mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Inversion.ImageHyperplane

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
⊢ inversion c R ⁻¹' ↑(perpBisector c y) = inversion c R ⁻¹' ↑(perpBisector c y)

pp: case hR
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
⊢ R ≠ 0

pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
⊢ inversion c R y ≠ c

Tactic:
]

Goal state after:
case hR
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
⊢ R ≠ 0

V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
⊢ inversion c R y ≠ c
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Inversion.ImageHyperplane

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
⊢ sphere (inversion c R y) (R ^ 2 / dist y c) \ {c} = sphere (inversion c R y) (R ^ 2 / dist y c) \ {c}

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Inversion.Calculus

Goal state before:
pp: F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
c : F
R : ℝ
x : F
hx : (fun x ↦ c + x) x ≠ c
this :
  HasFDerivAt (inversion c R)
    ((R ^ 2 * ((fun y ↦ y⁻¹) ∘ fun x ↦ ‖_root_.id x - c‖ ^ 2) (c + x)) • ContinuousLinearMap.id ℝ F +
      (R ^ 2 •
            -((‖_root_.id (c + x) - c‖ ^ 2) ^ 2)⁻¹ •
              2 • (innerSL ℝ) (_root_.id (c + x) - c) ∘SL ContinuousLinearMap.id ℝ F).smulRight
        (_root_.id (c + x) - c))
    (c + x)
⊢ (‖x‖ ^ 2)⁻¹ = (‖x‖ ^ 2)⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Inversion.ImageHyperplane

Goal state before:
pp: case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
x : P
hx : x ≠ c
⊢ inversion c R (inversion c R x) ∈ perpBisector c (inversion c R y) ↔ x ∈ insert c ↑(perpBisector c (inversion c R y))

pp: case inr.hx
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
x : P
hx : x ≠ c
⊢ inversion c R x ≠ c

pp: case inr.hy
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
x : P
hx : x ≠ c
⊢ y ≠ c

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
x : P
hx : x ≠ c
⊢ inversion c R (inversion c R x) ∈ perpBisector c (inversion c R y) ↔ x ∈ insert c ↑(perpBisector c (inversion c R y))

case inr.hx
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
x : P
hx : x ≠ c
⊢ inversion c R x ≠ c

case inr.hy
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
x : P
hx : x ≠ c
⊢ y ≠ c
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Inversion.ImageHyperplane

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
⊢ insert c ↑(perpBisector c (inversion c R y)) = insert c ↑(perpBisector c (inversion c R y))

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ Simplex.touchpoint t ∅ i₂ ∈ (Simplex.face t ⋯).interior

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ Simplex.touchpoint t ∅ i₂ ∈ (Simplex.face t ⋯).interior
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ Simplex.face t ⋯ = Simplex.face t ⋯

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ Simplex.face t ⋯ = Simplex.face t ⋯
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
r₁ r₂ : ℝ
hp₁o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₁ : p₁ = r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
hp₂o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₂ : p₂ = r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
h : s.points 0 ∈ span_s
hd₁ : r₁ = r₂ ∨ r₁ = -r₂
hd₂ : dist p₂ s.circumcenter * dist p₂ s.circumcenter = r * r - s.circumradius * s.circumradius
hp : ¬p = ↑(s.orthogonalProjectionSpan p)
hz : ⟪p -ᵥ ↑((orthogonalProjection span_s) p), p -ᵥ ↑((orthogonalProjection span_s) p)⟫ ≠ 0
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
r₁ r₂ : ℝ
hp₁o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₁ : p₁ = r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
hp₂o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₂ : p₂ = r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
h : s.points 0 ∈ span_s
hd₁ : r₁ = r₂ ∨ r₁ = -r₂
hd₂ : dist p₂ s.circumcenter * dist p₂ s.circumcenter = r * r - s.circumradius * s.circumradius
hp : ¬p = ↑(s.orthogonalProjectionSpan p)
hz : ⟪p -ᵥ ↑((orthogonalProjection span_s) p), p -ᵥ ↑((orthogonalProjection span_s) p)⟫ ≠ 0
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ Simplex.touchpoint t {i₂} i₂ ∈ (Simplex.face t ⋯).interior

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ Simplex.touchpoint t {i₂} i₂ ∈ (Simplex.face t ⋯).interior
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ Sbtw ℝ ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ t.points) (Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂)) (t.points i₃)
    (t.points i₁)

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ Sbtw ℝ ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ t.points) (Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂)) (t.points i₃)
    (t.points i₁)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
hw : ∑ j ∈ {i₁, i₂, i₃}, Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ j = 1
⊢ Sbtw ℝ ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ t.points) (Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂)) (t.points i₃)
    (t.points i₁)

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
hw : ∑ j ∈ {i₁, i₂, i₃}, Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ j = 1
⊢ Sbtw ℝ ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ t.points) (Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂)) (t.points i₃)
    (t.points i₁)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₂ i₃ : Fin 3
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
i : Fin (2 + 1)
h₁₂ : i ≠ i₂
h₁₃ : i ≠ i₃
hw : Simplex.touchpointWeights t {i} i₂ i + Simplex.touchpointWeights t {i} i₂ i₃ = 1
⊢ Simplex.touchpointWeights t {i} i₂ i = 1 - Simplex.touchpointWeights t {i} i₂ i₃

Tactic:
]

Goal state after:
case inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₂ i₃ : Fin 3
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
i : Fin (2 + 1)
h₁₂ : i ≠ i₂
h₁₃ : i ≠ i₃
hw : Simplex.touchpointWeights t {i} i₂ i + Simplex.touchpointWeights t {i} i₂ i₃ = 1
⊢ Simplex.touchpointWeights t {i} i₂ i = 1 - Simplex.touchpointWeights t {i} i₂ i₃
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
hw : Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ i₁ + Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ i₃ = 1
h :
  Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ =
    Finset.affineCombinationLineMapWeights i₁ i₃ (Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ i₃)
⊢ t.points i₁ ≠ t.points i₃ ∧
    (AffineMap.lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) (Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ i₃) ∈
      ⇑(AffineMap.lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) '' Set.Ioi 1

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
hw : Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ i₁ + Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ i₃ = 1
h :
  Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ =
    Finset.affineCombinationLineMapWeights i₁ i₃ (Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ i₃)
⊢ t.points i₁ ≠ t.points i₃ ∧
    (AffineMap.lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) (Simplex.touchpointWeights t {i₁} i₂ i₃) ∈
      ⇑(AffineMap.lineMap (t.points i₁) (t.points i₃)) '' Set.Ioi 1
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: case neg.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := ⋯
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
r₁ r₂ : ℝ
hp₁o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₁ : p₁ = r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
hp₂o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₂ : p₂ = r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
h : s.points 0 ∈ span_s
hd₂ : dist p₂ s.circumcenter * dist p₂ s.circumcenter = r * r - s.circumradius * s.circumradius
hp : ¬p = ↑(s.orthogonalProjectionSpan p)
hz : ⟪p -ᵥ ↑((orthogonalProjection span_s) p), p -ᵥ ↑((orthogonalProjection span_s) p)⟫ ≠ 0
hd₁ : r₁ = r₂
⊢ r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter =
    r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter

Tactic:
hd₁

Goal state after:
case neg.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
r₁ r₂ : ℝ
hp₁o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₁ : p₁ = r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
hp₂o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₂ : p₂ = r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
h : s.points 0 ∈ span_s
hd₂ : dist p₂ s.circumcenter * dist p₂ s.circumcenter = r * r - s.circumradius * s.circumradius
hp : ¬p = ↑(s.orthogonalProjectionSpan p)
hz : ⟪p -ᵥ ↑((orthogonalProjection span_s) p), p -ᵥ ↑((orthogonalProjection span_s) p)⟫ ≠ 0
hd₁ : r₁ = r₂
⊢ r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter =
    r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: case neg.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
r₁ r₂ : ℝ
hp₁o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₁ : p₁ = r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
hp₂o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₂ : p₂ = r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
h : s.points 0 ∈ span_s
hd₂ : dist p₂ s.circumcenter * dist p₂ s.circumcenter = r * r - s.circumradius * s.circumradius
hp : ¬p = ↑(s.orthogonalProjectionSpan p)
hz : ⟪p -ᵥ ↑((orthogonalProjection span_s) p), p -ᵥ ↑((orthogonalProjection span_s) p)⟫ ≠ 0
hd₁ : r₁ = r₂
⊢ r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter =
    r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: case neg.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
r₁ r₂ : ℝ
hp₁o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₁ : p₁ = r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
hp₂o : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₂ : p₂ = r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ s.circumcenter
h : s.points 0 ∈ span_s
hd₂ : dist p₂ s.circumcenter * dist p₂ s.circumcenter = r * r - s.circumradius * s.circumradius
hp : ¬p = ↑(s.orthogonalProjectionSpan p)
hz : ⟪p -ᵥ ↑((orthogonalProjection span_s) p), p -ᵥ ↑((orthogonalProjection span_s) p)⟫ ≠ 0
hd₁ : r₁ = -r₂
⊢ -(r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p))) +ᵥ s.circumcenter =
    -(r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p))) +ᵥ s.circumcenter

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.NinePointCircle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
⊢ ((↑n + 1) / ↑n) • (s.centroid -ᵥ s.circumcenter) +ᵥ s.circumcenter ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
⊢ ((↑n + 1) / ↑n) • (s.centroid -ᵥ s.circumcenter) +ᵥ s.circumcenter ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.NinePointCircle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
⊢ dist (s.faceOppositeCentroid i) (((↑n + 1) / ↑n) • (s.centroid -ᵥ s.circumcenter) +ᵥ s.circumcenter) =
    dist s.circumcenter (s.points i) / ↑n

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
⊢ dist (s.faceOppositeCentroid i) (((↑n + 1) / ↑n) • (s.centroid -ᵥ s.circumcenter) +ᵥ s.circumcenter) =
    dist s.circumcenter (s.points i) / ↑n
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.NinePointCircle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
⊢ ↑n * ‖s.faceOppositeCentroid i -ᵥ (((↑n + 1) / ↑n) • (s.centroid -ᵥ s.circumcenter) +ᵥ s.circumcenter)‖ =
    ‖s.circumcenter -ᵥ s.points i‖

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
⊢ ↑n * ‖s.faceOppositeCentroid i -ᵥ (((↑n + 1) / ↑n) • (s.centroid -ᵥ s.circumcenter) +ᵥ s.circumcenter)‖ =
    ‖s.circumcenter -ᵥ s.points i‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.NinePointCircle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
⊢ ‖↑n‖ * ‖s.faceOppositeCentroid i -ᵥ (((↑n + 1) / ↑n) • (s.centroid -ᵥ s.circumcenter) +ᵥ s.circumcenter)‖ =
    ‖s.circumcenter -ᵥ s.points i‖

Tactic:
]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
⊢ ‖↑n‖ * ‖s.faceOppositeCentroid i -ᵥ (((↑n + 1) / ↑n) • (s.centroid -ᵥ s.circumcenter) +ᵥ s.circumcenter)‖ =
    ‖s.circumcenter -ᵥ s.points i‖
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Similarity

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
P₁ : Type u_3
P₂ : Type u_4
v₁ : ι → P₁
v₂ : ι → P₂
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace P₁
inst✝ : PseudoEMetricSpace P₂
⊢ (∃ r, r ≠ 0 ∧ ∀ (i₁ i₂ : ι), edist (v₁ i₁) (v₁ i₂) = ↑r * edist (v₂ i₁) (v₂ i₂)) ↔
    ∃ r, r ≠ 0 ∧ Pairwise fun i₁ i₂ ↦ edist (v₁ i₁) (v₁ i₂) = ↑r * edist (v₂ i₁) (v₂ i₂)

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
P₁ : Type u_3
P₂ : Type u_4
v₁ : ι → P₁
v₂ : ι → P₂
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace P₁
inst✝ : PseudoEMetricSpace P₂
⊢ (∃ r, r ≠ 0 ∧ ∀ (i₁ i₂ : ι), edist (v₁ i₁) (v₁ i₂) = ↑r * edist (v₂ i₁) (v₂ i₂)) ↔
    ∃ r, r ≠ 0 ∧ Pairwise fun i₁ i₂ ↦ edist (v₁ i₁) (v₁ i₂) = ↑r * edist (v₂ i₁) (v₂ i₂)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.NinePointCircle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
⊢ ‖s.circumcenter -ᵥ s.points i‖ = ‖s.circumcenter -ᵥ s.points i‖

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Similarity

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
P₁ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace P₁
v₁ : ι → P₁
x✝¹ x✝ : ι
⊢ edist (v₁ x✝¹) (v₁ x✝) = edist (v₁ x✝¹) (v₁ x✝)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.NinePointCircle

Goal state before:
pp: case right
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
⊢ ∀ (y : Fin (n + 1)), s.medial.points y ∈ Metric.sphere s.ninePointCircle.center s.ninePointCircle.radius

Tactic:
]

Goal state after:
case right
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
⊢ ∀ (y : Fin (n + 1)), s.medial.points y ∈ Metric.sphere s.ninePointCircle.center s.ninePointCircle.radius
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Similarity

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
P₁ : Type u_3
P₂ : Type u_4
v₁ : ι → P₁
v₂ : ι → P₂
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace P₁
inst✝ : PseudoEMetricSpace P₂
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
h : ∀ (i₁ i₂ : ι), edist (v₁ i₁) (v₁ i₂) = ↑r * edist (v₂ i₁) (v₂ i₂)
x✝¹ x✝ : ι
⊢ ↑r * edist (v₂ x✝¹) (v₂ x✝) = ↑r * edist (v₂ x✝¹) (v₂ x✝)

pp: ι : Type u_1
P₁ : Type u_3
P₂ : Type u_4
v₁ : ι → P₁
v₂ : ι → P₂
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace P₁
inst✝ : PseudoEMetricSpace P₂
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
h : ∀ (i₁ i₂ : ι), edist (v₁ i₁) (v₁ i₂) = ↑r * edist (v₂ i₁) (v₂ i₂)
x✝¹ x✝ : ι
⊢ ↑r ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
P₁ : Type u_3
P₂ : Type u_4
v₁ : ι → P₁
v₂ : ι → P₂
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace P₁
inst✝ : PseudoEMetricSpace P₂
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
h : ∀ (i₁ i₂ : ι), edist (v₁ i₁) (v₁ i₂) = ↑r * edist (v₂ i₁) (v₂ i₂)
x✝¹ x✝ : ι
⊢ ↑r ≠ 0
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Similarity

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
P₁ : Type u_3
P₂ : Type u_4
P₃ : Type u_5
v₁ : ι → P₁
v₂ : ι → P₂
v₃ : ι → P₃
inst✝² : PseudoEMetricSpace P₁
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace P₂
inst✝ : PseudoEMetricSpace P₃
r₁ : ℝ≥0
hr₁ : r₁ ≠ 0
h₁ : ∀ (i₁ i₂ : ι), edist (v₁ i₁) (v₁ i₂) = ↑r₁ * edist (v₂ i₁) (v₂ i₂)
r₂ : ℝ≥0
hr₂ : r₂ ≠ 0
h₂ : ∀ (i₁ i₂ : ι), edist (v₂ i₁) (v₂ i₂) = ↑r₂ * edist (v₃ i₁) (v₃ i₂)
x✝¹ x✝ : ι
⊢ ↑r₁ * (↑r₂ * edist (v₃ x✝¹) (v₃ x✝)) = ↑r₁ * (↑r₂ * edist (v₃ x✝¹) (v₃ x✝))

Tactic:
]

Goal state after: