mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Compact.FredholmAlternative

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
T : X →L[𝕜] X
μ : 𝕜
inst✝ : CompleteSpace X
hT : IsCompactOperator ⇑T
hμ : μ ≠ 0
h₁ : ¬HasEigenvalue (↑T) μ
S : X →L[𝕜] X := T - μ • 1
K : NNReal
hK : AntilipschitzWith K ⇑S
h₂ : ¬Function.Surjective ⇑S
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
f : ℕ → X
hf_norm_lower : ∀ (n : ℕ), 1 ≤ ‖f n‖
hf_norm_upper : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ ‖c‖ + 1
hf_far : ∀ (n : ℕ), ∀ y ∈ LinearMap.range (↑S ^ (n + 1)), 1 ≤ ‖f n - y‖
hf_mem : ∀ {n m : ℕ}, m ≤ n → f n ∈ (↑S ^ m).range
hf_mem' : ∀ {n m : ℕ}, m ≤ n → S (f n) ∈ (↑S ^ (m + 1)).range
this✝ : Std.Symm fun x₁ x₂ ↦ ‖μ‖ ≤ ‖T (f x₁) - T (f x₂)‖
m n : ℕ
hmn : m < n
u : X := μ⁻¹ • (S (f n) - S (f m) + μ • f n)
hu : μ • (f m - u) = T (f m) - T (f n)
this : u ∈ (↑S ^ (m + 1)).range
⊢ ‖μ‖ ≤ 1 * ‖μ‖

Tactic:
one_mul

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
T : X →L[𝕜] X
μ : 𝕜
inst✝ : CompleteSpace X
hT : IsCompactOperator ⇑T
hμ : μ ≠ 0
h₁ : ¬HasEigenvalue (↑T) μ
S : X →L[𝕜] X := T - μ • 1
K : NNReal
hK : AntilipschitzWith K ⇑S
h₂ : ¬Function.Surjective ⇑S
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
f : ℕ → X
hf_norm_lower : ∀ (n : ℕ), 1 ≤ ‖f n‖
hf_norm_upper : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ ‖c‖ + 1
hf_far : ∀ (n : ℕ), ∀ y ∈ LinearMap.range (↑S ^ (n + 1)), 1 ≤ ‖f n - y‖
hf_mem : ∀ {n m : ℕ}, m ≤ n → f n ∈ (↑S ^ m).range
hf_mem' : ∀ {n m : ℕ}, m ≤ n → S (f n) ∈ (↑S ^ (m + 1)).range
this✝ : Std.Symm fun x₁ x₂ ↦ ‖μ‖ ≤ ‖T (f x₁) - T (f x₂)‖
m n : ℕ
hmn : m < n
u : X := μ⁻¹ • (S (f n) - S (f m) + μ • f n)
hu : μ • (f m - u) = T (f m) - T (f n)
this : u ∈ (↑S ^ (m + 1)).range
⊢ ‖μ‖ ≤ ‖μ‖
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ : 𝕜
v : E
hv : v ∈ (eigenspace T μ)ᗮ
w : E
hw : w ∈ eigenspace T μ
⊢ T w = μ • w

Tactic:
mem_eigenspace_iff

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ : 𝕜
v : E
hv : v ∈ (eigenspace T μ)ᗮ
w : E
hw : T w = μ • w
⊢ T w = μ • w
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ : 𝕜
v : E
hv : v ∈ (eigenspace T μ)ᗮ
⊢ T v ∈ (eigenspace T μ)ᗮ

Tactic:
intro w hw
  have : T w = (μ : 𝕜) • w := by rwa [mem_eigenspace_iff] at hw
  simp [← hT w, this, inner_smul_left, hv w hw]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ : 𝕜
hμ : HasEigenvalue T μ
v : E
hv₁ : v ∈ (genEigenspace T μ) 1
hv₂ : v ≠ 0
⊢ (starRingEnd 𝕜) μ = μ

Tactic:
mem_eigenspace_iff

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ : 𝕜
hμ : HasEigenvalue T μ
v : E
hv₁ : T v = μ • v
hv₂ : v ≠ 0
⊢ (starRingEnd 𝕜) μ = μ
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ ν : 𝕜
hμν : μ ≠ ν
v : E
hv : v ∈ eigenspace T μ
w : E
hw : w ∈ eigenspace T ν
hv' : ¬v = 0
H : (starRingEnd 𝕜) μ = μ
⊢ ⟪((fun μ ↦ (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) μ) ⟨v, hv⟩, ((fun μ ↦ (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) ν) ⟨w, hw⟩⟫ = 0

Tactic:
mem_eigenspace_iff

Goal state after:
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ ν : 𝕜
hμν : μ ≠ ν
v : E
hv✝ : v ∈ eigenspace T μ
hv : T v = μ • v
w : E
hw✝ : w ∈ eigenspace T ν
hw : T w = ν • w
hv' : ¬v = 0
H : (starRingEnd 𝕜) μ = μ
⊢ ⟪((fun μ ↦ (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) μ) ⟨v, hv✝⟩, ((fun μ ↦ (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) ν) ⟨w, hw✝⟩⟫ = 0
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁴ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F'
n n₁ n₂ k : ℕ∞
K K₁ K₂ : Compacts E
R : Type ?u.48
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
c : R
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F)
⊢ EqOn (c • ⇑f) 0 (↑K)ᶜ

Tactic:
rw [← smul_zero c]
    exact f.zero_on_compl.comp_left

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : T.IsSymmetric
hn : finrank 𝕜 E = n
⊢ (Matrix.diagonal (RCLike.ofReal ∘ hT.eigenvalues hn)).charpoly.roots =
    Multiset.map (RCLike.ofReal ∘ hT.eigenvalues hn) Finset.univ.val

Tactic:
Matrix.charpoly_diagonal,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : T.IsSymmetric
hn : finrank 𝕜 E = n
⊢ (∏ i, (Polynomial.X - Polynomial.C ((RCLike.ofReal ∘ hT.eigenvalues hn) i))).roots =
    Multiset.map (RCLike.ofReal ∘ hT.eigenvalues hn) Finset.univ.val
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
K : Compacts E
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
i : ℕ
f : 𝓓_{K}(E, F)
⊢ (ContDiffMapSupportedIn.seminorm 𝕜 E F ⊤ K i) f ≤ C ↔ ∀ x ∈ K, ‖iteratedFDeriv ℝ i (⇑f) x‖ ≤ C

Tactic:
by
  simp_rw [ContDiffMapSupportedIn.seminorm_le_iff 𝕜 hC, le_top, forall_const]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Matrix.Order

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
ι : Type u_3
A B : Matrix ι ι 𝕜
hA : A.PosDef
hB : B.PosDef
x : ι →₀ 𝕜
hx : x ≠ 0
hAB : ((A ⊙ B).submatrix Subtype.val Subtype.val).PosDef
⊢ 0 < x.sum fun i xi ↦ x.sum fun j xj ↦ star xi * (A ⊙ B) i j * xj

Tactic:
simp_rw [RCLike.star_def, hadamard_apply, Finsupp.sum,
    ← Finset.sum_attach x.support, ← Finset.subtype_mem_eq_attach,
    ← Finsupp.subtypeDomain_apply, ← Finsupp.support_subtypeDomain]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
ι : Type u_3
A B : Matrix ι ι 𝕜
hA : A.PosDef
hB : B.PosDef
x : ι →₀ 𝕜
hx : x ≠ 0
hAB : ((A ⊙ B).submatrix Subtype.val Subtype.val).PosDef
⊢ 0 <
    ∑ x_1 ∈ (Finsupp.subtypeDomain (fun x_1 ↦ x_1 ∈ x.support) x).support,
      ∑ x_2 ∈ (Finsupp.subtypeDomain (fun x_2 ↦ x_2 ∈ x.support) x).support,
        (starRingEnd 𝕜) ((Finsupp.subtypeDomain (fun x_3 ↦ x_3 ∈ x.support) x) x_1) * (A ↑x_1 ↑x_2 * B ↑x_1 ↑x_2) *
          (Finsupp.subtypeDomain (fun x_3 ↦ x_3 ∈ x.support) x) x_2
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ContinuousFunctionalCalculus.Abs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁷ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 A
inst✝¹⁴ : StarRing A
inst✝¹³ : PartialOrder A
inst✝¹² : StarOrderedRing A
inst✝¹¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝⁹ : Module ℝ A
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝⁷ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝⁶ : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝⁵ : IsTopologicalRing A
inst✝⁴ : T2Space A
inst✝³ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst✝² : StarModule 𝕜 A
inst✝¹ : StarModule ℝ A
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 A
r : 𝕜
a : A
⊢ abs (r • a) = ‖r‖ • abs a

Tactic:
trans abs (‖r‖ • a)

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁷ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 A
inst✝¹⁴ : StarRing A
inst✝¹³ : PartialOrder A
inst✝¹² : StarOrderedRing A
inst✝¹¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝⁹ : Module ℝ A
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝⁷ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝⁶ : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝⁵ : IsTopologicalRing A
inst✝⁴ : T2Space A
inst✝³ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst✝² : StarModule 𝕜 A
inst✝¹ : StarModule ℝ A
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 A
r : 𝕜
a : A
⊢ abs (r • a) = abs (‖r‖ • a)

𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹⁸ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁷ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace A
inst✝¹⁵ : Module 𝕜 A
inst✝¹⁴ : StarRing A
inst✝¹³ : PartialOrder A
inst✝¹² : StarOrderedRing A
inst✝¹¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝⁹ : Module ℝ A
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝⁷ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝⁶ : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝⁵ : IsTopologicalRing A
inst✝⁴ : T2Space A
inst✝³ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst✝² : StarModule 𝕜 A
inst✝¹ : StarModule ℝ A
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 A
r : 𝕜
a : A
⊢ abs (‖r‖ • a) = ‖r‖ • abs a
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
n : ℕ∞
K : Compacts E
m : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
μ : Measure E
μ_finite : IsFiniteMeasure (μ.restrict ↑K)
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F)
⊢ IntegrableOn (⇑f) (↑K) μ

Tactic:
exact f.continuous.integrable_of_hasCompactSupport f.hasCompactSupport

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ∞
K : Compacts E
m : MeasurableSpace E
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
μ : Measure E
φ : E → F₂
hφ : MemLp φ 1 (μ.restrict ↑K)
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
⊢ MemLp (fun x ↦ (B (f x)) (φ x)) 1 (μ.restrict ↑K)

Tactic:
exact B.memLp_of_bilin 1 f.memLp_top hφ

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.SmoothApprox

Goal state before:
pp: E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ ∞
hp₂ : Fact (1 ≤ p)
f : ↥(Lp F p μ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ y ∈ {f | ∃ g, ↑↑f =ᵐ[μ] g ∧ HasCompactSupport g ∧ ContDiff ℝ ∞ g}, y ∈ Metric.closedBall f ε

Tactic:
obtain ⟨g, hg₁, hg₂, hg₃⟩ := exist_eLpNorm_sub_le hp hp₂.out (Lp.memLp f) hε

Goal state after:
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ ∞
hp₂ : Fact (1 ≤ p)
f : ↥(Lp F p μ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : E → F
hg₁ : HasCompactSupport g
hg₂ : ContDiff ℝ ∞ g
hg₃ : eLpNorm (↑↑f - g) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ y ∈ {f | ∃ g, ↑↑f =ᵐ[μ] g ∧ HasCompactSupport g ∧ ContDiff ℝ ∞ g}, y ∈ Metric.closedBall f ε
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
b : UnconditionalSchauderBasis β 𝕜 X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
A₀ : Finset β
hA₀ : ∀ (t : Finset β), Disjoint t A₀ → ‖∑ i ∈ t, (b.coord i) x • ↑b i‖ < 1
A : Finset β
⊢ (GeneralSchauderBasis.proj b A) x =
    (GeneralSchauderBasis.proj b (A ∩ A₀)) x + (GeneralSchauderBasis.proj b (A \ A₀)) x

Tactic:
simp only [GeneralSchauderBasis.proj_apply]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
b : UnconditionalSchauderBasis β 𝕜 X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
A₀ : Finset β
hA₀ : ∀ (t : Finset β), Disjoint t A₀ → ‖∑ i ∈ t, (b.coord i) x • ↑b i‖ < 1
A : Finset β
⊢ ∑ i ∈ A, (b.coord i) x • ↑b i = ∑ i ∈ A ∩ A₀, (b.coord i) x • ↑b i + ∑ i ∈ A \ A₀, (b.coord i) x • ↑b i
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: case e_A
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
b : SchauderBasis 𝕜 X
n m : ℕ
x : X
a✝ : ℕ
⊢ a✝ ∈ Finset.range n ∩ Finset.range m ↔ a✝ ∈ Finset.range (min n m)

Tactic:
simp only [Finset.mem_inter, Finset.mem_range]

Goal state after:
case e_A
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
b : SchauderBasis 𝕜 X
n m : ℕ
x : X
a✝ : ℕ
⊢ a✝ < n ∧ a✝ < m ↔ a✝ < min n m
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
L : SummationFilter β
b : SchauderBasis 𝕜 X
D : RankOneDecomposition 𝕜 X
coeff : ℕ → X → 𝕜 := D.basisCoeff
hcoeff : ∀ (n : ℕ) (x : X), (succSub D.P n) x = coeff n x • D.e n
i j : ℕ
x : X
hx : (succSub D.P j) x = D.e j
⊢ (if i = j then D.e j else 0) = Pi.single j 1 i • D.e i

Tactic:
simp only [Pi.single_apply]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
L : SummationFilter β
b : SchauderBasis 𝕜 X
D : RankOneDecomposition 𝕜 X
coeff : ℕ → X → 𝕜 := D.basisCoeff
hcoeff : ∀ (n : ℕ) (x : X), (succSub D.P n) x = coeff n x • D.e n
i j : ℕ
x : X
hx : (succSub D.P j) x = D.e j
⊢ (if i = j then D.e j else 0) = (if i = j then 1 else 0) • D.e i
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
L : SummationFilter β
b : SchauderBasis 𝕜 X
D : RankOneDecomposition 𝕜 X
coeff : ℕ → X → 𝕜 := D.basisCoeff
hcoeff : ∀ (n : ℕ) (x : X), (succSub D.P n) x = coeff n x • D.e n
x : X
⊢ Tendsto
    (fun s ↦
      ∑ b ∈ s,
        ({ toFun := coeff b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖succSub D.P b‖ / ‖D.e b‖) ⋯) x • D.e b)
    (SummationFilter.conditional ℕ).filter (𝓝 x)

Tactic:
SummationFilter.conditional_filter_eq_map_range,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
L : SummationFilter β
b : SchauderBasis 𝕜 X
D : RankOneDecomposition 𝕜 X
coeff : ℕ → X → 𝕜 := D.basisCoeff
hcoeff : ∀ (n : ℕ) (x : X), (succSub D.P n) x = coeff n x • D.e n
x : X
⊢ Tendsto
    (fun s ↦
      ∑ b ∈ s,
        ({ toFun := coeff b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖succSub D.P b‖ / ‖D.e b‖) ⋯) x • D.e b)
    (map Finset.range atTop) (𝓝 x)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
G : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
inst✝¹ : CompleteSpace E
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (G i)
⊢ hV.linearIsometry.range = (⨆ i, (V i).range).topologicalClosure

Tactic:
by
  classical
  refine le_antisymm ?_ ?_
  · rintro x ⟨f, rfl⟩
    refine mem_closure_of_tendsto (hV.hasSum_linearIsometry f) (Eventually.of_forall ?_)
    intro s
    rw [SetLike.mem_coe]
    refine sum_mem ?_
    intro i _
    refine mem_iSup_of_mem i ?_
    exact LinearMap.mem_range_self _ (f i)
  · apply topologicalClosure_minimal
    · refine iSup_le ?_
      rintro i x ⟨x, rfl⟩
      use lp.single 2 i x
      exact hV.linearIsometry_apply_single x
    exact hV.linearIsometry.isometry.isUniformInducing.isComplete_range.isClosed

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
hab : a < b
f g : ℝ → E
h : f =ᵐ[volume.restrict (Ioc a b)] g
n : ℤ
⊢ fourierCoeffOn hab f n = fourierCoeffOn hab g n

Tactic:
rw [fourierCoeffOn_eq_integral, fourierCoeffOn_eq_integral]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
hab : a < b
f g : ℝ → E
h : f =ᵐ[volume.restrict (Ioc a b)] g
n : ℤ
⊢ (1 / (b - a)) • ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • f x =
    (1 / (b - a)) • ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • g x
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)
i : ℤ
⊢ ∫ (a : AddCircle T), inner ℂ (↑↑(fourierLp 2 i) a) (↑↑f a) ∂haarAddCircle =
    ∫ (t : AddCircle T), (starRingEnd ℂ) (↑↑(fourierLp 2 i) t) * ↑↑f t ∂haarAddCircle

Tactic:
simp only [RCLike.inner_apply']

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
⊢ ‖2 * ↑π * I‖ * ‖(L v).smulRight (f v)‖ = 2 * π * ‖L v‖ * ‖f v‖

Tactic:
norm_mul,

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
⊢ ‖2 * ↑π‖ * ‖I‖ * ‖(L v).smulRight (f v)‖ = 2 * π * ‖L v‖ * ‖f v‖
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
⊢ ‖2 * ↑π‖ * ‖I‖ * ‖(L v).smulRight (f v)‖ = 2 * π * ‖L v‖ * ‖f v‖

Tactic:
norm_mul,

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
⊢ ‖2‖ * ‖↑π‖ * ‖I‖ * ‖(L v).smulRight (f v)‖ = 2 * π * ‖L v‖ * ‖f v‖
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
n : ℕ
x₀ : E
this : 1 * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 n) f
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 n) f

Tactic:
one_mul

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
n : ℕ
x₀ : E
this : ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 n) f
⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 n) f
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
x₀ : E
this : 1 * ‖f x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 0) f
⊢ ‖f x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 0) f

Tactic:
one_mul

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
x₀ : E
this : ‖f x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 0) f
⊢ ‖f x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 0) f
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁶] u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᵐ[μ.restrict s] fun x ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
⊢ Tendsto (fun n ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))

Tactic:
have hiφ : ∀ n, ∫ x in s, φ n x ∂μ = 1 := fun n => by
    rw [integral_const_mul, inv_mul_cancel₀ (P n).ne']

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
x₀ : α
s : Set α
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁶] u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x ↦ c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᵐ[μ.restrict s] fun x ↦ c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
⊢ Tendsto (fun n ↦ (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv

Goal state before:
pp: case hab
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
K : ℕ∞ω
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
v : V
hv : ∀ i ≤ k, ∀ j ≤ n, ‖v‖ ^ j * ‖iteratedFDeriv ℝ i f v‖ ≤ C
T : (W →L[ℝ] ℝ) [×n]→L[ℝ] W [×n]→L[ℝ] ℝ := ⋯
m : ℕ
this : ‖T‖ ≤ 1
⊢ ‖fun x ↦ L v‖ ≤ ‖L‖ * ‖v‖

Tactic:
refine (pi_norm_le_iff_of_nonneg (by positivity)).mpr (fun _ ↦ ?_)

Goal state after:
case hab
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
K : ℕ∞ω
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : ↑k ≤ K
v : V
hv : ∀ i ≤ k, ∀ j ≤ n, ‖v‖ ^ j * ‖iteratedFDeriv ℝ i f v‖ ≤ C
T : (W →L[ℝ] ℝ) [×n]→L[ℝ] W [×n]→L[ℝ] ℝ :=
  (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight
m : ℕ
this : ‖T‖ ≤ 1
x✝ : Fin n
⊢ ‖L v‖ ≤ ‖L‖ * ‖v‖