mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: case inr.inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
inst✝¹ : FiniteDimensional k ↥s₁.direction
inst✝ : FiniteDimensional k ↥s₂.direction
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s₁
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ ↑s₂
⊢ FiniteDimensional k ↥(s₁.direction ⊔ s₂.direction ⊔ k ∙ (p₂ -ᵥ p₁))

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
inst✝¹ : FiniteDimensional k ↥s₁.direction
inst✝ : FiniteDimensional k ↥s₂.direction
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ ↑s₁
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ ↑s₂
⊢ FiniteDimensional k ↥(s₁.direction ⊔ s₂.direction ⊔ k ∙ (p₂ -ᵥ p₁))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ (↑n)⁻¹ • ∑ x, -1 • (s.points x -ᵥ s.points i) = (↑n)⁻¹ • ∑ x, (s.points i -ᵥ s.points x)

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ (↑n)⁻¹ • ∑ x, -1 • (s.points x -ᵥ s.points i) = (↑n)⁻¹ • ∑ x, (s.points i -ᵥ s.points x)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁷ : DivisionRing k
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module k V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module k V₂
inst✝¹ : AffineSpace V₂ P₂
s : AffineSubspace k P
inst✝ : FiniteDimensional k ↥s.direction
f : P →ᵃ[k] P₂
⊢ FiniteDimensional k ↥(Submodule.map f.linear s.direction)

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁷ : DivisionRing k
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module k V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module k V₂
inst✝¹ : AffineSpace V₂ P₂
s : AffineSubspace k P
inst✝ : FiniteDimensional k ↥s.direction
f : P →ᵃ[k] P₂
⊢ FiniteDimensional k ↥(Submodule.map f.linear s.direction)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
u : H →L[𝕜] K
⊢ adjoint u ∘SL u = 1 ↔ adjoint u ∘SL u = 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points i) = ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points i)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : #s = n + 1
hi' : AffineIndependent k fun x ↦ ↑x
⊢ #s = n + 1

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : #s = n + 1
hi' : AffineIndependent k fun x ↦ ↑x
⊢ #s = n + 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i j : Fin (n + 1)
⊢ (↑n)⁻¹ • ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points i) - (↑n)⁻¹ • ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points j) + (s.points i -ᵥ s.points j) =
    (↑n)⁻¹ • (s.points j -ᵥ s.points i)

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i j : Fin (n + 1)
⊢ (↑n)⁻¹ • ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points i) - (↑n)⁻¹ • ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points j) + (s.points i -ᵥ s.points j) =
    (↑n)⁻¹ • (s.points j -ᵥ s.points i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : #s = n + 1
hc' : #(Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hi' : LinearIndependent k fun (v : ↑↑(Finset.image (fun p ↦ p -ᵥ p₁) ((Finset.image p s).erase p₁))) ↦ ↑v
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
hp₁' : p₁ ∈ p '' ↑s
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k ↑(Finset.image p s)) = n

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : #s = n + 1
hc' : #(Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hi' : LinearIndependent k fun (v : ↑↑(Finset.image (fun p ↦ p -ᵥ p₁) ((Finset.image p s).erase p₁))) ↦ ↑v
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
hp₁' : p₁ ∈ p '' ↑s
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k ↑(Finset.image p s)) = n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : #s = n + 1
hc' : #(Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hi' : LinearIndependent k fun (v : ↑↑(Finset.image (fun p ↦ p -ᵥ p₁) ((Finset.image p s).erase p₁))) ↦ ↑v
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
hp₁' : p₁ ∈ p '' ↑s
⊢ #(Finset.image p s) - 1 = n

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : #s = n + 1
hc' : #(Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hi' : LinearIndependent k fun (v : ↑↑(Finset.image (fun p ↦ p -ᵥ p₁) ((Finset.image p s).erase p₁))) ↦ ↑v
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
hp₁' : p₁ ∈ p '' ↑s
⊢ #(Finset.image p s) - 1 = n
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
e : H ≃ₗᵢ[𝕜] K
⊢ ↑↑e.symm = ↑↑e.symm

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i j : Fin (n + 1)
h1 : ∀ (i : Fin (n + 1)), ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points i) = ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points 0 - (s.points i -ᵥ s.points 0))
⊢ (↑n)⁻¹ • (n + 1) • (s.points j -ᵥ s.points i) + (s.points i -ᵥ s.points j) = (↑n)⁻¹ • (s.points j -ᵥ s.points i)

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i j : Fin (n + 1)
h1 : ∀ (i : Fin (n + 1)), ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points i) = ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points 0 - (s.points i -ᵥ s.points 0))
⊢ (↑n)⁻¹ • (n + 1) • (s.points j -ᵥ s.points i) + (s.points i -ᵥ s.points j) = (↑n)⁻¹ • (s.points j -ᵥ s.points i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc✝ : #s = n + 1
hc' : #(Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hi' : LinearIndependent k fun (v : ↑↑(Finset.image (fun p ↦ p -ᵥ p₁) ((Finset.image p s).erase p₁))) ↦ ↑v
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
hp₁' : p₁ ∈ p '' ↑s
hc : #(Finset.image (fun x ↦ x -ᵥ p₁) ((Finset.image p s).erase p₁)) = n
⊢ n = n

pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc✝ : #s = n + 1
hc' : #(Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hi' : LinearIndependent k fun (v : ↑↑(Finset.image (fun p ↦ p -ᵥ p₁) ((Finset.image p s).erase p₁))) ↦ ↑v
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
hp₁' : p₁ ∈ p '' ↑s
hc : #(Finset.image (fun x ↦ x -ᵥ p₁) ((Finset.image p s).erase p₁)) = n
⊢ LinearIndepOn k id ↑(Finset.image (fun x ↦ x -ᵥ p₁) ((Finset.image p s).erase p₁))

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc✝ : #s = n + 1
hc' : #(Finset.image p s) = n + 1
p₁ : P
hi' : LinearIndependent k fun (v : ↑↑(Finset.image (fun p ↦ p -ᵥ p₁) ((Finset.image p s).erase p₁))) ↦ ↑v
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
hp₁' : p₁ ∈ p '' ↑s
hc : #(Finset.image (fun x ↦ x -ᵥ p₁) ((Finset.image p s).erase p₁)) = n
⊢ LinearIndepOn k id ↑(Finset.image (fun x ↦ x -ᵥ p₁) ((Finset.image p s).erase p₁))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
n : ℕ
hc : #Finset.univ = n + 1
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) = n

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
n : ℕ
hc : #Finset.univ = n + 1
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) = n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
n : ℕ
hc : #Finset.univ = n + 1
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k ↑(Finset.image p Finset.univ)) = n

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
n : ℕ
hc : #Finset.univ = n + 1
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k ↑(Finset.image p Finset.univ)) = n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nonempty ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
⊢ Fintype.card ι = Fintype.card ι

pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nonempty ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
⊢ 1 ≤ Fintype.card ι

pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nonempty ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
⊢ 1 ≤ Fintype.card ι

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nonempty ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
⊢ 1 ≤ Fintype.card ι

k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nonempty ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
⊢ 1 ≤ Fintype.card ι
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i j : Fin (n + 1)
h1 : ∀ (i : Fin (n + 1)), ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points i) = ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points 0 - (s.points i -ᵥ s.points 0))
this : s.points i -ᵥ s.points j = -(s.points j -ᵥ s.points i)
⊢ (↑n)⁻¹ • (s.points j -ᵥ s.points i) + (↑n)⁻¹ • n • (s.points j -ᵥ s.points i) =
    (↑n)⁻¹ • (s.points j -ᵥ s.points i) + (s.points j -ᵥ s.points i)

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i j : Fin (n + 1)
h1 : ∀ (i : Fin (n + 1)), ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points i) = ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points 0 - (s.points i -ᵥ s.points 0))
this : s.points i -ᵥ s.points j = -(s.points j -ᵥ s.points i)
⊢ (↑n)⁻¹ • (s.points j -ᵥ s.points i) + (↑n)⁻¹ • n • (s.points j -ᵥ s.points i) =
    (↑n)⁻¹ • (s.points j -ᵥ s.points i) + (s.points j -ᵥ s.points i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
s : Finset ι
n : ℕ
hc : #s = n + 1
⊢ 0 < n + 1

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
s : Finset ι
n : ℕ
hc : #s = n + 1
⊢ 0 < n + 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
s : Finset ι
n : ℕ
hc : #s = n + 1
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
⊢ finrank k ↥(Submodule.span k ↑(Finset.image (fun x ↦ x -ᵥ p₁) ((Finset.image p s).erase p₁))) ≤ n

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
s : Finset ι
n : ℕ
hc : #s = n + 1
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
⊢ finrank k ↥(Submodule.span k ↑(Finset.image (fun x ↦ x -ᵥ p₁) ((Finset.image p s).erase p₁))) ≤ n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
s : Finset ι
n : ℕ
hc : #s = n + 1
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
⊢ #(Finset.image p s) ≤ #s

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
s : Finset ι
n : ℕ
hc : #s = n + 1
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ Finset.image p s
⊢ #(Finset.image p s) ≤ #s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k ↑(Finset.image p Finset.univ)) ≤ n

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k ↑(Finset.image p Finset.univ)) ≤ n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i j : Fin (n + 1)
h1 : ∀ (i : Fin (n + 1)), ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points i) = ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points 0 - (s.points i -ᵥ s.points 0))
this✝ : s.points i -ᵥ s.points j = -(s.points j -ᵥ s.points i)
this : (↑n)⁻¹ • n • (s.points j -ᵥ s.points i) = (↑n)⁻¹ • ↑n • (s.points j -ᵥ s.points i)
⊢ (1 / ↑n) • (s.points j -ᵥ s.points i) + (s.points j -ᵥ s.points i) =
    (1 / ↑n) • (s.points j -ᵥ s.points i) + (s.points j -ᵥ s.points i)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : #Finset.univ = n + 1
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k ↑(Finset.image p Finset.univ)) ≤ n

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : #Finset.univ = n + 1
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k ↑(Finset.image p Finset.univ)) ≤ n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ (↑n)⁻¹ • ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points i) = ((↑n + 1) * ((↑n)⁻¹ - (↑n + 1)⁻¹)) • ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points i)

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ (↑n)⁻¹ • ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points i) = ((↑n + 1) * ((↑n)⁻¹ - (↑n + 1)⁻¹)) • ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: case e_a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ (↑n)⁻¹ = 1 + (↑n)⁻¹ - 1

Tactic:
]

Goal state after:
case e_a
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ (↑n)⁻¹ = 1 + (↑n)⁻¹ - 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ -(s.faceOppositeCentroid i -ᵥ s.points i) = (↑n + 1) • (s.centroid -ᵥ s.faceOppositeCentroid i)

Tactic:
faceOppositeCentroid_vsub_point_eq_smul_vsub,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ -((↑n + 1) • (s.faceOppositeCentroid i -ᵥ s.centroid)) = (↑n + 1) • (s.centroid -ᵥ s.faceOppositeCentroid i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
i₁ : ι
⊢ finrank k ↥(Submodule.span k (Set.range fun i ↦ p ↑i -ᵥ p i₁)) = Fintype.card { x // x ≠ i₁ } ↔
    finrank k ↥(Submodule.span k (Set.range fun i ↦ p ↑i -ᵥ p i₁)) = n

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
i₁ : ι
⊢ finrank k ↥(Submodule.span k (Set.range fun i ↦ p ↑i -ᵥ p i₁)) = Fintype.card { x // x ≠ i₁ } ↔
    finrank k ↥(Submodule.span k (Set.range fun i ↦ p ↑i -ᵥ p i₁)) = n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ (↑n + 1) • (s.centroid -ᵥ s.faceOppositeCentroid i) = (↑n + 1) • (s.centroid -ᵥ s.faceOppositeCentroid i)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : #Finset.univ = n + 1
i₁ : ι
⊢ finrank k ↥(Submodule.span k (Set.range fun i ↦ p ↑i -ᵥ p i₁)) = Fintype.card { x // x ≠ i₁ } ↔
    finrank k ↥(Submodule.span k (Set.range fun i ↦ p ↑i -ᵥ p i₁)) = n

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : #Finset.univ = n + 1
i₁ : ι
⊢ finrank k ↥(Submodule.span k (Set.range fun i ↦ p ↑i -ᵥ p i₁)) = Fintype.card { x // x ≠ i₁ } ↔
    finrank k ↥(Submodule.span k (Set.range fun i ↦ p ↑i -ᵥ p i₁)) = n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : #Finset.univ = n + 1
i₁ : ι
⊢ finrank k ↥(Submodule.span k (Set.range fun i ↦ p ↑i -ᵥ p i₁)) = #{x | x ≠ i₁} ↔
    finrank k ↥(Submodule.span k (Set.range fun i ↦ p ↑i -ᵥ p i₁)) = n

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : #Finset.univ = n + 1
i₁ : ι
⊢ finrank k ↥(Submodule.span k (Set.range fun i ↦ p ↑i -ᵥ p i₁)) = #{x | x ≠ i₁} ↔
    finrank k ↥(Submodule.span k (Set.range fun i ↦ p ↑i -ᵥ p i₁)) = n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ (↑n * ((↑n + 1)⁻¹ - (↑n)⁻¹)) • ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points i) = -(↑n + 1)⁻¹ • ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points i)

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ (↑n * ((↑n + 1)⁻¹ - (↑n)⁻¹)) • ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points i) = -(↑n + 1)⁻¹ • ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points i)