mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
p : ℝ
hp : 0 < p
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
this✝ : 0 ≤ c ^ p⁻¹
this : Ioi c = (fun x ↦ x ^ p) '' Ioi (c ^ p⁻¹)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi (c ^ p⁻¹), (p * x ^ (p - 1)) • g (x ^ p) = ∫ (x : ℝ) in Ioi (c ^ p⁻¹), |p * x ^ (p - 1)| • g (x ^ p)

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
p : ℝ
hp : 0 < p
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
this✝ : 0 ≤ c ^ p⁻¹
this : Ioi c = (fun x ↦ x ^ p) '' Ioi (c ^ p⁻¹)
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi (c ^ p⁻¹), (p * x ^ (p - 1)) • g (x ^ p) = ∫ (x : ℝ) in Ioi (c ^ p⁻¹), |p * x ^ (p - 1)| • g (x ^ p)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
p : ℝ
hp : 0 < p
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
this✝¹ : 0 ≤ c ^ p⁻¹
this✝ : Ioi c = (fun x ↦ x ^ p) '' Ioi (c ^ p⁻¹)
x : ℝ
x✝ : x ∈ Ioi (c ^ p⁻¹)
this : 0 ≤ x
⊢ (p * x ^ (p - 1)) • g (x ^ p) = (p * x ^ (p - 1)) • g (x ^ p)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
a : ℝ
⊢ ∫ (y : ℝ) in rexp '' Ioi a, g y = ∫ (x : ℝ) in Ioi a, rexp x • g (rexp x)

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
a : ℝ
⊢ ∫ (y : ℝ) in rexp '' Ioi a, g y = ∫ (x : ℝ) in Ioi a, rexp x • g (rexp x)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
a : ℝ
⊢ IntegrableOn g (rexp '' Ioi a) volume ↔ IntegrableOn (fun x ↦ rexp x • g (rexp x)) (Ioi a) volume

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
a : ℝ
⊢ IntegrableOn g (rexp '' Ioi a) volume ↔ IntegrableOn (fun x ↦ rexp x • g (rexp x)) (Ioi a) volume
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
a b : ℝ
hb : 0 < b
this : ∀ (c : ℝ), MeasurableSet (Ioi c)
⊢ ∫ (x : ℝ), (Ioi a).indicator (fun x ↦ g (b * x)) x ∂volume = ∫ (x : ℝ), (Ioi (b * a)).indicator g (b * x)

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
a b : ℝ
hb : 0 < b
this : ∀ (c : ℝ), MeasurableSet (Ioi c)
⊢ ∫ (x : ℝ), (Ioi a).indicator (fun x ↦ g (b * x)) x ∂volume = ∫ (x : ℝ), (Ioi (b * a)).indicator g (b * x)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: case e_f
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
a b : ℝ
hb : 0 < b
this : ∀ (c : ℝ), MeasurableSet (Ioi c)
x : ℝ
⊢ (Ioi a).indicator (fun x ↦ g (b * x)) x = (Ioi a).indicator (fun x ↦ g (b * x)) x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
R : ℝ
hs : s ⊆ closedBall 0 R
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
h's : s.Nonempty
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ :
  ∀ (A : E →L[ℝ] E),
    0 < δ A ∧ ∀ (t : Set E), ApproximatesLinearOn f A t (δ A) → μ (f '' t) ≤ ↑(|A.det|.toNNReal + ε) * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
Af' : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y
⊢ μ (f '' s) ≤ μ (f '' (s ∩ ⋃ i, t i))

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
R : ℝ
hs : s ⊆ closedBall 0 R
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
h's : s.Nonempty
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ :
  ∀ (A : E →L[ℝ] E),
    0 < δ A ∧ ∀ (t : Set E), ApproximatesLinearOn f A t (δ A) → μ (f '' t) ≤ ↑(|A.det|.toNNReal + ε) * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
Af' : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y
⊢ μ (f '' s) ≤ μ (f '' (s ∩ ⋃ i, t i))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: case inl
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t ↦ t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
h : p < 0
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x < y
⊢ x ^ (-p) < y ^ (-p)

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t ↦ t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
h : p < 0
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x < y
⊢ x ^ (-p) < y ^ (-p)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.IntegrationByParts

Goal state before:
pp: case pos.inr.hf
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x ↦ (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x ↦ (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x ↦ (B (f x)) (g x)) μ
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this✝ : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
hL : L v = (0, 1)
ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L) μ
L_emb : MeasurableEmbedding ⇑L
x : E' × ℝ
hf : HasLineDerivAt ℝ ((f ∘ ⇑L.symm) ∘ ⇑↑↑L) (f' (L.symm x)) (L.symm x) v
hx : x ∈ tsupport fun x ↦ g (L.symm x)
this : f = (f ∘ ⇑L.symm) ∘ ⇑↑↑L
h2x : L.symm x ∈ tsupport g
⊢ HasLineDerivAt ℝ (fun x ↦ f (L.symm x)) (f' (L.symm x)) x (0, 1)

Tactic:
]

Goal state after:
case pos.inr.hf
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x ↦ (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x ↦ (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x ↦ (B (f x)) (g x)) μ
hg : ∀ x ∈ tsupport f, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this✝ : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
hL : L v = (0, 1)
ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L) μ
L_emb : MeasurableEmbedding ⇑L
x : E' × ℝ
hf : HasLineDerivAt ℝ ((f ∘ ⇑L.symm) ∘ ⇑↑↑L) (f' (L.symm x)) (L.symm x) v
hx : x ∈ tsupport fun x ↦ g (L.symm x)
this : f = (f ∘ ⇑L.symm) ∘ ⇑↑↑L
h2x : L.symm x ∈ tsupport g
⊢ HasLineDerivAt ℝ (fun x ↦ f (L.symm x)) (f' (L.symm x)) x (0, 1)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t ↦ t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x ↦ x ^ p) S
x : ℝ
⊢ (∃ x_1 ∈ S, x_1 ^ p = x) ↔ x ∈ S

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t ↦ t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x ↦ x ^ p) S
x : ℝ
⊢ (∃ x_1 ∈ S, x_1 ^ p = x) ↔ x ∈ S
Module: Mathlib.Analysis.Complex.RemovableSingularity

Goal state before:
pp: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hc : s ∈ 𝓝 c
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})
ho : (fun z ↦ f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z ↦ (z - c)⁻¹
F : ℂ → E := fun z ↦ (z - c) • f z
this : DifferentiableOn ℂ (update f c (deriv (fun x ↦ (x - c) • f x) c)) s
⊢ DifferentiableOn ℂ (update f c ((𝓝[≠] c).limUnder f)) s

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hc : s ∈ 𝓝 c
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})
ho : (fun z ↦ f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z ↦ (z - c)⁻¹
F : ℂ → E := fun z ↦ (z - c) • f z
this : DifferentiableOn ℂ (update f c (deriv (fun x ↦ (x - c) • f x) c)) s
⊢ DifferentiableOn ℂ (update f c ((𝓝[≠] c).limUnder f)) s
Module: Mathlib.Analysis.Complex.RemovableSingularity

Goal state before:
pp: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hc✝ : s ∈ 𝓝 c
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})
ho : (fun z ↦ f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z ↦ (z - c)⁻¹
F : ℂ → E := fun z ↦ (z - c) • f z
this : DifferentiableOn ℂ (update f c (deriv (fun x ↦ (x - c) • f x) c)) s
hc : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 (deriv F c))
⊢ DifferentiableOn ℂ (update f c (deriv F c)) s

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hc✝ : s ∈ 𝓝 c
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})
ho : (fun z ↦ f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z ↦ (z - c)⁻¹
F : ℂ → E := fun z ↦ (z - c) • f z
this : DifferentiableOn ℂ (update f c (deriv (fun x ↦ (x - c) • f x) c)) s
hc : Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 (deriv F c))
⊢ DifferentiableOn ℂ (update f c (deriv F c)) s
Module: Mathlib.Analysis.Complex.RemovableSingularity

Goal state before:
pp: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hc : s ∈ 𝓝 c
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})
ho : (fun z ↦ f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z ↦ (z - c)⁻¹
F : ℂ → E := fun z ↦ (z - c) • f z
⊢ ContinuousWithinAt F {c}ᶜ c

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hc : s ∈ 𝓝 c
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})
ho : (fun z ↦ f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z ↦ (z - c)⁻¹
F : ℂ → E := fun z ↦ (z - c) • f z
⊢ ContinuousWithinAt F {c}ᶜ c
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: case mpr
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t ↦ t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x ↦ x ^ p) S
x : ℝ
hx : x ∈ S
⊢ x = x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
R : ℝ
hs : s ⊆ closedBall 0 R
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
h's : s.Nonempty
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ :
  ∀ (A : E →L[ℝ] E),
    0 < δ A ∧ ∀ (t : Set E), ApproximatesLinearOn f A t (δ A) → μ (f '' t) ≤ ↑(|A.det|.toNNReal + ε) * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
Af' : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y
⊢ ↑ε * ∑' (i : ℕ), μ (s ∩ t i) ≤ ↑ε * ∑' (n : ℕ), μ (closedBall 0 R ∩ t n)

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
R : ℝ
hs : s ⊆ closedBall 0 R
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
h's : s.Nonempty
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ :
  ∀ (A : E →L[ℝ] E),
    0 < δ A ∧ ∀ (t : Set E), ApproximatesLinearOn f A t (δ A) → μ (f '' t) ≤ ↑(|A.det|.toNNReal + ε) * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
Af' : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y
⊢ ↑ε * ∑' (i : ℕ), μ (s ∩ t i) ≤ ↑ε * ∑' (n : ℕ), μ (closedBall 0 R ∩ t n)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t ↦ t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x ↦ x ^ p) S
a3 : (fun t ↦ t ^ p) '' S = S
this : IntegrableOn f S volume ↔ IntegrableOn (fun x ↦ |p * x ^ (p - 1)| • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ (|p| * x ^ (p - 1)) • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi 0) volume

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t ↦ t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x ↦ x ^ p) S
a3 : (fun t ↦ t ^ p) '' S = S
this : IntegrableOn f S volume ↔ IntegrableOn (fun x ↦ |p * x ^ (p - 1)| • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ (|p| * x ^ (p - 1)) • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi 0) volume
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t ↦ t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x ↦ x ^ p) S
a3 : (fun t ↦ t ^ p) '' S = S
this : IntegrableOn f S volume ↔ IntegrableOn (fun x ↦ |p * x ^ (p - 1)| • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ (|p| * x ^ (p - 1)) • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume ↔
    IntegrableOn (fun x ↦ |p * x ^ (p - 1)| • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t ↦ t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x ↦ x ^ p) S
a3 : (fun t ↦ t ^ p) '' S = S
this : IntegrableOn f S volume ↔ IntegrableOn (fun x ↦ |p * x ^ (p - 1)| • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ (|p| * x ^ (p - 1)) • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume ↔
    IntegrableOn (fun x ↦ |p * x ^ (p - 1)| • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume
Module: Mathlib.Analysis.Complex.RemovableSingularity

Goal state before:
pp: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
hd : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, x ∈ {c}ᶜ → DifferentiableAt ℂ f x
ho : (fun z ↦ f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z ↦ (z - c)⁻¹
⊢ Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 ((𝓝[≠] c).limUnder f))

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
hd : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, x ∈ {c}ᶜ → DifferentiableAt ℂ f x
ho : (fun z ↦ f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z ↦ (z - c)⁻¹
⊢ Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 ((𝓝[≠] c).limUnder f))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
c a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ Integrable ((Ioi c).indicator fun x ↦ f (a * x)) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi (a * c)) volume

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
c a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ Integrable ((Ioi c).indicator fun x ↦ f (a * x)) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi (a * c)) volume
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
c a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ Integrable ((Ioi c).indicator fun x ↦ f (a * x)) volume ↔ Integrable ((Ioi (a * c)).indicator f) volume

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
c a : ℝ
ha : 0 < a
⊢ Integrable ((Ioi c).indicator fun x ↦ f (a * x)) volume ↔ Integrable ((Ioi (a * c)).indicator f) volume
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: case e'_6
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
c a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
⊢ (Ioi c).indicator (fun x ↦ f (a * x)) x = (Ioi c).indicator (fun x ↦ f (a * x)) x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Complex.RemovableSingularity

Goal state before:
pp: E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U : Set ℂ
hU : IsOpen U
c w₀ : ℂ
R : ℝ
f : ℂ → E
hc : closedBall c R ⊆ U
hf : DifferentiableOn ℂ f U
hw₀ : w₀ ∈ ball c R
hf' : DifferentiableOn ℂ (dslope f w₀) U
h0 : (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w₀)⁻¹ • dslope f w₀ z = dslope f w₀ w₀
⊢ (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((z - w₀) ^ 2)⁻¹ • f z =
    (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w₀)⁻¹ • dslope f w₀ z

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U : Set ℂ
hU : IsOpen U
c w₀ : ℂ
R : ℝ
f : ℂ → E
hc : closedBall c R ⊆ U
hf : DifferentiableOn ℂ f U
hw₀ : w₀ ∈ ball c R
hf' : DifferentiableOn ℂ (dslope f w₀) U
h0 : (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w₀)⁻¹ • dslope f w₀ z = dslope f w₀ w₀
⊢ (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((z - w₀) ^ 2)⁻¹ • f z =
    (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w₀)⁻¹ • dslope f w₀ z
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
L : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
u : ℝ → E
v : ℝ → F
u' : ℝ → E
v' : ℝ → F
m n : G
inst✝ : CompleteSpace G
hu : ∀ x ∈ tsupport v, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ tsupport u, HasDerivAt v (v' x) x
huv' : Integrable (fun x ↦ (L (u x)) (v' x)) volume
hu'v : Integrable (fun x ↦ (L (u' x)) (v x)) volume
h_bot : Tendsto (fun x ↦ (L (u x)) (v x)) atBot (𝓝 m)
h_top : Tendsto (fun x ↦ (L (u x)) (v x)) atTop (𝓝 n)
⊢ ∫ (a : ℝ), (L (u a)) (v' a) + (L (u' a)) (v a) = n - m

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
L : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
u : ℝ → E
v : ℝ → F
u' : ℝ → E
v' : ℝ → F
m n : G
inst✝ : CompleteSpace G
hu : ∀ x ∈ tsupport v, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ tsupport u, HasDerivAt v (v' x) x
huv' : Integrable (fun x ↦ (L (u x)) (v' x)) volume
hu'v : Integrable (fun x ↦ (L (u' x)) (v x)) volume
h_bot : Tendsto (fun x ↦ (L (u x)) (v x)) atBot (𝓝 m)
h_top : Tendsto (fun x ↦ (L (u x)) (v x)) atTop (𝓝 n)
⊢ ∫ (a : ℝ), (L (u a)) (v' a) + (L (u' a)) (v a) = n - m
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.IntegrationByParts

Goal state before:
pp: case hg
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x ↦ (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x ↦ (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x ↦ (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this✝ : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
hL : L v = (0, 1)
ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L) μ
L_emb : MeasurableEmbedding ⇑L
x : E' × ℝ
hg : HasLineDerivAt ℝ ((g ∘ ⇑L.symm) ∘ ⇑↑↑L) (g' (L.symm x)) (L.symm x) v
hx : x ∈ tsupport fun x ↦ f (L.symm x)
this : g = (g ∘ ⇑L.symm) ∘ ⇑↑↑L
h2x : L.symm x ∈ tsupport f
⊢ HasLineDerivAt ℝ (fun x ↦ g (L.symm x)) (g' (L.symm x)) x (0, 1)

Tactic:
]

Goal state after:
case hg
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x ↦ (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x ↦ (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x ↦ (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ x ∈ tsupport g, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this✝ : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
hL : L v = (0, 1)
ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L) μ
L_emb : MeasurableEmbedding ⇑L
x : E' × ℝ
hg : HasLineDerivAt ℝ ((g ∘ ⇑L.symm) ∘ ⇑↑↑L) (g' (L.symm x)) (L.symm x) v
hx : x ∈ tsupport fun x ↦ f (L.symm x)
this : g = (g ∘ ⇑L.symm) ∘ ⇑↑↑L
h2x : L.symm x ∈ tsupport f
⊢ HasLineDerivAt ℝ (fun x ↦ g (L.symm x)) (g' (L.symm x)) x (0, 1)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
R : ℝ
hs : s ⊆ closedBall 0 R
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
h's : s.Nonempty
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ :
  ∀ (A : E →L[ℝ] E),
    0 < δ A ∧ ∀ (t : Set E), ApproximatesLinearOn f A t (δ A) → μ (f '' t) ≤ ↑(|A.det|.toNNReal + ε) * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
Af' : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y
⊢ ↑ε * μ (closedBall 0 R) ≤ ↑ε * μ (closedBall 0 R)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntegralEqImproper

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Ioi a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Ici a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, u' x * v x + u x * v' x = b' - a'

Tactic:
]

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Ioi a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Ici a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, u' x * v x + u x * v' x = b' - a'
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.UniformOn

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
f : ι → β → α
s : Set β
inst✝ : UniformSpace α
h : MultipliableUniformlyOn f s
g : β → α
hg : TendstoUniformlyOn (fun x1 x2 ↦ ∏ i ∈ x1, f i x2) g atTop s
hp : HasProdUniformlyOn f g s
⊢ TendstoUniformlyOn (fun x1 x2 ↦ ∏ i ∈ x1, f i x2) (fun x ↦ ∏' (i : ι), f i x) atTop s

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
f : ι → β → α
s : Set β
inst✝ : UniformSpace α
h : MultipliableUniformlyOn f s
g : β → α
hg : TendstoUniformlyOn (fun x1 x2 ↦ ∏ i ∈ x1, f i x2) g atTop s
hp : HasProdUniformlyOn f g s
⊢ TendstoUniformlyOn (fun x1 x2 ↦ ∏ i ∈ x1, f i x2) (fun x ↦ ∏' (i : ι), f i x) atTop s