mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
⊢ ∃ a, (∀ i ∈ s, IsLocalization.IsInteger A (a * f i)) ∧ ∃ i ∈ s, a * f i ∉ ↑J

Tactic:
by
  -- Consider the fractional ideal `I` spanned by the `f`s.
  let I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
  have hI0 : I ≠ 0 := spanFinset_ne_zero.mpr ⟨j, hjs, hjf⟩
  -- We claim the multiplier `a` we're looking for is in `I⁻¹ \ (J / I)`.
  suffices ↑J / I < I⁻¹ by
    obtain ⟨_, a, hI, hpI⟩ := SetLike.lt_iff_le_and_exists.mp this
    rw [mem_inv_iff hI0] at hI
    refine ⟨a, fun i hi => ?_, ?_⟩
    -- By definition, `a ∈ I⁻¹` multiplies elements of `I` into elements of `1`,
    -- in other words, `a * f i` is an integer.
    · exact (mem_one_iff _).mp (hI (f i) (Submodule.subset_span (Set.mem_image_of_mem f hi)))
    · contrapose! hpI
      -- And if all `a`-multiples of `I` are an element of `J`,
      -- then `a` is actually an element of `J / I`, contradiction.
      refine (mem_div_iff_of_ne_zero hI0).mpr fun y hy => Submodule.span_induction ?_ ?_ ?_ ?_ hy
      · rintro _ ⟨i, hi, rfl⟩; exact hpI i hi
      · rw [mul_zero]; exact Submodule.zero_mem _
      · intro x y _ _ hx hy; rw [mul_add]; exact Submodule.add_mem _ hx hy
      · intro b x _ hx; rw [mul_smul_comm]; exact Submodule.smul_mem _ b hx
  -- To show the inclusion of `J / I` into `I⁻¹ = 1 / I`, note that `J < I`.
  rw [div_eq_mul_inv]
  refine mul_lt_of_lt_one_left (by simpa [pos_iff_ne_zero]) ?_
  rw [← coeIdeal_top]
  -- And multiplying by `I⁻¹` is indeed strictly monotone.
  exact
    strictMono_of_le_iff_le (fun _ _ => (coeIdeal_le_coeIdeal K).symm)
      (lt_top_iff_ne_top.mpr hJ)

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Lattice

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Algebra R A
V : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
M N : Submodule R V
hle : M ≤ N
inst✝ : IsLattice A M
hfg : N.FG
⊢ ⊤ ≤ span A ↑M

Tactic:
by rw [IsLattice.span_eq_top]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Finiteness.Cofinite

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
⊢ f.range.FG ↔ f.ker.CoFG

Tactic:
by
  rw [← Module.Finite.iff_fg]
  exact Module.Finite.equiv_iff <| f.quotKerEquivRange.symm

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.FiniteRange

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_4
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
f g : V →ₗ[K] V₂
hf : f.HasNoetherianRange
hg : g.HasNoetherianRange
⊢ (f + g).HasNoetherianRange

Tactic:
rw [HasNoetherianRange] at *

Goal state after:
K : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_4
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
f g : V →ₗ[K] V₂
hf : IsNoetherian K ↥f.range
hg : IsNoetherian K ↥g.range
⊢ IsNoetherian K ↥(f + g).range
Module: Mathlib.Algebra.Module.LocalizedModule.Int

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_4
s : Finset ι
g : ι → M'
sec : ι → M × ↥S
hsec : ∀ (i : ι), (sec i).2 • g i = f (sec i).1
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ((∏ j ∈ s.erase i, (sec j).2) * (sec i).2) • g i = (∏ i ∈ s, ↑(sec i).2) • g i

Tactic:
Submonoid.smul_def

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_4
s : Finset ι
g : ι → M'
sec : ι → M × ↥S
hsec : ∀ (i : ι), (sec i).2 • g i = f (sec i).1
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ↑((∏ j ∈ s.erase i, (sec j).2) * (sec i).2) • g i = (∏ i ∈ s, ↑(sec i).2) • g i
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
a b : R
h : ¬FiniteMultiplicity a b
⊢ ¬FiniteMultiplicity (span {a}) (span {b})

Tactic:
exact FiniteMultiplicity.not_iff_forall.mpr fun n => by
      rw [span_singleton_pow, span_singleton_dvd_span_singleton_iff_dvd]
      exact FiniteMultiplicity.not_iff_forall.mp h n

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_3
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
l : P →ₗ[R] N
hl : g ∘ₗ l = LinearMap.id
hf : Function.Injective ⇑f
H : Function.Exact ⇑f ⇑g
⊢ FinitePresentation R M

Tactic:
have hg : Function.Surjective g := Function.LeftInverse.surjective (DFunLike.congr_fun hl)

Goal state after:
R : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_3
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
l : P →ₗ[R] N
hl : g ∘ₗ l = LinearMap.id
hf : Function.Injective ⇑f
H : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ FinitePresentation R M
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
q : Submodule K (Dual K ↥H)
hq : ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root), q ∈ End.invtSubmodule ↑((rootSystem H).reflection i)
χ : Weight K (↥H) L
x_χ m_α : L
hx_χ : x_χ ∈ genWeightSpace L ⇑χ
α : Weight K (↥H) L
hαq : Weight.toLinear K (↥H) L α ∈ q
hα₀ : α.IsNonZero
hm_α : m_α ∈ genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α) ⊔ corootSubmodule α
hm_α_original : m_α ∈ sl2SubmoduleOfRoot hα₀
m_αneg : L
hm_αneg : m_αneg ∈ ↑(genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α))
m_h : L
hm_h : m_h ∈ ↑(corootSubmodule α)
hm_eq : m_αneg + m_h = m_α
⊢ ⁅x_χ, m_α⁆ ∈ ⨆ α, sl2SubmoduleOfRoot ⋯

Tactic:
obtain ⟨m_pos, hm_pos, m_neg, hm_neg, hm_αneg_eq⟩ := Submodule.mem_sup.mp hm_αneg

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
q : Submodule K (Dual K ↥H)
hq : ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root), q ∈ End.invtSubmodule ↑((rootSystem H).reflection i)
χ : Weight K (↥H) L
x_χ m_α : L
hx_χ : x_χ ∈ genWeightSpace L ⇑χ
α : Weight K (↥H) L
hαq : Weight.toLinear K (↥H) L α ∈ q
hα₀ : α.IsNonZero
hm_α : m_α ∈ genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α) ⊔ corootSubmodule α
hm_α_original : m_α ∈ sl2SubmoduleOfRoot hα₀
m_αneg : L
hm_αneg : m_αneg ∈ ↑(genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α))
m_h : L
hm_h : m_h ∈ ↑(corootSubmodule α)
hm_eq : m_αneg + m_h = m_α
m_pos : L
hm_pos : m_pos ∈ ↑(genWeightSpace L ⇑α)
m_neg : L
hm_neg : m_neg ∈ ↑(genWeightSpace L (-⇑α))
hm_αneg_eq : m_pos + m_neg = m_αneg
⊢ ⁅x_χ, m_α⁆ ∈ ⨆ α, sl2SubmoduleOfRoot ⋯
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
q : Submodule K (Dual K ↥H)
hq : ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root), q ∈ End.invtSubmodule ↑((rootSystem H).reflection i)
χ : Weight K (↥H) L
x_χ m_α : L
hx_χ : x_χ ∈ genWeightSpace L ⇑χ
α : Weight K (↥H) L
hαq : Weight.toLinear K (↥H) L α ∈ q
hα₀ : α.IsNonZero
hm_α : m_α ∈ genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α) ⊔ corootSubmodule α
hm_α_original : m_α ∈ sl2SubmoduleOfRoot hα₀
m_αneg : L
hm_αneg : m_αneg ∈ ↑(genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α))
m_h : L
hm_h : m_h ∈ ↑(corootSubmodule α)
hm_eq : m_αneg + m_h = m_α
m_pos : L
hm_pos : m_pos ∈ ↑(genWeightSpace L ⇑α)
m_neg : L
hm_neg : m_neg ∈ ↑(genWeightSpace L (-⇑α))
hm_αneg_eq : m_pos + m_neg = m_αneg
hm_α_decomp : m_α = m_pos + m_neg + m_h
h_bracket_sum : ⁅x_χ, m_α⁆ = ⁅x_χ, m_pos⁆ + ⁅x_χ, m_neg⁆ + ⁅x_χ, m_h⁆
w_plus : Weight.toLinear K (↥H) L χ + Weight.toLinear K (↥H) L α = 0
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
hx_χ_neg : x_χ ∈ genWeightSpace L ⇑(-Weight.toLinear K (↥H) L α)
⊢ ∃ c₁ c₂ c₃, x_χ = c₁ • e + c₂ • f + c₃ • ⁅e, f⁆

Tactic:
obtain ⟨c, hc⟩ := (finrank_eq_one_iff_of_nonzero' ⟨f, hf⟩ (by simp [ht.f_ne_zero])).mp
        (finrank_rootSpace_eq_one (-α) (by simpa using hα₀)) ⟨x_χ, hx_χ_neg⟩

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
q : Submodule K (Dual K ↥H)
hq : ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root), q ∈ End.invtSubmodule ↑((rootSystem H).reflection i)
χ : Weight K (↥H) L
x_χ m_α : L
hx_χ : x_χ ∈ genWeightSpace L ⇑χ
α : Weight K (↥H) L
hαq : Weight.toLinear K (↥H) L α ∈ q
hα₀ : α.IsNonZero
hm_α : m_α ∈ genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α) ⊔ corootSubmodule α
hm_α_original : m_α ∈ sl2SubmoduleOfRoot hα₀
m_αneg : L
hm_αneg : m_αneg ∈ ↑(genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α))
m_h : L
hm_h : m_h ∈ ↑(corootSubmodule α)
hm_eq : m_αneg + m_h = m_α
m_pos : L
hm_pos : m_pos ∈ ↑(genWeightSpace L ⇑α)
m_neg : L
hm_neg : m_neg ∈ ↑(genWeightSpace L (-⇑α))
hm_αneg_eq : m_pos + m_neg = m_αneg
hm_α_decomp : m_α = m_pos + m_neg + m_h
h_bracket_sum : ⁅x_χ, m_α⁆ = ⁅x_χ, m_pos⁆ + ⁅x_χ, m_neg⁆ + ⁅x_χ, m_h⁆
w_plus : Weight.toLinear K (↥H) L χ + Weight.toLinear K (↥H) L α = 0
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
hx_χ_neg : x_χ ∈ genWeightSpace L ⇑(-Weight.toLinear K (↥H) L α)
c : K
hc : c • ⟨f, hf⟩ = ⟨x_χ, hx_χ_neg⟩
⊢ ∃ c₁ c₂ c₃, x_χ = c₁ • e + c₂ • f + c₃ • ⁅e, f⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
q : Submodule K (Dual K ↥H)
hq : ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root), q ∈ End.invtSubmodule ↑((rootSystem H).reflection i)
χ : Weight K (↥H) L
x_χ m_α : L
hx_χ : x_χ ∈ genWeightSpace L ⇑χ
α : Weight K (↥H) L
hαq : Weight.toLinear K (↥H) L α ∈ q
hα₀ : α.IsNonZero
hm_α : m_α ∈ genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α) ⊔ corootSubmodule α
hm_α_original : m_α ∈ sl2SubmoduleOfRoot hα₀
m_αneg : L
hm_αneg : m_αneg ∈ ↑(genWeightSpace L ⇑α ⊔ genWeightSpace L (-⇑α))
m_h : L
hm_h : m_h ∈ ↑(corootSubmodule α)
hm_eq : m_αneg + m_h = m_α
m_pos : L
hm_pos : m_pos ∈ ↑(genWeightSpace L ⇑α)
m_neg : L
hm_neg : m_neg ∈ ↑(genWeightSpace L (-⇑α))
hm_αneg_eq : m_pos + m_neg = m_αneg
hm_α_decomp : m_α = m_pos + m_neg + m_h
h_bracket_sum : ⁅x_χ, m_α⁆ = ⁅x_χ, m_pos⁆ + ⁅x_χ, m_neg⁆ + ⁅x_χ, m_h⁆
w_plus : ¬Weight.toLinear K (↥H) L χ + Weight.toLinear K (↥H) L α = 0
w_minus : Weight.toLinear K (↥H) L χ - Weight.toLinear K (↥H) L α = 0
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
hx_χ_pos : x_χ ∈ genWeightSpace L ⇑(Weight.toLinear K (↥H) L α)
⊢ ⟨e, he⟩ ≠ 0

Tactic:
simp [ht.e_ne_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: case map_units
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
N'✝ : Type ?u.18
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : AddCommGroup N'✝
inst✝⁸ : Module R N'✝
S : Submonoid R
f✝ : N →ₗ[R] N'✝
inst✝⁷ : IsLocalizedModule S f✝
M' : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝⁴ : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S g
inst✝ : FinitePresentation R M
s : ↥S
⊢ Function.Bijective ⇑((algebraMap R (End R (M' →ₗ[R] N'))) ↑s)

Tactic:
have := (Module.End.isUnit_iff _).mp (IsLocalizedModule.map_units (S := S) (f := g) s)

Goal state after:
case map_units
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
N'✝ : Type ?u.18
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : AddCommGroup N'✝
inst✝⁸ : Module R N'✝
S : Submonoid R
f✝ : N →ₗ[R] N'✝
inst✝⁷ : IsLocalizedModule S f✝
M' : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝⁴ : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S g
inst✝ : FinitePresentation R M
s : ↥S
this : Function.Bijective ⇑((algebraMap R (End R N')) ↑s)
⊢ Function.Bijective ⇑((algebraMap R (End R (M' →ₗ[R] N'))) ↑s)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: case mp
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
q : Submodule K (Dual K ↥H)
hq : ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root), q ∈ End.invtSubmodule ↑((rootSystem H).reflection i)
α : ↥LieSubalgebra.root
J : LieIdeal K L := invtSubmoduleToLieIdeal q hq
hα_mem : α ∈ J.rootSet
hα_not : (rootSystem H).root α ∉ q
hα_nz : (↑α).IsNonZero
hne : ∀ (χ : Weight K (↥H) L), Weight.toLinear K (↥H) L χ ∈ q → ⇑χ ≠ ⇑↑α
h_le : LieSubmodule.restr J H ≤ ⨆ χ, ⨆ (_ : χ ≠ ⇑↑α), genWeightSpace L χ
⊢ False

Tactic:
have h_disj := ((iSupIndep_genWeightSpace K H L _).mono_right h_le).mono_right hα_mem

Goal state after:
case mp
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
q : Submodule K (Dual K ↥H)
hq : ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root), q ∈ End.invtSubmodule ↑((rootSystem H).reflection i)
α : ↥LieSubalgebra.root
J : LieIdeal K L := invtSubmoduleToLieIdeal q hq
hα_mem : α ∈ J.rootSet
hα_not : (rootSystem H).root α ∉ q
hα_nz : (↑α).IsNonZero
hne : ∀ (χ : Weight K (↥H) L), Weight.toLinear K (↥H) L χ ∈ q → ⇑χ ≠ ⇑↑α
h_le : LieSubmodule.restr J H ≤ ⨆ χ, ⨆ (_ : χ ≠ ⇑↑α), genWeightSpace L χ
h_disj : Disjoint ((fun χ ↦ genWeightSpace L χ) ⇑↑α) (rootSpace H ⇑↑α)
⊢ False
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S ι
x y : S
⊢ P.σ x • y = x * y

Tactic:
rw [Algebra.smul_def, algebraMap_apply, aeval_val_σ]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Differentials

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
φ : (σ →₀ S) →ₗ[pres.Ring] pres.toExtension.Cotangent := { toFun := ⇑(hom₁ pres), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
h₁ : Extension.Cotangent.mk.range = ⊤
h₂ : Submodule.span pres.Ring (Set.range fun r ↦ ⟨pres.relation r, ⋯⟩) = ⊤
⊢ ⊤ ≤ φ.range

Tactic:
← h₁,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
φ : (σ →₀ S) →ₗ[pres.Ring] pres.toExtension.Cotangent := { toFun := ⇑(hom₁ pres), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
h₁ : Extension.Cotangent.mk.range = ⊤
h₂ : Submodule.span pres.Ring (Set.range fun r ↦ ⟨pres.relation r, ⋯⟩) = ⊤
⊢ Extension.Cotangent.mk.range ≤ φ.range
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: case e'_5
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
this : DecidableEq (ι' →₀ ℕ) := Classical.decEq (ι' →₀ ℕ)
x : (Q.comp P).Ring
h₂ : (Q.ofComp P).toAlgHom x = 0
e : (ι' ⊕ ι →₀ ℕ) ≃+ (ι' →₀ ℕ) × (ι →₀ ℕ) := Finsupp.sumFinsuppAddEquivProdFinsupp
i : ι' →₀ ℕ
j : ι →₀ ℕ
⊢ (monomial (e.symm (i, j))) (coeff (e.symm (i, j)) x) =
    (monomial (e.symm ((i, j).1, 0))) 1 *
      (Q.toComp P).toAlgHom.toRingHom ((monomial (i, j).2) (coeff (e.symm (i, j)) x))

Tactic:
have : (Q.toComp P).toAlgHom (monomial j (coeff (e.symm (i, j)) x)) =
          monomial (e.symm (0, j)) (coeff (e.symm (i, j)) x) :=
        toComp_toAlgHom_monomial ..

Goal state after:
case e'_5
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
this✝ : DecidableEq (ι' →₀ ℕ) := Classical.decEq (ι' →₀ ℕ)
x : (Q.comp P).Ring
h₂ : (Q.ofComp P).toAlgHom x = 0
e : (ι' ⊕ ι →₀ ℕ) ≃+ (ι' →₀ ℕ) × (ι →₀ ℕ) := Finsupp.sumFinsuppAddEquivProdFinsupp
i : ι' →₀ ℕ
j : ι →₀ ℕ
this :
  (Q.toComp P).toAlgHom ((monomial j) (coeff (e.symm (i, j)) x)) = (monomial (e.symm (0, j))) (coeff (e.symm (i, j)) x)
⊢ (monomial (e.symm (i, j))) (coeff (e.symm (i, j)) x) =
    (monomial (e.symm ((i, j).1, 0))) 1 *
      (Q.toComp P).toAlgHom.toRingHom ((monomial (i, j).2) (coeff (e.symm (i, j)) x))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Vanishing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := ⋯
hG : G = linearCombination R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
⊢ ⊤ ≤ G.range

Tactic:
rw [← hm]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R m
hG : G = linearCombination R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
⊢ span R (Set.range m) ≤ G.range
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁶ : CommRing R'
inst✝⁵ : CommRing S'
inst✝⁴ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : Algebra R S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this✝ : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra
this :
  (f.toAlgHom x - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x)) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) +
      (g.toAlgHom y - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y)) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x) ∈
    P'.ker ^ 2
⊢ f.toAlgHom (x * y) - g.toAlgHom (x * y) -
      (P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) +
        P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x)) ∈
    P'.ker ^ 2

Tactic:
convert! this using 1

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁶ : CommRing R'
inst✝⁵ : CommRing S'
inst✝⁴ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : Algebra R S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this✝ : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra
this :
  (f.toAlgHom x - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x)) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) +
      (g.toAlgHom y - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y)) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x) ∈
    P'.ker ^ 2
⊢ f.toAlgHom (x * y) - g.toAlgHom (x * y) -
      (P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) +
        P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x)) =
    (f.toAlgHom x - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x)) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) +
      (g.toAlgHom y - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y)) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x)
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Cotangent.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝²³ : CommRing R
inst✝²² : CommRing S
inst✝²¹ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²⁰ : CommRing R'
inst✝¹⁹ : CommRing S'
inst✝¹⁸ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝¹⁷ : Algebra R R'
inst✝¹⁶ : Algebra S S'
inst✝¹⁵ : Algebra R S'
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R R' S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹³ : CommRing R''
inst✝¹² : CommRing S''
inst✝¹¹ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹⁰ : Algebra R R''
inst✝⁹ : Algebra S S''
inst✝⁸ : Algebra R S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R R' R''
inst✝¹ : IsScalarTower S S' S''
inst✝ : IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'
x : P.Cotangent
hx : (CotangentSpace.map f) (P.cotangentComplex x) = (CotangentSpace.map f) 0
⊢ P'.cotangentComplex ((Cotangent.map f) x) = 0

Tactic:
CotangentSpace.map_cotangentComplex

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝²³ : CommRing R
inst✝²² : CommRing S
inst✝²¹ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²⁰ : CommRing R'
inst✝¹⁹ : CommRing S'
inst✝¹⁸ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
inst✝¹⁷ : Algebra R R'
inst✝¹⁶ : Algebra S S'
inst✝¹⁵ : Algebra R S'
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R R' S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹³ : CommRing R''
inst✝¹² : CommRing S''
inst✝¹¹ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
inst✝¹⁰ : Algebra R R''
inst✝⁹ : Algebra S S''
inst✝⁸ : Algebra R S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R R' R''
inst✝¹ : IsScalarTower S S' S''
inst✝ : IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'
x : P.Cotangent
hx : P'.cotangentComplex ((Cotangent.map f) x) = (CotangentSpace.map f) 0
⊢ P'.cotangentComplex ((Cotangent.map f) x) = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
x : (Q.comp P).Ring
hx : (Q.ofComp P).toAlgHom x = 0
⊢ (aeval (Q.comp P).val) x = 0

Tactic:
← algebraMap_self_apply (MvPolynomial.aeval _ x)

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
x : (Q.comp P).Ring
hx : (Q.ofComp P).toAlgHom x = 0
⊢ (algebraMap T T) ((aeval (Q.comp P).val) x) = 0