mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : PartialOrder E
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝² : IsOrderedModule ℝ E
inst✝¹ : ClosedIciTopology E
β : Type u_6
inst✝ : Preorder β
f : α → β → E
s : Set β
hf_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, MonotoneOn (f x) s
hf_int : ∀ a ∈ s, Integrable (fun x ↦ f x a) μ
a : β
ha : a ∈ s
b : β
hb : b ∈ s
hab : a ≤ b
x : α
⊢ MonotoneOn (f x) s → f x a ≤ f x b

Tactic:
hx

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : PartialOrder E
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝² : IsOrderedModule ℝ E
inst✝¹ : ClosedIciTopology E
β : Type u_6
inst✝ : Preorder β
f : α → β → E
s : Set β
hf_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, MonotoneOn (f x) s
hf_int : ∀ a ∈ s, Integrable (fun x ↦ f x a) μ
a : β
ha : a ∈ s
b : β
hb : b ∈ s
hab : a ≤ b
x : α
hx : MonotoneOn (f x) s
⊢ f x a ≤ f x b
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : PartialOrder E
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝² : IsOrderedModule ℝ E
inst✝¹ : ClosedIciTopology E
β : Type u_6
inst✝ : Preorder β
f : α → β → E
s : Set β
hf_anti : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, AntitoneOn (f x) s
hf_int : ∀ a ∈ s, Integrable (fun x ↦ f x a) μ
a : β
ha : a ∈ s
b : β
hb : b ∈ s
hab : a ≤ b
x : α
⊢ AntitoneOn (f x) s → f x b ≤ f x a

Tactic:
hx

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : PartialOrder E
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝² : IsOrderedModule ℝ E
inst✝¹ : ClosedIciTopology E
β : Type u_6
inst✝ : Preorder β
f : α → β → E
s : Set β
hf_anti : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, AntitoneOn (f x) s
hf_int : ∀ a ∈ s, Integrable (fun x ↦ f x a) μ
a : β
ha : a ∈ s
b : β
hb : b ∈ s
hab : a ≤ b
x : α
hx : AntitoneOn (f x) s
⊢ f x b ≤ f x a
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : PartialOrder E
inst✝⁴ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝³ : IsOrderedModule ℝ E
inst✝² : ClosedIciTopology E
β : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid β
inst✝ : Module ℝ β
f : α → β → E
s : Set β
hs : Convex ℝ s
hf_conv : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ConvexOn ℝ s (f x)
hf_int : ∀ a ∈ s, Integrable (fun x ↦ f x a) μ
a : β
ha : a ∈ s
b : β
hb : b ∈ s
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
x : α
⊢ ConvexOn ℝ s (f x) → f x (p • a + q • b) ≤ p • f x a + q • f x b

Tactic:
hx

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : PartialOrder E
inst✝⁴ : IsOrderedAddMonoid E
inst✝³ : IsOrderedModule ℝ E
inst✝² : ClosedIciTopology E
β : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid β
inst✝ : Module ℝ β
f : α → β → E
s : Set β
hs : Convex ℝ s
hf_conv : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ConvexOn ℝ s (f x)
hf_int : ∀ a ∈ s, Integrable (fun x ↦ f x a) μ
a : β
ha : a ∈ s
b : β
hb : b ∈ s
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
x : α
hx : ConvexOn ℝ s (f x)
⊢ f x (p • a + q • b) ≤ p • f x a + q • f x b
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hfi : Integrable f μ
⊢ ¬0 = ∫ (x : α), f x ∂μ ↔ ¬μ (Function.support f) = 0

Tactic:
@eq_comm ℝ 0,

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : 0 ≤ᵐ[μ] f
hfi : Integrable f μ
⊢ ¬∫ (x : α), f x ∂μ = 0 ↔ ¬μ (Function.support f) = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hμ : NeZero μ
hf : Integrable (fun x ↦ Real.exp (f x)) μ
this : (Function.support fun x ↦ Real.exp (f x)) = univ
⊢ 0 < μ (Function.support fun x ↦ Real.exp (f x))

Tactic:
simp [this, hμ.out]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n ↦ f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ f n x) atTop (𝓝 (F x))
f' : ℕ → α → ℝ := fun n x ↦ f n x - f 0 x
hf'_nonneg : ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ f' i a
hf'_meas : ∀ (n : ℕ), Integrable (f' n) μ
hF_ge : 0 ≤ᵐ[μ] fun x ↦ (F - f 0) x
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ((F - f 0) a) ∂μ)
x : α
⊢ (Monotone fun n ↦ f n x) → Monotone fun n ↦ ENNReal.ofReal (f' n x)

Tactic:
hx

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n ↦ f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ f n x) atTop (𝓝 (F x))
f' : ℕ → α → ℝ := fun n x ↦ f n x - f 0 x
hf'_nonneg : ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ f' i a
hf'_meas : ∀ (n : ℕ), Integrable (f' n) μ
hF_ge : 0 ≤ᵐ[μ] fun x ↦ (F - f 0) x
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ((F - f 0) a) ∂μ)
x : α
hx : Monotone fun n ↦ f n x
⊢ Monotone fun n ↦ ENNReal.ofReal (f' n x)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n ↦ f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ f n x) atTop (𝓝 (F x))
f' : ℕ → α → ℝ := fun n x ↦ f n x - f 0 x
hf'_nonneg : ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ f' i a
hf'_meas : ∀ (n : ℕ), Integrable (f' n) μ
hF_ge : 0 ≤ᵐ[μ] fun x ↦ (F - f 0) x
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ((F - f 0) a) ∂μ)
x : α
⊢ Tendsto (fun n ↦ f n x) atTop (𝓝 (F x)) →
    Tendsto (fun n ↦ ENNReal.ofReal (f' n x)) atTop (𝓝 (ENNReal.ofReal ((F - f 0) x)))

Tactic:
hx

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n ↦ f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ f n x) atTop (𝓝 (F x))
f' : ℕ → α → ℝ := fun n x ↦ f n x - f 0 x
hf'_nonneg : ∀ (i : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ f' i a
hf'_meas : ∀ (n : ℕ), Integrable (f' n) μ
hF_ge : 0 ≤ᵐ[μ] fun x ↦ (F - f 0) x
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ((F - f 0) a) ∂μ)
x : α
hx : Tendsto (fun n ↦ f n x) atTop (𝓝 (F x))
⊢ Tendsto (fun n ↦ ENNReal.ofReal (f' n x)) atTop (𝓝 (ENNReal.ofReal ((F - f 0) x)))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Antitone fun n ↦ f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ f n x) atTop (𝓝 (F x))
x : α
⊢ (Antitone fun n ↦ f n x) → Monotone fun n ↦ -f n x

Tactic:
hx

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Antitone fun n ↦ f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ f n x) atTop (𝓝 (F x))
x : α
hx : Antitone fun n ↦ f n x
⊢ Monotone fun n ↦ -f n x
Module: Mathlib.Topology.Algebra.ContinuousAffineMap

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝¹⁴ : Ring S
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module R V
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace V
inst✝⁹ : IsTopologicalAddGroup V
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module R W
inst✝⁶ : TopologicalSpace W
inst✝⁵ : Module S W
inst✝⁴ : SMulCommClass R S W
inst✝³ : ContinuousConstSMul S W
inst✝² : AddTorsor W Q
inst✝¹ : TopologicalSpace Q
inst✝ : IsTopologicalAddTorsor Q
f : V →ᴬ[R] Q
x : V
⊢ f.contLinear x +ᵥ f 0 = f x

Tactic:
← f.map_vadd,

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝¹⁴ : Ring S
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module R V
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace V
inst✝⁹ : IsTopologicalAddGroup V
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : Module R W
inst✝⁶ : TopologicalSpace W
inst✝⁵ : Module S W
inst✝⁴ : SMulCommClass R S W
inst✝³ : ContinuousConstSMul S W
inst✝² : AddTorsor W Q
inst✝¹ : TopologicalSpace Q
inst✝ : IsTopologicalAddTorsor Q
f : V →ᴬ[R] Q
x : V
⊢ f (x +ᵥ 0) = f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Antitone fun n ↦ f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ f n x) atTop (𝓝 (F x))
x : α
⊢ Tendsto (fun n ↦ f n x) atTop (𝓝 (F x)) → Tendsto (fun n ↦ -f n x) atTop (𝓝 (-F x))

Tactic:
hx

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Antitone fun n ↦ f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n ↦ f n x) atTop (𝓝 (F x))
x : α
hx : Tendsto (fun n ↦ f n x) atTop (𝓝 (F x))
⊢ Tendsto (fun n ↦ -f n x) atTop (𝓝 (-F x))
Module: Mathlib.Topology.Instances.Matrix

Goal state before:
pp: X : Type u_1
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
R : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace R
A : X → Matrix n l R
B : X → Matrix n m R
C : X → Matrix p l R
D : X → Matrix p m R
hA : Continuous A
hB : Continuous B
hC : Continuous C
hD : Continuous D
⊢ ∀ (i : n ⊕ p) (j : l ⊕ m), Continuous fun a ↦ fromBlocks (A a) (B a) (C a) (D a) i j

Tactic:
rintro (i | i) (j | j)

Goal state after:
case inl.inl
X : Type u_1
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
R : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace R
A : X → Matrix n l R
B : X → Matrix n m R
C : X → Matrix p l R
D : X → Matrix p m R
hA : Continuous A
hB : Continuous B
hC : Continuous C
hD : Continuous D
i : n
j : l
⊢ Continuous fun a ↦ fromBlocks (A a) (B a) (C a) (D a) (Sum.inl i) (Sum.inl j)

case inl.inr
X : Type u_1
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
R : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace R
A : X → Matrix n l R
B : X → Matrix n m R
C : X → Matrix p l R
D : X → Matrix p m R
hA : Continuous A
hB : Continuous B
hC : Continuous C
hD : Continuous D
i : n
j : m
⊢ Continuous fun a ↦ fromBlocks (A a) (B a) (C a) (D a) (Sum.inl i) (Sum.inr j)

case inr.inl
X : Type u_1
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
R : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace R
A : X → Matrix n l R
B : X → Matrix n m R
C : X → Matrix p l R
D : X → Matrix p m R
hA : Continuous A
hB : Continuous B
hC : Continuous C
hD : Continuous D
i : p
j : l
⊢ Continuous fun a ↦ fromBlocks (A a) (B a) (C a) (D a) (Sum.inr i) (Sum.inl j)

case inr.inr
X : Type u_1
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
R : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace R
A : X → Matrix n l R
B : X → Matrix n m R
C : X → Matrix p l R
D : X → Matrix p m R
hA : Continuous A
hB : Continuous B
hC : Continuous C
hD : Continuous D
i : p
j : m
⊢ Continuous fun a ↦ fromBlocks (A a) (B a) (C a) (D a) (Sum.inr i) (Sum.inr j)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hF : CompleteSpace F
⊢ (L1.setToL1 hT) 0 = 0

Tactic:
map_zero

Goal state after:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hF : CompleteSpace F
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.Topology.Bornology.BoundedOperation

Goal state before:
pp: R : Type u_2
inst✝² : Bornology R
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : BoundedMul R
s : Set R
s_bdd : Bornology.IsBounded s
n : ℕ
hn : Bornology.IsBounded ((fun x ↦ x ^ n) '' s)
x : R
⊢ x ∈ (fun x ↦ x ^ (n + 1)) '' s → x ∈ (fun x ↦ x ^ n) '' s * s

Tactic:
hx

Goal state after:
R : Type u_2
inst✝² : Bornology R
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : BoundedMul R
s : Set R
s_bdd : Bornology.IsBounded s
n : ℕ
hn : Bornology.IsBounded ((fun x ↦ x ^ n) '' s)
x : R
hx : x ∈ (fun x ↦ x ^ (n + 1)) '' s
⊢ x ∈ (fun x ↦ x ^ n) '' s * s
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_6
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f g : ↥(Lp H 1 μ)
⊢ dist f g = ∫ (a : α), dist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ

Tactic:
simp only [dist_eq_norm, L1.norm_eq_integral_norm]

Goal state after:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_6
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f g : ↥(Lp H 1 μ)
⊢ ∫ (a : α), ‖↑↑(f - g) a‖ ∂μ = ∫ (a : α), ‖↑↑f a - ↑↑g a‖ ∂μ
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.FiniteDimension

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
E' : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E'
s : Set α
f : α → E'
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
ι : Type u_2 := ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E')
A : E' ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E') → ℝ := (Basis.ofVectorSpace ℝ E').equivFun.toContinuousLinearEquiv
LA : LipschitzWith ‖↑A‖₊ ⇑A
L : LipschitzOnWith (‖↑A‖₊ * K) (⇑A ∘ f) s
g : α → ι → ℝ
hg : LipschitzWith (‖↑A‖₊ * K) g
gs : EqOn (⇑A ∘ f) g s
x : α
⊢ x ∈ s → f x = (⇑A.symm ∘ g) x

Tactic:
hx

Goal state after:
case refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
E' : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E'
s : Set α
f : α → E'
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
ι : Type u_2 := ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E')
A : E' ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E') → ℝ := (Basis.ofVectorSpace ℝ E').equivFun.toContinuousLinearEquiv
LA : LipschitzWith ‖↑A‖₊ ⇑A
L : LipschitzOnWith (‖↑A‖₊ * K) (⇑A ∘ f) s
g : α → ι → ℝ
hg : LipschitzWith (‖↑A‖₊ * K) g
gs : EqOn (⇑A ∘ f) g s
x : α
hx : x ∈ s
⊢ f x = (⇑A.symm ∘ g) x
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.FiniteDimension

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace 𝕜
PE : Type u_1
PF : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace PE
inst✝³ : NormedAddTorsor E PE
inst✝² : MetricSpace PF
inst✝¹ : NormedAddTorsor F PF
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : PE →ᵃ[𝕜] PF
hf : Function.Injective ⇑f
K : ℝ≥0
hK : AntilipschitzWith K ⇑f.linear
x y : PE
⊢ dist x y ≤ ↑K * dist (f x) (f y)

Tactic:
rw [dist_eq_norm_vsub E, dist_eq_norm_vsub F, ← f.linearMap_vsub]

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace 𝕜
PE : Type u_1
PF : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace PE
inst✝³ : NormedAddTorsor E PE
inst✝² : MetricSpace PF
inst✝¹ : NormedAddTorsor F PF
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : PE →ᵃ[𝕜] PF
hf : Function.Injective ⇑f
K : ℝ≥0
hK : AntilipschitzWith K ⇑f.linear
x y : PE
⊢ ‖x -ᵥ y‖ ≤ ↑K * ‖f.linear (x -ᵥ y)‖
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
inst✝ : CompleteSpace F
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : SimpleFunc α E
hf : Integrable (⇑f) μ
h'f : MemLp (⇑f) 1 μ
g : ↥(α →₁ₛ[μ] E) := f.toLp h'f
A : ⇑f =ᵐ[μ] ↑↑↑g
⊢ ↑↑↑g =ᵐ[μ] ⇑(Lp.simpleFunc.toSimpleFunc g)

Tactic:
Lp.simpleFunc.toSimpleFunc_eq_toFun

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
inst✝ : CompleteSpace F
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : SimpleFunc α E
hf : Integrable (⇑f) μ
h'f : MemLp (⇑f) 1 μ
g : ↥(α →₁ₛ[μ] E) := f.toLp h'f
A : ⇑f =ᵐ[μ] ↑↑↑g
⊢ ↑↑↑g =ᵐ[μ] ↑↑↑g
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
E : Type u_6
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : p.HolderConjugate q
hf : MemLp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : MemLp g (ENNReal.ofReal q) μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ * ENNReal.ofReal ‖g a‖ ∂μ

Tactic:
ENNReal.ofReal_mul (norm_nonneg _)

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ∞
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : ↥(Lp G 1 μ)
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : ↥(Lp G 1 μ)
hfg : (eLpNorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ).toReal < ε / 2 / c'.toReal
h_int : ∀ (f' : ↥(Lp G 1 μ)), Integrable (↑↑f') μ' :=
  fun f' ↦ Integrable.of_measure_le_smul hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')
this : eLpNorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g ⋯) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f ⋯)) 1 μ' = eLpNorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'
h_eLpNorm_ne_top : eLpNorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ ≠ ∞
⊢ c'.toReal * (ε / 2 / c'.toReal) = ε / 2

Tactic:
by
      refine mul_div_cancel₀ (ε / 2) ?_; rw [Ne, toReal_eq_zero_iff]; simp [hc', hc'0]

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.ThickenedIndicator

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x y : α
h : infEDist x E ≤ infEDist y E
h_le : infEDist y E * (↑δ.toNNReal)⁻¹ ≤ 1
⊢ (↑δ.toNNReal)⁻¹ * (infEDist y E - infEDist x E) ≤ (↑δ.toNNReal)⁻¹ * edist x y

Tactic:
edist_comm

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x y : α
h : infEDist x E ≤ infEDist y E
h_le : infEDist y E * (↑δ.toNNReal)⁻¹ ≤ 1
⊢ (↑δ.toNNReal)⁻¹ * (infEDist y E - infEDist x E) ≤ (↑δ.toNNReal)⁻¹ * edist y x
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.ThickenedIndicator

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x y : α
h : infEDist x E ≤ infEDist y E
h_le : ¬infEDist y E * (↑δ.toNNReal)⁻¹ ≤ 1
⊢ infEDist y E * (↑δ.toNNReal)⁻¹ ≤ (edist x y + infEDist x E) * (↑δ.toNNReal)⁻¹

Tactic:
edist_comm

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x y : α
h : infEDist x E ≤ infEDist y E
h_le : ¬infEDist y E * (↑δ.toNNReal)⁻¹ ≤ 1
⊢ infEDist y E * (↑δ.toNNReal)⁻¹ ≤ (edist y x + infEDist x E) * (↑δ.toNNReal)⁻¹
Module: Mathlib.Topology.Order.LeftRightLim

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : T3Space β
f : α → β
b : β
h : Tendsto f atTop (𝓝 b)
val✝ : NoTopOrder α
⊢ Tendsto (rightLim f) atTop (𝓝 b)

Tactic:
apply tendsto_atTop_of_mapClusterPt h (Eventually.of_forall (fun x ↦ ?_))
    exact MapClusterPt.mono (mapClusterPt_rightLim _ _) nhdsWithin_le_nhds

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Order.LeftRightLim

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
⊢ Monotone (leftLim f)

Tactic:
intro x y h
  rcases eq_or_lt_of_le h with (rfl | hxy)
  · exact le_rfl
  · exact (hf.leftLim_le le_rfl).trans (hf.le_leftLim hxy)

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.SetToL1

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∫⁻ (a : α), ∑' (i : ι), ‖f i a‖ₑ ∂μ ≠ ∞
hF : CompleteSpace F
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x ↦ ‖f i x‖ₑ) μ
x : α
⊢ ∑' (i : ι), ‖f i x‖ₑ < ∞ → Summable fun n ↦ ↑‖f n x‖₊

Tactic:
hx

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∫⁻ (a : α), ∑' (i : ι), ‖f i a‖ₑ ∂μ ≠ ∞
hF : CompleteSpace F
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x ↦ ‖f i x‖ₑ) μ
x : α
hx : ∑' (i : ι), ‖f i x‖ₑ < ∞
⊢ Summable fun n ↦ ↑‖f n x‖₊
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Bochner.Set

Goal state before:
pp: X : Type u_1
E : Type u_3
mX : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : X → E
s t : Set X
μ : Measure X
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫ (x : X) in s, t.indicator f x ∂μ = ∫ (x : X) in s ∩ t, f x ∂μ

Tactic:
integral_indicator ht,

Goal state after:
X : Type u_1
E : Type u_3
mX : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : X → E
s t : Set X
μ : Measure X
ht : MeasurableSet t
⊢ ∫ (x : X) in t, f x ∂μ.restrict s = ∫ (x : X) in s ∩ t, f x ∂μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Stieltjes

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
f✝ : StieltjesFunction R
inst✝ : OrderTopology R
f : R → ℝ
hf : Monotone f
x : R
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 (rightLim f x)
l u : ℝ
hlu : rightLim f x ∈ Ioo l u
lus : Ioo l u ⊆ s
y₀ : R
hy₀ : x < y₀
y : R
xy : x < y
h'y : Ioo x y ⊆ f ⁻¹' Ioo l u
z : R
hz : z ∈ Ico x y
⊢ rightLim f z < u

Tactic:
rcases hz.1.eq_or_lt with rfl | h''z

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
f✝ : StieltjesFunction R
inst✝ : OrderTopology R
f : R → ℝ
hf : Monotone f
x : R
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 (rightLim f x)
l u : ℝ
hlu : rightLim f x ∈ Ioo l u
lus : Ioo l u ⊆ s
y₀ : R
hy₀ : x < y₀
y : R
xy : x < y
h'y : Ioo x y ⊆ f ⁻¹' Ioo l u
hz : x ∈ Ico x y
⊢ rightLim f x < u

case inr
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
f✝ : StieltjesFunction R
inst✝ : OrderTopology R
f : R → ℝ
hf : Monotone f
x : R
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 (rightLim f x)
l u : ℝ
hlu : rightLim f x ∈ Ioo l u
lus : Ioo l u ⊆ s
y₀ : R
hy₀ : x < y₀
y : R
xy : x < y
h'y : Ioo x y ⊆ f ⁻¹' Ioo l u
z : R
hz : z ∈ Ico x y
h''z : x < z
⊢ rightLim f z < u
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Stieltjes

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : OrderTopology R
f : StieltjesFunction R
x : R
⊢ x ∈ {x | leftLim (↑f) x ≠ ↑f x} → x ∈ {x | ¬ContinuousAt (↑f) x}

Tactic:
hx

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : OrderTopology R
f : StieltjesFunction R
x : R
hx : x ∈ {x | leftLim (↑f) x ≠ ↑f x}
⊢ x ∈ {x | ¬ContinuousAt (↑f) x}