mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
H'' : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
E'' : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
g : M' → M''
f : M → M'
V : (x : M'') → TangentSpace I'' x
s : Set M
t : Set M'
x₀ : M
hg : MDiffAt[t] g (f x₀)
h : MapsTo f s t
hu : UniqueMDiffAt[s] x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hf : MDiffAt[s] f x₀
⊢ (mfderiv[s] (g ∘ f) x₀).inverse (V ((g ∘ f) x₀)) =
    (mfderiv[s] f x₀).inverse ((mfderiv[t] g (f x₀)).inverse (V (g (f x₀))))

Tactic:
mfderivWithin_comp _ hg hf h hu,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
H'' : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
E'' : Type u_9
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
g : M' → M''
f : M → M'
V : (x : M'') → TangentSpace I'' x
s : Set M
t : Set M'
x₀ : M
hg : MDiffAt[t] g (f x₀)
h : MapsTo f s t
hu : UniqueMDiffAt[s] x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hf : MDiffAt[s] f x₀
⊢ (mfderiv[t] g (f x₀) ∘SL mfderiv[s] f x₀).inverse (V ((g ∘ f) x₀)) =
    (mfderiv[s] f x₀).inverse ((mfderiv[t] g (f x₀)).inverse (V (g (f x₀))))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.GroupLieAlgebra

Goal state before:
pp: case e'_4
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : ChartedSpace H G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : LieGroup I (minSmoothness 𝕜 3) G
v : GroupLieAlgebra I G
M : minSmoothness 𝕜 3 ≠ 0
A : minSmoothness 𝕜 2 + 1 = minSmoothness 𝕜 3
fg : G → TangentBundle I G := fun g ↦ ⟨g, 0⟩
sfg : ContMDiff I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) fg
fv : G → TangentBundle I G := fun x ↦ ⟨1, v⟩
sfv : ContMDiff I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) fv
F₁ : G → TangentBundle I G × TangentBundle I G := fun g ↦ (fg g, fv g)
S₁ : ContMDiff I (I.tangent.prod I.tangent) (minSmoothness 𝕜 2) F₁
F₂ : TangentBundle I G × TangentBundle I G → TangentBundle (I.prod I) (G × G) := ⇑(equivTangentBundleProd I G I G).symm
S₂ : ContMDiff (I.tangent.prod I.tangent) (I.prod I).tangent (minSmoothness 𝕜 2) F₂
F₃ : TangentBundle (I.prod I) (G × G) → TangentBundle I G := tangentMap (I.prod I) I fun p ↦ p.1 * p.2
S₃ : ContMDiff (I.prod I).tangent I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) F₃
S : ContMDiff I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) ((F₃ ∘ F₂) ∘ F₁) := ContMDiff.comp (ContMDiff.comp S₃ S₂) S₁
g : G
⊢ g = (((F₃ ∘ F₂) ∘ F₁) g).proj

Tactic:
simp [F₁, F₂, F₃, fg, fv]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalSourceTargetProperty

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_4
H : Type u_6
G : Type u_8
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_10
N : Type u_12
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f g : M → N
x : M
P : (M → N) → OpenPartialHomeomorph M H → OpenPartialHomeomorph N G → Prop
hP : IsLocalSourceTargetProperty P
hf : LiftSourceTargetPropertyAt I J n f x P
h' : f =ᶠ[𝓝 x] g
s' : Set M
hxs' : s' ∈ 𝓝 x
hfg : EqOn f g s'
s : Set M
hss' : s ⊆ s'
hs : IsOpen[inst✝³] s
hxs : x ∈ s
⊢ x ∈ interior s

Tactic:
by rwa [interior_eq_iff_isOpen.mpr hs]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
f : M → 𝕜
hf : MDiffAt[s] f x
hW : (MDiffAt[s] fun x ↦ ⟨x, W x⟩) x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := ⋯
W' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := ⋯
f' : E → 𝕜 := ⋯
s' : Set E := ⋯
A : (x₀ : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x₀ := ⋯
B : (x₀ : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x₀ := ⋯
⊢ mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) (lieBracketWithin 𝕜 V' (f' • W') s') x =
    mpullback I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) (fun y ↦ A y + B y) x

Tactic:
simp only [mpullback_apply]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
f : M → 𝕜
hf : MDiffAt[s] f x
hW : (MDiffAt[s] fun x ↦ ⟨x, W x⟩) x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
V' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I)
W' : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) W (range ↑I)
f' : E → 𝕜 := f ∘ ↑(extChartAt I x).symm
s' : Set E := ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I
A : (x₀ : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x₀ := fun x₀ ↦ (fderivWithin 𝕜 f' s' x₀) (V' x₀) • W' x₀
B : (x₀ : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x₀ := fun x₀ ↦ f' x₀ • lieBracketWithin 𝕜 V' W' s' x₀
⊢ (mfderiv% ↑(extChartAt I x) x).inverse (lieBracketWithin 𝕜 V' (f' • W') s' (↑(extChartAt I x) x)) =
    (mfderiv% ↑(extChartAt I x) x).inverse (A (↑(extChartAt I x) x) + B (↑(extChartAt I x) x))
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: case hx
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
x : M
equiv : (E × F) ≃L[𝕜] E''
domChart : OpenPartialHomeomorph M H
codChart : OpenPartialHomeomorph N G
hx : x ∈ domChart.source
hfx : f x ∈ codChart.source
hdomChart : domChart ∈ IsManifold.maximalAtlas I n M
hcodChart : codChart ∈ IsManifold.maximalAtlas J n N
hsource : domChart.source ⊆ f ⁻¹' codChart.source
hwrittenInExtend :
  EqOn (↑(codChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(domChart.extend I).symm) (⇑equiv ∘ fun x ↦ (x, 0)) (domChart.extend I).target
⊢ x ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialHomeomorph ?domChart).source

Tactic:
assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: case hfx
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
x : M
equiv : (E × F) ≃L[𝕜] E''
domChart : OpenPartialHomeomorph M H
codChart : OpenPartialHomeomorph N G
hx : x ∈ domChart.source
hfx : f x ∈ codChart.source
hdomChart : domChart ∈ IsManifold.maximalAtlas I n M
hcodChart : codChart ∈ IsManifold.maximalAtlas J n N
hsource : domChart.source ⊆ f ⁻¹' codChart.source
hwrittenInExtend :
  EqOn (↑(codChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(domChart.extend I).symm) (⇑equiv ∘ fun x ↦ (x, 0)) (domChart.extend I).target
⊢ f x ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialHomeomorph ?codChart).source

Tactic:
assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: case hdomChart
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
x : M
equiv : (E × F) ≃L[𝕜] E''
domChart : OpenPartialHomeomorph M H
codChart : OpenPartialHomeomorph N G
hx : x ∈ domChart.source
hfx : f x ∈ codChart.source
hdomChart : domChart ∈ IsManifold.maximalAtlas I n M
hcodChart : codChart ∈ IsManifold.maximalAtlas J n N
hsource : domChart.source ⊆ f ⁻¹' codChart.source
hwrittenInExtend :
  EqOn (↑(codChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(domChart.extend I).symm) (⇑equiv ∘ fun x ↦ (x, 0)) (domChart.extend I).target
⊢ domChart ∈ IsManifold.maximalAtlas I n M

Tactic:
assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: case hcodChart
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
x : M
equiv : (E × F) ≃L[𝕜] E''
domChart : OpenPartialHomeomorph M H
codChart : OpenPartialHomeomorph N G
hx : x ∈ domChart.source
hfx : f x ∈ codChart.source
hdomChart : domChart ∈ IsManifold.maximalAtlas I n M
hcodChart : codChart ∈ IsManifold.maximalAtlas J n N
hsource : domChart.source ⊆ f ⁻¹' codChart.source
hwrittenInExtend :
  EqOn (↑(codChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(domChart.extend I).symm) (⇑equiv ∘ fun x ↦ (x, 0)) (domChart.extend I).target
⊢ codChart ∈ IsManifold.maximalAtlas J n N

Tactic:
assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: case hsource
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
x : M
equiv : (E × F) ≃L[𝕜] E''
domChart : OpenPartialHomeomorph M H
codChart : OpenPartialHomeomorph N G
hx : x ∈ domChart.source
hfx : f x ∈ codChart.source
hdomChart : domChart ∈ IsManifold.maximalAtlas I n M
hcodChart : codChart ∈ IsManifold.maximalAtlas J n N
hsource : domChart.source ⊆ f ⁻¹' codChart.source
hwrittenInExtend :
  EqOn (↑(codChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(domChart.extend I).symm) (⇑equiv ∘ fun x ↦ (x, 0)) (domChart.extend I).target
⊢ domChart.source ⊆ f ⁻¹' codChart.source

Tactic:
assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: case hwrittenInExtend
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
x : M
equiv : (E × F) ≃L[𝕜] E''
domChart : OpenPartialHomeomorph M H
codChart : OpenPartialHomeomorph N G
hx : x ∈ domChart.source
hfx : f x ∈ codChart.source
hdomChart : domChart ∈ IsManifold.maximalAtlas I n M
hcodChart : codChart ∈ IsManifold.maximalAtlas J n N
hsource : domChart.source ⊆ f ⁻¹' codChart.source
hwrittenInExtend :
  EqOn (↑(codChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(domChart.extend I).symm) (⇑equiv ∘ fun x ↦ (x, 0)) (domChart.extend I).target
⊢ EqOn (↑(codChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(domChart.extend I).symm) (⇑?equiv ∘ fun x ↦ (x, 0)) (domChart.extend I).target

Tactic:
assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: case hf
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
x : M
hf : ContinuousAt f x
equiv : (E × F) ≃L[𝕜] E''
domChart : OpenPartialHomeomorph M H
codChart : OpenPartialHomeomorph N G
hx : x ∈ domChart.source
hfx : f x ∈ codChart.source
hdomChart : domChart ∈ IsManifold.maximalAtlas I n M
hcodChart : codChart ∈ IsManifold.maximalAtlas J n N
hwrittenInExtend :
  EqOn (↑(codChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(domChart.extend I).symm) (⇑equiv ∘ fun x ↦ (x, 0)) (domChart.extend I).target
⊢ ContinuousAt f x

Tactic:
assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: case hx
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
x : M
hf : ContinuousAt f x
equiv : (E × F) ≃L[𝕜] E''
domChart : OpenPartialHomeomorph M H
codChart : OpenPartialHomeomorph N G
hx : x ∈ domChart.source
hfx : f x ∈ codChart.source
hdomChart : domChart ∈ IsManifold.maximalAtlas I n M
hcodChart : codChart ∈ IsManifold.maximalAtlas J n N
hwrittenInExtend :
  EqOn (↑(codChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(domChart.extend I).symm) (⇑equiv ∘ fun x ↦ (x, 0)) (domChart.extend I).target
⊢ x ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialHomeomorph ?domChart).source

Tactic:
assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: case hfx
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
x : M
hf : ContinuousAt f x
equiv : (E × F) ≃L[𝕜] E''
domChart : OpenPartialHomeomorph M H
codChart : OpenPartialHomeomorph N G
hx : x ∈ domChart.source
hfx : f x ∈ codChart.source
hdomChart : domChart ∈ IsManifold.maximalAtlas I n M
hcodChart : codChart ∈ IsManifold.maximalAtlas J n N
hwrittenInExtend :
  EqOn (↑(codChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(domChart.extend I).symm) (⇑equiv ∘ fun x ↦ (x, 0)) (domChart.extend I).target
⊢ f x ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialHomeomorph ?codChart).source

Tactic:
assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: case hdomChart
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
x : M
hf : ContinuousAt f x
equiv : (E × F) ≃L[𝕜] E''
domChart : OpenPartialHomeomorph M H
codChart : OpenPartialHomeomorph N G
hx : x ∈ domChart.source
hfx : f x ∈ codChart.source
hdomChart : domChart ∈ IsManifold.maximalAtlas I n M
hcodChart : codChart ∈ IsManifold.maximalAtlas J n N
hwrittenInExtend :
  EqOn (↑(codChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(domChart.extend I).symm) (⇑equiv ∘ fun x ↦ (x, 0)) (domChart.extend I).target
⊢ domChart ∈ IsManifold.maximalAtlas I n M

Tactic:
assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: case hcodChart
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
x : M
hf : ContinuousAt f x
equiv : (E × F) ≃L[𝕜] E''
domChart : OpenPartialHomeomorph M H
codChart : OpenPartialHomeomorph N G
hx : x ∈ domChart.source
hfx : f x ∈ codChart.source
hdomChart : domChart ∈ IsManifold.maximalAtlas I n M
hcodChart : codChart ∈ IsManifold.maximalAtlas J n N
hwrittenInExtend :
  EqOn (↑(codChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(domChart.extend I).symm) (⇑equiv ∘ fun x ↦ (x, 0)) (domChart.extend I).target
⊢ codChart ∈ IsManifold.maximalAtlas J n N

Tactic:
assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: case hwrittenInExtend
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
M : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f : M → N
x : M
hf : ContinuousAt f x
equiv : (E × F) ≃L[𝕜] E''
domChart : OpenPartialHomeomorph M H
codChart : OpenPartialHomeomorph N G
hx : x ∈ domChart.source
hfx : f x ∈ codChart.source
hdomChart : domChart ∈ IsManifold.maximalAtlas I n M
hcodChart : codChart ∈ IsManifold.maximalAtlas J n N
hwrittenInExtend :
  EqOn (↑(codChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(domChart.extend I).symm) (⇑equiv ∘ fun x ↦ (x, 0)) (domChart.extend I).target
⊢ EqOn (↑(codChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(domChart.extend I).symm) (⇑?equiv ∘ fun x ↦ (x, 0)) (domChart.extend I).target

Tactic:
assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Icc

Goal state before:
pp: case pos.hf
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : MDiffAt f w
⊢ MDiffAt[Icc x y] (projIcc x y ⋯) ↑w

pp: case pos.hxs
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : MDiffAt f w
⊢ UniqueMDiffAt[Icc x y] ↑w

pp: case pos
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : MDiffAt f w
⊢ (mfderiv% f (projIcc x y ⋯ ↑w) ∘SL mfderiv[Icc x y] (projIcc x y ⋯) ↑w) 1 = (mfderiv% f w) 1

Tactic:
· exact (contMDiffOn_projIcc _ w.2).mdifferentiableWithinAt one_ne_zero

Goal state after:
case pos.hxs
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : MDiffAt f w
⊢ UniqueMDiffAt[Icc x y] ↑w

case pos
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
f : ↑(Icc x y) → M
w : ↑(Icc x y)
hw : MDiffAt f w
⊢ (mfderiv% f (projIcc x y ⋯ ↑w) ∘SL mfderiv[Icc x y] (projIcc x y ⋯) ↑w) 1 = (mfderiv% f w) 1
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Sphere

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(ℝ ∙ v)ᗮ
⊢ stereoToFun v ↑(stereoInvFun hv w) = w

Tactic:
simp only [stereoToFun, stereoInvFun, stereoInvFunAux, smul_add, map_add, map_smul,
    innerSL_apply_apply, Submodule.orthogonalProjectionOnto_mem_subspace_eq_self]
  have h₁ : (ℝ ∙ v)ᗮ.orthogonalProjectionOnto v = 0 :=
    Submodule.orthogonalProjectionOnto_orthogonalComplement_singleton_eq_zero v
  have h₂ : ⟪v, w⟫ = 0 := Submodule.mem_orthogonal_singleton_iff_inner_right.mp w.2
  have h₃ : ⟪v, v⟫ = 1 := by simp [hv]
  rw [h₁, h₂, h₃]
  match_scalars
  simp [field]
  ring

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Sphere

Goal state before:
pp: case right
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
m : ℕ∞ω
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
⊢ ∀ (x : { x // x ∈ sphere 0 1 }) (y : E),
    ContDiffOn ℝ m (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, E) y) ∘ Subtype.val ∘ ↑(extChartAt (𝓡 n) x).symm)
      ((extChartAt (𝓡 n) x).target ∩ ↑(extChartAt (𝓡 n) x).symm ⁻¹' Subtype.val ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, E) y).source)

Tactic:
intro v _
    let U : _ ≃ₗᵢ[ℝ] _ :=
      (-- Again, partially removing type ascription...
          OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton
          n (ne_zero_of_mem_unit_sphere (-v))).repr
    exact
      ((contDiff_stereoInvFunAux.comp (ℝ ∙ (-v : E))ᗮ.subtypeL.contDiff).comp
          U.symm.contDiff).contDiffOn

Goal state after: