mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Hom

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F₁ : Type u_3
F₂ : Type u_4
E₁ : B → Type u_6
E₂ : B → Type u_7
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²⁰ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
inst✝¹⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
inst✝¹⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝¹⁴ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
inst✝¹³ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝⁹ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
HB : Type u_9
inst✝⁸ : TopologicalSpace HB
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : ChartedSpace HB B
inst✝⁵ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F₁ E₁
inst✝³ : FiberBundle F₂ E₂
inst✝² : VectorBundle 𝕜 F₂ E₂
inst✝¹ : ∀ (x : B), IsTopologicalAddGroup (E₂ x)
inst✝ : ∀ (x : B), ContinuousSMul 𝕜 (E₂ x)
y₀ y : TotalSpace (F₁ →L[𝕜] F₂) fun b ↦ E₁ b →L[𝕜] E₂ b
⊢ ↑((chartAt HB y₀.proj).prod (OpenPartialHomeomorph.refl (F₁ →L[𝕜] F₂)))
      (↑(trivializationAt (F₁ →L[𝕜] F₂) (fun x ↦ E₁ x →L[𝕜] E₂ x) y₀.proj).toOpenPartialHomeomorph y) =
    (↑(chartAt HB y₀.proj) y.proj, inCoordinates F₁ E₁ F₂ E₂ y₀.proj y.proj y₀.proj y.proj y.snd)

Tactic:
OpenPartialHomeomorph.prod_apply,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F₁ : Type u_3
F₂ : Type u_4
E₁ : B → Type u_6
E₂ : B → Type u_7
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²⁰ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
inst✝¹⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F₁
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
inst✝¹⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝¹⁴ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
inst✝¹³ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F₂
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝⁹ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
HB : Type u_9
inst✝⁸ : TopologicalSpace HB
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : ChartedSpace HB B
inst✝⁵ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜 F₁ E₁
inst✝³ : FiberBundle F₂ E₂
inst✝² : VectorBundle 𝕜 F₂ E₂
inst✝¹ : ∀ (x : B), IsTopologicalAddGroup (E₂ x)
inst✝ : ∀ (x : B), ContinuousSMul 𝕜 (E₂ x)
y₀ y : TotalSpace (F₁ →L[𝕜] F₂) fun b ↦ E₁ b →L[𝕜] E₂ b
⊢ (fun p ↦ (↑(chartAt HB y₀.proj) p.1, ↑(OpenPartialHomeomorph.refl (F₁ →L[𝕜] F₂)) p.2))
      (↑(trivializationAt (F₁ →L[𝕜] F₂) (fun x ↦ E₁ x →L[𝕜] E₂ x) y₀.proj).toOpenPartialHomeomorph y) =
    (↑(chartAt HB y₀.proj) y.proj, inCoordinates F₁ E₁ F₂ E₂ y₀.proj y.proj y₀.proj y.proj y.snd)
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ mlieBracketWithin I V W (s ∩ t) x = mlieBracketWithin I V W s x

Tactic:
by
  apply mlieBracketWithin_congr_set
  filter_upwards [ht] with y hy
  change (y ∈ s ∩ t) = (y ∈ s)
  simp_all

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.GroupLieAlgebra

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : ChartedSpace H G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : LieGroup I (minSmoothness 𝕜 3) G
g : G
v : GroupLieAlgebra I G
M : minSmoothness 𝕜 3 ≠ 0
h : G
D : (fun x ↦ h * x) = (fun b ↦ g⁻¹ * b) ∘ fun x ↦ g * h * x
⊢ ((mfderiv% fun b ↦ g⁻¹ * b) (g * h)) (((mfderiv% fun x ↦ g * h * x) 1) v) = ((mfderiv% fun x ↦ h * x) 1) v

Tactic:
D,

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : ChartedSpace H G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : LieGroup I (minSmoothness 𝕜 3) G
g : G
v : GroupLieAlgebra I G
M : minSmoothness 𝕜 3 ≠ 0
h : G
D : (fun x ↦ h * x) = (fun b ↦ g⁻¹ * b) ∘ fun x ↦ g * h * x
⊢ ((mfderiv% fun b ↦ g⁻¹ * b) (g * h)) (((mfderiv% fun x ↦ g * h * x) 1) v) =
    (mfderiv% ((fun b ↦ g⁻¹ * b) ∘ fun x ↦ g * h * x) 1) v
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.GroupLieAlgebra

Goal state before:
pp: case e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : ChartedSpace H G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : LieGroup I (minSmoothness 𝕜 3) G
v : GroupLieAlgebra I G
M : minSmoothness 𝕜 3 ≠ 0
A : minSmoothness 𝕜 2 + 1 = minSmoothness 𝕜 3
fg : G → TangentBundle I G := ⋯
sfg : ContMDiff I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) fg
fv : G → TangentBundle I G := ⋯
sfv : ContMDiff I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) fv
F₁ : G → TangentBundle I G × TangentBundle I G := ⋯
S₁ : ContMDiff I (I.tangent.prod I.tangent) (minSmoothness 𝕜 2) F₁
F₂ : TangentBundle I G × TangentBundle I G → TangentBundle (I.prod I) (G × G) := ⋯
S₂ : ContMDiff (I.tangent.prod I.tangent) (I.prod I).tangent (minSmoothness 𝕜 2) F₂
F₃ : TangentBundle (I.prod I) (G × G) → TangentBundle I G := ⋯
S₃ : ContMDiff (I.prod I).tangent I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) F₃
S : ContMDiff I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) ((F₃ ∘ F₂) ∘ F₁) := ⋯
g : G
e_4✝ : g = (((F₃ ∘ F₂) ∘ F₁) g).proj
⊢ mulInvariantVectorField v g = (((F₃ ∘ F₂) ∘ F₁) g).snd

Tactic:
simp only [comp_apply, tangentMap, F₃, F₂, F₁, fg, fv]

Goal state after:
case e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : ChartedSpace H G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : LieGroup I (minSmoothness 𝕜 3) G
v : GroupLieAlgebra I G
M : minSmoothness 𝕜 3 ≠ 0
A : minSmoothness 𝕜 2 + 1 = minSmoothness 𝕜 3
fg : G → TangentBundle I G := fun g ↦ ⟨g, 0⟩
sfg : ContMDiff I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) fg
fv : G → TangentBundle I G := fun x ↦ ⟨1, v⟩
sfv : ContMDiff I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) fv
F₁ : G → TangentBundle I G × TangentBundle I G := fun g ↦ (fg g, fv g)
S₁ : ContMDiff I (I.tangent.prod I.tangent) (minSmoothness 𝕜 2) F₁
F₂ : TangentBundle I G × TangentBundle I G → TangentBundle (I.prod I) (G × G) := ⇑(equivTangentBundleProd I G I G).symm
S₂ : ContMDiff (I.tangent.prod I.tangent) (I.prod I).tangent (minSmoothness 𝕜 2) F₂
F₃ : TangentBundle (I.prod I) (G × G) → TangentBundle I G := tangentMap (I.prod I) I fun p ↦ p.1 * p.2
S₃ : ContMDiff (I.prod I).tangent I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) F₃
S : ContMDiff I I.tangent (minSmoothness 𝕜 2) ((F₃ ∘ F₂) ∘ F₁) := ContMDiff.comp (ContMDiff.comp S₃ S₂) S₁
g : G
e_4✝ : g = (((F₃ ∘ F₂) ∘ F₁) g).proj
⊢ mulInvariantVectorField v g =
    ((mfderiv% fun p ↦ p.1 * p.2) ((equivTangentBundleProd I G I G).symm (⟨g, 0⟩, ⟨1, v⟩)).proj)
      ((equivTangentBundleProd I G I G).symm (⟨g, 0⟩, ⟨1, v⟩)).snd
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.LocalSourceTargetProperty

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_4
H : Type u_6
G : Type u_8
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_10
N : Type u_12
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞ω
f g : M → N
x : M
P : (M → N) → OpenPartialHomeomorph M H → OpenPartialHomeomorph N G → Prop
hP : IsLocalSourceTargetProperty P
hf : LiftSourceTargetPropertyAt I J n f x P
h' : f =ᶠ[𝓝 x] g
s' : Set M
hxs' : s' ∈ 𝓝 x
hfg : EqOn f g s'
s : Set M
hss' : s ⊆ s'
hs : IsOpen[inst✝³] s
hxs : x ∈ s
⊢ x ∈ interior s

Tactic:
rwa [interior_eq_iff_isOpen.mpr hs]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.Pullback

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : ℕ∞ω
t : Set M'
y₀ : M'
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun x ↦ ⟨x, V x⟩) t y₀
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderiv[s] f x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiff[s]
hmn : m + 1 ≤ n
h : f x₀ = y₀
⊢ ContMDiffWithinAt I I.tangent m (fun x ↦ ⟨x, mpullbackWithin I I' f V s x⟩) (s ∩ f ⁻¹' t) x₀

Tactic:
by
  subst h
  exact ContMDiffWithinAt.mpullbackWithin_vectorField_inter hV hf hf' hx₀ hs hmn

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
c : 𝕜
inst✝¹ : IsManifold I 2 M
inst✝ : CompleteSpace E
hV : MDiffAt[s] (T% V) x
hs : UniqueMDiffAt[s] x
⊢ mlieBracketWithin I (c • V) W s x = c • mlieBracketWithin I V W s x

Tactic:
simpa [mfderivWithin_const, mvfderivWithin] using!
    mlieBracketWithin_smul_left (mdifferentiableWithinAt_const (c := c)) (W := W) hV hs

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: x y : ℝ
hxy : Fact (x < y)
⊢ ↑((IccLeftChart x y).extend (𝓡∂ 1)) ⊥ = 0

Tactic:
by
  norm_num [IccLeftChart, modelWithCornersEuclideanHalfSpace_zero]
  congr

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
x y : ℝ
h : Fact (x < y)
⊢ ∀ ⦃x_1 : ↑(Icc x y)⦄, x_1 ∈ {z | x < ↑z} → ⟨max (y - (↑⟨toLp 2 fun x_2 ↦ y - ↑x_1, ⋯⟩).ofLp 0) x, ⋯⟩ = x_1

Tactic:
rintro ⟨z, hz⟩ h'z
    simp only [mem_ofPred_eq, mem_Icc] at hz h'z
    simp only [Fin.isValue, sub_eq_add_neg, neg_add_rev, neg_neg,
      add_neg_cancel_comm_assoc, hz, sup_of_le_left]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: case inl.inr
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M✝
inst✝¹ : ChartedSpace H M✝
x y : ℝ
inst✝ : Fact (x < y)
n : ℕ∞ω
M :
  ContDiff ℝ n
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
    this)
⊢ ContDiffOn ℝ n (↑(𝓡∂ 1) ∘ ↑((IccLeftChart x y).symm ≫ₕ IccRightChart x y) ∘ ↑(𝓡∂ 1).symm)
    (↑(𝓡∂ 1).symm ⁻¹' ((IccLeftChart x y).symm ≫ₕ IccRightChart x y).source ∩ range ↑(𝓡∂ 1))

Tactic:
apply M.contDiffOn.congr

Goal state after:
case inl.inr
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M✝
inst✝¹ : ChartedSpace H M✝
x y : ℝ
inst✝ : Fact (x < y)
n : ℕ∞ω
M :
  ContDiff ℝ n
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
    this)
⊢ ∀ x_1 ∈ ↑(𝓡∂ 1).symm ⁻¹' ((IccLeftChart x y).symm ≫ₕ IccRightChart x y).source ∩ range ↑(𝓡∂ 1),
    (↑(𝓡∂ 1) ∘ ↑((IccLeftChart x y).symm ≫ₕ IccRightChart x y) ∘ ↑(𝓡∂ 1).symm) x_1 =
      (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
        this)
        x_1
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Instances.Real

Goal state before:
pp: case inr.inl
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M✝
inst✝¹ : ChartedSpace H M✝
x y : ℝ
inst✝ : Fact (x < y)
n : ℕ∞ω
M :
  ContDiff ℝ n
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
    this)
⊢ ContDiffOn ℝ n (↑(𝓡∂ 1) ∘ ↑((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccLeftChart x y) ∘ ↑(𝓡∂ 1).symm)
    (↑(𝓡∂ 1).symm ⁻¹' ((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccLeftChart x y).source ∩ range ↑(𝓡∂ 1))

Tactic:
apply M.contDiffOn.congr

Goal state after:
case inr.inl
x✝ y✝ : ℝ
hxy : Fact (x✝ < y✝)
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M✝
inst✝¹ : ChartedSpace H M✝
x y : ℝ
inst✝ : Fact (x < y)
n : ℕ∞ω
M :
  ContDiff ℝ n
    (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
    this)
⊢ ∀ x_1 ∈ ↑(𝓡∂ 1).symm ⁻¹' ((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccLeftChart x y).source ∩ range ↑(𝓡∂ 1),
    (↑(𝓡∂ 1) ∘ ↑((IccRightChart x y).symm ≫ₕ IccLeftChart x y) ∘ ↑(𝓡∂ 1).symm) x_1 =
      (have this := fun z ↦ toLp 2 fun i ↦ -z.ofLp i + (y - x);
        this)
        x_1
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.ExistUnique

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : CompleteSpace E
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) x₀
hv :
  ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 :
  ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀,
    HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' :
  ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a,
    HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ContinuousAt f t₀
⊢ ∃ γ, γ t₀ = x₀ ∧ IsMIntegralCurveAt γ v t₀

Tactic:
rw [continuousAt_def, hf1] at hcont

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : CompleteSpace E
hx : I.IsInteriorPoint x₀
left✝ : ContinuousAt (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) x₀
hv :
  ContDiffWithinAt ℝ 1 (↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (range ↑I)
    (↑(extChartAt I x₀) x₀)
f : ℝ → E
hf1 : f t₀ = ↑(extChartAt I x₀) x₀
hf2 :
  ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 t₀,
    HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
a : ℝ
ha : a > 0
hf2' :
  ∀ y ∈ Metric.ball t₀ a,
    HasDerivAt f ((↑(extChartAt I.tangent ⟨x₀, v x₀⟩) ∘ (fun x ↦ ⟨x, v x⟩) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm) (f y)).2 y
hcont : ∀ A ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀), f ⁻¹' A ∈ 𝓝 t₀
⊢ ∃ γ, γ t₀ = x₀ ∧ IsMIntegralCurveAt γ v t₀
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.IntegralCurve.UniformTime

Goal state before:
pp: E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I 1 M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : BoundarylessManifold I M
v : (x : M) → TangentSpace I x
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x ↦ ⟨x, v x⟩
ε : ℝ
hε : 0 < ε
h : ∀ (x : M), ∃ γ, γ 0 = x ∧ IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo (-ε) ε)
x : M
s : Set ℝ := {a | ∃ γ, γ 0 = x ∧ IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo (-a) a)}
hbdd : BddAbove s
asup : ℝ := sSup s
hasup : asup = sSup s
a : ℝ
ha : a ∈ s
hlt : sSup s + -(ε / 2) < a
⊢ False

Tactic:
rw [mem_ofPred] at ha

Goal state after:
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : IsManifold I 1 M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : BoundarylessManifold I M
v : (x : M) → TangentSpace I x
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x ↦ ⟨x, v x⟩
ε : ℝ
hε : 0 < ε
h : ∀ (x : M), ∃ γ, γ 0 = x ∧ IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo (-ε) ε)
x : M
s : Set ℝ := {a | ∃ γ, γ 0 = x ∧ IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo (-a) a)}
hbdd : BddAbove s
asup : ℝ := sSup s
hasup : asup = sSup s
a : ℝ
ha : ∃ γ, γ 0 = x ∧ IsMIntegralCurveOn γ v (Ioo (-a) a)
hlt : sSup s + -(ε / 2) < a
⊢ False
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U : ∀ (w : H) (w' : H'), UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map ↑I ↑I')) (↑I w, ↑I' w')
smooth_pM : ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) I.tangent n Prod.fst (a, b)
p : TangentBundle I M × TangentBundle I' M'
hp : p.1.proj ∈ (chartAt H a.proj).source ∧ p.2.proj ∈ (chartAt H' b.proj).source
φ : E → E := fun x ↦ ↑I (↑(chartAt H a.proj) (↑(chartAt H p.1.proj).symm (↑I.symm x)))
D0 : DifferentiableWithinAt 𝕜 φ (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H p.1.proj) p.1.proj))
D :
  ∀ (w : TangentBundle I' M'),
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (φ ∘ Prod.fst) (range (Prod.map ↑I ↑I'))
      (↑I (↑(chartAt H p.1.proj) p.1.proj), ↑I' (↑(chartAt H' w.proj) w.proj))
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜
    (fun x ↦
      ↑I'
        (↑(chartAt H' b.proj)
          (↑((chartAt H p.1.proj).prod (chartAt H' p.2.proj).toPartialEquiv).symm
              (↑(I.prod I'.toPartialEquiv).symm x)).2))
    (range (Prod.map ↑I ↑I')) (↑I (↑(chartAt H p.1.proj) p.1.proj), ↑I' (↑(chartAt H' p.2.proj) p.2.proj))

Tactic:
let φ' (x : E') := I' ((chartAt H' b.proj) ((chartAt H' p.2.proj).symm (I'.symm x)))
      have D0' : DifferentiableWithinAt 𝕜 φ' (Set.range I')
          (I' ((chartAt H' p.2.proj) p.2.proj)) := by
        apply ContDiffWithinAt.differentiableWithinAt _ one_ne_zero
        apply contDiffWithinAt_ext_coord_change
        simp [hp.2]
      have D' : DifferentiableWithinAt 𝕜 (φ' ∘ Prod.snd) (Set.range (Prod.map I I'))
          (I ((chartAt H p.1.proj) p.1.proj), I' ((chartAt H' p.2.proj) p.2.proj)) :=
        DifferentiableWithinAt.comp (t := Set.range I') _ (by exact D0')
          differentiableWithinAt_snd (by simp [mapsTo_snd_prod])
      exact D'

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket

Goal state before:
pp: case hus
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
inst✝³ : IsManifold I 2 M
inst✝² : IsManifold I' 2 M'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiff[s]
hf : ContMDiffOn I I' 2 f s
hx₀ : x₀ ∈ s
ht : t ⊆ (extChartAt I' (f x₀)).source
hst : MapsTo f s t
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm)
    (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x₀) x₀)
A : ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀) = x₀
A' : x₀ = ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)
h'f : MDiffAt[s] f x₀
this : (mfderiv[range ↑I] ↑(extChartAt I x₀).symm (↑(extChartAt I x₀) x₀)).inverse = mfderiv% ↑(extChartAt I x₀) x₀
V' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) V (range ↑I')
hV' : V' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) V (range ↑I')
W' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x := mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) W (range ↑I')
hW' : W' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) W (range ↑I')
F : E → E' := (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm
hF : F = (↑(extChartAt I' (f x₀)) ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x₀).symm
hFx₀ : ↑(extChartAt I' (f x₀)) (f x₀) = F (↑(extChartAt I x₀) x₀)
P :
  ∀ (Y : (x : M') → TangentSpace I' x),
    mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm) (mpullbackWithin I I' f Y s)
        (range ↑I) =ᶠ[𝓝[↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x₀) x₀]
      mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') F (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm) Y (range ↑I'))
        (↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
⊢ ↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ (extChartAt I x₀).target =ᶠ[𝓝 (↑(extChartAt I x₀) x₀)]
    ↑(extChartAt I x₀).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I

Tactic:
· rw [← nhdsWithin_eq_iff_eventuallyEq]
    apply le_antisymm
    · exact nhdsWithin_mono _ (inter_subset_inter_right _ (extChartAt_target_subset_range x₀))
    · rw [nhdsWithin_le_iff, nhdsWithin_inter]
      exact Filter.inter_mem_inf self_mem_nhdsWithin (extChartAt_target_mem_nhdsWithin x₀)

Goal state after: