mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) s
hs : s.Nonempty
c : α
hc : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) s → c ≤ sSup s → ∃ x ∈ s, c ≤ x
hcinf : c ≤ a ∧ c ≤ sSup s
⊢ c ≤ ⨆ b ∈ s, a ⊓ b

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) s
hs : s.Nonempty
c : α
hc : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) s → c ≤ sSup s → ∃ x ∈ s, c ≤ x
hcinf : c ≤ a ∧ c ≤ sSup s
⊢ c ≤ ⨆ b ∈ s, a ⊓ b
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case neg
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) s
hs : s = ∅
⊢ ∀ (c : α), IsCompactElement c → c ≤ a ⊓ sSup s → c ≤ ⨆ b ∈ s, a ⊓ b

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) s
hs : s = ∅
⊢ ∀ (c : α), IsCompactElement c → c ≤ a ⊓ sSup s → c ≤ ⨆ b ∈ s, a ⊓ b
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: case mpr.zero
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
S : Set M
f g : ↥(span R S) →ₗ[R] N
h : ∀ (s : ↑S), f ⟨↑s, ⋯⟩ = g ⟨↑s, ⋯⟩
x : M
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: case mpr.add
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
S : Set M
f g : ↥(span R S) →ₗ[R] N
h : ∀ (s : ↑S), f ⟨↑s, ⋯⟩ = g ⟨↑s, ⋯⟩
x✝ x y : M
hx : x ∈ span R S
hy : y ∈ span R S
hx' : f ⟨x, hx⟩ = g ⟨x, hx⟩
hy' : f ⟨y, hy⟩ = g ⟨y, hy⟩
⊢ f ⟨x, hx⟩ + f ⟨y, hy⟩ = g ⟨x, hx⟩ + g ⟨y, hy⟩

Tactic:
]

Goal state after:
case mpr.add
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
S : Set M
f g : ↥(span R S) →ₗ[R] N
h : ∀ (s : ↑S), f ⟨↑s, ⋯⟩ = g ⟨↑s, ⋯⟩
x✝ x y : M
hx : x ∈ span R S
hy : y ∈ span R S
hx' : f ⟨x, hx⟩ = g ⟨x, hx⟩
hy' : f ⟨y, hy⟩ = g ⟨y, hy⟩
⊢ f ⟨x, hx⟩ + f ⟨y, hy⟩ = g ⟨x, hx⟩ + g ⟨y, hy⟩
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a : α
h : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) f
⊢ ⨆ i, a ⊓ f i = ⨆ i, a ⊓ f i

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: case mpr.add
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
S : Set M
f g : ↥(span R S) →ₗ[R] N
h : ∀ (s : ↑S), f ⟨↑s, ⋯⟩ = g ⟨↑s, ⋯⟩
x✝ x y : M
hx : x ∈ span R S
hy : y ∈ span R S
hx' : f ⟨x, hx⟩ = g ⟨x, hx⟩
hy' : f ⟨y, hy⟩ = g ⟨y, hy⟩
⊢ g ⟨x, hx⟩ + g ⟨y, hy⟩ = g ⟨x, hx⟩ + g ⟨y, hy⟩

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a : α
h : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) f
⊢ ⨆ i, f i ⊓ a = ⨆ i, f i ⊓ a

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: case mpr.smul
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
S : Set M
f g : ↥(span R S) →ₗ[R] N
h : ∀ (s : ↑S), f ⟨↑s, ⋯⟩ = g ⟨↑s, ⋯⟩
x✝ : M
a : R
x : M
hx : x ∈ span R S
hx' : f ⟨x, hx⟩ = g ⟨x, hx⟩
⊢ a • f ⟨x, hx⟩ = a • g ⟨x, hx⟩

Tactic:
]

Goal state after:
case mpr.smul
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
S : Set M
f g : ↥(span R S) →ₗ[R] N
h : ∀ (s : ↑S), f ⟨↑s, ⋯⟩ = g ⟨↑s, ⋯⟩
x✝ : M
a : R
x : M
hx : x ∈ span R S
hx' : f ⟨x, hx⟩ = g ⟨x, hx⟩
⊢ a • f ⟨x, hx⟩ = a • g ⟨x, hx⟩
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: case mpr.smul
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
S : Set M
f g : ↥(span R S) →ₗ[R] N
h : ∀ (s : ↑S), f ⟨↑s, ⋯⟩ = g ⟨↑s, ⋯⟩
x✝ : M
a : R
x : M
hx : x ∈ span R S
hx' : f ⟨x, hx⟩ = g ⟨x, hx⟩
⊢ a • g ⟨x, hx⟩ = a • g ⟨x, hx⟩

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
⊢ a ⊓ sSup s ≤ ⨆ t, ⨆ (_ : ↑t ⊆ s), a ⊓ t.sup id

Tactic:
le_iff_compact_le_imp

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
⊢ ∀ (c : α), IsCompactElement c → c ≤ a ⊓ sSup s → c ≤ ⨆ t, ⨆ (_ : ↑t ⊆ s), a ⊓ t.sup id
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
⊢ ∀ (c : α), IsCompactElement c → c ≤ a ⊓ sSup s → c ≤ ⨆ t, ⨆ (_ : ↑t ⊆ s), a ⊓ t.sup id

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
⊢ ∀ (c : α), IsCompactElement c → c ≤ a ⊓ sSup s → c ≤ ⨆ t, ⨆ (_ : ↑t ⊆ s), a ⊓ t.sup id
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
c : α
hc : ∀ (s : Set α), c ≤ sSup s → ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ c ≤ t.sup id
hcinf : c ≤ a ⊓ sSup s
⊢ c ≤ ⨆ t, ⨆ (_ : ↑t ⊆ s), a ⊓ t.sup id

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
c : α
hc : ∀ (s : Set α), c ≤ sSup s → ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ c ≤ t.sup id
hcinf : c ≤ a ⊓ sSup s
⊢ c ≤ ⨆ t, ⨆ (_ : ↑t ⊆ s), a ⊓ t.sup id
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
c : α
hc : ∀ (s : Set α), c ≤ sSup s → ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ c ≤ t.sup id
hcinf : c ≤ a ∧ c ≤ sSup s
⊢ c ≤ ⨆ t, ⨆ (_ : ↑t ⊆ s), a ⊓ t.sup id

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a : α
s : Set α
c : α
hc : ∀ (s : Set α), c ≤ sSup s → ∃ t, ↑t ⊆ s ∧ c ≤ t.sup id
hcinf : c ≤ a ∧ c ≤ sSup s
⊢ c ≤ ⨆ t, ⨆ (_ : ↑t ⊆ s), a ⊓ t.sup id
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → sSupIndep ↑t
a : α
ha : a ∈ s
⊢ ∀ (i : Finset α), ⨆ (_ : ↑i ⊆ s \ {a}), a ⊓ i.sup id = ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → sSupIndep ↑t
a : α
ha : a ∈ s
⊢ ∀ (i : Finset α), ⨆ (_ : ↑i ⊆ s \ {a}), a ⊓ i.sup id = ⊥
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → sSupIndep ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
⊢ ↑t ⊆ s \ {a} → a ⊓ sSup ↑t = ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → sSupIndep ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
⊢ ↑t ⊆ s \ {a} → a ⊓ sSup ↑t = ⊥
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → sSupIndep ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
ht : ↑t ⊆ s \ {a}
h' : a ⊓ sSup ↑t = ⊥
⊢ a ⊓ sSup ↑t = ⊥

pp: case refine_2
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → sSupIndep ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
ht : ↑t ⊆ s \ {a}
h' : a ⊓ sSup (insert a ↑t \ {a}) = ⊥
⊢ a ∉ ↑t

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → sSupIndep ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
ht : ↑t ⊆ s \ {a}
h' : a ⊓ sSup ↑t = ⊥
⊢ a ⊓ sSup ↑t = ⊥

case refine_2
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → sSupIndep ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
ht : ↑t ⊆ s \ {a}
h' : a ⊓ sSup (insert a ↑t \ {a}) = ⊥
⊢ a ∉ ↑t
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_4
S : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : SMul R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
p : Submodule R M
x y : ↥p
hxy : ↑((inclusionSpan S p) x) = ↑((inclusionSpan S p) y)
⊢ x = y

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_4
S : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : SMul R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
p : Submodule R M
x y : ↥p
hxy : ↑((inclusionSpan S p) x) = ↑((inclusionSpan S p) y)
⊢ x = y
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → sSupIndep ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
ht : ↑t ⊆ s \ {a}
⊢ a ∈ s ∧ ↑t ⊆ s

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → sSupIndep ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α
ht : ↑t ⊆ s \ {a}
⊢ a ∈ s ∧ ↑t ⊆ s
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
i x₁ : ι
hx₁ : ¬f x₁ = ⊥
x₂ : ι
h : f x₂ = ⊥
hx₂ : ¬f x₂ = ⊥
hfeq : f x₁ = f x₂
hneq : ¬x₁ = x₂
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
i x₁ : ι
hx₁ : ¬f x₁ = ⊥
x₂ : ι
h : f x₂ = ⊥
hx₂ : ¬f x₂ = ⊥
hfeq : f x₁ = f x₂
hneq : ¬x₁ = x₂
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_4
S : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : SMul R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
p : Submodule R M
this : ⇑(span S ↑p).subtype '' range ⇑(inclusionSpan S p) = ↑p
⊢ span S ↑p = span S ↑p

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
⊢ Disjoint (f i) ((s.erase ⊥).sup id)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
⊢ Disjoint (f i) ((s.erase ⊥).sup id)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_4
S : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : SMul R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
p : Submodule R M
q : Submodule S M
h₁ : p ≤ restrictScalars R q
h₂ : q ≤ span S ↑p
this : map q.subtype (span S (range ⇑(inclusion h₁))) = q
⊢ q = q

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_4
S : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : SMul R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
p : Submodule R M
q : Submodule S M
h₁ : p ≤ restrictScalars R q
h₂ : q ≤ span S ↑p
⊢ span S (⇑q.subtype '' range ⇑(inclusion h₁)) = q

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_4
S : Type u_7
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : SMul R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
p : Submodule R M
q : Submodule S M
h₁ : p ≤ restrictScalars R q
h₂ : q ≤ span S ↑p
⊢ span S (⇑q.subtype '' range ⇑(inclusion h₁)) = q
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: case mp.inr.refine_2
R : Type u_8
M : Type u_9
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.IsTorsionFree R M
y : M
a b : R
hb : b • a • y = y
hy : b • a • y ≠ 0
⊢ a * b = 1

Tactic:
]

Goal state after:
case mp.inr.refine_2
R : Type u_8
M : Type u_9
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.IsTorsionFree R M
y : M
a b : R
hb : b • a • y = y
hy : b • a • y ≠ 0
⊢ a * b = 1
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
t : Finset α := s.erase ⊥
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑t)
this : Finset.image f ((insert i (t.preimage f hf)).erase i) = t
⊢ Disjoint (f i) (((insert i (t.preimage f hf)).erase i).sup (id ∘ f))

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
t : Finset α := s.erase ⊥
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑t)
this : Finset.image f ((insert i (t.preimage f hf)).erase i) = t
⊢ Disjoint (f i) (((insert i (t.preimage f hf)).erase i).sup (id ∘ f))
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
t : Finset α := s.erase ⊥
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑t)
h : ∀ i_1 ∈ insert i (t.preimage f hf), Disjoint (f i_1) (((insert i (t.preimage f hf)).erase i_1).sup f)
this : Finset.image f ((insert i (t.preimage f hf)).erase i) = t
⊢ Disjoint (f i) (((insert i (t.preimage f hf)).erase i).sup (id ∘ f))

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
t : Finset α := s.erase ⊥
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑t)
h : ∀ i_1 ∈ insert i (t.preimage f hf), Disjoint (f i_1) (((insert i (t.preimage f hf)).erase i_1).sup f)
this : Finset.image f ((insert i (t.preimage f hf)).erase i) = t
⊢ Disjoint (f i) (((insert i (t.preimage f hf)).erase i).sup (id ∘ f))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : RingHomSurjective σ₁₂
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
x : M
s : Set M
h : x ∈ span R s
⊢ f x ∈ map f (span R s)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : RingHomSurjective σ₁₂
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
x : M
s : Set M
h : x ∈ span R s
⊢ f x ∈ map f (span R s)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : RingHomSurjective σ₁₂
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
x : M
s : Set M
hf : Injective ⇑f
⊢ x ∈ span R s ↔ x ∈ span R s

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
⊢ Disjoint (f i) ((s.erase ⊥).sup id)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
⊢ Disjoint (f i) ((s.erase ⊥).sup id)
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
η : Type u_3
s : η → Set α
hs : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ⊆ x2) s
h : ∀ (i : η), sSupIndep (s i)
hη : Nonempty η
⊢ ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ ⋃ i, s i → sSupIndep ↑t

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
η : Type u_3
s : η → Set α
hs : Directed (fun x1 x2 ↦ x1 ⊆ x2) s
h : ∀ (i : η), sSupIndep (s i)
hη : Nonempty η
⊢ ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ ⋃ i, s i → sSupIndep ↑t
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Pi

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_5
inst✝ : CommSemiring R
s : Finset ι
f : ι → Set κ
g : ι → κ → R
j : κ
⊢ ∏ i ∈ s, (f i).indicator (g i) j = if j ∈ ⋂ x ∈ s, f x then (∏ i ∈ s, g i) j else 0

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_5
inst✝ : CommSemiring R
s : Finset ι
f : ι → Set κ
g : ι → κ → R
j : κ
⊢ ∏ i ∈ s, (f i).indicator (g i) j = if j ∈ ⋂ x ∈ s, f x then (∏ i ∈ s, g i) j else 0
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Pi

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_5
inst✝ : CommSemiring R
s : Finset ι
f : ι → Set κ
g : ι → κ → R
j : κ
hj : j ∈ ⋂ x ∈ s, f x
⊢ ∏ i ∈ s, (f i).indicator (g i) j = ∏ c ∈ s, g c j

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_5
inst✝ : CommSemiring R
s : Finset ι
f : ι → Set κ
g : ι → κ → R
j : κ
hj : j ∈ ⋂ x ∈ s, f x
⊢ ∏ i ∈ s, (f i).indicator (g i) j = ∏ c ∈ s, g c j
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set (Set α)
hs : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ⊆ x2) s
h : ∀ a ∈ s, sSupIndep a
⊢ sSupIndep (⋃ i, ↑i)

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
s : Set (Set α)
hs : DirectedOn (fun x1 x2 ↦ x1 ⊆ x2) s
h : ∀ a ∈ s, sSupIndep a
⊢ sSupIndep (⋃ i, ↑i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Span.Basic

Goal state before:
pp: case refine_4.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Sort u_8
p : ι → Submodule R M
x✝¹ : M
hx✝ : x✝¹ ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
r : R
x : M
x✝ : x ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
hx : x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
⊢ 0 ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_4.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Sort u_8
p : ι → Submodule R M
x✝¹ : M
hx✝ : x✝¹ ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
r : R
x : M
x✝ : x ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
hx : x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
⊢ 0 ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
s : Set ι
a : α
hs : ∀ t ⊆ s, t.Finite → Disjoint (⨆ i ∈ t, f i) a
u : Finset α
hu : ↑u ⊆ range fun x ↦ f ↑x
⊢ ↑u ⊆ range fun x ↦ f ↑x

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
s : Set ι
a : α
hs : ∀ t ⊆ s, t.Finite → Disjoint (⨆ i ∈ t, f i) a
u : Finset α
hu : ↑u ⊆ range fun x ↦ f ↑x
⊢ ↑u ⊆ range fun x ↦ f ↑x
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Pi

Goal state before:
pp: case intro
I : Type u_7
inst✝³ : DecidableEq I
M : I → Type u_8
inst✝² : (i : I) → CommMonoid (M i)
inst✝¹ : Finite I
N : Type u_9
inst✝ : CommMonoid N
g h : ((i : I) → M i) →* N
H : ∀ (i : I) (x : M i), g (Pi.mulSingle i x) = h (Pi.mulSingle i x)
val✝ : Fintype I
k : (i : I) → M i
⊢ ∏ x, g (Pi.mulSingle x (k x)) = ∏ x, h (Pi.mulSingle x (k x))

Tactic:
]

Goal state after:
case intro
I : Type u_7
inst✝³ : DecidableEq I
M : I → Type u_8
inst✝² : (i : I) → CommMonoid (M i)
inst✝¹ : Finite I
N : Type u_9
inst✝ : CommMonoid N
g h : ((i : I) → M i) →* N
H : ∀ (i : I) (x : M i), g (Pi.mulSingle i x) = h (Pi.mulSingle i x)
val✝ : Fintype I
k : (i : I) → M i
⊢ ∏ x, g (Pi.mulSingle x (k x)) = ∏ x, h (Pi.mulSingle x (k x))
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Pi

Goal state before:
pp: ι✝ : Type u_1
κ : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
R : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
M : ι → Type u_8
inst✝¹ : (i : ι) → CommMonoid (M i)
M' : Type u_9
inst✝ : CommMonoid M'
φ : ((i : ι) → M i) →* M'
x✝ : (i : ι) → M i
⊢ φ (∏ x, mulSingle x (x✝ x)) = φ x✝

Tactic:
refine congrArg _ <| funext fun _ ↦ ?_

Goal state after:
ι✝ : Type u_1
κ : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
R : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
M : ι → Type u_8
inst✝¹ : (i : ι) → CommMonoid (M i)
M' : Type u_9
inst✝ : CommMonoid M'
φ : ((i : ι) → M i) →* M'
x✝¹ : (i : ι) → M i
x✝ : ι
⊢ (∏ x, mulSingle x (x✝¹ x)) x✝ = x✝¹ x✝
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Pi

Goal state before:
pp: ι✝ : Type u_1
κ : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
R : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
M : ι → Type u_8
inst✝¹ : (i : ι) → CommMonoid (M i)
M' : Type u_9
inst✝ : CommMonoid M'
φ : ((i : ι) → M i) →* M'
x✝¹ : (i : ι) → M i
x✝ : ι
⊢ ∏ c, mulSingle c (x✝¹ c) x✝ = x✝¹ x✝

Tactic:
]

Goal state after:
ι✝ : Type u_1
κ : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
R : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
M : ι → Type u_8
inst✝¹ : (i : ι) → CommMonoid (M i)
M' : Type u_9
inst✝ : CommMonoid M'
φ : ((i : ι) → M i) →* M'
x✝¹ : (i : ι) → M i
x✝ : ι
⊢ ∏ c, mulSingle c (x✝¹ c) x✝ = x✝¹ x✝
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
s : Set ι
a : α
hs : ∀ t ⊆ s, t.Finite → Disjoint (⨆ i ∈ t, f i) a
u : Finset α
hu : ↑u ⊆ range fun x ↦ f ↑x
t : Set ι
ht : t ⊆ s
ht' : t.Finite
htu : u.sup id = ⨆ i ∈ t, f i
⊢ Disjoint (⨆ i ∈ t, f i) a

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
s : Set ι
a : α
hs : ∀ t ⊆ s, t.Finite → Disjoint (⨆ i ∈ t, f i) a
u : Finset α
hu : ↑u ⊆ range fun x ↦ f ↑x
t : Set ι
ht : t ⊆ s
ht' : t.Finite
htu : u.sup id = ⨆ i ∈ t, f i
⊢ Disjoint (⨆ i ∈ t, f i) a
Module: Mathlib.Algebra.BigOperators.Pi

Goal state before:
pp: ι✝ : Type u_1
κ : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
R : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
M : ι → Type u_8
inst✝¹ : (i : ι) → CommMonoid (M i)
M' : Type u_9
inst✝ : CommMonoid M'
φ : (i : ι) → M i →* M'
i : ι
m : M i
φ' : (i : ι) → M i → M' := fun i ↦ ⇑(φ i)
⊢ Finset.univ.prod (mulSingle i ((φ i) m)) = (φ i) m

Tactic:
]

Goal state after:
ι✝ : Type u_1
κ : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
R : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
M : ι → Type u_8
inst✝¹ : (i : ι) → CommMonoid (M i)
M' : Type u_9
inst✝ : CommMonoid M'
φ : (i : ι) → M i →* M'
i : ι
m : M i
φ' : (i : ι) → M i → M' := fun i ↦ ⇑(φ i)
⊢ Finset.univ.prod (mulSingle i ((φ i) m)) = (φ i) m
Module: Mathlib.Order.CompactlyGenerated.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
h : ∀ (k : α), IsCompactElement k
⊢ IsCompactlyGenerated α

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
h : ∀ (k : α), IsCompactElement k
⊢ IsCompactlyGenerated α