mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞ω
f g : M → M'
s : Set M
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
hf : ContMDiff I I' n f
hg : ContMDiff I I' n g
hfg : ∀ x ∈ frontier s, f =ᶠ[𝓝 x] g
x : M
hx : x ∉ interior s
h'x : x ∉ closure[inst✝⁷] s
y : M
hy : y ∈ (closure[inst✝⁷] s)ᶜ
⊢ g y = g y

pp: case hi
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞ω
f g : M → M'
s : Set M
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
hf : ContMDiff I I' n f
hg : ContMDiff I I' n g
hfg : ∀ x ∈ frontier s, f =ᶠ[𝓝 x] g
x : M
hx : x ∉ interior s
h'x : x ∉ closure[inst✝⁷] s
y : M
hy : y ∈ (closure[inst✝⁷] s)ᶜ
⊢ y ∉ s

Tactic:
]

Goal state after:
case hi
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞ω
f g : M → M'
s : Set M
inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ s
hf : ContMDiff I I' n f
hg : ContMDiff I I' n g
hfg : ∀ x ∈ frontier s, f =ᶠ[𝓝 x] g
x : M
hx : x ∉ interior s
h'x : x ∉ closure[inst✝⁷] s
y : M
hy : y ∈ (closure[inst✝⁷] s)ᶜ
⊢ y ∉ s
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞ω
f : M → M'
x : M
⊢ ContinuousAt f x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm) (range ↑I)
        (↑I (↑(chartAt H x) x)) ↔
    ContinuousAt f x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
n : ℕ∞ω
f : M → M'
x : M
⊢ ContinuousAt f x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I' ∘ (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm) (range ↑I)
        (↑I (↑(chartAt H x) x)) ↔
    ContinuousAt f x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_16
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝² : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
f : M → N
g : M' → N
hf : ContMDiff I J n f
hg : ContMDiff I J n g
p : M ⊕ M'
⊢ ContinuousAt (Sum.elim f g) p ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J (Sum.elim f g p)) ∘ Sum.elim f g ∘ ↑(extChartAt I p).symm) (range ↑I)
      (↑(extChartAt I p) p)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_16
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝² : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
f : M → N
g : M' → N
hf : ContMDiff I J n f
hg : ContMDiff I J n g
p : M ⊕ M'
⊢ ContinuousAt (Sum.elim f g) p ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J (Sum.elim f g p)) ∘ Sum.elim f g ∘ ↑(extChartAt I p).symm) (range ↑I)
      (↑(extChartAt I p) p)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_16
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝² : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
f : M → N
g : M' → N
hf : ContMDiff I J n f
hg : ContMDiff I J n g
x : M
hf' :
  ContinuousAt f x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I (Sum.inl x)) (Sum.inl x))

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_16
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝² : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
f : M → N
g : M' → N
hf : ContMDiff I J n f
hg : ContMDiff I J n g
x : M
hf' :
  ContinuousAt f x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I (Sum.inl x)) (Sum.inl x))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : ℕ → Set E := fun n ↦ disjointed (spanningSets μ) n
u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)
A : s = ⋃ n, s ∩ u n
⊢ ∑' (i : ℕ), ∫⁻ (a : E) in s ∩ u i, ENNReal.ofReal |(f' a).det| ∂μ =
    ∑' (n : ℕ), ∫⁻ (x : E) in s ∩ u n, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ

pp: case hm
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : ℕ → Set E := fun n ↦ disjointed (spanningSets μ) n
u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)
A : s = ⋃ n, s ∩ u n
⊢ ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s ∩ u i)

pp: case hd
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : ℕ → Set E := fun n ↦ disjointed (spanningSets μ) n
u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)
A : s = ⋃ n, s ∩ u n
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n ↦ s ∩ u n)

Tactic:
]

Goal state after:
case hm
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : ℕ → Set E := fun n ↦ disjointed (spanningSets μ) n
u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)
A : s = ⋃ n, s ∩ u n
⊢ ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s ∩ u i)

case hd
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : ℕ → Set E := fun n ↦ disjointed (spanningSets μ) n
u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)
A : s = ⋃ n, s ∩ u n
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n ↦ s ∩ u n)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
n : ℕ∞ω
s t : Set M
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hf' : ContMDiffOn I I' n f t
hst : s ∪ t = univ
hs : IsOpen[inst✝⁶] s
ht : IsOpen[inst✝⁶] t
⊢ ContMDiffOn I I' n f (s ∪ t)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
n : ℕ∞ω
s t : Set M
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hf' : ContMDiffOn I I' n f t
hst : s ∪ t = univ
hs : IsOpen[inst✝⁶] s
ht : IsOpen[inst✝⁶] t
⊢ ContMDiffOn I I' n f (s ∪ t)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_16
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝² : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
f : M → N
g : M' → N
hf : ContMDiff I J n f
hg : ContMDiff I J n g
x : M'
hg' :
  ContinuousAt g x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I (Sum.inr x)) (Sum.inr x))

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_16
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝² : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
f : M → N
g : M' → N
hf : ContMDiff I J n f
hg : ContMDiff I J n g
x : M'
hg' :
  ContinuousAt g x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I (Sum.inr x)) (Sum.inr x))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.Jacobian

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : ℕ → Set E := fun n ↦ disjointed (spanningSets μ) n
u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)
A : s = ⋃ n, s ∩ u n
⊢ ∑' (n : ℕ), μ (f '' (s ∩ u n)) = ∑' (i : ℕ), μ (f '' (s ∩ u i))

pp: case hn
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : ℕ → Set E := fun n ↦ disjointed (spanningSets μ) n
u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)
A : s = ⋃ n, s ∩ u n
⊢ Pairwise (Disjoint on fun i ↦ f '' (s ∩ u i))

pp: case h
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : ℕ → Set E := fun n ↦ disjointed (spanningSets μ) n
u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)
A : s = ⋃ n, s ∩ u n
⊢ ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f '' (s ∩ u i))

Tactic:
]

Goal state after:
case hn
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : ℕ → Set E := fun n ↦ disjointed (spanningSets μ) n
u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)
A : s = ⋃ n, s ∩ u n
⊢ Pairwise (Disjoint on fun i ↦ f '' (s ∩ u i))

case h
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
u : ℕ → Set E := fun n ↦ disjointed (spanningSets μ) n
u_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (u n)
A : s = ⋃ n, s ∩ u n
⊢ ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f '' (s ∩ u i))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
n : ℕ∞ω
ι : Type u_11
s : ι → Set M
hf : ∀ (i : ι), ContMDiffOn I I' n f (s i)
hs : ∀ (i : ι), IsOpen[inst✝⁶] (s i)
hs' : ⋃ i, s i = univ
⊢ ContMDiffOn I I' n f (⋃ i, s i)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
n : ℕ∞ω
ι : Type u_11
s : ι → Set M
hf : ∀ (i : ι), ContMDiffOn I I' n f (s i)
hs : ∀ (i : ι), IsOpen[inst✝⁶] (s i)
hs' : ⋃ i, s i = univ
⊢ ContMDiffOn I I' n f (⋃ i, s i)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
n : ℕ∞ω
x : M
⊢ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) univ x ↔
    ContinuousAt f x ∧ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) univ x

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
N' : Type u_21
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
inst✝ : ChartedSpace H' N'
f : M → N
h : ContMDiff I J n (Sum.inl ∘ f)
a✝ : Nontrivial N
inhabited_h : Inhabited N
aux : N ⊕ N' → N := Sum.elim id fun x ↦ default
this : aux ∘ Sum.inl ∘ f = f
⊢ ContMDiff I J n (aux ∘ Sum.inl ∘ f)

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
N' : Type u_21
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
inst✝ : ChartedSpace H' N'
f : M → N
h : ContMDiff I J n (Sum.inl ∘ f)
a✝ : Nontrivial N
inhabited_h : Inhabited N
aux : N ⊕ N' → N := Sum.elim id fun x ↦ default
this : aux ∘ Sum.inl ∘ f = f
⊢ ContMDiff I J n (aux ∘ Sum.inl ∘ f)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : One M'
n : ℕ∞ω
U : Opens M
f : ↥U → M'
supp : HasCompactMulSupport f
diff : ContMDiff I I' n f
x✝ : M
x : ↥U
h : ↑x ∈ mulTSupport (extend Subtype.val f 1)
⊢ ContMDiffAt I I' n (fun x ↦ extend Subtype.val f 1 ↑x) x

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : One M'
n : ℕ∞ω
U : Opens M
f : ↥U → M'
supp : HasCompactMulSupport f
diff : ContMDiff I I' n f
x✝ : M
x : ↥U
h : ↑x ∈ mulTSupport (extend Subtype.val f 1)
⊢ ContMDiffAt I I' n (fun x ↦ extend Subtype.val f 1 ↑x) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Constructions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
N' : Type u_21
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
inst✝ : ChartedSpace H' N'
f : M → N
h : ContMDiffOn I J n (Sum.inl ∘ f) univ
a✝ : Nontrivial N
inhabited_h : Inhabited N
aux : N ⊕ N' → N := Sum.elim id fun x ↦ default
this : aux ∘ Sum.inl ∘ f = f
⊢ ContMDiffOn I J n (aux ∘ Sum.inl ∘ f) univ

Tactic:
]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
N' : Type u_21
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
inst✝ : ChartedSpace H' N'
f : M → N
h : ContMDiffOn I J n (Sum.inl ∘ f) univ
a✝ : Nontrivial N
inhabited_h : Inhabited N
aux : N ⊕ N' → N := Sum.elim id fun x ↦ default
this : aux ∘ Sum.inl ∘ f = f
⊢ ContMDiffOn I J n (aux ∘ Sum.inl ∘ f) univ
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContinuousWithinAt (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContinuousWithinAt f (s ∩ (extChartAt I x).source) x

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
h : ContinuousWithinAt (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContinuousWithinAt f (s ∩ (extChartAt I x).source) x