mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : StrongRankCondition R
inst✝² : Free R M
m n : Type w
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
⊢ lift.{v, w} #m * lift.{v, w} #n * lift.{w, v} (Module.rank R M) =
    lift.{v, w} #m * lift.{v, w} #n * lift.{w, v} (Module.rank R M)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : StrongRankCondition R
m : Type v
n : Type w
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
⊢ lift.{max u w, v} #m * lift.{max u v, w} #n = lift.{max u w, v} #m * lift.{max u v, w} #n

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : StrongRankCondition R
m n : Type v
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
⊢ lift.{u, v} #m * lift.{u, v} #n = lift.{u, v} #m * lift.{u, v} #n

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Free R M
ι : Type v
inst✝ : Fintype ι
⊢ toNat #ι * toNat (Module.rank R M) = toNat #ι * toNat (Module.rank R M)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type v
inst✝ : Fintype ι
⊢ toNat #ι = toNat #ι

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
M η : Type u
inst✝³ : Fintype η
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Free R M
⊢ ↑(Fintype.card η) * Module.rank R M = ↑(Fintype.card η) * Module.rank R M

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
η : Type u₁'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Fintype η
⊢ ↑(Fintype.card η) * lift.{u₁', v} (Module.rank R M) = ↑(Fintype.card η) * lift.{u₁', v} (Module.rank R M)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Finite

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i ↦ ↑i) → s.card ≤ n
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
⊢ (Finset.map (Embedding.subtype fun x ↦ x ∈ s) t).card ≤ n

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i ↦ ↑i) → s.card ≤ n
s : Set M
li : LinearIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
⊢ (Finset.map (Embedding.subtype fun x ↦ x ∈ s) t).card ≤ n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
η : Type u₁'
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Fintype η
⊢ ↑(Fintype.card η) = ↑(Fintype.card η)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type u'
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : η) → Module R (φ i)
inst✝¹ : ∀ (i : η), Free R (φ i)
inst✝ : Fintype η
n : ℕ
hn✝ : Module.rank R M = ↑n
this✝ : Nontrivial R
this : lift.{u, v} ↑n = lift.{v, u} ↑n
hn : lift.{u, v} (Module.rank R M) = lift.{v, u} ↑n
⊢ M ≃ₗ[R] Fin n → R

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : η) → Module R (φ i)
inst✝¹ : ∀ (i : η), Free R (φ i)
inst✝ : Fintype η
n : ℕ
hn✝ : Module.rank R M = ↑n
this✝ : Nontrivial R
this : lift.{u, v} ↑n = lift.{v, u} ↑n
hn : lift.{u, v} (Module.rank R M) = lift.{v, u} ↑n
⊢ M ≃ₗ[R] Fin n → R
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Finite

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i ↦ ↑i) → s.card ≤ n
⊢ ⨆ ι, #↑↑ι ≤ ↑n

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i ↦ ↑i) → s.card ≤ n
⊢ ⨆ ι, #↑↑ι ≤ ↑n
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type u'
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : η) → Module R (φ i)
inst✝¹ : ∀ (i : η), Free R (φ i)
inst✝ : Fintype η
n : ℕ
hn✝ : Module.rank R M = ↑n
this✝ : Nontrivial R
this : lift.{u, v} ↑n = lift.{v, u} ↑n
hn : lift.{u, v} (Module.rank R M) = lift.{v, u} (Module.rank R (Fin n → R))
⊢ M ≃ₗ[R] Fin n → R

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : η) → Module R (φ i)
inst✝¹ : ∀ (i : η), Free R (φ i)
inst✝ : Fintype η
n : ℕ
hn✝ : Module.rank R M = ↑n
this✝ : Nontrivial R
this : lift.{u, v} ↑n = lift.{v, u} ↑n
hn : lift.{u, v} (Module.rank R M) = lift.{v, u} (Module.rank R (Fin n → R))
⊢ M ≃ₗ[R] Fin n → R
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type u'
M : Type v
M' : Type v'
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : StrongRankCondition R
inst✝⁶ : StrongRankCondition S
inst✝⁵ : Module S M
inst✝⁴ : Module S M'
inst✝³ : Free S M'
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : Free R M
fst✝¹ : Type v
bM : Basis fst✝¹ R M
fst✝ : Type v'
bN : Basis fst✝ S M'
⊢ Cardinal.lift.{v', v} #fst✝¹ * Cardinal.lift.{v, v'} #fst✝ =
    Cardinal.lift.{v', v} #fst✝¹ * Cardinal.lift.{v, v'} #fst✝

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Finite

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
a✝ : Nontrivial R
x : M
hx : ∀ (a : R), a ≠ 0 → a • x ≠ 0
⊢ 1 ≤ Module.rank R M

Tactic:
]

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
a✝ : Nontrivial R
x : M
hx : ∀ (a : R), a ≠ 0 → a • x ≠ 0
⊢ 1 ≤ Module.rank R M
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s t : Submodule R M
le : s ≤ t
lt : finrank R ↥s < finrank R ↥t
h : s = t
⊢ finrank R ↥t = finrank R ↥t

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Submodule R M
lt : finrank R ↥s < finrank R ↥⊤
⊢ s < ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Submodule R M
lt : finrank R ↥s < finrank R ↥⊤
⊢ s < ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Finite

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
a✝ : Nontrivial R
h : ∀ (x : M), ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • x = 0
⊢ ⨆ ι, #↑↑ι ≤ 0

Tactic:
]

Goal state after:
case mpr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
a✝ : Nontrivial R
h : ∀ (x : M), ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • x = 0
⊢ ⨆ ι, #↑↑ι ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
⊢ lift.{?u.38, v} (Module.rank R ↥(Finsupp.linearCombination R Subtype.val).range) ≤ lift.{?u.38, v} #↑s

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
⊢ lift.{?u.38, v} (Module.rank R ↥(Finsupp.linearCombination R Subtype.val).range) ≤ lift.{?u.38, v} #↑s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Finite

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
a✝ : Nontrivial R
h : ∀ (x : M), ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • x = 0
s : Set M
hs : LinearIndepOn R id s
⊢ ¬Nonempty ↑↑⟨s, hs⟩

Tactic:
]

Goal state after:
case mpr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
a✝ : Nontrivial R
h : ∀ (x : M), ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • x = 0
s : Set M
hs : LinearIndepOn R id s
⊢ ¬Nonempty ↑↑⟨s, hs⟩
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
⊢ lift.{v, max u v} (lift.{u, v} #{ x // x ∈ s }) ≤ lift.{max u v, v} #↑s

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
⊢ lift.{v, max u v} (lift.{u, v} #{ x // x ∈ s }) ≤ lift.{max u v, v} #↑s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → M
⊢ (Finset.image b Finset.univ).card ≤ Fintype.card ι

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → M
⊢ (Finset.image b Finset.univ).card ≤ Fintype.card ι
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Finite

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
⊢ Module.rank R M = 0 ↔ ∀ (x : M), x = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
⊢ Module.rank R M = 0 ↔ ∀ (x : M), x = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Finite

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
h : Subsingleton M
inst✝ : Nontrivial R
⊢ Module.Finite R M

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
h : Subsingleton M
inst✝ : Nontrivial R
⊢ Module.Finite R M
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Finite

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
s : Submodule R M
h : 0 < 0
eq : s = ⊥
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
s : Submodule R M
h : 0 < 0
eq : s = ⊥
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Nontrivial R
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → M
hb : LinearIndependent R b
this : Module.rank R ↥(span R (range b)) = ↑(Fintype.card ι)
⊢ Module.rank R ↥(span R (range b)) = ↑(Fintype.card ι)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Nontrivial R
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → M
hb : LinearIndependent R b
this : Module.rank R ↥(span R (range b)) = ↑(Fintype.card ι)
⊢ Module.rank R ↥(span R (range b)) = ↑(Fintype.card ι)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Finite

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
h : Nonempty (Fintype ι)
⊢ Nonempty (Fintype ι)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
h : Nonempty (Fintype ι)
⊢ Nonempty (Fintype ι)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Finite

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type w
b : ι → M
h : LinearIndependent R b
⊢ lift.{max v w, w} #ι ≤ lift.{max v w, w} ↑(finrank R M)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type w
b : ι → M
h : LinearIndependent R b
⊢ lift.{max v w, w} #ι ≤ lift.{max v w, w} ↑(finrank R M)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : StrongRankCondition R
s : Set M
inst✝ : Fintype ↑s
hs : LinearIndepOn R id s
this : Module.rank R ↥(span R s) = ↑s.toFinset.card
⊢ Module.rank R ↥(span R s) = ↑s.toFinset.card

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : StrongRankCondition R
s : Set M
inst✝ : Fintype ↑s
hs : LinearIndepOn R id s
this : Module.rank R ↥(span R s) = ↑s.toFinset.card
⊢ Module.rank R ↥(span R s) = ↑s.toFinset.card
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Finite

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
b : Finset M
h : LinearIndependent R fun x ↦ ↑x
⊢ Fintype.card ↥b ≤ finrank R M

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
b : Finset M
h : LinearIndependent R fun x ↦ ↑x
⊢ Fintype.card ↥b ≤ finrank R M
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
v : ι → M
hv : span R (range v) = ⊤
⊢ finrank R ↥(span R (range v)) ≤ Fintype.card ι

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
v : ι → M
hv : span R (range v) = ⊤
⊢ finrank R ↥(span R (range v)) ≤ Fintype.card ι
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Finite

Goal state before:
pp: case hbc
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
inst✝ : Module.Finite R M
v : ι → M
h : LinearIndependent R v
⊢ ↑(finrank R M) < ℵ₀

Tactic:
]

Goal state after:
case hbc
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
inst✝ : Module.Finite R M
v : ι → M
h : LinearIndependent R v
⊢ ↑(finrank R M) < ℵ₀
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: case e'_3
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
v : ι → M
hv : span R (range v) = ⊤
⊢ Fintype.card ↑(range v) = Fintype.card ↑(range v)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u
ι : Type w
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Nontrivial R
s : Set ι
this : Fintype ι
⊢ (⇑(basisFun R ι) '' s).ncard = s.ncard

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
ι : Type w
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Nontrivial R
s : Set ι
this : Fintype ι
⊢ (⇑(basisFun R ι) '' s).ncard = s.ncard
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : CommSemiring F
inst✝¹ : Semiring E
inst✝ : Algebra F E
⊢ Module.rank F ↥⊤ = Module.rank F ↥(Subalgebra.toSubmodule ⊤)

Tactic:
]

Goal state after:
F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : CommSemiring F
inst✝¹ : Semiring E
inst✝ : Algebra F E
⊢ Module.rank F ↥⊤ = Module.rank F ↥(Subalgebra.toSubmodule ⊤)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : CommSemiring F
inst✝¹ : Semiring E
inst✝ : Algebra F E
⊢ finrank F ↥⊤ = finrank F ↥(Subalgebra.toSubmodule ⊤)

Tactic:
]

Goal state after:
F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : CommSemiring F
inst✝¹ : Semiring E
inst✝ : Algebra F E
⊢ finrank F ↥⊤ = finrank F ↥(Subalgebra.toSubmodule ⊤)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : CommSemiring F
inst✝¹ : Semiring E
inst✝ : Algebra F E
⊢ Module.rank F ↥⊤ = Module.rank F E

Tactic:
]

Goal state after:
F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : CommSemiring F
inst✝¹ : Semiring E
inst✝ : Algebra F E
⊢ Module.rank F ↥⊤ = Module.rank F E
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing F
inst✝⁵ : IsDomain F
inst✝⁴ : Ring E
inst✝³ : Algebra F E
inst✝² : StrongRankCondition F
inst✝¹ : IsTorsionFree F E
inst✝ : Nontrivial E
⊢ 1 = 1

pp: F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing F
inst✝⁵ : IsDomain F
inst✝⁴ : Ring E
inst✝³ : Algebra F E
inst✝² : StrongRankCondition F
inst✝¹ : IsTorsionFree F E
inst✝ : Nontrivial E
⊢ LinearIndepOn F id {1}

Tactic:
]

Goal state after:
F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing F
inst✝⁵ : IsDomain F
inst✝⁴ : Ring E
inst✝³ : Algebra F E
inst✝² : StrongRankCondition F
inst✝¹ : IsTorsionFree F E
inst✝ : Nontrivial E
⊢ LinearIndepOn F id {1}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Finite

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u
M : Type v
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
hn : ↑n ≤ Module.rank R M
h : ↑n = Module.rank R M
s : Set M
hs : LinearIndepOn R id s
hs' : #↑↑⟨s, hs⟩ = ↑n
⊢ ∃ s, s.card = n ∧ LinearIndepOn R id ↑s

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
R : Type u
M : Type v
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
hn : ↑n ≤ Module.rank R M
h : ↑n = Module.rank R M
s : Set M
hs : LinearIndepOn R id s
hs' : #↑↑⟨s, hs⟩ = ↑n
⊢ ∃ s, s.card = n ∧ LinearIndepOn R id ↑s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: case hsp
R✝ : Type u
S : Type u'
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
W : Submodule R V
m : Type u_4
n : Type u_5
bW : Basis m R ↥W
bQ : Basis n R (V ⧸ W)
b : m ⊕ n → V := Sum.elim (fun i ↦ ↑(bW i)) (surjInv ⋯ ∘ ⇑bQ)
br : ⇑W.mkQ ∘ b ∘ Sum.inr = ⇑bQ
⊢ span R (range (⇑W.mkQ ∘ surjInv ⋯ ∘ ⇑bQ)) = span R (range ⇑bQ)

Tactic:
]

Goal state after:
case hsp
R✝ : Type u
S : Type u'
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
W : Submodule R V
m : Type u_4
n : Type u_5
bW : Basis m R ↥W
bQ : Basis n R (V ⧸ W)
b : m ⊕ n → V := Sum.elim (fun i ↦ ↑(bW i)) (surjInv ⋯ ∘ ⇑bQ)
br : ⇑W.mkQ ∘ b ∘ Sum.inr = ⇑bQ
⊢ span R (range (⇑W.mkQ ∘ surjInv ⋯ ∘ ⇑bQ)) = span R (range ⇑bQ)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
W : Submodule R V
m : Type u_4
n : Type u_5
bW : Basis m R ↥W
bQ : Basis n R (V ⧸ W)
i : m
⊢ ↑(bW i) = ↑(bW i)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
W : Submodule R V
m : Type u_4
n : Type u_5
bW : Basis m R ↥W
bQ : Basis n R (V ⧸ W)
w : ↥W
i : m
⊢ ((bW.sumQuot bQ).repr ↑w) (Sum.inl i) = (bW.repr w) i

Tactic:
classical
  refine Eq.symm <| (bW.repr_apply_eq
      (fun w i => (sumQuot bW bQ).repr (W.subtype w) (Sum.inl i)) ?_ ?_ ?_ w i) <;>
  aesop (add simp Finsupp.single_apply)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
W : Submodule R V
m : Type u_4
n : Type u_5
bW : Basis m R ↥W
bQ : Basis n R (V ⧸ W)
v : V
j : n
⊢ ((bW.sumQuot bQ).coord (Sum.inr j)) v = (bQ.coord j ∘ₗ W.mkQ) v

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
W : Submodule R V
m : Type u_4
n : Type u_5
bW : Basis m R ↥W
bQ : Basis n R (V ⧸ W)
v : V
j : n
⊢ ((bW.sumQuot bQ).coord (Sum.inr j)) v = (bQ.coord j ∘ₗ W.mkQ) v
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Constructions

Goal state before:
pp: R : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
W : Submodule R V
m : Type u_4
n : Type u_5
bW : Basis m R ↥W
bQ : Basis n R (V ⧸ W)
j : n
⊢ (bW.sumQuot bQ).coord (Sum.inr j) = bQ.coord j ∘ₗ W.mkQ

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module R V
W : Submodule R V
m : Type u_4
n : Type u_5
bW : Basis m R ↥W
bQ : Basis n R (V ⧸ W)
j : n
⊢ (bW.sumQuot bQ).coord (Sum.inr j) = bQ.coord j ∘ₗ W.mkQ
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Finite

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u
M : Type v
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
hn : n ≤ finrank R M
h : finrank R M = 0
⊢ ∃ s, s.card = 0 ∧ LinearIndependent R Subtype.val

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
R : Type u
M : Type v
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
hn : n ≤ finrank R M
h : finrank R M = 0
⊢ ∃ s, s.card = 0 ∧ LinearIndependent R Subtype.val
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Finite

Goal state before:
pp: ι : Type w
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
V : ι → Submodule R M
hV : iSupIndep V
I : Type w := { i // V i ≠ ⊥ }
i : I
⊢ V ↑i ≠ ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type w
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
V : ι → Submodule R M
hV : iSupIndep V
I : Type w := { i // V i ≠ ⊥ }
i : I
⊢ V ↑i ≠ ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.VectorSpace

Goal state before:
pp: K : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Set V
hs : LinearIndepOn K id s
⊢ hs.extend ⋯ = hs.extend ⋯

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.VectorSpace

Goal state before:
pp: K : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s t : Set V
hs : LinearIndepOn K id s
hst : s ⊆ t
ht : ⊤ ≤ span K t
⊢ hs.extend hst = hs.extend hst

Tactic:
]

Goal state after: