mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.MeanInequalities

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ∞) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ∞
this :
  ↑(∑ i ∈ s, (w i).toNNReal * (f i).toNNReal) ≤
    ↑((∑ i ∈ s, (w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹)) * ↑((∑ i ∈ s, (w i).toNNReal * (f i).toNNReal ^ p) ^ p⁻¹)
⊢ ∑ i ∈ s, w i * f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ∞) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ∞
this :
  ↑(∑ i ∈ s, (w i).toNNReal * (f i).toNNReal) ≤
    ↑((∑ i ∈ s, (w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹)) * ↑((∑ i ∈ s, (w i).toNNReal * (f i).toNNReal ^ p) ^ p⁻¹)
⊢ ∑ i ∈ s, w i * f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
𝕜 : Type u_6
𝕜' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ
𝕜'' : Type u_8
inst✝³ : NormedRing 𝕜''
inst✝² : Module 𝕜'' F
inst✝¹ : IsBoundedSMul 𝕜'' F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜' 𝕜'' F
c : 𝕜''
L : E →SL[σ] F
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ (fun a ↦ (c • L) (↑↑f a)) =ᵐ[μ] c • fun a ↦ L (↑↑f a)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_4
F : Type u_5
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
𝕜 : Type u_6
𝕜' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ
𝕜'' : Type u_8
inst✝³ : NormedRing 𝕜''
inst✝² : Module 𝕜'' F
inst✝¹ : IsBoundedSMul 𝕜'' F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜' 𝕜'' F
c : 𝕜''
L : E →SL[σ] F
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ (fun a ↦ (c • L) (↑↑f a)) =ᵐ[μ] c • fun a ↦ L (↑↑f a)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Complete

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_3
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ∞
h : ∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ‖f (i + 1) a - f i a‖ₑ) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
hp_pos : 0 < p
h_tsum_lt_top : (∑' (i : ℕ), B i) ^ p < ∞
⊢ ∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ‖f (i + 1) a - f i a‖ₑ) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_3
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ∞
h : ∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ‖f (i + 1) a - f i a‖ₑ) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
hp_pos : 0 < p
h_tsum_lt_top : (∑' (i : ℕ), B i) ^ p < ∞
⊢ ∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ‖f (i + 1) a - f i a‖ₑ) ^ p ∂μ ≤ (∑' (i : ℕ), B i) ^ p
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Complete

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_3
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ∞
h : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ‖f (i + 1) a - f i a‖ₑ) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∑' (i : ℕ), ‖f (i + 1) x - f i x‖ₑ < ∞

Tactic:
have h_integral : ∫⁻ a, (∑' i, ‖f (i + 1) a - f i a‖ₑ) ^ p ∂μ < ∞ := by
    have h_tsum_lt_top : (∑' i, B i) ^ p < ∞ := ENNReal.rpow_lt_top_of_nonneg hp_pos.le hB
    refine lt_of_le_of_lt ?_ h_tsum_lt_top
    rwa [one_div, ← ENNReal.le_rpow_inv_iff (by simp [hp_pos] : 0 < p⁻¹), inv_inv] at h

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_3
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ∞
h : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ‖f (i + 1) a - f i a‖ₑ) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
h_integral : ∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ‖f (i + 1) a - f i a‖ₑ) ^ p ∂μ < ∞
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∑' (i : ℕ), ‖f (i + 1) x - f i x‖ₑ < ∞
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Complete

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_3
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ∞
h : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ‖f (i + 1) a - f i a‖ₑ) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
h_integral : ∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ‖f (i + 1) a - f i a‖ₑ) ^ p ∂μ < ∞
rpow_ae_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (∑' (i : ℕ), ‖f (i + 1) x - f i x‖ₑ) ^ p < ∞
x : α
hx : ∑' (i : ℕ), ‖f (i + 1) x - f i x‖ₑ < ∞
⊢ ∑' (i : ℕ), ‖f (i + 1) x - f i x‖ₑ < ∞

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_3
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ∞
h : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ‖f (i + 1) a - f i a‖ₑ) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
h_integral : ∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ‖f (i + 1) a - f i a‖ₑ) ^ p ∂μ < ∞
rpow_ae_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (∑' (i : ℕ), ‖f (i + 1) x - f i x‖ₑ) ^ p < ∞
x : α
hx : ∑' (i : ℕ), ‖f (i + 1) x - f i x‖ₑ < ∞
⊢ ∑' (i : ℕ), ‖f (i + 1) x - f i x‖ₑ < ∞
Module: Mathlib.Analysis.MeanInequalities

Goal state before:
pp: case e'_3.a.inr
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ∞) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ∞
this :
  ∑ x ∈ s, ↑(w x).toNNReal * ↑(f x).toNNReal ≤ (∑ i ∈ s, ↑(w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
i : ι
hi : i ∈ s
hw : w i ≠ 0
⊢ w i * f i = w i * f i

pp: case e'_3.a.inr
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ∞) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ∞
this :
  ∑ x ∈ s, ↑(w x).toNNReal * ↑(f x).toNNReal ≤ (∑ i ∈ s, ↑(w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
i : ι
hi : i ∈ s
hw : w i ≠ 0
⊢ f i ≠ ∞

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_3.a.inr
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ∞) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ∞
this :
  ∑ x ∈ s, ↑(w x).toNNReal * ↑(f x).toNNReal ≤ (∑ i ∈ s, ↑(w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
i : ι
hi : i ∈ s
hw : w i ≠ 0
⊢ f i ≠ ∞
Module: Mathlib.Analysis.MeanInequalities

Goal state before:
pp: ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0∞
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
hpq : p.HolderConjugate q
hp₁ : 1 / p * p = 1
⊢ 1 / q * p = p / q

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0∞
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
hpq : p.HolderConjugate q
hp₁ : 1 / p * p = 1
⊢ 1 / q * p = p / q
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConvergenceInMeasure

Goal state before:
pp: case h
α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k ↦ {x | 2⁻¹ ^ k ≤ edist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
hμs : μ s = 0
h_tendsto : ∀ x ∈ sᶜ, Tendsto (fun i ↦ f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ StrictMono ns ∧ μ {a | ¬Tendsto (fun i ↦ f (ns i) a) atTop (𝓝 (g a))} = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case h
α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k ↦ {x | 2⁻¹ ^ k ≤ edist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
hμs : μ s = 0
h_tendsto : ∀ x ∈ sᶜ, Tendsto (fun i ↦ f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ StrictMono ns ∧ μ {a | ¬Tendsto (fun i ↦ f (ns i) a) atTop (𝓝 (g a))} = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Complete

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ∞
h_cau : ∀ (N n m_1 : ℕ), N ≤ n → N ≤ m_1 → eLpNorm' (f n - f m_1) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i ↦ f (i + 1) x - f i x
x : α
hx : Summable fun i ↦ f (i + 1) x - f i x
hx_sum : Tendsto (fun n ↦ f n x - f 0 x) atTop (𝓝 (∑' (b : ℕ), (f (b + 1) x - f b x)))
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n ↦ f n x) atTop (𝓝 l)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ∞
h_cau : ∀ (N n m_1 : ℕ), N ≤ n → N ≤ m_1 → eLpNorm' (f n - f m_1) p μ < B N
h_summable : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Summable fun i ↦ f (i + 1) x - f i x
x : α
hx : Summable fun i ↦ f (i + 1) x - f i x
hx_sum : Tendsto (fun n ↦ f n x - f 0 x) atTop (𝓝 (∑' (b : ℕ), (f (b + 1) x - f b x)))
⊢ ∃ l, Tendsto (fun n ↦ f n x) atTop (𝓝 l)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConvergenceInMeasure

Goal state before:
pp: case h
α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k ↦ {x | 2⁻¹ ^ k ≤ edist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
hμs : μ s = 0
h_tendsto : ∀ x ∈ sᶜ, Tendsto (fun i ↦ f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
x : α
⊢ ¬Tendsto (fun i ↦ f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x)) → x ∈ s

Tactic:
← @Classical.not_not (x ∈ s),

Goal state after:
case h
α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k ↦ {x | 2⁻¹ ^ k ≤ edist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
hμs : μ s = 0
h_tendsto : ∀ x ∈ sᶜ, Tendsto (fun i ↦ f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
x : α
⊢ ¬Tendsto (fun i ↦ f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x)) → ¬x ∉ s
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConvergenceInMeasure

Goal state before:
pp: case h
α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k ↦ {x | 2⁻¹ ^ k ≤ edist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
hμs : μ s = 0
h_tendsto : ∀ x ∈ sᶜ, Tendsto (fun i ↦ f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
x : α
⊢ x ∉ s → Tendsto (fun i ↦ f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))

Tactic:
]

Goal state after:
case h
α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k ↦ {x | 2⁻¹ ^ k ≤ edist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
hμs : μ s = 0
h_tendsto : ∀ x ∈ sᶜ, Tendsto (fun i ↦ f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
x : α
⊢ x ∉ s → Tendsto (fun i ↦ f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
𝕜'✝ : Type u_3
E : Type u_4
F✝ : Type u_5
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F✝
g : E → F✝
c✝ : ℝ≥0
𝕜 : Type u_6
𝕜' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜' F✝
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
B : G →L[𝕜] E →L[𝕜] F
c : G
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ ‖B‖ * ‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖B‖ * ‖c‖ * ‖f‖

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ConvergenceInMeasure

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
g : α → E
h1 :
  ∀ (ns : ℕ → ℕ),
    StrictMono ns → ∃ ns', StrictMono ns' ∧ ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, Tendsto (fun i ↦ f (ns (ns' i)) ω) atTop (𝓝 (g ω))
⊢ ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → Tendsto (fun i ↦ (μ {x | ε ≤ edist (f i x) (g x)}).toNNReal) atTop (𝓝 0)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
g : α → E
h1 :
  ∀ (ns : ℕ → ℕ),
    StrictMono ns → ∃ ns', StrictMono ns' ∧ ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, Tendsto (fun i ↦ f (ns (ns' i)) ω) atTop (𝓝 (g ω))
⊢ ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → Tendsto (fun i ↦ (μ {x | ε ≤ edist (f i x) (g x)}).toNNReal) atTop (𝓝 0)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpOrder

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : PartialOrder E
f g : ↥(Lp E p μ)
⊢ ↑↑f ≤ᵐ[μ] ↑↑g ↔ ↑↑f ≤ᵐ[μ] ↑↑g

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpOrder

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : PartialOrder E
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] ↑↑f ↔ ↑↑0 ≤ᵐ[μ] ↑↑f

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : PartialOrder E
f : ↥(Lp E p μ)
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] ↑↑f ↔ ↑↑0 ≤ᵐ[μ] ↑↑f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpOrder

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : PartialOrder E
inst✝ : IsOrderedAddMonoid E
f g₁ g₂ : ↥(Lp E p μ)
hg₁₂ : ↑↑g₁ ≤ᵐ[μ] ↑↑g₂
⊢ ↑↑(f + g₁) ≤ᵐ[μ] ↑↑(f + g₂)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : PartialOrder E
inst✝ : IsOrderedAddMonoid E
f g₁ g₂ : ↥(Lp E p μ)
hg₁₂ : ↑↑g₁ ≤ᵐ[μ] ↑↑g₂
⊢ ↑↑(f + g₁) ≤ᵐ[μ] ↑↑(f + g₂)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpOrder

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : PartialOrder E
inst✝ : IsOrderedAddMonoid E
f g₁ g₂ : ↥(Lp E p μ)
hg₁₂ : ↑↑g₁ ≤ᵐ[μ] ↑↑g₂
a✝ : α
h1 : ↑↑(f + g₁) a✝ = (↑↑f + ↑↑g₁) a✝
h2 : ↑↑(f + g₂) a✝ = (↑↑f + ↑↑g₂) a✝
h3 : ↑↑g₁ a✝ ≤ ↑↑g₂ a✝
⊢ ↑↑f a✝ + ↑↑g₁ a✝ ≤ ↑↑f a✝ + ↑↑g₂ a✝

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : PartialOrder E
inst✝ : IsOrderedAddMonoid E
f g₁ g₂ : ↥(Lp E p μ)
hg₁₂ : ↑↑g₁ ≤ᵐ[μ] ↑↑g₂
a✝ : α
h1 : ↑↑(f + g₁) a✝ = (↑↑f + ↑↑g₁) a✝
h2 : ↑↑(f + g₂) a✝ = (↑↑f + ↑↑g₂) a✝
h3 : ↑↑g₁ a✝ ≤ ↑↑g₂ a✝
⊢ ↑↑f a✝ + ↑↑g₁ a✝ ≤ ↑↑f a✝ + ↑↑g₂ a✝
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
g✝ : E → F
c✝ : ℝ≥0
inst✝ : NormedSpace ℝ E
ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ∞
h : μ ≤ c • ν
f g : ↥(Lp E p ν)
⊢ ↑↑(f + g) =ᵐ[μ] ↑↑f + ↑↑g

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
g✝ : E → F
c✝ : ℝ≥0
inst✝ : NormedSpace ℝ E
ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ∞
h : μ ≤ c • ν
f g : ↥(Lp E p ν)
⊢ ↑↑(f + g) =ᵐ[μ] ↑↑f + ↑↑g
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
g✝ : E → F
c✝ : ℝ≥0
inst✝ : NormedSpace ℝ E
ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ∞
h : μ ≤ c • ν
f g : ↥(Lp E p ν)
this : μ ≪ ν
⊢ ↑↑f + ↑↑g =ᵐ[ν] ↑↑f + ↑↑g

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
g : E → F
c✝¹ : ℝ≥0
inst✝ : NormedSpace ℝ E
ν : Measure α
c✝ : ℝ≥0∞
hc : c✝ ≠ ∞
h : μ ≤ c✝ • ν
c : ℝ
f : ↥(Lp E p ν)
⊢ ↑↑(c • f) =ᵐ[μ] (RingHom.id ℝ) c • ↑↑f

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
g : E → F
c✝¹ : ℝ≥0
inst✝ : NormedSpace ℝ E
ν : Measure α
c✝ : ℝ≥0∞
hc : c✝ ≠ ∞
h : μ ≤ c✝ • ν
c : ℝ
f : ↥(Lp E p ν)
⊢ ↑↑(c • f) =ᵐ[μ] (RingHom.id ℝ) c • ↑↑f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
g : E → F
c✝¹ : ℝ≥0
inst✝ : NormedSpace ℝ E
ν : Measure α
c✝ : ℝ≥0∞
hc : c✝ ≠ ∞
h : μ ≤ c✝ • ν
c : ℝ
f : ↥(Lp E p ν)
this : μ ≪ ν
⊢ c • ↑↑f =ᵐ[ν] (RingHom.id ℝ) c • ↑↑f

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
g : E → F
c✝¹ : ℝ≥0
inst✝ : NormedSpace ℝ E
ν : Measure α
c✝ : ℝ≥0∞
hc : c✝ ≠ ∞
h : μ ≤ c✝ • ν
c : ℝ
f : ↥(Lp E p ν)
this : μ ≪ ν
⊢ c • ↑↑f =ᵐ[ν] (RingHom.id ℝ) c • ↑↑f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpOrder

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Lattice E
inst✝¹ : HasSolidNorm E
inst✝ : IsOrderedAddMonoid E
f g : α →ₘ[μ] E
hf : MemLp (↑f) p μ
hg : MemLp (↑g) p μ
⊢ MemLp (↑(f ⊔ g)) p μ

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Lattice E
inst✝¹ : HasSolidNorm E
inst✝ : IsOrderedAddMonoid E
f g : α →ₘ[μ] E
hf : MemLp (↑f) p μ
hg : MemLp (↑g) p μ
⊢ MemLp (↑(f ⊔ g)) p μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ∞
h : μ ≤ c • ν
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ↥(Lp E p ν)
⊢ eLpNorm (↑↑f) p μ ≤ c ^ (1 / p).toReal * eLpNorm (↑↑f) p ν

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ∞
h : μ ≤ c • ν
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ↥(Lp E p ν)
⊢ eLpNorm (↑↑f) p μ ≤ c ^ (1 / p).toReal * eLpNorm (↑↑f) p ν
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpOrder

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Lattice E
inst✝¹ : HasSolidNorm E
inst✝ : IsOrderedAddMonoid E
f g : α →ₘ[μ] E
hf : MemLp (↑f) p μ
hg : MemLp (↑g) p μ
⊢ MemLp (↑(f ⊓ g)) p μ

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Lattice E
inst✝¹ : HasSolidNorm E
inst✝ : IsOrderedAddMonoid E
f g : α →ₘ[μ] E
hf : MemLp (↑f) p μ
hg : MemLp (↑g) p μ
⊢ MemLp (↑(f ⊓ g)) p μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ∞
h : μ ≤ c • ν
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ↥(Lp E p ν)
⊢ ‖(LpToLpOfMeasureLeSMulₗ hc h) f‖ₑ.toReal ≤ (c ^ (1 / p).toReal * ‖f‖ₑ).toReal

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ∞
h : μ ≤ c • ν
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ↥(Lp E p ν)
⊢ ‖(LpToLpOfMeasureLeSMulₗ hc h) f‖ₑ.toReal ≤ (c ^ (1 / p).toReal * ‖f‖ₑ).toReal
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ∞
h : μ ≤ c • ν
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ↥(Lp E p ν)
⊢ (c ^ (1 / p).toReal * ‖f‖ₑ).toReal ≤ (c ^ (1 / p).toReal * ‖f‖ₑ).toReal

pp: case hb
α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ∞
h : μ ≤ c • ν
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ↥(Lp E p ν)
⊢ c ^ (1 / p).toReal * ‖f‖ₑ ≠ ∞

Tactic:
]

Goal state after:
case hb
α : Type u_1
E : Type u_4
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ∞
h : μ ≤ c • ν
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ↥(Lp E p ν)
⊢ c ^ (1 / p).toReal * ‖f‖ₑ ≠ ∞
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpOrder

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : Lattice E
inst✝² : HasSolidNorm E
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f g : ↥(Lp E p μ)
hfg : ↑↑|f| ≤ᵐ[μ] ↑↑|g|
⊢ ‖f‖ ≤ ‖g‖

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : Lattice E
inst✝² : HasSolidNorm E
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f g : ↥(Lp E p μ)
hfg : ↑↑|f| ≤ᵐ[μ] ↑↑|g|
⊢ ‖f‖ ≤ ‖g‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : ↥(Lp ℝ p μ)
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑↑(posPart (-f)) a = max (-↑↑f a) 0

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : ↥(Lp ℝ p μ)
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑↑(posPart (-f)) a = max (-↑↑f a) 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : ↥(Lp ℝ p μ)
a✝ : α
h₁ : ↑↑(posPart (-f)) a✝ = max (↑↑(-f) a✝) 0
h₂ : ↑↑(-f) a✝ = (-↑↑f) a✝
⊢ max (-↑↑f a✝) 0 = max (-↑↑f a✝) 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : ↥(Lp ℝ p μ)
a : α
h : ↑↑(negPart f) a = max (-↑↑f a) 0
⊢ max (-↑↑f a) 0 = max (-↑↑f a) 0

Tactic:
]

Goal state after: