mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: case neg.hb
k : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_3
P : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
p : P₂
q : P
hq : q ∈ Simplex.setInterior I s
hqp : f q = p
⊢ ∃ y ∈ affineSpan k (Set.range s.points), f y = p

Tactic:
]

Goal state after:
case neg.hb
k : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_3
P : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
p : P₂
q : P
hq : q ∈ Simplex.setInterior I s
hqp : f q = p
⊢ ∃ y ∈ affineSpan k (Set.range s.points), f y = p
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case hw
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝² : Field R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
s : Finset ι
t : Finset ι'
ws : ι → R
zs : ι → E
wt : ι' → R
zt : ι' → E
hws : ∑ i ∈ s, ws i = 1
hwt : ∑ i ∈ t, wt i = 1
a b : R
hab : a + b = 1
⊢ 1 = 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Affine

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : TopologicalSpace V
inst✝¹⁰ : AddTorsor V P
inst✝⁹ : TopologicalSpace P
inst✝⁸ : IsTopologicalAddTorsor P
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : TopologicalSpace W
inst✝⁵ : AddTorsor W Q
inst✝⁴ : TopologicalSpace Q
inst✝³ : IsTopologicalAddTorsor Q
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : Module R W
f : P →ᵃ[R] Q
inhabited_h : Inhabited P
this : ⇑f.linear = ⇑(Homeomorph.vaddConst (f default)).symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(Homeomorph.vaddConst default)
⊢ Continuous (⇑(Homeomorph.vaddConst (f default)).symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(Homeomorph.vaddConst default)) ↔ Continuous ⇑f

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : TopologicalSpace V
inst✝¹⁰ : AddTorsor V P
inst✝⁹ : TopologicalSpace P
inst✝⁸ : IsTopologicalAddTorsor P
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : TopologicalSpace W
inst✝⁵ : AddTorsor W Q
inst✝⁴ : TopologicalSpace Q
inst✝³ : IsTopologicalAddTorsor Q
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : Module R W
f : P →ᵃ[R] Q
inhabited_h : Inhabited P
this : ⇑f.linear = ⇑(Homeomorph.vaddConst (f default)).symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(Homeomorph.vaddConst default)
⊢ Continuous (⇑(Homeomorph.vaddConst (f default)).symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(Homeomorph.vaddConst default)) ↔ Continuous ⇑f
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
S : AffineSubspace k P
hS : affineSpan k (Set.range s.points) ≤ S
this : Nonempty ↥S := Nonempty.map (⇑(AffineSubspace.inclusion hS)) inferInstance
⊢ Simplex.setInterior I ((s.restrict S hS).map S.subtype ⋯) = Simplex.setInterior I s

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
S : AffineSubspace k P
hS : affineSpan k (Set.range s.points) ≤ S
this : Nonempty ↥S := Nonempty.map (⇑(AffineSubspace.inclusion hS)) inferInstance
⊢ Simplex.setInterior I ((s.restrict S hS).map S.subtype ⋯) = Simplex.setInterior I s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : PartialOrder k
n : ℕ
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ ∃ x, Pi.single i 1 x ∉ Set.Ioo 0 1

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : PartialOrder k
n : ℕ
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ ∃ x, Pi.single i 1 x ∉ Set.Ioo 0 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : PartialOrder k
inst✝ : ZeroLEOneClass k
n : ℕ
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ ∀ (i_1 : Fin (n + 1)), Pi.single i 1 i_1 ∈ Set.Icc 0 1

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : PartialOrder k
inst✝ : ZeroLEOneClass k
n : ℕ
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ ∀ (i_1 : Fin (n + 1)), Pi.single i 1 i_1 ∈ Set.Icc 0 1
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Affine

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : TopologicalSpace V
inst✝¹⁰ : AddTorsor V P
inst✝⁹ : TopologicalSpace P
inst✝⁸ : IsTopologicalAddTorsor P
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : TopologicalSpace W
inst✝⁵ : AddTorsor W Q
inst✝⁴ : TopologicalSpace Q
inst✝³ : IsTopologicalAddTorsor Q
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : Module R W
f : P →ᵃ[R] Q
inhabited_h : Inhabited P
this : ⇑f.linear = ⇑(Homeomorph.vaddConst (f default)).symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(Homeomorph.vaddConst default)
⊢ IsOpenMap (⇑(Homeomorph.vaddConst (f default)).symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(Homeomorph.vaddConst default)) ↔ IsOpenMap ⇑f

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : TopologicalSpace V
inst✝¹⁰ : AddTorsor V P
inst✝⁹ : TopologicalSpace P
inst✝⁸ : IsTopologicalAddTorsor P
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : TopologicalSpace W
inst✝⁵ : AddTorsor W Q
inst✝⁴ : TopologicalSpace Q
inst✝³ : IsTopologicalAddTorsor Q
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : Module R W
f : P →ᵃ[R] Q
inhabited_h : Inhabited P
this : ⇑f.linear = ⇑(Homeomorph.vaddConst (f default)).symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(Homeomorph.vaddConst default)
⊢ IsOpenMap (⇑(Homeomorph.vaddConst (f default)).symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(Homeomorph.vaddConst default)) ↔ IsOpenMap ⇑f
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : PartialOrder k
inst✝ : ZeroLEOneClass k
n : ℕ
s : Simplex k P n
⊢ s.interior ⊆ s.closedInterior ∧ ∃ x ∈ s.closedInterior, x ∉ s.interior

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : PartialOrder k
inst✝ : ZeroLEOneClass k
n : ℕ
s : Simplex k P n
⊢ s.interior ⊆ s.closedInterior ∧ ∃ x ∈ s.closedInterior, x ∉ s.interior
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
t : Finset V
h : ¬∀ (w : ↥t → k), ∑ i, w i = 0 → (univ.weightedVSub Subtype.val) w = 0 → ∀ (i : ↥t), w i = 0
⊢ ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
t : Finset V
h : ¬∀ (w : ↥t → k), ∑ i, w i = 0 → (univ.weightedVSub Subtype.val) w = 0 → ∀ (i : ↥t), w i = 0
⊢ ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝³ : Field R
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module R E
i : ι
t : Finset ι
z : ι → E
inst✝ : DecidableEq ι
hi : i ∈ t
⊢ ∑ i_1 ∈ t, (if i = i_1 then 1 else 0) • z i_1 = z i

pp: case hw
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝³ : Field R
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module R E
i : ι
t : Finset ι
z : ι → E
inst✝ : DecidableEq ι
hi : i ∈ t
⊢ (∑ i_1 ∈ t, if i = i_1 then 1 else 0) = 1

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝³ : Field R
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module R E
i : ι
t : Finset ι
z : ι → E
inst✝ : DecidableEq ι
hi : i ∈ t
⊢ ∑ i_1 ∈ t, (if i = i_1 then 1 else 0) • z i_1 = z i

case hw
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝³ : Field R
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module R E
i : ι
t : Finset ι
z : ι → E
inst✝ : DecidableEq ι
hi : i ∈ t
⊢ (∑ i_1 ∈ t, if i = i_1 then 1 else 0) = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : PartialOrder k
s : Simplex k P 0
p : P
⊢ p ∈ s.interior ↔ p ∈ ∅

Tactic:
simp only [Simplex.interior, Simplex.setInterior, Nat.reduceAdd, univ_unique, Fin.default_eq_zero,
    Fin.isValue, sum_singleton, Set.mem_Ioo, Set.mem_ofPred_eq, Set.mem_empty_iff_false, iff_false,
    not_exists, not_and]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : PartialOrder k
s : Simplex k P 0
p : P
⊢ ∀ (x : Fin 1 → k), x 0 = 1 → (∀ (i : Fin 1), 0 < x i ∧ x i < 1) → ¬(affineCombination k {0} s.points) x = p
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝³ : Field R
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module R E
i : ι
t : Finset ι
z : ι → E
inst✝ : DecidableEq ι
hi : i ∈ t
⊢ z i = z i

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Affine

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : TopologicalSpace V
inst✝⁵ : AddTorsor V P
inst✝⁴ : TopologicalSpace P
inst✝³ : IsTopologicalAddTorsor P
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : ContinuousConstSMul R V
x : P
t : R
⊢ Continuous fun p ↦ t • (p -ᵥ x) +ᵥ x

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : TopologicalSpace V
inst✝⁵ : AddTorsor V P
inst✝⁴ : TopologicalSpace P
inst✝³ : IsTopologicalAddTorsor P
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : ContinuousConstSMul R V
x : P
t : R
⊢ Continuous fun p ↦ t • (p -ᵥ x) +ᵥ x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case hw
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝³ : Field R
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module R E
i : ι
t : Finset ι
z : ι → E
inst✝ : DecidableEq ι
hi : i ∈ t
⊢ 1 = 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
w' : Fin (m + 1) → k
hi : ∀ (i : Fin (m + 1)), w' i ∈ I
hw' : ∑ i, w' i = 1
he : (affineCombination k univ s.points) w = (affineCombination k univ (s.face h).points) w'
⊢ (∀ i ∈ fs, w i ∈ I) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
w' : Fin (m + 1) → k
hi : ∀ (i : Fin (m + 1)), w' i ∈ I
hw' : ∑ i, w' i = 1
he : (affineCombination k univ s.points) w = (affineCombination k univ (s.face h).points) w'
⊢ (∀ i ∈ fs, w i ∈ I) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝² : Field R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
t' : Finset ι
ht : t ⊆ t'
h : ∀ i ∈ t', i ∉ t → w i = 0
⊢ ∑ x ∈ t, (∑ x ∈ t', w x)⁻¹ • w x • z x = ∑ x ∈ t', (∑ i ∈ t', w i)⁻¹ • w x • z x

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝² : Field R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
t' : Finset ι
ht : t ⊆ t'
h : ∀ i ∈ t', i ∉ t → w i = 0
⊢ ∑ x ∈ t, (∑ x ∈ t', w x)⁻¹ • w x • z x = ∑ x ∈ t', (∑ i ∈ t', w i)⁻¹ • w x • z x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝² : Field R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
t' : Finset ι
ht : t ⊆ t'
h : ∀ i ∈ t', i ∉ t → w i = 0
i : ι
hit' : i ∈ t'
hit : i ∉ t
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
ι : Type u_5
α : Type u_7
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : Module R α
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid α
inst✝ : PosSMulMono R α
s : Finset ι
f : ι → α
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : 0 < ∑ i ∈ s, w i
⊢ ∑ i ∈ s, w i • f i ≤ ∑ i ∈ s, w i • s.sup' ⋯ f

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
ι : Type u_5
α : Type u_7
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : Module R α
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid α
inst✝ : PosSMulMono R α
s : Finset ι
f : ι → α
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : 0 < ∑ i ∈ s, w i
⊢ ∑ i ∈ s, w i • f i ≤ ∑ i ∈ s, w i • s.sup' ⋯ f
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
s : Finset V
hp : AffineIndependent k Subtype.val
w : V → k
hw₀ : ∑ x ∈ s.attach, w ↑x = 0
hw₁ : ∑ x ∈ s.attach, w ↑x • ↑x = 0
⊢ ∀ x ∈ s, w x = 0

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
s : Finset V
hp : AffineIndependent k Subtype.val
w : V → k
hw₀ : ∑ x ∈ s.attach, w ↑x = 0
hw₁ : ∑ x ∈ s.attach, w ↑x • ↑x = 0
⊢ ∀ x ∈ s, w x = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
w' : Fin (m + 1) → k
hi✝ : ∀ (i : Fin (m + 1)), w' i ∈ I
hw' : ∑ i, w' i = 1
he : (affineCombination k univ s.points) w = (affineCombination k univ (s.face h).points) w'
he' : (Set.range ⇑(fs.orderEmbOfFin h).toEmbedding).indicator (extend (⇑(fs.orderEmbOfFin h).toEmbedding) w' 0) = w
i : Fin (n + 1)
hi : i ∈ Set.range ⇑(fs.orderEmbOfFin h)
⊢ extend (⇑(fs.orderEmbOfFin h)) w' 0 i ∈ I

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
w' : Fin (m + 1) → k
hi✝ : ∀ (i : Fin (m + 1)), w' i ∈ I
hw' : ∑ i, w' i = 1
he : (affineCombination k univ s.points) w = (affineCombination k univ (s.face h).points) w'
he' : (Set.range ⇑(fs.orderEmbOfFin h).toEmbedding).indicator (extend (⇑(fs.orderEmbOfFin h).toEmbedding) w' 0) = w
i : Fin (n + 1)
hi : i ∈ Set.range ⇑(fs.orderEmbOfFin h)
⊢ extend (⇑(fs.orderEmbOfFin h)) w' 0 i ∈ I
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
⊢ (∃ r, r • ((affineCombination k s p) w₁ -ᵥ (affineCombination k s p) w₂) = (s.weightedVSub p) w) ↔
    ∃ r, ∀ i ∈ s, w i = r * (w₁ i - w₂ i)

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
⊢ (∃ r, r • ((affineCombination k s p) w₁ -ᵥ (affineCombination k s p) w₂) = (s.weightedVSub p) w) ↔
    ∃ r, ∀ i ∈ s, w i = r * (w₁ i - w₂ i)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝³ : Field R
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module R E
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : DecidableEq ι
t' : Finset ι
w' : ι → R
z' : ι → E
h : ∀ (i : ι), i ∈ t ∧ w i ≠ 0 ∨ i ∈ t' ∧ w' i ≠ 0 → i ∈ t ∩ t' ∧ w i = w' i ∧ z i = z' i
⊢ (∑ i ∈ t with w i ≠ 0, w i)⁻¹ • ∑ i ∈ t with w i ≠ 0, w i • z i =
    (∑ i ∈ t' with w' i ≠ 0, w' i)⁻¹ • ∑ i ∈ t' with w' i ≠ 0, w' i • z' i

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝³ : Field R
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module R E
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : DecidableEq ι
t' : Finset ι
w' : ι → R
z' : ι → E
h : ∀ (i : ι), i ∈ t ∧ w i ≠ 0 ∨ i ∈ t' ∧ w' i ≠ 0 → i ∈ t ∩ t' ∧ w i = w' i ∧ z i = z' i
⊢ (∑ i ∈ t with w i ≠ 0, w i)⁻¹ • ∑ i ∈ t with w i ≠ 0, w i • z i =
    (∑ i ∈ t' with w' i ≠ 0, w' i)⁻¹ • ∑ i ∈ t' with w' i ≠ 0, w' i • z' i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
x✝ : (∀ i ∈ fs, w i ∈ I) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0
hii : ∀ i ∈ fs, w i ∈ I
hi0 : ∀ i ∉ fs, w i = 0
w' : Fin (m + 1) → k := w ∘ ⇑(fs.orderEmbOfFin h)
⊢ 1 = 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
r : k
hr : (s.weightedVSub p) (r • (w₁ - w₂) - w) = 0
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ w i = r * (w₁ i - w₂ i)

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
r : k
hr : (s.weightedVSub p) (r • (w₁ - w₂) - w) = 0
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ w i = r * (w₁ i - w₂ i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
x✝ : (∀ i ∈ fs, w i ∈ I) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0
hii : ∀ i ∈ fs, w i ∈ I
hi0 : ∀ i ∉ fs, w i = 0
w' : Fin (m + 1) → k := w ∘ ⇑(fs.orderEmbOfFin h)
hw' : ∑ i, w' i = 1
hw'01 : (affineCombination k univ (s.face h).points) w' ∈ Simplex.setInterior I (s.face h)
⊢ (affineCombination k univ s.points) w ∈ Simplex.setInterior I (s.face h)

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
x✝ : (∀ i ∈ fs, w i ∈ I) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0
hii : ∀ i ∈ fs, w i ∈ I
hi0 : ∀ i ∉ fs, w i = 0
w' : Fin (m + 1) → k := w ∘ ⇑(fs.orderEmbOfFin h)
hw' : ∑ i, w' i = 1
hw'01 : (affineCombination k univ (s.face h).points) w' ∈ Simplex.setInterior I (s.face h)
⊢ (affineCombination k univ s.points) w ∈ Simplex.setInterior I (s.face h)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : PartialOrder k
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
h : #fs = m + 1
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
⊢ ((∀ i ∈ fs, w i ∈ Set.Ioo 0 1) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0) ↔ (∀ i ∈ fs, 0 < w i) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : PartialOrder k
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
h : #fs = m + 1
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
⊢ ((∀ i ∈ fs, w i ∈ Set.Ioo 0 1) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0) ↔ (∀ i ∈ fs, 0 < w i) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : PartialOrder k
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
h : #fs = m + 1
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
x✝ : (∀ i ∈ fs, 0 < w i) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0
hii : ∀ i ∈ fs, 0 < w i
hi0 : ∀ i ∉ fs, w i = 0
i : Fin (n + 1)
hi : i ∈ fs
⊢ w i < ∑ x ∈ fs, w x

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : PartialOrder k
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
h : #fs = m + 1
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
x✝ : (∀ i ∈ fs, 0 < w i) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0
hii : ∀ i ∈ fs, 0 < w i
hi0 : ∀ i ∉ fs, w i = 0
i : Fin (n + 1)
hi : i ∈ fs
⊢ w i < ∑ x ∈ fs, w x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case insert
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x ∈ t, w x
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j
⊢ (insert i t).centerMass w z ∈ s

Tactic:
]

Goal state after:
case insert
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x ∈ t, w x
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j
⊢ (insert i t).centerMass w z ∈ s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : PartialOrder k
inst✝ : IsOrderedAddMonoid k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
⊢ ((∀ i ∈ fs, w i ∈ Set.Icc 0 1) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0) ↔ (∀ i ∈ fs, 0 ≤ w i) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : PartialOrder k
inst✝ : IsOrderedAddMonoid k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
⊢ ((∀ i ∈ fs, w i ∈ Set.Icc 0 1) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0) ↔ (∀ i ∈ fs, 0 ≤ w i) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0