mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Bicategory.Kan.Adjunction

Goal state before:
pp: B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
u : b ⟶ a
t : LeftLift u (𝟙 a)
H : t.IsKan
H' : (t.whisker u).IsKan
ε : u ≫ t.lift ⟶ 𝟙 b := H'.desc (LeftLift.mk (𝟙 b) ((ρ_ u).hom ≫ (λ_ u).inv))
Hε : rightZigzag t.unit ε = (ρ_ u).hom ≫ (λ_ u).inv
⊢ 𝟙 (𝟙 a) ⊗≫ t.unit ⊗≫ t.lift ◁ (u ◁ t.unit ⊗≫ ε ▷ u) ⊗≫ 𝟙 ((t.lift ≫ 𝟙 b) ≫ u) =
    t.unit ≫ ((λ_ t.lift).inv ≫ (λ_ t.lift).hom ≫ (ρ_ t.lift).inv) ▷ u

Tactic:
rw [← rightZigzag, Hε]; bicategory

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Category.PartialFun

Goal state before:
pp: X Y Z : Pointed
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x✝¹ : PartialFun.of { x // x ≠ X.point }
x✝ : PartialFun.of { x // x ≠ Z.point }
a : X.X
ha : a ≠ X.point
hc : g.toFun (f.toFun a) ≠ Z.point
⊢ ¬Y.point = f.toFun a ∧ ¬Z.point = g.toFun (f.toFun a)

Tactic:
refine ⟨fun h => hc.symm <| g.map_point ▸ congr_arg g.toFun h, hc.symm⟩

Goal state after:
Module: Mathlib.Data.PFun

Goal state before:
pp: case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h✝ : b ∈ f.fix a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ f.fix a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
a' : α
h : b ∈ f.fix a'
ih : (a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a''
b' : β
e : Sum.inl b' ∈ f a'
⊢ Sum.inl b ∈ f a'

Tactic:
convert! e

Goal state after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
h✝ : b ∈ f.fix a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ f.fix a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
a' : α
h : b ∈ f.fix a'
ih : (a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a''
b' : β
e : Sum.inl b' ∈ f a'
⊢ b = b'
Module: Mathlib.CategoryTheory.LocallyCartesianClosed.ChosenPullbacksAlong

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
Y Z X : C
f : Y ⟶ X
g : Z ⟶ X
inst✝ : ChosenPullbacksAlong g
W : C
a : W ⟶ Y
b : W ⟶ Z
h : a ≫ f = b ≫ g
⊢ lift a b h ≫ snd f g = b

Tactic:
by
  simp [lift]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.Monoidal.Basic

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝³ : Category.{v_2, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝² : MonoidalCategory C
inst✝¹ : W.IsMonoidal
inst✝ : L.IsLocalization W
unit : D
ε : L.obj (𝟙_ C) ≅ unit
Y₁ Y₂ Y₃ Y₄ : LocalizedMonoidal L W ε
X₁ : C
e₁ : L'.obj X₁ ≅ Y₁
X₂ : C
e₂ : L'.obj X₂ ≅ Y₂
X₃ : C
e₃ : L'.obj X₃ ≅ Y₃
X₄ : C
e₄ : L'.obj X₄ ≅ Y₄
this : Pentagon (L'.obj X₁) (L'.obj X₂) (L'.obj X₃) (L'.obj X₄)
⊢ ((α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom ⊗ₘ 𝟙 Y₄) ≫ (α_ Y₁ (Y₂ ⊗ Y₃) Y₄).hom ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ₘ (α_ Y₂ Y₃ Y₄).hom) =
    (((e₁.inv ⊗ₘ e₂.inv) ⊗ₘ e₃.inv) ≫ (α_ (L'.obj X₁) (L'.obj X₂) (L'.obj X₃)).hom ⊗ₘ
        e₄.inv ≫ 𝟙 (L'.obj X₄) ≫ 𝟙 (L'.obj X₄)) ≫
      ((e₁.hom ⊗ₘ e₂.hom ⊗ₘ e₃.hom) ⊗ₘ e₄.hom) ≫ (α_ Y₁ (Y₂ ⊗ Y₃) Y₄).hom ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ₘ (α_ Y₂ Y₃ Y₄).hom)

Tactic:
associator_naturality,

Goal state after:
case refine_1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝³ : Category.{v_2, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝² : MonoidalCategory C
inst✝¹ : W.IsMonoidal
inst✝ : L.IsLocalization W
unit : D
ε : L.obj (𝟙_ C) ≅ unit
Y₁ Y₂ Y₃ Y₄ : LocalizedMonoidal L W ε
X₁ : C
e₁ : L'.obj X₁ ≅ Y₁
X₂ : C
e₂ : L'.obj X₂ ≅ Y₂
X₃ : C
e₃ : L'.obj X₃ ≅ Y₃
X₄ : C
e₄ : L'.obj X₄ ≅ Y₄
this : Pentagon (L'.obj X₁) (L'.obj X₂) (L'.obj X₃) (L'.obj X₄)
⊢ ((α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom ⊗ₘ 𝟙 Y₄) ≫ (α_ Y₁ (Y₂ ⊗ Y₃) Y₄).hom ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ₘ (α_ Y₂ Y₃ Y₄).hom) =
    ((α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom ≫ (e₁.inv ⊗ₘ e₂.inv ⊗ₘ e₃.inv) ⊗ₘ e₄.inv ≫ 𝟙 (L'.obj X₄) ≫ 𝟙 (L'.obj X₄)) ≫
      ((e₁.hom ⊗ₘ e₂.hom ⊗ₘ e₃.hom) ⊗ₘ e₄.hom) ≫ (α_ Y₁ (Y₂ ⊗ Y₃) Y₄).hom ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ₘ (α_ Y₂ Y₃ Y₄).hom)
Module: Mathlib.CategoryTheory.FiberedCategory.HomLift

Goal state before:
pp: 𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝² : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b c : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝¹ : p.IsHomLift f φ
T : 𝒮
ψ : b ⟶ c
inst✝ : p.IsHomLift (𝟙 T) ψ
⊢ S = T

Tactic:
rw [← codomain_eq p f φ, domain_eq p (𝟙 T) ψ]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.FiberedCategory.HomLift

Goal state before:
pp: 𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝² : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b c : 𝒳
R : 𝒮
φ : a ⟶ b
inst✝¹ : p.IsHomLift (𝟙 R) φ
S T : 𝒮
f : S ⟶ T
ψ : b ⟶ c
inst✝ : p.IsHomLift f ψ
⊢ R = S

Tactic:
← codomain_eq p (𝟙 R) φ,

Goal state after:
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝² : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b c : 𝒳
R : 𝒮
φ : a ⟶ b
inst✝¹ : p.IsHomLift (𝟙 R) φ
S T : 𝒮
f : S ⟶ T
ψ : b ⟶ c
inst✝ : p.IsHomLift f ψ
⊢ p.obj b = S
Module: Mathlib.CategoryTheory.Enriched.FunctorCategory

Goal state before:
pp: V : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} V
inst✝⁷ : MonoidalCategory V
C : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} C
J : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} J
K : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} K
inst✝³ : EnrichedOrdinaryCategory V C
F₁ F₂ F₃ F₄ : J ⥤ C
inst✝² : HasEnrichedHom V F₁ F₂
inst✝¹ : HasEnrichedHom V F₂ F₃
inst✝ : HasEnrichedHom V F₁ F₃
i j : J
f : i ⟶ j
⊢ (end_.π (diagram V F₁ F₂) i ⊗ₘ end_.π (diagram V F₂ F₃) j) ≫
      (ρ_ (((diagram V F₁ F₂).obj (Opposite.op i)).obj i)).inv ▷ ((diagram V F₂ F₃).obj (Opposite.op j)).obj j ≫
        (((diagram V F₁ F₂).obj (Opposite.op i)).obj i ◁ (eHomEquiv V) (F₂.map f)) ▷
            ((diagram V F₂ F₃).obj (Opposite.op j)).obj j ≫
          eComp V (Opposite.unop (F₁.op.obj (Opposite.op i))) (F₂.obj i) (F₂.obj j) ▷
              ((diagram V F₂ F₃).obj (Opposite.op j)).obj j ≫
            eComp V (Opposite.unop (F₁.op.obj (Opposite.op i))) (F₂.obj j) (F₃.obj j) =
    ((end_.π (diagram V F₁ F₂) j ⊗ₘ end_.π (diagram V F₂ F₃) j) ≫ eComp V (F₁.obj j) (F₂.obj j) (F₃.obj j)) ≫
      eHomWhiskerRight V (F₁.map f) (F₃.obj j)

Tactic:
· have := end_.condition (diagram V F₁ F₂) f
      dsimp [eHomWhiskerLeft, eHomWhiskerRight] at this ⊢
      conv_lhs =>
        rw [tensorHom_def'_assoc, ← comp_whiskerRight_assoc,
          ← comp_whiskerRight_assoc, ← comp_whiskerRight_assoc,
          assoc, assoc, this, comp_whiskerRight_assoc, comp_whiskerRight_assoc,
          comp_whiskerRight_assoc, leftUnitor_inv_whiskerRight_assoc,
          ← associator_inv_naturality_left_assoc, ← e_assoc',
          Iso.inv_hom_id_assoc, ← whisker_exchange_assoc, id_whiskerLeft_assoc,
          Iso.inv_hom_id_assoc]
      conv_rhs => rw [assoc, tensorHom_def'_assoc]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Functor.ReflectsIso.Exact

Goal state before:
pp: C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{v_1, u_1} C
I : Type u_2
D : I → Type u_3
inst✝⁵ : (i : I) → Category.{v_2, u_3} (D i)
F : (i : I) → C ⥤ D i
hP : JointlyReflectIsomorphisms F
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : (i : I) → Abelian (D i)
inst✝² : CategoryWithHomology C
inst✝¹ : ∀ (i : I), PreservesFiniteLimits (F i)
inst✝ : ∀ (i : I), PreservesFiniteColimits (F i)
S : ShortComplex C
hS : ∀ (i : I), (S.map (F i)).ShortExact
this : Mono S.f
⊢ ∀ (i : I), Epi ((F i).map S.g)

Tactic:
exact fun i ↦ (hS i).epi_g

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Functor.Derived.PointwiseLeftDerived

Goal state before:
pp: C : Type u₁
H : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₃, u₃} H
F : C ⥤ H
W : MorphismProperty C
hF : W.IsInvertedBy F
⊢ F.HasPointwiseLeftDerivedFunctor W

Tactic:
intro X
  rw [hasPointwiseLeftDerivedFunctorAt_iff F W.Q W]
  exact (isPointwiseRightKanExtensionOfIsoOfIsLocalization W
    (Localization.fac F hF W.Q).symm).hasPointwiseRightKanExtension _

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Galois.EssSurj

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{u₂, u₁} C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝⁵ : GaloisCategory C
inst✝⁴ : FiberFunctor F
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : IsTopologicalGroup G
inst✝ : CompactSpace G
V U : OpenSubgroup (Aut F)
h : (↑U).Normal
A : C
u : (functorToAction F).obj A ≅ ofMulAction (Aut F) (FintypeCat.of (Aut F ⧸ ↑U))
hUinV : U ≤ V
s : Cocone (quotientDiag V h u ⋙ functorToAction F)
σ τ : Aut F
hst : σ ≈ τ
J' : SingleObj (↥↑V ⧸ (↑U).subgroupOf ↑V) ⥤ Action FintypeCat (Aut F) := quotientDiag V h u ⋙ functorToAction F
m : End (SingleObj.star (↥↑V ⧸ (↑U).subgroupOf ↑V)) := ⟦⟨σ⁻¹ * τ, ⋯⟩⟧
h1 :
  J'.map m ≫ s.ι.app (SingleObj.star (↥↑V ⧸ (↑U).subgroupOf ↑V)) = s.ι.app (SingleObj.star (↥↑V ⧸ (↑U).subgroupOf ↑V))
h2 : (ConcreteCategory.hom (J'.map m).hom) ((ConcreteCategory.hom u.inv.hom) ⟦τ⟧) = (ConcreteCategory.hom u.inv.hom) ⟦σ⟧
⊢ (ConcreteCategory.hom (u.inv ≫ s.ι.app (SingleObj.star (↥↑V ⧸ (↑U).subgroupOf ↑V))).hom) ⟦σ⟧ =
    (ConcreteCategory.hom (u.inv ≫ J'.map m ≫ s.ι.app (SingleObj.star (↥↑V ⧸ (↑U).subgroupOf ↑V))).hom) ⟦τ⟧

Tactic:
simp [← h2, J']

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Groupoid.Subgroupoid

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c d e : C
f : c ⟶ d
g : d ⟶ e
hf : f ∈ S.arrows c d
⊢ f ≫ g ∈ S.arrows c e ↔ g ∈ S.arrows d e

Tactic:
constructor
  · rintro h
    suffices Groupoid.inv f ≫ f ≫ g ∈ S.arrows d e by
      simpa only [inv_eq_inv, IsIso.inv_hom_id_assoc] using this
    apply S.mul (S.inv hf) h
  · apply S.mul hf

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Preserves.BifunctorCokernel

Goal state before:
pp: C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C : Type u_3
inst✝¹¹ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝¹⁰ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝⁹ : Category.{v_3, u_3} C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
X₁ Y₁ : C₁
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
c₁ : CokernelCofork f₁
hc₁ : IsColimit c₁
X₂ Y₂ : C₂
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
c₂ : CokernelCofork f₂
hc₂ : IsColimit c₂
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C
inst✝⁵ : (F.obj c₁.pt).PreservesZeroMorphisms
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : PreservesColimit (parallelPair f₂ 0) (F.obj c₁.pt)
inst✝² : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj Y₂)
inst✝¹ : HasBinaryCoproduct ((F.obj X₁).obj Y₂) ((F.obj Y₁).obj X₂)
inst✝ : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj X₂)
s : CokernelCofork (coprod.desc ((F.map f₁).app Y₂) ((F.obj Y₁).map f₂))
⊢ (F.flip.obj Y₂).map f₁ ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s

Tactic:
have := coprod.inl ≫= s.condition

Goal state after:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C : Type u_3
inst✝¹¹ : Category.{v_1, u_1} C₁
inst✝¹⁰ : Category.{v_2, u_2} C₂
inst✝⁹ : Category.{v_3, u_3} C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
X₁ Y₁ : C₁
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
c₁ : CokernelCofork f₁
hc₁ : IsColimit c₁
X₂ Y₂ : C₂
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
c₂ : CokernelCofork f₂
hc₂ : IsColimit c₂
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C
inst✝⁵ : (F.obj c₁.pt).PreservesZeroMorphisms
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : PreservesColimit (parallelPair f₂ 0) (F.obj c₁.pt)
inst✝² : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj Y₂)
inst✝¹ : HasBinaryCoproduct ((F.obj X₁).obj Y₂) ((F.obj Y₁).obj X₂)
inst✝ : PreservesColimit (parallelPair f₁ 0) (F.flip.obj X₂)
s : CokernelCofork (coprod.desc ((F.map f₁).app Y₂) ((F.obj Y₁).map f₂))
this : coprod.inl ≫ coprod.desc ((F.map f₁).app Y₂) ((F.obj Y₁).map f₂) ≫ Cofork.π s = coprod.inl ≫ 0
⊢ (F.flip.obj Y₂).map f₁ ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.Pullback.ChosenPullback

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X₁ X₂ X₃ S : C
f₁ : X₁ ⟶ S
f₂ : X₂ ⟶ S
f₃ : X₃ ⟶ S
h₁₂ : ChosenPullback f₁ f₂
h₂₃ : ChosenPullback f₂ f₃
h₁₃ : ChosenPullback f₁ f₃
h : ChosenPullback₃ h₁₂ h₂₃ h₁₃
x✝² : C
x✝¹ x✝ : x✝² ⟶ h.pullback
h₁ : x✝¹ ≫ h.p₁₃ = x✝ ≫ h.p₁₃
h₂ : x✝¹ ≫ h.p₂₃ = x✝ ≫ h.p₂₃
⊢ x✝¹ ≫ h.p₃ = x✝ ≫ h.p₃

Tactic:
by simpa using h₁ =≫ h₁₃.p₂

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.End

Goal state before:
pp: J✝ : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J✝
F✝ : J✝ᵒᵖ ⥤ J✝ ⥤ Type (max w u)
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
F G : Jᵒᵖ ⥤ J ⥤ Type (max w u)
f : F ⟶ G
x : Types.end_ F
⊢ ∀ ⦃i j : J⦄ (f_1 : i ⟶ j),
    (Hom.hom ((G.obj (op i)).map f_1)) ((fun j ↦ (hom ((f.app (op j)).app j)) (↑x j)) i) =
      (Hom.hom ((G.map f_1.op).app j)) ((fun j ↦ (hom ((f.app (op j)).app j)) (↑x j)) j)

Tactic:
intro i j g

Goal state after:
J✝ : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J✝
F✝ : J✝ᵒᵖ ⥤ J✝ ⥤ Type (max w u)
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
F G : Jᵒᵖ ⥤ J ⥤ Type (max w u)
f : F ⟶ G
x : Types.end_ F
i j : J
g : i ⟶ j
⊢ (Hom.hom ((G.obj (op i)).map g)) ((fun j ↦ (hom ((f.app (op j)).app j)) (↑x j)) i) =
    (Hom.hom ((G.map g.op).app j)) ((fun j ↦ (hom ((f.app (op j)).app j)) (↑x j)) j)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.BousfieldTransfiniteComposition

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
P : ObjectProperty C
J : Type w
inst✝³ : LinearOrder J
inst✝² : SuccOrder J
inst✝¹ : OrderBot J
inst✝ : WellFoundedLT J
X Y : C
f : X ⟶ Y
x✝ : P.isLocal.transfiniteCompositionsOfShape J f
Z : C
hZ : P Z
hf : P.isLocal.TransfiniteCompositionOfShape J f
g : X ⟶ Z
j : J
hj : Order.IsSuccLimit j
s : ↑(⋯.functor.op ⋙ hf.F.op ⋙ yoneda.obj Z).sections
⊢ ∃ y, ∀ (i : J) (hi : i < j), (ConcreteCategory.hom ((hf.F.op ⋙ yoneda.obj Z).map (homOfLE ⋯).op)) y = ↑s (op ⟨i, hi⟩)

Tactic:
let c : Cocone ((Set.principalSegIio j).monotone.functor ⋙ hf.F) :=
            { pt := Z
              ι.app k := s.1 (op k)
              ι.naturality _ _ g := by
                dsimp
                simpa only [Category.comp_id] using! s.2 g.op }

Goal state after:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
P : ObjectProperty C
J : Type w
inst✝³ : LinearOrder J
inst✝² : SuccOrder J
inst✝¹ : OrderBot J
inst✝ : WellFoundedLT J
X Y : C
f : X ⟶ Y
x✝ : P.isLocal.transfiniteCompositionsOfShape J f
Z : C
hZ : P Z
hf : P.isLocal.TransfiniteCompositionOfShape J f
g : X ⟶ Z
j : J
hj : Order.IsSuccLimit j
s : ↑(⋯.functor.op ⋙ hf.F.op ⋙ yoneda.obj Z).sections
c : Cocone (⋯.functor ⋙ hf.F) := { pt := Z, ι := { app := fun k ↦ ↑s (op k), naturality := ⋯ } }
⊢ ∃ y, ∀ (i : J) (hi : i < j), (ConcreteCategory.hom ((hf.F.op ⋙ yoneda.obj Z).map (homOfLE ⋯).op)) y = ↑s (op ⟨i, hi⟩)
Module: Mathlib.CategoryTheory.Limits.Shapes.Pullback.Categorical.Basic

Goal state before:
pp: A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
F : A ⥤ B
G : C ⥤ B
X : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} X
J K : X ⥤ F ⊡ G
e₁ : J ⋙ π₁ F G ≅ K ⋙ π₁ F G
e₂ : J ⋙ π₂ F G ≅ K ⋙ π₂ F G
coh :
  whiskerRight e₁.hom F ≫
      (K.associator (π₁ F G) F).hom ≫
        K.whiskerLeft (CatCommSq.iso (π₁ F G) (π₂ F G) F G).hom ≫ (K.associator (π₂ F G) G).inv =
    (J.associator (π₁ F G) F).hom ≫
      J.whiskerLeft (CatCommSq.iso (π₁ F G) (π₂ F G) F G).hom ≫ (J.associator (π₂ F G) G).inv ≫ whiskerRight e₂.hom G
⊢ mkNatIso e₁ e₂ coh = (functorEquiv F G X).fullyFaithfulFunctor.preimageIso (CatCommSqOver.mkIso e₁ e₂ ⋯)

Tactic:
← toCatCommSqOver_mapIso_mkNatIso_eq_mkIso e₁ e₂ coh

Goal state after:
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
F : A ⥤ B
G : C ⥤ B
X : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} X
J K : X ⥤ F ⊡ G
e₁ : J ⋙ π₁ F G ≅ K ⋙ π₁ F G
e₂ : J ⋙ π₂ F G ≅ K ⋙ π₂ F G
coh :
  whiskerRight e₁.hom F ≫
      (K.associator (π₁ F G) F).hom ≫
        K.whiskerLeft (CatCommSq.iso (π₁ F G) (π₂ F G) F G).hom ≫ (K.associator (π₂ F G) G).inv =
    (J.associator (π₁ F G) F).hom ≫
      J.whiskerLeft (CatCommSq.iso (π₁ F G) (π₂ F G) F G).hom ≫ (J.associator (π₂ F G) G).inv ≫ whiskerRight e₂.hom G
⊢ mkNatIso e₁ e₂ coh =
    (functorEquiv F G X).fullyFaithfulFunctor.preimageIso ((toCatCommSqOver F G X).mapIso (mkNatIso e₁ e₂ coh))
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.Monoidal.Braided

Goal state before:
pp: C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{v_2, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : W.IsMonoidal
inst✝¹ : L.IsLocalization W
unit : D
ε : L.obj (𝟙_ C) ≅ unit
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C
⊢ (α_ (L'.obj X) (L'.obj Y) (L'.obj Z)).inv ≫
      (((braidingNatIso L W ε).app (L'.obj X ⊗ L'.obj Y)).app (L'.obj Z)).hom ≫
        (α_ (L'.obj Z) (L'.obj X) (L'.obj Y)).inv =
    L'.obj X ◁ (((braidingNatIso L W ε).app (L'.obj Y)).app (L'.obj Z)).hom ≫
      (α_ (L'.obj X) (L'.obj Z) (L'.obj Y)).inv ≫
        (((braidingNatIso L W ε).app (L'.obj X)).app (L'.obj Z)).hom ▷ L'.obj Y

Tactic:
simp only [associator_inv, Iso.app_hom, braidingNatIso_hom_app]
  slice_rhs 0 4 =>
    simp only [Functor.flip_obj_obj, Functor.CoreMonoidal.toMonoidal_toLaxMonoidal,
      Functor.CoreMonoidal.toMonoidal_toOplaxMonoidal, MonoidalCategory.whiskerLeft_comp, assoc,
      Functor.Monoidal.whiskerLeft_δ_μ, comp_id]
  slice_lhs 6 7 =>
    rw [braidingNatIso_hom_app_naturality_μ_right, braidingNatIso_hom_app]
  simp

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Localization.Monoidal.Functor

Goal state before:
pp: case refine_1
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{v_1, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{v_2, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{v_3, u_3} E
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : MonoidalCategory D
inst✝⁵ : MonoidalCategory E
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝⁴ : L.IsLocalization W
inst✝³ : L.Monoidal
F : D ⥤ E
G : C ⥤ E
inst✝² : G.Monoidal
inst✝¹ : W.ContainsIdentities
inst✝ : Lifting L W G F
this : F.Monoidal := functorMonoidalOfComp L W F G
⊢ ε (L ⋙ F) ≫ (Lifting.iso L W G F).hom.app (𝟙_ C) = ε G

Tactic:
simp [functorMonoidalOfComp_ε]

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.MarkovCategory.Positive

Goal state before:
pp: C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : MonoidalCategory C
inst✝¹ : PositiveCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
⊢ f ≫ Δ = Δ ≫ (f ⊗ₘ f)

Tactic:
calc
    _ = f ≫ Δ ≫ (inv f ⊗ₘ 𝟙 Y) ≫ (f ⊗ₘ 𝟙 Y) := by
      cat_disch
    _ = (f ≫ Δ ≫ (inv f ⊗ₘ 𝟙 Y)) ≫ (f ⊗ₘ 𝟙 Y) := by
      simp
    _ = (Δ ≫ (𝟙 X ⊗ₘ f)) ≫ (f ⊗ₘ 𝟙 Y) := by
      rw [copy_comp_natural (h := by rw [IsIso.hom_inv_id]; infer_instance)]
      simp
    _ = Δ ≫ (𝟙 X ⊗ₘ f) ≫ (f ⊗ₘ 𝟙 Y) := by
      simp
    _ = Δ ≫ ((𝟙 X ≫ f) ⊗ₘ (f ≫ 𝟙 Y)) := by
      rw [MonoidalCategory.tensorHom_comp_tensorHom]
    _ = Δ ≫ (f ⊗ₘ f) := by cat_disch

Goal state after:
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Mod

Goal state before:
pp: case a.a
C : Type u₁
inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹¹ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁹ : MonoidalLeftAction C D
M' N' O' : D
A✝¹ : C
inst✝⁸ : MonObj A✝¹
M✝¹ N O : D
inst✝⁷ : ModObj A✝¹ M✝¹
inst✝⁶ : ModObj A✝¹ N
inst✝⁵ : ModObj A✝¹ O
A✝ : C
inst✝⁴ : MonObj A✝
M✝ : Mod D A✝
A B : C
inst✝³ : MonObj A
inst✝² : MonObj B
f : A ⟶ B
inst✝¹ : IsMonHom f
M : D
inst✝ : ModObj B M
| (f ▷ A) ⊵ₗ M ≫ (B ◁ f) ⊵ₗ M

pp: case a.a
C : Type u₁
inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹¹ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁹ : MonoidalLeftAction C D
M' N' O' : D
A✝¹ : C
inst✝⁸ : MonObj A✝¹
M✝¹ N O : D
inst✝⁷ : ModObj A✝¹ M✝¹
inst✝⁶ : ModObj A✝¹ N
inst✝⁵ : ModObj A✝¹ O
A✝ : C
inst✝⁴ : MonObj A✝
M✝ : Mod D A✝
A B : C
inst✝³ : MonObj A
inst✝² : MonObj B
f : A ⟶ B
inst✝¹ : IsMonHom f
M : D
inst✝ : ModObj B M
| μ ⊵ₗ M

pp: case a
C : Type u₁
inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹¹ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁹ : MonoidalLeftAction C D
M' N' O' : D
A✝¹ : C
inst✝⁸ : MonObj A✝¹
M✝¹ N O : D
inst✝⁷ : ModObj A✝¹ M✝¹
inst✝⁶ : ModObj A✝¹ N
inst✝⁵ : ModObj A✝¹ O
A✝ : C
inst✝⁴ : MonObj A✝
M✝ : Mod D A✝
A B : C
inst✝³ : MonObj A
inst✝² : MonObj B
f : A ⟶ B
inst✝¹ : IsMonHom f
M : D
inst✝ : ModObj B M
| γ

Tactic:
← comp_actionHomLeft

Goal state after:
case a.a
C : Type u₁
inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹¹ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁹ : MonoidalLeftAction C D
M' N' O' : D
A✝¹ : C
inst✝⁸ : MonObj A✝¹
M✝¹ N O : D
inst✝⁷ : ModObj A✝¹ M✝¹
inst✝⁶ : ModObj A✝¹ N
inst✝⁵ : ModObj A✝¹ O
A✝ : C
inst✝⁴ : MonObj A✝
M✝ : Mod D A✝
A B : C
inst✝³ : MonObj A
inst✝² : MonObj B
f : A ⟶ B
inst✝¹ : IsMonHom f
M : D
inst✝ : ModObj B M
| (f ▷ A ≫ B ◁ f) ⊵ₗ M

case a.a
C : Type u₁
inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹¹ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁹ : MonoidalLeftAction C D
M' N' O' : D
A✝¹ : C
inst✝⁸ : MonObj A✝¹
M✝¹ N O : D
inst✝⁷ : ModObj A✝¹ M✝¹
inst✝⁶ : ModObj A✝¹ N
inst✝⁵ : ModObj A✝¹ O
A✝ : C
inst✝⁴ : MonObj A✝
M✝ : Mod D A✝
A B : C
inst✝³ : MonObj A
inst✝² : MonObj B
f : A ⟶ B
inst✝¹ : IsMonHom f
M : D
inst✝ : ModObj B M
| μ ⊵ₗ M

case a
C : Type u₁
inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹¹ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁹ : MonoidalLeftAction C D
M' N' O' : D
A✝¹ : C
inst✝⁸ : MonObj A✝¹
M✝¹ N O : D
inst✝⁷ : ModObj A✝¹ M✝¹
inst✝⁶ : ModObj A✝¹ N
inst✝⁵ : ModObj A✝¹ O
A✝ : C
inst✝⁴ : MonObj A✝
M✝ : Mod D A✝
A B : C
inst✝³ : MonObj A
inst✝² : MonObj B
f : A ⟶ B
inst✝¹ : IsMonHom f
M : D
inst✝ : ModObj B M
| γ
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (P.X ⊗ Q.X) ◁ η ≫
      (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫
        P.X ◁ Q.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) =
    coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ 𝟙_ C ≫
      (ρ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom

Tactic:
slice_lhs 1 2 => rw [associator_naturality_right]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (((α_ P.X Q.X (𝟙_ C)).hom ≫ P.X ◁ Q.X ◁ η) ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫
      coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) =
    coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ 𝟙_ C ≫
      (ρ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom
Module: Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod

Goal state before:
pp: C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (P.X ⊗ Q.X) ◁ μ ≫
      (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫
        P.X ◁ Q.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) =
    coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (T.X ⊗ T.X) ≫
      (α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X T.X).inv ≫
        actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q

Tactic:
slice_lhs 1 2 => rw [associator_naturality_right]

Goal state after:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
⊢ (((α_ P.X Q.X (T.X ⊗ T.X)).hom ≫ P.X ◁ Q.X ◁ μ) ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫
      coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) =
    coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (T.X ⊗ T.X) ≫
      (α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X T.X).inv ≫
        actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q