mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorAlgebra.ToTensorPower

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n✝ n : ℕ
x₀ : M
x : Fin n → M
ih :
  (List.map (fun a ↦ GradedMonoid.mk 1 ((PiTensorProduct.tprod R) fun x_1 ↦ x a)) (List.finRange n)).prod =
    GradedMonoid.mk n ((PiTensorProduct.tprod R) x)
⊢ GradedMonoid.mk (1 + n) ((PiTensorProduct.tprod R) (Fin.append (fun x ↦ x₀) x)) =
    GradedMonoid.mk (n + 1) ((PiTensorProduct.tprod R) (Fin.cons x₀ x))

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n✝ n : ℕ
x₀ : M
x : Fin n → M
ih :
  (List.map (fun a ↦ GradedMonoid.mk 1 ((PiTensorProduct.tprod R) fun x_1 ↦ x a)) (List.finRange n)).prod =
    GradedMonoid.mk n ((PiTensorProduct.tprod R) x)
⊢ GradedMonoid.mk (1 + n) ((PiTensorProduct.tprod R) (Fin.append (fun x ↦ x₀) x)) =
    GradedMonoid.mk (n + 1) ((PiTensorProduct.tprod R) (Fin.cons x₀ x))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorAlgebra.ToTensorPower

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n✝ n : ℕ
x₀ : M
x : Fin n → M
ih :
  (List.map (fun a ↦ GradedMonoid.mk 1 ((PiTensorProduct.tprod R) fun x_1 ↦ x a)) (List.finRange n)).prod =
    GradedMonoid.mk n ((PiTensorProduct.tprod R) x)
⊢ (PiTensorProduct.tprod R) (Fin.append (fun x ↦ x₀) x ∘ Fin.cast ⋯) = (PiTensorProduct.tprod R) (Fin.cons x₀ x)

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n✝ n : ℕ
x₀ : M
x : Fin n → M
ih :
  (List.map (fun a ↦ GradedMonoid.mk 1 ((PiTensorProduct.tprod R) fun x_1 ↦ x a)) (List.finRange n)).prod =
    GradedMonoid.mk n ((PiTensorProduct.tprod R) x)
⊢ (PiTensorProduct.tprod R) (Fin.append (fun x ↦ x₀) x ∘ Fin.cast ⋯) = (PiTensorProduct.tprod R) (Fin.cons x₀ x)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorAlgebra.ToTensorPower

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M
⊢ (List.ofFn (⇑toDirectSum ∘ fun i ↦ (ι R) (x i))).prod =
    (DirectSum.of (fun i ↦ ⨂[R]^i M) n) ((PiTensorProduct.tprod R) x)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M
⊢ (List.ofFn (⇑toDirectSum ∘ fun i ↦ (ι R) (x i))).prod =
    (DirectSum.of (fun i ↦ ⨂[R]^i M) n) ((PiTensorProduct.tprod R) x)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorAlgebra.ToTensorPower

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M
⊢ (DirectSum.of (fun n ↦ ⨂[R]^n M) ((List.finRange n).dProdIndex fun x ↦ 1))
      ((List.finRange n).dProd (fun x ↦ 1) fun x_1 ↦ (PiTensorProduct.tprod R) fun x_2 ↦ x x_1) =
    (DirectSum.of (fun i ↦ ⨂[R]^i M) n) ((PiTensorProduct.tprod R) x)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M
⊢ (DirectSum.of (fun n ↦ ⨂[R]^n M) ((List.finRange n).dProdIndex fun x ↦ 1))
      ((List.finRange n).dProd (fun x ↦ 1) fun x_1 ↦ (PiTensorProduct.tprod R) fun x_2 ↦ x x_1) =
    (DirectSum.of (fun i ↦ ⨂[R]^i M) n) ((PiTensorProduct.tprod R) x)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorAlgebra.ToTensorPower

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M
⊢ (List.map (fun a ↦ GradedMonoid.mk 1 ((PiTensorProduct.tprod R) fun x_1 ↦ x a)) (List.finRange n)).prod =
    GradedMonoid.mk n ((PiTensorProduct.tprod R) x)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M
⊢ (List.map (fun a ↦ GradedMonoid.mk 1 ((PiTensorProduct.tprod R) fun x_1 ↦ x a)) (List.finRange n)).prod =
    GradedMonoid.mk n ((PiTensorProduct.tprod R) x)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorAlgebra.ToTensorPower

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M
⊢ GradedMonoid.mk n ((PiTensorProduct.tprod R) x) = GradedMonoid.mk n ((PiTensorProduct.tprod R) x)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.Grading

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
m : M
⊢ (ι R) m = (CliffordAlgebra.ι 0) m

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.Grading

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ ∀ (x : ExteriorAlgebra R M), x ∈ Submodule.span R (Set.range fun x ↦ (ιMulti R x.fst) x.snd)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ ∀ (x : ExteriorAlgebra R M), x ∈ Submodule.span R (Set.range fun x ↦ (ιMulti R x.fst) x.snd)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.ExteriorAlgebra.Grading

Goal state before:
pp: case homogeneous
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
i✝ : ℕ
hm✝ : ↥(⋀[R]^i✝ M)
m : ExteriorAlgebra R M
hm : m ∈ ⋀[R]^i✝ M
⊢ ↑(Submodule.span R (Set.range ⇑(ιMulti R i✝))) ⊆ ↑(Submodule.span R (Set.range fun x ↦ (ιMulti R x.fst) x.snd))

Tactic:
]

Goal state after:
case homogeneous
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
i✝ : ℕ
hm✝ : ↥(⋀[R]^i✝ M)
m : ExteriorAlgebra R M
hm : m ∈ ⋀[R]^i✝ M
⊢ ↑(Submodule.span R (Set.range ⇑(ιMulti R i✝))) ⊆ ↑(Submodule.span R (Set.range fun x ↦ (ιMulti R x.fst) x.snd))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
i : Fin n
⊢ bM.equivFun ↑(bN i) = Pi.single (f i) (a i)

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
i : Fin n
⊢ bM.equivFun ↑(bN i) = Pi.single (f i) (a i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.ModN

Goal state before:
pp: G : Type u_1
H : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup G
n : ℕ
inst✝ : AddMonoid M
f : ModN G n →+ M
g : G
Gn : AddSubgroup G := ((LinearMap.lsmul ℤ G) ↑n).range.toAddSubgroup
this : n • g ∈ (QuotientAddGroup.mk' Gn).ker
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int

Goal state before:
pp: case e'_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' : ∀ (i : Fin n), ↑(bN' i) = Pi.single (f i) (a i)
e : (ι → R) ≃+ M := ↑bM.equivFun.symm
he : e = ↑bM.equivFun.symm
e' : (ι → R) →+ M := ↑e
he' : Function.Surjective ⇑e'
e_2✝ : Pi.addCommGroup.toAddGroup = Pi.addGroup
⊢ (Submodule.map (↑bM.equivFun) N).toAddSubgroup = AddSubgroup.map (↑↑bM.equivFun) N.toAddSubgroup

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' : ∀ (i : Fin n), ↑(bN' i) = Pi.single (f i) (a i)
e : (ι → R) ≃+ M := ↑bM.equivFun.symm
he : e = ↑bM.equivFun.symm
e' : (ι → R) →+ M := ↑e
he' : Function.Surjective ⇑e'
e_2✝ : Pi.addCommGroup.toAddGroup = Pi.addGroup
⊢ (Submodule.map (↑bM.equivFun) N).toAddSubgroup = AddSubgroup.map (↑↑bM.equivFun) N.toAddSubgroup
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' : ∀ (i : Fin n), ↑(bN' i) = Pi.single (f i) (a i)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = N'.toAddSubgroup.index
⊢ N'.toAddSubgroup.index = Nat.card R ^ (Fintype.card ι - n) * ∏ i, (Submodule.toAddSubgroup (Ideal.span {a i})).index

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' : ∀ (i : Fin n), ↑(bN' i) = Pi.single (f i) (a i)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = N'.toAddSubgroup.index
⊢ N'.toAddSubgroup.index = Nat.card R ^ (Fintype.card ι - n) * ∏ i, (Submodule.toAddSubgroup (Ideal.span {a i})).index
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.ModN

Goal state before:
pp: case refine_1
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup G
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ι : Type u_4
b : Basis ι ℤ G
nG : Submodule ℤ G := ((LinearMap.lsmul ℤ G) ↑n).range
H : Type u_1 := G ⧸ nG
φ : G →ₗ[ℤ] H := nG.mkQ
mod : (ι →₀ ℤ) →ₗ[ℤ] ι →₀ ZMod n := mapRange.linearMap (Int.castAddHom (ZMod n)).toIntLinearMap
f : G →ₗ[ℤ] ι →₀ ℤ := ↑b.repr
hker : nG ≤ (mod ∘ₗ f).ker
g : H →ₗ[ℤ] ι →₀ ZMod n := nG.liftQ (mod ∘ₗ f) hker
⊢ ∀ (x : G), g (nG.mkQ x) = 0 → nG.mkQ x = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup G
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ι : Type u_4
b : Basis ι ℤ G
nG : Submodule ℤ G := ((LinearMap.lsmul ℤ G) ↑n).range
H : Type u_1 := G ⧸ nG
φ : G →ₗ[ℤ] H := nG.mkQ
mod : (ι →₀ ℤ) →ₗ[ℤ] ι →₀ ZMod n := mapRange.linearMap (Int.castAddHom (ZMod n)).toIntLinearMap
f : G →ₗ[ℤ] ι →₀ ℤ := ↑b.repr
hker : nG ≤ (mod ∘ₗ f).ker
g : H →ₗ[ℤ] ι →₀ ZMod n := nG.liftQ (mod ∘ₗ f) hker
⊢ ∀ (x : G), g (nG.mkQ x) = 0 → nG.mkQ x = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' : ∀ (i : Fin n), ↑(bN' i) = Pi.single (f i) (a i)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = N'.toAddSubgroup.index
c : Fin n → R
i : ι
h : ∃ j, f j = i
j : Fin n
hj : j ≠ h.choose
hinj : f j ≠ i
⊢ (c j • if i = f j then a j else 0) = 0

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' : ∀ (i : Fin n), ↑(bN' i) = Pi.single (f i) (a i)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = N'.toAddSubgroup.index
c : Fin n → R
i : ι
h : ∃ j, f j = i
j : Fin n
hj : j ≠ h.choose
hinj : f j ≠ i
⊢ (c j • if i = f j then a j else 0) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.ModN

Goal state before:
pp: case refine_1
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup G
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ι : Type u_4
b : Basis ι ℤ G
nG : Submodule ℤ G := ((LinearMap.lsmul ℤ G) ↑n).range
H : Type u_1 := G ⧸ nG
φ : G →ₗ[ℤ] H := nG.mkQ
mod : (ι →₀ ℤ) →ₗ[ℤ] ι →₀ ZMod n := mapRange.linearMap (Int.castAddHom (ZMod n)).toIntLinearMap
f : G →ₗ[ℤ] ι →₀ ℤ := ↑b.repr
hker : nG ≤ (mod ∘ₗ f).ker
g : H →ₗ[ℤ] ι →₀ ZMod n := nG.liftQ (mod ∘ₗ f) hker
x : G
hx : (mod ∘ₗ f) x = 0
⊢ nG.mkQ x = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup G
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ι : Type u_4
b : Basis ι ℤ G
nG : Submodule ℤ G := ((LinearMap.lsmul ℤ G) ↑n).range
H : Type u_1 := G ⧸ nG
φ : G →ₗ[ℤ] H := nG.mkQ
mod : (ι →₀ ℤ) →ₗ[ℤ] ι →₀ ZMod n := mapRange.linearMap (Int.castAddHom (ZMod n)).toIntLinearMap
f : G →ₗ[ℤ] ι →₀ ℤ := ↑b.repr
hker : nG ≤ (mod ∘ₗ f).ker
g : H →ₗ[ℤ] ι →₀ ZMod n := nG.liftQ (mod ∘ₗ f) hker
x : G
hx : (mod ∘ₗ f) x = 0
⊢ nG.mkQ x = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Goursat

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
L : Submodule R (M × N)
hL₁ : Surjective (Prod.fst ∘ ⇑L.subtype)
hL₂ : Surjective (Prod.snd ∘ ⇑L.subtype)
e : M ⧸ L.goursatFst ≃+ N ⧸ L.goursatSnd
he :
  (((QuotientAddGroup.mk' L.toAddSubgroup.goursatFst).prodMap (QuotientAddGroup.mk' L.toAddSubgroup.goursatSnd)).comp
        L.toAddSubgroup.subtype).range =
    e.toAddMonoidHom.graph
r : R
x : M ⧸ L.goursatFst
⊢ r • (x, e x) ∈
    (((QuotientAddGroup.mk' L.toAddSubgroup.goursatFst).prodMap (QuotientAddGroup.mk' L.toAddSubgroup.goursatSnd)).comp
        L.toAddSubgroup.subtype).range

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
L : Submodule R (M × N)
hL₁ : Surjective (Prod.fst ∘ ⇑L.subtype)
hL₂ : Surjective (Prod.snd ∘ ⇑L.subtype)
e : M ⧸ L.goursatFst ≃+ N ⧸ L.goursatSnd
he :
  (((QuotientAddGroup.mk' L.toAddSubgroup.goursatFst).prodMap (QuotientAddGroup.mk' L.toAddSubgroup.goursatSnd)).comp
        L.toAddSubgroup.subtype).range =
    e.toAddMonoidHom.graph
r : R
x : M ⧸ L.goursatFst
⊢ r • (x, e x) ∈
    (((QuotientAddGroup.mk' L.toAddSubgroup.goursatFst).prodMap (QuotientAddGroup.mk' L.toAddSubgroup.goursatSnd)).comp
        L.toAddSubgroup.subtype).range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int

Goal state before:
pp: case e'_2.a
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' : ∀ (i : Fin n), ↑(bN' i) = Pi.single (f i) (a i)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = N'.toAddSubgroup.index
c : Fin n → R
i : ι
h : ∀ (x : Fin n), ¬f x = i
j : Fin n
a✝ : j ∈ Finset.univ
⊢ (c j • if i = f j then a j else 0) = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_2.a
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' : ∀ (i : Fin n), ↑(bN' i) = Pi.single (f i) (a i)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = N'.toAddSubgroup.index
c : Fin n → R
i : ι
h : ∀ (x : Fin n), ¬f x = i
j : Fin n
a✝ : j ∈ Finset.univ
⊢ (c j • if i = f j then a j else 0) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.ModN

Goal state before:
pp: case refine_1
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup G
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ι : Type u_4
b : Basis ι ℤ G
nG : Submodule ℤ G := ((LinearMap.lsmul ℤ G) ↑n).range
H : Type u_1 := G ⧸ nG
φ : G →ₗ[ℤ] H := nG.mkQ
mod : (ι →₀ ℤ) →ₗ[ℤ] ι →₀ ZMod n := mapRange.linearMap (Int.castAddHom (ZMod n)).toIntLinearMap
f : G →ₗ[ℤ] ι →₀ ℤ := ↑b.repr
hker : nG ≤ (mod ∘ₗ f).ker
g : H →ₗ[ℤ] ι →₀ ZMod n := nG.liftQ (mod ∘ₗ f) hker
x : G
hx : ∀ (b : ι), ↑n ∣ (f x) b
⊢ x ∈ nG

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup G
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ι : Type u_4
b : Basis ι ℤ G
nG : Submodule ℤ G := ((LinearMap.lsmul ℤ G) ↑n).range
H : Type u_1 := G ⧸ nG
φ : G →ₗ[ℤ] H := nG.mkQ
mod : (ι →₀ ℤ) →ₗ[ℤ] ι →₀ ZMod n := mapRange.linearMap (Int.castAddHom (ZMod n)).toIntLinearMap
f : G →ₗ[ℤ] ι →₀ ℤ := ↑b.repr
hker : nG ≤ (mod ∘ₗ f).ker
g : H →ₗ[ℤ] ι →₀ ZMod n := nG.liftQ (mod ∘ₗ f) hker
x : G
hx : ∀ (b : ι), ↑n ∣ (f x) b
⊢ x ∈ nG
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Goursat

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
L : Submodule R (M × N)
hL₁ : Surjective (Prod.fst ∘ ⇑L.subtype)
hL₂ : Surjective (Prod.snd ∘ ⇑L.subtype)
e : M ⧸ L.goursatFst ≃+ N ⧸ L.goursatSnd
he :
  (((QuotientAddGroup.mk' L.toAddSubgroup.goursatFst).prodMap (QuotientAddGroup.mk' L.toAddSubgroup.goursatSnd)).comp
        L.toAddSubgroup.subtype).range =
    e.toAddMonoidHom.graph
r : R
x : M ⧸ L.goursatFst
this :
  ∃ x_1,
    (((QuotientAddGroup.mk' L.toAddSubgroup.goursatFst).prodMap (QuotientAddGroup.mk' L.toAddSubgroup.goursatSnd)).comp
          L.toAddSubgroup.subtype)
        x_1 =
      (x, e x)
⊢ r • (x, e x) ∈
    (((QuotientAddGroup.mk' L.toAddSubgroup.goursatFst).prodMap (QuotientAddGroup.mk' L.toAddSubgroup.goursatSnd)).comp
        L.toAddSubgroup.subtype).range

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
L : Submodule R (M × N)
hL₁ : Surjective (Prod.fst ∘ ⇑L.subtype)
hL₂ : Surjective (Prod.snd ∘ ⇑L.subtype)
e : M ⧸ L.goursatFst ≃+ N ⧸ L.goursatSnd
he :
  (((QuotientAddGroup.mk' L.toAddSubgroup.goursatFst).prodMap (QuotientAddGroup.mk' L.toAddSubgroup.goursatSnd)).comp
        L.toAddSubgroup.subtype).range =
    e.toAddMonoidHom.graph
r : R
x : M ⧸ L.goursatFst
this :
  ∃ x_1,
    (((QuotientAddGroup.mk' L.toAddSubgroup.goursatFst).prodMap (QuotientAddGroup.mk' L.toAddSubgroup.goursatSnd)).comp
          L.toAddSubgroup.subtype)
        x_1 =
      (x, e x)
⊢ r • (x, e x) ∈
    (((QuotientAddGroup.mk' L.toAddSubgroup.goursatFst).prodMap (QuotientAddGroup.mk' L.toAddSubgroup.goursatSnd)).comp
        L.toAddSubgroup.subtype).range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int

Goal state before:
pp: case e'_2.a
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' : ∀ (i : Fin n), ↑(bN' i) = Pi.single (f i) (a i)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = N'.toAddSubgroup.index
c : Fin n → R
i : ι
j : Fin n
h : ¬i = f j
a✝ : j ∈ Finset.univ
⊢ (c j • if i = f j then a j else 0) = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_2.a
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' : ∀ (i : Fin n), ↑(bN' i) = Pi.single (f i) (a i)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = N'.toAddSubgroup.index
c : Fin n → R
i : ι
j : Fin n
h : ¬i = f j
a✝ : j ∈ Finset.univ
⊢ (c j • if i = f j then a j else 0) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeProduct.Basic

Goal state before:
pp: I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
⊢ ringConGen (rel R A) = (ringConGen (rel R A on ⇑ofDirectSum)).comap (powerAlgebraEquivFreeTensorAlgebra R A).symm

Tactic:
]

Goal state after:
I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
⊢ ringConGen (rel R A) = (ringConGen (rel R A on ⇑ofDirectSum)).comap (powerAlgebraEquivFreeTensorAlgebra R A).symm
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeProduct.Basic

Goal state before:
pp: I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
⊢ ringConGen (rel R A) =
    ringConGen (rel R A on ⇑ofDirectSum on ⇑(powerAlgebraEquivFreeTensorAlgebra R A).toRingEquiv.symm)

Tactic:
]

Goal state after:
I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
⊢ ringConGen (rel R A) =
    ringConGen (rel R A on ⇑ofDirectSum on ⇑(powerAlgebraEquivFreeTensorAlgebra R A).toRingEquiv.symm)