mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Differentials

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
φ : (σ →₀ S) →ₗ[pres.Ring] pres.toExtension.Cotangent := { toFun := ⇑(hom₁ pres), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
h₁ : Extension.Cotangent.mk.range = ⊤
h₂ : Submodule.span pres.Ring (Set.range fun r ↦ ⟨pres.relation r, ⋯⟩) = ⊤
⊢ Submodule.map Extension.Cotangent.mk (Submodule.span pres.Ring (Set.range fun r ↦ ⟨pres.relation r, ⋯⟩)) ≤ φ.range

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
φ : (σ →₀ S) →ₗ[pres.Ring] pres.toExtension.Cotangent := { toFun := ⇑(hom₁ pres), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
h₁ : Extension.Cotangent.mk.range = ⊤
h₂ : Submodule.span pres.Ring (Set.range fun r ↦ ⟨pres.relation r, ⋯⟩) = ⊤
⊢ Submodule.map Extension.Cotangent.mk (Submodule.span pres.Ring (Set.range fun r ↦ ⟨pres.relation r, ⋯⟩)) ≤ φ.range
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Differentials

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
φ : (σ →₀ S) →ₗ[pres.Ring] pres.toExtension.Cotangent := { toFun := ⇑(hom₁ pres), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
h₁ : Extension.Cotangent.mk.range = ⊤
h₂ : Submodule.span pres.Ring (Set.range fun r ↦ ⟨pres.relation r, ⋯⟩) = ⊤
⊢ ∀ m ∈ Set.range fun r ↦ ⟨pres.relation r, ⋯⟩, Extension.Cotangent.mk m ∈ φ.range

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
φ : (σ →₀ S) →ₗ[pres.Ring] pres.toExtension.Cotangent := { toFun := ⇑(hom₁ pres), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
h₁ : Extension.Cotangent.mk.range = ⊤
h₂ : Submodule.span pres.Ring (Set.range fun r ↦ ⟨pres.relation r, ⋯⟩) = ⊤
⊢ ∀ m ∈ Set.range fun r ↦ ⟨pres.relation r, ⋯⟩, Extension.Cotangent.mk m ∈ φ.range
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: case C
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P✝ : Generators R S ι
ι' : Type u_1
T✝ : Type ?u.18
inst✝³ : CommRing T✝
inst✝² : Algebra R T✝
T : Type ?u.24
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Generators R S ι
a✝ : T
b : S
X : P.Ring := P.σ b
a : R
⊢ 1 ⊗ₜ[R] (a • 1) = 1 ⊗ₜ[R] (a • 1)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P✝ : Generators R S ι
ι' : Type u_1
T✝ : Type ?u.18
inst✝³ : CommRing T✝
inst✝² : Algebra R T✝
T : Type ?u.24
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Generators R S ι
a : T
b : S
X : P.Ring := P.σ b
this : ∀ (y : P.Ring), (aeval fun x ↦ 1 ⊗ₜ[R] P.val x) y = 1 ⊗ₜ[R] (aeval fun x ↦ P.val x) y
⊢ a ⊗ₜ[R] b = a ⊗ₜ[R] b

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Differentials

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
r : σ
this : ∀ (r : σ), pres.differentialsRelations.map (Finsupp.single r 1) = pres.differentialsRelations.relation r
⊢ pres.cotangentSpaceBasis.repr.symm (pres.differentialsRelations.relation r) =
    pres.cotangentSpaceBasis.repr.symm (pres.differentialsRelations.relation r)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Differentials

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
⊢ Submodule.span S (Set.range pres.differentialsSolution.var) = ⊤ ∧
    pres.differentialsSolution.π.ker = Submodule.span S (Set.range pres.differentialsRelations.relation)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
⊢ Submodule.span S (Set.range pres.differentialsSolution.var) = ⊤ ∧
    pres.differentialsSolution.π.ker = Submodule.span S (Set.range pres.differentialsRelations.relation)
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Differentials

Goal state before:
pp: case left
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
⊢ Function.Surjective ⇑(pres.toExtension.toKaehler ∘ₗ ↑pres.cotangentSpaceBasis.repr.symm)

Tactic:
]

Goal state after:
case left
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
⊢ Function.Surjective ⇑(pres.toExtension.toKaehler ∘ₗ ↑pres.cotangentSpaceBasis.repr.symm)
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Differentials

Goal state before:
pp: case right
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
⊢ pres.differentialsSolution.π.ker = pres.differentialsRelations.map.range

Tactic:
]

Goal state after:
case right
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
⊢ pres.differentialsSolution.π.ker = pres.differentialsRelations.map.range
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P✝ : Generators R S ι
ι' : Type u_1
T✝ : Type ?u.18
inst✝³ : CommRing T✝
inst✝² : Algebra R T✝
T : Type ?u.24
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Generators R S ι
x y : T ⊗[R] S
a : MvPolynomial ι T
ha : (aeval fun x ↦ 1 ⊗ₜ[R] P.val x) a = x
b : MvPolynomial ι T
hb : (aeval fun x ↦ 1 ⊗ₜ[R] P.val x) b = y
⊢ x + y = x + y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.DirectSum

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝⁵ : Ring A
ι : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq ι
relations : ι → Relations A
M : ι → Type v
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module A (M i)
N : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module A N
s : (directSum relations).Solution N
i : ι
r : (relations i).R
⊢ (Finsupp.linearCombination A fun g ↦ s.var ⟨i, g⟩) ((relations i).relation r) =
    (Finsupp.linearCombination A s.var) ((directSum relations).relation ⟨i, r⟩)

Tactic:
]

Goal state after:
A : Type u
inst✝⁵ : Ring A
ι : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq ι
relations : ι → Relations A
M : ι → Type v
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module A (M i)
N : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module A N
s : (directSum relations).Solution N
i : ι
r : (relations i).R
⊢ (Finsupp.linearCombination A fun g ↦ s.var ⟨i, g⟩) ((relations i).relation r) =
    (Finsupp.linearCombination A s.var) ((directSum relations).relation ⟨i, r⟩)
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.DirectSum

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝⁵ : Ring A
ι : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq ι
relations : ι → Relations A
M : ι → Type v
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module A (M i)
N : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module A N
t : (i : ι) → (relations i).Solution N
x✝ : (directSum relations).R
i : ι
r : (relations i).R
⊢ (Finsupp.linearCombination A fun x ↦
        match x with
        | ⟨i, g⟩ => (t i).var g)
      ((directSum relations).relation ⟨i, r⟩) =
    (Finsupp.linearCombination A (t i).var) ((relations i).relation r)

Tactic:
]

Goal state after:
A : Type u
inst✝⁵ : Ring A
ι : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq ι
relations : ι → Relations A
M : ι → Type v
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module A (M i)
N : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module A N
t : (i : ι) → (relations i).Solution N
x✝ : (directSum relations).R
i : ι
r : (relations i).R
⊢ (Finsupp.linearCombination A fun x ↦
        match x with
        | ⟨i, g⟩ => (t i).var g)
      ((directSum relations).relation ⟨i, r⟩) =
    (Finsupp.linearCombination A (t i).var) ((relations i).relation r)
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Extension R S
P' : Extension R S
f : P.Hom P'
h : Function.Surjective ⇑f
eq : Ideal.comap f.toRingHom P'.ker = RingHom.ker f.toRingHom ⊔ P.ker
eq_map : P'.ker = Ideal.map f.toRingHom P.ker
x : ↥P.ker
hx : mk x ∈ Submodule.map mk (Submodule.comap (Submodule.subtype P.ker) (RingHom.ker f.toRingHom ⊓ P.ker))
y : P.Ring
y_in : y ∈ RingHom.ker f.toRingHom
y_in' : y ∈ P.ker
hy : y - ↑x ∈ P.ker ^ 2
⊢ ∃ y ∈ P.ker ^ 2, ∃ z ∈ RingHom.ker f.toRingHom, y + z = ↑x

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Extension R S
P' : Extension R S
f : P.Hom P'
h : Function.Surjective ⇑f
eq : Ideal.comap f.toRingHom P'.ker = RingHom.ker f.toRingHom ⊔ P.ker
eq_map : P'.ker = Ideal.map f.toRingHom P.ker
x : ↥P.ker
hx : mk x ∈ Submodule.map mk (Submodule.comap (Submodule.subtype P.ker) (RingHom.ker f.toRingHom ⊓ P.ker))
y : P.Ring
y_in : y ∈ RingHom.ker f.toRingHom
y_in' : y ∈ P.ker
hy : y - ↑x ∈ P.ker ^ 2
⊢ ∃ y ∈ P.ker ^ 2, ∃ z ∈ RingHom.ker f.toRingHom, y + z = ↑x
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.DirectSum

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝⁴ : Ring A
N : Type v
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module A N
pres : Presentation A N
ι : Type w
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq N
i : ι
g : pres.G
⊢ (directSum fun x ↦ pres).var ⟨i, g⟩ = (finsuppLequivDFinsupp A) (Finsupp.single i (pres.var g))

Tactic:
]

Goal state after:
A : Type u
inst✝⁴ : Ring A
N : Type v
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module A N
pres : Presentation A N
ι : Type w
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq N
i : ι
g : pres.G
⊢ (directSum fun x ↦ pres).var ⟨i, g⟩ = (finsuppLequivDFinsupp A) (Finsupp.single i (pres.var g))
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.DirectSum

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝⁴ : Ring A
N : Type v
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module A N
pres : Presentation A N
ι : Type w
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq N
i : ι
g : pres.G
⊢ (lof A ι (fun x ↦ N) i) (pres.var g) = DFinsupp.single i (pres.var g)

Tactic:
]

Goal state after:
A : Type u
inst✝⁴ : Ring A
N : Type v
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module A N
pres : Presentation A N
ι : Type w
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq N
i : ι
g : pres.G
⊢ (lof A ι (fun x ↦ N) i) (pres.var g) = DFinsupp.single i (pres.var g)
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Generators R S ι
ι' : Type u_1
T : Type ?u.18
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Generators R S ι'
e : ι ≃ ι'
s : S
⊢ (aeval P.val) ((rename ⇑e) ((⇑(rename ⇑e.symm) ∘ P.σ) s)) = (aeval P.val) (P.σ s)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Generators R S ι
ι' : Type u_1
T : Type ?u.18
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Generators R S ι'
e : ι ≃ ι'
s : S
⊢ (aeval P.val) ((rename ⇑e) ((⇑(rename ⇑e.symm) ∘ P.σ) s)) = (aeval P.val) (P.σ s)
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Extension R S
P' : Extension R S
f : P.Hom P'
h : Function.Surjective ⇑f
eq : Ideal.comap f.toRingHom P'.ker = RingHom.ker f.toRingHom ⊔ P.ker
eq_map : P'.ker = Ideal.map f.toRingHom P.ker
x : ↥P.ker
hx : mk x ∈ Submodule.map mk (Submodule.comap (Submodule.subtype P.ker) (RingHom.ker f.toRingHom ⊓ P.ker))
y : P.Ring
y_in : y ∈ RingHom.ker f.toRingHom
y_in' : y ∈ P.ker
hy : y - ↑x ∈ P.ker ^ 2
⊢ y - ↑x ∈ P.ker ^ 2

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Extension R S
P' : Extension R S
f : P.Hom P'
h : Function.Surjective ⇑f
eq : Ideal.comap f.toRingHom P'.ker = RingHom.ker f.toRingHom ⊔ P.ker
eq_map : P'.ker = Ideal.map f.toRingHom P.ker
x : ↥P.ker
hx : mk x ∈ Submodule.map mk (Submodule.comap (Submodule.subtype P.ker) (RingHom.ker f.toRingHom ⊓ P.ker))
y : P.Ring
y_in : y ∈ RingHom.ker f.toRingHom
y_in' : y ∈ P.ker
hy : y - ↑x ∈ P.ker ^ 2
⊢ y - ↑x ∈ P.ker ^ 2
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Finite

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝⁴ : Ring A
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module A M
pres : Presentation A M
inst✝¹ : Finite pres.G
inst✝ : Finite pres.R
⊢ (Submodule.span A (Set.range pres.relation)).FG

Tactic:
]

Goal state after:
A : Type u
inst✝⁴ : Ring A
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module A M
pres : Presentation A M
inst✝¹ : Finite pres.G
inst✝ : Finite pres.R
⊢ (Submodule.span A (Set.range pres.relation)).FG
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Finite

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝² : Ring A
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module A M
a✝ : FinitePresentation A M
G : Type w₀
w✝ : Finite G
var : G → M
hG : Submodule.span A (Set.range var) = ⊤
⊢ ⊤ = ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Finite

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝² : Ring A
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module A M
a✝ : FinitePresentation A M
G : Type w₀
w✝¹ : Finite G
var : G → M
hG : Submodule.span A (Set.range var) = ⊤
R : Type w₁
w✝ : Finite R
relation : R → G →₀ A
hR : ∀ (x : G →₀ A), x ∈ Submodule.span A (Set.range relation) ↔ x ∈ (Finsupp.linearCombination A var).ker
r : R
⊢ (Finsupp.linearCombination A var) (relation r) = 0

Tactic:
]

Goal state after:
A : Type u
inst✝² : Ring A
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module A M
a✝ : FinitePresentation A M
G : Type w₀
w✝¹ : Finite G
var : G → M
hG : Submodule.span A (Set.range var) = ⊤
R : Type w₁
w✝ : Finite R
relation : R → G →₀ A
hR : ∀ (x : G →₀ A), x ∈ Submodule.span A (Set.range relation) ↔ x ∈ (Finsupp.linearCombination A var).ker
r : R
⊢ (Finsupp.linearCombination A var) (relation r) = 0
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Finite

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝² : Ring A
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module A M
a✝ : FinitePresentation A M
G : Type w₀
w✝¹ : Finite G
var : G → M
hG : Submodule.span A (Set.range var) = ⊤
R : Type w₁
w✝ : Finite R
relation : R → G →₀ A
hR : Submodule.span A (Set.range relation) = (Finsupp.linearCombination A var).ker
⊢ Submodule.span A (Set.range { var := var, linearCombination_var_relation := ⋯ }.var) = ⊤ ∧
    { var := var, linearCombination_var_relation := ⋯ }.π.ker =
      Submodule.span A (Set.range { G := G, R := R, relation := relation }.relation)

Tactic:
]

Goal state after:
A : Type u
inst✝² : Ring A
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module A M
a✝ : FinitePresentation A M
G : Type w₀
w✝¹ : Finite G
var : G → M
hG : Submodule.span A (Set.range var) = ⊤
R : Type w₁
w✝ : Finite R
relation : R → G →₀ A
hR : Submodule.span A (Set.range relation) = (Finsupp.linearCombination A var).ker
⊢ Submodule.span A (Set.range { var := var, linearCombination_var_relation := ⋯ }.var) = ⊤ ∧
    { var := var, linearCombination_var_relation := ⋯ }.π.ker =
      Submodule.span A (Set.range { G := G, R := R, relation := relation }.relation)
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Extension R S
P' : Extension R S
f : P.Hom P'
h : Function.Surjective ⇑f
eq : Ideal.comap f.toRingHom P'.ker = RingHom.ker f.toRingHom ⊔ P.ker
eq_map : P'.ker = Ideal.map f.toRingHom P.ker
x : ↥P.ker
hx : mk x ∈ Submodule.map mk (Submodule.comap (Submodule.subtype P.ker) (RingHom.ker f.toRingHom ⊓ P.ker))
y : P.Ring
y_in : y ∈ RingHom.ker f.toRingHom
y_in' : y ∈ P.ker
hy : y - ↑x ∈ P.ker ^ 2
⊢ ↑x - y + y = ↑x

Tactic:
by ring

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
h : FiniteType R S
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] S
hf : Function.Surjective ⇑(aeval (⇑f ∘ X))
⊢ Function.Surjective ⇑(aeval fun i ↦ f (X i))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
h : FiniteType R S
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] S
hf : Function.Surjective ⇑(aeval (⇑f ∘ X))
⊢ Function.Surjective ⇑(aeval fun i ↦ f (X i))
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Generators R S ι
R' : Type u_1
S' : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R'
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : Algebra R' S'
P' : Generators R' S' ι'
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
f : P.Hom P'
v : ι →₀ ℕ
r : R
⊢ ((algebraMap R P'.Ring) r * v.prod fun i k ↦ f.val i ^ k) =
    (algebraMap R P'.Ring) r * v.prod fun x1 x2 ↦ f.val x1 ^ x2

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝²² : CommRing R
inst✝²¹ : CommRing S
inst✝²⁰ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type ?u.16
S' : Type ?u.18
inst✝¹⁹ : CommRing R'
inst✝¹⁸ : CommRing S'
inst✝¹⁷ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
R'' : Type ?u.29
S'' : Type ?u.31
inst✝¹⁶ : CommRing R''
inst✝¹⁵ : CommRing S''
inst✝¹⁴ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹³ : Algebra R R'
inst✝¹² : Algebra R' R''
inst✝¹¹ : Algebra R' S''
inst✝¹⁰ : Algebra S S'
inst✝⁹ : Algebra S' S''
inst✝⁸ : Algebra S S''
inst✝⁷ : Algebra R S'
inst✝⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁵ : Algebra R R''
inst✝⁴ : IsScalarTower R R' R''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : Algebra R S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
x : ↥P.ker
hx : ↑x ∈ P.ker * P.ker
r : P.Ring
hr : r ∈ P.ker
s : P.Ring
hs : s ∈ P.ker
⊢ 1 ⊗ₜ[P.Ring] ⟨r • s, ⋯⟩ = 1 ⊗ₜ[P.Ring] (r • ⟨s, hs⟩)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝²² : CommRing R
inst✝²¹ : CommRing S
inst✝²⁰ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type ?u.16
S' : Type ?u.18
inst✝¹⁹ : CommRing R'
inst✝¹⁸ : CommRing S'
inst✝¹⁷ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
R'' : Type ?u.29
S'' : Type ?u.31
inst✝¹⁶ : CommRing R''
inst✝¹⁵ : CommRing S''
inst✝¹⁴ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹³ : Algebra R R'
inst✝¹² : Algebra R' R''
inst✝¹¹ : Algebra R' S''
inst✝¹⁰ : Algebra S S'
inst✝⁹ : Algebra S' S''
inst✝⁸ : Algebra S S''
inst✝⁷ : Algebra R S'
inst✝⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁵ : Algebra R R''
inst✝⁴ : IsScalarTower R R' R''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : Algebra R S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
x : ↥P.ker
hx : ↑x ∈ P.ker * P.ker
r : P.Ring
hr : r ∈ P.ker
s : P.Ring
hs : s ∈ P.ker
⊢ 1 ⊗ₜ[P.Ring] ⟨r • s, ⋯⟩ = 1 ⊗ₜ[P.Ring] (r • ⟨s, hs⟩)
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S ι
⊢ (Hom.id P).toAlgHom = AlgHom.id R P.Ring

Tactic:
by ext1; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Free

Goal state before:
pp: case mp
A : Type u
inst✝² : Ring A
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module A M
⊢ (∃ I, Nonempty (Basis I A M)) → ∃ p, IsEmpty p.R

Tactic:
]

Goal state after:
case mp
A : Type u
inst✝² : Ring A
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module A M
⊢ (∃ I, Nonempty (Basis I A M)) → ∃ p, IsEmpty p.R
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : Algebra R S
P : Generators R S ι
R' : Type u_1
S' : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R'
inst✝¹³ : CommRing S'
inst✝¹² : Algebra R' S'
P' : Generators R' S' ι'
R'' : Type u_4
S'' : Type u_5
ι'' : Type u_6
inst✝¹¹ : CommRing R''
inst✝¹⁰ : CommRing S''
inst✝⁹ : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S'' ι''
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra R' R''
inst✝⁶ : Algebra R' S''
inst✝⁵ : Algebra S S'
inst✝⁴ : Algebra S' S''
inst✝³ : Algebra S S''
inst✝² : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R' S' S''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P'.Hom P''
g : P.Hom P'
x : ι
⊢ (aeval P''.val) ((aeval f.val) (g.val x)) = (algebraMap S' S'') ((aeval P'.val) (g.val x))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : Algebra R S
P : Generators R S ι
R' : Type u_1
S' : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R'
inst✝¹³ : CommRing S'
inst✝¹² : Algebra R' S'
P' : Generators R' S' ι'
R'' : Type u_4
S'' : Type u_5
ι'' : Type u_6
inst✝¹¹ : CommRing R''
inst✝¹⁰ : CommRing S''
inst✝⁹ : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S'' ι''
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra R' R''
inst✝⁶ : Algebra R' S''
inst✝⁵ : Algebra S S'
inst✝⁴ : Algebra S' S''
inst✝³ : Algebra S S''
inst✝² : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R' S' S''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P'.Hom P''
g : P.Hom P'
x : ι
⊢ (aeval P''.val) ((aeval f.val) (g.val x)) = (algebraMap S' S'') ((aeval P'.val) (g.val x))
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic

Goal state before:
pp: case e'_2
R : Type u
S : Type v
inst✝²² : CommRing R
inst✝²¹ : CommRing S
inst✝²⁰ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type ?u.16
S' : Type ?u.18
inst✝¹⁹ : CommRing R'
inst✝¹⁸ : CommRing S'
inst✝¹⁷ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
R'' : Type ?u.29
S'' : Type ?u.31
inst✝¹⁶ : CommRing R''
inst✝¹⁵ : CommRing S''
inst✝¹⁴ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹³ : Algebra R R'
inst✝¹² : Algebra R' R''
inst✝¹¹ : Algebra R' S''
inst✝¹⁰ : Algebra S S'
inst✝⁹ : Algebra S' S''
inst✝⁸ : Algebra S S''
inst✝⁷ : Algebra R S'
inst✝⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁵ : Algebra R R''
inst✝⁴ : IsScalarTower R R' R''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : Algebra R S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
x : ↥P.ker
hx : ↑x ∈ P.ker * P.ker
a : P.Ring
ha : a ∈ P.ker • P.ker
b : P.Ring
hb : b ∈ P.ker • P.ker
ha' : 1 ⊗ₜ[P.Ring] ⟨a, ⋯⟩ = 0
hb' : 1 ⊗ₜ[P.Ring] ⟨b, ⋯⟩ = 0
⊢ 1 ⊗ₜ[P.Ring] ⟨a + b, ⋯⟩ = 1 ⊗ₜ[P.Ring] (⟨a, ⋯⟩ + ⟨b, ⋯⟩)

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_2
R : Type u
S : Type v
inst✝²² : CommRing R
inst✝²¹ : CommRing S
inst✝²⁰ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type ?u.16
S' : Type ?u.18
inst✝¹⁹ : CommRing R'
inst✝¹⁸ : CommRing S'
inst✝¹⁷ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
R'' : Type ?u.29
S'' : Type ?u.31
inst✝¹⁶ : CommRing R''
inst✝¹⁵ : CommRing S''
inst✝¹⁴ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹³ : Algebra R R'
inst✝¹² : Algebra R' R''
inst✝¹¹ : Algebra R' S''
inst✝¹⁰ : Algebra S S'
inst✝⁹ : Algebra S' S''
inst✝⁸ : Algebra S S''
inst✝⁷ : Algebra R S'
inst✝⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁵ : Algebra R R''
inst✝⁴ : IsScalarTower R R' R''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : Algebra R S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
x : ↥P.ker
hx : ↑x ∈ P.ker * P.ker
a : P.Ring
ha : a ∈ P.ker • P.ker
b : P.Ring
hb : b ∈ P.ker • P.ker
ha' : 1 ⊗ₜ[P.Ring] ⟨a, ⋯⟩ = 0
hb' : 1 ⊗ₜ[P.Ring] ⟨b, ⋯⟩ = 0
⊢ 1 ⊗ₜ[P.Ring] ⟨a + b, ⋯⟩ = 1 ⊗ₜ[P.Ring] (⟨a, ⋯⟩ + ⟨b, ⋯⟩)
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
⊢ (Q.toComp P).toAlgHom = aeval (X ∘ Sum.inr)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
⊢ (Q.toComp P).toAlgHom = aeval (X ∘ Sum.inr)