mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Tower

Goal state before:
pp: R : Type u
A : Type w
M : Type v₁
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : MulAction A M
inst✝ : SMul R M
h : ∀ (r : R) (x : M), (algebraMap R A) r • x = r • x
r : R
a : A
x : M
⊢ r • a • x = r • a • x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.SupIndep

Goal state before:
pp: case insert
α : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsModularLattice α
f : ι → α
hf : iSupIndep f
j : ι
s₀ : Finset ι
hj : j ∉ s₀
t : Set ι
hjt : j ∉ t
hst : Disjoint (↑s₀) (insert j t)
ih : Disjoint (⨆ i ∈ s₀, f i) (f j ⊔ ⨆ i ∈ t, f i)
this : Disjoint (f j) ((⨆ i ∈ t, f i) ⊔ ⨆ i ∈ ↑s₀, f i)
⊢ Disjoint (⨆ i ∈ t, f i) ((⨆ x ∈ s₀, f x) ⊔ f j)

Tactic:
]

Goal state after:
case insert
α : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsModularLattice α
f : ι → α
hf : iSupIndep f
j : ι
s₀ : Finset ι
hj : j ∉ s₀
t : Set ι
hjt : j ∉ t
hst : Disjoint (↑s₀) (insert j t)
ih : Disjoint (⨆ i ∈ s₀, f i) (f j ⊔ ⨆ i ∈ t, f i)
this : Disjoint (f j) ((⨆ i ∈ t, f i) ⊔ ⨆ i ∈ ↑s₀, f i)
⊢ Disjoint (⨆ i ∈ t, f i) ((⨆ x ∈ s₀, f x) ⊔ f j)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Tower

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
x : R
⊢ (algebraMap S A) ((algebraMap R S) x) = (algebraMap S A) ((algebraMap R S) x)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : WellFoundedGT α
s : Set α
S : Set α := {x | ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ t.sup id = x}
t : Finset α
ht₁ : ↑t ⊆ s
hm : ∀ x ∈ S, ¬t.sup id < x
y : α
hy : y ∈ s
⊢ y ≤ (insert y t).sup id

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : WellFoundedGT α
s : Set α
S : Set α := {x | ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ t.sup id = x}
t : Finset α
ht₁ : ↑t ⊆ s
hm : ∀ x ∈ S, ¬t.sup id < x
y : α
hy : y ∈ s
⊢ y ≤ (insert y t).sup id
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Tower

Goal state before:
pp: R : Type u
S✝ : Type v
A✝ : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S✝
inst✝¹⁰ : Semiring A✝
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R S✝
inst✝⁷ : Algebra S✝ A✝
inst✝⁶ : Algebra S✝ B
inst✝⁵ : Algebra R A✝
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : IsScalarTower R S✝ A✝
inst✝² : IsScalarTower R S✝ B
S : Type u
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Semiring A
h1 h2 : Algebra S A
r : S
x : A
⊢ A

Tactic:
have I := h1; exact r • x

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : WellFoundedGT α
s : Set α
S : Set α := {x | ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ t.sup id = x}
t : Finset α
ht₁ : ↑t ⊆ s
hm : ∀ x ∈ S, ¬t.sup id < x
⊢ sSup ↑t ≤ sSup s

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : WellFoundedGT α
s : Set α
S : Set α := {x | ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ t.sup id = x}
t : Finset α
ht₁ : ↑t ⊆ s
hm : ∀ x ∈ S, ¬t.sup id < x
⊢ sSup ↑t ≤ sSup s
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Group.Finset.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
s : Finset ι
f : ι → M
h : ∀ c ∈ s, IsSquare (f c)
⊢ ∃ r, ∏ i ∈ s, f i = r ^ 2

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
s : Finset ι
f : ι → M
h : ∀ c ∈ s, IsSquare (f c)
⊢ ∃ r, ∏ i ∈ s, f i = r ^ 2
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Group.Finset.Lemmas

Goal state before:
pp: case h
ι : Type u_1
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
s : Finset ι
f : ι → M
h : ∀ c ∈ s, IsSquare (f c)
⊢ ∏ i, f ↑i = ∏ x, ⋯.choose * ⋯.choose

Tactic:
]

Goal state after:
case h
ι : Type u_1
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
s : Finset ι
f : ι → M
h : ∀ c ∈ s, IsSquare (f c)
⊢ ∏ i, f ↑i = ∏ x, ⋯.choose * ⋯.choose
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Group.Finset.Lemmas

Goal state before:
pp: case h.e_f
ι : Type u_1
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
s : Finset ι
f : ι → M
h : ∀ c ∈ s, IsSquare (f c)
i : ↥s
⊢ f ↑i = ⋯.choose ^ 2

Tactic:
]

Goal state after:
case h.e_f
ι : Type u_1
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
s : Finset ι
f : ι → M
h : ∀ c ∈ s, IsSquare (f c)
i : ↥s
⊢ f ↑i = ⋯.choose ^ 2
Module: Mathlib.Algebra.Notation.Indicator

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_3
inst✝ : One M
s : Set α
f : α → M
a : α
this : Decidable (a ∈ s) := Classical.dec (a ∈ s)
⊢ ¬a ∈ s → 1 = f a ↔ ¬a ∈ s → 1 = f a

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Notation.Indicator

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_3
inst✝ : One M
s t : Set α
f : α → M
h1 : mulSupport f ⊆ s
h2 : s ⊆ t
⊢ mulSupport f ⊆ t

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
M : Type u_3
inst✝ : One M
s t : Set α
f : α → M
h1 : mulSupport f ⊆ s
h2 : s ⊆ t
⊢ mulSupport f ⊆ t
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Tower

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
r : R
⊢ (algebraMap R B) r = (algebraMap R B) r

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hne : s.Nonempty
hsc : SupClosed s
ht₁ : ↑∅ ⊆ s
ht₂ : sSup s = ⊥
⊢ sSup s ∈ s

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hne : s.Nonempty
hsc : SupClosed s
ht₁ : ↑∅ ⊆ s
ht₂ : sSup s = ⊥
⊢ sSup s ∈ s
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hne : s.Nonempty
hsc : SupClosed s
ht₁ : ↑∅ ⊆ s
ht₂ : sSup s = ⊥
⊢ ⊥ ∈ s

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hne : s.Nonempty
hsc : SupClosed s
ht₁ : ↑∅ ⊆ s
ht₂ : sSup s = ⊥
⊢ ⊥ ∈ s
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Tower

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
r : R
⊢ (↑↑↑f).toFun ((algebraMap S A) ((algebraMap R S) r)) = (algebraMap S B) ((algebraMap R S) r)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
r : R
⊢ (↑↑↑f).toFun ((algebraMap S A) ((algebraMap R S) r)) = (algebraMap S B) ((algebraMap R S) r)
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hne : s.Nonempty
hsc : SupClosed s
t : Finset α
ht₁ : ↑t ⊆ s
ht₂ : sSup s = t.sup id
h : t.Nonempty
⊢ t.sup id ∈ s

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hne : s.Nonempty
hsc : SupClosed s
t : Finset α
ht₁ : ↑t ⊆ s
ht₂ : sSup s = t.sup id
h : t.Nonempty
⊢ t.sup id ∈ s
Module: Mathlib.Algebra.Notation.Indicator

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_3
inst✝ : One M
s : Set α
f : α → M
⊢ s.mulIndicator f = s.mulIndicator f

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
h : IsSupClosedCompact α
⊢ ∀ (a : ℕ →o α), ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ¬a n < a m

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
h : IsSupClosedCompact α
⊢ ∀ (a : ℕ →o α), ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ¬a n < a m
Module: Mathlib.Algebra.Notation.Indicator

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : One M
s : Set α
f : β → M
g : α → β
hg : Injective g
x : α
⊢ s.mulIndicator (f ∘ g) x = s.mulIndicator (f ∘ g) x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
h : IsSupClosedCompact α
a : ℕ →o α
n : ℕ
hn : a n = sSup (range ⇑a)
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ ¬sSup (range ⇑a) < a m

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
h : IsSupClosedCompact α
a : ℕ →o α
n : ℕ
hn : a n = sSup (range ⇑a)
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ ¬sSup (range ⇑a) < a m
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Tower

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A ≃ₐ[S] B
r : R
⊢ f.toRingEquiv.toFun ((algebraMap S A) ((algebraMap R S) r)) = (algebraMap S B) ((algebraMap R S) r)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A ≃ₐ[S] B
r : R
⊢ f.toRingEquiv.toFun ((algebraMap S A) ((algebraMap R S) r)) = (algebraMap S B) ((algebraMap R S) r)
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case right
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
h : IsSupFiniteCompact α
k : α
s : Set α
hs : k ≤ sSup s
t : Finset α
hts : ↑t ⊆ s
htsup : sSup s = t.sup id
⊢ k ≤ sSup s

Tactic:
]

Goal state after:
case right
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
h : IsSupFiniteCompact α
k : α
s : Set α
hs : k ≤ sSup s
t : Finset α
hts : ↑t ⊆ s
htsup : sSup s = t.sup id
⊢ k ≤ sSup s
Module: Mathlib.Algebra.Notation.Indicator

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_3
inst✝ : One M
t : Set α
s : Set M
⊢ (if 1 ∈ s then univ else ∅) ∈ {univ, ∅}

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
M : Type u_3
inst✝ : One M
t : Set α
s : Set M
⊢ (if 1 ∈ s then univ else ∅) ∈ {univ, ∅}
Module: Mathlib.Algebra.Notation.Indicator

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_3
inst✝² : One M
U : Set α
s : Set M
a : M
inst✝¹ : Decidable (a ∈ s)
inst✝ : Decidable (1 ∈ s)
⊢ U.ite (if a ∈ s then univ else ∅) (if 1 ∈ s then univ else ∅) = (if a ∈ s then U else ∅) ∪ if 1 ∈ s then Uᶜ else ∅

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
M : Type u_3
inst✝² : One M
U : Set α
s : Set M
a : M
inst✝¹ : Decidable (a ∈ s)
inst✝ : Decidable (1 ∈ s)
⊢ U.ite (if a ∈ s then univ else ∅) (if 1 ∈ s then univ else ∅) = (if a ∈ s then U else ∅) ∪ if 1 ∈ s then Uᶜ else ∅
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Tower

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
t : Set A
k : S
hks : k ∈ span R s
x : A
hx : x ∈ t
⊢ 0 ∈ span R (s • t)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
t : Set A
k : S
hks : k ∈ span R s
x : A
hx : x ∈ t
⊢ 0 ∈ span R (s • t)
Module: Mathlib.Algebra.Notation.Indicator

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_3
inst✝ : One M
U : Set α
s : Set M
a : M
⊢ ((if a ∈ s then U else ∅) ∪ if 1 ∈ s then Uᶜ else ∅) ∈ {univ, U, Uᶜ, ∅}

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
M : Type u_3
inst✝ : One M
U : Set α
s : Set M
a : M
⊢ ((if a ∈ s then U else ∅) ∪ if 1 ∈ s then Uᶜ else ∅) ∈ {univ, U, Uᶜ, ∅}
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Tower

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
t : Set A
k : S
hks : k ∈ span R s
x : A
hx : x ∈ t
c₁ c₂ : S
x✝¹ : c₁ ∈ span R s
x✝ : c₂ ∈ span R s
ih₁ : c₁ • x ∈ span R (s • t)
ih₂ : c₂ • x ∈ span R (s • t)
⊢ c₁ • x + c₂ • x ∈ span R (s • t)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
t : Set A
k : S
hks : k ∈ span R s
x : A
hx : x ∈ t
c₁ c₂ : S
x✝¹ : c₁ ∈ span R s
x✝ : c₂ ∈ span R s
ih₁ : c₁ • x ∈ span R (s • t)
ih₂ : c₂ • x ∈ span R (s • t)
⊢ c₁ • x + c₂ • x ∈ span R (s • t)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Tower

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
t : Set A
k : S
hks : k ∈ span R s
x : A
hx : x ∈ t
b : R
c : S
x✝ : c ∈ span R s
hc : c • x ∈ span R (s • t)
⊢ b • c • x ∈ span R (s • t)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
t : Set A
k : S
hks : k ∈ span R s
x : A
hx : x ∈ t
b : R
c : S
x✝ : c ∈ span R s
hc : c • x ∈ span R (s • t)
⊢ b • c • x ∈ span R (s • t)
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : WellFoundedGT α
s : Set α
t : Finset α
ht₁ : ↑t ⊆ s
ht₂ : sSup s = t.sup id
x : α
hx₀ : x ∈ s
hx₁ : x ≠ ⊥
hx₂ : x ∉ t
hs : x ⊓ sSup s = ⊥
⊢ x ≤ sSup s

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : WellFoundedGT α
s : Set α
t : Finset α
ht₁ : ↑t ⊆ s
ht₂ : sSup s = t.sup id
x : α
hx₀ : x ∈ s
hx₁ : x ≠ ⊥
hx₂ : x ∉ t
hs : x ⊓ sSup s = ⊥
⊢ x ≤ sSup s
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.GroupWithZero.Finset

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero M₀
f : ι → M₀
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
h : f i = 0
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.GroupWithZero.Finset

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M₀
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : ι → M₀
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
hq : ¬p i
⊢ (if p i then f i else 0) = 0

Tactic:
by simp [hq]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.GroupWithZero.Finset

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M₀
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Finset ι
⊢ (if ∀ i ∈ s, p i then 1 else 0) = if ∀ i ∈ s, p i then 1 else 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Tower

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u
S : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
x✝ : A
hp : x✝ ∈ restrictScalars R (span S t)
s0 : S
y : A
hy : y ∈ t
⊢ 0 ∈ span R (s • t)

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
R : Type u
S : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
x✝ : A
hp : x✝ ∈ restrictScalars R (span S t)
s0 : S
y : A
hy : y ∈ t
⊢ 0 ∈ span R (s • t)
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.GroupWithZero.Finset

Goal state before:
pp: case insert
ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
inst✝² : CommMonoidWithZero M₀
f : ι → M₀
s : Finset ι
inst✝¹ : Nontrivial M₀
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
a✝ : ι
s✝ : Finset ι
ha : a✝ ∉ s✝
ih : ∏ x ∈ s✝, f x = 0 ↔ ∃ a ∈ s✝, f a = 0
⊢ (f a✝ = 0 ∨ ∃ a ∈ s✝, f a = 0) ↔ f a✝ = 0 ∨ ∃ x ∈ s✝, f x = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.GroupWithZero.Finset

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
inst✝² : CommMonoidWithZero M₀
f : ι → M₀
s : Finset ι
inst✝¹ : Nontrivial M₀
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
⊢ (¬∃ a ∈ s, f a = 0) ↔ ∀ a ∈ s, f a ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
M₀ : Type u_4
inst✝² : CommMonoidWithZero M₀
f : ι → M₀
s : Finset ι
inst✝¹ : Nontrivial M₀
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
⊢ (¬∃ a ∈ s, f a = 0) ↔ ∀ a ∈ s, f a ≠ 0
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Tower

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u
S : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
x✝¹ : A
hp : x✝¹ ∈ restrictScalars R (span S t)
s0 : S
y : A
hy : y ∈ t
x✝ y✝ : S
hx✝ : x✝ ∈ span R s
hy✝ : y✝ ∈ span R s
⊢ x✝ • y ∈ span R (s • t) → y✝ • y ∈ span R (s • t) → x✝ • y + y✝ • y ∈ span R (s • t)

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
R : Type u
S : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
x✝¹ : A
hp : x✝¹ ∈ restrictScalars R (span S t)
s0 : S
y : A
hy : y ∈ t
x✝ y✝ : S
hx✝ : x✝ ∈ span R s
hy✝ : y✝ ∈ span R s
⊢ x✝ • y ∈ span R (s • t) → y✝ • y ∈ span R (s • t) → x✝ • y + y✝ • y ∈ span R (s • t)
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
⊢ sSup {a | IsCompactElement a} = sSup {c | IsCompactElement c ∧ c ≤ ⊤}

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
⊢ sSup {a | IsCompactElement a} = sSup {c | IsCompactElement c ∧ c ≤ ⊤}
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
h : ∀ (c : α), IsCompactElement c → c ≤ a → c ≤ b
⊢ sSup {c | IsCompactElement c ∧ c ≤ a} ≤ sSup {c | IsCompactElement c ∧ c ≤ b}

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
h : ∀ (c : α), IsCompactElement c → c ≤ a → c ≤ b
⊢ sSup {c | IsCompactElement c ∧ c ≤ a} ≤ sSup {c | IsCompactElement c ∧ c ≤ b}
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) s
⊢ a ⊓ sSup s ≤ ⨆ b ∈ s, a ⊓ b

Tactic:
le_iff_compact_le_imp

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) s
⊢ ∀ (c : α), IsCompactElement c → c ≤ a ⊓ sSup s → c ≤ ⨆ b ∈ s, a ⊓ b
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) s
⊢ ∀ (c : α), IsCompactElement c → c ≤ a ⊓ sSup s → c ≤ ⨆ b ∈ s, a ⊓ b

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) s
⊢ ∀ (c : α), IsCompactElement c → c ≤ a ⊓ sSup s → c ≤ ⨆ b ∈ s, a ⊓ b
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Tower

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type u
S : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
x✝ : A
hp : x✝ ∈ restrictScalars R (span S t)
s0✝ : S
y : A
hy✝ : y ∈ t
r : R
s0 : S
hx✝ : s0 ∈ span R s
hy : s0 • y ∈ span R (s • t)
⊢ r • s0 • y ∈ span R (s • t)

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_3
R : Type u
S : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
x✝ : A
hp : x✝ ∈ restrictScalars R (span S t)
s0✝ : S
y : A
hy✝ : y ∈ t
r : R
s0 : S
hx✝ : s0 ∈ span R s
hy : s0 • y ∈ span R (s • t)
⊢ r • s0 • y ∈ span R (s • t)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Tower

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type u
S : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
x✝ : A
hp : x✝ ∈ restrictScalars R (span S t)
s0 : S
y : A
hy : y ∈ t
⊢ ∀ (a : R), ∀ x ∈ span R s, x • y ∈ span R (s • t) → (a • x) • y ∈ span R (s • t)

Tactic:
· intro r s0 _ hy; rw [IsScalarTower.smul_assoc]; exact smul_mem _ r hy

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Tower

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
k : S
x : A
hx : x ∈ restrictScalars R (span S t)
⊢ k • x ∈ restrictScalars R (span S t)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
k : S
x : A
hx : x ∈ restrictScalars R (span S t)
⊢ k • x ∈ restrictScalars R (span S t)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Tower

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
k : S
x : A
hx : x ∈ span R t
⊢ k • x ∈ restrictScalars R (span S t)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
k : S
x : A
hx : x ∈ span R t
⊢ k • x ∈ restrictScalars R (span S t)
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) s
hs : s.Nonempty
c : α
hc : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) s → c ≤ sSup s → ∃ x ∈ s, c ≤ x
hcinf : c ≤ a ⊓ sSup s
⊢ c ≤ ⨆ b ∈ s, a ⊓ b

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) s
hs : s.Nonempty
c : α
hc : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) s → c ≤ sSup s → ∃ x ∈ s, c ≤ x
hcinf : c ≤ a ⊓ sSup s
⊢ c ≤ ⨆ b ∈ s, a ⊓ b
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
s : Set M₂
⊢ ⇑f ⁻¹' s ⊆ ⇑f ⁻¹' ↑(span R₂ s)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
s : Set M₂
⊢ ⇑f ⁻¹' s ⊆ ⇑f ⁻¹' ↑(span R₂ s)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Tower

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Type u_1
T : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x : S
a : Set S
hx : x ∈ span R a
⊢ ∃ y ∈ span R a, (↑R (Algebra.linearMap S T)) y = (algebraMap S T) x

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Type u_1
T : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x : S
a : Set S
hx : x ∈ span R a
⊢ ∃ y ∈ span R a, (↑R (Algebra.linearMap S T)) y = (algebraMap S T) x