mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h' : LinearIndependent R ![P.root (-i), P.root j]
z : ℤ
⊢ -↑(chainTopCoeff i j) ≤ z ∧ z ≤ ↑(chainBotCoeff i j) ↔ P.root j + z • (P.reflection i) (P.root i) ∈ range ⇑P.root

Tactic:
reflection_apply_self,

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h' : LinearIndependent R ![P.root (-i), P.root j]
z : ℤ
⊢ -↑(chainTopCoeff i j) ≤ z ∧ z ≤ ↑(chainBotCoeff i j) ↔ P.root j + z • -P.root i ∈ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : M →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
_i✝ : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
_i : Module ℚ N := compHom N (algebraMap ℚ R)
this✝¹ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this✝ : Fintype ↑(baseOf (⇑P.root) f)
v : ↑(baseOf (⇑P.root) f) → ↥(P.rootSpan ℚ) := fun i ↦ P.rootSpanMem ℚ ↑i
i : ι
this : ↑(P.rootSpanMem ℚ i) ∈ span ℚ (⇑P.root '' baseOf (⇑P.root) f)
⊢ (P.rootSpan ℚ).subtype (P.rootSpanMem ℚ i) ∈ span ℚ (⇑(P.rootSpan ℚ).subtype ∘ v '' univ)

Tactic:
convert! this

Goal state after:
case e'_4.e'_6
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : M →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
_i✝ : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
_i : Module ℚ N := compHom N (algebraMap ℚ R)
this✝¹ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this✝ : Fintype ↑(baseOf (⇑P.root) f)
v : ↑(baseOf (⇑P.root) f) → ↥(P.rootSpan ℚ) := fun i ↦ P.rootSpanMem ℚ ↑i
i : ι
this : ↑(P.rootSpanMem ℚ i) ∈ span ℚ (⇑P.root '' baseOf (⇑P.root) f)
⊢ ⇑(P.rootSpan ℚ).subtype ∘ v '' univ = ⇑P.root '' baseOf (⇑P.root) f
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : M →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
_i✝ : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
_i : Module ℚ N := compHom N (algebraMap ℚ R)
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : Fintype ↑(baseOf (⇑P.root) f)
v : ↑(baseOf (⇑P.root) f) → ↥(P.rootSpan ℚ) := fun i ↦ P.rootSpanMem ℚ ↑i
i : ι
⊢ ↑(P.rootSpanMem ℚ i) ∈ span ℚ (⇑P.root '' baseOf (⇑P.root) f)

Tactic:
rw [← span_span_of_tower ℤ, ← Submodule.coe_toAddSubgroup, span_int_eq_addSubgroupClosure,
      AddSubgroup.closure_image_isAddIndecomposable_baseOf P.root (by simp) f (by simpa)]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : M →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
_i✝ : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
_i : Module ℚ N := compHom N (algebraMap ℚ R)
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : Fintype ↑(baseOf (⇑P.root) f)
v : ↑(baseOf (⇑P.root) f) → ↥(P.rootSpan ℚ) := fun i ↦ P.rootSpanMem ℚ ↑i
i : ι
⊢ ↑(P.rootSpanMem ℚ i) ∈ span ℚ ↑(AddSubgroup.closure (range ⇑P.root))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : Module.IsReflexive R N
this : IsAddTorsionFree M
hli : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h₁ : P.pairingIn ℤ j i = 1
⊢ P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root

Tactic:
replace h₁ : P.pairing j i = 1 := by simpa [← P.algebraMap_pairingIn ℤ]
        rw [← neg_mem_range_root_iff, neg_sub]
        exact ⟨P.reflectionPerm i j, by simpa [h₁] using P.reflection_apply_root i j⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root (-j)]
z : ℤ
⊢ -↑(chainTopCoeff i j) ≤ z ∧ z ≤ ↑(chainBotCoeff i j) ↔ (P.reflection j) (P.root j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root

Tactic:
reflection_apply_self,

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root (-j)]
z : ℤ
⊢ -↑(chainTopCoeff i j) ≤ z ∧ z ≤ ↑(chainBotCoeff i j) ↔ -P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
i✝ j✝ : ι
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
hij : P.root i✝ + P.root j✝ ∈ range ⇑P.root
q : Submodule K M
hq✝ : q ∈ P.invtRootSubmodule
hq : ∀ (i : ι), q ∈ Module.End.invtSubmodule ↑(P.reflection i)
i j k : ι
hk : P.root k = P.root i + P.root j
hi : P.root i ∈ q
hij₀ : P.pairing i j ≠ 0
⊢ P.root j ∈ q

Tactic:
· replace hq : P.root i - P.pairing i j • P.root j ∈ q := by
      simpa [reflection_apply_root] using hq j hi
    rwa [q.sub_mem_iff_right hi, q.smul_mem_iff hij₀] at hq

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℕ
hf : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf' : P.root i = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
contra : f = 0
⊢ P.root i = 0

Tactic:
by simp [hf', contra]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝ : CharZero R
i : ι
f : ι → ℕ
hf : Function.support f ⊆ ↑b.support
hf' : P.root i = -∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
contra : f = 0
⊢ P.root i = 0

Tactic:
by simp [hf', contra]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case pred
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
j : ι
hj : j ∈ b.support
w : ℕ
hw :
  ∀ {i k : ι}, b.IsPos i → P.root k = P.root i + -↑w • P.root j → LinearIndependent R ![P.root j, P.root i] → b.IsPos k
i k : ι
hi : b.IsPos i
hk : P.root k = P.root i + (-↑w - 1) • P.root j
hij : LinearIndependent R ![P.root j, P.root i]
⊢ b.IsPos k

Tactic:
| pred w hw =>

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : f.LimZero
⊢ (-f).LimZero

Tactic:
by
  rw [← neg_one_mul f]
  exact mul_limZero_right _ hf

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Field α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : IsStrictOrderedRing α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : f ≈ g
⊢ -f ≈ -g

Tactic:
simpa only [neg_sub'] using! neg_limZero hf

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Real.Basic

Goal state before:
pp: a b : CauSeq ℚ abs
⊢ { cauchy := ⟦a ⊔ b⟧ } = { cauchy := ⟦a⟧ }.sup { cauchy := ⟦b⟧ }

Tactic:
rw [sup_def]
    rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Real.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : Monoid R
f : R → ℝ
hf : IsPowMul f
hf1 : f 1 ^ 2 = f 1
⊢ f 1 ≤ 1

Tactic:
rcases eq_zero_or_one_of_sq_eq_self hf1 with h | h

Goal state after:
case inl
R : Type u_1
inst✝ : Monoid R
f : R → ℝ
hf : IsPowMul f
hf1 : f 1 ^ 2 = f 1
h : f 1 = 0
⊢ f 1 ≤ 1

case inr
R : Type u_1
inst✝ : Monoid R
f : R → ℝ
hf : IsPowMul f
hf1 : f 1 ^ 2 = f 1
h : f 1 = 1
⊢ f 1 ≤ 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Hermitian

Goal state before:
pp: α : Type u_1
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing α
inst✝⁴ : StarRing α
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
D : Matrix n n α
x : m → α
y : n → α
inst✝ : Invertible A
hA : A.IsHermitian
⊢ star (x ⊕ᵥ y) ᵥ* fromBlocks A B Bᴴ D ⬝ᵥ (x ⊕ᵥ y) =
    star (x + (A⁻¹ * B) *ᵥ y) ᵥ* A ⬝ᵥ (x + (A⁻¹ * B) *ᵥ y) + star y ᵥ* (D - Bᴴ * A⁻¹ * B) ⬝ᵥ y

Tactic:
by
  simp [Function.star_sumElim, vecMul_fromBlocks, add_vecMul,
    dotProduct_mulVec, vecMul_sub, Matrix.mul_assoc, hA.eq,
    conjTranspose_nonsing_inv, star_mulVec]
  abel

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Prod

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L₁ : Type u_2
L₂ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L₁
inst✝² : LieAlgebra R L₁
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
⊢ (↑(inl R L₁ L₂)).range = ↑(snd R L₁ L₂).ker

Tactic:
ker_toSubmodule

Goal state after:
R : Type u_1
L₁ : Type u_2
L₂ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L₁
inst✝² : LieAlgebra R L₁
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
⊢ (↑(inl R L₁ L₂)).range = (↑(snd R L₁ L₂)).ker
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Prod

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L₁ : Type u_2
L₂ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L₁
inst✝² : LieAlgebra R L₁
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
⊢ (↑(inr R L₁ L₂)).range = ↑(fst R L₁ L₂).ker

Tactic:
ker_toSubmodule

Goal state after:
R : Type u_1
L₁ : Type u_2
L₂ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L₁
inst✝² : LieAlgebra R L₁
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
⊢ (↑(inr R L₁ L₂)).range = (↑(fst R L₁ L₂)).ker
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : TrivialStar R
A : Matrix ι ι R
d : ι → R
hA : (diagonal d * A).PosDef
hD : ∀ (i : ι), 0 < d i
μ ρ : R
hμ : ∀ (i j : ι), A i j ≤ if i = j then μ else 0
hρ : HasEigenvalue (toLin' A) ρ
contra : 2 * μ ≤ ρ
N : Matrix ι ι R := μ • 1 - A
N_def : N = μ • 1 - A
hN : ∀ (i j : ι), 0 ≤ N i j
v : ι → R
hv : N *ᵥ v = (μ - ρ) • v
hv₀ : v ≠ 0
q : R := |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
q_def : q = |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
Q : R := μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
Q_def : Q = μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
hq₀ : q < Q
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
h₀ : 0 ≤ ρ - μ
h₁ : μ ≤ ρ - μ
h₂ : 0 ≤ d i
h₃ : (ρ - μ) * |v i| ≤ (N *ᵥ |v|) i
⊢ μ * |v i| * (d i * |v i|) ≤ (ρ - μ) * |v i| * (d i * |v i|)

Tactic:
by gcongr

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : TrivialStar R
A : Matrix ι ι R
d : ι → R
hA : (diagonal d * A).PosDef
hD : ∀ (i : ι), 0 < d i
μ ρ : R
hμ : ∀ (i j : ι), A i j ≤ if i = j then μ else 0
hρ : HasEigenvalue (toLin' A) ρ
contra : 2 * μ ≤ ρ
N : Matrix ι ι R := μ • 1 - A
N_def : N = μ • 1 - A
hN : ∀ (i j : ι), 0 ≤ N i j
v : ι → R
hv : N *ᵥ v = (μ - ρ) • v
hv₀ : v ≠ 0
q : R := |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
q_def : q = |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
Q : R := μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
Q_def : Q = μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
hq₀ : q < Q
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
h₀ : 0 ≤ ρ - μ
h₁ : μ ≤ ρ - μ
h₂ : 0 ≤ d i
h₃ : (ρ - μ) * |v i| ≤ (N *ᵥ |v|) i
⊢ (ρ - μ) * |v i| * (d i * |v i|) ≤ (N *ᵥ |v|) i * (d i * |v i|)

Tactic:
by gcongr

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
⊢ 1 = ↑1

Tactic:
Nat.cast_one

Goal state after:
case zero
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
⊢ 1 = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_f_lt : f.degree < ↑(#s)
eval_f : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = 0
⊢ f = 0

Tactic:
by
  classical
    rw [← card_image_of_injOn hvs] at degree_f_lt
    refine eq_zero_of_degree_lt_of_eval_finset_eq_zero _ degree_f_lt ?_
    intro x hx
    rcases mem_image.mp hx with ⟨_, hj, rfl⟩
    exact eval_f _ hj

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.EngelSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
⊢ ⊤ ≤ engel R 0

Tactic:
rintro x -

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x : L
⊢ x ∈ engel R 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι₁
inst✝¹⁰ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁹ : LieRing L₁
inst✝⁸ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L₁
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝³ : LieAlgebra K L₂
inst✝² : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝¹ : IsSimple K L₁
inst✝ : IsSimple K L₂
L : LieSubalgebra K (L₁ × L₂) := prod eι b₁ b₂
p₁ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₁ := (LieHom.fst K L₁ L₂).comp L.incl
p₂ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₂ := (LieHom.snd K L₁ L₂).comp L.incl
disj : Disjoint p₁.ker p₂.ker
I₁ : LieIdeal K L₂ := LieIdeal.map p₂ p₁.ker
this : p₁.ker ≤ p₂.ker
⊢ Injective ⇑p₁

Tactic:
← p₁.ker_eq_bot,

Goal state after:
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι₁
inst✝¹⁰ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁹ : LieRing L₁
inst✝⁸ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L₁
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝³ : LieAlgebra K L₂
inst✝² : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝¹ : IsSimple K L₁
inst✝ : IsSimple K L₂
L : LieSubalgebra K (L₁ × L₂) := prod eι b₁ b₂
p₁ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₁ := (LieHom.fst K L₁ L₂).comp L.incl
p₂ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₂ := (LieHom.snd K L₁ L₂).comp L.incl
disj : Disjoint p₁.ker p₂.ker
I₁ : LieIdeal K L₂ := LieIdeal.map p₂ p₁.ker
this : p₁.ker ≤ p₂.ker
⊢ p₁.ker = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι₁
inst✝¹⁰ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁹ : LieRing L₁
inst✝⁸ : LieRing L₂
K : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L₁
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L₁
H₁ : LieSubalgebra K L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝³ : LieAlgebra K L₂
inst✝² : FiniteDimensional K L₂
H₂ : LieSubalgebra K L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
inst✝¹ : IsSimple K L₁
inst✝ : IsSimple K L₂
L : LieSubalgebra K (L₁ × L₂) := prod eι b₁ b₂
p₁ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₁ := (LieHom.fst K L₁ L₂).comp L.incl
p₂ : ↥L →ₗ⁅K⁆ L₂ := (LieHom.snd K L₁ L₂).comp L.incl
disj : Disjoint p₁.ker p₂.ker
I₁ : LieIdeal K L₂ := LieIdeal.map p₂ p₁.ker
this : p₁.ker ≤ p₂.ker
⊢ Injective ⇑p₁

Tactic:
rw [← p₁.ker_eq_bot, disj.eq_bot_of_le this]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Monad

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f : σ → MvPolynomial τ R
⊢ ∀ {α β γ : Type u_6} (x : MvPolynomial α R) (f : α → MvPolynomial β R) (g : β → MvPolynomial γ R),
    x >>= f >>= g = x >>= fun x ↦ f x >>= g

Tactic:
by intros; simp [bind, ← bind₁_comp_bind₁]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Homogeneous.Ideal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_4
f : κ → Ideal A
h : ∀ (i : κ), IsHomogeneous 𝒜 (f i)
i : ι
⊢ ∀ ⦃m : A⦄, m ∈ ⨅ i, f i → ↑(((decompose 𝒜) m) i) ∈ ⨅ i, f i

Tactic:
x

Goal state after:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_4
f : κ → Ideal A
h : ∀ (i : κ), IsHomogeneous 𝒜 (f i)
i : ι
x : A
⊢ x ∈ ⨅ i, f i → ↑(((decompose 𝒜) x) i) ∈ ⨅ i, f i
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Homogeneous.Ideal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
x : A
hx : x ∈ 𝒜₊.toAddSubmonoid
j : ι
hj : j ∈ DFinsupp.support ((decompose 𝒜) x)
⊢ ↑(((decompose 𝒜) x) j) ∈ ⨆ i, ⨆ (_ : i > 0), AddSubmonoid.ofClass (𝒜 i)

Tactic:
by_cases hj₀ : j = 0

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
x : A
hx : x ∈ 𝒜₊.toAddSubmonoid
j : ι
hj : j ∈ DFinsupp.support ((decompose 𝒜) x)
hj₀ : j = 0
⊢ ↑(((decompose 𝒜) x) j) ∈ ⨆ i, ⨆ (_ : i > 0), AddSubmonoid.ofClass (𝒜 i)

case neg
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : PartialOrder ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
x : A
hx : x ∈ 𝒜₊.toAddSubmonoid
j : ι
hj : j ∈ DFinsupp.support ((decompose 𝒜) x)
hj₀ : ¬j = 0
⊢ ↑(((decompose 𝒜) x) j) ∈ ⨆ i, ⨆ (_ : i > 0), AddSubmonoid.ofClass (𝒜 i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Zero

Goal state before:
pp: K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : End K M
tfae_1_iff_2 : φ.HasEigenvalue 0 ↔ (minpoly K φ).IsRoot 0
tfae_2_to_3 : (minpoly K φ).IsRoot 0 → constantCoeff (charpoly φ) = 0
tfae_3_to_4 : constantCoeff (charpoly φ) = 0 → LinearMap.det φ = 0
tfae_4_to_5 : LinearMap.det φ = 0 → ⊥ < ker φ
h : ∀ (m : M), m ≠ 0 → φ m ≠ 0
⊢ ker φ ≤ ⊥

Tactic:
x

Goal state after:
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : End K M
tfae_1_iff_2 : φ.HasEigenvalue 0 ↔ (minpoly K φ).IsRoot 0
tfae_2_to_3 : (minpoly K φ).IsRoot 0 → constantCoeff (charpoly φ) = 0
tfae_3_to_4 : constantCoeff (charpoly φ) = 0 → LinearMap.det φ = 0
tfae_4_to_5 : LinearMap.det φ = 0 → ⊥ < ker φ
h : ∀ (m : M), m ≠ 0 → φ m ≠ 0
x : M
⊢ x ∈ ker φ → x ∈ ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.LinearMap

Goal state before:
pp: K : Type u
V : Type v
V' : Type v'
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
η : Type u_1
s : Finset η
f : η → V →ₗ[K] V'
x✝² : η
x✝¹ : V →ₗ[K] V'
x✝ : Cardinal.{v'}
h : x✝¹.rank ≤ x✝
⊢ (f x✝²).rank + x✝¹.rank ≤ (f x✝²).rank + x✝

Tactic:
by gcongr

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymplecticGroup

Goal state before:
pp: case refine_1
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A B C D : Matrix l l R
h : fromBlocks A B C D ∈ symplecticGroup l R
h_final : fromBlocks (Cᵀ * A - Aᵀ * C) (Cᵀ * B - Aᵀ * D) (Dᵀ * A - Bᵀ * C) (Dᵀ * B - Bᵀ * D) = J l R
h_eq1 : Cᵀ * A - Aᵀ * C = 0
h_eq2 : Cᵀ * B - Aᵀ * D = -1
left✝ : Dᵀ * A - Bᵀ * C = 1
h_eq3 : Dᵀ * B - Bᵀ * D = 0
⊢ Aᵀ * C = Cᵀ * A ∧ Bᵀ * D = Dᵀ * B ∧ Aᵀ * D - Cᵀ * B = 1

Tactic:
exact ⟨(sub_eq_zero.1 h_eq1).symm, (sub_eq_zero.1 h_eq3).symm, by grind⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymplecticGroup

Goal state before:
pp: l : Type u_1
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
R : Type u_3
inst✝ : Field R
A C : Matrix l l R
hker : ∀ (x : l → R), A • x = 0 → C • x = 0 → x = 0
hsymm : Aᵀ * C = Cᵀ * A
V U : Matrix l l R
s : l ≃ Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)
hV : IsUnit V
hU : IsUnit U
P : Matrix l l R := V * C * U
heq : P = (fromBlocks 1 0 0 0).submatrix ⇑s ⇑s
P_def : P = V * C * U
Q : Matrix l l R := Vᵀ⁻¹ * A * U
Q_def : Q = Vᵀ⁻¹ * A * U
f : Matrix l l R → Matrix (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) R :=
  fun x ↦ x.submatrix ⇑s.symm ⇑s.symm
hf : ∀ (x : Matrix l l R), f x = x.submatrix ⇑s.symm ⇑s.symm
f_unit : ∀ {x : Matrix l l R}, IsUnit x → IsUnit (f x)
f_mul : ∀ (x y : Matrix l l R), f (x * y) = f x * f y
x✝² : Invertible V
x✝¹ : Invertible U
x✝ : Invertible (f Vᵀ)
con1 : ∀ (x : Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank) → R), f Q • x = 0 → f P • x = 0 → x = 0
con2 : (f Q).toBlocks₁₁ᵀ = (f Q).toBlocks₁₁ ∧ (f Q).toBlocks₁₂ = 0
con3 : IsUnit (f Q).toBlocks₂₂
Y : Matrix (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) R :=
  fromBlocks (1 - (f Q).toBlocks₁₁) 0 0 0
Y_def : Y = fromBlocks (1 - (f Q).toBlocks₁₁) 0 0 0
⊢ Y.IsSymm

Tactic:
Y_def,

Goal state after:
l : Type u_1
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
R : Type u_3
inst✝ : Field R
A C : Matrix l l R
hker : ∀ (x : l → R), A • x = 0 → C • x = 0 → x = 0
hsymm : Aᵀ * C = Cᵀ * A
V U : Matrix l l R
s : l ≃ Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)
hV : IsUnit V
hU : IsUnit U
P : Matrix l l R := V * C * U
heq : P = (fromBlocks 1 0 0 0).submatrix ⇑s ⇑s
P_def : P = V * C * U
Q : Matrix l l R := Vᵀ⁻¹ * A * U
Q_def : Q = Vᵀ⁻¹ * A * U
f : Matrix l l R → Matrix (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) R :=
  fun x ↦ x.submatrix ⇑s.symm ⇑s.symm
hf : ∀ (x : Matrix l l R), f x = x.submatrix ⇑s.symm ⇑s.symm
f_unit : ∀ {x : Matrix l l R}, IsUnit x → IsUnit (f x)
f_mul : ∀ (x y : Matrix l l R), f (x * y) = f x * f y
x✝² : Invertible V
x✝¹ : Invertible U
x✝ : Invertible (f Vᵀ)
con1 : ∀ (x : Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank) → R), f Q • x = 0 → f P • x = 0 → x = 0
con2 : (f Q).toBlocks₁₁ᵀ = (f Q).toBlocks₁₁ ∧ (f Q).toBlocks₁₂ = 0
con3 : IsUnit (f Q).toBlocks₂₂
Y : Matrix (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) (Fin C.rank ⊕ Fin (Fintype.card l - C.rank)) R :=
  fromBlocks (1 - (f Q).toBlocks₁₁) 0 0 0
Y_def : Y = fromBlocks (1 - (f Q).toBlocks₁₁) 0 0 0
⊢ (fromBlocks (1 - (f Q).toBlocks₁₁) 0 0 0).IsSymm