mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
y : V
h : o.oangle 0 y ≠ 0
⊢ False

Tactic:
simp at h

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : o.oangle x 0 ≠ 0
⊢ False

Tactic:
simp at h

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : o.oangle x x ≠ 0
⊢ False

Tactic:
simp at h

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Altitude

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
h : s.points i ∈ affineSpan ℝ (Set.range (s.faceOpposite i).points)
⊢ False

Tactic:
simp at h

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Projection

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s₁ : Simplex 𝕜 P m
s₂ : Simplex 𝕜 P n
p₁ p₂ : P
h : Set.range s₁.points = Set.range s₂.points
hp : p₁ = p₂
⊢ affineSpan 𝕜 (Set.range s₁.points) = affineSpan 𝕜 (Set.range s₂.points)

Tactic:
by rw [h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Rotation

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ o.oangle x y = θ ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x ∨ θ = 0 ∧ (x = 0 ∨ y = 0)

pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ o.oangle x y = θ ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x ∨ θ = 0 ∧ (x = 0 ∨ y = 0)

Tactic:
· simp [hy, eq_comm]

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ o.oangle x y = θ ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x ∨ θ = 0 ∧ (x = 0 ∨ y = 0)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑π
hx : x = 0
⊢ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ o.oangle x (-y) = 0

Tactic:
simp [hx, Real.Angle.pi_ne_zero.symm] at h

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Rotation

Goal state before:
pp: case pos
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
hx : ¬x = 0
hy : y = 0
⊢ o.oangle x y = θ ↔ (x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • (o.rotation θ) x) ∨ θ = 0 ∧ (x = 0 ∨ y = 0)

pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ o.oangle x y = θ ↔ (x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • (o.rotation θ) x) ∨ θ = 0 ∧ (x = 0 ∨ y = 0)

Tactic:
· simp [hy, eq_comm]

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
⊢ o.oangle x y = θ ↔ (x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • (o.rotation θ) x) ∨ θ = 0 ∧ (x = 0 ∨ y = 0)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Rotation

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
⊢ ⟪(o.rotation ↑(π / 2)) x, r • x⟫ = 0

Tactic:
inner_rotation_pi_div_two_left_smul

Goal state after:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ
⊢ 0 = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x z : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle 0 z
hs : (o.oangle w x).sign = (o.oangle 0 z).sign
⊢ (o.oangle w x).sign = 0 ∧ (o.oangle 0 z).sign = 0

Tactic:
simpa using hs

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case inr.inr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
w x y : V
h : InnerProductGeometry.angle w x = InnerProductGeometry.angle y 0
hs : (o.oangle w x).sign = (o.oangle y 0).sign
⊢ (o.oangle w x).sign = 0 ∧ (o.oangle y 0).sign = 0

Tactic:
simpa using hs

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫ = 0
⊢ angle x (x - y) = Real.arccos (‖x‖ / ‖x - y‖)

Tactic:
rw [← neg_eq_zero, ← inner_neg_right] at h
  rw [sub_eq_add_neg, angle_add_eq_arccos_of_inner_eq_zero h]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Unoriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃} → ¬sin (∠ p₁ p₂ p₃) = 0

Tactic:
exact sin_ne_zero_of_not_collinear

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : o.oangle x y = 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = 0

pp: case refine_2
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : InnerProductGeometry.angle x y = 0
⊢ o.oangle x y = 0

Tactic:
· simpa [o.angle_eq_abs_oangle_toReal hx hy]

Goal state after:
case refine_2
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : InnerProductGeometry.angle x y = 0
⊢ o.oangle x y = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖y‖ / (o.oangle x (x + y)).sin = ‖x + y‖

Tactic:
have hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1 := by
    rw [oangle_sign_add_right, h, Real.Angle.sign_coe_pi_div_two]
  rw [o.oangle_eq_angle_of_sign_eq_one hs, Real.Angle.sin_coe,
    InnerProductGeometry.norm_div_sin_angle_add_of_inner_eq_zero
      (o.inner_eq_zero_of_oangle_eq_pi_div_two h)
      (Or.inr (o.right_ne_zero_of_oangle_eq_pi_div_two h))]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.RightAngle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
⊢ ‖y‖ / (o.oangle (x - y) x).tan = ‖x‖

Tactic:
rw [← neg_inj, oangle_rev, ← oangle_neg_orientation_eq_neg, neg_inj] at h ⊢
  exact (-o).norm_div_tan_oangle_sub_right_of_oangle_eq_pi_div_two h

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Basic

Goal state before:
pp: case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ r₃ r₄ : ℝ
hr₁ : ¬r₁ = 0
⊢ SignType.sign (r₄ * r₁ + -(r₃ * r₂)) * (o.oangle x y).sign = SignType.sign (r₁ * r₄ - r₂ * r₃) * (o.oangle x y).sign

Tactic:
← sub_eq_add_neg,

Goal state after:
case neg
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ r₃ r₄ : ℝ
hr₁ : ¬r₁ = 0
⊢ SignType.sign (r₄ * r₁ - r₃ * r₂) * (o.oangle x y).sign = SignType.sign (r₁ * r₄ - r₂ * r₃) * (o.oangle x y).sign
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.SignedDist

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p q : P
⊢ ((signedDist 0) p) q = 0

Tactic:
by
  simpa using signedDist_smul 0 p q 0

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.PerpBisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ : P
⊢ ((innerₛₗ ℝ) (p₂ -ᵥ p₁)).ker = (ℝ ∙ (p₂ -ᵥ p₁))ᗮ

Tactic:
ext x

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ : P
x : V
⊢ x ∈ ((innerₛₗ ℝ) (p₂ -ᵥ p₁)).ker ↔ x ∈ (ℝ ∙ (p₂ -ᵥ p₁))ᗮ
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.PerpBisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ : P
⊢ perpBisector p₁ p₂ = perpBisector p₂ p₁

Tactic:
by
  ext c; simp only [mem_perpBisector_iff_dist_eq, eq_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.PerpBisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p : P
hab : a ≠ b
hp : p ∈ perpBisector a b
s : ℝ
h_wbtw : Wbtw ℝ a b ((AffineMap.lineMap a b) s)
⊢ ⟪p -ᵥ midpoint ℝ a b, s • (b -ᵥ a) + -(⅟2 • (b -ᵥ a))⟫ = 0

Tactic:
← sub_eq_add_neg,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p : P
hab : a ≠ b
hp : p ∈ perpBisector a b
s : ℝ
h_wbtw : Wbtw ℝ a b ((AffineMap.lineMap a b) s)
⊢ ⟪p -ᵥ midpoint ℝ a b, s • (b -ᵥ a) - ⅟2 • (b -ᵥ a)⟫ = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.PerpBisector

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MetricSpace P
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P
V' : Type u_3
P' : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup V'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : MetricSpace P'
inst✝ : NormedAddTorsor V' P'
f : P → P'
h : Isometry f
p₁ p₂ : P
⊢ f ⁻¹' ↑(perpBisector (f p₁) (f p₂)) = ↑(perpBisector p₁ p₂)

Tactic:
ext x

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MetricSpace P
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P
V' : Type u_3
P' : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup V'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : MetricSpace P'
inst✝ : NormedAddTorsor V' P'
f : P → P'
h : Isometry f
p₁ p₂ x : P
⊢ x ∈ f ⁻¹' ↑(perpBisector (f p₁) (f p₂)) ↔ x ∈ ↑(perpBisector p₁ p₂)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.SignedDist

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : s.direction.HasOrthogonalProjection
p : P
h : p ∈ s
⊢ ↑(s.signedInfDist p) = AffineMap.const ℝ P 0

Tactic:
ext x

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : s.direction.HasOrthogonalProjection
p : P
h : p ∈ s
x : P
⊢ ↑(s.signedInfDist p) x = (AffineMap.const ℝ P 0) x
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
ha : ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₃ p₂ p₄ + ↑π
hs : line[ℝ, p₁, p₂].SSameSide p₃ p₄
h₃₂ : p₃ ≠ p₂
h₄₂ : p₄ ≠ p₂
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₃ p₂ ((AffineEquiv.pointReflection ℝ p₂) p₄)

Tactic:
rw [oangle_pointReflection_right h₃₂ h₄₂]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
ha : ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₃ p₂ p₄ + ↑π
hs : line[ℝ, p₁, p₂].SSameSide p₃ p₄
h₃₂ : p₃ ≠ p₂
h₄₂ : p₄ ≠ p₂
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₃ p₂ p₄ + ↑π
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
ha : ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₃ p₂ p₄ + ↑π
hs : line[ℝ, p₁, p₂].SOppSide p₃ p₄
h₃₂ : p₃ ≠ p₂
h₄₂ : p₄ ≠ p₂
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₃ p₂ ((AffineEquiv.pointReflection ℝ p₂) p₄)

Tactic:
rw [oangle_pointReflection_right h₃₂ h₄₂]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
ha : ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₃ p₂ p₄ + ↑π
hs : line[ℝ, p₁, p₂].SOppSide p₃ p₄
h₃₂ : p₃ ≠ p₂
h₄₂ : p₄ ≠ p₂
⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₃ p₂ p₄ + ↑π
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
ha : ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₃ p₂ p₄ + ↑π
hs : line[ℝ, p₁, p₂].SOppSide p₃ p₄
h₃₂ : p₃ ≠ p₂
h₄₂ : p₄ ≠ p₂
ha' : ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₃ p₂ ((AffineEquiv.pointReflection ℝ p₂) p₄)
hs' : line[ℝ, p₁, p₂].SOppSide p₄ ((AffineEquiv.pointReflection ℝ p₂) p₄)
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = (π - ∠ p₁ p₂ p₄) / 2

Tactic:
obtain h := angle_eq_angle_div_two_of_oangle_eq_of_sSameSide h₁₂ ha' (hs.trans hs')

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
ha : ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₃ p₂ p₄ + ↑π
hs : line[ℝ, p₁, p₂].SOppSide p₃ p₄
h₃₂ : p₃ ≠ p₂
h₄₂ : p₄ ≠ p₂
ha' : ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₃ p₂ ((AffineEquiv.pointReflection ℝ p₂) p₄)
hs' : line[ℝ, p₁, p₂].SOppSide p₄ ((AffineEquiv.pointReflection ℝ p₂) p₄)
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = ∠ p₁ p₂ ((AffineEquiv.pointReflection ℝ p₂) p₄) / 2
⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = (π - ∠ p₁ p₂ p₄) / 2
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Sphere P
p : P
hp : p ≠ s.center
⊢ 1 = Module.finrank ℝ ↥(ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))

Tactic:
exact (finrank_span_singleton (vsub_ne_zero.2 hp)).symm

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
⊢ (∃ z, z • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center) ∧ True ↔ ∃ r, r ≠ 0 ∧ q -ᵥ s.center = r • (p -ᵥ s.center)

Tactic:
and_true,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
⊢ (∃ z, z • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center) ↔ ∃ r, r ≠ 0 ∧ q -ᵥ s.center = r • (p -ᵥ s.center)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: case neg.refine_2.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : dist p₁ s.center = s.radius
hp₂ : dist p₂ s.center ≤ s.radius
h : ¬p₁ = p₂
hp₂' : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = ‖p₁ -ᵥ s.center‖
⊢ ⟪p₂ -ᵥ s.center, p₁ -ᵥ s.center⟫ ≠ ‖p₁ -ᵥ s.center‖ * ‖p₁ -ᵥ s.center‖

Tactic:
nth_rw 1 [← hp₂']

Goal state after:
case neg.refine_2.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : dist p₁ s.center = s.radius
hp₂ : dist p₂ s.center ≤ s.radius
h : ¬p₁ = p₂
hp₂' : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = ‖p₁ -ᵥ s.center‖
⊢ ⟪p₂ -ᵥ s.center, p₁ -ᵥ s.center⟫ ≠ ‖p₂ -ᵥ s.center‖ * ‖p₁ -ᵥ s.center‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s₁ s₂ : Sphere P
p : P
h₁ : p ∈ s₁
h₂ : p ∈ s₂
h : Wbtw ℝ s₁.center p s₂.center
⊢ dist s₁.center s₂.center = s₁.radius + s₂.radius

Tactic:
← dist_add_dist_eq_iff

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s₁ s₂ : Sphere P
p : P
h₁ : p ∈ s₁
h₂ : p ∈ s₂
h : dist s₁.center p + dist p s₂.center = dist s₁.center s₂.center
⊢ dist s₁.center s₂.center = s₁.radius + s₂.radius
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: case inl.inr.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
h : dist p s.center < s.radius
hp : p ≠ s.center
hb : ¬(ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ = ⊥
hn : ¬Subsingleton V
hnf : Module.finrank ℝ V ≠ 1
v : V
hvm : v ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ
hv0 : v ≠ 0
⊢ 0 ≤ s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2

Tactic:
rw [sub_nonneg, sq_le_sq, abs_of_nonneg dist_nonneg]

Goal state after:
case inl.inr.inr
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
h : dist p s.center < s.radius
hp : p ≠ s.center
hb : ¬(ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ = ⊥
hn : ¬Subsingleton V
hnf : Module.finrank ℝ V ≠ 1
v : V
hvm : v ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ
hv0 : v ≠ 0
⊢ dist p s.center ≤ |s.radius|
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: case inr.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
h : dist p s.center = s.radius
hs : Subsingleton P
⊢ s.radius = 0

Tactic:
Subsingleton.elim p s.center

Goal state after:
case inr.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
h : dist s.center s.center = s.radius
hs : Subsingleton P
⊢ s.radius = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ : dist p ↑((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p) = dist p ↑((faceOpposite t i₂).orthogonalProjectionSpan p)
h₂ : dist p ↑((faceOpposite t i₁).orthogonalProjectionSpan p) = dist p ↑((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p)
⊢ affineSpan ℝ (Set.range t.points) = ⊤

Tactic:
t.independent.affineSpan_eq_top_iff_card_eq_finrank_add_one

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
p : P
h₁ : dist p ↑((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p) = dist p ↑((faceOpposite t i₂).orthogonalProjectionSpan p)
h₂ : dist p ↑((faceOpposite t i₁).orthogonalProjectionSpan p) = dist p ↑((faceOpposite t i₃).orthogonalProjectionSpan p)
⊢ Fintype.card (Fin (2 + 1)) = finrank ℝ V + 1
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
hf2 : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center ≤ s.radius
hpc : p ≠ s.center
v : V
hv : v ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ
hv1 : ‖v‖ = 1
hr : 0 ≤ s.radius
hv0 : v ≠ 0
hf : ∀ (w : ↥(ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ), ∃ c, c • ⟨v, hv⟩ = w
hvc : ∀ w ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ, ∃ c, c • v = w
⊢ 0 ≤ s.radius ^ 2 - dist p s.center ^ 2

Tactic:
rw [sub_nonneg, sq_le_sq, abs_of_nonneg dist_nonneg]

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
hf2 : Fact (Module.finrank ℝ V = 2)
s : Sphere P
p : P
hp : dist p s.center ≤ s.radius
hpc : p ≠ s.center
v : V
hv : v ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ
hv1 : ‖v‖ = 1
hr : 0 ≤ s.radius
hv0 : v ≠ 0
hf : ∀ (w : ↥(ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ), ∃ c, c • ⟨v, hv⟩ = w
hvc : ∀ w ∈ (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ, ∃ c, c • v = w
⊢ dist p s.center ≤ |s.radius|
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
signs : Finset (Fin 3)
h : ∡ (t.points i₂) (t.points i₁) (excenter t signs) = ∡ (excenter t signs) (t.points i₁) (t.points i₃)
⊢ excenter t signs = incenter t ∨ excenter t signs = excenter t {i₁}

Tactic:
have hs := t.excenter_eq_incenter_or_excenter_singleton_of_ne signs h₁₂ h₁₃ h₂₃

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
signs : Finset (Fin 3)
h : ∡ (t.points i₂) (t.points i₁) (excenter t signs) = ∡ (excenter t signs) (t.points i₁) (t.points i₃)
hs :
  excenter t signs = incenter t ∨
    excenter t signs = excenter t {i₁} ∨ excenter t signs = excenter t {i₂} ∨ excenter t signs = excenter t {i₃}
⊢ excenter t signs = incenter t ∨ excenter t signs = excenter t {i₁}