mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Independent

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hc : ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val
t : Set E
h : t ⊆ s
x : E
hxs : x ∈ s
hxt : x ∈ (convexHull 𝕜) t
⊢ ↑⟨x, hxs⟩ ∈ (convexHull 𝕜) t

Tactic:
]

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hc : ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val
t : Set E
h : t ⊆ s
x : E
hxs : x ∈ s
hxt : x ∈ (convexHull 𝕜) t
⊢ ↑⟨x, hxs⟩ ∈ (convexHull 𝕜) t
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Independent

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hc : ∀ t ⊆ s, s ∩ (convexHull 𝕜) t ⊆ t
t : Set { x // x ∈ s }
x : { x // x ∈ s }
h : ↑x ∈ (convexHull 𝕜) (Subtype.val '' t)
⊢ ↑x ∈ (fun a ↦ ↑a) '' t

Tactic:
]

Goal state after:
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hc : ∀ t ⊆ s, s ∩ (convexHull 𝕜) t ⊆ t
t : Set { x // x ∈ s }
x : { x // x ∈ s }
h : ↑x ∈ (convexHull 𝕜) (Subtype.val '' t)
⊢ ↑x ∈ (fun a ↦ ↑a) '' t
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Independent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ (∀ t ⊆ s, s ∩ (convexHull 𝕜) t ⊆ t) ↔ ∀ x ∈ s, x ∉ (convexHull 𝕜) (s \ {x})

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
⊢ (∀ t ⊆ s, s ∩ (convexHull 𝕜) t ⊆ t) ↔ ∀ x ∈ s, x ∉ (convexHull 𝕜) (s \ {x})
Module: Mathlib.Analysis.Convex.GaugeRescale

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
hsb : IsVonNBounded ℝ s
htc : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t
⊢ ⇑(gaugeRescaleHomeomorph s t hsc hs₀ hsb htc ht₀ htb).symm '' interior t ⊆ interior s

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
hsb : IsVonNBounded ℝ s
htc : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t
⊢ ⇑(gaugeRescaleHomeomorph s t hsc hs₀ hsb htc ht₀ htb).symm '' interior t ⊆ interior s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Continuous

Goal state before:
pp: case inr
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x₀ : E
ε r M : ℝ
hf : ConvexOn ℝ (ball x₀ r) f
hε : 0 < ε
hM : ∀ (a : E), dist a x₀ < r → |f a| ≤ M
K : ℝ := 2 * M / ε
hK : K = 2 * M / ε
x y : E
hx : x ∈ ball x₀ (r - ε)
hy : y ∈ ball x₀ (r - ε)
hx₀r : ball x₀ (r - ε) ⊆ ball x₀ r
hx' : x ∈ ball x₀ r
hy' : y ∈ ball x₀ r
z : E := x + (ε / ‖x - y‖) • (x - y)
hxy : 0 < ‖x - y‖
hz : z ∈ ball x₀ r
a : ℝ := ε / (ε + ‖x - y‖)
b : ℝ := ‖x - y‖ / (ε + ‖x - y‖)
hab : a + b = 1
hxyz : x = a • y + b • z
⊢ ε * (f x - f y) ≤ ‖x - y‖ * (2 * M)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x₀ : E
ε r M : ℝ
hf : ConvexOn ℝ (ball x₀ r) f
hε : 0 < ε
hM : ∀ (a : E), dist a x₀ < r → |f a| ≤ M
K : ℝ := 2 * M / ε
hK : K = 2 * M / ε
x y : E
hx : x ∈ ball x₀ (r - ε)
hy : y ∈ ball x₀ (r - ε)
hx₀r : ball x₀ (r - ε) ⊆ ball x₀ r
hx' : x ∈ ball x₀ r
hy' : y ∈ ball x₀ r
z : E := x + (ε / ‖x - y‖) • (x - y)
hxy : 0 < ‖x - y‖
hz : z ∈ ball x₀ r
a : ℝ := ε / (ε + ‖x - y‖)
b : ℝ := ‖x - y‖ / (ε + ‖x - y‖)
hab : a + b = 1
hxyz : x = a • y + b • z
⊢ ε * (f x - f y) ≤ ‖x - y‖ * (2 * M)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Convex

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s t : Set E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht : t ∈ 𝓝ˢ s
U : Set E
hU₁ : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] U
hU₂ : s ⊆ U
hU₃ : U ⊆ t
V : Set E
hV₁ : V ∈ 𝓝 0
hV₂ : V + s ⊆ U
b : AffineBasis (Fin (finrank ℝ E + 1)) ℝ E
hb₁ : 0 ∈ interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b))
hb₂ : (convexHull ℝ) (range ⇑b) ⊆ V
u : Finset E
hu₁ : ↑u ⊆ s
hu₃ : s ⊆ ⋃ i ∈ ↑u, interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b)) + {i}
⊢ (convexHull ℝ) (range ⇑b) + (convexHull ℝ) ↑u ⊆ t

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s t : Set E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht : t ∈ 𝓝ˢ s
U : Set E
hU₁ : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] U
hU₂ : s ⊆ U
hU₃ : U ⊆ t
V : Set E
hV₁ : V ∈ 𝓝 0
hV₂ : V + s ⊆ U
b : AffineBasis (Fin (finrank ℝ E + 1)) ℝ E
hb₁ : 0 ∈ interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b))
hb₂ : (convexHull ℝ) (range ⇑b) ⊆ V
u : Finset E
hu₁ : ↑u ⊆ s
hu₃ : s ⊆ ⋃ i ∈ ↑u, interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b)) + {i}
⊢ (convexHull ℝ) (range ⇑b) + (convexHull ℝ) ↑u ⊆ t
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Independent

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
s : Finset ι
x : ι
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) (p '' ↑s)
⊢ p x ∈ (convexHull 𝕜) (p '' ↑s)

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
s : Finset ι
x : ι
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) (p '' ↑s)
⊢ p x ∈ (convexHull 𝕜) (p '' ↑s)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.GaugeRescale

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
hsb : IsVonNBounded ℝ s
htc : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t
⊢ ⇑(gaugeRescaleHomeomorph s t hsc hs₀ hsb htc ht₀ htb).symm '' closure[inst✝³] t ⊆ closure[inst✝³] s

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
hsb : IsVonNBounded ℝ s
htc : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t
⊢ ⇑(gaugeRescaleHomeomorph s t hsc hs₀ hsb htc ht₀ htb).symm '' closure[inst✝³] t ⊆ closure[inst✝³] s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Independent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) (p '' s)
a b : ι
hab : p a = p b
⊢ a ∈ {b}

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) (p '' s)
a b : ι
hab : p a = p b
⊢ a ∈ {b}
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Independent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) (p '' s)
a b : ι
hab : p a = p b
⊢ p b ∈ {p b}

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) (p '' s)
a b : ι
hab : p a = p b
⊢ p b ∈ {p b}
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Continuous

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x₀ : E
ε r M : ℝ
hf : ConvexOn ℝ (ball x₀ r) f
hε : 0 < ε
hM : ∀ (a : E), dist a x₀ < r → |f a| ≤ M
K : ℝ := 2 * M / ε
hK : K = 2 * M / ε
x y : E
hx : x ∈ ball x₀ (r - ε)
hy : y ∈ ball x₀ (r - ε)
hx₀r : ball x₀ (r - ε) ⊆ ball x₀ r
hx' : x ∈ ball x₀ r
hy' : y ∈ ball x₀ r
z : E := x + (ε / ‖x - y‖) • (x - y)
hxy : 0 < ‖x - y‖
hz : z ∈ ball x₀ r
a : ℝ := ε / (ε + ‖x - y‖)
b : ℝ := ‖x - y‖ / (ε + ‖x - y‖)
hab : a + b = 1
hxyz : x = a • y + b • z
h : f (a • y + b • z) ≤ a • f y + b • f z
⊢ ε * (f x - f y) ≤ ‖x - y‖ * (f z - f x)

Tactic:
simp only [← hxyz, smul_eq_mul, a, b] at h

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x₀ : E
ε r M : ℝ
hf : ConvexOn ℝ (ball x₀ r) f
hε : 0 < ε
hM : ∀ (a : E), dist a x₀ < r → |f a| ≤ M
K : ℝ := 2 * M / ε
hK : K = 2 * M / ε
x y : E
hx : x ∈ ball x₀ (r - ε)
hy : y ∈ ball x₀ (r - ε)
hx₀r : ball x₀ (r - ε) ⊆ ball x₀ r
hx' : x ∈ ball x₀ r
hy' : y ∈ ball x₀ r
z : E := x + (ε / ‖x - y‖) • (x - y)
hxy : 0 < ‖x - y‖
hz : z ∈ ball x₀ r
a : ℝ := ε / (ε + ‖x - y‖)
b : ℝ := ‖x - y‖ / (ε + ‖x - y‖)
hab : a + b = 1
hxyz : x = a • y + b • z
h : f x ≤ ε / (ε + ‖x - y‖) * f y + ‖x - y‖ / (ε + ‖x - y‖) * f z
⊢ ε * (f x - f y) ≤ ‖x - y‖ * (f z - f x)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Independent

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ p '' s), (convexHull 𝕜) ↑t
hp : Injective p
⊢ x ∈ s

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ p '' s), (convexHull 𝕜) ↑t
hp : Injective p
⊢ x ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Independent

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t
⊢ p x ∈ p '' s

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t
⊢ p x ∈ p '' s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Independent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t
this : p x ∈ ↑t
⊢ p x ∈ ↑t

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t
this : p x ∈ ↑t
⊢ p x ∈ ↑t
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Continuous

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x₀ : E
ε r M : ℝ
hf : ConvexOn ℝ (ball x₀ r) f
hε : 0 < ε
hM : ∀ (a : E), dist a x₀ < r → |f a| ≤ M
K : ℝ := 2 * M / ε
hK : K = 2 * M / ε
x y : E
hx : x ∈ ball x₀ (r - ε)
hy : y ∈ ball x₀ (r - ε)
hx₀r : ball x₀ (r - ε) ⊆ ball x₀ r
hx' : x ∈ ball x₀ r
hy' : y ∈ ball x₀ r
z : E := x + (ε / ‖x - y‖) • (x - y)
hxy : 0 < ‖x - y‖
hz : z ∈ ball x₀ r
a : ℝ := ε / (ε + ‖x - y‖)
b : ℝ := ‖x - y‖ / (ε + ‖x - y‖)
hab : a + b = 1
hxyz : x = a • y + b • z
⊢ ‖x - y‖ * (f z + -f x) ≤ ‖x - y‖ * (M + M)

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x₀ : E
ε r M : ℝ
hf : ConvexOn ℝ (ball x₀ r) f
hε : 0 < ε
hM : ∀ (a : E), dist a x₀ < r → |f a| ≤ M
K : ℝ := 2 * M / ε
hK : K = 2 * M / ε
x y : E
hx : x ∈ ball x₀ (r - ε)
hy : y ∈ ball x₀ (r - ε)
hx₀r : ball x₀ (r - ε) ⊆ ball x₀ r
hx' : x ∈ ball x₀ r
hy' : y ∈ ball x₀ r
z : E := x + (ε / ‖x - y‖) • (x - y)
hxy : 0 < ‖x - y‖
hz : z ∈ ball x₀ r
a : ℝ := ε / (ε + ‖x - y‖)
b : ℝ := ‖x - y‖ / (ε + ‖x - y‖)
hab : a + b = 1
hxyz : x = a • y + b • z
⊢ ‖x - y‖ * (f z + -f x) ≤ ‖x - y‖ * (M + M)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Independent

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t
⊢ p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t

pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t
⊢ ∀ x ∈ t, x ∈ Set.range p

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t
⊢ p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t

case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → E
h : ∀ (s : Finset ι) (x : ι), p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(image p s) → x ∈ s
s : Set ι
x : ι
hp : Injective p
t : Finset E
ht : ↑t ⊆ p '' s
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t
⊢ ∀ x ∈ t, x ∈ Set.range p
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Convex

Goal state before:
pp: case refine_1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s t : Set E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht : t ∈ 𝓝ˢ s
U : Set E
hU₁ : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] U
hU₂ : s ⊆ U
hU₃ : U ⊆ t
V : Set E
hV₁ : V ∈ 𝓝 0
hV₂ : V + s ⊆ U
b : AffineBasis (Fin (finrank ℝ E + 1)) ℝ E
hb₁ : 0 ∈ interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b))
hb₂ : (convexHull ℝ) (range ⇑b) ⊆ V
u : Finset E
hu₁ : ↑u ⊆ s
hu₃ : s ⊆ ⋃ i ∈ ↑u, interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b)) + {i}
⊢ ∀ i ∈ ↑u, interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b)) + {i} ⊆ interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b)) + ↑u

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s t : Set E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht : t ∈ 𝓝ˢ s
U : Set E
hU₁ : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] U
hU₂ : s ⊆ U
hU₃ : U ⊆ t
V : Set E
hV₁ : V ∈ 𝓝 0
hV₂ : V + s ⊆ U
b : AffineBasis (Fin (finrank ℝ E + 1)) ℝ E
hb₁ : 0 ∈ interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b))
hb₂ : (convexHull ℝ) (range ⇑b) ⊆ V
u : Finset E
hu₁ : ↑u ⊆ s
hu₃ : s ⊆ ⋃ i ∈ ↑u, interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b)) + {i}
⊢ ∀ i ∈ ↑u, interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b)) + {i} ⊆ interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b)) + ↑u
Module: Mathlib.Analysis.Convex.GaugeRescale

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hst : Convex ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
hx : x ∈ interior s
y : E
hy : y ∈ interior t
h : E ≃ₜ E := gaugeRescaleHomeomorph (-x +ᵥ s) (-y +ᵥ t) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⊢ interior t = interior t

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.GaugeRescale

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
hst : Convex ℝ t
htb : IsVonNBounded ℝ t
x : E
hx : x ∈ interior s
y : E
hy : y ∈ interior t
h : E ≃ₜ E := gaugeRescaleHomeomorph (-x +ᵥ s) (-y +ᵥ t) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⊢ closure[inst✝³] t = closure[inst✝³] t

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Convex

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s t : Set E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht : t ∈ 𝓝ˢ s
U : Set E
hU₁ : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] U
hU₂ : s ⊆ U
hU₃ : U ⊆ t
V : Set E
hV₁ : V ∈ 𝓝 0
hV₂ : V + s ⊆ U
b : AffineBasis (Fin (finrank ℝ E + 1)) ℝ E
hb₁ : 0 ∈ interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b))
hb₂ : (convexHull ℝ) (range ⇑b) ⊆ V
u : Finset E
hu₁ : ↑u ⊆ s
hu₃ : s ⊆ ⋃ i ∈ ↑u, interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b)) + {i}
⊢ t ⊆ t

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Continuous

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x₀ : E
r r' : ℝ
hf : ConvexOn ℝ (ball x₀ r) f
hr : r' < r
hf' : ∃ r_1, f '' ball x₀ r ⊆ ball 0 r_1
⊢ ∃ K, LipschitzOnWith K f (ball x₀ r')

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x₀ : E
r r' : ℝ
hf : ConvexOn ℝ (ball x₀ r) f
hr : r' < r
hf' : ∃ r_1, f '' ball x₀ r ⊆ ball 0 r_1
⊢ ∃ K, LipschitzOnWith K f (ball x₀ r')
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Continuous

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x₀ : E
r r' : ℝ
hf : ConvexOn ℝ (ball x₀ r) f
hr : r' < r
M : ℝ
hM : ∀ (a : E), dist a x₀ < r → |f a| < M
⊢ ∃ K, LipschitzOnWith K f (ball x₀ (r - (r - r')))

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
x₀ : E
r r' : ℝ
hf : ConvexOn ℝ (ball x₀ r) f
hr : r' < r
M : ℝ
hM : ∀ (a : E), dist a x₀ < r → |f a| < M
⊢ ∃ K, LipschitzOnWith K f (ball x₀ (r - (r - r')))
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Continuous

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
C : Set E
f : E → ℝ
hf : ConvexOn ℝ C f
x₀ : E
hC : C ∈ 𝓝 x₀
r : ℝ
this : Filter.Tendsto (fun y ↦ 2 • x₀ - y) (𝓝 x₀) (𝓝 x₀)
hr : ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 x₀, f a ≤ r
y : E
hx : 2 • x₀ - y ∈ C
hx' : y ∈ C
hfr : f y ≤ r
hfr' : f (2 • x₀ - y) ≤ r
⊢ -|2 * f x₀| ≤ f y + |r|

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
C : Set E
f : E → ℝ
hf : ConvexOn ℝ C f
x₀ : E
hC : C ∈ 𝓝 x₀
r : ℝ
this : Filter.Tendsto (fun y ↦ 2 • x₀ - y) (𝓝 x₀) (𝓝 x₀)
hr : ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 x₀, f a ≤ r
y : E
hx : 2 • x₀ - y ∈ C
hx' : y ∈ C
hfr : f y ≤ r
hfr' : f (2 • x₀ - y) ≤ r
⊢ -|2 * f x₀| ≤ f y + |r|
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Integral

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure α
s : Set E
f : α → E
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ ∈ s

Tactic:
borelize E

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure α
s : Set E
f : α → E
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
⊢ ∫ (x : α), f x ∂μ ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Continuous

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
C : Set E
f : E → ℝ
hf : ConvexOn ℝ C f
x₀ : E
hC : C ∈ 𝓝 x₀
r : ℝ
this✝ : Filter.Tendsto (fun y ↦ 2 • x₀ - y) (𝓝 x₀) (𝓝 x₀)
hr : ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 x₀, f a ≤ r
y : E
hx : 2 • x₀ - y ∈ C
hx' : y ∈ C
hfr : f y ≤ r
hfr' : f (2 • x₀ - y) ≤ r
this : ↑2 * f x₀ ≤ f y + f (2 • x₀ - y)
⊢ 2 * f x₀ ≤ f y + f (2 • x₀ - y)

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
C : Set E
f : E → ℝ
hf : ConvexOn ℝ C f
x₀ : E
hC : C ∈ 𝓝 x₀
r : ℝ
this✝ : Filter.Tendsto (fun y ↦ 2 • x₀ - y) (𝓝 x₀) (𝓝 x₀)
hr : ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 x₀, f a ≤ r
y : E
hx : 2 • x₀ - y ∈ C
hx' : y ∈ C
hfr : f y ≤ r
hfr' : f (2 • x₀ - y) ≤ r
this : ↑2 * f x₀ ≤ f y + f (2 • x₀ - y)
⊢ 2 * f x₀ ≤ f y + f (2 • x₀ - y)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Integral

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure α
s : Set E
f : α → E
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᵐ[μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
⊢ ∫ (a : α), g a ∂μ ∈ s

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure α
s : Set E
f : α → E
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᵐ[μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
⊢ ∫ (a : α), g a ∂μ ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Integral

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure α
s : Set E
f : α → E
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g μ
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᵐ[μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
⊢ ∫ (a : α), g a ∂μ ∈ s

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure α
s : Set E
f : α → E
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : α → E
hfi : Integrable g μ
hgm : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᵐ[μ] g
this : SeparableSpace ↑(range g ∩ s)
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ range g ∩ s
⊢ ∫ (a : α), g a ∂μ ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Intrinsic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
⊢ ∅ = ∅

Tactic:
]

Goal state after: