mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: case a.inr
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
cX : Convex ℝ X
sup_y : E → β
hsup_y : ∀ x ∈ X, IsLUB {x_1 | ∃ y ∈ Y, f x y = x_1} (sup_y x)
inf_sup : β
hinf_sup : IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, sup_y x_1 = x} inf_sup
inf_x : F → β
hinf_x : ∀ y ∈ Y, IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, f x_1 y = x} (inf_x y)
sup_inf : β
hsup_inf : IsLUB {x | ∃ y ∈ Y, inf_x y = x} sup_inf
ne_Y : Y.Nonempty
⊢ inf_sup ≤ sup_inf

Tactic:
rw [← forall_lt_iff_le]

Goal state after:
case a.inr
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
cX : Convex ℝ X
sup_y : E → β
hsup_y : ∀ x ∈ X, IsLUB {x_1 | ∃ y ∈ Y, f x y = x_1} (sup_y x)
inf_sup : β
hinf_sup : IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, sup_y x_1 = x} inf_sup
inf_x : F → β
hinf_x : ∀ y ∈ Y, IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, f x_1 y = x} (inf_x y)
sup_inf : β
hsup_inf : IsLUB {x | ∃ y ∈ Y, inf_x y = x} sup_inf
ne_Y : Y.Nonempty
⊢ ∀ ⦃c : β⦄, c < inf_sup → c < sup_inf
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
cX : Convex ℝ X
sup_y : E → β
hsup_y : ∀ x ∈ X, IsLUB {x_1 | ∃ y ∈ Y, f x y = x_1} (sup_y x)
inf_sup : β
hinf_sup : IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, sup_y x_1 = x} inf_sup
inf_x : F → β
hinf_x : ∀ y ∈ Y, IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, f x_1 y = x} (inf_x y)
sup_inf : β
hsup_inf : IsLUB {x | ∃ y ∈ Y, inf_x y = x} sup_inf
ne_Y : Y.Nonempty
t : β
ht : t < inf_sup
x : E
hx : x ∈ X
hx' : x ∈ ⋂ i ∈ Y, (fun x ↦ f x i) ⁻¹' Iic t
⊢ False

Tactic:
simp only [mem_iInter, mem_preimage, mem_Iic] at hx'

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
cX : Convex ℝ X
sup_y : E → β
hsup_y : ∀ x ∈ X, IsLUB {x_1 | ∃ y ∈ Y, f x y = x_1} (sup_y x)
inf_sup : β
hinf_sup : IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, sup_y x_1 = x} inf_sup
inf_x : F → β
hinf_x : ∀ y ∈ Y, IsGLB {x | ∃ x_1 ∈ X, f x_1 y = x} (inf_x y)
sup_inf : β
hsup_inf : IsLUB {x | ∃ y ∈ Y, inf_x y = x} sup_inf
ne_Y : Y.Nonempty
t : β
ht : t < inf_sup
x : E
hx : x ∈ X
hx' : ∀ i ∈ Y, f x i ≤ t
⊢ False
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: case right
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
cX : Convex ℝ X
ne_Y : Y.Nonempty
η : E → F
η_mem : ∀ x ∈ X, η x ∈ Y
η_max : ∀ x ∈ X, IsMaxOn (f x) Y (η x)
hlsc : LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x (η x)) X
a : E
ha : a ∈ X
ha' : IsMinOn (fun x ↦ f x (η x)) X a
ξ : F → E
ξ_mem : ∀ y ∈ Y, ξ y ∈ X
ξ_min : ∀ y ∈ Y, IsMinOn (fun x ↦ f x y) X (ξ y)
husc : UpperSemicontinuousOn (fun x ↦ f (ξ x) x) Y
b : F
hb : b ∈ Y
hb' : IsMaxOn (fun y ↦ f (ξ y) y) Y b
x : E
⊢ x ∈ X → ∀ y ∈ Y, f a y ≤ f x b

Tactic:
hx

Goal state after:
case right
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace E
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module ℝ E
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
kY : IsCompact Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝² : DenselyOrdered β
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
cX : Convex ℝ X
ne_Y : Y.Nonempty
η : E → F
η_mem : ∀ x ∈ X, η x ∈ Y
η_max : ∀ x ∈ X, IsMaxOn (f x) Y (η x)
hlsc : LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x (η x)) X
a : E
ha : a ∈ X
ha' : IsMinOn (fun x ↦ f x (η x)) X a
ξ : F → E
ξ_mem : ∀ y ∈ Y, ξ y ∈ X
ξ_min : ∀ y ∈ Y, IsMinOn (fun x ↦ f x y) X (ξ y)
husc : UpperSemicontinuousOn (fun x ↦ f (ξ x) x) Y
b : F
hb : b ∈ Y
hb' : IsMaxOn (fun y ↦ f (ξ y) y) Y b
x : E
hx : x ∈ X
⊢ ∀ y ∈ Y, f a y ≤ f x b
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹⁶ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module ℝ E
inst✝¹² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹¹ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module ℝ F
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ F
cY : Convex ℝ Y
ne_Y : Y.Nonempty
kY : IsCompact Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : OrderTopology β
γ : Type u_5
inst✝³ : CompleteLinearOrder γ
inst✝² : DenselyOrdered γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
ι : β ↪o γ
hι : Continuous ⇑ι
⊢ ∃ a ∈ X, ∃ b ∈ Y, IsSaddlePointOn X Y f a b

Tactic:
let φ : E → F → γ := fun x y ↦ ι (f x y)

Goal state after:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹⁶ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module ℝ E
inst✝¹² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹¹ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module ℝ F
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ F
cY : Convex ℝ Y
ne_Y : Y.Nonempty
kY : IsCompact Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : OrderTopology β
γ : Type u_5
inst✝³ : CompleteLinearOrder γ
inst✝² : DenselyOrdered γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
ι : β ↪o γ
hι : Continuous ⇑ι
φ : E → F → γ := fun x y ↦ ι (f x y)
⊢ ∃ a ∈ X, ∃ b ∈ Y, IsSaddlePointOn X Y f a b
Module: Mathlib.Topology.Sion

Goal state before:
pp: case right
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹⁶ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module ℝ E
inst✝¹² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹¹ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module ℝ F
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ F
cY : Convex ℝ Y
ne_Y : Y.Nonempty
kY : IsCompact Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : OrderTopology β
γ : Type u_5
inst✝³ : CompleteLinearOrder γ
inst✝² : DenselyOrdered γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
ι : β ↪o γ
hι : Continuous ⇑ι
φ : E → F → γ := fun x y ↦ ι (f x y)
hφx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ φ x y) Y
hφx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ φ x y
hφy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ φ x y) X
hφy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ φ x y
a : E
ha : a ∈ X
b : F
hb : b ∈ Y
hab : IsSaddlePointOn X Y φ a b
x : E
⊢ x ∈ X → ∀ y ∈ Y, f a y ≤ f x b

Tactic:
hx

Goal state after:
case right
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹⁶ : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module ℝ E
inst✝¹² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹¹ : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
cX : Convex ℝ X
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ f x y
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module ℝ F
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝⁶ : ContinuousSMul ℝ F
cY : Convex ℝ Y
ne_Y : Y.Nonempty
kY : IsCompact Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ f x y
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : OrderTopology β
γ : Type u_5
inst✝³ : CompleteLinearOrder γ
inst✝² : DenselyOrdered γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
ι : β ↪o γ
hι : Continuous ⇑ι
φ : E → F → γ := fun x y ↦ ι (f x y)
hφx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn (fun y ↦ φ x y) Y
hφx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn ℝ Y fun y ↦ φ x y
hφy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn (fun x ↦ φ x y) X
hφy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn ℝ X fun x ↦ φ x y
a : E
ha : a ∈ X
b : F
hb : b ∈ Y
hab : IsSaddlePointOn X Y φ a b
x : E
hx : x ∈ X
⊢ ∀ y ∈ Y, f a y ≤ f x b