Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Atlas

Goal state before:
pp: case e'_12
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H✝ M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h₁ : ContMDiffOn I I n (↑f) f.source
h₂ : ContMDiffOn I I n (↑f.symm) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑c.symm ⁻¹' f.source
y : E
hy : ((↑I.symm y ∈ c.target ∧ ↑c.symm (↑I.symm y) ∈ f.source) ∧ ↑f (↑c.symm (↑I.symm y)) ∈ c'.source) ∧ y ∈ range ↑I
H :
  ContinuousWithinAt (↑f) (f ≫ₕ c').source (↑(extChartAt I x).symm y) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
      (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (f ≫ₕ c').source ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y))
hy' : ↑(extChartAt I x).symm y ∈ c.source
hy'' : ↑f (↑(extChartAt I x).symm y) ∈ c'.source
⊢ y = ↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y)

pp: case mpr.refine_1.convert_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H✝ M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h₁ : ContMDiffOn I I n (↑f) f.source
h₂ : ContMDiffOn I I n (↑f.symm) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑c.symm ⁻¹' f.source
y : E
hy : ((↑I.symm y ∈ c.target ∧ ↑c.symm (↑I.symm y) ∈ f.source) ∧ ↑f (↑c.symm (↑I.symm y)) ∈ c'.source) ∧ y ∈ range ↑I
H :
  ContinuousWithinAt (↑f) (f ≫ₕ c').source (↑(extChartAt I x).symm y) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
      (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (f ≫ₕ c').source ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y))
hy' : ↑(extChartAt I x).symm y ∈ c.source
hy'' : ↑f (↑(extChartAt I x).symm y) ∈ c'.source
⊢ ↑I.symm ⁻¹' ((c.symm ≫ₕ f) ≫ₕ c').source ∩ range ↑I ⊆ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (f ≫ₕ c').source ∩ range ↑I

Tactic:
· simp only [c, hy, mfld_simps]

Goal state after:
case mpr.refine_1.convert_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H✝ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners 𝕜 E H✝
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H✝ M
n : ℕ∞ω
M' : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : ChartedSpace H✝ M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : OpenPartialHomeomorph M M'
h₁ : ContMDiffOn I I n (↑f) f.source
h₂ : ContMDiffOn I I n (↑f.symm) f.target
x : M
hx : x ∈ f.source
c : OpenPartialHomeomorph M H✝ := chartAt H✝ x
c' : OpenPartialHomeomorph M' H✝ := chartAt H✝ (↑f x)
hx' : ↑c x ∈ ↑c.symm ⁻¹' f.source
y : E
hy : ((↑I.symm y ∈ c.target ∧ ↑c.symm (↑I.symm y) ∈ f.source) ∧ ↑f (↑c.symm (↑I.symm y)) ∈ c'.source) ∧ y ∈ range ↑I
H :
  ContinuousWithinAt (↑f) (f ≫ₕ c').source (↑(extChartAt I x).symm y) ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
      (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (f ≫ₕ c').source ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) (↑(extChartAt I x).symm y))
hy' : ↑(extChartAt I x).symm y ∈ c.source
hy'' : ↑f (↑(extChartAt I x).symm y) ∈ c'.source
⊢ ↑I.symm ⁻¹' ((c.symm ≫ₕ f) ≫ₕ c').source ∩ range ↑I ⊆ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (f ≫ₕ c').source ∩ range ↑I