mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Basic

Goal state before:
pp: case h
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
hm : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hl : ∀ (q : A[X]), q.degree < p.degree → q = 0 ∨ (Polynomial.aeval x) q ≠ 0
a✝ : Nontrivial A
hx : IsIntegral A x
h : minpoly A x %ₘ p = 0
r : A[X]
hlead : 1 = r.leadingCoeff
hr0 : r ≠ 0
hr : (minpoly A x).natDegree = p.natDegree + r.natDegree
⊢ ?h✝ + r.natDegree ≤ ?h✝

pp: case h
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
hm : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hl : ∀ (q : A[X]), q.degree < p.degree → q = 0 ∨ (Polynomial.aeval x) q ≠ 0
a✝ : Nontrivial A
hx : IsIntegral A x
h : minpoly A x %ₘ p = 0
r : A[X]
hlead : 1 = r.leadingCoeff
hr0 : r ≠ 0
hr : (minpoly A x).natDegree = p.natDegree + r.natDegree
⊢ ℕ

Tactic:
]

Goal state after:
case h
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
hm : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hl : ∀ (q : A[X]), q.degree < p.degree → q = 0 ∨ (Polynomial.aeval x) q ≠ 0
a✝ : Nontrivial A
hx : IsIntegral A x
h : minpoly A x %ₘ p = 0
r : A[X]
hlead : 1 = r.leadingCoeff
hr0 : r ≠ 0
hr : (minpoly A x).natDegree = p.natDegree + r.natDegree
⊢ ?h✝ + r.natDegree ≤ ?h✝

case h
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
hm : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hl : ∀ (q : A[X]), q.degree < p.degree → q = 0 ∨ (Polynomial.aeval x) q ≠ 0
a✝ : Nontrivial A
hx : IsIntegral A x
h : minpoly A x %ₘ p = 0
r : A[X]
hlead : 1 = r.leadingCoeff
hr0 : r ≠ 0
hr : (minpoly A x).natDegree = p.natDegree + r.natDegree
⊢ ℕ
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Field

Goal state before:
pp: A : Type u_3
K : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : Algebra A R
inst✝¹ : Algebra K R
inst✝ : IsScalarTower A K R
x : R
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Field

Goal state before:
pp: R : Type u_3
S : Type u_4
K : Type u_5
L : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Ring L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsScalarTower R S L
s : S
⊢ 0 = 0

pp: case h
R : Type u_3
S : Type u_4
K : Type u_5
L : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Ring L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsScalarTower R S L
s : S
⊢ (algebraMap K L).comp (algebraMap R K) = (algebraMap S L).comp (algebraMap R S)

Tactic:
]

Goal state after:
case h
R : Type u_3
S : Type u_4
K : Type u_5
L : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Ring L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsScalarTower R S L
s : S
⊢ (algebraMap K L).comp (algebraMap R K) = (algebraMap S L).comp (algebraMap R S)
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Field

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_3
S : Type u_4
K : Type u_5
L : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Ring L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsScalarTower R S L
s : S
⊢ algebraMap R L = algebraMap R L

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ ⁅I, N ⊓ N'⁆ ≤ ⁅I, N⁆ ∧ ⁅I, N ⊓ N'⁆ ≤ ⁅I, N'⁆

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ ⁅I, N ⊓ N'⁆ ≤ ⁅I, N⁆ ∧ ⁅I, N ⊓ N'⁆ ≤ ⁅I, N'⁆
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Basic

Goal state before:
pp: case inl
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
hm : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hl : ∀ (q : A[X]), q.degree < p.degree → q = 0 ∨ (Polynomial.aeval x) q ≠ 0
a✝ : Nontrivial A
hx : IsIntegral A x
h : minpoly A x %ₘ p = 0
r : A[X]
hr : minpoly A x = p * r
hlead : 1 = r.leadingCoeff
this : r.natDegree ≤ 0
⊢ p = p

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
monic : p.Monic
hp0 : (Polynomial.aeval x) p = 0
n : ℕ
hpn : p.degree = ↑n
ind : LinearIndependent A fun i ↦ x ^ ↑i
q : A[X]
lt : q.degree < p.degree
ne : ¬q = 0
hq : (Polynomial.aeval x) (∑ i ∈ Finset.range n, (monomial i) (q.coeff i)) = 0
i : ℕ
⊢ q.coeff i = coeff 0 i

Tactic:
]

Goal state after:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
monic : p.Monic
hp0 : (Polynomial.aeval x) p = 0
n : ℕ
hpn : p.degree = ↑n
ind : LinearIndependent A fun i ↦ x ^ ↑i
q : A[X]
lt : q.degree < p.degree
ne : ¬q = 0
hq : (Polynomial.aeval x) (∑ i ∈ Finset.range n, (monomial i) (q.coeff i)) = 0
i : ℕ
⊢ q.coeff i = coeff 0 i
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Field

Goal state before:
pp: F : Type u_3
E : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra F E
inst✝² : Algebra E A
inst✝¹ : Algebra F A
inst✝ : IsScalarTower F E A
a : A
ha : IsIntegral F a
h : minpoly E a ∈ lifts (algebraMap F E)
g : F[X]
hg : map (algebraMap F E) g = minpoly E a
hgdeg : g.natDegree = (minpoly E a).natDegree
hgmon : g.Monic
⊢ (minpoly F a).natDegree ≤ g.natDegree

Tactic:
]

Goal state after:
F : Type u_3
E : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra F E
inst✝² : Algebra E A
inst✝¹ : Algebra F A
inst✝ : IsScalarTower F E A
a : A
ha : IsIntegral F a
h : minpoly E a ∈ lifts (algebraMap F E)
g : F[X]
hg : map (algebraMap F E) g = minpoly E a
hgdeg : g.natDegree = (minpoly E a).natDegree
hgmon : g.Monic
⊢ (minpoly F a).natDegree ≤ g.natDegree
Module: Mathlib.Algebra.Jordan.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocCommRing A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ +
        (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) +
      (⁅L c, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆) =
    ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ +
        (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) +
      (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ +
        ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆)

Tactic:
]

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocCommRing A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ +
        (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) +
      (⁅L c, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆) =
    ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ +
        (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) +
      (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ +
        ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
⊢ ⁅I ⊓ J, N⁆ ≤ ⁅I, N⁆ ∧ ⁅I ⊓ J, N⁆ ≤ ⁅J, N⁆

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
⊢ ⁅I ⊓ J, N⁆ ≤ ⁅I, N⁆ ∧ ⁅I ⊓ J, N⁆ ≤ ⁅J, N⁆
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
this : (minpoly A x).degree ≤ 0
⊢ minpoly A x = 1

Tactic:
]

Goal state after:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
this : (minpoly A x).degree ≤ 0
⊢ minpoly A x = 1
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Field

Goal state before:
pp: F : Type u_3
E : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra F E
inst✝² : Algebra E A
inst✝¹ : Algebra F A
inst✝ : IsScalarTower F E A
a : A
ha : IsIntegral F a
h : minpoly E a ∈ lifts (algebraMap F E)
g : F[X]
hg : map (algebraMap F E) g = minpoly E a
hgdeg : g.natDegree = (minpoly E a).natDegree
hgmon : g.Monic
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Basic

Goal state before:
pp: case inl
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
this : (minpoly A x).degree ≤ 0
h : minpoly A x = 1
⊢ minpoly A x = 1

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Subsingleton B
a✝ : Nontrivial A
this : (minpoly A x).degree ≤ 0
h : minpoly A x = 1
⊢ minpoly A x = 1
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
hx : IsIntegral A x
⊢ (minpoly A x).natDegree ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
hx : IsIntegral A x
⊢ (minpoly A x).natDegree ≠ 0
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
hx : IsIntegral A x
ndeg_eq_zero : (minpoly A x).natDegree = 0
⊢ C ((minpoly A x).coeff 0) = 1

Tactic:
]

Goal state after:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
hx : IsIntegral A x
ndeg_eq_zero : (minpoly A x).natDegree = 0
⊢ C ((minpoly A x).coeff 0) = 1
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
⊢ (minpoly A x).degree = ↑1 ↔ x ∈ (algebraMap A B).range

Tactic:
]

Goal state after:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
⊢ (minpoly A x).degree = ↑1 ↔ x ∈ (algebraMap A B).range
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
int : IsIntegral A x
⊢ (minpoly A x).natDegree = 1 ↔ (minpoly A x).natDegree < 2

Tactic:
]

Goal state after:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
int : IsIntegral A x
⊢ (minpoly A x).natDegree = 1 ↔ (minpoly A x).natDegree < 2
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Field

Goal state before:
pp: A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
p : A[X]
hp1 : Irreducible p
hp2 : (Polynomial.aeval x) p = 0
this : p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ 1 = 1

pp: A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
p : A[X]
hp1 : Irreducible p
hp2 : (Polynomial.aeval x) p = 0
this : p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ p.leadingCoeff ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
p : A[X]
hp1 : Irreducible p
hp2 : (Polynomial.aeval x) p = 0
this : p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ p.leadingCoeff ≠ 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : LieRingModule L M₂
N : LieSubmodule R L M
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieModule R L M₂
I : LieIdeal R L
inst✝ : LieModule R L M
⊢ Submodule.span R (⇑↑f '' {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x}) = Submodule.span R {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x}

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : LieRingModule L M₂
N : LieSubmodule R L M
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieModule R L M₂
I : LieIdeal R L
inst✝ : LieModule R L M
⊢ Submodule.span R (⇑↑f '' {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x}) = Submodule.span R {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x}
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝³ : CommRing A
B : Type u_4
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Nontrivial B
S : Subalgebra A B
x : B
int : IsIntegral (↥S) x
⊢ ¬?m.38 ↔ x ∉ S

pp: A : Type u_1
inst✝³ : CommRing A
B : Type u_4
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Nontrivial B
S : Subalgebra A B
x : B
int : IsIntegral (↥S) x
⊢ x ∈ (algebraMap (↥S) B).range ↔ ?m.38

pp: A : Type u_1
inst✝³ : CommRing A
B : Type u_4
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Nontrivial B
S : Subalgebra A B
x : B
int : IsIntegral (↥S) x
⊢ Prop

Tactic:
]

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝³ : CommRing A
B : Type u_4
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Nontrivial B
S : Subalgebra A B
x : B
int : IsIntegral (↥S) x
⊢ x ∈ (algebraMap (↥S) B).range ↔ x ∈ S
Module: Mathlib.Algebra.Jordan.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocCommRing A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ +
        (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) +
      (⁅L c, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆) =
    ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ +
        (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) +
      (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ +
        ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆)

Tactic:
]

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocCommRing A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ +
        (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) +
      (⁅L c, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆) =
    ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ +
        (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) +
      (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ +
        ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆)
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
a : A
hf : Injective ⇑(algebraMap A B)
a✝ : Nontrivial A
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Field

Goal state before:
pp: case hp2
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
p : A[X]
hp1 : Irreducible p
hp2 : (Polynomial.aeval x) p = 0
this : p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : LieRingModule L M₂
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieModule R L M₂
I : LieIdeal R L
inst✝ : LieModule R L M
hf₁ : f.ker = ⊥
hf₂ : N₂ ≤ f.range
⊢ ⁅I, comap f N₂⁆ = ⁅I, comap f N₂⁆

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
⊢ {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ⊆ ↑(comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
⊢ {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ⊆ ↑(comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆)
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Field

Goal state before:
pp: case hp3
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
p : A[X]
hp1 : Irreducible p
hp2 : (Polynomial.aeval x) p = 0
this : p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ 1 = 1

pp: case hp3
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
p : A[X]
hp1 : Irreducible p
hp2 : (Polynomial.aeval x) p = 0
this : p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ p.leadingCoeff ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
case hp3
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
p : A[X]
hp1 : Irreducible p
hp2 : (Polynomial.aeval x) p = 0
this : p.leadingCoeff ≠ 0
⊢ p.leadingCoeff ≠ 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
x y₁ : L
hy₁ : y₁ ∈ I₁
y₂ : L
hy₂ : y₂ ∈ I₂
hx : ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ = x
⊢ ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ ∈ ↑(comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
x y₁ : L
hy₁ : y₁ ∈ I₁
y₂ : L
hy₂ : y₂ ∈ I₂
hx : ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ = x
⊢ ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ ∈ ↑(comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆)
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
a : A
hf : Injective ⇑(algebraMap A B)
a✝ : Nontrivial A
q : A[X]
hl : q.natDegree = 0
h0 : ¬q = 0
⊢ (Polynomial.aeval ((algebraMap A B) a)) q ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
a : A
hf : Injective ⇑(algebraMap A B)
a✝ : Nontrivial A
q : A[X]
hl : q.natDegree = 0
h0 : ¬q = 0
⊢ (Polynomial.aeval ((algebraMap A B) a)) q ≠ 0
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
a : A
hf : Injective ⇑(algebraMap A B)
a✝ : Nontrivial A
q : A[X]
hl : q.natDegree = 0
h0 : ¬C (q.coeff 0) = 0
⊢ (Polynomial.aeval ((algebraMap A B) a)) (C (q.coeff 0)) ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
a : A
hf : Injective ⇑(algebraMap A B)
a✝ : Nontrivial A
q : A[X]
hl : q.natDegree = 0
h0 : ¬C (q.coeff 0) = 0
⊢ (Polynomial.aeval ((algebraMap A B) a)) (C (q.coeff 0)) ≠ 0
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Field

Goal state before:
pp: A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
p : A[X]
hi : Irreducible p
hx : (Polynomial.aeval x) p = 0
⊢ p = p

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
a : A
hf : Injective ⇑(algebraMap A B)
a✝ : Nontrivial A
q : A[X]
hl : q.natDegree = 0
h0 : ¬C (q.coeff 0) = 0
⊢ C (q.coeff 0) ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
a : A
hf : Injective ⇑(algebraMap A B)
a✝ : Nontrivial A
q : A[X]
hl : q.natDegree = 0
h0 : ¬C (q.coeff 0) = 0
⊢ C (q.coeff 0) ≠ 0
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Field

Goal state before:
pp: case refine_1
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Nontrivial B
p q : A[X]
hi : Irreducible p
b : B
hfa : (Polynomial.aeval b) p = 0
hga : (Polynomial.aeval b) q = 0
⊢ p ∣ p * C p.leadingCoeff⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Nontrivial B
p q : A[X]
hi : Irreducible p
b : B
hfa : (Polynomial.aeval b) p = 0
hga : (Polynomial.aeval b) q = 0
⊢ p ∣ p * C p.leadingCoeff⁻¹
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A[X]
hx : IsIntegral A x
hamonic : a.Monic
ha : (Polynomial.aeval x) a = 0
left✝ : a ≠ 0
c : A[X]
hu : ¬IsUnit c
he : minpoly A x = a * c
hcm : c.Monic
⊢ a.natDegree < a.natDegree + c.natDegree

Tactic:
]

Goal state after:
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
a : A[X]
hx : IsIntegral A x
hamonic : a.Monic
ha : (Polynomial.aeval x) a = 0
left✝ : a ≠ 0
c : A[X]
hu : ¬IsUnit c
he : minpoly A x = a * c
hcm : c.Monic
⊢ a.natDegree < a.natDegree + c.natDegree
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ Submodule.span R {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ≤ Submodule.span R (⇑↑f '' {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x})

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ Submodule.span R {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ≤ Submodule.span R (⇑↑f '' {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x})