mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.LiftingProperties.PushoutProduct

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPushouts C
inst✝² : CartesianMonoidalCategory C
inst✝¹ : MonoidalClosed C
inst✝ : BraidedCategory C
A B K L X Y : C
g : K ⟶ L
h : X ⟶ Y
i : IsInitial A
this :
  HasLiftingProperty (ofHasPushout (curriedTensor C) (Arrow.mk (i.to B)).hom (Arrow.mk g).hom).ι h ↔
    HasLiftingProperty (B ◁ (Arrow.mk g).hom) h
⊢ HasLiftingProperty (B ◁ g) h ↔ HasLiftingProperty g ((ihom B).map h)

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPushouts C
inst✝² : CartesianMonoidalCategory C
inst✝¹ : MonoidalClosed C
inst✝ : BraidedCategory C
A B K L X Y : C
g : K ⟶ L
h : X ⟶ Y
i : IsInitial A
this :
  HasLiftingProperty (ofHasPushout (curriedTensor C) (Arrow.mk (i.to B)).hom (Arrow.mk g).hom).ι h ↔
    HasLiftingProperty (B ◁ (Arrow.mk g).hom) h
⊢ HasLiftingProperty (B ◁ g) h ↔ HasLiftingProperty g ((ihom B).map h)
Module: Mathlib.CategoryTheory.LiftingProperties.PushoutProduct

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPushouts C
inst✝² : CartesianMonoidalCategory C
inst✝¹ : MonoidalClosed C
inst✝ : BraidedCategory C
A B K L X Y : C
f : A ⟶ B
h : X ⟶ Y
i : IsInitial K
⊢ HasLiftingProperty (Arrow.mk f □ Arrow.mk (i.to L)).hom h ↔ HasLiftingProperty (Arrow.mk (i.to L) □ Arrow.mk f).hom h

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPushouts C
inst✝² : CartesianMonoidalCategory C
inst✝¹ : MonoidalClosed C
inst✝ : BraidedCategory C
A B K L X Y : C
f : A ⟶ B
h : X ⟶ Y
i : IsInitial K
⊢ HasLiftingProperty (Arrow.mk f □ Arrow.mk (i.to L)).hom h ↔ HasLiftingProperty (Arrow.mk (i.to L) □ Arrow.mk f).hom h
Module: Mathlib.CategoryTheory.LiftingProperties.PushoutProduct

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPushouts C
inst✝² : HasPullbacks C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalClosed C
A B K L X Y : C
f : A ⟶ B
g : K ⟶ L
t : IsTerminal Y
⊢ HasLiftingProperty g (Opposite.op (Arrow.mk f) ⋔ Arrow.mk (t.from X)).hom ↔
    HasLiftingProperty g ((MonoidalClosed.pre f).app X)

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPushouts C
inst✝² : HasPullbacks C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalClosed C
A B K L X Y : C
f : A ⟶ B
g : K ⟶ L
t : IsTerminal Y
⊢ HasLiftingProperty g (Opposite.op (Arrow.mk f) ⋔ Arrow.mk (t.from X)).hom ↔
    HasLiftingProperty g ((MonoidalClosed.pre f).app X)
Module: Mathlib.CategoryTheory.LiftingProperties.PushoutProduct

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPushouts C
inst✝² : CartesianMonoidalCategory C
inst✝¹ : MonoidalClosed C
inst✝ : BraidedCategory C
A B K L X Y : C
g : K ⟶ L
i : IsInitial A
t : IsTerminal Y
⊢ HasLiftingProperty g ((ihom B).map (t.from X)) ↔ HasLiftingProperty g (t.from (B ⟹ X))

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPushouts C
inst✝² : CartesianMonoidalCategory C
inst✝¹ : MonoidalClosed C
inst✝ : BraidedCategory C
A B K L X Y : C
g : K ⟶ L
i : IsInitial A
t : IsTerminal Y
⊢ HasLiftingProperty g ((ihom B).map (t.from X)) ↔ HasLiftingProperty g (t.from (B ⟹ X))
Module: Mathlib.CategoryTheory.LiftingProperties.PushoutProduct

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPushouts C
inst✝² : CartesianMonoidalCategory C
inst✝¹ : MonoidalClosed C
inst✝ : BraidedCategory C
A B K L X Y : C
f : A ⟶ B
i : IsInitial K
t : IsTerminal Y
⊢ HasLiftingProperty f ((ihom L).map (t.from X)) ↔ HasLiftingProperty f (t.from (L ⟹ X))

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPushouts C
inst✝² : CartesianMonoidalCategory C
inst✝¹ : MonoidalClosed C
inst✝ : BraidedCategory C
A B K L X Y : C
f : A ⟶ B
i : IsInitial K
t : IsTerminal Y
⊢ HasLiftingProperty f ((ihom L).map (t.from X)) ↔ HasLiftingProperty f (t.from (L ⟹ X))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Chosen.End

Goal state before:
pp: J✝ : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_2} C✝
inst✝⁴ : Category.{v_2, u_1} J✝
F✝ : J✝ᵒᵖ ⥤ J✝ ⥤ C✝
inst✝³ : ChosenCoendsOfShape J✝ C✝
X✝ : C✝
f✝¹ : (j : J✝) → (F✝.obj (op j)).obj j ⟶ X✝
hf✝ : ∀ ⦃i j : J✝⦄ (g : i ⟶ j), (F✝.map g.op).app i ≫ f✝¹ i = (F✝.obj (op j)).map g ≫ f✝¹ j
J : Type u_3
C : Type u_4
inst✝² : Category.{v_3, u_4} C
inst✝¹ : Category.{v_4, u_3} J
F : Jᵒᵖ ⥤ J ⥤ C
inst✝ : ChosenEndsOfShape J C
X : C
f✝ : (j : J) → X ⟶ (F.obj (op j)).obj j
hf : ∀ ⦃i j : J⦄ (g : i ⟶ j), f✝ i ≫ (F.obj (op i)).map g = f✝ j ≫ (F.map g.op).app j
G : Jᵒᵖ ⥤ J ⥤ C
f : F ⟶ G
j j' : J
φ : j ⟶ j'
e : (F.obj (op j)).map φ ≫ (f.app (op j)).app j' = (f.app (op j)).app j ≫ (G.obj (op j)).map φ
⊢ π F j' ≫ (F.map φ.op).app j' ≫ (f.app (op j)).app j' = π F j' ≫ (f.app (op j')).app j' ≫ (G.map φ.op).app j'

Tactic:
]

Goal state after:
J✝ : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_2} C✝
inst✝⁴ : Category.{v_2, u_1} J✝
F✝ : J✝ᵒᵖ ⥤ J✝ ⥤ C✝
inst✝³ : ChosenCoendsOfShape J✝ C✝
X✝ : C✝
f✝¹ : (j : J✝) → (F✝.obj (op j)).obj j ⟶ X✝
hf✝ : ∀ ⦃i j : J✝⦄ (g : i ⟶ j), (F✝.map g.op).app i ≫ f✝¹ i = (F✝.obj (op j)).map g ≫ f✝¹ j
J : Type u_3
C : Type u_4
inst✝² : Category.{v_3, u_4} C
inst✝¹ : Category.{v_4, u_3} J
F : Jᵒᵖ ⥤ J ⥤ C
inst✝ : ChosenEndsOfShape J C
X : C
f✝ : (j : J) → X ⟶ (F.obj (op j)).obj j
hf : ∀ ⦃i j : J⦄ (g : i ⟶ j), f✝ i ≫ (F.obj (op i)).map g = f✝ j ≫ (F.map g.op).app j
G : Jᵒᵖ ⥤ J ⥤ C
f : F ⟶ G
j j' : J
φ : j ⟶ j'
e : (F.obj (op j)).map φ ≫ (f.app (op j)).app j' = (f.app (op j)).app j ≫ (G.obj (op j)).map φ
⊢ π F j' ≫ (F.map φ.op).app j' ≫ (f.app (op j)).app j' = π F j' ≫ (f.app (op j')).app j' ≫ (G.map φ.op).app j'
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.ConcreteCategory.WithAlgebraicStructures

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
J : Type w
inst✝³ : Category.{r, w} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst✝² : PreservesColimit F (forget (ModuleCat R))
inst✝¹ : IsFiltered J
inst✝ : HasColimit F
j : J
x : ↑(F.obj j)
hx : ∃ k f g, (ConcreteCategory.hom (F.map f)) x = (ConcreteCategory.hom (F.map g)) 0
⊢ ∃ j' i, (ModuleCat.Hom.hom (F.map i)) x = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
J : Type w
inst✝³ : Category.{r, w} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst✝² : PreservesColimit F (forget (ModuleCat R))
inst✝¹ : IsFiltered J
inst✝ : HasColimit F
j : J
x : ↑(F.obj j)
hx : ∃ k f g, (ConcreteCategory.hom (F.map f)) x = (ConcreteCategory.hom (F.map g)) 0
⊢ ∃ j' i, (ModuleCat.Hom.hom (F.map i)) x = 0
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.ConcreteCategory.WithAlgebraicStructures

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
J : Type w
inst✝³ : Category.{r, w} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst✝² : PreservesColimit F (forget (ModuleCat R))
inst✝¹ : IsFiltered J
inst✝ : HasColimit F
r : R
H : ∃ j', ∀ (j : J) (x : j' ⟶ j) (c : ↑(F.obj j)), r • c = 0 → c = 0
j : J
x : ToType (F.obj j)
hx : (ModuleCat.Hom.hom (colimit.ι F j)) (r • x) = 0
⊢ (ConcreteCategory.hom (colimit.ι F j)) x = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
J : Type w
inst✝³ : Category.{r, w} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst✝² : PreservesColimit F (forget (ModuleCat R))
inst✝¹ : IsFiltered J
inst✝ : HasColimit F
r : R
H : ∃ j', ∀ (j : J) (x : j' ⟶ j) (c : ↑(F.obj j)), r • c = 0 → c = 0
j : J
x : ToType (F.obj j)
hx : (ModuleCat.Hom.hom (colimit.ι F j)) (r • x) = 0
⊢ (ConcreteCategory.hom (colimit.ι F j)) x = 0
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.ConcreteCategory.WithAlgebraicStructures

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
J : Type w
inst✝³ : Category.{r, w} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst✝² : PreservesColimit F (forget (ModuleCat R))
inst✝¹ : IsFiltered J
inst✝ : HasColimit F
r : R
j : J
x : ToType (F.obj j)
hx : (ModuleCat.Hom.hom (colimit.ι F j)) (r • x) = 0
j' : J
i : j ⟶ j'
h : (ModuleCat.Hom.hom (F.map i)) (r • x) = 0
j'' : J
H : ∀ (j : J) (x : j'' ⟶ j) (c : ↑(F.obj j)), r • c = 0 → c = 0
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.FormalCoproducts.ExtraDegeneracy

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasFiniteProducts C
U : FormalCoproduct C
T : C
hT : IsTerminal T
n : SimplexCategoryᵒᵖ
i : ToType (Opposite.unop n)
⊢ WidePullback.π (fun x ↦ (isTerminalIncl T hT).from U) i = WidePullback.π (fun x ↦ (isTerminalIncl T hT).from U) i

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.FormalCoproducts.Cech

Goal state before:
pp: case h₂
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
U : FormalCoproduct C
α : Type
inst✝ : HasProductsOfShape α C
s : Fan fun x ↦ U
φ : (i : s.pt.I) → s.pt.obj i ⟶ (U.powerFan α).pt.obj ((fun i a ↦ (s.proj a).f i) i)
i : s.pt.I
a : α
hm :
  ∃ (h₁ : ({ f := fun i a ↦ (s.proj a).f i, φ := φ } ≫ (U.powerFan α).proj a).f = (s.proj a).f),
    ∀ (i : s.pt.I), ({ f := fun i a ↦ (s.proj a).f i, φ := φ } ≫ (U.powerFan α).proj a).φ i ≫ eqToHom ⋯ = (s.proj a).φ i
⊢ (φ i ≫ 𝟙 (∏ᶜ U.obj ∘ fun a ↦ (s.proj a).f i)) ≫ Pi.π (U.obj ∘ fun a ↦ (s.proj a).f i) a =
    (Pi.lift fun a ↦ (s.proj a).φ i) ≫ Pi.π (U.obj ∘ fun a ↦ (s.proj a).f i) a

Tactic:
]

Goal state after:
case h₂
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
U : FormalCoproduct C
α : Type
inst✝ : HasProductsOfShape α C
s : Fan fun x ↦ U
φ : (i : s.pt.I) → s.pt.obj i ⟶ (U.powerFan α).pt.obj ((fun i a ↦ (s.proj a).f i) i)
i : s.pt.I
a : α
hm :
  ∃ (h₁ : ({ f := fun i a ↦ (s.proj a).f i, φ := φ } ≫ (U.powerFan α).proj a).f = (s.proj a).f),
    ∀ (i : s.pt.I), ({ f := fun i a ↦ (s.proj a).f i, φ := φ } ≫ (U.powerFan α).proj a).φ i ≫ eqToHom ⋯ = (s.proj a).φ i
⊢ (φ i ≫ 𝟙 (∏ᶜ U.obj ∘ fun a ↦ (s.proj a).f i)) ≫ Pi.π (U.obj ∘ fun a ↦ (s.proj a).f i) a =
    (Pi.lift fun a ↦ (s.proj a).φ i) ≫ Pi.π (U.obj ∘ fun a ↦ (s.proj a).f i) a
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Preserves.BifunctorCokernel

Goal state before:
pp: C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C : Type u_3
inst✝¹¹ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝¹⁰ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝⁹ : Category.{v_3, u_3} C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
X₁ Y₁ : C₁
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
c₁ : CokernelCofork f₁
hc₁ : IsColimit c₁
X₂ Y₂ : C₂
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
c₂ : CokernelCofork f₂
hc₂ : IsColimit c₂
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C
inst✝⁵ : (F.obj c₁.pt).PreservesZeroMorphisms
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : PreservesColimit (parallelPair f₂ 0) (F.obj c₁.pt)
inst✝² : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj Y₂)
inst✝¹ : HasBinaryCoproduct ((F.obj X₁).obj Y₂) ((F.obj Y₁).obj X₂)
inst✝ : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj X₂)
s : CokernelCofork (coprod.desc ((F.map f₁).app Y₂) ((F.obj Y₁).map f₂))
this : (F.map f₁).app Y₂ ≫ Cofork.π s = 0
⊢ (F.flip.obj Y₂).map f₁ ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s

Tactic:
]

Goal state after:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C : Type u_3
inst✝¹¹ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝¹⁰ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝⁹ : Category.{v_3, u_3} C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
X₁ Y₁ : C₁
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
c₁ : CokernelCofork f₁
hc₁ : IsColimit c₁
X₂ Y₂ : C₂
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
c₂ : CokernelCofork f₂
hc₂ : IsColimit c₂
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C
inst✝⁵ : (F.obj c₁.pt).PreservesZeroMorphisms
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : PreservesColimit (parallelPair f₂ 0) (F.obj c₁.pt)
inst✝² : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj Y₂)
inst✝¹ : HasBinaryCoproduct ((F.obj X₁).obj Y₂) ((F.obj Y₁).obj X₂)
inst✝ : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj X₂)
s : CokernelCofork (coprod.desc ((F.map f₁).app Y₂) ((F.obj Y₁).map f₂))
this : (F.map f₁).app Y₂ ≫ Cofork.π s = 0
⊢ (F.flip.obj Y₂).map f₁ ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Preserves.BifunctorCokernel

Goal state before:
pp: C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C : Type u_3
inst✝¹¹ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝¹⁰ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝⁹ : Category.{v_3, u_3} C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
X₁ Y₁ : C₁
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
c₁ : CokernelCofork f₁
hc₁ : IsColimit c₁
X₂ Y₂ : C₂
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
c₂ : CokernelCofork f₂
hc₂ : IsColimit c₂
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C
inst✝⁵ : (F.obj c₁.pt).PreservesZeroMorphisms
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : PreservesColimit (parallelPair f₂ 0) (F.obj c₁.pt)
inst✝² : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj Y₂)
inst✝¹ : HasBinaryCoproduct ((F.obj X₁).obj Y₂) ((F.obj Y₁).obj X₂)
inst✝ : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj X₂)
s : CokernelCofork (coprod.desc ((F.map f₁).app Y₂) ((F.obj Y₁).map f₂))
this : (F.map f₁).app Y₂ ≫ Cofork.π s = 0
⊢ (F.flip.obj Y₂).map f₁ ≫ Cofork.π s = 0

Tactic:
]

Goal state after:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C : Type u_3
inst✝¹¹ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝¹⁰ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝⁹ : Category.{v_3, u_3} C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
X₁ Y₁ : C₁
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
c₁ : CokernelCofork f₁
hc₁ : IsColimit c₁
X₂ Y₂ : C₂
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
c₂ : CokernelCofork f₂
hc₂ : IsColimit c₂
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C
inst✝⁵ : (F.obj c₁.pt).PreservesZeroMorphisms
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : PreservesColimit (parallelPair f₂ 0) (F.obj c₁.pt)
inst✝² : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj Y₂)
inst✝¹ : HasBinaryCoproduct ((F.obj X₁).obj Y₂) ((F.obj Y₁).obj X₂)
inst✝ : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj X₂)
s : CokernelCofork (coprod.desc ((F.map f₁).app Y₂) ((F.obj Y₁).map f₂))
this : (F.map f₁).app Y₂ ≫ Cofork.π s = 0
⊢ (F.flip.obj Y₂).map f₁ ≫ Cofork.π s = 0
Module: Mathlib.CategoryTheory.Join.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
E' : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} E'
F G : C ⋆ D ⥤ E
eₗ : inclLeft C D ⋙ F ≅ inclLeft C D ⋙ G
eᵣ : inclRight C D ⋙ F ≅ inclRight C D ⋙ G
h :
  whiskerRight (edgeTransform C D) F ≫ ((Prod.snd C D).isoWhiskerLeft eᵣ).hom =
    ((Prod.fst C D).isoWhiskerLeft eₗ).hom ≫ whiskerRight (edgeTransform C D) G
⊢ ((Prod.fst C D).isoWhiskerLeft eₗ).hom ≫ whiskerRight (edgeTransform C D) G =
    ((Prod.fst C D).isoWhiskerLeft eₗ).hom ≫ whiskerRight (edgeTransform C D) G

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Preserves.BifunctorCokernel

Goal state before:
pp: C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C : Type u_3
inst✝¹¹ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝¹⁰ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝⁹ : Category.{v_3, u_3} C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
X₁ Y₁ : C₁
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
c₁ : CokernelCofork f₁
hc₁ : IsColimit c₁
X₂ Y₂ : C₂
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
c₂ : CokernelCofork f₂
hc₂ : IsColimit c₂
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C
inst✝⁵ : (F.obj c₁.pt).PreservesZeroMorphisms
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : PreservesColimit (parallelPair f₂ 0) (F.obj c₁.pt)
inst✝² : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj Y₂)
inst✝¹ : HasBinaryCoproduct ((F.obj X₁).obj Y₂) ((F.obj Y₁).obj X₂)
inst✝ : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj X₂)
s : CokernelCofork (coprod.desc ((F.map f₁).app Y₂) ((F.obj Y₁).map f₂))
l : (c₁.map (F.flip.obj Y₂)).pt ⟶ s.pt
hl : Cofork.π (c₁.map (F.flip.obj Y₂)) ≫ l = Cofork.π s
this : (F.map (Cofork.π c₁)).app X₂ ≫ (F.obj c₁.pt).map f₂ ≫ l = 0
⊢ (F.obj c₁.pt).map f₂ ≫ l = 0 ≫ l

Tactic:
]

Goal state after:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C : Type u_3
inst✝¹¹ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝¹⁰ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝⁹ : Category.{v_3, u_3} C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
X₁ Y₁ : C₁
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
c₁ : CokernelCofork f₁
hc₁ : IsColimit c₁
X₂ Y₂ : C₂
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
c₂ : CokernelCofork f₂
hc₂ : IsColimit c₂
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C
inst✝⁵ : (F.obj c₁.pt).PreservesZeroMorphisms
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : PreservesColimit (parallelPair f₂ 0) (F.obj c₁.pt)
inst✝² : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj Y₂)
inst✝¹ : HasBinaryCoproduct ((F.obj X₁).obj Y₂) ((F.obj Y₁).obj X₂)
inst✝ : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj X₂)
s : CokernelCofork (coprod.desc ((F.map f₁).app Y₂) ((F.obj Y₁).map f₂))
l : (c₁.map (F.flip.obj Y₂)).pt ⟶ s.pt
hl : Cofork.π (c₁.map (F.flip.obj Y₂)) ≫ l = Cofork.π s
this : (F.map (Cofork.π c₁)).app X₂ ≫ (F.obj c₁.pt).map f₂ ≫ l = 0
⊢ (F.obj c₁.pt).map f₂ ≫ l = 0 ≫ l
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Preserves.BifunctorCokernel

Goal state before:
pp: C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C : Type u_3
inst✝¹¹ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝¹⁰ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝⁹ : Category.{v_3, u_3} C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
X₁ Y₁ : C₁
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
c₁ : CokernelCofork f₁
hc₁ : IsColimit c₁
X₂ Y₂ : C₂
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
c₂ : CokernelCofork f₂
hc₂ : IsColimit c₂
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C
inst✝⁵ : (F.obj c₁.pt).PreservesZeroMorphisms
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : PreservesColimit (parallelPair f₂ 0) (F.obj c₁.pt)
inst✝² : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj Y₂)
inst✝¹ : HasBinaryCoproduct ((F.obj X₁).obj Y₂) ((F.obj Y₁).obj X₂)
inst✝ : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj X₂)
s : CokernelCofork (coprod.desc ((F.map f₁).app Y₂) ((F.obj Y₁).map f₂))
l : (c₁.map (F.flip.obj Y₂)).pt ⟶ s.pt
hl : Cofork.π (c₁.map (F.flip.obj Y₂)) ≫ l = Cofork.π s
this : (F.map (Cofork.π c₁)).app X₂ ≫ (F.obj c₁.pt).map f₂ ≫ l = 0
⊢ Cofork.π (c₁.map (F.flip.obj X₂)) ≫ (F.obj c₁.pt).map f₂ ≫ l = 0

Tactic:
]

Goal state after:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C : Type u_3
inst✝¹¹ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝¹⁰ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝⁹ : Category.{v_3, u_3} C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
X₁ Y₁ : C₁
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
c₁ : CokernelCofork f₁
hc₁ : IsColimit c₁
X₂ Y₂ : C₂
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
c₂ : CokernelCofork f₂
hc₂ : IsColimit c₂
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C
inst✝⁵ : (F.obj c₁.pt).PreservesZeroMorphisms
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : PreservesColimit (parallelPair f₂ 0) (F.obj c₁.pt)
inst✝² : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj Y₂)
inst✝¹ : HasBinaryCoproduct ((F.obj X₁).obj Y₂) ((F.obj Y₁).obj X₂)
inst✝ : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj X₂)
s : CokernelCofork (coprod.desc ((F.map f₁).app Y₂) ((F.obj Y₁).map f₂))
l : (c₁.map (F.flip.obj Y₂)).pt ⟶ s.pt
hl : Cofork.π (c₁.map (F.flip.obj Y₂)) ≫ l = Cofork.π s
this : (F.map (Cofork.π c₁)).app X₂ ≫ (F.obj c₁.pt).map f₂ ≫ l = 0
⊢ Cofork.π (c₁.map (F.flip.obj X₂)) ≫ (F.obj c₁.pt).map f₂ ≫ l = 0
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Preserves.BifunctorCokernel

Goal state before:
pp: C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C : Type u_3
inst✝¹¹ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝¹⁰ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝⁹ : Category.{v_3, u_3} C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
X₁ Y₁ : C₁
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
c₁ : CokernelCofork f₁
hc₁ : IsColimit c₁
X₂ Y₂ : C₂
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
c₂ : CokernelCofork f₂
hc₂ : IsColimit c₂
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C
inst✝⁵ : (F.obj c₁.pt).PreservesZeroMorphisms
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : PreservesColimit (parallelPair f₂ 0) (F.obj c₁.pt)
inst✝² : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj Y₂)
inst✝¹ : HasBinaryCoproduct ((F.obj X₁).obj Y₂) ((F.obj Y₁).obj X₂)
inst✝ : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj X₂)
s : Cofork (coprod.desc ((F.map f₁).app Y₂) ((F.obj Y₁).map f₂)) 0
m : (c₁.mapBifunctor c₂ F).pt ⟶ s.pt
hm : Cofork.π (c₁.mapBifunctor c₂ F) ≫ m = s.π
⊢ (F.map (Cofork.π c₁)).app Y₂ ≫ (F.obj c₁.pt).map (Cofork.π c₂) ≫ m =
    (F.map (Cofork.π c₁)).app Y₂ ≫ (F.obj c₁.pt).map (Cofork.π c₂) ≫ m

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.FormalCoproducts.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
A : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} A
X Y : FormalCoproduct C
f g : X ⟶ Y
h₁ : f.f = g.f
i : X.I
⊢ Y.obj (g.f i) = Y.obj (g.f i)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.FormalCoproducts.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
A : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} A
X Y : FormalCoproduct C
f g : X ⟶ Y
i : X.I
h₁ : f.f i = g.f i
⊢ Y.obj (g.f i) = Y.obj (g.f i)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Preserves.Shapes.Images

Goal state before:
pp: A : Type u₁
B : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁵ : HasEqualizers A
inst✝⁴ : HasImages A
inst✝³ : StrongEpiCategory B
inst✝² : HasImages B
L : A ⥤ B
inst✝¹ : ∀ {X Y Z : A} (f : X ⟶ Z) (g : Y ⟶ Z), PreservesLimit (cospan f g) L
inst✝ : ∀ {X Y Z : A} (f : X ⟶ Y) (g : X ⟶ Z), PreservesColimit (span f g) L
X Y : A
f : X ⟶ Y
⊢ L.map f = L.map f

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Preserves.Shapes.Images

Goal state before:
pp: A : Type u₁
B : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁵ : HasEqualizers A
inst✝⁴ : HasImages A
inst✝³ : StrongEpiCategory B
inst✝² : HasImages B
L : A ⥤ B
inst✝¹ : ∀ {X Y Z : A} (f : X ⟶ Z) (g : Y ⟶ Z), PreservesLimit (cospan f g) L
inst✝ : ∀ {X Y Z : A} (f : X ⟶ Y) (g : X ⟶ Z), PreservesColimit (span f g) L
X Y : A
f : X ⟶ Y
⊢ image.ι (L.map f) = image.ι (L.map f)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.FormalCoproducts.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
A : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} A
𝒜 : Type w
f : 𝒜 → FormalCoproduct C
t X✝ X : FormalCoproduct C
i j : X.I
hij : i = j
⊢ X.obj j = X.obj j

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.FormalCoproducts.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
A : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} A
X Y Z : FormalCoproduct C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
i : Function.Pullback f.f g.f
⊢ Z.obj (g.f (↑i).2) = Z.obj (g.f (↑i).2)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.FormalCoproducts.Basic

Goal state before:
pp: case e'_3
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
A : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} A
X Y Z : FormalCoproduct C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
pb :
  (i : Function.Pullback f.f g.f) → PullbackCone (f.φ (↑i).1 ≫ eqToHom (@_proof_107 C inst✝¹ X Y Z f g i)) (g.φ (↑i).2)
hpb : (i : Function.Pullback f.f g.f) → IsLimit (pb i)
T : FormalCoproduct C
s : PullbackCone f g
m : s.pt ⟶ (pullbackCone f g pb).pt
h₁ : m ≫ (pullbackCone f g pb).fst = s.fst
h₂ : m ≫ (pullbackCone f g pb).snd = s.snd
⊢ (m ≫ (pullbackCone f g pb).fst, m ≫ (pullbackCone f g pb).snd) = ↑((homPullbackEquiv f g pb hpb s.pt).1 m)

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_3
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
A : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} A
X Y Z : FormalCoproduct C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
pb :
  (i : Function.Pullback f.f g.f) → PullbackCone (f.φ (↑i).1 ≫ eqToHom (@_proof_107 C inst✝¹ X Y Z f g i)) (g.φ (↑i).2)
hpb : (i : Function.Pullback f.f g.f) → IsLimit (pb i)
T : FormalCoproduct C
s : PullbackCone f g
m : s.pt ⟶ (pullbackCone f g pb).pt
h₁ : m ≫ (pullbackCone f g pb).fst = s.fst
h₂ : m ≫ (pullbackCone f g pb).snd = s.snd
⊢ (m ≫ (pullbackCone f g pb).fst, m ≫ (pullbackCone f g pb).snd) = ↑((homPullbackEquiv f g pb hpb s.pt).1 m)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.PiProd

Goal state before:
pp: C : Type u_1
I : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{v_1, u_1} C
X Y : I → C
f : (i : I) → X i ⟶ Y i
P : I → Prop
inst✝⁶ : HasProduct X
inst✝⁵ : HasProduct Y
inst✝⁴ : HasProduct fun i ↦ X ↑i
inst✝³ : HasProduct fun i ↦ X ↑i
inst✝² : HasProduct fun i ↦ Y ↑i
inst✝¹ : HasProduct fun i ↦ Y ↑i
inst✝ : (i : I) → Decidable (P i)
⊢ map f ≫ ((binaryFanOfPropIsLimit Y P).conePointUniqueUpToIso (prodIsProd (∏ᶜ fun i ↦ Y ↑i) (∏ᶜ fun i ↦ Y ↑i))).hom =
    ((binaryFanOfPropIsLimit X P).conePointUniqueUpToIso (prodIsProd (∏ᶜ fun i ↦ X ↑i) (∏ᶜ fun i ↦ X ↑i))).hom ≫
      prod.map (map fun i ↦ f ↑i) (map fun i ↦ f ↑i)

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u_1
I : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{v_1, u_1} C
X Y : I → C
f : (i : I) → X i ⟶ Y i
P : I → Prop
inst✝⁶ : HasProduct X
inst✝⁵ : HasProduct Y
inst✝⁴ : HasProduct fun i ↦ X ↑i
inst✝³ : HasProduct fun i ↦ X ↑i
inst✝² : HasProduct fun i ↦ Y ↑i
inst✝¹ : HasProduct fun i ↦ Y ↑i
inst✝ : (i : I) → Decidable (P i)
⊢ map f ≫ ((binaryFanOfPropIsLimit Y P).conePointUniqueUpToIso (prodIsProd (∏ᶜ fun i ↦ Y ↑i) (∏ᶜ fun i ↦ Y ↑i))).hom =
    ((binaryFanOfPropIsLimit X P).conePointUniqueUpToIso (prodIsProd (∏ᶜ fun i ↦ X ↑i) (∏ᶜ fun i ↦ X ↑i))).hom ≫
      prod.map (map fun i ↦ f ↑i) (map fun i ↦ f ↑i)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.Pullback.ChosenPullback

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X₁ X₂ S : C
f₁ : X₁ ⟶ S
f₂ : X₂ ⟶ S
h : ChosenPullback f₁ f₂
⊢ h.p = h.p

Tactic:
]

Goal state after: