mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
⊢ ‖x + y‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2

Tactic:
have h := @norm_add_sq ℝ _ _ _ _ x y

Goal state after:
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
h : ‖x + y‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 + 2 * re ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2
⊢ ‖x + y‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.Basic

Goal state before:
pp: G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : IsTopologicalGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
A : Set G
hA : MeasurableSet A
⊢ (haarMeasure K₀) ((fun h ↦ g * h) ⁻¹' A) = (haarMeasure K₀) A

Tactic:
haarMeasure_apply hA,

Goal state after:
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : IsTopologicalGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
A : Set G
hA : MeasurableSet A
⊢ (haarMeasure K₀) ((fun h ↦ g * h) ⁻¹' A) = (haarContent K₀).outerMeasure A / (haarContent K₀).measure ↑K₀
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ
hx : x ≠ 0
hr : 0 < r
⊢ r * (‖x‖ * ‖x‖) / (‖x‖ * (‖r‖ * ‖x‖)) = 1

Tactic:
Real.norm_eq_abs,

Goal state after:
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ
hx : x ≠ 0
hr : 0 < r
⊢ r * (‖x‖ * ‖x‖) / (‖x‖ * (|r| * ‖x‖)) = 1
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal

Goal state before:
pp: case h.right.right
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⋯
this : Nonempty ↑K := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n ↦ ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := ⋯
⊢ Tendsto (fun n ↦ √(b n)) atTop (𝓝 0)

Tactic:
suffices Tendsto (fun x ↦ √(8 * δ * x + 4 * x * x) : ℝ → ℝ) (𝓝 0) (𝓝 0)
      from this.comp tendsto_one_div_add_atTop_nhds_zero_nat

Goal state after:
case h.right.right
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ w, ‖u - ↑w‖
this : Nonempty ↑K := Set.Nonempty.to_subtype ne
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : ↑K), δ ≤ ‖u - ↑w‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → ↑K
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - ↑(w n)‖ < δ + 1 / (↑n + 1)
norm_tendsto : Tendsto (fun n ↦ ‖u - ↑(w n)‖) atTop (𝓝 δ)
b : ℕ → ℝ := fun n ↦ 8 * δ * (1 / (↑n + 1)) + 4 * (1 / (↑n + 1)) * (1 / (↑n + 1))
⊢ Tendsto (fun x ↦ √(8 * δ * x + 4 * x * x)) (𝓝 0) (𝓝 0)
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Basic

Goal state before:
pp: F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ
hx : x ≠ 0
hr : r < 0
⊢ r * (‖x‖ * ‖x‖) / (‖x‖ * (‖r‖ * ‖x‖)) = -1

Tactic:
Real.norm_eq_abs,

Goal state after:
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ
hx : x ≠ 0
hr : r < 0
⊢ r * (‖x‖ * ‖x‖) / (‖x‖ * (|r| * ‖x‖)) = -1
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Orthonormal

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
v : ι → E
h : Orthonormal 𝕜 v
i : ι
⊢ ‖v i‖₊ = 1

Tactic:
suffices (‖v i‖₊ : ℝ) = 1 by norm_cast at this

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
v : ι → E
h : Orthonormal 𝕜 v
i : ι
⊢ ↑‖v i‖₊ = 1
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Orthogonal

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
U : Submodule 𝕜 E
V : Set (Submodule 𝕜 E)
⊢ (∀ Uᵢ ∈ V, Uᵢ ⟂ U) ↔ ∀ Vᵢ ∈ V, U ⟂ Vᵢ

Tactic:
simp_rw [isOrtho_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Orthogonal

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Sort u_4
U : Submodule 𝕜 E
V : ι → Submodule 𝕜 E
⊢ (∀ (i : ι), V i ⟂ U) ↔ ∀ (i : ι), U ⟂ V i

Tactic:
simp_rw [isOrtho_comm]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : K.HasOrthogonalProjection
v w : E
hw : w ∈ K
⊢ ⟪v - K.starProjection v, w⟫ = 0

Tactic:
by
  suffices v - K.projection Kᗮ K.isCompl_orthogonal v ∈ Kᗮ from inner_eq_zero_symm.mp <| this w hw
  simp [← projection_eq_self_sub_projection]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Basic

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : K.HasOrthogonalProjection
u v : E
hvm : v ∈ K
hvo : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫ = 0
⊢ K.starProjection u = v

Tactic:
have hvs : K.starProjection u - v ∈ K := K.sub_mem (coe_mem _) hvm

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : K.HasOrthogonalProjection
u v : E
hvm : v ∈ K
hvo : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫ = 0
hvs : K.starProjection u - v ∈ K
⊢ K.starProjection u = v
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Basic

Goal state before:
pp: case neg
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v w : E
hv : ¬v = 0
hv' : ‖v‖ ≠ 0
key : ((↑(‖v‖ ^ 2))⁻¹ * ↑(‖v‖ ^ 2)) • (𝕜 ∙ v).starProjection w = ((↑(‖v‖ ^ 2))⁻¹ * ⟪v, w⟫) • v
⊢ (𝕜 ∙ v).starProjection w = (⟪v, w⟫ / ↑(‖v‖ ^ 2)) • v

Tactic:
convert! key using 1

Goal state after:
case e'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v w : E
hv : ¬v = 0
hv' : ‖v‖ ≠ 0
key : ((↑(‖v‖ ^ 2))⁻¹ * ↑(‖v‖ ^ 2)) • (𝕜 ∙ v).starProjection w = ((↑(‖v‖ ^ 2))⁻¹ * ⟪v, w⟫) • v
⊢ (𝕜 ∙ v).starProjection w = ((↑(‖v‖ ^ 2))⁻¹ * ↑(‖v‖ ^ 2)) • (𝕜 ∙ v).starProjection w

case e'_3
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v w : E
hv : ¬v = 0
hv' : ‖v‖ ≠ 0
key : ((↑(‖v‖ ^ 2))⁻¹ * ↑(‖v‖ ^ 2)) • (𝕜 ∙ v).starProjection w = ((↑(‖v‖ ^ 2))⁻¹ * ⟪v, w⟫) • v
⊢ (⟪v, w⟫ / ↑(‖v‖ ^ 2)) • v = ((↑(‖v‖ ^ 2))⁻¹ * ⟪v, w⟫) • v
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: p : ℝ≥0∞
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x : WithLp p (α × β)
⊢ ‖x.fst‖₊ ≤ ‖x‖₊

Tactic:
by
  simpa using nndist_fst_le x 0

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.FiniteDimensional

Goal state before:
pp: case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
hv_coe : Set.range Subtype.val = v
⊢ (∃ b, ⇑b = Subtype.val) → span 𝕜 v = ⊤

Tactic:
rintro ⟨h, coe_h⟩
    rw [← h.span_eq, coe_h, hv_coe]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜
inst✝³ : Module 𝕜 α
inst✝² : Module 𝕜 β
inst✝¹ : IsBoundedSMul 𝕜 α
inst✝ : IsBoundedSMul 𝕜 β
c : 𝕜
f : WithLp p (α × β)
hp : 1 ≤ p.toReal
hp0 : 0 < p.toReal
hpt : p ≠ ∞
⊢ (‖(c • f).fst‖₊ ^ p.toReal + ‖(c • f).snd‖₊ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal) ≤
    ‖c‖₊ * (‖f.fst‖₊ ^ p.toReal + ‖f.snd‖₊ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)

Tactic:
one_div,

Goal state after:
case inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜
inst✝³ : Module 𝕜 α
inst✝² : Module 𝕜 β
inst✝¹ : IsBoundedSMul 𝕜 α
inst✝ : IsBoundedSMul 𝕜 β
c : 𝕜
f : WithLp p (α × β)
hp : 1 ≤ p.toReal
hp0 : 0 < p.toReal
hpt : p ≠ ∞
⊢ (‖(c • f).fst‖₊ ^ p.toReal + ‖(c • f).snd‖₊ ^ p.toReal) ^ p.toReal⁻¹ ≤
    ‖c‖₊ * (‖f.fst‖₊ ^ p.toReal + ‖f.snd‖₊ ^ p.toReal) ^ p.toReal⁻¹
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜
inst✝³ : Module 𝕜 α
inst✝² : Module 𝕜 β
inst✝¹ : NormSMulClass 𝕜 α
inst✝ : NormSMulClass 𝕜 β
c : 𝕜
f : WithLp p (α × β)
hp : 1 ≤ p.toReal
hp0 : 0 < p.toReal
hpt : p ≠ ∞
⊢ (‖(c • f).fst‖₊ ^ p.toReal + ‖(c • f).snd‖₊ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal) =
    ‖c‖₊ * (‖f.fst‖₊ ^ p.toReal + ‖f.snd‖₊ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)

Tactic:
one_div,

Goal state after:
case inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜
inst✝³ : Module 𝕜 α
inst✝² : Module 𝕜 β
inst✝¹ : NormSMulClass 𝕜 α
inst✝ : NormSMulClass 𝕜 β
c : 𝕜
f : WithLp p (α × β)
hp : 1 ≤ p.toReal
hp0 : 0 < p.toReal
hpt : p ≠ ∞
⊢ (‖(c • f).fst‖₊ ^ p.toReal + ‖(c • f).snd‖₊ ^ p.toReal) ^ p.toReal⁻¹ =
    ‖c‖₊ * (‖f.fst‖₊ ^ p.toReal + ‖f.snd‖₊ ^ p.toReal) ^ p.toReal⁻¹
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: case h₁
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
x y : PiLp p β
i : ι
h : 1 ≤ p.toReal
cancel : p.toReal * (1 / p.toReal) = 1
⊢ edist (x.ofLp i) (y.ofLp i) ^ p.toReal ≤ ∑ i, edist (x.ofLp i) (y.ofLp i) ^ p.toReal

Tactic:
exact Finset.single_le_sum (fun i _ => (bot_le : (0 : ℝ≥0∞) ≤ _)) (Finset.mem_univ i)

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.ProdLp

Goal state before:
pp: case inr.inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace β
inst✝³ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝² : PseudoEMetricSpace α'
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β'
inst✝ : Unique β
x y : WithLp p (α × β)
hp : 0 < p.toReal
⊢ edist x.fst y.fst = (edist x.fst y.fst ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)

Tactic:
one_div,

Goal state after:
case inr.inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α' : Type u_5
β' : Type u_6
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace β
inst✝³ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝² : PseudoEMetricSpace α'
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β'
inst✝ : Unique β
x y : WithLp p (α × β)
hp : 0 < p.toReal
⊢ edist x.fst y.fst = (edist x.fst y.fst ^ p.toReal) ^ p.toReal⁻¹
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: case inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsBoundedSMul 𝕜 (β i)
c : 𝕜
f : PiLp p β
hp : 1 ≤ p.toReal
hp0 : 0 < p.toReal
hpt : p ≠ ∞
⊢ (∑ i, ‖(c • f).ofLp i‖₊ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal) ≤ ‖c‖₊ * (∑ i, ‖f.ofLp i‖₊ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)

Tactic:
one_div,

Goal state after:
case inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsBoundedSMul 𝕜 (β i)
c : 𝕜
f : PiLp p β
hp : 1 ≤ p.toReal
hp0 : 0 < p.toReal
hpt : p ≠ ∞
⊢ (∑ i, ‖(c • f).ofLp i‖₊ ^ p.toReal) ^ p.toReal⁻¹ ≤ ‖c‖₊ * (∑ i, ‖f.ofLp i‖₊ ^ p.toReal) ^ p.toReal⁻¹
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: case inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NormSMulClass 𝕜 (β i)
c : 𝕜
f : PiLp p β
hp : 1 ≤ p.toReal
hp0 : 0 < p.toReal
hpt : p ≠ ∞
⊢ (∑ i, ‖(c • f).ofLp i‖₊ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal) = ‖c‖₊ * (∑ i, ‖f.ofLp i‖₊ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)

Tactic:
one_div,

Goal state after:
case inr
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NormSMulClass 𝕜 (β i)
c : 𝕜
f : PiLp p β
hp : 1 ≤ p.toReal
hp0 : 0 < p.toReal
hpt : p ≠ ∞
⊢ (∑ i, ‖(c • f).ofLp i‖₊ ^ p.toReal) ^ p.toReal⁻¹ = ‖c‖₊ * (∑ i, ‖f.ofLp i‖₊ ^ p.toReal) ^ p.toReal⁻¹
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: case coe
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
b : β i
this : Nonempty ι
p : ℝ≥0
hp : Fact (1 ≤ ↑p)
hp0 : ↑p ≠ 0
⊢ ‖b‖₊ ^ (↑p * (1 / ↑p)) = ‖b‖₊

pp: case coe
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
b : β i
this : Nonempty ι
p : ℝ≥0
hp : Fact (1 ≤ ↑p)
hp0 : ↑p ≠ 0
⊢ ∀ (x : ι), x ≠ i → ‖(single (↑p) i b).ofLp x‖₊ ^ ↑p = 0

Tactic:
one_div,

Goal state after:
case coe
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
b : β i
this : Nonempty ι
p : ℝ≥0
hp : Fact (1 ≤ ↑p)
hp0 : ↑p ≠ 0
⊢ ‖b‖₊ ^ (↑p * (↑p)⁻¹) = ‖b‖₊

case coe
ι : Type u_2
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
b : β i
this : Nonempty ι
p : ℝ≥0
hp : Fact (1 ≤ ↑p)
hp0 : ↑p ≠ 0
⊢ ∀ (x : ι), x ≠ i → ‖(single (↑p) i b).ofLp x‖₊ ^ ↑p = 0
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.PiLp

Goal state before:
pp: case inr
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
β : Type u_5
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
hp : p ≠ ∞
b : β
h : 1 ≤ p.toReal
ne_zero : p.toReal ≠ 0
⊢ ‖toLp p (Function.const ι b)‖₊ = ↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal * ‖b‖₊

Tactic:
nnnorm_eq_sum hp,

Goal state after:
case inr
p : ℝ≥0∞
ι : Type u_2
hp✝ : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
β : Type u_5
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
hp : p ≠ ∞
b : β
h : 1 ≤ p.toReal
ne_zero : p.toReal ≠ 0
⊢ (∑ x, ‖Function.const ι b x‖₊ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal) = ↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal * ‖b‖₊
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.Basic

Goal state before:
pp: μ : Measure ℝ
inst✝ : NullSingletonClass μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s ∩ Ioo a b), p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := ⋯
u : Set ℝ := ⋯
hfinite : (s \ u).Finite
A : Set (↑s × ↑s)
A_count : A.Countable
hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i
this : s ⊆ s \ u ∪ ⋃ p ∈ A, s ∩ T p
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s \ u ∪ ⋃ p ∈ A, s ∩ T p), p x

Tactic:
ae_restrict_union_iff,

Goal state after:
μ : Measure ℝ
inst✝ : NullSingletonClass μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s ∩ Ioo a b), p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p ↦ Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i
hfinite : (s \ u).Finite
A : Set (↑s × ↑s)
A_count : A.Countable
hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i
this : s ⊆ s \ u ∪ ⋃ p ∈ A, s ∩ T p
⊢ (∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s \ u), p x) ∧ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (⋃ p ∈ A, s ∩ T p), p x
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.EqHaar

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ μ (ball x r) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1)

Tactic:
← addHaar_ball_mul_of_pos μ x hr,

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
⊢ μ (ball x r) = μ (ball x (r * 1))
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.EqHaar

Goal state before:
pp: case h0
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hr : r ≠ 0
x y : E
s t : Set E
⊢ ENNReal.ofReal (|r| ^ finrank ℝ E) ≠ 0

Tactic:
simp only [pow_pos (abs_pos.mpr hr), ENNReal.ofReal_eq_zero, not_le, Ne]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Box.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι
i : ι
⊢ nndist I.lower I.upper / nndist (I.lower i) (I.upper i) * nndist (I.lower i) (I.upper i) ≤
    I.distortion * nndist (I.lower i) (I.upper i)

Tactic:
grw [distortion, ← Finset.le_sup (Finset.mem_univ i)]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Basic

Goal state before:
pp: case inr
ι : Type u_1
I : Box ι
π : Prepartition I
x : ι → ℝ
J₁ : Box ι
h₁ : J₁ ∈ π
hx₁ : x ∈ Box.Icc J₁
J₂ : Box ι
h₂ : J₂ ∈ π
hx₂ : x ∈ Box.Icc J₂
i : ι
H : ∀ (x_1 : ι), J₁.lower x_1 = x x_1 ↔ J₂.lower x_1 = x x_1
hi₁ : J₁.lower i < x i
⊢ (Set.Ioc (J₁.lower i) (J₁.upper i) ∩ Set.Ioc (J₂.lower i) (J₂.upper i)).Nonempty

Tactic:
have hi₂ : J₂.lower i < x i := (hx₂.1 i).lt_of_ne (mt (H _).2 hi₁.ne)

Goal state after:
case inr
ι : Type u_1
I : Box ι
π : Prepartition I
x : ι → ℝ
J₁ : Box ι
h₁ : J₁ ∈ π
hx₁ : x ∈ Box.Icc J₁
J₂ : Box ι
h₂ : J₂ ∈ π
hx₂ : x ∈ Box.Icc J₂
i : ι
H : ∀ (x_1 : ι), J₁.lower x_1 = x x_1 ↔ J₂.lower x_1 = x x_1
hi₁ : J₁.lower i < x i
hi₂ : J₂.lower i < x i
⊢ (Set.Ioc (J₁.lower i) (J₁.upper i) ∩ Set.Ioc (J₂.lower i) (J₂.upper i)).Nonempty
Module: Mathlib.Algebra.Module.ZLattice.Basic

Goal state before:
pp: case e'_2
K : Type u_1
inst✝⁹ : NormedField K
inst✝⁸ : LinearOrder K
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : Submodule ℤ E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
hs : IsZLattice K L
this✝² : Module.Finite ℤ ↥L
this✝¹ : Module ℚ E
this✝ : IsAddTorsionFree E
b₀ : Basis (Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L) ℤ ↥L := Free.chooseBasis ℤ ↥L
b : Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L → E := Subtype.val ∘ ⇑b₀
this : LinearIndependent ℤ b
⊢ span ℤ (Set.range b) = Submodule.map L.subtype (span ℤ (Set.range ⇑b₀))

Tactic:
rw [map_span, Set.range_comp]

Goal state after:
case e'_2
K : Type u_1
inst✝⁹ : NormedField K
inst✝⁸ : LinearOrder K
inst✝⁷ : IsStrictOrderedRing K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : Submodule ℤ E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
hs : IsZLattice K L
this✝² : Module.Finite ℤ ↥L
this✝¹ : Module ℚ E
this✝ : IsAddTorsionFree E
b₀ : Basis (Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L) ℤ ↥L := Free.chooseBasis ℤ ↥L
b : Free.ChooseBasisIndex ℤ ↥L → E := Subtype.val ∘ ⇑b₀
this : LinearIndependent ℤ b
⊢ span ℤ (Subtype.val '' Set.range ⇑b₀) = span ℤ (⇑L.subtype '' Set.range ⇑b₀)
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.EqHaar

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r ↦ R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
r : ℝ
⊢ (r * (R * R⁻¹)) • t = r • t

Tactic:
mul_inv_cancel₀ Rpos.ne',

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r ↦ R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
r : ℝ
⊢ (r * 1) • t = r • t
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
ι : Type u_1
I J : Box ι
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
hJ : J ∈ π
J₁ : Box ι
h₁ : J₁ ∈ (πi J).boxes
⊢ J₁ ∈ ((π.biUnion πi).restrict J).boxes

pp: case refine_2
ι : Type u_1
I J : Box ι
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
hJ : J ∈ π
⊢ ((π.biUnion πi).restrict J).iUnion ⊆ (πi J).iUnion

Tactic:
· refine (mem_restrict _).2 ⟨J₁, π.mem_biUnion.2 ⟨J, hJ, h₁⟩, (inf_of_le_right ?_).symm⟩
    exact WithBot.coe_le_coe.2 (le_of_mem _ h₁)

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
I J : Box ι
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
hJ : J ∈ π
⊢ ((π.biUnion πi).restrict J).iUnion ⊆ (πi J).iUnion
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Lebesgue.EqHaar

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r ↦ R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
r : ℝ
T : (R * r) • t' = r • t
⊢ (r * (R * R⁻¹)) • u = r • u

Tactic:
mul_inv_cancel₀ Rpos.ne',

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
R : ℝ
Rpos : 0 < R
t_bound : t ⊆ closedBall 0 R
t' : Set E := R⁻¹ • t
ht' : t' = R⁻¹ • t
u' : Set E := R⁻¹ • u
hu' : u' = R⁻¹ • u
A : Tendsto (fun r ↦ μ (s ∩ ({x} + r • t')) / μ ({x} + r • u')) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r ↦ R * r) (𝓝[>] 0) (𝓝[>] 0)
r : ℝ
T : (R * r) • t' = r • t
⊢ (r * 1) • u = r • u
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Basic

Goal state before:
pp: case mpr
ι : Type u_1
I : Box ι
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
π' : Prepartition I
H : ∀ J ∈ π, πi J ≤ π'.restrict J
J : Box ι
hJ : J ∈ π.biUnion πi
⊢ ∃ I' ∈ π', J ≤ I'

Tactic:
rw [mem_biUnion] at hJ

Goal state after:
case mpr
ι : Type u_1
I : Box ι
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
π' : Prepartition I
H : ∀ J ∈ π, πi J ≤ π'.restrict J
J : Box ι
hJ : ∃ J' ∈ π, J ∈ πi J'
⊢ ∃ I' ∈ π', J ≤ I'
Module: Mathlib.Analysis.BoxIntegral.Partition.Tagged

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
I : Box ι
p : (ι → ℝ) → Box ι → Prop
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
⊢ (∀ J ∈ π.biUnionTagged πi, p ((π.biUnionTagged πi).tag J) J) ↔ ∀ J ∈ π, ∀ J' ∈ πi J, p ((πi J).tag J') J'

Tactic:
by
  simp only [mem_biUnionTagged]
  refine ⟨fun H J hJ J' hJ' => ?_, fun H J' ⟨J, hJ, hJ'⟩ => ?_⟩
  · rw [← π.tag_biUnionTagged hJ hJ']
    exact H J' ⟨J, hJ, hJ'⟩
  · rw [π.tag_biUnionTagged hJ hJ']
    exact H J hJ J' hJ'

Goal state after: