mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.Monoid

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
G : Type u_4
inst✝⁸ : Mul G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : ChartedSpace H G
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M
inst✝ : ContinuousMul G
⊢ Continuous fun p ↦ p.1 * p.2

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
G : Type u_4
inst✝⁸ : Mul G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : ChartedSpace H G
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M
inst✝ : ContinuousMul G
⊢ Continuous fun p ↦ p.1 * p.2
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.Monoid

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ∞ω
⊢ ContMDiff 𝓘(𝕜, E × E) 𝓘(𝕜, E) n fun p ↦ p.1 + p.2

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ∞ω
⊢ ContMDiff 𝓘(𝕜, E × E) 𝓘(𝕜, E) n fun p ↦ p.1 + p.2
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s✝ : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
hn : n ≠ ∞
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)] ↑(extChartAt I x) x
hsub : v ⊆ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv : ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) v
hxs' :
  ↑(extChartAt I x) x ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ContMDiffOn I I' n f u

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s✝ : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
hn : n ≠ ∞
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)] ↑(extChartAt I x) x
hsub : v ⊆ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv : ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) v
hxs' :
  ↑(extChartAt I x) x ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ContMDiffOn I I' n f u
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s✝ : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
hn : n ≠ ∞
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)] ↑(extChartAt I x) x
hsub : v ⊆ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv : ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) v
hxs' :
  ↑(extChartAt I x) x ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
⊢ ↑(extChartAt I x).symm '' v ∈
    map (↑(extChartAt I x).symm)
      (𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)]
        ↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s✝ : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
hn : n ≠ ∞
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)] ↑(extChartAt I x) x
hsub : v ⊆ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv : ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) v
hxs' :
  ↑(extChartAt I x) x ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
⊢ ↑(extChartAt I x).symm '' v ∈
    map (↑(extChartAt I x).symm)
      (𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)]
        ↑(extChartAt I x) x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.Structures

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
⊢ (Continuous fun p ↦ p.1 * p.2) ∧
    ∀ (x : 𝕜 × 𝕜) (y : 𝕜),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, 𝕜) y) ∘ (fun p ↦ p.1 * p.2) ∘ ↑(extChartAt (𝓘(𝕜, 𝕜).prod 𝓘(𝕜, 𝕜)) x).symm)
        ((extChartAt (𝓘(𝕜, 𝕜).prod 𝓘(𝕜, 𝕜)) x).target ∩
          ↑(extChartAt (𝓘(𝕜, 𝕜).prod 𝓘(𝕜, 𝕜)) x).symm ⁻¹' (fun p ↦ p.1 * p.2) ⁻¹' (extChartAt 𝓘(𝕜, 𝕜) y).source)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
⊢ (Continuous fun p ↦ p.1 * p.2) ∧
    ∀ (x : 𝕜 × 𝕜) (y : 𝕜),
      ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, 𝕜) y) ∘ (fun p ↦ p.1 * p.2) ∘ ↑(extChartAt (𝓘(𝕜, 𝕜).prod 𝓘(𝕜, 𝕜)) x).symm)
        ((extChartAt (𝓘(𝕜, 𝕜).prod 𝓘(𝕜, 𝕜)) x).target ∩
          ↑(extChartAt (𝓘(𝕜, 𝕜).prod 𝓘(𝕜, 𝕜)) x).symm ⁻¹' (fun p ↦ p.1 * p.2) ⁻¹' (extChartAt 𝓘(𝕜, 𝕜) y).source)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.Structures

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
x : 𝕜 × 𝕜
y : 𝕜
⊢ ContDiff 𝕜 n fun p ↦ p.1 * p.2

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
x : 𝕜 × 𝕜
y : 𝕜
⊢ ContDiff 𝕜 n fun p ↦ p.1 * p.2
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.LieGroup

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
G : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : ChartedSpace H G
inst✝⁶ : Group G
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M
inst✝ : IsTopologicalGroup G
⊢ Continuous fun a ↦ a⁻¹

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
G : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : ChartedSpace H G
inst✝⁶ : Group G
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M
inst✝ : IsTopologicalGroup G
⊢ Continuous fun a ↦ a⁻¹
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.LieGroup

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
⊢ ContDiffAt 𝕜 n Inv.inv x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
⊢ ContDiffAt 𝕜 n Inv.inv x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.LieGroup

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : Inv G
inst✝⁶ : Zero G
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M
f : M → G
inst✝ : ContinuousInv₀ G
this : T1Space G
⊢ ContinuousOn (fun x ↦ x⁻¹) {0}ᶜ

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : Inv G
inst✝⁶ : Zero G
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M
f : M → G
inst✝ : ContinuousInv₀ G
this : T1Space G
⊢ ContinuousOn (fun x ↦ x⁻¹) {0}ᶜ
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
m✝ n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
h' : ↑m = ∞ → n = ω
this✝ : IsManifold I (↑m) M
this : IsManifold I' (↑m) M'
t : Set M
ht : t ∈ 𝓝[insert x s] x
h't : ContMDiffOn I I' (↑m) f t
u : Set M
u_open : IsOpen[inst✝⁸] u
xu : x ∈ u
hu : insert x s ∩ u ⊆ t
⊢ ∃ u, IsOpen[inst✝⁸] u ∧ x ∈ u ∧ ContMDiffOn I I' (↑m) f (insert x s ∩ u)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
m✝ n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
h' : ↑m = ∞ → n = ω
this✝ : IsManifold I (↑m) M
this : IsManifold I' (↑m) M'
t : Set M
ht : t ∈ 𝓝[insert x s] x
h't : ContMDiffOn I I' (↑m) f t
u : Set M
u_open : IsOpen[inst✝⁸] u
xu : x ∈ u
hu : insert x s ∩ u ⊆ t
⊢ ∃ u, IsOpen[inst✝⁸] u ∧ x ∈ u ∧ ContMDiffOn I I' (↑m) f (insert x s ∩ u)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
m n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hm : ω ≤ n
h' : ω = ∞ → n = ω
this✝ : IsManifold I ω M
this : IsManifold I' ω M'
t : Set M
ht : t ∈ 𝓝[insert x s] x
h't : ContMDiffOn I I' ω f t
u : Set M
u_open : IsOpen[inst✝⁸] u
xu : x ∈ u
hu : insert x s ∩ u ⊆ t
⊢ ∃ u, IsOpen[inst✝⁸] u ∧ x ∈ u ∧ ContMDiffOn I I' ω f (insert x s ∩ u)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
m n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hm : ω ≤ n
h' : ω = ∞ → n = ω
this✝ : IsManifold I ω M
this : IsManifold I' ω M'
t : Set M
ht : t ∈ 𝓝[insert x s] x
h't : ContMDiffOn I I' ω f t
u : Set M
u_open : IsOpen[inst✝⁸] u
xu : x ∈ u
hu : insert x s ∩ u ⊆ t
⊢ ∃ u, IsOpen[inst✝⁸] u ∧ x ∈ u ∧ ContMDiffOn I I' ω f (insert x s ∩ u)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
m n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hm : ∞ ≤ n
h' : ∞ = ∞ → n = ω
this✝ : IsManifold I ∞ M
this : IsManifold I' ∞ M'
t : Set M
ht : t ∈ 𝓝[insert x s] x
h't : ContMDiffOn I I' n f t
u : Set M
u_open : IsOpen[inst✝⁸] u
xu : x ∈ u
hu : insert x s ∩ u ⊆ t
⊢ ∃ u, IsOpen[inst✝⁸] u ∧ x ∈ u ∧ ContMDiffOn I I' ∞ f (insert x s ∩ u)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
m n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hm : ∞ ≤ n
h' : ∞ = ∞ → n = ω
this✝ : IsManifold I ∞ M
this : IsManifold I' ∞ M'
t : Set M
ht : t ∈ 𝓝[insert x s] x
h't : ContMDiffOn I I' n f t
u : Set M
u_open : IsOpen[inst✝⁸] u
xu : x ∈ u
hu : insert x s ∩ u ⊆ t
⊢ ∃ u, IsOpen[inst✝⁸] u ∧ x ∈ u ∧ ContMDiffOn I I' ∞ f (insert x s ∩ u)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.FDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
x : E
f' : TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x →L[𝕜] TangentSpace 𝓘(𝕜, E') (f x)
⊢ HasFDerivAt f f' x ↔ HasFDerivAt f f' x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
hn : n ≠ ∞
⊢ (∃ u ∈ 𝓝 x, ContMDiffOn I I' n f u) → ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝 x, ContMDiffAt I I' n f x'

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
hn : n ≠ ∞
⊢ (∃ u ∈ 𝓝 x, ContMDiffOn I I' n f u) → ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝 x, ContMDiffAt I I' n f x'
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
hn : n ≠ ∞
⊢ (∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ContMDiffOn I I' n f u) → ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝[insert x s] x, ContMDiffWithinAt I I' n f s x'

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
hn : n ≠ ∞
⊢ (∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ContMDiffOn I I' n f u) → ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝[insert x s] x, ContMDiffWithinAt I I' n f s x'
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.FDeriv

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E
h : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ 0 = fderivWithin 𝕜 f s x

Tactic:
]

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E
h : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
⊢ 0 = fderivWithin 𝕜 f s x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.FDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
x : E
⊢ mfderiv[Set.univ] f x = fderivWithin 𝕜 f Set.univ x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
x : E
⊢ mfderiv[Set.univ] f x = fderivWithin 𝕜 f Set.univ x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
n : ℕ∞ω
h : ContMDiffOn I I' n f univ
h₁ : ∀ (y : M), f₁ y = f y
⊢ ContMDiffOn I I' n f₁ univ

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
n : ℕ∞ω
h : ContMDiffOn I I' n f univ
h₁ : ∀ (y : M), f₁ y = f y
⊢ ContMDiffOn I I' n f₁ univ
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
x : M
⊢ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E) n (↑(extChartAt I x) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
x : M
⊢ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E) n (↑(extChartAt I x) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas

Goal state before:
pp: case e'_23
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I n M
x : M
⊢ ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target ∩ range ↑I = ↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target ∩ range ↑I

Tactic:
]

Goal state after: