Module: Mathlib.Topology.Separation.DisjointCover

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TotallyDisconnectedSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
U : ι → Opens X
hU : IsOpenCover U
n : ℕ
V : Fin n → Clopens X
hVle : ∀ (j : Fin n), ∃ i, ↑(V j) ⊆ ↑(U i)
hVun : univ ⊆ ⋃ j, ↑(V j)
W : Fin n → Clopens X
hWle : W ≤ V
hWd : Pairwise (Disjoint on W)
hWun : ⋃ i, ↑(W i) = ⋃ i, ↑(V i)
t : Finset (Fin n) := {j | W j ≠ ⊥}
k : Fin #t
⊢ (fun k ↦ W ↑(t.equivFin.symm k)) k ≠ ⊥

pp: case refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TotallyDisconnectedSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
U : ι → Opens X
hU : IsOpenCover U
n : ℕ
V : Fin n → Clopens X
hVle : ∀ (j : Fin n), ∃ i, ↑(V j) ⊆ ↑(U i)
hVun : univ ⊆ ⋃ j, ↑(V j)
W : Fin n → Clopens X
hWle : W ≤ V
hWd : Pairwise (Disjoint on W)
hWun : ⋃ i, ↑(W i) = ⋃ i, ↑(V i)
t : Finset (Fin n) := {j | W j ≠ ⊥}
k : Fin #t
⊢ ∃ i, ↑((fun k ↦ W ↑(t.equivFin.symm k)) k) ⊆ ↑(U i)

pp: case refine_3
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TotallyDisconnectedSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
U : ι → Opens X
hU : IsOpenCover U
n : ℕ
V : Fin n → Clopens X
hVle : ∀ (j : Fin n), ∃ i, ↑(V j) ⊆ ↑(U i)
hVun : univ ⊆ ⋃ j, ↑(V j)
W : Fin n → Clopens X
hWle : W ≤ V
hWd : Pairwise (Disjoint on W)
hWun : ⋃ i, ↑(W i) = ⋃ i, ↑(V i)
t : Finset (Fin n) := {j | W j ≠ ⊥}
x : X
hx : x ∈ univ
⊢ x ∈ ⋃ j, ↑((fun k ↦ W ↑(t.equivFin.symm k)) j)

pp: case refine_4
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TotallyDisconnectedSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
U : ι → Opens X
hU : IsOpenCover U
n : ℕ
V : Fin n → Clopens X
hVle : ∀ (j : Fin n), ∃ i, ↑(V j) ⊆ ↑(U i)
hVun : univ ⊆ ⋃ j, ↑(V j)
W : Fin n → Clopens X
hWle : W ≤ V
hWd : Pairwise (Disjoint on W)
hWun : ⋃ i, ↑(W i) = ⋃ i, ↑(V i)
t : Finset (Fin n) := {j | W j ≠ ⊥}
⊢ Pairwise (Disjoint on fun k ↦ W ↑(t.equivFin.symm k))

Tactic:
· exact (Finset.mem_filter.mp (t.equivFin.symm k).2).2

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TotallyDisconnectedSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
U : ι → Opens X
hU : IsOpenCover U
n : ℕ
V : Fin n → Clopens X
hVle : ∀ (j : Fin n), ∃ i, ↑(V j) ⊆ ↑(U i)
hVun : univ ⊆ ⋃ j, ↑(V j)
W : Fin n → Clopens X
hWle : W ≤ V
hWd : Pairwise (Disjoint on W)
hWun : ⋃ i, ↑(W i) = ⋃ i, ↑(V i)
t : Finset (Fin n) := {j | W j ≠ ⊥}
k : Fin #t
⊢ ∃ i, ↑((fun k ↦ W ↑(t.equivFin.symm k)) k) ⊆ ↑(U i)

case refine_3
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TotallyDisconnectedSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
U : ι → Opens X
hU : IsOpenCover U
n : ℕ
V : Fin n → Clopens X
hVle : ∀ (j : Fin n), ∃ i, ↑(V j) ⊆ ↑(U i)
hVun : univ ⊆ ⋃ j, ↑(V j)
W : Fin n → Clopens X
hWle : W ≤ V
hWd : Pairwise (Disjoint on W)
hWun : ⋃ i, ↑(W i) = ⋃ i, ↑(V i)
t : Finset (Fin n) := {j | W j ≠ ⊥}
x : X
hx : x ∈ univ
⊢ x ∈ ⋃ j, ↑((fun k ↦ W ↑(t.equivFin.symm k)) j)

case refine_4
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TotallyDisconnectedSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
U : ι → Opens X
hU : IsOpenCover U
n : ℕ
V : Fin n → Clopens X
hVle : ∀ (j : Fin n), ∃ i, ↑(V j) ⊆ ↑(U i)
hVun : univ ⊆ ⋃ j, ↑(V j)
W : Fin n → Clopens X
hWle : W ≤ V
hWd : Pairwise (Disjoint on W)
hWun : ⋃ i, ↑(W i) = ⋃ i, ↑(V i)
t : Finset (Fin n) := {j | W j ≠ ⊥}
⊢ Pairwise (Disjoint on fun k ↦ W ↑(t.equivFin.symm k))