mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Convex.Set

Goal state before:
pp: K : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : LinearOrder K
inst✝¹ : IsStrictOrderedRing K
inst✝ : ConvexSpace K X
s : Set X
hs : ∀ (a b : K) (ha : 0 ≤ a) (hb : 0 ≤ b) (hab : a + b = 1), ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, convexCombPair a b ha hb hab x y ∈ s
t✝ : Finset X
x : X
t : Finset X
hx : x ∉ t
ht : t.Nonempty
ih : ∀ ⦃w : StdSimplex K X⦄, ↑t ⊆ s → t = w.weights.support → sConvexComb w ∈ s
w : StdSimplex K X
hw : ↑(Finset.cons x t hx) ⊆ s
hsw : Finset.cons x t hx = w.weights.support
hwx : w.weights x ≠ 0
hwx' : ∃ y, y ≠ x ∧ w.weights y ≠ 0
⊢ ↑t ⊆ ↑t

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Piecewise

Goal state before:
pp: case inl.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : x ≤ e
hy : y ≤ e
hc : a • x + b • y ≤ e
⊢ f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y

Tactic:
]

Goal state after:
case inl.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : x ≤ e
hy : y ≤ e
hc : a • x + b • y ≤ e
⊢ f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Piecewise

Goal state before:
pp: case inl.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : x ≤ e
hy : e < y
⊢ (Set.Iic e).piecewise f g (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • g y

Tactic:
]

Goal state after:
case inl.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : x ≤ e
hy : e < y
⊢ (Set.Iic e).piecewise f g (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • g y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Piecewise

Goal state before:
pp: case inl.inr.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : x ≤ e
hy : e < y
hc : a • x + b • y ≤ e
⊢ f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • g y

Tactic:
]

Goal state after:
case inl.inr.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : x ≤ e
hy : e < y
hc : a • x + b • y ≤ e
⊢ f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • g y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Piecewise

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : x ≤ e
hy : e < y
hc : a • x + b • y ≤ e
hc' : a • x + b • e ≤ a • x + b • y
⊢ a • f x + b • g e ≤ a • f x + b • g y

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : x ≤ e
hy : e < y
hc : a • x + b • y ≤ e
hc' : a • x + b • e ≤ a • x + b • y
⊢ a • f x + b • g e ≤ a • f x + b • g y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Piecewise

Goal state before:
pp: case inl.inr.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : x ≤ e
hy : e < y
hc : e < a • x + b • y
⊢ g (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • g y

Tactic:
]

Goal state after:
case inl.inr.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : x ≤ e
hy : e < y
hc : e < a • x + b • y
⊢ g (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • g y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Piecewise

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : x ≤ e
hy : e < y
hc : e < a • x + b • y
hc' : a • x + b • y ≤ a • e + b • y
⊢ a • f e + b • g y ≤ a • f x + b • g y

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : x ≤ e
hy : e < y
hc : e < a • x + b • y
hc' : a • x + b • y ≤ a • e + b • y
⊢ a • f e + b • g y ≤ a • f x + b • g y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Piecewise

Goal state before:
pp: case inr.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : e < x
hy : y ≤ e
⊢ (Set.Iic e).piecewise f g (a • x + b • y) ≤ a • g x + b • f y

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : e < x
hy : y ≤ e
⊢ (Set.Iic e).piecewise f g (a • x + b • y) ≤ a • g x + b • f y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Quasiconvex

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
β : Type u_6
inst✝ : Preorder β
s : Set E
f : E → β
t : Set E
hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f
hst : t ⊆ s
ht : Convex 𝕜 t
b : β
⊢ Convex 𝕜 (t ∩ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ b})

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
β : Type u_6
inst✝ : Preorder β
s : Set E
f : E → β
t : Set E
hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f
hst : t ⊆ s
ht : Convex 𝕜 t
b : β
⊢ Convex 𝕜 (t ∩ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ b})
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Piecewise

Goal state before:
pp: case inr.inl.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : e < x
hy : y ≤ e
hc : a • x + b • y ≤ e
⊢ f (a • x + b • y) ≤ a • g x + b • f y

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inl.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : e < x
hy : y ≤ e
hc : a • x + b • y ≤ e
⊢ f (a • x + b • y) ≤ a • g x + b • f y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Quasiconvex

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
β : Type u_6
inst✝ : Preorder β
s : Set E
f : E → β
t : Set E
hf : QuasiconcaveOn 𝕜 s f
hst : t ⊆ s
ht : Convex 𝕜 t
b : β
⊢ Convex 𝕜 (t ∩ {x | x ∈ s ∧ b ≤ f x})

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
β : Type u_6
inst✝ : Preorder β
s : Set E
f : E → β
t : Set E
hf : QuasiconcaveOn 𝕜 s f
hst : t ⊆ s
ht : Convex 𝕜 t
b : β
⊢ Convex 𝕜 (t ∩ {x | x ∈ s ∧ b ≤ f x})
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Quasiconvex

Goal state before:
pp: E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
β : Type u_5
inst✝ : Preorder β
f : E → β
s : Set E
t : β
hfc : QuasiconcaveOn ℝ s f
⊢ IsPreconnected (s ∩ f ⁻¹' Ici t)

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
β : Type u_5
inst✝ : Preorder β
f : E → β
s : Set E
t : β
hfc : QuasiconcaveOn ℝ s f
⊢ IsPreconnected (s ∩ f ⁻¹' Ici t)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Piecewise

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : e < x
hy : y ≤ e
hc : a • x + b • y ≤ e
hc' : a • e + b • y ≤ a • x + b • y
⊢ a • g e + b • f y ≤ a • g x + b • f y

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : e < x
hy : y ≤ e
hc : a • x + b • y ≤ e
hc' : a • e + b • y ≤ a • x + b • y
⊢ a • g e + b • f y ≤ a • g x + b • f y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Quasiconvex

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
⊢ (Convex 𝕜 s ∧
      (∀ ⦃x : E⦄,
          x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ max (f x) (f y)) ∧
        ∀ ⦃x : E⦄,
          x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → min (f x) (f y) ≤ f (a • x + b • y)) ↔
    Convex 𝕜 s ∧
      ∀ ⦃x : E⦄,
        x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ∈ uIcc (f x) (f y)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f : E → β
⊢ (Convex 𝕜 s ∧
      (∀ ⦃x : E⦄,
          x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ max (f x) (f y)) ∧
        ∀ ⦃x : E⦄,
          x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → min (f x) (f y) ≤ f (a • x + b • y)) ↔
    Convex 𝕜 s ∧
      ∀ ⦃x : E⦄,
        x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ∈ uIcc (f x) (f y)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Piecewise

Goal state before:
pp: case inr.inl.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : e < x
hy : y ≤ e
hc : e < a • x + b • y
⊢ g (a • x + b • y) ≤ a • g x + b • f y

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inl.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : e < x
hy : y ≤ e
hc : e < a • x + b • y
⊢ g (a • x + b • y) ≤ a • g x + b • f y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Piecewise

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : e < x
hy : y ≤ e
hc : e < a • x + b • y
hc' : a • x + b • y ≤ a • x + b • e
⊢ a • g x + b • f e ≤ a • g x + b • f y

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : e < x
hy : y ≤ e
hc : e < a • x + b • y
hc' : a • x + b • y ≤ a • x + b • e
⊢ a • g x + b • f e ≤ a • g x + b • f y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Radon

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : ι → E
h : ¬∀ (s : Finset ι) (w : ι → 𝕜), s.sum w = 0 → ∑ e ∈ s, w e • f e = 0 → ∀ e ∈ s, w e = 0
⊢ ∃ I, ((convexHull 𝕜) (f '' I) ∩ (convexHull 𝕜) (f '' Iᶜ)).Nonempty

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : ι → E
h : ¬∀ (s : Finset ι) (w : ι → 𝕜), s.sum w = 0 → ∑ e ∈ s, w e • f e = 0 → ∀ e ∈ s, w e = 0
⊢ ∃ I, ((convexHull 𝕜) (f '' I) ∩ (convexHull 𝕜) (f '' Iᶜ)).Nonempty
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Piecewise

Goal state before:
pp: case inr.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : e < x
hy : e < y
hc : e < a • x + b • y
⊢ g (a • x + b • y) ≤ a • g x + b • g y

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : Semiring 𝕜
inst✝¹⁰ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁹ : AddCommMonoid E
inst✝⁸ : LinearOrder E
inst✝⁷ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : PosSMulMono 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 β
e : E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Iic e) f
hg : ConvexOn 𝕜 (Set.Ici e) g
h_anti : AntitoneOn f (Set.Iic e)
h_mono : MonotoneOn g (Set.Ici e)
h_eq : f e = g e
x : E
x✝¹ : x ∈ Set.univ
y : E
x✝ : y ∈ Set.univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hx : e < x
hy : e < y
hc : e < a • x + b • y
⊢ g (a • x + b • y) ≤ a • g x + b • g y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.MetricSpace

Goal state before:
pp: X : Type u_2
inst✝² : ConvexSpace ℝ X
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : IsConvexDist X
s t : ℝ
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
h : s + t = 1
x y : X
H :
  ∀ {s t : ℝ} (hs : 0 ≤ s) (ht : 0 ≤ t) (h : s + t = 1) (x y : X),
    dist (convexCombPair s t hs ht h x y) x ≤ t * dist x y
⊢ dist x y ≤ dist x y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.MetricSpace

Goal state before:
pp: X : Type u_2
inst✝² : ConvexSpace ℝ X
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : IsConvexDist X
s✝ t✝ : ℝ
hs✝ : 0 ≤ s✝
ht✝ : 0 ≤ t✝
h✝ : s✝ + t✝ = 1
x✝ y✝ : X
s t : ℝ
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
h : s + t = 1
x y : X
⊢ (iConvexComb (StdSimplex.duple x y hs ht h) fun x_1 ↦ dist x_1 x) ≤ t * dist x y

Tactic:
]

Goal state after:
X : Type u_2
inst✝² : ConvexSpace ℝ X
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : IsConvexDist X
s✝ t✝ : ℝ
hs✝ : 0 ≤ s✝
ht✝ : 0 ≤ t✝
h✝ : s✝ + t✝ = 1
x✝ y✝ : X
s t : ℝ
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
h : s + t = 1
x y : X
⊢ (iConvexComb (StdSimplex.duple x y hs ht h) fun x_1 ↦ dist x_1 x) ≤ t * dist x y