mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.SmoothSeries

Goal state before:
pp: α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
g g' : α → 𝕜 → F
t : Set 𝕜
y₀ y : 𝕜
hu : Summable u
ht : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t
h't : IsPreconnected t
hg : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, HasDerivAt (g n) (g' n y) y
hg' : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, ‖g' n y‖ ≤ u n
hy₀ : y₀ ∈ t
hg0 : Summable fun x ↦ g x y₀
hy : y ∈ t
⊢ Summable fun n ↦ g n y

Tactic:
by
  simp_rw [hasDerivAt_iff_hasFDerivAt] at hg
  refine summable_of_summable_hasFDerivAt_of_isPreconnected hu ht h't hg ?_ hy₀ hg0 hy
  simpa

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: case h₁
𝕜 : Type u_1
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), IsBoundedSMul 𝕜 (E i)
hp✝ : p ≠ 0
c : 𝕜
f : ↥(lp E p)
hp : 0 < p.toReal
inst : NNNorm ↥(lp E p)
coe_nnnorm : ∀ (f : ↥(lp E p)), ↑‖f‖₊ = ‖f‖
hRHS : HasSum (fun a ↦ ‖c‖₊ ^ p.toReal * ‖↑f a‖₊ ^ p.toReal) (‖c‖₊ ^ p.toReal * ‖f‖₊ ^ p.toReal)
hLHS : HasSum (fun a ↦ ‖↑(c • f) a‖₊ ^ p.toReal) (‖c • f‖₊ ^ p.toReal)
i : α
⊢ ‖c • ↑f i‖₊ ≤ ‖c‖₊ * ‖↑f i‖₊

Tactic:
apply nnnorm_smul_le

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
α : Type u_3
E✝ : α → Type u_4
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E✝ i)
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : IsBoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ↥(lp (fun x ↦ E) 1)
⊢ ∑' (i : α), ↑(f + g) i = ∑' (i : α), ↑f i + ∑' (i : α), ↑g i

Tactic:
rw [← Summable.tsum_add]
        exacts [rfl, .of_norm (by simpa using f.2.summable), .of_norm (by simpa using g.2.summable)]

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.SmoothSeries

Goal state before:
pp: case right
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m < N
h'm : ↑(m + 1) ≤ N
A : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (iteratedFDeriv 𝕜 m (f n)) (fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 m (f n)) x) x
n : α
x : E
⊢ ‖(⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x ↦ E) F) ∘ iteratedFDeriv 𝕜 (m + 1) (f n)) x‖ ≤ v (m + 1) n

Tactic:
comp_apply,

Goal state after:
case right
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m < N
h'm : ↑(m + 1) ≤ N
A : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (iteratedFDeriv 𝕜 m (f n)) (fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 m (f n)) x) x
n : α
x : E
⊢ ‖(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x ↦ E) F) (iteratedFDeriv 𝕜 (m + 1) (f n) x)‖ ≤ v (m + 1) n
Module: Mathlib.Analysis.Normed.Lp.lpSpace

Goal state before:
pp: α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : DecidableEq α
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : T2Space F
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ∞
f g : ↥(lp E p) →ₜ+ F
h : ∀ (i : α), f.comp (singleContinuousAddMonoidHom E p i) = g.comp (singleContinuousAddMonoidHom E p i)
x : ↥(lp E p)
this : HasSum (fun i ↦ lp.single p i (↑x i)) x
⊢ f x = g x

Tactic:
rw [← (this.map f f.continuous).tsum_eq, ← (this.map g g.continuous).tsum_eq]

Goal state after:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : DecidableEq α
F : Type u_5
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : T2Space F
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ∞
f g : ↥(lp E p) →ₜ+ F
h : ∀ (i : α), f.comp (singleContinuousAddMonoidHom E p i) = g.comp (singleContinuousAddMonoidHom E p i)
x : ↥(lp E p)
this : HasSum (fun i ↦ lp.single p i (↑x i)) x
⊢ ∑' (b : α), (⇑f ∘ fun i ↦ lp.single p i (↑x i)) b = ∑' (b : α), (⇑g ∘ fun i ↦ lp.single p i (↑x i)) b
Module: Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.SmoothTransition

Goal state before:
pp: case inr
x : ℝ
hx : x < 1
⊢ x.smoothTransition = 1 ↔ 1 ≤ x

Tactic:
simpa [(lt_one_of_lt_one hx).ne] using hx

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
⊢ ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ u.indicator (fun t ↦ ‖L‖ * ‖f t‖ * C) t

Tactic:
refine le_indicator (f := fun t ↦ ‖L (f t) (g (x - t))‖) (fun t _ => ?_) (fun t ht => ?_) t

Goal state after:
case refine_1
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t✝ : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
t : G
x✝ : t ∈ u
⊢ ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * C

case refine_2
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
C : ℝ
hC : ∀ (i : G), ‖g i‖ ≤ C
x t✝ : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
t : G
ht : t ∉ u
⊢ ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ≤ 0
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (f ⋆[L, μ] g)
hx : ∀ (x_1 x_2 : G), ¬(x_1 ∈ support g ∧ x_2 ∈ support f ∧ x_1 + x_2 = x)
⊢ (f ⋆[L, μ] g) x = 0

Tactic:
not_and_or,

Goal state after:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (f ⋆[L, μ] g)
hx : ∀ (x_1 x_2 : G), x_1 ∉ support g ∨ x_2 ∉ support f ∨ ¬x_1 + x_2 = x
⊢ (f ⋆[L, μ] g) x = 0
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.UniformLimitsDeriv

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f' : ι → 𝕜 → G
l' : Filter 𝕜
hf' : UniformCauchySeqOnFilter f' l l'
⊢ UniformCauchySeqOnFilter (fun n z ↦ ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n z)) l l'

Tactic:
intro u hu

Goal state after:
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f' : ι → 𝕜 → G
l' : Filter 𝕜
hf' : UniformCauchySeqOnFilter f' l l'
u : Set ((𝕜 →L[𝕜] G) × (𝕜 →L[𝕜] G))
hu : u ∈ uniformity (𝕜 →L[𝕜] G)
⊢ ∀ᶠ (m : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l',
    ((fun n z ↦ ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n z)) m.1.1 m.2,
        (fun n z ↦ ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n z)) m.1.2 m.2) ∈
      u
Module: Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.EuclideanDist

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun r ↦ 0 < r) (closedBall x)

Tactic:
rw [toEuclidean.toHomeomorph.nhds_eq_comap x]
  exact Metric.nhds_basis_closedBall.comap _

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.NormedSpace

Goal state before:
pp: case pos.inl.inl
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hF : CompleteSpace F
hE : finrank ℝ E = 0
⊢ μ.real univ • f 0 = |(0 ^ finrank ℝ E)⁻¹| • ∫ (x : E), f x ∂μ

Tactic:
have : Subsingleton E := finrank_zero_iff.1 hE

Goal state after:
case pos.inl.inl
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
hF : CompleteSpace F
hE : finrank ℝ E = 0
this : Subsingleton E
⊢ μ.real univ • f 0 = |(0 ^ finrank ℝ E)⁻¹| • ∫ (x : E), f x ∂μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.NormedSpace

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
R : ℝ
s : Set E
hR : R ≠ 0
e : E ≃ᵐ E := (Homeomorph.smul (Units.mk0 R hR)).toMeasurableEquiv
⊢ ∫ (y : E) in ⇑e.symm ⁻¹' s, f y ∂map (fun x ↦ R • x) μ = |(R ^ finrank ℝ E)⁻¹| • ∫ (y : E) in ⇑e.symm ⁻¹' s, f y ∂μ

Tactic:
simp [map_addHaar_smul μ hR, integral_smul_measure, ENNReal.toReal_ofReal, abs_nonneg]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.Haar.NormedSpace

Goal state before:
pp: F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
g : E → F
⊢ Integrable g μ → ∀ {S : ℝ}, S ≠ 0 → Integrable (fun x ↦ g (S • x)) μ

Tactic:
hg

Goal state after:
F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
g : E → F
hg : Integrable g μ
⊢ ∀ {S : ℝ}, S ≠ 0 → Integrable (fun x ↦ g (S • x)) μ
Module: Mathlib.MeasureTheory.Measure.EverywherePos

Goal state before:
pp: G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed[inst✝⁷] k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen[inst✝⁷] (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n ↦ ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
x : G
hx : x ∈ ⋂ n, V n * k
v : ℕ → G
hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i
y : ℕ → G
hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k
hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) (v i) (y i) = x
z : G
zk : z ∈ k
hz : MapClusterPt z atTop y
n : ℕ
this : W n * {z} ∈ 𝓝 z
i : ℕ
hi : y i ∈ W n * {z}
ni : n < i
⊢ x * z⁻¹ ∈ W n * W n

Tactic:
refine ⟨x * (y i) ⁻¹, ?_, y i * z⁻¹, by simpa using hi, by group⟩

Goal state after:
G : Type u_2
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : IsTopologicalGroup G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
h : μ.IsEverywherePos k
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed[inst✝⁷] k
u : ℕ → ℝ≥0∞
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
W : ℕ → Set G
W_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen[inst✝⁷] (W n)
mem_W : ∀ (n : ℕ), 1 ∈ W n
hW : ∀ (n : ℕ), ∀ g ∈ W n * W n, μ (g • k \ k) < u n
V : ℕ → Set G := fun n ↦ ⋂ i ∈ Finset.range n, W i
x : G
hx : x ∈ ⋂ n, V n * k
v : ℕ → G
hv : ∀ (i : ℕ), v i ∈ V i
y : ℕ → G
hy : ∀ (i : ℕ), y i ∈ k
hvy : ∀ (i : ℕ), (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) (v i) (y i) = x
z : G
zk : z ∈ k
hz : MapClusterPt z atTop y
n : ℕ
this : W n * {z} ∈ 𝓝 z
i : ℕ
hi : y i ∈ W n * {z}
ni : n < i
⊢ x * (y i)⁻¹ ∈ W n
Module: Mathlib.Analysis.Convolution

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝²² : RCLike 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁵ : CompleteSpace F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SFinite μ
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt g k x L₄ μ
hi : Integrable (uncurry fun x y ↦ (L₃ (f y)) ((L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x)))) (μ.prod ν)
⊢ ∫ (s : G), ∫ (u : G), (L₃ (f s)) ((L₄ (g u)) (k (x₀ - s - u))) ∂μ ∂ν =
    ∫ (s : G), (L₃ (f s)) (∫ (u : G), (L₄ (g u)) (k (x₀ - s - u)) ∂μ) ∂ν

Tactic:
refine integral_congr_ae ?_

Goal state after:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedAddCommGroup F
f : G → E
g : G → E'
inst✝²² : RCLike 𝕜
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁵ : CompleteSpace F
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹¹ : CompleteSpace F'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝⁷ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁶ : AddGroup G
inst✝⁵ : SFinite μ
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝² : MeasurableAdd₂ G
inst✝¹ : ν.IsAddRightInvariant
inst✝ : MeasurableNeg G
hL : ∀ (x : E) (y : E') (z : E''), (L₂ ((L x) y)) z = (L₃ x) ((L₄ y) z)
x₀ : G
hfg : ∀ᵐ (y : G) ∂μ, ConvolutionExistsAt f g y L ν
hgk : ∀ᵐ (x : G) ∂ν, ConvolutionExistsAt g k x L₄ μ
hi : Integrable (uncurry fun x y ↦ (L₃ (f y)) ((L₄ (g (x - y))) (k (x₀ - x)))) (μ.prod ν)
⊢ (fun s ↦ ∫ (u : G), (L₃ (f s)) ((L₄ (g u)) (k (x₀ - s - u))) ∂μ) =ᵐ[ν] fun s ↦
    (L₃ (f s)) (∫ (u : G), (L₄ (g u)) (k (x₀ - s - u)) ∂μ)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n✝ : ℕ∞
s : Set E
hs : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] s
h's : s.Nonempty
ι : Type (max 0 u_1) := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ∞ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n ↦ ↑(g0 n)
g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s
s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)
g_smooth : ∀ (n : ℕ), ContDiff ℝ ∞ (g n)
g_comp_supp : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport (g n)
g_nonneg : ∀ (n : ℕ) (x : E), 0 ≤ g n x
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
δc : HasSum δ c
c_lt : c < 1
n : ℕ
R : ℕ → ℝ
hR : ∀ (i : ℕ) (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i (fun x ↦ g n x) x‖ ≤ R i
M : ℝ := max ((Finset.image R (Finset.range (n + 1))).max' ⋯) 1
δnpos : 0 < δ n
IR : ∀ i ≤ n, R i ≤ M
i : ℕ
hi : i ≤ n
x : E
⊢ M⁻¹ * ↑(δ n) * M = ↑(δ n)

Tactic:
simp [field]

Goal state after:
Module: Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
⊢ False

Tactic:
rcases A x with (H | H)

Goal state after:
case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
⊢ False

case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
⊢ False
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
⊢ ConvolutionExistsAt (w D) (fun x ↦ 1) x (lsmul ℝ ℝ) μ

Tactic:
refine ((w_compact_support E Dpos).convolutionExists_left _ ?_
      (locallyIntegrable_const (1 : ℝ)) x).integrable

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
⊢ Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] (w D)
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.BumpFunction.FiniteDimension

Goal state before:
pp: case refine_3.hf.h0
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
hs : IsOpen (Ioo 0 1)
hk : IsCompact (closedBall 0 1)
⊢ ∀ x ∈ Ioo 0 1 ×ˢ univ, x.1 ≠ 0

Tactic:
· intro x hx; exact ne_of_gt hx.1.1

Goal state after:
Module: Mathlib.Topology.MetricSpace.Holder

Goal state before:
pp: X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
s : Set X
Cg rg : ℝ≥0
g : Y → Z
t : Set Y
hg : HolderOnWith Cg rg g t
Cf rf : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderOnWith Cf rf f s
hst : MapsTo f s t
x : X
hx : x ∈ s
y : X
hy : y ∈ s
⊢ edist ((g ∘ f) x) ((g ∘ f) y) ≤ ↑(Cg * Cf ^ ↑rg) * edist x y ^ ↑(rg * rf)

Tactic:
rw [ENNReal.coe_mul, mul_comm rg, NNReal.coe_mul, ENNReal.rpow_mul, mul_assoc,
    ENNReal.coe_rpow_of_nonneg _ rg.coe_nonneg, ← ENNReal.mul_rpow_of_nonneg _ _ rg.coe_nonneg]

Goal state after:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
s : Set X
Cg rg : ℝ≥0
g : Y → Z
t : Set Y
hg : HolderOnWith Cg rg g t
Cf rf : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderOnWith Cf rf f s
hst : MapsTo f s t
x : X
hx : x ∈ s
y : X
hy : y ∈ s
⊢ edist ((g ∘ f) x) ((g ∘ f) y) ≤ ↑Cg * (↑Cf * edist x y ^ ↑rf) ^ ↑rg
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.DerivativeTest

Goal state before:
pp: f : ℝ → ℝ
b : ℝ
h : ContinuousAt f b
hd₀ : DifferentiableOn ℝ f (Iio b)
⊢ ContinuousOn f (Iic b)

Tactic:
simp_rw [← Iio_union_right]
  apply hd₀.continuousOn.union_continuousAt isOpen_Iio (by simp [h])

Goal state after:
Module: Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Bounds

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
f : E → Fu
s : Set E
t : Set Fu
x : E
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
n : ℕ
IH :
  ∀ m ≤ n,
    ∀ {Gu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Gu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Gu] {g : Fu → Gu},
      ContDiffOn 𝕜 (↑m) g t →
        ContDiffOn 𝕜 (↑m) f s →
          (∀ i ≤ m, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C) →
            (∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ m → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i) →
              ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 m (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑m ! * C * D ^ m
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
g : Fu → Gu
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) g t
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s
hC : ∀ i ≤ n + 1, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n + 1 → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
M : ↑n < ↑n.succ
Cnonneg : 0 ≤ C
Dnonneg : 0 ≤ D
i : ℕ
hi : i ≤ n
j : ℕ
hj : j ≤ i
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 j (fderivWithin 𝕜 g t) t (f x)‖ =
    ‖(⇑(continuousMultilinearCurryRightEquiv' 𝕜 j Fu Gu).symm ∘
          iteratedFDerivWithin 𝕜 j (fun y ↦ fderivWithin 𝕜 g t y) t)
        (f x)‖

Tactic:
comp_apply,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
Fu : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup Fu
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fu
f : E → Fu
s : Set E
t : Set Fu
x : E
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
n : ℕ
IH :
  ∀ m ≤ n,
    ∀ {Gu : Type u} [inst : NormedAddCommGroup Gu] [inst_1 : NormedSpace 𝕜 Gu] {g : Fu → Gu},
      ContDiffOn 𝕜 (↑m) g t →
        ContDiffOn 𝕜 (↑m) f s →
          (∀ i ≤ m, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C) →
            (∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ m → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i) →
              ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 m (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑m ! * C * D ^ m
Gu : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup Gu
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Gu
g : Fu → Gu
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) g t
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s
hC : ∀ i ≤ n + 1, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n + 1 → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
M : ↑n < ↑n.succ
Cnonneg : 0 ≤ C
Dnonneg : 0 ≤ D
i : ℕ
hi : i ≤ n
j : ℕ
hj : j ≤ i
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 j (fderivWithin 𝕜 g t) t (f x)‖ =
    ‖(continuousMultilinearCurryRightEquiv' 𝕜 j Fu Gu).symm
        (iteratedFDerivWithin 𝕜 j (fun y ↦ fderivWithin 𝕜 g t y) t (f x))‖