mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞ω
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : PartialEquiv M E := extChartAt I x
e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' t ∩ range ↑I')
      (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))
hf : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞ω
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
st : MapsTo f s t
e : PartialEquiv M E := extChartAt I x
e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hg :
  ContinuousWithinAt g t (f x) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' (g (f x))) ∘ g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' t ∩ range ↑I')
      (writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x))
hf : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑e' ∘ f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
this : ↑e' (f x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑e x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I'' ((g ∘ f) x)) ∘ (g ∘ f) ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑e x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inr.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
hM : IsManifold I n M
hM' : IsManifold I n M'
e e' : OpenPartialHomeomorph (M ⊕ M') H
he : e ∈ atlas H (M ⊕ M')
he' : e' ∈ atlas H (M ⊕ M')
h : Nonempty H
f : OpenPartialHomeomorph M' H
hf : f ∈ atlas H M'
hef : e = f.lift_openEmbedding ⋯
f' : OpenPartialHomeomorph M' H
hf' : f' ∈ atlas H M'
he'f' : e' = f'.lift_openEmbedding ⋯
⊢ f.symm ≫ₕ f' ∈ contDiffGroupoid n I

Tactic:
]

Goal state after:
case inr.inr.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
hM : IsManifold I n M
hM' : IsManifold I n M'
e e' : OpenPartialHomeomorph (M ⊕ M') H
he : e ∈ atlas H (M ⊕ M')
he' : e' ∈ atlas H (M ⊕ M')
h : Nonempty H
f : OpenPartialHomeomorph M' H
hf : f ∈ atlas H M'
hef : e = f.lift_openEmbedding ⋯
f' : OpenPartialHomeomorph M' H
hf' : f' ∈ atlas H M'
he'f' : e' = f'.lift_openEmbedding ⋯
⊢ f.symm ≫ₕ f' ∈ contDiffGroupoid n I
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n m : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
hx : x ∈ e.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 m (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (↑I' ∘ (f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' ↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n m : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
hx : x ∈ e.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 m (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (↑I' ∘ (f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' ↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n m : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
hx : x ∈ e.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 m (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) ((↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x)))
this : ↑I x = (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x))
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (↑I' ∘ (f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' ↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n m : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
hx : x ∈ e.source
h : ContDiffWithinAt 𝕜 m (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) ((↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x)))
this : ↑I x = (↑I ∘ ↑e.symm ∘ ↑I.symm) (↑I (↑e x))
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (↑I' ∘ (f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' ↑e.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑e x))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
F' : Type u_11
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝² : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
s : Set M
x : M
n : WithTop ℕ∞
f : M → M'
g : M → N'
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
      (↑(extChartAt I x) x)
hg :
  ContinuousWithinAt g s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J' (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
      (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContinuousWithinAt (fun x ↦ (f x, g x)) s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt (I'.prod J') (f x, g x)) ∘ (fun x ↦ (f x, g x)) ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
      (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
F' : Type u_11
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝² : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
s : Set M
x : M
n : WithTop ℕ∞
f : M → M'
g : M → N'
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
      (↑(extChartAt I x) x)
hg :
  ContinuousWithinAt g s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J' (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
      (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContinuousWithinAt (fun x ↦ (f x, g x)) s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt (I'.prod J') (f x, g x)) ∘ (fun x ↦ (f x, g x)) ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
      (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_11
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F'
s : Set M
x : M
n : WithTop ℕ∞
f : M → E'
g : M → F'
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, E') (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
      (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
hg :
  ContinuousWithinAt g s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, F') (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
      (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContinuousWithinAt (fun x ↦ (f x, g x)) s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, E' × F') (f x, g x)) ∘ (fun x ↦ (f x, g x)) ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
      (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_11
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F'
s : Set M
x : M
n : WithTop ℕ∞
f : M → E'
g : M → F'
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, E') (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
      (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
hg :
  ContinuousWithinAt g s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, F') (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
      (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContinuousWithinAt (fun x ↦ (f x, g x)) s x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, E' × F') (f x, g x)) ∘ (fun x ↦ (f x, g x)) ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
      (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
F : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : WithTop ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
⊢ ContinuousWithinAt Prod.fst s p ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I p.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm)
      ((extChartAt (I.prod J) p).target ∩
        ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm ⁻¹' (s ∩ Prod.fst ⁻¹' (extChartAt I p.1).source))
      (↑(extChartAt (I.prod J) p) p)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
F : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : WithTop ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
⊢ ContinuousWithinAt Prod.fst s p ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I p.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm)
      ((extChartAt (I.prod J) p).target ∩
        ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm ⁻¹' (s ∩ Prod.fst ⁻¹' (extChartAt I p.1).source))
      (↑(extChartAt (I.prod J) p) p)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: case h
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ :
  ∀ (A : E →L[ℝ] E),
    0 < δ A ∧
      (∀ (B : E →L[ℝ] E), ‖B - A‖ ≤ ↑(δ A) → |B.det - A.det| ≤ ↑ε) ∧
        ∀ (t : Set E) (g : E → E),
          ApproximatesLinearOn g A t (δ A) → ENNReal.ofReal |A.det| * μ t ≤ μ (g '' t) + ↑ε * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
s_eq : s = ⋃ n, s ∩ t n
⊢ ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s ∩ t i)

pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ :
  ∀ (A : E →L[ℝ] E),
    0 < δ A ∧
      (∀ (B : E →L[ℝ] E), ‖B - A‖ ≤ ↑(δ A) → |B.det - A.det| ≤ ↑ε) ∧
        ∀ (t : Set E) (g : E → E),
          ApproximatesLinearOn g A t (δ A) → ENNReal.ofReal |A.det| * μ t ≤ μ (g '' t) + ↑ε * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
s_eq : s = ⋃ n, s ∩ t n
⊢ ∑' (n : ℕ), (μ (f '' (s ∩ t n)) + ↑ε * μ (s ∩ t n) + ↑ε * μ (s ∩ t n)) =
    ∑' (i : ℕ), μ (f '' (s ∩ t i)) + 2 * ↑ε * ∑' (i : ℕ), μ (s ∩ t i)

Tactic:
· exact fun i => hs.inter (t_meas i)

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ :
  ∀ (A : E →L[ℝ] E),
    0 < δ A ∧
      (∀ (B : E →L[ℝ] E), ‖B - A‖ ≤ ↑(δ A) → |B.det - A.det| ≤ ↑ε) ∧
        ∀ (t : Set E) (g : E → E),
          ApproximatesLinearOn g A t (δ A) → ENNReal.ofReal |A.det| * μ t ≤ μ (g '' t) + ↑ε * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
s_eq : s = ⋃ n, s ∩ t n
⊢ ∑' (n : ℕ), (μ (f '' (s ∩ t n)) + ↑ε * μ (s ∩ t n) + ↑ε * μ (s ∩ t n)) =
    ∑' (i : ℕ), μ (f '' (s ∩ t i)) + 2 * ↑ε * ∑' (i : ℕ), μ (s ∩ t i)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
F : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : WithTop ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
⊢ ContinuousWithinAt Prod.snd s p ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J p.2) ∘ Prod.snd ∘ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm)
      ((extChartAt (I.prod J) p).target ∩
        ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm ⁻¹' (s ∩ Prod.snd ⁻¹' (extChartAt J p.2).source))
      (↑(extChartAt (I.prod J) p) p)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
F : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : WithTop ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
⊢ ContinuousWithinAt Prod.snd s p ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J p.2) ∘ Prod.snd ∘ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm)
      ((extChartAt (I.prod J) p).target ∩
        ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm ⁻¹' (s ∩ Prod.snd ⁻¹' (extChartAt J p.2).source))
      (↑(extChartAt (I.prod J) p) p)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ :
  ∀ (A : E →L[ℝ] E),
    0 < δ A ∧
      (∀ (B : E →L[ℝ] E), ‖B - A‖ ≤ ↑(δ A) → |B.det - A.det| ≤ ↑ε) ∧
        ∀ (t : Set E) (g : E → E),
          ApproximatesLinearOn g A t (δ A) → ENNReal.ofReal |A.det| * μ t ≤ μ (g '' t) + ↑ε * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
s_eq : s = ⋃ n, s ∩ t n
⊢ ∑' (n : ℕ), (μ (f '' (s ∩ t n)) + ↑ε * μ (s ∩ t n) + ↑ε * μ (s ∩ t n)) =
    ∑' (a : ℕ), (μ (f '' (s ∩ t a)) + 2 * ↑ε * μ (s ∩ t a))

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ :
  ∀ (A : E →L[ℝ] E),
    0 < δ A ∧
      (∀ (B : E →L[ℝ] E), ‖B - A‖ ≤ ↑(δ A) → |B.det - A.det| ≤ ↑ε) ∧
        ∀ (t : Set E) (g : E → E),
          ApproximatesLinearOn g A t (δ A) → ENNReal.ofReal |A.det| * μ t ≤ μ (g '' t) + ↑ε * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
s_eq : s = ⋃ n, s ∩ t n
⊢ ∑' (n : ℕ), (μ (f '' (s ∩ t n)) + ↑ε * μ (s ∩ t n) + ↑ε * μ (s ∩ t n)) =
    ∑' (a : ℕ), (μ (f '' (s ∩ t a)) + 2 * ↑ε * μ (s ∩ t a))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
s : Set M
x : M
n : WithTop ℕ∞
f : M → F₁ × F₂
⊢ ContMDiffWithinAt I (𝓘(𝕜, F₁).prod 𝓘(𝕜, F₂)) n f s x ↔
    ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁) n (Prod.fst ∘ f) s x ∧ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₂) n (Prod.snd ∘ f) s x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
s : Set M
x : M
n : WithTop ℕ∞
f : M → F₁ × F₂
⊢ ContMDiffWithinAt I (𝓘(𝕜, F₁).prod 𝓘(𝕜, F₂)) n f s x ↔
    ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁) n (Prod.fst ∘ f) s x ∧ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₂) n (Prod.snd ∘ f) s x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
n : ℕ∞ω
g : M' → M''
hg : ContMDiffOn I' I'' n g univ
hf : ContMDiffOn I I' n f univ
⊢ ContMDiffOn I I'' n (g ∘ f) univ

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
n : ℕ∞ω
g : M' → M''
hg : ContMDiffOn I' I'' n g univ
hf : ContMDiffOn I I' n f univ
⊢ ContMDiffOn I I'' n (g ∘ f) univ