mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
ht : StrictConvex 𝕜 t
⊢ StrictConvex 𝕜 (s + t)

Tactic:
rintro _ ⟨v, hv, w, hw, rfl⟩ _ ⟨x, hx, y, hy, rfl⟩ h a b ha hb hab
  rw [smul_add, smul_add, add_add_add_comm]
  obtain rfl | hvx := eq_or_ne v x
  · refine interior_mono (add_subset_add (singleton_subset_iff.2 hv) Subset.rfl) ?_
    rw [Convex.combo_self hab, singleton_add]
    exact
      (isOpenMap_add_left _).image_interior_subset _
        (mem_image_of_mem _ <| ht hw hy (ne_of_apply_ne _ h) ha hb hab)
  exact
    subset_interior_add_left
      (add_mem_add (hs hv hx hvx ha hb hab) <| ht.convex hw hy ha.le hb.le hab)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁹ : Semiring 𝕜
inst✝⁸ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommMonoid β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMul 𝕜 α
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g : β → α
hg : StrictConvexOn 𝕜 (f '' s) g
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg' : MonotoneOn g (f '' s)
hf' : InjOn f s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) ∈ f '' s

Tactic:
exact mem_image_of_mem f <| hf.left hx hy ha.le hb.le hab

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
c : E
⊢ ConvexOn 𝕜 ((fun z ↦ c + z) ⁻¹' s) (f ∘ fun z ↦ z + c)

Tactic:
simpa only [add_comm c] using hf.translate_right c

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
ha : 0 ≤ 0
hb : 0 ≤ 1
⊢ f (1 • y) ≤ 1 • f y

Tactic:
one_smul,

Goal state after:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
ha : 0 ≤ 0
hb : 0 ≤ 1
⊢ f y ≤ f y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: case inr.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hb : 0 ≤ 0
ha : 0 ≤ 1
ha' : 0 < 1
⊢ f (1 • x) ≤ 1 • f x

Tactic:
one_smul,

Goal state after:
case inr.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hb : 0 ≤ 0
ha : 0 ≤ 1
ha' : 0 < 1
⊢ f x ≤ f x
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : s.Pairwise fun x y ↦ ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hy : x ∈ s
⊢ f (a • x + b • x) ≤ a • f x + b • f x

Tactic:
rw [Convex.combo_self hab, Convex.combo_self hab]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
b₁ b₂ : P
⊢ b₁ -ᵥ b₂ + 1 • (b₂ -ᵥ b₁) = 0

Tactic:
one_smul,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
b₁ b₂ : P
⊢ b₁ -ᵥ b₂ + (b₂ -ᵥ b₁) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
b : P
c : k
⊢ ∑ x ∈ s, (c • w x) • (p x -ᵥ b) = ∑ x ∈ s, c • w x • (p x -ᵥ b)

Tactic:
smul_smul,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
b : P
c : k
⊢ ∑ x ∈ s, (c • w x) • (p x -ᵥ b) = ∑ x ∈ s, (c * w x) • (p x -ᵥ b)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
⊢ 1 • (p -ᵥ Classical.choice ⋯) +ᵥ Classical.choice ⋯ = p

Tactic:
one_smul,

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
⊢ (p -ᵥ Classical.choice ⋯) +ᵥ Classical.choice ⋯ = p
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:

Tactic:
f z < _ := hf.2 hx hy hxy (by simp) (by simp) <| by norm_num
    _ ≤ (2 : 𝕜)⁻¹ • f z + (2 : 𝕜)⁻¹ • f z := by gcongr; exacts [hfx hz, hfy hz]
    _ = f z := by rw [← _root_.add_smul]; norm_num

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i1 : ι
h : AffineIndependent k p
s : Finset { x // x ≠ i1 }
g : { x // x ≠ i1 } → k
hg : ∑ i ∈ s, g i • (p ↑i -ᵥ p i1) = 0
i : { x // x ≠ i1 }
hi : i ∈ s
f : ι → k := fun x ↦ if hx : x = i1 then -∑ y ∈ s, g y else g ⟨x, hx⟩
hfdef : f = fun x ↦ if hx : x = i1 then -∑ y ∈ s, g y else g ⟨x, hx⟩
s2 : Finset ι := insert i1 (map (Embedding.subtype fun x ↦ x ≠ i1) s)
hfg : ∀ (x : { x // x ≠ i1 }), g x = f ↑x
⊢ ∑ ι ∈ s2, f ι = 0

Tactic:
Finset.sum_insert
            (Finset.notMem_map_subtype_of_not_property s (Classical.not_not.2 rfl)),

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i1 : ι
h : AffineIndependent k p
s : Finset { x // x ≠ i1 }
g : { x // x ≠ i1 } → k
hg : ∑ i ∈ s, g i • (p ↑i -ᵥ p i1) = 0
i : { x // x ≠ i1 }
hi : i ∈ s
f : ι → k := fun x ↦ if hx : x = i1 then -∑ y ∈ s, g y else g ⟨x, hx⟩
hfdef : f = fun x ↦ if hx : x = i1 then -∑ y ∈ s, g y else g ⟨x, hx⟩
s2 : Finset ι := insert i1 (map (Embedding.subtype fun x ↦ x ≠ i1) s)
hfg : ∀ (x : { x // x ≠ i1 }), g x = f ↑x
⊢ f i1 + ∑ x ∈ map (Embedding.subtype fun x ↦ x ≠ i1) s, f x = 0
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
ι : Type u_11
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
r : ℝ≥0
⊢ (s.sup p).closedBall x ↑r = ⋂ i ∈ s, (p i).closedBall x ↑r

Tactic:
simp_rw [closedBall, iInter_ofPred, finset_sup_apply, NNReal.coe_le_coe, Finset.sup_le_iff, ←
    NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_mk]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p1 : P
p : ι → P
h : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
⊢ ∃ w, ∑ i, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) w

Tactic:
by
  classical
    obtain ⟨s, w, hw, rfl⟩ := eq_affineCombination_of_mem_affineSpan h
    refine
      ⟨(s : Set ι).indicator w, ?_, Finset.affineCombination_indicator_subset w p s.subset_univ⟩
    simp only [Finset.mem_coe, Set.indicator_apply, ← hw]
    rw [Fintype.sum_extend_by_zero s w]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁
⊢ Absorbs 𝕜 (p.ball 0 r₁) (p.ball 0 r₂)

Tactic:
rcases exists_pos_lt_mul hr₁ r₂ with ⟨r, hr₀, hr⟩
  refine .of_norm ⟨r, fun a ha x hx => ?_⟩
  rw [smul_ball_zero (norm_pos_iff.1 <| hr₀.trans_le ha), p.mem_ball_zero]
  rw [p.mem_ball_zero] at hx
  exact hx.trans (hr.trans_le <| by gcongr)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
k : Type u_5
V : Type u_6
P : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
⊢ (b.coord i) ((Finset.affineCombination k s ⇑b) w) = w i

Tactic:
by
  classical simp only [coord_apply, hi, Finset.affineCombination_eq_linear_combination, if_true,
      mul_boole, hw, Function.comp_apply, smul_eq_mul, s.sum_ite_eq,
      s.map_affineCombination b w hw]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : SMul ℝ 𝕜
inst✝³ : NormSMulClass ℝ 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
⊢ Convex ℝ (p.ball x r)

Tactic:
convert! (p.convexOn.translate_left (-x)).convex_lt r
  ext y
  rw [preimage_univ, sep_univ, p.mem_ball, sub_eq_add_neg]
  rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Restrict

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
h : AffineSubspace.map φ E = F
x : P₂
hx : x ∈ F
⊢ ∃ a, (φ.restrict ⋯) a = ⟨x, hx⟩

Tactic:
rw [← h, AffineSubspace.mem_map] at hx

Goal state after:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
h : AffineSubspace.map φ E = F
x : P₂
hx✝ : x ∈ F
hx : ∃ y ∈ E, φ y = x
⊢ ∃ a, (φ.restrict ⋯) a = ⟨x, hx✝⟩
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
h : (affineCombination k s p) w₁ = (affineCombination k s p) w₂
hi : (↑s).indicator w₁ = (↑s).indicator w₂
i : ι
hs : i ∈ s
⊢ (↑s).indicator w₁ i = (↑s).indicator w₂ i

Tactic:
simp [hi]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.PathConnected

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
a b : E
⊢ EqOn ⇑(Path.segment a b).extend ⇑(lineMap a b) I

Tactic:
intro t ht

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
a b : E
t : ℝ
ht : t ∈ I
⊢ (Path.segment a b).extend t = (lineMap a b) t
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Group.Torsor

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : Group V
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : Torsor V P
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : IsTopologicalTorsor P
p : P
x : V × V
⊢ x.1 * x.2 = x.1 • x.2 • p /ₛ p

Tactic:
smul_smul,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : Group V
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : Torsor V P
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : IsTopologicalTorsor P
p : P
x : V × V
⊢ x.1 * x.2 = (x.1 * x.2) • p /ₛ p
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
w' : Fin (m + 1) → k
hi✝ : ∀ (i : Fin (m + 1)), w' i ∈ I
hw' : ∑ i, w' i = 1
he : (affineCombination k univ s.points) w = (affineCombination k univ (s.face h).points) w'
he' : (Set.range ⇑(fs.orderEmbOfFin h).toEmbedding).indicator (extend (⇑(fs.orderEmbOfFin h).toEmbedding) w' 0) = w
i : Fin (n + 1)
hi : i ∉ fs
⊢ (Set.range ⇑(fs.orderEmbOfFin h).toEmbedding).indicator (extend (⇑(fs.orderEmbOfFin h).toEmbedding) w' 0) i = 0

Tactic:
simp [hi]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
ι : Type u_5
α : Type u_7
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : Module R α
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : IsOrderedAddMonoid α
inst✝ : PosSMulMono R α
s : Finset ι
f : ι → α
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : 0 < ∑ i ∈ s, w i
⊢ s.centerMass w f ≤ s.sup' ⋯ f

Tactic:
rw [centerMass, inv_smul_le_iff_of_pos hw₁, sum_smul]
  exact sum_le_sum fun i hi => smul_le_smul_of_nonneg_left (le_sup' _ hi) <| hw₀ i hi

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
x✝ : (∀ i ∈ fs, w i ∈ I) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0
hii : ∀ i ∈ fs, w i ∈ I
hi0 : ∀ i ∉ fs, w i = 0
w' : Fin (m + 1) → k := w ∘ ⇑(fs.orderEmbOfFin h)
hw' : ∑ i, w' i = 1
hw'01 : (affineCombination k univ (s.face h).points) w' ∈ Simplex.setInterior I (s.face h)
⊢ (affineCombination k univ s.points) w = (affineCombination k univ (s.face h).points) w'

Tactic:
convert! Finset.univ.affineCombination_map (fs.orderEmbOfFin h).toEmbedding w s.points using 1

Goal state after:
case e'_2
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
I : Set k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : #fs = m + 1
w : Fin (n + 1) → k
hw : ∑ i, w i = 1
x✝ : (∀ i ∈ fs, w i ∈ I) ∧ ∀ i ∉ fs, w i = 0
hii : ∀ i ∈ fs, w i ∈ I
hi0 : ∀ i ∉ fs, w i = 0
w' : Fin (m + 1) → k := w ∘ ⇑(fs.orderEmbOfFin h)
hw' : ∑ i, w' i = 1
hw'01 : (affineCombination k univ (s.face h).points) w' ∈ Simplex.setInterior I (s.face h)
⊢ (affineCombination k univ s.points) w =
    (affineCombination k (Finset.map (fs.orderEmbOfFin h).toEmbedding univ) s.points) w
Module: Mathlib.Topology.Connected.LocallyPathConnected

Goal state before:
pp: X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
p : X → ι → Prop
s : X → ι → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis (p x) (s x)
h' : ∀ (x : X) (i : ι), p x i → IsPathConnected (s x i)
x : X
⊢ ∀ t ∈ 𝓝 x, ∃ r ∈ 𝓝 x, IsPathConnected r ∧ r ⊆ t

Tactic:
intro t ht

Goal state after:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
p : X → ι → Prop
s : X → ι → Set X
h : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis (p x) (s x)
h' : ∀ (x : X) (i : ι), p x i → IsPathConnected (s x i)
x : X
t : Set X
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ ∃ r ∈ 𝓝 x, IsPathConnected r ∧ r ⊆ t
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
v : ι → E
x : E
hx : x ∈ Set.range v
i : ι
hi : v i = x
⊢ (affineCombination R {i} v) (const ι 1) = x

Tactic:
simp [hi]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
v : ι → E
s : Finset ι
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1
s' : Finset ι
w' : ι → R
hw₀' : ∀ i ∈ s', 0 ≤ w' i
hw₁' : s'.sum w' = 1
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
W : ι → R := fun i ↦ (if i ∈ s then a * w i else 0) + if i ∈ s' then b * w' i else 0
⊢ a • (affineCombination R s v) w + b • (affineCombination R s' v) w' ∈
    {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x}

Tactic:
have hW₁ : (s ∪ s').sum W = 1 := by
      rw [sum_add_distrib, ← sum_subset subset_union_left,
        ← sum_subset subset_union_right, sum_ite_of_true,
        sum_ite_of_true, ← mul_sum, ← mul_sum, hw₁, hw₁', ← add_mul, hab,
        mul_one] <;> intros <;> simp_all

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
v : ι → E
s : Finset ι
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1
s' : Finset ι
w' : ι → R
hw₀' : ∀ i ∈ s', 0 ≤ w' i
hw₁' : s'.sum w' = 1
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
W : ι → R := fun i ↦ (if i ∈ s then a * w i else 0) + if i ∈ s' then b * w' i else 0
hW₁ : (s ∪ s').sum W = 1
⊢ a • (affineCombination R s v) w + b • (affineCombination R s' v) w' ∈
    {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x}
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Module.Convex

Goal state before:
pp: case pos
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : Nontrivial F
x✝ : F
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : F
h : x ∈ closedBall 0 r
U : Set F
hU_sub : sphere 0 r ⊆ U
hU : Convex ℝ U
zero_mem : 0 ∈ U
hr₀ : ¬r = 0
x_zero : x = 0
⊢ x ∈ U

pp: case neg
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : Nontrivial F
x✝ : F
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : F
h : x ∈ closedBall 0 r
U : Set F
hU_sub : sphere 0 r ⊆ U
hU : Convex ℝ U
zero_mem : 0 ∈ U
hr₀ : ¬r = 0
x_zero : ¬x = 0
⊢ x ∈ U

Tactic:
· rwa [x_zero]

Goal state after:
case neg
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : Nontrivial F
x✝ : F
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : F
h : x ∈ closedBall 0 r
U : Set F
hU_sub : sphere 0 r ⊆ U
hU : Convex ℝ U
zero_mem : 0 ∈ U
hr₀ : ¬r = 0
x_zero : ¬x = 0
⊢ x ∈ U
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Jensen

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
j k : ι
hjk : p j ≠ p k
u : Finset ι
hj✝ : j ∉ u
hk✝ : k ∉ u
h₀ : ∀ i ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯, p i ∈ s
hj : j ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯
hk : k ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯
this✝¹ : k ∈ (cons j (cons k u hk✝) ⋯).erase j
this✝ : 0 < w j
this : 0 < w k
c : 𝕜 := w j + w k
hc : w j / c + w k / c = 1
⊢ f (w j • p j + (w k • p k + ∑ x ∈ u, w x • p x)) = f (c • ((w j / c) • p j + (w k / c) • p k) + ∑ x ∈ u, w x • p x)

Tactic:
congrm f ?_
      match_scalars <;> simp [field, c]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Jensen

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Field 𝕜
inst✝⁸ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup β
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : IsOrderedAddMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : IsStrictOrderedModule 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
w : ι → 𝕜
p : ι → E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
j k : ι
hjk : p j ≠ p k
u : Finset ι
hj✝ : j ∉ u
hk✝ : k ∉ u
h₀ : ∀ i ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯, p i ∈ s
hj : j ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯
hk : k ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯
this✝¹ : k ∈ (cons j (cons k u hk✝) ⋯).erase j
this✝ : 0 < w j
this : 0 < w k
c : 𝕜 := w j + w k
hc : w j / c + w k / c = 1
i : ι
hi : i ∈ u
⊢ i ∈ cons j (cons k u hk✝) ⋯

Tactic:
simp [hi]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case fst
R : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
t : Set F
x : E
y : F
ι : Type
w✝¹ : Fintype ι
w : ι → R
f : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i, w i = 1
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s
hf : ∑ i, w i • f i = x
κ : Type
w✝ : Fintype κ
v : κ → R
g : κ → F
hv₀ : ∀ (i : κ), 0 ≤ v i
hv₁ : ∑ i, v i = 1
hgt : ∀ (i : κ), g i ∈ t
hg : ∑ i, v i • g i = y
h_sum : ∑ i, w i.1 * v i.2 = 1
⊢ 1 • ∑ j, w j • f j = x

Tactic:
one_smul,

Goal state after:
case fst
R : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
t : Set F
x : E
y : F
ι : Type
w✝¹ : Fintype ι
w : ι → R
f : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i, w i = 1
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s
hf : ∑ i, w i • f i = x
κ : Type
w✝ : Fintype κ
v : κ → R
g : κ → F
hv₀ : ∀ (i : κ), 0 ≤ v i
hv₁ : ∑ i, v i = 1
hgt : ∀ (i : κ), g i ∈ t
hg : ∑ i, v i • g i = y
h_sum : ∑ i, w i.1 * v i.2 = 1
⊢ ∑ j, w j • f j = x
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Module.UniformConvergence

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup H
inst✝⁸ : Module 𝕜 H
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : IsUniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
hφ : IsInducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)
h : ∀ (u : H), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ u))
⊢ ContinuousSMul 𝕜 H

Tactic:
have : IsTopologicalAddGroup H :=
    let ofFun' : (α → E) →+ (α →ᵤ E) := AddMonoidHom.id _
    IsInducing.topologicalAddGroup (ofFun'.comp (φ : H →+ (α → E))) hφ

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup H
inst✝⁸ : Module 𝕜 H
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : IsUniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
hφ : IsInducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)
h : ∀ (u : H), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ u))
this : IsTopologicalAddGroup H
⊢ ContinuousSMul 𝕜 H