mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₂ : p₂ ∈ line[k, p₃, p₄]
hp₁₂ : p₁ ≠ p₂
r₁ : k
hp₁ : r₁ • (p₄ -ᵥ p₃) = p₁ -ᵥ p₃
⊢ line[k, p₃, p₄] ≤ line[k, p₁, p₂]

Tactic:
← vsub_vadd p₂ p₃,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₂ : (p₂ -ᵥ p₃) +ᵥ p₃ ∈ line[k, p₃, p₄]
hp₁₂ : p₁ ≠ p₂
r₁ : k
hp₁ : r₁ • (p₄ -ᵥ p₃) = p₁ -ᵥ p₃
⊢ line[k, p₃, p₄] ≤ line[k, p₁, p₂]
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ↑r₁ = r₂
⊢ p₆ -ᵥ p₅ + (p₅ -ᵥ p₄) = r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) + (p₅ -ᵥ p₄)

Tactic:
hr₂

Goal state after:
case pos
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ↑r₁ = r₂
⊢ p₆ -ᵥ p₅ + (p₅ -ᵥ p₄) = p₆ -ᵥ p₅ + (p₅ -ᵥ p₄)
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ < r₁
b : E
hb : p b ≤ r₂
⊢ ‖a‖ * p b < r₁ * r₂

Tactic:
mul_comm,

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ < r₁
b : E
hb : p b ≤ r₂
⊢ p b * ‖a‖ < r₁ * r₂
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
y : E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : a ≠ 0
x✝ : E
⊢ p (a • x✝ - y) < r ↔ p (x✝ - a⁻¹ • y) * ‖a‖ < r

Tactic:
mul_comm,

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
y : E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : a ≠ 0
x✝ : E
⊢ p (a • x✝ - y) < r ↔ ‖a‖ * p (x✝ - a⁻¹ • y) < r
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
y : E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : a ≠ 0
x✝ : E
⊢ p (a • x✝ - y) ≤ r ↔ p (x✝ - a⁻¹ • y) * ‖a‖ ≤ r

Tactic:
mul_comm,

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
y : E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : a ≠ 0
x✝ : E
⊢ p (a • x✝ - y) ≤ r ↔ ‖a‖ * p (x✝ - a⁻¹ • y) ≤ r
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ p x < ε * ‖c ^ (n + 1)‖

Tactic:
mul_comm,

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ p x < ‖c ^ (n + 1)‖ * ε
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case refine_3
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ε ≤ ‖c‖⁻¹ * (‖c‖ ^ n)⁻¹ * p x * ‖c‖

Tactic:
mul_comm,

Goal state after:
case refine_3
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ε ≤ ‖c‖ * (‖c‖⁻¹ * (‖c‖ ^ n)⁻¹ * p x)
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: case refine_3
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ε ≤ 1 * (‖c‖ ^ n)⁻¹ * p x

Tactic:
one_mul,

Goal state after:
case refine_3
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε
n : ℤ
hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))
cpos : 0 < ‖c‖
cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖
⊢ ε ≤ (‖c‖ ^ n)⁻¹ * p x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.PathConnected

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
p q : Submodule ℝ E
hpq : IsCompl p q
hpc : IsPathConnected {0}ᶜ
⊢ IsPathConnected (↑q)ᶜ

Tactic:
by
  convert (hpc.image continuous_subtype_val).add q.isPathConnected
  trans Submodule.prodEquivOfIsCompl p q hpq '' ({0}ᶜ ×ˢ univ)
  · rw [prod_univ, LinearEquiv.image_eq_preimage_symm]
    ext
    simp
  · ext
    simp [mem_add, and_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝² : Field R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
t' : Finset ι
ht : t ⊆ t'
h : ∀ i ∈ t', i ∉ t → w i = 0
⊢ t.centerMass w z = t'.centerMass w z

Tactic:
rw [centerMass, sum_subset ht h, smul_sum, centerMass, smul_sum]
  apply sum_subset ht
  intro i hit' hit
  rw [h i hit' hit, zero_smul, smul_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case e_a
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝³ : Field R
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module R E
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : DecidableEq ι
t' : Finset ι
w' : ι → R
z' : ι → E
h : ∀ (i : ι), i ∈ t ∧ w i ≠ 0 ∨ i ∈ t' ∧ w' i ≠ 0 → i ∈ t ∩ t' ∧ w i = w' i ∧ z i = z' i
⊢ ∑ i ∈ t with w i ≠ 0, w i = ∑ i ∈ t' with w' i ≠ 0, w' i

Tactic:
exact sum_congr (by grind) (by grind)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case e_a
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝³ : Field R
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module R E
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : DecidableEq ι
t' : Finset ι
w' : ι → R
z' : ι → E
h : ∀ (i : ι), i ∈ t ∧ w i ≠ 0 ∨ i ∈ t' ∧ w' i ≠ 0 → i ∈ t ∩ t' ∧ w i = w' i ∧ z i = z' i
⊢ ∑ i ∈ t with w i ≠ 0, w i • z i = ∑ i ∈ t' with w' i ≠ 0, w' i • z' i

Tactic:
exact sum_congr (by grind) (by grind)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Topology

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y ↦ ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hne : x ≠ y
hx' : x ∉ interior s
hy' : y ∈ interior s
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s

Tactic:
exact hs.openSegment_self_interior_subset_interior hx hy'

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: case «0»
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
h : p₁ ≠ p₂
i₁ : { x // x ≠ 0 } := ⟨1, ⋯⟩
hi : (fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ ≠ 0
⊢ ↑↑⟨(fun i ↦ i) ⟨0, ⋯⟩, hi⟩ = ↑↑i₁

Tactic:
simp at hi

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_1
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
v : ι → E
s : Finset ι
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1
s' : Finset ι
w' : ι → R
hw₀' : ∀ i ∈ s', 0 ≤ w' i
hw₁' : s'.sum w' = 1
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
W : ι → R := fun i ↦ (if i ∈ s then a * w i else 0) + if i ∈ s' then b * w' i else 0
hW₁ : (s ∪ s').sum W = 1
i : ι
⊢ 0 ≤ W i

Tactic:
by_cases hi : i ∈ s <;> by_cases hi' : i ∈ s'

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
v : ι → E
s : Finset ι
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1
s' : Finset ι
w' : ι → R
hw₀' : ∀ i ∈ s', 0 ≤ w' i
hw₁' : s'.sum w' = 1
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
W : ι → R := fun i ↦ (if i ∈ s then a * w i else 0) + if i ∈ s' then b * w' i else 0
hW₁ : (s ∪ s').sum W = 1
i : ι
hi : i ∈ s
hi' : i ∈ s'
⊢ 0 ≤ W i

case neg
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
v : ι → E
s : Finset ι
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1
s' : Finset ι
w' : ι → R
hw₀' : ∀ i ∈ s', 0 ≤ w' i
hw₁' : s'.sum w' = 1
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
W : ι → R := fun i ↦ (if i ∈ s then a * w i else 0) + if i ∈ s' then b * w' i else 0
hW₁ : (s ∪ s').sum W = 1
i : ι
hi : i ∈ s
hi' : i ∉ s'
⊢ 0 ≤ W i

case pos
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
v : ι → E
s : Finset ι
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1
s' : Finset ι
w' : ι → R
hw₀' : ∀ i ∈ s', 0 ≤ w' i
hw₁' : s'.sum w' = 1
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
W : ι → R := fun i ↦ (if i ∈ s then a * w i else 0) + if i ∈ s' then b * w' i else 0
hW₁ : (s ∪ s').sum W = 1
i : ι
hi : i ∉ s
hi' : i ∈ s'
⊢ 0 ≤ W i

case neg
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
v : ι → E
s : Finset ι
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1
s' : Finset ι
w' : ι → R
hw₀' : ∀ i ∈ s', 0 ≤ w' i
hw₁' : s'.sum w' = 1
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
W : ι → R := fun i ↦ (if i ∈ s then a * w i else 0) + if i ∈ s' then b * w' i else 0
hW₁ : (s ∪ s').sum W = 1
i : ι
hi : i ∉ s
hi' : i ∉ s'
⊢ 0 ≤ W i
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.LocallyConvex

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
ts : Set (TopologicalSpace E)
h : ∀ t ∈ ts, LocallyConvexSpace 𝕜 E
this : TopologicalSpace E := sInf ts
x : E
⊢ (⨅ i, 𝓝 x).HasBasis (fun If ↦ If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, If.2 i ∈ 𝓝 x ∧ Convex 𝕜 (If.2 i)) fun If ↦ ⋂ i ∈ If.1, If.2 i

Tactic:
exact .iInf' fun i : ts => (@locallyConvexSpace_iff 𝕜 E _ _ _ _ ↑i).mp (h (↑i) i.2) x

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Convex

Goal state before:
pp: case neg
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : Nontrivial F
x✝ : F
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : F
h : x ∈ closedBall 0 r
U : Set F
hU_sub : sphere 0 r ⊆ U
hU : Convex ℝ U
zero_mem : 0 ∈ U
hr₀ : ¬r = 0
x_zero : ¬x = 0
z : F := (r * ‖x‖⁻¹) • x
hz_def : z = (r * ‖x‖⁻¹) • x
hr₁ : r⁻¹ * ‖x‖ ≤ 1
hz : z ∈ U
this : (r⁻¹ * ‖x‖ * r * ‖x‖⁻¹) • x ∈ U
⊢ x ∈ U

Tactic:
mul_comm,

Goal state after:
case neg
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : Nontrivial F
x✝ : F
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : F
h : x ∈ closedBall 0 r
U : Set F
hU_sub : sphere 0 r ⊆ U
hU : Convex ℝ U
zero_mem : 0 ∈ U
hr₀ : ¬r = 0
x_zero : ¬x = 0
z : F := (r * ‖x‖⁻¹) • x
hz_def : z = (r * ‖x‖⁻¹) • x
hr₁ : r⁻¹ * ‖x‖ ≤ 1
hz : z ∈ U
this : (‖x‖⁻¹ * (r⁻¹ * ‖x‖ * r)) • x ∈ U
⊢ x ∈ U
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Convex

Goal state before:
pp: case inr
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
δ : ℝ
hδ : δ ≤ 0
⊢ Convex ℝ (closure s)

Tactic:
exact hs.closure

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.UniformConvergence

Goal state before:
pp: case hsmul
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup H
inst✝⁸ : Module 𝕜 H
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : IsUniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
hφ : IsInducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)
h : ∀ (u : H), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ u))
this✝ : IsTopologicalAddGroup H
hb : (𝓝 0).HasBasis (fun x ↦ x ∈ 𝓝 0) fun V ↦ {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ V}
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
this : Tendsto (fun x ↦ x.1 • x.2) (𝓝 0) (𝓝 0)
V : Set 𝕜
W : Set E
hVW : Set.MapsTo (fun x ↦ x.1 • x.2) (id (V, W).1 ×ˢ id (V, W).2) U
hV : (V, W).1 ∈ 𝓝 0
hW : (V, W).2 ∈ 𝓝 0
a : 𝕜
ha : a ∈ V
u : H
hu : u ∈ {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ W}
x : α
⊢ (a • φ u) x ∈ U

Tactic:
exact hVW (Set.mk_mem_prod ha (hu x))

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
ι : Type u_8
b : AffineBasis ι R E
x : E
⊢ x ∈ {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s ⇑b) w = x} →
    x ∈ {x | ∀ (i : ι), 0 ≤ (b.coord i) x}

pp: case refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
ι : Type u_8
b : AffineBasis ι R E
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (i : ι), 0 ≤ (b.coord i) x}
⊢ x ∈ {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s ⇑b) w = x}

Tactic:
· rintro ⟨s, w, hw₀, hw₁, rfl⟩ i
    by_cases hi : i ∈ s
    · rw [b.coord_apply_combination_of_mem hi hw₁]
      exact hw₀ i hi
    · rw [b.coord_apply_combination_of_notMem hi hw₁]

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
ι : Type u_8
b : AffineBasis ι R E
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (i : ι), 0 ≤ (b.coord i) x}
⊢ x ∈ {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s ⇑b) w = x}
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝² : SeminormedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : SeminormFamily R E ι
⊢ univ = (∅.sup p).ball 0 1

Tactic:
Finset.sup_empty,

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝² : SeminormedRing R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : SeminormFamily R E ι
⊢ univ = ⊥.ball 0 1
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0
this : IsTopologicalAddGroup E
x : E
hx : x ≠ 0
i : ι
pi_nonzero : (p i) x ≠ 0
⊢ ¬(p i) (0 - x) < (p i) x

Tactic:
zero_sub,

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0
this : IsTopologicalAddGroup E
x : E
hx : x ≠ 0
i : ι
pi_nonzero : (p i) x ≠ 0
⊢ ¬(p i) (-x) < (p i) x
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
F : Type u_7
ι : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
u : F → E
f : Filter F
y₀ : E
⊢ (∀ (s : Finset ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : F) in f, (s.sup p) (u x - y₀) < ε) ↔
    ∀ (i : ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : F) in f, (p i) (u x - y₀) < ε

Tactic:
exact
    ⟨fun h i => by simpa only [Finset.sup_singleton] using h {i}, fun h s ε hε =>
      (s.eventually_all.2 fun i _ => h i ε hε).mono fun _ => finset_sup_apply_lt hε⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
h✝ : Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 1) s
r : ℝ
hr : r > 0
a : 𝕜
h : s ⊆ (I.sup p).ball 0 ‖a‖
ha : r < ‖a‖
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r

Tactic:
refine ⟨‖a‖, lt_trans hr ha, ?_⟩

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
I : Finset ι
h✝ : Absorbs 𝕜 ((I.sup p).ball 0 1) s
r : ℝ
hr : r > 0
a : 𝕜
h : s ⊆ (I.sup p).ball 0 ‖a‖
ha : r < ‖a‖
⊢ ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < ‖a‖
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
hI : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
i : ι
⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r

Tactic:
(Mathlib.Tactic.convert!
 "convert!"
 (Tactic.optConfig [])
 []
 (Term.app
  `hI
  [(choice
    («term{_}» "{" [`i] "}")
    (Term.structInst
     "{"
     []
     (Term.structInstFields [(Term.structInstField (Term.structInstLVal `i []) [])])
     (Term.optEllipsis [])
     []
     "}"))])
 []
 [])

Goal state after:
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
hI : ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
i : ι
x✝ : ℝ
a✝¹ : E
a✝ : a✝¹ ∈ s
⊢ p i = {i}.sup p
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Operator.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
Fₗ : Type u_6
G : Type u_7
𝓕 : Type u_8
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
⊢ ∀ (f : E →SL[σ₁₂] F), comap (⇑f) (cobounded F) ≤ cobounded E

Tactic:
intro ℓ

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
Fₗ : Type u_6
G : Type u_7
𝓕 : Type u_8
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
ℓ : E →SL[σ₁₂] F
⊢ comap (⇑ℓ) (cobounded F) ≤ cobounded E
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.Spaces.UniformConvergenceCLM

Goal state before:
pp: 𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : Module 𝕜₂ F
𝕜₁ : Type u_6
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁹ : AddCommGroup G
𝕜₃ : Type u_7
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G
τ : 𝕜₃ →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomSurjective τ
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝³ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ F
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : ∀ s ∈ 𝔖, IsVonNBounded 𝕜₁ s
B : G →ₛₗ[τ] E →SLᵤ[σ, 𝔖] F
hB : Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝⁵] fun p ↦ (B p.1) p.2
S : Set E
hS : S ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set G
hV : V ∈ 𝓝 0
W : Set E
hW : W ∈ 𝓝 0
hVW : V ×ˢ W ⊆ (fun p ↦ (B p.1) p.2) ⁻¹' U
c : 𝕜₁
hc : MapsTo (fun x ↦ c • x) S W
c_ne : c ≠ 0
d : 𝕜₃
hd : τ d = σ c
d_ne : d ≠ 0
a : G
ha : a ∈ V
x : E
hx : x ∈ S
⊢ (B ((fun x ↦ d • x) a)) x ∈ U

Tactic:
map_smulₛₗ,

Goal state after:
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : Module 𝕜₂ F
𝕜₁ : Type u_6
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹⁰ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁹ : AddCommGroup G
𝕜₃ : Type u_7
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G
τ : 𝕜₃ →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomSurjective τ
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝³ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ F
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : ∀ s ∈ 𝔖, IsVonNBounded 𝕜₁ s
B : G →ₛₗ[τ] E →SLᵤ[σ, 𝔖] F
hB : Continuous[instTopologicalSpaceProd, inst✝⁵] fun p ↦ (B p.1) p.2
S : Set E
hS : S ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
V : Set G
hV : V ∈ 𝓝 0
W : Set E
hW : W ∈ 𝓝 0
hVW : V ×ˢ W ⊆ (fun p ↦ (B p.1) p.2) ⁻¹' U
c : 𝕜₁
hc : MapsTo (fun x ↦ c • x) S W
c_ne : c ≠ 0
d : 𝕜₃
hd : τ d = σ c
d_ne : d ≠ 0
a : G
ha : a ∈ V
x : E
hx : x ∈ S
⊢ (τ d • B a) x ∈ U
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
⊢ WithSeminorms fun s ↦ s.sup p

Tactic:
refine hp.congr ?_ ?_

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
⊢ Seminorm.IsBounded p (fun s ↦ s.sup p) LinearMap.id

case refine_2
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
⊢ Seminorm.IsBounded (fun s ↦ s.sup p) p LinearMap.id
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.WithSeminorms

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
⊢ WithSeminorms fun i ↦ (Finset.Iic i).sup p

Tactic:
refine hp.congr ?_ ?_

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
⊢ Seminorm.IsBounded p (fun i ↦ (Finset.Iic i).sup p) LinearMap.id

case refine_2
𝕜 : Type u_2
E : Type u_6
ι : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
⊢ Seminorm.IsBounded (fun i ↦ (Finset.Iic i).sup p) p LinearMap.id