Module: Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs

Goal state before:
pp: case refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s✝ : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
hn : n ≠ ∞
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)] ↑(extChartAt I x) x
hsub : v ⊆ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv : ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) v
hxs' :
  ↑(extChartAt I x) x ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
⊢ ↑(extChartAt I x).symm '' v ∈ 𝓝[s] x

pp: case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s✝ : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
hn : n ≠ ∞
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)] ↑(extChartAt I x) x
hsub : v ⊆ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv : ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) v
hxs' :
  ↑(extChartAt I x) x ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
⊢ ContMDiffOn I I' n f (↑(extChartAt I x).symm '' v)

Tactic:
· rw [← map_extChartAt_symm_nhdsWithin (I := I),
      h.1.nhdsWithin_extChartAt_symm_preimage_inter_range (I := I) (I' := I')]
    exact image_mem_map hmem

Goal state after:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s✝ : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst✝¹ : IsManifold I n M
inst✝ : IsManifold I' n M'
hn : n ≠ ∞
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
v : Set E
hmem :
  v ∈
    𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)] ↑(extChartAt I x) x
hsub : v ⊆ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv : ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) v
hxs' :
  ↑(extChartAt I x) x ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
⊢ ContMDiffOn I I' n f (↑(extChartAt I x).symm '' v)