mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Indicator

Goal state before:
pp: case refine_3
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
μ : Measure α
A_mble : MeasurableSet A
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
B : Set α
B_mble : MeasurableSet B
B_finmeas : ∫⁻ (a : α), B.indicator 1 a ∂μ ≠ ∞
As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
⊢ ∫⁻ (a : α), B.indicator 1 a ∂μ ≠ ∞

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_3
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
μ : Measure α
A_mble : MeasurableSet A
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
B : Set α
B_mble : MeasurableSet B
B_finmeas : ∫⁻ (a : α), B.indicator 1 a ∂μ ≠ ∞
As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
⊢ ∫⁻ (a : α), B.indicator 1 a ∂μ ≠ ∞
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Gamma

Goal state before:
pp: case e'_3
p b : ℝ
hp : 0 < p
hb : 0 < b
⊢ b ^ (-1 / p) * (1 / p * Gamma (1 / p)) = b ^ (-1 / p) * (1 / p * Gamma (1 / p))

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Gamma

Goal state before:
pp: p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
⊢ ∫ (p_1 : ℝ × ℝ) in Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π,
      p_1.1 • (‖↑Complex.polarCoord.symm p_1‖ ^ q * rexp (-‖↑Complex.polarCoord.symm p_1‖ ^ p)) =
    ∫ (x : ℝ × ℝ) in Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π, x.1 * (|x.1| ^ q * rexp (-|x.1| ^ p))

Tactic:
]

Goal state after:
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
⊢ ∫ (p_1 : ℝ × ℝ) in Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π,
      p_1.1 • (‖↑Complex.polarCoord.symm p_1‖ ^ q * rexp (-‖↑Complex.polarCoord.symm p_1‖ ^ p)) =
    ∫ (x : ℝ × ℝ) in Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π, x.1 * (|x.1| ^ q * rexp (-|x.1| ^ p))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Indicator

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
μ : Measure α
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
B : Set α
B_mble : MeasurableSet B
B_finmeas : μ B ≠ ∞
As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B
h_lim : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
⊢ Tendsto (fun i ↦ μ (As i)) L (𝓝 (μ A))

Tactic:
rcases L.eq_or_neBot with rfl | _

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_2
As : ι → Set α
μ : Measure α
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
B : Set α
B_mble : MeasurableSet B
B_finmeas : μ B ≠ ∞
inst✝ : ⊥.IsCountablyGenerated
As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in ⊥, As i ⊆ B
h_lim : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in ⊥, x ∈ As i ↔ x ∈ A
⊢ Tendsto (fun i ↦ μ (As i)) ⊥ (𝓝 (μ A))

case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
μ : Measure α
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
B : Set α
B_mble : MeasurableSet B
B_finmeas : μ B ≠ ∞
As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B
h_lim : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
h✝ : L.NeBot
⊢ Tendsto (fun i ↦ μ (As i)) L (𝓝 (μ A))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Indicator

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
h_lim : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
⊢ Tendsto (fun i ↦ μ (As i)) L (𝓝 (μ A))

Tactic:
rcases L.eq_or_neBot with rfl | _

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_2
As : ι → Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
inst✝ : ⊥.IsCountablyGenerated
h_lim : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in ⊥, x ∈ As i ↔ x ∈ A
⊢ Tendsto (fun i ↦ μ (As i)) ⊥ (𝓝 (μ A))

case inr
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
h_lim : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
h✝ : L.NeBot
⊢ Tendsto (fun i ↦ μ (As i)) L (𝓝 (μ A))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Gamma

Goal state before:
pp: p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
⊢ ∫ (x : ℝ × ℝ) in Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π, x.1 * (|x.1| ^ q * rexp (-|x.1| ^ p)) ∂volume.prod volume =
    ∫ (z : ℝ × ℝ) in Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π, z.1 * |z.1| ^ q * rexp (-|z.1| ^ p) * 1 ∂volume.prod volume

Tactic:
]

Goal state after:
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
⊢ ∫ (x : ℝ × ℝ) in Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π, x.1 * (|x.1| ^ q * rexp (-|x.1| ^ p)) ∂volume.prod volume =
    ∫ (z : ℝ × ℝ) in Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π, z.1 * |z.1| ^ q * rexp (-|z.1| ^ p) * 1 ∂volume.prod volume
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.CurveIntegral.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
a b : E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
ω : E → E →L[𝕜] F
γ : Path a b
⊢ (fun x ↦ (ω (γ.extend x)) (derivWithin ⇑γ.extend I x)) =ᵐ[volume.restrict (Ioo 0 1)] fun x ↦
    (ω (γ.extend x)) (deriv (⇑γ.extend) x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
a b : E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
ω : E → E →L[𝕜] F
γ : Path a b
⊢ (fun x ↦ (ω (γ.extend x)) (derivWithin ⇑γ.extend I x)) =ᵐ[volume.restrict (Ioo 0 1)] fun x ↦
    (ω (γ.extend x)) (deriv (⇑γ.extend) x)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Gamma

Goal state before:
pp: case e_a
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ x * |x| ^ q * rexp (-|x| ^ p) = x ^ (q + 1) * rexp (-x ^ p)

Tactic:
]

Goal state after:
case e_a
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ x * |x| ^ q * rexp (-|x| ^ p) = x ^ (q + 1) * rexp (-x ^ p)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Gamma

Goal state before:
pp: case e_a
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ x * x ^ q * rexp (-x ^ p) = x ^ q * x * rexp (-x ^ p)

Tactic:
]

Goal state after:
case e_a
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ x * x ^ q * rexp (-x ^ p) = x ^ q * x * rexp (-x ^ p)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.CurveIntegral.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
a b : E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
ω : E → E →L[𝕜] F
γ : Path a b
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo 0 1
⊢ (ω (γ.extend x)) (deriv (⇑γ.extend) x) = (ω (γ.extend x)) (deriv (⇑γ.extend) x)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Gamma

Goal state before:
pp: p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
⊢ 2 * π * (1 / p * Real.Gamma ((q + 2) / p)) = 2 * π / p * Real.Gamma ((q + 2) / p)

Tactic:
]

Goal state after:
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
⊢ 2 * π * (1 / p * Real.Gamma ((q + 2) / p)) = 2 * π / p * Real.Gamma ((q + 2) / p)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.CurveIntegral.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
t : ℝ
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
ht : t < 1 / 2
instE : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
H₁ : ⇑(γab.trans γbc).extend =ᶠ[𝓝 t] fun s ↦ γab.extend (2 * s)
⊢ 𝓝[Icc 0 2] (2 * t) = 𝓝[I] (2 * t)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
t : ℝ
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
ht : t < 1 / 2
instE : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
H₁ : ⇑(γab.trans γbc).extend =ᶠ[𝓝 t] fun s ↦ γab.extend (2 * s)
⊢ 𝓝[Icc 0 2] (2 * t) = 𝓝[I] (2 * t)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Gamma

Goal state before:
pp: p q b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
hb : 0 < b
⊢ ∫ (p_1 : ℝ × ℝ) in Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π,
      p_1.1 • (‖↑Complex.polarCoord.symm p_1‖ ^ q * rexp (-b * ‖↑Complex.polarCoord.symm p_1‖ ^ p)) =
    ∫ (x : ℝ × ℝ) in Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π, x.1 * (|x.1| ^ q * rexp (-b * |x.1| ^ p))

Tactic:
]

Goal state after:
p q b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
hb : 0 < b
⊢ ∫ (p_1 : ℝ × ℝ) in Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π,
      p_1.1 • (‖↑Complex.polarCoord.symm p_1‖ ^ q * rexp (-b * ‖↑Complex.polarCoord.symm p_1‖ ^ p)) =
    ∫ (x : ℝ × ℝ) in Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π, x.1 * (|x.1| ^ q * rexp (-b * |x.1| ^ p))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.CurveIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
t : ℝ
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
ht : t < 1 / 2
instE : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
H₁ : ⇑(γab.trans γbc).extend =ᶠ[𝓝 t] fun s ↦ γab.extend (2 * s)
ht₀ : t < 0
⊢ ⊥ = ⊥

pp: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
t : ℝ
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
ht : t < 1 / 2
instE : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
H₁ : ⇑(γab.trans γbc).extend =ᶠ[𝓝 t] fun s ↦ γab.extend (2 * s)
ht₀ : t < 0
⊢ 2 * t ∉ closure I

pp: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
t : ℝ
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
ht : t < 1 / 2
instE : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
H₁ : ⇑(γab.trans γbc).extend =ᶠ[𝓝 t] fun s ↦ γab.extend (2 * s)
ht₀ : t < 0
⊢ 2 * t ∉ closure (Icc 0 2)

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
t : ℝ
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
ht : t < 1 / 2
instE : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
H₁ : ⇑(γab.trans γbc).extend =ᶠ[𝓝 t] fun s ↦ γab.extend (2 * s)
ht₀ : t < 0
⊢ 2 * t ∉ closure I

case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
t : ℝ
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
ht : t < 1 / 2
instE : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
H₁ : ⇑(γab.trans γbc).extend =ᶠ[𝓝 t] fun s ↦ γab.extend (2 * s)
ht₀ : t < 0
⊢ 2 * t ∉ closure (Icc 0 2)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Gamma

Goal state before:
pp: p q b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
hb : 0 < b
⊢ ∫ (x : ℝ × ℝ) in Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π, x.1 * (|x.1| ^ q * rexp (-b * |x.1| ^ p)) ∂volume.prod volume =
    ∫ (z : ℝ × ℝ) in Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π, z.1 * |z.1| ^ q * rexp (-b * |z.1| ^ p) * 1 ∂volume.prod volume

Tactic:
]

Goal state after:
p q b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
hb : 0 < b
⊢ ∫ (x : ℝ × ℝ) in Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π, x.1 * (|x.1| ^ q * rexp (-b * |x.1| ^ p)) ∂volume.prod volume =
    ∫ (z : ℝ × ℝ) in Ioi 0 ×ˢ Ioo (-π) π, z.1 * |z.1| ^ q * rexp (-b * |z.1| ^ p) * 1 ∂volume.prod volume
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.CurveIntegral.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
t : ℝ
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
ht : t < 1 / 2
instE : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
H₁ : ⇑(γab.trans γbc).extend =ᶠ[𝓝 t] fun s ↦ γab.extend (2 * s)
ht₀ : 0 < t
⊢ 𝓝 (2 * t) = 𝓝 (2 * t)

pp: case inr.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
t : ℝ
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
ht : t < 1 / 2
instE : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
H₁ : ⇑(γab.trans γbc).extend =ᶠ[𝓝 t] fun s ↦ γab.extend (2 * s)
ht₀ : 0 < t
⊢ I ∈ 𝓝 (2 * t)

pp: case inr.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
t : ℝ
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
ht : t < 1 / 2
instE : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
H₁ : ⇑(γab.trans γbc).extend =ᶠ[𝓝 t] fun s ↦ γab.extend (2 * s)
ht₀ : 0 < t
⊢ Icc 0 2 ∈ 𝓝 (2 * t)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
t : ℝ
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
ht : t < 1 / 2
instE : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
H₁ : ⇑(γab.trans γbc).extend =ᶠ[𝓝 t] fun s ↦ γab.extend (2 * s)
ht₀ : 0 < t
⊢ I ∈ 𝓝 (2 * t)

case inr.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
t : ℝ
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
ht : t < 1 / 2
instE : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
H₁ : ⇑(γab.trans γbc).extend =ᶠ[𝓝 t] fun s ↦ γab.extend (2 * s)
ht₀ : 0 < t
⊢ Icc 0 2 ∈ 𝓝 (2 * t)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Gamma

Goal state before:
pp: case e_a
p q b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
hb : 0 < b
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ x * |x| ^ q * rexp (-b * |x| ^ p) = x ^ (q + 1) * rexp (-b * x ^ p)

Tactic:
]

Goal state after:
case e_a
p q b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
hb : 0 < b
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ x * |x| ^ q * rexp (-b * |x| ^ p) = x ^ (q + 1) * rexp (-b * x ^ p)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Gamma

Goal state before:
pp: case e_a
p q b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
hb : 0 < b
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ x * x ^ q * rexp (-b * x ^ p) = x ^ q * x * rexp (-b * x ^ p)

Tactic:
]

Goal state after:
case e_a
p q b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
hb : 0 < b
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ x * x ^ q * rexp (-b * x ^ p) = x ^ q * x * rexp (-b * x ^ p)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Gamma

Goal state before:
pp: p q b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
hb : 0 < b
⊢ 2 * π * (b ^ (-(q + 2) / p) * (1 / p) * Real.Gamma ((q + 2) / p)) =
    2 * π / p * b ^ (-(q + 2) / p) * Real.Gamma ((q + 2) / p)

Tactic:
]

Goal state after:
p q b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
hb : 0 < b
⊢ 2 * π * (b ^ (-(q + 2) / p) * (1 / p) * Real.Gamma ((q + 2) / p)) =
    2 * π / p * b ^ (-(q + 2) / p) * Real.Gamma ((q + 2) / p)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.CurveIntegral.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
t : ℝ
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
ht : t < 1 / 2
instE : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
H₁ : ⇑(γab.trans γbc).extend =ᶠ[𝓝 t] fun s ↦ γab.extend (2 * s)
H₂ : 2 • I =ᶠ[𝓝 (2 * t)] I
⊢ 2 • (ω ((fun s ↦ γab.extend (2 * s)) t)) (derivWithin ⇑γab.extend I (2 * t)) =
    2 • (ω (γab.extend (2 * t))) (derivWithin ⇑γab.extend I (2 * t))

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Gamma

Goal state before:
pp: case e'_3
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ π * (2 / p * Real.Gamma (2 / p)) = 2 * π / p * Real.Gamma (2 / p)

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_3
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ π * (2 / p * Real.Gamma (2 / p)) = 2 * π / p * Real.Gamma (2 / p)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.CurveIntegral.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
⊢ curveIntegralFun ω (γab.trans γbc) =ᵐ[volume.restrict (Ioo 0 (1 / 2))] fun t ↦ 2 • curveIntegralFun ω γab (2 * t)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
⊢ curveIntegralFun ω (γab.trans γbc) =ᵐ[volume.restrict (Ioo 0 (1 / 2))] fun t ↦ 2 • curveIntegralFun ω γab (2 * t)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Gamma

Goal state before:
pp: case e'_3
p b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hb : 0 < b
⊢ π * b ^ (-2 / p) * (2 / p * Real.Gamma (2 / p)) = 2 * π / p * b ^ (-2 / p) * Real.Gamma (2 / p)

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_3
p b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hb : 0 < b
⊢ π * b ^ (-2 / p) * (2 / p * Real.Gamma (2 / p)) = 2 * π / p * b ^ (-2 / p) * Real.Gamma (2 / p)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.CurveIntegral.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
t : ℝ
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
ht₀ : 1 / 2 < t
⊢ 2 • curveIntegralFun ω γbc (1 - 2 * (1 - t)) = 2 • curveIntegralFun ω γbc (2 * t - 1)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
t : ℝ
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
ht₀ : 1 / 2 < t
⊢ 2 • curveIntegralFun ω γbc (1 - 2 * (1 - t)) = 2 • curveIntegralFun ω γbc (2 * t - 1)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.CurveIntegral.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
⊢ curveIntegralFun ω (γab.trans γbc) =ᵐ[volume.restrict (Ioo (1 / 2) 1)] fun t ↦ 2 • curveIntegralFun ω γbc (2 * t - 1)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
⊢ curveIntegralFun ω (γab.trans γbc) =ᵐ[volume.restrict (Ioo (1 / 2) 1)] fun t ↦ 2 • curveIntegralFun ω γbc (2 * t - 1)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.CurveIntegral.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
h₁ : CurveIntegrable ω γab
h₂ : CurveIntegrable ω γbc
instF : NormedSpace ℝ F := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 F
⊢ (∫ (x : ℝ) in 0..1 / 2, 2 • curveIntegralFun ω γab (2 * x)) +
      ∫ (x : ℝ) in 1 / 2..1, 2 • curveIntegralFun ω γbc (2 * x - 1) =
    ∫ᶜ (x : E) in γab, ω x + ∫ᶜ (x : E) in γbc, ω x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
h₁ : CurveIntegrable ω γab
h₂ : CurveIntegrable ω γbc
instF : NormedSpace ℝ F := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 F
⊢ (∫ (x : ℝ) in 0..1 / 2, 2 • curveIntegralFun ω γab (2 * x)) +
      ∫ (x : ℝ) in 1 / 2..1, 2 • curveIntegralFun ω γbc (2 * x - 1) =
    ∫ᶜ (x : E) in γab, ω x + ∫ᶜ (x : E) in γbc, ω x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.DistLEIntegral

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
B : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
hfB : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ Ioo a b → ‖deriv f t‖ ≤ B t
hBi : IntervalIntegrable B volume a b
this :
  ∀ {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : NormedSpace ℝ E] {f : ℝ → E},
    ContinuousOn f (Icc a b) →
      DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b) →
        (∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ Ioo a b → ‖deriv f t‖ ≤ B t) → CompleteSpace E → ‖f b - f a‖ ≤ ∫ (t : ℝ) in a..b, B t
hE : ¬CompleteSpace E
g : ℝ → UniformSpace.Completion E := UniformSpace.Completion.coe' ∘ f
hg : g = UniformSpace.Completion.coe' ∘ f
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo a b
⊢ HasFDerivAt (⇑UniformSpace.Completion.toComplL) UniformSpace.Completion.toComplL (f t)

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
B : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
hfB : ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ Ioo a b → ‖deriv f t‖ ≤ B t
hBi : IntervalIntegrable B volume a b
this :
  ∀ {E : Type u_1} [inst : NormedAddCommGroup E] [inst_1 : NormedSpace ℝ E] {f : ℝ → E},
    ContinuousOn f (Icc a b) →
      DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b) →
        (∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ Ioo a b → ‖deriv f t‖ ≤ B t) → CompleteSpace E → ‖f b - f a‖ ≤ ∫ (t : ℝ) in a..b, B t
hE : ¬CompleteSpace E
g : ℝ → UniformSpace.Completion E := UniformSpace.Completion.coe' ∘ f
hg : g = UniformSpace.Completion.coe' ∘ f
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo a b
⊢ HasFDerivAt (⇑UniformSpace.Completion.toComplL) UniformSpace.Completion.toComplL (f t)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.MeanValue

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α
f g : α → ℝ
μ : Measure α
hs_conn : IsConnected s
hs_meas : MeasurableSet s
hf : ContinuousOn f s
hg : IntegrableOn g s μ
hfg : IntegrableOn (fun x ↦ f x * g x) s μ
hg0 : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, 0 ≤ g x
ρ : α → ENNReal := fun x ↦ ENNReal.ofReal (g x)
ν : Measure α := μ.withDensity ρ
hρ_ae : AEMeasurable ρ (μ.restrict s)
hρ_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, ρ x < ⊤
h_toReal_ae : (fun x ↦ (ρ x).toReal) =ᵐ[μ.restrict s] g
heq : ∫ (x : α) in s, f x * g x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂ν
h : (∫ (x : α) in s, 1 ∂μ.withDensity fun x ↦ ρ x) = ∫ (x : α) in s, (ρ x).toReal • 1 ∂μ
⊢ ∫ (x : α) in s, g x ∂μ = ∫ (a : α) in s, g a ∂μ

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.CurveIntegral.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
h₁ : CurveIntegrable ω γab
h₂ : CurveIntegrable ω γbc
instF : NormedSpace ℝ F := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 F
⊢ (∫ (x : ℝ) in 2 * 0..2 * (1 / 2), curveIntegralFun ω γab x) +
      ∫ (x : ℝ) in 2 * (1 / 2) - 1..2 * 1 - 1, curveIntegralFun ω γbc x =
    ∫ᶜ (x : E) in γab, ω x + ∫ᶜ (x : E) in γbc, ω x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a b c : E
ω : E → E →L[𝕜] F
γab : Path a b
γbc : Path b c
h₁ : CurveIntegrable ω γab
h₂ : CurveIntegrable ω γbc
instF : NormedSpace ℝ F := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 F
⊢ (∫ (x : ℝ) in 2 * 0..2 * (1 / 2), curveIntegralFun ω γab x) +
      ∫ (x : ℝ) in 2 * (1 / 2) - 1..2 * 1 - 1, curveIntegralFun ω γbc x =
    ∫ᶜ (x : E) in γab, ω x + ∫ᶜ (x : E) in γbc, ω x