Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.House

Goal state before:
pp: case calc_1
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := finrank ℚ K
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ house ((algebraMap (𝓞 K) K) (∑ r, ↑(x (l, r)) * (newBasis K) r)) ≤
    ∑ r, house ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(x (l, r)) * (algebraMap (𝓞 K) K) ((newBasis K) r))

pp: case calc_2
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := finrank ℚ K
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ∑ r, house ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(x (l, r)) * (algebraMap (𝓞 K) K) ((newBasis K) r)) ≤
    ∑ r, ‖x (l, r)‖ * house ((algebraMap (𝓞 K) K) ((newBasis K) r))

pp: case calc_3
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := finrank ℚ K
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ∑ r, ‖x (l, r)‖ * house ((algebraMap (𝓞 K) K) ((newBasis K) r)) ≤ ∑ r, ‖x (l, r)‖ * supOfBasis K

pp: case calc_4
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := finrank ℚ K
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ∑ r, ‖x (l, r)‖ * supOfBasis K ≤ ∑ _r, (↑q * ↑h * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p)) * supOfBasis K

pp: case calc_5
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := finrank ℚ K
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ∑ _r, (↑q * ↑h * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p)) * supOfBasis K ≤ ↑h * c₂ K * (↑q * c₁ K * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p))

pp: case calc_6
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := finrank ℚ K
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ↑h * c₂ K * (↑q * c₁ K * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p)) ≤ c₁ K * (c₁ K * ↑q * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p))

Tactic:
· simp_rw [← map_mul, map_sum]; apply house_sum_le_sum_house

Goal state after:
case calc_2
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := finrank ℚ K
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ∑ r, house ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑(x (l, r)) * (algebraMap (𝓞 K) K) ((newBasis K) r)) ≤
    ∑ r, ‖x (l, r)‖ * house ((algebraMap (𝓞 K) K) ((newBasis K) r))

case calc_3
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := finrank ℚ K
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ∑ r, ‖x (l, r)‖ * house ((algebraMap (𝓞 K) K) ((newBasis K) r)) ≤ ∑ r, ‖x (l, r)‖ * supOfBasis K

case calc_4
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := finrank ℚ K
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ∑ r, ‖x (l, r)‖ * supOfBasis K ≤ ∑ _r, (↑q * ↑h * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p)) * supOfBasis K

case calc_5
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := finrank ℚ K
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ∑ _r, (↑q * ↑h * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p)) * supOfBasis K ≤ ↑h * c₂ K * (↑q * c₁ K * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p))

case calc_6
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
p q : ℕ
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
h : ℕ := finrank ℚ K
l : β
H₀ : 0 ≤ supOfBasis K
H₁ : 0 < ↑q - ↑p
⊢ ↑h * c₂ K * (↑q * c₁ K * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p)) ≤ c₁ K * (c₁ K * ↑q * A) ^ (↑p / (↑q - ↑p))