Module: Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.Prod

Goal state before:
pp: case h_bound
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
H : Type u_7
I : Type u_8
J : Type u_9
mX : MeasurableSpace X
mY : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup I
inst✝³ : NormedSpace ℝ I
inst✝² : NormedAddCommGroup J
inst✝¹ : NormedSpace ℝ J
μ✝ : VectorMeasure X E
ν✝ : VectorMeasure Y F
B✝ : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
μ : VectorMeasure X E
ν : VectorMeasure Y F
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ.variation
f : ℕ → Set (X × Y)
f_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
f_disj : Pairwise (Disjoint on f)
A :
  ∀ (a : Finset ℕ),
    ∑ y ∈ a, ∫ᵛ (x : X), ν (Prod.mk x ⁻¹' f y) ∂[B.flip; μ] = ∫ᵛ (x : X), ∑ y ∈ a, ν (Prod.mk x ⁻¹' f y) ∂[B.flip; μ]
⊢ ∀ᶠ (n : Finset ℕ) in atTop, ∀ᵐ (a : X) ∂μ.variation, ‖∑ y ∈ n, ν (Prod.mk a ⁻¹' f y)‖ ≤ ↑ν.bound

pp: case bound_integrable
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
H : Type u_7
I : Type u_8
J : Type u_9
mX : MeasurableSpace X
mY : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup I
inst✝³ : NormedSpace ℝ I
inst✝² : NormedAddCommGroup J
inst✝¹ : NormedSpace ℝ J
μ✝ : VectorMeasure X E
ν✝ : VectorMeasure Y F
B✝ : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
μ : VectorMeasure X E
ν : VectorMeasure Y F
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ.variation
f : ℕ → Set (X × Y)
f_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
f_disj : Pairwise (Disjoint on f)
A :
  ∀ (a : Finset ℕ),
    ∑ y ∈ a, ∫ᵛ (x : X), ν (Prod.mk x ⁻¹' f y) ∂[B.flip; μ] = ∫ᵛ (x : X), ∑ y ∈ a, ν (Prod.mk x ⁻¹' f y) ∂[B.flip; μ]
⊢ Integrable (fun x ↦ ↑ν.bound) μ.variation

pp: case h_lim
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
H : Type u_7
I : Type u_8
J : Type u_9
mX : MeasurableSpace X
mY : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup I
inst✝³ : NormedSpace ℝ I
inst✝² : NormedAddCommGroup J
inst✝¹ : NormedSpace ℝ J
μ✝ : VectorMeasure X E
ν✝ : VectorMeasure Y F
B✝ : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
μ : VectorMeasure X E
ν : VectorMeasure Y F
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ.variation
f : ℕ → Set (X × Y)
f_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
f_disj : Pairwise (Disjoint on f)
A :
  ∀ (a : Finset ℕ),
    ∑ y ∈ a, ∫ᵛ (x : X), ν (Prod.mk x ⁻¹' f y) ∂[B.flip; μ] = ∫ᵛ (x : X), ∑ y ∈ a, ν (Prod.mk x ⁻¹' f y) ∂[B.flip; μ]
⊢ ∀ᵐ (a : X) ∂μ.variation, Tendsto (fun n ↦ ∑ y ∈ n, ν (Prod.mk a ⁻¹' f y)) atTop (𝓝 (ν (⋃ i, Prod.mk a ⁻¹' f i)))

Tactic:
· filter_upwards with a
      filter_upwards with x
      rw [← VectorMeasure.of_biUnion_finset]
      · apply norm_apply_le_bound
      · exact fun i hi j hj hij ↦ (f_disj hij).preimage _
      · exact fun i hi ↦ measurable_prodMk_left (f_meas i)

Goal state after:
case bound_integrable
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
H : Type u_7
I : Type u_8
J : Type u_9
mX : MeasurableSpace X
mY : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup I
inst✝³ : NormedSpace ℝ I
inst✝² : NormedAddCommGroup J
inst✝¹ : NormedSpace ℝ J
μ✝ : VectorMeasure X E
ν✝ : VectorMeasure Y F
B✝ : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
μ : VectorMeasure X E
ν : VectorMeasure Y F
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ.variation
f : ℕ → Set (X × Y)
f_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
f_disj : Pairwise (Disjoint on f)
A :
  ∀ (a : Finset ℕ),
    ∑ y ∈ a, ∫ᵛ (x : X), ν (Prod.mk x ⁻¹' f y) ∂[B.flip; μ] = ∫ᵛ (x : X), ∑ y ∈ a, ν (Prod.mk x ⁻¹' f y) ∂[B.flip; μ]
⊢ Integrable (fun x ↦ ↑ν.bound) μ.variation

case h_lim
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
H : Type u_7
I : Type u_8
J : Type u_9
mX : MeasurableSpace X
mY : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup I
inst✝³ : NormedSpace ℝ I
inst✝² : NormedAddCommGroup J
inst✝¹ : NormedSpace ℝ J
μ✝ : VectorMeasure X E
ν✝ : VectorMeasure Y F
B✝ : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
μ : VectorMeasure X E
ν : VectorMeasure Y F
B : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ.variation
f : ℕ → Set (X × Y)
f_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
f_disj : Pairwise (Disjoint on f)
A :
  ∀ (a : Finset ℕ),
    ∑ y ∈ a, ∫ᵛ (x : X), ν (Prod.mk x ⁻¹' f y) ∂[B.flip; μ] = ∫ᵛ (x : X), ∑ y ∈ a, ν (Prod.mk x ⁻¹' f y) ∂[B.flip; μ]
⊢ ∀ᵐ (a : X) ∂μ.variation, Tendsto (fun n ↦ ∑ y ∈ n, ν (Prod.mk a ⁻¹' f y)) atTop (𝓝 (ν (⋃ i, Prod.mk a ⁻¹' f i)))