mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n✝ : ℕ∞
s : Set E
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
h's : s.Nonempty
ι : Type (max 0 u_1) := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ∞ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n ↦ ↑(g0 n)
g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s
s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)
g_smooth : ∀ (n : ℕ), ContDiff ℝ ∞ (g n)
g_comp_supp : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport (g n)
g_nonneg : ∀ (n : ℕ) (x : E), 0 ≤ g n x
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
δc : HasSum δ c
c_lt : c < 1
r : ℕ → ℝ
rpos : ∀ (n : ℕ), 0 < r n
hr : ∀ (n i : ℕ), i ≤ n → ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i (r n • g n) x‖ ≤ ↑(δ n)
x : E
n : ℕ
⊢ ‖(r n • g n) x‖₊ ≤ δ n

Tactic:
rw [← NNReal.coe_le_coe, coe_nnnorm]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n✝ : ℕ∞
s : Set E
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
h's : s.Nonempty
ι : Type (max 0 u_1) := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ∞ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n ↦ ↑(g0 n)
g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s
s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)
g_smooth : ∀ (n : ℕ), ContDiff ℝ ∞ (g n)
g_comp_supp : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport (g n)
g_nonneg : ∀ (n : ℕ) (x : E), 0 ≤ g n x
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
δc : HasSum δ c
c_lt : c < 1
r : ℕ → ℝ
rpos : ∀ (n : ℕ), 0 < r n
hr : ∀ (n i : ℕ), i ≤ n → ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i (r n • g n) x‖ ≤ ↑(δ n)
x : E
n : ℕ
⊢ ‖(r n • g n) x‖ ≤ ↑(δ n)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
τ : ℝ
inst✝¹ : Inhabited α
inst✝ : MetricSpace α
i : Fin (0 + 1)
hi : last 0 < last 0
⊢ 1 ≤ dist (default i) (default (last 0)) ∧ 1 ≤ τ * 1

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
τ : ℝ
inst✝¹ : Inhabited α
inst✝ : MetricSpace α
i : Fin (0 + 1)
hi : last 0 < last 0
⊢ 1 ≤ dist (default i) (default (last 0)) ∧ 1 ≤ τ * 1
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
τ : ℝ
inst✝¹ : Inhabited α
inst✝ : MetricSpace α
i : Fin (0 + 1)
hi : last 0 < last 0
⊢ dist (default i) (default (last 0)) ≤ 1 + 1

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
τ : ℝ
inst✝¹ : Inhabited α
inst✝ : MetricSpace α
i : Fin (0 + 1)
hi : last 0 < last 0
⊢ dist (default i) (default (last 0)) ≤ 1 + 1
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
h : 1 ≤ τ
H : last N ≤ i
this : i = last N
⊢ a.r (last N) ≤ τ * a.r (last N)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
h : 1 ≤ τ
H : last N ≤ i
this : i = last N
⊢ a.r (last N) ≤ τ * a.r (last N)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x y : Ordinal.{u}
hxy : p.index x = p.index y
x_le_y : x ≤ y
H : x < y
h : ∃ x, p.c x ∉ p.iUnionUpTo y ∧ p.R y ≤ p.τ * p.r x
⊢ (Classical.epsilon fun b ↦ p.c b ∉ ⋃ j, ball (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∧ ⨆ b, p.r ↑b ≤ p.τ * p.r b) =
    Classical.epsilon fun b ↦ p.c b ∉ p.iUnionUpTo y ∧ p.R y ≤ p.τ * p.r b

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x y : Ordinal.{u}
hxy : p.index x = p.index y
x_le_y : x ≤ y
H : x < y
h : ∃ x, p.c x ∉ p.iUnionUpTo y ∧ p.R y ≤ p.τ * p.r x
⊢ (Classical.epsilon fun b ↦ p.c b ∉ ⋃ j, ball (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∧ ⨆ b, p.r ↑b ≤ p.τ * p.r b) =
    Classical.epsilon fun b ↦ p.c b ∉ p.iUnionUpTo y ∧ p.R y ≤ p.τ * p.r b
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x y : Ordinal.{u}
hxy : p.index x = p.index y
x_le_y : x ≤ y
H : x < y
h : ∃ x, p.c x ∉ p.iUnionUpTo y ∧ p.R y ≤ p.τ * p.r x
this : p.index y = Classical.epsilon fun b ↦ p.c b ∉ p.iUnionUpTo y ∧ p.R y ≤ p.τ * p.r b
⊢ p.c (Classical.epsilon fun b ↦ p.c b ∉ p.iUnionUpTo y ∧ p.R y ≤ p.τ * p.r b) ∉ p.iUnionUpTo y

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x y : Ordinal.{u}
hxy : p.index x = p.index y
x_le_y : x ≤ y
H : x < y
h : ∃ x, p.c x ∉ p.iUnionUpTo y ∧ p.R y ≤ p.τ * p.r x
this : p.index y = Classical.epsilon fun b ↦ p.c b ∉ p.iUnionUpTo y ∧ p.R y ≤ p.τ * p.r b
⊢ p.c (Classical.epsilon fun b ↦ p.c b ∉ p.iUnionUpTo y ∧ p.R y ≤ p.τ * p.r b) ∉ p.iUnionUpTo y
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
⊢ False

Tactic:
exact h H

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
⊢ ((fun b ↦ p.r ↑b) '' univ).Nonempty

Tactic:
image_nonempty

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
⊢ univ.Nonempty
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
⊢ univ.Nonempty

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
⊢ univ.Nonempty
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
y : β
hy1 : p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep
hy2 : p.R p.lastStep / p.τ < p.r y
Hy : p.τ * p.r y < p.R p.lastStep
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
y : β
hy1 : p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep
hy2 : p.R p.lastStep / p.τ < p.r y
Hy : p.τ * p.r y < p.R p.lastStep
⊢ False
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, y < p.lastStep → p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ j,
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color ↑j}
⊢ sInf
      (univ \
        ⋃ j,
          ⋃ (_ :
            (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩
                closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
            {p.color ↑j}) =
    sInf (univ \ A)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case ind
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, y < p.lastStep → p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ j,
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color ↑j}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
⊢ sInf (univ \ A) < N

Tactic:
]

Goal state after:
case ind
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, y < p.lastStep → p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ j,
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color ↑j}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
⊢ sInf (univ \ A) < N
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution

Goal state before:
pp: case zero
𝕜 : Type u𝕜
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
G P : Type uP
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : BorelSpace G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hf : LocallyIntegrable f μ
E' F : Type uP
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContinuousOn (fun q ↦ (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)

Tactic:
]

Goal state after:
case zero
𝕜 : Type u𝕜
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
G P : Type uP
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : BorelSpace G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hf : LocallyIntegrable f μ
E' F : Type uP
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContinuousOn (fun q ↦ (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: case pos
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous[inst✝⁷, _] g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ
c : ℝ := (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ'
c_nonneg : 0 ≤ c
f : G → ℝ
f_cont : Continuous[inst✝⁷, _] f
f_comp : HasCompactSupport f
ν : Measure G := μ.inv
A : (∫ (x : G), f x ∂μ) * (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ = ∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂NNReal.mk c c_nonneg • μ

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous[inst✝⁷, _] g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ
c : ℝ := (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ'
c_nonneg : 0 ≤ c
f : G → ℝ
f_cont : Continuous[inst✝⁷, _] f
f_comp : HasCompactSupport f
ν : Measure G := μ.inv
A : (∫ (x : G), f x ∂μ) * (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ = ∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂NNReal.mk c c_nonneg • μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: case pos
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous[inst✝⁷, _] g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ
c : ℝ := (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ'
c_nonneg : 0 ≤ c
f : G → ℝ
f_cont : Continuous[inst✝⁷, _] f
f_comp : HasCompactSupport f
ν : Measure G := μ.inv
A : (∫ (x : G), f x ∂μ) * (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ = ∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν
B : ∫ (x : G), f x ∂μ' = ((∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ') * ∫ (x : G), f x ∂μ
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂NNReal.mk c c_nonneg • μ

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous[inst✝⁷, _] g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ
c : ℝ := (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ'
c_nonneg : 0 ≤ c
f : G → ℝ
f_cont : Continuous[inst✝⁷, _] f
f_comp : HasCompactSupport f
ν : Measure G := μ.inv
A : (∫ (x : G), f x ∂μ) * (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ = ∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν
B : ∫ (x : G), f x ∂μ' = ((∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ') * ∫ (x : G), f x ∂μ
⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂NNReal.mk c c_nonneg • μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous[inst✝⁷, _] f
h'f : HasCompactSupport f
int_nonzero : ∫ (x : G), f x ∂μ ≠ 0
this : ∫ (x : G), f x ∂μ' = μ'.haarScalarFactor μ • ∫ (x : G), f x ∂μ
⊢ ↑(μ'.haarScalarFactor μ) = (∫ (x : G), f x ∂μ') / ∫ (x : G), f x ∂μ

Tactic:
]

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous[inst✝⁷, _] f
h'f : HasCompactSupport f
int_nonzero : ∫ (x : G), f x ∂μ ≠ 0
this : ∫ (x : G), f x ∂μ' = μ'.haarScalarFactor μ • ∫ (x : G), f x ∂μ
⊢ ↑(μ'.haarScalarFactor μ) = (∫ (x : G), f x ∂μ') / ∫ (x : G), f x ∂μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, y < p.lastStep → p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ j,
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color ↑j}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
k : ℕ
hk : k < sInf (univ \ A)
⊢ ∃ j < i,
    (closedBall (p.c (p.index j)) (p.r (p.index j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
      k = p.color j

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, y < p.lastStep → p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ j,
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color ↑j}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
k : ℕ
hk : k < sInf (univ \ A)
⊢ ∃ j < i,
    (closedBall (p.c (p.index j)) (p.r (p.index j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
      k = p.color j
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
c : ℝ≥0
g : C(G, ℝ)
hg : HasCompactSupport ⇑g ∧ 0 ≤ ⇑g ∧ g 1 ≠ 0
⊢ c • ↑(μ'.haarScalarFactor μ) = c • ↑(μ'.haarScalarFactor μ)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : (c • μ).IsHaarMeasure
g : C(G, ℝ)
hg : HasCompactSupport ⇑g ∧ 0 ≤ ⇑g ∧ g 1 ≠ 0
⊢ ↑c * ((∫ (x : G), g x ∂μ') / ∫ (x : G), g x ∂c • μ) = ↑c * ((∫ (x : G), g x ∂μ') / ∫ (x : G), g x ∂c • μ)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : (c • μ).IsHaarMeasure
g : C(G, ℝ)
hg : HasCompactSupport ⇑g ∧ 0 ≤ ⇑g ∧ g 1 ≠ 0
⊢ (↑c * ∫ (x : G), g x ∂μ') / (↑c * ∫ (x : G), g x ∂μ) = (∫ (x : G), g x ∂μ') / ∫ (x : G), g x ∂μ

Tactic:
]

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : (c • μ).IsHaarMeasure
g : C(G, ℝ)
hg : HasCompactSupport ⇑g ∧ 0 ≤ ⇑g ∧ g 1 ≠ 0
⊢ (↑c * ∫ (x : G), g x ∂μ') / (↑c * ∫ (x : G), g x ∂μ) = (∫ (x : G), g x ∂μ') / ∫ (x : G), g x ∂μ
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
A : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (ball 0 1)
f : E → ℝ
f_support : support f = ball 0 1
f_smooth : ContDiff ℝ ∞ f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
B : ∀ (x : E), f x ∈ Icc 0 1
x : E
hx : x ∈ support f
⊢ f x ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
A : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (ball 0 1)
f : E → ℝ
f_support : support f = ball 0 1
f_smooth : ContDiff ℝ ∞ f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
B : ∀ (x : E), f x ∈ Icc 0 1
x : E
hx : x ∈ support f
⊢ f x ≠ 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
⊢ μ'.haarScalarFactor μ = μ'.haarScalarFactor μ

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
A : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (ball 0 1)
f : E → ℝ
f_support : support f = ball 0 1
f_smooth : ContDiff ℝ ∞ f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
B : ∀ (x : E), f x ∈ Icc 0 1
x : E
hx : x ∉ ball 0 1
⊢ x ∉ ball 0 1

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
A : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (ball 0 1)
f : E → ℝ
f_support : support f = ball 0 1
f_smooth : ContDiff ℝ ∞ f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
B : ∀ (x : E), f x ∈ Icc 0 1
x : E
hx : x ∉ ball 0 1
⊢ x ∉ ball 0 1
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
A : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (ball 0 1)
f : E → ℝ
f_support : support f = ball 0 1
f_smooth : ContDiff ℝ ∞ f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
B : ∀ (x : E), f x ∈ Icc 0 1
x : E
hx : x ∉ ball 0 1
I1 : x ∉ support f
⊢ -x ∉ ball 0 1

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
A : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (ball 0 1)
f : E → ℝ
f_support : support f = ball 0 1
f_smooth : ContDiff ℝ ∞ f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
B : ∀ (x : E), f x ∈ Icc 0 1
x : E
hx : x ∉ ball 0 1
I1 : x ∉ support f
⊢ -x ∉ ball 0 1