mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Semisimple.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : ¬J = ⊤
this : J' ≤ ⊥
x : ↥I
⊢ x ∈ J → x ∈ ⊥

Tactic:
hx

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥I
J' : LieIdeal R L :=
  let __spread.0 := Submodule.map ↑I.incl ↑J;
  { toSubmodule := __spread.0, lie_mem := ⋯ }
hJ : ¬J = ⊤
this : J' ≤ ⊥
x : ↥I
hx : x ∈ J
⊢ x ∈ ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Semisimple.Basic

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
s : Finset (LieIdeal R L)
hs : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}
I : LieIdeal R L
hI✝ : I ≤ s.sup id
S : Set (LieIdeal R L) := {I | IsAtom I}
hI : I < s.sup id
J : LieIdeal R L
hJs : J ∈ s
hJI : ¬J ≤ I
s' : Finset (LieIdeal R L) := s.erase J
hs' : s' ⊂ s
hs'S : ↑s' ⊆ S
K : LieIdeal R L := s'.sup id
x : L
⊢ x ∈ I → x ∈ K

Tactic:
hx

Goal state after:
case inr
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
s : Finset (LieIdeal R L)
hs : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}
I : LieIdeal R L
hI✝ : I ≤ s.sup id
S : Set (LieIdeal R L) := {I | IsAtom I}
hI : I < s.sup id
J : LieIdeal R L
hJs : J ∈ s
hJI : ¬J ≤ I
s' : Finset (LieIdeal R L) := s.erase J
hs' : s' ⊂ s
hs'S : ↑s' ⊆ S
K : LieIdeal R L := s'.sup id
x : L
hx : x ∈ I
⊢ x ∈ K
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Linear

Goal state before:
pp: k : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : LieRing.IsNilpotent L
χ : L → R
inst✝ : LinearWeights R L M
t : R
x : L
m : ↥(shiftedGenWeightSpace R L M χ)
⊢ ⁅x, t • m⁆ = t • ⁅x, m⁆

Tactic:
nontriviality shiftedGenWeightSpace R L M χ
    apply Subtype.ext
    rw [coe_lie_shiftedGenWeightSpace_apply]
    simp only [SetLike.val_smul, lie_smul]
    rw [smul_comm (χ x), ← smul_sub]
    congr

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.Killing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
⊢ ∀ {x : L} {m : LieDerivation R L L},
    m ∈ ((killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule).carrier →
      ⁅x, m⁆ ∈ ((killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule).carrier

Tactic:
by
    intro x D hD
    have : 𝕀ᗮ = (ad R L).idealRange.killingCompl := by simp [← (ad_isIdealMorphism R L).eq]
    change D ∈ 𝕀ᗮ at hD
    change ⁅x, D⁆ ∈ 𝕀ᗮ
    rw [this] at hD ⊢
    rw [← lie_ad]
    exact lie_mem_right _ _ (ad R L).idealRange.killingCompl _ _ hD

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra K L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : Module.Finite K L
I : LieIdeal K L
x y z : L
⊢ x ∈ killingCompl K L I → y ∈ I → ((LieModule.traceForm K L L) ⁅x, y⁆) z = 0

Tactic:
hx

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra K L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : Module.Finite K L
I : LieIdeal K L
x y z : L
hx : x ∈ killingCompl K L I
⊢ y ∈ I → ((LieModule.traceForm K L L) ⁅x, y⁆) z = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
A : Matrix ι ι R
⊢ IsNilpotent A ↔ ∀ (v : ι → R), ∃ n, A ^ n *ᵥ v = 0

Tactic:
← isNilpotent_toLin'_iff,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
A : Matrix ι ι R
⊢ IsNilpotent (toLin' A) ↔ ∀ (v : ι → R), ∃ n, A ^ n *ᵥ v = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
χ₁ χ₂ : L → R
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
⊢ ∃ p < 0, ∃ q > 0, genWeightSpace M (p • χ₁ + χ₂) = ⊥ ∧ genWeightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥

Tactic:
obtain ⟨q, hq₀, hq⟩ := exists_genWeightSpace_smul_add_eq_bot M χ₁ χ₂ hχ₁

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
χ₁ χ₂ : L → R
inst✝³ : IsAddTorsionFree R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsTorsionFree R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
q : ℕ
hq₀ : q > 0
hq : genWeightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥
⊢ ∃ p < 0, ∃ q > 0, genWeightSpace M (p • χ₁ + χ₂) = ⊥ ∧ genWeightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
e : ℤ ≃ ℤ := Involutive.toPerm Neg.neg ⋯
⊢ genWeightSpaceChain M (-χ₁) χ₂ (-q) (-p) = genWeightSpaceChain M χ₁ χ₂ p q

Tactic:
genWeightSpaceChain,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
e : ℤ ≃ ℤ := Involutive.toPerm Neg.neg ⋯
⊢ ⨆ k ∈ Ioo (-q) (-p), genWeightSpace M (k • -χ₁ + χ₂) = ⨆ k ∈ Ioo p q, genWeightSpace M (k • χ₁ + χ₂)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieRing.IsNilpotent ↥H
hq : genWeightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y : M
hy : y ∈ genWeightSpaceChain M α χ p q
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ genWeightSpaceChain M α χ p q

Tactic:
genWeightSpaceChain,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieRing.IsNilpotent ↥H
hq : genWeightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y : M
hy : y ∈ ⨆ k ∈ Ioo p q, genWeightSpace M (k • α + χ)
⊢ ⁅x, y⁆ ∈ genWeightSpaceChain M α χ p q
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case mem.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
x u : L
hu✝ : u ∈ range b.e ∪ range b.f
hu : u ∈ range b.e
⊢ u ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper

pp: case mem.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
x u : L
hu✝ : u ∈ range b.e ∪ range b.f
hu : u ∈ range b.f
⊢ u ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper

Tactic:
· exact LieSubmodule.mem_sup_right <| subset_lieSpan hu

Goal state after:
case mem.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
x u : L
hu✝ : u ∈ range b.e ∪ range b.f
hu : u ∈ range b.f
⊢ u ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsReduced R
inst✝ : IsNilpotent L M
⊢ traceForm R L M = 0

Tactic:
ext x y

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsReduced R
inst✝ : IsNilpotent L M
x y : L
⊢ ((traceForm R L M) x) y = (0 x) y
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsReduced R
inst✝ : IsNilpotent L M
x y : L
⊢ _root_.IsNilpotent ((trace R M) (φ x ∘ₗ φ y))

Tactic:
apply LinearMap.isNilpotent_trace_of_isNilpotent

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsReduced R
inst✝ : IsNilpotent L M
x y : L
⊢ _root_.IsNilpotent (φ x ∘ₗ φ y)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsTrivial L M
⊢ traceForm R L M = 0

Tactic:
ext x y

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsTrivial L M
x y : L
⊢ ((traceForm R L M) x) y = (0 x) y
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : ↥H → K
x y : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hy : y ∈ rootSpace H β
hαβ : α + β ≠ 0
σ : (↥H → K) → ↥H → K := fun γ ↦ α + (β + γ)
γ : ↥H → K
⊢ σ γ ≠ γ

Tactic:
by simpa only [σ, ← add_assoc] using add_ne_right.mpr hαβ

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ α : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
e : genWeightSpace L (-⇑α) = ⊥
x : L
hx : x ∈ genWeightSpace L ⇑α
x_ne0 : x ≠ 0
y : L
hy : y ∈ ⊥
⊢ ((killingForm K L) x) 0 = 0

Tactic:
map_zero

Goal state after:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ α : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
e : genWeightSpace L (-⇑α) = ⊥
x : L
hx : x ∈ genWeightSpace L ⇑α
x_ne0 : x ≠ 0
y : L
hy : y ∈ ⊥
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsKilling K L
x : L
hx : x ∈ H
hx' : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x)
y : ↥H
⊢ (toEnd K (↥H) L) 0 = 0

Tactic:
map_zero

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsKilling K L
x : L
hx : x ∈ H
hx' : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x)
y : ↥H
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsTorsionFree R M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsTriangularizable R L M
z : L
⊢ traceForm R L M = ∑ χ ∈ ⋯.toFinset, traceForm R L ↥(genWeightSpaceOf M χ z)

Tactic:
ext x y

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsTorsionFree R M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsTriangularizable R L M
z x y : L
⊢ ((traceForm R L M) x) y = ((∑ χ ∈ ⋯.toFinset, traceForm R L ↥(genWeightSpaceOf M χ z)) x) y
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Sequence

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
hCoeff : ∀ (i : ℕ), IsUnit (↑S i).leadingCoeff
P : R[X]
p_ne_zero : P ≠ 0
⊢ P.degree < ↑(P.natDegree + 1)

Tactic:
← natDegree_lt_iff_degree_lt p_ne_zero

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
hCoeff : ∀ (i : ℕ), IsUnit (↑S i).leadingCoeff
P : R[X]
p_ne_zero : P ≠ 0
⊢ P.natDegree < P.natDegree + 1
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
inst✝⁴ : Free R L
inst✝³ : Module.Finite R L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : IsLieAbelian ↥I
x : L
⊢ x ∈ I → x ∈ killingCompl R L ⊤

Tactic:
(hx : x ∈ I)

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
inst✝⁴ : Free R L
inst✝³ : Module.Finite R L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : IsLieAbelian ↥I
x : L
hx : x ∈ I
⊢ x ∈ killingCompl R L ⊤
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
this : IsLieAbelian ↥H := isLieAbelian_cartan b
x : L
⊢ x ∈ b.borelUpper → x ∈ ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))

Tactic:
hx

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
this : IsLieAbelian ↥H := isLieAbelian_cartan b
x : L
hx : x ∈ b.borelUpper
⊢ x ∈ ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℤ
hn : Even n
⊢ eval 0 (U R n) = ↑↑(n / 2).negOnePow

Tactic:
by
  simp [U_eval_zero, hn]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
this : IsLieAbelian ↥H := isLieAbelian_cartan b
x u v : L
hx✝ : u ∈ lieSpan R L (range b.e)
hy✝ : v ∈ lieSpan R L (range b.e)
hu : u ∈ ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))
hv : v ∈ ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))
s : Set (↥H → R) := {χ | ∃ n, n ≠ 0 ∧ χ = ⇑(∑ i, n i • b.baseSupp i)}
hs : ∀ χ₁ ∈ s, ∀ χ₂ ∈ s, χ₁ + χ₂ ∈ s
χ : ↑s
⊢ ∃ a, (fun n ↦ ⟨∑ i, ↑n i • ⇑(b.baseSupp i), ⋯⟩) a = χ

Tactic:
use ⟨χ.property.choose, χ.property.choose_spec.1⟩
        ext i
        simpa using congr_fun χ.property.choose_spec.2.symm i

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero 2
m : ℕ
hn : -↑m ≠ -1
⊢ (U R (↑m - 2)).degree = ↑((-↑m + 1).natAbs - 1)

Tactic:
cases m with
    | zero => simp
    | succ m =>
      cases m with
      | zero => contradiction
      | succ m =>
        trans (U R m).degree
        · congr; omega
        · rw [degree_U_natCast R m]; norm_cast

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
this : IsLieAbelian ↥H := isLieAbelian_cartan b
x : L
hx : x ∈ lieSpan R L (range b.e)
⊢ x ∈ ⨆ n, ⨆ (_ : n ≠ 0), rootSpace H (∑ i, n i • ⇑(b.baseSupp i))

Tactic:
induction hx using lieSpan_induction with
  | mem u hu =>
    obtain ⟨i, rfl⟩ := hu
    apply LieSubmodule.mem_iSup_of_mem (Pi.single i 1)
    simp only [ne_eq, Pi.single_eq_zero_iff, one_ne_zero, not_false_eq_true, nsmul_eq_mul, iSup_pos,
      LieModule.mem_genWeightSpace, Finset.sum_apply, Pi.mul_apply, Pi.natCast_apply,
      Subtype.forall, toEnd_mk]
    exact fun y hy ↦ ⟨1, by simp [Pi.single_apply]⟩
  | zero => simp
  | add _ _ _ _ hu hv => exact add_mem hu hv
  | smul t _ _ hu => exact SMulMemClass.smul_mem t hu
  | lie u v _ _ hu hv =>
    let s : Set (H → R) := {χ | ∃ n : ι → ℕ, n ≠ 0 ∧ χ = ∑ i, n i • b.baseSupp i}
    have hs : ∀ χ₁ ∈ s, ∀ χ₂ ∈ s, χ₁ + χ₂ ∈ s := by
      rintro - ⟨n₁, hn₁, rfl⟩ - ⟨n₂, hn₂, rfl⟩
      refine ⟨n₁ + n₂, by simp [hn₁], ?_⟩
      ext; simp [add_smul, Finset.sum_add_distrib]
    let e : {n : ι → ℕ | n ≠ 0} ≃ s :=
      .ofBijective (fun n ↦ ⟨∑ i, n.val i • b.baseSupp i, n.val, n.property, by ext; simp⟩) <| by
      refine ⟨fun n₁ n₂ h ↦ ?_, fun χ ↦ ?_⟩
      · ext i
        have := b.linearIndependent_baseSupp.restrict_scalars' ℕ
        refine Fintype.linearIndependent_iffₛ.mp this n₁ n₂ ?_ i
        ext v
        rw [Subtype.mk.injEq] at h
        simpa using congr_fun h v
      · use ⟨χ.property.choose, χ.property.choose_spec.1⟩
        ext i
        simpa using congr_fun χ.property.choose_spec.2.symm i
    replace hu : u ∈ ⨆ χ, ⨆ (_ : χ ∈ s), rootSpace H χ := by
      convert! hu; rw [iSup_subtype', iSup_subtype', ← e.iSup_comp]; rfl
    replace hv : v ∈ ⨆ χ, ⨆ (_ : χ ∈ s), rootSpace H χ := by
      convert! hv; rw [iSup_subtype', iSup_subtype', ← e.iSup_comp]; rfl
    convert! mem_biSup_genWeightSpace_of hs hu hv
    rw [iSup_subtype', iSup_subtype', ← e.iSup_comp]; rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h' e f : L
ht : IsSl2Triple h' e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
aux :
  ∀ {β : Weight K (↥H) L},
    β.IsNonZero → ∀ {y g : L}, y ∈ genWeightSpace L ⇑β → g ∈ rootSpace H ⇑β → g ≠ 0 → ∃ c, y = c • g
y : ↥H.toLieSubmodule
hy_coroot : y ∈ ↑↑(corootSpace ⇑α)
c₁ : K
hx_pos : c₁ • e ∈ ↑(genWeightSpace L ⇑α)
c₂ : K
hx_neg : c₂ • f ∈ ↑(genWeightSpace L (-⇑α))
hx_αneg : c₁ • e + c₂ • f ∈ ↑(genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α))
hx : c₁ • e + c₂ • f + ↑H.toLieSubmodule.incl y ∈ genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α) ⊔ corootSubmodule α
⊢ ∃ c₃, c₃ • coroot α = y

Tactic:
simpa [← mem_span_singleton, ← coe_corootSpace_eq_span_singleton α]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j k : ι
⊢ P.pairing j ((P.reflectionPerm i) k) = P.pairing ((P.reflectionPerm i) j) k

Tactic:
simp only [pairing, root', coroot_reflectionPerm, root_reflectionPerm]
  simp [coreflection_apply_coroot, reflection_apply_root, mul_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
r : N ≃ₗ[R] N
α : N
hr : r ∈ range P.coreflection
hα : α ∈ range ⇑P.coroot
⊢ r • α ∈ range ⇑P.coroot

Tactic:
obtain ⟨i, rfl⟩ := hr
  obtain ⟨j, rfl⟩ := hα
  exact ⟨P.reflectionPerm i j, P.coroot_reflectionPerm i j⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
⊢ 2 • (P.toLinearMap x) (P.coroot i) • P.root i = 2 • (P.toLinearMap x) (P.coroot j) • P.root j

Tactic:
calc 2 • P.toLinearMap x (P.coroot i) • P.root i
      = P.toLinearMap x (P.coroot i) • ((2 : R) • P.root i) := ?_
    _ = P.toLinearMap x (P.coroot i) • (P.pairing i j • P.root j) := ?_
    _ = P.toLinearMap x (P.pairing i j • P.coroot i) • (P.root j) := ?_
    _ = P.toLinearMap x ((2 : R) • P.coroot j) • (P.root j) := ?_
    _ = 2 • P.toLinearMap x (P.coroot j) • P.root j := ?_

Goal state after:
case calc_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
⊢ 2 • (P.toLinearMap x) (P.coroot i) • P.root i = (P.toLinearMap x) (P.coroot i) • 2 • P.root i

case calc_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
⊢ (P.toLinearMap x) (P.coroot i) • 2 • P.root i = (P.toLinearMap x) (P.coroot i) • P.pairing i j • P.root j

case calc_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
⊢ (P.toLinearMap x) (P.coroot i) • P.pairing i j • P.root j = (P.toLinearMap x) (P.pairing i j • P.coroot i) • P.root j

case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
⊢ (P.toLinearMap x) (P.pairing i j • P.coroot i) • P.root j = (P.toLinearMap x) (2 • P.coroot j) • P.root j

case calc_5
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
⊢ (P.toLinearMap x) (2 • P.coroot j) • P.root j = 2 • (P.toLinearMap x) (P.coroot j) • P.root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs

Goal state before:
pp: case zero
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
j : ι
s : Set ι
hj : ∀ i ∈ s, P.IsOrthogonal j i
x : M
⊢ (P.reflection j) 0 = 0

Tactic:
map_zero

Goal state after:
case zero
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
j : ι
s : Set ι
hj : ∀ i ∈ s, P.IsOrthogonal j i
x : M
⊢ 0 = 0