mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.RingHomProperties

Goal state before:
pp: case inr
P : MorphismProperty Scheme
inst✝¹ : IsZariskiLocalAtTarget P
inst✝ : IsZariskiLocalAtSource P
Q : MorphismProperty Scheme := affineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f ↦ P (Spec.map (CommRingCat.ofHom f))
this✝ : HasRingHomProperty Q fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f ↦ P (Spec.map (CommRingCat.ofHom f))
X : Scheme
S : CommRingCat
f : X ⟶ Spec S
this : ∀ ⦃X : Scheme⦄ (f : X ⟶ Spec S), (∃ R, X = Spec R) → (P f ↔ Q f)
hX : ¬∃ R, X = Spec R
⊢ (∀ (i : X.affineCover.I₀), P (X.affineCover.f i ≫ f)) ↔ ∀ (i : X.affineCover.I₀), Q (X.affineCover.f i ≫ f)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
inst✝¹ : IsZariskiLocalAtTarget P
inst✝ : IsZariskiLocalAtSource P
Q : MorphismProperty Scheme := affineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f ↦ P (Spec.map (CommRingCat.ofHom f))
this✝ : HasRingHomProperty Q fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f ↦ P (Spec.map (CommRingCat.ofHom f))
X : Scheme
S : CommRingCat
f : X ⟶ Spec S
this : ∀ ⦃X : Scheme⦄ (f : X ⟶ Spec S), (∃ R, X = Spec R) → (P f ↔ Q f)
hX : ¬∃ R, X = Spec R
⊢ (∀ (i : X.affineCover.I₀), P (X.affineCover.f i ≫ f)) ↔ ∀ (i : X.affineCover.I₀), Q (X.affineCover.f i ≫ f)
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.RingHomProperties

Goal state before:
pp: P : MorphismProperty Scheme
inst✝¹ : IsZariskiLocalAtTarget P
inst✝ : IsZariskiLocalAtSource P
Q : MorphismProperty Scheme := affineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f ↦ P (Spec.map (CommRingCat.ofHom f))
this : HasRingHomProperty Q fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f ↦ P (Spec.map (CommRingCat.ofHom f))
S R : CommRingCat
φ : S ⟶ R
⊢ P (Spec.map φ) ↔ P (Spec.map (CommRingCat.ofHom (CommRingCat.Hom.hom φ)))

Tactic:
]

Goal state after:
P : MorphismProperty Scheme
inst✝¹ : IsZariskiLocalAtTarget P
inst✝ : IsZariskiLocalAtSource P
Q : MorphismProperty Scheme := affineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f ↦ P (Spec.map (CommRingCat.ofHom f))
this : HasRingHomProperty Q fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f ↦ P (Spec.map (CommRingCat.ofHom f))
S R : CommRingCat
φ : S ⟶ R
⊢ P (Spec.map φ) ↔ P (Spec.map (CommRingCat.ofHom (CommRingCat.Hom.hom φ)))
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.RingHomProperties

Goal state before:
pp: P P' : MorphismProperty Scheme
Q Q' : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q
inst✝ : HasRingHomProperty P' fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q'
⊢ ((affineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q) ⊓ affineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q') =
    affineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f ↦ Q f ∧ Q' f

Tactic:
]

Goal state after:
P P' : MorphismProperty Scheme
Q Q' : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q
inst✝ : HasRingHomProperty P' fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q'
⊢ ((affineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q) ⊓ affineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q') =
    affineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f ↦ Q f ∧ Q' f
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Height

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ⨆ i, ↑(⨆ (_ : i ≠ ⊤), i.height) ≤ ringKrullDim R

Tactic:
]

Goal state after:
case a
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ⨆ i, ↑(⨆ (_ : i ≠ ⊤), i.height) ≤ ringKrullDim R
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Height

Goal state before:
pp: case a.refine_1
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
p : LTSeries (PrimeSpectrum R)
⊢ ↑p.length ≤ (RelSeries.last p).asIdeal.primeHeight

Tactic:
]

Goal state after:
case a.refine_1
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
p : LTSeries (PrimeSpectrum R)
⊢ ↑p.length ≤ (RelSeries.last p).asIdeal.primeHeight
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Height

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ⨆ I, ⨆ (_ : I.IsPrime), I.height = ⨆ I, ⨆ (_ : I ≠ ⊤), I.height

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ⨆ I, ⨆ (_ : I.IsPrime), I.height = ⨆ I, ⨆ (_ : I ≠ ⊤), I.height
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.RingHomProperties

Goal state before:
pp: case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
hP : RingHom.StableUnderComposition fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hf : P f
hg : P g
this : ∀ {X Y Z : Scheme} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), P f → P g → IsAffine Z → P (f ≫ g)
hZ : ¬IsAffine Z
⊢ ∀ (i : ↑Z.affineOpens), P ((f ≫ g) ∣_ ↑i)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
hP : RingHom.StableUnderComposition fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hf : P f
hg : P g
this : ∀ {X Y Z : Scheme} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), P f → P g → IsAffine Z → P (f ≫ g)
hZ : ¬IsAffine Z
⊢ ∀ (i : ↑Z.affineOpens), P ((f ≫ g) ∣_ ↑i)
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Height

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ⨆ I, ⨆ (_ : I.IsMaximal), I.height = ⨆ I, ⨆ (_ : I ≠ ⊤), I.height

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ ⨆ I, ⨆ (_ : I.IsMaximal), I.height = ⨆ I, ⨆ (_ : I ≠ ⊤), I.height
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.RingHomProperties

Goal state before:
pp: case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
hP : RingHom.StableUnderComposition fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hf : P f
hg : P g
this : ∀ {X Y Z : Scheme} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), P f → P g → IsAffine Z → P (f ≫ g)
hZ : ¬IsAffine Z
U : ↑Z.affineOpens
⊢ P (f ∣_ g ⁻¹ᵁ ↑U ≫ g ∣_ ↑U)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
hP : RingHom.StableUnderComposition fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hf : P f
hg : P g
this : ∀ {X Y Z : Scheme} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), P f → P g → IsAffine Z → P (f ≫ g)
hZ : ¬IsAffine Z
U : ↑Z.affineOpens
⊢ P (f ∣_ g ⁻¹ᵁ ↑U ≫ g ∣_ ↑U)
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.QuasiSeparated

Goal state before:
pp: case iUV
X : Scheme
U✝ : X.Opens
hU✝ : IsCompact U✝.carrier
S : X.Opens
hS : IsCompact S.carrier
U : ↑X.affineOpens
hU :
  IsQuasiSeparated S.carrier →
    ∀ (f : ↑Γ(X, S)) (x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)),
      ∃ n y,
        (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) y =
          (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) f ^ n * x
hSU : IsQuasiSeparated (S ⊔ ↑U).carrier
f : ↑Γ(X, S ⊔ ↑U)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
n₁ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, S)
hy₁ :
  (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) y₁ =
    (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) ((ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) f) ^
        n₁ *
      (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) x
n₂ : ℕ
y₂ : ↑Γ(X, ↑U)
hy₂ :
  (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) y₂ =
    (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) ((ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) f) ^
        n₂ *
      (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) x
s : Set ↑X.affineOpens
hs' : s.Finite
this : Finite ↑s
val✝ : Fintype ↑s
hs : S ⊓ ↑U = ⨆ i, ↑↑i
hs₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ S
hs₂ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ ↑U
n : ↑s → ℕ
hn : ∀ (i : ↑s) (m : ℕ), n i ≤ m → (((f |_ S) ⋯ ^ (m + n₂) * y₁) |_ ↑↑i) ⋯ = (((f |_ ↑U) ⋯ ^ (m + n₁) * y₂) |_ ↑↑i) ⋯
i : ↑s
⊢ ↑↑i ≤ ⨆ i, ↑↑i

Tactic:
]

Goal state after:
case iUV
X : Scheme
U✝ : X.Opens
hU✝ : IsCompact U✝.carrier
S : X.Opens
hS : IsCompact S.carrier
U : ↑X.affineOpens
hU :
  IsQuasiSeparated S.carrier →
    ∀ (f : ↑Γ(X, S)) (x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)),
      ∃ n y,
        (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) y =
          (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) f ^ n * x
hSU : IsQuasiSeparated (S ⊔ ↑U).carrier
f : ↑Γ(X, S ⊔ ↑U)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
n₁ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, S)
hy₁ :
  (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) y₁ =
    (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) ((ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) f) ^
        n₁ *
      (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) x
n₂ : ℕ
y₂ : ↑Γ(X, ↑U)
hy₂ :
  (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) y₂ =
    (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) ((ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) f) ^
        n₂ *
      (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op)) x
s : Set ↑X.affineOpens
hs' : s.Finite
this : Finite ↑s
val✝ : Fintype ↑s
hs : S ⊓ ↑U = ⨆ i, ↑↑i
hs₁ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ S
hs₂ : ∀ (i : ↑s), ↑↑i ≤ ↑U
n : ↑s → ℕ
hn : ∀ (i : ↑s) (m : ℕ), n i ≤ m → (((f |_ S) ⋯ ^ (m + n₂) * y₁) |_ ↑↑i) ⋯ = (((f |_ ↑U) ⋯ ^ (m + n₁) * y₂) |_ ↑↑i) ⋯
i : ↑s
⊢ ↑↑i ≤ ⨆ i, ↑↑i
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.RingHomProperties

Goal state before:
pp: case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
hP : RingHom.StableUnderComposition fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hf : P f
hg : P g
hZ : IsAffine Z
this : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), P f → P g → IsAffine Y → P (f ≫ g)
hY : ¬IsAffine Y
⊢ ∀ (i : (Precoverage.ZeroHypercover.pullback₁ f Y.affineCover).I₀),
    P ((Precoverage.ZeroHypercover.pullback₁ f Y.affineCover).f i ≫ f ≫ g)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
hP : RingHom.StableUnderComposition fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hf : P f
hg : P g
hZ : IsAffine Z
this : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), P f → P g → IsAffine Y → P (f ≫ g)
hY : ¬IsAffine Y
⊢ ∀ (i : (Precoverage.ZeroHypercover.pullback₁ f Y.affineCover).I₀),
    P ((Precoverage.ZeroHypercover.pullback₁ f Y.affineCover).f i ≫ f ≫ g)
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.RingHomProperties

Goal state before:
pp: case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
hP : RingHom.StableUnderComposition fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hf : P f
hg : P g
hZ : IsAffine Z
this : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), P f → P g → IsAffine Y → P (f ≫ g)
hY : ¬IsAffine Y
i : (Precoverage.ZeroHypercover.pullback₁ f Y.affineCover).I₀
⊢ P (Scheme.Cover.pullbackHom Y.affineCover f i ≫ Y.affineCover.f i ≫ g)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
hP : RingHom.StableUnderComposition fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hf : P f
hg : P g
hZ : IsAffine Z
this : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), P f → P g → IsAffine Y → P (f ≫ g)
hY : ¬IsAffine Y
i : (Precoverage.ZeroHypercover.pullback₁ f Y.affineCover).I₀
⊢ P (Scheme.Cover.pullbackHom Y.affineCover f i ≫ Y.affineCover.f i ≫ g)
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Height

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
Rₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_2
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → CommRing (Rₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Algebra R (Rₚ P)
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalization.AtPrime (Rₚ P) P
n : ℕ
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], ringKrullDim (Rₚ P) ≤ ↑n
a✝ : Nontrivial R
⊢ ↑(⨆ I, ⨆ (_ : I.IsMaximal), I.height) ≤ ↑n

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
Rₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_2
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → CommRing (Rₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Algebra R (Rₚ P)
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalization.AtPrime (Rₚ P) P
n : ℕ
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], ringKrullDim (Rₚ P) ≤ ↑n
a✝ : Nontrivial R
⊢ ↑(⨆ I, ⨆ (_ : I.IsMaximal), I.height) ≤ ↑n
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.RingHomProperties

Goal state before:
pp: case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
hP : RingHom.StableUnderComposition fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q
Z : Scheme
hZ : IsAffine Z
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hf : P f
hg : P g
hY : IsAffine Y
this : ∀ {X : Scheme} (f : X ⟶ Y), P f → IsAffine X → P (f ≫ g)
hX : ¬IsAffine X
⊢ ∀ (i : X.affineCover.I₀), P (X.affineCover.f i ≫ f ≫ g)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
hP : RingHom.StableUnderComposition fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q
Z : Scheme
hZ : IsAffine Z
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hf : P f
hg : P g
hY : IsAffine Y
this : ∀ {X : Scheme} (f : X ⟶ Y), P f → IsAffine X → P (f ≫ g)
hX : ¬IsAffine X
⊢ ∀ (i : X.affineCover.I₀), P (X.affineCover.f i ≫ f ≫ g)
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Height

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
Rₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_2
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → CommRing (Rₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Algebra R (Rₚ P)
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalization.AtPrime (Rₚ P) P
n : ℕ
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], ringKrullDim (Rₚ P) ≤ ↑n
a✝ : Nontrivial R
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
⊢ ringKrullDim (Rₚ P) ≤ ↑↑n

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
Rₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_2
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → CommRing (Rₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Algebra R (Rₚ P)
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalization.AtPrime (Rₚ P) P
n : ℕ
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], ringKrullDim (Rₚ P) ≤ ↑n
a✝ : Nontrivial R
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
⊢ ringKrullDim (Rₚ P) ≤ ↑↑n
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.RingHomProperties

Goal state before:
pp: case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
hP : RingHom.StableUnderComposition fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q
Z : Scheme
hZ : IsAffine Z
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hf : P f
hg : P g
hY : IsAffine Y
this : ∀ {X : Scheme} (f : X ⟶ Y), P f → IsAffine X → P (f ≫ g)
hX : ¬IsAffine X
i : X.affineCover.I₀
⊢ P ((X.affineCover.f i ≫ f) ≫ g)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
hP : RingHom.StableUnderComposition fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q
Z : Scheme
hZ : IsAffine Z
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hf : P f
hg : P g
hY : IsAffine Y
this : ∀ {X : Scheme} (f : X ⟶ Y), P f → IsAffine X → P (f ≫ g)
hX : ¬IsAffine X
i : X.affineCover.I₀
⊢ P ((X.affineCover.f i ≫ f) ≫ g)
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.RingHomProperties

Goal state before:
pp: P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
hP : RingHom.StableUnderComposition fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q
Z : Scheme
hZ : IsAffine Z
Y : Scheme
g : Y ⟶ Z
hg : Q (CommRingCat.Hom.hom (Scheme.Hom.appTop g))
hY : IsAffine Y
X : Scheme
f : X ⟶ Y
hf : Q (CommRingCat.Hom.hom (Scheme.Hom.appTop f))
hX : IsAffine X
⊢ Q (CommRingCat.Hom.hom (Scheme.Hom.appTop (f ≫ g)))

Tactic:
]

Goal state after:
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
hP : RingHom.StableUnderComposition fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] ↦ Q
Z : Scheme
hZ : IsAffine Z
Y : Scheme
g : Y ⟶ Z
hg : Q (CommRingCat.Hom.hom (Scheme.Hom.appTop g))
hY : IsAffine Y
X : Scheme
f : X ⟶ Y
hf : Q (CommRingCat.Hom.hom (Scheme.Hom.appTop f))
hX : IsAffine X
⊢ Q (CommRingCat.Hom.hom (Scheme.Hom.appTop (f ≫ g)))
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Height

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p : Ideal R
inst✝ : p.IsPrime
h1 : p.height = 1
x : R
hx : x ∈ p
hxp : Prime x
this✝ : (span {x}).IsPrime
this : p.FiniteHeight
hne : p ≠ span {x}
⊢ (span {x}).height < p.height

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p : Ideal R
inst✝ : p.IsPrime
h1 : p.height = 1
x : R
hx : x ∈ p
hxp : Prime x
this✝ : (span {x}).IsPrime
this : p.FiniteHeight
hne : p ≠ span {x}
⊢ (span {x}).height < p.height
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.RingHomProperties

Goal state before:
pp: case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
this : ∀ {X Y Z : Scheme} {f : X ⟶ Y} {g : Y ⟶ Z}, P (f ≫ g) → IsAffine Z → P f
hZ : ¬IsAffine Z
⊢ ∀ (i : ↑Z.affineOpens), P (f ∣_ g ⁻¹ᵁ ↑i)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
this : ∀ {X Y Z : Scheme} {f : X ⟶ Y} {g : Y ⟶ Z}, P (f ≫ g) → IsAffine Z → P f
hZ : ¬IsAffine Z
⊢ ∀ (i : ↑Z.affineOpens), P (f ∣_ g ⁻¹ᵁ ↑i)
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Properties

Goal state before:
pp: case hS'
X : Scheme
⊢ ∀ (x : ↥X), x ∈ ⋃ x, Set.range ⇑(X.affineCover.f x)

Tactic:
]

Goal state after:
case hS'
X : Scheme
⊢ ∀ (x : ↥X), x ∈ ⋃ x, Set.range ⇑(X.affineCover.f x)
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Properties

Goal state before:
pp: X : Scheme
inst✝ : ∀ (x : ↥X), _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.stalk x)
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : IsNilpotent s
x : ↥X
hx : x ∈ U
⊢ (ConcreteCategory.hom (X.sheaf.presheaf.germ U x hx)) s = 0

Tactic:
]

Goal state after:
X : Scheme
inst✝ : ∀ (x : ↥X), _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.stalk x)
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : IsNilpotent s
x : ↥X
hx : x ∈ U
⊢ (ConcreteCategory.hom (X.sheaf.presheaf.germ U x hx)) s = 0
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.RingHomProperties

Goal state before:
pp: case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
H✝ :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
this : ∀ {X Y Z : Scheme} {f : X ⟶ Y} {g : Y ⟶ Z}, P (f ≫ g) → IsAffine Z → P f
hZ : ¬IsAffine Z
U : ↑Z.affineOpens
H : P (f ∣_ g ⁻¹ᵁ ↑U ≫ g ∣_ ↑U)
⊢ P (f ∣_ g ⁻¹ᵁ ↑U)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
H✝ :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
this : ∀ {X Y Z : Scheme} {f : X ⟶ Y} {g : Y ⟶ Z}, P (f ≫ g) → IsAffine Z → P f
hZ : ¬IsAffine Z
U : ↑Z.affineOpens
H : P (f ∣_ g ⁻¹ᵁ ↑U ≫ g ∣_ ↑U)
⊢ P (f ∣_ g ⁻¹ᵁ ↑U)
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Properties

Goal state before:
pp: X : Scheme
inst✝ : IsReduced X
x : ↥X
n : ℕ
U : Opens ↥X
hxU : x ∈ U
s : ToType (X.presheaf.obj (op U))
e : (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.germ U x hxU)) (s ^ n) = (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ U x hxU)) 0
⊢ (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.germ U x hxU)) s = 0

Tactic:
]

Goal state after:
X : Scheme
inst✝ : IsReduced X
x : ↥X
n : ℕ
U : Opens ↥X
hxU : x ∈ U
s : ToType (X.presheaf.obj (op U))
e : (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.germ U x hxU)) (s ^ n) = (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ U x hxU)) 0
⊢ (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.germ U x hxU)) s = 0
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.RingHomProperties

Goal state before:
pp: case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
hZ : IsAffine Z
this : ∀ {X Y : Scheme} {f : X ⟶ Y} {g : Y ⟶ Z}, P (f ≫ g) → IsAffine Y → P f
hY : ¬IsAffine Y
⊢ ∀ (i : ↑Y.affineOpens), P (f ∣_ ↑i)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
hZ : IsAffine Z
this : ∀ {X Y : Scheme} {f : X ⟶ Y} {g : Y ⟶ Z}, P (f ≫ g) → IsAffine Y → P f
hY : ¬IsAffine Y
⊢ ∀ (i : ↑Y.affineOpens), P (f ∣_ ↑i)
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Properties

Goal state before:
pp: X : Scheme
inst✝ : IsReduced X
x : ↥X
n : ℕ
U : Opens ↥X
hxU : x ∈ U
s : ToType (X.presheaf.obj (op U))
e : (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.germ U x hxU)) (s ^ n) = (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ U x hxU)) 0
V : Opens ↥X
hxV : x ∈ V
iU iV : V ⟶ U
e' : (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map iU.op)) s ^ n = 0
⊢ (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.germ U x hxU)) s = 0

Tactic:
]

Goal state after:
X : Scheme
inst✝ : IsReduced X
x : ↥X
n : ℕ
U : Opens ↥X
hxU : x ∈ U
s : ToType (X.presheaf.obj (op U))
e : (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.germ U x hxU)) (s ^ n) = (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ U x hxU)) 0
V : Opens ↥X
hxV : x ∈ V
iU iV : V ⟶ U
e' : (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.map iU.op)) s ^ n = 0
⊢ (ConcreteCategory.hom (X.presheaf.germ U x hxU)) s = 0
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.RingHomProperties

Goal state before:
pp: case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
H✝ :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
hZ : IsAffine Z
this : ∀ {X Y : Scheme} {f : X ⟶ Y} {g : Y ⟶ Z}, P (f ≫ g) → IsAffine Y → P f
hY : ¬IsAffine Y
U : ↑Y.affineOpens
H : P (f ∣_ ↑U ≫ (↑U).ι ≫ g)
⊢ P (f ∣_ ↑U)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
H✝ :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
hZ : IsAffine Z
this : ∀ {X Y : Scheme} {f : X ⟶ Y} {g : Y ⟶ Z}, P (f ≫ g) → IsAffine Y → P f
hY : ¬IsAffine Y
U : ↑Y.affineOpens
H : P (f ∣_ ↑U ≫ (↑U).ι ≫ g)
⊢ P (f ∣_ ↑U)