Module: Mathlib.Topology.Compactness.Paracompact

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen[inst✝¹] (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen[inst✝¹] (t b)
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
t_inv : X → α
ht_inv : ∀ (x : X), x ∈ t (t_inv x)
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | (t i ∩ U x).Nonempty}.Finite
⊢ ∀ (a : ι), IsOpen[inst✝¹] ((fun i ↦ ⋃ a, ⋃ (_ : ind a = i), t a) a)

pp: case refine_2
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen[inst✝¹] (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen[inst✝¹] (t b)
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
t_inv : X → α
ht_inv : ∀ (x : X), x ∈ t (t_inv x)
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | (t i ∩ U x).Nonempty}.Finite
⊢ ⋃ i, (fun i ↦ ⋃ a, ⋃ (_ : ind a = i), t a) i = univ

pp: case refine_3
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen[inst✝¹] (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen[inst✝¹] (t b)
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
t_inv : X → α
ht_inv : ∀ (x : X), x ∈ t (t_inv x)
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | (t i ∩ U x).Nonempty}.Finite
⊢ LocallyFinite fun i ↦ ⋃ a, ⋃ (_ : ind a = i), t a

pp: case refine_4
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen[inst✝¹] (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen[inst✝¹] (t b)
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
t_inv : X → α
ht_inv : ∀ (x : X), x ∈ t (t_inv x)
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | (t i ∩ U x).Nonempty}.Finite
⊢ ∀ (a : ι), (fun i ↦ ⋃ a, ⋃ (_ : ind a = i), t a) a ⊆ u a

Tactic:
· exact fun a ↦ isOpen_iUnion fun a ↦ isOpen_iUnion fun _ ↦ hto a

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen[inst✝¹] (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen[inst✝¹] (t b)
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
t_inv : X → α
ht_inv : ∀ (x : X), x ∈ t (t_inv x)
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | (t i ∩ U x).Nonempty}.Finite
⊢ ⋃ i, (fun i ↦ ⋃ a, ⋃ (_ : ind a = i), t a) i = univ

case refine_3
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen[inst✝¹] (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen[inst✝¹] (t b)
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
t_inv : X → α
ht_inv : ∀ (x : X), x ∈ t (t_inv x)
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | (t i ∩ U x).Nonempty}.Finite
⊢ LocallyFinite fun i ↦ ⋃ a, ⋃ (_ : ind a = i), t a

case refine_4
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen[inst✝¹] (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
α : Type v
t : α → Set X
hto : ∀ (b : α), IsOpen[inst✝¹] (t b)
ind : α → ι
hind : ∀ (b : α), t b ⊆ u (ind b)
t_inv : X → α
ht_inv : ∀ (x : X), x ∈ t (t_inv x)
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | (t i ∩ U x).Nonempty}.Finite
⊢ ∀ (a : ι), (fun i ↦ ⋃ a, ⋃ (_ : ind a = i), t a) a ⊆ u a