mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 2
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

Tactic:
hij'.1,

Goal state after:
case inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = 1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 2
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 3
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

Tactic:
hij'.1,

Goal state after:
case inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = 1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 3
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 4
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

Tactic:
hij'.1,

Goal state after:
case inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = 1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 4
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr.inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -1
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

Tactic:
hij'.1,

Goal state after:
case inr.inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -1
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr.inr.inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -2
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

Tactic:
hij'.1,

Goal state after:
case inr.inr.inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -2
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr.inr.inr.inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -3
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

Tactic:
hij'.1,

Goal state after:
case inr.inr.inr.inr.inr.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -3
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case inr.inr.inr.inr.inr.inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = P.pairingIn ℤ i j * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -4
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j

Tactic:
hij'.1,

Goal state after:
case inr.inr.inr.inr.inr.inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : IsDomain R
B : RootPositiveForm ℤ P
i j : ι
hij : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 1
h' : P.pairingIn ℤ j i * B.rootLength i = -1 * B.rootLength j
hi : 0 < B.rootLength i
hij' : P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -4
⊢ B.rootLength i ≤ B.rootLength j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ baseOf (⇑P.root) f
⊢ i ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}

Tactic:
obtain ⟨hi, -⟩ := hi

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Field R
inst✝⁵ : CharZero R
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : P.IsRootSystem
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
inst✝ : P.IsReduced
f : M →+ ℚ
g : N →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
hfg : ∀ (i : ι), 0 < f (P.root i) ↔ 0 < g (P.coroot i)
_i✝ : Fintype ι
_i : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
s : Set ι := baseOf (⇑P.root) f
i : ι
hi : i ∈ {i | 0 < f (P.root i)}
⊢ i ∈ {i | 0 < g (P.coroot i)}
Module: Mathlib.Data.Real.Basic

Goal state before:
pp: ⊢ mk 0 = 0

Tactic:
← ofCauchy_zero

Goal state after:
⊢ mk 0 = { cauchy := 0 }
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: case succ
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
IH : ∀ (m : ℕ), A⁻¹ ^ m * A ^ n = A ^ n * A⁻¹ ^ m
m : ℕ
⊢ A⁻¹ ^ m * A ^ (n + 1) = A ^ (n + 1) * A⁻¹ ^ m

Tactic:
| succ n IH =>

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A X Y : M
hx : IsUnit X.det
hy : IsUnit Y.det
h : SemiconjBy A X Y
n : ℕ
hx' : IsUnit (X ^ n.succ).det
hy' : IsUnit (Y ^ n.succ).det
⊢ SemiconjBy A (↑hx'.unit⁻¹ • (X ^ n.succ).adjugate) (↑hy'.unit⁻¹ • (Y ^ n.succ).adjugate)

Tactic:
SemiconjBy

Goal state after:
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A X Y : M
hx : IsUnit X.det
hy : IsUnit Y.det
h : SemiconjBy A X Y
n : ℕ
hx' : IsUnit (X ^ n.succ).det
hy' : IsUnit (Y ^ n.succ).det
⊢ A * ↑hx'.unit⁻¹ • (X ^ n.succ).adjugate = ↑hy'.unit⁻¹ • (Y ^ n.succ).adjugate * A
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZPow

Goal state before:
pp: case inr.ofNat
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A B : M
h : Commute A B
hB : B⁻¹ = 0
a✝ : ℕ
⊢ Commute A (B ^ ofNat a✝)

Tactic:
simpa using h.pow_right _

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: n : Type u_2
R' : Type u_4
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : PartialOrder R'
inst✝ : StarRing R'
M : Matrix n n R'
hM : M.PosDef
⊢ Mᵀ.PosDef

Tactic:
by
  have (a b c : R') : a * b * c = c * b * a := by ring
  refine ⟨hM.1.transpose, fun x => ?_⟩
  rw [Finsupp.sum_comm]
  simpa [star_injective, Finsupp.sum_mapRange_index, this] using
      hM.2 (x := x.mapRange star (star_zero R'))

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: m : Type u_1
R : Type u_3
inst✝³ : Ring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
ι : Type u_5
inst✝ : AddLeftMono R
A : ι → Matrix m m R
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hA : ∀ i ∈ s, (A i).PosDef
⊢ (∑ i ∈ s, A i).PosDef

Tactic:
by
  classical
  induction s using Finset.induction_on with
  | empty => simp at hs
  | insert i hi hins H =>
      rw [Finset.sum_insert hins]
      by_cases h : ¬ hi.Nonempty
      · simp_all
      · exact PosDef.add (hA _ <| Finset.mem_insert_self i hi) <|
          H (not_not.mp h) fun _ _hi => hA _ (Finset.mem_insert_of_mem _hi)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype m
R : Type u_5
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
⊢ (A * Aᴴ).trace = 0 ↔ A = 0

Tactic:
simpa using trace_conjTranspose_mul_self_eq_zero_iff (A := Aᴴ)

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Finite ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
⊢ -P.pairingIn ℤ ↑i ↑j = ↑(chainTopCoeff ↑j ↑i)

Tactic:
← b.chainTopCoeff_eq_of_ne hij.symm

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝³ : P.IsCrystallographic
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Finite ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
⊢ ↑(chainTopCoeff ↑j ↑i) = ↑(chainTopCoeff ↑j ↑i)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : P.IsRootSystem
_i : Fintype ι
d : ↥b.support → ℤ := fun i ↦ ((P.RootFormIn ℤ) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)
hd : d = fun i ↦ ((P.RootFormIn ℤ) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)
⊢ ((LinearMap.BilinForm.toMatrix b.toWeightBasisInt) (P.posRootForm ℤ).posForm).PosDef

Tactic:
have aux : (P.posRootForm ℤ).posForm.IsSymm := by
      simpa only [posRootForm_eq, LinearMap.BilinForm.isSymm_iff] using P.rootFormIn_isSymm ℤ

Goal state after:
case refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : P.IsRootSystem
_i : Fintype ι
d : ↥b.support → ℤ := fun i ↦ ((P.RootFormIn ℤ) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)
hd : d = fun i ↦ ((P.RootFormIn ℤ) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)) (P.rootSpanMem ℤ ↑i)
aux : (P.posRootForm ℤ).posForm.IsSymm
⊢ ((LinearMap.BilinForm.toMatrix b.toWeightBasisInt) (P.posRootForm ℤ).posForm).PosDef
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ
⊢ ascPochhammer S (n + 1) = X * (ascPochhammer S n).comp (X + 1)

Tactic:
ascPochhammer

Goal state after:
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ
⊢ X * (ascPochhammer S n).comp (X + 1) = X * (ascPochhammer S n).comp (X + 1)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
a : ℕ
⊢ eval (↑1) (ascPochhammer S a) = eval 1 (ascPochhammer S a)

Tactic:
cast_one

Goal state after:
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
a : ℕ
⊢ eval 1 (ascPochhammer S a) = eval 1 (ascPochhammer S a)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case succ
R : Type u
inst✝ : Ring R
n k : ℕ
ih : eval (↑n) (descPochhammer R k) = ↑(n.descFactorial k)
⊢ (↑n - ↑k) * ↑(n.descFactorial k) = ↑((n - k) * n.descFactorial k)

Tactic:
by_cases! h : n < k

Goal state after:
case pos
R : Type u
inst✝ : Ring R
n k : ℕ
ih : eval (↑n) (descPochhammer R k) = ↑(n.descFactorial k)
h : n < k
⊢ (↑n - ↑k) * ↑(n.descFactorial k) = ↑((n - k) * n.descFactorial k)

case neg
R : Type u
inst✝ : Ring R
n k : ℕ
ih : eval (↑n) (descPochhammer R k) = ↑(n.descFactorial k)
h : k ≤ n
⊢ (↑n - ↑k) * ↑(n.descFactorial k) = ↑((n - k) * n.descFactorial k)
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: case succ
S : Type u_1
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : PartialOrder S
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
n : ℕ
ih : MonotoneOn (fun x ↦ eval x (descPochhammer S n)) (Set.Ici (↑n - 1))
a : S
ha : ↑n ≤ a
b : S
hb : ↑n ≤ b
hab : a ≤ b
ha_sub1 : ↑n - 1 ≤ a
hb_sub1 : ↑n - 1 ≤ b
⊢ (fun x ↦ eval x (descPochhammer S (n + 1))) a ≤ (fun x ↦ eval x (descPochhammer S (n + 1))) b

Tactic:
simp_rw [descPochhammer_succ_eval]

Goal state after:
case succ
S : Type u_1
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : PartialOrder S
inst✝ : IsStrictOrderedRing S
n : ℕ
ih : MonotoneOn (fun x ↦ eval x (descPochhammer S n)) (Set.Ici (↑n - 1))
a : S
ha : ↑n ≤ a
b : S
hb : ↑n ≤ b
hab : a ≤ b
ha_sub1 : ↑n - 1 ≤ a
hb_sub1 : ↑n - 1 ≤ b
⊢ eval a (descPochhammer S n) * (a - ↑n) ≤ eval b (descPochhammer S n) * (b - ↑n)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
⊢ basisDivisor x y ≠ 0 ↔ x ≠ y

Tactic:
rw [Ne, basisDivisor_eq_zero_iff]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
i : ι₁
⊢ prodH eι b₁ b₂ i ≠ 0

Tactic:
simp [Subtype.ext_iff, (b₁.sl2 i).h_ne_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Vandermonde

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
a : R
⊢ (vandermonde fun i ↦ v i - a).det = (vandermonde v).det

Tactic:
rw [← det_vandermonde_add v (-a)]

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
a : R
⊢ (vandermonde fun i ↦ v i - a).det = (vandermonde fun i ↦ v i + -a).det
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
P : F[X]
deg : ℕ
hdeg : ↑deg = P.degree
hP : ↑(#s) = ↑deg + 1
⊢ P.leadingCoeff = ∑ i ∈ s, eval (v i) P / ∏ j ∈ s.erase i, (v i - v j)

Tactic:
← WithBot.coe_one,

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
P : F[X]
deg : ℕ
hdeg : ↑deg = P.degree
hP : ↑(#s) = ↑deg + ↑1
⊢ P.leadingCoeff = ∑ i ∈ s, eval (v i) P / ∏ j ∈ s.erase i, (v i - v j)
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Lagrange

Goal state before:
pp: case h_eval
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
G : Subgroup Rˣ
inst✝ : Fintype ↥G
h : degree 1 < (X ^ Fintype.card ↥G).degree
i : Rˣ
hi : i ∈ (↑G).toFinset
⊢ eval (↑i) (nodal (↑G).toFinset Units.val) = eval (↑i) (X ^ Fintype.card ↥G - 1)

Tactic:
eval_nodal_at_node hi

Goal state after:
case h_eval
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
G : Subgroup Rˣ
inst✝ : Fintype ↥G
h : degree 1 < (X ^ Fintype.card ↥G).degree
i : Rˣ
hi : i ∈ (↑G).toFinset
⊢ 0 = eval (↑i) (X ^ Fintype.card ↥G - 1)
Module: Mathlib.Algebra.Lie.CartanCriterion

Goal state before:
pp: L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieModule K L M
inst✝ : FiniteDimensional K M
h : traceForm K L M = 0
φ : L →ₗ⁅K⁆ End K M := toEnd K L M
x : L
hx : x ∈ derivedSeries K L 1
n : End K M
hn_adj : n ∈ K[φ x]
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : φ x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace :=
  DirectSum.isInternal_submodule_of_iSupIndep_of_iSup_eq_top (eigenspaces_iSupIndep s)
    (IsSemisimple.iSup_eigenspace_eq_top hs_ss)
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M := eigenDecomp.collectedBasis fun μ ↦ finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst
hsv : ∀ (i : I), s (v i) = μ i • v i
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
fμ : I → K := fun i ↦ ↑(f ⟨μ i, ⋯⟩)
y : End K M := (Matrix.toLin v v) (Matrix.diagonal fμ)
hyv : ∀ (i : I), y (v i) = fμ i • v i
hy_range : ∀ z ∈ φ.range, ⁅y, z⁆ ∈ φ.range
hny_comm : Commute n y
htr_n : (trace K M) (n * y) = 0
⊢ ((toMatrix v v) (s * y)).trace = ∑ i, fμ i * μ i

Tactic:
Matrix.trace

Goal state after:
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
K : Type u_4
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CharZero K
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieModule K L M
inst✝ : FiniteDimensional K M
h : traceForm K L M = 0
φ : L →ₗ⁅K⁆ End K M := toEnd K L M
x : L
hx : x ∈ derivedSeries K L 1
n : End K M
hn_adj : n ∈ K[φ x]
s : End K M
hn_nil : _root_.IsNilpotent n
hs_ss : s.IsSemisimple
hX_ns : φ x = n + s
hns : Commute n s
eigenDecomp : DirectSum.IsInternal s.eigenspace :=
  DirectSum.isInternal_submodule_of_iSupIndep_of_iSup_eq_top (eigenspaces_iSupIndep s)
    (IsSemisimple.iSup_eigenspace_eq_top hs_ss)
I : Type (max u_4 0) := (ν : K) × Fin (finrank K ↥(s.eigenspace ν))
v : Basis I K M := eigenDecomp.collectedBasis fun μ ↦ finBasis K ↥(s.eigenspace μ)
this : Fintype I
μ : I → K := Sigma.fst
hsv : ∀ (i : I), s (v i) = μ i • v i
E : Submodule ℚ K := Submodule.span ℚ (Set.range μ)
hμ : ∀ (i : I), μ i ∈ E
f : Dual ℚ ↥E
fμ : I → K := fun i ↦ ↑(f ⟨μ i, ⋯⟩)
y : End K M := (Matrix.toLin v v) (Matrix.diagonal fμ)
hyv : ∀ (i : I), y (v i) = fμ i • v i
hy_range : ∀ z ∈ φ.range, ⁅y, z⁆ ∈ φ.range
hny_comm : Commute n y
htr_n : (trace K M) (n * y) = 0
⊢ ∑ i, ((toMatrix v v) (s * y)).diag i = ∑ i, fμ i * μ i
Module: Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.Homogeneous.Ideal

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_4
f : κ → Ideal A
s : κ → Set ↥(homogeneousSubmonoid 𝒜)
hs : ∀ (i : κ), f i = span (Subtype.val '' s i)
⊢ (fun i ↦ f i) = fun i ↦ span (Subtype.val '' s i)

Tactic:
exact funext hs

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
d : σ →₀ ℕ
r : R
n : ℕ
hn : (weight fun x ↦ 1) d = n
⊢ ((monomial d) r).IsHomogeneous n

Tactic:
exact isWeightedHomogeneous_monomial 1 d r hn

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.MvPolynomial.Homogeneous

Goal state before:
pp: σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
m : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
n : ℕ
⊢ (φ ^ n).IsHomogeneous (m * n)

Tactic:
show φ ^ n = ∏ _i ∈ Finset.range n, φ by simp

Goal state after:
σ : Type u_1
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
φ : MvPolynomial σ R
m : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
n : ℕ
⊢ (∏ _i ∈ Finset.range n, φ).IsHomogeneous (m * n)
Module: Mathlib.Algebra.Module.LinearMap.Polynomial

Goal state before:
pp: case h₀
n : Type u_2
R : Type u_4
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq n
i : n
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → (monomial (Finsupp.single b 1)) (1 i b) = 0

Tactic:
rintro j - hj

Goal state after:
case h₀
n : Type u_2
R : Type u_4
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq n
i j : n
hj : j ≠ i
⊢ (monomial (Finsupp.single j 1)) (1 i j) = 0