mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case refine_3
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
r1 : α → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set ↑s'
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : α → ℝ := fun x ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
⊢ x ∈ t0 ∪ ⋃ i, Subtype.val '' S i → r x ∈ f x

Tactic:
hx

Goal state after:
case refine_3
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
r1 : α → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set ↑s'
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : α → ℝ := fun x ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : x ∈ t0 ∪ ⋃ i, Subtype.val '' S i
⊢ r x ∈ f x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: case refine_4
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
r1 : α → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set ↑s'
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : α → ℝ := fun x ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
⊢ x ∈ s → x ∈ ⋃ x ∈ t0 ∪ ⋃ i, Subtype.val '' S i, closedBall x (r x)

Tactic:
hx

Goal state after:
case refine_4
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
r1 : α → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set ↑s'
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : α → ℝ := fun x ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ ⋃ x ∈ t0 ∪ ⋃ i, Subtype.val '' S i, closedBall x (r x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DifferentialForm.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
r : WithTop ℕ∞
ω : E → E [⋀^Fin n]→L[𝕜] F
s : Set E
x : E
hω : ContDiffWithinAt 𝕜 r ω s x
hr : minSmoothness 𝕜 2 ≤ r
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (interior s)
h'x : x ∈ s
this : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fderivWithin 𝕜 ω s) s x
⊢ fderivWithin 𝕜 (fun y ↦ alternatizeUncurryFin (fderivWithin 𝕜 ω s y)) s x =
    alternatizeUncurryFinCLM 𝕜 E F ∘SL fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 ω s) s x

Tactic:
exact alternatizeUncurryFinCLM _ _ _ |>.hasFDerivAt.comp_hasFDerivWithinAt x
      this.hasFDerivWithinAt |>.fderivWithin (hs.uniqueDiffWithinAt h'x)

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
r1 : α → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set ↑s'
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : α → ℝ := fun x ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
⊢ x ∈ t0 → closedBall x (r0 x) ⊆ u

Tactic:
hx

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : μ u ≤ μ s + ε / 2
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : μ (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) = 0
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint fun x ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : μ v ≤ μ s' + ε / 2 / ↑N
r1 : α → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s') α := { c := fun x ↦ ↑x, r := fun x ↦ r1 ↑x, rpos := ⋯, r_bound := 1, r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set ↑s'
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint fun j ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : α → ℝ := fun x ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
x : α
hx : x ∈ t0
⊢ closedBall x (r0 x) ⊆ u
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f₀ f₁ : E → F
f' : F
s : Set E
x v : E
h : f₀ =ᶠ[𝓝[s] x] f₁
hx : f₀ x = f₁ x
⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f₀ f' s x v ↔ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f₁ f' s x v

Tactic:
by
  apply hasDerivWithinAt_iff
  · have A : Continuous (fun (t : 𝕜) ↦ x + t • v) := by fun_prop
    exact A.continuousWithinAt.preimage_mem_nhdsWithin'' h (by simp)
  · simpa using hx

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
v : E
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s
x : E
⊢ x ∈ s → ‖f x - f x₀‖ ≤ ↑C * ‖x - x₀‖

Tactic:
hx

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
v : E
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ ‖f x - f x₀‖ ≤ ↑C * ‖x - x₀‖
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LineDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
v : E
f : E → F
x₀ : E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s
x : E
⊢ x ∈ s → ‖f x - f x₀‖ ≤ ↑C * ‖x - x₀‖

Tactic:
hx

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
v : E
f : E → F
x₀ : E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ ‖f x - f x₀‖ ≤ ↑C * ‖x - x₀‖
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Norm

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
hx : 0 < ‖x‖
h : DifferentiableAt ℝ (fun x ↦ ‖x‖) 0
this : DifferentiableAt ℝ (fun t ↦ |t| * ‖x‖) 0
aux : abs = fun t ↦ 1 / ‖x‖ * (|t| * ‖x‖)
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x ↦ |x|) 0

Tactic:
aux

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
hx : 0 < ‖x‖
h : DifferentiableAt ℝ (fun x ↦ ‖x‖) 0
this : DifferentiableAt ℝ (fun t ↦ |t| * ‖x‖) 0
aux : abs = fun t ↦ 1 / ‖x‖ * (|t| * ‖x‖)
⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x_1 ↦ (fun t ↦ 1 / ‖x‖ * (|t| * ‖x‖)) x_1) 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.VectorField

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
V W : F → F
x : E
t : Set F
u : Set E
hf : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
h'f : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V t (f x)
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W t (f x)
hu : UniqueDiffOn 𝕜 u
hx : x ∈ u
hst : MapsTo f u t
hus : u =ᶠ[𝓝 x] s
⊢ pullbackWithin 𝕜 f V u =ᶠ[𝓝[u] x] pullbackWithin 𝕜 f V s

Tactic:
apply nhdsWithin_le_nhds

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
V W : F → F
x : E
t : Set F
u : Set E
hf : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
h'f : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V t (f x)
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W t (f x)
hu : UniqueDiffOn 𝕜 u
hx : x ∈ u
hst : MapsTo f u t
hus : u =ᶠ[𝓝 x] s
⊢ {x | (fun x ↦ pullbackWithin 𝕜 f V u x = pullbackWithin 𝕜 f V s x) x} ∈ 𝓝 x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.VectorField

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
V W : F → F
x : E
t : Set F
u : Set E
hf : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
h'f : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V t (f x)
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W t (f x)
hu : UniqueDiffOn 𝕜 u
hx : x ∈ u
hst : MapsTo f u t
hus : u =ᶠ[𝓝 x] s
⊢ pullbackWithin 𝕜 f W u =ᶠ[𝓝[u] x] pullbackWithin 𝕜 f W s

Tactic:
apply nhdsWithin_le_nhds

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
V W : F → F
x : E
t : Set F
u : Set E
hf : IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x
h'f : ContDiffWithinAt 𝕜 2 f s x
hV : DifferentiableWithinAt 𝕜 V t (f x)
hW : DifferentiableWithinAt 𝕜 W t (f x)
hu : UniqueDiffOn 𝕜 u
hx : x ∈ u
hst : MapsTo f u t
hus : u =ᶠ[𝓝 x] s
⊢ {x | (fun x ↦ pullbackWithin 𝕜 f W u x = pullbackWithin 𝕜 f W s x) x} ∈ 𝓝 x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Symmetric

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Tendsto (fun t ↦ x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
m : E
⊢ ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s

Tactic:
apply nhdsWithin_le_nhds

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Tendsto (fun t ↦ x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
m : E
⊢ {x_1 | (fun t ↦ x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s) x_1} ∈ 𝓝 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: β : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : SecondCountableTopology β
inst✝² : HasBesicovitchCovering β
ρ μ : Measure β
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
x : β
⊢ Tendsto (fun a ↦ ρ a / μ a) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x)) →
    Tendsto (fun r ↦ ρ (closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))

Tactic:
hx

Goal state after:
β : Type u
inst✝⁶ : MetricSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : SecondCountableTopology β
inst✝² : HasBesicovitchCovering β
ρ μ : Measure β
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
x : β
hx : Tendsto (fun a ↦ ρ a / μ a) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
⊢ Tendsto (fun r ↦ ρ (closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: β : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering β
μ : Measure β
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
x : β
⊢ Tendsto (fun a ↦ μ (s ∩ a) / μ a) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x) (𝓝 (s.indicator 1 x)) →
    Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (s.indicator 1 x))

Tactic:
hx

Goal state after:
β : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering β
μ : Measure β
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
x : β
hx : Tendsto (fun a ↦ μ (s ∩ a) / μ a) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x) (𝓝 (s.indicator 1 x))
⊢ Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (s.indicator 1 x))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: β : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering β
μ : Measure β
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set β
x : β
⊢ Tendsto (fun a ↦ μ (s ∩ a) / μ a) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x) (𝓝 1) →
    Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)

Tactic:
hx

Goal state after:
β : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering β
μ : Measure β
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set β
x : β
hx : Tendsto (fun a ↦ μ (s ∩ a) / μ a) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x) (𝓝 1)
⊢ Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Gradient.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
x : F
h : ¬DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ (toDual 𝕜 F).symm 0 = 0

Tactic:
map_zero

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
x : F
h : ¬DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Gradient.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
⊢ gradientWithin f univ = ∇ f

Tactic:
by
  ext; simp [gradientWithin, gradient]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Gradient.Basic

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜
u : 𝕜
h : ¬DifferentiableAt 𝕜 g u
⊢ 0 = (starRingEnd 𝕜) 0

Tactic:
map_zero

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜
u : 𝕜
h : ¬DifferentiableAt 𝕜 g u
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Gradient.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
x : F
L : Filter F
c : 𝕜
⊢ HasFDerivAtFilter (fun x ↦ c) ((toDual 𝕜 F) 0) (L ×ˢ pure x)

Tactic:
map_zero

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
x : F
L : Filter F
c : 𝕜
⊢ HasFDerivAtFilter (fun x ↦ c) 0 (L ×ˢ pure x)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ImplicitFunction.Bivariate

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : IsRCLikeNormedField 𝕜
E₁ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E₁
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E₁
inst✝⁶ : CompleteSpace E₁
E₂ : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E₂
inst✝³ : CompleteSpace E₂
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
u : E₁ × E₂
f : E₁ → E₂ → F
f₁ : E₁ → E₂ → E₁ →L[𝕜] F
f₂ : E₁ → E₂ → E₂ →L[𝕜] F
df₁ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u, HasFDerivAt (fun x ↦ f x v.2) (f₁ v.1 v.2) v.1
df₂ : ∀ᶠ (v : E₁ × E₂) in 𝓝 u, HasFDerivAt (fun x ↦ f v.1 x) (f₂ v.1 v.2) v.2
cf₁ : ContinuousAt (↿f₁) u
cf₂ : ContinuousAt (↿f₂) u
if₂u : (f₂ u.1 u.2).IsInvertible
⊢ ∀ᶠ (x : E₁) in 𝓝 u.1, f x (implicitFunctionOfBivariate df₁ df₂ cf₁ cf₂ if₂u x) = f u.1 u.2

Tactic:
by
  simpa using! HasStrictFDerivAt.eventually_apply_implicitFunctionOfProdDomain
    (hasStrictFDerivAt_uncurry_coprod df₁ df₂ cf₁ cf₂) (by simpa using! if₂u)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LHopital

Goal state before:
pp: a b : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hab : a < b
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b
x : ℝ
⊢ x ∈ Ioo a b → g x ≠ 0

Tactic:
hx

Goal state after:
a b : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hab : a < b
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo a b
⊢ g x ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.LHopital

Goal state before:
pp: a b : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hab : a < b
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b
hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0
x : ℝ
⊢ x ∈ Ioo a b → ∃ c ∈ Ioo a x, f x * g' c = g x * f' c

Tactic:
hx

Goal state after:
a b : ℝ
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hab : a < b
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x ↦ f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
sub : ∀ x ∈ Ioo a b, Ioo a x ⊆ Ioo a b
hg : ∀ x ∈ Ioo a b, g x ≠ 0
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo a b
⊢ ∃ c ∈ Ioo a x, f x * g' c = g x * f' c