mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ s.points i -ᵥ s.faceOppositeCentroid i = (↑n + 1) • (s.centroid -ᵥ s.faceOppositeCentroid i)

Tactic:
← neg_vsub_eq_vsub_rev,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ -(s.faceOppositeCentroid i -ᵥ s.points i) = (↑n + 1) • (s.centroid -ᵥ s.faceOppositeCentroid i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ ↑n • ((↑n + 1)⁻¹ • ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points i) - (↑n)⁻¹ • ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points i)) =
    s.points i -ᵥ s.centroid

Tactic:
← neg_vsub_eq_vsub_rev,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ ↑n • ((↑n + 1)⁻¹ • ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points i) - (↑n)⁻¹ • ∑ x, (s.points x -ᵥ s.points i)) =
    -(s.centroid -ᵥ s.points i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ s.centroid -ᵥ s.points i = ↑n • (s.faceOppositeCentroid i -ᵥ s.centroid)

Tactic:
← neg_vsub_eq_vsub_rev,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ -(s.points i -ᵥ s.centroid) = ↑n • (s.faceOppositeCentroid i -ᵥ s.centroid)
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.AddTorsorBases

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
h : affineSpan ℝ s = ⊤
t : Set V
hts : t ⊆ s
b : AffineBasis ↑t ℝ V
hb : ⇑b = Subtype.val
this : (interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b))).Nonempty
⊢ (interior ((convexHull ℝ) s)).Nonempty

Tactic:
rw [hb, Subtype.range_coe_subtype, ofPred_mem_eq] at this

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
h : affineSpan ℝ s = ⊤
t : Set V
hts : t ⊆ s
b : AffineBasis ↑t ℝ V
hb : ⇑b = Subtype.val
this : (interior ((convexHull ℝ) t)).Nonempty
⊢ (interior ((convexHull ℝ) s)).Nonempty
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Affine.AddTorsorBases

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
hs : Convex ℝ s
⊢ (interior s).Nonempty ↔ (interior ((convexHull ℝ) s)).Nonempty

Tactic:
hs.convexHull_eq

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
hs : Convex ℝ s
⊢ (interior s).Nonempty ↔ (interior s).Nonempty
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
c : E
f : ContDiffBump c
⊢ 1 < f.rOut / f.rIn

Tactic:
one_lt_div f.rIn_pos

Goal state after:
E : Type u_1
c : E
f : ContDiffBump c
⊢ f.rIn < f.rOut
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
⊢ Collinear k (insert p₁ s) ↔ Collinear k {p₁, p₂, p₃}

Tactic:
have hv : vectorSpan k (insert p₁ s) = vectorSpan k ({p₁, p₂, p₃} : Set P) := by
    conv_rhs => rw [← direction_affineSpan, ← affineSpan_insert_affineSpan]
    rw [← direction_affineSpan, ← affineSpan_insert_affineSpan, h.affineSpan_eq_of_ne hp₂ hp₃ hp₂p₃]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hv : vectorSpan k (insert p₁ s) = vectorSpan k {p₁, p₂, p₃}
⊢ Collinear k (insert p₁ s) ↔ Collinear k {p₁, p₂, p₃}
Module: Mathlib.MeasureTheory.Group.Integral

Goal state before:
pp: G : Type u_4
F : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableMul G
inst✝² : MeasurableInv G
f : G → F
inst✝¹ : μ.IsInvInvariant
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
h : Integrable (fun t ↦ f (g / t)) μ
x✝ : G
⊢ x✝ = g * (g⁻¹ * x✝)

Tactic:
mul_inv_cancel_left

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : CharZero k
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ s.points i = -↑n • (s.faceOppositeCentroid i -ᵥ s.centroid) +ᵥ s.centroid

Tactic:
← neg_vsub_eq_vsub_rev,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : CharZero k
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ s.points i = -↑n • -(s.centroid -ᵥ s.faceOppositeCentroid i) +ᵥ s.centroid
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
f : ↥(lp E p)
hf : ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal
⊢ ‖f‖ ≤ C

Tactic:
rw [← Real.rpow_le_rpow_iff (norm_nonneg' _) hC hp, norm_rpow_eq_tsum hp]

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
f : ↥(lp E p)
hf : ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal
⊢ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), IsBoundedSMul 𝕜 (E i)
hp : p ≠ 0
c : 𝕜
f : ↥(lp E p)
hc : c ≠ 0
this : ‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖c‖ * (‖c‖⁻¹ * ‖c • f‖)
⊢ ‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖c • f‖

Tactic:
mul_inv_cancel_left₀ (norm_ne_zero_iff.mpr hc)

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), IsBoundedSMul 𝕜 (E i)
hp : p ≠ 0
c : 𝕜
f : ↥(lp E p)
hc : c ≠ 0
this : ‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖c • f‖
⊢ ‖c‖ * ‖f‖ ≤ ‖c • f‖
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Sqrt

Goal state before:
pp: f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
f' x : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hx : f x ≠ 0
⊢ HasDerivWithinAt (fun y ↦ √(f y)) (f' / (2 * √(f x))) s x

Tactic:
simpa only [(· ∘ ·), div_eq_inv_mul, mul_one] using!
    (hasDerivAt_sqrt hx).comp_hasDerivWithinAt x hf

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : DecidableEq α
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : T2Space F
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ∞
f g : ↥(lp E p) →ₜ+ F
h : ∀ (i : α), f.comp (singleContinuousAddMonoidHom E p i) = g.comp (singleContinuousAddMonoidHom E p i)
x : ↥(lp E p)
this : HasSum (fun i ↦ lp.single p i (↑x i)) x
⊢ f x = g x

Tactic:
← (this.map f f.continuous).tsum_eq,

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : DecidableEq α
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : T2Space F
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ∞
f g : ↥(lp E p) →ₜ+ F
h : ∀ (i : α), f.comp (singleContinuousAddMonoidHom E p i) = g.comp (singleContinuousAddMonoidHom E p i)
x : ↥(lp E p)
this : HasSum (fun i ↦ lp.single p i (↑x i)) x
⊢ ∑' (b : α), (⇑f ∘ fun i ↦ lp.single p i (↑x i)) b = g x
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.SmoothTransition

Goal state before:
pp: h✝ : AnalyticAt ℝ expNegInvGlue 0
r : ℝ
hr : 0 < r
h : AnalyticOnNhd ℝ expNegInvGlue (Metric.ball 0 r)
⊢ False

Tactic:
suffices expNegInvGlue (r / 2) = 0 by simpa [hr, not_le_of_gt]

Goal state after:
h✝ : AnalyticAt ℝ expNegInvGlue 0
r : ℝ
hr : 0 < r
h : AnalyticOnNhd ℝ expNegInvGlue (Metric.ball 0 r)
⊢ expNegInvGlue (r / 2) = 0
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x✝ : G
⊢ ∫ (t : G), (L (f t)) 0 ∂μ = 0

Tactic:
(L _).map_zero,

Goal state after:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x✝ : G
⊢ ∫ (t : G), 0 ∂μ = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.NormedSpace

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hF : CompleteSpace F
hE : finrank ℝ E = 0
this : Subsingleton E
x : E
⊢ f x = f 0

Tactic:
rw [Subsingleton.elim x 0]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.EverywherePos

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : IsClosed[inst✝¹] s
⊢ IsClosed[inst✝¹] (μ.everywherePosSubset s)

Tactic:
by
  rcases exists_isOpen_everywherePosSubset_eq_sdiff μ s with ⟨u, u_open, hu⟩
  rw [hu]
  exact hs.sdiff u_open

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: case e_f
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝²² : RCLike 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁵ : CompleteSpace F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SFinite μ
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt g k x L₄ μ
hi : Integrable (uncurry fun x y ↦ (L₃ (f y)) ((L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x)))) (μ.prod ν)
t : G
⊢ ∫ (t_1 : G), (L₃ (f t)) ((L₄ (g (t_1 - t))) (k (x₀ - t_1))) ∂μ =
    ∫ (u : G), (L₃ (f t)) ((L₄ (g u)) (k (x₀ - t - u))) ∂μ

Tactic:
eq_comm,

Goal state after:
case e_f
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝²² : RCLike 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁵ : CompleteSpace F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SFinite μ
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt g k x L₄ μ
hi : Integrable (uncurry fun x y ↦ (L₃ (f y)) ((L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x)))) (μ.prod ν)
t : G
⊢ ∫ (u : G), (L₃ (f t)) ((L₄ (g u)) (k (x₀ - t - u))) ∂μ =
    ∫ (t_1 : G), (L₃ (f t)) ((L₄ (g (t_1 - t))) (k (x₀ - t_1))) ∂μ
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: case pos.e_f.inl
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : Measure ℝ
inst✝ : NullSingletonClass ν
x : ℝ
h : x ∈ Ioi 0
t : ℝ
ht : t ≤ 0
⊢ (Ioo 0 x).indicator (fun t ↦ (L (f t)) (g (x - t))) t = (L ((Ioi 0).indicator f t)) ((Ioi 0).indicator g (x - t))

pp: case pos.e_f.inr.inl
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : Measure ℝ
inst✝ : NullSingletonClass ν
x : ℝ
h : x ∈ Ioi 0
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 x
⊢ (Ioo 0 x).indicator (fun t ↦ (L (f t)) (g (x - t))) t = (L ((Ioi 0).indicator f t)) ((Ioi 0).indicator g (x - t))

pp: case pos.e_f.inr.inr
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : Measure ℝ
inst✝ : NullSingletonClass ν
x : ℝ
h : x ∈ Ioi 0
t : ℝ
ht : x ≤ t
⊢ (Ioo 0 x).indicator (fun t ↦ (L (f t)) (g (x - t))) t = (L ((Ioi 0).indicator f t)) ((Ioi 0).indicator g (x - t))

Tactic:
· rw [indicator_of_notMem (notMem_Ioo_of_le ht), indicator_of_notMem (notMem_Ioi.mpr ht),
        map_zero, zero_apply]

Goal state after:
case pos.e_f.inr.inl
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : Measure ℝ
inst✝ : NullSingletonClass ν
x : ℝ
h : x ∈ Ioi 0
t : ℝ
ht : t ∈ Ioo 0 x
⊢ (Ioo 0 x).indicator (fun t ↦ (L (f t)) (g (x - t))) t = (L ((Ioi 0).indicator f t)) ((Ioi 0).indicator g (x - t))

case pos.e_f.inr.inr
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F
ν : Measure ℝ
inst✝ : NullSingletonClass ν
x : ℝ
h : x ∈ Ioi 0
t : ℝ
ht : x ≤ t
⊢ (Ioo 0 x).indicator (fun t ↦ (L (f t)) (g (x - t))) t = (L ((Ioi 0).indicator f t)) ((Ioi 0).indicator g (x - t))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n✝ : ℕ∞
s : Set E
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
h's : s.Nonempty
ι : Type (max 0 u_1) := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ∞ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n ↦ ↑(g0 n)
g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s
s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)
g_smooth : ∀ (n : ℕ), ContDiff ℝ ∞ (g n)
g_comp_supp : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport (g n)
g_nonneg : ∀ (n : ℕ) (x : E), 0 ≤ g n x
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
δc : HasSum δ c
c_lt : c < 1
r : ℕ → ℝ
rpos : ∀ (n : ℕ), 0 < r n
hr : ∀ (n i : ℕ), i ≤ n → ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i (r n • g n) x‖ ≤ ↑(δ n)
x : E
n : ℕ
⊢ ↑‖(r n • g n) x‖₊ ≤ ↑(δ n)

Tactic:
coe_nnnorm

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n✝ : ℕ∞
s : Set E
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
h's : s.Nonempty
ι : Type (max 0 u_1) := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ∞ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n ↦ ↑(g0 n)
g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s
s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)
g_smooth : ∀ (n : ℕ), ContDiff ℝ ∞ (g n)
g_comp_supp : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport (g n)
g_nonneg : ∀ (n : ℕ) (x : E), 0 ≤ g n x
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
δc : HasSum δ c
c_lt : c < 1
r : ℕ → ℝ
rpos : ∀ (n : ℕ), 0 < r n
hr : ∀ (n i : ℕ), i ≤ n → ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i (r n • g n) x‖ ≤ ↑(δ n)
x : E
n : ℕ
⊢ ‖(r n • g n) x‖ ≤ ↑(δ n)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
i j : Ordinal.{u}
hij : i ≤ j
⊢ p.iUnionUpTo i ⊆ p.iUnionUpTo j

Tactic:
simp only [iUnionUpTo]

Goal state after:
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
i j : Ordinal.{u}
hij : i ≤ j
⊢ ⋃ j, ball (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ⊆ ⋃ j_1, ball (p.c (p.index ↑j_1)) (p.r (p.index ↑j_1))
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.Convolution

Goal state before:
pp: case g_bound
G : Type uG
E' : Type uE'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
g : G → E'
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
inst✝³ : CompleteSpace E'
inst✝² : BorelSpace G
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
ι : Type u_1
φ : ι → ContDiffBump 0
l : Filter ι
K : ℝ
hφ : Tendsto (fun i ↦ (φ i).rOut) l (𝓝 0)
h'φ : ∀ᶠ (i : ι) in l, (φ i).rOut ≤ K * (φ i).rIn
hg : LocallyIntegrable g μ
x₀ : G
h₀ : Tendsto (fun a ↦ ⨍ (y : G) in a, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x₀) (𝓝 0)
hφ' : Tendsto (fun i ↦ (φ i).rOut) l (𝓝[>] 0)
this : Tendsto (((fun a ↦ ⨍ (y : G) in a, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) ∘ fun r ↦ closedBall x₀ r) ∘ fun i ↦ (φ i).rOut) l (𝓝 0)
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l,
    ∀ (x : G),
      |(φ i).normed μ (x₀ - x)| ≤ K ^ Module.finrank ℝ G / μ.real ((fun r ↦ closedBall x₀ r) ((fun i ↦ (φ i).rOut) i))

Tactic:
filter_upwards [h'φ] with i hi x
    rw [abs_of_nonneg (nonneg_normed _ _), addHaar_real_closedBall_center]
    exact (φ i).normed_le_div_measure_closedBall_rOut _ _ hi _

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : μ.IsEverywherePos s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
k : Set G
hk : IsCompact k
hmem : k ∈ 𝓝 1
⊢ ∃ k, IsCompact k ∧ IsClosed[inst✝⁷] k ∧ k ∈ 𝓝 1

Tactic:
exact ⟨closure k, hk.closure, isClosed_closure, mem_of_superset hmem subset_closure⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Unique

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : μ.IsEverywherePos s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
k : Set G
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed[inst✝⁷] k
k_mem : k ∈ 𝓝 1
one_k : 1 ∈ k
A : Set (Set G) := {t | t ⊆ s ∧ t.PairwiseDisjoint fun x ↦ x • k}
f : ℕ → G
m_max : Maximal (fun x ↦ x ∈ A) (range f)
hms : range f ⊆ s
hdj : (range f).PairwiseDisjoint fun x ↦ x • k
hm : (range f).Nonempty
h'm : (range f).Countable
M : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (disjointed (fun n ↦ s ∩ f n • (k * k⁻¹)) i)
sm : s ⊆ ⋃ y, f y • (k * k⁻¹)
⊢ s = s ∩ ⋃ i, f i • (k * k⁻¹)

Tactic:
eq_comm,

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : μ.IsEverywherePos s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
k : Set G
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed[inst✝⁷] k
k_mem : k ∈ 𝓝 1
one_k : 1 ∈ k
A : Set (Set G) := {t | t ⊆ s ∧ t.PairwiseDisjoint fun x ↦ x • k}
f : ℕ → G
m_max : Maximal (fun x ↦ x ∈ A) (range f)
hms : range f ⊆ s
hdj : (range f).PairwiseDisjoint fun x ↦ x • k
hm : (range f).Nonempty
h'm : (range f).Countable
M : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (disjointed (fun n ↦ s ∩ f n • (k * k⁻¹)) i)
sm : s ⊆ ⋃ y, f y • (k * k⁻¹)
⊢ s ∩ ⋃ i, f i • (k * k⁻¹) = s