Module: Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.SetIntegral

Goal state before:
pp: X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ G
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
s : ℕ → Set X
hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
hfi : μ.IntegrableOn f (⋃ i, s i)
hG : CompleteSpace G
I : ∑' (i : ℕ), ‖B‖ₑ * ∫⁻ (x : X) in s i, ‖f x‖ₑ ∂μ.variation < ∞
this✝ : Summable fun n ↦ ∫ᵛ (x : X) in s n, f x ∂[B; μ]
N : ℕ
this : ⋃ n, s n = (⋃ n ∈ Finset.range N, s n) ∪ ⋃ n, s (n + N)
⊢ ‖∑ i ∈ Finset.range N, ∫ᵛ (x : X) in s i, f x ∂[B; μ] + ∫ᵛ (x : X) in ⋃ n, s (n + N), f x ∂[B; μ] -
        ∑ i ∈ Finset.range N, ∫ᵛ (x : X) in s i, f x ∂[B; μ]‖ₑ ≤
    ∑' (k : ℕ), ‖B‖ₑ * ∫⁻ (x : X) in s (k + N), ‖f x‖ₑ ∂μ.variation

pp: case hs
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ G
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
s : ℕ → Set X
hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
hfi : μ.IntegrableOn f (⋃ i, s i)
hG : CompleteSpace G
I : ∑' (i : ℕ), ‖B‖ₑ * ∫⁻ (x : X) in s i, ‖f x‖ₑ ∂μ.variation < ∞
this✝ : Summable fun n ↦ ∫ᵛ (x : X) in s n, f x ∂[B; μ]
N : ℕ
this : ⋃ n, s n = (⋃ n ∈ Finset.range N, s n) ∪ ⋃ n, s (n + N)
⊢ ∀ i ∈ Finset.range N, MeasurableSet (s i)

pp: case h's
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ G
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
s : ℕ → Set X
hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
hfi : μ.IntegrableOn f (⋃ i, s i)
hG : CompleteSpace G
I : ∑' (i : ℕ), ‖B‖ₑ * ∫⁻ (x : X) in s i, ‖f x‖ₑ ∂μ.variation < ∞
this✝ : Summable fun n ↦ ∫ᵛ (x : X) in s n, f x ∂[B; μ]
N : ℕ
this : ⋃ n, s n = (⋃ n ∈ Finset.range N, s n) ∪ ⋃ n, s (n + N)
⊢ (↑(Finset.range N)).Pairwise (Disjoint on s)

pp: case hf
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ G
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
s : ℕ → Set X
hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
hfi : μ.IntegrableOn f (⋃ i, s i)
hG : CompleteSpace G
I : ∑' (i : ℕ), ‖B‖ₑ * ∫⁻ (x : X) in s i, ‖f x‖ₑ ∂μ.variation < ∞
this✝ : Summable fun n ↦ ∫ᵛ (x : X) in s n, f x ∂[B; μ]
N : ℕ
this : ⋃ n, s n = (⋃ n ∈ Finset.range N, s n) ∪ ⋃ n, s (n + N)
⊢ ∀ i ∈ Finset.range N, μ.IntegrableOn f (s i)

Tactic:
]

Goal state after:
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ G
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
s : ℕ → Set X
hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
hfi : μ.IntegrableOn f (⋃ i, s i)
hG : CompleteSpace G
I : ∑' (i : ℕ), ‖B‖ₑ * ∫⁻ (x : X) in s i, ‖f x‖ₑ ∂μ.variation < ∞
this✝ : Summable fun n ↦ ∫ᵛ (x : X) in s n, f x ∂[B; μ]
N : ℕ
this : ⋃ n, s n = (⋃ n ∈ Finset.range N, s n) ∪ ⋃ n, s (n + N)
⊢ ‖∑ i ∈ Finset.range N, ∫ᵛ (x : X) in s i, f x ∂[B; μ] + ∫ᵛ (x : X) in ⋃ n, s (n + N), f x ∂[B; μ] -
        ∑ i ∈ Finset.range N, ∫ᵛ (x : X) in s i, f x ∂[B; μ]‖ₑ ≤
    ∑' (k : ℕ), ‖B‖ₑ * ∫⁻ (x : X) in s (k + N), ‖f x‖ₑ ∂μ.variation

case hs
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ G
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
s : ℕ → Set X
hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
hfi : μ.IntegrableOn f (⋃ i, s i)
hG : CompleteSpace G
I : ∑' (i : ℕ), ‖B‖ₑ * ∫⁻ (x : X) in s i, ‖f x‖ₑ ∂μ.variation < ∞
this✝ : Summable fun n ↦ ∫ᵛ (x : X) in s n, f x ∂[B; μ]
N : ℕ
this : ⋃ n, s n = (⋃ n ∈ Finset.range N, s n) ∪ ⋃ n, s (n + N)
⊢ ∀ i ∈ Finset.range N, MeasurableSet (s i)

case h's
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ G
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
s : ℕ → Set X
hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
hfi : μ.IntegrableOn f (⋃ i, s i)
hG : CompleteSpace G
I : ∑' (i : ℕ), ‖B‖ₑ * ∫⁻ (x : X) in s i, ‖f x‖ₑ ∂μ.variation < ∞
this✝ : Summable fun n ↦ ∫ᵛ (x : X) in s n, f x ∂[B; μ]
N : ℕ
this : ⋃ n, s n = (⋃ n ∈ Finset.range N, s n) ∪ ⋃ n, s (n + N)
⊢ (↑(Finset.range N)).Pairwise (Disjoint on s)

case hf
X : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
mX : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
μ : VectorMeasure X F
f : X → E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ G
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
s : ℕ → Set X
hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
hd : Pairwise (Disjoint on s)
hfi : μ.IntegrableOn f (⋃ i, s i)
hG : CompleteSpace G
I : ∑' (i : ℕ), ‖B‖ₑ * ∫⁻ (x : X) in s i, ‖f x‖ₑ ∂μ.variation < ∞
this✝ : Summable fun n ↦ ∫ᵛ (x : X) in s n, f x ∂[B; μ]
N : ℕ
this : ⋃ n, s n = (⋃ n ∈ Finset.range N, s n) ∪ ⋃ n, s (n + N)
⊢ ∀ i ∈ Finset.range N, μ.IntegrableOn f (s i)