mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set (IntermediateField F E)
hS : S.Nonempty
h : toSubfield '' S = Subfield.closure '' SetLike.coe '' S
⊢ Set.range ⇑(algebraMap F E) ⊆ ⋃₀ (SetLike.coe '' S)

Tactic:
]

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set (IntermediateField F E)
hS : S.Nonempty
h : toSubfield '' S = Subfield.closure '' SetLike.coe '' S
⊢ Set.range ⇑(algebraMap F E) ⊆ ⋃₀ (SetLike.coe '' S)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
y : F
⊢ (algebraMap (↥⊥) E) ((algebraMap F ↥⊥) y) = (algebraMap (↥⊥) E) ((algebraMap F ↥⊥) y)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Field

Goal state before:
pp: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra R K
x : L
inst✝ : Algebra R L
int : IsIntegral R x
h : (Polynomial.map (algebraMap R K) (minpoly R x)).Splits
f : K →ₐ[R] L
⊢ Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R x) ≠ 0 ∧ (aeval x) (minpoly R x) = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra R K
x : L
inst✝ : Algebra R L
int : IsIntegral R x
h : (Polynomial.map (algebraMap R K) (minpoly R x)).Splits
f : K →ₐ[R] L
⊢ Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R x) ≠ 0 ∧ (aeval x) (minpoly R x) = 0
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ ↑(restrictScalars F (adjoin (↥(adjoin F S)) T)) = ↑(adjoin F (S ∪ T))

Tactic:
]

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ ↑(restrictScalars F (adjoin (↥(adjoin F S)) T)) = ↑(adjoin F (S ∪ T))
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Field

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x : L
g : (map (algebraMap K L) (minpoly K x)).Splits
⊢ (map (algebraMap K L) ((-1) ^ (minpoly K x).natDegree) * map (algebraMap K L) ((minpoly K x).comp (-X))).Splits

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x : L
g : (map (algebraMap K L) (minpoly K x)).Splits
⊢ (map (algebraMap K L) ((-1) ^ (minpoly K x).natDegree) * map (algebraMap K L) ((minpoly K x).comp (-X))).Splits
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: case a
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ Set.range ⇑(algebraMap (↥(adjoin F S)) E) ⊆ ↑(adjoin F (S ∪ T)) ∧ T ⊆ ↑(adjoin F (S ∪ T))

Tactic:
]

Goal state after:
case a
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ Set.range ⇑(algebraMap (↥(adjoin F S)) E) ⊆ ↑(adjoin F (S ∪ T)) ∧ T ⊆ ↑(adjoin F (S ∪ T))
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: case a
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ Set.range ⇑(algebraMap F E) ⊆ ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T) ∧ S ∪ T ⊆ ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T)

Tactic:
]

Goal state after:
case a
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ Set.range ⇑(algebraMap F E) ⊆ ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T) ∧ S ∪ T ⊆ ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T)
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Field

Goal state before:
pp: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : CommRing M
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : Algebra R M
inst✝¹ : Algebra K M
inst✝ : IsScalarTower R K M
x : M
int : IsIntegral R x
f : K →+* L
h : (Polynomial.map (f.comp (algebraMap R K)) (minpoly R x)).Splits
⊢ minpoly K x ∣ Polynomial.map (algebraMap R K) (minpoly R x)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : CommRing M
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : Algebra R M
inst✝¹ : Algebra K M
inst✝ : IsScalarTower R K M
x : M
int : IsIntegral R x
f : K →+* L
h : (Polynomial.map (f.comp (algebraMap R K)) (minpoly R x)).Splits
⊢ minpoly K x ∣ Polynomial.map (algebraMap R K) (minpoly R x)
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Field

Goal state before:
pp: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : Algebra R M
inst✝⁴ : Algebra K M
inst✝³ : IsScalarTower R K M
x : M
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
int : IsIntegral R x
h : (Polynomial.map ((algebraMap K L).comp (algebraMap R K)) (minpoly R x)).Splits
⊢ (Polynomial.map (algebraMap K L) (minpoly K x)).Splits

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : Algebra R M
inst✝⁴ : Algebra K M
inst✝³ : IsScalarTower R K M
x : M
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
int : IsIntegral R x
h : (Polynomial.map ((algebraMap K L).comp (algebraMap R K)) (minpoly R x)).Splits
⊢ (Polynomial.map (algebraMap K L) (minpoly K x)).Splits
Module: Mathlib.RingTheory.Adjoin.Field

Goal state before:
pp: F : Type u_5
E : Type u_6
K : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring F
inst✝⁸ : StrongRankCondition F
inst✝⁷ : CommSemiring E
inst✝⁶ : StrongRankCondition E
inst✝⁵ : Semiring K
inst✝⁴ : SMul F E
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
L : Subalgebra F K
inst✝ : Module.Free F ↥L
⊢ Module.rank E ↥(Submodule.span E (Set.range fun i ↦ ↑((Module.Free.chooseBasis F ↥L) i))) ≤
    Cardinal.mk (Module.Free.ChooseBasisIndex F ↥L)

Tactic:
]

Goal state after:
F : Type u_5
E : Type u_6
K : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring F
inst✝⁸ : StrongRankCondition F
inst✝⁷ : CommSemiring E
inst✝⁶ : StrongRankCondition E
inst✝⁵ : Semiring K
inst✝⁴ : SMul F E
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
L : Subalgebra F K
inst✝ : Module.Free F ↥L
⊢ Module.rank E ↥(Submodule.span E (Set.range fun i ↦ ↑((Module.Free.chooseBasis F ↥L) i))) ≤
    Cardinal.mk (Module.Free.ChooseBasisIndex F ↥L)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : Algebra K E
inst✝ : IsScalarTower K F E
⊢ adjoin K S ≤ restrictScalars K (adjoin F S)

Tactic:
]

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : Algebra K E
inst✝ : IsScalarTower K F E
⊢ adjoin K S ≤ restrictScalars K (adjoin F S)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
⊢ adjoin F (T ∪ S) = adjoin F (T ∪ S)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
K : IntermediateField F E
⊢ K = K

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
K : IntermediateField F E
S : Set E
⊢ adjoin F (↑K ∪ S) = adjoin F (↑K ∪ S)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
K : IntermediateField F E
S : Set E
h : K ≤ adjoin F S
⊢ adjoin F S = adjoin F (↑K ∪ S)

Tactic:
]

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
K : IntermediateField F E
S : Set E
h : K ≤ adjoin F S
⊢ adjoin F S = adjoin F (↑K ∪ S)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
K : IntermediateField F E
S : Set E
⊢ K ⊔ adjoin F S = K ⊔ adjoin F S

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁹ : Field E
inst✝⁸ : Algebra F E
L : Type u_3
L' : Type u_4
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra F L
inst✝⁴ : Algebra L E
inst✝³ : Algebra F L'
inst✝² : Algebra L' E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
K K' : IntermediateField F E
h : K.toSubfield = K'.toSubfield
x : E
⊢ x ∈ K'.toSubfield ↔ x ∈ K'.toSubfield

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
s : Set E
p : (x : E) → x ∈ adjoin F s → Prop
mem : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), p x ⋯
algebraMap : ∀ (x : F), p ((Algebra.algebraMap F E) x) ⋯
add : ∀ (x y : E) (hx : x ∈ adjoin F s) (hy : y ∈ adjoin F s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
inv : ∀ (x : E) (hx : x ∈ adjoin F s), p x hx → p x⁻¹ ⋯
mul : ∀ (x y : E) (hx : x ∈ adjoin F s) (hy : y ∈ adjoin F s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
x : E
h : x ∈ adjoin F s
⊢ p 1 ⋯

Tactic:
simp_rw [← (Algebra.algebraMap F E).map_one]; exact algebraMap 1

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: case e'_2
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₁ ⟨x✝³ + x✝², ⋯⟩ = φ₁ (⟨x✝³, x✝¹⟩ + ⟨x✝², x✝⟩)

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_2
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₁ ⟨x✝³ + x✝², ⋯⟩ = φ₁ (⟨x✝³, x✝¹⟩ + ⟨x✝², x✝⟩)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: case e'_3
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₂ ⟨x✝³ + x✝², ⋯⟩ = φ₂ (⟨x✝³, x✝¹⟩ + ⟨x✝², x✝⟩)

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_3
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₂ ⟨x✝³ + x✝², ⋯⟩ = φ₂ (⟨x✝³, x✝¹⟩ + ⟨x✝², x✝⟩)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: case e'_2
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₁ ⟨x✝³ * x✝², ⋯⟩ = φ₁ (⟨x✝³, x✝¹⟩ * ⟨x✝², x✝⟩)

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_2
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₁ ⟨x✝³ * x✝², ⋯⟩ = φ₁ (⟨x✝³, x✝¹⟩ * ⟨x✝², x✝⟩)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: case e'_3
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₂ ⟨x✝³ * x✝², ⋯⟩ = φ₂ (⟨x✝³, x✝¹⟩ * ⟨x✝², x✝⟩)

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_3
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝¹ : Semiring K
inst✝ : Algebra F K
s : Set E
φ₁ φ₂ : ↥(adjoin F s) →ₐ[F] K
h : ∀ (x : E) (hx : x ∈ s), φ₁ ⟨x, ⋯⟩ = φ₂ ⟨x, ⋯⟩
x✝⁴ : ↥(adjoin F s)
x : E
hx : x ∈ adjoin F s
x✝³ x✝² : E
x✝¹ : x✝³ ∈ adjoin F s
x✝ : x✝² ∈ adjoin F s
h₁ : φ₁ ⟨x✝³, x✝¹⟩ = φ₂ ⟨x✝³, x✝¹⟩
h₂ : φ₁ ⟨x✝², x✝⟩ = φ₂ ⟨x✝², x✝⟩
⊢ φ₂ ⟨x✝³ * x✝², ⋯⟩ = φ₂ (⟨x✝³, x✝¹⟩ * ⟨x✝², x✝⟩)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
⊢ adjoin F (⨆ t ∈ S, {t}) = adjoin F S

Tactic:
]

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
⊢ adjoin F (⨆ t ∈ S, {t}) = adjoin F S
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁹ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
S : Set E
α : E
A : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
inst✝⁶ : Field A
inst✝⁵ : Field B
inst✝⁴ : Field C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
b : B
x : ↥A⟮b⟯
⊢ ↑((AlgHom.restrictScalars A (Algebra.ofId B C)).comp A⟮b⟯.val) x ∈
    map (AlgHom.restrictScalars A (Algebra.ofId B C)) A⟮b⟯

Tactic:
]

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝⁹ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
S : Set E
α : E
A : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
inst✝⁶ : Field A
inst✝⁵ : Field B
inst✝⁴ : Field C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
b : B
x : ↥A⟮b⟯
⊢ ↑((AlgHom.restrictScalars A (Algebra.ofId B C)).comp A⟮b⟯.val) x ∈
    map (AlgHom.restrictScalars A (Algebra.ofId B C)) A⟮b⟯
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
⊢ S ⊆ ↑⊥ ↔ S ⊆ ↑⊥

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
s t : Finset E
⊢ (adjoin F ↑(s ∪ t)).FG

Tactic:
]

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
s t : Finset E
⊢ (adjoin F ↑(s ∪ t)).FG
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: case refine_2
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Finset E
P : IntermediateField F E → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (K : IntermediateField F E), ∀ x ∈ S, P K → P (restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)
x✝³ : E
x✝² : Finset E
ha : x✝³ ∈ S
x✝¹ : x✝² ⊆ S
x✝ : x✝³ ∉ x✝²
h : P (adjoin F ↑x✝²)
⊢ P (restrictScalars F (↥(adjoin F ↑x✝²))⟮x✝³⟯)

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Finset E
P : IntermediateField F E → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (K : IntermediateField F E), ∀ x ∈ S, P K → P (restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)
x✝³ : E
x✝² : Finset E
ha : x✝³ ∈ S
x✝¹ : x✝² ⊆ S
x✝ : x✝³ ∉ x✝²
h : P (adjoin F ↑x✝²)
⊢ P (restrictScalars F (↥(adjoin F ↑x✝²))⟮x✝³⟯)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: L : Type u_2
inst✝ : Field L
F : Subfield L
x : L
⊢ x ∈ F ↔ x ∈ Set.range ⇑(algebraMap (↥F) L)

Tactic:
]

Goal state after:
L : Type u_2
inst✝ : Field L
F : Subfield L
x : L
⊢ x ∈ F ↔ x ∈ Set.range ⇑(algebraMap (↥F) L)
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Spectrum

Goal state before:
pp: R : Type u
A : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
a : A
h : ¬IsUnit (List.map (⇑(aeval a)) (Multiset.map (fun x ↦ X - C x) p.roots).toList).prod
⊢ ∃ k ∈ σ a, eval k p = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
A : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
a : A
h : ¬IsUnit (List.map (⇑(aeval a)) (Multiset.map (fun x ↦ X - C x) p.roots).toList).prod
⊢ ∃ k ∈ σ a, eval k p = 0
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Spectrum

Goal state before:
pp: R : Type u
A : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
a : A
r : R
r_mem : r ∈ p.roots
r_nu : ¬IsUnit (a - ↑ₐ r)
⊢ ¬IsUnit (a - ↑ₐ r)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
A : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
a : A
r : R
r_mem : r ∈ p.roots
r_nu : ¬IsUnit (a - ↑ₐ r)
⊢ ¬IsUnit (a - ↑ₐ r)
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : (C k - X) * -(q / (X - C k)) = q
⊢ (fun x ↦ eval x p) k ∈ σ ((aeval a) p)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : (C k - X) * -(q / (X - C k)) = q
⊢ (fun x ↦ eval x p) k ∈ σ ((aeval a) p)
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : (C k - X) * -(q / (X - C k)) = q
aeval_q_eq : ↑ₐ (eval k p) - (aeval a) p = (aeval a) q
⊢ ¬IsUnit ((aeval a) (C k - X) * (aeval a) (-(q / (X - C k))))

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
q : 𝕜[X] := C (eval k p) - p
hroot : (C k - X) * -(q / (X - C k)) = q
aeval_q_eq : ↑ₐ (eval k p) - (aeval a) p = (aeval a) q
⊢ ¬IsUnit ((aeval a) (C k - X) * (aeval a) (-(q / (X - C k))))
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hk : k ∈ σ ((aeval a) p)
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun x ↦ X - C x) (C k - p).roots).prod
⊢ ?m.75 < p.degree

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hk : k ∈ σ ((aeval a) p)
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun x ↦ X - C x) (C k - p).roots).prod
⊢ ?m.75 < p.degree
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ ↑n ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ ↑n ≠ 0
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k[X]
hp : p = C (p.coeff 0)
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Extension

Goal state before:
pp: F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
L₁ L₂ L₃ : Lifts F E K
h₁₂ : L₁.carrier ≤ L₂.carrier
h₁₂' : ∀ (x : ↥L₁.carrier), L₂.emb ((inclusion h₁₂) x) = L₁.emb x
h₂₃ : L₂.carrier ≤ L₃.carrier
h₂₃' : ∀ (x : ↥L₂.carrier), L₃.emb ((inclusion h₂₃) x) = L₂.emb x
x✝ : ↥L₁.carrier
⊢ L₁.emb x✝ = L₁.emb x✝

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: case inr
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k[X]
h : p.roots = 0
hd : 0 < p.degree
z : k
hz : z ∈ 0
⊢ p = C (p.coeff 0)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k[X]
h : p.roots = 0
hd : 0 < p.degree
z : k
hz : z ∈ 0
⊢ p = C (p.coeff 0)
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: case inr
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k[X]
h : p.roots = 0
hd : 0 < p.degree
⊢ p = C (p.coeff 0)

Tactic:
· obtain ⟨z, hz⟩ := IsAlgClosed.exists_root p hd.ne'
    rw [← mem_roots (ne_zero_of_degree_gt hd), h] at hz
    simp at hz

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝² : Field k
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : IsAlgClosed k
f : R →+* k
hf : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
hp : p.degree ≠ 0
⊢ p.degree ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u
inst✝² : Field k
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : IsAlgClosed k
f : R →+* k
hf : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
hp : p.degree ≠ 0
⊢ p.degree ≠ 0
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝² : Field k
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : IsAlgClosed k
f : R →+* k
hf : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
hp : p.degree ≠ 0
x : k
hx : (map f p).IsRoot x
⊢ (map f p).IsRoot x

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u
inst✝² : Field k
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : IsAlgClosed k
f : R →+* k
hf : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
hp : p.degree ≠ 0
x : k
hx : (map f p).IsRoot x
⊢ (map f p).IsRoot x
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: case neg
k : Type u
inst✝ : Field k
H : ∀ (p : k[X]), Irreducible p → ∃ x, eval x p = 0
p : k[X]
hp0 : ¬p = 0
u : k[X]ˣ
hu : (UniqueFactorizationMonoid.factors p).prod * ↑u = p
⊢ ((UniqueFactorizationMonoid.factors p).prod * ↑u).Splits

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
k : Type u
inst✝ : Field k
H : ∀ (p : k[X]), Irreducible p → ∃ x, eval x p = 0
p : k[X]
hp0 : ¬p = 0
u : k[X]ˣ
hu : (UniqueFactorizationMonoid.factors p).prod * ↑u = p
⊢ ((UniqueFactorizationMonoid.factors p).prod * ↑u).Splits
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hk : ¬(IsUnit (↑ₐ (C k - p).leadingCoeff) ∧ IsUnit ((aeval a) (Multiset.map (fun x ↦ X - C x) (C k - p).roots).prod))
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun x ↦ X - C x) (C k - p).roots).prod
h_ne : C k - p ≠ 0
lead_ne : (C k - p).leadingCoeff ≠ 0
lead_unit : IsUnit ↑((Units.map ↑↑ₐ) (Units.mk0 (C k - p).leadingCoeff lead_ne))
p_a_eq : (aeval a) (C k - p) = ↑ₐ k - (aeval a) p
⊢ k ∈ (fun x ↦ eval x p) '' σ a

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hk : ¬(IsUnit (↑ₐ (C k - p).leadingCoeff) ∧ IsUnit ((aeval a) (Multiset.map (fun x ↦ X - C x) (C k - p).roots).prod))
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun x ↦ X - C x) (C k - p).roots).prod
h_ne : C k - p ≠ 0
lead_ne : (C k - p).leadingCoeff ≠ 0
lead_unit : IsUnit ↑((Units.map ↑↑ₐ) (Units.mk0 (C k - p).leadingCoeff lead_ne))
p_a_eq : (aeval a) (C k - p) = ↑ₐ k - (aeval a) p
⊢ k ∈ (fun x ↦ eval x p) '' σ a