mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Group.Affine

Goal state before:
pp: R✝¹ R✝ A : CommRingCat
X M G : Scheme
R S T : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Bialgebra R T
⊢ Over.Hom.left
        (μ ≫
          Hom.asOver
            (pullbackSymmetry (Spec (of T) ↘ Spec (of R)) (Spec (of S) ↘ Spec (of R)) ≪≫ pullbackSpecIso' R S T).hom
            (Spec (of S))) ≫
      (pullbackSpecIso' R S T).inv =
    Over.Hom.left
        ((Hom.asOver
              (pullbackSymmetry (Spec (of T) ↘ Spec (of R)) (Spec (of S) ↘ Spec (of R)) ≪≫ pullbackSpecIso' R S T).hom
              (Spec (of S)) ⊗ₘ
            Hom.asOver
              (pullbackSymmetry (Spec (of T) ↘ Spec (of R)) (Spec (of S) ↘ Spec (of R)) ≪≫ pullbackSpecIso' R S T).hom
              (Spec (of S))) ≫
          μ) ≫
      (pullbackSpecIso' R S T).inv

Tactic:
]

Goal state after:
R✝¹ R✝ A : CommRingCat
X M G : Scheme
R S T : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Bialgebra R T
⊢ Over.Hom.left
        (μ ≫
          Hom.asOver
            (pullbackSymmetry (Spec (of T) ↘ Spec (of R)) (Spec (of S) ↘ Spec (of R)) ≪≫ pullbackSpecIso' R S T).hom
            (Spec (of S))) ≫
      (pullbackSpecIso' R S T).inv =
    Over.Hom.left
        ((Hom.asOver
              (pullbackSymmetry (Spec (of T) ↘ Spec (of R)) (Spec (of S) ↘ Spec (of R)) ≪≫ pullbackSpecIso' R S T).hom
              (Spec (of S)) ⊗ₘ
            Hom.asOver
              (pullbackSymmetry (Spec (of T) ↘ Spec (of R)) (Spec (of S) ↘ Spec (of R)) ≪≫ pullbackSpecIso' R S T).hom
              (Spec (of S))) ≫
          μ) ≫
      (pullbackSpecIso' R S T).inv
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Basic

Goal state before:
pp: B : Type u₁
inst✝ : Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η : 𝟙 a ⟶ f ≫ g
ε : g ≫ f ⟶ 𝟙 b
h : leftZigzag η ε = (λ_ f).hom ≫ (ρ_ f).inv
⊢ 𝟙 (g ≫ 𝟙 a) ⊗≫ g ◁ (𝟙 a ◁ η ≫ η ▷ (f ≫ g)) ⊗≫ ((g ≫ f) ◁ ε ≫ ε ▷ 𝟙 b) ▷ g ⊗≫ 𝟙 (𝟙 b ≫ g) =
    g ◁ η ⊗≫ g ◁ (η ▷ f ⊗≫ f ◁ ε) ▷ g ⊗≫ ε ▷ g

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u₁
inst✝ : Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η : 𝟙 a ⟶ f ≫ g
ε : g ≫ f ⟶ 𝟙 b
h : leftZigzag η ε = (λ_ f).hom ≫ (ρ_ f).inv
⊢ 𝟙 (g ≫ 𝟙 a) ⊗≫ g ◁ (𝟙 a ◁ η ≫ η ▷ (f ≫ g)) ⊗≫ ((g ≫ f) ◁ ε ≫ ε ▷ 𝟙 b) ▷ g ⊗≫ 𝟙 (𝟙 b ≫ g) =
    g ◁ η ⊗≫ g ◁ (η ▷ f ⊗≫ f ◁ ε) ▷ g ⊗≫ ε ▷ g
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Basic

Goal state before:
pp: B : Type u₁
inst✝ : Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η : 𝟙 a ⟶ f ≫ g
ε : g ≫ f ⟶ 𝟙 b
h : leftZigzag η ε = (λ_ f).hom ≫ (ρ_ f).inv
⊢ g ◁ η ⊗≫ g ◁ ((λ_ f).hom ≫ (ρ_ f).inv) ▷ g ⊗≫ ε ▷ g = g ◁ η ⊗≫ ε ▷ g

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u₁
inst✝ : Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η : 𝟙 a ⟶ f ≫ g
ε : g ≫ f ⟶ 𝟙 b
h : leftZigzag η ε = (λ_ f).hom ≫ (ρ_ f).inv
⊢ g ◁ η ⊗≫ g ◁ ((λ_ f).hom ≫ (ρ_ f).inv) ▷ g ⊗≫ ε ▷ g = g ◁ η ⊗≫ ε ▷ g
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Basic

Goal state before:
pp: B : Type u₁
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f₁ : a ⟶ b
g₁ : b ⟶ a
f₂ : b ⟶ c
g₂ : c ⟶ b
adj₁ : f₁ ⊣ g₁
adj₂ : f₂ ⊣ g₂
⊢ 𝟙 (𝟙 a ≫ f₁ ≫ f₂) ⊗≫
      adj₁.unit ▷ (f₁ ≫ f₂) ⊗≫
        f₁ ◁ (𝟙 b ◁ adj₁.counit ≫ adj₂.unit ▷ 𝟙 b) ▷ f₂ ⊗≫ (f₁ ≫ f₂) ◁ adj₂.counit ⊗≫ 𝟙 ((f₁ ≫ f₂) ≫ 𝟙 c) =
    𝟙 (𝟙 a ≫ f₁ ≫ f₂) ⊗≫
      leftZigzag adj₁.unit adj₁.counit ▷ f₂ ⊗≫ f₁ ◁ leftZigzag adj₂.unit adj₂.counit ⊗≫ 𝟙 ((f₁ ≫ f₂) ≫ 𝟙 c)

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u₁
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f₁ : a ⟶ b
g₁ : b ⟶ a
f₂ : b ⟶ c
g₂ : c ⟶ b
adj₁ : f₁ ⊣ g₁
adj₂ : f₂ ⊣ g₂
⊢ 𝟙 (𝟙 a ≫ f₁ ≫ f₂) ⊗≫
      adj₁.unit ▷ (f₁ ≫ f₂) ⊗≫
        f₁ ◁ (𝟙 b ◁ adj₁.counit ≫ adj₂.unit ▷ 𝟙 b) ▷ f₂ ⊗≫ (f₁ ≫ f₂) ◁ adj₂.counit ⊗≫ 𝟙 ((f₁ ≫ f₂) ≫ 𝟙 c) =
    𝟙 (𝟙 a ≫ f₁ ≫ f₂) ⊗≫
      leftZigzag adj₁.unit adj₁.counit ▷ f₂ ⊗≫ f₁ ◁ leftZigzag adj₂.unit adj₂.counit ⊗≫ 𝟙 ((f₁ ≫ f₂) ≫ 𝟙 c)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Adj

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b : Adj B
α β : a ⟶ b
p : Hom₂ α β
⊢ p.τl = p.τl

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Adj

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d : Adj B
α β : a ⟶ b
el : α.l ≅ β.l
er : β.r ≅ α.r
h : (conjugateEquiv β.adj α.adj) el.hom = er.hom
⊢ 𝟙 α.r = 𝟙 α.r

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Adj

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a✝ b✝ c d a b : Adj B
adj₁ adj₂ : a ⟶ b
e : adj₁ ≅ adj₂
⊢ 𝟙 adj₁.l = 𝟙 adj₁.l

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Adj

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a✝ b✝ c d a b : Adj B
adj₁ adj₂ : a ⟶ b
e : adj₁ ≅ adj₂
⊢ 𝟙 adj₂.l = 𝟙 adj₂.l

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Adj

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a✝ b✝ c d a b : Adj B
adj₁ adj₂ : a ⟶ b
e : adj₁ ≅ adj₂
⊢ 𝟙 adj₁.r = 𝟙 adj₁.r

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Adj

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a✝ b✝ c d a b : Adj B
adj₁ adj₂ : a ⟶ b
e : adj₁ ≅ adj₂
⊢ 𝟙 adj₂.r = 𝟙 adj₂.r

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Cat

Goal state before:
pp: C D : Cat
L₁ L₂ : C ⟶ D
R₁ R₂ : D ⟶ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
f : L₂ ⟶ L₁
⊢ R₁.toFunctor.rightUnitor.inv ≫
      (CategoryTheory.mateEquiv (Adjunction.ofCat adj₁) (Adjunction.ofCat adj₂))
          ((λ_ L₂).hom ≫ f ≫ (ρ_ L₁).inv).toNatTrans ≫
        R₂.toFunctor.leftUnitor.hom =
    (CategoryTheory.conjugateEquiv (Adjunction.ofCat adj₁) (Adjunction.ofCat adj₂)) f.toNatTrans

Tactic:
]

Goal state after:
C D : Cat
L₁ L₂ : C ⟶ D
R₁ R₂ : D ⟶ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
f : L₂ ⟶ L₁
⊢ R₁.toFunctor.rightUnitor.inv ≫
      (CategoryTheory.mateEquiv (Adjunction.ofCat adj₁) (Adjunction.ofCat adj₂))
          ((λ_ L₂).hom ≫ f ≫ (ρ_ L₁).inv).toNatTrans ≫
        R₂.toFunctor.leftUnitor.hom =
    (CategoryTheory.conjugateEquiv (Adjunction.ofCat adj₁) (Adjunction.ofCat adj₂)) f.toNatTrans
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Basic

Goal state before:
pp: B : Type u₁
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f₁ : a ⟶ b
g₁ : b ⟶ a
f₂ : b ⟶ c
g₂ : c ⟶ b
adj₁ : f₁ ⊣ g₁
adj₂ : f₂ ⊣ g₂
⊢ 𝟙 ((g₂ ≫ g₁) ≫ 𝟙 a) ⊗≫
      (g₂ ≫ g₁) ◁ adj₁.unit ⊗≫
        g₂ ◁ (adj₁.counit ▷ 𝟙 b ≫ 𝟙 b ◁ adj₂.unit) ▷ g₁ ⊗≫ adj₂.counit ▷ (g₂ ≫ g₁) ⊗≫ 𝟙 (𝟙 c ≫ g₂ ≫ g₁) =
    𝟙 ((g₂ ≫ g₁) ≫ 𝟙 a) ⊗≫
      g₂ ◁ rightZigzag adj₁.unit adj₁.counit ⊗≫ rightZigzag adj₂.unit adj₂.counit ▷ g₁ ⊗≫ 𝟙 (𝟙 c ≫ g₂ ≫ g₁)

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u₁
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f₁ : a ⟶ b
g₁ : b ⟶ a
f₂ : b ⟶ c
g₂ : c ⟶ b
adj₁ : f₁ ⊣ g₁
adj₂ : f₂ ⊣ g₂
⊢ 𝟙 ((g₂ ≫ g₁) ≫ 𝟙 a) ⊗≫
      (g₂ ≫ g₁) ◁ adj₁.unit ⊗≫
        g₂ ◁ (adj₁.counit ▷ 𝟙 b ≫ 𝟙 b ◁ adj₂.unit) ▷ g₁ ⊗≫ adj₂.counit ▷ (g₂ ≫ g₁) ⊗≫ 𝟙 (𝟙 c ≫ g₂ ≫ g₁) =
    𝟙 ((g₂ ≫ g₁) ≫ 𝟙 a) ⊗≫
      g₂ ◁ rightZigzag adj₁.unit adj₁.counit ⊗≫ rightZigzag adj₂.unit adj₂.counit ▷ g₁ ⊗≫ 𝟙 (𝟙 c ≫ g₂ ≫ g₁)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Mate

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d : B
l : b ⟶ c
r : c ⟶ b
adj : l ⊣ r
g : b ⟶ d
h : c ⟶ d
γ : g ⟶ l ≫ h
⊢ 𝟙 g ⊗≫ (𝟙 b ◁ γ ≫ adj.unit ▷ (l ≫ h)) ⊗≫ l ◁ adj.counit ▷ h ⊗≫ 𝟙 (l ≫ h) =
    γ ⊗≫ leftZigzag adj.unit adj.counit ▷ h ⊗≫ 𝟙 (l ≫ h)

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d : B
l : b ⟶ c
r : c ⟶ b
adj : l ⊣ r
g : b ⟶ d
h : c ⟶ d
γ : g ⟶ l ≫ h
⊢ 𝟙 g ⊗≫ (𝟙 b ◁ γ ≫ adj.unit ▷ (l ≫ h)) ⊗≫ l ◁ adj.counit ▷ h ⊗≫ 𝟙 (l ≫ h) =
    γ ⊗≫ leftZigzag adj.unit adj.counit ▷ h ⊗≫ 𝟙 (l ≫ h)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Mate

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d : B
l : b ⟶ c
r : c ⟶ b
adj : l ⊣ r
g : b ⟶ d
h : c ⟶ d
γ : g ⟶ l ≫ h
⊢ γ ⊗≫ ((λ_ l).hom ≫ (ρ_ l).inv) ▷ h ⊗≫ 𝟙 (l ≫ h) = γ

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d : B
l : b ⟶ c
r : c ⟶ b
adj : l ⊣ r
g : b ⟶ d
h : c ⟶ d
γ : g ⟶ l ≫ h
⊢ γ ⊗≫ ((λ_ l).hom ≫ (ρ_ l).inv) ▷ h ⊗≫ 𝟙 (l ≫ h) = γ
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Mate

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d : B
l : b ⟶ c
r : c ⟶ b
adj : l ⊣ r
g : b ⟶ d
h : c ⟶ d
β : r ≫ g ⟶ h
⊢ 𝟙 (r ≫ g) ⊗≫ r ◁ adj.unit ▷ g ⊗≫ (adj.counit ▷ (r ≫ g) ≫ 𝟙 c ◁ β) ⊗≫ 𝟙 h =
    𝟙 (r ≫ g) ⊗≫ rightZigzag adj.unit adj.counit ▷ g ⊗≫ β

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d : B
l : b ⟶ c
r : c ⟶ b
adj : l ⊣ r
g : b ⟶ d
h : c ⟶ d
β : r ≫ g ⟶ h
⊢ 𝟙 (r ≫ g) ⊗≫ r ◁ adj.unit ▷ g ⊗≫ (adj.counit ▷ (r ≫ g) ≫ 𝟙 c ◁ β) ⊗≫ 𝟙 h =
    𝟙 (r ≫ g) ⊗≫ rightZigzag adj.unit adj.counit ▷ g ⊗≫ β
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Basic

Goal state before:
pp: B : Type u₁
inst✝ : Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η : 𝟙 a ≅ f ≫ g
ε : g ≫ f ≅ 𝟙 b
h : leftZigzag η.hom ε.hom = (λ_ f).hom ≫ (ρ_ f).inv
⊢ (rightZigzag η.hom ε.hom ≫ (λ_ g).hom ≫ (ρ_ g).inv) ≫ rightZigzag η.hom ε.hom =
    (rightZigzag η.hom ε.hom ≫ (λ_ g).hom ≫ (ρ_ g).inv) ≫ (ρ_ g).hom ≫ (λ_ g).inv

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u₁
inst✝ : Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η : 𝟙 a ≅ f ≫ g
ε : g ≫ f ≅ 𝟙 b
h : leftZigzag η.hom ε.hom = (λ_ f).hom ≫ (ρ_ f).inv
⊢ (rightZigzag η.hom ε.hom ≫ (λ_ g).hom ≫ (ρ_ g).inv) ≫ rightZigzag η.hom ε.hom =
    (rightZigzag η.hom ε.hom ≫ (λ_ g).hom ≫ (ρ_ g).inv) ≫ (ρ_ g).hom ≫ (λ_ g).inv
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Mate

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d : B
l : b ⟶ c
r : c ⟶ b
adj : l ⊣ r
g : b ⟶ d
h : c ⟶ d
β : r ≫ g ⟶ h
⊢ 𝟙 (r ≫ g) ⊗≫ ((ρ_ r).hom ≫ (λ_ r).inv) ▷ g ⊗≫ β = β

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d : B
l : b ⟶ c
r : c ⟶ b
adj : l ⊣ r
g : b ⟶ d
h : c ⟶ d
β : r ≫ g ⟶ h
⊢ 𝟙 (r ≫ g) ⊗≫ ((ρ_ r).hom ≫ (λ_ r).inv) ▷ g ⊗≫ β = β
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Mate

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d : B
l : b ⟶ c
r : c ⟶ b
adj : l ⊣ r
g : a ⟶ b
h : a ⟶ c
α : g ≫ l ⟶ h
⊢ 𝟙 (g ≫ l) ⊗≫ g ◁ adj.unit ▷ l ⊗≫ ((g ≫ l) ◁ adj.counit ≫ α ▷ 𝟙 c) ⊗≫ 𝟙 h =
    𝟙 (g ≫ l) ⊗≫ g ◁ leftZigzag adj.unit adj.counit ⊗≫ α

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d : B
l : b ⟶ c
r : c ⟶ b
adj : l ⊣ r
g : a ⟶ b
h : a ⟶ c
α : g ≫ l ⟶ h
⊢ 𝟙 (g ≫ l) ⊗≫ g ◁ adj.unit ▷ l ⊗≫ ((g ≫ l) ◁ adj.counit ≫ α ▷ 𝟙 c) ⊗≫ 𝟙 h =
    𝟙 (g ≫ l) ⊗≫ g ◁ leftZigzag adj.unit adj.counit ⊗≫ α
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Basic

Goal state before:
pp: B : Type u₁
inst✝ : Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η : 𝟙 a ≅ f ≫ g
ε : g ≫ f ≅ 𝟙 b
⊢ 𝟙 (𝟙 a ≫ f) ⊗≫ (𝟙 a ◁ f ◁ ε.inv ≫ η.hom ▷ (f ≫ g ≫ f)) ⊗≫ f ◁ g ◁ η.inv ▷ f ⊗≫ f ◁ ε.hom =
    𝟙 (𝟙 a ≫ f) ⊗≫ f ◁ ε.inv ⊗≫ (η.hom ▷ (f ≫ g) ≫ (f ≫ g) ◁ η.inv) ▷ f ⊗≫ f ◁ ε.hom

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u₁
inst✝ : Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η : 𝟙 a ≅ f ≫ g
ε : g ≫ f ≅ 𝟙 b
⊢ 𝟙 (𝟙 a ≫ f) ⊗≫ (𝟙 a ◁ f ◁ ε.inv ≫ η.hom ▷ (f ≫ g ≫ f)) ⊗≫ f ◁ g ◁ η.inv ▷ f ⊗≫ f ◁ ε.hom =
    𝟙 (𝟙 a ≫ f) ⊗≫ f ◁ ε.inv ⊗≫ (η.hom ▷ (f ≫ g) ≫ (f ≫ g) ◁ η.inv) ▷ f ⊗≫ f ◁ ε.hom
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Mate

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d : B
l : b ⟶ c
r : c ⟶ b
adj : l ⊣ r
g : a ⟶ b
h : a ⟶ c
α : g ≫ l ⟶ h
⊢ 𝟙 (g ≫ l) ⊗≫ g ◁ ((λ_ l).hom ≫ (ρ_ l).inv) ⊗≫ α = α

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d : B
l : b ⟶ c
r : c ⟶ b
adj : l ⊣ r
g : a ⟶ b
h : a ⟶ c
α : g ≫ l ⟶ h
⊢ 𝟙 (g ≫ l) ⊗≫ g ◁ ((λ_ l).hom ≫ (ρ_ l).inv) ⊗≫ α = α
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Mate

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d : B
l : b ⟶ c
r : c ⟶ b
adj : l ⊣ r
g : a ⟶ b
h : a ⟶ c
γ : g ⟶ h ≫ r
⊢ 𝟙 g ⊗≫ (γ ▷ 𝟙 b ≫ (h ≫ r) ◁ adj.unit) ⊗≫ h ◁ adj.counit ▷ r ⊗≫ 𝟙 (h ≫ r) =
    𝟙 g ⊗≫ γ ⊗≫ h ◁ rightZigzag adj.unit adj.counit ⊗≫ 𝟙 (h ≫ r)

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d : B
l : b ⟶ c
r : c ⟶ b
adj : l ⊣ r
g : a ⟶ b
h : a ⟶ c
γ : g ⟶ h ≫ r
⊢ 𝟙 g ⊗≫ (γ ▷ 𝟙 b ≫ (h ≫ r) ◁ adj.unit) ⊗≫ h ◁ adj.counit ▷ r ⊗≫ 𝟙 (h ≫ r) =
    𝟙 g ⊗≫ γ ⊗≫ h ◁ rightZigzag adj.unit adj.counit ⊗≫ 𝟙 (h ≫ r)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Mate

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d : B
l : b ⟶ c
r : c ⟶ b
adj : l ⊣ r
g : a ⟶ b
h : a ⟶ c
γ : g ⟶ h ≫ r
⊢ 𝟙 g ⊗≫ γ ⊗≫ h ◁ ((ρ_ r).hom ≫ (λ_ r).inv) ⊗≫ 𝟙 (h ≫ r) = γ

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d : B
l : b ⟶ c
r : c ⟶ b
adj : l ⊣ r
g : a ⟶ b
h : a ⟶ c
γ : g ⟶ h ≫ r
⊢ 𝟙 g ⊗≫ γ ⊗≫ h ◁ ((ρ_ r).hom ≫ (λ_ r).inv) ⊗≫ 𝟙 (h ≫ r) = γ
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Basic

Goal state before:
pp: B : Type u₁
inst✝ : Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η : 𝟙 a ≅ f ≫ g
ε : g ≫ f ≅ 𝟙 b
⊢ 𝟙 (𝟙 a ≫ f) ⊗≫ f ◁ ε.inv ⊗≫ (𝟙 a ◁ η.inv ≫ η.hom ▷ 𝟙 a) ▷ f ⊗≫ f ◁ ε.hom =
    𝟙 (𝟙 a ≫ f) ⊗≫ f ◁ ε.inv ⊗≫ (η.inv ≫ η.hom) ▷ f ⊗≫ f ◁ ε.hom

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u₁
inst✝ : Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η : 𝟙 a ≅ f ≫ g
ε : g ≫ f ≅ 𝟙 b
⊢ 𝟙 (𝟙 a ≫ f) ⊗≫ f ◁ ε.inv ⊗≫ (𝟙 a ◁ η.inv ≫ η.hom ▷ 𝟙 a) ▷ f ⊗≫ f ◁ ε.hom =
    𝟙 (𝟙 a ≫ f) ⊗≫ f ◁ ε.inv ⊗≫ (η.inv ≫ η.hom) ▷ f ⊗≫ f ◁ ε.hom
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Mate

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
c d e f : B
g : c ⟶ e
h : d ⟶ f
l₁ : c ⟶ d
r₁ : d ⟶ c
l₂ : e ⟶ f
r₂ : f ⟶ e
adj₁ : l₁ ⊣ r₁
adj₂ : l₂ ⊣ r₂
α : g ≫ l₂ ⟶ l₁ ≫ h
β : r₁ ≫ g ⟶ h ≫ r₂
⊢ adj₁.homEquiv₁.symm β = adj₂.homEquiv₂ α ≫ (α_ l₁ h r₂).hom ↔
    adj₁.homEquiv₁.symm β = adj₂.homEquiv₂ α ≫ (α_ l₁ h r₂).hom

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Basic

Goal state before:
pp: B : Type u₁
inst✝ : Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η : 𝟙 a ≅ f ≫ g
ε : g ≫ f ≅ 𝟙 b
⊢ 𝟙 (𝟙 a ≫ f) ⊗≫ f ◁ ε.inv ⊗≫ 𝟙 (f ≫ g) ▷ f ⊗≫ f ◁ ε.hom = 𝟙 (𝟙 a ≫ f) ⊗≫ f ◁ (ε.inv ≫ ε.hom)

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u₁
inst✝ : Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η : 𝟙 a ≅ f ≫ g
ε : g ≫ f ≅ 𝟙 b
⊢ 𝟙 (𝟙 a ≫ f) ⊗≫ f ◁ ε.inv ⊗≫ 𝟙 (f ≫ g) ▷ f ⊗≫ f ◁ ε.hom = 𝟙 (𝟙 a ≫ f) ⊗≫ f ◁ (ε.inv ≫ ε.hom)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Mate

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
c d e f : B
g : c ⟶ e
h : d ⟶ f
l₁ : c ⟶ d
r₁ : d ⟶ c
l₂ : e ⟶ f
r₂ : f ⟶ e
adj₁ : l₁ ⊣ r₁
adj₂ : l₂ ⊣ r₂
α : g ≫ l₂ ⟶ l₁ ≫ h
⊢ r₁ ◁ (((ρ_ g).inv ≫ g ◁ adj₂.unit ≫ (α_ g l₂ r₂).inv ≫ α ▷ r₂) ≫ (α_ l₁ h r₂).hom) ≫
      (α_ r₁ l₁ (h ≫ r₂)).inv ≫ adj₁.counit ▷ (h ≫ r₂) ≫ (λ_ (h ≫ r₂)).hom =
    𝟙 (r₁ ≫ g) ⊗≫ r₁ ◁ g ◁ adj₂.unit ⊗≫ r₁ ◁ α ▷ r₂ ⊗≫ adj₁.counit ▷ h ▷ r₂ ⊗≫ 𝟙 (h ≫ r₂)

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
c d e f : B
g : c ⟶ e
h : d ⟶ f
l₁ : c ⟶ d
r₁ : d ⟶ c
l₂ : e ⟶ f
r₂ : f ⟶ e
adj₁ : l₁ ⊣ r₁
adj₂ : l₂ ⊣ r₂
α : g ≫ l₂ ⟶ l₁ ≫ h
⊢ r₁ ◁ (((ρ_ g).inv ≫ g ◁ adj₂.unit ≫ (α_ g l₂ r₂).inv ≫ α ▷ r₂) ≫ (α_ l₁ h r₂).hom) ≫
      (α_ r₁ l₁ (h ≫ r₂)).inv ≫ adj₁.counit ▷ (h ≫ r₂) ≫ (λ_ (h ≫ r₂)).hom =
    𝟙 (r₁ ≫ g) ⊗≫ r₁ ◁ g ◁ adj₂.unit ⊗≫ r₁ ◁ α ▷ r₂ ⊗≫ adj₁.counit ▷ h ▷ r₂ ⊗≫ 𝟙 (h ≫ r₂)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Basic

Goal state before:
pp: B : Type u₁
inst✝ : Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η : 𝟙 a ≅ f ≫ g
ε : g ≫ f ≅ 𝟙 b
⊢ 𝟙 (𝟙 a ≫ f) ⊗≫ f ◁ 𝟙 (𝟙 b) = (λ_ f).hom ≫ (ρ_ f).inv

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u₁
inst✝ : Bicategory B
a b : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ a
η : 𝟙 a ≅ f ≫ g
ε : g ≫ f ≅ 𝟙 b
⊢ 𝟙 (𝟙 a ≫ f) ⊗≫ f ◁ 𝟙 (𝟙 b) = (λ_ f).hom ≫ (ρ_ f).inv
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Mate

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
c d e f : B
g : c ⟶ e
h : d ⟶ f
l₁ : c ⟶ d
r₁ : d ⟶ c
l₂ : e ⟶ f
r₂ : f ⟶ e
adj₁ : l₁ ⊣ r₁
adj₂ : l₂ ⊣ r₂
β : r₁ ≫ g ⟶ h ≫ r₂
⊢ (((λ_ g).inv ≫ adj₁.unit ▷ g ≫ (α_ l₁ r₁ g).hom ≫ l₁ ◁ β) ≫ (α_ l₁ h r₂).inv) ▷ l₂ ≫
      (α_ (l₁ ≫ h) r₂ l₂).hom ≫ (l₁ ≫ h) ◁ adj₂.counit ≫ (ρ_ (l₁ ≫ h)).hom =
    𝟙 (g ≫ l₂) ⊗≫ adj₁.unit ▷ g ▷ l₂ ⊗≫ l₁ ◁ β ▷ l₂ ⊗≫ l₁ ◁ h ◁ adj₂.counit ⊗≫ 𝟙 (l₁ ≫ h)

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
c d e f : B
g : c ⟶ e
h : d ⟶ f
l₁ : c ⟶ d
r₁ : d ⟶ c
l₂ : e ⟶ f
r₂ : f ⟶ e
adj₁ : l₁ ⊣ r₁
adj₂ : l₂ ⊣ r₂
β : r₁ ≫ g ⟶ h ≫ r₂
⊢ (((λ_ g).inv ≫ adj₁.unit ▷ g ≫ (α_ l₁ r₁ g).hom ≫ l₁ ◁ β) ≫ (α_ l₁ h r₂).inv) ▷ l₂ ≫
      (α_ (l₁ ≫ h) r₂ l₂).hom ≫ (l₁ ≫ h) ◁ adj₂.counit ≫ (ρ_ (l₁ ≫ h)).hom =
    𝟙 (g ≫ l₂) ⊗≫ adj₁.unit ▷ g ▷ l₂ ⊗≫ l₁ ◁ β ▷ l₂ ⊗≫ l₁ ◁ h ◁ adj₂.counit ⊗≫ 𝟙 (l₁ ≫ h)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Mate

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e f : B
g₁ : a ⟶ c
g₂ : c ⟶ e
h₁ : b ⟶ d
h₂ : d ⟶ f
l₁ : a ⟶ b
r₁ : b ⟶ a
l₂ : c ⟶ d
r₂ : d ⟶ c
l₃ : e ⟶ f
r₃ : f ⟶ e
adj₁ : l₁ ⊣ r₁
adj₂ : l₂ ⊣ r₂
adj₃ : l₃ ⊣ r₃
α : g₁ ≫ l₂ ⟶ l₁ ≫ h₁
β : g₂ ≫ l₃ ⟶ l₂ ≫ h₂
⊢ 𝟙 (r₁ ≫ g₁ ≫ g₂) ⊗≫
      r₁ ◁ g₁ ◁ adj₂.unit ▷ g₂ ⊗≫
        r₁ ◁ α ▷ r₂ ▷ g₂ ⊗≫
          ((r₁ ≫ l₁) ◁ h₁ ◁ r₂ ◁ g₂ ◁ adj₃.unit ≫ adj₁.counit ▷ (h₁ ≫ r₂ ≫ g₂ ≫ l₃ ≫ r₃)) ⊗≫
            h₁ ◁ r₂ ◁ β ▷ r₃ ⊗≫ h₁ ◁ adj₂.counit ▷ h₂ ▷ r₃ ⊗≫ 𝟙 ((h₁ ≫ h₂) ≫ r₃) =
    𝟙 (r₁ ≫ g₁ ≫ g₂) ⊗≫
      r₁ ◁ g₁ ◁ adj₂.unit ▷ g₂ ⊗≫
        r₁ ◁ (α ▷ (r₂ ≫ g₂ ≫ 𝟙 e) ≫ (l₁ ≫ h₁) ◁ r₂ ◁ g₂ ◁ adj₃.unit) ⊗≫
          (adj₁.counit ▷ (h₁ ≫ r₂) ▷ (g₂ ≫ l₃) ≫ (𝟙 b ≫ h₁ ≫ r₂) ◁ β) ▷ r₃ ⊗≫
            h₁ ◁ adj₂.counit ▷ h₂ ▷ r₃ ⊗≫ 𝟙 ((h₁ ≫ h₂) ≫ r₃)

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e f : B
g₁ : a ⟶ c
g₂ : c ⟶ e
h₁ : b ⟶ d
h₂ : d ⟶ f
l₁ : a ⟶ b
r₁ : b ⟶ a
l₂ : c ⟶ d
r₂ : d ⟶ c
l₃ : e ⟶ f
r₃ : f ⟶ e
adj₁ : l₁ ⊣ r₁
adj₂ : l₂ ⊣ r₂
adj₃ : l₃ ⊣ r₃
α : g₁ ≫ l₂ ⟶ l₁ ≫ h₁
β : g₂ ≫ l₃ ⟶ l₂ ≫ h₂
⊢ 𝟙 (r₁ ≫ g₁ ≫ g₂) ⊗≫
      r₁ ◁ g₁ ◁ adj₂.unit ▷ g₂ ⊗≫
        r₁ ◁ α ▷ r₂ ▷ g₂ ⊗≫
          ((r₁ ≫ l₁) ◁ h₁ ◁ r₂ ◁ g₂ ◁ adj₃.unit ≫ adj₁.counit ▷ (h₁ ≫ r₂ ≫ g₂ ≫ l₃ ≫ r₃)) ⊗≫
            h₁ ◁ r₂ ◁ β ▷ r₃ ⊗≫ h₁ ◁ adj₂.counit ▷ h₂ ▷ r₃ ⊗≫ 𝟙 ((h₁ ≫ h₂) ≫ r₃) =
    𝟙 (r₁ ≫ g₁ ≫ g₂) ⊗≫
      r₁ ◁ g₁ ◁ adj₂.unit ▷ g₂ ⊗≫
        r₁ ◁ (α ▷ (r₂ ≫ g₂ ≫ 𝟙 e) ≫ (l₁ ≫ h₁) ◁ r₂ ◁ g₂ ◁ adj₃.unit) ⊗≫
          (adj₁.counit ▷ (h₁ ≫ r₂) ▷ (g₂ ≫ l₃) ≫ (𝟙 b ≫ h₁ ≫ r₂) ◁ β) ▷ r₃ ⊗≫
            h₁ ◁ adj₂.counit ▷ h₂ ▷ r₃ ⊗≫ 𝟙 ((h₁ ≫ h₂) ≫ r₃)
Module: Mathlib.RingTheory.Etale.QuasiFinite

Goal state before:
pp: case h
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ {R : Type u} {S : Type (max u v)} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : Algebra R S]
      [Module.Finite R S] (p : Ideal R) [inst_4 : p.IsPrime],
      (p.primesOver S).ncard = m →
        ∃ R' x x_1,
          ∃ (_ : Etale R R'),
            ∃ P,
              ∃ (x_3 : P.IsPrime) (x_4 : P.LiesOver p),
                ∃ n e,
                  ∃ (_ : CompleteOrthogonalIdempotents e),
                    ∃ P',
                      ∃ (_ : ∀ (i : Fin n), (P' i).IsPrime) (_ : ∀ (i : Fin n), (P' i).LiesOver P),
                        Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯) ∧
                          (∀ (i : Fin n), e i.castSucc ∉ P' i) ∧
                            ∀ (P'' : Ideal (R' ⊗[R] S)),
                              P''.IsPrime →
                                P''.LiesOver P → e (Fin.last n) ∈ P'' ∧ ∀ (i : Fin n), e i.castSucc ∉ P'' → P'' = P' i
R : Type u
S : Type (max u v)
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module.Finite R S
p : Ideal R
inst✝ : p.IsPrime
h : (p.primesOver S).ncard = n
⊢ ∃ R' x x_1,
    ∃ (_ : Etale R R'),
      ∃ P,
        ∃ (x_3 : P.IsPrime) (x_4 : P.LiesOver p),
          ∃ n e,
            ∃ (_ : CompleteOrthogonalIdempotents e),
              ∃ P',
                ∃ (_ : ∀ (i : Fin n), (P' i).IsPrime) (_ : ∀ (i : Fin n), (P' i).LiesOver P),
                  Function.Bijective ⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯) ∧
                    (∀ (i : Fin n), e i.castSucc ∉ P' i) ∧
                      ∀ (P'' : Ideal (R' ⊗[R] S)),
                        P''.IsPrime →
                          P''.LiesOver P → e (Fin.last n) ∈ P'' ∧ ∀ (i : Fin n), e i.castSucc ∉ P'' → P'' = P' i

Tactic:
| h n IH =>

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Adjunction.Mate

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e f : B
g₁ : a ⟶ c
g₂ : c ⟶ e
h₁ : b ⟶ d
h₂ : d ⟶ f
l₁ : a ⟶ b
r₁ : b ⟶ a
l₂ : c ⟶ d
r₂ : d ⟶ c
l₃ : e ⟶ f
r₃ : f ⟶ e
adj₁ : l₁ ⊣ r₁
adj₂ : l₂ ⊣ r₂
adj₃ : l₃ ⊣ r₃
α : g₁ ≫ l₂ ⟶ l₁ ≫ h₁
β : g₂ ≫ l₃ ⟶ l₂ ≫ h₂
⊢ 𝟙 (r₁ ≫ g₁ ≫ g₂) ⊗≫
      r₁ ◁ g₁ ◁ adj₂.unit ▷ g₂ ⊗≫
        r₁ ◁ ((g₁ ≫ l₂) ◁ r₂ ◁ g₂ ◁ adj₃.unit ≫ α ▷ (r₂ ≫ g₂ ≫ l₃ ≫ r₃)) ⊗≫
          (((r₁ ≫ l₁) ≫ h₁ ≫ r₂) ◁ β ≫ adj₁.counit ▷ (h₁ ≫ r₂) ▷ (l₂ ≫ h₂)) ▷ r₃ ⊗≫
            h₁ ◁ adj₂.counit ▷ h₂ ▷ r₃ ⊗≫ 𝟙 ((h₁ ≫ h₂) ≫ r₃) =
    𝟙 (r₁ ≫ g₁ ≫ g₂) ⊗≫
      r₁ ◁ g₁ ◁ (adj₂.unit ▷ (g₂ ≫ 𝟙 e) ≫ (l₂ ≫ r₂) ◁ g₂ ◁ adj₃.unit) ⊗≫
        r₁ ◁ (α ▷ (r₂ ≫ g₂ ≫ l₃) ≫ (l₁ ≫ h₁) ◁ r₂ ◁ β) ▷ r₃ ⊗≫
          (adj₁.counit ▷ h₁ ▷ (r₂ ≫ l₂) ≫ (𝟙 b ≫ h₁) ◁ adj₂.counit) ▷ h₂ ▷ r₃ ⊗≫ 𝟙 ((h₁ ≫ h₂) ≫ r₃)

Tactic:
]

Goal state after:
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e f : B
g₁ : a ⟶ c
g₂ : c ⟶ e
h₁ : b ⟶ d
h₂ : d ⟶ f
l₁ : a ⟶ b
r₁ : b ⟶ a
l₂ : c ⟶ d
r₂ : d ⟶ c
l₃ : e ⟶ f
r₃ : f ⟶ e
adj₁ : l₁ ⊣ r₁
adj₂ : l₂ ⊣ r₂
adj₃ : l₃ ⊣ r₃
α : g₁ ≫ l₂ ⟶ l₁ ≫ h₁
β : g₂ ≫ l₃ ⟶ l₂ ≫ h₂
⊢ 𝟙 (r₁ ≫ g₁ ≫ g₂) ⊗≫
      r₁ ◁ g₁ ◁ adj₂.unit ▷ g₂ ⊗≫
        r₁ ◁ ((g₁ ≫ l₂) ◁ r₂ ◁ g₂ ◁ adj₃.unit ≫ α ▷ (r₂ ≫ g₂ ≫ l₃ ≫ r₃)) ⊗≫
          (((r₁ ≫ l₁) ≫ h₁ ≫ r₂) ◁ β ≫ adj₁.counit ▷ (h₁ ≫ r₂) ▷ (l₂ ≫ h₂)) ▷ r₃ ⊗≫
            h₁ ◁ adj₂.counit ▷ h₂ ▷ r₃ ⊗≫ 𝟙 ((h₁ ≫ h₂) ≫ r₃) =
    𝟙 (r₁ ≫ g₁ ≫ g₂) ⊗≫
      r₁ ◁ g₁ ◁ (adj₂.unit ▷ (g₂ ≫ 𝟙 e) ≫ (l₂ ≫ r₂) ◁ g₂ ◁ adj₃.unit) ⊗≫
        r₁ ◁ (α ▷ (r₂ ≫ g₂ ≫ l₃) ≫ (l₁ ≫ h₁) ◁ r₂ ◁ β) ▷ r₃ ⊗≫
          (adj₁.counit ▷ h₁ ▷ (r₂ ≫ l₂) ≫ (𝟙 b ≫ h₁) ◁ adj₂.counit) ▷ h₂ ▷ r₃ ⊗≫ 𝟙 ((h₁ ≫ h₂) ≫ r₃)
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.FlatMono

Goal state before:
pp: X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝² : Flat f
inst✝¹ : LocallyOfFinitePresentation f
inst✝ : Mono f
this : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [Flat f] [LocallyOfFinitePresentation f] [Mono f], Surjective f → IsOpenImmersion f
hf : ¬Surjective f
U : Y.Opens := { carrier := Set.range ⇑f, is_open' := ⋯ }
hU : IsOpenImmersion U.ι
f' : X ⟶ ↑U := lift U.ι f ⋯
heq : f = f' ≫ U.ι
⊢ Flat f

Tactic:
]

Goal state after:
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝² : Flat f
inst✝¹ : LocallyOfFinitePresentation f
inst✝ : Mono f
this : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [Flat f] [LocallyOfFinitePresentation f] [Mono f], Surjective f → IsOpenImmersion f
hf : ¬Surjective f
U : Y.Opens := { carrier := Set.range ⇑f, is_open' := ⋯ }
hU : IsOpenImmersion U.ι
f' : X ⟶ ↑U := lift U.ι f ⋯
heq : f = f' ≫ U.ι
⊢ Flat f
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.FlatMono

Goal state before:
pp: X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝² : Flat f
inst✝¹ : LocallyOfFinitePresentation f
inst✝ : Mono f
this : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [Flat f] [LocallyOfFinitePresentation f] [Mono f], Surjective f → IsOpenImmersion f
hf : ¬Surjective f
U : Y.Opens := { carrier := Set.range ⇑f, is_open' := ⋯ }
hU : IsOpenImmersion U.ι
f' : X ⟶ ↑U := lift U.ι f ⋯
heq : f = f' ≫ U.ι
hflat : Flat f'
⊢ LocallyOfFinitePresentation f

Tactic:
]

Goal state after:
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝² : Flat f
inst✝¹ : LocallyOfFinitePresentation f
inst✝ : Mono f
this : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [Flat f] [LocallyOfFinitePresentation f] [Mono f], Surjective f → IsOpenImmersion f
hf : ¬Surjective f
U : Y.Opens := { carrier := Set.range ⇑f, is_open' := ⋯ }
hU : IsOpenImmersion U.ι
f' : X ⟶ ↑U := lift U.ι f ⋯
heq : f = f' ≫ U.ι
hflat : Flat f'
⊢ LocallyOfFinitePresentation f
Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.FlatMono

Goal state before:
pp: case inr
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝² : Flat f
inst✝¹ : LocallyOfFinitePresentation f
inst✝ : Mono f
this : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [Flat f] [LocallyOfFinitePresentation f] [Mono f], Surjective f → IsOpenImmersion f
hf : ¬Surjective f
U : Y.Opens := { carrier := Set.range ⇑f, is_open' := ⋯ }
hU : IsOpenImmersion U.ι
f' : X ⟶ ↑U := lift U.ι f ⋯
heq : f = f' ≫ U.ι
hflat : Flat f'
hfinpres : LocallyOfFinitePresentation f'
hmono : Mono f'
⊢ IsOpenImmersion (f' ≫ U.ι)

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝² : Flat f
inst✝¹ : LocallyOfFinitePresentation f
inst✝ : Mono f
this : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [Flat f] [LocallyOfFinitePresentation f] [Mono f], Surjective f → IsOpenImmersion f
hf : ¬Surjective f
U : Y.Opens := { carrier := Set.range ⇑f, is_open' := ⋯ }
hU : IsOpenImmersion U.ι
f' : X ⟶ ↑U := lift U.ι f ⋯
heq : f = f' ≫ U.ι
hflat : Flat f'
hfinpres : LocallyOfFinitePresentation f'
hmono : Mono f'
⊢ IsOpenImmersion (f' ≫ U.ι)