mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.DFinsupp

Goal state before:
pp: R : Type u_1
ι : Type u_2
κ : ι → Type u_3
M : (i : ι) → κ i → Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → (j : κ i) → AddCommMonoid (M i j)
inst✝³ : (i : ι) → (j : κ i) → Module R (M i j)
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)
⊢ ((DFinsupp.lsum R) fun p ↦ lift ((map fun i ↦ DFinsupp.lsingle (p i)).compMultilinearMap (tprod R))) ∘ₗ
      lift ((MultilinearMap.fromDFinsuppEquiv κ R) fun p ↦ (DFinsupp.lsingle p).compMultilinearMap (tprod R)) =
    LinearMap.id

Tactic:
ext x

Goal state after:
R : Type u_1
ι : Type u_2
κ : ι → Type u_3
M : (i : ι) → κ i → Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → (j : κ i) → AddCommMonoid (M i j)
inst✝³ : (i : ι) → (j : κ i) → Module R (M i j)
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)
x : (i : ι) → κ i
x✝ : (i : ι) → M i (x i)
⊢ (((((DFinsupp.lsum R) fun p ↦ lift ((map fun i ↦ DFinsupp.lsingle (p i)).compMultilinearMap (tprod R))) ∘ₗ
                lift
                  ((MultilinearMap.fromDFinsuppEquiv κ R) fun p ↦
                    (DFinsupp.lsingle p).compMultilinearMap (tprod R))).compMultilinearMap
            (tprod R)).compLinearMap
        fun i ↦ DFinsupp.lsingle (x i))
      x✝ =
    ((LinearMap.id.compMultilinearMap (tprod R)).compLinearMap fun i ↦ DFinsupp.lsingle (x i)) x✝
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : ι → Type u_3
κ : ι → Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
b : (i : ι) → Basis (κ i) R (M i)
x : (i : ι) → M i
p : (i : ι) → κ i
⊢ ((piTensorProduct b).repr ((tprod R) x)) p = ∏ i, ((b i).repr (x i)) (p i)

Tactic:
piTensorProduct,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : ι → Type u_3
κ : ι → Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
b : (i : ι) → Basis (κ i) R (M i)
x : (i : ι) → M i
p : (i : ι) → κ i
⊢ ((Finsupp.basisSingleOne.map
            (((PiTensorProduct.congr fun i ↦ (b i).repr).trans ofFinsuppEquiv).trans
                (Finsupp.lcongr (Equiv.refl ((i : ι) → κ i)) ↑(constantBaseRingEquiv ι R))).symm).repr
        ((tprod R) x))
      p =
    ∏ i, ((b i).repr (x i)) (p i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Generators

Goal state before:
pp: case zero
R : Type u_1
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
ι : Type u_2
inst✝² : Finite ι
M : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i
hg : ∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤
φ φ' : (⨂[R] (i : ι), M i) →ₗ[R] N
h : ∀ (j : (i : ι) → γ i), φ (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)) = φ' (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))
hι : Nat.card ι = 0
⊢ φ = φ'

Tactic:
ext x

Goal state after:
case zero
R : Type u_1
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
ι : Type u_2
inst✝² : Finite ι
M : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
g : ⦃i : ι⦄ → γ i → M i
hg : ∀ (i : ι), Submodule.span R (Set.range g) = ⊤
φ φ' : (⨂[R] (i : ι), M i) →ₗ[R] N
h : ∀ (j : (i : ι) → γ i), φ (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i)) = φ' (⨂ₜ[R] (i : ι), g (j i))
hι : Nat.card ι = 0
x : (i : ι) → M i
⊢ (φ.compMultilinearMap (tprod R)) x = (φ'.compMultilinearMap (tprod R)) x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Cardinality

Goal state before:
pp: k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
a✝ : Nontrivial V
x✝ : Finite k ∨ Infinite k
⊢ Nat.card V - 1 = Nat.card (ℙ k V) * (Nat.card k - 1)

Tactic:
cases finite_or_infinite k with

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Subspace

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Set (ℙ K V)
⊢ span S = sInf {W | S ⊆ ↑W}

Tactic:
ext x

Goal state after:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Set (ℙ K V)
x : ℙ K V
⊢ x ∈ (span S).carrier ↔ x ∈ (sInf {W | S ⊆ ↑W}).carrier
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Subspace

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Submodule K V
⊢ (fun s ↦
        { carrier := {x | ∀ (h : x ≠ 0), Projectivization.mk K x h ∈ s.carrier}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯,
          smul_mem' := ⋯ })
      ((fun s ↦ { carrier := Set.ofPred (Projectivization.lift (fun x ↦ ↑x ∈ s) ⋯), mem_add' := ⋯ }) s) =
    s

Tactic:
ext x

Goal state after:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Submodule K V
x : V
⊢ x ∈
      (fun s ↦
          { carrier := {x | ∀ (h : x ≠ 0), Projectivization.mk K x h ∈ s.carrier}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯,
            smul_mem' := ⋯ })
        ((fun s ↦ { carrier := Set.ofPred (Projectivization.lift (fun x ↦ ↑x ∈ s) ⋯), mem_add' := ⋯ }) s) ↔
    x ∈ s
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Subspace

Goal state before:
pp: K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
⊢ ↑⊥ = ∅

Tactic:
ext x

Goal state after:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : ℙ K V
⊢ x ∈ ↑⊥ ↔ x ∈ ∅
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: case pos.refine_2
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K V
this✝ : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend ⋯
b : Module.Basis (↑s) K V := Module.Basis.extend this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ mk K (dilatransvection ⋯ • D.rep) ⋯ = mk K D.rep ⋯

Tactic:
mk_eq_mk_iff,

Goal state after:
case pos.refine_2
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K V
this✝ : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend ⋯
b : Module.Basis (↑s) K V := Module.Basis.extend this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ ∃ a_1, a_1 • D.rep = dilatransvection ⋯ • D.rep
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.PSL.PSL2

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
p : ℙ F (Fin 2 → F)
g_SL : SL(2, F)
⊢ Subgroup.map (QuotientGroup.mk' (Subgroup.center SL(2, F))) (lineStab (g_SL • p.submodule)) =
    MulAut.conj ↑g_SL • PSL.iwasawaT p

Tactic:
Matrix.SpecialLinearGroup.lineStab_smul,

Goal state after:
ι : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
p : ℙ F (Fin 2 → F)
g_SL : SL(2, F)
⊢ Subgroup.map (QuotientGroup.mk' (Subgroup.center SL(2, F))) (MulAut.conj g_SL • lineStab p.submodule) =
    MulAut.conj ↑g_SL • PSL.iwasawaT p
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.PSL.Stabilizer

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
ι : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
L : Submodule F (ι → F)
A B : SpecialLinearGroup ι F
hA : A ∈ {A | ∀ (w : ι → F), A • w - w ∈ L}
hB : B ∈ {A | ∀ (w : ι → F), A • w - w ∈ L}
w : ι → F
⊢ (A * B) • w - w ∈ L

Tactic:
by
    simp only [Set.mem_ofPred_eq, mul_smul] at hA hB ⊢
    rw [show A • B • w - w = ((A • (B • w) - A • w) - (B • w - w)) +
      (B • w - w) + (A • w - w) by abel, ← smul_sub]
    exact add_mem (add_mem (hA _) (hB w)) (hA w)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : Module.Free R V
d1 : Module.finrank R V = 1
u v : SpecialLinearGroup R V
a✝ : Nontrivial R
⊢ u = v

Tactic:
ext x

Goal state after:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : Module.Free R V
d1 : Module.finrank R V = 1
u v : SpecialLinearGroup R V
a✝ : Nontrivial R
x : V
⊢ (fun x ↦ ↑u x) x = (fun x ↦ ↑v x) x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : Module.Free R V
d1 : Module.finrank R V = 1
u✝ v : SpecialLinearGroup R V
a✝ : Nontrivial R
x : V
hx : ¬x = 0
u : SpecialLinearGroup R V
⊢ ↑↑u = LinearMap.id

Tactic:
ext x

Goal state after:
case neg
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : Module.Free R V
d1 : Module.finrank R V = 1
u✝ v : SpecialLinearGroup R V
a✝ : Nontrivial R
x✝ : V
hx : ¬x✝ = 0
u : SpecialLinearGroup R V
x : V
⊢ ↑↑u x = LinearMap.id x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.PSL.Stabilizer

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝² : Field F
ι : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
g : Matrix.SpecialLinearGroup ι F
H : Subgroup (Matrix.SpecialLinearGroup ι F)
⊢ Subgroup.map (QuotientGroup.mk' (Subgroup.center (Matrix.SpecialLinearGroup ι F))) (MulAut.conj g • H) =
    MulAut.conj ↑g • Subgroup.map (QuotientGroup.mk' (Subgroup.center (Matrix.SpecialLinearGroup ι F))) H

Tactic:
ext x

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
ι : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
g : Matrix.SpecialLinearGroup ι F
H : Subgroup (Matrix.SpecialLinearGroup ι F)
x : Matrix.SpecialLinearGroup ι F ⧸ Subgroup.center (Matrix.SpecialLinearGroup ι F)
⊢ x ∈ Subgroup.map (QuotientGroup.mk' (Subgroup.center (Matrix.SpecialLinearGroup ι F))) (MulAut.conj g • H) ↔
    x ∈ MulAut.conj ↑g • Subgroup.map (QuotientGroup.mk' (Subgroup.center (Matrix.SpecialLinearGroup ι F))) H
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action

Goal state before:
pp: case pos.refine_3
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K V
this✝ : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend ⋯
b : Module.Basis (↑s) K V := Module.Basis.extend this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ mk K (dilatransvection ⋯ • D'.rep) ⋯ = mk K D'.rep ⋯

Tactic:
mk_eq_mk_iff,

Goal state after:
case pos.refine_3
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K V
this✝ : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ g, g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend ⋯
b : Module.Basis (↑s) K V := Module.Basis.extend this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ ∃ a_1, a_1 • D'.rep = dilatransvection ⋯ • D'.rep
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: case inr
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
g : SpecialLinearGroup R V
hR : Nontrivial R
b : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R V := Module.Free.chooseBasis R V
this : Fintype (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) := Module.Free.ChooseBasisIndex.fintype R V
e : SpecialLinearGroup R V ≃* Matrix.SpecialLinearGroup (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R :=
  (Matrix.SpecialLinearGroup.toLin_equiv b).symm
⊢ e g ∈ Subgroup.center (Matrix.SpecialLinearGroup (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R) ↔
    ∃ r, r ^ Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) = 1 ∧ ↑↑g = r • LinearMap.id

Tactic:
rw [Matrix.SpecialLinearGroup.mem_center_iff]

Goal state after:
case inr
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : Module.Free R V
inst✝ : Module.Finite R V
g : SpecialLinearGroup R V
hR : Nontrivial R
b : Module.Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R V := Module.Free.chooseBasis R V
this : Fintype (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) := Module.Free.ChooseBasisIndex.fintype R V
e : SpecialLinearGroup R V ≃* Matrix.SpecialLinearGroup (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) R :=
  (Matrix.SpecialLinearGroup.toLin_equiv b).symm
⊢ (∃ r,
      r ^ Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) = 1 ∧
        (Matrix.scalar (Module.Free.ChooseBasisIndex R V)) r = ↑(e g)) ↔
    ∃ r, r ^ Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R V) = 1 ∧ ↑↑g = r • LinearMap.id
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basis

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
bm : Basis ι R M
⊢ (Q.toBilin bm).toQuadraticMap = Q

Tactic:
ext x

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
bm : Basis ι R M
x : M
⊢ (Q.toBilin bm).toQuadraticMap x = Q x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
V : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : Module.Free R V
inst✝² : Module.Finite R V
ι : Type u_6
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Module.Basis ι R V
g : ↥(center (Matrix.SpecialLinearGroup ι R))
a✝ : Nontrivial R
hV : Nontrivial V
hι : ¬IsEmpty ι
this : FaithfulSMul R V
⊢ ↑↑(((centerCongr (toLin_equiv b)).trans centerEquivRootsOfUnity) g) • LinearMap.id =
    ↑↑(center_equiv_rootsOfUnity g) • LinearMap.id

Tactic:
simp only [MulEquiv.trans_apply]

Goal state after:
case neg
R : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
V : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : Module.Free R V
inst✝² : Module.Finite R V
ι : Type u_6
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Module.Basis ι R V
g : ↥(center (Matrix.SpecialLinearGroup ι R))
a✝ : Nontrivial R
hV : Nontrivial V
hι : ¬IsEmpty ι
this : FaithfulSMul R V
⊢ ↑↑(centerEquivRootsOfUnity ((centerCongr (toLin_equiv b)) g)) • LinearMap.id =
    ↑↑(center_equiv_rootsOfUnity g) • LinearMap.id
Module: Mathlib.LinearAlgebra.SpecialLinearGroup

Goal state before:
pp: case neg
R : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
V : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : Module.Free R V
inst✝² : Module.Finite R V
ι : Type u_6
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Module.Basis ι R V
g : ↥(center (Matrix.SpecialLinearGroup ι R))
a✝ : Nontrivial R
hV : Nontrivial V
hι : ¬IsEmpty ι
this : FaithfulSMul R V
g' : ↥(center (_root_.SpecialLinearGroup R V)) := (centerCongr (toLin_equiv b)) g
hgg' : ∀ (x : V), ↑↑↑g' x = ↑↑((toLin_equiv b) ↑g) x
⊢ ↑↑(centerEquivRootsOfUnity g') • LinearMap.id = ↑↑(center_equiv_rootsOfUnity g) • LinearMap.id

Tactic:
ext x

Goal state after:
case neg
R : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
V : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : Module.Free R V
inst✝² : Module.Finite R V
ι : Type u_6
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Module.Basis ι R V
g : ↥(center (Matrix.SpecialLinearGroup ι R))
a✝ : Nontrivial R
hV : Nontrivial V
hι : ¬IsEmpty ι
this : FaithfulSMul R V
g' : ↥(center (_root_.SpecialLinearGroup R V)) := (centerCongr (toLin_equiv b)) g
hgg' : ∀ (x : V), ↑↑↑g' x = ↑↑((toLin_equiv b) ↑g) x
x : V
⊢ (↑↑(centerEquivRootsOfUnity g') • LinearMap.id) x = (↑↑(center_equiv_rootsOfUnity g) • LinearMap.id) x
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: case h
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
s : Set ι
hs : ∀ i ∈ s, 0 < w i
v : ι → 𝕜
hv : v ∈ Pi.spanSubset 𝕜 s
hv' : ⟨v, hv⟩ ≠ 0
⊢ ∀ i ∈ univ, 0 ≤ w i • (↑⟨v, hv⟩ i * ↑⟨v, hv⟩ i)

Tactic:
intro i _
    by_cases hi : i ∈ s
    · exact smul_nonneg (hs i hi).le (mul_self_nonneg _)
    · simp [Pi.mem_spanSubset_iff.mp hv i hi]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Signature

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : LinearOrder 𝕜
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
w : ι → 𝕜
inst✝ : IsStrictOrderedRing 𝕜
⊢ {i | 0 < w i}.ncard + {i | w i ≤ 0}.ncard = Set.univ.ncard

Tactic:
by
    rw [← Set.ncard_union_eq]
    · congr! 1
      ext
      grind [le_iff_lt_or_eq]
    · grind [disjoint_iff_ne]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : DecidableEq ι
d : ι → R
⊢ Matrix.diagonal (0 ⊕ᵥ d) ∈ span R (range h) ↔ d ∈ span R (range fun i j ↦ ↑(P.pairingIn ℤ j ↑i))

Tactic:
let g : Matrix ι ι R →ₗ[R] Matrix (b.support ⊕ ι) (b.support ⊕ ι) R :=
    { toFun := .fromBlocks 0 0 0
      map_add' x y := by ext (i | i) (j | j) <;> simp
      map_smul' t x := by ext (i | i) (j | j) <;> simp }

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : DecidableEq ι
d : ι → R
g : Matrix ι ι R →ₗ[R] Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R :=
  { toFun := fromBlocks 0 0 0, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
⊢ Matrix.diagonal (0 ⊕ᵥ d) ∈ span R (range h) ↔ d ∈ span R (range fun i j ↦ ↑(P.pairingIn ℤ j ↑i))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝ : DecidableEq ι
d : ι → R
g : Matrix ι ι R →ₗ[R] Matrix (↥b.support ⊕ ι) (↥b.support ⊕ ι) R :=
  { toFun := fromBlocks 0 0 0, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
h₀ : Injective (⇑g ∘ ⇑(diagonalLinearMap ι R R))
h₁ : ∀ {d : ι → R}, Matrix.diagonal (0 ⊕ᵥ d) = g ((diagonalLinearMap ι R R) d)
h₂ : range h = ⇑g '' ⇑(diagonalLinearMap ι R R) '' range fun i j ↦ ↑(P.pairingIn ℤ j ↑i)
⊢ Matrix.diagonal (0 ⊕ᵥ d) ∈ span R (range h) ↔ d ∈ span R (range fun i j ↦ ↑(P.pairingIn ℤ j ↑i))

Tactic:
simp_rw [h₁, h₂, span_image, ← map_comp, ← comp_apply (f := g), mem_map, LinearMap.coe_comp,
    h₀.eq_iff, exists_eq_right]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k + -P.root l = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra✝ : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
contra : P.root l = -P.root i
⊢ P.root k = 2 • P.root l

Tactic:
← sub_eq_add_neg,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CharZero R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst✝¹ : P.IsReduced
inst✝ : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ : P.root k - P.root l = P.root l
h₂ : P.root k - P.root j = P.root m
this✝ : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra✝ : P.IsG2
n : ι
h₃ : P.root n = P.root k + P.root i - P.root j
x y : ℤ
h₀ : x • P.root i + y • P.root j = P.root k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : P.root k ≠ P.root i
hki' : P.root k ≠ -P.root i
hli : P.root l ≠ P.root i
contra : P.root l = -P.root i
⊢ P.root k = 2 • P.root l
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ ω b * (f i * e j) - ω b * (e j * f i) = -(ω b * (e j * f i)) - -(ω b * (f i * e j))

Tactic:
sub_neg_eq_add

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : Fintype ι
i j : ↥b.support
⊢ ω b * (f i * e j) - ω b * (e j * f i) = -(ω b * (e j * f i)) + ω b * (f i * e j)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -↑i
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n x : ℕ
hk₁ : P.root (-↑i) = P.root j + n • P.root ↑i
hk₂ : (e i ^ n).col (Sum.inr j) = x • Pi.single (Sum.inr (-↑i)) 1
⊢ P.root (-j) = (n + 1) • P.root ↑i

Tactic:
simp only [indexNeg_neg, root_reflectionPerm, reflection_apply_self, neg_eq_iff_add_eq_zero,
          add_smul, one_smul] at hk₁ ⊢

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : CharZero R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : P.IsReduced
b : P.Base
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -↑i
this✝¹ : Module.IsReflexive R M
this✝ : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n x : ℕ
hk₂ : (e i ^ n).col (Sum.inr j) = x • Pi.single (Sum.inr (-↑i)) 1
hk₁ : P.root ↑i + (P.root j + n • P.root ↑i) = 0
⊢ P.root j + (n • P.root ↑i + P.root ↑i) = 0