mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Presentation.Basic

Goal state before:
pp: case C
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Presentation R S ι σ
H :
  RingHom.ker (TensorProduct.map (AlgHom.id R T) (IsScalarTower.toAlgHom R P.Ring S)) =
    Ideal.map TensorProduct.includeRight (RingHom.ker (IsScalarTower.toAlgHom R P.Ring S))
e : T ⊗[R] MvPolynomial ι R ≃ₐ[T] MvPolynomial ι T := algebraTensorAlgEquiv R T
a : T
⊢ (TensorProduct.map (AlgHom.id R T) (IsScalarTower.toAlgHom R P.Ring S)) (e.symm (C a)) =
    (aeval (Generators.baseChange T P.toGenerators).val) (C a)

Tactic:
| C a =>

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
q₁ q₂ : Submodule K (Dual K ↥H)
hq₁ : ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root), q₁ ∈ End.invtSubmodule ↑((rootSystem H).reflection i)
hq₂ : ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root), q₂ ∈ End.invtSubmodule ↑((rootSystem H).reflection i)
h : q₁ ≤ q₂
⊢ invtSubmoduleToLieIdeal q₁ hq₁ ≤ invtSubmoduleToLieIdeal q₂ hq₂

Tactic:
by
  change (invtSubmoduleToLieIdeal q₁ hq₁).restr H ≤ (invtSubmoduleToLieIdeal q₂ hq₂).restr H
  exact iSup_le fun ⟨α, hα_mem, hα_nz⟩ ↦ le_iSup_of_le ⟨α, h hα_mem, hα_nz⟩ le_rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Presentation.Basic

Goal state before:
pp: case C
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
ι' : Type u_1
σ' : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra S T
Q : Presentation S T ι' σ'
P : Presentation R S ι σ
a : S
⊢ ∃ a_1, (Q.aux P) a_1 = C a

Tactic:
| C a =>

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S ι
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
s : S
⊢ ∃ a, (aeval PEmpty.elim) a = s

Tactic:
use C (h s).choose

Goal state after:
case h
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S ι
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
s : S
⊢ (aeval PEmpty.elim) (C ⋯.choose) = s
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: case C
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P✝ : Generators R S ι
ι' : Type u_1
T✝ : Type ?u.18
inst✝³ : CommRing T✝
inst✝² : Algebra R T✝
T : Type ?u.24
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Generators R S ι
a✝ : T
b : S
X : P.Ring := P.σ b
a : R
⊢ (aeval fun x ↦ 1 ⊗ₜ[R] P.val x) (C a) = 1 ⊗ₜ[R] (aeval fun x ↦ P.val x) (C a)

Tactic:
| C a =>

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: case C
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
a : S
⊢ ∃ a_1, (Q.ofComp P).toAlgHom a_1 = C a

Tactic:
| C a =>

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Tautological

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝⁴ : Ring A
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module A M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module A N
s : (tautologicalRelations A M).Solution N
a : A
m : M
⊢ s.var (a • m) = (RingHom.id A) a • s.var m

Tactic:
symm
        rw [← sub_eq_zero]
        simpa using s.linearCombination_var_relation (.smul a m)

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I : Type u_8
f : MvPolynomial I R →ₐ[R] S
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ ∀ (i : I), (algebraMap (ofAlgHom f h).toExtension.Ring S) (X i) = f.toRingHom (X i)

Tactic:
simp [ofAlgHom]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Tensor

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝⁶ : CommRing A
M₁ : Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module A M₁
inst✝² : Module A M₂
relations₁ : Relations A
relations₂ : Relations A
solution₁ : relations₁.Solution M₁
solution₂ : relations₂.Solution M₂
h₁ : solution₁.IsPresentation
h₂ : solution₂.IsPresentation
N✝ : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N✝
inst✝ : Module A N✝
s : (relations₁.tensor relations₂).Solution N✝
g₁ : relations₁.G
r₂ : relations₂.R
⊢ (Finsupp.linearCombination A fun g₂ ↦ s.var (g₁, g₂)) (relations₂.relation r₂) = 0

Tactic:
erw [← Finsupp.linearCombination_embDomain A
              (Function.Embedding.sectR g₁ relations₂.G)]
            exact s.linearCombination_var_relation (.inr ⟨g₁, r₂⟩)

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: case a.convert_4.monomial
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
this✝ : DecidableEq (ι' →₀ ℕ) := Classical.decEq (ι' →₀ ℕ)
e : (ι' ⊕ ι →₀ ℕ) ≃+ (ι' →₀ ℕ) × (ι →₀ ℕ) := Finsupp.sumFinsuppAddEquivProdFinsupp
i : ι' →₀ ℕ
this :
  ∀ (x : (Q.comp P).Ring),
    (Function.support fun a ↦ if a.1 = i then (aeval P.val) ((monomial a.2) (coeff (e.symm a) x)) else 0) ⊆
      ↑(Finset.map (↑e).toEmbedding (support x))
a : R
v : (ι' →₀ ℕ) × (ι →₀ ℕ)
⊢ (if v ∈ {a ∈ Finset.map (↑e).toEmbedding ((monomial (e.symm v)) a).support | a.1 = i} then
      (aeval P.val) ((monomial v.2) a)
    else 0) =
    if v.1 = i then (aeval P.val) ((monomial v.2) a) else 0

Tactic:
simp only [Finset.mem_filter, Finset.mem_map_equiv, AddEquiv.coe_toEquiv_symm,
          mem_support_iff, coeff_monomial, ↓reduceIte, ne_eq, ite_and, ite_not]

Goal state after:
case a.convert_4.monomial
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
this✝ : DecidableEq (ι' →₀ ℕ) := Classical.decEq (ι' →₀ ℕ)
e : (ι' ⊕ ι →₀ ℕ) ≃+ (ι' →₀ ℕ) × (ι →₀ ℕ) := Finsupp.sumFinsuppAddEquivProdFinsupp
i : ι' →₀ ℕ
this :
  ∀ (x : (Q.comp P).Ring),
    (Function.support fun a ↦ if a.1 = i then (aeval P.val) ((monomial a.2) (coeff (e.symm a) x)) else 0) ⊆
      ↑(Finset.map (↑e).toEmbedding (support x))
a : R
v : (ι' →₀ ℕ) × (ι →₀ ℕ)
⊢ (if a = 0 then 0 else if v.1 = i then (aeval P.val) ((monomial v.2) a) else 0) =
    if v.1 = i then (aeval P.val) ((monomial v.2) a) else 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Vanishing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
k : ℕ
a : ι → Fin k → R
y : Fin k → N
h₁ : ∀ (i : ι), n i = ∑ j, a i j • y j
h₂ : ∀ (j : Fin k), ∑ i, a i j • m i = 0
⊢ ∑ x, ∑ x_1, a x x_1 • m x ⊗ₜ[R] y x_1 = 0

Tactic:
Finset.sum_comm

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
k : ℕ
a : ι → Fin k → R
y : Fin k → N
h₁ : ∀ (i : ι), n i = ∑ j, a i j • y j
h₂ : ∀ (j : Fin k), ∑ i, a i j • m i = 0
⊢ ∑ y_1, ∑ x, a x y_1 • m x ⊗ₜ[R] y y_1 = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝²³ : CommRing R
inst✝²² : CommRing S
inst✝²¹ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²⁰ : CommRing R'
inst✝¹⁹ : CommRing S'
inst✝¹⁸ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝¹⁷ : Algebra R R'
inst✝¹⁶ : Algebra S S'
inst✝¹⁵ : Algebra R S'
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R R' S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹³ : CommRing R''
inst✝¹² : CommRing S''
inst✝¹¹ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹⁰ : Algebra R R''
inst✝⁹ : Algebra S S''
inst✝⁸ : Algebra R S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R R' R''
inst✝¹ : IsScalarTower S S' S''
inst✝ : IsScalarTower R S S'
P₁ : Extension R S
P₂ : Extension R S
f₁ : P₁.Hom P₂
f₂ : P₂.Hom P₁
x : P₁.H1Cotangent
⊢ (map f₂ ∘ₗ map f₁) x = (map (Hom.id P₁)) x

Tactic:
eq_comm,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝²³ : CommRing R
inst✝²² : CommRing S
inst✝²¹ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²⁰ : CommRing R'
inst✝¹⁹ : CommRing S'
inst✝¹⁸ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝¹⁷ : Algebra R R'
inst✝¹⁶ : Algebra S S'
inst✝¹⁵ : Algebra R S'
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R R' S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹³ : CommRing R''
inst✝¹² : CommRing S''
inst✝¹¹ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹⁰ : Algebra R R''
inst✝⁹ : Algebra S S''
inst✝⁸ : Algebra R S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R R' R''
inst✝¹ : IsScalarTower S S' S''
inst✝ : IsScalarTower R S S'
P₁ : Extension R S
P₂ : Extension R S
f₁ : P₁.Hom P₂
f₂ : P₂.Hom P₁
x : P₁.H1Cotangent
⊢ (map (Hom.id P₁)) x = (map f₂ ∘ₗ map f₁) x
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝²³ : CommRing R
inst✝²² : CommRing S
inst✝²¹ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²⁰ : CommRing R'
inst✝¹⁹ : CommRing S'
inst✝¹⁸ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝¹⁷ : Algebra R R'
inst✝¹⁶ : Algebra S S'
inst✝¹⁵ : Algebra R S'
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R R' S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹³ : CommRing R''
inst✝¹² : CommRing S''
inst✝¹¹ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹⁰ : Algebra R R''
inst✝⁹ : Algebra S S''
inst✝⁸ : Algebra R S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R R' R''
inst✝¹ : IsScalarTower S S' S''
inst✝ : IsScalarTower R S S'
P₁ : Extension R S
P₂ : Extension R S
f₁ : P₁.Hom P₂
f₂ : P₂.Hom P₁
x : P₂.H1Cotangent
⊢ (map f₁ ∘ₗ map f₂) x = (map (Hom.id P₂)) x

Tactic:
eq_comm,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝²³ : CommRing R
inst✝²² : CommRing S
inst✝²¹ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²⁰ : CommRing R'
inst✝¹⁹ : CommRing S'
inst✝¹⁸ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝¹⁷ : Algebra R R'
inst✝¹⁶ : Algebra S S'
inst✝¹⁵ : Algebra R S'
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R R' S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹³ : CommRing R''
inst✝¹² : CommRing S''
inst✝¹¹ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹⁰ : Algebra R R''
inst✝⁹ : Algebra S S''
inst✝⁸ : Algebra R S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R R' R''
inst✝¹ : IsScalarTower S S' S''
inst✝ : IsScalarTower R S S'
P₁ : Extension R S
P₂ : Extension R S
f₁ : P₁.Hom P₂
f₂ : P₂.Hom P₁
x : P₂.H1Cotangent
⊢ (map (Hom.id P₂)) x = (map f₁ ∘ₗ map f₂) x
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion

Goal state before:
pp: case singleton
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
K : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup K
inst✝¹ : Module R K
inst✝ : Module.Finite R K
K' : Submodule R K
k : K
n : ℕ
f : K →ₗ[R] Fin n →₀ R
x : (Fin n →₀ R) →ₗ[R] M
h : x ∘ₗ f = 0
⊢ ∃ k_1 a y, x = y ∘ₗ a ∧ R ∙ k ≤ (a ∘ₗ f).ker

Tactic:
have : x (f k) = 0 := by simpa using LinearMap.congr_fun h k

Goal state after:
case singleton
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
K : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup K
inst✝¹ : Module R K
inst✝ : Module.Finite R K
K' : Submodule R K
k : K
n : ℕ
f : K →ₗ[R] Fin n →₀ R
x : (Fin n →₀ R) →ₗ[R] M
h : x ∘ₗ f = 0
this : x (f k) = 0
⊢ ∃ k_1 a y, x = y ∘ₗ a ∧ R ∙ k ≤ (a ∘ₗ f).ker
Module: Mathlib.RingTheory.Support

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ ¬Subsingleton M ↔ Nontrivial M

Tactic:
← not_subsingleton_iff_nontrivial

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ ¬Subsingleton M ↔ ¬Subsingleton M
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Finiteness

Goal state before:
pp: R : Type u_3
S : Type u_4
Rₚ : Type u_1
Sₚ : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : CommSemiring Sₚ
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R Rₚ
inst✝⁶ : Algebra R Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : Algebra Rₚ Sₚ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Sₚ
M : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization M Rₚ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₚ
hRS : Module.Finite R S
this : algebraMap Rₚ Sₚ = IsLocalization.map Sₚ (algebraMap R S) ⋯
⊢ Module.Finite Rₚ Sₚ

Tactic:
obtain ⟨T, hT⟩ := hRS

Goal state after:
R : Type u_3
S : Type u_4
Rₚ : Type u_1
Sₚ : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : CommSemiring Sₚ
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R Rₚ
inst✝⁶ : Algebra R Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : Algebra Rₚ Sₚ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Sₚ
M : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization M Rₚ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₚ
this : algebraMap Rₚ Sₚ = IsLocalization.map Sₚ (algebraMap R S) ⋯
T : Finset S
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
⊢ Module.Finite Rₚ Sₚ
Module: Mathlib.Data.Fin.Parity

Goal state before:
pp: n : ℕ
k : Fin n
inst✝ : NeZero n
⊢ Odd k ↔ Even n → Odd ↑k

Tactic:
by
  rw [imp_iff_not_or, Nat.not_even_iff_odd]
  exact odd_iff

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M : Submodule R S
y : R
m : ↥M
⊢ (M.mulMap (Subalgebra.toSubmodule ⊥)) (m ⊗ₜ[R] (algebraMap R ↥⊥) y) = ↑m * (algebraMap R S) y

Tactic:
exact mulMap_tmul M _ _ _

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Projective

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
N : Type u_2
M : Type uM
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : Module.FinitePresentation R N
H : ∀ (I : Ideal R) (x : I.IsMaximal), ∃ g, (LocalizedModule.map I.primeCompl) f ∘ₗ g = id
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
this :
  id ∈
    ((llcomp (Localization I.primeCompl) (LocalizedModule I.primeCompl N) (LocalizedModule I.primeCompl M)
          (LocalizedModule I.primeCompl N))
        ((LocalizedModule.map I.primeCompl) f)).range
c : ↥I.primeCompl
g : N →ₗ[R] M
⊢ ↑c •
      ((llcomp (Localization I.primeCompl) (LocalizedModule I.primeCompl N) (LocalizedModule I.primeCompl M)
            (LocalizedModule I.primeCompl N))
          ((LocalizedModule.map I.primeCompl) f))
        (IsLocalizedModule.mk' (LocalizedModule.map I.primeCompl) g c) =
    c • IsLocalizedModule.mk' (LocalizedModule.map I.primeCompl) (((llcomp R N M N) f) g) c

Tactic:
conv_lhs => rw [← LinearMap.map_smul_of_tower]

Goal state after:
case h
R : Type u_1
N : Type u_2
M : Type uM
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : Module.FinitePresentation R N
H : ∀ (I : Ideal R) (x : I.IsMaximal), ∃ g, (LocalizedModule.map I.primeCompl) f ∘ₗ g = id
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
this :
  id ∈
    ((llcomp (Localization I.primeCompl) (LocalizedModule I.primeCompl N) (LocalizedModule I.primeCompl M)
          (LocalizedModule I.primeCompl N))
        ((LocalizedModule.map I.primeCompl) f)).range
c : ↥I.primeCompl
g : N →ₗ[R] M
⊢ ((llcomp (Localization I.primeCompl) (LocalizedModule I.primeCompl N) (LocalizedModule I.primeCompl M)
          (LocalizedModule I.primeCompl N))
        ((LocalizedModule.map I.primeCompl) f))
      (↑c • IsLocalizedModule.mk' (LocalizedModule.map I.primeCompl) g c) =
    c • IsLocalizedModule.mk' (LocalizedModule.map I.primeCompl) (((llcomp R N M N) f) g) c
Module: Mathlib.RingTheory.ClassGroup.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
⊢ (mk (FractionRing R)) ((FractionalIdeal.mk0 (FractionRing R)) ⟨integralRep ↑I, ⋯⟩) = (mk (FractionRing R)) I

Tactic:
eq_comm,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
⊢ (mk (FractionRing R)) I = (mk (FractionRing R)) ((FractionalIdeal.mk0 (FractionRing R)) ⟨integralRep ↑I, ⋯⟩)
Module: Mathlib.RingTheory.ClassGroup.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
fd_ne_zero : (algebraMap R (FractionRing R)) ↑(↑I).den ≠ 0
⊢ ↑(I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) (Units.mk0 ((algebraMap R (FractionRing R)) ↑(↑I).den) fd_ne_zero)) =
    ↑((FractionalIdeal.mk0 (FractionRing R)) ⟨integralRep ↑I, ⋯⟩)

Tactic:
rw [mul_comm, val_mul, coe_toPrincipalIdeal, val_mk0]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
fd_ne_zero : (algebraMap R (FractionRing R)) ↑(↑I).den ≠ 0
⊢ spanSingleton R⁰ ((algebraMap R (FractionRing R)) ↑(↑I).den) * ↑I =
    ↑((FractionalIdeal.mk0 (FractionRing R)) ⟨integralRep ↑I, ⋯⟩)
Module: Mathlib.RingTheory.ClassGroup.Basic

Goal state before:
pp: case mk
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
b✝ : ClassGroup R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
⊢ (mk (FractionRing R)) I = Quot.mk (⇑(QuotientGroup.leftRel (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)).range)) I

Tactic:
ClassGroup.Quot_mk_eq_mk

Goal state after:
case mk
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
b✝ : ClassGroup R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
⊢ (mk (FractionRing R)) I = (mk (FractionRing R)) I
Module: Mathlib.RingTheory.ClassGroup.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
⊢ (mk K) I = 1 ↔ (↑↑I).IsPrincipal

Tactic:
rw [← (ClassGroup.equiv K).injective.eq_iff]
  simp only [equiv_mk, canonicalEquiv_self, RingEquiv.coe_mulEquiv_refl, QuotientGroup.mk'_apply,
    map_one, QuotientGroup.eq_one_iff, MonoidHom.mem_range, Units.ext_iff,
    coe_toPrincipalIdeal, coe_mapEquiv, MulEquiv.refl_apply]
  refine ⟨fun ⟨x, hx⟩ => ⟨⟨x, by rw [← hx, coe_spanSingleton]⟩⟩, ?_⟩
  intro hI
  obtain ⟨x, hx⟩ := @Submodule.IsPrincipal.principal _ _ _ _ _ _ hI
  have hx' : (I : FractionalIdeal R⁰ K) = spanSingleton R⁰ x := by
    apply Subtype.coe_injective
    simp only [val_eq_coe, hx, coe_spanSingleton]
  refine ⟨Units.mk0 x ?_, ?_⟩
  · intro x_eq; apply Units.ne_zero I; simp [hx', x_eq]
  · simp [hx']

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Projective

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type uM
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Rₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_4
inst✝⁷ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → CommRing (Rₚ P)
inst✝⁶ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Algebra R (Rₚ P)
inst✝⁵ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalization.AtPrime (Rₚ P) P
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝⁴ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommGroup (Mₚ P)
inst✝³ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module (Rₚ P) (Mₚ P)
inst✝¹ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsScalarTower R (Rₚ P) (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
H : ∀ (I : Ideal R) (x : I.IsMaximal), Projective (Rₚ I) (Mₚ I)
inst✝ : FinitePresentation R M
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
e : Rₚ P ≃+* Localization.AtPrime P := ⋯
m : Mₚ P
r : R
s : ↥P.primeCompl
⊢ ((algebraMap R (End R (LocalizedModule P.primeCompl M))) ↑s)
      ((↑(IsLocalizedModule.linearEquiv P.primeCompl (f P) (LocalizedModule.mkLinearMap P.primeCompl M))).toFun
        (IsLocalization.mk' (Rₚ P) r s • m)) =
    ((algebraMap R (End R (LocalizedModule P.primeCompl M))) ↑s)
      (↑e (IsLocalization.mk' (Rₚ P) r s) •
        (↑(IsLocalizedModule.linearEquiv P.primeCompl (f P) (LocalizedModule.mkLinearMap P.primeCompl M))).toFun m)

Tactic:
dsimp [e]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type uM
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Rₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_4
inst✝⁷ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → CommRing (Rₚ P)
inst✝⁶ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Algebra R (Rₚ P)
inst✝⁵ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalization.AtPrime (Rₚ P) P
Mₚ : (P : Ideal R) → [P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝⁴ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommGroup (Mₚ P)
inst✝³ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module (Rₚ P) (Mₚ P)
inst✝¹ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsScalarTower R (Rₚ P) (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
H : ∀ (I : Ideal R) (x : I.IsMaximal), Projective (Rₚ I) (Mₚ I)
inst✝ : FinitePresentation R M
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
e : Rₚ P ≃+* Localization.AtPrime P :=
  (IsLocalization.algEquiv P.primeCompl (Rₚ P) (Localization.AtPrime P)).toRingEquiv
m : Mₚ P
r : R
s : ↥P.primeCompl
⊢ ↑s •
      (IsLocalizedModule.linearEquiv P.primeCompl (f P) (LocalizedModule.mkLinearMap P.primeCompl M))
        (IsLocalization.mk' (Rₚ P) r s • m) =
    ↑s •
      (IsLocalization.map (Localization.AtPrime P) (RingHom.id R) ⋯) (IsLocalization.mk' (Rₚ P) r s) •
        (IsLocalizedModule.linearEquiv P.primeCompl (f P) (LocalizedModule.mkLinearMap P.primeCompl M)) m
Module: Mathlib.RingTheory.Spectrum.Prime.FreeLocus

Goal state before:
pp: R : Type uR
M : Type uM
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : FinitePresentation R M
x✝ : ↑(freeLocus R M)
x : PrimeSpectrum R
hx : x ∈ freeLocus R M
this : Free (Localization.AtPrime x.asIdeal) (LocalizedModule x.asIdeal.primeCompl M)
f : R
hf : f ∈ x.asIdeal.primeCompl
hf' : Free (Localization (Submonoid.powers f)) (LocalizedModule.Away f M)
hf'' :
  finrank (Localization (Submonoid.powers f)) (LocalizedModule.Away f M) =
    finrank (Localization.AtPrime x.asIdeal) (LocalizedModule x.asIdeal.primeCompl M)
p : PrimeSpectrum R
hp'' : p ∈ freeLocus R M
hp : ⟨p, hp''⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' ↑(basicOpen f)
p' : Submonoid (Localization (Submonoid.powers f)) :=
  Algebra.algebraMapSubmonoid (Localization (Submonoid.powers f)) p.asIdeal.primeCompl
⊢ Submonoid.powers f ≤ p.asIdeal.primeCompl

Tactic:
simpa [Submonoid.powers_le, Ideal.primeCompl]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.Normal.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
h : Normal F K
inst✝ : FiniteDimensional F K
s : Module.Basis (↑(Module.Basis.ofVectorSpaceIndex F K)) F K := Module.Basis.ofVectorSpace F K
x✝¹ x : ↑(Module.Basis.ofVectorSpaceIndex F K)
x✝ : x ∈ Finset.univ
⊢ minpoly F (s x) ≠ 0

Tactic:
exact minpoly.ne_zero (h.isIntegral (s x))

Goal state after: