mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.UniformSpace.OfCompactT2

Goal state before:
pp: γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : CompactSpace γ
inst✝ : R1Space γ
𝓝Δ : Filter (γ × γ) := 𝓝ˢ (diagonal γ)
F : Filter (γ × γ) := 𝓝Δ.lift' fun s ↦ s ○ s
⊢ ∀ V ∈ 𝓝Δ, F ⊓ 𝓟 Vᶜ = ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : CompactSpace γ
inst✝ : R1Space γ
𝓝Δ : Filter (γ × γ) := 𝓝ˢ (diagonal γ)
F : Filter (γ × γ) := 𝓝Δ.lift' fun s ↦ s ○ s
⊢ ∀ V ∈ 𝓝Δ, F ⊓ 𝓟 Vᶜ = ⊥
Module: Mathlib.Topology.UniformSpace.OfCompactT2

Goal state before:
pp: γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : CompactSpace γ
inst✝ : R1Space γ
𝓝Δ : Filter (γ × γ) := 𝓝ˢ (diagonal γ)
F : Filter (γ × γ) := 𝓝Δ.lift' fun s ↦ s ○ s
V : Set (γ × γ)
V_in : V ∈ 𝓝Δ
H : ¬F ⊓ 𝓟 Vᶜ = ⊥
this : (F ⊓ 𝓟 Vᶜ).NeBot
x y : γ
hxy : ClusterPt (x, y) (F ⊓ 𝓟 Vᶜ)
clV : (y, y) ∈ (interior V)ᶜ
h : Inseparable x y
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : CompactSpace γ
inst✝ : R1Space γ
𝓝Δ : Filter (γ × γ) := 𝓝ˢ (diagonal γ)
F : Filter (γ × γ) := 𝓝Δ.lift' fun s ↦ s ○ s
V : Set (γ × γ)
V_in : V ∈ 𝓝Δ
H : ¬F ⊓ 𝓟 Vᶜ = ⊥
this : (F ⊓ 𝓟 Vᶜ).NeBot
x y : γ
hxy : ClusterPt (x, y) (F ⊓ 𝓟 Vᶜ)
clV : (y, y) ∈ (interior V)ᶜ
h : Inseparable x y
⊢ False
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
s✝ : Set F
t : β
b : F
s : Set F
a✝ : b ∉ s
hs : s.Finite
X : Set E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
cX : Convex ℝ X
hsY : insert b s ⊆ Y
ht : ∀ x ∈ X, ∃ y ∈ insert b s, t < f x y
hb : b ∈ Y
X' : Set E := X ∩ (fun x ↦ f x b) ⁻¹' Iic t
hrec : s ⊆ Y → (∀ x ∈ X', ∃ y ∈ s, t < f x y) → ∃ y0 ∈ Y, ∀ x ∈ X', t < f x y0
X'_ne : X'.Nonempty
hX'X : X' ⊆ X
kX' : IsCompact X'
cX' : Convex ℝ X'
ht_lt : ∀ x ∈ X', ∃ y ∈ s, t < f x y
⊢ Y ⊆ Y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.UniformSpace.Uniformizable

Goal state before:
pp: case refine_1
X : Type u_1
inst✝ : UniformSpace X
u : Set X
x : X
uc s : SetRel X X
huc : IsOpen uc
ucu : uc ∈ 𝓤 X
hn : ball x (s ○ uc ○ s) ⊆ u
hs : s ∈ 𝓤 X
ds : SetRel X X
hdsu : ds ∈ 𝓤 X
hdso : IsOpen ds
hdsd : ds ○ ds ⊆ s
ho : IsOpen (ds ○ uc ○ ds)
hsub : ball x (ds ○ (ds ○ uc ○ ds) ○ ds) ⊆ u
this : ds.IsRefl
⊢ ⋂ d ∈ 𝓤 X, d ○ (uc ○ d) ⊆ ds ○ uc ○ ds

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
X : Type u_1
inst✝ : UniformSpace X
u : Set X
x : X
uc s : SetRel X X
huc : IsOpen uc
ucu : uc ∈ 𝓤 X
hn : ball x (s ○ uc ○ s) ⊆ u
hs : s ∈ 𝓤 X
ds : SetRel X X
hdsu : ds ∈ 𝓤 X
hdso : IsOpen ds
hdsd : ds ○ ds ⊆ s
ho : IsOpen (ds ○ uc ○ ds)
hsub : ball x (ds ○ (ds ○ uc ○ ds) ○ ds) ⊆ u
this : ds.IsRefl
⊢ ⋂ d ∈ 𝓤 X, d ○ (uc ○ d) ⊆ ds ○ uc ○ ds
Module: Mathlib.Topology.UniformSpace.OfCompactT2

Goal state before:
pp: γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : CompactSpace γ
inst✝ : R1Space γ
𝓝Δ : Filter (γ × γ) := 𝓝ˢ (diagonal γ)
F : Filter (γ × γ) := 𝓝Δ.lift' fun s ↦ s ○ s
V : Set (γ × γ)
V_in : V ∈ 𝓝Δ
H : ¬F ⊓ 𝓟 Vᶜ = ⊥
this : (F ⊓ 𝓟 Vᶜ).NeBot
x y : γ
hxy : ClusterPt (x, y) (F ⊓ 𝓟 Vᶜ)
clV : (y, y) ∈ (interior V)ᶜ
h : Inseparable x y
⊢ V ∈ 𝓝 (y, y)

Tactic:
]

Goal state after:
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : CompactSpace γ
inst✝ : R1Space γ
𝓝Δ : Filter (γ × γ) := 𝓝ˢ (diagonal γ)
F : Filter (γ × γ) := 𝓝Δ.lift' fun s ↦ s ○ s
V : Set (γ × γ)
V_in : V ∈ 𝓝Δ
H : ¬F ⊓ 𝓟 Vᶜ = ⊥
this : (F ⊓ 𝓟 Vᶜ).NeBot
x y : γ
hxy : ClusterPt (x, y) (F ⊓ 𝓟 Vᶜ)
clV : (y, y) ∈ (interior V)ᶜ
h : Inseparable x y
⊢ V ∈ 𝓝 (y, y)
Module: Mathlib.Topology.UniformSpace.Uniformizable

Goal state before:
pp: case refine_2
X : Type u_1
inst✝ : UniformSpace X
u : Set X
x : X
uc s : SetRel X X
huc : IsOpen uc
ucu : uc ∈ 𝓤 X
hn : ball x (s ○ uc ○ s) ⊆ u
hs : s ∈ 𝓤 X
ds : SetRel X X
hdsu : ds ∈ 𝓤 X
hdso : IsOpen ds
hdsd : ds ○ ds ⊆ s
ho : IsOpen (ds ○ uc ○ ds)
hsub : ball x (ds ○ (ds ○ uc ○ ds) ○ ds) ⊆ u
this : ds.IsRefl
⊢ ⋂ d ∈ 𝓤 X, d ○ (ds ○ uc ○ ds ○ d) ⊆ ds ○ (ds ○ uc ○ ds) ○ ds

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
X : Type u_1
inst✝ : UniformSpace X
u : Set X
x : X
uc s : SetRel X X
huc : IsOpen uc
ucu : uc ∈ 𝓤 X
hn : ball x (s ○ uc ○ s) ⊆ u
hs : s ∈ 𝓤 X
ds : SetRel X X
hdsu : ds ∈ 𝓤 X
hdso : IsOpen ds
hdsd : ds ○ ds ⊆ s
ho : IsOpen (ds ○ uc ○ ds)
hsub : ball x (ds ○ (ds ○ uc ○ ds) ○ ds) ⊆ u
this : ds.IsRefl
⊢ ⋂ d ∈ 𝓤 X, d ○ (ds ○ uc ○ ds ○ d) ⊆ ds ○ (ds ○ uc ○ ds) ○ ds
Module: Mathlib.Topology.UniformSpace.OfCompactT2

Goal state before:
pp: γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : CompactSpace γ
inst✝ : R1Space γ
𝓝Δ : Filter (γ × γ) := 𝓝ˢ (diagonal γ)
F : Filter (γ × γ) := 𝓝Δ.lift' fun s ↦ s ○ s
V : Set (γ × γ)
V_in : V ∈ 𝓝Δ
H : ¬F ⊓ 𝓟 Vᶜ = ⊥
this : (F ⊓ 𝓟 Vᶜ).NeBot
x y : γ
hxy : ClusterPt (x, y) (F ⊓ 𝓟 Vᶜ)
clV : ClusterPt (x, y) (𝓟 Vᶜ)
ninsep_xy : ¬Inseparable x y
U₁ V₁ : Set γ
V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 x
U₂ V₂ : Set γ
V₂_in : V₂ ∈ 𝓝 y
V₁_cl : IsClosed[inst✝²] V₁
V₂_cl : IsClosed[inst✝²] V₂
U₁_op : IsOpen[inst✝²] U₁
U₂_op : IsOpen[inst✝²] U₂
VU₁ : V₁ ⊆ U₁
VU₂ : V₂ ⊆ U₂
hU₁₂ : Disjoint U₁ U₂
U₃ : Set γ := (V₁ ∪ V₂)ᶜ
U₃_op : IsOpen[inst✝²] U₃
W : Set (γ × γ) := U₁ ×ˢ U₁ ∪ U₂ ×ˢ U₂ ∪ U₃ ×ˢ U₃
⊢ ∀ x ∈ diagonal γ, W ∈ 𝓝 x

Tactic:
]

Goal state after:
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : CompactSpace γ
inst✝ : R1Space γ
𝓝Δ : Filter (γ × γ) := 𝓝ˢ (diagonal γ)
F : Filter (γ × γ) := 𝓝Δ.lift' fun s ↦ s ○ s
V : Set (γ × γ)
V_in : V ∈ 𝓝Δ
H : ¬F ⊓ 𝓟 Vᶜ = ⊥
this : (F ⊓ 𝓟 Vᶜ).NeBot
x y : γ
hxy : ClusterPt (x, y) (F ⊓ 𝓟 Vᶜ)
clV : ClusterPt (x, y) (𝓟 Vᶜ)
ninsep_xy : ¬Inseparable x y
U₁ V₁ : Set γ
V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 x
U₂ V₂ : Set γ
V₂_in : V₂ ∈ 𝓝 y
V₁_cl : IsClosed[inst✝²] V₁
V₂_cl : IsClosed[inst✝²] V₂
U₁_op : IsOpen[inst✝²] U₁
U₂_op : IsOpen[inst✝²] U₂
VU₁ : V₁ ⊆ U₁
VU₂ : V₂ ⊆ U₂
hU₁₂ : Disjoint U₁ U₂
U₃ : Set γ := (V₁ ∪ V₂)ᶜ
U₃_op : IsOpen[inst✝²] U₃
W : Set (γ × γ) := U₁ ×ˢ U₁ ∪ U₂ ×ˢ U₂ ∪ U₃ ×ˢ U₃
⊢ ∀ x ∈ diagonal γ, W ∈ 𝓝 x
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
s✝ : Set F
t : β
b : F
s : Set F
a✝ : b ∉ s
hs : s.Finite
X : Set E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
cX : Convex ℝ X
hsY : insert b s ⊆ Y
ht : ∀ x ∈ X, ∃ y ∈ insert b s, t < f x y
hb : b ∈ Y
X' : Set E := X ∩ (fun x ↦ f x b) ⁻¹' Iic t
hrec : s ⊆ Y → (∀ x ∈ X', ∃ y ∈ s, t < f x y) → ∃ y0 ∈ Y, ∀ x ∈ X', t < f x y0
X'_ne : X'.Nonempty
hX'X : X' ⊆ X
kX' : IsCompact X'
cX' : Convex ℝ X'
ht_lt : ∀ x ∈ X', ∃ y ∈ s, t < f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
hty1 : ∀ x ∈ X', t < f x y1
x : E
hx : x ∈ X
hx' : x ∉ X'
⊢ ¬f x b ≤ t

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
s✝ : Set F
t : β
b : F
s : Set F
a✝ : b ∉ s
hs : s.Finite
X : Set E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
cX : Convex ℝ X
hsY : insert b s ⊆ Y
ht : ∀ x ∈ X, ∃ y ∈ insert b s, t < f x y
hb : b ∈ Y
X' : Set E := X ∩ (fun x ↦ f x b) ⁻¹' Iic t
hrec : s ⊆ Y → (∀ x ∈ X', ∃ y ∈ s, t < f x y) → ∃ y0 ∈ Y, ∀ x ∈ X', t < f x y0
X'_ne : X'.Nonempty
hX'X : X' ⊆ X
kX' : IsCompact X'
cX' : Convex ℝ X'
ht_lt : ∀ x ∈ X', ∃ y ∈ s, t < f x y
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
hty1 : ∀ x ∈ X', t < f x y1
x : E
hx : x ∈ X
hx' : x ∉ X'
⊢ ¬f x b ≤ t
Module: Mathlib.Topology.UniformSpace.OfCompactT2

Goal state before:
pp: γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : CompactSpace γ
inst✝ : R1Space γ
x : γ
⊢ 𝓝 x =
    (⨆ i, ⨆ (_ : Inseparable x i), comap (fun x_2 ↦ x) (𝓝 i) ⊓ 𝓝 i) ⊔
      ⨆ i, ⨆ (_ : ¬Inseparable x i), comap (fun x_2 ↦ x) (𝓝 i) ⊓ 𝓝 i

Tactic:
]

Goal state after:
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : CompactSpace γ
inst✝ : R1Space γ
x : γ
⊢ 𝓝 x =
    (⨆ i, ⨆ (_ : Inseparable x i), comap (fun x_2 ↦ x) (𝓝 i) ⊓ 𝓝 i) ⊔
      ⨆ i, ⨆ (_ : ¬Inseparable x i), comap (fun x_2 ↦ x) (𝓝 i) ⊓ 𝓝 i
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: case a
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
cX : Convex ℝ X
sup_y : E → β
hsup_y : ∀ x ∈ X, IsLUB {x_1 | ∃ y ∈ Y, f x y = x_1} (sup_y x)
inf_sup : β
hinf_sup : IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, sup_y x_1 = x} inf_sup
inf_x : F → β
hinf_x : ∀ y ∈ Y, IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, f x_1 y = x} (inf_x y)
sup_inf : β
hsup_inf : IsLUB {x | ∃ y ∈ Y, inf_x y = x} sup_inf
⊢ ∀ x ∈ {x | ∃ x_1 ∈ X, sup_y x_1 = x}, sup_inf ≤ x

Tactic:
]

Goal state after:
case a
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
cX : Convex ℝ X
sup_y : E → β
hsup_y : ∀ x ∈ X, IsLUB {x_1 | ∃ y ∈ Y, f x y = x_1} (sup_y x)
inf_sup : β
hinf_sup : IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, sup_y x_1 = x} inf_sup
inf_x : F → β
hinf_x : ∀ y ∈ Y, IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, f x_1 y = x} (inf_x y)
sup_inf : β
hsup_inf : IsLUB {x | ∃ y ∈ Y, inf_x y = x} sup_inf
⊢ ∀ x ∈ {x | ∃ x_1 ∈ X, sup_y x_1 = x}, sup_inf ≤ x
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: case a
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
cX : Convex ℝ X
sup_y : E → β
hsup_y : ∀ x ∈ X, IsLUB {x_1 | ∃ y ∈ Y, f x y = x_1} (sup_y x)
inf_sup : β
hinf_sup : IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, sup_y x_1 = x} inf_sup
inf_x : F → β
hinf_x : ∀ y ∈ Y, IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, f x_1 y = x} (inf_x y)
sup_inf : β
hsup_inf : IsLUB {x | ∃ y ∈ Y, inf_x y = x} sup_inf
x : E
hx : x ∈ X
⊢ ∀ x_1 ∈ {x | ∃ y ∈ Y, inf_x y = x}, x_1 ≤ sup_y x

Tactic:
]

Goal state after:
case a
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
cX : Convex ℝ X
sup_y : E → β
hsup_y : ∀ x ∈ X, IsLUB {x_1 | ∃ y ∈ Y, f x y = x_1} (sup_y x)
inf_sup : β
hinf_sup : IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, sup_y x_1 = x} inf_sup
inf_x : F → β
hinf_x : ∀ y ∈ Y, IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, f x_1 y = x} (inf_x y)
sup_inf : β
hsup_inf : IsLUB {x | ∃ y ∈ Y, inf_x y = x} sup_inf
x : E
hx : x ∈ X
⊢ ∀ x_1 ∈ {x | ∃ y ∈ Y, inf_x y = x}, x_1 ≤ sup_y x
Module: Mathlib.Topology.UniformSpace.OfCompactT2

Goal state before:
pp: γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : CompactSpace γ
inst✝ : R1Space γ
x : γ
⊢ 𝓝 x = ⊤ ⊓ 𝓝 x ⊔ ⨆ i, ⨆ (_ : ¬Inseparable x i), ⊥ ⊓ 𝓝 i

Tactic:
]

Goal state after:
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : CompactSpace γ
inst✝ : R1Space γ
x : γ
⊢ 𝓝 x = ⊤ ⊓ 𝓝 x ⊔ ⨆ i, ⨆ (_ : ¬Inseparable x i), ⊥ ⊓ 𝓝 i
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: case a.inr
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
cX : Convex ℝ X
sup_y : E → β
hsup_y : ∀ x ∈ X, IsLUB {x_1 | ∃ y ∈ Y, f x y = x_1} (sup_y x)
inf_sup : β
hinf_sup : IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, sup_y x_1 = x} inf_sup
inf_x : F → β
hinf_x : ∀ y ∈ Y, IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, f x_1 y = x} (inf_x y)
sup_inf : β
hsup_inf : IsLUB {x | ∃ y ∈ Y, inf_x y = x} sup_inf
ne_Y : Y.Nonempty
⊢ ∀ ⦃c : β⦄, c < inf_sup → c < sup_inf

Tactic:
]

Goal state after:
case a.inr
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
cX : Convex ℝ X
sup_y : E → β
hsup_y : ∀ x ∈ X, IsLUB {x_1 | ∃ y ∈ Y, f x y = x_1} (sup_y x)
inf_sup : β
hinf_sup : IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, sup_y x_1 = x} inf_sup
inf_x : F → β
hinf_x : ∀ y ∈ Y, IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, f x_1 y = x} (inf_x y)
sup_inf : β
hsup_inf : IsLUB {x | ∃ y ∈ Y, inf_x y = x} sup_inf
ne_Y : Y.Nonempty
⊢ ∀ ⦃c : β⦄, c < inf_sup → c < sup_inf
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
cX : Convex ℝ X
sup_y : E → β
hsup_y : ∀ x ∈ X, IsLUB {x_1 | ∃ y ∈ Y, f x y = x_1} (sup_y x)
inf_sup : β
hinf_sup : IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, sup_y x_1 = x} inf_sup
inf_x : F → β
hinf_x : ∀ y ∈ Y, IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, f x_1 y = x} (inf_x y)
sup_inf : β
hsup_inf : IsLUB {x | ∃ y ∈ Y, inf_x y = x} sup_inf
ne_Y : Y.Nonempty
t : β
ht : t < inf_sup
⊢ X ∩ ⋂ i ∈ Y, (fun x ↦ f x i) ⁻¹' Iic t = ∅

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
cX : Convex ℝ X
sup_y : E → β
hsup_y : ∀ x ∈ X, IsLUB {x_1 | ∃ y ∈ Y, f x y = x_1} (sup_y x)
inf_sup : β
hinf_sup : IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, sup_y x_1 = x} inf_sup
inf_x : F → β
hinf_x : ∀ y ∈ Y, IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, f x_1 y = x} (inf_x y)
sup_inf : β
hsup_inf : IsLUB {x | ∃ y ∈ Y, inf_x y = x} sup_inf
ne_Y : Y.Nonempty
t : β
ht : t < inf_sup
⊢ X ∩ ⋂ i ∈ Y, (fun x ↦ f x i) ⁻¹' Iic t = ∅
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
cX : Convex ℝ X
sup_y : E → β
hsup_y : ∀ x ∈ X, IsLUB {x_1 | ∃ y ∈ Y, f x y = x_1} (sup_y x)
inf_sup : β
hinf_sup : IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, sup_y x_1 = x} inf_sup
inf_x : F → β
hinf_x : ∀ y ∈ Y, IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, f x_1 y = x} (inf_x y)
sup_inf : β
hsup_inf : IsLUB {x | ∃ y ∈ Y, inf_x y = x} sup_inf
ne_Y : Y.Nonempty
t : β
ht : ∃ c ∈ lowerBounds {x | ∃ x_1 ∈ X, sup_y x_1 = x}, t < c
x : E
hx : x ∈ X
hx' : ∀ i ∈ Y, f x i ≤ t
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
cX : Convex ℝ X
sup_y : E → β
hsup_y : ∀ x ∈ X, IsLUB {x_1 | ∃ y ∈ Y, f x y = x_1} (sup_y x)
inf_sup : β
hinf_sup : IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, sup_y x_1 = x} inf_sup
inf_x : F → β
hinf_x : ∀ y ∈ Y, IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, f x_1 y = x} (inf_x y)
sup_inf : β
hsup_inf : IsLUB {x | ∃ y ∈ Y, inf_x y = x} sup_inf
ne_Y : Y.Nonempty
t : β
ht : ∃ c ∈ lowerBounds {x | ∃ x_1 ∈ X, sup_y x_1 = x}, t < c
x : E
hx : x ∈ X
hx' : ∀ i ∈ Y, f x i ≤ t
⊢ False
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
cX : Convex ℝ X
sup_y : E → β
hsup_y : ∀ x ∈ X, IsLUB {x_1 | ∃ y ∈ Y, f x y = x_1} (sup_y x)
inf_sup : β
hinf_sup : IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, sup_y x_1 = x} inf_sup
inf_x : F → β
hinf_x : ∀ y ∈ Y, IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, f x_1 y = x} (inf_x y)
sup_inf : β
hsup_inf : IsLUB {x | ∃ y ∈ Y, inf_x y = x} sup_inf
ne_Y : Y.Nonempty
t : β
x : E
hx : x ∈ X
hx' : ∀ i ∈ Y, f x i ≤ t
c : β
htc : t < c
hc : ∀ a ∈ X, c ≤ sup_y a
⊢ ∀ x_1 ∈ {x_2 | ∃ y ∈ Y, f x y = x_2}, x_1 ≤ t

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
cX : Convex ℝ X
sup_y : E → β
hsup_y : ∀ x ∈ X, IsLUB {x_1 | ∃ y ∈ Y, f x y = x_1} (sup_y x)
inf_sup : β
hinf_sup : IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, sup_y x_1 = x} inf_sup
inf_x : F → β
hinf_x : ∀ y ∈ Y, IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, f x_1 y = x} (inf_x y)
sup_inf : β
hsup_inf : IsLUB {x | ∃ y ∈ Y, inf_x y = x} sup_inf
ne_Y : Y.Nonempty
t : β
x : E
hx : x ∈ X
hx' : ∀ i ∈ Y, f x i ≤ t
c : β
htc : t < c
hc : ∀ a ∈ X, c ≤ sup_y a
⊢ ∀ x_1 ∈ {x_2 | ∃ y ∈ Y, f x y = x_2}, x_1 ≤ t