mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A✝
inst✝¹⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B✝
inst✝¹⁴ : Module R✝ A✝
inst✝¹³ : Module R✝ B✝
inst✝¹² : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
inst✝¹¹ : SMulCommClass R✝ B✝ B✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : IsScalarTower R✝ B✝ B✝
R : Type u_4
S : Type u_5
A : Type u_6
B : Type u_7
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[R] B
x y : S ⊗[R] A
⊢ (((LinearMap.mul S (S ⊗[R] A)).compr₂ (LinearMap.liftBaseChange S ↑f)) x) y =
    (((LinearMap.mul S B).compl₁₂ (LinearMap.liftBaseChange S ↑f) (LinearMap.liftBaseChange S ↑f)) x) y

Tactic:
]

Goal state after:
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A✝
inst✝¹⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B✝
inst✝¹⁴ : Module R✝ A✝
inst✝¹³ : Module R✝ B✝
inst✝¹² : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
inst✝¹¹ : SMulCommClass R✝ B✝ B✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : IsScalarTower R✝ B✝ B✝
R : Type u_4
S : Type u_5
A : Type u_6
B : Type u_7
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[R] B
x y : S ⊗[R] A
⊢ (((LinearMap.mul S (S ⊗[R] A)).compr₂ (LinearMap.liftBaseChange S ↑f)) x) y =
    (((LinearMap.mul S B).compl₁₂ (LinearMap.liftBaseChange S ↑f) (LinearMap.liftBaseChange S ↑f)) x) y
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Maps

Goal state before:
pp: R : Type uR
R' : Type u_1
S : Type uS
T : Type u_2
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : CommSemiring S
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Semiring A
inst✝¹⁰ : Algebra R A
inst✝⁹ : Algebra S A
inst✝⁸ : IsScalarTower R S A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : Semiring C
inst✝⁴ : Algebra S C
inst✝³ : Semiring D
inst✝² : Algebra R D
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : IsScalarTower R S C
f : A →ₐ[S] C
g : B →ₐ[R] C
hfg : ∀ (x : A) (y : B), Commute (f x) (g y)
a₁ a₂ : A
b₁ b₂ : B
⊢ f a₁ * g b₁ * (f a₂ * g b₂) = f a₁ * g b₁ * (f a₂ * g b₂)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Maps

Goal state before:
pp: R : Type uR
R' : Type u_1
S : Type uS
T : Type u_2
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : CommSemiring S
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Semiring A
inst✝¹⁰ : Algebra R A
inst✝⁹ : Algebra S A
inst✝⁸ : IsScalarTower R S A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : Semiring C
inst✝⁴ : Algebra S C
inst✝³ : Semiring D
inst✝² : Algebra R D
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : IsScalarTower R S C
f : A →ₐ[S] C
g : B →ₐ[R] C
hfg : ∀ (x : A) (y : B), Commute (f x) (g y)
⊢ 1 = 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : NonUnitalSemiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
x : R
hx : ∃ y, y + x + x * y = 0 ∧ x + y + y * x = 0
⊢ ∃ y, y + f x + f x * y = 0 ∧ f x + y + y * f x = 0

Tactic:
]

Goal state after:
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : NonUnitalSemiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
x : R
hx : ∃ y, y + x + x * y = 0 ∧ x + y + y * x = 0
⊢ ∃ y, y + f x + f x * y = 0 ∧ f x + y + y * f x = 0
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
⊢ ∃ y, y + x + x * y = 0 ∧ x + y + y * x = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
⊢ ∃ y, y + x + x * y = 0 ∧ x + y + y * x = 0
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: case h.right
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
this : (↑hx.unit⁻¹ - 1 + 1) * (1 + x) - 1 = 0
⊢ x + (↑hx.unit⁻¹ - 1) + (↑hx.unit⁻¹ - 1) * x = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case h.right
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
this : (↑hx.unit⁻¹ - 1 + 1) * (1 + x) - 1 = 0
⊢ x + (↑hx.unit⁻¹ - 1) + (↑hx.unit⁻¹ - 1) * x = 0
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: case h.left
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
this : (1 + x) * (↑hx.unit⁻¹ - 1 + 1) - 1 = 0
⊢ ↑hx.unit⁻¹ - 1 + x + x * (↑hx.unit⁻¹ - 1) = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case h.left
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
this : (1 + x) * (↑hx.unit⁻¹ - 1 + 1) - 1 = 0
⊢ ↑hx.unit⁻¹ - 1 + x + x * (↑hx.unit⁻¹ - 1) = 0
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: F : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
A : Type u_6
B : Type u_7
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring S
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A
inst✝⁹ : NonUnitalRing B
inst✝⁸ : Module R S
inst✝⁷ : Module S A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : Module S B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : IsScalarTower R S B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F S A B
φ : F
a : A
x : R
hx : IsUnit x
this : IsQuasiregular (-((↑⋯.unit⁻¹ • 1) • a))
⊢ IsQuasiregular (-((↑⋯.unit⁻¹ • 1) • φ a))

Tactic:
]

Goal state after:
F : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
A : Type u_6
B : Type u_7
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring S
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A
inst✝⁹ : NonUnitalRing B
inst✝⁸ : Module R S
inst✝⁷ : Module S A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : Module S B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : IsScalarTower R S B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F S A B
φ : F
a : A
x : R
hx : IsUnit x
this : IsQuasiregular (-((↑⋯.unit⁻¹ • 1) • a))
⊢ IsQuasiregular (-((↑⋯.unit⁻¹ • 1) • φ a))
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
⊢ r ∈ {r | ∀ (hr : IsUnit r), ¬IsQuasiregular (-(hr.unit⁻¹ • a))} ↔ r ∈ spectrum R a ∪ {r | ¬IsUnit r}

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
⊢ r ∈ {r | ∀ (hr : IsUnit r), ¬IsQuasiregular (-(hr.unit⁻¹ • a))} ↔ r ∈ spectrum R a ∪ {r | ¬IsUnit r}
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
hr : IsUnit r
⊢ IsUnit (1 - hr.unit⁻¹ • a) ↔ IsUnit (r • 1 - a)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
hr : IsUnit r
⊢ IsUnit (1 - hr.unit⁻¹ • a) ↔ IsUnit (r • 1 - a)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a : A
ha : ∃ y, y + ↑a + ↑a * y = 0 ∧ ↑a + y + y * ↑a = 0
⊢ ∃ y, y + a + a * y = 0 ∧ a + y + y * a = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a : A
ha : ∃ y, y + ↑a + ↑a * y = 0 ∧ ↑a + y + y * ↑a = 0
⊢ ∃ y, y + a + a * y = 0 ∧ a + y + y * a = 0
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Nontrivial S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
⊢ ¬IsUnit ↑a

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Nontrivial S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
⊢ ¬IsUnit ↑a
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a : A
r : R
this : {r | ¬IsUnit r} ⊆ spectrum R ↑a
⊢ r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ quasispectrum R ↑a

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a : A
r : R
this : {r | ¬IsUnit r} ⊆ spectrum R ↑a
⊢ r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ quasispectrum R ↑a
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a : A
r : R
this : {r | ¬IsUnit r} ⊆ spectrum R ↑a
hr : IsUnit r
⊢ IsQuasiregular (-(↑hr.unit⁻¹ • a)) ↔ IsQuasiregular (-(↑hr.unit⁻¹ • a))

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R
this : {0} ⊆ spectrum R ↑a
⊢ r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ quasispectrum R ↑a

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R
this : {0} ⊆ spectrum R ↑a
⊢ r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ quasispectrum R ↑a
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R
this : {0} ⊆ spectrum R ↑a
x : IsUnit r
⊢ IsQuasiregular (-(↑x.unit⁻¹ • a)) ↔ IsQuasiregular (-(↑x.unit⁻¹ • a))

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
⊢ spectrum R ↑a ∪ {0} = spectrum R ↑a

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
⊢ spectrum R ↑a ∪ {0} = spectrum R ↑a
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a b : A
⊢ quasispectrum R (a * b) ∩ {r | IsUnit r} ∪ quasispectrum R (a * b) ∩ {r | IsUnit r}ᶜ =
    quasispectrum R (b * a) ∩ {r | IsUnit r} ∪ quasispectrum R (b * a) ∩ {r | IsUnit r}ᶜ

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a b : A
⊢ quasispectrum R (a * b) ∩ {r | IsUnit r} ∪ quasispectrum R (a * b) ∩ {r | IsUnit r}ᶜ =
    quasispectrum R (b * a) ∩ {r | IsUnit r} ∪ quasispectrum R (b * a) ∩ {r | IsUnit r}ᶜ
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: case e'_4
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a b : A
⊢ {r | IsUnit r}ᶜ = {r | IsUnit r}ᶜ

pp: case e'_4
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a b : A
⊢ {r | IsUnit r}ᶜ ⊆ quasispectrum R (b * a)

pp: case e'_4
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a b : A
⊢ {r | IsUnit r}ᶜ ⊆ quasispectrum R (a * b)

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_4
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a b : A
⊢ {r | IsUnit r}ᶜ ⊆ quasispectrum R (b * a)

case e'_4
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a b : A
⊢ {r | IsUnit r}ᶜ ⊆ quasispectrum R (a * b)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Field S
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module S A
inst✝ : Algebra R S
a : A
f : S → R
h : QuasispectrumRestricts a f
⊢ f 0 = f 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Maps

Goal state before:
pp: R✝¹ : Type uR
R' : Type u_1
S✝ : Type uS
T✝ : Type u_2
A✝ : Type uA
B✝ : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁴⁴ : CommSemiring R✝¹
inst✝⁴³ : CommSemiring S✝
inst✝⁴² : Algebra R✝¹ S✝
inst✝⁴¹ : Semiring A✝
inst✝⁴⁰ : Algebra R✝¹ A✝
inst✝³⁹ : Algebra S✝ A✝
inst✝³⁸ : IsScalarTower R✝¹ S✝ A✝
inst✝³⁷ : Semiring B✝
inst✝³⁶ : Algebra R✝¹ B✝
inst✝³⁵ : Semiring C
inst✝³⁴ : Algebra R✝¹ C
inst✝³³ : Algebra S✝ C
inst✝³² : IsScalarTower R✝¹ S✝ C
inst✝³¹ : Semiring D
inst✝³⁰ : Algebra R✝¹ D
inst✝²⁹ : Semiring E
inst✝²⁸ : Algebra R✝¹ E
inst✝²⁷ : Algebra S✝ E
inst✝²⁶ : IsScalarTower R✝¹ S✝ E
inst✝²⁵ : Semiring F
inst✝²⁴ : Algebra R✝¹ F
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
A : Type u_6
B : Type u_7
inst✝²³ : CommSemiring R✝
inst✝²² : CommSemiring S
inst✝²¹ : CommSemiring T
inst✝²⁰ : Semiring A
inst✝¹⁹ : Semiring B
inst✝¹⁸ : Algebra R✝ A
inst✝¹⁷ : Algebra R✝ B
inst✝¹⁶ : Algebra S A
inst✝¹⁵ : Algebra S B
inst✝¹⁴ : Algebra T A
inst✝¹³ : SMulCommClass R✝ T A
inst✝¹² : SMulCommClass S T A
inst✝¹¹ : SMulCommClass R✝ S A
inst✝¹⁰ : CompatibleSMul R✝ S A B
inst✝⁹ : Algebra R✝ S
inst✝⁸ : CompatibleSMul R✝ S S A
inst✝⁷ : CompatibleSMul S R✝ S A
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module ℚ M
inst✝ : Module ℚ N
q : ℚ
m : M
n : N
this : IsAddTorsionFree (M ⊗[R] N)
⊢ (↑q.num • m) ⊗ₜ[R] n = m ⊗ₜ[R] (↑q.num • n)

Tactic:
]

Goal state after:
R✝¹ : Type uR
R' : Type u_1
S✝ : Type uS
T✝ : Type u_2
A✝ : Type uA
B✝ : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁴⁴ : CommSemiring R✝¹
inst✝⁴³ : CommSemiring S✝
inst✝⁴² : Algebra R✝¹ S✝
inst✝⁴¹ : Semiring A✝
inst✝⁴⁰ : Algebra R✝¹ A✝
inst✝³⁹ : Algebra S✝ A✝
inst✝³⁸ : IsScalarTower R✝¹ S✝ A✝
inst✝³⁷ : Semiring B✝
inst✝³⁶ : Algebra R✝¹ B✝
inst✝³⁵ : Semiring C
inst✝³⁴ : Algebra R✝¹ C
inst✝³³ : Algebra S✝ C
inst✝³² : IsScalarTower R✝¹ S✝ C
inst✝³¹ : Semiring D
inst✝³⁰ : Algebra R✝¹ D
inst✝²⁹ : Semiring E
inst✝²⁸ : Algebra R✝¹ E
inst✝²⁷ : Algebra S✝ E
inst✝²⁶ : IsScalarTower R✝¹ S✝ E
inst✝²⁵ : Semiring F
inst✝²⁴ : Algebra R✝¹ F
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
A : Type u_6
B : Type u_7
inst✝²³ : CommSemiring R✝
inst✝²² : CommSemiring S
inst✝²¹ : CommSemiring T
inst✝²⁰ : Semiring A
inst✝¹⁹ : Semiring B
inst✝¹⁸ : Algebra R✝ A
inst✝¹⁷ : Algebra R✝ B
inst✝¹⁶ : Algebra S A
inst✝¹⁵ : Algebra S B
inst✝¹⁴ : Algebra T A
inst✝¹³ : SMulCommClass R✝ T A
inst✝¹² : SMulCommClass S T A
inst✝¹¹ : SMulCommClass R✝ S A
inst✝¹⁰ : CompatibleSMul R✝ S A B
inst✝⁹ : Algebra R✝ S
inst✝⁸ : CompatibleSMul R✝ S S A
inst✝⁷ : CompatibleSMul S R✝ S A
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module ℚ M
inst✝ : Module ℚ N
q : ℚ
m : M
n : N
this : IsAddTorsionFree (M ⊗[R] N)
⊢ (↑q.num • m) ⊗ₜ[R] n = m ⊗ₜ[R] (↑q.num • n)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Field S
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module S A
inst✝ : Algebra R S
a : A
f : S → R
hf : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
h : quasispectrum S a ⊆ Set.range ⇑(algebraMap R S)
r : R
hs : (algebraMap R S) r ∈ quasispectrum S a
⊢ (algebraMap R S) r = (algebraMap R S) r

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Maps

Goal state before:
pp: R✝¹ : Type uR
R' : Type u_1
S✝ : Type uS
T✝ : Type u_2
A✝ : Type uA
B✝ : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁴⁴ : CommSemiring R✝¹
inst✝⁴³ : CommSemiring S✝
inst✝⁴² : Algebra R✝¹ S✝
inst✝⁴¹ : Semiring A✝
inst✝⁴⁰ : Algebra R✝¹ A✝
inst✝³⁹ : Algebra S✝ A✝
inst✝³⁸ : IsScalarTower R✝¹ S✝ A✝
inst✝³⁷ : Semiring B✝
inst✝³⁶ : Algebra R✝¹ B✝
inst✝³⁵ : Semiring C
inst✝³⁴ : Algebra R✝¹ C
inst✝³³ : Algebra S✝ C
inst✝³² : IsScalarTower R✝¹ S✝ C
inst✝³¹ : Semiring D
inst✝³⁰ : Algebra R✝¹ D
inst✝²⁹ : Semiring E
inst✝²⁸ : Algebra R✝¹ E
inst✝²⁷ : Algebra S✝ E
inst✝²⁶ : IsScalarTower R✝¹ S✝ E
inst✝²⁵ : Semiring F
inst✝²⁴ : Algebra R✝¹ F
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
A : Type u_6
B : Type u_7
inst✝²³ : CommSemiring R✝
inst✝²² : CommSemiring S
inst✝²¹ : CommSemiring T
inst✝²⁰ : Semiring A
inst✝¹⁹ : Semiring B
inst✝¹⁸ : Algebra R✝ A
inst✝¹⁷ : Algebra R✝ B
inst✝¹⁶ : Algebra S A
inst✝¹⁵ : Algebra S B
inst✝¹⁴ : Algebra T A
inst✝¹³ : SMulCommClass R✝ T A
inst✝¹² : SMulCommClass S T A
inst✝¹¹ : SMulCommClass R✝ S A
inst✝¹⁰ : CompatibleSMul R✝ S A B
inst✝⁹ : Algebra R✝ S
inst✝⁸ : CompatibleSMul R✝ S S A
inst✝⁷ : CompatibleSMul S R✝ S A
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module ℚ M
inst✝ : Module ℚ N
q : ℚ
m : M
n : N
this : IsAddTorsionFree (M ⊗[R] N)
⊢ m ⊗ₜ[R] (q.num • n) = m ⊗ₜ[R] (q.num • n)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R
hf : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
h : spectrum S a ⊆ Set.range ⇑(algebraMap R S)
s : S
hs : s = 0 ∨ s ∈ spectrum S a
⊢ (algebraMap R S) (f s) = s

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R
hf : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
h : spectrum S a ⊆ Set.range ⇑(algebraMap R S)
s : S
hs : s = 0 ∨ s ∈ spectrum S a
⊢ (algebraMap R S) (f s) = s
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R
hf : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
h : spectrum S a ⊆ Set.range ⇑(algebraMap R S)
r : R
hs : (algebraMap R S) r ∈ spectrum S a
⊢ (algebraMap R S) r = (algebraMap R S) r

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a b : A
f : S → R
ha : SpectrumRestricts a f
h : spectrum S a = spectrum S b
⊢ Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (quasispectrum S a)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a b : A
f : S → R
ha : SpectrumRestricts a f
h : spectrum S a = spectrum S b
⊢ Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (quasispectrum S a)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Spectrum.Quasispectrum

Goal state before:
pp: S : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : Module S A
inst✝² : IsScalarTower S A A
inst✝¹ : SMulCommClass S A A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
f : S → R
⊢ Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (quasispectrum S a) ∧ Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S) ↔
    Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (quasispectrum S a) ∧ Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Group.Pi.Units

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Monoid (M i)
x : (i : ι) → M i
hx : IsUnit x
i : ι
⊢ ↑(MulEquiv.piUnits hx.unit i)⁻¹ = ↑⋯.unit⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Monoid (M i)
x : (i : ι) → M i
hx : IsUnit x
i : ι
⊢ ↑(MulEquiv.piUnits hx.unit i)⁻¹ = ↑⋯.unit⁻¹
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Maps

Goal state before:
pp: case a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : Algebra R C
inst✝¹ : Semiring D
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] C
g : B →ₐ[R] D
⊢ ⇑(map f g) '' {t | ∃ a b, a ⊗ₜ[R] b = t} ⊆ ↑((includeLeft.comp f).range ⊔ (includeRight.comp g).range)

Tactic:
]

Goal state after:
case a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : Algebra R C
inst✝¹ : Semiring D
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] C
g : B →ₐ[R] D
⊢ ⇑(map f g) '' {t | ∃ a b, a ⊗ₜ[R] b = t} ⊆ ↑((includeLeft.comp f).range ⊔ (includeRight.comp g).range)
Module: Mathlib.RingTheory.TensorProduct.Maps

Goal state before:
pp: case a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : Algebra R C
inst✝¹ : Semiring D
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] C
g : B →ₐ[R] D
a : A
b : B
⊢ f a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] g b ∈ ↑((includeLeft.comp f).range ⊔ (includeRight.comp g).range)

Tactic:
]

Goal state after:
case a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : Algebra R C
inst✝¹ : Semiring D
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] C
g : B →ₐ[R] D
a : A
b : B
⊢ f a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] g b ∈ ↑((includeLeft.comp f).range ⊔ (includeRight.comp g).range)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Unitization

Goal state before:
pp: case inl_add_inr
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : DistribMulAction S A
inst✝ : IsScalarTower S R A
s : S
r✝ : R
a✝ : A
⊢ inl (r✝ * (algebraMap S R) s) + ↑((algebraMap S R) s • a✝) =
    inl (r✝ * (algebraMap S R) s) + ↑((algebraMap S R) s • a✝)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Unitization

Goal state before:
pp: case inl_add_inr
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : DistribMulAction S A
inst✝ : IsScalarTower S R A
s : S
r✝ : R
a✝ : A
⊢ s • inl r✝ + s • ↑a✝ = s • inl r✝ + s • ↑a✝

Tactic:
]

Goal state after: