mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b : R
h : gcd a b = a
⊢ gcd a b ∣ b

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b : R
h : gcd a b = a
⊢ gcd a b ∣ b
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
S : Set R
T : Set M
inst✝ : (Ideal.span S).IsTwoSided
m✝ : M
hm✝ : m✝ ∈ span R T
m : M
hm : m ∈ T
r : R
hr : r ∈ Ideal.span S
x✝³ x✝² : R
x✝¹ : x✝³ ∈ span R S
x✝ : x✝² ∈ span R S
h₁ : x✝³ • m ∈ span R (S • T)
h₂ : x✝² • m ∈ span R (S • T)
⊢ x✝³ • m + x✝² • m ∈ span R (S • T)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
S : Set R
T : Set M
inst✝ : (Ideal.span S).IsTwoSided
m✝ : M
hm✝ : m✝ ∈ span R T
m : M
hm : m ∈ T
r : R
hr : r ∈ Ideal.span S
x✝³ x✝² : R
x✝¹ : x✝³ ∈ span R S
x✝ : x✝² ∈ span R S
h₁ : x✝³ • m ∈ span R (S • T)
h₂ : x✝² • m ∈ span R (S • T)
⊢ x✝³ • m + x✝² • m ∈ span R (S • T)
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b : R
h : a ∣ b
⊢ a = a

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R✝ : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R✝
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : FunLike F R✝ S
f : F
I✝ J : Ideal R✝
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝³ : FunLike G S R✝
inst✝² : RingHomClass F R✝ S
ι✝ : Sort u_3
ι : Type u_4
R : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Semiring (R i)
inst✝ : Finite ι
I : Ideal ((i : ι) → R i)
r : (i : ι) → R i
x✝ : ∃ f, ∀ (x : ι), f x ∈ I ∧ (Pi.evalRingHom R x) (f x) = r x
r' : ι → (x : ι) → R x
hr' : ∀ (x : ι), r' x ∈ I ∧ (Pi.evalRingHom R x) (r' x) = r x
this : Fintype ι
i : ι
⊢ (Pi.evalRingHom R i) (r' i) = (Pi.single i 1 * r' i) i

Tactic:
]

Goal state after:
R✝ : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R✝
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : FunLike F R✝ S
f : F
I✝ J : Ideal R✝
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝³ : FunLike G S R✝
inst✝² : RingHomClass F R✝ S
ι✝ : Sort u_3
ι : Type u_4
R : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Semiring (R i)
inst✝ : Finite ι
I : Ideal ((i : ι) → R i)
r : (i : ι) → R i
x✝ : ∃ f, ∀ (x : ι), f x ∈ I ∧ (Pi.evalRingHom R x) (f x) = r x
r' : ι → (x : ι) → R x
hr' : ∀ (x : ι), r' x ∈ I ∧ (Pi.evalRingHom R x) (r' x) = r x
this : Fintype ι
i : ι
⊢ (Pi.evalRingHom R i) (r' i) = (Pi.single i 1 * r' i) i
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y x✝ s✝ t✝ s'✝ t'✝ : R
⊢ (x✝, s'✝, t'✝).1 = x✝

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x✝ y✝ x y : R
h : x ≠ 0
IH : ∀ (s t s' t' : R), (xgcdAux (y % x) s t x s' t').1 = gcd (y % x) x
s t s' t' : R
⊢ gcd x y = gcd x y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R✝ : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R✝
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : FunLike F R✝ S
f : F
I✝ J : Ideal R✝
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝³ : FunLike G S R✝
inst✝² : RingHomClass F R✝ S
ι✝ : Sort u_3
ι : Type u_4
R : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Semiring (R i)
inst✝ : Finite ι
I : Ideal ((i : ι) → R i)
r : (i : ι) → R i
x✝ : ∃ f, ∀ (x : ι), f x ∈ I ∧ (Pi.evalRingHom R x) (f x) = r x
r' : ι → (x : ι) → R x
hr' : ∀ (x : ι), r' x ∈ I ∧ (Pi.evalRingHom R x) (r' x) = r x
this : Fintype ι
⊢ ∑ i, Pi.single i 1 * r' i ∈ I

Tactic:
]

Goal state after:
R✝ : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R✝
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : FunLike F R✝ S
f : F
I✝ J : Ideal R✝
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝³ : FunLike G S R✝
inst✝² : RingHomClass F R✝ S
ι✝ : Sort u_3
ι : Type u_4
R : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Semiring (R i)
inst✝ : Finite ι
I : Ideal ((i : ι) → R i)
r : (i : ι) → R i
x✝ : ∃ f, ∀ (x : ι), f x ∈ I ∧ (Pi.evalRingHom R x) (f x) = r x
r' : ι → (x : ι) → R x
hr' : ∀ (x : ι), r' x ∈ I ∧ (Pi.evalRingHom R x) (r' x) = r x
this : Fintype ι
⊢ ∑ i, Pi.single i 1 * r' i ∈ I
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
S : Set R
T : Set M
inst✝ : (Ideal.span S).IsTwoSided
m✝ : M
hm✝ : m✝ ∈ span R T
m : M
hm : m ∈ T
r : R
hr : r ∈ Ideal.span S
x✝² x✝¹ : R
x✝ : x✝¹ ∈ span R S
h : x✝¹ • m ∈ span R (S • T)
⊢ x✝² • x✝¹ • m ∈ span R (S • T)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
S : Set R
T : Set M
inst✝ : (Ideal.span S).IsTwoSided
m✝ : M
hm✝ : m✝ ∈ span R T
m : M
hm : m ∈ T
r : R
hr : r ∈ Ideal.span S
x✝² x✝¹ : R
x✝ : x✝¹ ∈ span R S
h : x✝¹ • m ∈ span R (S • T)
⊢ x✝² • x✝¹ • m ∈ span R (S • T)
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
⊢ xgcdAux x 1 0 y 0 1 = ((xgcdAux x 1 0 y 0 1).1, (xgcdAux x 1 0 y 0 1).2)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R✝ : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : FunLike F R✝ S
f : F
I✝ J : Ideal R✝
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝⁴ : FunLike G S R✝
inst✝³ : RingHomClass F R✝ S
ι✝ : Sort u_3
ι : Type u_4
R : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → Semiring (R i)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : ∀ (i : ι), IsPrincipalIdealRing (R i)
I : Ideal ((i : ι) → R i)
⊢ Submodule.IsPrincipal (piOrderIso.symm (piOrderIso I))

Tactic:
]

Goal state after:
R✝ : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : FunLike F R✝ S
f : F
I✝ J : Ideal R✝
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝⁴ : FunLike G S R✝
inst✝³ : RingHomClass F R✝ S
ι✝ : Sort u_3
ι : Type u_4
R : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → Semiring (R i)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : ∀ (i : ι), IsPrincipalIdealRing (R i)
I : Ideal ((i : ι) → R i)
⊢ Submodule.IsPrincipal (piOrderIso.symm (piOrderIso I))
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: case H1
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b a✝ b✝ : R
h : a✝ ≠ 0
IH : ∀ {s t s' t' : R}, P a b (b✝ % a✝, s, t) → P a b (a✝, s', t') → P a b (xgcdAux (b✝ % a✝) s t a✝ s' t')
s t s' t' : R
p : P a b (a✝, s, t)
p' : P a b (b✝, s', t')
⊢ P a b (xgcdAux (b✝ % a✝) (s' - b✝ / a✝ * s) (t' - b✝ / a✝ * t) a✝ s t)

Tactic:
]

Goal state after:
case H1
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b a✝ b✝ : R
h : a✝ ≠ 0
IH : ∀ {s t s' t' : R}, P a b (b✝ % a✝, s, t) → P a b (a✝, s', t') → P a b (xgcdAux (b✝ % a✝) s t a✝ s' t')
s t s' t' : R
p : P a b (a✝, s, t)
p' : P a b (b✝, s', t')
⊢ P a b (xgcdAux (b✝ % a✝) (s' - b✝ / a✝ * s) (t' - b✝ / a✝ * t) a✝ s t)
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
S : Set R
T : Set M
inst✝ : (Ideal.span S).IsTwoSided
m : M
hm : m ∈ span R T
x✝¹ : R
x✝ : x✝¹ ∈ Ideal.span S
⊢ 0 ∈ span R (S • T)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
S : Set R
T : Set M
inst✝ : (Ideal.span S).IsTwoSided
m : M
hm : m ∈ span R T
x✝¹ : R
x✝ : x✝¹ ∈ Ideal.span S
⊢ 0 ∈ span R (S • T)
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
f : F
I : Ideal R
inst✝ : RingHomClass F R S
hf : Function.Injective ⇑f
x : R
hx : f x = f 0
⊢ x ∈ ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
f : F
I : Ideal R
inst✝ : RingHomClass F R S
hf : Function.Injective ⇑f
x : R
hx : f x = f 0
⊢ x ∈ ⊥
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
f : R ≃+* S
⊢ I = I

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
S : Set R
T : Set M
inst✝ : (Ideal.span S).IsTwoSided
m : M
hm : m ∈ span R T
x✝³ x✝² : M
x✝¹ : x✝³ ∈ span R T
x✝ : x✝² ∈ span R T
h₁ : ∀ r ∈ Ideal.span S, r • x✝³ ∈ span R (S • T)
h₂ : ∀ r ∈ Ideal.span S, r • x✝² ∈ span R (S • T)
r : R
hr : r ∈ Ideal.span S
⊢ r • x✝³ + r • x✝² ∈ span R (S • T)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
S : Set R
T : Set M
inst✝ : (Ideal.span S).IsTwoSided
m : M
hm : m ∈ span R T
x✝³ x✝² : M
x✝¹ : x✝³ ∈ span R T
x✝ : x✝² ∈ span R T
h₁ : ∀ r ∈ Ideal.span S, r • x✝³ ∈ span R (S • T)
h₂ : ∀ r ∈ Ideal.span S, r • x✝² ∈ span R (S • T)
r : R
hr : r ∈ Ideal.span S
⊢ r • x✝³ + r • x✝² ∈ span R (S • T)
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
f : R ≃+* S
y : S
⊢ f.symm y ∈ I ↔ f.symm y ∈ I

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
f : R ≃+* S
x : R
⊢ x ∈ I ↔ x ∈ I

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : FunLike F R S
f : F
inst✝¹ : RingHomClass F R S
hf : Function.Surjective ⇑f
p : Ideal S
inst✝ : p.IsPrime
⊢ ∀ (x : R), f x ∈ Submonoid.map f (comap f p).primeCompl ↔ f x ∈ p.primeCompl

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : FunLike F R S
f : F
inst✝¹ : RingHomClass F R S
hf : Function.Surjective ⇑f
p : Ideal S
inst✝ : p.IsPrime
⊢ ∀ (x : R), f x ∈ Submonoid.map f (comap f p).primeCompl ↔ f x ∈ p.primeCompl
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
S : Set R
T : Set M
inst✝ : (Ideal.span S).IsTwoSided
m✝ : M
hm✝ : m✝ ∈ span R T
r' : R
m : M
hm : m ∈ span R T
mem : ∀ r ∈ Ideal.span S, r • m ∈ span R (S • T)
r : R
hr : r ∈ Ideal.span S
⊢ (r * r') • m ∈ span R (S • T)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
S : Set R
T : Set M
inst✝ : (Ideal.span S).IsTwoSided
m✝ : M
hm✝ : m✝ ∈ span R T
r' : R
m : M
hm : m ∈ span R T
mem : ∀ r ∈ Ideal.span S, r • m ∈ span R (S • T)
r : R
hr : r ∈ Ideal.span S
⊢ (r * r') • m ∈ span R (S • T)
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
S : Set R
T : Set M
inst✝ : (Ideal.span S).IsTwoSided
s : R
hs : s ∈ S
t : M
ht : t ∈ T
⊢ (fun x1 x2 ↦ x1 • x2) s t ∈ ↑(Ideal.span S • span R T)

Tactic:
exact smul_mem_smul (subset_span hs) (subset_span ht)

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
inst✝ : (Ideal.span ↑I).IsTwoSided
s : Set M
x : M
⊢ x ∈ Ideal.span ↑I • span R s ↔ x ∈ span R (↑(Ideal.span ↑I) • s)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
inst✝ : (Ideal.span ↑I).IsTwoSided
s : Set M
x : M
⊢ x ∈ Ideal.span ↑I • span R s ↔ x ∈ span R (↑(Ideal.span ↑I) • s)
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
f : F
inst✝ : RingHomClass F R S
hf : Function.Bijective ⇑f
I : Ideal R
⊢ I = ⊤ ↔ I = ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Operations

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
inst✝ : (Ideal.span ↑I).IsTwoSided
s : Set M
x : M
⊢ x ∈ span R (↑I • s) ↔ x ∈ span R (↑I • s)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
r : R
h : f r ∈ map f I
s : R
hsi : s ∈ ↑I
hfsr : f s = f r
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal S
φ : Ideal S ↪o Ideal R := orderEmbeddingOfSurjective f hf
J : Ideal S
K : Ideal R
h : φ J < K
⊢ map f (comap f J) < map f K

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal S
φ : Ideal S ↪o Ideal R := orderEmbeddingOfSurjective f hf
J : Ideal S
K : Ideal R
h : φ J < K
⊢ map f (comap f J) < map f K
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
H : K.IsMaximal
J : Ideal R
hJ : comap f K < J
this✝ : map f J = ⊤
this : ⊤ ≤ J ⊔ comap f ⊥
⊢ J = ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
H : K.IsMaximal
J : Ideal R
hJ : comap f K < J
this✝ : map f J = ⊤
this : ⊤ ≤ J ⊔ comap f ⊥
⊢ J = ⊤
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Operations

Goal state before:
pp: case mp.refine_1.refine_1
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
inst✝ : I.IsTwoSided
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
hx : x ∈ I • span R (Set.range f)
y : R
hy : y ∈ ↑I
i j : ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
⊢ (if i = j then y else 0) ∈ I

Tactic:
]

Goal state after:
case mp.refine_1.refine_1
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
inst✝ : I.IsTwoSided
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
hx : x ∈ I • span R (Set.range f)
y : R
hy : y ∈ ↑I
i j : ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
⊢ (if i = j then y else 0) ∈ I
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
H : K.IsMaximal
J : Ideal R
hJ : comap f K < J
this✝ : map f J = ⊤
this : ⊤ ≤ J ⊔ comap f ⊥
⊢ ⊤ ≤ J

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
H : K.IsMaximal
J : Ideal R
hJ : comap f K < J
this✝ : map f J = ⊤
this : ⊤ ≤ J ⊔ comap f ⊥
⊢ ⊤ ≤ J
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: case H1
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b a✝ b✝ : R
h : a✝ ≠ 0
IH : ∀ {s t s' t' : R}, P a b (b✝ % a✝, s, t) → P a b (a✝, s', t') → P a b (xgcdAux (b✝ % a✝) s t a✝ s' t')
s t s' t' : R
p :
  match (a✝, s, t) with
  | (r, s, t) => r = a * s + b * t
p' :
  match (b✝, s', t') with
  | (r, s, t) => r = a * s + b * t
⊢ b✝ - a✝ * (b✝ / a✝) = b✝ - a✝ * (b✝ / a✝)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
H : K.IsMaximal
J : Ideal R
hJ : comap f K < J
h : K = map f J
⊢ comap f ⊥ ≤ J

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
H : K.IsMaximal
J : Ideal R
hJ : comap f K < J
h : K = map f J
⊢ comap f ⊥ ≤ J
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b : R
⊢ a = a

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring S
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
r : R
hri : r ∈ I
s : R
hsj : s ∈ J
⊢ f r * f s ∈ map f I * map f J

Tactic:
]

Goal state after:
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring S
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
r : R
hri : r ∈ I
s : R
hsj : s ∈ J
⊢ f r * f s ∈ map f I * map f J
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b : R
⊢ b = b

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b : R
this : P a b (gcd a b, gcdA a b, gcdB a b)
⊢ gcd a b = a * gcdA a b + b * gcdB a b

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b : R
this : P a b (gcd a b, gcdA a b, gcdB a b)
⊢ gcd a b = a * gcdA a b + b * gcdB a b
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: R✝ : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R✝
inst✝ : DecidableEq R✝
R : Type u_1
e : EuclideanDomain R
this : DecidableEq R
a b : R
h : a * b = 0
h0 : ¬a = 0 ∧ ¬b = 0
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
K : Ideal S
hK : K.IsRadical
⊢ (Ideal.comap f K).radical.IsRadical

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
K : Ideal S
hK : K.IsRadical
⊢ (Ideal.comap f K).radical.IsRadical
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
K : Ideal S
⊢ ⊤ ≤ comap f ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
case zero
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
K : Ideal S
⊢ ⊤ ≤ comap f ⊤
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
hxy : gcd x y = 0
⊢ x ∣ 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
hxy : gcd x y = 0
⊢ x ∣ 0
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
K : Ideal S
n : ℕ
n_ih : comap f K ^ n ≤ comap f (K ^ n)
⊢ comap f K ^ n * comap f K ≤ comap f (K ^ n * K)

Tactic:
]

Goal state after:
case succ
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
K : Ideal S
n : ℕ
n_ih : comap f K ^ n ≤ comap f (K ^ n)
⊢ comap f K ^ n * comap f K ≤ comap f (K ^ n * K)
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
hxy : ¬gcd x y = 0
z : R
hz : y = gcd x y * z
⊢ x * y = x * y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
hxy : gcd x y = 0
⊢ y ∣ 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
hxy : gcd x y = 0
⊢ y ∣ 0
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
hxy : ¬gcd x y = 0
z : R
hz : x = gcd x y * z
⊢ x * y = x * y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : FunLike F R S
rcf : RingHomClass F R S
f : F
r : R
⊢ f r = 0 ↔ f r = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y z : R
hxz : x ∣ z
hyz : y ∣ z
⊢ x * y / gcd x y ∣ z

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y z : R
hxz : x ∣ z
hyz : y ∣ z
⊢ x * y / gcd x y ∣ z
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Semiring T
f : S →+* R
g : T →+* S
⊢ Ideal.comap (f.comp g) ⊥ = Ideal.comap (f.comp g) ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y z : R
hxz : x ∣ z
hyz : y ∣ z
hxy : gcd x y = 0
⊢ 0 ∣ z

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y z : R
hxz : x ∣ z
hyz : y ∣ z
hxy : gcd x y = 0
⊢ 0 ∣ z
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Operations

Goal state before:
pp: case mp.refine_4
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
inst✝ : I.IsTwoSided
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
hx : x ∈ I • span R (Set.range f)
c : R
a : ι →₀ R
ha : ∀ (i : ι), a i ∈ I
⊢ (a.sum fun i a ↦ (c * a) • f i) = a.sum fun a b ↦ c • b • f a

pp: case mp.refine_4
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
inst✝ : I.IsTwoSided
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
hx : x ∈ I • span R (Set.range f)
c : R
a : ι →₀ R
ha : ∀ (i : ι), a i ∈ I
⊢ ∀ (i : ι), 0 • f i = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case mp.refine_4
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
inst✝ : I.IsTwoSided
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
hx : x ∈ I • span R (Set.range f)
c : R
a : ι →₀ R
ha : ∀ (i : ι), a i ∈ I
⊢ (a.sum fun i a ↦ (c * a) • f i) = a.sum fun a b ↦ c • b • f a

case mp.refine_4
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
inst✝ : I.IsTwoSided
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
hx : x ∈ I • span R (Set.range f)
c : R
a : ι →₀ R
ha : ∀ (i : ι), a i ∈ I
⊢ ∀ (i : ι), 0 • f i = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rcf : RingHomClass F R S
inst✝ : Nontrivial S
f : F
⊢ ¬1 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rcf : RingHomClass F R S
inst✝ : Nontrivial S
f : F
⊢ ¬1 = 0
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y z : R
hxz : x ∣ z
hyz : y ∣ z
hxy : x = 0 ∧ y = 0
⊢ 0 ∣ z

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y z : R
hxz : x ∣ z
hyz : y ∣ z
hxy : x = 0 ∧ y = 0
⊢ 0 ∣ z
Module: Mathlib.Algebra.EuclideanDomain.Basic

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y z : R
hxz : 0 ∣ z
hyz : y ∣ z
hxy : x = 0 ∧ y = 0
⊢ 0 ∣ z

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y z : R
hxz : 0 ∣ z
hyz : y ∣ z
hxy : x = 0 ∧ y = 0
⊢ 0 ∣ z
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Maps

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Semiring T
f : R →+* S
e : S ≃+* T
⊢ Ideal.comap f ⊥ = Ideal.comap f ⊥

Tactic:
]

Goal state after: