mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
⊢ x • P.root i + y • P.root j - P.root j = x • P.root i + (y - 1) • P.root j

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
⊢ x • P.root i + y • P.root j - P.root j = x • P.root i + (y - 1) • P.root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: case lie
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x u v : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hx✝ : u ∈ LieSubalgebra.lieSpan R (Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) (range h ∪ range e ∪ range f)
hy✝ : v ∈ LieSubalgebra.lieSpan R (Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) (range h ∪ range e ∪ range f)
hu : (ωConj b) u ∈ lieAlgebra b
hv : (ωConj b) v ∈ lieAlgebra b
⊢ ⁅(ωConj b) u, (ωConj b) v⁆ ∈ lieAlgebra b

Tactic:
]

Goal state after:
case lie
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x u v : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hx✝ : u ∈ LieSubalgebra.lieSpan R (Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) (range h ∪ range e ∪ range f)
hy✝ : v ∈ LieSubalgebra.lieSpan R (Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R) (range h ∪ range e ∪ range f)
hu : (ωConj b) u ∈ lieAlgebra b
hv : (ωConj b) v ∈ lieAlgebra b
⊢ ⁅(ωConj b) u, (ωConj b) v⁆ ∈ lieAlgebra b
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : P.root m = x • P.root i + (y - 1) • P.root j
⊢ 2 * x + A * (y - 1) = x * 2 + (y - 1) * P.pairingIn ℤ j i

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : P.root m = x • P.root i + (y - 1) • P.root j
⊢ 2 * x + A * (y - 1) = x * 2 + (y - 1) * P.pairingIn ℤ j i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -↑i
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n : ℕ
k : ι
x : ℕ
hk₁ : P.root k = P.root j + n • P.root ↑i
hk₂ : (e i ^ n).col (Sum.inr j) = x • Pi.single (Sum.inr k) 1
hki : k ≠ -↑i
hij : P.root j + (n + 1) • P.root ↑i ∉ range ⇑P.root
l : ι
contra : P.root l = P.root ↑i + P.root k
⊢ P.root ↑i + (P.root j + n • P.root ↑i) = P.root j + (n + 1) • P.root ↑i

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -↑i
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n : ℕ
k : ι
x : ℕ
hk₁ : P.root k = P.root j + n • P.root ↑i
hk₂ : (e i ^ n).col (Sum.inr j) = x • Pi.single (Sum.inr k) 1
hki : k ≠ -↑i
hij : P.root j + (n + 1) • P.root ↑i ∉ range ⇑P.root
l : ι
contra : P.root l = P.root ↑i + P.root k
⊢ P.root ↑i + (P.root j + n • P.root ↑i) = P.root j + (n + 1) • P.root ↑i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.EmbeddedG2
⊢ (algebraMap ℤ R) (-3) = -3

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.EmbeddedG2
⊢ (algebraMap ℤ R) (-3) = -3
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N✝
inst✝⁶ : Module R N✝
P : RootPairing ι R M N✝
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
N : LieSubmodule R (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → R)
⊢ ↑(ωConjLieSubmodule N) = ⊤ ↔ N = ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N✝
inst✝⁶ : Module R N✝
P : RootPairing ι R M N✝
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
N : LieSubmodule R (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → R)
⊢ ↑(ωConjLieSubmodule N) = ⊤ ↔ N = ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
⊢ x • P.root i + y • P.root j + P.root i - P.root j = (x + 1) • P.root i + (y - 1) • P.root j

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
⊢ x • P.root i + y • P.root j + P.root i - P.root j = (x + 1) • P.root i + (y - 1) • P.root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: case inl.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j k : ↥b.support
l : ι
⊢ ∑ a₁,
        Matrix.fromBlocks 0 0 0 (Matrix.diagonal fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) (Sum.inl k) (Sum.inl a₁) *
          Matrix.of (fun i' j ↦ if i' = i ∧ j = -↑i then 1 else 0) a₁ l -
      (∑ a₁,
          Matrix.fromBlocks 0 (Matrix.of fun i' j ↦ if i' = i ∧ j = -↑i then 1 else 0)
              (Matrix.of fun i' j ↦ if i' = ↑i then ↑|b.cartanMatrix i j| else 0)
              (Matrix.of fun i' j ↦ if P.root i' = P.root ↑i + P.root j then ↑(chainBotCoeff (↑i) j) + 1 else 0)
              (Sum.inl k) (Sum.inl a₁) *
            0 +
        if l ∈ Finset.univ then
          Matrix.of (fun i' j ↦ if i' = i ∧ j = -↑i then 1 else 0) k l *
            Matrix.fromBlocks 0 0 0 (Matrix.diagonal fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) (Sum.inr l) (Sum.inr l)
        else 0) =
    (b.cartanMatrix i j •
        Matrix.fromBlocks 0 (Matrix.of fun i' j ↦ if i' = i ∧ j = -↑i then 1 else 0)
          (Matrix.of fun i' j ↦ if i' = ↑i then ↑|b.cartanMatrix i j| else 0)
          (Matrix.of fun i' j ↦ if P.root i' = P.root ↑i + P.root j then ↑(chainBotCoeff (↑i) j) + 1 else 0))
      (Sum.inl k) (Sum.inr l)

Tactic:
]

Goal state after:
case inl.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j k : ↥b.support
l : ι
⊢ ∑ a₁,
        Matrix.fromBlocks 0 0 0 (Matrix.diagonal fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) (Sum.inl k) (Sum.inl a₁) *
          Matrix.of (fun i' j ↦ if i' = i ∧ j = -↑i then 1 else 0) a₁ l -
      (∑ a₁,
          Matrix.fromBlocks 0 (Matrix.of fun i' j ↦ if i' = i ∧ j = -↑i then 1 else 0)
              (Matrix.of fun i' j ↦ if i' = ↑i then ↑|b.cartanMatrix i j| else 0)
              (Matrix.of fun i' j ↦ if P.root i' = P.root ↑i + P.root j then ↑(chainBotCoeff (↑i) j) + 1 else 0)
              (Sum.inl k) (Sum.inl a₁) *
            0 +
        if l ∈ Finset.univ then
          Matrix.of (fun i' j ↦ if i' = i ∧ j = -↑i then 1 else 0) k l *
            Matrix.fromBlocks 0 0 0 (Matrix.diagonal fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) (Sum.inr l) (Sum.inr l)
        else 0) =
    (b.cartanMatrix i j •
        Matrix.fromBlocks 0 (Matrix.of fun i' j ↦ if i' = i ∧ j = -↑i then 1 else 0)
          (Matrix.of fun i' j ↦ if i' = ↑i then ↑|b.cartanMatrix i j| else 0)
          (Matrix.of fun i' j ↦ if P.root i' = P.root ↑i + P.root j then ↑(chainBotCoeff (↑i) j) + 1 else 0))
      (Sum.inl k) (Sum.inr l)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
⊢ (algebraMap ℤ R) (-1) = -1

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
⊢ (algebraMap ℤ R) (-1) = -1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ ∀ (i_1 : ↥b.support ⊕ ι), ∃ n, (e i ^ n).col i_1 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ ∀ (i_1 : ↥b.support ⊕ ι), ∃ n, (e i ^ n).col i_1 = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
h₃ : P.root n = (x + 1) • P.root i + (y - 1) • P.root j
⊢ 2 * (x + 1) + A * (y - 1) = (x + 1) * 2 + (y - 1) * P.pairingIn ℤ j i

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
h₃ : P.root n = (x + 1) • P.root i + (y - 1) • P.root j
⊢ 2 * (x + 1) + A * (y - 1) = (x + 1) * 2 + (y - 1) * P.pairingIn ℤ j i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
⊢ LinearIndependent ℤ ![shortRoot P, longRoot P]

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
⊢ LinearIndependent ℤ ![shortRoot P, longRoot P]
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
⊢ Injective ⇑(Fintype.linearCombination ℤ ![shortRoot P, longRoot P])

Tactic:
rw [← linearIndependent_iff_injective_fintypeLinearCombination]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
⊢ LinearIndependent ℤ ![shortRoot P, longRoot P]
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
hli : Injective ⇑(Fintype.linearCombination ℤ ![shortRoot P, longRoot P])
⊢ allCoeffs.Nodup

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
hli : Injective ⇑(Fintype.linearCombination ℤ ![shortRoot P, longRoot P])
⊢ allCoeffs.Nodup
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: case inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
k l : ι
⊢ ∑ x ∈ {k, l},
      ((if P.root x = P.root ↑i + P.root l then
          Matrix.diagonal (fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) k x * (↑(chainBotCoeff (↑i) l) + 1)
        else 0) -
        if P.root k = P.root ↑i + P.root x then
          (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * Matrix.diagonal (fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) x l
        else 0) =
    if P.root k = P.root ↑i + P.root l then ↑(b.cartanMatrix i j) * ↑(chainBotCoeff (↑i) l) + ↑(b.cartanMatrix i j)
    else 0

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
k l : ι
⊢ ∑ x ∈ {k, l},
      ((if P.root x = P.root ↑i + P.root l then
          Matrix.diagonal (fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) k x * (↑(chainBotCoeff (↑i) l) + 1)
        else 0) -
        if P.root k = P.root ↑i + P.root x then
          (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * Matrix.diagonal (fun x ↦ ↑(P.pairingIn ℤ x ↑j)) x l
        else 0) =
    if P.root k = P.root ↑i + P.root l then ↑(b.cartanMatrix i j) * ↑(chainBotCoeff (↑i) l) + ↑(b.cartanMatrix i j)
    else 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
h₃ : 2 * (x + 1) + A * (y - 1) ∈ s
⊢ 2 * x + A * y = x * 2 + y * P.pairingIn ℤ j i

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
h₃ : 2 * (x + 1) + A * (y - 1) ∈ s
⊢ 2 * x + A * y = x * 2 + y * P.pairingIn ℤ j i