mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : Fin 3 → P
⊢ ¬finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) ≤ 1 ↔ ¬finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) ≤ 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : Fin 3 → P
⊢ ¬AffineIndependent k p ↔ ¬AffineIndependent k p

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ¬Collinear k (Set.range ![p₁, p₂, p₃]) ↔ ¬Collinear k {p₁, p₂, p₃}

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ¬Collinear k (Set.range ![p₁, p₂, p₃]) ↔ ¬Collinear k {p₁, p₂, p₃}
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.AddTorsorBases

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
h : affineSpan ℝ s = ⊤
t : Set V
hts : t ⊆ s
b : AffineBasis ↑t ℝ V
hb : ⇑b = Subtype.val
this : (interior ((convexHull ℝ) t)).Nonempty
⊢ (interior ((convexHull ℝ) s)).Nonempty

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
h : affineSpan ℝ s = ⊤
t : Set V
hts : t ⊆ s
b : AffineBasis ↑t ℝ V
hb : ⇑b = Subtype.val
this : (interior ((convexHull ℝ) t)).Nonempty
⊢ (interior ((convexHull ℝ) s)).Nonempty
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : Fin 3 → P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
hu : Finset.univ = {i₁, i₂, i₃}
⊢ ¬Collinear k {p i₁, p i₂, p i₃} ↔ ¬Collinear k {p i₁, p i₂, p i₃}

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
h : ∃ v, ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₁
p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
⊢ p₃ ∈ line[k, p₁, p₂]

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
h : ∃ v, ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₁
p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
⊢ p₃ ∈ line[k, p₁, p₂]
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.AddTorsorBases

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
hs : Convex ℝ s
⊢ (interior s).Nonempty ↔ (interior s).Nonempty

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
v : V
h : ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₁
r₂ : k
hp₂ : r₂ • v +ᵥ p₁ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ r₂ • v +ᵥ p₁
r₃ : k
hp₃ : r₃ • v +ᵥ p₁ ∈ s
⊢ ∃ r, r • ((r₂ • v +ᵥ p₁) -ᵥ p₁) = r₃ • v

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
v : V
h : ∀ p ∈ s, ∃ r, p = r • v +ᵥ p₁
r₂ : k
hp₂ : r₂ • v +ᵥ p₁ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ r₂ • v +ᵥ p₁
r₃ : k
hp₃ : r₃ • v +ᵥ p₁ ∈ s
⊢ ∃ r, r • ((r₂ • v +ᵥ p₁) -ᵥ p₁) = r₃ • v
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
c : E
f : ContDiffBump c
⊢ f.rIn < f.rOut

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
c : E
f : ContDiffBump c
⊢ f.rIn < f.rOut
Module: Mathlib.MeasureTheory.Group.Integral

Goal state before:
pp: G : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableInv G
f : G → E
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
h : MeasurableEmbedding fun x ↦ x⁻¹
⊢ ∫ (y : G), f y ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Group.Integral

Goal state before:
pp: G : Type u_4
F : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
f : G → F
s : Set G
hf : IntegrableOn f s μ
⊢ IntegrableOn (fun x ↦ f x⁻¹) s⁻¹ μ

Tactic:
apply (integrable_map_equiv (MeasurableEquiv.inv G) f).mp

Goal state after:
G : Type u_4
F : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
f : G → F
s : Set G
hf : IntegrableOn f s μ
⊢ Integrable f (map (⇑(MeasurableEquiv.inv G)) (μ.restrict s⁻¹))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Group.Integral

Goal state before:
pp: G : Type u_4
F : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
f : G → F
s : Set G
hf : IntegrableOn f s μ
this : s⁻¹ = ⇑(MeasurableEquiv.inv G) ⁻¹' s
⊢ Integrable f ((map (⇑(MeasurableEquiv.inv G)) μ).restrict s)

Tactic:
]

Goal state after:
G : Type u_4
F : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
f : G → F
s : Set G
hf : IntegrableOn f s μ
this : s⁻¹ = ⇑(MeasurableEquiv.inv G) ⁻¹' s
⊢ Integrable f ((map (⇑(MeasurableEquiv.inv G)) μ).restrict s)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
hx : ↑f x ≠ 0
⊢ ↑f x ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
hx : ↑f x ≠ 0
⊢ ↑f x ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
hx : f.rOut ≤ dist x c
⊢ f.rOut ≤ dist x c

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
hx : f.rOut ≤ dist x c
⊢ f.rOut ≤ dist x c
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ (affineSpan k (insert p₁ ↑(affineSpan k s))).direction = (affineSpan k (insert p₁ ↑(affineSpan k s))).direction

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Group.Integral

Goal state before:
pp: G : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G → E
g : G
h_mul : MeasurableEmbedding fun x ↦ g * x
⊢ ∫ (y : G), f y ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hv : vectorSpan k (insert p₁ s) = vectorSpan k {p₁, p₂, p₃}
⊢ Module.rank k ↥(vectorSpan k {p₁, p₂, p₃}) ≤ 1 ↔ Module.rank k ↥(vectorSpan k {p₁, p₂, p₃}) ≤ 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Group.Integral

Goal state before:
pp: G : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
g : G
h_mul : MeasurableEmbedding fun x ↦ x * g
⊢ ∫ (y : G), f y ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
h : p ∈ affineSpan k s
⊢ Module.rank k ↥(vectorSpan k s) ≤ 1 ↔ Module.rank k ↥(vectorSpan k s) ≤ 1

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : p₁ ∈ line[k, p₂, p₃]
⊢ Collinear k {p₂, p₃}

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : p₁ ∈ line[k, p₂, p₃]
⊢ Collinear k {p₂, p₃}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h₁ : p₁ ∈ line[k, p₃, p₄]
h₂ : p₂ ∈ line[k, p₃, p₄]
⊢ Collinear k {p₃, p₄}

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h₁ : p₁ ∈ line[k, p₃, p₄]
h₂ : p₂ ∈ line[k, p₃, p₄]
⊢ Collinear k {p₃, p₄}
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
n : ℕ∞
c g : X → E
f : (x : X) → ContDiffBump (c x)
hc : ∀ (x : X), ContDiffAt ℝ (↑n) c x
hr : ∀ (x : X), ContDiffAt ℝ (↑n) (fun x ↦ (f x).rIn) x
hR : ∀ (x : X), ContDiffAt ℝ (↑n) (fun x ↦ (f x).rOut) x
hg : ∀ (x : X), ContDiffAt ℝ (↑n) g x
⊢ ∀ (x : X), ContDiffAt ℝ (↑n) (fun x ↦ ↑(f x) (g x)) x

Tactic:
]

Goal state after:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
n : ℕ∞
c g : X → E
f : (x : X) → ContDiffBump (c x)
hc : ∀ (x : X), ContDiffAt ℝ (↑n) c x
hr : ∀ (x : X), ContDiffAt ℝ (↑n) (fun x ↦ (f x).rIn) x
hR : ∀ (x : X), ContDiffAt ℝ (↑n) (fun x ↦ (f x).rOut) x
hg : ∀ (x : X), ContDiffAt ℝ (↑n) g x
⊢ ∀ (x : X), ContDiffAt ℝ (↑n) (fun x ↦ ↑(f x) (g x)) x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
h₁ : p₁ ∈ line[k, p₄, p₅]
h₂ : p₂ ∈ line[k, p₄, p₅]
h₃ : p₃ ∈ line[k, p₄, p₅]
⊢ Collinear k {p₄, p₅}

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
h₁ : p₁ ∈ line[k, p₄, p₅]
h₂ : p₂ ∈ line[k, p₄, p₅]
h₃ : p₃ ∈ line[k, p₄, p₅]
⊢ Collinear k {p₄, p₅}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p : P
ha : AffineIndependent k ![p₁, p₂, p₃]
hcol : Collinear k {p₂, p₃, p}
hne : p₂ ≠ p
⊢ ¬Collinear k {p₁, p₂, p}

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p : P
ha : AffineIndependent k ![p₁, p₂, p₃]
hcol : Collinear k {p₂, p₃, p}
hne : p₂ ≠ p
⊢ ¬Collinear k {p₁, p₂, p}
Module: Mathlib.MeasureTheory.Group.Integral

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
G : Type u_7
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction G α
inst✝¹ : MeasurableConstSMul G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
f : α → E
g : G
h : MeasurableEmbedding fun x ↦ g • x
⊢ ∫ (y : α), f y ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p : P
ha : ¬Collinear k {p₁, p₂, p₃}
hcol : Collinear k {p₂, p₃, p}
hne : p₂ ≠ p
h : Collinear k {p₁, p₂, p}
h1 : Collinear k {p₁, p₃, p₂, p}
h2 : Collinear k {p₁, p₂, p₃}
⊢ False

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p : P
ha : ¬Collinear k {p₁, p₂, p₃}
hcol : Collinear k {p₂, p₃, p}
hne : p₂ ≠ p
h : Collinear k {p₁, p₂, p}
h1 : Collinear k {p₁, p₃, p₂, p}
h2 : Collinear k {p₁, p₂, p₃}
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
s : Set P
inst✝ : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
h : Coplanar k s ↔ ↑(finrank k ↥(vectorSpan k s)) ≤ 2
⊢ Coplanar k s ↔ finrank k ↥(vectorSpan k s) ≤ 2

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
s : Set P
inst✝ : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
h : Coplanar k s ↔ ↑(finrank k ↥(vectorSpan k s)) ≤ 2
⊢ Coplanar k s ↔ finrank k ↥(vectorSpan k s) ≤ 2
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
h : p ∈ affineSpan k s
⊢ Module.rank k ↥(vectorSpan k s) ≤ 2 ↔ Module.rank k ↥(vectorSpan k s) ≤ 2

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hf : ¬FiniteDimensional k ↥s.direction
hf' : ¬FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k (insert p ↑s))
⊢ 0 ≤ 1

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hf : ¬FiniteDimensional k ↥s.direction
hf' : ¬FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k (insert p ↑s))
⊢ 0 ≤ 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hf : FiniteDimensional k ↥s.direction
⊢ finrank k ↥(affineSpan k (insert p ↑(affineSpan k ↑s))).direction ≤ finrank k ↥s.direction + 1

Tactic:
]

Goal state after:
case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hf : FiniteDimensional k ↥s.direction
⊢ finrank k ↥(affineSpan k (insert p ↑(affineSpan k ↑s))).direction ≤ finrank k ↥s.direction + 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: case pos.inl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hf : FiniteDimensional k ↥s.direction
hs : s = ⊥
⊢ finrank k ↥(affineSpan k (insert p ↑(affineSpan k ↑s))).direction ≤ finrank k ↥s.direction + 1

Tactic:
]

Goal state after:
case pos.inl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hf : FiniteDimensional k ↥s.direction
hs : s = ⊥
⊢ finrank k ↥(affineSpan k (insert p ↑(affineSpan k ↑s))).direction ≤ finrank k ↥s.direction + 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: case pos.inl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hf : FiniteDimensional k ↥s.direction
hs : s = ⊥
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (insert p ∅)) ≤ 1

Tactic:
]

Goal state after:
case pos.inl
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hf : FiniteDimensional k ↥s.direction
hs : s = ⊥
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (insert p ∅)) ≤ 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hf : FiniteDimensional k ↥s.direction
hs : s = ⊥
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (insert p ∅)) = finrank k ↥⊥

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hf : FiniteDimensional k ↥s.direction
hs : s = ⊥
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (insert p ∅)) = finrank k ↥⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: case pos.inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hf : FiniteDimensional k ↥s.direction
p₀ : P
hp₀ : p₀ ∈ ↑s
⊢ finrank k ↥(k ∙ (p -ᵥ p₀) ⊔ s.direction) ≤ 1 + finrank k ↥s.direction

Tactic:
]

Goal state after:
case pos.inr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hf : FiniteDimensional k ↥s.direction
p₀ : P
hp₀ : p₀ ∈ ↑s
⊢ finrank k ↥(k ∙ (p -ᵥ p₀) ⊔ s.direction) ≤ 1 + finrank k ↥s.direction
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: case h₁
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hf : FiniteDimensional k ↥s.direction
p₀ : P
hp₀ : p₀ ∈ ↑s
v : ↥(k ∙ (p -ᵥ p₀))
h : ∃ a, a • (p -ᵥ p₀) = ↑v
⊢ ∃ c, c • ⟨p -ᵥ p₀, ⋯⟩ = v

Tactic:
]

Goal state after:
case h₁
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hf : FiniteDimensional k ↥s.direction
p₀ : P
hp₀ : p₀ ∈ ↑s
v : ↥(k ∙ (p -ᵥ p₀))
h : ∃ a, a • (p -ᵥ p₀) = ↑v
⊢ ∃ c, c • ⟨p -ᵥ p₀, ⋯⟩ = v
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (insert p ↑(affineSpan k s))) ≤ finrank k ↥(affineSpan k s).direction + 1

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (insert p ↑(affineSpan k s))) ≤ finrank k ↥(affineSpan k s).direction + 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p : P
this : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
⊢ 1 + 1 ≤ 2

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : finrank k V = 2
this : FiniteDimensional k V
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k s) ≤ finrank k V

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : finrank k V = 2
this : FiniteDimensional k V
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k s) ≤ finrank k V
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : CharZero k
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ s.points i = s.points i

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : CharZero k
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
h : s.points i = -↑n • (s.faceOppositeCentroid i -ᵥ s.centroid) +ᵥ s.centroid
⊢ -↑n • (s.faceOppositeCentroid i -ᵥ s.centroid) +ᵥ s.centroid ∈ line[k, s.centroid, s.faceOppositeCentroid i]

Tactic:
]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : CharZero k
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
h : s.points i = -↑n • (s.faceOppositeCentroid i -ᵥ s.centroid) +ᵥ s.centroid
⊢ -↑n • (s.faceOppositeCentroid i -ᵥ s.centroid) +ᵥ s.centroid ∈ line[k, s.centroid, s.faceOppositeCentroid i]
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional k V
h : Fintype.card ι = Module.finrank k V + 1
s : Finset P
b : AffineBasis (↑↑s) k P
hb : ⇑b = Subtype.val
⊢ Fintype.card ↑↑s = Fintype.card ↑↑s

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
P : Type u_5
inst✝¹⁴ : Ring R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module R V
inst✝¹⁰ : Module.Finite R V
inst✝⁹ : Module.Free R V
inst✝⁸ : AffineSpace V P
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module R W
inst✝⁵ : Module S W
inst✝⁴ : Module.Finite S W
inst✝³ : SMulCommClass R S W
inst✝² : Module.Free S W
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : StrongRankCondition S
⊢ Module.finrank S W + Module.finrank R V * Module.finrank S W = (Module.finrank R V + 1) * Module.finrank S W

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
P : Type u_5
inst✝¹⁴ : Ring R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module R V
inst✝¹⁰ : Module.Finite R V
inst✝⁹ : Module.Free R V
inst✝⁸ : AffineSpace V P
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module R W
inst✝⁵ : Module S W
inst✝⁴ : Module.Finite S W
inst✝³ : SMulCommClass R S W
inst✝² : Module.Free S W
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : StrongRankCondition S
⊢ Module.finrank S W + Module.finrank R V * Module.finrank S W = (Module.finrank R V + 1) * Module.finrank S W
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
⊢ {i | ¬f i = 0}.Finite ↔ {i | ¬f i = 0}.Finite

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p ∧ p < ∞
f : (i : α) → E i
⊢ Memℓp f p ↔ Summable fun i ↦ ‖f i‖ ^ p.toReal

Tactic:
]

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p ∧ p < ∞
f : (i : α) → E i
⊢ Memℓp f p ↔ Summable fun i ↦ ‖f i‖ ^ p.toReal