mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: case add
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
x✝ y✝ : ↑((restrictScalars f).obj (of S S)) ⊗[R] ↑X
ih1 : (Hom.hom (HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g))) x✝ = (Hom.hom g) x✝
ih2 : (Hom.hom (HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g))) y✝ = (Hom.hom g) y✝
⊢ (Hom.hom g) x✝ + (Hom.hom g) y✝ = (Hom.hom g) x✝ + (Hom.hom g) y✝

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
x : ↑X
⊢ (ConcreteCategory.hom (HomEquiv.fromExtendScalars f g)) (1 ⊗ₜ[R] x) = (Hom.hom g) x

Tactic:
]

Goal state after:
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
x : ↑X
⊢ (ConcreteCategory.hom (HomEquiv.fromExtendScalars f g)) (1 ⊗ₜ[R] x) = (Hom.hom g) x
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
x : ↑X
⊢ (lift { toFun := fun s ↦ HomEquiv.evalAt f s g, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (1 ⊗ₜ[R] x) = (Hom.hom g) x

Tactic:
]

Goal state after:
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
x : ↑X
⊢ (lift { toFun := fun s ↦ HomEquiv.evalAt f s g, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (1 ⊗ₜ[R] x) = (Hom.hom g) x
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
x : ↑X
⊢ ({ toFun := fun s ↦ HomEquiv.evalAt f s g, map_add' := ⋯ } 1).toAddHom x = (Hom.hom g) x

Tactic:
]

Goal state after:
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
x : ↑X
⊢ ({ toFun := fun s ↦ HomEquiv.evalAt f s g, map_add' := ⋯ } 1).toAddHom x = (Hom.hom g) x
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
x : ↑X
⊢ (ConcreteCategory.hom g) x = (Hom.hom g) x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
x x' : ↑X
⊢ 1 ⊗ₜ[R] x + 1 ⊗ₜ[R] x' = 1 ⊗ₜ[R] x + 1 ⊗ₜ[R] x'

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
r : R
x : ↑X
m1 : Module R S := Module.compHom S f
⊢ (r • 1) ⊗ₜ[R] x = (r • 1) ⊗ₜ[R] x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y : ModuleCat S
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
s : S
r : R
y : ↑Y
⊢ f r • s • y = f r • s • y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y : ModuleCat S
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
s₁ s₂ : S
y : ↑Y
⊢ s₁ • y + s₂ • y = s₁ • y + s₂ • y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y : ModuleCat S
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
r : R
s : S
y : ↑Y
⊢ f r • s • y = f r • s • y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y : ModuleCat S
x✝¹ x✝ : ↑((restrictScalars f).obj (of S S)) ⊗[R] ↑((restrictScalars f).obj Y)
⊢ (lift { toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
        x✝¹ +
      (lift
          { toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
        x✝ =
    (lift { toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
        x✝¹ +
      (lift
          { toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
        x✝

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: case zero
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y : ModuleCat S
s : S
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: case add
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y : ModuleCat S
s : S
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
x✝ y✝ : ↑((restrictScalars f).obj (of S S)) ⊗[R] ↑((restrictScalars f).obj Y)
ih1 :
  (lift { toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
      (s • x✝) =
    (RingHom.id S) s •
      (lift
          { toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
        x✝
ih2 :
  (lift { toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
      (s • y✝) =
    (RingHom.id S) s •
      (lift
          { toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
        y✝
⊢ (RingHom.id S) s •
        (lift
            { toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯ })
          x✝ +
      (RingHom.id S) s •
        (lift
            { toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯ })
          y✝ =
    (RingHom.id S) s •
        (lift
            { toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯ })
          x✝ +
      (RingHom.id S) s •
        (lift
            { toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯,
              map_smul' := ⋯ })
          y✝

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: case zero
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y Y' : ModuleCat S
g : Y ⟶ Y'
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2✝ : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
m2 : Module R ↑Y' := Module.compHom (↑Y') f
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: case tmul
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y Y' : ModuleCat S
g : Y ⟶ Y'
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2✝ : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
m2 : Module R ↑Y' := Module.compHom (↑Y') f
s' : ↑((restrictScalars f).obj (of S S))
y : ↑((restrictScalars f).obj Y)
⊢ (lift { toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
      (s' ⊗ₜ[R] (ConcreteCategory.hom g) y) =
    (Hom.hom g) ((Hom.hom (Counit.map f)) (s' ⊗ₜ[R] y))

Tactic:
]

Goal state after:
case tmul
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y Y' : ModuleCat S
g : Y ⟶ Y'
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2✝ : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
m2 : Module R ↑Y' := Module.compHom (↑Y') f
s' : ↑((restrictScalars f).obj (of S S))
y : ↑((restrictScalars f).obj Y)
⊢ (lift { toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
      (s' ⊗ₜ[R] (ConcreteCategory.hom g) y) =
    (Hom.hom g) ((Hom.hom (Counit.map f)) (s' ⊗ₜ[R] y))
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: case tmul
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y Y' : ModuleCat S
g : Y ⟶ Y'
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2✝ : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
m2 : Module R ↑Y' := Module.compHom (↑Y') f
s' : ↑((restrictScalars f).obj (of S S))
y : ↑((restrictScalars f).obj Y)
⊢ ({ toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ } s').toAddHom
      ((ConcreteCategory.hom g) y) =
    (Hom.hom g) ((Hom.hom (Counit.map f)) (s' ⊗ₜ[R] y))

Tactic:
]

Goal state after:
case tmul
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y Y' : ModuleCat S
g : Y ⟶ Y'
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2✝ : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
m2 : Module R ↑Y' := Module.compHom (↑Y') f
s' : ↑((restrictScalars f).obj (of S S))
y : ↑((restrictScalars f).obj Y)
⊢ ({ toFun := fun s ↦ { toFun := fun y ↦ s • y, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ } s').toAddHom
      ((ConcreteCategory.hom g) y) =
    (Hom.hom g) ((Hom.hom (Counit.map f)) (s' ⊗ₜ[R] y))
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: case tmul
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y Y' : ModuleCat S
g : Y ⟶ Y'
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2✝ : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
m2 : Module R ↑Y' := Module.compHom (↑Y') f
s'✝ : ↑((restrictScalars f).obj (of S S))
y : ↑((restrictScalars f).obj Y)
s' : S := s'✝
⊢ s' • (ConcreteCategory.hom g) y = s' • (ConcreteCategory.hom g) y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: case add
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y Y' : ModuleCat S
g : Y ⟶ Y'
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2✝ : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
m2 : Module R ↑Y' := Module.compHom (↑Y') f
x✝ y✝ : ↑((restrictScalars f).obj (of S S)) ⊗[R] ↑((restrictScalars f).obj Y)
ih₁ :
  (Hom.hom ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ Counit.map f)) x✝ =
    (Hom.hom (Counit.map f ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g)) x✝
ih₂ :
  (Hom.hom ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ Counit.map f)) y✝ =
    (Hom.hom (Counit.map f ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g)) y✝
⊢ (Hom.hom ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ Counit.map f)) x✝ +
      (Hom.hom ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ Counit.map f)) y✝ =
    (Hom.hom (Counit.map f ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g)) x✝ + (Hom.hom (Counit.map f ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g)) y✝

Tactic:
]

Goal state after:
case add
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y Y' : ModuleCat S
g : Y ⟶ Y'
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2✝ : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
m2 : Module R ↑Y' := Module.compHom (↑Y') f
x✝ y✝ : ↑((restrictScalars f).obj (of S S)) ⊗[R] ↑((restrictScalars f).obj Y)
ih₁ :
  (Hom.hom ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ Counit.map f)) x✝ =
    (Hom.hom (Counit.map f ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g)) x✝
ih₂ :
  (Hom.hom ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ Counit.map f)) y✝ =
    (Hom.hom (Counit.map f ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g)) y✝
⊢ (Hom.hom ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ Counit.map f)) x✝ +
      (Hom.hom ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ Counit.map f)) y✝ =
    (Hom.hom (Counit.map f ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g)) x✝ + (Hom.hom (Counit.map f ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g)) y✝
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: case zero
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: case tmul
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
x✝ : ↑((restrictScalars f).obj (of S S))
y✝ : ↑X
⊢ (Hom.hom (ExtendRestrictScalarsAdj.HomEquiv.fromExtendScalars f g)) (x✝ ⊗ₜ[R] y✝) =
    (Hom.hom ((extendScalars f).map g ≫ (ExtendRestrictScalarsAdj.counit f).app Y)) (x✝ ⊗ₜ[R] y✝)

Tactic:
]

Goal state after:
case tmul
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
x✝ : ↑((restrictScalars f).obj (of S S))
y✝ : ↑X
⊢ (Hom.hom (ExtendRestrictScalarsAdj.HomEquiv.fromExtendScalars f g)) (x✝ ⊗ₜ[R] y✝) =
    (Hom.hom ((extendScalars f).map g ≫ (ExtendRestrictScalarsAdj.counit f).app Y)) (x✝ ⊗ₜ[R] y✝)
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: case tmul
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
x✝ : ↑((restrictScalars f).obj (of S S))
y✝ : ↑X
⊢ (lift { toFun := fun s ↦ ExtendRestrictScalarsAdj.HomEquiv.evalAt f s g, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
      (x✝ ⊗ₜ[R] y✝) =
    (lift { toFun := fun s ↦ ExtendRestrictScalarsAdj.HomEquiv.evalAt f s g, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
      (x✝ ⊗ₜ[R] y✝)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: case add
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
x✝ y✝ : ↑((restrictScalars f).obj (of S S)) ⊗[R] ↑X
a✝¹ :
  (Hom.hom ((ExtendRestrictScalarsAdj.homEquiv f).symm g)) x✝ =
    (Hom.hom ((extendScalars f).map g ≫ (ExtendRestrictScalarsAdj.counit f).app Y)) x✝
a✝ :
  (Hom.hom ((ExtendRestrictScalarsAdj.homEquiv f).symm g)) y✝ =
    (Hom.hom ((extendScalars f).map g ≫ (ExtendRestrictScalarsAdj.counit f).app Y)) y✝
⊢ (Hom.hom ((ExtendRestrictScalarsAdj.homEquiv f).symm g)) x✝ +
      (Hom.hom ((ExtendRestrictScalarsAdj.homEquiv f).symm g)) y✝ =
    (Hom.hom ((extendScalars f).map g ≫ (ExtendRestrictScalarsAdj.counit f).app Y)) x✝ +
      (Hom.hom ((extendScalars f).map g ≫ (ExtendRestrictScalarsAdj.counit f).app Y)) y✝

Tactic:
]

Goal state after:
case add
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
x✝ y✝ : ↑((restrictScalars f).obj (of S S)) ⊗[R] ↑X
a✝¹ :
  (Hom.hom ((ExtendRestrictScalarsAdj.homEquiv f).symm g)) x✝ =
    (Hom.hom ((extendScalars f).map g ≫ (ExtendRestrictScalarsAdj.counit f).app Y)) x✝
a✝ :
  (Hom.hom ((ExtendRestrictScalarsAdj.homEquiv f).symm g)) y✝ =
    (Hom.hom ((extendScalars f).map g ≫ (ExtendRestrictScalarsAdj.counit f).app Y)) y✝
⊢ (Hom.hom ((ExtendRestrictScalarsAdj.homEquiv f).symm g)) x✝ +
      (Hom.hom ((ExtendRestrictScalarsAdj.homEquiv f).symm g)) y✝ =
    (Hom.hom ((extendScalars f).map g ≫ (ExtendRestrictScalarsAdj.counit f).app Y)) x✝ +
      (Hom.hom ((extendScalars f).map g ≫ (ExtendRestrictScalarsAdj.counit f).app Y)) y✝
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: R : Type u₁
inst✝ : CommRing R
M : ModuleCat R
m : ↑M
⊢ (ConcreteCategory.hom ((extendScalarsId R).inv.app M ≫ (extendScalarsId R).hom.app M)) m =
    (Hom.hom ((restrictScalarsId R).inv.app M)) m

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u₁
inst✝ : CommRing R
M : ModuleCat R
m : ↑M
⊢ (ConcreteCategory.hom ((extendScalarsId R).inv.app M ≫ (extendScalarsId R).hom.app M)) m =
    (Hom.hom ((restrictScalarsId R).inv.app M)) m
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: R : Type u₁
inst✝ : CommRing R
M : ModuleCat R
m : ↑M
⊢ (ConcreteCategory.hom ((restrictScalarsId R).inv.app M)) m = m

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u₁
inst✝ : CommRing R
M : ModuleCat R
m : ↑M
⊢ (ConcreteCategory.hom ((restrictScalarsId R).inv.app M)) m = m
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: R₁ R₂ R₃ : Type u₁
inst✝² : CommRing R₁
inst✝¹ : CommRing R₂
inst✝ : CommRing R₃
f₁₂ : R₁ →+* R₂
f₂₃ : R₂ →+* R₃
M : ModuleCat R₁
m : ↑M
⊢ (ConcreteCategory.hom
        ((extendRestrictScalarsAdj f₁₂).unit.app M ≫
          (restrictScalars f₁₂).map ((extendRestrictScalarsAdj f₂₃).unit.app (ExtendScalars.obj' f₁₂ M)) ≫
            (restrictScalarsComp f₁₂ f₂₃).inv.app ((extendScalars f₂₃).obj (ExtendScalars.obj' f₁₂ M))))
      m =
    1 ⊗ₜ[R₂] (1 ⊗ₜ[R₁] m)

Tactic:
]

Goal state after:
R₁ R₂ R₃ : Type u₁
inst✝² : CommRing R₁
inst✝¹ : CommRing R₂
inst✝ : CommRing R₃
f₁₂ : R₁ →+* R₂
f₂₃ : R₂ →+* R₃
M : ModuleCat R₁
m : ↑M
⊢ (ConcreteCategory.hom
        ((extendRestrictScalarsAdj f₁₂).unit.app M ≫
          (restrictScalars f₁₂).map ((extendRestrictScalarsAdj f₂₃).unit.app (ExtendScalars.obj' f₁₂ M)) ≫
            (restrictScalarsComp f₁₂ f₂₃).inv.app ((extendScalars f₂₃).obj (ExtendScalars.obj' f₁₂ M))))
      m =
    1 ⊗ₜ[R₂] (1 ⊗ₜ[R₁] m)
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: R₁ R₂ R₃ R₄ : Type u₁
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : CommRing R₂
inst✝¹ : CommRing R₃
inst✝ : CommRing R₄
f₁₂ : R₁ →+* R₂
f₂₃ : R₂ →+* R₃
f₃₄ : R₃ →+* R₄
M : ModuleCat R₁
m : ↑M
h₁ : (ConcreteCategory.hom ((extendScalarsComp (f₂₃.comp f₁₂) f₃₄).hom.app M)) (1 ⊗ₜ[R₁] m) = 1 ⊗ₜ[R₃] (1 ⊗ₜ[R₁] m)
h₂ : (ConcreteCategory.hom ((extendScalarsComp f₁₂ (f₃₄.comp f₂₃)).hom.app M)) (1 ⊗ₜ[R₁] m) = 1 ⊗ₜ[R₂] (1 ⊗ₜ[R₁] m)
h₃ :
  ∀ (M : ModuleCat R₂) (m : ↑M),
    (ConcreteCategory.hom ((extendScalarsComp f₂₃ f₃₄).hom.app M)) (1 ⊗ₜ[R₂] m) = 1 ⊗ₜ[R₃] (1 ⊗ₜ[R₂] m)
h₄ : (ConcreteCategory.hom ((extendScalarsComp f₁₂ f₂₃).hom.app M)) (1 ⊗ₜ[R₁] m) = 1 ⊗ₜ[R₂] (1 ⊗ₜ[R₁] m)
⊢ (Hom.hom ((extendScalars f₃₄).map ((extendScalarsComp f₁₂ f₂₃).hom.app M))) (1 ⊗ₜ[R₃] (1 ⊗ₜ[R₁] m)) =
    (Hom.hom ((extendScalarsComp f₂₃ f₃₄).hom.app ((extendScalars f₁₂).obj M)))
      ((Hom.hom ((extendScalarsComp f₁₂ (f₃₄.comp f₂₃)).hom.app M)) (1 ⊗ₜ[R₁] m))

Tactic:
]

Goal state after:
R₁ R₂ R₃ R₄ : Type u₁
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : CommRing R₂
inst✝¹ : CommRing R₃
inst✝ : CommRing R₄
f₁₂ : R₁ →+* R₂
f₂₃ : R₂ →+* R₃
f₃₄ : R₃ →+* R₄
M : ModuleCat R₁
m : ↑M
h₁ : (ConcreteCategory.hom ((extendScalarsComp (f₂₃.comp f₁₂) f₃₄).hom.app M)) (1 ⊗ₜ[R₁] m) = 1 ⊗ₜ[R₃] (1 ⊗ₜ[R₁] m)
h₂ : (ConcreteCategory.hom ((extendScalarsComp f₁₂ (f₃₄.comp f₂₃)).hom.app M)) (1 ⊗ₜ[R₁] m) = 1 ⊗ₜ[R₂] (1 ⊗ₜ[R₁] m)
h₃ :
  ∀ (M : ModuleCat R₂) (m : ↑M),
    (ConcreteCategory.hom ((extendScalarsComp f₂₃ f₃₄).hom.app M)) (1 ⊗ₜ[R₂] m) = 1 ⊗ₜ[R₃] (1 ⊗ₜ[R₂] m)
h₄ : (ConcreteCategory.hom ((extendScalarsComp f₁₂ f₂₃).hom.app M)) (1 ⊗ₜ[R₁] m) = 1 ⊗ₜ[R₂] (1 ⊗ₜ[R₁] m)
⊢ (Hom.hom ((extendScalars f₃₄).map ((extendScalarsComp f₁₂ f₂₃).hom.app M))) (1 ⊗ₜ[R₃] (1 ⊗ₜ[R₁] m)) =
    (Hom.hom ((extendScalarsComp f₂₃ f₃₄).hom.app ((extendScalars f₁₂).obj M)))
      ((Hom.hom ((extendScalarsComp f₁₂ (f₃₄.comp f₂₃)).hom.app M)) (1 ⊗ₜ[R₁] m))
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings

Goal state before:
pp: R₁ R₂ R₃ R₄ : Type u₁
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : CommRing R₂
inst✝¹ : CommRing R₃
inst✝ : CommRing R₄
f₁₂ : R₁ →+* R₂
f₂₃ : R₂ →+* R₃
f₃₄ : R₃ →+* R₄
M : ModuleCat R₁
m : ↑M
h₁ : (ConcreteCategory.hom ((extendScalarsComp (f₂₃.comp f₁₂) f₃₄).hom.app M)) (1 ⊗ₜ[R₁] m) = 1 ⊗ₜ[R₃] (1 ⊗ₜ[R₁] m)
h₂ : (ConcreteCategory.hom ((extendScalarsComp f₁₂ (f₃₄.comp f₂₃)).hom.app M)) (1 ⊗ₜ[R₁] m) = 1 ⊗ₜ[R₂] (1 ⊗ₜ[R₁] m)
h₃ :
  ∀ (M : ModuleCat R₂) (m : ↑M),
    (ConcreteCategory.hom ((extendScalarsComp f₂₃ f₃₄).hom.app M)) (1 ⊗ₜ[R₂] m) = 1 ⊗ₜ[R₃] (1 ⊗ₜ[R₂] m)
h₄ : (ConcreteCategory.hom ((extendScalarsComp f₁₂ f₂₃).hom.app M)) (1 ⊗ₜ[R₁] m) = 1 ⊗ₜ[R₂] (1 ⊗ₜ[R₁] m)
⊢ (Hom.hom ((extendScalars f₃₄).map ((extendScalarsComp f₁₂ f₂₃).hom.app M))) (1 ⊗ₜ[R₃] (1 ⊗ₜ[R₁] m)) =
    (Hom.hom ((extendScalarsComp f₂₃ f₃₄).hom.app ((extendScalars f₁₂).obj M))) (1 ⊗ₜ[R₂] (1 ⊗ₜ[R₁] m))

Tactic:
]

Goal state after:
R₁ R₂ R₃ R₄ : Type u₁
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : CommRing R₂
inst✝¹ : CommRing R₃
inst✝ : CommRing R₄
f₁₂ : R₁ →+* R₂
f₂₃ : R₂ →+* R₃
f₃₄ : R₃ →+* R₄
M : ModuleCat R₁
m : ↑M
h₁ : (ConcreteCategory.hom ((extendScalarsComp (f₂₃.comp f₁₂) f₃₄).hom.app M)) (1 ⊗ₜ[R₁] m) = 1 ⊗ₜ[R₃] (1 ⊗ₜ[R₁] m)
h₂ : (ConcreteCategory.hom ((extendScalarsComp f₁₂ (f₃₄.comp f₂₃)).hom.app M)) (1 ⊗ₜ[R₁] m) = 1 ⊗ₜ[R₂] (1 ⊗ₜ[R₁] m)
h₃ :
  ∀ (M : ModuleCat R₂) (m : ↑M),
    (ConcreteCategory.hom ((extendScalarsComp f₂₃ f₃₄).hom.app M)) (1 ⊗ₜ[R₂] m) = 1 ⊗ₜ[R₃] (1 ⊗ₜ[R₂] m)
h₄ : (ConcreteCategory.hom ((extendScalarsComp f₁₂ f₂₃).hom.app M)) (1 ⊗ₜ[R₁] m) = 1 ⊗ₜ[R₂] (1 ⊗ₜ[R₁] m)
⊢ (Hom.hom ((extendScalars f₃₄).map ((extendScalarsComp f₁₂ f₂₃).hom.app M))) (1 ⊗ₜ[R₃] (1 ⊗ₜ[R₁] m)) =
    (Hom.hom ((extendScalarsComp f₂₃ f₃₄).hom.app ((extendScalars f₁₂).obj M))) (1 ⊗ₜ[R₂] (1 ⊗ₜ[R₁] m))