mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Volume.Measure

Goal state before:
pp: V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
inst✝⁵ : BorelSpace V
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : MeasurableSpace P
inst✝¹ : BorelSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p : P
v : V
hv : v ≠ 0
t : Set P
ht : MeasurableSet t
hrank : finrank ℝ ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).direction = 1
hrank' : finrank ℝ ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).directionᗮ = finrank ℝ V - 1
f : ℝ ≃L[ℝ] ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).direction :=
  (ContinuousLinearEquiv.toSpanNonzeroSingleton ℝ v hv).trans
    (ContinuousLinearEquiv.ofEq (ℝ ∙ v) (AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).direction ⋯)
hf : MeasurableEmbedding ⇑f
p' : ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)) := ⟨p, ⋯⟩
g : ℝ → ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)) := ⇑(IsometryEquiv.vaddConst p') ∘ ⇑f
hadd : MeasurableEmbedding ⇑(IsometryEquiv.vaddConst p')
hg : MeasurableEmbedding g
hm : μHE[finrank ℝ ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).direction] = ‖v‖ₑ • map g volume
hx : ∀ (x : ℝ), x • v +ᵥ p = ↑(g x)
⊢ ∫⁻ (x : ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v))),
      μHE[finrank ℝ ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).directionᗮ]
        (t ∩
          ↑(AffineSubspace.mk' (↑x)
              (AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).directionᗮ)) ∂μHE[finrank ℝ ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).direction] =
    ‖v‖ₑ * ∫⁻ (x : ℝ), μHE[finrank ℝ V - 1] (t ∩ ↑(AffineSubspace.mk' (↑(g x)) (ℝ ∙ v)ᗮ))

Tactic:
hm,

Goal state after:
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
inst✝⁵ : BorelSpace V
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : MeasurableSpace P
inst✝¹ : BorelSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p : P
v : V
hv : v ≠ 0
t : Set P
ht : MeasurableSet t
hrank : finrank ℝ ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).direction = 1
hrank' : finrank ℝ ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).directionᗮ = finrank ℝ V - 1
f : ℝ ≃L[ℝ] ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).direction :=
  (ContinuousLinearEquiv.toSpanNonzeroSingleton ℝ v hv).trans
    (ContinuousLinearEquiv.ofEq (ℝ ∙ v) (AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).direction ⋯)
hf : MeasurableEmbedding ⇑f
p' : ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)) := ⟨p, ⋯⟩
g : ℝ → ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)) := ⇑(IsometryEquiv.vaddConst p') ∘ ⇑f
hadd : MeasurableEmbedding ⇑(IsometryEquiv.vaddConst p')
hg : MeasurableEmbedding g
hm : μHE[finrank ℝ ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).direction] = ‖v‖ₑ • map g volume
hx : ∀ (x : ℝ), x • v +ᵥ p = ↑(g x)
⊢ ∫⁻ (x : ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v))),
      μHE[finrank ℝ ↥(AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).directionᗮ]
        (t ∩ ↑(AffineSubspace.mk' (↑x) (AffineSubspace.mk' p (ℝ ∙ v)).directionᗮ)) ∂‖v‖ₑ • map g volume =
    ‖v‖ₑ * ∫⁻ (x : ℝ), μHE[finrank ℝ V - 1] (t ∩ ↑(AffineSubspace.mk' (↑(g x)) (ℝ ∙ v)ᗮ))
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.OfNorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ 4⁻¹ *
      (↑‖x + y‖ * ↑‖x + y‖ - ↑‖x - y‖ * ↑‖x - y‖ + -I * ↑‖I • y + x‖ * ↑‖I • y + x‖ -
        -I * ↑‖I • y - x‖ * ↑‖I • y - x‖) =
    4⁻¹ *
      (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ -
        I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ 4⁻¹ *
      (↑‖x + y‖ * ↑‖x + y‖ - ↑‖x - y‖ * ↑‖x - y‖ + -I * ↑‖I • y + x‖ * ↑‖I • y + x‖ -
        -I * ↑‖I • y - x‖ * ↑‖I • y - x‖) =
    4⁻¹ *
      (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ -
        I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case neg
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
s : Set X
r : ℝ≥0∞
x✝ : r > 0
t : ℕ → Set X
ht : s ⊆ iUnion t
n : ℕ
hn : r < ediam (t n)
⊢ ∞ = ∞

pp: case neg.hnc
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
s : Set X
r : ℝ≥0∞
x✝ : r > 0
t : ℕ → Set X
ht : s ⊆ iUnion t
n : ℕ
hn : r < ediam (t n)
⊢ ¬ediam (t n) ≤ r

pp: case neg.hc
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
s : Set X
r : ℝ≥0∞
x✝ : r > 0
t : ℕ → Set X
ht : s ⊆ iUnion t
n : ℕ
hn : r < ediam (t n)
⊢ (t n).Nonempty

Tactic:
]

Goal state after:
case neg.hnc
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
s : Set X
r : ℝ≥0∞
x✝ : r > 0
t : ℕ → Set X
ht : s ⊆ iUnion t
n : ℕ
hn : r < ediam (t n)
⊢ ¬ediam (t n) ≤ r

case neg.hc
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
s : Set X
r : ℝ≥0∞
x✝ : r > 0
t : ℕ → Set X
ht : s ⊆ iUnion t
n : ℕ
hn : r < ediam (t n)
⊢ (t n).Nonempty
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.OfNorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
hI : ¬I = 0
hI' : I * I = -1
v : E
⊢ ‖v‖ = ‖v‖

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.NormDet

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝⁴ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 V
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : U →ₗ[𝕜] V
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 U
h : ¬f.ker = ⊥
h0 : (Matrix.gram 𝕜 fun x ↦ f.rangeRestrict (b x)).det ≠ 0
⊢ Fintype.card ι ≤ finrank 𝕜 ↥f.range

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝⁴ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 V
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : U →ₗ[𝕜] V
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 U
h : ¬f.ker = ⊥
h0 : (Matrix.gram 𝕜 fun x ↦ f.rangeRestrict (b x)).det ≠ 0
⊢ Fintype.card ι ≤ finrank 𝕜 ↥f.range
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
μ : Measure X
ε : ℝ≥0∞
h₀ : 0 < ε
h : ∀ (s : Set X), ediam s ≤ ε → μ s ≤ m (ediam s)
⊢ μ.toOuterMeasure ≤ OuterMeasure.mkMetric m

Tactic:
]

Goal state after:
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
μ : Measure X
ε : ℝ≥0∞
h₀ : 0 < ε
h : ∀ (s : Set X), ediam s ≤ ε → μ s ≤ m (ediam s)
⊢ μ.toOuterMeasure ≤ OuterMeasure.mkMetric m
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.OfNorm

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
hI : ¬I = 0
hI' : I * I = -1
I_smul : ∀ (v : E), ‖I • v‖ = ‖v‖
h₁ : ‖I • y - x‖ = ‖I • x + y‖
h₂ : ‖I • y + x‖ = ‖I • x - y‖
⊢ 4⁻¹ *
      (↑‖x + y‖ * ↑‖x + y‖ - ↑‖x - y‖ * ↑‖x - y‖ + -I * ↑‖I • x - y‖ * ↑‖I • x - y‖ -
        -I * ↑‖I • x + y‖ * ↑‖I • x + y‖) =
    4⁻¹ *
      (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ -
        I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
hI : ¬I = 0
hI' : I * I = -1
I_smul : ∀ (v : E), ‖I • v‖ = ‖v‖
h₁ : ‖I • y - x‖ = ‖I • x + y‖
h₂ : ‖I • y + x‖ = ‖I • x - y‖
⊢ 4⁻¹ *
      (↑‖x + y‖ * ↑‖x + y‖ - ↑‖x - y‖ * ↑‖x - y‖ + -I * ↑‖I • x - y‖ * ↑‖I • x - y‖ -
        -I * ↑‖I • x + y‖ * ↑‖I • x + y‖) =
    4⁻¹ *
      (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ -
        I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.NormDet

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝⁴ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 W
f : U →ₗ[𝕜] V
g : V →ₗ[𝕜] W
hf : f.ker = ⊥
bu : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 U := stdOrthonormalBasis 𝕜 U
bv : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 ↥f.range
hgf : (g ∘ₗ f).ker = ⊥
bw : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 ↥(g ∘ₗ f).range
bw' : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 ↥(g.domRestrict f.range).range :=
  bw.map (LinearIsometryEquiv.ofEq (g ∘ₗ f).range (g.domRestrict f.range).range ⋯)
⊢ ‖((toMatrix bu.toBasis bw.toBasis) (g ∘ₗ f).rangeRestrict).det‖ =
    ‖((toMatrix bv.toBasis bw'.toBasis) (g.domRestrict f.range).rangeRestrict).det‖ *
      ‖((toMatrix bu.toBasis bv.toBasis) f.rangeRestrict).det‖

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝⁴ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 W
f : U →ₗ[𝕜] V
g : V →ₗ[𝕜] W
hf : f.ker = ⊥
bu : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 U := stdOrthonormalBasis 𝕜 U
bv : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 ↥f.range
hgf : (g ∘ₗ f).ker = ⊥
bw : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 ↥(g ∘ₗ f).range
bw' : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 ↥(g.domRestrict f.range).range :=
  bw.map (LinearIsometryEquiv.ofEq (g ∘ₗ f).range (g.domRestrict f.range).range ⋯)
⊢ ‖((toMatrix bu.toBasis bw.toBasis) (g ∘ₗ f).rangeRestrict).det‖ =
    ‖((toMatrix bv.toBasis bw'.toBasis) (g.domRestrict f.range).rangeRestrict).det‖ *
      ‖((toMatrix bu.toBasis bv.toBasis) f.rangeRestrict).det‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: X : Type u_2
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), ediam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
c : ℝ≥0∞
hc : liminf (fun n ↦ ∑' (i : ι n), m (ediam (t n i))) l < c
n : β
hn : ∑' (i : ι n), m (ediam (t n i)) < c
hrn : r n < ε
htn : ∀ (i : ι n), ediam (t n i) ≤ r n
hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i
u : ℕ → Set X := fun j ↦ ⋃ b ∈ decode₂ (ι n) j, t n b
⊢ s ⊆ ⋃ b, t n b

Tactic:
]

Goal state after:
X : Type u_2
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), ediam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
c : ℝ≥0∞
hc : liminf (fun n ↦ ∑' (i : ι n), m (ediam (t n i))) l < c
n : β
hn : ∑' (i : ι n), m (ediam (t n i)) < c
hrn : r n < ε
htn : ∀ (i : ι n), ediam (t n i) ≤ r n
hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i
u : ℕ → Set X := fun j ↦ ⋃ b ∈ decode₂ (ι n) j, t n b
⊢ s ⊆ ⋃ b, t n b
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.NormDet

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝⁴ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 W
f : U →ₗ[𝕜] V
g : V →ₗ[𝕜] W
hf : f.ker = ⊥
bu : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 U := stdOrthonormalBasis 𝕜 U
bv : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 ↥f.range
hgf : (g ∘ₗ f).ker = ⊥
bw : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 ↥(g ∘ₗ f).range
bw' : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 ↥(g.domRestrict f.range).range :=
  bw.map (LinearIsometryEquiv.ofEq (g ∘ₗ f).range (g.domRestrict f.range).range ⋯)
⊢ ‖((toMatrix bu.toBasis bw.toBasis) (g ∘ₗ f).rangeRestrict).det‖ =
    ‖((toMatrix bu.toBasis bw'.toBasis) ((g.domRestrict f.range).rangeRestrict ∘ₗ f.rangeRestrict)).det‖

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝⁴ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 W
f : U →ₗ[𝕜] V
g : V →ₗ[𝕜] W
hf : f.ker = ⊥
bu : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 U := stdOrthonormalBasis 𝕜 U
bv : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 ↥f.range
hgf : (g ∘ₗ f).ker = ⊥
bw : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 ↥(g ∘ₗ f).range
bw' : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 ↥(g.domRestrict f.range).range :=
  bw.map (LinearIsometryEquiv.ofEq (g ∘ₗ f).range (g.domRestrict f.range).range ⋯)
⊢ ‖((toMatrix bu.toBasis bw.toBasis) (g ∘ₗ f).rangeRestrict).det‖ =
    ‖((toMatrix bu.toBasis bw'.toBasis) ((g.domRestrict f.range).rangeRestrict ∘ₗ f.rangeRestrict)).det‖
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.NormDet

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝⁴ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 W
f : U →ₗ[𝕜] V
g : V →ₗ[𝕜] W
bu : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 U := stdOrthonormalBasis 𝕜 U
bv : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 ↥f.range
hgf : ¬(g ∘ₗ f).ker = ⊥
hgf' : (g.domRestrict f.range).ker = ⊥
⊢ ¬(g.domRestrict f.range ∘ₗ f.rangeRestrict).ker = ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝⁴ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 W
f : U →ₗ[𝕜] V
g : V →ₗ[𝕜] W
bu : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 U := stdOrthonormalBasis 𝕜 U
bv : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 ↥f.range
hgf : ¬(g ∘ₗ f).ker = ⊥
hgf' : (g.domRestrict f.range).ker = ⊥
⊢ ¬(g.domRestrict f.range ∘ₗ f.rangeRestrict).ker = ⊥
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case refine_1
X : Type u_2
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), ediam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
c : ℝ≥0∞
hc : liminf (fun n ↦ ∑' (i : ι n), m (ediam (t n i))) l < c
n : β
hn : ∑' (i : ι n), m (ediam (t n i)) < c
hrn : r n < ε
htn : ∀ (i : ι n), ediam (t n i) ≤ r n
hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i
u : ℕ → Set X := fun j ↦ ⋃ b ∈ decode₂ (ι n) j, t n b
j : ℕ
⊢ ⨆ i ∈ decode₂ (ι n) j, ediam (t n i) ≤ ε

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
X : Type u_2
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), ediam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
c : ℝ≥0∞
hc : liminf (fun n ↦ ∑' (i : ι n), m (ediam (t n i))) l < c
n : β
hn : ∑' (i : ι n), m (ediam (t n i)) < c
hrn : r n < ε
htn : ∀ (i : ι n), ediam (t n i) ≤ r n
hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i
u : ℕ → Set X := fun j ↦ ⋃ b ∈ decode₂ (ι n) j, t n b
j : ℕ
⊢ ⨆ i ∈ decode₂ (ι n) j, ediam (t n i) ≤ ε
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.NormDet

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝⁵ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 W
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 V
f : U →ₗ[𝕜] V
g : V →ₗ[𝕜] W
h : finrank 𝕜 U = finrank 𝕜 V
htop : f.range = ⊤
⊢ (g.domRestrict f.range).normDet * f.normDet = g.normDet * f.normDet

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝⁵ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 W
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 V
f : U →ₗ[𝕜] V
g : V →ₗ[𝕜] W
h : finrank 𝕜 U = finrank 𝕜 V
htop : f.range = ⊤
⊢ (g.domRestrict f.range).normDet * f.normDet = g.normDet * f.normDet
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ∞
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
⊢ ¬(c = 0 ∧ (d₂ - d₁)⁻¹ ≠ 0)

Tactic:
]

Goal state after:
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ∞
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
⊢ ¬(c = 0 ∧ (d₂ - d₁)⁻¹ ≠ 0)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ∞
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
r : ℝ≥0
hr₀ : 0 ≤ ↑r
hrc : ↑r < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
⊢ ↑r ^ d₂ / ↑r ^ d₁ ≤ ↑c

Tactic:
]

Goal state after:
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ∞
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
r : ℝ≥0
hr₀ : 0 ≤ ↑r
hrc : ↑r < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
⊢ ↑r ^ d₂ / ↑r ^ d₁ ≤ ↑c
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.NormDet

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup U
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 V
p : Submodule 𝕜 V
f : U →ₗ[𝕜] V
h : ∀ (c : U), f c ∈ p
this : f = p.subtype ∘ₗ codRestrict p f h
⊢ (codRestrict p f h).normDet = (p.subtype.domRestrict (codRestrict p f h).range).normDet * (codRestrict p f h).normDet

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup U
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 V
p : Submodule 𝕜 V
f : U →ₗ[𝕜] V
h : ∀ (c : U), f c ∈ p
this : f = p.subtype ∘ₗ codRestrict p f h
⊢ (codRestrict p f h).normDet = (p.subtype.domRestrict (codRestrict p f h).range).normDet * (codRestrict p f h).normDet
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Reproducing

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : RKHS 𝕜 H X V
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace V
x : X
⊢ ‖adjoint (kerFun H x) ∘SL kerFun H x‖ = ‖adjoint (kerFun H x) ∘SL kerFun H x‖

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Reproducing

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : RKHS 𝕜 H X V
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace V
x : X
⊢ ‖kerFun H x‖ = ‖kerFun H x‖

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.NormDet

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝³ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 V
f : U →ₗ[𝕜] V
⊢ LinearMap.det (adjoint f ∘ₗ f) = ↑(∏ i, f.singularValues ↑i ^ 2)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝³ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 V
f : U →ₗ[𝕜] V
⊢ LinearMap.det (adjoint f ∘ₗ f) = ↑(∏ i, f.singularValues ↑i ^ 2)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Reproducing

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : RKHS 𝕜 H X V
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace V
x y : X
⊢ ‖adjoint (kerFun H x)‖ * ‖kerFun H y‖ ≤ √‖kernel H x x‖ * √‖kernel H y y‖

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : RKHS 𝕜 H X V
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace V
x y : X
⊢ ‖adjoint (kerFun H x)‖ * ‖kerFun H y‖ ≤ √‖kernel H x x‖ * √‖kernel H y y‖
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Reproducing

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : RKHS 𝕜 H X V
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace V
x y : X
⊢ ‖kernel H x y‖ ≤ √‖kernel H x x‖ * √‖kernel H y y‖

Tactic:
grw [kernel_apply, opNorm_comp_le]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : RKHS 𝕜 H X V
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace V
x y : X
⊢ ‖adjoint (kerFun H x)‖ * ‖kerFun H y‖ ≤ √‖kernel H x x‖ * √‖kernel H y y‖
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Reproducing

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : RKHS 𝕜 H X V
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace V
x y : X
⊢ (√‖kernel H x x‖ * √‖kernel H y y‖) ^ 2 ≤ ‖kernel H x x‖ * ‖kernel H y y‖

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : RKHS 𝕜 H X V
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace V
x y : X
⊢ (√‖kernel H x x‖ * √‖kernel H y y‖) ^ 2 ≤ ‖kernel H x x‖ * ‖kernel H y y‖
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.NormDet

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝³ : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 V
f : U →ₗ[𝕜] V
⊢ LinearMap.det (adjoint f ∘ₗ f) = LinearMap.det (adjoint f ∘ₗ f)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Reproducing

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝² : RKHS 𝕜 H X V
inst✝¹ : CompleteSpace H
inst✝ : CompleteSpace V
f : H
x : X
⊢ ‖f‖ * √‖kernel H x x‖ ≤ ‖f‖ * √‖kernel H x x‖

Tactic:
]

Goal state after: