mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Finite ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : Module.IsReflexive R N
h₁ :
  (P.pairingIn ℤ ↑i ↑j, P.pairingIn ℤ ↑j ↑i) ∈
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1), (4, 1), (1, 4),
      (-4, -1), (-1, -4), (2, 2), (-2, -2)}
h₂ : P.pairingIn ℤ ↑i ↑j ≤ 0
contra : P.root ↑i = -2 • P.root ↑j
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Finite ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : Module.IsReflexive R N
h₁ :
  (P.pairingIn ℤ ↑i ↑j, P.pairingIn ℤ ↑j ↑i) ∈
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1), (4, 1), (1, 4),
      (-4, -1), (-1, -4), (2, 2), (-2, -2)}
h₂ : P.pairingIn ℤ ↑i ↑j ≤ 0
contra : P.root ↑i = -2 • P.root ↑j
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : TrivialStar R
A : Matrix ι ι R
d : ι → R
hA : (diagonal d * A).PosDef
hD : ∀ (i : ι), 0 < d i
μ ρ : R
hμ : ∀ (i j : ι), A i j ≤ if i = j then μ else 0
hρ : HasEigenvalue (toLin' A) ρ
contra : 2 * μ ≤ ρ
N : Matrix ι ι R := μ • 1 - A
N_def : N = μ • 1 - A
hN : ∀ (i j : ι), 0 ≤ N i j
v : ι → R
hv : N *ᵥ v = (μ - ρ) • v
q : R := |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
q_def : q = |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
Q : R := μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
Q_def : Q = μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
hv₀ : |v| ≠ 0
h₁ : 0 < ∑ j, ∑ i, |v i| * (d i * A i j) * |v j|
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ μ * (d i * |v i| ^ 2) = |v i| * (d i * μ) * |v i|

Tactic:
by ring

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Finite ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
⊢ ↑(chainTopCoeff ↑j ↑i) = ↑(chainTopCoeff ↑j ↑i)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Finite ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
⊢ ¬LinearIndependent R ![P.root ↑j, P.root ↑i] ∨ P.root ↑i + P.root ↑j ∉ range ⇑P.root ↔
    P.root ↑i + P.root ↑j ∉ range ⇑P.root

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Finite ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
⊢ ¬LinearIndependent R ![P.root ↑j, P.root ↑i] ∨ P.root ↑i + P.root ↑j ∉ range ⇑P.root ↔
    P.root ↑i + P.root ↑j ∉ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : TrivialStar R
A : Matrix ι ι R
d : ι → R
hA : (diagonal d * A).PosDef
hD : ∀ (i : ι), 0 < d i
μ ρ : R
hμ : ∀ (i j : ι), A i j ≤ if i = j then μ else 0
hρ : HasEigenvalue (toLin' A) ρ
contra : 2 * μ ≤ ρ
N : Matrix ι ι R := μ • 1 - A
N_def : N = μ • 1 - A
hN : ∀ (i j : ι), 0 ≤ N i j
v : ι → R
hv : N *ᵥ v = (μ - ρ) • v
q : R := |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
q_def : q = |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
Q : R := μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
Q_def : Q = μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
hv₀ : |v| ≠ 0
h₁ : 0 < ∑ j, ∑ i, |v i| * (d i * A i j) * |v j|
h₂ : Q = ∑ i, |v i| * (d i * μ) * |v i|
⊢ ∑ j, ∑ i, |v| i * (diagonal d * (μ • 1 - A)) i j * |v| j < Q

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : TrivialStar R
A : Matrix ι ι R
d : ι → R
hA : (diagonal d * A).PosDef
hD : ∀ (i : ι), 0 < d i
μ ρ : R
hμ : ∀ (i j : ι), A i j ≤ if i = j then μ else 0
hρ : HasEigenvalue (toLin' A) ρ
contra : 2 * μ ≤ ρ
N : Matrix ι ι R := μ • 1 - A
N_def : N = μ • 1 - A
hN : ∀ (i j : ι), 0 ≤ N i j
v : ι → R
hv : N *ᵥ v = (μ - ρ) • v
q : R := |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
q_def : q = |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
Q : R := μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
Q_def : Q = μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
hv₀ : |v| ≠ 0
h₁ : 0 < ∑ j, ∑ i, |v i| * (d i * A i j) * |v j|
h₂ : Q = ∑ i, |v i| * (d i * μ) * |v i|
⊢ ∑ j, ∑ i, |v| i * (diagonal d * (μ • 1 - A)) i j * |v| j < Q
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : TrivialStar R
A : Matrix ι ι R
d : ι → R
hA : (diagonal d * A).PosDef
hD : ∀ (i : ι), 0 < d i
μ ρ : R
hμ : ∀ (i j : ι), A i j ≤ if i = j then μ else 0
hρ : HasEigenvalue (toLin' A) ρ
contra : 2 * μ ≤ ρ
N : Matrix ι ι R := μ • 1 - A
N_def : N = μ • 1 - A
hN : ∀ (i j : ι), 0 ≤ N i j
v : ι → R
hv : N *ᵥ v = (μ - ρ) • v
hv₀ : v ≠ 0
q : R := |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
q_def : q = |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
Q : R := μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
Q_def : Q = μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
hq₀ : q < Q
⊢ ∑ i, μ * (d i * |v i| ^ 2) ≤ ∑ i, (|v| ᵥ* diagonal d) i * (N *ᵥ |v|) i

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : TrivialStar R
A : Matrix ι ι R
d : ι → R
hA : (diagonal d * A).PosDef
hD : ∀ (i : ι), 0 < d i
μ ρ : R
hμ : ∀ (i j : ι), A i j ≤ if i = j then μ else 0
hρ : HasEigenvalue (toLin' A) ρ
contra : 2 * μ ≤ ρ
N : Matrix ι ι R := μ • 1 - A
N_def : N = μ • 1 - A
hN : ∀ (i j : ι), 0 ≤ N i j
v : ι → R
hv : N *ᵥ v = (μ - ρ) • v
hv₀ : v ≠ 0
q : R := |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
q_def : q = |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
Q : R := μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
Q_def : Q = μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
hq₀ : q < Q
⊢ ∑ i, μ * (d i * |v i| ^ 2) ≤ ∑ i, (|v| ᵥ* diagonal d) i * (N *ᵥ |v|) i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : TrivialStar R
A : Matrix ι ι R
d : ι → R
hA : (diagonal d * A).PosDef
hD : ∀ (i : ι), 0 < d i
μ ρ : R
hμ : ∀ (i j : ι), A i j ≤ if i = j then μ else 0
hρ : HasEigenvalue (toLin' A) ρ
contra : 2 * μ ≤ ρ
N : Matrix ι ι R := μ • 1 - A
N_def : N = μ • 1 - A
hN : ∀ (i j : ι), 0 ≤ N i j
v : ι → R
hv : N *ᵥ v = (μ - ρ) • v
hv₀ : v ≠ 0
q : R := |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
q_def : q = |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
Q : R := μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
Q_def : Q = μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
hq₀ : q < Q
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
h₀ : 0 ≤ ρ - μ
h₁ : μ ≤ ρ - μ
h₂ : 0 ≤ d i
⊢ |μ - ρ| * |v i| = |μ - ρ| * |v i|

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : P.IsRootSystem
_i : Fintype ι
d : ↥b.support → ℤ := fun i ↦ ((P.RootFormIn ℤ) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)
hd : d = fun i ↦ ((P.RootFormIn ℤ) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)
i : ↥b.support
⊢ 0 < (fun i ↦ ((P.posRootForm ℤ).posForm (P.rootSpanMem ℤ ↑i)) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)) i

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : P.IsRootSystem
_i : Fintype ι
d : ↥b.support → ℤ := fun i ↦ ((P.RootFormIn ℤ) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)
hd : d = fun i ↦ ((P.RootFormIn ℤ) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)
i : ↥b.support
⊢ 0 < (fun i ↦ ((P.posRootForm ℤ).posForm (P.rootSpanMem ℤ ↑i)) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)) i
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
b : Basis ι H
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
e : ι ≃ ↑(range b.baseSupp') := Equiv.ofInjective b.baseSupp' ⋯
⊢ LinearIndependent K ((fun x ↦ (rootSystem H).root ↑x) ∘ ⇑e)

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
b : Basis ι H
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
e : ι ≃ ↑(range b.baseSupp') := Equiv.ofInjective b.baseSupp' ⋯
⊢ LinearIndependent K ((fun x ↦ (rootSystem H).root ↑x) ∘ ⇑e)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : P.IsRootSystem
_i : Fintype ι
d : ↥b.support → ℤ := fun i ↦ ((P.RootFormIn ℤ) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)
hd : d = fun i ↦ ((P.RootFormIn ℤ) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)
⊢ (2 • (LinearMap.BilinForm.toMatrix b.toWeightBasisInt) (P.posRootForm ℤ).posForm).PosDef

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : P.IsRootSystem
_i : Fintype ι
d : ↥b.support → ℤ := fun i ↦ ((P.RootFormIn ℤ) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)
hd : d = fun i ↦ ((P.RootFormIn ℤ) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)
⊢ (2 • (LinearMap.BilinForm.toMatrix b.toWeightBasisInt) (P.posRootForm ℤ).posForm).PosDef
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : P.IsRootSystem
_i : Fintype ι
d : ↥b.support → ℤ := fun i ↦ ((P.RootFormIn ℤ) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)
hd : d = fun i ↦ ((P.RootFormIn ℤ) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)
aux : (P.posRootForm ℤ).posForm.IsSymm
⊢ (LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap (P.posRootForm ℤ).posForm).PosDef

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : P.IsRootSystem
_i : Fintype ι
d : ↥b.support → ℤ := fun i ↦ ((P.RootFormIn ℤ) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)
hd : d = fun i ↦ ((P.RootFormIn ℤ) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)
aux : (P.posRootForm ℤ).posForm.IsSymm
⊢ (LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap (P.posRootForm ℤ).posForm).PosDef
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : TrivialStar R
A : Matrix ι ι R
d : ι → R
hA : (diagonal d * A).PosDef
hD : ∀ (i : ι), 0 < d i
μ ρ : R
hμ : ∀ (i j : ι), A i j ≤ if i = j then μ else 0
hρ : HasEigenvalue (toLin' A) ρ
contra : 2 * μ ≤ ρ
N : Matrix ι ι R := μ • 1 - A
N_def : N = μ • 1 - A
hN : ∀ (i j : ι), 0 ≤ N i j
v : ι → R
hv : N *ᵥ v = (μ - ρ) • v
hv₀ : v ≠ 0
q : R := |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
q_def : q = |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
Q : R := μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
Q_def : Q = μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
hq₀ : q < Q
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
h₀ : 0 ≤ ρ - μ
h₁ : μ ≤ ρ - μ
h₂ : 0 ≤ d i
h₃ : (ρ - μ) * |v i| ≤ (N *ᵥ |v|) i
⊢ μ * (d i * |v i| ^ 2) = μ * |v i| * (d i * |v i|)

Tactic:
by ring

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : P.IsRootSystem
d : ↥b.flip.support → ℤ
hd : ∀ (i : ↥b.flip.support), 0 < d i
hd' : (b.flip.cartanMatrix * Matrix.diagonal d)ᵀ.PosDef
⊢ (Matrix.diagonal d * b.cartanMatrix).PosDef

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : P.IsRootSystem
d : ↥b.flip.support → ℤ
hd : ∀ (i : ↥b.flip.support), 0 < d i
hd' : (b.flip.cartanMatrix * Matrix.diagonal d)ᵀ.PosDef
⊢ (Matrix.diagonal d * b.cartanMatrix).PosDef
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
b : Basis ι H
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
χ : ↥root
this✝¹ : H.IsCartanSubalgebra := isCartanSubalgebra b
this✝ : ∀ (n : ι → ℕ), ∑ i, n i • b.baseSupp i ∈ closure (⇑(rootSystem H).root '' range b.baseSupp')
s : Set (↥H → K) :=
  {0} ∪ {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = -⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)} ∪ {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
this :
  iSup
      ![rootSpace H 0, ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑((-b.baseSupp) i)),
        ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))] =
    ⊤
⊢ ⨆ α ∈ s, rootSpace H α = ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
b : Basis ι H
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
χ : ↥root
this✝¹ : H.IsCartanSubalgebra := isCartanSubalgebra b
this✝ : ∀ (n : ι → ℕ), ∑ i, n i • b.baseSupp i ∈ closure (⇑(rootSystem H).root '' range b.baseSupp')
s : Set (↥H → K) :=
  {0} ∪ {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = -⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)} ∪ {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
this :
  iSup
      ![rootSpace H 0, ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑((-b.baseSupp) i)),
        ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))] =
    ⊤
⊢ ⨆ α ∈ s, rootSpace H α = ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : P.IsRootSystem
this : ¬HasEigenvalue (toLin' b.cartanMatrix) 4
aux : toLin' (4 - b.cartanMatrix) = -(toLin' b.cartanMatrix - 4 • 1)
⊢ ¬HasEigenvalue (toLin' b.cartanMatrix) 4

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : P.IsRootSystem
this : ¬HasEigenvalue (toLin' b.cartanMatrix) 4
aux : toLin' (4 - b.cartanMatrix) = -(toLin' b.cartanMatrix - 4 • 1)
⊢ ¬HasEigenvalue (toLin' b.cartanMatrix) 4
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
b : Basis ι H
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
χ : ↥root
this✝¹ : H.IsCartanSubalgebra := isCartanSubalgebra b
this✝ : ∀ (n : ι → ℕ), ∑ i, n i • b.baseSupp i ∈ closure (⇑(rootSystem H).root '' range b.baseSupp')
s : Set (↥H → K) :=
  {0} ∪ {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = -⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)} ∪ {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
this :
  iSup
      ![rootSpace H 0, ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑((-b.baseSupp) i)),
        ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))] =
    ⊤
⊢ ((⨆ x ∈ {0}, rootSpace H x) ⊔ ⨆ x ∈ {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = -⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}, rootSpace H x) ⊔
      ⨆ x ∈ {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}, rootSpace H x =
    ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
b : Basis ι H
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
χ : ↥root
this✝¹ : H.IsCartanSubalgebra := isCartanSubalgebra b
this✝ : ∀ (n : ι → ℕ), ∑ i, n i • b.baseSupp i ∈ closure (⇑(rootSystem H).root '' range b.baseSupp')
s : Set (↥H → K) :=
  {0} ∪ {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = -⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)} ∪ {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
this :
  iSup
      ![rootSpace H 0, ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑((-b.baseSupp) i)),
        ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))] =
    ⊤
⊢ ((⨆ x ∈ {0}, rootSpace H x) ⊔ ⨆ x ∈ {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = -⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}, rootSpace H x) ⊔
      ⨆ x ∈ {f | ∃ n, n ≠ 0 ∧ f = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}, rootSpace H x =
    ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : TrivialStar R
A : Matrix ι ι R
d : ι → R
hA : (diagonal d * A).PosDef
hD : ∀ (i : ι), 0 < d i
μ ρ : R
hμ : ∀ (i j : ι), A i j ≤ if i = j then μ else 0
hρ : HasEigenvalue (toLin' A) ρ
contra : 2 * μ ≤ ρ
N : Matrix ι ι R := μ • 1 - A
N_def : N = μ • 1 - A
hN : ∀ (i j : ι), 0 ≤ N i j
v : ι → R
hv : N *ᵥ v = (μ - ρ) • v
hv₀ : v ≠ 0
q : R := |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
q_def : q = |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
Q : R := μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
Q_def : Q = μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
hq₀ : q < Q
hq₁ : ¬q < Q
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : TrivialStar R
A : Matrix ι ι R
d : ι → R
hA : (diagonal d * A).PosDef
hD : ∀ (i : ι), 0 < d i
μ ρ : R
hμ : ∀ (i j : ι), A i j ≤ if i = j then μ else 0
hρ : HasEigenvalue (toLin' A) ρ
contra : 2 * μ ≤ ρ
N : Matrix ι ι R := μ • 1 - A
N_def : N = μ • 1 - A
hN : ∀ (i j : ι), 0 ≤ N i j
v : ι → R
hv : N *ᵥ v = (μ - ρ) • v
hv₀ : v ≠ 0
q : R := |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
q_def : q = |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
Q : R := μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
Q_def : Q = μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
hq₀ : q < Q
hq₁ : ¬q < Q
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Minpoly

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type v
M : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
μ : R
x : M
p : R[X]
h : f.HasEigenvector μ x
n : ℕ
a : R
hna : ((aeval f) (C a * X ^ n)) x = eval μ (C a * X ^ n) • x
⊢ ((aeval f) X) (eval μ (C a * X ^ n) • x) = eval μ (X * (C a * X ^ n)) • x

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_3
R : Type v
M : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
μ : R
x : M
p : R[X]
h : f.HasEigenvector μ x
n : ℕ
a : R
hna : ((aeval f) (C a * X ^ n)) x = eval μ (C a * X ^ n) • x
⊢ ((aeval f) X) (eval μ (C a * X ^ n) • x) = eval μ (X * (C a * X ^ n)) • x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
p : ↥b.support → Prop
i j : ↥b.support
hi : p i
hp : ∀ (i j : ↥b.support), p i → b.cartanMatrix j i ≠ 0 → p j
q : Submodule R M := span R (⇑P.root ∘ Subtype.val '' {i | p i})
hq₀ : q ≠ ⊥
hq_mem : ∀ (k : ↥b.support), P.root ↑k ∈ q ↔ p k
k : ↥b.support
x : M
hx : x ∈ q
hk : (P.coroot' ↑k) x ≠ 0
⊢ p k

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
p : ↥b.support → Prop
i j : ↥b.support
hi : p i
hp : ∀ (i j : ↥b.support), p i → b.cartanMatrix j i ≠ 0 → p j
q : Submodule R M := span R (⇑P.root ∘ Subtype.val '' {i | p i})
hq₀ : q ≠ ⊥
hq_mem : ∀ (k : ↥b.support), P.root ↑k ∈ q ↔ p k
k : ↥b.support
x : M
hx : x ∈ q
hk : (P.coroot' ↑k) x ≠ 0
⊢ p k
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Minpoly

Goal state before:
pp: R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
f : End R M
μ : R
h : f.HasEigenvalue μ
w : M
H : w ∈ (f.genEigenspace μ) 1
ne0 : w ≠ 0
⊢ ((aeval f) (minpoly R f)) w = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
f : End R M
μ : R
h : f.HasEigenvalue μ
w : M
H : w ∈ (f.genEigenspace μ) 1
ne0 : w ≠ 0
⊢ ((aeval f) (minpoly R f)) w = 0