Module: Mathlib.Probability.Distributions.Gaussian.HasGaussianLaw.Basic

Goal state before:
pp: Ω : Type u_1
E : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
X : Ω → E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure P
hX : AEMeasurable X P
h :
  ∀ (t : E),
    charFun (Measure.map X P) t = cexp (↑(∫ (x : Ω), (fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫) x ∂P) * I - ↑Var[fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫; P] / 2)
t : E
⊢ cexp (↑(∫ (x : Ω), (fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫) x ∂P) * I - ↑Var[fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫; P] / 2) =
    cexp ((∫ (x : Ω), ↑((fun x ↦ ⟪t, x⟫) (X x)) ∂P) * I - ↑Var[(fun x ↦ ⟪t, x⟫) ∘ X; P] / 2)

pp: case hX
Ω : Type u_1
E : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
X : Ω → E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure P
hX : AEMeasurable X P
h :
  ∀ (t : E),
    charFun (Measure.map X P) t = cexp (↑(∫ (x : Ω), (fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫) x ∂P) * I - ↑Var[fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫; P] / 2)
t : E
⊢ AEMeasurable (fun x ↦ ⟪t, x⟫) (Measure.map X P)

pp: case hY
Ω : Type u_1
E : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
X : Ω → E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure P
hX : AEMeasurable X P
h :
  ∀ (t : E),
    charFun (Measure.map X P) t = cexp (↑(∫ (x : Ω), (fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫) x ∂P) * I - ↑Var[fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫; P] / 2)
t : E
⊢ AEMeasurable X P

pp: case hφ
Ω : Type u_1
E : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
X : Ω → E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure P
hX : AEMeasurable X P
h :
  ∀ (t : E),
    charFun (Measure.map X P) t = cexp (↑(∫ (x : Ω), (fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫) x ∂P) * I - ↑Var[fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫; P] / 2)
t : E
⊢ AEMeasurable X P

pp: case hfm
Ω : Type u_1
E : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
X : Ω → E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure P
hX : AEMeasurable X P
h :
  ∀ (t : E),
    charFun (Measure.map X P) t = cexp (↑(∫ (x : Ω), (fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫) x ∂P) * I - ↑Var[fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫; P] / 2)
t : E
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x ↦ ↑((fun x ↦ ⟪t, x⟫) x)) (Measure.map X P)

Tactic:
integral_complex_ofReal,

Goal state after:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
X : Ω → E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure P
hX : AEMeasurable X P
h :
  ∀ (t : E),
    charFun (Measure.map X P) t = cexp (↑(∫ (x : Ω), (fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫) x ∂P) * I - ↑Var[fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫; P] / 2)
t : E
⊢ cexp (↑(∫ (x : Ω), (fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫) x ∂P) * I - ↑Var[fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫; P] / 2) =
    cexp (↑(∫ (x : Ω), (fun x ↦ ⟪t, x⟫) (X x) ∂P) * I - ↑Var[(fun x ↦ ⟪t, x⟫) ∘ X; P] / 2)

case hX
Ω : Type u_1
E : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
X : Ω → E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure P
hX : AEMeasurable X P
h :
  ∀ (t : E),
    charFun (Measure.map X P) t = cexp (↑(∫ (x : Ω), (fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫) x ∂P) * I - ↑Var[fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫; P] / 2)
t : E
⊢ AEMeasurable (fun x ↦ ⟪t, x⟫) (Measure.map X P)

case hY
Ω : Type u_1
E : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
X : Ω → E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure P
hX : AEMeasurable X P
h :
  ∀ (t : E),
    charFun (Measure.map X P) t = cexp (↑(∫ (x : Ω), (fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫) x ∂P) * I - ↑Var[fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫; P] / 2)
t : E
⊢ AEMeasurable X P

case hφ
Ω : Type u_1
E : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
X : Ω → E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure P
hX : AEMeasurable X P
h :
  ∀ (t : E),
    charFun (Measure.map X P) t = cexp (↑(∫ (x : Ω), (fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫) x ∂P) * I - ↑Var[fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫; P] / 2)
t : E
⊢ AEMeasurable X P

case hfm
Ω : Type u_1
E : Type u_2
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
X : Ω → E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure P
hX : AEMeasurable X P
h :
  ∀ (t : E),
    charFun (Measure.map X P) t = cexp (↑(∫ (x : Ω), (fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫) x ∂P) * I - ↑Var[fun ω ↦ ⟪t, X ω⟫; P] / 2)
t : E
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x ↦ ↑((fun x ↦ ⟪t, x⟫) x)) (Measure.map X P)