mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Data.Sigma.Interval

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
x✝² x✝¹ x✝ : (i : ι) × α i
i : ι
a : α i
j : ι
b : α j
k : ι
c : α k
⊢ (∃ (h : i = k), ⋯ ▸ a ≤ c ∧ ∃ (x : j = k), c < ⋯ ▸ b) ↔ ∃ (x : i = k), ⋯ ▸ a ≤ c ∧ ∃ (h : k = j), ⋯ ▸ c < b

Tactic:
←
      exists_prop

Goal state after:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
x✝² x✝¹ x✝ : (i : ι) × α i
i : ι
a : α i
j : ι
b : α j
k : ι
c : α k
⊢ (∃ (h : i = k) (_ : ⋯ ▸ a ≤ c) (x : j = k), c < ⋯ ▸ b) ↔ ∃ (h : i = k) (_ : ⋯ ▸ a ≤ c) (h : k = j), ⋯ ▸ c < b
Module: Mathlib.Data.Sigma.Interval

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
x✝² x✝¹ x✝ : (i : ι) × α i
i : ι
a : α i
j : ι
b : α j
k : ι
c : α k
⊢ (∃ (h : i = k), ⋯ ▸ a < c ∧ ∃ (x : j = k), c ≤ ⋯ ▸ b) ↔ ∃ (x : i = k), ⋯ ▸ a < c ∧ ∃ (h : k = j), ⋯ ▸ c ≤ b

Tactic:
←
      exists_prop

Goal state after:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
x✝² x✝¹ x✝ : (i : ι) × α i
i : ι
a : α i
j : ι
b : α j
k : ι
c : α k
⊢ (∃ (h : i = k) (_ : ⋯ ▸ a < c) (x : j = k), c ≤ ⋯ ▸ b) ↔ ∃ (h : i = k) (_ : ⋯ ▸ a < c) (h : k = j), ⋯ ▸ c ≤ b
Module: Mathlib.Data.WSeq.Relation

Goal state before:
pp: α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
U : WSeq α → WSeq β → Prop
HU :
  ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β),
    (∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) → U s1 s2
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ {S : WSeq (WSeq α)} {T : WSeq (WSeq β)},
      LiftRel (LiftRel R) S T →
        ∀ {a : Option (α × WSeq α)}, S.join.destruct.Results a m → ∃ b ∈ T.join.destruct, LiftRelO R U a b
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
a : Option (α × WSeq α)
ra : (S.destruct.bind destruct_join.aux).Results a n
o : Option (WSeq α × WSeq (WSeq α))
m k : ℕ
rs1 : S.destruct.Results o m
rs2✝ : (destruct_join.aux o).Results a k
en : n = k + m
p : Option (WSeq β × WSeq (WSeq β))
mT✝ : p ∈ T.destruct
rop : LiftRelO (LiftRel R) (LiftRel (LiftRel R)) o p
s : WSeq α
S' : WSeq (WSeq α)
t : WSeq β
T' : WSeq (WSeq β)
st : LiftRel R s t
ST' : LiftRel (LiftRel R) S' T'
x✝² : S.destruct.Results (some (s, S')) m
mT : some (t, T') ∈ T.destruct
rs2 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).think.Results a k
k1 : ℕ
rs3 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).Results a k1
ek : k = k1 + 1
o' : Option (α × WSeq α)
m1 n1 : ℕ
rs4 : s.destruct.Results o' m1
rs5 : (destruct_append.aux S'.join o').Results a n1
ek1 : k1 = n1 + m1
p' : Option (β × WSeq β)
mt✝ : p' ∈ t.destruct
rop' : LiftRelO R (LiftRel R) o' p'
x✝¹ : LiftRelO R (LiftRel R) none none
x✝ : s.destruct.Results none m1
rs5' : (destruct_append.aux S'.join none).Results a n1
mt : none ∈ t.destruct
⊢ n1 < n

Tactic:
rw [en, ek, ek1]

Goal state after:
α : Type u
β : Type v
R : α → β → Prop
U : WSeq α → WSeq β → Prop
HU :
  ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β),
    (∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) → U s1 s2
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ {S : WSeq (WSeq α)} {T : WSeq (WSeq β)},
      LiftRel (LiftRel R) S T →
        ∀ {a : Option (α × WSeq α)}, S.join.destruct.Results a m → ∃ b ∈ T.join.destruct, LiftRelO R U a b
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
a : Option (α × WSeq α)
ra : (S.destruct.bind destruct_join.aux).Results a n
o : Option (WSeq α × WSeq (WSeq α))
m k : ℕ
rs1 : S.destruct.Results o m
rs2✝ : (destruct_join.aux o).Results a k
en : n = k + m
p : Option (WSeq β × WSeq (WSeq β))
mT✝ : p ∈ T.destruct
rop : LiftRelO (LiftRel R) (LiftRel (LiftRel R)) o p
s : WSeq α
S' : WSeq (WSeq α)
t : WSeq β
T' : WSeq (WSeq β)
st : LiftRel R s t
ST' : LiftRel (LiftRel R) S' T'
x✝² : S.destruct.Results (some (s, S')) m
mT : some (t, T') ∈ T.destruct
rs2 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).think.Results a k
k1 : ℕ
rs3 : (s.destruct.bind (destruct_append.aux S'.join)).Results a k1
ek : k = k1 + 1
o' : Option (α × WSeq α)
m1 n1 : ℕ
rs4 : s.destruct.Results o' m1
rs5 : (destruct_append.aux S'.join o').Results a n1
ek1 : k1 = n1 + m1
p' : Option (β × WSeq β)
mt✝ : p' ∈ t.destruct
rop' : LiftRelO R (LiftRel R) o' p'
x✝¹ : LiftRelO R (LiftRel R) none none
x✝ : s.destruct.Results none m1
rs5' : (destruct_append.aux S'.join none).Results a n1
mt : none ∈ t.destruct
⊢ n1 < n1 + m1 + 1 + m
Module: Mathlib.Data.WSeq.Productive

Goal state before:
pp: α : Type u
s : Seq α
n : ℕ
⊢ ((↑s).get? n).get = s.get? n

Tactic:
apply get_eq_of_mem

Goal state after:
α : Type u
s : Seq α
n : ℕ
⊢ s.get? n ∈ (↑s).get? n
Module: Mathlib.Dynamics.Ergodic.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s : Set (AddCircle T)
ι : Type u_1
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
u : ι → AddCircle T
μ : Measure (AddCircle T) := volume
hs : NullMeasurableSet s μ
hu₁ : ∀ (i : ι), u i +ᵥ s =ᵐ[μ] s
n : ι → ℕ := addOrderOf ∘ u
hT₀ : 0 < T
hT₁ : ENNReal.ofReal T ≠ 0
h : μ s ≠ 0
d : AddCircle T
hd :
  ∀ {ι' : Type ?u.149} {l : Filter ι'} (w : ι' → AddCircle T) (δ : ι' → ℝ),
    Tendsto δ l (𝓝[>] 0) →
      (∀ᶠ (j : ι') in l, d ∈ closedBall (w j) (1 * δ j)) →
        Tendsto (fun j ↦ μ (s ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
I : ι → Set (AddCircle T) := fun j ↦ closedBall d (T / (2 * ↑(n j)))
δ : ι → ℝ := fun j ↦ T / (2 * ↑(n j))
hδ₀ : ∀ᶠ (j : ι) in l, 0 < δ j
hu₂ : Tendsto (fun j ↦ T⁻¹ * 2 * ↑(n j)) l atTop
j : ι
⊢ δ j = (fun j ↦ T⁻¹ * 2 * ↑(n j))⁻¹ j

Tactic:
simp only [δ, Pi.inv_apply, mul_inv_rev, inv_inv, div_eq_inv_mul, ← mul_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.Dynamics.Ergodic.AddCircle

Goal state before:
pp: T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
n : ℤ
f : AddCircle T → AddCircle T := fun y ↦ n • y + x
e : AddCircle T ≃ᵐ AddCircle T := MeasurableEquiv.addLeft (DivisibleBy.div x (n - 1))
he : MeasurePreserving (⇑e) volume volume
h : n - 1 ≠ 0
⊢ n • DivisibleBy.div x (n - 1) =
    n • DivisibleBy.div x (n - 1) - 1 • DivisibleBy.div x (n - 1) + DivisibleBy.div x (n - 1)

Tactic:
one_smul,

Goal state after:
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
n : ℤ
f : AddCircle T → AddCircle T := fun y ↦ n • y + x
e : AddCircle T ≃ᵐ AddCircle T := MeasurableEquiv.addLeft (DivisibleBy.div x (n - 1))
he : MeasurePreserving (⇑e) volume volume
h : n - 1 ≠ 0
⊢ n • DivisibleBy.div x (n - 1) = n • DivisibleBy.div x (n - 1) - DivisibleBy.div x (n - 1) + DivisibleBy.div x (n - 1)
Module: Mathlib.Dynamics.OmegaLimit

Goal state before:
pp: τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
n : Set β
hn₁ : IsOpen[inst✝] n
hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure[inst✝] (image2 ϕ v s) ⊆ c
k : Set β := closure[inst✝] (image2 ϕ v s)
hk : IsCompact (k \ n)
j : Set τ → Set β := fun u ↦ (closure[inst✝] (image2 ϕ (u ∩ v) s))ᶜ
hj₁ : ∀ u ∈ f, IsOpen[inst✝] (j u)
hj₂ : k \ n ⊆ ⋃ u ∈ f, j u
g : Set (Set τ)
hg₁ : ∀ u ∈ g, u ∈ f
hg₂ : g.Finite
hg₃ : k \ n ⊆ ⋃ i ∈ g, j i
w : Set τ := (⋂ u ∈ g, u) ∩ v
hw₂ : w ∈ f
⊢ ∀ i ∈ g, closure[inst✝] (image2 ϕ w s) ⊆ closure[inst✝] (image2 ϕ (i ∩ v) s)

Tactic:
intro u

Goal state after:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
n : Set β
hn₁ : IsOpen[inst✝] n
hn₂ : ω f ϕ s ⊆ n
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure[inst✝] (image2 ϕ v s) ⊆ c
k : Set β := closure[inst✝] (image2 ϕ v s)
hk : IsCompact (k \ n)
j : Set τ → Set β := fun u ↦ (closure[inst✝] (image2 ϕ (u ∩ v) s))ᶜ
hj₁ : ∀ u ∈ f, IsOpen[inst✝] (j u)
hj₂ : k \ n ⊆ ⋃ u ∈ f, j u
g : Set (Set τ)
hg₁ : ∀ u ∈ g, u ∈ f
hg₂ : g.Finite
hg₃ : k \ n ⊆ ⋃ i ∈ g, j i
w : Set τ := (⋂ u ∈ g, u) ∩ v
hw₂ : w ∈ f
u : Set τ
⊢ u ∈ g → closure[inst✝] (image2 ϕ w s) ⊆ closure[inst✝] (image2 ϕ (u ∩ v) s)
Module: Mathlib.Dynamics.OmegaLimit

Goal state before:
pp: case htn
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
inst✝ : f.NeBot
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hs : s.Nonempty
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure[inst✝¹] (image2 ϕ v s) ⊆ c
⊢ ∀ (i : ↑f.sets), (closure[inst✝¹] (image2 ϕ (↑i ∩ v) s)).Nonempty

Tactic:
intro u

Goal state after:
case htn
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
inst✝ : f.NeBot
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hs : s.Nonempty
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure[inst✝¹] (image2 ϕ v s) ⊆ c
u : ↑f.sets
⊢ (closure[inst✝¹] (image2 ϕ (↑u ∩ v) s)).Nonempty
Module: Mathlib.Dynamics.TopologicalEntropy.CoverEntropy

Goal state before:
pp: X : Type u_1
T : X → X
U : SetRel X X
F : Set X
inst✝ : UniformSpace X
F_comp : IsCompact F
F_inv : MapsTo T F F
U_uni : U ∈ 𝓤 X
n : ℕ
V : SetRel X X
V_uni : V ∈ 𝓤 X
V_symm : V.IsSymm
V_U : V ○ V ⊆ U
⊢ ∃ s, IsDynCoverOf T F U n ↑s

Tactic:
obtain ⟨s, _, s_cover⟩ := F_comp.elim_nhds_subcover (ball · V)
    fun (x : X) _ ↦ ball_mem_nhds x V_uni

Goal state after:
X : Type u_1
T : X → X
U : SetRel X X
F : Set X
inst✝ : UniformSpace X
F_comp : IsCompact F
F_inv : MapsTo T F F
U_uni : U ∈ 𝓤 X
n : ℕ
V : SetRel X X
V_uni : V ∈ 𝓤 X
V_symm : V.IsSymm
V_U : V ○ V ⊆ U
s : Finset X
left✝ : ∀ x ∈ s, x ∈ F
s_cover : F ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x V
⊢ ∃ s, IsDynCoverOf T F U n ↑s
Module: Mathlib.Dynamics.TopologicalEntropy.Semiconj

Goal state before:
pp: case a
X : Type u_1
Y : Type u_2
u : UniformSpace Y
S : X → X
T : Y → Y
φ : X → Y
h : Semiconj φ S T
F : Set X
this : UniformSpace X := ⋯
⊢ coverEntropyInf T (φ '' F) ≤ coverEntropyInf S F

Tactic:
refine iSup₂_le fun V V_uni ↦
      (coverEntropyInfEntourage_antitone _ _ SetRel.symmetrize_subset_self).trans <|
      (coverEntropyInfEntourage_image_le h F _).trans ?_

Goal state after:
case a
X : Type u_1
Y : Type u_2
u : UniformSpace Y
S : X → X
T : Y → Y
φ : X → Y
h : Semiconj φ S T
F : Set X
this : UniformSpace X := UniformSpace.comap φ u
V : Set (Y × Y)
V_uni : V ∈ 𝓤 Y
⊢ coverEntropyInfEntourage S F (Prod.map φ φ ⁻¹' SetRel.symmetrize V) ≤ coverEntropyInf S F
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Decomposition.RadonNikodym

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
this✝² : SigmaFinite (map f ν)
this✝¹ : SigmaFinite (map f (μ.singularPart ν))
this✝ : SigmaFinite (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)))
h_add :
  (fun x ↦ (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᵐ[ν] fun x ↦
    ((map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) + (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν)) (f x)
this : (fun x ↦ (map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) x) =ᵐ[map f ν] 0
⊢ (fun x ↦ (map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᵐ[ν] 0

Tactic:
rw [Filter.EventuallyEq, hf.ae_map_iff] at this

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
this✝² : SigmaFinite (map f ν)
this✝¹ : SigmaFinite (map f (μ.singularPart ν))
this✝ : SigmaFinite (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)))
h_add :
  (fun x ↦ (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᵐ[ν] fun x ↦
    ((map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) + (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν)) (f x)
this : ∀ᵐ (x : α) ∂ν, (map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) (f x) = 0 (f x)
⊢ (fun x ↦ (map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᵐ[ν] 0
Module: Mathlib.ModelTheory.Basic

Goal state before:
pp: L : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
⊢ ∀ ⦃a₂ : M ↪[L] N⦄, (fun x ↦ x.toHom) f = (fun x ↦ x.toHom) a₂ → f = a₂

Tactic:
f'

Goal state after:
L : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : L.Structure N
f f' : M ↪[L] N
⊢ (fun x ↦ x.toHom) f = (fun x ↦ x.toHom) f' → f = f'
Module: Mathlib.ModelTheory.Algebra.Field.Basic

Goal state before:
pp: case existsPairNE
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CompatibleRing K
⊢ toProp K existsPairNE

Tactic:
| existsPairNE =>

Goal state after:
Module: Mathlib.ModelTheory.Semantics

Goal state before:
pp: case rel
L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
α : Type u'
β : Type v'
inst✝ : L'.Structure M
ft : (n : ℕ) → L.Term (α ⊕ Fin n) → L'.Term (β ⊕ Fin n)
fr : (n : ℕ) → L.Relations n → L'.Relations n
n : ℕ
v : α → M
v' : β → M
h1 : ∀ (n : ℕ) (t : L.Term (α ⊕ Fin n)) (xs : Fin n → M), realize (Sum.elim v' xs) (ft n t) = realize (Sum.elim v xs) t
h2 : ∀ (n : ℕ) (R : L.Relations n) (x : Fin n → M), RelMap (fr n R) x = RelMap R x
n✝ l✝ : ℕ
R✝ : L.Relations l✝
ts✝ : Fin l✝ → L.Term (α ⊕ Fin n✝)
xs : Fin n✝ → M
⊢ (mapTermRel ft fr (fun x ↦ id) (rel R✝ ts✝)).Realize v' xs ↔ (rel R✝ ts✝).Realize v xs

Tactic:
simp [mapTermRel, Realize, h1, h2]

Goal state after:
Module: Mathlib.ModelTheory.Semantics

Goal state before:
pp: case rel
L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
α : Type u'
β : Type v'
inst✝ : L'.Structure M
k : ℕ
ft : (n : ℕ) → L.Term (α ⊕ Fin n) → L'.Term (β ⊕ Fin (k + n))
fr : (n : ℕ) → L.Relations n → L'.Relations n
n : ℕ
v : {n : ℕ} → (Fin (k + n) → M) → α → M
v' : β → M
h1 :
  ∀ (n : ℕ) (t : L.Term (α ⊕ Fin n)) (xs' : Fin (k + n) → M),
    realize (Sum.elim v' xs') (ft n t) = realize (Sum.elim (v xs') (xs' ∘ natAdd k)) t
h2 : ∀ (n : ℕ) (R : L.Relations n) (x : Fin n → M), RelMap (fr n R) x = RelMap R x
hv : ∀ (n : ℕ) (xs : Fin (k + n) → M) (x : M), v (snoc xs x) = v xs
n✝ l✝ : ℕ
R✝ : L.Relations l✝
ts✝ : Fin l✝ → L.Term (α ⊕ Fin n✝)
xs : Fin (k + n✝) → M
⊢ (mapTermRel ft fr (fun x ↦ castLE ⋯) (rel R✝ ts✝)).Realize v' xs ↔ (rel R✝ ts✝).Realize (v xs) (xs ∘ natAdd k)

Tactic:
simp [mapTermRel, Realize, h1, h2]

Goal state after:
Module: Mathlib.ModelTheory.Ultraproducts

Goal state before:
pp: α : Type u_1
M : α → Type u_2
u : Ultrafilter α
L : Language
inst✝¹ : (a : α) → L.Structure (M a)
inst✝ : ∀ (a : α), Nonempty (M a)
β : Type u_3
φ : L.Formula β
x : β → (a : α) → M a
⊢ (φ.Realize fun i ↦ Quotient.mk' (x i)) ↔ ∀ᶠ (a : α) in ↑u, φ.Realize fun i ↦ x i a

Tactic:
Formula.Realize,

Goal state after:
α : Type u_1
M : α → Type u_2
u : Ultrafilter α
L : Language
inst✝¹ : (a : α) → L.Structure (M a)
inst✝ : ∀ (a : α), Nonempty (M a)
β : Type u_3
φ : L.Formula β
x : β → (a : α) → M a
⊢ BoundedFormula.Realize φ (fun i ↦ Quotient.mk' (x i)) default ↔
    ∀ᶠ (a : α) in ↑u, BoundedFormula.Realize φ (fun i ↦ x i a) default
Module: Mathlib.ModelTheory.ElementaryMaps

Goal state before:
pp: L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪ₑ[L] N
α : Type u_5
φ : L.Formula α
x : α → M
⊢ φ.Realize (⇑f ∘ x) ↔ φ.Realize x

Tactic:
Formula.Realize,

Goal state after:
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪ₑ[L] N
α : Type u_5
φ : L.Formula α
x : α → M
⊢ BoundedFormula.Realize φ (⇑f ∘ x) default ↔ φ.Realize x
Module: Mathlib.ModelTheory.ElementaryMaps

Goal state before:
pp: L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪ₑ[L] N
α : Type u_5
φ : L.Formula α
x : α → M
⊢ BoundedFormula.Realize φ (⇑f ∘ x) default ↔ φ.Realize x

Tactic:
Formula.Realize,

Goal state after:
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪ₑ[L] N
α : Type u_5
φ : L.Formula α
x : α → M
⊢ BoundedFormula.Realize φ (⇑f ∘ x) default ↔ BoundedFormula.Realize φ x default
Module: Mathlib.ModelTheory.Encoding

Goal state before:
pp: L : Language
α : Type u'
inst✝¹ : Encodable α
inst✝ : Encodable ((i : ℕ) × L.Functions i)
t : L.Term α
⊢ (do
        let a ← (listDecode t.listEncode).head?
        pure (some a)).join =
    some t

Tactic:
by
    rw [← flatMap_singleton listEncode, listDecode_encode_list]
    simp only [Option.join, head?_cons, Option.pure_def, Option.bind_eq_bind, Option.bind_some,
      id_eq]

Goal state after:
Module: Mathlib.ModelTheory.ElementaryMaps

Goal state before:
pp: case refine_1
L : Language
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝⁷ : L.Structure M
inst✝⁶ : L.Structure N✝
inst✝⁵ : L.Structure P
inst✝⁴ : L.Structure Q
N : Type u_5
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L[[M]].Structure N
inst✝¹ : (L.lhomWithConstants M).IsExpansionOn N
inst✝ : N ⊨ L.elementaryDiagram M
n : ℕ
φ : L.Formula (Fin n)
x : Fin n → M
⊢ φ.Realize ((constantMap ∘ Sum.inr) ∘ x) ↔
    ∀ (xs : Fin 0 → N), BoundedFormula.Realize φ (fun a ↦ Term.realize default ((Constants.term ∘ Sum.inr ∘ x) a)) xs

Tactic:
Formula.Realize,

Goal state after:
case refine_1
L : Language
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝⁷ : L.Structure M
inst✝⁶ : L.Structure N✝
inst✝⁵ : L.Structure P
inst✝⁴ : L.Structure Q
N : Type u_5
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L[[M]].Structure N
inst✝¹ : (L.lhomWithConstants M).IsExpansionOn N
inst✝ : N ⊨ L.elementaryDiagram M
n : ℕ
φ : L.Formula (Fin n)
x : Fin n → M
⊢ BoundedFormula.Realize φ ((constantMap ∘ Sum.inr) ∘ x) default ↔
    ∀ (xs : Fin 0 → N), BoundedFormula.Realize φ (fun a ↦ Term.realize default ((Constants.term ∘ Sum.inr ∘ x) a)) xs
Module: Mathlib.ModelTheory.ElementaryMaps

Goal state before:
pp: case refine_2
L : Language
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝⁷ : L.Structure M
inst✝⁶ : L.Structure N✝
inst✝⁵ : L.Structure P
inst✝⁴ : L.Structure Q
N : Type u_5
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L[[M]].Structure N
inst✝¹ : (L.lhomWithConstants M).IsExpansionOn N
inst✝ : N ⊨ L.elementaryDiagram M
n : ℕ
φ : L.Formula (Fin n)
x : Fin n → M
⊢ (∀ (xs : Fin 0 → M), BoundedFormula.Realize φ (fun a ↦ Term.realize default ((Constants.term ∘ Sum.inr ∘ x) a)) xs) ↔
    φ.Realize x

Tactic:
Formula.Realize,

Goal state after:
case refine_2
L : Language
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝⁷ : L.Structure M
inst✝⁶ : L.Structure N✝
inst✝⁵ : L.Structure P
inst✝⁴ : L.Structure Q
N : Type u_5
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L[[M]].Structure N
inst✝¹ : (L.lhomWithConstants M).IsExpansionOn N
inst✝ : N ⊨ L.elementaryDiagram M
n : ℕ
φ : L.Formula (Fin n)
x : Fin n → M
⊢ (∀ (xs : Fin 0 → M), BoundedFormula.Realize φ (fun a ↦ Term.realize default ((Constants.term ∘ Sum.inr ∘ x) a)) xs) ↔
    BoundedFormula.Realize φ x default
Module: Mathlib.ModelTheory.Semantics

Goal state before:
pp: L : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
n : ℕ
φ : L.Formula (Fin n)
v : Empty → M
x : Fin n → M
⊢ BoundedFormula.Realize φ (Sum.elim v (x ∘ castAdd 0) ∘ Sum.inr) (x ∘ natAdd n) ↔ φ.Realize x

Tactic:
Formula.Realize,

Goal state after:
L : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
n : ℕ
φ : L.Formula (Fin n)
v : Empty → M
x : Fin n → M
⊢ BoundedFormula.Realize φ (Sum.elim v (x ∘ castAdd 0) ∘ Sum.inr) (x ∘ natAdd n) ↔ BoundedFormula.Realize φ x default
Module: Mathlib.ModelTheory.Semantics

Goal state before:
pp: L : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
α : Type u'
φ : L.Formula α
x : α → M
y : Fin 0 → M
⊢ BoundedFormula.Realize φ x y ↔ φ.Realize x

Tactic:
Formula.Realize,

Goal state after:
L : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
α : Type u'
φ : L.Formula α
x : α → M
y : Fin 0 → M
⊢ BoundedFormula.Realize φ x y ↔ BoundedFormula.Realize φ x default
Module: Mathlib.ModelTheory.Semantics

Goal state before:
pp: case refine_2
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
α : Type u'
β : Type v'
inst✝ : Finite β
φ : L.Formula (α ⊕ β)
v : α → M
e : β ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯
x : Fin (Classical.choose ⋯) → M
⊢ (Realize φ (fun x_1 ↦ Sum.elim (fun x ↦ v x) (fun x_2 ↦ x (Fin.cast ⋯ ((Classical.choice ⋯) x_2))) x_1) fun x_1 ↦
      x (natAdd (Classical.choose ⋯) x_1)) ↔
    φ.Realize fun a ↦
      Sum.elim v ({ toFun := fun v ↦ v ∘ ⇑e, invFun := fun v ↦ v ∘ ⇑e.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } x) a

Tactic:
Formula.Realize,

Goal state after:
case refine_2
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
α : Type u'
β : Type v'
inst✝ : Finite β
φ : L.Formula (α ⊕ β)
v : α → M
e : β ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯
x : Fin (Classical.choose ⋯) → M
⊢ (Realize φ (fun x_1 ↦ Sum.elim (fun x ↦ v x) (fun x_2 ↦ x (Fin.cast ⋯ ((Classical.choice ⋯) x_2))) x_1) fun x_1 ↦
      x (natAdd (Classical.choose ⋯) x_1)) ↔
    Realize φ
      (fun a ↦
        Sum.elim v ({ toFun := fun v ↦ v ∘ ⇑e, invFun := fun v ↦ v ∘ ⇑e.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } x) a)
      default
Module: Mathlib.ModelTheory.Semantics

Goal state before:
pp: case refine_2
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
α : Type u'
γ : Type u_3
inst✝ : Finite γ
φ : L.Formula (α ⊕ γ)
v : α → M
e : γ ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯
x : Fin (Classical.choose ⋯) → M
⊢ (Realize φ (fun x_1 ↦ Sum.elim (fun x ↦ v x) (fun x_2 ↦ x (Fin.cast ⋯ ((Classical.choice ⋯) x_2))) x_1) fun x_1 ↦
      x (natAdd (Classical.choose ⋯) x_1)) ↔
    φ.Realize (Sum.elim v ({ toFun := fun v ↦ v ∘ ⇑e, invFun := fun v ↦ v ∘ ⇑e.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } x))

Tactic:
Formula.Realize,

Goal state after:
case refine_2
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : L.Structure M
α : Type u'
γ : Type u_3
inst✝ : Finite γ
φ : L.Formula (α ⊕ γ)
v : α → M
e : γ ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯
x : Fin (Classical.choose ⋯) → M
⊢ (Realize φ (fun x_1 ↦ Sum.elim (fun x ↦ v x) (fun x_2 ↦ x (Fin.cast ⋯ ((Classical.choice ⋯) x_2))) x_1) fun x_1 ↦
      x (natAdd (Classical.choose ⋯) x_1)) ↔
    Realize φ (Sum.elim v ({ toFun := fun v ↦ v ∘ ⇑e, invFun := fun v ↦ v ∘ ⇑e.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } x))
      default
Module: Mathlib.ModelTheory.Semantics

Goal state before:
pp: case imp
L : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
α : Type u'
n n✝ : ℕ
f₁✝ f₂✝ : L.BoundedFormula α n✝
ih1 : ∀ (v : α ⊕ Fin n✝ → M), f₁✝.toFormula.Realize v ↔ f₁✝.Realize (v ∘ Sum.inl) (v ∘ Sum.inr)
ih2 : ∀ (v : α ⊕ Fin n✝ → M), f₂✝.toFormula.Realize v ↔ f₂✝.Realize (v ∘ Sum.inl) (v ∘ Sum.inr)
v : α ⊕ Fin n✝ → M
⊢ Formula.Realize (f₁✝.toFormula ⟹ f₂✝.toFormula) v ↔ (f₁✝ ⟹ f₂✝).Realize (v ∘ Sum.inl) (v ∘ Sum.inr)

Tactic:
Formula.Realize,

Goal state after:
case imp
L : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
α : Type u'
n n✝ : ℕ
f₁✝ f₂✝ : L.BoundedFormula α n✝
ih1 : ∀ (v : α ⊕ Fin n✝ → M), f₁✝.toFormula.Realize v ↔ f₁✝.Realize (v ∘ Sum.inl) (v ∘ Sum.inr)
ih2 : ∀ (v : α ⊕ Fin n✝ → M), f₂✝.toFormula.Realize v ↔ f₂✝.Realize (v ∘ Sum.inl) (v ∘ Sum.inr)
v : α ⊕ Fin n✝ → M
⊢ (f₁✝.toFormula ⟹ f₂✝.toFormula).Realize v default ↔ (f₁✝ ⟹ f₂✝).Realize (v ∘ Sum.inl) (v ∘ Sum.inr)
Module: Mathlib.ModelTheory.Semantics

Goal state before:
pp: case all
L : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
α : Type u'
n n✝ : ℕ
f✝ : L.BoundedFormula α (n✝ + 1)
ih3 : ∀ (v : α ⊕ Fin (n✝ + 1) → M), f✝.toFormula.Realize v ↔ f✝.Realize (v ∘ Sum.inl) (v ∘ Sum.inr)
v : α ⊕ Fin n✝ → M
⊢ Formula.Realize (∀' relabel (Sum.elim (Sum.inl ∘ Sum.inl) (Sum.map Sum.inr id ∘ ⇑finSumFinEquiv.symm)) f✝.toFormula)
      v ↔
    (∀' f✝).Realize (v ∘ Sum.inl) (v ∘ Sum.inr)

Tactic:
Formula.Realize,

Goal state after:
case all
L : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
α : Type u'
n n✝ : ℕ
f✝ : L.BoundedFormula α (n✝ + 1)
ih3 : ∀ (v : α ⊕ Fin (n✝ + 1) → M), f✝.toFormula.Realize v ↔ f✝.Realize (v ∘ Sum.inl) (v ∘ Sum.inr)
v : α ⊕ Fin n✝ → M
⊢ (∀' relabel (Sum.elim (Sum.inl ∘ Sum.inl) (Sum.map Sum.inr id ∘ ⇑finSumFinEquiv.symm)) f✝.toFormula).Realize v
      default ↔
    (∀' f✝).Realize (v ∘ Sum.inl) (v ∘ Sum.inr)