mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Rotation

Goal state before:
pp: case «1»
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ ↑(o.rotation θ).toLinearEquiv ((o.basisRightAngleRotation x hx) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)) =
    ((Matrix.toLin (o.basisRightAngleRotation x hx) (o.basisRightAngleRotation x hx)) !![θ.cos, -θ.sin; θ.sin, θ.cos])
      ((o.basisRightAngleRotation x hx) ((fun i ↦ i) ⟨1, ⋯⟩))

Tactic:
· rw [Matrix.toLin_self]
    simp [rotation_apply, Fin.sum_univ_succ, add_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Projection

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝⁵ : MetricSpace P
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P
s₁ s₂ : AffineSubspace 𝕜 P
inst✝³ : Nonempty ↥s₁
inst✝² : Nonempty ↥s₂
inst✝¹ : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst✝ : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
p : P
⊢ (reflection s₁) p = (reflection s₂) p ↔ ↑((orthogonalProjection s₁) p) = ↑((orthogonalProjection s₂) p)

Tactic:
rw [reflection_apply', reflection_apply']
  constructor
  · intro h
    rw [← @vsub_eq_zero_iff_eq V, vsub_vadd_eq_vsub_sub, vadd_vsub_assoc, add_comm, add_sub_assoc,
      vsub_sub_vsub_cancel_right, ←
      two_smul 𝕜 ((orthogonalProjection s₁ p : P) -ᵥ orthogonalProjection s₂ p), smul_eq_zero] at h
    simpa using h
  · intro h
    rw [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Projection

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 V
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 V₂
inst✝⁶ : MetricSpace P
inst✝⁵ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁴ : MetricSpace P₂
inst✝³ : NormedAddTorsor V₂ P₂
s : AffineSubspace 𝕜 P
inst✝² : Nonempty ↥s
inst✝¹ : s.direction.HasOrthogonalProjection
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
inst✝ : (map f.toAffineMap s).direction.HasOrthogonalProjection
p : P
⊢ ∀ u ∈ Submodule.map f.linearIsometry.toLinearMap s.direction,
    inner 𝕜 u (f.linear (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p))) = 0

Tactic:
intro u

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 V
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 V₂
inst✝⁶ : MetricSpace P
inst✝⁵ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁴ : MetricSpace P₂
inst✝³ : NormedAddTorsor V₂ P₂
s : AffineSubspace 𝕜 P
inst✝² : Nonempty ↥s
inst✝¹ : s.direction.HasOrthogonalProjection
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
inst✝ : (map f.toAffineMap s).direction.HasOrthogonalProjection
p : P
u : V₂
⊢ u ∈ Submodule.map f.linearIsometry.toLinearMap s.direction →
    inner 𝕜 u (f.linear (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p))) = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ o.oangle x (-y) = 0 → o.oangle x y = ↑π

Tactic:
· rintro ⟨hx, hy, h⟩
    rwa [o.oangle_neg_right hx hy, ← Real.Angle.sub_coe_pi_eq_add_coe_pi, sub_eq_zero] at h

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ SameRay ℝ x y ∨ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-y) ↔ ¬LinearIndependent ℝ ![x, y]

Tactic:
sameRay_or_ne_zero_and_sameRay_neg_iff_not_linearIndependent

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
⊢ ¬LinearIndependent ℝ ![x, y] ↔ ¬LinearIndependent ℝ ![x, y]
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
hp₂ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r = p₂
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hr0' : r ≠ 0
hr1' : r ≠ 1
hr0 : 0 < r
hr1 : r < 1
⊢ p₃ -ᵥ p₁ - r • (p₃ -ᵥ p₁) = -((-(1 - r) / r) • r • (p₃ -ᵥ p₁))

Tactic:
smul_smul,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
hp₂ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r = p₂
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hr0' : r ≠ 0
hr1' : r ≠ 1
hr0 : 0 < r
hr1 : r < 1
⊢ p₃ -ᵥ p₁ - r • (p₃ -ᵥ p₁) = -((-(1 - r) / r * r) • (p₃ -ᵥ p₁))
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hn : x ≠ 0
h : x = 0
⊢ False

Tactic:
exact hn h

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.Affine

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hp₃p₂ : p₃ = r • (p₁ -ᵥ p₂) +ᵥ p₂
⊢ ((1 / (1 - r)) • -r • (p₂ -ᵥ p₁) + (1 / (1 - r)) • (p₂ -ᵥ p₁)) +ᵥ p₁ = p₂

Tactic:
smul_smul,

Goal state after:
case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hp₃p₂ : p₃ = r • (p₁ -ᵥ p₂) +ᵥ p₂
⊢ ((1 / (1 - r) * -r) • (p₂ -ᵥ p₁) + (1 / (1 - r)) • (p₂ -ᵥ p₁)) +ᵥ p₁ = p₂
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₃ : P
r : ℝ
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r ≠ p₁
hr0' : r ≠ 0
hr0 : 0 < r
⊢ p₃ -ᵥ p₁ = r⁻¹ • r • (p₃ -ᵥ p₁)

Tactic:
smul_smul,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₃ : P
r : ℝ
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r ≠ p₁
hr0' : r ≠ 0
hr0 : 0 < r
⊢ p₃ -ᵥ p₁ = (r⁻¹ * r) • (p₃ -ᵥ p₁)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.Affine

Goal state before:
pp: case mp.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr0 : 0 < r
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
hr1 : 1 ≤ r
⊢ r⁻¹ • r • (p₁ -ᵥ p₂) +ᵥ p₂ = p₁

Tactic:
smul_smul,

Goal state after:
case mp.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr0 : 0 < r
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
hr1 : 1 ≤ r
⊢ (r⁻¹ * r) • (p₁ -ᵥ p₂) +ᵥ p₂ = p₁
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.Affine

Goal state before:
pp: case mp.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr0 : 0 < r
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
hr1 : 1 ≤ r
⊢ 1 • (p₁ -ᵥ p₂) +ᵥ p₂ = p₁

Tactic:
one_smul,

Goal state after:
case mp.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr0 : 0 < r
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
hr1 : 1 ≤ r
⊢ (p₁ -ᵥ p₂) +ᵥ p₂ = p₁
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ (o.oangle (x + y) y).sin * ‖x + y‖ = ‖x‖

Tactic:
by
  rw [← neg_inj, oangle_rev, ← oangle_neg_orientation_eq_neg, neg_inj] at h ⊢
  rw [add_comm]
  exact (-o).sin_oangle_add_right_mul_norm_of_oangle_eq_pi_div_two h

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ 0).succ → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0
h : m 0 • x + (m 1 • r • x + m 1 • y) = 0
⊢ (m 0 + m 1 * r) • x + m 1 • y = 0 ∧ (m 0 + m 1 * r ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0)

Tactic:
smul_smul,

Goal state after:
case refine_1
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ 0).succ → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0
h : m 0 • x + ((m 1 * r) • x + m 1 • y) = 0
⊢ (m 0 + m 1 * r) • x + m 1 • y = 0 ∧ (m 0 + m 1 * r ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ 0).succ → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0
h : m 0 • x + m 1 • y = 0
⊢ m 0 • x - (m 1 * r) • x + (m 1 • r • x + m 1 • y) = 0 ∧ (m 0 - m 1 * r ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0)

Tactic:
smul_smul,

Goal state after:
case refine_2
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
m : Fin (Nat.succ 0).succ → ℝ
hm : m 0 ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0
h : m 0 • x + m 1 • y = 0
⊢ m 0 • x - (m 1 * r) • x + ((m 1 * r) • x + m 1 • y) = 0 ∧ (m 0 - m 1 * r ≠ 0 ∨ m 1 ≠ 0)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ r₃ r₄ : ℝ
hr₁ : ¬r₁ = 0
⊢ (o.oangle (r₁ • x + r₂ • y) ((-r₃ / r₁) • r₁ • x + (-r₃ / r₁) • r₂ • y + (r₃ • x + r₄ • y))).sign =
    SignType.sign (r₁ * r₄ - r₂ * r₃) * (o.oangle x y).sign

Tactic:
smul_smul,

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ r₃ r₄ : ℝ
hr₁ : ¬r₁ = 0
⊢ (o.oangle (r₁ • x + r₂ • y) ((-r₃ / r₁ * r₁) • x + (-r₃ / r₁) • r₂ • y + (r₃ • x + r₄ • y))).sign =
    SignType.sign (r₁ * r₄ - r₂ * r₃) * (o.oangle x y).sign
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ r₃ r₄ : ℝ
hr₁ : ¬r₁ = 0
⊢ (o.oangle (r₁ • x + r₂ • y) ((-r₃ / r₁ * r₁) • x + (-r₃ / r₁) • r₂ • y + (r₃ • x + r₄ • y))).sign =
    SignType.sign (r₁ * r₄ - r₂ * r₃) * (o.oangle x y).sign

Tactic:
smul_smul,

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ r₃ r₄ : ℝ
hr₁ : ¬r₁ = 0
⊢ (o.oangle (r₁ • x + r₂ • y) ((-r₃ / r₁ * r₁) • x + (-r₃ / r₁ * r₂) • y + (r₃ • x + r₄ • y))).sign =
    SignType.sign (r₁ * r₄ - r₂ * r₃) * (o.oangle x y).sign
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ r₃ r₄ : ℝ
hr₁ : ¬r₁ = 0
⊢ (o.oangle (r₁ • x + r₂ • y) (-(r₃ • x) + (-r₃ / r₁ * r₂) • y + r₃ • x + r₄ • y)).sign =
    SignType.sign (r₁ * r₄ - r₂ * r₃) * (o.oangle x y).sign

Tactic:
add_comm (-(r₃ • x)),

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ r₃ r₄ : ℝ
hr₁ : ¬r₁ = 0
⊢ (o.oangle (r₁ • x + r₂ • y) ((-r₃ / r₁ * r₂) • y + -(r₃ • x) + r₃ • x + r₄ • y)).sign =
    SignType.sign (r₁ * r₄ - r₂ * r₃) * (o.oangle x y).sign
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h : 2 • ∡ p₂ p₃ p₁ = 2 • ∡ p₄ p₆ p₅
h₁₂₃ : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h₄₅₆ : ∠ p₄ p₅ p₆ = π / 2
⊢ ∡ p₂ p₃ p₁ = ∡ p₄ p₆ p₅

Tactic:
by
  refine (Real.Angle.two_zsmul_eq_iff_eq_of_abs_toReal_lt_pi_div_two
    (abs_oangle_toReal_lt_pi_div_two_of_angle_eq_pi_div_two h₁₂₃) ?_).1 h
  rw [oangle_rev, Real.Angle.abs_toReal_neg]
  exact abs_oangle_toReal_lt_pi_div_two_of_angle_eq_pi_div_two h₄₅₆

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
p p' : P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : s₁.direction.HasOrthogonalProjection
inst✝ : s₂.direction.HasOrthogonalProjection
hp'₁ : p' ∈ s₁
hp'₂ : p' ∈ s₂
h' : p ∈ s₁ ∨ p ∈ s₂
⊢ dist p ↑((orthogonalProjection s₁) p) = dist p ↑((orthogonalProjection s₂) p) ↔
    ∠ p p' ↑((orthogonalProjection s₁) p) = ∠ p p' ↑((orthogonalProjection s₂) p)

Tactic:
by
  have : Nonempty s₁ := ⟨p', hp'₁⟩
  have : Nonempty s₂ := ⟨p', hp'₂⟩
  rcases h' with h' | h'
  · exact dist_orthogonalProjection_eq_iff_angle_eq_aux₁ hp'₁ hp'₂ h'
  · nth_rw 1 [eq_comm]
    nth_rw 2 [eq_comm]
    exact dist_orthogonalProjection_eq_iff_angle_eq_aux₁ hp'₂ hp'₁ h'

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.SignedDist

Goal state before:
pp: case neg.refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p q : P
h✝ : ¬v = 0
h : ‖q -ᵥ p‖ • v = ‖v‖ • (q -ᵥ p)
⊢ ∃ a, ↑a • v = q -ᵥ p

Tactic:
simp only [NNReal.exists, coe_mk, exists_prop]

Goal state after:
case neg.refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p q : P
h✝ : ¬v = 0
h : ‖q -ᵥ p‖ • v = ‖v‖ • (q -ᵥ p)
⊢ ∃ x, 0 ≤ x ∧ x • v = q -ᵥ p
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.SignedDist

Goal state before:
pp: case h.right
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p q : P
h✝ : ¬v = 0
h : ‖q -ᵥ p‖ • v = ‖v‖ • (q -ᵥ p)
⊢ ‖v‖⁻¹ • ‖v‖ • (q -ᵥ p) = q -ᵥ p

Tactic:
smul_smul,

Goal state after:
case h.right
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p q : P
h✝ : ¬v = 0
h : ‖q -ᵥ p‖ • v = ‖v‖ • (q -ᵥ p)
⊢ (‖v‖⁻¹ * ‖v‖) • (q -ᵥ p) = q -ᵥ p
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.SignedDist

Goal state before:
pp: case neg.refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p q : P
h✝ : ¬v = 0
x✝ : ∃ a, ↑a • v = q -ᵥ p
c : ℝ≥0
h : ↑c • v = q -ᵥ p
⊢ (‖↑c‖ * ‖v‖) • v = ‖v‖ • ↑c • v

Tactic:
smul_smul,

Goal state after:
case neg.refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p q : P
h✝ : ¬v = 0
x✝ : ∃ a, ↑a • v = q -ᵥ p
c : ℝ≥0
h : ↑c • v = q -ᵥ p
⊢ (‖↑c‖ * ‖v‖) • v = (‖v‖ * ↑c) • v
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Bisector

Goal state before:
pp: case e_a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
h₂ : p₁ ≠ p₂
h' : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = p₁
hp : p ≠ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
hpm : p ∉ line[ℝ, p₁, p₂]
h : inner ℝ (p -ᵥ p₁) (p₃ -ᵥ p₁) = 0
⊢ ∀ u ∈ line[ℝ, p₁, p₃].direction, inner ℝ (p -ᵥ p₁) u = 0

Tactic:
intro u

Goal state after:
case e_a
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p p₁ p₂ p₃ : P
h₂ : p₁ ≠ p₂
h' : ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p) = p₁
hp : p ≠ ↑((orthogonalProjection line[ℝ, p₁, p₂]) p)
hpm : p ∉ line[ℝ, p₁, p₂]
h : inner ℝ (p -ᵥ p₁) (p₃ -ᵥ p₁) = 0
u : V
⊢ u ∈ line[ℝ, p₁, p₃].direction → inner ℝ (p -ᵥ p₁) u = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: case refine_1.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
h' : (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ≤ (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
r : ℝ
hr : r • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center
hp : 1 - r = 0 ∨ r = 0
⊢ p = q ∨ q = s.center

Tactic:
rcases hp with hp | rfl

Goal state after:
case refine_1.inl.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
h' : (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ≤ (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
r : ℝ
hr : r • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center
hp : 1 - r = 0
⊢ p = q ∨ q = s.center

case refine_1.inl.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
h' : (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ≤ (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
hr : 0 • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center
⊢ p = q ∨ q = s.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: case refine_1.inl.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
h' : (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ≤ (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
r : ℝ
hr : 1 • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center
hp : 1 = r
⊢ p = q ∨ q = s.center

Tactic:
one_smul,

Goal state after:
case refine_1.inl.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
h' : (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ≤ (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
r : ℝ
hr : p -ᵥ s.center = q -ᵥ s.center
hp : 1 = r
⊢ p = q ∨ q = s.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: case inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
hs : s.center ∈ s
hsp : p = s.center
⊢ p ∈ s

Tactic:
rwa [← hsp] at hs

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥as
inst✝ : as.direction.HasOrthogonalProjection
h : dist s.center ↑((orthogonalProjection as) s.center) = s.radius
⊢ s.IsTangentAt (↑((orthogonalProjection as) s.center)) as

pp: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥as
inst✝ : as.direction.HasOrthogonalProjection
h : s.IsTangentAt (↑((orthogonalProjection as) s.center)) as
⊢ dist s.center ↑((orthogonalProjection as) s.center) = s.radius

Tactic:
· refine ⟨?_, orthogonalProjection_mem _, fun p hp ↦ ?_⟩
    · rwa [mem_sphere']
    · rw [mem_orthRadius_iff_inner_left]
      exact orthogonalProjection_vsub_mem_direction_orthogonal as s.center _
        (vsub_orthogonalProjection_mem_direction s.center hp)

Goal state after:
case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
as : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥as
inst✝ : as.direction.HasOrthogonalProjection
h : s.IsTangentAt (↑((orthogonalProjection as) s.center)) as
⊢ dist s.center ↑((orthogonalProjection as) s.center) = s.radius
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
hf2 : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center ≤ s.radius
hpc : p ≠ s.center
v : V
hv : v ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ
hv1 : ‖v‖ = 1
hr : 0 ≤ s.radius
hv0 : v ≠ 0
hf : ∀ (w : ↥(ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ), ∃ c, c • ⟨v, hv⟩ = w
w : V
hw : w ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ
⊢ ∃ c, c • v = w

Tactic:
simpa using hf ⟨w, hw⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁶ : MetricSpace P
inst✝⁵ : NormedAddTorsor V P
V₂ : Type u_3
P₂ : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₂ P₂
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
f : P →ᵃⁱ[ℝ] P₂
x✝¹ : Finset (Fin (n + 1))
x✝ : Fin (n + 1)
⊢ (s.map f.toAffineMap ⋯).excenterWeights x✝¹ x✝ = s.excenterWeights x✝¹ x✝

Tactic:
simp [excenterWeights]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
S : AffineSubspace ℝ P
hS : affineSpan ℝ (Set.range s.points) ≤ S
x✝¹ : Finset (Fin (n + 1))
x✝ : Fin (n + 1)
⊢ (s.restrict S hS).excenterWeights x✝¹ x✝ = s.excenterWeights x✝¹ x✝

Tactic:
simp [excenterWeights]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
hf2 : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center < s.radius
hpc : p ≠ s.center
v : ↥(s.orthRadius p).direction
hv : ∀ (w : ↥(s.orthRadius p).direction), ∃ c, c • v = w
hv0 : ↑v ≠ 0
⊢ (√(s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2) / ‖v‖) • ↑v +ᵥ p ≠ -((√(s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2) / ‖v‖) • ↑v) +ᵥ p

Tactic:
rw [ne_eq, vadd_right_cancel_iff, ← add_eq_zero_iff_eq_neg, ← two_smul ℝ,
    smul_eq_zero_iff_right two_ne_zero, smul_eq_zero_iff_left hv0, div_eq_iff, zero_mul]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
hf2 : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center < s.radius
hpc : p ≠ s.center
v : ↥(s.orthRadius p).direction
hv : ∀ (w : ↥(s.orthRadius p).direction), ∃ c, c • v = w
hv0 : ↑v ≠ 0
⊢ ¬√(s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2) = 0

V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
hf2 : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center < s.radius
hpc : p ≠ s.center
v : ↥(s.orthRadius p).direction
hv : ∀ (w : ↥(s.orthRadius p).direction), ∃ c, c • v = w
hv0 : ↑v ≠ 0
⊢ ‖v‖ ≠ 0