Module: Mathlib.LinearAlgebra.Transvection.Generation

Goal state before:
pp: case neg
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
n✝ : ℕ
e : V ≃ₗ[K] V
he : ∀ (a : K), ∃ x, e.fixedReduce x ≠ a • x
n : ℕ
hind :
  ∀ {e : V ≃ₗ[K] V},
    (∀ (a : K), ∃ x, ¬e.fixedReduce x = a • x) →
      finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule) = n + 1 → e ∈ transvections K V ^ n * dilatransvections K V
h : finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule) = n + 2
f : Dual K V
v : V
hv : LinearIndependent K ![(↑e).fixedSubmodule.mkQ v, e.fixedReduce ((↑e).fixedSubmodule.mkQ v)]
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker f
hfv : f v = 1
hv_notMem : v ∉ (↑e).fixedSubmodule
hrank : finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v) = n + 1
hn_pos : n > 0
he' : auxTransvection hf * e ∉ transvections K V ^ n * dilatransvections K V
hne_top : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ⊔ K ∙ v < ⊤
g : Dual K V
hg0 : g ≠ 0
hg2 : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ⊔ K ∙ v ≤ ker g
hg : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker (f + g)
hfgv : (f + g) v = 1
⊢ ∃ x ∈ transvections K V, ∃ y ∈ transvections K V ^ n * dilatransvections K V, x * y = e

Tactic:
refine ⟨(auxTransvection hg)⁻¹, ?_, auxTransvection hg * e, ?_, by simp⟩

Goal state after:
case neg.refine_1
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
n✝ : ℕ
e : V ≃ₗ[K] V
he : ∀ (a : K), ∃ x, e.fixedReduce x ≠ a • x
n : ℕ
hind :
  ∀ {e : V ≃ₗ[K] V},
    (∀ (a : K), ∃ x, ¬e.fixedReduce x = a • x) →
      finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule) = n + 1 → e ∈ transvections K V ^ n * dilatransvections K V
h : finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule) = n + 2
f : Dual K V
v : V
hv : LinearIndependent K ![(↑e).fixedSubmodule.mkQ v, e.fixedReduce ((↑e).fixedSubmodule.mkQ v)]
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker f
hfv : f v = 1
hv_notMem : v ∉ (↑e).fixedSubmodule
hrank : finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v) = n + 1
hn_pos : n > 0
he' : auxTransvection hf * e ∉ transvections K V ^ n * dilatransvections K V
hne_top : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ⊔ K ∙ v < ⊤
g : Dual K V
hg0 : g ≠ 0
hg2 : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ⊔ K ∙ v ≤ ker g
hg : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker (f + g)
hfgv : (f + g) v = 1
⊢ (auxTransvection hg)⁻¹ ∈ transvections K V

case neg.refine_2
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
n✝ : ℕ
e : V ≃ₗ[K] V
he : ∀ (a : K), ∃ x, e.fixedReduce x ≠ a • x
n : ℕ
hind :
  ∀ {e : V ≃ₗ[K] V},
    (∀ (a : K), ∃ x, ¬e.fixedReduce x = a • x) →
      finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule) = n + 1 → e ∈ transvections K V ^ n * dilatransvections K V
h : finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule) = n + 2
f : Dual K V
v : V
hv : LinearIndependent K ![(↑e).fixedSubmodule.mkQ v, e.fixedReduce ((↑e).fixedSubmodule.mkQ v)]
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker f
hfv : f v = 1
hv_notMem : v ∉ (↑e).fixedSubmodule
hrank : finrank K (V ⧸ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v) = n + 1
hn_pos : n > 0
he' : auxTransvection hf * e ∉ transvections K V ^ n * dilatransvections K V
hne_top : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ⊔ K ∙ v < ⊤
g : Dual K V
hg0 : g ≠ 0
hg2 : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ⊔ K ∙ v ≤ ker g
hg : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker (f + g)
hfgv : (f + g) v = 1
⊢ auxTransvection hg * e ∈ transvections K V ^ n * dilatransvections K V