mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
x : ↥I
m : ↥N
⊢ ⁅↑x, ↑m⁆ ∈ lieSpan R L {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x}

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
x : ↥I
m : ↥N
⊢ ⁅↑x, ↑m⁆ ∈ lieSpan R L {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x}
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
S : Set (LieSubmodule R L M)
⊢ ⨆ a ∈ S, ↑a = ⨆ N ∈ S, ↑N

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
⊢ lieSpan R L {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ≤ ⁅J, I⁆

Tactic:
lieSpan_le

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
⊢ {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ⊆ ↑⁅J, I⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
⊢ {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ⊆ ↑⁅J, I⁆

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
⊢ {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ⊆ ↑⁅J, I⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M
⊢ sSup {x | ∃ s ∈ range fun i ↦ p i, ↑s = x} = ⨆ i, ↑(p i)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M
⊢ sSup {x | ∃ s ∈ range fun i ↦ p i, ↑s = x} = ⨆ i, ↑(p i)
Module: Mathlib.Algebra.Jordan.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocCommRing A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ +
        ⁅L b, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b) + 2 • L (c * a) + 2 • L (b * c)⁆ +
      ⁅L c, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b) + 2 • L (c * a) + 2 • L (b * c)⁆ =
    ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ +
        (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) +
      (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ +
        ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆)

Tactic:
]

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocCommRing A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ +
        ⁅L b, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b) + 2 • L (c * a) + 2 • L (b * c)⁆ +
      ⁅L c, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b) + 2 • L (c * a) + 2 • L (b * c)⁆ =
    ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ +
        (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) +
      (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ +
        ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
x : L
y : ↥I
z : ↥J
h : ⁅↑y, ↑z⁆ = x
⊢ ⁅↑y, ↑z⁆ ∈ ↑⁅J, I⁆

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
x : L
y : ↥I
z : ↥J
h : ⁅↑y, ↑z⁆ = x
⊢ ⁅↑y, ↑z⁆ ∈ ↑⁅J, I⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
ι : Sort u_1
N : ι → LieSubmodule R L M
motive : M → Prop
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, ↑(N i)
mem : ∀ (i : ι), ∀ y ∈ N i, motive y
zero : motive 0
add : ∀ (y z : M), motive y → motive z → motive (y + z)
⊢ motive x

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
ι : Sort u_1
N : ι → LieSubmodule R L M
motive : M → Prop
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, ↑(N i)
mem : ∀ (i : ι), ∀ y ∈ N i, motive y
zero : motive 0
add : ∀ (y z : M), motive y → motive z → motive (y + z)
⊢ motive x
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Ideal

Goal state before:
pp: case a
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
J : LieIdeal R L'
h : toLieSubalgebra R L' f.idealRange = f.range
⊢ f.idealRange ⊓ J ≤ map f (comap f J)

Tactic:
]

Goal state after:
case a
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
J : LieIdeal R L'
h : toLieSubalgebra R L' f.idealRange = f.range
⊢ f.idealRange ⊓ J ≤ map f (comap f J)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
x : L
y : ↥I
z : ↥J
h : ⁅↑y, ↑z⁆ = x
⊢ ⁅↑z, ↑(-y)⁆ ∈ ↑⁅J, I⁆

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
x : L
y : ↥I
z : ↥J
h : ⁅↑y, ↑z⁆ = x
⊢ ⁅↑z, ↑(-y)⁆ ∈ ↑⁅J, I⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ lieSpan R L {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ≤ N

Tactic:
lieSpan_le

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ⊆ ↑N
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ⊆ ↑N

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ⊆ ↑N
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
m : M
x : ↥I
n : ↥N
hn : ⁅↑x, ↑n⁆ = m
⊢ ⁅↑x, ↑n⁆ ∈ ↑N

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
m : M
x : ↥I
n : ↥N
hn : ⁅↑x, ↑n⁆ = m
⊢ ⁅↑x, ↑n⁆ ∈ ↑N
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Ideal

Goal state before:
pp: case a
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
J : LieIdeal R L'
h : toLieSubalgebra R L' f.idealRange = f.range
⊢ ↑f.range ∩ ↑J ⊆ ↑(map f (comap f J))

Tactic:
]

Goal state after:
case a
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
J : LieIdeal R L'
h : toLieSubalgebra R L' f.idealRange = f.range
⊢ ↑f.range ∩ ↑J ⊆ ↑(map f (comap f J))
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
⊢ ⁅J, I⁆ ≤ I

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
⊢ ⁅J, I⁆ ≤ I
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
⊢ ⁅I, J⁆ ≤ I ∧ ⁅I, J⁆ ≤ J

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
⊢ ⁅I, J⁆ ≤ I ∧ ⁅I, J⁆ ≤ J
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ ∀ m ∈ ⁅I, ⊥⁆, m = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ ∀ m ∈ ⁅I, ⊥⁆, m = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Ideal

Goal state before:
pp: case a
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
J : LieIdeal R L'
h : toLieSubalgebra R L' f.idealRange = f.range
y : L'
x : L
h₂ : ↑f x ∈ ↑J
h₁ : ↑f x = y
⊢ ↑f x ∈ ↑(map f (comap f J))

Tactic:
]

Goal state after:
case a
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
J : LieIdeal R L'
h : toLieSubalgebra R L' f.idealRange = f.range
y : L'
x : L
h₂ : ↑f x ∈ ↑J
h₁ : ↑f x = y
⊢ ↑f x ∈ ↑(map f (comap f J))
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ ∀ m ∈ ⁅I, ⊥⁆, m = 0

Tactic:
apply lie_le_right

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
⊢ lieSpan R L {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ≤ ⊥

Tactic:
lieSpan_le

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
⊢ {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ⊆ ↑⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
⊢ {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ⊆ ↑⊥

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
⊢ {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ⊆ ↑⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
m : M
x : L
hx : x ∈ ⊥
n : ↥N
hn : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ = m
⊢ ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ ∈ ↑⊥

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
m : M
x : L
hx : x ∈ ⊥
n : ↥N
hn : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ = m
⊢ ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ ∈ ↑⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
m : M
x : L
n : ↥N
hx✝ : x ∈ ⊥
hx : x = 0
hn : ⁅↑⟨x, hx✝⟩, ↑n⁆ = m
⊢ ⁅↑⟨x, hx✝⟩, ↑n⁆ ∈ ↑⊥

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
m : M
x : L
n : ↥N
hx✝ : x ∈ ⊥
hx : x = 0
hn : ⁅↑⟨x, hx✝⟩, ↑n⁆ = m
⊢ ⁅↑⟨x, hx✝⟩, ↑n⁆ ∈ ↑⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ (∀ m ∈ {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x}, m = 0) ↔ ∀ x ∈ I, ∀ m ∈ N, ⁅x, m⁆ = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ (∀ m ∈ {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x}, m = 0) ↔ ∀ x ∈ I, ∀ m ∈ N, ⁅x, m⁆ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Jordan.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocCommRing A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ +
        ⁅L b, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b) + 2 • L (c * a) + 2 • L (b * c)⁆ +
      ⁅L c, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b) + 2 • L (c * a) + 2 • L (b * c)⁆ =
    ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ +
        (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) +
      (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ +
        ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆)

Tactic:
]

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocCommRing A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ +
        ⁅L b, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b) + 2 • L (c * a) + 2 • L (b * c)⁆ +
      ⁅L c, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b) + 2 • L (c * a) + 2 • L (b * c)⁆ =
    ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ +
        (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ +
          ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) +
      (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ +
        ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
⊢ Disjoint ↑N ↑N' ↔ Disjoint ↑N ↑N'

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ J
h₂ : N ≤ N'
m : M
h : ∀ (N_1 : LieSubmodule R L M), {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ⊆ ↑N_1 → m ∈ N_1
⊢ m ∈ ⁅J, N'⁆

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ J
h₂ : N ≤ N'
m : M
h : ∀ (N_1 : LieSubmodule R L M), {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ⊆ ↑N_1 → m ∈ N_1
⊢ m ∈ ⁅J, N'⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
h : ↑(map f I) = ⇑f '' ↑I
⊢ ↑I ⊔ (↑f).ker = ↑I ⊔ (↑f).ker

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ J
h₂ : N ≤ N'
m : M
h : ∀ (N_1 : LieSubmodule R L M), {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ⊆ ↑N_1 → m ∈ N_1
⊢ ∀ (N : LieSubmodule R L M), {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ⊆ ↑N → m ∈ N

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ J
h₂ : N ≤ N'
m : M
h : ∀ (N_1 : LieSubmodule R L M), {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ⊆ ↑N_1 → m ∈ N_1
⊢ ∀ (N : LieSubmodule R L M), {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ⊆ ↑N → m ∈ N
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
⊢ Codisjoint ↑N ↑N' ↔ Codisjoint ↑N ↑N'

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
ι : Sort u_1
N : ι → LieSubmodule R L M
⊢ ⨆ i, N i = ⊤ ↔ ⨆ i, N i = ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ J
h₂ : N✝ ≤ N'
m : M
h : ∀ (N : LieSubmodule R L M), {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ⊆ ↑N → m ∈ N
N : LieSubmodule R L M
hN : {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ⊆ ↑N
m' : M
x : L
hx : x ∈ I
n : M
hn : n ∈ N✝
hm : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑⟨n, hn⟩⁆ = m'
⊢ ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑⟨n, hn⟩⁆ ∈ ↑N

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ J
h₂ : N✝ ≤ N'
m : M
h : ∀ (N : LieSubmodule R L M), {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ⊆ ↑N → m ∈ N
N : LieSubmodule R L M
hN : {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x} ⊆ ↑N
m' : M
x : L
hx : x ∈ I
n : M
hn : n ∈ N✝
hm : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑⟨n, hn⟩⁆ = m'
⊢ ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑⟨n, hn⟩⁆ ∈ ↑N
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ ∃ N, ↑N = ↑I

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ ∃ N, ↑N = ↑I
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
x : M
⊢ x ∈ ↑N ∧ x ∈ ↑N' ↔ x ∈ ↑N ∧ x ∈ ↑N'

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ toLieSubalgebra R L I = I.incl.range

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ toLieSubalgebra R L I = I.incl.range
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
x : M
⊢ (∃ y ∈ ↑N, ∃ z ∈ ↑N', y + z = x) ↔ ∃ y ∈ N, ∃ z ∈ N', y + z = x

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
x : M
⊢ (∃ y ∈ ↑N, ∃ z ∈ ↑N', y + z = x) ↔ ∃ y ∈ N, ∃ z ∈ N', y + z = x
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I I₂ : LieIdeal R L
⊢ Submodule.comap (toLieSubalgebra R L I).subtype ↑I₂ = ⊤ ↔ I ≤ I₂

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I I₂ : LieIdeal R L
⊢ Submodule.comap (toLieSubalgebra R L I).subtype ↑I₂ = ⊤ ↔ I ≤ I₂
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ N ≤ ⊥ ↔ ∀ m ∈ N, m = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ N ≤ ⊥ ↔ ∀ m ∈ N, m = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.IdealOperations

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ ⁅I, N⁆ ≤ ⁅I, N ⊔ N'⁆ ∧ ⁅I, N'⁆ ≤ ⁅I, N ⊔ N'⁆

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
⊢ ⁅I, N⁆ ≤ ⁅I, N ⊔ N'⁆ ∧ ⁅I, N'⁆ ≤ ⁅I, N ⊔ N'⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I I₂ : LieIdeal R L
⊢ I ≤ I₂ ↔ I ≤ I₂

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
⊢ ⊥ = ⊤ ↔ ⊥ = ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Submodule

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ Subsingleton ↥N → ∀ m ∈ N, m = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ Subsingleton ↥N → ∀ m ∈ N, m = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
s : Set M
x : M
⊢ x ∈ ⋂ s_1 ∈ {N | s ⊆ ↑N}, ↑s_1 ↔ ∀ (N : LieSubmodule R L M), s ⊆ ↑N → x ∈ N

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
s : Set M
x : M
⊢ x ∈ ⋂ s_1 ∈ {N | s ⊆ ↑N}, ↑s_1 ↔ ∀ (N : LieSubmodule R L M), s ⊆ ↑N → x ∈ N