mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.Compactness.Paracompact

Goal state before:
pp: case refine_1
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
ι : X → Sort u_1
p : (x : X) → ι x → Prop
s : (x : X) → ι x → Set X
hb : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis (p x) (s x)
h :
  ∀ (f : (x : X) → ι x),
    (∀ (x : X), p x (f x)) →
      ∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen[inst✝] (t b)) ∧ ⋃ b, t b = univ ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ x, t b ⊆ s x (f x)
α : Type v
S : α → Set X
ho : ∀ (a : α), IsOpen[inst✝] (S a)
hu : ⋃ a, S a = univ
a : X → α
f : (x : X) → ι x
hp : ∀ (x : X), p x (f x)
hsub : ∀ (x : X), s x (f x) ⊆ S (a x)
β : Type u
t : β → Set X
hto : ∀ (b : β), IsOpen[inst✝] (t b)
ht : ⋃ b, t b = univ
htf : LocallyFinite t
hts : ∀ (b : β), ∃ x, t b ⊆ s x (f x)
⊢ ⋃ y, t y = univ

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
ι : X → Sort u_1
p : (x : X) → ι x → Prop
s : (x : X) → ι x → Set X
hb : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis (p x) (s x)
h :
  ∀ (f : (x : X) → ι x),
    (∀ (x : X), p x (f x)) →
      ∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen[inst✝] (t b)) ∧ ⋃ b, t b = univ ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ x, t b ⊆ s x (f x)
α : Type v
S : α → Set X
ho : ∀ (a : α), IsOpen[inst✝] (S a)
hu : ⋃ a, S a = univ
a : X → α
f : (x : X) → ι x
hp : ∀ (x : X), p x (f x)
hsub : ∀ (x : X), s x (f x) ⊆ S (a x)
β : Type u
t : β → Set X
hto : ∀ (b : β), IsOpen[inst✝] (t b)
ht : ⋃ b, t b = univ
htf : LocallyFinite t
hts : ∀ (b : β), ∃ x, t b ⊆ s x (f x)
⊢ ⋃ y, t y = univ
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
i : ι
ne : c.Nonempty
⊢ (if hi : ∃ v ∈ c, i ∈ v.carrier then hi.choose else ne.some) ∈ c

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
i : ι
ne : c.Nonempty
⊢ (if hi : ∃ v ∈ c, i ∈ v.carrier then hi.choose else ne.some) ∈ c
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
i : ι
ne : c.Nonempty
⊢ i ∈ (if hi : ∃ v ∈ c, i ∈ v.carrier then hi.choose else ne.some).carrier ↔ i ∈ chainSupCarrier c

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
i : ι
ne : c.Nonempty
⊢ i ∈ (if hi : ∃ v ∈ c, i ∈ v.carrier then hi.choose else ne.some).carrier ↔ i ∈ chainSupCarrier c
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s t : (x : M) → V x
u : Set M
x₀ : M
hs : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑(trivializationAt F V x₀) ⟨x, s x⟩).2) u x₀
ht : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑(trivializationAt F V x₀) ⟨x, t x⟩).2) u x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑(trivializationAt F V x₀) ⟨x, (s + t) x⟩).2) u x₀

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s t : (x : M) → V x
u : Set M
x₀ : M
hs : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑(trivializationAt F V x₀) ⟨x, s x⟩).2) u x₀
ht : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑(trivializationAt F V x₀) ⟨x, t x⟩).2) u x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑(trivializationAt F V x₀) ⟨x, (s + t) x⟩).2) u x₀
Module: Mathlib.Topology.EMetricSpace.Paracompact

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
pow_pos : ∀ (k : ℕ), 0 < 2⁻¹ ^ k
hpow_le : ∀ {m n : ℕ}, m ≤ n → 2⁻¹ ^ n ≤ 2⁻¹ ^ m
h2pow : ∀ (n : ℕ), 2 * 2⁻¹ ^ (n + 1) = 2⁻¹ ^ n
ι : Type u_1
s : ι → Set α
ho : ∀ (a : ι), IsOpen[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s a)
hcov : ∀ (x : α), ∃ i, x ∈ s i
w✝ : LinearOrder ι
wf : WellFoundedLT ι
ind : α → ι := fun x ↦ ⋯.min {i | x ∈ s i} ⋯
mem_ind : ∀ (x : α), x ∈ s (ind x)
notMem_of_lt_ind : ∀ {x : α} {i : ι}, i < ind x → x ∈ s i → False
D : ℕ → ι → Set α :=
  fun t ↦
    Nat.strongRec (motive := fun x ↦ ι → Set α)
      (fun n D' i ↦
        ⋃ x,
          ⋃ (_ : ind x = i),
            ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ (m : ℕ) (H : m < n) (j : ι), x ∉ D' m H j), eball x (2⁻¹ ^ n))
      t
hD :
  D = fun t ↦
    Nat.strongRec (motive := fun x ↦ ι → Set α)
      (fun n D' i ↦
        ⋃ x,
          ⋃ (_ : ind x = i),
            ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ (m : ℕ) (H : m < n) (j : ι), x ∉ D' m H j), eball x (2⁻¹ ^ n))
      t
n : ℕ
i : ι
⊢ ⋃ x,
      ⋃ (_ : ind x = i),
        ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i),
          ⋃ (_ :
            ∀ (m : ℕ) (H : m < n) (j : ι),
              x ∉
                (fun m x ↦
                    Nat.strongRec (motive := fun x ↦ ι → Set α)
                      (fun n D' i ↦
                        ⋃ x,
                          ⋃ (_ : ind x = i),
                            ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i),
                              ⋃ (_ : ∀ (m : ℕ) (H : m < n) (j : ι), x ∉ D' m H j), eball x (2⁻¹ ^ n))
                      m)
                  m H j),
            eball x (2⁻¹ ^ n) =
    ⋃ x,
      ⋃ (_ : ind x = i),
        ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i),
          ⋃ (_ :
            ∀ m < n,
              ∀ (j : ι),
                x ∉
                  Nat.strongRec (motive := fun x ↦ ι → Set α)
                    (fun n D' i ↦
                      ⋃ x,
                        ⋃ (_ : ind x = i),
                          ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i),
                            ⋃ (_ : ∀ (m : ℕ) (H : m < n) (j : ι), x ∉ D' m H j), eball x (2⁻¹ ^ n))
                    m j),
            eball x (2⁻¹ ^ n)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.EMetricSpace.Paracompact

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
pow_pos : ∀ (k : ℕ), 0 < 2⁻¹ ^ k
hpow_le : ∀ {m n : ℕ}, m ≤ n → 2⁻¹ ^ n ≤ 2⁻¹ ^ m
h2pow : ∀ (n : ℕ), 2 * 2⁻¹ ^ (n + 1) = 2⁻¹ ^ n
ι : Type u_1
s : ι → Set α
ho : ∀ (a : ι), IsOpen[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s a)
hcov : ∀ (x : α), ∃ i, x ∈ s i
w✝ : LinearOrder ι
wf : WellFoundedLT ι
ind : α → ι := fun x ↦ ⋯.min {i | x ∈ s i} ⋯
mem_ind : ∀ (x : α), x ∈ s (ind x)
notMem_of_lt_ind : ∀ {x : α} {i : ι}, i < ind x → x ∈ s i → False
D : ℕ → ι → Set α :=
  fun t ↦
    Nat.strongRec (motive := fun x ↦ ι → Set α)
      (fun n D' i ↦
        ⋃ x,
          ⋃ (_ : ind x = i),
            ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ (m : ℕ) (H : m < n) (j : ι), x ∉ D' m H j), eball x (2⁻¹ ^ n))
      t
hD :
  D = fun t ↦
    Nat.strongRec (motive := fun x ↦ ι → Set α)
      (fun n D' i ↦
        ⋃ x,
          ⋃ (_ : ind x = i),
            ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ (m : ℕ) (H : m < n) (j : ι), x ∉ D' m H j), eball x (2⁻¹ ^ n))
      t
Dn :
  ∀ (n : ℕ) (i : ι),
    D n i =
      ⋃ x,
        ⋃ (_ : ind x = i), ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ m < n, ∀ (j : ι), x ∉ D m j), eball x (2⁻¹ ^ n)
n : ℕ
i : ι
y : α
⊢ y ∈
      ⋃ x,
        ⋃ (_ : ind x = i),
          ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ m < n, ∀ (j : ι), x ∉ D m j), eball x (2⁻¹ ^ n) ↔
    ∃ x, ind x = i ∧ eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i ∧ (∀ m < n, ∀ (j : ι), x ∉ D m j) ∧ edist y x < 2⁻¹ ^ n

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
pow_pos : ∀ (k : ℕ), 0 < 2⁻¹ ^ k
hpow_le : ∀ {m n : ℕ}, m ≤ n → 2⁻¹ ^ n ≤ 2⁻¹ ^ m
h2pow : ∀ (n : ℕ), 2 * 2⁻¹ ^ (n + 1) = 2⁻¹ ^ n
ι : Type u_1
s : ι → Set α
ho : ∀ (a : ι), IsOpen[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (s a)
hcov : ∀ (x : α), ∃ i, x ∈ s i
w✝ : LinearOrder ι
wf : WellFoundedLT ι
ind : α → ι := fun x ↦ ⋯.min {i | x ∈ s i} ⋯
mem_ind : ∀ (x : α), x ∈ s (ind x)
notMem_of_lt_ind : ∀ {x : α} {i : ι}, i < ind x → x ∈ s i → False
D : ℕ → ι → Set α :=
  fun t ↦
    Nat.strongRec (motive := fun x ↦ ι → Set α)
      (fun n D' i ↦
        ⋃ x,
          ⋃ (_ : ind x = i),
            ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ (m : ℕ) (H : m < n) (j : ι), x ∉ D' m H j), eball x (2⁻¹ ^ n))
      t
hD :
  D = fun t ↦
    Nat.strongRec (motive := fun x ↦ ι → Set α)
      (fun n D' i ↦
        ⋃ x,
          ⋃ (_ : ind x = i),
            ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ (m : ℕ) (H : m < n) (j : ι), x ∉ D' m H j), eball x (2⁻¹ ^ n))
      t
Dn :
  ∀ (n : ℕ) (i : ι),
    D n i =
      ⋃ x,
        ⋃ (_ : ind x = i), ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ m < n, ∀ (j : ι), x ∉ D m j), eball x (2⁻¹ ^ n)
n : ℕ
i : ι
y : α
⊢ y ∈
      ⋃ x,
        ⋃ (_ : ind x = i),
          ⋃ (_ : eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i), ⋃ (_ : ∀ m < n, ∀ (j : ι), x ∉ D m j), eball x (2⁻¹ ^ n) ↔
    ∃ x, ind x = i ∧ eball x (3 * 2⁻¹ ^ n) ⊆ s i ∧ (∀ m < n, ∀ (j : ι), x ∉ D m j) ∧ edist y x < 2⁻¹ ^ n
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
ne : c.Nonempty
hfin : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
hU : s ⊆ ⋃ i, u i
i : ι
hi : i ∈ chainSupCarrier c
v : PartialRefinement u s p
hv : v ∈ c ∧ i ∈ v.carrier
⊢ p (v.toFun i)

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
ne : c.Nonempty
hfin : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
hU : s ⊆ ⋃ i, u i
i : ι
hi : i ∈ chainSupCarrier c
v : PartialRefinement u s p
hv : v ∈ c ∧ i ∈ v.carrier
⊢ p (v.toFun i)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s t : (x : M) → V x
x₀ : M
hs : ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, s x⟩) Set.univ x₀
ht : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, t x⟩) x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, (s + t) x⟩) Set.univ x₀

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s t : (x : M) → V x
x₀ : M
hs : ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, s x⟩) Set.univ x₀
ht : ContMDiffAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, t x⟩) x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, (s + t) x⟩) Set.univ x₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s : (x : M) → V x
u : Set M
x₀ : M
hs : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑(trivializationAt F V x₀) ⟨x, s x⟩).2) u x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑(trivializationAt F V x₀) ⟨x, (-s) x⟩).2) u x₀

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s : (x : M) → V x
u : Set M
x₀ : M
hs : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑(trivializationAt F V x₀) ⟨x, s x⟩).2) u x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑(trivializationAt F V x₀) ⟨x, (-s) x⟩).2) u x₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection

Goal state before:
pp: case refine_1.h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s : (x : M) → V x
u : Set M
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x ↦ (↑e ⟨x, s x⟩).2) u x₀
x : M
hx : x ∈ e.baseSet
⊢ (fun x ↦ (↑e ⟨x, (-s) x⟩).2) x = (fun x ↦ -(↑e ⟨x, s x⟩).2) x

Tactic:
apply (e.linear 𝕜 hx).map_neg

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Compactness.Paracompact

Goal state before:
pp: ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : R1Space X
inst✝ : ParacompactSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed[inst✝³] s
H : ∀ x ∈ s, ∃ u v, IsOpen[inst✝³] u ∧ IsOpen[inst✝³] v ∧ x ∈ u ∧ t ⊆ v ∧ Disjoint u v
u v : ↑s → Set X
hu : ∀ (x : ↑s), IsOpen[inst✝³] (u x)
hv : ∀ (x : ↑s), IsOpen[inst✝³] (v x)
hxu : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ u x
htv : ∀ (x : ↑s), t ⊆ v x
huv : ∀ (x : ↑s), Disjoint (u x) (v x)
u' : ↑s → Set X
hu'o : ∀ (i : ↑s), IsOpen[inst✝³] (u' i)
hcov' : s ⊆ ⋃ i, u' i
hu'fin : LocallyFinite u'
hsub : ∀ (i : ↑s), u' i ⊆ u i
⊢ ∀ (i : ↑s), t ⊆ (closure[inst✝³] (u' i))ᶜ

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : R1Space X
inst✝ : ParacompactSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed[inst✝³] s
H : ∀ x ∈ s, ∃ u v, IsOpen[inst✝³] u ∧ IsOpen[inst✝³] v ∧ x ∈ u ∧ t ⊆ v ∧ Disjoint u v
u v : ↑s → Set X
hu : ∀ (x : ↑s), IsOpen[inst✝³] (u x)
hv : ∀ (x : ↑s), IsOpen[inst✝³] (v x)
hxu : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ u x
htv : ∀ (x : ↑s), t ⊆ v x
huv : ∀ (x : ↑s), Disjoint (u x) (v x)
u' : ↑s → Set X
hu'o : ∀ (i : ↑s), IsOpen[inst✝³] (u' i)
hcov' : s ⊆ ⋃ i, u' i
hu'fin : LocallyFinite u'
hsub : ∀ (i : ↑s), u' i ⊆ u i
⊢ ∀ (i : ↑s), t ⊆ (closure[inst✝³] (u' i))ᶜ
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s : (x : M) → V x
x₀ : M
hs : ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, s x⟩) Set.univ x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, (-s) x⟩) Set.univ x₀

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s : (x : M) → V x
x₀ : M
hs : ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, s x⟩) Set.univ x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, (-s) x⟩) Set.univ x₀
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case h
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝ : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
x : X
hx : x ∈ s
j : ι
hji : j ≠ i
hj : x ∈ v.toFun j
⊢ x ∈ v.toFun j

Tactic:
]

Goal state after:
case h
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝ : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
x : X
hx : x ∈ s
j : ι
hji : j ≠ i
hj : x ∈ v.toFun j
⊢ x ∈ v.toFun j
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s t : (x : M) → V x
u : Set M
x₀ : M
hs : ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, s x⟩) u x₀
ht : ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, t x⟩) u x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, (s + -t) x⟩) u x₀

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s t : (x : M) → V x
u : Set M
x₀ : M
hs : ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, s x⟩) u x₀
ht : ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, t x⟩) u x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, (s + -t) x⟩) u x₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.ContMDiffSection

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞ω
V : M → Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁴ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝³ : FiberBundle F V
inst✝² : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝¹ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F V
s t : (x : M) → V x
u : Set M
x₀ : M
hs : ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, s x⟩) u x₀
ht : ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, t x⟩) u x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x ↦ ⟨x, (s + -t) x⟩) u x₀

Tactic:
exact hs.add_section ht.neg_section

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case h
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝ : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
x : X
hx : x ∈ s
h : ∀ (j : ι), j ≠ i → x ∉ v.toFun j
⊢ x ∈ vi

Tactic:
]

Goal state after:
case h
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝ : NormalSpace X
v : PartialRefinement u s ⊤
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i
x : X
hx : x ∈ s
h : ∀ (j : ι), j ≠ i → x ∉ v.toFun j
⊢ x ∈ vi
Module: Mathlib.Topology.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
x✝ : ι
⊢ (x✝ ∈ support fun i ↦ (ρ i) x₀) ↔ x✝ ∈ support fun i ↦ (ρ i) x₀

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.PartitionOfUnity

Goal state before:
pp: ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
hx₀ : x₀ ∈ s
⊢ ∑ i ∈ ρ.finsupport x₀, (ρ i) x₀ = ∑ i ∈ ρ.finsupport x₀, (ρ i) x₀

Tactic:
]

Goal state after: