mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t
l₁ : ι →₀ R
hl₁ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R s
l₂ : ι →₀ R
hl₂ : l₂ ∈ Finsupp.supported R R t
H : l₂ = l₁
⊢ (Finsupp.linearCombination R v) l₁ = 0

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t
l₁ : ι →₀ R
hl₁ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R s
l₂ : ι →₀ R
hl₂ : l₂ ∈ Finsupp.supported R R t
H : l₂ = l₁
⊢ (Finsupp.linearCombination R v) l₁ = 0
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: n a b c : ℕ
h : a % n = b % n
⊢ c * (b % n) = c * (b % n)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case inl
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k < ↑j
⊢ g k.castSucc = g k.castSucc

pp: case inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k < ↑j
⊢ ↑k < ↑j

pp: case inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k < ↑j
⊢ k.castSucc < j

pp: case inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k < ↑j
⊢ k.castSucc.castSucc < j.succ

Tactic:
]

Goal state after:
case inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k < ↑j
⊢ ↑k < ↑j

case inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k < ↑j
⊢ k.castSucc < j

case inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k < ↑j
⊢ k.castSucc.castSucc < j.succ
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: n a b c : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
⊢ c * a ≡ c * b [MOD c * n]

Tactic:
]

Goal state after:
n a b c : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
⊢ c * a ≡ c * b [MOD c * n]
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k < ↑j
⊢ ↑k.castSucc ≤ ↑j

Tactic:
]

Goal state after:
case inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k < ↑j
⊢ ↑k.castSucc ≤ ↑j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
s : Set ι
x : ι
h : x ∉ s
⊢ v x ∈ R ∙ v x

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
s : Set ι
x : ι
h : x ∉ s
⊢ v x ∈ R ∙ v x
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: n a b c : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
⊢ c * a ≡ c * b [MOD n]

Tactic:
]

Goal state after:
n a b c : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
⊢ c * a ≡ c * b [MOD n]
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: case succ
n a b : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
d : ℕ
hd : a ^ d ≡ b ^ d [MOD n]
⊢ a ^ d * a ≡ b ^ d * b [MOD n]

Tactic:
]

Goal state after:
case succ
n a b : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
d : ℕ
hd : a ^ d ≡ b ^ d [MOD n]
⊢ a ^ d * a ≡ b ^ d * b [MOD n]
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case inr.inl
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
⊢ g k.castSucc * g k.succ = g k.castSucc * g k.succ

pp: case inr.inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
⊢ ↑k = ↑j

pp: case inr.inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
⊢ j ≤ k.castSucc

pp: case inr.inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
⊢ k.castSucc.castSucc < j.succ

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
⊢ ↑k = ↑j

case inr.inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
⊢ j ≤ k.castSucc

case inr.inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
⊢ k.castSucc.castSucc < j.succ
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: n a b c d : ℕ
h₁ : a ≡ b [MOD n]
h₂ : c ≡ d [MOD n]
⊢ ↑n ∣ ↑b - ↑a + (↑d - ↑c)

Tactic:
]

Goal state after:
n a b c d : ℕ
h₁ : a ≡ b [MOD n]
h₂ : c ≡ d [MOD n]
⊢ ↑n ∣ ↑b - ↑a + (↑d - ↑c)
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: n a b c d : ℕ
h₁ : ↑n ∣ ↑b - ↑a
h₂ : ↑n ∣ ↑b - ↑a + (↑d - ↑c)
⊢ ↑n ∣ ↑d - ↑c

Tactic:
]

Goal state after:
n a b c d : ℕ
h₁ : ↑n ∣ ↑b - ↑a
h₂ : ↑n ∣ ↑b - ↑a + (↑d - ↑c)
⊢ ↑n ∣ ↑d - ↑c
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
hv : LinearIndependent R v
i : ι
a : R
ha : ∃ y ∈ Finsupp.supported R R (univ \ {i}), (Finsupp.linearCombination R v) y = a • v i
⊢ a = 0

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
hv : LinearIndependent R v
i : ι
a : R
ha : ∃ y ∈ Finsupp.supported R R (univ \ {i}), (Finsupp.linearCombination R v) y = a • v i
⊢ a = 0
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: n a b c d : ℕ
h₁ : ↑n ∣ ↑b - ↑a
h₂ : ↑n ∣ ↑b - ↑a + (↑d - ↑c)
⊢ ↑d - ↑c = ↑d - ↑c

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case inr.inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
⊢ ↑k.castSucc ≤ ↑j

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inl.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
⊢ ↑k.castSucc ≤ ↑j
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: n a b c d : ℕ
h₁ : c ≡ d [MOD n]
h₂ : c + a ≡ d + b [MOD n]
⊢ a ≡ b [MOD n]

Tactic:
]

Goal state after:
n a b c d : ℕ
h₁ : c ≡ d [MOD n]
h₂ : c + a ≡ d + b [MOD n]
⊢ a ≡ b [MOD n]
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
hv : LinearIndependent R v
i : ι
a : R
l : ι →₀ R
hl : Finsupp.single i a ∈ Finsupp.supported R R (univ \ {i})
e : (Finsupp.linearCombination R v) l = a • v i
⊢ a = 0

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
hv : LinearIndependent R v
i : ι
a : R
l : ι →₀ R
hl : Finsupp.single i a ∈ Finsupp.supported R R (univ \ {i})
e : (Finsupp.linearCombination R v) l = a • v i
⊢ a = 0
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: case inl
n a b c d : ℕ
h : c ≤ a ↔ d ≤ b
hab : a ≡ b [MOD n]
hcd : c ≡ d [MOD n]
hac : a < c
⊢ 0 ≡ 0 [MOD n]

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: case inr
n a b c d : ℕ
h : c ≤ a ↔ d ≤ b
hab : a ≡ b [MOD n]
hcd : c ≡ d [MOD n]
hca : c ≤ a
⊢ ↑n ∣ ↑b - ↑a - (↑d - ↑c)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
n a b c d : ℕ
h : c ≤ a ↔ d ≤ b
hab : a ≡ b [MOD n]
hcd : c ≡ d [MOD n]
hca : c ≤ a
⊢ ↑n ∣ ↑b - ↑a - (↑d - ↑c)
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: n a b m : ℕ
h : ↑(m * n) ∣ ↑b - ↑a
⊢ ↑n ∣ ↑b - ↑a

Tactic:
]

Goal state after:
n a b m : ℕ
h : ↑(m * n) ∣ ↑b - ↑a
⊢ ↑n ∣ ↑b - ↑a
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case inr.inr
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑j < ↑k
⊢ g k.succ = g k.succ

pp: case inr.inr.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑j < ↑k
⊢ ↑j < ↑k

pp: case inr.inr.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑j < ↑k
⊢ j ≤ k.castSucc

pp: case inr.inr.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑j < ↑k
⊢ j.succ ≤ k.castSucc.castSucc

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑j < ↑k
⊢ ↑j < ↑k

case inr.inr.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑j < ↑k
⊢ j ≤ k.castSucc

case inr.inr.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑j < ↑k
⊢ j.succ ≤ k.castSucc.castSucc
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr
l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)
⊢ (Finsupp.linearCombination R (v ∘ ⇑f)) (repr ⟨v i, ⋯⟩) = v i

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr
l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)
⊢ (Finsupp.linearCombination R (v ∘ ⇑f)) (repr ⟨v i, ⋯⟩) = v i
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case inr.inr.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑j < ↑k
⊢ ↑j + 1 ≤ ↑k.castSucc.castSucc

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr.h
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑j < ↑k
⊢ ↑j + 1 ≤ ↑k.castSucc.castSucc
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr
l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)
⊢ ↑⟨v i, ⋯⟩ = v i

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: case e'_1
m a b c : ℕ
h : a / c ≡ b / c [MOD m / c]
ha✝¹ : c ∣ a
ha✝ : c ∣ b
ha : c ∣ m
⊢ m = m

pp: case e'_1
m a b c : ℕ
h : a / c ≡ b / c [MOD m / c]
ha✝¹ : c ∣ a
ha✝ : c ∣ b
ha : c ∣ m
⊢ c ∣ m

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_1
m a b c : ℕ
h : a / c ≡ b / c [MOD m / c]
ha✝¹ : c ∣ a
ha✝ : c ∣ b
ha : c ∣ m
⊢ c ∣ m
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: case e'_2
m a b c : ℕ
h : a / c ≡ b / c [MOD m / c]
ha✝¹ : c ∣ a
ha✝ : c ∣ b
ha : c ∣ m
⊢ a = a

pp: case e'_2
m a b c : ℕ
h : a / c ≡ b / c [MOD m / c]
ha✝¹ : c ∣ a
ha✝ : c ∣ b
ha : c ∣ m
⊢ c ∣ a

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_2
m a b c : ℕ
h : a / c ≡ b / c [MOD m / c]
ha✝¹ : c ∣ a
ha✝ : c ∣ b
ha : c ∣ m
⊢ c ∣ a
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Defs

Goal state before:
pp: case mp
ι : Type w
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Nontrivial R
M : Type v
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
κ : Type v
w : κ → M
i' : LinearIndependent R w
j : ι → κ
i : LinearIndependent R (w ∘ j)
p : w '' range j = w '' univ
⊢ Surjective j

Tactic:
]

Goal state after:
case mp
ι : Type w
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Nontrivial R
M : Type v
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
κ : Type v
w : κ → M
i' : LinearIndependent R w
j : ι → κ
i : LinearIndependent R (w ∘ j)
p : w '' range j = w '' univ
⊢ Surjective j
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: case e'_3
m a b c : ℕ
h : a / c ≡ b / c [MOD m / c]
ha✝¹ : c ∣ a
ha✝ : c ∣ b
ha : c ∣ m
⊢ b = b

pp: case e'_3
m a b c : ℕ
h : a / c ≡ b / c [MOD m / c]
ha✝¹ : c ∣ a
ha✝ : c ∣ b
ha : c ∣ m
⊢ c ∣ b

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_3
m a b c : ℕ
h : a / c ≡ b / c [MOD m / c]
ha✝¹ : c ∣ a
ha✝ : c ∣ b
ha : c ∣ m
⊢ c ∣ b
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr
l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)
h_total_l : (Finsupp.linearCombination R v) l = v i
⊢ v i = v i

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: n a b : ℕ
⊢ n ∣ a ↔ n ∣ a

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: n a b : ℕ
⊢ n ∣ b ↔ n ∣ b

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case succ.succ
ι : Type u_1
M : Type u_2
n n✝ : ℕ
ih : ∀ (f : Fin n → Fin (n✝ + 1)), ∑ i, ↑(f i) * (n✝ + 1) ^ ↑i < (n✝ + 1) ^ n
f : Fin (n + 1) → Fin (n✝ + 1)
⊢ (n✝ + 1) * (n✝ + 1) ^ n = (n✝ + 1) * (n✝ + 1) ^ n

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: n a b : ℕ
⊢ a ≡ b [MOD n] ↔ a ≡ b [MOD n]

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr
l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)
h_total_l : (Finsupp.linearCombination R v) l = v i
h_total_eq : (Finsupp.linearCombination R v) l = (Finsupp.linearCombination R v) (Finsupp.single i 1)
l_eq : Finsupp.embDomain f (repr ⟨v i, ⋯⟩) = Finsupp.single i 1
⊢ ∃ a, f a = i

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr
l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)
h_total_l : (Finsupp.linearCombination R v) l = v i
h_total_eq : (Finsupp.linearCombination R v) l = (Finsupp.linearCombination R v) (Finsupp.single i 1)
l_eq : Finsupp.embDomain f (repr ⟨v i, ⋯⟩) = Finsupp.single i 1
⊢ ∃ a, f a = i
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: n a b c : ℕ
⊢ a ≡ c [MOD n] ↔ a ≡ c [MOD n]

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Defs

Goal state before:
pp: case mpr
ι : Type w
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Nontrivial R
M : Type v
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
i' : LinearIndependent R Subtype.val
h : range v ⊆ w
p : Surjective fun i ↦ ⟨v i, ⋯⟩
q : (fun x ↦ ↑⟨v x, ⋯⟩) '' univ = Subtype.val '' univ
⊢ range v = w

Tactic:
]

Goal state after:
case mpr
ι : Type w
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Nontrivial R
M : Type v
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
i' : LinearIndependent R Subtype.val
h : range v ⊆ w
p : Surjective fun i ↦ ⟨v i, ⋯⟩
q : (fun x ↦ ↑⟨v x, ⋯⟩) '' univ = Subtype.val '' univ
⊢ range v = w
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case succ.zero
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
b : Fin (n + 1)
a✝ : Fin (0 ^ (n + 1))
a : Fin 0
⊢ ↑a✝ / 0 ^ ↑b % 0 < 0

Tactic:
]

Goal state after:
case succ.zero
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
b : Fin (n + 1)
a✝ : Fin (0 ^ (n + 1))
a : Fin 0
⊢ ↑a✝ / 0 ^ ↑b % 0 < 0
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: n a b : ℕ
h : n ≤ a
⊢ a ≡ b [MOD n] ↔ a ≡ b [MOD n]

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: n a b : ℕ
h : n ≤ b
⊢ a ≡ b [MOD n] ↔ a ≡ b [MOD n]

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : CanonicallyOrderedAdd R
inst✝¹ : AddRightReflectLE R
inst✝ : IsCancelAdd M
this✝ : Sub R := CanonicallyOrderedAdd.toSub
this : OrderedSub R
⊢ (∀ (s : Finset ι) (f g : ι → R), ∑ i ∈ s, f i • v i = ∑ i ∈ s, g i • v i → ∀ i ∈ s, f i = g i) ↔
    ∀ (s t : Finset ι) (f : ι → R),
      Disjoint s t → ∑ i ∈ s, f i • v i = ∑ i ∈ t, f i • v i → (∀ i ∈ s, f i = 0) ∧ ∀ i ∈ t, f i = 0

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : CanonicallyOrderedAdd R
inst✝¹ : AddRightReflectLE R
inst✝ : IsCancelAdd M
this✝ : Sub R := CanonicallyOrderedAdd.toSub
this : OrderedSub R
⊢ (∀ (s : Finset ι) (f g : ι → R), ∑ i ∈ s, f i • v i = ∑ i ∈ s, g i • v i → ∀ i ∈ s, f i = g i) ↔
    ∀ (s t : Finset ι) (f : ι → R),
      Disjoint s t → ∑ i ∈ s, f i • v i = ∑ i ∈ t, f i • v i → (∀ i ∈ s, f i = 0) ∧ ∀ i ∈ t, f i = 0
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: a b : ℕ
h : b ≤ a
⊢ ↑a - ↑b ∣ ↑a - ↑b

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: a b : ℕ
⊢ a = b ↔ a = b

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: n a b : ℕ
h : a ≤ b
⊢ (∃ c, b - a = n * c) ↔ ∃ t, b = a + n * t

Tactic:
]

Goal state after:
n a b : ℕ
h : a ≤ b
⊢ (∃ c, b - a = n * c) ↔ ∃ t, b = a + n * t
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: m a b : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]
h2 : |↑b - ↑a| < ↑m
⊢ Int.ofNat b - Int.ofNat a = 0

Tactic:
]

Goal state after:
m a b : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]
h2 : |↑b - ↑a| < ↑m
⊢ Int.ofNat b - Int.ofNat a = 0
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: m a b c : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m
hcd : m.gcd c ∣ c
⊢ ↑(m / m.gcd c) ∣ ↑b - ↑a

Tactic:
]

Goal state after:
m a b c : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m
hcd : m.gcd c ∣ c
⊢ ↑(m / m.gcd c) ∣ ↑b - ↑a
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: case refine_1
m a b c : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m
hcd : m.gcd c ∣ c
⊢ ↑m / ↑d ∣ ↑c * (↑b - ↑a) / ↑(m.gcd c)

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
m a b c : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m
hcd : m.gcd c ∣ c
⊢ ↑m / ↑d ∣ ↑c * (↑b - ↑a) / ↑(m.gcd c)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
s t : Set M
hs : LinearIndepOn R id s
h : t ⊆ s
hst : s ⊆ ↑(span R t)
f : ↑t ↪ ↑s := { toFun := fun x ↦ ⟨↑x, ⋯⟩, inj' := ⋯ }
h_surj : Surjective ⇑f
x : M
hx : x ∈ s
y : ↑t
hy : f y = ⟨x, hx⟩
⊢ ↑y = ↑y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: case refine_1
m a b c : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m
hcd : m.gcd c ∣ c
⊢ ↑m ∣ ↑c * ↑b - ↑c * ↑a

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
m a b c : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m
hcd : m.gcd c ∣ c
⊢ ↑m ∣ ↑c * ↑b - ↑c * ↑a
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
s t u : Set M
hl : LinearIndepOn R id u
hsu : s ⊆ u
htu : t ⊆ u
hst : span R s ≤ span R t
this : s ∪ t = t
⊢ s ⊆ s ∪ t

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
s t u : Set M
hl : LinearIndepOn R id u
hsu : s ⊆ u
htu : t ⊆ u
hst : span R s ≤ span R t
this : s ∪ t = t
⊢ s ⊆ s ∪ t
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: case succ
ι : Type u_1
M : Type u_2
m n : ℕ
a : Fin (m ^ (n + 1))
ih : ∀ i < m ^ n, ∑ x, i / m ^ ↑x % m * m ^ ↑x = i
⊢ ↑a = ↑a

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Fintype ι
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
f g : ι → R
heq : ∑ x, (f x • v x - g x • v x) = 0
i : ι
⊢ f i = g i

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Fintype ι
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
f g : ι → R
heq : ∑ x, (f x • v x - g x • v x) = 0
i : ι
⊢ f i = g i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Fintype ι
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
f g : ι → R
heq : ∑ i, f i • v i = ∑ i, g i • v i
i : ι
⊢ f i = g i

Tactic:
rw [← sub_eq_zero, ← sum_sub_distrib] at heq

Goal state after:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Fintype ι
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
f g : ι → R
heq : ∑ x, (f x • v x - g x • v x) = 0
i : ι
⊢ f i = g i
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: m n : ℕ
inst✝ : NeZero m
i : Fin n
j : Fin m
⊢ ↑j * m ^ ↑i = ↑j * m ^ ↑i

pp: m n : ℕ
inst✝ : NeZero m
i : Fin n
j : Fin m
⊢ ∀ (x : Fin n), x ≠ i → ↑(Pi.single i j x) * m ^ ↑x = 0

Tactic:
]

Goal state after:
m n : ℕ
inst✝ : NeZero m
i : Fin n
j : Fin m
⊢ ∀ (x : Fin n), x ≠ i → ↑(Pi.single i j x) * m ^ ↑x = 0
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]
hn : n = 0
⊢ a ≡ a [MOD n] ∧ a ≡ b [MOD m]

Tactic:
]

Goal state after:
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]
hn : n = 0
⊢ a ≡ a [MOD n] ∧ a ≡ b [MOD m]
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin

Goal state before:
pp: m n : ℕ
inst✝ : NeZero m
i : Fin n
j : Fin m
x : Fin n
hx : x ≠ i
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD n.gcd m]
hn : ¬n = 0
hm : m = 0
⊢ b ≡ a [MOD n] ∧ b ≡ b [MOD m]

Tactic:
hm,

Goal state after:
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD n.gcd 0]
hn : ¬n = 0
hm : m = 0
⊢ b ≡ a [MOD n] ∧ b ≡ b [MOD m]
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
R' : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝² : Ring R'
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R' M'
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
i : R' → R
j : M →+ M'
hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0
hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0
hc : ∀ (r : R') (m : M), j (i r • m) = r • j m
⊢ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R'), ∑ i ∈ s, g i • (⇑j ∘ v) i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
R' : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝² : Ring R'
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R' M'
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
i : R' → R
j : M →+ M'
hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0
hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0
hc : ∀ (r : R') (m : M), j (i r • m) = r • j m
⊢ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R'), ∑ i ∈ s, g i • (⇑j ∘ v) i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
Module: Mathlib.Data.Nat.ModEq

Goal state before:
pp: m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
hn : ¬n = 0
hm : m = 0
⊢ b ≡ a [MOD n] ∧ b ≡ b [MOD m]

Tactic:
]

Goal state after:
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
hn : ¬n = 0
hm : m = 0
⊢ b ≡ a [MOD n] ∧ b ≡ b [MOD m]