mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: case mpr.refine_2.refine_1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
hf : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
f'_eq_deriv : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
hv : v ∈ 𝓝[insert x u] x
p' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (E →L[𝕜] F)
Hp' : HasFTaylorSeriesUpToOn n f' p' v
p'_an : n = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ p' x i) v
y : E
hy : y ∈ v ∩ u
⊢ HasFDerivWithinAt f (↑↑(continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm.symm ∘SL ((p' y).unshift (f y) 1).curryLeft)
    (v ∩ u) y

Tactic:
]

Goal state after:
case mpr.refine_2.refine_1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
hf : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
f'_eq_deriv : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
hv : v ∈ 𝓝[insert x u] x
p' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (E →L[𝕜] F)
Hp' : HasFTaylorSeriesUpToOn n f' p' v
p'_an : n = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ p' x i) v
y : E
hy : y ∈ v ∩ u
⊢ HasFDerivWithinAt f (↑↑(continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm.symm ∘SL ((p' y).unshift (f y) 1).curryLeft)
    (v ∩ u) y
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x₀ : E
m n : ℕ∞ω
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hmn : m + 1 ≤ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : s ⊆ g ⁻¹' t
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (fun x ↦ fderivWithin 𝕜 (f x) t (g x)) s x₀

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x₀ : E
m n : ℕ∞ω
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hmn : m + 1 ≤ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : s ⊆ g ⁻¹' t
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (fun x ↦ fderivWithin 𝕜 (f x) t (g x)) s x₀
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: case e'_12
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
hf : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
f'_eq_deriv : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
hv : v ∈ 𝓝[insert x u] x
p' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (E →L[𝕜] F)
Hp' : HasFTaylorSeriesUpToOn n f' p' v
p'_an : n = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ p' x i) v
y : E
hy : y ∈ v ∩ u
⊢ ↑↑(continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm.symm ∘SL ((p' y).unshift (f y) 1).curryLeft = (p' y 0).curry0

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_12
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
hf : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
f'_eq_deriv : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
hv : v ∈ 𝓝[insert x u] x
p' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (E →L[𝕜] F)
Hp' : HasFTaylorSeriesUpToOn n f' p' v
p'_an : n = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ p' x i) v
y : E
hy : y ∈ v ∩ u
⊢ ↑↑(continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm.symm ∘SL ((p' y).unshift (f y) 1).curryLeft = (p' y 0).curry0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x₀ : E
m n : ℕ∞ω
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hmn : m + 1 ≤ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : s ⊆ g ⁻¹' t
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[s] x₀, UniqueDiffWithinAt 𝕜 t (g x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x₀ : E
m n : ℕ∞ω
f : E → F → G
g : E → F
t : Set F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n (uncurry f) (insert x₀ s ×ˢ t) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 m g s x₀
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hmn : m + 1 ≤ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : s ⊆ g ⁻¹' t
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[s] x₀, UniqueDiffWithinAt 𝕜 t (g x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x₀ : E
m n : ℕ∞ω
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x₀
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hmn : m + 1 ≤ n
hx₀s : x₀ ∈ s
⊢ s ⊆ s

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
m n : ℕ∞ω
f : F → G
k : F → F
s : Set F
x₀ : F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x₀
hk : ContDiffWithinAt 𝕜 m k s x₀
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hmn : m + 1 ≤ n
hx₀s : x₀ ∈ s
⊢ s ⊆ s

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp

Goal state before:
pp: case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x₀ : E
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x₀
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx₀s : x₀ ∈ s
i : ℕ
hi : ∀ {m : ℕ∞ω}, m + ↑i ≤ n → ContDiffWithinAt 𝕜 m (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s) s x₀
m : ℕ∞ω
hmn : m + 1 + ↑i ≤ n
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (iteratedFDerivWithin 𝕜 (i + 1) f s) s x₀

Tactic:
]

Goal state after:
case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x₀ : E
n : ℕ∞ω
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x₀
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx₀s : x₀ ∈ s
i : ℕ
hi : ∀ {m : ℕ∞ω}, m + ↑i ≤ n → ContDiffWithinAt 𝕜 m (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s) s x₀
m : ℕ∞ω
hmn : m + 1 + ↑i ≤ n
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (iteratedFDerivWithin 𝕜 (i + 1) f s) s x₀
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
x₀ : E
m n : ℕ∞ω
f : E → F → G
g : E → F
hf : ContDiffAt 𝕜 n (uncurry f) (x₀, g x₀)
hg : ContDiffAt 𝕜 m g x₀
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ univ ⊆ univ

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x₀ : E
m n : ℕ∞ω
i : ℕ
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x₀
hmn : m + ↑i ≤ n
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ) univ x₀

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x₀ : E
m n : ℕ∞ω
i : ℕ
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x₀
hmn : m + ↑i ≤ n
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ) univ x₀
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: case e'_10
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x✝ : E
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x✝ s] x✝
hf : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
f'_eq_deriv : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x✝
v : Set E
hv : v ∈ 𝓝[insert x✝ u] x✝
p' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (E →L[𝕜] F)
Hp' : HasFTaylorSeriesUpToOn n f' p' v
p'_an : n = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ p' x i) v
x y : E
⊢ ((p' x 0) 0) y = ((p' x 0) 0) y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
m n : ℕ∞ω
f : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 n f univ
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContDiffOn 𝕜 m (fun p ↦ (fderiv 𝕜 f p.1) p.2) univ

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
m n : ℕ∞ω
f : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 n f univ
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContDiffOn 𝕜 m (fun p ↦ (fderiv 𝕜 f p.1) p.2) univ
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
m n : ℕ∞ω
f : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 n f univ
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContDiffOn 𝕜 m (fun p ↦ (fderivWithin 𝕜 f univ p.1) p.2) (univ ×ˢ univ)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
m n : ℕ∞ω
f : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 n f univ
hmn : m + 1 ≤ n
⊢ ContDiffOn 𝕜 m (fun p ↦ (fderivWithin 𝕜 f univ p.1) p.2) (univ ×ˢ univ)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: case e'_11
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x✝ : E
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x✝ s] x✝
hf : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
f'_eq_deriv : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x✝
v✝ : Set E
hv : v✝ ∈ 𝓝[insert x✝ u] x✝
p' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (E →L[𝕜] F)
Hp' : HasFTaylorSeriesUpToOn n f' p' v✝
p'_an : n = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ p' x i) v✝
x : E
k : ℕ
v : Fin k → E
y : E
⊢ ((p' x k) v) y = ((p' x k) v) y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Inverse

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
c : F
h : ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y = c
⊢ 0 = 0

pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
c : F
h : ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y = c
⊢ ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[univ \ {x}] x, f y = ?m.39

pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
c : F
h : ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y = c
⊢ F

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
c : F
h : ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y = c
⊢ ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[univ \ {x}] x, f y = ?m.39

𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
c : F
h : ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y = c
⊢ F
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Inverse

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
c : F
h : ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y = c
⊢ ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y = ?m.39

pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
c : F
h : ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y = c
⊢ F

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
c : F
h : ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y = c
⊢ ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y = ?m.39

𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
c : F
h : ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y = c
⊢ F
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Inverse

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
t : Set F
ht : ¬AccPt (f x) (𝓟 t)
h : ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y ∈ t
⊢ 0 = 0

pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
t : Set F
ht : ¬AccPt (f x) (𝓟 t)
h : ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y ∈ t
⊢ ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[univ \ {x}] x, f y ∈ t

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
t : Set F
ht : ¬AccPt (f x) (𝓟 t)
h : ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y ∈ t
⊢ ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[univ \ {x}] x, f y ∈ t
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Inverse

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
t : Set F
ht : ¬AccPt (f x) (𝓟 t)
h : ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y ∈ t
⊢ ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y ∈ t

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
t : Set F
ht : ¬AccPt (f x) (𝓟 t)
h : ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y ∈ t
⊢ ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y ∈ t
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Inverse

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
t : Set F
ht : ¬AccPt (f x) (𝓟 t)
h : ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y ∈ t
⊢ deriv f x = 0

Tactic:
by
  rw [← derivWithin_univ, derivWithin_zero_of_frequently_mem t ht]
  rwa [← compl_eq_univ_sdiff]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.OpenPartialHomeomorph.IsImage

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e : OpenPartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
⊢ ↑e '' (e.source ∩ s) = e.target ∩ t ↔ ↑e '' (e.source ∩ s) = e.target ∩ t

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.OpenPartialHomeomorph.IsImage

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e : OpenPartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
x : X
h : e.IsImage s t
hx : x ∈ e.source
⊢ 𝓝[t] ↑e x = 𝓝[t] ↑e x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.OpenPartialHomeomorph.IsImage

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e : OpenPartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen[inst✝¹] s
⊢ e.restr (interior s) = e.restr s

Tactic:
hs.interior_eq

Goal state after:
X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e : OpenPartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen[inst✝¹] s
⊢ e.restr s = e.restr s
Module: Mathlib.Topology.OpenPartialHomeomorph.IsImage

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e : OpenPartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen[inst✝¹] s
⊢ e.restr s = e.restr s

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.OpenPartialHomeomorph.IsImage

Goal state before:
pp: case left
X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e e' : OpenPartialHomeomorph X Y
h : EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ e'.source)
⊢ (e.restr e'.source).source = e'.source ∩ e.source

Tactic:
]

Goal state after:
case left
X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e e' : OpenPartialHomeomorph X Y
h : EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ e'.source)
⊢ (e.restr e'.source).source = e'.source ∩ e.source
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
huf' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
w : Set E
hw : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] w
hxw : x ∈ w
hwu : insert x s ∩ w ⊆ u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
    u ⊆ insert x s ∧
      (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' s x

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
huf' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
w : Set E
hw : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] w
hxw : x ∈ w
hwu : insert x s ∩ w ⊆ u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
    u ⊆ insert x s ∧
      (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' s x
Module: Mathlib.Topology.OpenPartialHomeomorph.IsImage

Goal state before:
pp: case left
X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e e' : OpenPartialHomeomorph X Y
h : EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ e'.source)
⊢ e.source ∩ e'.source = e'.source ∩ e.source

Tactic:
]

Goal state after:
case left
X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e e' : OpenPartialHomeomorph X Y
h : EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ e'.source)
⊢ e.source ∩ e'.source = e'.source ∩ e.source
Module: Mathlib.Topology.OpenPartialHomeomorph.IsImage

Goal state before:
pp: case right
X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e e' : OpenPartialHomeomorph X Y
h : EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ e'.source)
⊢ EqOn (↑(e.restr e'.source)) (↑(e'.restr e.source)) (e.source ∩ e'.source)

Tactic:
]

Goal state after:
case right
X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e e' : OpenPartialHomeomorph X Y
h : EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ e'.source)
⊢ EqOn (↑(e.restr e'.source)) (↑(e'.restr e.source)) (e.source ∩ e'.source)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FaaDiBruno

Goal state before:
pp: n : ℕ
c : OrderedFinpartition n
α : Type u_5
inst✝ : CommMonoid α
v : Fin n → α
⊢ ∏ x ∈ Finset.univ.sigma fun m ↦ Finset.univ, v (c.emb x.fst x.snd) = ∏ i, v i

Tactic:
]

Goal state after:
n : ℕ
c : OrderedFinpartition n
α : Type u_5
inst✝ : CommMonoid α
v : Fin n → α
⊢ ∏ x ∈ Finset.univ.sigma fun m ↦ Finset.univ, v (c.emb x.fst x.snd) = ∏ i, v i
Module: Mathlib.Topology.OpenPartialHomeomorph.IsImage

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
e e' : OpenPartialHomeomorph X Y
s : Set X
heq : EqOn (↑e) (↑e') (e'.source ∩ interior s)
hsub : e'.source ∩ interior s ⊆ e.source
⊢ e'.source ∩ interior s = e'.source ∩ interior s

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: case refine_1.refine_2
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
huf' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
w : Set E
hw : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] w
hxw : x ∈ w
hwu : insert x s ∩ w ⊆ u
y : E
hy : y ∈ insert x s ∩ w
⊢ s ∩ w ∈ 𝓝[s] y

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1.refine_2
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
huf' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
w : Set E
hw : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] w
hxw : x ∈ w
hwu : insert x s ∩ w ⊆ u
y : E
hy : y ∈ insert x s ∩ w
⊢ s ∩ w ∈ 𝓝[s] y
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FaaDiBruno

Goal state before:
pp: n : ℕ
c : OrderedFinpartition (n + 1)
hc : range (c.emb 0) ≠ {0}
⊢ c.partSize (c.index 0) = Nat.card (Fin (c.partSize (c.index 0)))

Tactic:
]

Goal state after:
n : ℕ
c : OrderedFinpartition (n + 1)
hc : range (c.emb 0) ≠ {0}
⊢ c.partSize (c.index 0) = Nat.card (Fin (c.partSize (c.index 0)))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FaaDiBruno

Goal state before:
pp: n : ℕ
c : OrderedFinpartition (n + 1)
hc : range (c.emb 0) ≠ {0}
this : c.partSize (c.index 0) = Nat.card ↑(range (c.emb (c.index 0)))
⊢ 1 < Nat.card ↑(range (c.emb (c.index 0)))

Tactic:
]

Goal state after:
n : ℕ
c : OrderedFinpartition (n + 1)
hc : range (c.emb 0) ≠ {0}
this : c.partSize (c.index 0) = Nat.card ↑(range (c.emb (c.index 0)))
⊢ 1 < Nat.card ↑(range (c.emb (c.index 0)))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FaaDiBruno

Goal state before:
pp: case inl
n : ℕ
c : OrderedFinpartition (n + 1)
hc : range (c.emb (c.index 0)) ≠ {0}
this : c.partSize (c.index 0) = Nat.card ↑(range (c.emb (c.index 0)))
h : c.index 0 = 0
⊢ 1 < Nat.card ↑(range (c.emb (c.index 0)))

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
n : ℕ
c : OrderedFinpartition (n + 1)
hc : range (c.emb (c.index 0)) ≠ {0}
this : c.partSize (c.index 0) = Nat.card ↑(range (c.emb (c.index 0)))
h : c.index 0 = 0
⊢ 1 < Nat.card ↑(range (c.emb (c.index 0)))