mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.RieszLemma

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
Rpos : 0 < R
⊢ ‖c‖ < 1 * R

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
Rpos : 0 < R
⊢ ‖c‖ < 1 * R
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(α →₁ₛ[μ] E)
this : (setToL1 hT') ↑f = (setToL1SCLM α E μ hT) f
⊢ (setToL1 hT') ↑f = (setToL1 hT') ↑f

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(α →₁ₛ[μ] E)
⊢ (setToL1SCLM α E μ hT') f = (setToL1SCLM α E μ hT) f

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(α →₁ₛ[μ] E)
⊢ (setToL1SCLM α E μ hT') f = (setToL1SCLM α E μ hT) f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = T' s
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(α →₁ₛ[μ] E)
this : (setToL1 hT') ↑f = (setToL1SCLM α E μ hT) f
⊢ (setToL1 hT') ↑f = (setToL1 hT') ↑f

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = T' s
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(α →₁ₛ[μ] E)
⊢ (setToL1SCLM α E μ hT') f = (setToL1SCLM α E μ hT) f

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = T' s
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(α →₁ₛ[μ] E)
⊢ (setToL1SCLM α E μ hT') f = (setToL1SCLM α E μ hT) f
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.RieszLemma

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
Rpos : 0 < R
this : ‖c‖ / R < 1
x : E
xF : x ∉ F
hx : ∀ y ∈ F, ‖c‖ / R * ‖x‖ ≤ ‖x - y‖
x0 : x ≠ 0
d : 𝕜
d0 : d ≠ 0
dxlt : ‖d • x‖ < R
ledx : R / ‖c‖ ≤ ‖d • x‖
y : E
hy : y ∈ F
y' : E := d⁻¹ • y
yy' : y = d • y'
⊢ ‖d‖ * ‖x - y'‖ = ‖d‖ * ‖x - y'‖

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : IsBoundedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : IsBoundedSMul 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ (setToL1' 𝕜 hT h_smul) (c • f) = c • (setToL1' 𝕜 hT h_smul) f

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : IsBoundedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : IsBoundedSMul 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ (setToL1' 𝕜 hT h_smul) (c • f) = c • (setToL1' 𝕜 hT h_smul) f
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.RieszLemma

Goal state before:
pp: case inl
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
s : Set F
hx : x ∈ s
h₀ : infDist x sᶜ = 0
⊢ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] {x} ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
s : Set F
hx : x ∈ s
h₀ : infDist x sᶜ = 0
⊢ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] {x} ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ∞
x : E
⊢ (setToL1SCLM α E μ hT) (indicatorConst 1 hs ⋯ x) = (T s) x

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ∞
x : E
⊢ (setToL1SCLM α E μ hT) (indicatorConst 1 hs ⋯ x) = (T s) x
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.RieszLemma

Goal state before:
pp: case inr
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
s : Set F
hx : x ∈ s
h₀ : infDist x sᶜ ≠ 0
⊢ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (ball x (infDist x sᶜ)) ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
s : Set F
hx : x ∈ s
h₀ : infDist x sᶜ ≠ 0
⊢ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (ball x (infDist x sᶜ)) ⊆
    closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ∞
x : E
⊢ (setToL1 hT) ↑(indicatorConst 1 hs hμs x) = (T s) x

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ∞
x : E
⊢ (setToL1 hT) ↑(indicatorConst 1 hs hμs x) = (T s) x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case indicatorConst
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : PartialOrder G''
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : CompleteSpace G''
inst✝ : OrderClosedTopology G''
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ∞
⊢ (T s) c ≤ (T' s) c

Tactic:
]

Goal state after:
case indicatorConst
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : PartialOrder G''
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : CompleteSpace G''
inst✝ : OrderClosedTopology G''
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
c : E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ∞
⊢ (T s) c ≤ (T' s) c
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.RieszLemma

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
r : ℝ
hr : r < 1
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ F
h : ∀ y ∈ F, r * ‖x₀‖ ≤ ‖x₀ - y‖
hx₀' : x₀ ≠ 0
⊢ x₀ ∉ F

pp: case refine_1.s0
𝕜 : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
r : ℝ
hr : r < 1
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ F
h : ∀ y ∈ F, r * ‖x₀‖ ≤ ‖x₀ - y‖
hx₀' : x₀ ≠ 0
⊢ (↑‖x₀‖)⁻¹ ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
r : ℝ
hr : r < 1
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ F
h : ∀ y ∈ F, r * ‖x₀‖ ≤ ‖x₀ - y‖
hx₀' : x₀ ≠ 0
⊢ x₀ ∉ F

case refine_1.s0
𝕜 : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
r : ℝ
hr : r < 1
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ F
h : ∀ y ∈ F, r * ‖x₀‖ ≤ ‖x₀ - y‖
hx₀' : x₀ ≠ 0
⊢ (↑‖x₀‖)⁻¹ ≠ 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case add
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : PartialOrder G''
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : CompleteSpace G''
inst✝ : OrderClosedTopology G''
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f g : α → E
hf : MemLp f 1 μ
hg : MemLp g 1 μ
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf_le : (setToL1 hT) (MemLp.toLp f hf) ≤ (setToL1 hT') (MemLp.toLp f hf)
hg_le : (setToL1 hT) (MemLp.toLp g hg) ≤ (setToL1 hT') (MemLp.toLp g hg)
⊢ (setToL1 hT) (MemLp.toLp f hf) + (setToL1 hT) (MemLp.toLp g hg) ≤
    (setToL1 hT') (MemLp.toLp f hf) + (setToL1 hT') (MemLp.toLp g hg)

Tactic:
]

Goal state after:
case add
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : PartialOrder G''
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : CompleteSpace G''
inst✝ : OrderClosedTopology G''
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f g : α → E
hf : MemLp f 1 μ
hg : MemLp g 1 μ
a✝ : Disjoint (Function.support f) (Function.support g)
hf_le : (setToL1 hT) (MemLp.toLp f hf) ≤ (setToL1 hT') (MemLp.toLp f hf)
hg_le : (setToL1 hT) (MemLp.toLp g hg) ≤ (setToL1 hT') (MemLp.toLp g hg)
⊢ (setToL1 hT) (MemLp.toLp f hf) + (setToL1 hT) (MemLp.toLp g hg) ≤
    (setToL1 hT') (MemLp.toLp f hf) + (setToL1 hT') (MemLp.toLp g hg)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.RieszLemma

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
r : ℝ
hr : r < 1
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ F
h : ∀ y ∈ F, r * ‖x₀‖ ≤ ‖x₀ - y‖
hx₀' : x₀ ≠ 0
y : E
hy : y ∈ F
⊢ ‖x₀‖⁻¹ * ‖x₀ - ↑‖x₀‖ • y‖ = ‖x₀‖⁻¹ * ‖x₀ - ↑‖x₀‖ • y‖

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.RieszLemma

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
r : ℝ
hr : r < 1
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ F
h : ∀ y ∈ F, r * ‖x₀‖ ≤ ‖x₀ - y‖
hx₀' : x₀ ≠ 0
y : E
hy : y ∈ F
h₂ : ‖(↑‖x₀‖)⁻¹ • (x₀ - ↑‖x₀‖ • y)‖ = ‖x₀‖⁻¹ * ‖x₀ - ↑‖x₀‖ • y‖
h₁ : r ≤ ‖(↑‖x₀‖)⁻¹ • x₀ - y‖
⊢ r ≤ ‖(↑‖x₀‖)⁻¹ • x₀ - y‖

pp: case refine_2.ha
𝕜 : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
r : ℝ
hr : r < 1
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ F
h : ∀ y ∈ F, r * ‖x₀‖ ≤ ‖x₀ - y‖
hx₀' : x₀ ≠ 0
y : E
hy : y ∈ F
h₂ : ‖(↑‖x₀‖)⁻¹ • (x₀ - ↑‖x₀‖ • y)‖ = ‖x₀‖⁻¹ * ‖x₀ - ↑‖x₀‖ • y‖
h₁ : r ≤ ‖(↑‖x₀‖)⁻¹ • x₀ - (↑‖x₀‖)⁻¹ • ↑‖x₀‖ • y‖
⊢ ↑‖x₀‖ ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
r : ℝ
hr : r < 1
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ F
h : ∀ y ∈ F, r * ‖x₀‖ ≤ ‖x₀ - y‖
hx₀' : x₀ ≠ 0
y : E
hy : y ∈ F
h₂ : ‖(↑‖x₀‖)⁻¹ • (x₀ - ↑‖x₀‖ • y)‖ = ‖x₀‖⁻¹ * ‖x₀ - ↑‖x₀‖ • y‖
h₁ : r ≤ ‖(↑‖x₀‖)⁻¹ • x₀ - y‖
⊢ r ≤ ‖(↑‖x₀‖)⁻¹ • x₀ - y‖

case refine_2.ha
𝕜 : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
r : ℝ
hr : r < 1
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ F
h : ∀ y ∈ F, r * ‖x₀‖ ≤ ‖x₀ - y‖
hx₀' : x₀ ≠ 0
y : E
hy : y ∈ F
h₂ : ‖(↑‖x₀‖)⁻¹ • (x₀ - ↑‖x₀‖ • y)‖ = ‖x₀‖⁻¹ * ‖x₀ - ↑‖x₀‖ • y‖
h₁ : r ≤ ‖(↑‖x₀‖)⁻¹ • x₀ - (↑‖x₀‖)⁻¹ • ↑‖x₀‖ • y‖
⊢ ↑‖x₀‖ ≠ 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁷ : PartialOrder G''
inst✝⁶ : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G''
inst✝⁴ : CompleteSpace G''
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : PartialOrder G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : ClosedIciTopology G''
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : ↥(Lp G' 1 μ)
hf : 0 ≤ f
g✝ : { g // 0 ≤ g }
g : { g // 0 ≤ g }
this : ↑(coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg 1 μ G' g) = ↑↑g
⊢ 0 ≤ (setToL1SCLM α G' μ hT) ↑g

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁷ : PartialOrder G''
inst✝⁶ : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G''
inst✝⁴ : CompleteSpace G''
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : PartialOrder G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : ClosedIciTopology G''
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f : ↥(Lp G' 1 μ)
hf : 0 ≤ f
g✝ : { g // 0 ≤ g }
g : { g // 0 ≤ g }
this : ↑(coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg 1 μ G' g) = ↑↑g
⊢ 0 ≤ (setToL1SCLM α G' μ hT) ↑g
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : PartialOrder G''
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G''
inst✝⁵ : CompleteSpace G''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : PartialOrder G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : ClosedIciTopology G''
inst✝ : IsOrderedAddMonoid G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : ↥(Lp G' 1 μ)
hfg : 0 ≤ g - f
⊢ 0 ≤ (setToL1 hT) g - (setToL1 hT) f

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : PartialOrder G''
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G''
inst✝⁵ : CompleteSpace G''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : PartialOrder G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : ClosedIciTopology G''
inst✝ : IsOrderedAddMonoid G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : ↥(Lp G' 1 μ)
hfg : 0 ≤ g - f
⊢ 0 ≤ (setToL1 hT) g - (setToL1 hT) f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : PartialOrder G''
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G''
inst✝⁵ : CompleteSpace G''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : PartialOrder G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : ClosedIciTopology G''
inst✝ : IsOrderedAddMonoid G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : ↥(Lp G' 1 μ)
hfg : 0 ≤ g - f
⊢ 0 ≤ (setToL1 hT) (g - f)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : PartialOrder G''
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid G''
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G''
inst✝⁵ : CompleteSpace G''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : PartialOrder G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : ClosedIciTopology G''
inst✝ : IsOrderedAddMonoid G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ∞ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : ↥(Lp G' 1 μ)
hfg : 0 ≤ g - f
⊢ 0 ≤ (setToL1 hT) (g - f)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
x : ↥(α →₁ₛ[μ] E)
⊢ ‖x‖ = ‖(coeToLp α E ℝ) x‖

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
x : ↥(α →₁ₛ[μ] E)
⊢ ‖x‖ = ‖(coeToLp α E ℝ) x‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Isometry

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
x y : P
⊢ ‖x -ᵥ y‖ = ‖x -ᵥ y‖

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
⊢ ‖setToL1SCLM α E μ hT‖ = ‖setToL1SCLM α E μ hT‖

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
inst✝ : CompleteSpace F
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ (setToL1 hT) f = (setToL1 hT) f

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Isometry

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ range ⇑e.toIsometryEquiv = univ

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_5
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
⊢ range ⇑e.toIsometryEquiv = univ
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Isometry

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
x y : P
⊢ dist ((pointReflection 𝕜 x) y) x = dist ((pointReflection 𝕜 x) y) x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Isometry

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
x y : P
⊢ ‖x -ᵥ y + (x -ᵥ y)‖ = ‖x -ᵥ y + (x -ᵥ y)‖

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Isometry

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_10
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
x y : P
⊢ ‖2‖ * dist x y = ‖2‖ * dist x y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Isometry

Goal state before:
pp: V : Type u_2
P : Type u_10
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : PseudoMetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedSpace ℝ V
x y : P
⊢ 2 * dist x y = 2 * dist x y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.SumMeasure

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : Countable ι
mX : MeasurableSpace X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : ι → Measure X
f : X → E
hf : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
h : Summable fun i ↦ ∫ (x : X), ‖f x‖ ∂μ i
⊢ ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : X), ‖f a‖ₑ ∂μ i < ∞

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : Countable ι
mX : MeasurableSpace X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : ι → Measure X
f : X → E
hf : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
h : Summable fun i ↦ ∫ (x : X), ‖f x‖ ∂μ i
⊢ ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : X), ‖f a‖ₑ ∂μ i < ∞