mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.FiberwiseLinear

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
n : ℕ∞ω
e : OpenPartialHomeomorph (B × F) (B × F)
U : Set B
hU : e.source = U ×ˢ univ
φ : ↑U → B → F ≃L[𝕜] F
u : ↑U → Set B
hu : ∀ (x : ↑U), IsOpen[inst✝⁷] (u x)
hUu : ∀ (x : ↑U), u x ⊆ U
hux : ∀ (x : ↑U), ↑x ∈ u x
hφ : ∀ (x : ↑U), ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x_1 ↦ ↑(φ x x_1)) (u x)
h2φ : ∀ (x : ↑U), ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x_1 ↦ ↑(φ x x_1).symm) (u x)
heφ : ∀ (x : ↑U), (e.restr (u x ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph (φ x) ⋯ ⋯ ⋯)
heuφ : ∀ (x : ↑U), EqOn (↑e) (fun q ↦ (q.1, (φ x q.1) q.2)) (u x ×ˢ univ)
huφ : ∀ (x x' : ↑U), ∀ y ∈ u x, y ∈ u x' → φ x y = φ x' y
hUu' : U = ⋃ i, u i
hU' : IsOpen[inst✝⁷] U
Φ₀ : ↑U → F ≃L[𝕜] F := iUnionLift u (fun x ↦ φ x ∘ Subtype.val) huφ U ⋯
Φ : B → F ≃L[𝕜] F := fun y ↦ if hy : y ∈ U then Φ₀ ⟨y, hy⟩ else ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F
hΦ : ∀ (y : B) (hy : y ∈ U), Φ y = Φ₀ ⟨y, hy⟩
hΦφ : ∀ (x : ↑U), ∀ y ∈ u x, Φ y = φ x y
x : B
hx : x ∈ U
y : B
hy : y ∈ u ⟨x, hx⟩
⊢ ↑(Φ y) = ↑(φ ⟨x, hx⟩ y)

Tactic:
hΦφ ⟨x, hx⟩ y hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
n : ℕ∞ω
e : OpenPartialHomeomorph (B × F) (B × F)
U : Set B
hU : e.source = U ×ˢ univ
φ : ↑U → B → F ≃L[𝕜] F
u : ↑U → Set B
hu : ∀ (x : ↑U), IsOpen[inst✝⁷] (u x)
hUu : ∀ (x : ↑U), u x ⊆ U
hux : ∀ (x : ↑U), ↑x ∈ u x
hφ : ∀ (x : ↑U), ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x_1 ↦ ↑(φ x x_1)) (u x)
h2φ : ∀ (x : ↑U), ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x_1 ↦ ↑(φ x x_1).symm) (u x)
heφ : ∀ (x : ↑U), (e.restr (u x ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph (φ x) ⋯ ⋯ ⋯)
heuφ : ∀ (x : ↑U), EqOn (↑e) (fun q ↦ (q.1, (φ x q.1) q.2)) (u x ×ˢ univ)
huφ : ∀ (x x' : ↑U), ∀ y ∈ u x, y ∈ u x' → φ x y = φ x' y
hUu' : U = ⋃ i, u i
hU' : IsOpen[inst✝⁷] U
Φ₀ : ↑U → F ≃L[𝕜] F := iUnionLift u (fun x ↦ φ x ∘ Subtype.val) huφ U ⋯
Φ : B → F ≃L[𝕜] F := fun y ↦ if hy : y ∈ U then Φ₀ ⟨y, hy⟩ else ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F
hΦ : ∀ (y : B) (hy : y ∈ U), Φ y = Φ₀ ⟨y, hy⟩
hΦφ : ∀ (x : ↑U), ∀ y ∈ u x, Φ y = φ x y
x : B
hx : x ∈ U
y : B
hy : y ∈ u ⟨x, hx⟩
⊢ ↑(φ ⟨x, hx⟩ y) = ↑(φ ⟨x, hx⟩ y)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.FiberwiseLinear

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
n : ℕ∞ω
e : OpenPartialHomeomorph (B × F) (B × F)
U : Set B
hU : e.source = U ×ˢ univ
φ : ↑U → B → F ≃L[𝕜] F
u : ↑U → Set B
hu : ∀ (x : ↑U), IsOpen[inst✝⁷] (u x)
hUu : ∀ (x : ↑U), u x ⊆ U
hux : ∀ (x : ↑U), ↑x ∈ u x
hφ : ∀ (x : ↑U), ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x_1 ↦ ↑(φ x x_1)) (u x)
h2φ : ∀ (x : ↑U), ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x_1 ↦ ↑(φ x x_1).symm) (u x)
heφ : ∀ (x : ↑U), (e.restr (u x ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph (φ x) ⋯ ⋯ ⋯)
heuφ : ∀ (x : ↑U), EqOn (↑e) (fun q ↦ (q.1, (φ x q.1) q.2)) (u x ×ˢ univ)
huφ : ∀ (x x' : ↑U), ∀ y ∈ u x, y ∈ u x' → φ x y = φ x' y
hUu' : U = ⋃ i, u i
hU' : IsOpen[inst✝⁷] U
Φ₀ : ↑U → F ≃L[𝕜] F := iUnionLift u (fun x ↦ φ x ∘ Subtype.val) huφ U ⋯
Φ : B → F ≃L[𝕜] F := fun y ↦ if hy : y ∈ U then Φ₀ ⟨y, hy⟩ else ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F
hΦ✝ : ∀ (y : B) (hy : y ∈ U), Φ y = Φ₀ ⟨y, hy⟩
hΦφ : ∀ (x : ↑U), ∀ y ∈ u x, Φ y = φ x y
hΦ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun y ↦ ↑(Φ y)) U
x : B
hx : x ∈ U
y : B
hy : y ∈ u ⟨x, hx⟩
⊢ ↑(Φ y).symm = ↑(φ ⟨x, hx⟩ y).symm

Tactic:
hΦφ ⟨x, hx⟩ y hy

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
n : ℕ∞ω
e : OpenPartialHomeomorph (B × F) (B × F)
U : Set B
hU : e.source = U ×ˢ univ
φ : ↑U → B → F ≃L[𝕜] F
u : ↑U → Set B
hu : ∀ (x : ↑U), IsOpen[inst✝⁷] (u x)
hUu : ∀ (x : ↑U), u x ⊆ U
hux : ∀ (x : ↑U), ↑x ∈ u x
hφ : ∀ (x : ↑U), ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x_1 ↦ ↑(φ x x_1)) (u x)
h2φ : ∀ (x : ↑U), ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x_1 ↦ ↑(φ x x_1).symm) (u x)
heφ : ∀ (x : ↑U), (e.restr (u x ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph (φ x) ⋯ ⋯ ⋯)
heuφ : ∀ (x : ↑U), EqOn (↑e) (fun q ↦ (q.1, (φ x q.1) q.2)) (u x ×ˢ univ)
huφ : ∀ (x x' : ↑U), ∀ y ∈ u x, y ∈ u x' → φ x y = φ x' y
hUu' : U = ⋃ i, u i
hU' : IsOpen[inst✝⁷] U
Φ₀ : ↑U → F ≃L[𝕜] F := iUnionLift u (fun x ↦ φ x ∘ Subtype.val) huφ U ⋯
Φ : B → F ≃L[𝕜] F := fun y ↦ if hy : y ∈ U then Φ₀ ⟨y, hy⟩ else ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F
hΦ✝ : ∀ (y : B) (hy : y ∈ U), Φ y = Φ₀ ⟨y, hy⟩
hΦφ : ∀ (x : ↑U), ∀ y ∈ u x, Φ y = φ x y
hΦ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun y ↦ ↑(Φ y)) U
x : B
hx : x ∈ U
y : B
hy : y ∈ u ⟨x, hx⟩
⊢ ↑(φ ⟨x, hx⟩ y).symm = ↑(φ ⟨x, hx⟩ y).symm
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
h : HasMFDerivAt[s] f x 0
⊢ fderivWithin 𝕜 ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm)
      (↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x)) =
    0

Tactic:
simp only [HasMFDerivWithinAt, mfld_simps] at h

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
h :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    HasFDerivWithinAt ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) 0
      (↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))
⊢ fderivWithin 𝕜 ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm)
      (↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x)) =
    0
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.FiberwiseLinear

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
n : ℕ∞ω
e : OpenPartialHomeomorph (B × F) (B × F)
he :
  ∀ x ∈ e.source,
    ∃ s,
      IsOpen[instTopologicalSpaceProd] s ∧
        x ∈ s ∧
          ∃ φ U,
            ∃ (hU : IsOpen[inst✝⁷] U) (hφ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x)) U) (h2φ :
              ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x).symm) U),
              (e.restr s).EqOnSource (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)
⊢ ∃ φ U,
    ∃ (hU : IsOpen[inst✝⁷] U) (hφ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x)) U) (h2φ :
      ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x).symm) U),
      e.EqOnSource (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)

Tactic:
obtain ⟨U, hU, h⟩ := ContMDiffFiberwiseLinear.locality_aux₁ n e he

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
n : ℕ∞ω
e : OpenPartialHomeomorph (B × F) (B × F)
he :
  ∀ x ∈ e.source,
    ∃ s,
      IsOpen[instTopologicalSpaceProd] s ∧
        x ∈ s ∧
          ∃ φ U,
            ∃ (hU : IsOpen[inst✝⁷] U) (hφ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x)) U) (h2φ :
              ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x).symm) U),
              (e.restr s).EqOnSource (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)
U : Set B
hU : e.source = U ×ˢ univ
h :
  ∀ x ∈ U,
    ∃ φ u,
      ∃ (hu : IsOpen[inst✝⁷] u) (_ : u ⊆ U) (_ : x ∈ u) (hφ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x)) u) (h2φ
        : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x).symm) u),
        (e.restr (u ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)
⊢ ∃ φ U,
    ∃ (hU : IsOpen[inst✝⁷] U) (hφ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x)) U) (h2φ :
      ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x).symm) U),
      e.EqOnSource (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M × M'
y : E × E'
hy : y ∈ (extChartAt (I.prod I') x).target
⊢ (↑(extChartAt I x.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) y = y.1

Tactic:
extChartAt_prod

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M × M'
y : E × E'
hy : y ∈ ((extChartAt I x.1).prod (extChartAt I' x.2)).target
⊢ (↑(extChartAt I x.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) y = y.1
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f f₁ : M → M'
x : M
s : Set M
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
h : HasMFDerivAt[s] f x f'
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
⊢ HasMFDerivAt[s] f₁ x f'

Tactic:
by
  refine ⟨ContinuousWithinAt.congr_of_eventuallyEq h.1 h₁ hx, ?_⟩
  apply HasFDerivWithinAt.congr_of_eventuallyEq h.2
  · have :
      (extChartAt I x).symm ⁻¹' {y | f₁ y = f y} ∈
        𝓝[(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range I] (extChartAt I x) x :=
      extChartAt_preimage_mem_nhdsWithin h₁
    apply Filter.mem_of_superset this fun y => _
    simp +contextual only [hx, mfld_simps]
  · simp only [hx, mfld_simps]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M × M'
y : E × E'
hy : y ∈ (extChartAt (I.prod I') x).target
⊢ (↑(extChartAt I' x.2) ∘ Prod.snd ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) y = y.2

Tactic:
extChartAt_prod

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M × M'
y : E × E'
hy : y ∈ ((extChartAt I x.1).prod (extChartAt I' x.2)).target
⊢ (↑(extChartAt I' x.2) ∘ Prod.snd ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) y = y.2
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tangent

Goal state before:
pp: case hx
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
n : ℕ∞ω
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_8
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
this : IsManifold I (0 + 1) M
i j k : ↑(atlas H M)
x : M
hxk : x ∈ (↑k).source
hxi : x ∈ (↑i).source
hxj : x ∈ (↑j).source
v : E
⊢ ((↑((↑k).extend I) ∘ ↑((↑j).extend I).symm) ∘ ↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (↑((↑i).extend I) x) =
    (↑((↑k).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (↑((↑i).extend I) x)

Tactic:
simp_rw [Function.comp_apply, i.1.extend_left_inv hxi, j.1.extend_left_inv hxj]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x₀ : M
y₀ : M'
⊢ (mfderiv% id x₀).prod ((mfderiv% fun x ↦ y₀) x₀) = ContinuousLinearMap.inl 𝕜 (TangentSpace I x₀) (TangentSpace I' y₀)

Tactic:
rw [mfderiv_id, mfderiv_const, ContinuousLinearMap.inl]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M × M' → M''
p : M × M'
hf : MDiffAt f p
⊢ mfderiv% f p = (mfderiv% fun z ↦ f (z.1, p.2)) p + (mfderiv% fun z ↦ f (p.1, z.2)) p

Tactic:
mfderiv_comp_of_eq hf (mdifferentiableAt_fst.prodMk mdifferentiableAt_const) rfl,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M × M' → M''
p : M × M'
hf : MDiffAt f p
⊢ mfderiv% f p = mfderiv% f (p.1, p.2) ∘SL (mfderiv% fun x ↦ (x.1, p.2)) p + (mfderiv% fun z ↦ f (p.1, z.2)) p
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Basic

Goal state before:
pp: n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹² : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹¹ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁰ : ChartedSpace HB B
inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝³ : FiberBundle F E
inst✝² : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝¹ : ContMDiffVectorBundle n F E IB
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : MemTrivializationAtlas e
⊢ ContMDiffOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n (↑e) e.source

Tactic:
have : ContMDiffOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n id e.source := contMDiffOn_id

Goal state after:
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹² : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹¹ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁰ : ChartedSpace HB B
inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝³ : FiberBundle F E
inst✝² : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝¹ : ContMDiffVectorBundle n F E IB
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : MemTrivializationAtlas e
this : ContMDiffOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n id e.source
⊢ ContMDiffOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n (↑e) e.source
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Basic

Goal state before:
pp: n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : ChartedSpace HB B
inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle 𝕜 F E
ha : IsContMDiff IB a n
this✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
this✝ : FiberBundle F E := a.toFiberBundle
this : VectorBundle 𝕜 F E := toVectorBundle a
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
⊢ ∀ y ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet,
    ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he)
          (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he') y) =
      contMDiffCoordChange n IB a he he' y

Tactic:
intro b hb

Goal state after:
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
E : B → Type u_6
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : ChartedSpace HB B
inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle 𝕜 F E
ha : IsContMDiff IB a n
this✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
this✝ : FiberBundle F E := a.toFiberBundle
this : VectorBundle 𝕜 F E := toVectorBundle a
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
⊢ ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he)
        (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he') b) =
    contMDiffCoordChange n IB a he he' b
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³² : NormedAddCommGroup E
inst✝³¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁹ : TopologicalSpace M
inst✝²⁸ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁵ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝²³ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝²² : NormedAddCommGroup E''
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁸ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace N
inst✝¹³ : ChartedSpace G N
F' : Type u_14
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝⁹ : TopologicalSpace N'
inst✝⁸ : ChartedSpace G' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
s : Set M
x z : M
f g : M → E'
f' g' : TangentSpace I z →L[𝕜] E'
hf : MDiffAt f z
hg : MDiffAt g z
⊢ TangentSpace I z →L[𝕜] TangentSpace 𝓘(𝕜, E') ((f + g) z)

Tactic:
by exact mfderiv% g z

Goal state after: