mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E'' : Type u
F : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
H : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
x✝ : M
h : IsImmersionAtOfComplement F I J n f x✝
e : F ≃L[𝕜] F'
x : E
⊢ x ∈ (h.domChart.extend I).target →
    (⇑h.equiv ∘ fun x ↦ (x, 0)) x =
      (⇑(((ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 E).prodCongr e.symm).trans h.equiv) ∘ fun x ↦ (x, 0)) x

Tactic:
hx

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E'' : Type u
F : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
H : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
x✝ : M
h : IsImmersionAtOfComplement F I J n f x✝
e : F ≃L[𝕜] F'
x : E
hx : x ∈ (h.domChart.extend I).target
⊢ (⇑h.equiv ∘ fun x ↦ (x, 0)) x =
    (⇑(((ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 E).prodCongr e.symm).trans h.equiv) ∘ fun x ↦ (x, 0)) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I n M
s : TopologicalSpace.Opens M
y : ↥s
x : E
⊢ x ∈ ((chartAt H y).extend I).target →
    (↑((chartAt H ↑y).extend I) ∘ Subtype.val ∘ ↑((chartAt H y).extend I).symm) x =
      (⇑(ContinuousLinearEquiv.prodUnique 𝕜 E PUnit.{u_15 + 1}) ∘ fun x ↦ (x, 0)) x

Tactic:
hx

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_11
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : ℕ∞ω
inst✝ : IsManifold I n M
s : TopologicalSpace.Opens M
y : ↥s
x : E
hx : x ∈ ((chartAt H y).extend I).target
⊢ (↑((chartAt H ↑y).extend I) ∘ Subtype.val ∘ ↑((chartAt H y).extend I).symm) x =
    (⇑(ContinuousLinearEquiv.prodUnique 𝕜 E PUnit.{u_15 + 1}) ∘ fun x ↦ (x, 0)) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
z : ↑(Icc x y)
⊢ (if ↑z < y then IccLeftChart x y else IccRightChart x y) ∈ {IccLeftChart x y, IccRightChart x y}

Tactic:
by by_cases h' : (z : ℝ) < y <;> simp [h']

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Sphere

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(ℝ ∙ v)ᗮ
hw : ⟪v, ↑w⟫_ℝ = 0
⊢ ⟪↑(stereoInvFun hv w), v⟫_ℝ < 1

Tactic:
have hw' : (‖(w : E)‖ ^ 2 + 4)⁻¹ * (‖(w : E)‖ ^ 2 - 4) < 1 := by
      rw [inv_mul_lt_iff₀']
      · linarith
      positivity

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(ℝ ∙ v)ᗮ
hw : ⟪v, ↑w⟫_ℝ = 0
hw' : (‖↑w‖ ^ 2 + 4)⁻¹ * (‖↑w‖ ^ 2 - 4) < 1
⊢ ⟪↑(stereoInvFun hv w), v⟫_ℝ < 1
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Sphere

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : ↑(sphere 0 1)
⊢ ↑(stereographic ⋯) (-v) = 0

Tactic:
by
  simp [stereographic_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.Transform

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
γ : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
dt : ℝ
⊢ IsMIntegralCurve (γ ∘ fun x ↦ x + dt) v ↔ IsMIntegralCurve γ v

Tactic:
refine ⟨fun hγ ↦ ?_, fun hγ ↦ hγ.comp_add _⟩
  convert! hγ.comp_add (-dt)
  ext t
  simp only [Function.comp_apply, neg_add_cancel_right]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U : ∀ (w : H) (w' : H'), UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map ↑I ↑I')) (↑I w, ↑I' w')
smooth_pM : ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) I.tangent n Prod.fst (a, b)
p : TangentBundle I M × TangentBundle I' M'
hp : p.1.proj ∈ (chartAt H a.proj).source ∧ p.2.proj ∈ (chartAt H' b.proj).source
⊢ (Prod.fst ∘ fun x ↦
        (fderivWithin 𝕜
            (((fun p ↦ (↑I p.1, ↑I' p.2)) ∘ fun p ↦ (↑(chartAt H a.proj) p.1, ↑(chartAt H' b.proj) p.2)) ∘
              ↑((chartAt H x.1.proj).prod (chartAt H' x.2.proj).toPartialEquiv).symm ∘ ↑(I.prod I'.toPartialEquiv).symm)
            (range (Prod.map ↑I ↑I')) (↑I (↑(chartAt H x.1.proj) x.1.proj), ↑I' (↑(chartAt H' x.2.proj) x.2.proj)))
          (x.1.snd, x.2.snd))
      p =
    (↑(trivializationAt E (TangentSpace I) a.proj) p.1).2

Tactic:
let φ (x : E) := I ((chartAt H a.proj) ((chartAt H p.1.proj).symm (I.symm x)))

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U : ∀ (w : H) (w' : H'), UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map ↑I ↑I')) (↑I w, ↑I' w')
smooth_pM : ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) I.tangent n Prod.fst (a, b)
p : TangentBundle I M × TangentBundle I' M'
hp : p.1.proj ∈ (chartAt H a.proj).source ∧ p.2.proj ∈ (chartAt H' b.proj).source
φ : E → E := fun x ↦ ↑I (↑(chartAt H a.proj) (↑(chartAt H p.1.proj).symm (↑I.symm x)))
⊢ (Prod.fst ∘ fun x ↦
        (fderivWithin 𝕜
            (((fun p ↦ (↑I p.1, ↑I' p.2)) ∘ fun p ↦ (↑(chartAt H a.proj) p.1, ↑(chartAt H' b.proj) p.2)) ∘
              ↑((chartAt H x.1.proj).prod (chartAt H' x.2.proj).toPartialEquiv).symm ∘ ↑(I.prod I'.toPartialEquiv).symm)
            (range (Prod.map ↑I ↑I')) (↑I (↑(chartAt H x.1.proj) x.1.proj), ↑I' (↑(chartAt H' x.2.proj) x.2.proj)))
          (x.1.snd, x.2.snd))
      p =
    (↑(trivializationAt E (TangentSpace I) a.proj) p.1).2
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.PathELength

Goal state before:
pp: case ha
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x y : M
r : ℝ≥0∞
a b : ℝ
hr : riemannianEDist I x y < r
hab : a < b
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ (Icc 0 1)
hγ : pathELength I γ 0 1 < r
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha'b : a' < b
b' : ℝ
ha'b' : a' < b'
hb'b : b' < b
η : ℝ → ℝ := ⋯
t : ℝ
ht : t < a'
⊢ 0 ≤ (b' - a')⁻¹

pp: case hb
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x y : M
r : ℝ≥0∞
a b : ℝ
hr : riemannianEDist I x y < r
hab : a < b
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ (Icc 0 1)
hγ : pathELength I γ 0 1 < r
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha'b : a' < b
b' : ℝ
ha'b' : a' < b'
hb'b : b' < b
η : ℝ → ℝ := ⋯
t : ℝ
ht : t < a'
⊢ t - a' ≤ 0

Tactic:
· simpa using ha'b'.le

Goal state after:
case hb
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : (x : M) → ENorm (TangentSpace I x)
inst✝ : ∀ (x : M), ENormSMulClass ℝ (TangentSpace I x)
x y : M
r : ℝ≥0∞
a b : ℝ
hr : riemannianEDist I x y < r
hab : a < b
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ (Icc 0 1)
hγ : pathELength I γ 0 1 < r
a' : ℝ
haa' : a < a'
ha'b : a' < b
b' : ℝ
ha'b' : a' < b'
hb'b : b' < b
η : ℝ → ℝ := ⋯
t : ℝ
ht : t < a'
⊢ t - a' ≤ 0
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffWithinAt I I' 2 f s x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
A : ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) = x₀
hfi : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
this : CompleteSpace E'
u : Set M
u_open : IsOpen[inst✝⁹] u
x₀u : x₀ ∈ u
u_mem : u ∈ 𝓝 x₀
s' : Set M := ⋯
ut : s' ⊆ f ⁻¹' t
maps_u : s' ⊆ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀)).source
u_smooth : ContMDiffOn I I' 2 f s'
hs' : s' = s ∩ u
s'_eq : s' =ᶠ[𝓝 x₀] s
t' : Set M' := ⋯
ht' : t' = t ∩ (extChartAt I' (f x₀)).source
⊢ mpullbackWithin I I' f V s' =ᶠ[𝓝[s] x₀] mpullbackWithin I I' f V s

Tactic:
apply nhdsWithin_le_nhds

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffWithinAt I I' 2 f s x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
A : ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) = x₀
hfi : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
this : CompleteSpace E'
u : Set M
u_open : IsOpen[inst✝⁹] u
x₀u : x₀ ∈ u
u_mem : u ∈ 𝓝 x₀
s' : Set M := ⋯
ut : s' ⊆ f ⁻¹' t
maps_u : s' ⊆ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀)).source
u_smooth : ContMDiffOn I I' 2 f s'
hs' : s' = s ∩ u
s'_eq : s' =ᶠ[𝓝 x₀] s
t' : Set M' := ⋯
ht' : t' = t ∩ (extChartAt I' (f x₀)).source
⊢ {x | (fun x ↦ mpullbackWithin I I' f V s' x = mpullbackWithin I I' f V s x) x} ∈ 𝓝 x₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffWithinAt I I' 2 f s x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
A : ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) = x₀
hfi : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
this : CompleteSpace E'
u : Set M
u_open : IsOpen[inst✝⁹] u
x₀u : x₀ ∈ u
u_mem : u ∈ 𝓝 x₀
s' : Set M := ⋯
ut : s' ⊆ f ⁻¹' t
maps_u : s' ⊆ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀)).source
u_smooth : ContMDiffOn I I' 2 f s'
hs' : s' = s ∩ u
s'_eq : s' =ᶠ[𝓝 x₀] s
t' : Set M' := ⋯
ht' : t' = t ∩ (extChartAt I' (f x₀)).source
⊢ mpullbackWithin I I' f W s' =ᶠ[𝓝[s] x₀] mpullbackWithin I I' f W s

Tactic:
apply nhdsWithin_le_nhds

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffWithinAt I I' 2 f s x₀
hx₀ : x₀ ∈ s
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
A : ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) = x₀
hfi : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
this : CompleteSpace E'
u : Set M
u_open : IsOpen[inst✝⁹] u
x₀u : x₀ ∈ u
u_mem : u ∈ 𝓝 x₀
s' : Set M := ⋯
ut : s' ⊆ f ⁻¹' t
maps_u : s' ⊆ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x₀)).source
u_smooth : ContMDiffOn I I' 2 f s'
hs' : s' = s ∩ u
s'_eq : s' =ᶠ[𝓝 x₀] s
t' : Set M' := ⋯
ht' : t' = t ∩ (extChartAt I' (f x₀)).source
⊢ {x | (fun x ↦ mpullbackWithin I I' f W s' x = mpullbackWithin I I' f W s x) x} ∈ 𝓝 x₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
v : TangentSpace 𝓘(ℝ, F) x
⊢ ‖v‖ₑ = ‖v‖ₑ

Tactic:
by
  simp [enorm, nnnorm_tangentSpace_vectorSpace]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : RiemannianBundle fun x ↦ TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsContinuousRiemannianBundle E fun x ↦ TangentSpace I x
x : M
c : ℝ≥0∞
hc : 0 < c
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC : ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x, riemannianEDist I x y ≤ ↑C * edist (↑(extChartAt I x) x) (↑(extChartAt I x) y)
⊢ eball (↑(extChartAt I x) x) (c / ↑C) ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
exact Metric.eball_mem_nhds _ (ENNReal.div_pos hc.ne' (by simp))

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Submersion

Goal state before:
pp: case h
𝕜 : Type u_1
E'' : Type u_3
F : Type u_5
F' : Type u_6
H : Type u_7
G : Type u_9
E : Type u
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
x✝ : M
h : IsSubmersionAtOfComplement F I J n f x✝
e : F ≃L[𝕜] F'
x : E
⊢ x ∈ (h.domChart.extend I).target →
    (Prod.fst ∘ ⇑h.equiv) x = (Prod.fst ∘ ⇑(h.equiv.trans ((ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 E'').prodCongr e))) x

Tactic:
hx

Goal state after:
case h
𝕜 : Type u_1
E'' : Type u_3
F : Type u_5
F' : Type u_6
H : Type u_7
G : Type u_9
E : Type u
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
x✝ : M
h : IsSubmersionAtOfComplement F I J n f x✝
e : F ≃L[𝕜] F'
x : E
hx : x ∈ (h.domChart.extend I).target
⊢ (Prod.fst ∘ ⇑h.equiv) x = (Prod.fst ∘ ⇑(h.equiv.trans ((ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 E'').prodCongr e))) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝³ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝² : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝¹ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝ : FiberBundle F V
ι : Type u_7
s s' : ι → (x : M) → V x
u : Set M
n : ℕ∞ω
hs : IsLocalFrameOn I F n s u
hs' : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ u, s i x = s' i x
x : M
⊢ x ∈ u → LinearIndependent 𝕜 fun x_1 ↦ s' x_1 x

Tactic:
hx

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝³ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝² : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝¹ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝ : FiberBundle F V
ι : Type u_7
s s' : ι → (x : M) → V x
u : Set M
n : ℕ∞ω
hs : IsLocalFrameOn I F n s u
hs' : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ u, s i x = s' i x
x : M
hx : x ∈ u
⊢ LinearIndependent 𝕜 fun x_1 ↦ s' x_1 x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝³ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝² : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝¹ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝ : FiberBundle F V
ι : Type u_7
s s' : ι → (x : M) → V x
u : Set M
n : ℕ∞ω
hs : IsLocalFrameOn I F n s u
hs' : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ u, s i x = s' i x
x : M
⊢ x ∈ u → ⊤ ≤ Submodule.span 𝕜 (Set.range fun x_1 ↦ s' x_1 x)

Tactic:
hx

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝³ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝² : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝¹ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝ : FiberBundle F V
ι : Type u_7
s s' : ι → (x : M) → V x
u : Set M
n : ℕ∞ω
hs : IsLocalFrameOn I F n s u
hs' : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ u, s i x = s' i x
x : M
hx : x ∈ u
⊢ ⊤ ≤ Submodule.span 𝕜 (Set.range fun x_1 ↦ s' x_1 x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.LocalFrame

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝³ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝² : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝¹ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝ : FiberBundle F V
ι : Type u_7
s : ι → (x : M) → V x
u u' : Set M
n : ℕ∞ω
hs : IsLocalFrameOn I F n s u
hu'u : u' ⊆ u
x : M
⊢ x ∈ u' → LinearIndependent 𝕜 fun x_1 ↦ s x_1 x

Tactic:
hx

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝³ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝² : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝¹ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝ : FiberBundle F V
ι : Type u_7
s : ι → (x : M) → V x
u u' : Set M
n : ℕ∞ω
hs : IsLocalFrameOn I F n s u
hu'u : u' ⊆ u
x : M
hx : x ∈ u'
⊢ LinearIndependent 𝕜 fun x_1 ↦ s x_1 x