mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : Flat R M
ι : Type u
v : ι → M
h : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
⊢ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : Flat R M
ι : Type u
v : ι → M
h : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
⊢ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module

Goal state before:
pp: case insert
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n : ι
s : Finset ι
hn : n ∉ s
ih : ∀ (v : ι → M), LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v) → ∑ i ∈ s, f i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, f i = 0
v : ι → M
h : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
hfv : ∑ i, f ↑i • v ↑i = 0
i : ι
hi : i ∈ insert n s
⊢ f i = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case insert
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n : ι
s : Finset ι
hn : n ∉ s
ih : ∀ (v : ι → M), LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v) → ∑ i ∈ s, f i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, f i = 0
v : ι → M
h : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
hfv : ∑ i, f ↑i • v ↑i = 0
i : ι
hi : i ∈ insert n s
⊢ f i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Flat R ↥N
ι : Type u_1
m : ι → ↥M
hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R m)
⊢ Function.Injective (⇑(M.mulMap N) ∘ ⇑(LinearMap.rTensor (↥N) (Finsupp.linearCombination R m)))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Flat R ↥N
ι : Type u_1
m : ι → ↥M
hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R m)
⊢ Function.Injective (⇑(M.mulMap N) ∘ ⇑(LinearMap.rTensor (↥N) (Finsupp.linearCombination R m)))
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n✝ : ι
s : Finset ι
hn : n✝ ∉ s
ih : ∀ (v : ι → M), LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v) → ∑ i ∈ s, f i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, f i = 0
v : ι → M
h : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
hfv : ∑ i, f ↑i • v ↑i = 0
i : ι
hi : i ∈ insert n✝ s
l : ℕ
a : ↥(insert n✝ s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), (fun i ↦ v ↑i) i = ∑ j, a i j • y j
hfa : ∀ (j : Fin l), ∑ i, (fun i ↦ f ↑i) i * a i j = 0
n : ↥(insert n✝ s) := ⟨n✝, ⋯⟩
n_def : n = ⟨n✝, ⋯⟩
this : ∀ (j : Fin l), ¬IsUnit (a n j)
⊢ ∑ j, a n j • y j ∈ 𝔪 • ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n✝ : ι
s : Finset ι
hn : n✝ ∉ s
ih : ∀ (v : ι → M), LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v) → ∑ i ∈ s, f i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, f i = 0
v : ι → M
h : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
hfv : ∑ i, f ↑i • v ↑i = 0
i : ι
hi : i ∈ insert n✝ s
l : ℕ
a : ↥(insert n✝ s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), (fun i ↦ v ↑i) i = ∑ j, a i j • y j
hfa : ∀ (j : Fin l), ∑ i, (fun i ↦ f ↑i) i * a i j = 0
n : ↥(insert n✝ s) := ⟨n✝, ⋯⟩
n_def : n = ⟨n✝, ⋯⟩
this : ∀ (j : Fin l), ¬IsUnit (a n j)
⊢ ∑ j, a n j • y j ∈ 𝔪 • ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Flat R ↥M
ι : Type u_1
n : ι → ↥N
hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R n)
⊢ Function.Injective (⇑(M.mulMap N) ∘ ⇑(LinearMap.lTensor (↥M) (Finsupp.linearCombination R n)))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Flat R ↥M
ι : Type u_1
n : ι → ↥N
hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R n)
⊢ Function.Injective (⇑(M.mulMap N) ∘ ⇑(LinearMap.lTensor (↥M) (Finsupp.linearCombination R n)))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Flat R ↥M
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : κ → ↥M
n : ι → ↥N
hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R m)
hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R n)
⊢ Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R fun i ↦ ↑(m i.1) * ↑(n i.2))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Flat R ↥M
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : κ → ↥M
n : ι → ↥N
hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R m)
hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R n)
⊢ Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R fun i ↦ ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → s i
i : ι
r : R
x : s i
⊢ tprodCoeff R 1 (update f i (r • x)) = tprodCoeff R 1 (update f i (r • x))

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Flat R ↥M
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : κ → ↥M
n : ι → ↥N
hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R m)
hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R n)
i0 : (κ × ι →₀ R) ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := (finsuppTensorFinsupp' R κ ι).symm
i1 : (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) →ₗ[R] ↥M ⊗[R] (ι →₀ R) := LinearMap.rTensor (ι →₀ R) (Finsupp.linearCombination R m)
i2 : ↥M ⊗[R] (ι →₀ R) →ₗ[R] ↥M ⊗[R] ↥N := LinearMap.lTensor (↥M) (Finsupp.linearCombination R n)
i : (κ × ι →₀ R) →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ i2 ∘ₗ i1 ∘ₗ ↑i0
h1 : Function.Injective ⇑i1
h2 : Function.Injective ⇑i2
h : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R fun i ↦ ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
this : i = Finsupp.linearCombination R fun i ↦ ↑(m i.1) * ↑(n i.2)
⊢ Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R fun i ↦ ↑(m i.1) * ↑(n i.2))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Flat R ↥M
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : κ → ↥M
n : ι → ↥N
hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R m)
hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R n)
i0 : (κ × ι →₀ R) ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := (finsuppTensorFinsupp' R κ ι).symm
i1 : (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) →ₗ[R] ↥M ⊗[R] (ι →₀ R) := LinearMap.rTensor (ι →₀ R) (Finsupp.linearCombination R m)
i2 : ↥M ⊗[R] (ι →₀ R) →ₗ[R] ↥M ⊗[R] ↥N := LinearMap.lTensor (↥M) (Finsupp.linearCombination R n)
i : (κ × ι →₀ R) →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ i2 ∘ₗ i1 ∘ₗ ↑i0
h1 : Function.Injective ⇑i1
h2 : Function.Injective ⇑i2
h : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R fun i ↦ ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
this : i = Finsupp.linearCombination R fun i ↦ ↑(m i.1) * ↑(n i.2)
⊢ Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R fun i ↦ ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Flat R ↥N
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : κ → ↥M
n : ι → ↥N
hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R m)
hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R n)
⊢ Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R fun i ↦ ↑(m i.1) * ↑(n i.2))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Flat R ↥N
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : κ → ↥M
n : ι → ↥N
hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R m)
hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R n)
⊢ Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R fun i ↦ ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n✝ : ι
s : Finset ι
hn : n✝ ∉ s
ih : ∀ (v : ι → M), LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v) → ∑ i ∈ s, f i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, f i = 0
v : ι → M
h : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
hfv : ∑ i, f ↑i • v ↑i = 0
i : ι
hi : i ∈ insert n✝ s
l : ℕ
a : ↥(insert n✝ s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), (fun i ↦ v ↑i) i = ∑ j, a i j • y j
hfa : ∀ (j : Fin l), ∑ i, (fun i ↦ f ↑i) i * a i j = 0
this : v n✝ ∉ 𝔪 • ⊤
n : ↥(insert n✝ s) := ⟨n✝, ⋯⟩
n_def : n = ⟨n✝, ⋯⟩
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : ι → R := fun i ↦ if hi : i ∈ insert n✝ s then a ⟨i, hi⟩ j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), a i j = a' ↑i
⊢ f ↑n * a n j + ∑ i ∈ s, f i * a' i = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : Flat R M
ι : Type u
f : ι → R
n✝ : ι
s : Finset ι
hn : n✝ ∉ s
ih : ∀ (v : ι → M), LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v) → ∑ i ∈ s, f i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, f i = 0
v : ι → M
h : LinearIndependent k (⇑((TensorProduct.mk R k M) 1) ∘ v)
hfv : ∑ i, f ↑i • v ↑i = 0
i : ι
hi : i ∈ insert n✝ s
l : ℕ
a : ↥(insert n✝ s) → Fin l → R
y : Fin l → M
hay : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), (fun i ↦ v ↑i) i = ∑ j, a i j • y j
hfa : ∀ (j : Fin l), ∑ i, (fun i ↦ f ↑i) i * a i j = 0
this : v n✝ ∉ 𝔪 • ⊤
n : ↥(insert n✝ s) := ⟨n✝, ⋯⟩
n_def : n = ⟨n✝, ⋯⟩
j : Fin l
hj : IsUnit (a n j)
a' : ι → R := fun i ↦ if hi : i ∈ insert n✝ s then a ⟨i, hi⟩ j else 0
a_eq : ∀ (i : ↥(insert n✝ s)), a i j = a' ↑i
⊢ f ↑n * a n j + ∑ i ∈ s, f i * a' i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: case of_add
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (s i)
b : R × ((i : ι) → s i)
a : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))
ih : ↑a = (List.map (fun x ↦ x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) (FreeAddMonoid.toList a)).sum
⊢ ↑(FreeAddMonoid.of b + a) = (tprodCoeff R b.1 fun i ↦ b.2 i) + ↑a

Tactic:
]

Goal state after:
case of_add
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (s i)
b : R × ((i : ι) → s i)
a : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))
ih : ↑a = (List.map (fun x ↦ x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) (FreeAddMonoid.toList a)).sum
⊢ ↑(FreeAddMonoid.of b + a) = (tprodCoeff R b.1 fun i ↦ b.2 i) + ↑a
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (s i)
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (s i)
x y : ⨂[R] (i : ι), s i
p q : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))
hp : p ∈ x.lifts
hq : q ∈ y.lifts
⊢ x + y = x + y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (s i)
x : ⨂[R] (i : ι), s i
p : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))
h : (List.map (fun x ↦ x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) (FreeAddMonoid.toList p)).sum = x
a : R
⊢ (List.map (fun x ↦ x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i)
        (FreeAddMonoid.toList ((FreeAddMonoid.map fun y ↦ (a * y.1, y.2)) p))).sum =
    a • x

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (s i)
x : ⨂[R] (i : ι), s i
p : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))
h : (List.map (fun x ↦ x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) (FreeAddMonoid.toList p)).sum = x
a : R
⊢ (List.map (fun x ↦ x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i)
        (FreeAddMonoid.toList ((FreeAddMonoid.map fun y ↦ (a * y.1, y.2)) p))).sum =
    a • x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (s i)
x : ⨂[R] (i : ι), s i
p : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))
h : (List.map (fun x ↦ x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) (FreeAddMonoid.toList p)).sum = x
a : R
⊢ (List.map (fun x ↦ x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i)
        (FreeAddMonoid.toList ((FreeAddMonoid.map fun y ↦ (a * y.1, y.2)) p))).sum =
    a • (List.map (fun x ↦ x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) (FreeAddMonoid.toList p)).sum

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (s i)
x : ⨂[R] (i : ι), s i
p : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))
h : (List.map (fun x ↦ x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) (FreeAddMonoid.toList p)).sum = x
a : R
⊢ (List.map (fun x ↦ x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i)
        (FreeAddMonoid.toList ((FreeAddMonoid.map fun y ↦ (a * y.1, y.2)) p))).sum =
    a • (List.map (fun x ↦ x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) (FreeAddMonoid.toList p)).sum
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Flat R ↥N
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : κ → ↥M
n : ι → ↥N
hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R m)
hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R n)
i0 : (κ × ι →₀ R) ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := (finsuppTensorFinsupp' R κ ι).symm
i1 : (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) →ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] ↥N := LinearMap.lTensor (κ →₀ R) (Finsupp.linearCombination R n)
i2 : (κ →₀ R) ⊗[R] ↥N →ₗ[R] ↥M ⊗[R] ↥N := LinearMap.rTensor (↥N) (Finsupp.linearCombination R m)
i : (κ × ι →₀ R) →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ i2 ∘ₗ i1 ∘ₗ ↑i0
h1 : Function.Injective ⇑i1
h2 : Function.Injective ⇑i2
h : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R fun i ↦ ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
this : i = Finsupp.linearCombination R fun i ↦ ↑(m i.1) * ↑(n i.2)
⊢ Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R fun i ↦ ↑(m i.1) * ↑(n i.2))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Flat R ↥N
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : κ → ↥M
n : ι → ↥N
hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R m)
hn : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R n)
i0 : (κ × ι →₀ R) ≃ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) := (finsuppTensorFinsupp' R κ ι).symm
i1 : (κ →₀ R) ⊗[R] (ι →₀ R) →ₗ[R] (κ →₀ R) ⊗[R] ↥N := LinearMap.lTensor (κ →₀ R) (Finsupp.linearCombination R n)
i2 : (κ →₀ R) ⊗[R] ↥N →ₗ[R] ↥M ⊗[R] ↥N := LinearMap.rTensor (↥N) (Finsupp.linearCombination R m)
i : (κ × ι →₀ R) →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ i2 ∘ₗ i1 ∘ₗ ↑i0
h1 : Function.Injective ⇑i1
h2 : Function.Injective ⇑i2
h : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R fun i ↦ ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
this : i = Finsupp.linearCombination R fun i ↦ ↑(m i.1) * ↑(n i.2)
⊢ Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R fun i ↦ ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorPower.Basic

Goal state before:
pp: case e_6
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb nc : ℕ
a✝ : ⨂[R]^na M
b✝ : ⨂[R]^nb M
c✝ : ⨂[R]^nc M
mul : (n m : ℕ) → ⨂[R]^n M →ₗ[R] ⨂[R]^m M →ₗ[R] ⨂[R]^(n + m) M :=
  fun n m ↦ (TensorProduct.mk R (⨂[R]^n M) (⨂[R]^m M)).compr₂ ↑mulEquiv
e : ⨂[R]^(na + nb + nc) M ≃ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := cast R M ⋯
lhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M :=
  (LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^(na + nb) M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M))
      ((mul (na + nb) nc).compr₂ ↑e) ∘ₗ
    mul na nb
lhs_eq :
  ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M),
    ((lhs a) b) c = e (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul a b) c)
rhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M :=
  (((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)
          (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M))
        ↑LinearMap.lflip)
      ((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nc M) (⨂[R]^(nb + nc) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M))
          (mul na (nb + nc)).flip ∘ₗ
        mul nb nc)).flip
rhs_eq :
  ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((rhs a) b) c = GradedMonoid.GMul.mul a (GradedMonoid.GMul.mul b c)
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
c : Fin nc → M
j : Fin (na + (nb + nc))
⊢ ((Fin.append a (Fin.append b c) ∘ Fin.cast ⋯) ∘ Fin.cast ⋯) j = Fin.append a (Fin.append b c) j

Tactic:
]

Goal state after:
case e_6
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb nc : ℕ
a✝ : ⨂[R]^na M
b✝ : ⨂[R]^nb M
c✝ : ⨂[R]^nc M
mul : (n m : ℕ) → ⨂[R]^n M →ₗ[R] ⨂[R]^m M →ₗ[R] ⨂[R]^(n + m) M :=
  fun n m ↦ (TensorProduct.mk R (⨂[R]^n M) (⨂[R]^m M)).compr₂ ↑mulEquiv
e : ⨂[R]^(na + nb + nc) M ≃ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := cast R M ⋯
lhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M :=
  (LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^(na + nb) M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M))
      ((mul (na + nb) nc).compr₂ ↑e) ∘ₗ
    mul na nb
lhs_eq :
  ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M),
    ((lhs a) b) c = e (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul a b) c)
rhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M :=
  (((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)
          (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M))
        ↑LinearMap.lflip)
      ((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nc M) (⨂[R]^(nb + nc) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M))
          (mul na (nb + nc)).flip ∘ₗ
        mul nb nc)).flip
rhs_eq :
  ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((rhs a) b) c = GradedMonoid.GMul.mul a (GradedMonoid.GMul.mul b c)
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
c : Fin nc → M
j : Fin (na + (nb + nc))
⊢ ((Fin.append a (Fin.append b c) ∘ Fin.cast ⋯) ∘ Fin.cast ⋯) j = Fin.append a (Fin.append b c) j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : Basis κ R ↥M
n : Basis ι R ↥N
H : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R fun i ↦ ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
⊢ M.LinearDisjoint N

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : Basis κ R ↥M
n : Basis ι R ↥N
H : Function.Injective ⇑(Finsupp.linearCombination R fun i ↦ ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
⊢ M.LinearDisjoint N
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module R E
φ₁ φ₂ : (⨂[R] (i : ι), s i) →ₗ[R] E
H : φ₁.compMultilinearMap (tprod R) = φ₂.compMultilinearMap (tprod R)
z x y : ⨂[R] (i : ι), s i
hx : φ₁ x = φ₂ x
hy : φ₁ y = φ₂ y
⊢ φ₂ x + φ₂ y = φ₂ x + φ₂ y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module R E
φ₁ φ₂ : (⨂[R] (i : ι), s i) →ₗ[R] E
H : φ₁.compMultilinearMap (tprod R) = φ₂.compMultilinearMap (tprod R)
z : ⨂[R] (i : ι), s i
r : R
f : (i : ι) → s i
⊢ r • φ₁ ((tprod R) f) = r • φ₂ ((tprod R) f)

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (s i)
E : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module R E
φ₁ φ₂ : (⨂[R] (i : ι), s i) →ₗ[R] E
H : φ₁.compMultilinearMap (tprod R) = φ₂.compMultilinearMap (tprod R)
z : ⨂[R] (i : ι), s i
r : R
f : (i : ι) → s i
⊢ r • φ₁ ((tprod R) f) = r • φ₂ ((tprod R) f)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
n : Fin 2 → ↥N := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hn : LinearIndependent R n
this : AddCommGroup (Fin 2 →₀ ↥M) := Finsupp.instAddCommGroup
m : Fin 2 →₀ ↥M := Finsupp.single 0 ⟨↑b, ⋯⟩ - Finsupp.single 1 ⟨↑a, ⋯⟩
hm : m = 0
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
n : Fin 2 → ↥N := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hn : LinearIndependent R n
this : AddCommGroup (Fin 2 →₀ ↥M) := Finsupp.instAddCommGroup
m : Fin 2 →₀ ↥M := Finsupp.single 0 ⟨↑b, ⋯⟩ - Finsupp.single 1 ⟨↑a, ⋯⟩
hm : m = 0
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
z₁ z₂ : R
f : (i : ι) → s i
⊢ ((z₁, f).1 + (z₂, f).1) • φ (z₁, f).2 = (z₁ + z₂, f).1 • φ (z₁ + z₂, f).2

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
n : Fin 2 → ↥N := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hn : LinearIndependent R n
this : AddCommGroup (Fin 2 →₀ ↥M) := Finsupp.instAddCommGroup
m : Fin 2 →₀ ↥M := Finsupp.single 0 ⟨↑b, ⋯⟩ - Finsupp.single 1 ⟨↑a, ⋯⟩
hm : b = 0 ∧ ⟨↑a, ⋯⟩ = 0
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
n : Fin 2 → ↥N := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hn : LinearIndependent R n
this : AddCommGroup (Fin 2 →₀ ↥M) := Finsupp.instAddCommGroup
m : Fin 2 →₀ ↥M := Finsupp.single 0 ⟨↑b, ⋯⟩ - Finsupp.single 1 ⟨↑a, ⋯⟩
hm : b = 0 ∧ ⟨↑a, ⋯⟩ = 0
⊢ False