mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Jordan.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) +
        (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) +
      (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) =
    0

Tactic:
nth_rw 2 [mul_comm a b]

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
⊢ ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (b * a)⁆) +
        (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) +
      (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) =
    0
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Ideal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊤
inst✝ : Invertible x
h : ∃ i ∈ Ideal.map (algebraMap R ↥R[x]) I, ∃ j ∈ Ideal.span {⟨x, ⋯⟩}, i + j = 1
⊢ ∃ p, p.leadingCoeff - 1 ∈ I ∧ (aeval ⅟x) p = 0

Tactic:
have ⟨y, hy, z, hz, eq⟩ := h

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊤
inst✝ : Invertible x
h : ∃ i ∈ Ideal.map (algebraMap R ↥R[x]) I, ∃ j ∈ Ideal.span {⟨x, ⋯⟩}, i + j = 1
y : ↥R[x]
hy : y ∈ Ideal.map (algebraMap R ↥R[x]) I
z : ↥R[x]
hz : z ∈ Ideal.span {⟨x, ⋯⟩}
eq : y + z = 1
⊢ ∃ p, p.leadingCoeff - 1 ∈ I ∧ (aeval ⅟x) p = 0
Module: Mathlib.FieldTheory.KummerPolynomial

Goal state before:
pp: K : Type u
inst✝ : Field K
a : K
ha : a ≠ 0
hn : 0 < Nat.succ 0
e : root (X - C a) = 0
⊢ (mk (X - C a)) (C a) = (mk (X - C a)) (X - (X - C a))

pp: K : Type u
inst✝ : Field K
a : K
ha : a ≠ 0
hn : 0 < Nat.succ 0
e : root (X - C a) = 0
⊢ (mk (X - C a)) (X - (X - C a)) = 0

Tactic:
· rw [sub_sub_cancel]

Goal state after:
K : Type u
inst✝ : Field K
a : K
ha : a ≠ 0
hn : 0 < Nat.succ 0
e : root (X - C a) = 0
⊢ (mk (X - C a)) (X - (X - C a)) = 0
Module: Mathlib.Algebra.Squarefree.Basic

Goal state before:
pp: case mul.inr
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
z p : R
hz : z ≠ 0
hp : Irreducible p
ih : z ≠ 0 → ∃ y n, Squarefree y ∧ y ∣ z ∧ z ∣ y ^ n
hx : p * z ≠ 0
y : R
n : ℕ
hy : Squarefree y
hyx : y ∣ z
hy' : z ∣ y ^ n
hn : n > 0
⊢ ∃ y n, Squarefree y ∧ y ∣ p * z ∧ p * z ∣ y ^ n

Tactic:
by_cases hp' : p ∣ y

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
z p : R
hz : z ≠ 0
hp : Irreducible p
ih : z ≠ 0 → ∃ y n, Squarefree y ∧ y ∣ z ∧ z ∣ y ^ n
hx : p * z ≠ 0
y : R
n : ℕ
hy : Squarefree y
hyx : y ∣ z
hy' : z ∣ y ^ n
hn : n > 0
hp' : p ∣ y
⊢ ∃ y n, Squarefree y ∧ y ∣ p * z ∧ p * z ∣ y ^ n

case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
z p : R
hz : z ≠ 0
hp : Irreducible p
ih : z ≠ 0 → ∃ y n, Squarefree y ∧ y ∣ z ∧ z ∣ y ^ n
hx : p * z ≠ 0
y : R
n : ℕ
hy : Squarefree y
hyx : y ∣ z
hy' : z ∣ y ^ n
hn : n > 0
hp' : ¬p ∣ y
⊢ ∃ y n, Squarefree y ∧ y ∣ p * z ∧ p * z ∣ y ^ n
Module: Mathlib.FieldTheory.Perfect

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : PerfectRing R p
n : ℕ
ih : ∀ (x : R), (⇑(frobeniusEquiv R p).symm)^[n] x ^ p ^ n = x
x : R
⊢ (⇑(frobeniusEquiv R p).symm)^[n + 1] x ^ p ^ (n + 1) = x

Tactic:
| succ n ih =>

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Determinant

Goal state before:
pp: M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
N : Type u_7
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module A N
f : M →ₗ[A] M
e : M ≃ₗ[A] N
⊢ LinearMap.det (↑e ∘ₗ f ∘ₗ ↑e.symm) = LinearMap.det f

Tactic:
classical
    by_cases H : ∃ s : Finset M, Nonempty (Basis s A M)
    · rcases H with ⟨s, ⟨b⟩⟩
      rw [← det_toMatrix b f, ← det_toMatrix (b.map e), toMatrix_comp (b.map e) b (b.map e),
        toMatrix_comp (b.map e) b b, ← Matrix.mul_assoc, Matrix.det_conj_of_mul_eq_one]
      · rw [← toMatrix_comp, LinearEquiv.comp_coe, e.symm_trans_self, LinearEquiv.refl_toLinearMap,
          toMatrix_id]
      · rw [← toMatrix_comp, LinearEquiv.comp_coe, e.self_trans_symm, LinearEquiv.refl_toLinearMap,
          toMatrix_id]
    · have H' : ¬∃ t : Finset N, Nonempty (Basis t A N) := by
        contrapose H
        rcases H with ⟨s, ⟨b⟩⟩
        exact ⟨_, ⟨(b.map e.symm).reindexFinsetRange⟩⟩
      simp only [coe_det, H, H', MonoidHom.one_apply, dif_neg, not_false_eq_true]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.AdjoinRoot

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
r : R
⊢ (of (C r * X - 1)) r * root (C r * X - 1) = 1

Tactic:
by
  convert! sub_eq_zero.1 ((eval₂_sub _).symm.trans <| eval₂_root <| C r * X - 1) <;>
    simp only [eval₂_mul, eval₂_C, eval₂_X, eval₂_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Determinant

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
⊢ (basisFun R ι).det = detRowAlternating

Tactic:
ext M

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
M : ι → ι → R
⊢ (basisFun R ι).det M = detRowAlternating M
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Semisimple

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsSemisimpleModule R M
⊢ IsSemisimple 0

Tactic:
by
  simpa [isSemisimple_iff] using exists_isCompl

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Semisimple

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsSemisimpleModule R M
⊢ IsSemisimple LinearMap.id

Tactic:
by
  simpa [isSemisimple_iff] using exists_isCompl

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Nilpotent.Exp

Goal state before:
pp: A : Type u_1
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Module ℚ A
a b : A
h₁ : Commute a b
n₁ : ℕ
hn₁ : a ^ n₁ = 0
n₂ : ℕ
hn₂ : b ^ n₂ = 0
N : ℕ := max n₁ n₂
h₄ : a ^ (N + 1) = 0
h₅ : b ^ (N + 1) = 0
R2N : Finset ℕ := range (2 * N + 1)
hR2N : R2N = range (2 * N + 1)
RN : Finset ℕ := range (N + 1)
hRN : RN = range (N + 1)
i : ℕ
hi : i ∈ R2N
j : ℕ
hj : j ≤ i
this : (↑i !)⁻¹ * ↑(i.choose j) = (↑j !)⁻¹ * (↑(i - j)!)⁻¹
⊢ ↑(i.choose j) * (↑i !)⁻¹ • (a ^ j * b ^ (i - j)) = ((↑i !)⁻¹ * ↑(i.choose j)) • (a ^ j * b ^ (i - j))

Tactic:
← nsmul_eq_mul,

Goal state after:
A : Type u_1
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Module ℚ A
a b : A
h₁ : Commute a b
n₁ : ℕ
hn₁ : a ^ n₁ = 0
n₂ : ℕ
hn₂ : b ^ n₂ = 0
N : ℕ := max n₁ n₂
h₄ : a ^ (N + 1) = 0
h₅ : b ^ (N + 1) = 0
R2N : Finset ℕ := range (2 * N + 1)
hR2N : R2N = range (2 * N + 1)
RN : Finset ℕ := range (N + 1)
hRN : RN = range (N + 1)
i : ℕ
hi : i ∈ R2N
j : ℕ
hj : j ≤ i
this : (↑i !)⁻¹ * ↑(i.choose j) = (↑j !)⁻¹ * (↑(i - j)!)⁻¹
⊢ i.choose j • (↑i !)⁻¹ • (a ^ j * b ^ (i - j)) = ((↑i !)⁻¹ * ↑(i.choose j)) • (a ^ j * b ^ (i - j))
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.Basic

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
D : LieDerivation R L L
a b : L
n : ℕ
ih : (⇑D)^[n] ⁅a, b⁆ = ∑ ij ∈ antidiagonal n, n.choose ij.1 • ⁅(⇑D)^[ij.1] a, (⇑D)^[ij.2] b⁆
⊢ (⇑D)^[n + 1] ⁅a, b⁆ = ∑ ij ∈ antidiagonal (n + 1), (n + 1).choose ij.1 • ⁅(⇑D)^[ij.1] a, (⇑D)^[ij.2] b⁆

Tactic:
| succ n ih =>

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
D D1 D2 : LieDerivation R L M
a✝ b✝ a b : L
⊢ 0 ⁅a, b⁆ = ⁅a, 0 b⁆ - ⁅b, 0 a⁆

Tactic:
by simp only [LinearMap.zero_apply, lie_zero, sub_self]

Goal state after:
Module: Mathlib.Dynamics.Newton

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent ((aeval x) P)
n : ℕ
ih : IsNilpotent (P.newtonMap^[n] x - x)
⊢ IsNilpotent (P.newtonMap^[n + 1] x - x)

Tactic:
| succ n ih =>

Goal state after:
Module: Mathlib.Dynamics.Newton

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent ((aeval x) P)
h' : IsUnit ((aeval x) (derivative P))
n : ℕ
ih : (aeval x) P ^ 2 ^ n ∣ (aeval (P.newtonMap^[n] x)) P
⊢ (aeval x) P ^ 2 ^ (n + 1) ∣ (aeval (P.newtonMap^[n + 1] x)) P

Tactic:
| succ n ih =>

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅Quotient.mk'' x + Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆ =
    ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆

Tactic:
rw [is_quotient_mk]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x + Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆ = ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x + Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆ = ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅Quotient.mk'' y, Quotient.mk'' z⁆

Tactic:
rw [is_quotient_mk]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x + mk y, Quotient.mk'' z⁆ = ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅mk y, Quotient.mk'' z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x + mk y, Quotient.mk'' z⁆ = ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆ + ⁅mk y, Quotient.mk'' z⁆

Tactic:
rw [is_quotient_mk]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x + mk y, mk z⁆ = ⁅mk x, mk z⁆ + ⁅mk y, mk z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x + mk y, mk z⁆ = ⁅mk x, mk z⁆ + ⁅mk y, mk z⁆

Tactic:
rw [is_quotient_mk]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x + mk y, mk z⁆ = ⁅mk x, mk z⁆ + ⁅mk y, mk z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x + mk y, mk z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + ⁅mk y, mk z⁆

Tactic:
rw [is_quotient_mk]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x + mk y, mk z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + ⁅mk y, mk z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.BaseChange

Goal state before:
pp: case refine_3.refine_2.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x z₁ z₂ : A ⊗[R] L
h₁ : ((bracket' R A L L) z₁) z₁ = 0
h₂ : ((bracket' R A L L) z₂) z₂ = 0
a₁ : A
l₁ : L
⊢ ∀ (x : A) (y : L), ((bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (x ⊗ₜ[R] y) + ((bracket' R A L L) (x ⊗ₜ[R] y)) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁) = 0

Tactic:
intro a₂

Goal state after:
case refine_3.refine_2.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x z₁ z₂ : A ⊗[R] L
h₁ : ((bracket' R A L L) z₁) z₁ = 0
h₂ : ((bracket' R A L L) z₂) z₂ = 0
a₁ : A
l₁ : L
a₂ : A
⊢ ∀ (y : L), ((bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] y) + ((bracket' R A L L) (a₂ ⊗ₜ[R] y)) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁) = 0
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x + mk y, mk z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + mk ⁅y, z⁆

Tactic:
rw [is_quotient_mk]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x + mk y, mk z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + mk ⁅y, z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Solvable

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
n : ℕ
ih : derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤
⊢ derivedSeriesOfIdeal R L (n + 1 + 1) ⊤ = ⊤ ↔ derivedSeriesOfIdeal R L 1 ⊤ = ⊤

Tactic:
| succ n ih =>

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅Submodule.Quotient.mk (x + y), mk z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + mk ⁅y, z⁆

Tactic:
rw [is_quotient_mk]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅Submodule.Quotient.mk (x + y), mk z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + mk ⁅y, z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Normalizer

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
x y : L
hy : y ∈ {x | ∀ (m : M), ⁅x, m⁆ ∈ N}
m : M
⊢ ⁅⁅x, y⁆, m⁆ ∈ N

Tactic:
rw [lie_lie]; exact sub_mem (N.lie_mem (hy m)) (hy ⁅x, m⁆)

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x + y, z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + mk ⁅y, z⁆

Tactic:
rw [is_quotient_mk]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x + y, z⁆ = mk ⁅x, z⁆ + mk ⁅y, z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x + y, z⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅x, z⁆ + ⁅y, z⁆)

Tactic:
rw [is_quotient_mk]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ mk ⁅x + y, z⁆ = Submodule.Quotient.mk (⁅x, z⁆ + ⁅y, z⁆)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' y + Quotient.mk'' z⁆ =
    ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' y⁆ + ⁅Quotient.mk'' x, Quotient.mk'' z⁆

Tactic:
rw [is_quotient_mk]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, Quotient.mk'' y + Quotient.mk'' z⁆ = ⁅mk x, Quotient.mk'' y⁆ + ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Normalizer

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
x y : L
hx : x ∈ H.normalizer
hy : y ∈ H
⊢ ⁅y, x⁆ ∈ H

Tactic:
exact hx ⟨y, hy⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, Quotient.mk'' y + Quotient.mk'' z⁆ = ⁅mk x, Quotient.mk'' y⁆ + ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆

Tactic:
rw [is_quotient_mk]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + Quotient.mk'' z⁆ = ⁅mk x, mk y⁆ + ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Normalizer

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
h : H.normalizer = H
m✝ : L ⧸ H.toLieSubmodule
x : L
hx : Quot.mk (⇑(↑H.toLieSubmodule).quotientRel) x ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R (↥H) (L ⧸ H.toLieSubmodule)
this : x ∈ H
⊢ Quot.mk (⇑(↑H.toLieSubmodule).quotientRel) x = 0

Tactic:
rwa [Submodule.Quotient.quot_mk_eq_mk, Submodule.Quotient.mk_eq_zero,
      coe_toLieSubmodule, mem_toSubmodule]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + Quotient.mk'' z⁆ = ⁅mk x, mk y⁆ + ⁅mk x, Quotient.mk'' z⁆

Tactic:
rw [is_quotient_mk]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + mk z⁆ = ⁅mk x, mk y⁆ + ⁅mk x, mk z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + mk z⁆ = ⁅mk x, mk y⁆ + ⁅mk x, mk z⁆

Tactic:
rw [is_quotient_mk]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + mk z⁆ = ⁅mk x, mk y⁆ + ⁅mk x, mk z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.BaseChange

Goal state before:
pp: case refine_2.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
⊢ ∀ (x : A) (y : L),
    ((bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (((bracket' R A L M) (x ⊗ₜ[R] y)) z) =
      ((bracket' R A L M) (((bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (x ⊗ₜ[R] y))) z +
        ((bracket' R A L M) (x ⊗ₜ[R] y)) (((bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z)

Tactic:
intro a₂

Goal state after:
case refine_2.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : A ⊗[R] L
z : A ⊗[R] M
a₁ : A
l₁ : L
a₂ : A
⊢ ∀ (y : L),
    ((bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (((bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] y)) z) =
      ((bracket' R A L M) (((bracket' R A L L) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) (a₂ ⊗ₜ[R] y))) z +
        ((bracket' R A L M) (a₂ ⊗ₜ[R] y)) (((bracket' R A L M) (a₁ ⊗ₜ[R] l₁)) z)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Quotient

Goal state before:
pp: case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + mk z⁆ = mk ⁅x, y⁆ + ⁅mk x, mk z⁆

Tactic:
rw [is_quotient_mk]

Goal state after:
case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
N N' : LieSubmodule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : LieModule R L M
I J : LieIdeal R L
x y z : L
⊢ ⁅mk x, mk y + mk z⁆ = mk ⁅x, y⁆ + ⁅mk x, mk z⁆
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Normalizer

Goal state before:
pp: R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
h : ∀ m ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R (↥H) (L ⧸ H.toLieSubmodule), m = 0
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
y : L ⧸ H.toLieSubmodule := (LieSubmodule.Quotient.mk' H.toLieSubmodule) x
z : L
hz : z ∈ H
⊢ (LieSubmodule.Quotient.mk' H.toLieSubmodule) ⁅⟨z, hz⟩, x⁆ = 0

Tactic:
LieSubmodule.Quotient.mk_eq_zero,

Goal state after:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
h : ∀ m ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R (↥H) (L ⧸ H.toLieSubmodule), m = 0
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
y : L ⧸ H.toLieSubmodule := (LieSubmodule.Quotient.mk' H.toLieSubmodule) x
z : L
hz : z ∈ H
⊢ ⁅⟨z, hz⟩, x⁆ ∈ H.toLieSubmodule