mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : OpenPartialHomeomorph E E
hf' : ∀ x ∈ f.source, HasFDerivAt (↑f) (f' x) x
g : E → F
this : ↑f '' f.source = f.target
⊢ ∫ (x : E) in ↑f '' f.source, g x ∂μ = ∫ (x : E) in f.source, |(f' x).det| • g (↑f x) ∂μ

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : OpenPartialHomeomorph E E
hf' : ∀ x ∈ f.source, HasFDerivAt (↑f) (f' x) x
g : E → F
this : ↑f '' f.source = f.target
⊢ ∫ (x : E) in ↑f '' f.source, g x ∂μ = ∫ (x : E) in f.source, |(f' x).det| • g (↑f x) ∂μ
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
⊢ ContinuousAt f x ∧
      DifferentiableWithinAtProp I I' (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) univ (↑(chartAt H x) x) ↔
    ContinuousAt f x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
⊢ ContinuousAt f x ∧
      DifferentiableWithinAtProp I I' (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) univ (↑(chartAt H x) x) ↔
    ContinuousAt f x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf : MeasurableEmbedding f
g : E → ℝ
hg : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ f '' s → 0 ≤ g x
hg_int : IntegrableOn g (f '' s) μ
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ (μ.withDensity fun x ↦ ENNReal.ofReal (g x)) (f '' s) = ENNReal.ofReal (∫ (x : E) in s, |(f' x).det| * g (f x) ∂μ)

Tactic:
withDensity_apply _ (hf.measurableSet_image' hs),

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf : MeasurableEmbedding f
g : E → ℝ
hg : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ f '' s → 0 ≤ g x
hg_int : IntegrableOn g (f '' s) μ
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ ∫⁻ (a : E) in f '' s, ENNReal.ofReal (g a) ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (x : E) in s, |(f' x).det| * g (f x) ∂μ)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf : MeasurableEmbedding f
g : E → ℝ
hg : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ f '' s → 0 ≤ g x
hg_int : IntegrableOn g (f '' s) μ
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : E) in s, |(f' x).det| • g (f x) ∂μ) =
    ENNReal.ofReal (∫ (x : E) in s, |(f' x).det| * g (f x) ∂μ)

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf : MeasurableEmbedding f
g : E → ℝ
hg : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ f '' s → 0 ≤ g x
hg_int : IntegrableOn g (f '' s) μ
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : E) in s, |(f' x).det| • g (f x) ∂μ) =
    ENNReal.ofReal (∫ (x : E) in s, |(f' x).det| * g (f x) ∂μ)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
f : E ≃ᵐ E
g : E → ℝ
hg : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ ⇑f '' s → 0 ≤ g x
hg_int : IntegrableOn g (⇑f '' s) μ
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (⇑f) (f' x) s x
⊢ (Measure.map (⇑f.symm) (μ.withDensity fun x ↦ ENNReal.ofReal (g x))) s =
    ENNReal.ofReal (∫ (x : E) in s, |(f' x).det| * g (f x) ∂μ)

Tactic:
MeasurableEquiv.map_symm,

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
f : E ≃ᵐ E
g : E → ℝ
hg : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ ⇑f '' s → 0 ≤ g x
hg_int : IntegrableOn g (⇑f '' s) μ
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (⇑f) (f' x) s x
⊢ (Measure.comap (⇑f) (μ.withDensity fun x ↦ ENNReal.ofReal (g x))) s =
    ENNReal.ofReal (∫ (x : E) in s, |(f' x).det| * g (f x) ∂μ)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
f : E ≃ᵐ E
g : E → ℝ
hg : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ ⇑f '' s → 0 ≤ g x
hg_int : IntegrableOn g (⇑f '' s) μ
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (⇑f) (f' x) s x
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : E) in s, |(f' x).det| * g (f x) ∂μ) =
    ENNReal.ofReal (∫ (x : E) in s, |(f' x).det| * g (f x) ∂μ)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
⊢ (ContinuousOn f s ∧
      ∀ (x : M) (y : M'),
        ContDiffOn 𝕜 0 (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
          ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))) ↔
    ContinuousOn f s

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
⊢ (ContinuousOn f s ∧
      ∀ (x : M) (y : M'),
        ContDiffOn 𝕜 0 (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
          ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))) ↔
    ContinuousOn f s
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
h : ContinuousOn f s
x : M
y : M'
⊢ ContinuousOn (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
h : ContinuousOn f s
x : M
y : M'
⊢ ContinuousOn (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
    ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
⊢ (ContinuousOn f univ ∧
      ∀ (y : M'), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) (univ ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) ↔
    Continuous[inst✝⁸, inst✝³] f ∧
      ∀ (y : M'), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) (f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
⊢ (ContinuousOn f univ ∧
      ∀ (y : M'), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) (univ ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) ↔
    Continuous[inst✝⁸, inst✝³] f ∧
      ∀ (y : M'), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) (f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
⊢ ContinuousOn f univ ↔ ContinuousOn f univ

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: case some
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ
h : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ some n → ContMDiffWithinAt I I' (↑m) f s x
⊢ ContMDiffWithinAt I I' (↑(some n)) f s x

Tactic:
· exact h n le_rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
n : ℕ∞ω
⊢ (∀ m ≤ n, m ≠ ∞ → ContMDiffWithinAt I I' m f univ x) ↔ ∀ m ≤ n, m ≠ ∞ → ContMDiffWithinAt I I' m f univ x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s t : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f (insert x s) x ↔ ContMDiffWithinAt I I' n f (insert x t) x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s t : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f (insert x s) x ↔ ContMDiffWithinAt I I' n f (insert x t) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
e : OpenPartialHomeomorph M H
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞ω
he : e ∈ maximalAtlas I n M
hs : s ⊆ e.source
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(e.extend I) x) ↔
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s) (↑(e.extend I) x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
e : OpenPartialHomeomorph M H
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞ω
he : e ∈ maximalAtlas I n M
hs : s ⊆ e.source
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(e.extend I) x) ↔
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s) (↑(e.extend I) x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
hn : n ≠ ∞
this : ∀ {s : Set M}, x ∈ s → (ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ContMDiffOn I I' n f u)
hxs : x ∉ s
⊢ (∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ContMDiffOn I I' n f u) ↔ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ContMDiffOn I I' n f u

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s✝ : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
hn : n ≠ ∞
s : Set M
hxs : x ∈ s
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ContMDiffOn I I' n f u

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s✝ : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
hn : n ≠ ∞
s : Set M
hxs : x ∈ s
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ContMDiffOn I I' n f u
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s✝ : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
hn : n ≠ ∞
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[insert (↑(extChartAt I x) x)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))]
      ↑(extChartAt I x) x
hsub :
  v ⊆
    insert (↑(extChartAt I x) x)
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))
hv : ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) v
⊢ x ∈ s

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s✝ : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
hn : n ≠ ∞
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[insert (↑(extChartAt I x) x)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))]
      ↑(extChartAt I x) x
hsub :
  v ⊆
    insert (↑(extChartAt I x) x)
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))
hv : ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) v
⊢ x ∈ s
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
n : WithTop ℕ∞
f : E → E'
x : E
⊢ ContDiffAt 𝕜 n f x ↔ ContDiffAt 𝕜 n f x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
n : WithTop ℕ∞
f : E → E'
⊢ ContDiffOn 𝕜 n f univ ↔ ContDiffOn 𝕜 n f univ

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s✝ : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
hn : n ≠ ∞
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[insert (↑(extChartAt I x) x)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))]
      ↑(extChartAt I x) x
hsub :
  v ⊆
    insert (↑(extChartAt I x) x)
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))
hv : ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) v
⊢ x ∈ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s✝ : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
hn : n ≠ ∞
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[insert (↑(extChartAt I x) x)
        ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))]
      ↑(extChartAt I x) x
hsub :
  v ⊆
    insert (↑(extChartAt I x) x)
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))
hv : ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) v
⊢ x ∈ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source