mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ContinuousENorm ε
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
f : α → ε
c : ℝ≥0∞
⊢ c ^ (1 / p.toReal) * eLpNorm' f p.toReal μ = c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm' f p.toReal μ

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ContinuousENorm ε
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
f : α → ε
c : ℝ≥0∞
⊢ c ^ (1 / p.toReal) * eLpNorm' f p.toReal μ = c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm' f p.toReal μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: case e_a.e_a
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ContinuousENorm ε
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ∞
f : α → ε
c : ℝ≥0∞
⊢ p.toReal⁻¹ = p.toReal⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: p q : ℝ
h : p.HolderConjugate q
⊢ ENNReal.ofReal 1 = ENNReal.ofReal 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: p q : ℝ
hp : 0 < 1 - p⁻¹
h : p⁻¹ + q⁻¹ = 1
hp' : 0 < p
⊢ 0 < q

Tactic:
]

Goal state after:
p q : ℝ
hp : 0 < 1 - p⁻¹
h : p⁻¹ + q⁻¹ = 1
hp' : 0 < p
⊢ 0 < q
Module: Mathlib.Analysis.Convex.SpecificFunctions.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inr
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs'✝ : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
hs' : 0 < s
⊢ log (1 + s) / s < log (1 + p * s) / p / s

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs'✝ : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
hs' : 0 < s
⊢ log (1 + s) / s < log (1 + p * s) / p / s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.SpecificFunctions.Basic

Goal state before:
pp: case e'_3
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs'✝ : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
hs' : 0 < s
⊢ log (1 + s) / s = log (1 + s) / s

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: p q : ℝ≥0
⊢ ↑1 < ↑p ∧ (↑p)⁻¹ + (↑q)⁻¹ = ↑1 ↔ 1 < p ∧ p⁻¹ + q⁻¹ = 1

Tactic:
]

Goal state after:
p q : ℝ≥0
⊢ ↑1 < ↑p ∧ (↑p)⁻¹ + (↑q)⁻¹ = ↑1 ↔ 1 < p ∧ p⁻¹ + q⁻¹ = 1
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: p q : ℝ≥0
hp : 1 < p
⊢ ↑q = ↑p / ↑(p - 1) ↔ q = p / (p - 1)

Tactic:
]

Goal state after:
p q : ℝ≥0
hp : 1 < p
⊢ ↑q = ↑p / ↑(p - 1) ↔ q = p / (p - 1)
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: p : ℝ≥0
hp : 1 < p
⊢ ↑(p / (p - 1)) = 1 + (↑p - 1)⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
p : ℝ≥0
hp : 1 < p
⊢ ↑(p / (p - 1)) = 1 + (↑p - 1)⁻¹
Module: Mathlib.Analysis.Convex.SpecificFunctions.Basic

Goal state before:
pp: case e'_4
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs'✝ : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
hs' : 0 < s
⊢ log (1 + p * s) / (p * s) = log (1 + p * s) / (p * s)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: p : ℝ≥0
hp : 1 < p
⊢ ↑(p / (p - 1)) = 1 + ↑(p - 1)⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
p : ℝ≥0
hp : 1 < p
⊢ ↑(p / (p - 1)) = 1 + ↑(p - 1)⁻¹
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: p : ℝ≥0
hp : 1 < p
⊢ p = p

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: case refine_1
p q r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
h : (↑p).HolderTriple ↑q ↑r
⊢ p⁻¹ + q⁻¹ = r⁻¹ ∧ 0 < p ∧ 0 < q

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
p q r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
h : (↑p).HolderTriple ↑q ↑r
⊢ p⁻¹ + q⁻¹ = r⁻¹ ∧ 0 < p ∧ 0 < q
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: case refine_2
p q r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
h : p.HolderTriple q r
⊢ (↑p)⁻¹ + (↑q)⁻¹ = (↑r)⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
p q r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
h : p.HolderTriple q r
⊢ (↑p)⁻¹ + (↑q)⁻¹ = (↑r)⁻¹
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: p q r : ℝ≥0∞
h : p.toReal.HolderTriple q.toReal r.toReal
hp : 0 < p ∧ p < ∞
hq : 0 < q ∧ q < ∞
hr : 0 < r ∧ r < ∞
⊢ p.HolderTriple q r

Tactic:
]

Goal state after:
p q r : ℝ≥0∞
h : p.toReal.HolderTriple q.toReal r.toReal
hp : 0 < p ∧ p < ∞
hq : 0 < q ∧ q < ∞
hr : 0 < r ∧ r < ∞
⊢ p.HolderTriple q r
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ContinuousENorm ε
f : α → ε
c : ℝ≥0∞
⊢ c ^ (1 / 1).toReal • eLpNorm f 1 μ = c * eLpNorm f 1 μ

pp: case hp_ne_top
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ContinuousENorm ε
f : α → ε
c : ℝ≥0∞
⊢ 1 ≠ ∞

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ContinuousENorm ε
f : α → ε
c : ℝ≥0∞
⊢ c ^ (1 / 1).toReal • eLpNorm f 1 μ = c * eLpNorm f 1 μ

case hp_ne_top
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ContinuousENorm ε
f : α → ε
c : ℝ≥0∞
⊢ 1 ≠ ∞
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: p q r : ℝ≥0∞
hp : 0 < p ∧ p < ∞
hq : 0 < q ∧ q < ∞
h : p.HolderTriple q r
⊢ p.toReal⁻¹ + q.toReal⁻¹ = r.toReal⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
p q r : ℝ≥0∞
hp : 0 < p ∧ p < ∞
hq : 0 < q ∧ q < ∞
h : p.HolderTriple q r
⊢ p.toReal⁻¹ + q.toReal⁻¹ = r.toReal⁻¹
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ContinuousENorm ε
c : ℝ≥0∞
μ μ' : Measure α
h : μ' ≤ c • μ
f : α → ε
p : ℝ≥0∞
⊢ c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm f p μ ≤ c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm f p μ

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ContinuousENorm ε
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ∞
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → ε
hf : MemLp f p μ
⊢ c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm f p μ < ∞

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ContinuousENorm ε
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ∞
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → ε
hf : MemLp f p μ
⊢ c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm f p μ < ∞
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: p q : ℝ≥0∞
h : p.toReal.HolderTriple q.toReal 1
⊢ p.HolderConjugate q

Tactic:
]

Goal state after:
p q : ℝ≥0∞
h : p.toReal.HolderTriple q.toReal 1
⊢ p.HolderConjugate q
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: p q : ℝ≥0∞
hp : 1 < p.toReal
h : p.HolderConjugate q
⊢ 0 < q ∧ q < ∞

Tactic:
]

Goal state after:
p q : ℝ≥0∞
hp : 1 < p.toReal
h : p.HolderConjugate q
⊢ 0 < q ∧ q < ∞
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
⊢ (1 + (p - 1)⁻¹)⁻¹ + p⁻¹ = 1⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
⊢ (1 + (p - 1)⁻¹)⁻¹ + p⁻¹ = 1⁻¹
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
⊢ 1 + (p - 1)⁻¹ = (1⁻¹ - p⁻¹)⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
⊢ 1 + (p - 1)⁻¹ = (1⁻¹ - p⁻¹)⁻¹
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
ε : Type u_8
inst✝ : ENorm ε
f : α → ε
μ ν : Measure α
⊢ ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ∂μ + ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ∂ν = ∫⁻ (x : α), ‖f x‖ₑ ∂μ + ∫⁻ (x : α), ‖f x‖ₑ ∂ν

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ContinuousENorm ε
f : α → ε
μ ν : Measure α
p : ℝ≥0∞
⊢ eLpNorm f p μ ≤ eLpNorm f p μ

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ 1 + (p - 1)⁻¹ = 1 + (p - 1)⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ContinuousENorm ε
f : α → ε
μ ν : Measure α
p : ℝ≥0∞
⊢ eLpNorm f p ν ≤ eLpNorm f p ν

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.SpecificFunctions.Basic

Goal state before:
pp: p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)

Tactic:
have hy : 0 < y := hx.trans_lt hxy

Goal state after:
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.SpecificFunctions.Basic

Goal state before:
pp: p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
⊢ x < y

Tactic:
]

Goal state after:
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
⊢ x < y
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ContinuousENorm ε
f : α → ε
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h : MemLp (fun x ↦ ‖f x‖ₑ) p μ
⊢ eLpNorm (fun x ↦ ‖f x‖ₑ) p μ < ∞

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ContinuousENorm ε
f : α → ε
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h : MemLp (fun x ↦ ‖f x‖ₑ) p μ
⊢ eLpNorm (fun x ↦ ‖f x‖ₑ) p μ < ∞
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h : MemLp (fun x ↦ ‖f x‖) p μ
⊢ eLpNorm (fun x ↦ ‖f x‖) p μ < ∞

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h : MemLp (fun x ↦ ‖f x‖) p μ
⊢ eLpNorm (fun x ↦ ‖f x‖) p μ < ∞
Module: Mathlib.Analysis.Convex.SpecificFunctions.Basic

Goal state before:
pp: p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
q : 0 < y - x
⊢ 1 + p * (x / y - 1) < (1 + (x / y - 1)) ^ p

Tactic:
]

Goal state after:
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
q : 0 < y - x
⊢ 1 + p * (x / y - 1) < (1 + (x / y - 1)) ^ p
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Slope

Goal state before:
pp: case e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : y < a
⊢ -(f x - f a) / -(x - a) = (f a - f x) / (a - x)

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : y < a
⊢ -(f x - f a) / -(x - a) = (f a - f x) / (a - x)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ESeminormedAddMonoid ε
f : α → ε
hq0_lt : 0 < q
hf_zero : f =ᵐ[μ] 0
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ 1 - p⁻¹ = 1⁻¹ - p⁻¹

pp: case h0
p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ p ≠ 0

pp: case ht
p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ p ≠ ∞

pp: p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ 0 < 1 → 1 < p → p⁻¹ ≠ ∞

pp: case ha
p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ p ≠ 0 ∨ (p - 1)⁻¹ ≠ ∞

pp: case hb
p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ p ≠ ∞ ∨ (p - 1)⁻¹ ≠ 0

pp: p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ 1 ≤ p

Tactic:
]

Goal state after:
p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ 1 - p⁻¹ = 1⁻¹ - p⁻¹

case h0
p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ p ≠ 0

case ht
p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ p ≠ ∞

p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ 0 < 1 → 1 < p → p⁻¹ ≠ ∞

case ha
p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ p ≠ 0 ∨ (p - 1)⁻¹ ≠ ∞

case hb
p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ p ≠ ∞ ∨ (p - 1)⁻¹ ≠ 0

p : ℝ≥0∞
hp✝ : 1 ≤ p
this : p ≠ 0
hp₁ : 1 < p
hp : p ≠ ∞
⊢ 1 ≤ p
Module: Mathlib.Analysis.Convex.SpecificFunctions.Basic

Goal state before:
pp: p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
q : 0 < y - x
⊢ 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ∨ x ≤ 0 ∧ y ≤ 0

Tactic:
]

Goal state after:
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
q : 0 < y - x
⊢ 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y ∨ x ≤ 0 ∧ y ≤ 0
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Slope

Goal state before:
pp: case e'_4
𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : y < a
⊢ -(f y - f a) / -(y - a) = (f a - f y) / (a - y)

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_4
𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : y < a
⊢ -(f y - f a) / -(y - a) = (f a - f y) / (a - y)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ESeminormedAddMonoid ε
hq0_ne : q ≠ 0
hμ : μ ≠ 0
f : α → ε
hf_zero : f =ᵐ[μ] 0
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ESeminormedAddMonoid ε
f : α → ε
hf : f =ᵐ[μ] 0
⊢ eLpNorm f p μ = eLpNorm 0 p μ

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ESeminormedAddMonoid ε
f : α → ε
hf : f =ᵐ[μ] 0
⊢ eLpNorm f p μ = eLpNorm 0 p μ
Module: Mathlib.Analysis.Convex.SpecificFunctions.Basic

Goal state before:
pp: p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
q : 0 < y - x
⊢ x / y ≠ 1

Tactic:
]

Goal state after:
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
q : 0 < y - x
⊢ x / y ≠ 1
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ESeminormedAddMonoid ε
f : α → ε
p : ℝ
hp : 0 < p
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ₑ = 0
⊢ eLpNorm' f p μ = eLpNorm' 0 p μ

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ESeminormedAddMonoid ε
f : α → ε
p : ℝ
hp : 0 < p
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ₑ = 0
⊢ eLpNorm' f p μ = eLpNorm' 0 p μ
Module: Mathlib.Analysis.Convex.SpecificFunctions.Basic

Goal state before:
pp: p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
⊢ y < z

Tactic:
]

Goal state after:
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
⊢ y < z
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Slope

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : a < y
⊢ -(f x - f a) / -(x - a) = (f a - f x) / (a - x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya✝ : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x < a
hya : a < y
⊢ -(f x - f a) / -(x - a) = (f a - f x) / (a - x)
Module: Mathlib.Data.Real.ConjExponents

Goal state before:
pp: case inr
p q : ℝ≥0∞
h : p.HolderConjugate q
hq : q ≠ ∞
⊢ p = p

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.SpecificFunctions.Basic

Goal state before:
pp: p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
q : 0 < z - y
⊢ 1 + p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p

Tactic:
]

Goal state after:
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
q : 0 < z - y
⊢ 1 + p * (z / y - 1) < (1 + (z / y - 1)) ^ p
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_1
F : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f : α → F
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp₀ : p ≠ 0
hp : p ≠ ∞
⊢ ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ < ∞

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr
α : Type u_1
F : Type u_5
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f : α → F
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp₀ : p ≠ 0
hp : p ≠ ∞
⊢ ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ < ∞
Module: Mathlib.Analysis.Convex.SpecificFunctions.Basic

Goal state before:
pp: p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
q : 0 < z - y
⊢ 0 ≤ z ∧ 0 ≤ y ∨ z ≤ 0 ∧ y ≤ 0

Tactic:
]

Goal state after:
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
q : 0 < z - y
⊢ 0 ≤ z ∧ 0 ≤ y ∨ z ≤ 0 ∧ y ≤ 0
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Slope

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
z : 𝕜
hz : z ∈ s ∩ Set.Ioi y
⊢ y ∈ Set.Ioo x z

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
z : 𝕜
hz : z ∈ s ∩ Set.Ioi y
⊢ y ∈ Set.Ioo x z
Module: Mathlib.Analysis.Convex.SpecificFunctions.Basic

Goal state before:
pp: p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
q : 0 < z - y
⊢ z / y ≠ 1

Tactic:
]

Goal state after:
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
q : 0 < z - y
⊢ z / y ≠ 1
Module: Mathlib.Analysis.Convex.SpecificFunctions.Basic

Goal state before:
pp: p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p
q : 0 < z - y
⊢ z / y - 1 ≠ 0

Tactic:
rw [sub_ne_zero]
      exact ((one_lt_div hy).mpr hyz).ne'

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ENormedAddMonoid ε
f : α → ε
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h0 : p ≠ 0
h_top : p = ∞
⊢ f =ᵐ[μ] 0 ↔ f =ᵐ[μ] 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ENormedAddMonoid ε
f : α → ε
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h0 : p ≠ 0
h_top : ¬p = ∞
⊢ eLpNorm' f p.toReal μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ] 0

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
ε : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : ENormedAddMonoid ε
f : α → ε
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h0 : p ≠ 0
h_top : ¬p = ∞
⊢ eLpNorm' f p.toReal μ = 0 ↔ f =ᵐ[μ] 0
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Slope

Goal state before:
pp: case inr.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ y ∈ Set.Icc x u

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ y ∈ Set.Icc x u
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Slope

Goal state before:
pp: case inr.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ u ∈ Set.Ioo y v

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : 𝕜
hx : x ∈ s
hxy : x < y
hxy' : f x < f y
u : 𝕜
hu : u ∈ s ∩ Set.Ici y
v : 𝕜
hv : v ∈ s ∩ Set.Ici y
huv : u < v
step1 : ∀ {z : 𝕜}, z ∈ s ∩ Set.Ioi y → f y < f z
hu2 : y < u
⊢ u ∈ Set.Ioo y v
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSeminorm.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
β : Type u_8
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
ν : Measure β
g : β →ₘ[ν] E
hf : MeasurePreserving f μ ν
⊢ eLpNorm (↑g ∘ f) p μ = eLpNorm (↑g) p ν

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
β : Type u_8
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
ν : Measure β
g : β →ₘ[ν] E
hf : MeasurePreserving f μ ν
⊢ eLpNorm (↑g ∘ f) p μ = eLpNorm (↑g) p ν
Module: Mathlib.Analysis.Convex.SpecificFunctions.Basic

Goal state before:
pp: x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hx' : 0 < -x
hy' : 0 < -y
hxy' : -x ≠ -y
⊢ log (a • x + b • y) = log (a • x + b • y)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.SpecificFunctions.Basic

Goal state before:
pp: t : ℝ
ht : -1 ≤ t ∧ t ≤ 1
x : ℝ
⊢ rexp (t * x) ≤ cosh x + t * sinh x

Tactic:
]

Goal state after:
t : ℝ
ht : -1 ≤ t ∧ t ≤ 1
x : ℝ
⊢ rexp (t * x) ≤ cosh x + t * sinh x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.SpecificFunctions.Basic

Goal state before:
pp: t : ℝ
ht : -1 ≤ t ∧ t ≤ 1
x : ℝ
⊢ (1 + t) / 2 + (1 - t) / 2 = 1

Tactic:
by ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.SpecificFunctions.Basic

Goal state before:
pp: t : ℝ
ht : -1 ≤ t ∧ t ≤ 1
x : ℝ
⊢ (1 + t) / 2 * rexp x + (1 - t) / 2 * rexp (-x) = (rexp x + rexp (-x)) / 2 + t * ((rexp x - rexp (-x)) / 2)

Tactic:
]

Goal state after:
t : ℝ
ht : -1 ≤ t ∧ t ≤ 1
x : ℝ
⊢ (1 + t) / 2 * rexp x + (1 - t) / 2 * rexp (-x) = (rexp x + rexp (-x)) / 2 + t * ((rexp x - rexp (-x)) / 2)