mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ImplicitFunction.ProdDomain

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E₁ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁶ : CompleteSpace E₁
E₂ : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝³ : CompleteSpace E₂
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
u : E₁ × E₂
f : E₁ × E₂ → F
f'u : E₁ × E₂ →L[𝕜] F
dfu : HasStrictFDerivAt f f'u u
if₂u : (f'u ∘SL ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E₁ E₂).IsInvertible
ψ : E₁ → E₂ := dfu.implicitFunctionOfProdDomain if₂u
hψ : Tendsto ψ (𝓝 u.1) (𝓝 u.2)
⊢ ∀ᶠ (p : E₁ × E₂) in 𝓝 (u.1, u.2), f (p.1, p.2) = f u ↔ ψ p.1 = p.2

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E₁ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁶ : CompleteSpace E₁
E₂ : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝³ : CompleteSpace E₂
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
u : E₁ × E₂
f : E₁ × E₂ → F
f'u : E₁ × E₂ →L[𝕜] F
dfu : HasStrictFDerivAt f f'u u
if₂u : (f'u ∘SL ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E₁ E₂).IsInvertible
ψ : E₁ → E₂ := dfu.implicitFunctionOfProdDomain if₂u
hψ : Tendsto ψ (𝓝 u.1) (𝓝 u.2)
⊢ ∀ᶠ (p : E₁ × E₂) in 𝓝 (u.1, u.2), f (p.1, p.2) = f u ↔ ψ p.1 = p.2
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.InverseFunctionTheorem.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
s : Set E
f : E → F
f' : E ≃L[ℝ] F
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
u : E → F
hu : LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant F * c) u
uf : EqOn (f - ⇑f') u s
g : E → F := fun x ↦ f' x + u x
fg : EqOn f g s
⊢ LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant F * c) (g - ⇑↑f')

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
s : Set E
f : E → F
f' : E ≃L[ℝ] F
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
u : E → F
hu : LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant F * c) u
uf : EqOn (f - ⇑f') u s
g : E → F := fun x ↦ f' x + u x
fg : EqOn f g s
⊢ LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant F * c) (g - ⇑↑f')
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ImplicitContDiff

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E₁ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁶ : CompleteSpace E₁
E₂ : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝³ : CompleteSpace E₂
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
u : E₁ × E₂
f : E₁ × E₂ → F
n : ℕ∞ω
cdf : ContDiffAt 𝕜 n f u
pn : n ≠ 0
if₂ : (fderiv 𝕜 f u ∘SL ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E₁ E₂).IsInvertible
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x ↦ ((⋯.implicitFunctionDataOfProdDomain if₂).implicitFunction (f u) x).2) u.1

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E₁ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁶ : CompleteSpace E₁
E₂ : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝³ : CompleteSpace E₂
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
u : E₁ × E₂
f : E₁ × E₂ → F
n : ℕ∞ω
cdf : ContDiffAt 𝕜 n f u
pn : n ≠ 0
if₂ : (fderiv 𝕜 f u ∘SL ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E₁ E₂).IsInvertible
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x ↦ ((⋯.implicitFunctionDataOfProdDomain if₂).implicitFunction (f u) x).2) u.1
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ImplicitContDiff

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E₁ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁶ : CompleteSpace E₁
E₂ : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝³ : CompleteSpace E₂
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
u : E₁ × E₂
f : E₁ × E₂ → F
n : ℕ∞ω
cdf : ContDiffAt 𝕜 n f u
pn : n ≠ 0
if₂ : (fderiv 𝕜 f u ∘SL ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E₁ E₂).IsInvertible
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 (E₁ × E₂) F E₁ := ⋯.implicitFunctionDataOfProdDomain if₂
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x ↦ (φ.implicitFunction (f u) x).2) u.1

Tactic:
have : ContDiffAt 𝕜 n φ.implicitFunction.uncurry (f u, u.1) := by
    simpa [φ] using φ.contDiffAt_implicitFunction
      (by simpa [φ] using cdf) (by simpa [φ] using contDiffAt_fst) pn

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
E₁ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁶ : CompleteSpace E₁
E₂ : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝³ : CompleteSpace E₂
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
u : E₁ × E₂
f : E₁ × E₂ → F
n : ℕ∞ω
cdf : ContDiffAt 𝕜 n f u
pn : n ≠ 0
if₂ : (fderiv 𝕜 f u ∘SL ContinuousLinearMap.inr 𝕜 E₁ E₂).IsInvertible
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 (E₁ × E₂) F E₁ := ⋯.implicitFunctionDataOfProdDomain if₂
this : ContDiffAt 𝕜 n (Function.uncurry φ.implicitFunction) (f u, u.1)
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x ↦ (φ.implicitFunction (f u) x).2) u.1
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.IteratedDeriv.FaaDiBruno

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
g : E → F
f : 𝕜 → E
s : Set 𝕜
t : Set E
x : 𝕜
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 2 g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
⊢ (∑ c, (iteratedFDerivWithin 𝕜 c.length g t (f x)) fun j ↦ iteratedDerivWithin (c.partSize j) f s x) =
    ((iteratedFDerivWithin 𝕜 2 g t (f x)) fun x_1 ↦ derivWithin f s x) +
      (fderivWithin 𝕜 g t (f x)) (iteratedDerivWithin 2 f s x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
g : E → F
f : 𝕜 → E
s : Set 𝕜
t : Set E
x : 𝕜
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 2 g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
⊢ (∑ c, (iteratedFDerivWithin 𝕜 c.length g t (f x)) fun j ↦ iteratedDerivWithin (c.partSize j) f s x) =
    ((iteratedFDerivWithin 𝕜 2 g t (f x)) fun x_1 ↦ derivWithin f s x) +
      (fderivWithin 𝕜 g t (f x)) (iteratedDerivWithin 2 f s x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Implicit

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
⊢ (↑(φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯)).IsInvertible

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
⊢ (↑(φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯)).IsInvertible
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.IteratedDeriv.FaaDiBruno

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
g : E → F
f : 𝕜 → E
s : Set 𝕜
t : Set E
x : 𝕜
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 3 g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 3 f s x
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
⊢ (∑ c, (iteratedFDerivWithin 𝕜 c.length g t (f x)) fun j ↦ iteratedDerivWithin (c.partSize j) f s x) =
    ((iteratedFDerivWithin 𝕜 3 g t (f x)) fun x_1 ↦ derivWithin f s x) +
          (iteratedFDerivWithin 𝕜 2 g t (f x)) ![iteratedDerivWithin 2 f s x, derivWithin f s x] +
        2 • (iteratedFDerivWithin 𝕜 2 g t (f x)) ![derivWithin f s x, iteratedDerivWithin 2 f s x] +
      (fderivWithin 𝕜 g t (f x)) (iteratedDerivWithin 3 f s x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
g : E → F
f : 𝕜 → E
s : Set 𝕜
t : Set E
x : 𝕜
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 3 g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 3 f s x
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
⊢ (∑ c, (iteratedFDerivWithin 𝕜 c.length g t (f x)) fun j ↦ iteratedDerivWithin (c.partSize j) f s x) =
    ((iteratedFDerivWithin 𝕜 3 g t (f x)) fun x_1 ↦ derivWithin f s x) +
          (iteratedFDerivWithin 𝕜 2 g t (f x)) ![iteratedDerivWithin 2 f s x, derivWithin f s x] +
        2 • (iteratedFDerivWithin 𝕜 2 g t (f x)) ![derivWithin f s x, iteratedDerivWithin 2 f s x] +
      (fderivWithin 𝕜 g t (f x)) (iteratedDerivWithin 3 f s x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Implicit

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
this :
  ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 φ.pt,
    φ.leftFun (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt, (φ.prodFun a).2).1 (φ.leftFun φ.pt, (φ.prodFun a).2).2) =
      (φ.leftFun φ.pt, (φ.prodFun a).2).1
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 φ.pt, φ.leftFun (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x)) = φ.leftFun φ.pt

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
this :
  ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 φ.pt,
    φ.leftFun (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt, (φ.prodFun a).2).1 (φ.leftFun φ.pt, (φ.prodFun a).2).2) =
      (φ.leftFun φ.pt, (φ.prodFun a).2).1
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 φ.pt, φ.leftFun (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x)) = φ.leftFun φ.pt
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Implicit

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
this :
  ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 φ.pt,
    φ.rightFun (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt, (φ.prodFun a).2).1 (φ.leftFun φ.pt, (φ.prodFun a).2).2) =
      (φ.leftFun φ.pt, (φ.prodFun a).2).2
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 φ.pt, φ.rightFun (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x)) = φ.rightFun x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
this :
  ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 φ.pt,
    φ.rightFun (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt, (φ.prodFun a).2).1 (φ.leftFun φ.pt, (φ.prodFun a).2).2) =
      (φ.leftFun φ.pt, (φ.prodFun a).2).2
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 φ.pt, φ.rightFun (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x)) = φ.rightFun x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.IteratedDeriv.Analytic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : CharZero 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
z₀ : 𝕜
R R₁ : 𝕜 → 𝕜
hf1 : ∀ (z : 𝕜), AnalyticAt 𝕜 R₁ z
k : ℕ
IH :
  ∀ {t : ℕ},
    (∀ (z : 𝕜), R z = (z - z₀) ^ (k + t) * R₁ z) →
      ∃ R₂,
        (∀ (z : 𝕜), AnalyticAt 𝕜 R₂ z) ∧
          ∀ (z : 𝕜), iteratedDeriv k R z = (z - z₀) ^ t * (↑(k + t)! / ↑t ! * R₁ z + (z - z₀) * R₂ z)
t : ℕ
hR₁ : ∀ (z : 𝕜), R z = (z - z₀) ^ (k + 1 + t) * R₁ z
R₂ : 𝕜 → 𝕜
hR₂ : ∀ (z : 𝕜), AnalyticAt 𝕜 R₂ z
hR₂_eq : ∀ (z : 𝕜), iteratedDeriv k R z = (z - z₀) ^ (t + 1) * (↑(k + (t + 1))! / ↑(t + 1)! * R₁ z + (z - z₀) * R₂ z)
R₂' : 𝕜 → 𝕜 := fun z ↦ (↑t + 1) * R₂ z + (↑(k + (t + 1))! / ↑(t + 1)! * deriv R₁ z + (R₂ z + (z - z₀) * deriv R₂ z))
z : 𝕜
⊢ deriv (fun x ↦ (x - z₀) ^ (t + 1) * (↑(k + (t + 1))! / ↑(t + 1)! * R₁ x + (x - z₀) * R₂ x)) z =
    deriv (fun w ↦ (w - z₀) ^ (t + 1) * (↑(k + (t + 1))! / ↑(t + 1)! * R₁ w + (w - z₀) * R₂ w)) z

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Implicit

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
x : E
a✝¹ : φ.implicitFunction (φ.leftFun x) (φ.rightFun x) = x
a✝ : φ.leftFun (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x)) = φ.leftFun φ.pt
h : φ.leftFun x = φ.leftFun φ.pt
⊢ φ.implicitFunction (φ.leftFun x) (φ.rightFun x) = x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
x : E
a✝¹ : φ.implicitFunction (φ.leftFun x) (φ.rightFun x) = x
a✝ : φ.leftFun (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x)) = φ.leftFun φ.pt
h : φ.leftFun x = φ.leftFun φ.pt
⊢ φ.implicitFunction (φ.leftFun x) (φ.rightFun x) = x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Implicit

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
x : E
a✝¹ : φ.implicitFunction (φ.leftFun x) (φ.rightFun x) = x
a✝ : φ.leftFun (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x)) = φ.leftFun φ.pt
h : φ.leftFun x = φ.leftFun φ.pt
⊢ φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x) = x

Tactic:
rwa [← h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Implicit

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
x : E
a✝¹ : φ.implicitFunction (φ.leftFun x) (φ.rightFun x) = x
a✝ : φ.leftFun (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x)) = φ.leftFun φ.pt
h : φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x) = x
⊢ φ.leftFun (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x)) = φ.leftFun φ.pt

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
x : E
a✝¹ : φ.implicitFunction (φ.leftFun x) (φ.rightFun x) = x
a✝ : φ.leftFun (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x)) = φ.leftFun φ.pt
h : φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x) = x
⊢ φ.leftFun (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x)) = φ.leftFun φ.pt
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Implicit

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
x : E
a✝¹ : φ.implicitFunction (φ.leftFun x) (φ.rightFun x) = x
a✝ : φ.leftFun (φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x)) = φ.leftFun φ.pt
h : φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) (φ.rightFun x) = x
⊢ φ.leftFun x = φ.leftFun φ.pt

Tactic:
rwa [← h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Implicit

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
⊢ 𝓝 (φ.prodFun φ.pt).1 = 𝓝 (φ.prodFun φ.pt).1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Implicit

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
x : G
y : E
⊢ (↑(φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯).symm ∘SL
          ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 G))
        x =
      y ↔
    φ.leftDeriv y = 0 ∧ φ.rightDeriv y = x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
x : G
y : E
⊢ (↑(φ.leftDeriv.equivProdOfSurjectiveOfIsCompl φ.rightDeriv ⋯ ⋯ ⋯).symm ∘SL
          ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 G))
        x =
      y ↔
    φ.leftDeriv y = 0 ∧ φ.rightDeriv y = x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Implicit

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
g'inv : G →L[𝕜] E
hg'inv : φ.rightDeriv ∘SL g'inv = ContinuousLinearMap.id 𝕜 G
hg'invf : φ.leftDeriv ∘SL g'inv = 0
x : G
⊢ φ.leftDeriv (g'inv x) = 0 ∧ φ.rightDeriv (g'inv x) = x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
g'inv : G →L[𝕜] E
hg'inv : φ.rightDeriv ∘SL g'inv = ContinuousLinearMap.id 𝕜 G
hg'invf : φ.leftDeriv ∘SL g'inv = 0
x : G
⊢ φ.leftDeriv (g'inv x) = 0 ∧ φ.rightDeriv (g'inv x) = x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Implicit

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
s : Set E
H : φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) = ↑φ.toOpenPartialHomeomorph.symm ∘ fun x ↦ (φ.leftFun φ.pt, x)
⊢ 𝓝[φ.toOpenPartialHomeomorph.symm.target ∩
        ↑φ.toOpenPartialHomeomorph.symm.symm ⁻¹'
          {φ.leftFun φ.pt} ×ˢ ((↑φ.toOpenPartialHomeomorph.symm ∘ fun x ↦ (φ.leftFun φ.pt, x)) ⁻¹' s)]
      φ.pt =
    𝓝[s ∩ φ.leftFun ⁻¹' {φ.leftFun φ.pt}] φ.pt

pp: case hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
s : Set E
H : φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) = ↑φ.toOpenPartialHomeomorph.symm ∘ fun x ↦ (φ.leftFun φ.pt, x)
⊢ (φ.leftFun φ.pt, φ.rightFun φ.pt) ∈ φ.toOpenPartialHomeomorph.symm.source

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
s : Set E
H : φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) = ↑φ.toOpenPartialHomeomorph.symm ∘ fun x ↦ (φ.leftFun φ.pt, x)
⊢ 𝓝[φ.toOpenPartialHomeomorph.symm.target ∩
        ↑φ.toOpenPartialHomeomorph.symm.symm ⁻¹'
          {φ.leftFun φ.pt} ×ˢ ((↑φ.toOpenPartialHomeomorph.symm ∘ fun x ↦ (φ.leftFun φ.pt, x)) ⁻¹' s)]
      φ.pt =
    𝓝[s ∩ φ.leftFun ⁻¹' {φ.leftFun φ.pt}] φ.pt

case hx
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
φ : ImplicitFunctionData 𝕜 E F G
s : Set E
H : φ.implicitFunction (φ.leftFun φ.pt) = ↑φ.toOpenPartialHomeomorph.symm ∘ fun x ↦ (φ.leftFun φ.pt, x)
⊢ (φ.leftFun φ.pt, φ.rightFun φ.pt) ∈ φ.toOpenPartialHomeomorph.symm.source
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.IteratedDeriv.FaaDiBruno

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
g : 𝕜 → E
f : 𝕜 → 𝕜
s t : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞ω
i : ℕ
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
hi : ↑i ≤ n
⊢ (∑ c, (iteratedFDerivWithin 𝕜 c.length g t (f x)) fun j ↦ iteratedDerivWithin (c.partSize j) f s x) =
    ∑ c, (∏ j, iteratedDerivWithin (c.partSize j) f s x) • iteratedDerivWithin c.length g t (f x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
g : 𝕜 → E
f : 𝕜 → 𝕜
s t : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞ω
i : ℕ
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hst : MapsTo f s t
hi : ↑i ≤ n
⊢ (∑ c, (iteratedFDerivWithin 𝕜 c.length g t (f x)) fun j ↦ iteratedDerivWithin (c.partSize j) f s x) =
    ∑ c, (∏ j, iteratedDerivWithin (c.partSize j) f s x) • iteratedDerivWithin c.length g t (f x)