mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Probability.Moments.Basic

Goal state before:
pp: case insert
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : ι → Ω → ℝ
h_indep : iIndepFun X μ
h_meas : ∀ (i : ι), Measurable (X i)
i : ι
s : Finset ι
hi_notin_s : i ∉ s
h_rec : Integrable (fun ω ↦ rexp (t * (∑ i ∈ s, X i) ω)) μ
h_int : ∀ i_1 ∈ insert i s, Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X i_1 ω)) μ
this : ∀ i ∈ s, Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X i ω)) μ
⊢ Integrable (fun ω ↦ rexp (t * (X i + ∑ x ∈ s, X x) ω)) μ

Tactic:
]

Goal state after:
case insert
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : ι → Ω → ℝ
h_indep : iIndepFun X μ
h_meas : ∀ (i : ι), Measurable (X i)
i : ι
s : Finset ι
hi_notin_s : i ∉ s
h_rec : Integrable (fun ω ↦ rexp (t * (∑ i ∈ s, X i) ω)) μ
h_int : ∀ i_1 ∈ insert i s, Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X i_1 ω)) μ
this : ∀ i ∈ s, Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X i ω)) μ
⊢ Integrable (fun ω ↦ rexp (t * (X i + ∑ x ∈ s, X x) ω)) μ
Module: Mathlib.Probability.Process.Stopping

Goal state before:
pp: case inr
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝² : Nonempty ι
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
ω : Ω
i : ι
hi : ↑i = τ ω
hbdd : ↑i ∈ WithTop.some '' ↑s
h : ↑i < ↑n
⊢ u i ω = u i ω

pp: case inr.h
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝² : Nonempty ι
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
ω : Ω
i : ι
hi : ↑i = τ ω
hbdd : ↑i ∈ WithTop.some '' ↑s
h : ↑i < ↑n
⊢ ω ∈ {ω | τ ω = ↑i}

pp: case inr.h
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝² : Nonempty ι
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
ω : Ω
i : ι
hi : ↑i = τ ω
hbdd : ↑i ∈ WithTop.some '' ↑s
h : ↑i < ↑n
⊢ ω ∉ {a | ↑n ≤ τ a}

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.h
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝² : Nonempty ι
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
ω : Ω
i : ι
hi : ↑i = τ ω
hbdd : ↑i ∈ WithTop.some '' ↑s
h : ↑i < ↑n
⊢ ω ∈ {ω | τ ω = ↑i}

case inr.h
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝² : Nonempty ι
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
ω : Ω
i : ι
hi : ↑i = τ ω
hbdd : ↑i ∈ WithTop.some '' ↑s
h : ↑i < ↑n
⊢ ω ∉ {a | ↑n ≤ τ a}
Module: Mathlib.Probability.Process.Stopping

Goal state before:
pp: case inr.h
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝² : Nonempty ι
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
ω : Ω
i : ι
hi : ↑i = τ ω
hbdd : ↑i ∈ WithTop.some '' ↑s
h : ↑i < ↑n
⊢ τ ω = ↑i

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.h
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝² : Nonempty ι
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
ω : Ω
i : ι
hi : ↑i = τ ω
hbdd : ↑i ∈ WithTop.some '' ↑s
h : ↑i < ↑n
⊢ τ ω = ↑i
Module: Mathlib.Probability.Process.Stopping

Goal state before:
pp: case inr.h
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝² : Nonempty ι
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
ω : Ω
i : ι
hi : ↑i = τ ω
hbdd : ↑i ∈ WithTop.some '' ↑s
h : ↑i < ↑n
⊢ ¬↑n ≤ τ ω

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.h
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝² : Nonempty ι
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
ω : Ω
i : ι
hi : ↑i = τ ω
hbdd : ↑i ∈ WithTop.some '' ↑s
h : ↑i < ↑n
⊢ ¬↑n ≤ τ ω
Module: Mathlib.Probability.Moments.IntegrableExpMul

Goal state before:
pp: case refine_1.inl
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t u : ℝ
hu_int_pos : Integrable (fun ω ↦ rexp (u * X ω)) μ
hu_int_neg : Integrable (fun ω ↦ rexp (-u * X ω)) μ
htu : |t| ≤ |u|
hu : 0 ≤ u
⊢ Integrable (fun ω ↦ rexp (-u * X ω)) μ

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1.inl
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t u : ℝ
hu_int_pos : Integrable (fun ω ↦ rexp (u * X ω)) μ
hu_int_neg : Integrable (fun ω ↦ rexp (-u * X ω)) μ
htu : |t| ≤ |u|
hu : 0 ≤ u
⊢ Integrable (fun ω ↦ rexp (-u * X ω)) μ
Module: Mathlib.Probability.Process.Stopping

Goal state before:
pp: case inr.h
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝² : Nonempty ι
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
ω : Ω
i : ι
hi : ↑i = τ ω
hbdd : ↑i ∈ WithTop.some '' ↑s
h : ↑i < ↑n
⊢ ¬↑n ≤ ↑i

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.h
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝² : Nonempty ι
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
ω : Ω
i : ι
hi : ↑i = τ ω
hbdd : ↑i ∈ WithTop.some '' ↑s
h : ↑i < ↑n
⊢ ¬↑n ≤ ↑i
Module: Mathlib.Probability.Moments.IntegrableExpMul

Goal state before:
pp: case refine_2.inl
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t u : ℝ
hu_int_pos : Integrable (fun ω ↦ rexp (u * X ω)) μ
hu_int_neg : Integrable (fun ω ↦ rexp (-u * X ω)) μ
htu : |t| ≤ |u|
hu : 0 ≤ u
⊢ Integrable (fun ω ↦ rexp (u * X ω)) μ

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2.inl
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t u : ℝ
hu_int_pos : Integrable (fun ω ↦ rexp (u * X ω)) μ
hu_int_neg : Integrable (fun ω ↦ rexp (-u * X ω)) μ
htu : |t| ≤ |u|
hu : 0 ≤ u
⊢ Integrable (fun ω ↦ rexp (u * X ω)) μ
Module: Mathlib.Probability.Moments.IntegrableExpMul

Goal state before:
pp: case refine_2.inr
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t u : ℝ
hu_int_pos : Integrable (fun ω ↦ rexp (u * X ω)) μ
hu_int_neg : Integrable (fun ω ↦ rexp (-u * X ω)) μ
htu : |t| ≤ |u|
hu : u ≤ 0
⊢ Integrable (fun ω ↦ rexp (-u * X ω)) μ

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2.inr
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t u : ℝ
hu_int_pos : Integrable (fun ω ↦ rexp (u * X ω)) μ
hu_int_neg : Integrable (fun ω ↦ rexp (-u * X ω)) μ
htu : |t| ≤ |u|
hu : u ≤ 0
⊢ Integrable (fun ω ↦ rexp (-u * X ω)) μ
Module: Mathlib.Probability.Process.Stopping

Goal state before:
pp: case inr.h
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝² : Nonempty ι
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
ω : Ω
i : ι
hi : ↑i = τ ω
hbdd : ↑i ∈ WithTop.some '' ↑s
h : ↑i < ↑n
⊢ i ∈ s ∧ i < n

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.h
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝² : Nonempty ι
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
ω : Ω
i : ι
hi : ↑i = τ ω
hbdd : ↑i ∈ WithTop.some '' ↑s
h : ↑i < ↑n
⊢ i ∈ s ∧ i < n
Module: Mathlib.Probability.Moments.Basic

Goal state before:
pp: case insert
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
t : ℝ
X : ι → Ω → ℝ
h_indep : iIndepFun X μ
h_meas : ∀ (i : ι), AEMeasurable (X i) μ
this : IsProbabilityMeasure μ
i : ι
s : Finset ι
hi_notin_s : i ∉ s
h_rec : mgf (∑ i ∈ s, X i) μ t = ∏ i ∈ s, mgf (X i) μ t
h_int' : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (fun ω ↦ rexp (t * X i ω)) μ
⊢ mgf (X i) μ t * ∏ i ∈ s, mgf (X i) μ t = mgf (X i) μ t * ∏ x ∈ s, mgf (X x) μ t

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Probability.Moments.IntegrableExpMul

Goal state before:
pp: case refine_3
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t u : ℝ
hu_int_pos : Integrable (fun ω ↦ rexp (u * X ω)) μ
hu_int_neg : Integrable (fun ω ↦ rexp (-u * X ω)) μ
htu : |t| ≤ |u|
⊢ -t ≤ |u|

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_3
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t u : ℝ
hu_int_pos : Integrable (fun ω ↦ rexp (u * X ω)) μ
hu_int_neg : Integrable (fun ω ↦ rexp (-u * X ω)) μ
htu : |t| ≤ |u|
⊢ -t ≤ |u|
Module: Mathlib.Probability.Moments.IntegrableExpMul

Goal state before:
pp: case refine_4
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t u : ℝ
hu_int_pos : Integrable (fun ω ↦ rexp (u * X ω)) μ
hu_int_neg : Integrable (fun ω ↦ rexp (-u * X ω)) μ
htu : |t| ≤ |u|
⊢ t ≤ |u|

Tactic:
exact (le_abs_self t).trans htu

Goal state after:
Module: Mathlib.Probability.Process.Stopping

Goal state before:
pp: case inr.h₀
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝² : Nonempty ι
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
ω : Ω
i : ι
hi : ↑i = τ ω
hbdd : ↑i ∈ WithTop.some '' ↑s
h : ↑i < ↑n
b : ι
a✝ : b ∈ {i ∈ s | i < n}
hneq : b ≠ i
⊢ 0 = 0

pp: case inr.h₀.h
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝² : Nonempty ι
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
ω : Ω
i : ι
hi : ↑i = τ ω
hbdd : ↑i ∈ WithTop.some '' ↑s
h : ↑i < ↑n
b : ι
a✝ : b ∈ {i ∈ s | i < n}
hneq : b ≠ i
⊢ ω ∉ {ω | τ ω = ↑b}

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.h₀.h
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝² : Nonempty ι
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
ω : Ω
i : ι
hi : ↑i = τ ω
hbdd : ↑i ∈ WithTop.some '' ↑s
h : ↑i < ↑n
b : ι
a✝ : b ∈ {i ∈ s | i < n}
hneq : b ≠ i
⊢ ω ∉ {ω | τ ω = ↑b}
Module: Mathlib.Probability.Process.Stopping

Goal state before:
pp: case inr.h₀.h
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝² : Nonempty ι
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
ω : Ω
i : ι
hi : ↑i = τ ω
hbdd : ↑i ∈ WithTop.some '' ↑s
h : ↑i < ↑n
b : ι
a✝ : b ∈ {i ∈ s | i < n}
hneq : b ≠ i
⊢ ¬↑i = ↑b

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.h₀.h
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝² : Nonempty ι
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
ω : Ω
i : ι
hi : ↑i = τ ω
hbdd : ↑i ∈ WithTop.some '' ↑s
h : ↑i < ↑n
b : ι
a✝ : b ∈ {i ∈ s | i < n}
hneq : b ≠ i
⊢ ¬↑i = ↑b
Module: Mathlib.Probability.Martingale.BorelCantelli

Goal state before:
pp: Ω : Type u_2
s : ℕ → Set Ω
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Probability.Moments.Basic

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
t : ℝ
X : ι → Ω → ℝ
h_indep : iIndepFun X μ
h_meas : ∀ (i : ι), AEMeasurable (X i) μ
s : Finset ι
h_int : ∀ i ∈ s, Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X i ω)) μ
this : IsProbabilityMeasure μ
⊢ log (mgf (∑ i ∈ s, X i) μ t) = log (∏ i ∈ s, mgf (X i) μ t)

pp: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
t : ℝ
X : ι → Ω → ℝ
h_indep : iIndepFun X μ
h_meas : ∀ (i : ι), AEMeasurable (X i) μ
s : Finset ι
h_int : ∀ i ∈ s, Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X i ω)) μ
this : IsProbabilityMeasure μ
j : ι
hj : j ∈ s
⊢ mgf (X j) μ t ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
t : ℝ
X : ι → Ω → ℝ
h_indep : iIndepFun X μ
h_meas : ∀ (i : ι), AEMeasurable (X i) μ
s : Finset ι
h_int : ∀ i ∈ s, Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X i ω)) μ
this : IsProbabilityMeasure μ
⊢ log (mgf (∑ i ∈ s, X i) μ t) = log (∏ i ∈ s, mgf (X i) μ t)

Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
t : ℝ
X : ι → Ω → ℝ
h_indep : iIndepFun X μ
h_meas : ∀ (i : ι), AEMeasurable (X i) μ
s : Finset ι
h_int : ∀ i ∈ s, Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X i ω)) μ
this : IsProbabilityMeasure μ
j : ι
hj : j ∈ s
⊢ mgf (X j) μ t ≠ 0
Module: Mathlib.Probability.Moments.Basic

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
t : ℝ
X : ι → Ω → ℝ
h_indep : iIndepFun X μ
h_meas : ∀ (i : ι), AEMeasurable (X i) μ
s : Finset ι
h_int : ∀ i ∈ s, Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X i ω)) μ
this : IsProbabilityMeasure μ
⊢ log (∏ i ∈ s, mgf (X i) μ t) = log (∏ i ∈ s, mgf (X i) μ t)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Probability.Moments.IntegrableExpMul

Goal state before:
pp: case inr
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t₁ : ℝ
ht₁ : t₁ ∈ integrableExpSet X μ
t₂ : ℝ
ht₂ : t₂ ∈ integrableExpSet X μ
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : b + a = 1
this :
  ∀ {Ω : Type u_1} {m : MeasurableSpace Ω} {X : Ω → ℝ} {μ : Measure Ω} ⦃t₁ : ℝ⦄,
    t₁ ∈ integrableExpSet X μ →
      ∀ ⦃t₂ : ℝ⦄,
        t₂ ∈ integrableExpSet X μ →
          ∀ ⦃a b : ℝ⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → t₁ ≤ t₂ → a • t₁ + b • t₂ ∈ integrableExpSet X μ
h_le : t₂ < t₁
⊢ b • t₂ + a • t₁ ∈ integrableExpSet X μ

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t₁ : ℝ
ht₁ : t₁ ∈ integrableExpSet X μ
t₂ : ℝ
ht₂ : t₂ ∈ integrableExpSet X μ
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : b + a = 1
this :
  ∀ {Ω : Type u_1} {m : MeasurableSpace Ω} {X : Ω → ℝ} {μ : Measure Ω} ⦃t₁ : ℝ⦄,
    t₁ ∈ integrableExpSet X μ →
      ∀ ⦃t₂ : ℝ⦄,
        t₂ ∈ integrableExpSet X μ →
          ∀ ⦃a b : ℝ⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → t₁ ≤ t₂ → a • t₁ + b • t₂ ∈ integrableExpSet X μ
h_le : t₂ < t₁
⊢ b • t₂ + a • t₁ ∈ integrableExpSet X μ
Module: Mathlib.Probability.Moments.Basic

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
X : ι → Ω → ℝ
s : Finset ι
j : ι
h_meas : ∀ (i : ι), AEMeasurable (X i) μ
h_indep : iIndepFun X μ
hident : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, IdentDistrib (X i) (X j) μ μ
hj : j ∈ s
t : ℝ
⊢ ∏ i ∈ s, mgf (X i) μ t = mgf (X j) μ t ^ #s

Tactic:
]

Goal state after:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
X : ι → Ω → ℝ
s : Finset ι
j : ι
h_meas : ∀ (i : ι), AEMeasurable (X i) μ
h_indep : iIndepFun X μ
hident : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, IdentDistrib (X i) (X j) μ μ
hj : j ∈ s
t : ℝ
⊢ ∏ i ∈ s, mgf (X i) μ t = mgf (X j) μ t ^ #s
Module: Mathlib.Probability.Moments.IntegrableExpMul

Goal state before:
pp: case inr
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t₁ : ℝ
ht₁ : t₁ ∈ integrableExpSet X μ
t₂ : ℝ
ht₂ : t₂ ∈ integrableExpSet X μ
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
this :
  ∀ {Ω : Type u_1} {m : MeasurableSpace Ω} {X : Ω → ℝ} {μ : Measure Ω} ⦃t₁ : ℝ⦄,
    t₁ ∈ integrableExpSet X μ →
      ∀ ⦃t₂ : ℝ⦄,
        t₂ ∈ integrableExpSet X μ →
          ∀ ⦃a b : ℝ⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → t₁ ≤ t₂ → a • t₁ + b • t₂ ∈ integrableExpSet X μ
h_le : t₂ < t₁
⊢ a • t₁ + b • t₂ ∈ integrableExpSet X μ

Tactic:
rw [add_comm] at hab ⊢

Goal state after:
case inr
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t₁ : ℝ
ht₁ : t₁ ∈ integrableExpSet X μ
t₂ : ℝ
ht₂ : t₂ ∈ integrableExpSet X μ
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : b + a = 1
this :
  ∀ {Ω : Type u_1} {m : MeasurableSpace Ω} {X : Ω → ℝ} {μ : Measure Ω} ⦃t₁ : ℝ⦄,
    t₁ ∈ integrableExpSet X μ →
      ∀ ⦃t₂ : ℝ⦄,
        t₂ ∈ integrableExpSet X μ →
          ∀ ⦃a b : ℝ⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → t₁ ≤ t₂ → a • t₁ + b • t₂ ∈ integrableExpSet X μ
h_le : t₂ < t₁
⊢ b • t₂ + a • t₁ ∈ integrableExpSet X μ
Module: Mathlib.Probability.Martingale.BorelCantelli

Goal state before:
pp: Ω : Type u_2
s : ℕ → Set Ω
ω : Ω
n : ℕ
⊢ (s (n + 1)).indicator (fun a ↦ ‖1 a‖) ω ≤ 1

Tactic:
]

Goal state after:
Ω : Type u_2
s : ℕ → Set Ω
ω : Ω
n : ℕ
⊢ (s (n + 1)).indicator (fun a ↦ ‖1 a‖) ω ≤ 1
Module: Mathlib.Probability.Moments.Basic

Goal state before:
pp: case inl
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : 0 ≤ t
h_int : Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X ω)) μ
ht_zero_eq : 0 = t
⊢ μ.real {ω | ε ≤ X ω} ≤ rexp (-0 * ε) * mgf X μ 0

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : 0 ≤ t
h_int : Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X ω)) μ
ht_zero_eq : 0 = t
⊢ μ.real {ω | ε ≤ X ω} ≤ rexp (-0 * ε) * mgf X μ 0
Module: Mathlib.Probability.Martingale.BorelCantelli

Goal state before:
pp: Ω : Type u_2
s : ℕ → Set Ω
ω : Ω
n : ℕ
x✝¹ : Ω
x✝ : x✝¹ ∈ s (n + 1)
⊢ 1 ≤ 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Probability.Moments.IntegrableExpMul

Goal state before:
pp: Ω✝ : Type u_1
m✝ : MeasurableSpace Ω✝
X✝ : Ω✝ → ℝ
μ✝ : Measure Ω✝
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t₁ : ℝ
ht₁ : t₁ ∈ integrableExpSet X μ
t₂ : ℝ
ht₂ : t₂ ∈ integrableExpSet X μ
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h_le : t₁ ≤ t₂
⊢ t₁ = t₁

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Probability.Process.Stopping

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝³ : Nonempty ι
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : AddCommMonoid E
n : ι
h_mem : ∀ (ω : Ω), τ ω < ↑n → τ ω ∈ WithTop.some '' ↑(Finset.Iio n)
⊢ {a | ↑n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i < n with i < n, {ω | τ ω = ↑i}.indicator (u i) =
    {a | ↑n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i < n, {ω | τ ω = ↑i}.indicator (u i)

Tactic:
]

Goal state after:
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
inst✝³ : Nonempty ι
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
u : ι → Ω → E
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : AddCommMonoid E
n : ι
h_mem : ∀ (ω : Ω), τ ω < ↑n → τ ω ∈ WithTop.some '' ↑(Finset.Iio n)
⊢ {a | ↑n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i < n with i < n, {ω | τ ω = ↑i}.indicator (u i) =
    {a | ↑n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i < n, {ω | τ ω = ↑i}.indicator (u i)
Module: Mathlib.Probability.Moments.Basic

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : 0 ≤ t
h_int : Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X ω)) μ
ht_pos : 0 < t
⊢ μ.real {ω | ε ≤ X ω} = μ.real {ω | rexp (t * ε) ≤ rexp (t * X ω)}

Tactic:
congr 1 with ω
      simp only [Set.mem_ofPred_eq, exp_le_exp]
      exact ⟨fun h => mul_le_mul_of_nonneg_left h ht_pos.le,
        fun h => le_of_mul_le_mul_left h ht_pos⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Probability.Moments.IntegrableExpMul

Goal state before:
pp: Ω✝ : Type u_1
m✝ : MeasurableSpace Ω✝
X✝ : Ω✝ → ℝ
μ✝ : Measure Ω✝
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t₁ : ℝ
ht₁ : t₁ ∈ integrableExpSet X μ
t₂ : ℝ
ht₂ : t₂ ∈ integrableExpSet X μ
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h_le : t₁ ≤ t₂
⊢ t₂ = t₂

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Probability.Moments.Basic

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : 0 ≤ t
h_int : Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X ω)) μ
ht_pos : 0 < t
this : rexp (t * ε) * μ.real {ω | rexp (t * ε) ≤ rexp (t * X ω)} ≤ ∫ (x : Ω), (fun ω ↦ rexp (t * X ω)) x ∂μ
⊢ rexp (t * ε) * μ.real {ω | rexp (t * ε) ≤ rexp (t * X ω)} ≤ ∫ (x : Ω), (fun ω ↦ rexp (t * X ω)) x ∂μ

Tactic:
]

Goal state after:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : 0 ≤ t
h_int : Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X ω)) μ
ht_pos : 0 < t
this : rexp (t * ε) * μ.real {ω | rexp (t * ε) ≤ rexp (t * X ω)} ≤ ∫ (x : Ω), (fun ω ↦ rexp (t * X ω)) x ∂μ
⊢ rexp (t * ε) * μ.real {ω | rexp (t * ε) ≤ rexp (t * X ω)} ≤ ∫ (x : Ω), (fun ω ↦ rexp (t * X ω)) x ∂μ
Module: Mathlib.Probability.Process.Stopping

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝² : Nonempty ι
μ : Measure Ω
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), MemLp (u n) p μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ WithTop.some '' ↑s
⊢ MemLp (∑ i ∈ s, {ω | τ ω = ↑i}.indicator (u i)) p μ

Tactic:
]

Goal state after:
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝² : Nonempty ι
μ : Measure Ω
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), MemLp (u n) p μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ WithTop.some '' ↑s
⊢ MemLp (∑ i ∈ s, {ω | τ ω = ↑i}.indicator (u i)) p μ
Module: Mathlib.Probability.Moments.Basic

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : 0 ≤ t
h_int : Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X ω)) μ
ht_pos : 0 < t
⊢ (rexp (t * ε))⁻¹ * ∫ (x : Ω), (fun ω ↦ rexp (t * X ω)) x ∂μ = (rexp (t * ε))⁻¹ * mgf X μ t

Tactic:
]

Goal state after:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : 0 ≤ t
h_int : Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X ω)) μ
ht_pos : 0 < t
⊢ (rexp (t * ε))⁻¹ * ∫ (x : Ω), (fun ω ↦ rexp (t * X ω)) x ∂μ = (rexp (t * ε))⁻¹ * mgf X μ t
Module: Mathlib.Probability.Moments.Basic

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : t ≤ 0
h_int : Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X ω)) μ
⊢ μ.real {ω | X ω ≤ ε} ≤ rexp (- -t * -ε) * mgf (-X) μ (-t)

Tactic:
]

Goal state after:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : t ≤ 0
h_int : Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X ω)) μ
⊢ μ.real {ω | X ω ≤ ε} ≤ rexp (- -t * -ε) * mgf (-X) μ (-t)
Module: Mathlib.Probability.Moments.Basic

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : 0 ≤ t
h_int : Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X ω)) μ
⊢ rexp (-t * ε) * mgf X μ t ≤ rexp (-t * ε) * rexp (cgf X μ t)

Tactic:
]

Goal state after:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : 0 ≤ t
h_int : Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X ω)) μ
⊢ rexp (-t * ε) * mgf X μ t ≤ rexp (-t * ε) * rexp (cgf X μ t)
Module: Mathlib.Probability.Moments.Basic

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : t ≤ 0
h_int : Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X ω)) μ
⊢ rexp (-t * ε) * mgf X μ t ≤ rexp (-t * ε) * rexp (cgf X μ t)

Tactic:
]

Goal state after:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : t ≤ 0
h_int : Integrable (fun ω ↦ rexp (t * X ω)) μ
⊢ rexp (-t * ε) * mgf X μ t ≤ rexp (-t * ε) * rexp (cgf X μ t)
Module: Mathlib.Probability.Moments.Basic

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
x : ℝ
hX : Measure.map X μ = Measure.dirac x
t : ℝ
⊢ IsProbabilityMeasure (Measure.dirac x)

Tactic:
]

Goal state after:
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
x : ℝ
hX : Measure.map X μ = Measure.dirac x
t : ℝ
⊢ IsProbabilityMeasure (Measure.dirac x)
Module: Mathlib.Probability.Process.Stopping

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : Nonempty ι
μ : Measure Ω
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), MemLp (u n) p μ
n : ι
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω < ↑n → τ ω ∈ WithTop.some '' ↑s
⊢ MemLp ({a | ↑n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ s with i < n, {ω | τ ω = ↑i}.indicator (u i)) p μ

Tactic:
]

Goal state after:
Ω : Type u_1
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : Nonempty ι
μ : Measure Ω
τ : Ω → WithTop ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), MemLp (u n) p μ
n : ι
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω < ↑n → τ ω ∈ WithTop.some '' ↑s
⊢ MemLp ({a | ↑n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ s with i < n, {ω | τ ω = ↑i}.indicator (u i)) p μ
Module: Mathlib.Probability.Moments.IntegrableExpMul

Goal state before:
pp: case neg.refine_1
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t v : ℝ
ht_int_pos : Integrable (fun ω ↦ rexp ((v + t) * X ω)) μ
ht_int_neg : Integrable (fun ω ↦ rexp ((v - t) * X ω)) μ
h_int_add : Integrable (fun a ↦ rexp ((v + t) * X a) + rexp ((v - t) * X a)) μ
ht : ¬t = 0
⊢ v + t - (v - t) ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
case neg.refine_1
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
t v : ℝ
ht_int_pos : Integrable (fun ω ↦ rexp ((v + t) * X ω)) μ
ht_int_neg : Integrable (fun ω ↦ rexp ((v - t) * X ω)) μ
h_int_add : Integrable (fun a ↦ rexp ((v + t) * X a) + rexp ((v - t) * X a)) μ
ht : ¬t = 0
⊢ v + t - (v - t) ≠ 0
Module: Mathlib.Probability.Moments.Basic

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
x : ℝ
hX : Measure.map X μ = Measure.dirac x
t : ℝ
this : IsProbabilityMeasure (Measure.map X μ)
⊢ rexp (x * t) = rexp (x * t)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Probability.Moments.Basic

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
t : ℝ
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
ω : Ω
⊢ rexp (t * X ω) = rexp (t * X ω)

Tactic:
]

Goal state after: