mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Integer

Goal state before:
pp: m : Type u_1
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
a : ℤ
⊢ (↑a).den = 1

Tactic:
simpa [← diagonal_intCast] using den_map_intCast (a : Matrix m m ℤ)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.HadamardMatrix

Goal state before:
pp: case inl
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n ℤ
hA : A.IsHadamard
hcard : 2 < Fintype.card n
hpm : ∀ (i j : n), A i j = 1 ∨ A i j = -1
r s t : n
hrs : r ≠ s
hrt : r ≠ t
hst : s ≠ t
horth : ∀ ⦃i k : n⦄, i ≠ k → ∑ j, A i j * A k j = 0
j : n
hr : A r j = 1
⊢ (1 + A s j * A r j) * (1 + A t j * A r j) = 1 + A s j * A r j + A t j * A r j + A s j * A t j

Tactic:
simp [hr]

Goal state after:
case inl
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n ℤ
hA : A.IsHadamard
hcard : 2 < Fintype.card n
hpm : ∀ (i j : n), A i j = 1 ∨ A i j = -1
r s t : n
hrs : r ≠ s
hrt : r ≠ t
hst : s ≠ t
horth : ∀ ⦃i k : n⦄, i ≠ k → ∑ j, A i j * A k j = 0
j : n
hr : A r j = 1
⊢ (1 + A s j) * (1 + A t j) = 1 + A s j + A t j + A s j * A t j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.HadamardMatrix

Goal state before:
pp: case inr
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n ℤ
hA : A.IsHadamard
hcard : 2 < Fintype.card n
hpm : ∀ (i j : n), A i j = 1 ∨ A i j = -1
r s t : n
hrs : r ≠ s
hrt : r ≠ t
hst : s ≠ t
horth : ∀ ⦃i k : n⦄, i ≠ k → ∑ j, A i j * A k j = 0
j : n
hr : A r j = -1
⊢ (1 + A s j * A r j) * (1 + A t j * A r j) = 1 + A s j * A r j + A t j * A r j + A s j * A t j

Tactic:
simp [hr]

Goal state after:
case inr
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n ℤ
hA : A.IsHadamard
hcard : 2 < Fintype.card n
hpm : ∀ (i j : n), A i j = 1 ∨ A i j = -1
r s t : n
hrs : r ≠ s
hrt : r ≠ t
hst : s ≠ t
horth : ∀ ⦃i k : n⦄, i ≠ k → ∑ j, A i j * A k j = 0
j : n
hr : A r j = -1
⊢ (1 + -A s j) * (1 + -A t j) = 1 + -A s j + -A t j + A s j * A t j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Permanent

Goal state before:
pp: n : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
M : Matrix n n R
j : n
c : R
u : n → R
⊢ (M.updateRow j (c • u)).permanent = c * (M.updateRow j u).permanent

Tactic:
rw [← permanent_transpose, ← updateCol_transpose, permanent_updateCol_smul,
    updateCol_transpose, permanent_transpose]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Pi

Goal state before:
pp: ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : Type uN
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Finite (κ i)
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)
f g : MultilinearMap R (fun i ↦ (j : κ i) → M i j) N
h :
  ∀ (p : (i : ι) → κ i),
    (f.compLinearMap fun i ↦ LinearMap.single R (M i) (p i)) = g.compLinearMap fun i ↦ LinearMap.single R (M i) (p i)
x : (i : ι) → (j : κ i) → M i j
i : Fintype ι
this✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)
this : DecidableEq ι
⊢ (∑ r ∈ Fintype.piFinset fun i ↦ Finset.univ, f fun i ↦ Pi.single (r i) (x i (r i))) =
    ∑ r ∈ Fintype.piFinset fun i ↦ Finset.univ, g fun i ↦ Pi.single (r i) (x i (r i))

Tactic:
congr! 1 with p

Goal state after:
case a
ι : Type uι
κ : ι → Type uκ
R : Type uR
M : (i : ι) → κ i → Type uM
N : Type uN
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → (k : κ i) → AddCommMonoid (M i k)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : (i : ι) → (k : κ i) → Module R (M i k)
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Finite (κ i)
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)
f g : MultilinearMap R (fun i ↦ (j : κ i) → M i j) N
h :
  ∀ (p : (i : ι) → κ i),
    (f.compLinearMap fun i ↦ LinearMap.single R (M i) (p i)) = g.compLinearMap fun i ↦ LinearMap.single R (M i) (p i)
x : (i : ι) → (j : κ i) → M i j
i : Fintype ι
this✝ : (i : ι) → Fintype (κ i)
this : DecidableEq ι
p : (a : ι) → κ a
a✝ : p ∈ Fintype.piFinset fun i ↦ Finset.univ
⊢ (f fun i ↦ Pi.single (p i) (x i (p i))) = g fun i ↦ Pi.single (p i) (x i (p i))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Dual

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : ι → Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
f : (i : ι) → Dual R (M i)
m : (i : ι) → M i
⊢ (dualDistrib ((tprod R) fun i ↦ f i)) (⨂ₜ[R] (i : ι), m i) = ∏ i, (f i) (m i)

Tactic:
rw [dualDistrib, Subsingleton.elim (Fintype.ofFinite ι) ‹_›]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : ι → Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
f : (i : ι) → Dual R (M i)
m : (i : ι) → M i
⊢ ((compRight R (constantBaseRingEquiv ι R).toLinearMap ∘ₗ piTensorHomMap) ((tprod R) fun i ↦ f i))
      (⨂ₜ[R] (i : ι), m i) =
    ∏ i, (f i) (m i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: G : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G K V
g g' : G
x : ℙ K V
⊢ map ((DistribMulAction.toModuleEnd K V) g ∘ₗ (DistribMulAction.toModuleEnd K V) g') ⋯ x =
    map ((DistribMulAction.toModuleEnd K V) g) ⋯ (map ((DistribMulAction.toModuleEnd K V) g') ⋯ x)

Tactic:
map_comp,

Goal state after:
G : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G K V
g g' : G
x : ℙ K V
⊢ (map ((DistribMulAction.toModuleEnd K V) g) ?hg ∘ map ((DistribMulAction.toModuleEnd K V) g') ?hf) x =
    map ((DistribMulAction.toModuleEnd K V) g) ⋯ (map ((DistribMulAction.toModuleEnd K V) g') ⋯ x)

case hf
G : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G K V
g g' : G
x : ℙ K V
⊢ Function.Injective ⇑((DistribMulAction.toModuleEnd K V) g')

case hg
G : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G K V
g g' : G
x : ℙ K V
⊢ Function.Injective ⇑((DistribMulAction.toModuleEnd K V) g)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: G : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G K V
x : ℙ K V
⊢ map ((DistribMulAction.toModuleEnd K V) 1) ⋯ x = x

Tactic:
simp [map_one, Module.End.one_eq_id]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Independence

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
⊢ Independent f ↔ iSupIndep fun i ↦ (f i).submodule

Tactic:
refine ⟨?_, fun h => ?_⟩
  · rintro ⟨f, hf, hi⟩
    simp only [submodule_mk]
    exact (iSupIndep_iff_linearIndependent_of_ne_zero (R := K) hf).mpr hi
  · rw [independent_iff]
    refine h.linearIndependent (Projectivization.submodule ∘ f) (fun i => ?_) fun i => ?_
    · simpa only [Function.comp_apply, submodule_eq] using Submodule.mem_span_singleton_self _
    · exact rep_nonzero (f i)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Subspace

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : ℙ K V
⊢ x ∈ ↑⊥ ↔ x ∈ ∅

Tactic:
simp only [SetLike.mem_coe, Set.mem_empty_iff_false, iff_false]

Goal state after:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : ℙ K V
⊢ x ∉ ⊥
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.PSL.PSL2

Goal state before:
pp: F : Type u_2
inst✝ : Field F
step1 : iSup iwasawaT = Subgroup.map (QuotientGroup.mk' (Subgroup.center SL(2, F))) (⨆ p, lineStab p.submodule)
⊢ Subgroup.map (QuotientGroup.mk' (Subgroup.center SL(2, F))) (⨆ p, lineStab p.submodule) = ⊤

Tactic:
PSL.iSup_lineStab_eq_top

Goal state after:
F : Type u_2
inst✝ : Field F
step1 : iSup iwasawaT = Subgroup.map (QuotientGroup.mk' (Subgroup.center SL(2, F))) (⨆ p, lineStab p.submodule)
⊢ Subgroup.map (QuotientGroup.mk' (Subgroup.center SL(2, F))) ⊤ = ⊤
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set ι
hs : ∀ i ∈ s, 0 < w i
v : ι → 𝕜
hv : v ∈ Pi.spanSubset 𝕜 s
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ v i = 0

Tactic:
exact Pi.mem_spanSubset_iff.mp hv i hi

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
⊢ {i | 0 < w i}.ncard + {i | w i < 0}.ncard + {i | w i = 0}.ncard = {i | 0 < w i}.ncard + {i | w i ≤ 0}.ncard

Tactic:
by
    rw [add_assoc, add_left_cancel_iff, ← Set.ncard_union_eq]
    · congr! 1
      ext
      grind
    · grind [disjoint_iff_ne]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -↑i
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n x : ℕ
hk₂ : (e i ^ n).col (Sum.inr j) = x • Pi.single (Sum.inr (-↑i)) 1
hk₁ : P.root (-j) = (n + 1) • P.root ↑i
hn : n > 0
⊢ False

Tactic:
· have _i : (n + 1).AtLeastTwo := ⟨by lia⟩
        exact P.nsmul_notMem_range_root (n := n + 1) (i := i) ⟨-j, hk₁⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
⊢ P.root l = (x + 1) • P.root i + y • P.root j

Tactic:
← h₁,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
hli' : P.root l ≠ -P.root i
hmi : P.root m ≠ P.root i
hmi' : P.root m ≠ -P.root i
hni : P.root n ≠ P.root i
hni' : P.root n ≠ -P.root i
⊢ P.root k + P.root i = (x + 1) • P.root i + y • P.root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
⊢ P.pairingIn ℤ (twoShortAddLong P) i = 2 * P.pairingIn ℤ (short P) i + P.pairingIn ℤ (long P) i

Tactic:
pairingIn_eq_add_of_root_eq_smul_add_smul (x := 2) (y := 1) (i := short P) (l := long P)

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
⊢ 2 • P.pairingIn ℤ (short P) i + 1 • P.pairingIn ℤ (long P) i =
    2 * P.pairingIn ℤ (short P) i + P.pairingIn ℤ (long P) i

ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.EmbeddedG2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : IsDomain R
i : ι
⊢ P.root (twoShortAddLong P) = 2 • P.root (short P) + 1 • P.root (long P)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this✝² : Module.IsReflexive R M := Module.IsReflexive.of_isPerfPair P.toLinearMap
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
this✝¹ : P.IsNotG2
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ P.root k ≠ -P.root j
hnk_notMem : P.root n - P.root k ∉ range ⇑P.root
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = -P.pairingIn ℤ m i
aux₁ : P.pairingIn ℤ j i = 0
key₁ : P.pairingIn ℤ i k = 0
key₂ : P.pairingIn ℤ i m = 0
key₃ : P.pairingIn ℤ j k = 2
key₄ : P.pairingIn ℤ j l ≠ 0
⊢ P.root l = P.root i + P.root k

Tactic:
← h₁,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this✝² : Module.IsReflexive R M := Module.IsReflexive.of_isPerfPair P.toLinearMap
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
this✝¹ : P.IsNotG2
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ P.root k ≠ -P.root j
hnk_notMem : P.root n - P.root k ∉ range ⇑P.root
aux₀ : P.pairingIn ℤ j i = -P.pairingIn ℤ m i
aux₁ : P.pairingIn ℤ j i = 0
key₁ : P.pairingIn ℤ i k = 0
key₂ : P.pairingIn ℤ i m = 0
key₃ : P.pairingIn ℤ j k = 2
key₄ : P.pairingIn ℤ j l ≠ 0
⊢ P.root k + P.root i = P.root i + P.root k
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : DecidableEq ι
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CharZero K
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module K M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝⁴ : P.IsReduced
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsIrreducible
inst✝¹ : P.IsRootSystem
b : P.Base
inst✝ : IsAlgClosed K
⊢ ∀ (i j : ↥b.support),
    (basis b).base.cartanMatrix ((basis b).baseSupportEquiv i) ((basis b).baseSupportEquiv j) = b.cartanMatrix i j

Tactic:
by simp [(basis b).cartanMatrix_base_eq]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : CharZero K
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module K M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
inst✝⁴ : P.IsRootSystem
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : P.IsReduced
inst✝¹ : P.IsIrreducible
inst✝ : Nonempty ι
⊢ LieModule.IsIrreducible K (↥(lieAlgebra b)) (↥b.support ⊕ ι → K)

Tactic:
by
  refine LieModule.IsIrreducible.mk fun U hU ↦ ?_
  suffices ∃ i, v b i ∈ U by obtain ⟨i, hi⟩ := this; exact instIsIrreducible_aux₂ hi
  let U' : LieSubmodule K H (b.support ⊕ ι → K) := { U with lie_mem := U.lie_mem }
  apply instIsIrreducible_aux₁ U'
  contrapose hU
  replace hU : U ≤ span K (range (u (b := b))) := by rwa [← coe_genWeightSpace_zero_eq_span_range_u]
  refine (LieSubmodule.eq_bot_iff _).mpr fun x hx ↦ ?_
  obtain ⟨c, hc⟩ : ∃ c : b.support → K, ∑ i, c i • u i = x :=
    (mem_span_range_iff_exists_fun K).mp <| hU hx
  suffices c = 0 by simp [this, ← hc]
  have hCM : (4 - b.cartanMatrix).det ≠ 0 :=
    RootPairing.Base.det_four_sub_cartanMatrix_ne_zero b
  contrapose! hCM
  suffices ((Int.castRingHom K).mapMatrix (4 - b.cartanMatrix)).det = 0 by
    simpa only [← RingHom.map_det, eq_intCast, Int.cast_eq_zero] using this
  rw [← exists_mulVec_eq_zero_iff]
  suffices (b.cartanMatrix.map abs).map (↑) *ᵥ c = 0 from ⟨c, hCM, by simpa using this⟩
  ext j
  suffices ∑ k, c k * |b.cartanMatrix j k| = 0 by
    simpa [mulVec_eq_sum, -Base.cartanMatrix_map_abs]
  by_contra contra
  have key : v b j ∈ U := by
    have : ⁅e j, x⁆ ∈ U := U.lie_mem (x := ⟨e j, e_mem_lieAlgebra j⟩) hx
    have aux (k : b.support) : ⁅e j, u k⁆ = |b.cartanMatrix j k| • v b j := e_lie_u j k
    simp_rw [← hc, lie_sum, lie_smul, aux, smul_comm (M := K), ← smul_assoc, ← Finset.sum_smul,
      zsmul_eq_mul, mul_comm, ← LieSubmodule.mem_toSubmodule, U.smul_mem_iff contra] at this
    assumption
  have : v b j ∉ U := fun hj ↦ by simpa [v] using apply_inr_eq_zero_of_mem_span_range_u b j (hU hj)
  contradiction

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Matrix

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι
inst✝¹³ : DecidableEq κ
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype κ
inst✝¹⁰ : Finite ι'
inst✝⁹ : Finite κ'
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
A : Matrix ι' ι R
B : Matrix κ' κ R
⊢ kroneckerMap (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) A B = kroneckerMap (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) A ((toMatrix bN bN') ((toLin bN bN') B))

Tactic:
toMatrix_toLin

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι
inst✝¹³ : DecidableEq κ
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype κ
inst✝¹⁰ : Finite ι'
inst✝⁹ : Finite κ'
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
A : Matrix ι' ι R
B : Matrix κ' κ R
⊢ kroneckerMap (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) A B = kroneckerMap (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) A B
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Transvection.Generation

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
W : Submodule K V
v : V
hW : 1 < finrank K (V ⧸ W)
⊢ W ⊔ K ∙ v < ⊤

Tactic:
lt_top_iff_ne_top

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
W : Submodule K V
v : V
hW : 1 < finrank K (V ⧸ W)
⊢ W ⊔ K ∙ v ≠ ⊤
Module: Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Cylinders

Goal state before:
pp: ι : Type u_2
X : ι → Type u_3
m : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
Δ : Set ι
⊢ Measurable Δ.domRestrict

Tactic:
by
  rw [@measurable_pi_iff]; exact fun i ↦ measurable_cylinderEvent_apply i.2

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.SetAlgebra

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
ι : Type u_2
h𝒜 : IsSetAlgebra 𝒜
s : ι → Set α
S : Finset ι
hs : ∀ i ∈ S, s i ∈ 𝒜
⊢ ⋂ i ∈ S, s i ∈ 𝒜

Tactic:
by
  by_cases! h : S = ∅
  · rw [h, ← Finset.set_biInter_coe, Finset.coe_empty, biInter_empty]
    exact h𝒜.univ_mem
  · exact h𝒜.isSetRing.biInter_mem S h hs

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Order.WithTop

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝¹ : Preorder ι
ts : TopologicalSpace ι
ht : OrderTopology ι
inst✝ : SecondCountableTopology ι
x₀ : ι
c : Set ι
c_count : c.Countable
hc : ts = generateFrom {s | ∃ a ∈ c, s = Ioi a ∨ s = Iio a}
c' : Set ι
c'_count : c'.Countable
hc' : Dense c'
x₁ : ι := if h : ∃ x, Ioi x = ∅ then h.choose else x₀
d : Set (WithTop ι) := WithTop.some '' c ∪ WithTop.some '' c' ∪ {⊤} ∪ {↑x₁}
basis : Set (Set ι) := {s | ∃ f g, f ⊆ c ∧ g ⊆ c ∧ f.Finite ∧ g.Finite ∧ s = (⋂ a ∈ f, Ioi a) ∩ ⋂ a ∈ g, Iio a}
h_basis : IsTopologicalBasis basis
a : ι
hb : ⊤ ∈ Ioi ↑a
ha : Ioi a = ∅
h : ∃ x, Ioi x = ∅
⊢ Ioi ⋯.choose = ∅

Tactic:
exact h.choose_spec

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: α : Type u_1
C : Set (Set α)
t : Set α
I : Finset (Set α)
G : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid G
m : AddContent G C
inst✝¹ : PartialOrder G
inst✝ : CanonicallyOrderedAdd G
hC : IsSetSemiring C
h_ss : ↑I ⊆ C
h_dis : (↑I).PairwiseDisjoint id
ht : t ∈ C
hJt : ∀ s ∈ I, s ⊆ t
⊢ ∑ u ∈ I, m u ≤ m t

Tactic:
by
  rw [addContent_eq_add_disjointOfDiffUnion_of_subset hC ht h_ss hJt h_dis]
  exact le_add_right le_rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.AddContent

Goal state before:
pp: case refine_3
α : Type u_1
C : Set (Set α)
m : AddContent ℝ≥0∞ C
hC : IsSetSemiring C
m_subadd :
  ∀ (f : ℕ → Set α), (∀ (i : ℕ), f i ∈ C) → ⋃ i, f i ∈ C → Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)
f : ℕ → Set α
hf : ∀ (i : ℕ), f i ∈ C
hf_Union : ⋃ i, f i ∈ C
hf_disj : Pairwise (Disjoint on f)
I : Finset ℕ
⊢ ∀ s ∈ Finset.image f I, s ⊆ ⋃ i, f i

Tactic:
· simp only [Finset.mem_image, forall_exists_index, and_imp, forall_apply_eq_imp_iff₂]
    exact fun i _ ↦ subset_iUnion _ i

Goal state after: