mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) ^ (1 / ↑↑m1) < (⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)) + ε / 2
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ max (↑m1) m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hLε : 0 < L + ε
⊢ μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1)) * x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1))) * μ (x ^ (n % ↑m1))) ^ (1 / ↑n)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) ^ (1 / ↑↑m1) < (⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)) + ε / 2
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ max (↑m1) m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hLε : 0 < L + ε
⊢ μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1)) * x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1))) * μ (x ^ (n % ↑m1))) ^ (1 / ↑n)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) ^ (1 / ↑↑m1) < (⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)) + ε / 2
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ max (↑m1) m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
⊢ μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1) + n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) < L + ε

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) ^ (1 / ↑↑m1) < (⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)) + ε / 2
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ max (↑m1) m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
⊢ μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1) + n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) < L + ε
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SeminormFromConst

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
⊢ f (x * c ^ n) ≤ f x * f (c ^ n)

Tactic:
]

Goal state after:
case h
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
⊢ f (x * c ^ n) ≤ f x * f (c ^ n)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm

Goal state before:
pp: case h₁
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) ^ (1 / ↑↑m1) < (⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)) + ε / 2
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ max (↑m1) m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
⊢ μ ((x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ≤ μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)

Tactic:
]

Goal state after:
case h₁
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) ^ (1 / ↑↑m1) < (⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)) + ε / 2
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ max (↑m1) m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
⊢ μ ((x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ≤ μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SeminormFromConst

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
hseq : seminormFromConst_seq c f x = fun _n ↦ f x
⊢ Tendsto (fun _n ↦ f x) atTop (𝓝 (f x))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
hseq : seminormFromConst_seq c f x = fun _n ↦ f x
⊢ Tendsto (fun _n ↦ f x) atTop (𝓝 (f x))
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SeminormFromConst

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
y : R
⊢ Tendsto (seminormFromConst_seq c f (x * y)) atTop (𝓝 (f x * seminormFromConst' c f y))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
y : R
⊢ Tendsto (seminormFromConst_seq c f (x * y)) atTop (𝓝 (f x * seminormFromConst' c f y))
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.IsConjRoot

Goal state before:
pp: K : Type u_2
S : Type u_4
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K S
x y : S
r : K
h : IsConjRoot K x y
⊢ (minpoly K y).comp (X - C r) = (minpoly K y).comp (X - C r)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.IsConjRoot

Goal state before:
pp: K : Type u_2
S : Type u_4
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K S
x y : S
h : IsConjRoot K x y
⊢ (-1) ^ (minpoly K y).natDegree * (minpoly K y).comp (-X) = (-1) ^ (minpoly K y).natDegree * (minpoly K y).comp (-X)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.IsConjRoot

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
x y : A
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ minpoly R x = minpoly R y ↔ minpoly R x = minpoly R y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SeminormFromConst

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
n : ℕ
⊢ f c = f c

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SeminormFromConst

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hseq : seminormFromConst_seq c f c = fun _n ↦ f c
⊢ Tendsto (fun _n ↦ f c) atTop (𝓝 (f c))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hseq : seminormFromConst_seq c f c = fun _n ↦ f c
⊢ Tendsto (fun _n ↦ f c) atTop (𝓝 (f c))
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.IsConjRoot

Goal state before:
pp: K : Type u_2
S : Type u_4
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K S
inst✝ : IsDomain S
x y : S
h : IsIntegral K x
⊢ (Polynomial.aeval y) (minpoly K x) = 0 ↔ minpoly K x ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval y) (minpoly K x) = 0

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_2
S : Type u_4
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K S
inst✝ : IsDomain S
x y : S
h : IsIntegral K x
⊢ (Polynomial.aeval y) (minpoly K x) = 0 ↔ minpoly K x ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval y) (minpoly K x) = 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SeminormFromConst

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
hlim : Tendsto (fun n ↦ seminormFromConst_seq c f x (n + 1)) atTop (𝓝 (seminormFromConst' c f x))
⊢ seminormFromConst' c f (c * x) = f c * seminormFromConst' c f x

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
hlim : Tendsto (fun n ↦ seminormFromConst_seq c f x (n + 1)) atTop (𝓝 (seminormFromConst' c f x))
⊢ seminormFromConst' c f (c * x) = f c * seminormFromConst' c f x
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.IsConjRoot

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R S
r : R
x : S
h : X - C r = minpoly R x
hf : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
⊢ x = (algebraMap R S) r

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R S
r : R
x : S
h : X - C r = minpoly R x
hf : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
⊢ x = (algebraMap R S) r
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.IsConjRoot

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R S
r : R
x : S
h : X - C r = minpoly R x
hf : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
⊢ X - C r ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval x) (X - C r) = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R S
r : R
x : S
h : X - C r = minpoly R x
hf : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
⊢ X - C r ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval x) (X - C r) = 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) < (L + ε / 2) ^ ↑↑m1
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ max (↑m1) m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
h : μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1))) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n)
hL0' : 0 < L + ε / 2
hm10 : ↑↑m1 ≠ 0
⊢ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n) < (L + ε / 2) * (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) < (L + ε / 2) ^ ↑↑m1
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ max (↑m1) m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
h : μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1))) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n)
hL0' : 0 < L + ε / 2
hm10 : ↑↑m1 ≠ 0
⊢ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n) < (L + ε / 2) * (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n))
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SeminormFromConst

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
hlim : Tendsto (fun n ↦ seminormFromConst_seq c f x (n + 1)) atTop (𝓝 (seminormFromConst' c f x))
n : ℕ
⊢ f (c * c ^ n * x) * (f c)⁻¹ ^ n = f (c * c ^ n * x) * (f c)⁻¹ ^ n

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) < (L + ε / 2) ^ ↑↑m1
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ max (↑m1) m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
h : μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1))) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n)
hL0' : 0 < L + ε / 2
hm10 : ↑↑m1 ≠ 0
⊢ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n) < (L + ε / 2) ^ 1 * (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) < (L + ε / 2) ^ ↑↑m1
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ max (↑m1) m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
h : μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1))) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n)
hL0' : 0 < L + ε / 2
hm10 : ↑↑m1 ≠ 0
⊢ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n) < (L + ε / 2) ^ 1 * (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n))
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SeminormFromConst

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝ : Field K
k : K
g : RingSeminorm K
hg1 : g 1 ≤ 1
hg_k : g k ≠ 0
hg_pm : IsPowMul ⇑g
⊢ g k ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝ : Field K
k : K
g : RingSeminorm K
hg1 : g 1 ≤ 1
hg_k : g k ≠ 0
hg_pm : IsPowMul ⇑g
⊢ g k ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) < (L + ε / 2) ^ ↑↑m1
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ max (↑m1) m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
h : μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1))) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n)
hL0' : 0 < L + ε / 2
hm10 : ↑↑m1 ≠ 0
this : ↑n / ↑n = 1
⊢ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n) < (L + ε / 2) ^ (↑n / ↑n) * (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) < (L + ε / 2) ^ ↑↑m1
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ max (↑m1) m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
h : μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1))) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n)
hL0' : 0 < L + ε / 2
hm10 : ↑↑m1 ≠ 0
this : ↑n / ↑n = 1
⊢ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n) < (L + ε / 2) ^ (↑n / ↑n) * (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n))
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Field.Krasner

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁵ : NormedField L
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField K
inst✝³ : CompleteSpace K
inst✝² : IsUltrametricDist K
inst✝¹ : NormedAlgebra K L
inst✝ : Normal K L
x y : L
xsep : IsSeparable K x
sp : (Polynomial.map (algebraMap K L) (minpoly K x)).Splits
yint : IsIntegral K y
kr : ∀ (x' : L), IsConjRoot K x x' → x ≠ x' → ‖x - y‖ < ‖x - x'‖
z : L := x - y
this✝¹ : FiniteDimensional K ↥K⟮y⟯
this✝ : IsUltrametricDist L
y' : ↥K⟮y⟯ := AdjoinSimple.gen K y
zsep : IsSeparable (↥K⟮y⟯) z
this : z ∈ K⟮y⟯ ↔ z ∈ ⊥
⊢ z ∈ ⊥

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁵ : NormedField L
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField K
inst✝³ : CompleteSpace K
inst✝² : IsUltrametricDist K
inst✝¹ : NormedAlgebra K L
inst✝ : Normal K L
x y : L
xsep : IsSeparable K x
sp : (Polynomial.map (algebraMap K L) (minpoly K x)).Splits
yint : IsIntegral K y
kr : ∀ (x' : L), IsConjRoot K x x' → x ≠ x' → ‖x - y‖ < ‖x - x'‖
z : L := x - y
this✝¹ : FiniteDimensional K ↥K⟮y⟯
this✝ : IsUltrametricDist L
y' : ↥K⟮y⟯ := AdjoinSimple.gen K y
zsep : IsSeparable (↥K⟮y⟯) z
this : z ∈ K⟮y⟯ ↔ z ∈ ⊥
⊢ z ∈ ⊥
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) < (L + ε / 2) ^ ↑↑m1
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ max (↑m1) m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
h : μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1))) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n)
hL0' : 0 < L + ε / 2
hm10 : ↑↑m1 ≠ 0
⊢ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n) <
    (L + ε / 2) ^ (↑(↑m1 * (n / ↑m1) + n % ↑m1) / ↑n) * (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) < (L + ε / 2) ^ ↑↑m1
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ max (↑m1) m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
h : μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1))) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n)
hL0' : 0 < L + ε / 2
hm10 : ↑↑m1 ≠ 0
⊢ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n) <
    (L + ε / 2) ^ (↑(↑m1 * (n / ↑m1) + n % ↑m1) / ↑n) * (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n))
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Field.Krasner

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁵ : NormedField L
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField K
inst✝³ : CompleteSpace K
inst✝² : IsUltrametricDist K
inst✝¹ : NormedAlgebra K L
inst✝ : Normal K L
x y : L
xsep : IsSeparable K x
sp : (Polynomial.map (algebraMap K L) (minpoly K x)).Splits
yint : IsIntegral K y
kr : ∀ (x' : L), IsConjRoot K x x' → x ≠ x' → ‖x - y‖ < ‖x - x'‖
z : L := x - y
this✝¹ : FiniteDimensional K ↥K⟮y⟯
this✝ : IsUltrametricDist L
y' : ↥K⟮y⟯ := AdjoinSimple.gen K y
zsep : IsSeparable (↥K⟮y⟯) z
this : z ∈ K⟮y⟯ ↔ z ∈ ⊥
hz : z ∉ ⊥
z' : L
hne : z ≠ z'
h1 : IsConjRoot (↥K⟮y⟯) z z'
σ : Gal(L/↥K⟮y⟯)
hσ : z' = σ.symm z
⊢ spectralNorm K L z ≤ spectralNorm K L (x - y) ∧ spectralNorm K L z ≤ spectralNorm K L (x - y)

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁵ : NormedField L
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField K
inst✝³ : CompleteSpace K
inst✝² : IsUltrametricDist K
inst✝¹ : NormedAlgebra K L
inst✝ : Normal K L
x y : L
xsep : IsSeparable K x
sp : (Polynomial.map (algebraMap K L) (minpoly K x)).Splits
yint : IsIntegral K y
kr : ∀ (x' : L), IsConjRoot K x x' → x ≠ x' → ‖x - y‖ < ‖x - x'‖
z : L := x - y
this✝¹ : FiniteDimensional K ↥K⟮y⟯
this✝ : IsUltrametricDist L
y' : ↥K⟮y⟯ := AdjoinSimple.gen K y
zsep : IsSeparable (↥K⟮y⟯) z
this : z ∈ K⟮y⟯ ↔ z ∈ ⊥
hz : z ∉ ⊥
z' : L
hne : z ≠ z'
h1 : IsConjRoot (↥K⟮y⟯) z z'
σ : Gal(L/↥K⟮y⟯)
hσ : z' = σ.symm z
⊢ spectralNorm K L z ≤ spectralNorm K L (x - y) ∧ spectralNorm K L z ≤ spectralNorm K L (x - y)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.SmoothingSeminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) < (L + ε / 2) ^ ↑↑m1
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ max (↑m1) m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
h : μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1))) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n)
hL0' : 0 < L + ε / 2
hm10 : ↑↑m1 ≠ 0
h_lt : 0 < ↑(n / ↑m1) / ↑n
⊢ μ (x ^ ↑m1) ^ (↑(n / ↑m1) / ↑n) < ((L + ε / 2) ^ ↑↑m1) ^ (↑(n / ↑m1) / ↑n)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) < (L + ε / 2) ^ ↑↑m1
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ max (↑m1) m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
h : μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1))) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n)
hL0' : 0 < L + ε / 2
hm10 : ↑↑m1 ≠ 0
h_lt : 0 < ↑(n / ↑m1) / ↑n
⊢ μ (x ^ ↑m1) ^ (↑(n / ↑m1) / ↑n) < ((L + ε / 2) ^ ↑↑m1) ^ (↑(n / ↑m1) / ↑n)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Field.Krasner

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁵ : NormedField L
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField K
inst✝³ : CompleteSpace K
inst✝² : IsUltrametricDist K
inst✝¹ : NormedAlgebra K L
inst✝ : Normal K L
x y : L
xsep : IsSeparable K x
sp : (Polynomial.map (algebraMap K L) (minpoly K x)).Splits
yint : IsIntegral K y
kr : ∀ (x' : L), IsConjRoot K x x' → x ≠ x' → ‖x - y‖ < ‖x - x'‖
z : L := x - y
this✝¹ : FiniteDimensional K ↥K⟮y⟯
this✝ : IsUltrametricDist L
y' : ↥K⟮y⟯ := AdjoinSimple.gen K y
zsep : IsSeparable (↥K⟮y⟯) z
this : z ∈ K⟮y⟯ ↔ z ∈ ⊥
hz : z ∉ ⊥
z' : L
hne : z ≠ z'
h1 : IsConjRoot (↥K⟮y⟯) z z'
σ : Gal(L/↥K⟮y⟯)
hσ : z' = σ.symm z
⊢ False

Tactic:
have : ‖z - z'‖ < ‖z - z'‖ :=
      calc
        _ ≤ max ‖z‖ ‖z'‖ := by
          simpa [norm_neg, sub_eq_add_neg] using (IsUltrametricDist.norm_add_le_max z (- z'))
        _ ≤ ‖x - y‖ := by
          simp only [NormedAlgebra.norm_eq_spectralNorm K, hσ, sup_le_iff]
          rw [← AlgEquiv.restrictScalars_apply K,
              ← spectralNorm_eq_of_equiv (σ.symm.restrictScalars K)]
          simp [z]
        _ < ‖x - (z' + y)‖ := by
          apply kr (z' + y)
          · apply IsConjRoot.of_isScalarTower (L := K⟮y⟯) xsep.isIntegral
            simpa [z, y'] using IsConjRoot.add_algebraMap y' h1
          · simpa [z, sub_eq_iff_eq_add] using hne
        _ = ‖z - z'‖ := by congr 1; ring

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁵ : NormedField L
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField K
inst✝³ : CompleteSpace K
inst✝² : IsUltrametricDist K
inst✝¹ : NormedAlgebra K L
inst✝ : Normal K L
x y : L
xsep : IsSeparable K x
sp : (Polynomial.map (algebraMap K L) (minpoly K x)).Splits
yint : IsIntegral K y
kr : ∀ (x' : L), IsConjRoot K x x' → x ≠ x' → ‖x - y‖ < ‖x - x'‖
z : L := x - y
this✝² : FiniteDimensional K ↥K⟮y⟯
this✝¹ : IsUltrametricDist L
y' : ↥K⟮y⟯ := AdjoinSimple.gen K y
zsep : IsSeparable (↥K⟮y⟯) z
this✝ : z ∈ K⟮y⟯ ↔ z ∈ ⊥
hz : z ∉ ⊥
z' : L
hne : z ≠ z'
h1 : IsConjRoot (↥K⟮y⟯) z z'
σ : Gal(L/↥K⟮y⟯)
hσ : z' = σ.symm z
this : ‖z - z'‖ < ‖z - z'‖
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Field.Krasner

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁵ : NormedField L
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField K
inst✝³ : CompleteSpace K
inst✝² : IsUltrametricDist K
inst✝¹ : NormedAlgebra K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
x y : L
xsep : IsSeparable K x
sp : (Polynomial.map (algebraMap K L) (minpoly K x)).Splits
yint : IsIntegral K y
kr : ∀ (x' : L), IsConjRoot K x x' → x ≠ x' → ‖x - y‖ < ‖x - x'‖
C : Type u_1 := AlgebraicClosure K
this✝² : NontriviallyNormedField C := spectralNorm.nontriviallyNormedField K C
this✝¹ : NormedAlgebra K C := spectralNorm.normedAlgebra K C
iL : L →ₐ[K] C := IsAlgClosed.lift
algInst✝ : Algebra L C := iL.toAlgebra
this✝ : NormedAlgebra L C := spectralNorm.normedAlgebra' K L C
this : IsKrasner K C := of_completeSpace_of_normal K C
norm_iL : ∀ (x : L), ‖iL x‖ = ‖x‖
xC' : C
hx' : xC' ∈ (minpoly K x).rootSet C
hne : iL x ≠ xC'
⊢ xC' ∈ (minpoly K x).rootSet C

Tactic:
]

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁵ : NormedField L
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField K
inst✝³ : CompleteSpace K
inst✝² : IsUltrametricDist K
inst✝¹ : NormedAlgebra K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
x y : L
xsep : IsSeparable K x
sp : (Polynomial.map (algebraMap K L) (minpoly K x)).Splits
yint : IsIntegral K y
kr : ∀ (x' : L), IsConjRoot K x x' → x ≠ x' → ‖x - y‖ < ‖x - x'‖
C : Type u_1 := AlgebraicClosure K
this✝² : NontriviallyNormedField C := spectralNorm.nontriviallyNormedField K C
this✝¹ : NormedAlgebra K C := spectralNorm.normedAlgebra K C
iL : L →ₐ[K] C := IsAlgClosed.lift
algInst✝ : Algebra L C := iL.toAlgebra
this✝ : NormedAlgebra L C := spectralNorm.normedAlgebra' K L C
this : IsKrasner K C := of_completeSpace_of_normal K C
norm_iL : ∀ (x : L), ‖iL x‖ = ‖x‖
xC' : C
hx' : xC' ∈ (minpoly K x).rootSet C
hne : iL x ≠ xC'
⊢ xC' ∈ (minpoly K x).rootSet C