mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Basic

Goal state before:
pp: R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k✝ l✝ : ℕ∞
k : ℕ
property✝¹ : ↑k ≤ k✝
l : ℕ
property✝ : ↑l ≤ l✝
a✝ : Nontrivial M
⊢ (f.genEigenspace μ₁) ↑↑⟨k, property✝¹⟩ ⊓ (f.genEigenspace μ₂) ↑↑⟨l, property✝⟩ = ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k✝ l✝ : ℕ∞
k : ℕ
property✝¹ : ↑k ≤ k✝
l : ℕ
property✝ : ↑l ≤ l✝
a✝ : Nontrivial M
⊢ (f.genEigenspace μ₁) ↑↑⟨k, property✝¹⟩ ⊓ (f.genEigenspace μ₂) ↑↑⟨l, property✝⟩ = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.LinearMap

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f g : End R M
h_comm✝ : Commute f g
hf : ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
hg : ∀ (μ : R), (trace R ↥(f.maxGenEigenspace μ)) (restrict g ⋯) = 0
hfg : ∀ (μ : R), MapsTo ⇑(g ∘ₗ f) ↑(f.maxGenEigenspace μ) ↑(f.maxGenEigenspace μ)
μ : R
hf' : MapsTo ⇑f ↑(f.maxGenEigenspace μ) ↑(f.maxGenEigenspace μ)
hg' : MapsTo ⇑g ↑(f.maxGenEigenspace μ) ↑(f.maxGenEigenspace μ)
h_comm : Commute (restrict g ⋯) (restrict f ⋯)
this : IsNilpotent (restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ) ⋯)
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Idempotents

Goal state before:
pp: R : Type u_1
e✝ : R
I : Type u_2
inst✝¹ : Fintype I
e : I → R
inst✝ : Semiring R
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
hc : ∀ (i : I), IsMulCentral (e i)
r : (i : I) → ⋯.Corner
i : I
⊢ e i * ↑(r i) * e i = ↑(r i)

pp: R : Type u_1
e✝ : R
I : Type u_2
inst✝¹ : Fintype I
e : I → R
inst✝ : Semiring R
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
hc : ∀ (i : I), IsMulCentral (e i)
r : (i : I) → ⋯.Corner
i : I
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → e i * ↑(r b) * e i = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
e✝ : R
I : Type u_2
inst✝¹ : Fintype I
e : I → R
inst✝ : Semiring R
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
hc : ∀ (i : I), IsMulCentral (e i)
r : (i : I) → ⋯.Corner
i : I
⊢ e i * ↑(r i) * e i = ↑(r i)

R : Type u_1
e✝ : R
I : Type u_2
inst✝¹ : Fintype I
e : I → R
inst✝ : Semiring R
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
hc : ∀ (i : I), IsMulCentral (e i)
r : (i : I) → ⋯.Corner
i : I
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → e i * ↑(r b) * e i = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Idempotents

Goal state before:
pp: R : Type u_1
e✝ : R
I : Type u_2
inst✝¹ : Fintype I
e : I → R
inst✝ : Semiring R
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
hc : ∀ (i : I), IsMulCentral (e i)
r : (i : I) → ⋯.Corner
i : I
r' : R
eq : (fun x ↦ e i * x * e i) r' = ↑(r i)
⊢ e i * (fun x ↦ e i * x * e i) r' * e i = (fun x ↦ e i * x * e i) r'

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
e✝ : R
I : Type u_2
inst✝¹ : Fintype I
e : I → R
inst✝ : Semiring R
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
hc : ∀ (i : I), IsMulCentral (e i)
r : (i : I) → ⋯.Corner
i : I
r' : R
eq : (fun x ↦ e i * x * e i) r' = ↑(r i)
⊢ e i * (fun x ↦ e i * x * e i) r' * e i = (fun x ↦ e i * x * e i) r'
Module: Mathlib.RingTheory.Idempotents

Goal state before:
pp: R : Type u_1
e✝ : R
I : Type u_2
inst✝¹ : Fintype I
e : I → R
inst✝ : Semiring R
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
hc : ∀ (i : I), IsMulCentral (e i)
r : (i : I) → ⋯.Corner
i j : I
a✝ : j ∈ Finset.univ
ne : j ≠ i
r' : R
eq : (fun x ↦ e j * x * e j) r' = ↑(r j)
⊢ e i * (fun x ↦ e j * x * e j) r' * e i = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
e✝ : R
I : Type u_2
inst✝¹ : Fintype I
e : I → R
inst✝ : Semiring R
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
hc : ∀ (i : I), IsMulCentral (e i)
r : (i : I) → ⋯.Corner
i j : I
a✝ : j ∈ Finset.univ
ne : j ≠ i
r' : R
eq : (fun x ↦ e j * x * e j) r' = ↑(r j)
⊢ e i * (fun x ↦ e j * x * e j) r' * e i = 0
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.LinearMap

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Free R ↥(N i)
s : Finset ι
f : End R M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
p : Submodule R M
hp : p = ⨆ i ∈ s, N i
hp' : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
N' : ↥s → Submodule R ↥p := fun i ↦ Submodule.comap p.subtype (N ↑i)
h : IsInternal N'
hf' : ∀ (i : ↥s), MapsTo ⇑(restrict f hp') ↑(N' i) ↑(N' i)
e : (i : ↥s) → ↥(N' i) ≃ₗ[R] ↥(N ↑i) :=
  fun x ↦
    match x with
    | ⟨i, hi⟩ => Submodule.comapSubtypeEquivOfLe ⋯
_i1 : ∀ (i : ↥s), Module.Finite R ↥(N' i)
_i2 : ∀ (i : ↥s), Free R ↥(N' i)
⊢ ∑ i, (trace R ↥(N' i)) ((restrict f hp').restrict ⋯) = ∑ i, (trace R ↥(N ↑i)) (restrict f ⋯)

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Free R ↥(N i)
s : Finset ι
f : End R M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
p : Submodule R M
hp : p = ⨆ i ∈ s, N i
hp' : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
N' : ↥s → Submodule R ↥p := fun i ↦ Submodule.comap p.subtype (N ↑i)
h : IsInternal N'
hf' : ∀ (i : ↥s), MapsTo ⇑(restrict f hp') ↑(N' i) ↑(N' i)
e : (i : ↥s) → ↥(N' i) ≃ₗ[R] ↥(N ↑i) :=
  fun x ↦
    match x with
    | ⟨i, hi⟩ => Submodule.comapSubtypeEquivOfLe ⋯
_i1 : ∀ (i : ↥s), Module.Finite R ↥(N' i)
_i2 : ∀ (i : ↥s), Free R ↥(N' i)
⊢ ∑ i, (trace R ↥(N' i)) ((restrict f hp').restrict ⋯) = ∑ i, (trace R ↥(N ↑i)) (restrict f ⋯)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Trace

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ ((toMatrix b b) f).trace = ((toMatrix b b) f).trace

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Trace

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ ((toMatrix c b) id * (toMatrix c c) f * (toMatrix b c) id).trace =
    ((toMatrix c b) id * (toMatrix c c) f * (toMatrix b c) id).trace

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Trace

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ ((toMatrix c c) f * (toMatrix b c) id * (toMatrix c b) id).trace =
    ((toMatrix c c) f * (toMatrix b c) id * (toMatrix c b) id).trace

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.DualNumber

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
fe : { fe // fe.2 * fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute fe.2 (fe.1 a) }
x y : A
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.DualNumber

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
fe : { fe // fe.2 * fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute fe.2 (fe.1 a) }
r x : A
⊢ (↑fe).1 r * ((↑fe).1 x * (↑fe).2) = (↑fe).1 r * ((↑fe).1 x * (↑fe).2)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.DualNumber

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
fe : { fe // fe.2 * fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute fe.2 (fe.1 a) }
r x : A
⊢ (↑fe).1 x * (↑fe).1 r * (↑fe).2 = (↑fe).1 x * (↑fe).1 r * (↑fe).2

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Trace

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ ((toMatrix c c) f).trace = ((toMatrix c c) f).trace

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.DualNumber

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
fg :
  { fg //
    (∀ (x y : A), fg.2 x * fg.2 y = 0) ∧
      (∀ (r x : A), fg.2 (r • x) = fg.1 r * fg.2 x) ∧ ∀ (r x : A), fg.2 (MulOpposite.op r • x) = fg.2 x * fg.1 r }
a : A
⊢ (↑fg).2 a = (↑fg).2 a

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Trace

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
M : Type v
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Finset M
b : Basis (↥s) R M
f : M →ₗ[R] M
this : ∃ s, Nonempty (Basis (↥s) R M)
⊢ (traceAux R ⋯.some) f = (traceAux R b) f

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
M : Type v
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Finset M
b : Basis (↥s) R M
f : M →ₗ[R] M
this : ∃ s, Nonempty (Basis (↥s) R M)
⊢ (traceAux R ⋯.some) f = (traceAux R b) f
Module: Mathlib.Algebra.DualNumber

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
fe : { fe // fe.2 * fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute fe.2 (fe.1 a) }
⊢ (↑fe).2 = (↑fe).2

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Basic

Goal state before:
pp: R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k✝ l✝ : ℕ∞
k : ℕ
property✝¹ : ↑k ≤ k✝
l : ℕ
property✝ : ↑l ≤ l✝
a✝ : Nontrivial M
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ₁) ↑k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) ↑l
hp : Nontrivial ↥p
f₁ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₁) ⋯
f₂ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₂) ⋯
this : μ₁ = μ₂
hf₁₂ : f₂ - f₁ = (algebraMap R (End R ↥p)) (μ₁ - μ₂)
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k✝ l✝ : ℕ∞
k : ℕ
property✝¹ : ↑k ≤ k✝
l : ℕ
property✝ : ↑l ≤ l✝
a✝ : Nontrivial M
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ₁) ↑k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) ↑l
hp : Nontrivial ↥p
f₁ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₁) ⋯
f₂ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₂) ⋯
this : μ₁ = μ₂
hf₁₂ : f₂ - f₁ = (algebraMap R (End R ↥p)) (μ₁ - μ₂)
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Trace

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
ι : Type w
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ (traceAux R b.reindexFinsetRange) f = (traceAux R b.reindexFinsetRange) f

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.DualNumber

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
fg :
  { fg //
    (∀ (x y : A), fg.2 x * fg.2 y = 0) ∧
      (∀ (r x : A), fg.2 (r • x) = fg.1 r * fg.2 x) ∧ ∀ (r x : A), fg.2 (MulOpposite.op r • x) = fg.2 x * fg.1 r }
x : A
⊢ (↑fg).2 x = (↑fg).2 x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.DualNumber

Goal state before:
pp: R : Type u_1
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
fe : { _fe // _fe.2 * _fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute _fe.2 (_fe.1 a) }
a : A
⊢ (↑fe).1 a = (↑fe).1 a

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.DualNumber

Goal state before:
pp: R : Type u_1
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
fe : { _fe // _fe.2 * _fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute _fe.2 (_fe.1 a) }
a : A
ad : A[ε]
⊢ (↑fe).1 a * (lift fe) ad = (↑fe).1 a * (lift fe) ad

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Trace

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
M : Type v
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f g : M →ₗ[R] M
H : ¬∃ s, Nonempty (Basis (↥s) R M)
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Basic

Goal state before:
pp: R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
f : End R M
k : ℕ∞
μ₁ μ₂ : R
s : Finset R
a✝ : μ₂ ∉ s
ih : μ₁ ∉ s → Disjoint ((f.genEigenspace μ₁) k) (s.sup fun μ ↦ (f.genEigenspace μ) k)
hμ₁₂✝ : μ₁ ∉ insert μ₂ s
hμ₁₂ : ¬μ₁ = μ₂ ∧ μ₁ ∉ s
⊢ ?m.80

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
f : End R M
k : ℕ∞
μ₁ μ₂ : R
s : Finset R
a✝ : μ₂ ∉ s
ih : μ₁ ∉ s → Disjoint ((f.genEigenspace μ₁) k) (s.sup fun μ ↦ (f.genEigenspace μ) k)
hμ₁₂✝ : μ₁ ∉ insert μ₂ s
hμ₁₂ : ¬μ₁ = μ₂ ∧ μ₁ ∉ s
⊢ ?m.80
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Trace

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
M : Type v
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f g h : M →ₗ[R] M
⊢ (trace R M) (h * f * g) = (trace R M) (h * f * g)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Trace

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
M : Type v
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f g h : M →ₗ[R] M
⊢ (trace R M) (h * (f * g)) = (trace R M) (h * (f * g))

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.DualNumber

Goal state before:
pp: R : Type u_1
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
fe : { _fe // _fe.2 * _fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute _fe.2 (_fe.1 a) }
a : A
ad : A[ε]
⊢ (lift fe) ad * (↑fe).1 a = (lift fe) ad * (↑fe).1 a

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Basic

Goal state before:
pp: case insert
R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
f : End R M
k : ℕ∞
μ₁ μ₂ : R
s : Finset R
a✝ : μ₂ ∉ s
ih : Disjoint ((f.genEigenspace μ₁) k) (s.sup fun μ ↦ (f.genEigenspace μ) k)
hμ₁₂✝ : μ₁ ∉ insert μ₂ s
hμ₁₂ : μ₁ ≠ μ₂
hμ₁ : μ₁ ∉ s
⊢ ∀ x ∈ (f.genEigenspace μ₁) k ⊓ ((f.genEigenspace μ₂) k ⊔ s.sup fun μ ↦ (f.genEigenspace μ) k), x = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case insert
R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
f : End R M
k : ℕ∞
μ₁ μ₂ : R
s : Finset R
a✝ : μ₂ ∉ s
ih : Disjoint ((f.genEigenspace μ₁) k) (s.sup fun μ ↦ (f.genEigenspace μ) k)
hμ₁₂✝ : μ₁ ∉ insert μ₂ s
hμ₁₂ : μ₁ ≠ μ₂
hμ₁ : μ₁ ∉ s
⊢ ∀ x ∈ (f.genEigenspace μ₁) k ⊓ ((f.genEigenspace μ₂) k ⊔ s.sup fun μ ↦ (f.genEigenspace μ) k), x = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Trace

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g h : M →ₗ[R] M
⊢ (trace R M) (f * (g * h)) - (trace R M) (f * (h * g)) = (trace R M) (f * (g * h)) - (trace R M) (f * (h * g))

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Trace

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
M : Type v
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
g : M →ₗ[R] M
f : (M →ₗ[R] M)ˣ
⊢ (trace R M) (↑f⁻¹ * (↑f * g)) = (trace R M) g

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
M : Type v
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
g : M →ₗ[R] M
f : (M →ₗ[R] M)ˣ
⊢ (trace R M) (↑f⁻¹ * (↑f * g)) = (trace R M) g
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Basic

Goal state before:
pp: R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
f : End R M
k : ℕ∞
μ₁ μ₂ : R
s : Finset R
a✝ : μ₂ ∉ s
ih : Disjoint ((f.genEigenspace μ₁) k) (s.sup fun μ ↦ (f.genEigenspace μ) k)
hμ₁₂✝ : μ₁ ∉ insert μ₂ s
hμ₁₂ : μ₁ ≠ μ₂
hμ₁ : μ₁ ∉ s
x : M
hx : x ∈ (f.genEigenspace μ₁) k
hx' : x ∈ (f.genEigenspace μ₂) k ⊔ s.sup fun μ ↦ (f.genEigenspace μ) k
this : x ∈ (f.genEigenspace μ₂) k
⊢ x ∈ (f.genEigenspace μ₁) k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) k

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
f : End R M
k : ℕ∞
μ₁ μ₂ : R
s : Finset R
a✝ : μ₂ ∉ s
ih : Disjoint ((f.genEigenspace μ₁) k) (s.sup fun μ ↦ (f.genEigenspace μ) k)
hμ₁₂✝ : μ₁ ∉ insert μ₂ s
hμ₁₂ : μ₁ ≠ μ₂
hμ₁ : μ₁ ∉ s
x : M
hx : x ∈ (f.genEigenspace μ₁) k
hx' : x ∈ (f.genEigenspace μ₂) k ⊔ s.sup fun μ ↦ (f.genEigenspace μ) k
this : x ∈ (f.genEigenspace μ₂) k
⊢ x ∈ (f.genEigenspace μ₁) k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) k
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Trace

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
⊢ (trace R M) (g * f) - (trace R M) (g * f) = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
⊢ (trace R M) (g * f) - (trace R M) (g * f) = 0
Module: Mathlib.Algebra.DualNumber

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : TrivSqZeroExt A A
⊢ inl x.fst + inl x.snd * ε ∈ (inlAlgHom R A A).range ⊔ R[ ε]

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : TrivSqZeroExt A A
⊢ inl x.fst + inl x.snd * ε ∈ (inlAlgHom R A A).range ⊔ R[ ε]
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Trace

Goal state before:
pp: case intro
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_5
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
i j : ι
⊢ (Matrix.single j i 1).trace = (contractLeft R M) (b.coord i ⊗ₜ[R] b j)

Tactic:
]

Goal state after:
case intro
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_5
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
i j : ι
⊢ (Matrix.single j i 1).trace = (contractLeft R M) (b.coord i ⊗ₜ[R] b j)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Trace

Goal state before:
pp: case intro.inr
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_5
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ 0 = (contractLeft R M) (b.coord i ⊗ₜ[R] b j)

Tactic:
]

Goal state after:
case intro.inr
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_5
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
i j : ι
hij : i ≠ j
⊢ 0 = (contractLeft R M) (b.coord i ⊗ₜ[R] b j)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Trace

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x : Dual R M ⊗[R] M
⊢ (contractLeft R M) x = (contractLeft R M) x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Trace

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
⊢ trace R M = contractLeft R M ∘ₗ ↑(dualTensorHomEquivOfBasis (Free.chooseBasis R M)).symm

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
⊢ trace R M = contractLeft R M ∘ₗ ↑(dualTensorHomEquivOfBasis (Free.chooseBasis R M)).symm
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Trace

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Free.ChooseBasisIndex R M) R M
⊢ Matrix.trace 1 = ↑(Fintype.card (Free.ChooseBasisIndex R M))

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Free.ChooseBasisIndex R M) R M
⊢ Matrix.trace 1 = ↑(Fintype.card (Free.ChooseBasisIndex R M))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Trace

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
⊢ ↑(finrank R M) = ↑(finrank R M)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
f : End R M
k : ℕ∞
μ₁ μ₂ : R
s : Finset R
a✝ : μ₂ ∉ s
ih : Disjoint ((f.genEigenspace μ₁) k) (s.sup fun μ ↦ (f.genEigenspace μ) k)
hμ₁₂✝ : μ₁ ∉ insert μ₂ s
hμ₁₂ : μ₁ ≠ μ₂
hμ₁ : μ₁ ∉ s
y z : M
hz : z ∈ s.sup fun μ ↦ (f.genEigenspace μ) k
hx : y + z ∈ (f.genEigenspace μ₁) k
g : End R M := f - μ₂ • 1
hy : ∃ l, ∃ (_ : ↑l ≤ k), y ∈ ((f - μ₂ • 1) ^ l).ker
l : ℕ
hlk : ↑l ≤ k
hl : ((f - μ₂ • 1) ^ l) y = 0
⊢ (g ^ l) z ∈ s.sup fun μ ↦ (f.genEigenspace μ) k

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
f : End R M
k : ℕ∞
μ₁ μ₂ : R
s : Finset R
a✝ : μ₂ ∉ s
ih : Disjoint ((f.genEigenspace μ₁) k) (s.sup fun μ ↦ (f.genEigenspace μ) k)
hμ₁₂✝ : μ₁ ∉ insert μ₂ s
hμ₁₂ : μ₁ ≠ μ₂
hμ₁ : μ₁ ∉ s
y z : M
hz : z ∈ s.sup fun μ ↦ (f.genEigenspace μ) k
hx : y + z ∈ (f.genEigenspace μ₁) k
g : End R M := f - μ₂ • 1
hy : ∃ l, ∃ (_ : ↑l ≤ k), y ∈ ((f - μ₂ • 1) ^ l).ker
l : ℕ
hlk : ↑l ≤ k
hl : ((f - μ₂ • 1) ^ l) y = 0
⊢ (g ^ l) z ∈ s.sup fun μ ↦ (f.genEigenspace μ) k
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Trace

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ (trace R M) f = (trace R M) f

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Basic

Goal state before:
pp: case insert.h.h
R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
f : End R M
k : ℕ∞
μ₁ μ₂ : R
s : Finset R
a✝ : μ₂ ∉ s
ih : Disjoint ((f.genEigenspace μ₁) k) (s.sup fun μ ↦ (f.genEigenspace μ) k)
hμ₁₂✝ : μ₁ ∉ insert μ₂ s
hμ₁₂ : μ₁ ≠ μ₂
hμ₁ : μ₁ ∉ s
y z : M
hz : z ∈ s.sup fun μ ↦ (f.genEigenspace μ) k
hx : y + z ∈ (f.genEigenspace μ₁) k
g : End R M := f - μ₂ • 1
hy : ∃ l, ∃ (_ : ↑l ≤ k), y ∈ ((f - μ₂ • 1) ^ l).ker
l : ℕ
hlk : ↑l ≤ k
hl : ((f - μ₂ • 1) ^ l) y = 0
hyz : (g ^ l) (y + z) = 0
⊢ y + z ∈ ((f - μ₂ • 1) ^ l).ker

Tactic:
]

Goal state after:
case insert.h.h
R : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
f : End R M
k : ℕ∞
μ₁ μ₂ : R
s : Finset R
a✝ : μ₂ ∉ s
ih : Disjoint ((f.genEigenspace μ₁) k) (s.sup fun μ ↦ (f.genEigenspace μ) k)
hμ₁₂✝ : μ₁ ∉ insert μ₂ s
hμ₁₂ : μ₁ ≠ μ₂
hμ₁ : μ₁ ∉ s
y z : M
hz : z ∈ s.sup fun μ ↦ (f.genEigenspace μ) k
hx : y + z ∈ (f.genEigenspace μ₁) k
g : End R M := f - μ₂ • 1
hy : ∃ l, ∃ (_ : ↑l ≤ k), y ∈ ((f - μ₂ • 1) ^ l).ker
l : ℕ
hlk : ↑l ≤ k
hl : ((f - μ₂ • 1) ^ l) y = 0
hyz : (g ^ l) (y + z) = 0
⊢ y + z ∈ ((f - μ₂ • 1) ^ l).ker
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Basic

Goal state before:
pp: R : Type v
M : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
p : Submodule R M
k : ℕ∞
μ : R
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
x : ↥p
this : ∀ (l : ℕ), (genEigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ) ↑l = Submodule.comap p.subtype ((f.genEigenspace μ) ↑l)
⊢ x ∈ (genEigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ) k ↔ x ∈ Submodule.comap p.subtype ((f.genEigenspace μ) k)

Tactic:
simp_rw [mem_genEigenspace, ← mem_genEigenspace_nat, this,
      Submodule.mem_comap, mem_genEigenspace (k := k), mem_genEigenspace_nat]

Goal state after: