mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
b : SchauderBasis 𝕜 X
x : X
this : Tendsto (fun A ↦ (GeneralSchauderBasis.proj b A) x) (map Finset.range atTop) (𝓝 x)
⊢ Tendsto (fun n ↦ (b.proj n) x) atTop (𝓝 x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
b : SchauderBasis 𝕜 X
x : X
this : Tendsto (fun A ↦ (GeneralSchauderBasis.proj b A) x) (map Finset.range atTop) (𝓝 x)
⊢ Tendsto (fun n ↦ (b.proj n) x) atTop (𝓝 x)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
b : SchauderBasis 𝕜 X
inst✝ : CompleteSpace X
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖b.proj n‖ ≤ C
hCpos : 0 ≤ C
n : ℕ
⊢ ‖b.proj n‖ ≤ C

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
b : SchauderBasis 𝕜 X
inst✝ : CompleteSpace X
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖b.proj n‖ ≤ C
hCpos : 0 ≤ C
n : ℕ
⊢ ‖b.proj n‖ ≤ C
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: case succ
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
h0 : P 0 = 0
n : ℕ
ih : ∑ i ∈ Finset.range n, succSub P i = P n
⊢ P n + (P (n + 1) - P n) = P (n + 1)

Tactic:
]

Goal state after:
case succ
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
h0 : P 0 = 0
n : ℕ
ih : ∑ i ∈ Finset.range n, succSub P i = P n
⊢ P n + (P (n + 1) - P n) = P (n + 1)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
hp : p ≠ ∞
f✝ : α → E
hf : MemLp f✝ p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ∞
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ →
      AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x ↦ c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
s : Set α
st : s ⊆ t
s_compact : IsCompact s
s_closed : IsClosed[inst✝⁸] s
μs : μ (t \ s) < ↑η
hsμ : μ s < ∞
I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y ↦ c) - t.indicator fun _y ↦ c) p μ ≤ δ
k : Set α
k_compact : IsCompact k
sk : s ⊆ interior k
f : α → E
f_cont : Continuous[inst✝⁸, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] f
I2 : eLpNorm (fun x ↦ f x - s.indicator (fun _y ↦ c) x) p μ ≤ δ
_f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖
f_support : Function.support f ⊆ interior k
f_mem : MemLp f p μ
I3 : eLpNorm (f - t.indicator fun _y ↦ c) p μ ≤ ε
x : α
hx : x ∉ k
⊢ x ∉ Function.support f

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
hp : p ≠ ∞
f✝ : α → E
hf : MemLp f✝ p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ∞
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ →
      AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x ↦ c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
s : Set α
st : s ⊆ t
s_compact : IsCompact s
s_closed : IsClosed[inst✝⁸] s
μs : μ (t \ s) < ↑η
hsμ : μ s < ∞
I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y ↦ c) - t.indicator fun _y ↦ c) p μ ≤ δ
k : Set α
k_compact : IsCompact k
sk : s ⊆ interior k
f : α → E
f_cont : Continuous[inst✝⁸, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] f
I2 : eLpNorm (fun x ↦ f x - s.indicator (fun _y ↦ c) x) p μ ≤ δ
_f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖
f_support : Function.support f ⊆ interior k
f_mem : MemLp f p μ
I3 : eLpNorm (f - t.indicator fun _y ↦ c) p μ ≤ ε
x : α
hx : x ∉ k
⊢ x ∉ Function.support f
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
i j : ℕ
x : X
h : i = j
⊢ (P (j + 1)) x - (P j) x - ((P j) x - (P j) x) = (P (j + 1)) x - (P j) x

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
i j : ℕ
x : X
h : i = j
⊢ (P (j + 1)) x - (P j) x - ((P j) x - (P j) x) = (P (j + 1)) x - (P j) x
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: case neg.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
i j : ℕ
x : X
h : ¬i = j
h' : i < j
⊢ (P (i + 1)) x - (P i) x - ((P i.succ) x - (P i) x) = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case neg.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
i j : ℕ
x : X
h : ¬i = j
h' : i < j
⊢ (P (i + 1)) x - (P i) x - ((P i.succ) x - (P i) x) = 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: case neg.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
i j : ℕ
x : X
h : ¬i = j
h' : i > j
⊢ (P (j + 1)) x - (P j.succ) x - ((P j) x - (P j) x) = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case neg.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
i j : ℕ
x : X
h : ¬i = j
h' : i > j
⊢ (P (j + 1)) x - (P j.succ) x - ((P j) x - (P j) x) = 0
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Deriv

Goal state before:
pp: case succ
E : Type u_5
F : Type u_8
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : 𝓢(E, F)
n : ℕ
ih : ∀ {m : Fin n → E} {x : E}, (∂^{m} f) x = (iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x) m
m : Fin (n + 1) → E
x : E
⊢ (∂_{m 0} (∂^{Fin.tail m} f)) x = (fderiv ℝ (fun y ↦ (iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) y) (Fin.tail m)) x) (m 0)

pp: case succ.hc
E : Type u_5
F : Type u_8
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : 𝓢(E, F)
n : ℕ
ih : ∀ {m : Fin n → E} {x : E}, (∂^{m} f) x = (iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x) m
m : Fin (n + 1) → E
x : E
⊢ DifferentiableAt ℝ (iteratedFDeriv ℝ n ⇑f) x

Tactic:
]

Goal state after:
case succ
E : Type u_5
F : Type u_8
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : 𝓢(E, F)
n : ℕ
ih : ∀ {m : Fin n → E} {x : E}, (∂^{m} f) x = (iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x) m
m : Fin (n + 1) → E
x : E
⊢ (∂_{m 0} (∂^{Fin.tail m} f)) x = (fderiv ℝ (fun y ↦ (iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) y) (Fin.tail m)) x) (m 0)

case succ.hc
E : Type u_5
F : Type u_8
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : 𝓢(E, F)
n : ℕ
ih : ∀ {m : Fin n → E} {x : E}, (∂^{m} f) x = (iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x) m
m : Fin (n + 1) → E
x : E
⊢ DifferentiableAt ℝ (iteratedFDeriv ℝ n ⇑f) x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : MemLp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α → E
g_support : HasCompactSupport g
g_cont : Continuous[inst✝⁸, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] g
g_mem : MemLp g (↑p.toNNReal) μ
hg : ∫ (a : α), ‖(f - g) a‖ ^ p ∂μ ≤ ε
⊢ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε

pp: α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : MemLp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α → E
g_support : HasCompactSupport g
g_cont : Continuous[inst✝⁸, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] g
g_mem : MemLp g (↑p.toNNReal) μ
hg : (∫ (a : α), ‖(f - g) a‖ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ε ^ p⁻¹
⊢ 0 ≤ ∫ (a : α), ‖(f - g) a‖ ^ p ∂μ

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : MemLp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α → E
g_support : HasCompactSupport g
g_cont : Continuous[inst✝⁸, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] g
g_mem : MemLp g (↑p.toNNReal) μ
hg : ∫ (a : α), ‖(f - g) a‖ ^ p ∂μ ≤ ε
⊢ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε

α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : MemLp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α → E
g_support : HasCompactSupport g
g_cont : Continuous[inst✝⁸, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] g
g_mem : MemLp g (↑p.toNNReal) μ
hg : (∫ (a : α), ‖(f - g) a‖ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ε ^ p⁻¹
⊢ 0 ≤ ∫ (a : α), ‖(f - g) a‖ ^ p ∂μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
f : α → E
hf : Integrable f μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ g,
    HasCompactSupport g ∧
      ∫⁻ (x : α), ‖f x - g x‖ₑ ∂μ ≤ ε ∧
        Continuous[inst✝⁸, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] g ∧ Integrable g μ

Tactic:
simp only [← memLp_one_iff_integrable, ← eLpNorm_one_eq_lintegral_enorm] at hf ⊢

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
f : α → E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hf : MemLp f 1 μ
⊢ ∃ g,
    HasCompactSupport g ∧
      eLpNorm (fun x ↦ f x - g x) 1 μ ≤ ε ∧
        Continuous[inst✝⁸, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] g ∧ MemLp g 1 μ
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Deriv

Goal state before:
pp: case succ
E : Type u_5
F : Type u_8
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : 𝓢(E, F)
n : ℕ
IH : ∀ (m : Fin n → E), tsupport ⇑(∂^{m} f) ⊆ tsupport ⇑f
m : Fin (n + 1) → E
⊢ tsupport ⇑(∂_{m 0} (∂^{Fin.tail m} f)) ⊆ tsupport ⇑f

Tactic:
]

Goal state after:
case succ
E : Type u_5
F : Type u_8
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : 𝓢(E, F)
n : ℕ
IH : ∀ (m : Fin n → E), tsupport ⇑(∂^{m} f) ⊆ tsupport ⇑f
m : Fin (n + 1) → E
⊢ tsupport ⇑(∂_{m 0} (∂^{Fin.tail m} f)) ⊆ tsupport ⇑f
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Deriv

Goal state before:
pp: E : Type u_5
F : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : 𝓢(E, F)
x : E
⊢ (∑ i, ∂_{(stdOrthonormalBasis ℝ E) i} (∂_{(stdOrthonormalBasis ℝ E) i} f)) x = Δ (⇑f) x

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_5
F : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : 𝓢(E, F)
x : E
⊢ (∑ i, ∂_{(stdOrthonormalBasis ℝ E) i} (∂_{(stdOrthonormalBasis ℝ E) i} f)) x = Δ (⇑f) x
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: case a
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hrank : ∀ (n : ℕ), Module.finrank 𝕜 ↥(↑(P n)).range = n
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
n : ℕ
U : Submodule 𝕜 X := (↑(succSub P n)).range
V : Submodule 𝕜 X := (↑(P n)).range
W : Submodule 𝕜 X := (↑(P (n + 1))).range
hV : V ≤ W
hUW : U ≤ W
x y : X
hy : ↑(P (n + 1)) y = x
⊢ (P (n + 1)) y - (P n) y + (P n) y ∈ U ⊔ V

Tactic:
]

Goal state after:
case a
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hrank : ∀ (n : ℕ), Module.finrank 𝕜 ↥(↑(P n)).range = n
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
n : ℕ
U : Submodule 𝕜 X := (↑(succSub P n)).range
V : Submodule 𝕜 X := (↑(P n)).range
W : Submodule 𝕜 X := (↑(P (n + 1))).range
hV : V ≤ W
hUW : U ≤ W
x y : X
hy : ↑(P (n + 1)) y = x
⊢ (P (n + 1)) y - (P n) y + (P n) y ∈ U ⊔ V
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ∞
f : α → E
hf : MemLp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ∞
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ →
      AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x ↦ c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
s : Set α
st : s ⊆ t
s_closed : IsClosed[inst✝⁶] s
μs : μ (t \ s) < ↑η
hsμ : μ s < ∞
⊢ eLpNorm ((t \ s).indicator fun _y ↦ c) p μ ≤ δ

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ∞
f : α → E
hf : MemLp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ∞
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ →
      AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x ↦ c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
s : Set α
st : s ⊆ t
s_closed : IsClosed[inst✝⁶] s
μs : μ (t \ s) < ↑η
hsμ : μ s < ∞
⊢ eLpNorm ((t \ s).indicator fun _y ↦ c) p μ ≤ δ
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hrank : ∀ (n : ℕ), Module.finrank 𝕜 ↥(↑(P n)).range = n
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
n : ℕ
U : Submodule 𝕜 X := (↑(succSub P n)).range
V : Submodule 𝕜 X := (↑(P n)).range
W : Submodule 𝕜 X := (↑(P (n + 1))).range
hV : V ≤ W
hUW : U ≤ W
hW : W = U ⊔ V
x : X
x✝ : x ∈ U ⊓ V
y : X
hy : ↑(succSub P n) y = x
z : X
hz : ↑(P n) z = x
⊢ (P n) z = (P n) z

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hrank : ∀ (n : ℕ), Module.finrank 𝕜 ↥(↑(P n)).range = n
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
n : ℕ
U : Submodule 𝕜 X := (↑(succSub P n)).range
V : Submodule 𝕜 X := (↑(P n)).range
W : Submodule 𝕜 X := (↑(P (n + 1))).range
hV : V ≤ W
hUW : U ≤ W
hW : W = U ⊔ V
x : X
x✝ : x ∈ U ⊓ V
y : X
hy : ↑(succSub P n) y = x
z : X
hz : ↑(P n) z = x
⊢ (P n) ((succSub P n) y) = 0

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hrank : ∀ (n : ℕ), Module.finrank 𝕜 ↥(↑(P n)).range = n
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
n : ℕ
U : Submodule 𝕜 X := (↑(succSub P n)).range
V : Submodule 𝕜 X := (↑(P n)).range
W : Submodule 𝕜 X := (↑(P (n + 1))).range
hV : V ≤ W
hUW : U ≤ W
hW : W = U ⊔ V
x : X
x✝ : x ∈ U ⊓ V
y : X
hy : ↑(succSub P n) y = x
z : X
hz : ↑(P n) z = x
⊢ (P n) ((succSub P n) y) = 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hrank : ∀ (n : ℕ), Module.finrank 𝕜 ↥(↑(P n)).range = n
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
n : ℕ
U : Submodule 𝕜 X := (↑(succSub P n)).range
V : Submodule 𝕜 X := (↑(P n)).range
W : Submodule 𝕜 X := (↑(P (n + 1))).range
hV : V ≤ W
hUW : U ≤ W
hW : W = U ⊔ V
hdisj : U ⊓ V = ⊥
⊢ 0 < n + 1

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
P : ℕ → X →L[𝕜] X
hrank : ∀ (n : ℕ), Module.finrank 𝕜 ↥(↑(P n)).range = n
hcomp : ∀ (n m : ℕ) (x : X), (P n) ((P m) x) = (P (min n m)) x
n : ℕ
U : Submodule 𝕜 X := (↑(succSub P n)).range
V : Submodule 𝕜 X := (↑(P n)).range
W : Submodule 𝕜 X := (↑(P (n + 1))).range
hV : V ≤ W
hUW : U ≤ W
hW : W = U ⊔ V
hdisj : U ⊓ V = ⊥
⊢ 0 < n + 1
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
f g : ↥(lp G 2)
⊢ 1 < ENNReal.toReal 2 ∧ (ENNReal.toReal 2)⁻¹ + (ENNReal.toReal 2)⁻¹ = 1

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
f g : ↥(lp G 2)
⊢ 1 < ENNReal.toReal 2 ∧ (ENNReal.toReal 2)⁻¹ + (ENNReal.toReal 2)⁻¹ = 1
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : MemLp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α →ᵇ E
g_mem : MemLp (⇑g) (↑p.toNNReal) μ
hg : ∫ (a : α), ‖(f - ⇑g) a‖ ^ p ∂μ ≤ ε
⊢ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε

pp: α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : MemLp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α →ᵇ E
g_mem : MemLp (⇑g) (↑p.toNNReal) μ
hg : (∫ (a : α), ‖(f - ⇑g) a‖ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ε ^ p⁻¹
⊢ 0 ≤ ∫ (a : α), ‖(f - ⇑g) a‖ ^ p ∂μ

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : MemLp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α →ᵇ E
g_mem : MemLp (⇑g) (↑p.toNNReal) μ
hg : ∫ (a : α), ‖(f - ⇑g) a‖ ^ p ∂μ ≤ ε
⊢ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε

α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : MemLp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α →ᵇ E
g_mem : MemLp (⇑g) (↑p.toNNReal) μ
hg : (∫ (a : α), ‖(f - ⇑g) a‖ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ε ^ p⁻¹
⊢ 0 ≤ ∫ (a : α), ‖(f - ⇑g) a‖ ^ p ∂μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → E
hf : Integrable f μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, ∫⁻ (x : α), ‖f x - g x‖ₑ ∂μ ≤ ε ∧ Integrable (⇑g) μ

Tactic:
simp only [← memLp_one_iff_integrable, ← eLpNorm_one_eq_lintegral_enorm] at hf ⊢

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hf : MemLp f 1 μ
⊢ ∃ g, eLpNorm (fun x ↦ f x - g x) 1 μ ≤ ε ∧ MemLp (⇑g) 1 μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ∞
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : ↥(Lp E p μ)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
g : α →ᵇ E
hg : eLpNorm (↑↑f - ⇑g) p μ ≤ ε
g_mem : MemLp (⇑g) p μ
⊢ eLpNorm (↑↑f - ⇑g) p μ ≤ ε

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ∞
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : ↥(Lp E p μ)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
g : α →ᵇ E
hg : eLpNorm (↑↑f - ⇑g) p μ ≤ ε
g_mem : MemLp (⇑g) p μ
⊢ eLpNorm (↑↑f - ⇑g) p μ ≤ ε