mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: case pos.refine_3
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K V
this✝ : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend ⋯
b : Module.Basis (↑s) K V := Module.Basis.extend this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ ∃ a_1, a_1 • D'.rep = (dilatransvection ⋯) D'.rep

Tactic:
]

Goal state after:
case pos.refine_3
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K V
this✝ : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend ⋯
b : Module.Basis (↑s) K V := Module.Basis.extend this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ ∃ a_1, a_1 • D'.rep = (dilatransvection ⋯) D'.rep
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
W : Type u_3
X : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module R W
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
e : V ≃ₗ[R] W
g : SpecialLinearGroup R W
⊢ 1 = 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.PSL.Stabilizer

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
ι : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
v : ι → F
hv : v ≠ 0
A : SpecialLinearGroup ι F
L : Submodule F (ι → F) := F ∙ v
hA : A ∈ lineStab L
c : F
hcv : ↑(toLin' A) v = c • v
hcomap : F ∙ v ≤ Submodule.comap (↑(toLin' A)) (F ∙ v)
hres : (↑(toLin' A)).restrict hcomap = c • LinearMap.id
hQ : L.mapQ L (↑(toLin' A)) hcomap = LinearMap.id
hdet : 1 = LinearMap.det (c • LinearMap.id) * LinearMap.det LinearMap.id
⊢ A • v = v

Tactic:
LinearMap.det_smul,

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
ι : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
v : ι → F
hv : v ≠ 0
A : SpecialLinearGroup ι F
L : Submodule F (ι → F) := F ∙ v
hA : A ∈ lineStab L
c : F
hcv : ↑(toLin' A) v = c • v
hcomap : F ∙ v ≤ Submodule.comap (↑(toLin' A)) (F ∙ v)
hres : (↑(toLin' A)).restrict hcomap = c • LinearMap.id
hQ : L.mapQ L (↑(toLin' A)) hcomap = LinearMap.id
hdet : 1 = c ^ Module.finrank F ↥L * LinearMap.det LinearMap.id * LinearMap.det LinearMap.id
⊢ A • v = v
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.PSL.Stabilizer

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
ι : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
v : ι → F
hv : v ≠ 0
A : SpecialLinearGroup ι F
L : Submodule F (ι → F) := F ∙ v
hA : A ∈ lineStab L
c : F
hcv : ↑(toLin' A) v = c • v
hcomap : F ∙ v ≤ Submodule.comap (↑(toLin' A)) (F ∙ v)
hres : (↑(toLin' A)).restrict hcomap = c • LinearMap.id
hQ : L.mapQ L (↑(toLin' A)) hcomap = LinearMap.id
hdet : 1 = c
⊢ A • v = v

Tactic:
]

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
ι : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
v : ι → F
hv : v ≠ 0
A : SpecialLinearGroup ι F
L : Submodule F (ι → F) := F ∙ v
hA : A ∈ lineStab L
c : F
hcv : ↑(toLin' A) v = c • v
hcomap : F ∙ v ≤ Submodule.comap (↑(toLin' A)) (F ∙ v)
hres : (↑(toLin' A)).restrict hcomap = c • LinearMap.id
hQ : L.mapQ L (↑(toLin' A)) hcomap = LinearMap.id
hdet : 1 = c
⊢ A • v = v
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: case h
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K V
this✝ : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend ⋯
b : Module.Basis (↑s) K V := Module.Basis.extend this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ D'.rep = D'.rep + (b.repr D'.rep) ⟨D.rep, hD_mem⟩ • (↑a - 1) • b ⟨D.rep, hD_mem⟩

Tactic:
]

Goal state after:
case h
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K V
this✝ : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend ⋯
b : Module.Basis (↑s) K V := Module.Basis.extend this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ D'.rep = D'.rep + (b.repr D'.rep) ⟨D.rep, hD_mem⟩ • (↑a - 1) • b ⟨D.rep, hD_mem⟩
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
n : Type u_3
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
b : Module.Basis n R V
A : SpecialLinearGroup n R
⊢ Matrix.toLin' ↑A = Matrix.toLin' ((fun a ↦ ↑a) A)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K V
this✝¹ : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this✝ : LinearIndepOn K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend ⋯
b : Module.Basis (↑s) K V := Module.Basis.extend this✝
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
this : (b.repr D'.rep) ⟨D.rep, hD_mem⟩ = 0
⊢ D'.rep = D'.rep + (b.repr D'.rep) ⟨D.rep, hD_mem⟩ • (↑a - 1) • ↑⟨D.rep, hD_mem⟩

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K V
this✝¹ : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this✝ : LinearIndepOn K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend ⋯
b : Module.Basis (↑s) K V := Module.Basis.extend this✝
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
this : (b.repr D'.rep) ⟨D.rep, hD_mem⟩ = 0
⊢ D'.rep = D'.rep + (b.repr D'.rep) ⟨D.rep, hD_mem⟩ • (↑a - 1) • ↑⟨D.rep, hD_mem⟩
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
h : Module.finrank R V ≤ 1
a✝ : Nontrivial R
b : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R V := Module.Free.chooseBasis R V
⊢ Module.finrank R V ≤ 1

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
h : Module.finrank R V ≤ 1
a✝ : Nontrivial R
b : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R V := Module.Free.chooseBasis R V
⊢ Module.finrank R V ≤ 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.PSL.Stabilizer

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
ι : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
v : ι → F
hv : v ≠ 0
A B : SpecialLinearGroup ι F
hA : A ∈ lineStab (F ∙ v)
hB : B ∈ lineStab (F ∙ v)
w : ι → F
α : F
hα : α • v = A • w - w
β : F
hβ : β • v = B • w - w
⊢ α • v + β • v = α • v + β • v

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
h : Module.finrank R V ≤ 1
a✝ : Nontrivial R
b : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R V := Module.Free.chooseBasis R V
this✝ : Subsingleton (Module.Free.ChooseBasisIndex R V)
this : Subsingleton ↥(Subgroup.center (SpecialLinearGroup R V))
⊢ Subgroup.center (SpecialLinearGroup R V) = ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
h : Module.finrank R V ≤ 1
a✝ : Nontrivial R
b : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R V := Module.Free.chooseBasis R V
this✝ : Subsingleton (Module.Free.ChooseBasisIndex R V)
this : Subsingleton ↥(Subgroup.center (SpecialLinearGroup R V))
⊢ Subgroup.center (SpecialLinearGroup R V) = ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
g : SpecialLinearGroup R V
hR : Nontrivial R
b : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R V := Module.Free.chooseBasis R V
this : Fintype (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) := Module.Free.ChooseBasisIndex.fintype R V
⊢ g ∈ Subgroup.center (SpecialLinearGroup R V) ↔
    ∃ r, r ^ Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) = 1 ∧ ↑↑g = r • LinearMap.id

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
g : SpecialLinearGroup R V
hR : Nontrivial R
b : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R V := Module.Free.chooseBasis R V
this : Fintype (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) := Module.Free.ChooseBasisIndex.fintype R V
⊢ g ∈ Subgroup.center (SpecialLinearGroup R V) ↔
    ∃ r, r ^ Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) = 1 ∧ ↑↑g = r • LinearMap.id
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: case h
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K V
this✝ : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend ⋯
b : Module.Basis (↑s) K V := Module.Basis.extend this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ (Finsupp.single ⟨D'.rep, hD'_mem⟩ 1) ⟨D.rep, hD_mem⟩ = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case h
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K V
this✝ : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend ⋯
b : Module.Basis (↑s) K V := Module.Basis.extend this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ (Finsupp.single ⟨D'.rep, hD'_mem⟩ 1) ⟨D.rep, hD_mem⟩ = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
g : SpecialLinearGroup R V
hR : Nontrivial R
b : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R V := Module.Free.chooseBasis R V
this : Fintype (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) := Module.Free.ChooseBasisIndex.fintype R V
e : SpecialLinearGroup R V ≃* Matrix.SpecialLinearGroup (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R :=
  (Matrix.SpecialLinearGroup.toLin_equiv b).symm
⊢ e g ∈ Subgroup.center (Matrix.SpecialLinearGroup (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R) ↔
    ∃ r, r ^ Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) = 1 ∧ ↑↑g = r • LinearMap.id

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
g : SpecialLinearGroup R V
hR : Nontrivial R
b : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R V := Module.Free.chooseBasis R V
this : Fintype (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) := Module.Free.ChooseBasisIndex.fintype R V
e : SpecialLinearGroup R V ≃* Matrix.SpecialLinearGroup (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R :=
  (Matrix.SpecialLinearGroup.toLin_equiv b).symm
⊢ e g ∈ Subgroup.center (Matrix.SpecialLinearGroup (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R) ↔
    ∃ r, r ^ Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) = 1 ∧ ↑↑g = r • LinearMap.id
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
g : SpecialLinearGroup R V
hR : Nontrivial R
b : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R V := Module.Free.chooseBasis R V
this : Fintype (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) := Module.Free.ChooseBasisIndex.fintype R V
e : SpecialLinearGroup R V ≃* Matrix.SpecialLinearGroup (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R :=
  (Matrix.SpecialLinearGroup.toLin_equiv b).symm
⊢ (∃ r,
      r ^ Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) = 1 ∧
        (Matrix.scalar (Module.Free.ChooseBasisIndex R V)) r = ↑(e g)) ↔
    ∃ r, r ^ Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) = 1 ∧ ↑↑g = r • LinearMap.id

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
g : SpecialLinearGroup R V
hR : Nontrivial R
b : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R V := Module.Free.chooseBasis R V
this : Fintype (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) := Module.Free.ChooseBasisIndex.fintype R V
e : SpecialLinearGroup R V ≃* Matrix.SpecialLinearGroup (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R :=
  (Matrix.SpecialLinearGroup.toLin_equiv b).symm
⊢ (∃ r,
      r ^ Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) = 1 ∧
        (Matrix.scalar (Module.Free.ChooseBasisIndex R V)) r = ↑(e g)) ↔
    ∃ r, r ^ Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) = 1 ∧ ↑↑g = r • LinearMap.id
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
g : SpecialLinearGroup R V
hR : Nontrivial R
b : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R V := Module.Free.chooseBasis R V
this✝ : Fintype (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) := Module.Free.ChooseBasisIndex.fintype R V
e : SpecialLinearGroup R V ≃* Matrix.SpecialLinearGroup (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R :=
  (Matrix.SpecialLinearGroup.toLin_equiv b).symm
r : R
hr : r ^ Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) = 1
this : ↑((Matrix.SpecialLinearGroup.toLin_equiv b).symm g) = Matrix.of fun i j ↦ (b.repr ((fun x ↦ ↑g x) (b j))) i
⊢ ((Matrix.diagonal fun x ↦ r) = Matrix.of fun i j ↦ (b.repr (↑g (b j))) i) ↔
    (LinearMap.toMatrix b b) ↑↑g = (LinearMap.toMatrix b b) (r • LinearMap.id)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
g : SpecialLinearGroup R V
hR : Nontrivial R
b : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R V := Module.Free.chooseBasis R V
this✝ : Fintype (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) := Module.Free.ChooseBasisIndex.fintype R V
e : SpecialLinearGroup R V ≃* Matrix.SpecialLinearGroup (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R :=
  (Matrix.SpecialLinearGroup.toLin_equiv b).symm
r : R
hr : r ^ Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) = 1
this : ↑((Matrix.SpecialLinearGroup.toLin_equiv b).symm g) = Matrix.of fun i j ↦ (b.repr ((fun x ↦ ↑g x) (b j))) i
⊢ ((Matrix.diagonal fun x ↦ r) = Matrix.of fun i j ↦ (b.repr (↑g (b j))) i) ↔
    (LinearMap.toMatrix b b) ↑↑g = (LinearMap.toMatrix b b) (r • LinearMap.id)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
g : SpecialLinearGroup R V
hg : g ∈ Subgroup.center (SpecialLinearGroup R V)
x : V
H : ∀ (x : V), ↑↑g x = (⋯.choose • LinearMap.id) x
⊢ ↑↑g x = ⋯.choose • x

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
g : SpecialLinearGroup R V
hg : g ∈ Subgroup.center (SpecialLinearGroup R V)
x : V
H : ∀ (x : V), ↑↑g x = (⋯.choose • LinearMap.id) x
⊢ ↑↑g x = ⋯.choose • x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K V
this : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : D ≠ D'
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : ¬FiniteDimensional K V
⊢ LinearMap.det ↑g = ↑1

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K V
this : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : D ≠ D'
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : ¬FiniteDimensional K V
⊢ LinearMap.det ↑g = ↑1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
g : ι → M
l : ι →₀ R
⊢ (∑ p ∈ l.support.sym2, polarSym2 (⇑Q) (Sym2.map (fun i ↦ l i • g i) p) - l.sum fun i a ↦ a • a • Q (g i)) =
    ∑ x ∈ l.support.sym2, l.sym2Mul x • (polarSym2 ⇑Q ∘ Sym2.map g) x - ∑ x ∈ l.support, (l * l) x • (⇑Q ∘ g) x

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
g : ι → M
l : ι →₀ R
⊢ (∑ p ∈ l.support.sym2, polarSym2 (⇑Q) (Sym2.map (fun i ↦ l i • g i) p) - l.sum fun i a ↦ a • a • Q (g i)) =
    ∑ x ∈ l.support.sym2, l.sym2Mul x • (polarSym2 ⇑Q ∘ Sym2.map g) x - ∑ x ∈ l.support, (l * l) x • (⇑Q ∘ g) x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
bm : Basis ι R M
x : M
⊢ Q x = Q x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝² : Field K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
m : Matrix.SpecialLinearGroup ι K
hm : ∀ (x : ℙ K (ι → K)), m • x = x
f : (ι → K) →ₗ[K] ι → K := ↑(Matrix.SpecialLinearGroup.toLin' m)
hf : f = ↑(Matrix.SpecialLinearGroup.toLin' m)
a : K
ha : f = a • 1
⊢ ↑m = ↑m

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
r✝ : ↥(rootsOfUnity (max (Module.finrank R V) 1) R)
r : Rˣ
hr : r ∈ rootsOfUnity (max (Module.finrank R V) 1) R
hV : 1 ≤ Module.finrank R V
⊢ ↑↑⟨r, hr⟩ ^ Module.finrank R V = 1

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
r✝ : ↥(rootsOfUnity (max (Module.finrank R V) 1) R)
r : Rˣ
hr : r ∈ rootsOfUnity (max (Module.finrank R V) 1) R
hV : 1 ≤ Module.finrank R V
⊢ ↑↑⟨r, hr⟩ ^ Module.finrank R V = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : DecidableEq ι
Q : QuadraticMap R M N
g : ι → M
l : ι →₀ R
⊢ (l.sum fun i r ↦ r • r • Q (g i)) +
      ∑ p ∈ l.support.sym2 with ¬p.IsDiag, polarSym2 (⇑Q) (Sym2.map (fun i ↦ l i • g i) p) =
    ∑ x ∈ l.support, (l * l) x • (⇑Q ∘ g) x +
      ∑ p ∈ l.support.sym2 with ¬p.IsDiag, (Sym2.map (⇑l) p).mul • polarSym2 (⇑Q) (Sym2.map g p)

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : DecidableEq ι
Q : QuadraticMap R M N
g : ι → M
l : ι →₀ R
⊢ (l.sum fun i r ↦ r • r • Q (g i)) +
      ∑ p ∈ l.support.sym2 with ¬p.IsDiag, polarSym2 (⇑Q) (Sym2.map (fun i ↦ l i • g i) p) =
    ∑ x ∈ l.support, (l * l) x • (⇑Q ∘ g) x +
      ∑ p ∈ l.support.sym2 with ¬p.IsDiag, (Sym2.map (⇑l) p).mul • polarSym2 (⇑Q) (Sym2.map g p)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
r✝ : ↥(rootsOfUnity (max (Module.finrank R V) 1) R)
r : Rˣ
hr✝ : r ∈ rootsOfUnity (max (Module.finrank R V) 1) R
hr : ↑r ^ Module.finrank R V = 1
hV : 1 ≤ Module.finrank R V
⊢ ↑↑⟨r, hr✝⟩ ^ Module.finrank R V = 1

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
r✝ : ↥(rootsOfUnity (max (Module.finrank R V) 1) R)
r : Rˣ
hr✝ : r ∈ rootsOfUnity (max (Module.finrank R V) 1) R
hr : ↑r ^ Module.finrank R V = 1
hV : 1 ≤ Module.finrank R V
⊢ ↑↑⟨r, hr✝⟩ ^ Module.finrank R V = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝² : Field K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ∀ (a : Matrix.ProjectiveSpecialLinearGroup ι K), PSLAction.toPermHom a = 1 → a = 1

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ∀ (a : Matrix.ProjectiveSpecialLinearGroup ι K), PSLAction.toPermHom a = 1 → a = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : DecidableEq ι
Q : QuadraticMap R M N
bm : Basis ι R M
x : M
⊢ Q x = Q x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
g : ↥(Subgroup.center (SpecialLinearGroup R V))
hR : Nontrivial R
hV : 0 < Module.finrank R V
⊢ ↥(rootsOfUnity (max (Module.finrank R V) 1) R)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
g : ↥(Subgroup.center (SpecialLinearGroup R V))
hR : Nontrivial R
hV : 0 < Module.finrank R V
⊢ ↥(rootsOfUnity (max (Module.finrank R V) 1) R)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝² : Field K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
g : Matrix.ProjectiveSpecialLinearGroup ι K
hg : g = 1
⊢ g = 1

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
g : Matrix.ProjectiveSpecialLinearGroup ι K
hg : g = 1
⊢ g = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
g : ↥(Subgroup.center (SpecialLinearGroup R V))
hR : Nontrivial R
hV : 1 ≤ Module.finrank R V
r : R := ⋯.choose
hr : r ^ max (Module.finrank R V) 1 = 1
⊢ ↥(rootsOfUnity (max (Module.finrank R V) 1) R)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
g : ↥(Subgroup.center (SpecialLinearGroup R V))
hR : Nontrivial R
hV : 1 ≤ Module.finrank R V
r : R := ⋯.choose
hr : r ^ max (Module.finrank R V) 1 = 1
⊢ ↥(rootsOfUnity (max (Module.finrank R V) 1) R)