mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : V
n : ℕ
v : Fin n → V
⊢ LinearIndependent K ((Fin.cons x v ∘ ⇑(finSuccEquiv n).symm) ∘ some) ∧
      (Fin.cons x v ∘ ⇑(finSuccEquiv n).symm) none ∉ span K (range ((Fin.cons x v ∘ ⇑(finSuccEquiv n).symm) ∘ some)) ↔
    LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : V
n : ℕ
v : Fin n → V
⊢ LinearIndependent K ((Fin.cons x v ∘ ⇑(finSuccEquiv n).symm) ∘ some) ∧
      (Fin.cons x v ∘ ⇑(finSuccEquiv n).symm) none ∉ span K (range ((Fin.cons x v ∘ ⇑(finSuccEquiv n).symm) ∘ some)) ↔
    LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : V
n : ℕ
v : Fin n → V
⊢ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
s : Set M
s' : Submonoid (Multiplicative M) := Submonoid.closure s
h : of' R M m ∈ Submodule.span R ↑(Submonoid.map (of R M) s')
h' : Submonoid.map (of R M) s' = Submonoid.closure (⇑(of R M) '' s)
⊢ Multiplicative.ofAdd m ∈ Submonoid.closure (⇑Multiplicative.toAdd ⁻¹' s)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
s : Set M
s' : Submonoid (Multiplicative M) := Submonoid.closure s
h : of' R M m ∈ Submodule.span R ↑(Submonoid.map (of R M) s')
h' : Submonoid.map (of R M) s' = Submonoid.closure (⇑(of R M) '' s)
⊢ Multiplicative.ofAdd m ∈ Submonoid.closure (⇑Multiplicative.toAdd ⁻¹' s)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u_6
K : Type u_7
M : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R K M
inst✝ : FaithfulSMul R K
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
x : M
hx : x ∉ span K (range v)
c : R
y : M
hcy : y ∈ span R (range v)
heq : c • x + y = 0
hc : ¬c = 0
⊢ ¬c = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_6
K : Type u_7
M : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R K M
inst✝ : FaithfulSMul R K
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
x : M
hx : x ∉ span K (range v)
c : R
y : M
hcy : y ∈ span R (range v)
heq : c • x + y = 0
hc : ¬c = 0
⊢ ¬c = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u_6
K : Type u_7
M : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R K M
inst✝ : FaithfulSMul R K
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
x : M
hx : x ∉ span K (range v)
c : R
y : M
hcy : y ∈ span R (range v)
heq : (algebraMap R K) c • x + y = 0
hc : ¬c = 0
hc' : (algebraMap R K) c ≠ 0
⊢ x ∈ span K (range v)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_6
K : Type u_7
M : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R K M
inst✝ : FaithfulSMul R K
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
x : M
hx : x ∉ span K (range v)
c : R
y : M
hcy : y ∈ span R (range v)
heq : (algebraMap R K) c • x + y = 0
hc : ¬c = 0
hc' : (algebraMap R K) c ≠ 0
⊢ x ∈ span K (range v)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u_6
K : Type u_7
M : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R K M
inst✝ : FaithfulSMul R K
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
x : M
hx : x ∉ span K (range v)
c : R
y : M
hcy : y ∈ span R (range v)
heq : (algebraMap R K) c • x + y = 0
hc : ¬c = 0
hc' : (algebraMap R K) c ≠ 0
⊢ -(((algebraMap R K) c)⁻¹ • y) ∈ span K (range v)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_6
K : Type u_7
M : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : Module K M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R K M
inst✝ : FaithfulSMul R K
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
x : M
hx : x ∉ span K (range v)
c : R
y : M
hcy : y ∈ span R (range v)
heq : (algebraMap R K) c • x + y = 0
hc : ¬c = 0
hc' : (algebraMap R K) c ≠ 0
⊢ -(((algebraMap R K) c)⁻¹ • y) ∈ span K (range v)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → V
⊢ LinearIndependent K v ↔ LinearIndependent K v

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : Fin 2 → V
⊢ Fin.tail f default = f (Fin.succ 0)

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : Fin 2 → V
⊢ Fin.tail f default = f (Fin.succ 0)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : Fin 2 → V
⊢ (f 1 ≠ 0 ∧ ∀ (x : K), ¬x • f 1 = f 0) ↔ f 1 ≠ 0 ∧ ∀ (a : K), a • f 1 ≠ f 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Group.Pointwise.Set.ListOfFn

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
s : Set α
a : α
n : ℕ
⊢ a ∈ s ^ n ↔ a ∈ s ^ n

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
⊢ #(image₂ f s t) = #(s ×ˢ t) ↔ InjOn (fun x ↦ f x.1 x.2) ↑(s ×ˢ t)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
⊢ #(image₂ f s t) = #(s ×ˢ t) ↔ InjOn (fun x ↦ f x.1 x.2) ↑(s ×ˢ t)
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b : β
hf : Injective2 f
⊢ a ∈ s ∧ b ∈ t ↔ a ∈ s ∧ b ∈ t

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
hs : s ⊆ s'
ht : t ⊆ t'
⊢ image2 f ↑s ↑t ⊆ image2 f ↑s' ↑t'

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
hs : s ⊆ s'
ht : t ⊆ t'
⊢ image2 f ↑s ↑t ⊆ image2 f ↑s' ↑t'
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (image2 f ↑s ↑t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
⊢ (image2 f ↑s ↑t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
t : Set V
hsp : span K t = span K (range v)
hli : LinearIndependent K Subtype.val
f : ⦃a : V⦄ → a ∈ t → ι
hf : ∀ ⦃a : V⦄ (a_1 : a ∈ t), v (f a_1) = a
s : Set ι := range fun a ↦ f ⋯
hs : ∀ {i : ι}, i ∈ s → v i ∈ t
f' : ↑s → ↑t := fun a ↦ ⟨v ↑a, ⋯⟩
⊢ LinearIndependent (ι := ↑s) K (Subtype.val ∘ f')

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
t : Set V
hsp : span K t = span K (range v)
hli : LinearIndependent K Subtype.val
f : ⦃a : V⦄ → a ∈ t → ι
hf : ∀ ⦃a : V⦄ (a_1 : a ∈ t), v (f a_1) = a
s : Set ι := range fun a ↦ f ⋯
hs : ∀ {i : ι}, i ∈ s → v i ∈ t
f' : ↑s → ↑t := fun a ↦ ⟨v ↑a, ⋯⟩
⊢ LinearIndependent (ι := ↑s) K (Subtype.val ∘ f')
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
t : Finset β
a : α
hf : Injective (f a)
⊢ #t = #t

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
b : β
hf : Injective fun a ↦ f a b
⊢ #s = #s

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Set V
t✝¹ : Finset V
hs : LinearIndepOn K id s
hst✝ : s ⊆ ↑(span K ↑t✝¹)
t✝ : Finset V
b₁ : V
t : Finset V
hb₁t : b₁ ∉ t
ih :
  ∀ (s' : Finset V),
    ↑s' ⊆ s → s ∩ ↑t = ∅ → s ⊆ ↑(span K ↑(s' ∪ t)) → ∃ t', ↑t' ⊆ s ∪ ↑t ∧ s ⊆ ↑t' ∧ t'.card = (s' ∪ t).card
s' : Finset V
hs' : ↑s' ⊆ s
hst : s ∩ ↑(insert b₁ t) = ∅
hss' : s ⊆ ↑(span K ↑(s' ∪ insert b₁ t))
h : b₁ ∈ s
this : b₁ ∈ ∅
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Set V
t✝¹ : Finset V
hs : LinearIndepOn K id s
hst✝ : s ⊆ ↑(span K ↑t✝¹)
t✝ : Finset V
b₁ : V
t : Finset V
hb₁t : b₁ ∉ t
ih :
  ∀ (s' : Finset V),
    ↑s' ⊆ s → s ∩ ↑t = ∅ → s ⊆ ↑(span K ↑(s' ∪ t)) → ∃ t', ↑t' ⊆ s ∪ ↑t ∧ s ⊆ ↑t' ∧ t'.card = (s' ∪ t).card
s' : Finset V
hs' : ↑s' ⊆ s
hst : s ∩ ↑(insert b₁ t) = ∅
hss' : s ⊆ ↑(span K ↑(s' ∪ insert b₁ t))
h : b₁ ∈ s
this : b₁ ∈ ∅
⊢ False
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_7
inst✝³ : DecidableEq α'
inst✝² : DecidableEq β'
inst✝¹ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
inst✝ : DecidableEq δ
g : γ → δ
f' : β' → α' → δ
g₁ : β → β'
g₂ : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ b) (g₂ a)
⊢ image g (image₂ (fun a b ↦ f b a) t s) = image₂ f' (image g₁ t) (image g₂ s)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_7
inst✝³ : DecidableEq α'
inst✝² : DecidableEq β'
inst✝¹ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
inst✝ : DecidableEq δ
g : γ → δ
f' : β' → α' → δ
g₁ : β → β'
g₂ : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ b) (g₂ a)
⊢ image g (image₂ (fun a b ↦ f b a) t s) = image₂ f' (image g₁ t) (image g₂ s)
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
inst✝² : DecidableEq α'
inst✝¹ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
inst✝ : DecidableEq δ
g : γ → δ
f' : β → α' → δ
g' : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' b (g' a)
⊢ g '' image2 f ↑s ↑t = image2 f' (↑t) (g' '' ↑s)

Tactic:
exact image_image2_antidistrib_right h_antidistrib

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → γ → γ
a : α
h : ∀ (b : γ), f a b = b
t : Finset γ
⊢ ↑t = ↑t

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : γ → β → γ
b : β
h : ∀ (a : γ), f a b = a
s : Finset γ
⊢ s = s

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: case insert
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s✝ : Finset α
t : Finset β
a : α
s : Finset α
a✝ : a ∉ s
ih : #t ∣ #(image₂ f s t)
hf : ∀ a_1 ∈ insert a s, Injective (f a_1)
hs : ((fun a ↦ image (f a) t) '' ↑(insert a s)).PairwiseDisjoint id
⊢ #t ∣ #(image (fun b ↦ f a b) t ∪ image₂ f s t)

Tactic:
]

Goal state after:
case insert
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s✝ : Finset α
t : Finset β
a : α
s : Finset α
a✝ : a ∉ s
ih : #t ∣ #(image₂ f s t)
hf : ∀ a_1 ∈ insert a s, Injective (f a_1)
hs : ((fun a ↦ image (f a) t) '' ↑(insert a s)).PairwiseDisjoint id
⊢ #t ∣ #(image (fun b ↦ f a b) t ∪ image₂ f s t)
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s✝ : Finset α
t : Finset β
a : α
s : Finset α
a✝ : a ∉ s
ih : #t ∣ #(image₂ f s t)
hf : ∀ a_1 ∈ insert a s, Injective (f a_1)
hs : ((fun a ↦ image (f a) t) '' ↑(insert a s)).PairwiseDisjoint id
h : Disjoint (image (f a) t) (image₂ f s t)
⊢ #t ∣ #(image (f a) t) + #(image₂ f s t)

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s✝ : Finset α
t : Finset β
a : α
s : Finset α
a✝ : a ∉ s
ih : #t ∣ #(image₂ f s t)
hf : ∀ a_1 ∈ insert a s, Injective (f a_1)
hs : ((fun a ↦ image (f a) t) '' ↑(insert a s)).PairwiseDisjoint id
h : Disjoint (image (f a) t) (image₂ f s t)
⊢ #t ∣ #(image (f a) t) + #(image₂ f s t)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Set V
t✝¹ : Finset V
hs : LinearIndepOn K id s
hst✝¹ : s ⊆ ↑(span K ↑t✝¹)
t✝ : Finset V
b₁ : V
t : Finset V
hb₁t : b₁ ∉ t
ih :
  ∀ (s' : Finset V),
    ↑s' ⊆ s → s ∩ ↑t = ∅ → s ⊆ ↑(span K ↑(s' ∪ t)) → ∃ t', ↑t' ⊆ s ∪ ↑t ∧ s ⊆ ↑t' ∧ t'.card = (s' ∪ t).card
s' : Finset V
hs' : ↑s' ⊆ s
hst✝ : s ∩ ↑(insert b₁ t) = ∅
hss' : s ⊆ ↑(span K ↑(s' ∪ insert b₁ t))
hb₁s : b₁ ∉ s
hb₁s' : b₁ ∉ s'
hst : s ∩ ↑t = ∅
this✝¹ : ¬s ⊆ ↑(span K ↑(s' ∪ t))
b₂ : V
hb₂s : b₂ ∈ s
hb₂t : b₂ ∉ ↑(span K ↑(s' ∪ t))
hb₂t' : b₂ ∉ s' ∪ t
b₃ : V
hb₃✝ : b₃ ∈ s
this✝ : ↑(s' ∪ insert b₁ t) ⊆ insert b₁ (insert b₂ ↑(s' ∪ t))
hb₃ : b₃ ∈ span K (insert b₂ ↑(s' ∪ t))
this : s ⊆ ↑(span K (insert b₁ ↑(s' ∪ t)))
hb₁ : b₁ ∈ span K (insert b₂ ↑(s' ∪ t))
⊢ b₃ ∈ ↑(span K ↑(insert b₂ s' ∪ t))

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Set V
t✝¹ : Finset V
hs : LinearIndepOn K id s
hst✝¹ : s ⊆ ↑(span K ↑t✝¹)
t✝ : Finset V
b₁ : V
t : Finset V
hb₁t : b₁ ∉ t
ih :
  ∀ (s' : Finset V),
    ↑s' ⊆ s → s ∩ ↑t = ∅ → s ⊆ ↑(span K ↑(s' ∪ t)) → ∃ t', ↑t' ⊆ s ∪ ↑t ∧ s ⊆ ↑t' ∧ t'.card = (s' ∪ t).card
s' : Finset V
hs' : ↑s' ⊆ s
hst✝ : s ∩ ↑(insert b₁ t) = ∅
hss' : s ⊆ ↑(span K ↑(s' ∪ insert b₁ t))
hb₁s : b₁ ∉ s
hb₁s' : b₁ ∉ s'
hst : s ∩ ↑t = ∅
this✝¹ : ¬s ⊆ ↑(span K ↑(s' ∪ t))
b₂ : V
hb₂s : b₂ ∈ s
hb₂t : b₂ ∉ ↑(span K ↑(s' ∪ t))
hb₂t' : b₂ ∉ s' ∪ t
b₃ : V
hb₃✝ : b₃ ∈ s
this✝ : ↑(s' ∪ insert b₁ t) ⊆ insert b₁ (insert b₂ ↑(s' ∪ t))
hb₃ : b₃ ∈ span K (insert b₂ ↑(s' ∪ t))
this : s ⊆ ↑(span K (insert b₁ ↑(s' ∪ t)))
hb₁ : b₁ ∈ span K (insert b₂ ↑(s' ∪ t))
⊢ b₃ ∈ ↑(span K ↑(insert b₂ s' ∪ t))
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s✝ : Finset α
t : Finset β
a : α
s : Finset α
a✝ : a ∉ s
ih : #t ∣ #(image₂ f s t)
hf : ∀ a_1 ∈ insert a s, Injective (f a_1)
hs : ((fun a ↦ image (f a) t) '' ↑(insert a s)).PairwiseDisjoint id
b : α
hb : b ∈ s
h : ¬Disjoint (image (f a) t) (image (f b) t)
⊢ #t ∣ #(image₂ f s t)

pp: case neg
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s✝ : Finset α
t : Finset β
a : α
s : Finset α
a✝ : a ∉ s
ih : #t ∣ #(image₂ f s t)
hf : ∀ a_1 ∈ insert a s, Injective (f a_1)
hs : ((fun a ↦ image (f a) t) '' ↑(insert a s)).PairwiseDisjoint id
b : α
hb : b ∈ s
h : ¬Disjoint (image (f a) t) (image (f b) t)
⊢ image (fun b ↦ f a b) t ⊆ image₂ f s t

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s✝ : Finset α
t : Finset β
a : α
s : Finset α
a✝ : a ∉ s
ih : #t ∣ #(image₂ f s t)
hf : ∀ a_1 ∈ insert a s, Injective (f a_1)
hs : ((fun a ↦ image (f a) t) '' ↑(insert a s)).PairwiseDisjoint id
b : α
hb : b ∈ s
h : ¬Disjoint (image (f a) t) (image (f b) t)
⊢ #t ∣ #(image₂ f s t)

case neg
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s✝ : Finset α
t : Finset β
a : α
s : Finset α
a✝ : a ∉ s
ih : #t ∣ #(image₂ f s t)
hf : ∀ a_1 ∈ insert a s, Injective (f a_1)
hs : ((fun a ↦ image (f a) t) '' ↑(insert a s)).PairwiseDisjoint id
b : α
hb : b ∈ s
h : ¬Disjoint (image (f a) t) (image (f b) t)
⊢ image (fun b ↦ f a b) t ⊆ image₂ f s t
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a ↦ f a b
ht : ((fun b ↦ image (fun a ↦ f a b) s) '' ↑t).PairwiseDisjoint id
⊢ #s ∣ #(image₂ (fun b a ↦ f a b) t s)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a ↦ f a b
ht : ((fun b ↦ image (fun a ↦ f a b) s) '' ↑t).PairwiseDisjoint id
⊢ #s ∣ #(image₂ (fun b a ↦ f a b) t s)
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
u : Finset γ
s : Set α
t : Set β
hu : ∃ s', ↑s' ⊆ s ×ˢ t ∧ image (fun x ↦ f x.1 x.2) s' = u
⊢ ∃ s' t', ↑s' ⊆ s ∧ ↑t' ⊆ t ∧ u ⊆ image₂ f s' t'

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
u : Finset γ
s : Set α
t : Set β
hu : ∃ s', ↑s' ⊆ s ×ˢ t ∧ image (fun x ↦ f x.1 x.2) s' = u
⊢ ∃ s' t', ↑s' ⊆ s ∧ ↑t' ⊆ t ∧ u ⊆ image₂ f s' t'
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
inst✝ : SemilatticeSup δ
g : γ → δ
a : δ
h : (image₂ f s t).Nonempty
⊢ (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, g (f x y) ≤ a) ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, g (f x y) ≤ a

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
inst✝² : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
inst✝¹ : SemilatticeSup δ
inst✝ : OrderBot δ
g : γ → δ
a : δ
⊢ (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, g (f x y) ≤ a) ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, g (f x y) ≤ a

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Finset.NAry

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_3
γ : Type u_5
δ : Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
inst✝ : SemilatticeInf δ
g : γ → δ
a : δ
h : (image₂ f s t).Nonempty
⊢ (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, a ≤ g (f x y)) ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, a ≤ g (f x y)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Set V
t : Finset V
hs : LinearIndepOn K id s
hst : s ⊆ ↑(span K ↑t)
this :
  ∀ (t s' : Finset V),
    ↑s' ⊆ s → s ∩ ↑t = ∅ → s ⊆ ↑(span K ↑(s' ∪ t)) → ∃ t', ↑t' ⊆ s ∪ ↑t ∧ s ⊆ ↑t' ∧ t'.card = (s' ∪ t).card
eq : {x ∈ t | x ∈ s} ∪ {x ∈ t | x ∉ s} = t
⊢ s ⊆ ↑(span K ↑t)

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Set V
t : Finset V
hs : LinearIndepOn K id s
hst : s ⊆ ↑(span K ↑t)
this :
  ∀ (t s' : Finset V),
    ↑s' ⊆ s → s ∩ ↑t = ∅ → s ⊆ ↑(span K ↑(s' ∪ t)) → ∃ t', ↑t' ⊆ s ∪ ↑t ∧ s ⊆ ↑t' ∧ t'.card = (s' ∪ t).card
eq : {x ∈ t | x ∈ s} ∪ {x ∈ t | x ∉ s} = t
⊢ s ⊆ ↑(span K ↑t)
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Defs

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Mul M
x y : R[M]
m : M
s : Finset (M × M)
hs : ∀ {p : M × M}, p ∈ s ↔ p.1 * p.2 = m
F : M × M → R := fun p ↦ if p.1 * p.2 = m then x.coeff p.1 * y.coeff p.2 else 0
⊢ ∑ m₁ ∈ x.coeff.support, ∑ m₂ ∈ y.coeff.support, F (m₁, m₂) =
    ∑ x_1 ∈ x.coeff.support,
      ∑ y_1 ∈ y.coeff.support,
        if (x_1, y_1).1 * (x_1, y_1).2 = m then x.coeff (x_1, y_1).1 * y.coeff (x_1, y_1).2 else 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas

Goal state before:
pp: K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s t : Set V
ht : t.Finite
hs : LinearIndepOn K id s
hst : s ⊆ ↑(span K t)
this✝ : s ⊆ ↑(span K ↑ht.toFinset)
u : Finset V
_hust : ↑u ⊆ s ∪ ↑ht.toFinset
hsu : s ⊆ ↑u
Eq : u.card = ht.toFinset.card
this : s.Finite
⊢ this.toFinset.card ≤ u.card

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s t : Set V
ht : t.Finite
hs : LinearIndepOn K id s
hst : s ⊆ ↑(span K t)
this✝ : s ⊆ ↑(span K ↑ht.toFinset)
u : Finset V
_hust : ↑u ⊆ s ∪ ↑ht.toFinset
hsu : s ⊆ ↑u
Eq : u.card = ht.toFinset.card
this : s.Finite
⊢ this.toFinset.card ≤ u.card
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Defs

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Mul M
x y : R[M]
m : M
s : Finset (M × M)
hs : ∀ {p : M × M}, p ∈ s ↔ p.1 * p.2 = m
F : M × M → R := fun p ↦ if p.1 * p.2 = m then x.coeff p.1 * y.coeff p.2 else 0
p : M × M
hps : p ∈ s
hp : p ∈ s → x.coeff p.1 ≠ 0 → y.coeff p.2 = 0
h1 : x.coeff p.1 = 0
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Defs

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Mul M
x y : R[M]
m : M
s : Finset (M × M)
hs : ∀ {p : M × M}, p ∈ s ↔ p.1 * p.2 = m
F : M × M → R := fun p ↦ if p.1 * p.2 = m then x.coeff p.1 * y.coeff p.2 else 0
p : M × M
hps : p ∈ s
hp : p ∈ s → x.coeff p.1 ≠ 0 → y.coeff p.2 = 0
h1 : ¬x.coeff p.1 = 0
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.NoZeroDivisors

Goal state before:
pp: case refine_2.inl
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Mul A
f g : R[A]
a0 b0 : A
h : UniqueMul f.coeff.support g.coeff.support a0 b0
hnotMem : ¬(a0 ∈ f.coeff.support ∧ b0 ∈ g.coeff.support)
x✝ : True
af : a0 ∉ f.coeff.support
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.NoZeroDivisors

Goal state before:
pp: case refine_2.inr
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Mul A
f g : R[A]
a0 b0 : A
h : UniqueMul f.coeff.support g.coeff.support a0 b0
hnotMem : ¬(a0 ∈ f.coeff.support ∧ b0 ∈ g.coeff.support)
x✝ : True
bg : b0 ∉ g.coeff.support
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.NoZeroDivisors

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : Mul A
inst✝ : UniqueProds A
a b : R[A]
hab : a.coeff.support.Nonempty ∧ b.coeff.support.Nonempty
da : A
a0 : a.coeff da ≠ 0
db : A
b0 : b.coeff db ≠ 0
h : UniqueMul a.coeff.support b.coeff.support da db
⊢ (a * b).coeff (da * db) ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : Mul A
inst✝ : UniqueProds A
a b : R[A]
hab : a.coeff.support.Nonempty ∧ b.coeff.support.Nonempty
da : A
a0 : a.coeff da ≠ 0
db : A
b0 : b.coeff db ≠ 0
h : UniqueMul a.coeff.support b.coeff.support da db
⊢ (a * b).coeff (da * db) ≠ 0