mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.BilinearForm

Goal state before:
pp: R₁ : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R₁
n : Type u_5
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
B₂ : BilinForm R₁ (n → R₁)
⊢ B₂ = B₂

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.BilinearForm

Goal state before:
pp: R₁ : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R₁
n : Type u_5
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
⊢ toMatrix₂' R₁ = toMatrix₂' R₁

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.BilinearForm

Goal state before:
pp: R₁ : Type u_1
M₁ : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
n : Type u_5
o : Type u_6
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Fintype o
inst✝³ : DecidableEq n
b : Basis n R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R₁ M₂'
c : Basis o R₁ M₂'
inst✝ : DecidableEq o
M : Matrix n n R₁
P Q : Matrix n o R₁
x y : M₂'
⊢ ((((toLinearMap₂ b b) M).comp ((toLin c b) P) ((toLin c b) Q)) x) y =
    ((((toLinearMap₂ b b) M).compl₁₂ ((toLin c b) P) ((toLin c b) Q)) x) y

Tactic:
]

Goal state after:
R₁ : Type u_1
M₁ : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
n : Type u_5
o : Type u_6
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Fintype o
inst✝³ : DecidableEq n
b : Basis n R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R₁ M₂'
c : Basis o R₁ M₂'
inst✝ : DecidableEq o
M : Matrix n n R₁
P Q : Matrix n o R₁
x y : M₂'
⊢ ((((toLinearMap₂ b b) M).comp ((toLin c b) P) ((toLin c b) Q)) x) y =
    ((((toLinearMap₂ b b) M).compl₁₂ ((toLin c b) P) ((toLin c b) Q)) x) y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
i j k : ι
z : ℤ
hij : i ≠ j
hi : b.IsPos i
hj : j ∈ b.support
hk : P.root k = P.root i + z • P.root j
contra : P.root j = -P.root i
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ j = -i

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
i j k : ι
z : ℤ
hij : i ≠ j
hi : b.IsPos i
hj : j ∈ b.support
hk : P.root k = P.root i + z • P.root j
contra : P.root j = -P.root i
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ j = -i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.BilinearForm

Goal state before:
pp: A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
ι : Type u_6
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
M : Matrix ι ι A
⊢ M.det ≠ 0 ↔ M.det ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.BilinearForm

Goal state before:
pp: M₂ : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Module A M₂
ι : Type u_6
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
B : BilinForm A M₂
b : Basis ι A M₂
⊢ B.Nondegenerate ↔ ((toMatrix b) B).Nondegenerate

Tactic:
nondegenerate_toMatrix_iff

Goal state after:
M₂ : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Module A M₂
ι : Type u_6
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
B : BilinForm A M₂
b : Basis ι A M₂
⊢ B.Nondegenerate ↔ B.Nondegenerate
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.BilinearForm

Goal state before:
pp: M₂ : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Module A M₂
ι : Type u_6
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
B : BilinForm A M₂
b : Basis ι A M₂
⊢ B.Nondegenerate ↔ B.Nondegenerate

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.BilinearForm

Goal state before:
pp: R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : IsDomain R₂
inst✝¹ : Free R₂ M₂
inst✝ : Module.Finite R₂ M₂
B : BilinForm R₂ M₂
hB : SeparatingLeft B
ι : Type u_4
b : Basis ι R₂ M₂
this✝¹ : Finite ι
this✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι
⊢ SeparatingLeft B

Tactic:
]

Goal state after:
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : IsDomain R₂
inst✝¹ : Free R₂ M₂
inst✝ : Module.Finite R₂ M₂
B : BilinForm R₂ M₂
hB : SeparatingLeft B
ι : Type u_4
b : Basis ι R₂ M₂
this✝¹ : Finite ι
this✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι
⊢ SeparatingLeft B
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
i j k : ι
z : ℤ
hij : i ≠ j
hj : j ∈ b.support
hk : P.root k = P.root i + z • P.root j
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hi : 0 < -1
contra : i = -j
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
i j k : ι
z : ℤ
hij : i ≠ j
hj : j ∈ b.support
hk : P.root k = P.root i + z • P.root j
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hi : 0 < -1
contra : i = -j
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.BilinearForm

Goal state before:
pp: R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : IsDomain R₂
inst✝¹ : Free R₂ M₂
inst✝ : Module.Finite R₂ M₂
B : BilinForm R₂ M₂
h : ker B = ⊥
⊢ ker B = ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : IsDomain R₂
inst✝¹ : Free R₂ M₂
inst✝ : Module.Finite R₂ M₂
B : BilinForm R₂ M₂
h : ker B = ⊥
⊢ ker B = ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
j : ι
hj : j ∈ b.support
w : ℕ
hw :
  ∀ {i k : ι}, b.IsPos i → P.root k = P.root i + ↑w • P.root j → LinearIndependent R ![P.root j, P.root i] → b.IsPos k
i k : ι
hi : b.IsPos i
hk : P.root k = P.root i + (↑w + 1) • P.root j
hij : LinearIndependent R ![P.root j, P.root i]
⊢ P.root i + (↑w + 1) • P.root j = P.root i + (w + 1) • P.root j

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
j : ι
hj : j ∈ b.support
w : ℕ
hw :
  ∀ {i k : ι}, b.IsPos i → P.root k = P.root i + ↑w • P.root j → LinearIndependent R ![P.root j, P.root i] → b.IsPos k
i k : ι
hi : b.IsPos i
hk : P.root k = P.root i + (↑w + 1) • P.root j
hij : LinearIndependent R ![P.root j, P.root i]
⊢ P.root i + (↑w + 1) • P.root j = P.root i + (w + 1) • P.root j
Module: Mathlib.Algebra.Order.Ring.Star

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : IsOrderedRing R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x y : R
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
⊢ x * y = x * y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε : α
ε0 : 0 < ε
a₁ a₂ b₁ b₂ : β
h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2
h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2
⊢ ε ≤ ε

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < max 1 (max K₁ K₂)
εK : 0 < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
a₁ a₂ b₁ b₂ : β
hb₂ : abv b₂ < K₂
h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
ha₁ : abv a₁ < max 1 (max K₁ K₂)
⊢ abv (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) < ε

Tactic:
replace hb₂ := lt_of_lt_of_le hb₂ (le_trans (le_max_right K₁ _) (le_max_right 1 _))

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < max 1 (max K₁ K₂)
εK : 0 < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
a₁ a₂ b₁ b₂ : β
h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
ha₁ : abv a₁ < max 1 (max K₁ K₂)
hb₂ : abv b₂ < max 1 (max K₁ K₂)
⊢ abv (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) < ε
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε
a₁ a₂ b₁ b₂ : β
M : α := max 1 (max K₁ K₂)
K0 : 0 < M
εK : 0 < ε / 2 / M
h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2 / M
h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2 / M
ha₁ : abv a₁ < M
hb₂ : abv b₂ < M
⊢ ε ≤ ε

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
j : ι
hj : j ∈ b.support
w : ℕ
hw :
  ∀ {i k : ι}, b.IsPos i → P.root k = P.root i + ↑w • P.root j → LinearIndependent R ![P.root j, P.root i] → b.IsPos k
i k : ι
hi : b.IsPos i
hk : P.root k = P.root i + (↑w + 1) • P.root j
hij : LinearIndependent R ![P.root j, P.root i]
l : ι
hl : P.root l = P.root i + ↑w • P.root j
⊢ P.root i + (↑w + 1) • P.root j = P.root i + ↑w • P.root j + P.root j

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
j : ι
hj : j ∈ b.support
w : ℕ
hw :
  ∀ {i k : ι}, b.IsPos i → P.root k = P.root i + ↑w • P.root j → LinearIndependent R ![P.root j, P.root i] → b.IsPos k
i k : ι
hi : b.IsPos i
hk : P.root k = P.root i + (↑w + 1) • P.root j
hij : LinearIndependent R ![P.root j, P.root i]
l : ι
hl : P.root l = P.root i + ↑w • P.root j
⊢ P.root i + (↑w + 1) • P.root j = P.root i + ↑w • P.root j + P.root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j : ι
hj : j ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
contra : P.coroot i = P.coroot j + P.coroot k
u : ℚ
hu : u > 0
v : ℚ
hv : v > 0
hjk : ∀ {l : ι}, 0 < g (P.coroot l) → ∃ c, ∑ x, c x • ↑x = P.root l
a : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
ha : ∑ x, a x • ↑x = P.root j
b : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
hb : ∑ x, b x • ↑x = P.root k
ri : ↑(⇑P.root '' s) := ⟨P.root i, ⋯⟩
huv : u • Nat.cast ∘ a + v • Nat.cast ∘ b = Pi.single ri 1
this : ∀ (x : ↑(⇑P.root '' s)), x ≠ ri → a x = 0
x : ↑(⇑P.root '' s)
hx : a x • ↑x ≠ 0
⊢ x = ri

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j : ι
hj : j ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
contra : P.coroot i = P.coroot j + P.coroot k
u : ℚ
hu : u > 0
v : ℚ
hv : v > 0
hjk : ∀ {l : ι}, 0 < g (P.coroot l) → ∃ c, ∑ x, c x • ↑x = P.root l
a : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
ha : ∑ x, a x • ↑x = P.root j
b : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
hb : ∑ x, b x • ↑x = P.root k
ri : ↑(⇑P.root '' s) := ⟨P.root i, ⋯⟩
huv : u • Nat.cast ∘ a + v • Nat.cast ∘ b = Pi.single ri 1
this : ∀ (x : ↑(⇑P.root '' s)), x ≠ ri → a x = 0
x : ↑(⇑P.root '' s)
hx : a x • ↑x ≠ 0
⊢ x = ri
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
β : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ (abv a)⁻¹ * abv (a - b) * (abv b)⁻¹ < ε

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
β : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ (abv a)⁻¹ * abv (a - b) * (abv b)⁻¹ < ε
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
j : ι
hj : j ∈ b.support
w : ℕ
hw :
  ∀ {i k : ι}, b.IsPos i → P.root k = P.root i + -↑w • P.root j → LinearIndependent R ![P.root j, P.root i] → b.IsPos k
i k : ι
hi : b.IsPos i
hk : P.root k = P.root i + (-↑w - 1) • P.root j
hij : LinearIndependent R ![P.root j, P.root i]
⊢ P.root i + (-↑w - 1) • P.root j = P.root i - (w + 1) • P.root j

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
j : ι
hj : j ∈ b.support
w : ℕ
hw :
  ∀ {i k : ι}, b.IsPos i → P.root k = P.root i + -↑w • P.root j → LinearIndependent R ![P.root j, P.root i] → b.IsPos k
i k : ι
hi : b.IsPos i
hk : P.root k = P.root i + (-↑w - 1) • P.root j
hij : LinearIndependent R ![P.root j, P.root i]
⊢ P.root i + (-↑w - 1) • P.root j = P.root i - (w + 1) • P.root j
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
β : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ K⁻¹ * (K * ε * K * K⁻¹) ≤ ε

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
β : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ K⁻¹ * (K * ε * K * K⁻¹) ≤ ε
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f
ε : α
ε0 : 0 < ε
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, abv (f j - f i) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
k : ℕ
ik : k ≥ i
⊢ abv (f j - f k) < ε / 2 + ε / 2

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f
ε : α
ε0 : 0 < ε
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, abv (f j - f i) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
k : ℕ
ik : k ≥ i
⊢ abv (f j - f k) < ε / 2 + ε / 2
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f
ε : α
ε0 : 0 < ε
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, abv (f j - f i) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
k : ℕ
ik : k ≥ i
⊢ abv (f k - f i) < ε / 2

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : ℕ → β
hf : IsCauSeq abv f
ε : α
ε0 : 0 < ε
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, abv (f j - f i) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
k : ℕ
ik : k ≥ i
⊢ abv (f k - f i) < ε / 2
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
j : ι
hj : j ∈ b.support
w : ℕ
hw :
  ∀ {i k : ι}, b.IsPos i → P.root k = P.root i + -↑w • P.root j → LinearIndependent R ![P.root j, P.root i] → b.IsPos k
i k : ι
hi : b.IsPos i
hij : LinearIndependent R ![P.root j, P.root i]
hk : P.root i - (w + 1) • P.root j ∈ range ⇑P.root
⊢ P.root i - w • P.root j ∈ range ⇑P.root

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
j : ι
hj : j ∈ b.support
w : ℕ
hw :
  ∀ {i k : ι}, b.IsPos i → P.root k = P.root i + -↑w • P.root j → LinearIndependent R ![P.root j, P.root i] → b.IsPos k
i k : ι
hi : b.IsPos i
hij : LinearIndependent R ![P.root j, P.root i]
hk : P.root i - (w + 1) • P.root j ∈ range ⇑P.root
⊢ P.root i - w • P.root j ∈ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
j : ι
hj : j ∈ b.support
w : ℕ
hw :
  ∀ {i k : ι}, b.IsPos i → P.root k = P.root i + -↑w • P.root j → LinearIndependent R ![P.root j, P.root i] → b.IsPos k
i k : ι
hi : b.IsPos i
hk : P.root k = P.root i + (-↑w - 1) • P.root j
hij : LinearIndependent R ![P.root j, P.root i]
l : ι
hl : P.root l = P.root i + -↑w • P.root j
⊢ P.root i + (-↑w - 1) • P.root j = P.root i + -↑w • P.root j - P.root j

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
j : ι
hj : j ∈ b.support
w : ℕ
hw :
  ∀ {i k : ι}, b.IsPos i → P.root k = P.root i + -↑w • P.root j → LinearIndependent R ![P.root j, P.root i] → b.IsPos k
i k : ι
hi : b.IsPos i
hk : P.root k = P.root i + (-↑w - 1) • P.root j
hij : LinearIndependent R ![P.root j, P.root i]
l : ι
hl : P.root l = P.root i + -↑w • P.root j
⊢ P.root i + (-↑w - 1) • P.root j = P.root i + -↑w • P.root j - P.root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
i j : ι
hi : b.IsPos i
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
⊢ P.root i + -(P.pairingIn ℤ i j • P.root j) = P.root i + -(P.pairingIn ℤ i j • P.root j)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Field α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing α
inst✝ : Ring β
abv : β → α
f : CauSeq β abv
g : ℕ → β
e : ∀ (i : ℕ), ↑f i = g i
ε : α
⊢ ε > 0 → ∃ i, ∀ j ≥ i, abv (↑f j - ↑f i) < ε

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Field α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing α
inst✝ : Ring β
abv : β → α
f : CauSeq β abv
g : ℕ → β
e : ∀ (i : ℕ), ↑f i = g i
ε : α
⊢ ε > 0 → ∃ i, ∀ j ≥ i, abv (↑f j - ↑f i) < ε
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case succ
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsCrystallographic
p : ι → Prop
h₁ : ∀ i ∈ b.support, p i
h₂ : ∀ (i j k : ι), P.root k = P.root i + P.root j → p i → j ∈ b.support → p k
n : ℕ
ih : ∀ {i : ι}, b.IsPos i → b.height i = ↑n → p i
i : ι
h₀ : b.IsPos i
hN : b.height i = ↑n + 1
j : ι
hj : j ∈ b.support
hj' : 0 < P.pairingIn ℤ i j
⊢ p i

Tactic:
]

Goal state after:
case succ
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsCrystallographic
p : ι → Prop
h₁ : ∀ i ∈ b.support, p i
h₂ : ∀ (i j k : ι), P.root k = P.root i + P.root j → p i → j ∈ b.support → p k
n : ℕ
ih : ∀ {i : ι}, b.IsPos i → b.height i = ↑n → p i
i : ι
h₀ : b.IsPos i
hN : b.height i = ↑n + 1
j : ι
hj : j ∈ b.support
hj' : 0 < P.pairingIn ℤ i j
⊢ p i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsCrystallographic
p : ι → Prop
h₁ : ∀ i ∈ b.support, p i
h₂ : ∀ (i j k : ι), P.root k = P.root i + P.root j → p i → j ∈ b.support → p k
n : ℕ
ih : ∀ {i : ι}, b.IsPos i → b.height i = ↑n → p i
i : ι
h₀ : b.IsPos i
hN : b.height i = ↑n + 1
j : ι
hj : j ∈ b.support
hj' : 0 < P.pairingIn ℤ i j
hij : i ≠ j
k : ι
hk : P.root k = P.root i - P.root j
⊢ b.height i - 1 = ↑n

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsCrystallographic
p : ι → Prop
h₁ : ∀ i ∈ b.support, p i
h₂ : ∀ (i j k : ι), P.root k = P.root i + P.root j → p i → j ∈ b.support → p k
n : ℕ
ih : ∀ {i : ι}, b.IsPos i → b.height i = ↑n → p i
i : ι
h₀ : b.IsPos i
hN : b.height i = ↑n + 1
j : ι
hj : j ∈ b.support
hj' : 0 < P.pairingIn ℤ i j
hij : i ≠ j
k : ι
hk : P.root k = P.root i - P.root j
⊢ b.height i - 1 = ↑n