Module: Mathlib.Control.LawfulFix

Goal state before:
pp: case pos.mpr.inr
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
a : α
b : β a
h₀ : ∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom
y : β a
i : ℕ
hh : b ∈ approx (⇑f) i a
j : ℕ
h₁ : y ∈ approx (⇑f) j a
this :
  ∀ {α : Type u_1} {β : α → Type u_2} (f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)) (a : α) (b : β a),
    (∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom) →
      ∀ (y : β a) (i : ℕ), b ∈ approx (⇑f) i a → ∀ (j : ℕ), y ∈ approx (⇑f) j a → i ≤ j → y = b
case : ¬i ≤ j
⊢ y = b

Tactic:
rcases le_total i j with H | H <;> [skip; symm] <;> apply_assumption

Goal state after:
case pos.mpr.inr.inl.h₀
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
a : α
b : β a
h₀ : ∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom
y : β a
i : ℕ
hh : b ∈ approx (⇑f) i a
j : ℕ
h₁ : y ∈ approx (⇑f) j a
this :
  ∀ {α : Type u_1} {β : α → Type u_2} (f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)) (a : α) (b : β a),
    (∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom) →
      ∀ (y : β a) (i : ℕ), b ∈ approx (⇑f) i a → ∀ (j : ℕ), y ∈ approx (⇑f) j a → i ≤ j → y = b
case : ¬i ≤ j
H : i ≤ j
⊢ ∃ i, (approx (⇑?pos.mpr.inr.inl.f✝) i a).Dom

case pos.mpr.inr.inl.hh
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
a : α
b : β a
h₀ : ∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom
y : β a
i : ℕ
hh : b ∈ approx (⇑f) i a
j : ℕ
h₁ : y ∈ approx (⇑f) j a
this :
  ∀ {α : Type u_1} {β : α → Type u_2} (f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)) (a : α) (b : β a),
    (∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom) →
      ∀ (y : β a) (i : ℕ), b ∈ approx (⇑f) i a → ∀ (j : ℕ), y ∈ approx (⇑f) j a → i ≤ j → y = b
case : ¬i ≤ j
H : i ≤ j
⊢ b ∈ approx ⇑?pos.mpr.inr.inl.f✝ ?pos.mpr.inr.inl.i✝ a

case pos.mpr.inr.inl.h₁
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
a : α
b : β a
h₀ : ∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom
y : β a
i : ℕ
hh : b ∈ approx (⇑f) i a
j : ℕ
h₁ : y ∈ approx (⇑f) j a
this :
  ∀ {α : Type u_1} {β : α → Type u_2} (f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)) (a : α) (b : β a),
    (∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom) →
      ∀ (y : β a) (i : ℕ), b ∈ approx (⇑f) i a → ∀ (j : ℕ), y ∈ approx (⇑f) j a → i ≤ j → y = b
case : ¬i ≤ j
H : i ≤ j
⊢ y ∈ approx ⇑?pos.mpr.inr.inl.f✝ ?pos.mpr.inr.inl.j✝ a

case pos.mpr.inr.inl.case
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
a : α
b : β a
h₀ : ∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom
y : β a
i : ℕ
hh : b ∈ approx (⇑f) i a
j : ℕ
h₁ : y ∈ approx (⇑f) j a
this :
  ∀ {α : Type u_1} {β : α → Type u_2} (f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)) (a : α) (b : β a),
    (∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom) →
      ∀ (y : β a) (i : ℕ), b ∈ approx (⇑f) i a → ∀ (j : ℕ), y ∈ approx (⇑f) j a → i ≤ j → y = b
case : ¬i ≤ j
H : i ≤ j
⊢ ?pos.mpr.inr.inl.i✝ ≤ ?pos.mpr.inr.inl.j✝

case pos.mpr.inr.inl.f
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
a : α
b : β a
h₀ : ∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom
y : β a
i : ℕ
hh : b ∈ approx (⇑f) i a
j : ℕ
h₁ : y ∈ approx (⇑f) j a
this :
  ∀ {α : Type u_1} {β : α → Type u_2} (f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)) (a : α) (b : β a),
    (∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom) →
      ∀ (y : β a) (i : ℕ), b ∈ approx (⇑f) i a → ∀ (j : ℕ), y ∈ approx (⇑f) j a → i ≤ j → y = b
case : ¬i ≤ j
H : i ≤ j
⊢ ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)

case pos.mpr.inr.inl.i
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
a : α
b : β a
h₀ : ∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom
y : β a
i : ℕ
hh : b ∈ approx (⇑f) i a
j : ℕ
h₁ : y ∈ approx (⇑f) j a
this :
  ∀ {α : Type u_1} {β : α → Type u_2} (f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)) (a : α) (b : β a),
    (∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom) →
      ∀ (y : β a) (i : ℕ), b ∈ approx (⇑f) i a → ∀ (j : ℕ), y ∈ approx (⇑f) j a → i ≤ j → y = b
case : ¬i ≤ j
H : i ≤ j
⊢ ℕ

case pos.mpr.inr.inl.j
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
a : α
b : β a
h₀ : ∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom
y : β a
i : ℕ
hh : b ∈ approx (⇑f) i a
j : ℕ
h₁ : y ∈ approx (⇑f) j a
this :
  ∀ {α : Type u_1} {β : α → Type u_2} (f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)) (a : α) (b : β a),
    (∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom) →
      ∀ (y : β a) (i : ℕ), b ∈ approx (⇑f) i a → ∀ (j : ℕ), y ∈ approx (⇑f) j a → i ≤ j → y = b
case : ¬i ≤ j
H : i ≤ j
⊢ ℕ

case pos.mpr.inr.inr.h₀
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
a : α
b : β a
h₀ : ∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom
y : β a
i : ℕ
hh : b ∈ approx (⇑f) i a
j : ℕ
h₁ : y ∈ approx (⇑f) j a
this :
  ∀ {α : Type u_1} {β : α → Type u_2} (f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)) (a : α) (b : β a),
    (∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom) →
      ∀ (y : β a) (i : ℕ), b ∈ approx (⇑f) i a → ∀ (j : ℕ), y ∈ approx (⇑f) j a → i ≤ j → y = b
case : ¬i ≤ j
H : j ≤ i
⊢ ∃ i, (approx (⇑?pos.mpr.inr.inr.f✝) i a).Dom

case pos.mpr.inr.inr.hh
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
a : α
b : β a
h₀ : ∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom
y : β a
i : ℕ
hh : b ∈ approx (⇑f) i a
j : ℕ
h₁ : y ∈ approx (⇑f) j a
this :
  ∀ {α : Type u_1} {β : α → Type u_2} (f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)) (a : α) (b : β a),
    (∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom) →
      ∀ (y : β a) (i : ℕ), b ∈ approx (⇑f) i a → ∀ (j : ℕ), y ∈ approx (⇑f) j a → i ≤ j → y = b
case : ¬i ≤ j
H : j ≤ i
⊢ y ∈ approx ⇑?pos.mpr.inr.inr.f✝ ?pos.mpr.inr.inr.i✝ a

case pos.mpr.inr.inr.h₁
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
a : α
b : β a
h₀ : ∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom
y : β a
i : ℕ
hh : b ∈ approx (⇑f) i a
j : ℕ
h₁ : y ∈ approx (⇑f) j a
this :
  ∀ {α : Type u_1} {β : α → Type u_2} (f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)) (a : α) (b : β a),
    (∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom) →
      ∀ (y : β a) (i : ℕ), b ∈ approx (⇑f) i a → ∀ (j : ℕ), y ∈ approx (⇑f) j a → i ≤ j → y = b
case : ¬i ≤ j
H : j ≤ i
⊢ b ∈ approx ⇑?pos.mpr.inr.inr.f✝ ?pos.mpr.inr.inr.j✝ a

case pos.mpr.inr.inr.case
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
a : α
b : β a
h₀ : ∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom
y : β a
i : ℕ
hh : b ∈ approx (⇑f) i a
j : ℕ
h₁ : y ∈ approx (⇑f) j a
this :
  ∀ {α : Type u_1} {β : α → Type u_2} (f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)) (a : α) (b : β a),
    (∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom) →
      ∀ (y : β a) (i : ℕ), b ∈ approx (⇑f) i a → ∀ (j : ℕ), y ∈ approx (⇑f) j a → i ≤ j → y = b
case : ¬i ≤ j
H : j ≤ i
⊢ ?pos.mpr.inr.inr.i✝ ≤ ?pos.mpr.inr.inr.j✝

case pos.mpr.inr.inr.f
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
a : α
b : β a
h₀ : ∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom
y : β a
i : ℕ
hh : b ∈ approx (⇑f) i a
j : ℕ
h₁ : y ∈ approx (⇑f) j a
this :
  ∀ {α : Type u_1} {β : α → Type u_2} (f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)) (a : α) (b : β a),
    (∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom) →
      ∀ (y : β a) (i : ℕ), b ∈ approx (⇑f) i a → ∀ (j : ℕ), y ∈ approx (⇑f) j a → i ≤ j → y = b
case : ¬i ≤ j
H : j ≤ i
⊢ ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)

case pos.mpr.inr.inr.i
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
a : α
b : β a
h₀ : ∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom
y : β a
i : ℕ
hh : b ∈ approx (⇑f) i a
j : ℕ
h₁ : y ∈ approx (⇑f) j a
this :
  ∀ {α : Type u_1} {β : α → Type u_2} (f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)) (a : α) (b : β a),
    (∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom) →
      ∀ (y : β a) (i : ℕ), b ∈ approx (⇑f) i a → ∀ (j : ℕ), y ∈ approx (⇑f) j a → i ≤ j → y = b
case : ¬i ≤ j
H : j ≤ i
⊢ ℕ

case pos.mpr.inr.inr.j
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
a : α
b : β a
h₀ : ∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom
y : β a
i : ℕ
hh : b ∈ approx (⇑f) i a
j : ℕ
h₁ : y ∈ approx (⇑f) j a
this :
  ∀ {α : Type u_1} {β : α → Type u_2} (f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)) (a : α) (b : β a),
    (∃ i, (approx (⇑f) i a).Dom) →
      ∀ (y : β a) (i : ℕ), b ∈ approx (⇑f) i a → ∀ (j : ℕ), y ∈ approx (⇑f) j a → i ≤ j → y = b
case : ¬i ≤ j
H : j ≤ i
⊢ ℕ