mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.IsolatedZeros

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
m n : ℤ
hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
h_le : n ≤ m
g : 𝕜 → E
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀
left✝ : g z₀ ≠ 0
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
j : 𝕜 → E
hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀
hj_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • j z
hj_ne : m ≠ n
this : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, j z = (z - z₀) ^ (m - n) • g z
⊢ j z₀ = 0

pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
m n : ℤ
hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
h_le : n ≤ m
g : 𝕜 → E
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀
left✝ : g z₀ ≠ 0
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
j : 𝕜 → E
hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀
hj_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • j z
hj_ne : m ≠ n
this : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, j z = (z - z₀) ^ (m - n) • g z
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z ↦ (z - z₀) ^ (m - n) • g z) z₀

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
m n : ℤ
hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
h_le : n ≤ m
g : 𝕜 → E
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀
left✝ : g z₀ ≠ 0
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
j : 𝕜 → E
hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀
hj_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • j z
hj_ne : m ≠ n
this : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, j z = (z - z₀) ^ (m - n) • g z
⊢ j z₀ = 0

𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
m n : ℤ
hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
h_le : n ≤ m
g : 𝕜 → E
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀
left✝ : g z₀ ≠ 0
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
j : 𝕜 → E
hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀
hj_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • j z
hj_ne : m ≠ n
this : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, j z = (z - z₀) ^ (m - n) • g z
⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z ↦ (z - z₀) ^ (m - n) • g z) z₀
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
l : F → E
y : F
t : Set F
hl : DifferentiableWithinAt 𝕜 l t (f x)
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hs : MapsTo f s t
hy : y = f x
⊢ derivWithin (l ∘ f) s x = (fderivWithin 𝕜 l t (f x)) (derivWithin f s x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
l : F → E
y : F
t : Set F
hl : DifferentiableWithinAt 𝕜 l t (f x)
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hs : MapsTo f s t
hy : y = f x
⊢ derivWithin (l ∘ f) s x = (fderivWithin 𝕜 l t (f x)) (derivWithin f s x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Comp

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
l : F → E
y : F
hl : DifferentiableAt 𝕜 l (f x)
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
hy : y = f x
⊢ deriv (l ∘ f) x = (fderiv 𝕜 l (f x)) (deriv f x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
l : F → E
y : F
hl : DifferentiableAt 𝕜 l (f x)
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
hy : y = f x
⊢ deriv (l ∘ f) x = (fderiv 𝕜 l (f x)) (deriv f x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.ZPow

Goal state before:
pp: case succ
𝕜 : Type u
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
c d : 𝕜
k : ℕ
ihk : (deriv^[k] fun x ↦ (c * x + d)⁻¹) = fun x ↦ (-1) ^ k * ↑k ! * c ^ k * (c * x + d) ^ (-1 - ↑k)
⊢ (deriv^[1] fun x ↦ (-1) ^ k * ↑k ! * c ^ k * (c * x + d) ^ (-1 - ↑k)) = fun x ↦
    (-1) ^ (1 + k) * ↑((1 + k) * k !) * c ^ (1 + k) * (c * x + d) ^ (-1 - ↑(1 + k))

Tactic:
]

Goal state after:
case succ
𝕜 : Type u
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
c d : 𝕜
k : ℕ
ihk : (deriv^[k] fun x ↦ (c * x + d)⁻¹) = fun x ↦ (-1) ^ k * ↑k ! * c ^ k * (c * x + d) ^ (-1 - ↑k)
⊢ (deriv^[1] fun x ↦ (-1) ^ k * ↑k ! * c ^ k * (c * x + d) ^ (-1 - ↑k)) = fun x ↦
    (-1) ^ (1 + k) * ↑((1 + k) * k !) * c ^ (1 + k) * (c * x + d) ^ (-1 - ↑(1 + k))
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.IsolatedZeros

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
m n : ℤ
hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
h_le : n ≤ m
g : 𝕜 → E
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀
left✝ : g z₀ ≠ 0
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
j : 𝕜 → E
hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀
hj_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • j z
hj_ne : m ≠ n
this : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, j z = (z - z₀) ^ (m - n) • g z
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.ZPow

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
c d : 𝕜
k : ℕ
ihk : (deriv^[k] fun x ↦ (c * x + d)⁻¹) = fun x ↦ (-1) ^ k * ↑k ! * c ^ k * (c * x + d) ^ (-1 - ↑k)
z : 𝕜
hd : ¬c = 0
this : deriv (fun x ↦ (c * x + d) ^ (-1 - ↑k)) z = c • deriv (fun x ↦ x ^ (-1 - ↑k)) (c * (z + d / c))
h0 : (fun x ↦ (c * (x + d / c)) ^ (-1 - ↑k)) = fun x ↦ (c * x + d) ^ (-1 - ↑k)
⊢ (-1) ^ k * ↑k ! * c ^ k * deriv (fun x ↦ (c * x + d) ^ (-1 - ↑k)) z =
    (-1) ^ (1 + k) * ↑((1 + k) * k !) * c ^ (1 + k) * (c * z + d) ^ (-1 - (1 + ↑k))

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
c d : 𝕜
k : ℕ
ihk : (deriv^[k] fun x ↦ (c * x + d)⁻¹) = fun x ↦ (-1) ^ k * ↑k ! * c ^ k * (c * x + d) ^ (-1 - ↑k)
z : 𝕜
hd : ¬c = 0
this : deriv (fun x ↦ (c * x + d) ^ (-1 - ↑k)) z = c • deriv (fun x ↦ x ^ (-1 - ↑k)) (c * (z + d / c))
h0 : (fun x ↦ (c * (x + d / c)) ^ (-1 - ↑k)) = fun x ↦ (c * x + d) ^ (-1 - ↑k)
⊢ (-1) ^ k * ↑k ! * c ^ k * deriv (fun x ↦ (c * x + d) ^ (-1 - ↑k)) z =
    (-1) ^ (1 + k) * ↑((1 + k) * k !) * c ^ (1 + k) * (c * z + d) ^ (-1 - (1 + ↑k))
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.IsolatedZeros

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f z₀
n : ℕ
g : 𝕜 → E
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
hg_ne : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = 0
⊢ ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, g z = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f z₀
n : ℕ
g : 𝕜 → E
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
hg_ne : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = 0
⊢ ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, g z = 0
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.IsolatedZeros

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f z₀
n : ℕ
g : 𝕜 → E
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
hg_ne : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = 0
z : 𝕜
hf_eq : g z = 0
hf0 : f z = 0
hz : z ∈ {z₀}ᶜ
⊢ g z = 0

pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f z₀
n : ℕ
g : 𝕜 → E
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
hg_ne : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = 0
z : 𝕜
hf_eq : (z - z₀) ^ n • g z = 0
hf0 : f z = 0
hz : z ∈ {z₀}ᶜ
⊢ (z - z₀) ^ n ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f z₀
n : ℕ
g : 𝕜 → E
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
hg_ne : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = 0
z : 𝕜
hf_eq : g z = 0
hf0 : f z = 0
hz : z ∈ {z₀}ᶜ
⊢ g z = 0

𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f z₀
n : ℕ
g : 𝕜 → E
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
hg_ne : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = 0
z : 𝕜
hf_eq : (z - z₀) ^ n • g z = 0
hf0 : f z = 0
hz : z ∈ {z₀}ᶜ
⊢ (z - z₀) ^ n ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.AffineMap

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 →ᵃ[𝕜] E
L : Filter (𝕜 × 𝕜)
⊢ HasDerivAtFilter (⇑f.linear + fun x ↦ f 0) (f.linear 1) L

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 →ᵃ[𝕜] E
L : Filter (𝕜 × 𝕜)
⊢ HasDerivAtFilter (⇑f.linear + fun x ↦ f 0) (f.linear 1) L
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.IsolatedZeros

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
U : Set 𝕜
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hg : AnalyticOnNhd 𝕜 g U
hU : IsPreconnected U
h₀ : z₀ ∈ U
hfg : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = g z
z : 𝕜
h : f z = g z
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.IsolatedZeros

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
U : Set 𝕜
A : Type u_3
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : IsDomain A
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 A
B : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup B
inst✝² : NormedSpace 𝕜 B
inst✝¹ : Module A B
inst✝ : IsTorsionFree A B
f : 𝕜 → A
g : 𝕜 → B
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hg : AnalyticOnNhd 𝕜 g U
hfg : ∀ z ∈ U, f z • g z = 0
hU : IsPreconnected U
hU' : U = ∅
⊢ (∀ z ∈ U, f z = 0) ∨ ∀ z ∈ U, g z = 0

Tactic:
simp [hU']

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.IsolatedZeros

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : 𝕜
f : 𝕜 → E
s : Set E
hfx : AnalyticAt 𝕜 f x
hs : s ∈ 𝓝[≠] f x
this : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 x, f z ∈ insert (f x) s
h : ¬f ⁻¹' s ∈ 𝓝[≠] x
⊢ ∃ c, f =ᶠ[𝓝 x] fun x ↦ c

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : 𝕜
f : 𝕜 → E
s : Set E
hfx : AnalyticAt 𝕜 f x
hs : s ∈ 𝓝[≠] f x
this : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 x, f z ∈ insert (f x) s
h : ¬f ⁻¹' s ∈ 𝓝[≠] x
⊢ ∃ c, f =ᶠ[𝓝 x] fun x ↦ c
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.IsolatedZeros

Goal state before:
pp: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : 𝕜
f : 𝕜 → E
s : Set E
hfx : AnalyticAt 𝕜 f x
hs : s ∈ 𝓝[≠] f x
this : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 x, f z ∈ insert (f x) s
h : ¬f ⁻¹' s ∈ 𝓝[≠] x
⊢ ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = f x

Tactic:
]

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : 𝕜
f : 𝕜 → E
s : Set E
hfx : AnalyticAt 𝕜 f x
hs : s ∈ 𝓝[≠] f x
this : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 x, f z ∈ insert (f x) s
h : ¬f ⁻¹' s ∈ 𝓝[≠] x
⊢ ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = f x
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.IsolatedZeros

Goal state before:
pp: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : 𝕜
f : 𝕜 → E
s : Set E
hfx : AnalyticAt 𝕜 f x
hs : s ∈ 𝓝[≠] f x
this : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 x, f z ∈ insert (f x) s
h : ¬f ⁻¹' s ∈ 𝓝[≠] x
z : 𝕜
h₁z : f z ∈ s → False
h₂z : f z = f x ∨ f z ∈ s
⊢ f z = f x

Tactic:
]

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : 𝕜
f : 𝕜 → E
s : Set E
hfx : AnalyticAt 𝕜 f x
hs : s ∈ 𝓝[≠] f x
this : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 x, f z ∈ insert (f x) s
h : ¬f ⁻¹' s ∈ 𝓝[≠] x
z : 𝕜
h₁z : f z ∈ s → False
h₂z : f z = f x ∨ f z ∈ s
⊢ f z = f x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.RCLike

Goal state before:
pp: n : WithTop ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
f' : E' →L[𝕂] F'
x : E'
hf : ContDiffAt 𝕂 n f x
hf' : HasFDerivAt f f' x
hn : n ≠ 0
u : Set E'
p : E' → FormalMultilinearSeries 𝕂 E' F'
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u
H : u ∈ 𝓝 x
this : HasStrictFDerivAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕂 E' F') (p x 1)) x
⊢ HasStrictFDerivAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕂 E' F') (p x 1)) x

Tactic:
]

Goal state after:
n : WithTop ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
f' : E' →L[𝕂] F'
x : E'
hf : ContDiffAt 𝕂 n f x
hf' : HasFDerivAt f f' x
hn : n ≠ 0
u : Set E'
p : E' → FormalMultilinearSeries 𝕂 E' F'
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u
H : u ∈ 𝓝 x
this : HasStrictFDerivAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕂 E' F') (p x 1)) x
⊢ HasStrictFDerivAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕂 E' F') (p x 1)) x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.RCLike

Goal state before:
pp: E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x (Metric.ball x ε ∩ s))
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x (Metric.ball x ε ∩ s))
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.RCLike

Goal state before:
pp: E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x (Metric.ball x ε ∩ s))
K : ℝ≥0
t : Set E
hst : t ∈ 𝓝[s] x
hft : LipschitzOnWith K f t
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x (Metric.ball x ε ∩ s))
K : ℝ≥0
t : Set E
hst : t ∈ 𝓝[s] x
hft : LipschitzOnWith K f t
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Affine

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E →ᴬ[𝕜] F
x : E
s : Set E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderiv 𝕜 (⇑f) x = f.contLinear

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E →ᴬ[𝕜] F
x : E
s : Set E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
⊢ fderiv 𝕜 (⇑f) x = f.contLinear
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LogDeriv

Goal state before:
pp: case cons
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
ι : Type u_3
f : ι → 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih :
  (∀ i ∈ s, f i x ≠ 0) →
    (∀ i ∈ s, DifferentiableAt 𝕜 (f i) x) → logDeriv (fun x ↦ ∏ i ∈ s, f i x) x = ∑ i ∈ s, logDeriv (f i) x
hf : f a x ≠ 0 ∧ ∀ x_1 ∈ s, f x_1 x ≠ 0
hd : DifferentiableAt 𝕜 (f a) x ∧ ∀ x_1 ∈ s, DifferentiableAt 𝕜 (f x_1) x
⊢ logDeriv (fun x ↦ ∏ i ∈ Finset.cons a s ha, f i x) x = ∑ i ∈ Finset.cons a s ha, logDeriv (f i) x

Tactic:
]

Goal state after:
case cons
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
ι : Type u_3
f : ι → 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih :
  (∀ i ∈ s, f i x ≠ 0) →
    (∀ i ∈ s, DifferentiableAt 𝕜 (f i) x) → logDeriv (fun x ↦ ∏ i ∈ s, f i x) x = ∑ i ∈ s, logDeriv (f i) x
hf : f a x ≠ 0 ∧ ∀ x_1 ∈ s, f x_1 x ≠ 0
hd : DifferentiableAt 𝕜 (f a) x ∧ ∀ x_1 ∈ s, DifferentiableAt 𝕜 (f x_1) x
⊢ logDeriv (fun x ↦ ∏ i ∈ Finset.cons a s ha, f i x) x = ∑ i ∈ Finset.cons a s ha, logDeriv (f i) x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LogDeriv

Goal state before:
pp: case inr.inr
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hdf : DifferentiableAt 𝕜 f x
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : f x ≠ 0
⊢ ↑n * f x ^ (n - 1) * deriv f x / f x ^ n = ↑n * (deriv f x / f x)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hdf : DifferentiableAt 𝕜 f x
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : f x ≠ 0
⊢ ↑n * f x ^ (n - 1) * deriv f x / f x ^ n = ↑n * (deriv f x / f x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LogDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
n : ℤ
⊢ ↑n / x = ↑n / x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LogDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
f g : 𝕜 → 𝕜'
s : Set 𝕜
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
hg : DifferentiableOn 𝕜 g s
hs2 : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hsc : IsPreconnected s
hgn : ∀ x ∈ s, g x ≠ 0
hfn : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
t : 𝕜
ht : t ∈ s
h : EqOn (logDeriv f) (logDeriv g) s
y : 𝕜
hy : y ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
⊢ deriv f z * g⁻¹ z + f z * deriv g⁻¹ z = (deriv f * g⁻¹ - f * deriv g / g ^ 2) z

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
f g : 𝕜 → 𝕜'
s : Set 𝕜
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
hg : DifferentiableOn 𝕜 g s
hs2 : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hsc : IsPreconnected s
hgn : ∀ x ∈ s, g x ≠ 0
hfn : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
t : 𝕜
ht : t ∈ s
h : EqOn (logDeriv f) (logDeriv g) s
y : 𝕜
hy : y ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
⊢ deriv f z * g⁻¹ z + f z * deriv g⁻¹ z = (deriv f * g⁻¹ - f * deriv g / g ^ 2) z
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LogDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f x
hfx : f x = 0
hf' : deriv f x ≠ 0
h_slope : Tendsto (slope f x) (𝓝[≠] x) (𝓝 (deriv f x))
⊢ Tendsto (fun w ↦ (w - x) * logDeriv f w) (𝓝[≠] x) (𝓝 (deriv f x / deriv f x))

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f x
hfx : f x = 0
hf' : deriv f x ≠ 0
h_slope : Tendsto (slope f x) (𝓝[≠] x) (𝓝 (deriv f x))
⊢ Tendsto (fun w ↦ (w - x) * logDeriv f w) (𝓝[≠] x) (𝓝 (deriv f x / deriv f x))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.MeanValue

Goal state before:
pp: case inl
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), f' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x z < r
B B' : ℝ → ℝ
ha : f a ≤ B a
hB : ContinuousOn B (Icc a b)
hB' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, f x = B x → f' x < B' x
s : Set ℝ := {x | f x ≤ B x} ∩ Icc a b
A : ContinuousOn (fun x ↦ (f x, B x)) (Icc a b)
this : IsClosed s
x : ℝ
hxB✝ : f x ≤ B x
xab : x ∈ Ico a b
y : ℝ
hy : y ∈ Ioi x
hxB : f x < B x
⊢ ({x | f x ≤ B x} ∩ Ioc x y).Nonempty

Tactic:
refine nonempty_of_mem (inter_mem ?_ (Ioc_mem_nhdsGT hy))

Goal state after:
case inl
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), f' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x z < r
B B' : ℝ → ℝ
ha : f a ≤ B a
hB : ContinuousOn B (Icc a b)
hB' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, f x = B x → f' x < B' x
s : Set ℝ := {x | f x ≤ B x} ∩ Icc a b
A : ContinuousOn (fun x ↦ (f x, B x)) (Icc a b)
this : IsClosed s
x : ℝ
hxB✝ : f x ≤ B x
xab : x ∈ Ico a b
y : ℝ
hy : y ∈ Ioi x
hxB : f x < B x
⊢ {x | f x ≤ B x} ∈ 𝓝[>] x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.MeanValue

Goal state before:
pp: case inr
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
B B' : ℝ → ℝ
ha : f a ≤ B a
hB : ContinuousOn B (Icc a b)
hB' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, f x = B x → f' x < B' x
s : Set ℝ := {x | f x ≤ B x} ∩ Icc a b
A : ContinuousOn (fun x ↦ (f x, B x)) (Icc a b)
this✝ : IsClosed s
x : ℝ
hxB✝ : f x ≤ B x
xab : x ∈ Ico a b
y : ℝ
hy : y ∈ Ioi x
hxB : f x = B x
r : ℝ
hf' : ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x z < r
hfr : f' x < r
hrB : r < B' x
HB : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, r < slope B x z
z : ℝ
hfz : slope f x z < r
hzB : r < slope B x z
hz : z ∈ Ioc x y
this : f z ≤ B z
⊢ z ∈ {x | f x ≤ B x}

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
B B' : ℝ → ℝ
ha : f a ≤ B a
hB : ContinuousOn B (Icc a b)
hB' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, f x = B x → f' x < B' x
s : Set ℝ := {x | f x ≤ B x} ∩ Icc a b
A : ContinuousOn (fun x ↦ (f x, B x)) (Icc a b)
this✝ : IsClosed s
x : ℝ
hxB✝ : f x ≤ B x
xab : x ∈ Ico a b
y : ℝ
hy : y ∈ Ioi x
hxB : f x = B x
r : ℝ
hf' : ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x z < r
hfr : f' x < r
hrB : r < B' x
HB : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, r < slope B x z
z : ℝ
hfz : slope f x z < r
hzB : r < slope B x z
hz : z ∈ Ioc x y
this : f z ≤ B z
⊢ z ∈ {x | f x ≤ B x}
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.MeanValue

Goal state before:
pp: case ha
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
B B' : ℝ → ℝ
ha : f a ≤ B a
hB : ContinuousOn B (Icc a b)
hB' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), B' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x z < r
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b
r : ℝ
hr : r > 0
⊢ f a ≤ B a

Tactic:
]

Goal state after:
case ha
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
B B' : ℝ → ℝ
ha : f a ≤ B a
hB : ContinuousOn B (Icc a b)
hB' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), B' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x z < r
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b
r : ℝ
hr : r > 0
⊢ f a ≤ B a