mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.OrderOfVanishing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : R
⊢ ord R a ≤ ord R (b * a)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : R
⊢ ord R a ≤ ord R (b * a)
Module: Mathlib.RingTheory.OrderOfVanishing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
⊢ IsSimpleModule R (R ⧸ span {ϖ})

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
⊢ IsSimpleModule R (R ⧸ span {ϖ})
Module: Mathlib.RingTheory.OrderOfVanishing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
this : (span {ϖ}).IsMaximal
⊢ IsSimpleModule (R ⧸ span {ϖ}) (R ⧸ span {ϖ})

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
this : (span {ϖ}).IsMaximal
⊢ IsSimpleModule (R ⧸ span {ϖ}) (R ⧸ span {ϖ})
Module: Mathlib.RingTheory.OrderOfVanishing.Basic

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
x y : R
_✝ : x * y ∈ nonZeroDivisors R
_ : x ∈ nonZeroDivisors R
b : y ∈ nonZeroDivisors R
⊢ ENat.recTopCoe 0 (fun x ↦ ↑(Multiplicative.ofAdd ↑x)) (ord R x + ord R y) =
    ENat.recTopCoe 0 (fun x ↦ ↑(Multiplicative.ofAdd ↑x)) (ord R x) *
      ENat.recTopCoe 0 (fun x ↦ ↑(Multiplicative.ofAdd ↑x)) (ord R y)

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
x y : R
_✝ : x * y ∈ nonZeroDivisors R
_ : x ∈ nonZeroDivisors R
b : y ∈ nonZeroDivisors R
⊢ ENat.recTopCoe 0 (fun x ↦ ↑(Multiplicative.ofAdd ↑x)) (ord R x + ord R y) =
    ENat.recTopCoe 0 (fun x ↦ ↑(Multiplicative.ofAdd ↑x)) (ord R x) *
      ENat.recTopCoe 0 (fun x ↦ ↑(Multiplicative.ofAdd ↑x)) (ord R y)
Module: Mathlib.RingTheory.OrderOfVanishing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : KrullDimLE 1 R
x : R
hx : x ∈ nonZeroDivisors R
⊢ IsNoetherian R (R ⧸ span {x}) ∧ IsArtinian R (R ⧸ span {x})

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : KrullDimLE 1 R
x : R
hx : x ∈ nonZeroDivisors R
⊢ IsNoetherian R (R ⧸ span {x}) ∧ IsArtinian R (R ⧸ span {x})
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Mate

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e f : B
g : a ⟶ d
h : b ⟶ e
k : c ⟶ f
l₁ : a ⟶ b
r₁ : b ⟶ a
l₂ : d ⟶ e
r₂ : e ⟶ d
l₃ : b ⟶ c
r₃ : c ⟶ b
l₄ : e ⟶ f
r₄ : f ⟶ e
adj₁ : l₁ ⊣ r₁
adj₂ : l₂ ⊣ r₂
adj₃ : l₃ ⊣ r₃
adj₄ : l₄ ⊣ r₄
α : g ≫ l₂ ⟶ l₁ ≫ h
β : h ≫ l₄ ⟶ l₃ ≫ k
⊢ 𝟙 ((r₃ ≫ r₁) ≫ g) ⊗≫
      r₃ ◁ r₁ ◁ g ◁ adj₂.unit ⊗≫
        r₃ ◁ r₁ ◁ α ▷ r₂ ⊗≫
          r₃ ◁ (adj₁.counit ▷ (h ≫ 𝟙 e) ≫ 𝟙 b ◁ h ◁ adj₄.unit) ▷ r₂ ⊗≫
            r₃ ◁ β ▷ r₄ ▷ r₂ ⊗≫ adj₃.counit ▷ k ▷ r₄ ▷ r₂ ⊗≫ 𝟙 (k ≫ r₄ ≫ r₂) =
    (α_ r₃ r₁ g).hom ≫
      r₃ ◁ (𝟙 (r₁ ≫ g) ⊗≫ r₁ ◁ g ◁ adj₂.unit ⊗≫ r₁ ◁ α ▷ r₂ ⊗≫ adj₁.counit ▷ h ▷ r₂ ⊗≫ 𝟙 (h ≫ r₂)) ≫
        (α_ r₃ h r₂).inv ≫
          (𝟙 (r₃ ≫ h) ⊗≫ r₃ ◁ h ◁ adj₄.unit ⊗≫ r₃ ◁ β ▷ r₄ ⊗≫ adj₃.counit ▷ k ▷ r₄ ⊗≫ 𝟙 (k ≫ r₄)) ▷ r₂ ≫
            (α_ k r₄ r₂).hom

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e f : B
g : a ⟶ d
h : b ⟶ e
k : c ⟶ f
l₁ : a ⟶ b
r₁ : b ⟶ a
l₂ : d ⟶ e
r₂ : e ⟶ d
l₃ : b ⟶ c
r₃ : c ⟶ b
l₄ : e ⟶ f
r₄ : f ⟶ e
adj₁ : l₁ ⊣ r₁
adj₂ : l₂ ⊣ r₂
adj₃ : l₃ ⊣ r₃
adj₄ : l₄ ⊣ r₄
α : g ≫ l₂ ⟶ l₁ ≫ h
β : h ≫ l₄ ⟶ l₃ ≫ k
⊢ 𝟙 ((r₃ ≫ r₁) ≫ g) ⊗≫
      r₃ ◁ r₁ ◁ g ◁ adj₂.unit ⊗≫
        r₃ ◁ r₁ ◁ α ▷ r₂ ⊗≫
          r₃ ◁ (adj₁.counit ▷ (h ≫ 𝟙 e) ≫ 𝟙 b ◁ h ◁ adj₄.unit) ▷ r₂ ⊗≫
            r₃ ◁ β ▷ r₄ ▷ r₂ ⊗≫ adj₃.counit ▷ k ▷ r₄ ▷ r₂ ⊗≫ 𝟙 (k ≫ r₄ ≫ r₂) =
    (α_ r₃ r₁ g).hom ≫
      r₃ ◁ (𝟙 (r₁ ≫ g) ⊗≫ r₁ ◁ g ◁ adj₂.unit ⊗≫ r₁ ◁ α ▷ r₂ ⊗≫ adj₁.counit ▷ h ▷ r₂ ⊗≫ 𝟙 (h ≫ r₂)) ≫
        (α_ r₃ h r₂).inv ≫
          (𝟙 (r₃ ≫ h) ⊗≫ r₃ ◁ h ◁ adj₄.unit ⊗≫ r₃ ◁ β ▷ r₄ ⊗≫ adj₃.counit ▷ k ▷ r₄ ⊗≫ 𝟙 (k ≫ r₄)) ▷ r₂ ≫
            (α_ k r₄ r₂).hom
Module: Mathlib.RingTheory.OrderOfVanishing.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : KrullDimLE 1 R
x : R
hx : x ∈ nonZeroDivisors R
⊢ Order.krullDim (PrimeSpectrum (R ⧸ span {x})) + 1 ≤ 1

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : KrullDimLE 1 R
x : R
hx : x ∈ nonZeroDivisors R
⊢ Order.krullDim (PrimeSpectrum (R ⧸ span {x})) + 1 ≤ 1
Module: Mathlib.RingTheory.OrderOfVanishing.Noetherian

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : KrullDimLE 1 R
inst✝ : Nontrivial R
x : ↥R⁰
⊢ ↑(Multiplicative.ofAdd ↑(ord R ↑x).toNat) = ↑(Multiplicative.ofAdd ↑(ord R ↑x).toNat)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.OrderOfVanishing.Noetherian

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
this : IsNoetherian R (R ⧸ Ideal.span {0}) ∧ IsArtinian R (R ⧸ Ideal.span {0})
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
this : IsNoetherian R (R ⧸ Ideal.span {0}) ∧ IsArtinian R (R ⧸ Ideal.span {0})
⊢ False
Module: Mathlib.RingTheory.OrderOfVanishing.Noetherian

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
this : IsNoetherian R (R ⧸ Ideal.span {0}) ∧ IsArtinian R (R ⧸ Ideal.span {0})
art : IsArtinian R (R ⧸ ⊥)
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
this : IsNoetherian R (R ⧸ Ideal.span {0}) ∧ IsArtinian R (R ⧸ Ideal.span {0})
art : IsArtinian R (R ⧸ ⊥)
⊢ False
Module: Mathlib.RingTheory.OrderOfVanishing.Noetherian

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
m : ℕ
α : Rˣ
hx : ¬↑α * ϖ ^ m = 0
⊢ ord R ↑α + m • 1 = (IsDiscreteValuationRing.addVal R) (↑α * ϖ ^ m)

pp: case neg.hx
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
m : ℕ
α : Rˣ
hx : ¬↑α * ϖ ^ m = 0
⊢ ϖ ∈ nonZeroDivisors R

pp: case neg.hb
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
m : ℕ
α : Rˣ
hx : ¬↑α * ϖ ^ m = 0
⊢ ϖ ^ m ∈ nonZeroDivisors R

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
m : ℕ
α : Rˣ
hx : ¬↑α * ϖ ^ m = 0
⊢ ord R ↑α + m • 1 = (IsDiscreteValuationRing.addVal R) (↑α * ϖ ^ m)

case neg.hx
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
m : ℕ
α : Rˣ
hx : ¬↑α * ϖ ^ m = 0
⊢ ϖ ∈ nonZeroDivisors R

case neg.hb
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
m : ℕ
α : Rˣ
hx : ¬↑α * ϖ ^ m = 0
⊢ ϖ ^ m ∈ nonZeroDivisors R
Module: Mathlib.RingTheory.OrderOfVanishing.Noetherian

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDiscreteValuationRing R
x y : R
⊢ (addVal R) (x + y) ≤ (addVal R) (x + y)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.OrderOfVanishing.Noetherian

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDiscreteValuationRing R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : R
h : x ≠ 0
⊢ ((IsDiscreteValuationRing.maximalIdeal R).intValuation x)⁻¹ =
    ((IsDiscreteValuationRing.maximalIdeal R).intValuation x)⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.OrderOfVanishing.Noetherian

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDiscreteValuationRing R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
⊢ Submonoid.comap (valuation K (IsDiscreteValuationRing.maximalIdeal R)).toMonoidWithZeroHom ⊥ =
    Submonoid.map (algebraMap R K) (IsUnit.submonoid R)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDiscreteValuationRing R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
⊢ Submonoid.comap (valuation K (IsDiscreteValuationRing.maximalIdeal R)).toMonoidWithZeroHom ⊥ =
    Submonoid.map (algebraMap R K) (IsUnit.submonoid R)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Mate

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e f x y z : B
g₁ : a ⟶ d
h₁ : b ⟶ e
k₁ : c ⟶ f
g₂ : d ⟶ x
h₂ : e ⟶ y
k₂ : f ⟶ z
l₁ : a ⟶ b
l₂ : b ⟶ c
l₃ : d ⟶ e
l₄ : e ⟶ f
l₅ : x ⟶ y
l₆ : y ⟶ z
α : g₁ ≫ l₃ ⟶ l₁ ≫ h₁
β : h₁ ≫ l₄ ⟶ l₂ ≫ k₁
γ : g₂ ≫ l₅ ⟶ l₃ ≫ h₂
δ : h₂ ≫ l₆ ⟶ l₄ ≫ k₂
⊢ 𝟙 ((g₁ ≫ g₂) ≫ l₅ ≫ l₆) ⊗≫ g₁ ◁ γ ▷ l₆ ⊗≫ (α ▷ (h₂ ≫ l₆) ≫ (l₁ ≫ h₁) ◁ δ) ⊗≫ l₁ ◁ β ▷ k₂ ⊗≫ 𝟙 ((l₁ ≫ l₂) ≫ k₁ ≫ k₂) =
    (α_ (g₁ ≫ g₂) l₅ l₆).inv ≫
      ((α_ g₁ g₂ l₅).hom ≫ g₁ ◁ γ ≫ (α_ g₁ l₃ h₂).inv ≫ α ▷ h₂ ≫ (α_ l₁ h₁ h₂).hom) ▷ l₆ ≫
        (α_ l₁ (h₁ ≫ h₂) l₆).hom ≫
          l₁ ◁ ((α_ h₁ h₂ l₆).hom ≫ h₁ ◁ δ ≫ (α_ h₁ l₄ k₂).inv ≫ β ▷ k₂ ≫ (α_ l₂ k₁ k₂).hom) ≫ (α_ l₁ l₂ (k₁ ≫ k₂)).inv

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e f x y z : B
g₁ : a ⟶ d
h₁ : b ⟶ e
k₁ : c ⟶ f
g₂ : d ⟶ x
h₂ : e ⟶ y
k₂ : f ⟶ z
l₁ : a ⟶ b
l₂ : b ⟶ c
l₃ : d ⟶ e
l₄ : e ⟶ f
l₅ : x ⟶ y
l₆ : y ⟶ z
α : g₁ ≫ l₃ ⟶ l₁ ≫ h₁
β : h₁ ≫ l₄ ⟶ l₂ ≫ k₁
γ : g₂ ≫ l₅ ⟶ l₃ ≫ h₂
δ : h₂ ≫ l₆ ⟶ l₄ ≫ k₂
⊢ 𝟙 ((g₁ ≫ g₂) ≫ l₅ ≫ l₆) ⊗≫ g₁ ◁ γ ▷ l₆ ⊗≫ (α ▷ (h₂ ≫ l₆) ≫ (l₁ ≫ h₁) ◁ δ) ⊗≫ l₁ ◁ β ▷ k₂ ⊗≫ 𝟙 ((l₁ ≫ l₂) ≫ k₁ ≫ k₂) =
    (α_ (g₁ ≫ g₂) l₅ l₆).inv ≫
      ((α_ g₁ g₂ l₅).hom ≫ g₁ ◁ γ ≫ (α_ g₁ l₃ h₂).inv ≫ α ▷ h₂ ≫ (α_ l₁ h₁ h₂).hom) ▷ l₆ ≫
        (α_ l₁ (h₁ ≫ h₂) l₆).hom ≫
          l₁ ◁ ((α_ h₁ h₂ l₆).hom ≫ h₁ ◁ δ ≫ (α_ h₁ l₄ k₂).inv ≫ β ▷ k₂ ≫ (α_ l₂ k₁ k₂).hom) ≫ (α_ l₁ l₂ (k₁ ≫ k₂)).inv
Module: Mathlib.RingTheory.OrderOfVanishing.Noetherian

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDiscreteValuationRing R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x y : K
h1 : x + y ≠ 0
⊢ (max ((valuation K (IsDiscreteValuationRing.maximalIdeal R)) x)
        ((valuation K (IsDiscreteValuationRing.maximalIdeal R)) y))⁻¹ ≤
    (max ((valuation K (IsDiscreteValuationRing.maximalIdeal R)) x)
        ((valuation K (IsDiscreteValuationRing.maximalIdeal R)) y))⁻¹

pp: case hb
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDiscreteValuationRing R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x y : K
h1 : x + y ≠ 0
⊢ 0 < (valuation K (IsDiscreteValuationRing.maximalIdeal R)) (x + y)

Tactic:
]

Goal state after:
case hb
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDiscreteValuationRing R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x y : K
h1 : x + y ≠ 0
⊢ 0 < (valuation K (IsDiscreteValuationRing.maximalIdeal R)) (x + y)
Module: Mathlib.RingTheory.OrderOfVanishing.Noetherian

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDiscreteValuationRing R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x y : K
h : (valuation K (IsDiscreteValuationRing.maximalIdeal R)) x = (valuation K (IsDiscreteValuationRing.maximalIdeal R)) y
⊢ ∃ u, u • x = y

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDiscreteValuationRing R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x y : K
h : (valuation K (IsDiscreteValuationRing.maximalIdeal R)) x = (valuation K (IsDiscreteValuationRing.maximalIdeal R)) y
⊢ ∃ u, u • x = y
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.OrderOfVanishing

Goal state before:
pp: X : Scheme
inst✝² : IsIntegral X
inst✝¹ : IsLocallyNoetherian X
U : X.Opens
inst✝ : Nonempty ↥↑U
f : ↑Γ(X, U)
hf : IsUnit f
x : ↥X
hx : coheight x = 1
hx' : x ∈ U
this : Ring.KrullDimLE 1 ↑(X.presheaf.stalk x)
⊢ (ordHom x hx)
      ((algebraMap ↑(X.presheaf.stalk x) ↑X.functionField) ((ConcreteCategory.hom (X.presheaf.germ U x hx')) f)) =
    1

Tactic:
]

Goal state after:
X : Scheme
inst✝² : IsIntegral X
inst✝¹ : IsLocallyNoetherian X
U : X.Opens
inst✝ : Nonempty ↥↑U
f : ↑Γ(X, U)
hf : IsUnit f
x : ↥X
hx : coheight x = 1
hx' : x ∈ U
this : Ring.KrullDimLE 1 ↑(X.presheaf.stalk x)
⊢ (ordHom x hx)
      ((algebraMap ↑(X.presheaf.stalk x) ↑X.functionField) ((ConcreteCategory.hom (X.presheaf.germ U x hx')) f)) =
    1
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.OrderOfVanishing

Goal state before:
pp: X : Scheme
inst✝¹ : IsIntegral X
inst✝ : IsLocallyNoetherian X
z : ↥X
hz : coheight z = 1
f : ↑X.functionField
hf : f ≠ 0
n : ℤ
⊢ Multiplicative.toAdd (unzero ⋯) = n ↔ (ordHom z hz) f = ↑(Multiplicative.ofAdd n)

Tactic:
]

Goal state after:
X : Scheme
inst✝¹ : IsIntegral X
inst✝ : IsLocallyNoetherian X
z : ↥X
hz : coheight z = 1
f : ↑X.functionField
hf : f ≠ 0
n : ℤ
⊢ Multiplicative.toAdd (unzero ⋯) = n ↔ (ordHom z hz) f = ↑(Multiplicative.ofAdd n)
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.OrderOfVanishing

Goal state before:
pp: case neg
X : Scheme
inst✝¹ : IsIntegral X
inst✝ : IsLocallyNoetherian X
x : ↥X
f g : ↑X.functionField
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
hx : coheight x = 1
⊢ (ordHom x hx) (f * g) = ↑(Multiplicative.ofAdd (ord f x + ord g x))

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
X : Scheme
inst✝¹ : IsIntegral X
inst✝ : IsLocallyNoetherian X
x : ↥X
f g : ↑X.functionField
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
hx : coheight x = 1
⊢ (ordHom x hx) (f * g) = ↑(Multiplicative.ofAdd (ord f x + ord g x))
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.OrderOfVanishing

Goal state before:
pp: case neg
X : Scheme
inst✝² : IsIntegral X
inst✝¹ : IsLocallyNoetherian X
U : X.Opens
inst✝ : Nonempty ↥↑U
f : ↑Γ(X, U)
hf : IsUnit f
x : ↥X
hx' : x ∈ U
hx : coheight x = 1
⊢ ord ((ConcreteCategory.hom (X.germToFunctionField U)) f) x = 0

Tactic:
simp [map_ne_zero_iff, germToFunctionField_injective, IsUnit.ne_zero hf,
    ord_eq_iff hx, ordHom_of_isUnit hf hx hx']

Goal state after:
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.OrderOfVanishing

Goal state before:
pp: X : Scheme
inst✝¹ : IsIntegral X
inst✝ : IsLocallyNoetherian X
x : ↥X
hx : coheight x = 1
f : ↑X.functionField
hf : f ≠ 0
n : ℤ
⊢ n ≤ Multiplicative.toAdd (unzero ⋯) ↔ ↑(Multiplicative.ofAdd n) ≤ (ordHom x hx) f

Tactic:
]

Goal state after:
X : Scheme
inst✝¹ : IsIntegral X
inst✝ : IsLocallyNoetherian X
x : ↥X
hx : coheight x = 1
f : ↑X.functionField
hf : f ≠ 0
n : ℤ
⊢ n ≤ Multiplicative.toAdd (unzero ⋯) ↔ ↑(Multiplicative.ofAdd n) ≤ (ordHom x hx) f
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.OrderOfVanishing

Goal state before:
pp: X : Scheme
inst✝¹ : IsIntegral X
inst✝ : IsLocallyNoetherian X
x : ↥X
hx : coheight x = 1
f : ↑X.functionField
hf : f ≠ 0
n : ℤ
⊢ Multiplicative.toAdd (Multiplicative.ofAdd n) ≤ Multiplicative.toAdd (unzero ⋯) ↔
    ↑(Multiplicative.ofAdd n) ≤ (ordHom x hx) f

Tactic:
]

Goal state after:
X : Scheme
inst✝¹ : IsIntegral X
inst✝ : IsLocallyNoetherian X
x : ↥X
hx : coheight x = 1
f : ↑X.functionField
hf : f ≠ 0
n : ℤ
⊢ Multiplicative.toAdd (Multiplicative.ofAdd n) ≤ Multiplicative.toAdd (unzero ⋯) ↔
    ↑(Multiplicative.ofAdd n) ≤ (ordHom x hx) f
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.OrderOfVanishing

Goal state before:
pp: X : Scheme
inst✝¹ : IsIntegral X
inst✝ : IsLocallyNoetherian X
x : ↥X
hx : coheight x = 1
f : ↑X.functionField
hf : f ≠ 0
n : ℤ
⊢ ↑(Multiplicative.ofAdd n) ≤ (ordHom x hx) f ↔ ↑(Multiplicative.ofAdd n) ≤ (ordHom x hx) f

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Mate

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e f x y z : B
g₁ : a ⟶ d
h₁ : b ⟶ e
k₁ : c ⟶ f
g₂ : d ⟶ x
h₂ : e ⟶ y
k₂ : f ⟶ z
r₁ : b ⟶ a
r₂ : c ⟶ b
r₃ : e ⟶ d
r₄ : f ⟶ e
r₅ : y ⟶ x
r₆ : z ⟶ y
α : r₁ ≫ g₁ ⟶ h₁ ≫ r₃
β : r₂ ≫ h₁ ⟶ k₁ ≫ r₄
γ : r₃ ≫ g₂ ⟶ h₂ ≫ r₅
δ : r₄ ≫ h₂ ⟶ k₂ ≫ r₆
⊢ 𝟙 ((r₂ ≫ r₁) ≫ g₁ ≫ g₂) ⊗≫ r₂ ◁ α ▷ g₂ ⊗≫ ((r₂ ≫ h₁) ◁ γ ≫ β ▷ (h₂ ≫ r₅)) ⊗≫ k₁ ◁ δ ▷ r₅ ⊗≫ 𝟙 ((k₁ ≫ k₂) ≫ r₆ ≫ r₅) =
    (α_ r₂ r₁ (g₁ ≫ g₂)).hom ≫
      r₂ ◁ ((α_ r₁ g₁ g₂).inv ≫ α ▷ g₂ ≫ (α_ h₁ r₃ g₂).hom ≫ h₁ ◁ γ ≫ (α_ h₁ h₂ r₅).inv) ≫
        (α_ r₂ (h₁ ≫ h₂) r₅).inv ≫
          ((α_ r₂ h₁ h₂).inv ≫ β ▷ h₂ ≫ (α_ k₁ r₄ h₂).hom ≫ k₁ ◁ δ ≫ (α_ k₁ k₂ r₆).inv) ▷ r₅ ≫ (α_ (k₁ ≫ k₂) r₆ r₅).hom

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e f x y z : B
g₁ : a ⟶ d
h₁ : b ⟶ e
k₁ : c ⟶ f
g₂ : d ⟶ x
h₂ : e ⟶ y
k₂ : f ⟶ z
r₁ : b ⟶ a
r₂ : c ⟶ b
r₃ : e ⟶ d
r₄ : f ⟶ e
r₅ : y ⟶ x
r₆ : z ⟶ y
α : r₁ ≫ g₁ ⟶ h₁ ≫ r₃
β : r₂ ≫ h₁ ⟶ k₁ ≫ r₄
γ : r₃ ≫ g₂ ⟶ h₂ ≫ r₅
δ : r₄ ≫ h₂ ⟶ k₂ ≫ r₆
⊢ 𝟙 ((r₂ ≫ r₁) ≫ g₁ ≫ g₂) ⊗≫ r₂ ◁ α ▷ g₂ ⊗≫ ((r₂ ≫ h₁) ◁ γ ≫ β ▷ (h₂ ≫ r₅)) ⊗≫ k₁ ◁ δ ▷ r₅ ⊗≫ 𝟙 ((k₁ ≫ k₂) ≫ r₆ ≫ r₅) =
    (α_ r₂ r₁ (g₁ ≫ g₂)).hom ≫
      r₂ ◁ ((α_ r₁ g₁ g₂).inv ≫ α ▷ g₂ ≫ (α_ h₁ r₃ g₂).hom ≫ h₁ ◁ γ ≫ (α_ h₁ h₂ r₅).inv) ≫
        (α_ r₂ (h₁ ≫ h₂) r₅).inv ≫
          ((α_ r₂ h₁ h₂).inv ≫ β ▷ h₂ ≫ (α_ k₁ r₄ h₂).hom ≫ k₁ ◁ δ ≫ (α_ k₁ k₂ r₆).inv) ▷ r₅ ≫ (α_ (k₁ ≫ k₂) r₆ r₅).hom
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.OrderOfVanishing

Goal state before:
pp: case neg
X : Scheme
inst✝² : IsIntegral X
inst✝¹ : IsLocallyNoetherian X
x : ↥X
inst✝ : IsDiscreteValuationRing ↑(X.presheaf.stalk x)
f g : ↑X.functionField
hfg : f + g ≠ 0
hf : ¬f = 0
hg : ¬g = 0
hx : coheight x = 1
⊢ (ordHom x hx) f ≤ (ordHom x hx) (f + g) ∨ (ordHom x hx) g ≤ (ordHom x hx) (f + g)

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
X : Scheme
inst✝² : IsIntegral X
inst✝¹ : IsLocallyNoetherian X
x : ↥X
inst✝ : IsDiscreteValuationRing ↑(X.presheaf.stalk x)
f g : ↑X.functionField
hfg : f + g ≠ 0
hf : ¬f = 0
hg : ¬g = 0
hx : coheight x = 1
⊢ (ordHom x hx) f ≤ (ordHom x hx) (f + g) ∨ (ordHom x hx) g ≤ (ordHom x hx) (f + g)
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.OrderOfVanishing

Goal state before:
pp: case neg
X : Scheme
inst✝² : IsIntegral X
inst✝¹ : IsLocallyNoetherian X
x : ↥X
U : X.Opens
inst✝ : Nonempty ↥↑U
hxU : x ∈ U
a : ↑Γ(X, U)
ha : a ≠ 0
f : ↑X.functionField
hx : coheight x = 1
hf : ¬f = 0
this : a • f ≠ 0
⊢ (ordHom x hx) f ≤ (ordHom x hx) (a • f)

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
X : Scheme
inst✝² : IsIntegral X
inst✝¹ : IsLocallyNoetherian X
x : ↥X
U : X.Opens
inst✝ : Nonempty ↥↑U
hxU : x ∈ U
a : ↑Γ(X, U)
ha : a ≠ 0
f : ↑X.functionField
hx : coheight x = 1
hf : ¬f = 0
this : a • f ≠ 0
⊢ (ordHom x hx) f ≤ (ordHom x hx) (a • f)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Mate

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e f x y z : B
g₁ : a ⟶ d
h₁ : b ⟶ e
k₁ : c ⟶ f
g₂ : d ⟶ x
h₂ : e ⟶ y
k₂ : f ⟶ z
l₁ : a ⟶ b
r₁ : b ⟶ a
l₂ : b ⟶ c
r₂ : c ⟶ b
l₃ : d ⟶ e
r₃ : e ⟶ d
l₄ : e ⟶ f
r₄ : f ⟶ e
l₅ : x ⟶ y
r₅ : y ⟶ x
l₆ : y ⟶ z
r₆ : z ⟶ y
adj₁ : l₁ ⊣ r₁
adj₂ : l₂ ⊣ r₂
adj₃ : l₃ ⊣ r₃
adj₄ : l₄ ⊣ r₄
adj₅ : l₅ ⊣ r₅
adj₆ : l₆ ⊣ r₆
α : g₁ ≫ l₃ ⟶ l₁ ≫ h₁
β : h₁ ≫ l₄ ⟶ l₂ ≫ k₁
γ : g₂ ≫ l₅ ⟶ l₃ ≫ h₂
δ : h₂ ≫ l₆ ⟶ l₄ ≫ k₂
vcomp :
  (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₅.comp adj₆))
      (leftAdjointSquare.vcomp (leftAdjointSquare.hcomp α β) (leftAdjointSquare.hcomp γ δ)) =
    rightAdjointSquare.vcomp (rightAdjointSquare.hcomp ((mateEquiv adj₁ adj₃) α) ((mateEquiv adj₂ adj₄) β))
      (rightAdjointSquare.hcomp ((mateEquiv adj₃ adj₅) γ) ((mateEquiv adj₄ adj₆) δ))
hcomp1 :
  (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₃.comp adj₄)) (leftAdjointSquare.hcomp α β) =
    rightAdjointSquare.hcomp ((mateEquiv adj₁ adj₃) α) ((mateEquiv adj₂ adj₄) β)
hcomp2 :
  (mateEquiv (adj₃.comp adj₄) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.hcomp γ δ) =
    rightAdjointSquare.hcomp ((mateEquiv adj₃ adj₅) γ) ((mateEquiv adj₄ adj₆) δ)
⊢ (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.comp α β γ δ) =
    rightAdjointSquare.comp ((mateEquiv adj₁ adj₃) α) ((mateEquiv adj₂ adj₄) β) ((mateEquiv adj₃ adj₅) γ)
      ((mateEquiv adj₄ adj₆) δ)

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e f x y z : B
g₁ : a ⟶ d
h₁ : b ⟶ e
k₁ : c ⟶ f
g₂ : d ⟶ x
h₂ : e ⟶ y
k₂ : f ⟶ z
l₁ : a ⟶ b
r₁ : b ⟶ a
l₂ : b ⟶ c
r₂ : c ⟶ b
l₃ : d ⟶ e
r₃ : e ⟶ d
l₄ : e ⟶ f
r₄ : f ⟶ e
l₅ : x ⟶ y
r₅ : y ⟶ x
l₆ : y ⟶ z
r₆ : z ⟶ y
adj₁ : l₁ ⊣ r₁
adj₂ : l₂ ⊣ r₂
adj₃ : l₃ ⊣ r₃
adj₄ : l₄ ⊣ r₄
adj₅ : l₅ ⊣ r₅
adj₆ : l₆ ⊣ r₆
α : g₁ ≫ l₃ ⟶ l₁ ≫ h₁
β : h₁ ≫ l₄ ⟶ l₂ ≫ k₁
γ : g₂ ≫ l₅ ⟶ l₃ ≫ h₂
δ : h₂ ≫ l₆ ⟶ l₄ ≫ k₂
vcomp :
  (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₅.comp adj₆))
      (leftAdjointSquare.vcomp (leftAdjointSquare.hcomp α β) (leftAdjointSquare.hcomp γ δ)) =
    rightAdjointSquare.vcomp (rightAdjointSquare.hcomp ((mateEquiv adj₁ adj₃) α) ((mateEquiv adj₂ adj₄) β))
      (rightAdjointSquare.hcomp ((mateEquiv adj₃ adj₅) γ) ((mateEquiv adj₄ adj₆) δ))
hcomp1 :
  (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₃.comp adj₄)) (leftAdjointSquare.hcomp α β) =
    rightAdjointSquare.hcomp ((mateEquiv adj₁ adj₃) α) ((mateEquiv adj₂ adj₄) β)
hcomp2 :
  (mateEquiv (adj₃.comp adj₄) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.hcomp γ δ) =
    rightAdjointSquare.hcomp ((mateEquiv adj₃ adj₅) γ) ((mateEquiv adj₄ adj₆) δ)
⊢ (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.comp α β γ δ) =
    rightAdjointSquare.comp ((mateEquiv adj₁ adj₃) α) ((mateEquiv adj₂ adj₄) β) ((mateEquiv adj₃ adj₅) γ)
      ((mateEquiv adj₄ adj₆) δ)
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.PointsPi

Goal state before:
pp: ι : Type u
R : ι → CommRingCat
U : (Spec (CommRingCat.of ((i : ι) → ↑(R i)))).Opens
V : Set ↥(Spec (CommRingCat.of ((i : ι) → ↑(R i))))
hV : ↑(Scheme.Hom.opensRange (sigmaSpec R)) ⊆ V
hV' : IsCompact V
hVU : V ⊆ ↑U
s : Set ↑(CommRingCat.of ((i : ι) → ↑(R i)))
hs : U.carrierᶜ = zeroLocus s
t : Set ↑(CommRingCat.of ((i : ι) → ↑(R i)))
hts : t ⊆ s
ht : t.Finite
ht' : V ⊆ (zeroLocus t)ᶜ
i : ι
⊢ Set.range (comap (Pi.evalRingHom (fun x ↦ ↑(R x)) i)) ⊆ (zeroLocus t)ᶜ

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u
R : ι → CommRingCat
U : (Spec (CommRingCat.of ((i : ι) → ↑(R i)))).Opens
V : Set ↥(Spec (CommRingCat.of ((i : ι) → ↑(R i))))
hV : ↑(Scheme.Hom.opensRange (sigmaSpec R)) ⊆ V
hV' : IsCompact V
hVU : V ⊆ ↑U
s : Set ↑(CommRingCat.of ((i : ι) → ↑(R i)))
hs : U.carrierᶜ = zeroLocus s
t : Set ↑(CommRingCat.of ((i : ι) → ↑(R i)))
hts : t ⊆ s
ht : t.Finite
ht' : V ⊆ (zeroLocus t)ᶜ
i : ι
⊢ Set.range (comap (Pi.evalRingHom (fun x ↦ ↑(R x)) i)) ⊆ (zeroLocus t)ᶜ
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Mate

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
c d : B
l₁ l₂ : c ⟶ d
r₁ r₂ : d ⟶ c
adj₁ : l₁ ⊣ r₁
adj₂ : l₂ ⊣ r₂
α : l₂ ⟶ l₁
⊢ (ρ_ r₁).inv ≫
      (𝟙 (r₁ ≫ 𝟙 c) ⊗≫
          r₁ ◁ 𝟙 c ◁ adj₂.unit ⊗≫ r₁ ◁ ((λ_ l₂).hom ≫ α ≫ (ρ_ l₁).inv) ▷ r₂ ⊗≫ adj₁.counit ▷ 𝟙 d ▷ r₂ ⊗≫ 𝟙 (𝟙 d ≫ r₂)) ≫
        (λ_ r₂).hom =
    (ρ_ r₁).inv ≫ r₁ ◁ adj₂.unit ≫ r₁ ◁ α ▷ r₂ ≫ (α_ r₁ l₁ r₂).inv ≫ adj₁.counit ▷ r₂ ≫ (λ_ r₂).hom

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
c d : B
l₁ l₂ : c ⟶ d
r₁ r₂ : d ⟶ c
adj₁ : l₁ ⊣ r₁
adj₂ : l₂ ⊣ r₂
α : l₂ ⟶ l₁
⊢ (ρ_ r₁).inv ≫
      (𝟙 (r₁ ≫ 𝟙 c) ⊗≫
          r₁ ◁ 𝟙 c ◁ adj₂.unit ⊗≫ r₁ ◁ ((λ_ l₂).hom ≫ α ≫ (ρ_ l₁).inv) ▷ r₂ ⊗≫ adj₁.counit ▷ 𝟙 d ▷ r₂ ⊗≫ 𝟙 (𝟙 d ≫ r₂)) ≫
        (λ_ r₂).hom =
    (ρ_ r₁).inv ≫ r₁ ◁ adj₂.unit ≫ r₁ ◁ α ▷ r₂ ≫ (α_ r₁ l₁ r₂).inv ≫ adj₁.counit ▷ r₂ ≫ (λ_ r₂).hom
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.PointsPi

Goal state before:
pp: ι : Type u
R : ι → CommRingCat
U : (Spec (CommRingCat.of ((i : ι) → ↑(R i)))).Opens
V : Set ↥(Spec (CommRingCat.of ((i : ι) → ↑(R i))))
hV : ↑(Scheme.Hom.opensRange (sigmaSpec R)) ⊆ V
hV' : IsCompact V
hVU : V ⊆ ↑U
s : Set ↑(CommRingCat.of ((i : ι) → ↑(R i)))
hs : U.carrierᶜ = zeroLocus s
t : Set ↑(CommRingCat.of ((i : ι) → ↑(R i)))
hts : t ⊆ s
ht : t.Finite
ht' : V ⊆ (zeroLocus t)ᶜ
i : ι
⊢ (sigmaSpec R ''ᵁ Scheme.Hom.opensRange (Sigma.ι (fun i ↦ Spec (R i)) i)).carrier ⊆ (zeroLocus t)ᶜ

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u
R : ι → CommRingCat
U : (Spec (CommRingCat.of ((i : ι) → ↑(R i)))).Opens
V : Set ↥(Spec (CommRingCat.of ((i : ι) → ↑(R i))))
hV : ↑(Scheme.Hom.opensRange (sigmaSpec R)) ⊆ V
hV' : IsCompact V
hVU : V ⊆ ↑U
s : Set ↑(CommRingCat.of ((i : ι) → ↑(R i)))
hs : U.carrierᶜ = zeroLocus s
t : Set ↑(CommRingCat.of ((i : ι) → ↑(R i)))
hts : t ⊆ s
ht : t.Finite
ht' : V ⊆ (zeroLocus t)ᶜ
i : ι
⊢ (sigmaSpec R ''ᵁ Scheme.Hom.opensRange (Sigma.ι (fun i ↦ Spec (R i)) i)).carrier ⊆ (zeroLocus t)ᶜ