Module: Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.Flat

Goal state before:
pp: case e'_5.h₀
X Y S T : Scheme
f : T ⟶ S
g : Y ⟶ X
iX : X ⟶ S
iY : Y ⟶ T
H : IsPullback g iY iX f
US : S.Opens
UT : T.Opens
UX : X.Opens
hUST : UT ≤ f ⁻¹ᵁ US
hUSX : UX ≤ iX ⁻¹ᵁ US
UY : Y.Opens
hUY : UY = g ⁻¹ᵁ UX ⊓ iY ⁻¹ᵁ UT
ι : Type u
inst✝ : Finite ι
VX : ι → X.Opens
hVU : iSup VX = UX
hV : ∀ (i : ι), IsIso (pushoutSection H hUST ⋯ ⋯)
hV' : ∀ (i j : ι), Mono (pushoutSection H hUST ⋯ ⋯)
hT : (CommRingCat.Hom.hom (Scheme.Hom.appLE f US UT hUST)).Flat
D : CategoryTheory.Pairwise ι ⥤ X.Opens := ⋯
h : iSup D.obj = UX
c₀ : Cocone D := ⋯
F : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ ⥤ CommRingCat := ⋯
G : X.Opens ⥤ Y.Opens := ⋯
αF : F ⟶ D.op ⋙ G.op ⋙ Y.presheaf := ⋯
c : Cone F := ⋯
this : PreservesFiniteLimits (Under.pushout (Scheme.Hom.appLE f US UT hUST))
val✝ : Fintype ι
hc : IsLimit c := ⋯
c'₀ : Cocone (D ⋙ G) := ⋯
c' : Cone (D.op ⋙ G.op ⋙ Y.presheaf) := ⋯
hc' : IsLimit c' := ⋯
HαF₂ : ∀ (i j : ι), Mono (αF.app (op (Pairwise.pair i j)))
f₁ : c.pt ⟶ c'.pt := ⋯
f₂ : c'.pt ⟶ c.pt := ⋯
e : c.pt ≅ c'.pt := ⋯
e_3✝ : pushout (Scheme.Hom.appLE iX US UX hUSX) (Scheme.Hom.appLE f US UT hUST) = c.pt
e_4✝ : Γ(Y, UY) = c'.pt
i : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ
⊢ pushout.inl (Scheme.Hom.appLE iX US UX hUSX) (Scheme.Hom.appLE f US UT hUST) ≫
      pushoutSection H hUST hUSX hUY ≫ c'.π.app i =
    pushout.inl (Scheme.Hom.appLE iX US UX hUSX) (Scheme.Hom.appLE f US UT hUST) ≫ ((Cone.postcompose αF).obj c).π.app i

pp: case h₁
X Y S T : Scheme
f : T ⟶ S
g : Y ⟶ X
iX : X ⟶ S
iY : Y ⟶ T
H : IsPullback g iY iX f
US : S.Opens
UT : T.Opens
UX : X.Opens
hUST : UT ≤ f ⁻¹ᵁ US
hUSX : UX ≤ iX ⁻¹ᵁ US
UY : Y.Opens
hUY : UY = g ⁻¹ᵁ UX ⊓ iY ⁻¹ᵁ UT
ι : Type u
inst✝ : Finite ι
VX : ι → X.Opens
hVU : iSup VX = UX
hV : ∀ (i : ι), IsIso (pushoutSection H hUST ⋯ ⋯)
hV' : ∀ (i j : ι), Mono (pushoutSection H hUST ⋯ ⋯)
hT : (CommRingCat.Hom.hom (Scheme.Hom.appLE f US UT hUST)).Flat
D : CategoryTheory.Pairwise ι ⥤ X.Opens := ⋯
h : iSup D.obj = UX
c₀ : Cocone D := ⋯
F : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ ⥤ CommRingCat := ⋯
G : X.Opens ⥤ Y.Opens := ⋯
αF : F ⟶ D.op ⋙ G.op ⋙ Y.presheaf := ⋯
c : Cone F := ⋯
this : PreservesFiniteLimits (Under.pushout (Scheme.Hom.appLE f US UT hUST))
val✝ : Fintype ι
hc : IsLimit c := ⋯
c'₀ : Cocone (D ⋙ G) := ⋯
c' : Cone (D.op ⋙ G.op ⋙ Y.presheaf) := ⋯
hc' : IsLimit c' := ⋯
HαF₂ : ∀ (i j : ι), Mono (αF.app (op (Pairwise.pair i j)))
f₁ : c.pt ⟶ c'.pt := ⋯
f₂ : c'.pt ⟶ c.pt := ⋯
e : c.pt ≅ c'.pt := ⋯
e_3✝ : pushout (Scheme.Hom.appLE iX US UX hUSX) (Scheme.Hom.appLE f US UT hUST) = c.pt
e_4✝ : Γ(Y, UY) = c'.pt
i : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ
⊢ pushout.inr (Scheme.Hom.appLE iX US UX hUSX) (Scheme.Hom.appLE f US UT hUST) ≫
      pushoutSection H hUST hUSX hUY ≫ c'.π.app i =
    pushout.inr (Scheme.Hom.appLE iX US UX hUSX) (Scheme.Hom.appLE f US UT hUST) ≫ ((Cone.postcompose αF).obj c).π.app i

Tactic:
· simp [αF, c, Under.liftCone, c', c₀]

Goal state after:
case h₁
X Y S T : Scheme
f : T ⟶ S
g : Y ⟶ X
iX : X ⟶ S
iY : Y ⟶ T
H : IsPullback g iY iX f
US : S.Opens
UT : T.Opens
UX : X.Opens
hUST : UT ≤ f ⁻¹ᵁ US
hUSX : UX ≤ iX ⁻¹ᵁ US
UY : Y.Opens
hUY : UY = g ⁻¹ᵁ UX ⊓ iY ⁻¹ᵁ UT
ι : Type u
inst✝ : Finite ι
VX : ι → X.Opens
hVU : iSup VX = UX
hV : ∀ (i : ι), IsIso (pushoutSection H hUST ⋯ ⋯)
hV' : ∀ (i j : ι), Mono (pushoutSection H hUST ⋯ ⋯)
hT : (CommRingCat.Hom.hom (Scheme.Hom.appLE f US UT hUST)).Flat
D : CategoryTheory.Pairwise ι ⥤ X.Opens := ⋯
h : iSup D.obj = UX
c₀ : Cocone D := ⋯
F : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ ⥤ CommRingCat := ⋯
G : X.Opens ⥤ Y.Opens := ⋯
αF : F ⟶ D.op ⋙ G.op ⋙ Y.presheaf := ⋯
c : Cone F := ⋯
this : PreservesFiniteLimits (Under.pushout (Scheme.Hom.appLE f US UT hUST))
val✝ : Fintype ι
hc : IsLimit c := ⋯
c'₀ : Cocone (D ⋙ G) := ⋯
c' : Cone (D.op ⋙ G.op ⋙ Y.presheaf) := ⋯
hc' : IsLimit c' := ⋯
HαF₂ : ∀ (i j : ι), Mono (αF.app (op (Pairwise.pair i j)))
f₁ : c.pt ⟶ c'.pt := ⋯
f₂ : c'.pt ⟶ c.pt := ⋯
e : c.pt ≅ c'.pt := ⋯
e_3✝ : pushout (Scheme.Hom.appLE iX US UX hUSX) (Scheme.Hom.appLE f US UT hUST) = c.pt
e_4✝ : Γ(Y, UY) = c'.pt
i : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ
⊢ pushout.inr (Scheme.Hom.appLE iX US UX hUSX) (Scheme.Hom.appLE f US UT hUST) ≫
      pushoutSection H hUST hUSX hUY ≫ c'.π.app i =
    pushout.inr (Scheme.Hom.appLE iX US UX hUSX) (Scheme.Hom.appLE f US UT hUST) ≫ ((Cone.postcompose αF).obj c).π.app i