mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.SetTheory.Ordinal.Notation

Goal state before:
pp: case inl
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h✝ : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
this : ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr < ω ^ succ e.repr
h : ω ≤ e.repr
⊢ ω ^ (e.repr * succ b + 1) ≤ ω ^ (e.repr * ω)

pp: case hc
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h✝ : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
this : ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr < ω ^ succ e.repr
h : ω ≤ e.repr
⊢ 0 < ω

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h✝ : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
this : ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr < ω ^ succ e.repr
h : ω ≤ e.repr
⊢ ω ^ (e.repr * succ b + 1) ≤ ω ^ (e.repr * ω)

case hc
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h✝ : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
this : ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr < ω ^ succ e.repr
h : ω ≤ e.repr
⊢ 0 < ω
Module: Mathlib.SetTheory.Ordinal.Notation

Goal state before:
pp: case inr
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h✝ : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
this : ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr < ω ^ succ e.repr
h : e.repr < ω
⊢ ω ^ ω ≤ ω ^ (e.repr * ω)

pp: case hc
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h✝ : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
this : ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr < ω ^ succ e.repr
h : e.repr < ω
⊢ 0 < ω

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h✝ : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
this : ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr < ω ^ succ e.repr
h : e.repr < ω
⊢ ω ^ ω ≤ ω ^ (e.repr * ω)

case hc
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h✝ : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
this : ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr < ω ^ succ e.repr
h : e.repr < ω
⊢ 0 < ω
Module: Mathlib.SetTheory.Ordinal.Notation

Goal state before:
pp: case neg
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0 : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
k0 : ¬k = 0
⊢ R < (ω ^ a0.repr) ^ succ ↑k

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0 : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
k0 : ¬k = 0
⊢ R < (ω ^ a0.repr) ^ succ ↑k
Module: Mathlib.Tactic.ComputeAsymptotics.Multiseries.Majorized

Goal state before:
pp: f : ℝ → ℝ
exp : ℝ
h✝ : Tendsto f atTop atTop
exp' : ℝ
h_exp : exp' > exp
x✝ : ℝ
h : 0 < f x✝
⊢ (fun t ↦ f t ^ exp / f t ^ exp') x✝ = (fun t ↦ f t ^ (exp - exp')) x✝

Tactic:
simp [← Real.rpow_sub h]

Goal state after:
Module: Mathlib.SetTheory.Ordinal.Notation

Goal state before:
pp: case succ.refine_1
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0 : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)
x✝ : k + 1 ≠ 0
⊢ ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k.succ)

Tactic:
]

Goal state after:
case succ.refine_1
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0 : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)
x✝ : k + 1 ≠ 0
⊢ ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k.succ)
Module: Mathlib.SetTheory.Ordinal.Notation

Goal state before:
pp: case hbc
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0✝ : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0 : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)
x✝ : k + 1 ≠ 0
e0 : 0 < a0.repr
rr0 : 0 < a0.repr + a0.repr
⊢ α' * ↑m < ω ^ (a0.repr + a0.repr)

Tactic:
]

Goal state after:
case hbc
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0✝ : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0 : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)
x✝ : k + 1 ≠ 0
e0 : 0 < a0.repr
rr0 : 0 < a0.repr + a0.repr
⊢ α' * ↑m < ω ^ (a0.repr + a0.repr)
Module: Mathlib.SetTheory.Ordinal.Notation

Goal state before:
pp: a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0 : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)
⊢ ω0 ^ (↑k + 1) * α' + (ω0 ^ ↑k * α' * ↑m + R) = ω0 ^ (↑k + 1) * α' + (ω0 ^ ↑k * α' * ↑m + R)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.SetTheory.Ordinal.Notation

Goal state before:
pp: a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0 : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)
⊢ (α' + ↑m) ^ (↑k + 1) * (α' + ↑m) = (α' + ↑m) ^ (↑k + 1) * (α' + ↑m)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.SetTheory.Ordinal.Notation

Goal state before:
pp: a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0 : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)
αd : ω ∣ α'
⊢ ¬α' = ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0 : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)
αd : ω ∣ α'
⊢ ¬α' = ⊥
Module: Mathlib.SetTheory.Ordinal.Notation

Goal state before:
pp: case succ.refine_2.e_a
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0✝ : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)
αd : ω ∣ α'
α0 : ¬IsMin α'
⊢ ω0 ^ succ ↑k * α' = ω0 ^ succ ↑k * α'

pp: a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0✝ : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)
αd : ω ∣ α'
α0 : ¬IsMin α'
⊢ ω0 ^ ↑k * a'.repr + R + ω0 ^ succ ↑k * ↑↑n = ω0 ^ succ ↑k * ↑↑n

Tactic:
]

Goal state after:
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0✝ : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)
αd : ω ∣ α'
α0 : ¬IsMin α'
⊢ ω0 ^ ↑k * a'.repr + R + ω0 ^ succ ↑k * ↑↑n = ω0 ^ succ ↑k * ↑↑n
Module: Mathlib.SetTheory.Ordinal.Notation

Goal state before:
pp: case h₁
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0✝ : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)
αd : ω ∣ α'
α0 : ¬IsMin α'
⊢ ω0 ^ ↑k * a'.repr < (ω ^ a0.repr) ^ ↑k * ω ^ a0.repr

Tactic:
]

Goal state after:
case h₁
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0✝ : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)
αd : ω ∣ α'
α0 : ¬IsMin α'
⊢ ω0 ^ ↑k * a'.repr < (ω ^ a0.repr) ^ ↑k * ω ^ a0.repr
Module: Mathlib.Tactic.ComputeAsymptotics.Multiseries.Corecursion

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ' : Type u_4
⊢ ∀ (a : Stream' (Option α)),
    ClusterPt a (Filter.principal {x | ∀ {n : ℕ}, x n = none → x (n + 1) = none}) →
      a ∈ {x | ∀ {n : ℕ}, x n = none → x (n + 1) = none}

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ' : Type u_4
⊢ ∀ (a : Stream' (Option α)),
    ClusterPt a (Filter.principal {x | ∀ {n : ℕ}, x n = none → x (n + 1) = none}) →
      a ∈ {x | ∀ {n : ℕ}, x n = none → x (n + 1) = none}
Module: Mathlib.Tactic.ComputeAsymptotics.Multiseries.Corecursion

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ' : Type u_4
s : Stream' (Option α)
hs : ∀ U ∈ nhds s, (U ∩ {x | ∀ {n : ℕ}, x n = none → x (n + 1) = none}).Nonempty
n : ℕ
hn : s n = none
⊢ s (n + 1) = none

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ' : Type u_4
s : Stream' (Option α)
hs : ∀ U ∈ nhds s, (U ∩ {x | ∀ {n : ℕ}, x n = none → x (n + 1) = none}).Nonempty
n : ℕ
hn : s n = none
⊢ s (n + 1) = none
Module: Mathlib.Tactic.ComputeAsymptotics.Multiseries.Corecursion

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ' : Type u_4
s : Stream' (Option α)
hs : ∀ U ∈ nhds s, (U ∩ {x | ∀ {n : ℕ}, x n = none → x (n + 1) = none}).Nonempty
n : ℕ
t : Stream' (Option α)
hn : t n = none
hts : dist t s < (1 / 2) ^ (n + 1)
ht : t ∈ {x | ∀ {n : ℕ}, x n = none → x (n + 1) = none}
⊢ s (n + 1) = none

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ' : Type u_4
s : Stream' (Option α)
hs : ∀ U ∈ nhds s, (U ∩ {x | ∀ {n : ℕ}, x n = none → x (n + 1) = none}).Nonempty
n : ℕ
t : Stream' (Option α)
hn : t n = none
hts : dist t s < (1 / 2) ^ (n + 1)
ht : t ∈ {x | ∀ {n : ℕ}, x n = none → x (n + 1) = none}
⊢ s (n + 1) = none
Module: Mathlib.Tactic.ComputeAsymptotics.Multiseries.Corecursion

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ' : Type u_4
s : Stream' (Option α)
hs : ∀ U ∈ nhds s, (U ∩ {x | ∀ {n : ℕ}, x n = none → x (n + 1) = none}).Nonempty
n : ℕ
t : Stream' (Option α)
hn : t n = none
hts : dist t s < (1 / 2) ^ (n + 1)
ht : t ∈ {x | ∀ {n : ℕ}, x n = none → x (n + 1) = none}
⊢ t (n + 1) = none

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ' : Type u_4
s : Stream' (Option α)
hs : ∀ U ∈ nhds s, (U ∩ {x | ∀ {n : ℕ}, x n = none → x (n + 1) = none}).Nonempty
n : ℕ
t : Stream' (Option α)
hn : t n = none
hts : dist t s < (1 / 2) ^ (n + 1)
ht : t ∈ {x | ∀ {n : ℕ}, x n = none → x (n + 1) = none}
⊢ t (n + 1) = none
Module: Mathlib.Tactic.ComputeAsymptotics.Multiseries.Corecursion

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
s t : Stream' α
h : ¬s = t
⊢ (1 / 2) ^ PiNat.firstDiff s t ≤ 1

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
s t : Stream' α
h : ¬s = t
⊢ (1 / 2) ^ PiNat.firstDiff s t ≤ 1
Module: Mathlib.Tactic.ComputeAsymptotics.Multiseries.Corecursion

Goal state before:
pp: α : Type u_1
s t : Stream'.Seq α
h : s ≠ t
⊢ ∃ n, (1 / 2) ^ PiNat.firstDiff ↑s ↑t = 2⁻¹ ^ n

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
s t : Stream'.Seq α
h : s ≠ t
⊢ ∃ n, (1 / 2) ^ PiNat.firstDiff ↑s ↑t = 2⁻¹ ^ n
Module: Mathlib.Tactic.ComputeAsymptotics.Multiseries.Corecursion

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
x : α
s t : Stream'.Seq α
h : s ≠ t
h' : Seq.cons x s ≠ Seq.cons x t
⊢ (1 / 2) ^ PiNat.firstDiff ↑(Seq.cons x s) ↑(Seq.cons x t) = 2⁻¹ * (1 / 2) ^ PiNat.firstDiff ↑s ↑t

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
x : α
s t : Stream'.Seq α
h : s ≠ t
h' : Seq.cons x s ≠ Seq.cons x t
⊢ (1 / 2) ^ PiNat.firstDiff ↑(Seq.cons x s) ↑(Seq.cons x t) = 2⁻¹ * (1 / 2) ^ PiNat.firstDiff ↑s ↑t
Module: Mathlib.SetTheory.Ordinal.Notation

Goal state before:
pp: case h₂
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0✝ : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)
αd : ω ∣ α'
α0 : ¬IsMin α'
this : ω0 ^ succ ↑k * 1 ≤ ω0 ^ succ ↑k * ↑↑n
⊢ (ω ^ a0.repr) ^ succ ↑k ≤ ω0 ^ succ ↑k * ↑↑n

Tactic:
]

Goal state after:
case h₂
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0✝ : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)
αd : ω ∣ α'
α0 : ¬IsMin α'
this : ω0 ^ succ ↑k * 1 ≤ ω0 ^ succ ↑k * ↑↑n
⊢ (ω ^ a0.repr) ^ succ ↑k ≤ ω0 ^ succ ↑k * ↑↑n
Module: Mathlib.Tactic.ComputeAsymptotics.Multiseries.Corecursion

Goal state before:
pp: α : Type u_1
s t : Stream'.Seq α
h : s.head ≠ t.head
⊢ (1 / 2) ^ PiNat.firstDiff ↑s ↑t = 1

pp: α : Type u_1
s t : Stream'.Seq α
h : s.head ≠ t.head
⊢ ↑s ≠ ↑t

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
s t : Stream'.Seq α
h : s.head ≠ t.head
⊢ (1 / 2) ^ PiNat.firstDiff ↑s ↑t = 1

α : Type u_1
s t : Stream'.Seq α
h : s.head ≠ t.head
⊢ ↑s ≠ ↑t
Module: Mathlib.Tactic.ComputeAsymptotics.Multiseries.Corecursion

Goal state before:
pp: α : Type u_1
s t : Stream'.Seq α
h : s.head ≠ t.head
⊢ s ≠ t

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
s t : Stream'.Seq α
h : s.head ≠ t.head
⊢ s ≠ t
Module: Mathlib.Tactic.ComputeAsymptotics.Multiseries.Corecursion

Goal state before:
pp: α : Type u_1
x : α
s : Stream'.Seq α
⊢ dist (Seq.cons x s) nil = 1

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
x : α
s : Stream'.Seq α
⊢ dist (Seq.cons x s) nil = 1
Module: Mathlib.Tactic.ComputeAsymptotics.Multiseries.Corecursion

Goal state before:
pp: α : Type u_1
op op' : Stream'.Seq α → Stream'.Seq α
h : LipschitzWith 1 op
h' : LipschitzWith 1 op'
⊢ LipschitzWith 1 (op ∘ op')

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
op op' : Stream'.Seq α → Stream'.Seq α
h : LipschitzWith 1 op
h' : LipschitzWith 1 op'
⊢ LipschitzWith 1 (op ∘ op')
Module: Mathlib.Tactic.ComputeAsymptotics.Multiseries.Corecursion

Goal state before:
pp: α : Type u_1
op₁ op₂ : Stream'.Seq α → Stream'.Seq α
h₁ : ∀ (s t : Stream'.Seq α), dist (op₁ s) (op₁ t) ≤ dist s t
h₂ : ∀ (s t : Stream'.Seq α), dist (op₂ s) (op₂ t) ≤ dist s t
P : Option α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
⊢ ∀ (s t : Stream'.Seq α), dist (if P s.head then op₁ s else op₂ s) (if P t.head then op₁ t else op₂ t) ≤ dist s t

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
op₁ op₂ : Stream'.Seq α → Stream'.Seq α
h₁ : ∀ (s t : Stream'.Seq α), dist (op₁ s) (op₁ t) ≤ dist s t
h₂ : ∀ (s t : Stream'.Seq α), dist (op₂ s) (op₂ t) ≤ dist s t
P : Option α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
⊢ ∀ (s t : Stream'.Seq α), dist (if P s.head then op₁ s else op₂ s) (if P t.head then op₁ t else op₂ t) ≤ dist s t
Module: Mathlib.Tactic.ComputeAsymptotics.Multiseries.Corecursion

Goal state before:
pp: α : Type u_1
op : Stream'.Seq α → Stream'.Seq α
h : ∀ (x y : Stream'.Seq α), dist (op x) (op y) ≤ ↑1 * dist x y
s t : Stream'.Seq α
⊢ dist (op s) (op t) ≤ dist s t

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
op : Stream'.Seq α → Stream'.Seq α
h : ∀ (x y : Stream'.Seq α), dist (op x) (op y) ≤ ↑1 * dist x y
s t : Stream'.Seq α
⊢ dist (op s) (op t) ≤ dist s t
Module: Mathlib.Tactic.ComputeAsymptotics.Multiseries.Corecursion

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : β → Option (α × γ × β)
op : γ → Stream'.Seq α → Stream'.Seq α
h : FriendlyOperationClass op
T : (β →ᵤ Stream'.Seq α) → β →ᵤ Stream'.Seq α :=
  fun f b ↦
    match F b with
    | none => nil
    | some (a, c, b') => Seq.cons a (op c (f b'))
⊢ ∀ (x y : β →ᵤ Stream'.Seq α), dist (T x) (T y) ≤ ↑2⁻¹ * dist x y

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : β → Option (α × γ × β)
op : γ → Stream'.Seq α → Stream'.Seq α
h : FriendlyOperationClass op
T : (β →ᵤ Stream'.Seq α) → β →ᵤ Stream'.Seq α :=
  fun f b ↦
    match F b with
    | none => nil
    | some (a, c, b') => Seq.cons a (op c (f b'))
⊢ ∀ (x y : β →ᵤ Stream'.Seq α), dist (T x) (T y) ≤ ↑2⁻¹ * dist x y
Module: Mathlib.SetTheory.Ordinal.Notation

Goal state before:
pp: case succ.refine_2.e_a.succ
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
α0 : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
n✝ : ℕ
h : a'.repr + ↑(n✝ + 1) < ω ^ a0.repr
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑(n✝ + 1)) (k + 1) (n✝ + 1)).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑(n✝ + 1)) k (n✝ + 1)).repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑(n✝ + 1)) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑(n✝ + 1)) + R
Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)
⊢ ω0 ^ ↑k * α' * succ ↑n✝ + R = ω0 ^ ↑k * α' * succ ↑n✝ + R

pp: case succ.refine_2.e_a.succ.ba
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
α0 : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
n✝ : ℕ
h : a'.repr + ↑(n✝ + 1) < ω ^ a0.repr
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑(n✝ + 1)) (k + 1) (n✝ + 1)).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑(n✝ + 1)) k (n✝ + 1)).repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑(n✝ + 1)) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑(n✝ + 1)) + R
Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)
⊢ R + ω0 ^ ↑k * α' = ω0 ^ ↑k * α'

Tactic:
]

Goal state after:
case succ.refine_2.e_a.succ.ba
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
α0 : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
n✝ : ℕ
h : a'.repr + ↑(n✝ + 1) < ω ^ a0.repr
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑(n✝ + 1)) (k + 1) (n✝ + 1)).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑(n✝ + 1)) k (n✝ + 1)).repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑(n✝ + 1)) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑(n✝ + 1)) + R
Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)
⊢ R + ω0 ^ ↑k * α' = ω0 ^ ↑k * α'
Module: Mathlib.Tactic.ComputeAsymptotics.Multiseries.Corecursion

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : β → Option (α × γ × β)
op : γ → Stream'.Seq α → Stream'.Seq α
h : FriendlyOperationClass op
T : (β →ᵤ Stream'.Seq α) → β →ᵤ Stream'.Seq α :=
  fun f b ↦
    match F b with
    | none => nil
    | some (a, c, b') => Seq.cons a (op c (f b'))
f g : β →ᵤ Stream'.Seq α
⊢ ∀ (x : β), dist (UniformFun.toFun (T f) x) (UniformFun.toFun (T g) x) ≤ ↑2⁻¹ * dist f g

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : β → Option (α × γ × β)
op : γ → Stream'.Seq α → Stream'.Seq α
h : FriendlyOperationClass op
T : (β →ᵤ Stream'.Seq α) → β →ᵤ Stream'.Seq α :=
  fun f b ↦
    match F b with
    | none => nil
    | some (a, c, b') => Seq.cons a (op c (f b'))
f g : β →ᵤ Stream'.Seq α
⊢ ∀ (x : β), dist (UniformFun.toFun (T f) x) (UniformFun.toFun (T g) x) ≤ ↑2⁻¹ * dist f g