mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
y z : ↥(↑f).domain
c : FiniteArchimedeanClass M
hy : ↑y - x ∈ ball K c
hz : ↑z - x ∈ ball K c
d : FiniteArchimedeanClass M
hd : d ≤ c
this : ↑(y - z) = ↑y - x - (↑z - x)
⊢ ↑y - x - (↑z - x) ∈ ball K c

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
y z : ↥(↑f).domain
c : FiniteArchimedeanClass M
hy : ↑y - x ∈ ball K c
hz : ↑z - x ∈ ball K c
d : FiniteArchimedeanClass M
hd : d ≤ c
this : ↑(y - z) = ↑y - x - (↑z - x)
⊢ ↑y - x - (↑z - x) ∈ ball K c
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹¹ : DivisionRing K
inst✝¹⁰ : LinearOrder K
inst✝⁹ : IsOrderedRing K
inst✝⁸ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : LinearOrder M
inst✝⁵ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
x : M
c : FiniteArchimedeanClass M
h : ¬∃ y, ↑y - x ∈ ball K c
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
⊢ ∀ (f_1 : ℕ → FiniteArchimedeanClass M), StrictAnti f_1 → ¬∀ (n : ℕ), f_1 n ∈ Function.support (f.evalCoeff x)

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
⊢ ∀ (f_1 : ℕ → FiniteArchimedeanClass M), StrictAnti f_1 → ¬∀ (n : ℕ), f_1 n ∈ Function.support (f.evalCoeff x)
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
seq : ℕ → FiniteArchimedeanClass M
hanti : StrictAnti seq
y : ↥(↑f).domain
hy : ↑y - x ∈ ball K (seq 0)
n : ℕ
hmem : f.evalCoeff x (seq n) ≠ 0
⊢ (ofLex (↑↑f y)).coeff (seq n) ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
seq : ℕ → FiniteArchimedeanClass M
hanti : StrictAnti seq
y : ↥(↑f).domain
hy : ↑y - x ∈ ball K (seq 0)
n : ℕ
hmem : f.evalCoeff x (seq n) ≠ 0
⊢ (ofLex (↑↑f y)).coeff (seq n) ≠ 0
Module: Mathlib.RingTheory.HahnSeries.Multiplication

Goal state before:
pp: case hfg
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
V : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid Γ
inst✝⁴ : LinearOrder Γ
inst✝³ : IsOrderedCancelAddMonoid Γ
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : IsCancelAdd R
inst✝ : IsCancelMulZero R
x : R⟦Γ⟧
hx : x ≠ 0
y z : R⟦Γ⟧
this✝ : AddCancelCommMonoid R := { toAddCommMonoid := inst✝².toAddCommMonoid, toIsLeftCancelAdd := ⋯ }
hyz : ∃ x, ¬y.coeff x = z.coeff x
this : {a | y.coeff a ≠ z.coeff a}.IsWF
a : Γ := this.min hyz
ha : y.coeff a ≠ z.coeff a
b c : Γ
hxb : ¬x.coeff c = 0
hbc : b + c = a + x.order
hbc' : y.coeff b ≠ z.coeff b
⊢ b + c = this.min hyz + x.order

Tactic:
]

Goal state after:
case hfg
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
V : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid Γ
inst✝⁴ : LinearOrder Γ
inst✝³ : IsOrderedCancelAddMonoid Γ
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : IsCancelAdd R
inst✝ : IsCancelMulZero R
x : R⟦Γ⟧
hx : x ≠ 0
y z : R⟦Γ⟧
this✝ : AddCancelCommMonoid R := { toAddCommMonoid := inst✝².toAddCommMonoid, toIsLeftCancelAdd := ⋯ }
hyz : ∃ x, ¬y.coeff x = z.coeff x
this : {a | y.coeff a ≠ z.coeff a}.IsWF
a : Γ := this.min hyz
ha : y.coeff a ≠ z.coeff a
b c : Γ
hxb : ¬x.coeff c = 0
hbc : b + c = a + x.order
hbc' : y.coeff b ≠ z.coeff b
⊢ b + c = this.min hyz + x.order
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
seq : ℕ → FiniteArchimedeanClass M
hanti : StrictAnti seq
hmem : ∀ (n : ℕ), seq n ∈ Function.support (f.evalCoeff x)
y : ↥(↑f).domain
hy : ↑y - x ∈ ball K (seq 0)
hmem' : ∀ (n : ℕ), seq n ∈ Function.support (ofLex (↑↑f y)).coeff
hwf : True
⊢ ¬∀ (f_1 : ℕ → FiniteArchimedeanClass M), StrictAnti f_1 → ¬∀ (n : ℕ), f_1 n ∈ (ofLex (↑↑f y)).support

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
seq : ℕ → FiniteArchimedeanClass M
hanti : StrictAnti seq
hmem : ∀ (n : ℕ), seq n ∈ Function.support (f.evalCoeff x)
y : ↥(↑f).domain
hy : ↑y - x ∈ ball K (seq 0)
hmem' : ∀ (n : ℕ), seq n ∈ Function.support (ofLex (↑↑f y)).coeff
hwf : True
⊢ ¬∀ (f_1 : ℕ → FiniteArchimedeanClass M), StrictAnti f_1 → ¬∀ (n : ℕ), f_1 n ∈ (ofLex (↑↑f y)).support
Module: Mathlib.RingTheory.HahnSeries.Multiplication

Goal state before:
pp: case a
Γ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommMonoid Γ
inst✝³ : LinearOrder Γ
inst✝² : IsOrderedCancelAddMonoid Γ
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
x y : R⟦Γ⟧
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ⋯.min ⋯ ≤ ⋯.min ⋯

Tactic:
]

Goal state after:
case a
Γ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommMonoid Γ
inst✝³ : LinearOrder Γ
inst✝² : IsOrderedCancelAddMonoid Γ
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
x y : R⟦Γ⟧
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ ⋯.min ⋯ ≤ ⋯.min ⋯
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: case e'_2.e'_5
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
c : FiniteArchimedeanClass M
⊢ (ofLex (↑↑f 0)).coeff c = coeff 0 c

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_2.e'_5
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
c : FiniteArchimedeanClass M
⊢ (ofLex (↑↑f 0)).coeff c = coeff 0 c
Module: Mathlib.Algebra.Order.Ring.Units

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
⊢ ∃ a, ∀ (b : Rˣ), Xor (b * a ∈ posSubgroup R) (b ∈ posSubgroup R)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
⊢ ∃ a, ∀ (b : Rˣ), Xor (b * a ∈ posSubgroup R) (b ∈ posSubgroup R)
Module: Mathlib.Algebra.Star.Conjneg

Goal state before:
pp: G : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : StarRing R
f : G → R
⊢ f = 0 ↔ f = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Star.Conjneg

Goal state before:
pp: G : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : StarRing R
f : G → R
⊢ f = 1 ↔ f = 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: case neg
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
k : K
x : M
hk : ¬k = 0
⊢ { coeff := f.evalCoeff (k • x), isPWO_support' := ⋯ } = k • { coeff := f.evalCoeff x, isPWO_support' := ⋯ }

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
k : K
x : M
hk : ¬k = 0
⊢ { coeff := f.evalCoeff (k • x), isPWO_support' := ⋯ } = k • { coeff := f.evalCoeff x, isPWO_support' := ⋯ }
Module: Mathlib.Algebra.Order.Star.Pi

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝⁴ : Finite ι
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → PartialOrder (A i)
inst✝² : (i : ι) → NonUnitalSemiring (A i)
inst✝¹ : (i : ι) → StarRing (A i)
inst✝ : ∀ (i : ι), StarOrderedRing (A i)
xa xy : (i : ι) → A i
⊢ closure (Set.range fun s ↦ star s * s) = closure (Set.univ.pi fun i ↦ Set.range fun s ↦ star s * s)

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Finite ι
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → PartialOrder (A i)
inst✝² : (i : ι) → NonUnitalSemiring (A i)
inst✝¹ : (i : ι) → StarRing (A i)
inst✝ : ∀ (i : ι), StarOrderedRing (A i)
xa xy : (i : ι) → A i
⊢ closure (Set.range fun s ↦ star s * s) = closure (Set.univ.pi fun i ↦ Set.range fun s ↦ star s * s)
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
k : K
x : M
hk : ¬k = 0
c : FiniteArchimedeanClass M
y : ↥(↑f).domain
hy : ↑y - x ∈ ball K c
heq : ↑(k • y) - k • x = k • (↑y - x)
⊢ k • (↑y - x) ∈ ball K c

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
k : K
x : M
hk : ¬k = 0
c : FiniteArchimedeanClass M
y : ↥(↑f).domain
hy : ↑y - x ∈ ball K c
heq : ↑(k • y) - k • x = k • (↑y - x)
⊢ k • (↑y - x) ∈ ball K c
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
y : ↥(↑f).domain
h : f.eval x = ↑↑f y
z : ↥(↑f).domain
this : x - ↑y = x - ↑z + (↑z - ↑y)
⊢ ArchimedeanClass.mk (x - ↑z) ≤ ArchimedeanClass.mk (x - ↑z + (↑z - ↑y))

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
y : ↥(↑f).domain
h : f.eval x = ↑↑f y
z : ↥(↑f).domain
this : x - ↑y = x - ↑z + (↑z - ↑y)
⊢ ArchimedeanClass.mk (x - ↑z) ≤ ArchimedeanClass.mk (x - ↑z + (↑z - ↑y))
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
y : ↥(↑f).domain
h : f.eval x = ↑↑f y
z : ↥(↑f).domain
this : x - ↑y = x - ↑z + (↑z - ↑y)
hyz : ¬↑z - ↑y = 0
c : FiniteArchimedeanClass M
hc : ↑c < ArchimedeanClass.mk (↑z - x)
⊢ (ofLex (f.eval x)).coeff c = (ofLex (↑↑f z)).coeff c

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
y : ↥(↑f).domain
h : f.eval x = ↑↑f y
z : ↥(↑f).domain
this : x - ↑y = x - ↑z + (↑z - ↑y)
hyz : ¬↑z - ↑y = 0
c : FiniteArchimedeanClass M
hc : ↑c < ArchimedeanClass.mk (↑z - x)
⊢ (ofLex (f.eval x)).coeff c = (ofLex (↑↑f z)).coeff c
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
y : ↥(↑f).domain
h : f.eval x = ↑↑f y
z : ↥(↑f).domain
this : x - ↑y = x - ↑z + (↑z - ↑y)
hyz : ¬↑z - ↑y = 0
h1 :
  ∀ (c : FiniteArchimedeanClass M),
    ↑c < ArchimedeanClass.mk (x - ↑z) → (ofLex (f.eval x)).coeff c = (ofLex (↑↑f z)).coeff c
c : FiniteArchimedeanClass M
hc : ↑c < ArchimedeanClass.mk (x - ↑z)
⊢ (ofLex (↑↑f z)).coeff c = (ofLex (f.eval x)).coeff c

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
y : ↥(↑f).domain
h : f.eval x = ↑↑f y
z : ↥(↑f).domain
this : x - ↑y = x - ↑z + (↑z - ↑y)
hyz : ¬↑z - ↑y = 0
h1 :
  ∀ (c : FiniteArchimedeanClass M),
    ↑c < ArchimedeanClass.mk (x - ↑z) → (ofLex (f.eval x)).coeff c = (ofLex (↑↑f z)).coeff c
c : FiniteArchimedeanClass M
hc : ↑c < ArchimedeanClass.mk (x - ↑z)
⊢ (ofLex (↑↑f z)).coeff c = (ofLex (f.eval x)).coeff c
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: case neg.inr
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a b : ↥A
h✝ : ¬↑b = 0
h : ¬↑a = 0
hh : ↑b / ↑a ∈ A
⊢ ∃ c, a * c = b ∨ b * c = a

Tactic:
]

Goal state after:
case neg.inr
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a b : ↥A
h✝ : ¬↑b = 0
h : ¬↑a = 0
hh : ↑b / ↑a ∈ A
⊢ ∃ c, a * c = b ∨ b * c = a
Module: Mathlib.Algebra.Order.Star.Prod

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring α
inst✝⁶ : NonUnitalSemiring β
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : StarRing α
inst✝² : StarRing β
inst✝¹ : StarOrderedRing α
inst✝ : StarOrderedRing β
xa : α
xy : β
ya : α
yb : β
⊢ closure (Set.range fun s ↦ star s * s) = closure (Set.range fun p ↦ (star p.1 * p.1, star p.2 * p.2))

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring α
inst✝⁶ : NonUnitalSemiring β
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : StarRing α
inst✝² : StarRing β
inst✝¹ : StarOrderedRing α
inst✝ : StarOrderedRing β
xa : α
xy : β
ya : α
yb : β
⊢ closure (Set.range fun s ↦ star s * s) = closure (Set.range fun p ↦ (star p.1 * p.1, star p.2 * p.2))
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : (↥A)ˣ
⊢ ∃ a_1, ↑↑a_1 * 1 = ↑↑a

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : (↥A)ˣ
⊢ ∃ a_1, ↑↑a_1 * 1 = ↑↑a
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
y : ↥(↑f).domain
this : x - ↑y ≠ 0
⊢ f.eval x ≠ ↑↑f y

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
y : ↥(↑f).domain
this : x - ↑y ≠ 0
⊢ f.eval x ≠ ↑↑f y
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
h : 0 = 1
c : ↑a = 0
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
h : 0 = 1
c : ↑a = 0
⊢ False
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
h : A.valuation ↑a = 1
ha : ↑a ≠ 0
⊢ 1 ≤ 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
y : ↥(↑f).domain
this : x - ↑y ≠ 0
xy : FiniteArchimedeanClass M := FiniteArchimedeanClass.mk (x - ↑y) this
hxy : ∃ y_1 ∈ ball K xy, ∃ z ∈ seed.stratum xy, y_1 + z = x - ↑y
⊢ f.eval x ≠ ↑↑f y

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
y : ↥(↑f).domain
this : x - ↑y ≠ 0
xy : FiniteArchimedeanClass M := FiniteArchimedeanClass.mk (x - ↑y) this
hxy : ∃ y_1 ∈ ball K xy, ∃ z ∈ seed.stratum xy, y_1 + z = x - ↑y
⊢ f.eval x ≠ ↑↑f y
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
⊢ a ∈ nonunits ↥A ↔ A.valuation ↑a < 1

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
⊢ a ∈ nonunits ↥A ↔ A.valuation ↑a < 1
Module: Mathlib.Algebra.Order.Module.HahnEmbedding

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
y : ↥(↑f).domain
this : x - ↑y ≠ 0
xy : FiniteArchimedeanClass M := FiniteArchimedeanClass.mk (x - ↑y) this
u : M
hu : ∀ (h : u ≠ 0), xy < FiniteArchimedeanClass.mk u h
v : M
hv : v ∈ seed.stratum xy
huv : u + v = x - ↑y
huv' : x - ↑y - v = u
⊢ f.eval x ≠ ↑↑f y

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹³ : DivisionRing K
inst✝¹² : LinearOrder K
inst✝¹¹ : IsOrderedRing K
inst✝¹⁰ : Archimedean K
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : LinearOrder M
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid M
inst✝⁶ : Module K M
inst✝⁵ : IsOrderedModule K M
R : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : Module K R
seed : Seed K M R
f : Partial seed
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid R
inst✝ : Archimedean R
x : M
hx : x ∉ (↑f).domain
y : ↥(↑f).domain
this : x - ↑y ≠ 0
xy : FiniteArchimedeanClass M := FiniteArchimedeanClass.mk (x - ↑y) this
u : M
hu : ∀ (h : u ≠ 0), xy < FiniteArchimedeanClass.mk u h
v : M
hv : v ∈ seed.stratum xy
huv : u + v = x - ↑y
huv' : x - ↑y - v = u
⊢ f.eval x ≠ ↑↑f y
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
⊢ ¬A.valuation ↑a = 1 ↔ A.valuation ↑a < 1

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
⊢ ¬A.valuation ↑a = 1 ↔ A.valuation ↑a < 1
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationSubring

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
⊢ ⊥ = ⊥

pp: case hf
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
⊢ Function.Injective ⇑(A.inclusion ⊤ ⋯)

Tactic:
]

Goal state after:
case hf
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
⊢ Function.Injective ⇑(A.inclusion ⊤ ⋯)