mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₀ : 2 * x + 1 * y = -3 ∨ 2 * x + 1 * y = -1 ∨ 2 * x + 1 * y = 0 ∨ 2 * x + 1 * y = 1 ∨ 2 * x + 1 * y = 3
h₁ :
  2 * (x + 1) + 1 * y = -3 ∨
    2 * (x + 1) + 1 * y = -1 ∨ 2 * (x + 1) + 1 * y = 0 ∨ 2 * (x + 1) + 1 * y = 1 ∨ 2 * (x + 1) + 1 * y = 3
h₂ :
  2 * x + 1 * (y - 1) = -3 ∨
    2 * x + 1 * (y - 1) = -1 ∨ 2 * x + 1 * (y - 1) = 0 ∨ 2 * x + 1 * (y - 1) = 1 ∨ 2 * x + 1 * (y - 1) = 3
h₃ :
  2 * (x + 1) + 1 * (y - 1) = -3 ∨
    2 * (x + 1) + 1 * (y - 1) = -1 ∨
      2 * (x + 1) + 1 * (y - 1) = 0 ∨ 2 * (x + 1) + 1 * (y - 1) = 1 ∨ 2 * (x + 1) + 1 * (y - 1) = 3
hA : A = 1
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₀ : 2 * x + 1 * y = -3 ∨ 2 * x + 1 * y = -1 ∨ 2 * x + 1 * y = 0 ∨ 2 * x + 1 * y = 1 ∨ 2 * x + 1 * y = 3
h₁ :
  2 * (x + 1) + 1 * y = -3 ∨
    2 * (x + 1) + 1 * y = -1 ∨ 2 * (x + 1) + 1 * y = 0 ∨ 2 * (x + 1) + 1 * y = 1 ∨ 2 * (x + 1) + 1 * y = 3
h₂ :
  2 * x + 1 * (y - 1) = -3 ∨
    2 * x + 1 * (y - 1) = -1 ∨ 2 * x + 1 * (y - 1) = 0 ∨ 2 * x + 1 * (y - 1) = 1 ∨ 2 * x + 1 * (y - 1) = 3
h₃ :
  2 * (x + 1) + 1 * (y - 1) = -3 ∨
    2 * (x + 1) + 1 * (y - 1) = -1 ∨
      2 * (x + 1) + 1 * (y - 1) = 0 ∨ 2 * (x + 1) + 1 * (y - 1) = 1 ∨ 2 * (x + 1) + 1 * (y - 1) = 3
hA : A = 1
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝ : P.IsReduced
k : ι
hki : k ≠ ↑i
hki' : k ≠ (P.reflectionPerm ↑i) ↑i
h_lin_ind : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root k]
this :
  ((∑ x, if P.root k = P.root ↑i + P.root x then (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑i) k) + 1) else 0) -
      ∑ x,
        if P.root k = P.root x - P.root ↑i then (↑(chainTopCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) k) + 1) else 0) =
    ↑(chainBotCoeff (↑i) k) - ↑(chainTopCoeff (↑i) k)
x : ι
⊢ P.root k = P.root ↑i + P.root x ↔ P.root k = P.root ↑i + P.root x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case calc_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ P.pairing i (twoShortAddLong P) * (B.form (twoShortAddLongRoot P)) (twoShortAddLongRoot P) =
    P.pairing i (twoShortAddLong P) * (B.form (P.root (twoShortAddLong P))) (P.root (twoShortAddLong P))

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr.inr.inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₀ : 2 * x + 3 * y = -3 ∨ 2 * x + 3 * y = -1 ∨ 2 * x + 3 * y = 0 ∨ 2 * x + 3 * y = 1 ∨ 2 * x + 3 * y = 3
h₁ :
  2 * (x + 1) + 3 * y = -3 ∨
    2 * (x + 1) + 3 * y = -1 ∨ 2 * (x + 1) + 3 * y = 0 ∨ 2 * (x + 1) + 3 * y = 1 ∨ 2 * (x + 1) + 3 * y = 3
h₂ :
  2 * x + 3 * (y - 1) = -3 ∨
    2 * x + 3 * (y - 1) = -1 ∨ 2 * x + 3 * (y - 1) = 0 ∨ 2 * x + 3 * (y - 1) = 1 ∨ 2 * x + 3 * (y - 1) = 3
h₃ :
  2 * (x + 1) + 3 * (y - 1) = -3 ∨
    2 * (x + 1) + 3 * (y - 1) = -1 ∨
      2 * (x + 1) + 3 * (y - 1) = 0 ∨ 2 * (x + 1) + 3 * (y - 1) = 1 ∨ 2 * (x + 1) + 3 * (y - 1) = 3
hA : A = 3
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr.inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
h₀ : 2 * x + 3 * y = -3 ∨ 2 * x + 3 * y = -1 ∨ 2 * x + 3 * y = 0 ∨ 2 * x + 3 * y = 1 ∨ 2 * x + 3 * y = 3
h₁ :
  2 * (x + 1) + 3 * y = -3 ∨
    2 * (x + 1) + 3 * y = -1 ∨ 2 * (x + 1) + 3 * y = 0 ∨ 2 * (x + 1) + 3 * y = 1 ∨ 2 * (x + 1) + 3 * y = 3
h₂ :
  2 * x + 3 * (y - 1) = -3 ∨
    2 * x + 3 * (y - 1) = -1 ∨ 2 * x + 3 * (y - 1) = 0 ∨ 2 * x + 3 * (y - 1) = 1 ∨ 2 * x + 3 * (y - 1) = 3
h₃ :
  2 * (x + 1) + 3 * (y - 1) = -3 ∨
    2 * (x + 1) + 3 * (y - 1) = -1 ∨
      2 * (x + 1) + 3 * (y - 1) = 0 ∨ 2 * (x + 1) + 3 * (y - 1) = 1 ∨ 2 * (x + 1) + 3 * (y - 1) = 3
hA : A = 3
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝ : P.IsReduced
k : ι
hki : k ≠ ↑i
hki' : k ≠ (P.reflectionPerm ↑i) ↑i
h_lin_ind : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root k]
this :
  ((∑ x, if P.root k = P.root ↑i + P.root x then (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑i) k) + 1) else 0) -
      ∑ x,
        if P.root k = P.root x - P.root ↑i then (↑(chainTopCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) k) + 1) else 0) =
    ↑(chainBotCoeff (↑i) k) - ↑(chainTopCoeff (↑i) k)
aux : ∀ (x : ι), P.root x = P.root k - P.root ↑i ↔ P.root k = P.root ↑i + P.root x
x : ι
⊢ P.root ↑i + P.root k = P.root x ↔ P.root ↑i + P.root k = P.root x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case calc_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * (2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P) =
    2 * (2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case calc_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * (P.pairing i (short P) * (B.form (P.root (short P))) (P.root (short P))) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (P.root (long P))) (P.root (long P)) =
    2 * (P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P)) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (3 * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P)) =
    (2 * P.pairing i (short P) + 3 * P.pairing i (long P)) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P)

Tactic:
]

Goal state after:
case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (3 * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P)) =
    (2 * P.pairing i (short P) + 3 * P.pairing i (long P)) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: case succ
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
n : ℕ
ih : ω b * f i ^ n = e i ^ n * ω b
⊢ e i ^ n * e i * ω b = e i ^ n * e i * ω b

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.EmbeddedG2
inst✝ : CharZero R
i : ι
⊢ 3 • P.pairingIn ℤ (short P) i + 1 • P.pairingIn ℤ (long P) i =
    3 * P.pairingIn ℤ (short P) i + P.pairingIn ℤ (long P) i

pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.EmbeddedG2
inst✝ : CharZero R
i : ι
⊢ P.root (threeShortAddLong P) = 3 • P.root (short P) + 1 • P.root (long P)

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.EmbeddedG2
inst✝ : CharZero R
i : ι
⊢ 3 • P.pairingIn ℤ (short P) i + 1 • P.pairingIn ℤ (long P) i =
    3 * P.pairingIn ℤ (short P) i + P.pairingIn ℤ (long P) i

ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.EmbeddedG2
inst✝ : CharZero R
i : ι
⊢ P.root (threeShortAddLong P) = 3 • P.root (short P) + 1 • P.root (long P)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case calc_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ P.pairing i (threeShortAddLong P) * (B.form (threeShortAddLongRoot P)) (threeShortAddLongRoot P) =
    P.pairing i (threeShortAddLong P) * (B.form (P.root (threeShortAddLong P))) (P.root (threeShortAddLong P))

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝ : P.IsReduced
k : ι
hki : k ≠ ↑i
hki' : k ≠ (P.reflectionPerm ↑i) ↑i
h_lin_ind : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root k]
x : ι
hx : P.root k = P.root ↑i + P.root x
y : ι
hy : P.root k = P.root y - P.root ↑i
h_lin_ind_x : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root x]
⊢ LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root ↑i + P.root k]

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝ : P.IsReduced
k : ι
hki : k ≠ ↑i
hki' : k ≠ (P.reflectionPerm ↑i) ↑i
h_lin_ind : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root k]
x : ι
hx : P.root k = P.root ↑i + P.root x
y : ι
hy : P.root k = P.root y - P.root ↑i
h_lin_ind_x : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root x]
⊢ LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root ↑i + P.root k]
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case calc_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * (3 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P) =
    3 * (2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P)

Tactic:
]

Goal state after:
case calc_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * (3 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P) =
    3 * (2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case calc_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 3 * (P.pairing i (short P) * (B.form (P.root (short P))) (P.root (short P))) +
      P.pairing i (long P) * (3 * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P)) =
    P.pairing i (short P) * (3 * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P)) +
      P.pairing i (long P) * (3 * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P))

Tactic:
]

Goal state after:
case calc_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 3 * (P.pairing i (short P) * (B.form (P.root (short P))) (P.root (short P))) +
      P.pairing i (long P) * (3 * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P)) =
    P.pairing i (short P) * (3 * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P)) +
      P.pairing i (long P) * (3 * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ P.pairing i (short P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P) =
    (P.pairing i (short P) + P.pairing i (long P)) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P)

Tactic:
]

Goal state after:
case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ P.pairing i (short P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P) =
    (P.pairing i (short P) + P.pairing i (long P)) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
⊢ 3 • P.pairingIn ℤ (short P) i + 2 • P.pairingIn ℤ (long P) i =
    3 * P.pairingIn ℤ (short P) i + 2 * P.pairingIn ℤ (long P) i

pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
⊢ P.root (threeShortAddTwoLong P) = 3 • P.root (short P) + 2 • P.root (long P)

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
⊢ 3 • P.pairingIn ℤ (short P) i + 2 • P.pairingIn ℤ (long P) i =
    3 * P.pairingIn ℤ (short P) i + 2 * P.pairingIn ℤ (long P) i

ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
⊢ P.root (threeShortAddTwoLong P) = 3 • P.root (short P) + 2 • P.root (long P)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: case inl.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝ : P.IsReduced
k : ι
hki : k ≠ ↑i
hki' : k ≠ (P.reflectionPerm ↑i) ↑i
h_lin_ind : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root k]
x : ι
hx : P.root k = P.root ↑i + P.root x
y : ι
hy : P.root k = P.root y - P.root ↑i
h_lin_ind_x : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root x]
h_lin_ind_y : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root y]
hx' : chainBotCoeff (↑i) k = chainBotCoeff (↑i) x + 1
hy' : chainTopCoeff (↑i) k = chainTopCoeff (↑i) y + 1
⊢ ((if P.root k = P.root ↑i + P.root x then (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑i) k) + 1) else 0) -
      if P.root k = P.root y - P.root ↑i then (↑(chainTopCoeff (↑i) y) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) k) + 1) else 0) =
    ↑(chainBotCoeff (↑i) k) - ↑(chainTopCoeff (↑i) k)

Tactic:
]

Goal state after:
case inl.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝ : P.IsReduced
k : ι
hki : k ≠ ↑i
hki' : k ≠ (P.reflectionPerm ↑i) ↑i
h_lin_ind : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root k]
x : ι
hx : P.root k = P.root ↑i + P.root x
y : ι
hy : P.root k = P.root y - P.root ↑i
h_lin_ind_x : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root x]
h_lin_ind_y : LinearIndependent R ![P.root ↑i, P.root y]
hx' : chainBotCoeff (↑i) k = chainBotCoeff (↑i) x + 1
hy' : chainTopCoeff (↑i) k = chainTopCoeff (↑i) y + 1
⊢ ((if P.root k = P.root ↑i + P.root x then (↑(chainBotCoeff (↑i) x) + 1) * (↑(chainTopCoeff (↑i) k) + 1) else 0) -
      if P.root k = P.root y - P.root ↑i then (↑(chainTopCoeff (↑i) y) + 1) * (↑(chainBotCoeff (↑i) k) + 1) else 0) =
    ↑(chainBotCoeff (↑i) k) - ↑(chainTopCoeff (↑i) k)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: case h
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : CharZero K
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
U : LieSubmodule K (↥H) (↥b.support ⊕ ι → K)
χ : ↥H → K
hχ : χ ≠ 0
hχ' : genWeightSpace (↥U) χ ≠ ⊥
this : ∀ {w : ↥b.support ⊕ ι → K}, w ≠ 0 → w ∈ genWeightSpace (↥b.support ⊕ ι → K) χ → ∃ i t, t • w = v b i
w : ↥U
hw₀ : w ≠ 0
hw : U.incl w ∈ genWeightSpace (↥b.support ⊕ ι → K) χ
i : ι
t : K
hi : t • ↑w = v b i
⊢ t • ↑w ∈ genWeightSpace (↥b.support ⊕ ι → K) χ ∧ t • ↑w ∈ U

Tactic:
]

Goal state after:
case h
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : CharZero K
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
U : LieSubmodule K (↥H) (↥b.support ⊕ ι → K)
χ : ↥H → K
hχ : χ ≠ 0
hχ' : genWeightSpace (↥U) χ ≠ ⊥
this : ∀ {w : ↥b.support ⊕ ι → K}, w ≠ 0 → w ∈ genWeightSpace (↥b.support ⊕ ι → K) χ → ∃ i t, t • w = v b i
w : ↥U
hw₀ : w ≠ 0
hw : U.incl w ∈ genWeightSpace (↥b.support ⊕ ι → K) χ
i : ι
t : K
hi : t • ↑w = v b i
⊢ t • ↑w ∈ genWeightSpace (↥b.support ⊕ ι → K) χ ∧ t • ↑w ∈ U
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: case calc_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ P.pairing i (threeShortAddTwoLong P) * (B.form (threeShortAddTwoLongRoot P)) (threeShortAddTwoLongRoot P) =
    P.pairing i (threeShortAddTwoLong P) * (B.form (P.root (threeShortAddTwoLong P))) (P.root (threeShortAddTwoLong P))

Tactic:
]

Goal state after: