncard = k → (fixingSubgroup G s).index * (Nat.card α - k)! = (Nat.card α)!
G : Type u_1
inst✝² : Group G
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
Hk : IsMultiplyPretransitive G α (k + 1)
s : Set α
hs : s.ncard = k + 1
hGX : IsPretransitive G α
a : α
has : a ∈ s
t : Set ↥(ofStabilizer G a) := Subtype.val ⁻¹' s
hat : Subtype.val '' t = s \ {a}
hat' : s = insert a (Subtype.val '' t)
hfs : fixingSubgroup G s = Subgroup.map (stabilizer G a).subtype (fixingSubgroup (↥(stabilizer G a)) t)
htcard : t.ncard = k
⊢ Nat.card α - 1 = Nat.card α - 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Jordan

Goal state before:
pp: case h.inl
n : ℕ
hrec :
  ∀ m < n,
    ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
      IsPreprimitive G α →
        ∀ {s : Set α},
          s.ncard = m + 1 →
            m + 2 < Nat.card α →
              (IsPretransitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPretransitive G α 2) ∧
                (IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPreprimitive G α 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn' : n + 2 < Nat.card α
this : Finite α
hs_ne_univ : s ≠ Set.univ
hs_nonempty : s.Nonempty
hn✝ : n + 1 < 2
hn : n = 0
a : α
hsa : s = {a}
⊢ IsPretransitive ↥(fixingSubgroup G {a}) ↥(ofFixingSubgroup G {a}) →
    IsMultiplyPretransitive (↥(stabilizer G a)) (↥(ofStabilizer G a)) 1

Tactic:
]

Goal state after:
case h.inl
n : ℕ
hrec :
  ∀ m < n,
    ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
      IsPreprimitive G α →
        ∀ {s : Set α},
          s.ncard = m + 1 →
            m + 2 < Nat.card α →
              (IsPretransitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPretransitive G α 2) ∧
                (IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPreprimitive G α 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn' : n + 2 < Nat.card α
this : Finite α
hs_ne_univ : s ≠ Set.univ
hs_nonempty : s.Nonempty
hn✝ : n + 1 < 2
hn : n = 0
a : α
hsa : s = {a}
⊢ IsPretransitive ↥(fixingSubgroup G {a}) ↥(ofFixingSubgroup G {a}) →
    IsMultiplyPretransitive (↥(stabilizer G a)) (↥(ofStabilizer G a)) 1
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Jordan

Goal state before:
pp: case h.inl
n : ℕ
hrec :
  ∀ m < n,
    ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
      IsPreprimitive G α →
        ∀ {s : Set α},
          s.ncard = m + 1 →
            m + 2 < Nat.card α →
              (IsPretransitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPretransitive G α 2) ∧
                (IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPreprimitive G α 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn' : n + 2 < Nat.card α
this : Finite α
hs_ne_univ : s ≠ Set.univ
hs_nonempty : s.Nonempty
hn✝ : n + 1 < 2
hn : n = 0
a : α
hsa : s = {a}
⊢ IsPretransitive ↥(fixingSubgroup G {a}) ↥(ofFixingSubgroup G {a}) →
    IsPretransitive ↥(stabilizer G a) ↥(ofStabilizer G a)

Tactic:
]

Goal state after:
case h.inl
n : ℕ
hrec :
  ∀ m < n,
    ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
      IsPreprimitive G α →
        ∀ {s : Set α},
          s.ncard = m + 1 →
            m + 2 < Nat.card α →
              (IsPretransitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPretransitive G α 2) ∧
                (IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPreprimitive G α 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn' : n + 2 < Nat.card α
this : Finite α
hs_ne_univ : s ≠ Set.univ
hs_nonempty : s.Nonempty
hn✝ : n + 1 < 2
hn : n = 0
a : α
hsa : s = {a}
⊢ IsPretransitive ↥(fixingSubgroup G {a}) ↥(ofFixingSubgroup G {a}) →
    IsPretransitive ↥(stabilizer G a) ↥(ofStabilizer G a)
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝² : Group G
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
s : Set α
hMk : IsMultiplyPretransitive G α s.ncard
⊢ (Nat.card α)! = (Nat.card α)!

pp: G : Type u_1
inst✝² : Group G
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
s : Set α
hMk : IsMultiplyPretransitive G α s.ncard
⊢ s.ncard ≤ Nat.card α

Tactic:
]

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
s : Set α
hMk : IsMultiplyPretransitive G α s.ncard
⊢ s.ncard ≤ Nat.card α
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝² : Group G
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
s : Set α
hMk : IsMultiplyPretransitive G α s.ncard
⊢ s.ncard ≤ univ.ncard

Tactic:
]

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
s : Set α
hMk : IsMultiplyPretransitive G α s.ncard
⊢ s.ncard ≤ univ.ncard
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultiplePrimitivity

Goal state before:
pp: case mpr.right
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : IsPretransitive M α
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
a : α
H : IsMultiplyPreprimitive (↥(stabilizer M a)) (↥(ofStabilizer M a)) n
s : Set α
hs : s.encard + 1 = ↑n.succ
b : α
hb : b ∈ s
g : M
hg : g • b = a
s' : Set α := g • s
hs' : s' = g • s
t : Set ↥(ofStabilizer M a) := Subtype.val ⁻¹' s'
hst : s' = insert a (Subtype.val '' t)
⊢ IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup (↥(stabilizer M a)) t) ↥(ofFixingSubgroup (↥(stabilizer M a)) t)

Tactic:
]

Goal state after:
case mpr.right
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : IsPretransitive M α
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
a : α
H : IsMultiplyPreprimitive (↥(stabilizer M a)) (↥(ofStabilizer M a)) n
s : Set α
hs : s.encard + 1 = ↑n.succ
b : α
hb : b ∈ s
g : M
hg : g • b = a
s' : Set α := g • s
hs' : s' = g • s
t : Set ↥(ofStabilizer M a) := Subtype.val ⁻¹' s'
hst : s' = insert a (Subtype.val '' t)
⊢ IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup (↥(stabilizer M a)) t) ↥(ofFixingSubgroup (↥(stabilizer M a)) t)
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.SubMulAction.OfFixingSubgroup

Goal state before:
pp: M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group M
inst✝ : MulAction M α
s✝ s t : Set α
x✝¹ : ↥(fixingSubgroup M (s ∪ t))
x✝ : ↥(ofFixingSubgroup M (s ∪ t))
m : M
hm : m ∈ fixingSubgroup M (s ∪ t)
x : α
hx : x ∈ ofFixingSubgroup M (s ∪ t)
⊢ ↑↑⟨⟨↑(⟨m, hm⟩ • ⟨x, hx⟩), ⋯⟩, ⋯⟩ = ↑↑(⟨⟨↑⟨m, hm⟩, ⋯⟩, ⋯⟩ • ⟨⟨↑⟨x, hx⟩, ⋯⟩, ⋯⟩)

Tactic:
]

Goal state after:
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group M
inst✝ : MulAction M α
s✝ s t : Set α
x✝¹ : ↥(fixingSubgroup M (s ∪ t))
x✝ : ↥(ofFixingSubgroup M (s ∪ t))
m : M
hm : m ∈ fixingSubgroup M (s ∪ t)
x : α
hx : x ∈ ofFixingSubgroup M (s ∪ t)
⊢ ↑↑⟨⟨↑(⟨m, hm⟩ • ⟨x, hx⟩), ⋯⟩, ⋯⟩ = ↑↑(⟨⟨↑⟨m, hm⟩, ⋯⟩, ⋯⟩ • ⟨⟨↑⟨x, hx⟩, ⋯⟩, ⋯⟩)
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: α : Type u_1
n : ℕ
⊢ ∀ (x y : Fin n ↪ α), ∃ g, g • x = y

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
n : ℕ
⊢ ∀ (x y : Fin n ↪ α), ∃ g, g • x = y
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Finite α
G : Subgroup (Perm α)
this : Fintype α
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := castLEEmb ⋯
⊢ ⊤ ≤ G

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
G : Subgroup (Perm α)
this : Fintype α
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := castLEEmb ⋯
⊢ ⊤ ≤ G
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultiplePrimitivity

Goal state before:
pp: case mpr.right
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : IsPretransitive M α
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
a : α
H : IsMultiplyPreprimitive (↥(stabilizer M a)) (↥(ofStabilizer M a)) n
s : Set α
hs : s.encard + 1 = ↑n.succ
b : α
hb : b ∈ s
g : M
hg : g • b = a
s' : Set α := g • s
hs' : s' = g • s
t : Set ↥(ofStabilizer M a) := Subtype.val ⁻¹' s'
hst : s' = insert a (Subtype.val '' t)
⊢ t.encard + ↑1 + ↑1 = s.encard + 1

Tactic:
]

Goal state after:
case mpr.right
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : IsPretransitive M α
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
a : α
H : IsMultiplyPreprimitive (↥(stabilizer M a)) (↥(ofStabilizer M a)) n
s : Set α
hs : s.encard + 1 = ↑n.succ
b : α
hb : b ∈ s
g : M
hg : g • b = a
s' : Set α := g • s
hs' : s' = g • s
t : Set ↥(ofStabilizer M a) := Subtype.val ⁻¹' s'
hst : s' = insert a (Subtype.val '' t)
⊢ t.encard + ↑1 + ↑1 = s.encard + 1
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Jordan

Goal state before:
pp: n : ℕ
hrec :
  ∀ m < n,
    ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
      IsPreprimitive G α →
        ∀ {s : Set α},
          s.ncard = m + 1 →
            m + 2 < Nat.card α →
              (IsPretransitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPretransitive G α 2) ∧
                (IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPreprimitive G α 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1
hsn' : n + 2 < Nat.card α
this : Finite α
hs_ne_univ : s ≠ Set.univ
hs_nonempty : s.Nonempty
hn : n + 1 ≥ 2
hn1 : 2 * (n + 1) < Nat.card α
⊢ 1 < n + 1

Tactic:
]

Goal state after:
n : ℕ
hrec :
  ∀ m < n,
    ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
      IsPreprimitive G α →
        ∀ {s : Set α},
          s.ncard = m + 1 →
            m + 2 < Nat.card α →
              (IsPretransitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPretransitive G α 2) ∧
                (IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPreprimitive G α 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1
hsn' : n + 2 < Nat.card α
this : Finite α
hs_ne_univ : s ≠ Set.univ
hs_nonempty : s.Nonempty
hn : n + 1 ≥ 2
hn1 : 2 * (n + 1) < Nat.card α
⊢ 1 < n + 1
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Finite α
G : Subgroup (Perm α)
this✝ : Fintype α
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := castLEEmb ⋯
k : Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm.toEmbedding
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := j.trans x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
this : k = ↑g
⊢ ↑g ∈ G

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
G : Subgroup (Perm α)
this✝ : Fintype α
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := castLEEmb ⋯
k : Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α := (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm.toEmbedding
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := j.trans x
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
this : k = ↑g
⊢ ↑g ∈ G
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Jordan

Goal state before:
pp: case h.inr.inl
n : ℕ
hrec :
  ∀ m < n,
    ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
      IsPreprimitive G α →
        ∀ {s : Set α},
          s.ncard = m + 1 →
            m + 2 < Nat.card α →
              (IsPretransitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPretransitive G α 2) ∧
                (IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPreprimitive G α 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1
hsn' : n + 2 < Nat.card α
this✝ : Finite α
hs_ne_univ : s ≠ Set.univ
hs_nonempty : s.Nonempty
hn : n + 1 ≥ 2
hn1 : 2 * (n + 1) < Nat.card α
this : ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, a ≠ b
⊢ (IsPretransitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPretransitive G α 2) ∧
    (IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPreprimitive G α 2)

Tactic:
]

Goal state after:
case h.inr.inl
n : ℕ
hrec :
  ∀ m < n,
    ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
      IsPreprimitive G α →
        ∀ {s : Set α},
          s.ncard = m + 1 →
            m + 2 < Nat.card α →
              (IsPretransitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPretransitive G α 2) ∧
                (IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPreprimitive G α 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1
hsn' : n + 2 < Nat.card α
this✝ : Finite α
hs_ne_univ : s ≠ Set.univ
hs_nonempty : s.Nonempty
hn : n + 1 ≥ 2
hn1 : 2 * (n + 1) < Nat.card α
this : ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, a ≠ b
⊢ (IsPretransitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPretransitive G α 2) ∧
    (IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPreprimitive G α 2)
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.SubMulAction.OfFixingSubgroup

Goal state before:
pp: M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group M
inst✝ : MulAction M α
s t : Set α
hst : t ⊆ s
x : α
hx : x ∈ ofFixingSubgroup M s
y : α
hy : y ∈ ofFixingSubgroup M s
hxy : ↑((ofFixingSubgroup_of_inclusion M hst) ⟨x, hx⟩) = ↑((ofFixingSubgroup_of_inclusion M hst) ⟨y, hy⟩)
⊢ ↑⟨x, hx⟩ = ↑⟨y, hy⟩

Tactic:
]

Goal state after:
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group M
inst✝ : MulAction M α
s t : Set α
hst : t ⊆ s
x : α
hx : x ∈ ofFixingSubgroup M s
y : α
hy : y ∈ ofFixingSubgroup M s
hxy : ↑((ofFixingSubgroup_of_inclusion M hst) ⟨x, hx⟩) = ↑((ofFixingSubgroup_of_inclusion M hst) ⟨y, hy⟩)
⊢ ↑⟨x, hx⟩ = ↑⟨y, hy⟩
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultiplePrimitivity

Goal state before:
pp: M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : IsPretransitive M α
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
a : α
H : IsMultiplyPreprimitive (↥(stabilizer M a)) (↥(ofStabilizer M a)) n
s : Set α
hs : s.encard + 1 = ↑n.succ
b : α
hb : b ∈ s
g : M
hg : g • b = a
s' : Set α := g • s
hs' : s' = g • s
t : Set ↥(ofStabilizer M a) := Subtype.val ⁻¹' s'
hst : s' = insert a (Subtype.val '' t)
⊢ t.encard + ↑1 = (insert a (Subtype.val '' t)).encard

Tactic:
]

Goal state after:
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : IsPretransitive M α
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
a : α
H : IsMultiplyPreprimitive (↥(stabilizer M a)) (↥(ofStabilizer M a)) n
s : Set α
hs : s.encard + 1 = ↑n.succ
b : α
hb : b ∈ s
g : M
hg : g • b = a
s' : Set α := g • s
hs' : s' = g • s
t : Set ↥(ofStabilizer M a) := Subtype.val ⁻¹' s'
hst : s' = insert a (Subtype.val '' t)
⊢ t.encard + ↑1 = (insert a (Subtype.val '' t)).encard
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.SubMulAction.OfFixingSubgroup

Goal state before:
pp: M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group M
inst✝ : MulAction M α
s✝ s t : Set α
hst : s = t
x✝ : ↥(ofFixingSubgroup M s)
x : α
hx : x ∈ ofFixingSubgroup M s
⊢ x ∈ ofFixingSubgroup M s

Tactic:
]

Goal state after:
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group M
inst✝ : MulAction M α
s✝ s t : Set α
hst : s = t
x✝ : ↥(ofFixingSubgroup M s)
x : α
hx : x ∈ ofFixingSubgroup M s
⊢ x ∈ ofFixingSubgroup M s
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultiplePrimitivity

Goal state before:
pp: M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : IsPretransitive M α
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
a : α
H : IsMultiplyPreprimitive (↥(stabilizer M a)) (↥(ofStabilizer M a)) n
s : Set α
hs : s.encard + 1 = ↑n.succ
b : α
hb : b ∈ s
g : M
hg : g • b = a
s' : Set α := g • s
hs' : s' = g • s
t : Set ↥(ofStabilizer M a) := Subtype.val ⁻¹' s'
hst : s' = insert a (Subtype.val '' t)
⊢ t.encard + 1 = t.encard + 1

pp: M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : IsPretransitive M α
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
a : α
H : IsMultiplyPreprimitive (↥(stabilizer M a)) (↥(ofStabilizer M a)) n
s : Set α
hs : s.encard + 1 = ↑n.succ
b : α
hb : b ∈ s
g : M
hg : g • b = a
s' : Set α := g • s
hs' : s' = g • s
t : Set ↥(ofStabilizer M a) := Subtype.val ⁻¹' s'
hst : s' = insert a (Subtype.val '' t)
⊢ a ∉ Subtype.val '' t

Tactic:
]

Goal state after:
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
inst✝ : IsPretransitive M α
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
a : α
H : IsMultiplyPreprimitive (↥(stabilizer M a)) (↥(ofStabilizer M a)) n
s : Set α
hs : s.encard + 1 = ↑n.succ
b : α
hb : b ∈ s
g : M
hg : g • b = a
s' : Set α := g • s
hs' : s' = g • s
t : Set ↥(ofStabilizer M a) := Subtype.val ⁻¹' s'
hst : s' = insert a (Subtype.val '' t)
⊢ a ∉ Subtype.val '' t
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.SubMulAction.OfFixingSubgroup

Goal state before:
pp: M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group M
inst✝ : MulAction M α
s t : Set α
hst : s = t
x✝ : ↥(ofFixingSubgroup M t)
x : α
hxt : x ∈ ofFixingSubgroup M t
⊢ x ∈ ofFixingSubgroup M t

Tactic:
]

Goal state after:
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group M
inst✝ : MulAction M α
s t : Set α
hst : s = t
x✝ : ↥(ofFixingSubgroup M t)
x : α
hxt : x ∈ ofFixingSubgroup M t
⊢ x ∈ ofFixingSubgroup M t
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Finite α
G : Subgroup (Perm α)
this : Fintype α
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := castLEEmb ⋯
k : Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x✝ : Fin (Fintype.card α) ↪ α := (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm.toEmbedding
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := j.trans x✝
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α
⊢ Function.Injective x.toFun ∧ Fintype.card (Fin (Fintype.card α)) = Fintype.card α

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
G : Subgroup (Perm α)
this : Fintype α
hmt : IsMultiplyPretransitive (↥G) α (Fintype.card α - 1)
j : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ Fin (Fintype.card α) := castLEEmb ⋯
k : Perm α
a✝ : k ∈ ⊤
x✝ : Fin (Fintype.card α) ↪ α := (Fintype.equivFinOfCardEq ⋯).symm.toEmbedding
x' : Fin (Fintype.card α - 1) ↪ α := j.trans x✝
g : ↥G
hg' : g • x' = k • x'
x : Fin (Fintype.card α) ↪ α
⊢ Function.Injective x.toFun ∧ Fintype.card (Fin (Fintype.card α)) = Fintype.card α
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.Jordan

Goal state before:
pp: n : ℕ
hrec :
  ∀ m < n,
    ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
      IsPreprimitive G α →
        ∀ {s : Set α},
          s.ncard = m + 1 →
            m + 2 < Nat.card α →
              (IsPretransitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPretransitive G α 2) ∧
                (IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPreprimitive G α 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1
hsn' : n + 2 < Nat.card α
this : Finite α
hs_ne_univ : s ≠ Set.univ
hs_nonempty : s.Nonempty
hn : n + 1 ≥ 2
hn1 : 2 * (n + 1) < Nat.card α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : a ≠ b
g : G
hga : a ∈ g • s
hgb : b ∉ g • s
t : Set α := s ∩ g • s
ht : t.Finite
⊢ t.ncard ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
n : ℕ
hrec :
  ∀ m < n,
    ∀ {G : Type u_1} {α : Type u_2} [inst : Group G] [inst_1 : MulAction G α],
      IsPreprimitive G α →
        ∀ {s : Set α},
          s.ncard = m + 1 →
            m + 2 < Nat.card α →
              (IsPretransitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPretransitive G α 2) ∧
                (IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup G s) ↥(ofFixingSubgroup G s) → IsMultiplyPreprimitive G α 2)
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
hG : IsPreprimitive G α
s : Set α
hsn : s.ncard = n + 1
hsn' : n + 2 < Nat.card α
this : Finite α
hs_ne_univ : s ≠ Set.univ
hs_nonempty : s.Nonempty
hn : n + 1 ≥ 2
hn1 : 2 * (n + 1) < Nat.card α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : a ≠ b
g : G
hga : a ∈ g • s
hgb : b ∉ g • s
t : Set α := s ∩ g • s
ht : t.Finite
⊢ t.ncard ≠ 0
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultiplePrimitivity

Goal state before:
pp: M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
m n : ℕ
inst✝¹ : IsMultiplyPreprimitive M α n
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : s.ncard + m = n
t : Set ↥(ofFixingSubgroup M s)
ht : t.encard + 1 = ↑m
t' : Set α := Subtype.val '' t
htt' : t = Subtype.val ⁻¹' t'
⊢ IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup (↥(fixingSubgroup M s)) (Subtype.val ⁻¹' t'))
    ↥(ofFixingSubgroup (↥(fixingSubgroup M s)) (Subtype.val ⁻¹' t'))

Tactic:
]

Goal state after:
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
m n : ℕ
inst✝¹ : IsMultiplyPreprimitive M α n
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : s.ncard + m = n
t : Set ↥(ofFixingSubgroup M s)
ht : t.encard + 1 = ↑m
t' : Set α := Subtype.val '' t
htt' : t = Subtype.val ⁻¹' t'
⊢ IsPreprimitive ↥(fixingSubgroup (↥(fixingSubgroup M s)) (Subtype.val ⁻¹' t'))
    ↥(ofFixingSubgroup (↥(fixingSubgroup M s)) (Subtype.val ⁻¹' t'))
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.SubMulAction.OfFixingSubgroup

Goal state before:
pp: M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
s : Set α
n : ℕ
inst✝ : Finite ↑s
x : Fin n ↪ ↥(ofFixingSubgroup M s)
this : Nonempty (Fin s.ncard ≃ ↑s)
y : Fin s.ncard ↪ ↑s := (Classical.choice this).toEmbedding
⊢ ∀ ⦃a : α⦄,
    a ∈ Set.range ⇑(y.trans (subtype fun x ↦ x ∈ s)) →
      ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ Set.range ⇑(x.trans (subtype fun x ↦ x ∈ ofFixingSubgroup M s)) → a ≠ b

Tactic:
]

Goal state after:
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : MulAction M α
s : Set α
n : ℕ
inst✝ : Finite ↑s
x : Fin n ↪ ↥(ofFixingSubgroup M s)
this : Nonempty (Fin s.ncard ≃ ↑s)
y : Fin s.ncard ↪ ↑s := (Classical.choice this).toEmbedding
⊢ ∀ ⦃a : α⦄,
    a ∈ Set.range ⇑(y.trans (subtype fun x ↦ x ∈ s)) →
      ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ Set.range ⇑(x.trans (subtype fun x ↦ x ∈ ofFixingSubgroup M s)) → a ≠ b
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultiplePrimitivity

Goal state before:
pp: M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
m n : ℕ
inst✝¹ : IsMultiplyPreprimitive M α n
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : s.ncard + m = n
t : Set ↥(ofFixingSubgroup M s)
ht : t.encard + 1 = ↑m
t' : Set α := Subtype.val '' t
htt' : t = Subtype.val ⁻¹' t'
⊢ s.encard + t'.encard + 1 = ↑n

pp: M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
m n : ℕ
inst✝¹ : IsMultiplyPreprimitive M α n
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : s.ncard + m = n
t : Set ↥(ofFixingSubgroup M s)
ht : t.encard + 1 = ↑m
t' : Set α := Subtype.val '' t
htt' : t = Subtype.val ⁻¹' t'
⊢ Disjoint s t'

Tactic:
]

Goal state after:
M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
m n : ℕ
inst✝¹ : IsMultiplyPreprimitive M α n
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : s.ncard + m = n
t : Set ↥(ofFixingSubgroup M s)
ht : t.encard + 1 = ↑m
t' : Set α := Subtype.val '' t
htt' : t = Subtype.val ⁻¹' t'
⊢ s.encard + t'.encard + 1 = ↑n

M : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : Group M
inst✝² : MulAction M α
m n : ℕ
inst✝¹ : IsMultiplyPreprimitive M α n
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : s.ncard + m = n
t : Set ↥(ofFixingSubgroup M s)
ht : t.encard + 1 = ↑m
t' : Set α := Subtype.val '' t
htt' : t = Subtype.val ⁻¹' t'
⊢ Disjoint s t'