mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Topology.FiberBundle.Trivialization

Goal state before:
pp: case pos
B : Type u_1
F : Type u_2
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝ : TopologicalSpace Z
e : Trivialization F proj
α : Type u_5
l : Filter α
f : α → Z
z : Z
hz : z ∈ e.source
hl : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ∈ e.source
⊢ (fun n ↦ ((↑e ∘ f) n).1) =ᶠ[l] proj ∘ f

Tactic:
exact hl.mono fun x ↦ e.coe_fst

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.IsLocalHomeomorph

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
h : ∀ x ∈ s, ∃ e, x ∈ e.source ∧ Set.EqOn f (↑e) e.source
x : X
hx✝ : x ∈ s
e : OpenPartialHomeomorph X Y
hx : x ∈ e.source
he : Set.EqOn f (↑e) e.source
_y : Y
hy : _y ∈ e.target
⊢ f (e.invFun _y) = _y

Tactic:
he (e.map_target' hy)

Goal state after:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
s : Set X
h : ∀ x ∈ s, ∃ e, x ∈ e.source ∧ Set.EqOn f (↑e) e.source
x : X
hx✝ : x ∈ s
e : OpenPartialHomeomorph X Y
hx : x ∈ e.source
he : Set.EqOn f (↑e) e.source
_y : Y
hy : _y ∈ e.target
⊢ ↑e (e.invFun _y) = _y
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.Multiplier

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CStarRing A
a : 𝓜(𝕜, A)
f : A →L[𝕜] A
C : ℝ≥0
h : ∀ (b : A), ‖f b‖₊ ^ 2 ≤ C * ‖f b‖₊ * ‖b‖₊
b : A
⊢ C * ‖f b‖₊ * ‖b‖₊ ≤ C * ‖f‖₊ * ‖b‖₊ ^ 2

Tactic:
grw [f.le_opNNNorm b]

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CStarRing A
a : 𝓜(𝕜, A)
f : A →L[𝕜] A
C : ℝ≥0
h : ∀ (b : A), ‖f b‖₊ ^ 2 ≤ C * ‖f b‖₊ * ‖b‖₊
b : A
⊢ C * (‖f‖₊ * ‖b‖₊) * ‖b‖₊ ≤ C * ‖f‖₊ * ‖b‖₊ ^ 2
Module: Mathlib.Topology.Covering.Quotient

Goal state before:
pp: E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : TopologicalSpace X
f : E → X
hf : IsQuotientMap f
inst✝¹ : Group E
inst✝ : IsTopologicalGroup E
G : Subgroup E
hG : IsDiscrete ↑G
hfG : ∀ {e₁ e₂ : E}, f e₁ = f e₂ ↔ e₂ * e₁⁻¹ ∈ G
e : E
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 1
left✝ : U⁻¹ = U
disj : ∀ g ∈ G, ((fun x ↦ g * x) '' U ∩ U).Nonempty → g = 1
s : ↥G
hs : ((fun x ↦ s • x) '' (U * {e}) ∩ (U * {e})).Nonempty
⊢ ((fun x ↦ ↑s * x) '' U ∩ U).Nonempty

Tactic:
obtain ⟨_, ⟨_, ⟨x, hx, _, rfl, rfl⟩, rfl⟩, y, hy, g, rfl, he⟩ := hs
      exact ⟨y, ⟨x, hx, mul_right_cancel ((mul_assoc ..).trans he.symm)⟩, hy⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Covering.Basic

Goal state before:
pp: E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
inst✝³ : Nonempty (X → E)
ι : Type ?u.20
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace ι
inst✝ : DiscreteTopology ι
U : ι → Set E
V : Set X
open_V : IsOpen[inst✝⁴] V
open_iff : ∀ (i : ι) {W : Set X}, W ⊆ V → (IsOpen[inst✝⁴] W ↔ IsOpen[inst✝⁵] (f ⁻¹' W ∩ U i))
inj : ∀ (i : ι), Set.InjOn f (U i)
disjoint : Pairwise (Disjoint on U)
exhaustive' : f ⁻¹' V ⊆ ⋃ i, U i
idx : (x : E) → x ∈ f ⁻¹' V → ι
idx_U : ∀ (x : E) (a : x ∈ f ⁻¹' V), x ∈ U (idx x a)
inv : ι → ⦃a : X⦄ → a ∈ V → E
inv_U : ∀ (i : ι) ⦃a : X⦄ (a_1 : a ∈ V), inv i a_1 ∈ U i
f_inv : ∀ (i : ι) ⦃a : X⦄ (a_1 : a ∈ V), f (inv i a_1) = a
x : X × ι
hx : x ∈ V ×ˢ Set.univ
⊢ (f (inv x.2 ⋯), if he : f (inv x.2 ⋯) ∈ V then idx (inv x.2 ⋯) he else Classical.arbitrary ι).2 = x.2

Tactic:
rw [dif_pos ((f_inv _ hx.1).symm ▸ hx.1)]

Goal state after:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
inst✝³ : Nonempty (X → E)
ι : Type ?u.20
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace ι
inst✝ : DiscreteTopology ι
U : ι → Set E
V : Set X
open_V : IsOpen[inst✝⁴] V
open_iff : ∀ (i : ι) {W : Set X}, W ⊆ V → (IsOpen[inst✝⁴] W ↔ IsOpen[inst✝⁵] (f ⁻¹' W ∩ U i))
inj : ∀ (i : ι), Set.InjOn f (U i)
disjoint : Pairwise (Disjoint on U)
exhaustive' : f ⁻¹' V ⊆ ⋃ i, U i
idx : (x : E) → x ∈ f ⁻¹' V → ι
idx_U : ∀ (x : E) (a : x ∈ f ⁻¹' V), x ∈ U (idx x a)
inv : ι → ⦃a : X⦄ → a ∈ V → E
inv_U : ∀ (i : ι) ⦃a : X⦄ (a_1 : a ∈ V), inv i a_1 ∈ U i
f_inv : ∀ (i : ι) ⦃a : X⦄ (a_1 : a ∈ V), f (inv i a_1) = a
x : X × ι
hx : x ∈ V ×ˢ Set.univ
⊢ (f (inv x.2 ⋯), idx (inv x.2 ⋯) ⋯).2 = x.2
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Complex.Circle

Goal state before:
pp: r s : ℝ
h : r ≤ s
⊢ centeredArc r ⊆ centeredArc s

Tactic:
rintro _ ⟨x, hx, rfl⟩
  exact ⟨x, hx.trans_le h, rfl⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Covering.Basic

Goal state before:
pp: case refine_3
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
inst✝³ : Nonempty (X → E)
ι : Type ?u.20
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace ι
inst✝ : DiscreteTopology ι
U : ι → Set E
V : Set X
open_V : IsOpen[inst✝⁴] V
open_iff : ∀ (i : ι) {W : Set X}, W ⊆ V → (IsOpen[inst✝⁴] W ↔ IsOpen[inst✝⁵] (f ⁻¹' W ∩ U i))
inj : ∀ (i : ι), Set.InjOn f (U i)
disjoint : Pairwise (Disjoint on U)
exhaustive' : f ⁻¹' V ⊆ ⋃ i, U i
idx : (x : E) → x ∈ f ⁻¹' V → ι
idx_U : ∀ (x : E) (a : x ∈ f ⁻¹' V), x ∈ U (idx x a)
inv : ι → ⦃a : X⦄ → a ∈ V → E
inv_U : ∀ (i : ι) ⦃a : X⦄ (a_1 : a ∈ V), inv i a_1 ∈ U i
f_inv : ∀ (i : ι) ⦃a : X⦄ (a_1 : a ∈ V), f (inv i a_1) = a
F : PartialEquiv E (X × ι) :=
  { toFun := fun e ↦ (f e, if he : f e ∈ V then idx e he else Classical.arbitrary ι),
    invFun := fun x ↦ if hx : x.1 ∈ V then inv x.2 hx else Classical.arbitrary (X → E) x.1, source := f ⁻¹' V,
    target := V ×ˢ Set.univ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }
open_preim : ∀ {W : Set X}, W ⊆ V → IsOpen[inst✝⁴] W → IsOpen[inst✝⁵] (f ⁻¹' W)
open_source : IsOpen[inst✝⁵] F.source
cont_f : ContinuousOn f F.source
i : ι
W : Set E
open_W : IsOpen[inst✝⁵] W
⊢ IsOpen[inst✝⁵] (f ⁻¹' (V ∩ (fun x ↦ if h : x ∈ V then inv i ⋯ else Classical.arbitrary (X → E) x) ⁻¹' W) ∩ U i)

Tactic:
convert! ((open_iff i subset_rfl).mp open_V).inter open_W using 1

Goal state after:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
inst✝³ : Nonempty (X → E)
ι : Type ?u.20
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace ι
inst✝ : DiscreteTopology ι
U : ι → Set E
V : Set X
open_V : IsOpen[inst✝⁴] V
open_iff : ∀ (i : ι) {W : Set X}, W ⊆ V → (IsOpen[inst✝⁴] W ↔ IsOpen[inst✝⁵] (f ⁻¹' W ∩ U i))
inj : ∀ (i : ι), Set.InjOn f (U i)
disjoint : Pairwise (Disjoint on U)
exhaustive' : f ⁻¹' V ⊆ ⋃ i, U i
idx : (x : E) → x ∈ f ⁻¹' V → ι
idx_U : ∀ (x : E) (a : x ∈ f ⁻¹' V), x ∈ U (idx x a)
inv : ι → ⦃a : X⦄ → a ∈ V → E
inv_U : ∀ (i : ι) ⦃a : X⦄ (a_1 : a ∈ V), inv i a_1 ∈ U i
f_inv : ∀ (i : ι) ⦃a : X⦄ (a_1 : a ∈ V), f (inv i a_1) = a
F : PartialEquiv E (X × ι) :=
  { toFun := fun e ↦ (f e, if he : f e ∈ V then idx e he else Classical.arbitrary ι),
    invFun := fun x ↦ if hx : x.1 ∈ V then inv x.2 hx else Classical.arbitrary (X → E) x.1, source := f ⁻¹' V,
    target := V ×ˢ Set.univ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }
open_preim : ∀ {W : Set X}, W ⊆ V → IsOpen[inst✝⁴] W → IsOpen[inst✝⁵] (f ⁻¹' W)
open_source : IsOpen[inst✝⁵] F.source
cont_f : ContinuousOn f F.source
i : ι
W : Set E
open_W : IsOpen[inst✝⁵] W
⊢ f ⁻¹' (V ∩ (fun x ↦ if h : x ∈ V then inv i ⋯ else Classical.arbitrary (X → E) x) ⁻¹' W) ∩ U i = f ⁻¹' V ∩ U i ∩ W
Module: Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.Unitary.Connected

Goal state before:
pp: case mp
A : Type u_1
inst✝ : CStarAlgebra A
u v : ↥(unitary A)
huv : dist u v < 2
l : List ↥(selfAdjoint A)
hlv : (List.map expUnitary l).prod = v
⊢ (fun y ↦ (List.map expUnitary y).prod) (argSelfAdjoint (u * star v) :: l) = u

Tactic:
simp [hlv, mul_assoc,
      expUnitary_eq_mul_inv u v (by simpa [Subtype.dist_eq, dist_eq_norm] using! huv)]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
E : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
x : E
y : F
f : G →L[𝕜] F
⊢ ((rankOne 𝕜) x) y ∘SL f = ((rankOne 𝕜) x) ((adjoint f) y)

Tactic:
rankOne_def',

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
F : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
E : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace G
x : E
y : F
f : G →L[𝕜] F
⊢ (toSpanSingleton 𝕜 x ∘SL (innerSL 𝕜) y) ∘SL f = toSpanSingleton 𝕜 x ∘SL (innerSL 𝕜) ((adjoint f) y)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
f g : H ≃ₗᵢ[𝕜] K
⊢ (∀ (a : H →L[𝕜] H), a ∘SL ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f = ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f ∘SL a) ↔ ∃ α, ∀ (x : H), f x = (α • g) x

Tactic:
← comp_assoc _ (f : H →L[𝕜] K),

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
f g : H ≃ₗᵢ[𝕜] K
⊢ (∀ (a : H →L[𝕜] H), a ∘SL ↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f = (↑(↑g).symm ∘SL ↑↑f) ∘SL a) ↔ ∃ α, ∀ (x : H), f x = (α • g) x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
⊢ s.faceOppositeCentroid i -ᵥ s.centroid = (↑n)⁻¹ • (s.centroid -ᵥ s.points i)

Tactic:
by
  rw [centroid_vsub_point_eq_smul_vsub, smul_smul, inv_mul_cancel₀ (NeZero.ne (n : k)), one_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁸ : DivisionRing k
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module k V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : CharZero k
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module k V₂
inst✝¹ : AffineSpace V₂ P₂
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Function.Injective ⇑f
i : Fin (n + 1)
⊢ (s.map f hf).faceOppositeCentroid i = f (s.faceOppositeCentroid i)

Tactic:
simp only [faceOppositeCentroid, faceOpposite_map, centroid_eq_affineCombination, map_points]

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁸ : DivisionRing k
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module k V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : CharZero k
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module k V₂
inst✝¹ : AffineSpace V₂ P₂
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Function.Injective ⇑f
i : Fin (n + 1)
⊢ (affineCombination k univ (⇑f ∘ (s.faceOpposite i).points)) (centroidWeights k univ) =
    f ((affineCombination k univ (s.faceOpposite i).points) (centroidWeights k univ))
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
m : Type u_5
n : Type u_6
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
v₁ : OrthonormalBasis n 𝕜 E
v₂ : OrthonormalBasis m 𝕜 F
A : Matrix m n 𝕜
⊢ (toLin v₂.toBasis v₁.toBasis) Aᴴ = adjoint ((toLin v₁.toBasis v₂.toBasis) A)

Tactic:
refine eq_adjoint_iff_basis v₂.toBasis v₁.toBasis _ _ |>.mpr fun i j ↦ ?_

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 F
m : Type u_5
n : Type u_6
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
v₁ : OrthonormalBasis n 𝕜 E
v₂ : OrthonormalBasis m 𝕜 F
A : Matrix m n 𝕜
i : m
j : n
⊢ ⟪((toLin v₂.toBasis v₁.toBasis) Aᴴ) (v₂.toBasis i), v₁.toBasis j⟫_𝕜 =
    ⟪v₂.toBasis i, ((toLin v₁.toBasis v₂.toBasis) A) (v₁.toBasis j)⟫_𝕜
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Centroid

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : CharZero k
s : Simplex k P n
hn : 1 < n
p : P
h : ∀ (i : Fin (n + 1)), p ∈ s.median i
i₀ : Fin (n + 1) := 0
⊢ p = (p -ᵥ s.centroid) +ᵥ s.centroid

Tactic:
rw [vsub_vadd]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hp : 0 < p.toReal
⊢ Memℓp f p ↔ ∃ C, 0 ≤ C ∧ ∀ (s : Finset α), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C

Tactic:
refine ⟨fun hf ↦ ?_, fun ⟨C, _, hC⟩ ↦ memℓp_gen' hC⟩

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hp : 0 < p.toReal
hf : Memℓp f p
⊢ ∃ C, 0 ≤ C ∧ ∀ (s : Finset α), ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal ≤ C
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
⊢ Memℓp (fun x ↦ ‖f x‖) 0 ↔ Memℓp f 0

pp: case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
⊢ Memℓp (fun x ↦ ‖f x‖) ∞ ↔ Memℓp f ∞

pp: case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hp : 0 < p.toReal
⊢ Memℓp (fun x ↦ ‖f x‖) p ↔ Memℓp f p

Tactic:
· simp [memℓp_zero_iff]

Goal state after:
case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
⊢ Memℓp (fun x ↦ ‖f x‖) ∞ ↔ Memℓp f ∞

case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hp : 0 < p.toReal
⊢ Memℓp (fun x ↦ ‖f x‖) p ↔ Memℓp f p
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p q : ℝ≥0∞
hpq : p.toReal.HolderConjugate q.toReal
f : ↥(lp E p)
g : ↥(lp E q)
hf₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖
hg₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑g i‖
hf₂ : HasSum (fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal)
⊢ (Summable fun i ↦ ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖) ∧ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖

Tactic:
have hg₂ := lp.hasSum_norm hpq.symm.pos g

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p q : ℝ≥0∞
hpq : p.toReal.HolderConjugate q.toReal
f : ↥(lp E p)
g : ↥(lp E q)
hf₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖
hg₁ : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑g i‖
hf₂ : HasSum (fun i ↦ ‖↑f i‖ ^ p.toReal) (‖f‖ ^ p.toReal)
hg₂ : HasSum (fun i ↦ ‖↑g i‖ ^ q.toReal) (‖g‖ ^ q.toReal)
⊢ (Summable fun i ↦ ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖) ∧ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.SmoothSeries

Goal state before:
pp: case right
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m < N
⊢ Differentiable 𝕜 fun x ↦ iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x ↦ ∑' (i : α), f i x) x

Tactic:
have h'm : ((m + 1 : ℕ) : ℕ∞) ≤ N := by
      simpa only [ENat.natCast_add, ENat.natCast_one] using Order.add_one_le_of_lt hm

Goal state after:
case right
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m < N
h'm : ↑(m + 1) ≤ N
⊢ Differentiable 𝕜 fun x ↦ iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x ↦ ∑' (i : α), f i x) x
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.SmoothTransition

Goal state before:
pp: h✝ : AnalyticAt ℝ expNegInvGlue 0
r : ℝ
hr : 0 < r
h : AnalyticOnNhd ℝ expNegInvGlue (Metric.ball 0 r)
⊢ 0 ∈ Metric.ball 0 r

Tactic:
simp [hr]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t✝ : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
t : G
ht : t ∉ u
hxt : x - t ∈ support g
⊢ (fun x1 x2 ↦ x1 + x2) (-(x - t)) x = t

Tactic:
simp only [neg_sub, sub_add_cancel]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Calculus

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
x : G
hf : DifferentiableAt ℝ f x
hg : DifferentiableAt ℝ g x
y : G
⊢ (fderiv ℝ (fun t ↦ ⟪f t, g t⟫) x) y = ⟪f x, (fderiv ℝ g x) y⟫ + ⟪(fderiv ℝ f x) y, g x⟫

Tactic:
rw [(hf.hasFDerivAt.inner 𝕜 hg.hasFDerivAt).fderiv]; rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous[inst✝², PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] g
x₀ : G
⊢ (support fun t ↦ (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ support f

Tactic:
refine fun t => mt fun ht : f t = 0 => ?_

Goal state after:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous[inst✝², PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] g
x₀ t : G
ht : f t = 0
⊢ (fun t ↦ (L (f t)) (g (x₀ - t))) t = 0
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.EuclideanDist

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ
⊢ closedBall x r = ⇑toEuclidean ⁻¹' Metric.closedBall (toEuclidean x) r

Tactic:
closedBall_eq_preimage

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ
⊢ ⇑toEuclidean ⁻¹' Metric.closedBall (toEuclidean x) r = ⇑toEuclidean ⁻¹' Metric.closedBall (toEuclidean x) r
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.EuclideanDist

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ
h : r ≠ 0
⊢ ⇑toEuclidean ⁻¹' Metric.closedBall (toEuclidean x) r = closedBall x r

Tactic:
closedBall_eq_preimage

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ
h : r ≠ 0
⊢ ⇑toEuclidean ⁻¹' Metric.closedBall (toEuclidean x) r = ⇑toEuclidean ⁻¹' Metric.closedBall (toEuclidean x) r
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
⊢ (support fun t ↦ (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ support f

Tactic:
refine fun t => mt fun ht : f t = 0 => ?_

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
t : G
ht : f t = 0
⊢ (fun t ↦ (L (f t)) (g (x₀ - t))) t = 0
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
x : G
hx : x ∈ (fun t ↦ x₀ - t) ⁻¹' ball 0 R
⊢ x ∈ ball x₀ R

Tactic:
rwa [mem_ball_iff_norm, norm_sub_rev, ← mem_ball_zero_iff]

Goal state after: