mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.RankNullity

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
h : ↑n < Module.rank R M
t : Set M
h₁ : Set.range v ⊆ t
h₂ : lift.{u, 0} #(Fin n) = lift.{0, u} (Module.rank R M)
h₃ : LinearIndepOn R _root_.id t
e : Set.range v = t
⊢ ↑n = Module.rank R M

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
h : ↑n < Module.rank R M
t : Set M
h₁ : Set.range v ⊆ t
h₂ : lift.{u, 0} #(Fin n) = lift.{0, u} (Module.rank R M)
h₃ : LinearIndepOn R _root_.id t
e : Set.range v = t
⊢ ↑n = Module.rank R M
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.DivisionRing

Goal state before:
pp: case e_a.refine_1
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₃
inst✝ : Module K V₃
db : V₂ →ₗ[K] V
eb : V₃ →ₗ[K] V
cd : V₁ →ₗ[K] V₂
ce : V₁ →ₗ[K] V₃
hde : ⊤ ≤ db.range ⊔ eb.range
hgd : cd.ker = ⊥
eq : db ∘ₗ cd = eb ∘ₗ ce
eq₂ : ∀ (d : V₂) (e : V₃), db d = eb e → ∃ c, cd c = d ∧ ce c = e
hf : Surjective ⇑(db.coprod eb)
L : V₁ →ₗ[K] ↥(db.coprod eb).ker := LinearMap.codRestrict (db.coprod eb).ker (cd.prod (-ce)) ⋯
⊢ ⊥ = ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.RankNullity

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : IsTorsionFree R M
h : 1 < Module.rank R M
x : M
hx : x ≠ 0
y : M
hy : LinearIndependent R ![x, y]
this : Fin.snoc ![x] y = ![x, y]
⊢ ∃ y, LinearIndependent R ![x, y]

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : IsTorsionFree R M
h : 1 < Module.rank R M
x : M
hx : x ≠ 0
y : M
hy : LinearIndependent R ![x, y]
this : Fin.snoc ![x] y = ![x, y]
⊢ ∃ y, LinearIndependent R ![x, y]
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Rigid.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasLeftDual X
inst✝¹ : HasLeftDual Y
inst✝ : HasLeftDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (ᘁf ≫ g) = (λ_ ᘁZ).inv ≫ η_ (ᘁY) Y ▷ ᘁZ ≫ ((ᘁf) ⊗ₘ g) ▷ ᘁZ ≫ (α_ (ᘁX) Z ᘁZ).hom ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁZ) Z ≫ (ρ_ ᘁX).hom

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasLeftDual X
inst✝¹ : HasLeftDual Y
inst✝ : HasLeftDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ (ᘁf ≫ g) = (λ_ ᘁZ).inv ≫ η_ (ᘁY) Y ▷ ᘁZ ≫ ((ᘁf) ⊗ₘ g) ▷ ᘁZ ≫ (α_ (ᘁX) Z ᘁZ).hom ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁZ) Z ≫ (ρ_ ᘁX).hom
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.RankNullity

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
N : Submodule R M
h : Module.rank R ↥N < Module.rank R ↥N
e : Module.rank R (M ⧸ N) = 0
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
N : Submodule R M
h : Module.rank R ↥N < Module.rank R ↥N
e : Module.rank R (M ⧸ N) = 0
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.RankNullity

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
N : Submodule R M
h : Module.rank R ↥N < Module.rank R M
⊢ ∃ m, ∀ (r : R), r ≠ 0 → r • m ∉ N

Tactic:
have : Module.rank R (M ⧸ N) ≠ 0 := by
    intro e
    rw [← rank_quotient_add_rank N, e, zero_add] at h
    exact h.ne rfl

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
N : Submodule R M
h : Module.rank R ↥N < Module.rank R M
this : Module.rank R (M ⧸ N) ≠ 0
⊢ ∃ m, ∀ (r : R), r ≠ 0 → r • m ∉ N
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteDimensional.Lemmas

Goal state before:
pp: K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
s t : Submodule K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K ↥s
inst✝ : FiniteDimensional K ↥t
key : ↑(finrank K ↥(s ⊔ t)) + ↑(finrank K ↥(s ⊓ t)) = ↑(finrank K ↥s) + Module.rank K ↥t
⊢ finrank K ↥(s ⊔ t) + finrank K ↥(s ⊓ t) = finrank K ↥s + finrank K ↥t

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
s t : Submodule K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K ↥s
inst✝ : FiniteDimensional K ↥t
key : ↑(finrank K ↥(s ⊔ t)) + ↑(finrank K ↥(s ⊓ t)) = ↑(finrank K ↥s) + Module.rank K ↥t
⊢ finrank K ↥(s ⊔ t) + finrank K ↥(s ⊓ t) = finrank K ↥s + finrank K ↥t
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.RankNullity

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
N : Submodule R M
h : Module.rank R ↥N < Module.rank R M
this : ¬∀ (x : M), ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • Quotient.mk x = 0
⊢ ∃ m, ∀ (r : R), r ≠ 0 → r • m ∉ N

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
N : Submodule R M
h : Module.rank R ↥N < Module.rank R M
this : ¬∀ (x : M), ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • Quotient.mk x = 0
⊢ ∃ m, ∀ (r : R), r ≠ 0 → r • m ∉ N
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteDimensional.Lemmas

Goal state before:
pp: K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
s t : Submodule K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K ↥s
inst✝ : FiniteDimensional K ↥t
key : ↑(finrank K ↥(s ⊔ t)) + ↑(finrank K ↥(s ⊓ t)) = ↑(finrank K ↥s) + ↑(finrank K ↥t)
⊢ finrank K ↥(s ⊔ t) + finrank K ↥(s ⊓ t) = finrank K ↥s + finrank K ↥t

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
s t : Submodule K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K ↥s
inst✝ : FiniteDimensional K ↥t
key : ↑(finrank K ↥(s ⊔ t)) + ↑(finrank K ↥(s ⊓ t)) = ↑(finrank K ↥s) + ↑(finrank K ↥t)
⊢ finrank K ↥(s ⊔ t) + finrank K ↥(s ⊓ t) = finrank K ↥s + finrank K ↥t
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.DivisionRing

Goal state before:
pp: case e_a.refine_2
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₃
inst✝ : Module K V₃
db : V₂ →ₗ[K] V
eb : V₃ →ₗ[K] V
cd : V₁ →ₗ[K] V₂
ce : V₁ →ₗ[K] V₃
hde : ⊤ ≤ db.range ⊔ eb.range
hgd : cd.ker = ⊥
eq : db ∘ₗ cd = eb ∘ₗ ce
eq₂ : ∀ (d : V₂) (e : V₃), db d = eb e → ∃ c, cd c = d ∧ ce c = e
hf : Surjective ⇑(db.coprod eb)
L : V₁ →ₗ[K] ↥(db.coprod eb).ker := LinearMap.codRestrict (db.coprod eb).ker (cd.prod (-ce)) ⋯
⊢ (db.coprod eb).ker ≤ (cd.prod (-ce)).range

Tactic:
]

Goal state after:
case e_a.refine_2
K : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₃
inst✝ : Module K V₃
db : V₂ →ₗ[K] V
eb : V₃ →ₗ[K] V
cd : V₁ →ₗ[K] V₂
ce : V₁ →ₗ[K] V₃
hde : ⊤ ≤ db.range ⊔ eb.range
hgd : cd.ker = ⊥
eq : db ∘ₗ cd = eb ∘ₗ ce
eq₂ : ∀ (d : V₂) (e : V₃), db d = eb e → ∃ c, cd c = d ∧ ce c = e
hf : Surjective ⇑(db.coprod eb)
L : V₁ →ₗ[K] ↥(db.coprod eb).ker := LinearMap.codRestrict (db.coprod eb).ker (cd.prod (-ce)) ⋯
⊢ (db.coprod eb).ker ≤ (cd.prod (-ce)).range
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Rigid.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasLeftDual X
inst✝¹ : HasLeftDual Y
inst✝ : HasLeftDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ η_ (ᘁY) Y ≫
      ((λ_ ᘁY).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ≫ (ᘁX ◁ f) ▷ ᘁY ≫ (α_ (ᘁX) Y ᘁY).hom ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ (ρ_ ᘁX).hom) ▷ Y ≫ ᘁX ◁ g =
    𝟙 (𝟙_ C) ⊗≫ (𝟙_ C ◁ η_ (ᘁY) Y ≫ η_ (ᘁX) X ▷ (ᘁY ⊗ Y)) ⊗≫ ᘁX ◁ f ▷ ᘁY ▷ Y ⊗≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ▷ Y ⊗≫ ᘁX ◁ g

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasLeftDual X
inst✝¹ : HasLeftDual Y
inst✝ : HasLeftDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ η_ (ᘁY) Y ≫
      ((λ_ ᘁY).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ≫ (ᘁX ◁ f) ▷ ᘁY ≫ (α_ (ᘁX) Y ᘁY).hom ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ (ρ_ ᘁX).hom) ▷ Y ≫ ᘁX ◁ g =
    𝟙 (𝟙_ C) ⊗≫ (𝟙_ C ◁ η_ (ᘁY) Y ≫ η_ (ᘁX) X ▷ (ᘁY ⊗ Y)) ⊗≫ ᘁX ◁ f ▷ ᘁY ▷ Y ⊗≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ▷ Y ⊗≫ ᘁX ◁ g
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Rigid.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasLeftDual X
inst✝¹ : HasLeftDual Y
inst✝ : HasLeftDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ 𝟙 (𝟙_ C) ⊗≫ (η_ (ᘁX) X ▷ 𝟙_ C ≫ (ᘁX ⊗ X) ◁ η_ (ᘁY) Y) ⊗≫ ᘁX ◁ f ▷ ᘁY ▷ Y ⊗≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ▷ Y ⊗≫ ᘁX ◁ g =
    η_ (ᘁX) X ⊗≫ ((ᘁX ⊗ X) ◁ η_ (ᘁY) Y ≫ (ᘁX ◁ f) ▷ (ᘁY ⊗ Y)) ⊗≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ▷ Y ⊗≫ ᘁX ◁ g

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasLeftDual X
inst✝¹ : HasLeftDual Y
inst✝ : HasLeftDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ 𝟙 (𝟙_ C) ⊗≫ (η_ (ᘁX) X ▷ 𝟙_ C ≫ (ᘁX ⊗ X) ◁ η_ (ᘁY) Y) ⊗≫ ᘁX ◁ f ▷ ᘁY ▷ Y ⊗≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ▷ Y ⊗≫ ᘁX ◁ g =
    η_ (ᘁX) X ⊗≫ ((ᘁX ⊗ X) ◁ η_ (ᘁY) Y ≫ (ᘁX ◁ f) ▷ (ᘁY ⊗ Y)) ⊗≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ▷ Y ⊗≫ ᘁX ◁ g
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Rigid.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasLeftDual X
inst✝¹ : HasLeftDual Y
inst✝ : HasLeftDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ η_ (ᘁX) X ⊗≫ ((ᘁX ◁ f) ▷ 𝟙_ C ≫ (ᘁX ⊗ Y) ◁ η_ (ᘁY) Y) ⊗≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ▷ Y ⊗≫ ᘁX ◁ g =
    η_ (ᘁX) X ⊗≫ ᘁX ◁ f ⊗≫ ᘁX ◁ (Y ◁ η_ (ᘁY) Y ⊗≫ ε_ (ᘁY) Y ▷ Y) ⊗≫ ᘁX ◁ g

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasLeftDual X
inst✝¹ : HasLeftDual Y
inst✝ : HasLeftDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ η_ (ᘁX) X ⊗≫ ((ᘁX ◁ f) ▷ 𝟙_ C ≫ (ᘁX ⊗ Y) ◁ η_ (ᘁY) Y) ⊗≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ▷ Y ⊗≫ ᘁX ◁ g =
    η_ (ᘁX) X ⊗≫ ᘁX ◁ f ⊗≫ ᘁX ◁ (Y ◁ η_ (ᘁY) Y ⊗≫ ε_ (ᘁY) Y ▷ Y) ⊗≫ ᘁX ◁ g
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteDimensional.Lemmas

Goal state before:
pp: K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
s t : Submodule K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K ↥s
inst✝ : FiniteDimensional K ↥t
⊢ finrank K ↥(s ⊔ t) ≤ finrank K ↥(s ⊔ t) + finrank K ↥(s ⊓ t)

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
s t : Submodule K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K ↥s
inst✝ : FiniteDimensional K ↥t
⊢ finrank K ↥(s ⊔ t) ≤ finrank K ↥(s ⊔ t) + finrank K ↥(s ⊓ t)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.InvariantBasisNumber

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
⊢ RankCondition R ↔ ∀ (n m : ℕ) (f : Matrix (Fin n) (Fin m) R) (g : Matrix (Fin m) (Fin n) R), g * f = 1 → m ≤ n

Tactic:
rankCondition_iff_le_of_comp_eq_one,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
⊢ (∀ (n m : ℕ) (f : (Fin n → R) →ₗ[R] Fin m → R) (g : (Fin m → R) →ₗ[R] Fin n → R), f ∘ₗ g = 1 → m ≤ n) ↔
    ∀ (n m : ℕ) (f : Matrix (Fin n) (Fin m) R) (g : Matrix (Fin m) (Fin n) R), g * f = 1 → m ≤ n
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Rigid.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasLeftDual X
inst✝¹ : HasLeftDual Y
inst✝ : HasLeftDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ η_ (ᘁX) X ⊗≫ ᘁX ◁ f ⊗≫ ᘁX ◁ ⊗𝟙.hom ⊗≫ ᘁX ◁ g = η_ (ᘁX) X ≫ ᘁX ◁ f ≫ ᘁX ◁ g

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasLeftDual X
inst✝¹ : HasLeftDual Y
inst✝ : HasLeftDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ η_ (ᘁX) X ⊗≫ ᘁX ◁ f ⊗≫ ᘁX ◁ ⊗𝟙.hom ⊗≫ ᘁX ◁ g = η_ (ᘁX) X ≫ ᘁX ◁ f ≫ ᘁX ◁ g
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteDimensional.Lemmas

Goal state before:
pp: K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdisjoint : Disjoint s t
⊢ finrank K ↥(s ⊔ t) ≤ finrank K V

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdisjoint : Disjoint s t
⊢ finrank K ↥(s ⊔ t) ≤ finrank K V
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.RankNullity

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
s t : Submodule R M
⊢ Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥(s ⊓ t) + Module.rank R ↥((s ⊔ t) ⊓ t) =
    Module.rank R (↥(s ⊔ t) ⧸ comap (s ⊔ t).subtype t) + Module.rank R ↥(s ⊓ t) + Module.rank R ↥((s ⊔ t) ⊓ t)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Rigid.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : Y' ⊗ X ⟶ Z
⊢ 𝟙 (Y' ⊗ X) ⊗≫ Y' ◁ η_ Y Y' ▷ X ⊗≫ (ε_ Y Y' ▷ (Y' ⊗ X) ≫ 𝟙_ C ◁ f) ⊗≫ 𝟙 Z =
    𝟙 (Y' ⊗ X) ⊗≫ (Y' ◁ η_ Y Y' ⊗≫ ε_ Y Y' ▷ Y') ▷ X ⊗≫ f

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : Y' ⊗ X ⟶ Z
⊢ 𝟙 (Y' ⊗ X) ⊗≫ Y' ◁ η_ Y Y' ▷ X ⊗≫ (ε_ Y Y' ▷ (Y' ⊗ X) ≫ 𝟙_ C ◁ f) ⊗≫ 𝟙 Z =
    𝟙 (Y' ⊗ X) ⊗≫ (Y' ◁ η_ Y Y' ⊗≫ ε_ Y Y' ▷ Y') ▷ X ⊗≫ f
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.RankNullity

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
s t : Submodule R M
⊢ Module.rank R ↥(s ⊔ t) ≤ Module.rank R ↥(s ⊔ t) + Module.rank R ↥(s ⊓ t)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
s t : Submodule R M
⊢ Module.rank R ↥(s ⊔ t) ≤ Module.rank R ↥(s ⊔ t) + Module.rank R ↥(s ⊓ t)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Rigid.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : Y' ⊗ X ⟶ Z
⊢ 𝟙 (Y' ⊗ X) ⊗≫ ⊗𝟙.hom ▷ X ⊗≫ f = f

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : Y' ⊗ X ⟶ Z
⊢ 𝟙 (Y' ⊗ X) ⊗≫ ⊗𝟙.hom ▷ X ⊗≫ f = f
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteDimensional.Lemmas

Goal state before:
pp: K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdim : finrank K V ≤ finrank K ↥s + finrank K ↥t
hdisjoint : s ⊓ t = ⊥
⊢ finrank K ↥(s ⊓ t) = 0

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdim : finrank K V ≤ finrank K ↥s + finrank K ↥t
hdisjoint : s ⊓ t = ⊥
⊢ finrank K ↥(s ⊓ t) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.InvariantBasisNumber

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
f : Matrix (Fin m) (Fin n) R
g : Matrix (Fin n) (Fin m) R
⊢ (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin m) R) (opEquiv.mapMatrix.symm (opEquiv.mapMatrix f * opEquiv.mapMatrix g)) =
        (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin m) R) (opEquiv.mapMatrix.symm 1) →
      m ≤ n ↔
    (transposeAddEquiv (Fin n) (Fin m) R).toEquiv g * (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin n) R).toEquiv f = 1 → m ≤ n

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
f : Matrix (Fin m) (Fin n) R
g : Matrix (Fin n) (Fin m) R
⊢ (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin m) R) (opEquiv.mapMatrix.symm (opEquiv.mapMatrix f * opEquiv.mapMatrix g)) =
        (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin m) R) (opEquiv.mapMatrix.symm 1) →
      m ≤ n ↔
    (transposeAddEquiv (Fin n) (Fin m) R).toEquiv g * (transposeAddEquiv (Fin m) (Fin n) R).toEquiv f = 1 → m ≤ n
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Rigid.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : X ⟶ Y ⊗ Z
⊢ 𝟙 X ⊗≫ (𝟙_ C ◁ f ≫ η_ Y Y' ▷ (Y ⊗ Z)) ⊗≫ Y ◁ ε_ Y Y' ▷ Z ⊗≫ 𝟙 (Y ⊗ Z) =
    f ⊗≫ (η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ Y ◁ ε_ Y Y') ▷ Z ⊗≫ 𝟙 (Y ⊗ Z)

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : X ⟶ Y ⊗ Z
⊢ 𝟙 X ⊗≫ (𝟙_ C ◁ f ≫ η_ Y Y' ▷ (Y ⊗ Z)) ⊗≫ Y ◁ ε_ Y Y' ▷ Z ⊗≫ 𝟙 (Y ⊗ Z) =
    f ⊗≫ (η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ Y ◁ ε_ Y Y') ▷ Z ⊗≫ 𝟙 (Y ⊗ Z)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.RankNullity

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
N : Submodule R M
⊢ Module.rank R (M ⧸ N) + Module.rank R ↥N = Module.rank R M

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
N : Submodule R M
⊢ Module.rank R (M ⧸ N) + Module.rank R ↥N = Module.rank R M
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.RankNullity

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : HasRankNullity.{u, u_2} R
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Finite R M
S : Type u_1
inst✝³ : Ring S
inst✝² : SMul R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
N : Submodule S M
⊢ finrank R (M ⧸ N) = finrank R (M ⧸ restrictScalars R N) + finrank R ↥(restrictScalars R N) - finrank R ↥N

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_2
M : Type u
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : HasRankNullity.{u, u_2} R
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Finite R M
S : Type u_1
inst✝³ : Ring S
inst✝² : SMul R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
N : Submodule S M
⊢ finrank R (M ⧸ N) = finrank R (M ⧸ restrictScalars R N) + finrank R ↥(restrictScalars R N) - finrank R ↥N
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteDimensional.Lemmas

Goal state before:
pp: K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdim : finrank K V ≤ finrank K ↥s + finrank K ↥t
hdisjoint : s ⊓ t = ⊥
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Rigid.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : X ⟶ Y ⊗ Z
⊢ f ⊗≫ ⊗𝟙.hom ▷ Z ⊗≫ 𝟙 (Y ⊗ Z) = f

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : X ⟶ Y ⊗ Z
⊢ f ⊗≫ ⊗𝟙.hom ▷ Z ⊗≫ 𝟙 (Y ⊗ Z) = f
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.RankNullity

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : HasRankNullity.{u, u_2} R
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsTorsionFree R M
N : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
L : Submodule R M
inst✝ : Module.Finite R ↥L
f : M →ₗ[R] N
h : finrank R ↥L ≤ finrank R ↥(map f L)
⊢ finrank R ↥(f.domRestrict L).ker = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_2
M : Type u
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : HasRankNullity.{u, u_2} R
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsTorsionFree R M
N : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
L : Submodule R M
inst✝ : Module.Finite R ↥L
f : M →ₗ[R] N
h : finrank R ↥L ≤ finrank R ↥(map f L)
⊢ finrank R ↥(f.domRestrict L).ker = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.RankNullity

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : HasRankNullity.{u, u_2} R
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsTorsionFree R M
N : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
L : Submodule R M
inst✝ : Module.Finite R ↥L
f : M →ₗ[R] N
h : finrank R ↥L ≤ finrank R ↥(f.domRestrict L).range
⊢ finrank R ↥(f.domRestrict L).ker = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_2
M : Type u
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : HasRankNullity.{u, u_2} R
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsTorsionFree R M
N : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
L : Submodule R M
inst✝ : Module.Finite R ↥L
f : M →ₗ[R] N
h : finrank R ↥L ≤ finrank R ↥(f.domRestrict L).range
⊢ finrank R ↥(f.domRestrict L).ker = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FiniteDimensional.Lemmas

Goal state before:
pp: K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdisjoint : Disjoint s t
h_finrank_inf : finrank K ↥(s ⊓ t) = 0
hdim : finrank K V = finrank K ↥s + finrank K ↥t
⊢ finrank K ↥(s ⊔ t) = finrank K ↥s + finrank K ↥t

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdisjoint : Disjoint s t
h_finrank_inf : finrank K ↥(s ⊓ t) = 0
hdim : finrank K V = finrank K ↥s + finrank K ↥t
⊢ finrank K ↥(s ⊔ t) = finrank K ↥s + finrank K ↥t
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.RankNullity

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : HasRankNullity.{u, u_2} R
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsTorsionFree R M
N : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
L : Submodule R M
inst✝ : Module.Finite R ↥L
f : M →ₗ[R] N
h : finrank R ↥L ≤ finrank R ↥(f.domRestrict L).range
this : finrank R ↥(f.domRestrict L).range + finrank R ↥(f.domRestrict L).ker = finrank R ↥L
⊢ finrank R ↥(f.domRestrict L).ker = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_2
M : Type u
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : HasRankNullity.{u, u_2} R
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsTorsionFree R M
N : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
L : Submodule R M
inst✝ : Module.Finite R ↥L
f : M →ₗ[R] N
h : finrank R ↥L ≤ finrank R ↥(f.domRestrict L).range
this : finrank R ↥(f.domRestrict L).range + finrank R ↥(f.domRestrict L).ker = finrank R ↥L
⊢ finrank R ↥(f.domRestrict L).ker = 0
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Rigid.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : X ⊗ Y ⟶ Z
⊢ 𝟙 (X ⊗ Y) ⊗≫ X ◁ η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ ((X ⊗ Y) ◁ ε_ Y Y' ≫ f ▷ 𝟙_ C) ⊗≫ 𝟙 Z =
    𝟙 (X ⊗ Y) ⊗≫ X ◁ (η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ Y ◁ ε_ Y Y') ⊗≫ f

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : X ⊗ Y ⟶ Z
⊢ 𝟙 (X ⊗ Y) ⊗≫ X ◁ η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ ((X ⊗ Y) ◁ ε_ Y Y' ≫ f ▷ 𝟙_ C) ⊗≫ 𝟙 Z =
    𝟙 (X ⊗ Y) ⊗≫ X ◁ (η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ Y ◁ ε_ Y Y') ⊗≫ f