Module: Mathlib.LinearAlgebra.QuadraticForm.Basic

Goal state before:
pp: case succ.inr
K : Type v
inst✝³ : Field K
hK : Invertible 2
d : ℕ
ih :
  ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V},
    IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
V : Type u
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB₂ : IsSymm B
hB₁ : B ≠ 0
x : V
hd : finrank K ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) + 1 = d + 1
hx : (B x) x ≠ 0
B' : ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) →ₗ[K] ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) →ₗ[K] K :=
  domRestrict₁₂ B (Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) (Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x))
v' : Basis (Fin d) K ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x))
hv₁ : (domRestrict₁₂ B (Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) (Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x))).IsOrthoᵢ ⇑v'
b : Basis (Fin (d + 1)) K V := Basis.mkFinCons x v' ⋯ ⋯
j i : Fin (d + 1)
⊢ j ≠ i → Function.onFun (fun n m ↦ (B n) m = 0) (Fin.cons x (Subtype.val ∘ ⇑v')) j i

Tactic:
refine Fin.cases ?_ (fun i => ?_) i <;> refine Fin.cases ?_ (fun j => ?_) j <;> intro hij <;>
    simp only [Function.onFun, Fin.cons_zero, Fin.cons_succ, Function.comp_apply]

Goal state after:
case succ.inr.refine_1.refine_1
K : Type v
inst✝³ : Field K
hK : Invertible 2
d : ℕ
ih :
  ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V},
    IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
V : Type u
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB₂ : IsSymm B
hB₁ : B ≠ 0
x : V
hd : finrank K ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) + 1 = d + 1
hx : (B x) x ≠ 0
B' : ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) →ₗ[K] ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) →ₗ[K] K :=
  domRestrict₁₂ B (Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) (Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x))
v' : Basis (Fin d) K ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x))
hv₁ : (domRestrict₁₂ B (Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) (Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x))).IsOrthoᵢ ⇑v'
b : Basis (Fin (d + 1)) K V := Basis.mkFinCons x v' ⋯ ⋯
j i : Fin (d + 1)
hij : 0 ≠ 0
⊢ (B x) x = 0

case succ.inr.refine_1.refine_2
K : Type v
inst✝³ : Field K
hK : Invertible 2
d : ℕ
ih :
  ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V},
    IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
V : Type u
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB₂ : IsSymm B
hB₁ : B ≠ 0
x : V
hd : finrank K ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) + 1 = d + 1
hx : (B x) x ≠ 0
B' : ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) →ₗ[K] ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) →ₗ[K] K :=
  domRestrict₁₂ B (Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) (Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x))
v' : Basis (Fin d) K ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x))
hv₁ : (domRestrict₁₂ B (Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) (Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x))).IsOrthoᵢ ⇑v'
b : Basis (Fin (d + 1)) K V := Basis.mkFinCons x v' ⋯ ⋯
j✝ i : Fin (d + 1)
j : Fin d
hij : j.succ ≠ 0
⊢ (B ↑(v' j)) x = 0

case succ.inr.refine_2.refine_1
K : Type v
inst✝³ : Field K
hK : Invertible 2
d : ℕ
ih :
  ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V},
    IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
V : Type u
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB₂ : IsSymm B
hB₁ : B ≠ 0
x : V
hd : finrank K ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) + 1 = d + 1
hx : (B x) x ≠ 0
B' : ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) →ₗ[K] ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) →ₗ[K] K :=
  domRestrict₁₂ B (Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) (Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x))
v' : Basis (Fin d) K ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x))
hv₁ : (domRestrict₁₂ B (Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) (Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x))).IsOrthoᵢ ⇑v'
b : Basis (Fin (d + 1)) K V := Basis.mkFinCons x v' ⋯ ⋯
j i✝ : Fin (d + 1)
i : Fin d
hij : 0 ≠ i.succ
⊢ (B x) ↑(v' i) = 0

case succ.inr.refine_2.refine_2
K : Type v
inst✝³ : Field K
hK : Invertible 2
d : ℕ
ih :
  ∀ {V : Type u} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [FiniteDimensional K V] {B : BilinForm K V},
    IsSymm B → finrank K V = d → ∃ v, IsOrthoᵢ B ⇑v
V : Type u
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB₂ : IsSymm B
hB₁ : B ≠ 0
x : V
hd : finrank K ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) + 1 = d + 1
hx : (B x) x ≠ 0
B' : ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) →ₗ[K] ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) →ₗ[K] K :=
  domRestrict₁₂ B (Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) (Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x))
v' : Basis (Fin d) K ↥(Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x))
hv₁ : (domRestrict₁₂ B (Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x)) (Submodule.orthogonalBilin B (K ∙ x))).IsOrthoᵢ ⇑v'
b : Basis (Fin (d + 1)) K V := Basis.mkFinCons x v' ⋯ ⋯
j✝ i✝ : Fin (d + 1)
i j : Fin d
hij : j.succ ≠ i.succ
⊢ (B ↑(v' j)) ↑(v' i) = 0