mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.IsBaseChange

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type u_1
inst✝²¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N₃ : Type u_8
inst✝¹⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝¹⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N₂
inst✝¹³ : AddCommGroup N₃
inst✝¹² : Module R M₁
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : Module R M₃
inst✝⁹ : Module R N₁
inst✝⁸ : Module R N₂
inst✝⁷ : Module R N₃
inst✝⁶ : Module S N₁
inst✝⁵ : Module S N₂
inst✝⁴ : Module S N₃
inst✝³ : IsScalarTower R S N₁
inst✝² : IsScalarTower R S N₂
inst✝¹ : IsScalarTower R S N₃
h₁ : M₁ →ₗ[R] N₁
h₂ : M₂ →ₗ[R] N₂
h₃ : M₃ →ₗ[R] N₃
f : M₁ →ₗ[R] M₂
g : M₂ →ₗ[R] M₃
f' : N₁ →ₗ[S] N₂
g' : N₂ →ₗ[S] N₃
comm₁ : h₂ ∘ₗ f = ↑R f' ∘ₗ h₁
comm₂ : h₃ ∘ₗ g = ↑R g' ∘ₗ h₂
inst✝ : Module.Flat R S
isb₂ : Function.Bijective ⇑(TensorProduct.lift (↑R ((Algebra.linearMap S (Module.End S (M₂ →ₗ[R] N₂))).flip h₂)))
isb₃ : Function.Bijective ⇑(TensorProduct.lift (↑R ((Algebra.linearMap S (Module.End S (M₃ →ₗ[R] N₃))).flip h₃)))
exact₁ : Function.Exact ⇑f ⇑g
inj₁ : Function.Injective ⇑f
exact₂ : Function.Exact ⇑f' ⇑g'
inj₂ : Function.Injective ⇑f'
⊢ Function.Exact ⇑(↑R (LinearMap.baseChange S f)) ⇑(↑R (LinearMap.baseChange S g))

Tactic:
exact Module.Flat.lTensor_exact S exact₁

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: case a
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing R✝
S✝ : Submonoid R✝
P : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommRing P
inst✝¹⁵ : Algebra R✝ P
R₁ : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
K✝ : Type u_4
inst✝¹³ : Field K✝
inst✝¹² : Algebra R₁ K✝
inst✝¹¹ : IsFractionRing R₁ K✝
inst✝¹⁰ : IsDomain R₁
R : Type u_5
S : Type u_6
K : Type u_7
L : Type u_8
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : Algebra S L
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsFractionRing S L
f : R ≃+* S
I J : FractionalIdeal R⁰ K
⊢ ∀ m ∈ I,
    ∀ n ∈ J,
      (IsFractionRing.ringEquivOfRingEquiv f) m * (IsFractionRing.ringEquivOfRingEquiv f) n ∈
        Submodule.map ↑(semilinearEquivOfRingEquiv K L f) ↑I * Submodule.map ↑(semilinearEquivOfRingEquiv K L f) ↑J

Tactic:
exact fun m hm n hn ↦ Submodule.mul_mem_mul (mem_map_of_mem hm) (mem_map_of_mem hn)

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.FractionalIdeal.Operations

Goal state before:
pp: R✝ : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing R✝
S✝ : Submonoid R✝
P : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommRing P
inst✝¹⁵ : Algebra R✝ P
R₁ : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
K✝ : Type u_4
inst✝¹³ : Field K✝
inst✝¹² : Algebra R₁ K✝
inst✝¹¹ : IsFractionRing R₁ K✝
inst✝¹⁰ : IsDomain R₁
R : Type u_5
S : Type u_6
K : Type u_7
L : Type u_8
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : Algebra S L
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsFractionRing S L
f : R ≃+* S
I J : FractionalIdeal R⁰ K
⊢ ⟨Submodule.map ↑(semilinearEquivOfRingEquiv K L f) ↑(I + J), ⋯⟩ =
    ⟨Submodule.map ↑(semilinearEquivOfRingEquiv K L f) ↑I, ⋯⟩ +
      ⟨Submodule.map ↑(semilinearEquivOfRingEquiv K L f) ↑J, ⋯⟩

Tactic:
ext x

Goal state after:
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing R✝
S✝ : Submonoid R✝
P : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommRing P
inst✝¹⁵ : Algebra R✝ P
R₁ : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
K✝ : Type u_4
inst✝¹³ : Field K✝
inst✝¹² : Algebra R₁ K✝
inst✝¹¹ : IsFractionRing R₁ K✝
inst✝¹⁰ : IsDomain R₁
R : Type u_5
S : Type u_6
K : Type u_7
L : Type u_8
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : Algebra S L
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsFractionRing S L
f : R ≃+* S
I J : FractionalIdeal R⁰ K
x : L
⊢ x ∈ ⟨Submodule.map ↑(semilinearEquivOfRingEquiv K L f) ↑(I + J), ⋯⟩ ↔
    x ∈
      ⟨Submodule.map ↑(semilinearEquivOfRingEquiv K L f) ↑I, ⋯⟩ +
        ⟨Submodule.map ↑(semilinearEquivOfRingEquiv K L f) ↑J, ⋯⟩
Module: Mathlib.Algebra.Module.Lattice

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Algebra R A
V : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
M : Submodule R V
inst✝ : IsLattice A M
a : Aˣ
⊢ a • ⊤ = ⊤

Tactic:
ext x

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Algebra R A
V : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
M : Submodule R V
inst✝ : IsLattice A M
a : Aˣ
x : V
⊢ x ∈ a • ⊤ ↔ x ∈ ⊤
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.FiniteRange

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Ring K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₃
inst✝ : Module K V₃
v : V₂ →ₗ[K] V₃
h : v.HasNoetherianRange
u : V →ₗ[K] V₂
⊢ (v ∘ₗ u).HasNoetherianRange

Tactic:
rw [HasNoetherianRange, LinearMap.range_comp] at *
  exact isNoetherian_of_le map_le_range

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: case h.right
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
P : Ideal T
hpm : P.IsMaximal
⊢ I = P ^ count P (normalizedFactors I) * (filter (fun x ↦ ¬P = x) (normalizedFactors I)).prod

Tactic:
nth_rw 1 [← prod_normalizedFactors_eq_self hI, ← filter_add_not (P = ·) (normalizedFactors I)]

Goal state after:
case h.right
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
P : Ideal T
hpm : P.IsMaximal
⊢ (filter (fun x ↦ P = x) (normalizedFactors I) + filter (fun a ↦ ¬P = a) (normalizedFactors I)).prod =
    P ^ count P (normalizedFactors I) * (filter (fun x ↦ ¬P = x) (normalizedFactors I)).prod
Module: Mathlib.RingTheory.DedekindDomain.Ideal.Lemmas

Goal state before:
pp: R : Type u_1
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
⊢ ⨅ v, Localization.subalgebra.ofField K v.asIdeal.primeCompl ⋯ = ⊥

Tactic:
ext x

Goal state after:
R : Type u_1
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
⊢ x ∈ ⨅ v, Localization.subalgebra.ofField K v.asIdeal.primeCompl ⋯ ↔ x ∈ ⊥
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.Index

Goal state before:
pp: M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
R : Type u_3
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : Subsingleton R
⊢ f.index = 0

Tactic:
by
  simp [index_eq_finrank_sub]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
hl' : l.ker.FG
b : Basis (Free.ChooseBasisIndex R M) R M := Free.chooseBasis R M
π : Free.ChooseBasisIndex R M → ↥⋯.toFinset := fun i ↦ ⟨l (b i), ⋯⟩
σ : ↥⋯.toFinset → Free.ChooseBasisIndex R M
hσ : ∀ (b_1 : ↥⋯.toFinset), π (σ b_1) = b_1
hπ : Subtype.val ∘ π = ⇑l ∘ ⇑b
hσ₁ : π ∘ σ = id
hσ₂ : ⇑l ∘ ⇑b ∘ σ = Subtype.val
f : M →ₗ[R] ↥⋯.toFinset →₀ R := lmapDomain R R π ∘ₗ ↑b.repr
⊢ (linearCombination R Subtype.val).ker = Submodule.map f l.ker

Tactic:
ext x

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
hl' : l.ker.FG
b : Basis (Free.ChooseBasisIndex R M) R M := Free.chooseBasis R M
π : Free.ChooseBasisIndex R M → ↥⋯.toFinset := fun i ↦ ⟨l (b i), ⋯⟩
σ : ↥⋯.toFinset → Free.ChooseBasisIndex R M
hσ : ∀ (b_1 : ↥⋯.toFinset), π (σ b_1) = b_1
hπ : Subtype.val ∘ π = ⇑l ∘ ⇑b
hσ₁ : π ∘ σ = id
hσ₂ : ⇑l ∘ ⇑b ∘ σ = Subtype.val
f : M →ₗ[R] ↥⋯.toFinset →₀ R := lmapDomain R R π ∘ₗ ↑b.repr
x : ↥⋯.toFinset →₀ R
⊢ x ∈ (linearCombination R Subtype.val).ker ↔ x ∈ Submodule.map f l.ker
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
hs' : (linearCombination R Subtype.val).ker.FG
t : Finset M
ht : Submodule.span R ↑t = l.ker
H : Function.Surjective ⇑(linearCombination R Subtype.val)
⊢ (l ∘ₗ linearCombination R Subtype.val).ker.FG

Tactic:
choose σ hσ using (show _ from H)

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
hs' : (linearCombination R Subtype.val).ker.FG
t : Finset M
ht : Submodule.span R ↑t = l.ker
H : Function.Surjective ⇑(linearCombination R Subtype.val)
σ : M → ↥s →₀ R
hσ : ∀ (b : M), (linearCombination R Subtype.val) (σ b) = b
⊢ (l ∘ₗ linearCombination R Subtype.val).ker.FG
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset (↥σ →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = (linearCombination R Subtype.val).ker
π : (↥σ →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : ↥σ → N := fun x ↦ (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
j : ↥σ
⊢ ((∏ j ∈ σ.erase ↑j, (s (g j)).2) * (s (g ↑j)).2) • g ↑j = (∏ j ∈ σ, (s (g j)).2) • g ↑j

Tactic:
Finset.prod_erase_mul

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset (↥σ →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = (linearCombination R Subtype.val).ker
π : (↥σ →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : ↥σ → N := fun x ↦ (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
j : ↥σ
⊢ (∏ x ∈ σ, (s (g x)).2) • g ↑j = (∏ j ∈ σ, (s (g j)).2) • g ↑j

case h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset (↥σ →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = (linearCombination R Subtype.val).ker
π : (↥σ →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : ↥σ → N := fun x ↦ (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
j : ↥σ
⊢ ↑j ∈ σ
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset (↥σ →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = (linearCombination R Subtype.val).ker
π : (↥σ →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : ↥σ → N := fun x ↦ (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
hi : f ∘ₗ linearCombination R i = (s₀ • g) ∘ₗ π
s' : ↥τ → ↥S
hs' : ∀ (x : ↥τ), s' x • (linearCombination R i) ↑x = 0
s₁ : ↥S := ∏ i, s' i
this : π.ker ≤ (s₁ • linearCombination R i).ker
⊢ f ∘ₗ π.ker.liftQ (s₁ • linearCombination R i) this ∘ₗ ↑(π.quotKerEquivOfSurjective hπ).symm = (s₁ * s₀) • g

Tactic:
ext x

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset (↥σ →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = (linearCombination R Subtype.val).ker
π : (↥σ →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : ↥σ → N := fun x ↦ (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
hi : f ∘ₗ linearCombination R i = (s₀ • g) ∘ₗ π
s' : ↥τ → ↥S
hs' : ∀ (x : ↥τ), s' x • (linearCombination R i) ↑x = 0
s₁ : ↥S := ∏ i, s' i
this : π.ker ≤ (s₁ • linearCombination R i).ker
x : M
⊢ (f ∘ₗ π.ker.liftQ (s₁ • linearCombination R i) this ∘ₗ ↑(π.quotKerEquivOfSurjective hπ).symm) x = ((s₁ * s₀) • g) x
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝² : IsLocalizedModule S g
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hf : Function.Bijective ⇑((IsLocalizedModule.map S f g) l)
e : M' ≃ₗ[R] N' := ⋯
l' : N →ₗ[R] M
s₀ : ↥S
H : f ∘ₗ l' = s₀ • ↑e.symm ∘ₗ g
H₁ : g ∘ₗ l ∘ₗ l' = g ∘ₗ (s₀ • LinearMap.id)
s₁ : ↥S
hs₁ : s₁ • l ∘ₗ l' = s₁ • s₀ • LinearMap.id
H₂ : f ∘ₗ l' ∘ₗ l = f ∘ₗ (s₀ • LinearMap.id)
s₂ : ↥S
hs₂ : s₂ • l' ∘ₗ l = s₂ • s₀ • LinearMap.id
t : R
ht : ↑s₀ * ↑s₁ * ↑s₂ ∣ t
Rₛ : Type u_3 := ⋯
lₛ : LocalizedModule (Submonoid.powers t) M →ₗ[Localization (Submonoid.powers t)]
  LocalizedModule (Submonoid.powers t) N := ⋯
hu : IsUnit ((algebraMap R Rₛ) ↑⟨t, ⋯⟩)
hu₀ : IsUnit ((algebraMap R Rₛ) ↑s₀)
hu₁ : IsUnit ((algebraMap R Rₛ) ↑s₁)
hu₂ : IsUnit ((algebraMap R Rₛ) ↑s₂)
lₛ' : LocalizedModule (Submonoid.powers t) N →ₗ[Localization (Submonoid.powers t)]
  LocalizedModule (Submonoid.powers t) M := ⋯
⊢ ↑R (↑s₂ • lₛ' ∘ₗ lₛ) ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap (Submonoid.powers t) M =
    ↑R (↑s₂ • ↑s₀ • LinearMap.id) ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap (Submonoid.powers t) M

Tactic:
ext x

Goal state after:
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝² : IsLocalizedModule S g
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hf : Function.Bijective ⇑((IsLocalizedModule.map S f g) l)
e : M' ≃ₗ[R] N' := LinearEquiv.ofBijective ((IsLocalizedModule.map S f g) l) hf
l' : N →ₗ[R] M
s₀ : ↥S
H : f ∘ₗ l' = s₀ • ↑e.symm ∘ₗ g
H₁ : g ∘ₗ l ∘ₗ l' = g ∘ₗ (s₀ • LinearMap.id)
s₁ : ↥S
hs₁ : s₁ • l ∘ₗ l' = s₁ • s₀ • LinearMap.id
H₂ : f ∘ₗ l' ∘ₗ l = f ∘ₗ (s₀ • LinearMap.id)
s₂ : ↥S
hs₂ : s₂ • l' ∘ₗ l = s₂ • s₀ • LinearMap.id
t : R
ht : ↑s₀ * ↑s₁ * ↑s₂ ∣ t
Rₛ : Type u_3 := Localization (Submonoid.powers t)
lₛ : LocalizedModule (Submonoid.powers t) M →ₗ[Localization (Submonoid.powers t)]
  LocalizedModule (Submonoid.powers t) N :=
  (LocalizedModule.map (Submonoid.powers t)) l
hu : IsUnit ((algebraMap R Rₛ) ↑⟨t, ⋯⟩)
hu₀ : IsUnit ((algebraMap R Rₛ) ↑s₀)
hu₁ : IsUnit ((algebraMap R Rₛ) ↑s₁)
hu₂ : IsUnit ((algebraMap R Rₛ) ↑s₂)
lₛ' : LocalizedModule (Submonoid.powers t) N →ₗ[Localization (Submonoid.powers t)]
  LocalizedModule (Submonoid.powers t) M :=
  (LocalizedModule.map (Submonoid.powers t)) l'
x : M
⊢ (↑R (↑s₂ • lₛ' ∘ₗ lₛ) ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap (Submonoid.powers t) M) x =
    (↑R (↑s₂ • ↑s₀ • LinearMap.id) ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap (Submonoid.powers t) M) x
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝² : IsLocalizedModule S g
inst✝¹ : FinitePresentation R M
inst✝ : FinitePresentation R N
l : M' ≃ₗ[R] N'
l' : M →ₗ[R] N
s : ↥S
H : g ∘ₗ l' = s • ↑l ∘ₗ f
this✝ : Function.Bijective ⇑((map S f g) l')
r : R
hr : r ∈ S
hr' : ∀ (t : R), r ∣ t → Function.Bijective ⇑((LocalizedModule.map (Submonoid.powers t)) l')
rs : Submonoid R := ⋯
Rᵣₛ : Type u_3 := ⋯
hsu : IsUnit ((algebraMap R Rᵣₛ) ↑s)
this : Function.Bijective ⇑(↑hsu.unit⁻¹ • (LocalizedModule.map rs) l')
⊢ (LocalizedModule.lift (Submonoid.powers (r * ↑s)) g ⋯ ∘ₗ
        ↑R ↑(LinearEquiv.ofBijective (↑hsu.unit⁻¹ • (LocalizedModule.map rs) l') this)) ∘ₗ
      LocalizedModule.mkLinearMap rs M =
    (↑l ∘ₗ LocalizedModule.lift (Submonoid.powers (r * ↑s)) f ⋯) ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap rs M

Tactic:
ext x

Goal state after:
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝² : IsLocalizedModule S g
inst✝¹ : FinitePresentation R M
inst✝ : FinitePresentation R N
l : M' ≃ₗ[R] N'
l' : M →ₗ[R] N
s : ↥S
H : g ∘ₗ l' = s • ↑l ∘ₗ f
this✝ : Function.Bijective ⇑((map S f g) l')
r : R
hr : r ∈ S
hr' : ∀ (t : R), r ∣ t → Function.Bijective ⇑((LocalizedModule.map (Submonoid.powers t)) l')
rs : Submonoid R := Submonoid.powers (r * ↑s)
Rᵣₛ : Type u_3 := Localization rs
hsu : IsUnit ((algebraMap R Rᵣₛ) ↑s)
this : Function.Bijective ⇑(↑hsu.unit⁻¹ • (LocalizedModule.map rs) l')
x : M
⊢ ((LocalizedModule.lift (Submonoid.powers (r * ↑s)) g ⋯ ∘ₗ
          ↑R ↑(LinearEquiv.ofBijective (↑hsu.unit⁻¹ • (LocalizedModule.map rs) l') this)) ∘ₗ
        LocalizedModule.mkLinearMap rs M)
      x =
    ((↑l ∘ₗ LocalizedModule.lift (Submonoid.powers (r * ↑s)) f ⋯) ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap rs M) x
Module: Mathlib.Algebra.Module.PID

Goal state before:
pp: R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
m : ℕ
ι : Type u
w✝ : Fintype ι
p : ι → R
irr : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)
n : ι → ℕ
e : M ≃ₗ[R] (Fin m →₀ R) × ⨁ (i : ι), R ⧸ R ∙ p i ^ n i
x : R
h : x • (Finsupp.equivFunOnFinite.symm fun x ↦ 1, DFinsupp.equivFunOnFintype.symm fun x ↦ (R ∙ p x ^ n x).mkQ 1) = 0
⊢ x ∈ annihilator R M

Tactic:
Prod.ext_iff,

Goal state after:
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
m : ℕ
ι : Type u
w✝ : Fintype ι
p : ι → R
irr : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)
n : ι → ℕ
e : M ≃ₗ[R] (Fin m →₀ R) × ⨁ (i : ι), R ⧸ R ∙ p i ^ n i
x : R
h :
  (x • (Finsupp.equivFunOnFinite.symm fun x ↦ 1, DFinsupp.equivFunOnFintype.symm fun x ↦ (R ∙ p x ^ n x).mkQ 1)).1 =
      0.1 ∧
    (x • (Finsupp.equivFunOnFinite.symm fun x ↦ 1, DFinsupp.equivFunOnFintype.symm fun x ↦ (R ∙ p x ^ n x).mkQ 1)).2 =
      0.2
⊢ x ∈ annihilator R M
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: case h
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
N'✝ : Type ?u.18
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : AddCommGroup N'✝
inst✝⁸ : Module R N'✝
S : Submonoid R
f✝ : N →ₗ[R] N'✝
inst✝⁷ : IsLocalizedModule S f✝
M' : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝⁴ : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S g
inst✝ : FinitePresentation R M
s : ↥S
this : Function.Bijective ⇑((algebraMap R (End R N')) ↑s)
h : M' →ₗ[R] N'
⊢ ((algebraMap R (End R (M' →ₗ[R] N'))) ↑s) (↑⋯.unit⁻¹ ∘ₗ h) = h

Tactic:
ext x

Goal state after:
case h
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
N'✝ : Type ?u.18
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : AddCommGroup N'✝
inst✝⁸ : Module R N'✝
S : Submonoid R
f✝ : N →ₗ[R] N'✝
inst✝⁷ : IsLocalizedModule S f✝
M' : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝⁴ : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S g
inst✝ : FinitePresentation R M
s : ↥S
this : Function.Bijective ⇑((algebraMap R (End R N')) ↑s)
h : M' →ₗ[R] N'
x : M'
⊢ (((algebraMap R (End R (M' →ₗ[R] N'))) ↑s) (↑⋯.unit⁻¹ ∘ₗ h)) x = h x
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: case exists_of_eq
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
N'✝ : Type ?u.18
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : AddCommGroup N'✝
inst✝⁸ : Module R N'✝
S : Submonoid R
f✝ : N →ₗ[R] N'✝
inst✝⁷ : IsLocalizedModule S f✝
M' : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝⁴ : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S g
inst✝ : FinitePresentation R M
h₁ h₂ : M →ₗ[R] N
e : (IsLocalizedModule.map S f g) h₁ = (IsLocalizedModule.map S f g) h₂
⊢ g ∘ₗ h₁ = g ∘ₗ h₂

Tactic:
ext x

Goal state after:
case exists_of_eq
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
N'✝ : Type ?u.18
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : AddCommGroup N'✝
inst✝⁸ : Module R N'✝
S : Submonoid R
f✝ : N →ₗ[R] N'✝
inst✝⁷ : IsLocalizedModule S f✝
M' : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝⁴ : IsLocalizedModule S f
N' : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S g
inst✝ : FinitePresentation R M
h₁ h₂ : M →ₗ[R] N
e : (IsLocalizedModule.map S f g) h₁ = (IsLocalizedModule.map S f g) h₂
x : M
⊢ (g ∘ₗ h₁) x = (g ∘ₗ h₂) x