mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.NumberTheory.GaussSum

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
hchar : ringChar F = ringChar FF
FFp : Nat.Prime (ringChar FF)
this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))
hFF : ringChar FF ≠ 2
hu : IsUnit ↑(ringChar FF)
ψ₈ : PrimitiveAddChar (ZMod ↑8) F := primitiveZModChar 8 F ⋯
ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char
τ : FF := ψ₈char 1
τ_spec : τ ^ 4 = -1
χ : MulChar (ZMod 8) FF := χ₈.ringHomComp (Int.castRingHom FF)
hχ : χ (-1) = 1
hq : χ.IsQuadratic
h₁ : (fun a ↦ ↑(χ₈ a) * τ ^ ↑a) = fun a ↦ χ a * ψ₈char a
hg₁ : gaussSum χ ψ₈char = 2 * (τ - τ ^ 3)
hg : gaussSum χ ψ₈char ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card (ZMod 8))
h : (χ (-1) * ↑(Fintype.card (ZMod 8))) ^ (ringChar FF ^ ↑n / 2) = χ (↑(ringChar FF) ^ ↑n)
⊢ 2 ^ (Fintype.card F / 2) = ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))

Tactic:
ZMod.card,

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
hchar : ringChar F = ringChar FF
FFp : Nat.Prime (ringChar FF)
this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))
hFF : ringChar FF ≠ 2
hu : IsUnit ↑(ringChar FF)
ψ₈ : PrimitiveAddChar (ZMod ↑8) F := primitiveZModChar 8 F ⋯
ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char
τ : FF := ψ₈char 1
τ_spec : τ ^ 4 = -1
χ : MulChar (ZMod 8) FF := χ₈.ringHomComp (Int.castRingHom FF)
hχ : χ (-1) = 1
hq : χ.IsQuadratic
h₁ : (fun a ↦ ↑(χ₈ a) * τ ^ ↑a) = fun a ↦ χ a * ψ₈char a
hg₁ : gaussSum χ ψ₈char = 2 * (τ - τ ^ 3)
hg : gaussSum χ ψ₈char ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card (ZMod 8))
h : (χ (-1) * ↑8) ^ (ringChar FF ^ ↑n / 2) = χ (↑(ringChar FF) ^ ↑n)
⊢ 2 ^ (Fintype.card F / 2) = ↑(χ₈ ↑(Fintype.card F))
Module: Mathlib.NumberTheory.GaussSum

Goal state before:
pp: case e'_2
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
hchar : ringChar F = ringChar FF
FFp : Nat.Prime (ringChar FF)
this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))
hFF : ringChar FF ≠ 2
hu : IsUnit ↑(ringChar FF)
ψ₈ : PrimitiveAddChar (ZMod ↑8) F := primitiveZModChar 8 F ⋯
ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char
τ : FF := ψ₈char 1
τ_spec : τ ^ 4 = -1
χ : MulChar (ZMod 8) FF := χ₈.ringHomComp (Int.castRingHom FF)
hχ : χ (-1) = 1
hq : χ.IsQuadratic
h₁ : (fun a ↦ ↑(χ₈ a) * τ ^ ↑a) = fun a ↦ χ a * ψ₈char a
hg₁ : gaussSum χ ψ₈char = 2 * (τ - τ ^ 3)
hg : gaussSum χ ψ₈char ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card (ZMod 8))
h : ↑8 ^ (Fintype.card F / 2) = χ ↑(Fintype.card F)
⊢ 2 ^ (Fintype.card F / 2) = (2 ^ 2 * 2) ^ (Fintype.card F / 2)

Tactic:
mul_pow,

Goal state after:
case e'_2
F : Type u_1
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : Field F
hF : ringChar F ≠ 2
hp2 : ∀ (n : ℕ), 2 ^ n ≠ 0
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
hc : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n
FF : Type u_1 := CyclotomicField 8 F
hchar : ringChar F = ringChar FF
FFp : Nat.Prime (ringChar FF)
this : Fact (Nat.Prime (ringChar FF))
hFF : ringChar FF ≠ 2
hu : IsUnit ↑(ringChar FF)
ψ₈ : PrimitiveAddChar (ZMod ↑8) F := primitiveZModChar 8 F ⋯
ψ₈char : AddChar (ZMod 8) FF := ψ₈.char
τ : FF := ψ₈char 1
τ_spec : τ ^ 4 = -1
χ : MulChar (ZMod 8) FF := χ₈.ringHomComp (Int.castRingHom FF)
hχ : χ (-1) = 1
hq : χ.IsQuadratic
h₁ : (fun a ↦ ↑(χ₈ a) * τ ^ ↑a) = fun a ↦ χ a * ψ₈char a
hg₁ : gaussSum χ ψ₈char = 2 * (τ - τ ^ 3)
hg : gaussSum χ ψ₈char ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card (ZMod 8))
h : ↑8 ^ (Fintype.card F / 2) = χ ↑(Fintype.card F)
⊢ 2 ^ (Fintype.card F / 2) = (2 ^ 2) ^ (Fintype.card F / 2) * 2 ^ (Fintype.card F / 2)
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
s : Finset ι
hp : ↑(#s) * p ≤ 1
i : ι
hi : i ∉ s
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
x : (i : ι) → A i
X : A i → (a : ι) → A a := update x i
hF₁ : ∀ {j : ι}, Measurable fun t ↦ (∫⋯∫⁻_{j}, f ∂μ) (X t)
hF₀ : Measurable fun t ↦ f (X t)
k : ℝ := ↑(#s)
hk' : 0 ≤ 1 - k * p
⊢ (∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ) x ^ p * ∫⁻ (t : A i), f (X t) ^ (1 - k * p) * ∏ j ∈ s, (∫⋯∫⁻_{j}, f ∂μ) (X t) ^ p ∂μ i ≤
    (∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ) x ^ p *
      ((∫⁻ (t : A i), f (X t) ∂μ i) ^ (1 - k * p) * ∏ j ∈ s, (∫⁻ (t : A i), (∫⋯∫⁻_{j}, f ∂μ) (X t) ∂μ i) ^ p)

Tactic:
by
              -- apply Hölder's inequality
              gcongr
              apply ENNReal.lintegral_mul_prod_norm_pow_le
              · exact hF₀.aemeasurable
              · intros
                exact hF₁.aemeasurable
              · simp only [sum_const, nsmul_eq_mul]
                ring
              · exact hk'
              · exact fun _ _ ↦ hp₀

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Positive

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : IsIdempotentElem T
h : T.IsSymmetric
x : E
⊢ 0 ≤ re ⟪T (T x), x⟫

Tactic:
h

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : IsIdempotentElem T
h : T.IsSymmetric
x : E
⊢ 0 ≤ re ⟪T x, T x⟫
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.JointEigenspace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
A B : E →ₗ[𝕜] E
hA : A.IsSymmetric
hB : B.IsSymmetric
i j : 𝕜 × 𝕜
hij : ¬(i.1 = j.1 ∧ i.2 = j.2)
v : E
x✝ : v ∈ eigenspace A i.2 ⊓ eigenspace B i.1
hv1 : v ∈ ↑(eigenspace A i.2)
hv2 : v ∈ ↑(eigenspace B i.1)
⊢ i.1 ≠ j.1 ∨ i.2 ≠ j.2

Tactic:
not_and_or

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
A B : E →ₗ[𝕜] E
hA : A.IsSymmetric
hB : B.IsSymmetric
i j : 𝕜 × 𝕜
hij : ¬i.1 = j.1 ∨ ¬i.2 = j.2
v : E
x✝ : v ∈ eigenspace A i.2 ⊓ eigenspace B i.1
hv1 : v ∈ ↑(eigenspace A i.2)
hv2 : v ∈ ↑(eigenspace B i.1)
⊢ i.1 ≠ j.1 ∨ i.2 ≠ j.2
Module: Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality

Goal state before:
pp: F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ≥0
hp : (↑(finrank ℝ E)).HolderConjugate p
h0p : 0 < ↑p
⊢ eLpNorm u (↑p) μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOneConst μ ↑p) * ∫⁻ (x : E), ‖fderiv ℝ u x‖ₑ ∂μ

Tactic:
← ENNReal.rpow_le_rpow_iff h0p,

Goal state after:
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ≥0
hp : (↑(finrank ℝ E)).HolderConjugate p
h0p : 0 < ↑p
⊢ eLpNorm u (↑p) μ ^ ↑p ≤ (↑(eLpNormLESNormFDerivOneConst μ ↑p) * ∫⁻ (x : E), ‖fderiv ℝ u x‖ₑ ∂μ) ^ ↑p
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.LinearPMap

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
h : T.IsFormalAdjoint S
y : ↥S.domain
x✝ : ↥T.domain
⊢ (starRingEnd 𝕜) ⟪↑x✝, ↑S y⟫ = (starRingEnd 𝕜) ⟪↑T x✝, ↑y⟫

Tactic:
h

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
h : T.IsFormalAdjoint S
y : ↥S.domain
x✝ : ↥T.domain
⊢ (starRingEnd 𝕜) ⟪↑x✝, ↑S y⟫ = (starRingEnd 𝕜) ⟪↑x✝, ↑S y⟫
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TensorProduct

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : E →L[𝕜] F
x : E ⊗[𝕜] G
n : ℕ
e : Fin n → E
g : Fin n → G
hx : x = ∑ j, e j ⊗ₜ[𝕜] g j
c : E ⊗[𝕜] G →₀ 𝕜
hc_supp : ↑c.support ⊆ {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[𝕜] n = t}
hc : (c.sum fun mi r ↦ r • mi) = x
m : ℕ
A : Fin m → Fin n → 𝕜
hA :
  ∀ (i j : Fin n),
    ‖f‖ ^ 2 • inner 𝕜 (e i) (e j) - (∑ i, Matrix.vecMulVec (A i) (star (A i))) i j = inner 𝕜 (f (e i)) (f (e j))
⊢ ‖(LinearMap.rTensor G ↑f) x‖ ^ 2 ≤ (‖f‖ * ‖x‖) ^ 2

Tactic:
mul_pow,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 H
f : E →L[𝕜] F
x : E ⊗[𝕜] G
n : ℕ
e : Fin n → E
g : Fin n → G
hx : x = ∑ j, e j ⊗ₜ[𝕜] g j
c : E ⊗[𝕜] G →₀ 𝕜
hc_supp : ↑c.support ⊆ {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[𝕜] n = t}
hc : (c.sum fun mi r ↦ r • mi) = x
m : ℕ
A : Fin m → Fin n → 𝕜
hA :
  ∀ (i j : Fin n),
    ‖f‖ ^ 2 • inner 𝕜 (e i) (e j) - (∑ i, Matrix.vecMulVec (A i) (star (A i))) i j = inner 𝕜 (f (e i)) (f (e j))
⊢ ‖(LinearMap.rTensor G ↑f) x‖ ^ 2 ≤ ‖f‖ ^ 2 * ‖x‖ ^ 2
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Volume.Measure

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝³ : MeasurableSpace P
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : BorelSpace P
d : ℕ
x : P
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set P
⊢ volume.addHaarScalarFactor μH[↑d] • ‖c‖₊ ^ ↑d • μH[↑d] s = ‖c‖₊ ^ d • volume.addHaarScalarFactor μH[↑d] • μH[↑d] s

Tactic:
smul_comm,

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝³ : MeasurableSpace P
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : BorelSpace P
d : ℕ
x : P
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set P
⊢ ‖c‖₊ ^ ↑d • volume.addHaarScalarFactor μH[↑d] • μH[↑d] s = ‖c‖₊ ^ d • volume.addHaarScalarFactor μH[↑d] • μH[↑d] s
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Volume.Measure

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝³ : MeasurableSpace P
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : BorelSpace P
d : ℕ
x : P
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set P
⊢ volume.addHaarScalarFactor μH[↑d] • ‖c‖₊⁻¹ ^ ↑d • μH[↑d] s = ‖c‖₊⁻¹ ^ d • volume.addHaarScalarFactor μH[↑d] • μH[↑d] s

Tactic:
smul_comm,

Goal state after:
𝕜 : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝³ : MeasurableSpace P
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : BorelSpace P
d : ℕ
x : P
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set P
⊢ ‖c‖₊⁻¹ ^ ↑d • volume.addHaarScalarFactor μH[↑d] • μH[↑d] s = ‖c‖₊⁻¹ ^ d • volume.addHaarScalarFactor μH[↑d] • μH[↑d] s
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case neg
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s}
s : Set X
S : ℕ → Set X := fun n ↦ {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEDist x t}
Ssep : ∀ (n : ℕ), AreSeparated (S n) t
Ssep' : ∀ (n : ℕ), AreSeparated (S n) (s ∩ t)
S_sub : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ s \ t
hSs : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ t) + μ (S n) ≤ μ s
iUnion_S : ⋃ n, S n = s \ t
htop : ¬μ (s \ t) = ∞
r n : ℕ
⊢ μ (⋃ i ∈ Finset.range n, S (2 * i + 1 + r) \ S (2 * i + r)) ≤ μ (⋃ n, S n)

pp: case neg
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s}
s : Set X
S : ℕ → Set X := fun n ↦ {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEDist x t}
Ssep : ∀ (n : ℕ), AreSeparated (S n) t
Ssep' : ∀ (n : ℕ), AreSeparated (S n) (s ∩ t)
S_sub : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ s \ t
hSs : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ t) + μ (S n) ≤ μ s
iUnion_S : ⋃ n, S n = s \ t
htop : ¬μ (s \ t) = ∞
r n : ℕ
⊢ ∀ i ∈ Finset.range n,
    ∀ j ∈ Finset.range n, i ≠ j → AreSeparated (S (2 * i + 1 + r) \ S (2 * i + r)) (S (2 * j + 1 + r) \ S (2 * j + r))

Tactic:
· exact μ.mono (iUnion_subset fun i => iUnion_subset fun _ x hx => mem_iUnion.2 ⟨_, hx.1⟩)

Goal state after:
case neg
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s}
s : Set X
S : ℕ → Set X := fun n ↦ {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEDist x t}
Ssep : ∀ (n : ℕ), AreSeparated (S n) t
Ssep' : ∀ (n : ℕ), AreSeparated (S n) (s ∩ t)
S_sub : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ s \ t
hSs : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ t) + μ (S n) ≤ μ s
iUnion_S : ⋃ n, S n = s \ t
htop : ¬μ (s \ t) = ∞
r n : ℕ
⊢ ∀ i ∈ Finset.range n,
    ∀ j ∈ Finset.range n, i ≠ j → AreSeparated (S (2 * i + 1 + r) \ S (2 * i + r)) (S (2 * j + 1 + r) \ S (2 * j + r))
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.NormDet

Goal state before:
pp: case pos
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup U
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 V
f : U →ₗ[𝕜] V
c : 𝕜
hc : ¬c = 0
h : f.ker = ⊥
⊢ (c • f).normDet = ‖c‖ ^ finrank 𝕜 U * f.normDet

Tactic:
obtain ⟨bv⟩ := (f.normDet_ne_zero_tfae.out 1 3).mp h

Goal state after:
case pos
𝕜 : Type u_1
U : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup U
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 U
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 U
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 V
f : U →ₗ[𝕜] V
c : 𝕜
hc : ¬c = 0
h : f.ker = ⊥
bv : OrthonormalBasis (Fin (finrank 𝕜 U)) 𝕜 ↥f.range
⊢ (c • f).normDet = ‖c‖ ^ finrank 𝕜 U * f.normDet
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.HausdorffDimension

Goal state before:
pp: E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ≥0
hd : ↑(finrank ℝ E) < ↑d
⊢ μH[↑d] = 0

Tactic:
← measure_univ_eq_zero

Goal state after:
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ≥0
hd : ↑(finrank ℝ E) < ↑d
⊢ μH[↑d] univ = 0
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff

Goal state before:
pp: case neg.hnc
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
s : Set X
r : ℝ≥0∞
x✝ : r > 0
t : ℕ → Set X
ht : s ⊆ iUnion t
n : ℕ
hn : r < ediam (t n)
⊢ ¬ediam (t n) ≤ r

pp: case neg.hc
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
s : Set X
r : ℝ≥0∞
x✝ : r > 0
t : ℕ → Set X
ht : s ⊆ iUnion t
n : ℕ
hn : r < ediam (t n)
⊢ (t n).Nonempty

Tactic:
· exact hn.not_ge

Goal state after:
case neg.hc
X : Type u_2
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
s : Set X
r : ℝ≥0∞
x✝ : r > 0
t : ℕ → Set X
ht : s ⊆ iUnion t
n : ℕ
hn : r < ediam (t n)
⊢ (t n).Nonempty
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.NormDet

Goal state before:
pp: case pos
U : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ U
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ U
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MeasurableSpace U
inst✝² : BorelSpace U
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f : U →ₗ[ℝ] V
s : Set U
h : f.ker = ⊥
hrank : finrank ℝ ↥f.range = finrank ℝ U
⊢ μH[↑(finrank ℝ U)] (⇑f '' s) = ENNReal.ofReal f.normDet * μH[↑(finrank ℝ U)] s

Tactic:
obtain ⟨bv⟩ := (f.normDet_ne_zero_tfae.out 1 3).mp h

Goal state after:
case pos
U : Type u_5
V : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup U
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ U
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ U
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MeasurableSpace U
inst✝² : BorelSpace U
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f : U →ₗ[ℝ] V
s : Set U
h : f.ker = ⊥
hrank : finrank ℝ ↥f.range = finrank ℝ U
bv : OrthonormalBasis (Fin (finrank ℝ U)) ℝ ↥f.range
⊢ μH[↑(finrank ℝ U)] (⇑f '' s) = ENNReal.ofReal f.normDet * μH[↑(finrank ℝ U)] s
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Trace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
i : ι
⊢ (b.toBasis.repr (T (b.toBasis i))) i = ⟪b i, T (b i)⟫_𝕜

Tactic:
b.coe_toBasis,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
i : ι
⊢ (b.toBasis.repr (T (b i))) i = ⟪b i, T (b i)⟫_𝕜
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Reproducing

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
X : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 V
H : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : RKHS 𝕜 H X V
inst✝² : CompleteSpace H
inst✝¹ : CompleteSpace V
K : Matrix X X (V →L[𝕜] V)
inst✝ : Fact K.PosSemidef
⊢ ∀ (x : H₀ K),
    0 ≤
      RCLike.re
        (Finsupp.sum x fun x_1 z ↦
          match x_1 with
          | (y, u) =>
            Finsupp.sum x fun x w ↦
              match x with
              | (x, v) => star z * w * ⟪(K x y) u, v⟫_𝕜)

Tactic:
have := (posSemidef_tfae.out 0 1).mp (Fact.out : K.PosSemidef)
    exact this.2

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.WeakOperatorTopology

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E →WOT[𝕜] F
s : Set α
⊢ (∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f s x) ↔
    ∀ (x : E) (y : F), ∀ x_1 ∈ s, ContinuousWithinAt (fun x_2 ↦ ⟪y, (f x_2) x⟫_𝕜) s x_1

Tactic:
forall_comm (α := E),

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E →WOT[𝕜] F
s : Set α
⊢ (∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f s x) ↔
    ∀ (b : F), ∀ b_1 ∈ s, ∀ (a : E), ContinuousWithinAt (fun x ↦ ⟪b, (f x) a⟫_𝕜) s b_1
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.WeakOperatorTopology

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E →WOT[𝕜] F
⊢ (∀ (x : α), ContinuousAt f x) ↔ ∀ (x : E) (y : F) (x_1 : α), ContinuousAt (fun x_2 ↦ ⟪y, (f x_2) x⟫_𝕜) x_1

Tactic:
forall_comm (α := E),

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E →WOT[𝕜] F
⊢ (∀ (x : α), ContinuousAt f x) ↔ ∀ (b : F) (b_1 : α) (a : E), ContinuousAt (fun x ↦ ⟪b, (f x) a⟫_𝕜) b_1
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.TwoDim

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
⊢ ⟪o.rightAngleRotation x, y⟫ = -⟪x, o.rightAngleRotation y⟫

Tactic:
simp [o.inner_rightAngleRotation_swap x y]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.MellinInversion

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
σ : ℝ
f : ℂ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx0 : ↑x ≠ 0
⊢ |(2 * π)⁻¹| • ↑x ^ (-↑σ) • ∫ (a : ℝ), ↑x ^ (-(↑a * I)) • f (↑σ + ↑a * I) =
    ↑x ^ (-↑σ) • ∫ (y : ℝ), cexp (2 * ↑π * (↑y * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑y * I)

Tactic:
smul_comm,

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
σ : ℝ
f : ℂ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx0 : ↑x ≠ 0
⊢ ↑x ^ (-↑σ) • |(2 * π)⁻¹| • ∫ (a : ℝ), ↑x ^ (-(↑a * I)) • f (↑σ + ↑a * I) =
    ↑x ^ (-↑σ) • ∫ (y : ℝ), cexp (2 * ↑π * (↑y * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑y * I)
Module: Mathlib.Analysis.MellinInversion

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
σ : ℝ
f : ℝ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
g : ℝ → E := fun u ↦ rexp (-σ * u) • f (rexp (-u))
hf : Integrable g volume
hFf : Integrable (𝓕 g) volume
hfx : ContinuousAt g (-Real.log x)
⊢ ↑x ^ ↑(-σ) • rexp (σ * Real.log x) • f (rexp (Real.log x)) = f x

Tactic:
mul_comm σ,

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
σ : ℝ
f : ℝ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
g : ℝ → E := fun u ↦ rexp (-σ * u) • f (rexp (-u))
hf : Integrable g volume
hFf : Integrable (𝓕 g) volume
hfx : ContinuousAt g (-Real.log x)
⊢ ↑x ^ ↑(-σ) • rexp (Real.log x * σ) • f (rexp (Real.log x)) = f x
Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform

Goal state before:
pp: case h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ¬(a = 0 ∧ s - 1 ≠ 0)

Tactic:
not_and_or

Goal state after:
case h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
⊢ ¬a = 0 ∨ ¬s - 1 ≠ 0
Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
⊢ 1⁻¹ • mellin f (s / ↑(-1)) = mellin f (-s)

Tactic:
inv_one,

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
⊢ 1 • mellin f (s / ↑(-1)) = mellin f (-s)
Module: Mathlib.Analysis.MellinTransform

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
T : Set ℝ
hT : T ⊆ Ioi 0
hT' : MeasurableSet T
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
s : ℂ
this : AEStronglyMeasurable (fun t ↦ ↑t ^ (s - 1) • f t) (volume.restrict T)
⊢ IntegrableOn (fun t ↦ ↑t ^ (s - 1) • f t) T volume ↔ IntegrableOn (fun t ↦ t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖) T volume

Tactic:
rw [IntegrableOn, ← integrable_norm_iff this, ← IntegrableOn]

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
T : Set ℝ
hT : T ⊆ Ioi 0
hT' : MeasurableSet T
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
s : ℂ
this : AEStronglyMeasurable (fun t ↦ ↑t ^ (s - 1) • f t) (volume.restrict T)
⊢ IntegrableOn (fun a ↦ ‖↑a ^ (s - 1) • f a‖) T volume ↔ IntegrableOn (fun t ↦ t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖) T volume
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Complex.LogBounds

Goal state before:
pp: n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
help : IntervalIntegrable (fun t ↦ t ^ n * (1 - ‖z‖)⁻¹) MeasureTheory.volume 0 1
f : ℂ → ℂ := fun z ↦ log (1 + z) - logTaylor (n + 1) z
f' : ℂ → ℂ := fun z ↦ (-z) ^ n * (1 + z)⁻¹
hderiv : ∀ t ∈ Set.Icc 0 1, HasDerivAt f (f' (0 + ↑t * z)) (0 + ↑t * z)
hcont : ContinuousOn (fun t ↦ f' (0 + ↑t * z)) (Set.Icc 0 1)
H : log (1 + z) - logTaylor (n + 1) z = z * ∫ (t : ℝ) in 0..1, (-(↑t * z)) ^ n * (1 + ↑t * z)⁻¹
⊢ ‖z‖ * ‖(-1) ^ n * ∫ (x : ℝ) in 0..1, (↑x * z) ^ n * (1 + ↑x * z)⁻¹‖ ≤ ‖z‖ ^ (n + 1) * (1 - ‖z‖)⁻¹ / (↑n + 1)

Tactic:
mul_pow,

Goal state after:
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
help : IntervalIntegrable (fun t ↦ t ^ n * (1 - ‖z‖)⁻¹) MeasureTheory.volume 0 1
f : ℂ → ℂ := fun z ↦ log (1 + z) - logTaylor (n + 1) z
f' : ℂ → ℂ := fun z ↦ (-z) ^ n * (1 + z)⁻¹
hderiv : ∀ t ∈ Set.Icc 0 1, HasDerivAt f (f' (0 + ↑t * z)) (0 + ↑t * z)
hcont : ContinuousOn (fun t ↦ f' (0 + ↑t * z)) (Set.Icc 0 1)
H : log (1 + z) - logTaylor (n + 1) z = z * ∫ (t : ℝ) in 0..1, (-(↑t * z)) ^ n * (1 + ↑t * z)⁻¹
⊢ ‖z‖ * ‖(-1) ^ n * ∫ (x : ℝ) in 0..1, ↑x ^ n * z ^ n * (1 + ↑x * z)⁻¹‖ ≤ ‖z‖ ^ (n + 1) * (1 - ‖z‖)⁻¹ / (↑n + 1)