mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: case refine_3.refine_2.inr
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
h : p.ball 0 1 ∈ 𝓝 0
h' : IsVonNBounded 𝕜 (p.ball 0 1)
s : Set E
hs : s ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).filter
t : Set E
ht : t ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).toFilterBasis
ts : t ⊆ s
w : Finset (Fin 1)
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hw : t = (w.sup fun x ↦ p).ball 0 r
w_ne : w ≠ ∅
this : t = p.ball 0 r
⊢ p.ball 0 r ∈ 𝓝 0

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_3.refine_2.inr
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
h : p.ball 0 1 ∈ 𝓝 0
h' : IsVonNBounded 𝕜 (p.ball 0 1)
s : Set E
hs : s ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).filter
t : Set E
ht : t ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).toFilterBasis
ts : t ⊆ s
w : Finset (Fin 1)
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hw : t = (w.sup fun x ↦ p).ball 0 r
w_ne : w ≠ ∅
this : t = p.ball 0 r
⊢ p.ball 0 r ∈ 𝓝 0
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Spaces.UniformConvergenceCLM

Goal state before:
pp: 𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
ι : Type u_6
p : Filter ι
inst✝¹ : UniformSpace F
inst✝ : IsUniformAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)
a : ι → E →SLᵤ[σ, 𝔖] F
a₀ : E →SLᵤ[σ, 𝔖] F
⊢ Tendsto a p (𝓝 a₀) ↔ ∀ s ∈ 𝔖, TendstoUniformlyOn (fun x1 x2 ↦ (a x1) x2) (⇑a₀) p s

Tactic:
rw [(isEmbedding_coeFn σ F 𝔖).tendsto_nhds_iff, UniformOnFun.tendsto_iff_tendstoUniformlyOn]
  rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Spaces.UniformConvergenceCLM

Goal state before:
pp: 𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹³ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁷ : AddCommGroup G
inst✝⁶ : UniformSpace G
inst✝⁵ : IsUniformAddGroup G
𝕜₃ : Type u_6
inst✝⁴ : NormedField 𝕜₃
inst✝³ : Module 𝕜₃ G
τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ τ ρ
inst✝¹ : UniformSpace F
inst✝ : IsUniformAddGroup F
g : F →SL[τ] G
hg : IsUniformInducing ⇑g
𝔖 : Set (Set E)
⊢ IsUniformInducing ((⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe) ∘ g.comp)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹³ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁷ : AddCommGroup G
inst✝⁶ : UniformSpace G
inst✝⁵ : IsUniformAddGroup G
𝕜₃ : Type u_6
inst✝⁴ : NormedField 𝕜₃
inst✝³ : Module 𝕜₃ G
τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ τ ρ
inst✝¹ : UniformSpace F
inst✝ : IsUniformAddGroup F
g : F →SL[τ] G
hg : IsUniformInducing ⇑g
𝔖 : Set (Set E)
⊢ IsUniformInducing ((⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe) ∘ g.comp)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
Fₗ : Type u_6
G : Type u_7
𝓕 : Type u_8
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
ℓ : E →SL[σ₁₂] F
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
M : ℝ
hM : ∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ M
⊢ ∃ C, ∀ x ∈ ⇑ℓ '' s, ‖x‖ ≤ C

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
Fₗ : Type u_6
G : Type u_7
𝓕 : Type u_8
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
ℓ : E →SL[σ₁₂] F
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
M : ℝ
hM : ∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ M
⊢ ∃ C, ∀ x ∈ ⇑ℓ '' s, ‖x‖ ≤ C
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
h : p.ball 0 1 ∈ 𝓝 0
h' : IsVonNBounded 𝕜 (p.ball 0 1)
s : Set E
hs : s ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).filter
t : Set E
ht : t ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).toFilterBasis
ts : t ⊆ s
w : Finset (Fin 1)
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hw : t = (w.sup fun x ↦ p).ball 0 r
w_ne : w ≠ ∅
this : t = p.ball 0 r
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < r
c_ne : c ≠ 0
⊢ p.ball 0 (‖c‖ * 1) ⊆ p.ball 0 r

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
h : p.ball 0 1 ∈ 𝓝 0
h' : IsVonNBounded 𝕜 (p.ball 0 1)
s : Set E
hs : s ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).filter
t : Set E
ht : t ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).toFilterBasis
ts : t ⊆ s
w : Finset (Fin 1)
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hw : t = (w.sup fun x ↦ p).ball 0 r
w_ne : w ≠ ∅
this : t = p.ball 0 r
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < r
c_ne : c ≠ 0
⊢ p.ball 0 (‖c‖ * 1) ⊆ p.ball 0 r
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Spaces.UniformConvergenceCLM

Goal state before:
pp: case inr
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
inst✝³ : UniformSpace F
inst✝² : IsUniformAddGroup F
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜₂ F
inst✝ : CompleteSpace F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : IsCoherentWith 𝔖
h𝔖U : ⋃₀ 𝔖 = univ
this :
  ∀ (F : Type u_4) [inst : AddCommGroup F] [inst_1 : Module 𝕜₂ F] [inst_2 : UniformSpace F]
    [inst_3 : IsUniformAddGroup F] [ContinuousSMul 𝕜₂ F] [CompleteSpace F], T2Space F → CompleteSpace (E →SLᵤ[σ, 𝔖] F)
hF : ¬T2Space F
⊢ CompleteSpace (E →SLᵤ[σ, 𝔖] SeparationQuotient F)

pp: case inr
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
inst✝³ : UniformSpace F
inst✝² : IsUniformAddGroup F
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜₂ F
inst✝ : CompleteSpace F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : IsCoherentWith 𝔖
h𝔖U : ⋃₀ 𝔖 = univ
this :
  ∀ (F : Type u_4) [inst : AddCommGroup F] [inst_1 : Module 𝕜₂ F] [inst_2 : UniformSpace F]
    [inst_3 : IsUniformAddGroup F] [ContinuousSMul 𝕜₂ F] [CompleteSpace F], T2Space F → CompleteSpace (E →SLᵤ[σ, 𝔖] F)
hF : ¬T2Space F
⊢ Surjective (SeparationQuotient.mkCLM 𝕜₂ F).comp

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
inst✝³ : UniformSpace F
inst✝² : IsUniformAddGroup F
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜₂ F
inst✝ : CompleteSpace F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : IsCoherentWith 𝔖
h𝔖U : ⋃₀ 𝔖 = univ
this :
  ∀ (F : Type u_4) [inst : AddCommGroup F] [inst_1 : Module 𝕜₂ F] [inst_2 : UniformSpace F]
    [inst_3 : IsUniformAddGroup F] [ContinuousSMul 𝕜₂ F] [CompleteSpace F], T2Space F → CompleteSpace (E →SLᵤ[σ, 𝔖] F)
hF : ¬T2Space F
⊢ CompleteSpace (E →SLᵤ[σ, 𝔖] SeparationQuotient F)

case inr
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
inst✝³ : UniformSpace F
inst✝² : IsUniformAddGroup F
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜₂ F
inst✝ : CompleteSpace F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : IsCoherentWith 𝔖
h𝔖U : ⋃₀ 𝔖 = univ
this :
  ∀ (F : Type u_4) [inst : AddCommGroup F] [inst_1 : Module 𝕜₂ F] [inst_2 : UniformSpace F]
    [inst_3 : IsUniformAddGroup F] [ContinuousSMul 𝕜₂ F] [CompleteSpace F], T2Space F → CompleteSpace (E →SLᵤ[σ, 𝔖] F)
hF : ¬T2Space F
⊢ Surjective (SeparationQuotient.mkCLM 𝕜₂ F).comp
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Spaces.UniformConvergenceCLM

Goal state before:
pp: 𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F✝
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F✝
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : IsCoherentWith 𝔖
h𝔖U : ⋃₀ 𝔖 = univ
F : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
inst✝³ : UniformSpace F
inst✝² : IsUniformAddGroup F
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜₂ F
inst✝ : CompleteSpace F
hF : T2Space F
⊢ IsComplete (range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe))

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F✝
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F✝
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : IsCoherentWith 𝔖
h𝔖U : ⋃₀ 𝔖 = univ
F : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
inst✝³ : UniformSpace F
inst✝² : IsUniformAddGroup F
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜₂ F
inst✝ : CompleteSpace F
hF : T2Space F
⊢ IsComplete (range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe))
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
Fₗ : Type u_6
G : Type u_7
𝓕 : Type u_8
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
ℓ : E →SL[σ₁₂] F
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
M : ℝ
hM : ∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ M
y : F
hy : y ∈ ⇑ℓ '' s
σ : E
hσ : σ ∈ s ∧ ℓ σ = y
⊢ ‖y‖ ≤ ‖y‖

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: case refine_3.refine_2.inr
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
h : p.ball 0 1 ∈ 𝓝 0
h' : IsVonNBounded 𝕜 (p.ball 0 1)
s : Set E
hs : s ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).filter
t : Set E
ht : t ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).toFilterBasis
ts : t ⊆ s
w : Finset (Fin 1)
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hw : t = (w.sup fun x ↦ p).ball 0 r
w_ne : w ≠ ∅
this✝ : t = p.ball 0 r
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < r
c_ne : c ≠ 0
this : c • p.ball 0 1 ⊆ p.ball 0 r
⊢ c • p.ball 0 1 ∈ 𝓝 0

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_3.refine_2.inr
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
h : p.ball 0 1 ∈ 𝓝 0
h' : IsVonNBounded 𝕜 (p.ball 0 1)
s : Set E
hs : s ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).filter
t : Set E
ht : t ∈ (SeminormFamily.moduleFilterBasis fun x ↦ p).toFilterBasis
ts : t ⊆ s
w : Finset (Fin 1)
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hw : t = (w.sup fun x ↦ p).ball 0 r
w_ne : w ≠ ∅
this✝ : t = p.ball 0 r
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < r
c_ne : c ≠ 0
this : c • p.ball 0 1 ⊆ p.ball 0 r
⊢ c • p.ball 0 1 ∈ 𝓝 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ x ∈ ball 0 ε, ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
x✝ : ε / ‖c‖ ≤ ‖x‖
hx : ‖x‖ < ε
⊢ x ∈ {x | ‖x‖ < ε}

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
hf : ∀ x ∈ ball 0 ε, ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
x✝ : ε / ‖c‖ ≤ ‖x‖
hx : ‖x‖ < ε
⊢ x ∈ {x | ‖x‖ < ε}
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕝 : Type u_4
𝕝₂ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedField 𝕝
inst✝⁴ : Module 𝕝 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : NormedField 𝕝₂
inst✝¹ : Module 𝕝₂ F
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝ : RingHomIsometric τ₁₂
p : SeminormFamily 𝕝 E ι
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
x✝¹ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
x✝ : TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : Seminorm.IsBounded p q f
this : IsTopologicalAddGroup E
i : ι'
s : Finset ι
C : ℝ≥0
hC : (q i).comp f ≤ s.sup (C • p)
⊢ Continuous[x✝¹, _] ⇑((q i).comp f)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕝 : Type u_4
𝕝₂ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedField 𝕝
inst✝⁴ : Module 𝕝 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : NormedField 𝕝₂
inst✝¹ : Module 𝕝₂ F
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝ : RingHomIsometric τ₁₂
p : SeminormFamily 𝕝 E ι
q : SeminormFamily 𝕝₂ F ι'
x✝¹ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
x✝ : TopologicalSpace F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : Seminorm.IsBounded p q f
this : IsTopologicalAddGroup E
i : ι'
s : Finset ι
C : ℝ≥0
hC : (q i).comp f ≤ s.sup (C • p)
⊢ Continuous[x✝¹, _] ⇑((q i).comp f)
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕝 : Type u_4
𝕝₂ : Type u_5
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedField 𝕝
inst✝⁵ : Module 𝕝 E
inst✝⁴ : NormedField 𝕝₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝³ : RingHomIsometric τ₁₂
F : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕝₂ F
inst✝ : TopologicalSpace E
p : ι → Seminorm 𝕝 E
hp : WithSeminorms p
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : Seminorm.IsBounded p (fun x ↦ normSeminorm 𝕝₂ F) f
⊢ Continuous[inst✝, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ⇑f

Tactic:
]

Goal state after:
𝕝 : Type u_4
𝕝₂ : Type u_5
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedField 𝕝
inst✝⁵ : Module 𝕝 E
inst✝⁴ : NormedField 𝕝₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝³ : RingHomIsometric τ₁₂
F : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕝₂ F
inst✝ : TopologicalSpace E
p : ι → Seminorm 𝕝 E
hp : WithSeminorms p
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : Seminorm.IsBounded p (fun x ↦ normSeminorm 𝕝₂ F) f
⊢ Continuous[inst✝, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ⇑f
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕝 : Type u_4
𝕝₂ : Type u_5
F : Type u_7
ι : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕝
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁴ : Module 𝕝₂ F
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝³ : RingHomIsometric τ₁₂
E : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕝 E
inst✝ : TopologicalSpace F
q : ι → Seminorm 𝕝₂ F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : Seminorm.IsBounded (fun x ↦ normSeminorm 𝕝 E) q f
⊢ Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, inst✝] ⇑f

Tactic:
]

Goal state after:
𝕝 : Type u_4
𝕝₂ : Type u_5
F : Type u_7
ι : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕝
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁴ : Module 𝕝₂ F
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝³ : RingHomIsometric τ₁₂
E : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕝 E
inst✝ : TopologicalSpace F
q : ι → Seminorm 𝕝₂ F
hq : WithSeminorms q
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : Seminorm.IsBounded (fun x ↦ normSeminorm 𝕝 E) q f
⊢ Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, inst✝] ⇑f
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Basic

Goal state before:
pp: case pos.refine_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
c : 𝕜
hc : ‖c‖ < 1
hf : ∀ (x : E), ε * ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
h0 : c = 0
x : E
hx : x ∈ {x | ‖x‖ < ε}
⊢ ‖x‖ < ε

Tactic:
]

Goal state after:
case pos.refine_2
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
c : 𝕜
hc : ‖c‖ < 1
hf : ∀ (x : E), ε * ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
h0 : c = 0
x : E
hx : x ∈ {x | ‖x‖ < ε}
⊢ ‖x‖ < ε
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_6
F : Type u_7
ι' : Type u_10
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
κ : Type u_11
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι'
inst✝² : UniformSpace E
inst✝¹ : IsUniformAddGroup E
u : UniformSpace F
hu : IsUniformAddGroup F
hq : WithSeminorms q
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
f : κ → E →ₛₗ[σ₁₂] F
⊢ [∀ (k : ι'), EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0, ∀ (k : ι'), Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f),
      ∀ (k : ι'), UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f),
      ∀ (i : ι'), ∃ p, Continuous[inst✝².toTopologicalSpace, _] ⇑p ∧ ∀ (k : κ), (q i).comp (f k) ≤ p,
      ∀ (i : ι'),
        BddAbove (Set.range fun k ↦ (q i).comp (f k)) ∧
          Continuous[inst✝².toTopologicalSpace, _] (⨆ k, ⇑((q i).comp (f k)))].TFAE

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
𝕜₂ : Type u_3
E : Type u_6
F : Type u_7
ι' : Type u_10
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
κ : Type u_11
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι'
inst✝² : UniformSpace E
inst✝¹ : IsUniformAddGroup E
u : UniformSpace F
hu : IsUniformAddGroup F
hq : WithSeminorms q
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
f : κ → E →ₛₗ[σ₁₂] F
⊢ [∀ (k : ι'), EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0, ∀ (k : ι'), Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f),
      ∀ (k : ι'), UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f),
      ∀ (i : ι'), ∃ p, Continuous[inst✝².toTopologicalSpace, _] ⇑p ∧ ∀ (k : κ), (q i).comp (f k) ≤ p,
      ∀ (i : ι'),
        BddAbove (Set.range fun k ↦ (q i).comp (f k)) ∧
          Continuous[inst✝².toTopologicalSpace, _] (⨆ k, ⇑((q i).comp (f k)))].TFAE
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Basic

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c⁻¹‖
hf : ∀ (x : E), ε * ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
h0 : ¬c = 0
⊢ ‖f‖ ≤ C

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c⁻¹‖
hf : ∀ (x : E), ε * ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
h0 : ¬c = 0
⊢ ‖f‖ ≤ C
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Spaces.UniformConvergenceCLM

Goal state before:
pp: 𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : Module 𝕜₂ F
𝕜₁ : Type u_6
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁹ : AddCommGroup G
𝕜₃ : Type u_7
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G
τ : 𝕜₃ →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomSurjective τ
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝³ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ F
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : ∀ s ∈ 𝔖, IsVonNBounded 𝕜₁ s
B : G →ₛₗ[τ] E →SLᵤ[σ, 𝔖] F
hB : Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝⁵] fun p ↦ (B p.1) p.2
S : Set E
hS : S ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set G
hV : V ∈ 𝓝 0
W : Set E
hW : W ∈ 𝓝 0
hVW : V ×ˢ W ⊆ (fun p ↦ (B p.1) p.2) ⁻¹' U
c : 𝕜₁
hc : MapsTo (fun x ↦ c • x) S W
c_ne : c ≠ 0
d : 𝕜₃
hd : τ d = σ c
⊢ c ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : Module 𝕜₂ F
𝕜₁ : Type u_6
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁹ : AddCommGroup G
𝕜₃ : Type u_7
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G
τ : 𝕜₃ →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomSurjective τ
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝³ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ F
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : ∀ s ∈ 𝔖, IsVonNBounded 𝕜₁ s
B : G →ₛₗ[τ] E →SLᵤ[σ, 𝔖] F
hB : Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝⁵] fun p ↦ (B p.1) p.2
S : Set E
hS : S ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set G
hV : V ∈ 𝓝 0
W : Set E
hW : W ∈ 𝓝 0
hVW : V ×ˢ W ⊆ (fun p ↦ (B p.1) p.2) ⁻¹' U
c : 𝕜₁
hc : MapsTo (fun x ↦ c • x) S W
c_ne : c ≠ 0
d : 𝕜₃
hd : τ d = σ c
⊢ c ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Basic

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c⁻¹‖
hf : ∀ (x : E), ε * ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
h0 : ¬c = 0
⊢ ∀ (x : E), ε * ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hC : 0 ≤ C
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c⁻¹‖
hf : ∀ (x : E), ε * ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
h0 : ¬c = 0
⊢ ∀ (x : E), ε * ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖