mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Irreducible

Goal state before:
pp: G : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid G
inst✝⁵ : Field k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module k W
ρ : Representation k G V
σ : Representation k G W
inst✝ : ρ.IsIrreducible
g : σ.IntertwiningMap ρ
⊢ Surjective ⇑g ∨ (equivLinearMapAsModule σ ρ) g = 0

Tactic:
]

Goal state after:
G : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid G
inst✝⁵ : Field k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module k W
ρ : Representation k G V
σ : Representation k G W
inst✝ : ρ.IsIrreducible
g : σ.IntertwiningMap ρ
⊢ Surjective ⇑g ∨ (equivLinearMapAsModule σ ρ) g = 0
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Irreducible

Goal state before:
pp: G : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁷ : Monoid G
inst✝⁶ : Field k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module k W
ρ : Representation k G V
σ : Representation k G W
f : ρ.IntertwiningMap σ
inst✝¹ : ρ.IsIrreducible
inst✝ : σ.IsIrreducible
⊢ Bijective ⇑f ∨ (equivLinearMapAsModule ρ σ) f = 0

Tactic:
]

Goal state after:
G : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁷ : Monoid G
inst✝⁶ : Field k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module k W
ρ : Representation k G V
σ : Representation k G W
f : ρ.IntertwiningMap σ
inst✝¹ : ρ.IsIrreducible
inst✝ : σ.IsIrreducible
⊢ Bijective ⇑f ∨ (equivLinearMapAsModule ρ σ) f = 0
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Irreducible

Goal state before:
pp: G : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : Monoid G
inst✝⁵ : Field k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
ρ : Representation k G V
inst✝² : ρ.IsIrreducible
inst✝¹ : FiniteDimensional k V
inst✝ : IsAlgClosed k
⊢ Module.finrank k k = 1

Tactic:
]

Goal state after:
G : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : Monoid G
inst✝⁵ : Field k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
ρ : Representation k G V
inst✝² : ρ.IsIrreducible
inst✝¹ : FiniteDimensional k V
inst✝ : IsAlgClosed k
⊢ Module.finrank k k = 1
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Character

Goal state before:
pp: G : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
g h : G
⊢ ρ.character g = ρ.character g

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Character

Goal state before:
pp: G : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Field k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : FiniteDimensional k V
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module k W
inst✝ : FiniteDimensional k W
ρ : Representation k G V
σ : Representation k G W
g : G
⊢ ρ.character g⁻¹ * σ.character g = ρ.character g⁻¹ * σ.character g

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Character

Goal state before:
pp: G : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Field k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : FiniteDimensional k V
ρ : Representation k G V
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Nat.card G)
⊢ Invertible ↑(Nat.card G)

Tactic:
]

Goal state after:
G : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Field k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : FiniteDimensional k V
ρ : Representation k G V
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Nat.card G)
⊢ Invertible ↑(Nat.card G)
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Character

Goal state before:
pp: G : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Field k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : FiniteDimensional k V
ρ : Representation k G V
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Nat.card G)
this : Invertible ↑(Fintype.card G)
⊢ (↑(Nat.card G))⁻¹ * ∑ g, ρ.character g = (trace k V) ρ.averageMap

Tactic:
]

Goal state after:
G : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Field k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : FiniteDimensional k V
ρ : Representation k G V
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Nat.card G)
this : Invertible ↑(Fintype.card G)
⊢ (↑(Nat.card G))⁻¹ * ∑ g, ρ.character g = (trace k V) ρ.averageMap
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Character

Goal state before:
pp: case inl
G : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Field k
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module k V
inst✝⁸ : FiniteDimensional k V
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module k W
inst✝⁵ : FiniteDimensional k W
ρ : Representation k G V
σ : Representation k G W
inst✝⁴ : Fintype G
inst✝³ : Invertible ↑(Nat.card G)
inst✝² : IsAlgClosed k
inst✝¹ : ρ.IsIrreducible
inst✝ : σ.IsIrreducible
h✝ : IsEmpty (σ.Equiv ρ)
⊢ ↑(finrank k (σ.IntertwiningMap ρ)) = if Nonempty (σ.Equiv ρ) then 1 else 0

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
G : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Field k
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module k V
inst✝⁸ : FiniteDimensional k V
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module k W
inst✝⁵ : FiniteDimensional k W
ρ : Representation k G V
σ : Representation k G W
inst✝⁴ : Fintype G
inst✝³ : Invertible ↑(Nat.card G)
inst✝² : IsAlgClosed k
inst✝¹ : ρ.IsIrreducible
inst✝ : σ.IsIrreducible
h✝ : IsEmpty (σ.Equiv ρ)
⊢ ↑(finrank k (σ.IntertwiningMap ρ)) = if Nonempty (σ.Equiv ρ) then 1 else 0
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Character

Goal state before:
pp: case inr
G : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Field k
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module k V
inst✝⁸ : FiniteDimensional k V
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module k W
inst✝⁵ : FiniteDimensional k W
ρ : Representation k G V
σ : Representation k G W
inst✝⁴ : Fintype G
inst✝³ : Invertible ↑(Nat.card G)
inst✝² : IsAlgClosed k
inst✝¹ : ρ.IsIrreducible
inst✝ : σ.IsIrreducible
h✝ : Nonempty (σ.Equiv ρ)
φ : σ.Equiv ρ
⊢ ↑(finrank k (ρ.IntertwiningMap ρ)) = if Nonempty (σ.Equiv ρ) then 1 else 0

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
G : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Field k
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module k V
inst✝⁸ : FiniteDimensional k V
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module k W
inst✝⁵ : FiniteDimensional k W
ρ : Representation k G V
σ : Representation k G W
inst✝⁴ : Fintype G
inst✝³ : Invertible ↑(Nat.card G)
inst✝² : IsAlgClosed k
inst✝¹ : ρ.IsIrreducible
inst✝ : σ.IsIrreducible
h✝ : Nonempty (σ.Equiv ρ)
φ : σ.Equiv ρ
⊢ ↑(finrank k (ρ.IntertwiningMap ρ)) = if Nonempty (σ.Equiv ρ) then 1 else 0
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Character

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type v
inst✝ : Group G
V : FDRep k G
g h : G
⊢ V.character g = V.character g

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Character

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type v
inst✝ : Group G
V W : FDRep k G
g : G
⊢ V.character g⁻¹ * W.character g = V.character g⁻¹ * W.character g

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Character

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝³ : Field k
G : Type v
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Nat.card G)
V : FDRep k G
⊢ Invertible ↑(Nat.card G)

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u
inst✝³ : Field k
G : Type v
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Nat.card G)
V : FDRep k G
⊢ Invertible ↑(Nat.card G)
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Character

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝³ : Field k
G : Type v
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Nat.card G)
V : FDRep k G
this : Invertible ↑(Fintype.card G)
⊢ (↑(Nat.card G))⁻¹ * ∑ g, V.character g = (trace k ↑V.V) (averageMap V.ρ)

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u
inst✝³ : Field k
G : Type v
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Nat.card G)
V : FDRep k G
this : Invertible ↑(Fintype.card G)
⊢ (↑(Nat.card G))⁻¹ * ∑ g, V.character g = (trace k ↑V.V) (averageMap V.ρ)
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Character

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝³ : Field k
G : Type v
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Nat.card G)
V W : FDRep k G
⊢ ↑(finrank k ↥(linHom V.ρ W.ρ).invariants) = ↑(finrank k ↥(linHom V.ρ W.ρ).invariants)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Character

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝⁶ : Field k
G : Type v
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : IsAlgClosed k
inst✝³ : Fintype G
inst✝² : Invertible ↑(Nat.card G)
V W : FDRep k G
inst✝¹ : Simple V
inst✝ : Simple W
⊢ ↑(finrank k (W ⟶ V)) = if Nonempty (V ≅ W) then 1 else 0

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u
inst✝⁶ : Field k
G : Type v
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : IsAlgClosed k
inst✝³ : Fintype G
inst✝² : Invertible ↑(Nat.card G)
V W : FDRep k G
inst✝¹ : Simple V
inst✝ : Simple W
⊢ ↑(finrank k (W ⟶ V)) = if Nonempty (V ≅ W) then 1 else 0
Module: Mathlib.Probability.StrongLaw

Goal state before:
pp: Ω : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) μ
hindep : Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ⟂ᵢ[μ] x2) on X)
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) μ μ
mΩ : MeasureSpace Ω := { toMeasurableSpace := m, volume := μ }
h : ∀ᵐ (ω : Ω), X 0 ω = 0
⊢ ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : Ω), X i a = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Ω : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) μ
hindep : Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ⟂ᵢ[μ] x2) on X)
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) μ μ
mΩ : MeasureSpace Ω := { toMeasurableSpace := m, volume := μ }
h : ∀ᵐ (ω : Ω), X 0 ω = 0
⊢ ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : Ω), X i a = 0
Module: Mathlib.Probability.StrongLaw

Goal state before:
pp: case neg
Ω : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) μ
hindep : Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ⟂ᵢ[μ] x2) on X)
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) μ μ
mΩ : MeasureSpace Ω := { toMeasurableSpace := m, volume := μ }
h : ¬∀ᵐ (ω : Ω), X 0 ω = 0
this : IsProbabilityMeasure μ
pos : ℝ → ℝ := fun x ↦ max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x ↦ max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ))

Tactic:
have A : ∀ᵐ ω, Tendsto (fun n : ℕ => (∑ i ∈ range n, (pos ∘ X i) ω) / n) atTop (𝓝 𝔼[pos ∘ X 0]) :=
    strong_law_aux7 _ hint.pos_part (fun i j hij => (hindep hij).comp posm posm)
      (fun i => (hident i).comp posm) fun i ω => le_max_right _ _

Goal state after:
case neg
Ω : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) μ
hindep : Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ⟂ᵢ[μ] x2) on X)
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) μ μ
mΩ : MeasureSpace Ω := { toMeasurableSpace := m, volume := μ }
h : ¬∀ᵐ (ω : Ω), X 0 ω = 0
this : IsProbabilityMeasure μ
pos : ℝ → ℝ := fun x ↦ max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x ↦ max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
A : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n ↦ (∑ i ∈ range n, (pos ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (pos ∘ X 0) a))
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ))
Module: Mathlib.Probability.StrongLaw

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsProbabilityMeasure μ
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : MeasurableSpace E
X : ℕ → Ω → E
h' : Measurable (X 0)
hindep : Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ⟂ᵢ[μ] x2) on X)
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) μ μ
φ : SimpleFunc E E
c : E
s : Set E
hs : MeasurableSet s
F : E → ℝ := s.indicator 1
F_meas : Measurable F
Y : ℕ → Ω → ℝ := fun n ↦ F ∘ X n
this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y 0 x ∂μ))
ω : Ω
hω : Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y 0 x ∂μ))
x✝ : E
⊢ s.indicator (Function.const E c) x✝ = s.indicator (fun x ↦ 1 x • c) x✝

Tactic:
]

Goal state after:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsProbabilityMeasure μ
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : MeasurableSpace E
X : ℕ → Ω → E
h' : Measurable (X 0)
hindep : Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ⟂ᵢ[μ] x2) on X)
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) μ μ
φ : SimpleFunc E E
c : E
s : Set E
hs : MeasurableSet s
F : E → ℝ := s.indicator 1
F_meas : Measurable F
Y : ℕ → Ω → ℝ := fun n ↦ F ∘ X n
this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y 0 x ∂μ))
ω : Ω
hω : Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y 0 x ∂μ))
x✝ : E
⊢ s.indicator (Function.const E c) x✝ = s.indicator (fun x ↦ 1 x • c) x✝
Module: Mathlib.Probability.StrongLaw

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) μ
h' : StronglyMeasurable (X 0)
hindep : Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ⟂ᵢ[μ] x2) on X)
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) μ μ
s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}
zero_s : 0 ∈ s
this✝ : SeparableSpace ↑s
this : Nonempty ↑s
φ : ℕ → SimpleFunc E E := SimpleFunc.nearestPt fun k ↦ Nat.casesOn k 0 (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s)
Y : ℕ → ℕ → Ω → E := fun k i ↦ ⇑(φ k) ∘ X i
A : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ))
B :
  ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
    ∀ (k : ℕ),
      Tendsto (fun n ↦ (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop
        (𝓝 (∫ (x : Ω), (fun ω ↦ ‖(X 0 - Y k 0) ω‖) x ∂μ))
ω : Ω
hω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ))
h'ω :
  ∀ (k : ℕ),
    Tendsto (fun n ↦ (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) x‖ ∂μ))
⊢ (∀ a' < 0, ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, a' < ‖(↑b)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range b, X i ω - ∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ‖) ∧
    ∀ a' > 0, ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, ‖(↑b)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range b, X i ω - ∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ‖ < a'

Tactic:
]

Goal state after:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) μ
h' : StronglyMeasurable (X 0)
hindep : Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ⟂ᵢ[μ] x2) on X)
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) μ μ
s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}
zero_s : 0 ∈ s
this✝ : SeparableSpace ↑s
this : Nonempty ↑s
φ : ℕ → SimpleFunc E E := SimpleFunc.nearestPt fun k ↦ Nat.casesOn k 0 (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s)
Y : ℕ → ℕ → Ω → E := fun k i ↦ ⇑(φ k) ∘ X i
A : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ))
B :
  ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
    ∀ (k : ℕ),
      Tendsto (fun n ↦ (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop
        (𝓝 (∫ (x : Ω), (fun ω ↦ ‖(X 0 - Y k 0) ω‖) x ∂μ))
ω : Ω
hω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ))
h'ω :
  ∀ (k : ℕ),
    Tendsto (fun n ↦ (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) x‖ ∂μ))
⊢ (∀ a' < 0, ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, a' < ‖(↑b)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range b, X i ω - ∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ‖) ∧
    ∀ a' > 0, ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, ‖(↑b)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range b, X i ω - ∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ‖ < a'
Module: Mathlib.Probability.StrongLaw

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) μ
h' : StronglyMeasurable (X 0)
hindep : Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ⟂ᵢ[μ] x2) on X)
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) μ μ
s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}
zero_s : 0 ∈ s
this✝¹ : SeparableSpace ↑s
this✝ : Nonempty ↑s
φ : ℕ → SimpleFunc E E := SimpleFunc.nearestPt fun k ↦ Nat.casesOn k 0 (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s)
Y : ℕ → ℕ → Ω → E := fun k i ↦ ⇑(φ k) ∘ X i
A : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ))
B :
  ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
    ∀ (k : ℕ),
      Tendsto (fun n ↦ (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop
        (𝓝 (∫ (x : Ω), (fun ω ↦ ‖(X 0 - Y k 0) ω‖) x ∂μ))
ω : Ω
h'ω :
  ∀ (k : ℕ),
    Tendsto (fun n ↦ (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) x‖ ∂μ))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ + δ + δ < ε
k : ℕ
hω : Tendsto (fun e ↦ ‖(↑e)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range e, Y k i ω - ∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ‖) atTop (𝓝 0)
hk : ∫ (ω : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) ω‖ ∂μ < δ
this : ‖∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ - ∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ‖ < δ
I : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n < δ
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖(↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω - ∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ‖ < δ

Tactic:
]

Goal state after:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) μ
h' : StronglyMeasurable (X 0)
hindep : Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ⟂ᵢ[μ] x2) on X)
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) μ μ
s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}
zero_s : 0 ∈ s
this✝¹ : SeparableSpace ↑s
this✝ : Nonempty ↑s
φ : ℕ → SimpleFunc E E := SimpleFunc.nearestPt fun k ↦ Nat.casesOn k 0 (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s)
Y : ℕ → ℕ → Ω → E := fun k i ↦ ⇑(φ k) ∘ X i
A : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ))
B :
  ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
    ∀ (k : ℕ),
      Tendsto (fun n ↦ (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop
        (𝓝 (∫ (x : Ω), (fun ω ↦ ‖(X 0 - Y k 0) ω‖) x ∂μ))
ω : Ω
h'ω :
  ∀ (k : ℕ),
    Tendsto (fun n ↦ (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) x‖ ∂μ))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ + δ + δ < ε
k : ℕ
hω : Tendsto (fun e ↦ ‖(↑e)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range e, Y k i ω - ∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ‖) atTop (𝓝 0)
hk : ∫ (ω : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) ω‖ ∂μ < δ
this : ‖∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ - ∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ‖ < δ
I : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n < δ
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖(↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω - ∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ‖ < δ
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Coinduced

Goal state before:
pp: k : Type u
G : Type v
H : Type w
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Monoid H
φ : G →* H
A : Rep k G
f : res φ (leftRegular k H) ⟶ A
g : G
h : H
this : (A.ρ g) ((Hom.hom f) (MonoidAlgebra.single h 1)) = (Hom.hom f) (MonoidAlgebra.single (φ g * h) 1)
⊢ (A.ρ g) ((Hom.hom f) (MonoidAlgebra.single h 1)) = (A.ρ g) ((Hom.hom f) (MonoidAlgebra.single h 1))

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Probability.StrongLaw

Goal state before:
pp: case hbc
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) μ
h' : StronglyMeasurable (X 0)
hindep : Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ⟂ᵢ[μ] x2) on X)
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) μ μ
s : Set E := ⋯
zero_s : 0 ∈ s
this✝¹ : SeparableSpace ↑s
this✝ : Nonempty ↑s
φ : ℕ → SimpleFunc E E := ⋯
Y : ℕ → ℕ → Ω → E := ⋯
A : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ))
B :
  ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
    ∀ (k : ℕ),
      Tendsto (fun n ↦ (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop
        (𝓝 (∫ (x : Ω), (fun ω ↦ ‖(X 0 - Y k 0) ω‖) x ∂μ))
ω : Ω
hω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ))
h'ω :
  ∀ (k : ℕ),
    Tendsto (fun n ↦ (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) x‖ ∂μ))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ + δ + δ < ε
k : ℕ
hk : ∫ (ω : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) ω‖ ∂μ < δ
this : ‖∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ - ∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ‖ < δ
I : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n < δ
J : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖(↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω - ∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ‖ < δ
n : ℕ
hn : (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n < δ
h'n : ‖(↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω - ∫ (x : Ω), Y k 0 x ∂μ‖ < δ
⊢ ‖∑ i ∈ Finset.range n, (X i ω - Y k i ω)‖ ≤ ∑ i ∈ Finset.range n, ‖X i ω - Y k i ω‖

Tactic:
exact norm_sum_le _ _

Goal state after:
Module: Mathlib.Probability.StrongLaw

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) μ
hindep : Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ⟂ᵢ[μ] x2) on X)
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) μ μ
h : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, X 0 ω = 0
⊢ ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ, X i a = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) μ
hindep : Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ⟂ᵢ[μ] x2) on X)
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) μ μ
h : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, X 0 ω = 0
⊢ ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ, X i a = 0
Module: Mathlib.Probability.StrongLaw

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) μ
hindep : Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ⟂ᵢ[μ] x2) on X)
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) μ μ
h : ¬∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, X 0 ω = 0
this✝ : IsProbabilityMeasure μ
A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) μ
Y : ℕ → Ω → E := fun i ↦ AEStronglyMeasurable.mk (X i) ⋯
B : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
Yint : Integrable (Y 0) μ
C : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y 0 x ∂μ))
ω : Ω
h₁ : ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
h₂ : Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y 0 x ∂μ))
this : ∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ = ∫ (x : Ω), Y 0 x ∂μ
⊢ Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y 0 x ∂μ))

Tactic:
]

Goal state after:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) μ
hindep : Pairwise ((fun x1 x2 ↦ x1 ⟂ᵢ[μ] x2) on X)
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) μ μ
h : ¬∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, X 0 ω = 0
this✝ : IsProbabilityMeasure μ
A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) μ
Y : ℕ → Ω → E := fun i ↦ AEStronglyMeasurable.mk (X i) ⋯
B : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
Yint : Integrable (Y 0) μ
C : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y 0 x ∂μ))
ω : Ω
h₁ : ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
h₂ : Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y 0 x ∂μ))
this : ∫ (x : Ω), X 0 x ∂μ = ∫ (x : Ω), Y 0 x ∂μ
⊢ Tendsto (fun n ↦ (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (x : Ω), Y 0 x ∂μ))
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Semisimple

Goal state before:
pp: k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : Monoid G
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
⊢ ρ.IsSemisimpleRepresentation ↔ ComplementedLattice (Submodule k[G] ρ.asModule)

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : Monoid G
inst✝² : Field k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
⊢ ρ.IsSemisimpleRepresentation ↔ ComplementedLattice (Submodule k[G] ρ.asModule)