Module: Mathlib.Analysis.Calculus.VectorField

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
s : Set E
x : E
f : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hsymm : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxs : x ∈ s
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V s x
H₀ : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x
H₁ : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ (fderivWithin 𝕜 f s x) (lieBracketWithin 𝕜 V W s x) =
    (fderivWithin 𝕜 f s x ∘SL fderivWithin 𝕜 W s x + (fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x).flip (W x)) (V x) -
      (fderivWithin 𝕜 f s x ∘SL fderivWithin 𝕜 V s x + (fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x).flip (V x)) (W x)

pp: case hxs
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
s : Set E
x : E
f : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hsymm : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxs : x ∈ s
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V s x
H₀ : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x
H₁ : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

pp: case hc
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
s : Set E
x : E
f : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hsymm : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxs : x ∈ s
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V s x
H₀ : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x
H₁ : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x

pp: case hu
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
s : Set E
x : E
f : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hsymm : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxs : x ∈ s
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V s x
H₀ : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x
H₁ : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 V s x

pp: case hxs
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
s : Set E
x : E
f : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hsymm : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxs : x ∈ s
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V s x
H₀ : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x
H₁ : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

pp: case hc
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
s : Set E
x : E
f : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hsymm : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxs : x ∈ s
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V s x
H₀ : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x
H₁ : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x

pp: case hu
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
s : Set E
x : E
f : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hsymm : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxs : x ∈ s
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V s x
H₀ : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x
H₁ : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 W s x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
s : Set E
x : E
f : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hsymm : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxs : x ∈ s
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V s x
H₀ : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x
H₁ : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ (fderivWithin 𝕜 f s x) (lieBracketWithin 𝕜 V W s x) =
    (fderivWithin 𝕜 f s x ∘SL fderivWithin 𝕜 W s x + (fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x).flip (W x)) (V x) -
      (fderivWithin 𝕜 f s x ∘SL fderivWithin 𝕜 V s x + (fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x).flip (V x)) (W x)

case hxs
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
s : Set E
x : E
f : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hsymm : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxs : x ∈ s
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V s x
H₀ : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x
H₁ : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

case hc
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
s : Set E
x : E
f : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hsymm : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxs : x ∈ s
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V s x
H₀ : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x
H₁ : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x

case hu
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
s : Set E
x : E
f : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hsymm : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxs : x ∈ s
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V s x
H₀ : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x
H₁ : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 V s x

case hxs
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
s : Set E
x : E
f : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hsymm : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxs : x ∈ s
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V s x
H₀ : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x
H₁ : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

case hc
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
s : Set E
x : E
f : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hsymm : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxs : x ∈ s
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V s x
H₀ : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x
H₁ : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x

case hu
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
V W : E → E
s : Set E
x : E
f : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hsymm : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxs : x ∈ s
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V s x
H₀ : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s x
H₁ : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 W s x