mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Nondegenerate

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsAnisotropic
⊢ Disjoint (P.rootSpan R) (LinearMap.ker P.RootForm)

Tactic:
by
  have : IsReflexive R M := .of_isPerfPair P.toLinearMap
  rw [← P.ker_polarization_eq_ker_rootForm]
  refine Submodule.disjoint_ker_of_finrank_le (L := P.rootSpan R) P.Polarization ?_
  rw [P.finrank_rootSpan_map_polarization_eq_finrank_corootSpan, P.finrank_corootSpan_eq']

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Hom

Goal state before:
pp: case coweightMap
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
f g : P.End
hfg : (weightHom P) f = (weightHom P) g
x : N
⊢ f.weightMap.dualMap (P.flip.toPerfPair x) = g.weightMap.dualMap (P.flip.toPerfPair x)

Tactic:
exact congrFun (congrArg DFunLike.coe (congrArg LinearMap.dualMap hfg)) (P.flip.toPerfPair x)

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Weights.RootSystem

Goal state before:
pp: case inl
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ β✝ α : Weight K (↥H) L
hα : α ∈ LieSubalgebra.root
β : Weight K (↥H) L
hβ : β ∈ LieSubalgebra.root
u : K
hu : u • Weight.toLinear K (↥H) L α = Weight.toLinear K (↥H) L β
h : β = -α
x : ↥H
⊢ ((rootSystem H).root ⟨α, hα⟩) x = (-(rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩) x

Tactic:
simpa [neg_eq_iff_eq_neg] using DFunLike.congr_fun h.symm x

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : P.pairingIn ℤ i j = 0
⊢ P.coxeterWeightIn ℤ i j = 0

Tactic:
coxeterWeightIn,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : P.pairingIn ℤ i j = 0
⊢ P.pairingIn ℤ i j * P.pairingIn ℤ j i = 0
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h' : LinearIndependent R ![P.root (-i), P.root j]
z : ℤ
⊢ z ∈ Icc (-↑(chainTopCoeff i j)) ↑(chainBotCoeff i j) ↔ P.root j + z • P.root (-i) ∈ range ⇑P.root

Tactic:
indexNeg_neg,

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h' : LinearIndependent R ![P.root (-i), P.root j]
z : ℤ
⊢ z ∈ Icc (-↑(chainTopCoeff i j)) ↑(chainBotCoeff i j) ↔ P.root j + z • P.root ((P.reflectionPerm i) i) ∈ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : M →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
_i✝ : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
_i : Module ℚ N := compHom N (algebraMap ℚ R)
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : Fintype ↑(baseOf (⇑P.root) f)
v : ↑(baseOf (⇑P.root) f) → ↥(P.rootSpan ℚ) := fun i ↦ P.rootSpanMem ℚ ↑i
i : ι
⊢ ↑(P.rootSpanMem ℚ i) ∈ span ℚ ↑(span ℤ (⇑P.root '' baseOf (⇑P.root) f))

Tactic:
← Submodule.coe_toAddSubgroup,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
f : M →+ ℚ
hf : ∀ (i : ι), f (P.root i) ≠ 0
_i✝ : Module ℚ M := compHom M (algebraMap ℚ R)
_i : Module ℚ N := compHom N (algebraMap ℚ R)
this✝ : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : Fintype ↑(baseOf (⇑P.root) f)
v : ↑(baseOf (⇑P.root) f) → ↥(P.rootSpan ℚ) := fun i ↦ P.rootSpanMem ℚ ↑i
i : ι
⊢ ↑(P.rootSpanMem ℚ i) ∈ span ℚ ↑(span ℤ (⇑P.root '' baseOf (⇑P.root) f)).toAddSubgroup
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root (-j)]
z : ℤ
⊢ z ∈ Icc (-↑(chainTopCoeff i j)) ↑(chainBotCoeff i j) ↔ P.root (-j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root

Tactic:
indexNeg_neg,

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root (-j)]
z : ℤ
⊢ z ∈ Icc (-↑(chainTopCoeff i j)) ↑(chainBotCoeff i j) ↔ P.root ((P.reflectionPerm j) j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
this✝² : Module.IsReflexive R M
this✝¹ : Module.IsReflexive R N
this✝ : IsAddTorsionFree M
hli : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
this : P.coxeterWeightIn ℤ i j ∈ {1, 2, 3}
⊢ P.pairingIn ℤ i j = 1 ∨ P.pairingIn ℤ j i = 1

Tactic:
coxeterWeightIn,

Goal state after:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝ : IsDomain R
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
this✝² : Module.IsReflexive R M
this✝¹ : Module.IsReflexive R N
this✝ : IsAddTorsionFree M
hli : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
this : P.pairingIn ℤ i j * P.pairingIn ℤ j i ∈ {1, 2, 3}
⊢ P.pairingIn ℤ i j = 1 ∨ P.pairingIn ℤ j i = 1
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Base

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
i : ι
m : M
⊢ m ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support) →
    ∃ f, Function.support f ⊆ ↑b.support ∧ m = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j

Tactic:
hm

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
b : P.Base
i : ι
m : M
hm : m ∈ AddSubmonoid.closure (⇑P.root '' ↑b.support)
⊢ ∃ f, Function.support f ⊆ ↑b.support ∧ m = ∑ j ∈ b.support, f j • P.root j
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.BaseExists

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
f : M →+ ℚ
hf : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h_card : (baseOf (⇑P.root) f).ncard = s.ncard
hsp : ∀ (i : ι), ∃ z, f (P.root i) = ↑z
i : ι
hi : i ∈ s
j k : ι
n : ℤ
hn : f (P.root j) = ↑n
m : ℤ
hm : f (P.root k) = ↑m
hj : 0 < n
hk : 0 < m
contra : f (P.root i) = f (P.root j + P.root k)
⊢ 1 = n + m

Tactic:
hf i hi,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Field R
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝¹ : P.IsRootSystem
inst✝ : P.IsCrystallographic
s : Set ι
hli : LinearIndepOn R (⇑P.root) s
f : M →+ ℚ
hf : ∀ i ∈ s, f (P.root i) = 1
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
h_card : (baseOf (⇑P.root) f).ncard = s.ncard
hsp : ∀ (i : ι), ∃ z, f (P.root i) = ↑z
i : ι
hi : i ∈ s
j k : ι
n : ℤ
hn : f (P.root j) = ↑n
m : ℤ
hm : f (P.root k) = ↑m
hj : 0 < n
hk : 0 < m
contra : 1 = f (P.root j + P.root k)
⊢ 1 = n + m
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.Lemmas

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : P.IsCrystallographic
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : P.IsReduced
B : P.InvariantForm
i j : ι
h : P.pairingIn ℤ i j ≠ 0
⊢ (B.form (P.root i)) (P.root i) = (B.form (P.root j)) (P.root j) ∨
    (B.form (P.root i)) (P.root i) = 2 * (B.form (P.root j)) (P.root j) ∨
      (B.form (P.root i)) (P.root i) = 3 * (B.form (P.root j)) (P.root j) ∨
        (B.form (P.root j)) (P.root j) = 2 * (B.form (P.root i)) (P.root i) ∨
          (B.form (P.root j)) (P.root j) = 3 * (B.form (P.root i)) (P.root i)

Tactic:
by
  have h₁ := P.pairingIn_pairingIn_mem_set_of_isCrystal_of_isRed i j
  have h₂ : algebraMap ℤ R (P.pairingIn ℤ j i) * B.form (α i) (α i) =
            algebraMap ℤ R (P.pairingIn ℤ i j) * B.form (α j) (α j) := by
    simpa only [algebraMap_pairingIn] using B.pairing_mul_eq_pairing_mul_swap i j
  aesop

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
S₁ : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₁_def : S₁ = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₂ : Set ℤ := {z | P.root (chainTopIdx i j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₂_def : S₂ = {z | P.root (chainTopIdx i j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₁₂ : S₂ = (fun z ↦ -↑(chainTopCoeff i j) + z) '' S₁
hS₁ : S₁ = Icc (-↑(chainBotCoeff i j)) ↑(chainTopCoeff i j)
x✝ : ℤ
⊢ x✝ ∈ S₂ ↔ x✝ ∈ Icc (-↑(chainBotCoeff i (chainTopIdx i j))) ↑(chainTopCoeff i (chainTopIdx i j))

Tactic:
S₂_def,

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : Finite ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CharZero R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝ : P.IsCrystallographic
i j : ι
aux : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j] ↔ LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
h : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h' : LinearIndependent R ![P.root i, P.root (chainTopIdx i j)]
S₁ : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₁_def : S₁ = {z | P.root j + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₂ : Set ℤ := {z | P.root (chainTopIdx i j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
S₂_def : S₂ = {z | P.root (chainTopIdx i j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root}
hS₁₂ : S₂ = (fun z ↦ -↑(chainTopCoeff i j) + z) '' S₁
hS₁ : S₁ = Icc (-↑(chainBotCoeff i j)) ↑(chainTopCoeff i j)
x✝ : ℤ
⊢ x✝ ∈ {z | P.root (chainTopIdx i j) + z • P.root i ∈ range ⇑P.root} ↔
    x✝ ∈ Icc (-↑(chainBotCoeff i (chainTopIdx i j))) ↑(chainTopCoeff i (chainTopIdx i j))
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Basic

Goal state before:
pp: case inr
α : Type u_1
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
f : CauSeq α abs
h : ¬f.LimZero
K : α
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j|
⊢ f.Pos ∨ (-f).Pos

Tactic:
rcases exists_forall_ge_and hK (f.cauchy₃ K0) with ⟨i, hi⟩

Goal state after:
case inr
α : Type u_1
inst✝² : Field α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsStrictOrderedRing α
f : CauSeq α abs
h : ¬f.LimZero
K : α
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j|
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j| ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K
⊢ f.Pos ∨ (-f).Pos
Module: Mathlib.Data.Real.Basic

Goal state before:
pp: a : Cauchy abs
⊢ { cauchy := a }.neg.cauchy = -{ cauchy := a }.cauchy

Tactic:
rw [neg_def]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Order.CauSeq.Completion

Goal state before:
pp: α : Type u_1
inst✝⁵ : Field α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : IsStrictOrderedRing α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
h : (f - const abv 0).LimZero
h₁ : f = f - const abv 0
⊢ f.lim = 0

Tactic:
exact lim_eq_of_equiv_const h

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.Real.Basic

Goal state before:
pp: case h
x : ℝ
f y✝ : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk y✝ ≤ ↑(↑f j)
K : ℚ
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ ↑(y✝ - f) j
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, mk y✝ ≤ ↑(↑f j) ∧ K ≤ ↑(y✝ - f) j ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K / 2
⊢ False

Tactic:
apply not_lt_of_ge (H _ le_rfl).1

Goal state after:
case h
x : ℝ
f y✝ : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk y✝ ≤ ↑(↑f j)
K : ℚ
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ ↑(y✝ - f) j
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, mk y✝ ≤ ↑(↑f j) ∧ K ≤ ↑(y✝ - f) j ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K / 2
⊢ ↑(↑f i) < mk y✝
Module: Mathlib.Data.Real.Basic

Goal state before:
pp: f : CauSeq ℚ abs
x : ℝ
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, ↑(↑f j) ≤ x
j : ℕ
ij : j ≥ i
⊢ -x ≤ ↑(↑(-f) j)

Tactic:
simp [H _ ij]

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Vec

Goal state before:
pp: l✝ : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_4
p : Type u_5
R : Type u_3
inst✝² : NonUnitalSemiring R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
A : Matrix l✝ m R
X : Matrix m n R
B : Matrix p n R
hB : ∀ (x : R) (i : p) (j : n), Commute x (B i j)
k : p
l : l✝
⊢ (fun j ↦ kroneckerMap (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) B A (k, l) j) ⬝ᵥ X.vec = (A * X * Bᵀ) l k

Tactic:
mul_apply,

Goal state after:
l✝ : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_4
p : Type u_5
R : Type u_3
inst✝² : NonUnitalSemiring R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
A : Matrix l✝ m R
X : Matrix m n R
B : Matrix p n R
hB : ∀ (x : R) (i : p) (j : n), Commute x (B i j)
k : p
l : l✝
⊢ (fun j ↦ kroneckerMap (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) B A (k, l) j) ⬝ᵥ X.vec = ∑ j, (∑ j_1, A l j_1 * X j_1 j) * Bᵀ j k
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.Vec

Goal state before:
pp: l✝ : Type u_2
m : Type u_1
n : Type u_4
p : Type u_5
R : Type u_3
inst✝² : NonUnitalSemiring R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m l✝ R
X : Matrix m n R
B : Matrix n p R
hA : ∀ (x : R) (i : m) (j : l✝), Commute (A i j) x
k : p
l : l✝
⊢ (X.vec ⬝ᵥ fun i ↦ kroneckerMap (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) B A i (k, l)) = (Aᵀ * X * B) l k

Tactic:
mul_apply,

Goal state after:
l✝ : Type u_2
m : Type u_1
n : Type u_4
p : Type u_5
R : Type u_3
inst✝² : NonUnitalSemiring R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m l✝ R
X : Matrix m n R
B : Matrix n p R
hA : ∀ (x : R) (i : m) (j : l✝), Commute (A i j) x
k : p
l : l✝
⊢ (X.vec ⬝ᵥ fun i ↦ kroneckerMap (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) B A i (k, l)) = ∑ j, (∑ j_1, Aᵀ l j_1 * X j_1 j) * B j k
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.PosDef

Goal state before:
pp: m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : PartialOrder R
inst✝ : StarRing R
M : Matrix n n R
hM : M.PosSemidef
e : m → n
x : m →₀ R
⊢ 0 ≤ x.sum fun i xi ↦ x.sum fun j xj ↦ star xi * M.submatrix e e i j * xj

Tactic:
simpa [Finsupp.sum_mapDomain_index, add_mul, mul_add] using hM.2 <| x.mapDomain e

Goal state after:
Module: Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.ZMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : TrivialStar R
A : Matrix ι ι R
d : ι → R
hA : (diagonal d * A).PosDef
hD : ∀ (i : ι), 0 < d i
μ ρ : R
hμ : ∀ (i j : ι), A i j ≤ if i = j then μ else 0
hρ : HasEigenvalue (toLin' A) ρ
contra : 2 * μ ≤ ρ
N : Matrix ι ι R := μ • 1 - A
N_def : N = μ • 1 - A
hN : ∀ (i j : ι), 0 ≤ N i j
v : ι → R
hv : N *ᵥ v = (μ - ρ) • v
q : R := |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
q_def : q = |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
Q : R := μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
Q_def : Q = μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
hv₀ : |v| ≠ 0
h₁ : 0 < ∑ j, ∑ i, |v i| * (d i * A i j) * |v j|
⊢ Q = ∑ i, |v i| * (d i * μ) * |v i|

Tactic:
rw [Q_def, Finset.mul_sum]

Goal state after:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LinearOrder R
inst✝² : IsStrictOrderedRing R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : TrivialStar R
A : Matrix ι ι R
d : ι → R
hA : (diagonal d * A).PosDef
hD : ∀ (i : ι), 0 < d i
μ ρ : R
hμ : ∀ (i j : ι), A i j ≤ if i = j then μ else 0
hρ : HasEigenvalue (toLin' A) ρ
contra : 2 * μ ≤ ρ
N : Matrix ι ι R := μ • 1 - A
N_def : N = μ • 1 - A
hN : ∀ (i j : ι), 0 ≤ N i j
v : ι → R
hv : N *ᵥ v = (μ - ρ) • v
q : R := |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
q_def : q = |v| ⬝ᵥ (diagonal d * N) *ᵥ |v|
Q : R := μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
Q_def : Q = μ * ∑ i, d i * |v i| ^ 2
hv₀ : |v| ≠ 0
h₁ : 0 < ∑ j, ∑ i, |v i| * (d i * A i j) * |v j|
⊢ ∑ i, μ * (d i * |v i| ^ 2) = ∑ i, |v i| * (d i * μ) * |v i|
Module: Mathlib.Data.Nat.Factorial.SuperFactorial

Goal state before:
pp: n : ℕ
⊢ sf 2 * (n + 1) = (∏ i ∈ range (n + 1), (2 * i + 1)!) ^ 2 * 2 ^ (n + 1) * (n + 1)!

Tactic:
by
    simp only [prod_range_succ, mul_pow, mul_add, mul_one, superFactorial_succ,
      superFactorial_two_mul n, factorial_succ]
    ring

Goal state after:
Module: Mathlib.RingTheory.Polynomial.Pochhammer

Goal state before:
pp: a b : ℕ
⊢ eval a (ascPochhammer ℕ b) = (a + b - 1).descFactorial b

Tactic:
ascPochhammer_nat_eq_ascFactorial,

Goal state after:
a b : ℕ
⊢ a.ascFactorial b = (a + b - 1).descFactorial b
Module: Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.CartanMatrix

Goal state before:
pp: ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝²² : CommRing R
inst✝²¹ : AddCommGroup M
inst✝²⁰ : Module R M
inst✝¹⁹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁸ : Module R N
S : Type u_5
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra S R
P✝ : RootPairing ι R M N
inst✝¹⁵ : P✝.IsValuedIn S
b✝ : P✝.Base
inst✝¹⁴ : P✝.IsCrystallographic
inst✝¹³ : CharZero R
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : Finite ι
ι₂ : Type u_6
M₂ : Type u_7
N₂ : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₂
inst✝⁹ : Module R M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : Module R N₂
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁶ : P.IsRootSystem
inst✝⁵ : P.IsCrystallographic
inst✝⁴ : P.IsReduced
b : P.Base
P₂ : RootPairing ι₂ R M₂ N₂
inst✝³ : P₂.IsCrystallographic
b₂ : P₂.Base
e : ↥b.support ≃ ↥b₂.support
inst✝² : Finite ι₂
inst✝¹ : P₂.IsRootSystem
inst✝ : P₂.IsReduced
he : ∀ (i j : ↥b.support), b₂.cartanMatrix (e i) (e j) = b.cartanMatrix i j
f : M ≃ₗ[R] M₂ := b.toWeightBasis.equiv b₂.toWeightBasis e
hf : ∀ (m : M), f m ∈ range ⇑P₂.root ↔ m ∈ range ⇑P.root
this✝² : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
this✝¹ : Fintype ι₂ := Fintype.ofFinite ι₂
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq M₂
e' : ι ≃ ι₂ := P.root.toEquivRange.trans ((BijOn.equiv ⇑f.toAddEquiv.toEquiv ⋯).trans P₂.root.toEquivRange.symm)
i : ι
⊢ f (P.root i) = P₂.root (e' i)

Tactic:
by
    simp [f, e', BijOn.equiv, Embedding.toEquivRange]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
h₁ :
  ↑(LieSubalgebra.map (prod eι b₁ b₂).incl (prodCartan eι b₁ b₂)) =
    ↑(lieSpan R (L₁ × L₂) {x | ∃ i, (b₁.h i, b₂.h (eι i)) = x})
h₂ :
  (lieSpan R (L₁ × L₂) {x | ∃ i, (b₁.h i, b₂.h (eι i)) = x}).toSubmodule = span R {x | ∃ i, (b₁.h i, b₂.h (eι i)) = x}
h₃ : Submodule.map (LinearMap.fst R L₁ L₂) (span R {x | ∃ i, (b₁.h i, b₂.h (eι i)) = x}) = span R (Set.range b₁.h)
⊢ (lieSpan R L₁ (Set.range b₁.h)).toSubmodule = span R (Set.range b₁.h)

Tactic:
by
    rw [← b₁.coe_cartan_eq_span, toSubmodule_inj, ← b₁.cartan_eq_lieSpan]

Goal state after:
Module: Mathlib.Algebra.Lie.Basis.Prod

Goal state before:
pp: ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
L₁ : Type u_3
L₂ : Type u_4
inst✝⁶ : Finite ι₁
inst✝⁵ : Finite ι₂
eι : ι₁ ≃ ι₂
inst✝⁴ : LieRing L₁
inst✝³ : LieRing L₂
R : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
H₁ : LieSubalgebra R L₁
b₁ : Basis ι₁ H₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
H₂ : LieSubalgebra R L₂
b₂ : Basis ι₂ H₂
hA : (Matrix.reindex eι eι) b₁.A = b₂.A
i : ι₁
⊢ ⁅prodH eι b₁ b₂ i, prodF eι b₁ b₂ i⁆ = -(2 • prodF eι b₁ b₂ i)

Tactic:
simp [Subtype.ext_iff, (b₁.sl2 i).lie_h_f_nsmul, (b₂.sl2 (eι i)).lie_h_f_nsmul]

Goal state after: