mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: case weightMap
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
P : RootPairing ι R M N
e : P.Equiv P
m : M
⊢ (weightEquiv P P (symm P P e * e)) m = (↑1).weightMap m

Tactic:
]

Goal state after:
case weightMap
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
P : RootPairing ι R M N
e : P.Equiv P
m : M
⊢ (weightEquiv P P (symm P P e * e)) m = (↑1).weightMap m
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: case coweightMap
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
P : RootPairing ι R M N
e : P.Equiv P
m : N
⊢ (coweightEquiv P P (symm P P e * e)) m = (↑1).coweightMap m

Tactic:
]

Goal state after:
case coweightMap
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
P : RootPairing ι R M N
e : P.Equiv P
m : N
⊢ (coweightEquiv P P (symm P P e * e)) m = (↑1).coweightMap m
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
q : Submodule R N
hq : q ∈ invtSubmodule ↑(P.coreflection i)
⊢ Submodule.map (↑(P.coreflection i)).dualMap q.dualAnnihilator ≤ q.dualAnnihilator

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i : ι
q : Submodule R N
hq : q ∈ invtSubmodule ↑(P.coreflection i)
⊢ Submodule.map (↑(P.coreflection i)).dualMap q.dualAnnihilator ≤ q.dualAnnihilator
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : Nontrivial M
P : RootPairing ι K M N
q : Submodule K N
h : ¬q.dualAnnihilator = ⊤ → Submodule.map (↑P.toPerfPair.symm) q.dualAnnihilator = ⊥
stab : ∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.coreflection i)
ne_bot : q ≠ ⊥
⊢ q = ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : Nontrivial M
P : RootPairing ι K M N
q : Submodule K N
h : ¬q.dualAnnihilator = ⊤ → Submodule.map (↑P.toPerfPair.symm) q.dualAnnihilator = ⊥
stab : ∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.coreflection i)
ne_bot : q ≠ ⊥
⊢ q = ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : Nontrivial M
P : RootPairing ι K M N
h : P.IsIrreducible
x✝ : ↥P.invtRootSubmodule
q : Submodule K M
hq : ∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)
⊢ q = ⊥ ∨ q = ⊤

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : Nontrivial M
P : RootPairing ι K M N
h : P.IsIrreducible
x✝ : ↥P.invtRootSubmodule
q : Submodule K M
hq : ∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)
⊢ q = ⊥ ∨ q = ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₂
inst✝⁶ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q✝ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module.IsTorsionFree R M₂
inst✝² : Finite ι₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝ : Q.IsRootSystem
f : M ≃ₗ[R] M₂
e : ι ≃ ι₂
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) = Q.root (e i)
g : N ≃ₗ[R] N₂ := P.flip.toPerfPair ≪≫ₗ (f.symm.dualMap ≪≫ₗ Q.flip.toPerfPair.symm)
this : Q = RootPairing.map e f g
i : ι₂
⊢ Q.coroot i = (Q.flip.toPerfPair ≪≫ₗ (f.dualMap ≪≫ₗ P.flip.toPerfPair.symm)).symm ((⇑P.coroot ∘ ⇑e.symm) i)

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₂
inst✝⁶ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q✝ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module.IsTorsionFree R M₂
inst✝² : Finite ι₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝ : Q.IsRootSystem
f : M ≃ₗ[R] M₂
e : ι ≃ ι₂
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) = Q.root (e i)
g : N ≃ₗ[R] N₂ := P.flip.toPerfPair ≪≫ₗ (f.symm.dualMap ≪≫ₗ Q.flip.toPerfPair.symm)
this : Q = RootPairing.map e f g
i : ι₂
⊢ Q.coroot i = (Q.flip.toPerfPair ≪≫ₗ (f.dualMap ≪≫ₗ P.flip.toPerfPair.symm)).symm ((⇑P.coroot ∘ ⇑e.symm) i)
Module: Mathlib.Data.Int.ConditionallyCompleteOrder

Goal state before:
pp: x✝ : Set ℤ
hn : x✝.Nonempty
hb : BddAbove x✝
⊢ IsLUB x✝ ↑((Classical.choose ⋯).greatestOfBdd ⋯ ⋯)

Tactic:
]

Goal state after:
x✝ : Set ℤ
hn : x✝.Nonempty
hb : BddAbove x✝
⊢ IsLUB x✝ ↑((Classical.choose ⋯).greatestOfBdd ⋯ ⋯)
Module: Mathlib.Data.Int.ConditionallyCompleteOrder

Goal state before:
pp: x✝ : Set ℤ
hn : x✝.Nonempty
hb : BddBelow x✝
⊢ IsGLB x✝ ↑((Classical.choose ⋯).leastOfBdd ⋯ ⋯)

Tactic:
]

Goal state after:
x✝ : Set ℤ
hn : x✝.Nonempty
hb : BddBelow x✝
⊢ IsGLB x✝ ↑((Classical.choose ⋯).leastOfBdd ⋯ ⋯)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Module.IsTorsionFree R M
q : Submodule R M
hq : ∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)
i : ι
hi : Disjoint q (R ∙ P.root i)
⊢ q ∈ invtSubmodule ↑(Module.reflection ⋯)

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Module.IsTorsionFree R M
q : Submodule R M
hq : ∀ (i : ι), q ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection i)
i : ι
hi : Disjoint q (R ∙ P.root i)
⊢ q ∈ invtSubmodule ↑(Module.reflection ⋯)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : P.IsIrreducible
s : Set ι
hne : s.Nonempty
h : ∀ (j : ι), P.root j ∉ span R (⇑P.root '' s) → ∀ i ∈ s, P.IsOrthogonal j i
j : ι
hj : P.root j ∉ span R (⇑P.root '' s)
x : M
hx : x ∈ span R (⇑P.root '' s)
⊢ x ∈ span R (⇑P.root '' s)

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : P.IsIrreducible
s : Set ι
hne : s.Nonempty
h : ∀ (j : ι), P.root j ∉ span R (⇑P.root '' s) → ∀ i ∈ s, P.IsOrthogonal j i
j : ι
hj : P.root j ∉ span R (⇑P.root '' s)
x : M
hx : x ∈ span R (⇑P.root '' s)
⊢ x ∈ span R (⇑P.root '' s)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : P.IsIrreducible
s : Set ι
hne : s.Nonempty
h : ∀ (j : ι), P.root j ∉ span R (⇑P.root '' s) → ∀ i ∈ s, P.IsOrthogonal j i
j : ι
hj : P.root j ∉ span R (⇑P.root '' s)
⊢ span R (⇑P.root '' s) ∈ invtSubmodule ↑(P.reflection j)

Tactic:
refine (Module.End.mem_invtSubmodule _).mpr fun x hx ↦ ?_
      rwa [Submodule.mem_comap, LinearEquiv.coe_coe,
        (isFixedPt_reflection_of_isOrthogonal (h _ hj) hx).eq]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: case h.left
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
P : RootPairing ι R M N
f : P.Endˣ
⊢ _root_.id = _root_.id

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: case h.right
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
P : RootPairing ι R M N
f : P.Endˣ
⊢ _root_.id = _root_.id

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
P : RootPairing ι R M N
f g : P.Aut
⊢ { val := ↑(f * g), inv := ↑(symm P P (f * g)), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ } =
    { val := ↑f, inv := ↑(symm P P f), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ } *
      { val := ↑g, inv := ↑(symm P P g), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }

Tactic:
simp only [Equiv.mul_eq_comp, Equiv.toHom_comp]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P✝ : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
P : RootPairing ι R M N
f g : P.Aut
⊢ { val := (↑f).comp ↑g, inv := ↑(symm P P (comp f g)), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ } =
    { val := ↑f, inv := ↑(symm P P f), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ } *
      { val := ↑g, inv := ↑(symm P P g), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
g g' : P.Aut
hgg' : (LinearEquiv.toLinearMap ∘ ⇑(weightHom P)) g = (LinearEquiv.toLinearMap ∘ ⇑(weightHom P)) g'
h : (Hom.weightHom P) ↑g = (Hom.weightHom P) ↑g'
⊢ g = g'

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
g g' : P.Aut
hgg' : (LinearEquiv.toLinearMap ∘ ⇑(weightHom P)) g = (LinearEquiv.toLinearMap ∘ ⇑(weightHom P)) g'
h : (Hom.weightHom P) ↑g = (Hom.weightHom P) ↑g'
⊢ g = g'
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
g g' : P.Aut
hgg' : ((fun a ↦ MulOpposite.op a) ∘ ⇑(coweightHom P)) g = ((fun a ↦ MulOpposite.op a) ∘ ⇑(coweightHom P)) g'
h : MulOpposite.unop ((Hom.coweightHom P) ↑g) = MulOpposite.unop ((Hom.coweightHom P) ↑g')
⊢ g = g'

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
g g' : P.Aut
hgg' : ((fun a ↦ MulOpposite.op a) ∘ ⇑(coweightHom P)) g = ((fun a ↦ MulOpposite.op a) ∘ ⇑(coweightHom P)) g'
h : MulOpposite.unop ((Hom.coweightHom P) ↑g) = MulOpposite.unop ((Hom.coweightHom P) ↑g')
⊢ g = g'
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁸ : Finite ι
S : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : LinearOrder S
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
i j : ι
this : Fintype ι
ri : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root i, ⋯⟩
rj : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root j, ⋯⟩
li : S := (P.posRootForm S).rootLength i
lj : S := (P.posRootForm S).rootLength j
lij : S := ((P.posRootForm S).posForm ri) rj
si : S
hsi : li > 0
sj : S
hsj : sj > 0
hsi' : si = li
hsj' : sj = lj
⊢ P.coxeterWeightIn S i j ≤ 4

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁸ : Finite ι
S : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : LinearOrder S
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
i j : ι
this : Fintype ι
ri : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root i, ⋯⟩
rj : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root j, ⋯⟩
li : S := (P.posRootForm S).rootLength i
lj : S := (P.posRootForm S).rootLength j
lij : S := ((P.posRootForm S).posForm ri) rj
si : S
hsi : li > 0
sj : S
hsj : sj > 0
hsi' : si = li
hsj' : sj = lj
⊢ P.coxeterWeightIn S i j ≤ 4
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁸ : Finite ι
S : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : LinearOrder S
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
i j : ι
this : Fintype ι
ri : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root i, ⋯⟩
rj : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root j, ⋯⟩
li : S := (P.posRootForm S).rootLength i
lj : S := (P.posRootForm S).rootLength j
lij : S := ((P.posRootForm S).posForm ri) rj
si : S
hsi : li > 0
sj : S
hsj : lj > 0
hsi' : si = li
hsj' : sj = lj
⊢ P.coxeterWeightIn S i j ≤ 4

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁸ : Finite ι
S : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : LinearOrder S
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
i j : ι
this : Fintype ι
ri : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root i, ⋯⟩
rj : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root j, ⋯⟩
li : S := (P.posRootForm S).rootLength i
lj : S := (P.posRootForm S).rootLength j
lij : S := ((P.posRootForm S).posForm ri) rj
si : S
hsi : li > 0
sj : S
hsj : lj > 0
hsi' : si = li
hsj' : sj = lj
⊢ P.coxeterWeightIn S i j ≤ 4
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁸ : Finite ι
S : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : LinearOrder S
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
i j : ι
this : Fintype ι
ri : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root i, ⋯⟩
rj : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root j, ⋯⟩
li : S := (P.posRootForm S).rootLength i
lj : S := (P.posRootForm S).rootLength j
lij : S := ((P.posRootForm S).posForm ri) rj
si : S
hsi : li > 0
sj : S
hsj : lj > 0
hsi' : si = li
hsj' : sj = lj
⊢ lij ^ 2 ≤ li * lj

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁸ : Finite ι
S : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : LinearOrder S
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
i j : ι
this : Fintype ι
ri : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root i, ⋯⟩
rj : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root j, ⋯⟩
li : S := (P.posRootForm S).rootLength i
lj : S := (P.posRootForm S).rootLength j
lij : S := ((P.posRootForm S).posForm ri) rj
si : S
hsi : li > 0
sj : S
hsj : lj > 0
hsi' : si = li
hsj' : sj = lj
⊢ lij ^ 2 ≤ li * lj
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁸ : Finite ι
S : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : LinearOrder S
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
i j : ι
this : Fintype ι
ri : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root i, ⋯⟩
rj : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root j, ⋯⟩
li : S := (P.posRootForm S).rootLength i
lj : S := (P.posRootForm S).rootLength j
lij : S := ((P.posRootForm S).posForm ri) rj
si : S
hsi : li > 0
sj : S
hsj : lj > 0
hsi' : si = li
hsj' : sj = lj
cs : P.coxeterWeightIn S i j ≤ 4
key : 4 * lij ^ 2 = P.coxeterWeightIn S i j * (li * lj)
⊢ P.coxeterWeightIn S i j ≤ 4

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁸ : Finite ι
S : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : LinearOrder S
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
i j : ι
this : Fintype ι
ri : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root i, ⋯⟩
rj : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root j, ⋯⟩
li : S := (P.posRootForm S).rootLength i
lj : S := (P.posRootForm S).rootLength j
lij : S := ((P.posRootForm S).posForm ri) rj
si : S
hsi : li > 0
sj : S
hsj : lj > 0
hsi' : si = li
hsj' : sj = lj
cs : P.coxeterWeightIn S i j ≤ 4
key : 4 * lij ^ 2 = P.coxeterWeightIn S i j * (li * lj)
⊢ P.coxeterWeightIn S i j ≤ 4
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
this : {↑j, ↑i} ⊆ ↑b.support
⊢ LinearIndepOn R id (range ![P.root ↑i, P.root ↑j])

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
this : {↑j, ↑i} ⊆ ↑b.support
⊢ LinearIndepOn R id (range ![P.root ↑i, P.root ↑j])
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
i : ι
this : P.root i ∈ span ℕ (⇑P.root '' ↑b.support) ∨ -P.root i ∈ span ℕ (⇑P.root '' ↑b.support)
⊢ P.root i ∈ span ℤ ↑(span ℕ (⇑P.root '' ↑b.support))

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
i : ι
this : P.root i ∈ span ℕ (⇑P.root '' ↑b.support) ∨ -P.root i ∈ span ℕ (⇑P.root '' ↑b.support)
⊢ P.root i ∈ span ℤ ↑(span ℕ (⇑P.root '' ↑b.support))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
i : ι
hi : -P.root i ∈ span ℕ (⇑P.root '' ↑b.support)
⊢ -P.root i ∈ span ℤ ↑(span ℕ (⇑P.root '' ↑b.support))

Tactic:
]

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
i : ι
hi : -P.root i ∈ span ℕ (⇑P.root '' ↑b.support)
⊢ -P.root i ∈ span ℤ ↑(span ℕ (⇑P.root '' ↑b.support))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ∀ (s t : ℤ), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₀ : 0 ∈ S
z : ℤ
hz : z ∈ S
z' : ℤ
hz' : z' ∈ S
hzz : (fun z ↦ Exists.choose ⋯) ⟨z, hz⟩ = (fun z ↦ Exists.choose ⋯) ⟨z', hz'⟩
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
⊢ Exists.choose hz = Exists.choose hz'

Tactic:
]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : ∀ (s t : ℤ), s • P.root i + t • P.root j = 0 → s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S_def : S = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₀ : 0 ∈ S
z : ℤ
hz : z ∈ S
z' : ℤ
hz' : z' ∈ S
hzz : (fun z ↦ Exists.choose ⋯) ⟨z, hz⟩ = (fun z ↦ Exists.choose ⋯) ⟨z', hz'⟩
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
⊢ Exists.choose hz = Exists.choose hz'
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
⊢ span R (range ⇑P.root) = P.rootSpan R

Tactic:
]

Goal state after: