mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.SpecificLimits.Normed

Goal state before:
pp: E : Type u_4
inst✝⁴ : Ring E
inst✝³ : PartialOrder E
inst✝² : IsOrderedRing E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : OrderClosedTopology E
l : E
f : ℕ → E
hfl : Tendsto (fun n ↦ ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) atTop (𝓝 l)
hfm : Monotone f
k n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ Finset.range (2 * n), (-1) ^ x * f x + (-1) ^ (2 * n) * f (2 * n) + (-1) ^ (2 * n + 1) * f (2 * n + 1) ≤
    ∑ i ∈ Finset.range (2 * n), (-1) ^ i * f i

Tactic:
simp_rw [_root_.pow_succ', show (-1 : E) ^ (2 * n) = 1 by simp, neg_one_mul, one_mul,
      ← sub_eq_add_neg, sub_le_iff_le_add]

Goal state after:
E : Type u_4
inst✝⁴ : Ring E
inst✝³ : PartialOrder E
inst✝² : IsOrderedRing E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : OrderClosedTopology E
l : E
f : ℕ → E
hfl : Tendsto (fun n ↦ ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) atTop (𝓝 l)
hfm : Monotone f
k n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ Finset.range (2 * n), (-1) ^ x * f x + f (2 * n) ≤ ∑ x ∈ Finset.range (2 * n), (-1) ^ x * f x + f (2 * n + 1)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Complex.Arg

Goal state before:
pp: case neg
x : ℂ
hx : x ≠ 0
h₁ : ¬0 ≤ x.re
h₂ : ¬0 ≤ x.im
⊢ Real.cos (Real.arcsin ((-x).im / ‖x‖) - π) = x.re / ‖x‖

Tactic:
rw [Real.cos_sub_pi, Real.cos_arcsin]
    field_simp
    simp [Real.sqrt_div (sq_nonneg _), Real.sqrt_sq_eq_abs, _root_.abs_of_neg (not_le.1 h₁), *]
    field

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Complex.Arg

Goal state before:
pp: θ : ℝ
⊢ (cexp (↑θ * I)).arg = toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ

Tactic:
simp [arg_exp]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Complex.Log

Goal state before:
pp: x y : ℂ
hx₁ : -π < x.im
hx₂ : x.im ≤ π
hy₁ : -π < y.im
hy₂ : y.im ≤ π
hxy : cexp x = cexp y
⊢ x = y

Tactic:
← log_exp hx₁ hx₂,

Goal state after:
x y : ℂ
hx₁ : -π < x.im
hx₂ : x.im ≤ π
hy₁ : -π < y.im
hy₂ : y.im ≤ π
hxy : cexp x = cexp y
⊢ log (cexp x) = y
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Complex.Arg

Goal state before:
pp: x : ℂ
hi : x.im < 0
⊢ (-x).arg = x.arg + π

Tactic:
rw [arg_of_im_neg hi, arg_of_im_pos (show 0 < (-x).im from Left.neg_pos_iff.2 hi)]

Goal state after:
x : ℂ
hi : x.im < 0
⊢ Real.arccos ((-x).re / ‖-x‖) = -Real.arccos (x.re / ‖x‖) + π
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Trigonometric.Angle

Goal state before:
pp: θ : Angle
⊢ (↑(π / 2) - θ).cos = θ.sin

Tactic:
induction θ using Real.Angle.induction_on
  exact Real.cos_pi_div_two_sub _

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Trigonometric.Angle

Goal state before:
pp: θ : ℝ
⊢ (↑θ).toReal = θ + 2 * π ↔ θ ∈ Set.Ioc (-3 * π) (-π)

Tactic:
by
  convert! @toReal_coe_eq_self_sub_two_mul_int_mul_pi_iff θ (-1) using 2 <;> norm_num

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Asymptotics

Goal state before:
pp: b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b < 1
⊢ Tendsto (fun x ↦ b ^ x) atBot atTop

Tactic:
simp_rw [Real.rpow_def_of_pos (by positivity : 0 < b)]

Goal state after:
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b < 1
⊢ Tendsto (fun x ↦ rexp (log b * x)) atBot atTop
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Asymptotics

Goal state before:
pp: b : ℝ
hb : 1 < b
⊢ Tendsto (fun x ↦ b ^ x) atTop atTop

Tactic:
simp_rw [Real.rpow_def_of_pos (by positivity : 0 < b)]

Goal state after:
b : ℝ
hb : 1 < b
⊢ Tendsto (fun x ↦ rexp (log b * x)) atTop atTop
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Asymptotics

Goal state before:
pp: b : ℝ
hb : 1 < b
⊢ Tendsto (fun x ↦ b ^ x) atBot (𝓝 0)

Tactic:
simp_rw [Real.rpow_def_of_pos (by positivity : 0 < b)]

Goal state after:
b : ℝ
hb : 1 < b
⊢ Tendsto (fun x ↦ rexp (log b * x)) atBot (𝓝 0)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Asymptotics

Goal state before:
pp: s b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ Tendsto (fun x ↦ rexp (b * x) / x ^ s) atTop atTop

Tactic:
refine ((tendsto_rpow_atTop hb).comp (tendsto_exp_div_rpow_atTop (s / b))).congr' ?_

Goal state after:
s b : ℝ
hb : 0 < b
⊢ ((fun x ↦ x ^ b) ∘ fun x ↦ rexp x / x ^ (s / b)) =ᶠ[atTop] fun x ↦ rexp (b * x) / x ^ s
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: case pos
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ
H : 0 = x
h : y + z = 0
⊢ x ^ y * x ^ z ≤ x ^ (y + z)

Tactic:
simp only [H.symm, h, rpow_zero]

Goal state after:
case pos
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ
H : 0 = x
h : y + z = 0
⊢ 0 ^ y * 0 ^ z ≤ 1
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
z : ℂ
⊢ ↑x ^ (↑y * z) = ↑(x ^ y) ^ z

Tactic:
rw [cpow_mul, ofReal_cpow hx]
  · rw [← ofReal_log hx, ← ofReal_mul, ofReal_im, neg_lt_zero]; exact Real.pi_pos
  · rw [← ofReal_log hx, ← ofReal_mul, ofReal_im]; exact Real.pi_pos.le

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: x : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hn : n ≠ 0
⊢ (x ^ n) ^ (↑n)⁻¹ = x

Tactic:
have hn0 : (n : ℝ) ≠ 0 := Nat.cast_ne_zero.2 hn
  rw [← rpow_natCast, ← rpow_mul hx, mul_inv_cancel₀ hn0, rpow_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: x y z : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : z < 0
⊢ x ^ z⁻¹ < y ↔ y ^ z < x

Tactic:
← rpow_lt_rpow_iff_of_neg hy _ hz,

Goal state after:
x y z : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : z < 0
⊢ y ^ z < (x ^ z⁻¹) ^ z ↔ y ^ z < x

x y z : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : z < 0
⊢ 0 < x ^ z⁻¹
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: x y : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
⊢ x ^ n < y ↔ ↑n * log x < log y

Tactic:
← rpow_lt_iff_lt_log hx hy,

Goal state after:
x y : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
⊢ x ^ n < y ↔ x ^ ↑n < y
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: x y : ℝ
n : ℤ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
⊢ x ^ n < y ↔ ↑n * log x < log y

Tactic:
← rpow_lt_iff_lt_log hx hy,

Goal state after:
x y : ℝ
n : ℤ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
⊢ x ^ n < y ↔ x ^ ↑n < y
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: b : ℝ
hb : 1 < b
⊢ StrictMono fun x ↦ b ^ x

Tactic:
simp_rw [Real.rpow_def_of_pos (zero_lt_one.trans hb)]

Goal state after:
b : ℝ
hb : 1 < b
⊢ StrictMono fun x ↦ rexp (log b * x)
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ‖log ↑n‖ ≤ ↑n ^ ε / ε

Tactic:
rcases n.eq_zero_or_pos with rfl | h

Goal state after:
case inl
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ‖log ↑0‖ ≤ ↑0 ^ ε / ε

case inr
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
h : n > 0
⊢ ‖log ↑n‖ ≤ ↑n ^ ε / ε
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.NNReal

Goal state before:
pp: case inr
p : ℝ
x : ℝ≥0∞
hx_pos : 0 < x
hx_ne_top : x ≠ ∞
hp_nonpos : p ≤ 0
⊢ x ^ (-p) ≠ ∞

Tactic:
exact rpow_ne_top_of_nonneg (Right.nonneg_neg_iff.mpr hp_nonpos) hx_ne_top

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.NNReal

Goal state before:
pp: case coe
z : ℝ
hz : 0 < z
x✝ : ℝ≥0
hx : 1 < ↑x✝
⊢ 1 < ↑x✝ ^ z

Tactic:
simp only [one_lt_coe_iff] at hx
    simp [← coe_rpow_of_nonneg _ (le_of_lt hz), NNReal.one_lt_rpow hx hz]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow.Real

Goal state before:
pp: x : ℂ
hx : x.im < 0
⊢ (x ^ 2⁻¹).im = -√((‖x‖ - x.re) / 2)

Tactic:
rw [← ofReal_ofNat, ← ofReal_inv, cpow_ofReal_im, ← div_eq_mul_inv, ← one_div,
    ← Real.sqrt_eq_rpow, sin_half_eq_neg_sqrt, mul_neg, ← sqrt_mul (norm_nonneg _),
    ← mul_div_assoc, mul_sub, mul_one, norm_mul_cos_arg]

Goal state after:
case hl
x : ℂ
hx : x.im < 0
⊢ -(2 * π) ≤ x.arg

case hr
x : ℂ
hx : x.im < 0
⊢ x.arg ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineMap

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V1
inst✝⁴ : Module k V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V2
inst✝ : AffineSpace V2 P2
s t : Set P1
f : P1 →ᵃ[k] P2
⊢ ⇑f '' s -ᵥ ⇑f '' t = ⇑f.linear '' (s -ᵥ t)

Tactic:
by
  ext v
  simp only [Set.mem_vsub, Set.mem_image,
    exists_exists_and_eq_and, ← f.linearMap_vsub]
  grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Star

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s

Tactic:
hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Star

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s

Tactic:
hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hx : x ∈ s
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Star

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
s : Set F
f : E →ₗ[𝕜] F
hs : StarConvex 𝕜 (f x) s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ a + b = 1 → a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' s

Tactic:
hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
s : Set F
f : E →ₗ[𝕜] F
hs : StarConvex 𝕜 (f x) s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Star

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
s : Set F
f : E →ₗ[𝕜] F
hs : StarConvex 𝕜 (f x) s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' s

Tactic:
mem_preimage,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
s : Set F
f : E →ₗ[𝕜] F
hs : StarConvex 𝕜 (f x) s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Star

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z y : E
hy : y ∈ (fun x ↦ z + x) '' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ a + b = 1 → a • (z + x) + b • y ∈ (fun x ↦ z + x) '' s

Tactic:
hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z y : E
hy : y ∈ (fun x ↦ z + x) '' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • (z + x) + b • y ∈ (fun x ↦ z + x) '' s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Star

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z y : E
hy : y ∈ (fun x ↦ x + z) '' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ a + b = 1 → a • (x + z) + b • y ∈ (fun x ↦ x + z) '' s

Tactic:
hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z y : E
hy : y ∈ (fun x ↦ x + z) '' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • (x + z) + b • y ∈ (fun x ↦ x + z) '' s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Star

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
x z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 (z + x) s
y : E
hy : y ∈ (fun x ↦ z + x) ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ a + b = 1 → a • x + b • y ∈ (fun x ↦ z + x) ⁻¹' s

Tactic:
hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
x z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 (z + x) s
y : E
hy : y ∈ (fun x ↦ z + x) ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ (fun x ↦ z + x) ⁻¹' s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Segment

Goal state before:
pp: case inr.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
c a : 𝕜
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
hca : c < a
hc : 0 < 1 - c
⊢ (lineMap y x) (1 - a) ∈ (fun a ↦ (lineMap y ((lineMap y x) (1 - c))) (1 - a)) '' Ioo 0 1

Tactic:
refine
      ⟨(a - c) / (1 - c), ⟨div_pos (sub_pos.2 hca) hc, (div_lt_one hc).2 <| sub_lt_sub_right h₁ _⟩,
        ?_⟩

Goal state after:
case inr.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : LinearOrder 𝕜
inst✝² : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
c a : 𝕜
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
hca : c < a
hc : 0 < 1 - c
⊢ (fun a ↦ (lineMap y ((lineMap y x) (1 - c))) (1 - a)) ((a - c) / (1 - c)) = (lineMap y x) (1 - a)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
h : s.Pairwise fun x y ↦ ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s

Tactic:
hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
h : s.Pairwise fun x y ↦ ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Star

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Ring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set F
hs : StarConvex 𝕜 (f x) s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ a + b = 1 → a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' s

Tactic:
hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Ring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set F
hs : StarConvex 𝕜 (f x) s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Star

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Ring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set F
hs : StarConvex 𝕜 (f x) s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' s

Tactic:
mem_preimage,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Ring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set F
hs : StarConvex 𝕜 (f x) s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsOrderedRing 𝕜
x y : E
ap bp : 𝕜
hap : 0 ≤ ap
hbp : 0 ≤ bp
habp : ap + bp = 1
aq bq : 𝕜
haq : 0 ≤ aq
hbq : 0 ≤ bq
habq : aq + bq = 1
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a + b = 1

Tactic:
hab

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsOrderedRing 𝕜
x y : E
ap bp : 𝕜
hap : 0 ≤ ap
hbp : 0 ≤ bp
habp : ap + bp = 1
aq bq : 𝕜
haq : 0 ≤ aq
hbq : 0 ≤ bq
habq : aq + bq = 1
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ 1 = 1
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set F
hs : Convex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' s

Tactic:
mem_preimage,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set F
hs : Convex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
z x : E
hx : x ∈ (fun x ↦ z + x) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun x ↦ z + x) ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ a + b = 1 → a • x + b • y ∈ (fun x ↦ z + x) ⁻¹' s

Tactic:
hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : PartialOrder 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
z x : E
hx : x ∈ (fun x ↦ z + x) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun x ↦ z + x) ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ (fun x ↦ z + x) ⁻¹' s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
β : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedCancelAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulStrictMono 𝕜 β
r x : β
hx : x ∈ Iio r
y : β
hy : y ∈ Iio r
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ a + b = 1 → a • x + b • y ∈ Iio r

Tactic:
hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
β : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : IsOrderedCancelAddMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : PosSMulStrictMono 𝕜 β
r x : β
hx : x ∈ Iio r
y : β
hy : y ∈ Iio r
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ Iio r
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring 𝕜
inst✝⁹ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁸ : AddCommMonoid E
inst✝⁷ : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
R : Type u_5
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R 𝕜
inst✝¹ : IsScalarTower R 𝕜 E
inst✝ : SMulPosMono R 𝕜
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s

Tactic:
hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring 𝕜
inst✝⁹ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁸ : AddCommMonoid E
inst✝⁷ : ZeroLEOneClass 𝕜
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
R : Type u_5
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R 𝕜
inst✝¹ : IsScalarTower R 𝕜 E
inst✝ : SMulPosMono R 𝕜
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Star

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : PartialOrder E
inst✝² : IsOrderedAddMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : s.OrdConnected
hx : x ∈ s
h : ∀ y ∈ s, x ≤ y ∨ y ≤ x
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s

Tactic:
hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : PartialOrder E
inst✝² : IsOrderedAddMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : PosSMulMono 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : s.OrdConnected
hx : x ∈ s
h : ∀ y ∈ s, x ≤ y ∨ y ≤ x
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : LinearOrder 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set 𝕜
⊢ Convex 𝕜 s ↔ s.OrdConnected

Tactic:
simp_rw [convex_iff_segment_subset, segment_eq_uIcc, ordConnected_iff_uIcc_subset]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_5
inst✝⁹ : CommSemiring R
A : Type u_6
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
M : Type u_7
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : IsScalarTower R A M
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : FaithfulSMul R A
s : Set M
halg : Ici 0 ⊆ ⇑(algebraMap R A) '' Ici 0
hs : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : M⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : R⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
u : M
hu : u ∈ s
v : M
hv : v ∈ s
a b : A
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ a + b = 1 → a • u + b • v ∈ s

Tactic:
hab

Goal state after:
R : Type u_5
inst✝⁹ : CommSemiring R
A : Type u_6
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
M : Type u_7
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : IsScalarTower R A M
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : FaithfulSMul R A
s : Set M
halg : Ici 0 ⊆ ⇑(algebraMap R A) '' Ici 0
hs : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : M⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : R⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
u : M
hu : u ∈ s
v : M
hv : v ∈ s
a b : A
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • u + b • v ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B : Set E
⊢ (∃ i, True ∧ ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ norm ⁻¹' Ici i → B ⊆ x • A) ↔ ∃ r, ∀ (c : 𝕜), r ≤ ‖c‖ → B ⊆ c • A

Tactic:
by simp only [true_and]; rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s : Set F
hs : Balanced 𝕜 s
f : E →ₑ[id] F
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x : E
x✝ : x ∈ a • ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy₁ : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hy₂ : (fun x ↦ a • x) y = x
⊢ x ∈ ⇑f ⁻¹' s

Tactic:
mem_preimage,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s : Set F
hs : Balanced 𝕜 s
f : E →ₑ[id] F
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x : E
x✝ : x ∈ a • ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy₁ : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hy₂ : (fun x ↦ a • x) y = x
⊢ f x ∈ s
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Basic

Goal state before:
pp: case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
A : Set E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
hA : Balanced 𝕜 A
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
h : a ≠ 0
⊢ a • insert 0 (interior A) ⊆ insert 0 (interior A)

Tactic:
rw [← image_smul, image_insert_eq, smul_zero]

Goal state after:
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
A : Set E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
hA : Balanced 𝕜 A
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
h : a ≠ 0
⊢ insert 0 ((fun x ↦ a • x) '' interior A) ⊆ insert 0 (interior A)
Module: Mathlib.Analysis.LocallyConvex.Bounded

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : Tendsto ε l (𝓝[≠] 0)
S : Set E
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0

Tactic:
by exact hε self_mem_nhdsWithin

Goal state after: