mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)
⊢ s.circumradius ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)
⊢ s.circumradius ≠ 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hy : y ≠ 0
h : angle (x - y) y = angle (x - y) x + angle y x
⊢ angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = π

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hy : y ≠ 0
h : angle (x - y) y = angle (x - y) x + angle y x
⊢ angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = π
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hy : y ≠ 0
h : angle (x - y) y = angle (x - y) x + angle y x
⊢ angle x y + angle x (x - y) + (π - angle y (x - y)) = π

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hy : y ≠ 0
h : angle (x - y) y = angle (x - y) x + angle y x
⊢ angle x y + angle x (x - y) + (π - angle y (x - y)) = π
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x (x - y) = o.oangle (y - x) y ∨ o.oangle x (x - y) = o.oangle (y - x) y + ↑π
h0 : o.oangle x y ≠ 0
hpi : o.oangle x y ≠ ↑π
hs : (o.oangle x (x - y)).sign = (o.oangle (y - x) y).sign
⊢ ‖x‖ = ‖y‖

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x (x - y) = o.oangle (y - x) y ∨ o.oangle x (x - y) = o.oangle (y - x) y + ↑π
h0 : o.oangle x y ≠ 0
hpi : o.oangle x y ≠ ↑π
hs : (o.oangle x (x - y)).sign = (o.oangle (y - x) y).sign
⊢ ‖x‖ = ‖y‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h0 : o.oangle x y ≠ 0
hpi : o.oangle x y ≠ ↑π
hs : (o.oangle x (x - y)).sign = (o.oangle (y - x) y).sign
h : angle x (x - y) = angle y (y - x)
⊢ ‖x‖ = ‖y‖

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h0 : o.oangle x y ≠ 0
hpi : o.oangle x y ≠ ↑π
hs : (o.oangle x (x - y)).sign = (o.oangle (y - x) y).sign
h : angle x (x - y) = angle y (y - x)
⊢ ‖x‖ = ‖y‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁ : t₁.points i₁ = t₂.points i₁
h₃ : t₁.points i₃ = t₂.points i₃
h₂ : 2 • ∡ (t₁.points i₁) (t₁.points i₂) (t₁.points i₃) = 2 • ∡ (t₂.points i₁) (t₂.points i₂) (t₂.points i₃)
⊢ {
      center :=
        ((∡ (t₂.points i₁) (t₂.points i₂) (t₂.points i₃)).tan⁻¹ / 2) •
            («o».rotation ↑(π / 2)) (t₂.points i₃ -ᵥ t₂.points i₁) +ᵥ
          midpoint ℝ (t₂.points i₁) (t₂.points i₃),
      radius := dist (t₂.points i₁) (t₂.points i₃) / |(∡ (t₂.points i₁) (t₂.points i₂) (t₂.points i₃)).sin| / 2 } =
    {
      center :=
        ((∡ (t₂.points i₁) (t₂.points i₂) (t₂.points i₃)).tan⁻¹ / 2) •
            («o».rotation ↑(π / 2)) (t₂.points i₃ -ᵥ t₂.points i₁) +ᵥ
          midpoint ℝ (t₂.points i₁) (t₂.points i₃),
      radius := dist (t₂.points i₁) (t₂.points i₃) / |(∡ (t₂.points i₁) (t₂.points i₂) (t₂.points i₃)).sin| / 2 }

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h0 : o.oangle x y ≠ 0
hpi : o.oangle x y ≠ ↑π
hs : (o.oangle x (x - y)).sign = (o.oangle (y - x) y).sign
h : angle x (x - y) = angle y (y - x)
⊢ ¬o.oangle x y = ↑π

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h0 : o.oangle x y ≠ 0
hpi : o.oangle x y ≠ ↑π
hs : (o.oangle x (x - y)).sign = (o.oangle (y - x) y).sign
h : angle x (x - y) = angle y (y - x)
⊢ ¬o.oangle x y = ↑π
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
i : Fin 2
hi : i ∈ Set.univ
j : Fin 2
hj : j ∈ Set.univ
hij : i ≠ j
⊢ ‖1 • (s.points i -ᵥ s.points 0) - 2⁻¹ • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖ =
    ‖1 • (s.points j -ᵥ s.points 0) - 2⁻¹ • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
i : Fin 2
hi : i ∈ Set.univ
j : Fin 2
hj : j ∈ Set.univ
hij : i ≠ j
⊢ ‖1 • (s.points i -ᵥ s.points 0) - 2⁻¹ • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖ =
    ‖1 • (s.points j -ᵥ s.points 0) - 2⁻¹ • (s.points 1 -ᵥ s.points 0)‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case inr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h0 : o.oangle x y ≠ 0
hpi : o.oangle x y ≠ ↑π
hs : o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π
h : o.oangle x (x - y) = o.oangle (y - x) y + ↑π
⊢ ‖x‖ = ‖y‖

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h0 : o.oangle x y ≠ 0
hpi : o.oangle x y ≠ ↑π
hs : o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π
h : o.oangle x (x - y) = o.oangle (y - x) y + ↑π
⊢ ‖x‖ = ‖y‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ‖p₁ -ᵥ p₃‖ * ‖p₁ -ᵥ p₃‖ =
    ‖p₁ -ᵥ p₂‖ * ‖p₁ -ᵥ p₂‖ + ‖p₃ -ᵥ p₂‖ * ‖p₃ -ᵥ p₂‖ - 2 * ‖p₁ -ᵥ p₂‖ * ‖p₃ -ᵥ p₂‖ * Real.cos (∠ p₁ p₂ p₃)

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ‖p₁ -ᵥ p₃‖ * ‖p₁ -ᵥ p₃‖ =
    ‖p₁ -ᵥ p₂‖ * ‖p₁ -ᵥ p₂‖ + ‖p₃ -ᵥ p₂‖ * ‖p₃ -ᵥ p₂‖ - 2 * ‖p₁ -ᵥ p₂‖ * ‖p₃ -ᵥ p₂‖ * Real.cos (∠ p₁ p₂ p₃)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs₁ signs₂ : Finset (Fin (n + 1))
h₁ : s.ExcenterExists signs₁
h₂ : s.ExcenterExists signs₂
⊢ s.excenterWeights signs₁ = s.excenterWeights signs₂ ↔ signs₁ = signs₂ ∨ signs₁ = signs₂ᶜ

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs₁ signs₂ : Finset (Fin (n + 1))
h₁ : s.ExcenterExists signs₁
h₂ : s.ExcenterExists signs₂
⊢ s.excenterWeights signs₁ = s.excenterWeights signs₂ ↔ signs₁ = signs₂ ∨ signs₁ = signs₂ᶜ
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ Real.sin (InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₁)) =
      Real.sin (InnerProductGeometry.angle (p₃ -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ p₁)) ∨
    ‖p₃ -ᵥ p₁‖ = 0

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ Real.sin (InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₁)) =
      Real.sin (InnerProductGeometry.angle (p₃ -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ p₁)) ∨
    ‖p₃ -ᵥ p₁‖ = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
⊢ signs = ∅ ∨ signs = ∅ᶜ ↔ signs = ∅ ∨ signs = Finset.univ

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
⊢ signs = ∅ ∨ signs = ∅ᶜ ↔ signs = ∅ ∨ signs = Finset.univ
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ Real.sin (InnerProductGeometry.angle (p₃ -ᵥ p₁) (p₁ -ᵥ p₂)) =
    Real.sin (InnerProductGeometry.angle (p₃ -ᵥ p₁) (p₁ -ᵥ p₂))

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
i : Fin (n + 1)
h : {i} = ∅ ∨ {i} = Finset.univ
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
i : Fin (n + 1)
h : {i} = ∅ ∨ {i} = Finset.univ
⊢ False
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
p : P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h : 2 • ∡ (t.points i₁) p (t.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)
t'p : Fin 3 → P := Function.update t.points i₂ p
h₁ : t'p i₁ = t.points i₁
h₂ : t'p i₂ = p
h₃ : t'p i₃ = t.points i₃
⊢ AffineIndependent ℝ t.points

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
p : P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h : 2 • ∡ (t.points i₁) p (t.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)
t'p : Fin 3 → P := Function.update t.points i₂ p
h₁ : t'p i₁ = t.points i₁
h₂ : t'p i₂ = p
h₃ : t'p i₃ = t.points i₃
⊢ AffineIndependent ℝ t.points
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
sin_gt_zero : 0 < Real.sin (∠ p₁ p₂ p₃)
⊢ Real.sin (∠ p₁ p₂ p₃) * dist p₁ p₂ = Real.sin (∠ p₁ p₂ p₃) * dist p₁ p₂

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = ∠ p₁ p₃ p₂

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = ∠ p₁ p₃ p₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂) = InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃)
hpi : InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₁) (p₃ -ᵥ p₁) ≠ π
⊢ ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂) = InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃)
hpi : InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₁) (p₃ -ᵥ p₁) ≠ π
⊢ ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
i j : Fin (n + 1)
hij : {i} = {j} ∨ {i} = {j}ᶜ
⊢ i = j

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
i j : Fin (n + 1)
hij : {i} = {j} ∨ {i} = {j}ᶜ
⊢ i = j
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂) = InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃)
hpi : InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₁ -ᵥ p₃) ≠ π
⊢ ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₃ -ᵥ p₂) = InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃)
hpi : InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₁ -ᵥ p₃) ≠ π
⊢ ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h :
  InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₁ -ᵥ p₂ - (p₁ -ᵥ p₃)) =
    InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₃ - (p₁ -ᵥ p₂))
hpi : InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₁ -ᵥ p₃) ≠ π
⊢ ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h :
  InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₁ -ᵥ p₂ - (p₁ -ᵥ p₃)) =
    InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₃) (p₁ -ᵥ p₃ - (p₁ -ᵥ p₂))
hpi : InnerProductGeometry.angle (p₁ -ᵥ p₂) (p₁ -ᵥ p₃) ≠ π
⊢ ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case e'_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
inst✝ : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₂ p₃ p₁
h0 : ∡ p₃ p₁ p₂ ≠ 0
hpi : ∡ p₃ p₁ p₂ ≠ ↑π
⊢ ‖p₂ -ᵥ p₁‖ = ‖p₂ -ᵥ p₁‖

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
hr : ∃ z, ∀ x ∈ Set.univ, dist (s.points x) (Finset.centroid ℝ univ s.points) = z
⊢ s.circumcenter = Finset.centroid ℝ univ s.points

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1
hr : ∃ z, ∀ x ∈ Set.univ, dist (s.points x) (Finset.centroid ℝ univ s.points) = z
⊢ s.circumcenter = Finset.centroid ℝ univ s.points
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
i j : Fin (n + 1)
hij : ∀ (a : Fin (n + 1)), a ∈ {i} ↔ a ∈ {j}ᶜ
this : 2 ≤ n
k : Fin (n + 1)
hki : k ≠ i
hkj : k ≠ j
⊢ i = j

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
inst✝ : n.AtLeastTwo
i j : Fin (n + 1)
hij : ∀ (a : Fin (n + 1)), a ∈ {i} ↔ a ∈ {j}ᶜ
this : 2 ≤ n
k : Fin (n + 1)
hki : k ≠ i
hkj : k ≠ j
⊢ i = j
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
p : P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h : 2 • ∡ (t.points i₁) p (t.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)
t'p : Fin 3 → P := Function.update t.points i₂ p
h₁ : t'p i₁ = t.points i₁
h₂ : t'p i₂ = p
h₃ : t'p i₃ = t.points i₃
ha : AffineIndependent ℝ t'p
t' : Triangle ℝ P := { points := t'p, independent := ha }
h₁' : t'.points i₁ = t.points i₁
h₂' : t'.points i₂ = p
h₃' : t'.points i₃ = t.points i₃
⊢ 2 • ∡ (t.points i₁) p (t.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
p : P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h : 2 • ∡ (t.points i₁) p (t.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)
t'p : Fin 3 → P := Function.update t.points i₂ p
h₁ : t'p i₁ = t.points i₁
h₂ : t'p i₂ = p
h₃ : t'p i₃ = t.points i₃
ha : AffineIndependent ℝ t'p
t' : Triangle ℝ P := { points := t'p, independent := ha }
h₁' : t'.points i₁ = t.points i₁
h₂' : t'.points i₂ = p
h₃' : t'.points i₃ = t.points i₃
⊢ 2 • ∡ (t.points i₁) p (t.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case e'_3
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
inst✝ : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₂ p₃ p₁
h0 : ∡ p₃ p₁ p₂ ≠ 0
hpi : ∡ p₃ p₁ p₂ ≠ ↑π
⊢ ‖p₃ -ᵥ p₁‖ = ‖p₃ -ᵥ p₁‖

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i : Fin (n + 1)
⊢ 0 < s.excenterWeights signs i ↔ 0 < s.excenterWeights signs i

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ (s.reindex e).circumsphere.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range (s.reindex e).points)

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ (s.reindex e).circumsphere.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range (s.reindex e).points)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ Set.range (s.reindex e).points ⊆ Metric.sphere (s.reindex e).circumsphere.center (s.reindex e).circumsphere.radius

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)
⊢ Set.range (s.reindex e).points ⊆ Metric.sphere (s.reindex e).circumsphere.center (s.reindex e).circumsphere.radius
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
inst✝ : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₂ p₃ p₁
h0 : ∡ p₃ p₁ p₂ ≠ 0
hpi : ∡ p₃ p₁ p₂ ≠ ↑π
⊢ 2 • -o.oangle (-(p₂ -ᵥ p₁)) (-(p₂ -ᵥ p₁ - (p₃ -ᵥ p₁))) = 2 • o.oangle (p₃ -ᵥ p₁) (p₃ -ᵥ p₁ - (p₂ -ᵥ p₁))

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
inst✝ : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₂ p₃ p₁
h0 : ∡ p₃ p₁ p₂ ≠ 0
hpi : ∡ p₃ p₁ p₂ ≠ ↑π
⊢ 2 • -o.oangle (-(p₂ -ᵥ p₁)) (-(p₂ -ᵥ p₁ - (p₃ -ᵥ p₁))) = 2 • o.oangle (p₃ -ᵥ p₁) (p₃ -ᵥ p₁ - (p₂ -ᵥ p₁))
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
p : P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h : 2 • ∡ (t.points i₁) p (t.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)
t'p : Fin 3 → P := Function.update t.points i₂ p
h₁ : t'p i₁ = t.points i₁
h₂ : t'p i₂ = p
h₃ : t'p i₃ = t.points i₃
ha : AffineIndependent ℝ t'p
t' : Triangle ℝ P := { points := t'p, independent := ha }
h₁' : t'.points i₁ = t.points i₁
h₂' : t'.points i₂ = p
h₃' : t'.points i₃ = t.points i₃
h' : 2 • ∡ (t'.points i₁) (t'.points i₂) (t'.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)
⊢ t'.points i₂ ∈ Simplex.circumsphere t'

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
p : P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h : 2 • ∡ (t.points i₁) p (t.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)
t'p : Fin 3 → P := Function.update t.points i₂ p
h₁ : t'p i₁ = t.points i₁
h₂ : t'p i₂ = p
h₃ : t'p i₃ = t.points i₃
ha : AffineIndependent ℝ t'p
t' : Triangle ℝ P := { points := t'p, independent := ha }
h₁' : t'.points i₁ = t.points i₁
h₂' : t'.points i₂ = p
h₃' : t'.points i₃ = t.points i₃
h' : 2 • ∡ (t'.points i₁) (t'.points i₂) (t'.points i₃) = 2 • ∡ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)
⊢ t'.points i₂ ∈ Simplex.circumsphere t'
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
h : s.ExcenterExists signs
i : Fin (n + 1)
⊢ s.excenterWeights signs i < 0 ↔ s.excenterWeights signs i < 0

Tactic:
]

Goal state after: