mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Lemma

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ #univ
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : #dum.parts = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
h :
  ∀ (i : ℕ),
    ∃ P,
      P.IsEquipartition ∧ t ≤ #P.parts ∧ #P.parts ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ #P.parts
hP₃ : #P.parts ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
hPenergy : ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
⊢ ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ #univ
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : #dum.parts = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
h :
  ∀ (i : ℕ),
    ∃ P,
      P.IsEquipartition ∧ t ≤ #P.parts ∧ #P.parts ≤ stepBound^[i] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G))
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ #P.parts
hP₃ : #P.parts ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
hPenergy : ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
⊢ ε ^ 5 / 4 * ↑(⌊4 / ε ^ 5⌋₊ + 1) ≤ ↑(P.energy G)
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Lemma

Goal state before:
pp: case inr.inr.zero
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ #univ
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : #dum.parts = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
⊢ 0 ≤ ↑(dum.energy G)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr.zero
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ #univ
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : #dum.parts = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
⊢ 0 ≤ ↑(dum.energy G)
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Increment

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hPα' : stepBound #P.parts ≤ Fintype.card α
hPpos : 0 < stepBound #P.parts
⊢ (#({x ∈ P.parts.attach | #↑x = m * 4 ^ #P.parts + (Fintype.card α / #P.parts - m * 4 ^ #P.parts)}) +
        #({x ∈ P.parts.attach | ¬#↑x = m * 4 ^ #P.parts + (Fintype.card α / #P.parts - m * 4 ^ #P.parts)})) *
      4 ^ #P.parts =
    stepBound #P.parts

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hPα' : stepBound #P.parts ≤ Fintype.card α
hPpos : 0 < stepBound #P.parts
⊢ (#({x ∈ P.parts.attach | #↑x = m * 4 ^ #P.parts + (Fintype.card α / #P.parts - m * 4 ^ #P.parts)}) +
        #({x ∈ P.parts.attach | ¬#↑x = m * 4 ^ #P.parts + (Fintype.card α / #P.parts - m * 4 ^ #P.parts)})) *
      4 ^ #P.parts =
    stepBound #P.parts
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Increment

Goal state before:
pp: case e_a
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hPα' : stepBound #P.parts ≤ Fintype.card α
hPpos : 0 < stepBound #P.parts
⊢ #P.parts = #P.parts

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Increment

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
A : Finset α
hA : ∃ A_1, ∃ (hA : A_1 ∈ P.parts), A ∈ (chunk hP G ε hA).parts
⊢ #A = m ∨ #A = m + 1

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
A : Finset α
hA : ∃ A_1, ∃ (hA : A_1 ∈ P.parts), A ∈ (chunk hP G ε hA).parts
⊢ #A = m ∨ #A = m + 1
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Lemma

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ #univ
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : #dum.parts = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ #P.parts
hP₃ : #P.parts ≤ stepBound^[i] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
huniform : P.IsUniform G ε
⊢ #P.parts ≤ stepBound (stepBound^[i] t)

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ #univ
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : #dum.parts = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ #P.parts
hP₃ : #P.parts ≤ stepBound^[i] t
hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
huniform : P.IsUniform G ε
⊢ #P.parts ≤ stepBound (stepBound^[i] t)
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Increment

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s₁ s₂ : Finset α
hs✝ : (s₁, s₂) ∈ P.parts.offDiag
hs : (s₁, s₂).1 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).2 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).1 ≠ (s₁, s₂).2
a✝¹ : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
t₁ t₂ : Finset α
ht✝ : (t₁, t₂) ∈ P.parts.offDiag
ht : (t₁, t₂).1 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).2 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).1 ≠ (t₁, t₂).2
a✝ : ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
hst : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ≠ ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩
u v : Finset α
huv₁ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
huv₂ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s₁ s₂ : Finset α
hs✝ : (s₁, s₂) ∈ P.parts.offDiag
hs : (s₁, s₂).1 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).2 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).1 ≠ (s₁, s₂).2
a✝¹ : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
t₁ t₂ : Finset α
ht✝ : (t₁, t₂) ∈ P.parts.offDiag
ht : (t₁, t₂).1 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).2 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).1 ≠ (t₁, t₂).2
a✝ : ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
hst : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ≠ ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩
u v : Finset α
huv₁ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
huv₂ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
⊢ False
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Increment

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
x : ↥P.parts.offDiag
hε₁ : ε ≤ 1
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
⊢ (↑(G.edgeDensity (↑x).1 (↑x).2) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 + if G.IsUniform ε (↑x).1 (↑x).2 then 0 else ε ^ 4 / 3) ≤
    (∑ i ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ×ˢ (chunk hP G ε ⋯).parts, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / 16 ^ #P.parts

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
x : ↥P.parts.offDiag
hε₁ : ε ≤ 1
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
⊢ (↑(G.edgeDensity (↑x).1 (↑x).2) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 + if G.IsUniform ε (↑x).1 (↑x).2 then 0 else ε ^ 4 / 3) ≤
    (∑ i ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ×ˢ (chunk hP G ε ⋯).parts, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / 16 ^ #P.parts
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Increment

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
x : ↥P.parts.offDiag
hε₁ : ε ≤ 1
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
h : G.IsUniform ε (↑x).1 (↑x).2
⊢ ↑(G.edgeDensity (↑x).1 (↑x).2) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤
    (∑ i ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ×ˢ (chunk hP G ε ⋯).parts, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / 16 ^ #P.parts

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
x : ↥P.parts.offDiag
hε₁ : ε ≤ 1
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
h : G.IsUniform ε (↑x).1 (↑x).2
⊢ ↑(G.edgeDensity (↑x).1 (↑x).2) ^ 2 - ε ^ 5 / 25 ≤
    (∑ i ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ×ˢ (chunk hP G ε ⋯).parts, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / 16 ^ #P.parts
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Lemma

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ #univ
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : #dum.parts = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ #P.parts
hP₃ : #P.parts ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hi : ε ^ 5 * ↑i ≤ 1 * 4
⊢ ↑i ≤ 4 / ε ^ 5

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ #univ
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : #dum.parts = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ #P.parts
hP₃ : #P.parts ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hi : ε ^ 5 * ↑i ≤ 1 * 4
⊢ ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Increment

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ #P.parts
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ (∑ uv ∈ P.parts.offDiag, ↑(G.edgeDensity uv.1 uv.2) ^ 2) / ↑(#P.parts) ^ 2 + ε ^ 5 / 4 =
    (∑ x ∈ P.parts.offDiag, ↑(G.edgeDensity x.1 x.2) ^ 2) / ↑(#P.parts) ^ 2 + ε ^ 5 / 4

pp: case ha
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ #P.parts
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ ↑(#P.parts) ^ 2 ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
case ha
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ #P.parts
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ ↑(#P.parts) ^ 2 ≠ 0
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Lemma

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ #univ
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : #dum.parts = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ #P.parts
hP₃ : #P.parts ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hi : ε ^ 5 * ↑i ≤ 4
⊢ ε ^ 5 * ↑i ≤ 4

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ #univ
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : #dum.parts = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ #P.parts
hP₃ : #P.parts ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hi : ε ^ 5 * ↑i ≤ 4
⊢ ε ^ 5 * ↑i ≤ 4
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Increment

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ #P.parts
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ (∑ i ∈ P.parts.offDiag.attach, ∑ i ∈ distinctPairs hP G ε i, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / 16 ^ #P.parts /
      ↑(#P.parts) ^ 2 =
    (∑ x ∈ P.parts.offDiag.attach, ∑ i ∈ distinctPairs hP G ε x, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / (4 ^ 2) ^ #P.parts /
      ↑(#P.parts) ^ 2

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ #P.parts
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ (∑ i ∈ P.parts.offDiag.attach, ∑ i ∈ distinctPairs hP G ε i, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / 16 ^ #P.parts /
      ↑(#P.parts) ^ 2 =
    (∑ x ∈ P.parts.offDiag.attach, ∑ i ∈ distinctPairs hP G ε x, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / (4 ^ 2) ^ #P.parts /
      ↑(#P.parts) ^ 2
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Lemma

Goal state before:
pp: case neg.refine_1
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ #univ
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : #dum.parts = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ #P.parts
hP₃ : #P.parts ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : #P.parts ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
⊢ t ≤ stepBound #P.parts

Tactic:
]

Goal state after:
case neg.refine_1
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ #univ
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : #dum.parts = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ #P.parts
hP₃ : #P.parts ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : #P.parts ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
⊢ t ≤ stepBound #P.parts
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Increment

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ #P.parts
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ (∑ x ∈ P.parts.offDiag.attach, ∑ i ∈ distinctPairs hP G ε x, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) /
      ↑(#(increment hP G ε).parts) ^ 2 ≤
    (∑ uv ∈ (increment hP G ε).parts.offDiag, ↑(G.edgeDensity uv.1 uv.2) ^ 2) / ↑(#(increment hP G ε).parts) ^ 2

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ #P.parts
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ (∑ x ∈ P.parts.offDiag.attach, ∑ i ∈ distinctPairs hP G ε x, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) /
      ↑(#(increment hP G ε).parts) ^ 2 ≤
    (∑ uv ∈ (increment hP G ε).parts.offDiag, ↑(G.edgeDensity uv.1 uv.2) ^ 2) / ↑(#(increment hP G ε).parts) ^ 2
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Increment

Goal state before:
pp: case hab
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ #P.parts
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ ∑ x ∈ P.parts.offDiag.attach.biUnion (distinctPairs hP G ε), ↑(G.edgeDensity x.1 x.2) ^ 2 ≤
    ∑ uv ∈ (increment hP G ε).parts.offDiag, ↑(G.edgeDensity uv.1 uv.2) ^ 2

Tactic:
]

Goal state after:
case hab
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ #P.parts
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ ∑ x ∈ P.parts.offDiag.attach.biUnion (distinctPairs hP G ε), ↑(G.edgeDensity x.1 x.2) ^ 2 ≤
    ∑ uv ∈ (increment hP G ε).parts.offDiag, ↑(G.edgeDensity uv.1 uv.2) ^ 2
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Equitabilise

Goal state before:
pp: case neg.refine_2.refine_1.inl
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : ℕ
m_pos : m > 0
s : Finset α
ih :
  ∀ t ⊂ s,
    ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t},
      a * m + b * (m + 1) = #t →
        ∃ Q,
          (∀ x ∈ Q.parts, #x = m ∨ #x = m + 1) ∧
            (∀ x ∈ P.parts, #(x \ {y ∈ Q.parts | y ⊆ x}.biUnion id) ≤ m) ∧ #({i ∈ Q.parts | #i = m + 1}) = b
a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = #s
hab : 0 < a ∨ 0 < b
n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1
hn : n = if 0 < a then m else m + 1
hn₀ : 0 < n
hn₁ : n ≤ m + 1
hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)
hn₃ : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = #s - n
u : Finset α
hu₁ : u ∈ P.parts
hu₂ : m + 1 ≤ #u
htu : u ⊆ u
htn : #u = n
ht : u.Nonempty
hcard : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = #(s \ u)
R : Finpartition (s \ u)
hR₁ : ∀ x ∈ R.parts, #x = m ∨ #x = m + 1
hR₂ : ∀ x ∈ (P.avoid u).parts, #(x \ {y ∈ R.parts | y ⊆ x}.biUnion id) ≤ m
hR₃ : #({i ∈ R.parts | #i = m + 1}) = if 0 < a then b else b - 1
⊢ #∅ ≤ m

Tactic:
]

Goal state after:
case neg.refine_2.refine_1.inl
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : ℕ
m_pos : m > 0
s : Finset α
ih :
  ∀ t ⊂ s,
    ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t},
      a * m + b * (m + 1) = #t →
        ∃ Q,
          (∀ x ∈ Q.parts, #x = m ∨ #x = m + 1) ∧
            (∀ x ∈ P.parts, #(x \ {y ∈ Q.parts | y ⊆ x}.biUnion id) ≤ m) ∧ #({i ∈ Q.parts | #i = m + 1}) = b
a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = #s
hab : 0 < a ∨ 0 < b
n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1
hn : n = if 0 < a then m else m + 1
hn₀ : 0 < n
hn₁ : n ≤ m + 1
hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)
hn₃ : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = #s - n
u : Finset α
hu₁ : u ∈ P.parts
hu₂ : m + 1 ≤ #u
htu : u ⊆ u
htn : #u = n
ht : u.Nonempty
hcard : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = #(s \ u)
R : Finpartition (s \ u)
hR₁ : ∀ x ∈ R.parts, #x = m ∨ #x = m + 1
hR₂ : ∀ x ∈ (P.avoid u).parts, #(x \ {y ∈ R.parts | y ⊆ x}.biUnion id) ≤ m
hR₃ : #({i ∈ R.parts | #i = m + 1}) = if 0 < a then b else b - 1
⊢ #∅ ≤ m
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Lemma

Goal state before:
pp: case neg.refine_2
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ #univ
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : #dum.parts = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ #P.parts
hP₃ : #P.parts ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : #P.parts ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
⊢ stepBound #P.parts ≤ stepBound (stepBound^[i] t)

Tactic:
]

Goal state after:
case neg.refine_2
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ #univ
dum : Finpartition univ
hdum₁ : dum.IsEquipartition
hdum₂ : #dum.parts = initialBound ε l
hε₁ : ε ≤ 1
this : Nonempty α
i : ℕ
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : t ≤ #P.parts
hP₃ : #P.parts ≤ stepBound^[i] t
huniform : ¬P.IsUniform G ε
hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)
hεl' : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5
hsize : #P.parts ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
⊢ stepBound #P.parts ≤ stepBound (stepBound^[i] t)
Module: Mathlib.Combinatorics.SimpleGraph.Regularity.Increment

Goal state before:
pp: case hab
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ #P.parts
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPG : ↑(#P.parts.offDiag) * ε < ↑(#(P.nonUniforms G ε))
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ ∑ x ∈ P.parts.offDiag, ↑(G.edgeDensity x.1 x.2) ^ 2 + ↑(#P.parts) ^ 2 * (ε ^ 5 / 4) ≤
    ∑ x ∈ P.parts.offDiag.attach, (∑ i ∈ distinctPairs hP G ε x, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / 16 ^ #P.parts

Tactic:
]

Goal state after:
case hab
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ #P.parts
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPG : ↑(#P.parts.offDiag) * ε < ↑(#(P.nonUniforms G ε))
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ ∑ x ∈ P.parts.offDiag, ↑(G.edgeDensity x.1 x.2) ^ 2 + ↑(#P.parts) ^ 2 * (ε ^ 5 / 4) ≤
    ∑ x ∈ P.parts.offDiag.attach, (∑ i ∈ distinctPairs hP G ε x, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / 16 ^ #P.parts