mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
⊢ a ⊓ (b ⊔ sSup s) = a

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2.refine_2
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
⊢ a ⊓ (b ⊔ sSup s) = a
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_8
M : Type u_9
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
s t p : Submodule R M
hps : p ≤ s
hnps : -p ≤ s
⊢ s ⊓ (t ⊔ p) = s ⊓ (t ⊔ p)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : a ⊓ (b ⊔ sSup s) = ⊥
⊢ a ≤ b ⊔ sSup s

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2.refine_2
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : a ⊓ (b ⊔ sSup s) = ⊥
⊢ a ≤ b ⊔ sSup s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_8
M : Type u_9
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
s : Set M
⊢ s ⊆ ↑(span R s)

Tactic:
]

Goal state after:
case a
R : Type u_8
M : Type u_9
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
s : Set M
⊢ s ⊆ ↑(span R s)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_8
M : Type u_9
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
s : Set M
⊢ -s ⊆ ↑(span R (-s))

Tactic:
]

Goal state after:
case a
R : Type u_8
M : Type u_9
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
s : Set M
⊢ -s ⊆ ↑(span R (-s))
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
⊢ a ∈ s

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2.refine_2
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
⊢ a ∈ s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: R✝¹ : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M✝¹ : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
R✝ : Type u_8
M✝ : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_10
M : Type u_11
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x✝⁴ x✝³ x✝² : Submodule R M
hxy : x✝⁴ ≤ x✝²
x✝¹ : M
x✝ : x✝¹ ∈ (x✝⁴ ⊔ x✝³) ⊓ x✝²
⊢ x✝¹ ∈ (x✝⁴ ⊔ x✝³) ⊓ x✝²

Tactic:
]

Goal state after:
R✝¹ : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M✝¹ : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
R✝ : Type u_8
M✝ : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_10
M : Type u_11
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x✝⁴ x✝³ x✝² : Submodule R M
hxy : x✝⁴ ≤ x✝²
x✝¹ : M
x✝ : x✝¹ ∈ (x✝⁴ ⊔ x✝³) ⊓ x✝²
⊢ x✝¹ ∈ (x✝⁴ ⊔ x✝³) ⊓ x✝²
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)
x : κ a
a✝² : x ∈ t a
y : κ a
a✝¹ : y ∈ t a
h : x ≠ y
a✝ : (a' : ι) → a' ∈ insert a s → κ a'
p₂ : (a : ι) → a ∈ s → κ a
left✝¹ : p₂ ∈ s.pi t
eq₂ : Pi.cons s a x p₂ = a✝
b✝ : (a' : ι) → a' ∈ insert a s → κ a'
p₃ : (a : ι) → a ∈ s → κ a
left✝ : p₃ ∈ s.pi t
eq₃ : Pi.cons s a y p₃ = b✝
eq : a✝ = b✝
⊢ b✝ a ⋯ = b✝ a ⋯

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)
x : κ a
a✝² : x ∈ t a
y : κ a
a✝¹ : y ∈ t a
h : x ≠ y
a✝ : (a' : ι) → a' ∈ insert a s → κ a'
p₂ : (a : ι) → a ∈ s → κ a
left✝¹ : p₂ ∈ s.pi t
eq₂ : Pi.cons s a x p₂ = a✝
b✝ : (a' : ι) → a' ∈ insert a s → κ a'
p₃ : (a : ι) → a ∈ s → κ a
left✝ : p₃ ∈ s.pi t
eq₃ : Pi.cons s a y p₃ = b✝
eq : a✝ = b✝
this : x = y
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)
x : κ a
a✝² : x ∈ t a
y : κ a
a✝¹ : y ∈ t a
h : x ≠ y
a✝ : (a' : ι) → a' ∈ insert a s → κ a'
p₂ : (a : ι) → a ∈ s → κ a
left✝¹ : p₂ ∈ s.pi t
eq₂ : Pi.cons s a x p₂ = a✝
b✝ : (a' : ι) → a' ∈ insert a s → κ a'
p₃ : (a : ι) → a ∈ s → κ a
left✝ : p₃ ∈ s.pi t
eq₃ : Pi.cons s a y p₃ = b✝
eq : a✝ = b✝
this : x = y
⊢ False
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset

Goal state before:
pp: case insert
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)
h₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))
⊢ ∑ i ∈ t a, f a i * ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯) =
    ∑ x ∈ t a, ∑ i ∈ image (Pi.cons s a x) (s.pi t), ∏ x ∈ (insert a s).attach, f (↑x) (i ↑x ⋯)

Tactic:
]

Goal state after:
case insert
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)
h₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))
⊢ ∑ i ∈ t a, f a i * ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯) =
    ∑ x ∈ t a, ∑ i ∈ image (Pi.cons s a x) (s.pi t), ∏ x ∈ (insert a s).attach, f (↑x) (i ↑x ⋯)
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset

Goal state before:
pp: case insert
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)
h₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))
b : κ a
x✝ : b ∈ t a
h₂ : ∀ p₁ ∈ s.pi t, ∀ p₂ ∈ s.pi t, Pi.cons s a b p₁ = Pi.cons s a b p₂ → p₁ = p₂
⊢ ∑ i ∈ s.pi t, f a b * ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (i ↑x ⋯) =
    ∑ x ∈ s.pi t, ∏ x_1 ∈ (insert a s).attach, f (↑x_1) (Pi.cons s a b x ↑x_1 ⋯)

Tactic:
]

Goal state after:
case insert
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : ∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b = ∑ p ∈ s.pi t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (p ↑x ⋯)
h₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y → Disjoint (image (Pi.cons s a x) (s.pi t)) (image (Pi.cons s a y) (s.pi t))
b : κ a
x✝ : b ∈ t a
h₂ : ∀ p₁ ∈ s.pi t, ∀ p₂ ∈ s.pi t, Pi.cons s a b p₁ = Pi.cons s a b p₂ → p₁ = p₂
⊢ ∑ i ∈ s.pi t, f a b * ∏ x ∈ s.attach, f (↑x) (i ↑x ⋯) =
    ∑ x ∈ s.pi t, ∏ x_1 ∈ (insert a s).attach, f (↑x_1) (Pi.cons s a b x ↑x_1 ⋯)
Module: Mathlib.Algebra.Group.Indicator

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_4
inst✝ : MulOneClass M
s t : Set α
a : α
h : ¬a ∈ s ∩ t
f : α → M
⊢ (s ∪ t).mulIndicator f a = (s ∪ t).mulIndicator f a

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Group.Indicator

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
M : Type u_4
inst✝ : MulOneClass M
s : Set α
f g : α → M
x✝ : α
h✝ : ¬x✝ ∈ s
⊢ 1 = 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
p : Submodule R M
h : f.ker ≤ p
⊢ p = p

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Group.Indicator

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_4
inst✝ : MulOneClass M
f g : α → M
h : Disjoint (mulSupport f) (mulSupport g)
x : α
hx : x ∈ mulSupport f
this : g x = 1
⊢ f x = f x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Group.Indicator

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : Type u_4
inst✝ : MulOneClass M
f g : α → M
h : Disjoint (mulSupport f) (mulSupport g)
x : α
hx : x ∈ mulSupport g
this : f x = 1
⊢ g x = g x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
⊢ Disjoint b (sSup s ⊔ a)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
⊢ Disjoint b (sSup s ⊔ a)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
le : comap f q ≤ p
x : M
h : x ∈ comap f (map f p ⊔ q)
y : M
hy : y ∈ ↑p
z : M₂
hz : z ∈ q
eq : z = f (x - y)
⊢ x ∈ p

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
le : comap f q ≤ p
x : M
h : x ∈ comap f (map f p ⊔ q)
y : M
hy : y ∈ ↑p
z : M₂
hz : z ∈ q
eq : z = f (x - y)
⊢ x ∈ p
Module: Mathlib.Algebra.Group.Indicator

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
M : Type u_4
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
f g : α → M
x : α
h : x ∈ s
⊢ f x = f x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Group.Indicator

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_1
M : Type u_4
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
f g : α → M
x : α
h : ¬x ∈ s
⊢ g x = g x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Group.Indicator

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : Type u_6
inst✝ : Group G
s : Set α
f : α → G
⊢ f * (s.mulIndicator f)⁻¹ = f * (s.mulIndicator f)⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s ∨ x = a
⊢ Disjoint x (sSup ((s ∪ {a}) \ {x}))

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s ∨ x = a
⊢ Disjoint x (sSup ((s ∪ {a}) \ {x}))
Module: Mathlib.Algebra.Group.Indicator

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : Type u_6
inst✝ : Group G
s t : Set α
h : s ⊆ t
f : α → G
⊢ t.mulIndicator f = t.mulIndicator f

pp: case h
α : Type u_1
G : Type u_6
inst✝ : Group G
s t : Set α
h : s ⊆ t
f : α → G
⊢ Disjoint (t \ s) s

Tactic:
]

Goal state after:
case h
α : Type u_1
G : Type u_6
inst✝ : Group G
s t : Set α
h : s ⊆ t
f : α → G
⊢ Disjoint (t \ s) s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
p q : Submodule R M
hpq : Disjoint p q
hker : f.ker ≤ q
⊢ ⊥ ≤ f.ker

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
p q : Submodule R M
hpq : Disjoint p q
hker : f.ker ≤ q
⊢ ⊥ ≤ f.ker
Module: Mathlib.Algebra.Group.Indicator

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : Type u_6
inst✝ : Group G
s t : Set α
h : s ⊆ t
f : α → G
⊢ t.mulIndicator f * (s.mulIndicator f)⁻¹ = t.mulIndicator f * (s.mulIndicator f)⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
p : Submodule R₂ M₂
hp : IsCoatom p
h : ¬comap f p = ⊤
q : Submodule R M
lt : comap f p < q
⊢ ⊤ = ⊤

pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
p : Submodule R₂ M₂
hp : IsCoatom p
h : ¬comap f p = ⊤
q : Submodule R M
lt : comap f p < q
⊢ p < map f q ⊔ p

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
p : Submodule R₂ M₂
hp : IsCoatom p
h : ¬comap f p = ⊤
q : Submodule R M
lt : comap f p < q
⊢ p < map f q ⊔ p
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s ∨ x = a
xa : x ≠ a
⊢ insert a (s \ {x}) = insert a (s \ {x})

pp: case h
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s ∨ x = a
xa : x ≠ a
⊢ a ∉ {x}

Tactic:
]

Goal state after:
case h
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s ∨ x = a
xa : x ≠ a
⊢ a ∉ {x}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
hf : Surjective ⇑f
p : Submodule R₂ M₂
this : Injective (comap f)
⊢ (p ≠ ⊤ ∧ ∀ (b : Submodule R M), comap f p < b → b = comap f ⊤) ↔ p ≠ ⊤ ∧ ∀ (b : Submodule R₂ M₂), p < b → b = ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
hf : Surjective ⇑f
p : Submodule R₂ M₂
this : Injective (comap f)
⊢ (p ≠ ⊤ ∧ ∀ (b : Submodule R M), comap f p < b → b = comap f ⊤) ↔ p ≠ ⊤ ∧ ∀ (b : Submodule R₂ M₂), p < b → b = ⊤
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case h
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s ∨ x = a
xa : x ≠ a
⊢ ¬a = x

Tactic:
]

Goal state after:
case h
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s ∨ x = a
xa : x ≠ a
⊢ ¬a = x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
hf : Surjective ⇑f
p : Submodule R₂ M₂
this : Injective (comap f)
x✝ : p ≠ ⊤
h : ∀ (b : Submodule R₂ M₂), p < b → b = ⊤
m : Submodule R M
hm : comap f p < m
⊢ m = m

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
hf : Surjective ⇑f
p : Submodule R M
le : f.ker ≤ p
hp : IsCoatom p
⊢ IsCoatom p

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
hf : Surjective ⇑f
p : Submodule R M
le : f.ker ≤ p
hp : IsCoatom p
⊢ IsCoatom p
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h✝ : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s ∨ x = a
xa : x ≠ a
h : (s ∪ {a}) \ {x} = s \ {x} ∪ {a}
⊢ Disjoint x (sSup (s \ {x}) ⊔ a)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
b c : α
hbc : b ≤ c
h✝ : sSup {a | a ≤ c ∧ IsAtom a} = c
s : Set α
s_max : ∀ ⦃t : Set α⦄, t ∈ {s | sSupIndep s ∧ Disjoint b (sSup s) ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c} → s ⊆ t → s = t
s_ind : sSupIndep s
b_inf_Sup_s : Disjoint b (sSup s)
s_atoms : ∀ a ∈ s, IsAtom a ∧ a ≤ c
a : α
ha : a ∈ {a | a ≤ c ∧ IsAtom a}
con : Disjoint a (b ⊔ sSup s)
a_dis_Sup_s : Disjoint a (sSup s)
x : α
hx : x ∈ s ∨ x = a
xa : x ≠ a
h : (s ∪ {a}) \ {x} = s \ {x} ∪ {a}
⊢ Disjoint x (sSup (s \ {x}) ⊔ a)