mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t ↦ ((↑t).PairwiseDisjoint fun p ↦ closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : μ (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s'
hv : (↑v).PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ ↑t
q' : α
q'v : q' ∈ ↑v
hq : (q', r q') ∈ (fun x ↦ (x, r x)) '' ↑v
hpq : p ≠ (q', r q')
⊢ closedBall p.1 p.2 ⊆ ⋃ x ∈ ↑t, closedBall x.1 x.2

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t ↦ ((↑t).PairwiseDisjoint fun p ↦ closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : μ (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s'
hv : (↑v).PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ ↑t
q' : α
q'v : q' ∈ ↑v
hq : (q', r q') ∈ (fun x ↦ (x, r x)) '' ↑v
hpq : p ≠ (q', r q')
⊢ closedBall p.1 p.2 ⊆ ⋃ x ∈ ↑t, closedBall x.1 x.2
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiffHolder.Pointwise

Goal state before:
pp: case succ
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
k : ℕ
α : ↑I
f : E → F
a : E
hf : ContDiffPointwiseHolderAt k α f a
m : ℕ
ihm : ∀ {l : ℕ}, l + m ≤ k → ContDiffPointwiseHolderAt l α (iteratedFDeriv ℝ m f) a
l : ℕ
hl : l + 1 + m ≤ k
⊢ ContDiffPointwiseHolderAt l α (iteratedFDeriv ℝ (m + 1) f) a

Tactic:
]

Goal state after:
case succ
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
k : ℕ
α : ↑I
f : E → F
a : E
hf : ContDiffPointwiseHolderAt k α f a
m : ℕ
ihm : ∀ {l : ℕ}, l + m ≤ k → ContDiffPointwiseHolderAt l α (iteratedFDeriv ℝ m f) a
l : ℕ
hl : l + 1 + m ≤ k
⊢ ContDiffPointwiseHolderAt l α (iteratedFDeriv ℝ (m + 1) f) a
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiffHolder.Pointwise

Goal state before:
pp: case refine_1
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
k : ℕ
α : ↑I
f : E → F
a : E
g : E → F
hf : ContDiffPointwiseHolderAt k α f a
hfg : f =ᶠ[𝓝 a] g
⊢ iteratedFDeriv ℝ k g =ᶠ[𝓝 a] iteratedFDeriv ℝ k f

pp: case refine_2
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
k : ℕ
α : ↑I
f : E → F
a : E
g : E → F
hf : ContDiffPointwiseHolderAt k α f a
hfg : f =ᶠ[𝓝 a] g
⊢ (fun x ↦ iteratedFDeriv ℝ k g a) =ᶠ[𝓝 a] fun x ↦ iteratedFDeriv ℝ k f a

Tactic:
· exact hfg.symm.iteratedFDeriv ℝ _

Goal state after:
case refine_2
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
k : ℕ
α : ↑I
f : E → F
a : E
g : E → F
hf : ContDiffPointwiseHolderAt k α f a
hfg : f =ᶠ[𝓝 a] g
⊢ (fun x ↦ iteratedFDeriv ℝ k g a) =ᶠ[𝓝 a] fun x ↦ iteratedFDeriv ℝ k f a
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiffHolder.Pointwise

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
k : ℕ
α : ↑I
f : E → F
a : E
g : E → F
hf : ContDiffPointwiseHolderAt k α f a
hfg : f =ᶠ[𝓝 a] g
⊢ (fun x ↦ iteratedFDeriv ℝ k f a) =ᶠ[𝓝 a] fun x ↦ iteratedFDeriv ℝ k f a

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Pi

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
y : E i
⊢ ∀ (i_1 : ι), HasFDerivAt (fun x_1 ↦ Function.update x i x_1 i_1) (Pi.single i (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i)) i_1) y

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
y : E i
⊢ ∀ (i_1 : ι), HasFDerivAt (fun x_1 ↦ Function.update x i x_1 i_1) (Pi.single i (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i)) i_1) y
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Pi

Goal state before:
pp: case e'_9
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : ι → 𝕜
i : ι
y z : 𝕜
j : ι
⊢ (if j = i then z else 0 j) = (ContinuousLinearMap.pi (Pi.single i (ContinuousLinearMap.id 𝕜 𝕜))) z j

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_9
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : ι → 𝕜
i : ι
y z : 𝕜
j : ι
⊢ (if j = i then z else 0 j) = (ContinuousLinearMap.pi (Pi.single i (ContinuousLinearMap.id 𝕜 𝕜))) z j
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t ↦ ((↑t).PairwiseDisjoint fun p ↦ closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : μ (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s'
hv : (↑v).PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r x)
⊢ (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x.1 x.2) \ ⋃ y ∈ v, closedBall (y, r y).1 (y, r y).2 = s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Star

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : StarRing 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : StarAddMonoid F
inst✝² : StarModule 𝕜 F
inst✝¹ : ContinuousStar F
x : 𝕜
inst✝ : NormedStarGroup 𝕜
f : 𝕜 → F
f' : F
hf : HasDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt (star ∘ f ∘ ⇑(starRingEnd 𝕜)) (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton 𝕜 (star f')) ((starRingEnd 𝕜) x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : StarRing 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : StarAddMonoid F
inst✝² : StarModule 𝕜 F
inst✝¹ : ContinuousStar F
x : 𝕜
inst✝ : NormedStarGroup 𝕜
f : 𝕜 → F
f' : F
hf : HasDerivAt f f' x
⊢ HasFDerivAt (star ∘ f ∘ ⇑(starRingEnd 𝕜)) (ContinuousLinearMap.toSpanSingleton 𝕜 (star f')) ((starRingEnd 𝕜) x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds

Goal state before:
pp: case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_2
A' : Type u_4
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞ω
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x ↦ ∏ j ∈ u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p ∈ u.sym n, ↑(↑p).countPerms * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
⊢ ∑ i_1 ∈ Finset.range (n + 1),
      ↑(n.choose i_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i_1 (f i) s x‖ *
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i_1) (fun y ↦ ∏ i ∈ u, f i y) s x‖ ≤
    ∑ i_1, ↑(↑↑i_1).countPerms * ∏ j ∈ insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑↑i_1) (f j) s x‖

Tactic:
]

Goal state after:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_2
A' : Type u_4
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞ω
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x ↦ ∏ j ∈ u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p ∈ u.sym n, ↑(↑p).countPerms * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
⊢ ∑ i_1 ∈ Finset.range (n + 1),
      ↑(n.choose i_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i_1 (f i) s x‖ *
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i_1) (fun y ↦ ∏ i ∈ u, f i y) s x‖ ≤
    ∑ i_1, ↑(↑↑i_1).countPerms * ∏ j ∈ insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑↑i_1) (f j) s x‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case succ
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t ↦ ((↑t).PairwiseDisjoint fun p ↦ closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧ P (F t) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
n : ℕ
IH : P (u n)
⊢ P (F (u n))

Tactic:
]

Goal state after:
case succ
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t ↦ ((↑t).PairwiseDisjoint fun p ↦ closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧ P (F t) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
n : ℕ
IH : P (u n)
⊢ P (F (u n))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds

Goal state before:
pp: case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_2
A' : Type u_4
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞ω
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x ↦ ∏ j ∈ u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p ∈ u.sym n, ↑(↑p).countPerms * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
⊢ ∑ i_1 ∈ Finset.range (n + 1),
      ↑(n.choose i_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i_1 (f i) s x‖ *
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i_1) (fun y ↦ ∏ i ∈ u, f i y) s x‖ ≤
    ∑ i_1,
      ((fun v ↦ ↑v.countPerms * ∏ j ∈ insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j v) (f j) s x‖) ∘
          Sym.toMultiset ∘ Subtype.val ∘ ⇑(Finset.symInsertEquiv hi).symm)
        i_1

Tactic:
]

Goal state after:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_2
A' : Type u_4
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞ω
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x ↦ ∏ j ∈ u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p ∈ u.sym n, ↑(↑p).countPerms * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
⊢ ∑ i_1 ∈ Finset.range (n + 1),
      ↑(n.choose i_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i_1 (f i) s x‖ *
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i_1) (fun y ↦ ∏ i ∈ u, f i y) s x‖ ≤
    ∑ i_1,
      ((fun v ↦ ↑v.countPerms * ∏ j ∈ insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j v) (f j) s x‖) ∘
          Sym.toMultiset ∘ Subtype.val ∘ ⇑(Finset.symInsertEquiv hi).symm)
        i_1
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds

Goal state before:
pp: case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_2
A' : Type u_4
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞ω
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x ↦ ∏ j ∈ u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p ∈ u.sym n, ↑(↑p).countPerms * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
⊢ ∑ i_1 ∈ Finset.range (n + 1),
      ↑(n.choose i_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i_1 (f i) s x‖ *
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i_1) (fun y ↦ ∏ i ∈ u, f i y) s x‖ ≤
    ∑ i_1,
      ((fun v ↦ ↑v.countPerms * ∏ j ∈ insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j v) (f j) s x‖) ∘
          Sym.toMultiset ∘ Subtype.val ∘ ⇑(Finset.symInsertEquiv hi).symm)
        i_1

Tactic:
← Finset.univ_sigma_univ,

Goal state after:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_2
A' : Type u_4
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞ω
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x ↦ ∏ j ∈ u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p ∈ u.sym n, ↑(↑p).countPerms * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
⊢ ∑ i_1 ∈ Finset.range (n + 1),
      ↑(n.choose i_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i_1 (f i) s x‖ *
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i_1) (fun y ↦ ∏ i ∈ u, f i y) s x‖ ≤
    ∑ i_1 ∈ Finset.univ.sigma fun x ↦ Finset.univ,
      ((fun v ↦ ↑v.countPerms * ∏ j ∈ insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j v) (f j) s x‖) ∘
          Sym.toMultiset ∘ Subtype.val ∘ ⇑(Finset.symInsertEquiv hi).symm)
        i_1
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds

Goal state before:
pp: case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_2
A' : Type u_4
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞ω
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x ↦ ∏ j ∈ u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p ∈ u.sym n, ↑(↑p).countPerms * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
⊢ ∑ i_1,
      ↑(n.choose ↑i_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (↑i_1) (f i) s x‖ *
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑i_1) (fun y ↦ ∏ i ∈ u, f i y) s x‖ ≤
    ∑ a,
      ∑ s_1,
        ((fun v ↦ ↑v.countPerms * ∏ j ∈ insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j v) (f j) s x‖) ∘
            Sym.toMultiset ∘ Subtype.val ∘ ⇑(Finset.symInsertEquiv hi).symm)
          ⟨a, s_1⟩

Tactic:
]

Goal state after:
case insert
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_2
A' : Type u_4
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞ω
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
IH :
  (∀ i ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f i) s) →
    ∀ {n : ℕ},
      ↑n ≤ N →
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x ↦ ∏ j ∈ u, f j x) s x‖ ≤
          ∑ p ∈ u.sym n, ↑(↑p).countPerms * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
⊢ ∑ i_1,
      ↑(n.choose ↑i_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (↑i_1) (f i) s x‖ *
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑i_1) (fun y ↦ ∏ i ∈ u, f i y) s x‖ ≤
    ∑ a,
      ∑ s_1,
        ((fun v ↦ ↑v.countPerms * ∏ j ∈ insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j v) (f j) s x‖) ∘
            Sym.toMultiset ∘ Subtype.val ∘ ⇑(Finset.symInsertEquiv hi).symm)
          ⟨a, s_1⟩
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds

Goal state before:
pp: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_2
A' : Type u_4
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞ω
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
m : Fin (n + 1)
IH :
  ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑m) (fun x ↦ ∏ j ∈ u, f j x) s x‖ ≤
    ∑ p ∈ u.sym (n - ↑m), ↑(↑p).countPerms * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
a✝ : m ∈ Finset.univ
⊢ ↑(n.choose ↑m) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (↑m) (f i) s x‖ *
      ∑ p ∈ u.sym (n - ↑m), ↑(↑p).countPerms * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖ ≤
    ∑ x_1,
      ↑(↑(Sym.fill i m ↑x_1)).countPerms *
        ∏ x_2 ∈ insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count x_2 ↑(Sym.fill i m ↑x_1)) (f x_2) s x‖

Tactic:
]

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_2
A' : Type u_4
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞ω
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
m : Fin (n + 1)
IH :
  ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑m) (fun x ↦ ∏ j ∈ u, f j x) s x‖ ≤
    ∑ p ∈ u.sym (n - ↑m), ↑(↑p).countPerms * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
a✝ : m ∈ Finset.univ
⊢ ↑(n.choose ↑m) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (↑m) (f i) s x‖ *
      ∑ p ∈ u.sym (n - ↑m), ↑(↑p).countPerms * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖ ≤
    ∑ x_1,
      ↑(↑(Sym.fill i m ↑x_1)).countPerms *
        ∏ x_2 ∈ insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count x_2 ↑(Sym.fill i m ↑x_1)) (f x_2) s x‖
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds

Goal state before:
pp: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_2
A' : Type u_4
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞ω
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
m : Fin (n + 1)
IH :
  ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑m) (fun x ↦ ∏ j ∈ u, f j x) s x‖ ≤
    ∑ p ∈ u.sym (n - ↑m), ↑(↑p).countPerms * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
a✝ : m ∈ Finset.univ
⊢ ∑ i_1,
      ↑(n.choose ↑m) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (↑m) (f i) s x‖ *
        (↑(↑↑i_1).countPerms * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑↑i_1) (f j) s x‖) ≤
    ∑ x_1,
      ↑(↑(Sym.fill i m ↑x_1)).countPerms *
        ∏ x_2 ∈ insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count x_2 ↑(Sym.fill i m ↑x_1)) (f x_2) s x‖

Tactic:
]

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
ι : Type u_2
A' : Type u_4
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
f : ι → E → A'
N : ℕ∞ω
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
i : ι
u : Finset ι
hi : i ∉ u
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hf : ContDiffOn 𝕜 N (f i) s ∧ ∀ a ∈ u, ContDiffOn 𝕜 N (f a) s
m : Fin (n + 1)
IH :
  ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - ↑m) (fun x ↦ ∏ j ∈ u, f j x) s x‖ ≤
    ∑ p ∈ u.sym (n - ↑m), ↑(↑p).countPerms * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) s x‖
a✝ : m ∈ Finset.univ
⊢ ∑ i_1,
      ↑(n.choose ↑m) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (↑m) (f i) s x‖ *
        (↑(↑↑i_1).countPerms * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count j ↑↑i_1) (f j) s x‖) ≤
    ∑ x_1,
      ↑(↑(Sym.fill i m ↑x_1)).countPerms *
        ∏ x_2 ∈ insert i u, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (Multiset.count x_2 ↑(Sym.fill i m ↑x_1)) (f x_2) s x‖