mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Algebra.Module.FinitePresentation

Goal state before:
pp: R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
S : Submonoid R
M' : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝² : IsLocalizedModule S f
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.FinitePresentation R M'
this : IsLocalizedModule S LinearMap.id
r : R
hrp : r ∈ S
H : ∀ (t : R), r ∣ t → Function.Bijective ⇑((LocalizedModule.map (Submonoid.powers t)) f)
hrp' : Submonoid.powers r ≤ S
y : M'
x : M
n : ℕ
hx :
  ((LocalizedModule.map (Submonoid.powers r)) f)
      (Function.uncurry (mk' (LocalizedModule.mkLinearMap (Submonoid.powers r) M)) (x, ⟨(fun x ↦ r ^ x) n, ⋯⟩)) =
    (LocalizedModule.mkLinearMap (Submonoid.powers r) M') y
⊢ ∃ m, r ^ (m + n) • y = f (r ^ m • x)

Tactic:
simpa [LocalizedModule.map, IsLocalizedModule.mk_eq_mk', -IsLocalizedModule.mk'_one,
        pow_add, mul_smul, IsLocalizedModule.mk'_eq_mk'_iff, Submonoid.mem_powers_iff,
        Submonoid.smul_def] using hx

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.IsSimple

Goal state before:
pp: case mp
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
q : Submodule K (Dual K ↥H)
hq : ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root), q ∈ End.invtSubmodule ↑((rootSystem H).reflection i)
α : ↥LieSubalgebra.root
J : LieIdeal K L := invtSubmoduleToLieIdeal q hq
hα_mem : α ∈ J.rootSet
⊢ (rootSystem H).root α ∈ q

Tactic:
by_contra hα_not

Goal state after:
case mp
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
q : Submodule K (Dual K ↥H)
hq : ∀ (i : ↥LieSubalgebra.root), q ∈ End.invtSubmodule ↑((rootSystem H).reflection i)
α : ↥LieSubalgebra.root
J : LieIdeal K L := invtSubmoduleToLieIdeal q hq
hα_mem : α ∈ J.rootSet
hα_not : (rootSystem H).root α ∉ q
⊢ False
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type ?u.16
S' : Type ?u.18
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
R'' : Type ?u.29
S'' : Type ?u.31
inst✝² : CommRing R''
inst✝¹ : CommRing S''
inst✝ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
r s : S
x : P.Cotangent
⊢ (r * s) • x = r • s • x

Tactic:
have := smul_eq_zero_of_mem (P.σ (r * s) - (P.σ r * P.σ s) : P.Ring) (by simp) x

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
P : Extension R S
R' : Type ?u.16
S' : Type ?u.18
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R' S'
P' : Extension R' S'
R'' : Type ?u.29
S'' : Type ?u.31
inst✝² : CommRing R''
inst✝¹ : CommRing S''
inst✝ : Algebra R'' S''
P'' : Extension R'' S''
r s : S
x : P.Cotangent
this : (P.σ (r * s) - P.σ r * P.σ s) • x = 0
⊢ (r * s) • x = r • s • x
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Differentials

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
φ : (σ →₀ S) →ₗ[pres.Ring] pres.toExtension.Cotangent := { toFun := ⇑(hom₁ pres), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
h₁ : Function.Surjective ⇑Extension.Cotangent.mk
h₂ : Submodule.span pres.Ring (Set.range fun r ↦ ⟨pres.relation r, ⋯⟩) = ⊤
⊢ Function.Surjective ⇑φ

Tactic:
← LinearMap.range_eq_top

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
φ : (σ →₀ S) →ₗ[pres.Ring] pres.toExtension.Cotangent := { toFun := ⇑(hom₁ pres), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
h₁ : Extension.Cotangent.mk.range = ⊤
h₂ : Submodule.span pres.Ring (Set.range fun r ↦ ⟨pres.relation r, ⋯⟩) = ⊤
⊢ φ.range = ⊤
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Differentials

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
φ : (σ →₀ S) →ₗ[pres.Ring] pres.toExtension.Cotangent := { toFun := ⇑(hom₁ pres), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
h₁ : Extension.Cotangent.mk.range = ⊤
h₂ : Submodule.span pres.Ring (Set.range fun r ↦ ⟨pres.relation r, ⋯⟩) = ⊤
⊢ Extension.Cotangent.mk.range ≤ φ.range

Tactic:
LinearMap.range_eq_map,

Goal state after:
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
σ : Type t
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pres : Presentation R S ι σ
φ : (σ →₀ S) →ₗ[pres.Ring] pres.toExtension.Cotangent := { toFun := ⇑(hom₁ pres), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
h₁ : Extension.Cotangent.mk.range = ⊤
h₂ : Submodule.span pres.Ring (Set.range fun r ↦ ⟨pres.relation r, ⋯⟩) = ⊤
⊢ Submodule.map Extension.Cotangent.mk ⊤ ≤ φ.range
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Extension R S
P' : Extension R S
f : P.Hom P'
h : Function.Surjective ⇑f
eq : Ideal.comap f.toRingHom P'.ker = RingHom.ker f.toRingHom ⊔ P.ker
eq_map : P'.ker = Ideal.map f.toRingHom P.ker
x : ↥P.ker
hx : mk x ∈ Submodule.map mk (Submodule.comap (Submodule.subtype P.ker) (RingHom.ker f.toRingHom ⊓ P.ker))
⊢ ∃ a ∈ RingHom.ker f.toRingHom, a ∈ P.ker ∧ a - ↑x ∈ P.ker ^ 2

Tactic:
by simpa [mk_eq_mk_iff_sub_mem] using hx

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
j : ι →₀ ℕ
a : R
⊢ (Q.toComp P).toAlgHom ((monomial j) a) = (monomial (Finsupp.sumElim 0 j)) a

Tactic:
convert! rename_monomial _ _ _
  · ext f (i₁ | i₂)
    simp [rename_eq_aeval]
    rfl
  · ext f (i₁ | i₂) <;>
      simp [Finsupp.mapDomain_of_notMem_range, Finsupp.mapDomain_apply Sum.inr_injective]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Module.Presentation.Tensor

Goal state before:
pp: case inr
A : Type u
inst✝⁴ : CommRing A
M₁ : Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module A M₁
inst✝ : Module A M₂
relations₁ : Relations A
relations₂ : Relations A
solution₁ : relations₁.Solution M₁
solution₂ : relations₂.Solution M₂
g₁ : relations₁.G
r₂ : relations₂.R
⊢ (Finsupp.linearCombination A fun x ↦
        match x with
        | (g₁, g₂) => solution₁.var g₁ ⊗ₜ[A] solution₂.var g₂)
      ((relations₁.tensor relations₂).relation (Sum.inr (g₁, r₂))) =
    0

Tactic:
dsimp
      rw [Finsupp.linearCombination_embDomain]
      exact (solution₂.postcomp (curry .id (solution₁.var g₁))).linearCombination_var_relation r₂

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Vanishing

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
k : ℕ
a : ι → Fin k → R
y : Fin k → N
h₁ : ∀ (i : ι), n i = ∑ j, a i j • y j
h₂ : ∀ (j : Fin k), ∑ i, a i j • m i = 0
⊢ ∑ y_1, ∑ x, a x y_1 • m x ⊗ₜ[R] y y_1 = 0

Tactic:
← tmul_smul,

Goal state after:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
k : ℕ
a : ι → Fin k → R
y : Fin k → N
h₁ : ∀ (i : ι), n i = ∑ j, a i j • y j
h₂ : ∀ (j : Fin k), ∑ i, a i j • m i = 0
⊢ ∑ x, ∑ x_1, m x_1 ⊗ₜ[R] (a x_1 x • y x) = 0
Module: Mathlib.RingTheory.Extension.Generators

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
ι' : Type u_3
T : Type u_7
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T ι'
P : Generators R S ι
x : Q.Ring
hx : x ∈ Q.ker
⊢ ∃ x_1 ∈ (Q.comp P).ker, (Q.ofComp P).toAlgHom x_1 = x

Tactic:
exact ⟨_, (kerCompPreimage Q P ⟨x, hx⟩).2, ofComp_kerCompPreimage Q P ⟨x, hx⟩⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Support

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p q : PrimeSpectrum R
H : p ≤ q
hp : p ∈ support R M
⊢ q ∈ support R M

Tactic:
rw [Module.mem_support_iff_exists_annihilator] at hp ⊢
  exact ⟨_, hp.choose_spec.trans H⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Localization.Finiteness

Goal state before:
pp: R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : CommSemiring S
M : Submonoid R
R' : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R'
inst✝⁴ : Algebra R R'
inst✝³ : Algebra R' S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S
inst✝ : IsLocalization M R'
s : Set S
x : S
hx : x ∈ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R' s)
⊢ ∃ t, t • x ∈ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R s)

Tactic:
simp_rw [Algebra.adjoin_eq_span] at hx ⊢

Goal state after:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : CommSemiring S
M : Submonoid R
R' : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R'
inst✝⁴ : Algebra R R'
inst✝³ : Algebra R' S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S
inst✝ : IsLocalization M R'
s : Set S
x : S
hx : x ∈ Submodule.span R' ↑(Submonoid.closure s)
⊢ ∃ t, t • x ∈ Submodule.span R ↑(Submonoid.closure s)
Module: Mathlib.Algebra.Module.SpanRankOperations

Goal state before:
pp: R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
fg : N.FG
⊢ Cardinal.toNat (Cardinal.lift.{u_2, u_3} N.spanRank) ≤ N.spanFinrank

pp: case hd
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
fg : N.FG
⊢ Cardinal.lift.{u_2, u_3} N.spanRank < Cardinal.aleph0

Tactic:
Cardinal.toNat_lift,

Goal state after:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
fg : N.FG
⊢ Cardinal.toNat N.spanRank ≤ N.spanFinrank

case hd
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
fg : N.FG
⊢ Cardinal.lift.{u_2, u_3} N.spanRank < Cardinal.aleph0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.Uncurry.Fin

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
m : ℕ
f : M [⋀^Fin (m + 1)]→ₗ[R] N
v : Fin (m + 1 + 1) → M
j : Fin (m + 1 + 1)
i : Fin (m + 1)
hvij : v (j.succAbove i) = v j
hij : j.succAbove i ≠ j
⊢ -((-1) ^ ↑j • (-1) ^ ↑i • (-1) ^ ↑i • f (j.removeNth v)) + (-1) ^ ↑j • f (j.removeNth v) = 0

pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
m : ℕ
f : M [⋀^Fin (m + 1)]→ₗ[R] N
v : Fin (m + 1 + 1) → M
j : Fin (m + 1 + 1)
i : Fin (m + 1)
hvij : v (j.succAbove i) = v j
hij : j.succAbove i ≠ j
⊢ v j = j.removeNth v i

Tactic:
smul_smul (_ ^ i.val),

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
m : ℕ
f : M [⋀^Fin (m + 1)]→ₗ[R] N
v : Fin (m + 1 + 1) → M
j : Fin (m + 1 + 1)
i : Fin (m + 1)
hvij : v (j.succAbove i) = v j
hij : j.succAbove i ≠ j
⊢ -((-1) ^ ↑j • ((-1) ^ ↑i * (-1) ^ ↑i) • f (j.removeNth v)) + (-1) ^ ↑j • f (j.removeNth v) = 0

R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
m : ℕ
f : M [⋀^Fin (m + 1)]→ₗ[R] N
v : Fin (m + 1 + 1) → M
j : Fin (m + 1 + 1)
i : Fin (m + 1)
hvij : v (j.succAbove i) = v j
hij : j.succAbove i ≠ j
⊢ v j = j.removeNth v i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.Uncurry.Fin

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
m : ℕ
f : M [⋀^Fin (m + 1)]→ₗ[R] N
v : Fin (m + 1 + 1) → M
j : Fin (m + 1 + 1)
i : Fin (m + 1)
hvij : v (j.succAbove i) = v j
hij : j.succAbove i ≠ j
⊢ (-1) ^ ↑(j.succAbove i) • f ((j.succAbove i).removeNth v) + (-1) ^ ↑j • f (j.removeNth v) = 0

Tactic:
rw [← (i.predAbove j).insertNth_self_removeNth (removeNth _ _), ← removeNth_removeNth_eq_swap,
    removeNth, succAbove_succAbove_predAbove, map_insertNth, ← neg_one_pow_smul_map_insertNth,
    insertNth_removeNth, update_eq_self_iff.2, smul_smul, ← pow_add,
    neg_one_pow_succAbove_add_predAbove, neg_smul, pow_add, mul_smul,
    smul_smul (_ ^ i.val), ← sq, ← pow_mul, pow_mul', neg_one_pow_two, one_pow, one_smul,
    neg_add_cancel]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
m : ℕ
f : M [⋀^Fin (m + 1)]→ₗ[R] N
v : Fin (m + 1 + 1) → M
j : Fin (m + 1 + 1)
i : Fin (m + 1)
hvij : v (j.succAbove i) = v j
hij : j.succAbove i ≠ j
⊢ v j = j.removeNth v i
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Alternating.Uncurry.Fin

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
n : ℕ
f : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M [⋀^Fin n]→ₗ[R] N
v : Fin (n + 2) → M
i j : Fin (n + 1)
hj : i ≤ j
H₁ : i.castSucc.removeNth v j = v j.succ
⊢ (-1) ^ ↑i • (-1) ^ ↑j • ((f (v i.castSucc)) (i.castSucc.removeNth v j)) (j.removeNth (i.castSucc.removeNth v)) +
      (-1) ^ (↑j + 1) • (-1) ^ ↑i • ((f (v j.succ)) (j.succ.removeNth v i)) (i.removeNth (j.succ.removeNth v)) =
    (-1) ^ (↑i + ↑j) •
      (((f (v i.castSucc)) (v j.succ)) (j.removeNth (i.castSucc.removeNth v)) -
        ((f (v j.succ)) (v i.castSucc)) (j.removeNth (i.castSucc.removeNth v)))

Tactic:
have H₂ : j.succ.removeNth v i = v i.castSucc := by
    simp [Fin.removeNth_apply, Fin.succAbove_of_castSucc_lt, hj]

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
n : ℕ
f : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M [⋀^Fin n]→ₗ[R] N
v : Fin (n + 2) → M
i j : Fin (n + 1)
hj : i ≤ j
H₁ : i.castSucc.removeNth v j = v j.succ
H₂ : j.succ.removeNth v i = v i.castSucc
⊢ (-1) ^ ↑i • (-1) ^ ↑j • ((f (v i.castSucc)) (i.castSucc.removeNth v j)) (j.removeNth (i.castSucc.removeNth v)) +
      (-1) ^ (↑j + 1) • (-1) ^ ↑i • ((f (v j.succ)) (j.succ.removeNth v i)) (i.removeNth (j.succ.removeNth v)) =
    (-1) ^ (↑i + ↑j) •
      (((f (v i.castSucc)) (v j.succ)) (j.removeNth (i.castSucc.removeNth v)) -
        ((f (v j.succ)) (v i.castSucc)) (j.removeNth (i.castSucc.removeNth v)))
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module

Goal state before:
pp: case mp
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsLocalRing R
N₁ N₂ : Submodule R M
h : N₁ ≤ N₂
h' : N₂.FG
hN : Submodule.map (𝔪 • N₂).mkQ N₁ = Submodule.map (𝔪 • N₂).mkQ N₂
this : N₂ ≤ 𝔪 • N₂ ⊔ N₁
⊢ N₁ = N₂

Tactic:
sup_comm

Goal state after:
case mp
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsLocalRing R
N₁ N₂ : Submodule R M
h : N₁ ≤ N₂
h' : N₂.FG
hN : Submodule.map (𝔪 • N₂).mkQ N₁ = Submodule.map (𝔪 • N₂).mkQ N₂
this : N₂ ≤ N₁ ⊔ 𝔪 • N₂
⊢ N₁ = N₂
Module: Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Submodule

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
n : ↥M
r : ↥⊥
x : R
h : (algebraMap R ↥⊥) x = r
⊢ M.rTensorOne' (n ⊗ₜ[R] r) ⊗ₜ[R] 1 = n ⊗ₜ[R] r

Tactic:
rw [← h, rTensorOne'_tmul, TensorProduct.smul_tmul, Algebra.smul_def, mul_one]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.PiTensorProduct.Basic

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
s : ι → Type u_7
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (s i)
t : ι → Type u_11
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x : (i : ι) → s i
u : s i →ₗ[R] t i
⊢ (fun j ↦ (update f i u j) (x j)) = update (fun j ↦ (f j) (x j)) i (u (x i))

Tactic:
ext j
  exact apply_update (fun i F => F (x i)) f i u j

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.LinearDisjoint

Goal state before:
pp: R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint M
inst✝ : Flat R ↥M
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ M)), Commute ↑m ↑n
⊢ Module.rank R ↥(M ⊓ M) ≤ 1

Tactic:
exact H.rank_inf_le_one_of_commute_of_flat_left hc

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.AssociatedPrime.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Subsingleton M
hI : I.IsPrime
x : M
hx : I = (⊥.colon {x}).radical
⊢ I = ⊤

Tactic:
simp [hx, Subsingleton.elim x 0]

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.LocalRing.Module

Goal state before:
pp: R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Finite (MaximalSpectrum R)
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Flat R M
n : ℕ
rk : ∀ (P : MaximalSpectrum R), finrank (R ⧸ P.asIdeal) ((R ⧸ P.asIdeal) ⊗[R] M) = n
this : {R : Type u_1} → [inst : CommRing R] → (I : Ideal R) → [I.IsMaximal] → Field (R ⧸ I) := @Quotient.field
b' : (P : MaximalSpectrum R) → Basis (Fin n) (R ⧸ P.asIdeal) ((R ⧸ P.asIdeal) ⊗[R] M)
b : Fin n → M
hb : ∀ (i : Fin n), (LinearMap.pi fun i ↦ (TensorProduct.mk R (R ⧸ i.asIdeal) M) 1) (b i) = fun x ↦ (b' x) i
P : Ideal R
x✝ : P.IsMaximal
⊢ Function.Bijective
    ⇑(Finsupp.linearCombination (Localization P.primeCompl)
        (⇑((TensorProduct.mk R (Localization P.primeCompl) M) 1) ∘ b))

Tactic:
apply IsLocalRing.linearCombination_bijective_of_flat

Goal state after:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Finite (MaximalSpectrum R)
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Flat R M
n : ℕ
rk : ∀ (P : MaximalSpectrum R), finrank (R ⧸ P.asIdeal) ((R ⧸ P.asIdeal) ⊗[R] M) = n
this : {R : Type u_1} → [inst : CommRing R] → (I : Ideal R) → [I.IsMaximal] → Field (R ⧸ I) := @Quotient.field
b' : (P : MaximalSpectrum R) → Basis (Fin n) (R ⧸ P.asIdeal) ((R ⧸ P.asIdeal) ⊗[R] M)
b : Fin n → M
hb : ∀ (i : Fin n), (LinearMap.pi fun i ↦ (TensorProduct.mk R (R ⧸ i.asIdeal) M) 1) (b i) = fun x ↦ (b' x) i
P : Ideal R
x✝ : P.IsMaximal
⊢ Function.Bijective
    ⇑(Finsupp.linearCombination (IsLocalRing.ResidueField (Localization P.primeCompl))
        (⇑((TensorProduct.mk (Localization P.primeCompl) (IsLocalRing.ResidueField (Localization P.primeCompl))
                (Localization P.primeCompl ⊗[R] M))
              1) ∘
          ⇑((TensorProduct.mk R (Localization P.primeCompl) M) 1) ∘ b))
Module: Mathlib.RingTheory.Ideal.AssociatedPrime.Basic

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I J : Ideal R
hI : I.IsPrimary
h : IsAssociatedPrime J (R ⧸ I)
⊢ J = I.radical

Tactic:
by
  obtain ⟨hJ, x, e⟩ := h
  have : x ≠ 0 := by
    rintro rfl
    apply hJ.1
    rwa [colon_singleton_zero, Ideal.radical_top] at e
  obtain ⟨x, rfl⟩ := Ideal.Quotient.mkₐ_surjective R _ x
  have h {y} : y ∈ colon ⊥ {(Ideal.Quotient.mk I) x} ↔ Ideal.Quotient.mk I (y * x) = 0 := by
    rw [mem_colon_singleton, Algebra.smul_def, Ideal.Quotient.algebraMap_eq, ← map_mul, mem_bot]
  simp only [e, Ideal.Quotient.mkₐ_eq_mk, ne_eq, Ideal.Quotient.eq_zero_iff_mem] at this h ⊢
  refine le_antisymm (Ideal.radical_le_radical_iff.mpr fun y hy ↦ ?_)
    (Ideal.radical_mono fun y ↦ h.mpr ∘ I.mul_mem_right x)
  rw [← I.colon_univ, ← Set.top_eq_univ]
  exact (hI.mem_or_mem (h.mp hy)).resolve_left this

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.UniqueFactorizationDomain.ClassGroup

Goal state before:
pp: R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsGCDMonoid R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
⊢ (↑↑I).IsPrincipal

Tactic:
by
  let J : Ideal R := (I : FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R)).num
  have hJunit : IsUnit (J : FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R)) :=
    FractionalIdeal.isUnit_num.mpr ⟨I, rfl⟩
  have hJprin : J.IsPrincipal := isPrincipal_of_isUnit_fractionalIdeal J hJunit
  exact isPrincipal_of_isPrincipal_num
    (I : FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R)) hJprin

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Projective

Goal state before:
pp: R : Type u_1
N : Type u_2
M : Type uM
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : Module.FinitePresentation R N
H : ∀ (I : Ideal R) (x : I.IsMaximal), ∃ g, (LocalizedModule.map I.primeCompl) f ∘ₗ g = id
⊢ id ∈ ((llcomp R N M N) f).range

Tactic:
refine Submodule.mem_of_localization_maximal _ (fun P _ ↦ LocalizedModule.map P.primeCompl) _ _
    fun I hI ↦ ?_

Goal state after:
R : Type u_1
N : Type u_2
M : Type uM
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : Module.FinitePresentation R N
H : ∀ (I : Ideal R) (x : I.IsMaximal), ∃ g, (LocalizedModule.map I.primeCompl) f ∘ₗ g = id
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
⊢ (LocalizedModule.map I.primeCompl) id ∈
    Submodule.localized₀ I.primeCompl (LocalizedModule.map I.primeCompl) ((llcomp R N M N) f).range
Module: Mathlib.RingTheory.LocalProperties.Projective

Goal state before:
pp: case mpr
R : Type u_1
N : Type u_2
M : Type uM
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : Module.FinitePresentation R N
H : ∀ (I : Ideal R) (x : I.IsMaximal), ∃ g, (LocalizedModule.map I.primeCompl) f ∘ₗ g = id
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
this :
  id ∈
    ((llcomp (Localization I.primeCompl) (LocalizedModule I.primeCompl N) (LocalizedModule I.primeCompl M)
          (LocalizedModule I.primeCompl N))
        ((LocalizedModule.map I.primeCompl) f)).range
g : N →ₗ[R] M
s : ↥I.primeCompl
⊢ ((algebraMap R
          (Module.End R (LocalizedModule I.primeCompl N →ₗ[Localization I.primeCompl] LocalizedModule I.primeCompl N)))
        ↑s)
      (IsLocalizedModule.mk' (LocalizedModule.map I.primeCompl) (f ∘ₗ g) s) =
    ((algebraMap R
          (Module.End R (LocalizedModule I.primeCompl N →ₗ[Localization I.primeCompl] LocalizedModule I.primeCompl N)))
        ↑s)
      (((llcomp (Localization I.primeCompl) (LocalizedModule I.primeCompl N) (LocalizedModule I.primeCompl M)
            (LocalizedModule I.primeCompl N))
          ((LocalizedModule.map I.primeCompl) f))
        (IsLocalizedModule.mk' (LocalizedModule.map I.primeCompl) g s))

Tactic:
simp only [Module.algebraMap_end_apply, ← Submonoid.smul_def, IsLocalizedModule.mk'_cancel',
        ← LinearMap.map_smul_of_tower]

Goal state after:
case mpr
R : Type u_1
N : Type u_2
M : Type uM
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : Module.FinitePresentation R N
H : ∀ (I : Ideal R) (x : I.IsMaximal), ∃ g, (LocalizedModule.map I.primeCompl) f ∘ₗ g = id
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
this :
  id ∈
    ((llcomp (Localization I.primeCompl) (LocalizedModule I.primeCompl N) (LocalizedModule I.primeCompl M)
          (LocalizedModule I.primeCompl N))
        ((LocalizedModule.map I.primeCompl) f)).range
g : N →ₗ[R] M
s : ↥I.primeCompl
⊢ (LocalizedModule.map I.primeCompl) (f ∘ₗ g) =
    ((llcomp (Localization I.primeCompl) (LocalizedModule I.primeCompl N) (LocalizedModule I.primeCompl M)
          (LocalizedModule I.primeCompl N))
        ((LocalizedModule.map I.primeCompl) f))
      ((LocalizedModule.map I.primeCompl) g)