Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID

Goal state before:
pp: case neg.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i, c i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
⊢ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0) ∧
    (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0) ∧
      ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'),
        ∃ bN,
          ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'),
            ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1),
              ∃ bM,
                ∀ (as : Fin n' → R),
                  (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) →
                    ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))

Tactic:
have y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0 := by
    intro c x xM' hc
    obtain ⟨⟨x, xM⟩, hx', rfl⟩ := Submodule.mem_map.mp xM'
    rw [LinearMap.mem_ker] at hx'
    have hc' : (c • ⟨y', y'M⟩ + ⟨x, xM⟩ : M) = 0 := by exact @Subtype.coe_injective O (· ∈ M) _ _ hc
    simpa only [map_add, map_zero, map_smul, smul_eq_mul, add_zero, mul_eq_zero, ϕy'_ne_zero, hx',
      or_false] using congr_arg ϕ hc'

Goal state after:
case neg.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i, c i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
⊢ (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0) ∧
    (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0) ∧
      ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'),
        ∃ bN,
          ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'),
            ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1),
              ∃ bM,
                ∀ (as : Fin n' → R),
                  (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) →
                    ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))