mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
x : G
g : G →L[𝕜] E
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert (g x) s] g x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn ω f p u
h'p : ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ p x i) u
⊢ ⇑g ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x (⇑g ⁻¹' s)] x

pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
x : G
g : G →L[𝕜] E
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert (g x) s] g x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn ω f p u
h'p : ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ p x i) u
⊢ ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ (p (g x) i).compContinuousLinearMap fun x ↦ g) (⇑g ⁻¹' u)

Tactic:
· refine g.continuous.continuousWithinAt.tendsto_nhdsWithin ?_ hu
      exact (mapsTo_singleton.2 <| mem_singleton _).union_union (mapsTo_preimage _ _)

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
x : G
g : G →L[𝕜] E
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert (g x) s] g x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn ω f p u
h'p : ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ p x i) u
⊢ ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ (p (g x) i).compContinuousLinearMap fun x ↦ g) (⇑g ⁻¹' u)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Inverse

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
c : F
h : ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y = c
⊢ deriv f x = 0

Tactic:
rw [← derivWithin_univ, derivWithin_zero_of_frequently_const]

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
c : F
h : ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y = c
⊢ ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[univ \ {x}] x, f y = ?m.39

𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
x : 𝕜
c : F
h : ∃ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f y = c
⊢ F
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u ∧ x ∈ u ∧ ContDiffOn 𝕜 n f (s ∩ u)
x : E
xs : x ∈ s
u : Set E
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
xu : x ∈ u
hu : ContDiffOn 𝕜 n f (s ∩ u)
⊢ u ∈ 𝓝 x

Tactic:
exact IsOpen.mem_nhds u_open xu

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.IteratedDeriv.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
n : ℕ∞ω
m : ℕ
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : 𝕜
hx : x ∈ s
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)

Tactic:
insert_eq_of_mem hx

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
n : ℕ∞ω
m : ℕ
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
x : 𝕜
hx : x ∈ s
⊢ UniqueDiffOn 𝕜 s
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: case mp
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h : ContDiffOn 𝕜 (n + 1) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
hf' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
vu : v ∈ 𝓝[insert x u] x
v'u : v ⊆ insert x u
hv : ContDiffOn 𝕜 n f' v
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
    (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u

Tactic:
insert_eq_of_mem hx

Goal state after:
case mp
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hn : n ≠ ∞
h : ContDiffOn 𝕜 (n + 1) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
hf' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
vu : v ∈ 𝓝[insert x u] x
v'u : v ⊆ insert x u
hv : ContDiffOn 𝕜 n f' v
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
this : ↑m = 0
⊢ ContinuousOn f (insert x s)

Tactic:
insert_eq_of_mem hx

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
this : ↑m = 0
⊢ ContinuousOn f s
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: case fderivWithin
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
m : ℕ
hm : ↑m < n
x : E
hx : x ∈ s
this : ↑(m + 1) ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(m + 1)) f p u
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x ↦ ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x m) (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x m.succ).curryLeft s x

Tactic:
insert_eq_of_mem hx

Goal state after:
case fderivWithin
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
m : ℕ
hm : ↑m < n
x : E
hx : x ∈ s
this : ↑(m + 1) ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(m + 1)) f p u
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x ↦ ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x m) (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x m.succ).curryLeft s x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: case fderivWithin
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
m : ℕ
hm : ↑m < n
x : E
hx : x ∈ s
this✝ : ↑(m + 1) ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(m + 1)) f p u
o : Set E
o_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] o
xo : x ∈ o
ho : s ∩ o ⊆ u
this : p x m.succ = ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x m.succ
A : ∀ y ∈ s ∩ o, p y m = ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s y m
⊢ HasFDerivWithinAt (fun x ↦ ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x m) (p x m.succ).curryLeft (s ∩ o) x

Tactic:
exact
      ((Hp.mono ho).fderivWithin m (mod_cast lt_add_one m) x ⟨hx, xo⟩).congr
        (fun y hy => (A y hy).symm) (A x ⟨hx, xo⟩).symm

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: case cont
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
o : Set E
o_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] o
xo : x ∈ o
ho : o ∩ insert x s ⊆ u
⊢ ∃ t,
    IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t ∧
      x ∈ t ∧ ContinuousOn (fun x ↦ ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x m) (s ∩ t)

Tactic:
insert_eq_of_mem hx

Goal state after:
case cont
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ContDiffOn 𝕜 n f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
o : Set E
o_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] o
xo : x ∈ o
ho : o ∩ s ⊆ u
⊢ ∃ t,
    IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t ∧
      x ∈ t ∧ ContinuousOn (fun x ↦ ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x m) (s ∩ t)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FaaDiBruno

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
t : Set F
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c✝ c : OrderedFinpartition n
k : Fin c.length
⊢ ∃ m,
    0 ∈
      range
        (if h : m = k then
          have this := ⋯;
          (fun i ↦ cases 0 (succ ∘ c.emb k) i) ∘ Fin.cast this
        else
          have this := ⋯;
          succ ∘ c.emb m ∘ Fin.cast this)

pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
t : Set F
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c✝ c : OrderedFinpartition n
k : Fin c.length
i : Fin n
⊢ ∃ m,
    i.succ ∈
      range
        (if h : m = k then
          have this := ⋯;
          (fun i ↦ cases 0 (succ ∘ c.emb k) i) ∘ Fin.cast this
        else
          have this := ⋯;
          succ ∘ c.emb m ∘ Fin.cast this)

Tactic:
· simp only [mem_range]
      exact ⟨k, ⟨0, by simp⟩, by simp⟩

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
t : Set F
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c✝ c : OrderedFinpartition n
k : Fin c.length
i : Fin n
⊢ ∃ m,
    i.succ ∈
      range
        (if h : m = k then
          have this := ⋯;
          (fun i ↦ cases 0 (succ ∘ c.emb k) i) ∘ Fin.cast this
        else
          have this := ⋯;
          succ ∘ c.emb m ∘ Fin.cast this)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn ω f p s ∧ ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ p x i) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ s ∈ 𝓝[insert x s] x

Tactic:
insert_eq_of_mem hx

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn ω f p s ∧ ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ p x i) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ s ∈ 𝓝[s] x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn ω f p s ∧ ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ p x i) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ s ∈ 𝓝[insert x s] x

Tactic:
rw [insert_eq_of_mem hx]

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn ω f p s ∧ ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ p x i) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ s ∈ 𝓝[s] x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
Hcont : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x ↦ iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s
Hdiff : ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (fun x ↦ iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u

Tactic:
insert_eq_of_mem hx

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
Hcont : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x ↦ iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s
Hdiff : ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (fun x ↦ iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
Hcont : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x ↦ iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s
Hdiff : ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (fun x ↦ iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u

Tactic:
rw [insert_eq_of_mem hx]

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞
Hcont : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x ↦ iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s
Hdiff : ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (fun x ↦ iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ∀ (m : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn ω f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s) (insert x s)

Tactic:
insert_eq_of_mem hx

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ∀ (m : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn ω f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s) s
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ∀ (m : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn ω f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s) (insert x s)

Tactic:
rw [insert_eq_of_mem hx]

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ∀ (m : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s
x : E
hx : x ∈ s
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn ω f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s) s
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ∀ (m : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s
x : E
hx : x ∈ s
i : ℕ
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x i) (insert x s)

Tactic:
insert_eq_of_mem hx

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ∀ (m : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s
x : E
hx : x ∈ s
i : ℕ
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x i) s
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: case refine_2
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ∀ (m : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s
x : E
hx : x ∈ s
i : ℕ
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x i) (insert x s)

Tactic:
rw [insert_eq_of_mem hx]

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
h : ∀ (m : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s
x : E
hx : x ∈ s
i : ℕ
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x i) s
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FaaDiBruno

Goal state before:
pp: case pos.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
t : Set F
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c✝ : OrderedFinpartition n
c : OrderedFinpartition (n + 1)
hc : range (c.emb 0) ≠ {0}
i : Fin c.length
j : Fin (update c.partSize (c.index 0) (c.partSize (c.index 0) - 1) i)
h : i = c.index 0
⊢ update c.partSize (c.index 0) (c.partSize (c.index 0) - 1) i + 1 = c.partSize i

pp: case pos.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
t : Set F
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c✝ : OrderedFinpartition n
c : OrderedFinpartition (n + 1)
hc : range (c.emb 0) ≠ {0}
i : Fin c.length
j : Fin (update c.partSize (c.index 0) (c.partSize (c.index 0) - 1) i)
h : i = c.index 0
⊢ c.emb i (Fin.cast ?pos.refine_1✝ j.succ) ≠ 0

Tactic:
· rw [h]
        simpa using Nat.sub_add_cancel (c.partSize_pos (c.index 0))

Goal state after:
case pos.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
t : Set F
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c✝ : OrderedFinpartition n
c : OrderedFinpartition (n + 1)
hc : range (c.emb 0) ≠ {0}
i : Fin c.length
j : Fin (update c.partSize (c.index 0) (c.partSize (c.index 0) - 1) i)
h : i = c.index 0
⊢ c.emb i (Fin.cast ⋯ j.succ) ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
h' : ∞ = ω → AnalyticOn 𝕜 f s
h : ContDiffOn 𝕜 ∞ (fun y ↦ fderivWithin 𝕜 f s y) s
m : ℕ
x : E
hx : x ∈ s
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
    (↑m = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑m) f' u x

Tactic:
insert_eq_of_mem hx

Goal state after:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
h' : ∞ = ω → AnalyticOn 𝕜 f s
h : ContDiffOn 𝕜 ∞ (fun y ↦ fderivWithin 𝕜 f s y) s
m : ℕ
x : E
hx : x ∈ s
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x,
    (↑m = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑m) f' u x
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Defs

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
h' : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f s
h : ContDiffOn 𝕜 n (fun y ↦ fderivWithin 𝕜 f s y) s
hn : n ≠ ∞
x : E
hx : x ∈ s
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
    (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x

Tactic:
insert_eq_of_mem hx

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : ℕ∞ω
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
h' : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f s
h : ContDiffOn 𝕜 n (fun y ↦ fderivWithin 𝕜 f s y) s
hn : n ≠ ∞
x : E
hx : x ∈ s
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x,
    (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x