mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.TriangleInequality

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
kx ky kz : ℝ≥0
hy : ky ≠ 0
hlincomb : ky • y = kx • x + kz • z
h₁ : y ∈ Submodule.span ℝ≥0 {x, z}
⊢ y ∈ Submodule.span ℝ≥0 {x, z}

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
kx ky kz : ℝ≥0
hy : ky ≠ 0
hlincomb : ky • y = kx • x + kz • z
h₁ : y ∈ Submodule.span ℝ≥0 {x, z}
⊢ y ∈ Submodule.span ℝ≥0 {x, z}
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Congruence

Goal state before:
pp: V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
hd₁ : dist a b = dist a' b'
hd₂ : dist b c = dist b' c'
⊢ dist a b * dist a b + dist c b * dist c b - 2 * dist a b * dist c b * Real.cos (∠ a b c) =
    dist a' b' * dist a' b' + dist c' b' * dist c' b' - 2 * dist a' b' * dist c' b' * Real.cos (∠ a' b' c')

Tactic:
]

Goal state after:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
hd₁ : dist a b = dist a' b'
hd₂ : dist b c = dist b' c'
⊢ dist a b * dist a b + dist c b * dist c b - 2 * dist a b * dist c b * Real.cos (∠ a b c) =
    dist a' b' * dist a' b' + dist c' b' * dist c' b' - 2 * dist a' b' * dist c' b' * Real.cos (∠ a' b' c')
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
he : Pi.single j 1 = s.touchpointWeights signs i
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
he : Pi.single j 1 = s.touchpointWeights signs i
⊢ False
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
he : Pi.single j 1 = s.touchpointWeights signs i
this : 1 < n
k : Fin (n + 1)
hki : k ≠ i
hkj : k ≠ j
he' : SignType.sign 0 = SignType.sign (s.touchpointWeights signs i k)
⊢ False

Tactic:
sign_zero,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
he : Pi.single j 1 = s.touchpointWeights signs i
this : 1 < n
k : Fin (n + 1)
hki : k ≠ i
hkj : k ≠ j
he' : 0 = SignType.sign (s.touchpointWeights signs i k)
⊢ False
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.TriangleInequality

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
hy : y ≠ 0
h : angle x z = angle x y + angle y z
hxz₁ : ¬angle x z = π
hxz₂ : x ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ z = r • x
hxy : x ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • x
⊢ y ∈ Submodule.span ℝ≥0 {x, z}

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
hy : y ≠ 0
h : angle x z = angle x y + angle y z
hxz₁ : ¬angle x z = π
hxz₂ : x ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ z = r • x
hxy : x ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • x
⊢ y ∈ Submodule.span ℝ≥0 {x, z}
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
he : Pi.single j 1 = s.touchpointWeights signs i
this : 1 < n
k : Fin (n + 1)
hki : k ≠ i
hkj : k ≠ j
he' : ((∑ i, s.excenterWeightsUnnorm signs i)⁻¹ • s.excenterWeightsUnnorm signs) k = 0
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i j : Fin (n + 1)
he : Pi.single j 1 = s.touchpointWeights signs i
this : 1 < n
k : Fin (n + 1)
hki : k ≠ i
hkj : k ≠ j
he' : ((∑ i, s.excenterWeightsUnnorm signs i)⁻¹ • s.excenterWeightsUnnorm signs) k = 0
⊢ False
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
r₁ r₂ : ℝ
hp₁o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₁ : p₁ = r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
hp₂o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₂ : p₂ = r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
h : s.points 0 ∈ span_s
hd₁ :
  r₁ * r₁ *
      ⟪p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p),
        p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)⟫ =
    r₂ * r₂ *
      ⟪p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p),
        p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)⟫
hd₂ : dist p₂ s.circumcenter * dist p₂ s.circumcenter = r * r - s.circumradius * s.circumradius
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
r₁ r₂ : ℝ
hp₁o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₁ : p₁ = r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
hp₂o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₂ : p₂ = r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
h : s.points 0 ∈ span_s
hd₁ :
  r₁ * r₁ *
      ⟪p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p),
        p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)⟫ =
    r₂ * r₂ *
      ⟪p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p),
        p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)⟫
hd₂ : dist p₂ s.circumcenter * dist p₂ s.circumcenter = r * r - s.circumradius * s.circumradius
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : ∑ i, s.excenterWeightsUnnorm signs i ≠ 0
i j : Fin (n + 1)
he : Pi.single j 1 = s.touchpointWeights signs i
this : 1 < n
k : Fin (n + 1)
hki : k ≠ i
hkj : k ≠ j
he' : ((∑ i, s.excenterWeightsUnnorm signs i)⁻¹ • s.excenterWeightsUnnorm signs) k = 0
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : ∑ i, s.excenterWeightsUnnorm signs i ≠ 0
i j : Fin (n + 1)
he : Pi.single j 1 = s.touchpointWeights signs i
this : 1 < n
k : Fin (n + 1)
hki : k ≠ i
hkj : k ≠ j
he' : ((∑ i, s.excenterWeightsUnnorm signs i)⁻¹ • s.excenterWeightsUnnorm signs) k = 0
⊢ False
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.TriangleInequality

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
y z : V
hy : y ≠ 0
hxz₁ : ¬angle 0 z = π
hxz₂ : ¬angle 0 z = 0
h_sin_xz : Real.sin (angle 0 z) ≠ 0
h : y ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ z = r • y
⊢ y ∈ Submodule.span ℝ≥0 {0, z}

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
y z : V
hy : y ≠ 0
hxz₁ : ¬angle 0 z = π
hxz₂ : ¬angle 0 z = 0
h_sin_xz : Real.sin (angle 0 z) ≠ 0
h : y ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ z = r • y
⊢ y ∈ Submodule.span ℝ≥0 {0, z}
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.TriangleInequality

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
y : V
hy left✝ : y ≠ 0
r : ℝ≥0
hr : 0 < ↑r
hxz₁ : ¬angle 0 (↑r • y) = π
hxz₂ : ¬angle 0 (↑r • y) = 0
h_sin_xz : Real.sin (angle 0 (↑r • y)) ≠ 0
⊢ y ∈ ℝ≥0 ∙ y

pp: case pos.hr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
y : V
hy left✝ : y ≠ 0
r : ℝ≥0
hr : 0 < ↑r
hxz₁ : ¬angle 0 (↑r • y) = π
hxz₂ : ¬angle 0 (↑r • y) = 0
h_sin_xz : Real.sin (angle 0 (↑r • y)) ≠ 0
⊢ IsUnit r

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
y : V
hy left✝ : y ≠ 0
r : ℝ≥0
hr : 0 < ↑r
hxz₁ : ¬angle 0 (↑r • y) = π
hxz₂ : ¬angle 0 (↑r • y) = 0
h_sin_xz : Real.sin (angle 0 (↑r • y)) ≠ 0
⊢ y ∈ ℝ≥0 ∙ y

case pos.hr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
y : V
hy left✝ : y ≠ 0
r : ℝ≥0
hr : 0 < ↑r
hxz₁ : ¬angle 0 (↑r • y) = π
hxz₂ : ¬angle 0 (↑r • y) = 0
h_sin_xz : Real.sin (angle 0 (↑r • y)) ≠ 0
⊢ IsUnit r
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : ∑ i, s.excenterWeightsUnnorm signs i ≠ 0
i j : Fin (n + 1)
he : Pi.single j 1 = s.touchpointWeights signs i
this : 1 < n
k : Fin (n + 1)
hki : k ≠ i
hkj : k ≠ j
he' : (if k ∈ signs then -1 else 1) * (s.height k)⁻¹ = 0
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : ∑ i, s.excenterWeightsUnnorm signs i ≠ 0
i j : Fin (n + 1)
he : Pi.single j 1 = s.touchpointWeights signs i
this : 1 < n
k : Fin (n + 1)
hki : k ≠ i
hkj : k ≠ j
he' : (if k ∈ signs then -1 else 1) * (s.height k)⁻¹ = 0
⊢ False
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.TriangleInequality

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hy : y ≠ 0
hx : ¬x = 0
hxz₁ : ¬angle x 0 = π
hxz₂ : ¬angle x 0 = 0
h_sin_xz : Real.sin (angle x 0) ≠ 0
h : x ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • x
⊢ y ∈ Submodule.span ℝ≥0 {x, 0}

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hy : y ≠ 0
hx : ¬x = 0
hxz₁ : ¬angle x 0 = π
hxz₂ : ¬angle x 0 = 0
h_sin_xz : Real.sin (angle x 0) ≠ 0
h : x ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • x
⊢ y ∈ Submodule.span ℝ≥0 {x, 0}
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Congruence

Goal state before:
pp: V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
ha₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
hd : dist b c = dist b' c'
ha₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
h' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
ha₃' : ∠ c' a' b' + ∠ a' b' c' + ∠ b' c' a' = Real.pi
ha₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_bac : ¬Collinear ℝ {b, a, c}
h_bac' : ¬Collinear ℝ {b', a', c'}
⊢ dist b' c' * Real.sin (∠ a' c' b') / Real.sin (∠ c' a' b') =
    dist b' c' * Real.sin (∠ a' c' b') / Real.sin (∠ c' a' b')

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
r₁ r₂ : ℝ
hp₁o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₁ : p₁ = r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
hp₂o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₂ : p₂ = r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
h : s.points 0 ∈ span_s
hd₁ :
  r₁ * r₁ *
      ⟪p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p),
        p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)⟫ =
    r₂ * r₂ *
      ⟪p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p),
        p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)⟫
hd₂ : dist p₂ s.circumcenter * dist p₂ s.circumcenter = r * r - s.circumradius * s.circumradius
hp : p = ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
r₁ r₂ : ℝ
hp₁o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₁ : p₁ = r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
hp₂o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₂ : p₂ = r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
h : s.points 0 ∈ span_s
hd₁ :
  r₁ * r₁ *
      ⟪p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p),
        p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)⟫ =
    r₂ * r₂ *
      ⟪p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p),
        p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)⟫
hd₂ : dist p₂ s.circumcenter * dist p₂ s.circumcenter = r * r - s.circumradius * s.circumradius
hp : p = ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case inr.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
⊢ Simplex.ExcenterExists t ∅

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
⊢ Simplex.ExcenterExists t ∅
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case inr.inr.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i : Fin 3
⊢ Simplex.ExcenterExists t {i}

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i : Fin 3
⊢ Simplex.ExcenterExists t {i}
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
signs : Finset (Fin 3)
⊢ Simplex.ExcenterExists t signs

Tactic:
by
  have h : signs = ∅ ∨ signs = ∅ᶜ ∨ ∃ i, signs = {i} ∨ signs = {i}ᶜ := by decide +revert
  rcases h with rfl | rfl | ⟨i, rfl | rfl⟩
  · exact t.excenterExists_empty
  · rw [Simplex.excenterExists_compl]
    exact t.excenterExists_empty
  · exact t.excenterExists_singleton _
  · rw [Simplex.excenterExists_compl]
    exact t.excenterExists_singleton _

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Congruence

Goal state before:
pp: V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h : ¬Collinear ℝ {b, c, a}
ha₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
ha₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hd : dist c a = dist c' a'
h' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
ha₃' : ∠ c' a' b' + ∠ a' b' c' + ∠ b' c' a' = Real.pi
ha₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
⊢ ¬Collinear ℝ {b, c, a}

Tactic:
]

Goal state after:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h : ¬Collinear ℝ {b, c, a}
ha₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
ha₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hd : dist c a = dist c' a'
h' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
ha₃' : ∠ c' a' b' + ∠ a' b' c' + ∠ b' c' a' = Real.pi
ha₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
⊢ ¬Collinear ℝ {b, c, a}
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case inr.inr.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i : Fin 3
⊢ Simplex.excenter t {i} = Simplex.excenter t {i}

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case inr.inr.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i : Fin 3
⊢ Simplex.excenter t {i}ᶜ = Simplex.incenter t ∨ ∃ i_1, Simplex.excenter t {i}ᶜ = Simplex.excenter t {i_1}

Tactic:
· refine .inr ⟨i, ?_⟩
    rw [t.excenter_compl]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
signs : Finset (Fin 3)
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
i : Fin (2 + 1)
h : Simplex.excenter t signs = Simplex.excenter t {i}
⊢ Simplex.excenter t {i} = Simplex.excenter t {i₁} ∨
    Simplex.excenter t {i} = Simplex.excenter t {i₂} ∨ Simplex.excenter t {i} = Simplex.excenter t {i₃}

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
signs : Finset (Fin 3)
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
i : Fin (2 + 1)
h : Simplex.excenter t signs = Simplex.excenter t {i}
⊢ Simplex.excenter t {i} = Simplex.excenter t {i₁} ∨
    Simplex.excenter t {i} = Simplex.excenter t {i₂} ∨ Simplex.excenter t {i} = Simplex.excenter t {i₃}
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Inversion.Calculus

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
c x : E → F
R : E → ℝ
a : E
hc : DifferentiableWithinAt ℝ c univ a
hR : DifferentiableWithinAt ℝ R univ a
hx : DifferentiableWithinAt ℝ x univ a
hne : x a ≠ c a
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ (fun a ↦ inversion (c a) (R a) (x a)) univ a

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
c x : E → F
R : E → ℝ
a : E
hc : DifferentiableWithinAt ℝ c univ a
hR : DifferentiableWithinAt ℝ R univ a
hx : DifferentiableWithinAt ℝ x univ a
hne : x a ≠ c a
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ (fun a ↦ inversion (c a) (R a) (x a)) univ a
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Inversion.Calculus

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
c x : E → F
R : E → ℝ
a : E
hc : DifferentiableAt ℝ c a
hR : DifferentiableAt ℝ R a
hx : DifferentiableAt ℝ x a
hne : x a ≠ c a
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun a ↦ inversion (c a) (R a) (x a)) a

Tactic:
rw [← differentiableWithinAt_univ] at *

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
c x : E → F
R : E → ℝ
a : E
hc : DifferentiableWithinAt ℝ c univ a
hR : DifferentiableWithinAt ℝ R univ a
hx : DifferentiableWithinAt ℝ x univ a
hne : x a ≠ c a
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ (fun a ↦ inversion (c a) (R a) (x a)) univ a
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Inversion.ImageHyperplane

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
⊢ R ^ 2 / dist x c = R ^ 2 / (dist x c * dist y c) * dist x y ↔ dist x y = dist y c

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
⊢ R ^ 2 / dist x c = R ^ 2 / (dist x c * dist y c) * dist x y ↔ dist x y = dist y c