mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Finsupp

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
y : P
hy : y ∈ t1
⊢ y ∈ span R ↑t1

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
y : P
hy : y ∈ t1
⊢ y ∈ span R ↑t1
Module: Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic

Goal state before:
pp: G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
ι : Type u_2
G : ι → Type u_1
inst✝¹ : (i : ι) → Mul (G i)
inst✝ : ∀ (i : ι), TwoUniqueProds (G i)
A✝ : Finset ((i : ι) → G i)
x✝ : IsWellFounded (Finset ((i : ι) → G i)) fun x1 x2 ↦ x1 ⊂ x2 := isWellFounded_ssubset
A : Finset ((i : ι) → G i)
ihA :
  ∀ y ⊂ A,
    ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
      1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2
B✝ B : Finset ((i : ι) → G i)
ihB : ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2
hc✝ : 1 < #A * #B
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hc : 1 < #A ∨ 1 < #B
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Tactic:
]

Goal state after:
G✝ : Type u
H : Type v
inst✝³ : Mul G✝
inst✝² : Mul H
ι : Type u_2
G : ι → Type u_1
inst✝¹ : (i : ι) → Mul (G i)
inst✝ : ∀ (i : ι), TwoUniqueProds (G i)
A✝ : Finset ((i : ι) → G i)
x✝ : IsWellFounded (Finset ((i : ι) → G i)) fun x1 x2 ↦ x1 ⊂ x2 := isWellFounded_ssubset
A : Finset ((i : ι) → G i)
ihA :
  ∀ y ⊂ A,
    ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
      1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2
B✝ B : Finset ((i : ι) → G i)
ihB : ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2
hc✝ : 1 < #A * #B
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hc : 1 < #A ∨ 1 < #B
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : Submodule R E
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
x : E
hx : x ∈ p
⊢ x = x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: case disjoint
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : Submodule R E
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
⊢ p ⊓ f.ker ≤ ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
case disjoint
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : Submodule R E
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
⊢ p ⊓ f.ker ≤ ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: case disjoint
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : Submodule R E
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
x : E
hpx : x ∈ ↑p
hfx : x = 0
⊢ x ∈ ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
case disjoint
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : Submodule R E
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
x : E
hpx : x ∈ ↑p
hfx : x = 0
⊢ x ∈ ⊥
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Finsupp

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
⊢ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2 = s

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
⊢ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2 = s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: case codisjoint
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : Submodule R E
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
⊢ ⊤ ≤ p ⊔ f.ker

Tactic:
]

Goal state after:
case codisjoint
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : Submodule R E
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
⊢ ⊤ ≤ p ⊔ f.ker
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: case codisjoint
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : Submodule R E
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
x : E
a✝ : x ∈ ⊤
⊢ ∃ y z, ↑y + ↑z = x

Tactic:
]

Goal state after:
case codisjoint
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : Submodule R E
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
x : E
a✝ : x ∈ ⊤
⊢ ∃ y z, ↑y + ↑z = x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: case codisjoint
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : Submodule R E
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
x : E
a✝ : x ∈ ⊤
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: case left
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
h : IsCompl p q
⊢ ⊥ = ⊥

pp: case left.hd
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
h : IsCompl p q
⊢ Disjoint p.subtype.range q.subtype.range

Tactic:
]

Goal state after:
case left.hd
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
h : IsCompl p q
⊢ Disjoint p.subtype.range q.subtype.range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: case left.hd
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
h : IsCompl p q
⊢ Disjoint p q

Tactic:
]

Goal state after:
case left.hd
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
h : IsCompl p q
⊢ Disjoint p q
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: case right
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
h : IsCompl p q
⊢ ⊤ = ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Finsupp

Goal state before:
pp: case a.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝² : DecidableEq R
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ ↑t2
this : x ∈ s ⊓ f.ker
⊢ x ∈ ↑s

Tactic:
]

Goal state after:
case a.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝² : DecidableEq R
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ ↑t2
this : x ∈ s ⊓ f.ker
⊢ x ∈ ↑s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
x : E
⊢ ((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x).1 = 0 ↔ ((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x).1 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
x : E
⊢ ((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x).2 = 0 ↔ ((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x).2 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Finsupp

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ∃ y ∈ s, f y = f x

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ∃ y ∈ s, f y = f x
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Finsupp

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝² : DecidableEq R
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
this : ∃ l ∈ supported R R ↑t1, (linearCombination R id) l = f x
⊢ x ∈ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2

Tactic:
]

Goal state after:
case a
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝² : DecidableEq R
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
this : ∃ l ∈ supported R R ↑t1, (linearCombination R id) l = f x
⊢ x ∈ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p q : Submodule R E
hpq : IsCompl p q
x : E
⊢ (p.subtype ∘ₗ LinearMap.fst R ↥p ↥q ∘ₗ ↑(p.prodEquivOfIsCompl q hpq).symm) x +
      (q.subtype ∘ₗ LinearMap.fst R ↥q ↥p ∘ₗ ↑(LinearEquiv.prodComm R ↥q ↥p ≪≫ₗ p.prodEquivOfIsCompl q hpq).symm) x =
    x

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p q : Submodule R E
hpq : IsCompl p q
x : E
⊢ (p.subtype ∘ₗ LinearMap.fst R ↥p ↥q ∘ₗ ↑(p.prodEquivOfIsCompl q hpq).symm) x +
      (q.subtype ∘ₗ LinearMap.fst R ↥q ↥p ∘ₗ ↑(LinearEquiv.prodComm R ↥q ↥p ≪≫ₗ p.prodEquivOfIsCompl q hpq).symm) x =
    x
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Finsupp

Goal state before:
pp: case a.refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ supported R R ↑t1
hl2 : (linearCombination R id) l = f x
⊢ ∃ l_1 ∈ supported R R (g '' ↑t1), (linearCombination R id) l_1 = (linearCombination R id).toFun ((lmapDomain R R g) l)

Tactic:
]

Goal state after:
case a.refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ supported R R ↑t1
hl2 : (linearCombination R id) l = f x
⊢ ∃ l_1 ∈ supported R R (g '' ↑t1), (linearCombination R id) l_1 = (linearCombination R id).toFun ((lmapDomain R R g) l)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p q : Submodule R E
hpq : IsCompl p q
x : E
⊢ x = x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Finsupp

Goal state before:
pp: case a.refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝² : DecidableEq R
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ supported R R ↑t1
hl2 : (linearCombination R id) l = f x
this : Inhabited P
⊢ ∃ y ∈ supported R R ↑t1, (lmapDomain R R g) y = (lmapDomain R R g) l

Tactic:
]

Goal state after:
case a.refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝² : DecidableEq R
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ supported R R ↑t1
hl2 : (linearCombination R id) l = f x
this : Inhabited P
⊢ ∃ y ∈ supported R R ↑t1, (lmapDomain R R g) y = (lmapDomain R R g) l
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p q : Submodule R E
hpq : IsCompl p q
x : E
⊢ x ∈ p ↔ x ∈ p

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
x : E
⊢ (q.projection p ⋯) x ∈ q

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p q : Submodule R E
h : IsCompl p q
x : E
⊢ (q.projection p ⋯) x ∈ q
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Finsupp

Goal state before:
pp: case a.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ supported R R ↑t1
hl2 : (linearCombination R id) l = f x
⊢ x - (linearCombination R id) ((lmapDomain R R g) l) ∈ s ∧ x - (linearCombination R id) ((lmapDomain R R g) l) ∈ f.ker

Tactic:
]

Goal state after:
case a.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ supported R R ↑t1
hl2 : (linearCombination R id) l = f x
⊢ x - (linearCombination R id) ((lmapDomain R R g) l) ∈ s ∧ x - (linearCombination R id) ((lmapDomain R R g) l) ∈ f.ker
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Finsupp

Goal state before:
pp: case a.refine_2.right
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ supported R R ↑t1
hl2 : (linearCombination R id) l = f x
⊢ (linearCombination R id) l - f ((linearCombination R id) ((lmapDomain R R g) l)) = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case a.refine_2.right
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ supported R R ↑t1
hl2 : (linearCombination R id) l = f x
⊢ (linearCombination R id) l - f ((linearCombination R id) ((lmapDomain R R g) l)) = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Finsupp

Goal state before:
pp: case a.refine_2.right
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ supported R R ↑t1
hl2 : (linearCombination R id) l = f x
⊢ (l.sum fun i a ↦ a • id i) - f ((mapDomain g l).sum fun i a ↦ a • id i) = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case a.refine_2.right
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ supported R R ↑t1
hl2 : (linearCombination R id) l = f x
⊢ (l.sum fun i a ↦ a • id i) - f ((mapDomain g l).sum fun i a ↦ a • id i) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projection

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
p q : Submodule R E
hpq : IsCompl p q
φ : ↥p →ₗ[R] F
ψ : ↥q →ₗ[R] F
⊢ (φ ∘ₗ p.projectionOnto q hpq + ψ ∘ₗ q.projectionOnto p ⋯).range = φ.range ⊔ ψ.range

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
p q : Submodule R E
hpq : IsCompl p q
φ : ↥p →ₗ[R] F
ψ : ↥q →ₗ[R] F
⊢ (φ ∘ₗ p.projectionOnto q hpq + ψ ∘ₗ q.projectionOnto p ⋯).range = φ.range ⊔ ψ.range
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Finsupp

Goal state before:
pp: case a.refine_2.right
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ supported R R ↑t1
hl2 : (linearCombination R id) l = f x
⊢ ∑ a ∈ l.support, l a • id a = ∑ x ∈ l.support, f (l x • id (g x))

Tactic:
]

Goal state after:
case a.refine_2.right
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ f.ker
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ supported R R ↑t1
hl2 : (linearCombination R id) l = f x
⊢ ∑ a ∈ l.support, l a • id a = ∑ x ∈ l.support, f (l x • id (g x))