mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
f' : F →L[𝕜] G
H : HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) (f' ∘SL ↑iso) (⇑iso ⁻¹' s) (iso.symm (iso x))
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s (iso x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
f' : F →L[𝕜] G
H : HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) (f' ∘SL ↑iso) (⇑iso ⁻¹' s) (iso.symm (iso x))
⊢ HasFDerivWithinAt f f' s (iso x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
f' : F →L[𝕜] G
H : HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) (f' ∘SL ↑iso) (⇑iso ⁻¹' s) (iso.symm (iso x))
⊢ f = f ∘ id

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
f' : F →L[𝕜] G
H : HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) (f' ∘SL ↑iso) (⇑iso ⁻¹' s) (iso.symm (iso x))
⊢ f = f ∘ id
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
f' : F →L[𝕜] G
H : HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) (f' ∘SL ↑iso) (⇑iso ⁻¹' s) (iso.symm (iso x))
A : f = (f ∘ ⇑iso) ∘ ⇑iso.symm
⊢ f' = f'

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
f' : F →L[𝕜] G
H : HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) (f' ∘SL ↑iso) (⇑iso ⁻¹' s) (iso.symm (iso x))
A : f = (f ∘ ⇑iso) ∘ ⇑iso.symm
B : f' = (f' ∘SL ↑iso) ∘SL ↑iso.symm
⊢ HasFDerivWithinAt ((f ∘ ⇑iso) ∘ ⇑iso.symm) ((f' ∘SL ↑iso) ∘SL ↑iso.symm) s (iso x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
f' : F →L[𝕜] G
H : HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) (f' ∘SL ↑iso) (⇑iso ⁻¹' s) (iso.symm (iso x))
A : f = (f ∘ ⇑iso) ∘ ⇑iso.symm
B : f' = (f' ∘SL ↑iso) ∘SL ↑iso.symm
⊢ HasFDerivWithinAt ((f ∘ ⇑iso) ∘ ⇑iso.symm) ((f' ∘SL ↑iso) ∘SL ↑iso.symm) s (iso x)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Alternating.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : TopologicalSpace N
n : ℕ
f : M [⋀^Fin (n + 1)]→L[R] N
x y : M
v : Fin n → M
⊢ f (update (Fin.cons 0 v) 0 x) - f (update (Fin.cons 0 v) 0 y) = f (vecCons x v) - f (vecCons y v)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : TopologicalSpace N
n : ℕ
f : M [⋀^Fin (n + 1)]→L[R] N
x y : M
v : Fin n → M
⊢ f (update (Fin.cons 0 v) 0 x) - f (update (Fin.cons 0 v) 0 y) = f (vecCons x v) - f (vecCons y v)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
f' : E →L[𝕜] G
⊢ HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) f' (⇑iso ⁻¹' s) x ↔ HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑iso) f' (⇑iso ⁻¹' s) x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Alternating.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : AddCommMonoid M'
inst✝¹¹ : Module R M'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : TopologicalSpace N
inst✝⁶ : ContinuousAdd N
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul R N
inst✝⁴ : AddCommMonoid N'
inst✝³ : Module R N'
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ContinuousAdd N'
inst✝ : ContinuousConstSMul R N'
c : R
f : N →L[R] N'
g : M [⋀^ι]→L[R] N
⊢ f.compContinuousAlternatingMap (c • g) = c • f.compContinuousAlternatingMap g

Tactic:
by ext1; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 (⇑iso ⁻¹' s) x
h : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s (iso x)
this : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
x : E
⊢ fderivWithin 𝕜 (f ∘ ⇑iso) univ x = fderivWithin 𝕜 (f ∘ ⇑iso) univ x

pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
x : E
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (⇑iso ⁻¹' univ) x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
x : E
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (⇑iso ⁻¹' univ) x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hf' : ∃ C, ∀ (z : E), ‖z‖ ≤ C * ‖f' z‖
A : (fun z ↦ z - x) =O[𝓝[s] x] fun z ↦ f' (z - x)
this✝ : (fun z ↦ f z - f x) ~[𝓝[s] x] fun z ↦ f' (z - x)
this : ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[s] x, x_1 ∈ {x}ᶜ → f x_1 ∈ {f x}ᶜ
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[s] x, x_1 ∈ {x}ᶜ → f x_1 ∈ {f x}ᶜ

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hf' : ∃ C, ∀ (z : E), ‖z‖ ≤ C * ‖f' z‖
A : (fun z ↦ z - x) =O[𝓝[s] x] fun z ↦ f' (z - x)
this✝ : (fun z ↦ f z - f x) ~[𝓝[s] x] fun z ↦ f' (z - x)
this : ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[s] x, x_1 ∈ {x}ᶜ → f x_1 ∈ {f x}ᶜ
⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[s] x, x_1 ∈ {x}ᶜ → f x_1 ∈ {f x}ᶜ
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
c : F
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hf' : ∃ C, AntilipschitzWith C ⇑f'
⊢ ∀ᶠ (b : F) in map f (𝓝[s \ {x}] x), b ≠ c

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
c : F
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hf' : ∃ C, AntilipschitzWith C ⇑f'
⊢ ∀ᶠ (b : F) in map f (𝓝[s \ {x}] x), b ≠ c
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hf' : ∃ C, AntilipschitzWith C ⇑f'
t : Set F
ht : ∀ᶠ (x : F) in 𝓝[≠] f x, x ∉ t
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝[s \ {x}] x, f z ∉ t

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
s : Set E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hf' : ∃ C, AntilipschitzWith C ⇑f'
t : Set F
ht : ∀ᶠ (x : F) in 𝓝[≠] f x, x ∉ t
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝[s \ {x}] x, f z ∉ t
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
f' : E →L[ℝ] F
x : E
L : Filter E
⊢ Tendsto (fun e ↦ ‖‖e - x‖⁻¹ • (f e - f x - f' (e - x)) - 0‖) L (𝓝 0) ↔
    Tendsto (fun x' ↦ ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖) L (𝓝 0)

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
f' : E →L[ℝ] F
x : E
L : Filter E
⊢ Tendsto (fun e ↦ ‖‖e - x‖⁻¹ • (f e - f x - f' (e - x)) - 0‖) L (𝓝 0) ↔
    Tendsto (fun x' ↦ ‖x' - x‖⁻¹ * ‖f x' - f x - f' (x' - x)‖) L (𝓝 0)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
f' : E →L[ℝ] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
⊢ ∀ (b : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℝ), i ≤ a → b ≤ ‖a‖

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
f' : E →L[ℝ] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
⊢ ∀ (b : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℝ), i ≤ a → b ≤ ‖a‖
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: case hd₀
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
y : E
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 s x
ι : Type (max u_1 u_2)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x + d n ∈ s
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun n ↦ f (x + d n)) l (𝓝 (f x))

Tactic:
]

Goal state after:
case hd₀
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
y : E
hy : y ∈ tangentConeAt 𝕜 s x
ι : Type (max u_1 u_2)
l : Filter ι
hl : l.NeBot
c : ι → 𝕜
d : ι → E
hd₀ : Tendsto d l (𝓝 0)
hds : ∀ᶠ (n : ι) in l, x + d n ∈ s
hcd : Tendsto (fun n ↦ c n • d n) l (𝓝 y)
⊢ Tendsto (fun n ↦ f (x + d n)) l (𝓝 (f x))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h' : DenseRange ⇑f'
⊢ tangentConeAt 𝕜 s x ⊆ ↑(Submodule.comap (↑f') (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x))))

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h' : DenseRange ⇑f'
⊢ tangentConeAt 𝕜 s x ⊆ ↑(Submodule.comap (↑f') (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x))))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
e : F ≃L[𝕜] E
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 s ↔ UniqueDiffOn 𝕜 s

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
c : 𝕜ˣ
hc : ↑c ≠ 0
A : f' ∘SL ↑(ContinuousLinearEquiv.smulLeft c) = c • f'
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x ↦ f (↑c • x)) (↑c • f') s x ↔
    HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑(ContinuousLinearEquiv.smulLeft c)) (c • f')
      (⇑(ContinuousLinearEquiv.smulLeft c) ⁻¹' (↑c • s)) x

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
c : 𝕜ˣ
hc : ↑c ≠ 0
A : f' ∘SL ↑(ContinuousLinearEquiv.smulLeft c) = c • f'
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x ↦ f (↑c • x)) (↑c • f') s x ↔
    HasFDerivWithinAt (f ∘ ⇑(ContinuousLinearEquiv.smulLeft c)) (c • f')
      (⇑(ContinuousLinearEquiv.smulLeft c) ⁻¹' (↑c • s)) x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
x : E
c : 𝕜
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hc : c ≠ 0
⊢ c • fderivWithin 𝕜 f (c • s) (c • x) = c • fderivWithin 𝕜 f (c • s) (c • x)

pp: case inr.hs
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
x : E
c : 𝕜
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hc : c ≠ 0
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (c • s) (c • x)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.hs
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
x : E
c : 𝕜
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hc : c ≠ 0
⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (c • s) (c • x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Equiv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
c : 𝕜
⊢ c • fderivWithin 𝕜 f (c • univ) (c • x) = c • fderiv 𝕜 f (c • x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
c : 𝕜
⊢ c • fderivWithin 𝕜 f (c • univ) (c • x) = c • fderiv 𝕜 f (c • x)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Alternating.Topology

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : UniformSpace F
inst✝⁴ : IsUniformAddGroup F
G : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : IsUniformAddGroup G
inst✝ : Module 𝕜 G
g : F →L[𝕜] G
hg : IsUniformInducing ⇑g
⊢ IsUniformInducing (toContinuousMultilinearMap ∘ g.compContinuousAlternatingMap)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : UniformSpace F
inst✝⁴ : IsUniformAddGroup F
G : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : IsUniformAddGroup G
inst✝ : Module 𝕜 G
g : F →L[𝕜] G
hg : IsUniformInducing ⇑g
⊢ IsUniformInducing (toContinuousMultilinearMap ∘ g.compContinuousAlternatingMap)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Alternating.Topology

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : UniformSpace F
inst✝³ : IsUniformAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
h : IsCoherentWith {s | IsVonNBounded 𝕜 s}
this :
  ∀ {F : Type u_3} [inst : AddCommGroup F] [inst_1 : Module 𝕜 F] [inst_2 : UniformSpace F]
    [inst_3 : IsUniformAddGroup F] [ContinuousConstSMul 𝕜 F] [CompleteSpace F],
    T2Space F → CompleteSpace (E [⋀^ι]→L[𝕜] F)
hF : ¬T2Space F
⊢ CompleteSpace (E [⋀^ι]→L[𝕜] SeparationQuotient F)

pp: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : UniformSpace F
inst✝³ : IsUniformAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
h : IsCoherentWith {s | IsVonNBounded 𝕜 s}
this :
  ∀ {F : Type u_3} [inst : AddCommGroup F] [inst_1 : Module 𝕜 F] [inst_2 : UniformSpace F]
    [inst_3 : IsUniformAddGroup F] [ContinuousConstSMul 𝕜 F] [CompleteSpace F],
    T2Space F → CompleteSpace (E [⋀^ι]→L[𝕜] F)
hF : ¬T2Space F
⊢ Surjective (SeparationQuotient.mkCLM 𝕜 F).compContinuousAlternatingMap

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : UniformSpace F
inst✝³ : IsUniformAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
h : IsCoherentWith {s | IsVonNBounded 𝕜 s}
this :
  ∀ {F : Type u_3} [inst : AddCommGroup F] [inst_1 : Module 𝕜 F] [inst_2 : UniformSpace F]
    [inst_3 : IsUniformAddGroup F] [ContinuousConstSMul 𝕜 F] [CompleteSpace F],
    T2Space F → CompleteSpace (E [⋀^ι]→L[𝕜] F)
hF : ¬T2Space F
⊢ CompleteSpace (E [⋀^ι]→L[𝕜] SeparationQuotient F)

case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 F
inst✝⁴ : UniformSpace F
inst✝³ : IsUniformAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
h : IsCoherentWith {s | IsVonNBounded 𝕜 s}
this :
  ∀ {F : Type u_3} [inst : AddCommGroup F] [inst_1 : Module 𝕜 F] [inst_2 : UniformSpace F]
    [inst_3 : IsUniformAddGroup F] [ContinuousConstSMul 𝕜 F] [CompleteSpace F],
    T2Space F → CompleteSpace (E [⋀^ι]→L[𝕜] F)
hF : ¬T2Space F
⊢ Surjective (SeparationQuotient.mkCLM 𝕜 F).compContinuousAlternatingMap
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Alternating.Topology

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜
inst✝¹³ : AddCommGroup E
inst✝¹² : Module 𝕜 E
inst✝¹¹ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F✝
inst✝⁹ : Module 𝕜 F✝
inst✝⁸ : UniformSpace F✝
inst✝⁷ : IsUniformAddGroup F✝
inst✝⁶ : ContinuousSMul 𝕜 E
h : IsCoherentWith {s | IsVonNBounded 𝕜 s}
F : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : UniformSpace F
inst✝² : IsUniformAddGroup F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
hF : T2Space F
this : CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F)
⊢ IsComplete (range toContinuousMultilinearMap)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜
inst✝¹³ : AddCommGroup E
inst✝¹² : Module 𝕜 E
inst✝¹¹ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F✝
inst✝⁹ : Module 𝕜 F✝
inst✝⁸ : UniformSpace F✝
inst✝⁷ : IsUniformAddGroup F✝
inst✝⁶ : ContinuousSMul 𝕜 E
h : IsCoherentWith {s | IsVonNBounded 𝕜 s}
F : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : UniformSpace F
inst✝² : IsUniformAddGroup F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
hF : T2Space F
this : CompleteSpace (ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F)
⊢ IsComplete (range toContinuousMultilinearMap)
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Alternating.Topology

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜
inst✝¹³ : AddCommGroup E
inst✝¹² : Module 𝕜 E
inst✝¹¹ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜 F
inst✝⁸ : UniformSpace F
inst✝⁷ : IsUniformAddGroup F
𝕜' : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜' 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜' E
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜' 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜' F
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜' 𝕜 F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
⊢ IsUniformEmbedding (toContinuousMultilinearMap ∘ restrictScalars 𝕜')

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜
inst✝¹³ : AddCommGroup E
inst✝¹² : Module 𝕜 E
inst✝¹¹ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜 F
inst✝⁸ : UniformSpace F
inst✝⁷ : IsUniformAddGroup F
𝕜' : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕜' 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜' E
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜' 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜' F
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜' 𝕜 F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
⊢ IsUniformEmbedding (toContinuousMultilinearMap ∘ restrictScalars 𝕜')
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Alternating.Topology

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : IsTopologicalAddGroup F
ι' : Type u_5
p : ι' → Prop
b : ι' → Set F
h : (𝓝 0).HasBasis p b
⊢ (Filter.comap toContinuousMultilinearMap (𝓝 (toContinuousMultilinearMap 0))).HasBasis
    (fun Si ↦ IsVonNBounded 𝕜 Si.1 ∧ p Si.2) fun Si ↦ {f | MapsTo (⇑f) Si.1 (b Si.2)}

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : IsTopologicalAddGroup F
ι' : Type u_5
p : ι' → Prop
b : ι' → Set F
h : (𝓝 0).HasBasis p b
⊢ (Filter.comap toContinuousMultilinearMap (𝓝 (toContinuousMultilinearMap 0))).HasBasis
    (fun Si ↦ IsVonNBounded 𝕜 Si.1 ∧ p Si.2) fun Si ↦ {f | MapsTo (⇑f) Si.1 (b Si.2)}