mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
hα4 : 4 ≤ Nat.card α
g : Perm α
hg : g ∈ alternatingGroup α
hg' : ⟨g, hg⟩ ∈ center ↥(alternatingGroup α)
a : α
ha : a ∈ g.support
hab : g a ≠ a
c d : α
hcd : c ≠ d
hc : c ≠ a ∧ c ≠ g a
hd : d ≠ a ∧ d ≠ g a
k : Perm α := swap (g a) d * swap (g a) c
⊢ a = a

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
hα4 : 4 ≤ Nat.card α
g : Perm α
hg : g ∈ alternatingGroup α
hg' : ⟨g, hg⟩ ∈ center ↥(alternatingGroup α)
a : α
ha : a ∈ g.support
hab : g a ≠ a
c d : α
hcd : c ≠ d
hc : c ≠ a ∧ c ≠ g a
hd : d ≠ a ∧ d ≠ g a
k : Perm α := swap (g a) d * swap (g a) c
hka : k • a = a
⊢ c = c

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
hα4 : 4 ≤ Nat.card α
g : Perm α
hg : g ∈ alternatingGroup α
hg' : ⟨g, hg⟩ ∈ center ↥(alternatingGroup α)
a : α
ha : a ∈ g.support
hab : g a ≠ a
c d : α
hcd : c ≠ d
hc : c ≠ a ∧ c ≠ g a
hd : d ≠ a ∧ d ≠ g a
k : Perm α := swap (g a) d * swap (g a) c
hka : k • a = a
hkga : k • g a = c
this : k • ⟨g, hg⟩ • a = ⟨g, hg⟩ • k • a
⊢ ⟨g, hg⟩ • a ≠ c

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
hα4 : 4 ≤ Nat.card α
g : Perm α
hg : g ∈ alternatingGroup α
hg' : ⟨g, hg⟩ ∈ center ↥(alternatingGroup α)
a : α
ha : a ∈ g.support
hab : g a ≠ a
c d : α
hcd : c ≠ d
hc : c ≠ a ∧ c ≠ g a
hd : d ≠ a ∧ d ≠ g a
k : Perm α := swap (g a) d * swap (g a) c
hka : k • a = a
hkga : k • g a = c
this : k • ⟨g, hg⟩ • a = ⟨g, hg⟩ • k • a
⊢ ⟨g, hg⟩ • a ≠ c
Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Riemannian

Goal state before:
pp: B : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst✝² : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
inst✝ : VectorBundle ℝ F E
h : IsContinuousRiemannianBundle F E
x : B
⊢ ∃ C > 0, ∀ᶠ (y : B) in 𝓝 x, ‖Trivialization.symmL ℝ (trivializationAt F E x) y‖ < C

Tactic:
refine ⟨2 * (1 + ‖(trivializationAt F E x).symmL ℝ x‖), by positivity, ?_⟩

Goal state after:
B : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst✝² : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
inst✝ : VectorBundle ℝ F E
h : IsContinuousRiemannianBundle F E
x : B
⊢ ∀ᶠ (y : B) in 𝓝 x,
    ‖Trivialization.symmL ℝ (trivializationAt F E x) y‖ < 2 * (1 + ‖Trivialization.symmL ℝ (trivializationAt F E x) x‖)
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
hα4 : 4 ≤ Nat.card α
g : Perm α
hg : g ∈ alternatingGroup α
hg' : ∀ (g_1 : ↥(alternatingGroup α)), g_1 * ⟨g, hg⟩ = ⟨g, hg⟩ * g_1
a : α
ha : a ∈ g.support
hab : g a ≠ a
c d : α
hcd : c ≠ d
hc : c ≠ a ∧ c ≠ g a
hd : d ≠ a ∧ d ≠ g a
k : Perm α := swap (g a) d * swap (g a) c
hka : k • a = a
hkga : k • g a = c
⊢ k • ⟨g, hg⟩ • a = ⟨g, hg⟩ • k • a

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
hα4 : 4 ≤ Nat.card α
g : Perm α
hg : g ∈ alternatingGroup α
hg' : ∀ (g_1 : ↥(alternatingGroup α)), g_1 * ⟨g, hg⟩ = ⟨g, hg⟩ * g_1
a : α
ha : a ∈ g.support
hab : g a ≠ a
c d : α
hcd : c ≠ d
hc : c ≠ a ∧ c ≠ g a
hd : d ≠ a ∧ d ≠ g a
k : Perm α := swap (g a) d * swap (g a) c
hka : k • a = a
hkga : k • g a = c
⊢ k • ⟨g, hg⟩ • a = ⟨g, hg⟩ • k • a
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : IsMulCommutative ↥(alternatingGroup α)
⊢ ¬3 < Nat.card α

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : IsMulCommutative ↥(alternatingGroup α)
⊢ ¬3 < Nat.card α
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: case h
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
H : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction H β
σ : G → H
f : α →ₑ[σ] β
n : Type u_5
hf : Function.Surjective ⇑f
inst✝ : IsPretransitive G (n ↪ α)
x y : n ↪ β
aux : (n ↪ β) → n ↪ α := fun x ↦ x.trans (Function.Embedding.ofSurjective (⇑f) hf)
aux_apply : ∀ (x : n ↪ β) (i : n), f.toFun ((aux x) i) = x i
g : G
hg : ∀ (x_1 : n), (g • aux x) x_1 = (aux y) x_1
i : n
⊢ (σ g • x) i = y i

Tactic:
]

Goal state after:
case h
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
H : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction H β
σ : G → H
f : α →ₑ[σ] β
n : Type u_5
hf : Function.Surjective ⇑f
inst✝ : IsPretransitive G (n ↪ α)
x y : n ↪ β
aux : (n ↪ β) → n ↪ α := fun x ↦ x.trans (Function.Embedding.ofSurjective (⇑f) hf)
aux_apply : ∀ (x : n ↪ β) (i : n), f.toFun ((aux x) i) = x i
g : G
hg : ∀ (x_1 : n), (g • aux x) x_1 = (aux y) x_1
i : n
⊢ (σ g • x) i = y i
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : IsMulCommutative ↥(alternatingGroup α)
h : 3 < Nat.card α
this : ¬Nontrivial ↥(alternatingGroup α)
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : IsMulCommutative ↥(alternatingGroup α)
h : 3 < Nat.card α
this : ¬Nontrivial ↥(alternatingGroup α)
⊢ False
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: case h
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
H : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction H β
σ : G → H
f : α →ₑ[σ] β
n : Type u_5
hf : Function.Surjective ⇑f
inst✝ : IsPretransitive G (n ↪ α)
x y : n ↪ β
aux : (n ↪ β) → n ↪ α := fun x ↦ x.trans (Function.Embedding.ofSurjective (⇑f) hf)
aux_apply : ∀ (x : n ↪ β) (i : n), f.toFun ((aux x) i) = x i
g : G
hg : ∀ (x_1 : n), (g • aux x) x_1 = (aux y) x_1
i : n
⊢ σ g • x i = y i

Tactic:
]

Goal state after:
case h
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
H : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction H β
σ : G → H
f : α →ₑ[σ] β
n : Type u_5
hf : Function.Surjective ⇑f
inst✝ : IsPretransitive G (n ↪ α)
x y : n ↪ β
aux : (n ↪ β) → n ↪ α := fun x ↦ x.trans (Function.Embedding.ofSurjective (⇑f) hf)
aux_apply : ∀ (x : n ↪ β) (i : n), f.toFun ((aux x) i) = x i
g : G
hg : ∀ (x_1 : n), (g • aux x) x_1 = (aux y) x_1
i : n
⊢ σ g • x i = y i
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
x✝ : IsCyclic ↥(alternatingGroup α)
⊢ IsMulCommutative ↥(alternatingGroup α)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
x✝ : IsCyclic ↥(alternatingGroup α)
⊢ IsMulCommutative ↥(alternatingGroup α)
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
a✝ : IsMultiplyPretransitive G α 2
a b c d : α
h : a ≠ b
h' : c ≠ d
m : G
e : m • embFinTwo h = embFinTwo h'
⊢ c = c

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x : ↥(alternatingGroup ↥s)
⊢ 1 = 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
a✝ : IsMultiplyPretransitive G α 2
a b c d : α
h : a ≠ b
h' : c ≠ d
m : G
e : m • embFinTwo h = embFinTwo h'
⊢ d = d

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ Function.Injective (⇑(alternatingGroup α).subtype ∘ ⇑(ofSubtype s))

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ Function.Injective (⇑(alternatingGroup α).subtype ∘ ⇑(ofSubtype s))
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
k : Perm α
⊢ (∃ x ∈ alternatingGroup ↥s, Perm.ofSubtype x = k) ↔ (∃ x, Perm.ofSubtype x = k) ∧ k ∈ alternatingGroup α

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
k : Perm α
⊢ (∃ x ∈ alternatingGroup ↥s, Perm.ofSubtype x = k) ↔ (∃ x, Perm.ofSubtype x = k) ∧ k ∈ alternatingGroup α
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: case neg
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
h2 : ∀ {a b c d : α}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
a b : α
h : ¬a = b
⊢ ∃ g, g • a = b

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
h2 : ∀ {a b c d : α}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
a b : α
h : ¬a = b
⊢ ∃ g, g • a = b
Module: Mathlib.Topology.VectorBundle.Riemannian

Goal state before:
pp: B : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst✝² : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
inst✝ : VectorBundle ℝ F E
h : IsContinuousRiemannianBundle F E
x y : B
hy :
  ‖Trivialization.symmL ℝ (trivializationAt F E x) y ∘SL
        Trivialization.continuousLinearMapAt ℝ (trivializationAt F E x) x‖ <
    2
A :
  Trivialization.continuousLinearMapAt ℝ (trivializationAt F E x) x ∘SL
      Trivialization.symmL ℝ (trivializationAt F E x) x =
    ContinuousLinearMap.id ℝ F
this :
  Trivialization.symmL ℝ (trivializationAt F E x) y =
    Trivialization.symmL ℝ (trivializationAt F E x) y ∘SL ContinuousLinearMap.id ℝ F
⊢ ‖Trivialization.symmL ℝ (trivializationAt F E x) y ∘SL
          Trivialization.continuousLinearMapAt ℝ (trivializationAt F E x) x‖ *
      ‖Trivialization.symmL ℝ (trivializationAt F E x) x‖ <
    2 * (1 + ‖Trivialization.symmL ℝ (trivializationAt F E x) x‖)

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
E : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (x : B) → NormedAddCommGroup (E x)
inst✝² : (x : B) → InnerProductSpace ℝ (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
inst✝ : VectorBundle ℝ F E
h : IsContinuousRiemannianBundle F E
x y : B
hy :
  ‖Trivialization.symmL ℝ (trivializationAt F E x) y ∘SL
        Trivialization.continuousLinearMapAt ℝ (trivializationAt F E x) x‖ <
    2
A :
  Trivialization.continuousLinearMapAt ℝ (trivializationAt F E x) x ∘SL
      Trivialization.symmL ℝ (trivializationAt F E x) x =
    ContinuousLinearMap.id ℝ F
this :
  Trivialization.symmL ℝ (trivializationAt F E x) y =
    Trivialization.symmL ℝ (trivializationAt F E x) y ∘SL ContinuousLinearMap.id ℝ F
⊢ ‖Trivialization.symmL ℝ (trivializationAt F E x) y ∘SL
          Trivialization.continuousLinearMapAt ℝ (trivializationAt F E x) x‖ *
      ‖Trivialization.symmL ℝ (trivializationAt F E x) x‖ <
    2 * (1 + ‖Trivialization.symmL ℝ (trivializationAt F E x) x‖)
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: case inr
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
h2 : IsMultiplyPretransitive G α 2
this : IsPretransitive G α
B : Set α
hB : IsBlock G B
a : α
ha : a ∈ B
b : α
hb : b ∈ B
h : a ≠ b
⊢ ⊤ ⊆ B

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
h2 : IsMultiplyPretransitive G α 2
this : IsPretransitive G α
B : Set α
hB : IsBlock G B
a : α
ha : a ∈ B
b : α
hb : b ∈ B
h : a ≠ b
⊢ ⊤ ⊆ B
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: case pos
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
h2 : IsMultiplyPretransitive G α 2
this : IsPretransitive G α
B : Set α
hB : IsBlock G B
a : α
ha : a ∈ B
b : α
hb : b ∈ B
h : a ≠ b
c : α
a✝ : c ∈ ⊤
h' : a = c
⊢ a ∈ B

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
h2 : IsMultiplyPretransitive G α 2
this : IsPretransitive G α
B : Set α
hB : IsBlock G B
a : α
ha : a ∈ B
b : α
hb : b ∈ B
h : a ≠ b
c : α
a✝ : c ∈ ⊤
h' : a = c
⊢ a ∈ B
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
⊢ Perm.ofSubtype.range ⊓ alternatingGroup α = Perm.ofSubtype.range ⊓ alternatingGroup α

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: case neg
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
h2 : ∀ {a b c d : α}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
this : IsPretransitive G α
B : Set α
hB : IsBlock G B
a : α
ha : a ∈ B
b : α
hb : b ∈ B
h : a ≠ b
c : α
a✝ : c ∈ ⊤
h' : ¬a = c
⊢ c ∈ B

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
h2 : ∀ {a b c d : α}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
this : IsPretransitive G α
B : Set α
hB : IsBlock G B
a : α
ha : a ∈ B
b : α
hb : b ∈ B
h : a ≠ b
c : α
a✝ : c ∈ ⊤
h' : ¬a = c
⊢ c ∈ B
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: case neg
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
h2 : ∀ {a b c d : α}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
this : IsPretransitive G α
B : Set α
hB : ∀ ⦃g : G⦄ ⦃a : α⦄, a ∈ B → g • a ∈ B → g • B = B
a : α
ha : a ∈ B
b : α
hb : b ∈ B
h : a ≠ b
c : α
a✝ : c ∈ ⊤
h' : ¬a = c
g : G
hga : g • a = a
hgb : g • b = c
⊢ c ∈ B

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
h2 : ∀ {a b c d : α}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
this : IsPretransitive G α
B : Set α
hB : ∀ ⦃g : G⦄ ⦃a : α⦄, a ∈ B → g • a ∈ B → g • B = B
a : α
ha : a ∈ B
b : α
hb : b ∈ B
h : a ≠ b
c : α
a✝ : c ∈ ⊤
h' : ¬a = c
g : G
hga : g • a = a
hgb : g • b = c
⊢ c ∈ B
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
k : ↥(alternatingGroup α)
⊢ ↑(↑k).support ⊆ {x | x ∈ s} ↔ (↑k).support ⊆ s

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
k : ↥(alternatingGroup α)
⊢ ↑(↑k).support ⊆ {x | x ∈ s} ↔ (↑k).support ⊆ s
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
h2 : ∀ {a b c d : α}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
this : IsPretransitive G α
B : Set α
hB : ∀ ⦃g : G⦄ ⦃a : α⦄, a ∈ B → g • a ∈ B → g • B = B
a : α
ha : a ∈ B
b : α
hb : b ∈ B
h : a ≠ b
c : α
a✝ : c ∈ ⊤
h' : ¬a = c
g : G
hga : g • a = a
hgb : g • b = c
⊢ a ∈ B

Tactic:
]

Goal state after:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
h2 : ∀ {a b c d : α}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
this : IsPretransitive G α
B : Set α
hB : ∀ ⦃g : G⦄ ⦃a : α⦄, a ∈ B → g • a ∈ B → g • B = B
a : α
ha : a ∈ B
b : α
hb : b ∈ B
h : a ≠ b
c : α
a✝ : c ∈ ⊤
h' : ¬a = c
g : G
hga : g • a = a
hgb : g • b = c
⊢ a ∈ B
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: case neg
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
h2 : ∀ {a b c d : α}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
this : IsPretransitive G α
B : Set α
hB : ∀ ⦃g : G⦄ ⦃a : α⦄, a ∈ B → g • a ∈ B → g • B = B
a : α
ha : a ∈ B
b : α
hb : b ∈ B
h : a ≠ b
c : α
a✝ : c ∈ ⊤
h' : ¬a = c
g : G
hga : g • a = a
hgb : g • b = c
⊢ g • b ∈ g • B

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
h2 : ∀ {a b c d : α}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
this : IsPretransitive G α
B : Set α
hB : ∀ ⦃g : G⦄ ⦃a : α⦄, a ∈ B → g • a ∈ B → g • B = B
a : α
ha : a ∈ B
b : α
hb : b ∈ B
h : a ≠ b
c : α
a✝ : c ∈ ⊤
h' : ¬a = c
g : G
hga : g • a = a
hgb : g • b = c
⊢ g • b ∈ g • B
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : IsPretransitive G α
n : ℕ
a : α
hn : IsMultiplyPretransitive G α n.succ
x y : Fin n ↪ ↥(ofStabilizer G a)
g : G
hgxy : ∀ (x_1 : Fin n.succ), (g • snoc x) x_1 = (snoc y) x_1
⊢ g ∈ stabilizer G a

Tactic:
]

Goal state after:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : IsPretransitive G α
n : ℕ
a : α
hn : IsMultiplyPretransitive G α n.succ
x y : Fin n ↪ ↥(ofStabilizer G a)
g : G
hgxy : ∀ (x_1 : Fin n.succ), (g • snoc x) x_1 = (snoc y) x_1
⊢ g ∈ stabilizer G a
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Perm α)
hG : 1 = 2
a✝ : Nontrivial α
h : ∀ (g : Perm α), g.IsSwap → g ∈ G
this : G = ⊤
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Perm α)
hG : 1 = 2
a✝ : Nontrivial α
h : ∀ (g : Perm α), g.IsSwap → g ∈ G
this : G = ⊤
⊢ False
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: case h
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : IsPretransitive G α
n : ℕ
a : α
hn : IsMultiplyPretransitive G α n.succ
x y : Fin n ↪ ↥(ofStabilizer G a)
g : G
hgxy : g • snoc x = snoc y
hg : g ∈ stabilizer G a
i : Fin n
⊢ ↑(y i) = ↑(y i)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Perm α)
hG : G.index = 2
a✝ : Nontrivial α
h : ∀ (g : Perm α), g.IsSwap → g ∈ G
⊢ {σ | σ.IsSwap} ⊆ ↑G

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Perm α)
hG : G.index = 2
a✝ : Nontrivial α
h : ∀ (g : Perm α), g.IsSwap → g ∈ G
⊢ {σ | σ.IsSwap} ⊆ ↑G
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Perm α)
hG : G.index = 2
a✝ : Nontrivial α
a b : α
hab : a ≠ b
habG : swap a b ∉ G
g✝ g : Perm α
x y : α
hxy : x ≠ y
ih : g ∈ G ↔ g ∈ alternatingGroup α
⊢ (swap x y ∈ G ↔ g ∈ alternatingGroup α) ↔ (swap x y ∈ alternatingGroup α ↔ g ∈ alternatingGroup α)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Perm α)
hG : G.index = 2
a✝ : Nontrivial α
a b : α
hab : a ≠ b
habG : swap a b ∉ G
g✝ g : Perm α
x y : α
hxy : x ≠ y
ih : g ∈ G ↔ g ∈ alternatingGroup α
⊢ (swap x y ∈ G ↔ g ∈ alternatingGroup α) ↔ (swap x y ∈ alternatingGroup α ↔ g ∈ alternatingGroup α)
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Perm α)
hG : G.index = 2
a✝ : Nontrivial α
a b : α
hab : a ≠ b
g✝ g : Perm α
x y : α
hxy : x ≠ y
ih : g ∈ G ↔ g ∈ alternatingGroup α
habG : swap x y ∈ G
⊢ ⋯.choose * swap x y * ⋯.choose⁻¹ ∈ G

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Perm α)
hG : G.index = 2
a✝ : Nontrivial α
a b : α
hab : a ≠ b
g✝ g : Perm α
x y : α
hxy : x ≠ y
ih : g ∈ G ↔ g ∈ alternatingGroup α
habG : swap x y ∈ G
⊢ ⋯.choose * swap x y * ⋯.choose⁻¹ ∈ G
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
G : Subgroup (Perm α)
hG : G.index ≤ 2
h✝ : G.index > 0
h : Nat.succ 0 < G.index
⊢ alternatingGroup α ≤ alternatingGroup α

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.SpecificGroups.Alternating

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
φ : Perm α ≃* Perm α
a✝ : Nontrivial α
⊢ 2 = 2

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
m n : ℕ
Hn : IsMultiplyPretransitive G α n
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hmn : s.ncard + m = n
x y : Fin m ↪ ↥(ofFixingSubgroup G s)
⊢ IsMultiplyPretransitive G α n

Tactic:
]

Goal state after:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
m n : ℕ
Hn : IsMultiplyPretransitive G α n
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hmn : s.ncard + m = n
x y : Fin m ↪ ↥(ofFixingSubgroup G s)
⊢ IsMultiplyPretransitive G α n
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: case h
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
m n : ℕ
Hn : IsMultiplyPretransitive G α n
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hmn : s.ncard + m = n
x y : Fin m ↪ ↥(ofFixingSubgroup G s)
this✝ : IsMultiplyPretransitive G α (s.ncard + m)
Hs : Nonempty (Fin s.ncard ≃ ↑s)
x' : Fin (s.ncard + m) ↪ α := append x
hx : x' = append x
y' : Fin (s.ncard + m) ↪ α := append y
hy : y' = append y
g : G
hg : g • x' = y'
this : g ∈ fixingSubgroup G s
i : Fin m
⊢ g • ↑(x i) = ↑(y i)

Tactic:
]

Goal state after:
case h
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
m n : ℕ
Hn : IsMultiplyPretransitive G α n
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hmn : s.ncard + m = n
x y : Fin m ↪ ↥(ofFixingSubgroup G s)
this✝ : IsMultiplyPretransitive G α (s.ncard + m)
Hs : Nonempty (Fin s.ncard ≃ ↑s)
x' : Fin (s.ncard + m) ↪ α := append x
hx : x' = append x
y' : Fin (s.ncard + m) ↪ α := append y
hy : y' = append y
g : G
hg : g • x' = y'
this : g ∈ fixingSubgroup G s
i : Fin m
⊢ g • ↑(x i) = ↑(y i)
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
m n : ℕ
Hn : IsMultiplyPretransitive G α n
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hmn : s.ncard + m = n
x y : Fin m ↪ ↥(ofFixingSubgroup G s)
this : IsMultiplyPretransitive G α (s.ncard + m)
Hs : Nonempty (Fin s.ncard ≃ ↑s)
x' : Fin (s.ncard + m) ↪ α := append x
hx : x' = append x
y' : Fin (s.ncard + m) ↪ α := append y
hy : y' = append y
g : G
hg : g • x' = y'
a : ↑s
i : Fin s.ncard := (Classical.choice Hs).symm a
ha : (Classical.choice Hs) i = a
⊢ g • ↑((Classical.choice Hs) i) = ↑((Classical.choice Hs) i)

Tactic:
]

Goal state after:
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
m n : ℕ
Hn : IsMultiplyPretransitive G α n
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hmn : s.ncard + m = n
x y : Fin m ↪ ↥(ofFixingSubgroup G s)
this : IsMultiplyPretransitive G α (s.ncard + m)
Hs : Nonempty (Fin s.ncard ≃ ↑s)
x' : Fin (s.ncard + m) ↪ α := append x
hx : x' = append x
y' : Fin (s.ncard + m) ↪ α := append y
hy : y' = append y
g : G
hg : g • x' = y'
a : ↑s
i : Fin s.ncard := (Classical.choice Hs).symm a
ha : (Classical.choice Hs) i = a
⊢ g • ↑((Classical.choice Hs) i) = ↑((Classical.choice Hs) i)
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
m n : ℕ
Hn : IsMultiplyPretransitive G α n
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hmn : s.ncard + m = n
x y : Fin m ↪ ↥(ofFixingSubgroup G s)
this : IsMultiplyPretransitive G α (s.ncard + m)
Hs : Nonempty (Fin s.ncard ≃ ↑s)
x' : Fin (s.ncard + m) ↪ α := append x
hx : x' = append x
y' : Fin (s.ncard + m) ↪ α := append y
hy : y' = append y
g : G
hg : g • x' = y'
a : ↑s
i : Fin s.ncard := (Classical.choice Hs).symm a
ha : (Classical.choice Hs) i = a
⊢ g • x' (castAdd m i) = g • x' (castAdd m i)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.GroupTheory.GroupAction.MultipleTransitivity

Goal state before:
pp: case zero
G : Type u_1
inst✝² : Group G
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
Hk : IsMultiplyPretransitive G α 0
s : Set α
hs : s = ∅
⊢ (fixingSubgroup G s).index * (Nat.card α - 0)! = (Nat.card α)!

Tactic:
]

Goal state after:
case zero
G : Type u_1
inst✝² : Group G
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
Hk : IsMultiplyPretransitive G α 0
s : Set α
hs : s = ∅
⊢ (fixingSubgroup G s).index * (Nat.card α - 0)! = (Nat.card α)!