mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst✝ : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
h' : p ∈ s₁
this✝ : Nonempty ↥s₁
this : Nonempty ↥s₂
h : p = ↑((orthogonalProjection s₂) p)
⊢ ∠ p p' p = ∠ p p' ↑((orthogonalProjection s₂) p)

Tactic:
eq_comm,

Goal state after:
case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst✝ : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
h' : p ∈ s₁
this✝ : Nonempty ↥s₁
this : Nonempty ↥s₂
h : ↑((orthogonalProjection s₂) p) = p
⊢ ∠ p p' p = ∠ p p' ↑((orthogonalProjection s₂) p)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst✝ : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
h' : p ∈ s₁
this✝ : Nonempty ↥s₁
this : Nonempty ↥s₂
h : ∠ p p' p = ∠ p p' ↑((orthogonalProjection s₂) p)
⊢ p = ↑((orthogonalProjection s₂) p)

Tactic:
eq_comm,

Goal state after:
case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst✝ : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
h' : p ∈ s₁
this✝ : Nonempty ↥s₁
this : Nonempty ↥s₂
h : ∠ p p' p = ∠ p p' ↑((orthogonalProjection s₂) p)
⊢ ↑((orthogonalProjection s₂) p) = p
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.SignedDist

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v w : V
p : P
⊢ (↑((signedDist v) p)).linear w = ⟪NormedSpace.normalize v, w⟫

Tactic:
by
  simp [signedDist_apply_linear]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ ↑((orthogonalProjection s₂) p)
h : dist p p' = dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p)
this✝¹ : Nonempty ↥s₁
this✝ : Nonempty ↥s₂
this : Nonempty ↥(s₁ ⊓ s₂)
hp : ↑((orthogonalProjection s₁) p) = p'
⊢ False

Tactic:
eq_comm,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ ↑((orthogonalProjection s₂) p)
h : dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p) = dist p p'
this✝¹ : Nonempty ↥s₁
this✝ : Nonempty ↥s₂
this : Nonempty ↥(s₁ ⊓ s₂)
hp : ↑((orthogonalProjection s₁) p) = p'
⊢ False
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.SignedDist

Goal state before:
pp: case neg.refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p q : P
h✝ : ¬v = 0
x✝ : ∃ a, ↑a • v = q -ᵥ p
c : ℝ≥0
h : ↑c • v = q -ᵥ p
⊢ ‖q -ᵥ p‖ • v = ‖v‖ • (q -ᵥ p)

Tactic:
· rw [← h, norm_smul, smul_smul, mul_comm]
    simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ ↑((orthogonalProjection s₂) p)
h : dist p ↑((orthogonalProjection s₁) p) = dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p)
this✝¹ : Nonempty ↥s₁
this✝ : Nonempty ↥s₂
this : Nonempty ↥(s₁ ⊓ s₂)
hp₁ : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ p'
hp₂ : ↑((orthogonalProjection s₂) p) ≠ p'
hc : Collinear ℝ {p', ↑((orthogonalProjection s₁) p), ↑((orthogonalProjection s₂) p)}
h₁ : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ∈ line[ℝ, p', ↑((orthogonalProjection s₂) p)]
h₁' : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ∈ s₁ ⊓ s₂
⊢ ↑((orthogonalProjection s₁) p) = ↑((orthogonalProjection (s₁ ⊓ s₂)) ↑((orthogonalProjection s₁) p))

Tactic:
eq_comm,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ ↑((orthogonalProjection s₂) p)
h : dist p ↑((orthogonalProjection s₁) p) = dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p)
this✝¹ : Nonempty ↥s₁
this✝ : Nonempty ↥s₂
this : Nonempty ↥(s₁ ⊓ s₂)
hp₁ : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ p'
hp₂ : ↑((orthogonalProjection s₂) p) ≠ p'
hc : Collinear ℝ {p', ↑((orthogonalProjection s₁) p), ↑((orthogonalProjection s₂) p)}
h₁ : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ∈ line[ℝ, p', ↑((orthogonalProjection s₂) p)]
h₁' : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ∈ s₁ ⊓ s₂
⊢ ↑((orthogonalProjection (s₁ ⊓ s₂)) ↑((orthogonalProjection s₁) p)) = ↑((orthogonalProjection s₁) p)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ ↑((orthogonalProjection s₂) p)
h : dist p ↑((orthogonalProjection s₁) p) = dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p)
this✝¹ : Nonempty ↥s₁
this✝ : Nonempty ↥s₂
this : Nonempty ↥(s₁ ⊓ s₂)
hp₁ : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ p'
hp₂ : ↑((orthogonalProjection s₂) p) ≠ p'
hc : Collinear ℝ {p', ↑((orthogonalProjection s₁) p), ↑((orthogonalProjection s₂) p)}
h₁ : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ∈ line[ℝ, p', ↑((orthogonalProjection s₂) p)]
h₁' : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ∈ s₁ ⊓ s₂
h₁'' : ↑((orthogonalProjection s₁) p) = ↑((orthogonalProjection (s₁ ⊓ s₂)) p)
h₂ : ↑((orthogonalProjection s₂) p) ∈ line[ℝ, p', ↑((orthogonalProjection s₁) p)]
h₂' : ↑((orthogonalProjection s₂) p) ∈ s₁ ⊓ s₂
⊢ ↑((orthogonalProjection s₂) p) = ↑((orthogonalProjection (s₁ ⊓ s₂)) ↑((orthogonalProjection s₂) p))

Tactic:
eq_comm,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ ↑((orthogonalProjection s₂) p)
h : dist p ↑((orthogonalProjection s₁) p) = dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p)
this✝¹ : Nonempty ↥s₁
this✝ : Nonempty ↥s₂
this : Nonempty ↥(s₁ ⊓ s₂)
hp₁ : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ p'
hp₂ : ↑((orthogonalProjection s₂) p) ≠ p'
hc : Collinear ℝ {p', ↑((orthogonalProjection s₁) p), ↑((orthogonalProjection s₂) p)}
h₁ : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ∈ line[ℝ, p', ↑((orthogonalProjection s₂) p)]
h₁' : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ∈ s₁ ⊓ s₂
h₁'' : ↑((orthogonalProjection s₁) p) = ↑((orthogonalProjection (s₁ ⊓ s₂)) p)
h₂ : ↑((orthogonalProjection s₂) p) ∈ line[ℝ, p', ↑((orthogonalProjection s₁) p)]
h₂' : ↑((orthogonalProjection s₂) p) ∈ s₁ ⊓ s₂
⊢ ↑((orthogonalProjection (s₁ ⊓ s₂)) ↑((orthogonalProjection s₂) p)) = ↑((orthogonalProjection s₂) p)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ ↑((orthogonalProjection s₂) p)
h : dist p ↑((orthogonalProjection s₁) p) = dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p)
this✝¹ : Nonempty ↥s₁
this✝ : Nonempty ↥s₂
this : Nonempty ↥(s₁ ⊓ s₂)
hp₁ : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ p'
hp₂ : ↑((orthogonalProjection s₂) p) ≠ p'
hc : Collinear ℝ {p', ↑((orthogonalProjection s₁) p), ↑((orthogonalProjection s₂) p)}
h₁ : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ∈ line[ℝ, p', ↑((orthogonalProjection s₂) p)]
h₁' : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ∈ s₁ ⊓ s₂
h₁'' : ↑((orthogonalProjection s₁) p) = ↑((orthogonalProjection (s₁ ⊓ s₂)) p)
h₂ : ↑((orthogonalProjection s₂) p) ∈ line[ℝ, p', ↑((orthogonalProjection s₁) p)]
h₂' : ↑((orthogonalProjection s₂) p) ∈ s₁ ⊓ s₂
⊢ ↑((orthogonalProjection s₂) p) = ↑((orthogonalProjection (s₁ ⊓ s₂)) p)

Tactic:
rw [← orthogonalProjection_orthogonalProjection_of_le inf_le_right, eq_comm,
        orthogonalProjection_eq_self_iff]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
hne : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ ↑((orthogonalProjection s₂) p)
h : dist p ↑((orthogonalProjection s₁) p) = dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p)
this✝¹ : Nonempty ↥s₁
this✝ : Nonempty ↥s₂
this : Nonempty ↥(s₁ ⊓ s₂)
hp₁ : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ≠ p'
hp₂ : ↑((orthogonalProjection s₂) p) ≠ p'
hc : Collinear ℝ {p', ↑((orthogonalProjection s₁) p), ↑((orthogonalProjection s₂) p)}
h₁ : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ∈ line[ℝ, p', ↑((orthogonalProjection s₂) p)]
h₁' : ↑((orthogonalProjection s₁) p) ∈ s₁ ⊓ s₂
h₁'' : ↑((orthogonalProjection s₁) p) = ↑((orthogonalProjection (s₁ ⊓ s₂)) p)
h₂ : ↑((orthogonalProjection s₂) p) ∈ line[ℝ, p', ↑((orthogonalProjection s₁) p)]
h₂' : ↑((orthogonalProjection s₂) p) ∈ s₁ ⊓ s₂
⊢ ↑((orthogonalProjection s₂) p) ∈ s₁ ⊓ s₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₂ p₃ : P
h₂ : p ≠ p₂
h : 2 • ∡ p₂ p p = 2 • ∡ p p p₃
h' : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p, p₂]) p) = p
⊢ p = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p, p₃]) p)

Tactic:
eq_comm,

Goal state after:
case inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₂ p₃ : P
h₂ : p ≠ p₂
h : 2 • ∡ p₂ p p = 2 • ∡ p p p₃
h' : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p, p₂]) p) = p
⊢ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p, p₃]) p) = p
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
h₂ : p₁ ≠ p₂
h : ↑Real.pi = 2 • ∡ p (↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)) p₃
h' : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = p₁
hp : p ≠ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
hpm : p ∉ line[ℝ, p₁, p₂]
⊢ dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)

Tactic:
eq_comm,

Goal state after:
case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
h₂ : p₁ ≠ p₂
h : 2 • ∡ p (↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)) p₃ = ↑Real.pi
h' : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = p₁
hp : p ≠ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
hpm : p ∉ line[ℝ, p₁, p₂]
⊢ dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
h₂ : p₁ ≠ p₂
h :
  2 • o.oangle (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)) (p₃ -ᵥ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)) =
    ↑Real.pi
h' : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = p₁
hp : p ≠ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
hpm : p ∉ line[ℝ, p₁, p₂]
⊢ dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)

Tactic:
Real.Angle.two_zsmul_eq_pi_iff,

Goal state after:
case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
h₂ : p₁ ≠ p₂
h :
  o.oangle (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)) (p₃ -ᵥ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)) =
      ↑(Real.pi / 2) ∨
    o.oangle (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)) (p₃ -ᵥ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)) =
      ↑(-Real.pi / 2)
h' : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = p₁
hp : p ≠ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
hpm : p ∉ line[ℝ, p₁, p₂]
⊢ dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case e_a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
h₂ : p₁ ≠ p₂
h' : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = p₁
hp : p ≠ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
hpm : p ∉ line[ℝ, p₁, p₂]
h : inner ℝ (p -ᵥ p₁) (p₃ -ᵥ p₁) = 0
⊢ p₁ = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)

Tactic:
eq_comm,

Goal state after:
case e_a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
h₂ : p₁ ≠ p₂
h' : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = p₁
hp : p ≠ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
hpm : p ∉ line[ℝ, p₁, p₂]
h : inner ℝ (p -ᵥ p₁) (p₃ -ᵥ p₁) = 0
⊢ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p) = p₁
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv0 : v ≠ 0
c : P
r : ℝ
hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r
hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r
f : Fin 3 → ℝ
hf : ∀ (i : Fin 3), p i = f i • v +ᵥ p 0
hsd : ∀ (i : Fin 3), dist (f i • v +ᵥ p 0) c = r
hf0' : p 0 = f 0 • v +ᵥ p 0
⊢ f 0 = 0

Tactic:
eq_comm,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv0 : v ≠ 0
c : P
r : ℝ
hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r
hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r
f : Fin 3 → ℝ
hf : ∀ (i : Fin 3), p i = f i • v +ᵥ p 0
hsd : ∀ (i : Fin 3), dist (f i • v +ᵥ p 0) c = r
hf0' : f 0 • v +ᵥ p 0 = p 0
⊢ f 0 = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫ = 0
hop : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p -ᵥ p₁⟫ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
hb : LinearIndependent ℝ b
hbs : Submodule.span ℝ (Set.range b) = s.direction
⊢ ∀ v ∈ s.direction, ∃ t₁ t₂, v = t₁ • (c₂ -ᵥ c₁) + t₂ • (p₂ -ᵥ p₁)

Tactic:
intro v hv

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = 2
c₁ c₂ p₁ p₂ p : P
hc₁s : c₁ ∈ s
hc₂s : c₂ ∈ s
hp₁s : p₁ ∈ s
hp₂s : p₂ ∈ s
hps : p ∈ s
r₁ r₂ : ℝ
hc : c₁ ≠ c₂
hp : p₁ ≠ p₂
hp₁c₁ : dist p₁ c₁ = r₁
hp₂c₁ : dist p₂ c₁ = r₁
hpc₁ : dist p c₁ = r₁
hp₁c₂ : dist p₁ c₂ = r₂
hp₂c₂ : dist p₂ c₂ = r₂
hpc₂ : dist p c₂ = r₂
ho : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫ = 0
hop : ⟪c₂ -ᵥ c₁, p -ᵥ p₁⟫ = 0
b : Fin 2 → V := ![c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁]
hb : LinearIndependent ℝ b
hbs : Submodule.span ℝ (Set.range b) = s.direction
v : V
hv : v ∈ s.direction
⊢ ∃ t₁ t₂, v = t₁ • (c₂ -ᵥ c₁) + t₂ • (p₂ -ᵥ p₁)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
⊢ ⟪s.center -ᵥ p, p -ᵥ s.center⟫ = 0 ↔ p = s.center

Tactic:
← neg_vsub_eq_vsub_rev,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
⊢ ⟪-(p -ᵥ s.center), p -ᵥ s.center⟫ = 0 ↔ p = s.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: case refine_1.inl.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
h' : (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ≤ (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
hr : 0 = q -ᵥ s.center
⊢ p = q ∨ q = s.center

Tactic:
eq_comm,

Goal state after:
case refine_1.inl.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
h' : (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ≤ (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
hr : q -ᵥ s.center = 0
⊢ p = q ∨ q = s.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: case refine_1.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
h' : (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ≤ (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
r : ℝ
hr : 0 = q -ᵥ s.center
hp : p = s.center
⊢ p = q ∨ q = s.center

Tactic:
eq_comm,

Goal state after:
case refine_1.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
h' : (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ≤ (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
r : ℝ
hr : q -ᵥ s.center = 0
hp : p = s.center
⊢ p = q ∨ q = s.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
as : AffineSubspace ℝ P
hp : s.IsTangentAt p as
hq : s.IsTangentAt q as
hqp : ⟪q -ᵥ p, p -ᵥ s.center⟫ = 0
hpq : ⟪p -ᵥ q, q -ᵥ s.center⟫ = 0
⊢ p = q

Tactic:
← neg_vsub_eq_vsub_rev,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
as : AffineSubspace ℝ P
hp : s.IsTangentAt p as
hq : s.IsTangentAt q as
hqp : ⟪-(p -ᵥ q), p -ᵥ s.center⟫ = 0
hpq : ⟪p -ᵥ q, q -ᵥ s.center⟫ = 0
⊢ p = q
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
⊢ (∃ z, z • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center) ↔ ∃ u, q -ᵥ s.center = ↑u • (p -ᵥ s.center)

Tactic:
eq_comm,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
⊢ (∃ z, z • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center) ↔ ∃ u, ↑u • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hs : ↑((orthogonalProjection (line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃])) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
hinf : line[ℝ, p₁, p₂] ⊓ line[ℝ, p₁, p₃] = affineSpan ℝ {p₁}
hsup : line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃] = ⊤
hp : ↑((orthogonalProjection (line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃])) p) = p₁
⊢ p = ↑((orthogonalProjection (line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃])) p)

Tactic:
eq_comm,

Goal state after:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hs : ↑((orthogonalProjection (line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃])) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
hinf : line[ℝ, p₁, p₂] ⊓ line[ℝ, p₁, p₃] = affineSpan ℝ {p₁}
hsup : line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃] = ⊤
hp : ↑((orthogonalProjection (line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃])) p) = p₁
⊢ ↑((orthogonalProjection (line[ℝ, p₁, p₂] ⊔ line[ℝ, p₁, p₃])) p) = p
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p p₁ = dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
ho : ¬↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hp✝ : ∡ (↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)) p₁ p = ∡ p p₁ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
h₂₁ : p₂ ≠ p₁
h₃₁ : p₃ ≠ p₁
hp : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = p₁
⊢ False

Tactic:
eq_comm,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
ha : AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
h : dist p ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p) = dist p p₁
ho : ¬↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
hp✝ : ∡ (↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)) p₁ p = ∡ p p₁ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₃]) p)
h₂₁ : p₂ ≠ p₁
h₃₁ : p₃ ≠ p₁
hp : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = p₁
⊢ False