mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.TestFunction

Goal state before:
pp: E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
Ω : Opens E
F : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
n : ℕ∞
K : Compacts E
K_sub_Ω : ↑K ⊆ ↑Ω
⊢ Continuous (ofSupportedIn K_sub_Ω)

Tactic:
continuous_iff_coinduced_le

Goal state after:
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
Ω : Opens E
F : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
n : ℕ∞
K : Compacts E
K_sub_Ω : ↑K ⊆ ↑Ω
⊢ coinduced (ofSupportedIn K_sub_Ω) ContDiffMapSupportedIn.topologicalSpace ≤ topologicalSpace Ω F n
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.TestFunction

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
Ω₁ Ω₂ : Opens E
F : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
n₁ n₂ : ℕ∞
inst✝¹ : Algebra ℝ 𝕜
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
H : ¬(n₂ ≤ n₁ ∧ Ω₁ ≤ Ω₂)
x✝ : 𝓓^{n₁}(Ω₁, F)
a✝ : E
⊢ ((monoCLM 𝕜) x✝) a✝ = (0 x✝) a✝

Tactic:
simp [H]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.Layercake

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
M : ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᵐ[μ] f
f_bdd : f ≤ᵐ[μ] fun x ↦ M
⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, μ.real {a | t ≤ f a} = ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 M, μ.real {a | t ≤ f a}

Tactic:
rw [setIntegral_eq_of_subset_of_ae_sdiff_eq_zero
      nullMeasurableSet_Ioi Ioc_subset_Ioi_self ?_]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
M : ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᵐ[μ] f
f_bdd : f ≤ᵐ[μ] fun x ↦ M
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ioi 0 \ Ioc 0 M → μ.real {a | x ≤ f a} = 0
Module: Mathlib.Data.Fin.Tuple.Sort

Goal state before:
pp: n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
⊢ sort f = Equiv.refl (Fin n) ↔ Monotone f

Tactic:
eq_comm,

Goal state after:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α
⊢ Equiv.refl (Fin n) = sort f ↔ Monotone f
Module: Mathlib.Analysis.Matrix.Hermitian

Goal state before:
pp: n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] E
b : OrthonormalBasis n 𝕜 E
⊢ ((toMatrix b.toBasis b.toBasis) f).IsHermitian ↔ f.IsSymmetric

Tactic:
rw [← Matrix.isSymmetric_toLin_iff b, Matrix.toLin_toMatrix]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Compact.FredholmAlternative

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
T : X →L[𝕜] X
μ : 𝕜
inst✝ : CompleteSpace X
hT : IsCompactOperator ⇑T
hμ : μ ≠ 0
h₁ : ¬HasEigenvalue (↑T) μ
h₂ : ¬IsUnit ((algebraMap 𝕜 (X →L[𝕜] X)) μ - T)
S : X →L[𝕜] X := T - μ • 1
K : NNReal
hK : AntilipschitzWith K ⇑S
⊢ ¬Function.Bijective ⇑S

Tactic:
← IsUnit.neg_iff,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
T : X →L[𝕜] X
μ : 𝕜
inst✝ : CompleteSpace X
hT : IsCompactOperator ⇑T
hμ : μ ≠ 0
h₁ : ¬HasEigenvalue (↑T) μ
h₂ : ¬IsUnit (-((algebraMap 𝕜 (X →L[𝕜] X)) μ - T))
S : X →L[𝕜] X := T - μ • 1
K : NNReal
hK : AntilipschitzWith K ⇑S
⊢ ¬Function.Bijective ⇑S
Module: Mathlib.Analysis.Matrix.Spectrum

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A B : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
hB : B.IsHermitian
h : A.charpoly = B.charpoly
⊢ hA.eigenvalues₀ = hB.eigenvalues₀

Tactic:
← List.ofFn_inj,

Goal state after:
case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A B : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
hB : B.IsHermitian
h : A.charpoly = B.charpoly
⊢ List.ofFn hA.eigenvalues₀ = List.ofFn hB.eigenvalues₀
Module: Mathlib.Analysis.Matrix.Spectrum

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A B : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
hB : B.IsHermitian
h : A.charpoly = B.charpoly
⊢ List.ofFn hA.eigenvalues₀ = List.ofFn hB.eigenvalues₀

Tactic:
← sort_roots_charpoly_eq_eigenvalues₀,

Goal state after:
case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A B : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
hB : B.IsHermitian
h : A.charpoly = B.charpoly
⊢ ((Multiset.map (⇑RCLike.re) A.charpoly.roots).sort fun x1 x2 ↦ x1 ≥ x2) =
    (Multiset.map (⇑RCLike.re) B.charpoly.roots).sort fun x1 x2 ↦ x1 ≥ x2
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
n₁ n₂ : ℕ∞
K₁ K₂ : Compacts E
H : ¬(n₂ ≤ n₁ ∧ K₁ ≤ K₂)
x✝ : 𝓓^{n₁}_{K₁}(E, F)
a✝ : E
⊢ ((monoLM 𝕜) x✝) a✝ = (0 x✝) a✝

Tactic:
simp [H]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst✝³ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
E' : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E'
T' : E' →ₗ[𝕜] E'
hT : T.IsSymmetric
hn : finrank 𝕜 E = n
hT' : T'.IsSymmetric
hn' : finrank 𝕜 E' = n
h : hT.eigenvalues hn = hT'.eigenvalues hn'
⊢ T.charpoly = T'.charpoly

Tactic:
rw [hT.charpoly_eq hn, hT'.charpoly_eq hn', h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst✝³ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
E' : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E'
T' : E' →ₗ[𝕜] E'
hT : T.IsSymmetric
hn : finrank 𝕜 E = n
hT' : T'.IsSymmetric
hn' : finrank 𝕜 E' = n
h : T.charpoly = T'.charpoly
⊢ hT.eigenvalues hn = hT'.eigenvalues hn'

Tactic:
← List.ofFn_inj,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst✝³ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
E' : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E'
T' : E' →ₗ[𝕜] E'
hT : T.IsSymmetric
hn : finrank 𝕜 E = n
hT' : T'.IsSymmetric
hn' : finrank 𝕜 E' = n
h : T.charpoly = T'.charpoly
⊢ List.ofFn (hT.eigenvalues hn) = List.ofFn (hT'.eigenvalues hn')
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
K : Compacts E
i : ℕ
f : 𝓓_{K}(E, F)
⊢ ⇑((structureMapCLM 𝕜 ⊤ i) f) = iteratedFDeriv ℝ i ⇑f

Tactic:
simp [structureMapCLM, structureMapLM_top_apply]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Matrix.Order

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
⊢ (CFC.sqrt A)⁻¹ = CFC.sqrt A⁻¹

Tactic:
eq_comm,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
⊢ CFC.sqrt A⁻¹ = (CFC.sqrt A)⁻¹
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.ContinuousFunctions

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α →ᵇ E
x : α
hx : ↑(ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap) x = f.toContinuousMap x
⊢ ‖↑↑⟨ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap, ⋯⟩ x‖ ≤ ↑‖f‖₊

Tactic:
coe_nnnorm

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α →ᵇ E
x : α
hx : ↑(ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap) x = f.toContinuousMap x
⊢ ‖↑↑⟨ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap, ⋯⟩ x‖ ≤ ‖f‖
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.GramMatrix

Goal state before:
pp: case h1
E : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
v : n → E
f : E →L[𝕜] F
c : n →₀ 𝕜
⊢ ∑ x ∈ c.support, ∑ y ∈ c.support, star (c x) * gram 𝕜 (⇑f ∘ v) x y * c y = ↑‖f (∑ x ∈ c.support, c x • v x)‖ ^ 2

Tactic:
Finset.sum_comm

Goal state after:
case h1
E : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
v : n → E
f : E →L[𝕜] F
c : n →₀ 𝕜
⊢ ∑ y ∈ c.support, ∑ x ∈ c.support, star (c x) * gram 𝕜 (⇑f ∘ v) x y * c y = ↑‖f (∑ x ∈ c.support, c x • v x)‖ ^ 2
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.GramMatrix

Goal state before:
pp: case h2
E : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
v : n → E
f : E →L[𝕜] F
c : n →₀ 𝕜
⊢ ‖f‖ ^ 2 • ↑‖∑ i ∈ c.support, c i • v i‖ ^ 2 =
    ∑ x ∈ c.support, ∑ y ∈ c.support, star (c x) * ‖f‖ ^ 2 • gram 𝕜 v x y * c y

Tactic:
Finset.sum_comm

Goal state after:
case h2
E : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
v : n → E
f : E →L[𝕜] F
c : n →₀ 𝕜
⊢ ‖f‖ ^ 2 • ↑‖∑ i ∈ c.support, c i • v i‖ ^ 2 =
    ∑ y ∈ c.support, ∑ x ∈ c.support, star (c x) * ‖f‖ ^ 2 • gram 𝕜 v x y * c y
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.LpSpace.ContinuousFunctions

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : BorelSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁶ : CompactSpace α
inst✝⁵ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Fact (1 ≤ p)
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : IsBoundedSMul 𝕜 E
β : Type u_4
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
g : β → C(α, E)
f : C(α, E)
hg : Summable g
hg2 : HasSum (⇑(toLp p μ 𝕜) ∘ g) ((toLp p μ 𝕜) f)
⊢ HasSum g f

Tactic:
convert! Summable.hasSum hg

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : BorelSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁶ : CompactSpace α
inst✝⁵ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Fact (1 ≤ p)
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : IsBoundedSMul 𝕜 E
β : Type u_4
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
g : β → C(α, E)
f : C(α, E)
hg : Summable g
hg2 : HasSum (⇑(toLp p μ 𝕜) ∘ g) ((toLp p μ 𝕜) f)
⊢ f = ∑' (b : β), g b
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
n₁ n₂ : ℕ∞
K₁ K₂ : Compacts E
H : ¬(n₂ ≤ n₁ ∧ K₁ ≤ K₂)
x✝ : 𝓓^{n₁}_{K₁}(E, F)
a✝ : E
⊢ ((monoCLM 𝕜) x✝) a✝ = (0 x✝) a✝

Tactic:
simp [H]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.ContDiffMapSupportedIn

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ∞
K : Compacts E
m : MeasurableSpace E
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace E
F₁ : Type u_5
F₂ : Type u_6
F₃ : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F₃
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₁
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F₃
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F₃
B : F₁ →L[𝕜] F₂ →L[𝕜] F₃
μ : Measure E
φ : E → F₂
f : 𝓓^{n}_{K}(E, F₁)
hφ : IntegrableOn φ (↑K) μ
x : E
⊢ ‖(B (f x)) (φ x)‖ ≤ ‖φ x‖ * ‖B‖ * (ContDiffMapSupportedIn.seminorm 𝕜 E F₁ n K 0) f

Tactic:
grw [ContinuousLinearMap.le_opNorm, ContinuousLinearMap.le_opNorm, norm_apply_le_seminorm 𝕜,
        mul_comm, mul_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
b : UnconditionalSchauderBasis β 𝕜 X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
A₀ : Finset β
hA₀ : ∀ (t : Finset β), Disjoint t A₀ → ‖∑ i ∈ t, (b.coord i) x • ↑b i‖ < 1
A : Finset β
⊢ ∑ i ∈ A, (b.coord i) x • ↑b i = ∑ i ∈ A ∩ A₀, (b.coord i) x • ↑b i + ∑ i ∈ A \ A₀, (b.coord i) x • ↑b i

Tactic:
← Finset.sum_union (Finset.disjoint_sdiff_inter A A₀).symm,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
b : UnconditionalSchauderBasis β 𝕜 X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
A₀ : Finset β
hA₀ : ∀ (t : Finset β), Disjoint t A₀ → ‖∑ i ∈ t, (b.coord i) x • ↑b i‖ < 1
A : Finset β
⊢ ∑ i ∈ A, (b.coord i) x • ↑b i = ∑ x_1 ∈ A ∩ A₀ ∪ A \ A₀, (b.coord x_1) x • ↑b x_1
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
b : UnconditionalSchauderBasis β 𝕜 X
inst✝ : CompleteSpace X
C : ℝ
hC : ∀ (A : Finset β), ‖GeneralSchauderBasis.proj b A‖ ≤ C
hCpos : 0 ≤ C
A : Finset β
⊢ ↑((fun A ↦ ‖GeneralSchauderBasis.proj b A‖₊) A) ≤ C

Tactic:
coe_nnnorm

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
β : Type u_3
b : UnconditionalSchauderBasis β 𝕜 X
inst✝ : CompleteSpace X
C : ℝ
hC : ∀ (A : Finset β), ‖GeneralSchauderBasis.proj b A‖ ≤ C
hCpos : 0 ≤ C
A : Finset β
⊢ ‖GeneralSchauderBasis.proj b A‖ ≤ C
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
b : SchauderBasis 𝕜 X
inst✝ : CompleteSpace X
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖b.proj n‖ ≤ C
hCpos : 0 ≤ C
n : ℕ
⊢ ↑((fun n ↦ ‖b.proj n‖₊) n) ≤ C

Tactic:
coe_nnnorm

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
b : SchauderBasis 𝕜 X
inst✝ : CompleteSpace X
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖b.proj n‖ ≤ C
hCpos : 0 ≤ C
n : ℕ
⊢ ‖b.proj n‖ ≤ C
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : MemLp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
⊢ ∃ g,
    HasCompactSupport g ∧
      ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧
        Continuous[inst✝⁸, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] g ∧ MemLp g (ENNReal.ofReal p) μ

Tactic:
have A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0 := by
    simp only [Ne, ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le, I]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : MemLp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
⊢ ∃ g,
    HasCompactSupport g ∧
      ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧
        Continuous[inst✝⁸, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] g ∧ MemLp g (ENNReal.ofReal p) μ
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Deriv

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F✝ : Type u_6
V : Type u_7
F : Type u_8
F₁ : Type u_9
F₂ : Type u_10
F₃ : Type u_11
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x✝ : ℕ × ℕ
k n : ℕ
f : 𝓢(ℝ, F)
x : ℝ
⊢ ‖x‖ ^ (k, n).1 * ‖iteratedFDeriv ℝ (k, n).2 (deriv ⇑f) x‖ ≤ 1 * ({(k, n + 1)}.sup (schwartzSeminormFamily 𝕜 ℝ F)) f

Tactic:
simpa only [Real.norm_eq_abs, Finset.sup_singleton, schwartzSeminormFamily_apply, one_mul,
        norm_iteratedFDeriv_eq_norm_iteratedDeriv, ← iteratedDeriv_succ'] using
        f.le_seminorm' 𝕜 k (n + 1) x

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Function.ContinuousMapDense

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : MemLp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ MemLp (⇑g) (ENNReal.ofReal p) μ

Tactic:
have A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0 := by
    simp only [Ne, ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le, I]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : MemLp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ MemLp (⇑g) (ENNReal.ofReal p) μ
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Bases

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
D : RankOneDecomposition 𝕜 X
n : ℕ
x✝ : X
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, (D.basis.coord i) x✝ • ↑D.basis i = (∑ i ∈ Finset.range n, succSub D.P i) x✝

Tactic:
simp only [_root_.sum_apply]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
D : RankOneDecomposition 𝕜 X
n : ℕ
x✝ : X
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, (D.basis.coord i) x✝ • ↑D.basis i = ∑ i ∈ Finset.range n, (succSub D.P i) x✝
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.l2Space

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
hsp : ⊤ ≤ (span 𝕜 (Set.range v)).topologicalClosure
⊢ ⇑(HilbertBasis.mk hv hsp) = v

Tactic:
by
  classical
  apply funext <| Orthonormal.linearIsometryEquiv_symm_apply_single_one hv hsp

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Fourier.AddCircle

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
hab : a < b
f g : ℝ → E
h : f =ᵐ[volume.restrict (Ioc a b)] g
n : ℤ
⊢ (1 / (b - a)) • ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • f x =
    (1 / (b - a)) • ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • g x

Tactic:
congr! 1

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
hab : a < b
f g : ℝ → E
h : f =ᵐ[volume.restrict (Ioc a b)] g
n : ℤ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • f x = ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • g x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Integral.PeakFunction

Goal state before:
pp: α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
h't : μ t ≠ ∞
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁴] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
h : α → E := ⋯
A : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a) l (𝓝 a)
i : ι
hi : IntegrableOn (fun x ↦ φ i x • g x) s μ
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
⊢ Integrable (φ i) ((μ.restrict s).restrict t)

Tactic:
restrict_restrict ht,

Goal state after:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hts : t ⊆ s
h'ts : t ∈ 𝓝[s] x₀
h't : μ t ≠ ∞
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen[inst✝⁴] u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
h : α → E := g - t.indicator fun x ↦ a
A : Tendsto (fun i ↦ ∫ (x : α) in s, φ i x • h x ∂μ + (∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) • a) l (𝓝 a)
i : ι
hi : IntegrableOn (fun x ↦ φ i x • g x) s μ
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
⊢ Integrable (φ i) (μ.restrict (t ∩ s))
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
V : Type u_9
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup D
inst✝¹ : NormedSpace ℝ D
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
K : ℝ≥0
g : D → E
hg : Function.HasTemperateGrowth g
h'g : AntilipschitzWith K g
x : D
⊢ dist x 0 ≤ ↑K * dist (g x) (g 0)

Tactic:
apply h'g.le_mul_dist

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Distribution.SchwartzSpace.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
D : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ D
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ 𝕜'
inst✝ : NormedSpace 𝕜' F
u : D → 𝕜'
hu : Function.HasTemperateGrowth u
g : D ≃L[ℝ] E
f : 𝓢(E, F)
⊢ (smulLeftCLM F u) ((compCLMOfContinuousLinearEquiv 𝕜 g) f) =
    (compCLMOfContinuousLinearEquiv 𝕜 g) ((smulLeftCLM F (u ∘ ⇑g.symm)) f)

Tactic:
ext x
  have hu' : (u ∘ g.symm).HasTemperateGrowth := by fun_prop
  simp [smulLeftCLM_apply_apply hu, smulLeftCLM_apply_apply hu']

Goal state after: