mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Radical

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
N : Submodule R M
hN : N ≤ Q.radical
m m' : M
hmm' : m - m' ∈ N
⊢ Q m = Q m'

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
N : Submodule R M
hN : N ≤ Q.radical
m m' : M
hmm' : m - m' ∈ N
⊢ Q m = Q m'
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Radical

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
N : Submodule R M
hN : N ≤ Q.radical
m m' : M
hmm' : m - m' ∈ N
⊢ Q m' + (Q.polarBilin (m - m')) m' = Q m'

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
N : Submodule R M
hN : N ≤ Q.radical
m m' : M
hmm' : m - m' ∈ N
⊢ Q m' + (Q.polarBilin (m - m')) m' = Q m'
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Radical

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
inst✝ : Invertible 2
m : M
h : Q m = 0
⊢ Q m = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
inst✝ : Invertible 2
m : M
h : Q m = 0
⊢ Q m = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Radical

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
inst✝ : Invertible 2
⊢ LinearMap.ker Q.polarBilin = LinearMap.ker (associated Q)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
inst✝ : Invertible 2
⊢ LinearMap.ker Q.polarBilin = LinearMap.ker (associated Q)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.QuadraticModuleCat.Monoidal

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Invertible 2
X Y Z : QuadraticModuleCat R
⊢ (α_ X.toModuleCat Y.toModuleCat Z.toModuleCat).hom = (α_ X.toModuleCat Y.toModuleCat Z.toModuleCat).hom

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Radical

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
inst✝ : Invertible 2
h : Q.radical = ⊥
⊢ Module.rank R ↥⊥ ≤ 1

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
inst✝ : Invertible 2
h : Q.radical = ⊥
⊢ Module.rank R ↥⊥ ≤ 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.QuadraticModuleCat.Monoidal

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Invertible 2
X : QuadraticModuleCat R
⊢ ModuleCat.ofHom (Hom.toIsometry (λ_ X).hom).toLinearMap =
    𝟙 ((𝟙_ (QuadraticModuleCat R)).toModuleCat ⊗ X.toModuleCat) ≫
      𝟙 ((𝟙_ (QuadraticModuleCat R)).toModuleCat ⊗ X.toModuleCat) ≫ (λ_ X.toModuleCat).hom

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Invertible 2
X : QuadraticModuleCat R
⊢ ModuleCat.ofHom (Hom.toIsometry (λ_ X).hom).toLinearMap =
    𝟙 ((𝟙_ (QuadraticModuleCat R)).toModuleCat ⊗ X.toModuleCat) ≫
      𝟙 ((𝟙_ (QuadraticModuleCat R)).toModuleCat ⊗ X.toModuleCat) ≫ (λ_ X.toModuleCat).hom
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.QuadraticModuleCat.Monoidal

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Invertible 2
X : QuadraticModuleCat R
⊢ ModuleCat.ofHom (Hom.toIsometry (ρ_ X).hom).toLinearMap =
    𝟙 (X.toModuleCat ⊗ (𝟙_ (QuadraticModuleCat R)).toModuleCat) ≫
      𝟙 (X.toModuleCat ⊗ (𝟙_ (QuadraticModuleCat R)).toModuleCat) ≫ (ρ_ X.toModuleCat).hom

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Invertible 2
X : QuadraticModuleCat R
⊢ ModuleCat.ofHom (Hom.toIsometry (ρ_ X).hom).toLinearMap =
    𝟙 (X.toModuleCat ⊗ (𝟙_ (QuadraticModuleCat R)).toModuleCat) ≫
      𝟙 (X.toModuleCat ⊗ (𝟙_ (QuadraticModuleCat R)).toModuleCat) ≫ (ρ_ X.toModuleCat).hom
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Radical

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
inst✝ : Invertible 2
⊢ LinearMap.ker (associated Q) = ⊥ ↔ LinearMap.ker (associated Q) = ⊥

pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
inst✝ : Invertible 2
⊢ LinearMap.IsRefl (associated Q)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
inst✝ : Invertible 2
⊢ LinearMap.IsRefl (associated Q)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Radical

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
inst✝ : Invertible 2
⊢ LinearMap.ker Q.polarBilin = ⊥ ↔ LinearMap.ker Q.polarBilin = ⊥

pp: R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
inst✝ : Invertible 2
⊢ LinearMap.IsRefl Q.polarBilin

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R P
Q : QuadraticMap R M P
inst✝ : Invertible 2
⊢ LinearMap.IsRefl Q.polarBilin
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Radical

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : NeZero 2
inst✝² : Fintype ι
w : ι → 𝕜
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module 𝕜 M
Q : QuadraticForm 𝕜 M
hQ : Equivalent Q (weightedSumSquares 𝕜 w)
⊢ {i | w i = 0}.ncard = {i | w i = 0}.ncard

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : StrongRankCondition R
V : Submodule R M
hV : (QuadraticMap.restrict Q V).PosDef
⊢ Module.finrank R ↥V ≤ Module.finrank R M ∧
    ∃ V_1, Module.finrank R ↥V_1 = Module.finrank R ↥V ∧ (QuadraticMap.restrict Q V_1).PosDef

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : StrongRankCondition R
V : Submodule R M
hV : (QuadraticMap.restrict Q V).PosDef
⊢ Module.finrank R ↥V ≤ Module.finrank R M ∧
    ∃ V_1, Module.finrank R ↥V_1 = Module.finrank R ↥V ∧ (QuadraticMap.restrict Q V_1).PosDef
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ sigPos Q = sigPos Q

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: case e'_2
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
inst✝ : Module R M'
Q' : QuadraticForm R M'
e : IsometryEquiv Q Q'
V : Submodule R M
⊢ Module.finrank R ↥V = Module.finrank R ↥((Submodule.orderIsoMapComap e.toLinearEquiv).toEquiv V)

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_2
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
inst✝ : Module R M'
Q' : QuadraticForm R M'
e : IsometryEquiv Q Q'
V : Submodule R M
⊢ Module.finrank R ↥V = Module.finrank R ↥((Submodule.orderIsoMapComap e.toLinearEquiv).toEquiv V)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 M
Q : QuadraticForm 𝕜 M
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 M
V : Subspace 𝕜 M
hV : ∀ x ∈ V, Q x ≤ 0
Vp : Submodule 𝕜 M
hr : Module.finrank 𝕜 ↥Vp = sigPos Q
hVp : (QuadraticMap.restrict Q Vp).PosDef
⊢ Module.finrank 𝕜 ↥Vp + Module.finrank 𝕜 ↥V ≤ Module.finrank 𝕜 M

Tactic:
]

Goal state after:
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 M
Q : QuadraticForm 𝕜 M
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 M
V : Subspace 𝕜 M
hV : ∀ x ∈ V, Q x ≤ 0
Vp : Submodule 𝕜 M
hr : Module.finrank 𝕜 ↥Vp = sigPos Q
hVp : (QuadraticMap.restrict Q Vp).PosDef
⊢ Module.finrank 𝕜 ↥Vp + Module.finrank 𝕜 ↥V ≤ Module.finrank 𝕜 M
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 M
Q : QuadraticForm 𝕜 M
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 M
V : Subspace 𝕜 M
hV : ∀ x ∈ V, Q x ≤ 0
Vp : Submodule 𝕜 M
hr : Module.finrank 𝕜 ↥Vp = sigPos Q
hVp : (QuadraticMap.restrict Q Vp).PosDef
W : Submodule 𝕜 M
hWp : W ≤ Vp
hWm : W ≤ V
⊢ ∀ x ∈ W, x = 0

Tactic:
]

Goal state after:
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 M
Q : QuadraticForm 𝕜 M
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 M
V : Subspace 𝕜 M
hV : ∀ x ∈ V, Q x ≤ 0
Vp : Submodule 𝕜 M
hr : Module.finrank 𝕜 ↥Vp = sigPos Q
hVp : (QuadraticMap.restrict Q Vp).PosDef
W : Submodule 𝕜 M
hWp : W ≤ Vp
hWm : W ≤ V
⊢ ∀ x ∈ W, x = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set ι
hs : ∀ i ∈ s, 0 < w i
v : ι → 𝕜
hv : v ∈ Pi.spanSubset 𝕜 s
hv' : ⟨v, hv⟩ ≠ 0
⊢ 0 < ∑ i, w i • (↑⟨v, hv⟩ i * ↑⟨v, hv⟩ i)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set ι
hs : ∀ i ∈ s, 0 < w i
v : ι → 𝕜
hv : v ∈ Pi.spanSubset 𝕜 s
hv' : ⟨v, hv⟩ ≠ 0
⊢ 0 < ∑ i, w i • (↑⟨v, hv⟩ i * ↑⟨v, hv⟩ i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set ι
hs : ∀ i ∈ s, w i ≤ 0
x : ι → 𝕜
hx : x ∈ Pi.spanSubset 𝕜 s
i : ι
a✝ : i ∈ univ
hi : i ∉ s
⊢ 0 ≤ 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
⊢ {i | 0 < w i}.ncard + {i | w i < 0}.ncard + {i | w i = 0}.ncard = Nat.card ι

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
⊢ {i | 0 < w i}.ncard + {i | w i < 0}.ncard + {i | w i = 0}.ncard = Nat.card ι
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
⊢ ({i | w i < 0} ∪ {i | w i = 0}).ncard = {i | w i ≤ 0}.ncard

pp: 𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
⊢ Disjoint {i | w i < 0} {i | w i = 0}

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
⊢ ({i | w i < 0} ∪ {i | w i = 0}).ncard = {i | w i ≤ 0}.ncard

𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
⊢ Disjoint {i | w i < 0} {i | w i = 0}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
⊢ ({i | 0 < w i} ∪ {i | w i ≤ 0}).ncard = Set.univ.ncard

pp: 𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
⊢ Disjoint {i | 0 < w i} {i | w i ≤ 0}

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
⊢ ({i | 0 < w i} ∪ {i | w i ≤ 0}).ncard = Set.univ.ncard

𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
⊢ Disjoint {i | 0 < w i} {i | w i ≤ 0}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 M
Q : QuadraticForm 𝕜 M
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 M
this : Invertible 2
w : Fin (Module.finrank 𝕜 M) → 𝕜
e : Equivalent Q (weightedSumSquares 𝕜 w)
⊢ sigPos (weightedSumSquares 𝕜 w) + sigNeg (weightedSumSquares 𝕜 w) +
      Module.finrank 𝕜 ↥(weightedSumSquares 𝕜 w).radical =
    Module.finrank 𝕜 M

Tactic:
]

Goal state after:
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 M
Q : QuadraticForm 𝕜 M
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 M
this : Invertible 2
w : Fin (Module.finrank 𝕜 M) → 𝕜
e : Equivalent Q (weightedSumSquares 𝕜 w)
⊢ sigPos (weightedSumSquares 𝕜 w) + sigNeg (weightedSumSquares 𝕜 w) +
      Module.finrank 𝕜 ↥(weightedSumSquares 𝕜 w).radical =
    Module.finrank 𝕜 M
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 M
Q : QuadraticForm 𝕜 M
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
hQ : Equivalent Q (weightedSumSquares 𝕜 w)
⊢ sigPos (weightedSumSquares 𝕜 w) = {i | 0 < w i}.ncard

Tactic:
]

Goal state after:
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 M
Q : QuadraticForm 𝕜 M
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
hQ : Equivalent Q (weightedSumSquares 𝕜 w)
⊢ sigPos (weightedSumSquares 𝕜 w) = {i | 0 < w i}.ncard
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 M
Q : QuadraticForm 𝕜 M
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
hQ : Equivalent Q (weightedSumSquares 𝕜 w)
⊢ sigNeg (weightedSumSquares 𝕜 w) = {i | w i < 0}.ncard

Tactic:
]

Goal state after:
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 M
Q : QuadraticForm 𝕜 M
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
hQ : Equivalent Q (weightedSumSquares 𝕜 w)
⊢ sigNeg (weightedSumSquares 𝕜 w) = {i | w i < 0}.ncard
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsRootSystem
x✝¹ : ↥b.support
x✝ : ↥b.support ⊕ ι
⊢ (Matrix.diagLinearMap (↥b.support ⊕ ι) R R)
      (Matrix.fromBlocks 0 0 0 (Matrix.diagonal fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑x✝¹))) x✝ =
    (⇑Sum.elimZeroLeft ∘ fun i ↦ ⇑(algebraMap ℤ R) ∘ fun x ↦ P.pairingIn ℤ x ↑i) x✝¹ x✝

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsRootSystem
x✝¹ : ↥b.support
x✝ : ↥b.support ⊕ ι
⊢ (Matrix.diagLinearMap (↥b.support ⊕ ι) R R)
      (Matrix.fromBlocks 0 0 0 (Matrix.diagonal fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑x✝¹))) x✝ =
    (⇑Sum.elimZeroLeft ∘ fun i ↦ ⇑(algebraMap ℤ R) ∘ fun x ↦ P.pairingIn ℤ x ↑i) x✝¹ x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsRootSystem
this :
  ⇑(Matrix.diagLinearMap (↥b.support ⊕ ι) R R) ∘ h =
    ⇑Sum.elimZeroLeft ∘ fun i ↦ ⇑(algebraMap ℤ R) ∘ fun x ↦ P.pairingIn ℤ x ↑i
⊢ LinearIndependent ℤ fun i x ↦ P.pairingIn ℤ x ↑i

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsRootSystem
this :
  ⇑(Matrix.diagLinearMap (↥b.support ⊕ ι) R R) ∘ h =
    ⇑Sum.elimZeroLeft ∘ fun i ↦ ⇑(algebraMap ℤ R) ∘ fun x ↦ P.pairingIn ℤ x ↑i
⊢ LinearIndependent ℤ fun i x ↦ P.pairingIn ℤ x ↑i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsRootSystem
this :
  ⇑(Matrix.diagLinearMap (↥b.support ⊕ ι) R R) ∘ h =
    ⇑Sum.elimZeroLeft ∘ fun i ↦ ⇑(algebraMap ℤ R) ∘ fun x ↦ P.pairingIn ℤ x ↑i
⊢ b.cartanMatrix.det ≠ 0

Tactic:
← Matrix.nondegenerate_iff_det_ne_zero

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsRootSystem
this :
  ⇑(Matrix.diagLinearMap (↥b.support ⊕ ι) R R) ∘ h =
    ⇑Sum.elimZeroLeft ∘ fun i ↦ ⇑(algebraMap ℤ R) ∘ fun x ↦ P.pairingIn ℤ x ↑i
⊢ b.cartanMatrix.Nondegenerate
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsRootSystem
this :
  ⇑(Matrix.diagLinearMap (↥b.support ⊕ ι) R R) ∘ h =
    ⇑Sum.elimZeroLeft ∘ fun i ↦ ⇑(algebraMap ℤ R) ∘ fun x ↦ P.pairingIn ℤ x ↑i
⊢ b.cartanMatrix.Nondegenerate

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsRootSystem
this :
  ⇑(Matrix.diagLinearMap (↥b.support ⊕ ι) R R) ∘ h =
    ⇑Sum.elimZeroLeft ∘ fun i ↦ ⇑(algebraMap ℤ R) ∘ fun x ↦ P.pairingIn ℤ x ↑i
⊢ b.cartanMatrix.Nondegenerate
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ range h ⊆ ↑(Matrix.diagonalLinearMap (↥b.support ⊕ ι) R R).range

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ range h ⊆ ↑(Matrix.diagonalLinearMap (↥b.support ⊕ ι) R R).range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
⊢ Matrix.diagonal (0 ⊕ᵥ fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑i)) ∈ ↑(Matrix.diagonalLinearMap (↥b.support ⊕ ι) R R).range

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
⊢ Matrix.diagonal (0 ⊕ᵥ fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑i)) ∈ ↑(Matrix.diagonalLinearMap (↥b.support ⊕ ι) R R).range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hk : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
hkj : k ≠ j
hk' : P.root k + P.root i ∈ range ⇑P.root
hm : 0 < P.pairingIn ℤ j k
⊢ P.root j - P.root k ∈ range ⇑P.root

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hk : P.root k + P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
hkj : k ≠ j
hk' : P.root k + P.root i ∈ range ⇑P.root
hm : 0 < P.pairingIn ℤ j k
⊢ P.root j - P.root k ∈ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
j k : ι
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hij : l ≠ j
hi : l ∈ b.support
hk' : P.root k + P.root l ∈ range ⇑P.root
hl : k = j
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
j k : ι
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hij : l ≠ j
hi : l ∈ b.support
hk' : P.root k + P.root l ∈ range ⇑P.root
hl : k = j
⊢ False