mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.SmoothFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace N
inst✝⁸ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace N'
inst✝³ : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
A : Type u_10
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : ContMDiffRing 𝓘(𝕜, A) n A
c : 𝕜
f : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, A), A⟯
⊢ C c * f = f * C c

Tactic:
ext x

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace N
inst✝⁸ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace N'
inst✝³ : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
A : Type u_10
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : ContMDiffRing 𝓘(𝕜, A) n A
c : 𝕜
f : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, A), A⟯
x : N
⊢ (C c * f) x = (f * C c) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.SmoothFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace N
inst✝⁸ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace N'
inst✝³ : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
A : Type u_10
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : ContMDiffRing 𝓘(𝕜, A) n A
c : 𝕜
f : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, A), A⟯
⊢ c • f = C c * f

Tactic:
ext x

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace N
inst✝⁸ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace N'
inst✝³ : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
A : Type u_10
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : ContMDiffRing 𝓘(𝕜, A) n A
c : 𝕜
f : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, A), A⟯
x : N
⊢ (c • f) x = (C c * f) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.SmoothFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace N
inst✝⁷ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
V : Type u_10
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 V
c₁ c₂ : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
f : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, V), V⟯
⊢ (c₁ * c₂) • f = c₁ • c₂ • f

Tactic:
ext x

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace N
inst✝⁷ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
V : Type u_10
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 V
c₁ c₂ : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
f : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, V), V⟯
x : N
⊢ ((c₁ * c₂) • f) x = (c₁ • c₂ • f) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.SmoothFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace N
inst✝⁷ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
V : Type u_10
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 V
f : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, V), V⟯
⊢ 1 • f = f

Tactic:
ext x

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace N
inst✝⁷ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
V : Type u_10
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 V
f : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, V), V⟯
x : N
⊢ (1 • f) x = f x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.SmoothFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace N
inst✝⁷ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
V : Type u_10
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 V
r : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
⊢ r • 0 = 0

Tactic:
ext x

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace N
inst✝⁷ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
V : Type u_10
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 V
r : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
x : N
⊢ (r • 0) x = 0 x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.SmoothFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace N
inst✝⁷ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
V : Type u_10
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 V
c : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
f g : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, V), V⟯
⊢ c • (f + g) = c • f + c • g

Tactic:
ext x

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace N
inst✝⁷ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
V : Type u_10
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 V
c : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
f g : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, V), V⟯
x : N
⊢ (c • (f + g)) x = (c • f + c • g) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.SmoothFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace N
inst✝⁷ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
V : Type u_10
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 V
c₁ c₂ : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
f : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, V), V⟯
⊢ (c₁ + c₂) • f = c₁ • f + c₂ • f

Tactic:
ext x

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace N
inst✝⁷ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
V : Type u_10
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 V
c₁ c₂ : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
f : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, V), V⟯
x : N
⊢ ((c₁ + c₂) • f) x = (c₁ • f + c₂ • f) x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Algebra.SmoothFunctions

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace N
inst✝⁷ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
V : Type u_10
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 V
f : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, V), V⟯
⊢ 0 • f = 0

Tactic:
ext x

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace N
inst✝⁷ : ChartedSpace H N
E'' : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_8
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
N' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace H'' N'
n : ℕ∞ω
V : Type u_10
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 V
f : C^n⟮I, N; 𝓘(𝕜, V), V⟯
x : N
⊢ (0 • f) x = 0 x
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalDiffeomorph

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H₁ : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H₂
I : ModelWithCorners 𝕜 E H₁
J : ModelWithCorners 𝕜 F H₂
M : Type u_8
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H₁ M
N : Type u_9
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H₂ N
n : WithTop ℕ∞
f : M → N
x : M
hf : IsLocalDiffeomorphAt I J n f x
y : N
hy : y ∈ hf.localInverse.source
⊢ ↑hf.localInverse.toPartialEquiv y ∈ (Exists.choose hf).symm.target

Tactic:
exact hf.choose.symm.map_source hy

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.InteriorBoundary

Goal state before:
pp: E : Type u_5
H : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace ℝ H
f : E → H
x : E
hf : DifferentiableAt ℝ f x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 x
s : Set H
hs : Convex ℝ s
hs' : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
hs'' : (interior s).Nonempty
hfus : MapsTo f u s
hfx : Surjective ⇑(fderiv ℝ f x)
⊢ f x ∈ interior s

Tactic:
contrapose hfx
  have ⟨F, hF⟩ := geometric_hahn_banach_open_point hs.interior isOpen_interior hfx
  -- It suffices to show that `fderiv ℝ f x` sends everything to the kernel of `F`.
  suffices h : ∀ y, F (fderiv ℝ f x y) = 0 by
    have ⟨y, hy⟩ := hs''
    unfold Function.Surjective; push Not
    refine ⟨f x - y, fun z ↦ ne_of_apply_ne F ?_⟩
    rw [h z, F.map_sub]
    exact (sub_pos.2 <| hF _ hy).ne
  -- This follows from `F ∘ f` taking on a local maximum at `e.extend I x`.
  have hF' : MapsTo F s (Iic (F (f x))) := by
    rw [← hs'.closure_eq, ← closure_Iio, ← hs.closure_interior_eq_closure_of_nonempty_interior hs'']
    exact .closure hF F.continuous
  have hFφ : IsLocalMax (F ∘ f) x := Filter.eventually_of_mem hu fun y hy ↦ hF' <| hfus hy
  have h := hFφ.fderiv_eq_zero
  rw [fderiv_comp _ (by fun_prop) hf, ContinuousLinearMap.fderiv] at h
  exact DFunLike.congr_fun h

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
h₁ : t.points i₁ = t₀.orthocenter
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₂ : t₀.points j₂ = t.points i₂
h₃ : t₀.points j₃ = t.points i₃
j₁ : Fin 3
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₁₂₃ : ∀ (j : Fin 3), j = j₁ ∨ j = j₂ ∨ j = j₃
h : t₀.points j₁ = t.orthocenter
⊢ Set.univ = {i₁, i₂, i₃}

Tactic:
ext x

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
h₁ : t.points i₁ = t₀.orthocenter
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₂ : t₀.points j₂ = t.points i₂
h₃ : t₀.points j₃ = t.points i₃
j₁ : Fin 3
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₁₂₃ : ∀ (j : Fin 3), j = j₁ ∨ j = j₂ ∨ j = j₃
h : t₀.points j₁ = t.orthocenter
x : Fin 3
⊢ x ∈ Set.univ ↔ x ∈ {i₁, i₂, i₃}
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.InteriorBoundary

Goal state before:
pp: 𝕜✝ : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
H✝ : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H✝
I✝ : ModelWithCorners 𝕜✝ E✝ H✝
M✝ : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁷ : ChartedSpace H✝ M✝
n✝ : WithTop ℕ∞
e✝ e'✝ : OpenPartialHomeomorph M✝ H✝
x✝² : M✝
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
inst✝ : IsManifold I n M
e e' : OpenPartialHomeomorph M H
x : M
hn : n ≠ 0
he : e ∈ atlas H M
he' : e' ∈ atlas H M
hex : x ∈ e.source
hex' : x ∈ e'.source
hx : ↑(e.extend I) x ∈ interior (e.extend I).target
φ : PartialEquiv E E := extendCoordChange e e'
hφ : ContDiffOn 𝕜 n (↑φ) φ.source
hφx' : Surjective ⇑(fderivWithin 𝕜 (↑φ) φ.source (↑(e.extend I) x))
h✝ : IsRCLikeNormedField 𝕜
x✝¹ : RCLike 𝕜 := IsRCLikeNormedField.rclike 𝕜
x✝ : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
⊢ ↑(e.extend I).symm ⁻¹' e'.source ∈ 𝓝 (↑(e.extend I) x)

Tactic:
exact e.extend_preimage_mem_nhds hex <| e'.open_source.mem_nhds hex'

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.MongePoint

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
h₁ : t.points i₁ = t₀.orthocenter
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₂ : t₀.points j₂ = t.points i₂
h₃ : t₀.points j₃ = t.points i₃
j₁ : Fin 3
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₁₂₃ : ∀ (j : Fin 3), j = j₁ ∨ j = j₂ ∨ j = j₃
h : t₀.points j₁ = t.orthocenter
hui : Set.univ = {i₁, i₂, i₃}
⊢ Set.univ = {j₁, j₂, j₃}

Tactic:
ext x

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
h₁ : t.points i₁ = t₀.orthocenter
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₂ : t₀.points j₂ = t.points i₂
h₃ : t₀.points j₃ = t.points i₃
j₁ : Fin 3
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₁₂₃ : ∀ (j : Fin 3), j = j₁ ∨ j = j₂ ∨ j = j₃
h : t₀.points j₁ = t.orthocenter
hui : Set.univ = {i₁, i₂, i₃}
x : Fin 3
⊢ x ∈ Set.univ ↔ x ∈ {j₁, j₂, j₃}
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.InteriorBoundary

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ 0
f : M → N
s : Set M
hf : IsLocalDiffeomorphOn I I' n f s
⊢ f ⁻¹' ModelWithCorners.interior N ∩ s = ModelWithCorners.interior M ∩ s

Tactic:
ext x

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ 0
f : M → N
s : Set M
hf : IsLocalDiffeomorphOn I I' n f s
x : M
⊢ x ∈ f ⁻¹' ModelWithCorners.interior N ∩ s ↔ x ∈ ModelWithCorners.interior M ∩ s
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IsManifold.InteriorBoundary

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ 0
f : M → N
s : Set M
hf : IsLocalDiffeomorphOn I I' n f s
⊢ f ⁻¹' ModelWithCorners.boundary N ∩ s = ModelWithCorners.boundary M ∩ s

Tactic:
ext x

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace H' N
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ 0
f : M → N
s : Set M
hf : IsLocalDiffeomorphOn I I' n f s
x : M
⊢ x ∈ f ⁻¹' ModelWithCorners.boundary N ∩ s ↔ x ∈ ModelWithCorners.boundary M ∩ s