mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Basic

Goal state before:
pp: n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁵ : ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹² : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace HM M
inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝³ : FiberBundle F E
inst✝² : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝¹ : ContMDiffVectorBundle n F E IB
inst✝ : IsManifold IB n B
e : Trivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ trivializationAtlas F E
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ trivializationAtlas F E
this✝ : MemTrivializationAtlas e
this : MemTrivializationAtlas e'
⊢ ∃ φ U,
    ∃ (hU : IsOpen[inst✝¹⁶] U) (hφ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x)) U) (h2φ :
      ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x).symm) U),
      (((fun e ↦ e.toOpenPartialHomeomorph) e).symm ≫ₕ (fun e ↦ e.toOpenPartialHomeomorph) e').EqOnSource
        (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)

Tactic:
]

Goal state after:
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁵ : ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹² : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace HM M
inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝³ : FiberBundle F E
inst✝² : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝¹ : ContMDiffVectorBundle n F E IB
inst✝ : IsManifold IB n B
e : Trivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ trivializationAtlas F E
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ trivializationAtlas F E
this✝ : MemTrivializationAtlas e
this : MemTrivializationAtlas e'
⊢ ∃ φ U,
    ∃ (hU : IsOpen[inst✝¹⁶] U) (hφ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x)) U) (h2φ :
      ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x).symm) U),
      (((fun e ↦ e.toOpenPartialHomeomorph) e).symm ≫ₕ (fun e ↦ e.toOpenPartialHomeomorph) e').EqOnSource
        (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s : Set M
g : M' → M''
hg : MDiff[univ] g
hf : MDiff[s] f
⊢ MDiff[s] (g ∘ f)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s : Set M
g : M' → M''
hg : MDiff[univ] g
hf : MDiff[s] f
⊢ MDiff[s] (g ∘ f)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set (M × M')
p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')
hs : UniqueMDiffAt[s] p.proj
⊢ ⟨p.proj.2, (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I p.proj.1) (TangentSpace I' p.proj.2)) p.snd⟩ =
    ⟨p.proj.2, p.snd.2⟩

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
s : Set (M × M')
p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')
hs : UniqueMDiffAt[s] p.proj
⊢ ⟨p.proj.2, (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I p.proj.1) (TangentSpace I' p.proj.2)) p.snd⟩ =
    ⟨p.proj.2, p.snd.2⟩
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tangent

Goal state before:
pp: case hy
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_8
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
this : IsManifold I (0 + 1) M
i j k : ↑(atlas H M)
x : M
hxk : x ∈ (↑k).source
hxi : x ∈ (↑i).source
hxj : x ∈ (↑j).source
v : E
⊢ ↑((↑j).extend I) x = ↑((↑j).extend I) x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
p : TangentBundle I M
hg : MDiffAt[u] g (f p.proj)
hf : MDiffAt[s] f p.proj
h : s ⊆ f ⁻¹' u
hps : UniqueMDiffAt[s] p.proj
⊢ (mfderiv[u] g (f p.proj) ∘SL mfderiv[s] f p.proj) p.snd = (mfderiv[u] g (f p.proj)) ((mfderiv[s] f p.proj) p.snd)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
s : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
p : TangentBundle I M
hg : MDiffAt[u] g (f p.proj)
hf : MDiffAt[s] f p.proj
h : s ⊆ f ⁻¹' u
hps : UniqueMDiffAt[s] p.proj
⊢ (mfderiv[u] g (f p.proj) ∘SL mfderiv[s] f p.proj) p.snd = (mfderiv[u] g (f p.proj)) ((mfderiv[s] f p.proj) p.snd)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x₀ : M
y₀ : M'
⊢ (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x₀)).prod 0 = (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x₀)).prod 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tangent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
x z : M
v : E
h : z ∈ (extChartAt I x).source
⊢ z ∈ (extChartAt I x).source

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
x z : M
v : E
h : z ∈ (extChartAt I x).source
⊢ z ∈ (extChartAt I x).source
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tangent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
x y z : M
h : z ∈ (extChartAt I x).source ∩ (extChartAt I y).source
⊢ ↑(extChartAt I x) z ∈ ↑(extChartAt I x) '' ((extChartAt I x).source ∩ (extChartAt I y).source)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
x y z : M
h : z ∈ (extChartAt I x).source ∩ (extChartAt I y).source
⊢ ↑(extChartAt I x) z ∈ ↑(extChartAt I x) '' ((extChartAt I x).source ∩ (extChartAt I y).source)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x₀ : M
y₀ : M'
⊢ ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I' y₀)) =
    ContinuousLinearMap.prod 0 (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I' y₀))

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
g : M' → M''
p : TangentBundle I M
hg : MDiffAt g (f p.proj)
hf : MDiffAt f p.proj
⊢ (mfderiv% g (f p.proj) ∘SL mfderiv% f p.proj) p.snd = (mfderiv% g (f p.proj)) ((mfderiv% f p.proj) p.snd)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
g : M' → M''
p : TangentBundle I M
hg : MDiffAt g (f p.proj)
hf : MDiffAt f p.proj
⊢ (mfderiv% g (f p.proj) ∘SL mfderiv% f p.proj) p.snd = (mfderiv% g (f p.proj)) ((mfderiv% f p.proj) p.snd)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Basic

Goal state before:
pp: n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁵ : ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹² : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace HM M
inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝³ : FiberBundle F E
inst✝² : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝¹ : ContMDiffVectorBundle n F E IB
inst✝ : IsManifold IB n B
e : OpenPartialHomeomorph (B × F) (B × F)
he :
  ∃ φ U,
    ∃ (hU : IsOpen[inst✝¹⁶] U) (hφ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x)) U) (h2φ :
      ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x).symm) U),
      e.EqOnSource (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)
⊢ ChartedSpace.LiftPropOn (contDiffGroupoid n (IB.prod 𝓘(𝕜, F))).IsLocalStructomorphWithinAt (↑e) e.source

Tactic:
]

Goal state after:
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁵ : ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹² : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace HM M
inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝³ : FiberBundle F E
inst✝² : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝¹ : ContMDiffVectorBundle n F E IB
inst✝ : IsManifold IB n B
e : OpenPartialHomeomorph (B × F) (B × F)
he :
  ∃ φ U,
    ∃ (hU : IsOpen[inst✝¹⁶] U) (hφ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x)) U) (h2φ :
      ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x).symm) U),
      e.EqOnSource (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)
⊢ ChartedSpace.LiftPropOn (contDiffGroupoid n (IB.prod 𝓘(𝕜, F))).IsLocalStructomorphWithinAt (↑e) e.source
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Basic

Goal state before:
pp: n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁵ : ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹² : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace HM M
inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝³ : FiberBundle F E
inst✝² : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝¹ : ContMDiffVectorBundle n F E IB
inst✝ : IsManifold IB n B
e : OpenPartialHomeomorph (B × F) (B × F)
φ : B → F ≃L[𝕜] F
U : Set B
hU : IsOpen[inst✝¹⁶] U
hφ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x)) U
h2φ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x).symm) U
heφ : e.EqOnSource (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)
⊢ ContMDiffOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n (↑e) e.source ∧
    ContMDiffOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n (↑e.symm) e.target

Tactic:
]

Goal state after:
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁵ : ChartedSpace HB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹² : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace HM M
inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝³ : FiberBundle F E
inst✝² : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝¹ : ContMDiffVectorBundle n F E IB
inst✝ : IsManifold IB n B
e : OpenPartialHomeomorph (B × F) (B × F)
φ : B → F ≃L[𝕜] F
U : Set B
hU : IsOpen[inst✝¹⁶] U
hφ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x)) U
h2φ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x).symm) U
heφ : e.EqOnSource (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)
⊢ ContMDiffOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n (↑e) e.source ∧
    ContMDiffOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n (↑e.symm) e.target
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tangent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
p : H × E
q : TM
⊢ p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target ∧
      (↑((chartAt H q.proj).symm.prod (PartialEquiv.refl E).symm) p).1 ∈ (chartAt H q.proj).source ↔
    p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
p : H × E
q : TM
⊢ p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target ∧
      (↑((chartAt H q.proj).symm.prod (PartialEquiv.refl E).symm) p).1 ∈ (chartAt H q.proj).source ↔
    p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Atlas

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
e : OpenPartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
x : M
hx : x ∈ e.source
this : mfderiv% (↑e.symm ∘ ↑e) x = mfderiv% ↑e.symm (↑e x) ∘SL mfderiv% ↑e x
⊢ mfderiv% (↑e.symm ∘ ↑e) x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
e : OpenPartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
x : M
hx : x ∈ e.source
this : mfderiv% (↑e.symm ∘ ↑e) x = mfderiv% ↑e.symm (↑e x) ∘SL mfderiv% ↑e x
⊢ mfderiv% (↑e.symm ∘ ↑e) x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Atlas

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
e : OpenPartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
x : M
hx : x ∈ e.source
this✝ : mfderiv% (↑e.symm ∘ ↑e) x = mfderiv% ↑e.symm (↑e x) ∘SL mfderiv% ↑e x
this : mfderiv% id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
⊢ mfderiv% (↑e.symm ∘ ↑e) x = mfderiv% id x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
e : OpenPartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
x : M
hx : x ∈ e.source
this✝ : mfderiv% (↑e.symm ∘ ↑e) x = mfderiv% ↑e.symm (↑e x) ∘SL mfderiv% ↑e x
this : mfderiv% id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
⊢ mfderiv% (↑e.symm ∘ ↑e) x = mfderiv% id x