mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
M' : LieSubmodule R L M
⊢ M' ≤ f.ker ↔ LieSubmodule.map f M' = ⊥

Tactic:
ker,

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : LieRingModule L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
M' : LieSubmodule R L M
⊢ M' ≤ LieSubmodule.comap f ⊥ ↔ LieSubmodule.map f M' = ⊥
Module: Mathlib.FieldTheory.Minpoly.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
hm : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hl : ∀ (q : A[X]), q.degree < p.degree → q = 0 ∨ (Polynomial.aeval x) q ≠ 0
⊢ p = minpoly A x

Tactic:
by
  nontriviality A
  have hx : IsIntegral A x := ⟨p, hm, hp⟩
  obtain h | h := hl _ ((minpoly A x).degree_modByMonic_lt hm)
  swap
  · exact (h <| (aeval_modByMonic_eq_self_of_root hp).trans <| aeval A x).elim
  obtain ⟨r, hr⟩ := (modByMonic_eq_zero_iff_dvd hm).1 h
  rw [hr]
  have hlead := congr_arg leadingCoeff hr
  rw [mul_comm, leadingCoeff_mul_monic hm, (monic hx).leadingCoeff] at hlead
  have : natDegree r ≤ 0 := by
    have hr0 : r ≠ 0 := by
      rintro rfl
      exact ne_zero hx (mul_zero p ▸ hr)
    apply_fun natDegree at hr
    rw [hm.natDegree_mul' hr0] at hr
    apply Nat.le_of_add_le_add_left
    rw [add_zero]
    exact hr.symm.trans_le (natDegree_le_natDegree <| min A x hm hp)
  rw [eq_C_of_natDegree_le_zero this, ← Nat.eq_zero_of_le_zero this, ← leadingCoeff, ← hlead, C_1,
    mul_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Quotient

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
n : ℕ
x✝ : n ∈ a.support
⊢ eval₂ (C.comp (Quotient.mk I)) X ((monomial n) (a.coeff n)) = 0

Tactic:
rw [eval₂_monomial (C.comp (Quotient.mk I)) X]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
n : ℕ
x✝ : n ∈ a.support
⊢ (C.comp (Quotient.mk I)) (a.coeff n) * X ^ n = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Dual

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring K
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K V₂
inst✝³ : Fintype ι₁
inst✝² : Fintype ι₂
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
B₁ : Basis ι₁ K V₁
B₂ : Basis ι₂ K V₂
M : Matrix ι₁ ι₂ K
⊢ Mᵀ = ((LinearMap.toMatrix B₂ B₁) ((toLin B₂ B₁) M))ᵀ

Tactic:
LinearMap.toMatrix_toLin

Goal state after:
K : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring K
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K V₂
inst✝³ : Fintype ι₁
inst✝² : Fintype ι₂
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
B₁ : Basis ι₁ K V₁
B₂ : Basis ι₂ K V₂
M : Matrix ι₁ ι₂ K
⊢ Mᵀ = Mᵀ
Module: Mathlib.RingTheory.PowerBasis

Goal state before:
pp: case neg
S : Type u_2
inst✝² : Ring S
A : Type u_4
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Nontrivial A
k : Fin pb.dim
h : ¬↑k + 1 = pb.dim
x : Fin pb.dim
hx : x ≠ ⟨↑k + 1, ⋯⟩
⊢ (if ↑x = ↑k + 1 then 1 else 0) • pb.gen ^ ↑x = 0

Tactic:
if_neg,

Goal state after:
case neg
S : Type u_2
inst✝² : Ring S
A : Type u_4
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Nontrivial A
k : Fin pb.dim
h : ¬↑k + 1 = pb.dim
x : Fin pb.dim
hx : x ≠ ⟨↑k + 1, ⋯⟩
⊢ 0 • pb.gen ^ ↑x = 0

case neg.hnc
S : Type u_2
inst✝² : Ring S
A : Type u_4
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Nontrivial A
k : Fin pb.dim
h : ¬↑k + 1 = pb.dim
x : Fin pb.dim
hx : x ≠ ⟨↑k + 1, ⋯⟩
⊢ ¬↑x = ↑k + 1
Module: Mathlib.RingTheory.PowerBasis

Goal state before:
pp: case neg
S : Type u_2
inst✝² : Ring S
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K S
x : S
h : ¬IsIntegral K x
⊢ LinearIndependent K fun i ↦ x ^ ↑i

Tactic:
minpoly.eq_zero h,

Goal state after:
case neg
S : Type u_2
inst✝² : Ring S
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K S
x : S
h : ¬IsIntegral K x
⊢ LinearIndependent K fun i ↦ x ^ ↑i
Module: Mathlib.FieldTheory.KummerPolynomial

Goal state before:
pp: case inr
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K
hn✝ : 0 < n
ha : a ≠ 0
hn : Nat.succ 0 < n
⊢ root (X ^ n - C a) ≠ 0

Tactic:
exact root_X_pow_sub_C_ne_zero hn a

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Squarefree.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero R
inst✝¹ : IsCancelMulZero R
x y d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R
a b : R
ha : a ∣ x
hb : b ∣ y
eq : d * d = a * b
⊢ d ∣ y

Tactic:
replace ha : Squarefree a := hx.squarefree_of_dvd ha

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero R
inst✝¹ : IsCancelMulZero R
x y d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R
a b : R
hb : b ∣ y
eq : d * d = a * b
ha : Squarefree a
⊢ d ∣ y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Determinant

Goal state before:
pp: case h
M : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup M
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
ι' : Type u_7
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
b' : Basis ι' A M
f : M →ₗ[A] M
b : Basis ι A M
⊢ (detAux (Trunc.mk b)) f = ((toMatrix b' b') f).det

Tactic:
rw [detAux_def', det_toMatrix_eq_det_toMatrix b b']

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Determinant

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Matrix ι ι R
⊢ ((toMatrix b b) ((toLin b b) f)).det = f.det

Tactic:
LinearMap.toMatrix_toLin

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Matrix ι ι R
⊢ f.det = f.det
Module: Mathlib.FieldTheory.Perfect

Goal state before:
pp: case e'_3
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f : R[X]
r : R
h : ¬∃ s, r = s ^ p ^ n
⊢ (filter (fun a ↦ r = (iterateFrobenius R p n) a) ((expand R (p ^ n)) f).roots).card = 0

Tactic:
card_eq_zero

Goal state after:
case e'_3
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f : R[X]
r : R
h : ¬∃ s, r = s ^ p ^ n
⊢ filter (fun a ↦ r = (iterateFrobenius R p n) a) ((expand R (p ^ n)) f).roots = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Determinant

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
f : M ≃ₗ[R] M'
v : Basis ι R M
v' : Basis ι R M'
⊢ ?B * (toMatrix v v') ↑f = 1

pp: case B
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
f : M ≃ₗ[R] M'
v : Basis ι R M
v' : Basis ι R M'
⊢ Matrix ι ι R

Tactic:
simpa using (LinearMap.toMatrix_comp v v' v f.symm f).symm

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.AdjoinRoot

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
f g : S[X]
hgf : g ∣ f
⊢ (algHomOfDvd R f g hgf) (root f) = root g

Tactic:
by
  simp [algHomOfDvd]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.AdjoinRoot

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
U : Type u_4
K : Type u_5
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
i : Fin g.natDegree
⊢ (powerBasisAux' hg) i = root g ^ ↑i

Tactic:
simp only [powerBasisAux', Basis.coe_ofEquivFun, LinearEquiv.coe_symm_mk]

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
U : Type u_4
K : Type u_5
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
i : Fin g.natDegree
⊢ (mk g) (∑ i_1, (monomial ↑i_1) (Pi.single i 1 i_1)) = root g ^ ↑i
Module: Mathlib.RingTheory.AdjoinRoot

Goal state before:
pp: case h₁
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
U : Type u_4
K : Type u_5
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
i : Fin g.natDegree
⊢ i ∉ Finset.univ → (monomial ↑i) (Pi.single i 1 i) = 0

Tactic:
intros
      have := Finset.mem_univ i
      contradiction

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Semisimple

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
hs : f.IsFinitelySemisimple
this : ∀ (p : Submodule R M) (hp₁ : p ∈ f.invtSubmodule), Module.Finite R ↥p → LinearMap.restrict f hp₁ = 0
x : M
k : ℕ
hk : f ^ k = 0
p : Submodule R M := Submodule.span R {x_1 | ∃ i, ∃ (_ : i ≤ k), (f ^ i) x = x_1}
i : ℕ
hi : i ≤ k
hik : i < k
⊢ (f ^ (i + 1)) x = f ((f ^ i) x)

Tactic:
simpa [Module.End.pow_apply] using iterate_succ_apply' f i x

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Semisimple

Goal state before:
pp: M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f : End K M
p : K[X]
hp : Squarefree p
hpf : (aeval f) p = 0
⊢ f.IsSemisimple

Tactic:
rw [← RingHom.mem_ker, ← AEval.annihilator_eq_ker_aeval (M := M), mem_annihilator,
      ← IsTorsionBy, ← isTorsionBySet_singleton_iff, isTorsionBySet_iff_is_torsion_by_span] at hpf

Goal state after:
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f : End K M
p : K[X]
hp : Squarefree p
hpf : IsTorsionBySet K[X] (AEval K M f) ↑(Ideal.span {p})
⊢ f.IsSemisimple
Module: Mathlib.Dynamics.Newton

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent ((aeval x) P)
n : ℕ
ih : IsNilpotent (P.newtonMap^[n] x - x)
⊢ IsNilpotent (P.newtonMap^[n + 1] x - x)

Tactic:
rw [iterate_succ', comp_apply, newtonMap_apply, sub_right_comm]
    refine (Commute.all _ _).isNilpotent_sub ih <| (Commute.all _ _).isNilpotent_mul_left ?_
    simpa using Commute.isNilpotent_add (Commute.all _ _)
      (isNilpotent_aeval_sub_of_isNilpotent_sub P ih) h

Goal state after:
Module: Mathlib.Dynamics.Newton

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent ((aeval x) P)
h' : IsUnit ((aeval x) (derivative P))
n : ℕ
hn : (aeval x) P ^ n = 0
⊢ (aeval (P.newtonMap^[n] x)) P = 0

Tactic:
rw [← zero_dvd_iff, ← pow_eq_zero_of_le (n.lt_two_pow_self).le hn]

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent ((aeval x) P)
h' : IsUnit ((aeval x) (derivative P))
n : ℕ
hn : (aeval x) P ^ n = 0
⊢ (aeval x) P ^ 2 ^ n ∣ (aeval (P.newtonMap^[n] x)) P
Module: Mathlib.LinearAlgebra.JordanChevalley

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : PerfectField K
n₁ s₁ n₂ s₂ : End K V
hn₁ : IsNilpotent n₁
hs₁ : s₁.IsSemisimple
hn₂ : IsNilpotent n₂
hs₂ : s₂.IsSemisimple
hc₁ : Commute n₁ s₁
hc₂ : Commute n₂ s₂
h : n₁ + s₁ = n₂ + s₂
⊢ n₁ = n₂ ∧ s₁ = s₂

Tactic:
by
  obtain ⟨n₀, hn₀, s₀, hs₀, hn₀_nil, hs₀_ss, h₀⟩ := (n₁ + s₁).exists_isNilpotent_isSemisimple
  suffices ∀ {n s}, IsNilpotent n → s.IsSemisimple → Commute n s → n₁ + s₁ = n + s → s = s₀ by grind
  intro n s hn hs hc heq
  have hsf : Commute s (n₁ + s₁) := heq ▸ hc.symm.add_right (Commute.refl s)
  have hnf : Commute n (n₁ + s₁) := heq ▸ (Commute.refl n).add_right hc
  have hnil : IsNilpotent (s - s₀) := by
    rw [show s - s₀ = n₀ - n by grind]
    exact (commute_of_mem_adjoin_singleton_of_commute hn₀ hnf).symm.isNilpotent_sub hn₀_nil hn
  have hss : (s - s₀).IsSemisimple :=
    hs.sub_of_commute (commute_of_mem_adjoin_singleton_of_commute hs₀ hsf) hs₀_ss
  grind [eq_zero_of_isNilpotent_isSemisimple hnil hss]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.TensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
x : L
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
⊢ (↑(lift.equiv (RingHom.id R) M N P)).toFun ⁅x, f⁆ = ⁅x, (↑(lift.equiv (RingHom.id R) M N P)).toFun f⁆

Tactic:
ext m n
      simp only [AddHom.toFun_eq_coe, LinearMap.coe_toAddHom, LinearEquiv.coe_coe,
        AlgebraTensorModule.curry_apply, curry_apply, LinearMap.coe_restrictScalars,
        lift.equiv_apply, LieHom.lie_apply, LinearMap.sub_apply, lie_tmul_right, map_add]
      abel

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: case succ.inl
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I J : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ J
k : ℕ
ih : ∀ {l : ℕ}, l ≤ k → D k I ≤ D l J
l : ℕ
h₂ : l ≤ k + 1
h : l = k.succ
⊢ ⁅D k I, D k I⁆ ≤ ⁅D k J, D k J⁆

Tactic:
exact LieSubmodule.mono_lie (ih (le_refl k)) (ih (le_refl k))

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
k : ℕ
ih : ↑↑(derivedSeriesOfIdeal R L k ⊤) = ↑↑(derivedSeriesOfIdeal ℤ L k ⊤)
⊢ ↑↑(derivedSeriesOfIdeal R L (k + 1) ⊤) = ↑↑(derivedSeriesOfIdeal ℤ L (k + 1) ⊤)

Tactic:
rw [derivedSeriesOfIdeal_succ, derivedSeriesOfIdeal_succ]

Goal state after:
case succ
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
k : ℕ
ih : ↑↑(derivedSeriesOfIdeal R L k ⊤) = ↑↑(derivedSeriesOfIdeal ℤ L k ⊤)
⊢ ↑↑⁅derivedSeriesOfIdeal R L k ⊤, derivedSeriesOfIdeal R L k ⊤⁆ =
    ↑↑⁅derivedSeriesOfIdeal ℤ L k ⊤, derivedSeriesOfIdeal ℤ L k ⊤⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : ↑↑(lowerCentralSeries R L M k) = ↑↑(lowerCentralSeries ℤ L M k)
⊢ ↑↑(lowerCentralSeries R L M (k + 1)) = ↑↑(lowerCentralSeries ℤ L M (k + 1))

Tactic:
rw [lowerCentralSeries_succ, lowerCentralSeries_succ]

Goal state after:
case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
ih : ↑↑(lowerCentralSeries R L M k) = ↑↑(lowerCentralSeries ℤ L M k)
⊢ ↑↑⁅⊤, lowerCentralSeries R L M k⁆ = ↑↑⁅⊤, lowerCentralSeries ℤ L M k⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent L M
x y : L
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M k = ⊥
⊢ lowerCentralSeries R L M (2 * k) ≤ lowerCentralSeries R L M k

Tactic:
exact antitone_lowerCentralSeries R L M (by lia)

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Engel

Goal state before:
pp: R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
⊢ LieModule.IsNilpotent L₂ M

Tactic:
let : LieModule R L M := compLieHom M f

Goal state after:
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this : LieModule R L M := compLieHom M f
⊢ LieModule.IsNilpotent L₂ M
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁴ : LieRing L₂
inst✝³ : LieAlgebra R L₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : LieRingModule L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
k : ℕ
ih : Submodule.map g ↑(lowerCentralSeries R L M k) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k)
m : M
x : L
n : x ∈ ⊤
m_n : M
h₁ : m_n ∈ lowerCentralSeries R L M k
h₂ : ⁅x, m_n⁆ = m
⊢ ∃ y n, ↑⁅y, n⁆ = g m

Tactic:
use f x, ⟨g m_n, ih (Submodule.mem_map_of_mem h₁)⟩

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁴ : LieRing L₂
inst✝³ : LieAlgebra R L₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : LieRingModule L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
k : ℕ
ih : Submodule.map g ↑(lowerCentralSeries R L M k) ≤ ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k)
m : M
x : L
n : x ∈ ⊤
m_n : M
h₁ : m_n ∈ lowerCentralSeries R L M k
h₂ : ⁅x, m_n⁆ = m
⊢ ↑⁅f x, ⟨g m_n, ⋯⟩⁆ = g m
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
h₁ : LieRing.IsNilpotent L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h₂ : Injective ⇑f
⊢ LieRing.IsNilpotent L

Tactic:
rw [LieRing.IsNilpotent, LieModule.isNilpotent_iff R] at h₁ ⊢

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
h₁ : ∃ k, lowerCentralSeries R L' L' k = ⊥
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h₂ : Injective ⇑f
⊢ ∃ k, lowerCentralSeries R L L k = ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Nilpotent

Goal state before:
pp: R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
h₁ : LieRing.IsNilpotent L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h₂ : Surjective ⇑f
⊢ LieRing.IsNilpotent L'

Tactic:
rw [LieRing.IsNilpotent, LieModule.isNilpotent_iff R] at h₁ ⊢

Goal state after:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
h₁ : ∃ k, lowerCentralSeries R L L k = ⊥
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h₂ : Surjective ⇑f
⊢ ∃ k, lowerCentralSeries R L' L' k = ⊥
Module: Mathlib.FieldTheory.SplittingField.IsSplittingField

Goal state before:
pp: F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : IsScalarTower F K L
f : F[X]
inst✝ : IsSplittingField F L f
⊢ Subalgebra.restrictScalars F (Algebra.adjoin K ((Polynomial.map (algebraMap F K) f).rootSet L)) =
    Subalgebra.restrictScalars F ⊤

Tactic:
rw [rootSet, aroots, map_map, ← IsScalarTower.algebraMap_eq, Subalgebra.restrictScalars_top,
        eq_top_iff, ← adjoin_rootSet L f, Algebra.adjoin_le_iff]
      exact fun x hx => @Algebra.subset_adjoin K _ _ _ _ _ _ hx

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.SplittingField.IsSplittingField

Goal state before:
pp: K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p : K[X]
F : IntermediateField K L
h : (Polynomial.map (algebraMap K L) p).Splits
⊢ (Polynomial.map (algebraMap K ↥F) p).Splits ↔ ∀ x ∈ p.rootSet L, x ∈ F

Tactic:
refine ⟨?_, IntermediateField.splits_of_splits h⟩
  intro hF
  rw [← hF.image_rootSet F.val, Set.forall_mem_image]
  exact fun x _ ↦ x.2

Goal state after:
Module: Mathlib.FieldTheory.IsAlgClosed.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u
inst✝¹⁸ : Field k
K✝ : Type u
inst✝¹⁷ : Field K✝
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra K✝ L
inst✝¹⁴ : Field M
inst✝¹³ : Algebra K✝ M
inst✝¹² : IsAlgClosed M
inst✝¹¹ : Algebra.IsAlgebraic K✝ L
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
S : Type v
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R M
inst✝⁴ : IsTorsionFree R S
inst✝³ : IsTorsionFree R M
inst✝² : Algebra.IsAlgebraic R S
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsAlgClosed K
⊢ ∀ (a : Fintype K), False

Tactic:
intro hfin

Goal state after:
k : Type u
inst✝¹⁸ : Field k
K✝ : Type u
inst✝¹⁷ : Field K✝
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra K✝ L
inst✝¹⁴ : Field M
inst✝¹³ : Algebra K✝ M
inst✝¹² : IsAlgClosed M
inst✝¹¹ : Algebra.IsAlgebraic K✝ L
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
S : Type v
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R M
inst✝⁴ : IsTorsionFree R S
inst✝³ : IsTorsionFree R M
inst✝² : Algebra.IsAlgebraic R S
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsAlgClosed K
hfin : Fintype K
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Eigenspace.Triangularizable

Goal state before:
pp: case h.succ
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsAlgClosed K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n + 1,
    ∀ {V : Type u_2} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [FiniteDimensional K V] (f : End K V),
      finrank K V = m → ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K V = n + 1
this : Nontrivial V
μ₀ : K
hμ₀ : f.HasEigenvalue μ₀
ES : Submodule K V := (f.genEigenspace μ₀) ↑(finrank K V)
ER : Submodule K V := f.genEigenrange μ₀ ↑(finrank K V)
h_f_ER : ∀ x ∈ ER, f x ∈ ER
f' : End K ↥ER := LinearMap.restrict f h_f_ER
h_dim_ES_pos : 0 < finrank K ↥ES
h_dim_add : finrank K ↥ER + finrank K ↥ES = finrank K V
h_dim_ER : finrank K ↥ER < n.succ
ih_ER : ⨆ μ, f'.maxGenEigenspace μ = ⊤
ih_ER' : ⨆ μ, Submodule.map ER.subtype (f'.maxGenEigenspace μ) = ER
⊢ ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤

Tactic:
have hff' :
      ∀ μ, (f'.maxGenEigenspace μ).map ER.subtype ≤ f.maxGenEigenspace μ := by
      intros
      rw [maxGenEigenspace, genEigenspace_restrict]
      apply Submodule.map_comap_le

Goal state after:
case h.succ
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsAlgClosed K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n + 1,
    ∀ {V : Type u_2} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [FiniteDimensional K V] (f : End K V),
      finrank K V = m → ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K V = n + 1
this : Nontrivial V
μ₀ : K
hμ₀ : f.HasEigenvalue μ₀
ES : Submodule K V := (f.genEigenspace μ₀) ↑(finrank K V)
ER : Submodule K V := f.genEigenrange μ₀ ↑(finrank K V)
h_f_ER : ∀ x ∈ ER, f x ∈ ER
f' : End K ↥ER := LinearMap.restrict f h_f_ER
h_dim_ES_pos : 0 < finrank K ↥ES
h_dim_add : finrank K ↥ER + finrank K ↥ES = finrank K V
h_dim_ER : finrank K ↥ER < n.succ
ih_ER : ⨆ μ, f'.maxGenEigenspace μ = ⊤
ih_ER' : ⨆ μ, Submodule.map ER.subtype (f'.maxGenEigenspace μ) = ER
hff' : ∀ (μ : K), Submodule.map ER.subtype (f'.maxGenEigenspace μ) ≤ f.maxGenEigenspace μ
⊢ ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤