mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.PiTensorProduct

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : (i : ι) → NonUnitalNonAssocSemiring (A i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)
r s : R
x y : (i : ι) → A i
⊢ r • (tprod R) x * s • (tprod R) y = (r * s) • (tprod R) (x * y)

Tactic:
by
  simp only [mul_def, map_smul, LinearMap.smul_apply, mul_tprod_tprod, mul_comm r s, mul_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.PSL.PSL2

Goal state before:
pp: F : Type u_2
inst✝ : Field F
⊢ ⨆ p, lineStab p.submodule = ⊤

Tactic:
refine le_antisymm le_top (SL2Gen.SL_card_two_lineStab_sup_eq_top (F := F) ▸
    sup_le ?_ ?_)
  <;> rw [← Projectivization.submodule_mk (K := F) _ (Pi.single_ne_zero_iff.2 one_ne_zero)]

Goal state after:
case refine_1
F : Type u_2
inst✝ : Field F
⊢ lineStab (Projectivization.mk F (Pi.single 0 1) ⋯).submodule ≤ ⨆ p, lineStab p.submodule

case refine_2
F : Type u_2
inst✝ : Field F
⊢ lineStab (Projectivization.mk F (Pi.single 1 1) ⋯).submodule ≤ ⨆ p, lineStab p.submodule
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.PSL.Stabilizer

Goal state before:
pp: case H
F : Type u_1
inst✝² : Field F
ι : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
v : ι → F
hv : v ≠ 0
A : SpecialLinearGroup ι F
L : Submodule F (ι → F) := F ∙ v
hA : A ∈ lineStab L
c : F
hcv : ↑(toLin' A) v = c • v
hcomap : F ∙ v ≤ Submodule.comap (↑(toLin' A)) (F ∙ v)
hres : (↑(toLin' A)).restrict hcomap = c • LinearMap.id
w : ι → F
⊢ (L.mapQ L (↑(toLin' A)) hcomap) (Submodule.Quotient.mk w) = LinearMap.id (Submodule.Quotient.mk w)

Tactic:
simpa [Submodule.Quotient.eq] using! hA w

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
h : Module.finrank R V ≤ 1
a✝ : Nontrivial R
b : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R V := Module.Free.chooseBasis R V
⊢ Nat.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) ≤ 1

Tactic:
Nat.card_eq_fintype_card,

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
h : Module.finrank R V ≤ 1
a✝ : Nontrivial R
b : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R V := Module.Free.chooseBasis R V
⊢ Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) ≤ 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
g : ι → M
l : ι →₀ R
⊢ (∑ p ∈ l.support.sym2, polarSym2 (⇑Q) (Sym2.map (fun i ↦ l i • g i) p) - l.sum fun i a ↦ a • a • Q (g i)) =
    (l.sym2Mul.sum fun i a ↦ a • (polarSym2 ⇑Q ∘ Sym2.map g) i) - (l * l).sum fun i a ↦ a • (⇑Q ∘ g) i

Tactic:
rw [(l * l).sum_of_support_subset support_mul_subset_left _ <| by simp,
    l.sym2Mul.sum_of_support_subset support_sym2Mul_subset _ <| by simp]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
g : ι → M
l : ι →₀ R
⊢ (∑ p ∈ l.support.sym2, polarSym2 (⇑Q) (Sym2.map (fun i ↦ l i • g i) p) - l.sum fun i a ↦ a • a • Q (g i)) =
    ∑ x ∈ l.support.sym2, l.sym2Mul x • (polarSym2 ⇑Q ∘ Sym2.map g) x - ∑ x ∈ l.support, (l * l) x • (⇑Q ∘ g) x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝² : Field K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
g : Matrix.ProjectiveSpecialLinearGroup ι K
hg : PSLAction.toPermHom g = 1
⊢ g = 1

Tactic:
rwa [← MonoidHom.mem_ker, PSLAction.toPermHom,
    QuotientGroup.ker_lift, SL_mulAction_ker, QuotientGroup.map_mk'_self,
    Subgroup.mem_bot] at hg

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K V
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
u : Kˣ
v : ι → K
hv : v ≠ 0
⊢ (Matrix.GeneralLinearGroup.scalar ι) u • mk K v hv = mk K v hv

Tactic:
simp only [smul_mk, mk_eq_mk_iff]

Goal state after:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K V
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
u : Kˣ
v : ι → K
hv : v ≠ 0
⊢ ∃ a, a • v = (Matrix.GeneralLinearGroup.scalar ι) u • v
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Real

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
w : ι → ℝ
u : ι → ℝˣ := fun i ↦ if h : w i = 0 then 1 else Units.mk0 (w i) h
hu : ∀ (i : ι), 1 / √|↑(u i)| ≠ 0
i : ι
hi : ¬w i = 0
⊢ w i / |↑(u i)| = ↑(sign (w i))

Tactic:
· simp only [hi, ↓reduceDIte, Units.val_mk0, u]; field_simp; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsRootSystem
⊢ LinearIndependent R h

Tactic:
have : Matrix.diagLinearMap (b.support ⊕ ι) R R ∘ h =
      Sum.elimZeroLeft ∘ fun i : b.support ↦ algebraMap ℤ R ∘ (P.pairingIn ℤ · i) := by
    ext; rw [comp_apply, h_def]; aesop
  apply LinearIndependent.of_comp (Matrix.diagLinearMap _ _ _)
  rw [this, LinearMap.linearIndependent_iff_of_injOn _ Sum.elim_injective'.injOn,
    linearIndependent_algebraMap_comp_iff]
  suffices LinearIndependent ℤ (fun i j : b.support ↦ P.pairingIn ℤ j i) from
    this.of_linearIndependent_subset b.support
  apply b.cartanMatrix.transpose.linearIndependent_rows_of_det_ne_zero
  rw [Matrix.det_transpose, ← Matrix.nondegenerate_iff_det_ne_zero]
  exact b.cartanMatrix_nondegenerate

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
l : ι
hli : l ≠ i
hkj : l ≠ j
hk' : P.root l + P.root i ∈ range ⇑P.root
hm : P.pairingIn ℤ j l ≤ 0
hl : P.root l = P.root l + P.root i - P.root j
⊢ False

Tactic:
exact hij <| by simpa [add_sub_assoc, sub_eq_zero] using hl

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
hi : h i ∈ lieAlgebra b
⊢ ⟨h i, hi⟩ ∈ cartanSubalgebra' b

Tactic:
by
  simp [cartanSubalgebra']

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ span R (range h') = ⊤

Tactic:
eq_top_iff

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ⊤ ≤ span R (range h')
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
⊢ False

Tactic:
have hli' : P.root l ≠ -P.root i := fun contra ↦ by
    replace h₁ : P.root k = 2 • P.root l := by
      rwa [← neg_eq_iff_eq_neg.mpr contra, ← sub_eq_add_neg, sub_eq_iff_eq_add, ← two_nsmul] at h₁
    exact P.nsmul_notMem_range_root ⟨_, h₁⟩

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
⊢ LieModule.IsTriangularizable R (↥(cartanSubalgebra' b)) (↥b.support ⊕ ι → R)

Tactic:
by
  refine ⟨fun ⟨⟨x, hx'⟩, hx⟩ ↦ ?_⟩
  obtain ⟨d, rfl⟩ : ∃ d : b.support ⊕ ι → R, Matrix.diagonal d = x :=
    span_range_h_le_range_diagonal <| by simpa using! hx
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁶ : P.IsCrystallographic
inst✝⁵ : P.IsReduced
inst✝⁴ : P.IsIrreducible
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsG2
i j : ι
h : P.root i ≠ P.root j
h' : P.root i ≠ -P.root j
this :
  ¬∀ (i j : ι),
      P.pairingIn ℤ i j = P.pairingIn ℤ j i ∨
        P.pairingIn ℤ i j = 2 * P.pairingIn ℤ j i ∨ P.pairingIn ℤ j i = 2 * P.pairingIn ℤ i j
aux₁ :
  P.pairingIn ℤ i j = P.pairingIn ℤ j i ∨
    P.pairingIn ℤ i j = 3 * P.pairingIn ℤ j i ∨ P.pairingIn ℤ j i = 3 * P.pairingIn ℤ i j
⊢ P.pairingIn ℤ i j ∈ {-3, -1, 0, 1, 3}

Tactic:
have aux₂ := P.pairingIn_pairingIn_mem_set_of_isCrystal_of_isRed' i j h h'

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁶ : P.IsCrystallographic
inst✝⁵ : P.IsReduced
inst✝⁴ : P.IsIrreducible
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsG2
i j : ι
h : P.root i ≠ P.root j
h' : P.root i ≠ -P.root j
this :
  ¬∀ (i j : ι),
      P.pairingIn ℤ i j = P.pairingIn ℤ j i ∨
        P.pairingIn ℤ i j = 2 * P.pairingIn ℤ j i ∨ P.pairingIn ℤ j i = 2 * P.pairingIn ℤ i j
aux₁ :
  P.pairingIn ℤ i j = P.pairingIn ℤ j i ∨
    P.pairingIn ℤ i j = 3 * P.pairingIn ℤ j i ∨ P.pairingIn ℤ j i = 3 * P.pairingIn ℤ i j
aux₂ :
  (P.pairingIn ℤ i j, P.pairingIn ℤ j i) ∈
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)}
⊢ P.pairingIn ℤ i j ∈ {-3, -1, 0, 1, 3}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
x : M
hx : x ∈ allRoots P
⊢ x ∈ Submodule.span ℤ {longRoot P, shortRoot P}

Tactic:
by
  have : {longRoot P, shortRoot P} = range ![shortRoot P, longRoot P] := by simp
  simp_rw [this, Submodule.mem_span_range_iff_exists_fun, ← Fintype.linearCombination_apply]
  simp [allRoots_eq_map_allCoeffs] at hx
  tauto

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:

Tactic:
P.pairing i (twoShortAddLong P) * B.form (twoShortAddLongRoot P) (twoShortAddLongRoot P)
    _ = 2 * B.form (P.root i) (twoShortAddLongRoot P) := ?_
    _ = 2 * (2 * B.form (P.root i) (shortRoot P)) + 2 * B.form (P.root i) (longRoot P) := ?_
    _ = 2 * P.pairing i (short P) * B.form (shortRoot P) (shortRoot P) +
          P.pairing i (long P) * B.form (longRoot P) (longRoot P) := ?_
    _ = (2 * P.pairing i (short P) +
          3 * P.pairing i (long P)) * B.form (twoShortAddLongRoot P) (twoShortAddLongRoot P) := ?_

Goal state after:
case calc_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ P.pairing i (twoShortAddLong P) * (B.form (twoShortAddLongRoot P)) (twoShortAddLongRoot P) =
    2 * (B.form (P.root i)) (twoShortAddLongRoot P)

case calc_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * (B.form (P.root i)) (twoShortAddLongRoot P) =
    2 * (2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P)

case calc_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * (2 * (B.form (P.root i)) (shortRoot P)) + 2 * (B.form (P.root i)) (longRoot P) =
    2 * P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P)

case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ 2 * P.pairing i (short P) * (B.form (shortRoot P)) (shortRoot P) +
      P.pairing i (long P) * (B.form (longRoot P)) (longRoot P) =
    (2 * P.pairing i (short P) + 3 * P.pairing i (long P)) * (B.form (twoShortAddLongRoot P)) (twoShortAddLongRoot P)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.EmbeddedG2
inst✝ : CharZero R
i : ι
⊢ P.pairingIn ℤ (threeShortAddLong P) i = 3 * P.pairingIn ℤ (short P) i + P.pairingIn ℤ (long P) i

Tactic:
rw [pairingIn_eq_add_of_root_eq_smul_add_smul (x := 3) (y := 1) (i := short P) (l := long P)]
  · simp
  · simp only [threeShortAddLongRoot_eq, one_smul, add_left_inj]
    norm_cast

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : ↥(lieAlgebra b)
⊢ (trace R (↥b.support ⊕ ι → R)) ((toEnd R (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → R)) x) = 0

Tactic:
obtain ⟨x, hx⟩ := x

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
hx : x ∈ lieAlgebra b
⊢ (trace R (↥b.support ⊕ ι → R)) ((toEnd R (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → R)) ⟨x, hx⟩) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Finite ι
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CharZero R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝ : P.IsReduced
this✝¹ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
l x : ι
contra : P.root ↑i = P.root x - P.root ↑i
⊢ P.root x = 2 • P.root ↑i

Tactic:
rwa [eq_sub_iff_add_eq, ← two_smul ℕ, eq_comm] at contra

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ ⁅h i, f i⁆ = -(2 • f i)

Tactic:
lie_h_f

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : Fintype ι
i : ↥b.support
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : DecidableEq ι
⊢ -b.cartanMatrix i i • f i = -(2 • f i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.EmbeddedG2
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsIrreducible
⊢ Nat.card ↥(allRoots P).toFinset = 12

Tactic:
Nat.card_eq_fintype_card,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.EmbeddedG2
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsIrreducible
⊢ Fintype.card ↥(allRoots P).toFinset = 12
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: case h₀
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CharZero K
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
i✝ : ι
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hωu : ∀ (i : ↥b.support), ω b *ᵥ u i = u i
hωv : ∀ (i : ι), ω b *ᵥ v b i = v b (-i)
i : ι
h : ∀ {U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)}, v b i ∈ U → ∃ j, u j ∈ U
U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)
hi : v b ((P.reflectionPerm i) i) ∈ U
⊢ ∃ j, u j ∈ U

Tactic:
replace hi : v b i ∈ ωConjLieSubmodule U := by simpa [hωv]

Goal state after:
case h₀
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CharZero K
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
i✝ : ι
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hωu : ∀ (i : ↥b.support), ω b *ᵥ u i = u i
hωv : ∀ (i : ι), ω b *ᵥ v b i = v b (-i)
i : ι
h : ∀ {U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)}, v b i ∈ U → ∃ j, u j ∈ U
U : LieSubmodule K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)
hi : v b i ∈ ωConjLieSubmodule U
⊢ ∃ j, u j ∈ U
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorAlgebra.Grading

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i : ℕ
x : ↥((ι R).range ^ i)
⊢ ((lift R) (GradedAlgebra.ι R M)) ↑x = (DirectSum.of (fun i ↦ ↥((ι R).range ^ i)) i) x

Tactic:
obtain ⟨x, hx⟩ := x

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i : ℕ
x : TensorAlgebra R M
hx : x ∈ (ι R).range ^ i
⊢ ((lift R) (GradedAlgebra.ι R M)) ↑⟨x, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i ↦ ↥((ι R).range ^ i)) i) ⟨x, hx⟩
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Matrix

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
ι : Type u_7
κ : Type u_8
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
i : κ
j i' : ι
j' : κ
⊢ (toMatrix (bM.tensorProduct bN) (bN.tensorProduct bM)) ↑(TensorProduct.comm R M N) (i, j) (i', j') =
    submatrix 1 Prod.swap _root_.id (i, j) (i', j')

Tactic:
simp only [toMatrix_apply, Basis.tensorProduct_apply, LinearEquiv.coe_coe, comm_tmul,
    Basis.tensorProduct_repr_tmul_apply, Basis.repr_self, Finsupp.single_apply, @eq_comm _ i',
    @eq_comm _ j', smul_eq_mul, mul_ite, mul_one, mul_zero, ← ite_and, and_comm, submatrix_apply,
    Matrix.one_apply, Prod.swap_prod_mk, id_eq, Prod.mk.injEq]

Goal state after:
Module: Mathlib.Logic.Hydra

Goal state before:
pp: α : Type u_1
r : α → α → Prop
s₁ s₂ s t : Multiset α
a : α
hr : ∀ a' ∈ t, r a' a
he : s + {a} = (fun s ↦ s.1 + s.2) (s₁, s₂) + t
⊢ ∃ a', GameAdd (CutExpand r) (CutExpand r) a' (s₁, s₂) ∧ (fun s ↦ s.1 + s.2) a' = s

Tactic:
dsimp at he ⊢

Goal state after:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s₁ s₂ s t : Multiset α
a : α
hr : ∀ a' ∈ t, r a' a
he : s + {a} = s₁ + s₂ + t
⊢ ∃ a', GameAdd (CutExpand r) (CutExpand r) a' (s₁, s₂) ∧ a'.1 + a'.2 = s
Module: Mathlib.MeasureTheory.Constructions.ClosedCompactCylinders

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
X : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
t : Set ((i : ι) → X i)
⊢ (∃ i i_1, ∃ (_ : IsClosed i_1) (_ : IsCompact i_1), t = cylinder i i_1) ↔
    ∃ s S, IsClosed S ∧ IsCompact S ∧ t = cylinder s S

Tactic:
exists_prop

Goal state after: