mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p ∧ p < ∞
f : (i : α) → E i
⊢ (Summable fun i ↦ ‖f i‖ ^ p.toReal) ↔ Summable fun i ↦ ‖f i‖ ^ p.toReal

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
g : α → ℝ
hfg : ∀ (i : α), ‖f i‖ ≤ ‖g i‖
hg : BddAbove (Set.range fun i ↦ ‖g i‖)
⊢ BddAbove (Set.range fun i ↦ ‖f i‖)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
g : α → ℝ
hfg : ∀ (i : α), ‖f i‖ ≤ ‖g i‖
hg : BddAbove (Set.range fun i ↦ ‖g i‖)
⊢ BddAbove (Set.range fun i ↦ ‖f i‖)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
g : α → ℝ
hg : Summable fun i ↦ ‖g i‖ ^ p.toReal
hfg : ∀ (i : α), ‖f i‖ ≤ ‖g i‖
hp : 0 < p.toReal
⊢ Summable fun i ↦ ‖f i‖ ^ p.toReal

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
g : α → ℝ
hg : Summable fun i ↦ ‖g i‖ ^ p.toReal
hfg : ∀ (i : α), ‖f i‖ ≤ ‖g i‖
hp : 0 < p.toReal
⊢ Summable fun i ↦ ‖f i‖ ^ p.toReal
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
g : α → ℝ
hg : Summable fun i ↦ ‖g i‖ ^ p.toReal
hfg : ∀ (i : α), ‖f i‖ ≤ ‖g i‖
hp : 0 < p.toReal
i : α
⊢ ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ ‖g i‖ ^ p.toReal

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
g : α → ℝ
hg : Summable fun i ↦ ‖g i‖ ^ p.toReal
hfg : ∀ (i : α), ‖f i‖ ≤ ‖g i‖
hp : 0 < p.toReal
i : α
⊢ ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ ‖g i‖ ^ p.toReal
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p
⊢ Memℓp (f + -g) p

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p
⊢ Memℓp (f + -g) p
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : Nonempty α
f : ↥(lp E ∞)
⊢ IsLUB (Set.range fun i ↦ ‖↑f i‖) (⨆ i, ‖↑f i‖)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : Nonempty α
f : ↥(lp E ∞)
⊢ IsLUB (Set.range fun i ↦ ‖↑f i‖) (⨆ i, ‖↑f i‖)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.SmoothSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
s : Set E
x₀ x : E
hu : Summable u
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
h's : IsPreconnected s
hf : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f' n x‖ ≤ u n
hx₀ : x₀ ∈ s
hf0 : CauchySeq fun s ↦ ∑ b ∈ s, f b x₀
hx : x ∈ s
this : DecidableEq α
⊢ CauchySeq fun s ↦ ∑ b ∈ s, f b x

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
s : Set E
x₀ x : E
hu : Summable u
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
h's : IsPreconnected s
hf : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f' n x‖ ≤ u n
hx₀ : x₀ ∈ s
hf0 : CauchySeq fun s ↦ ∑ b ∈ s, f b x₀
hx : x ∈ s
this : DecidableEq α
⊢ CauchySeq fun s ↦ ∑ b ∈ s, f b x
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p ∧ p < ∞
f : ↥(lp E p)
⊢ (if hp : p = 0 then Eq.rec (motive := fun x x_1 ↦ ↥(lp E x) → ℝ) (fun f ↦ ↑⋯.toFinset.card) ⋯ f
    else if p = ∞ then ⨆ i, ‖↑f i‖ else (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)) =
    (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p ∧ p < ∞
f : ↥(lp E p)
⊢ (if hp : p = 0 then Eq.rec (motive := fun x x_1 ↦ ↥(lp E x) → ℝ) (fun f ↦ ↑⋯.toFinset.card) ⋯ f
    else if p = ∞ then ⨆ i, ‖↑f i‖ else (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)) =
    (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p ∧ p < ∞
f : ↥(lp E p)
⊢ (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal) = (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
⊢ (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal * p.toReal) = ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal

pp: case hx
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
⊢ 0 ≤ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
⊢ (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal * p.toReal) = ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal

case hx
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
⊢ 0 ≤ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
⊢ HasSum (fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
⊢ HasSum (fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inl.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E ∞)
_i : IsEmpty α
⊢ 0 ≤ ⨆ i, ‖↑f i‖

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inl.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E ∞)
_i : IsEmpty α
⊢ 0 ≤ ⨆ i, ‖↑f i‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
hp : 0 < p.toReal
⊢ 0 ≤ (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
hp : 0 < p.toReal
⊢ 0 ≤ (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
⊢ (∑' (i : α), ‖↑0 i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal) = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
⊢ (∑' (i : α), ‖↑0 i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal) = 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
h : ‖f‖ = 0
hp : 0 < p.toReal
this : HasSum (fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ p.toReal) 0
⊢ HasSum (fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ p.toReal) 0

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
h : ‖f‖ = 0
hp : 0 < p.toReal
this : HasSum (fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ p.toReal) 0
⊢ HasSum (fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ p.toReal) 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
h : ‖f‖ = 0
hp : 0 < p.toReal
hf : (fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ p.toReal) = 0
this : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖ ^ p.toReal
⊢ f = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
h : ‖f‖ = 0
hp : 0 < p.toReal
hf : (fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ p.toReal) = 0
this : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖ ^ p.toReal
⊢ f = 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
⊢ ↑f = 0 ↔ ↑f = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.UniformLimitsDeriv

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
x : E
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : Cauchy (map (fun n ↦ f n x) l)
this✝ : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
hf' : TendstoUniformlyOnFilter (fun n z ↦ -f' n.1 z + f' n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n z ↦ -f n.1 z + f n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
x : E
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : Cauchy (map (fun n ↦ f n x) l)
this✝ : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
hf' : TendstoUniformlyOnFilter (fun n z ↦ -f' n.1 z + f' n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n z ↦ -f n.1 z + f n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.SmoothSeries

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
hu : Summable u
hf : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖f' n x‖ ≤ u n
h : ∀ (x₀ : E), ¬Summable fun n ↦ f n x₀
this : (fun x ↦ ∑' (n : α), f n x) = 0
⊢ Differentiable 𝕜 0

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
hu : Summable u
hf : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖f' n x‖ ≤ u n
h : ∀ (x₀ : E), ¬Summable fun n ↦ f n x₀
this : (fun x ↦ ∑' (n : α), f n x) = 0
⊢ Differentiable 𝕜 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.UniformLimitsDeriv

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
x : E
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : Cauchy (map (fun n ↦ f n x) l)
this✝² : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
hf' : TendstoUniformlyOnFilter (fun n z ↦ -f' n.1 z + f' n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)
this✝¹ : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
this✝ :
  TendstoUniformlyOnFilter (fun n z ↦ f n.1 z - f n.2 z - (f n.1 x - f n.2 x)) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x) ∧
    TendstoUniformlyOnFilter (fun n x_1 ↦ f n.1 x - f n.2 x) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)
this :
  TendstoUniformlyOnFilter ((-fun n z ↦ f n.1 z - f n.2 z - (f n.1 x - f n.2 x)) + -fun n x_1 ↦ f n.1 x - f n.2 x) 0
    (l ×ˢ l) (𝓝 x)
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n z ↦ -f n.1 z + f n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
x : E
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : Cauchy (map (fun n ↦ f n x) l)
this✝² : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
hf' : TendstoUniformlyOnFilter (fun n z ↦ -f' n.1 z + f' n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)
this✝¹ : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
this✝ :
  TendstoUniformlyOnFilter (fun n z ↦ f n.1 z - f n.2 z - (f n.1 x - f n.2 x)) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x) ∧
    TendstoUniformlyOnFilter (fun n x_1 ↦ f n.1 x - f n.2 x) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)
this :
  TendstoUniformlyOnFilter ((-fun n z ↦ f n.1 z - f n.2 z - (f n.1 x - f n.2 x)) + -fun n x_1 ↦ f n.1 x - f n.2 x) 0
    (l ×ˢ l) (𝓝 x)
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n z ↦ -f n.1 z + f n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : Fact (1 ≤ p)
f g : ↥(lp E p)
hp' : 1 ≤ p.toReal
hp'' : 0 < p.toReal
hf₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖
hg₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑g i‖
hf₂ : HasSum (fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal)
hg₂ : HasSum (fun i ↦ ‖↑g i‖ ^ p.toReal) (‖g‖ ^ p.toReal)
C : ℝ
hC₁ : 0 ≤ C
hC₂ : C ≤ ‖f‖ + ‖g‖
hCfg : HasSum (fun i ↦ (‖↑f i‖ + ‖↑g i‖) ^ p.toReal) (C ^ p.toReal)
⊢ ‖f + g‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : Fact (1 ≤ p)
f g : ↥(lp E p)
hp' : 1 ≤ p.toReal
hp'' : 0 < p.toReal
hf₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖
hg₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑g i‖
hf₂ : HasSum (fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal)
hg₂ : HasSum (fun i ↦ ‖↑g i‖ ^ p.toReal) (‖g‖ ^ p.toReal)
C : ℝ
hC₁ : 0 ≤ C
hC₂ : C ≤ ‖f‖ + ‖g‖
hCfg : HasSum (fun i ↦ (‖↑f i‖ + ‖↑g i‖) ^ p.toReal) (C ^ p.toReal)
⊢ ‖f + g‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.UniformLimitsDeriv

Goal state before:
pp: case left
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
x : E
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : Cauchy (map (fun n ↦ f n x) l)
this✝ : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) (-f' n.1.1 n.2 + f' n.1.2 n.2) < ε
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
⊢ ∀ ε > 0,
    ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) (f n.1.1 n.2 - f n.1.2 n.2 - (f n.1.1 x - f n.1.2 x)) < ε

Tactic:
]

Goal state after:
case left
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
x : E
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : Cauchy (map (fun n ↦ f n x) l)
this✝ : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) (-f' n.1.1 n.2 + f' n.1.2 n.2) < ε
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
⊢ ∀ ε > 0,
    ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) (f n.1.1 n.2 - f n.1.2 n.2 - (f n.1.1 x - f n.1.2 x)) < ε
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p q : ℝ≥0∞
hpq : p.toReal.HolderConjugate q.toReal
f : ↥(lp E p)
g : ↥(lp E q)
hf₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖
hg₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑g i‖
hf₂ : HasSum (fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal)
hg₂ : HasSum (fun i ↦ ‖↑g i‖ ^ q.toReal) (‖g‖ ^ q.toReal)
C : ℝ
hC' : ∑' (b : α), ‖↑f b‖ * ‖↑g b‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖
hC : HasSum (fun i ↦ ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖) C
⊢ (Summable fun i ↦ ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖) ∧ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p q : ℝ≥0∞
hpq : p.toReal.HolderConjugate q.toReal
f : ↥(lp E p)
g : ↥(lp E q)
hf₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖
hg₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑g i‖
hf₂ : HasSum (fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal)
hg₂ : HasSum (fun i ↦ ‖↑g i‖ ^ q.toReal) (‖g‖ ^ q.toReal)
C : ℝ
hC' : ∑' (b : α), ‖↑f b‖ * ‖↑g b‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖
hC : HasSum (fun i ↦ ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖) C
⊢ (Summable fun i ↦ ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖) ∧ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : p ≠ 0
f : ↥(lp E p)
i : α
hp' : p ≠ ∞
hp'' : 0 < p.toReal
this : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖ ^ p.toReal
⊢ ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ ‖f‖ ^ p.toReal

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : p ≠ 0
f : ↥(lp E p)
i : α
hp' : p ≠ ∞
hp'' : 0 < p.toReal
this : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖ ^ p.toReal
⊢ ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ ‖f‖ ^ p.toReal
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α
⊢ ∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α
⊢ ∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.SmoothSeries

Goal state before:
pp: case succ
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
k : ℕ
IH : ↑k ≤ N → (iteratedFDeriv 𝕜 k fun y ↦ ∑' (n : α), f n y) = fun x ↦ ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x
hk : ↑(k + 1) ≤ N
h'k : ↑k < N
A : Summable fun n ↦ iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) 0
⊢ (⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x ↦ E) F).symm ∘ fun x ↦
      ∑' (n : α), fderiv 𝕜 (fun x ↦ iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x) x) =
    fun x ↦
    ∑' (n : α), (⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x ↦ E) F).symm ∘ fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 k (f n))) x

Tactic:
ext1 x
      exact (continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜
        (fun _ : Fin (k + 1) => E) F).symm.toContinuousLinearEquiv.map_tsum

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
f : ↥(lp E p)
hf : ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal
⊢ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
f : ↥(lp E p)
hf : ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal
⊢ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.SmoothSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
k : ℕ
hk : ↑k ≤ N
x : E
⊢ (fun x ↦ ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x) x = ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.SmoothSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
k : ℕ
hk : ↑k ≤ N
x : E
⊢ iteratedFDeriv 𝕜 k (fun y ↦ ∑' (n : α), f n y) x = ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x

Tactic:
by
  rw [iteratedFDeriv_tsum hf hv h'f hk]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.SmoothSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
⊢ (∀ (m : ℕ),
      ↑m ≤ N →
        Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] fun x ↦
          iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x ↦ ∑' (i : α), f i x) x) ∧
    ∀ (m : ℕ), ↑m < N → Differentiable 𝕜 fun x ↦ iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x ↦ ∑' (i : α), f i x) x

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
⊢ (∀ (m : ℕ),
      ↑m ≤ N →
        Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] fun x ↦
          iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x ↦ ∑' (i : α), f i x) x) ∧
    ∀ (m : ℕ), ↑m < N → Differentiable 𝕜 fun x ↦ iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x ↦ ∑' (i : α), f i x) x
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), IsBoundedSMul 𝕜 (E i)
hp✝ : p ≠ 0
c : 𝕜
f : ↥(lp E p)
hp : 0 < p.toReal
inst : NNNorm ↥(lp E p) := { nnnorm := fun f ↦ ⟨‖f‖, ⋯⟩ }
coe_nnnorm : ∀ (f : ↥(lp E p)), ↑‖f‖₊ = ‖f‖
this : ‖c • f‖₊ ≤ ‖c‖₊ * ‖f‖₊
⊢ ‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), IsBoundedSMul 𝕜 (E i)
hp✝ : p ≠ 0
c : 𝕜
f : ↥(lp E p)
hp : 0 < p.toReal
inst : NNNorm ↥(lp E p) := { nnnorm := fun f ↦ ⟨‖f‖, ⋯⟩ }
coe_nnnorm : ∀ (f : ↥(lp E p)), ↑‖f‖₊ = ‖f‖
this : ‖c • f‖₊ ≤ ‖c‖₊ * ‖f‖₊
⊢ ‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖