mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
⊢ ∑ x ∈ S (p + 1) i ×ˢ Finset.univ, bminor A i (x.1 x.2) (x.2.removeNth x.1) * A (x.1 x.2) j =
    ∑ x ∈ S p i ×ˢ Finset.Ioi i, bminor A i x.2 x.1 * A x.2 j

Tactic:
refine Finset.sum_of_injOn (fun ⟨α, k⟩ ↦ ⟨k.removeNth α, α k⟩) ?_ ?_ ?_ ?_

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
⊢ Set.InjOn
    (fun x ↦
      match x with
      | (α, k) => (k.removeNth α, α k))
    ↑(S (p + 1) i ×ˢ Finset.univ)

case refine_2
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
⊢ Set.MapsTo
    (fun x ↦
      match x with
      | (α, k) => (k.removeNth α, α k))
    ↑(S (p + 1) i ×ˢ Finset.univ) ↑(S p i ×ˢ Finset.Ioi i)

case refine_3
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
⊢ ∀ i_1 ∈ S p i ×ˢ Finset.Ioi i,
    i_1 ∉
        (fun x ↦
            match x with
            | (α, k) => (k.removeNth α, α k)) ''
          ↑(S (p + 1) i ×ˢ Finset.univ) →
      bminor A i i_1.2 i_1.1 * A i_1.2 j = 0

case refine_4
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
⊢ ∀ i_1 ∈ S (p + 1) i ×ˢ Finset.univ,
    bminor A i (i_1.1 i_1.2) (i_1.2.removeNth i_1.1) * A (i_1.1 i_1.2) j =
      bminor A i
          (match i_1 with
            | (α, k) => (k.removeNth α, α k)).2
          (match i_1 with
            | (α, k) => (k.removeNth α, α k)).1 *
        A
          (match i_1 with
            | (α, k) => (k.removeNth α, α k)).2
          j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Bird.Correctness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
α : Fin (p + 1) → Fin n
k : Fin (p + 1)
hi : ∀ (j : Fin (p + 1)), i < α j
hiα : StrictMono α
α' : Fin (p + 1) → Fin n
k' : Fin (p + 1)
hj : ∀ (j : Fin (p + 1)), i < α' j
hiα' : StrictMono α'
hremove : k.removeNth α = k'.removeNth α'
hvalue : α k = α' k'
⊢ Set.insert (α k) (Set.range (k.removeNth α)) = Set.insert (α' k') (Set.range (k'.removeNth α'))

Tactic:
hvalue,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R
p : ℕ
i j : Fin n
α : Fin (p + 1) → Fin n
k : Fin (p + 1)
hi : ∀ (j : Fin (p + 1)), i < α j
hiα : StrictMono α
α' : Fin (p + 1) → Fin n
k' : Fin (p + 1)
hj : ∀ (j : Fin (p + 1)), i < α' j
hiα' : StrictMono α'
hremove : k.removeNth α = k'.removeNth α'
hvalue : α k = α' k'
⊢ Set.insert (α' k') (Set.range (k.removeNth α)) = Set.insert (α' k') (Set.range (k'.removeNth α'))
Module: Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem

Goal state before:
pp: case inl.inl
k : Type u_1
inst✝¹² : Field k
V : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module k V
inst✝⁹ : CharZero k
inst✝⁸ : Module.Finite k V
inst✝⁷ : Nontrivial V
L : Type u_4
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra k L
inst✝⁴ : LieRingModule L V
inst✝³ : LieModule k L V
inst✝² : IsSolvable L
inst✝¹ : IsTriangularizable k L V
inst✝ : Module.Finite k L
H : ↑(derivedSeries k L 1) = ⊤
h✝ : Subsingleton L
⊢ ∃ χ, Nontrivial ↥(weightSpace V ⇑χ)

Tactic:
use 0
      simpa [trivial_lie_zero, mem_weightSpace, nontrivial_iff] using exists_pair_ne V

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero M
q : Associates M
n : ℕ
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
m : Finset (Associates M)
hm : ∀ r ∈ m, r ≤ q
⊢ m.card ≤ n + 1

Tactic:
have mem_image : ∀ r : Associates M, r ≤ q → r ∈ Finset.univ.image c := by
      intro r hr
      obtain ⟨i, hi⟩ := h₂.1 hr
      exact Finset.mem_image.2 ⟨i, Finset.mem_univ _, hi.symm⟩

Goal state after:
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero M
q : Associates M
n : ℕ
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
m : Finset (Associates M)
hm : ∀ r ∈ m, r ≤ q
mem_image : ∀ r ≤ q, r ∈ Finset.image c Finset.univ
⊢ m.card ≤ n + 1
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Basic

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : FaithfulSMul R P
I : FractionalIdeal S P
reg : IsSMulRegular P I.den
x✝ : ↥(Submodule.map (Algebra.linearMap R P) I.num)
y : P
hy : y ∈ Submodule.map (Algebra.linearMap R P) I.num
⊢ ∃ a, ((DistribSMul.toLinearMap R P I.den).restrict ⋯) a = ⟨y, hy⟩

Tactic:
rw [← den_mul_self_eq_num] at hy

Goal state after:
case refine_3
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : FaithfulSMul R P
I : FractionalIdeal S P
reg : IsSMulRegular P I.den
x✝ : ↥(Submodule.map (Algebra.linearMap R P) I.num)
y : P
hy✝ : y ∈ Submodule.map (Algebra.linearMap R P) I.num
hy : y ∈ I.den • ↑I
⊢ ∃ a, ((DistribSMul.toLinearMap R P I.den).restrict ⋯) a = ⟨y, hy✝⟩
Module: Mathlib.RingTheory.ChainOfDivisors

Goal state before:
pp: M : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hq : q ≠ 0
⊢ q = c 1 ^ n

Tactic:
by
  classical
    obtain ⟨i, hi'⟩ := element_of_chain_eq_pow_second_of_chain hn h₁ (@fun r => h₂) (dvd_refl q) hq
    convert! hi'
    refine (Nat.lt_succ_iff.1 i.prop).antisymm' (Nat.le_of_succ_le_succ ?_)
    calc
      n + 1 = (Finset.univ : Finset (Fin (n + 1))).card := (Finset.card_fin _).symm
      _ = (Finset.univ.image c).card := (Finset.card_image_iff.mpr h₁.injective.injOn).symm
      _ ≤ (Finset.univ.image fun m : Fin (i + 1) => c 1 ^ (m : ℕ)).card :=
        (Finset.card_le_card ?_)
      _ ≤ (Finset.univ : Finset (Fin (i + 1))).card := Finset.card_image_le
      _ = i + 1 := Finset.card_fin _
    intro r hr
    obtain ⟨j, -, rfl⟩ := Finset.mem_image.1 hr
    have := h₂.2 ⟨j, rfl⟩
    rw [hi'] at this
    have h := (dvd_prime_pow (show Prime (c 1) from ?_) i).1 this
    · rcases h with ⟨u, hu, hu'⟩
      refine Finset.mem_image.mpr ⟨⟨u, Nat.lt_succ_of_le hu⟩, Finset.mem_univ _, ?_⟩
      rwa [associated_iff_eq, eq_comm] at hu'
    · rw [← irreducible_iff_prime]
      exact second_of_chain_is_irreducible hn h₁ (@h₂) hq

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: A : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDedekindDomain A
p I : Ideal A
hI : I ≠ ⊥
⊢ p ∈ normalizedFactors I ↔ p.IsPrime ∧ I ≤ p

Tactic:
by
  rw [← dvd_iff_le]
  by_cases hp : p = 0
  · rw [← zero_eq_bot] at hI
    simp only [hp, zero_notMem_normalizedFactors, zero_dvd_iff, hI, false_iff, not_and,
      not_false_eq_true, implies_true]
  · rwa [mem_normalizedFactors_iff hI, prime_iff_isPrime]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_5
S : Type u_6
K : Type u_7
L : Type u_8
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : Algebra S L
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsFractionRing S L
f : R ≃+* S
I : Submodule R K
r : R
hr0 : ¬r = 0
x : K
hx : x ∈ I
r' : R
hr' : (algebraMap R K) r' = r • x
⊢ ∃ x_1, (algebraMap S L) x_1 = f r • ↑(semilinearEquivOfRingEquiv K L f) x

Tactic:
use f r'

Goal state after:
case h
R : Type u_5
S : Type u_6
K : Type u_7
L : Type u_8
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : Algebra S L
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsFractionRing S L
f : R ≃+* S
I : Submodule R K
r : R
hr0 : ¬r = 0
x : K
hx : x ∈ I
r' : R
hr' : (algebraMap R K) r' = r • x
⊢ (algebraMap S L) (f r') = f r • ↑(semilinearEquivOfRingEquiv K L f) x
Module: Mathlib.Algebra.Module.Lattice

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Algebra R A
V : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
M : Submodule R V
inst✝ : IsLattice A M
⊢ Module.Finite R ↥M

Tactic:
by
  rw [Module.Finite.iff_fg]
  exact IsLattice.fg

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Lattice

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Algebra R K
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : Module R V
inst✝² : IsScalarTower R K V
inst✝¹ : IsFractionRing R K
κ : Type u_4
M : Submodule R V
inst✝ : IsLattice K M
b : Basis κ R ↥M
hli : LinearIndependent K fun i ↦ ↑(b i)
⊢ ⊤ ≤ span K ↑(span R (⇑M.subtype '' Set.range ⇑b))

Tactic:
← Submodule.map_span

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Algebra R K
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : Module R V
inst✝² : IsScalarTower R K V
inst✝¹ : IsFractionRing R K
κ : Type u_4
M : Submodule R V
inst✝ : IsLattice K M
b : Basis κ R ↥M
hli : LinearIndependent K fun i ↦ ↑(b i)
⊢ ⊤ ≤ span K ↑(map M.subtype (span R (Set.range ⇑b)))
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.FiniteRange

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Semiring K
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommMonoid V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : AddCommMonoid V₃
inst✝ : Module K V₃
u : V →ₗ[K] V₂
h : u.HasNoetherianRange
v : V₂ →ₗ[K] V₃
⊢ (v ∘ₗ u).HasNoetherianRange

Tactic:
rw [LinearMap.HasNoetherianRange, LinearMap.range_comp] at *

Goal state after:
K : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Semiring K
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommMonoid V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : AddCommMonoid V₃
inst✝ : Module K V₃
u : V →ₗ[K] V₂
h : IsNoetherian K ↥u.range
v : V₂ →ₗ[K] V₃
⊢ IsNoetherian K ↥(map v u.range)
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.FiniteRange

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_4
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : IsNoetherianRing K
u : V →ₗ[K] V₂
h : u.HasFiniteRange
⊢ IsNoetherian K ↥u.range

Tactic:
have := Finite.of_fg h.fg_range

Goal state after:
K : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_4
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : IsNoetherianRing K
u : V →ₗ[K] V₂
h : u.HasFiniteRange
this : Module.Finite K ↥u.range
⊢ IsNoetherian K ↥u.range
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
hl' : l.ker.FG
b : Basis (Free.ChooseBasisIndex R M) R M := Free.chooseBasis R M
π : Free.ChooseBasisIndex R M → ↥⋯.toFinset := fun i ↦ ⟨l (b i), ⋯⟩
⊢ FinitePresentation R N

Tactic:
have : π.Surjective := fun ⟨x, hx⟩ ↦ by
    obtain ⟨y, rfl⟩ : ∃ a, l (b a) = x := by simpa using hx
    exact ⟨y, rfl⟩

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
hl' : l.ker.FG
b : Basis (Free.ChooseBasisIndex R M) R M := Free.chooseBasis R M
π : Free.ChooseBasisIndex R M → ↥⋯.toFinset := fun i ↦ ⟨l (b i), ⋯⟩
this : Function.Surjective π
⊢ FinitePresentation R N
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_4
inst✝ : IsDedekindDomain R
s : Finset ι
e : ι → ℕ
f : ι → HeightOneSpectrum R
coprime : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → f i ≠ f j
⊢ (s.inf fun i ↦ (f i).asIdeal ^ e i) = ⨅ i ∈ s, (f i).asIdeal ^ e i

pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_4
inst✝ : IsDedekindDomain R
s : Finset ι
e : ι → ℕ
f : ι → HeightOneSpectrum R
coprime : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → f i ≠ f j
⊢ (↑s).Pairwise (Function.onFun IsCoprime fun i ↦ (f i).asIdeal ^ e i)

Tactic:
· rw [Finset.inf_eq_iInf s fun i ↦ (f i).asIdeal ^ e i]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_4
inst✝ : IsDedekindDomain R
s : Finset ι
e : ι → ℕ
f : ι → HeightOneSpectrum R
coprime : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → f i ≠ f j
⊢ (↑s).Pairwise (Function.onFun IsCoprime fun i ↦ (f i).asIdeal ^ e i)
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_4
inst✝ : IsDedekindDomain R
s : Finset ι
e : ι → ℕ
f : ι → HeightOneSpectrum R
coprime : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → f i ≠ f j
⊢ (s.inf fun i ↦ (f i).asIdeal ^ e i) = ∏ i ∈ s, (f i).asIdeal ^ e i

Tactic:
rw [prod_eq_iInf_of_pairwise_isCoprime]
  · rw [Finset.inf_eq_iInf s fun i ↦ (f i).asIdeal ^ e i]
  · intro i hi j hj hij
    exact HeightOneSpectrum.isCoprime_pow_of_ne _ _ (coprime i hi j hj hij) _ _

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset (↥σ →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = (linearCombination R Subtype.val).ker
π : (↥σ →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : ↥σ → N := fun x ↦ (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
hi : f ∘ₗ linearCombination R i = (s₀ • g) ∘ₗ π
s' : ↥τ → ↥S
hs' : ∀ (x : ↥τ), s' x • (linearCombination R i) ↑x = 0
s₁ : ↥S := ∏ i, s' i
⊢ π.ker ≤ (s₁ • linearCombination R i).ker

Tactic:
← hτ,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset (↥σ →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = (linearCombination R Subtype.val).ker
π : (↥σ →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : ↥σ → N := fun x ↦ (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
hi : f ∘ₗ linearCombination R i = (s₀ • g) ∘ₗ π
s' : ↥τ → ↥S
hs' : ∀ (x : ↥τ), s' x • (linearCombination R i) ↑x = 0
s₁ : ↥S := ∏ i, s' i
⊢ Submodule.span R ↑τ ≤ (s₁ • linearCombination R i).ker
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Derivation

Goal state before:
pp: case add
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A
h₁ : D 1 = 0
H : ∀ (s : σ →₀ ℕ) (i : σ), D ((monomial s) 1 * X i) = (monomial s) 1 • D (X i) + X i • D ((monomial s) 1)
hC : ∀ (r : R), D (C r) = 0
i : σ
p q : MvPolynomial σ R
hp : D (p * X i) = p • D (X i) + X i • D p
hq : D (q * X i) = q • D (X i) + X i • D q
⊢ p • D (X i) + X i • D p + (q • D (X i) + X i • D q) = p • D (X i) + q • D (X i) + (X i • D p + X i • D q)

Tactic:
add_add_add_comm

Goal state after:
case add
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A
h₁ : D 1 = 0
H : ∀ (s : σ →₀ ℕ) (i : σ), D ((monomial s) 1 * X i) = (monomial s) 1 • D (X i) + X i • D ((monomial s) 1)
hC : ∀ (r : R), D (C r) = 0
i : σ
p q : MvPolynomial σ R
hp : D (p * X i) = p • D (X i) + X i • D p
hq : D (q * X i) = q • D (X i) + X i • D q
⊢ p • D (X i) + q • D (X i) + (X i • D p + X i • D q) = p • D (X i) + q • D (X i) + (X i • D p + X i • D q)
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.PDeriv

Goal state before:
pp: R : Type u
σ : Type v
a : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
⊢ (pderiv i) ((monomial s) a) = (monomial (s - single i 1)) (a * ↑(s i))

Tactic:
simp only [pderiv_def, mkDerivation_monomial, Finsupp.smul_sum, smul_eq_mul, ← smul_mul_assoc,
    ← (monomial _).map_smul]
  refine (Finset.sum_eq_single i (fun j _ hne => ?_) fun hi => ?_).trans ?_
  · simp [Pi.single_eq_of_ne hne]
  · rw [Finsupp.notMem_support_iff] at hi; simp [hi]
  · simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.MvPolynomial.PDeriv

Goal state before:
pp: R : Type u
σ : Type v
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
f : MvPolynomial σ R
n : ℕ
⊢ (pderiv i) (f ^ n) = ↑n * f ^ (n - 1) * (pderiv i) f

Tactic:
(pderiv i).leibniz_pow f n,

Goal state after:
R : Type u
σ : Type v
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
f : MvPolynomial σ R
n : ℕ
⊢ n • f ^ (n - 1) • (pderiv i) f = ↑n * f ^ (n - 1) * (pderiv i) f
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
q : Submodule K (Dual K ↥H)
hq : ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root), q ∈ End.invtSubmodule ↑((rootSystem H).reflection i)
χ : Weight K (↥H) L
x_χ m_α : L
hx_χ : x_χ ∈ genWeightSpace L ⇑χ
α : Weight K (↥H) L
hαq : Weight.toLinear K (↥H) L α ∈ q
hα₀ : α.IsNonZero
hm_α : m_α ∈ genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α) ⊔ corootSubmodule α
hm_α_original : m_α ∈ sl2SubmoduleOfRoot hα₀
m_αneg : L
hm_αneg : m_αneg ∈ ↑(genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α))
m_h : L
hm_h : m_h ∈ ↑(corootSubmodule α)
hm_eq : m_αneg + m_h = m_α
m_pos : L
hm_pos : m_pos ∈ ↑(genWeightSpace L ⇑α)
m_neg : L
hm_neg : m_neg ∈ ↑(genWeightSpace L (-⇑α))
hm_αneg_eq : m_pos + m_neg = m_αneg
hm_α_decomp : m_α = m_pos + m_neg + m_h
h_bracket_sum : ⁅x_χ, m_α⁆ = ⁅x_χ, m_pos⁆ + ⁅x_χ, m_neg⁆ + ⁅x_χ, m_h⁆
w_plus : Weight.toLinear K (↥H) L χ + Weight.toLinear K (↥H) L α = 0
hx_χ_in_sl2 : x_χ ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα₀
⊢ ⁅x_χ, m_α⁆ ∈ sl2SubmoduleOfRoot ⋯

Tactic:
apply LieSubalgebra.lie_mem <;> [exact hx_χ_in_sl2; exact hm_α_original]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.PID

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsDomain R
h' : Module.Finite R M
I : Type u
fI : Fintype I
p : I → R
hp : ∀ (i : I), Irreducible (p i)
e : I → ℕ
h : ↥(torsion R M) ≃ₗ[R] ⨁ (i : I), R ⧸ R ∙ p i ^ e i
n : ℕ
g : (M ⧸ torsion R M) ≃ₗ[R] Fin n →₀ R
f : M ⧸ torsion R M →ₗ[R] M
hf : (torsion R M).mkQ ∘ₗ f = LinearMap.id
⊢ ∃ n ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)), ∃ e, Nonempty (M ≃ₗ[R] (Fin n →₀ R) × ⨁ (i : ι), R ⧸ R ∙ p i ^ e i)

Tactic:
refine
    ⟨n, I, fI, p, hp, e,
      ⟨(lequivProdOfRightSplitExact (torsion R M).injective_subtype ?_ hf).symm.trans <|
          (h.prodCongr g).trans <| LinearEquiv.prodComm.{u, u} R _ (Fin n →₀ R) ⟩⟩

Goal state after:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsDomain R
h' : Module.Finite R M
I : Type u
fI : Fintype I
p : I → R
hp : ∀ (i : I), Irreducible (p i)
e : I → ℕ
h : ↥(torsion R M) ≃ₗ[R] ⨁ (i : I), R ⧸ R ∙ p i ^ e i
n : ℕ
g : (M ⧸ torsion R M) ≃ₗ[R] Fin n →₀ R
f : M ⧸ torsion R M →ₗ[R] M
hf : (torsion R M).mkQ ∘ₗ f = LinearMap.id
⊢ (torsion R M).subtype.range = (torsion R M).mkQ.ker
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
q : Submodule K (Dual K ↥H)
hq : ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root), q ∈ End.invtSubmodule ↑((rootSystem H).reflection i)
χ : Weight K (↥H) L
x_χ m_α : L
hx_χ : x_χ ∈ genWeightSpace L ⇑χ
α : Weight K (↥H) L
hαq : Weight.toLinear K (↥H) L α ∈ q
hα₀ : α.IsNonZero
hm_α : m_α ∈ genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α) ⊔ corootSubmodule α
hm_α_original : m_α ∈ sl2SubmoduleOfRoot hα₀
m_αneg : L
hm_αneg : m_αneg ∈ ↑(genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α))
m_h : L
hm_h : m_h ∈ ↑(corootSubmodule α)
hm_eq : m_αneg + m_h = m_α
m_pos : L
hm_pos : m_pos ∈ ↑(genWeightSpace L ⇑α)
m_neg : L
hm_neg : m_neg ∈ ↑(genWeightSpace L (-⇑α))
hm_αneg_eq : m_pos + m_neg = m_αneg
hm_α_decomp : m_α = m_pos + m_neg + m_h
h_bracket_sum : ⁅x_χ, m_α⁆ = ⁅x_χ, m_pos⁆ + ⁅x_χ, m_neg⁆ + ⁅x_χ, m_h⁆
w_plus : ¬Weight.toLinear K (↥H) L χ + Weight.toLinear K (↥H) L α = 0
w_minus : Weight.toLinear K (↥H) L χ - Weight.toLinear K (↥H) L α = 0
hx_χ_in_sl2 : x_χ ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα₀
⊢ ⁅x_χ, m_α⁆ ∈ sl2SubmoduleOfRoot ⋯

Tactic:
apply LieSubalgebra.lie_mem <;> [exact hx_χ_in_sl2; exact hm_α_original]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Extension R S
R₀ : Type u_1
inst✝³ : CommRing R₀
inst✝² : Algebra R₀ R
inst✝¹ : Algebra R₀ S
inst✝ : IsScalarTower R₀ R S
⊢ algebraMap R₀ S = ((algebraMap P.Ring S).comp (algebraMap R P.Ring)).comp (algebraMap R₀ R)

Tactic:
← IsScalarTower.algebraMap_eq,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Extension R S
R₀ : Type u_1
inst✝³ : CommRing R₀
inst✝² : Algebra R₀ R
inst✝¹ : Algebra R₀ S
inst✝ : IsScalarTower R₀ R S
⊢ algebraMap R₀ S = (algebraMap R S).comp (algebraMap R₀ R)
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P✝ : Extension R S
M : Submonoid S
S' : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra S S'
inst✝² : IsLocalization M S'
inst✝¹ : Algebra R S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
P : Extension R S
this : Algebra (Localization (Submonoid.comap (algebraMap P.Ring S) M)) S' := (IsLocalization.lift ⋯).toAlgebra
⊢ algebraMap R S' = (algebraMap S S').comp ((algebraMap P.Ring S).comp (algebraMap R P.Ring))

Tactic:
← IsScalarTower.algebraMap_eq,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P✝ : Extension R S
M : Submonoid S
S' : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra S S'
inst✝² : IsLocalization M S'
inst✝¹ : Algebra R S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
P : Extension R S
this : Algebra (Localization (Submonoid.comap (algebraMap P.Ring S) M)) S' := (IsLocalization.lift ⋯).toAlgebra
⊢ algebraMap R S' = (algebraMap S S').comp (algebraMap R S)
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type ?u.16
S' : Type ?u.18
inst✝¹³ : CommRing R'
inst✝¹² : CommRing S'
inst✝¹¹ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
R'' : Type ?u.29
S'' : Type ?u.31
inst✝¹⁰ : CommRing R''
inst✝⁹ : CommRing S''
inst✝⁸ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra R' S''
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra S' S''
inst✝² : Algebra S S''
inst✝¹ : Algebra R S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
f : P.Hom P'
x : ↥P.ker
r : P.Ring
| f.toRingHom r • P'.ker.toCotangent ⟨f.toAlgHom ↑x, ⋯⟩

Tactic:
← (Ideal.toCotangent _).map_smul

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type ?u.16
S' : Type ?u.18
inst✝¹³ : CommRing R'
inst✝¹² : CommRing S'
inst✝¹¹ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
R'' : Type ?u.29
S'' : Type ?u.31
inst✝¹⁰ : CommRing R''
inst✝⁹ : CommRing S''
inst✝⁸ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra R' S''
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra S' S''
inst✝² : Algebra S S''
inst✝¹ : Algebra R S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
f : P.Hom P'
x : ↥P.ker
r : P.Ring
| P'.ker.toCotangent (f.toRingHom r • ⟨f.toAlgHom ↑x, ⋯⟩)