mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι₁
inst✝⁹ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁸ : LieRing L₁
inst✝⁷ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L₁
inst✝³ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝² : LieAlgebra K L₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝ : Nontrivial L₂
this✝³ : Fintype ι₁
this✝² : Fintype ι₂
this✝¹ : H₁.IsCartanSubalgebra
this✝ : H₂.IsCartanSubalgebra
this : (prodCartan eι b₁ b₂).IsCartanSubalgebra
⊢ prod eι b₁ b₂ ≠ ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι₁
inst✝⁹ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁸ : LieRing L₁
inst✝⁷ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L₁
inst✝³ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝² : LieAlgebra K L₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝ : Nontrivial L₂
this✝³ : Fintype ι₁
this✝² : Fintype ι₂
this✝¹ : H₁.IsCartanSubalgebra
this✝ : H₂.IsCartanSubalgebra
this : (prodCartan eι b₁ b₂).IsCartanSubalgebra
⊢ prod eι b₁ b₂ ≠ ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: case e'_4.e'_1
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs✝ : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ s
hs : 1 ≤ #s
hst' : #s ≤ #t
H : #t = 1 + (#t - #s) + (#s - 1)
⊢ #t - #s + 1 = #t - #s + 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanCriterion

Goal state before:
pp: ι : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R K
E : Submodule R K
a : ι → K
ha : ∀ (i : ι), a i ∈ E
f : ↥E →+ R
i j k l : ι
hij : a (i, j).1 - a (i, j).2 = a (k, l).1 - a (k, l).2
heq : ⟨a i, ⋯⟩ - ⟨a j, ⋯⟩ = ⟨a k, ⋯⟩ - ⟨a l, ⋯⟩
⊢ (algebraMap R K) (f (⟨a k, ⋯⟩ - ⟨a l, ⋯⟩)) = (algebraMap R K) (f (⟨a (k, l).1, ⋯⟩ - ⟨a (k, l).2, ⋯⟩))

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Vandermonde

Goal state before:
pp: case succ.e_a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hn : ∏ i, ∏ j > i, (↑↑j - ↑↑i) = ↑n.superFactorial
⊢ ∏ i, ∏ j > succAbove 0 i, (↑↑j - ↑↑(succAbove 0 i)) = ↑n.superFactorial

Tactic:
]

Goal state after:
case succ.e_a
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hn : ∏ i, ∏ j > i, (↑↑j - ↑↑i) = ↑n.superFactorial
⊢ ∏ i, ∏ j > succAbove 0 i, (↑↑j - ↑↑(succAbove 0 i)) = ↑n.superFactorial
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Vandermonde

Goal state before:
pp: case e'_2
n : ℕ
v : Fin n → ℕ
x✝¹ x✝ : Fin n
⊢ ↑((v x✝¹).descFactorial ↑x✝) = ↑(↑x✝).factorial * ↑((v x✝¹).choose ↑x✝)

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_2
n : ℕ
v : Fin n → ℕ
x✝¹ x✝ : Fin n
⊢ ↑((v x✝¹).descFactorial ↑x✝) = ↑(↑x✝).factorial * ↑((v x✝¹).choose ↑x✝)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Vandermonde

Goal state before:
pp: case e'_3.e'_5
n : ℕ
v : Fin n → ℕ
⊢ ∏ i, ↑(↑i).factorial = ∏ i, ↑(↑i).factorial

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: case pos
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ t
hi' : i ∈ s
⊢ ∑ x ∈ s.erase i, eval (v i) ((interpolate (insert x (t \ s)) v) r) * eval (v i) (Lagrange.basis s v x) = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ t
hi' : i ∈ s
⊢ ∑ x ∈ s.erase i, eval (v i) ((interpolate (insert x (t \ s)) v) r) * eval (v i) (Lagrange.basis s v x) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: case pos
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ t
hi' : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
hij : j ≠ i
right✝ : j ∈ s
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι₁
inst✝⁹ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁸ : LieRing L₁
inst✝⁷ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L₁
inst✝³ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝² : LieAlgebra K L₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝ : Nontrivial L₂
this✝³ : Fintype ι₁
this✝² : Fintype ι₂
this✝¹ : H₁.IsCartanSubalgebra
this✝ : H₂.IsCartanSubalgebra
this : (prodCartan eι b₁ b₂).IsCartanSubalgebra
contra : prod eι b₁ b₂ = ⊤
x : ↥H₁ × ↥H₂
hx : (↑x.1, ↑x.2) ∈ prod eι b₁ b₂
⊢ ∀ (x_1 : ↥(prodCartan eι b₁ b₂)),
    ∃ k, (((LieModule.toEnd K ↥(prodCartan eι b₁ b₂) ↥(prod eι b₁ b₂)) x_1 - 0 x_1 • 1) ^ k) ⟨(↑x.1, ↑x.2), hx⟩ = 0

Tactic:
]

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι₁
inst✝⁹ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁸ : LieRing L₁
inst✝⁷ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L₁
inst✝³ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝² : LieAlgebra K L₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝ : Nontrivial L₂
this✝³ : Fintype ι₁
this✝² : Fintype ι₂
this✝¹ : H₁.IsCartanSubalgebra
this✝ : H₂.IsCartanSubalgebra
this : (prodCartan eι b₁ b₂).IsCartanSubalgebra
contra : prod eι b₁ b₂ = ⊤
x : ↥H₁ × ↥H₂
hx : (↑x.1, ↑x.2) ∈ prod eι b₁ b₂
⊢ ∀ (x_1 : ↥(prodCartan eι b₁ b₂)),
    ∃ k, (((LieModule.toEnd K ↥(prodCartan eι b₁ b₂) ↥(prod eι b₁ b₂)) x_1 - 0 x_1 • 1) ^ k) ⟨(↑x.1, ↑x.2), hx⟩ = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ t
hi' : i ∉ s
⊢ 1 = 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: case neg
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ t
hi' : i ∉ s
H : ∑ j ∈ s, eval (v i) (Lagrange.basis s v j) = 1
⊢ ∑ x ∈ s, eval (v i) ((interpolate (insert x (t \ s)) v) r) * eval (v i) (Lagrange.basis s v x) =
    ∑ i_1 ∈ s, r i * eval (v i) (Lagrange.basis s v i_1)

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ t
hi' : i ∉ s
H : ∑ j ∈ s, eval (v i) (Lagrange.basis s v j) = 1
⊢ ∑ x ∈ s, eval (v i) ((interpolate (insert x (t \ s)) v) r) * eval (v i) (Lagrange.basis s v x) =
    ∑ i_1 ∈ s, r i * eval (v i) (Lagrange.basis s v i_1)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y z : L
m : ℕ
hm : ((ad R L) x ^ m) y = 0
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) z = 0
⊢ ∑ ij ∈ Finset.antidiagonal (m + n), (m + n).choose ij.1 • ⁅((ad R L) x ^ ij.1) y, ((ad R L) x ^ ij.2) z⁆ = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y z : L
m : ℕ
hm : ((ad R L) x ^ m) y = 0
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) z = 0
⊢ ∑ ij ∈ Finset.antidiagonal (m + n), (m + n).choose ij.1 • ⁅((ad R L) x ^ ij.1) y, ((ad R L) x ^ ij.2) z⁆ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y z : L
m : ℕ
hm : ((ad R L) x ^ m) y = 0
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) z = 0
ij : ℕ × ℕ
hij : ij.1 + ij.2 = m + n
⊢ m ≤ ij.1 ∨ n ≤ ij.2

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y z : L
m : ℕ
hm : ((ad R L) x ^ m) y = 0
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) z = 0
ij : ℕ × ℕ
hij : ij.1 + ij.2 = m + n
⊢ m ≤ ij.1 ∨ n ≤ ij.2
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
⊢ ⊤ ≤ engel R 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
⊢ ⊤ ≤ engel R 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x : L
⊢ ∃ n, (0 ^ n) x = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x : L
⊢ ∃ n, (0 ^ n) x = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x : L
⊢ (0 ^ 1) x = 0

Tactic:
simp only [pow_one, LinearMap.zero_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
i j : ι
v r : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hij : i ≠ j
⊢ (interpolate (s.erase j) v) r * basisDivisor (v i) (v j) + (interpolate (s.erase i) v) r * basisDivisor (v j) (v i) =
    (interpolate (s.erase j) v) r * basisDivisor (v i) (v j) + (interpolate (s.erase i) v) r * basisDivisor (v j) (v i)

pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
i j : ι
v r : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hij : i ≠ j
⊢ {i, j} ⊆ s

Tactic:
]

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
i j : ι
v r : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hij : i ≠ j
⊢ {i, j} ⊆ s
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y : L
hy : ∀ y_1 ∈ engel R x, ⁅y, y_1⁆ ∈ engel R x
⊢ y ∈ engel R x

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y : L
hy : ∀ y_1 ∈ engel R x, ⁅y, y_1⁆ ∈ engel R x
⊢ y ∈ engel R x
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y : L
hy : ∃ n, ((ad R L) x ^ n) ⁅x, y⁆ = 0
⊢ y ∈ engel R x

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y : L
hy : ∃ n, ((ad R L) x ^ n) ⁅x, y⁆ = 0
⊢ y ∈ engel R x
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y : L
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) ⁅x, y⁆ = 0
⊢ ∃ n, ((ad R L) x ^ n) y = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y : L
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) ⁅x, y⁆ = 0
⊢ ∃ n, ((ad R L) x ^ n) y = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y : L
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) ⁅x, y⁆ = 0
⊢ ((ad R L) x ^ n) (((ad R L) x) y) = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case h
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y : L
n : ℕ
hn : ((ad R L) x ^ n) ⁅x, y⁆ = 0
⊢ ((ad R L) x ^ n) (((ad R L) x) y) = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
⊢ (engel R x).toSubmodule ≤ H.toSubmodule

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
⊢ (engel R x).toSubmodule ≤ H.toSubmodule
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
n : L
hn : ∀ y ∈ H, ⁅n, y⁆ ∈ H
⊢ ⁅x, n⁆ ∈ H

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
n : L
hn : ∀ y ∈ H, ⁅n, y⁆ ∈ H
⊢ ⁅x, n⁆ ∈ H
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
n : L
hn : ⁅n, x⁆ ∈ H
⊢ ⁅n, x⁆ ∈ H

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
n : L
hn : ⁅n, x⁆ ∈ H
⊢ ⁅n, x⁆ ∈ H
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
k : ℕ
hk : k < #s
i : ι
hi : i ∈ s
hvs' : Set.InjOn v ↑(s.erase i)
⊢ (⇑derivative)^[k] (∏ j ∈ s.erase i, (X - C (v j))) = (⇑derivative)^[k] (∏ x ∈ s.erase i, (X - C (v x)))

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι₁
inst✝¹⁰ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁹ : LieRing L₁
inst✝⁸ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L₁
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝³ : LieAlgebra K L₂
inst✝² : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝¹ : IsSimple K L₁
inst✝ : IsSimple K L₂
L : LieSubalgebra K (L₁ × L₂) := prod eι b₁ b₂
p₁ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₁ := (LieHom.fst K L₁ L₂).comp L.incl
p₂ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₂ := (LieHom.snd K L₁ L₂).comp L.incl
⊢ p₁.ker ⊓ p₂.ker ≤ ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι₁
inst✝¹⁰ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁹ : LieRing L₁
inst✝⁸ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L₁
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝³ : LieAlgebra K L₂
inst✝² : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝¹ : IsSimple K L₁
inst✝ : IsSimple K L₂
L : LieSubalgebra K (L₁ × L₂) := prod eι b₁ b₂
p₁ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₁ := (LieHom.fst K L₁ L₂).comp L.incl
p₂ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₂ := (LieHom.snd K L₁ L₂).comp L.incl
⊢ p₁.ker ⊓ p₂.ker ≤ ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanCriterion

Goal state before:
pp: L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieModule K L M
inst✝ : FiniteDimensional K M
h : traceForm K L M = 0
φ : L →ₗ⁅K⁆ End K M := toEnd K L M
x : L
hx : x ∈ derivedSeries K L 1
n : End K M
hn_adj : n ∈ K[φ x]
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : φ x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace :=
  DirectSum.isInternal_submodule_of_iSupIndep_of_iSup_eq_top (eigenspaces_iSupIndep s)
    (IsSemisimple.iSup_eigenspace_eq_top hs_ss)
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M := eigenDecomp.collectedBasis fun μ ↦ finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this✝ : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst
hsv : ∀ (i : I), s (v i) = μ i • v i
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
this : ∀ (i : I), f ⟨μ i, ⋯⟩ = 0
⊢ ∀ (s : ↑(Set.range μ)), f ⟨↑s, ⋯⟩ = 0

Tactic:
]

Goal state after:
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieModule K L M
inst✝ : FiniteDimensional K M
h : traceForm K L M = 0
φ : L →ₗ⁅K⁆ End K M := toEnd K L M
x : L
hx : x ∈ derivedSeries K L 1
n : End K M
hn_adj : n ∈ K[φ x]
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : φ x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace :=
  DirectSum.isInternal_submodule_of_iSupIndep_of_iSup_eq_top (eigenspaces_iSupIndep s)
    (IsSemisimple.iSup_eigenspace_eq_top hs_ss)
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M := eigenDecomp.collectedBasis fun μ ↦ finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this✝ : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst
hsv : ∀ (i : I), s (v i) = μ i • v i
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
this : ∀ (i : I), f ⟨μ i, ⋯⟩ = 0
⊢ ∀ (s : ↑(Set.range μ)), f ⟨↑s, ⋯⟩ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
aux₁ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ H
aux₂ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ N
dx : ↥N →ₗ[R] ↥N := LinearMap.restrict ((ad R L) x) aux₂
k : ℕ
hk : Codisjoint (dx ^ (k + 1)).ker (dx ^ (k + 1)).range
⊢ ⊤ ≤ Submodule.comap N.subtype ((engel R x).toSubmodule ⊔ H.toSubmodule)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
aux₁ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ H
aux₂ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ N
dx : ↥N →ₗ[R] ↥N := LinearMap.restrict ((ad R L) x) aux₂
k : ℕ
hk : Codisjoint (dx ^ (k + 1)).ker (dx ^ (k + 1)).range
⊢ ⊤ ≤ Submodule.comap N.subtype ((engel R x).toSubmodule ⊔ H.toSubmodule)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι₁
inst✝¹⁰ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁹ : LieRing L₁
inst✝⁸ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L₁
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝³ : LieAlgebra K L₂
inst✝² : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝¹ : IsSimple K L₁
inst✝ : IsSimple K L₂
L : LieSubalgebra K (L₁ × L₂) := prod eι b₁ b₂
p₁ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₁ := (LieHom.fst K L₁ L₂).comp L.incl
p₂ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₂ := (LieHom.snd K L₁ L₂).comp L.incl
disj : Disjoint p₁.ker p₂.ker
I₁ : LieIdeal K L₂ := LieIdeal.map p₂ p₁.ker
this : p₁.ker ≤ p₂.ker
⊢ Injective ⇑p₁

Tactic:
]

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι₁
inst✝¹⁰ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁹ : LieRing L₁
inst✝⁸ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L₁
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝³ : LieAlgebra K L₂
inst✝² : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝¹ : IsSimple K L₁
inst✝ : IsSimple K L₂
L : LieSubalgebra K (L₁ × L₂) := prod eι b₁ b₂
p₁ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₁ := (LieHom.fst K L₁ L₂).comp L.incl
p₂ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₂ := (LieHom.snd K L₁ L₂).comp L.incl
disj : Disjoint p₁.ker p₂.ker
I₁ : LieIdeal K L₂ := LieIdeal.map p₂ p₁.ker
this : p₁.ker ≤ p₂.ker
⊢ Injective ⇑p₁
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
k : ℕ
hk : k < #s
i : ι
hi : i ∈ s
hvs' : Set.InjOn v ↑(s.erase i)
⊢ ↑k.factorial * ∑ t ∈ powersetCard (#s - (k + 1)) (s.erase i), ∏ a ∈ t, (X - C (v a)) =
    ↑k.factorial * ∑ t ∈ image (fun x ↦ image v x) (s.erase i).powerset with #t = #s - (k + 1), ∏ va ∈ t, (X - C va)

Tactic:
]

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
k : ℕ
hk : k < #s
i : ι
hi : i ∈ s
hvs' : Set.InjOn v ↑(s.erase i)
⊢ ↑k.factorial * ∑ t ∈ powersetCard (#s - (k + 1)) (s.erase i), ∏ a ∈ t, (X - C (v a)) =
    ↑k.factorial * ∑ t ∈ image (fun x ↦ image v x) (s.erase i).powerset with #t = #s - (k + 1), ∏ va ∈ t, (X - C va)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι₁
inst✝¹⁰ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁹ : LieRing L₁
inst✝⁸ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L₁
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝³ : LieAlgebra K L₂
inst✝² : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝¹ : IsSimple K L₁
inst✝ : IsSimple K L₂
L : LieSubalgebra K (L₁ × L₂) := prod eι b₁ b₂
p₁ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₁ := (LieHom.fst K L₁ L₂).comp L.incl
p₂ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₂ := (LieHom.snd K L₁ L₂).comp L.incl
disj : Disjoint p₁.ker p₂.ker
I₁ : LieIdeal K L₂ := LieIdeal.map p₂ p₁.ker
this : p₁.ker ≤ p₂.ker
⊢ ⊥ = ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
aux₁ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ H
aux₂ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ N
dx : ↥N →ₗ[R] ↥N := LinearMap.restrict ((ad R L) x) aux₂
k : ℕ
hk : Codisjoint (dx ^ (k + 1)).ker (dx ^ (k + 1)).range
⊢ Submodule.map N.subtype (dx ^ (k + 1)).ker ≤ (engel R x).toSubmodule ⊔ H.toSubmodule

Tactic:
]

Goal state after:
case a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
aux₁ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ H
aux₂ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ N
dx : ↥N →ₗ[R] ↥N := LinearMap.restrict ((ad R L) x) aux₂
k : ℕ
hk : Codisjoint (dx ^ (k + 1)).ker (dx ^ (k + 1)).range
⊢ Submodule.map N.subtype (dx ^ (k + 1)).ker ≤ (engel R x).toSubmodule ⊔ H.toSubmodule
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
aux₁ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ H
aux₂ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ N
dx : ↥N →ₗ[R] ↥N := LinearMap.restrict ((ad R L) x) aux₂
k : ℕ
hk : Codisjoint (dx ^ (k + 1)).ker (dx ^ (k + 1)).range
⊢ (dx ^ (k + 1)).ker ≤ Submodule.comap N.subtype (engel R x).toSubmodule

Tactic:
]

Goal state after:
case a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
x : L
h : engel R x ≤ H
N : LieSubalgebra R L := H.normalizer
aux₁ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ H
aux₂ : ∀ n ∈ N, ⁅x, n⁆ ∈ N
dx : ↥N →ₗ[R] ↥N := LinearMap.restrict ((ad R L) x) aux₂
k : ℕ
hk : Codisjoint (dx ^ (k + 1)).ker (dx ^ (k + 1)).range
⊢ (dx ^ (k + 1)).ker ≤ Submodule.comap N.subtype (engel R x).toSubmodule