mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j : ι
hj : j ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
contra : P.coroot i = P.coroot j + P.coroot k
u : ℚ
hu : u > 0
v : ℚ
hv : v > 0
huv : P.root i = u • P.root j + v • P.root k
l : ι
hl : 0 < g (P.coroot l)
⊢ 0 < g (P.coroot l)

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j : ι
hj : j ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
contra : P.coroot i = P.coroot j + P.coroot k
u : ℚ
hu : u > 0
v : ℚ
hv : v > 0
huv : P.root i = u • P.root j + v • P.root k
l : ι
hl : 0 < g (P.coroot l)
⊢ 0 < g (P.coroot l)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
S₁ : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₁_def : S₁ = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₂ : Set ℤ := {z | P.root (chainTopIdx i j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₂_def : S₂ = {z | P.root (chainTopIdx i j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₁₂ : S₂ = (fun z ↦ -↑(chainTopCoeff i j) + z) '' S₁
x✝ : ℤ
⊢ x✝ ∈ Icc (-↑(chainBotCoeff i j)) ↑(chainTopCoeff i j) ↔ x✝ ∈ Icc (-↑(chainBotCoeff i j)) ↑(chainTopCoeff i j)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hk : P.root k = P.root i + P.root (-j)
⊢ b.height i + b.height (-j) = b.height i + b.height (-j)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
S₁ : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₁_def : S₁ = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₂ : Set ℤ := {z | P.root (chainTopIdx i j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₂_def : S₂ = {z | P.root (chainTopIdx i j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₁₂ : S₂ = (fun z ↦ -↑(chainTopCoeff i j) + z) '' S₁
hS₁ : S₁ = Icc (-↑(chainBotCoeff i j)) ↑(chainTopCoeff i j)
x✝ : ℤ
⊢ x✝ ∈ Icc (-↑(chainBotCoeff i (chainTopIdx i j))) ↑(chainTopCoeff i (chainTopIdx i j)) ↔
    x✝ ∈ Icc (-↑(chainBotCoeff i (chainTopIdx i j))) ↑(chainTopCoeff i (chainTopIdx i j))

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
⊢ 0 < b.height i ↔ 0 ≤ b.height i

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
⊢ 0 < b.height i ↔ 0 ≤ b.height i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
⊢ 0 < b.height i ∨ 0 < -b.height i

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
⊢ 0 < b.height i ∨ 0 < -b.height i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
⊢ 0 < -b.height i ↔ ¬0 < b.height i

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
⊢ 0 < -b.height i ↔ ¬0 < b.height i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
h : i ∈ b.support
⊢ 0 < 1

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
h : i ∈ b.support
⊢ 0 < 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
hi : 0 < b.height i
hj : 0 < b.height j
hk : P.root k = P.root i + P.root j
⊢ 0 < b.height k

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
hi : 0 < b.height i
hj : 0 < b.height j
hk : P.root k = P.root i + P.root j
⊢ 0 < b.height k
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
hi : 0 < b.height i
hj : 0 < b.height j
hk : P.root k = P.root i + P.root j
⊢ 0 < b.height i + b.height j

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
hi : 0 < b.height i
hj : 0 < b.height j
hk : P.root k = P.root i + P.root j
⊢ 0 < b.height i + b.height j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
hi : 0 < b.height i
hj : j ∈ b.support
hk : P.root k = P.root i - P.root j
⊢ b.IsPos k

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
hi : 0 < b.height i
hj : j ∈ b.support
hk : P.root k = P.root i - P.root j
⊢ b.IsPos k
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j : ι
hj : j ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
contra : P.coroot i = P.coroot j + P.coroot k
u : ℚ
hu : u > 0
v : ℚ
hv : v > 0
hjk : ∀ {l : ι}, 0 < g (P.coroot l) → ∃ c, ∑ x, c x • ↑x = P.root l
a : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
ha : ∑ x, a x • ↑x = P.root j
b : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
hb : ∑ x, b x • ↑x = P.root k
ri : ↑(⇑P.root '' s) := ⟨P.root i, ⋯⟩
huv : ∑ x, (u * ↑(a x) + v * ↑(b x)) • ↑x = ∑ x, Pi.single ri 1 x • ↑x
aux : P.root i = ∑ x, Pi.single ri 1 x • ↑x
⊢ u • Nat.cast ∘ a + v • Nat.cast ∘ b = Pi.single ri 1

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j : ι
hj : j ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
contra : P.coroot i = P.coroot j + P.coroot k
u : ℚ
hu : u > 0
v : ℚ
hv : v > 0
hjk : ∀ {l : ι}, 0 < g (P.coroot l) → ∃ c, ∑ x, c x • ↑x = P.root l
a : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
ha : ∑ x, a x • ↑x = P.root j
b : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
hb : ∑ x, b x • ↑x = P.root k
ri : ↑(⇑P.root '' s) := ⟨P.root i, ⋯⟩
huv : ∑ x, (u * ↑(a x) + v * ↑(b x)) • ↑x = ∑ x, Pi.single ri 1 x • ↑x
aux : P.root i = ∑ x, Pi.single ri 1 x • ↑x
⊢ u • Nat.cast ∘ a + v • Nat.cast ∘ b = Pi.single ri 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
hi : 0 < b.height i
hj : j ∈ b.support
hk : P.root k = P.root i - P.root j
⊢ 0 ≤ b.height i - 1

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i j k : ι
hi : 0 < b.height i
hj : j ∈ b.support
hk : P.root k = P.root i - P.root j
⊢ 0 ≤ b.height i - 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
S₁ : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₁_def : S₁ = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₂ : Set ℤ := {z | P.root (chainTopIdx i j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₂_def : S₂ = {z | P.root (chainTopIdx i j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₁₂ :
  ↑(chainBotCoeff i (chainTopIdx i j)) = ↑(chainBotCoeff i j) + ↑(chainTopCoeff i j) ∧
    ↑(chainTopCoeff i (chainTopIdx i j)) = 0
hS₁ : S₁ = Icc (-↑(chainBotCoeff i j)) ↑(chainTopCoeff i j)
hS₂ : S₂ = Icc (-↑(chainBotCoeff i (chainTopIdx i j))) ↑(chainTopCoeff i (chainTopIdx i j))
⊢ chainBotCoeff i (chainTopIdx i j) = chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ∧ chainTopCoeff i (chainTopIdx i j) = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
S₁ : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₁_def : S₁ = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₂ : Set ℤ := {z | P.root (chainTopIdx i j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₂_def : S₂ = {z | P.root (chainTopIdx i j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₁₂ :
  ↑(chainBotCoeff i (chainTopIdx i j)) = ↑(chainBotCoeff i j) + ↑(chainTopCoeff i j) ∧
    ↑(chainTopCoeff i (chainTopIdx i j)) = 0
hS₁ : S₁ = Icc (-↑(chainBotCoeff i j)) ↑(chainTopCoeff i j)
hS₂ : S₂ = Icc (-↑(chainBotCoeff i (chainTopIdx i j))) ↑(chainTopCoeff i (chainTopIdx i j))
⊢ chainBotCoeff i (chainTopIdx i j) = chainBotCoeff i j + chainTopCoeff i j ∧ chainTopCoeff i (chainTopIdx i j) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j : ι
hj : j ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
contra : P.coroot i = P.coroot j + P.coroot k
u : ℚ
hu : u > 0
v : ℚ
hv : v > 0
hjk : ∀ {l : ι}, 0 < g (P.coroot l) → ∃ c, ∑ x, c x • ↑x = P.root l
a : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
ha : ∑ x, a x • ↑x = P.root j
b : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
hb : ∑ x, b x • ↑x = P.root k
ri : ↑(⇑P.root '' s) := ⟨P.root i, ⋯⟩
huv : ∑ x, (u * ↑(a x) + v * ↑(b x)) • ↑x = ∑ x, Pi.single ri 1 x • ↑x
aux : P.root i = ∑ x, Pi.single ri 1 x • ↑x
⊢ LinearIndepOn ℚ (⇑P.root) s

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j : ι
hj : j ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
contra : P.coroot i = P.coroot j + P.coroot k
u : ℚ
hu : u > 0
v : ℚ
hv : v > 0
hjk : ∀ {l : ι}, 0 < g (P.coroot l) → ∃ c, ∑ x, c x • ↑x = P.root l
a : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
ha : ∑ x, a x • ↑x = P.root j
b : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
hb : ∑ x, b x • ↑x = P.root k
ri : ↑(⇑P.root '' s) := ⟨P.root i, ⋯⟩
huv : ∑ x, (u * ↑(a x) + v * ↑(b x)) • ↑x = ∑ x, Pi.single ri 1 x • ↑x
aux : P.root i = ∑ x, Pi.single ri 1 x • ↑x
⊢ LinearIndepOn ℚ (⇑P.root) s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : P.IsCrystallographic
i : ι
contra : ∀ j ∈ b.support, P.pairingIn ℤ j i ≤ 0
f : ι → ℤ
h₀ : 0 < ∑ j ∈ b.support, f j
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₁ : 0 < f ∨ f < 0
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
⊢ ¬f < 0

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : P.IsCrystallographic
i : ι
contra : ∀ j ∈ b.support, P.pairingIn ℤ j i ≤ 0
f : ι → ℤ
h₀ : 0 < ∑ j ∈ b.support, f j
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₁ : 0 < f ∨ f < 0
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
⊢ ¬f < 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : P.IsCrystallographic
i : ι
contra : ∀ j ∈ b.support, P.pairingIn ℤ j i ≤ 0
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₁ : 0 < f ∨ f < 0
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
h₀ : f < 0
⊢ ∑ j ∈ b.support, f j ≤ 0

Tactic:
exact Finset.sum_nonpos fun i _ ↦ h₀.le i

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
⊢ P.pairingIn ℤ (chainTopIdx i j) i = P.pairingIn ℤ (chainTopIdx i j) i

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j : ι
hj : j ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
contra : P.coroot i = P.coroot j + P.coroot k
u : ℚ
hu : u > 0
v : ℚ
hv : v > 0
hjk : ∀ {l : ι}, 0 < g (P.coroot l) → ∃ c, ∑ x, c x • ↑x = P.root l
a : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
ha : ∑ x, a x • ↑x = P.root j
b : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
hb : ∑ x, b x • ↑x = P.root k
ri : ↑(⇑P.root '' s) := ⟨P.root i, ⋯⟩
huv : ∑ x, (u * ↑(a x) + v * ↑(b x)) • ↑x = ∑ x, Pi.single ri 1 x • ↑x
aux : P.root i = ∑ x, Pi.single ri 1 x • ↑x
hli : LinearIndependent ℚ Subtype.val
⊢ u • Nat.cast ∘ a + v • Nat.cast ∘ b = Pi.single ri 1

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
j : ι
hj : j ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
k : ι
hk : k ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
contra : P.coroot i = P.coroot j + P.coroot k
u : ℚ
hu : u > 0
v : ℚ
hv : v > 0
hjk : ∀ {l : ι}, 0 < g (P.coroot l) → ∃ c, ∑ x, c x • ↑x = P.root l
a : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
ha : ∑ x, a x • ↑x = P.root j
b : ↑(⇑P.root '' s) → ℕ
hb : ∑ x, b x • ↑x = P.root k
ri : ↑(⇑P.root '' s) := ⟨P.root i, ⋯⟩
huv : ∑ x, (u * ↑(a x) + v * ↑(b x)) • ↑x = ∑ x, Pi.single ri 1 x • ↑x
aux : P.root i = ∑ x, Pi.single ri 1 x • ↑x
hli : LinearIndependent ℚ Subtype.val
⊢ u • Nat.cast ∘ a + v • Nat.cast ∘ b = Pi.single ri 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : P.IsReduced
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ P.pairingIn ℤ (chainTopIdx i j) i ≤ 3

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : P.IsReduced
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ P.pairingIn ℤ (chainTopIdx i j) i ≤ 3
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : P.IsCrystallographic
i : ι
h₀ : b.IsPos i
contra : ∀ j ∈ b.support, P.pairingIn ℤ j i ≤ 0
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
hf₁ : 0 < f
this : P.pairingIn ℤ i i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.pairingIn ℤ j i
⊢ ∑ j ∈ b.support, f j • P.pairingIn ℤ j i ≤ 0

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : P.IsCrystallographic
i : ι
h₀ : b.IsPos i
contra : ∀ j ∈ b.support, P.pairingIn ℤ j i ≤ 0
f : ι → ℤ
hf₀ : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf₂ : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
hf₁ : 0 < f
this : P.pairingIn ℤ i i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.pairingIn ℤ j i
⊢ ∑ j ∈ b.support, f j • P.pairingIn ℤ j i ≤ 0
Module: Mathlib.Data.Int.Star

Goal state before:
pp: n : ℕ
hn : Even n
x : ℤ
hx : x ∈ nonneg ℤ
this : x = x.natAbs • 1 ^ n
⊢ x.natAbs • 1 ^ n ∈ closure (range fun x ↦ x ^ n)

Tactic:
]

Goal state after:
n : ℕ
hn : Even n
x : ℤ
hx : x ∈ nonneg ℤ
this : x = x.natAbs • 1 ^ n
⊢ x.natAbs • 1 ^ n ∈ closure (range fun x ↦ x ^ n)