mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Order.Heyting.Hom

Goal state before:
pp: α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CoheytingAlgebra α
inst✝¹ : CoheytingAlgebra β
inst✝ : CoheytingAlgebra γ
f₁ f₂ : CoheytingHom α β
g : CoheytingHom β γ
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₂ a) = g (f₂ a)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.Heyting.Hom

Goal state before:
pp: α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : BiheytingAlgebra α
inst✝¹ : BiheytingAlgebra β
inst✝ : BiheytingAlgebra γ
f₁ f₂ : BiheytingHom α β
g : BiheytingHom β γ
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₂ a) = g (f₂ a)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Coalgebra.CoassocSimps

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
M₁ : Type u_11
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : AddCommMonoid N'
inst✝⁴ : Module R N'
inst✝³ : AddCommMonoid P'
inst✝² : Module R P'
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R M₁
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
φ : M₁ →ₗ[R] M ⊗[R] M'
⊢ (g ⊗ₘ g' ∘ₗ f ⊗ₘ f') ∘ₗ φ = (g ⊗ₘ g' ∘ₗ f ⊗ₘ f') ∘ₗ φ

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Coalgebra.CoassocSimps

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₁ : Type u_14
N₂ : Type u_15
N₃ : Type u_16
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₃
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] N₁
f₂ : M₂ →ₗ[R] N₂
f₃ : M₃ →ₗ[R] N₃
f : M →ₗ[R] M₁ ⊗[R] M₂ ⊗[R] M₃
⊢ (α ∘ₗ (f₁ ⊗ₘ f₂) ⊗ₘ f₃) ∘ₗ f = (α ∘ₗ (f₁ ⊗ₘ f₂) ⊗ₘ f₃) ∘ₗ f

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Coalgebra.CoassocSimps

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₁ : Type u_14
N₂ : Type u_15
N₃ : Type u_16
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₃
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] N₁
f₂ : M₂ →ₗ[R] N₂
f₃ : M₃ →ₗ[R] N₃
f : M →ₗ[R] M₁ ⊗[R] (M₂ ⊗[R] M₃)
⊢ (α⁻¹ ∘ₗ f₁ ⊗ₘ (f₂ ⊗ₘ f₃)) ∘ₗ f = (α⁻¹ ∘ₗ f₁ ⊗ₘ (f₂ ⊗ₘ f₃)) ∘ₗ f

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Coalgebra.CoassocSimps

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₁ : Type u_14
N₂ : Type u_15
N₃ : Type u_16
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₃
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] N₁
f₂ : M₂ →ₗ[R] N₂
f₃ : M₃ →ₗ[R] N₃
f₁₂ : M →ₗ[R] M₁ ⊗[R] M₂
⊢ α ∘ₗ (f₁ ⊗ₘ f₂ ∘ₗ f₁₂) ⊗ₘ f₃ = (α ∘ₗ (f₁ ⊗ₘ f₂) ⊗ₘ f₃) ∘ₗ f₁₂ ⊗ₘ LinearMap.id

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_3
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₁ : Type u_14
N₂ : Type u_15
N₃ : Type u_16
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₃
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] N₁
f₂ : M₂ →ₗ[R] N₂
f₃ : M₃ →ₗ[R] N₃
f₁₂ : M →ₗ[R] M₁ ⊗[R] M₂
⊢ α ∘ₗ (f₁ ⊗ₘ f₂ ∘ₗ f₁₂) ⊗ₘ f₃ = (α ∘ₗ (f₁ ⊗ₘ f₂) ⊗ₘ f₃) ∘ₗ f₁₂ ⊗ₘ LinearMap.id
Module: Mathlib.RingTheory.Coalgebra.CoassocSimps

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₃ : Type u_16
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₃
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R N₃
f₃ : M₃ →ₗ[R] N₃
f₁₂ : M →ₗ[R] M₁ ⊗[R] M₂
⊢ α ∘ₗ f₁₂ ⊗ₘ f₃ = (α ∘ₗ (LinearMap.id ⊗ₘ LinearMap.id) ⊗ₘ f₃) ∘ₗ f₁₂ ⊗ₘ LinearMap.id

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_3
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₃ : Type u_16
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₃
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R N₃
f₃ : M₃ →ₗ[R] N₃
f₁₂ : M →ₗ[R] M₁ ⊗[R] M₂
⊢ α ∘ₗ f₁₂ ⊗ₘ f₃ = (α ∘ₗ (LinearMap.id ⊗ₘ LinearMap.id) ⊗ₘ f₃) ∘ₗ f₁₂ ⊗ₘ LinearMap.id
Module: Mathlib.RingTheory.Coalgebra.CoassocSimps

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
P : Type u_5
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₃ : Type u_16
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₃
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R N₃
f₃ : M₃ →ₗ[R] N₃
f₁₂ : M →ₗ[R] M₁ ⊗[R] M₂
f : P →ₗ[R] M ⊗[R] M₃
⊢ (α ∘ₗ f₁₂ ⊗ₘ f₃) ∘ₗ f = LinearMap.id ⊗ₘ (LinearMap.id ⊗ₘ f₃) ∘ₗ α ∘ₗ f₁₂ ⊗ₘ LinearMap.id ∘ₗ f

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_3
P : Type u_5
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₃ : Type u_16
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₃
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R N₃
f₃ : M₃ →ₗ[R] N₃
f₁₂ : M →ₗ[R] M₁ ⊗[R] M₂
f : P →ₗ[R] M ⊗[R] M₃
⊢ (α ∘ₗ f₁₂ ⊗ₘ f₃) ∘ₗ f = LinearMap.id ⊗ₘ (LinearMap.id ⊗ₘ f₃) ∘ₗ α ∘ₗ f₁₂ ⊗ₘ LinearMap.id ∘ₗ f
Module: Mathlib.RingTheory.Coalgebra.CoassocSimps

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₁ : Type u_14
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₁
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R N₁
f₁ : M₁ →ₗ[R] N₁
f₂₃ : M →ₗ[R] M₂ ⊗[R] M₃
⊢ α⁻¹ ∘ₗ f₁ ⊗ₘ f₂₃ = (α⁻¹ ∘ₗ f₁ ⊗ₘ (LinearMap.id ⊗ₘ LinearMap.id)) ∘ₗ LinearMap.id ⊗ₘ f₂₃

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_3
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₁ : Type u_14
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₁
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R N₁
f₁ : M₁ →ₗ[R] N₁
f₂₃ : M →ₗ[R] M₂ ⊗[R] M₃
⊢ α⁻¹ ∘ₗ f₁ ⊗ₘ f₂₃ = (α⁻¹ ∘ₗ f₁ ⊗ₘ (LinearMap.id ⊗ₘ LinearMap.id)) ∘ₗ LinearMap.id ⊗ₘ f₂₃
Module: Mathlib.RingTheory.Coalgebra.CoassocSimps

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
P : Type u_5
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₁ : Type u_14
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₁
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R N₁
f₁ : M₁ →ₗ[R] N₁
f₂₃ : M →ₗ[R] M₂ ⊗[R] M₃
f : P →ₗ[R] M₁ ⊗[R] M
⊢ (α⁻¹ ∘ₗ f₁ ⊗ₘ f₂₃) ∘ₗ f = (f₁ ⊗ₘ LinearMap.id) ⊗ₘ LinearMap.id ∘ₗ α⁻¹ ∘ₗ LinearMap.id ⊗ₘ f₂₃ ∘ₗ f

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_3
P : Type u_5
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₁ : Type u_14
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₁
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R N₁
f₁ : M₁ →ₗ[R] N₁
f₂₃ : M →ₗ[R] M₂ ⊗[R] M₃
f : P →ₗ[R] M₁ ⊗[R] M
⊢ (α⁻¹ ∘ₗ f₁ ⊗ₘ f₂₃) ∘ₗ f = (f₁ ⊗ₘ LinearMap.id) ⊗ₘ LinearMap.id ∘ₗ α⁻¹ ∘ₗ LinearMap.id ⊗ₘ f₂₃ ∘ₗ f
Module: Mathlib.RingTheory.Coalgebra.CoassocSimps

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₁ : Type u_14
N₂ : Type u_15
N₃ : Type u_16
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₃
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] N₁
f₂ : M₂ →ₗ[R] N₂
f₃ : M₃ →ₗ[R] N₃
f₂₃ : M →ₗ[R] M₂ ⊗[R] M₃
⊢ α⁻¹ ∘ₗ f₁ ⊗ₘ (f₂ ⊗ₘ f₃ ∘ₗ f₂₃) = (α⁻¹ ∘ₗ f₁ ⊗ₘ (f₂ ⊗ₘ f₃)) ∘ₗ LinearMap.id ⊗ₘ f₂₃

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_3
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₁ : Type u_14
N₂ : Type u_15
N₃ : Type u_16
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₃
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] N₁
f₂ : M₂ →ₗ[R] N₂
f₃ : M₃ →ₗ[R] N₃
f₂₃ : M →ₗ[R] M₂ ⊗[R] M₃
⊢ α⁻¹ ∘ₗ f₁ ⊗ₘ (f₂ ⊗ₘ f₃ ∘ₗ f₂₃) = (α⁻¹ ∘ₗ f₁ ⊗ₘ (f₂ ⊗ₘ f₃)) ∘ₗ LinearMap.id ⊗ₘ f₂₃
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Comon_

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
M : C
inst✝ : ComonObj M
Z : C
f : M ⟶ Z
⊢ (λ_ M).inv ≫ 𝟙_ C ◁ f = (λ_ M).inv ≫ 𝟙_ C ◁ f

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Comon_

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
M : C
inst✝ : ComonObj M
Z : C
f : M ⟶ Z
⊢ (ρ_ M).inv ≫ f ▷ 𝟙_ C = (ρ_ M).inv ≫ f ▷ 𝟙_ C

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Comon_

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
M N O : C
inst✝² : ComonObj M
inst✝¹ : ComonObj N
inst✝ : ComonObj O
A : Comon C
f : A ⟶ trivial C
⊢ f.hom ≫ 𝟙 (trivial C).X = { hom := ε, isComonHom_hom := ⋯ }.hom

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
M N O : C
inst✝² : ComonObj M
inst✝¹ : ComonObj N
inst✝ : ComonObj O
A : Comon C
f : A ⟶ trivial C
⊢ f.hom ≫ 𝟙 (trivial C).X = { hom := ε, isComonHom_hom := ⋯ }.hom
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Comon_

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
M N O : C
inst✝² : ComonObj M
inst✝¹ : ComonObj N
inst✝ : ComonObj O
A : Comon C
f : A ⟶ trivial C
⊢ ε = ε

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Comon_

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
M N O : C
inst✝² : ComonObj M
inst✝¹ : ComonObj N
inst✝ : ComonObj O
A : Comon C
⊢ (λ_ A.X).inv.op = (λ_ (op A.X)).hom

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
M N O : C
inst✝² : ComonObj M
inst✝¹ : ComonObj N
inst✝ : ComonObj O
A : Comon C
⊢ (λ_ A.X).inv.op = (λ_ (op A.X)).hom
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Comon_

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
M N O : C
inst✝² : ComonObj M
inst✝¹ : ComonObj N
inst✝ : ComonObj O
A : Comon C
⊢ (ρ_ A.X).inv.op = (ρ_ (op A.X)).hom

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
M N O : C
inst✝² : ComonObj M
inst✝¹ : ComonObj N
inst✝ : ComonObj O
A : Comon C
⊢ (ρ_ A.X).inv.op = (ρ_ (op A.X)).hom
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Comon_

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
M N O : C
inst✝² : ComonObj M
inst✝¹ : ComonObj N
inst✝ : ComonObj O
A : Comon C
⊢ (α_ A.X A.X A.X).inv.op ≫ (A.X ◁ Δ).op ≫ Δ.op = (α_ A.X A.X A.X).inv.op ≫ (Δ ≫ A.X ◁ Δ).op

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
M N O : C
inst✝² : ComonObj M
inst✝¹ : ComonObj N
inst✝ : ComonObj O
A : Comon C
⊢ (α_ A.X A.X A.X).inv.op ≫ (A.X ◁ Δ).op ≫ Δ.op = (α_ A.X A.X A.X).inv.op ≫ (Δ ≫ A.X ◁ Δ).op
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Comon_

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
M N O : C
inst✝² : ComonObj M
inst✝¹ : ComonObj N
inst✝ : ComonObj O
A : Mon Cᵒᵖ
⊢ (λ_ A.X).hom.unop = (λ_ (unop A.X)).inv

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
M N O : C
inst✝² : ComonObj M
inst✝¹ : ComonObj N
inst✝ : ComonObj O
A : Mon Cᵒᵖ
⊢ (λ_ A.X).hom.unop = (λ_ (unop A.X)).inv
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Comon_

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
M N O : C
inst✝² : ComonObj M
inst✝¹ : ComonObj N
inst✝ : ComonObj O
A : Mon Cᵒᵖ
⊢ (ρ_ A.X).hom.unop = (ρ_ (unop A.X)).inv

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
M N O : C
inst✝² : ComonObj M
inst✝¹ : ComonObj N
inst✝ : ComonObj O
A : Mon Cᵒᵖ
⊢ (ρ_ A.X).hom.unop = (ρ_ (unop A.X)).inv
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Comon_

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
M N O : C
inst✝² : ComonObj M
inst✝¹ : ComonObj N
inst✝ : ComonObj O
A : Mon Cᵒᵖ
⊢ ((α_ A.X A.X A.X).inv ≫ μ ▷ A.X ≫ μ).unop = (μ ▷ A.X ≫ μ).unop ≫ (α_ (unop A.X) (unop A.X) (unop A.X)).hom

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
M N O : C
inst✝² : ComonObj M
inst✝¹ : ComonObj N
inst✝ : ComonObj O
A : Mon Cᵒᵖ
⊢ ((α_ A.X A.X A.X).inv ≫ μ ▷ A.X ≫ μ).unop = (μ ▷ A.X ≫ μ).unop ≫ (α_ (unop A.X) (unop A.X) (unop A.X)).hom
Module: Mathlib.RingTheory.Coalgebra.CoassocSimps

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
M' : Type u_6
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Coalgebra R M
f : M →ₗ[R] M'
⊢ LinearMap.lTensor R f ∘ₗ (TensorProduct.mk R R M) 1 = LinearMap.id ⊗ₘ f ∘ₗ λ⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_3
M' : Type u_6
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Coalgebra R M
f : M →ₗ[R] M'
⊢ LinearMap.lTensor R f ∘ₗ (TensorProduct.mk R R M) 1 = LinearMap.id ⊗ₘ f ∘ₗ λ⁻¹
Module: Mathlib.RingTheory.Coalgebra.CoassocSimps

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
M' : Type u_6
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Coalgebra R M
f : M →ₗ[R] M'
⊢ LinearMap.rTensor R f ∘ₗ (TensorProduct.mk R M R).flip 1 = f ⊗ₘ LinearMap.id ∘ₗ ρ⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_3
M' : Type u_6
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Coalgebra R M
f : M →ₗ[R] M'
⊢ LinearMap.rTensor R f ∘ₗ (TensorProduct.mk R M R).flip 1 = f ⊗ₘ LinearMap.id ∘ₗ ρ⁻¹
Module: Mathlib.RingTheory.Coalgebra.CoassocSimps

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Coalgebra R M
f : M →ₗ[R] N
⊢ α ∘ₗ (β ⊗ₘ f ∘ₗ LinearMap.rTensor M δ) ∘ₗ δ =
    LinearMap.lTensor M (LinearMap.lTensor M (f ∘ₗ LinearMap.id) ∘ₗ β) ∘ₗ α ∘ₗ β ∘ₗ α ∘ₗ LinearMap.rTensor M δ ∘ₗ δ

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Coalgebra R M
f : M →ₗ[R] N
⊢ α ∘ₗ (β ⊗ₘ f ∘ₗ LinearMap.rTensor M δ) ∘ₗ δ =
    LinearMap.lTensor M (LinearMap.lTensor M (f ∘ₗ LinearMap.id) ∘ₗ β) ∘ₗ α ∘ₗ β ∘ₗ α ∘ₗ LinearMap.rTensor M δ ∘ₗ δ
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Comon_

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁹ : MonoidalCategory C
M N O : C
inst✝⁸ : ComonObj M
inst✝⁷ : ComonObj N
inst✝⁶ : ComonObj O
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.OplaxMonoidal
X Y : C
inst✝² : ComonObj X
inst✝¹ : ComonObj Y
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsComonHom f
⊢ F.map ε ≫ η F = F.map ε ≫ η F

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Comon_

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁹ : MonoidalCategory C
M N O : C
inst✝⁸ : ComonObj M
inst✝⁷ : ComonObj N
inst✝⁶ : ComonObj O
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.OplaxMonoidal
X Y : C
inst✝² : ComonObj X
inst✝¹ : ComonObj Y
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsComonHom f
⊢ F.map (Δ ≫ (f ⊗ₘ f)) ≫ δ F Y Y = F.map (Δ ≫ (f ⊗ₘ f)) ≫ δ F Y Y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.MonoidLocalization.Away

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
g : M →* P
hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x : M
F : AwayMap x N
hg : IsUnit (g x)
y : ↥(powers x)
n : ℕ
hn : (fun x_1 ↦ x ^ x_1) n = ↑y
⊢ IsUnit (g x ^ n)

Tactic:
]

Goal state after:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
g : M →* P
hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x : M
F : AwayMap x N
hg : IsUnit (g x)
y : ↥(powers x)
n : ℕ
hn : (fun x_1 ↦ x ^ x_1) n = ↑y
⊢ IsUnit (g x ^ n)
Module: Mathlib.GroupTheory.MonoidLocalization.Away

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x : M
F : AwayMap x N
y : M
G : AwayMap (x * y) P
⊢ 1 = 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.MonoidLocalization.Away

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝³ : CommMonoid P
A : Type u_4
inst✝² : AddCommMonoid A
x : A
B : Type u_5
inst✝¹ : AddCommMonoid B
F : AwayMap x B
C : Type u_6
inst✝ : AddCommMonoid C
g : A →+ C
hg : IsAddUnit (g x)
y : ↥(multiples x)
n : ℕ
hn : (fun i ↦ i • x) n = ↑y
⊢ IsAddUnit (g ((fun i ↦ i • x) n))

Tactic:
]

Goal state after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝³ : CommMonoid P
A : Type u_4
inst✝² : AddCommMonoid A
x : A
B : Type u_5
inst✝¹ : AddCommMonoid B
F : AwayMap x B
C : Type u_6
inst✝ : AddCommMonoid C
g : A →+ C
hg : IsAddUnit (g x)
y : ↥(multiples x)
n : ℕ
hn : (fun i ↦ i • x) n = ↑y
⊢ IsAddUnit (g ((fun i ↦ i • x) n))
Module: Mathlib.GroupTheory.MonoidLocalization.Away

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝³ : CommMonoid P
A : Type u_4
inst✝² : AddCommMonoid A
x : A
B : Type u_5
inst✝¹ : AddCommMonoid B
F : AwayMap x B
C : Type u_6
inst✝ : AddCommMonoid C
g : A →+ C
hg : IsAddUnit (g x)
y : ↥(multiples x)
n : ℕ
hn : (fun i ↦ i • x) n = ↑y
⊢ IsAddUnit (n • g x)

Tactic:
]

Goal state after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝³ : CommMonoid P
A : Type u_4
inst✝² : AddCommMonoid A
x : A
B : Type u_5
inst✝¹ : AddCommMonoid B
F : AwayMap x B
C : Type u_6
inst✝ : AddCommMonoid C
g : A →+ C
hg : IsAddUnit (g x)
y : ↥(multiples x)
n : ℕ
hn : (fun i ↦ i • x) n = ↑y
⊢ IsAddUnit (n • g x)
Module: Mathlib.GroupTheory.MonoidLocalization.Away

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝³ : CommMonoid P
A : Type u_4
inst✝² : AddCommMonoid A
x : A
B : Type u_5
inst✝¹ : AddCommMonoid B
F : AwayMap x B
C : Type u_6
inst✝ : AddCommMonoid C
g : A →+ C
y : A
G : AwayMap (x + y) C
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Multiplicity

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : WfDvdMonoid α
a₀ x : α
h : a₀ ≠ 0
hx : ¬IsUnit x
⊢ a₀ = a₀

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Multiplicity

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero α
inst✝ : WfDvdMonoid α
x : α
hx : ¬IsUnit x
n : ℕ
d : α
h : x ^ n * (x * d) ≠ 0
hm : ∀ x_1 ∈ {a | ∃ n_1, x ^ n_1 * a = x ^ n * (x * d)}, ¬DvdNotUnit x_1 (x * d)
⊢ x ^ n * (x * d) = x ^ n * (x * d)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Multiplicity

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero α
inst✝¹ : IsCancelMulZero α
inst✝ : WfDvdMonoid α
a : α
ha : ¬IsUnit a
n : ℕ
c : α
ndvd : ¬a ∣ c
hb : a ^ n * c ≠ 0
⊢ ¬a ∣ c

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero α
inst✝¹ : IsCancelMulZero α
inst✝ : WfDvdMonoid α
a : α
ha : ¬IsUnit a
n : ℕ
c : α
ndvd : ¬a ∣ c
hb : a ^ n * c ≠ 0
⊢ ¬a ∣ c
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Multiplicity

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero R
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝ : NormalizationMonoid R
a b : R
n : ℕ
ha : Irreducible a
hb : b ≠ 0
⊢ a ^ n ∣ b ↔ replicate n (normalize a) ≤ normalizedFactors b

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero R
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝ : NormalizationMonoid R
a b : R
n : ℕ
ha : Irreducible a
hb : b ≠ 0
⊢ a ^ n ∣ b ↔ replicate n (normalize a) ≤ normalizedFactors b
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Multiplicity

Goal state before:
pp: case succ.mp
R : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero R
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝ : NormalizationMonoid R
a : R
ha : Irreducible a
n : ℕ
ih : ∀ {b : R}, b ≠ 0 → (a ^ n ∣ b ↔ replicate n (normalize a) ≤ normalizedFactors b)
c : R
hb : ¬a = 0 ∧ ¬a ^ n * c = 0
⊢ replicate (n + 1) (normalize a) ≤ normalizedFactors (a ^ (n + 1) * c)

Tactic:
]

Goal state after:
case succ.mp
R : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero R
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝ : NormalizationMonoid R
a : R
ha : Irreducible a
n : ℕ
ih : ∀ {b : R}, b ≠ 0 → (a ^ n ∣ b ↔ replicate n (normalize a) ≤ normalizedFactors b)
c : R
hb : ¬a = 0 ∧ ¬a ^ n * c = 0
⊢ replicate (n + 1) (normalize a) ≤ normalizedFactors (a ^ (n + 1) * c)
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.Multiplicity

Goal state before:
pp: case succ.mp
R : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero R
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝ : NormalizationMonoid R
a : R
ha : Irreducible a
n : ℕ
ih : ∀ {b : R}, b ≠ 0 → (a ^ n ∣ b ↔ replicate n (normalize a) ≤ normalizedFactors b)
c : R
hb : ¬a = 0 ∧ ¬a ^ n * c = 0
⊢ a ^ n ∣ a ^ n * c

Tactic:
]

Goal state after:
case succ.mp
R : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero R
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝ : NormalizationMonoid R
a : R
ha : Irreducible a
n : ℕ
ih : ∀ {b : R}, b ≠ 0 → (a ^ n ∣ b ↔ replicate n (normalize a) ≤ normalizedFactors b)
c : R
hb : ¬a = 0 ∧ ¬a ^ n * c = 0
⊢ a ^ n ∣ a ^ n * c