mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
⊢ ∃ x, x ∉ L

Tactic:
contrapose! hnfd
      rw [show L = ⊤ from eq_top_iff.2 fun x _ ↦ hnfd x] at fin
      exact topEquiv.toLinearEquiv.finiteDimensional

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg :
  ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E),
    minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
⊢ f = minpoly K ((aeval (root p)) g)

Tactic:
refine minpoly.eq_of_irreducible_of_monic hf ?_ hfm

Goal state after:
K : Type u
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg :
  ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E),
    minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
⊢ (aeval ((aeval (root p)) g)) f = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Pi

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
f : ι → End R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
h : ∀ (l : ι) (χ : ι → R), MapsTo (⇑(f l)) (⨅ i, ↑((f i).maxGenEigenspace (χ i))) (⨅ i, ↑((f i).maxGenEigenspace (χ i)))
χ₁ : ι → R
s : Finset (ι → R)
⊢ χ₁ ∉ s → Disjoint (⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₁ i)) (s.sup fun χ ↦ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i))

Tactic:
induction s using Finset.induction_on with

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IntermediateField.Adjoin.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg :
  ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E),
    minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝¹ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this✝ : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree
key₂ :
  Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K ((aeval (root p)) g)) =
    minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)
key₂' : finrank (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) Kx = g.natDegree
this : f.natDegree * g.natDegree = finrank K Kx
⊢ p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree

Tactic:
(AdjoinRoot.powerBasis hp₁.ne_zero).finrank,

Goal state after:
K : Type u
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg :
  ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E),
    minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝¹ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this✝ : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree
key₂ :
  Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K ((aeval (root p)) g)) =
    minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)
key₂' : finrank (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) Kx = g.natDegree
this : f.natDegree * g.natDegree = (powerBasis ⋯).dim
⊢ p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Triangularizable

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hm₂ : m μ ∈ (f.genEigenspace μ) k
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ ((f - i • 1) ^ l i).ker
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ ↦ (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
hg₀ : g (m.sum fun _μ mμ ↦ mμ) = g (m μ)
hg₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
hg₂ : MapsTo ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)
hg₃ : InjOn ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k)
hg₄ : SurjOn ⇑g ↑(p ⊓ (f.genEigenspace μ) k) ↑(p ⊓ (f.genEigenspace μ) k)
y : V
hy₂ : g y = g (m μ)
hy₀ : y ∈ p
hy₁ : y ∈ (f.genEigenspace μ) k
⊢ m μ ∈ p

Tactic:
← hg₃ hy₁ hm₂ hy₂

Goal state after:
case pos
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₀ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi ↦ xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hm₂ : m μ ∈ (f.genEigenspace μ) k
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ ((f - i • 1) ^ l i).ker
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ ↦ (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
hg₀ : g (m.sum fun _μ mμ ↦ mμ) = g (m μ)
hg₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
hg₂ : MapsTo ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)
hg₃ : InjOn ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k)
hg₄ : SurjOn ⇑g ↑(p ⊓ (f.genEigenspace μ) k) ↑(p ⊓ (f.genEigenspace μ) k)
y : V
hy₂ : g y = g (m μ)
hy₀ : y ∈ p
hy₁ : y ∈ (f.genEigenspace μ) k
⊢ y ∈ p
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
h e f : L
inst✝ : IsAddTorsionFree M
t : IsSl2Triple h e f
m : M
μ ρ : R
hm : m ≠ 0
hm' : ⁅h, m⁆ = μ • m
he : ⁅e, m⁆ = ρ • m
⊢ ρ • μ • m - μ • ρ • m = 0

Tactic:
smul_smul,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
h e f : L
inst✝ : IsAddTorsionFree M
t : IsSl2Triple h e f
m : M
μ ρ : R
hm : m ≠ 0
hm' : ⁅h, m⁆ = μ • m
he : ⁅e, m⁆ = ρ • m
⊢ (ρ * μ) • m - μ • ρ • m = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Sl2

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
h e f : L
inst✝ : IsAddTorsionFree M
t : IsSl2Triple h e f
m : M
μ ρ : R
hm : m ≠ 0
hm' : ⁅h, m⁆ = μ • m
he : ⁅e, m⁆ = ρ • m
⊢ (ρ * μ) • m - μ • ρ • m = 0

Tactic:
smul_smul,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
h e f : L
inst✝ : IsAddTorsionFree M
t : IsSl2Triple h e f
m : M
μ ρ : R
hm : m ≠ 0
hm' : ⁅h, m⁆ = μ • m
he : ⁅e, m⁆ = ρ • m
⊢ (ρ * μ) • m - (μ * ρ) • m = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
⊢ IsNilpotent L (M ⧸ posFittingComp R L M)

Tactic:
rw [LieModule.isNilpotent_iff_forall' (R := R)]

Goal state after:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
⊢ ∀ (x : L), _root_.IsNilpotent ((toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
χ : L → R
x : L
this :
  (trace R ↥(genWeightSpace M χ)) ((toEnd R L ↥(genWeightSpace M χ)) x) -
      χ x • (trace R ↥(genWeightSpace M χ)) LinearMap.id =
    0
⊢ (trace R ↥(genWeightSpace M χ)) ((toEnd R L ↥(genWeightSpace M χ)) x) = finrank R ↥(genWeightSpace M χ) • χ x

Tactic:
trace_id,

Goal state after:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
χ : L → R
x : L
this :
  (trace R ↥(genWeightSpace M χ)) ((toEnd R L ↥(genWeightSpace M χ)) x) - χ x • ↑(finrank R ↥(genWeightSpace M χ)) = 0
⊢ (trace R ↥(genWeightSpace M χ)) ((toEnd R L ↥(genWeightSpace M χ)) x) = finrank R ↥(genWeightSpace M χ) • χ x
Module: Mathlib.Algebra.Lie.InvariantForm

Goal state before:
pp: case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
hI : I = ⊥
⊢ I ≤ sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ I}

Tactic:
exact hI.le.trans bot_le

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.InvariantForm

Goal state before:
pp: case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
⊢ sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ J' ⊓ I} ≤ sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ I}

Tactic:
apply sSup_le_sSup

Goal state after:
case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := ⋯
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
⊢ {J | IsAtom J ∧ J ≤ J' ⊓ I} ⊆ {J | IsAtom J ∧ J ≤ I}
Module: Mathlib.Order.BooleanGenerators

Goal state before:
pp: case h.right.a
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
T : (b : α) → IsCompactElement b → b ≤ sSup S → Set α
hT₁ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), T b a a_1 ⊆ S
hT₂ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), b = sSup (T b a a_1)
c : α
hc : c ∈ C
⊢ sSup (T c ⋯ ⋯) ≤ sSup (sSup {x | ∃ c ∈ C, ∃ (h₁ : IsCompactElement c) (h₂ : c ≤ sSup S), T c h₁ h₂ = x})

Tactic:
apply sSup_le_sSup

Goal state after:
case h.right.a
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
T : (b : α) → IsCompactElement b → b ≤ sSup S → Set α
hT₁ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), T b a a_1 ⊆ S
hT₂ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), b = sSup (T b a a_1)
c : α
hc : c ∈ C
⊢ T c ⋯ ⋯ ⊆ sSup {x | ∃ c ∈ C, ∃ (h₁ : IsCompactElement c) (h₂ : c ≤ sSup S), T c h₁ h₂ = x}
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Semisimple.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
I : LieIdeal R L
hI : IsAtom I
J : LieIdeal R ↥I
y : ↥I
hy : y ∈ ↑↑J
a : L
ha : a ∈ I
b : L
hb : b ∈ sSup ({I' | IsAtom I'} \ {I})
this : ⁅b, ↑y⁆ = 0
⊢ ⁅b, ↑I.incl y⁆ ∈ Submodule.map ↑I.incl ↑J

Tactic:
by erw [this]; simp only [zero_mem]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Basic

Goal state before:
pp: case lie
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y : L
this : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ lieSpan R L (range b.f), ⁅b.e i, x⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
u v : L
hu : u ∈ lieSpan R L (range b.e)
hv : v ∈ lieSpan R L (range b.e)
hu' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅u, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
hv' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅v, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
z : L
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
⊢ ⁅⁅u, v⁆, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper

Tactic:
lie_lie

Goal state after:
case lie
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
b : Basis ι H
y : L
this : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ lieSpan R L (range b.f), ⁅b.e i, x⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower
u v : L
hu : u ∈ lieSpan R L (range b.e)
hv : v ∈ lieSpan R L (range b.e)
hu' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅u, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
hv' : ∀ {z : L}, z ∈ lieSpan R L (range b.f) → ⁅v, z⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
z : L
hz : z ∈ lieSpan R L (range b.f)
⊢ ⁅u, ⁅v, z⁆⁆ - ⁅v, ⁅u, z⁆⁆ ∈ H.toLieSubmodule ⊔ b.borelLower ⊔ b.borelUpper
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Linear

Goal state before:
pp: k : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : LieRingModule L M
inst✝⁸ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝⁷ : Field k
inst✝⁶ : LieAlgebra k L
inst✝⁵ : Module k M
inst✝⁴ : Module.Finite k M
inst✝³ : LieModule k L M
inst✝² : LinearWeights k L M
inst✝¹ : IsTriangularizable k L M
inst✝ : Nontrivial M
contra : IsEmpty (Weight k L M)
⊢ False

Tactic:
simpa only [iSup_of_empty, bot_ne_top] using LieModule.iSup_genWeightSpace_eq_top' k L M

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Multiset.Fintype

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
m : Multiset α
v : α
⊢ Function.RightInverse (fun x ↦ x.elim ⟨v, ⟨count v m, ⋯⟩⟩ fun x ↦ ⟨x.fst, Fin.castLE ⋯ x.snd⟩) fun x ↦
    if h : x.fst = v ∧ ↑x.snd = count v m then none else some ⟨x.fst, ⟨↑x.snd, ⋯⟩⟩

Tactic:
rintro (_ | x)

Goal state after:
case none
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
m : Multiset α
v : α
⊢ (fun x ↦ if h : x.fst = v ∧ ↑x.snd = count v m then none else some ⟨x.fst, ⟨↑x.snd, ⋯⟩⟩)
      ((fun x ↦ x.elim ⟨v, ⟨count v m, ⋯⟩⟩ fun x ↦ ⟨x.fst, Fin.castLE ⋯ x.snd⟩) none) =
    none

case some
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
m : Multiset α
v : α
x : m.ToType
⊢ (fun x ↦ if h : x.fst = v ∧ ↑x.snd = count v m then none else some ⟨x.fst, ⟨↑x.snd, ⋯⟩⟩)
      ((fun x ↦ x.elim ⟨v, ⟨count v m, ⋯⟩⟩ fun x ↦ ⟨x.fst, Fin.castLE ⋯ x.snd⟩) (some x)) =
    some x
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : IsKilling R L
inst✝² : IsNoetherian R L
inst✝¹ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
h : Codisjoint H.toSubmodule ↑(LieModule.posFittingComp R (↥H) L)
this : ∀ m₀ ∈ H, ∀ m₁ ∈ LieModule.posFittingComp R (↥H) L, ((killingForm R L) m₀) m₁ = 0
⊢ LinearMap.ker ((killingForm R L).restrict H.toSubmodule) = ⊥

Tactic:
by
    simp [LinearMap.BilinForm.ker_restrict_eq_of_codisjoint h this]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: case refine_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : PerfectField K
α : Weight K (↥H) L
x : L
hx : x ∈ H
this :
  {x | ∃ y ∈ rootSpace H ⇑α, ∃ z ∈ rootSpace H (-⇑α), ⁅y, z⁆ = x} ⊆
    ↑(K ∙ ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)))
hx' : x ∈ span K {x | ∃ y ∈ rootSpace H ⇑α, ∃ z ∈ rootSpace H (-⇑α), ⁅y, z⁆ = x}
⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ K ∙ (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)

Tactic:
replace this := Submodule.span_mono this hx'

Goal state after:
case refine_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : PerfectField K
α : Weight K (↥H) L
x : L
hx : x ∈ H
hx' : x ∈ span K {x | ∃ y ∈ rootSpace H ⇑α, ∃ z ∈ rootSpace H (-⇑α), ⁅y, z⁆ = x}
this : x ∈ span K ↑(K ∙ ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)))
⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ K ∙ (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
⊢ coroot α = coroot β ↔ α = β

Tactic:
refine ⟨fun hyp ↦ ?_, fun h ↦ by rw [h]⟩

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α β : Weight K (↥H) L
hyp : coroot α = coroot β
⊢ α = β
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
he₀ : e ≠ 0
⊢ ∃ h e f, IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H ⇑α ∧ f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Tactic:
obtain ⟨f', hfα, hf⟩ : ∃ f ∈ rootSpace H (-α), killingForm K L e f ≠ 0 := by
    contrapose! he₀
    simpa using mem_ker_killingForm_of_mem_rootSpace_of_forall_rootSpace_neg K L H heα he₀

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
he₀ : e ≠ 0
f' : L
hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)
hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0
⊢ ∃ h e f, IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H ⇑α ∧ f ∈ rootSpace H (-⇑α)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
he₀ : e ≠ 0
f' : L
hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)
hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0
hef : ⁅e, f'⁆ = ((killingForm K L) e) f' • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))
h : ↥H := ⟨⁅e, f'⁆, ⋯⟩
⊢ ∃ h e f, IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H ⇑α ∧ f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Tactic:
have hh : α h ≠ 0 := by
    have : h = killingForm K L e f' • (cartanEquivDual H).symm α := by
      simp only [h, Subtype.ext_iff, hef]
      rw [Submodule.coe_smul_of_tower]
    rw [this, map_smul, smul_eq_mul, ne_eq, mul_eq_zero, not_or]
    exact ⟨hf, root_apply_cartanEquivDual_symm_ne_zero hα⟩

Goal state after:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
he₀ : e ≠ 0
f' : L
hfα : f' ∈ rootSpace H (-⇑α)
hf : ((killingForm K L) e) f' ≠ 0
hef : ⁅e, f'⁆ = ((killingForm K L) e) f' • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))
h : ↥H := ⟨⁅e, f'⁆, ⋯⟩
hh : α h ≠ 0
⊢ ∃ h e f, IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H ⇑α ∧ f ∈ rootSpace H (-⇑α)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: case h
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
h : ↥H
ht : IsSl2Triple (↑h) e f
key : α h = 2
α' : ↥H := (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)
hef : ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑α'
hα' : α' = (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)
h_eq : h = ((killingForm K L) e) f • α'
hef₀ : ((killingForm K L) e) f ≠ 0
⊢ (2 • (α α')⁻¹ * (((killingForm K L) e) f)⁻¹) • ((killingForm K L) e) f • α' = coroot α

Tactic:
smul_smul,

Goal state after:
case h
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
h : ↥H
ht : IsSl2Triple (↑h) e f
key : α h = 2
α' : ↥H := (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)
hef : ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑α'
hα' : α' = (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)
h_eq : h = ((killingForm K L) e) f • α'
hef₀ : ((killingForm K L) e) f ≠ 0
⊢ (2 • (α α')⁻¹ * (((killingForm K L) e) f)⁻¹ * ((killingForm K L) e) f) • α' = coroot α
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing

Goal state before:
pp: K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
hte : e ∈ rootSpace H ⇑α
htf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
x : L
pf✝² : LieRing.IsNilpotent ↥H
pf✝¹ : LieModule K (↥H) L
pf✝ : ∃ h e f, IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H ⇑α ∧ f ∈ rootSpace H (-⇑α)
he : ∃ e f, IsSl2Triple (Classical.choose pf✝) e f ∧ e ∈ rootSpace H ⇑α ∧ f ∈ rootSpace H (-⇑α)
hf :
  ∃ f,
    IsSl2Triple (Classical.choose pf✝) (Classical.choose he) f ∧
      Classical.choose he ∈ rootSpace H ⇑α ∧ f ∈ rootSpace H (-⇑α)
ce : K
hce : he.choose = ce • e
⊢ ⟨f, htf⟩ ≠ 0

Tactic:
by simpa using t.f_ne_zero

Goal state after: