Module: Mathlib.Algebra.Exact.Basic

Goal state before:
pp: case refine_3
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
M' : Type u_3
N✝ : Type u_4
N' : Type u_5
P✝ : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝¹³ : Semiring R✝
inst✝¹² : AddCommGroup M✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : Module R✝ N✝
inst✝⁷ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] N✝
g✝ : N✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type ?u.42
M : Type ?u.44
N : Type ?u.46
P : Type ?u.48
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
e : { e // f = ↑e.symm ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ ↑e }
⊢ (fst R M P ∘ₗ ↑↑e) ∘ₗ f = LinearMap.id

pp: case refine_4
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
M' : Type u_3
N✝ : Type u_4
N' : Type u_5
P✝ : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝¹³ : Semiring R✝
inst✝¹² : AddCommGroup M✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : Module R✝ N✝
inst✝⁷ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] N✝
g✝ : N✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type ?u.42
M : Type ?u.44
N : Type ?u.46
P : Type ?u.48
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
⊢ LeftInverse (fun e ↦ ⟨fst R M P ∘ₗ ↑↑e, ⋯⟩) fun l ↦ ⟨LinearEquiv.ofBijective ((↑l).prod g) ⋯, ⋯⟩

pp: case refine_5
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
M' : Type u_3
N✝ : Type u_4
N' : Type u_5
P✝ : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝¹³ : Semiring R✝
inst✝¹² : AddCommGroup M✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : Module R✝ N✝
inst✝⁷ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] N✝
g✝ : N✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type ?u.42
M : Type ?u.44
N : Type ?u.46
P : Type ?u.48
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
⊢ RightInverse (fun e ↦ ⟨fst R M P ∘ₗ ↑↑e, ⋯⟩) fun l ↦ ⟨LinearEquiv.ofBijective ((↑l).prod g) ⋯, ⋯⟩

Tactic:
· rw [LinearMap.comp_assoc, (LinearEquiv.eq_toLinearMap_symm_comp _ _).mp e.2.1]; rfl

Goal state after:
case refine_4
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
M' : Type u_3
N✝ : Type u_4
N' : Type u_5
P✝ : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝¹³ : Semiring R✝
inst✝¹² : AddCommGroup M✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : Module R✝ N✝
inst✝⁷ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] N✝
g✝ : N✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type ?u.42
M : Type ?u.44
N : Type ?u.46
P : Type ?u.48
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
⊢ LeftInverse (fun e ↦ ⟨fst R M P ∘ₗ ↑↑e, ⋯⟩) fun l ↦ ⟨LinearEquiv.ofBijective ((↑l).prod g) ⋯, ⋯⟩

case refine_5
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
M' : Type u_3
N✝ : Type u_4
N' : Type u_5
P✝ : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝¹³ : Semiring R✝
inst✝¹² : AddCommGroup M✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : Module R✝ N✝
inst✝⁷ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] N✝
g✝ : N✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type ?u.42
M : Type ?u.44
N : Type ?u.46
P : Type ?u.48
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
⊢ RightInverse (fun e ↦ ⟨fst R M P ∘ₗ ↑↑e, ⋯⟩) fun l ↦ ⟨LinearEquiv.ofBijective ((↑l).prod g) ⋯, ⋯⟩