mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Functor

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁶ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝² : MonoidalCategory E
C' : Type u₁'
inst✝¹ : Category.{v₁', u₁'} C'
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : G.LaxMonoidal
X✝ Y✝ : C
x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝
x✝ : C
⊢ (adj.homEquiv (X✝ ⊗ x✝) (F.obj Y✝ ⊗ F.obj x✝)).symm
      ((adj.unit.app X✝ ⊗ₘ adj.unit.app x✝) ≫ G.map (F.map x✝¹) ▷ G.obj (F.obj x✝) ≫ μ G (F.obj Y✝) (F.obj x✝)) =
    (adj.homEquiv (X✝ ⊗ x✝) (F.obj Y✝ ⊗ F.obj x✝)).symm
      (x✝¹ ▷ x✝ ≫ (adj.unit.app Y✝ ⊗ₘ adj.unit.app x✝) ≫ μ G (F.obj Y✝) (F.obj x✝))

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁶ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝² : MonoidalCategory E
C' : Type u₁'
inst✝¹ : Category.{v₁', u₁'} C'
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : G.LaxMonoidal
X✝ Y✝ : C
x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝
x✝ : C
⊢ (adj.homEquiv (X✝ ⊗ x✝) (F.obj Y✝ ⊗ F.obj x✝)).symm
      ((adj.unit.app X✝ ⊗ₘ adj.unit.app x✝) ≫ G.map (F.map x✝¹) ▷ G.obj (F.obj x✝) ≫ μ G (F.obj Y✝) (F.obj x✝)) =
    (adj.homEquiv (X✝ ⊗ x✝) (F.obj Y✝ ⊗ F.obj x✝)).symm
      (x✝¹ ▷ x✝ ≫ (adj.unit.app Y✝ ⊗ₘ adj.unit.app x✝) ≫ μ G (F.obj Y✝) (F.obj x✝))
Module: Mathlib.CategoryTheory.ConcreteCategory.EpiMono

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type w
inst✝⁴ : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
inst✝³ : ConcreteCategory C FC
inst✝² : HasStrongEpiMonoFactorisations C
inst✝¹ : (forget C).PreservesMonomorphisms
inst✝ : (forget C).PreservesEpimorphisms
⊢ epimorphisms C ≤ epimorphisms C

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.ConcreteCategory.EpiMono

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type w
inst✝⁴ : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
inst✝³ : ConcreteCategory C FC
inst✝² : HasStrongEpiMonoFactorisations C
inst✝¹ : (forget C).PreservesMonomorphisms
inst✝ : (forget C).PreservesEpimorphisms
⊢ monomorphisms C ≤ monomorphisms C

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.ConcreteCategory.EpiMono

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type w
inst✝² : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
inst✝¹ : ConcreteCategory C FC
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
⊢ IsIso (↾⇑(hom f))

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type w
inst✝² : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
inst✝¹ : ConcreteCategory C FC
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
⊢ IsIso (↾⇑(hom f))
Module: Mathlib.CategoryTheory.ConcreteCategory.EpiMono

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type w
inst✝² : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
inst✝¹ : ConcreteCategory C FC
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ IsIso f ↔ IsIso (↾⇑(hom f))

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type w
inst✝² : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
inst✝¹ : ConcreteCategory C FC
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ IsIso f ↔ IsIso (↾⇑(hom f))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Functor

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁶ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝² : MonoidalCategory E
C' : Type u₁'
inst✝¹ : Category.{v₁', u₁'} C'
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : G.LaxMonoidal
X✝ Y✝ x✝¹ : C
x✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (adj.homEquiv (x✝¹ ⊗ X✝) (F.obj x✝¹ ⊗ F.obj Y✝)).symm
      ((adj.unit.app x✝¹ ⊗ₘ adj.unit.app X✝) ≫ G.obj (F.obj x✝¹) ◁ G.map (F.map x✝) ≫ μ G (F.obj x✝¹) (F.obj Y✝)) =
    (adj.homEquiv (x✝¹ ⊗ X✝) (F.obj x✝¹ ⊗ F.obj Y✝)).symm
      (x✝¹ ◁ x✝ ≫ (adj.unit.app x✝¹ ⊗ₘ adj.unit.app Y✝) ≫ μ G (F.obj x✝¹) (F.obj Y✝))

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁶ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝² : MonoidalCategory E
C' : Type u₁'
inst✝¹ : Category.{v₁', u₁'} C'
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : G.LaxMonoidal
X✝ Y✝ x✝¹ : C
x✝ : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (adj.homEquiv (x✝¹ ⊗ X✝) (F.obj x✝¹ ⊗ F.obj Y✝)).symm
      ((adj.unit.app x✝¹ ⊗ₘ adj.unit.app X✝) ≫ G.obj (F.obj x✝¹) ◁ G.map (F.map x✝) ≫ μ G (F.obj x✝¹) (F.obj Y✝)) =
    (adj.homEquiv (x✝¹ ⊗ X✝) (F.obj x✝¹ ⊗ F.obj Y✝)).symm
      (x✝¹ ◁ x✝ ≫ (adj.unit.app x✝¹ ⊗ₘ adj.unit.app Y✝) ≫ μ G (F.obj x✝¹) (F.obj Y✝))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Braided.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
inst✝³ : MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.Monoidal
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : BraidedCategory D
β : (X Y : C) → X ⊗ Y ≅ Y ⊗ X
w : ∀ (X Y : C), μ F X Y ≫ F.map (β X Y).hom = (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ μ F Y X
X✝ Y✝ Z✝ : C
⊢ (β_ (F.obj X✝) (F.obj Y✝)).hom ▷ F.obj Z✝ ≫
      (α_ (F.obj Y✝) (F.obj X✝) (F.obj Z✝)).hom ≫
        F.obj Y✝ ◁ (β_ (F.obj X✝) (F.obj Z✝)).hom ≫ F.obj Y✝ ◁ μ F Z✝ X✝ ≫ μ F Y✝ (Z✝ ⊗ X✝) =
    (β_ (F.obj X✝) (F.obj Y✝)).hom ▷ F.obj Z✝ ≫
      (α_ (F.obj Y✝) (F.obj X✝) (F.obj Z✝)).hom ≫
        F.obj Y✝ ◁ (β_ (F.obj X✝) (F.obj Z✝)).hom ≫ F.obj Y✝ ◁ μ F Z✝ X✝ ≫ μ F Y✝ (Z✝ ⊗ X✝)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.EpiMono

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Ring R
X Y : ModuleCat R
f : X ⟶ Y
⊢ Function.Injective ⇑(Hom.hom f) ↔ Function.Injective ⇑(ConcreteCategory.hom f)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.EpiMono

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝ : Ring R
X Y : ModuleCat R
f : X ⟶ Y
⊢ Function.Surjective ⇑(Hom.hom f) ↔ Function.Surjective ⇑(ConcreteCategory.hom f)

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.EpiMono

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝² : Ring R
X Y : ModuleCat R
f✝ : X ⟶ Y
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
X✝ Y✝ : ModuleCat R
f : X✝ ⟶ Y✝
hf : Epi f
⊢ Epi f

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
inst✝² : Ring R
X Y : ModuleCat R
f✝ : X ⟶ Y
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
X✝ Y✝ : ModuleCat R
f : X✝ ⟶ Y✝
hf : Epi f
⊢ Epi f
Module: Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.EpiMono

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝² : Ring R
X Y : ModuleCat R
f✝ : X ⟶ Y
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
X✝ Y✝ : ModuleCat R
f : X✝ ⟶ Y✝
hf : Mono f
⊢ Mono f

Tactic:
]

Goal state after:
R : Type u
inst✝² : Ring R
X Y : ModuleCat R
f✝ : X ⟶ Y
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
X✝ Y✝ : ModuleCat R
f : X✝ ⟶ Y✝
hf : Mono f
⊢ Mono f
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Functor

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁶ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝² : MonoidalCategory E
C' : Type u₁'
inst✝¹ : Category.{v₁', u₁'} C'
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : G.LaxMonoidal
X Y Z : C
⊢ (adj.unit.app (X ⊗ Y) ⊗ₘ adj.unit.app Z) ≫
      μ G (F.obj (X ⊗ Y)) (F.obj Z) ≫
        G.map
          ((adj.homEquiv (X ⊗ Y) (F.obj X ⊗ F.obj Y)).symm
                ((adj.unit.app X ⊗ₘ adj.unit.app Y) ≫ μ G (F.obj X) (F.obj Y)) ▷
              F.obj Z ≫
            (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom) =
    (α_ X Y Z).hom ≫
      (adj.unit.app X ⊗ₘ adj.unit.app (Y ⊗ Z)) ≫
        μ G (F.obj X) (F.obj (Y ⊗ Z)) ≫
          G.map
            (F.obj X ◁
              (adj.homEquiv (Y ⊗ Z) (F.obj Y ⊗ F.obj Z)).symm
                ((adj.unit.app Y ⊗ₘ adj.unit.app Z) ≫ μ G (F.obj Y) (F.obj Z)))

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁶ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝² : MonoidalCategory E
C' : Type u₁'
inst✝¹ : Category.{v₁', u₁'} C'
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : G.LaxMonoidal
X Y Z : C
⊢ (adj.unit.app (X ⊗ Y) ⊗ₘ adj.unit.app Z) ≫
      μ G (F.obj (X ⊗ Y)) (F.obj Z) ≫
        G.map
          ((adj.homEquiv (X ⊗ Y) (F.obj X ⊗ F.obj Y)).symm
                ((adj.unit.app X ⊗ₘ adj.unit.app Y) ≫ μ G (F.obj X) (F.obj Y)) ▷
              F.obj Z ≫
            (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom) =
    (α_ X Y Z).hom ≫
      (adj.unit.app X ⊗ₘ adj.unit.app (Y ⊗ Z)) ≫
        μ G (F.obj X) (F.obj (Y ⊗ Z)) ≫
          G.map
            (F.obj X ◁
              (adj.homEquiv (Y ⊗ Z) (F.obj Y ⊗ F.obj Z)).symm
                ((adj.unit.app Y ⊗ₘ adj.unit.app Z) ≫ μ G (F.obj Y) (F.obj Z)))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.Opposites.Pullbacks

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ HasLimit (cospan f g) ↔ HasPullback f g

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.Opposites.Pullbacks

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
⊢ HasLimit (cospan f g) ↔ HasPullback f g

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.Opposites.Pullbacks

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : HasPullback f g
⊢ HasPullback f g

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : HasPullback f g
⊢ HasPullback f g
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.Opposites.Pullbacks

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : HasPullback f g
⊢ HasPullback f g

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : HasPullback f g
⊢ HasPullback f g
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.Opposites.Pullbacks

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ HasColimit (span f g) ↔ HasPushout f g

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.Opposites.Pullbacks

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
⊢ HasColimit (span f g) ↔ HasPushout f g

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.Opposites.Pullbacks

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : HasPushout f g
⊢ HasPushout f g

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : HasPushout f g
⊢ HasPushout f g
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.Opposites.Pullbacks

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : HasPushout f g
⊢ HasPushout f g

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : HasPushout f g
⊢ HasPushout f g
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.Opposites.Pullbacks

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
W X Y Z S T : C
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
inst✝¹ : HasPullback f₁ f₂
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
inst✝ : HasPullback g₁ g₂
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
i₃ : S ⟶ T
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
⊢ (pushoutIsoOpPullback g₁.op g₂.op).hom ≫ (pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂).op =
    pushout.map g₁.op g₂.op f₁.op f₂.op i₁.op i₂.op i₃.op ⋯ ⋯ ≫ (pushoutIsoOpPullback f₁.op f₂.op).hom

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
W X Y Z S T : C
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
inst✝¹ : HasPullback f₁ f₂
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
inst✝ : HasPullback g₁ g₂
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
i₃ : S ⟶ T
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
⊢ (pushoutIsoOpPullback g₁.op g₂.op).hom ≫ (pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂).op =
    pushout.map g₁.op g₂.op f₁.op f₂.op i₁.op i₂.op i₃.op ⋯ ⋯ ≫ (pushoutIsoOpPullback f₁.op f₂.op).hom
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Braided.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
inst✝³ : MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.Monoidal
inst✝¹ : F.Faithful
inst✝ : BraidedCategory D
β : (X Y : C) → X ⊗ Y ≅ Y ⊗ X
w : ∀ (X Y : C), μ F X Y ≫ F.map (β X Y).hom = (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ μ F Y X
X✝ Y✝ Z✝ : C
⊢ F.obj X✝ ◁ (β_ (F.obj Y✝) (F.obj Z✝)).hom ≫
      (α_ (F.obj X✝) (F.obj Z✝) (F.obj Y✝)).inv ≫
        (β_ (F.obj X✝) (F.obj Z✝)).hom ▷ F.obj Y✝ ≫ μ F Z✝ X✝ ▷ F.obj Y✝ ≫ μ F (Z✝ ⊗ X✝) Y✝ =
    F.obj X✝ ◁ (β_ (F.obj Y✝) (F.obj Z✝)).hom ≫
      (α_ (F.obj X✝) (F.obj Z✝) (F.obj Y✝)).inv ≫
        (β_ (F.obj X✝) (F.obj Z✝)).hom ▷ F.obj Y✝ ≫ μ F Z✝ X✝ ▷ F.obj Y✝ ≫ μ F (Z✝ ⊗ X✝) Y✝

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Braided.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ X (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ X (𝟙_ C)).inv =
    (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ X (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ X (𝟙_ C)).inv

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.Opposites.Pullbacks

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
W X Y Z S T : C
f₁ : S ⟶ W
f₂ : S ⟶ X
inst✝¹ : HasPushout f₁ f₂
g₁ : T ⟶ Y
g₂ : T ⟶ Z
inst✝ : HasPushout g₁ g₂
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
i₃ : S ⟶ T
eq₁ : f₁ ≫ i₁ = i₃ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₂ = i₃ ≫ g₂
⊢ (pushout.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂).op ≫ (pullbackIsoOpPushout f₁.op f₂.op).inv =
    (pullbackIsoOpPushout g₁.op g₂.op).inv ≫ pullback.map g₁.op g₂.op f₁.op f₂.op i₁.op i₂.op i₃.op ⋯ ⋯

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
W X Y Z S T : C
f₁ : S ⟶ W
f₂ : S ⟶ X
inst✝¹ : HasPushout f₁ f₂
g₁ : T ⟶ Y
g₂ : T ⟶ Z
inst✝ : HasPushout g₁ g₂
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
i₃ : S ⟶ T
eq₁ : f₁ ≫ i₁ = i₃ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₂ = i₃ ≫ g₂
⊢ (pushout.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂).op ≫ (pullbackIsoOpPushout f₁.op f₂.op).inv =
    (pullbackIsoOpPushout g₁.op g₂.op).inv ≫ pullback.map g₁.op g₂.op f₁.op f₂.op i₁.op i₂.op i₃.op ⋯ ⋯
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Braided.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ X ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom = (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ X ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Functor

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁶ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝² : MonoidalCategory E
C' : Type u₁'
inst✝¹ : Category.{v₁', u₁'} C'
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : G.LaxMonoidal
x✝ : C
⊢ (adj.homEquiv x✝ (𝟙_ D ⊗ F.obj x✝)) (λ_ (F.obj x✝)).inv =
    (λ_ x✝).inv ≫
      (adj.unit.app (𝟙_ C) ≫ G.map ((adj.homEquiv (𝟙_ C) (𝟙_ D)).symm (ε G)) ⊗ₘ
          adj.unit.app x✝ ≫ 𝟙 (G.obj (F.obj x✝))) ≫
        μ G (𝟙_ D) (F.obj x✝)

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁶ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝² : MonoidalCategory E
C' : Type u₁'
inst✝¹ : Category.{v₁', u₁'} C'
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : G.LaxMonoidal
x✝ : C
⊢ (adj.homEquiv x✝ (𝟙_ D ⊗ F.obj x✝)) (λ_ (F.obj x✝)).inv =
    (λ_ x✝).inv ≫
      (adj.unit.app (𝟙_ C) ≫ G.map ((adj.homEquiv (𝟙_ C) (𝟙_ D)).symm (ε G)) ⊗ₘ
          adj.unit.app x✝ ≫ 𝟙 (G.obj (F.obj x✝))) ≫
        μ G (𝟙_ D) (F.obj x✝)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Braided.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (ρ_ X).hom ▷ 𝟙_ C = (ρ_ X).hom ▷ 𝟙_ C

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Functor

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁶ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝² : MonoidalCategory E
C' : Type u₁'
inst✝¹ : Category.{v₁', u₁'} C'
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : G.LaxMonoidal
x✝ : C
⊢ (adj.homEquiv x✝ (F.obj x✝ ⊗ 𝟙_ D)) (ρ_ (F.obj x✝)).inv =
    (ρ_ x✝).inv ≫
      (adj.unit.app x✝ ≫ 𝟙 (G.obj (F.obj x✝)) ⊗ₘ
          adj.unit.app (𝟙_ C) ≫ G.map ((adj.homEquiv (𝟙_ C) (𝟙_ D)).symm (ε G))) ≫
        μ G (F.obj x✝) (𝟙_ D)

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁶ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝² : MonoidalCategory E
C' : Type u₁'
inst✝¹ : Category.{v₁', u₁'} C'
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : G.LaxMonoidal
x✝ : C
⊢ (adj.homEquiv x✝ (F.obj x✝ ⊗ 𝟙_ D)) (ρ_ (F.obj x✝)).inv =
    (ρ_ x✝).inv ≫
      (adj.unit.app x✝ ≫ 𝟙 (G.obj (F.obj x✝)) ⊗ₘ
          adj.unit.app (𝟙_ C) ≫ G.map ((adj.homEquiv (𝟙_ C) (𝟙_ D)).symm (ε G))) ≫
        μ G (F.obj x✝) (𝟙_ D)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Functor

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : MonoidalCategory D
e : C ≌ D
inst✝² : e.functor.Monoidal
inst✝¹ : e.inverse.Monoidal
inst✝ : e.IsMonoidal
⊢ 𝟙 (e.functor.obj (𝟙_ C)) = 𝟙 (e.functor.obj (𝟙_ C))

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Braided.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X = (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Functor

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : MonoidalCategory D
e : C ≌ D
inst✝² : e.functor.Monoidal
inst✝¹ : e.inverse.Monoidal
inst✝ : e.IsMonoidal
X Y : C
⊢ δ e.functor X Y ≫
      e.counitIso.inv.app (e.functor.obj X ⊗ e.functor.obj Y) ≫
        e.functor.map (δ e.inverse (e.functor.obj X) (e.functor.obj Y)) =
    e.functor.map (e.unitIso.hom.app X ⊗ₘ e.unitIso.hom.app Y)

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : MonoidalCategory D
e : C ≌ D
inst✝² : e.functor.Monoidal
inst✝¹ : e.inverse.Monoidal
inst✝ : e.IsMonoidal
X Y : C
⊢ δ e.functor X Y ≫
      e.counitIso.inv.app (e.functor.obj X ⊗ e.functor.obj Y) ≫
        e.functor.map (δ e.inverse (e.functor.obj X) (e.functor.obj Y)) =
    e.functor.map (e.unitIso.hom.app X ⊗ₘ e.unitIso.hom.app Y)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Braided.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ 𝟙_ C ◁ (λ_ X).hom = 𝟙_ C ◁ (λ_ X).hom

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Braided.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ ?m.40 = (ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv

pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ ?m.40 = 𝟙 (𝟙_ C ⊗ X)

pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ X ⊗ 𝟙_ C ⟶ 𝟙_ C ⊗ X

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv = 𝟙 (𝟙_ C ⊗ X)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Braided.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ ((λ_ X).hom ≫ (ρ_ X).inv) ≫ (ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv = 𝟙 (𝟙_ C ⊗ X)

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ ((λ_ X).hom ≫ (ρ_ X).inv) ≫ (ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv = 𝟙 (𝟙_ C ⊗ X)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Braided.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ ?m.40 = (λ_ X).hom ≫ (ρ_ X).inv

pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (β_ X (𝟙_ C)).hom ≫ ?m.40 = 𝟙 (X ⊗ 𝟙_ C)

pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ 𝟙_ C ⊗ X ⟶ X ⊗ 𝟙_ C

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (β_ X (𝟙_ C)).hom ≫ (λ_ X).hom ≫ (ρ_ X).inv = 𝟙 (X ⊗ 𝟙_ C)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Braided.Basic

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ ((ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv) ≫ (λ_ X).hom ≫ (ρ_ X).inv = 𝟙 (X ⊗ 𝟙_ C)

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ ((ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv) ≫ (λ_ X).hom ≫ (ρ_ X).inv = 𝟙 (X ⊗ 𝟙_ C)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Functor

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁸ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁶ : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝⁴ : MonoidalCategory E
C' : Type u₁'
inst✝³ : Category.{v₁', u₁'} C'
e : C ≌ D
inst✝² : e.functor.Monoidal
inst✝¹ : e.inverse.Monoidal
inst✝ : e.IsMonoidal
⊢ ε e.functor = ε e.functor

Tactic:
]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Functor

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁸ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁶ : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝⁴ : MonoidalCategory E
C' : Type u₁'
inst✝³ : Category.{v₁', u₁'} C'
e : C ≌ D
inst✝² : e.functor.Monoidal
inst✝¹ : e.inverse.Monoidal
inst✝ : e.IsMonoidal
X Y : C
⊢ μ e.functor X Y =
    μ e.functor X Y ≫
      e.functor.map (e.unitIso.hom.app X ⊗ₘ e.unitIso.hom.app Y) ≫
        e.functor.map (e.unitIso.inv.app X ⊗ₘ e.unitIso.inv.app Y)

Tactic:
]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝⁹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁸ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁶ : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝⁴ : MonoidalCategory E
C' : Type u₁'
inst✝³ : Category.{v₁', u₁'} C'
e : C ≌ D
inst✝² : e.functor.Monoidal
inst✝¹ : e.inverse.Monoidal
inst✝ : e.IsMonoidal
X Y : C
⊢ μ e.functor X Y =
    μ e.functor X Y ≫
      e.functor.map (e.unitIso.hom.app X ⊗ₘ e.unitIso.hom.app Y) ≫
        e.functor.map (e.unitIso.inv.app X ⊗ₘ e.unitIso.inv.app Y)