Module: Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality

Goal state before:
pp: 𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁹ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁸ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁶ : FiberBundle F V
A : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommGroup A
inst✝⁴ : Module 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
hΦ : TensorialAt I F Φ x
σ σ' : (x : M) → V x
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hσσ' : σ x = σ' x
t : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x
x_mem : x ∈ t.baseSet
b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F)) 𝕜 F := Basis.ofVectorSpace 𝕜 F
s : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) → (x : M) → V x := t.localFrame b
c : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) → (x : M) → V x →ₗ[𝕜] 𝕜 := Trivialization.localFrameCoeff I t b
hs : ∀ (i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F)), MDiffAt (T% s) x
hc :
  ∀ {σ : (x : M) → V x},
    MDiffAt (T% σ) x → ∀ (i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F)), MDiffAt ((LinearMap.piApply (c i)) σ) x
hΦ_eq : ∀ {σ : (x : M) → V x}, MDiffAt (T% σ) x → Φ σ = Φ fun x' ↦ ∑ i, (c i x') (σ x') • s i x'
⊢ (∑ i, Φ fun x' ↦ (c i x') (σ x') • s i x') = ∑ i, Φ fun x' ↦ (c i x') (σ' x') • s i x'

pp: case hσ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁹ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁸ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁶ : FiberBundle F V
A : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommGroup A
inst✝⁴ : Module 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
hΦ : TensorialAt I F Φ x
σ σ' : (x : M) → V x
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hσσ' : σ x = σ' x
t : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x
x_mem : x ∈ t.baseSet
b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F)) 𝕜 F := Basis.ofVectorSpace 𝕜 F
s : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) → (x : M) → V x := t.localFrame b
c : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) → (x : M) → V x →ₗ[𝕜] 𝕜 := Trivialization.localFrameCoeff I t b
hs : ∀ (i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F)), MDiffAt (T% s) x
hc :
  ∀ {σ : (x : M) → V x},
    MDiffAt (T% σ) x → ∀ (i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F)), MDiffAt ((LinearMap.piApply (c i)) σ) x
hΦ_eq : ∀ {σ : (x : M) → V x}, MDiffAt (T% σ) x → Φ σ = Φ fun x' ↦ ∑ i, (c i x') (σ x') • s i x'
⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, (MDiffAt fun x ↦ ⟨x, (c i x) (σ' x) • s i x⟩) x

pp: case hσ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁹ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁸ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁶ : FiberBundle F V
A : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommGroup A
inst✝⁴ : Module 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
hΦ : TensorialAt I F Φ x
σ σ' : (x : M) → V x
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hσσ' : σ x = σ' x
t : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x
x_mem : x ∈ t.baseSet
b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F)) 𝕜 F := Basis.ofVectorSpace 𝕜 F
s : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) → (x : M) → V x := t.localFrame b
c : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) → (x : M) → V x →ₗ[𝕜] 𝕜 := Trivialization.localFrameCoeff I t b
hs : ∀ (i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F)), MDiffAt (T% s) x
hc :
  ∀ {σ : (x : M) → V x},
    MDiffAt (T% σ) x → ∀ (i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F)), MDiffAt ((LinearMap.piApply (c i)) σ) x
hΦ_eq : ∀ {σ : (x : M) → V x}, MDiffAt (T% σ) x → Φ σ = Φ fun x' ↦ ∑ i, (c i x') (σ x') • s i x'
⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, (MDiffAt fun x ↦ ⟨x, (c i x) (σ x) • s i x⟩) x

Tactic:
· congr! 1 with i
    calc Φ ((LinearMap.piApply (c i) σ) • (s i))
        = c i x (σ x) • Φ (s i) := hΦ.smul (hc hσ i) (hs i)
      _ = c i x (σ' x) • Φ (s i) := by rw [hσσ']
      _ = Φ ((LinearMap.piApply (c i) σ') • (s i)) :=
          hΦ.smul (hc hσ' i) (hs i) |>.symm

Goal state after:
case hσ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁹ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁸ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁶ : FiberBundle F V
A : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommGroup A
inst✝⁴ : Module 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
hΦ : TensorialAt I F Φ x
σ σ' : (x : M) → V x
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hσσ' : σ x = σ' x
t : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x
x_mem : x ∈ t.baseSet
b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F)) 𝕜 F := Basis.ofVectorSpace 𝕜 F
s : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) → (x : M) → V x := t.localFrame b
c : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) → (x : M) → V x →ₗ[𝕜] 𝕜 := Trivialization.localFrameCoeff I t b
hs : ∀ (i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F)), MDiffAt (T% s) x
hc :
  ∀ {σ : (x : M) → V x},
    MDiffAt (T% σ) x → ∀ (i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F)), MDiffAt ((LinearMap.piApply (c i)) σ) x
hΦ_eq : ∀ {σ : (x : M) → V x}, MDiffAt (T% σ) x → Φ σ = Φ fun x' ↦ ∑ i, (c i x') (σ x') • s i x'
⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, (MDiffAt fun x ↦ ⟨x, (c i x) (σ' x) • s i x⟩) x

case hσ
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁹ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁸ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝⁷ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝⁶ : FiberBundle F V
A : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommGroup A
inst✝⁴ : Module 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
hΦ : TensorialAt I F Φ x
σ σ' : (x : M) → V x
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hσσ' : σ x = σ' x
t : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x
x_mem : x ∈ t.baseSet
b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F)) 𝕜 F := Basis.ofVectorSpace 𝕜 F
s : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) → (x : M) → V x := t.localFrame b
c : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) → (x : M) → V x →ₗ[𝕜] 𝕜 := Trivialization.localFrameCoeff I t b
hs : ∀ (i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F)), MDiffAt (T% s) x
hc :
  ∀ {σ : (x : M) → V x},
    MDiffAt (T% σ) x → ∀ (i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F)), MDiffAt ((LinearMap.piApply (c i)) σ) x
hΦ_eq : ∀ {σ : (x : M) → V x}, MDiffAt (T% σ) x → Φ σ = Φ fun x' ↦ ∑ i, (c i x') (σ x') • s i x'
⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, (MDiffAt fun x ↦ ⟨x, (c i x) (σ x) • s i x⟩) x