mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Length

Goal state before:
pp: case pos
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
H : Function.Exact ⇑f ⇑g
hP : IsFiniteLength R P
⊢ length R M = length R N + length R P

Tactic:
by_cases hN : IsFiniteLength R N

Goal state after:
case pos
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
H : Function.Exact ⇑f ⇑g
hP : IsFiniteLength R P
hN : IsFiniteLength R N
⊢ length R M = length R N + length R P

case neg
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] M
g : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
H : Function.Exact ⇑f ⇑g
hP : IsFiniteLength R P
hN : ¬IsFiniteLength R N
⊢ length R M = length R N + length R P
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
⊢ ∀ (a : ValueGroup A K), a ≤ a

Tactic:
rintro ⟨⟩

Goal state after:
case mk
A : Type u
inst✝⁵ : CommRing A
K : Type v
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : ValuationRing A
inst✝ : IsFractionRing A K
a✝¹ : ValueGroup A K
a✝ : K
⊢ Quot.mk (⇑(MulAction.orbitRel Aˣ K)) a✝ ≤ Quot.mk (⇑(MulAction.orbitRel Aˣ K)) a✝
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x✝¹ : AdicCompletion I M
h : ∀ (n : ℕ), x✝¹ ≡ 0 [SMOD I ^ n • ⊤]
n : ℕ
r : R
hr : r ∈ I ^ n
x : AdicCompletion I M
x✝ : x ∈ ⊤
⊢ ↑(r • x) n = ↑0 n

Tactic:
simp only [val_smul_apply, val_zero]
      induction x.val n using Quotient.inductionOn' with | _ a
      exact SModEq.zero.2 <| smul_mem_smul hr mem_top

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
⊢ ∀ {a b : ℕ → M}, a ∈ {f | IsAdicCauchy I M f} → b ∈ {f | IsAdicCauchy I M f} → a + b ∈ {f | IsAdicCauchy I M f}

Tactic:
intro f g hf hg m n hmn

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f g : ℕ → M
hf : f ∈ {f | IsAdicCauchy I M f}
hg : g ∈ {f | IsAdicCauchy I M f}
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (f + g) m ≡ (f + g) n [SMOD I ^ m • ⊤]
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.ValuationRing

Goal state before:
pp: 𝒪 : Type u
K : Type v
inst✝² : CommRing 𝒪
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra 𝒪 K
h : ∀ (x : K), ∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a
hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap 𝒪 K)
this✝¹ : IsDomain 𝒪
this✝ : FaithfulSMul 𝒪 K
this : IsDomain 𝒪
x : K
a : 𝒪
ha : x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a
⊢ ∃ x_1, x * (algebraMap 𝒪 K) ↑x_1.2 = (algebraMap 𝒪 K) x_1.1

Tactic:
by_cases h0 : a = 0

Goal state after:
case pos
𝒪 : Type u
K : Type v
inst✝² : CommRing 𝒪
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra 𝒪 K
h : ∀ (x : K), ∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a
hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap 𝒪 K)
this✝¹ : IsDomain 𝒪
this✝ : FaithfulSMul 𝒪 K
this : IsDomain 𝒪
x : K
a : 𝒪
ha : x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a
h0 : a = 0
⊢ ∃ x_1, x * (algebraMap 𝒪 K) ↑x_1.2 = (algebraMap 𝒪 K) x_1.1

case neg
𝒪 : Type u
K : Type v
inst✝² : CommRing 𝒪
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra 𝒪 K
h : ∀ (x : K), ∃ a, x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a
hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap 𝒪 K)
this✝¹ : IsDomain 𝒪
this✝ : FaithfulSMul 𝒪 K
this : IsDomain 𝒪
x : K
a : 𝒪
ha : x = (algebraMap 𝒪 K) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap 𝒪 K) a
h0 : ¬a = 0
⊢ ∃ x_1, x * (algebraMap 𝒪 K) ↑x_1.2 = (algebraMap 𝒪 K) x_1.1
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Polynomial

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
h : ⊥.jacobson = ⊥
⊢ sInf (map C '' {J | J.IsMaximal}) ≤ ⊥

Tactic:
refine fun f hf => (Submodule.mem_bot R[X]).2 <| Polynomial.ext fun n =>
    Trans.trans (?_ : coeff f n = 0) (coeff_zero n).symm

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
h : ⊥.jacobson = ⊥
f : R[X]
hf : f ∈ sInf (map C '' {J | J.IsMaximal})
n : ℕ
⊢ f.coeff n = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (under R P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(under R P')
hP : (under R P').jacobson = under R P'
this : sInf {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ Ideal.comap (algebraMap R S) P'
⊢ ⨅ I ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) '' {J | P' ≤ J ∧ J.IsMaximal}, I ≤
    sInf {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}

Tactic:
sInf_eq_iInf

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobsonRing R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (under R P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(under R P')
hP : (under R P').jacobson = under R P'
this : sInf {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ Ideal.comap (algebraMap R S) P'
⊢ ⨅ I ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) '' {J | P' ≤ J ∧ J.IsMaximal}, I ≤
    ⨅ a ∈ {I | Ideal.comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}, a
Module: Mathlib.RingTheory.KrullDimension.Zero

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : KrullDimLE 0 R
I J : Ideal R
inst✝ : I.IsPrime
⊢ I ∈ J.minimalPrimes ↔ J ≤ I

Tactic:
mem_minimalPrimes_iff,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : KrullDimLE 0 R
I J : Ideal R
inst✝ : I.IsPrime
⊢ I.IsPrime ∧ J ≤ I ↔ J ≤ I
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
P : Ideal R[X]
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away (map (Ideal.Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff Rₘ
inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ
inst✝ :
  IsLocalization
    (Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (map (Ideal.Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)) Sₘ
P' : Ideal R := comap C P
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers (map (Ideal.Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) :=
  Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (map (Ideal.Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
⊢ (IsLocalization.map Sₘ (quotientMap P C ⋯) ⋯).IsIntegral

Tactic:
have hφ' : φ.comp (Ideal.Quotient.mk P') = (Ideal.Quotient.mk P).comp C := rfl

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
P : Ideal R[X]
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away (map (Ideal.Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff Rₘ
inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ
inst✝ :
  IsLocalization
    (Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (map (Ideal.Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)) Sₘ
P' : Ideal R := comap C P
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers (map (Ideal.Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) :=
  Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (map (Ideal.Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
hφ' : φ.comp (Ideal.Quotient.mk P') = (Ideal.Quotient.mk P).comp C
⊢ (IsLocalization.map Sₘ (quotientMap P C ⋯) ⋯).IsIntegral
Module: Mathlib.RingTheory.DiscreteValuationRing.TFAE

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : IsDomain R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊥
h : ¬IsField R
x : R
hx : maximalIdeal R = Ideal.span {x}
hI' : ¬I = ⊤
H : ∀ (r : R), ¬IsUnit r ↔ x ∣ r
this✝ : x ≠ 0
hx' : Irreducible x
fa : R
fh : ∅ ≠ ∅ → (∀ b ∈ ∅, Associated x b) → ∃ n, Associated (x ^ n) ∅.prod
hf₂ : fa ::ₘ ∅ ≠ ∅
this : ∀ b ∈ fa ::ₘ ∅, Associated x b
⊢ Associated x (fa * Multiset.prod 0)

Tactic:
Multiset.prod_zero,

Goal state after:
case h
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : IsLocalRing R
inst✝ : IsDomain R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊥
h : ¬IsField R
x : R
hx : maximalIdeal R = Ideal.span {x}
hI' : ¬I = ⊤
H : ∀ (r : R), ¬IsUnit r ↔ x ∣ r
this✝ : x ≠ 0
hx' : Irreducible x
fa : R
fh : ∅ ≠ ∅ → (∀ b ∈ ∅, Associated x b) → ∃ n, Associated (x ^ n) ∅.prod
hf₂ : fa ::ₘ ∅ ≠ ∅
this : ∀ b ∈ fa ::ₘ ∅, Associated x b
⊢ Associated x (fa * 1)
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.IntegrallyClosed

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
S : Set (PrimeSpectrum R)
h : ∀ p ∈ S, IsIntegrallyClosed (Localization.AtPrime p.asIdeal)
hs : ⨅ p ∈ S, subalgebra (FractionRing R) p.asIdeal.primeCompl ⋯ = ⊥
⊢ IsIntegrallyClosed R

Tactic:
apply IsIntegrallyClosed.of_localization_submonoid (fun p : S ↦ p.1.1.primeCompl)
    (fun p ↦ p.1.1.primeCompl_le_nonZeroDivisors) (fun p ↦ h p.1 p.2)

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
S : Set (PrimeSpectrum R)
h : ∀ p ∈ S, IsIntegrallyClosed (Localization.AtPrime p.asIdeal)
hs : ⨅ p ∈ S, subalgebra (FractionRing R) p.asIdeal.primeCompl ⋯ = ⊥
⊢ ⨅ i, subalgebra (FractionRing R) (↑i).asIdeal.primeCompl ⋯ = ⊥
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀✝ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀✝
v✝ : Valuation R Γ₀✝
Γ₀ : Type u_7
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
hv : v.IsNontrivial
x : R
h0 : v x ≠ 0
h1 : v x ≠ 1
⊢ ∃ x ∈ (MonoidWithZeroHom.ofClass v).valueGroup, x ≠ 1

Tactic:
use (Units.mk0 (v x) h0), (MonoidWithZeroHom.ofClass v).mem_valueGroup (Set.mem_range_self x)

Goal state after:
case right
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀✝ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀✝
v✝ : Valuation R Γ₀✝
Γ₀ : Type u_7
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
hv : v.IsNontrivial
x : R
h0 : v x ≠ 0
h1 : v x ≠ 1
⊢ Units.mk0 (v x) h0 ≠ 1
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.Tensor

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ Injective R (CharacterModule M) ↔
    ∀ ⦃N N' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : Module R N] [inst_3 : Module R N']
      (f : N →ₗ[R] N'), Function.Injective ⇑f → Function.Injective ⇑(rTensor M f)

Tactic:
by
  simp_rw [injective_iff, rTensor_injective_iff_lcomp_surjective, Surjective, DFunLike.ext_iff]; rfl

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : IsJacobsonRing R
P' : Ideal R := comap C P
this✝ : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Ideal.Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (Ideal.map f P)
this : (Ideal.map (mapRingHom (Ideal.Quotient.mk (comap C P))) P).IsMaximal
⊢ ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (mapRingHom (Ideal.Quotient.mk (comap C P))) P)).comp C).IsIntegral

Tactic:
apply quotient_mk_comp_C_isIntegral_of_jacobson' _ ?_ (fun x hx => ?_)

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : IsJacobsonRing R
P' : Ideal R := comap C P
this✝ : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Ideal.Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (Ideal.map f P)
this : (Ideal.map (mapRingHom (Ideal.Quotient.mk (comap C P))) P).IsMaximal
⊢ IsJacobsonRing (R ⧸ P')

R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : IsJacobsonRing R
P' : Ideal R := comap C P
this✝ : P'.IsPrime
f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Ideal.Quotient.mk P')
hf : Function.Surjective ⇑f
hPJ : P = comap f (Ideal.map f P)
this : (Ideal.map (mapRingHom (Ideal.Quotient.mk (comap C P))) P).IsMaximal
x : R ⧸ P'
hx : C x ∈ Ideal.map (mapRingHom (Ideal.Quotient.mk (comap C P))) P
⊢ x = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.IsValuedIn

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
S : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
⊢ (P.reflection i) (P.root j) = P.root j - P.pairingIn S j i • P.root i

Tactic:
reflection_apply_root,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
S : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
⊢ P.root j - P.pairing j i • P.root i = P.root j - P.pairingIn S j i • P.root i
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
a s : R
h : s ∈ v.supp
a' s' : R
⊢ v s' = 0 → v (a' + s') ≤ v a'

Tactic:
h'

Goal state after:
R : Type u_3
Γ₀ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
a s : R
h : s ∈ v.supp
a' s' : R
h' : v s' = 0
⊢ v (a' + s') ≤ v a'
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsAddTorsionFree M
inst✝ : P.IsReduced
i j : ι
h : P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
⊢ LinearIndependent R ![P.root i, P.root ((P.reflectionPerm j) j)]

Tactic:
apply P.linearIndependent_of_add_mem_range_root

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsAddTorsionFree M
inst✝ : P.IsReduced
i j : ι
h : P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root
⊢ P.root i + P.root ((P.reflectionPerm j) j) ∈ range ⇑P.root
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Submodule

Goal state before:
pp: k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
⊢ Nontrivial ↥ρ.invtSubmodule ↔ Nontrivial V

Tactic:
by
  refine ⟨fun h ↦ ?_, fun h ↦ ?_⟩
  · contrapose! h
    infer_instance
  · refine ⟨⊥, ⊤, ?_⟩
    rw [← Subtype.coe_ne_coe, invtSubmodule.coe_top, invtSubmodule.coe_bot]
    exact bot_ne_top

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H
⊢ α ∈ ⋃ i, ⋃ (_ : i.IsNonZero), {coroot i} ↔ α ∈ Set.range ⇑(rootSystem H).coroot

Tactic:
simp [eq_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case inr
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ β✝ α : Weight K (↥H) L
hα : α ∈ LieSubalgebra.root
β : Weight K (↥H) L
hβ : β ∈ LieSubalgebra.root
u : K
hu : u • Weight.toLinear K (↥H) L α = Weight.toLinear K (↥H) L β
h : β = α
⊢ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = (rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩ ∨ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = -(rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩

Tactic:
· left; ext x; simpa using DFunLike.congr_fun h.symm x

Goal state after:
Module: Mathlib.RepresentationTheory.Basic

Goal state before:
pp: k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : Module k W
ρW : Representation k G W
r : k[G]
x : V
y : W
⊢ (r •
      have this := x ⊗ₜ[k] y;
      this) =
    x ⊗ₜ[k]
      (r •
        have this := y;
        this)

Tactic:
by
  change asAlgebraHom (1 ⊗ ρW) _ _ = _ ⊗ₜ asAlgebraHom ρW _ _
  simp only [asAlgebraHom_def, MonoidAlgebra.lift_apply, tprod_apply, MonoidHom.one_apply,
    LinearMap.finsupp_sum_apply, LinearMap.smul_apply, TensorProduct.map_tmul, Module.End.one_apply]
  simp only [Finsupp.sum, TensorProduct.tmul_sum, TensorProduct.tmul_smul]

Goal state after:
Module: Mathlib.Order.Interval.Set.OrdConnectedLinear

Goal state before:
pp: case refine_2
α : Type u_1
I : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h' : ∀ x ∈ I, ∀ y ∈ I, Ioo x y ⊆ Iᶜ → Ioo x y = ∅
x : α
hx : x ∈ I
y : α
hy : y ∈ I
hxy : x < y
z : α
hz : z ∈ Ioo x y
⊢ z ∈ I

Tactic:
by_contra hz'
    obtain ⟨x', hx', hx''⟩ :=
      ((finite_Icc x z).inter_of_right I).exists_le_maximal ⟨hx, le_refl _, hz.1.le⟩
    have hxz : x' < z := lt_of_le_of_ne hx''.1.2.2 (ne_of_mem_of_not_mem hx''.1.1 hz')
    obtain ⟨y', hy', hy''⟩ :=
      ((finite_Icc z y).inter_of_right I).exists_le_minimal ⟨hy, hz.2.le, le_refl _⟩
    have hzy : z < y' := lt_of_le_of_ne' hy''.1.2.1 (ne_of_mem_of_not_mem hy''.1.1 hz')
    have h₃ : Ioc x' z ⊆ Iᶜ := fun t ht ht' ↦ hx''.not_gt (⟨ht', le_trans hx' ht.1.le, ht.2⟩) ht.1
    have h₄ : Ico z y' ⊆ Iᶜ := fun t ht ht' ↦ hy''.not_lt (⟨ht', ht.1, le_trans ht.2.le hy'⟩) ht.2
    have h₅ : Ioo x' y' ⊆ Iᶜ := by
      simp only [← Ioc_union_Ico_eq_Ioo hxz hzy, union_subset_iff, and_true, h₃, h₄]
    exact eq_empty_iff_forall_notMem.1 (h' x' hx''.prop.1 y' hy''.prop.1 h₅) z ⟨hxz, hzy⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁸ : Finite ι
S : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : LinearOrder S
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
i j : ι
this : Fintype ι
ri : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root i, ⋯⟩
rj : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root j, ⋯⟩
li : S := (P.posRootForm S).rootLength i
lj : S := (P.posRootForm S).rootLength j
lij : S := ((P.posRootForm S).posForm ri) rj
si : S
hsi : li > 0
sj : S
hsj : sj > 0
hsi' : si = li
hsj' : sj = lj
⊢ P.coxeterWeightIn S i j ≤ 4

Tactic:
hsj'

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁸ : Finite ι
S : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : LinearOrder S
inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : FaithfulSMul S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : P.IsValuedIn S
i j : ι
this : Fintype ι
ri : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root i, ⋯⟩
rj : ↥(span S (range ⇑P.root)) := ⟨P.root j, ⋯⟩
li : S := (P.posRootForm S).rootLength i
lj : S := (P.posRootForm S).rootLength j
lij : S := ((P.posRootForm S).posForm ri) rj
si : S
hsi : li > 0
sj : S
hsj : lj > 0
hsi' : si = li
hsj' : sj = lj
⊢ P.coxeterWeightIn S i j ≤ 4
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this :
  ∀ (z : ℤ),
    z ∈ Icc (-↑(chainTopCoeff i j)) ↑(chainBotCoeff i j) ↔ z ∈ Icc (-↑(chainBotCoeff i (-j))) ↑(chainTopCoeff i (-j))
⊢ chainBotCoeff i ((P.reflectionPerm j) j) ≤ chainTopCoeff i j

Tactic:
simpa using this (-P.chainBotCoeff i (-j))

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
i✝ j✝ : ι
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
hij : P.root i✝ + P.root j✝ ∈ range ⇑P.root
q : Submodule K M
hq✝ : q ∈ P.invtRootSubmodule
hq : ∀ (i : ι), q ∈ Module.End.invtSubmodule ↑(P.reflection i)
i j k : ι
hk : P.root k = P.root i + P.root j
hi : P.root i ∈ q
⊢ P.root j ∈ q

Tactic:
rcases eq_or_ne (P.pairing i j) 0 with hij₀ | hij₀

Goal state after:
case inl
ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
i✝ j✝ : ι
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
hij : P.root i✝ + P.root j✝ ∈ range ⇑P.root
q : Submodule K M
hq✝ : q ∈ P.invtRootSubmodule
hq : ∀ (i : ι), q ∈ Module.End.invtSubmodule ↑(P.reflection i)
i j k : ι
hk : P.root k = P.root i + P.root j
hi : P.root i ∈ q
hij₀ : P.pairing i j = 0
⊢ P.root j ∈ q

case inr
ι : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
i✝ j✝ : ι
K : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module K N
P : RootPairing ι K M N
hij : P.root i✝ + P.root j✝ ∈ range ⇑P.root
q : Submodule K M
hq✝ : q ∈ P.invtRootSubmodule
hq : ∀ (i : ι), q ∈ Module.End.invtSubmodule ↑(P.reflection i)
i j k : ι
hk : P.root k = P.root i + P.root j
hi : P.root i ∈ q
hij₀ : P.pairing i j ≠ 0
⊢ P.root j ∈ q
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
k : ι
hk : P.root k = P.root j + P.root i
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root k]
⊢ ↑(chainBotCoeff i k) = ↑(chainBotCoeff i j + 1)

Tactic:
rw [Nat.cast_add, Nat.cast_one, coe_chainBotCoeff_eq_sSup h', coe_chainBotCoeff_eq_sSup h]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
k : ι
hk : P.root k = P.root j + P.root i
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root k]
⊢ sSup {k_1 | P.root k - k_1 • P.root i ∈ range ⇑P.root} = sSup {k | P.root j - k • P.root i ∈ range ⇑P.root} + 1