mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.Pure

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
I : Ideal R
h : ∀ x ∈ I, ∃ y ∈ I, x = x * y
p : Ideal R
inst✝ : p.IsPrime
hle : I ≤ p
x : R
⊢ x ∈ I → x ∈ RingHom.ker (algebraMap R (Localization.AtPrime p))

Tactic:
hx

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
I : Ideal R
h : ∀ x ∈ I, ∃ y ∈ I, x = x * y
p : Ideal R
inst✝ : p.IsPrime
hle : I ≤ p
x : R
hx : x ∈ I
⊢ x ∈ RingHom.ker (algebraMap R (Localization.AtPrime p))
Module: Mathlib.RingTheory.KrullDimension.LocalRing

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ringKrullDim R = 1
x : R
⊢ x ≠ 0 → IsLocalRing.maximalIdeal R ≤ (Ideal.span {x}).radical

Tactic:
hx

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ringKrullDim R = 1
x : R
hx : x ≠ 0
⊢ IsLocalRing.maximalIdeal R ≤ (Ideal.span {x}).radical
Module: Mathlib.RingTheory.Spectrum.Prime.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
x : PrimeSpectrum A
⊢ x ∈ support A M → x ∈ PrimeSpectrum.comap (algebraMap R A) ⁻¹' support R M

Tactic:
hx

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
x : PrimeSpectrum A
hx : x ∈ support A M
⊢ x ∈ PrimeSpectrum.comap (algebraMap R A) ⁻¹' support R M
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.KrullsHeightTheorem

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊤
⊢ ↑I.height ≤ Submodule.spanRank I

Tactic:
trans ↑I.spanRank.toENat

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊤
⊢ ↑I.height ≤ ↑(Cardinal.toENat (Submodule.spanRank I))

R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊤
⊢ ↑(Cardinal.toENat (Submodule.spanRank I)) ≤ Submodule.spanRank I
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.KrullsHeightTheorem

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊤
⊢ ∃ J ≤ I, Submodule.spanRank J = ↑I.height ∧ J.height = I.height

Tactic:
obtain ⟨J, hJ₁, hJ₂, hJ₃⟩ := exists_spanRank_le_and_le_height_of_le_height I _
    (ENat.natCast_toNat_le_self I.height)
  rw [ENat.natCast_toNat_eq_self.mpr (Ideal.height_ne_top hI)] at hJ₃
  refine ⟨J, hJ₁, le_antisymm ?_ (le_trans ?_ (J.height_le_spanRank ?_)),
    le_antisymm (Ideal.height_mono hJ₁) hJ₃⟩
  · convert! hJ₂
    exact Cardinal.ofENat_eq_nat.mpr (ENat.natCast_toNat (I.height_ne_top hI)).symm
  · exact Cardinal.ofENat_le_ofENat_of_le hJ₃
  · rintro rfl
    exact hI (top_le_iff.mp hJ₁)

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.LittleWedderburn

Goal state before:
pp: case intro
D : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing D
inst✝ : Finite D
hD : InductionHyp D
val✝ : Fintype D
Z : Subring D := Subring.center D
hZ : Z ≠ ⊤
this : Field ↥Z := hD.field ⋯
q : ℕ := card ↥Z
card_Z : q = card ↥Z
hq : 1 < q
n : ℕ := finrank (↥Z) D
card_D : card D = q ^ n
h1qn : 1 ≤ q ^ n
Φₙ : ℤ[X] := cyclotomic n ℤ
key : ↑q - 1 + ↑(∑ x ∈ (ConjClasses.noncenter Dˣ).toFinset, x.carrier.toFinset.card) = ↑(q ^ n) - 1
⊢ False

Tactic:
Nat.cast_pow

Goal state after:
case intro
D : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing D
inst✝ : Finite D
hD : InductionHyp D
val✝ : Fintype D
Z : Subring D := Subring.center D
hZ : Z ≠ ⊤
this : Field ↥Z := hD.field ⋯
q : ℕ := card ↥Z
card_Z : q = card ↥Z
hq : 1 < q
n : ℕ := finrank (↥Z) D
card_D : card D = q ^ n
h1qn : 1 ≤ q ^ n
Φₙ : ℤ[X] := cyclotomic n ℤ
key : ↑q - 1 + ↑(∑ x ∈ (ConjClasses.noncenter Dˣ).toFinset, x.carrier.toFinset.card) = ↑q ^ n - 1
⊢ False
Module: Mathlib.RingTheory.LittleWedderburn

Goal state before:
pp: case refine_2
D : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing D
inst✝ : Finite D
hD : InductionHyp D
val✝ : Fintype D
Z : Subring D := Subring.center D
hZ : Z ≠ ⊤
this✝ : Field ↥Z := hD.field ⋯
q : ℕ := card ↥Z
card_Z : q = card ↥Z
hq : 1 < q
n : ℕ := finrank (↥Z) D
card_D : card D = q ^ n
h1qn : 1 ≤ q ^ n
Φₙ : ℤ[X] := cyclotomic n ℤ
key : ↑q - 1 + ↑(∑ x ∈ (ConjClasses.noncenter Dˣ).toFinset, x.carrier.toFinset.card) = ↑q ^ n - 1
this : eval (↑q) Φₙ ∣ ↑(∑ x ∈ (ConjClasses.noncenter Dˣ).toFinset, x.carrier.toFinset.card)
contra : eval (↑q) Φₙ ∣ ↑q - 1
⊢ (eval (↑q) (cyclotomic n ℤ)).natAbs ∣ q - 1

Tactic:
convert! Int.natAbs_dvd_natAbs.mpr contra

Goal state after:
D : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing D
inst✝ : Finite D
hD : InductionHyp D
val✝ : Fintype D
Z : Subring D := Subring.center D
hZ : Z ≠ ⊤
this✝ : Field ↥Z := hD.field ⋯
q : ℕ := card ↥Z
card_Z : q = card ↥Z
hq : 1 < q
n : ℕ := finrank (↥Z) D
card_D : card D = q ^ n
h1qn : 1 ≤ q ^ n
Φₙ : ℤ[X] := cyclotomic n ℤ
key : ↑q - 1 + ↑(∑ x ∈ (ConjClasses.noncenter Dˣ).toFinset, x.carrier.toFinset.card) = ↑q ^ n - 1
this : eval (↑q) Φₙ ∣ ↑(∑ x ∈ (ConjClasses.noncenter Dˣ).toFinset, x.carrier.toFinset.card)
contra : eval (↑q) Φₙ ∣ ↑q - 1
⊢ q - 1 = (↑q - 1).natAbs
Module: Mathlib.RingTheory.Lasker

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsNoetherian R M
N : Submodule R M
h : InfIrred N
a : R
b : M
hab : a • b ∈ N
f : ℕ → Submodule R M := fun n ↦ { carrier := {x | a ^ n • x ∈ N}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }
n m : ℕ
hnm : n ≤ m
x : M
⊢ x ∈ f n → x ∈ f m

Tactic:
hx

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsNoetherian R M
N : Submodule R M
h : InfIrred N
a : R
b : M
hab : a • b ∈ N
f : ℕ → Submodule R M := fun n ↦ { carrier := {x | a ^ n • x ∈ N}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }
n m : ℕ
hnm : n ≤ m
x : M
hx : x ∈ f n
⊢ x ∈ f m
Module: Mathlib.RingTheory.LittleWedderburn

Goal state before:
pp: case intro.h
n : ℕ
IH : ∀ m < n, ∀ (D : Type u_1) [inst : DivisionRing D] [Finite D] (val : Fintype D), card D = m → Subring.center D = ⊤
D : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing D
inst✝ : Finite D
val✝ : Fintype D
hn : card D = n
R : Subring D
hR : R < ⊤
x y : D
⊢ x ∈ R → y ∈ R → x * y = y * x

Tactic:
hx

Goal state after:
case intro.h
n : ℕ
IH : ∀ m < n, ∀ (D : Type u_1) [inst : DivisionRing D] [Finite D] (val : Fintype D), card D = m → Subring.center D = ⊤
D : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing D
inst✝ : Finite D
val✝ : Fintype D
hn : card D = n
R : Subring D
hR : R < ⊤
x y : D
hx : x ∈ R
⊢ y ∈ R → x * y = y * x
Module: Mathlib.RingTheory.LocalIso

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra S T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalIso R S
inst✝ : IsLocalIso S T
s : Set S := {g | IsStandardOpenImmersion R (Localization.Away g)}
T' : S → Type u_3 := fun g ↦ Localization.Away ((algebraMap S T) g)
this✝ : (g : S) → Algebra (Localization.Away g) (T' g) := fun g ↦ localizationAlgebra (Submonoid.powers g) T
T'' : S → T → Type u_3 := fun g x ↦ Localization.Away ((algebraMap T (T' g)) x)
t : S → Set T := fun g ↦ {x | IsStandardOpenImmersion (Localization.Away g) (T'' g x)}
ι : Type (max u_3 u_2) := (i : ↑s) × ↑(t ↑i)
this : ∀ (i : ι), IsStandardOpenImmersion (Localization.Away ↑i.fst) (T'' ↑i.fst ↑i.snd)
h1 : Ideal.span (⇑(algebraMap S T) '' {g | IsStandardOpenImmersion R (Localization.Away g)}) = ⊤
g : S
hg : IsStandardOpenImmersion R (Localization.Away g)
x : T
⊢ IsStandardOpenImmersion S (Localization.Away x) →
    (algebraMap S T) g * x ∈ Ideal.span (Set.range fun i ↦ (algebraMap S T) ↑i.fst * ↑i.snd)

Tactic:
hx

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra S T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalIso R S
inst✝ : IsLocalIso S T
s : Set S := {g | IsStandardOpenImmersion R (Localization.Away g)}
T' : S → Type u_3 := fun g ↦ Localization.Away ((algebraMap S T) g)
this✝ : (g : S) → Algebra (Localization.Away g) (T' g) := fun g ↦ localizationAlgebra (Submonoid.powers g) T
T'' : S → T → Type u_3 := fun g x ↦ Localization.Away ((algebraMap T (T' g)) x)
t : S → Set T := fun g ↦ {x | IsStandardOpenImmersion (Localization.Away g) (T'' g x)}
ι : Type (max u_3 u_2) := (i : ↑s) × ↑(t ↑i)
this : ∀ (i : ι), IsStandardOpenImmersion (Localization.Away ↑i.fst) (T'' ↑i.fst ↑i.snd)
h1 : Ideal.span (⇑(algebraMap S T) '' {g | IsStandardOpenImmersion R (Localization.Away g)}) = ⊤
g : S
hg : IsStandardOpenImmersion R (Localization.Away g)
x : T
hx : IsStandardOpenImmersion S (Localization.Away x)
⊢ (algebraMap S T) g * x ∈ Ideal.span (Set.range fun i ↦ (algebraMap S T) ↑i.fst * ↑i.snd)
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Semilocal

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : Finite (MaximalSpectrum R)
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
Rₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_3
inst✝⁷ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → CommSemiring (Rₚ P)
inst✝⁶ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Algebra R (Rₚ P)
inst✝⁵ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalization.AtPrime (Rₚ P) P
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_4
inst✝⁴ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝³ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module (Rₚ P) (Mₚ P)
inst✝¹ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsScalarTower R (Rₚ P) (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
H : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], Module.Finite (Rₚ P) (Mₚ P)
this : Fintype (MaximalSpectrum R)
s : (P : MaximalSpectrum R) → Finset (Mₚ P.asIdeal)
hs : ∀ (P : MaximalSpectrum R), Submodule.span (Rₚ P.asIdeal) ↑(s P) = ⊤
frac : (P : MaximalSpectrum R) → Mₚ P.asIdeal → M × ↥P.asIdeal.primeCompl
hfrac : ∀ (P : MaximalSpectrum R) (y : Mₚ P.asIdeal), (frac P y).2 • y = (f P.asIdeal) (frac P y).1
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
x : Mₚ { asIdeal := P, isMaximal := hP }.asIdeal
⊢ x ∈ ↑(s { asIdeal := P, isMaximal := hP }) →
    x ∈ ↑(Submodule.span (Rₚ P) (⇑(f P) '' ↑(Finset.univ.biUnion fun P ↦ Finset.image (fun x ↦ (frac P x).1) (s P))))

Tactic:
hx

Goal state after:
case h
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : Finite (MaximalSpectrum R)
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
Rₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_3
inst✝⁷ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → CommSemiring (Rₚ P)
inst✝⁶ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Algebra R (Rₚ P)
inst✝⁵ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalization.AtPrime (Rₚ P) P
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_4
inst✝⁴ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝³ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module (Rₚ P) (Mₚ P)
inst✝¹ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsScalarTower R (Rₚ P) (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
H : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], Module.Finite (Rₚ P) (Mₚ P)
this : Fintype (MaximalSpectrum R)
s : (P : MaximalSpectrum R) → Finset (Mₚ P.asIdeal)
hs : ∀ (P : MaximalSpectrum R), Submodule.span (Rₚ P.asIdeal) ↑(s P) = ⊤
frac : (P : MaximalSpectrum R) → Mₚ P.asIdeal → M × ↥P.asIdeal.primeCompl
hfrac : ∀ (P : MaximalSpectrum R) (y : Mₚ P.asIdeal), (frac P y).2 • y = (f P.asIdeal) (frac P y).1
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
x : Mₚ { asIdeal := P, isMaximal := hP }.asIdeal
hx : x ∈ ↑(s { asIdeal := P, isMaximal := hP })
⊢ x ∈ ↑(Submodule.span (Rₚ P) (⇑(f P) '' ↑(Finset.univ.biUnion fun P ↦ Finset.image (fun x ↦ (frac P x).1) (s P))))
Module: Mathlib.RingTheory.LaurentSeries

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x : R⸨X⸩
⊢ x.powerSeriesPart = 0 → x = 0

Tactic:
contrapose!
    simp only [ne_eq]
    intro h
    rw [PowerSeries.ext_iff, not_forall]
    use 0
    simpa

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Pullback

Goal state before:
pp: case a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Semiring T
f : R →+* T
g : S →+* T
fst✝ : R
snd✝ : S
h : (fst✝, snd✝) ∈ f.pullback g
⊢ ⟨(fst✝, snd✝), h⟩ ∈ ker (f.pullbackFst g) → ⟨(fst✝, snd✝), h⟩ ∈ Ideal.comap (f.pullbackSnd g) (ker g)

Tactic:
simp at h ⊢

Goal state after:
case a
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Semiring T
f : R →+* T
g : S →+* T
fst✝ : R
snd✝ : S
h : f fst✝ = g snd✝
⊢ fst✝ = 0 → g snd✝ = 0
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.EulerIdentity

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
σ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
inst✝ : AddCancelCommMonoid M
w : σ → M
n n' : M
i : σ
h : φ ∈ Submodule.span R ((fun m ↦ AddMonoidAlgebra.single m 1) '' {d | (weight w) d = n})
h' : n' + w i = n
⊢ IsWeightedHomogeneous w ((pderiv i) 0) n'

Tactic:
map_zero

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
σ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
inst✝ : AddCancelCommMonoid M
w : σ → M
n n' : M
i : σ
h : φ ∈ Submodule.span R ((fun m ↦ AddMonoidAlgebra.single m 1) '' {d | (weight w) d = n})
h' : n' + w i = n
⊢ IsWeightedHomogeneous w 0 n'
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.AtPrime.Extension

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
p : Ideal R
inst✝⁹ : p.IsPrime
Rₚ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing Rₚ
inst✝⁷ : Algebra R Rₚ
inst✝⁶ : IsLocalization.AtPrime Rₚ p
inst✝⁵ : IsLocalRing Rₚ
Sₚ : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing Sₚ
inst✝³ : Algebra S Sₚ
inst✝² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝¹ : Algebra Rₚ Sₚ
P : Ideal S
hPp : P.LiesOver p
inst✝ : P.IsMaximal
⊢ P = comap (algebraMap S Sₚ) (Ideal.map (algebraMap S Sₚ) P)

Tactic:
comap_map_eq_self_of_isMaximal _ (isPrime_map_of_liesOver S p Sₚ P).ne_top

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
p : Ideal R
inst✝⁹ : p.IsPrime
Rₚ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing Rₚ
inst✝⁷ : Algebra R Rₚ
inst✝⁶ : IsLocalization.AtPrime Rₚ p
inst✝⁵ : IsLocalRing Rₚ
Sₚ : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing Sₚ
inst✝³ : Algebra S Sₚ
inst✝² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝¹ : Algebra Rₚ Sₚ
P : Ideal S
hPp : P.LiesOver p
inst✝ : P.IsMaximal
⊢ P = P
Module: Mathlib.RingTheory.LaurentSeries

Goal state before:
pp: case coe
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : K⸨X⸩
a✝ : Multiplicative ℤ
hD : ↑a✝ ≠ 0
⊢ Valued.v f ≤ ↑a✝ ↔ ∀ n < -(↑a✝).log, f.coeff n = 0

Tactic:
rename_i D

Goal state after:
case coe
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : K⸨X⸩
D : Multiplicative ℤ
hD : ↑D ≠ 0
⊢ Valued.v f ≤ ↑D ↔ ∀ n < -(↑D).log, f.coeff n = 0
Module: Mathlib.RingTheory.LaurentSeries

Goal state before:
pp: case coe.ofAdd
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : K⸨X⸩
a✝ : ℤ
hD : ↑(Multiplicative.ofAdd a✝) ≠ 0
⊢ Valued.v f ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd a✝) ↔ ∀ n < -(↑(Multiplicative.ofAdd a✝)).log, f.coeff n = 0

Tactic:
rename_i D

Goal state after:
case coe.ofAdd
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : K⸨X⸩
D : ℤ
hD : ↑(Multiplicative.ofAdd D) ≠ 0
⊢ Valued.v f ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd D) ↔ ∀ n < -(↑(Multiplicative.ofAdd D)).log, f.coeff n = 0
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Expand

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
p : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f : MvPolynomial σ R
n : ℕ
⊢ (map (iterateFrobenius R p n)) ((expand (p ^ n)) f) = f ^ p ^ n

Tactic:
induction n with
  | zero => simp [map_id]
  | succ k n_ih =>
    symm
    conv_lhs => rw [pow_succ, pow_mul, ← n_ih]
    simp_rw [← map_frobenius_expand p, pow_succ', add_comm k, iterateFrobenius_add,
      ← map_map, ← map_expand, ← expand_mul, iterateFrobenius_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.LaurentSeries

Goal state before:
pp: K : Type u_2
inst✝ : Field K
ℱ : Filter K⸨X⸩
hℱ : Cauchy ℱ
D : ℤ
φ : ℤ → Set K⸨X⸩ := fun d ↦ {f | coeff hℱ d = f.coeff d}
intersec₁ : ⋂ n ∈ Set.Iio D, φ n ⊆ {x | ∀ d < D, coeff hℱ d = x.coeff d}
ℓ : ℤ := ⋯.choose
N : ℤ := max ℓ D
i : ℤ
hi : i < D
x : K⸨X⸩
⊢ x ∈ (⋂ n, ⋂ (_ : n < ℓ), φ n) ∩ ⋂ n, ⋂ (_ : ℓ ≤ n ∧ n ≤ N), φ n → x ∈ φ i

Tactic:
hx

Goal state after:
K : Type u_2
inst✝ : Field K
ℱ : Filter K⸨X⸩
hℱ : Cauchy ℱ
D : ℤ
φ : ℤ → Set K⸨X⸩ := fun d ↦ {f | coeff hℱ d = f.coeff d}
intersec₁ : ⋂ n ∈ Set.Iio D, φ n ⊆ {x | ∀ d < D, coeff hℱ d = x.coeff d}
ℓ : ℤ := ⋯.choose
N : ℤ := max ℓ D
i : ℤ
hi : i < D
x : K⸨X⸩
hx : x ∈ (⋂ n, ⋂ (_ : n < ℓ), φ n) ∩ ⋂ n, ⋂ (_ : ℓ ≤ n ∧ n ≤ N), φ n
⊢ x ∈ φ i
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Symmetric.FundamentalTheorem

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_1
R : Type u_3
m : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
i : ℕ
him : i < m
t : Finset (Fin m)
ht : t ∈ powersetCard (i + 1) univ
ht' : #t = #(Iic ⟨i, him⟩)
hne : ∃ x, x ∈ Iic ⟨i, him⟩ \ t
hkm : (Iic ⟨i, him⟩ \ t).min' hne ∈ Iic ⟨i, him⟩ ∧ (Iic ⟨i, him⟩ \ t).min' hne ∉ t
k : Fin m
hk : (fun x1 x2 ↦ x1 < x2) k ((Iic ⟨i, him⟩ \ t).min' hne)
hki : k ∈ Iic ⟨i, him⟩
⊢ (if hi : k ∈ t then 1 else 0) = if hi : k ∈ Iic ⟨i, him⟩ then 1 else 0

Tactic:
dif_pos hki,

Goal state after:
case refine_2.refine_1
R : Type u_3
m : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
i : ℕ
him : i < m
t : Finset (Fin m)
ht : t ∈ powersetCard (i + 1) univ
ht' : #t = #(Iic ⟨i, him⟩)
hne : ∃ x, x ∈ Iic ⟨i, him⟩ \ t
hkm : (Iic ⟨i, him⟩ \ t).min' hne ∈ Iic ⟨i, him⟩ ∧ (Iic ⟨i, him⟩ \ t).min' hne ∉ t
k : Fin m
hk : (fun x1 x2 ↦ x1 < x2) k ((Iic ⟨i, him⟩ \ t).min' hne)
hki : k ∈ Iic ⟨i, him⟩
⊢ (if hi : k ∈ t then 1 else 0) = 1
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Symmetric.FundamentalTheorem

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u_3
n m : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
r : R
hr : r ≠ 0
hnm : n ≤ m
inst✝ : Nontrivial R
⊢ 0 = (accumulate n m) 0

Tactic:
map_zero

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Symmetric.FundamentalTheorem

Goal state before:
pp: case add_single
R : Type u_3
n m : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
r : R
hr : r ≠ 0
hnm : n ≤ m
inst✝ : Nontrivial R
i : Fin n
b✝ : ℕ
f✝ : Fin n →₀ ℕ
a✝¹ : i ∉ f✝.support
a✝ : b✝ ≠ 0
ih : ⇑(ofLex (supDegree (⇑toLex) (esymmAlgHomMonomial (Fin m) f✝ r))) = (accumulate n m) ⇑f✝
this : ↑i < m
⊢ ⇑(ofLex
        (supDegree (⇑toLex) (esymmAlgHomMonomial (Fin m) f✝ r) + supDegree (⇑toLex) (esymm (Fin m) R (↑i + 1) ^ b✝))) =
    (accumulate n m) ⇑(f✝ + fun₀ | i => b✝)

pp: case add_single.hq
R : Type u_3
n m : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
r : R
hr : r ≠ 0
hnm : n ≤ m
inst✝ : Nontrivial R
i : Fin n
b✝ : ℕ
f✝ : Fin n →₀ ℕ
a✝¹ : i ∉ f✝.support
a✝ : b✝ ≠ 0
ih : ⇑(ofLex (supDegree (⇑toLex) (esymmAlgHomMonomial (Fin m) f✝ r))) = (accumulate n m) ⇑f✝
this : ↑i < m
⊢ Monic (⇑toLex) (esymm (Fin m) R (↑i + 1) ^ b✝)

pp: case add_single.hp
R : Type u_3
n m : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
r : R
hr : r ≠ 0
hnm : n ≤ m
inst✝ : Nontrivial R
i : Fin n
b✝ : ℕ
f✝ : Fin n →₀ ℕ
a✝¹ : i ∉ f✝.support
a✝ : b✝ ≠ 0
ih : ⇑(ofLex (supDegree (⇑toLex) (esymmAlgHomMonomial (Fin m) f✝ r))) = (accumulate n m) ⇑f✝
this : ↑i < m
⊢ esymmAlgHomMonomial (Fin m) f✝ r ≠ 0

Tactic:
ofLex_add,

Goal state after:
case add_single
R : Type u_3
n m : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
r : R
hr : r ≠ 0
hnm : n ≤ m
inst✝ : Nontrivial R
i : Fin n
b✝ : ℕ
f✝ : Fin n →₀ ℕ
a✝¹ : i ∉ f✝.support
a✝ : b✝ ≠ 0
ih : ⇑(ofLex (supDegree (⇑toLex) (esymmAlgHomMonomial (Fin m) f✝ r))) = (accumulate n m) ⇑f✝
this : ↑i < m
⊢ ⇑(ofLex (supDegree (⇑toLex) (esymmAlgHomMonomial (Fin m) f✝ r)) +
        ofLex (supDegree (⇑toLex) (esymm (Fin m) R (↑i + 1) ^ b✝))) =
    (accumulate n m) ⇑(f✝ + fun₀ | i => b✝)

case add_single.hq
R : Type u_3
n m : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
r : R
hr : r ≠ 0
hnm : n ≤ m
inst✝ : Nontrivial R
i : Fin n
b✝ : ℕ
f✝ : Fin n →₀ ℕ
a✝¹ : i ∉ f✝.support
a✝ : b✝ ≠ 0
ih : ⇑(ofLex (supDegree (⇑toLex) (esymmAlgHomMonomial (Fin m) f✝ r))) = (accumulate n m) ⇑f✝
this : ↑i < m
⊢ Monic (⇑toLex) (esymm (Fin m) R (↑i + 1) ^ b✝)

case add_single.hp
R : Type u_3
n m : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
r : R
hr : r ≠ 0
hnm : n ≤ m
inst✝ : Nontrivial R
i : Fin n
b✝ : ℕ
f✝ : Fin n →₀ ℕ
a✝¹ : i ∉ f✝.support
a✝ : b✝ ≠ 0
ih : ⇑(ofLex (supDegree (⇑toLex) (esymmAlgHomMonomial (Fin m) f✝ r))) = (accumulate n m) ⇑f✝
this : ↑i < m
⊢ esymmAlgHomMonomial (Fin m) f✝ r ≠ 0
Module: Mathlib.RingTheory.LaurentSeries

Goal state before:
pp: case h
K : Type u_2
inst✝ : Field K
x : K⸨X⸩
hx : ¬Valued.v x = 0
⊢ ((valuation K⟮X⟯ (idealX K)) RatFunc.X ^ (Valued.v x).log)⁻¹ = Valued.v x

Tactic:
valuation_X_eq_neg_one,

Goal state after:
case h
K : Type u_2
inst✝ : Field K
x : K⸨X⸩
hx : ¬Valued.v x = 0
⊢ (exp (-1) ^ (Valued.v x).log)⁻¹ = Valued.v x
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Symmetric.NewtonIdentities

Goal state before:
pp: case neg
σ : Type u_1
inst✝ : DecidableEq σ
t : Finset σ × σ
h1 : t.2 ∈ t.1
h2 : (t.1.erase t.2, t.2).2 ∉ (t.1.erase t.2, t.2).1
⊢ (cons (t.1.erase t.2, t.2).2 (t.1.erase t.2, t.2).1 ⋯, (t.1.erase t.2, t.2).2) = t

pp: case pos
σ : Type u_1
inst✝ : DecidableEq σ
t : Finset σ × σ
h1 : t.2 ∉ t.1
h3 : (cons t.2 t.1 h1, t.2).2 ∈ (cons t.2 t.1 h1, t.2).1
⊢ ((cons t.2 t.1 h1, t.2).1.erase (cons t.2 t.1 h1, t.2).2, (cons t.2 t.1 h1, t.2).2) = t

pp: case neg
σ : Type u_1
inst✝ : DecidableEq σ
t : Finset σ × σ
h1 : t.2 ∉ t.1
h3 : (cons t.2 t.1 h1, t.2).2 ∉ (cons t.2 t.1 h1, t.2).1
⊢ (cons (cons t.2 t.1 h1, t.2).2 (cons t.2 t.1 h1, t.2).1 ⋯, (cons t.2 t.1 h1, t.2).2) = t

Tactic:
· simp [insert_erase h1]

Goal state after:
case pos
σ : Type u_1
inst✝ : DecidableEq σ
t : Finset σ × σ
h1 : t.2 ∉ t.1
h3 : (cons t.2 t.1 h1, t.2).2 ∈ (cons t.2 t.1 h1, t.2).1
⊢ ((cons t.2 t.1 h1, t.2).1.erase (cons t.2 t.1 h1, t.2).2, (cons t.2 t.1 h1, t.2).2) = t

case neg
σ : Type u_1
inst✝ : DecidableEq σ
t : Finset σ × σ
h1 : t.2 ∉ t.1
h3 : (cons t.2 t.1 h1, t.2).2 ∉ (cons t.2 t.1 h1, t.2).1
⊢ (cons (cons t.2 t.1 h1, t.2).2 (cons t.2 t.1 h1, t.2).1 ⋯, (cons t.2 t.1 h1, t.2).2) = t
Module: Mathlib.RingTheory.LaurentSeries

Goal state before:
pp: case mpr.refine_2
K : Type u_2
inst✝ : Field K
S : Set (K⟮X⟯ × K⟮X⟯)
w✝ : Set K⟮X⟯
hT : w✝ ∈ nhds 0
pre_T : (fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' w✝ ⊆ S
d : (MonoidWithZeroHom.ofClass Valued.v).ValueGroup₀ˣ
hd : {y | Valued.v.restrict (y - 0) < ↑d} ⊆ w✝
X : Set K⸨X⸩ := {f | Valued.v f < embedding ↑d}
X_def : X = {f | Valued.v f < embedding ↑d}
x✝¹ : K⟮X⟯ × K⟮X⟯
x✝ : x✝¹ ∈ (fun x ↦ ((algebraMap K⟮X⟯ K⸨X⸩) x.1, (algebraMap K⟮X⟯ K⸨X⸩) x.2)) ⁻¹' (fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' X
⊢ (valuation K⟮X⟯ (idealX K)) ((fun x ↦ x.2 - x.1) x✝¹) < embedding ↑d

Tactic:
valuation_eq_LaurentSeries_valuation,

Goal state after:
case mpr.refine_2
K : Type u_2
inst✝ : Field K
S : Set (K⟮X⟯ × K⟮X⟯)
w✝ : Set K⟮X⟯
hT : w✝ ∈ nhds 0
pre_T : (fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' w✝ ⊆ S
d : (MonoidWithZeroHom.ofClass Valued.v).ValueGroup₀ˣ
hd : {y | Valued.v.restrict (y - 0) < ↑d} ⊆ w✝
X : Set K⸨X⸩ := {f | Valued.v f < embedding ↑d}
X_def : X = {f | Valued.v f < embedding ↑d}
x✝¹ : K⟮X⟯ × K⟮X⟯
x✝ : x✝¹ ∈ (fun x ↦ ((algebraMap K⟮X⟯ K⸨X⸩) x.1, (algebraMap K⟮X⟯ K⸨X⸩) x.2)) ⁻¹' (fun x ↦ x.2 - x.1) ⁻¹' X
⊢ (valuation K⸨X⸩ (PowerSeries.idealX K)) ((algebraMap K⟮X⟯ K⸨X⸩) ((fun x ↦ x.2 - x.1) x✝¹)) < embedding ↑d