mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.LocalizationLocalization

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
N : Submonoid S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x y : R
z : ↥N
eq₁ : ↑z * (algebraMap R S) x = ↑z * (algebraMap R S) y
z' : R
s : ↥M
eq₂ : ↑z * (algebraMap R S) ↑s = (algebraMap R S) z'
this : (algebraMap R S) (x * z') = (algebraMap R S) (y * z')
c : ↥M
eq₃ : ↑c * (x * z') = ↑c * (y * z')
⊢ ∃ y z, (algebraMap R S) (↑c * z') = ↑y * (algebraMap R S) ↑z

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
N : Submonoid S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x y : R
z : ↥N
eq₁ : ↑z * (algebraMap R S) x = ↑z * (algebraMap R S) y
z' : R
s : ↥M
eq₂ : ↑z * (algebraMap R S) ↑s = (algebraMap R S) z'
this : (algebraMap R S) (x * z') = (algebraMap R S) (y * z')
c : ↥M
eq₃ : ↑c * (x * z') = ↑c * (y * z')
⊢ ∃ y z, (algebraMap R S) (↑c * z') = ↑y * (algebraMap R S) ↑z
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.LocalizationLocalization

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
N : Submonoid S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x y : R
z : ↥N
eq₁ : ↑z * (algebraMap R S) x = ↑z * (algebraMap R S) y
z' : R
s : ↥M
eq₂ : ↑z * (algebraMap R S) ↑s = (algebraMap R S) z'
this : (algebraMap R S) (x * z') = (algebraMap R S) (y * z')
c : ↥M
eq₃ : ↑c * (x * z') = ↑c * (y * z')
⊢ ↑z * ((algebraMap R S) ↑c * (algebraMap R S) ↑s) = ↑z * ((algebraMap R S) ↑c * (algebraMap R S) ↑s)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.LocalizationLocalization

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
N : Submonoid S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x y : R
z : ↥N
eq₁ : ↑z * (algebraMap R S) x = ↑z * (algebraMap R S) y
z' : R
s : ↥M
eq₂ : ↑z * (algebraMap R S) ↑s = (algebraMap R S) z'
this : (algebraMap R S) (x * z') = (algebraMap R S) (y * z')
c : ↥M
eq₃ : ↑c * z' * x = ↑c * z' * y
⊢ ↑⟨↑c * z', ⋯⟩ * x = ↑⟨↑c * z', ⋯⟩ * y

Tactic:
]

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
N : Submonoid S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x y : R
z : ↥N
eq₁ : ↑z * (algebraMap R S) x = ↑z * (algebraMap R S) y
z' : R
s : ↥M
eq₂ : ↑z * (algebraMap R S) ↑s = (algebraMap R S) z'
this : (algebraMap R S) (x * z') = (algebraMap R S) (y * z')
c : ↥M
eq₃ : ↑c * z' * x = ↑c * z' * y
⊢ ↑⟨↑c * z', ⋯⟩ * x = ↑⟨↑c * z', ⋯⟩ * y
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.LocalizationLocalization

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
N : Submonoid S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x y : R
z : ↥N
eq₁ : ↑z * (algebraMap R S) x = ↑z * (algebraMap R S) y
z' : R
s : ↥M
eq₂ : ↑z * (algebraMap R S) ↑s = (algebraMap R S) z'
⊢ ↑z * (algebraMap R S) y * (algebraMap R S) ↑s = ↑z * (algebraMap R S) y * (algebraMap R S) ↑s

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.LocalizationLocalization

Goal state before:
pp: case e_S
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
N : Submonoid S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
H : ∀ (x : S), IsUnit x → x ∈ N
⊢ Submonoid.map (algebraMap R S) M ≤ N

Tactic:
]

Goal state after:
case e_S
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
N : Submonoid S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
H : ∀ (x : S), IsUnit x → x ∈ N
⊢ Submonoid.map (algebraMap R S) M ≤ N
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.LocalizationLocalization

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
N : Submonoid S
T : Type u_3
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
x : Ideal R
H : x.IsPrime
inst✝ : IsDomain R
a : R
ha : a ∈ x.primeCompl
⊢ a ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
N : Submonoid S
T : Type u_3
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
x : Ideal R
H : x.IsPrime
inst✝ : IsDomain R
a : R
ha : a ∈ x.primeCompl
⊢ a ≠ 0
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.LocalizationLocalization

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x₁ x₂ : S
y₁ : R
s₁ : ↥M
e₁ : x₁ * (algebraMap R S) ↑s₁ = (algebraMap R S) y₁
y₂ : R
s₂ : ↥M
e₂ : x₂ * (algebraMap R S) ↑s₂ = (algebraMap R S) y₂
h₁ :
  (algebraMap S T) x₁ * (algebraMap S T) ((algebraMap R S) ↑s₁) =
      (algebraMap S T) x₂ * (algebraMap S T) ((algebraMap R S) ↑s₁) ↔
    (algebraMap S T) x₁ = (algebraMap S T) x₂
h₂ :
  (algebraMap S T) x₁ * (algebraMap S T) ((algebraMap R S) ↑s₁) * (algebraMap S T) ((algebraMap R S) ↑s₂) =
      (algebraMap S T) x₂ * (algebraMap S T) ((algebraMap R S) ↑s₁) * (algebraMap S T) ((algebraMap R S) ↑s₂) ↔
    (algebraMap S T) x₁ * (algebraMap S T) ((algebraMap R S) ↑s₁) =
      (algebraMap S T) x₂ * (algebraMap S T) ((algebraMap R S) ↑s₁)
this : (algebraMap S T) x₁ = (algebraMap S T) x₂ → ∃ a, (algebraMap R S) ↑a * x₁ = (algebraMap R S) ↑a * x₂
⊢ (algebraMap S T) x₁ = (algebraMap S T) x₂ → ∃ a, (algebraMap R S) ↑a * x₁ = (algebraMap R S) ↑a * x₂

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x₁ x₂ : S
y₁ : R
s₁ : ↥M
e₁ : x₁ * (algebraMap R S) ↑s₁ = (algebraMap R S) y₁
y₂ : R
s₂ : ↥M
e₂ : x₂ * (algebraMap R S) ↑s₂ = (algebraMap R S) y₂
h₁ :
  (algebraMap S T) x₁ * (algebraMap S T) ((algebraMap R S) ↑s₁) =
      (algebraMap S T) x₂ * (algebraMap S T) ((algebraMap R S) ↑s₁) ↔
    (algebraMap S T) x₁ = (algebraMap S T) x₂
h₂ :
  (algebraMap S T) x₁ * (algebraMap S T) ((algebraMap R S) ↑s₁) * (algebraMap S T) ((algebraMap R S) ↑s₂) =
      (algebraMap S T) x₂ * (algebraMap S T) ((algebraMap R S) ↑s₁) * (algebraMap S T) ((algebraMap R S) ↑s₂) ↔
    (algebraMap S T) x₁ * (algebraMap S T) ((algebraMap R S) ↑s₁) =
      (algebraMap S T) x₂ * (algebraMap S T) ((algebraMap R S) ↑s₁)
this : (algebraMap S T) x₁ = (algebraMap S T) x₂ → ∃ a, (algebraMap R S) ↑a * x₁ = (algebraMap R S) ↑a * x₂
⊢ (algebraMap S T) x₁ = (algebraMap S T) x₂ → ∃ a, (algebraMap R S) ↑a * x₁ = (algebraMap R S) ↑a * x₂
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.LocalizationLocalization

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
y : ↥N
m : R
hm : m * ↑y ∈ M
this : IsUnit ((algebraMap R S) m * (algebraMap R S) ↑y)
⊢ IsUnit ((algebraMap R S) ↑y)

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
y : ↥N
m : R
hm : m * ↑y ∈ M
this : IsUnit ((algebraMap R S) m * (algebraMap R S) ↑y)
⊢ IsUnit ((algebraMap R S) ↑y)
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.LocalizationLocalization

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
x✝¹ x✝ : R
⊢ (∃ c, ↑c * x✝¹ = ↑c * x✝) → ∃ c, ↑c * x✝¹ = ↑c * x✝

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
x✝¹ x✝ : R
⊢ (∃ c, ↑c * x✝¹ = ↑c * x✝) → ∃ c, ↑c * x✝¹ = ↑c * x✝
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.LocalizationLocalization

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
this : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (nonZeroDivisors R)) T
x : S
left✝ : x ∈ ↑(nonZeroDivisorsLeft S)
hx : x ∈ ↑(nonZeroDivisorsRight S)
y : R
s : ↥M
e : x * (algebraMap R S) ↑(y, s).2 = (algebraMap R S) (y, s).1
⊢ (algebraMap R S) (y, s).1 ∈ Submonoid.map (algebraMap R S) (nonZeroDivisors R)

Tactic:
]

Goal state after:
case h
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
this : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (nonZeroDivisors R)) T
x : S
left✝ : x ∈ ↑(nonZeroDivisorsLeft S)
hx : x ∈ ↑(nonZeroDivisorsRight S)
y : R
s : ↥M
e : x * (algebraMap R S) ↑(y, s).2 = (algebraMap R S) (y, s).1
⊢ (algebraMap R S) (y, s).1 ∈ Submonoid.map (algebraMap R S) (nonZeroDivisors R)
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Exactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid L
inst✝⁹ : Module R L
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_6
inst✝⁸ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝⁷ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝⁶ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule.AtPrime P (f P)
Nₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_7
inst✝⁵ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Nₚ P)
inst✝⁴ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Nₚ P)
g : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → N →ₗ[R] Nₚ P
inst✝³ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule.AtPrime P (g P)
Lₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_8
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Lₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Lₚ P)
h : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → L →ₗ[R] Lₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule.AtPrime P (h P)
F : M →ₗ[R] N
G : N →ₗ[R] L
H :
  ∀ (J : Ideal R) [inst : J.IsMaximal],
    ((IsLocalizedModule.map J.primeCompl (g J) (h J)) G).ker =
      ((IsLocalizedModule.map J.primeCompl (f J) (g J)) F).range
J : Ideal R
hJ : J.IsMaximal
⊢ ((IsLocalizedModule.map J.primeCompl (g J) (h J)) G).ker = ((IsLocalizedModule.map J.primeCompl (f J) (g J)) F).range

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid L
inst✝⁹ : Module R L
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_6
inst✝⁸ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝⁷ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝⁶ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule.AtPrime P (f P)
Nₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_7
inst✝⁵ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Nₚ P)
inst✝⁴ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Nₚ P)
g : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → N →ₗ[R] Nₚ P
inst✝³ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule.AtPrime P (g P)
Lₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_8
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Lₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Lₚ P)
h : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → L →ₗ[R] Lₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule.AtPrime P (h P)
F : M →ₗ[R] N
G : N →ₗ[R] L
H :
  ∀ (J : Ideal R) [inst : J.IsMaximal],
    ((IsLocalizedModule.map J.primeCompl (g J) (h J)) G).ker =
      ((IsLocalizedModule.map J.primeCompl (f J) (g J)) F).range
J : Ideal R
hJ : J.IsMaximal
⊢ ((IsLocalizedModule.map J.primeCompl (g J) (h J)) G).ker = ((IsLocalizedModule.map J.primeCompl (f J) (g J)) F).range
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.LocalizationLocalization

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
this : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (nonZeroDivisors R)) T
x : S
left✝ : x ∈ ↑(nonZeroDivisorsLeft S)
hx : x ∈ ↑(nonZeroDivisorsRight S)
y : R
s : ↥M
e : x * (algebraMap R S) ↑(y, s).2 = (algebraMap R S) (y, s).1
z : R
hz : z * (y, s).1 = 0
⊢ (algebraMap R S) z = 0

Tactic:
]

Goal state after:
case h
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
this : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (nonZeroDivisors R)) T
x : S
left✝ : x ∈ ↑(nonZeroDivisorsLeft S)
hx : x ∈ ↑(nonZeroDivisorsRight S)
y : R
s : ↥M
e : x * (algebraMap R S) ↑(y, s).2 = (algebraMap R S) (y, s).1
z : R
hz : z * (y, s).1 = 0
⊢ (algebraMap R S) z = 0
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Exactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
Rₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝⁷ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → CommSemiring (Rₚ P)
inst✝⁶ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Algebra R (Rₚ P)
inst✝⁵ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalization.AtPrime (Rₚ P) P
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_6
inst✝⁴ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝³ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module (Rₚ P) (Mₚ P)
inst✝¹ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsScalarTower R (Rₚ P) (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule.AtPrime P (f P)
ι : Type u_9
v : ι → M
H : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], LinearIndependent (Rₚ P) (⇑(f P) ∘ v)
P : Ideal R
x✝ : P.IsMaximal
⊢ Function.Injective ⇑(↑R (Finsupp.linearCombination (Rₚ P) (⇑(f P) ∘ v)))

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
Rₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝⁷ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → CommSemiring (Rₚ P)
inst✝⁶ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Algebra R (Rₚ P)
inst✝⁵ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalization.AtPrime (Rₚ P) P
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_6
inst✝⁴ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝³ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module (Rₚ P) (Mₚ P)
inst✝¹ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsScalarTower R (Rₚ P) (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule.AtPrime P (f P)
ι : Type u_9
v : ι → M
H : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], LinearIndependent (Rₚ P) (⇑(f P) ∘ v)
P : Ideal R
x✝ : P.IsMaximal
⊢ Function.Injective ⇑(↑R (Finsupp.linearCombination (Rₚ P) (⇑(f P) ∘ v)))
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.LocalizationLocalization

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
this : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (nonZeroDivisors R)) T
x : S
left✝ : x ∈ ↑(nonZeroDivisorsLeft S)
hx : x ∈ ↑(nonZeroDivisorsRight S)
y : R
s : ↥M
e : x * (algebraMap R S) ↑(y, s).2 = (algebraMap R S) (y, s).1
z : R
hz : z * (y, s).1 = 0
⊢ 0 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Exactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid L
inst✝⁹ : Module R L
s : Set R
spn : Ideal.span s = ⊤
Mₚ : ↑s → Type u_5
inst✝⁸ : (r : ↑s) → AddCommMonoid (Mₚ r)
inst✝⁷ : (r : ↑s) → Module R (Mₚ r)
f : (r : ↑s) → M →ₗ[R] Mₚ r
inst✝⁶ : ∀ (r : ↑s), IsLocalizedModule.Away (↑r) (f r)
Nₚ : ↑s → Type u_6
inst✝⁵ : (r : ↑s) → AddCommMonoid (Nₚ r)
inst✝⁴ : (r : ↑s) → Module R (Nₚ r)
g : (r : ↑s) → N →ₗ[R] Nₚ r
inst✝³ : ∀ (r : ↑s), IsLocalizedModule.Away (↑r) (g r)
Lₚ : ↑s → Type u_7
inst✝² : (r : ↑s) → AddCommMonoid (Lₚ r)
inst✝¹ : (r : ↑s) → Module R (Lₚ r)
h : (r : ↑s) → L →ₗ[R] Lₚ r
inst✝ : ∀ (r : ↑s), IsLocalizedModule.Away (↑r) (h r)
F : M →ₗ[R] N
G : N →ₗ[R] L
H :
  ∀ (r : ↑s),
    ((IsLocalizedModule.map (Submonoid.powers ↑r) (g r) (h r)) G).ker =
      ((IsLocalizedModule.map (Submonoid.powers ↑r) (f r) (g r)) F).range
r : ↑s
⊢ localized₀ (Submonoid.powers ↑r) (g r) G.ker = ((IsLocalizedModule.map (Submonoid.powers ↑r) (f r) (g r)) F).range

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid L
inst✝⁹ : Module R L
s : Set R
spn : Ideal.span s = ⊤
Mₚ : ↑s → Type u_5
inst✝⁸ : (r : ↑s) → AddCommMonoid (Mₚ r)
inst✝⁷ : (r : ↑s) → Module R (Mₚ r)
f : (r : ↑s) → M →ₗ[R] Mₚ r
inst✝⁶ : ∀ (r : ↑s), IsLocalizedModule.Away (↑r) (f r)
Nₚ : ↑s → Type u_6
inst✝⁵ : (r : ↑s) → AddCommMonoid (Nₚ r)
inst✝⁴ : (r : ↑s) → Module R (Nₚ r)
g : (r : ↑s) → N →ₗ[R] Nₚ r
inst✝³ : ∀ (r : ↑s), IsLocalizedModule.Away (↑r) (g r)
Lₚ : ↑s → Type u_7
inst✝² : (r : ↑s) → AddCommMonoid (Lₚ r)
inst✝¹ : (r : ↑s) → Module R (Lₚ r)
h : (r : ↑s) → L →ₗ[R] Lₚ r
inst✝ : ∀ (r : ↑s), IsLocalizedModule.Away (↑r) (h r)
F : M →ₗ[R] N
G : N →ₗ[R] L
H :
  ∀ (r : ↑s),
    ((IsLocalizedModule.map (Submonoid.powers ↑r) (g r) (h r)) G).ker =
      ((IsLocalizedModule.map (Submonoid.powers ↑r) (f r) (g r)) F).range
r : ↑s
⊢ localized₀ (Submonoid.powers ↑r) (g r) G.ker = ((IsLocalizedModule.map (Submonoid.powers ↑r) (f r) (g r)) F).range
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.LocalizationLocalization

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
this✝ : Nontrivial T
this : Nontrivial S
x : R
hx : x ∈ M
⊢ x ≠ 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
this✝ : Nontrivial T
this : Nontrivial S
x : R
hx : x ∈ M
⊢ x ≠ 0
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.LocalizationLocalization

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
this✝ : Nontrivial T
this : Nontrivial S
x : R
hx : x ∈ M
hx' : x = 0
⊢ ∃ m, ↑m * 1 = 0

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
inst✝⁸ : IsDomain R
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
this✝ : Nontrivial T
this : Nontrivial S
x : R
hx : x ∈ M
hx' : x = 0
⊢ ∃ m, ↑m * 1 = 0
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Exactness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid L
inst✝⁹ : Module R L
s : Set R
spn : Ideal.span s = ⊤
Mₚ : ↑s → Type u_5
inst✝⁸ : (r : ↑s) → AddCommMonoid (Mₚ r)
inst✝⁷ : (r : ↑s) → Module R (Mₚ r)
f : (r : ↑s) → M →ₗ[R] Mₚ r
inst✝⁶ : ∀ (r : ↑s), IsLocalizedModule.Away (↑r) (f r)
Nₚ : ↑s → Type u_6
inst✝⁵ : (r : ↑s) → AddCommMonoid (Nₚ r)
inst✝⁴ : (r : ↑s) → Module R (Nₚ r)
g : (r : ↑s) → N →ₗ[R] Nₚ r
inst✝³ : ∀ (r : ↑s), IsLocalizedModule.Away (↑r) (g r)
Lₚ : ↑s → Type u_7
inst✝² : (r : ↑s) → AddCommMonoid (Lₚ r)
inst✝¹ : (r : ↑s) → Module R (Lₚ r)
h : (r : ↑s) → L →ₗ[R] Lₚ r
inst✝ : ∀ (r : ↑s), IsLocalizedModule.Away (↑r) (h r)
F : M →ₗ[R] N
G : N →ₗ[R] L
H :
  ∀ (r : ↑s),
    ((IsLocalizedModule.map (Submonoid.powers ↑r) (g r) (h r)) G).ker =
      ((IsLocalizedModule.map (Submonoid.powers ↑r) (f r) (g r)) F).range
r : ↑s
⊢ ((IsLocalizedModule.map (Submonoid.powers ↑r) (g r) (h r)) G).ker =
    ((IsLocalizedModule.map (Submonoid.powers ↑r) (f r) (g r)) F).range

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid L
inst✝⁹ : Module R L
s : Set R
spn : Ideal.span s = ⊤
Mₚ : ↑s → Type u_5
inst✝⁸ : (r : ↑s) → AddCommMonoid (Mₚ r)
inst✝⁷ : (r : ↑s) → Module R (Mₚ r)
f : (r : ↑s) → M →ₗ[R] Mₚ r
inst✝⁶ : ∀ (r : ↑s), IsLocalizedModule.Away (↑r) (f r)
Nₚ : ↑s → Type u_6
inst✝⁵ : (r : ↑s) → AddCommMonoid (Nₚ r)
inst✝⁴ : (r : ↑s) → Module R (Nₚ r)
g : (r : ↑s) → N →ₗ[R] Nₚ r
inst✝³ : ∀ (r : ↑s), IsLocalizedModule.Away (↑r) (g r)
Lₚ : ↑s → Type u_7
inst✝² : (r : ↑s) → AddCommMonoid (Lₚ r)
inst✝¹ : (r : ↑s) → Module R (Lₚ r)
h : (r : ↑s) → L →ₗ[R] Lₚ r
inst✝ : ∀ (r : ↑s), IsLocalizedModule.Away (↑r) (h r)
F : M →ₗ[R] N
G : N →ₗ[R] L
H :
  ∀ (r : ↑s),
    ((IsLocalizedModule.map (Submonoid.powers ↑r) (g r) (h r)) G).ker =
      ((IsLocalizedModule.map (Submonoid.powers ↑r) (f r) (g r)) F).range
r : ↑s
⊢ ((IsLocalizedModule.map (Submonoid.powers ↑r) (g r) (h r)) G).ker =
    ((IsLocalizedModule.map (Submonoid.powers ↑r) (f r) (g r)) F).range