mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.SheafCondition.EqualizerProducts

Goal state before:
pp: case op.pair
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
P : IsLimit (SheafConditionEqualizerProducts.fork F U)
a✝¹ a✝ : ι
⊢ F.map (coconeιApp U (Pairwise.pair a✝¹ a✝)).op = F.map ((leSupr U a✝¹).op ≫ ((U a✝¹).infLELeft (U a✝)).op)

Tactic:
]

Goal state after:
case op.pair
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
P : IsLimit (SheafConditionEqualizerProducts.fork F U)
a✝¹ a✝ : ι
⊢ F.map (coconeιApp U (Pairwise.pair a✝¹ a✝)).op = F.map ((leSupr U a✝¹).op ≫ ((U a✝¹).infLELeft (U a✝)).op)
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.Sheafify

Goal state before:
pp: X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥↑U) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥↑V) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ ↑U
gU : F.obj (op U')
e : (ConcreteCategory.hom (F.germ U' x ⋯)) gU = fV ⟨x, ⋯⟩
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 ↦ fU (iU x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ U' ↑x_1 ⋯)) gU
V' : Opens ↑X
mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'
iV : V' ⟶ ↑V
gV : F.obj (op V')
wV : ∀ (x_1 : ↥V'), (fun x_2 ↦ fV (iV x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' ↑x_1 ⋯)) gV
wUx : fU ⟨x, ⋯⟩ = (ConcreteCategory.hom (F.germ U' x ⋯)) gU
⊢ ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥↑W), fU (iU w) = fV (iV w)

Tactic:
]

Goal state after:
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥↑U) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥↑V) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ ↑U
gU : F.obj (op U')
e : (ConcreteCategory.hom (F.germ U' x ⋯)) gU = fV ⟨x, ⋯⟩
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 ↦ fU (iU x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ U' ↑x_1 ⋯)) gU
V' : Opens ↑X
mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'
iV : V' ⟶ ↑V
gV : F.obj (op V')
wV : ∀ (x_1 : ↥V'), (fun x_2 ↦ fV (iV x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' ↑x_1 ⋯)) gV
wUx : fU ⟨x, ⋯⟩ = (ConcreteCategory.hom (F.germ U' x ⋯)) gU
⊢ ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥↑W), fU (iU w) = fV (iV w)
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff

Goal state before:
pp: t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin M.succ) :=
  fun p ↦ ⟨⟨N p, ⋯⟩, fun a b ↦ ⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊, ⋯⟩⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq : (fun p ↦ F ↑p) ⟨p, pt⟩ = (fun p ↦ F ↑p) ⟨q, qt⟩
Npq : N p = N q
Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x ↦ (E q).symm (Fin.cast Npq ((E p) x))
Φ : ↑(s p) → q.Rep := fun x ↦ ↑(Ψ x)
x y : ↑(s p)
this✝ : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y)
i : ℕ := ↑((E p) x)
hip : i < N p
hiq : i < N q
i' : i = ↑((E q) (Ψ x))
j : ℕ := ↑((E p) y)
hjp : j < N p
hjq : j < N q
j' : j = ↑((E q) (Ψ y))
Ap : ↑((F p).snd ⟨i, hip⟩ ⟨j, hjp⟩) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊
Aq : ↑((F q).snd ⟨i, hiq⟩ ⟨j, hjq⟩) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊
this : ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊
D : 0 ≤ ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋
D' : 0 ≤ ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋
⊢ ↑⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ = ↑⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.SheafCondition.EqualizerProducts

Goal state before:
pp: case op.pair
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
P : IsLimit (SheafConditionEqualizerProducts.fork F U)
a✝¹ a✝ : ι
⊢ F.map ((leSupr U a✝¹).op ≫ ((U a✝¹).infLELeft (U a✝)).op) = F.map (coconeιApp U (Pairwise.pair a✝¹ a✝)).op

Tactic:
]

Goal state after:
case op.pair
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
P : IsLimit (SheafConditionEqualizerProducts.fork F U)
a✝¹ a✝ : ι
⊢ F.map ((leSupr U a✝¹).op ≫ ((U a✝¹).infLELeft (U a✝)).op) = F.map (coconeιApp U (Pairwise.pair a✝¹ a✝)).op
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.Sheafify

Goal state before:
pp: X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥↑U) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥↑V) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ ↑U
gU : F.obj (op U')
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 ↦ fU (iU x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ U' ↑x_1 ⋯)) gU
V' : Opens ↑X
mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'
iV : V' ⟶ ↑V
gV : F.obj (op V')
e : (ConcreteCategory.hom (F.germ U' x ⋯)) gU = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' x ⋯)) gV
wV : ∀ (x_1 : ↥V'), (fun x_2 ↦ fV (iV x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' ↑x_1 ⋯)) gV
wVx : fV ⟨x, ⋯⟩ = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' x ⋯)) gV
⊢ ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥↑W), fU (iU w) = fV (iV w)

Tactic:
]

Goal state after:
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥↑U) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥↑V) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ ↑U
gU : F.obj (op U')
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 ↦ fU (iU x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ U' ↑x_1 ⋯)) gU
V' : Opens ↑X
mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'
iV : V' ⟶ ↑V
gV : F.obj (op V')
e : (ConcreteCategory.hom (F.germ U' x ⋯)) gU = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' x ⋯)) gV
wV : ∀ (x_1 : ↥V'), (fun x_2 ↦ fV (iV x_2)) x_1 = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' ↑x_1 ⋯)) gV
wVx : fV ⟨x, ⋯⟩ = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' x ⋯)) gV
⊢ ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥↑W), fU (iU w) = fV (iV w)
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.SheafCondition.EqualizerProducts

Goal state before:
pp: case one
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
Q : IsLimit (Functor.mapCone F (cocone U).op)
j✝ : Discrete (ι × ι)
⊢ F.map ((leSupr U j✝.as.1).op ≫ ((U j✝.as.1).infLELeft (U j✝.as.2)).op) =
    F.map (coconeιApp U (Pairwise.pair j✝.as.1 j✝.as.2)).op

Tactic:
]

Goal state after:
case one
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
Q : IsLimit (Functor.mapCone F (cocone U).op)
j✝ : Discrete (ι × ι)
⊢ F.map ((leSupr U j✝.as.1).op ≫ ((U j✝.as.1).infLELeft (U j✝.as.2)).op) =
    F.map (coconeιApp U (Pairwise.pair j✝.as.1 j✝.as.2)).op
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.SheafCondition.EqualizerProducts

Goal state before:
pp: case one
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
Q : IsLimit (Functor.mapCone F (cocone U).op)
j✝ : Discrete (ι × ι)
⊢ F.map (coconeιApp U (Pairwise.pair j✝.as.1 j✝.as.2)).op =
    F.map ((leSupr U j✝.as.1).op ≫ ((U j✝.as.1).infLELeft (U j✝.as.2)).op)

Tactic:
]

Goal state after:
case one
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
Q : IsLimit (Functor.mapCone F (cocone U).op)
j✝ : Discrete (ι × ι)
⊢ F.map (coconeιApp U (Pairwise.pair j✝.as.1 j✝.as.2)).op =
    F.map ((leSupr U j✝.as.1).op ≫ ((U j✝.as.1).infLELeft (U j✝.as.2)).op)
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
a : E
b : β
y y' : ↑Y
ha : ∀ x ∈ X, max (f a ↑y) (f a ↑y') ≤ max (f x ↑y) (f x ↑y')
hb : b < max (f a ↑y) (f a ↑y')
⊢ sublevelLeft X f b ↑y ∩ sublevelLeft X f b ↑y' ⊆ ∅

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
a : E
b : β
y y' : ↑Y
ha : ∀ x ∈ X, max (f a ↑y) (f a ↑y') ≤ max (f x ↑y) (f x ↑y')
hb : b < max (f a ↑y) (f a ↑y')
⊢ sublevelLeft X f b ↑y ∩ sublevelLeft X f b ↑y' ⊆ ∅
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
a : E
b : β
y y' : ↑Y
ha : ∀ x ∈ X, max (f a ↑y) (f a ↑y') ≤ max (f x ↑y) (f x ↑y')
hb : b < max (f a ↑y) (f a ↑y')
x : E
hx : x ∈ X
hx1 : ⟨x, hx⟩ ∈ sublevelLeft X f b ↑y
hx2 : ⟨x, hx⟩ ∈ sublevelLeft X f b ↑y'
⊢ max (f x ↑y) (f x ↑y') ≤ b

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
a : E
b : β
y y' : ↑Y
ha : ∀ x ∈ X, max (f a ↑y) (f a ↑y') ≤ max (f x ↑y) (f x ↑y')
hb : b < max (f a ↑y) (f a ↑y')
x : E
hx : x ∈ X
hx1 : ⟨x, hx⟩ ∈ sublevelLeft X f b ↑y
hx2 : ⟨x, hx⟩ ∈ sublevelLeft X f b ↑y'
⊢ max (f x ↑y) (f x ↑y') ≤ b
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝ : TopologicalSpace E
b : β
y : ↑Y
hfy : ∀ (y_1 : β), IsClosed ((X.domRestrict fun x ↦ f x ↑y) ⁻¹' Iic y_1)
⊢ IsClosed (sublevelLeft X f b ↑y)

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝ : TopologicalSpace E
b : β
y : ↑Y
hfy : ∀ (y_1 : β), IsClosed ((X.domRestrict fun x ↦ f x ↑y) ⁻¹' Iic y_1)
⊢ IsClosed (sublevelLeft X f b ↑y)
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
b : β
y y' : ↑Y
z : ↑(segment ℝ ↑y ↑y')
x : ↑X
hfx' :
  ∀ ⦃x_1 : F⦄,
    x_1 ∈ {x_2 | x_2 ∈ Y ∧ min (f ↑x ↑y) (f ↑x ↑y') ≤ (fun y ↦ f (↑x) y) x_2} →
      ∀ ⦃y_1 : F⦄,
        y_1 ∈ {x_2 | x_2 ∈ Y ∧ min (f ↑x ↑y) (f ↑x ↑y') ≤ (fun y ↦ f (↑x) y) x_2} →
          segment ℝ x_1 y_1 ⊆ {x_2 | x_2 ∈ Y ∧ min (f ↑x ↑y) (f ↑x ↑y') ≤ (fun y ↦ f (↑x) y) x_2}
hx : x ∈ sublevelLeft X f b ↑z
⊢ min (f ↑x ↑y) (f ↑x ↑y') ≤ b

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
b : β
y y' : ↑Y
z : ↑(segment ℝ ↑y ↑y')
x : ↑X
hfx' :
  ∀ ⦃x_1 : F⦄,
    x_1 ∈ {x_2 | x_2 ∈ Y ∧ min (f ↑x ↑y) (f ↑x ↑y') ≤ (fun y ↦ f (↑x) y) x_2} →
      ∀ ⦃y_1 : F⦄,
        y_1 ∈ {x_2 | x_2 ∈ Y ∧ min (f ↑x ↑y) (f ↑x ↑y') ≤ (fun y ↦ f (↑x) y) x_2} →
          segment ℝ x_1 y_1 ⊆ {x_2 | x_2 ∈ Y ∧ min (f ↑x ↑y) (f ↑x ↑y') ≤ (fun y ↦ f (↑x) y) x_2}
hx : x ∈ sublevelLeft X f b ↑z
⊢ min (f ↑x ↑y) (f ↑x ↑y') ≤ b
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff

Goal state before:
pp: t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin M.succ) :=
  fun p ↦ ⟨⟨N p, ⋯⟩, fun a b ↦ ⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊, ⋯⟩⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq : (fun p ↦ F ↑p) ⟨p, pt⟩ = (fun p ↦ F ↑p) ⟨q, qt⟩
Npq : N p = N q
Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x ↦ (E q).symm (Fin.cast Npq ((E p) x))
Φ : ↑(s p) → q.Rep := fun x ↦ ↑(Ψ x)
x y : ↑(s p)
this✝¹ : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y)
i : ℕ := ↑((E p) x)
hip : i < N p
hiq : i < N q
i' : i = ↑((E q) (Ψ x))
j : ℕ := ↑((E p) y)
hjp : j < N p
hjq : j < N q
j' : j = ↑((E q) (Ψ y))
Ap : ↑((F p).snd ⟨i, hip⟩ ⟨j, hjp⟩) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊
Aq : ↑((F q).snd ⟨i, hiq⟩ ⟨j, hjq⟩) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊
this✝ : ↑((F p).snd ⟨i, hip⟩ ⟨j, hjp⟩) = ↑((F q).snd ⟨i, hiq⟩ ⟨j, hjq⟩)
this : ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋
I : |ε⁻¹| * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ≤ 1
⊢ |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| = |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)|

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.Flasque

Goal state before:
pp: X : TopCat
S : ShortComplex (Sheaf AddCommGrpCat X)
hS : S.ShortExact
inst✝¹ : S.X₁.IsFlasque
inst✝ : S.X₂.IsFlasque
U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
⊢ Epi (S.X₂.obj.map i ≫ S.g.hom.app V)

Tactic:
]

Goal state after:
X : TopCat
S : ShortComplex (Sheaf AddCommGrpCat X)
hS : S.ShortExact
inst✝¹ : S.X₁.IsFlasque
inst✝ : S.X₂.IsFlasque
U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
⊢ Epi (S.X₂.obj.map i ≫ S.g.hom.app V)
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁸ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
a : E
b b' : β
y y' : ↑Y
ha : ∀ x ∈ X, max (f a ↑y) (f a ↑y') ≤ max (f x ↑y) (f x ↑y')
hb : ∀ y ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y ≤ b
hb' : b' < max (f a ↑y) (f a ↑y')
hbb' : b < b'
J : Set ↑(segment ℝ ↑y ↑y') := setOfPred_sublevelLeft_subset X Y f b b' y y'
⊢ ∀ (a : ↑(segment ℝ ↑y ↑y')), ClusterPt a (𝓟 J) → a ∈ J

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁸ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
a : E
b b' : β
y y' : ↑Y
ha : ∀ x ∈ X, max (f a ↑y) (f a ↑y') ≤ max (f x ↑y) (f x ↑y')
hb : ∀ y ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y ≤ b
hb' : b' < max (f a ↑y) (f a ↑y')
hbb' : b < b'
J : Set ↑(segment ℝ ↑y ↑y') := setOfPred_sublevelLeft_subset X Y f b b' y y'
⊢ ∀ (a : ↑(segment ℝ ↑y ↑y')), ClusterPt a (𝓟 J) → a ∈ J
Module: Mathlib.Topology.Sheaves.Sheafify

Goal state before:
pp: case h.refine_3
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥↑U) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥↑V) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ ↑U
gU : F.obj (op U')
V' : Opens ↑X
mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'
iV : V' ⟶ ↑V
gV : F.obj (op V')
e : (ConcreteCategory.hom (F.germ U' x ⋯)) gU = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' x ⋯)) gV
W : Opens ↑X
mW : x ∈ W
iU' : W ⟶ U'
iV' : W ⟶ V'
e' : (ConcreteCategory.hom (F.map iU'.op)) gU = (ConcreteCategory.hom (F.map iV'.op)) gV
w : ↥↑⟨W ⊓ (U' ⊓ V'), ⋯⟩
wV : (fun x_1 ↦ fV (iV x_1)) ⟨↑w, ⋯⟩ = (ConcreteCategory.hom (F.germ V' ↑⟨↑w, ⋯⟩ ⋯)) gV
wU : (fun x_1 ↦ fU (iU x_1)) ⟨↑w, ⋯⟩ = (ConcreteCategory.hom (F.germ U' ↑⟨↑w, ⋯⟩ ⋯)) gU
⊢ (ConcreteCategory.hom (F.germ W ↑w ⋯)) ((ConcreteCategory.hom (F.map iV'.op)) gV) =
    (ConcreteCategory.hom (F.germ W ↑w ⋯)) ((ConcreteCategory.hom (F.map iV'.op)) gV)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff

Goal state before:
pp: t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin M.succ) :=
  fun p ↦ ⟨⟨N p, ⋯⟩, fun a b ↦ ⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊, ⋯⟩⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq : (fun p ↦ F ↑p) ⟨p, pt⟩ = (fun p ↦ F ↑p) ⟨q, qt⟩
Npq : N p = N q
Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x ↦ (E q).symm (Fin.cast Npq ((E p) x))
Φ : ↑(s p) → q.Rep := fun x ↦ ↑(Ψ x)
x y : ↑(s p)
this✝¹ : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y)
i : ℕ := ↑((E p) x)
hip : i < N p
hiq : i < N q
i' : i = ↑((E q) (Ψ x))
j : ℕ := ↑((E p) y)
hjp : j < N p
hjq : j < N q
j' : j = ↑((E q) (Ψ y))
Ap : ↑((F p).snd ⟨i, hip⟩ ⟨j, hjp⟩) = ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊
Aq : ↑((F q).snd ⟨i, hiq⟩ ⟨j, hjq⟩) = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊
this✝ : ↑((F p).snd ⟨i, hip⟩ ⟨j, hjp⟩) = ↑((F q).snd ⟨i, hiq⟩ ⟨j, hjq⟩)
this : ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋
I : |ε⁻¹| * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)| ≤ 1
⊢ ε * (ε⁻¹ * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)|) = ε * (ε⁻¹ * |dist x y - dist (Ψ x) (Ψ y)|)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.SmallInductiveDimension

Goal state before:
pp: case mp
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (Set X)
hs : IsTopologicalBasis s
h : ∀ U ∈ s, HasSmallInductiveDimensionLT (↑(frontier U)) 0
U : Set X
hU : U ∈ s
⊢ closure[inst✝] U ⊆ U

Tactic:
]

Goal state after:
case mp
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (Set X)
hs : IsTopologicalBasis s
h : ∀ U ∈ s, HasSmallInductiveDimensionLT (↑(frontier U)) 0
U : Set X
hU : U ∈ s
⊢ closure[inst✝] U ⊆ U
Module: Mathlib.Topology.SmallInductiveDimension

Goal state before:
pp: case mp.zero
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set (Set X)
hs : IsTopologicalBasis s
h : ∀ U ∈ s, HasSmallInductiveDimensionLT (↑(frontier U)) 0
U : Set X
hU : U ∈ s
inst✝ : closure[inst✝¹] U ⊆ U
⊢ closure[inst✝¹] U ⊆ U

Tactic:
]

Goal state after:
case mp.zero
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set (Set X)
hs : IsTopologicalBasis s
h : ∀ U ∈ s, HasSmallInductiveDimensionLT (↑(frontier U)) 0
U : Set X
hU : U ∈ s
inst✝ : closure[inst✝¹] U ⊆ U
⊢ closure[inst✝¹] U ⊆ U
Module: Mathlib.Topology.SmallInductiveDimension

Goal state before:
pp: case succ.succ
m : ℕ
IH :
  ∀ {X : Type u_1} [inst : TopologicalSpace X] {m_1 : ℕ},
    m_1 ≤ m → HasSmallInductiveDimensionLT X m_1 → HasSmallInductiveDimensionLT X m
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
n : ℕ
s : Set (Set X)
hs : IsTopologicalBasis s
h : ∀ U ∈ s, HasSmallInductiveDimensionLT (↑(frontier U)) n
hmn : n ≤ m
U : Set X
hU : U ∈ s
⊢ n ≤ m

Tactic:
]

Goal state after:
case succ.succ
m : ℕ
IH :
  ∀ {X : Type u_1} [inst : TopologicalSpace X] {m_1 : ℕ},
    m_1 ≤ m → HasSmallInductiveDimensionLT X m_1 → HasSmallInductiveDimensionLT X m
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
n : ℕ
s : Set (Set X)
hs : IsTopologicalBasis s
h : ∀ U ∈ s, HasSmallInductiveDimensionLT (↑(frontier U)) n
hmn : n ≤ m
U : Set X
hU : U ∈ s
⊢ n ≤ m
Module: Mathlib.Topology.SmallInductiveDimension

Goal state before:
pp: X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
H : HasSmallInductiveDimensionLE X m
⊢ m ≤ n

Tactic:
]

Goal state after:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
H : HasSmallInductiveDimensionLE X m
⊢ m ≤ n
Module: Mathlib.Topology.SmallInductiveDimension

Goal state before:
pp: case zero
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
h : HasSmallInductiveDimensionLT X 0
⊢ ⊥ < ↑0

pp: case zero
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
h : HasSmallInductiveDimensionLT X 0
⊢ ⊥ ∈ {n | ∀ (i : ℕ), n < ↑i → HasSmallInductiveDimensionLT X i}

Tactic:
]

Goal state after:
case zero
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
h : HasSmallInductiveDimensionLT X 0
⊢ ⊥ < ↑0

case zero
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
h : HasSmallInductiveDimensionLT X 0
⊢ ⊥ ∈ {n | ∀ (i : ℕ), n < ↑i → HasSmallInductiveDimensionLT X i}
Module: Mathlib.Topology.SmallInductiveDimension

Goal state before:
pp: X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
n : ℕ
hle : HasSmallInductiveDimensionLE X n
hlt : ¬HasSmallInductiveDimensionLT X n
⊢ ¬HasSmallInductiveDimensionLT X n

Tactic:
]

Goal state after:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
n : ℕ
hle : HasSmallInductiveDimensionLE X n
hlt : ¬HasSmallInductiveDimensionLT X n
⊢ ¬HasSmallInductiveDimensionLT X n
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff

Goal state before:

Tactic:
dist p q = ghDist p.Rep q.Rep := dist_ghDist p q
    _ ≤ ε + ε / 2 + ε := main
    _ = δ / 2 := by simp only [ε, one_div]; ring
    _ < δ := half_lt_self δpos

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁸ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
a : E
b b' : β
y y' : ↑Y
ha : ∀ x ∈ X, max (f a ↑y) (f a ↑y') ≤ max (f x ↑y) (f x ↑y')
hb : ∀ y ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y ≤ b
hb' : b' < max (f a ↑y) (f a ↑y')
hbb' : b < b'
J : Set ↑(segment ℝ ↑y ↑y') := setOfPred_sublevelLeft_subset X Y f b b' y y'
z : ↑(segment ℝ ↑y ↑y')
hz : ClusterPt z (𝓟 J)
x : ↑X
hx : x ∈ sublevelLeft X f b ↑z
z' : ↑(segment ℝ ↑y ↑y')
hz' : z' ∈ setOfPred_sublevelLeft_subset X Y f b b' y y'
hxz' : x ∈ sublevelLeft X f b' ↑z'
hz'2 : sublevelLeft X f b' ↑z' ⊆ sublevelLeft X f b' ↑y'
hz'Y : ↑z' ∈ Y
⊢ sublevelLeft X f b ↑⟨↑z', hz'Y⟩ ⊆ sublevelLeft X f b' ↑y ∩ sublevelLeft X f b' ↑y'

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁸ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
a : E
b b' : β
y y' : ↑Y
ha : ∀ x ∈ X, max (f a ↑y) (f a ↑y') ≤ max (f x ↑y) (f x ↑y')
hb : ∀ y ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y ≤ b
hb' : b' < max (f a ↑y) (f a ↑y')
hbb' : b < b'
J : Set ↑(segment ℝ ↑y ↑y') := setOfPred_sublevelLeft_subset X Y f b b' y y'
z : ↑(segment ℝ ↑y ↑y')
hz : ClusterPt z (𝓟 J)
x : ↑X
hx : x ∈ sublevelLeft X f b ↑z
z' : ↑(segment ℝ ↑y ↑y')
hz' : z' ∈ setOfPred_sublevelLeft_subset X Y f b b' y y'
hxz' : x ∈ sublevelLeft X f b' ↑z'
hz'2 : sublevelLeft X f b' ↑z' ⊆ sublevelLeft X f b' ↑y'
hz'Y : ↑z' ∈ Y
⊢ sublevelLeft X f b ↑⟨↑z', hz'Y⟩ ⊆ sublevelLeft X f b' ↑y ∩ sublevelLeft X f b' ↑y'
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁸ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
a : E
b b' : β
y y' : ↑Y
ha : ∀ x ∈ X, max (f a ↑y) (f a ↑y') ≤ max (f x ↑y) (f x ↑y')
hb : ∀ y ∈ Y, ∃ x ∈ X, f x y ≤ b
hb' : b' < max (f a ↑y) (f a ↑y')
hbb' : b < b'
J : Set ↑(segment ℝ ↑y ↑y') := setOfPred_sublevelLeft_subset X Y f b b' y y'
z : ↑(segment ℝ ↑y ↑y')
hz : ClusterPt z (𝓟 J)
x : ↑X
hx : x ∈ sublevelLeft X f b ↑z
z' : ↑(segment ℝ ↑y ↑y')
hz' : z' ∈ setOfPred_sublevelLeft_subset X Y f b b' y y'
hxz' : x ∈ sublevelLeft X f b' ↑z'
hz'2 : sublevelLeft X f b' ↑z' ⊆ sublevelLeft X f b' ↑y'
hz'Y : ↑z' ∈ Y
⊢ sublevelLeft X f b' ↑y' ⊆ sublevelLeft X f b' ↑y'

Tactic:
]

Goal state after: