mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' : ∀ (i : Fin n), ↑(bN' i) = Pi.single (f i) (a i)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = N'.toAddSubgroup.index
c : Fin n → R
i : ι
h : ∃ j, f j = i
⊢ (c h.choose * if i = f h.choose then a h.choose else 0) = c h.choose * a h.choose

Tactic:
by simp [h.choose_spec]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Goursat

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
L : Submodule R (M × N)
hL₁ : Surjective (Prod.fst ∘ ⇑L.subtype)
hL₂ : Surjective (Prod.snd ∘ ⇑L.subtype)
⊢ ∃ e, (L.goursatFst.mkQ.prodMap L.goursatSnd.mkQ ∘ₗ L.subtype).range = (↑e).graph

Tactic:
obtain ⟨(e : M ⧸ L.goursatFst ≃+ N ⧸ L.goursatSnd), he⟩ :=
    L.toAddSubgroup.goursat_surjective hL₁ hL₂
  -- check R-linearity of the map
  have (r : R) (x : M ⧸ L.goursatFst) : e (r • x) = r • e x := by
    change (r • x, r • e x) ∈ e.toAddMonoidHom.graph
    rw [← he, ← Prod.smul_mk]
    have : (x, e x) ∈ e.toAddMonoidHom.graph := rfl
    rw [← he, AddMonoidHom.mem_range] at this
    rcases this with ⟨⟨l, hl⟩, hl'⟩
    use ⟨r • l, L.smul_mem r hl⟩
    rw [← hl']
    rfl
  -- define the map as an R-linear equiv
  use { e with map_smul' := this }
  rw [← toAddSubgroup_injective.eq_iff]
  convert! he using 1
  ext v
  rw [mem_toAddSubgroup, mem_graph_iff, Eq.comm]
  rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.BaseChange

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
inst✝³ : Finite ι'
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
v : ι → ι' → K
hv : LinearIndependent K v
this : Fintype ι' := Fintype.ofFinite ι'
I : Set (ι' → K) := ⋯.extend ⋯
b : Module.Basis (↑I) K (ι' → K) := Module.Basis.extend ⋯
b' : Module.Basis (↑I) L (ι' → L) := (Module.Basis.baseChange L b).map (piScalarRight K L L ι')
v' : ι → ↑I := fun i ↦ ⟨v i, ⋯⟩
hv' : ⇑b' ∘ v' = fun i ↦ ⇑(algebraMap K L) ∘ v i
h_inj : Injective v'
⊢ LinearIndependent L fun i ↦ ⇑(algebraMap K L) ∘ v i

Tactic:
rw [← hv']

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
inst✝³ : Finite ι'
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
v : ι → ι' → K
hv : LinearIndependent K v
this : Fintype ι' := Fintype.ofFinite ι'
I : Set (ι' → K) := ⋯.extend ⋯
b : Module.Basis (↑I) K (ι' → K) := Module.Basis.extend ⋯
b' : Module.Basis (↑I) L (ι' → L) := (Module.Basis.baseChange L b).map (piScalarRight K L L ι')
v' : ι → ↑I := fun i ↦ ⟨v i, ⋯⟩
hv' : ⇑b' ∘ v' = fun i ↦ ⇑(algebraMap K L) ∘ v i
h_inj : Injective v'
⊢ LinearIndependent L (⇑b' ∘ v')
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.BaseChange

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
ι' : Type u_2
inst✝⁵ : Finite ι'
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : FaithfulSMul R S
inst✝ : IsDomain S
v : ι → ι' → R
this✝¹ : IsDomain R
K : Type u_3 := FractionRing R
L : Type u_4 := FractionRing S
h : LinearIndependent K (⇑(Pi.algebraMap ι' R K) ∘ v)
this✝ : Algebra K L := FractionRing.liftAlgebra R L
this : LinearIndependent S (⇑(Pi.algebraMap ι' R L) ∘ v)
aux : ⇑(Pi.algebraMap ι' R L) ∘ v = ⇑(Pi.algebraMap ι' S L) ∘ ⇑(Pi.algebraMap ι' R S) ∘ v
⊢ LinearIndependent S (⇑(Pi.algebraMap ι' R S) ∘ v)

Tactic:
rw [aux] at this

Goal state after:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
inst✝⁵ : Finite ι'
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : FaithfulSMul R S
inst✝ : IsDomain S
v : ι → ι' → R
this✝¹ : IsDomain R
K : Type u_3 := FractionRing R
L : Type u_4 := FractionRing S
h : LinearIndependent K (⇑(Pi.algebraMap ι' R K) ∘ v)
this✝ : Algebra K L := FractionRing.liftAlgebra R L
this : LinearIndependent S (⇑(Pi.algebraMap ι' S L) ∘ ⇑(Pi.algebraMap ι' R S) ∘ v)
aux : ⇑(Pi.algebraMap ι' R L) ∘ v = ⇑(Pi.algebraMap ι' S L) ∘ ⇑(Pi.algebraMap ι' R S) ∘ v
⊢ LinearIndependent S (⇑(Pi.algebraMap ι' R S) ∘ v)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int

Goal state before:
pp: case e'_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun) N
hN'✝ : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' : ∀ (i : Fin n), ↑(bN' i) = Pi.single (f i) (a i)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = N'.toAddSubgroup.index
hN' :
  N'.toAddSubgroup =
    AddSubgroup.pi Set.univ fun i ↦ Submodule.toAddSubgroup (Ideal.span {if h : ∃ j, f j = i then a h.choose else 0})
⊢ {x | ¬∃ j, f j = x} = {x | ∃ j, f j = x}ᶜ

Tactic:
exact (Finset.compl_filter _).symm

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Determinant.Misc

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
M : Matrix (Fin n) (Fin (n + 1)) R
hv : ∀ (i : Fin n), ∑ j, M i j = 0
j₁ j₂ : Fin (n + 1)
⊢ (Mᵀ.submatrix j₁.succAbove id).det = (↑↑j₁ - ↑↑j₂).negOnePow • (M.submatrix id j₂.succAbove).det

Tactic:
submatrix_succAbove_det_eq_negOnePow_submatrix_succAbove_det M.transpose ?_ j₁ j₂,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
M : Matrix (Fin n) (Fin (n + 1)) R
hv : ∀ (i : Fin n), ∑ j, M i j = 0
j₁ j₂ : Fin (n + 1)
⊢ (↑↑j₁ - ↑↑j₂).negOnePow • (Mᵀ.submatrix j₂.succAbove id).det =
    (↑↑j₁ - ↑↑j₂).negOnePow • (M.submatrix id j₂.succAbove).det

R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
M : Matrix (Fin n) (Fin (n + 1)) R
hv : ∀ (i : Fin n), ∑ j, M i j = 0
j₁ j₂ : Fin (n + 1)
⊢ ∑ j, Mᵀ j = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int

Goal state before:
pp: case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
h : ¬n = Fintype.card ι
⊢ Nat.card R ^ (Fintype.card ι - n) * ∏ i, (Submodule.toAddSubgroup (Ideal.span {snf.a i})).index = 0

Tactic:
have hlt : n < Fintype.card ι :=
      Ne.lt_of_le h (by simpa using Fintype.card_le_of_embedding snf.f)

Goal state after:
case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
h : ¬n = Fintype.card ι
hlt : n < Fintype.card ι
⊢ Nat.card R ^ (Fintype.card ι - n) * ∏ i, (Submodule.toAddSubgroup (Ideal.span {snf.a i})).index = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.GeneralLinearGroup.MvPolynomial

Goal state before:
pp: m : Type u_1
k : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Field k
inst✝ : Infinite k
p q : MvPolynomial (m × m) k
h : ∀ (g : GL m k), (eval fun ij ↦ ↑g ij.1 ij.2) p = (eval fun ij ↦ ↑g ij.1 ij.2) q
s : m × m → k
⊢ (eval s) ((p - q) * (Matrix.mvPolynomialX m m k).det) = (eval s) 0

Tactic:
map_mul,

Goal state after:
m : Type u_1
k : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Field k
inst✝ : Infinite k
p q : MvPolynomial (m × m) k
h : ∀ (g : GL m k), (eval fun ij ↦ ↑g ij.1 ij.2) p = (eval fun ij ↦ ↑g ij.1 ij.2) q
s : m × m → k
⊢ (eval s) (p - q) * (eval s) (Matrix.mvPolynomialX m m k).det = (eval s) 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.FixedDetMatrices

Goal state before:
pp: ⊢ reps 0 = ∅

Tactic:
reps,

Goal state after:
⊢ {A | ↑A 1 0 = 0 ∧ 0 < ↑A 0 0 ∧ 0 ≤ ↑A 0 1 ∧ |↑A 0 1| < |↑A 1 1|} = ∅
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Swap

Goal state before:
pp: R : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
⊢ Equiv.Perm.permMatrix R (Equiv.swap i j) * Equiv.Perm.permMatrix R (Equiv.swap i j) = 1

Tactic:
← Equiv.swap_inv,

Goal state after:
R : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
⊢ Equiv.Perm.permMatrix R (Equiv.swap i j)⁻¹ * Equiv.Perm.permMatrix R (Equiv.swap i j)⁻¹ = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Nonsingular

Goal state before:
pp: R : Type u_1
m✝ : Type u_2
n✝ : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Fintype m✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m✝
inst✝¹ : DecidableEq n✝
A✝ : Matrix n✝ n✝ R
inst✝ : Nontrivial R
n m : ℕ
f : (Fin n → R) →ₗ[R] Fin m → R
hf : Function.Injective ⇑f
g : (Fin m → R) →ₗ[R] Fin n → R := LinearMap.pi fun i ↦ if h : ↑i < m then LinearMap.proj ⟨↑i, h⟩ else 0
hnm : m < n
hg : Function.Injective ⇑g
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := LinearMap.toMatrix' (g ∘ₗ f)
hA : A.Nonsingular
this : A.row ⟨m, hnm⟩ = 0
⊢ ∀ (a b : R), a = b

Tactic:
by simpa [Nonsingular, IsDetpBalanced, detp_eq_of_row_eq_zero _ this] using hA

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: G : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G K V
g g' : G
x : ℙ K V
⊢ map ((DistribMulAction.toModuleEnd K V) (g * g')) ⋯ x =
    map ((DistribMulAction.toModuleEnd K V) g) ⋯ (map ((DistribMulAction.toModuleEnd K V) g') ⋯ x)

Tactic:
map_mul,

Goal state after:
G : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : Module K V
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G V
inst✝ : SMulCommClass G K V
g g' : G
x : ℙ K V
⊢ map ((DistribMulAction.toModuleEnd K V) g * (DistribMulAction.toModuleEnd K V) g') ⋯ x =
    map ((DistribMulAction.toModuleEnd K V) g) ⋯ (map ((DistribMulAction.toModuleEnd K V) g') ⋯ x)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.PSL.PSL2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
p : ℙ F (Fin 2 → F)
⊢ IsMulCommutative ↥(PSL.iwasawaT p)

Tactic:
have hSL : IsMulCommutative (lineStab (F := F) (ι := Fin 2) p.submodule) := by
      rw [← Projectivization.mk_rep p, Projectivization.submodule_mk]
      exact lineStab_isMulCommutative_of_span p.rep p.rep_nonzero
    exact Subgroup.map_isMulCommutative _ _

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝² : Field K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
g : Matrix.ProjectiveSpecialLinearGroup ι K
hg : g ∈ ⊥
⊢ g = 1

Tactic:
Subgroup.mem_bot

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
g : Matrix.ProjectiveSpecialLinearGroup ι K
hg : g = 1
⊢ g = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
g : ↥(Subgroup.center (SpecialLinearGroup R V))
hR : ¬Subsingleton R
hV : ¬Subsingleton V
⊢ ↑↑↑g = ⋯.choose • LinearMap.id

Tactic:
rw [not_subsingleton_iff_nontrivial] at hV
    rw [← (mem_center_iff.mp g.prop).choose_spec.2]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 M
Q : QuadraticForm 𝕜 M
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
hQ : Equivalent Q (weightedSumSquares 𝕜 w)
⊢ sigNeg Q = {i | w i < 0}.ncard

Tactic:
by
  rw [hQ.sigNeg_eq]
  exact sigNeg_weightedSumSquares

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
property✝ : x ∈ lieAlgebra b
hx : x ∈ span R (range h)
g : ↥(cartanSubalgebra' b) →ₗ[R] Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R :=
  (lieAlgebra b).subtype ∘ₗ (cartanSubalgebra' b).subtype
this : x ∈ map g (span R (range h'))
⊢ (lieAlgebra b).subtype ((cartanSubalgebra' b).subtype ⟨⟨x, property✝⟩, hx⟩) ∈
    ⇑(lieAlgebra b).subtype '' ⇑(cartanSubalgebra' b).subtype '' ↑(span R (range h'))

Tactic:
← image_comp

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R
property✝ : x ∈ lieAlgebra b
hx : x ∈ span R (range h)
g : ↥(cartanSubalgebra' b) →ₗ[R] Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R :=
  (lieAlgebra b).subtype ∘ₗ (cartanSubalgebra' b).subtype
this : x ∈ map g (span R (range h'))
⊢ (lieAlgebra b).subtype ((cartanSubalgebra' b).subtype ⟨⟨x, property✝⟩, hx⟩) ∈
    ⇑(lieAlgebra b).subtype ∘ ⇑(cartanSubalgebra' b).subtype '' ↑(span R (range h'))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this✝² : Module.IsReflexive R M := Module.IsReflexive.of_isPerfPair P.toLinearMap
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
this✝¹ : P.IsNotG2
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ P.root k ≠ -P.root j
hnk_notMem : P.root n - P.root k ∉ range ⇑P.root
⊢ (algebraMap ℤ R) (P.pairingIn ℤ k i) = 0

Tactic:
hki,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + P.root i = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this✝² : Module.IsReflexive R M := Module.IsReflexive.of_isPerfPair P.toLinearMap
him_mem : P.root i + P.root m ∈ range ⇑P.root
hjl_mem : P.root j + P.root (-l) ∈ range ⇑P.root
hjk_mem : P.root j + P.root (-k) ∈ range ⇑P.root
this✝¹ : P.IsNotG2
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ P.root k ≠ -P.root j
hnk_notMem : P.root n - P.root k ∉ range ⇑P.root
⊢ (algebraMap ℤ R) 0 = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : Finite ι
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝² : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hij' : ↑i ≠ ↑j
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ ↑j
h₄ : l ≠ -↑i
h₅ : P.root l + P.root ↑i - P.root ↑j ∈ range ⇑P.root
h₆ : P.root l + P.root ↑i ∉ range ⇑P.root
h₇ : P.root l - P.root ↑j ∉ range ⇑P.root
x : ι
hx : P.root x = P.root ↑i + P.root l
⊢ P.root x = P.root l + P.root ↑i

Tactic:
rw [hx]; abel

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SesquilinearForm.Star

Goal state before:
pp: M : Type u_2
n : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq n
R : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : PartialOrder R
inst✝ : Module R M
B : M →ₗ⋆[R] M →ₗ[R] R
b : Basis n R M
⊢ B.IsPosSemidef ↔ ((toMatrix₂ b b) B).PosSemidef

Tactic:
by
  rw [isPosSemidef_def, Matrix.posSemidef_iff_dotProduct_mulVec]
  apply and_congr (B.isSymm_iff_isHermitian_toMatrix b)
  rw [isNonneg_def]
  refine ⟨fun h x ↦ ?_, fun h x ↦ ?_⟩
  · rw [star_dotProduct_toMatrix₂_mulVec]
    exact h _
  · rw [apply_eq_star_dotProduct_toMatrix₂_mulVec b]
    exact h _

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case mul_comm
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
h : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A
x✝² x✝¹ : TensorAlgebra R M
h' : (symRingCon R M) x✝² x✝¹
x✝ y✝ : TensorAlgebra R M
x y : M
⊢ h.toRingHom ((TensorAlgebra.ι R) x * (TensorAlgebra.ι R) y) =
    h.toRingHom ((TensorAlgebra.ι R) y * (TensorAlgebra.ι R) x)

Tactic:
map_mul,

Goal state after:
case mul_comm
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
h : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A
x✝² x✝¹ : TensorAlgebra R M
h' : (symRingCon R M) x✝² x✝¹
x✝ y✝ : TensorAlgebra R M
x y : M
⊢ h.toRingHom ((TensorAlgebra.ι R) x) * h.toRingHom ((TensorAlgebra.ι R) y) =
    h.toRingHom ((TensorAlgebra.ι R) y * (TensorAlgebra.ι R) x)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SymmetricAlgebra.Basic

Goal state before:
pp: case mul_comm
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
h : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A
x✝² x✝¹ : TensorAlgebra R M
h' : (symRingCon R M) x✝² x✝¹
x✝ y✝ : TensorAlgebra R M
x y : M
⊢ h.toRingHom ((TensorAlgebra.ι R) x) * h.toRingHom ((TensorAlgebra.ι R) y) =
    h.toRingHom ((TensorAlgebra.ι R) y * (TensorAlgebra.ι R) x)

Tactic:
map_mul,

Goal state after:
case mul_comm
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
h : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A
x✝² x✝¹ : TensorAlgebra R M
h' : (symRingCon R M) x✝² x✝¹
x✝ y✝ : TensorAlgebra R M
x y : M
⊢ h.toRingHom ((TensorAlgebra.ι R) x) * h.toRingHom ((TensorAlgebra.ι R) y) =
    h.toRingHom ((TensorAlgebra.ι R) y) * h.toRingHom ((TensorAlgebra.ι R) x)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorAlgebra.Grading

Goal state before:
pp: case mem_mul
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i✝ : ℕ
x✝ : TensorAlgebra R M
i : ℕ
x : TensorAlgebra R M
hx : x ∈ (ι R).range ^ i
ih : ((lift R) (GradedAlgebra.ι R M)) x = (DirectSum.of (fun i ↦ ↥((ι R).range ^ i)) i) ⟨x, hx⟩
w✝ : M
⊢ ((lift R) (GradedAlgebra.ι R M)) ((ι R) w✝ * x) = (DirectSum.of (fun i ↦ ↥((ι R).range ^ i)) i.succ) ⟨(ι R) w✝ * x, ⋯⟩

Tactic:
map_mul,

Goal state after:
case mem_mul
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i✝ : ℕ
x✝ : TensorAlgebra R M
i : ℕ
x : TensorAlgebra R M
hx : x ∈ (ι R).range ^ i
ih : ((lift R) (GradedAlgebra.ι R M)) x = (DirectSum.of (fun i ↦ ↥((ι R).range ^ i)) i) ⟨x, hx⟩
w✝ : M
⊢ ((lift R) (GradedAlgebra.ι R M)) ((ι R) w✝) * ((lift R) (GradedAlgebra.ι R M)) x =
    (DirectSum.of (fun i ↦ ↥((ι R).range ^ i)) i.succ) ⟨(ι R) w✝ * x, ⋯⟩
Module: Mathlib.Logic.Hydra

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Std.Irrefl r
s' s t : Multiset α
a : α
⊢ (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s ∧ s' = s.erase a + t → (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s + t ∧ s' = (s + t).erase a

Tactic:
rintro ⟨ht, h, rfl⟩
    exact ⟨ht, mem_add.2 (Or.inl h), (erase_add_left_pos t h).symm⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Transvection.Generation

Goal state before:
pp: case hv
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
e : V ≃ₗ[K] V
f : Dual K V
u : V
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e u - u) ≤ ker f
hfu : f u = 1
⊢ u ∉ (↑e).fixedSubmodule

pp: case hf
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
e : V ≃ₗ[K] V
f : Dual K V
u : V
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e u - u) ≤ ker f
hfu : f u = 1
⊢ map f (↑e).fixedSubmodule = ⊥

pp: case hfv'
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
e : V ≃ₗ[K] V
f : Dual K V
u : V
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e u - u) ≤ ker f
hfu : f u = 1
⊢ f (e u) = 1

Tactic:
· intro hu'
    replace hu' := hf (mem_sup_left hu')
    rw [mem_ker] at hu'
    simp [hu'] at hfu

Goal state after:
case hf
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
e : V ≃ₗ[K] V
f : Dual K V
u : V
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e u - u) ≤ ker f
hfu : f u = 1
⊢ map f (↑e).fixedSubmodule = ⊥

case hfv'
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
e : V ≃ₗ[K] V
f : Dual K V
u : V
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e u - u) ≤ ker f
hfu : f u = 1
⊢ f (e u) = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Transvection.Generation

Goal state before:
pp: case hf
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
e : V ≃ₗ[K] V
f : Dual K V
u : V
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e u - u) ≤ ker f
hfu : f u = 1
⊢ (↑e).fixedSubmodule ≤ comap f ⊥

Tactic:
Submodule.comap_bot

Goal state after:
case hf
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
e : V ≃ₗ[K] V
f : Dual K V
u : V
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e u - u) ≤ ker f
hfu : f u = 1
⊢ (↑e).fixedSubmodule ≤ ker f
Module: Mathlib.MeasureTheory.SetSemiring

Goal state before:
pp: case insert
α : Type u_1
C : Set (Set α)
ι : Type u_2
hC : IsSetRing C
s : ι → Set α
i : ι
S : Finset ι
a✝ : i ∉ S
h : (∀ n ∈ S, s n ∈ C) → ⋃ i ∈ S, s i ∈ C
hs : ∀ n ∈ insert i S, s n ∈ C
⊢ ⋃ x ∈ ↑S, s x ∈ C

Tactic:
exact h (fun n hnS ↦ hs n (mem_insert_of_mem hnS))

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Transvection.Generation

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
e : V ≃ₗ[K] V
f g : Dual K V
v : V
a b : K
hv : LinearIndependent K ![(↑e).fixedSubmodule.mkQ v, e.fixedReduce ((↑e).fixedSubmodule.mkQ v)]
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker f
hfv : f v = 1
hg : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker (f + g)
hfgv : (f + g) v = 1
hg0 : g ≠ 0
hne_top : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ⊔ K ∙ v < ⊤
ha : ∀ (x : V ⧸ (↑(auxTransvection hf * e)).fixedSubmodule), (auxTransvection hf * e).fixedReduce x = a • x
hb : ∀ (x : V ⧸ (↑(auxTransvection hg * e)).fixedSubmodule), (auxTransvection hg * e).fixedReduce x = b • x
⊢ False

Tactic:
simp only [fixedReduce_eq_smul_iff, auxTransvection_mul_fixed hfv] at ha

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Finite K V
e : V ≃ₗ[K] V
f g : Dual K V
v : V
a b : K
hv : LinearIndependent K ![(↑e).fixedSubmodule.mkQ v, e.fixedReduce ((↑e).fixedSubmodule.mkQ v)]
hf : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker f
hfv : f v = 1
hg : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ≤ ker (f + g)
hfgv : (f + g) v = 1
hg0 : g ≠ 0
hne_top : (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ (e v - v) ⊔ K ∙ v < ⊤
hb : ∀ (x : V ⧸ (↑(auxTransvection hg * e)).fixedSubmodule), (auxTransvection hg * e).fixedReduce x = b • x
ha : ∀ (v_1 : V), (auxTransvection hf * e) v_1 - a • v_1 ∈ (↑e).fixedSubmodule ⊔ K ∙ v
⊢ False