mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
k : ι
hk : P.root k = P.root j + P.root i
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root k]
⊢ sSup {k_1 | P.root k - k_1 • P.root i ∈ range ⇑P.root} = sSup {k | P.root j - k • P.root i ∈ range ⇑P.root} + 1

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
k : ι
hk : P.root k = P.root j + P.root i
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root k]
⊢ sSup {k_1 | P.root k - k_1 • P.root i ∈ range ⇑P.root} = sSup {k | P.root j - k • P.root i ∈ range ⇑P.root} + 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl
ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
i✝ j✝ : ι
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
hij : P.root i✝ + P.root j✝ ∈ range ⇑P.root
q : Submodule K M
hq✝ : q ∈ P.invtRootSubmodule
i j k : ι
hk : P.root k = P.root i + P.root j
hi : P.root i ∈ q
hij₀ : P.pairing i j = 0
hik : P.pairing i k ≠ 0
hq : P.root k ∈ q
⊢ P.root k ∈ q

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
i✝ j✝ : ι
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
hij : P.root i✝ + P.root j✝ ∈ range ⇑P.root
q : Submodule K M
hq✝ : q ∈ P.invtRootSubmodule
i j k : ι
hk : P.root k = P.root i + P.root j
hi : P.root i ∈ q
hij₀ : P.pairing i j = 0
hik : P.pairing i k ≠ 0
hq : P.root k ∈ q
⊢ P.root k ∈ q
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
k : ι
hk : P.root k = P.root j + P.root i
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root k]
z : ℤ
⊢ P.root j + P.root i - z • P.root i = P.root j - (z - 1) • P.root i

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
k : ι
hk : P.root k = P.root j + P.root i
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root k]
z : ℤ
⊢ P.root j + P.root i - z • P.root i = P.root j - (z - 1) • P.root i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
i✝ j✝ : ι
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
hij : P.root i✝ + P.root j✝ ∈ range ⇑P.root
q : Submodule K M
hq✝ : q ∈ P.invtRootSubmodule
i j k : ι
hk : P.root k = P.root i + P.root j
hi : P.root i ∈ q
hij₀ : P.pairing i j ≠ 0
hq : P.root j ∈ q
⊢ P.root j ∈ q

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
i✝ j✝ : ι
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
hij : P.root i✝ + P.root j✝ ∈ range ⇑P.root
q : Submodule K M
hq✝ : q ∈ P.invtRootSubmodule
i j k : ι
hk : P.root k = P.root i + P.root j
hi : P.root i ∈ q
hij₀ : P.pairing i j ≠ 0
hq : P.root j ∈ q
⊢ P.root j ∈ q
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
k : ι
hk : P.root k = P.root j + P.root i
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root k]
this :
  {z | P.root k - z • P.root i ∈ range ⇑P.root} =
    ⇑(OrderIso.addRight 1) '' {n | P.root j - n • P.root i ∈ range ⇑P.root}
⊢ BddAbove (Icc (-↑(chainTopCoeff i j)) ↑(chainBotCoeff i j))

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
k : ι
hk : P.root k = P.root j + P.root i
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root k]
this :
  {z | P.root k - z • P.root i ∈ range ⇑P.root} =
    ⇑(OrderIso.addRight 1) '' {n | P.root j - n • P.root i ∈ range ⇑P.root}
⊢ BddAbove (Icc (-↑(chainTopCoeff i j)) ↑(chainBotCoeff i j))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
f : M →+ ℚ
hf : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h_card : (baseOf (⇑P.root) f).ncard = s.ncard
hsp : ∀ (i : ι), ∃ z, f (P.root i) = ↑z
i : ι
hi : i ∈ s
j k : ι
n : ℤ
hn : f (P.root j) = ↑n
m : ℤ
hm : f (P.root k) = ↑m
hj : 0 < n
hk : 0 < m
contra : 1 = ↑n + f (P.root k)
⊢ 1 = n + m

Tactic:
hm,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
f : M →+ ℚ
hf : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h_card : (baseOf (⇑P.root) f).ncard = s.ncard
hsp : ∀ (i : ι), ∃ z, f (P.root i) = ↑z
i : ι
hi : i ∈ s
j k : ι
n : ℤ
hn : f (P.root j) = ↑n
m : ℤ
hm : f (P.root k) = ↑m
hj : 0 < n
hk : 0 < m
contra : 1 = ↑n + ↑m
⊢ 1 = n + m
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
k : ι
hk : P.root k = P.root j + P.root i
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root k]
this :
  {z | P.root k - z • P.root i ∈ range ⇑P.root} =
    ⇑(OrderIso.addRight 1) '' {n | P.root j - n • P.root i ∈ range ⇑P.root}
bdd : BddAbove {z | P.root j - z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
⊢ sSup {z | P.root j - z • P.root i ∈ range ⇑P.root} + 1 = sSup {k | P.root j - k • P.root i ∈ range ⇑P.root} + 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
f : M →+ ℚ
hf : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h_card : (baseOf (⇑P.root) f).ncard = s.ncard
hsp : ∀ (i : ι), ∃ z, f (P.root i) = ↑z
i : ι
hi : i ∈ s
j k : ι
n : ℤ
hn : f (P.root j) = ↑n
m : ℤ
hm : f (P.root k) = ↑m
hj : 0 < n
hk : 0 < m
contra : 1 = n + m
⊢ 1 = n + m

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
f : M →+ ℚ
hf : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h_card : (baseOf (⇑P.root) f).ncard = s.ncard
hsp : ∀ (i : ι), ∃ z, f (P.root i) = ↑z
i : ι
hi : i ∈ s
j k : ι
n : ℤ
hn : f (P.root j) = ↑n
m : ℤ
hm : f (P.root k) = ↑m
hj : 0 < n
hk : 0 < m
contra : 1 = n + m
⊢ 1 = n + m
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
k : ι
hk : P.root k = P.root j + P.root i
⊢ LinearIndependent R ![P.root i, P.root i + P.root j]

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
k : ι
hk : P.root k = P.root j + P.root i
⊢ LinearIndependent R ![P.root i, P.root i + P.root j]
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j k : ι
hk : P.root k = P.root j + P.root i
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root k]
⊢ P.root j = P.root j + P.root i - P.root i

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j k : ι
hk : P.root k = P.root j + P.root i
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root k]
⊢ P.root j = P.root j + P.root i - P.root i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
B : P.InvariantForm
inst✝ : P.IsIrreducible
i j j' : ι
h₁ : (B.form (P.root j')) (P.root j') = (B.form (P.root j)) (P.root j)
h₂ : P.pairingIn ℤ i j' = 0
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℤ
heq : ∑ a, ⋯.choose ↑a • P.root ↑a = ∑ a, f ↑a • P.root ↑a
j : ι
hj : j ∈ b.support
h : P.root i = ∑ j ∈ b.support, ⋯.choose j • P.root j
⊢ ⋯.choose j = f j

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℤ
heq : ∑ a, ⋯.choose ↑a • P.root ↑a = ∑ a, f ↑a • P.root ↑a
j : ι
hj : j ∈ b.support
h : P.root i = ∑ j ∈ b.support, ⋯.choose j • P.root j
⊢ ⋯.choose j = f j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i✝ j✝ : ι
h✝ : LinearIndependent R ![P.root i✝, P.root j✝]
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h₁ : (P.reflection i) (P.root (chainBotIdx i j)) = P.root j + (↑(chainBotCoeff i j) - P.pairingIn ℤ j i) • P.root i
⊢ P.root ((P.reflectionPerm i) (chainBotIdx i j)) ∈ range ⇑P.root

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i✝ j✝ : ι
h✝ : LinearIndependent R ![P.root i✝, P.root j✝]
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h₁ : (P.reflection i) (P.root (chainBotIdx i j)) = P.root j + (↑(chainBotCoeff i j) - P.pairingIn ℤ j i) • P.root i
⊢ P.root ((P.reflectionPerm i) (chainBotIdx i j)) ∈ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₁ : 0 < f ∨ f < 0
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
⊢ ∑ j ∈ b.support, f j ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₁ : 0 < f ∨ f < 0
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
⊢ ∑ j ∈ b.support, f j ≠ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i✝ j✝ : ι
h✝ : LinearIndependent R ![P.root i✝, P.root j✝]
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h₁ : (P.reflection i) (P.root (chainBotIdx i j)) = P.root j + (↑(chainBotCoeff i j) - P.pairingIn ℤ j i) • P.root i
h₂ :
  -↑(chainBotCoeff i j) ≤ ↑(chainBotCoeff i j) - P.pairingIn ℤ j i ∧
    ↑(chainBotCoeff i j) - P.pairingIn ℤ j i ≤ ↑(chainTopCoeff i j)
⊢ ↑(chainBotCoeff i j) - ↑(chainTopCoeff i j) ≤ P.pairingIn ℤ j i

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i✝ j✝ : ι
h✝ : LinearIndependent R ![P.root i✝, P.root j✝]
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h₁ : (P.reflection i) (P.root (chainBotIdx i j)) = P.root j + (↑(chainBotCoeff i j) - P.pairingIn ℤ j i) • P.root i
h₂ :
  -↑(chainBotCoeff i j) ≤ ↑(chainBotCoeff i j) - P.pairingIn ℤ j i ∧
    ↑(chainBotCoeff i j) - P.pairingIn ℤ j i ≤ ↑(chainTopCoeff i j)
⊢ ↑(chainBotCoeff i j) - ↑(chainTopCoeff i j) ≤ P.pairingIn ℤ j i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ ↑(chainTopCoeff i j) - ↑(chainBotCoeff i j) = ↑(chainTopCoeff i j) - ↑(chainBotCoeff i j)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
⊢ LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j : ι
hj : j ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
l : ι → ℚ := fun i ↦ ((P.RootFormIn ℚ) (P.rootSpanMem ℚ i)) (P.rootSpanMem ℚ i)
hl : ∀ (i : ι), 0 < l i
l' : ι → R := fun i ↦ (P.RootForm (P.root i)) (P.root i)
hll' : ∀ (i : ι), ↑(l i) = l' i
aux₁ : 2 / l' i ≠ 0
aux₂ : ∀ (j : ι), (2 / l' i)⁻¹ * (2 / l' j) = ↑(l i) / ↑(l j)
contra : P.root i = (↑(l i) / ↑(l j)) • P.root j + (↑(l i) / ↑(l k)) • P.root k
⊢ (↑(l i) / ↑(l j)) • P.root j + (↑(l i) / ↑(l k)) • P.root k = (l i / l j) • P.root j + (l i / l k) • P.root k

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j : ι
hj : j ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
l : ι → ℚ := fun i ↦ ((P.RootFormIn ℚ) (P.rootSpanMem ℚ i)) (P.rootSpanMem ℚ i)
hl : ∀ (i : ι), 0 < l i
l' : ι → R := fun i ↦ (P.RootForm (P.root i)) (P.root i)
hll' : ∀ (i : ι), ↑(l i) = l' i
aux₁ : 2 / l' i ≠ 0
aux₂ : ∀ (j : ι), (2 / l' i)⁻¹ * (2 / l' j) = ↑(l i) / ↑(l j)
contra : P.root i = (↑(l i) / ↑(l j)) • P.root j + (↑(l i) / ↑(l k)) • P.root k
⊢ (↑(l i) / ↑(l j)) • P.root j + (↑(l i) / ↑(l k)) • P.root k = (l i / l j) • P.root j + (l i / l k) • P.root k
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j : ι
hj : j ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
contra : P.coroot i = P.coroot j + P.coroot k
⊢ ∃ u > 0, ∃ v > 0, P.root i = u • P.root j + v • P.root k

Tactic:
let l (i : ι) := P.RootFormIn ℚ (P.rootSpanMem ℚ i) (P.rootSpanMem ℚ i)
    have hl (i : ι) : 0 < l i := by
      simpa only [l, ← posRootForm_eq] using RootPositiveForm.zero_lt_posForm_apply_root _ _
    refine ⟨l i / l j, by simp [hl], l i / l k, by simp [hl], ?_⟩
    simp only [P.coroot_eq_polarizationEquiv_apply_root, ← map_smul, ← map_add,
      P.PolarizationEquiv.injective.eq_iff] at contra
    let l' (i : ι) := P.RootForm (P.root i) (P.root i)
    have hll' (i : ι) : l i = l' i := P.algebraMap_rootFormIn ℚ _ _
    change (2 / l' i) • P.root i = (2 / l' j) • P.root j + (2 / l' k) • P.root k at contra
    replace contra := congr_arg ((2 / l' i)⁻¹ • ·) contra
    have aux₁ : 2 / l' i ≠ 0 := by simpa using IsAnisotropic.rootForm_root_ne_zero i
    have aux₂ (j : ι) : (2 / l' i)⁻¹ * (2 / l' j) = l i / l j := by ring_nf; simp [hll']
    simp only [smul_add, smul_smul, inv_mul_cancel₀ aux₁, aux₂, one_smul] at contra
    rw [contra]
    module

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
hi : i ∈ b.support
⊢ P.root i = Pi.single i 1 i • P.root i

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
hi : i ∈ b.support
⊢ P.root i = Pi.single i 1 i • P.root i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this✝ : Fintype ι
B : P.InvariantForm
h : ∀ (i j : ι), (B.form (P.root i)) (P.root i) = (B.form (P.root j)) (P.root j)
i j : ι
this : P.pairing i j = P.pairing j i
⊢ P.pairing i j = P.pairing j i

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
this✝ : Fintype ι
B : P.InvariantForm
h : ∀ (i j : ι), (B.form (P.root i)) (P.root i) = (B.form (P.root j)) (P.root j)
i j : ι
this : P.pairing i j = P.pairing j i
⊢ P.pairing i j = P.pairing j i