mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.CanonicalEmbedding.PolarCoord

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
f : mixedSpace K → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (x : polarSpace K) in (polarSpaceCoord K).target,
      (∏ w, ENNReal.ofReal (x.1 ↑w)) * f (↑(polarSpaceCoord K).symm x) =
    ∫⁻ (x : mixedSpace K), f x

Tactic:
rw [← (volume_preserving_homeoRealMixedSpacePolarSpace K).setLIntegral_comp_preimage_emb
    (homeoRealMixedSpacePolarSpace K).measurableEmbedding,
    ← mixedEmbedding.lintegral_comp_polarCoord_symm, polarSpaceCoord_target,
    ← Homeomorph.image_eq_preimage_symm, Homeomorph.preimage_image,
    mixedEmbedding.polarCoord_target]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
f : mixedSpace K → ℝ≥0∞
⊢ ∫⁻ (a : realMixedSpace K) in Set.univ ×ˢ Set.univ.pi fun i ↦ Complex.polarCoord.target,
      (∏ w, ENNReal.ofReal (((homeoRealMixedSpacePolarSpace K) a).1 ↑w)) *
        f (↑(polarSpaceCoord K).symm ((homeoRealMixedSpacePolarSpace K) a)) ∂volume =
    ∫⁻ (x : realMixedSpace K) in Set.univ ×ˢ Set.univ.pi fun i ↦ Complex.polarCoord.target,
      (∏ w, ENNReal.ofReal (x.2 w).1) * f (↑(mixedEmbedding.polarCoord K).symm x)
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.CanonicalEmbedding.PolarCoord

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
A : Set (mixedSpace K)
inst✝ : NumberField K
hA : normAtComplexPlaces ⁻¹' normAtComplexPlaces '' A = A
hm : MeasurableSet A
⊢ volume A =
    ENNReal.ofReal (2 * π) ^ nrComplexPlaces K *
      ∫⁻ (x : realSpace K) in normAtComplexPlaces '' A, ∏ w, ENNReal.ofReal (x ↑w)

Tactic:
have hA' {x} : (A.indicator 1 x : ℝ≥0∞) =
      (normAtComplexPlaces '' A).indicator 1 (normAtComplexPlaces x) := by
    simp_rw [← Set.indicator_comp_right, Function.comp_def, Pi.one_def, hA]

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
A : Set (mixedSpace K)
inst✝ : NumberField K
hA : normAtComplexPlaces ⁻¹' normAtComplexPlaces '' A = A
hm : MeasurableSet A
hA' : ∀ {x : mixedSpace K}, A.indicator 1 x = (normAtComplexPlaces '' A).indicator 1 (normAtComplexPlaces x)
⊢ volume A =
    ENNReal.ofReal (2 * π) ^ nrComplexPlaces K *
      ∫⁻ (x : realSpace K) in normAtComplexPlaces '' A, ∏ w, ENNReal.ofReal (x ↑w)
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.CanonicalEmbedding.FundamentalCone

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
a : ↑(integerSet K)
⊢ ↑a ≠ 0

Tactic:
by_contra!
  exact a.prop.1.2 (this.symm ▸ mixedEmbedding.norm.map_zero')

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.CMField

Goal state before:
pp: case e'_2
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsCMField K
inst✝ : NumberField K
⊢ realUnits K = (unitsMulComplexConjInv K).ker

Tactic:
unitsMulComplexConjInv_ker

Goal state after:
case e'_2
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsCMField K
inst✝ : NumberField K
⊢ realUnits K = realUnits K
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.CMField

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsCMField K
inst✝ : NumberField K
⊢ regOfFamily (realFundSystem K) = 2 ^ rank K * regulator ↥K⁺

Tactic:
let W₀ := (equivInfinitePlace K).symm w₀

Goal state after:
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsCMField K
inst✝ : NumberField K
W₀ : InfinitePlace K := (equivInfinitePlace K).symm w₀
⊢ regOfFamily (realFundSystem K) = 2 ^ rank K * regulator ↥K⁺
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.CMField

Goal state before:
pp: K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : IsCMField K
inst✝ : NumberField K
⊢ regOfFamily (realFundSystem K) = 2 ^ rank K * regulator ↥K⁺

Tactic:
let W₀ := (equivInfinitePlace K).symm w₀
  let f : {w : InfinitePlace K // w ≠ W₀} ≃ {w : InfinitePlace K⁺ // w ≠ w₀} :=
    (equivInfinitePlace K).subtypeEquiv fun w ↦ by rw [not_iff_not, Equiv.eq_symm_apply]
  let g := ((finCongr (units_rank_eq_units_rank K).symm).trans (equivFinRank K⁺)).trans f.symm
  rw [show (2 : ℝ) ^ rank K = |∏ w : {w : InfinitePlace K⁺ // w ≠ w₀}, 2| by
    rw [Finset.prod_const, abs_pow, abs_of_pos zero_lt_two, ← units_rank_eq_units_rank K, rank]
    simp]
  rw [regulator_eq_regOfFamily_fundSystem, regOfFamily_eq_det _ W₀ g.symm, regOfFamily_eq_det',
    ← abs_mul, ← Matrix.det_mul_column, ← Matrix.det_reindex_self f, Matrix.reindex_apply]
  congr; ext i w
  rw [Matrix.submatrix_apply, Matrix.of_apply, Matrix.of_apply,
    show f.symm w = (equivInfinitePlace K).symm w.1 by rfl,
    show algebraMap (𝓞 K) K _ = algebraMap K⁺ K _ by rfl, equivInfinitePlace_symm_apply]
  simp [f, g]

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.Cyclotomic.Ideal

Goal state before:
pp: p k : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
hK : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
this✝ : IsGalois ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ (k + 1)) ℚ K) (p ^ (k + 1))
h_main : (𝒑.primesOver (𝓞 K)).ncard * Module.finrank ℚ K = Module.finrank ℚ K
this : (span {hζ.toInteger - 1}).LiesOver 𝒑
⊢ (𝒑.primesOver (𝓞 K)).ncard = 1

Tactic:
Nat.mul_eq_right

Goal state after:
p k : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
hK : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
this✝ : IsGalois ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ (k + 1)) ℚ K) (p ^ (k + 1))
h_main : (𝒑.primesOver (𝓞 K)).ncard = 1
this : (span {hζ.toInteger - 1}).LiesOver 𝒑
⊢ (𝒑.primesOver (𝓞 K)).ncard = 1

p k : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
hK : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
this✝ : IsGalois ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ (k + 1)) ℚ K) (p ^ (k + 1))
h_main : (𝒑.primesOver (𝓞 K)).ncard * Module.finrank ℚ K = Module.finrank ℚ K
this : (span {hζ.toInteger - 1}).LiesOver 𝒑
⊢ Module.finrank ℚ K ≠ 0
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.CanonicalEmbedding.NormLeOne

Goal state before:
pp: case h
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
⊢ interior (normLeOne K) ⊆ closure (normLeOne K)

pp: case h₂
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
⊢ NullMeasurableSet (interior (normLeOne K)) volume

pp: case h_fin
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
⊢ volume (interior (normLeOne K)) ≠ ∞

Tactic:
· exact interior_subset_closure

Goal state after:
case h₂
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
⊢ NullMeasurableSet (interior (normLeOne K)) volume

case h_fin
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
⊢ volume (interior (normLeOne K)) ≠ ∞
Module: Mathlib.NumberTheory.Ostrowski

Goal state before:
pp: f : AbsoluteValue ℚ ℝ
hf_nontriv : f.IsNontrivial
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
t : ℝ
ht : 0 < t
hpt : f ↑p = ↑p ^ (-t)
⊢ ∃! p, ∃ (x : Fact (Nat.Prime p)), f.IsEquiv (padic p)

Tactic:
← exists_nat_rpow_iff_isEquiv

Goal state after:
f : AbsoluteValue ℚ ℝ
hf_nontriv : f.IsNontrivial
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
t : ℝ
ht : 0 < t
hpt : f ↑p = ↑p ^ (-t)
⊢ ∃! p, ∃ (h : Fact (Nat.Prime p)), ∃ c, 0 < c ∧ ∀ (n : ℕ), f ↑n ^ c = (padic p) ↑n
Module: Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.Nonarchimedean

Goal state before:
pp: case inr
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : IsUniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : ℕ → G
hf : Tendsto (fun n ↦ f (n + 1) / f n) atTop (𝓝 1)
s : Set G
hs : s ∈ 𝓝 1
t : OpenSubgroup G
ht : ↑t ⊆ s
N : ℕ
hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → f (b + 1) / f b ∈ t
M M' : ℕ
hMN : N ≤ M
hMN' : N ≤ M'
this : ∀ (M M' : ℕ), N ≤ M → N ≤ M' → M ≤ M' → f (M, M').2 / f (M, M').1 ∈ ↑t
h : ¬M ≤ M'
⊢ f (M, M').2 / f (M, M').1 ∈ ↑t

pp: G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : IsUniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : ℕ → G
hf : Tendsto (fun n ↦ f (n + 1) / f n) atTop (𝓝 1)
s : Set G
hs : s ∈ 𝓝 1
t : OpenSubgroup G
ht : ↑t ⊆ s
N : ℕ
hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → f (b + 1) / f b ∈ t
M M' : ℕ
hMN : N ≤ M
hMN' : N ≤ M'
h : M ≤ M'
⊢ f (M, M').2 / f (M, M').1 ∈ ↑t

Tactic:
· simpa [inv_div] using! t.inv_mem <| this _ _ hMN' hMN (le_of_not_ge h)

Goal state after:
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : IsUniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : ℕ → G
hf : Tendsto (fun n ↦ f (n + 1) / f n) atTop (𝓝 1)
s : Set G
hs : s ∈ 𝓝 1
t : OpenSubgroup G
ht : ↑t ⊆ s
N : ℕ
hN : ∀ (b : ℕ), N ≤ b → f (b + 1) / f b ∈ t
M M' : ℕ
hMN : N ≤ M
hMN' : N ≤ M'
h : M ≤ M'
⊢ f (M, M').2 / f (M, M').1 ∈ ↑t
Module: Mathlib.NumberTheory.NumberField.House

Goal state before:
pp: case calc_3
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
this : 0 ≤ c K
kr : α × (K →+* ℂ)
lu : β × (K →+* ℂ)
⊢ c K * house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a kr.1 lu.1 * (newBasis K) lu.2)) ≤
    c K * house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a kr.1 lu.1)) * house ((algebraMap (𝓞 K) K) ((newBasis K) lu.2))

pp: case calc_4
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
this : 0 ≤ c K
kr : α × (K →+* ℂ)
lu : β × (K →+* ℂ)
⊢ c K * house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a kr.1 lu.1)) * house ((algebraMap (𝓞 K) K) ((newBasis K) lu.2)) ≤
    c K * A * house ((algebraMap (𝓞 K) K) ((newBasis K) lu.2))

pp: case calc_5
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
this : 0 ≤ c K
kr : α × (K →+* ℂ)
lu : β × (K →+* ℂ)
⊢ c K * A * house ((algebraMap (𝓞 K) K) ((newBasis K) lu.2)) ≤ c K * A * supOfBasis K

pp: case calc_6
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
this : 0 ≤ c K
kr : α × (K →+* ℂ)
lu : β × (K →+* ℂ)
⊢ c K * A * supOfBasis K ≤ c₂ K * A

Tactic:
· simp only [house, map_mul, mul_assoc]
      gcongr
      apply norm_mul_le

Goal state after:
case calc_4
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
this : 0 ≤ c K
kr : α × (K →+* ℂ)
lu : β × (K →+* ℂ)
⊢ c K * house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a kr.1 lu.1)) * house ((algebraMap (𝓞 K) K) ((newBasis K) lu.2)) ≤
    c K * A * house ((algebraMap (𝓞 K) K) ((newBasis K) lu.2))

case calc_5
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
this : 0 ≤ c K
kr : α × (K →+* ℂ)
lu : β × (K →+* ℂ)
⊢ c K * A * house ((algebraMap (𝓞 K) K) ((newBasis K) lu.2)) ≤ c K * A * supOfBasis K

case calc_6
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
α : Type u_2
β : Type u_3
a : Matrix α β (𝓞 K)
inst✝² : Fintype β
A : ℝ
habs : ∀ (k : α) (l : β), house ((algebraMap (𝓞 K) K) (a k l)) ≤ A
inst✝¹ : DecidableEq (K →+* ℂ)
inst✝ : Fintype α
Apos : 0 ≤ A
this : 0 ≤ c K
kr : α × (K →+* ℂ)
lu : β × (K →+* ℂ)
⊢ c K * A * supOfBasis K ≤ c₂ K * A
Module: Mathlib.NumberTheory.SiegelsLemma

Goal state before:
pp: α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
x : β → ℤ
hxT : x ∈ T
y : β → ℤ
hyT : y ∈ T
hneq : x ≠ y
hfeq : A *ᵥ x = A *ᵥ y
n_mul_norm_A_pow_e_nonneg : 0 ≤ (↑n * max 1 ‖A‖) ^ e
i : β
j : Unit
⊢ -↑⌊(↑n * max 1 ‖A‖) ^ ↑(Rat.divInt (↑m) (subNatNat n m))⌋₊ ≤ x i - y i ∧
    x i - y i ≤ ↑⌊(↑n * max 1 ‖A‖) ^ ↑(Rat.divInt (↑m) (subNatNat n m))⌋₊

Tactic:
Finset.mem_Icc

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
x : β → ℤ
hxT : 0 ≤ x ∧ x ≤ B'
y : β → ℤ
hyT : 0 ≤ y ∧ y ≤ B'
hneq : x ≠ y
hfeq : A *ᵥ x = A *ᵥ y
n_mul_norm_A_pow_e_nonneg : 0 ≤ (↑n * max 1 ‖A‖) ^ e
i : β
j : Unit
⊢ -↑⌊(↑n * max 1 ‖A‖) ^ ↑(Rat.divInt (↑m) (subNatNat n m))⌋₊ ≤ x i - y i ∧
    x i - y i ≤ ↑⌊(↑n * max 1 ‖A‖) ^ ↑(Rat.divInt (↑m) (subNatNat n m))⌋₊
Module: Mathlib.NumberTheory.Ostrowski

Goal state before:
pp: f : AbsoluteValue ℚ ℝ
notbdd : ¬∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
m : ℕ
hm : ¬f ↑m ≤ 1
hfm1 : 1 < f ↑m
oneltm : 1 < m
⊢ f.IsEquiv real

Tactic:
← exists_nat_rpow_iff_isEquiv

Goal state after:
f : AbsoluteValue ℚ ℝ
notbdd : ¬∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
m : ℕ
hm : ¬f ↑m ≤ 1
hfm1 : 1 < f ↑m
oneltm : 1 < m
⊢ ∃ c, 0 < c ∧ ∀ (n : ℕ), f ↑n ^ c = real ↑n
Module: Mathlib.NumberTheory.Padics.MahlerBasis

Goal state before:
pp: p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Module ℤ_[p] E
inst✝¹ : IsBoundedSMul ℤ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
ε : ℝ
hε : ε > 0
this : Tendsto (fun s ↦ ‖f‖ / ↑p ^ s) atTop (𝓝 0)
s : ℕ
hs : ‖f‖ / ↑p ^ s < ε
t : ℕ
ht : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
m : ℕ
⊢ s * p ^ t ≤ m → ‖Δ_[1]^[m] (⇑f) 0‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s

Tactic:
hm

Goal state after:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : Module ℤ_[p] E
inst✝¹ : IsBoundedSMul ℤ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
ε : ℝ
hε : ε > 0
this : Tendsto (fun s ↦ ‖f‖ / ↑p ^ s) atTop (𝓝 0)
s : ℕ
hs : ‖f‖ / ↑p ^ s < ε
t : ℕ
ht : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
m : ℕ
hm : s * p ^ t ≤ m
⊢ ‖Δ_[1]^[m] (⇑f) 0‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
Module: Mathlib.Topology.Separation.DisjointCover

Goal state before:
pp: X : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : TotallyDisconnectedSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
S : Set (V × V)
f : C(X, V)
hS : S ∈ 𝓝ˢ (diagonal V)
n : ℕ
E : Fin n → Clopens X
hEne : ∀ (i : Fin n), E i ≠ ⊥
hES : ∀ (i : Fin n), ∀ y ∈ E i, ∀ z ∈ E i, (f y, f z) ∈ S
hEuniv : univ ⊆ ⋃ i, ↑(E i)
hEdis : Pairwise (Disjoint on E)
g : X → Fin n
hg : ∀ (x : X), (fun i ↦ x ∈ E i) (g x)
hg' : ∀ (x : X) (y : Fin n), (fun i ↦ x ∈ E i) y → y = g x
⊢ ∃ n g h, Continuous[inst✝⁴, _] g ∧ ∀ (x : X), (f x, h (g x)) ∈ S

Tactic:
have h_ex (i) : ∃ x, x ∈ E i := by
    simpa [← SetLike.coe_set_eq, ← nonempty_iff_ne_empty] using! hEne i

Goal state after:
X : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : TotallyDisconnectedSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
S : Set (V × V)
f : C(X, V)
hS : S ∈ 𝓝ˢ (diagonal V)
n : ℕ
E : Fin n → Clopens X
hEne : ∀ (i : Fin n), E i ≠ ⊥
hES : ∀ (i : Fin n), ∀ y ∈ E i, ∀ z ∈ E i, (f y, f z) ∈ S
hEuniv : univ ⊆ ⋃ i, ↑(E i)
hEdis : Pairwise (Disjoint on E)
g : X → Fin n
hg : ∀ (x : X), (fun i ↦ x ∈ E i) (g x)
hg' : ∀ (x : X) (y : Fin n), (fun i ↦ x ∈ E i) y → y = g x
h_ex : ∀ (i : Fin n), ∃ x, x ∈ E i
⊢ ∃ n g h, Continuous[inst✝⁴, _] g ∧ ∀ (x : X), (f x, h (g x)) ∈ S
Module: Mathlib.NumberTheory.Pell

Goal state before:
pp: d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : 0 < a.x
hb : 0 < b.x
⊢ 0 < 1 + d * a.y ^ 2 + d * b.y ^ 2

Tactic:
rcases le_or_gt 0 d with h | h

Goal state after:
case inl
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : 0 < a.x
hb : 0 < b.x
h : 0 ≤ d
⊢ 0 < 1 + d * a.y ^ 2 + d * b.y ^ 2

case inr
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : 0 < a.x
hb : 0 < b.x
h : d < 0
⊢ 0 < 1 + d * a.y ^ 2 + d * b.y ^ 2
Module: Mathlib.NumberTheory.Pell

Goal state before:
pp: d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √↑d
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M
q : ℚ
h : q ∈ {q | |ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2}
h0 : 0 < ↑q.den ^ 2
h1 : ↑q.num / ↑q.den = ↑q
⊢ |↑q| ≤ |ξ| + 1

Tactic:
← sub_le_iff_le_add'

Goal state after:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √↑d
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < ↑M
q : ℚ
h : q ∈ {q | |ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2}
h0 : 0 < ↑q.den ^ 2
h1 : ↑q.num / ↑q.den = ↑q
⊢ |↑q| - |ξ| ≤ 1
Module: Mathlib.NumberTheory.Pell

Goal state before:
pp: d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
n n' : ℤ
hf : (a ^ n).x = (-a ^ n').x
H : 0 < (-a ^ n').x
⊢ False

Tactic:
x_neg,

Goal state after:
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
n n' : ℤ
hf : (a ^ n).x = (-a ^ n').x
H : 0 < -(a ^ n').x
⊢ False
Module: Mathlib.NumberTheory.RamificationInertia.HilbertTheory

Goal state before:
pp: A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁴ : Field K
inst✝³³ : Field L
inst✝³² : Algebra K L
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
p : Ideal A
P : Ideal B
inst✝²⁸ : Algebra A K
inst✝²⁷ : IsFractionRing A K
inst✝²⁶ : Algebra A L
inst✝²⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : IsScalarTower A B L
inst✝²² : IsFractionRing B L
inst✝²¹ : MulSemiringAction Gal(L/K) B
inst✝²⁰ : SMulDistribClass Gal(L/K) B L
D : Type u_5
𝓞D : Type u_6
inst✝¹⁹ : Field D
inst✝¹⁸ : Algebra D L
inst✝¹⁷ : IsDecompositionField K L P D
inst✝¹⁶ : CommRing 𝓞D
inst✝¹⁵ : Algebra 𝓞D D
inst✝¹⁴ : IsFractionRing 𝓞D D
inst✝¹³ : Algebra 𝓞D B
inst✝¹² : Algebra 𝓞D L
inst✝¹¹ : IsScalarTower 𝓞D D L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower 𝓞D B L
𝓟D : Ideal 𝓞D
inst✝⁹ : IsGalois K L
inst✝⁸ : IsDedekindDomain A
inst✝⁷ : IsDedekindDomain B
inst✝⁶ : Module.Finite A B
inst✝⁵ : Module.IsTorsionFree A B
inst✝⁴ : Algebra A 𝓞D
inst✝³ : Module.Finite A 𝓞D
inst✝² : IsScalarTower A 𝓞D B
inst✝¹ : IsDedekindDomain 𝓞D
inst✝ : 𝓟D.LiesOver p
hp : p ≠ ⊥
⊢ Module.Finite 𝓞D B ∧
    Module.IsTorsionFree 𝓞D B ∧
      Module.IsTorsionFree A 𝓞D ∧ IsGaloisGroup Gal(L/K) A B ∧ IsGaloisGroup (↥(stabilizer Gal(L/K) P)) 𝓞D B ∧ 𝓟D ≠ ⊥

Tactic:
by
  have inst₁ : Module.Finite 𝓞D B := Module.Finite.right A 𝓞D B
  have inst₂ : Module.IsTorsionFree 𝓞D B := by
    rw [Module.isTorsionFree_iff_faithfulSMul]
    apply Algebra.IsAlgebraic.faithfulSMul_tower_top A
  have inst₃ : Module.IsTorsionFree A 𝓞D := Module.IsTorsionFree.of_faithfulSMul _ _ B
  have inst₄ : IsGaloisGroup Gal(L/K) A B := .of_isFractionRing _ _ _ K L
  have inst₅ : IsGaloisGroup (stabilizer Gal(L/K) P) 𝓞D B := .of_isFractionRing _ _ _ D L
  exact ⟨inst₁, inst₂, inst₃, inst₄, inst₅, Ideal.ne_bot_of_liesOver_of_ne_bot hp 𝓟D⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.Pell

Goal state before:
pp: case inr
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a₁ : Solution₁ d
ha₁ : IsFundamental a₁
n₁ n₂ : ℤ
Hx : 1 < (-a₁ ^ n₂).x
Hy : 0 < (-a₁ ^ n₂).y
H : ∀ (a : Solution₁ d), ∃ n, a = (-a₁ ^ n₂) ^ n ∨ a = -(-a₁ ^ n₂) ^ n
hn₁ : a₁ = (-a₁ ^ n₂) ^ n₁ ∨ a₁ = -(-a₁ ^ n₂) ^ n₁
⊢ -a₁ ^ n₂ = a₁

Tactic:
x_neg,

Goal state after:
case inr
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a₁ : Solution₁ d
ha₁ : IsFundamental a₁
n₁ n₂ : ℤ
Hx : 1 < -(a₁ ^ n₂).x
Hy : 0 < (-a₁ ^ n₂).y
H : ∀ (a : Solution₁ d), ∃ n, a = (-a₁ ^ n₂) ^ n ∨ a = -(-a₁ ^ n₂) ^ n
hn₁ : a₁ = (-a₁ ^ n₂) ^ n₁ ∨ a₁ = -(-a₁ ^ n₂) ^ n₁
⊢ -a₁ ^ n₂ = a₁
Module: Mathlib.NumberTheory.RatFunc.Ostrowski

Goal state before:
pp: case refine_2
K : Type u_1
Γ : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
v : Valuation K⟮X⟯ Γ
inst✝ : IsTrivialOn K v
hne : {p | v ↑p < 1 ∧ p ≠ 0}.Nonempty
πᵥ : K[X] := ⋯.min {p | v ↑p < 1 ∧ p ≠ 0} hne
a b : K[X]
hab : πᵥ = a * b
H : ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b
hπᵥ : v ↑(a * b) < 1 ∧ ¬a = 0 ∧ ¬b = 0
⊢ False

Tactic:
have hva := one_le_valuation_factor hne hπᵥ hab H.2

Goal state after:
case refine_2
K : Type u_1
Γ : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ
v : Valuation K⟮X⟯ Γ
inst✝ : IsTrivialOn K v
hne : {p | v ↑p < 1 ∧ p ≠ 0}.Nonempty
πᵥ : K[X] := ⋯.min {p | v ↑p < 1 ∧ p ≠ 0} hne
a b : K[X]
hab : πᵥ = a * b
H : ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b
hπᵥ : v ↑(a * b) < 1 ∧ ¬a = 0 ∧ ¬b = 0
hva : 1 ≤ v ↑a
⊢ False
Module: Mathlib.NumberTheory.Rayleigh

Goal state before:
pp: case inr
r : ℝ
j : ℤ
h : r > 0
h✝ : ↑j ≤ (↑⌈(↑j + 1) / r⌉ - 1) * r
⊢ j ∈ {x | ∃ k, beattySeq r k = x} ∨ ∃ k, ↑k < ↑j / r ∧ (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1

Tactic:
refine Or.inl ⟨⌈(j + 1) / r⌉ - 1, ?_⟩
    rw [beattySeq, Int.floor_eq_iff, Int.cast_sub, Int.cast_one, ← lt_div_iff₀ h, sub_lt_iff_lt_add]
    exact ⟨‹_›, Int.ceil_lt_add_one _⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.NumberTheory.RamificationInertia.Basic

Goal state before:
pp: case refine_2
R : Type u
inst✝¹⁶ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : Algebra R S
p : Ideal R
K : Type u_1
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Algebra R K
L : Type u_2
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra S L
inst✝⁹ : IsFractionRing S L
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Module.Finite R S
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic R S
inst✝ : IsTorsionFree R K
hp : p ≠ ⊤
b : Set S
hb' : Submodule.span R b ⊔ Submodule.restrictScalars R (map f p) = ⊤
hRL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
M : Submodule R S := Submodule.span R b
n : ℕ
a : Fin n → S ⧸ M
ha : Submodule.span R (Set.range a) = ⊤
smul_top_eq : p • ⊤ = ⊤
exists_sum : ∀ (x : S ⧸ M), ∃ a', (∀ (i : Fin n), a' i ∈ p) ∧ ∑ i, a' i • a i = x
A' : Fin n → Fin n → R
hA'p : ∀ (i i_1 : Fin n), A' i i_1 ∈ p
hA' : ∀ (i : Fin n), ∑ i_1, A' i i_1 • a i_1 = a i
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := Matrix.of A' - 1
B : Matrix (Fin n) (Fin n) R := A.adjugate
A_smul : ∀ (i : Fin n), ∑ j, A i j • a j = 0
d_smul : ∀ (i : Fin n), A.det • a i = 0
span_d : Submodule.restrictScalars R (S ∙ f A.det) ≤ M
x : L
hx : x ∈ Submodule.restrictScalars K (span {(algebraMap R L) A.det})
⊢ x ∈ Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b)

Tactic:
Submodule.restrictScalars_mem,

Goal state after:
case refine_2
R : Type u
inst✝¹⁶ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : Algebra R S
p : Ideal R
K : Type u_1
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Algebra R K
L : Type u_2
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra S L
inst✝⁹ : IsFractionRing S L
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Module.Finite R S
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic R S
inst✝ : IsTorsionFree R K
hp : p ≠ ⊤
b : Set S
hb' : Submodule.span R b ⊔ Submodule.restrictScalars R (map f p) = ⊤
hRL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
M : Submodule R S := Submodule.span R b
n : ℕ
a : Fin n → S ⧸ M
ha : Submodule.span R (Set.range a) = ⊤
smul_top_eq : p • ⊤ = ⊤
exists_sum : ∀ (x : S ⧸ M), ∃ a', (∀ (i : Fin n), a' i ∈ p) ∧ ∑ i, a' i • a i = x
A' : Fin n → Fin n → R
hA'p : ∀ (i i_1 : Fin n), A' i i_1 ∈ p
hA' : ∀ (i : Fin n), ∑ i_1, A' i i_1 • a i_1 = a i
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := Matrix.of A' - 1
B : Matrix (Fin n) (Fin n) R := A.adjugate
A_smul : ∀ (i : Fin n), ∑ j, A i j • a j = 0
d_smul : ∀ (i : Fin n), A.det • a i = 0
span_d : Submodule.restrictScalars R (S ∙ f A.det) ≤ M
x : L
hx : x ∈ span {(algebraMap R L) A.det}
⊢ x ∈ Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b)