mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.MeanValue

Goal state before:
pp: case bound
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
B B' : ℝ → ℝ
ha : f a ≤ B a
hB : ContinuousOn B (Icc a b)
hB' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), B' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x z < r
x✝ : ℝ
hx : x✝ ∈ Icc a b
r : ℝ
hr : r > 0
x : ℝ
a✝¹ : x ∈ Ico a b
a✝ : f x = B x + r * (x - a)
⊢ B' x < B' x + r

Tactic:
]

Goal state after:
case bound
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
B B' : ℝ → ℝ
ha : f a ≤ B a
hB : ContinuousOn B (Icc a b)
hB' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), B' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x z < r
x✝ : ℝ
hx : x✝ ∈ Icc a b
r : ℝ
hr : r > 0
x : ℝ
a✝¹ : x ∈ Ico a b
a✝ : f x = B x + r * (x - a)
⊢ B' x < B' x + r
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.MeanValue

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
g : ℝ → E := fun x ↦ f x - f a
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (f' x) (Ici x) x
B : ℝ → ℝ := fun x ↦ C * (x - a)
hB : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt B C x
⊢ 0 ≤ 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.MeanValue

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E → G
s : Set E
f' : E → E →L[𝕜] G
C : ℝ≥0
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖₊ ≤ C
hs : Convex ℝ s
⊢ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ‖f x - f y‖ ≤ ↑C * ‖x - y‖

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E → G
s : Set E
f' : E → E →L[𝕜] G
C : ℝ≥0
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖₊ ≤ C
hs : Convex ℝ s
⊢ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ‖f x - f y‖ ≤ ↑C * ‖x - y‖
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.MeanValue

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x : E
f' : E → E →L[𝕜] G
hs : Convex ℝ s
f : E → G
hder : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, HasFDerivWithinAt f (f' y) s y
hcont : ContinuousWithinAt f' s x
K : ℝ≥0
hK : ‖f' x‖₊ < K
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : s ∩ ball x ε ⊆ {y | HasFDerivWithinAt f (f' y) s y ∧ ‖f' y‖₊ < K}
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x : E
f' : E → E →L[𝕜] G
hs : Convex ℝ s
f : E → G
hder : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, HasFDerivWithinAt f (f' y) s y
hcont : ContinuousWithinAt f' s x
K : ℝ≥0
hK : ‖f' x‖₊ < K
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : s ∩ ball x ε ⊆ {y | HasFDerivWithinAt f (f' y) s y ∧ ‖f' y‖₊ < K}
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.MeanValue

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E → G
C : ℝ≥0
hf : Differentiable 𝕜 f
bound : ∀ (x : E), ‖fderiv 𝕜 f x‖₊ ≤ C
this : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
⊢ LipschitzOnWith C f univ

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E → G
C : ℝ≥0
hf : Differentiable 𝕜 f
bound : ∀ (x : E), ‖fderiv 𝕜 f x‖₊ ≤ C
this : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
⊢ LipschitzOnWith C f univ
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.MeanValue

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E → G
hf : Differentiable 𝕜 f
hf' : ∀ (x : E), fderiv 𝕜 f x = 0
x✝¹ y : E
this : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
x : E
x✝ : x ∈ univ
⊢ fderiv 𝕜 f x = 0

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E → G
hf : Differentiable 𝕜 f
hf' : ∀ (x : E), fderiv 𝕜 f x = 0
x✝¹ y : E
this : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
x : E
x✝ : x ∈ univ
⊢ fderiv 𝕜 f x = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.MeanValue

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → G
s : Set E
x : E
hs : Convex ℝ s
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
hg : DifferentiableOn 𝕜 g s
hs' : UniqueDiffOn 𝕜 s
hf' : EqOn (fderivWithin 𝕜 f s) (fderivWithin 𝕜 g s) s
hx : x ∈ s
hfgx : f x = g x
y : E
hy : y ∈ s
this : f y = g y
⊢ f y = g y

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → G
s : Set E
x : E
hs : Convex ℝ s
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
hg : DifferentiableOn 𝕜 g s
hs' : UniqueDiffOn 𝕜 s
hf' : EqOn (fderivWithin 𝕜 f s) (fderivWithin 𝕜 g s) s
hx : x ∈ s
hfgx : f x = g x
y : E
hy : y ∈ s
this : f y = g y
⊢ f y = g y
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.MeanValue

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → G
s : Set E
x : E
hs : Convex ℝ s
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
hg : DifferentiableOn 𝕜 g s
hs' : UniqueDiffOn 𝕜 s
hf' : EqOn (fderivWithin 𝕜 f s) (fderivWithin 𝕜 g s) s
hx : x ∈ s
hfgx : f x = g x
y : E
hy : y ∈ s
z : E
hz : z ∈ s
⊢ fderivWithin 𝕜 g s z = fderivWithin 𝕜 g s z

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Basic

Goal state before:
pp: case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
c : F
n : ℕ
IH : iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) (fun x ↦ c) s = 0
⊢ ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x ↦ E) F).symm ∘ fderivWithin 𝕜 0 s = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
c : F
n : ℕ
IH : iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) (fun x ↦ c) s = 0
⊢ ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x ↦ E) F).symm ∘ fderivWithin 𝕜 0 s = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞ω
inst✝ : Subsingleton F
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x ↦ 0

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
n : ℕ∞ω
inst✝ : Subsingleton F
⊢ ContDiff 𝕜 n fun x ↦ 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
inst✝ : Subsingleton F
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x ↦ 0) x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
inst✝ : Subsingleton F
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x ↦ 0) x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
inst✝ : Subsingleton F
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x ↦ 0) s x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : ℕ∞ω
inst✝ : Subsingleton F
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x ↦ 0) s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
inst✝ : Subsingleton F
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x ↦ 0) s

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
inst✝ : Subsingleton F
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x ↦ 0) s
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x : E
n : ℕ∞ω
f : E → F
g : F →L[𝕜] G
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
U : Set E
hU : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] U
hxU : x ∈ U
hfU : ContDiffOn 𝕜 (↑i) f (insert x s ∩ U)
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) (s ∩ U) x = g.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f (s ∩ U) x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x : E
n : ℕ∞ω
f : E → F
g : F →L[𝕜] G
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
U : Set E
hU : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] U
hxU : x ∈ U
hfU : ContDiffOn 𝕜 (↑i) f (insert x s ∩ U)
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) (s ∩ U) x = g.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f (s ∩ U) x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x : E
n : ℕ∞ω
f : E → F
g : F →L[𝕜] G
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
U : Set E
hU : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] U
hxU : x ∈ U
hfU : ContDiffOn 𝕜 (↑i) f (s ∩ U)
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) (s ∩ U) x = g.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f (s ∩ U) x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x : E
n : ℕ∞ω
f : E → F
g : F →L[𝕜] G
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
U : Set E
hU : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] U
hxU : x ∈ U
hfU : ContDiffOn 𝕜 (↑i) f (s ∩ U)
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) (s ∩ U) x = g.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f (s ∩ U) x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Basic

Goal state before:
pp: case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
g : F ≃L[𝕜] G
f : E → F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
i : ℕ
IH :
  ∀ {x : E},
    x ∈ s → iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s x = (↑g).compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)
x : E
hx : x ∈ s
m : Fin (i + 1) → E
⊢ ((fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s) s x) (m 0)) (tail m) =
    ((↑g).compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 (i + 1) f s x)) m

Tactic:
]

Goal state after:
case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
g : F ≃L[𝕜] G
f : E → F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
i : ℕ
IH :
  ∀ {x : E},
    x ∈ s → iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s x = (↑g).compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)
x : E
hx : x ∈ s
m : Fin (i + 1) → E
⊢ ((fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s) s x) (m 0)) (tail m) =
    ((↑g).compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 (i + 1) f s x)) m
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Basic

Goal state before:
pp: case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
g : F ≃L[𝕜] G
f : E → F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
i : ℕ
IH :
  ∀ {x : E},
    x ∈ s → iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s x = (↑g).compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)
x : E
hx : x ∈ s
m : Fin (i + 1) → E
Z :
  fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s) s x =
    fderivWithin 𝕜 (⇑(continuousMultilinearMapCongrRight (fun x ↦ E) g) ∘ iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s) s x
⊢ ((↑(continuousMultilinearMapCongrRight (fun x ↦ E) g) ∘SL fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s) s x) (m 0))
      (tail m) =
    ((↑g).compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 (i + 1) f s x)) m

Tactic:
]

Goal state after:
case succ
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
g : F ≃L[𝕜] G
f : E → F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
i : ℕ
IH :
  ∀ {x : E},
    x ∈ s → iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s x = (↑g).compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)
x : E
hx : x ∈ s
m : Fin (i + 1) → E
Z :
  fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s) s x =
    fderivWithin 𝕜 (⇑(continuousMultilinearMapCongrRight (fun x ↦ E) g) ∘ iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s) s x
⊢ ((↑(continuousMultilinearMapCongrRight (fun x ↦ E) g) ∘SL fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s) s x) (m 0))
      (tail m) =
    ((↑g).compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 (i + 1) f s x)) m
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.MeanValue

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E → G
s : Set E
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hs' : IsPreconnected s
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
hf' : EqOn (fderiv 𝕜 f) 0 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
a : G
ha : ∀ x ∈ s, f x = a
⊢ a = a

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x : E
n : ℕ∞ω
f : E → F
g : F →ₗᵢ[𝕜] G
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
this :
  iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s x =
    g.toContinuousLinearMap.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)
⊢ ‖g.toContinuousLinearMap.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)‖ =
    ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x : E
n : ℕ∞ω
f : E → F
g : F →ₗᵢ[𝕜] G
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
this :
  iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s x =
    g.toContinuousLinearMap.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)
⊢ ‖g.toContinuousLinearMap.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)‖ =
    ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x : E
g : F ≃ₗᵢ[𝕜] G
f : E → F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
i : ℕ
this : iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s x = (↑↑g).compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)
⊢ ‖(↑↑g).compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
x : E
g : F ≃ₗᵢ[𝕜] G
f : E → F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
i : ℕ
this : iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) s x = (↑↑g).compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)
⊢ ‖(↑↑g).compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x)‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.MeanValue

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → G
s : Set E
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hs' : IsPreconnected s
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
hg : DifferentiableOn 𝕜 g s
hf' : EqOn (fderiv 𝕜 f) (fderiv 𝕜 g) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F ≃ₗᵢ[𝕜] G
f : E → F
x : E
i : ℕ
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) univ x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ x‖

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F ≃ₗᵢ[𝕜] G
f : E → F
x : E
i : ℕ
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) univ x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ x‖
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.MeanValue

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E → G
s : Set E
f' : E → E →L[𝕜] G
x₀ : E
n : ℕ
hs : Convex ℝ s
hx₀s : x₀ ∈ s
hff' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf' : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[s] x₀, ‖f' x‖ ≤ c * ‖‖x - x₀‖ ^ n‖
⊢ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[s] x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ c * ‖‖x - x₀‖ ^ (n + 1)‖

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E → G
s : Set E
f' : E → E →L[𝕜] G
x₀ : E
n : ℕ
hs : Convex ℝ s
hx₀s : x₀ ∈ s
hff' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf' : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[s] x₀, ‖f' x‖ ≤ c * ‖‖x - x₀‖ ^ n‖
⊢ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[s] x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ c * ‖‖x - x₀‖ ^ (n + 1)‖
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Basic

Goal state before:
pp: case zero_eq
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
g : G →ᴬ[𝕜] E
A : (m : ℕ) → (E [×m]→L[𝕜] F) → G [×m]→L[𝕜] F := fun m h ↦ h.compContinuousLinearMap fun x ↦ g.contLinear
hA : ∀ (m : ℕ), IsBoundedLinearMap 𝕜 (A m)
x : G
hx : x ∈ ⇑g ⁻¹' s
⊢ ((p (g x) 0) fun x ↦ 0) = (p (g x) 0) 0

Tactic:
]

Goal state after:
case zero_eq
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
g : G →ᴬ[𝕜] E
A : (m : ℕ) → (E [×m]→L[𝕜] F) → G [×m]→L[𝕜] F := fun m h ↦ h.compContinuousLinearMap fun x ↦ g.contLinear
hA : ∀ (m : ℕ), IsBoundedLinearMap 𝕜 (A m)
x : G
hx : x ∈ ⇑g ⁻¹' s
⊢ ((p (g x) 0) fun x ↦ 0) = (p (g x) 0) 0