mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.LieGroup

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
G : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : ChartedSpace H G
inst✝⁶ : Group G
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M
inst✝ : LieGroup I n G
f g : M → G
x₀ : M
hf : ContMDiffAt I' I n f x₀
hg : ContMDiffAt I' I n g x₀
⊢ ContMDiffAt I' I n (fun x ↦ f x * (g x)⁻¹) x₀

Tactic:
exact hf.mul hg.inv

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.LieGroup

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
G : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : ChartedSpace H G
inst✝⁶ : Group G
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M
inst✝ : LieGroup I n G
f g : M → G
s : Set M
hf : ContMDiffOn I' I n f s
hg : ContMDiffOn I' I n g s
⊢ ContMDiffOn I' I n (fun x ↦ f x * (g x)⁻¹) s

Tactic:
exact hf.mul hg.inv

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.LieGroup

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
n : ℕ∞ω
G : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : ChartedSpace H G
inst✝⁶ : Group G
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M
inst✝ : LieGroup I n G
f g : M → G
hf : ContMDiff I' I n f
hg : ContMDiff I' I n g
⊢ ContMDiff I' I n fun x ↦ f x * (g x)⁻¹

Tactic:
exact hf.mul hg.inv

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.FiberwiseLinear

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
n : ℕ∞ω
e : OpenPartialHomeomorph (B × F) (B × F)
h :
  ∀ p ∈ e.source,
    ∃ s,
      IsOpen[instTopologicalSpaceProd] s ∧
        p ∈ s ∧
          ∃ φ u,
            ∃ (hu : IsOpen[inst✝⁷] u) (hφ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x)) u) (h2φ :
              ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x).symm) u),
              (e.restr s).EqOnSource (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)
⊢ ∃ U,
    e.source = U ×ˢ univ ∧
      ∀ x ∈ U,
        ∃ φ u,
          ∃ (hu : IsOpen[inst✝⁷] u) (_ : u ⊆ U) (_ : x ∈ u) (hφ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x)) u)
            (h2φ : ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x ↦ ↑(φ x).symm) u),
            (e.restr (u ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)

Tactic:
rw [SetCoe.forall'] at h
  choose s hs hsp φ u hu hφ h2φ heφ using h
  have hesu : ∀ p : e.source, e.source ∩ s p = u p ×ˢ univ := by
    intro p
    rw [← e.restr_source' (s _) (hs _)]
    exact (heφ p).1
  have hu' : ∀ p : e.source, (p : B × F).fst ∈ u p := by
    intro p
    have : (p : B × F) ∈ e.source ∩ s p := ⟨p.prop, hsp p⟩
    simpa only [hesu, mem_prod, mem_univ, and_true] using this
  have heu : ∀ p : e.source, ∀ q : B × F, q.fst ∈ u p → q ∈ e.source := by
    intro p q hq
    have : q ∈ u p ×ˢ (univ : Set F) := ⟨hq, trivial⟩
    rw [← hesu p] at this
    exact this.1
  have he : e.source = (Prod.fst '' e.source) ×ˢ (univ : Set F) := by
    apply subset_antisymm
    · intro p hp
      exact ⟨⟨p, hp, rfl⟩, trivial⟩
    · rintro ⟨x, v⟩ ⟨⟨p, hp, rfl : p.fst = x⟩, -⟩
      exact heu ⟨p, hp⟩ (p.fst, v) (hu' ⟨p, hp⟩)
  refine ⟨Prod.fst '' e.source, he, ?_⟩
  rintro x ⟨p, hp, rfl⟩
  refine ⟨φ ⟨p, hp⟩, u ⟨p, hp⟩, hu ⟨p, hp⟩, ?_, hu' _, hφ ⟨p, hp⟩, h2φ ⟨p, hp⟩, ?_⟩
  · intro y hy; exact ⟨(y, 0), heu ⟨p, hp⟩ ⟨_, _⟩ hy, rfl⟩
  · rw [← hesu, e.restr_source_inter]; exact heφ ⟨p, hp⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.FiberwiseLinear

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
n : ℕ∞ω
e : OpenPartialHomeomorph (B × F) (B × F)
U : Set B
hU : e.source = U ×ˢ univ
φ : ↑U → B → F ≃L[𝕜] F
u : ↑U → Set B
hu : ∀ (x : ↑U), IsOpen[inst✝⁷] (u x)
hUu : ∀ (x : ↑U), u x ⊆ U
hux : ∀ (x : ↑U), ↑x ∈ u x
hφ : ∀ (x : ↑U), ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x_1 ↦ ↑(φ x x_1)) (u x)
h2φ : ∀ (x : ↑U), ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x_1 ↦ ↑(φ x x_1).symm) (u x)
heφ : ∀ (x : ↑U), (e.restr (u x ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph (φ x) ⋯ ⋯ ⋯)
heuφ : ∀ (x : ↑U), EqOn (↑e) (fun q ↦ (q.1, (φ x q.1) q.2)) (u x ×ˢ univ)
p p' : ↑U
y : B
hyp : y ∈ u p
hyp' : y ∈ u p'
v : F
h1 : ↑e (y, v) = (y, (φ p y) v)
⊢ (φ p y) v = (φ p' y) v

Tactic:
have h2 : e (y, v) = (y, φ p' y v) := heuφ _ ⟨(id hyp' : (y, v).fst ∈ u p'), trivial⟩

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
n : ℕ∞ω
e : OpenPartialHomeomorph (B × F) (B × F)
U : Set B
hU : e.source = U ×ˢ univ
φ : ↑U → B → F ≃L[𝕜] F
u : ↑U → Set B
hu : ∀ (x : ↑U), IsOpen[inst✝⁷] (u x)
hUu : ∀ (x : ↑U), u x ⊆ U
hux : ∀ (x : ↑U), ↑x ∈ u x
hφ : ∀ (x : ↑U), ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x_1 ↦ ↑(φ x x_1)) (u x)
h2φ : ∀ (x : ↑U), ContMDiffOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) n (fun x_1 ↦ ↑(φ x x_1).symm) (u x)
heφ : ∀ (x : ↑U), (e.restr (u x ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.openPartialHomeomorph (φ x) ⋯ ⋯ ⋯)
heuφ : ∀ (x : ↑U), EqOn (↑e) (fun q ↦ (q.1, (φ x q.1) q.2)) (u x ×ˢ univ)
p p' : ↑U
y : B
hyp : y ∈ u p
hyp' : y ∈ u p'
v : F
h1 : ↑e (y, v) = (y, (φ p y) v)
h2 : ↑e (y, v) = (y, (φ p' y) v)
⊢ (φ p y) v = (φ p' y) v
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s t : Set M
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
hs : HasMFDerivAt[s] f x f'
ht : HasMFDerivAt[t] f x f'
⊢ HasMFDerivAt[s ∪ t] f x f'

Tactic:
constructor
  · exact ContinuousWithinAt.union hs.1 ht.1
  · convert! HasFDerivWithinAt.union hs.2 ht.2 using 1
    simp only [union_inter_distrib_right, preimage_union]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ mfderiv[s] f x = mfderiv% f x

Tactic:
rw [← mfderivWithin_univ, ← univ_inter s, mfderivWithin_inter h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
this✝ : T1Space M
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
this : (extChartAt I x).target ∈ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' insert x s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' insert x s ∩ range ↑I)
    (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
← hasFDerivWithinAt_inter' this

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
f' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
this✝ : T1Space M
hf :
  ContinuousWithinAt f s x ∧
    HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
this : (extChartAt I x).target ∈ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' insert x s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f'
    (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' insert x s ∩ range ↑I ∩ (extChartAt I x).target) (↑(extChartAt I x) x)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
p : TangentBundle I M
hs : UniqueMDiffAt[s] p.proj
h : MDiffAt f p.proj
⊢ tangentMapWithin I I' f s p = tangentMap I I' f p

Tactic:
rw [← mdifferentiableWithinAt_univ] at h
  rw [← tangentMapWithin_univ]
  exact tangentMapWithin_subset (subset_univ _) hs h

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Basic

Goal state before:
pp: n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
hf : ContinuousWithinAt f s x₀
⊢ ContMDiffWithinAt IM (𝓘(𝕜, EB).prod 𝓘(𝕜, F)) n
      (fun x ↦
        (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).1,
          ↑(PartialEquiv.refl F) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).2))
      s x₀ ↔
    ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (fun x ↦ ↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (f x).proj) s x₀ ∧
      ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n
        (fun x ↦
          ↑(extChartAt 𝓘(𝕜, F) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x₀)).2)
            (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2)
        s x₀

Tactic:
PartialEquiv.refl_coe,

Goal state after:
n : ℕ∞ω
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EB
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
hf : ContinuousWithinAt f s x₀
⊢ ContMDiffWithinAt IM (𝓘(𝕜, EB).prod 𝓘(𝕜, F)) n
      (fun x ↦
        (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).1,
          id (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).2))
      s x₀ ↔
    ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (fun x ↦ ↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (f x).proj) s x₀ ∧
      ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n
        (fun x ↦
          ↑(extChartAt 𝓘(𝕜, F) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x₀)).2)
            (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2)
        s x₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝⁶ : TopologicalSpace N
inst✝⁵ : ChartedSpace G N
F' : Type u_14
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝² : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
s : Set (M × M')
p : M × M'
f : M → N
g : M' → N'
df : TangentSpace I p.1 →L[𝕜] TangentSpace J (f p.1)
hf : HasMFDerivAt[Prod.fst '' s] f p.1 df
dg : TangentSpace I' p.2 →L[𝕜] TangentSpace J' (g p.2)
hg : HasMFDerivAt[Prod.snd '' s] g p.2 dg
p₀ : E × E'
hp₀ : p₀ ∈ ↑((chartAt H p.1).symm.prod (chartAt H' p.2).symm) ∘ ↑(I.symm.prod I'.symm) ⁻¹' s
hp₁₁ : p₀.1 ∈ range ↑I
hp₁₂ : p₀.2 ∈ range ↑I'
⊢ p₀.1 ∈ range ↑I

Tactic:
assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.SpecificFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_11
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝⁶ : TopologicalSpace N
inst✝⁵ : ChartedSpace G N
F' : Type u_14
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝² : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
s : Set (M × M')
p : M × M'
f : M → N
g : M' → N'
df : TangentSpace I p.1 →L[𝕜] TangentSpace J (f p.1)
hf : HasMFDerivAt[Prod.fst '' s] f p.1 df
dg : TangentSpace I' p.2 →L[𝕜] TangentSpace J' (g p.2)
hg : HasMFDerivAt[Prod.snd '' s] g p.2 dg
p₀ : E × E'
hp₀ : p₀ ∈ ↑((chartAt H p.1).symm.prod (chartAt H' p.2).symm) ∘ ↑(I.symm.prod I'.symm) ⁻¹' s
hp₁₁ : p₀.1 ∈ range ↑I
hp₁₂ : p₀.2 ∈ range ↑I'
⊢ p₀.2 ∈ range ↑I'

Tactic:
assumption

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tangent

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
x y z : M
h : z ∈ (extChartAt I x).source ∩ (extChartAt I y).source
⊢ ↑(extChartAt I x) z ∈ ((extChartAt I x).symm ≫ extChartAt I y).source

Tactic:
rw [PartialEquiv.trans_source'', PartialEquiv.symm_symm, PartialEquiv.symm_target]
    exact mem_image_of_mem _ h

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.UniqueDifferential

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
s : Set M
F : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝¹ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝ : FiberBundle F Z
x : M
v : Z x
hs : UniqueMDiffAt[s] ⟨x, v⟩.proj
h's : s ⊆ (trivializationAt F Z ⟨x, v⟩.proj).baseSet
z : E
w : F
hz : ↑(chartAt H x).symm (↑I.symm z) ∈ s ∧ ∃ y, ↑I y = z
⊢ (z, w) ∈
    ↑(chartAt (ModelProd H F) ⟨x, v⟩).symm ∘ ↑(I.prod (PartialEquiv.refl F)).symm ⁻¹' TotalSpace.proj ⁻¹' s ∩
      range (Prod.map (↑I) id)

Tactic:
simp only [FiberBundle.chartedSpace_chartAt, OpenPartialHomeomorph.coe_trans_symm, mem_inter_iff,
    mem_preimage, Function.comp_apply, mem_range]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
s : Set M
F : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝¹ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝ : FiberBundle F Z
x : M
v : Z x
hs : UniqueMDiffAt[s] ⟨x, v⟩.proj
h's : s ⊆ (trivializationAt F Z ⟨x, v⟩.proj).baseSet
z : E
w : F
hz : ↑(chartAt H x).symm (↑I.symm z) ∈ s ∧ ∃ y, ↑I y = z
⊢ (↑(trivializationAt F Z x).symm
          (↑((chartAt H x).prod (OpenPartialHomeomorph.refl F)).symm
            (↑(I.prod (PartialEquiv.refl F)).symm (z, w)))).proj ∈
      s ∧
    ∃ y, Prod.map (↑I) id y = (z, w)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.UniqueDifferential

Goal state before:
pp: case left
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
s : Set M
F : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝¹ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝ : FiberBundle F Z
x : M
v : Z x
hs : UniqueMDiffAt[s] ⟨x, v⟩.proj
h's : s ⊆ (trivializationAt F Z ⟨x, v⟩.proj).baseSet
z : E
w : F
hz : ↑(chartAt H x).symm (↑I.symm z) ∈ s ∧ ∃ y, ↑I y = z
⊢ (↑(trivializationAt F Z x).symm
        (↑((chartAt H x).prod (OpenPartialHomeomorph.refl F)).symm
          ((fun p ↦ (↑I.symm p.1, ↑(PartialEquiv.refl F) p.2)) (z, w)))).proj ∈
    s

Tactic:
PartialEquiv.refl_coe,

Goal state after:
case left
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
s : Set M
F : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝¹ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝ : FiberBundle F Z
x : M
v : Z x
hs : UniqueMDiffAt[s] ⟨x, v⟩.proj
h's : s ⊆ (trivializationAt F Z ⟨x, v⟩.proj).baseSet
z : E
w : F
hz : ↑(chartAt H x).symm (↑I.symm z) ∈ s ∧ ∃ y, ↑I y = z
⊢ (↑(trivializationAt F Z x).symm
        (↑((chartAt H x).prod (OpenPartialHomeomorph.refl F)).symm ((fun p ↦ (↑I.symm p.1, id p.2)) (z, w)))).proj ∈
    s
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.UniqueDifferential

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
s : Set M
F : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝¹ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝ : FiberBundle F Z
x : M
v : Z x
hs : UniqueMDiffAt[s] ⟨x, v⟩.proj
h's : s ⊆ (trivializationAt F Z ⟨x, v⟩.proj).baseSet
z : E
w : F
hz : ↑(chartAt H x).symm (↑I.symm z) ∈ s ∧ ∃ y, ↑I y = z
⊢ ↑(chartAt H x).symm ((fun p ↦ (↑I.symm p.1, id p.2)) (z, w)).1 ∈ (trivializationAt F Z x).baseSet

Tactic:
exact h's hz.1

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.ShrinkingLemma

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
ne : c.Nonempty
hfin : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
hU : s ⊆ ⋃ i, u i
x : X
hxs : x ∈ s
hx : ∀ (x_1 : ι), x ∈ u x_1 → x_1 ∈ ⋃ v ∈ c, v.carrier
⊢ ∃ i, x ∈ (find c ne i).toFun i

Tactic:
mem_iUnion₂

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
p : Set X → Prop
c : Set (PartialRefinement u s p)
hc : IsChain (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) c
ne : c.Nonempty
hfin : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
hU : s ⊆ ⋃ i, u i
x : X
hxs : x ∈ s
hx : ∀ (x_1 : ι), x ∈ u x_1 → ∃ i, ∃ (_ : i ∈ c), x_1 ∈ i.carrier
⊢ ∃ i, x ∈ (find c ne i).toFun i
Module: Mathlib.Topology.Compactness.Paracompact

Goal state before:
pp: ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : R1Space X
inst✝ : ParacompactSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed[inst✝³] s
H : ∀ x ∈ s, ∃ u v, IsOpen[inst✝³] u ∧ IsOpen[inst✝³] v ∧ x ∈ u ∧ t ⊆ v ∧ Disjoint u v
u v : ↑s → Set X
hu : ∀ (x : ↑s), IsOpen[inst✝³] (u x)
hv : ∀ (x : ↑s), IsOpen[inst✝³] (v x)
hxu✝ : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ u x
htv : ∀ (x : ↑s), t ⊆ v x
huv : ∀ (x : ↑s), Disjoint (u x) (v x)
u' : ↑s → Set X
hu'o : ∀ (i : ↑s), IsOpen[inst✝³] (u' i)
hcov' : s ⊆ ⋃ i, u' i
hu'fin : LocallyFinite u'
hsub : ∀ (i : ↑s), u' i ⊆ u i
i : ↑s
x : X
hxt : x ∈ t
hxu : x ∈ closure[inst✝³] (u' i)
⊢ u' i ⊆ (v i)ᶜ

Tactic:
exact fun y hyu hyv ↦ (huv i).le_bot ⟨hsub _ hyu, hyv⟩

Goal state after: