mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.AbsolutelyContinuousFun

Goal state before:
pp: case e'_3
X : Type u_1
inst✝ : PseudoMetricSpace X
f : ℝ → X
d b y : ℝ
hdb : d ≤ b
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f d b
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₃ : HasSum (fun z ↦ (↑z).2 - (↑z).1) (b - d)
hu₄ : HasSum (fun z ↦ dist (f (↑z).1) (f (↑z).2)) y
u_coe : Finset ↑u → Finset (ℝ × ℝ) := fun s ↦ Finset.image Subtype.val s
hu₁ : ∀ (s : Finset ↑u) ⦃z : ℝ × ℝ⦄, z ∈ u_coe s → d ≤ z.1 ∧ z.1 ≤ z.2 ∧ z.2 ≤ b
hu₂ : ∀ (s : Finset ↑u), (↑(u_coe s)).PairwiseDisjoint fun z ↦ Icc z.1 z.2
T : Finset ↑u → ℕ × (ℕ → ℝ × ℝ) := fun s ↦ ((u_coe s).card + 1, fun i ↦ (u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i)
hT₁ : ∀ (s : Finset ↑u) (i : ℕ), d ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i).1
hT₂ : ∀ (s : Finset ↑u) (i : ℕ), ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i).1 ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i).2
hT₃ : ∀ (s : Finset ↑u) (i : ℕ), ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i).2 ≤ b
hT₄ :
  ∀ (s : Finset ↑u),
    (Iio ((u_coe s).card + 1)).PairwiseDisjoint fun j ↦
      Ioc ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑j).1 ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑j).2
hT : MapsTo T univ (disjWithin d b)
u_coe_sum : ∀ (s : Finset ↑u) (g : ℝ → ℝ → ℝ), ∑ b ∈ s, g (↑b).1 (↑b).2 = ∑ z ∈ u_coe s, g z.1 z.2
s : Finset ↑u
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (T s).1, (((T s).2 i).2 - ((T s).2 i).1) = b - d - ∑ x ∈ s, ((↑x).2 - (↑x).1)

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_3
X : Type u_1
inst✝ : PseudoMetricSpace X
f : ℝ → X
d b y : ℝ
hdb : d ≤ b
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f d b
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₃ : HasSum (fun z ↦ (↑z).2 - (↑z).1) (b - d)
hu₄ : HasSum (fun z ↦ dist (f (↑z).1) (f (↑z).2)) y
u_coe : Finset ↑u → Finset (ℝ × ℝ) := fun s ↦ Finset.image Subtype.val s
hu₁ : ∀ (s : Finset ↑u) ⦃z : ℝ × ℝ⦄, z ∈ u_coe s → d ≤ z.1 ∧ z.1 ≤ z.2 ∧ z.2 ≤ b
hu₂ : ∀ (s : Finset ↑u), (↑(u_coe s)).PairwiseDisjoint fun z ↦ Icc z.1 z.2
T : Finset ↑u → ℕ × (ℕ → ℝ × ℝ) := fun s ↦ ((u_coe s).card + 1, fun i ↦ (u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i)
hT₁ : ∀ (s : Finset ↑u) (i : ℕ), d ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i).1
hT₂ : ∀ (s : Finset ↑u) (i : ℕ), ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i).1 ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i).2
hT₃ : ∀ (s : Finset ↑u) (i : ℕ), ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i).2 ≤ b
hT₄ :
  ∀ (s : Finset ↑u),
    (Iio ((u_coe s).card + 1)).PairwiseDisjoint fun j ↦
      Ioc ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑j).1 ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑j).2
hT : MapsTo T univ (disjWithin d b)
u_coe_sum : ∀ (s : Finset ↑u) (g : ℝ → ℝ → ℝ), ∑ b ∈ s, g (↑b).1 (↑b).2 = ∑ z ∈ u_coe s, g z.1 z.2
s : Finset ↑u
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (T s).1, (((T s).2 i).2 - ((T s).2 i).1) = b - d - ∑ x ∈ s, ((↑x).2 - (↑x).1)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Taylor

Goal state before:
pp: case inr
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b C x : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
hx : x ∈ Icc a b
hC : ∀ y ∈ Icc a b, ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ C
h : a < b
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc a b)) (Icc a b)
h' : ∀ y ∈ Ico a x, ‖((↑n !)⁻¹ * (x - y) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ (↑n !)⁻¹ * |x - a| ^ n * C
A :
  ∀ t ∈ Icc a x,
    HasDerivWithinAt (fun y ↦ taylorWithinEval f n (Icc a b) y x)
      (((↑n !)⁻¹ * (x - t) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) t) (Icc a x) t
this : ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ (↑n !)⁻¹ * |x - a| ^ n * C * (x - a)
⊢ (↑n !)⁻¹ * (x - a) ^ n * C * (x - a) = C * (x - a) ^ (n + 1) / ↑n !

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b C x : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
hx : x ∈ Icc a b
hC : ∀ y ∈ Icc a b, ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ C
h : a < b
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc a b)) (Icc a b)
h' : ∀ y ∈ Ico a x, ‖((↑n !)⁻¹ * (x - y) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖ ≤ (↑n !)⁻¹ * |x - a| ^ n * C
A :
  ∀ t ∈ Icc a x,
    HasDerivWithinAt (fun y ↦ taylorWithinEval f n (Icc a b) y x)
      (((↑n !)⁻¹ * (x - t) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) t) (Icc a x) t
this : ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ (↑n !)⁻¹ * |x - a| ^ n * C * (x - a)
⊢ (↑n !)⁻¹ * (x - a) ^ n * C * (x - a) = C * (x - a) ^ (n + 1) / ↑n !
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Rademacher

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
C : ℝ≥0
s : Set E
μ : Measure E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
hf : LipschitzOnWith C f s
A : F ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ F) → ℝ
H : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (⇑A ∘ f) s x
x : E
hx : x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (⇑A ∘ f) s x
xs : x ∈ s
this : f = (⇑A.symm ∘ ⇑A) ∘ f
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ ((⇑A.symm ∘ ⇑A) ∘ f) s x

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
C : ℝ≥0
s : Set E
μ : Measure E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
hf : LipschitzOnWith C f s
A : F ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ F) → ℝ
H : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (⇑A ∘ f) s x
x : E
hx : x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (⇑A ∘ f) s x
xs : x ∈ s
this : f = (⇑A.symm ∘ ⇑A) ∘ f
⊢ DifferentiableWithinAt ℝ ((⇑A.symm ∘ ⇑A) ∘ f) s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Taylor

Goal state before:
pp: case h
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
h : a < b
g : ℝ → ℝ := fun y ↦ ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b
⊢ ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ sSup (g '' Icc a b) * (x - a) ^ (n + 1) / ↑n !

Tactic:
]

Goal state after:
case h
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
n : ℕ
hab : a ≤ b
hf : ContDiffOn ℝ (↑n + 1) f (Icc a b)
h : a < b
g : ℝ → ℝ := fun y ↦ ‖iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc a b) y‖
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b
⊢ ‖f x - taylorWithinEval f n (Icc a b) a x‖ ≤ sSup (g '' Icc a b) * (x - a) ^ (n + 1) / ↑n !
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Rademacher

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
C : ℝ≥0
s : Set E
μ : Measure E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
hf : LipschitzOnWith C f s
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
C : ℝ≥0
s : Set E
μ : Measure E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
hf : LipschitzOnWith C f s
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Rademacher

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
C : ℝ≥0
μ : Measure E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
h : LipschitzOnWith C f univ
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, DifferentiableAt ℝ f x

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
C : ℝ≥0
μ : Measure E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
h : LipschitzOnWith C f univ
⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, DifferentiableAt ℝ f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.IntervalIntegral.AbsolutelyContinuousFun

Goal state before:
pp: X : Type u_1
inst✝ : PseudoMetricSpace X
f : ℝ → X
d b y : ℝ
hdb : d ≤ b
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f d b
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₄ : Tendsto (fun s ↦ ∑ b ∈ s, dist (f (↑b).1) (f (↑b).2)) (SummationFilter.unconditional ↑u).filter (𝓝 y)
u_coe : Finset ↑u → Finset (ℝ × ℝ) := fun s ↦ Finset.image Subtype.val s
hu₁ : ∀ (s : Finset ↑u) ⦃z : ℝ × ℝ⦄, z ∈ u_coe s → d ≤ z.1 ∧ z.1 ≤ z.2 ∧ z.2 ≤ b
hu₂ : ∀ (s : Finset ↑u), (↑(u_coe s)).PairwiseDisjoint fun z ↦ Icc z.1 z.2
T : Finset ↑u → ℕ × (ℕ → ℝ × ℝ) := fun s ↦ ((u_coe s).card + 1, fun i ↦ (u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i)
hT₁ : ∀ (s : Finset ↑u) (i : ℕ), d ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i).1
hT₂ : ∀ (s : Finset ↑u) (i : ℕ), ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i).1 ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i).2
hT₃ : ∀ (s : Finset ↑u) (i : ℕ), ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i).2 ≤ b
hT₄ :
  ∀ (s : Finset ↑u),
    (Iio ((u_coe s).card + 1)).PairwiseDisjoint fun j ↦
      Ioc ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑j).1 ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑j).2
hT : MapsTo T univ (disjWithin d b)
u_coe_sum : ∀ (s : Finset ↑u) (g : ℝ → ℝ → ℝ), ∑ b ∈ s, g (↑b).1 (↑b).2 = ∑ z ∈ u_coe s, g z.1 z.2
hu₃ : Tendsto T atTop (totalLengthFilter ⊓ 𝓟 (disjWithin d b))
⊢ dist (f d) (f b) ≤ y

Tactic:
]

Goal state after:
X : Type u_1
inst✝ : PseudoMetricSpace X
f : ℝ → X
d b y : ℝ
hdb : d ≤ b
hf : AbsolutelyContinuousOnInterval f d b
u : Set (ℝ × ℝ)
hu₄ : Tendsto (fun s ↦ ∑ b ∈ s, dist (f (↑b).1) (f (↑b).2)) (SummationFilter.unconditional ↑u).filter (𝓝 y)
u_coe : Finset ↑u → Finset (ℝ × ℝ) := fun s ↦ Finset.image Subtype.val s
hu₁ : ∀ (s : Finset ↑u) ⦃z : ℝ × ℝ⦄, z ∈ u_coe s → d ≤ z.1 ∧ z.1 ≤ z.2 ∧ z.2 ≤ b
hu₂ : ∀ (s : Finset ↑u), (↑(u_coe s)).PairwiseDisjoint fun z ↦ Icc z.1 z.2
T : Finset ↑u → ℕ × (ℕ → ℝ × ℝ) := fun s ↦ ((u_coe s).card + 1, fun i ↦ (u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i)
hT₁ : ∀ (s : Finset ↑u) (i : ℕ), d ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i).1
hT₂ : ∀ (s : Finset ↑u) (i : ℕ), ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i).1 ≤ ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i).2
hT₃ : ∀ (s : Finset ↑u) (i : ℕ), ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑i).2 ≤ b
hT₄ :
  ∀ (s : Finset ↑u),
    (Iio ((u_coe s).card + 1)).PairwiseDisjoint fun j ↦
      Ioc ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑j).1 ((u_coe s).intervalGapsWithin ⋯ d b ↑j).2
hT : MapsTo T univ (disjWithin d b)
u_coe_sum : ∀ (s : Finset ↑u) (g : ℝ → ℝ → ℝ), ∑ b ∈ s, g (↑b).1 (↑b).2 = ∑ z ∈ u_coe s, g z.1 z.2
hu₃ : Tendsto T atTop (totalLengthFilter ⊓ 𝓟 (disjWithin d b))
⊢ dist (f d) (f b) ≤ y
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Taylor

Goal state before:
pp: case inr.zero
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
x x₀ : ℝ
this : x₀ ≠ x
hf : ∫ (t : ℝ) in x₀..x, deriv (fun t ↦ f t) t = f x - f x₀
⊢ ∫ (t : ℝ) in x₀..x, deriv (fun t ↦ f t) t = ∫ (t : ℝ) in x₀..x, derivWithin f [[x₀, x]] t

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.zero
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
x x₀ : ℝ
this : x₀ ≠ x
hf : ∫ (t : ℝ) in x₀..x, deriv (fun t ↦ f t) t = f x - f x₀
⊢ ∫ (t : ℝ) in x₀..x, deriv (fun t ↦ f t) t = ∫ (t : ℝ) in x₀..x, derivWithin f [[x₀, x]] t
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TaylorIntegral

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x y : E
t : 𝕜
n : ℕ
hf : ContDiffAt 𝕜 (↑n + 1) f (x + t • y)
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) (x + t • y)

Tactic:
apply hf.differentiableAt_iteratedFDeriv

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x y : E
t : 𝕜
n : ℕ
hf : ContDiffAt 𝕜 (↑n + 1) f (x + t • y)
⊢ ↑n < ↑n + 1
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.AbsolutelyContinuous

Goal state before:
pp: F : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
a✝ b✝ : ℝ
f : ℝ → F
a b : ℝ
hf :
  ∀ ε > 0,
    ∃ δ > 0,
      ∀ E ∈ disjWithin a b,
        ∑ i ∈ Finset.range E.1, dist (E.2 i).1 (E.2 i).2 < δ →
          ∑ i ∈ Finset.range E.1, dist (f (E.2 i).1) (f (E.2 i).2) < ε
hab₀ : a ≤ b
hab : a < b
δ : ℝ
hδ₁ : δ > 0
hδ₂ :
  ∀ E ∈ disjWithin a b,
    ∑ i ∈ Finset.range E.1, dist (E.2 i).1 (E.2 i).2 < δ → ∑ i ∈ Finset.range E.1, dist (f (E.2 i).1) (f (E.2 i).2) < 1
hab₁ : 0 < b - a
n : ℕ
hn : 1 / (↑n + 1) < δ / (b - a)
δ' : ℝ := (b - a) / (↑n + 1)
hδ₃ : δ' < δ
h_mono : Monotone fun i ↦ a + ↑i * δ'
v_sum : eVariationOn f (Icc a b) = ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), eVariationOn f (Icc (a + ↑i * δ') (a + (↑i + 1) * δ'))
x y : ℝ
x✝³ : a ≤ x
x✝² : x ≤ y
x✝¹ : y < x + δ
x✝ : y ≤ b
p : ℕ × { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ Icc x y }
hp₁ : Monotone ↑p.2
hp₂ : ∀ (i : ℕ), ↑p.2 i ∈ Icc x y
⊢ Icc x y ⊆ Icc a b

Tactic:
]

Goal state after:
F : Type u_2
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
a✝ b✝ : ℝ
f : ℝ → F
a b : ℝ
hf :
  ∀ ε > 0,
    ∃ δ > 0,
      ∀ E ∈ disjWithin a b,
        ∑ i ∈ Finset.range E.1, dist (E.2 i).1 (E.2 i).2 < δ →
          ∑ i ∈ Finset.range E.1, dist (f (E.2 i).1) (f (E.2 i).2) < ε
hab₀ : a ≤ b
hab : a < b
δ : ℝ
hδ₁ : δ > 0
hδ₂ :
  ∀ E ∈ disjWithin a b,
    ∑ i ∈ Finset.range E.1, dist (E.2 i).1 (E.2 i).2 < δ → ∑ i ∈ Finset.range E.1, dist (f (E.2 i).1) (f (E.2 i).2) < 1
hab₁ : 0 < b - a
n : ℕ
hn : 1 / (↑n + 1) < δ / (b - a)
δ' : ℝ := (b - a) / (↑n + 1)
hδ₃ : δ' < δ
h_mono : Monotone fun i ↦ a + ↑i * δ'
v_sum : eVariationOn f (Icc a b) = ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), eVariationOn f (Icc (a + ↑i * δ') (a + (↑i + 1) * δ'))
x y : ℝ
x✝³ : a ≤ x
x✝² : x ≤ y
x✝¹ : y < x + δ
x✝ : y ≤ b
p : ℕ × { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ Icc x y }
hp₁ : Monotone ↑p.2
hp₂ : ∀ (i : ℕ), ↑p.2 i ∈ Icc x y
⊢ Icc x y ⊆ Icc a b
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Taylor

Goal state before:
pp: case inr.zero
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
x x₀ : ℝ
this : x₀ ≠ x
hf : ∫ (t : ℝ) in x₀..x, deriv (fun t ↦ f t) t = f x - f x₀
x✝¹ : ℝ
x✝ : x✝¹ ∈ uIoo x₀ x
h1 : min x₀ x < x✝¹
h2 : x✝¹ < max x₀ x
⊢ derivWithin (fun t ↦ f t) (Icc (min x₀ x) (max x₀ x)) x✝¹ = derivWithin f [[x₀, x]] x✝¹

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.zero
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
x x₀ : ℝ
this : x₀ ≠ x
hf : ∫ (t : ℝ) in x₀..x, deriv (fun t ↦ f t) t = f x - f x₀
x✝¹ : ℝ
x✝ : x✝¹ ∈ uIoo x₀ x
h1 : min x₀ x < x✝¹
h2 : x✝¹ < max x₀ x
⊢ derivWithin (fun t ↦ f t) (Icc (min x₀ x) (max x₀ x)) x✝¹ = derivWithin f [[x₀, x]] x✝¹
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TaylorIntegral

Goal state before:
pp: E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
x y : E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace F
hf : ∀ t ∈ Set.uIcc 0 1, ContDiffAt ℝ (↑0 + 1) f (x + t • y)
t : ℝ
ht : t ∈ Set.uIcc 0 1
⊢ (fun t ↦ (fderiv ℝ f (x + t • y)) y) t = (fderiv ℝ f (x + t • y)) y

pp: E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
x y : E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace F
hf : ∀ t ∈ Set.uIcc 0 1, ContDiffAt ℝ (↑0 + 1) f (x + t • y)
t : ℝ
ht : t ∈ Set.uIcc 0 1
⊢ DifferentiableAt ℝ f (x + t • y)

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
x y : E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace F
hf : ∀ t ∈ Set.uIcc 0 1, ContDiffAt ℝ (↑0 + 1) f (x + t • y)
t : ℝ
ht : t ∈ Set.uIcc 0 1
⊢ DifferentiableAt ℝ f (x + t • y)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TaylorIntegral

Goal state before:
pp: case zero
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
x y : E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace F
hf : ∀ t ∈ Set.uIcc 0 1, ContDiffAt ℝ (↑0 + 1) f (x + t • y)
h_eq : Set.EqOn (fun t ↦ (fderiv ℝ f (x + t • y)) y) (deriv fun s ↦ f (x + s • y)) (Set.uIcc 0 1)
⊢ ∫ (x_1 : ℝ) in 0..1, deriv (fun s ↦ f (x + s • y)) x_1 = f (x + y) - f x

Tactic:
]

Goal state after:
case zero
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
x y : E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace F
hf : ∀ t ∈ Set.uIcc 0 1, ContDiffAt ℝ (↑0 + 1) f (x + t • y)
h_eq : Set.EqOn (fun t ↦ (fderiv ℝ f (x + t • y)) y) (deriv fun s ↦ f (x + s • y)) (Set.uIcc 0 1)
⊢ ∫ (x_1 : ℝ) in 0..1, deriv (fun s ↦ f (x + s • y)) x_1 = f (x + y) - f x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Taylor

Goal state before:
pp: case inr.succ
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
x x₀ : ℝ
this : x₀ ≠ x
n : ℕ
ih :
  f x - taylorWithinEval f n [[x₀, x]] x₀ x =
    ∫ (t : ℝ) in x₀..x, ((x - t) ^ n / ↑n !) • iteratedDerivWithin (n + 1) f [[x₀, x]] t
hf :
  ∀ k ≤ n + 1,
    let u := fun t ↦ (x - t) ^ k / ↑k !;
    let v := fun t ↦ iteratedDerivWithin k f [[x₀, x]] t;
    ∫ (t : ℝ) in x₀..x, u t • deriv v t = u x • v x - u x₀ • v x₀ - ∫ (t : ℝ) in x₀..x, deriv u t • v t
⊢ (∫ (t : ℝ) in x₀..x, ((x - t) ^ n / ↑n !) • iteratedDerivWithin (n + 1) f [[x₀, x]] t) -
      ((↑n !)⁻¹ * (↑n + 1)⁻¹ * (x - x₀) ^ (n + 1)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f [[x₀, x]] x₀ =
    ∫ (t : ℝ) in x₀..x, ((x - t) ^ (n + 1) / ↑(n + 1)!) • iteratedDerivWithin (n + 1 + 1) f [[x₀, x]] t

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.succ
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
x x₀ : ℝ
this : x₀ ≠ x
n : ℕ
ih :
  f x - taylorWithinEval f n [[x₀, x]] x₀ x =
    ∫ (t : ℝ) in x₀..x, ((x - t) ^ n / ↑n !) • iteratedDerivWithin (n + 1) f [[x₀, x]] t
hf :
  ∀ k ≤ n + 1,
    let u := fun t ↦ (x - t) ^ k / ↑k !;
    let v := fun t ↦ iteratedDerivWithin k f [[x₀, x]] t;
    ∫ (t : ℝ) in x₀..x, u t • deriv v t = u x • v x - u x₀ • v x₀ - ∫ (t : ℝ) in x₀..x, deriv u t • v t
⊢ (∫ (t : ℝ) in x₀..x, ((x - t) ^ n / ↑n !) • iteratedDerivWithin (n + 1) f [[x₀, x]] t) -
      ((↑n !)⁻¹ * (↑n + 1)⁻¹ * (x - x₀) ^ (n + 1)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f [[x₀, x]] x₀ =
    ∫ (t : ℝ) in x₀..x, ((x - t) ^ (n + 1) / ↑(n + 1)!) • iteratedDerivWithin (n + 1 + 1) f [[x₀, x]] t
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TaylorIntegral

Goal state before:
pp: E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
x y : E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace F
hf : ∀ t ∈ Set.uIcc 0 1, ContDiffAt ℝ (↑0 + 1) f (x + t • y)
h_eq : Set.EqOn (fun t ↦ (fderiv ℝ f (x + t • y)) y) (deriv fun s ↦ f (x + s • y)) (Set.uIcc 0 1)
hf' : ∀ t ∈ Set.uIcc 0 1, DifferentiableAt ℝ (fun s ↦ f (x + s • y)) t
z : E
t : ℝ
ht : t ∈ Set.uIcc 0 1
hz : (fun t ↦ x + t • y) t = z
⊢ ContinuousWithinAt (fderiv ℝ f) ((fun t ↦ x + t • y) '' Set.uIcc 0 1) ((fun t ↦ x + t • y) t)

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
x y : E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace F
hf : ∀ t ∈ Set.uIcc 0 1, ContDiffAt ℝ (↑0 + 1) f (x + t • y)
h_eq : Set.EqOn (fun t ↦ (fderiv ℝ f (x + t • y)) y) (deriv fun s ↦ f (x + s • y)) (Set.uIcc 0 1)
hf' : ∀ t ∈ Set.uIcc 0 1, DifferentiableAt ℝ (fun s ↦ f (x + s • y)) t
z : E
t : ℝ
ht : t ∈ Set.uIcc 0 1
hz : (fun t ↦ x + t • y) t = z
⊢ ContinuousWithinAt (fderiv ℝ f) ((fun t ↦ x + t • y) '' Set.uIcc 0 1) ((fun t ↦ x + t • y) t)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TaylorIntegral

Goal state before:
pp: E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
x y : E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace F
hf : ∀ t ∈ Set.uIcc 0 1, ContDiffAt ℝ (↑0 + 1) f (x + t • y)
h_eq : Set.EqOn (fun t ↦ (fderiv ℝ f (x + t • y)) y) (deriv fun s ↦ f (x + s • y)) (Set.uIcc 0 1)
hf' : ∀ t ∈ Set.uIcc 0 1, DifferentiableAt ℝ (fun s ↦ f (x + s • y)) t
⊢ IntervalIntegrable (deriv fun s ↦ f (x + s • y)) MeasureTheory.volume 0 1

Tactic:
have h₁ : ContinuousOn (fderiv ℝ f) ((fun t ↦ x + t • y) '' Set.uIcc (0 : ℝ) 1) := by
        intro z ⟨t, ht, hz⟩
        rw [← hz]
        exact (((hf t ht).fderiv_right (le_refl _)).continuousAt (n := 0)).continuousWithinAt

Goal state after:
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
x y : E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace F
hf : ∀ t ∈ Set.uIcc 0 1, ContDiffAt ℝ (↑0 + 1) f (x + t • y)
h_eq : Set.EqOn (fun t ↦ (fderiv ℝ f (x + t • y)) y) (deriv fun s ↦ f (x + s • y)) (Set.uIcc 0 1)
hf' : ∀ t ∈ Set.uIcc 0 1, DifferentiableAt ℝ (fun s ↦ f (x + s • y)) t
h₁ : ContinuousOn (fderiv ℝ f) ((fun t ↦ x + t • y) '' Set.uIcc 0 1)
⊢ IntervalIntegrable (deriv fun s ↦ f (x + s • y)) MeasureTheory.volume 0 1
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.TaylorIntegral

Goal state before:
pp: case succ
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
x y : E
n✝ : ℕ
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
ih :
  f (x + y) =
    (∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (↑k !)⁻¹ • (iteratedFDeriv ℝ k f x) fun x ↦ y) +
      (↑n !)⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in 0..1, (1 - t) ^ n • (iteratedFDeriv ℝ (n + 1) f (x + t • y)) fun x ↦ y
hf : ∀ t ∈ Set.uIcc 0 1, ContDiffAt ℝ (↑(n + 1) + 1) f (x + t • y)
⊢ f (x + y) =
    (∑ x_1 ∈ Finset.range (n + 1), (↑x_1 !)⁻¹ • (iteratedFDeriv ℝ x_1 f x) fun x ↦ y) +
      (((↑(n + 1)!)⁻¹ • (iteratedFDeriv ℝ (n + 1) f x) fun x ↦ y) +
        (↑(n + 1)!)⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in 0..1, (1 - t) ^ (n + 1) • (iteratedFDeriv ℝ (n + 1 + 1) f (x + t • y)) fun x ↦ y)

Tactic:
]

Goal state after:
case succ
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
x y : E
n✝ : ℕ
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
ih :
  f (x + y) =
    (∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (↑k !)⁻¹ • (iteratedFDeriv ℝ k f x) fun x ↦ y) +
      (↑n !)⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in 0..1, (1 - t) ^ n • (iteratedFDeriv ℝ (n + 1) f (x + t • y)) fun x ↦ y
hf : ∀ t ∈ Set.uIcc 0 1, ContDiffAt ℝ (↑(n + 1) + 1) f (x + t • y)
⊢ f (x + y) =
    (∑ x_1 ∈ Finset.range (n + 1), (↑x_1 !)⁻¹ • (iteratedFDeriv ℝ x_1 f x) fun x ↦ y) +
      (((↑(n + 1)!)⁻¹ • (iteratedFDeriv ℝ (n + 1) f x) fun x ↦ y) +
        (↑(n + 1)!)⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in 0..1, (1 - t) ^ (n + 1) • (iteratedFDeriv ℝ (n + 1 + 1) f (x + t • y)) fun x ↦ y)