mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.Compression.UV

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝³ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝² : v \ u = v
this✝¹ : x ∉ u
hus : u ⊆ s
w : α
hwB : w ∉ (s ∪ v) \ u
hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'
this✝ : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)
hwu : w ∈ u
z : α
hz : z ∈ v
hxy : IsCompressed (u.erase w) (v.erase z) 𝒜
this : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜
⊢ insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝³ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝² : v \ u = v
this✝¹ : x ∉ u
hus : u ⊆ s
w : α
hwB : w ∉ (s ∪ v) \ u
hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'
this✝ : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)
hwu : w ∈ u
z : α
hz : z ∈ v
hxy : IsCompressed (u.erase w) (v.erase z) 𝒜
this : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜
⊢ insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.HarrisKleitman

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ
⊢ 2 ^ Fintype.card α * #(ℬ ∩ 𝒜) ≤ #ℬ * #𝒜

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ
⊢ 2 ^ Fintype.card α * #(ℬ ∩ 𝒜) ≤ #ℬ * #𝒜
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.HarrisKleitman

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜ᶜ
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ
⊢ #𝒜 * #ℬ ≤ 2 ^ Fintype.card α * #(𝒜 ∩ ℬ)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜ᶜ
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ
⊢ #𝒜 * #ℬ ≤ 2 ^ Fintype.card α * #(𝒜 ∩ ℬ)
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.Intersecting

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
h : ∀ (t : Finset α), (↑t).Intersecting → s ⊆ t → s = t
a b : α
hab : a ≤ b
ha : a ∈ ↑s
⊢ b ∈ ↑(insert b s)

pp: α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
h : ∀ (t : Finset α), (↑t).Intersecting → s ⊆ t → s = t
a b : α
hab : a ≤ b
ha : a ∈ ↑s
⊢ (↑(insert b s)).Intersecting

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
h : ∀ (t : Finset α), (↑t).Intersecting → s ⊆ t → s = t
a b : α
hab : a ≤ b
ha : a ∈ ↑s
⊢ b ∈ ↑(insert b s)

α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
h : ∀ (t : Finset α), (↑t).Intersecting → s ⊆ t → s = t
a b : α
hab : a ≤ b
ha : a ∈ ↑s
⊢ (↑(insert b s)).Intersecting
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.Compression.UV

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝³ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝² : v \ u = v
this✝¹ : x ∉ u
hus : u ⊆ s
w : α
hwB : w ∉ (s ∪ v) \ u
hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'
this✝ : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)
hwu : w ∈ u
z : α
hz : z ∈ v
hxy : IsCompressed (u.erase w) (v.erase z) 𝒜
this : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜
⊢ Disjoint (u.erase w) ((s ∪ v) \ u.erase w)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝³ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝² : v \ u = v
this✝¹ : x ∉ u
hus : u ⊆ s
w : α
hwB : w ∉ (s ∪ v) \ u
hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'
this✝ : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)
hwu : w ∈ u
z : α
hz : z ∈ v
hxy : IsCompressed (u.erase w) (v.erase z) 𝒜
this : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜
⊢ Disjoint (u.erase w) ((s ∪ v) \ u.erase w)
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.Intersecting

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
h : ∀ (t : Finset α), (↑t).Intersecting → s ⊆ t → s = t
a b : α
hab : a ≤ b
ha : a ∈ ↑s
⊢ (insert b ↑s).Intersecting

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
h : ∀ (t : Finset α), (↑t).Intersecting → s ⊆ t → s = t
a b : α
hab : a ≤ b
ha : a ∈ ↑s
⊢ (insert b ↑s).Intersecting
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.Intersecting

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
⊢ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ map { toFun := compl, inj' := ⋯ } s

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
⊢ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ map { toFun := compl, inj' := ⋯ } s
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.Compression.UV

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝⁴ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝³ : v \ u = v
this✝² : x ∉ u
hus : u ⊆ s
w : α
hwB : w ∉ (s ∪ v) \ u
hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'
this✝¹ : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)
hwu : w ∈ u
z : α
hz : z ∈ v
hxy : IsCompressed (u.erase w) (v.erase z) 𝒜
this✝ : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜
this : (insert w ((s ∪ v) \ u) ∪ u.erase w) \ v.erase z ∈ 𝒜
⊢ insert z s = insert z s

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.FourFunctions

Goal state before:
pp: β : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
a₀ a₁ b₀ b₁ c₀ c₁ d₀ d₁ : β
ha₀ : 0 ≤ a₀
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₀ : 0 ≤ b₀
hb₁ : 0 ≤ b₁
hc₀ : 0 ≤ c₀
hc₁ : 0 ≤ c₁
hd₀ : 0 ≤ d₀
hd₁ : 0 ≤ d₁
h₀₀ : a₀ * b₀ ≤ c₀ * d₀
h₁₀ : a₁ * b₀ ≤ c₀ * d₁
h₀₁ : a₀ * b₁ ≤ c₀ * d₁
h₁₁ : a₁ * b₁ ≤ c₁ * d₁
⊢ (a₀ + a₁) * (b₀ + b₁) = a₀ * b₀ + (a₀ * b₁ + a₁ * b₀) + a₁ * b₁

Tactic:
by ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.FourFunctions

Goal state before:
pp: β : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
a₀ a₁ b₀ b₁ c₀ c₁ d₀ d₁ : β
ha₀ : 0 ≤ a₀
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₀ : 0 ≤ b₀
hb₁ : 0 ≤ b₁
hc₀ : 0 ≤ c₀
hc₁ : 0 ≤ c₁
hd₀ : 0 ≤ d₀
hd₁ : 0 ≤ d₁
h₀₀ : a₀ * b₀ ≤ c₀ * d₀
h₁₀ : a₁ * b₀ ≤ c₀ * d₁
h₀₁ : a₀ * b₁ ≤ c₀ * d₁
h₁₁ : a₁ * b₁ ≤ c₁ * d₁
⊢ c₀ * d₀ + (c₀ * d₁ + c₁ * d₀) + c₁ * d₁ = (c₀ + c₁) * (d₀ + d₁)

Tactic:
by ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.FourFunctions

Goal state before:

Tactic:
_ = a₀ * b₀ + (a₀ * b₁ + a₁ * b₀) + a₁ * b₁ := by ring
    _ ≤ c₀ * d₀ + (c₀ * d₁ + c₁ * d₀) + c₁ * d₁ := add_le_add_three h₀₀ ?_ h₁₁
    _ = (c₀ + c₁) * (d₀ + d₁) := by ring

Goal state after:
β : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
a₀ a₁ b₀ b₁ c₀ c₁ d₀ d₁ : β
ha₀ : 0 ≤ a₀
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₀ : 0 ≤ b₀
hb₁ : 0 ≤ b₁
hc₀ : 0 ≤ c₀
hc₁ : 0 ≤ c₁
hd₀ : 0 ≤ d₀
hd₁ : 0 ≤ d₁
h₀₀ : a₀ * b₀ ≤ c₀ * d₀
h₁₀ : a₁ * b₀ ≤ c₀ * d₁
h₀₁ : a₀ * b₁ ≤ c₀ * d₁
h₁₁ : a₁ * b₁ ≤ c₁ * d₁
⊢ a₀ * b₁ + a₁ * b₀ ≤ c₀ * d₁ + c₁ * d₀
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.HarrisKleitman

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜ᶜ
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ
this : #𝒜 * #ℬ ≤ 2 ^ Fintype.card α * #(𝒜 ⊓ ℬ)
⊢ #𝒜 * #ℬ ≤ 2 ^ Fintype.card α * #(𝒜 ∩ ℬ)

pp: case h₁
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜ᶜ
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ
this : 2 ^ Fintype.card α * #(𝒜ᶜ ∩ ℬ) ≤ 2 ^ Fintype.card α * #ℬ - #𝒜 * #ℬ
⊢ 2 ^ Fintype.card α * #(𝒜ᶜ ∩ ℬ) ≤ 2 ^ Fintype.card α * #ℬ

pp: case h₂
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜ᶜ
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ
this : 2 ^ Fintype.card α * #(𝒜ᶜ ∩ ℬ) ≤ 2 ^ Fintype.card α * #ℬ - #𝒜 * #ℬ
⊢ #𝒜 * #ℬ ≤ 2 ^ Fintype.card α * #ℬ

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜ᶜ
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ
this : #𝒜 * #ℬ ≤ 2 ^ Fintype.card α * #(𝒜 ⊓ ℬ)
⊢ #𝒜 * #ℬ ≤ 2 ^ Fintype.card α * #(𝒜 ∩ ℬ)

case h₁
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜ᶜ
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ
this : 2 ^ Fintype.card α * #(𝒜ᶜ ∩ ℬ) ≤ 2 ^ Fintype.card α * #ℬ - #𝒜 * #ℬ
⊢ 2 ^ Fintype.card α * #(𝒜ᶜ ∩ ℬ) ≤ 2 ^ Fintype.card α * #ℬ

case h₂
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜ᶜ
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ
this : 2 ^ Fintype.card α * #(𝒜ᶜ ∩ ℬ) ≤ 2 ^ Fintype.card α * #ℬ - #𝒜 * #ℬ
⊢ #𝒜 * #ℬ ≤ 2 ^ Fintype.card α * #ℬ
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.Compression.UV

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝² : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝¹ : v \ u = v
this✝ : x ∉ u
hus : u ⊆ s
w : α
hwB : w ∈ s ∪ v → w ∈ u
hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'
this : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)
hwu : w ∉ u
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝² : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝¹ : v \ u = v
this✝ : x ∉ u
hus : u ⊆ s
w : α
hwB : w ∈ s ∪ v → w ∈ u
hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'
this : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)
hwu : w ∉ u
⊢ False
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.Intersecting

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
⊢ #s + #s = #s + #s

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.HarrisKleitman

Goal state before:
pp: case h₁
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜ᶜ
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ
this : 2 ^ Fintype.card α * #(𝒜ᶜ ∩ ℬ) ≤ 2 ^ Fintype.card α * #ℬ - #𝒜 * #ℬ
⊢ 2 ^ Fintype.card α * #ℬ ≤ 2 ^ Fintype.card α * #ℬ

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.FourFunctions

Goal state before:
pp: case inl
β : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
a₀ a₁ b₀ b₁ c₀ c₁ d₀ d₁ : β
ha₀ : 0 ≤ a₀
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₀ : 0 ≤ b₀
hb₁ : 0 ≤ b₁
hc₀ : 0 ≤ c₀
hc₁ : 0 ≤ c₁
hd₀ : 0 ≤ d₀
hd₁ : 0 ≤ d₁
h₀₀ : a₀ * b₀ ≤ c₀ * d₀
h₁₀ : a₁ * b₀ ≤ 0
h₀₁ : a₀ * b₁ ≤ 0
h₁₁ : a₁ * b₁ ≤ c₁ * d₁
hcd : c₀ * d₁ = 0
⊢ a₀ * b₁ + a₁ * b₀ ≤ c₀ * d₁ + c₁ * d₀

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
β : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
a₀ a₁ b₀ b₁ c₀ c₁ d₀ d₁ : β
ha₀ : 0 ≤ a₀
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₀ : 0 ≤ b₀
hb₁ : 0 ≤ b₁
hc₀ : 0 ≤ c₀
hc₁ : 0 ≤ c₁
hd₀ : 0 ≤ d₀
hd₁ : 0 ≤ d₁
h₀₀ : a₀ * b₀ ≤ c₀ * d₀
h₁₀ : a₁ * b₀ ≤ 0
h₀₁ : a₀ * b₁ ≤ 0
h₁₁ : a₁ * b₁ ≤ c₁ * d₁
hcd : c₀ * d₁ = 0
⊢ a₀ * b₁ + a₁ * b₀ ≤ c₀ * d₁ + c₁ * d₀
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.HarrisKleitman

Goal state before:
pp: case h₂
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜ᶜ
hℬ : IsUpperSet ↑ℬ
this : 2 ^ Fintype.card α * #(𝒜ᶜ ∩ ℬ) ≤ 2 ^ Fintype.card α * #ℬ - #𝒜 * #ℬ
⊢ Fintype.card (Finset α) * #ℬ ≤ Fintype.card (Finset α) * #ℬ

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.Kleitman

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
s : Finset ι
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting
this : DecidableEq ι
hs : Fintype.card α ≤ #s
⊢ #(s.biUnion f) ≤ 2 ^ Fintype.card α - 1

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
s : Finset ι
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting
this : DecidableEq ι
hs : Fintype.card α ≤ #s
⊢ #(s.biUnion f) ≤ 2 ^ Fintype.card α - 1
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.Kleitman

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
s : Finset ι
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting
this : DecidableEq ι
hs : Fintype.card α ≤ #s
⊢ 2 ^ Fintype.card α - 1 = 2 ^ Fintype.card α - 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.FourFunctions

Goal state before:
pp: case inl
β : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
a₀ a₁ b₀ b₁ c₀ c₁ d₀ d₁ : β
ha₀ : 0 ≤ a₀
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₀ : 0 ≤ b₀
hb₁ : 0 ≤ b₁
hc₀ : 0 ≤ c₀
hc₁ : 0 ≤ c₁
hd₀ : 0 ≤ d₀
hd₁ : 0 ≤ d₁
h₀₀ : a₀ * b₀ ≤ c₀ * d₀
h₁₀ : a₁ * b₀ ≤ 0
h₀₁ : a₀ * b₁ ≤ 0
h₁₁ : a₁ * b₁ ≤ c₁ * d₁
hcd : c₀ * d₁ = 0
⊢ 0 ≤ c₀ * d₁ + c₁ * d₀

pp: case inl
β : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
a₀ a₁ b₀ b₁ c₀ c₁ d₀ d₁ : β
ha₀ : 0 ≤ a₀
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₀ : 0 ≤ b₀
hb₁ : 0 ≤ b₁
hc₀ : 0 ≤ c₀
hc₁ : 0 ≤ c₁
hd₀ : 0 ≤ d₀
hd₁ : 0 ≤ d₁
h₀₀ : a₀ * b₀ ≤ c₀ * d₀
h₁₀ : a₁ * b₀ ≤ 0
h₀₁ : a₀ * b₁ ≤ 0
h₁₁ : a₁ * b₁ ≤ c₁ * d₁
hcd : c₀ * d₁ = 0
⊢ 0 ≤ a₁ * b₀

pp: case inl
β : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
a₀ a₁ b₀ b₁ c₀ c₁ d₀ d₁ : β
ha₀ : 0 ≤ a₀
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₀ : 0 ≤ b₀
hb₁ : 0 ≤ b₁
hc₀ : 0 ≤ c₀
hc₁ : 0 ≤ c₁
hd₀ : 0 ≤ d₀
hd₁ : 0 ≤ d₁
h₀₀ : a₀ * b₀ ≤ c₀ * d₀
h₁₀ : a₁ * b₀ ≤ 0
h₀₁ : a₀ * b₁ ≤ 0
h₁₁ : a₁ * b₁ ≤ c₁ * d₁
hcd : c₀ * d₁ = 0
⊢ 0 ≤ a₀ * b₁

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
β : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
a₀ a₁ b₀ b₁ c₀ c₁ d₀ d₁ : β
ha₀ : 0 ≤ a₀
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₀ : 0 ≤ b₀
hb₁ : 0 ≤ b₁
hc₀ : 0 ≤ c₀
hc₁ : 0 ≤ c₁
hd₀ : 0 ≤ d₀
hd₁ : 0 ≤ d₁
h₀₀ : a₀ * b₀ ≤ c₀ * d₀
h₁₀ : a₁ * b₀ ≤ 0
h₀₁ : a₀ * b₁ ≤ 0
h₁₁ : a₁ * b₁ ≤ c₁ * d₁
hcd : c₀ * d₁ = 0
⊢ 0 ≤ c₀ * d₁ + c₁ * d₀

case inl
β : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
a₀ a₁ b₀ b₁ c₀ c₁ d₀ d₁ : β
ha₀ : 0 ≤ a₀
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₀ : 0 ≤ b₀
hb₁ : 0 ≤ b₁
hc₀ : 0 ≤ c₀
hc₁ : 0 ≤ c₁
hd₀ : 0 ≤ d₀
hd₁ : 0 ≤ d₁
h₀₀ : a₀ * b₀ ≤ c₀ * d₀
h₁₀ : a₁ * b₀ ≤ 0
h₀₁ : a₀ * b₁ ≤ 0
h₁₁ : a₁ * b₁ ≤ c₁ * d₁
hcd : c₀ * d₁ = 0
⊢ 0 ≤ a₁ * b₀

case inl
β : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
a₀ a₁ b₀ b₁ c₀ c₁ d₀ d₁ : β
ha₀ : 0 ≤ a₀
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₀ : 0 ≤ b₀
hb₁ : 0 ≤ b₁
hc₀ : 0 ≤ c₀
hc₁ : 0 ≤ c₁
hd₀ : 0 ≤ d₀
hd₁ : 0 ≤ d₁
h₀₀ : a₀ * b₀ ≤ c₀ * d₀
h₁₀ : a₁ * b₀ ≤ 0
h₀₁ : a₀ * b₁ ≤ 0
h₁₁ : a₁ * b₁ ≤ c₁ * d₁
hcd : c₀ * d₁ = 0
⊢ 0 ≤ a₀ * b₁
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.Intersecting

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
h : ∀ (t : Finset α), (↑t).Intersecting → s ⊆ t → s = t
this : s.disjUnion (map { toFun := compl, inj' := ⋯ } s) ⋯ = Finset.univ
⊢ #s + #s = #s + #s

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.FourFunctions

Goal state before:
pp: β : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
a₀ a₁ b₀ b₁ c₀ c₁ d₀ d₁ : β
ha₀ : 0 ≤ a₀
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₀ : 0 ≤ b₀
hb₁ : 0 ≤ b₁
hc₀ : 0 ≤ c₀
hc₁ : 0 ≤ c₁
hd₀ : 0 ≤ d₀
hd₁ : 0 ≤ d₁
h₀₀ : a₀ * b₀ ≤ c₀ * d₀
h₁₀ : a₁ * b₀ ≤ c₀ * d₁
h₀₁ : a₀ * b₁ ≤ c₀ * d₁
h₁₁ : a₁ * b₁ ≤ c₁ * d₁
hcd : 0 < c₀ * d₁
⊢ (a₀ * b₁ + a₁ * b₀) * (c₀ * d₁) = a₀ * b₁ * (c₀ * d₁) + c₀ * d₁ * (a₁ * b₀)

Tactic:
by ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.FourFunctions

Goal state before:
pp: β : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
a₀ a₁ b₀ b₁ c₀ c₁ d₀ d₁ : β
ha₀ : 0 ≤ a₀
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₀ : 0 ≤ b₀
hb₁ : 0 ≤ b₁
hc₀ : 0 ≤ c₀
hc₁ : 0 ≤ c₁
hd₀ : 0 ≤ d₀
hd₁ : 0 ≤ d₁
h₀₀ : a₀ * b₀ ≤ c₀ * d₀
h₁₀ : a₁ * b₀ ≤ c₀ * d₁
h₀₁ : a₀ * b₁ ≤ c₀ * d₁
h₁₁ : a₁ * b₁ ≤ c₁ * d₁
hcd : 0 < c₀ * d₁
⊢ a₀ * b₁ * (a₁ * b₀) + c₀ * d₁ * (c₀ * d₁) = a₀ * b₀ * (a₁ * b₁) + c₀ * d₁ * (c₀ * d₁)

Tactic:
by ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.FourFunctions

Goal state before:
pp: β : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
a₀ a₁ b₀ b₁ c₀ c₁ d₀ d₁ : β
ha₀ : 0 ≤ a₀
ha₁ : 0 ≤ a₁
hb₀ : 0 ≤ b₀
hb₁ : 0 ≤ b₁
hc₀ : 0 ≤ c₀
hc₁ : 0 ≤ c₁
hd₀ : 0 ≤ d₀
hd₁ : 0 ≤ d₁
h₀₀ : a₀ * b₀ ≤ c₀ * d₀
h₁₀ : a₁ * b₀ ≤ c₀ * d₁
h₀₁ : a₀ * b₁ ≤ c₀ * d₁
h₁₁ : a₁ * b₁ ≤ c₁ * d₁
hcd : 0 < c₀ * d₁
⊢ c₀ * d₀ * (c₁ * d₁) + c₀ * d₁ * (c₀ * d₁) = (c₀ * d₁ + c₁ * d₀) * (c₀ * d₁)

Tactic:
by ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.Kleitman

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih :
  ∀ (f : ι → Finset (Finset α)),
    (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) →
      #s ≤ Fintype.card α → #(s.biUnion f) ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - #s)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : #(cons i s hi) ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j ↦ if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * #(f' j) = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
j : ι
hj : j ∈ cons i s hi
⊢ 2 * #(f' j) = 2 ^ Fintype.card α

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih :
  ∀ (f : ι → Finset (Finset α)),
    (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) →
      #s ≤ Fintype.card α → #(s.biUnion f) ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - #s)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : #(cons i s hi) ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j ↦ if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * #(f' j) = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
j : ι
hj : j ∈ cons i s hi
⊢ 2 * #(f' j) = 2 ^ Fintype.card α
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.Kleitman

Goal state before:
pp: case inr.cons
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih :
  ∀ (f : ι → Finset (Finset α)),
    (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) →
      #s ≤ Fintype.card α → #(s.biUnion f) ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - #s)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : #(cons i s hi) ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j ↦ if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * #(f' j) = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)
⊢ #((insert i s).biUnion f') ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - #(cons i s hi))

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.cons
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih :
  ∀ (f : ι → Finset (Finset α)),
    (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) →
      #s ≤ Fintype.card α → #(s.biUnion f) ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - #s)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : #(cons i s hi) ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j ↦ if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * #(f' j) = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)
⊢ #((insert i s).biUnion f') ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - #(cons i s hi))
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.Intersecting

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
h : ∀ (t : Finset α), (↑t).Intersecting → s ⊆ t → s = t
⊢ ↑s ∪ compl ⁻¹' ↑s = univ

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
h : ∀ (t : Finset α), (↑t).Intersecting → s ⊆ t → s = t
⊢ ↑s ∪ compl ⁻¹' ↑s = univ
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.FourFunctions

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommSemiring β
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
𝒜 : Finset (Finset α)
f : Finset α → β
⊢ ∑ t ∈ if s ∈ 𝒜 then if insert a s ∈ 𝒜 then {s, insert a s} else {s} else if insert a s ∈ 𝒜 then {insert a s} else ∅,
      f t =
    (if s ∈ 𝒜 then f s else 0) + if insert a s ∈ 𝒜 then f (insert a s) else 0

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommSemiring β
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
𝒜 : Finset (Finset α)
f : Finset α → β
⊢ ∑ t ∈ if s ∈ 𝒜 then if insert a s ∈ 𝒜 then {s, insert a s} else {s} else if insert a s ∈ 𝒜 then {insert a s} else ∅,
      f t =
    (if s ∈ 𝒜 then f s else 0) + if insert a s ∈ 𝒜 then f (insert a s) else 0
Module: Mathlib.Combinatorics.SetFamily.Kleitman

Goal state before:
pp: case inr.cons
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih :
  ∀ (f : ι → Finset (Finset α)),
    (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) →
      #s ≤ Fintype.card α → #(s.biUnion f) ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - #s)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : #(cons i s hi) ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j ↦ if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * #(f' j) = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)
⊢ #(f' i ∪ s.biUnion f') ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - #(cons i s hi))

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.cons
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih :
  ∀ (f : ι → Finset (Finset α)),
    (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) →
      #s ≤ Fintype.card α → #(s.biUnion f) ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - #s)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : #(cons i s hi) ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j ↦ if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * #(f' j) = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)
⊢ #(f' i ∪ s.biUnion f') ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - #(cons i s hi))