mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
S : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module S P
σ : R →+* S
inst✝ : RingHomSurjective σ
f : M →ₛₗ[σ] P
hf : Function.Injective ⇑f
N : Submodule R M
hfn : (map f N).FG
t : Finset P
ht : span S ↑t = map f N
⊢ map f N = map f N

pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
S : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module S P
σ : R →+* S
inst✝ : RingHomSurjective σ
f : M →ₛₗ[σ] P
hf : Function.Injective ⇑f
N : Submodule R M
hfn : (map f N).FG
t : Finset P
ht : span S ↑t = map f N
⊢ ↑t ⊆ range ⇑f

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
S : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module S P
σ : R →+* S
inst✝ : RingHomSurjective σ
f : M →ₛₗ[σ] P
hf : Function.Injective ⇑f
N : Submodule R M
hfn : (map f N).FG
t : Finset P
ht : span S ↑t = map f N
⊢ ↑t ⊆ range ⇑f
Module: Mathlib.SetTheory.Cardinal.Cofinality.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Nonempty α
⊢ cof α ≤ 1 ↔ ¬∀ (x : α), ¬IsTop x

Tactic:
cof_le_one_iff

Goal state after:
α : Type u
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Nonempty α
⊢ (∃ x, IsTop x) ↔ ¬∀ (x : α), ¬IsTop x
Module: Mathlib.SetTheory.Cardinal.Cofinality.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Nonempty α
⊢ (∃ x, IsTop x) ↔ ¬∀ (x : α), ¬IsTop x

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Nonempty α
⊢ (∃ x, IsTop x) ↔ ¬∀ (x : α), ¬IsTop x
Module: Mathlib.SetTheory.Cardinal.Cofinality.Basic

Goal state before:
pp: case a
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : StrictMono f
hf' : IsCofinal (range f)
⊢ ∀ (s : Set β), IsCofinal s → lift.{v, u} (cof α) ≤ lift.{u, v} #↑s

Tactic:
]

Goal state after:
case a
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : StrictMono f
hf' : IsCofinal (range f)
⊢ ∀ (s : Set β), IsCofinal s → lift.{v, u} (cof α) ≤ lift.{u, v} #↑s
Module: Mathlib.SetTheory.Cardinal.Cofinality.Basic

Goal state before:
pp: case a
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : StrictMono f
hf' : IsCofinal (range f)
⊢ ∀ (s : Set α), IsCofinal s → lift.{u, v} (cof β) ≤ lift.{v, u} #↑s

Tactic:
]

Goal state after:
case a
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : StrictMono f
hf' : IsCofinal (range f)
⊢ ∀ (s : Set α), IsCofinal s → lift.{u, v} (cof β) ≤ lift.{v, u} #↑s
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
S : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module S P
σ : R →+* S
inst✝ : RingHomSurjective σ
f : M →ₛₗ[σ] P
hf : Function.Injective ⇑f
N : Submodule R M
hfn : (map f N).FG
t : Finset P
ht : span S ↑t = map f N
⊢ map f N ≤ map f ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
S : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module S P
σ : R →+* S
inst✝ : RingHomSurjective σ
f : M →ₛₗ[σ] P
hf : Function.Injective ⇑f
N : Submodule R M
hfn : (map f N).FG
t : Finset P
ht : span S ↑t = map f N
⊢ map f N ≤ map f ⊤
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
⊢ N.FG ↔ N.FG

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: case inr.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
b : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : SMulPosMono α β
hab : 0 < 0
⊢ 0 < 0 ∧ 0 < b ∨ 0 < 0 ∧ b < 0

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
b : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : SMulPosMono α β
hab : 0 < 0
⊢ 0 < 0 ∧ 0 < b ∨ 0 < 0 ∧ b < 0
Module: Mathlib.SetTheory.Cardinal.Cofinality.Basic

Goal state before:
pp: case a
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : StrictMono f
hf' : IsCofinal (range f)
s : Set β
hs : IsCofinal s
g : ↑s → α
hg : ∀ (x : ↑s), ↑x ≤ f (g x)
a b : α
hb : f a ≤ f b
c : β
hc : c ∈ s
hc' : f b ≤ c
⊢ f a ≤ f (g ⟨c, hc⟩)

Tactic:
]

Goal state after:
case a
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : StrictMono f
hf' : IsCofinal (range f)
s : Set β
hs : IsCofinal s
g : ↑s → α
hg : ∀ (x : ↑s), ↑x ≤ f (g x)
a b : α
hb : f a ≤ f b
c : β
hc : c ∈ s
hc' : f b ≤ c
⊢ f a ≤ f (g ⟨c, hc⟩)
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
inst✝⁶ : Monoid α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : MulAction α β
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : SMulPosMono α β
inst✝ : SMulPosReflectLE α β
hb : 0 < b
⊢ b ≤ a • b ↔ b ≤ a • b

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
inst✝⁶ : Monoid α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : MulAction α β
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : SMulPosStrictMono α β
inst✝ : SMulPosReflectLT α β
hb : 0 < b
⊢ b < a • b ↔ b < a • b

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
inst✝⁶ : Monoid α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : MulAction α β
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : SMulPosMono α β
inst✝ : SMulPosReflectLE α β
hb : 0 < b
⊢ a • b ≤ b ↔ a • b ≤ b

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.SetTheory.Cardinal.Cofinality.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
h : cof α < ℵ₀
s : Set α
hs : IsCofinal s
hs' : #↑s = cof α
⊢ #↑s < ℵ₀

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
h : cof α < ℵ₀
s : Set α
hs : IsCofinal s
hs' : #↑s = cof α
⊢ #↑s < ℵ₀
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b : β
inst✝⁶ : Monoid α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : MulAction α β
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : SMulPosStrictMono α β
inst✝ : SMulPosReflectLT α β
hb : 0 < b
⊢ a • b < b ↔ a • b < b

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
A : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module A M
S : Submodule A M
R : Type u_7
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : SMul R A
inst✝ : IsScalarTower R A M
s : Finset M
e : span R ↑s = restrictScalars R S
this : ↑s ⊆ ↑(restrictScalars R S)
⊢ ↑s ⊆ ↑S

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
A : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module A M
S : Submodule A M
R : Type u_7
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : SMul R A
inst✝ : IsScalarTower R A M
s : Finset M
e : span R ↑s = restrictScalars R S
this : ↑s ⊆ ↑(restrictScalars R S)
⊢ ↑s ⊆ ↑S
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
A : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module A M
S : Submodule A M
R : Type u_7
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : SMul R A
inst✝ : IsScalarTower R A M
s : Finset M
e : span R ↑s = restrictScalars R S
⊢ span R ↑s ≤ restrictScalars R (span A ↑s)

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
A : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module A M
S : Submodule A M
R : Type u_7
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : SMul R A
inst✝ : IsScalarTower R A M
s : Finset M
e : span R ↑s = restrictScalars R S
⊢ span R ↑s ≤ restrictScalars R (span A ↑s)
Module: Mathlib.SetTheory.Cardinal.Cofinality.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : β → α
g : α → β
h : GaloisConnection f g
⊢ ∀ (s : Set α), IsCofinal s → lift.{u, v} (cof β) ≤ lift.{v, u} #↑s

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : β → α
g : α → β
h : GaloisConnection f g
⊢ ∀ (s : Set α), IsCofinal s → lift.{u, v} (cof β) ≤ lift.{v, u} #↑s
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Basic

Goal state before:
pp: case h.a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
N : ℕ →o Submodule R M
H : iSup ⇑N = M'
S : Finset M
hS : span R ↑S = M'
f : ↥S → ℕ
hf : ∀ (s : ↥S), ↑s ∈ N (f s)
⊢ ↑S ⊆ ↑(N (S.attach.sup f))

Tactic:
]

Goal state after:
case h.a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
N : ℕ →o Submodule R M
H : iSup ⇑N = M'
S : Finset M
hS : span R ↑S = M'
f : ↥S → ℕ
hf : ∀ (s : ↥S), ↑s ∈ N (f s)
⊢ ↑S ⊆ ↑(N (S.attach.sup f))
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : GroupWithZero α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
ha : 0 < a
⊢ b₁ ≤ a • b₂ ↔ b₁ ≤ a • b₂

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Basic

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
N : ℕ →o Submodule R M
H : iSup ⇑N = M'
S : Finset M
hS : span R ↑S = M'
f : ↥S → ℕ
hf : ∀ (s : ↥S), ↑s ∈ N (f s)
⊢ N (S.attach.sup f) ≤ iSup ⇑N

Tactic:
]

Goal state after:
case a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
N : ℕ →o Submodule R M
H : iSup ⇑N = M'
S : Finset M
hS : span R ↑S = M'
f : ↥S → ℕ
hf : ∀ (s : ↥S), ↑s ∈ N (f s)
⊢ N (S.attach.sup f) ≤ iSup ⇑N
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : GroupWithZero α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
ha : 0 < a
⊢ a • b₁ ≤ b₂ ↔ a • b₁ ≤ b₂

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.SetTheory.Cardinal.Cofinality.Basic

Goal state before:
pp: α ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s : ι → Set α
h₁ : IsCofinal (⋃₀ range s)
h₂ : #ι < cof α
⊢ ∃ i, IsCofinal (s i)

Tactic:
]

Goal state after:
α ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s : ι → Set α
h₁ : IsCofinal (⋃₀ range s)
h₂ : #ι < cof α
⊢ ∃ i, IsCofinal (s i)
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : GroupWithZero α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
ha : 0 < a
⊢ b₁ < a • b₂ ↔ b₁ < a • b₂

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : GroupWithZero α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
ha : 0 < a
⊢ a • b₁ < b₂ ↔ a • b₁ < b₂

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Basic

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
sp : M → Submodule R M := fun a ↦ R ∙ a
supr_rw : ∀ (t : Finset M), ⨆ x ∈ t, sp x = ⨆ x ∈ ↑t, sp x
t : Finset M
⊢ IsCompactElement (t.sup sp)

Tactic:
]

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
sp : M → Submodule R M := fun a ↦ R ∙ a
supr_rw : ∀ (t : Finset M), ⨆ x ∈ t, sp x = ⨆ x ∈ ↑t, sp x
t : Finset M
⊢ IsCompactElement (t.sup sp)
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Preorder α
inst✝⁵ : Monoid α
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : DistribMulAction α β
inst✝ : SMulPosMono α β
_b : βᵒᵈ
hb : 0 ≤ _b
a₁ a₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
⊢ a₂ • -_b ≤ a₁ • -_b

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Preorder α
inst✝⁵ : Monoid α
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : DistribMulAction α β
inst✝ : SMulPosMono α β
_b : βᵒᵈ
hb : 0 ≤ _b
a₁ a₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
⊢ a₂ • -_b ≤ a₁ • -_b
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Submodule R M
sp : M → Submodule R M := fun a ↦ R ∙ a
supr_rw : ∀ (t : Finset M), ⨆ x ∈ t, sp x = ⨆ x ∈ ↑t, sp x
h : ∀ (s_1 : Set (Submodule R M)), s ≤ sSup s_1 → ∃ t, ↑t ⊆ s_1 ∧ s ≤ t.sup id
⊢ s.FG

Tactic:
]

Goal state after:
case mpr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Submodule R M
sp : M → Submodule R M := fun a ↦ R ∙ a
supr_rw : ∀ (t : Finset M), ⨆ x ∈ t, sp x = ⨆ x ∈ ↑t, sp x
h : ∀ (s_1 : Set (Submodule R M)), s ≤ sSup s_1 → ∃ t, ↑t ⊆ s_1 ∧ s ≤ t.sup id
⊢ s.FG
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Preorder α
inst✝⁵ : Monoid α
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : DistribMulAction α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
_b : βᵒᵈ
hb : 0 < _b
a₁ a₂ : α
ha : a₁ < a₂
⊢ a₂ • -_b < a₁ • -_b

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Preorder α
inst✝⁵ : Monoid α
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : DistribMulAction α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
_b : βᵒᵈ
hb : 0 < _b
a₁ a₂ : α
ha : a₁ < a₂
⊢ a₂ • -_b < a₁ • -_b
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Preorder α
inst✝⁵ : Monoid α
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : DistribMulAction α β
inst✝ : SMulPosReflectLT α β
_b : βᵒᵈ
hb : 0 ≤ _b
a₁ a₂ : α
h : a₂ • -_b < a₁ • -_b
⊢ a₁ < a₂

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Preorder α
inst✝⁵ : Monoid α
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : DistribMulAction α β
inst✝ : SMulPosReflectLT α β
_b : βᵒᵈ
hb : 0 ≤ _b
a₁ a₂ : α
h : a₂ • -_b < a₁ • -_b
⊢ a₁ < a₂
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Submodule R M
sp : M → Submodule R M := fun a ↦ R ∙ a
supr_rw : ∀ (t : Finset M), ⨆ x ∈ t, sp x = ⨆ x ∈ ↑t, sp x
h : ∀ (s_1 : Set (Submodule R M)), s ≤ sSup s_1 → ∃ t, ↑t ⊆ s_1 ∧ s ≤ t.sup id
⊢ s = s

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Preorder α
inst✝⁵ : Monoid α
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : DistribMulAction α β
inst✝ : SMulPosReflectLE α β
_b : βᵒᵈ
hb : 0 < _b
a₁ a₂ : α
h : a₂ • -_b ≤ a₁ • -_b
⊢ a₁ ≤ a₂

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Preorder α
inst✝⁵ : Monoid α
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : DistribMulAction α β
inst✝ : SMulPosReflectLE α β
_b : βᵒᵈ
hb : 0 < _b
a₁ a₂ : α
h : a₂ • -_b ≤ a₁ • -_b
⊢ a₁ ≤ a₂
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Submodule R M
sp : M → Submodule R M := fun a ↦ R ∙ a
supr_rw : ∀ (t : Finset M), ⨆ x ∈ t, sp x = ⨆ x ∈ ↑t, sp x
h : ∀ (s_1 : Set (Submodule R M)), s ≤ sSup s_1 → ∃ t, ↑t ⊆ s_1 ∧ s ≤ t.sup id
sSup' : s = sSup (sp '' ↑s)
u : Finset (Submodule R M)
huspan : ↑u ⊆ sp '' ↑s
husup : s ≤ u.sup id
⊢ sSup ↑u ≤ sSup (sp '' ↑s)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Submodule R M
sp : M → Submodule R M := fun a ↦ R ∙ a
supr_rw : ∀ (t : Finset M), ⨆ x ∈ t, sp x = ⨆ x ∈ ↑t, sp x
h : ∀ (s_1 : Set (Submodule R M)), s ≤ sSup s_1 → ∃ t, ↑t ⊆ s_1 ∧ s ≤ t.sup id
sSup' : s = sSup (sp '' ↑s)
u : Finset (Submodule R M)
huspan : ↑u ⊆ sp '' ↑s
husup : s ≤ u.sup id
⊢ sSup ↑u ≤ sSup (sp '' ↑s)
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring α
inst✝⁷ : PartialOrder α
inst✝⁶ : IsStrictOrderedRing α
inst✝⁵ : ExistsAddOfLE α
inst✝⁴ : AddCommMonoid β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedCancelAddMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
a₁ : α
b₁ b₂ : β
hb : b₁ ≤ b₂
a : α
ha₀ : 0 ≤ a
ha : a₁ ≤ a₁ + a
⊢ a₁ • b₁ + (a₁ • b₂ + a • b₁) ≤ a₁ • b₁ + (a₁ • b₂ + a • b₂)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring α
inst✝⁷ : PartialOrder α
inst✝⁶ : IsStrictOrderedRing α
inst✝⁵ : ExistsAddOfLE α
inst✝⁴ : AddCommMonoid β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedCancelAddMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
a₁ : α
b₁ b₂ : β
hb : b₁ ≤ b₂
a : α
ha₀ : 0 ≤ a
ha : a₁ ≤ a₁ + a
⊢ a₁ • b₁ + (a₁ • b₂ + a • b₁) ≤ a₁ • b₁ + (a₁ • b₂ + a • b₂)
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring α
inst✝⁷ : PartialOrder α
inst✝⁶ : IsStrictOrderedRing α
inst✝⁵ : ExistsAddOfLE α
inst✝⁴ : AddCommMonoid β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedCancelAddMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a₁ : α
b₁ b₂ : β
hb : b₁ < b₂
a : α
ha₀ : 0 < a
ha : a₁ < a₁ + a
⊢ a₁ • b₁ + (a₁ • b₂ + a • b₁) < a₁ • b₁ + (a₁ • b₂ + a • b₂)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring α
inst✝⁷ : PartialOrder α
inst✝⁶ : IsStrictOrderedRing α
inst✝⁵ : ExistsAddOfLE α
inst✝⁴ : AddCommMonoid β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedCancelAddMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a₁ : α
b₁ b₂ : β
hb : b₁ < b₂
a : α
ha₀ : 0 < a
ha : a₁ < a₁ + a
⊢ a₁ • b₁ + (a₁ • b₂ + a • b₁) < a₁ • b₁ + (a₁ • b₂ + a • b₂)
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Submodule R M
sp : M → Submodule R M := fun a ↦ R ∙ a
supr_rw : ∀ (t : Finset M), ⨆ x ∈ t, sp x = ⨆ x ∈ ↑t, sp x
h : ∀ (s_1 : Set (Submodule R M)), s ≤ sSup s_1 → ∃ t, ↑t ⊆ s_1 ∧ s ≤ t.sup id
sSup' : s = sSup (sp '' ↑s)
t : Finset M
huspan : ↑(Finset.image sp t) ⊆ sp '' ↑s
husup : s ≤ (Finset.image sp t).sup id
ssup : span R ↑t = s
⊢ s.FG

Tactic:
]

Goal state after:
case mpr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Submodule R M
sp : M → Submodule R M := fun a ↦ R ∙ a
supr_rw : ∀ (t : Finset M), ⨆ x ∈ t, sp x = ⨆ x ∈ ↑t, sp x
h : ∀ (s_1 : Set (Submodule R M)), s ≤ sSup s_1 → ∃ t, ↑t ⊆ s_1 ∧ s ≤ t.sup id
sSup' : s = sSup (sp '' ↑s)
t : Finset M
huspan : ↑(Finset.image sp t) ⊆ sp '' ↑s
husup : s ≤ (Finset.image sp t).sup id
ssup : span R ↑t = s
⊢ s.FG
Module: Mathlib.Order.DirSupClosed

Goal state before:
pp: α : Type u_1
s : Set α
inst✝ : Preorder α
⊢ DirSupInacc s ↔ DirSupInacc s

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.DirSupClosed

Goal state before:
pp: α : Type u_1
s : Set α
D : Set (Set α)
inst✝ : Preorder α
⊢ DirSupClosedOn D s ↔ DirSupClosedOn D s

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.DirSupClosed

Goal state before:
pp: α : Type u_1
s : Set α
inst✝ : Preorder α
⊢ DirSupClosed s ↔ DirSupClosed s

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.DirSupClosed

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
⊢ DirSupClosed ∅

Tactic:
by simp [DirSupClosed]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
inst✝⁷ : Ring α
inst✝⁶ : PartialOrder α
inst✝⁵ : IsOrderedRing α
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
h : b₁ ≤ b₂
ha : a ≤ 0
⊢ -a • b₁ ≤ -a • b₂

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
inst✝⁷ : Ring α
inst✝⁶ : PartialOrder α
inst✝⁵ : IsOrderedRing α
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
h : b₁ ≤ b₂
ha : a ≤ 0
⊢ -a • b₁ ≤ -a • b₂
Module: Mathlib.Order.DirSupClosed

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
⊢ DirSupClosed Set.univ

Tactic:
by simp [DirSupClosed]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
⊢ Module.Finite R M

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
⊢ Module.Finite R M
Module: Mathlib.Order.DirSupClosed

Goal state before:
pp: α : Type u_1
D : Set (Set α)
inst✝ : Preorder α
s : Set (Set α)
hs : ∀ x ∈ s, DirSupInaccOn D x
⊢ DirSupClosedOn D (⋂₀ (Compl.compl '' s))

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
D : Set (Set α)
inst✝ : Preorder α
s : Set (Set α)
hs : ∀ x ∈ s, DirSupInaccOn D x
⊢ DirSupClosedOn D (⋂₀ (Compl.compl '' s))
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁷ : Ring α
inst✝⁶ : PartialOrder α
inst✝⁵ : IsOrderedRing α
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
_b : β
hb : 0 ≤ _b
a₁ a₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
⊢ 0 ≤ (a₂ - a₁) • _b

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁷ : Ring α
inst✝⁶ : PartialOrder α
inst✝⁵ : IsOrderedRing α
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
_b : β
hb : 0 ≤ _b
a₁ a₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
⊢ 0 ≤ (a₂ - a₁) • _b
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Finite M
val✝ : Fintype M
⊢ ⊤ = ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.DirSupClosed

Goal state before:
pp: α : Type u_1
D : Set (Set α)
inst✝ : Preorder α
ι : Sort u_2
f : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), DirSupClosedOn D (f i)
⊢ DirSupClosedOn D (⋂₀ range f)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
D : Set (Set α)
inst✝ : Preorder α
ι : Sort u_2
f : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), DirSupClosedOn D (f i)
⊢ DirSupClosedOn D (⋂₀ range f)
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.Defs

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
inst✝⁷ : Ring α
inst✝⁶ : PartialOrder α
inst✝⁵ : IsOrderedRing α
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
hb : b₁ < b₂
ha : a < 0
⊢ -a • b₁ < -a • b₂

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
b₁ b₂ : β
inst✝⁷ : Ring α
inst✝⁶ : PartialOrder α
inst✝⁵ : IsOrderedRing α
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
hb : b₁ < b₂
ha : a < 0
⊢ -a • b₁ < -a • b₂