Module: Mathlib.LinearAlgebra.DirectSum.TensorProduct

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
S : Type ?u.6
inst✝¹⁵ : Semiring S
inst✝¹⁴ : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
inst✝¹³ : DecidableEq ι₁
inst✝¹² : DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
M₂' : Type w₂'
inst✝¹¹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁹ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁷ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝⁴ : Module R M₂'
inst✝³ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝² : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
inst✝¹ : Module S M₁'
inst✝ : IsScalarTower R S M₁'
⊢ ((⨁ (i₁ : ι₁), M₁ i₁) ⊗[R] ⨁ (i₂ : ι₂), M₂ i₂) ≃ₗ[S] ⨁ (i : ι₁ × ι₂), M₁ i.1 ⊗[R] M₂ i.2

Tactic:
refine LinearEquiv.ofLinearMap ?toFun ?invFun ?left ?right

Goal state after:
case toFun
R : Type u
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
S : Type ?u.6
inst✝¹⁵ : Semiring S
inst✝¹⁴ : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
inst✝¹³ : DecidableEq ι₁
inst✝¹² : DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
M₂' : Type w₂'
inst✝¹¹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁹ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁷ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝⁴ : Module R M₂'
inst✝³ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝² : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
inst✝¹ : Module S M₁'
inst✝ : IsScalarTower R S M₁'
⊢ ((⨁ (i₁ : ι₁), M₁ i₁) ⊗[R] ⨁ (i₂ : ι₂), M₂ i₂) →ₗ[S] ⨁ (i : ι₁ × ι₂), M₁ i.1 ⊗[R] M₂ i.2

case invFun
R : Type u
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
S : Type ?u.6
inst✝¹⁵ : Semiring S
inst✝¹⁴ : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
inst✝¹³ : DecidableEq ι₁
inst✝¹² : DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
M₂' : Type w₂'
inst✝¹¹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁹ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁷ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝⁴ : Module R M₂'
inst✝³ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝² : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
inst✝¹ : Module S M₁'
inst✝ : IsScalarTower R S M₁'
⊢ (⨁ (i : ι₁ × ι₂), M₁ i.1 ⊗[R] M₂ i.2) →ₗ[S] (⨁ (i₁ : ι₁), M₁ i₁) ⊗[R] ⨁ (i₂ : ι₂), M₂ i₂

case left
R : Type u
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
S : Type ?u.6
inst✝¹⁵ : Semiring S
inst✝¹⁴ : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
inst✝¹³ : DecidableEq ι₁
inst✝¹² : DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
M₂' : Type w₂'
inst✝¹¹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁹ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁷ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝⁴ : Module R M₂'
inst✝³ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝² : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
inst✝¹ : Module S M₁'
inst✝ : IsScalarTower R S M₁'
⊢ ?toFun ∘ₗ ?invFun = LinearMap.id

case right
R : Type u
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
S : Type ?u.6
inst✝¹⁵ : Semiring S
inst✝¹⁴ : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
inst✝¹³ : DecidableEq ι₁
inst✝¹² : DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
M₂' : Type w₂'
inst✝¹¹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁹ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁷ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝⁴ : Module R M₂'
inst✝³ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝² : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
inst✝¹ : Module S M₁'
inst✝ : IsScalarTower R S M₁'
⊢ ?invFun ∘ₗ ?toFun = LinearMap.id