mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Pretopology

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasPullbacks C
T : Set (Pretopology C)
X Y : C
f : Y ⟶ X
x✝ : IsIso f
⊢ ∀ i ∈ T, Presieve.singleton f ∈ i.coverings X

Tactic:
intro t _

Goal state after:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasPullbacks C
T : Set (Pretopology C)
X Y : C
f : Y ⟶ X
x✝ : IsIso f
t : Pretopology C
i✝ : t ∈ T
⊢ Presieve.singleton f ∈ t.coverings X
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case mpr
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X : C
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
inst✝ : R.HasPairwisePullbacks
t : x.PullbackCompatible
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : R f₁
hf₂ : R f₂
comm : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this : HasPullback f₁ f₂
⊢ (ConcreteCategory.hom (P.map ((pullback.fst f₁ f₂).op ≫ (pullback.lift g₁ g₂ comm).op))) (x f₁ hf₁) =
    (ConcreteCategory.hom (P.map g₂.op)) (x f₂ hf₂)

Tactic:
Functor.map_comp,

Goal state after:
case mpr
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X : C
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
inst✝ : R.HasPairwisePullbacks
t : x.PullbackCompatible
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : R f₁
hf₂ : R f₂
comm : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this : HasPullback f₁ f₂
⊢ (ConcreteCategory.hom (P.map (pullback.fst f₁ f₂).op ≫ P.map (pullback.lift g₁ g₂ comm).op)) (x f₁ hf₁) =
    (ConcreteCategory.hom (P.map g₂.op)) (x f₂ hf₂)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Sieves

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X : C
R : Presieve (F.obj X)
⊢ Presieve.functorPullback F R ≤ (functorPullback F (generate R)).arrows

Tactic:
intro Z

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X : C
R : Presieve (F.obj X)
Z : C
⊢ Presieve.functorPullback F R ≤ (functorPullback F (generate R)).arrows
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Sieves

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X : C
⊢ GaloisConnection (functorPushforward F) (functorPullback F)

Tactic:
by
  intro R S
  constructor
  · intro hle X f hf
    apply hle
    refine ⟨X, f, 𝟙 _, hf, ?_⟩
    rw [id_comp]
  · rintro hle Y f ⟨X, g, h, hg, rfl⟩
    apply Sieve.downward_closed S
    exact hle g hg

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.EqualizerSheafCondition

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
B : C
I : Type t
inst✝¹ : Small.{w, t} I
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).HasPairwisePullbacks
x : I × I
ij : P.obj (op B)
⊢ (ConcreteCategory.hom
          ((forkMap P X π ≫ firstMap P X π) ≫ Pi.π (fun ij ↦ P.obj (op (Limits.pullback (π ij.1) (π ij.2)))) x)).toFun
      ij =
    (ConcreteCategory.hom
          ((forkMap P X π ≫ secondMap P X π) ≫ Pi.π (fun ij ↦ P.obj (op (Limits.pullback (π ij.1) (π ij.2)))) x)).toFun
      ij

Tactic:
dsimp [forkMap, firstMap, secondMap]

Goal state after:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
B : C
I : Type t
inst✝¹ : Small.{w, t} I
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).HasPairwisePullbacks
x : I × I
ij : P.obj (op B)
⊢ (ConcreteCategory.hom (Pi.π (fun ij ↦ P.obj (op (Limits.pullback (π ij.1) (π ij.2)))) x))
      ((ConcreteCategory.hom
          (Pi.lift fun x ↦ Pi.π (fun i ↦ P.obj (op (X i))) x.1 ≫ P.map (pullback.fst (π x.1) (π x.2)).op))
        ((ConcreteCategory.hom (Pi.lift fun i ↦ P.map (π i).op)) ij)) =
    (ConcreteCategory.hom (Pi.π (fun ij ↦ P.obj (op (Limits.pullback (π ij.1) (π ij.2)))) x))
      ((ConcreteCategory.hom
          (Pi.lift fun x ↦ Pi.π (fun i ↦ P.obj (op (X i))) x.2 ≫ P.map (pullback.snd (π x.1) (π x.2)).op))
        ((ConcreteCategory.hom (Pi.lift fun i ↦ P.map (π i).op)) ij))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Sheaf

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
hP : IsSheaf J P
I : Type u_1
S : C
X : I → C
f : (i : I) → X i ⟶ S
hf : ofArrows X f ∈ J S
E : A
x y : E ⟶ P.obj (op S)
h : ∀ (i : I), x ≫ P.map (f i).op = y ≫ P.map (f i).op
⊢ x = y

Tactic:
apply hP.hom_ext ⟨_, hf⟩

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
hP : IsSheaf J P
I : Type u_1
S : C
X : I → C
f : (i : I) → X i ⟶ S
hf : ofArrows X f ∈ J S
E : A
x y : E ⟶ P.obj (op S)
h : ∀ (i : I), x ≫ P.map (f i).op = y ≫ P.map (f i).op
⊢ ∀ (I_1 : GrothendieckTopology.Cover.Arrow ⟨ofArrows X f, hf⟩), x ≫ P.map I_1.f.op = y ≫ P.map I_1.f.op
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X : C
R : Presieve X
⊢ (IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔
    IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P (generate R).arrows), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t

Tactic:
apply and_congr (Iff.refl _)

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X : C
R : Presieve X
⊢ (∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔
    ∀ (x : FamilyOfElements P (generate R).arrows), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.EqualizerSheafCondition

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : PullbackCone f f
hc : IsLimit c
x : F.obj (op X)
H : (ConcreteCategory.hom (F.map c.fst.op)) x = (ConcreteCategory.hom (F.map c.snd.op)) x
Z : C
p₁ p₂ : Z ⟶ X
h : p₁ ≫ f = p₂ ≫ f
⊢ (ConcreteCategory.hom (F.map (c.fst.op ≫ (PullbackCone.IsLimit.lift hc p₁ p₂ h).op))) x =
    (ConcreteCategory.hom (F.map p₂.op)) x

Tactic:
Functor.map_comp,

Goal state after:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : PullbackCone f f
hc : IsLimit c
x : F.obj (op X)
H : (ConcreteCategory.hom (F.map c.fst.op)) x = (ConcreteCategory.hom (F.map c.snd.op)) x
Z : C
p₁ p₂ : Z ⟶ X
h : p₁ ≫ f = p₂ ≫ f
⊢ (ConcreteCategory.hom (F.map c.fst.op ≫ F.map (PullbackCone.IsLimit.lift hc p₁ p₂ h).op)) x =
    (ConcreteCategory.hom (F.map p₂.op)) x
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Sheaf

Goal state before:
pp: case mpr.refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hP : Presieve.IsSheaf J P
X : Type w
Y : C
S : Sieve Y
hS : S ∈ J Y
z : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op X)) S.arrows
hz : z.Compatible
⊢ (fun t ↦ z.IsAmalgamation t) (↾fun x ↦ ⋯.amalgamate (fun Z f hf ↦ (ConcreteCategory.hom (z f hf)) x) ⋯)

Tactic:
intro Z

Goal state after:
case mpr.refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hP : Presieve.IsSheaf J P
X : Type w
Y : C
S : Sieve Y
hS : S ∈ J Y
z : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op X)) S.arrows
hz : z.Compatible
Z : C
⊢ ∀ (f : Z ⟶ Y) (h : S.arrows f),
    (ConcreteCategory.hom ((P ⋙ coyoneda.obj (op X)).map f.op))
        (↾fun x ↦ ⋯.amalgamate (fun Z f hf ↦ (ConcreteCategory.hom (z f hf)) x) ⋯) =
      z f h
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P₁ : Cᵒᵖ ⥤ Type w
P₂ : Cᵒᵖ ⥤ Type w'
e : ⦃X : C⦄ → P₁.obj (op X) ≃ P₂.obj (op X)
he :
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y) (x : P₁.obj (op Y)),
    e ((ConcreteCategory.hom (P₁.map f.op)) x) = (ConcreteCategory.hom (P₂.map f.op)) (e x)
X : C
R : Presieve X
hP₁ : IsSheafFor P₁ R
x₂ : FamilyOfElements P₂ R
hx₂ : x₂.Compatible
he' :
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y) (x : P₂.obj (op Y)),
    e.symm ((ConcreteCategory.hom (P₂.map f.op)) x) = (ConcreteCategory.hom (P₁.map f.op)) (e.symm x)
x₁ : FamilyOfElements P₁ R := fun Y f hf ↦ e.symm (x₂ f hf)
hx₁ : x₁.Compatible
this : ∀ (t₂ : P₂.obj (op X)), x₂.IsAmalgamation t₂ ↔ x₁.IsAmalgamation (e.symm t₂)
⊢ ∀ (y : P₂.obj (op X)), (fun t ↦ x₂.IsAmalgamation t) y → y = e (hP₁.amalgamate x₁ hx₁)

Tactic:
intro t₂

Goal state after:
case refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P₁ : Cᵒᵖ ⥤ Type w
P₂ : Cᵒᵖ ⥤ Type w'
e : ⦃X : C⦄ → P₁.obj (op X) ≃ P₂.obj (op X)
he :
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y) (x : P₁.obj (op Y)),
    e ((ConcreteCategory.hom (P₁.map f.op)) x) = (ConcreteCategory.hom (P₂.map f.op)) (e x)
X : C
R : Presieve X
hP₁ : IsSheafFor P₁ R
x₂ : FamilyOfElements P₂ R
hx₂ : x₂.Compatible
he' :
  ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y) (x : P₂.obj (op Y)),
    e.symm ((ConcreteCategory.hom (P₂.map f.op)) x) = (ConcreteCategory.hom (P₁.map f.op)) (e.symm x)
x₁ : FamilyOfElements P₁ R := fun Y f hf ↦ e.symm (x₂ f hf)
hx₁ : x₁.Compatible
this : ∀ (t₂ : P₂.obj (op X)), x₂.IsAmalgamation t₂ ↔ x₁.IsAmalgamation (e.symm t₂)
t₂ : P₂.obj (op X)
⊢ (fun t ↦ x₂.IsAmalgamation t) t₂ → t₂ = e (hP₁.amalgamate x₁ hx₁)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
f : Y ⟶ X
inst✝ : IsIso f
ι : Type (max u₁ v₁)
Z : ι → C
g : (i : ι) → Z i ⟶ X
this : Sieve.pullback f (Sieve.ofArrows Z g) = Sieve.ofArrows Z fun i ↦ g i ≫ inv f
e : Subtype (Arrows.Compatible P g) ≃ Subtype (Arrows.Compatible P fun i ↦ g i ≫ inv f) :=
  { toFun := fun s ↦ ⟨fun i ↦ ↑s i, ⋯⟩, invFun := fun s ↦ ⟨fun i ↦ ↑s i, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
⊢ Function.Bijective (Arrows.toCompatible P fun i ↦ g i ≫ inv f) ↔
    Function.Bijective ((⇑e ∘ Arrows.toCompatible P g) ∘ ⇑(P.mapIso (asIso f).symm.op).toEquiv)

Tactic:
convert! Iff.rfl using 2

Goal state after:
case e'_2
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
f : Y ⟶ X
inst✝ : IsIso f
ι : Type (max u₁ v₁)
Z : ι → C
g : (i : ι) → Z i ⟶ X
this : Sieve.pullback f (Sieve.ofArrows Z g) = Sieve.ofArrows Z fun i ↦ g i ≫ inv f
e : Subtype (Arrows.Compatible P g) ≃ Subtype (Arrows.Compatible P fun i ↦ g i ≫ inv f) :=
  { toFun := fun s ↦ ⟨fun i ↦ ↑s i, ⋯⟩, invFun := fun s ↦ ⟨fun i ↦ ↑s i, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
⊢ (⇑e ∘ Arrows.toCompatible P g) ∘ ⇑(P.mapIso (asIso f).symm.op).toEquiv = Arrows.toCompatible P fun i ↦ g i ≫ inv f
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Plus

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{w', w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
⊢ (J.toPlus P ≫ J.plusMap η) ≫ (J.isoToPlus Q hQ).inv = η

Tactic:
rw [Iso.comp_inv_eq]

Goal state after:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{w', w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
⊢ J.toPlus P ≫ J.plusMap η = η ≫ (J.isoToPlus Q hQ).hom
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Plus

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{w', w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
⊢ J.toPlus P ≫ J.plusMap η = η ≫ (J.isoToPlus Q hQ).hom

Tactic:
dsimp only [isoToPlus, asIso]

Goal state after:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{w', w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
⊢ J.toPlus P ≫ J.plusMap η = η ≫ J.toPlus Q
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
I : Type u_1
B B' : C
p : B ⟶ B'
P : (Over B')ᵒᵖ ⥤ Type w
X : Over B
Y : I → Over B
f : (i : I) → Y i ⟶ X
s : Subtype (Arrows.Compatible ((Over.map p).op ⋙ P) f)
i₁ i₂ : I
Z : Over B'
g₁ : Z ⟶ (fun i ↦ (Over.map p).obj (Y i)) i₁
g₂ : Z ⟶ (fun i ↦ (Over.map p).obj (Y i)) i₂
h : g₁ ≫ (fun i ↦ (Over.map p).map (f i)) i₁ = g₂ ≫ (fun i ↦ (Over.map p).map (f i)) i₂
⊢ (ConcreteCategory.hom (P.map g₁.op)) ((fun i ↦ ↑s i) i₁) = (ConcreteCategory.hom (P.map g₂.op)) ((fun i ↦ ↑s i) i₂)

Tactic:
replace h := (Over.forget _).congr_map h
        dsimp at h
        have := s.property i₁ i₂ (Over.mk (g₁.left ≫ (f i₁).left ≫ X.hom))
          (Over.homMk g₁.left) (Over.homMk g₂.left (by
            have := Over.w (f i₂)
            dsimp at this ⊢
            rw [reassoc_of% h, this])) (by cat_disch)
        let φ : Z ⟶ (Over.map p).obj (Over.mk (g₁.left ≫ (f i₁).left ≫ X.hom)) :=
          Over.homMk (𝟙 _) (by simpa using Over.w g₁)
        replace this := congr_arg (P.map φ.op) this
        dsimp at this
        simp only [← comp_apply, ← Functor.map_comp, ← op_comp] at this
        convert! this <;> cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (ofArrows X π).HasPairwisePullbacks
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
t : PullbackCompatible P π x
i j : I
Z : C
gi : Z ⟶ X i
gj : Z ⟶ X j
comm : gi ≫ π i = gj ≫ π j
⊢ (ConcreteCategory.hom (P.map ((pullback.fst (π i) (π j)).op ≫ (pullback.lift gi gj comm).op))) (x i) =
    (ConcreteCategory.hom (P.map gj.op)) (x j)

Tactic:
Functor.map_comp,

Goal state after:
case refine_2
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (ofArrows X π).HasPairwisePullbacks
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
t : PullbackCompatible P π x
i j : I
Z : C
gi : Z ⟶ X i
gj : Z ⟶ X j
comm : gi ≫ π i = gj ≫ π j
⊢ (ConcreteCategory.hom (P.map (pullback.fst (π i) (π j)).op ≫ P.map (pullback.lift gi gj comm).op)) (x i) =
    (ConcreteCategory.hom (P.map gj.op)) (x j)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows := fun Y f hf Z g hg ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible
t : FamilyOfElements P U.arrows := fun Y f hf ↦ ⋯.amalgamate (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (t f hf)
⊢ t.SieveCompatible

Tactic:
intro Z

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows := fun Y f hf Z g hg ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible
t : FamilyOfElements P U.arrows := fun Y f hf ↦ ⋯.amalgamate (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (t f hf)
Z : C
⊢ ∀ ⦃Z_1 : C⦄ (f : Z ⟶ X) (g : Z_1 ⟶ Z) (hf : U.arrows f), t (g ≫ f) ⋯ = (ConcreteCategory.hom (P.map g.op)) (t f hf)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.Subsheaf

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subfunctor F
f : G.toFunctor ⟶ F'
h : Presieve.IsSheaf J F'
U V : Cᵒᵖ
i : U ⟶ V
s : (sheafify J G).toFunctor.obj U
W : C
j : W ⟶ unop V
hj :
  (ConcreteCategory.hom (F.map j.op)) ↑({ toFun := fun x ↦ ⟨(ConcreteCategory.hom (F.map i)) ↑x, ⋯⟩ } s) ∈ G.obj (op W)
⊢ (ConcreteCategory.hom (F.map (i ≫ j.op))) ↑s ∈ G.obj (op W)

Tactic:
Functor.map_comp,

Goal state after:
case refine_2
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subfunctor F
f : G.toFunctor ⟶ F'
h : Presieve.IsSheaf J F'
U V : Cᵒᵖ
i : U ⟶ V
s : (sheafify J G).toFunctor.obj U
W : C
j : W ⟶ unop V
hj :
  (ConcreteCategory.hom (F.map j.op)) ↑({ toFun := fun x ↦ ⟨(ConcreteCategory.hom (F.map i)) ↑x, ⋯⟩ } s) ∈ G.obj (op W)
⊢ (ConcreteCategory.hom (F.map i ≫ F.map j.op)) ↑s ∈ G.obj (op W)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows := fun Y f hf Z g hg ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible
t : FamilyOfElements P U.arrows := fun Y f hf ↦ ⋯.amalgamate (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (t f hf)
hT : t.Compatible
Z Y : C
f : Z ⟶ Y
g : Y ⟶ X
hg : U.arrows g
hf : (B hg).arrows f
⊢ (ConcreteCategory.hom (P.map (g.op ≫ f.op))) (hU.amalgamate t hT) = s (f ≫ g) ⋯

Tactic:
Functor.map_comp,

Goal state after:
case refine_1
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows := fun Y f hf Z g hg ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible
t : FamilyOfElements P U.arrows := fun Y f hf ↦ ⋯.amalgamate (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (t f hf)
hT : t.Compatible
Z Y : C
f : Z ⟶ Y
g : Y ⟶ X
hg : U.arrows g
hf : (B hg).arrows f
⊢ (ConcreteCategory.hom (P.map g.op ≫ P.map f.op)) (hU.amalgamate t hT) = s (f ≫ g) ⋯
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y✝ : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows := ⋯
hy✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y✝ hf).Compatible
t : FamilyOfElements P U.arrows := ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y✝ hf).IsAmalgamation (t f hf)
hT : t.Compatible
y : P.obj (op X)
hy : s.IsAmalgamation y
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : U.arrows f
⊢ ∀ ⦃Y_1 : C⦄ ⦃f_1 : Y_1 ⟶ Y⦄,
    (B hf).arrows f_1 →
      (ConcreteCategory.hom (P.map f_1.op)) ((ConcreteCategory.hom (P.map f.op)) y) =
        (ConcreteCategory.hom (P.map f_1.op)) ((ConcreteCategory.hom (P.map f.op)) (hU.amalgamate t hT))

Tactic:
intro Z

Goal state after:
case refine_2
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y✝ : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → FamilyOfElements P (B hf).arrows := fun Y f hf Z g hg ↦ s (g ≫ f) ⋯
hy✝ : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y✝ hf).Compatible
t : FamilyOfElements P U.arrows := fun Y f hf ↦ ⋯.amalgamate (y✝ hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y✝ hf).IsAmalgamation (t f hf)
hT : t.Compatible
y : P.obj (op X)
hy : s.IsAmalgamation y
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : U.arrows f
Z : C
⊢ ∀ ⦃f_1 : Z ⟶ Y⦄,
    (B hf).arrows f_1 →
      (ConcreteCategory.hom (P.map f_1.op)) ((ConcreteCategory.hom (P.map f.op)) y) =
        (ConcreteCategory.hom (P.map f_1.op)) ((ConcreteCategory.hom (P.map f.op)) (hU.amalgamate t hT))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.IsSheafFor

Goal state before:
pp: case hS
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
R S : Sieve X
hR : IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x ↦ Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows
⊢ IsSheafFor P (Sieve.bind R.arrows fun Y f x ↦ Sieve.pullback f S).arrows

pp: case trans
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
R S : Sieve X
hR : IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x ↦ Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    S.arrows f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f (Sieve.bind R.arrows fun Y f x ↦ Sieve.pullback f S)).arrows

Tactic:
· apply isSheafFor_bind _ _ _ hR hS
    intro Y f hf Z g
    rw [← Sieve.pullback_comp]
    apply (hS (R.downward_closed hf _)).isSeparatedFor

Goal state after:
case trans
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
R S : Sieve X
hR : IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x ↦ Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows
⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄,
    S.arrows f → IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f (Sieve.bind R.arrows fun Y f x ↦ Sieve.pullback f S)).arrows
Module: Mathlib.CategoryTheory.Sites.CompatibleSheafification

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{v_1, u_1} D
E : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{v_2, u_2} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (J : MulticospanShape), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan J) D
inst✝⁴ : ∀ (J : MulticospanShape), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan J) E
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : ∀ (X : C) (W : J.Cover X) (P : Cᵒᵖ ⥤ D), PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
⊢ J.toSheafify (P ⋙ F) ≫ (J.sheafifyCompIso F P).inv = whiskerRight (J.toSheafify P) F

Tactic:
rw [Iso.comp_inv_eq]

Goal state after:
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{v_1, u_1} D
E : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{v_2, u_2} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (J : MulticospanShape), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan J) D
inst✝⁴ : ∀ (J : MulticospanShape), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan J) E
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : ∀ (X : C) (W : J.Cover X) (P : Cᵒᵖ ⥤ D), PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
⊢ J.toSheafify (P ⋙ F) = whiskerRight (J.toSheafify P) F ≫ (J.sheafifyCompIso F P).hom