Module: Mathlib.RingTheory.IsTensorProduct

Goal state before:
pp: case refine_3
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', ↑R g' ∘ₗ f = g
g : N →ₗ[S] ULift.{v₂, max v₁ v₃} (S ⊗[R] M)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N := TensorProduct.lift (↑R ((Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))).toLinearMap.flip f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N := { toAddHom := f'.toAddHom, map_smul' := ⋯ }
hg : ∀ (x : M), g (f x) = ↑ULift.moduleEquiv.symm (((mk R S M) 1) x)
fe : S ⊗[R] M ≃ₗ[S] N := LinearEquiv.ofLinearMap f'' (↑ULift.moduleEquiv ∘ₗ g) ?refine_1 ?refine_2
⊢ Function.Bijective ⇑f'

pp: case refine_1
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', ↑R g' ∘ₗ f = g
g : N →ₗ[S] ULift.{v₂, max v₁ v₃} (S ⊗[R] M)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N := TensorProduct.lift (↑R ((Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))).toLinearMap.flip f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N := { toAddHom := f'.toAddHom, map_smul' := ⋯ }
hg : ∀ (x : M), g (f x) = ↑ULift.moduleEquiv.symm (((mk R S M) 1) x)
⊢ f'' ∘ₗ ↑ULift.moduleEquiv ∘ₗ g = LinearMap.id

pp: case refine_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', ↑R g' ∘ₗ f = g
g : N →ₗ[S] ULift.{v₂, max v₁ v₃} (S ⊗[R] M)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N := TensorProduct.lift (↑R ((Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))).toLinearMap.flip f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N := { toAddHom := f'.toAddHom, map_smul' := ⋯ }
hg : ∀ (x : M), g (f x) = ↑ULift.moduleEquiv.symm (((mk R S M) 1) x)
⊢ (↑ULift.moduleEquiv ∘ₗ g) ∘ₗ f'' = LinearMap.id

Tactic:
· exact fe.bijective

Goal state after:
case refine_1
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', ↑R g' ∘ₗ f = g
g : N →ₗ[S] ULift.{v₂, max v₁ v₃} (S ⊗[R] M)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N := TensorProduct.lift (↑R ((Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))).toLinearMap.flip f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N := { toAddHom := f'.toAddHom, map_smul' := ⋯ }
hg : ∀ (x : M), g (f x) = ↑ULift.moduleEquiv.symm (((mk R S M) 1) x)
⊢ f'' ∘ₗ ↑ULift.moduleEquiv ∘ₗ g = LinearMap.id

case refine_2
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h :
  ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q]
    [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', ↑R g' ∘ₗ f = g
g : N →ₗ[S] ULift.{v₂, max v₁ v₃} (S ⊗[R] M)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N := TensorProduct.lift (↑R ((Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))).toLinearMap.flip f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N := { toAddHom := f'.toAddHom, map_smul' := ⋯ }
hg : ∀ (x : M), g (f x) = ↑ULift.moduleEquiv.symm (((mk R S M) 1) x)
⊢ (↑ULift.moduleEquiv ∘ₗ g) ∘ₗ f'' = LinearMap.id