mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.SeparatedMap

Goal state before:
pp: case mp
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → Y
h : IsLocallyInjective f
⊢ ∀ (x : X), ∃ U ∈ 𝓝 x, Set.InjOn f U

Tactic:
x

Goal state after:
case mp
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → Y
h : IsLocallyInjective f
x : X
⊢ ∃ U ∈ 𝓝 x, Set.InjOn f U
Module: Mathlib.Topology.SeparatedMap

Goal state before:
pp: case mpr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → Y
h : ∀ (x : X), ∃ U ∈ 𝓝 x, Set.InjOn f U
⊢ IsLocallyInjective f

Tactic:
x

Goal state after:
case mpr
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → Y
h : ∀ (x : X), ∃ U ∈ 𝓝 x, Set.InjOn f U
x : X
⊢ ∃ U, IsOpen[inst✝] U ∧ x ∈ U ∧ Set.InjOn f U
Module: Mathlib.Topology.IsLocalHomeomorph

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
h : IsLocalHomeomorph f
hs : Function.Surjective f
⊢ DiscreteTopology X ↔ DiscreteTopology Y

Tactic:
rw [← (Homeomorph.Set.univ Y).discreteTopology_iff, ← hs.range_eq, h.discreteTopology_range_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.Multiplier

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁸ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : StarRing 𝕜
inst✝⁶ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : CStarRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : StarModule 𝕜 A
a : 𝓜(𝕜, A)
hball : (Metric.closedBall 0 1).Nonempty
key : ∀ (x y : A), ‖x‖₊ ≤ 1 → ‖y‖₊ ≤ 1 → ‖a.toProd.2 (star (a.toProd.1 (star x))) * y‖₊ ≤ ‖a‖₊ * ‖a‖₊
r : ℝ≥0
hr : r < ‖a‖₊ * ‖a‖₊
⊢ ∃ a_1 ∈ Metric.closedBall 0 1,
    r < sSup ((fun x ↦ ‖a.toProd.2 (star (a.toProd.1 (star a_1))) * x‖₊) '' Metric.closedBall 0 1)

Tactic:
have hr' : NNReal.sqrt r < ‖a‖₊ := ‖a‖₊.sqrt_mul_self ▸ NNReal.sqrt_lt_sqrt.2 hr

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁸ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : StarRing 𝕜
inst✝⁶ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : CStarRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : StarModule 𝕜 A
a : 𝓜(𝕜, A)
hball : (Metric.closedBall 0 1).Nonempty
key : ∀ (x y : A), ‖x‖₊ ≤ 1 → ‖y‖₊ ≤ 1 → ‖a.toProd.2 (star (a.toProd.1 (star x))) * y‖₊ ≤ ‖a‖₊ * ‖a‖₊
r : ℝ≥0
hr : r < ‖a‖₊ * ‖a‖₊
hr' : sqrt r < ‖a‖₊
⊢ ∃ a_1 ∈ Metric.closedBall 0 1,
    r < sSup ((fun x ↦ ‖a.toProd.2 (star (a.toProd.1 (star a_1))) * x‖₊) '' Metric.closedBall 0 1)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E
⊢ ⟪(adjoint A ∘SL A) x, x⟫_𝕜 = ⟪A x, A x⟫_𝕜

Tactic:
rw [← adjoint_inner_left]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E
⊢ ⟪(adjoint A ∘SL A) x, x⟫_𝕜 = ⟪(adjoint A) (A x), x⟫_𝕜
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.Unitary.Connected

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
u : ↥(unitary A)
hu : ‖↑u - 1‖ < 2
⊢ 1 - 2 ^ 2 / 2 < 1 - ‖↑u - 1‖ ^ 2 / 2

Tactic:
by gcongr

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.Unitary.Span

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
⊢ ⊤ ≤ span ℂ ↑(unitary A)

Tactic:
rintro x -

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
x : A
⊢ x ∈ span ℂ ↑(unitary A)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.AbsolutelyMonotone

Goal state before:
pp: f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : UniqueDiffOn ℝ s
hcont : ContDiffOn ℝ ∞ f s
hnn : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ iteratedDerivWithin n f s x
⊢ AbsolutelyMonotoneOn f s

Tactic:
refine ⟨ftaylorSeriesWithin ℝ f s, hcont.ftaylorSeriesWithin hs, fun n x hx => ?_⟩

Goal state after:
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : UniqueDiffOn ℝ s
hcont : ContDiffOn ℝ ∞ f s
hnn : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ iteratedDerivWithin n f s x
n : ℕ
x : ℝ
hx : x ∈ s
⊢ 0 ≤ (ftaylorSeriesWithin ℝ f s x n) fun x ↦ 1
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
inst✝ : CompleteSpace E
hT : IsIdempotentElem T
h : IsStarNormal T
this : (∀ (x : E), ‖(T - star T * T) x‖ = 0) ↔ IsIdempotentElem T
⊢ ∀ (x : E), ‖(T - star T * T) x‖ = 0

Tactic:
exact this.mpr hT

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
hn : 1 < n
p : P
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), p ∈ s.median i
i₀ : Fin (n + 1) := 0
hp : p = (p -ᵥ s.centroid) +ᵥ s.centroid
s' : Finset (Fin (n + 1)) := {i₀}ᶜ
⊢ p -ᵥ s.centroid = 0

Tactic:
let u : s' → V := fun i => s.points i -ᵥ s.centroid

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
hn : 1 < n
p : P
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), p ∈ s.median i
i₀ : Fin (n + 1) := 0
hp : p = (p -ᵥ s.centroid) +ᵥ s.centroid
s' : Finset (Fin (n + 1)) := {i₀}ᶜ
u : ↥s' → V := fun i ↦ s.points ↑i -ᵥ s.centroid
⊢ p -ᵥ s.centroid = 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.AddTorsorBases

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
h : affineSpan ℝ s = ⊤
t : Set V
hts : t ⊆ s
b : AffineBasis ↑t ℝ V
hb : ⇑b = Subtype.val
this : (interior ((convexHull ℝ) t)).Nonempty
⊢ interior ((convexHull ℝ) t) ⊆ interior ((convexHull ℝ) s)

Tactic:
by gcongr

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
⊢ Memℓp f ∞ ↔ BddAbove (Set.range fun i ↦ ‖f i‖)

Tactic:
simp [Memℓp]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Summable fun i ↦ ‖f i‖ ^ ∞.toReal
⊢ Memℓp f ∞

Tactic:
apply memℓp_infty

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Summable fun i ↦ ‖f i‖ ^ ∞.toReal
⊢ BddAbove (Set.range fun i ↦ ‖f i‖)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
⊢ Memℓp 0 ∞

Tactic:
apply memℓp_infty

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
⊢ BddAbove (Set.range fun i ↦ ‖0 i‖)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ∞
⊢ Memℓp (-f) ∞

Tactic:
apply memℓp_infty

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ∞
⊢ BddAbove (Set.range fun i ↦ ‖(-f) i‖)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hfq : Memℓp f 0
hpq : 0 ≤ ∞
⊢ Memℓp f ∞

Tactic:
apply memℓp_infty

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hfq : Memℓp f 0
hpq : 0 ≤ ∞
⊢ BddAbove (Set.range fun i ↦ ‖f i‖)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inr.inr.inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
q : ℝ≥0∞
f : (i : α) → E i
hfq : Memℓp f q
hq : 0 < q.toReal
hpq : q ≤ ∞
⊢ Memℓp f ∞

Tactic:
apply memℓp_infty

Goal state after:
case inr.inr.inr.inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
q : ℝ≥0∞
f : (i : α) → E i
hfq : Memℓp f q
hq : 0 < q.toReal
hpq : q ≤ ∞
⊢ BddAbove (Set.range fun i ↦ ‖f i‖)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ∞
hg : Memℓp g ∞
⊢ Memℓp (f + g) ∞

Tactic:
apply memℓp_infty

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ∞
hg : Memℓp g ∞
⊢ BddAbove (Set.range fun i ↦ ‖(f + g) i‖)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.SmoothSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
k : ℕ
IH : ↑k ≤ N → (iteratedFDeriv 𝕜 k fun y ↦ ∑' (n : α), f n y) = fun x ↦ ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x
hk : ↑(k + 1) ≤ N
h'k : ↑k < N
A : Summable fun n ↦ iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) 0
n : α
⊢ ∀ (x : E), ‖fderiv 𝕜 (fun x ↦ iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x) x‖ ≤ v (k + 1) n

Tactic:
x

Goal state after:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
k : ℕ
IH : ↑k ≤ N → (iteratedFDeriv 𝕜 k fun y ↦ ∑' (n : α), f n y) = fun x ↦ ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x
hk : ↑(k + 1) ≤ N
h'k : ↑k < N
A : Summable fun n ↦ iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) 0
n : α
x : E
⊢ ‖fderiv 𝕜 (fun x ↦ iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x) x‖ ≤ v (k + 1) n
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.SmoothSeries

Goal state before:
pp: case left.refine_2
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
n : α
⊢ ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 m (f n) x‖ ≤ v m n

Tactic:
x

Goal state after:
case left.refine_2
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
n : α
x : E
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 m (f n) x‖ ≤ v m n
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ∞
⊢ Memℓp (star f) ∞

Tactic:
apply memℓp_infty

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ∞
⊢ BddAbove (Set.range fun i ↦ ‖star f i‖)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
α : Type u_3
E : α → Type u_4
q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
hp : Fact (1 ≤ 0)
f : ↥(lp E 0)
⊢ ‖star f‖ = ‖f‖

pp: case inr.inl
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
α : Type u_3
E : α → Type u_4
q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
hp : Fact (1 ≤ ∞)
f : ↥(lp E ∞)
⊢ ‖star f‖ = ‖f‖

pp: case inr.inr
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
hp : Fact (1 ≤ p)
f : ↥(lp E p)
h : 0 < p.toReal
⊢ ‖star f‖ = ‖f‖

Tactic:
· exfalso
      have := ENNReal.toReal_mono ENNReal.zero_ne_top hp.elim
      norm_num at this

Goal state after:
case inr.inl
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
α : Type u_3
E : α → Type u_4
q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
hp : Fact (1 ≤ ∞)
f : ↥(lp E ∞)
⊢ ‖star f‖ = ‖f‖

case inr.inr
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
hp : Fact (1 ≤ p)
f : ↥(lp E p)
h : 0 < p.toReal
⊢ ‖star f‖ = ‖f‖
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
i : α
hi : i ∉ s
⊢ ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal = 0

Tactic:
simp [if_neg hi, Real.zero_rpow hp.ne']

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Sqrt

Goal state before:
pp: case inr.left
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : 0 < x
this : 2 * √x ^ (2 - 1) ≠ 0
⊢ HasStrictDerivAt (fun x ↦ √x) (1 / (2 * √x)) x

pp: case inr.right
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : 0 < x
this : 2 * √x ^ (2 - 1) ≠ 0
⊢ ∀ (n : WithTop ℕ∞), ContDiffAt ℝ n (fun x ↦ √x) x

Tactic:
· simpa using! sqPartialHomeomorph.hasStrictDerivAt_symm hx this (hasStrictDerivAt_pow 2 _)

Goal state after:
case inr.right
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : 0 < x
this : 2 * √x ^ (2 - 1) ≠ 0
⊢ ∀ (n : WithTop ℕ∞), ContDiffAt ℝ n (fun x ↦ √x) x
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Ball.Homeomorph

Goal state before:
pp: case pos
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ ball c r ⊆ (univBall c r).target

pp: case neg
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
hr : ¬0 < r
⊢ ball c r ⊆ (univBall c r).target

Tactic:
· rw [univBall_target c hr]

Goal state after:
case neg
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
hr : ¬0 < r
⊢ ball c r ⊆ (univBall c r).target
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
f : (a : α) → E a
C : ℝ
_i : Fact (1 ≤ ∞)
F : ι → ↥(lp E ∞)
hF : Bornology.IsBounded (Set.range F)
hf : Tendsto (id fun i ↦ ↑(F i)) l (𝓝 f)
hCF : ∀ (k : ι), ‖F k‖ ≤ C
⊢ Memℓp f ∞

Tactic:
apply memℓp_infty

Goal state after:
case inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
f : (a : α) → E a
C : ℝ
_i : Fact (1 ≤ ∞)
F : ι → ↥(lp E ∞)
hF : Bornology.IsBounded (Set.range F)
hf : Tendsto (id fun i ↦ ↑(F i)) l (𝓝 f)
hCF : ∀ (k : ι), ‖F k‖ ≤ C
⊢ BddAbove (Set.range fun i ↦ ‖f i‖)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case mp
α : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ↥(lp (fun x ↦ ℝ) ∞)
s : Set α
K : ℝ≥0
hfl : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ ↑K * dist x y
i : ι
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (↑(f x) i) (↑(f y) i) ≤ ↑K * dist x y

Tactic:
x

Goal state after:
case mp
α : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ↥(lp (fun x ↦ ℝ) ∞)
s : Set α
K : ℝ≥0
hfl : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ ↑K * dist x y
i : ι
x : α
⊢ x ∈ s → ∀ y ∈ s, dist (↑(f x) i) (↑(f y) i) ≤ ↑K * dist x y
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case mpr
α : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ↥(lp (fun x ↦ ℝ) ∞)
s : Set α
K : ℝ≥0
hgl : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (↑(f x) i) (↑(f y) i) ≤ ↑K * dist x y
⊢ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ ↑K * dist x y

Tactic:
x

Goal state after:
case mpr
α : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ↥(lp (fun x ↦ ℝ) ∞)
s : Set α
K : ℝ≥0
hgl : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (↑(f x) i) (↑(f y) i) ≤ ↑K * dist x y
x : α
⊢ x ∈ s → ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ ↑K * dist x y
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ParametricIntegral

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
s : Set H
F' : α → H →L[𝕜] E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hF_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x ↦ F x a) (F' a) x₀
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
hε : ball x₀ ε ⊆ s
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a ↦ |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
x : H
x_in : x ∈ ball x₀ ε
a : α
ha : ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
⊢ b a * ‖x - x₀‖ ≤ ε * b a

Tactic:
mul_comm ε

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
s : Set H
F' : α → H →L[𝕜] E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hF_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x ↦ F x a) (F' a) x₀
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
hε : ball x₀ ε ⊆ s
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a ↦ |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
x : H
x_in : x ∈ ball x₀ ε
a : α
ha : ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
⊢ b a * ‖x - x₀‖ ≤ b a * ε
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ParametricIntegral

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
s : Set H
F' : α → H →L[𝕜] E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hF_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x ↦ F x a) (F' a) x₀
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
hε : ball x₀ ε ⊆ s
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a ↦ |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
⊢ Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x ↦ ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀

Tactic:
have hF'_int : Integrable F' μ :=
    have : ∀ᵐ a ∂μ, ‖F' a‖ ≤ b a := by
      apply (h_diff.and h_lipsch).mono
      rintro a ⟨ha_diff, ha_lip⟩
      exact ha_diff.le_of_lip' (b_nonneg a) (mem_of_superset (ball_mem_nhds _ ε_pos) <| ha_lip)
    b_int.mono' hF'_meas this

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
s : Set H
F' : α → H →L[𝕜] E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hF_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x ↦ F x a) (F' a) x₀
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
hε : ball x₀ ε ⊆ s
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun a ↦ |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
⊢ Integrable F' μ ∧ HasFDerivAt (fun x ↦ ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Convolution

Goal state before:
pp: case inr.h_bound
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t ↦ (L (f t)) (g (x - t))) μ
h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t ↦ (L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ
h3 : ∀ (x t : G), HasFDerivAt (fun x ↦ g (x - t)) (fderiv 𝕜 g (x - t)) x
K' : Set G := -tsupport (fderiv 𝕜 g) + closedBall x₀ 1
hK' : IsCompact K'
t : G
⊢ ∀ x ∈ ball x₀ 1, ‖(L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))‖ ≤ ?m.596 t

Tactic:
x

Goal state after:
case inr.h_bound
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t ↦ (L (f t)) (g (x - t))) μ
h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t ↦ (L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ
h3 : ∀ (x t : G), HasFDerivAt (fun x ↦ g (x - t)) (fderiv 𝕜 g (x - t)) x
K' : Set G := -tsupport (fderiv 𝕜 g) + closedBall x₀ 1
hK' : IsCompact K'
t x : G
⊢ x ∈ ball x₀ 1 → ‖(L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))‖ ≤ ?m.596 t