mathlib-initiative/mathlib-tactics huggingface dataset:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
hr : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) (p₄ -ᵥ p₃)
hc₅₁₂ : ¬Collinear ℝ {p₅, p₁, p₂}
s : Set (P × P × P) := (fun x ↦ (↑x.1, p₅, x.2 +ᵥ ↑x.1)) '' Set.univ ×ˢ {v | SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v ∧ v ≠ 0}
hco : IsConnected s
hf : ContinuousOn (fun p ↦ ∡ p.1 p.2.1 p.2.2) s
hsp : ∀ p ∈ s, ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ 0 ∧ ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ ↑π
⊢ ∃ x ∈ Set.univ ×ˢ {v | SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v ∧ v ≠ 0}, (↑x.1, p₅, x.2 +ᵥ ↑x.1) = (p₁, p₅, p₂)

Tactic:
Set.mem_prod,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
hr : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) (p₄ -ᵥ p₃)
hc₅₁₂ : ¬Collinear ℝ {p₅, p₁, p₂}
s : Set (P × P × P) := (fun x ↦ (↑x.1, p₅, x.2 +ᵥ ↑x.1)) '' Set.univ ×ˢ {v | SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v ∧ v ≠ 0}
hco : IsConnected s
hf : ContinuousOn (fun p ↦ ∡ p.1 p.2.1 p.2.2) s
hsp : ∀ p ∈ s, ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ 0 ∧ ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ ↑π
⊢ ∃ x, (x.1 ∈ Set.univ ∧ x.2 ∈ {v | SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v ∧ v ≠ 0}) ∧ (↑x.1, p₅, x.2 +ᵥ ↑x.1) = (p₁, p₅, p₂)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
hr : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) (p₄ -ᵥ p₃)
hc₅₁₂ : ¬Collinear ℝ {p₅, p₁, p₂}
s : Set (P × P × P) := (fun x ↦ (↑x.1, p₅, x.2 +ᵥ ↑x.1)) '' Set.univ ×ˢ {v | SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v ∧ v ≠ 0}
hco : IsConnected s
hf : ContinuousOn (fun p ↦ ∡ p.1 p.2.1 p.2.2) s
hsp : ∀ p ∈ s, ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ 0 ∧ ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ ↑π
hp₁p₂s : (p₁, p₅, p₂) ∈ s
⊢ ∃ x ∈ Set.univ ×ˢ {v | SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v ∧ v ≠ 0}, (↑x.1, p₅, x.2 +ᵥ ↑x.1) = (p₃, p₅, p₄)

Tactic:
Set.mem_prod,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
hr : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) (p₄ -ᵥ p₃)
hc₅₁₂ : ¬Collinear ℝ {p₅, p₁, p₂}
s : Set (P × P × P) := (fun x ↦ (↑x.1, p₅, x.2 +ᵥ ↑x.1)) '' Set.univ ×ˢ {v | SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v ∧ v ≠ 0}
hco : IsConnected s
hf : ContinuousOn (fun p ↦ ∡ p.1 p.2.1 p.2.2) s
hsp : ∀ p ∈ s, ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ 0 ∧ ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ ↑π
hp₁p₂s : (p₁, p₅, p₂) ∈ s
⊢ ∃ x, (x.1 ∈ Set.univ ∧ x.2 ∈ {v | SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v ∧ v ≠ 0}) ∧ (↑x.1, p₅, x.2 +ᵥ ↑x.1) = (p₃, p₅, p₄)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hne : p₂ ≠ p₃
⊢ (-∡ p₃ p₄ p₂).sign = (-∡ p₃ p₄ p₁).sign

Tactic:
Real.Angle.sign_neg,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hne : p₂ ≠ p₃
⊢ -(∡ p₃ p₄ p₂).sign = -(∡ p₃ p₄ p₁).sign
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Oriented.Affine

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄
h : ¬p₁ = p₂
sp : Set (P × P × P) := (fun p ↦ (p₁, p, p₂)) '' {p | s.SSameSide p₃ p}
hc : IsConnected sp
p : P × P × P
hp : p ∈ sp
⊢ p.1 ≠ p.2.1

pp: case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄
h : ¬p₁ = p₂
sp : Set (P × P × P) := (fun p ↦ (p₁, p, p₂)) '' {p | s.SSameSide p₃ p}
hc : IsConnected sp
p : P × P × P
hp : p ∈ sp
⊢ p.2.2 ≠ p.2.1

Tactic:
all_goals
      simp_rw [sp, Set.mem_image, Set.mem_ofPred] at hp
      obtain ⟨p', hp', rfl⟩ := hp
      dsimp only
      rintro rfl

Goal state after:
case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄
h : ¬p₁ = p₂
sp : Set (P × P × P) := (fun p ↦ (p₁, p, p₂)) '' {p | s.SSameSide p₃ p}
hc : IsConnected sp
hp' : s.SSameSide p₃ p₁
⊢ False

case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄
h : ¬p₁ = p₂
sp : Set (P × P × P) := (fun p ↦ (p₁, p, p₂)) '' {p | s.SSameSide p₃ p}
hc : IsConnected sp
hp' : s.SSameSide p₃ p₂
⊢ False
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Basic

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p₁ p₂ : P
hv : v ≠ 0
r : ℝ
| ⟪v, v⟫ * (r * r) + 2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫ * r + ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ p₂⟫ - dist p₁ p₂ * dist p₁ p₂ = 0

Tactic:
add_sub_assoc,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p₁ p₂ : P
hv : v ≠ 0
r : ℝ
| ⟪v, v⟫ * (r * r) + 2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫ * r + (⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ p₂⟫ - dist p₁ p₂ * dist p₁ p₂) = 0
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.SignedDist

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
e : Fin (n + 1) ≃ Fin (m + 1)
j : Fin (m + 1)
⊢ (s.reindex e).signedInfDist j = s.signedInfDist (e.symm j)

Tactic:
signedInfDist,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
e : Fin (n + 1) ≃ Fin (m + 1)
j : Fin (m + 1)
⊢ (affineSpan ℝ ((s.reindex e).points '' {j}ᶜ)).signedInfDist ((s.reindex e).points j) =
    (affineSpan ℝ (s.points '' {e.symm j}ᶜ)).signedInfDist (s.points (e.symm j))
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.SignedDist

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
p : P
h : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ |(s.signedInfDist i) p| = dist p ↑((s.faceOpposite i).orthogonalProjectionSpan p)

Tactic:
signedInfDist,

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)
p : P
h : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ |((affineSpan ℝ (s.points '' {i}ᶜ)).signedInfDist (s.points i)) p| =
    dist p ↑((s.faceOpposite i).orthogonalProjectionSpan p)
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Basic

Goal state before:
pp: P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
s₁ s₂ : Sphere P
p : P
hs₁ : p ∈ s₁
hs₂ : p ∈ s₂
⊢ s₁.center = s₂.center ↔ s₁ = s₂

Tactic:
refine ⟨fun h => Sphere.ext h ?_, fun h => h ▸ rfl⟩

Goal state after:
P : Type u_2
inst✝ : MetricSpace P
s₁ s₂ : Sphere P
p : P
hs₁ : p ∈ s₁
hs₂ : p ∈ s₂
h : s₁.center = s₂.center
⊢ s₁.radius = s₂.radius
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
h' : (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ≤ (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
r : ℝ
hr : r • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center
hp : ⟪p -ᵥ q, q -ᵥ s.center⟫ = 0
⊢ p = q ∨ q = s.center

Tactic:
← vsub_sub_vsub_cancel_right p q s.center,

Goal state after:
case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
h : s.orthRadius p ≤ s.orthRadius q
h' : (ℝ ∙ (p -ᵥ s.center))ᗮ ≤ (ℝ ∙ (q -ᵥ s.center))ᗮ
r : ℝ
hr : r • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center
hp : ⟪p -ᵥ s.center - (q -ᵥ s.center), q -ᵥ s.center⟫ = 0
⊢ p = q ∨ q = s.center
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.OrthRadius

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p q : P
⊢ (∃ z, z • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center) ↔ ∃ u, ↑u • (p -ᵥ s.center) = q -ᵥ s.center

Tactic:
Units.smul_def

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Sphere.Tangent

Goal state before:
pp: case neg.refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : Nontrivial V
s₁ s₂ : Sphere P
h : dist s₂.center s₁.center = s₂.radius - s₁.radius
h₁ : 0 ≤ s₁.radius
h₂ : 0 ≤ s₂.radius
h0 : ¬s₁.center = s₂.center
ha : |s₂.radius - s₁.radius| = s₂.radius - s₁.radius
hr0 : s₂.radius - s₁.radius ≠ 0
⊢ (AffineMap.lineMap s₂.center s₁.center) (s₂.radius / (s₂.radius - s₁.radius)) ∈ s₁

Tactic:
simp only [mem_sphere, dist_lineMap_right, Real.norm_eq_abs, h, one_sub_div hr0, abs_div,
          sub_sub_cancel_left, abs_neg, abs_of_nonneg h₁, ha]

Goal state after:
case neg.refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : Nontrivial V
s₁ s₂ : Sphere P
h : dist s₂.center s₁.center = s₂.radius - s₁.radius
h₁ : 0 ≤ s₁.radius
h₂ : 0 ≤ s₂.radius
h0 : ¬s₁.center = s₂.center
ha : |s₂.radius - s₁.radius| = s₂.radius - s₁.radius
hr0 : s₂.radius - s₁.radius ≠ 0
⊢ s₁.radius / (s₂.radius - s₁.radius) * (s₂.radius - s₁.radius) = s₁.radius
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
s : Sphere P
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hne₁₂ : p₁ ≠ p₂
hne₂₃ : p₂ ≠ p₃
hangle : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
⊢ s.IsDiameter p₁ p₃

Tactic:
have : FiniteDimensional ℝ V := .of_finrank_eq_succ (Fact.out : finrank ℝ V = 2)

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
s : Sphere P
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hne₁₂ : p₁ ≠ p₂
hne₂₃ : p₂ ≠ p₃
hangle : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
this : FiniteDimensional ℝ V
⊢ s.IsDiameter p₁ p₃
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hy : y ≠ 0
hx : x ≠ 0
h : ↑(angle x y) = ↑(angle x (x + y) + angle y (x + y))
n : ℤ
this : -1 < n
hn : 1 ≤ n
hxy : x + y ≠ 0
r₁ : ℝ
r₁_pos : r₁ < 0
hr₁ : x = r₁ • (x + y)
r₂ : ℝ
r₂_pos : r₂ < 0
hr₂ : y = r₂ • (x + y)
⊢ (r₁ + r₂ - 1) • (x + y) = 0

Tactic:
rw [sub_smul, add_smul, one_smul, ← hr₁, ← hr₂, sub_eq_zero]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 0
i : Fin 1
h : s.circumcenter ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ s.circumcenter = s.points i

Tactic:
have : Unique (Fin 1) := ⟨⟨0, by decide⟩, fun a => by simp only [Fin.eq_zero]⟩

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 0
i : Fin 1
h : s.circumcenter ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
this : Unique (Fin 1)
⊢ s.circumcenter = s.points i
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Triangle

Goal state before:
pp: case inr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h0 : o.oangle x y ≠ 0
hpi : o.oangle x y ≠ ↑π
hs : (-o.oangle x y).sign = 0
h : o.oangle x (x - y) = o.oangle (y - x) y + ↑π
⊢ ‖x‖ = ‖y‖

Tactic:
Real.Angle.sign_neg,

Goal state after:
case inr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h0 : o.oangle x y ≠ 0
hpi : o.oangle x y ≠ ↑π
hs : -(o.oangle x y).sign = 0
h : o.oangle x (x - y) = o.oangle (y - x) y + ↑π
⊢ ‖x‖ = ‖y‖
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Angle.Sphere

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
⊢ dist (t.points i₁) (t.points i₃) / Real.sin (∠ (t.points i₁) (t.points i₂) (t.points i₃)) / 2 = Simplex.circumradius t

Tactic:
by
  set S : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range t.points) with hS
  let t' : Triangle ℝ S := t.restrict S le_rfl
  have hf2 : Fact (finrank ℝ S.direction = 2) := ⟨by
    rw [hS, direction_affineSpan, t.independent.finrank_vectorSpan]
    simp⟩
  have : Module.Oriented ℝ S.direction (Fin 2) :=
    ⟨Basis.orientation (finBasisOfFinrankEq _ _ hf2.out)⟩
  convert! t'.dist_div_sin_oangle_div_two_eq_circumradius h₁₂ h₁₃ h₂₃ using 3
  · rw [← Real.Angle.sin_toReal,
      Real.abs_sin_eq_sin_abs_of_abs_le_pi (Real.Angle.abs_toReal_le_pi _),
      ← angle_eq_abs_oangle_toReal (t'.independent.injective.ne h₁₂)
        (t'.independent.injective.ne h₂₃.symm)]
    congr
  · simp [t']

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s₁ s₂ : Simplex ℝ P n
h : Set.range s₁.points = Set.range s₂.points
⊢ s₁.circumcenter = s₂.circumcenter

Tactic:
by
  have hs : s₁.circumcenter ∈ affineSpan ℝ (Set.range s₂.points) :=
    h ▸ s₁.circumcenter_mem_affineSpan
  have hr : ∀ i, dist (s₂.points i) s₁.circumcenter = s₁.circumradius := by
    intro i
    have hi : s₂.points i ∈ Set.range s₂.points := Set.mem_range_self _
    rw [← h, Set.mem_range] at hi
    rcases hi with ⟨j, hj⟩
    rw [← hj, s₁.dist_circumcenter_eq_circumradius j]
  exact s₂.eq_circumcenter_of_dist_eq hs hr

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
r : ℝ
w : Fin (n + 1) → ℝ
hp : (Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points) w ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    (s.signedInfDist i) ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points) w) = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h' : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i * dist (s.points i) (s.altitudeFoot i) = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h'' : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i = r * s.excenterWeightsUnnorm signs i
h1 : r * ∑ i, s.excenterWeightsUnnorm signs i = 1
j : Fin (n + 1)
⊢ r * s.excenterWeightsUnnorm signs j = s.excenterWeights signs j

Tactic:
eq_inv_of_mul_eq_one_left h1

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
signs : Finset (Fin (n + 1))
r : ℝ
w : Fin (n + 1) → ℝ
hp : (Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points) w ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    (s.signedInfDist i) ((Finset.affineCombination ℝ Finset.univ s.points) w) = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h' : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i * dist (s.points i) (s.altitudeFoot i) = (if i ∈ signs then -1 else 1) * r
h'' : ∀ (i : Fin (n + 1)), w i = r * s.excenterWeightsUnnorm signs i
h1 : r * ∑ i, s.excenterWeightsUnnorm signs i = 1
j : Fin (n + 1)
⊢ (∑ i, s.excenterWeightsUnnorm signs i)⁻¹ * s.excenterWeightsUnnorm signs j = s.excenterWeights signs j
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Incenter

Goal state before:
pp: case refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
⊢ (∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), |(s.signedInfDist i) p| = r) → ∃ signs, s.ExcenterExists signs ∧ p = s.excenter signs

Tactic:
rintro ⟨r, h⟩
    have h' : ∀ i, s.signedInfDist i p = r ∨ s.signedInfDist i p = -r :=
      fun i ↦ eq_or_eq_neg_of_abs_eq (h i)
    refine ⟨{i ∈ (Finset.univ : Finset (Fin (n + 1))) | s.signedInfDist i p = -r}, ?_⟩
    apply (s.exists_forall_signedInfDist_eq_iff_excenterExists_and_eq_excenter hp).1
    refine ⟨r, ?_⟩
    grind

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ ↥⊤ = n
hc : Cospherical ps
⊢ ∃ r, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r

Tactic:
← direction_top ℝ V P

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ ↥⊤.direction = n
hc : Cospherical ps
⊢ ∃ r, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ ↥⊤ = n
hc : Cospherical ps
⊢ ∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = c

Tactic:
← direction_top ℝ V P

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ ↥⊤.direction = n
hc : Cospherical ps
⊢ ∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = c
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Circumcenter

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ ↥⊤ = n
hc : Cospherical ps
⊢ ∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumsphere = c

Tactic:
← direction_top ℝ V P

Goal state after:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ ↥⊤.direction = n
hc : Cospherical ps
⊢ ∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumsphere = c
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Congruence

Goal state before:
pp: V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
ha₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
hd : dist b c = dist b' c'
ha₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
h' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
ha₃' : ∠ c' a' b' + ∠ a' b' c' + ∠ b' c' a' = Real.pi
ha₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_bac : ¬Collinear ℝ {b, a, c}
h_bac' : ¬Collinear ℝ {b', a', c'}
⊢ dist b' c' * Real.sin (∠ a' c' b') / Real.sin (∠ c a b) = dist b' c' * Real.sin (∠ a' c' b') / Real.sin (∠ b' a' c')

Tactic:
ha₃,

Goal state after:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
ha₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
hd : dist b c = dist b' c'
ha₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
h' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
ha₃' : ∠ c' a' b' + ∠ a' b' c' + ∠ b' c' a' = Real.pi
ha₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_bac : ¬Collinear ℝ {b, a, c}
h_bac' : ¬Collinear ℝ {b', a', c'}
⊢ dist b' c' * Real.sin (∠ a' c' b') / Real.sin (∠ c' a' b') =
    dist b' c' * Real.sin (∠ a' c' b') / Real.sin (∠ b' a' c')
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.Congruence

Goal state before:
pp: V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
ha₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
ha₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hd : dist c a = dist c' a'
h' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
ha₃' : ∠ c' a' b' + ∠ a' b' c' + ∠ b' c' a' = Real.pi
ha₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_bca : ¬Collinear ℝ {b, c, a}
⊢ ![a, b, c] ≅ ![a', b', c']

Tactic:
have h1 := angle_side_angle h_bca ha₂ hd ha₃

Goal state after:
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
P₁ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ V₁
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝³ : MetricSpace P₁
inst✝² : MetricSpace P₂
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
a b c : P₁
a' b' c' : P₂
h : ¬Collinear ℝ {a, b, c}
ha₁ : ∠ a b c = ∠ a' b' c'
ha₂ : ∠ b c a = ∠ b' c' a'
hd : dist c a = dist c' a'
h' : ¬Collinear ℝ {a', b', c'}
ha₃' : ∠ c' a' b' + ∠ a' b' c' + ∠ b' c' a' = Real.pi
ha₃ : ∠ c a b = ∠ c' a' b'
h_bca : ¬Collinear ℝ {b, c, a}
h1 : ![b, c, a] ≅ ![b', c', a']
⊢ ![a, b, c] ≅ ![a', b', c']
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.NinePointCircle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MetricSpace P
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P
V₂ : Type u_3
P₂ : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝¹ : MetricSpace P₂
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
f : P →ᵃⁱ[ℝ] P₂
i : Fin (n + 1)
⊢ (s.map f.toAffineMap ⋯).eulerPoint i = f (s.eulerPoint i)

Tactic:
simp [eulerPoint]

Goal state after:
Module: Mathlib.Geometry.Euclidean.NinePointCircle

Goal state before:
pp: V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
S : AffineSubspace ℝ P
hS : affineSpan ℝ (Set.range s.points) ≤ S
i : Fin (n + 1)
⊢ ↑((s.restrict S hS).eulerPoint i) = s.eulerPoint i

Tactic:
simp [eulerPoint]

Goal state after: