mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.EqHaar

Goal state before:
pp: case e_a
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ∞
u v : Set E
uzero : μ u ≠ 0
utop : μ u ≠ ∞
vmeas : MeasurableSet v
⊢ μ (u ∩ v) = μ u - μ (u ∩ vᶜ)

Tactic:
]

Goal state after:
case e_a
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ∞
u v : Set E
uzero : μ u ≠ 0
utop : μ u ≠ ∞
vmeas : MeasurableSet v
⊢ μ (u ∩ v) = μ u - μ (u ∩ vᶜ)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: case e'_3.e'_4
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
x y : E
p : EuclideanSpace 𝕜 ι := toLp 2 (v.equivFun x)
q : EuclideanSpace 𝕜 ι := toLp 2 (v.equivFun y)
key : failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
⊢ ∑ i, v.equivFun x i • v i = ∑ i, p.ofLp i • v i

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.ZLattice.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
K : Type u_1
inst✝⁹ : NormedField K
inst✝⁸ : LinearOrder K
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : Submodule ℤ E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
hs : IsZLattice K L
this✝² : Module.Finite ℤ ↥L
this✝¹ : Module ℚ E
this✝ : IsAddTorsionFree E
b₀ : Basis (Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L) ℤ ↥L := Free.chooseBasis ℤ ↥L
b : Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L → E := Subtype.val ∘ ⇑b₀
this : LinearIndependent ℤ b
h_spanL : span ℤ (Set.range b) = L
h_spanE : span K (Set.range b) = ⊤
h_card : Fintype.card (Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L) = (Set.range b).toFinset.card
⊢ finrank K ↥(span K (Set.range b)) ≤ Fintype.card (Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L)

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
K : Type u_1
inst✝⁹ : NormedField K
inst✝⁸ : LinearOrder K
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : Submodule ℤ E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
hs : IsZLattice K L
this✝² : Module.Finite ℤ ↥L
this✝¹ : Module ℚ E
this✝ : IsAddTorsionFree E
b₀ : Basis (Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L) ℤ ↥L := Free.chooseBasis ℤ ↥L
b : Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L → E := Subtype.val ∘ ⇑b₀
this : LinearIndependent ℤ b
h_spanL : span ℤ (Set.range b) = L
h_spanE : span K (Set.range b) = ⊤
h_card : Fintype.card (Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L) = (Set.range b).toFinset.card
⊢ finrank K ↥(span K (Set.range b)) ≤ Fintype.card (Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: case e'_3.e'_5
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
x y : E
p : EuclideanSpace 𝕜 ι := toLp 2 (v.equivFun x)
q : EuclideanSpace 𝕜 ι := toLp 2 (v.equivFun y)
key : failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
⊢ ∑ i, v.equivFun y i • v i = ∑ i, q.ofLp i • v i

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
⊢ ⇑(v.toOrthonormalBasis hv) = ⇑(v.toOrthonormalBasis hv)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Split

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
I : Box ι
s : Finset (ι × ℝ)
p : ι × ℝ
⊢ (s.inf fun p ↦ split I p.1 p.2) ⊓ split I p.1 p.2 = (s.inf fun p ↦ split I p.1 p.2) ⊓ split I p.1 p.2

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.ZLattice.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
K : Type u_1
inst✝⁹ : NormedField K
inst✝⁸ : LinearOrder K
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : Submodule ℤ E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZLattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
this✝¹ : Module.Finite ℤ ↥L
this✝ : Free ℤ ↥L
e : Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L ≃ ι := (Free.chooseBasis ℤ ↥L).indexEquiv b
this : Fintype ι
⊢ ⊤ = ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.EqHaar

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ∞
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ∞ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
r : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0
⊢ 1 = 1

pp: case h0
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ∞
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ∞ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
r : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0
⊢ μ (closedBall x r) ≠ 0

pp: case ht
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ∞
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ∞ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
r : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0
⊢ μ (closedBall x r) ≠ ∞

Tactic:
]

Goal state after:
case h0
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ∞
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ∞ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
r : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0
⊢ μ (closedBall x r) ≠ 0

case ht
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ∞
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ∞ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
r : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0
⊢ μ (closedBall x r) ≠ ∞
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : ι → E
hon : Orthonormal 𝕜 v
hsp : ⊤ ≤ span 𝕜 (range v)
⊢ Orthonormal 𝕜 v

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : ι → E
hon : Orthonormal 𝕜 v
hsp : ⊤ ≤ span 𝕜 (range v)
⊢ Orthonormal 𝕜 v
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : Fintype ι
v : ι → E
hon : Orthonormal 𝕜 v
hsp : ⊤ ≤ span 𝕜 (range v)
⊢ v = v

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.ZLattice.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
K : Type u_1
inst✝⁹ : NormedField K
inst✝⁸ : LinearOrder K
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : Submodule ℤ E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZLattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
this✝¹ : Module.Finite ℤ ↥L
this✝ : Free ℤ ↥L
e : Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L ≃ ι := (Free.chooseBasis ℤ ↥L).indexEquiv b
this : Fintype ι
⊢ finrank K E = finrank K E

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Split

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
I J Js : Box ι
s : Finset (ι × ℝ)
HJs : Js ∈ splitMany I s
Hn : ¬Disjoint ↑J ↑Js
H : ∀ (i : ι), (i, J.lower i) ∈ s ∧ (i, J.upper i) ∈ s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ ↑J
hxs : x ∈ ↑Js
y : ι → ℝ
hy : y ∈ Js
i : ι
Jl : Box ι
Hmem : Jl ∈ split I i (J.lower i)
Hle : ↑Js ⊆ ↑I ∩ {y | J.lower i < y i}
this : x ∈ Jl
⊢ J.lower i < y i

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
I J Js : Box ι
s : Finset (ι × ℝ)
HJs : Js ∈ splitMany I s
Hn : ¬Disjoint ↑J ↑Js
H : ∀ (i : ι), (i, J.lower i) ∈ s ∧ (i, J.upper i) ∈ s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ ↑J
hxs : x ∈ ↑Js
y : ι → ℝ
hy : y ∈ Js
i : ι
Jl : Box ι
Hmem : Jl ∈ split I i (J.lower i)
Hle : ↑Js ⊆ ↑I ∩ {y | J.lower i < y i}
this : x ∈ Jl
⊢ J.lower i < y i
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → E
inst✝ : DecidableEq E
v' : ι' → E
h : Orthonormal 𝕜 v'
s : Finset ι'
e₀' : Basis (↥s) 𝕜 ↥(span 𝕜 (range (v' ∘ Subtype.val))) := Basis.span ⋯
e₀ : OrthonormalBasis (↥s) 𝕜 ↥(span 𝕜 (range (v' ∘ Subtype.val))) := OrthonormalBasis.mk ⋯ ⋯
⊢ span 𝕜 (range fun x ↦ v' ↑x) = span 𝕜 (range (v' ∘ Subtype.val))

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → E
inst✝ : DecidableEq E
v' : ι' → E
h : Orthonormal 𝕜 v'
s : Finset ι'
e₀' : Basis (↥s) 𝕜 ↥(span 𝕜 (range (v' ∘ Subtype.val))) := Basis.span ⋯
e₀ : OrthonormalBasis (↥s) 𝕜 ↥(span 𝕜 (range (v' ∘ Subtype.val))) := OrthonormalBasis.mk ⋯ ⋯
⊢ span 𝕜 (range fun x ↦ v' ↑x) = span 𝕜 (range (v' ∘ Subtype.val))
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Split

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
I J Js : Box ι
s : Finset (ι × ℝ)
HJs : Js ∈ splitMany I s
Hn : ¬Disjoint ↑J ↑Js
H : ∀ (i : ι), (i, J.lower i) ∈ s ∧ (i, J.upper i) ∈ s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ ↑J
hxs : x ∈ ↑Js
y : ι → ℝ
hy : y ∈ Js
i : ι
Jl : Box ι
Hmem : Jl ∈ split I i (J.upper i)
Hle : ↑Js ⊆ ↑I ∩ {y | y i ≤ J.upper i}
this : x ∈ Jl
⊢ y i ≤ J.upper i

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
I J Js : Box ι
s : Finset (ι × ℝ)
HJs : Js ∈ splitMany I s
Hn : ¬Disjoint ↑J ↑Js
H : ∀ (i : ι), (i, J.lower i) ∈ s ∧ (i, J.upper i) ∈ s
x : ι → ℝ
hx : x ∈ ↑J
hxs : x ∈ ↑Js
y : ι → ℝ
hy : y ∈ Js
i : ι
Jl : Box ι
Hmem : Jl ∈ split I i (J.upper i)
Hle : ↑Js ⊆ ↑I ∩ {y | y i ≤ J.upper i}
this : x ∈ Jl
⊢ y i ≤ J.upper i
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : ι → E
hon : Orthonormal 𝕜 v
hsp : span 𝕜 (range v) = ⊤
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥(span 𝕜 (range v))
this : CompleteSpace ↥(span 𝕜 (range v))
⊢ span 𝕜 (range v) = ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : ι → E
hon : Orthonormal 𝕜 v
hsp : span 𝕜 (range v) = ⊤
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥(span 𝕜 (range v))
this : CompleteSpace ↥(span 𝕜 (range v))
⊢ span 𝕜 (range v) = ⊤
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Fintype ι'
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
i' : ι'
⊢ (fun i ↦ (b.repr.trans (LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft 2 𝕜 𝕜 e)).symm (EuclideanSpace.single i 1)) i' =
    b (e.symm i')

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Fintype ι'
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
i' : ι'
⊢ (fun i ↦ (b.repr.trans (LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft 2 𝕜 𝕜 e)).symm (EuclideanSpace.single i 1)) i' =
    b (e.symm i')
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Fintype ι'
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
i' : ι'
⊢ b.repr.symm (EuclideanSpace.single (e.symm i') 1) = b.repr.symm (EuclideanSpace.single (e.symm i') 1)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.EqHaar

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ∞
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ∞ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
A : Tendsto (fun r ↦ μ (closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
B :
  Tendsto (fun a ↦ μ (closedBall x a) / μ (closedBall x a) - μ (s ∩ closedBall x a) / μ (closedBall x a)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
r : ℝ
rpos : 0 < r
⊢ s = s

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.ZLattice.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝⁹ : NormedField K
inst✝⁸ : LinearOrder K
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : Submodule ℤ E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZLattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
⊢ span ℤ (⇑L.subtype '' Set.range ⇑b) = span ℤ (⇑L.subtype '' Set.range ⇑b)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Fintype ι'
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
x : E
i' : ι'
⊢ ⟪b (e.symm i'), x⟫ = ⟪b (e.symm i'), x⟫

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
x : EuclideanSpace ℝ ι
i : ι
⊢ x.ofLp i = x.ofLp i

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Split

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
I : Box ι
inst✝ : Finite ι
π : Prepartition I
t : Finset (ι × ℝ)
ht : ∀ (I_1 J : Box ι), J ∈ π.boxes → ∀ J' ∈ splitMany I_1 t, ¬Disjoint ↑J ↑J' → J' ≤ J
J : Box ι
hJ : J ∈ splitMany I t ∧ ↑J ⊆ π.iUnion
⊢ ∃ I' ∈ π, J ≤ I'

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
I : Box ι
inst✝ : Finite ι
π : Prepartition I
t : Finset (ι × ℝ)
ht : ∀ (I_1 J : Box ι), J ∈ π.boxes → ∀ J' ∈ splitMany I_1 t, ¬Disjoint ↑J ↑J' → J' ≤ J
J : Box ι
hJ : J ∈ splitMany I t ∧ ↑J ⊆ π.iUnion
⊢ ∃ I' ∈ π, J ≤ I'
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Split

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
I : Box ι
π : Prepartition I
h : π.IsPartition
s : Finset (ι × ℝ)
hs : splitMany I s ≤ π
⊢ splitMany I s ≤ π

pp: case hp
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
I : Box ι
π : Prepartition I
h : π.IsPartition
s : Finset (ι × ℝ)
hs : π ⊓ splitMany I s = (splitMany I s).filter fun J ↦ ↑J ⊆ ↑I
⊢ ∀ J ∈ splitMany I s, ↑J ⊆ ↑I

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
I : Box ι
π : Prepartition I
h : π.IsPartition
s : Finset (ι × ℝ)
hs : splitMany I s ≤ π
⊢ splitMany I s ≤ π

case hp
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
I : Box ι
π : Prepartition I
h : π.IsPartition
s : Finset (ι × ℝ)
hs : π ⊓ splitMany I s = (splitMany I s).filter fun J ↦ ↑J ⊆ ↑I
⊢ ∀ J ∈ splitMany I s, ↑J ⊆ ↑I
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Split

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
I : Box ι
inst✝ : Finite ι
π₁ π₂ : Prepartition I
h : π₁.iUnion = π₂.iUnion
⊢ (fun π' ↦ π'.iUnion = ↑I \ π₂.iUnion) = fun π' ↦ π'.iUnion = ↑I \ π₂.iUnion

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Split

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
I : Box ι
inst✝ : Finite ι
π : Prepartition I
h : π.IsPartition
⊢ ∅ = ∅

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : Fintype ι
E' : Type u_7
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
b' : OrthonormalBasis ι' 𝕜 E'
e : ι ≃ ι'
x : E
⊢ ∑ x_1, (b.equiv b' e) ((b.repr x).ofLp x_1 • b x_1) = ∑ i, (b.repr x).ofLp i • b' (e i)

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : Fintype ι
E' : Type u_7
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
b' : OrthonormalBasis ι' 𝕜 E'
e : ι ≃ ι'
x : E
⊢ ∑ x_1, (b.equiv b' e) ((b.repr x).ofLp x_1 • b x_1) = ∑ i, (b.repr x).ofLp i • b' (e i)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.EqHaar

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ∞
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ∞ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
L : Tendsto (fun r ↦ μ (sᶜ ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
L' : Tendsto (fun r ↦ μ (sᶜ ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
r : ℝ
rpos : 0 < r
⊢ 1 = 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.PiL2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
⊢ ∀ (i j : Fin 2), inner ℝ (basisOneI i) (basisOneI j) = if i = j then 1 else 0

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
⊢ ∀ (i j : Fin 2), inner ℝ (basisOneI i) (basisOneI j) = if i = j then 1 else 0
Module: Mathlib.Algebra.Module.ZLattice.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : DiscreteTopology ↥(span ℤ s)
F : Submodule ℝ E := span ℝ s
L : Submodule ℤ ↥(span ℝ s) := comap (Submodule.restrictScalars ℤ F).subtype (span ℤ s)
f : ↥(comap (Submodule.restrictScalars ℤ (span ℝ s)).subtype (span ℤ s)) ≃ₗ[ℤ] ↥(span ℤ s) := comapSubtypeEquivOfLe ⋯
this✝ : DiscreteTopology ↥L
this : IsZLattice ℝ L
⊢ finrank ℝ ↥(span ℝ s) = finrank ℤ ↥(comap (Submodule.restrictScalars ℤ (span ℝ s)).subtype (span ℤ s))

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : DiscreteTopology ↥(span ℤ s)
F : Submodule ℝ E := span ℝ s
L : Submodule ℤ ↥(span ℝ s) := comap (Submodule.restrictScalars ℤ F).subtype (span ℤ s)
f : ↥(comap (Submodule.restrictScalars ℤ (span ℝ s)).subtype (span ℤ s)) ≃ₗ[ℤ] ↥(span ℤ s) := comapSubtypeEquivOfLe ⋯
this✝ : DiscreteTopology ↥L
this : IsZLattice ℝ L
⊢ finrank ℝ ↥(span ℝ s) = finrank ℤ ↥(comap (Submodule.restrictScalars ℤ (span ℝ s)).subtype (span ℤ s))
Module: Mathlib.Algebra.Module.ZLattice.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
L : Submodule ℤ (ι → ℝ)
inst✝¹ : DiscreteTopology ↥L
inst✝ : IsZLattice ℝ L
⊢ Fintype.card ι = Fintype.card ι

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.ZLattice.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField K
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace K F
L : Submodule ℤ E
hL : span K ↑L = ⊤
e : F →ₗ[K] E
he : ↑L ⊆ ↑e.range
⊢ ⊤ = ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.ZLattice.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝⁶ : NormedField K
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace K E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace K F
L : Submodule ℤ E
inst✝¹ : DiscreteTopology ↥L
inst✝ : IsZLattice K L
e : F ≃L[K] E
⊢ ⊤ = ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.ZLattice.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField K
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace K F
L : Submodule ℤ E
e : F ≃ₗ[K] E
x✝ : ↥(ZLattice.comap K L ↑e)
x : F
hx : x ∈ ⇑↑e ⁻¹' ↑L
⊢ e x ∈ L

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField K
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace K F
L : Submodule ℤ E
e : F ≃ₗ[K] E
x✝ : ↥(ZLattice.comap K L ↑e)
x : F
hx : x ∈ ⇑↑e ⁻¹' ↑L
⊢ e x ∈ L