mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
⊢ (DFinsupp.sum ((of (fun i ↦ ↥(A i)) i) r) fun i ri ↦ DFinsupp.sum r' fun j rj ↦ if i + j = n then ↑ri * ↑rj else 0) =
    ↑r * ↑(r' j)

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
⊢ (DFinsupp.sum ((of (fun i ↦ ↥(A i)) i) r) fun i ri ↦ DFinsupp.sum r' fun j rj ↦ if i + j = n then ↑ri * ↑rj else 0) =
    ↑r * ↑(r' j)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: S : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticMap R M N
x : M
⊢ Q x + Q x = Q x + Q x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: case e'_2.e'_2
R : Type u_1
n : Type u_11
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
J A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝ : DecidableEq n
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det
u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'
v : (Matrix n n R)ˣ := Pᵀ.nonsingInvUnit ⋯
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₂
this : x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹
⊢ Pᵀ⁻¹ * (A₁ᵀ * Pᵀ * J) = ↑v⁻¹ * x

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_2.e'_2
R : Type u_1
n : Type u_11
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
J A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝ : DecidableEq n
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det
u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'
v : (Matrix n n R)ˣ := Pᵀ.nonsingInvUnit ⋯
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₂
this : x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹
⊢ Pᵀ⁻¹ * (A₁ᵀ * Pᵀ * J) = ↑v⁻¹ * x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticMap R M N
hB₁ : associated' Q ≠ 0
⊢ ¬∀ (x : M), Q x = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticMap R M N
hB₁ : associated' Q ≠ 0
⊢ ¬∀ (x : M), Q x = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
n : Type u_11
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
J A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝ : DecidableEq n
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det
u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'
v : (Matrix n n R)ˣ := Pᵀ.nonsingInvUnit ⋯
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₂
⊢ x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x * ↑u = y

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
n : Type u_11
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
J A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝ : DecidableEq n
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det
u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'
v : (Matrix n n R)ˣ := Pᵀ.nonsingInvUnit ⋯
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₂
⊢ x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x * ↑u = y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
n : Type u_11
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
J A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝ : DecidableEq n
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det
u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'
v : (Matrix n n R)ˣ := Pᵀ.nonsingInvUnit ⋯
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₂
⊢ x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹

Tactic:
rw [Units.eq_mul_inv_iff_mul_eq]

Goal state after:
R : Type u_1
n : Type u_11
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
J A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝ : DecidableEq n
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det
u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'
v : (Matrix n n R)ˣ := Pᵀ.nonsingInvUnit ⋯
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₂
⊢ x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x * ↑u = y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
n : Type u_11
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
J A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝ : DecidableEq n
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det
u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'
v : (Matrix n n R)ˣ := Pᵀ.nonsingInvUnit ⋯
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₂
⊢ x * ↑u = ↑v * y ↔ x * ↑u = ↑v * y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
n : Type u_11
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
J A₁ : Matrix n n R
inst✝ : DecidableEq n
⊢ J.IsAdjointPair J A₁ A₁ ↔ J.IsAdjointPair J A₁ A₁

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticMap R M N
hB₁ : associated' Q ≠ 0
h : ∀ (x : M), Q x = 0
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
n : Type u_11
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
J A₁ : Matrix n n R
inst✝ : DecidableEq n
⊢ (-J).IsAdjointPair J A₁ A₁ ↔ J.IsSkewAdjoint A₁

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
n : Type u_11
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype n
J A₁ : Matrix n n R
inst✝ : DecidableEq n
⊢ (-J).IsAdjointPair J A₁ A₁ ↔ J.IsSkewAdjoint A₁
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
j n : ι
H : ∀ (x : ι), i + x = n ↔ x = j
h : j ∉ DFinsupp.support r'
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
n : Type u_11
m : Type u_12
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
M : Matrix m n R
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
b₁ : Basis m R M₁
b₂ : Basis n R M₂
⊢ M.SeparatingLeft ↔ M.SeparatingLeft

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Invertible 2
⊢ ⅟2 • ((mul R R).compl₁₂ LinearMap.id LinearMap.id + (mul R R).compl₁₂ LinearMap.id LinearMap.id) = mul R R

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Invertible 2
⊢ ⅟2 • ((mul R R).compl₁₂ LinearMap.id LinearMap.id + (mul R R).compl₁₂ LinearMap.id LinearMap.id) = mul R R
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
n : Type u_11
m : Type u_12
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
M : Matrix m n R
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
b₁ : Basis m R M₁
b₂ : Basis n R M₂
⊢ M.SeparatingRight ↔ M.SeparatingRight

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
r : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
i : ι
r' : ↥(A i)
j n : ι
H : ∀ (x : ι), x + i = n ↔ x = j
⊢ (DFinsupp.sum ((of (fun i ↦ ↥(A i)) i) r') fun i₂ x₂ ↦
      DFinsupp.sum r fun i₁ x₁ ↦ if i₁ + i₂ = n then ↑x₁ * ↑x₂ else 0) =
    ↑(r j) * ↑r'

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
r : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
i : ι
r' : ↥(A i)
j n : ι
H : ∀ (x : ι), x + i = n ↔ x = j
⊢ (DFinsupp.sum ((of (fun i ↦ ↥(A i)) i) r') fun i₂ x₂ ↦
      DFinsupp.sum r fun i₁ x₁ ↦ if i₁ + i₂ = n then ↑x₁ * ↑x₂ else 0) =
    ↑(r j) * ↑r'
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
n : Type u_11
m : Type u_12
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
M : Matrix m n R
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
b₁ : Basis m R M₁
b₂ : Basis n R M₂
⊢ M.Nondegenerate ↔ M.Nondegenerate

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
n : Type u_11
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : IsDomain R
M : Matrix n n R
⊢ M.det ≠ 0 ↔ M.det ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M₁ : Type u_6
m : Type u_12
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R M₁
b : Basis m R M₁
B : M₁ →ₗ[R] M₁ →ₗ[R] R
⊢ B.SeparatingLeft ↔ B.SeparatingLeft

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M₁ : Type u_6
m : Type u_12
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R M₁
b : Basis m R M₁
B : M₁ →ₗ[R] M₁ →ₗ[R] R
⊢ B.SeparatingRight ↔ B.SeparatingRight

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsCancelAdd R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
B : BilinMap R M R
x y : M
h : LinearMap.IsSymm B
this : AddCancelMonoid R :=
  let __src := inst✝²;
  let __src_1 := inferInstance;
  { toAddMonoid := __src_1.toAddMonoid, toIsLeftCancelAdd := ⋯, toIsRightCancelAdd := ⋯ }
⊢ (B x) y = 0 ↔ (B x) y = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M₁ : Type u_6
m : Type u_12
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R M₁
b : Basis m R M₁
B : M₁ →ₗ[R] M₁ →ₗ[R] R
⊢ B.Nondegenerate ↔ B.Nondegenerate

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticMap R M R
hB : Q.Anisotropic
x : M
hx : ∀ (y : M), ((associated' Q) x) y = 0
⊢ Q x = ((associated' Q) x) x

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticMap R M R
hB : Q.Anisotropic
x : M
hx : ∀ (y : M), ((associated' Q) x) y = 0
⊢ Q x = ((associated' Q) x) x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: M : Type u_4
N : Type u_5
R₂ : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : PartialOrder N
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R₂ N
Q : QuadraticMap R₂ M N
hQ : Q.PosDef
x : M
hQx : Q x = 0
hx : ¬x = 0
this : 0 < 0
⊢ 0 < 0

Tactic:
]

Goal state after:
M : Type u_4
N : Type u_5
R₂ : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : PartialOrder N
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R₂ N
Q : QuadraticMap R₂ M N
hQ : Q.PosDef
x : M
hQx : Q x = 0
hx : ¬x = 0
this : 0 < 0
⊢ 0 < 0
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
r : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
i : ι
r' : ↥(A i)
j n : ι
H : ∀ (x : ι), x + i = n ↔ x = j
h : j ∉ DFinsupp.support r
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
r : ↥(A 0)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
j _x : ι
⊢ _x = j ↔ _x = j

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: M : Type u_4
N : Type u_5
R₂ : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : PartialOrder N
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R₂ N
Q : QuadraticMap R₂ M N
hQ : Q.PosDef
x : M
h : Q x ≤ 0
this : Q x = 0
⊢ x = ?x

pp: case x
M : Type u_4
N : Type u_5
R₂ : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : PartialOrder N
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R₂ N
Q : QuadraticMap R₂ M N
hQ : Q.PosDef
x : M
h : Q x ≤ 0
this : Q x = 0
⊢ M

pp: case a
M : Type u_4
N : Type u_5
R₂ : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : PartialOrder N
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R₂ N
Q : QuadraticMap R₂ M N
hQ : Q.PosDef
x : M
h : Q x ≤ 0
this : Q x = 0
⊢ Q ?x = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case a
M : Type u_4
N : Type u_5
R₂ : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : PartialOrder N
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R₂ N
Q : QuadraticMap R₂ M N
hQ : Q.PosDef
x : M
h : Q x ≤ 0
this : Q x = 0
⊢ Q x = 0
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : SetLike σ R
inst✝² : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
r : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
r' : ↥(A 0)
j _x : ι
⊢ _x = j ↔ _x = j

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ (DFinsupp.sum ((of (fun i ↦ ↥(A i)) i) r) fun i ri ↦ DFinsupp.sum r' fun j rj ↦ if i + j = n then ↑ri * ↑rj else 0) =
    0

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ (DFinsupp.sum ((of (fun i ↦ ↥(A i)) i) r) fun i ri ↦ DFinsupp.sum r' fun j rj ↦ if i + j = n then ↑ri * ↑rj else 0) =
    0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
n : Type w
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R (n → R)
i j : n
⊢ (((QuadraticMap.associatedHom R) Q) (Pi.single i 1)) (Pi.single j 1) =
    ((QuadraticMap.associated Q) (Pi.single i 1)) (Pi.single j 1)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.CliffordAlgebra.Conjugation

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ (ι Q).range = (ι Q).range

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
N : Type u_5
n : Type w
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Invertible 2
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
b : Basis n R N
Q : QuadraticForm R N
i j : n
⊢ (((QuadraticMap.associatedHom R) Q) (b i)) (b j) = ((QuadraticMap.associated Q) (b i)) (b j)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ 0 = 0

pp: case h
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ ∀ x ∈ DFinsupp.support r', ¬i + x = n

Tactic:
]

Goal state after:
case h
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ ∀ x ∈ DFinsupp.support r', ¬i + x = n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.CliffordAlgebra.Conjugation

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ZMod 2
⊢ evenOdd Q n = evenOdd Q n

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.CliffordAlgebra.Conjugation

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ Submodule.map (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R).symm ∘ₗ ↑(MulOpposite.opLinearEquiv R)) (ι Q).range = (ι Q).range

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
⊢ Submodule.map (↑(MulOpposite.opLinearEquiv R).symm ∘ₗ ↑(MulOpposite.opLinearEquiv R)) (ι Q).range = (ι Q).range
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
r : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
i : ι
r' : ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ (DFinsupp.sum ((of (fun i ↦ ↥(A i)) i) r') fun i₂ x₂ ↦
      DFinsupp.sum r fun i₁ x₁ ↦ if i₁ + i₂ = n then ↑x₁ * ↑x₂ else 0) =
    0

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
r : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
i : ι
r' : ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ (DFinsupp.sum ((of (fun i ↦ ↥(A i)) i) r') fun i₂ x₂ ↦
      DFinsupp.sum r fun i₁ x₁ ↦ if i₁ + i₂ = n then ↑x₁ * ↑x₂ else 0) =
    0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
n : Type w
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R (n → R)
⊢ Q.toMatrix'.det = Q.toMatrix'.det

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: case succ.inl
K : Type v
inst✝³ : Field K
hK : Invertible 2
d : ℕ
ih :
  ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V},
    IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
V : Type u
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
hd : finrank K V = d + 1
hB₂ : IsSymm 0
b : Basis (Fin (d + 1)) K V
⊢ ∃ v, IsOrthoᵢ 0 ⇑v

Tactic:
]

Goal state after:
case succ.inl
K : Type v
inst✝³ : Field K
hK : Invertible 2
d : ℕ
ih :
  ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V},
    IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
V : Type u
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
hd : finrank K V = d + 1
hB₂ : IsSymm 0
b : Basis (Fin (d + 1)) K V
⊢ ∃ v, IsOrthoᵢ 0 ⇑v
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: case succ.inr
K : Type v
inst✝³ : Field K
hK : Invertible 2
d : ℕ
ih :
  ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V},
    IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
V : Type u
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB₂ : IsSymm B
hB₁ : B ≠ 0
x : V
hd : finrank K ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) + 1 = d + 1
hx : (B x) x ≠ 0
⊢ ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v

Tactic:
]

Goal state after:
case succ.inr
K : Type v
inst✝³ : Field K
hK : Invertible 2
d : ℕ
ih :
  ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V},
    IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
V : Type u
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB₂ : IsSymm B
hB₁ : B ≠ 0
x : V
hd : finrank K ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) + 1 = d + 1
hx : (B x) x ≠ 0
⊢ ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
r : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
i : ι
r' : ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ 0 = 0

pp: case h
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
r : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
i : ι
r' : ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ ∀ x ∈ DFinsupp.support r, ¬x + i = n

Tactic:
]

Goal state after:
case h
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
r : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
i : ι
r' : ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ ∀ x ∈ DFinsupp.support r, ¬x + i = n
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : SetLike σ R
inst✝⁷ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : PartialOrder ι
inst✝⁴ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝³ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝² : Sub ι
inst✝¹ : OrderedSub ι
inst✝ : AddLeftReflectLE ι
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : i ≤ n
x : ι
⊢ x + i = n ↔ x + i = n

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Algebra S R
p : Submodule S R
⊢ 1 ≤ 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Internal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Algebra S R
p✝ : Submodule S R
i j : ℕ
p q : R
hp : p ∈ p✝ ^ i
hq : q ∈ p✝ ^ j
⊢ p * q ∈ p✝ ^ i * p✝ ^ j

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Algebra S R
p✝ : Submodule S R
i j : ℕ
p q : R
hp : p ∈ p✝ ^ i
hq : q ∈ p✝ ^ j
⊢ p * q ∈ p✝ ^ i * p✝ ^ j