mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero M
inst✝² : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
inst✝ : IsCancelMulZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
hu : ↑(d ⟨u, hu'⟩) = 1
⊢ ↑(d.symm ⟨↑(d ⟨u, hu'⟩), ⋯⟩) = 1

Tactic:
]

Goal state after:
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero M
inst✝² : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
inst✝ : IsCancelMulZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
hu : ↑(d ⟨u, hu'⟩) = 1
⊢ ↑(d.symm ⟨↑(d ⟨u, hu'⟩), ⋯⟩) = 1
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: case right
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I : Submodule R P
h : I ≤ 1
b : P
hb : b ∈ I
⊢ IsInteger R b

Tactic:
]

Goal state after:
case right
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I : Submodule R P
h : I ≤ 1
b : P
hb : b ∈ I
⊢ IsInteger R b
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝³ : CommRing P
inst✝² : Algebra R P
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Module.IsTorsionFree R P
hS : 0 ∉ S
I : FractionalIdeal S P
hI : I.num = ⊥
⊢ ↑I ≤ ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝³ : CommRing P
inst✝² : Algebra R P
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Module.IsTorsionFree R P
hS : 0 ∉ S
I : FractionalIdeal S P
hI : I.num = ⊥
⊢ ↑I ≤ ⊥
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝³ : CommRing P
inst✝² : Algebra R P
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Module.IsTorsionFree R P
hS : 0 ∉ S
I : FractionalIdeal S P
hI : I.num = ⊥
x : P
hx : x ∈ ↑I
⊢ ⊥ = ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
⊢ 1 = 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
I : LieIdeal K L
x : L
hxI : x ∈ ↑↑(LieSubmodule.restr I H)
hxH : x ∈ ↑↑H.toLieSubmodule
f : ↥LieSubalgebra.root → LieIdeal K ↥H := fun α ↦ corootSpace ⇑↑α
span_I_roots : LieIdeal K ↥H := ⨆ α ∈ I.rootSet, f α
span_compl_roots : LieIdeal K ↥H := ⨆ β, ⨆ (_ : β ∉ I.rootSet), f β
h_split : span_I_roots ⊔ span_compl_roots = ⨆ α, f α
h_top : span_I_roots ⊔ span_compl_roots = ⊤
hspan_I_roots_incl : LieSubmodule.map H.toLieSubmodule.incl span_I_roots = ⨆ α ∈ I.rootSet, corootSubmodule ↑α
μ : ↥LieSubalgebra.root
hμ : μ ∈ I.rootSet
this : ↑span_compl_roots = ⨆ β, ⨆ (_ : β ∉ I.rootSet), ↑(f β)
⊢ ⨆ β, ⨆ (_ : β ∉ I.rootSet), ↑(f β) ≤ Weight.ker

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
I : LieIdeal K L
x : L
hxI : x ∈ ↑↑(LieSubmodule.restr I H)
hxH : x ∈ ↑↑H.toLieSubmodule
f : ↥LieSubalgebra.root → LieIdeal K ↥H := fun α ↦ corootSpace ⇑↑α
span_I_roots : LieIdeal K ↥H := ⨆ α ∈ I.rootSet, f α
span_compl_roots : LieIdeal K ↥H := ⨆ β, ⨆ (_ : β ∉ I.rootSet), f β
h_split : span_I_roots ⊔ span_compl_roots = ⨆ α, f α
h_top : span_I_roots ⊔ span_compl_roots = ⊤
hspan_I_roots_incl : LieSubmodule.map H.toLieSubmodule.incl span_I_roots = ⨆ α ∈ I.rootSet, corootSubmodule ↑α
μ : ↥LieSubalgebra.root
hμ : μ ∈ I.rootSet
this : ↑span_compl_roots = ⨆ β, ⨆ (_ : β ∉ I.rootSet), ↑(f β)
⊢ ⨆ β, ⨆ (_ : β ∉ I.rootSet), ↑(f β) ≤ Weight.ker
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I : FractionalIdeal S P
x : P
hx : x ∈ 0
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M
inst✝³ : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs' : p ^ s ≤ m
hs : ¬s = 0
this : ↑(d ⟨p, ⋯⟩) ^ s = ↑(d ⟨p ^ s, hs'⟩)
⊢ ↑(d ⟨p ^ s, hs'⟩) ≤ n

Tactic:
]

Goal state after:
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M
inst✝³ : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs' : p ^ s ≤ m
hs : ¬s = 0
this : ↑(d ⟨p, ⋯⟩) ^ s = ↑(d ⟨p ^ s, hs'⟩)
⊢ ↑(d ⟨p ^ s, hs'⟩) ≤ n
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
bI : P
hbI : bI ∈ I
bJ : P
hbJ : bJ ∈ J
hb : bI + bJ ∈ I ⊔ J
⊢ IsInteger R ((aI * aJ) • bI + (aI * aJ) • bJ)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
bI : P
hbI : bI ∈ I
bJ : P
hbJ : bJ ∈ J
hb : bI + bJ ∈ I ⊔ J
⊢ IsInteger R ((aI * aJ) • bI + (aI * aJ) • bJ)
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: case ha
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
bI : P
hbI : bI ∈ I
bJ : P
hbJ : bJ ∈ J
hb : bI + bJ ∈ I ⊔ J
⊢ IsInteger R (aJ • aI • bI)

Tactic:
]

Goal state after:
case ha
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
bI : P
hbI : bI ∈ I
bJ : P
hbJ : bJ ∈ J
hb : bI + bJ ∈ I ⊔ J
⊢ IsInteger R (aJ • aI • bI)
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: case hb
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
bI : P
hbI : bI ∈ I
bJ : P
hbJ : bJ ∈ J
hb : bI + bJ ∈ I ⊔ J
⊢ IsInteger R (aI • aJ • bJ)

Tactic:
]

Goal state after:
case hb
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
bI : P
hbI : bI ∈ I
bJ : P
hbJ : bJ ∈ J
hb : bI + bJ ∈ I ⊔ J
⊢ IsInteger R (aI • aJ • bJ)
Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors

Goal state before:
pp: case neg
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M
inst✝³ : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t ↦ ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
c₂_def : ∀ (t : Fin (s + 1)), c₂ t = ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
⊢ c₂ 1 ^ s = ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩)

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M
inst✝³ : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t ↦ ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
c₂_def : ∀ (t : Fin (s + 1)), c₂ t = ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
⊢ c₂ 1 ^ s = ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩)
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I J : FractionalIdeal S P
x : P
⊢ x ∈ ↑I ⊔ ↑J ↔ ∃ i ∈ I, ∃ j ∈ J, i + j = x

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I J : FractionalIdeal S P
x : P
⊢ x ∈ ↑I ⊔ ↑J ↔ ∃ i ∈ I, ∃ j ∈ J, i + j = x
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I : Submodule R P
x✝ : IsFractional S I
⊢ IsFractional S 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I : Submodule R P
x✝ : IsFractional S I
⊢ IsFractional S 0
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I : Submodule R P
n : ℕ
h : IsFractional S I
⊢ IsFractional S (n • I + I)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I : Submodule R P
n : ℕ
h : IsFractional S I
⊢ IsFractional S (n • I + I)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
I : LieIdeal K L
x : L
hxI : x ∈ ↑↑(LieSubmodule.restr I H)
hxH : x ∈ ↑↑H.toLieSubmodule
f : ↥LieSubalgebra.root → LieIdeal K ↥H := fun α ↦ corootSpace ⇑↑α
span_I_roots : LieIdeal K ↥H := ⨆ α ∈ I.rootSet, f α
span_compl_roots : LieIdeal K ↥H := ⨆ β, ⨆ (_ : β ∉ I.rootSet), f β
h_split : span_I_roots ⊔ span_compl_roots = ⨆ α, f α
h_top : span_I_roots ⊔ span_compl_roots = ⊤
hspan_I_roots_incl : LieSubmodule.map H.toLieSubmodule.incl span_I_roots = ⨆ α ∈ I.rootSet, corootSubmodule ↑α
μ : ↥LieSubalgebra.root
hμ : μ ∈ I.rootSet
this : ↑span_compl_roots = ⨆ β, ⨆ (_ : β ∉ I.rootSet), ↑(f β)
γ : ↥LieSubalgebra.root
hγ : γ ∉ I.rootSet
⊢ (Weight.toLinear K (↥H) L ↑μ) (coroot ↑γ) = 0

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
I : LieIdeal K L
x : L
hxI : x ∈ ↑↑(LieSubmodule.restr I H)
hxH : x ∈ ↑↑H.toLieSubmodule
f : ↥LieSubalgebra.root → LieIdeal K ↥H := fun α ↦ corootSpace ⇑↑α
span_I_roots : LieIdeal K ↥H := ⨆ α ∈ I.rootSet, f α
span_compl_roots : LieIdeal K ↥H := ⨆ β, ⨆ (_ : β ∉ I.rootSet), f β
h_split : span_I_roots ⊔ span_compl_roots = ⨆ α, f α
h_top : span_I_roots ⊔ span_compl_roots = ⊤
hspan_I_roots_incl : LieSubmodule.map H.toLieSubmodule.incl span_I_roots = ⨆ α ∈ I.rootSet, corootSubmodule ↑α
μ : ↥LieSubalgebra.root
hμ : μ ∈ I.rootSet
this : ↑span_compl_roots = ⨆ β, ⨆ (_ : β ∉ I.rootSet), ↑(f β)
γ : ↥LieSubalgebra.root
hγ : γ ∉ I.rootSet
⊢ (Weight.toLinear K (↥H) L ↑μ) (coroot ↑γ) = 0
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
b : P
hb : b ∈ I * J
m : P
hm : m ∈ I
n : P
hn : n ∈ J
n' : R
hn' : (algebraMap R P) n' = aJ • n
⊢ IsInteger R (aI • n' • m)

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
b : P
hb : b ∈ I * J
m : P
hm : m ∈ I
n : P
hn : n ∈ J
n' : R
hn' : (algebraMap R P) n' = aJ • n
⊢ IsInteger R (aI • n' • m)
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
b : P
hb : b ∈ I * J
x y : P
hx : IsInteger R ((aI * aJ) • x)
hy : IsInteger R ((aI * aJ) • y)
⊢ IsInteger R ((aI * aJ) • x + (aI * aJ) • y)

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
b : P
hb : b ∈ I * J
x y : P
hx : IsInteger R ((aI * aJ) • x)
hy : IsInteger R ((aI * aJ) • y)
⊢ IsInteger R ((aI * aJ) • x + (aI * aJ) • y)
Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors

Goal state before:
pp: case neg.refine_1
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M
inst✝³ : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t ↦ ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
c₂_def : ∀ (t : Fin (s + 1)), c₂ t = ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
t u : Fin (s + 1)
h : t < u
⊢ t < u

Tactic:
]

Goal state after:
case neg.refine_1
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M
inst✝³ : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t ↦ ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
c₂_def : ∀ (t : Fin (s + 1)), c₂ t = ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
t u : Fin (s + 1)
h : t < u
⊢ t < u
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: case mp.refine_1
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
J : FractionalIdeal S P
hJ : J ≤ 1
a b : R
ha : a ∈ {x | (algebraMap R P) x ∈ J}
hb : b ∈ {x | (algebraMap R P) x ∈ J}
⊢ (algebraMap R P) a + (algebraMap R P) b ∈ J

Tactic:
]

Goal state after:
case mp.refine_1
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
J : FractionalIdeal S P
hJ : J ≤ 1
a b : R
ha : a ∈ {x | (algebraMap R P) x ∈ J}
hb : b ∈ {x | (algebraMap R P) x ∈ J}
⊢ (algebraMap R P) a + (algebraMap R P) b ∈ J
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: case mp.refine_2
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
J : FractionalIdeal S P
hJ : J ≤ 1
⊢ 0 ∈ J

Tactic:
]

Goal state after:
case mp.refine_2
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
J : FractionalIdeal S P
hJ : J ≤ 1
⊢ 0 ∈ J
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: case mp.refine_3
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
J : FractionalIdeal S P
hJ : J ≤ 1
c x : R
hx : x ∈ { carrier := {x | (algebraMap R P) x ∈ J}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier
⊢ c • (algebraMap R P) x ∈ J

Tactic:
]

Goal state after:
case mp.refine_3
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
J : FractionalIdeal S P
hJ : J ≤ 1
c x : R
hx : x ∈ { carrier := {x | (algebraMap R P) x ∈ J}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier
⊢ c • (algebraMap R P) x ∈ J
Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M
inst✝³ : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t ↦ ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
c₂_def : ∀ (t : Fin (s + 1)), c₂ t = ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
r : Associates N
hr : r ≤ ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩)
this : r ≤ n
| ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩

Tactic:
← d.symm_apply_apply ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩

Goal state after:
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M
inst✝³ : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t ↦ ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
c₂_def : ∀ (t : Fin (s + 1)), c₂ t = ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
r : Associates N
hr : r ≤ ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩)
this : r ≤ n
| d.symm (d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩)
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: case mp.refine_4.mp
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
J : FractionalIdeal S P
hJ : J ≤ 1
x : P
y : R
hy : y ∈ ↑{ carrier := {x | (algebraMap R P) x ∈ J}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }
eq_y : (Algebra.linearMap R P) y = x
⊢ (Algebra.linearMap R P) y ∈ J

Tactic:
]

Goal state after:
case mp.refine_4.mp
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
J : FractionalIdeal S P
hJ : J ≤ 1
x : P
y : R
hy : y ∈ ↑{ carrier := {x | (algebraMap R P) x ∈ J}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }
eq_y : (Algebra.linearMap R P) y = x
⊢ (Algebra.linearMap R P) y ∈ J
Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors

Goal state before:
pp: case neg.refine_2
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M
inst✝³ : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t ↦ ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
c₂_def : ∀ (t : Fin (s + 1)), c₂ t = ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
r : Associates N
hr : r ≤ ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩)
this : r ≤ n
⊢ ⟨r, this⟩ ≤ d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩

Tactic:
]

Goal state after:
case neg.refine_2
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M
inst✝³ : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t ↦ ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
c₂_def : ∀ (t : Fin (s + 1)), c₂ t = ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
r : Associates N
hr : r ≤ ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩)
this : r ≤ n
⊢ ⟨r, this⟩ ≤ d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
J : FractionalIdeal S P
I : Ideal R
hI : ↑I = J
⊢ ↑I ≤ 1

Tactic:
]

Goal state after:
case mpr
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
J : FractionalIdeal S P
I : Ideal R
hI : ↑I = J
⊢ ↑I ≤ 1
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
I : LieIdeal K L
x : L
hxI : x ∈ ↑↑(LieSubmodule.restr I H)
hxH : x ∈ ↑↑H.toLieSubmodule
f : ↥LieSubalgebra.root → LieIdeal K ↥H := fun α ↦ corootSpace ⇑↑α
span_I_roots : LieIdeal K ↥H := ⨆ α ∈ I.rootSet, f α
span_compl_roots : LieIdeal K ↥H := ⨆ β, ⨆ (_ : β ∉ I.rootSet), f β
h_split : span_I_roots ⊔ span_compl_roots = ⨆ α, f α
h_top : span_I_roots ⊔ span_compl_roots = ⊤
hspan_I_roots_incl : LieSubmodule.map H.toLieSubmodule.incl span_I_roots = ⨆ α ∈ I.rootSet, corootSubmodule ↑α
hspan_compl_roots_vanish : ∀ μ ∈ I.rootSet, ↑span_compl_roots ≤ Weight.ker
hx_top : ⟨x, hxH⟩ ∈ span_I_roots ⊔ span_compl_roots
a : ↥H
ha : a ∈ ↑span_I_roots
b : ↥H
hb : b ∈ ↑span_compl_roots
hab : a + b = ⟨x, hxH⟩
haI : ↑a ∈ I
h_sum : ↑a + ↑b = x
⊢ ↑b = ↑b

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
I : FractionalIdeal S P
⊢ 1 ∈ I ↔ 1 ∈ I

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
S : Submonoid R
P : Type u_4
inst✝³ : Nontrivial P
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : Module.IsTorsionFree R P
hR : IsNoetherianRing R
hS : S ≤ R⁰
I : FractionalIdeal S P
this : Module.Finite R ↥I.num
⊢ Module.Finite R ↥↑I

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
S : Submonoid R
P : Type u_4
inst✝³ : Nontrivial P
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : Module.IsTorsionFree R P
hR : IsNoetherianRing R
hS : S ≤ R⁰
I : FractionalIdeal S P
this : Module.Finite R ↥I.num
⊢ Module.Finite R ↥↑I
Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors

Goal state before:
pp: case neg.refine_3
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M
inst✝³ : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t ↦ ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
c₂_def : ∀ (t : Fin (s + 1)), c₂ t = ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
r : Associates N
i : Fin (s + 1)
hr : r = c₂ i
⊢ ⟨c₁ i, ⋯⟩ ≤ ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩

Tactic:
]

Goal state after:
case neg.refine_3
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero M
inst✝³ : IsCancelMulZero M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t ↦ ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
c₂_def : ∀ (t : Fin (s + 1)), c₂ t = ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
r : Associates N
i : Fin (s + 1)
hr : r = c₂ i
⊢ ⟨c₁ i, ⋯⟩ ≤ ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩