mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
s t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
ht : StrictConvex 𝕜 t
x : E
hx : x ∈ s ∩ t
y : E
hy : y ∈ s ∩ t
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ a + b = 1 → a • x + b • y ∈ interior (s ∩ t)

Tactic:
hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring 𝕜
inst✝³ : PartialOrder 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
s t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
ht : StrictConvex 𝕜 t
x : E
hx : x ∈ s ∩ t
y : E
hy : y ∈ s ∩ t
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ interior (s ∩ t)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ a + b = 1 → a • x + b • y ∈ interior (⇑f ⁻¹' s)

Tactic:
hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ interior (⇑f ⁻¹' s)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' interior s

Tactic:
mem_preimage,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) ∈ interior s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : AddCancelCommMonoid E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z x : E
hx : x ∈ (fun x ↦ z + x) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun x ↦ z + x) ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ a + b = 1 → a • x + b • y ∈ interior ((fun x ↦ z + x) ⁻¹' s)

Tactic:
hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : AddCancelCommMonoid E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z x : E
hx : x ∈ (fun x ↦ z + x) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun x ↦ z + x) ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ interior ((fun x ↦ z + x) ⁻¹' s)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z : E
⊢ StrictConvex 𝕜 ((fun x ↦ z + x) '' s)

Tactic:
simpa only [singleton_add] using (strictConvex_singleton z).add hs

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁹ : Semiring 𝕜
inst✝⁸ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommMonoid β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMul 𝕜 α
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g : β → α
hg : ConvexOn 𝕜 (f '' s) g
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hg' : StrictMonoOn g (f '' s)
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ∈ f '' s

Tactic:
exact hg.left (mem_image_of_mem f hx) (mem_image_of_mem f hy) ha.le hb.le hab

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁹ : Semiring 𝕜
inst✝⁸ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommMonoid β
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMul 𝕜 α
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g : β → α
hg : StrictConvexOn 𝕜 (f '' s) g
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg' : MonotoneOn g (f '' s)
hf' : InjOn f s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ∈ f '' s

Tactic:
exact hg.left (mem_image_of_mem f hx) (mem_image_of_mem f hy) ha.le hb.le hab

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : Ring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ᵃ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ a + b = 1 → a • x + b • y ∈ interior (⇑f ⁻¹' s)

Tactic:
hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : Ring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ᵃ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ interior (⇑f ⁻¹' s)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Strict

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : Ring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ᵃ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' interior s

Tactic:
mem_preimage,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : Ring 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ᵃ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) ∈ interior s
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁶ : Semiring 𝕜
inst✝⁵ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
⊢ ConvexOn 𝕜 s f ↔
    Convex 𝕜 s ∧
      ∀ ⦃x : E⦄,
        x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y

Tactic:
by
  refine and_congr_right'
    ⟨fun h x hx y hy a b ha hb hab => h hx hy ha.le hb.le hab, fun h x hx y hy a b ha hb hab => ?_⟩
  obtain rfl | ha' := ha.eq_or_lt
  · rw [zero_add] at hab
    subst b
    simp_rw [zero_smul, zero_add, one_smul, le_rfl]
  obtain rfl | hb' := hb.eq_or_lt
  · rw [add_zero] at hab
    subst a
    simp_rw [zero_smul, add_zero, one_smul, le_rfl]
  exact h hx hy ha' hb' hab

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ 0 < a + b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) ≤ (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y

Tactic:
hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : 0 < a + b
⊢ f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) ≤ (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s →
      ∀ ⦃y : E⦄,
        y ∈ s →
          ∀ ⦃a b : 𝕜⦄,
            0 ≤ a →
              0 ≤ b → 0 < a + b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) ≤ (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y

Tactic:
hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s →
      ∀ ⦃y : E⦄,
        y ∈ s →
          ∀ ⦃a b : 𝕜⦄,
            0 ≤ a →
              0 ≤ b → 0 < a + b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) ≤ (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Function

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s →
      ∀ ⦃y : E⦄,
        y ∈ s →
          x ≠ y →
            ∀ ⦃a b : 𝕜⦄,
              0 < a → 0 < b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) < (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
⊢ a + b = 1 → f (a • x + b • y) < a • f x + b • f y

Tactic:
hab

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s →
      ∀ ⦃y : E⦄,
        y ∈ s →
          x ≠ y →
            ∀ ⦃a b : 𝕜⦄,
              0 < a → 0 < b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) < (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) < a • f x + b • f y
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Combination

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
pred : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred pred
h : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → pred i
⊢ (affineCombination k ({x ∈ s | pred x}) p) w = (affineCombination k s p) w

Tactic:
by
  rw [affineCombination_apply, affineCombination_apply,
    s.weightedVSubOfPoint_filter_of_ne _ _ _ h]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : AffineSubspace k P₂
t : k
p₁ p₂ p₃ : P₁
hp₁ : f p₁ ∈ s
hp₂ : f p₂ ∈ s
hp₃ : f p₃ ∈ s
⊢ f (t • (p₁ -ᵥ p₂) +ᵥ p₃) ∈ s

Tactic:
rw [AffineMap.map_vadd, map_smul, AffineMap.linearMap_vsub]
      apply s.smul_vsub_vadd_mem _ hp₁ hp₂ hp₃

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
ι : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
h : BddAbove (DFunLike.coe '' s)
a : 𝕜
x : E
⊢ (⨆ p, ⇑↑p) (a • x) = ‖a‖ * (⨆ p, ⇑↑p) x

Tactic:
by
          simp only [iSup_apply]
          rw [← smul_eq_mul,
            Real.smul_iSup_of_nonneg (norm_nonneg a) fun i : s => (i : Seminorm 𝕜 E) x]
          congr!
          rename_i _ _ _ i
          exact i.1.smul' a x

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
x : E
r : ℝ
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ {y | (p.comp f) (y - x) < r} ↔ x✝ ∈ ⇑f ⁻¹' {y | p (y - f x) < r}

Tactic:
mem_preimage,

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
x : E
r : ℝ
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ {y | (p.comp f) (y - x) < r} ↔ f x✝ ∈ {y | p (y - f x) < r}
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
x : E
r : ℝ
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ {y | (p.comp f) (y - x) ≤ r} ↔ x✝ ∈ ⇑f ⁻¹' {y | p (y - f x) ≤ r}

Tactic:
mem_preimage,

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
x : E
r : ℝ
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ {y | (p.comp f) (y - x) ≤ r} ↔ f x✝ ∈ {y | p (y - f x) ≤ r}
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
h₁₂₄₅ : ∃ z, z • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
h₂₃₅₆ : line[k, p₅, p₆].direction ≤ line[k, p₂, p₃].direction
h₃₁₆₄ : line[k, p₆, p₄].direction ≤ line[k, p₃, p₁].direction
⊢ ∃ r, r ≠ 0 ∧ p₅ -ᵥ p₄ = r • (p₂ -ᵥ p₁) ∧ p₆ -ᵥ p₅ = r • (p₃ -ᵥ p₂) ∧ p₄ -ᵥ p₆ = r • (p₁ -ᵥ p₃)

Tactic:
rw [direction_affineSpan_pair_le_iff_exists_smul] at h₂₃₅₆ h₃₁₆₄

Goal state after:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
h₁₂₄₅ : ∃ z, z • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
h₂₃₅₆ : ∃ z, z • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
h₃₁₆₄ : ∃ z, z • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
⊢ ∃ r, r ≠ 0 ∧ p₅ -ᵥ p₄ = r • (p₂ -ᵥ p₁) ∧ p₆ -ᵥ p₅ = r • (p₃ -ᵥ p₂) ∧ p₄ -ᵥ p₆ = r • (p₁ -ᵥ p₃)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.AffineSubspace.Basic

Goal state before:
pp: case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ¬↑r₁ = r₂
h₁₂ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) + r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) ∈ vectorSpan k {p₁, p₃}
⊢ False

Tactic:
have h₁₁ : (r₁ : k) • (p₂ -ᵥ p₁) + (r₁ : k) • (p₃ -ᵥ p₂) ∈ vectorSpan k {p₁, p₃} := by
      rw [add_comm, ← smul_add, vsub_add_vsub_cancel]
      exact smul_vsub_rev_mem_vectorSpan_pair _ _ _

Goal state after:
case neg
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₂ : p₂ ∉ line[k, p₁, p₃]
r₁ : kˣ
hr₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) = p₅ -ᵥ p₄
r₂ : k
hr₂ : r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) = p₆ -ᵥ p₅
r₃ : k
hr₃ : r₃ • (p₁ -ᵥ p₃) = p₄ -ᵥ p₆
h : ¬↑r₁ = r₂
h₁₂ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) + r₂ • (p₃ -ᵥ p₂) ∈ vectorSpan k {p₁, p₃}
h₁₁ : ↑r₁ • (p₂ -ᵥ p₁) + ↑r₁ • (p₃ -ᵥ p₂) ∈ vectorSpan k {p₁, p₃}
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
y : E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : a ≠ 0
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ (fun x ↦ a • x) ⁻¹' p.ball y r ↔ x✝ ∈ p.ball (a⁻¹ • y) (r / ‖a‖)

Tactic:
mem_preimage,

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
y : E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : a ≠ 0
x✝ : E
⊢ a • x✝ ∈ p.ball y r ↔ x✝ ∈ p.ball (a⁻¹ • y) (r / ‖a‖)
Module: Mathlib.Analysis.Seminorm

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
y : E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : a ≠ 0
x✝ : E
⊢ x✝ ∈ (fun x ↦ a • x) ⁻¹' p.closedBall y r ↔ x✝ ∈ p.closedBall (a⁻¹ • y) (r / ‖a‖)

Tactic:
mem_preimage,

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
E : Type u_7
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
y : E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : a ≠ 0
x✝ : E
⊢ a • x✝ ∈ p.closedBall y r ↔ x✝ ∈ p.closedBall (a⁻¹ • y) (r / ‖a‖)
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case hw
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝² : Field R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
s : Finset ι
t : Finset ι'
ws : ι → R
zs : ι → E
wt : ι' → R
zt : ι' → E
hws : ∑ i ∈ s, ws i = 1
hwt : ∑ i ∈ t, wt i = 1
a b : R
hab : a + b = 1
⊢ a + b = 1

Tactic:
hab

Goal state after:
case hw
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
inst✝² : Field R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
s : Finset ι
t : Finset ι'
ws : ι → R
zs : ι → E
wt : ι' → R
zt : ι' → E
hws : ∑ i ∈ s, ws i = 1
hwt : ∑ i ∈ t, wt i = 1
a b : R
hab : a + b = 1
⊢ 1 = 1
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Affine

Goal state before:
pp: R : Type u_1
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : TopologicalSpace W
inst✝⁶ : AddTorsor W Q
inst✝⁵ : TopologicalSpace Q
inst✝⁴ : IsTopologicalAddTorsor Q
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : Module R W
inst✝ : ContinuousSMul R W
x : Q
s t : Set Q
ht : t.Finite
h : t ⊆ interior s
this : ∀ y ∈ t, ∀ᶠ (δ : R) in 𝓝 1, (homothety x δ) y ∈ s
⊢ ∀ᶠ (δ : R) in 𝓝 1, ⇑(homothety x δ) '' t ⊆ s

Tactic:
simp_rw [Set.image_subset_iff]
    exact (Filter.eventually_all_finite ht).mpr this

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.Algebra.Affine

Goal state before:
pp: R : Type u_1
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommGroup W
inst✝⁷ : TopologicalSpace W
inst✝⁶ : AddTorsor W Q
inst✝⁵ : TopologicalSpace Q
inst✝⁴ : IsTopologicalAddTorsor Q
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : Module R W
inst✝ : ContinuousSMul R W
x : Q
s t : Set Q
ht : t.Finite
h : t ⊆ interior s
y : Q
hy : y ∈ t
⊢ ∀ᶠ (δ : R) in 𝓝 1, (homothety x δ) y ∈ s

Tactic:
exact eventually_homothety_mem_of_mem_interior R x (h hy)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Simplex.Basic

Goal state before:
pp: case h₁
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁷ : Ring k
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module k V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : LinearOrder k
inst✝² : IsOrderedAddMonoid k
inst✝¹ : ZeroLEOneClass k
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
w : Fin (n + 1) → k
hw1 : ∑ i, w i = 1
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i ∈ Set.Icc 0 1
hp' : (affineCombination k univ s.points) w ∈ ↑(affineSpan k (Set.range s.points))
h : (affineCombination k univ s.points) w ∉ s.interior
⊢ (affineCombination k univ s.points) w ∈ ⋃ i, (s.faceOpposite i).closedInterior

Tactic:
simp_rw [affineCombination_mem_interior_iff hw1, Set.mem_Ioo] at h

Goal state after:
case h₁
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁷ : Ring k
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module k V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : LinearOrder k
inst✝² : IsOrderedAddMonoid k
inst✝¹ : ZeroLEOneClass k
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex k P n
w : Fin (n + 1) → k
hw1 : ∑ i, w i = 1
hp : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i ∈ Set.Icc 0 1
hp' : (affineCombination k univ s.points) w ∈ ↑(affineSpan k (Set.range s.points))
h : ¬∀ (i : Fin (n + 1)), 0 < w i ∧ w i < 1
⊢ (affineCombination k univ s.points) w ∈ ⋃ i, (s.faceOpposite i).closedInterior
Module: Mathlib.Topology.NhdsKer

Goal state before:
pp: X : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
⊢ nhdsKer (⋃₀ S) = ⋃ s ∈ S, nhdsKer s

Tactic:
by
  simp only [sUnion_eq_biUnion, nhdsKer_iUnion]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
ι : Sort u_8
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
hs : Convex R s
h₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
h₁ : ∑ᶠ (i : ι), w i = 1
hz : ∀ (i : ι), w i ≠ 0 → z i ∈ s
hfin_w : HasFiniteSupport (w ∘ PLift.down)
hsub : support ((fun i ↦ w i • z i) ∘ PLift.down) ⊆ ↑(Finite.toFinset hfin_w)
i : PLift ι
hi : i ∈ Finite.toFinset hfin_w
⊢ w i.down ≠ 0

Tactic:
rwa [hfin_w.mem_toFinset] at hi

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.NhdsKer

Goal state before:
pp: ι : Type u_3
X : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
p : (i : ι) → X i
⊢ (Filter.pi fun i ↦ 𝓝 (p i)).ker = univ.pi fun i ↦ (𝓝 (p i)).ker

Tactic:
ker_pi

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convex.Combination

Goal state before:
pp: R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
h : ∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
⊢ a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s

Tactic:
hab

Goal state after:
R : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
s : Set E
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : IsStrictOrderedRing R
h : ∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ s
Module: Mathlib.Topology.Connected.LocallyPathConnected

Goal state before:
pp: X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
F : Set X
inst✝ : LocallyPathConnectedSpace X
hF : F ∈ 𝓝 x
⊢ pathComponentIn F x ∈ 𝓝 x

Tactic:
by
  let ⟨u, huF, hu, hxu⟩ := mem_nhds_iff.mp hF
  exact mem_nhds_iff.mpr ⟨pathComponentIn u x, pathComponentIn_mono huF,
    hu.pathComponentIn x, mem_pathComponentIn_self hxu⟩

Goal state after: