mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : 0 < p.radius
y✝ : E
hy : y✝ ∈ Metric.eball 0 p.radius
⊢ HasSum (fun n ↦ (p n) fun x ↦ y✝) (p.sum y✝)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : 0 < p.radius
y✝ : E
hy : y✝ ∈ Metric.eball 0 p.radius
⊢ HasSum (fun n ↦ (p n) fun x ↦ y✝) (p.sum y✝)
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
⊢ (∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n ↦ z ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + z))) ↔
    ∀ᶠ (a : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n ↦ (z₀ + a - z₀) ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + a))

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
⊢ (∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n ↦ z ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + z))) ↔
    ∀ᶠ (a : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n ↦ (z₀ + a - z₀) ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + a))
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Inverse

Goal state before:
pp: case base
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n ↦ ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
⊢ 0 ≤ (I + 1) * a

Tactic:
]

Goal state after:
case base
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n ↦ ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
⊢ 0 ≤ (I + 1) * a
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Inverse

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n ↦ ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
n : ℕ
one_le_n : 1 ≤ n
hn : S n ≤ (I + 1) * a
In : 2 ≤ n + 1
⊢ r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n ↦ ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
n : ℕ
one_le_n : 1 ≤ n
hn : S n ≤ (I + 1) * a
In : 2 ≤ n + 1
⊢ r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Inverse

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n ↦ ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
n : ℕ
one_le_n : 1 ≤ n
hn : S n ≤ (I + 1) * a
In : 2 ≤ n + 1
rSn : r * S n ≤ 1 / 2
⊢ I * a + I * C * ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), (r * S n) ^ k =
    I * a + I * C * (((r * S n) ^ 2 - (r * S n) ^ (n + 1)) / (1 - r * S n))

Tactic:
geom_sum_Ico' _ In

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n ↦ ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
n : ℕ
one_le_n : 1 ≤ n
hn : S n ≤ (I + 1) * a
In : 2 ≤ n + 1
rSn : r * S n ≤ 1 / 2
⊢ I * a + I * C * (((r * S n) ^ 2 - (r * S n) ^ (n + 1)) / (1 - r * S n)) =
    I * a + I * C * (((r * S n) ^ 2 - (r * S n) ^ (n + 1)) / (1 - r * S n))

𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n ↦ ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
n : ℕ
one_le_n : 1 ≤ n
hn : S n ≤ (I + 1) * a
In : 2 ≤ n + 1
rSn : r * S n ≤ 1 / 2
⊢ r * S n ≠ 1
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Inverse

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n ↦ ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
n : ℕ
one_le_n : 1 ≤ n
hn : S n ≤ (I + 1) * a
In : 2 ≤ n + 1
rSn : r * S n ≤ 1 / 2
⊢ I * a + I * C * (((r * S n) ^ 2 - (r * S n) ^ (n + 1)) / (1 - r * S n)) =
    I * a + I * C * (((r * S n) ^ 2 - (r * S n) ^ (n + 1)) / (1 - r * S n))

pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n ↦ ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
n : ℕ
one_le_n : 1 ≤ n
hn : S n ≤ (I + 1) * a
In : 2 ≤ n + 1
rSn : r * S n ≤ 1 / 2
⊢ r * S n ≠ 1

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n ↦ ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
n : ℕ
one_le_n : 1 ≤ n
hn : S n ≤ (I + 1) * a
In : 2 ≤ n + 1
rSn : r * S n ≤ 1 / 2
⊢ r * S n ≠ 1
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Inverse

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n ↦ ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
n : ℕ
one_le_n : 1 ≤ n
hn : S n ≤ (I + 1) * a
In : 2 ≤ n + 1
rSn : r * S n ≤ 1 / 2
⊢ I * a + I * C * ((r * S n) ^ 2 / (1 / 2)) = I * a + 2 * I * C * (r * S n) ^ 2

Tactic:
by ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Inverse

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n ↦ ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
n : ℕ
one_le_n : 1 ≤ n
hn : S n ≤ (I + 1) * a
In : 2 ≤ n + 1
rSn : r * S n ≤ 1 / 2
⊢ I * a + 2 * I * C * (r * ((I + 1) * a)) ^ 2 = (I + 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a) * a

Tactic:
by ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Composition

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
t : Set F
s : Set E
hs : Set.MapsTo f s t
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q t (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i ↦ ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ insert x s ∩ Metric.eball x δ → f z ∈ insert (f x) t ∩ Metric.eball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
min_pos : 0 < min rf' ↑r
y : E
h'y : x + y ∈ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball 0 (min rf' ↑r)
y_mem : y ∈ Metric.eball 0 rf
fy_mem : f (x + y) ∈ insert (f x) t ∩ Metric.eball (f x) rg
A : Tendsto (fun n ↦ (n, ∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun x ↦ y)) atTop (atTop ×ˢ 𝓝 (f (x + y) - f x))
B : Tendsto (fun n ↦ q.partialSum n (∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b ↦ y)) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))
C :
  Tendsto (fun n ↦ ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 n n, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j ↦ y) atTop
    (𝓝 (g (f (x + y))))
n : ℕ
c : Composition n
⊢ ‖q.compAlongComposition p c‖ * ‖y‖ ^ n ≤ ‖q.compAlongComposition p c‖ * ↑r ^ n

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
t : Set F
s : Set E
hs : Set.MapsTo f s t
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q t (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i ↦ ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ insert x s ∩ Metric.eball x δ → f z ∈ insert (f x) t ∩ Metric.eball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
min_pos : 0 < min rf' ↑r
y : E
h'y : x + y ∈ insert x s
hy : y ∈ Metric.eball 0 (min rf' ↑r)
y_mem : y ∈ Metric.eball 0 rf
fy_mem : f (x + y) ∈ insert (f x) t ∩ Metric.eball (f x) rg
A : Tendsto (fun n ↦ (n, ∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun x ↦ y)) atTop (atTop ×ˢ 𝓝 (f (x + y) - f x))
B : Tendsto (fun n ↦ q.partialSum n (∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b ↦ y)) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))
C :
  Tendsto (fun n ↦ ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 n n, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j ↦ y) atTop
    (𝓝 (g (f (x + y))))
n : ℕ
c : Composition n
⊢ ‖q.compAlongComposition p c‖ * ‖y‖ ^ n ≤ ‖q.compAlongComposition p c‖ * ↑r ^ n
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Composition

Goal state before:
pp: case hab
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
t : Set F
s : Set E
hs : Set.MapsTo f s t
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q t (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i ↦ ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ insert x s ∩ Metric.eball x δ → f z ∈ insert (f x) t ∩ Metric.eball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
min_pos : 0 < min rf' ↑r
y : E
h'y : x + y ∈ insert x s
hy : ‖y‖ₑ < min rf' ↑r
y_mem : y ∈ Metric.eball 0 rf
fy_mem : f (x + y) ∈ insert (f x) t ∩ Metric.eball (f x) rg
A : Tendsto (fun n ↦ (n, ∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun x ↦ y)) atTop (atTop ×ˢ 𝓝 (f (x + y) - f x))
B : Tendsto (fun n ↦ q.partialSum n (∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b ↦ y)) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))
C :
  Tendsto (fun n ↦ ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 n n, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j ↦ y) atTop
    (𝓝 (g (f (x + y))))
n : ℕ
c : Composition n
⊢ ‖y‖ ≤ ↑r

Tactic:
]

Goal state after:
case hab
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
t : Set F
s : Set E
hs : Set.MapsTo f s t
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q t (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i ↦ ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ insert x s ∩ Metric.eball x δ → f z ∈ insert (f x) t ∩ Metric.eball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
min_pos : 0 < min rf' ↑r
y : E
h'y : x + y ∈ insert x s
hy : ‖y‖ₑ < min rf' ↑r
y_mem : y ∈ Metric.eball 0 rf
fy_mem : f (x + y) ∈ insert (f x) t ∩ Metric.eball (f x) rg
A : Tendsto (fun n ↦ (n, ∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun x ↦ y)) atTop (atTop ×ˢ 𝓝 (f (x + y) - f x))
B : Tendsto (fun n ↦ q.partialSum n (∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b ↦ y)) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))
C :
  Tendsto (fun n ↦ ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 n n, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j ↦ y) atTop
    (𝓝 (g (f (x + y))))
n : ℕ
c : Composition n
⊢ ‖y‖ ≤ ↑r
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Composition

Goal state before:
pp: case hab
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
t : Set F
s : Set E
hs : Set.MapsTo f s t
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q t (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i ↦ ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ insert x s ∩ Metric.eball x δ → f z ∈ insert (f x) t ∩ Metric.eball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
min_pos : 0 < min rf' ↑r
y : E
h'y : x + y ∈ insert x s
hy : ‖y‖ₑ < min rf' ↑r
y_mem : y ∈ Metric.eball 0 rf
fy_mem : f (x + y) ∈ insert (f x) t ∩ Metric.eball (f x) rg
A : Tendsto (fun n ↦ (n, ∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun x ↦ y)) atTop (atTop ×ˢ 𝓝 (f (x + y) - f x))
B : Tendsto (fun n ↦ q.partialSum n (∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b ↦ y)) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))
C :
  Tendsto (fun n ↦ ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 n n, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j ↦ y) atTop
    (𝓝 (g (f (x + y))))
n : ℕ
c : Composition n
⊢ ‖y‖ ≤ ↑r

Tactic:
have := le_trans (le_of_lt hy) (min_le_right _ _)

Goal state after:
case hab
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
t : Set F
s : Set E
hs : Set.MapsTo f s t
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q t (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i ↦ ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ insert x s ∩ Metric.eball x δ → f z ∈ insert (f x) t ∩ Metric.eball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
min_pos : 0 < min rf' ↑r
y : E
h'y : x + y ∈ insert x s
hy : ‖y‖ₑ < min rf' ↑r
y_mem : y ∈ Metric.eball 0 rf
fy_mem : f (x + y) ∈ insert (f x) t ∩ Metric.eball (f x) rg
A : Tendsto (fun n ↦ (n, ∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun x ↦ y)) atTop (atTop ×ˢ 𝓝 (f (x + y) - f x))
B : Tendsto (fun n ↦ q.partialSum n (∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b ↦ y)) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))
C :
  Tendsto (fun n ↦ ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 n n, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j ↦ y) atTop
    (𝓝 (g (f (x + y))))
n : ℕ
c : Composition n
this : ‖y‖ₑ ≤ ↑r
⊢ ‖y‖ ≤ ↑r
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Composition

Goal state before:
pp: case hab
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
t : Set F
s : Set E
hs : Set.MapsTo f s t
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q t (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i ↦ ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ insert x s ∩ Metric.eball x δ → f z ∈ insert (f x) t ∩ Metric.eball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
min_pos : 0 < min rf' ↑r
y : E
h'y : x + y ∈ insert x s
hy : ‖y‖ₑ < min rf' ↑r
y_mem : y ∈ Metric.eball 0 rf
fy_mem : f (x + y) ∈ insert (f x) t ∩ Metric.eball (f x) rg
A : Tendsto (fun n ↦ (n, ∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun x ↦ y)) atTop (atTop ×ˢ 𝓝 (f (x + y) - f x))
B : Tendsto (fun n ↦ q.partialSum n (∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b ↦ y)) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))
C :
  Tendsto (fun n ↦ ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 n n, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j ↦ y) atTop
    (𝓝 (g (f (x + y))))
n : ℕ
c : Composition n
this : ‖y‖ ≤ ↑r
⊢ ‖y‖ ≤ ↑r

Tactic:
]

Goal state after:
case hab
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
t : Set F
s : Set E
hs : Set.MapsTo f s t
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q t (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i ↦ ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ insert x s ∩ Metric.eball x δ → f z ∈ insert (f x) t ∩ Metric.eball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ
min_pos : 0 < min rf' ↑r
y : E
h'y : x + y ∈ insert x s
hy : ‖y‖ₑ < min rf' ↑r
y_mem : y ∈ Metric.eball 0 rf
fy_mem : f (x + y) ∈ insert (f x) t ∩ Metric.eball (f x) rg
A : Tendsto (fun n ↦ (n, ∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun x ↦ y)) atTop (atTop ×ˢ 𝓝 (f (x + y) - f x))
B : Tendsto (fun n ↦ q.partialSum n (∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b ↦ y)) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))
C :
  Tendsto (fun n ↦ ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 n n, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j ↦ y) atTop
    (𝓝 (g (f (x + y))))
n : ℕ
c : Composition n
this : ‖y‖ ≤ ↑r
⊢ ‖y‖ ≤ ↑r
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Inverse

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i
⊢ 0 < (p.rightInv i x).radius

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i
⊢ 0 < (p.rightInv i x).radius
Module: Mathlib.Analysis.Analytic.Within

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
g : E → F
hfg : EqOn f g (insert x s ∩ eball x r)
hg : HasFPowerSeriesOnBall g p x r
y : E
ys : x + y ∈ insert x s
lt : y ∈ eball 0 r
⊢ HasSum (fun n ↦ (p n) fun x ↦ y) (g (x + y))

pp: case mpr.a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
g : E → F
hfg : EqOn f g (insert x s ∩ eball x r)
hg : HasFPowerSeriesOnBall g p x r
y : E
ys : x + y ∈ insert x s
lt : y ∈ eball 0 r
⊢ x + y ∈ insert x s ∩ eball x r

Tactic:
]

Goal state after:
case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
g : E → F
hfg : EqOn f g (insert x s ∩ eball x r)
hg : HasFPowerSeriesOnBall g p x r
y : E
ys : x + y ∈ insert x s
lt : y ∈ eball 0 r
⊢ HasSum (fun n ↦ (p n) fun x ↦ y) (g (x + y))

case mpr.a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
g : E → F
hfg : EqOn f g (insert x s ∩ eball x r)
hg : HasFPowerSeriesOnBall g p x r
y : E
ys : x + y ∈ insert x s
lt : y ∈ eball 0 r
⊢ x + y ∈ insert x s ∩ eball x r