mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Order.Group.Finset

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : LinearOrder M
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd M
inst✝² : Sub M
inst✝¹ : AddLeftReflectLE M
inst✝ : OrderedSub M
s : Finset ι
f : ι → M
a : M
hs : s.Nonempty
⊢ s.sup' hs f + a = s.sup' hs fun i ↦ f i + a

Tactic:
apply le_antisymm

Goal state after:
case a
ι : Type u_1
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : LinearOrder M
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd M
inst✝² : Sub M
inst✝¹ : AddLeftReflectLE M
inst✝ : OrderedSub M
s : Finset ι
f : ι → M
a : M
hs : s.Nonempty
⊢ s.sup' hs f + a ≤ s.sup' hs fun i ↦ f i + a

case a
ι : Type u_1
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : LinearOrder M
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd M
inst✝² : Sub M
inst✝¹ : AddLeftReflectLE M
inst✝ : OrderedSub M
s : Finset ι
f : ι → M
a : M
hs : s.Nonempty
⊢ (s.sup' hs fun i ↦ f i + a) ≤ s.sup' hs f + a
Module: Mathlib.SetTheory.Cardinal.Finsupp

Goal state before:
pp: α : Type u
β : Type v
inst✝² : Infinite α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Nontrivial β
⊢ #(α →₀ β) = max (lift.{v, u} #α) (lift.{u, v} #β)

Tactic:
apply le_antisymm

Goal state after:
case a
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Infinite α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Nontrivial β
⊢ #(α →₀ β) ≤ max (lift.{v, u} #α) (lift.{u, v} #β)

case a
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Infinite α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Nontrivial β
⊢ max (lift.{v, u} #α) (lift.{u, v} #β) ≤ #(α →₀ β)
Module: Mathlib.Data.Set.UnionLift

Goal state before:
pp: α : Type u_1
ι : Sort u_3
β : Sort u_2
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
T : Set α
hT : T ⊆ iUnion S
x : ↑T
i : ι
hx : ↑x ∈ S i
⊢ iUnionLift S f hf T hT x = f i ⟨↑x, hx⟩

Tactic:
obtain ⟨x, hx⟩ := x

Goal state after:
α : Type u_1
ι : Sort u_3
β : Sort u_2
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
T : Set α
hT : T ⊆ iUnion S
i : ι
x : α
hx✝ : x ∈ T
hx : ↑⟨x, hx✝⟩ ∈ S i
⊢ iUnionLift S f hf T hT ⟨x, hx✝⟩ = f i ⟨↑⟨x, hx✝⟩, hx⟩
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.Free

Goal state before:
pp: case inl
R : Type u
M : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Free R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Free R M'
inst✝² : OrzechProperty R
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Surjective ⇑f
h : finrank R M ≤ finrank R M'
h✝ : Subsingleton R
this : Subsingleton M
⊢ Bijective ⇑f

Tactic:
exact ⟨Function.injective_of_subsingleton f, hf⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.SimpleRing.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocRing A
inst✝ : IsSimpleRing A
x : A
hx : x ≠ 0
hxI : x ∈ ⊥
⊢ False

Tactic:
exact hx hxI

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.TwoSidedIdeal.Lattice

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
ι : Type u_2
I : ι → TwoSidedIdeal R
⊢ sInf (ringCon '' Set.range fun i ↦ I i) = sInf (Set.range fun i ↦ (I i).ringCon)

Tactic:
congr!

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
ι : Type u_2
I : ι → TwoSidedIdeal R
⊢ (ringCon '' Set.range fun i ↦ I i) = Set.range fun i ↦ (I i).ringCon
Module: Mathlib.RingTheory.TwoSidedIdeal.Lattice

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
ι : Type u_2
I : ι → TwoSidedIdeal R
⊢ (⨅ i, I i).ringCon = ⨅ i, (I i).ringCon

Tactic:
simp only [iInf, sInf_ringCon]; congr!; ext; simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Basic

Goal state before:
pp: ι✝ : Type v
β : ι✝ → Type w
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
G : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
g h : DirectSum ι G
x✝ : ι
⊢ DFinsupp.equivFunOnFintype.toFun (g + h) x✝ =
    (DFinsupp.equivFunOnFintype.toFun g + DFinsupp.equivFunOnFintype.toFun h) x✝

Tactic:
simp only [DFinsupp.equivFunOnFintype, Equiv.toFun_as_coe, Equiv.coe_fn_mk,
      ← DFinsupp.add_apply, Pi.add_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.NonUnitalSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝ : Module R A
x✝ t : NonUnitalSubalgebra R A
s : NonUnitalSubsemiring A
hs : ∀ (c : R) {x : A}, x ∈ s.carrier → c • x ∈ s.carrier
⊢ { toNonUnitalSubsemiring := s, smul_mem' := hs }.toNonUnitalSubsemiring = t.toNonUnitalSubsemiring →
    { toNonUnitalSubsemiring := s, smul_mem' := hs } = t

Tactic:
congr!

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.NonUnitalSubalgebra

Goal state before:
pp: F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝² : Module R C
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
ϕ ψ : F
x y : A
hx : ϕ x = ψ x
hy : ϕ y = ψ y
⊢ x + y ∈ {a | ϕ a = ψ a}

Tactic:
Set.mem_ofPred_eq,

Goal state after:
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝² : Module R C
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
ϕ ψ : F
x y : A
hx : ϕ x = ψ x
hy : ϕ y = ψ y
⊢ ϕ (x + y) = ψ (x + y)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.NonUnitalSubalgebra

Goal state before:
pp: F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝² : Module R C
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
ϕ ψ : F
⊢ 0 ∈ {a | ϕ a = ψ a}

Tactic:
Set.mem_ofPred_eq,

Goal state after:
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝² : Module R C
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
ϕ ψ : F
⊢ ϕ 0 = ψ 0
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.NonUnitalSubalgebra

Goal state before:
pp: F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝² : Module R C
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
ϕ ψ : F
x y : A
hx : ϕ x = ψ x
hy : ϕ y = ψ y
⊢ x * y ∈ {a | ϕ a = ψ a}

Tactic:
Set.mem_ofPred_eq,

Goal state after:
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝² : Module R C
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
ϕ ψ : F
x y : A
hx : ϕ x = ψ x
hy : ϕ y = ψ y
⊢ ϕ (x * y) = ψ (x * y)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.NonUnitalSubalgebra

Goal state before:
pp: F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝² : Module R C
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
ϕ ψ : F
r : R
x : A
hx : ϕ x = ψ x
⊢ r • x ∈ {a | ϕ a = ψ a}

Tactic:
Set.mem_ofPred_eq,

Goal state after:
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝² : Module R C
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
ϕ ψ : F
r : R
x : A
hx : ϕ x = ψ x
⊢ ϕ (r • x) = ψ (r • x)
Module: Mathlib.Algebra.DirectSum.Module

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝² : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
i j : ι
hij : i ≠ j
h : Set.univ = {i, j}
this : ∀ (k : ι), k = i ∨ k = j
⊢ iSupIndep A ∧ sSup {A i, A j} = ⊤ ↔ IsCompl (A i) (A j)

Tactic:
sSup_pair,

Goal state after:
R : Type u
inst✝² : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
i j : ι
hij : i ≠ j
h : Set.univ = {i, j}
this : ∀ (k : ι), k = i ∨ k = j
⊢ iSupIndep A ∧ A i ⊔ A j = ⊤ ↔ IsCompl (A i) (A j)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.NonUnitalSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
⊢ (adjoin R s).toSubmodule = span R ↑(Subsemigroup.closure s)

Tactic:
apply le_antisymm

Goal state after:
case a
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
⊢ (adjoin R s).toSubmodule ≤ span R ↑(Subsemigroup.closure s)

case a
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
⊢ span R ↑(Subsemigroup.closure s) ≤ (adjoin R s).toSubmodule
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
ϕ ψ : A →ₐ[R] B
x y : A
hx : ϕ x = ψ x
hy : ϕ y = ψ y
⊢ x * y ∈ {a | ϕ a = ψ a}

Tactic:
Set.mem_ofPred_eq,

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
ϕ ψ : A →ₐ[R] B
x y : A
hx : ϕ x = ψ x
hy : ϕ y = ψ y
⊢ ϕ (x * y) = ψ (x * y)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
ϕ ψ : A →ₐ[R] B
x y : A
hx : ϕ x = ψ x
hy : ϕ y = ψ y
⊢ x + y ∈ {a | ϕ a = ψ a}

Tactic:
Set.mem_ofPred_eq,

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
ϕ ψ : A →ₐ[R] B
x y : A
hx : ϕ x = ψ x
hy : ϕ y = ψ y
⊢ ϕ (x + y) = ψ (x + y)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Lattice

Goal state before:
pp: R : Type uR
A : Type uA
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set A
⊢ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) = span R ↑(Submonoid.closure s)

Tactic:
apply le_antisymm

Goal state after:
case a
R : Type uR
A : Type uA
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set A
⊢ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) ≤ span R ↑(Submonoid.closure s)

case a
R : Type uR
A : Type uA
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : Set A
⊢ span R ↑(Submonoid.closure s) ≤ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Lattice

Goal state before:
pp: R : Type uR
A : Type uA
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
z : A
⊢ z ∈ ↑(Submonoid.closure (s ∪ t)) ↔ z ∈ ↑(Submonoid.closure s) * ↑(Submonoid.closure t)

Tactic:
simp [Submonoid.closure_union, Submonoid.mem_sup, Set.mem_mul]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Algebra.Subalgebra.Lattice

Goal state before:
pp: R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
⊢ comap f (map f S) = S ⊔ adjoin R (⇑f ⁻¹' {0})

Tactic:
apply le_antisymm

Goal state after:
case a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
⊢ comap f (map f S) ≤ S ⊔ adjoin R (⇑f ⁻¹' {0})

case a
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
⊢ S ⊔ adjoin R (⇑f ⁻¹' {0}) ≤ comap f (map f S)
Module: Mathlib.Algebra.Module.Projective

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹⁰ : Semiring R
P : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
Q : Type u_5
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
ι : Type u_6
A : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (A i)
h : ∀ (i : ι), Projective R (A i)
f : ((Π₀ (i : ι), A i) →₀ R) →ₗ[R] Π₀ (i : ι), A i
hf : Function.Surjective ⇑f
g : (i : ι) → A i →ₗ[R] (Π₀ (i : ι), A i) →₀ R
hg : ∀ (i : ι) (x : A i), f ((g i) x) = DFinsupp.single i x
⊢ f ∘ₗ DFinsupp.coprodMap g = LinearMap.id

Tactic:
ext i x j

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : Semiring R
P : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
Q : Type u_5
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
ι : Type u_6
A : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (A i)
h : ∀ (i : ι), Projective R (A i)
f : ((Π₀ (i : ι), A i) →₀ R) →ₗ[R] Π₀ (i : ι), A i
hf : Function.Surjective ⇑f
g : (i : ι) → A i →ₗ[R] (Π₀ (i : ι), A i) →₀ R
hg : ∀ (i : ι) (x : A i), f ((g i) x) = DFinsupp.single i x
i : ι
x : A i
j : ι
⊢ (((f ∘ₗ DFinsupp.coprodMap g) ∘ₗ DFinsupp.lsingle i) x) j = ((LinearMap.id ∘ₗ DFinsupp.lsingle i) x) j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.DirectSum.Finsupp

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
ι : Type u_5
inst✝ : DecidableEq ι
m : M
p : ι →₀ R
⊢ (finsuppScalarRight R S M ι) (m ⊗ₜ[R] p) = p.sum fun i n ↦ Finsupp.single i (n • m)

Tactic:
by
  ext i
  rw [finsuppScalarRight_apply_tmul_apply, Finsupp.sum_apply,
    Finsupp.sum_eq_single i (fun _ _ ↦ Finsupp.single_eq_of_ne') (by simp), Finsupp.single_eq_same]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Star.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
r : R
x : A
⊢ ⟨⅟2 • (r • x - star (r • x)), ⋯⟩ = (RingHom.id R) r • ⟨⅟2 • (x - star x), ⋯⟩

Tactic:
by
    ext
    simp [← mul_smul, ← smul_sub,
      show r * ⅟2 = ⅟2 * r from Commute.invOf_right <| (2 : ℕ).commute_cast r]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Basis.SMul

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
G : Type u_5
inst✝³ : Group G
inst✝² : SMul G R
inst✝¹ : MulAction G M
inst✝ : IsScalarTower G R M
v : ι → M
hv : span R (range v) = ⊤
w : ι → G
⊢ span R (range (w • v)) = ⊤

Tactic:
eq_top_iff

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
G : Type u_5
inst✝³ : Group G
inst✝² : SMul G R
inst✝¹ : MulAction G M
inst✝ : IsScalarTower G R M
v : ι → M
hv : span R (range v) = ⊤
w : ι → G
⊢ ⊤ ≤ span R (range (w • v))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.RowCol

Goal state before:
pp: l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix m n α
j : o
c : l → α
e : l ≃ m
f : o ≃ n
⊢ (A.submatrix ⇑e ⇑f).updateCol j c = (A.updateCol (f j) fun i ↦ c (e.symm i)).submatrix ⇑e ⇑f

Tactic:
by
  simpa only [← transpose_submatrix, updateRow_transpose] using!
    congr_arg transpose (updateRow_submatrix_equiv Aᵀ j c f e)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
⊢ ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N

Tactic:
obtain ⟨P, P_eq, P_max⟩ :=
      set_has_maximal_iff_noetherian.mpr (inferInstance : IsNoetherian R R) _
        (show (Set.range fun ψ : M →ₗ[R] R ↦ ψ.submoduleImage N).Nonempty from
          ⟨_, Set.mem_range.mpr ⟨0, rfl⟩⟩)

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
P : Submodule R R
P_eq : P ∈ range fun ψ ↦ ψ.submoduleImage N
P_max : ∀ I ∈ range fun ψ ↦ ψ.submoduleImage N, ¬P < I
⊢ ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
Module: Mathlib.Algebra.AffineMonoid.Irreducible

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : Subsingleton Mˣ
S : Set M
hS : Submonoid.closure S = ⊤
⊢ {p | Irreducible p} ⊆ S

Tactic:
simpa [hS] using irreducible_mem_submonoidClosure_subset (S := S)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Tower

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module A N
f : A ⊗[R] M →ₗ[A] N
⊢ (LinearMap.baseChange A f ∘ₗ ↑(cancelBaseChange R A A A M).symm).ker = f.ker

Tactic:
by
  rw [baseChange_comp_cancelBaseChange_symm_self, LinearMap.ker_comp,
    LinearEquiv.ker, Submodule.comap_bot]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
c✝ : ι → R
hc✝ : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c✝ i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i, c✝ i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i, c✝ i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
c : R
x : O
xM : x ∈ M
hx' : ϕ ⟨x, xM⟩ = 0
xM' : M.subtype ⟨x, xM⟩ ∈ M'
hc : c • y' + M.subtype ⟨x, xM⟩ = 0
⊢ c = 0

Tactic:
have hc' : (c • ⟨y', y'M⟩ + ⟨x, xM⟩ : M) = 0 := by exact @Subtype.coe_injective O (· ∈ M) _ _ hc

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
c✝ : ι → R
hc✝ : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c✝ i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i, c✝ i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i, c✝ i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
c : R
x : O
xM : x ∈ M
hx' : ϕ ⟨x, xM⟩ = 0
xM' : M.subtype ⟨x, xM⟩ ∈ M'
hc : c • y' + M.subtype ⟨x, xM⟩ = 0
hc' : c • ⟨y', y'M⟩ + ⟨x, xM⟩ = 0
⊢ c = 0
Module: Mathlib.RingTheory.OreLocalization.Basic

Goal state before:
pp: case c
R : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero R
S : Submonoid R
inst✝ : OreSet S
r : R
s : ↥S
⊢ 0 = 0 /ₒ 1

Tactic:
zero_oreDiv'

Goal state after:
case c
R : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero R
S : Submonoid R
inst✝ : OreSet S
r : R
s : ↥S
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.Algebra.Field.Subfield.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
L : Type v
inst✝¹ : DivisionRing K
inst✝ : DivisionRing L
f : K →+* L
x : ↥f.fieldRange
⊢ f (f.rangeRestrictFieldEquiv.symm x) = ↑x

Tactic:
by
  rw [← rangeRestrictFieldEquiv_apply_coe, RingEquiv.apply_symm_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Field.Subfield.Basic

Goal state before:
pp: K✝ : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝³ : DivisionRing K✝
inst✝² : DivisionRing L
inst✝¹ : DivisionRing M
s✝¹ : Set K✝
K : Type u
inst✝ : Field K
s✝ : Subfield K
s : Set K
x : K
⊢ x ∈ {z | ∃ x ∈ Subring.closure s, ∃ y ∈ Subring.closure s, x / y = z} →
    x⁻¹ ∈ {z | ∃ x ∈ Subring.closure s, ∃ y ∈ Subring.closure s, x / y = z}

Tactic:
rintro ⟨y, hy, z, hz, x_eq⟩; exact ⟨z, hz, y, hy, x_eq ▸ (inv_div _ _).symm⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLin

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
inst✝⁴ : Fintype m
M₃ : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝¹ : Finite l
inst✝ : DecidableEq m
f : M₂ →ₗ[R] M₃
g : M₁ →ₗ[R] M₂
⊢ (toMatrix v₁ v₃) (f ∘ₗ g) = (toMatrix v₂ v₃) f * (toMatrix v₁ v₂) g

Tactic:
simp_rw [LinearMap.toMatrix, LinearEquiv.trans_apply]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
inst✝⁴ : Fintype m
M₃ : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝¹ : Finite l
inst✝ : DecidableEq m
f : M₂ →ₗ[R] M₃
g : M₁ →ₗ[R] M₂
⊢ toMatrix' ((v₁.equivFun.arrowCongr v₃.equivFun) (f ∘ₗ g)) =
    toMatrix' ((v₂.equivFun.arrowCongr v₃.equivFun) f) * toMatrix' ((v₁.equivFun.arrowCongr v₂.equivFun) g)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLin

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
f : End A (ι → M)
i j : ι
x : A
y : M
⊢ f (Pi.single j (x • y)) i = (RingHom.id A) x • f (Pi.single j y) i

Tactic:
by simp [Pi.single_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ToLin

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
f : End A (ι → M)
⊢ (fun m ↦ { toFun := fun x i ↦ ∑ j, (m i j) (x j), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
      ((fun f i j ↦ { toFun := fun x ↦ f (Pi.single j x) i, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) f) =
    f

Tactic:
ext i x j

Goal state after:
ι : Type u_1
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
f : End A (ι → M)
i : ι
x : M
j : ι
⊢ ((fun m ↦ { toFun := fun x i ↦ ∑ j, (m i j) (x j), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ })
          ((fun f i j ↦ { toFun := fun x ↦ f (Pi.single j x) i, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) f) ∘ₗ
        LinearMap.single A (fun i ↦ M) i)
      x j =
    (f ∘ₗ LinearMap.single A (fun i ↦ M) i) x j