mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Icc

Goal state before:
pp: case refine_1
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hf : MDiffAt[Icc x y] (f ∘ projIcc x y ⋯) ↑w
A : (MDiffAt[univ] fun z ↦ ↑z) w
⊢ MDiffAt[univ] f w

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hf : MDiffAt[Icc x y] (f ∘ projIcc x y ⋯) ↑w
A : (MDiffAt[univ] fun z ↦ ↑z) w
⊢ MDiffAt[univ] f w
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_15
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I n M'
x : M'
y : E
hy : y ∈ ((chartAt H x).extend I).target
⊢ y = y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Icc

Goal state before:
pp: case neg
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : ¬MDiffAt f w
⊢ 0 1 = 0 1

pp: case neg
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : ¬MDiffAt f w
⊢ ¬MDiffAt[Icc x y] (f ∘ projIcc x y ⋯) ↑w

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : ¬MDiffAt f w
⊢ 0 1 = 0 1

case neg
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : ¬MDiffAt f w
⊢ ¬MDiffAt[Icc x y] (f ∘ projIcc x y ⋯) ↑w
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E''' : Type u_4
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
J' : ModelWithCorners 𝕜 E''' G'
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
f : M → N
φ : N → N'
hφ : IsImmersionOfComplement F J J' n φ
x✝ : Continuous[inst✝⁵, inst✝³] f ∧ ContMDiff I J' n (φ ∘ f)
x : M
h : Continuous[inst✝⁵, inst✝³] f
h' : ContMDiff I J' n (φ ∘ f)
⊢ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I J' n (φ ∘ f) x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E''' : Type u_4
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
J' : ModelWithCorners 𝕜 E''' G'
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
f : M → N
φ : N → N'
hφ : IsImmersionOfComplement F J J' n φ
x✝ : Continuous[inst✝⁵, inst✝³] f ∧ ContMDiff I J' n (φ ∘ f)
x : M
h : Continuous[inst✝⁵, inst✝³] f
h' : ContMDiff I J' n (φ ∘ f)
⊢ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I J' n (φ ∘ f) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Icc

Goal state before:
pp: case neg
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : ¬MDiffAt f w
⊢ ¬MDiffAt f w

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : ¬MDiffAt f w
⊢ ¬MDiffAt f w
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Icc

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : MDiffAt f w
⊢ (mfderiv% f (projIcc x y ⋯ ↑w) ∘SL mfderiv[Icc x y] (projIcc x y ⋯) ↑w) 1 = (mfderiv% f w) 1

pp: case pos.hg
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : MDiffAt f w
⊢ MDiffAt f (projIcc x y ⋯ ↑w)

pp: case pos.hf
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : MDiffAt f w
⊢ MDiffAt[Icc x y] (projIcc x y ⋯) ↑w

pp: case pos.hxs
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : MDiffAt f w
⊢ UniqueMDiffAt[Icc x y] ↑w

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : MDiffAt f w
⊢ (mfderiv% f (projIcc x y ⋯ ↑w) ∘SL mfderiv[Icc x y] (projIcc x y ⋯) ↑w) 1 = (mfderiv% f w) 1

case pos.hg
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : MDiffAt f w
⊢ MDiffAt f (projIcc x y ⋯ ↑w)

case pos.hf
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : MDiffAt f w
⊢ MDiffAt[Icc x y] (projIcc x y ⋯) ↑w

case pos.hxs
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : MDiffAt f w
⊢ UniqueMDiffAt[Icc x y] ↑w
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E'' : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
h : IsImmersion I J n f
x : M
⊢ ∃ F x_1 x_2, IsImmersionAtOfComplement F I J n f x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E'' : Type u
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
h : IsImmersion I J n f
x : M
⊢ ∃ F x_1 x_2, IsImmersionAtOfComplement F I J n f x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E''' : Type u_4
E'' : Type u
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'''
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'''
H : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
J' : ModelWithCorners 𝕜 E''' G'
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
f : M → N
φ : N → N'
hφ : IsImmersion J J' n φ
⊢ Continuous[inst✝⁵, inst✝³] f ∧ ContMDiff I J' n (φ ∘ f) ↔ Continuous[inst✝⁵, inst✝³] f ∧ ContMDiff I J' n (φ ∘ f)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Icc

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : MDiffAt f w
⊢ w = ⟨↑w, ?hx⟩

pp: case hx
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : MDiffAt f w
⊢ ↑w ∈ Icc x y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Icc

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : MDiffAt f w
this : w = projIcc x y ⋯ ↑w
⊢ (mfderiv% f ⟨↑w, ⋯⟩) ((mfderiv[Icc x y] (projIcc x y ⋯) ↑w) 1) = (mfderiv% f w) 1

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : MDiffAt f w
this : w = projIcc x y ⋯ ↑w
⊢ (mfderiv% f ⟨↑w, ⋯⟩) ((mfderiv[Icc x y] (projIcc x y ⋯) ↑w) 1) = (mfderiv% f w) 1
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Sphere

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : E
hw : ⟪w, v⟫ = 0
h₁ : 0 < ‖w‖ ^ 2 + 4
⊢ ‖4 • w + (‖w‖ ^ 2 - 4) • v‖ ^ 2 = (‖w‖ ^ 2 + 4) ^ 2

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : E
hw : ⟪w, v⟫ = 0
h₁ : 0 < ‖w‖ ^ 2 + 4
⊢ ‖4 • w + (‖w‖ ^ 2 - 4) • v‖ ^ 2 = (‖w‖ ^ 2 + 4) ^ 2
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Icc

Goal state before:
pp: x y : ℝ
h : Fact (x < y)
z : ↑(Icc x y)
A : (mfderiv[Icc x y] (Subtype.val ∘ projIcc x y ⋯) ↑z) 1 = (mfderiv[Icc x y] id ↑z) 1
⊢ (mfderiv[Icc x y] id ↑z) 1 = 1

Tactic:
]

Goal state after:
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
z : ↑(Icc x y)
A : (mfderiv[Icc x y] (Subtype.val ∘ projIcc x y ⋯) ↑z) 1 = (mfderiv[Icc x y] id ↑z) 1
⊢ (mfderiv[Icc x y] id ↑z) 1 = 1
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Sphere

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(ℝ ∙ v)ᗮ
⊢ ⟪↑(stereoInvFun hv w), v⟫_ℝ < 1

pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(ℝ ∙ v)ᗮ
⊢ ‖↑(stereoInvFun hv w)‖ = 1

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(ℝ ∙ v)ᗮ
⊢ ⟪↑(stereoInvFun hv w), v⟫_ℝ < 1

E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(ℝ ∙ v)ᗮ
⊢ ‖↑(stereoInvFun hv w)‖ = 1
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Icc

Goal state before:
pp: x y : ℝ
h : Fact (x < y)
z : ↑(Icc x y)
A : (mfderiv[Icc x y] (Subtype.val ∘ projIcc x y ⋯) ↑z) 1 = (mfderiv[Icc x y] id ↑z) 1
⊢ (ContinuousLinearMap.id ℝ ℝ) 1 = 1

Tactic:
]

Goal state after:
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
z : ↑(Icc x y)
A : (mfderiv[Icc x y] (Subtype.val ∘ projIcc x y ⋯) ↑z) 1 = (mfderiv[Icc x y] id ↑z) 1
⊢ (ContinuousLinearMap.id ℝ ℝ) 1 = 1
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Sphere

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(ℝ ∙ v)ᗮ
hw : ⟪v, ↑w⟫_ℝ = 0
⊢ ‖↑w‖ ^ 2 - 4 < 1 * (‖↑w‖ ^ 2 + 4)

pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(ℝ ∙ v)ᗮ
hw : ⟪v, ↑w⟫_ℝ = 0
⊢ 0 < ‖↑w‖ ^ 2 + 4

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(ℝ ∙ v)ᗮ
hw : ⟪v, ↑w⟫_ℝ = 0
⊢ ‖↑w‖ ^ 2 - 4 < 1 * (‖↑w‖ ^ 2 + 4)

E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(ℝ ∙ v)ᗮ
hw : ⟪v, ↑w⟫_ℝ = 0
⊢ 0 < ‖↑w‖ ^ 2 + 4
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Sphere

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(ℝ ∙ v)ᗮ := (ℝ ∙ v)ᗮ.orthogonalProjectionOnto ↑x
⊢ ⟪v, ↑x⟫_ℝ • v + (ℝ ∙ v)ᗮ.starProjection ↑x = a • v + ↑y

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(ℝ ∙ v)ᗮ := (ℝ ∙ v)ᗮ.orthogonalProjectionOnto ↑x
⊢ ⟪v, ↑x⟫_ℝ • v + (ℝ ∙ v)ᗮ.starProjection ↑x = a • v + ↑y
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Sphere

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(ℝ ∙ v)ᗮ := (ℝ ∙ v)ᗮ.orthogonalProjectionOnto ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0
pythag : 1 = a ^ 2 + ‖y‖ ^ 2
ha : 0 < 1 - a
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • (2 / (1 - a)) • ↑y +
      (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v =
    a • v + ↑y

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(ℝ ∙ v)ᗮ := (ℝ ∙ v)ᗮ.orthogonalProjectionOnto ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0
pythag : 1 = a ^ 2 + ‖y‖ ^ 2
ha : 0 < 1 - a
⊢ (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • (2 / (1 - a)) • ↑y +
      (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v =
    a • v + ↑y
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.UnitsOfNormedAlgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜 R
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
this : (val ∘ fun x ↦ x.1 * x.2) = (fun x ↦ x.1 * x.2) ∘ fun x ↦ (↑x.1, ↑x.2)
⊢ ContMDiff (𝓘(𝕜, R).prod 𝓘(𝕜, R)) 𝓘(𝕜, R) n ((fun x ↦ x.1 * x.2) ∘ fun x ↦ (↑x.1, ↑x.2))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜 R
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
this : (val ∘ fun x ↦ x.1 * x.2) = (fun x ↦ x.1 * x.2) ∘ fun x ↦ (↑x.1, ↑x.2)
⊢ ContMDiff (𝓘(𝕜, R).prod 𝓘(𝕜, R)) 𝓘(𝕜, R) n ((fun x ↦ x.1 * x.2) ∘ fun x ↦ (↑x.1, ↑x.2))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.UnitsOfNormedAlgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜 R
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
this✝ : (val ∘ fun x ↦ x.1 * x.2) = (fun x ↦ x.1 * x.2) ∘ fun x ↦ (↑x.1, ↑x.2)
this : ContMDiff (𝓘(𝕜, R).prod 𝓘(𝕜, R)) 𝓘(𝕜, R × R) n fun x ↦ (↑x.1, ↑x.2)
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x ↦ x.1 * x.2

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜 R
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
this✝ : (val ∘ fun x ↦ x.1 * x.2) = (fun x ↦ x.1 * x.2) ∘ fun x ↦ (↑x.1, ↑x.2)
this : ContMDiff (𝓘(𝕜, R).prod 𝓘(𝕜, R)) 𝓘(𝕜, R × R) n fun x ↦ (↑x.1, ↑x.2)
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x ↦ x.1 * x.2
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.UnitsOfNormedAlgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜 R
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
this : (val ∘ fun x ↦ x⁻¹) = Ring.inverse ∘ val
⊢ ∀ (x : Rˣ), ContMDiffAt 𝓘(𝕜, R) 𝓘(𝕜, R) n (Ring.inverse ∘ val) x

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜 R
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
this : (val ∘ fun x ↦ x⁻¹) = Ring.inverse ∘ val
⊢ ∀ (x : Rˣ), ContMDiffAt 𝓘(𝕜, R) 𝓘(𝕜, R) n (Ring.inverse ∘ val) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.UnitsOfNormedAlgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜 R
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
this : (val ∘ fun x ↦ x⁻¹) = Ring.inverse ∘ val
x : Rˣ
⊢ ContDiffAt 𝕜 n Ring.inverse ↑x

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜 R
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
this : (val ∘ fun x ↦ x⁻¹) = Ring.inverse ∘ val
x : Rˣ
⊢ ContDiffAt 𝕜 n Ring.inverse ↑x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.Basic

Goal state before:
pp: case mp
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
h : ∃ v_1 ∈ 𝓝 t₀, ∀ y ∈ v_1, HasMFDerivAt% γ y (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ y)))
⊢ ∃ s ∈ 𝓝 t₀, IsMIntegralCurveOn γ v s

Tactic:
]

Goal state after:
case mp
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
h : ∃ v_1 ∈ 𝓝 t₀, ∀ y ∈ v_1, HasMFDerivAt% γ y (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ y)))
⊢ ∃ s ∈ 𝓝 t₀, IsMIntegralCurveOn γ v s
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t₀
h : IsMIntegralCurveOn γ v s
⊢ ∃ v_1 ∈ 𝓝 t₀, ∀ y ∈ v_1, HasMFDerivAt% γ y (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ y)))

Tactic:
]

Goal state after:
case mpr
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t₀
h : IsMIntegralCurveOn γ v s
⊢ ∃ v_1 ∈ 𝓝 t₀, ∀ y ∈ v_1, HasMFDerivAt% γ y (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ y)))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t₀
h : IsMIntegralCurveOn γ v s
s' : Set ℝ
h1 : s' ⊆ s
h2 : IsOpen s'
h3 : t₀ ∈ s'
t : ℝ
ht : t ∈ s'
⊢ ∃ t_1 ⊆ s, IsOpen t_1 ∧ t ∈ t_1

Tactic:
]

Goal state after:
case mpr
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t₀
h : IsMIntegralCurveOn γ v s
s' : Set ℝ
h1 : s' ⊆ s
h2 : IsOpen s'
h3 : t₀ ∈ s'
t : ℝ
ht : t ∈ s'
⊢ ∃ t_1 ⊆ s, IsOpen t_1 ∧ t ∈ t_1
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
⊢ (∃ s ∈ 𝓝 t₀, IsMIntegralCurveOn γ v s) ↔ ∃ ε > 0, IsMIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
⊢ (∃ s ∈ 𝓝 t₀, IsMIntegralCurveOn γ v s) ↔ ∃ ε > 0, IsMIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)