mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Extrema

Goal state before:
pp: β : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module ℝ β
inst✝¹ : IsOrderedModule ℝ β
inst✝ : PosSMulReflectLE ℝ β
f : ℝ → β
a b : ℝ
a_lt_b : a < b
h_local_min : IsMinFilter f (𝓝[≥] a) a
h_conv : ConvexOn ℝ (Icc a b) f
c : ℝ
hc : c ∈ Icc a b
a_lt_c : a < c
H₁ : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝[>] a, f a ≤ f y
H₂ : ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝[>] a, y ∈ Ioc a c
ya yc : ℝ
ya₀ : 0 ≤ ya
yc₀ : 0 < yc
yac : ya + yc = 1
hfy : f a ≤ f (ya * a + yc * c)
hy_ac : ya * a + yc * c ∈ Ioc a c
⊢ f a = f a

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Exposed

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁶ : Ring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : IsOrderedRing 𝕜
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅
⊢ ∀ (x : E), x ∉ {x | x ∈ A ∧ 1 ≤ 0 x}

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁶ : Ring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : IsOrderedRing 𝕜
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅
⊢ ∀ (x : E), x ∉ {x | x ∈ A ∧ 1 ≤ 0 x}
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Exposed

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁶ : Ring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : IsOrderedRing 𝕜
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅
x : E
h : 1 ≤ 0
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁶ : Ring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : IsOrderedRing 𝕜
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅
x : E
h : 1 ≤ 0
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Extrema

Goal state before:
pp: E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module ℝ β
inst✝¹ : IsOrderedModule ℝ β
inst✝ : PosSMulReflectLE ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
h_localmin : IsLocalMinOn f s (g 0)
hg0 : g 0 = a
hg1 : g 1 = x
hgc : Continuous[_, inst✝⁹] ⇑g
h_maps : MapsTo (⇑g) (Icc 0 1) s
⊢ IsLocalMinOn (f ∘ ⇑g) (Icc 0 1) 0

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module ℝ β
inst✝¹ : IsOrderedModule ℝ β
inst✝ : PosSMulReflectLE ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
h_localmin : IsLocalMinOn f s (g 0)
hg0 : g 0 = a
hg1 : g 1 = x
hgc : Continuous[_, inst✝⁹] ⇑g
h_maps : MapsTo (⇑g) (Icc 0 1) s
⊢ IsLocalMinOn (f ∘ ⇑g) (Icc 0 1) 0
Module: Mathlib.Analysis.Convex.GaugeRescale

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
x : E
⊢ (c * (gauge s x / gauge t x)) • x = (c * (gauge s x / gauge t x)) • x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Exposed

Goal state before:
pp: case insert
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁶ : Ring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
A : Set E
inst✝¹ : IsOrderedRing 𝕜
inst✝ : ContinuousAdd 𝕜
C : Set E
F : Finset (Set E)
a✝ : C ∉ F
hF' : F.Nonempty → (∀ B ∈ F, IsExposed 𝕜 A B) → IsExposed 𝕜 A (⋂₀ ↑F)
hF : (insert C F).Nonempty
hAF : ∀ B ∈ insert C F, IsExposed 𝕜 A B
⊢ IsExposed 𝕜 A (C ∩ ⋂₀ ↑F)

Tactic:
]

Goal state after:
case insert
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁶ : Ring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
A : Set E
inst✝¹ : IsOrderedRing 𝕜
inst✝ : ContinuousAdd 𝕜
C : Set E
F : Finset (Set E)
a✝ : C ∉ F
hF' : F.Nonempty → (∀ B ∈ F, IsExposed 𝕜 A B) → IsExposed 𝕜 A (⋂₀ ↑F)
hF : (insert C F).Nonempty
hAF : ∀ B ∈ insert C F, IsExposed 𝕜 A B
⊢ IsExposed 𝕜 A (C ∩ ⋂₀ ↑F)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.GaugeRescale

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
hx : gauge t x ≠ 0
⊢ gauge s x = gauge s x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Exposed

Goal state before:
pp: case insert.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁶ : Ring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
A : Set E
inst✝¹ : IsOrderedRing 𝕜
inst✝ : ContinuousAdd 𝕜
C : Set E
a✝ : C ∉ ∅
hF' : ∅.Nonempty → (∀ B ∈ ∅, IsExposed 𝕜 A B) → IsExposed 𝕜 A (⋂₀ ↑∅)
hF : (insert C ∅).Nonempty
hAF : ∀ B ∈ insert C ∅, IsExposed 𝕜 A B
⊢ IsExposed 𝕜 A C

Tactic:
]

Goal state after:
case insert.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁶ : Ring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
A : Set E
inst✝¹ : IsOrderedRing 𝕜
inst✝ : ContinuousAdd 𝕜
C : Set E
a✝ : C ∉ ∅
hF' : ∅.Nonempty → (∀ B ∈ ∅, IsExposed 𝕜 A B) → IsExposed 𝕜 A (⋂₀ ↑∅)
hF : (insert C ∅).Nonempty
hAF : ∀ B ∈ insert C ∅, IsExposed 𝕜 A B
⊢ IsExposed 𝕜 A C
Module: Mathlib.Analysis.Convex.GaugeRescale

Goal state before:
pp: case inr
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ x = x

pp: case inr
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ gauge s x ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ gauge s x ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Exposed

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
A B C : Set E
hC : IsExposed 𝕜 B C
hCA : C ⊆ A
⊢ IsExposed 𝕜 (B ∩ A) C

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
A B C : Set E
hC : IsExposed 𝕜 B C
hCA : C ⊆ A
⊢ IsExposed 𝕜 (B ∩ A) C
Module: Mathlib.Analysis.Convex.GaugeRescale

Goal state before:
pp: case inr
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t u : Set E
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ (gauge s x / gauge u x) • x = (gauge s x / gauge u x) • x

pp: case inr
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t u : Set E
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ gauge t x ≠ 0

pp: case inr.hc
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t u : Set E
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ 0 ≤ gauge s x / gauge t x

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t u : Set E
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ gauge t x ≠ 0

case inr.hc
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t u : Set E
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ 0 ≤ gauge s x / gauge t x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Exposed

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
A : Set E
x : E
h : IsExposed 𝕜 A {x}
l : StrongDual 𝕜 E
hl : x ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x} ∧ ∀ x_1 ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}, x_1 = x
⊢ x ∈ exposedPoints 𝕜 A

Tactic:
]

Goal state after:
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
A : Set E
x : E
h : IsExposed 𝕜 A {x}
l : StrongDual 𝕜 E
hl : x ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x} ∧ ∀ x_1 ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}, x_1 = x
⊢ x ∈ exposedPoints 𝕜 A
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Continuous

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x₀ : E
ε r M : ℝ
hf : ConvexOn ℝ (ball x₀ r) f
hε : 0 < ε
hM : ∀ (a : E), dist a x₀ < r → |f a| ≤ M
K : ℝ := 2 * M / ε
hK : K = 2 * M / ε
x y : E
hx : x ∈ ball x₀ (r - ε)
hy : y ∈ ball x₀ (r - ε)
hxy : x ≠ y
hx₀r : ball x₀ (r - ε) ⊆ ball x₀ r
hx' : x ∈ ball x₀ r
hy' : y ∈ ball x₀ r
z : E := x + (ε / ‖x - y‖) • (x - y)
⊢ x ≠ y

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x₀ : E
ε r M : ℝ
hf : ConvexOn ℝ (ball x₀ r) f
hε : 0 < ε
hM : ∀ (a : E), dist a x₀ < r → |f a| ≤ M
K : ℝ := 2 * M / ε
hK : K = 2 * M / ε
x y : E
hx : x ∈ ball x₀ (r - ε)
hy : y ∈ ball x₀ (r - ε)
hxy : x ≠ y
hx₀r : ball x₀ (r - ε) ⊆ ball x₀ r
hx' : x ∈ ball x₀ r
hy' : y ∈ ball x₀ r
z : E := x + (ε / ‖x - y‖) • (x - y)
⊢ x ≠ y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.GaugeRescale

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ x = x

pp: case hsa
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ Absorbent ℝ s

pp: case hsb
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ IsVonNBounded ℝ s

pp: case hta
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ Absorbent ℝ t

pp: case htb
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ IsVonNBounded ℝ t

Tactic:
]

Goal state after:
case hsa
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ Absorbent ℝ s

case hsb
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ IsVonNBounded ℝ s

case hta
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ Absorbent ℝ t

case htb
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ IsVonNBounded ℝ t
Module: Mathlib.Analysis.Convex.GaugeRescale

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ x = x

pp: case hsa
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ Absorbent ℝ t

pp: case hsb
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ IsVonNBounded ℝ t

pp: case hta
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ Absorbent ℝ s

pp: case htb
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ IsVonNBounded ℝ s

Tactic:
]

Goal state after:
case hsa
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ Absorbent ℝ t

case hsb
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ IsVonNBounded ℝ t

case hta
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ Absorbent ℝ s

case htb
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hta : Absorbent ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
⊢ IsVonNBounded ℝ s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Exposed

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : Ring 𝕜
inst✝⁴ : LinearOrder 𝕜
inst✝³ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
A : Set E
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
l : StrongDual 𝕜 E
hAB : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
hxB : x ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
hl : ConvexOn 𝕜 univ ⇑l
hlx₁ : l x₁ ≤ l x
hlx₂ : l x₂ ≤ l x
y : E
hy : y ∈ A
⊢ l y ≤ l x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : Ring 𝕜
inst✝⁴ : LinearOrder 𝕜
inst✝³ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
A : Set E
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
l : StrongDual 𝕜 E
hAB : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
hxB : x ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
hl : ConvexOn 𝕜 univ ⇑l
hlx₁ : l x₁ ≤ l x
hlx₂ : l x₂ ≤ l x
y : E
hy : y ∈ A
⊢ l y ≤ l x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.GaugeRescale

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
h₀ : t ∈ 𝓝 0
hc : Convex ℝ t
x : E
hx : x ∈ interior s
⊢ gauge t (gaugeRescale s t x) < 1

pp: case hc
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
h₀ : t ∈ 𝓝 0
hc : Convex ℝ t
x : E
hx : x ∈ interior s
⊢ Convex ℝ t

pp: case hs₀
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
h₀ : t ∈ 𝓝 0
hc : Convex ℝ t
x : E
hx : x ∈ interior s
⊢ t ∈ 𝓝 0

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
h₀ : t ∈ 𝓝 0
hc : Convex ℝ t
x : E
hx : x ∈ interior s
⊢ gauge t (gaugeRescale s t x) < 1

case hc
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
h₀ : t ∈ 𝓝 0
hc : Convex ℝ t
x : E
hx : x ∈ interior s
⊢ Convex ℝ t

case hs₀
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
h₀ : t ∈ 𝓝 0
hc : Convex ℝ t
x : E
hx : x ∈ interior s
⊢ t ∈ 𝓝 0
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Independent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Subsingleton ι
p : ι → E
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) (p '' s)
this : s.Nonempty
⊢ x ∈ s

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Subsingleton ι
p : ι → E
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) (p '' s)
this : s.Nonempty
⊢ x ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Independent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Subsingleton ι
p : ι → E
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) (p '' s)
this : s.Nonempty
⊢ s.Nonempty

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Subsingleton ι
p : ι → E
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) (p '' s)
this : s.Nonempty
⊢ s.Nonempty
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Independent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
i j : ι
hij : p i = p j
⊢ p j ∈ {p j}

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
i j : ι
hij : p i = p j
⊢ p j ∈ {p j}
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Independent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι' : Type u_4
f : ι' ↪ ι
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
s : Set ι'
x : ι'
hx : (p ∘ ⇑f) x ∈ (convexHull 𝕜) (p ∘ ⇑f '' s)
⊢ f x ∈ ⇑f '' s

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι' : Type u_4
f : ι' ↪ ι
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
s : Set ι'
x : ι'
hx : (p ∘ ⇑f) x ∈ (convexHull 𝕜) (p ∘ ⇑f '' s)
⊢ f x ∈ ⇑f '' s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Independent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι' : Type u_4
f : ι' ↪ ι
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
s : Set ι'
x : ι'
hx : (p ∘ ⇑f) x ∈ (convexHull 𝕜) (p ∘ ⇑f '' s)
⊢ p (f x) ∈ (convexHull 𝕜) ((fun x ↦ p (f x)) '' s)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι' : Type u_4
f : ι' ↪ ι
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
s : Set ι'
x : ι'
hx : (p ∘ ⇑f) x ∈ (convexHull 𝕜) (p ∘ ⇑f '' s)
⊢ p (f x) ∈ (convexHull 𝕜) ((fun x ↦ p (f x)) '' s)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Independent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x ↦ Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := ⋯ }
x✝ : { x // x ∈ Set.range p }
⊢ ↑x✝ = ↑x✝

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.GaugeRescale

Goal state before:
pp: case inl
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hs : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ht : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t
hta : Absorbent ℝ t
⊢ Tendsto (gaugeRescale s t) (𝓝 0) (𝓝 0)

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hs : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ht : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t
hta : Absorbent ℝ t
⊢ Tendsto (gaugeRescale s t) (𝓝 0) (𝓝 0)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Independent

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
i : ι
s : Set ι
h : i ∈ s \ {i}
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
i : ι
s : Set ι
h : i ∈ s \ {i}
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Convex

Goal state before:
pp: case refine_1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s t : Set E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht : t ∈ 𝓝ˢ s
U : Set E
hU₁ : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] U
hU₂ : s ⊆ U
hU₃ : U ⊆ t
V : Set E
hV₁ : V ∈ 𝓝 0
hV₂ : V + s ⊆ U
b : AffineBasis (Fin (finrank ℝ E + 1)) ℝ E
hb₁ : 0 ∈ interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b))
hb₂ : (convexHull ℝ) (range ⇑b) ⊆ V
u : Finset E
hu₁ : ↑u ⊆ s
hu₃ : s ⊆ ⋃ i ∈ ↑u, interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b)) + {i}
⊢ s ⊆ interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b) + (convexHull ℝ) ↑u)

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s t : Set E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht : t ∈ 𝓝ˢ s
U : Set E
hU₁ : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] U
hU₂ : s ⊆ U
hU₃ : U ⊆ t
V : Set E
hV₁ : V ∈ 𝓝 0
hV₂ : V + s ⊆ U
b : AffineBasis (Fin (finrank ℝ E + 1)) ℝ E
hb₁ : 0 ∈ interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b))
hb₂ : (convexHull ℝ) (range ⇑b) ⊆ V
u : Finset E
hu₁ : ↑u ⊆ s
hu₃ : s ⊆ ⋃ i ∈ ↑u, interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b)) + {i}
⊢ s ⊆ interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b) + (convexHull ℝ) ↑u)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Continuous

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x₀ : E
ε r M : ℝ
hf : ConvexOn ℝ (ball x₀ r) f
hε : 0 < ε
hM : ∀ (a : E), dist a x₀ < r → |f a| ≤ M
K : ℝ := 2 * M / ε
hK : K = 2 * M / ε
x y : E
hx : x ∈ ball x₀ (r - ε)
hy : y ∈ ball x₀ (r - ε)
hx₀r : ball x₀ (r - ε) ⊆ ball x₀ r
hx' : x ∈ ball x₀ r
hy' : y ∈ ball x₀ r
z : E := x + (ε / ‖x - y‖) • (x - y)
hxy : 0 < ‖x - y‖
hz : z ∈ ball x₀ r
a : ℝ := ε / (ε + ‖x - y‖)
b : ℝ := ‖x - y‖ / (ε + ‖x - y‖)
hab : a + b = 1
⊢ x = x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Independent

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
h : ∀ (i : ι) (s : Set ι), p i ∉ (convexHull 𝕜) (p '' (s \ {i}))
s : Set ι
i : ι
hi : p i ∈ (convexHull 𝕜) (p '' s)
H : i ∉ s
⊢ p i ∈ (convexHull 𝕜) (p '' s)

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
h : ∀ (i : ι) (s : Set ι), p i ∉ (convexHull 𝕜) (p '' (s \ {i}))
s : Set ι
i : ι
hi : p i ∈ (convexHull 𝕜) (p '' s)
H : i ∉ s
⊢ p i ∈ (convexHull 𝕜) (p '' s)