mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : M
hx : y ∈ (extChartAt I x).source
h'x : ↑(extChartAt I x) y ∈ interior (range ↑I)
s : Set M
h : s ∈ 𝓝 y
⊢ ↑((chartAt H x).extend I) '' s ∈ 𝓝 (↑((chartAt H x).extend I) y)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : M
hx : y ∈ (extChartAt I x).source
h'x : ↑(extChartAt I x) y ∈ interior (range ↑I)
s : Set M
h : s ∈ 𝓝 y
⊢ ↑((chartAt H x).extend I) '' s ∈ 𝓝 (↑((chartAt H x).extend I) y)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : I.Boundaryless
x : M
hx : s ∈ 𝓝 x
⊢ ↑((chartAt H x).extend I) '' s ∈ 𝓝 (↑((chartAt H x).extend I) x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : I.Boundaryless
x : M
hx : s ∈ 𝓝 x
⊢ ↑((chartAt H x).extend I) '' s ∈ 𝓝 (↑((chartAt H x).extend I) x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
y : E
hy : y ∈ (extChartAt I x).target
⊢ (extChartAt I x).target ∈ 𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
y : E
hy : y ∈ (extChartAt I x).target
⊢ (extChartAt I x).target ∈ 𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: case left
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
E' : Type u_5
H' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
e' : OpenPartialHomeomorph H' H'
he : (contDiffPregroupoid n I).property (↑e) e.source
he_symm : (contDiffPregroupoid n I).property (↑e.symm) e.target
he' : (contDiffPregroupoid n I').property (↑e') e'.source
he'_symm : (contDiffPregroupoid n I').property (↑e'.symm) e'.target
h3 :
  ContDiffOn 𝕜 n (Prod.map (↑I ∘ ↑e ∘ ↑I.symm) (↑I' ∘ ↑e' ∘ ↑I'.symm))
    ((fun p ↦ (↑I p.1, ↑I' p.2)) '' e.source ×ˢ e'.source)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (↑(I.prod I') ∘ ↑(e.prod e') ∘ ↑(I.prod I').symm)
    (↑(I.prod I').symm ⁻¹' (e.prod e'.toPartialEquiv).source ∩ range ↑(I.prod I'))

Tactic:
]

Goal state after:
case left
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
E' : Type u_5
H' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
e' : OpenPartialHomeomorph H' H'
he : (contDiffPregroupoid n I).property (↑e) e.source
he_symm : (contDiffPregroupoid n I).property (↑e.symm) e.target
he' : (contDiffPregroupoid n I').property (↑e') e'.source
he'_symm : (contDiffPregroupoid n I').property (↑e'.symm) e'.target
h3 :
  ContDiffOn 𝕜 n (Prod.map (↑I ∘ ↑e ∘ ↑I.symm) (↑I' ∘ ↑e' ∘ ↑I'.symm))
    ((fun p ↦ (↑I p.1, ↑I' p.2)) '' e.source ×ˢ e'.source)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (↑(I.prod I') ∘ ↑(e.prod e') ∘ ↑(I.prod I').symm)
    (↑(I.prod I').symm ⁻¹' (e.prod e'.toPartialEquiv).source ∩ range ↑(I.prod I'))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: case left
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
E' : Type u_5
H' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
e' : OpenPartialHomeomorph H' H'
he : (contDiffPregroupoid n I).property (↑e) e.source
he_symm : (contDiffPregroupoid n I).property (↑e.symm) e.target
he' : (contDiffPregroupoid n I').property (↑e') e'.source
he'_symm : (contDiffPregroupoid n I').property (↑e'.symm) e'.target
h3 :
  ContDiffOn 𝕜 n (Prod.map (↑I ∘ ↑e ∘ ↑I.symm) (↑I' ∘ ↑e' ∘ ↑I'.symm))
    ((fun p ↦ (↑I p.1, ↑I' p.2)) '' e.source ×ˢ e'.source)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (↑(I.prod I') ∘ ↑(e.prod e') ∘ ↑(I.prod I').symm) (↑(I.prod I') '' (e.prod e'.toPartialEquiv).source)

Tactic:
]

Goal state after:
case left
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
E' : Type u_5
H' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
e' : OpenPartialHomeomorph H' H'
he : (contDiffPregroupoid n I).property (↑e) e.source
he_symm : (contDiffPregroupoid n I).property (↑e.symm) e.target
he' : (contDiffPregroupoid n I').property (↑e') e'.source
he'_symm : (contDiffPregroupoid n I').property (↑e'.symm) e'.target
h3 :
  ContDiffOn 𝕜 n (Prod.map (↑I ∘ ↑e ∘ ↑I.symm) (↑I' ∘ ↑e' ∘ ↑I'.symm))
    ((fun p ↦ (↑I p.1, ↑I' p.2)) '' e.source ×ˢ e'.source)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (↑(I.prod I') ∘ ↑(e.prod e') ∘ ↑(I.prod I').symm) (↑(I.prod I') '' (e.prod e'.toPartialEquiv).source)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalInvariantProperties

Goal state before:
pp: H : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Set H
x : H
f g : H → H
hfgs : ∀ y ∈ s, f y = g y
a✝ : f x = g x
h : G.IsLocalStructomorphWithinAt f s x
hx : x ∈ s
e : OpenPartialHomeomorph H H
heG : e ∈ G
hef : EqOn f (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source)
hex : x ∈ e.source
y : H
hy : y ∈ s ∩ e.source
⊢ g y = g y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝ : ChartedSpace H M
y : E
x : M
hy : y ∈ (extChartAt I x).target
⊢ (extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ ∈ 𝓝[range ↑I] y ⊔ 𝓝[(range ↑I)ᶜ] y

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝ : ChartedSpace H M
y : E
x : M
hy : y ∈ (extChartAt I x).target
⊢ (extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ ∈ 𝓝[range ↑I] y ⊔ 𝓝[(range ↑I)ᶜ] y
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: case right
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
E' : Type u_5
H' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
e' : OpenPartialHomeomorph H' H'
he : (contDiffPregroupoid n I).property (↑e) e.source
he_symm : (contDiffPregroupoid n I).property (↑e.symm) e.target
he' : (contDiffPregroupoid n I').property (↑e') e'.source
he'_symm : (contDiffPregroupoid n I').property (↑e'.symm) e'.target
h3 :
  ContDiffOn 𝕜 n (Prod.map (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I' ∘ ↑e'.symm ∘ ↑I'.symm))
    ((fun p ↦ (↑I p.1, ↑I' p.2)) '' e.target ×ˢ e'.target)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (↑(I.prod I') ∘ ↑(e.prod e').symm ∘ ↑(I.prod I').symm)
    (↑(I.prod I').symm ⁻¹' (e.prod e'.toPartialEquiv).target ∩ range ↑(I.prod I'))

Tactic:
]

Goal state after:
case right
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
E' : Type u_5
H' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
e' : OpenPartialHomeomorph H' H'
he : (contDiffPregroupoid n I).property (↑e) e.source
he_symm : (contDiffPregroupoid n I).property (↑e.symm) e.target
he' : (contDiffPregroupoid n I').property (↑e') e'.source
he'_symm : (contDiffPregroupoid n I').property (↑e'.symm) e'.target
h3 :
  ContDiffOn 𝕜 n (Prod.map (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I' ∘ ↑e'.symm ∘ ↑I'.symm))
    ((fun p ↦ (↑I p.1, ↑I' p.2)) '' e.target ×ˢ e'.target)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (↑(I.prod I') ∘ ↑(e.prod e').symm ∘ ↑(I.prod I').symm)
    (↑(I.prod I').symm ⁻¹' (e.prod e'.toPartialEquiv).target ∩ range ↑(I.prod I'))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
z : E
hz : z ∈ (extChartAt I x).target
⊢ 𝓝[(extChartAt I x).target] ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm z) =
    𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm z)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
z : E
hz : z ∈ (extChartAt I x).target
⊢ 𝓝[(extChartAt I x).target] ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm z) =
    𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm z)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: case right
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
E' : Type u_5
H' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
e' : OpenPartialHomeomorph H' H'
he : (contDiffPregroupoid n I).property (↑e) e.source
he_symm : (contDiffPregroupoid n I).property (↑e.symm) e.target
he' : (contDiffPregroupoid n I').property (↑e') e'.source
he'_symm : (contDiffPregroupoid n I').property (↑e'.symm) e'.target
h3 :
  ContDiffOn 𝕜 n (Prod.map (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I' ∘ ↑e'.symm ∘ ↑I'.symm))
    ((fun p ↦ (↑I p.1, ↑I' p.2)) '' e.target ×ˢ e'.target)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (↑(I.prod I') ∘ ↑(e.prod e').symm ∘ ↑(I.prod I').symm)
    (↑(I.prod I') '' (e.prod e'.toPartialEquiv).target)

Tactic:
]

Goal state after:
case right
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
E' : Type u_5
H' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
e' : OpenPartialHomeomorph H' H'
he : (contDiffPregroupoid n I).property (↑e) e.source
he_symm : (contDiffPregroupoid n I).property (↑e.symm) e.target
he' : (contDiffPregroupoid n I').property (↑e') e'.source
he'_symm : (contDiffPregroupoid n I').property (↑e'.symm) e'.target
h3 :
  ContDiffOn 𝕜 n (Prod.map (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I' ∘ ↑e'.symm ∘ ↑I'.symm))
    ((fun p ↦ (↑I p.1, ↑I' p.2)) '' e.target ×ˢ e'.target)
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (↑(I.prod I') ∘ ↑(e.prod e').symm ∘ ↑(I.prod I').symm)
    (↑(I.prod I') '' (e.prod e'.toPartialEquiv).target)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: m n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
H' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : TopologicalSpace H'
⊢ ∀ e ∈ idRestrGroupoid, e ∈ contDiffGroupoid n I

Tactic:
]

Goal state after:
m n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
H' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : TopologicalSpace H'
⊢ ∀ e ∈ idRestrGroupoid, e ∈ contDiffGroupoid n I
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
y : E
hy : y ∈ (extChartAt I x).target
⊢ ∀ t ∈ 𝓝 y, (t ∩ interior (extChartAt I x).target).Nonempty

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
y : E
hy : y ∈ (extChartAt I x).target
⊢ ∀ t ∈ 𝓝 y, (t ∩ interior (extChartAt I x).target).Nonempty
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
he' : e' ∈ atlas H M
⊢ e.symm ≫ₕ e' ∈ continuousGroupoid H

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
he' : e' ∈ atlas H M
⊢ e.symm ≫ₕ e' ∈ continuousGroupoid H
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalInvariantProperties

Goal state before:
pp: case mp.refine_3
H : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : OpenPartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
hf : G.IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) s x
h2x : x ∈ s
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ G
hfe : EqOn (↑f) (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source)
hxe : x ∈ e.source
⊢ x ∈ f.source

Tactic:
]

Goal state after:
case mp.refine_3
H : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : OpenPartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
hf : G.IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) s x
h2x : x ∈ s
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ G
hfe : EqOn (↑f) (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source)
hxe : x ∈ e.source
⊢ x ∈ f.source
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsEmpty M
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
a✝¹ : e ∈ atlas H M
a✝ : e' ∈ atlas H M
x : E
t : Set E := ↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source ∩ range ↑I
hx : x ∈ t
⊢ (e.symm ≫ₕ e').source = (e.symm ≫ₕ e').source

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsEmpty M
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
a✝¹ : e ∈ atlas H M
a✝ : e' ∈ atlas H M
x : E
t : Set E := ↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source ∩ range ↑I
hx : x ∈ t
⊢ e.symm.source ∩ ↑e.symm ⁻¹' ∅ = e.symm.source ∩ ↑e.symm ⁻¹' ∅

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalInvariantProperties

Goal state before:
pp: case mpr
H : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : OpenPartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hx✝ : x ∈ f.source ∪ sᶜ
hf : x ∈ s → ∃ e ∈ G, e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source
hx : x ∈ s
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ G
left✝ : e.source ⊆ f.source
hfe : EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source)
hxe : x ∈ e.source
⊢ ∃ e ∈ G, EqOn (↑f) (↑e.toPartialEquiv) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source

Tactic:
exact ⟨e, he, hfe, hxe⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsEmpty M
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
a✝¹ : e ∈ atlas H M
a✝ : e' ∈ atlas H M
x : E
t : Set E := ↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source ∩ range ↑I
hx : x ∈ t
⊢ e.symm.source ∩ ∅ = e.symm.source ∩ ∅

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalInvariantProperties

Goal state before:
pp: H : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : OpenPartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
⊢ (x ∈ s → ∃ e ∈ G, e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source) ↔
    x ∈ s → ∃ e ∈ G, e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source

Tactic:
]

Goal state after:
H : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : OpenPartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
⊢ (x ∈ s → ∃ e ∈ G, e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source) ↔
    x ∈ s → ∃ e ∈ G, e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsEmpty M
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
a✝¹ : e ∈ atlas H M
a✝ : e' ∈ atlas H M
x : E
t : Set E := ↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source ∩ range ↑I
hx : x ∈ t
this : (e.symm ≫ₕ e').source = ∅
⊢ Subtype.val ⁻¹' range ↑I = Subtype.val ⁻¹' range ↑I

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalInvariantProperties

Goal state before:
pp: H : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : OpenPartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
x✝¹ : x ∈ s
e : OpenPartialHomeomorph H H
x✝ : e ∈ G
h2e : e.source ⊆ f.source
⊢ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source ↔ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsEmpty M
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
a✝¹ : e ∈ atlas H M
a✝ : e' ∈ atlas H M
x : E
t : Set E := ↑I.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source ∩ range ↑I
hx : x ∈ t
this : (e.symm ≫ₕ e').source = ∅
⊢ ∅ ∩ range ↑I = ∅ ∩ range ↑I

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜✝ : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
H✝ : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H✝
I✝ : ModelWithCorners 𝕜✝ E✝ H✝
n : ℕ∞ω
M✝ : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝¹³ : ChartedSpace H✝ M✝
𝕜 : Type u_5
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : IsManifold I n M
M' : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : IsManifold I' n M'
f1 : OpenPartialHomeomorph M H
hf1 : f1 ∈ atlas H M
f2 : OpenPartialHomeomorph M' H'
hf2 : f2 ∈ atlas H' M'
g1 : OpenPartialHomeomorph M H
hg1 : g1 ∈ atlas H M
g2 : OpenPartialHomeomorph M' H'
hg2 : g2 ∈ atlas H' M'
⊢ (f1.symm ≫ₕ g1).prod (f2.symm ≫ₕ g2) ∈ contDiffGroupoid n (I.prod I')

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜✝ : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
H✝ : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H✝
I✝ : ModelWithCorners 𝕜✝ E✝ H✝
n : ℕ∞ω
M✝ : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝¹³ : ChartedSpace H✝ M✝
𝕜 : Type u_5
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : IsManifold I n M
M' : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : IsManifold I' n M'
f1 : OpenPartialHomeomorph M H
hf1 : f1 ∈ atlas H M
f2 : OpenPartialHomeomorph M' H'
hf2 : f2 ∈ atlas H' M'
g1 : OpenPartialHomeomorph M H
hg1 : g1 ∈ atlas H M
g2 : OpenPartialHomeomorph M' H'
hg2 : g2 ∈ atlas H' M'
⊢ (f1.symm ≫ₕ g1).prod (f2.symm ≫ₕ g2) ∈ contDiffGroupoid n (I.prod I')
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
s : Set E
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
⊢ IsOpen[inst✝¹] ((extChartAt I x).source ∩ ↑(extChartAt I x) ⁻¹' s)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
s : Set E
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
⊢ IsOpen[inst✝¹] ((extChartAt I x).source ∩ ↑(extChartAt I x) ⁻¹' s)