Module: Mathlib.CategoryTheory.Adhesive.Basic

Goal state before:
pp: case mp
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : H✝.IsVanKampen
F' : WalkingSpan ⥤ C
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ span f g
fα : c'.pt ⟶ (PushoutCocone.mk h i ⋯).pt
eα : α ≫ (PushoutCocone.mk h i ⋯).ι = c'.ι ≫ (Functor.const WalkingSpan).map fα
hα : NatTrans.Equifibered α
⊢ Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : WalkingSpan), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) fα ((PushoutCocone.mk h i ⋯).ι.app j)

Tactic:
refine Iff.trans ?_
        ((H (F'.map WalkingSpan.Hom.fst) (F'.map WalkingSpan.Hom.snd) (c'.ι.app _) (c'.ι.app _)
          (α.app _) (α.app _) (α.app _) fα (by convert! hα WalkingSpan.Hom.fst)
          (by convert! hα WalkingSpan.Hom.snd) ?_ ?_ ?_).trans ?_)

Goal state after:
case mp.refine_1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : H✝.IsVanKampen
F' : WalkingSpan ⥤ C
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ span f g
fα : c'.pt ⟶ (PushoutCocone.mk h i ⋯).pt
eα : α ≫ (PushoutCocone.mk h i ⋯).ι = c'.ι ≫ (Functor.const WalkingSpan).map fα
hα : NatTrans.Equifibered α
⊢ Nonempty (IsColimit c') ↔
    IsPushout (F'.map WalkingSpan.Hom.fst) (F'.map WalkingSpan.Hom.snd) (c'.ι.app WalkingSpan.left)
      (c'.ι.app WalkingSpan.right)

case mp.refine_2
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : H✝.IsVanKampen
F' : WalkingSpan ⥤ C
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ span f g
fα : c'.pt ⟶ (PushoutCocone.mk h i ⋯).pt
eα : α ≫ (PushoutCocone.mk h i ⋯).ι = c'.ι ≫ (Functor.const WalkingSpan).map fα
hα : NatTrans.Equifibered α
⊢ CommSq (c'.ι.app WalkingSpan.left) (α.app WalkingSpan.left) fα h

case mp.refine_3
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : H✝.IsVanKampen
F' : WalkingSpan ⥤ C
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ span f g
fα : c'.pt ⟶ (PushoutCocone.mk h i ⋯).pt
eα : α ≫ (PushoutCocone.mk h i ⋯).ι = c'.ι ≫ (Functor.const WalkingSpan).map fα
hα : NatTrans.Equifibered α
⊢ CommSq (c'.ι.app WalkingSpan.right) (α.app WalkingSpan.right) fα i

case mp.refine_4
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : H✝.IsVanKampen
F' : WalkingSpan ⥤ C
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ span f g
fα : c'.pt ⟶ (PushoutCocone.mk h i ⋯).pt
eα : α ≫ (PushoutCocone.mk h i ⋯).ι = c'.ι ≫ (Functor.const WalkingSpan).map fα
hα : NatTrans.Equifibered α
⊢ CommSq (F'.map WalkingSpan.Hom.fst) (F'.map WalkingSpan.Hom.snd) (c'.ι.app WalkingSpan.left)
    (c'.ι.app WalkingSpan.right)

case mp.refine_5
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : H✝.IsVanKampen
F' : WalkingSpan ⥤ C
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ span f g
fα : c'.pt ⟶ (PushoutCocone.mk h i ⋯).pt
eα : α ≫ (PushoutCocone.mk h i ⋯).ι = c'.ι ≫ (Functor.const WalkingSpan).map fα
hα : NatTrans.Equifibered α
⊢ IsPullback (c'.ι.app WalkingSpan.left) (α.app WalkingSpan.left) fα h ∧
      IsPullback (c'.ι.app WalkingSpan.right) (α.app WalkingSpan.right) fα i ↔
    ∀ (j : WalkingSpan), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) fα ((PushoutCocone.mk h i ⋯).ι.app j)