mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hrank : ∀ (n : ℕ), Module.finrank 𝕜 ↥(↑(P n)).range = n
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
n : ℕ
U : Submodule 𝕜 X := (↑(succSub P n)).range
V : Submodule 𝕜 X := (↑(P n)).range
W : Submodule 𝕜 X := (↑(P (n + 1))).range
hV : V ≤ W
hUW : U ≤ W
hW : W = U ⊔ V
hdisj : U ⊓ V = ⊥
this✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 ↥W
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥U
this : FiniteDimensional 𝕜 ↥V
h_dim : 1 + n = Module.finrank 𝕜 ↥U + n
⊢ Module.finrank 𝕜 ↥(↑(succSub P n)).range = 1

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hrank : ∀ (n : ℕ), Module.finrank 𝕜 ↥(↑(P n)).range = n
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
n : ℕ
U : Submodule 𝕜 X := (↑(succSub P n)).range
V : Submodule 𝕜 X := (↑(P n)).range
W : Submodule 𝕜 X := (↑(P (n + 1))).range
hV : V ≤ W
hUW : U ≤ W
hW : W = U ⊔ V
hdisj : U ⊓ V = ⊥
this✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 ↥W
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥U
this : FiniteDimensional 𝕜 ↥V
h_dim : 1 + n = Module.finrank 𝕜 ↥U + n
⊢ Module.finrank 𝕜 ↥(↑(succSub P n)).range = 1
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : ↥(lp G 2)
j : ι
a : G j
⊢ ⟪a, ↑f j⟫ = ⟪a, ↑f j⟫

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : AddCircle T → E
⊢ ∫ (t : AddCircle T), f t ∂haarAddCircle = ∫ (x : AddCircle T), f x ∂haarAddCircle

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : AddCircle T → ℂ
p : ℝ≥0∞
⊢ MemLp f p AddCircle.haarAddCircle ↔ MemLp f p (ENNReal.ofReal T • AddCircle.haarAddCircle)

Tactic:
]

Goal state after:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : AddCircle T → ℂ
p : ℝ≥0∞
⊢ MemLp f p AddCircle.haarAddCircle ↔ MemLp f p (ENNReal.ofReal T • AddCircle.haarAddCircle)
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : AddCircle T → ℂ
p : ℝ≥0∞
hT' : 0 < T
h : MemLp f p (ENNReal.ofReal T • AddCircle.haarAddCircle)
this : MemLp f p AddCircle.haarAddCircle
⊢ MemLp f p AddCircle.haarAddCircle

Tactic:
]

Goal state after:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : AddCircle T → ℂ
p : ℝ≥0∞
hT' : 0 < T
h : MemLp f p (ENNReal.ofReal T • AddCircle.haarAddCircle)
this : MemLp f p AddCircle.haarAddCircle
⊢ MemLp f p AddCircle.haarAddCircle
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝ : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
f : ↥(lp G 2)
⊢ Summable fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ 2

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝ : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
f : ↥(lp G 2)
⊢ Summable fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ 2
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
L : SummationFilter β
b : SchauderBasis 𝕜 X
D : RankOneDecomposition 𝕜 X
coeff : ℕ → X → 𝕜 := D.basisCoeff
hcoeff : ∀ (n : ℕ) (x : X), (succSub D.P n) x = coeff n x • D.e n
n : ℕ
c : 𝕜
x : X
⊢ c • (succSub D.P n) x = c • (succSub D.P n) x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ Complex.exp (↑2 * ↑π / ↑T * (↑n * ↑x) * Complex.I) = Complex.exp (2 * ↑π * Complex.I * ↑n * ↑x / ↑T)

Tactic:
]

Goal state after:
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ Complex.exp (↑2 * ↑π / ↑T * (↑n * ↑x) * Complex.I) = Complex.exp (2 * ↑π * Complex.I * ↑n * ↑x / ↑T)
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ (fourier n) ↑x = Complex.exp (2 * ↑π * Complex.I * ↑n * ↑x / ↑T)

Tactic:
]

Goal state after:
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
⊢ (fourier n) ↑x = Complex.exp (2 * ↑π * Complex.I * ↑n * ↑x / ↑T)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
L : SummationFilter β
b : SchauderBasis 𝕜 X
D : RankOneDecomposition 𝕜 X
coeff : ℕ → X → 𝕜 := D.basisCoeff
hcoeff : ∀ (n : ℕ) (x : X), (succSub D.P n) x = coeff n x • D.e n
n : ℕ
x : X
⊢ ‖{ toFun := coeff n, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x‖ * ‖D.e n‖ ≤ ‖succSub D.P n‖ * ‖x‖

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
L : SummationFilter β
b : SchauderBasis 𝕜 X
D : RankOneDecomposition 𝕜 X
coeff : ℕ → X → 𝕜 := D.basisCoeff
hcoeff : ∀ (n : ℕ) (x : X), (succSub D.P n) x = coeff n x • D.e n
n : ℕ
x : X
⊢ ‖{ toFun := coeff n, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x‖ * ‖D.e n‖ ≤ ‖succSub D.P n‖ * ‖x‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
L : SummationFilter β
b : SchauderBasis 𝕜 X
D : RankOneDecomposition 𝕜 X
coeff : ℕ → X → 𝕜 := D.basisCoeff
hcoeff : ∀ (n : ℕ) (x : X), (succSub D.P n) x = coeff n x • D.e n
n : ℕ
x : X
⊢ ‖coeff n x • D.e n‖ = ‖coeff n x • D.e n‖

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
n : ℤ
⊢ 1 = 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
x : AddCircle T
⊢ ↑x.toCircle = ↑x.toCircle

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: case H
T : ℝ
n : ℤ
z✝ : ℝ
⊢ ↑(⋯.lift ↑(-n • z✝)) = (starRingEnd ℂ) ↑(⋯.lift ↑(n • z✝))

Tactic:
]

Goal state after:
case H
T : ℝ
n : ℤ
z✝ : ℝ
⊢ ↑(⋯.lift ↑(-n • z✝)) = (starRingEnd ℂ) ↑(⋯.lift ↑(n • z✝))
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝¹ : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x : G i
⊢ ∑' (i_1 : ι), (V i_1) (↑(lp.single 2 i x) i_1) = ∑' (b' : ι), if b' = i then (V i) x else 0

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝¹ : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x : G i
⊢ ∑' (i_1 : ι), (V i_1) (↑(lp.single 2 i x) i_1) = ∑' (b' : ι), if b' = i then (V i) x else 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: case e_f
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝¹ : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x : G i
j : ι
⊢ (V j) (Pi.single i x j) = if j = i then (V i) x else 0

Tactic:
]

Goal state after:
case e_f
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝¹ : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x : G i
j : ι
⊢ (V j) (Pi.single i x j) = if j = i then (V i) x else 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
L : SummationFilter β
b : SchauderBasis 𝕜 X
D : RankOneDecomposition 𝕜 X
coeff : ℕ → X → 𝕜 := D.basisCoeff
hcoeff : ∀ (n : ℕ) (x : X), (succSub D.P n) x = coeff n x • D.e n
i j : ℕ
x : X
hx : (succSub D.P j) x = D.e j
⊢ (if i = j then D.e j else 0) = Pi.single j 1 i • D.e i

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
L : SummationFilter β
b : SchauderBasis 𝕜 X
D : RankOneDecomposition 𝕜 X
coeff : ℕ → X → 𝕜 := D.basisCoeff
hcoeff : ∀ (n : ℕ) (x : X), (succSub D.P n) x = coeff n x • D.e n
i j : ℕ
x : X
hx : (succSub D.P j) x = D.e j
⊢ (if i = j then D.e j else 0) = Pi.single j 1 i • D.e i
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
n : ℤ
x : AddCircle T
⊢ (fourier (-n)) x = (starRingEnd ℂ) ((fourier n) x)

Tactic:
]

Goal state after:
T : ℝ
n : ℤ
x : AddCircle T
⊢ (fourier (-n)) x = (starRingEnd ℂ) ((fourier n) x)
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
m n : ℤ
x : AddCircle T
⊢ (fourier (m + n)) x = (fourier m) x * (fourier n) x

Tactic:
]

Goal state after:
T : ℝ
m n : ℤ
x : AddCircle T
⊢ (fourier (m + n)) x = (fourier m) x * (fourier n) x
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
inst✝ : Fact (0 < T)
n : ℤ
⊢ ⨆ x, ‖(fourier n) x‖ = 1

Tactic:
]

Goal state after:
T : ℝ
inst✝ : Fact (0 < T)
n : ℤ
⊢ ⨆ x, ‖(fourier n) x‖ = 1
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝¹ : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (G i)
f : ↥(lp G 2)
s : Finset ι
⊢ ∑ b ∈ s, (fun i ↦ (V i) (↑f i)) b ∈ (⨆ i, (V i).range).toAddSubmonoid

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝¹ : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (G i)
f : ↥(lp G 2)
s : Finset ι
⊢ ∑ b ∈ s, (fun i ↦ (V i) (↑f i)) b ∈ (⨆ i, (V i).range).toAddSubmonoid
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
L : SummationFilter β
b : SchauderBasis 𝕜 X
D : RankOneDecomposition 𝕜 X
coeff : ℕ → X → 𝕜 := D.basisCoeff
hcoeff : ∀ (n : ℕ) (x : X), (succSub D.P n) x = coeff n x • D.e n
x : X
⊢ Tendsto
    ((fun s ↦
        ∑ b ∈ s,
          ({ toFun := coeff b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖succSub D.P b‖ / ‖D.e b‖) ⋯) x • D.e b) ∘
      Finset.range)
    atTop (𝓝 x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
L : SummationFilter β
b : SchauderBasis 𝕜 X
D : RankOneDecomposition 𝕜 X
coeff : ℕ → X → 𝕜 := D.basisCoeff
hcoeff : ∀ (n : ℕ) (x : X), (succSub D.P n) x = coeff n x • D.e n
x : X
⊢ Tendsto
    ((fun s ↦
        ∑ b ∈ s,
          ({ toFun := coeff b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖succSub D.P b‖ / ‖D.e b‖) ⋯) x • D.e b) ∘
      Finset.range)
    atTop (𝓝 x)
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hT : 0 < T
x : AddCircle T
⊢ ↑(n • x).toCircle * ↑(toCircle ↑(n • (T / 2 / ↑n))) = -(fourier n) x

Tactic:
]

Goal state after:
T : ℝ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hT : 0 < T
x : AddCircle T
⊢ ↑(n • x).toCircle * ↑(toCircle ↑(n • (T / 2 / ↑n))) = -(fourier n) x
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
L : SummationFilter β
b : SchauderBasis 𝕜 X
D : RankOneDecomposition 𝕜 X
coeff : ℕ → X → 𝕜 := D.basisCoeff
hcoeff : ∀ (n : ℕ) (x : X), (succSub D.P n) x = coeff n x • D.e n
x : X
n : ℕ
⊢ (D.P n) x = (D.P n) x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hT : 0 < T
x : AddCircle T
⊢ Complex.exp (↑(2 * π / T * (↑n * (T / 2 / ↑n))) * Complex.I) = -1

Tactic:
]

Goal state after:
T : ℝ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hT : 0 < T
x : AddCircle T
⊢ Complex.exp (↑(2 * π / T * (↑n * (T / 2 / ↑n))) * Complex.I) = -1
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hT : 0 < T
x : AddCircle T
this : ↑(toCircle ↑(n • (T / 2 / ↑n))) = -1
⊢ ↑(n • x).toCircle * -1 = -(fourier n) x

Tactic:
]

Goal state after:
T : ℝ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hT : 0 < T
x : AddCircle T
this : ↑(toCircle ↑(n • (T / 2 / ↑n))) = -1
⊢ ↑(n • x).toCircle * -1 = -(fourier n) x
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝¹ : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (G i)
hVortho : OrthogonalFamily 𝕜 G V
hVtotal : ⊤ ≤ (⨆ i, (V i).range).topologicalClosure
⊢ Function.Surjective ⇑hVortho.linearIsometry.toLinearMap

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝¹ : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (G i)
hVortho : OrthogonalFamily 𝕜 G V
hVtotal : ⊤ ≤ (⨆ i, (V i).range).topologicalClosure
⊢ Function.Surjective ⇑hVortho.linearIsometry.toLinearMap
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
D : RankOneDecomposition 𝕜 X
n : ℕ
x✝ : X
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, (D.basis.coord i) x✝ • ↑D.basis i = (∑ i ∈ Finset.range n, succSub D.P i) x✝

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
D : RankOneDecomposition 𝕜 X
n : ℕ
x✝ : X
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, (D.basis.coord i) x✝ • ↑D.basis i = (∑ i ∈ Finset.range n, succSub D.P i) x✝
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
D : RankOneDecomposition 𝕜 X
n : ℕ
x✝¹ : X
i : ℕ
x✝ : i ∈ Finset.range n
⊢ (succSub D.P i) x✝¹ = (succSub D.P i) x✝¹

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝² : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
W₀ : Π₀ (i : ι), G i
⊢ ↑(hV.linearIsometryEquiv (W₀.sum fun a ↦ ⇑(V a))) = ⇑W₀

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝² : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
W₀ : Π₀ (i : ι), G i
⊢ ↑(hV.linearIsometryEquiv (W₀.sum fun a ↦ ⇑(V a))) = ⇑W₀
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : x ≠ y
⊢ ↑x.toCircle ≠ ↑y.toCircle

Tactic:
]

Goal state after:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : x ≠ y
⊢ ↑x.toCircle ≠ ↑y.toCircle
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : x.toCircle = y.toCircle
⊢ x = y

Tactic:
]

Goal state after:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : x.toCircle = y.toCircle
⊢ x = y
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝² : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
W₀ : Π₀ (i : ι), G i
⊢ ↑(hV.linearIsometryEquiv (hV.linearIsometryEquiv.symm (W₀.sum (lp.single 2)))) = ⇑W₀

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝² : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
W₀ : Π₀ (i : ι), G i
⊢ ↑(hV.linearIsometryEquiv (hV.linearIsometryEquiv.symm (W₀.sum (lp.single 2)))) = ⇑W₀
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
⊢ (Subalgebra.toSubmodule fourierSubalgebra.toSubalgebra).topologicalClosure = ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
⊢ (Subalgebra.toSubmodule fourierSubalgebra.toSubalgebra).topologicalClosure = ⊤
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝² : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
W₀ : Π₀ (i : ι), G i
⊢ ↑(W₀.sum (lp.single 2)) = ⇑W₀

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝² : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
W₀ : Π₀ (i : ι), G i
⊢ ↑(W₀.sum (lp.single 2)) = ⇑W₀
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: case e'_9
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ∞
e_3✝ : Complex.instSemiring = NormedField.toNormedCommRing.toSemiring
e_6✝ : Lp.instModule ≍ Lp.instModule
⊢ span ℂ (range (fourierLp p)) = span ℂ (⇑↑(toLp p haarAddCircle ℂ) '' range fourier)

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_9
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ∞
e_3✝ : Complex.instSemiring = NormedField.toNormedCommRing.toSemiring
e_6✝ : Lp.instModule ≍ Lp.instModule
⊢ span ℂ (range (fourierLp p)) = span ℂ (⇑↑(toLp p haarAddCircle ℂ) '' range fourier)
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: case e'_9
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ∞
e_3✝ : Complex.instSemiring = NormedField.toNormedCommRing.toSemiring
e_6✝ : Lp.instModule ≍ Lp.instModule
⊢ span ℂ (⇑(toLp p haarAddCircle ℂ) '' range fourier) = span ℂ (⇑↑(toLp p haarAddCircle ℂ) '' range fourier)

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_9
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ∞
e_3✝ : Complex.instSemiring = NormedField.toNormedCommRing.toSemiring
e_6✝ : Lp.instModule ≍ Lp.instModule
⊢ span ℂ (⇑(toLp p haarAddCircle ℂ) '' range fourier) = span ℂ (⇑↑(toLp p haarAddCircle ℂ) '' range fourier)
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
⊢ ∀ (i j : ℤ), inner ℂ (fourierLp 2 i) (fourierLp 2 j) = if i = j then 1 else 0

Tactic:
]

Goal state after:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
⊢ ∀ (i j : ℤ), inner ℂ (fourierLp 2 i) (fourierLp 2 j) = if i = j then 1 else 0
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
i j : ℤ
⊢ ∫ (x : AddCircle T), (fourier j) x * (starRingEnd ℂ) ((fourier i) x) ∂haarAddCircle = if i = j then 1 else 0

Tactic:
]

Goal state after:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
i j : ℤ
⊢ ∫ (x : AddCircle T), (fourier j) x * (starRingEnd ℂ) ((fourier i) x) ∂haarAddCircle = if i = j then 1 else 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
K : Submodule 𝕜 E
hK : CompleteSpace ↥K
this : ∀ (b : Bool), CompleteSpace ↥(bif b then K else Kᗮ)
⊢ ⊤ ≤ K ⊔ Kᗮ

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
K : Submodule 𝕜 E
hK : CompleteSpace ↥K
this : ∀ (b : Bool), CompleteSpace ↥(bif b then K else Kᗮ)
⊢ ⊤ ≤ K ⊔ Kᗮ
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : AddCircle T → E
n : ℤ
a : ℝ
this : ∀ (x : ℝ), (fourier (-n)) ↑x • f ↑x = (fun z ↦ (fourier (-n)) z • f z) ↑x
⊢ ∫ (t : AddCircle T), (fourier (-n)) t • f t ∂haarAddCircle =
    ∫ (x : AddCircle T), (fourier (-n)) x • f x ∂haarAddCircle

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
v : E
i : ι
⊢ ↑(b.repr v) i = ⟪1, ↑(b.repr v) i⟫

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
v : E
i : ι
⊢ ↑(b.repr v) i = ⟪1, ↑(b.repr v) i⟫
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
⊢ ∀ (i j : ι), ⟪b i, b j⟫ = if i = j then 1 else 0

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
⊢ ∀ (i j : ι), ⟪b i, b j⟫ = if i = j then 1 else 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
i j : ι
⊢ ⟪1, if i = j then 1 else 0⟫ = if i = j then 1 else 0

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
i j : ι
⊢ ⟪1, if i = j then 1 else 0⟫ = if i = j then 1 else 0