mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u_10
R : Type u_11
M : Type u_12
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
b : Basis ι R M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq M
i : ι
bi : M
hbi : bi ∈ Finset.image (⇑b) Finset.univ
⊢ (single ⟨b i, ⋯⟩ 1) (((Equiv.refl M).subtypeEquiv ⋯).symm ⟨bi, hbi⟩) = (single ⟨b i, ⋯⟩ 1) ⟨bi, hbi⟩

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_10
R : Type u_11
M : Type u_12
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
b : Basis ι R M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq M
i : ι
bi : M
hbi : bi ∈ Finset.image (⇑b) Finset.univ
⊢ (single ⟨b i, ⋯⟩ 1) (((Equiv.refl M).subtypeEquiv ⋯).symm ⟨bi, hbi⟩) = (single ⟨b i, ⋯⟩ 1) ⟨bi, hbi⟩
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Finprod

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
s : Set α
f : α → M
g : M →* N
h₀ : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α), g (∏ᶠ (_ : i ∈ s), f i) = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g (f i)

pp: α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
s : Set α
f : α → M
g : M →* N
h₀ : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ HasFiniteMulSupport fun j ↦ ∏ᶠ (_ : j ∈ s), f j

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
s : Set α
f : α → M
g : M →* N
h₀ : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α), g (∏ᶠ (_ : i ∈ s), f i) = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g (f i)

α : Type u_1
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
s : Set α
f : α → M
g : M →* N
h₀ : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ HasFiniteMulSupport fun j ↦ ∏ᶠ (_ : j ∈ s), f j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Finsupp.LinearCombination

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : α → M
x : M
⊢ x ∈ span R (Set.range v) ↔ ∃ x_1, ∑ i, Finsupp.equivFunOnFinite x_1 i • v i = x

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : α → M
x : M
⊢ x ∈ span R (Set.range v) ↔ ∃ x_1, ∑ i, Finsupp.equivFunOnFinite x_1 i • v i = x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Defs

Goal state before:
pp: M' : Type u_7
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
ι : Type u_10
R : Type u_11
M : Type u_12
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
b : Basis ι R M
inst✝³ : Module R M'
S : Type u_13
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M'
inst✝ : SMulCommClass R S M'
f : ι → M'
x : M
⊢ ((↑b.repr x).sum fun a m ↦ m • id (f a)) = (b.repr x).sum fun b a ↦ a • f b

pp: case h_zero
M' : Type u_7
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
ι : Type u_10
R : Type u_11
M : Type u_12
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
b : Basis ι R M
inst✝³ : Module R M'
S : Type u_13
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M'
inst✝ : SMulCommClass R S M'
f : ι → M'
x : M
⊢ ∀ (b : M'), 0 • id b = 0

pp: case h_add
M' : Type u_7
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
ι : Type u_10
R : Type u_11
M : Type u_12
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
b : Basis ι R M
inst✝³ : Module R M'
S : Type u_13
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M'
inst✝ : SMulCommClass R S M'
f : ι → M'
x : M
⊢ ∀ (b : M') (m₁ m₂ : R), (m₁ + m₂) • id b = m₁ • id b + m₂ • id b

Tactic:
]

Goal state after:
M' : Type u_7
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
ι : Type u_10
R : Type u_11
M : Type u_12
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
b : Basis ι R M
inst✝³ : Module R M'
S : Type u_13
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M'
inst✝ : SMulCommClass R S M'
f : ι → M'
x : M
⊢ ((↑b.repr x).sum fun a m ↦ m • id (f a)) = (b.repr x).sum fun b a ↦ a • f b

case h_zero
M' : Type u_7
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
ι : Type u_10
R : Type u_11
M : Type u_12
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
b : Basis ι R M
inst✝³ : Module R M'
S : Type u_13
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M'
inst✝ : SMulCommClass R S M'
f : ι → M'
x : M
⊢ ∀ (b : M'), 0 • id b = 0

case h_add
M' : Type u_7
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
ι : Type u_10
R : Type u_11
M : Type u_12
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
b : Basis ι R M
inst✝³ : Module R M'
S : Type u_13
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M'
inst✝ : SMulCommClass R S M'
f : ι → M'
x : M
⊢ ∀ (b : M') (m₁ m₂ : R), (m₁ + m₂) • id b = m₁ • id b + m₂ • id b
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Finsupp.LinearCombination

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : α → M
x : M
s : Set α
h : x ∈ span R (v '' s)
l : α →₀ R
hl : l ∈ Finsupp.supported R R s
hx : (Finsupp.linearCombination R v) l = x
⊢ ∑ i, (⇑l ∘ Subtype.val) i • v ↑i = (Finsupp.linearCombination R v) l

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : α → M
x : M
s : Set α
h : x ∈ span R (v '' s)
l : α →₀ R
hl : l ∈ Finsupp.supported R R s
hx : (Finsupp.linearCombination R v) l = x
⊢ ∑ i, (⇑l ∘ Subtype.val) i • v ↑i = (Finsupp.linearCombination R v) l
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Defs

Goal state before:
pp: M' : Type u_7
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
ι : Type u_10
R : Type u_11
M : Type u_12
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
b : Basis ι R M
inst✝³ : Module R M'
S : Type u_13
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M'
inst✝ : SMulCommClass R S M'
f : ι → M'
⊢ span R (f '' univ) = span R (f '' univ)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Finsupp.LinearCombination

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : α → M
x : M
s : Set α
x✝ : ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ ∃ c, ∑ i, c i • v ↑i = x
t : Finset α
ht : ↑t ⊆ s
c : ↥t → R
hx : ∑ i, c i • v ↑i = x
⊢ ∑ i, c i • v ↑i ∈ span R (v '' s)

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : α → M
x : M
s : Set α
x✝ : ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ ∃ c, ∑ i, c i • v ↑i = x
t : Finset α
ht : ↑t ⊆ s
c : ↥t → R
hx : ∑ i, c i • v ↑i = x
⊢ ∑ i, c i • v ↑i ∈ span R (v '' s)
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Finprod

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
s t : Finset α
⊢ (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑(s ∪ t)), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑(s ∩ t)), f i =
    (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑t), f i

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
s t : Finset α
⊢ (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑(s ∪ t)), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑(s ∩ t)), f i =
    (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑t), f i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Finsupp.LinearCombination

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : α → M
x : M
s : Finset α
⊢ x ∈ span R (Set.range fun x ↦ v ↑x) ↔ x ∈ span R (Set.range fun i ↦ v ↑i)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : α → M
x : M
s : Finset α
⊢ x ∈ span R (Set.range fun x ↦ v ↑x) ↔ x ∈ span R (Set.range fun i ↦ v ↑i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Finsupp.LinearCombination

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : α → M
x : M
s : Finset α
⊢ (∃ c, ∑ i, c i • v ↑i = x) ↔ ∃ c, ∑ i ∈ s, c i • v i = x

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : α → M
x : M
s : Finset α
⊢ (∃ c, ∑ i, c i • v ↑i = x) ↔ ∃ c, ∑ i ∈ s, c i • v i = x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Finsupp.LinearCombination

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : α → M
x : M
s : Finset α
x✝ : ∃ c, ∑ i, c i • v ↑i = x
c : ↥s → R
hc : ∑ i, c i • v ↑i = x
⊢ ∑ i, (fun i ↦ if h : i ∈ s then c ⟨i, h⟩ else 0) ↑i • v ↑i = ∑ i, c i • v ↑i

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : α → M
x : M
s : Finset α
x✝ : ∃ c, ∑ i, c i • v ↑i = x
c : ↥s → R
hc : ∑ i, c i • v ↑i = x
⊢ ∑ i, (fun i ↦ if h : i ∈ s then c ⟨i, h⟩ else 0) ↑i • v ↑i = ∑ i, c i • v ↑i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Finsupp.LinearCombination

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : α → M
x : M
s : Finset α
x✝ : ∃ c, ∑ i ∈ s, c i • v i = x
c : α → R
hc : ∑ i ∈ s, c i • v i = x
⊢ ∑ i, (fun i ↦ c ↑i) i • v ↑i = ∑ i, c ↑i • v ↑i

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Finsupp.LinearCombination

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
v : α → M
x : M
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
⊢ x ∈ span R (Set.range fun x ↦ v ↑x) ↔ x ∈ span R (Set.range fun i ↦ v ↑i)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Finsupp.LinearCombination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
w : Set M
x : ↥(span R w)
⊢ (linearCombination R Subtype.val) ⋯.choose = ↑x

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
w : Set M
x : ↥(span R w)
⊢ (linearCombination R Subtype.val) ⋯.choose = ↑x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Defs

Goal state before:
pp: ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝¹ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝¹ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝¹⁶ : Semiring R✝¹
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M✝¹
inst✝¹⁴ : Module R✝¹ M✝¹
inst✝¹³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹² : Module R✝¹ M'✝
ι : Type u_10
R✝ : Type u_11
M✝ : Type u_12
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
b✝ : Basis ι R✝ M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M'✝
i✝ : ι
M'' : Type u_13
b'✝ : Basis ι' R✝ M'✝
e : ι ≃ ι'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R✝ M''
R : Type u_14
M : Type u_15
M' : Type u_16
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M'
inst✝ : SMulCommClass R R M'
f : M → M'
g : M' → M
hf : ∀ (i : ι), f (b i) ∈ range ⇑b'
hg : ∀ (i : ι'), g (b' i) ∈ range ⇑b
hgf : ∀ (i : ι), g (f (b i)) = b i
hfg : ∀ (i : ι'), f (g (b' i)) = b' i
i : ι
i' : ι'
hi' : b' i' = f (b i)
⊢ b i = b i

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Finsupp.LinearCombination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
x : M
⊢ (∃ l ∈ supported R R s, (linearCombination R _root_.id) l = x) →
    ∃ f t, ↑t ⊆ _root_.id '' s ∧ Function.support f ⊆ ↑t ∧ ∑ a ∈ t, f a • a = x

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
x : M
⊢ (∃ l ∈ supported R R s, (linearCombination R _root_.id) l = x) →
    ∃ f t, ↑t ⊆ _root_.id '' s ∧ Function.support f ⊆ ↑t ∧ ∑ a ∈ t, f a • a = x
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Finprod

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
s t : Set α
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
ht : (t ∩ mulSupport f).Finite
⊢ (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t ∩ mulSupport f), f i =
    (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ mulSupport f ∩ (t ∩ mulSupport f)), f i

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
s t : Set α
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
ht : (t ∩ mulSupport f).Finite
⊢ (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t ∩ mulSupport f), f i =
    (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ mulSupport f ∩ (t ∩ mulSupport f)), f i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Defs

Goal state before:
pp: ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝¹ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝¹ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝¹⁶ : Semiring R✝¹
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M✝¹
inst✝¹⁴ : Module R✝¹ M✝¹
inst✝¹³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹² : Module R✝¹ M'✝
ι : Type u_10
R✝ : Type u_11
M✝ : Type u_12
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
b✝ : Basis ι R✝ M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M'✝
i✝ : ι
M'' : Type u_13
b'✝ : Basis ι' R✝ M'✝
e : ι ≃ ι'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R✝ M''
R : Type u_14
M : Type u_15
M' : Type u_16
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M'
inst✝ : SMulCommClass R R M'
f : M → M'
g : M' → M
hf : ∀ (i : ι), f (b i) ∈ range ⇑b'
hg : ∀ (i : ι'), g (b' i) ∈ range ⇑b
hgf : ∀ (i : ι), g (f (b i)) = b i
hfg : ∀ (i : ι'), f (g (b' i)) = b' i
i : ι'
i' : ι
hi' : b i' = g (b' i)
⊢ b' i = b' i

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Finsupp.LinearCombination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Finset M
x : M
⊢ (∃ f t, ↑t ⊆ ↑s ∧ Function.support f ⊆ ↑t ∧ ∑ a ∈ t, f a • a = x) →
    ∃ f, Function.support f ⊆ ↑s ∧ ∑ a ∈ s, f a • a = x

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Finset M
x : M
⊢ (∃ f t, ↑t ⊆ ↑s ∧ Function.support f ⊆ ↑t ∧ ∑ a ∈ t, f a • a = x) →
    ∃ f, Function.support f ⊆ ↑s ∧ ∑ a ∈ s, f a • a = x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u_10
R : Type u_14
M : Type u_15
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
b : Basis ι R M
ι' : Type u_17
inst✝ : Fintype ι'
b' : Basis ι' R M
x : M
i : ι
j : ι'
x✝ : j ∈ Finset.univ
⊢ (b'.repr x) j * (b.repr (b' j)) i = (b'.repr x) j * (b.repr (b' j)) i

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Finprod

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
s t : Set α
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
ht : (t ∩ mulSupport f).Finite
⊢ (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t ∩ (s ∩ mulSupport f)), f i =
    (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t ∩ (s ∩ mulSupport f)), f i

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Finprod

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
s t : Set α
hst : Disjoint s t
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
ht : (t ∩ mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Fintype.Fin

Goal state before:
pp: n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ (if p 0 then #(filter ((fun x ↦ p x) ∘ ⇑{ toFun := succ, inj' := ⋯ }) univ) + 1
    else #(filter ((fun x ↦ p x) ∘ ⇑{ toFun := succ, inj' := ⋯ }) univ)) =
    if p 0 then #{x | p x.succ} + 1 else #{x | p x.succ}

Tactic:
]

Goal state after:
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ (if p 0 then #(filter ((fun x ↦ p x) ∘ ⇑{ toFun := succ, inj' := ⋯ }) univ) + 1
    else #(filter ((fun x ↦ p x) ∘ ⇑{ toFun := succ, inj' := ⋯ }) univ)) =
    if p 0 then #{x | p x.succ} + 1 else #{x | p x.succ}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Finsupp.LinearCombination

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
c : M →₀ R
cs : ↑c.support ⊆ s
h : (c.sum fun mi r ↦ r • mi) ∈ span R s
A : ↥c.support ≃ Fin c.support.card
⊢ ∑ i, (fun i ↦ c ↑(A.symm i)) i • ↑((fun i ↦ ⟨↑(A.symm i), ⋯⟩) i) = ∑ i, c ↑i • ↑i

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
c : M →₀ R
cs : ↑c.support ⊆ s
h : (c.sum fun mi r ↦ r • mi) ∈ span R s
A : ↥c.support ≃ Fin c.support.card
⊢ ∑ i, (fun i ↦ c ↑(A.symm i)) i • ↑((fun i ↦ ⟨↑(A.symm i), ⋯⟩) i) = ∑ i, c ↑i • ↑i
Module: Mathlib.Data.Fintype.Fin

Goal state before:
pp: n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ (if p 0 then #{x | p x.succ} + 1 else #{x | p x.succ}) = (if p 0 then 1 else 0) + #{x | p x.succ}

Tactic:
]

Goal state after:
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ (if p 0 then #{x | p x.succ} + 1 else #{x | p x.succ}) = (if p 0 then 1 else 0) + #{x | p x.succ}
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Finprod

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
s t : Set α
hst : Disjoint (s ∩ mulSupport f) (t ∩ mulSupport f)
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
ht : (t ∩ mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Fintype.Fin

Goal state before:
pp: n : ℕ
j : Fin n
p : Fin n → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hp : ∀ (i j : Fin n), j ≤ i → p i → p j
k : Fin n
hk : ¬p k
⊢ #{i | p i} ≤ #(Iio k)

Tactic:
]

Goal state after:
n : ℕ
j : Fin n
p : Fin n → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hp : ∀ (i j : Fin n), j ≤ i → p i → p j
k : Fin n
hk : ¬p k
⊢ #{i | p i} ≤ #(Iio k)
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Finprod

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
a : α
s : Set α
f : α → M
h : a ∉ s
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ f a * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = f a * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i

pp: α : Type u_1
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
a : α
s : Set α
f : α → M
h : a ∉ s
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ Disjoint {a} s

pp: α : Type u_1
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
a : α
s : Set α
f : α → M
h : a ∉ s
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ ({a} ∩ mulSupport f).Finite

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
a : α
s : Set α
f : α → M
h : a ∉ s
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ Disjoint {a} s

α : Type u_1
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
a : α
s : Set α
f : α → M
h : a ∉ s
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ ({a} ∩ mulSupport f).Finite
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Finprod

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
a : α
s : Set α
f : α → M
h : a ∉ s
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ a ∉ s

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
a : α
s : Set α
f : α → M
h : a ∉ s
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ a ∉ s
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Finprod

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
N : Type u_6
inst✝ : CommMonoid N
f : α → N
a : α
hf : HasFiniteMulSupport f
ha : a ∈ mulSupport f
⊢ f a ∣ ∏ i ∈ Finite.toFinset hf, f i

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
N : Type u_6
inst✝ : CommMonoid N
f : α → N
a : α
hf : HasFiniteMulSupport f
ha : a ∈ mulSupport f
⊢ f a ∣ ∏ i ∈ Finite.toFinset hf, f i
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Finprod

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
N : Type u_6
inst✝ : CommMonoid N
f : α → N
a : α
hf : HasFiniteMulSupport f
ha : a ∉ mulSupport f
⊢ 1 ∣ finprod f

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
N : Type u_6
inst✝ : CommMonoid N
f : α → N
a : α
hf : HasFiniteMulSupport f
ha : a ∉ mulSupport f
⊢ 1 ∣ finprod f
Module: Mathlib.Data.Fintype.Fin

Goal state before:
pp: n : ℕ
j : Fin n
p : Fin n → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hp : ∀ (i j : Fin n), j ≤ i → p i → p j
h1 : ∀ (k : Fin n), ¬p k → #{i | p i} ≤ ↑k
h : p j
hc : #{i | p i} ≤ ↑j
q : Fin n → Prop := fun x ↦ ↑x < #{i | p i}
⊢ #(filter p univ) ≤ min n #{i | p i}

Tactic:
]

Goal state after:
n : ℕ
j : Fin n
p : Fin n → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hp : ∀ (i j : Fin n), j ≤ i → p i → p j
h1 : ∀ (k : Fin n), ¬p k → #{i | p i} ≤ ↑k
h : p j
hc : #{i | p i} ≤ ↑j
q : Fin n → Prop := fun x ↦ ↑x < #{i | p i}
⊢ #(filter p univ) ≤ min n #{i | p i}
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Finprod

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a b : α
h : a ≠ b
⊢ f a * f b = f a * f b

pp: case h
α : Type u_1
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a b : α
h : a ≠ b
⊢ a ∉ {b}

pp: case hs
α : Type u_1
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a b : α
h : a ≠ b
⊢ {b}.Finite

Tactic:
]

Goal state after:
case h
α : Type u_1
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a b : α
h : a ≠ b
⊢ a ∉ {b}

case hs
α : Type u_1
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a b : α
h : a ≠ b
⊢ {b}.Finite
Module: Mathlib.Order.Interval.Finset.Fin

Goal state before:
pp: n : ℕ
a : Fin n
⊢ Ico (↑a) n = Ico (↑a) n

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.Interval.Finset.Fin

Goal state before:
pp: n : ℕ
a : Fin n
⊢ Ioo (↑a) n = Ioo (↑a) n

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.Interval.Finset.Fin

Goal state before:
pp: n : ℕ
a : Fin n
⊢ Iic ↑a = Iic ↑a

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.Interval.Finset.Fin

Goal state before:
pp: n : ℕ
a : Fin n
⊢ Iio ↑a = Iio ↑a

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Fintype.Fin

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
n : ℕ
f : ℕ → α
⊢ (univ.sup fun n_1 ↦ f ↑n_1) = univ.sup fun x ↦ f ↑x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Finprod

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
s : Set β
g : β → α
hg✝ : InjOn g (s ∩ mulSupport (f ∘ g))
hs : (s ∩ mulSupport (f ∘ g)).Finite
hg : ∀ x ∈ hs.toFinset, ∀ y ∈ hs.toFinset, g x = g y → x = y
this : ∏ᶠ (i : β) (_ : i ∈ s), f (g i) = ∏ i ∈ hs.toFinset, f (g i)
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ g '' s), f i = ∏ x ∈ Finset.image g hs.toFinset, f x

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
s : Set β
g : β → α
hg✝ : InjOn g (s ∩ mulSupport (f ∘ g))
hs : (s ∩ mulSupport (f ∘ g)).Finite
hg : ∀ x ∈ hs.toFinset, ∀ y ∈ hs.toFinset, g x = g y → x = y
this : ∏ᶠ (i : β) (_ : i ∈ s), f (g i) = ∏ i ∈ hs.toFinset, f (g i)
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ g '' s), f i = ∏ x ∈ Finset.image g hs.toFinset, f x
Module: Mathlib.Data.Fin.VecNotation

Goal state before:
pp: α : Type u
x : α
u : Fin 0 → α
⊢ {x} = {x}

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Fin.VecNotation

Goal state before:
pp: α : Type u
x y : α
u : Fin 0 → α
⊢ {x, y} = {x, y}

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Fin.VecNotation

Goal state before:
pp: α : Type u
x : α
u : Fin 0 → α
⊢ vecCons x u 0 = x

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u
x : α
u : Fin 0 → α
⊢ vecCons x u 0 = x
Module: Mathlib.Data.Fin.VecNotation

Goal state before:
pp: m n : ℕ
α : Type u_1
o : ℕ
ho : o = m + n
u : Fin m → α
v : Fin n → α
i : Fin o
⊢ (if hi : ↑(Fin.cast ho i) < m then ⋯ ▸ u ((Fin.cast ho i).castLT hi)
    else ⋯ ▸ v (Fin.subNat m (Fin.cast ⋯ (Fin.cast ho i)) ⋯)) =
    if h : ↑i < m then u ⟨↑i, h⟩ else v ⟨↑i - m, ⋯⟩

Tactic:
]

Goal state after:
m n : ℕ
α : Type u_1
o : ℕ
ho : o = m + n
u : Fin m → α
v : Fin n → α
i : Fin o
⊢ (if hi : ↑(Fin.cast ho i) < m then ⋯ ▸ u ((Fin.cast ho i).castLT hi)
    else ⋯ ▸ v (Fin.subNat m (Fin.cast ⋯ (Fin.cast ho i)) ⋯)) =
    if h : ↑i < m then u ⟨↑i, h⟩ else v ⟨↑i - m, ⋯⟩
Module: Mathlib.Logic.Equiv.Fin.Basic

Goal state before:
pp: n : ℕ
i : Fin (n + 1)
m : Fin n
h : m.castSucc < i
⊢ some m = some m

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Logic.Equiv.Fin.Basic

Goal state before:
pp: n : ℕ
i : Fin (n + 1)
m : Fin n
h : i ≤ m.castSucc
⊢ some m = some m

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Logic.Equiv.Fin.Basic

Goal state before:
pp: n : ℕ
i : Fin n
⊢ some i = some i

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Finprod

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
s : Set β
g : β → α
hg✝ : InjOn g (s ∩ mulSupport (f ∘ g))
hs : (s ∩ mulSupport (f ∘ g)).Finite
hg : ∀ x ∈ hs.toFinset, ∀ y ∈ hs.toFinset, g x = g y → x = y
this : ∏ᶠ (i : β) (_ : i ∈ s), f (g i) = ∏ i ∈ hs.toFinset, f (g i)
⊢ g '' s ∩ mulSupport f = g '' s ∩ mulSupport f

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Logic.Equiv.Fin.Basic

Goal state before:
pp: n : ℕ
x : { x // x ≠ Fin.last n }
⊢ some ((finSuccAboveEquiv (Fin.last n)).symm x) = some ((↑x).castLT ⋯)

Tactic:
]

Goal state after:
n : ℕ
x : { x // x ≠ Fin.last n }
⊢ some ((finSuccAboveEquiv (Fin.last n)).symm x) = some ((↑x).castLT ⋯)