mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.RingTheory.Jacobson.Ring

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
P : Ideal R[X]
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away (map (Ideal.Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff Rₘ
inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ
inst✝ :
  IsLocalization
    (Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (map (Ideal.Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)) Sₘ
P' : Ideal R := comap C P
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers (map (Ideal.Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) :=
  Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (map (Ideal.Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
hφ' : φ.comp (Ideal.Quotient.mk P') = (Ideal.Quotient.mk P).comp C
p : Sₘ
p' q : R[X] ⧸ P
hq : q ∈ M'
hp : p * (algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) q = (algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) p'
⊢ (algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) p' ∈
    Subring.closure (⇑((algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ).comp (Ideal.Quotient.mk P)) '' insert X {p | p.degree ≤ 0})

Tactic:
obtain ⟨p, rfl⟩ := Ideal.Quotient.mk_surjective p'

Goal state after:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
P : Ideal R[X]
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
inst✝³ : Algebra (R ⧸ comap C P) Rₘ
inst✝² : IsLocalization.Away (map (Ideal.Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff Rₘ
inst✝¹ : Algebra (R[X] ⧸ P) Sₘ
inst✝ :
  IsLocalization
    (Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (map (Ideal.Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)) Sₘ
P' : Ideal R := comap C P
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers (map (Ideal.Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) :=
  Submonoid.map (quotientMap P C ⋯) (Submonoid.powers (map (Ideal.Quotient.mk (comap C P)) pX).leadingCoeff)
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯
hφ' : φ.comp (Ideal.Quotient.mk P') = (Ideal.Quotient.mk P).comp C
p✝ : Sₘ
q : R[X] ⧸ P
hq : q ∈ M'
p : R[X]
hp : p✝ * (algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) q = (algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) ((Ideal.Quotient.mk P) p)
⊢ (algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ) ((Ideal.Quotient.mk P) p) ∈
    Subring.closure (⇑((algebraMap (R[X] ⧸ P) Sₘ).comp (Ideal.Quotient.mk P)) '' insert X {p | p.degree ≤ 0})
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.Tensor

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ Injective R (CharacterModule M) ↔
    ∀ ⦃N N' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : Module R N] [inst_3 : Module R N']
      (f : N →ₗ[R] N'), Function.Injective ⇑f → Function.Injective ⇑(rTensor M f)

Tactic:
injective_iff,

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ (∀ ⦃X Y : Type v⦄ [inst : AddCommGroup X] [inst_1 : AddCommGroup Y] [inst_2 : Module R X] [inst_3 : Module R Y]
      (f : X →ₗ[R] Y), Function.Injective ⇑f → ∀ (g : X →ₗ[R] CharacterModule M), ∃ h, ∀ (x : X), h (f x) = g x) ↔
    ∀ ⦃N N' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : Module R N] [inst_3 : Module R N']
      (f : N →ₗ[R] N'), Function.Injective ⇑f → Function.Injective ⇑(rTensor M f)
Module: Mathlib.RingTheory.Flat.Tensor

Goal state before:
pp: R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ (∀ (I : Ideal R) (g : ↥I →ₗ[R] CharacterModule M),
      ∃ g', ∀ (x : R) (mem : x ∈ I) (x_1 : M), (g' x) x_1 = (g ⟨x, mem⟩) x_1) ↔
    ∀ (I : Ideal R) (b : ↥I →ₗ[R] CharacterModule M),
      ∃ a, ∀ (x : ↥I) (x_1 : M), (((lcomp R (CharacterModule M) (Submodule.subtype I)) a) x) x_1 = (b x) x_1

Tactic:
Subtype.forall,

Goal state after:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
⊢ (∀ (I : Ideal R) (g : ↥I →ₗ[R] CharacterModule M),
      ∃ g', ∀ (x : R) (mem : x ∈ I) (x_1 : M), (g' x) x_1 = (g ⟨x, mem⟩) x_1) ↔
    ∀ (I : Ideal R) (b : ↥I →ₗ[R] CharacterModule M),
      ∃ a,
        ∀ (a_1 : R) (b_1 : a_1 ∈ I) (x : M),
          (((lcomp R (CharacterModule M) (Submodule.subtype I)) a) ⟨a_1, b_1⟩) x = (b ⟨a_1, b_1⟩) x
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.IsPrincipal

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
I : { I // IsPrincipal I }
⊢ Quotient.lift (fun x ↦ ⟨span {x}, ⋯⟩) ⋯ ((fun I ↦ Associates.mk (IsPrincipal.generator ↑I)) I) = I

Tactic:
by simp only [_root_.Quotient.lift_mk, span_singleton_generator, Subtype.coe_eta]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseChange

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module L M
inst✝⁸ : Module L N
P : RootPairing ι L M N
K : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : Module K N
inst✝³ : IsScalarTower K L M
inst✝² : IsScalarTower K L N
inst✝¹ : P.IsBalanced
inst✝ : P.IsValuedIn K
i j : ι
⊢ { toFun := fun i ↦ ⟨P.coroot i, ⋯⟩, inj' := ⋯ } j -
      (((span K (range ⇑P.root)).subtype.restrictScalarsRange₂ (span K (range ⇑P.coroot)).subtype
              (Algebra.linearMap K L) ⋯ P.toLinearMap ⋯)
            ({ toFun := fun i ↦ ⟨P.root i, ⋯⟩, inj' := ⋯ } i))
          ({ toFun := fun i ↦ ⟨P.coroot i, ⋯⟩, inj' := ⋯ } j) •
        { toFun := fun i ↦ ⟨P.coroot i, ⋯⟩, inj' := ⋯ } i =
    { toFun := fun i ↦ ⟨P.coroot i, ⋯⟩, inj' := ⋯ } ((P.reflectionPerm i) j)

Tactic:
by
    ext; simpa [algebra_compatible_smul L] using P.reflectionPerm_coroot i j

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Valuation.Basic

Goal state before:
pp: case mpr.mp.inl
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x = 1 ↔ v' x = 1
x : K
hx : v x ≤ 1
hx' : v x < 1
⊢ v' x ≤ 1

pp: case mpr.mp.inr
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x = 1 ↔ v' x = 1
x : K
hx : v x ≤ 1
hx' : v x = 1
⊢ v' x ≤ 1

Tactic:
· have : v (1 + x) = 1 := by
          rw [← v.map_one]
          apply map_add_eq_of_lt_left
          simpa
        rw [h] at this
        rw [show x = -1 + (1 + x) by simp]
        refine le_trans (v'.map_add _ _) ?_
        simp [this]

Goal state after:
case mpr.mp.inr
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x = 1 ↔ v' x = 1
x : K
hx : v x ≤ 1
hx' : v x = 1
⊢ v' x ≤ 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Fintype ι
i j : ι
hij : 4 • (P.RootForm (P.root i)) (P.root j) = 2 • (P.toLinearMap (P.root j)) (2 • P.Polarization (P.root i))
hji : 2 • (P.RootForm (P.root i)) (P.root j) = (P.toLinearMap (P.root i)) (2 • P.Polarization (P.root j))
⊢ (P.toLinearMap (P.root j)) ((P.RootForm (P.root i)) (P.root i) • P.coroot i) *
      2 • (P.RootForm (P.root i)) (P.root j) =
    P.coxeterWeight i j • ((P.RootForm (P.root i)) (P.root i) * (P.RootForm (P.root j)) (P.root j))

Tactic:
hji,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : Fintype ι
i j : ι
hij : 4 • (P.RootForm (P.root i)) (P.root j) = 2 • (P.toLinearMap (P.root j)) (2 • P.Polarization (P.root i))
hji : 2 • (P.RootForm (P.root i)) (P.root j) = (P.toLinearMap (P.root i)) (2 • P.Polarization (P.root j))
⊢ (P.toLinearMap (P.root j)) ((P.RootForm (P.root i)) (P.root i) • P.coroot i) *
      (P.toLinearMap (P.root i)) (2 • P.Polarization (P.root j)) =
    P.coxeterWeight i j • ((P.RootForm (P.root i)) (P.root i) * (P.RootForm (P.root j)) (P.root j))
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear

Goal state before:
pp: case inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : FaithfulSMul S R
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower S R M
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
hij : P.pairingIn S i j ≠ 0
hji : P.pairingIn S j i = 0
⊢ P.pairingIn S i j ≤ 0 ↔ P.pairingIn S j i ≤ 0

Tactic:
hji,

Goal state after:
case inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : LinearOrder S
inst✝⁹ : IsStrictOrderedRing S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : FaithfulSMul S R
inst✝⁶ : Module S M
inst✝⁵ : IsScalarTower S R M
inst✝⁴ : P.IsValuedIn S
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : NeZero 2
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
hij : P.pairingIn S i j ≠ 0
hji : P.pairingIn S j i = 0
⊢ P.pairingIn S i j ≤ 0 ↔ 0 ≤ 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
⊢ P.pairing i j = 2 ∧ P.pairing j i = 2 ↔ i = j

Tactic:
refine ⟨fun ⟨h₁, h₂⟩ ↦ ?_, fun h ↦ by simp [h]⟩

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsTorsionFree R M
x✝ : P.pairing i j = 2 ∧ P.pairing j i = 2
h₁ : P.pairing i j = 2
h₂ : P.pairing j i = 2
⊢ i = j
Module: Mathlib.Algebra.Module.Submodule.Union

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Infinite K
v : ι → M
hv : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
i : ι
contra : ∀ (x : Dual K M), ((Dual.eval K M) (v i)) x = 0
⊢ False

Tactic:
Dual.eval_apply,

Goal state after:
ι : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Infinite K
v : ι → M
hv : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
i : ι
contra : ∀ (x : Dual K M), x (v i) = 0
⊢ False
Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Prod

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : PartialOrder P
inst✝ : AddLeftMono P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
hle₁ : ∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x
ha₁ : Q₁.Anisotropic
hle₂ : ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x
ha₂ : Q₂.Anisotropic
x₁ : M₁
x₂ : M₂
hx : Q₁ x₁ = 0 ∧ Q₂ x₂ = 0
⊢ (x₁, x₂) = 0

Tactic:
ha₁.eq_zero_iff,

Goal state after:
case mpr
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
P : Type u_7
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : PartialOrder P
inst✝ : AddLeftMono P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
hle₁ : ∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x
ha₁ : Q₁.Anisotropic
hle₂ : ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x
ha₂ : Q₂.Anisotropic
x₁ : M₁
x₂ : M₂
hx : x₁ = 0 ∧ Q₂ x₂ = 0
⊢ (x₁, x₂) = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
f : P.Hom Q
⊢ f.comp (id P) = f

Tactic:
by
  ext x <;> simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
N₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
f : P.Hom Q
⊢ (id Q).comp f = f

Tactic:
by
  ext x <;> simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
ι₂✝ : Type u_5
M₂✝ : Type u_6
N₂✝ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₂✝
inst✝¹⁰ : Module R M₂✝
inst✝⁹ : AddCommGroup N₂✝
inst✝⁸ : Module R N₂✝
P✝ : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂✝ R M₂✝ N₂✝
ι₁ : Type u_8
M₁ : Type u_9
N₁ : Type u_10
ι₂ : Type u_11
M₂ : Type u_12
N₂ : Type u_13
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
P₁ : RootPairing ι₁ R M₁ N₁
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
g : P₁.Equiv P₂
f : P.Equiv P₁
⊢ Bijective ⇑((↑g).comp ↑f).weightMap

Tactic:
simp only [Hom.comp, LinearMap.coe_comp]
      exact Bijective.comp g.bijective_weightMap f.bijective_weightMap

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_8
M₂ : Type u_9
N₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
f : P.Equiv Q
⊢ f.comp (id P) = f

Tactic:
by
  ext x <;> simp

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
⊢ ∀ (i j : ↥LieSubalgebra.root),
    ¬LinearIndependent K ![(rootSystem H).root i, (rootSystem H).root j] →
      (rootSystem H).root i = (rootSystem H).root j ∨ (rootSystem H).root i = -(rootSystem H).root j

Tactic:
intro ⟨α, hα⟩

Goal state after:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ β α : Weight K (↥H) L
hα : α ∈ LieSubalgebra.root
⊢ ∀ (j : ↥LieSubalgebra.root),
    ¬LinearIndependent K ![(rootSystem H).root ⟨α, hα⟩, (rootSystem H).root j] →
      (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = (rootSystem H).root j ∨ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = -(rootSystem H).root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
ι₂ : Type u_8
M₂ : Type u_9
N₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₂
inst✝ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
Q : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
f : P.Equiv Q
⊢ (id Q).comp f = f

Tactic:
by
  ext x <;> simp

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Irreducible

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : P.IsIrreducible
B : P.InvariantForm
i j : ι
contra : ∀ (k : ι), (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root j)) (P.root j) → (B.form (P.root i)) (P.root k) = 0
⊢ False

Tactic:
suffices span R (orbit P.weylGroup (P.root j)) ≤ ker (B.form (P.root i)) from
    B.apply_root_ne_zero i <| by simpa [span_orbit_eq_top] using this

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : P.IsIrreducible
B : P.InvariantForm
i j : ι
contra : ∀ (k : ι), (B.form (P.root k)) (P.root k) = (B.form (P.root j)) (P.root j) → (B.form (P.root i)) (P.root k) = 0
⊢ span R (orbit (↥P.weylGroup) (P.root j)) ≤ (B.form (P.root i)).ker
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
⊢ P.coxeterWeightIn ℤ i j ∈ {0, 1, 2, 3, 4}

Tactic:
have : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
  obtain ⟨n, hcn⟩ : ∃ n : ℕ, P.coxeterWeightIn ℤ i j = n := by
    have : 0 ≤ P.coxeterWeightIn ℤ i j := by
      simpa only [P.algebraMap_coxeterWeightIn] using P.coxeterWeight_nonneg (P.posRootForm ℤ) i j
    obtain ⟨n, hn⟩ := Int.eq_ofNat_of_zero_le this
    exact ⟨n, by simp [hn]⟩
  have : P.coxeterWeightIn ℤ i j ≤ 4 := P.coxeterWeightIn_le_four ℤ i j
  simp only [hcn, mem_insert_iff, mem_singleton_iff] at this ⊢
  norm_cast at this ⊢
  lia

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
i : ι
hi : -P.root i ∈ span ℕ (⇑P.root '' ↑b.support)
⊢ P.root i ∈ span ℤ ↑(span ℕ (⇑P.root '' ↑b.support))

Tactic:
rw [← neg_mem_iff]
    exact subset_span hi

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = -1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -3
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i

Tactic:
hji,

Goal state after:
case inl.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : -1 * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = -1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -3
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = -1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -2
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i

Tactic:
hji,

Goal state after:
case inl.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : -1 * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = -1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -2
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = -1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 2
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i

Tactic:
hji,

Goal state after:
case inl.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : -1 * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = -1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 2
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inl.inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = -1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 3
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i

Tactic:
hji,

Goal state after:
case inl.inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hne : P.root i ≠ P.root j
hne' : P.root i ≠ -P.root j
hij : P.pairingIn ℤ i j ∉ {-1, 0, 1}
aux₂ : -1 * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hji : P.pairingIn ℤ j i = -1
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 3
⊢ B.rootLength j < B.rootLength i