mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
⊢ ∀ (x : N ⊗[R] Q), (inverse_of_rightInverse Q hfg hgh ∘ₗ rTensor Q g) x = (rTensor Q f).range.mkQ x

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
⊢ ∀ (x : N ⊗[R] Q), (inverse_of_rightInverse Q hfg hgh ∘ₗ rTensor Q g) x = (rTensor Q f).range.mkQ x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
y : N ⊗[R] Q
⊢ Submodule.Quotient.mk y = Submodule.Quotient.mk y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
⊢ (rTensor Q f).range.mkQ = (rTensor Q f).range.mkQ

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q
⊢ (toFun Q hfg) (Submodule.Quotient.mk y) = (rTensor Q g) y

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q
⊢ (toFun Q hfg) (Submodule.Quotient.mk y) = (rTensor Q g) y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
⊢ Exact ⇑(lTensor Q f) ⇑(lTensor Q g)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
⊢ Exact ⇑(lTensor Q f) ⇑(lTensor Q g)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
N : Submodule R M
⊢ Exact ⇑(rTensor Q N.subtype) ⇑(rTensor Q N.mkQ)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
N : Submodule R M
⊢ Exact ⇑(rTensor Q N.subtype) ⇑(rTensor Q N.mkQ)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
I : Ideal R
⊢ ((TensorProduct.mk R (R ⧸ I) Q) 1 ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid R Q)).ker = comap (↑(TensorProduct.lid R Q)) (I • ⊤)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
I : Ideal R
⊢ ((TensorProduct.mk R (R ⧸ I) Q) 1 ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid R Q)).ker = comap (↑(TensorProduct.lid R Q)) (I • ⊤)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: case e'_3
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
I : Ideal R
⊢ I • ⊤ = I • ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ (lTensor P g' ∘ₗ rTensor N' g).ker = (lTensor N f').range ⊔ (rTensor N' f).range

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ (lTensor P g' ∘ₗ rTensor N' g).ker = (lTensor N f').range ⊔ (rTensor N' f).range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ Submodule.comap (rTensor N' g) (lTensor P g').ker = (lTensor N f').range ⊔ (rTensor N' f).range

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ Submodule.comap (rTensor N' g) (lTensor P g').ker = (lTensor N f').range ⊔ (rTensor N' f).range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ Submodule.comap (rTensor N' g) (lTensor P g').ker = (lTensor N f').range ⊔ (rTensor N' g).ker

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ Submodule.comap (rTensor N' g) (lTensor P g').ker = (lTensor N f').range ⊔ (rTensor N' g).ker
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ Submodule.comap (rTensor N' g) (lTensor P g').ker =
    Submodule.comap (rTensor N' g) (Submodule.map (rTensor N' g) (lTensor N f').range)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ Submodule.comap (rTensor N' g) (lTensor P g').ker =
    Submodule.comap (rTensor N' g) (Submodule.map (rTensor N' g) (lTensor N f').range)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ (lTensor P g').ker = (map g f').range

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ (lTensor P g').ker = (map g f').range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ (lTensor P g').ker = Submodule.map (lTensor P f') (rTensor M' g).range

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ (lTensor P g').ker = Submodule.map (lTensor P f') (rTensor M' g).range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ (lTensor P g').ker = (lTensor P f').range

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ (lTensor P g').ker = (lTensor P f').range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
⊢ (lTensor P f').range = (lTensor P f').range

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
⊢ ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I)) =
    ↑(LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype).range

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
⊢ ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I)) =
    ↑(LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype).range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I)))
⊢ ∃ y, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = x

Tactic:
]

Goal state after:
case a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeLeft '' ↑I)))
⊢ ∃ y, (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Finiteness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M ⊗[R] N
Sx : Multiset (M × N)
hx : x = (Multiset.map (fun i ↦ i.1 ⊗ₜ[R] i.2) Sx).sum
Sy : Multiset (M × N)
hy : y = (Multiset.map (fun i ↦ i.1 ⊗ₜ[R] i.2) Sy).sum
⊢ (Multiset.map (fun i ↦ i.1 ⊗ₜ[R] i.2) Sx).sum + (Multiset.map (fun i ↦ i.1 ⊗ₜ[R] i.2) Sy).sum =
    (Multiset.map (fun i ↦ i.1 ⊗ₜ[R] i.2) Sx).sum + (Multiset.map (fun i ↦ i.1 ⊗ₜ[R] i.2) Sy).sum

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Finiteness

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M ⊗[R] N
Sx : M →₀ N
hx : x = Sx.sum fun m n ↦ m ⊗ₜ[R] n
Sy : M →₀ N
hy : y = Sy.sum fun m n ↦ m ⊗ₜ[R] n
⊢ ((Sx.sum fun m n ↦ m ⊗ₜ[R] n) + Sy.sum fun m n ↦ m ⊗ₜ[R] n) = (Sx + Sy).sum fun m n ↦ m ⊗ₜ[R] n

Tactic:
]

Goal state after:
case h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M ⊗[R] N
Sx : M →₀ N
hx : x = Sx.sum fun m n ↦ m ⊗ₜ[R] n
Sy : M →₀ N
hy : y = Sy.sum fun m n ↦ m ⊗ₜ[R] n
⊢ ((Sx.sum fun m n ↦ m ⊗ₜ[R] n) + Sy.sum fun m n ↦ m ⊗ₜ[R] n) = (Sx + Sy).sum fun m n ↦ m ⊗ₜ[R] n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Finiteness

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x : M ⊗[R] N
S : M →₀ N
h : x = S.sum fun m n ↦ m ⊗ₜ[R] n
⊢ ∑ a ∈ S.support, a ⊗ₜ[R] S a = ∑ i ∈ S.graph, i.1 ⊗ₜ[R] i.2

Tactic:
]

Goal state after:
case h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x : M ⊗[R] N
S : M →₀ N
h : x = S.sum fun m n ↦ m ⊗ₜ[R] n
⊢ ∑ a ∈ S.support, a ⊗ₜ[R] S a = ∑ i ∈ S.graph, i.1 ⊗ₜ[R] i.2
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: case a.zero
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
⊢ 0 ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I))

Tactic:
]

Goal state after:
case a.zero
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
⊢ 0 ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
a : ↥(Submodule.restrictScalars R I)
b : B
this : ↑a ⊗ₜ[R] b = 1 ⊗ₜ[R] b * ↑a ⊗ₜ[R] 1
⊢ 1 ⊗ₜ[R] b * ↑a ⊗ₜ[R] 1 ∈ map includeLeft I

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
a : ↥(Submodule.restrictScalars R I)
b : B
this : ↑a ⊗ₜ[R] b = 1 ⊗ₜ[R] b * ↑a ⊗ₜ[R] 1
⊢ 1 ⊗ₜ[R] b * ↑a ⊗ₜ[R] 1 ∈ map includeLeft I
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: case a.add
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
x y : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B
hx :
  (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I))
hy :
  (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I))
⊢ (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) x +
      (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y ∈
    ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I))

Tactic:
]

Goal state after:
case a.add
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A
x y : ↥(Submodule.restrictScalars R I) ⊗[R] B
hx :
  (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I))
hy :
  (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I))
⊢ (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) x +
      (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y ∈
    ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
⊢ ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeRight I)) =
    ↑(LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype).range

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
⊢ ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeRight I)) =
    ↑(LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype).range
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeRight '' ↑I)))
⊢ ∃ y, (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = x

Tactic:
]

Goal state after:
case a
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
x : A ⊗[R] B
hx : x ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (Submodule.span (A ⊗[R] B) (⇑includeRight '' ↑I)))
⊢ ∃ y, (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype) y = x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: case a.zero
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
⊢ 0 ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeRight I))

Tactic:
]

Goal state after:
case a.zero
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
⊢ 0 ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeRight I))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.RightExactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
a : A
b : ↥(Submodule.restrictScalars R I)
this : a ⊗ₜ[R] ↑b = a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] ↑b
⊢ a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] ↑b ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeRight I))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
a : A
b : ↥(Submodule.restrictScalars R I)
this : a ⊗ₜ[R] ↑b = a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] ↑b
⊢ a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] ↑b ∈ ↑(Submodule.restrictScalars R (map includeRight I))