mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Nilpotent.Exp

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Module ℚ A
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : Module ℚ M
a : A
m : M
k : ℕ
h : a ^ k • m = 0
hn : IsNilpotent a
h₀ : k < nilpotencyClass a
this : ∑ i ∈ Ico k (nilpotencyClass a), ((↑i !)⁻¹ • a ^ i) • m = 0
⊢ ∑ k ∈ range k, ((↑k !)⁻¹ • a ^ k) • m + ∑ k ∈ Ico k (nilpotencyClass a), ((↑k !)⁻¹ • a ^ k) • m =
    ∑ i ∈ range k, (↑i !)⁻¹ • a ^ i • m

Tactic:
simp_rw [this, add_zero, smul_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Semisimple

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
μ : R
⊢ (f - (algebraMap R (End R M)) μ).IsFinitelySemisimple ↔ f.IsFinitelySemisimple

Tactic:
suffices ∀ p : Submodule R M, p ≤ p.comap (f - algebraMap R (Module.End R M) μ) ↔ p ≤ p.comap f by
    simp_rw [isFinitelySemisimple_iff, mem_invtSubmodule, this]
  refine fun p ↦ ⟨fun h x hx ↦ ?_, fun h x hx ↦ p.sub_mem (h hx) (p.smul_mem μ hx)⟩
  simpa using p.add_mem (h hx) (p.smul_mem μ hx)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Semisimple

Goal state before:
pp: M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M✝
K✝ : Type u_3
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Module K✝ M✝
f✝ : End K✝ M✝
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f : End K M
t : K
h : f.IsSemisimple
ht : t ≠ 0
⊢ (t • f).IsSemisimple

Tactic:
IsSemisimple_smul_iff ht

Goal state after:
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M✝
K✝ : Type u_3
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Module K✝ M✝
f✝ : End K✝ M✝
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f : End K M
t : K
h : f.IsSemisimple
ht : t ≠ 0
⊢ f.IsSemisimple
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Semisimple

Goal state before:
pp: M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K M
f g : End K M
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : PerfectField K
comm : Commute f g
hf : f.IsSemisimple
hg : g.IsSemisimple
a : End K M
ha : a ∈ K[f, g]
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {minpoly K f}
S : Type u_3 := AdjoinRoot (map (algebraMap K R) (minpoly K g))
this : Module.Finite K R
⊢ a.IsSemisimple

Tactic:
have : Module.Finite R S :=
    (AdjoinRoot.powerBasis' <| (minpoly.monic <| IsIntegral.isIntegral g).map _).finite

Goal state after:
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K M
f g : End K M
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : PerfectField K
comm : Commute f g
hf : f.IsSemisimple
hg : g.IsSemisimple
a : End K M
ha : a ∈ K[f, g]
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {minpoly K f}
S : Type u_3 := AdjoinRoot (map (algebraMap K R) (minpoly K g))
this✝ : Module.Finite K R
this : Module.Finite R S
⊢ a.IsSemisimple
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
l : ℕ
⊢ D l I = D 0 (D l I)

Tactic:
derivedSeriesOfIdeal_zero

Goal state after:
case zero
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
l : ℕ
⊢ D l I = D l I
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ J
l : ℕ
h₂ : l = 0
⊢ D 0 I ≤ D 0 J

Tactic:
derivedSeriesOfIdeal_zero

Goal state after:
case zero
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ J
l : ℕ
h₂ : l = 0
⊢ I ≤ D 0 J
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ J
k : ℕ
ih : ∀ {l : ℕ}, l ≤ k → D k I ≤ D l J
l : ℕ
h₂ : l = k + 1 ∨ l < k + 1
⊢ l = k.succ ∨ l ≤ k

Tactic:
Nat.lt_succ_iff

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ J
k : ℕ
ih : ∀ {l : ℕ}, l ≤ k → D k I ≤ D l J
l : ℕ
h₂ : l = k + 1 ∨ l ≤ k
⊢ l = k.succ ∨ l ≤ k
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
n : ℕ
⊢ derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤

Tactic:
induction n with
  | zero => simp
  | succ n ih =>
    rw [derivedSeriesOfIdeal_succ]
    refine ⟨fun h ↦ ?_, fun h ↦ by rwa [ih.mpr h]⟩
    rw [← ih, eq_top_iff]
    conv_lhs => rw [← h]
    exact LieSubmodule.lie_le_right _ _

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
m : M
k : ℕ
ih : (⇑((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y))^[k] m ∈ lowerCentralSeries R L M (2 * k)
⊢ (⇑((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y))^[k + 1] m ∈ lowerCentralSeries R L M (2 * (k + 1))

Tactic:
have hk : 2 * k.succ = (2 * k + 1) + 1 := rfl
    simp only [lowerCentralSeries_succ, Function.comp_apply, Function.iterate_succ', hk,
      toEnd_apply_apply, LinearMap.coe_comp, toEnd_apply_apply]
    refine LieSubmodule.lie_mem_lie (LieSubmodule.mem_top x) ?_
    exact LieSubmodule.lie_mem_lie (LieSubmodule.mem_top y) ih

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent L M
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M k = ⊥
x : L
m : M
⊢ (⇑((toEnd R L M) x))^[k] m = 0

Tactic:
← @LieSubmodule.mem_bot R L M,

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent L M
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M k = ⊥
x : L
m : M
⊢ (⇑((toEnd R L M) x))^[k] m ∈ ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent L M
⊢ ∃ k, ∀ (x : L), (toEnd R L M) x ^ k = 0

Tactic:
by
  obtain ⟨k, hM⟩ := IsNilpotent.nilpotent R L M
  use k
  intro x; ext m
  rw [Module.End.pow_apply, LinearMap.zero_apply, ← @LieSubmodule.mem_bot R L M, ← hM]
  exact iterate_toEnd_mem_lowerCentralSeries R L M x m k

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent L M
x y : L
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M k = ⊥
⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y)

Tactic:
replace hM : lowerCentralSeries R L M (2 * k) = ⊥ := by
    rw [eq_bot_iff, ← hM]; exact antitone_lowerCentralSeries R L M (by lia)

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent L M
x y : L
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M (2 * k) = ⊥
⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: L : Type v
M : Type w
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : IsNilpotent L M
⊢ nilpotencyLength L M = 0 ↔ Subsingleton M

Tactic:
let s := {k | lowerCentralSeries ℤ L M k = ⊥}

Goal state after:
L : Type v
M : Type w
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : IsNilpotent L M
s : Set ℕ := {k | lowerCentralSeries ℤ L M k = ⊥}
⊢ nilpotencyLength L M = 0 ↔ Subsingleton M
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
aux : ∀ (k : ℕ), lowerCentralSeries R L M k = ⊥ ↔ lowerCentralSeries ℤ L M k = ⊥
⊢ nilpotencyLength L M = k + 1 ↔ lowerCentralSeries R L M (k + 1) = ⊥ ∧ lowerCentralSeries R L M k ≠ ⊥

Tactic:
let s := {k | lowerCentralSeries ℤ L M k = ⊥}

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
aux : ∀ (k : ℕ), lowerCentralSeries R L M k = ⊥ ↔ lowerCentralSeries ℤ L M k = ⊥
s : Set ℕ := {k | lowerCentralSeries ℤ L M k = ⊥}
⊢ nilpotencyLength L M = k + 1 ↔ lowerCentralSeries R L M (k + 1) = ⊥ ∧ lowerCentralSeries R L M k ≠ ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
inst✝ : LieModule R L₂ M₂
hf_surj : Surjective ⇑f
hg_surj : Surjective ⇑g
⊢ ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ 0) ≤ Submodule.map g ↑(lowerCentralSeries R L M 0)

Tactic:
simpa [LinearMap.range_eq_top]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
inst✝ : LieModule R L₂ M₂
hf_surj : Surjective ⇑f
hg_surj : Surjective ⇑g
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k) ≤ Submodule.map g ↑(lowerCentralSeries R L M k)
this :
  {m | ∃ x, ∃ n ∈ ↑(lowerCentralSeries R L M k), ⁅x, g n⁆ = m} ⊆
    ⇑g '' {m | ∃ x, ∃ n ∈ ↑(lowerCentralSeries R L M k), ⁅x, n⁆ = m}
x : L₂
n' : M
hn' : n' ∈ ↑↑(lowerCentralSeries R L M k)
hn : g n' ∈ ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k)
⊢ ⁅x, g n'⁆ ∈ {m | ∃ x, ∃ n ∈ ↑(lowerCentralSeries R L M k), ⁅x, g n⁆ = m}

Tactic:
exact ⟨x, n', hn', rfl⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L₂ M₂
inst✝ : LieModule R L₂ M₂
f : L ≃ₗ⁅R⁆ L₂
g : M ≃ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
h : LieModule.IsNilpotent L M
⊢ LieModule.IsNilpotent L₂ M₂

Tactic:
have hg : Surjective (g : M →ₗ[R] M₂) := g.surjective

Goal state after:
case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L₂ M₂
inst✝ : LieModule R L₂ M₂
f : L ≃ₗ⁅R⁆ L₂
g : M ≃ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
h : LieModule.IsNilpotent L M
hg : Surjective ⇑↑g
⊢ LieModule.IsNilpotent L₂ M₂
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
k : ℕ
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ map f (lowerCentralSeries R L L k) = lowerCentralSeries R L' L' k

Tactic:
by
  have h' : (⊤ : LieIdeal R L).map f = ⊤ := by
    rw [← f.idealRange_eq_map]
    exact f.idealRange_eq_top_of_surjective h
  induction k with
  | zero => simp only [LieModule.lowerCentralSeries_zero]; exact h'
  | succ k ih => simp only [LieModule.lowerCentralSeries_succ, LieIdeal.map_bracket_eq f h, ih, h']

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Algebra

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : IntermediateField F K
halg : Algebra.IsAlgebraic F E ∨ Algebra.IsAlgebraic F ↥L
i : E →ₐ[F] K := IsScalarTower.toAlgHom F E K
E' : IntermediateField F K := i.fieldRange
i' : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField i
hi : ⇑(algebraMap E K) = ⇑(algebraMap (↥E') K) ∘ ⇑i'
⊢ (restrictScalars F (adjoin E ↑L)).toSubalgebra = Subalgebra.restrictScalars F (Algebra.adjoin E ↑L)

Tactic:
restrictScalars_adjoin_of_algEquiv i' hi,

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : IntermediateField F K
halg : Algebra.IsAlgebraic F E ∨ Algebra.IsAlgebraic F ↥L
i : E →ₐ[F] K := IsScalarTower.toAlgHom F E K
E' : IntermediateField F K := i.fieldRange
i' : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField i
hi : ⇑(algebraMap E K) = ⇑(algebraMap (↥E') K) ∘ ⇑i'
⊢ (restrictScalars F (adjoin ↥E' ↑L)).toSubalgebra = Subalgebra.restrictScalars F (Algebra.adjoin E ↑L)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
⊢ adjoin F (insert x ↑(adjoin F S)) = adjoin F (insert x S)

Tactic:
← Set.singleton_union,

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
⊢ adjoin F ({x} ∪ ↑(adjoin F S)) = adjoin F ({x} ∪ S)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Defs

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁹ : Field E
inst✝⁸ : Algebra F E
L : Type u_3
L' : Type u_4
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra F L
inst✝⁴ : Algebra L E
inst✝³ : Algebra F L'
inst✝² : Algebra L' E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
K K' : IntermediateField F E
h : K.toSubfield = K'.toSubfield
⊢ K = K'

Tactic:
ext x; change x ∈ K.toSubfield ↔ x ∈ K'.toSubfield; rw [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Spectrum

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hk : k ∈ σ ((aeval a) p)
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun x ↦ X - C x) (C k - p).roots).prod
⊢ k ∈ (fun x ↦ eval x p) '' σ a

Tactic:
have h_ne : C k - p ≠ 0 := ne_zero_of_degree_gt <| by
    rwa [degree_sub_eq_right_of_degree_lt (lt_of_le_of_lt degree_C_le hdeg)]

Goal state after:
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hk : k ∈ σ ((aeval a) p)
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun x ↦ X - C x) (C k - p).roots).prod
h_ne : C k - p ≠ 0
⊢ k ∈ (fun x ↦ eval x p) '' σ a
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
k : Type u
inst✝³ : Field k
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : Algebra k K
p q : k[X]
h : ∀ (a : K), (aeval a) p ≠ 0 ∨ (aeval a) q ≠ 0
x : k[X]
hu : x ∈ nonunits k[X]
h0 : x ≠ 0
⊢ x ∣ p → ¬x ∣ q

Tactic:
· rintro ⟨_, rfl⟩ ⟨_, rfl⟩
    obtain ⟨a, ha : _ = _⟩ := IsAlgClosed.exists_root (x.map <| algebraMap k K) <| by
      simpa only [degree_map] using (ne_of_lt <| degree_pos_of_ne_zero_of_nonunit h0 hu).symm
    exact not_and_or.mpr (h a) (by simp_rw [map_mul, ← eval_map_algebraMap, ha, zero_mul, true_and])

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: case neg
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
h : ¬FiniteDimensional K ↥E1
⊢ finrank K ↥(E1 ⊔ E2) ≤ finrank K ↥E1 * finrank K ↥E2

Tactic:
rw [FiniteDimensional, ← rank_lt_aleph0_iff, not_lt] at h

Goal state after:
case neg
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
h : Cardinal.aleph0 ≤ Module.rank K ↥E1
⊢ finrank K ↥(E1 ⊔ E2) ≤ finrank K ↥E1 * finrank K ↥E2
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg :
  ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E),
    minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
this : Fact (Irreducible f)
e : g.natDegree = 0
⊢ Irreducible (C ((Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮root f⟯) g).coeff 0) - C (AdjoinSimple.gen K (root f)))

Tactic:
coeff_map,

Goal state after:
K : Type u
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg :
  ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E),
    minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
this : Fact (Irreducible f)
e : g.natDegree = 0
⊢ Irreducible (C ((algebraMap K ↥K⟮root f⟯) (g.coeff 0)) - C (AdjoinSimple.gen K (root f)))
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg :
  ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E),
    minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
⊢ Irreducible (f.comp g)

Tactic:
have ⟨p, hp₁, hp₂⟩ := WfDvdMonoid.exists_irreducible_factor H₂ H₁

Goal state after:
K : Type u
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg :
  ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E),
    minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
⊢ Irreducible (f.comp g)
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x y : L
hx : IsIntegral K x
hy : IsIntegral K y
this✝ : FiniteDimensional K ↥K⟮x⟯
this : FiniteDimensional K ↥K⟮y⟯
⊢ FiniteDimensional K ↥K⟮x, y⟯

Tactic:
← Set.singleton_union,

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x y : L
hx : IsIntegral K x
hy : IsIntegral K y
this✝ : FiniteDimensional K ↥K⟮x⟯
this : FiniteDimensional K ↥K⟮y⟯
⊢ FiniteDimensional K ↥(adjoin K ({x} ∪ {y}))
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanSubalgebra

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Nontrivial L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
e : H = ⊥
x : L
hx : x ≠ 0
this : x ∈ H.normalizer
⊢ x = 0

Tactic:
rwa [LieSubalgebra.IsCartanSubalgebra.self_normalizing, e] at this

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Module.IsTorsionFree R M
⊢ iSupIndep fun χ ↦ genWeightSpace M χ

Tactic:
simp only [← LieSubmodule.iSupIndep_toSubmodule, genWeightSpace,
    LieSubmodule.iInf_toSubmodule]

Goal state after:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Module.IsTorsionFree R M
⊢ iSupIndep fun i ↦ ⨅ i_1, ↑(genWeightSpaceOf M (i i_1) i_1)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.BilinearForm.Orthogonal

Goal state before:
pp: V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B : BilinForm K V
W : Subspace K V
⊢ (domRestrict B W).range.dualCoannihilator = B.orthogonal W

Tactic:
by
  ext x; constructor <;> rw [mem_orthogonal_iff] <;> intro hx
  · intro y hy
    rw [Submodule.mem_dualCoannihilator] at hx
    exact hx (B.domRestrict W ⟨y, hy⟩) ⟨⟨y, hy⟩, rfl⟩
  · rw [Submodule.mem_dualCoannihilator]
    rintro _ ⟨⟨w, hw⟩, rfl⟩
    exact hx w hw

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Semisimple.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSimple R L
hI : IsLieAbelian ↥⊤
⊢ False

Tactic:
rw [lie_abelian_iff_equiv_lie_abelian LieIdeal.topEquiv] at hI

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSimple R L
hI : IsLieAbelian L
⊢ False
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Semisimple.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
s : Finset (LieIdeal R L)
hs : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}
I : LieIdeal R L
hI✝ : I ≤ s.sup id
S : Set (LieIdeal R L) := {I | IsAtom I}
hI : I < s.sup id
J : LieIdeal R L
hJs : J ∈ s
hJI : ¬J ≤ I
s' : Finset (LieIdeal R L) := s.erase J
hs' : s' ⊂ s
hs'S : ↑s' ⊆ S
K : LieIdeal R L := s'.sup id
y : L
hy : y ∈ id J
z : L
hz : z ∈ K
hx : y + z ∈ I
j : ↥J
this : J ⊓ I = ⊥
⊢ ⁅↑j, y + z⁆ ∈ ⊥

Tactic:
apply this.le

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
s : Finset (LieIdeal R L)
hs : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}
I : LieIdeal R L
hI✝ : I ≤ s.sup id
S : Set (LieIdeal R L) := ⋯
hI : I < s.sup id
J : LieIdeal R L
hJs : J ∈ s
hJI : ¬J ≤ I
s' : Finset (LieIdeal R L) := ⋯
hs' : s' ⊂ s
hs'S : ↑s' ⊆ S
K : LieIdeal R L := ⋯
y : L
hy : y ∈ id J
z : L
hz : z ∈ K
hx : y + z ∈ I
j : ↥J
this : J ⊓ I = ⊥
⊢ ⁅↑j, y + z⁆ ∈ J ⊓ I
Module: Mathlib.FieldTheory.SplittingField.Construction

Goal state before:
pp: F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
f : K[X]
q : ℚ≥0
x : f.SplittingField
p : MvPolynomial (SplittingFieldAux f.natDegree f) K
⊢ (fun x ↦ q • x) p = (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) ((algebraMap K (MvPolynomial (SplittingFieldAux f.natDegree f) K)) ↑q) p

Tactic:
by
    ext; simp [MvPolynomial.algebraMap_eq, NNRat.smul_def]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.AlgebraicClosure

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝ : Field k
q : ℚ≥0
x : AlgebraicClosure k
p : MvPolynomial (Vars k) k
⊢ (fun x ↦ q • x) p = (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) ((algebraMap k (MvPolynomial (Vars k) k)) ↑q) p

Tactic:
by
    ext; simp [MvPolynomial.algebraMap_eq, NNRat.smul_def]

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.AlgebraicClosure

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝ : Field k
f : Monics k
n✝ : ℕ
⊢ (map (Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) (subProdXSubC f)).coeff n✝ = 0

Tactic:
coeff_map,

Goal state after:
k : Type u
inst✝ : Field k
f : Monics k
n✝ : ℕ
⊢ (Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) ((subProdXSubC f).coeff n✝) = 0