mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u𝕜
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
G P : Type uP
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : BorelSpace G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hf : LocallyIntegrable f μ
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F) {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑↑n) (fun q ↦ (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hg :
  DifferentiableOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ) ∧
    (↑n = ⊤ → AnalyticOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ)) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fderiv 𝕜 ↿g) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a ↦ (f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x ↦ fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)) a
A : ∀ (q₀ : P × G), q₀.1 ∈ s → HasFDerivAt (fun q ↦ (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (f' q₀.1 q₀.2) q₀
p : P
x : G
hp : p ∈ s
hx : x ∉ k
M2 : kᶜ ∈ 𝓝 x
M1 : s ∈ 𝓝 p
⊢ uncurry g =ᶠ[𝓝 p ×ˢ 𝓝 x] fun x ↦ 0

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u𝕜
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
G P : Type uP
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : BorelSpace G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hf : LocallyIntegrable f μ
n : ℕ
ih :
  ∀ {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F) {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑↑n) (fun q ↦ (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hg :
  DifferentiableOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ) ∧
    (↑n = ⊤ → AnalyticOn 𝕜 (↿g) (s ×ˢ univ)) ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fderiv 𝕜 ↿g) (s ×ˢ univ)
f' : P → G → P × G →L[𝕜] F := fun p a ↦ (f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x ↦ fderiv 𝕜 (uncurry g) (p, x)) a
A : ∀ (q₀ : P × G), q₀.1 ∈ s → HasFDerivAt (fun q ↦ (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (f' q₀.1 q₀.2) q₀
p : P
x : G
hp : p ∈ s
hx : x ∉ k
M2 : kᶜ ∈ 𝓝 x
M1 : s ∈ 𝓝 p
⊢ uncurry g =ᶠ[𝓝 p ×ˢ 𝓝 x] fun x ↦ 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
⊢ IsCompact (closedBall 0 1)

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
⊢ IsCompact (closedBall 0 1)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: case refine_2
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
⊢ 0 < μ (ball 0 1)

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
⊢ 0 < μ (ball 0 1)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
⊢ (D ^ finrank ℝ E * ∫ (x : E), u x ∂μ)⁻¹ • D ^ finrank ℝ E • ∫ (x : E), u x ∂μ = 1

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
⊢ (D ^ finrank ℝ E * ∫ (x : E), u x ∂μ)⁻¹ • D ^ finrank ℝ E • ∫ (x : E), u x ∂μ = 1
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
⊢ ball 0 D = ball 0 D

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
⊢ IsCompact (closedBall 0 D)

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
⊢ IsCompact (closedBall 0 D)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution

Goal state before:
pp: case top
𝕜 : Type u𝕜
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
G P : Type uP
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : BorelSpace G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hf : LocallyIntegrable f μ
ih :
  ∀ (n : ℕ) {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F) {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑↑n) (fun q ↦ (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hg : ∀ (n : ℕ), ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ∀ (n : ℕ), ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q ↦ (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)

Tactic:
]

Goal state after:
case top
𝕜 : Type u𝕜
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
G P : Type uP
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : BorelSpace G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup P
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 P
f : G → E
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hk : IsCompact k
hf : LocallyIntegrable f μ
ih :
  ∀ (n : ℕ) {E' F : Type uP} [inst : NormedAddCommGroup E'] [inst_1 : NormedAddCommGroup F] [inst_2 : NormedSpace 𝕜 E']
    [inst_3 : NormedSpace ℝ F] [inst_4 : NormedSpace 𝕜 F] (L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F) {g : P → G → E'},
    (∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0) →
      ContDiffOn 𝕜 (↑↑n) (↿g) (s ×ˢ univ) → ContDiffOn 𝕜 (↑↑n) (fun q ↦ (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)
E' F : Type uP
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hg : ∀ (n : ℕ), ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ∀ (n : ℕ), ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun q ↦ (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, y < p.lastStep → p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ j,
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color ↑j}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
g : ℕ → Ordinal.{u}
hg :
  ∀ k < N,
    g k < i ∧
      (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩
            closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
        k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun n ↦ if n = N then i else g n
color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n
G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep
n : ℕ
hn : n ≤ N
⊢ (Classical.epsilon fun b ↦ p.c b ∉ ⋃ j, ball (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∧ ⨆ b, p.r ↑b ≤ p.τ * p.r b) =
    Classical.epsilon fun t ↦ p.c t ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r t

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, y < p.lastStep → p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ j,
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color ↑j}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
g : ℕ → Ordinal.{u}
hg :
  ∀ k < N,
    g k < i ∧
      (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩
            closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
        k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun n ↦ if n = N then i else g n
color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n
G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep
n : ℕ
hn : n ≤ N
⊢ (Classical.epsilon fun b ↦ p.c b ∉ ⋃ j, ball (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∧ ⨆ b, p.r ↑b ≤ p.τ * p.r b) =
    Classical.epsilon fun t ↦ p.c t ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r t
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∈ closedBall 0 (1 - D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 1
Bx : φ x = 1
⊢ ∀ y ∈ ball x D, φ y = 1

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∈ closedBall 0 (1 - D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 1
Bx : φ x = 1
⊢ ∀ y ∈ ball x D, φ y = 1
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∈ closedBall 0 (1 - D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 1
Bx : φ x = 1
B' : ∀ y ∈ ball x D, φ y = φ x
⊢ ∫ (t : E), ((lsmul ℝ ℝ) (w D t)) (φ x) ∂μ = 1

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∈ closedBall 0 (1 - D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 1
Bx : φ x = 1
B' : ∀ y ∈ ball x D, φ y = φ x
⊢ ∫ (t : E), ((lsmul ℝ ℝ) (w D t)) (φ x) ∂μ = 1
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: case pos.int_nonzero
G : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : IsTopologicalGroup G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
φ : G ≃ₜ* G
hG : LocallyCompactSpace G
f : G → ℝ
f_cont : Continuous[inst✝⁶, _] f
hf :
  HasCompactSupport ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont } ∧
    0 ≤ ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont } ∧ { toFun := f, continuous_toFun := f_cont } 1 ≠ 0
int_f_ne_zero : ∫ (x : G), f x ∂map (⇑φ) μ ≠ 0
⊢ ∫ (y : G), f y ∂map (⇑φ) μ ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
case pos.int_nonzero
G : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : IsTopologicalGroup G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
φ : G ≃ₜ* G
hG : LocallyCompactSpace G
f : G → ℝ
f_cont : Continuous[inst✝⁶, _] f
hf :
  HasCompactSupport ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont } ∧
    0 ≤ ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont } ∧ { toFun := f, continuous_toFun := f_cont } 1 ≠ 0
int_f_ne_zero : ∫ (x : G), f x ∂map (⇑φ) μ ≠ 0
⊢ ∫ (y : G), f y ∂map (⇑φ) μ ≠ 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, y < p.lastStep → p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ j,
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color ↑j}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
g : ℕ → Ordinal.{u}
hg :
  ∀ k < N,
    g k < i ∧
      (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩
            closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
        k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun n ↦ if n = N then i else g n
color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n
G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep
n : ℕ
hn : n ≤ N
this : p.index (G n) = Classical.epsilon fun t ↦ p.c t ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r t
⊢ p.c (Classical.epsilon fun t ↦ p.c t ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r t) ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧
    p.R (G n) ≤ p.τ * p.r (Classical.epsilon fun t ↦ p.c t ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r t)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, y < p.lastStep → p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ j,
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color ↑j}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
g : ℕ → Ordinal.{u}
hg :
  ∀ k < N,
    g k < i ∧
      (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩
            closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
        k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun n ↦ if n = N then i else g n
color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n
G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep
n : ℕ
hn : n ≤ N
this : p.index (G n) = Classical.epsilon fun t ↦ p.c t ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r t
⊢ p.c (Classical.epsilon fun t ↦ p.c t ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r t) ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧
    p.R (G n) ≤ p.τ * p.r (Classical.epsilon fun t ↦ p.c t ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r t)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∉ ball 0 (1 + D)
y : E
hy : y ∈ ball x D
h'y : dist y 0 ≤ 1
⊢ D + dist y 0 ≤ 1 + D

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∉ ball 0 (1 + D)
y : E
hy : y ∈ ball x D
h'y : dist y 0 ≤ 1
⊢ D + dist y 0 ≤ 1 + D
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∉ ball 0 (1 + D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 0
Bx : φ x = 0
⊢ ∀ y ∈ ball x D, φ y = 0

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∉ ball 0 (1 + D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 0
Bx : φ x = 0
⊢ ∀ y ∈ ball x D, φ y = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∉ ball 0 (1 + D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 0
Bx : φ x = 0
B' : ∀ y ∈ ball x D, φ y = φ x
⊢ ∫ (t : E), ((lsmul ℝ ℝ) (w D t)) (φ x) ∂μ = 0

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∉ ball 0 (1 + D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 0
Bx : φ x = 0
B' : ∀ y ∈ ball x D, φ y = φ x
⊢ ∫ (t : E), ((lsmul ℝ ℝ) (w D t)) (φ x) ∂μ = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
D_lt_one : D < 1
hx : ‖x‖ < 1 + D
z : E := (D / (1 + D)) • x
hz : z = (D / (1 + D)) • x
B : 0 < 1 + D
y : E
hy : y ∈ ball z (D * (1 + D - ‖x‖) / (1 + D))
⊢ -(D / (1 + D) - 1) = 1 / (1 + D)

pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
D_lt_one : D < 1
hx : ‖x‖ < 1 + D
z : E := (D / (1 + D)) • x
hz : z = (D / (1 + D)) • x
B : 0 < 1 + D
y : E
hy : y ∈ ball z (D * (1 + D - ‖x‖) / (1 + D))
⊢ D / (1 + D) - 1 ≤ 0

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
D_lt_one : D < 1
hx : ‖x‖ < 1 + D
z : E := (D / (1 + D)) • x
hz : z = (D / (1 + D)) • x
B : 0 < 1 + D
y : E
hy : y ∈ ball z (D * (1 + D - ‖x‖) / (1 + D))
⊢ -(D / (1 + D) - 1) = 1 / (1 + D)

E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
D_lt_one : D < 1
hx : ‖x‖ < 1 + D
z : E := (D / (1 + D)) • x
hz : z = (D / (1 + D)) • x
B : 0 < 1 + D
y : E
hy : y ∈ ball z (D * (1 + D - ‖x‖) / (1 + D))
⊢ D / (1 + D) - 1 ≤ 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: case neg
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous[inst✝⁷, _] f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → ℝ → ℝ := fun n x ↦ ↑((thickenedIndicator ⋯ {1}) x)
vf_cont : ∀ (n : ℕ), Continuous[inst✝⁷, _] (v n ∘ f)
ν : Measure G
hν : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
n : ℕ
x : G
hx : x ∉ tsupport f
⊢ ↑0 ≤ 0

pp: case neg.x_out
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous[inst✝⁷, _] f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → ℝ → ℝ := fun n x ↦ ↑((thickenedIndicator ⋯ {1}) x)
vf_cont : ∀ (n : ℕ), Continuous[inst✝⁷, _] (v n ∘ f)
ν : Measure G
hν : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
n : ℕ
x : G
hx : x ∉ tsupport f
⊢ f x ∉ Metric.thickening (u n) {1}

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous[inst✝⁷, _] f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → ℝ → ℝ := fun n x ↦ ↑((thickenedIndicator ⋯ {1}) x)
vf_cont : ∀ (n : ℕ), Continuous[inst✝⁷, _] (v n ∘ f)
ν : Measure G
hν : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
n : ℕ
x : G
hx : x ∉ tsupport f
⊢ ↑0 ≤ 0

case neg.x_out
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous[inst✝⁷, _] f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → ℝ → ℝ := fun n x ↦ ↑((thickenedIndicator ⋯ {1}) x)
vf_cont : ∀ (n : ℕ), Continuous[inst✝⁷, _] (v n ∘ f)
ν : Measure G
hν : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
n : ℕ
x : G
hx : x ∉ tsupport f
⊢ f x ∉ Metric.thickening (u n) {1}
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: case right
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
D_lt_one : D < 1
hx : ‖x‖ < 1 + D
z : E := (D / (1 + D)) • x
hz : z = (D / (1 + D)) • x
B : 0 < 1 + D
y : E
hy : y ∈ ball z (D * (1 + D - ‖x‖) / (1 + D))
ID : ‖D / (1 + D) - 1‖ = 1 / (1 + D)
⊢ y ∈ closedBall x 1

Tactic:
]

Goal state after:
case right
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
D_lt_one : D < 1
hx : ‖x‖ < 1 + D
z : E := (D / (1 + D)) • x
hz : z = (D / (1 + D)) • x
B : 0 < 1 + D
y : E
hy : y ∈ ball z (D * (1 + D - ‖x‖) / (1 + D))
ID : ‖D / (1 + D) - 1‖ = 1 / (1 + D)
⊢ y ∈ closedBall x 1
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
D_lt_one : D < 1
hx : ‖x‖ < 1 + D
z : E := (D / (1 + D)) • x
hz : z = (D / (1 + D)) • x
B : 0 < 1 + D
y : E
hy : y ∈ ball z (D * (1 + D - ‖x‖) / (1 + D))
ID : ‖D / (1 + D) - 1‖ = 1 / (1 + D)
⊢ D * (1 + D - ‖x‖) / (1 + D) + 1 / (1 + D) * ‖x‖ ≤ 1

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
D_lt_one : D < 1
hx : ‖x‖ < 1 + D
z : E := (D / (1 + D)) • x
hz : z = (D / (1 + D)) • x
B : 0 < 1 + D
y : E
hy : y ∈ ball z (D * (1 + D - ‖x‖) / (1 + D))
ID : ‖D / (1 + D) - 1‖ = 1 / (1 + D)
⊢ D * (1 + D - ‖x‖) / (1 + D) + 1 / (1 + D) * ‖x‖ ≤ 1