Module: Mathlib.Geometry.Manifold.Immersion

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E''' : Type u_4
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
J' : ModelWithCorners 𝕜 E''' G'
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
x : M
f : M → N
φ : N → N'
h : IsImmersionAtOfComplement F J J' n φ (f x)
t : Set M
ht : t ⊆ f ⁻¹' h.domChart.source
hxt : x ∈ t
f' : E → E'' := ↑(h.domChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm
φ' : E'' → E''' := ↑(h.codChart.extend J') ∘ φ ∘ ↑(h.domChart.extend J).symm
x' : E := ↑(extChartAt I x) x
s : Set E := ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I
hx' : ↑(extChartAt I x) x ∈ s
h' : ContMDiffWithinAt I J' n (φ ∘ f) t x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(h.codChart.extend J') ∘ (φ ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
    (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
rw [contMDiffWithinAt_iff_of_mem_maximalAtlas' h.codChart_mem_maximalAtlas] at h'

Goal state after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E''' : Type u_4
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
J' : ModelWithCorners 𝕜 E''' G'
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
x : M
f : M → N
φ : N → N'
h : IsImmersionAtOfComplement F J J' n φ (f x)
t : Set M
ht : t ⊆ f ⁻¹' h.domChart.source
hxt : x ∈ t
f' : E → E'' := ↑(h.domChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm
φ' : E'' → E''' := ↑(h.codChart.extend J') ∘ φ ∘ ↑(h.domChart.extend J).symm
x' : E := ↑(extChartAt I x) x
s : Set E := ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I
hx' : ↑(extChartAt I x) x ∈ s
h' :
  ContinuousWithinAt (φ ∘ f) t x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(h.codChart.extend J') ∘ (φ ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
      (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(h.codChart.extend J') ∘ (φ ∘ f) ∘ ↑(extChartAt I x).symm)
    (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
E''' : Type u_4
E'' : Type u
F : Type u_5
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
G : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
G' : Type u_10
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 E'' G
J' : ModelWithCorners 𝕜 E''' G'
M : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
N : Type u_13
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞ω
x : M
f : M → N
φ : N → N'
h : IsImmersionAtOfComplement F J J' n φ (f x)
t : Set M
ht : t ⊆ f ⁻¹' h.domChart.source
hxt : x ∈ t
f' : E → E'' := ↑(h.domChart.extend J) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm
φ' : E'' → E''' := ↑(h.codChart.extend J') ∘ φ ∘ ↑(h.domChart.extend J).symm
x' : E := ↑(extChartAt I x) x
s : Set E := ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I
hx' : ↑(extChartAt I x) x ∈ s
h' : ContMDiffWithinAt I J' n (φ ∘ f) t x
⊢ (φ ∘ f) x ∈ h.codChart.source