mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.NumberTheory.SumFourSquares

Goal state before:
pp: p : ℕ
hp : Prime p
this✝ : Fact (Prime p)
natAbs_iff :
  ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ},
    a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm✝ : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
m : ℕ
hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)
hmp : m < p
hm₀ : 0 < m
hm₁ : 1 < m
this : NeZero m
hm : ¬2 ∣ m
f : ℕ → ℤ
hf_lt : ∀ (x : ℕ), 2 * (f x).natAbs < m
hf_mod : ∀ (x : ℕ), ↑(f x) = ↑x
a b c d : ℕ
habcd : (m * a) ^ 2 + (m * b) ^ 2 + (m * c) ^ 2 + (m * d) ^ 2 = m * p
hr : f (m * a) = 0 ∧ f (m * b) = 0 ∧ f (m * c) = 0 ∧ f (m * d) = 0
⊢ (m * a) ^ 2 + (m * b) ^ 2 + (m * c) ^ 2 + (m * d) ^ 2 = m * m * (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2)

Tactic:
by ring

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Lindemann.AnalyticalPart

Goal state before:
pp: case hbc
f : ℕ → ℂ[X]
s : ℂ
c : ℝ
hc : ∀ (p : ℕ), ∀ x ∈ Set.Ioc 0 1, ‖eval (x • s) (f p)‖ ≤ c ^ p
p : ℕ
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in Set.Ioc 0 1, cexp (-(x • s)) * eval (x • s) (f p) ∂MeasureTheory.volume‖ ≤ Real.exp ‖s‖ * |c| ^ p * 1

Tactic:
]

Goal state after:
case hbc
f : ℕ → ℂ[X]
s : ℂ
c : ℝ
hc : ∀ (p : ℕ), ∀ x ∈ Set.Ioc 0 1, ‖eval (x • s) (f p)‖ ≤ c ^ p
p : ℕ
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in Set.Ioc 0 1, cexp (-(x • s)) * eval (x • s) (f p) ∂MeasureTheory.volume‖ ≤ Real.exp ‖s‖ * |c| ^ p * 1
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Lindemann.AnalyticalPart

Goal state before:
pp: case e'_4.e'_6
f : ℕ → ℂ[X]
s : ℂ
c : ℝ
hc : ∀ (p : ℕ), ∀ x ∈ Set.Ioc 0 1, ‖eval (x • s) (f p)‖ ≤ c ^ p
p : ℕ
⊢ 1 = 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.SumFourSquares

Goal state before:
pp: case neg.inl
p : ℕ
hp : Prime p
this✝¹ : Fact (Prime p)
natAbs_iff :
  ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ},
    a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm✝ : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
m : ℕ
hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)
hmp : m < p
hm₀ : 0 < m
hm₁ : 1 < m
this✝ : NeZero m
hm : ¬2 ∣ m
f : ℕ → ℤ
hf_lt : ∀ (x : ℕ), 2 * (f x).natAbs < m
hf_mod : ∀ (x : ℕ), ↑(f x) = ↑x
a b c d : ℕ
habcd : (m * a) ^ 2 + (m * b) ^ 2 + (m * c) ^ 2 + (m * d) ^ 2 = m * p
hr : f (m * a) = 0 ∧ f (m * b) = 0 ∧ f (m * c) = 0 ∧ f (m * d) = 0
this : m ∣ p
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
case neg.inl
p : ℕ
hp : Prime p
this✝¹ : Fact (Prime p)
natAbs_iff :
  ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ},
    a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm✝ : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
m : ℕ
hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)
hmp : m < p
hm₀ : 0 < m
hm₁ : 1 < m
this✝ : NeZero m
hm : ¬2 ∣ m
f : ℕ → ℤ
hf_lt : ∀ (x : ℕ), 2 * (f x).natAbs < m
hf_mod : ∀ (x : ℕ), ↑(f x) = ↑x
a b c d : ℕ
habcd : (m * a) ^ 2 + (m * b) ^ 2 + (m * c) ^ 2 + (m * d) ^ 2 = m * p
hr : f (m * a) = 0 ∧ f (m * b) = 0 ∧ f (m * c) = 0 ∧ f (m * d) = 0
this : m ∣ p
⊢ False
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Lindemann.AnalyticalPart

Goal state before:
pp: case hbc.convert_10
f : ℕ → ℂ[X]
s : ℂ
c : ℝ
hc : ∀ (p : ℕ), ∀ x ∈ Set.Ioc 0 1, ‖eval (x • s) (f p)‖ ≤ c ^ p
p : ℕ
⊢ ENNReal.ofReal 1 < ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
case hbc.convert_10
f : ℕ → ℂ[X]
s : ℂ
c : ℝ
hc : ∀ (p : ℕ), ∀ x ∈ Set.Ioc 0 1, ‖eval (x • s) (f p)‖ ≤ c ^ p
p : ℕ
⊢ ENNReal.ofReal 1 < ⊤
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Lindemann.AnalyticalPart

Goal state before:
pp: case hbc.convert_11
f : ℕ → ℂ[X]
s : ℂ
c : ℝ
hc : ∀ (p : ℕ), ∀ x ∈ Set.Ioc 0 1, ‖eval (x • s) (f p)‖ ≤ c ^ p
p : ℕ
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioc 0 1
⊢ Real.exp (-(x • s)).re * ‖eval (x • s) (f p)‖ ≤ Real.exp ‖s‖ * |c| ^ p

Tactic:
]

Goal state after:
case hbc.convert_11
f : ℕ → ℂ[X]
s : ℂ
c : ℝ
hc : ∀ (p : ℕ), ∀ x ∈ Set.Ioc 0 1, ‖eval (x • s) (f p)‖ ≤ c ^ p
p : ℕ
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioc 0 1
⊢ Real.exp (-(x • s)).re * ‖eval (x • s) (f p)‖ ≤ Real.exp ‖s‖ * |c| ^ p
Module: Mathlib.NumberTheory.SumFourSquares

Goal state before:
pp: p : ℕ
hp : Prime p
this✝ : Fact (Prime p)
natAbs_iff :
  ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ},
    a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm✝ : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
m : ℕ
hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)
hmp : m < p
hm₀ : 0 < m
a b c d : ℕ
habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
hm₁ : 1 < m
this : NeZero m
hm : ¬2 ∣ m
f : ℕ → ℤ
hf_lt : ∀ (x : ℕ), 2 * (f x).natAbs < m
hf_mod : ∀ (x : ℕ), ↑(f x) = ↑x
r : ℕ
hr : (f a).natAbs ^ 2 + (f b).natAbs ^ 2 + (f c).natAbs ^ 2 + (f d).natAbs ^ 2 = r * m
hr₀ : 0 < r
⊢ r < m

Tactic:
]

Goal state after:
p : ℕ
hp : Prime p
this✝ : Fact (Prime p)
natAbs_iff :
  ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ},
    a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm✝ : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
m : ℕ
hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)
hmp : m < p
hm₀ : 0 < m
a b c d : ℕ
habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
hm₁ : 1 < m
this : NeZero m
hm : ¬2 ∣ m
f : ℕ → ℤ
hf_lt : ∀ (x : ℕ), 2 * (f x).natAbs < m
hf_mod : ∀ (x : ℕ), ↑(f x) = ↑x
r : ℕ
hr : (f a).natAbs ^ 2 + (f b).natAbs ^ 2 + (f c).natAbs ^ 2 + (f d).natAbs ^ 2 = r * m
hr₀ : 0 < r
⊢ r < m
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Lindemann.AnalyticalPart

Goal state before:
pp: case a
f : ℕ → ℂ[X]
s : ℂ
c : ℝ
hc : ∀ (p : ℕ), ∀ x ∈ Set.Ioc 0 1, ‖eval (x • s) (f p)‖ ≤ c ^ p
p : ℕ
x : ℝ
hx : 0 < x ∧ x ≤ 1
⊢ x * ‖s‖ ≤ ‖s‖

Tactic:
]

Goal state after:
case a
f : ℕ → ℂ[X]
s : ℂ
c : ℝ
hc : ∀ (p : ℕ), ∀ x ∈ Set.Ioc 0 1, ‖eval (x • s) (f p)‖ ≤ c ^ p
p : ℕ
x : ℝ
hx : 0 < x ∧ x ≤ 1
⊢ x * ‖s‖ ≤ ‖s‖
Module: Mathlib.NumberTheory.RamificationInertia.Basic

Goal state before:
pp: case mk
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_notMem : a ∉ P ^ (i + 1)
x✝ : S ⧸ P
x : S
y✝ : S ⧸ P
y : S
Pe_le_Pi1 : P ^ e ≤ P ^ (i + 1)
val✝ : S ⧸ P ^ e
z : S
hz✝ : Quot.mk (⇑(Submodule.quotientRel (P ^ e))) z ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ (i + 1))
hz : z ∈ P ^ (i + 1)
h :
  ↑((p.powQuotSuccInclusion P i) ⟨Quot.mk (⇑(Submodule.quotientRel (P ^ e))) z, hz✝⟩) =
    (Quotient.mk (P ^ e)) (a * x) - (Quotient.mk (P ^ e)) (a * y)
⊢ x - y ∈ P

Tactic:
]

Goal state after:
case mk
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_notMem : a ∉ P ^ (i + 1)
x✝ : S ⧸ P
x : S
y✝ : S ⧸ P
y : S
Pe_le_Pi1 : P ^ e ≤ P ^ (i + 1)
val✝ : S ⧸ P ^ e
z : S
hz✝ : Quot.mk (⇑(Submodule.quotientRel (P ^ e))) z ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ (i + 1))
hz : z ∈ P ^ (i + 1)
h :
  ↑((p.powQuotSuccInclusion P i) ⟨Quot.mk (⇑(Submodule.quotientRel (P ^ e))) z, hz✝⟩) =
    (Quotient.mk (P ^ e)) (a * x) - (Quotient.mk (P ^ e)) (a * y)
⊢ x - y ∈ P
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Lindemann.AnalyticalPart

Goal state before:
pp: case h₂
f : ℕ → ℂ[X]
s : ℂ
c : ℝ
hc : ∀ (p : ℕ), ∀ x ∈ Set.Ioc 0 1, ‖eval (x • s) (f p)‖ ≤ c ^ p
p : ℕ
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioc 0 1
⊢ ‖eval (x • s) (f p)‖ ≤ |c ^ p|

Tactic:
]

Goal state after:
case h₂
f : ℕ → ℂ[X]
s : ℂ
c : ℝ
hc : ∀ (p : ℕ), ∀ x ∈ Set.Ioc 0 1, ‖eval (x • s) (f p)‖ ≤ c ^ p
p : ℕ
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioc 0 1
⊢ ‖eval (x • s) (f p)‖ ≤ |c ^ p|
Module: Mathlib.NumberTheory.RamificationInertia.Basic

Goal state before:
pp: case mk
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_notMem : a ∉ P ^ (i + 1)
x✝ : S ⧸ P
x : S
y✝ : S ⧸ P
y : S
Pe_le_Pi1 : P ^ e ≤ P ^ (i + 1)
val✝ : S ⧸ P ^ e
z : S
hz✝ : Quot.mk (⇑(Submodule.quotientRel (P ^ e))) z ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ (i + 1))
hz : z ∈ P ^ (i + 1)
h : z - a * (x - y) ∈ P ^ e
⊢ x - y ∈ P

Tactic:
]

Goal state after:
case mk
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_notMem : a ∉ P ^ (i + 1)
x✝ : S ⧸ P
x : S
y✝ : S ⧸ P
y : S
Pe_le_Pi1 : P ^ e ≤ P ^ (i + 1)
val✝ : S ⧸ P ^ e
z : S
hz✝ : Quot.mk (⇑(Submodule.quotientRel (P ^ e))) z ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ (i + 1))
hz : z ∈ P ^ (i + 1)
h : z - a * (x - y) ∈ P ^ e
⊢ x - y ∈ P
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Lindemann.AnalyticalPart

Goal state before:
pp: f : ℕ → ℂ[X]
s : ℂ
c' : ℝ
hc' : c' ≥ 0
h' : ∀ (p : ℕ), ‖P (f p) s‖ ≤ Real.exp s.re * (Real.exp ‖s‖ * c' ^ p * ‖s‖)
c₁ : ℝ := max (Real.exp s.re) 1
c₂ : ℝ := max (Real.exp ‖s‖) 1
c₃ : ℝ := max ‖s‖ 1
p : ℕ
hp : p ≠ 0
x : ℝ
h : max x 1 = 1 ∧ x < 1
⊢ x ≤ 1

Tactic:
]

Goal state after:
f : ℕ → ℂ[X]
s : ℂ
c' : ℝ
hc' : c' ≥ 0
h' : ∀ (p : ℕ), ‖P (f p) s‖ ≤ Real.exp s.re * (Real.exp ‖s‖ * c' ^ p * ‖s‖)
c₁ : ℝ := max (Real.exp s.re) 1
c₂ : ℝ := max (Real.exp ‖s‖) 1
c₃ : ℝ := max ‖s‖ 1
p : ℕ
hp : p ≠ 0
x : ℝ
h : max x 1 = 1 ∧ x < 1
⊢ x ≤ 1
Module: Mathlib.NumberTheory.RamificationInertia.Basic

Goal state before:
pp: case mk.mk
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
S : Type v
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝ : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_notMem : a ∉ P ^ (i + 1)
b✝ : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ (p.powQuotSuccInclusion P i).range
val✝ : S ⧸ P ^ e
x : S
hx✝ : Quot.mk (⇑(Submodule.quotientRel (P ^ e))) x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)
hx : x ∈ P ^ i
Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i
⊢ ∃ a_1,
    (p.quotientToQuotientRangePowQuotSucc P a_mem) a_1 =
      Quot.mk ⇑(p.powQuotSuccInclusion P i).range.quotientRel ⟨Quot.mk (⇑(Submodule.quotientRel (P ^ e))) x, hx✝⟩

Tactic:
]

Goal state after:
case mk.mk
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
S : Type v
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝ : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_notMem : a ∉ P ^ (i + 1)
b✝ : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ (p.powQuotSuccInclusion P i).range
val✝ : S ⧸ P ^ e
x : S
hx✝ : Quot.mk (⇑(Submodule.quotientRel (P ^ e))) x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)
hx : x ∈ P ^ i
Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i
⊢ ∃ a_1,
    (p.quotientToQuotientRangePowQuotSucc P a_mem) a_1 =
      Quot.mk ⇑(p.powQuotSuccInclusion P i).range.quotientRel ⟨Quot.mk (⇑(Submodule.quotientRel (P ^ e))) x, hx✝⟩
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Lindemann.AnalyticalPart

Goal state before:
pp: f : ℤ[X]
s : ℂ
this : Bornology.IsBounded ((fun x ↦ max (x * ‖s‖) 1 * ‖(aeval (↑x * s)) f‖) '' Set.Ioc 0 1)
c : ℝ
p : ℕ
x : ℝ
h : |max (x * ‖s‖) 1 * ‖(aeval (↑x * s)) f‖| ≤ c
hx : x ∈ Set.Ioc 0 1
⊢ ‖eval (x • s) (map (algebraMap ℤ ℂ) (X ^ (p - 1) * f ^ p))‖ ≤ |max (x * ‖s‖) 1 * ‖(aeval (↑x * s)) f‖| ^ p

Tactic:
]

Goal state after:
f : ℤ[X]
s : ℂ
this : Bornology.IsBounded ((fun x ↦ max (x * ‖s‖) 1 * ‖(aeval (↑x * s)) f‖) '' Set.Ioc 0 1)
c : ℝ
p : ℕ
x : ℝ
h : |max (x * ‖s‖) 1 * ‖(aeval (↑x * s)) f‖| ≤ c
hx : x ∈ Set.Ioc 0 1
⊢ ‖eval (x • s) (map (algebraMap ℤ ℂ) (X ^ (p - 1) * f ^ p))‖ ≤ |max (x * ‖s‖) 1 * ‖(aeval (↑x * s)) f‖| ^ p
Module: Mathlib.NumberTheory.SumFourSquares

Goal state before:
pp: case neg.inr
p : ℕ
hp : Prime p
this✝¹ : Fact (Prime p)
natAbs_iff :
  ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ},
    a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm✝ : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
m : ℕ
hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)
hmp : m < p
hm₀ : 0 < m
a b c d : ℕ
habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
hm₁ : 1 < m
this✝ : NeZero m
hm : ¬2 ∣ m
f : ℕ → ℤ
hf_lt : ∀ (x : ℕ), 2 * (f x).natAbs < m
hf_mod : ∀ (x : ℕ), ↑(f x) = ↑x
r : ℕ
hr : (f a).natAbs ^ 2 + (f b).natAbs ^ 2 + (f c).natAbs ^ 2 + (f d).natAbs ^ 2 = m * r
hr₀ : 0 < r
hrm : r < m
w x y z : ℤ
hw : ↑m ∣ w
hx : ↑m ∣ x
hy : ↑m ∣ y
hz : ↑m ∣ z
h : w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = ↑(m * r) * ↑(m * p)
this : (w / ↑m).natAbs ^ 2 + (x / ↑m).natAbs ^ 2 + (y / ↑m).natAbs ^ 2 + (z / ↑m).natAbs ^ 2 = r * p
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
case neg.inr
p : ℕ
hp : Prime p
this✝¹ : Fact (Prime p)
natAbs_iff :
  ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ},
    a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm✝ : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
m : ℕ
hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)
hmp : m < p
hm₀ : 0 < m
a b c d : ℕ
habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
hm₁ : 1 < m
this✝ : NeZero m
hm : ¬2 ∣ m
f : ℕ → ℤ
hf_lt : ∀ (x : ℕ), 2 * (f x).natAbs < m
hf_mod : ∀ (x : ℕ), ↑(f x) = ↑x
r : ℕ
hr : (f a).natAbs ^ 2 + (f b).natAbs ^ 2 + (f c).natAbs ^ 2 + (f d).natAbs ^ 2 = m * r
hr₀ : 0 < r
hrm : r < m
w x y z : ℤ
hw : ↑m ∣ w
hx : ↑m ∣ x
hy : ↑m ∣ y
hz : ↑m ∣ z
h : w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = ↑(m * r) * ↑(m * p)
this : (w / ↑m).natAbs ^ 2 + (x / ↑m).natAbs ^ 2 + (y / ↑m).natAbs ^ 2 + (z / ↑m).natAbs ^ 2 = r * p
⊢ False
Module: Mathlib.NumberTheory.SumFourSquares

Goal state before:
pp: p : ℕ
hp : Prime p
this✝ : Fact (Prime p)
natAbs_iff :
  ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ},
    a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm✝ : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
m : ℕ
hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)
hmp : m < p
hm₀ : 0 < m
a b c d : ℕ
habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
hm₁ : 1 < m
this : NeZero m
hm : ¬2 ∣ m
f : ℕ → ℤ
hf_lt : ∀ (x : ℕ), 2 * (f x).natAbs < m
hf_mod : ∀ (x : ℕ), ↑(f x) = ↑x
r : ℕ
hr : (f a).natAbs ^ 2 + (f b).natAbs ^ 2 + (f c).natAbs ^ 2 + (f d).natAbs ^ 2 = m * r
hr₀ : 0 < r
hrm : r < m
⊢ (f b).natAbs ^ 2 + (f a).natAbs ^ 2 + (f d).natAbs ^ 2 + (f c).natAbs ^ 2 =
    (f a).natAbs ^ 2 + (f b).natAbs ^ 2 + (f c).natAbs ^ 2 + (f d).natAbs ^ 2

Tactic:
]

Goal state after:
p : ℕ
hp : Prime p
this✝ : Fact (Prime p)
natAbs_iff :
  ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ},
    a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm✝ : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
m : ℕ
hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)
hmp : m < p
hm₀ : 0 < m
a b c d : ℕ
habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
hm₁ : 1 < m
this : NeZero m
hm : ¬2 ∣ m
f : ℕ → ℤ
hf_lt : ∀ (x : ℕ), 2 * (f x).natAbs < m
hf_mod : ∀ (x : ℕ), ↑(f x) = ↑x
r : ℕ
hr : (f a).natAbs ^ 2 + (f b).natAbs ^ 2 + (f c).natAbs ^ 2 + (f d).natAbs ^ 2 = m * r
hr₀ : 0 < r
hrm : r < m
⊢ (f b).natAbs ^ 2 + (f a).natAbs ^ 2 + (f d).natAbs ^ 2 + (f c).natAbs ^ 2 =
    (f a).natAbs ^ 2 + (f b).natAbs ^ 2 + (f c).natAbs ^ 2 + (f d).natAbs ^ 2
Module: Mathlib.NumberTheory.RamificationInertia.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝³ : CommRing R
S : Type v
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝ : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_notMem : a ∉ P ^ (i + 1)
b✝ : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ (p.powQuotSuccInclusion P i).range
val✝ : S ⧸ P ^ e
Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i
z : S
hz : z ∈ P ^ (i + 1)
y : S
hy' : a * y ∈ span {a}
hx✝ : Quot.mk (⇑(Submodule.quotientRel (P ^ e))) (a * y + z) ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)
hx : a * y + z ∈ P ^ i
hx' : a * y + z ∈ span {a} ⊔ P ^ (i + 1)
⊢ -(Quotient.mk (P ^ e)) z = -(Quotient.mk (P ^ e)) z

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Lindemann.AnalyticalPart

Goal state before:
pp: f : ℤ[X]
s : ℂ
this : Bornology.IsBounded ((fun x ↦ max (x * ‖s‖) 1 * ‖(aeval (↑x * s)) f‖) '' Set.Ioc 0 1)
c : ℝ
p : ℕ
x : ℝ
h : |max (x * ‖s‖) 1 * ‖(aeval (↑x * s)) f‖| ≤ c
hx : x ∈ Set.Ioc 0 1
⊢ (x * ‖s‖) ^ (p - 1) ≤ (if x * ‖s‖ ≤ 1 then 1 else x * ‖s‖) ^ p

Tactic:
]

Goal state after:
f : ℤ[X]
s : ℂ
this : Bornology.IsBounded ((fun x ↦ max (x * ‖s‖) 1 * ‖(aeval (↑x * s)) f‖) '' Set.Ioc 0 1)
c : ℝ
p : ℕ
x : ℝ
h : |max (x * ‖s‖) 1 * ‖(aeval (↑x * s)) f‖| ≤ c
hx : x ∈ Set.Ioc 0 1
⊢ (x * ‖s‖) ^ (p - 1) ≤ (if x * ‖s‖ ≤ 1 then 1 else x * ‖s‖) ^ p
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Liouville.Basic

Goal state before:
pp: a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
⊢ False
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Lindemann.AnalyticalPart

Goal state before:
pp: case pos
f : ℤ[X]
s : ℂ
this : Bornology.IsBounded ((fun x ↦ max (x * ‖s‖) 1 * ‖(aeval (↑x * s)) f‖) '' Set.Ioc 0 1)
c : ℝ
p : ℕ
x : ℝ
h : |max (x * ‖s‖) 1 * ‖(aeval (↑x * s)) f‖| ≤ c
hx : x ∈ Set.Ioc 0 1
hx1 : x * ‖s‖ ≤ 1
⊢ (x * ‖s‖) ^ (p - 1) ≤ 1

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
f : ℤ[X]
s : ℂ
this : Bornology.IsBounded ((fun x ↦ max (x * ‖s‖) 1 * ‖(aeval (↑x * s)) f‖) '' Set.Ioc 0 1)
c : ℝ
p : ℕ
x : ℝ
h : |max (x * ‖s‖) 1 * ‖(aeval (↑x * s)) f‖| ≤ c
hx : x ∈ Set.Ioc 0 1
hx1 : x * ‖s‖ ≤ 1
⊢ (x * ‖s‖) ^ (p - 1) ≤ 1
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Liouville.Basic

Goal state before:
pp: a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p q : ℤ
q1 : 1 < q
a0 : ↑a / ↑b ≠ ↑p / ↑q
a1 : |↑a * ↑q - ↑b * ↑p| * ↑q ^ (b + 1) < ↑b * ↑q
qR0 : 0 < ↑q
b0 : ↑b ≠ 0
bq0 : 0 < ↑b * ↑q
⊢ |a * q - ↑b * p| * q ^ (b + 1) < ↑b * q

Tactic:
]

Goal state after:
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p q : ℤ
q1 : 1 < q
a0 : ↑a / ↑b ≠ ↑p / ↑q
a1 : |↑a * ↑q - ↑b * ↑p| * ↑q ^ (b + 1) < ↑b * ↑q
qR0 : 0 < ↑q
b0 : ↑b ≠ 0
bq0 : 0 < ↑b * ↑q
⊢ |a * q - ↑b * p| * q ^ (b + 1) < ↑b * q
Module: Mathlib.NumberTheory.RamificationInertia.Basic

Goal state before:
pp: case mk.mk
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
S : Type v
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝ : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : span {a} ≤ P ^ i
a_notMem : ¬span {a} ≤ P ^ (i + 1)
b✝ : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ (p.powQuotSuccInclusion P i).range
val✝ : S ⧸ P ^ e
x : S
hx✝ : Quot.mk (⇑(Submodule.quotientRel (P ^ e))) x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)
hx : x ∈ P ^ i
Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i
⊢ x ∈ span {a} ⊔ P ^ (i + 1)

Tactic:
]

Goal state after:
case mk.mk
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
S : Type v
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝ : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : span {a} ≤ P ^ i
a_notMem : ¬span {a} ≤ P ^ (i + 1)
b✝ : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ (p.powQuotSuccInclusion P i).range
val✝ : S ⧸ P ^ e
x : S
hx✝ : Quot.mk (⇑(Submodule.quotientRel (P ^ e))) x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)
hx : x ∈ P ^ i
Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i
⊢ x ∈ span {a} ⊔ P ^ (i + 1)
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Liouville.Basic

Goal state before:
pp: a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p q : ℤ
q1 : 1 < q
a0 : ¬↑a * ↑q - ↑b * ↑p = 0
qR0 : 0 < ↑q
b0 : ↑b ≠ 0
bq0 : 0 < ↑b * ↑q
a1 : |a * q - ↑b * p| * q ^ (b + 1) < ↑b * q
⊢ a * q - ↑b * p ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p q : ℤ
q1 : 1 < q
a0 : ¬↑a * ↑q - ↑b * ↑p = 0
qR0 : 0 < ↑q
b0 : ↑b ≠ 0
bq0 : 0 < ↑b * ↑q
a1 : |a * q - ↑b * p| * q ^ (b + 1) < ↑b * q
⊢ a * q - ↑b * p ≠ 0
Module: Mathlib.NumberTheory.RamificationInertia.Basic

Goal state before:
pp: case mk.mk
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
S : Type v
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝ : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : span {a} ≤ P ^ i
a_notMem : ¬span {a} ≤ P ^ (i + 1)
b✝ : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ (p.powQuotSuccInclusion P i).range
val✝ : S ⧸ P ^ e
x : S
hx✝ : Quot.mk (⇑(Submodule.quotientRel (P ^ e))) x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)
hx : x ∈ P ^ i
Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i
hspan0 : span {a} ≠ ⊥
⊢ x ∈ P ^ i

Tactic:
]

Goal state after:
case mk.mk
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
S : Type v
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝ : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : span {a} ≤ P ^ i
a_notMem : ¬span {a} ≤ P ^ (i + 1)
b✝ : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ (p.powQuotSuccInclusion P i).range
val✝ : S ⧸ P ^ e
x : S
hx✝ : Quot.mk (⇑(Submodule.quotientRel (P ^ e))) x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)
hx : x ∈ P ^ i
Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i
hspan0 : span {a} ≠ ⊥
⊢ x ∈ P ^ i
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Lindemann.AnalyticalPart

Goal state before:
pp: f : ℤ[X]
hf : eval 0 f ≠ 0
c' : ℂ → ℝ
c'0 : ∀ (s : ℂ), c' s ≥ 0
Pp'_le : ∀ (s : ℂ) (p : ℕ), p ≠ 0 → ‖P (map (algebraMap ℤ ℂ) (X ^ (p - 1) * f ^ p)) s‖ ≤ c' s ^ p
p : ℕ
p_gt : p > (eval 0 f).natAbs
prime_p : Nat.Prime p
gp' : ℤ[X]
h' :
  ∀ (r : ℤ) {p' : ℤ[X]},
    X ^ (p - 1) * f ^ p = (X - C r) ^ (p - 1) * p' →
      eval r (sumIDeriv (X ^ (p - 1) * f ^ p)) = (p - 1)! • eval r p' + p ! • eval r gp'
⊢ X ^ (p - 1) * f ^ p = X ^ (p - 1) * ?m.190

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.RamificationInertia.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : p.IsMaximal
inst✝ : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
i : ℕ
hi : i < e
⊢ Module.rank (R ⧸ p) ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) =
    Module.rank (R ⧸ p) (↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ (p.powQuotSuccInclusion P i).range) +
      Module.rank (R ⧸ p) ↥(p.powQuotSuccInclusion P i).range

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : p.IsMaximal
inst✝ : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
i : ℕ
hi : i < e
⊢ Module.rank (R ⧸ p) ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) =
    Module.rank (R ⧸ p) (↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ (p.powQuotSuccInclusion P i).range) +
      Module.rank (R ⧸ p) ↥(p.powQuotSuccInclusion P i).range
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Lindemann.AnalyticalPart

Goal state before:
pp: case h.left
f : ℤ[X]
hf : eval 0 f ≠ 0
c' : ℂ → ℝ
c'0 : ∀ (s : ℂ), c' s ≥ 0
Pp'_le : ∀ (s : ℂ) (p : ℕ), p ≠ 0 → ‖P (map (algebraMap ℤ ℂ) (X ^ (p - 1) * f ^ p)) s‖ ≤ c' s ^ p
p : ℕ
p_gt : p > (eval 0 f).natAbs
prime_p : Nat.Prime p
gp' : ℤ[X]
h' : eval 0 (sumIDeriv (X ^ (p - 1) * f ^ p)) = (p - 1)! • eval 0 (f ^ p) + p ! • eval 0 gp'
⊢ ¬↑p ∣ eval 0 f ^ p

Tactic:
]

Goal state after:
case h.left
f : ℤ[X]
hf : eval 0 f ≠ 0
c' : ℂ → ℝ
c'0 : ∀ (s : ℂ), c' s ≥ 0
Pp'_le : ∀ (s : ℂ) (p : ℕ), p ≠ 0 → ‖P (map (algebraMap ℤ ℂ) (X ^ (p - 1) * f ^ p)) s‖ ≤ c' s ^ p
p : ℕ
p_gt : p > (eval 0 f).natAbs
prime_p : Nat.Prime p
gp' : ℤ[X]
h' : eval 0 (sumIDeriv (X ^ (p - 1) * f ^ p)) = (p - 1)! • eval 0 (f ^ p) + p ! • eval 0 gp'
⊢ ¬↑p ∣ eval 0 f ^ p
Module: Mathlib.NumberTheory.Transcendental.Liouville.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
α : ℝ
ha : Irrational α
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f
fa : eval α fR = 0
fR0 : fR ≠ 0
ar : α ∈ ↑fR.roots.toFinset
ζ : ℝ
z0 : ζ > 0
U : closedBall α ζ ∩ ↑fR.roots.toFinset = {α}
xm : ℝ
hM : IsMaxOn (fun x ↦ |eval x (derivative fR)|) (Icc (α - ζ) (α + ζ)) xm
y : ℝ
hy : y ∈ closedBall α ζ
⊢ dist (eval α fR) (eval y fR) ≤ |eval xm (derivative fR)| * dist α y

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
α : ℝ
ha : Irrational α
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f
fa : eval α fR = 0
fR0 : fR ≠ 0
ar : α ∈ ↑fR.roots.toFinset
ζ : ℝ
z0 : ζ > 0
U : closedBall α ζ ∩ ↑fR.roots.toFinset = {α}
xm : ℝ
hM : IsMaxOn (fun x ↦ |eval x (derivative fR)|) (Icc (α - ζ) (α + ζ)) xm
y : ℝ
hy : y ∈ closedBall α ζ
⊢ dist (eval α fR) (eval y fR) ≤ |eval xm (derivative fR)| * dist α y