mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.InteriorBoundary

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
inst✝ : IsManifold I n M
hn : n ≠ 0
⊢ IsClosed[inst✝²] (ModelWithCorners.boundary M)

Tactic:
by
  rw [← I.compl_interior, isClosed_compl_iff]
  exact I.isOpen_interior hn

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.InteriorBoundary

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace N
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝ : BoundarylessManifold J N
⊢ ModelWithCorners.boundary (M × N) = (ModelWithCorners.boundary M).prod univ

Tactic:
rw [boundary_prod, Boundaryless.boundary_eq_empty (I := J)]
  have : Set.prod (univ : Set M) (∅ : Set N) = ∅ := Set.prod_empty
  rw [this, empty_union]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.MDifferentiable

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹³ : TopologicalSpace B
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : FiberBundle F E
inst✝⁶ : (x : B) → AddCommGroup (E x)
inst✝⁵ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E
HB : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace HB
inst✝² : ChartedSpace HB B
EB : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝ : NormedSpace 𝕜 EB
I : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
u : Set B
x₀ : B
ι : Type u_9
t : ι → (x : B) → E x
ht : LocallyFinite fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), MDiffAt[u] (T% t) x₀
y : B
hy : y ∈ univ
U : Set B
hu : U ∈ 𝓝 y
hfin : {i | ((fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}) i ∩ U).Nonempty}.Finite
x : ι
⊢ x ∈ {x | t x y ≠ 0} → x ∈ {i | ((fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}) i ∩ U).Nonempty}

Tactic:
hx

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹³ : TopologicalSpace B
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : FiberBundle F E
inst✝⁶ : (x : B) → AddCommGroup (E x)
inst✝⁵ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F E
HB : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace HB
inst✝² : ChartedSpace HB B
EB : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝ : NormedSpace 𝕜 EB
I : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
u : Set B
x₀ : B
ι : Type u_9
t : ι → (x : B) → E x
ht : LocallyFinite fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}
ht' : ∀ (i : ι), MDiffAt[u] (T% t) x₀
y : B
hy : y ∈ univ
U : Set B
hu : U ∈ 𝓝 y
hfin : {i | ((fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}) i ∩ U).Nonempty}.Finite
x : ι
hx : x ∈ {x | t x y ≠ 0}
⊢ x ∈ {i | ((fun i ↦ {x | t i x ≠ 0}) i ∩ U).Nonempty}
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.MDifferentiable

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
V : M → Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁶ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁵ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁴ : FiberBundle F V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
k : WithTop ℕ∞
inst✝² : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : ContMDiffVectorBundle k F V I
x₀ : M
σ₀ : V x₀
t : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
this : ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, F) k (fun x ↦ (↑t ⟨x, extend F σ₀ x⟩).2) t.baseSet
x : M
⊢ x ∈ t.baseSet → ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) k (fun x' ↦ ⟨x', extend F σ₀ x'⟩) t.baseSet x

Tactic:
hx

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
V : M → Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁶ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁵ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁴ : FiberBundle F V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
k : WithTop ℕ∞
inst✝² : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : ContMDiffVectorBundle k F V I
x₀ : M
σ₀ : V x₀
t : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
this : ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, F) k (fun x ↦ (↑t ⟨x, extend F σ₀ x⟩).2) t.baseSet
x : M
hx : x ∈ t.baseSet
⊢ ContMDiffWithinAt I (I.prod 𝓘(𝕜, F)) k (fun x' ↦ ⟨x', extend F σ₀ x'⟩) t.baseSet x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.MDifferentiable

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
V : M → Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝³ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝² : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝¹ : FiberBundle F V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
k : WithTop ℕ∞
x✝ : M
σ₀ : V x✝
t : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x✝
w : F := (↑t ⟨x✝, σ₀⟩).2
this : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) k (fun _x ↦ w) x✝
x : M
⊢ x ∈ t.baseSet → (fun x ↦ (↑t ⟨x, extend F σ₀ x⟩).2) x = (fun _x ↦ w) x

Tactic:
hx

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
V : M → Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝³ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝² : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝¹ : FiberBundle F V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
k : WithTop ℕ∞
x✝ : M
σ₀ : V x✝
t : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x✝
w : F := (↑t ⟨x✝, σ₀⟩).2
this : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) k (fun _x ↦ w) x✝
x : M
hx : x ∈ t.baseSet
⊢ (fun x ↦ (↑t ⟨x, extend F σ₀ x⟩).2) x = (fun _x ↦ w) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
m n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
Js : IsManifold J 1 N
Is : IsManifold I 1 M
I's : IsManifold I' 1 M'
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
t : Set N
u : Set M
hf : ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (t ×ˢ u) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffWithinAt J I m g t x₀
hx₀ : x₀ ∈ t
hu : MapsTo g t u
hmn : m + 1 ≤ n
h'u : UniqueMDiff[u]
t' : Set N := t ∩ g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source
ht't : t' ⊆ t
hx₀gx₀ : (x₀, g x₀) ∈ t ×ˢ u
h4f✝ : ContinuousWithinAt (fun x ↦ f x (g x)) t x₀
h4f : (fun x ↦ f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝[t] x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝[t ×ˢ u] (x₀, g x₀), ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' 1 (uncurry f) (t ×ˢ u) x'
this : MapsTo (fun x ↦ (x, g x)) t (t ×ˢ u)
x : N
⊢ ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' 1 (uncurry f) (t ×ˢ u) (id x, g x) → x ∈ t → ContMDiffWithinAt I I' 1 (f x) u (g x)

Tactic:
hx

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
m n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
Js : IsManifold J 1 N
Is : IsManifold I 1 M
I's : IsManifold I' 1 M'
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
t : Set N
u : Set M
hf : ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (t ×ˢ u) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffWithinAt J I m g t x₀
hx₀ : x₀ ∈ t
hu : MapsTo g t u
hmn : m + 1 ≤ n
h'u : UniqueMDiff[u]
t' : Set N := t ∩ g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source
ht't : t' ⊆ t
hx₀gx₀ : (x₀, g x₀) ∈ t ×ˢ u
h4f✝ : ContinuousWithinAt (fun x ↦ f x (g x)) t x₀
h4f : (fun x ↦ f x (g x)) ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀ (g x₀))).source ∈ 𝓝[t] x₀
h3f : ∀ᶠ (x' : N × M) in 𝓝[t ×ˢ u] (x₀, g x₀), ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' 1 (uncurry f) (t ×ˢ u) x'
this : MapsTo (fun x ↦ (x, g x)) t (t ×ˢ u)
x : N
hx : ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' 1 (uncurry f) (t ×ˢ u) (id x, g x)
⊢ x ∈ t → ContMDiffWithinAt I I' 1 (f x) u (g x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : 2 ≤ n
b₁ : M → M' := f
b₂ : M → M := id
⊢ (MDiffAt[s ∩ f ⁻¹' t] fun x ↦ ⟨x, mpullbackWithin I I' f V s x⟩) x₀

Tactic:
let v : Π (x : M), TangentSpace I' (f x) := V ∘ f

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : 2 ≤ n
b₁ : M → M' := f
b₂ : M → M := id
v : (x : M) → TangentSpace I' (f x) := V ∘ f
⊢ (MDiffAt[s ∩ f ⁻¹' t] fun x ↦ ⟨x, mpullbackWithin I I' f V s x⟩) x₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : 2 ≤ n
b₁ : M → M' := f
b₂ : M → M := id
v : (x : M) → TangentSpace I' (f x) := V ∘ f
ϕ : (x : M) → TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I x := fun x ↦ (mfderiv[s] f x).inverse
hv : (MDiffAt[s ∩ f ⁻¹' t] fun x ↦ ⟨f x, v x⟩) x₀
this✝ : (MDiffAt[s] fun x ↦ inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x (f x₀) (f x) (mfderiv[s] f x)) x₀
this :
  MDiffAt[s]
      (inverse ∘ fun x ↦ inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x (f x₀) (f x) (mfderiv[s] f x))
    x₀
⊢ (trivializationAt E (TangentSpace I) x₀).baseSet ∈ 𝓝[s] x₀

Tactic:
apply nhdsWithin_le_nhds

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : 2 ≤ n
b₁ : M → M' := f
b₂ : M → M := ⋯
v : (x : M) → TangentSpace I' (f x) := ⋯
ϕ : (x : M) → TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I x := ⋯
hv : (MDiffAt[s ∩ f ⁻¹' t] fun x ↦ ⟨f x, v x⟩) x₀
this✝ : (MDiffAt[s] fun x ↦ inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x (f x₀) (f x) (mfderiv[s] f x)) x₀
this :
  MDiffAt[s]
      (inverse ∘ fun x ↦ inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x (f x₀) (f x) (mfderiv[s] f x))
    x₀
⊢ (trivializationAt E (TangentSpace I) x₀).baseSet ∈ 𝓝 x₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.NormedSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : M
a : M → 𝕜
ha : MDiffAt a x
g : M → F
hg : MDiffAt g x
v : TangentSpace I x
⊢ (d% (a • g) x) v = (a x • d% g x + (d% a x).smulRight (g x)) v

Tactic:
simp [mvfderiv, -Pi.smul_apply', fromTangentSpace_mfderiv_smul_apply ha hg]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) t (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : m + 1 ≤ n
b₁ : M → M' := f
b₂ : M → M := id
⊢ ContMDiffWithinAt I I.tangent m (fun x ↦ ⟨x, mpullbackWithin I I' f V s x⟩) (s ∩ f ⁻¹' t) x₀

Tactic:
let v : Π (x : M), TangentSpace I' (f x) := V ∘ f

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) t (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : m + 1 ≤ n
b₁ : M → M' := f
b₂ : M → M := id
v : (x : M) → TangentSpace I' (f x) := V ∘ f
⊢ ContMDiffWithinAt I I.tangent m (fun x ↦ ⟨x, mpullbackWithin I I' f V s x⟩) (s ∩ f ⁻¹' t) x₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) t (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : m + 1 ≤ n
b₁ : M → M' := f
b₂ : M → M := id
v : (x : M) → TangentSpace I' (f x) := V ∘ f
ϕ : (x : M) → TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I x := fun x ↦ (mfderiv[s] f x).inverse
hv : ContMDiffWithinAt I I'.tangent m (fun x ↦ ⟨f x, v x⟩) (s ∩ f ⁻¹' t) x₀
this✝ :
  ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x ↦ inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x (f x₀) (f x) (mfderiv[s] f x)) s x₀
this :
  ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E' →L[𝕜] E) m
    (inverse ∘ fun x ↦ inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x (f x₀) (f x) (mfderiv[s] f x)) s x₀
⊢ (trivializationAt E (TangentSpace I) x₀).baseSet ∈ 𝓝[s] x₀

Tactic:
apply nhdsWithin_le_nhds

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : ℕ∞ω
t : Set M'
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) t (f x₀)
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : m + 1 ≤ n
b₁ : M → M' := f
b₂ : M → M := ⋯
v : (x : M) → TangentSpace I' (f x) := ⋯
ϕ : (x : M) → TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I x := ⋯
hv : ContMDiffWithinAt I I'.tangent m (fun x ↦ ⟨f x, v x⟩) (s ∩ f ⁻¹' t) x₀
this✝ :
  ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (fun x ↦ inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x (f x₀) (f x) (mfderiv[s] f x)) s x₀
this :
  ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E' →L[𝕜] E) m
    (inverse ∘ fun x ↦ inCoordinates E (TangentSpace I) E' (TangentSpace I') x₀ x (f x₀) (f x) (mfderiv[s] f x)) s x₀
⊢ (trivializationAt E (TangentSpace I) x₀).baseSet ∈ 𝓝 x₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalSourceTargetProperty

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_4
H : Type u_6
G : Type u_8
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_10
N : Type u_12
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
g : M → N
P : (M → N) → OpenPartialHomeomorph M H → OpenPartialHomeomorph N G → Prop
x : M
⊢ x ∈ {x | LiftSourceTargetPropertyAt I J n g x P} →
    ∃ t ⊆ {x | LiftSourceTargetPropertyAt I J n g x P}, IsOpen[inst✝³] t ∧ x ∈ t

Tactic:
hx

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_4
H : Type u_6
G : Type u_8
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_10
N : Type u_12
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
g : M → N
P : (M → N) → OpenPartialHomeomorph M H → OpenPartialHomeomorph N G → Prop
x : M
hx : x ∈ {x | LiftSourceTargetPropertyAt I J n g x P}
⊢ ∃ t ⊆ {x | LiftSourceTargetPropertyAt I J n g x P}, IsOpen[inst✝³] t ∧ x ∈ t
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
inst✝ : IsManifold I 1 M
V : (x : M) → TangentSpace I x
⊢ V =ᶠ[𝓝[s] x] mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I))

Tactic:
apply nhdsWithin_le_nhds

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
inst✝ : IsManifold I 1 M
V : (x : M) → TangentSpace I x
⊢ {x_1 |
      (fun x_2 ↦
          V x_2 =
            mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I))
              x_2)
        x_1} ∈
    𝓝 x