mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: case e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : IsRCLikeNormedField 𝕜
s : Set E
hs : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : ℝ⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
this✝ : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
u : E
hu : u ∈ s
v : E
hv : v ∈ s
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (algebraMap ℝ 𝕜) a • u = (algebraMap ℝ 𝕜) a • u

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : M
hx : x ∈ f.source
⊢ ↑f ⁻¹' f.target ∈ 𝓝 x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : M
hx : x ∈ f.source
⊢ ↑f ⁻¹' f.target ∈ 𝓝 x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: case e'_6
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : IsRCLikeNormedField 𝕜
s : Set E
hs : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : ℝ⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
this✝ : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
u : E
hu : u ∈ s
v : E
hv : v ∈ s
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (algebraMap ℝ 𝕜) b • v = (algebraMap ℝ 𝕜) b • v

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝ : I.Boundaryless
x : M
hx : x ∈ f.source
s : Set M
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ ↑(f.extend I) ⁻¹' ↑(f.extend I) '' s ∈ 𝓝 x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝ : I.Boundaryless
x : M
hx : x ∈ f.source
s : Set M
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ ↑(f.extend I) ⁻¹' ↑(f.extend I) '' s ∈ 𝓝 x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : M
hx : x ∈ f.source
h'x : ↑(f.extend I) x ∈ interior (range ↑I)
s : Set M
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ ↑(f.extend I) ⁻¹' ↑(f.extend I) '' s ∈ 𝓝 x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : M
hx : x ∈ f.source
h'x : ↑(f.extend I) x ∈ interior (range ↑I)
s : Set M
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ ↑(f.extend I) ⁻¹' ↑(f.extend I) '' s ∈ 𝓝 x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ ↑I.symm ⁻¹' f.target ∩ interior (range ↑I) ⊆ interior (range ↑I)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
⊢ ↑I.symm ⁻¹' f.target ∩ interior (range ↑I) ⊆ interior (range ↑I)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
H✝ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E✝ H✝
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace H
φ : PartialEquiv H E
hsource : φ.source = univ
htarget : Convex ℝ φ.target
hcont : Continuous[inst✝, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ↑φ
hcont_inv : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, inst✝] ↑φ.symm
hint : (interior φ.target).Nonempty
⊢ ↑φ '' univ = ↑φ '' univ

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalInvariantProperties

Goal state before:
pp: H : Type u_1
H' : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace H'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ G
hxe : x ∈ e.source
h : P (f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
this : P ((f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑e) (↑e ⁻¹' ↑e.symm ⁻¹' s) x
⊢ P f s x

Tactic:
]

Goal state after:
H : Type u_1
H' : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace H'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ G
hxe : x ∈ e.source
h : P (f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
this : P ((f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑e) (↑e ⁻¹' ↑e.symm ⁻¹' s) x
⊢ P f s x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
y : H
hy : y ∈ f.target
hy' : ↑I y ∈ interior (range ↑I)
⊢ ↑I.symm (↑I y) ∈ f.target ∧ ↑I y ∈ interior (range ↑I)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
y : H
hy : y ∈ f.target
hy' : ↑I y ∈ interior (range ↑I)
⊢ ↑I.symm (↑I y) ∈ f.target ∧ ↑I y ∈ interior (range ↑I)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
X : Type u_8
inst✝ : TopologicalSpace X
g : M → X
s : Set M
x : M
⊢ ContinuousWithinAt (g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(f.extend I) x) ↔
    ContinuousWithinAt ((g ∘ ↑f.symm) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' ↑f.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑f x))

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
X : Type u_8
inst✝ : TopologicalSpace X
g : M → X
s : Set M
x : M
⊢ ContinuousWithinAt (g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(f.extend I) x) ↔
    ContinuousWithinAt ((g ∘ ↑f.symm) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' ↑f.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑f x))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalInvariantProperties

Goal state before:
pp: case refine_2
H : Type u_1
H' : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace H'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ G
hxe : x ∈ e.source
h : P (f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
this : P ((f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑e) (↑e ⁻¹' ↑e.symm ⁻¹' s) x
⊢ ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x, x ∈ ↑e ⁻¹' ↑e.symm ⁻¹' s ↔ x ∈ s

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
H : Type u_1
H' : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace H'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ G
hxe : x ∈ e.source
h : P (f ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
this : P ((f ∘ ↑e.symm) ∘ ↑e) (↑e ⁻¹' ↑e.symm ⁻¹' s) x
⊢ ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x, x ∈ ↑e ⁻¹' ↑e.symm ⁻¹' s ↔ x ∈ s
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set E
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
⊢ IsOpen[inst✝] ((f.extend I).source ∩ ↑(f.extend I) ⁻¹' s)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set E
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
⊢ IsOpen[inst✝] ((f.extend I).source ∩ ↑(f.extend I) ⁻¹' s)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalInvariantProperties

Goal state before:
pp: H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
f : M → M'
x : M
⊢ ContinuousAt f x ∧ P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) univ (↑(chartAt H x) x) ↔
    ContinuousAt f x ∧ P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) univ (↑(chartAt H x) x)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
e : PartialEquiv M E := f.extend I
⊢ y ∈ f.source

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
e : PartialEquiv M E := f.extend I
⊢ y ∈ f.source
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
hs : s ⊆ f.source
⊢ 𝓝[↑(f.extend I) '' s] ↑(f.extend I) y = 𝓝[↑(f.extend I) '' s] ↑(f.extend I) y

pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
hs : s ⊆ f.source
⊢ s ⊆ (f.extend I).source

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
hs : s ⊆ f.source
⊢ s ⊆ (f.extend I).source
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalInvariantProperties

Goal state before:
pp: H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
f : M → M'
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧
      P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧
      P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm)
        ((chartAt H x).target ∩ ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (chartAt H' (f x)).source)) (↑(chartAt H x) x)

Tactic:
]

Goal state after:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
f : M → M'
⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧
      P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧
      P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm)
        ((chartAt H x).target ∩ ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (chartAt H' (f x)).source)) (↑(chartAt H x) x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
hs : s ⊆ f.source
⊢ s ⊆ f.source

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
hs : s ⊆ f.source
⊢ s ⊆ f.source
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalInvariantProperties

Goal state before:
pp: H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : TopologicalSpace H'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e : OpenPartialHomeomorph M H
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
⊢ P ((g ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑((chartAt H x).symm ≫ₕ e).symm)
      (↑((chartAt H x).symm ≫ₕ e).symm ⁻¹' ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑((chartAt H x).symm ≫ₕ e) (↑(chartAt H x) x)) ↔
    P (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)

pp: H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : TopologicalSpace H'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e : OpenPartialHomeomorph M H
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
⊢ ↑(chartAt H x) x ∈ ((chartAt H x).symm ≫ₕ e).source

Tactic:
]

Goal state after:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : TopologicalSpace H'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e : OpenPartialHomeomorph M H
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
⊢ P ((g ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑((chartAt H x).symm ≫ₕ e).symm)
      (↑((chartAt H x).symm ≫ₕ e).symm ⁻¹' ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑((chartAt H x).symm ≫ₕ e) (↑(chartAt H x) x)) ↔
    P (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)

H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : TopologicalSpace H'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e : OpenPartialHomeomorph M H
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s : Set M
x : M
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
⊢ ↑(chartAt H x) x ∈ ((chartAt H x).symm ≫ₕ e).source
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
⊢ 𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ (f.extend I).target] ↑(f.extend I) y =
    𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ (f.extend I).target] ↑(f.extend I) y

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
⊢ 𝓝[s] y = 𝓝[s] y

pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
⊢ ↑(f.extend I).symm ∘ ↑(f.extend I) =ᶠ[𝓝[s] y] id

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
⊢ ↑(f.extend I).symm ∘ ↑(f.extend I) =ᶠ[𝓝[s] y] id
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
y : M
hy : y ∈ f.source
⊢ map (↑(f.extend I).symm) (𝓝[range ↑I] ↑(f.extend I) y) = map (↑(f.extend I).symm) (𝓝[range ↑I] ↑(f.extend I) y)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.Basic

Goal state before:
pp: case e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : IsRCLikeNormedField 𝕜
this : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
W :
  ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ range ↑I → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ range ↑I → ∀ ⦃a b : ℝ⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ range ↑I
u : E
hu : u ∈ range ↑I
v : E
hv : v ∈ range ↑I
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (algebraMap ℝ 𝕜) a • u = a • u

Tactic:
]

Goal state after:
case e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : IsRCLikeNormedField 𝕜
this : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
W :
  ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ range ↑I → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ range ↑I → ∀ ⦃a b : ℝ⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ range ↑I
u : E
hu : u ∈ range ↑I
v : E
hv : v ∈ range ↑I
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (algebraMap ℝ 𝕜) a • u = a • u
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalInvariantProperties

Goal state before:
pp: H : Type u_1
H' : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
f : OpenPartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousWithinAt (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g) s x
⊢ P (↑((chartAt H' (g x)).symm ≫ₕ f) ∘ ↑(chartAt H' (g x)) ∘ g) s x ↔ P (↑f ∘ g) s x

Tactic:
]

Goal state after:
H : Type u_1
H' : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
f : OpenPartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousWithinAt (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g) s x
⊢ P (↑((chartAt H' (g x)).symm ≫ₕ f) ∘ ↑(chartAt H' (g x)) ∘ g) s x ↔ P (↑f ∘ g) s x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.ExtChartAt

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
α : Type u_8
l : Filter α
g : α → M
hg : ∀ᶠ (z : α) in l, g z ∈ f.source
y : M
hy : y ∈ f.source
h : Tendsto (↑(f.extend I) ∘ g) l (𝓝 (↑(f.extend I) y))
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 y
this : Tendsto (↑(f.extend I).symm ∘ ↑(f.extend I) ∘ g) l (𝓝 y)
⊢ g ⁻¹' u ∈ l

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalSpace M
f : OpenPartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
α : Type u_8
l : Filter α
g : α → M
hg : ∀ᶠ (z : α) in l, g z ∈ f.source
y : M
hy : y ∈ f.source
h : Tendsto (↑(f.extend I) ∘ g) l (𝓝 (↑(f.extend I) y))
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 y
this : Tendsto (↑(f.extend I).symm ∘ ↑(f.extend I) ∘ g) l (𝓝 y)
⊢ g ⁻¹' u ∈ l
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalInvariantProperties

Goal state before:
pp: H : Type u_1
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
f : OpenPartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : X → M'
e : OpenPartialHomeomorph X H
x : X
s : Set X
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g (↑e.symm (↑e x)) ∈ f.source
hgs : ContinuousWithinAt g s (↑e.symm (↑e x))
⊢ P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ↔ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)

Tactic:
]

Goal state after:
H : Type u_1
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
f : OpenPartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : X → M'
e : OpenPartialHomeomorph X H
x : X
s : Set X
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g (↑e.symm (↑e x)) ∈ f.source
hgs : ContinuousWithinAt g s (↑e.symm (↑e x))
⊢ P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ↔ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)