mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Sequence

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ m_1 < n, ∀ ⦃P : R[X]⦄, P ∈ degreeLT R m → P.natDegree = m_1 → P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
P : R[X]
hP : P ∈ degreeLT R m
hp : P.natDegree = n
p_ne_zero : P ≠ 0
hn : n < m
⊢ P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)

Tactic:
obtain ⟨u, leftinv, rightinv⟩ := isUnit_iff_exists.mp <| hCoeff n hn

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ m_1 < n, ∀ ⦃P : R[X]⦄, P ∈ degreeLT R m → P.natDegree = m_1 → P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
P : R[X]
hP : P ∈ degreeLT R m
hp : P.natDegree = n
p_ne_zero : P ≠ 0
hn : n < m
u : R
leftinv : (↑S n).leadingCoeff * u = 1
rightinv : u * (↑S n).leadingCoeff = 1
⊢ P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : IsKilling R L
inst✝² : IsNoetherian R L
inst✝¹ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
h : Codisjoint H.toSubmodule ↑(LieModule.posFittingComp R (↥H) L)
m₀ : L
h₀ : m₀ ∈ H
⊢ ∀ m₁ ∈ LieModule.posFittingComp R (↥H) L, ((killingForm R L) m₀) m₁ = 0

Tactic:
m₁

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : IsKilling R L
inst✝² : IsNoetherian R L
inst✝¹ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
h : Codisjoint H.toSubmodule ↑(LieModule.posFittingComp R (↥H) L)
m₀ : L
h₀ : m₀ ∈ H
m₁ : L
⊢ m₁ ∈ LieModule.posFittingComp R (↥H) L → ((killingForm R L) m₀) m₁ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Polynomial.Sequence

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ m_1 < n, ∀ ⦃P : R[X]⦄, P ∈ degreeLT R m → P.natDegree = m_1 → P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
P : R[X]
hP : P ∈ degreeLT R m
hp : P.natDegree = n
p_ne_zero : P ≠ 0
hn : n < m
u : R
leftinv : (↑S n).leadingCoeff * u = 1
rightinv : u * (↑S n).leadingCoeff = 1
head : R[X] := P.leadingCoeff • u • ↑S n
tail : R[X] := P - head
head_mem_span : head ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
tail_eq_zero : ¬tail = 0
isRightRegular_smul_leadingCoeff : IsRightRegular (u • ↑S n).leadingCoeff
u_degree_same : (u • ↑S n).degree = (↑S n).degree
head_degree_eq : (P.leadingCoeff • u • ↑S n).degree = (u • ↑S n).degree
⊢ tail.degree < ↑n

Tactic:
rw [u_degree_same, S.degree_eq n, ← hp, eq_comm,
      ← degree_eq_natDegree p_ne_zero, hp] at head_degree_eq

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
S : Sequence R
m : ℕ
hCoeff : ∀ i < m, IsUnit (↑S i).leadingCoeff
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
ih : ∀ m_1 < n, ∀ ⦃P : R[X]⦄, P ∈ degreeLT R m → P.natDegree = m_1 → P ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
P : R[X]
hP : P ∈ degreeLT R m
hp : P.natDegree = n
p_ne_zero : P ≠ 0
hn : n < m
u : R
leftinv : (↑S n).leadingCoeff * u = 1
rightinv : u * (↑S n).leadingCoeff = 1
head : R[X] := P.leadingCoeff • u • ↑S n
tail : R[X] := P - head
head_mem_span : head ∈ span R (↑S '' Set.Iio m)
tail_eq_zero : ¬tail = 0
isRightRegular_smul_leadingCoeff : IsRightRegular (u • ↑S n).leadingCoeff
u_degree_same : (u • ↑S n).degree = (↑S n).degree
head_degree_eq : P.degree = (P.leadingCoeff • u • ↑S n).degree
⊢ tail.degree < ↑n
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ : M
hm₀ : m₀ ∈ genWeightSpace M 0
hB : ∀ (x : L) (k : ℕ) (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n
x : L
⊢ ∀ m ∈ posFittingCompOf R M x, (B m₀) m = 0

Tactic:
m₁

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieRing.IsNilpotent L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ : M
hm₀ : m₀ ∈ genWeightSpace M 0
hB : ∀ (x : L) (k : ℕ) (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n
x : L
m₁ : M
⊢ m₁ ∈ posFittingCompOf R M x → (B m₀) m₁ = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsTorsionFree R M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsTriangularizable R L M
z x y : L
⊢ ((traceForm R L M) x) y = ((∑ χ ∈ ⋯.toFinset, traceForm R L ↥(genWeightSpaceOf M χ z)) x) y

Tactic:
have hxy : ∀ χ : R, MapsTo ((toEnd R L M x).comp (toEnd R L M y))
      (genWeightSpaceOf M χ z) (genWeightSpaceOf M χ z) :=
    fun χ m hm ↦ LieSubmodule.lie_mem _ <| LieSubmodule.lie_mem _ hm

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsTorsionFree R M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsTriangularizable R L M
z x y : L
hxy : ∀ (χ : R), MapsTo ⇑(φ x ∘ₗ φ y) ↑(genWeightSpaceOf M χ z) ↑(genWeightSpaceOf M χ z)
⊢ ((traceForm R L M) x) y = ((∑ χ ∈ ⋯.toFinset, traceForm R L ↥(genWeightSpaceOf M χ z)) x) y
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: case hx
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
aux : ∀ (h : ↥H), ⁅h, e⁆ = α h • e
α' : ↥H := ⋯
⊢ ⁅e, f⁆ - ((killingForm K L) e) f • ↑α' ∈ rootSpace H 0

pp: case hx'
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
aux : ∀ (h : ↥H), ⁅h, e⁆ = α h • e
α' : ↥H := ⋯
⊢ ∀ y ∈ rootSpace H (-0), ((killingForm K L) (⁅e, f⁆ - ((killingForm K L) e) f • ↑α')) y = 0

Tactic:
· simp only [rootSpace_zero_eq, LieSubalgebra.mem_toLieSubmodule]
    refine sub_mem ?_ (H.smul_mem _ α'.property)
    simpa using mapsTo_toEnd_genWeightSpace_add_of_mem_rootSpace K L H L α (-α) heα hfα

Goal state after:
case hx'
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
aux : ∀ (h : ↥H), ⁅h, e⁆ = α h • e
α' : ↥H := ⋯
⊢ ∀ y ∈ rootSpace H (-0), ((killingForm K L) (⁅e, f⁆ - ((killingForm K L) e) f • ↑α')) y = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
h : LinearMap.ker (traceForm R L M) = ⊥
⊢ IsLieAbelian L

Tactic:
simpa only [← disjoint_lowerCentralSeries_maxTrivSubmodule_iff R L L, disjoint_iff_inf_le,
    LieIdeal.toLieSubalgebra_toSubmodule, LieSubmodule.toSubmodule_eq_bot, h]
    using! lowerCentralSeries_one_inf_center_le_ker_traceForm R L M

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : PerfectField K
x : L
hx : x ∈ H
N S : End K L
hN : _root_.IsNilpotent ((ad K L) x - S)
hS : S.IsSemisimple
hSN : (ad K L) x = N + S
hS₀ : Commute ((ad K L) x) S
x' : ↥H := ⟨x, hx⟩
aux : ∀ {α : ↥H → K} {y : L}, y ∈ rootSpace H α → S y = α x' • y
h_der : ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆
⊢ ∀ (y z : L), S ⁅y, z⁆ = ⁅y, S z⁆ - ⁅z, S y⁆

Tactic:
assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
⊢ U R 0 = 1

Tactic:
simp [U]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
⊢ U R 1 = 2 * X

Tactic:
simp [U]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: case refine_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
he₀ : e ≠ 0
f' : L
hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)
hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0
hef✝ : ⁅e, f'⁆ = ((killingForm K L) e) f' • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))
h : ↥H := ⟨⁅e, f'⁆, ⋯⟩
hh : α h ≠ 0
f : L := (2 * (α h)⁻¹) • f'
hef : ⁅0, e⁆ = 2 • e
contra : ⁅e, f⁆ = 0
⊢ False

Tactic:
have : IsAddTorsionFree L := .of_isTorsionFree K L

Goal state after:
case refine_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
he₀ : e ≠ 0
f' : L
hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)
hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0
hef✝ : ⁅e, f'⁆ = ((killingForm K L) e) f' • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))
h : ↥H := ⟨⁅e, f'⁆, ⋯⟩
hh : α h ≠ 0
f : L := (2 * (α h)⁻¹) • f'
hef : ⁅0, e⁆ = 2 • e
contra : ⁅e, f⁆ = 0
this : IsAddTorsionFree L
⊢ False
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero 2
n : ℕ
⊢ (U R ↑n).degree = ↑n

Tactic:
by
  induction n using Nat.twoStepInduction with
  | zero => simp
  | one =>
    norm_cast
    rw [U_one, ← C_ofNat, degree_C_mul_X two_ne_zero]
  | more n ih1 ih2 =>
    push_cast; push_cast at ih2
    have : (2 * X * U R (n + 1)).degree = ↑(n + 2) := by
      rw [mul_assoc, ← C_ofNat, degree_C_mul two_ne_zero, mul_comm, degree_mul_X, ih2]
      norm_cast
    rw [U_add_two, degree_sub_eq_left_of_degree_lt]
    · rw [this]; norm_cast
    · rw [ih1, this]; norm_cast; omega

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Invertible 2
n : ℤ
this : C R n = 2 * (T R n).comp (Polynomial.C ⅟2 * X)
⊢ C R n = 2 * (T R n).comp (Polynomial.C ⅟2 * X)

Tactic:
assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Chebyshev

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Invertible 2
n : ℤ
this : S R n = (U R n).comp (Polynomial.C ⅟2 * X)
⊢ S R n = (U R n).comp (Polynomial.C ⅟2 * X)

Tactic:
assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
I : LieIdeal K L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : rootSpace H ⇑α ≤ LieSubmodule.restr I H
⊢ LieSubmodule.restr I H ⊓ rootSpace H ⇑α ≤ ⨆ α, ⨆ (_ : rootSpace H ⇑↑α ≤ LieSubmodule.restr I H), rootSpace H ⇑↑α

Tactic:
exact le_iSup₂_of_le ⟨α, Finset.mem_filter.mpr ⟨Finset.mem_univ _, hα⟩⟩ h inf_le_right

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Defs

Goal state before:
pp: case calc_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
⊢ (P.toLinearMap x) (P.coroot i) • 2 • P.root i = (P.toLinearMap x) (P.coroot i) • P.pairing i j • P.root j

pp: case calc_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
⊢ (P.toLinearMap x) (P.coroot i) • P.pairing i j • P.root j = (P.toLinearMap x) (P.pairing i j • P.coroot i) • P.root j

pp: case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
⊢ (P.toLinearMap x) (P.pairing i j • P.coroot i) • P.root j = (P.toLinearMap x) (2 • P.coroot j) • P.root j

pp: case calc_5
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
⊢ (P.toLinearMap x) (2 • P.coroot j) • P.root j = 2 • (P.toLinearMap x) (P.coroot j) • P.root j

Tactic:
· rw [P.pairing_smul_root_eq j i i hij.symm, pairing_same]

Goal state after:
case calc_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
⊢ (P.toLinearMap x) (P.coroot i) • P.pairing i j • P.root j = (P.toLinearMap x) (P.pairing i j • P.coroot i) • P.root j

case calc_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
⊢ (P.toLinearMap x) (P.pairing i j • P.coroot i) • P.root j = (P.toLinearMap x) (2 • P.coroot j) • P.root j

case calc_5
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
hij : P.reflectionPerm i = P.reflectionPerm j
x : M
⊢ (P.toLinearMap x) (2 • P.coroot j) • P.root j = 2 • (P.toLinearMap x) (P.coroot j) • P.root j
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.NumDen

Goal state before:
pp: case h
A : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
h✝ : IsInteger A x
v : A
h : (algebraMap A K) v = x
⊢ num A x = ↑(den A x) * v

Tactic:
apply_fun algebraMap A K

Goal state after:
case h
A : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
h✝ : IsInteger A x
v : A
h : (algebraMap A K) v = x
⊢ (algebraMap A K) (num A x) = (algebraMap A K) (↑(den A x) * v)

case h.inj
A : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
h✝ : IsInteger A x
v : A
h : (algebraMap A K) v = x
⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap A K)
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.NumDen

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
n : A
d : ↥(nonZeroDivisors A)
pr : IsRelPrime n ↑d
h : n * ↑(den A x) = num A x * ↑d
⊢ Associated (num A x) n ∧ Associated ↑(den A x) ↑d

Tactic:
refine ⟨associated_of_dvd_dvd
      ((num_den_reduced A x).dvd_of_dvd_mul_right <| h ▸ dvd_mul_right _ _)
      (pr.dvd_of_dvd_mul_right <| h ▸ dvd_mul_right _ _),
    associated_of_dvd_dvd
      ((num_den_reduced A x).symm.dvd_of_dvd_mul_left <| h ▸ dvd_mul_left _ _)
      (pr.symm.dvd_of_dvd_mul_left <| h ▸ dvd_mul_left _ _)⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Length

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
⊢ ↑(length R ↥N) = ↑(Order.height N)

Tactic:
Order.height_eq_krullDim_Iic,

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
⊢ ↑(length R ↥N) = Order.krullDim ↑(Set.Iic N)
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: case h
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
a✝ b✝ : ValueGroup A K
b : K
e f : A
hf : f • e • b = b
hb : ¬b = 0
⊢ 1 = f * e

Tactic:
rw [← mul_smul, Algebra.smul_def] at hf

Goal state after:
case h
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
a✝ b✝ : ValueGroup A K
b : K
e f : A
hf : (algebraMap A K) (f * e) * b = b
hb : ¬b = 0
⊢ 1 = f * e
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
⊢ Submodule.IsPrincipal I ↔ ∃ x, IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) x

Tactic:
constructor <;> rintro ⟨x, hx⟩

Goal state after:
case mp
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : O
hx : I = O ∙ x
⊢ ∃ x, IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) x

case mpr
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : Γ₀
hx : IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) x
⊢ Submodule.IsPrincipal I
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Module S M
J : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
hIJ : Ideal.map (algebraMap R S) I ≤ J
inst✝ : IsHausdorff J M
x : M
h : ∀ (n : ℕ), x ≡ 0 [SMOD I ^ n • ⊤]
n : ℕ
⊢ (I ^ n • ⊤).toAddSubgroup ≤ (J ^ n • ⊤).toAddSubgroup

Tactic:
rw [← AddSubgroup.toAddSubmonoid_le]

Goal state after:
case h
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Module S M
J : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
hIJ : Ideal.map (algebraMap R S) I ≤ J
inst✝ : IsHausdorff J M
x : M
h : ∀ (n : ℕ), x ≡ 0 [SMOD I ^ n • ⊤]
n : ℕ
⊢ (I ^ n • ⊤).toAddSubgroup.toAddSubmonoid ≤ (J ^ n • ⊤).toAddSubgroup.toAddSubmonoid
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
⊢ (∃ x, IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) x) ↔ ∃ x, ↑I = {y | v ((algebraMap O F) y) ≤ v ((algebraMap O F) x)}

Tactic:
constructor <;> rintro ⟨x, hx⟩

Goal state after:
case mp
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : Γ₀
hx : IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) x
⊢ ∃ x, ↑I = {y | v ((algebraMap O F) y) ≤ v ((algebraMap O F) x)}

case mpr
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
I : Ideal O
x : O
hx : ↑I = {y | v ((algebraMap O F) y) ≤ v ((algebraMap O F) x)}
⊢ ∃ x, IsGreatest (⇑v ∘ ⇑(algebraMap O F) '' ↑I) x
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Integers

Goal state before:
pp: R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ : Γ₀ˣ
r : ↥v.integer
x : R
h : x ∈ (v.ltAddSubgroup γ).carrier
⊢ r • x ∈ (v.ltAddSubgroup γ).carrier

Tactic:
by
    simpa [Subring.smul_def] using mul_lt_of_le_one_of_lt r.prop h

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.Basic

Goal state before:
pp: case mp.left
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
RDVR : IsDiscreteValuationRing R
toIsPrincipalIdealRing✝ : IsPrincipalIdealRing R
toIsLocalRing✝ : IsLocalRing R
Rlocal : maximalIdeal R ≠ ⊥
⊢ IsPrincipalIdealRing R

Tactic:
assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
⊢ AddCommGroup (AdicCauchySequence I M)

Tactic:
let f : AdicCauchySequence I M → (ℕ → M) := Subtype.val

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : AdicCauchySequence I M → ℕ → M := Subtype.val
⊢ AddCommGroup (AdicCauchySequence I M)
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : IsHausdorff I M
x : M
⊢ x ∈ (of I M).ker ↔ x ∈ ⊥

Tactic:
simp only [LinearMap.mem_ker, Submodule.mem_bot]

Goal state after:
case mpr
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : IsHausdorff I M
x : M
⊢ (of I M) x = 0 ↔ x = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: case inr
𝒪 : Type u
K : Type v
Γ : Type w
inst✝³ : CommRing 𝒪
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra 𝒪 K
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
v : Valuation K Γ
hh : v.Integers 𝒪
this : IsDomain 𝒪
a b : 𝒪
h : v ((algebraMap 𝒪 K) b) ≤ v ((algebraMap 𝒪 K) a)
⊢ ∃ c, a * c = b ∨ b * c = a

Tactic:
· obtain ⟨c, hc⟩ := Valuation.Integers.dvd_of_le hh h
    use c; exact Or.inl hc.symm

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Polynomial

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal
t : ⊥.jacobson = ⊥
⊢ J.jacobson = J

Tactic:
rw [← hj.2, jacobson_eq_iff_jacobson_quotient_eq_bot]
    replace t := congr_arg (map (polynomialQuotientEquivQuotientPolynomial j).toRingHom) t
    rwa [map_jacobson_of_bijective _, map_bot] at t
    exact RingEquiv.bijective (polynomialQuotientEquivQuotientPolynomial j)

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hf : ∀ i ∈ s, v (f i) ≤ g
⊢ v (∑ i ∈ s, f i) ≤ g

Tactic:
refine Finset.induction_on s (fun _ => v.map_zero ▸ zero_le) (fun a s has ih hf => ?_) hf
  rw [Finset.forall_mem_insert] at hf; rw [Finset.sum_insert has]
  exact v.map_add_le hf.1 (ih hf.2)

Goal state after: